Folleto Introductorio a La Geometrc3ada de Olimpiadas

8/17/2019 Folleto Introductorio a La Geometrc3ada de Olimpiadas

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Elaborado por: Mario Enrique Zuniga

Propiedades Fundamentales De Las Relaciones De Orden:

Tricotomía:

Para todo par de números (X, Y), una y solamente un de las

siguientes condiciones se cumple:

XY

Transitividad: si X

plano2 4el postulado del plano5: tres puntos cuales6uiera est0n al menos en un plano, y tres

puntos cuales 6uiera no alineados est0n e+actamente en un plano "i dos planos se intersecan, su interseccin es una recta'!"e da una recta ?$5 y un plano 6ue la contiene, los puntos del plano 6ue no est0n en la

recta 4$5 @orman dos con*untos tales 6ue: %ada uno de los con*untos es con.e+o

"i P est0 en uno de los con*untos y / en el otro, entonces el segmento P/ intersecta

a la recta 4$5''$os puntos del espacio 6ue no est0n en un plano dado @orman dos con*untos tales 6ue: %ada uno de los con*untos es con.e+o

"i P est0 en uno de los con*untos y / en el otro, entonces el segmento P/ intersecta

al plano'$a medida del 0ngulo X se representa como m X

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FolletoIntroductorio a La

Geometrí a De

Olimpiadas


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'1#os 0ngulos con la misma medida se llaman 0ngulos congruentes'3#os 0ngulos son opuestos por el .&rtice, si sus lados @orman dos pares de rayos

opuestos'8"ea AB un rayo de la arista del semiplano para cada número r entre ! y '2!, 7ay

e+actamente un rayo AP, con P en , tal 6ue m PAB = r

'"i # est0 en el interior del BA%, entonces m BA% = (m AB# m #A%)';"i las medidas de dos 0ngulos suman '2! grados, entonces son suplementarios'2"i dos 0ngulos @orman un par lineal entonces son suplementarios'-n 0ngulo recto es un 0ngulo cuya medid es !!4el postulado $A$5: toda correspondencia $A$ es una congruencia'4el postulado A$A5: toda correspondencia A$A es una congruencia4el postulado $$$5: toda correspondencia $$$ es una congruencia14el postulado $AA5: toda correspondencia $AA es una congruencia3-n punto B se llama punto medio del segmento A%, si B esta entre A y % y AB=B%89odo segmento tiene e+actamente un punto mediol punto medio de un segmento iseca al segmento

;"i dos rectas di@erentes se intersectan, su interseccin es un punto2"i una recta interseca a un plano 6ue no la contiene, entonces la interseccin es un

punto#ada una recta y un punto @uera de ella, 7ay e+actamente un plano 6ue contiene a

amos1!#adas dos rectas 6ue se intersectan, 7ay e+actamente un plano 6ue las contiene1'9odo segmento de recta es congruente con sigo mismo1"i las medidas de dos 0ngulos suman ! grados, entonces son complementarios11"i dos 0ngulos son complementarios entonces amos son agudos139odo 0ngulo es congruente consigo mismo18#os 0ngulos rectos siempre son congruentes

1"i dos 0ngulos son a la .e congruentes y suplementarios, entonces amos son rectos1;$os suplementos de 0ngulos congruentes son congruentes12$os complementos de 0ngulos congruentes son congruentes1$os 0ngulos opuestos por el .&rtice son congruentes3!"i dos rectas 6ue se cortan @orman un 0ngulo recto, entonces @orman cuatro 0ngulos

rectos3'"i B esta entre A y %, entonces: ntonces A, B y % son puntos distintos de una misma recta

(ABB%) = A%

3$os puntos de un con*unto est0n alineados o son coloneales si e+iste una recta 6ue los

contiene a todos31$os puntos de un con*unto son coplanarios si e+iste un plano 6ue los contiene a todos33"i dos rallos tienen el mismo origen o e+tremo, pero no est0n en la misma recta,

entonces su reunin es un 0ngulo $os dos rayos se llaman lados del 0ngulo y el

e+tremo común se llama .&rtice38"i A, B y % son tres puntos cuales 6uiera no alineados, entonces la reunin de los

segmentos AB, A% y B% se llama triangulo $os puntos A, B y % se llaman .&rtices, y

