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Fsica II, 1er parcial, 1er cuat., curso2014.

U C A / F C F M e I - F s i c a I I , 1 e r . C u a t . 2 0 1 4 , 1 e r . P a r c i a l , 2 9 d e a b r i l d e 2 0 1 4 , 1 7 : 0 0

2 1 : 0 0 h sProblemas

Problema 1. Induccin Electrosttica Cargas de superficie, campo y

potencial.T r e s c a p a s e s f e r i c a s c o n d u c t o r a s ( m e t l i c a s ) c o n c n t r i c a s , S1 ,S2 ,S3 , t i e n e n r a d i o s

crecientesR 1 R 2 R3 , r e s p e c t i v a m e n t e . L o s r a d i o sRj j 1 , 2 , 3 , s o n d a t o s . E n c a d aesfera, Sj

,Sj ,j 1 , 2 , 3 , d e n o t a n l a s c a r a s q u e m i r a n h a c i a r a d i o s c r e c i e n t e s r y

d e c r e c i e n t e s r, r e s p e c t i v a m e n t e . E l e s p e s o r d e l a s c s c a r a s s e i g n o r a ( c o m p a r a d o c o n l o sr a d i o s ) e n l o s c l c u l o s , p e r o s u e x i s t e n c i a a s e g u r a q u e e l c a m p o e l c t r i c o s e a n u l a e n e li n t e r i o r d e l m e t a l . L a c a p a S2 r e c i b e l a c a r g a Q 0 0 q u e e s d a t o d e l p r o b l e m a y s e

m a n t i e n e a i s l a d a ( l a c a r g a n e t a d e S2 n o p u e d e v a r i a r ) . L a s c s c a r a s S1 ,S3 , s e p o n e n a t i e r r a( v e r f i g u r a ) . L a c a r g a d eS2

s e m o d i f i c a y s e d e n o t a c o nQ 2 . A n l o g a m e n t e , l l a m a m o s Q 1 lac a r g a d eS1

y denominamosQ 3 l a c a r g a d e S3 .

L o s r e s u l t a d o s p e d i d o s c o n f r m u l a s d e b e n c o n t e n e r s o l a m e n t e d a t o s (no se aceptanincgnitas)

P a r a u n c a s o p a r t i c u l a r s e p i d e n v a l o r e s n u m r i c o s . E n e s e c a s o l o s r a d i o s , d a d o s e n c m ,son:R 1 20,R 2 30,R 3 40 ( 0 8 . 8 5 p F / m ) .

F i g . P 1 a E s f r a s c o n d u c t o r a sP1a) Cargas y Campo Elctrico

H a l l a r f r m u l a s ( e s c r i t a s c o n s m b o l o s ) p a r a l o s c o c i e n t e s d e c a r g a sQ 1 /Q 0 , Q 2 /Q0 , Q 3 /Q0 ( a t e n c i n c o n l o s s i g n o s d e c a d a e x p r e s i n ; l o s c o c i e n t e s d e b e nc o n t e n e r s o l a m e n t e l o s d a t o s R 1 ,R 2 ,R3 ) . L u e g o d a r v a l o r e s n u m r i c o s p a r a e l c a s oparticular.

P a r a h a l l a r l a i n c g n i t aQ 1 d e b e p l a n t e a r q u e e l c a m p o E e s c o n s e r v a t i v o ( l a i n t e g r a l d el n e a d e E s o b r e c u a l q u i e r c a m i n o c e r r a d o e s n u l a ) y u t i l i z a r u n c a m i n o q u e p a r t e d e S1( t i e r r a ) , l l e g a aS3 p o r e l s e g m e n t o r a d i a lR 1 r R 3 y s e c i e r r a c o nS1 p o r t i e r r a .

E n e l c a s o p a r t i c u l a r ( c o c i e n t e s :R 1 /R 2 2/3, R 3 /R 2 4 / 3 ) g r a f i c a r e n e l d i a g r a m aa s i g n a d o e l c a m p o n o r m a l i z a d o Er/E2 e n f u n c i n d e r/R 2 , d o n d eE2 kQ 2 /R 2 2 .

