268

ACTIVIDADES

Calcula la hipotenusa dels triangles rectangles amb aquests catets:

a) 10 cm i 8 cm c) 4 cm i 9 cm

b) 7,2 cm i 11,6 cm d) cm i cm

a) h = 12,81 cm c) h = 9,85 cm

b) h = 13,65 cm d) h = = 3,61 cm

Troba la longitud de BC, BD i BE.

Contesta aquestes qüestions i, en cas que siguin certes, posa’n un exemple:

a) Hi pot haver un triangle rectangle equilàter?b) I un triangle rectangle isòsceles?

a) No és possible, perquè els angles dels triangles equilàters són de 60º.

b) Sí, per exemple, un triangle que tingui els catets d’1 cm

i la hipotenusa de cm.

Troba la mida dels catets en un triangle rectangle isòsceles de 9 cm d’hipotenusa.

8181

22 2= + = =c c c→ 6,36 cm

046●

045

2

044●●

BE = 7 cm

BD = 6 cm

BC = 5 cm

2 cm

1 cm

1 cm

1 cm

B

C

D

E

A

043●

13

85

042●

Figures planes. Àrees

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LA MIDA DELS CATETS D’UN TRIANGLE RECTANGLEISÒSCELES?

Calcula la mida dels catets d’un triangle rectangle isòsceles de 8 cm d’hipotenusa.

PRIMER. Hi apliquem el teorema de Pitàgores, ja que la mida dels catets és la mateixa, x.

82 = x2 + x2 → 82 = 2x2

SEGON. Trobem el valor de x.

Els catets fan 5,66 cm.

8 28

232 32 5 662 2 2

2

= = = = =x x x→ → , cm

x

8 cmx

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 268

269

9

Els costats del triangle rectangle ABC són AB = 8 cm i AC = 13 cm. Calcula BC si:a) L’angle recte és al vèrtex A.b) L’angle recte és al vèrtex B.c) L’angle recte és al vèrtex C.

a) BC és la hipotenusa, .

b) BC és un catet, .

c) BC és un catet, .

Determina si els triangles següents són rectangles. En cas afirmatiu, indica’ la mida de la hipotenusa i dels catets.a) Triangle de costats 5 cm, 12 cm i 13 cm.b) Triangle de costats 6 cm, 8 cm i 12 cm.

c) Triangle de costats 5 cm, 6 cm i cm.d) Triangle de costats 7 cm, 24 cm i 25 cm.

a) 132 = 122 + 52 → És un triangle rectangle, la hipotenusa fa 13 cm i els catets fan 5 cm i 12 cm.

b) 122 � 82 + 62 → No és un triangle rectangle.

c) 61 = 52 + 62 → És un triangle rectangle, la hipotenusa fa cm i els catets fan 5 cm i 6 cm

d) 252 = 242 + 72 → És un triangle rectangle, la hipotenusa fa 25 cm i els catets fan 24 cm i 7 cm.

Classifica en acutangles o obtusangles els triangles de costats:

Calcula la longitud de x en aquestes figures.a) c)

b) d)

a) c)

b) d) x = − =117 81 6 cmx = =100

27,07 cm

x = + =25 64 9,43 cmx = ⋅ =2 16 5,66 cm

x

9 cm117 cm

10 cm x

5 cm

8 cm

x4 cmx

050●

049●

61

61

048●

BC = − =169 64 10,25 cm

BC = − =169 64 10,25 cm

BC = + =169 64 15,26 cm

047●●

SOLUCIONARI

AB BC CA BC 2 = AB2 < CA2 Tipus4 8 6 64 > 16 + 36 Obtusangle3 8 7 64 > 9 + 49 Obtusangle5 10 8 100 > 25 + 64 Obtusangle5 10 9 100 < 25 + 81 Acutangle

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 269

270

Determina la longitud de x en aquests triangles:

a) c)

b) d)

Troba l’altura d’un triangle equilàter de 48 cm de perímetre.

El costat del triangle és de 16 cm.

L’altura fa: .

Calcula el perímetre de les figures següents:

a) b)

a)

P = 25 + 28 + 18 + 26,93 = 97,93 cm

b)

P = 16 + 28 + 5 + 8,6 + 18,44 + 12 + 28 + 14 + 17,46 = 147,5 cm

Troba l’apotema d’un hexàgon regular de costat:

a) 10 cm b) 16 cm c) 7 cm

a)

b)

c) a = − =49 12,25 6,06 cm

a = − =256 64 13,86 cm

a = − =100 25 8,66 cm

054●

z = + =144 196 18,44 cm

y = + =25 49 8,6 cm

x = + =256 49 17,46 cm

x = − + = =( )28 18 25 7252 2 26,93 cm

16 cm 5 cm

x y

z14 cm

7 cm

28 cm

12 cm25 cm

28 cm 18 cm

x

053●●

h = ⋅ =3

4256 13,86 cm

052●●

x = + =72 9 9 cmx = ⋅ =4

348 8 cm

x = − =144 12,25 11,48 cmx = − =100 25 8,66 cm

10 cm

10 c

m

10 cm

x

x x

6 cm

x x

b) d)a) c)

x

7 cm

12 c

m

12 cm

x

48cm

72cm

051●●

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 270

271

9

Calcula l’altura d’un triangle de costats:

a) AB = 4 cm, BC = 7 cm i CA = 9 cmb) AB = 6 cm, BC = 10 cm i CA = 14 cmc) AB = 5 cm, BC = 11 cm i CA = 15 cm

Considerem la base com el costat més gran:

a)

h2 = 42 − x2 h2 = 16 − 7,11 → h = 2,98 cm

b)

h2 = 62 − x2 h2 = 36 − 22,18 → h = 3,71 cm

c)

h2 = 52 − x2 h2 = 25 − 18,49 → h = 2,55 cmx = 4,3⎯⎯⎯⎯→

→ 52 − x2 = 112 − (15 − x2) →→ 25 − 121 + 225 = 30x → x = 4,3

h xh x

2 2 2

2 2 2

511 15

= −= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪( )

x = 4,71⎯⎯⎯⎯→

→ 62 − x2 = 102 − (14 − x2) →→ 36 − 100 + 196 = 28x → x = 4,71

h xh x

2 2 2

2 2 2

610 14

= −= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪( )

x = 2,67⎯⎯⎯⎯→

→ 42 − x2 = 72 − (9 − x2) →→ 16 − 49 + 81 = 18x → x = 2,67

h xh x

2 2 2

2 2 2

47 9

= −= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪( )

056●●

055

SOLUCIONARI

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?

Calcula l’altura d’un triangle de costats 5 cm, 8 cm i 10 cm.

PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenem tots elselements.

L’altura divideix la base del triangle en dues parts:AH, de longitud x.HB, de longitud 10 − x.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dos triangles rectangles que enresulten.

En AHC:52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2

En HBC:82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2

TERCER. Igualem totes dues expressions.

25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x)25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x

= 61 → x = 3,05 cm

QUART. Calculem el valor de h.

h2 = 52 − x2 → h = − =5 3 05 3 962 2, , cm

20x

h xh x

x x2 2 2

2 2 22 2 25

8 105 8 10= −

= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = − −( )

(→ ))2

5 cm 8 cm

G F10 cm

C

h

x 10 − x

A H B

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 271

272

Troba la distància del punt P al punt A, perquè es verifiqui que CP = DP.

a) b)

a)

b)

Calcula l’àrea d’un rectangle de 10 cm base i de cm de diagonal.

L’altura del rectangle és: . L’àrea és: A = 10 ⋅ 4 = 40 cm2.

Determina l’àrea d’un rectangle de 7 cm de base i de 24 cm de perímetre.

L’altura fa: . L’àrea és: A = 7 ⋅ 5 = 35 cm2.

Troba l’àrea d’un quadrat que fa 22,4 cm de perímetre.

El costat del quadrat mesura: . L’àrea és de 31,36 cm2.

Calcula l’àrea de la zona acolorida:

A = 6 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 + 11 ⋅ 8 + 9 ⋅ 4 == 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2

Troba el costat d’un quadrat si saps que l’àrea és de 84,64 cm2.

Determina l’àrea d’un quadrat inscrit en una circumferència de 3 cm de radi.

La diagonal del quadrat coincideix amb el diàmetre;per tant, fa 6 cm.

El costat és: .

