8/10/2019 Folding the regular nonagon

1/8

2 1 0

F o l d i n g t h e R e g u l a r N o n a g o n

R o b e r t G e r e t s c h l a g e r , B u n d e s r e a l g y m n a s i u m , G r a z , A u s t r i a

I n t r o d u c t i o n

I n t h e M a r c h 1 9 9 7 o f C r u x 1 9 9 7 : 8 1 , I p r e s e n t e d a t h e o r e t i c a l l y p r e c i s e

m e t h o d o f f o l d i n g a r e g u l a r h e p t a g o n f r o m a s q u a r e o f p a p e r u s i n g o r i g a m i

m e t h o d s i n a n a r t i c l e t i t l e d F o l d i n g t h e R e g u l a r H e p t a g o n " . T h e m e t h o d

w a s d e r i v e d f r o m r e s u l t s e s t a b l i s h e d i n E u c l i d e a n C o n s t r u c t i o n s a n d t h e

G e o m e t r y o f O r i g a m i " 2 , w h e r e i t i s s h o w n t h a t a l l g e o m e t r i c p r o b l e m s t h a t

c a n b e r e d u c e d a l g e b r a i c a l l y t o c u b i c e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d b y e l e m e n t a r y

m e t h o d s o f o r i g a m i . S p e c i c a l l y , t h e c o r n e r s o f t h e r e g u l a r h e p t a g o n w e r e

t h o u g h t o f a s t h e s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n

z

7

, 1 = 0

i n t h e c o m p l e x p l a n e , a n d t h i s e q u a t i o n w a s t h e n f o u n d t o l e a d t o t h e c u b i c

e q u a t i o n

3

+

2

, 2 , 1 = 0

w h i c h w a s t h e n d i s c u s s e d u s i n g m e t h o d s o f o r i g a m i . F i n a l l y , a c o n c r e t e

m e t h o d o f f o l d i n g t h e r e g u l a r h e p t a g o n w a s p r e s e n t e d , a s d e r i v e d f r o m t h i s

d i s c u s s i o n .

I n t h i s a r t i c l e , I p r e s e n t a p r e c i s e m e t h o d o f f o l d i n g t h e r e g u l a r n o n a g o n

f r o m a s q u a r e o f p a p e r , a g a i n a s d e r i v e d f r o m r e s u l t s e s t a b l i s h e d i n 2 .

H o w e v e r , a s w e s h a l l s e e , t h e s e q u e n c e o f f o l d i n g s u s e d i s q u i t e d i e r e n t f r o m

t h a t u s e d f o r t h e r e g u l a r h e p t a g o n . A s f o r t h e h e p t a g o n , t h e f o l d i n g m e t h o d

i s o n c e a g a i n p r e s e n t e d i n s t a n d a r d o r i g a m i n o t a t i o n , a n d t h e m a t h e m a t i c a l

s e c t i o n c r o s s - r e f e r e n c e d t o t h e a p p r o p r i a t e d i a g r a m s .

A n g l e T r i s e c t i o n

F o r a n y r e g u l a r n - g o n , t h e a n g l e u n d e r w h i c h e a c h s i d e a p p e a r s a s s e e n f r o m

t h e m i d - p o i n t i s

2

n

. S p e c i c a l l y , f o r n = 9 , t h e s i d e s o f a r e g u l a r n o n a g o n

a r e s e e n f r o m i t s m i d - p o i n t u n d e r t h e a n g l e

2

9

. A s i s w e l l k n o w n , t h i s a n g l e

c a n n o t b e c o n s t r u c t e d b y E u c l i d e a n m e t h o d s . T h r e e t i m e s t h i s a n g l e o r

