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| Capacitors in an AC Circuit

nstantaneous voltage across the capac-UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINACENTRO DE CINCIAS FSICAS E MATEMTICAS

Imax XC sin vt

( .

)

! Voltage across a capacitor

DEPARTAMENTO DE FSICA

the frequency of the voltage source and the maximum current therefore termined by the frequency of the voltency approaches zero, the capacitive t therefore approaches zero. This conoaches direct current conditions as v an open circuit.

R C

FSC 5120

in Figure 33.11. The frequency of ge amplitude is held constant. When ) It glows brightest at high frequenncies. (c) The brightness is the same

FSICA IV AFigureR L C

.

(Quick Quiz 33.3)

in Figure 33.12. The frequency of ge amplitude is held constant. When ) It glows brightest at high frequenncies. (c) The brightness is the same

Figure

.

(Quick Quiz 33.4)

NOTAS DE AULAVERSO: 11/08/2011

apacitive AC Circuit

inals of a 60.0-Hz AC source whose rms voltage is 150 V. Find the capacitive

hysical situation for this problem. Keep in mind that capacitive reactance Prof. ABLIO MATEUS JR. plied voltage. 1 1 1 5 5 5 332 V vC 2pfC 2p 1 60.0 Hz 2 1 8.00 3 1026 F [email protected]

http://abiliomateus.net/ensino he current from equations developed in this section, so we categorize this

tance:

XC 5

he rms

Irms 5

DVrms

5

150 V

5 0.452 A

SUMRIO1 Lei de Faraday e indutncia1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Experimentos de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluxo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei de Faraday da induo . . . . . . . . . . . . . . . . . . A lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos eltricos induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . Indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clculo da indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energia armazenada em um campo magntico Circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 9 9 10 10 12 12 12 13 14 14 16 16 17 18 20 20 21 22 23 23 23 25 26 27 28 30 30 30 31 7.4 Intensidade do padro de interferncia para ondas eletromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 34 34 35 36 36 37 38 39 39 40 41 42 43 43 43 44 48 48 48 49 50 51 52

8 Difrao8.1 8.2 8.3 8.4 Difrao e a teoria ondulatria da luz . . . . . . . . O princpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Difrao por uma fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensidade no padro de difrao por uma fenda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Resoluo; difrao por uma abertura circular 8.6 Intensidade do padro de difrao por fenda dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Redes de difrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Oscilaes eletromagnticas2.1 Oscilaes LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Oscilaes amortecidas num circuito RLC . . . 2.3 Oscilaes foradas e ressonncia . . . . . . . . . . .

9 Luz e fsica quntica9.1 Radiao de corpo negro e a teoria de Planck . 9.2 Efeito fotoeltrico e a teoria de Einstein sobre o fton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Espalhamento Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 A dualidade onda-partcula da luz . . . . . . . . . . .

3 Circuitos de corrente alternada3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de um circuito AC . . . . . . . . . . . . . . . Circuito RLC de malha simples . . . . . . . . . . . . . Potncia em circuitos AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Estrutura atmica10.1 Primeiros modelos atmicos . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 O espectro atmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Modelo atmico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Propriedades magnticas da matria4.1 Os momentos magnticos dos tomos. . . . . . . . 4.2 Magnetizao e intensidade do campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Classicao das substncias magnticas . . . .

11 Ondas e partculas11.1 Propriedades ondulatrias das partculas: a hiptese de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O tomo e a hiptese de de Broglie . . . . . . . . . . 11.3 A mecnica quntica: uma nova teoria . . . . . . . 11.4 A funo de onda e sua interpretao . . . . . . . . 11.5 Princpio da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Viso dos tomos na mecnica quntica . . . . . .

5 Equaes de Maxwell5.1 Lei de Gauss para o magnetismo . . . . . . . . . . . . 5.2 Corrente de deslocamento e a lei de Ampre generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Ondas eletromagnticas6.1 Ondas eletromagnticas planas . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Descrio matemtica de uma onda eletromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 O espectro das ondas eletromagnticas . . . . . . . 6.4 Energia transportada pelas ondas eletromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Momento e presso de radiao . . . . . . . . . . . . . 6.6 Polarizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Interferncia7.1 A natureza da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Interferncia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Interferncia com fendas duplas . . . . . . . . . . . . .

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11.1 EXPERIMENTOS DE FARADAY

LEI DE FARADAY E INDUTNCIA

Michael Faraday (17911867), universalmente considerado como um dos maiores experimentadores de todos os tempos, era lho de um ferreiro, um de dez irmos, e s teve instruo primria. Trabalhou como entregador de jornais e, aos 12 anos, empregou-se como aprendiz de encadernador. Educou-se tambm lendo os livros que encadernava, em particular a Enciclopdia Britnica. As Pesquisas Experimentais sobre Eletricidade, que Faraday comeou a publicar em 1832, contm inmeras descobertas fundamentais: eletroqumica, a constante dieltrica, paramagnetismo e diamagnetismo, o efeito Faraday em magneto-tica, e muitas outras. Foi ele quem criou a imagem das linhas de fora, que usava constantemente, raciocinando de forma totalmente intuitiva, pois no tinha preparo matemtico. Entre 1823 e 1826, outro grande experimentador, o francs Franois Arago (17861853) havia mostrado que uma barra de ferro no-imantada se imanta quando nela se enrola um solenide percorrido por uma corrente eltrica. Ocorreu a mais de um cientista procurar um efeito inverso: usar um m permanente para produzir uma corrente numa bobina. Em agosto de 1831, Faraday conseguiu demonstrar tal fato. Em uma experincia, Faraday enrolou 70 m de o de cobre em torno de um bloco de madeira, inserindo um galvanmetro1 no circuito. Enrolou outros 70 m, isolados do primeiro, e ligou-os a uma bateria. A princpio, cou desapontado: uma corrente estacionria no segundo circuito no afetava o galvanmetro, ligado ao primeiro. Faraday notou, porm, que aparecia uma deexo no galvanmetro quando e s quando o outro circuito era ligado ou desligado. Ou seja: a corrente era induzida pela variao do campo magntico devido ao outro circuito. O resultado foi comunicado Royal Society em 24 de novembro de 1831. O fsico americano Joseph Henry publicou uma observao semelhante em 1832.1

Figura 1.2 (a) Quando um m deslocado em direo a uma

espira de o conectada a um galvanmetro, este se desvia, como mostrado, indicando que uma corrente induzida na espira. (b) Quando o m mantido estacionrio, nenhuma corrente induzida na espira, mesmo quando o m est dentro da espira. (c) Quando o m afastado da espira, o galvanmetro desvia-se na direo oposta, indicando que a corrente induzida oposta quela mostrada na parte (a). SerwayJewett

Instrumento utilizado para medir corrente eltrica.

Numa experincia posterior, Faraday aproximou um m permanente, de formato cilndrico, de um solenide ligado a um galvanmetro. Quando a barra era introduzida no solenide, o galvanmetro acusava a passagem de uma corrente. Quando era removida, produzia-se uma corrente em sentido oposto. Faraday percebeu logo que um efeito anlogo se produzia quando o solenide era aproximado ou afastado do m, cando este em repouso: a induo de corrente dependia apenas do movimento relativo entre o m e a bobina, resultando numa variao do campo magntico que a atravessava. Foi para encontrar a lei quantitativa da induo que Faraday introduziu o conceito de linhas de fora, denindo o que hoje corresponde ao uxo do campo magntico atravs de um circuito.

Figura 1.1 Experimento de Faraday. Quando a chave no circuito

Moyses Nussenzveig, Fsica Bsica, Vol. 3

primrio fechada, o galvanmetro no circuito secundrio se desvia momentaneamente. A corrente induzida no circuito secundrio causada pela variao do campo magntico atravs da bobina secundria. SerwayJewett

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia

1.2 FLUXO MAGNTICO

1.4

A LEI DE LENZ

O uxo associado com o campo magntico denido de maneira similar ao uxo eltrico e proporcional ao nmero de linhas do campo magntico que atravessam uma rea qualquer. Denimos o uxo magntico B atravs de uma superfcie como B = B d A, (1.1) onde d A um vetor perpendicular superfcie com mdulo igual rea dA. A unidade SI do uxo magntico o weber: 1 Wb = 1 T m21.3 LEI DE FARADAY DA INDUO

O sinal negativo na Lei de Faraday est relacionado com a lei de Lenz, que nos permite determinar o sentido da corrente induzida em uma espira: A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magntico produzido pela corrente se ope ao campo magntico que induz a corrente. Esta lei vale apenas para correntes induzidas que aparecem em circuitos fechados. Se o circuito for aberto, podemos usualmente pensar em termos do que poderia acontecer se ele fosse fechado e desta forma encontrar a polaridade da fem induzida. A fora eletromotriz induzida tem o mesmo sentido que a corrente induzida. Considere um m se aproximando de uma espira como mostrado na Figura 1.3. Se o m estiver inicialmente distante o uxo magntico que atravessa a espira zero. Quando o plo norte do m se aproxima da espira com o campo magntico B apontando para baixo o uxo atravs da espira aumenta. Para se opor a esse aumento de uxo a corrente induzida I deve criar um campo Bind apontando para cima (Figura 1.3a). De acordo com a regra da mo direita, o sentido da corrente deve ser o sentido antihorrio.

Faraday descobriu que uma fora eletromotriz e uma corrente podem ser induzidas em uma espira fazendo variar a quantidade de campo magntico que atravessa a espira. Percebeu ainda que a quantidade de campo magntico pode ser visualizada em termos das linhas de campo magntico que atravessam a espira. Usando a denio de uxo magntico, podemos enunciar a lei de induo de Faraday da seguinte forma: O mdulo da fora eletromotriz E induzida em uma espira condutora igual taxa de variao temporal do uxo magntico B que atravessa a espira. Como veremos na prxima seo, a fora eletromotriz induzida E se ope variao do uxo, de modo que, matematicamente, a lei de Faraday pode ser escrita como (1.2) E= dB , dt

onde E a fem induzida e B o uxo magntico atravs da espira condutora. Se o uxo magntico atravs de uma bobina de N espiras sofre uma variao, uma fem induzida aparecer em cada espira, e a fem induzida total no circuito ser o somatrio dos valores individuais. Se a taxa de variao do uxo for a mesma para cada uma das N espiras, a fem induzida ser dada por dB . E = N dt H trs maneiras de variar o uxo magntico que atravessa uma bobina e para induzir uma corrente eltrica: 1. Mudar o mdulo de B. 2. Mudar a rea total da bobina ou a parte da rea atravessada pelo campo magntico. 3. Mudar o ngulo entre a orientao do campo magntico B e o plano da bobina (girando-a, por exemplo).Figura 1.3 O sentido da corrente I induzida em uma espira

tal que o campo magntico Bind produzido pela corrente se ope variao do campo magntico B que induziu a corrente. O campo Bind sempre tem o sentido oposto ao sentido de B se B est aumentando (a e c), e o mesmo sentido que B se B est diminuindo (b e d). A regra da mo direita fornece o sentido da corrente induzida a partir do sentido do campo induzido. Halliday

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia

Note que o uxo de Bind sempre se ope variao do uxo de B, mas isso no signica que B e Bind sempre tm sentidos opostos. Por exemplo, quando afastamos o m da espira o uxo B produzido pelo m tem o mesmo sentido que antes (para baixo), mas agora est diminuindo. Nesse caso, como mostra a Figura 1.3b, o uxo de Bind tambm deve ser para baixo, de modo a se opor diminuio do uxo B . Portanto, B e Bind tm o mesmo sentido. As Figuras 1.3c e 1.3d mostram as situaes em que o plo sul do m se aproxima e se afasta da espira, respectivamente.