L’àrea fa 18 cm2.

c = =36

24,24 cm

3 cm

063●●

c = =84,64 9,2 cm

062●●

8 cm

4 cm

4 cm6 cm

9 cm

11 cm

061●●

c = =22,4

5,6 cm4

060●

h =−

=24 14

25 cm

059●

h = − =116 100 4 cm

116058●

→ 4 + AP2 = 9 + (6 − AP)2 →→ 12AP = 41 → AP = 3,42 cm

CP AP

CP AP

2 2

2 2

4

9 6

= +

= + −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪( )

→ 16 + AP2 = 9 + (7 − AP)2 →→ 14AP = 42 → AP = 3 cm

CP AP

CP AP

2 2

2 2

16

9 7

= +

= + −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪( )

2 cm 3

cmC

P

D

A 6 cm B

4 cm

3 cm

C

P

D

A 7 cm B

057●●●

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 272

273

9

Si a és el costat d’un quadrat, indica si les afirmacions següents són verdadereso falses, i raona les respostes.

a) La diagonal fa . c) L’àrea és a4.b) El perímetre és 4a2. d) El quadrat de la diagonal és 2a2.

a) Falsa, la diagonal és . c) Falsa, l’àrea és A = a2.

b) Falsa, el perímetre és P = 4a. d) Verdadera.

Determina la mida de la diagonal d’un quadrat de 12,25 cm2 d’àrea.

Troba un rectangle que tingui la mateixa àrea que un quadrat de 4 cm de costat.Raona quants rectangles compleixen aquesta condició.

Aquesta condició la compleixen tots els rectangles en què el producte dels seus costats sigui 16, és a dir, a · b = 16. Per tant, hi ha infinitessolucions, per exemple a = 2 cm, b = 8 cm.

Calcula l’àrea d’un rombe que té aquestes diagonals:

a) 4 cm i 12 cm b) 3 cm i 9 cm

a) b)

Calcula la mida d’una de les diagonals d’un rombe de 30,1 cm2 d’àrea, si saps que l’altra diagonal fa 7 cm.

Troba el perímetre i l’àrea d’aquests rombes:

a) b)

a) P = 5 ⋅ 4 = 20 cm

b) D = 10 cm

P = 5,6 ⋅ 4 = 22,4 cmA =⋅

=10

225,04

25,2 cm

d = ⋅ − =2 52 25,6 5,04 cm

A =⋅

=8 6

224 2cmc = + =4 3 52 2 cm

5 cm

5,6 cm

8 cm

6 cm

069●●

AD d

DA

dD=

⋅=

⋅= =

2

2

7→ → 60,2

8,6 cm

068●●

A =⋅

=3 9

2213,5 cmA =

⋅=

4 12

224 2cm

067●

066●●●

A a d= = = ⋅ =12,25 cm 3,5 cm 12,25 4,95 cm2 2→ →

065●●

d a= 2 2

2 2a

064●●

SOLUCIONARI

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 273

274

Calcula l’àrea i el perímetre d’aquestes figures:

a)

a)

A = 7 ⋅ 6 = 42 cm2

P = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8,06 = 28,12 cm

b)

A = 12 ⋅ 4 = 48 cm2

P = 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 12 = 70 cm

Troba l’àrea dels triangles següents:

a) b)

a)

b)

Determina l’àrea d’un triangle equilàter amb aquest perímetre:

a) 36 cm b) 6 dm c) 0,153 m

a) c = 12 cm

b) c = 2 dm

c) c = 51 cm A =⋅

=51

2244,17

1.126,33 cmh = =3

42c 44,17 cm

A =⋅

=2

221,73

1,73 dmh = =3

42c 1,73 dm

A =⋅

=12

2210,39

62,34 cmh = =3

42c 10,39 cm

072●

A =⋅ +

=4,8 3,6 4,2

18,72 cm( )

22

h = − =6 3 6 42 2, ,8 cm

A =⋅

=6 4

212 2cm

3,6 cm 4,2 cm

6 cm

4 cm

6 cm

071●

h = − =5 3 42 2 cm

c = + =7 42 2 8,06 cm

3 cm

5 cm

12 cm

b)

7 cm

6 cm

4 cm

070●●

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 274

275

9

Troba l’àrea d’un triangle isòsceles de 7 cm els costats iguals i 9 cm el costat desigual.

Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles que té els costats iguals de 10 cm i el costat desigual fa quatre unitats més que els costats iguals.

Calcula l’altura i la base d’un triangle rectangle isòsceles si l’àrea fa:

a) 200 cm2 c) 450 dm2

b) 120,125 m2 d) 317,52 mm2

Considerem un catet com a base i l’altre catet com a altura:

a)

b)

c)

d)

Altura 635,04 317,52 317,52 17,82 mm= − = =

Hipotenusa 635,04 635,04 1.270,08 35,64 mm= + = =

317,52 25,2 mm=⋅

=c c

c2

→

Altura 21,21 dm= − = =900 450 450

Hipotenusa 42,42 dm= + = =900 900 1 800.

4502

30=⋅

=c c

c→ dm

Altura 240,25 120,125 120,125 10,96 m= − = =

Hipotenusa 240,25 240,25 480,5 21,92 m= + = =

120,125 15,5 m=⋅

=c c

c2

→

Altura 14,14 cm= − = =400 200 200

Hipotenusa 28,28 cm= + = =400 400 800

2002

20=⋅

=c c

c→ cm

075●●

A =⋅

=14 7 14

22,

50 cm

h = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =10

14

22

2

7,14 cm

074●●

A =⋅

=9

225,36

24,12 cm

h = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =7

9

22

2

5,36 cm

073●

SOLUCIONARI

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 275

276

Troba l’àrea dels trapezis següents:

a) d)

b) e)

c) f)

a)

b)

c)

077

A =+

⋅ =12

29 225,94

170,73 m

B = + + − =6 12 12 92 2 25,94 m

b = − =15 9 122 2 m

A =+

⋅ =20 10

27 105 2m

A =+

⋅ =20 12

28 128 2m

12,93 m

7 m 12 m 4 m

9 m

15 m12 m

6 m

14 m

25 m

202 m20 m

7 m

10 m

17 m

5 m

4 m

12 m

8 m

20 m

076●●

Figures planes. Àrees

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELESSI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?

Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles:

PRIMER. Calculem la base del triangle rectangle quedetermina l’altura.

Com que és un trapezi isòsceles, les altures configurendos triangles rectangles iguals, les bases dels qualsfan la meitat de la diferència de les bases del trapezi.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que determina l’altura.

1,52 + h2 = 2,52

h2 = 2,52 − 1,52 = 6,25 − 2,25 = 4

TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.

AB b h

=+ ⋅

=+ ⋅

=( ) ( )

2

8 5 2

213 2cm

h = =4 2 cm

AE FBAB CD

= =−

=−

=2

8 5

21,5 cm

5 cm

2,5

cm

2,5 cm

1,5 1,5

D

h h

C

A E BF

2,5

cm

1,5

D

A E

h

5 cm

8 cm

2,5

cm

2,5 cm

d)

e)

f)

A =+

⋅ =23 12

224,81 84,17 m

h = − =12 93 122 2, 4,81 m

A =+

⋅ =14 25

29 2175,5 m

h = − =202 121 9 m

A =+

⋅ =17 4

25 252,5 m

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 276

277

9

Troba l’àrea d’aquests trapezis isòsceles:

a) b)

a)

b) d = 14 − 4 − 4 = 6 m

Calcula l’àrea de les figures següents:

a) A =

= 17,5 + 35 + 84 = 126,5 cm2

b)

A = Ah + 6 ⋅ At = 509,04 + 509,04 = 1.018,08 cm2

c)

Ar = 16 ⋅ 8 = 128 cm2

A = Ap + 5 ⋅ Ar = 440,4 + 640 = 1.080,4 cm2

d) A =+ ⋅

=( )14 4 9

281 2cm

Ap =⋅

=11,01

440,4 cm80

22

Apotema 13,61 11,01 cm= − =2 28

At =⋅

=12,12

84,84 cm12

22

Ah =⋅

=12,12

509,04 cm84

22

Apotema 12,12 cm= ⋅ =3

4142

A A A1 2 35 7

2

7 10

2

18 12

26+ + =

⋅+

⋅+

+⋅ =

079●●

A =+

⋅ =14 6

23 30 2m

h = − =25 16 3 m

A =+

⋅ =10 6

222,24 17,89 m

h = − =3 2 2 242 2 , m

5 m5 m

14 m4 m

6 m

10 m

3 m

3 m

078●●

9 m

4 m

14 m14 m

8 m

13,6

1 m

16 m

7 cm10 cm

6 cm5 cm 7 cm

12 cm

18 cm

SOLUCIONARI

a) c)

b) d)

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 277

278

Completa la taula següent amb les dades que hi falten:

Calcula la longitud de l’arc marcat en vermell:

a) c)

b) d)

Quin és el diàmetre d’una circumferència de 50,24 cm de longitud?

