7/24/2019 Fordoblings- Og Halveringskonstant (Matematik C, Funktioner) Webmatematik

1/4

Matematik C / Funktioner /

En gratis tjeneste fra

Matematikcenter

Fordoblings- og halveringskonstantNr man har at gre med en voksende eksponentiel funktion, s vil den vokse med en fast procent pr enhed

p x-aksen. Efter et vist antal x-enheder vil den vre vokset med 100% - dvs. den er fordoblet. Det stykke vi

skal g ud ad x-aksen, fr funktionsvrdien er fordoblet, kalder vi fordoblingskonstanten. Denne betegnes

med T2

Grunden til, at der er tale om en konstant, er, at da udviklingen sker med en vis procent, s er det ligegyldigt,

hvorhenne vi starter, da der stadig skal et lige langt stykke x-akse til at n op p 100%.

Det kan virke lidt abstrakt, men prv at se p flgende billede. Her er fordoblinskonstanten 3. Nr vi gr fra 0

til 3 p x-aksen, bliver y-vrdien fordoblet (fra 4 til 8). Nr vi gr fra 7 til 10 p x-aksen bliver y-vrdienimidlertid ogs fordoblet (fra 20 til 40).

Men hvordan beregner vi s sdan en fordoblingskonstant? Lad os tage udgangspunkt i

en eksponentialfunktion, der vokser med 26% for hvert x. Det betyder, at hver gang vi gr 1 hen ad x-

aksen, s skal vi gange med 1,26 p y-aksen.

Nu sprger vi os selv: Hvor mange gange skal vi gange med 1,26, fr vi nr op p 2 (en fordobling)?

x-stigning y-stigning

1 1 , 2 6

2 1 , 2 6 1 , 2 6 = 1 , 5 8 7 6

3 1 , 2 6 1 , 2 6 1 , 2 6 = 2

https://www.youtube.com/watch?v=MV21L924ohYhttp://www.webmatematik.dk/http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-chttp://www.matematikcenter.dk/http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner

7/24/2019 Fordoblings- Og Halveringskonstant (Matematik C, Funktioner) Webmatematik

2/4

Vi skal alts g 3 skridt p x-aksen, fr vi fr fordoblet, og derfor er T2=3. Denne metode virkede kun, fordi

vores fordoblingskonstant var et heltal. Generelt lyder

sprgsmlet: hvor mange gange skal man gange a med sig selv for at f 2? Eller udtrykt matematisk:

For at finde T2bruger vi logaritmeregnereglerne

Alts kan vi finde fordoblingskontanten ved formlen

Hvis vores funktion sledes hedder

kan vi alts beregne fordoblingskontanten som

Dvs. at lige meget hvor vi starter, s vil vores y-vrdi blive fordoblet, nr vi gr 6,12 ud ad x-aksen.

HalveringskonstantLigesom de voksende eksponentialfunktioner har en fordoblingskonstant, s har de

aftagende eksponentialfunktioner en halveringskonstant. Denne betegnes med T

Her er der ogs tale om en konstant, da y-vrdien aftager med en fast procent pr. x, og p et tidspunkt nr

man ned til 50% af det oprindelige.

P tegningen er halveringskonstanten 4.

= 2a

T

2

l o g ( ) = l o g ( 2 ) a

T

2

l o g ( a

) = l o g ( 2 ) T

2

=T

2

l o g ( 2 )

l o g ( a )

=T

2

l o g ( 2 )

l o g ( a )

= 3 2 3 1 , 1 2

= = 6 , 1 2 T

2

l o g ( 2 )

l o g ( a )

l o g ( 2 )

l o g ( 1 , 1 2 )

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner/logaritmer

7/24/2019 Fordoblings- Og Halveringskonstant (Matematik C, Funktioner) Webmatematik

3/4

Nr vi gr 4 ud ad x-aksen fra 2 til 6, s bliver vores y-vrdi halveret fra 7 til 3,5.

Og hvis vi var startet et andet sted f.eks. ved 8 og var get 4 ud til 12, s ville vores y-vrdi igen blive

halveret, denne gang fra 2,5 til 1,25.

Lige meget, hvor vi var startet ville y-vrdien halveres ved et 4trinsskridt p x-aksen. (F.eks. ville vi fra 0 til 4

halvere y-vrdien fra 10 til 5).

Ligesom der fandtes en formel for fordoblingskonstanten, findes der ogs en for

halveringskonstanten. Her stiller man sig selv sprsmlet "hvor mange gange skal jeg gange amed sig selv

for at f ?".

Lsningen p denne ligning findes p samme mde som ved fordoblingskonstanten og er

Hvis vores eksponentielle udvikling aftager med 10% (dvs a=0,90), s er halveringskontanten

Alts skal man g 6,58 ud p x-aksen for at f halveret sin y-vrdi.

Da eksponentialfunktioner ofte har at gre med udvikling over tid, s kalder man til tider

ogs fordoblingskonstanten for fordoblingstidenog halveringskonstanten for halveringstiden.

i eolektion

=a

T

1

2

1

2

=T 1

2

l o g ( )

1

2

l o g ( a )

= = 6 , 5 8 T 1

2

l o g ( )

1

2

l o g ( a )

l o g ( )

1

2

l o g ( 0 , 9 0 )

7/24/2019 Fordoblings- Og Halveringskonstant (Matematik C, Funktioner) Webmatematik

4/4