Fonctionsholomorphessurl’espaceeuclidien R3 l’arbre...
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Fonctions holomorphes sur l’espace euclidien R3 etl’arbre T3
Abdelghani Zeghib
UMPA, ENS-Lyonhttp://www.umpa.ens-lyon.fr/˜zeghib,
(en collaboration avec Sylvain Barré)
Abdelghani Zeghib Fonctions holomorphes sur l’espace euclidien R3 et l’arbre T3
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Introduction
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Exercice
Toutes les fonctions sont à valeur complexes
Exercise: Soit U ⊂ C ouvert, f : U → Cavec f et f 2 harmoniques
∆f = ∆f 2 = 0, (∗)2
Alors f est holomorphe ou anti-holomorphe?
• Cor: (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N ≥ 2
(∗)N : ∆f = . . .∆f N = 0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Exercice
Toutes les fonctions sont à valeur complexes
Exercise: Soit U ⊂ C ouvert, f : U → Cavec f et f 2 harmoniques
∆f = ∆f 2 = 0, (∗)2
Alors f est holomorphe ou anti-holomorphe?
• Cor: (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N ≥ 2
(∗)N : ∆f = . . .∆f N = 0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Holomorphe vs Harmonique
Cor: On peut multiplier les fonctions holomorphes, mais on ne peut
pas multiplier les fonctions harmoniques!!!
“Origine de ce travail”: comprendre ce phénomène?
- Cadre non-classique: variétés complexes hermitiennes...
- Presque par définition: c’est dans le cas Kaelerien qu’il y a un
parallèle entre holomorphe et harmonique....
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Holomorphe vs Harmonique
Cor: On peut multiplier les fonctions holomorphes, mais on ne peut
pas multiplier les fonctions harmoniques!!!
“Origine de ce travail”: comprendre ce phénomène?
- Cadre non-classique: variétés complexes hermitiennes...
- Presque par définition: c’est dans le cas Kaelerien qu’il y a un
parallèle entre holomorphe et harmonique....
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Holomorphie discrète
Holomorphe vs Harmonique
Cor: On peut multiplier les fonctions holomorphes, mais on ne peut
pas multiplier les fonctions harmoniques!!!
“Origine de ce travail”: comprendre ce phénomène?
- Cadre non-classique: variétés complexes hermitiennes...
- Presque par définition: c’est dans le cas Kaelerien qu’il y a un
parallèle entre holomorphe et harmonique....
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Preuve
∆(fg) = f ∆g + g∆f + 〈∇f ,∇g〉(C-produit scalaire)
f = u +√−1v
∆f 2 = 2f ∆f + 〈∇f ,∇f 〉Donc ∆f = ∆f 2 = 0 ⇐⇒ ∆f = 0 and 〈∇f ,∇f 〉 = 0
∇f = ∇u +√−1∇v isotrope ⇐⇒ ‖ ∇u ‖2=‖ ∇v ‖2 et
〈∇u,∇v〉 = 0 ⇐⇒
Df ∗ =
( ∂u∂x
∂v∂x
∂u∂y
∂v∂y
)est conforme ⇐⇒ Df est conforme.
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Définition de fonctions holomorphes sur des variétésriemanniennes
M variété riemannienne,
∆ laplacien (rappel?)
f : M → C holomorphe ssi ∆f = ∆f 2 = 0
(naïve néanmoins non-linéaire!)
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Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Caractérisation: f holomorphe ⇐⇒ f harmonique & f
horizontalement conforme,
Hx = (kerDx f )⊥, Dx f : Hx → C conforme
- Ça découle de la preuve précédente.
Question A-t-on (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N ?
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Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Caractérisation: f holomorphe ⇐⇒ f harmonique & f
horizontalement conforme,
Hx = (kerDx f )⊥, Dx f : Hx → C conforme
- Ça découle de la preuve précédente.
Question A-t-on (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N ?
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Holomorphie discrète
Holomorphie discrète
Rappel de l’harmonicité sur les graphes
→ définition de l’holomorphie par ∆f = ∆f 2 = 0
• Graphe: sommets V et arêtes E ,
arête ∈ E → (origine, extrémité) ∈ V × V ....