Troba el diàmetre d’una circumferència si saps que la longitud d’un arc de 50o

és de 5,23 cm.

Quina és la longitud d’una circumferència amb un arc de 110o que té 57,57 cmde longitud?

Completa la taula.085●●

L =⋅

=57,57

188,41 cm360

110

084●●

5,23 cm=⋅ ⋅

=d

dπ 50

36012→

083●●

d = =50,24

cmπ

16

082●●

L =⋅ ⋅

=2 75

360

π 5,67,33 cmL =

⋅ ⋅=

2 225

360

π 4,517,66 cm

L =⋅ ⋅

=2 130

360

π 3,88,62 cmL =

⋅ ⋅=

2 3 100

360

π5,23 cm

081●

080●

B A

5,6 m

75°B

A4,5 m

225°

B

A

3,8 m

130°3 cm

100°

B A

Figures planes. Àrees

Radi Diàmetre Longitud de la circumferència

2 cm 4 cm 12,57 cm3,5 cm 7 cm 21,99 cm4,7 cm 9,4 cm 29,516 cm5 cm 10 cm 31,41 cm

6,3 cm 12,6 cm 39,58 cm7,8 cm 15,6 cm 48,984 cm

Longitud d’arcde 60°

Longitud d’arc de 85°

Longitud d’arcde 190°

Longitud de la circumferència

9,42 cm 13,34 cm 29,83 cm 56,52 cm12,13 cm 17,79 cm 38,42 cm 72,8 cm4,18 cm 5,93 cm 13,26 cm 25,12 cm

a) c)b) d)

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 278

Determina el perímetre d’aquestes figures:

a) b)

a) r = 8 m R = 8 ⋅ 5 = 40 m L = 40π + 5 ⋅ 8π = 251,2 m

b) L = 11π + 2π + 4π + 5π = 69,08 m

Calcula l’àrea d’un cercle de:

a) 6 cm de radi. b) 6 cm de diàmetre. c) 7,2 cm de radi.

a) A = 36π = 113,04 cm2

b) A = 9π = 28,26 cm2

c) A = 51,84π = 162,78 cm2

Troba l’àrea d’un cercle delimitat per una circumferència de 321,4 cm.

A = π ⋅ 51,182 = 8.224,35 cm2

Calcula l’àrea dels cercles amb aquestes longituds d’arc:

a)

A = π ⋅ 21 = 65,94 cm2

b)

A = π ⋅ 324 = 1.017,36 cm2

c)

A = π ⋅ 225 = 706,5 cm2

d)

A = π ⋅ 256 = 803,84 cm2

86,52 cm=⋅

=2 310

36016

πrr→

39,25 cm=⋅

=2 150

36015

πrr→

42,39 18 cm=⋅

=2 135

360

πrr→

3,6 4,58 cm=⋅

=2 45

360

πrr→

089●●

r = =321,4

51,18 cm2π

088●

087●

R =+ +

=4 8 10

211 m

2 m

4 m

5 m8 m

086●●

B

B

B

BA

A

A

A

3,6 cm

45°

39,25 cm

150°

86,52 cm

50°

42,39 cm

135°

279

9SOLUCIONARI

a) c)b) d)

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 279

280

Troba l’àrea d’aquests sectors circulars:

a) b)

a) b)

Determina l’àrea dels sectors acolorits:

a) b)

a) b)

Troba l’àrea de la zona ombrejada si:

a) R = 10 m i r = 6 mb) R = 12,6 cm i r = 5 cmc) R = 3r i r = 2,4 cmd) R + r = 31 m i R − r = 5 m

a) A = π ⋅ (100 − 36) = 200,96 m2

b) A = π ⋅ (158,76 − 25) = 420 cm2

c) A = π ⋅ (51,84 − 5,76) = 164,69 cm2

d)

A = π ⋅ (324 − 169) = 486,7 m2

Calcula l’àrea acolorida d’aquestes figures:

a)ACorona = π ⋅ (225 − 64) = 504,54 m2

ASector505,54

109,53 m=⋅

=78

3602

8 m

15 m78°F

G

093●●

R rR r

R r+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =315

18 13mm

m m→ →

r

R

092●●

A =⋅ ⋅

=π 4 130

36024,54 mA =

⋅ ⋅=

π 64 45

360225,12 m

42 115

3602=

⋅=

πrr→ m6,28 m=

⋅=

2 45

3608

πrr→

B

A

4 m115°

B

A6,28 m

45°

091●●

A =⋅ ⋅

=π 6,8

96,8 m2

2240

360A =

⋅ ⋅=

π 13 85

360

22125,29 cm

6,8 m

120°

13 cm

85°

090●

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 280

281

9

b) L’àrea acolorida és la meitat de la corona exterior més la meitat del cercle interior; per tant, en total és la meitat del cercle més gran.

Determina l’àrea de la zona acolorida:

a) c)

b) d)

a)

ACercle = π ⋅ 3,462 = 37,59 m2

A = AHexàgon − ACercle = 41,52 − 37,59 = 3,93 m2

b) A = ARectangle − 2 ⋅ ACercle = 20 ⋅ 10 − 2π ⋅ 52 = 400 − 157 = 243 m2

c)

d) A = A3 − A2 + A1 = π ⋅ 9 − π ⋅ 4 + π ⋅ 1 = 18,84 m2

Considera que els polígons són regulars i completa la taula:

a) Quin és el polígon amb l’angle més petit?b) I el que té l’angle més gran?

a) El polígon amb l’angle més petit és el triangle.

b) El polígon amb l’angle més gran és el que té més costats, i quan té infinits costats és la circumferència.

095●

A AA

= − ⋅ = − ⋅ = − =quadratCercle 78,5 21,44

10 5 1002 2π 55 m2

AHexàgon3,46

41,52 m=⋅

=24

22

a = − =4 22 2 3,46 m

2 m

1 m

3 m

10 m

5 m4 m

094●●●

A =⋅

=π 36

2

222.034,72 m

20 m

90°FG

16 m

SOLUCIONARI

Nre. de costats 3 4 5 6 7 …Suma d’angles 180° 360° 540° 720° 900° …

Angle interior 60° 360°4

90°= 118° 120° 128,6° …

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 281

Calcula la suma dels angles d’un polígon de 3, 4, 5 i 6 costats.

a) Quina diferència hi ha entre la suma de cada polígon i la del polígon amb un costat menys?

b) Si la suma dels angles d’un polígon de 15 costats és de 2.340°, quina serà la suma d’un de 16 costats?

a) La diferència sempre és de 180°.

b) La suma és: 2.340° + 180° = 2.520°.

Calcula el valor dels angles marcats:

a) Inscrit: 180° : 2 = 90°.

b) Semiinscrit: 300° : 2 = 150°.

c) Interior: (180° + 90°) : 2 = 135°.

d) Circumscrit: (270° − 90°) : 2 = 90°.

e) Exterior: (135° − 45°) : 2 = 45°.

f) Semiinscrit: 120° : 2 = 60°.

Si l’arc AB� = 15° 20', calcula el valor dels arcs BC�, CD�, AD� i BE�.

BC� = 90° − 15° 20' = 74° 40'

CD� = �AB = 15° 20'

AD� = 90° + 15° 20' = 105° 20'

BE� = 180° + 15° 20' = 195° 20'

EO B

DC

A

098●●

097●

096●●

A

O

B

AO

B

AO

B

AO

B

A

O

B

A

O

B

282

Figures planes. Àrees

a)

b)

c)

d)

e)

f)

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 282

283

9

Calcula el valor de l’angle X$.

a)

b)

a) Exterior: (82° − 18°) : 2 = 32°.

b) Interior: (120° + 40°) : 2 = 80°.

L’ombra que produeix una barreta vertical en un instant determinat és igual a la seva longitud. Quin triangle determinen la barreta i la seva ombra? Quina és la inclinació dels raigs solars?

La barreta i la seva ombra determinen un triangle rectangle isòsceles. Els raigs del sol tenen una inclinació de 45º.

Calcula la longitud del cable de l’estel.

l = + =24 7 252 2 m

24 m

7 m

101●●

x

x

100●●

099●●

18°

82°

X$

40°120° X$

SOLUCIONARI

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 283

284

Quina és la longitud màxima que en Joan pot nedar en una piscina que fa 17 m de llargada i 10 m d’amplada si tan sols ho pot fer en línia recta?

La longitud màxima és la diagonal: .

Sobre una paret vertical de 16 m d’altura col·loquen inclinada una escala de 20 m de longitud. A quina distància de la paret es troba la base de l’escala?