Solucin

E l c a m p oE e s r a d i a l , E Err; s e a p l i c a e l T . d e G a u s s : 4r2Er QINT/ 0

S1 recibeQ 1 ( i n c g n i t a ) p o r t i e r r a ; h a y s e p a r a c i n d e c a r g a s e n S2 y enS2

s e i n d u c e

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Q 1 ( p a r a a n u l a r e l c a m p o e n S2 ) . L a c a r g a d eS2 e s a h o r aQ 2 Q 0 Q 1 .S3

recibeQ 3 Q 2 d e t i e r r a ( p a r a a n u l a r e l c a m p o e nS3 ) . E l c a m p o e l c t r i c o s e a n u l a e n0 r R 1 y enR 3 r .

i)R 1 r R 2 ;E kQ 1 /r2 . S ob reS1 :E1 kQ 1 /R 1

2 y s o b r eS2 :E2

kQ 1 /R2

2

ii)R 2 r R3;E kQ 2 /r2 . S ob reS2 :E2 kQ 2 /R 2

2 y s o b r eS3 :E3

kQ 2 /R 3

2

P a r a h a l l a r Q 1 conQ 0 y l o s r a d i o s R 1 ,R 2 ,R 3 c o m o d a t o s , p l a n t e a m o s : c E dl 0,

R1

R 2 kQ 1

r2 dr

R2

R3 kQ0 Q 1

r2 dr 0

Q 1 1R2

1R 1

Q 0 Q 1 1R 3

1R 2

0

y s e o b t i e n e

Q 1 Q 0R 1R 2

R 3 R 2R 3 R 1

Q 2 Q 0R 3R 2

R 2 R 1R 3 R 1

Q 1 /Q 0 R1 /R 2 R 3 R 2 /R3 R 1 ;Q 2 /Q0 R 3 /R 2 R 2 R 1 /R 3 R 1 ;Q 3 Q 2

Valores numricos ].Q 1 /Q 0 20/30 40 30/40 20 0 . 3 3 3 ;

Q 2 /Q 0 40/30 30 20/40 20 0 . 6 6 7 Q 3 /Q 0 ;P a r a g r a f i c a r u s a m o s e x p r e s i o n e s n o r m a l i z a d a s . D e f i n i m o s y E/E2 ,x r/R 2 , d o n d e

E2 kQ 2 /R2 2 .E n t o n c e s , e n l o s d i s t i n t o s i n t e r v a l o s d ex v a l e n l a s e x p r e s i o n e s s i n d i m e n s i o n e s

siguientes:0 x 0 . 6 6 7 , yx 0; 0. 6 67 x 1, yx 0 . 5 /x 2 ; 1 x 1 . 3 3 3 ,

yx

1/x

2

; 1. 3 33 x

1 . 5 , yx

0.

C a m p o E l c t r i c oP1b) .Potencial y cocientes carga - tensin

H a l l a r e l p o t e n c i a lV2 d e l a e s f e r a c o n d u c t o r aS2 . E x p r e s a r e l c o c i e n t eV2 /V0 c o n u n af r m u l a , d o n d eV0 kQ 0 /R 2 . H a l l a r f r m u l a s p a r a d o s c o c i e n t e s d e c a r g a s o b r e p o t e n c i a l .A s a b e r :21 |Q1 |/V2 f o r m a d o c o n m a g n i t u d e s d e l p a r S2

S1 y o t r o23 Q 2 /V2

f o r m a d o c o n m a g n i t u d e s d e l p a r S2 S3

. L o s c o c i e n t e s21 y23 d e b e n c o n t e n e r s l o l o sradiosRj y 0 . C a l c u l a r v a l o r e s n u m r i c o s p a r a21 y23 c o n d a t o s d e l c a s o p a r t i c u l a r .G r a f i c a r e l p o t e n c i a lVr/V2 , n o r m a l i z a d o c o nV2 ( p o t e n c i a l d e S2 ) , c o m o f u n c i n d er/R 2 ,

e n e l d i a g r a m a a s i g n a d o .Solucin

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Potenciali)R 1 r R 2 ; p a r t i e n d o d e E e i n t e g r a n d o r e s u l t aV kQ 11/r 1/R 1, p o r q u e