Podemos obter uma forma mais geral para a lei de Faraday combinando a Eq. 1.3 com a expresso E = dB /dt: dB s E d = . dt De acordo com esta equao, um campo magntico varivel induz um campo eltrico. Escrita dessa forma, a lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer curva fechada que possa ser traada em uma regio onde existe um campo magntico varivel. Os campos eltricos que so produzidos pelo processo de induo no so associados a cargas, mas ao uxo magntico varivel. Embora ambos os tipos de campos eltricos exeram foras sobre as cargas, h uma importante diferena entre eles. A diferena de potencial entre dois pontos A e B, V B VA = A B

1.5 CAMPOS ELTRICOS INDUZIDOS

Considere uma partcula de carga q0 que se move ao longo de uma circunferncia de raio r. O trabalho W realizado sobre a partcula pelo campo eltrico durante uma revoluo completa W = Eq0 , onde E a fora eletromotriz (trabalho realizado por unidade de carga para fazer uma carga de prova descrever a trajetria). Entretanto, por denio, o trabalho tambm dado por s W = F d = (q0 E)(2r), onde (q0 E) o mdulo da fora que age sobre a partcula e 2r a distncia ao longo do qual a fora atua. Quando igualamos as duas expresses para o trabalho, a carga q0 cancelada e obtemos a seguinte relao: E = 2rE. Para uma partcula que se move em uma trajetria fechada, podemos escrever o trabalho da seguinte forma: d = q0 E d s, W= F s onde os crculos nos sinais de integral indicam que a integral deve ser calculada para uma curva fechada. Substituindo o trabalho W por Eq0 , temos: s, (1.3) E = E d que nos d uma relao geral entre a fem e o campo eltrico. Agora consideremos a lei de Faraday, que diz que a variao do uxo magntico produz uma fem induzida num circuito. Esta fem induzida representa o trabalho por unidade de carga necessrio para manter a corrente induzida ou o trabalho por unidade de carga executado sobre uma partcula carregada que descreve uma curva fechada em uma regio onde existe um uxo magntico varivel. Entretanto, a Eq. 1.3 nos diz que pode existir uma fem induzida mesmo que no haja uma corrente ou uma partcula: a fem induzida s a soma do produto escalar E d ao longo de uma curva o campo eltrico induzido pela variao fechada, onde E do uxo magntico e d o elemento de comprimento. s

s. E d

Se quisermos que o conceito de potencial tenha alguma utilidade, esta integral precisa ter o mesmo valor para qualquer caminho que ligue os pontos A e B. De fato, vericamos que isto era verdadeiro para todos os casos discutidos nos captulos anteriores. Um caso especial interessante ocorre quando A e B so o mesmo ponto. O caminho que os liga ento uma curva fechada; como VA deve ser idntico a VB , temos: s E d = 0. Entretanto, quando um uxo magntico varivel est pre s sente, E d no zero, mas igual a dB /dt, de acordo com a lei de Faraday. Isto implica que campos eltricos associados a cargas estacionrias so conservativos, mas campos eltricos associados a campos magnticos variveis so no-conservativos. Os campos eltricos produzidos por induo no podem ser expressos como gradientes de um potencial eltrico, e, portanto, o potencial eltrico tem signicado apenas para campos eltricos produzidos por cargas estticas.

1.6

INDUTNCIA

Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magntico que gera um uxo magntico atravs do prprio circuito; quando a corrente varia, esse uxo tambm varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente varivel possui uma fem induzida nele mesmo pela variao de seu prprio uxo magntico. Tal fem denomina-se fem auto-induzida. De acordo com a lei de Lenz, uma fem auto-induzida sempre se ope variao da corrente que produz a fem e, portanto, tende a tornar mais difcil qualquer variao da corrente. Por esta razo, a fem auto-induzida muito importante quando existe uma corrente varivel.

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IVFARADAYS LAW AND INDUCTANCE 782 T CHAPTER 23 A

Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia

I a R

23.6 RL CIRCUITS

PhysicsNow at em um circuito que atravs de espiras fechadaswww.pop4e.com and conduz uma going o efeito bastante you can corrente. Porm, to Active Figure 23.23,ampliado quando o adjust the values com N espiras, circuito contm uma bobina of R and L to see como em um solenide. the effect on the current. A graphical display as in Active Figure 23.24

A circuit that contains a coil, such as a solenoid, has a self-inductan the current from increasing or decreasing instantaneously. A circuit + main purpose is to provide inductance in a circuit is called an induc symbol for an inductor is . As a simplication model, assume that the self-inductance of the remainder of the circuit is b S pared with that of any inductors in the circuit. In addition, any resis Figura 1.4 A corrente do circuito23.23 um campo magntico na is assumed to be combined with other resistance in the circu produz ductor ACTIVE FIGURE bobina e, portanto, um uxo magntico atravs da bobina. Quando the inductor as having zero resistance. A series RL circuit. As the current a corrente do circuito varia, o uxo tambm varia, produzindo uma Consider the circuit shown in Active Figure 23.23, consisting of a re increases toward its maximum value, fem auto-induzida no circuito. SerwayJewett an emf that opposes the increasing tor, a switch, and a battery. The internal resistance of the battery will current is induced in the inductor. further simplication model. Suppose the switch S is thrown closed a rent begins to increase, and, due to the increasing current, the induc Uma fem auto-induzida pode ocorrer em qualquer cirBy logging into cuito, visto que sempre existir algum uxo magntico opposes the increasing current. The back emf produced by th emf that+ L L

L

dI dtL

Figura 1.5 (a) A corrente est diminuindo; a fem induzida no Em virtude da corrente I, existe um uxo magntico mcorresponds to theope diminuio da corrente. (b) A correnteb est is available. indutor se potential drop occurring from a to across th dio B atravs de cada espira da bobina, que proporcional aumentando; is at a higher indutor se than aumento as this reason, point a a fem induzida no potentialope ao point b da illus corrente. Desta forma, podemos escrever corrente. Halliday

Because the current is increasing, dI/dt is positive; therefore

is

NB I.

Se ocorre a variao da corrente, uma variao do uxo magntico tambm acontecer, de forma que: N dB dI =L , dt dt

Figure 23.23. We can apply Kirchhoffs loop rule to this circuit. If we begin at travel clockwise,para have forma we escrever estas relaes atravs da diferena depotencial entre as duas extremidades do indutor dI

dI dt V2 V1 = L . dt where IR is the voltage across the resistor. The potential differenc

IR

L

0

onde introduzimos a constante de proporcionalidade L, chabattery. We must now look for a solution to this differential equa mada indutncia do elemento de circuito. Integrando a 1.7 CLCULO DA of the behavior of the RL circuit. It is mathematical representationINDUTNCIA equao acima obtemos a indutncia em funo do uxo tion 21.30 for the RC circuit. magntico e da corrente eltrica:I

ductor is given a negative sign because its emf is in the opposite sen

NB variables by letting x ( /R) I so that dx dI. With thes (1.4) L= I . Podemos utilizar a Eq. 1.4 para calcular a indutncia L Equation 23.13uma seo de comprimento de um solenide longo can be written as R para Usando a equao para a lei de Faraday (1.2), e tomando cuja rea da seo reta A; L dI admitir que dx seo vamos L esta t=L 0.632 R R apenas o mdulo das quantidade envolvidas, obtemos a fem 0 est prxima do centro I solenide de x do forma que podemos R R dt R dt induzida pela variao da corrente eltrica num circuito com desconsiderar os efeitos de borda. O campo magntico no indutncia L: interior de um solenide percorrido por uma corrente I t dx R t dI dt EL = L . x L dt B = 0 nI, ACTIVE FIGURE 23.24 Se EL dada em volt e dI/dt em ampre/segundo, a unidade Integrating this last expression from an initial instant t 0 to some l Plot of current versus denido por: onde n o nmero de espiras por unidade de comprimento, SI para a indutncia o henry (H), time for the RL circuit shown in Active Figure x dx n = N/. O uxo magntico no interior do solenide, obtido R t x R dt B ln 23.23. The switch is open for t 0 1 volt segundo atravs da Eq. 1.1, simplesmente := BA. xPortanto,L t a 1 henry L 0 xi x i and then closed at ampre the t 0, and indutncia ser dada por: Para encontrar a relao entre The time constant NB (n)0 nIA mum value /R. o sinal EL e o dI/dt, usamos = = 0 n2 A. (1.5) L= a lei de Lenz. isSe atime interval diminui, for Iacordo com a xI x i e Rt/L the corrente I required de I lei de Lenz, a indutncia deve se opor a value. diminuio to reach 63.2% of its maximum esta The value Esta expresso is expressed as xi of x at t 0 envolve apenas fatores geomtricos: a Irea0 at t /R because gerando uma fem com sentido oposto quele da variao. Por da seo reta,isoequivalent todo solenide e o nmero de comprimento outro lado, se a corrente I aumenta, o indutor se ope a esta preceding expression By logging into espiras por unidade de comprimento. Esta relao vlida variao, gerando uma fem adicional tambm em sentido PhysicsNow at www.pop4e.com and apenas para um solenide de comprimento muito maior do contrrio variao to Active Figure 23.24, you can um resumo going da corrente. A Figura 1.5 d I e Rt/L que o seu raio. das relaes entre o sinal de dI/dt e o de the. Uma outra R R observe the graph develop after ELswitch in Active Figure 23.23 is closed.Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina

1.7.1 Indutncia de um solenide To obtain a mathematical solution of Equation 23.13, it is conve

current increases toward its maxi-

Taking the antilog of this result gives

I

R

(1

e

Rt/L)

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia

1.7.2 Indutncia de um toride

Logo, a potncia necessria para se manter a corrente I pode ser escrita como: P = EI = dB d(LI) dI I= I = LI . dt dt dt

Para um toride de seo reta retangular mostrado na Figura 1.6, o campo magntico dado por: B= 0 IN , 2r

onde N o nmero total de espiras do toride. Note que o campo magntico no constante no interior do toride, j que depende do raio r.