Una escala fa 2,5 m de longitud i, si la recolzem a la paret, la base queda a 0,7 m de l’escala. A quina altura de la paret arriba l’escala?

Una antena està agafada al terra per dos cables de 2,7 m i 3,6 m que formenun angle recte. Quina és la distància que separa els dos punts d’unió dels cables amb el terra?

La distància és la hipotenusa del triangle que formen els cables:

L’Anna té un jardí rectangular, de 500 m de llargada i 300 m d’amplada, i hi vol fer una piscina de forma circular de 100 m de radi. Quant terreny liqueda per plantar-hi gespa?

El terreny per plantar gespa és l’àrea de la parcel·la menys l’àrea de la piscina:

A = 500 ⋅ 300 − π ⋅ 1002 = 150.000 − 31.400 = 118.600 m2

106●●

d = + =2,7 3,6 4,5 m2 2

2,7 m 3,6 m

105●●

h = − =2,5 0,7 2,4 m2 2

104●●

d = − =20 16 122 2 m

20 m

16 m

103●●

d = + =17 102 2 19,72 m

102●●

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 284

285

9

Dos cotxes surten d’una ciutat alhora i en direccions perpendiculars. El primer va a 60 km/h, i el segon a 89 km/h. Quina distància els separadesprés d’1 hora i quart?

La distància és la hipotenusa del triangle que formen les carreteres.

Així, la distància recorreguda pel primer cotxe és de 75 km, i la del segon és de 111,25 km.

La distància que els separa és: .

Dos avions s’enlairen d’un aeroport al mateix temps i amb direccionsperpendiculars. El primer va a una velocitat de 600 km/h, i el segon, de 800 km/h.a) Quina distància els separa al cap de 2 hores?b) Si l’abast de la seva ràdio és de 500 km, es podran posar en contacte

després de mitja hora?

a) Després de 2 hores, el primer avió ha recorregut 1.200 km, i el segon1.600 km. Per tant, la distància que els separa és:

b) Després de mitja hora, el primer avió ha recorregut 300 km, i el segon400 km. Per tant, la distància que els separa és:

i estan al límit de l’abast de la ràdio.

Un dels guarniments de metall d’una reixa té aquesta forma.Calcula la longitud del guarniment si saps que l’àrea del quadrat és de 256 cm2.

El costat del quadrat és: .

La longitud del primer tros del guarniment és: .

La longitud del segon tros és: .

La longitud del guarniment és: 2 ⋅ 25,12 = 50,24 cm.

L22 8

2=

⋅=

π25,12 cm

L12 16

4=

⋅=

π25,12 cm

c = =256 16 cm

256 cm2

109●●●

d = + =900 1 600 500. km

d = + =1 200 1 600 2 0002 2. . . km

108●●●

x = + =752 2111,25 134,17 km

x

89 km/h60

km

/hF

F

107●●●

SOLUCIONARI

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 285

286

Figures planes. Àrees

a

Blau

Verd

r

2

G

Si saps que s’han fet servir 400 cm2

de cristall verd, calcula quants cm2 de cristall blau calen per construir aquest vitrall.

Àrea del cercle més gran: π ⋅ r 2

Àrea dels cercles petits:

Àrea dels pètals:

AVerd = ACercle − 4 ⋅ AMenors + 4 ⋅ APètal

ABlau = π ⋅ r 2 − 400 = 773,83 cm2

Si dos polígons tenen la mateixa àrea, poden tenir perímetres diferents?

Sí, poden tenir perímetres diferents, perquè no hi ha cap correspondènciaentre perímetre i àrea, excepte en el cas que siguin polígons semblants.

La fórmula per calcular l’àrea d’un polígon regular és: .

Comprova que, aplicant aquesta fórmula al triangle equilàter i al quadrat,

obtenim les fórmules de l’àrea d’un triangle:i d’un quadrat: A = c2.

Quadrat:

Perímetre = 4c

A

cc

c=⋅

=4

2

22

ac

=2

Ab h= ⋅

2

A = ⋅Perímetre Apotema2

112��

111��

→ r =−

=800

1π19,33 cm

400 44

41

8

1

22

2 2 2

= ⋅ − ⋅⋅

+ ⋅− ⋅

=− ⋅

ππ π π

rr r r( ) ( ) →

A

r r r

r rPètal = ⋅

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

⋅

=⋅

−22

4

2 2

2 8 8

2

2 2π

π==

− ⋅( )π 1

8

2r

ππ

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⋅r r

2 4

2 2

110��

830885 _ 0260-0291.qxd 14/11/08 10:57 Página 286

287

9

Triangle equilàter:

Com que és un triangle equilàter, l’apotema és la meitat del radi:

Pitàgores i els babilonis. Pitàgores va viatjar probablement a Egipte i a Babilònia, i se suposa que allí ja coneixien la relació entre els costats dels triangles rectangles. L’any 1920, a la ciutat de Larsa, es va trobar una tauleta que va anar a parar a les mans de l’editor americà George ArthurPlimpton. Quan va morir, es va donar a la Universitat de Columbia, on se li vaatorgar el número 322 del catàleg, per això rep el nom de Plimpton 322. En aquesta tauleta i en nombres en base 60 (no decimal) apareixen diferentscolumnes amb els nombres p i q que generen les ternes pitagòriques. Donatsdos nombres enters qualssevol p i q, la terna formada pels nombres a = p2 − q2,b = 2pq i c = p2 + q 2 ens donen una terna pitagòrica. Per exemple, si p = 1 i q = 2, llavors obtenim la terna a = 3, b = 4 i c = 5, que és la primera ternapitagòrica: 32 + 42 = 52.

Esbrina els valors de les ternes formades per altres nombres trobats a la tauleta:

a) p = 12 i q = 5b) p = 9 i q = 5c) p = 15 i q = 8

Comprova que són ternes pitagòriques.

a) a = 119, b = 120 i c = 169b) a = 56, b = 90 i c = 106c) a = 161, b = 240 i c = 289

En un quadrilàter qualsevol, assenyala els punts mitjans dels costats i uneix-losde dos en dos. Quina figura es forma? Investiga si es compleix sempre.

Considerem el quadrilàter i les seves diagonals:

El triangle EFG està en posició de Tales amb BFC, per tant, CB és paral·lel a EG.

El triangle HEG està en posició de Tales amb HAD, per tant, AD és paral·lel a EG.

Tenim que AD és paral·lel a CB i AB és paral·lel a CD.

Per tant, sempre es forma un paral·lelogram.

D

C

AB

114●●●

113●●●

A

br

cr

b=

⋅ ⋅

=

⋅

=⋅

32

2

3

2

2 2

altura

Altura = + =r ar3

2

ar

=2

EH

G

F

SOLUCIONARI

a

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 287

288

La recta DE és paral·lela al costat BC.

a) Troba les mides dels segments BE i DE en funció de b i x.

b) Determina b i x perquè DE = BE + CD y .

a) Els triangles ABC i AED són semblants.

b) La primera igualtat significa que:

I la segona:

Resolem el sistema d’equacions que resulta:

x = 2

És a dir, b = 4,4 cm i x = 2 cm.

b =22

5⎯⎯⎯⎯→xb

=5

11

→ → →72

11

50

11

5

1122 5

22

5= + = = =

bb b 4,4 cm

126

1150

11 5

11

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= +

b

b

b

b

b →x

b=

5

11⎯⎯⎯⎯→12 10⋅ −= +

( )b x

b

x

bx

12 10

5

11

5

11

⋅ −= +

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪=

( )b x

b

x

bx

x

bx

b→

CD

AC

x

b= =

5

11

5

11→

DE BE CDb x

b

x

bx= +

⋅ −= +→ 12 10( )

12 12

DE

b

b xDE

b x

b=

−=

⋅ −→ ( )

BE

x bBE

x

b= =

10 10→

CDAC

= 511

115●●●

E

b

10 cm

12 cmD

C

A B

x

Figures planes. Àrees

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 288

289

A LA VIDA QUOTIDIANA

Estan dissenyant un nou traçat per a la carretera que uneixCases Verdes amb CasesRoges, però aquest traçatpassarà pels oliverars,amb la qual cosa moltesfamílies quedaranafectades.

La família de la Sara, igual que altres famílies del poble, ja han rebut la notificació.

Segons les escriptures, el terreny té una superfície de 6 hectàrees, i l’advocatque han consultat els ha dit que mitjançant una reclamació poden rebre fins a 20 € per cada metre quadrat expropiat.

Quant els en paguen per cada metre quadrat expropiat? Quant en podrienobtenir si reclamessin judicialment?

L’àrea del terreny és 6 ha = 60.000 m2 = (90 + 15 + 195) ⋅ amplada.