VR 1 0 . P o r l o t a n t o ,Vr

V0

Q 1Q 0

R 2 1R 1

1r R 3 R 2

R3 R 1 1 R1

R21

r/R 2

V2V0

1 R 1R 2

R 3 R 2 R 3 R 1

ii)R 2 r R3 ; d e l m i s m o m o d oV kQ 2 1/r 1/R3 , p u e s t o q u e S3 e s t a t i e r r a . P o r l o t a n t o

Vr

V0

Q 2Q 0

R 2 1r

1R 3

R 2 R 1

R 3 R 1

R 3R2

1r/R 2

1

V2V0

R 3R 2

1R 2 R 1 R 3 R 1

1 R 1R 2

R 3 R 2 R 3 R 1

r e s u l t a e l v a l o r c o m n d e l p o t e n c i a l d e S2 p o r c u a l q u i e r a d e l o s d o s c a m i n o s , c o m o

d e b e s e r .C o c i e n t e s d e c a r g a s o b r e p o t e n c i a l ( c a p a c i d a d e s )21 |Q 1 |/V2

21 Q 0

R1R2

R3 R 2R3 R 1

V0 1 R 1R 2

R 3 R2 R 3 R1

4 0 1 1

R 1 1

R2

E s l a c a p a c i d a d d e l c o n d e n s a d o r e s f r i c o f o r m a d o p o r l o s c o n d u c t o r e s d e r a d i o R 1 yR 2 .23 Q 2 /V2

23 Q 0

R3R2

R2 R 1R3 R 1

V0 1 R 1

R 2

R 3 R2

R 3 R1

4 0 1 1

R 2 1

R3

E s l a c a p a c i d a d d e l c o n d e n s a d o r e s f r i c o f o r m a d o p o r l o s c o n d u c t o r e s d e r a d i o R 2 yR 3 .Valores numricos .21 4 8 . 8 5 10 12 /1 / 0 . 21 / 0 . 3 6 . 6 7 1011 6 6 . 7 1012 C/V

6 6 . 7 p F23 4 8 . 8 5 10 12 /1 / 0 . 31 / 0 . 4 1 . 3 3 1010 133 10 12 C/V

1 3 3 p FP a r a e l g r f i c o d e l p o t e n c i a l s e p i d e n o r m a l i z a r c o nV2 ( e n l u g a r d e V0 ) . P o r l o t a n t o ,

preparamos las siguientes expresiones

R 1

R 2

r

R 2

1, Vr

V2

1 R 1R 2

1r/R2

1 R 1R 2

1 rR 2

R3R2

Vr

V2

R 3R 2

1r/R2

1

R 3R 2

1

Definimosx r/R 2 , y Vr/V2 . P a r a e l c a s o p a r t i c u l a r , e n e l i n t e r v a l o 2 / 3 x 1tenemosy 3 2/x. E n e l i n te rv al o 1 x 4 / 3 , e n c a m b i o , t e n e m o s y 4/x 3.

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P o t e nc i a l e l e c t r os t t i c oProblema 2. Carga espacial: campo y potencial - energa potencial del

sistema oscilacin de electrones

U n a c a r g a d e v o l u m e n p o s i t i v a , n o u n i f o r m e , o c u p a u n c i l i n d r o d e r a d i o a, e n e l c u a le s t d i s t r i b u i d a s e g n l a l e y 0 a/r, d o n d e0 e s u n a c o n s t a n t e d a d a . E l c i l i n d r o d ec a r g a t i e n e a l t u r a h a y e l p r o b l e m a a d m i t e s i m e t r a s d e r o t a c i n ( a l r e d e d o r d e l e j ez delc i l i n d r o ) y t r a n s l a c i n ( a l o l a r g o d e z) . L a c a r g a d e v o l u m e n en 0 r a e s f i j a ei n a m o v i b l e . L a c a r g a e s t r o d e a d a p o r u n c i l i n d r o c o a x i a l conductor d e r a d i ob a yespesor d e s p r e c i a b l e ( a, b) . L a c a p a m e t l i c a e x t e r i o r e s t p u e s t a a t i e r r a . E n l a f i g u r as e m u e s t r a u n a s e c c i n n o r m a l a l e j e z d e l c o n j u n t o . L o s d a t o s d e l p r o b l e m a s o n 0 0,a,b.

L a s f r m u l a s c o n l o s r e s u l t a d o s d e b e n c o n t e n e r s o l a m e n t e d a t o s (incgnitas no sonaceptables).