• Laplacien:
∆f (x0) =1
ν(x)
∑y voisin de x0
f (y)− f (x0)
ν(x) = valence de x∑y∼x0
f (y) Moyenne de f sur la sphère unité en x
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Figure
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Holomorphie discrète
REM: On peut pondérer le graphe → espace métrique
Ici: métrique simpliciale
• Autres ingrédients (d’analyse sur les graphes)
a arête, Osciaf = f (ext(a)− f (ori(a))
(ext = extrémité, ori= origine)
∇f (x) = (Osciaf )a ∈ Cn, n = ν(x)
∇f (x) ∈ ΣCa (a arête issue de x)
• Champ de vecteurs x → X (x) = (X1, . . . ,Xn) ∈ ΣCa
DivxX = 1ν(x)ΣXi (flux)
∆f (x) = Div∇f (x)
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Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
REM: On peut pondérer le graphe → espace métrique
Ici: métrique simpliciale
• Autres ingrédients (d’analyse sur les graphes)
a arête, Osciaf = f (ext(a)− f (ori(a))
(ext = extrémité, ori= origine)
∇f (x) = (Osciaf )a ∈ Cn, n = ν(x)
∇f (x) ∈ ΣCa (a arête issue de x)
• Champ de vecteurs x → X (x) = (X1, . . . ,Xn) ∈ ΣCa
DivxX = 1ν(x)ΣXi (flux)
∆f (x) = Div∇f (x)
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Holomorphie discrète
Généralisations algébriques de l’holomorphie
(généralisation maximale)
• F algèbre topologique,
• M espace où l’on peut parler d’harmonicité (ouverts de Rn,
variétés riemanniennes, graphes simpliciaux et métriques, chaines et
processus de Markov = stationnarité)
• f : M → F holomorphe ⇐⇒ ∆f = ∆f 2 = 0
•• Exemples: F = H quaternions,
F = Mnn(C)
(équations non-linéaires amusantes = intéressantes)
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Résultas
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Théorème
1) Pour une variété riemannienne (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N
2) Pour un graphe M de valence ν finie, N ≥ ν,(∗)N =⇒ f = constante
( f satisfait (∗)N si ∆f = ∆f 2 = . . .∆f N = 0 )
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Holomorphie discrète
3) Pour M = R3, f : M → C holomorphe =⇒ à isométrie près,
f : R3 → R2 = C→ C: composition de la projection canonique et
d’une application holomorphe ou anti-holomorphe.
4) M = T3 = arbre homogène de valence 3.
À automorphisme de T3 et similitude de C près, f est le revêtement
universel f : T3 → H du pavage hexagonal H
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Pavage hexagonal régulier du plan
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Holomorphie discrète
Unique à similitude près: z → az + b
π : T3 → H revêtement universel:
Interprétation:
- enroulement de l’arbre sur H...- marche aléatoire sur le pavage hexagonal...
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Motivations
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Holomorphie discrète
I: Problème de Dirichlet
Cas classique, D disque unité,
f0 ∈ L∞(∂D,C)
→ f ∈ Har∞(D,C) extension harmonique de f0 (par noyau de
Poisson)
Question: Comment savoir à partir de f0 que f est holomorphe (pas
seulement harmonique)?
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Holomorphie discrète
I: Problème de Dirichlet
Cas classique, D disque unité,
f0 ∈ L∞(∂D,C)
→ f ∈ Har∞(D,C) extension harmonique de f0 (par noyau de
Poisson)
Question: Comment savoir à partir de f0 que f est holomorphe (pas
seulement harmonique)?
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Holomorphie discrète
Contre exemple:
f0 = 0 sur hémisphère nord, et f0 = 1 sur l’hémisphère sud.
f n’est pas holomorphe pour des raisons de symétrie.
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Holomorphie discrète
La question équivaut à caractériser les valeurs au bord des fonctions
holomorphes bornées?