2

3

c a n , h o w e v e r , a n d w e n o t e t h a t i t w o u l d b e p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a r e g u l a r

n o n a g o n b y E u c l i d e a n m e t h o d s , i f i t w e r e p o s s i b l e t o t r i s e c t a n a r b i t r a r y a n -

g l e , o r a t l e a s t t h e s p e c i c a n g l e

2

3

. I f t h i s w e r e t h e c a s e , a l l t h a t w e w o u l d

h a v e t o d o w o u l d b e t o c o n s t r u c t a n e q u i l a t e r a l t r i a n g l e , t r i s e c t t h e a n g l e s

f r o m i t s m i d - p o i n t t o i t s c o r n e r s , a n d i n t e r s e c t t h e s e w i t h t h e t r i a n g l e ' s c i r -

c u m c i r c l e . U n f o r t u n a t e l y h o w e v e r , a s g e n e r a t i o n s o f m a t h e m a t i c i a n s h a v e

b e e n f o r c e d t o a c c e p t a l t h o u g h t h e r e a r e a f e w h o l d - o u t s s t i l l o u t t h e r e ,

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2 1 1

a n g l e t r i s e c t i o n b y E u c l i d e a n m e t h o d s o f s t r a i g h t - e d g e a n d c o m p a s s i s i m -

p o s s i b l e , a s i s t h e c o n s t r u c t i o n o f a r e g u l a r n o n a g o n .

T h e u n d e r l y i n g r e a s o n f o r t h e i m p o s s i b i l i t y o f a n g l e t r i s e c t i o n b y E u c l i d -

e a n m e t h o d s i s t h e f a c t t h a t s t r a i g h t - e d g e a n d c o m p a s s c o n s t r u c t i o n s o n l y

a l l o w t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m s t h a t r e d u c e a l g e b r a i c a l l y t o l i n e a r o r q u a d r a t i c

e q u a t i o n s . A n g l e t r i s e c t i o n , h o w e v e r , i n v o l v e s t h e i r r e d u c i b l e c u b i c e q u a t i o n

x

3

,

3

4

x ,

1

4

c o s 3 = 0

w h i c h d e r i v e s f r o m t h e w e l l e s t a b l i s h e d f a c t s e e f o r i n s t a n c e 1 t h a t

c o s 3 = 4 c o s

3

, 3 c o s

F o r t h e s p e c i c c a s e a t h a n d , w h e r e 3 =

2

3

, t h e c u b i c e q u a t i o n i n q u e s t i o n

i s

x

3

,

3

4

x +

1

8

= 0

A s s h o w n i n 2 , t h e s o l u t i o n s o f t h i s e q u a t i o n a r e t h e s l o p e s o f t h e c o m m o n

t a n g e n t s o f t h e p a r a b o l a s p

1

a n d p

2

, w h e r e b y p

1

i s d e n e d b y i t s f o c u s

F

1

,

1

1 6

,

3

8

a n d i t s d i r e c t r i x

`

1

: x = ,

1

1 6

a n d p

2

i s d e n e d b y i t s f o c u s

F

2

,

0

1

2

a n d i t s d i r e c t r i x

`

2

: y = ,

1

2

I t i s n o t t o o d i c u l t t o p r o v e t h a t t h i s i s i n d e e d t h e c a s e . I n t e r e s t e d r e a d e r s

m a y l i k e t o t r y t h e i r h a n d a t d o i n g t h e n e c e s s a r y c a l c u l a t i o n s t h e m s e l v e s .

F i n d i n g t h e c o m m o n t a n g e n t s o f t w o p a r a b o l a s d e n e d b y t h e i r f o c i a n d d i -

r e c t r i c e s i s q u i t e s t r a i g h t - f o r w a r d i n o r i g a m i , a s i t m e r e l y m e a n s m a k i n g o n e

f o l d , w h i c h p l a c e s t w o s p e c i c p o i n t s t h e f o c i o n t o t w o s p e c i c l i n e s t h e

c o r r e s p o n d i n g d i r e c t r i c e s . B y t h i s m e t h o d , w e w i l l t h e r e f o r e n o w s h o w h o w

t o f o l d a r e g u l a r n o n a g o n .

A S t e p - b y - s t e p D e s c r i p t i o n o f t h e F o l d i n g P r o c e s s

A s i s u s u a l l y t h e c a s e i n o r i g a m i , w e a s s u m e a s q u a r e o f p a p e r t o b e g i v e n . W e

c o n s i d e r t h e e d g e - t o - e d g e f o l d s i n s t e p 1 a s t h e x a n d y a x e s o f a s y s t e m o f

c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , a n d t h e e d g e - l e n g t h o f t h e g i v e n s q u a r e a s t w o u n i t s .