C a s o p a r t i c u l a r :0 8 8 . 5 n C / m 3 ,a0 . 2 m ,b0 . 4 m

C a r g a e l c t r i c a d e v o l u m e nP2a) Campo y Potencial de carga distribuida en volumen

H a l l a r f r m u l a s p a r a e l c a m p o e l c t r i c o Er/E0 y e l p o t e n c i a l Vr/V0 e n l o s d o si n t e r v a l o s (i) 0 r a, (ii)a r b, n o r m a l i z a d o s c o nE0 0 a/ 0 yV0 0 a 2 / 0 ,r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l a r n u m r i c a m e n t e e n e l c a s o p a r t i c u l a r : e l c a m p o Ea , e l p o t e n c i a lVa , a m b o s e nr a y e l p o t e n c i a lV0 enr 0.

GraficarEr/E0 yVr/V0 e n e l d i a g r a m a p r e p a r a d o .Solucin

S e o b t i e n e e l c a m p o e l c t r i c o c o n e l T . d e G a u s s . E l p o t e n c i a l s e d e t e r m i n a p o r i n t e g r a c i n y l a c o n d i c i n d e c o n t o r n o e n r b.

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ii)a r b . E l f l u j o p o r u n a s . g a u s s i a n a c i l n d r i c a d e r a d i o r es 2rhE y l a c a r g ae n c e r r a d a e sQ a 2a 2 h0 . R e su l ta ,

E 0 a 2

0 r E0

ar , V E0 a ln

br V0 ln

br,

dondeV s e a n u l a e nr b, p o r q u e e l c i l n d r o e x t e r n o e s t a t i e r r a . D e a q u s e v q u e E0 Ea e s e l c a m p o e l c t r i c o yVa V0 ln ba E0 a ln ba e s e l p o t e n c i a l , a m b o s e n r a (el

borde de la nube de carga de volumen).(i) 0 r a, p r o s i g u i e n d o h a c i a r a d i o s m e n o r e s d e a l a c a r g a e n c e r r a d a e n g a u s s i a n a s

cilndricas disminuye,qr 2rah0 y s e o b t i e n e

E 0 a/ 0 E0 Ea , V E0 r A, A E0 a1 lnba.

L a c o n s t a n t eA s e e v a l a i m p o n i e n d oVa E0 a A Va E0 a ln ba, enr a.E n t o n c e s , e l c a m p o r a d i a l e s c o n s t a n t e e i g u a l a E0 e n e l n c l e o d e c a r g a e s p a c i a l y e lpotencial vale

V E0 a1 lnba ra

P o r c o n s i g u i e n t e e nr 0 e l p o t e n c i a l a l c a n z a s u m a y o r v a l o r V0 E0 a1 ln ba.Valores numricos.

Ea 0 a/ 0 8 8 . 5 10 9 0 . 2 /8 . 8 5 10 12 2 0 0 0 V / m ;Va E0 a ln ba 2000 0. 2 ln2 2 7 7 V .

V0 E0 a1 ln ba 2000 0. 2 1 ln2 6 7 7 . 2 6 VGrficos

P a r a g r a f i c a r p r e p a r a m o s l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s . P a r a e l c a m p o ,Er/E0 y,r/a x;(i) 0 x 1,y 1;

ii) 1 x 2,y 1/x. P a r a e l p o t e n c i a lVr/V0 y,r/a x; (i) 0 x 1,y 1 ln2x;ii) 1 x 2,

y ln2/x.

C a m p o e l c t r i c o

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PotencialP2b) Energa potencial electrosttica del sistema - oscilaciones de electrones

C a l c u l a r c o n s m b o l o s l a e n e r g a p o t e n c i a l e l e c t r o s t t i c a p o r u n i d a d d e a l t u r a , Ua yU0

c o n t e n i d a s e n l o s i n t e r v a l o s (i) 0 r a, (ii)a r b, r e s p e c t i v a m e n t e . H a l l a r n u m r i c a m e n t e e l c o c i e n t e b/a p a r a e l c u a l Ua U0 . C a l c u l a r n u m r i c a m e n t e l ae n e r g a p o t e n c i a l e l e c t r o s t t i c a t o t a l p o r u n i d a d d e a l t u r a U cuandoUa U0 ; d a t o s0 8 8 . 5 n C ,a0 . 2 m ,b a.