Ignorando perda de energia por efeito Joule (resistncia desprezvel) a energia total que precisa ser fornecida para fazer passar a corrente no circuito do valor I = 0, para t = 0, ao valor nal I num tempo t, UB =0 t

Pdt =0

t

LI

dI dt = L dt

0

I

IdI =

1 2 LI , 2

neste caso, U B representa a energia armazenada no circuito de indutncia L que atravessado por uma corrente I.1.8.1 Densidade de energia magntica

Figura 1.6 Esquema de um toride com raio interno a e raio externo b.

Para um solenide muito longo de comprimento e rea de seo A com n espiras por unidade de comprimento, vimos que a indutncia, dada pela Eq. 1.5, L = 0 n2 A, de forma que, quando percorrido por uma corrente I, a energia armazenada no solenide UB = 1 2 1 1 LI = 0 (nI)2 A = (0 nI)2 A. 2 2 20

O uxo B atravs da seo reta do toride B = = b b 0 IN dA = B B(hdr) = hdr 2r a a b dr 0 INh b 0 INh = ln , 2 2 a a r

onde h a altura da seo reta do toride. Obtemos a indutncia a partir da Eq. 1.4: L= NB 0 N 2 h b = ln . I 2 a

Como o campo magntico induzido no solenide B = 0 nI, e o volume dado por V = A, a energia U B pode ser escrita como B2 V UB = . 20 Como o campo magntico est (com boa aproximao) connado dentro do solenide, podemos interpretar este resultado dizendo que a energia est contida no campo magntico, com densidade de energia magntica, uB = U B /V dada por 1 2 uB = B. 201.9 1.9.1 CIRCUITOS RL Indutor

Notamos novamente que L depende apenas de fatores geomtricos.

1.8 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNTICO

Para transportar uma carga dq atravs de uma diferena de potencial V preciso fornecer-lhe uma energia dqV. Logo, para manter uma corrente I = dq/dt durante um tempo dt atravs de V, preciso fornecer uma energia dW = (Idt)V, o que corresponde a uma potncia (energia por unidade de tempo) dW P = IV. dt Num circuito, a fora eletromotriz, E, induzida por um campo magntico varivel tende a se opor variao do uxo E = V = dB . dt

Um indutor um elemento de um circuito que armazena energia no campo magntico gerado pela corrente que percorre seus os, da mesma maneira que um capacitor armazena energia no campo eltrico entre suas placas carregadas. Geralmente um indutor representado por um solenide (smbolo ).1.9.2 Anlise de um circuito RL

Considere o circuito mostrado na Figura 1.7. Vamos aplicar a lei das malhas percorrendo o circuito em sentido

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Captulo 1: Lei de Faraday e indutncia

como I(t) =

) E( 1 et/L . R

Se removemos a bateria do circuito, fazendo E = 0, temos dI L + IR = 0 dt e a soluo dada porFigura 1.7 Circuito RL. Halliday

I(t) = I0 et/L onde I0 o valor da corrente quando a bateria removida (t = 0).

horrio a partir do ponto x. Entre x e y, a diferena de potencial dada por: Vy V x = IR. O potencial de x mais alto que o de y. O ponto y est a um potencial mais alto que o do ponto z, pois quando a corrente aumenta, a fem induzida se ope a este aumento com a polaridade mostrada na gura. Logo, se atravessarmos o indutor de y para z a diferena de potencial ser: Vz Vy = L dI . dt

Ao atravessarmos a bateria encontramos um aumento no potencial dado por +E. A lei das malhas fornece ento: IR L ou (1.6) L dI + IR = E. dt dI +E=0 dt

A soluo para esta equao diferencial dada pela funo I(t): (1.7) I(t) = ) E( 1 etR/L . R

Note que I(t) possui duas particularidades: I(0) = 0 (a corrente inicial zero) e I E/R quando t . Podemos denir uma constante L , tal que L = L , R

que chamada constante de tempo indutiva. O valor numrico desta constante d uma medida da rapidez com que a corrente em um circuito RL tende para o valor de equilbrio E/R. D Eq. 1.7, fazendo t = L , obtemos o signicado fsico desta constante: I= E E E (1 e1 ) = (1 0,37) = 0,63 . R R R

Logo, a constante de tempo L nos d o instante em que a corrente no circuito menor do que o seu valor nal E/R por um fator 1/e (cerca de 37%). Podemos ento reescrever a equao de um circuito RL

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OSCILAES ELETROMAGNTICASvariem. Ou seja, dU/dt = 0: (2.5) dU di q dq = Li + = 0. dt dt C dt

Neste captulo, estudaremos como a carga q varia com o tempo num circuito constitudo de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a energia transferida do campo eltrico do capacitor para o campo magntico do indutor e vice-versa, sendo dissipada gradualmente no decorrer das oscilaes sob a forma de energia trmica no resistor. Para comear vamos tratar de um caso mais simples, um circuito contendo apenas um indutor e um capacitor, onde desprezaremos a resistncia do condutor. Portanto, no h dissipao de energia.

A corrente eltrica i (2.6) i= dq dt e di d2 q = 2. dt dt

Substituindo na equao acima, obtemos (2.7) d2 q 1 + q = 0. 2 LC dt

2.1 OSCILAES LC

Vimos que para circuito RC e RL, a carga, a corrente e a diferena de potencial crescem e decaem exponencialmente. A escala de tempo do crescimento ou decaimento dada por uma constante de tempo , que ou capacitiva ou indutiva. Vamos agora demonstrar que para um circuito LC, a carga, a corrente e a diferena de potencial no variam exponencialmente, mas senoidalmente (com frequncia angular ). Em outras palavras, o circuito oscila. Num circuito contendo um capacitor e um indutor, a energia estar armazenada nos campos eltrico e magntico, de tal forma que a energia total do sistema dada por: (2.1) U = UE + UB,

Esta a equao que descreve as oscilaes de um circuito LC (sem resistncia). Lembrando de Fsica II, a equao 2.7 semelhante equao que descreve as oscilaes mecnicas de uma partcula presa a uma mola (sem atrito): (2.8) d2 x k + x = 0, dt2 m

cuja soluo dada por (2.9) x = xm cos(t + ),

onde consideramos que a resistncia do circuito zero. A energia armazenada no campo eltrico entre as placas do capacitor (2.2) 1 q2 UE = , 2C

onde xm a amplitude do movimento e uma constante de fase. Como q corresponde a x, podemos escrever a soluo da equao 2.7 como (2.10) q = qm cos(t + ),

onde a frequncia angular das oscilaes eletromagnticas. Diferenciando q em relao a t e substituindo na equao 2.7 obtemos o valor de : (2.11) 1 = . LC

onde C a capacitncia. A energia armazenada no campo magntico do indutor dada por (2.3) onde L a indutncia.Exerccio Observe atentamente a Figura 2.1 e analise o que acontece com a energia armazenada nos campos eltrico e magntico de um circuito LC oscilante.

UB =

1 2 Li , 2

A constante de fase determinada pelas condies iniciais em t = 0. Por exemplo, se = 0 em t = 0, temos que q = qm e i = 0, que so as condies iniciais mostradas na Figura 2.1a. A Figura 2.2 mostra uma analogia entre as oscilaes produzidas num circuito LC e num sistema mecnico massamola. A energia eltrica armazenada no circuito LC : (2.12) UE = q2 1 q2 = m cos2 (t + ), 2C 2C

A energia total do circuito (2.4) U= 1 q2 1 2 + Li . 2C 2

e a energia magntica (2.13) UB = 1 2 q2 Li = m sen 2 (t + ). 2 2C

Como estamos supondo que a resistncia zero, no h dissipao de energia e U permanece constante, embora i e q

Somando a energia eltrica e a energia magntica, obte-

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Captulo 2: Oscilaes eletromagnticas

Figura 2.1 Estgios de um ciclo de oscilao para um circuito LC sem resistncia. Os grcos em barra mostram a energia armazenada nos campos magntico e eltrico.

mos a energia total do circuito LC: (2.14) U= q2 q2 m [cos2 (t + ) + sen 2 (t + )] = m . 2C 2C

dividindo a equao acima por i, obtemos (2.17) L d2 q dq 1 + R + q = 0. dt C dt2

2.2 OSCILAES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC

que descreve as oscilaes LC amortecidas. Note que se zermos R = 0, a equao 2.17 se reduz equao 2.7, que descreve as oscilaes LC no amortecidas. A soluo geral desta equao dada por: (2.18) onde (2.19) = 2 (R/2L)2 . q = qm eRt/2L cos( t + ),

Em qualquer circuito LC real existe sempre uma resistncia R. Neste caso, a energia eletromagntica total U no mais constante, diminuindo com o tempo medida que transformada em energia trmica no resistor, dissipada por efeito Joule (Figura 2.3). Como veremos, este caso idntico ao oscilador harmnico amortecido. Incluindo a resistncia R, a energia total no mais constante e varia atravs da relao (2.15) dU = i2 R, dt

Em muitos casos pode considerar .2.3 OSCILAES FORADAS E RESSONNCIA

onde o sinal negativo implica que a energia dissipada a uma taxa de i2 R. Portanto, temos (2.16) di q dq dU = Li + = i2 R. dt dt C dt

Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistncia R. Se o amortecimento pequeno, o circuito oscila com uma frequncia = (LC)1/2 , que chamada de frequncia natural do sistema. Suponha agora que uma fem varivel no tempo aplicada ao circuito dada por (2.20) E = Em cos t,

Novamente substituindo i por dq/dt e di/dt por d2 q/dt2 , e

atravs da utilizao de um gerador externo (representado

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Captulo 2: Oscilaes eletromagnticas

de potencial no circuito ocorrero com a frequncia da fonte externa . A corrente no circuito ser dada pela expresso (2.21) i = im sen ( t ),

onde im a amplitude da corrente. O valor de im ser mximo quando a frequncia da fonte externa for igual frequncia natural do circuito, isto , quando (2.22) 1 = = , LC

que chamamos de condio de ressonncia. Uma aplicao prtica da ressonncia ocorre quando sintonizamos uma estao de rdio. Quando giramos o boto de sintonia, estamos ajustando a frequncia natural de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual frequncia do sinal transmitido pela antena da estao que queremos sintonizar; estamos procurando por uma ressonncia.