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los segmentos AB, A% y B% se llaman lados Adem0s posee tres 0ngulos 6ue se

nomran: A B %3"i AB y A% son rectas o segmentos y @orman un 0ngulo recto entonces son

perpendiculares y lo representamos asC: AB A%3;9odo 0ngulo tiene e+actamente una isectri

32"i dos lados de un tri0ngulo son congruentes, entonces los 0ngulos opuestos a estoslados son congruentes

3"i dos 0ngulos de un tri0ngulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos

0ngulos son congruentes8!-n lado de un tri0ngulo se dice estar comprendido por los 0ngulos cuyos .&rtices son

los e+tremos del segmento8'-n 0ngulo de un tri0ngulo se dice estar comprendido por los lados del tri0ngulo 6ue

est0n a los lados del 0ngulo

8"i # est0 en el interior del BA%, y BA# ≅ #A%, entonces A# iseca al BA%,

y A# se llama isectri del BA%

81-n tri0ngulo con dos lados congruentes se llama issceles l otro lado es la ase83-n tri0ngulo con sus tres lados congruentes se llama e6uil0tero889odo tri0ngulo e6uil0tero tiene sus tres 0ngulos congruentes8-n tri0ngulo para el cual dos lados cuales6uiera no son congruentes se llama escaleno8;$os tri0ngulos escalenos no tienen 0ngulos congruentes82"e A, B, %, # cuatro puntos coplanarios "i tres cuales6uiera de ellos no est0n

alineados, y los segmentos AB, B%, %# y #A se intersecan solamente en sus

e+tremos, entonces la reunin de los cuatro segmentos se llama cuadril0tero $os

cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A, B, % y # se llaman .&rtices $os

0ngulos #AB, AB%, B%# y %#A se llaman 0ngulos del cuadril0tero "i los

cuatro 0ngulos del cuadril0tero son rectos, entonces el cuadril0tero se llamarect0ngulo "i los cuatro 0ngulos son rectos y los cuatro lados son congruentes,

entonces el cuadril0tero es un cuadrado8-na mediana de un tri0ngulo es un segmento cuyos e+tremos son un .&rtice del

tri0ngulo y el punto medio del lado opuesto a dic7o 0ngulo!n un plano, y por un punto dado de una recta dada, pasa una y solamente una recta

perpendicular a la recta dada'4teorema de la mediatri5: la mediatri de un segmento en un plano, es el con*unto de

todos los puntos del plano 6ue e6uidistan de los e+tremos del segmento"e dan un segmento AB y una recta $ en el mismo plano "i dos puntos de $ e6uidistan

de A y de B, entonces $ es la mediatri de AB1#esde un punto e+terno dado, 7ay al menos una recta perpendicular a una recta dada3#esde un punto e+terno dado, 7ay a lo sumo una recta perpendicular a una recta dada8Dingún triangulo tiene dos 0ngulos rectos"i E esta entre los puntos A y % de una recta $, entonces E y A est0n al mismo lado

de otra recta cual6uiera 6ue contenga a %;"i E esta entre los puntos B y %F y A es un punto cual6uiera @uera de la recta B%,

entonces E est0 en el interior del BA%

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2n un plano dado, la mediatri de un segmento es la recta perpendicular al segmento

en su punto medio-n tri0ngulo rect0ngulo es un tri0ngulo en el cual un de los 0ngulos es recto l lado

opuesto al 0ngulo recto se llama 7ipotenusa y los otros dos lados son los catetos;!"i A = (B%) y % > !, entonces A>B

;'49eorema del 0ngulo e+terno5: un 0ngulo e+terno de un tri0ngulo es mayor 6ue cadauno de sus 0ngulos internos no contiguos

;"i un tri0ngulo tiene un 0ngulo recto, entonces los otros 0ngulos son agudos;14teorema de la 7ipotenusa y el cateto5: se da una correspondencia entre dos tri0ngulos

rect0ngulos, si la 7ipotenusa y un cateto de un tri0ngulo son congruentes con las partes

correspondientes del segundo triangulo, entonces la correspondencia es una

congruencia;3"i dos lados de un tri0ngulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a estos

0ngulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al 0ngulo mayor;8l segmento m0s corto 6ue une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la

recta y 6ue tiene como e+tremo el punto dado;$a distancia entre una recta y un punto de la misma se de@ine como cero;;$a suma de las longitudes de dos lados cuales 6uiera de un tri0ngulo es mayor 6ue la

longitud del tercer lado;2"i dos lados de un tri0ngulo son congruentes, respecti.amente, con dos lados de un

segundo triangulo, y el 0ngulo comprendido en el primer triangulo es mayor 6ue el

0ngulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triangulo es

mayor 6ue el tercer lado del segundo triangulo;$a altura de un tri0ngulo es el segmento perpendicular desde un .&rtice del tri0ngulo a

la recta 6ue contiene al lado opuesto2!"i una recta es perpendicular a dos rectas 6ue se intersecan en su punto de

interseccin, entonces es perpendicular al plano 6ue contiene las dos rectas (Gectas

en G1 sore un plano)2'Por un punto dado de una recta dada, pasa un plano perpendicular a la recta dada2"i una recta y un plano son perpendiculares, entonces el plano contiene toda recta

perpendicular a la recta dada en su punto de interseccin con el plano dado21Por un punto dado de una recta dada pasa solamente un plano perpendicular a la recta234l teorema del plano isecante perpendicular5: el plano isecante perpendicular de un

segmento es el con*unto de todos los putos e6uidistante de los e+tremos del

segmento28#os rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias

2Por un punto dado, pasa un plano y solamente uno, perpendicular a una recta dada2;Por un punto dado, pasa una recta y solamente una, perpendicular a un plano dado22l segmento m0s corto desde un punto a un plano 6ue no lo contiene, es el segmento

perpendicular2-na recta y un plano son perpendiculares, si se interseca y si, adem0s, todo recta en el

plano 6ue pasa por el punto de inter seccin es perpendicular a la recta dada %uando

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la recta $ y el plano son perpendiculares, entonces escriimos $ o $ si P es

el punto de interseccin, entonces decimos 6ue $ en P!$a distancia a un plano desde un punto 6ue no est0 situando en &l es la longitud del

segmento perpendicular desde el punto al plano'#os rectas paralelas est0n e+actamente en un plano

#os rectas en un plano son paralelas, si amas son perpendiculares a la misma recta(n G)

1"ea $ una recta y P un punto 6ue no est0 en $ entonces, 7ay al menos una recta 6ue

pasa por P y es paralela a $3"e dan dos rectas cortadas por una secante "i dos 0ngulos alternos internos son

congruentes, entonces las rectas son paralelas8"e dan dos rectas cortadas por una secante "i dos 0ngulos correspondientes son

congruentes entonces las rectas son paralelas"i dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces todos los 0ngulos

correspondientes son congruentes

;"i dos rectas son cortadas por una secante, los 0ngulos internos a un mismo lado de lasecante son suplementarios2en un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta entonces son paralelas

entre sCn un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces

tami&n es paralela a la otra'!!"e da una correspondencia entre dos tri0ngulos "i dos pares de 0ngulos

correspondientes son congruentes, entonces los 0ngulos correspondientes de

tercer par tami&n son congruentes'!' n todo triangulo rect0ngulo los 0ngulos opuestos a los catetos son

complementarios'!%ada diagonal descompone a un paralelogramo en dos tri0ngulos congruentes'!1n un paralelogramo dos lados opuesto cuales6uiera son congruentes'!3"i dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cara recta e6uidistan de la

otra recta'!8n un paralelogramo, dos 0ngulos opuestos cuales6uiera son congruentes'!n un paralelogramo, dos 0ngulos consecuti.os cuales6uiera son suplementarios'!;$as diagonales de un paralelogramo se isecan'!2"i amos pares de lados opuestos de un cuadril0tero son congruentes, entonces el

cuadril0tero es un paralelogramo'!"i dos lados de un cuadril0tero son paralelos y congruentes, entonces el cuadril0tero

es un paralelogramo''! "i las diagonales de un cuadril0tero se isecan, entonces el cuadril0tero es un

paralelogramo''' l segmento entre los puntos medios de dos lados de un tri0ngulo es paralelo al tercer

lado y tiene la mitad de su longitud'' "i el paralelogramo tiene un 0ngulo recto, entonces tienen cuatro 0ngulos rectos y el

paralelogramo es el rect0ngulo''1 n un romo, las diagonales son perpendiculares entre sC