U n e l e c t r n p a r t e d e l r e p o s o e n r a y a t r a v i e s a l a c a r g a d e v o l u m e n c e n t r a l , s i n s u f r i r f r i c c i n n i d e s v i a c i o n e s . O s c i l a d e u n l a d o a l o t r o , v o l v i e n d o a l p u n t o d e p a r t i d a , s o l a m e n t ebajo la accin del campo elctricoE0 r a. R e c o r r e e l d i m e t r o d e l a n u b e d e c a r g ar e p e t i d a s v e c e s , l o n g i t u d d e l t r a y e c t o d e i d a y v u e l t a : 4a. C a l c u l a r l a f r e c u e n c i a f deo s c i l a c i n d e l e l e c t r n : f r m u l a y v a l o r n u m r i c o ( H z ) c o n l o s d a t o s 0 8 8 . 5 n C ,a0 . 2 m ,e/m1.7610 11 C / k g , ( 0 8.85 10 12 SI)

Solucin

E n e r g a p o t e n c i a l e l e c t r o s t t i c a ( p o r u n i d a d d e l o n g i t u d )

i 0 r a. Ua a 2 0E02 . iia r b. U0 0

a

b

2rE02 a 2

r2 dr 0 2E0

2 a 2 lnba

Ua 0 V02 . U0 0 V0

2 2 lnba

Valores numricos.E l c o c i e n t e d e l a s e n e r g a s v a l e U0 /Ua 2 ln ba. L a s e n e r g a s s o n i g u a le s c u an d o

ln ba 0 . 5 , o s e a p a r a b/a e 1 . 6 4 87 . L a e n e r g a t o t a l c u a nd o b/a 1 . 6 4 8 7 v a l e

U Ua U0 2Ua 0 V02

8 . 8 5 10 12 2000 0. 2 2 4 . 4 4 9 106 J/mOscilaciones del electrn

L a f u e r z a q u e a t r a e a l e l e c t r n h a c i a e l c e n t r o e seE0 y p o r l o t a n t o l a a c e l e r a c i ng eE0 /m e s c o n s t a n t e . E l m o v i m i e n t o e s s i m i l a r a u n a c a d a l i b r e c o n g r a v e d a d c o n s t a n t e .U n a v e z q u e e l e l e c t r n c r u z a e l c e n t r o l a f u e r z a e l c t r i c a a c t a e n s e n t i d o i n v e r s o y e lm o v i m i e n t o e s a n l o g o a l a d e s a c e l e r a c i n d e u n l a n z a m i e n t o v e r t i c a l c o n g r a v e d a dc o n s t a n t e . E l c r u c e d e l a n u b e d e c a r g a s e r e p i t e e n s e n t i d o i n v e r s o y e l e l e c t r n r e g r e s a a lpunto de partida. Las oscilaciones continuan. La frmula para el perodoT d e e s t em o v i m i e n t o o s c i l a t o r i o e sT 4 2a/g 4 2am/eE0 ( 2a/g e s e l l a p s o d e t i e m p o p a r al l e g a r a l c e n t r o p a r t i e n d o d e l r e p o s o e n r a) . P o r l o t a n t o l a f r e c u e n c i a v a l e

f 14 2

eE0ma

14 2

em

0 0

E s i n t e r e s a n t e n o t a r q u e l a f r e c u e n c i a d e l m o v i m i e n t o e l e c t r n i c o n o d e p e n d e d e l r a d i o d e

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l a n u b e d e c a r g a e s p a c i a l .Valor numrico

f 1/4 2 1 . 7 6 10 11 2000/ 0 . 2 1 . 4 8 3 2 10 7 1 4 . 8 3 M H z

Teora

Ta. Electrosttica. Fuerza de separacin de lminas cargadas.