Figura 2.2 Analogia entre as oscilaes produzidas num circuito LC e num sistema mecnico massa-mola.

Figura 2.3 Circuito LC com resistor R; a energia dissipada a uma taxa de i2 R via efeito Joule.

pelo smbolo ). Nesta equao, a frequncia da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilaes foradas.

Qualquer que seja a frequncia natural do circuito , as oscilaes da carga, corrente ou da diferena

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CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA

A corrente eltrica distribuda para utilizao industrial e residencial corrente alternada (AC, do ingls Alternating Current), tipicamente de frequncia f = 60 Hz. A principal vantagem da corrente alternada que sua voltagem pode ser facilmente amplicada ou reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia eltrica em linhas de alta voltagem, convertendo-a no valor caseiro (110220 V) ao chegar a seu destino. A vantagem da transmisso de potncia em alta voltagem que a corrente i associada baixa, reduzindo a perda por efeito Joule nos os de transmisso (i2 R).

Figura 3.1 Um circuito de malhas simples, com um resistor, um indutor e um capacitor. O gerador uma fonte de fem alternada que estabelece uma corrente alternada no circuito.

3.1 FONTE DE CORRENTE ALTERNADA

Um circuito de corrente alternada consiste de elementos de circuito (indutores, capacitores e resistores) e uma fonte de energia que fornece uma fem que varia com o tempo que pode ser dada, por exemplo, pela expresso (3.1) E = Em sen t, temos (3.4)

Figura 3.2 Um resistor em um circuito de AC.

onde Em a amplitude da fem varivel. A frequncia angular (em rad/s) est relacionada com a frequncia f (em Hz) e ao perodo T por (3.2) = 2 f = 2 . T

VR = iR = im R sen (t ).

Comparando as equaes 3.3 e 3.4 vemos que VR e i esto em fase: elas alcanam os valores mximos ao mesmo tempo.3.2.2 Indutor

A fonte de fem varivel, ou fonte AC, determina a frequncia da corrente no circuito. Como a voltagem fornecida pela fonte AC varia senoidalmente com o tempo, ela ser positiva durante metade do ciclo e negativa durante a outra metade. Da mesma forma, a corrente num circuito alimentado por uma fonte AC uma corrente alternada que tambm varia senoidalmente com o tempo. Portanto, podemos escrever (3.3) i = im sen (t ),

A Figura 3.3 mostra um circuito contendo apenas um indutor e uma fonte de AC. A diferena de potencial que atravessa o indutor dada por (3.5) VL = L di = Lim cos(t ). dt

Usando a identidade trigonomtrica cos = sen ( + /2), obtemos (3.6) VL = Lim sen (t + /2).

onde im a amplitude de corrente (ou corrente mxima) e o ngulo de fase entre E e i, que indica se os valores mximos da corrente ou da voltagem ocorrem ao mesmo tempo ou no. Para um dado circuito RLC como mostrado na Figura 3.1, se considerarmos que os valores de Em , , R, L e C so conhecidos, o nosso problema resume-se a determinar os valores da corrente mxima im e do ngulo de fase 3.2 ELEMENTOS DE UM CIRCUITO AC 3.2.1 Resistor

Comparando as equaes 3.3 e 3.6 vemos que VL e i no esto em fase: VL atinge o valor mximo antes de i, ou seja, i est atrasada em relao a VL . conveniente denir uma nova quantidade, a reatncia indutiva XL : (3.7) XL = L,

de forma que podemos escrever a equao 3.6 como (3.8) VL = im XL sen (t + /2).

Considere um circuito contendo uma fonte AC e um resistor, conforme mostrado na Figura 3.2. Denindo VR como a diferena de potencial entre os terminais do resistor,

A unidade SI para XL a mesma da resistncia, o ohm, (). O valor mximo para VL (3.9)max V L = im X L .

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Captulo 3: Circuitos de corrente alternada

das malhas, temos que a voltagem aplicada em um circuito RLC igual s diferenas de potencial que atravessam cada elemento do circuito, ou seja (3.15)Figura 3.3 Um indutor em um circuito de AC.

E = VR + VL + VC .

Substituindo os valores de E , VR , VL e VC na equao acima, obtemos (3.16) Em sen t = + + im sen (t ) im XL sen (t + /2) im XC sen (t /2).

3.2.3 Capacitor

A Figura 3.4 mostra um circuito contendo apenas um capacitor e uma fonte de AC. A diferena de potencial VC entre os terminais do capacitor dada por idt q (3.10) VC = = . C C Integrando a corrente i dada pela equao 3.3, encontramos VC (3.11) = = im cos(t ) C

Aps vrios malabarismos trigonomtricos podemos reduzir esta equao a (3.17) Em sen t = im R2 + (XL XC )2 sen t desde que faamos a escolha (3.18) tan = XL XC L 1/C = . R R

im sen (t /2), C =

A amplitude da corrente pode ser facilmente obtida: (3.19) Em im = . 2 + (X X )2 R L C

onde utilizamos a identidade trigonomtrica cos sen ( /2).

Comparando as equaes 3.3 e 3.11 vemos que VC e i tambm no esto em fase: VC atinge o valor mximo depois de i, ou seja, i est adiantada em relao a VL . Em analogia com a reatncia indutiva, conveniente denir a reatncia capacitiva XC : (3.12) 1 XC = , C

A quantidade no denominador chamada impedncia do circuito RLC: (3.20) Z = R2 + (XL XC )2 , de forma que a amplitude da corrente pode ser escrita como (3.21) im = Em , Z

tal que podemos reescrever VC como (3.13) VC = im XC sen (t /2).

que similar relao i = E /R para circuitos resistivos de malha simples onde a fem constante. A unidade SI da impedncia tambm o ohm. Obtivemos ento os valores da amplitude da corrente, im , e do ngulo de fase, , para um circuito RLC. Note que a fase no depende da amplitude Em da fem aplicada, isto , se variarmos Em variaremos im , mas no . A corrente im mxima quando a impedncia atinge o seu valor mximo R, que ocorre quando XL = XC , ou (3.22) L = 1 , C

A unidade de XC tambm o ohm. O valor mximo de VC (3.14)max VC

= im XC .

Figura 3.4 Um capacitor em um circuito de AC.

de forma que (3.23) 1 = , LC

3.3 CIRCUITO RLC DE MALHA SIMPLES

que a condio de ressonncia. Aps a anlise de cada um dos elementos de circuito em separado, agora vamos analisar as caractersticas de um circuito de corrente alternada contendo uma fonte de AC, um indutor, um resistor e um capacitor, como o circuito mostrado na Figura 3.1. Usando a segunda lei de Kirchho, a lei

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Captulo 3: Circuitos de corrente alternada

3.4 POTNCIA EM CIRCUITOS AC

No circuito RLC da Figura 3.1 a fonte de energia o gerador de corrente alternada. Parte da energia fornecida pela gerador armazenada no campo eltrico do capacitor, parte armazenada no campo magntico do indutor e parte dissipada como energia trmica no resistor. No regime estacionrio, isto , depois de transcorrido um tempo suciente para que o circuito se estabilize, a energia mdia armazenada no capacitor e no indutor juntos permanece constante. A transferncia da energia se d ento da fonte para o resistor, onde a energia eletromagntica convertida em energia trmica. Para um resistor, a potncia ou taxa de dissipao de energia por efeito Joule pode ser escrita como (3.24) P=i R=2

Figura 3.5 Um transformador ideal, formado por duas bobinas

enroladas em um ncleo de ferro, ligado a uma fonte e um resistor R. Um gerador de corrente alternada produz uma corrente no enrolamento da esquerda (o primrio). O enrolamento da direita (o secundrio) ligado carga resistiva quando a chave S fechada.

i2 R sen 2 (t m

).

calcular a taxa mdia de dissipao de energia em circuitos de corrente alternada como se estivssemos trabalhando com um circuito de corrente contnua. Podemos tambm denir valores rms para a voltagem ou tenso e para a fora eletromotriz: (3.31) V Vrms = 2 e E Erms = . 2

A energia dissipada no resistor apresenta utuaes no tempo, assim como a energia armazenada no capacitor e no indutor. Em muitos casos que envolvem correntes alternadas, no h o interesse em saber como a potncia varia no decorrer de cada ciclo; estamos interessados principalmente na potncia mdia dissipada durante um ciclo qualquer. A taxa mdia com a qual a energia dissipada no resistor a mdia no tempo da equao 3.24. Para uma funo f (t) qualquer, o valor mdio temporal denido por (3.25) f (t) = f (t) 1 T t t+T

Portanto, a corrente rms tambm pode ser denida por: (3.32) irms = Erms , Z

f (t )dt ,

e a potncia mdia como (3.33) P= Erms R irms R = Erms irms . Z Z

onde T qualquer nmero inteiro de ciclos ou perodos. Para funes quadrticas de seno e cosseno, os valores mdios so (3.26) ou seja (3.27) cos2 = sen 2 = 1 . 2 1 cos = sen = cos2 + sen 2 , 22 2

O termo R/Z o cosseno da constante de fase , de forma que a forma usual para a potncia mdia (3.34) P = Erms irms cos ,

onde o termo cos chamado fator de potncia. Os valores rms tambm so chamados valores ecazes.

Portanto, o valor mdio da potncia dada na equao 3.24 ser simplesmente: (3.28) P= i2 R sen 2 (t m ( )2 i2 R im m ) = = R. 2 2

3.5

O TRANSFORMADOR

A grandeza im / 2 chamada de valor mdio quadrtico ou valor rms (do ingls root mean square) da corrente im : (3.29) im irms = . 2

Portanto, podemos escrever a potncia mdia como: (3.30) P = i2 R. rms

Um transformador um dispositivo usado para aumentar ou para reduzir a tenso ou voltagem em um circuito sem perda aprecivel de energia. A Figura 3.5 mostra um transformador simples que consiste em duas bobinas em torno de um ncleo comum de ferro. A bobina com a potncia de entrada chamada de primrio e a outra bobina chamada de secundrio. Cada bobina de um transformador pode ser usada como primrio ou secundrio. O transformador opera baseado no princpio que uma corrente alternada em um circuito induz uma fem alternada em um circuito nas proximidades devido indutncia mtua entre os dois circuitos. Considere o transformador da Figura 3.5. O enrolamento primrio, com N p espiras, est ligado a um gerador de

Note que esta equao possui a mesma forma da potncia dissipada por um resistor num circuito de corrente contnua, P = i2 R. Isso signica que usando a corrente rms podemos

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Captulo 3: Circuitos de corrente alternada

corrente alternada cuja fem dada por (3.35) E = Em sen t.