60.000 = 300 ⋅ amplada → Amplada = 200 m

L’àrea de la carretera és de: 15 ⋅ 200 = 3.000 m2.

Per cada metre quadrat expropiat els paguen: €.

Si reclamen judicialment, els podrien pagar: 20 ⋅ 3.000 = 60.000 €.

6 000

3 0002

.

.=

116●●●

Expedient 1456

Departament de Política Territorial

i Obres Públiques

Benvolguda senyora,

Ens dirigim a vostè per informar-la de

les obres que es duran a terme per

a la realització del nou traçat que

unirà Cases Verdes amb Cases Roges.

Amb motiu d’aquestes obres, es

procedirà a l’expropiació forçosa d’una

franja de terreny, tal com mostra

el plànol adjunt, per la qual vostè

serà indemnitzada amb la quantitat

de 6.000 €.Atentament,

90 m 15 m 195 m

9SOLUCIONARI

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 289

290

L’Antoni és un artesà especialitzat en la fabricació de vitralls. La feina que fa és complicada perquè els vitralls solen tenir formes geomètriques, i cal prendre les mides amb precisió perquè no hi hagi errors a l’hora d’unir les peces.

En l’últim encàrrec que ha rebut, li han demanat un pressupost per a 25 vitralls d’aquesta forma:

Si el cristall de colors costa 5,25 €/m2 i el blanc 3,20 €/m2, quin serà el pressupost per fabricar 25 vitralls?

Primer, calculem l’àrea de les figures ombrejades. Després, calculem l’àrea dels segments circulars semblants al que hi ha ratllat en el dibuix:

Àrea del quadrat:

d2 = c2 + c2 → 2c2 = 0,722 → 2c2 = 0,52 → c2 = 0,26 → c = 0,51 m

Àrea del quadrat = 0,51 ⋅ 0,51 = 0,26 m2

Àrea dels triangles:

Àrea dels triangles = 4 ⋅ 0,11 = 0,44 m2

Àrea del segment circular:

Àrea del triangle sector =

Àrea del segment = ASector − AT Sector =

Conclusió:Àrea ombrejada = Àrea quadrat + Àrea 4 triangles + Àrea 4 segments =

= 0,26 + 0,44 + 0,12 = 0,82 m2

Àrea blanca = 1 − 0,82 = 0,18 m2

Pressupost:Preu d’1 vitrall = 0,82 ⋅ 5,25 + 0,18 ⋅ 3,20 = 4,3 + 0,58 = 4,88 €

Preu de 25 vitralls = 25 ⋅ 4,88 = 122 €

30

3600 23 0 26 0 23 0 03π − = − =, , , , m2

0 51 0 91

20 23

, ,,

⋅= m2

117●●●

Figures planes. Àrees

1 m

1 m

2 1

11

2

2 12

h d

d h

h d+ =

+ = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

+ =

dd h

h

d h+ =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= − =−

=

= − =3

2

13

2

2 3

20 14

1 2

, m

11 2 0 0 72− ⋅ =, ,14 m

c h h ht t t2

2

2 2 2 2

20 51 0 26 0=

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + = + =

l → →, , ,551 0 26 0 442 2− =, , m

h hT TSector Sector2 2

2

12

1 0 17= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

l → , == 0 91, m

At =⋅

=0 51 0 44

20 11

, ,, m2

h hd

c

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 290

291

9

L’ajuntament ha declarat urbanitzable un dels terrenys en què en Josep ha sembrat cereals. Abans d’assabentar-se de la notícia, ja havia rebut una oferta d’una empresa constructora.

En Josep ha buscat els plànols del terreny per comprovar si és veritat el que li diuen.

És veritat el que afirma el constructor? Li pagarien 100 €/m2?

Considerem els dos triangles que es formen amb la diagonal:

652 − x2 = 932 − (121 − x)2 → 4.225 − 8.649 + 14.641 = 242x →→ x = 42,22 m

h2 = 652 − x2 h2 = 4.225 − 1.782,53 → h = 49,42 m

542 − x2 = 722 − (121 − x)2 → 2.916 − 5.184 + 14.641 = 242x →→ x = 51,13 m

h2 = 542 − x2 h2 = 2.916 − 2.614,28 → h = 17,37 m

L’àrea total és: 2.989,91 + 1.050,88 = 4.040,79 m2.

Per tant, li paguen €/m2.325 000.

4.040,7980,43=

A2121

2=

⋅=

17,371.050,88 m2

x = 51,13⎯⎯⎯⎯→

h xh x

2 2 2

2 2 2

5472 121

= −= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪( )

A1121

2=

⋅=

49,422.989,91 m2

x = 42,22⎯⎯⎯⎯⎯→

h xh x

2 2 2

2 2 2

6593 121

= −= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪( )

118●●●

SOLUCIONARI

54 m

121

m

93 m72 m

65 m

Ens interessa la terra que teniu al costat de lacarretera... Estem disposats a donar-vos 325.000 €.

És a dir, us pagaríem gairebé 100 €/m2.

65 m

x

93 mh

121 m

54 m

x

72 mh

121 m

830885 _ 0260-0291.qxd 4/11/08 15:56 Página 291

292

Cossos geomètrics10

POLIEDRES REGULARS

PRISMES

ÀREA TOTAL

AT = PB ⋅ h + 2AB

ÀREA TOTAL

AP a P a

TB B= ⋅ + ⋅2 2

'

PIRÀMIDES

POLIEDRES

CILINDRE CON

ÀREA TOTAL

AT = πrg + πr 2

ÀREA TOTAL

AT = 2πrh + 2πr 2

ÀREA TOTAL

AT = 4πr 2

ESFERA

COSSOS DE REVOLUCIÓ

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 292

El centre de l’univers

Com a altres els havia passat abans i a molts altres després, Aristarc de Samos es va veure irremeiablement atret per Alexandria: una ciutat tranquil·la, pàtria adoptiva de savis i protectora del coneixement.

La magnífica biblioteca de la ciutat li va obrir les portes i Aristarc es va amarar dels coneixements dels savis d’altres temps. Més tard, després d’anys de estudi silenciós es va decidir per fi a fer públiques les seves teories i, davant d’un auditori ple de gom a gom de savis, va començar així:

–Amics, després d’exhaustius estudis puc afirmar que la Terra no està immòbil: es mou en cercle al voltant del Sol i completa un cercle cada any; a més, gira sobre si mateixa, una volta cada dia.

Un murmuri de protestes es va aixecar a la sala, entre insults i mofes que li deien:

–Sobre la base que la Terra és rodona, cosa que Aristòtil ha provat, si girés una volta cada dia, la velocitat a la superfície seria tan elevada que no podríem avançar mai cap a l’est, perquè la Terra ens avançaria.

Aristarc, endebades, intentava explicar que ells també giraven a la mateixa velocitat. Incapaç de convèncer l’auditori, va recollir els escrits en què explicava la seva teoria i va abandonar la sala,

amb aquestes paraules:

–De vegades allò més neci és un home savi.

Assenyala l’eix de gir i el radi de l’esfera.

Eix

Radi

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 293

294

EXERCICIS

Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes?

a) Piràmide quadrangular: 5 cares i 8 arestes.

b) Prisma triangular: 5 cares i 9 arestes.

Efectua el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior i indica els passos que segueixes per fer-ho.

Justifica si és verdader o fals:

a) En un poliedre, totes les cares són iguals.b) El nombre de cares més petit d’un poliedre és 4.c) En cada vèrtex d’un poliedre concorren sempre el mateix nombre d’arestes.

a) Fals, perquè les cares poden ser diferents, i només són iguals en els poliedres regulars.

b) Verdader, perquè el polígon amb menys arestes en té 3, i com que cada aresta és la intersecció amb una altra cara, són 4 cares.

c) Fals. Per exemple, en els vèrtexs de la base de les piràmides concorren 3 arestes i en el vèrtex superior concorren tantes arestes com costats té la base.

Prova que tots els poliedres regulars compleixen la fórmula d’Euler.

Tetraedre ⎯⎯→ Cares: 4, vèrtexs: 4, arestes: 6 ⎯⎯→ 4 + 4 = 6 + 2

Cub ⎯⎯⎯⎯→ Cares: 6, vèrtexs: 8, arestes: 12 ⎯⎯→ 6 + 8 = 12 + 2

Octaedre ⎯⎯→ Cares: 8, vèrtexs: 6, arestes: 12 ⎯⎯→ 8 + 6 = 12 + 2

Dodecaedre → Cares: 12, vèrtexs: 20, arestes: 30 → 12 + 20 = 30 + 2

Icosaedre ⎯→ Cares: 20, vèrtexs: 12, arestes: 30 → 20 + 12 = 30 + 2

004

003

002

a) b)

001

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 13/11/08 13:29 Página 294

295

10

Determina el nombre de cares que concorren en els vèrtexs de cadascun dels poliedres regulars.