U n a c a p a c o n d u c t o r a p l a n a e s t f o r m a d a p o r d o s l m i n a s m e t l i c a s e n c o n t a c t o , c a d au n a c o n r e a A1 0 c m 2 ( u n i d a s p o r a l g u n o s p u n t o s d e a d h e s i v o ) . L a c a p a e s t m o n t a d as o b r e u n m a r c o a i s l a n t e y r e c i b e l a c a r g a Q0.3C . C a l c u l a r l a f u e r z aF12 d e s e p a r a c i n

q u e e j e r c e l a l m i n a 1 s o b r e l a l m i n a 2 ( a p r o x i m a c i n d e p l a n o i n f i n i t o s e i g n o r a ne f e c t o s d e b o r d e ;k8.99 10 9 Nm 2 /C 2 ).

a 1 ) F12 1. 63 N a2) F12 1 . 2 7 Na 3 ) F12 1. 02 N a4) F12 2 . 1 2 NL a c a r g aQ s e r e p a r t e p o r i g u a l s o b r e l a s d o s c a r a s d e l c o n d u c t o r ( p a r a a n u l a r e l c a m p o

e n e l i n t e r i o r y p o r s i m e t r a ) . D e m o d o q u e l a s u p e r f i c i e d e c a d a l m i n a l l e v a Q y lad e n s i d a d d e s u p e r f i c i e v a l e Q/A. E l c a m p oE g e n e r a d o p o r u n a s o l a l m i n a v a l e

E 2 0

Q

4 0A .

E n t o n c e s l a f u e r z a d e u n a l m i n a s o b r e l a o t r a e s

F12 EQ Q 28 0A kQ 2

2A .

Valor numrico F12 8 . 9 9 10 9 3 10 7 2 /2 10 3 1 . 2 7 1 NTb. Energa potencial electrosttica de un sistema de cargas.

D o s t r i n g u l o s e q u i l t e r o s d e l a d o d l l e v a n c a r g a sq, i g u a l e s e n v a l o r a b s o l u t o , e n s u sv r t i c e s . U n o t i e n e c a r g a s p o s i t i v a s y e l o t r o c a r g a s n e g a t i v a s . S e a U0 l a s u m a d e l a se n e r g a s p o t e n c i a l e s d e l o s d o s s i s t e m a s d e c a r g a s c u a n d o l o s t r i n g u l o s e s t n m u y l e j o su n o d e l o t r o ( c o m o s i c a d a u n o e s t u v i e r a s o l o ) . S e t r a s l a d a n l o s t r i n g u l o s h a s t a f o r m a r u n a e s t r e l l a ( o e s c u d o ) d e D a v i d ( v e r f i g u r a ) d e m o d o q u e l o s c e n t r o s c o i n c i d a n ( c e n t r o d e lt r i n g u l o : p u n t o d e i n t e r s e c c i n d e l a s t r e s a l t u r a s ) . S e a U l a e n e r g a e l e c t r o s t t i c a d e l an u e v a c o n f i g u r a c i n . C u n t o v a l e e l c o c i e n t e U/U0 ? [ S u g e r e n c i a . N o t a r q u e l a s c a r g a s

e q u i d i s t a n d e l c e n t r o ] .Tb1) U/U0 -1.165; Tb2) U/U0 -1. 572; Tb3) U/U0 - 0. 8861 ; Tb 4)

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U/U0 -0.6924.C a d a t r i n g u l o p o r s e p a r a d o s e f o r m a c o n l a e n e r g a 3 kq 2 /d , t a n t o c o n c a r g a s p o s i t i v a s

o n e g a t i v a s . D e m a n e r a q u eU0 v a l e 6kq 2 /d. L o s v r t i c e s d e l o s d o s t r n g u l o s , c o m b i n a d o se n l a c o n f i g u r a c i n d e e s t r e l l a d e D a v i d , c o i n c i d e n c o n l o s v r t i c e s d e u n h e x a g o n oi n s c r i p t o e n u n c r c u l o . S u r a d i o e s r d/ 3 y s u c e nt ro c o in ci de c on l o s c en tr os

s u p e r p u e s t o d e l o s d o s t r i n g u l o s ( v e r i f i c a r c o n g e o m e t r a e l e m e n t a l ) .E n t o n c e s , l a s d i s t a n c i a s d e u n a c a r g a c o n l a s o t r a s s o n d/ 3 ,d y 2d/ 3 . C al cu la mo s la

expresinU q iqj/rij :

U kq 2

d 2 3 2

32

6 3kq 2

d 2 3 2

32

U0 3 1 3

4

UU0

1 54

3 1 . 1 6 5

Valor numrico: 1 54 3 1 . 1 6 5 1

Tc. Cadena de Dipolos Energa de ligadura ...... .