Portanto, usando a equao 3.38, temos (3.40) is = i p Np , Ns

O enrolamento secundrio, com N s espiras, est ligado a uma resistncia de carga R, mas no h corrente no circuito se a chave S estiver aberta. Como este um transformador ideal, a resistncia das duas bobinas desprezvel. Nestas condies, o enrolamento primrio uma indutncia pura, como a mostrada na Figura 3.3. Portanto, a corrente no primrio, que chamada corrente magnetizante imag , est atrasada em relao diferena de potencial V p do primrio de 90. Logo, o fator de potncia (= cos ) zero, ou seja, nenhuma potncia fornecida pelo gerador ao transformador. A corrente alternada imag do primrio produz um uxo magntico alternado B no ncleo de ferro. O ncleo refora este uxo e o transfere para o enrolamento secundrio do transformador sem perdas. Como B varia com o tempo, induz uma fora eletromotriz Eespira = dB /dt em cada espira do primrio e do secundrio, de forma que: (3.36) Eespira,primario = Eespira,secundario .

para a lei de transformao entre as correntes. Finalmente, como i s = V s /R na presena do resistor, obtemos: (3.41) ip = Vp , (N p /N s )2 R

que nos diz, do ponto de vista do circuito primrio, que a resistncia equivalente do circuito no R, mas sim (3.42) Req = (N p /N s )2 R.

A resistncia Req o valor da resistncia vista pelo gerador: o gerador produz uma corrente i p e uma tenso V p como se estivesse ligado a uma resistncia Req .

Para cada um dos enrolamentos, a fem por espira igual diferena de potencial dividida pelo nmero de espiras do enrolamento. Logo, podemos escrever: (3.37) ou (3.38) Vs = V p Ns . Np Eespira = Vp Vs = Np Ns

Se N s > N p , o transformador chamado de transformador elevador ou amplicador de tenso, j que, nesse caso, a tenso V s no secundrio maior que a tenso V p no primrio. Se N s < N p , o transformador recebe o nome de transformador abaixador ou atenuador de tenso. At agora, consideramos a chave S do circuito da Figura 3.5 aberto. Se fechamos a chave, vrias coisas acontecem: 1. Uma corrente alternada i s aparece no circuito secundrio e uma potncia i2 R passa a ser dissipada; s 2. Essa corrente produz um uxo magntico alternado no ncleo de ferro; o uxo induz uma fem no primrio que se ope fem do gerador; 3. V p no pode variar pois deve ser igual fem do gerador. 4. Logo, para manter a tenso V p diante da fem oposta induzida pelo secundrio, uma nova corrente alternada i p gerada no primrio, com seu mdulo e fase justamente necessrios para anular a fem induzida pela corrente do secundrio i s . Partindo do princpio da conservao de energia, para um transformador ideal podemos escrever (3.39) i p V p = is Vs .

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PROPRIEDADES MAGNTICAS DA MATRIA

y

g

p

THE MAG

S

4.1 OS MOMENTOS MAGNTICOS DOS TOMOS(a) (b)

Iniciamos nossa discusso com o modelo clssico do tomo no qual os eltrons movem-se em rbitas circulares em torno de um ncleo muito mais massivo. Neste modelo, um eltron em rbita constitui uma pequena espira de corrente (devido sua carga em movimento), e o momento de dipolo magntico do eltron est associado com seu movimento orbital. Embora este modelo possua muitas decincias, conforme veremos ao nal do curso, algumas de suas previses esto em bom acordo com a teoria correta, baseada na fsica quntica. No nosso modelo clssico, assumimos que um eltron se move com velocidade constante v numa rbita circular de raio r em torno do ncleo, como mostrado na Figura 4.2. Como o eltron percorre uma distncia de 2r (a circunferncia do crculo) num intervalo de tempo T , sua velocidade orbital 2r v= . T A corrente I associada a este eltron em rbita sua carga e dividida pelo tempo T . Usando a relao T = 2/ e = v/r, onde a velocidade angular, temos I= e e ev = = . T 2 2r

nonzero magnetic eld outside the solenoid. It is a weak eld, percorridoeld perfeitamente enrolado de comprimento nito, o qual with circular lines, like those due to a line of current as in Figure 22.23. For an ideal solenoid, it por uma corrente contnua. O campo no interior do in Figure 22.35 is the only eld external to the solenoid. We can eliminate this eld solenide bastante intenso of turns of wire uniforme. Note que as linhas by adding a second layer e praticamenteoutside the rst layer. If the rst layer of turns is wrapped so that the turns progress from the bottom of Figure 22.35 to the de campo so similares s de uma barra magntica (m), o que topsignicasecondo solenide tambm possui plos norte e sul. (b) net and the que layer has turns progressing from the top to the bottom, the current along the axis is zero. Padro use Ampres law to obtain an expression uma barra magntica, We can do campo magntico produzido por for the magnetic eld inside an visualizado com alongitudinal cross-section of part of oursobre uma ideal solenoid. A ajuda de pequenas limalhas de ferro ideal solenoid : (Fig. 22.35) carries current I. Here, B inside the ideal solenoid is uniform and parfolha de papel. SerwayJewett allel to the axis. Consider a rectangular path of length and width w as shown in Figure 22.35. We can apply Ampres law to this path by evaluating the integral of : B d : over each of the four sides of the rectangle. The contribution along side 3 is s onde o magnetic eld lines are perpendicular to the pathL this ). L zero becausethemomento angular orbital total do tomo ( = in region, which matches eltrons possuem cargaThe contributions from sidese Como os condition 3 in Section 22.9. negativa, os vetores 2 L 4 and : are both zero because B is perpendicular to d : along these paths, both inside and s apontam em direes contrrias, , gives sinal negativo nesta outside the solenoid. Side 1, whose length is da o a contribution to the integral : equao. Alm disso, ambos vetores so perpendiculares ao because B along this portion of the path is constant in magnitude and parallel to d :plano da rbita, como indicadoThe Figura over the closed rectangular s , which matches conditions 1 and 2. na integral 4.2. path therefore has the value

Figura 4.1 (a) Linhas de campo magntico para um solenide

(Henry Leap and Jim Lehman)

O campo magntico produzido por uma corrente eltrica em uma espira nos d uma dica de por que certos materiais exibem fortes propriedades magnticas. Tal como num m, tambm podemos associar plos magnticos para uma espira de corrente, como mostrado na Figura 4.1. Em geral, qualquer corrente num circuito fechado possui um campo magntico e, portanto, possui um momento de dipolo magntico, incluindo as correntes em circuitos no nvel atmico descrito em alguns modelos do tomo.

N

l T s N t s s p w

Como todas as:substncias: contm eltrons, podemos : : B s B nos perguntar por dque muitas d s Bno 1so magnticas. A delas side ds B side 1 principal razo que na maioriathe total current that passes through the The right side of Ampres law involves das substncias, o momento surface bounded de the path of integration. Intomo se cancela com o magntico by um eltron em um our case, the total current through the rectangular path equals the current through each turn of the solenoid multimomento magntico de outro eltron orbitando na direo plied by the number of turns enclosed by the path of integration. If N is the numberoposta. inO resultadothe total current through the rectangle equals NI. of turns the length , lquido que, para a maioria dos Ampres law applied to this path therefore produzido pelo movimento materiais, o efeito magntico gives : orbital dos eltrons nulos ou B insignicante. B d: NI0

v i t p n p s t t p c r

A magnitude do momento de dipolo magntico associado com esta espira de corrente = IA, onde A = r2 a rea coberta pela rbita. Portanto, = IA = ev 2 1 r = 2 evr. 2r

Como a magnitude do momento angular orbital do eltron = me vr, o momento magntico pode ser escrito como = e . 2me

Este resultado demonstra que o momento magntico do eltron proporcional ao seu momento angular orbital. Considerando todos os eltrons num tomo, o momento de dipolo magntico total, L , em termos vetoriais, dado por L = e L, 2me

Experincias realizadas na dcada de 1920, passando-se N B I [22.32] 0 0nI feixes de tomos atravs de campos magnticos, mostraram where n o N/ is the acima da turns per unit de dipoloto be confused do N, que modelo number of estrutura length (not magntico with thetomo no era suciente para explicar as propriedades obsernumber of turns). vadas. Foi necessrio introduzir outra espcie de momento magntico para o eltron, chamado de momento magntico intrnseco ou de spin. Portanto, alm do momento magntico orbital, um eltron (assim como os prtons, nutrons e outras partculas) possui uma propriedade intrnseca (como a massa) chamada de spin que tambm contribui para seu momento magntico total. Classicamente, o eltron pode ser imaginado como se girasse em torno de seu prprio eixo, como mostra a Figura 4.3, mas devemos tomar muito cuidado com esta interpretao, j que a noo de rotao para uma partcula puntual como o eltron no faz sentido algum. A rotao aplica-se apenas a corpos rgidos, com uma extenso no espao. O momento angular de spin na

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

752

T CHAPTER 22 MAGNETIC FORCES AND MAGNETIC FIELDS L

Captulo 4:HAPTE R 3 0 Sources of the da matriaField 946 C Propriedades magnticas Magnetic

r I

We also could obtain this result in a simpler manner by reconsidering the m spinning a netic eld of a toroidal coil (Example 22.8). If the radius r of the toroidal the classic containing N turns is large compared with its cross-sectional radius a, a short tion of the toroidal coil approximates a short section of a with spin solenoid, tum L due n N/2 r. In this limit, we see that Equation 22.31 derived for the toroidal agrees with Equation 22.32. electron p Equation 22.32 is valid only for points near the center of a very long solenoid you might expect, the eld near each end is smaller than the value given by E spin tion 22.32. At the very end of a long solenoid, the magnitude of the eld is ab one-half that of the eld at the center (see Problem 22.46).