T h e m i d - p o i n t o f t h e s q u a r e i s t h e n t h e o r i g i n M 0 0 , a n d t h e e n d - p o i n t s

o f t h e f o l d s h a v e t h e c o o r d i n a t e s , 1 0 a n d 1 0 , a n d 0 , 1 a n d 0 1

r e s p e c t i v e l y .

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2 1 2

S t e p s 1 t h r o u g h 8 y i e l d t h e f o c i a n d d i r e c t r i c e s o f t h e p a r a b o l a s d i s -

c u s s e d a t t h e e n d o f t h e s e c o n d s e c t i o n o f t h i s a r t i c l e . T h e p o i n t C i s t h e

f o c u s F

1

o f p a r a b o l a p

1

B i s t h e f o c u s F

2

o f p a r a b o l a p

2

, a n d t h e c r e a s e s

o n t o w h i c h t h e s e t w o p o i n t s a r e f o l d e d i n s t e p 9 a r e t h e d i r e c t r i c e s `

1

a n d

`

2

. S i n c e t h e c o o r d i n a t e s i n v o l v e d a r e a l l a r r i v e d a t b y h a l v i n g c e r t a i n l i n e

s e g m e n t s , i t i s q u i t e e a s y t o s e e t h a t t h i s i s i n d e e d t h e c a s e .

T h e f o l d m a d e i n s t e p 9 i s t h e n a c o m m o n t a n g e n t o f t h e p a r a b o l a s ,

a n d i t s s l o p e i s t h e r e f o r e c o s

2

9

. T h i s s t e p , b y t h e w a y , i s t h e o n l y o n e t h a t

c a n n o t b e r e p l a c e d b y E u c l i d e a n c o n s t r u c t i o n s . T h e p o i n t o f s t e p s 1 0 t o 1 3

i s t h e n t o n d t h e h o r i z o n t a l l i n e r e p r e s e n t e d b y t h e e q u a t i o n

y = , c o s

2

9

. T h i s i s t h e h o r i z o n t a l f o l d t h r o u g h p o i n t E , a s t h e d i s t a n c e

b e t w e e n t h e v e r t i c a l f o l d s t h r o u g h p o i n t s D a n d E i s e q u a l t o 1

W e t h e n o b t a i n c o r n e r s 2 a n d 9 o f t h e n o n a g o n a s s u m i n g t h e p o i n t w i t h

c o o r d i n a t e s 0 , 1 t o b e c o r n e r 1 o n t h i s h o r i z o n t a l l i n e b y f o l d i n g t h e u n i t

l e n g t h o n t o t h i s l i n e f r o m m i d - p o i n t M i n s t e p 1 4 . S t e p 1 5 t h e r e f o r e y i e l d s

t h e r s t t w o s i d e s o f t h e n o n a g o n , a n d s t e p s 1 6 a n d 1 7 c o m p l e t e t h e f o l d ,

m a k i n g u s e o f b o t h t h e r a d i a l s y m m e t r y o f t h e g u r e , a n d i t s a x i a l s y m m e t r y

w i t h r e s p e c t t o t h e v e r t i c a l l i n e M 1 . S t e p 1 8 , n a l l y , s h o w s u s t h e c o m p l e t e d

r e g u l a r n o n a g o n .

T h e F o l d i n g P r o c e s s

T h e d i a g r a m s f o l l o w t h e b i b l i o g r a p h y .

C o n c l u s i o n

I n t h e c o n c l u s i o n o f F o l d i n g t h e R e g u l a r H e p t a g o n , I d e c l a r e d m y s e l f a s a n

a r d e n t H e p t a g o n i s t . I h a v e n o q u a l m s o r r e s e r v a t i o n s a b o u t d e c l a r i n g m y s e l f

a n e q u a l l y a r d e n t N o n a g o n i s t n o w . P e r h a p s I w i l l n d s o m e s i m i l a r - m i n d e d

f o l k o u t t h e r e w i l l i n g t o j o i n m e i n m y q u e s t o f p o p u l a r i z i n g t h e s e h e r e t o f o r e

s a d l y n e g l e c t e d p o l y g o n s .