• Transformé de Hilbert:
u ∈ Har(D,R) → v ∈ Har(D,R) conjuguée harmonique:
u +√−1v ∈ Hol(D,C)
Difficulté: Hil : Har∞ → Har2...
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Holomorphie discrète
Motivation: généraliser la question pour mieux la comprendre!
Questions annexes:
S surface de Riemann ouverte;
• il existe toujours f : S → C holomorphe
•• Question: signification géométrico-dynamique e l’existence de f
holomorphe bornée?
REM: L’existence de f hamonique bornée ⇐⇒ non-ergodicité de
l’action de π1(S) ⊂ PSL(2,R) sur le cercle...
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Holomorphie discrète
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Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
II:Dynamique holomorphe aléatoire naturelles (etcorrespondances)
Dynamique holomorphe vs intégrale de Poisson (fini vs infini):
• Problème de Dirichlet: valeurs données à l’infini → extension à
l’intérieur...
•• Construction de fonctions holomorphes: valeurs données sur un
“domaine fondamental” →, permettent une propagation...
Exemple: T3
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
(z0, z2) donné,
On obtient (z3, z4) à permutation près,
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Exemple: T3(z3 − z0) + (z4 − z2) + (z0 − z2) = 0
(z3 − z0)2 + (z4 − z2)2 + (z0 − z2)2 = 0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
REM: Problème de Dirichlet sur un graphe à bord
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Cas riemannien
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Morphisms harmoniques
Affirmation: f : M → C = R2 holomorphe ⇐⇒ f morphisme
harmonique
Définition: f : M → N morphisme harmonique ⇐⇒ ∀φ : N → Rharmonique local, alors f ◦ φ : M → R est harmonique.
f un morphisme de la catégorie des variétés riemanniennes munis
de leurs applications harmoniques locales....
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Si f : M → R2 morphisme harmonique,
On compose avec z ∈ C→ zN ∈ C (qui est harmonique en tant
qu’application R3 → R2
Cor: Si f est holomorphe, alors f N (multiplication) est harmonique,
i.e. f satisfait (∗)N pour tout N
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Théorème (Fuglede, Ishihara): f : M → N morphisme harmonique
⇐⇒ f harmonique et f horizontalement (semi-) conforme
• Contenu (implicite) de ce théorème: (∗)2 =⇒ (∗)N , ∀N
• Théorème =⇒ Affirmation (holomorphe = morphisme
harmonique)
• REM: Morphismes harmoniques dans la cas discret....
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Un problème de Jacobi
• Titre: Über eine particuläre Löfsung der partiellen
Differentialgleichung ∂2V∂x2 + ∂2V
∂y2 + ∂2V∂z2 = 0
Crelle Reine Angew. Math. 36, 113-134 (1847)
V : R2 → C
∂2V∂x2 + ∂2V
∂y2 + ∂2V∂z2 = 0
(∂V∂x )2 + (∂V
∂y )2 + (∂V∂z )2 = 0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
• Jacobi: les niveaux de V sont des droites... → feuilletage par
droites de R3
• Davantage de géométrie: V est transversalement conforme:
DuV : (kerDuV )⊥ → R2 est conforme,
⇐⇒X vecteur unitaire tangent aux niveaux de V , et φt son flot,
Dφt : X⊥x → X⊥φt(x) est conforme,
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Solution du problème par Baird & Wood (1988)
Approche probabiliste de F. Duheille (1997)
Enoncé en termes de feuilletages:
Le feuilletage défini par les niveaux de V est trivial,..., V est
essentiellement une projection R3 → R2
⇐⇒Une feuilletage transversalement conforme de R3 par droites est
trivial (toutes les droites sont parallèles)
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Géométrie de morphismes harmoniques
f : M3 → R2 morphisme harmonique, alors ses niveaux sont
géoédésiques
• Plus généralement: f : Mn+2 → Nn, morphisme harmonique →les niveaux sont des sous-variétés minimales
• Exemple: Hopf : S3 → S2
Projection H3 → H2
Rigidité (à la Bernstein): ce sont les seuls, à isométrie près à la
source, et transformation conforme au but.