Figure clssico de um eltron girando QUICK QUIZ 22.7 Consider a solenoid that is very long compared with thePoFigura 4.3 Modelo30.28 Classical model of a (spin). radius. Of value Figura 4.2 Um eltron22.36 An electron mov- indicadafollowing choices, the adotar este modelo apenas We can adopt eld in the interior of movendo-se na direo pela seta mostspinning electron. para recordar que os eltrons effective way to increase the magnetic FIGURE demos numa rbita circular a circularrorbit of radius r has L ing in de raio possui um momento angular solenoid is possuem umthis length, keeping the number of turns per unit length con the em to (a) double its model to remind ourselves that momento angular intrnseco. SerwayJewett : uma direo (para cima) momentum L in one stant, (b) an angular e um momento magntico na direo reduce its radius by half, keeping the number of turns per unit length constan electrons have an intrinsic angular direction and eltron possui carga oposta (para baixo). Como o a magnetic moment :negativa,ordireo a (c) overwrap the entire solenoid with an additional layer of current-carrying wire. momentum. The model should not in the seu movimento The motion da corrente devido aoopposite direction.em torno do ncleo oposta Considere pushed toona qual o campo magntico B0 be uma regio far, howeverit direo de tal of the electronSerwayJewett the movimento. in the direction of This comb produzido por um condutor com corrente. Se preenchermos gives an incorrect magnitude forgray arrow results in a current in the direction shown.

The magn

tico total na regio ser B = B0 andM , onde B M o campo quantum numbers, + B too many verdade um efeito relativstico, e a interpretao rotacional The magnetic magntico produzido current in a coil of wire gives a hint about w eld produced by a pela substncia magntica. degrees of freedom. apenas utilizada para facilitar a visualizao deste causes certain materials to exhibit strong magnetic properties. To understand efeito. Vamos agora determinar a relao entre B M e M. Imasome , de O momento de dipolo magntico intrnseco total, S materials are magnetic, it isinstructive to begin this discussion with the B Thus, PITFALL PREVENTION 22.3 gine the atom, in which electrons are assumed ao invs atom structural model ofque o campo B M criado por um solenide to move in circ um tomo denido por DOES NOT SPIN Do (Note THE ELECTRON de much more massive Ento, Figure nI, onde I the tha orbits about the um material magntico.nucleus. BM = 022.36 shows a ang not be misled by the e word spin into corrente neste the electron. In the Bohr o nmero de espirasIn ato solenide imaginrio e n model, each electron, wit momentum associated with believing that the electron is physiS = S, por unidade 10 19 C, circles the atom once in about 10 opp me spins charge of magnitude 1.6 de comprimento. Manipulando esta expresso, 16 s. I cally spinning. The electron has an obtemos intrinsic angular momentum as if it divide the electronic charge by this time interval, we NIA that the orbiting elec nd containing N Table= 0 nI A. Each were spinning, but the no tomo. onde S o spin total dos eltronsnotion of rotaB , is equivalent to a current of M1.630.1 =30 I = 0 orbiting electron is there 10 therefore A tion for a point particle is meaningviewed as As propriedades magnticas de um material so deter- a tiny current loop with a corresponding magnetic moment. Because Magnetic Moments of Some , e multipli- sum less; remember that we described vector onde N o nmero de espiras no comprimento charge of minadas pelo rotation of a de dipolo with an momento rigid object, magntico total de seus the electron is negative, the magnetic moment is directed opposite to Atoms and Ions por A, a seo de rea do 30.1 camos numerador Figure 22.36. Table angular momentum as shown in e denominador extent soma vetorial da 10. Spin tomos, obtido pelain space, in Chapter parte orbital, L , com solenide. A quantidade no numerador, electron in an atom is angular momentum is actually a In most substances, the magnetic moment of oneNIA, facilmente and o spin a parte do spin, S . Num tomo complexo contendo muitos Magnetic relativistic effect. reconhecida como momento de dipolo in the opposite direct celed by that of another electronoin the atom, orbiting magntico totalThe nu eltrons, as somas necessrias para determinar e S podem L Moment The net resultde that the magnetic effect produced by the orbital e o is todas as espiras no solenide de comprimento motion of Atom volume do solenide, ou seja: or Ion (10 24 J/T) ser muito complicadas. Entretanto, em muitos casos, os protons an denominador A o se anu eelectrons is either zero or very small for most materials. eltrons se acoplam aos pares, de tal modo que L S smaller th In addition to its orbital angular momentum, an electron has an intrinsic a 9.27 lam. MateriaisTABLE 22.1 desses tomos so virtualmente compostos H by inspect BM = 0 . lar momentum, called spin, which also contributes to its magnetic moment. V 0 no-magnticos, exceto por um efeito induzido, muito fraco, electron is an angular momentum separate from its orbital angular Magnetic Moments of Some He spin of an proton or Atoms and Ions chamado de diamagnetismo. Em outros tomos, mentum, just as the spin of Ne momentoseparate 0 magntico total e o about L ou S (ou from its orbital motion that A razo entrethe Earth is de dipolo o than ambos) podem ser no-nulos; esses tomos so responsveis if the electronjustamenteitostill has an angular momentum associated Sun. Even volume is at rest, que denimos como magnetizao 19.8 Ce3 Magnet Moment smaller th pelo campo magntico induzido per Atom materiais, que em certos spin. We shall investigate spin more deeply in Chaptermaterial magntico Atom no caso quando o campo devido 37.1 29. a um Yb3 24 J/T) anlogo ao campo eltrico induzido num material dieltrico. or Ion or Ion (10 In atoms or ions containing multiple electrons, many electrons are paired em vez de um solenide. Assim, podemos expressar a Tais materiais so chamados paramagnticos. O with their spins in opposite B M para o campo magnticothat results in a cancella tipo mais directions, an arrangement total em termos contribuio H 9.27 Magneti familiar de magnetismo o ferromagnetismo, em que,the spin magnetic moments. An atom with an odd number of electrons, howe of devido He 0 do vetor magnetizao da substncia como s interaes entre os tomos, os efeitos magnticos persis- at least one unpaired electron and a corresponding spin magn Ne 0 must have The magn Fe 2.06 tem no material mesmo quando o campo magntico externo The net magnetic moment ofM = 0 M. leads to various types of magn moment. B the atom vector M Magnetization vector and 16.0 removido. Co behavior. The magnetic moments of several atomsM ions are listed in Table 2 Ni 5.62 unit Quando uma substncia colocada num campo magntico, o volu Gd 65.8 campo total na regio ser expresso como: point with

esta regio the magnetic moment, incorrect com uma substncia 22.11 MAGNETISM IN MATTER magntica, o campo magn

Dy 92.7 Ferromagnetic Materials 4.2 MAGNETIZAO E INTENSIDADE DO CAMPO magnetiza Co2 44.5 (4.1) B dysprosium MAGNTICO Iron, cobalt, nickel, gadolinium, and = B0 + 0 M. are strongly magnetic mate Ni2 29.7 Consid and are said to be ferromagnetic. Ferromagnetic substances, used to fabricate Fe2 50.1 manent magnets, Quando analisamos campos magnticos originados conductor contain atoms with spin magnetic moments that tend to a pela O estado magntico de uma 19.8 substncia descrito por Ce3 3 parallel to Yb 37.1 magnetizao, a weak external magnetic eld. Once in the chauma quantidade chamada vetor de magnetizao M. A each other even in conveniente introduzir uma quantidade B the mom are aligned, mada de intensidade do campo after the H, dentro da substance. magnitude deste vetor denida como o momento magntico the substance remains magnetizedmagntico,external eld is remo

por unidade de volume da substncia. Como esperado, o campo magntico total B num ponto no interior da substncia depende tanto da campo aplicado sobre ela, B0 , como da magnetizao da substncia.

substncia. A intensidade do campo magntico est relaci-Let us onada com o campo magntico produzido pela conduo de created by corrente eltrica em um o. Para enfatizar a diferena entre a is the curr intensidade de campo H e o campo B, este ltimo chamado

Let us ma17

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where N i

Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

Captulo 4: Propriedades magnticas da matria

de densidade de uxo magntico ou induo magntica. O vetor intensidade do campo magntico o momento magntico por unidade de volume devido a correntes; assim, ele similar ao vetor M e possui as mesmas unidades. Reconhecendo a similaridade entre M e H, podemos como denir H B0 H . 0 Assim, a Eq. 4.1 pode ser escrita como (4.2) B = 0 ( H + M).

negativo e M e H so opostos. Substituindo a Eq. 4.3 para M na Eq. 4.2, obtemos B = 0 ( H + M) = 0 ( H + m H) = 0 (1 + m ) H (4.4) B = m H

onde a constante m chamada de permeabilidade magntica da substncia e relacionada com a susceptibilidade por m = 0 (1 + m ). As substncias podem ser classicadas em termos de como sua permeabilidade magntica m se compara com 0 , a permeabilidade magntica do vcuo, como segue: Paramagnticas: m > 0 Diamagnticas: m < 0 Como m muito pequena para substncias paramagnticas e diamagnticas, m aproximadamente igual a 0 para tais substncias. Para substncias ferromagnticas, no entanto, m tipicamente milhares de vezes maior que 0 (signicando que m muito grande para substncias ferromagnticas. Apesar da Eq. 4.4 nos dar uma relao simples entre B e H, devemos interpret-la com cuidado quando tratamos de substncias ferromagnticas. Para materiais ferromagnti cos, M no uma funo linear de H (a Eq. 4.3 no vlida para estas substncias), j que m no mais uma constante.Diamagnetismo

As unidades SI de H e M so o ampre por metro (A/m). Para entender melhor estas expresses, considere a regio interna de um solenide que conduz uma corrente I. Se esta regio est no vcuo, M = 0 (pois nenhum material magntico est presente), o campo magntico total aquele produzido pela corrente e B = B0 = 0 H. Como B0 = 0 nI na regio do solenide, onde n o nmero de espiras por unidade de comprimento, temos H = B0 /0 = 0 nI/0 = nI. Neste caso, o campo magntico na regio interna do solenide devido apenas corrente no o que a circunda. Se agora o enrolamento do solenide feito sobre algum material e a corrente I mantida constante, H na regio interna do solenide permanece o mesmo (pois ele depende apenas da corrente) e possui o valor nI. O campo magn tico total B, entretanto, diferente daquele obtido para o solenide no vcuo. Parte de B devido ao termo 0 H, devido associado com a corrente, e parte surge do termo 0 M magnetizao da substncia da qual a base do solenide feita.