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''3 "i las diagonales de un cuadril0tero se isecan y son perpendiculares, entonces el

cuadril0tero es un romo''8 $a longitud de la mediana correspondiente a la 7ipotenusa de un tri0ngulo rect0ngulo

es la mitad de la longitud de la 7ipotenusa'' 4l teorema del tri0ngulo 1!H!H!5: "i un 0ngulo agudo de un tri0ngulo rect0ngulo

tiene medida 1! grados, entonces la longitud del lado opuesto a dic7o 0ngulo, es lamitad de la longitud de la 7ipotenusa

''; "i la longitud de un cateto de un tri0ngulo rect0ngulo es la mitad de la longitud de la 7ipotenusa, entonces el 0ngulo opuesto tiene medida 1!

''2 "i tres o m0s recta paralelas determinan segmentos congruentes en una secante,

entonces determinan segmentos congruentes en cual6uier otra secante'' #os rectas son paralelas si est0n en el mismo plano y no se intersecan'!"e dan dos rectas $' y $ cortadas por una secante 9 en los puntos P y / "ea A un

punto de $' y B un punto de $ tal 6ue A y B est0n en lados opuestos de 9, entonces,

el AP/ y el P/B son 0ngulos alternos internos''-n cuadrilatero es con.e+o si dos cuales6uiera de sus .ertices no estan en lados

opuestos de una recta 6ue contiene a un lado del cuadrilatero'-n trapecio es un cuadrilatero6ue tiene dos lados paralelos'1-n paralelogramo es un cuadril0tero en el cual amos pares de lados opuestos son

paralelos'3-n romo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sC'8-n rect0ngulo es un paralelogramo cuyos 0ngulos son todos rectos'-n cuadrado es un rect0ngulo cuyos lados son todos congruentes entre sC'; A toda regin poligonal le corresponde un número positi.o único'2 '2 "i G es una regin, entonces representamos el 0rea de esta regin como

4aG5'"i dos tri0ngulos son congruentes, entonces la regin triangular determinada por ellos

tiene la misma 0rea'1!"upongamos 6ue la regin G es la reunin de dos regiones G' y G "uponga 6ue G'

y G se intersecan a lo sumo en un número in@inito de segmentos y puntos ntonces

aG = aG' aG'1'l 0rea de una regin cuadrada es e cuadrado de la longitud de su lado'1l 0rea de un rect0ngulo el producto de su ase y su altura'11l 0rea de un tri0ngulo rect0ngulo es la mitad del producto de sus catetos'13l 0rea de un tri0ngulo es la mitad del producto de cual6uiera de sus ases y la altura

correspondiente a dic7a ase

'18l 0rea de un trapecio es la mitad del producto de su altura y la suma de sus ases'1l 0rea de un paralelogramo es el producto de una ase cual6uiera y la altura

correspondiente'1; "i dos tri0ngulos tienen la misma ase 45 y la misma altura 475, entonces tienen

0reas iguales'12"i dos tri0ngulos tienen la misma altura, entonces la ran de sus 0reas es igual a la

ran de sus ases

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'149eorema de Pit0goras5: n todo tri0ngulo rect0ngulo, el cuadrado de la 7ipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos'3! 4l teorema del tri0ngulo rect0ngulo issceles5: en un tri0ngulo rect0ngulo issceles,

la 7ipotenusa es √ 2 .eces el largo de un cateto

'3'"i la ase de un tri0ngulo issceles es √ 2 .eces el largo de cada uno de sus dos

lados %ongruentes, entonces el 0ngulo opuesto a la ase es un 0ngulo recto

'3n todo tri0ngulo de 1!H!H!, el cateto m0s largo es (√ 3) /2 .eces el largo de la

7ipotenusa'31n todo tri0ngulo de 1!H!H!, el cateto m0s corto es la mitad de la longitud de la

