8/7/2019 FileAttente

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File d'attente simple

PHAM Congduc, Universit de Pau

Exercice 1

Le systme que nous considrons est une base de donnes o le temps de rponse moyen E[R] est

de 3s. Sur une priode d'observation de 60s, le systme est rest inactif pendant 10s.

Question

1/ En modlisant ce systme par une file M/M/1, donner :

- le taux d'occupation U du serveur. En dduire

- S, le temps moyen de service

- D, le nombre de requtes traits en supposant l'tat stationnaire

- N, la longueur moyenne de la file

- P[n>10], la probabilit de trouver plus de 10 clients dans la file.

Exercice 2

On dsire tudier une ligne de communication. Les arrives de messages se font un dbit de 240

messages/min. La ligne a un dbit de 800 caractres/s et la longueur moyenne d'un message est de

176 caractres. Un buffer de N messages est associ la ligne, si un message arrive et que le buffer

est plein, il est perdu. On suppose que les arrives sont distribues selon une loi de Poisson et que lalongueur des message et le temps d'mission suivent une loi exponentielle.

Question

1/ Par quel file peut-on modliser le fonctionnement de la ligne?

2/ Si on veut que moins de 0,5% des messages soit perdu, donner le nombre de

buffers ncessaires.

Exercice 3

Un processeur a une vitesse de 0,5 Mips. Sa politique d'ordonnancement est par quantum q, avec q

trs infrieur au temps de service requis (q

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Exercice 4

On considre une file d'attente avec des arrives poisonnienne de deux classes de clients. Le dbitglobal est . La proportion de clients de classe 1 est . Les clients de la classe 1 ont priorit par

rapport ceux de la classe 2, il y a premption et reprise. La dure moyenne des services est S1 et

S2 pour les clients de classe 1 et 2 respectivement. Ces services suivent une loi exponentielle.

Question

1/ Calculer1 et 2 les taux d'arrives des clients de chaque classe.

2/ Calculer1, 2 et , les taux de traffic des classes 1, 2 et le taux de traffic

global. Dmontrer que les taux d'utilisation U1, U2 et U du serveur par les

clients de chaque classe et le taux d'utilisation global sont gaux ces taux de

traffic.

3/ Rappeler quel est le carr du coefficient de variation (rapport entre la variance

et le carr de la moyenne) pour une loi exponentielle.

4/ Calculer le temps d'attente pour chacune des classes, le temps de rponse par

classe et global, et la longueur de la file par classe et globale.

Exercice 5

On va tudier la file M/M/C/C. Il s'agit d'une file avec des arrives poisonnienne de taux , avec C

serveurs exponentiels de taux , et exactement C places dans la file d'attente (y compris celui en

service). Cela signifie que seuls peuvent entrer dans la file des clients qui peuvent immdiatement

commencer tre servis, les autres sont rejets.

Question

1/ Dmontrer qu'il s'agit d'un processus de naissance et de mort. Donner le taux

d'arrives conditionnelle et de dpart conditionnelle.

2/ Rappeler alors la probabilit des divers tats possibles.

3/ En dduire la probabilit pour qu'un client arrivant de l'extrieur soit rejet.

Ce rsultat s'appelle la formule d'Erlang.

4/ Calculer la longueur moyenne de la file et le temps de rponse.

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Exercice 6

On a un systme compos de 2 files d'attente M/M/1 modlisant le CPU et les E/S. On a :

4s de CPU par programme et une E/S se produit toutes les 0,250 de temps CPU et dure en

moyenne 0,2 s.

Le systme fonctionne 10h par jours et excute en moyenne 8000 programmes.

!

cpu E/S

Question

1/ Donner Ucpu, N et R

Exercice 7

On tudie un commutateur ATM compos de trois tages de matrices 8x8 bidirectionnelles (voir

figure). Des appels arrivent dans les matrices d'entre et on rserve un chemin pour chaque appel

parmi les chemins possibles en tenant compte du fait que sur chaque multiplex le dbit maximum

est DMUX=600MBits/s. Les sources envoyant en fait un traffic en rafale, on n'acceptera pas de

rserver un dbit total DMUX mais on limitera la rservation B1, on a choisi B1=0.8*DMUX.La loi d'arrrive des demandes d'tablissement d'un chemin est poissonnienne de paramtre g. La

dure de la communication suivra une loi exponentielle de taux et l'intensit du traffic est donc

g/. Soient :

- g le taux d'arrive global des communications sur le commutateur

- d le dbit de la communication

- 1/ la dure d'une communication

- mux le taux d'occupation d'une porte de sortie d'une matrice de commutation

Question

1/ Montrer que :

!mux =

"g

EDMUX

d

#$

%&'nbr de porte d' une matrice du 1er tage'nbr de matrices du 1er tage

oEDMUX

d

#$

%&

est la partie entire de la division deDMUX

d

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Exercice 8

Un systme informatique effectue du traitement par lots (travaux batch). Les programmes arriventau systme selon un processus de Poisson de taux (arrives de programmes par seconde). Les

programmes sont traits par le systme dans l'ordre de leur arrive (premier arriv premier servi).

Des mesures ont montr que le temps total de traitement d'un programme par le systme peut-tre

reprsent par une loi de probabilit uniforme entre 0,5 et 1,5 seconde.

Question

1/ Quelle est la probabilit que le systme soit inactif ?

2/ Quelle est la valeur maximale de que le systme peut admettre ? Pourquoi ?

3/ Comment allez vous modliser ce systme ? Donner la valeur moyenne du nombre deprogrammes dans le systme si =0.67

Exercice 9

Soit les files M/D/1 et M/M/1. La file M/D/1 dnotant un temps de service dterministe donc

constant.

Question

1/ Montrez que les temps moyen d'attente des files M/D/1 (not W) et M/M/1 (not V) ont la

proprit suivante pour un taux d'arrives et un temps moyen de service identique.

W