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Exemple
Hopf : S3 → S2 est transversalement isométrique:
flot isométrique tangent à la fibration de Hopf (z1, z2)→ e it(z1, z2),
• d : R3 → S3 développement projectif: l’image de toute droite est
un demi grand cercle (géodésique de S3)
• D = d−1(Hopf ) feuilletage par droites de R3
D n’est pas trivial: deux droites de D ne sont jamais parallèles!
D est transversalement conforme
Dilemme!
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Holomorphie discrète
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
zi = f (xi ), δi = zi − z0 oscillation de f en x0
Fait: ∆x f = ∆x f 2 = 0
équivaut à: {Σδi = 0 (oscillation totale)Σδ2i = 0 (oscillation quadratique)
• Famille d’équations algébriques complexes indexée par x0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
∗N
(∗)N équivaut à ∑i=ν
i=1 δi = 0. . . . . .∑i=ν
i=1 δNi = 0
Si N ≥ ν, solution unique triviale (0, . . . , 0)
Cor: Sur une graphe de valence ν ≤ N, les solutions de (∗)N sont
constantes.
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
∗N
(∗)N équivaut à ∑i=ν
i=1 δi = 0. . . . . .∑i=ν
i=1 δNi = 0
Si N ≥ ν, solution unique triviale (0, . . . , 0)
Cor: Sur une graphe de valence ν ≤ N, les solutions de (∗)N sont
constantes.
Abdelghani Zeghib Fonctions holomorphes sur l’espace euclidien R3 et l’arbre T3
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Propagation, Graphes de valence 3 et 4
Lemme Soit e (resp. (e, f )) donnés. Il existe (u, v) unique modulo
transposition tels que:{e + (u + v) = 0e2 + (u2 + v2) = 0
resp. {e + f + (u + v) = 0e2 + f 2 + (u2 + v2) = 0
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Cas de T3
e → (u, v)
j3 = 1 racine cubique de l’unité{u = je ou j2ev = j2e ou je
• Chemin:
(a1, a2, . . . an, . . .) , ai ∈ {1, 2}→(e, ja1e, ja1+a2e, . . . , eja1+a2+...an , . . .)
• Marche aléatoire localement injective sur le pavage hexagonal.
• Théorie ergodique: Sous-shift de type finiAbdelghani Zeghib Fonctions holomorphes sur l’espace euclidien R3 et l’arbre T3
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Remarques
f est conforme (structure conforme sur T3?)
Corollaire : tout graphe de valence 3 (en tout sommet), qui n’est
pas un revêtement de H n’admet pas de fonction holomorphe
non-constante (preuve: son revêtement universel est T3)
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
N-holomorphie
Figure pour (∗)N
TN+1
N = 2, 3, 4, 5
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Figures
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Tr3
Figure: Tr3 “dual” de T3
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
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IntroductionRésultas
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Holomorphie discrète
(b,3)
0
( ,1)
(b,1)
(b,2)
(a,3)
( ,3)
( ,2)
(a,1)
(a,2)
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
REM: un autre graphe, de Cayley
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Correspondance:
(p, e, f , x , y , z) ∈ C3 × C3
e + f − y + (−y + z) = 0e2 + f 2 + y2 + (−y + z)2 = 0p − (x + y) = 0
M : (p, e, f )→ (x ; y , z) multivaluée
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
uB
C
A
O
D e
f
p
v
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
• Détermination finie: deux fonctions holomorphes sont conjuguées
mod Aut(Tr3) ⇐⇒ même valeurs pour 2 triangles.
Questions:
• relation d’équivalence sur C× (C2 − {0}) = espace des triangles
marqués
∆′ = ∆ ⇐⇒ ∃f /f (∆) = ∆′
• Projectivisation → Correspondance (et relation d’équivalence) sur
CP1 × CP1 (resp. CP1) est-elle ergodique?
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
Dynamique, simulations...
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IntroductionRésultas
Motivations...Cas des variétés riemanniennes
Holomorphie discrète
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