Tetraedre: 3 cares. Dodecaedre: 3 cares.

Cub: 3 cares. Icosaedre: 5 cares.

Octaedre: 4 cares.

Dibuixa un poliedre que tingui 7 vèrtexs. Compleix la fórmula d’Euler?

Cares: 7.

Arestes: 12.

Vèrtexs: 7.

C + V = A + 2

7 + 7 = 12 + 2

Hi pot haver un poliedre regular de 3 cares?

No és possible, perquè el polígon amb menys arestes en té 3, i com que cada aresta és la intersecció amb una altra cara, almenys tindrà 4 cares.

Dibuixa un prisma recte de base triangular i un altre de base pentagonal.

a) Calcula’n el nombre de cares, d’arestes i de vèrtexs.b) Compleixen la fórmula d’Euler?c) Dibuixa’n els desenvolupaments plans.

a) Prisma triangular ⎯→ Cares: 5, arestes: 9, vèrtexs: 6

Prisma pentagonal → Cares: 7, arestes: 15, vèrtexs: 10

b) Prisma triangular ⎯→ 5 + 6 = 9 + 2

Prisma pentagonal → 7 + 10 = 15 + 2

c)

008

007

006

005

SOLUCIONARI

F

F

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 295

296

Dibuixa el desenvolupament pla d’un prisma oblic de base quadrangular.

Quin polígon forma la base d’un prisma que té 18 arestes?

La base del prisma és un hexàgon.

Calcula l’àrea d’un cub de 2 cm d’aresta.

A = 6 ⋅ AB = 6 ⋅ 22 = 24 cm2

Determina l’àrea d’un prisma:

a) Pentagonal regular de 10 cm d’altura, 4 cm de costat de la base i 2,75 cm d’apotema.

b) Triangular regular de 8 cm d’altura, 4 cm de costat de la base i 3,46 cm d’altura de la base.

a)

b)

Un prisma quadrangular recte, de 3 cm d’aresta de la base, té una àrea total de 78 cm2. Calcula’n l’altura.

Troba la longitud de l’aresta d’un cub perquè la seva àrea sigui igual que la d’un ortoedre de 6 cm d’amplada, 3 cm d’altura i 2 cm de profunditat.

AOrtoedre = 2 ⋅ 6 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 72 cm2

ACub = 6c2 → 6c2 = 72 → c = = 3,46 cm

L’aresta fa 3,46 cm.

12

014

A A P h h hB= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = =2 78 2 3 3 460

1252→ → cm

013

A P hP a

= ⋅ + ⋅⋅

= ⋅ + ⋅ =22

12 8 12 23,46 140,98 cm

A P hP a

= ⋅ + ⋅⋅

= ⋅ + ⋅ =22

20 10 20 455 22,75 cm

012

011

010

009

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 296

297

10

Dibuixa una piràmide recta de base triangular i una altra de base pentagonal.

a) Calcula’n el nombre de cares, d’arestes i de vèrtexs.b) Comprova que tots dos poliedres compleixen la fórmula d’Euler.c) Dibuixa’n els desenvolupaments plans.

a) Piràmide triangular ⎯→ Cares: 4, arestes: 6, vèrtexs: 4

Piràmide pentagonal → Cares: 6, arestes: 10, vèrtexs: 6

b) Piràmide triangular ⎯→ 4 + 4 = 6 + 2

Piràmide pentagonal → 6 + 6 = 10 + 2

c)

Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmide obliqua de base quadrangular.

Quin polígon forma la base d’una piràmide que té 18 arestes? I d’una piràmide que té 9 vèrtexs?

La base d’una piràmide amb 18 arestes és un enneàgon.

La base d’una piràmide amb 9 vèrtexs és un octàgon.

017

016

015

SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 297

Calcula l’àrea d’una piràmide regular de base quadrangular, si l’aresta bàsica fa 7 cm i l’altura de les cares laterals és de 4 cm.

AL 56 cm2

AB = c2 = 72 = 49 cm2

AT = AL + AB = 56 + 49 = 105 cm2

Troba l’àrea total d’una piràmide quadrangular de 4 cm d’altura i 4 cm d’aresta de la base.

L’altura dels triangles laterals és:

a = = 4,47 cm

Determina l’àrea total d’aquesta piràmide regular:

L’apotema de l’hexàgon és:

L’altura dels triangles laterals és:

Dibuixa el desenvolupament pla d’un cilindre de 3 cm de radi i 7 cm d’altura.021

A AP a

T B= +⋅

=⋅

+⋅

='

2

18

2

18

222,6 4,77

66,33 cm

a a h' = + = =2 2 22,75 4,77 cm

a c= = =3

4

27

42 2,6 cm

4 cm

3 cm

020

A A AT B t= + ⋅ = ⋅ + ⋅⋅

=4 4 4 44

224,47

51,76 cm

16 4+

019

= ⋅⋅

= ⋅⋅

=42

47 4

2

b a

018

298

7 cm

9,42 cm

3 cm

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 298

Dibuixa el desenvolupament pla d’un cilindre de 12 cm de circumferència de la base i que té una altura de 6 cm.

Determina els cossos de revolució que generen aquestes figures planes quan giren:

Calcula l’àrea total d’un cilindre de 10 cm d’altura i de 7 cm de radi de la base.

AL = 2πrh = 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 439,6 cm2

AB = πr 2 = π ⋅ 72 = 153,86 cm2

AT = AL + 2 ⋅ AB = 747,32 cm2

En Lluís i l’Anna han de folrar un tub cilíndric de 12 m d’altura i 2 m de diàmetre. Si el paper els costa 12 ?/m2, quant els costarà folrar la superfície lateral del tub?

AL = 2πrh = 2π ⋅ 1 ⋅ 12 = 75,36 m2

Folrar-lo els costarà: 75,36 ⋅ 12 = 904,32 €.

Troba la superfície total d’un tronc de fusta cilíndric recte, de 3 m d’altura i 30 cm de diàmetre de la base.

AL = 2πrh = 2π ⋅ 0,15 ⋅ 3 = 2,83 m2

AB = πr 2 = π ⋅ 0,152 = 0,07 m2

AT = AL + 2 ⋅ AB = 2,97 m2

026

025

024

023

022

299

10SOLUCIONARI

6 cm

12 cm

1,91 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 299

300

Un botó de forma cilíndrica té una altura d’1 mm. Si la seva àrea total és de 188,4 mm2, passa per un trau que té una altura de 8 mm?

Calculem el diàmetre del botó:

A = 2πr 2 + 2πrh → 188,4 = 2π ⋅ (r 2 + r) → 30 = r 2 + r →→ r 2 + r − 30 = 0

Per tant, el diàmetre és de 12 mm, i no passa pel trau de 8 mm..

Dibuixa el desenvolupament pla d’un con de 4 cm de radi de la base i 8 cm de generatriu.

Calcula la generatriu d’aquest con:

g = + =5 42 2 6,4 cm

5 cm

4 cm

029

028

→r

r

=+

=

=−

= −

1 11

26

1 11

25

mm

(solució no vàlida)

⎧⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

r r r2 30 01 1 120

2+ − = =

± +→ →

027

Cossos geomètrics

F F

4 cm

8 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 300

301

10

Determina l’altura d’aquest con:

132 = h2 + 92

h2 = 132 − 92

Un triangle equilàter, quan gira sobre qualsevol dels seus costats, genera un con? I un d’obtusangle?

Només generen cons els triangles rectangles quan giren sobre un dels seus catets.

Un con té 12 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula’n l’àrea total.

AL = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 12 = 150,72 cm2

AB = πr 2 = π ⋅ 42 = 50,24 cm2

AT = AL + AB = 150,72 + 50,24 = 200,96 cm2

Quina és l’àrea d’aquesta esfera?

A = 4π ⋅ 52 = 314 cm2

Volem cobrir amb lona una torre de forma cònica de 15 m d’altura i 8 m de diàmetre. Quina quantitat de lona necessitem?

En trobem la generatriu:

AL = πrg = π ⋅ 4 ⋅ 15,5 = 194,98 m2

Raona si un cercle pot generar una esfera. Quants eixos de gir pot tenir?

Un cercle genera una esfera quan gira sobre algun dels seus diàmetres i, per tant, té infinits eixos de gir.