R e f e r e n c e s

1 B . B o l d , F a m o u s P r o b l e m s o f G e o m e t r y a n d H o w t o S o l v e T h e m , D o v e r

P u b l i c a t i o n s , I n c . , M i n e o l a , N Y 1 9 6 9 .

2 R . G e r e t s c h l a g e r , E u c l i d e a n C o n s t r u c t i o n s a n d t h e G e o m e t r y o f O r i g a m i

M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , V o l . 6 8 , N o . 5 D e c e m b e r 1 9 9 5 .

8/10/2019 Folding the regular nonagon

4/8

2 1 3

1

F o l d a n d u n f o l d t w i c e .

2

A

F o l d a n d u n f o l d t h r e e t i m e s ,

m a k i n g c r e a s e m a r k s e a c h t i m e .

n a l c r e a s e y i e l d s p o i n t A

3

A

F o l d e d g e t o p o i n t A a n d u n f o l d .

4

R e f o l d e d g e t o e d g e .

8/10/2019 Folding the regular nonagon

5/8

2 1 4

5

F o l d a n d u n f o l d b o t h l a y e r s

a t c r e a s e , t h e n u n f o l d .

6

B

F o l d a n d u n f o l d t w i c e , m a k i n g

c r e a s e m a r k a t p o i n t B

7

B

C

F o l d u p p e r e d g e t o c r e a s e , u n f o l d ,

t h e n f o l d l o w e r e d g e t o n e w c r e a s e ,

m a k i n g c r e a s e m a r k a t p o i n t C

8

B

C

M o u n t a i n f o l d a l o n g c r e a s e s .

8/10/2019 Folding the regular nonagon

6/8

2 1 5

9

B

C

F o l d s o t h a t B c o m e s t o l i e o n

c r e a s e , a n d p r e v i o u s f o l d o n C

1 0

C

B

U n f o l d e v e r y t h i n g .

1 1

D

F o l d a l o n g c r e a s e a n d u n f o l d , t h e n

f o l d v e r t i c a l l y t h r o u g h p o i n t D

1 2

E

F o l d e d g e t o e d g e a n d u n f o l d

e v e r y t h i n g .

8/10/2019 Folding the regular nonagon

7/8

2 1 6

1 3

E

F o l d h o r i z o n t a l l y t h r o u g h

p o i n t E a n d u n f o l d .

1 4

M

9 2

1

F o l d t h r o u g h M s u c h t h a t p o i n t 1

l i e s o n c r e a s e , u n f o l d a r e p e a t o n

o t h e r s i d e p o i n t s 1 2 9 a r e

c o r n e r s o f t h e n o n a g o n .

1 5

M

9 2

1

F o l d b a c k t w i c e s u c h t h a t m a r k e d

p o i n t s c o m e t o l i e o n e a c h o t h e r ,

r e s u l t i n g f o l d s a r e s i d e s o f t h e

n o n a g o n .

1 6

M

2

F o l d t h r o u g h M a n d 2

8/10/2019 Folding the regular nonagon

8/8

2 1 7

1 7

M o u n t a i n f o l d l o w e r l a y e r u s i n g

e d g e s o f u p p e r l a y e r a s g u i d e l i n e s .

R e s u l t i n g f o l d s a r e t w o m o r e s i d e s

o f t h e n o n a g o n . O p e n u p f o l d f r o m

s t e p 1 6 a n d r e p e a t s t e p s 1 6 a n d 1 7

o n l e f t s i d e , t h e n f o l d t h r o u g h M

a n d 2 o n c e m o r e . N e w f o l d s a r e

n e w g u i d e l i n e s . R e p e a t i n g p r o c e s s

c o m p l e t e s t h e n o n a g o n .

1 8

T h e n i s h e d n o n a g o n .