E l s i s t e m a 1 D e s u n a s u c e s i n s e m i - i n f i n i t a d e d i p o l o s i g u a l e s , e q u i d i s t a n t e s ya l i n e a d o s s o b r e e l e j e x. S e e x t i e n d e s o b r e l a s e m i r r e c t a x y e l l t i m o d i p o l o e s t e n e lo r i g e n . C a d a d i p o l o t i e n e i g u a l m o m e n t o p q q u e a p u n t a e n l a d i r e c c i n x. L o s d i p o l o se s t n s e p a r a d o s p o r l a d i s t a n c i ad, t a l q u e d . S e p i d e e l v a l o r d e l t r a b a j o , e x p r e s a d o e ne l e c t r o n - v o l t , n e c e s a r i o p a r a s e p a r a r e l l t i m o d i p o l o ( m a r c a d o c o n c o n o d e e l i m i n a c i n e ne l e s q u e m a ) y l l e v a r l o a d i s t a n c i a i n f i n i t a (energa de ligadura) . E l l t i m o d i p o l o t i e n ecargaq enx 0 y q enx . D a t o s :d2 n m ,p6.410 28 Cm.

[Ayuda. A p l i c a r l a a p r o x i m a c i nVx Vx dV/dx, d o n d eVx e s e lpotencial de un dipolo y evaluar enx nd, d o n d en 1 , 2 , 3 , . . . , s o n l o s e n t e r o s p o s i t i v o s .L a s u m a d e l a s e r i e d e 1 / n 3 , 1 1/8 1/27 1/64 e t c . , v a l e 1.202 conc u a t r o d g i t o s c i e r t o s . ( s u m a n d o s e i s t r m i n o s p u e d e v e r i f i c a r q u e

1 . 1 9 c o n e r r o r

1 % ) . ] (k 9.010 9 Nm 2 /C 2 ).T c 1 ) U-3.77 eV; Tc2) U-14.8 eV; Tc3) U-6.92 eV; Tc4)

U- 9 . 4 2 e V .E l p o t e n c i a l d e u n d i p o l o a l a d i s t a n c i a x s e e x p r e s a c o n l a f r m u l a V1 x kp/x 2 . En

efecto,dV1 /dx 2kp/x 3 , e s l a b i e n c o n o c i d a e x p r e s i n d e l c a m p o e l c t r i c o d e l d i p o l o . P o r l o t a n t o , l o s p o t e n c i a l e s e nx 0 d e l a s e r i e d e d i p o l o s a n t e r i o r e s a l p r i m e r o d e t o d o s , s ee x p r e s a n c o nVnx kp/nd 2 , d o n d en 1 , 2 , 3 , . . . e t c . . E nx 0 e s t l a c a r g aq delprimer dipolo, mientras que la positivaq s e u b i c a e n x . E s d e c i r q u e c a d a d i p o l oc o n t r i b u y e a f o r m a r l a e n e r g a p o t e n c i a l d e l l t i m o d e l a s e r i e , c o n u n a p o r t eU1 qV1 x V1 x dondex nd, c o nn 1 , 2 , 3 , . . . P e r o , v i s t o q u ed , se

puede utilizar la aproximacinVxVx dV/dx ( p r o p u e s t a e n e l e n u n c i a d o ) . E sdecir,U1 2qkp/x 3 2kp 2 /nd 3 conn 1 , 2 , 3 , . . . e t c . . S u m a n d o t o d a s l a s

c o n t r i b u c i o n e s , l a e n e r g a p o t e n c i a lU d e l l t i m o d i p o l o d e l a c a d e n a s e m i - i n f i n i t a s e p u e d ee s c r i b i r c o m o

U 2kp 2

d3

n1

1

n 3

2 . 4 0 4kp 2

d3

P u e s t o q u e e l e n u n c i a d o a f i r m a q u e l a s u m a d e l a s e r i e i n f i n i t a v a l e 1 . 2 0 2 .V a l o r n u m r i c oU 2 . 4 0 4kp 2 /d3 2 . 4 0 4 9 10 9 6. 4 1028 2 /2 10 9 3 1 . 1 0 7 8 10 18

e n j o u l e s ,

U 1 . 1 0 7 8 10 18 /1 . 6 0 2 1019 6 . 9 2 e n e VTd. Condensadores. Amplificacin de diferencia de potencial.