035

g = + = + = =15 4 225 16 2412 2 15,5 m15 m

4 m

g

034

5 cmG

033

032

031

h = − =13 92 2 9,38 cm

030

13 cmh

SOLUCIONARI

9 cmG

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 301

302

ACTIVITATS

Un cub té una aresta de 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara i de la diagonal del cub.

Diagonal de la cara:

Apliquem el teorema de Pitàgores:

d2 = 52 + 52 → d2 = 50 → d = 7,07 cm

037●●

036

Cossos geomètrics

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LES DIAGONALS

D’UN ORTOEDRE SI EN CONEIXEM LES ARESTES?

Calcula la longitud de les diagonals d’aquest ortoedre:

PRIMER. Identifiquem els tipus de diagonals que hi ha al poliedre.

En un ortoedre hi ha tres tipus de diagonals: les de les cares laterals, les de les ba-ses i les situades entre vèrtexs de cares oposades.

SEGON. Determinem les diagonals de les cares, que són la hipotenusa del trianglerectangle que té com a catets els costats de la cara. Hi apliquem el teorema de Pitàgores.

d2 = 22 + 42

d2 = 22 + 22

TERCER. Determinem les diagonals que hi ha situades entre vèrtexs de cares opo-sades.

Aquestes diagonals són la hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets lesdiagonals de les cares laterals i les arestes de la base. Hi apliquem el teorema dePitàgores.

d2 = 22 + 4,472

d = + =22 24,47 4,9 cm

4,47 cm

2 cmd

d = + =2 2 2 832 2 , cm2 cm

2 cm d

d = + =2 4 4 472 2 , cm4 cm

2 cm d

4 cm2 cm

2 cm

D

d

d

5 cm

5 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 302

303

10

Diagonal del cub:

Tornem a trobar un triangle rectangle:

D2 = 52 + 7,072 → D2 = 74,98 → D = 8,66 cm

Un ortoedre té arestes de 5 cm, 7 cm i 9 cm. Troba la longitud de les diagonals de les cares i de la diagonal de l’ortoedre.

Diagonal de la cara rectangular més gran:

Apliquem el teorema de Pitàgores:

d2 = 52 + 92 → d2 = 106 → d = 10,3 cm

Diagonal de la cara rectangular més petita:

Apliquem el teorema de Pitàgores:

d' 2 = 72 + 52 → d' 2 = 74 → d' = 8,6 cm

Diagonal de l’ortoedre:

Apareix un altre triangle rectangle:

D2 = 72 + 10,32 → D2 = 155,09 → D = 12,45 cm

Un cub té una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de l’aresta i de la diagonal del cub.

d2 = c2 + c2 = 2c2 →

D2 = c2 + d2 →

Completa la taula si saps que les dades pertanyen a poliedres en els quals es compleix la fórmula d’Euler:

040●

D D= + = + = =4 2 2 16 8 242 2( ) → 4,9 cm

d c cd

= = = =22

4

22 2→ cm

039●●

038●●

SOLUCIONARI

D

7,07 cm

D

5 cm

5 cm d

9 cm

5 cm

7 cm

d'

7 cm 9 cm

5 cm10,3 cm

D

D

Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d’arestes9 14 216 8 12

11 18 2712 20 3010 16 24

7 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 303

304

Classifica els poliedres següents en còncaus i convexos. Avalua si compleixen la fórmula d’Euler:

a) c) e) g)

b) d) f) h)

a) Convex. Cares: 24, vèrtexs: 14, arestes: 36 → 24 + 14 = 36 + 2 Sí que compleix la fórmula d’Euler.

b) Còncau. La compleix perquè és còncau.

c) Còncau. La compleix perquè és còncau.

d) Còncau. Cares: 10, vèrtexs: 16, arestes: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Sí que compleix la fórmula d’Euler.

e) Còncau. La compleix perquè és còncau.

f) Còncau. La compleix perquè és còncau.

g) Còncau. Cares: 10, vèrtexs: 16, arestes: 24 → 10 + 16 = 24 + 2 Sí que compleix la fórmula d’Euler.

h) Còncau. Cares: 9, vèrtexs: 13, arestes: 21 → 9 + 13 � 21 + 2 No compleix la fórmula d’Euler.

Comprova si es compleix la fórmula d’Euler:

Quin poliedres o poliedres regulars podem obtenir si fem servir com a cares triangles equilàters? I amb pentàgons regulars? I amb hexàgons regulars?

Triangles equilàters: tetraedre, octaedre i icosaedre.

Pentàgons regulars: dodecaedre.

Hexàgons regulars: no podem obtenir-ne cap poliedre regular.

043●●

042●

041●●

Cossos geomètrics

Poliedre Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d’arestes C + V A + 2Tetraedre 4 4 6 8 8Cub 6 8 12 14 14Octaedre 8 6 12 14 14Dodecaedre 12 20 30 32 32Icosaedre 20 12 30 32 32

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 304

305

10

Dibuixa aquests prismes i indica’n tots els elements. Dibuixa’n també els desenvolupaments plans:

a) Prisma triangular.

b) Prisma quadrangular.

c) Prisma pentagonal.

d) Prisma hexagonal.

a)

b)

c)

d)

Dibuixa un prisma regular i un altre d’irregular.

Regular Irregular

045●

F

F

F

F

044●

SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 305

306

Dibuixa un prisma recte i un altre d’oblic que tinguin la mateixa base.

Recte Oblic

Dibuixa un prisma pentagonal regular i el seu desenvolupament. Acoloreix deblau l’àrea lateral i, de vermell, l’àrea de les bases. Com es calcula l’àrea total?

AT = AL + 2 ⋅ AB

Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió.

a) Un cub és un ortoedre.

b) L’altura d’un prisma oblic és l’aresta lateral.

c) Els prismes oblics es classifiquen en regulars i irregulars.

a) Verdadera.

b) Falsa.

c) Falsa, perquè tots els prismes oblics són irregulars.

048●●

047●

046●

Cossos geomètrics

h

F

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 306

307

10

Calcula l’àrea total d’aquests prismes:

a) d) g) i)

b) e) h) j)

c) f)

a) A = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 ⋅ 7 = 100 cm2

b)

c)

d)

e)

f) A = 6 ⋅ 72 = 294 cm2

g)

h)

i)

j)

A = ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =28

23 8 26,93

5,2 180,24 cm

hCara Lateral 5,2 cm= − =6 32 2

hTriangle 6,93 cm= − =8 42 2

A = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ =2 86

248 15 27,24

1.067,52 cm

A = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =2 55

25 5 11 361 23,44

cm

h = − =4,25 2,5 3,44 cm2 2

A = ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =68

26 8 12 26,93

742,32 cm

a = − =8 42 2 6,93 cm

A = ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =26 4

28 5 3 144 2cm

h = − =5 3 42 2 cm

A = ⋅⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ =25 5

25 5 12 386 23,44

cm

A = ⋅ ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =2 66 5 2

26 6 8 2,

475,2 cm

A = ⋅⋅

+ ⋅ ⋅ =25

23 5 9 24,33

156,65 cm

h = − =52 22,5 4,33 cm

049●●

7 cm

7 cm

4 cm

8 cm

12 c

m

5 cm

9 cm

12 c

m

15 c

m

6 cm

5 cm 6 cm

8 cm

5 cm5 cm

6 cm

3 cm8 cm

6 cm

5,2 cm

4,25 cm

8 cm

2 cm

5 cm

G

G

G

5 cm

4,25 cm

7,24 cm

11 c

m

G

SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 307

308

L’àrea total d’un cub fa 24 cm2. Calcula l’aresta del cub, la diagonal de la cara i la diagonal del cub.

A = 6c2 → 24 = 6c2 → c = 2 cm

d2 = c2 + c2 →

D2 = 3c2 →

Troba la diagonal d’un cub de 150 m2 d’àrea total.

A = 6c2 → 150 = 6c2 → c = 5 m

Diagonal de la cara:

Apliquem el teorema de Pitàgores:

d2 = 52 + 52 → d2 = 50 → d = 7,07 m

Diagonal del cub:

Apareix un altre triangle rectangle:

D2 = 52 + 7,072 → D2 = 74,98 → D = 8,66 m

052●●

D c= =3 2 3 cm

d c= =2 2 2 cm

051●●

050

Cossos geomètrics

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ARESTA D’UN CUB SI EN CONEIXEM L’AREA?

Calcula l’aresta d’un cub si saps que la seva àreaés 54 cm2.

PRIMER. Hi apliquem la fórmula de l’àrea total.

AT = 6 ⋅ AQuadrat = 6 ⋅ c ⋅ c = 6c2

SEGON. Ho igualem amb l’àrea coneguda.

