Movimiento circular

Cinemática

Movimiento circular

Movimiento circularEncuentro de dosvehículosRelación entre las magnitudes linealesy angularesCinta de caseteLa aceleración normalDeducción alternativade at y an.

Movimiento circular uniforme Movimiento circular uniformemente acelerado

 

En esta sección, vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Posición angular,

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

El ángulo , es el cociente entre la longitud del arco s y el radio de la circunferencia r, =s/r. La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones.

Velocidad angular,

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo '. El móvil se habrá desplazado = ' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Aceleración angular,

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es y en el instante t' la velocidad angular del móvil es '. La velocidad angular del móvil ha cambiado =' - en el intervalo de tiempo t=t'-t comprendido entre t y t'.

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

 

Dada la velocidad angular, hallar el desplazamiento angular

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento -0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la

suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Hallamos la posición angular   del móvil en el instante t, sumando la posición inicial 0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva -t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

 

Dada la aceleración angular, hallar el cambio de velocidad angular

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad -0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad -0 es el área bajo la curva - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad angular -0, y el valor inicial 0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular en el instante t.

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento circular son similares a las del movimiento rectilíneo.

 

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular   es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular   del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

-0=(t-t0)

o gráficamente, en la representación de en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme

 

Movimiento circular uniformemente acelerado

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular -0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

 

Dada la velocidad angular en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento -0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación  y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ0

4.3 MOVIMIENTO CIRCULAR.

OBJETIVO:

Aplicar los conocimientos del movimiento lineal al movimiento circular utilizando formulas muy similares

 

 

Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección.

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.

 

Medidas del desplazamiento angular.

El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del arco.

Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes.

La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo.

La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo.

Formulas que se utilizan:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.

Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que q /t = w y s/t = v, como s = q R entonces

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio

de dirección del movimiento .Teniendo las siguientes formulas:

 

 

EJEMPLOS

 

1.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se mueve a través de un ángulo de 37º .Calcule la longitud del arco descrito por el punto.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

R = 8m Θ = s / R

Ángulo = 37°

s = RΘ = 8m ( 0.646

rad)= 5.17 m

 

Paso 1

Convertir los grados a radianes , ya que en todos los problemas es necesario que los ángulos o las revoluciones esten en radianes para poderlos escribir en las formulas y nos den las unidades correctas,

Θ = ( 37º) 1 rad / 360º= 0.646 rad

 

2.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66cm y da 40 revoluciones en 1 min. a)¿ Cuál es su velocidad angular? b)¿Qué distancia se desplazará la rueda?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

R = 33cm ω = 4.19 rad/s

   

R = .33m s = ΘR = 251rad ( .33 m) = 82.8 m

ω = 40 rmp

     

 

 

Convertir 40rmp en rad/s :

40 rmp = 40 rev / min ( 2p rad / rev ) ( 1 min / 60s) = 4.19 rad/s

40 rev ( 2 p rad/ 1rev ) = 251 rad .

 

En este tipo de conversiones se escriben dos paréntesis y se elimina lo que esta arriba con lo de abajo

Y lo que esta abajo con lo de arriba

 

3.-Un volante aumenta su velocidad de rotación de 37.7 rad/s a 75.4 rad/s en 8 s ¿Cuál es se aceleración angular?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

ωo = 37.7 rad/s

     

ωf = 75.4 rad/s α = (ωf - ωo) / t =75.4 rad/s - 37.7 rad/s =4.71 rad/s^2

t= 8 s      

 

4.-Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s^2

a)¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuál es su velocidad angular final? c)¿Cuál será su aceleración tangencial ,si la rueda tiene un racio de .05m?

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS

ωo = 6rad/s      

α= 2 rad/s^2      

a) Θ= ? Θ= ωot +(αt^2) / 2 = 6rad/s(3s) + (2rad/s^2) / 2 =27 rad

b) ωf=? ωf = ωo +at = 6rad/s + 2 rad/s^2 ( 3s) = 12 rad/s

c) αt= ? a t = αR = 2 rad/s^2 ( .05m) = 0.1 m/s^2

 

ACTIVIDAD No. 8

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

 

1.-Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 m. Se mueve a través e un ángulo de 40°. Encuentre la longitud del arco descrito por el punto.

 

2.- Un volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4 seg. Determine la aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4 seg.

 

3.-Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm . ¿ Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?.

 

 

TAREA No. 4

Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por mail a su profesor

 

1.- Un motor eléctrico gira a 600 rpm . ¿Cuál es la velocidad angular? ¿ Cuál es el desplazamiento angular después de 6 seg.?

 

2.-Una mujer que esta de pie en una plataforma giratoria a 4 m del centro de rotación recorre una distancia de 100 m en 20 seg. Si partió del reposo ¿ Cuál es la aceleración angular de la plataforma?¿ Cuál es la velocidad angular después de 20 seg.?