7ipotenusa'33"i aI = cId = eI@ = gI7 entonces (aceg)I(d@7) = aI'3849eorema @undamental de la proporcionalidad5: si una recta paralela a un lado de un

tri0ngulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sore

ellos segmentos 6ue son proporcionales a dic7os lados'3"ea dada una correspondencia entre dos tri0ngulos "i dos pares de 0ngulos

correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una seme*ana'3;"i una recta paralela a un lado de un tri0ngulo interseca a los otros dos lados en

puntos distintos entonces determina un tri0ngulo seme*ante al triangulo dado'32 "i el tri0ngulo AB% es seme*ante al triangulo #J y el tri0ngulo #J es seme*ante al

triangulo'3 XYZ entonces el tri0ngulo AB% es seme*ante al triangulo XYZ (Gepresentamos una

seme*ana con el sCmolo K '8!4l teorema de la seme*ana $A$5 "ea dada una correspondiente entre dos

tri0ngulos "i dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los 0nguloscomprendidos son congruentes, entonces la correspondencia es una seme*ana

'8'n un triangulo rect0ngulo cual6uiera, la altura correspondiente a la 7ipotenusa di.ide

a triangulo en otros dos tri0ngulos 6ue son seme*antes entre si y seme*antes al

triangulo original'849eorema de 97ales5 en la @igura siguiente $' $ $1 (paralelas) por tanto ABI# =ǁ ǁ

B%IJ = A%I#J

'849eorema de la isectri5: en la @igura anterior de la derec7a m BAJ =m JA%F es

decir 6ue AJ iseca al BA% por tanto ABIA% = BJIJ%

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¿Cómo Demostrar El Teorema De Pitágoras

A continuacin se presenta cuatro di@erentes demostraciones del @amoso teorema de

Pit0goras

!" Con #n Cuadrado $ Cuatro Triángulos Rectángulos

"e presenta esta como la primera @orma pues es la 6ue parece m0s @0cil, lo 6ue @acilita el

proceso de entendimiento del alumno

%omenaremos con diu*ar un cuadrado / con lado E= a+b y con .&rtices L, X, Y, ZF luego

diu*amos un punto en cada lado del cuadrado tal6ue el punto este a distancia n de cada

.&rtice asC:

L G Z GZ="Y=#X=/L=a y LG=Z"=Y#=X/=b

Puesto 6ue LXYZ es un cuadrado todos sus 0ngulos sonGectos por todo lo anterior se tiene 6ue los GZ", "Y#,

/ #X/ y /LG son todos congruentes (por propiedad $A$)

A7ora saemos 6ue /G=G"="#=#/ y diremos 6ue son igual

% a 4c5 es decir /G=c por ser partes correspondientes de

9ri0ngulos congruentes

D

& $

"aemos 6ue el X#Y mide '2! grados adem0s en el #X/ el + es recto y por

tanto X/# y

X#/ suman ! grados (son complementarios) 9enemos entonces 6ue:m X#Y= '2!=m X#/ m /#" m Y#" m X#/ m X/# m /#"='2!

m /#" != '2! m /#"=! #el mismo modo se pruea 6ue m G/#=m "G/=m

#"G=!

Por lo anterior el #/G" es un cuadrado A7ora podemos e+presar el 0rea del cuadrado

mayor de dos @ormas ' %omo la suma del 0rea de los 3 tri0ngulos m0s el 0rea del cuadrado

pe6ueMo de lado c, %omo el cuadrado de uno de sus lados

3N('I)aO c = (a)

a c = a a

% = a

'" Con triángulos seme(antes" )%upuesta demostración de Pitágoras*"

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n la @igura AB% es un tri0ngulo rect0ngulo con 0ngulo recto en A y AJ es la altura

correspondiente a la 7ipotenusa del AB% por lo tanto AB% K JBA K JA% #e lo

anterior tenemos 6ue:

ABIBJ = B%IAB = A%I JA y ABIJA = B%I A% = A%IJ% (diremos 6ue: A%=a, AB=,

B%=c)

ABIBJ = B%IAB (AB)(AB)=(BJ)(B%) (AB)=(BJ)(B%)

B%IA% = A%IJ% (A%)(A%)=(B%)(J%) (A%)=(B%)(J%)

"umando amas igualdades tenemos 6ue: (A%) (AB) = (J%)(B%)(B%)(BJ)

(A%) (AB) = (B%)N(BJ)(J%)O (A%) (AB) = (B%)(B%) (A%) (AB) = (B%)

ntonces remplaando cada segmento tenemos 6ue a = c

+" Demostración de Leonardo da ,inci

l diseMo inicial, con el tri0ngulo y los cuadrados de catetos e 7ipotenusa, es modi@icado por