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D o s d i s c o s c o n d u c t o r e s p a r a l e l o s d e g r a n r a d i oa, f o r m a n u n c o n d e n s a d o r p l a n o e n a i r e .L o s c e n t r o s d e l o s d i s c o s e s t n s o b r e e l e j e x, n o r m a l a l o s c o n d u c t o r e s . L a d i s t a n c i a d es e p a r a c i n d e l o s d i s c o s s e i n d i c a c o nd (donded a) . E l c o n d e n s a d o r r e c i b e u n a c a r g ai n i c i a l . D e s p u s s e i n t e r r u m p e t o d a c o n e x i n y q u e d a a i s l a d o . L a s e p a r a c i n i n i c i a l d1 0.10c m e s l u e g o a u m e n t a d a h a s t a a l c a n z a r u n v a l o r f i n a ld2 1 2 c m . S e m i d e l a d i f e r e n c i a d e

potencial y se encuentra queV2 4 . 5 V . C u n t o v a l a l a d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l i n i c i a l V1 ?d 1 ) V1 25 mV d2) V1 38 mV d3) V1 42 mV d4) V1 5 3 m VE l c o n d e n s a d o r p l a n o t i e n e u n a c a p a c i d a d C 0A/d i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a d.

P o r o t r a p a r t e ,V Q/C d Q/ 0A y e l f a c t o r Q/ 0A p e r m a n e c e c o n s t a n t e d u r a n t e e lproceso. Por lo tanto:

V1 d1

d2V2 .

Valor numrico

V1 0 . 1 0 4 . 5 / 1 2 0 . 0 3 7 5 3 8 m V

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1. ErroresLas medidas de las capacidades de dos capacitores realizadas con uncapacmetro digital en escala (alcance) de 20F y error absoluto 2%+2d

resultaron ser C1=12!"F y C2=1#$F&

Calcule el error absoluto asociado a la e'presin21

21

CC

CCC

S

+

= ue representa

el *alor de la asociacin en serie de los mismos&

FCCCFCCCCCC

CC

CC

CC

CCCC

C

CC

C

CC

FCFFC

SSSSS

46,0;18,7;0,06414)(

0,02136))(

)(;02119,0;02159,0

3566,0;2708,001,0254,12100

2

2121

21

21

21

2121

2

22

1

11

21

====+++=

=++

=++

=+=

==

=

==

+=

2. Cuadrados mnimoseterminar cual es el *alor mnimo de la suma de los des*os

correspondiente al a,uste por cuadrados mnimos (-uncin lineal) de losdatos de la tabla&

' (u) y (u) 'y '2 yc=2!.2#/

y y2

2 ! 10 " $ .11# 1#" $ 2 1# 10 22 !""# 1$ 10$ # 1#$ .11# 1#

12 1 1!0 !# 100 000 $1/

3. Campo elctrico

abiendo ue en el entorno de un punto identi-icado por las coordenadas

('="cmy=!cm) el potencial V*ale #3 y suponiendo ue *ara linealmentecon la distancia en ambas direcciones siendo

Vycm

VyVVx

cm

VxV 213)(;22)( +== determinar el *alor del *ector

campo el4ctrico en el punto&

7,123;6,3;3)(

;2)(

cm

VE

cm

V

y

yVEy

cm

V

x

xVEx ==

==

=

4. Condensadores5epresente los resultados esperados en el ensayo de la *ariacin de la

capacidad del capacitor plano a medida ue el espacio entre placas se *allenando con un diel4ctrico C(z) en -uncin de z donde z representa laaltura de la placa 6asta donde 6ay diel4ctrico y e'prese ue capacidadrepresentan los *alores inicial y -inal de la -uncin& atos 7rea 8=(2$2$ '2$2$)cm2 distancia entre placas d=mm =3,5;=8,85pF9m

La ordenada al origenrepresenta la capacidad delcapacitor sin diel4ctrico y el*alor m7'imo la capacidaddel capacitor con todo eldiel4ctrico introducido&

:cuacin;C(p-)= 20$#pF9cm ' (cm)+2#pF