4.3 CLASSIFICAO DAS SUBSTNCIAS MAGNTICAS

As substncias podem ser classicadas em trs categorias, dependendo de suas propriedades magnticas. Materiais paramagnticos e ferromagnticos so aqueles compostos de tomos que possuem momentos magnticos permanentes. Materiais diamagnticos so aqueles feitos de tomos que no possuem momentos magnticos permanentes. Para substncias paramagnticas e diamagnticas, o vetor magnetizao M proporcional intensidade do campo magntico H. Quando colocamos estas substncias em um campo magntico externo, podemos escrever (4.3) M = m H

O diamagnetismo est associado aos momentos magnticos orbitais dos eltrons nos tomos ou molculas que constituem a substncia em questo. Por isso, est presente em todas as substncias embora, na maioria, com uma intensidade to pequena que sua presena mascarada por outros comportamentos. Nos supercondutores, parece que o diamagnetismo forte o suciente para que o campo magntico resultante no interior da amostra seja nulo. Ao aplicar um campo magntico a uma substncia qualquer, cada eltron que se move nos tomos ou molculas ca sujeito a uma fora adicional que provoca uma perturbao no seu movimento, equivalente a uma velocidade adicional e, portanto, uma mudana no seu momento magntico orbital.Paramagnetismo

onde m um fator adimensional chamado de susceptibilidade magntica. Podemos considerar este fator como sendo uma medida de quo fcil um material magnetizado. Para substncias paramagnticas, m positivo e M possui a mesma direo de H. Para substncias diamagnticas, m

tomos ou molculas com camadas atmicas incompletas, como no caso dos elementos de transio, das terras raras e dos actindeos, tm momentos magnticos permanentes devido aos momentos magnticos intrnsecos (associados aos spins) dos eltrons dessas camadas. As substncias compostas de tais tomos ou molculas so paramagnticas. A presena de um campo magntico externo produz um torque que tende a alinhar os momentos magnticos na mesma

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Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A THE ATTRACTIVE MODEL FOR MAGNETIC LEVITATION

T

753

Captulo 4: Propriedades magnticas da matria

n neighboring atoms,

alled domains, within from about 10 12 to undaries between doIn an unmagnetized magnetic moment is ernal magnetic eld, ng the external eld a magnetized sample, removed, the sample

(a)

its magnetism is deSoft magnetic materiheir magnetism easily. l magnetic eld is rematerial quickly reterials, such as cobalt magnetism, and doeld is removed. Such ts. Rare-earth permad in industry.CONTEXT

(b)

B

molculas, tendncia essa fruto de suas interaes mtuas. O resultado dessas interaes um alinhamento perfeito dos momentos magnticos em regies chamadas domnios, cujas dimenses vo de 10 a 0,001 milmetros cbicos. Como a direo de alinhamento diferente de um domnio para outro (Figura 4.4), a magnetizao da substncia pode ser nula ou muito pequena. Isso acontece, por exemplo, com um pedao de ferro no magnetizado. Num campo magntico externo ocorre o aumento de tamanho dos domnios favoravelmente orientados s custas dos demais e o desvio angular dos momentos magnticos de cada domnio, tendendo a um melhor alinhamento com o campo externo. O resultado nal uma grande magnetizao e a substncia transformase num im. Por outro lado, devido ao efeito desalinhador das vibraes microscpicas associadas energia interna, para cada substncia ferromagntica existe uma temperatura, chamada temperatura de Curie, acima da qual a substncia se torna paramagntica. temperatura ambiente so ferromagnticos o ferro, o nquel, o cobalto e o gadolnio, com temperaturas de Curie de 770 C, 365 C, 1075 C e 15 C, respectivamente.

ETIC

connection

ation. In this section, c system (EMS). This B e attractive force be(c) hnological complicaFIGURE 22.37 (a) Random dipolos pid design. Figura 4.4 (a) Orientaes aleatrias do orien- magnticos atmicos nos tation of atomic magnetic dipoles in domnios de uma substncia no-magnetizada. (b) re located below the Quando um campo externo B0 aplicado, os domnios com comthe domains of an unmagnetized d those in the track do momento magntico na mesma direo de B0 cam ponentes substance. (b) When an external eld rapid system is maiores, dando amostra uma magnetizao lquida. (c) Quando shown :B is applied, the domains with

o campo externo ainda mais intenso, os domnios com vetores do components of magnetic moment in o the steel rail,momento magntico que no esto alinhados com o campo externo lifting : the same direction as B grow larger. vehicle causedcam muito menores. SerwayJewett by the(c) As the eld is made even stronger,

es slightly, the magnet the domains with magnetic moment ce increases. As a re- do campo, not aligned with the external de uma certa vectors causando o aparecimento direo akes contact with the eld become very paramagnetismo tambm demagnetizao. Nos metais, o small. eases and the vehicle alinhamento dos momentos magnticos associado vido a um oximity detector and dos eltrons de conduo. O alinhamento no aos spins p the vehicle atperfeito devido s colises entre os tomos ou molculas, a conse a substncia est na fase gasosa, ou devido s vibraes

paration between the microscpicas associadas energia interna, se est na fase uses magnetic slida. A substncia adquire, ento, uma magnetizao, inducquando net rail separation. If colocada num campo magntico externo, muito om the rail, themenor do que a mxima possvel. Portanto, a substncia detecatrada et, pulling the vehiclepelo im que cria o campo com uma pequena fora. e is detected and the Ferromagnetismo e drops downward. small separation beAs substncias ferromagnticas tm uma magnetizao s small separation repermanente que surge da tendncia natural de alinhamento dfast maintenance of dos momentos magnticos permanentes de seus tomos ou anges.Prof. Ablio Mateus Jr. Departamento de Fsica (CFM) http://abiliomateus.net/ensino Universidade Federal de Santa Catarina

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5Neste captulo apresentamos as quatro equaes que so consideradas como a base de todos os fenmenos eltricos e magnticos. Estas equaes, desenvolvidas por James Clerk Maxwell (18311879), so to fundamentais para o Eletromagnetismo como as leis de Newton so para a Mecnica. As equaes de Maxwell representam as leis que regem a eletricidade e o magnetismo, mas elas tambm possuem uma importante consequncia: a previso da existncia das ondas eletromagnticas. At agora no curso apresentamos as duas equaes de Maxwell para o campo eltrico. Neste captulo completaremos o conjunto de equaes bsicas do eletromagnetismo, introduzindo a lei de Gauss para o campo magntico e uma generalizao da lei de Ampre, que completam as quatro equaes de Maxwell para o eletromagnetismo.5.1 LEI DE GAUSS PARA O MAGNETISMO

EQUAES DE MAXWELL

Figura 5.1 Representao das linhas de campo do campo mag-

ntico B de um im em forma de barra. As curvas vermelhas representam seesretas de superfcies gaussianas tridimensionais. Em todos os casos B d A = 0. Halliday

Conforme vimos no captulo anterior, dado um campo magntico B o uxo magntico B atravs de uma superfcie qualquer denido como B = B d A, onde a integral sobre a rea de uma superfcie aberta ou fechada. O uxo magntico atravs de uma superfcie gaussiana fechada escrito como B = B d A. No caso do campo eltrico, vimos que o uxo eltrico atravs de uma superfcie fechada igual carga lquida total q no interior da superfcie, dividida por 0 : q E dA = . 0 Esta a chamada lei de Gauss para a eletricidade. De forma similar, podemos escrever uma relao para o uxo magntico. Porm, conforme vimos no Captulo 8, nunca foram observados plos magnticos isolados (monopolos magnticos), que seriam o equivalente magntico da carga eltrica. Desse modo, a lei de Gauss para o magnetismo B d A = 0. (5.1) Em termos das linhas do campo magntico, esta relao nos diz que o nmero de linhas que saem do volume limitado pela superfcie fechada igual ao nmero de linhas que entram no volume (veja a Figura 5.1).

A lei de Gauss para o campo magntico um modo formal de armar que os monopolos magnticos no existem (at onde sabemos). Assim, a estrutura magntica mais simples que pode existir o dipolo magntico.Monopolos magnticos

Mostramos no Captulo 3 que a lei de Gauss para campos eltricos equivalente lei de Coulomb, que baseada na observao experimental da fora entre as cargas puntiformes. A lei de Gauss para o magnetismo tambm se baseia numa observao experimental, o fracasso das tentativas de observar plos magnticos isolados, tais como um nico plo norte ou sul. A existncia de cargas magnticas isoladas foi proposta em 1931 pelo fsico terico Paul Dirac, com base em argumentos da mecnica quntica e de simetria. Foi Dirac quem denominou essas cargas de monopolos magnticos e deduziu algumas das propriedades bsicas esperadas para elas, incluindo o mdulo da carga magntica (anloga carga eletrnica e). Aps a teoria de Dirac foram realizadas experincias tentando isolar os monopolos magnticos usando grandes aceleradores de partculas e examinando matria terrestre e extraterrestre. Nenhuma dessas pesquisas iniciais revelou qualquer evidncia a favor da existncia de monopolos magnticos. A procura do monopolo magntico continua a ser feita, mas uma evidncia convincente de sua existncia ainda no foi obtida. Por enquanto, vamos supor que ou os monopolos magnticos no existem e assim a equao Eq. 5.1 exata e universalmente vlida, ou, no caso deles existirem, a Eq. 5.1 uma aproximao bastante precisa dada raridade

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current-carrying conductor has high symmetry, we can calculate the magnetic eld using Ampres law, given by Equation 22.29:: Notas de aula FSC 5120: Fsica IV AI B d: s