$eonardo da inci al aMadir dos tri0ngulos iguales al AB%: el %J y el QR

Partiendo del tri0ngulo rect0ngulo AB% con los cuadrados de catetos e 7ipotenusa, $eonardo

aMade los tri0ngulos %J y QR, iguales al dado, resultando dos polCgonos, cuyas super@icies

.a a demostrar 6ue son e6ui.alentes:

' PolCgono A#JSB: la lCnea #S lo di.ide en dos mitades id&nticas, A#SB y #JS

PolCgono A%BQR: la lCnea %Q determina %BQ y %QRA

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http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono


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%omparemos los polCgonos destacados en gris, A#SB y %QRA:

• #e inmediato .emos 6ue tienen tres lados iguales: A#=A%, AB=AR, BS=B%=QR

• Asimismo es inmediata la igualdad entre los 0ngulos de los siguientes .&rtices:

o A de A#SB y A de %QRA

o B de A#SB y R de %QRA

"e concluye 6ue A#SB y %QRA son iguales #e modo an0logo se compruea la igualdad entre

A#SB y %BQ

9odo ello nos lle.a a 6ue los polCgonos A#JSB y A%BQR tienen 0reas e6ui.alentes Pues

ien, si a cada uno le 6uitamos sus dos tri0ngulos TigualesH las super@icies 6ue restan

@orosamente ser0n iguales Y esas super@icies no son sino los dos cuadrados de los catetos

en el polCgono A#JSB, por una parte, y el cuadrado de la 7ipotenusa en el polCgono A%BQR,

por la otra l teorema de Pit0goras 6ueda demostrado

-editar . Demostración de Euclides: proposición /"01 de Los Elementos

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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&action=edit&section=6http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&action=edit&section=6


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$a demostracin de Pit0goras de su teorema se asaa muy proalemente en proporciones,

y una proporcin es un número racional U"erCa realmente .0lida como demostracinV Ante

esto, uclides elaora una demostracin nue.a 6ue elude la posiilidad de encontrarse con

números irracionales

uclides aso su demostracin en el simple 7ec7o geom&trico de 6ue a igual ase y altura, el0rea del paralelogramo duplica a la del tri0ngulo

"e tiene el tri0ngulo AB%, rect0ngulo en % (&ase $a Jigura uclides), y se construye los

cuadrados correspondientes a catetos e 7ipotenusa $a altura % se prolonga 7asta R

"eguidamente se traa cuatro tri0ngulos, iguales dos a dos:

• 9ri0ngulos A%W y AB#: son iguales, pues siendo A#=A%, y AW=AB, necesariamente

B#=%W "us tres lados son iguales

• 9ri0ngulos ABS y %BQ: an0logamente, AB=BQ, y BS=B%, asC 6ue AS=%Q "us tres lados

son asimismo iguales

Aundando en las anteriores consideraciones, ntese 6ue un giro con centro en A, y sentido

positi.o, trans@orma A%W en AB# Y un giro con centro en B, y sentido tami&n positi.o,

trans@orma ABS en %BQ (&ase $a Jigura uclides) 6ue:

' $as paralelas r y s comprenden al tri0ngulo A%W y el rect0ngulo ARW, los cuales tienen

la misma ase, AW Por tanto ARW tiene dole 0rea 6ue A%W, (.&ase Jigura)

$as paralelas m y n contienen a AB# y A#%, cuya ase común es A# AsC 6ue el 0rea

de A#% es dole de la de AB#

Pero siendo A%W=AB#, resulta 6ue el rect0ngulo ARW y el cuadrado A#% tienen 0reas

e6ui.alentes aci&ndose raonamientos similares con los tri0ngulos ABS y %BQ, respecto al

cuadrado B%JS y al rect0ngulo BQR respecti.amente, se concluye 6ue &stos últimos tienen

asimismo 0reas iguales A partir de lo anterior, surge de inmediato 6ue:

?la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del

cuadrado construido sobre la hipotenusa?

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http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Euclideshttp://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado

Folleto Introductorio a La Geometrc3ada de Olimpiadas

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