0

Captulo 5: Equaes de Maxwell

where the line integral is over any closed path through which the conduction curde encontr-los na natureza. A lei de Gauss para rent passes and the conduction current is dened by I dq/dt.o magnetismo possui ento um papel fundamental na descrio In this section, we shall use the term conduction current to refer to the type of curI q do already discussed, campos magnticos na natureza e rent that we havecomportamento dos that is, current carried by charged particles in a Path P includa como uma das this current from different type of current wire. We use this term to differentiate quatro equaes deaMaxwell do eletromagnetismo. we will introduce shortly. Ampres law in this form is valid only if the conduction q current is continuous in space. Maxwell recognized this limitation and modied Ampres law to include all possible situations. 5.2 can be understood by considering E A LEI DE This limitation CORRENTE DE DESLOCAMENTO a capacitor being charged as AMPRE GENERALIZADA in Figure 24.1. When conduction current exists in the wires, the charge on the S2 plates changes, but no conduction current exists between the plates. Consider the two surfaces S1 (a circle, shown in blue) and S2 (a paraboloid, in orange, passing Cargas em movimento, ou correntes, produzem campos I S1 between the plates) in Figure 24.1 um condutor the same pathcorrente magnticos. Quando bounded by transportando P. Ampres law says : that the line integral ofcerta simetria, podemos calcular equal 0 I, where I is Figura 5.2 AsFIGURE 24.1 S 1 Two 2 so limitadas pela mesma the cons tem uma B d : around this path must o campo magnsuperfcies e S surfaces S 1 duction current through a lei surface bounded by the path P. any de Ampre: tico usando trajetria P. A and S2 near the plate of a capacitor apenas atravs corrente de conduo no o passa When the path P is considered bounding S1, the right-hand side of Equation planabounded by the same pathcontradio na lei de as da superfcie are S 1 . Isso leva a uma P. The Ampre que conduction current in se postule uma 22.29 is 0 I because the conduction B d = I, through S1 while the capacitor resolvida apenas casothe wire passes corrente de current s passes 0 deslocamento only through SerwayJewett is charging. When the path bounds S 2, however, the right-hand side of Equation atravs de S 2 . S1, which leads to a contradiction in Ampres law that is re22.29 is zero because no conduction current passes through S 2. Therefore, a cononde a integral de linha calculada sobre qualquer trajetria solved only if one postulates a distradictory situation arises because of the discontinuity of the current! Maxwell fechada atravs da qual passa a corrente de conduo denida placement a rea das placas E dA solved this problem by postulating an additional term on the right side of Equation = EA, onde Acurrent through S 2. do capacitor e E por I = dq/dt. A lei de Ampre nesta forma vlida somente o mdulo do campo eltrico uniforme entre as placas. Se 22.29, called the displacement current Id , dened as se a corrente de conduo for contnua no espao. Maxwell q a carga nas placas em qualquer instante, ento pela lei de reconheceu esta limitao e modicou a lei de Ampre para Gauss E = q/0 A. Dessa forma, o uxo eltrico d incluir todas as situaes possveis. E [24.1] Id I Displacement current 0 q dt E = EA = . Por exemplo, considere um capacitor que est sendo 0 carregado como na Figura 5.2. Quando existe corrente de : : Recall that E is the ux of the electric eld, dened as o E E d Assim, a conduo nos os, a carga nas placas varia com tempo, masA (Eq. 19.20).corrente de deslocamento atravs de S 2 : (The word displacement here does not have the same meaningplacas. Chapter 2; it no existe nenhuma corrente de conduo entre as as in dq dE is historically Considere as in thesuperfcies S physics, however, so we continue to entrenched duas language of (um crculo) e S (um 1 2 = . Id = 0 use it.) dt dt parabolide passando entre as placas) limitadas pela mesma Equation 24.1 is interpreted as 5.2. PelaAs the Ampre, a is being de trajetria P na Figura follows. lei de capacitor integral charged (or dis-a corrente de deslocamento atravs de S 2 exataOu seja, charged), theBchanging electric eld between ser igual a may be Iconsidered as d ao longo dessa trajetria deve the plates 0 I, onde s mente igual corrente I no o condutor. equivalent to a a corrente total atravsplates that acts as a continuation of the conduc current between the de qualquer superfcie limitada pela tion current in the wire. Portanto, para a superfcie Sthe integral igual current A introduo da corrente de deslocamento na lei de given trajetria P. When the expression for 1 , a displacement Ampre by Equation 24.1 I pois a corrente I atravessa S current on the right side of Ampresmostra que campos magnticos so produzidos is added to the conduction . a 0 1 tanto por law, the difculty represented in Figure 24.1 is resolved. No matter what surface correntes de conduo em os condutores Para a superfcie S 2 , porm, o resultado ser nulo pois quanto por campos eltricos variveis. Esta foi uma das no h corrente atravessando a superfcie. Assim, a lei de principais contribuies de Maxwell para o avano de nossa Ampre no pode ser aplicada quando a corrente possui compreenso do eletromagnetismo. y p pp uma descontinuidade. Maxwell resolveu este gproblema Cabe ressaltar que existe ainda uma terceira maneira de adicionando um termo correspondente a uma corrente de gerar campos magnticos: o uso de materiais magnticos. A deslocamento, Id na lei de Ampre, denida como contribuio dos materiais magnticos pode ser levada em conta adicionando-se um terceiro termo na lei de Ampre, dE Id 0 , 0 I M , onde I M chamada de corrente de magnetizao. dt 808 T CHAPTER 24 ELECTROMAGNETIC WAVES onde E = E d A o uxo do campo eltrico.Dessa maneira, quando um capacitor est sendo carreattached to the capacitor plates, the conduction gado, a variao do campo eltricoI entre as placas pode curved surface q E current dq/dt passes through the q ser considerado como equivalente anot the corrente queOnly the displaceS1 but uma at surface S 2. atua como uma continuao da corrente de conduodnoE /dt passes through S 2. The o. Com ment current Id 0 I I two currents must be equal for continuity. esse novo conceito de corrente de deslocamento podemos escrever a forma generalizada da lei de Ampre (ou lei de S1 S2 Ampre-Maxwell) Figura 5.3 Como existe apenas nos os, a corrente I = dq/dt dE s B d = 0 (I + Id ) = 0 I + 0 0 . atravessa a superfcie curva S 1 , mas no a superfcie plana S 2 . bounded by the path P is chosen, either conduction current or displacement dt Apenas a corrente de deslocamento Id atravessa S 2 . As duas current passes through it. With this new notion of displacement current, we can correntes que haja continuidade. Podemos entender melhor a corrente de deslocamento atra-Ampres law devem ser iguais parathe Ampre MaxwellSerway express the general form of (sometimes called Jewett vs da Figura 5.3. O uxo eltrico atravs de S 2 E = law) as1I AmpreAblio Mateus Jr. Prof. Maxwell law

FIGURE 24.2

Because it exists only in the wires

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B ds Id ) http://abiliomateus.net/ensino 0I 0(I Universidade Federal de Santa Catarina

:

:

0 0

d E dt

[24.2]

21

The meaning of this expression can be understood by referring to Figure 24.2.

Notas de aula FSC 5120: Fsica IV A

Captulo 5: Equaes de Maxwell

5.3 EQUAES DE MAXWELL

As relaes matemticas que descrevem todos os fenmenos eltricos e magnticos so denominadas equaes de Maxwell. Para simplicar, apresentamos as equaes para o vcuo, isto , na ausncia de materiais dieltricos ou magnticos.Lei de Gauss para o campo eltrico

q E dA = 0

Esta equao estabelece que o uxo eltrico total atravs de qualquer superfcie fechada igual carga lquida dentro dessa superfcie dividida por 0 . Essa lei descreve como as cargas criam campos eltricos, j que as linhas de campo eltrico se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.Lei de Gauss para o campo magntico

B dA = 0

O uxo magntico resultante atravs de uma superfcie fechada nulo. Isto , o nmero de linhas de campo magntico entrando em um volume fechado tem de ser igual ao nmero de linhas que deixam esse volume. Esta equao est relacionado ao fato de que monopolos magnticos nunca foram observados na natureza.Lei da induo de Faraday

dB s E d = dt

Esta relao descreve como um campo magntico varivel cria um campo eltrico. A integral de linha do campo eltrico em torno de qualquer trajetria fechada (que igual fem) igual taxa de variao do uxo magntico atravs de qualquer superfcie limitada por essa trajetria.Lei de Ampre-Maxwell

dE s B d = 0 (I + Id ) = 0 I + 0 0 dt

A forma generalizada para a lei de Ampre descreve como uma corrente eltrica ou um campo eltrico varivel criam um campo magntico. A integral de linha do campo magntico em torno de qualquer trajetria fechada determinada pela corrente resultante e pela taxa de variao do uxo eltrico atravs de qualquer superfcie limitada por essa trajetria.

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6

ONDAS ELETROMAGNTICAS

Em sua teoria unicada do eletromagnetismo, Maxwell demonstrou que campos eltricos e magnticos dependentes do tempo satisfazem uma equao de onda. O resultado mais signicante dessa teoria a predio da existncia de ondas eletromagnticas. As equaes de Maxwell prevem que uma onda eletromagntica consiste de campos eltricos e magnticos oscilantes. Os campos variveis criam um ao outro para manter a propagao da onda: um campo eltrico varivel induz um campo magntico tambm varivel, que por sua vez induz um campo eltrico, e assim por diante. Neste captulo, vamos deduzir as equaes das ondas eletromagnticas e discutir o espectro eletromagntico. Tambm obteremos expresses para a energia transportada pelas ondas eletromagnticas e polarizao.Figura 6.1 (a) Uma onda eletromagntica representada por um

6.1 ONDAS ELETROMAGNTICAS PLANAS

raio e duas frentes de onda; as frentes de onda esto separadas por um comprimento de onda . (b) A mesma onda, representada por um instantneo do campo eltrico E e do campo magntico B em vrios pontos sobre o eixo x, pelos quais a onda passa com velocidade c. Halliday

As propriedades das ondas eletromagnticas podem ser deduzidas a partir das equaes de Maxwell, conforme demonstraremos aqui para o caso mais simples de uma onda se propagando no espao e no tempo. Vamos considerar uma onda eletromagntica que viaja na direo x (a direo de propagao). Nesta onda, o campo eltrico E est na direo y e o campo magntico B est na direo z, como mostrado na Figura 6.1. Ondas deste tipo, nas quais os campos eltricos e magnticos so paralelos a um par de eixos perpendiculares entre si, so referidas por ondas linearmente polarizadas. Alm disso, assumimos que em qualquer ponto do espao, as magnitudes E e B dos campos dependem apenas da posio x e do tempo t, ou seja: E = E(x, t) e B = B(x, t)

6.2

DESCRIO MATEMTICA DE UMA ONDA ELETROMAGNTICA

Vamos agora determinar as expresses matemticas que mostram a propagao de uma onda eletromagntica pela induo recproca de campos eltricos e magnticos. Para simplicar o problema, vamos considerar uma onda se propagando no vcuo, onde no h cargas ou correntes de conduo (q = 0 e I = 0), com as mesmas direes dos campos e da propagao mostradas na Figura 6.1. Considere um pequeno retngulo no plano do campo eltrico como mostrado na Figura 6.2. Este retngulo tem uma certa altura y e uma largura innitesimal dx. A variao do uxo magntico atravs desta espira retangular est relacionada ao campo eltrico ao longo da espira pela lei de Faraday. Para o caso mostrado, o campo magntico B atravs da espira est diminuindo com o tempo (a onda move-se para a direita). Assim, o campo eltrico deve estar na direo que se ope a esta variao, o que signica que E deve ser maior no lado direito do que no lado esquerdo da espira, conforme mostra a gura, de forma que ele produziria uma corrente eltrica no sentido anti-horrio cujo campo magntico atuaria no sentido de se opor variao de B . Vamos agora aplicar a lei de Faraday dB s E d = dt ao retngulo de altura y e largura dx mostrado na Fi s, gura 6.2. Resolvendo a integral E d notamos que nos per