6 5454

69 9 32 2c c c= = = = =→ → cm

c

c

D

D

d

d

5 m

7,07 m

D

5 m

5 m

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 308

309

10

Calcula l’àrea dels triangles acolorits:

a) c)

b) d)

a) La diagonal de cada cara és: .

Es forma un triangle equilàter, de costat 19,8 cm.

b) La diagonal de cada cara és: .

Es forma un triangle rectangle, de catets 28,28 cm i 20 cm.

c) Les diagonals de cada cara són:

Es forma un triangle, de costats 14,42 cm, 13 cm i 9,43 cm.

→

→ 169 − 89 + 208 = 28,84x → x = 9,67 cm

h2 = 132 − x2 h2 = 169 − 93,58 → h = 8,68 cm

d) La diagonal del lateral és: .

Es forma un triangle rectangle, de catets 7,21 i 10 cm.

A =⋅

=10

227,21

36,05 cm

d = + =16 36 7,21 cm

A =⋅

=14,42 8,68

62,58 cm2

2

x = 9,67⎯⎯⎯⎯→

h xh x

x2 2 2

2 2 22 213 13= −

= − −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− =9,43 14,42( )

→ 99,43 14,422 2− −( )x

d 32 28 5= + = 9,43 cm

d 22 212 5= + = 13 cm

d 12 212 8= + = 14,42 cm

A =⋅

=20

2228,28

282,8 cm

d = + =20 202 2 28,28 cm

A =⋅

=19,8 17,15

cm2

169 78 2,

h = − =392 98 17,15 cm

d = + =14 142 2 19,8 cm

10 cm 6 cm

4 cm

20 c

m

12 cm 8 cm

5 cm

14 c

m

053●●●

SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 309

310

Dibuixa aquestes piràmides i el seu desenvolupament pla, i indica’n tots els elements:

a) Piràmide triangular c) Piràmide pentagonalb) Piràmide quadrangular d) Piràmide hexagonal

a)

b)

c)

d)

Dibuixa una piràmide regular i una altra d’irregular.

Regular Irregular

055●

054●

Cossos geomètrics

F

F

F

F

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 310

Dibuixa una piràmide recta i una altra d’obliqua que tinguin la mateixa base.

Recta Obliqua

Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmide triangular regular amb aresteslaterals de 6 cm i de base un triangle equilàter de 4 cm de costat.

Identifica similituds i diferències entre una piràmide triangular regular i un tetraedre.

El tetraedre és una piràmide triangular amb la característica que les aresteslaterals mesuren el mateix que les arestes de la base i, per tant, és una piràmide triangular regular.

Digues quines afirmacions són verdaderes i corregeix les falses. Justifica la teva decisió.

a) En una piràmide regular, les cares laterals són triangles equilàters.

b) Una piràmide és un prisma triangular.

c) L’altura d’una piràmide és qualsevol de les arestes laterals.

d) Una piràmide regular és un tetraedre.

a) Falsa, perquè els triangles són isòsceles.

b) Falsa, perquè la piràmide té cares laterals que són triangles, i els prismes, paral·lelograms.

c) Falsa, perquè l’altura és la perpendicular que passa pel vèrtex superior.

d) Falsa, perquè el tetraedre és una piràmide regular en què les aresteslaterals mesuren el mateix que les arestes de la base.

059●●

058●

057●

056●

311

10SOLUCIONARI

4 cm

6 cm

F

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 311

312

Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides:

Piràmide quadrangular:

AT = AB + AL = 252 + 100 ⋅ 31,62 = 3.787 m2

Piràmide pentagonal:

A A AT B L= + =⋅

+⋅

=30

2

30

224,12 8,49

189,15 m

a' = − =5,1 4,12 m2 23

a = − =9 32 2 8,49 m

a = − =34 12 52 2, 31,62 m

34 m

25 m

9 m

6 m

5,1 m F

061●●

060

Cossos geomètrics

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ÀREA D’UNA PIRÀMIDE SI EN CONEIXEM

LES ARESTES?

Calcula l’àrea total d’aquesta piràmide:

PRIMER. Calculem l’apotema de la piràmide.

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que for-men l’apotema de la piràmide, la meitat del costat de la base i l’aresta lateral.

252 = a2 + 52 →

SEGON. Calculem l’apotema de la base.

Apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que formen l’apotema dela base, la meitat del costat de la base i el radi de la base.

TERCER. Determinem l’àrea

AP a P a

TB B=

⋅+

⋅=

⋅ ⋅+

⋅ ⋅=

2 2

6 10 24 49

2

6 10 8 66

2

' ( ) , ( ) ,9994,5 cm2

10 5 10 52 2 2 2 2= + = − =( ) 8,66 cma a' '→

10 c

m

5 cm

r = 10 cm

r

a'r

F

a = − =25 5 24 492 2 , cm5 cm

25 cm

a

10 cm

25 cm

a

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 312

313

10

Troba l’àrea total d’un tetraedre d’aresta:

a) 3 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 6,2 cm

a)

b)

c)

d)

Calcula l’àrea total d’aquestes piràmides:

a) b)

a)

b)

Determina l’àrea total d’una piràmide hexagonal regular que té una àrea de la base de 100 cm2 i una altura de 20 cm.

Com que la base és un hexàgon: .

Calculem l’apotema de la piràmide:

L’àrea lateral és: .

AT = 100 + 385,02 = 485,2 cm2

AL = ⋅⋅

=62

26,2 20,7385,02 cm

a = + =5,36 20,7 cm2 220

→ →c c= = =38,5 6,2 cm 5,36 cm3

2

3 3

2100

100 2

3 32 2c c= =

⋅=→ →38,5

A

c c

cB = ⋅⋅

=6

3

2

2

3 3

22

064●●

A A AT B L= + =⋅

+⋅

=36

2

32

225,2 9,54

265,52 m

a' = + =8 272 9,54 ma = − =6 32 2 5,2 m

A A AT B L= + = +⋅

=6432

2210,77

236,32 m

a = + =10 42 2 10,77 m

8 m

6 m

10 m

8 m

063●●

A AT B= ⋅ = ⋅⋅

=4 42

26,2 5,3766,59 cma = − =6,2 3,1 5,37 cm2 2

A AT B= ⋅ = ⋅⋅

=4 49

227,79

140,22 cma = − =92 24,5 7,79 cm

A AT B= ⋅ = ⋅⋅

=4 45

224,33

34,3 cma = − =52 22,5 4,33 cm

A AT B= ⋅ = ⋅⋅

=4 43

222,6

15,6 cma = − =32 21,5 2,6 cm

062●●

SOLUCIONARI

c

3

2c

c

2

G

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 313

L’àrea total d’una piràmide quadrangular regular és de 4 cm2 i l’altura és de 6 cm. Calcula l’aresta d’un cub que té com a àrea total la mateixa que la de la piràmide.

AT = 6 ⋅ AB → 4 = 6c2 → c = 0,81 cm

Troba la longitud de l’aresta d’un tetraedre perquè la seva àrea sigui igual que la d’una piràmide hexagonal regular, amb aresta bàsica de 3 cm i apotema de les cares laterals de 10 cm.

Piràmide hexagonal:

Tetraedre:

L’aresta del tetraedre és de 8,1 cm.

L’altura d’un cilindre és de 9 cm i el diàmetre de la base fa 6 cm. Dibuixa’n el desenvolupament.

Calcula l’àrea total d’aquests cilindres:

a) b)

a) A = 2π ⋅ 72 + 2π ⋅ 7 ⋅ 10 = 747,32 m2

b) A = 2π ⋅ 122 + 2π ⋅ 12 ⋅ 5 = 1.281,12 m2

5 m

12 m

10 m

7 m

068●

067●

A Ac c

c cT B= ⋅ = ⋅⋅

= =4 4

3

22

3 2→ → →113,4 113,4 8,1 cm

a cc

c= −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =2

2

2

3

2

A A AT B L= + =⋅

+⋅

=18

2

18 10

222,6

113,4 cm

a = − =32 21,5 2,6 cm

066●●●

065●●●

314

Cossos geomètrics

9 cm

2πr

3 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 314

315

10

Troba l’altura d’un cilindre d’àrea lateral 756,6 cm2

i radi de la base 10 cm.

AL = 2πrg → 756,6 = 2π ⋅ 10 ⋅ g →

L’àrea total d’un cilindre és de 471 m2 i l’altura és el doble del radi. Calcula’n l’altura i el radi.

→ 471 = 2πr 2 + 2πr ⋅ 2r →→ 471 = 6πr 2 → r = 5 cm

h = 2r h = 10 cm

Dibuixa el desenvolupament d’un con i calcula el valor de la longitud de l’arcdel sector corresponent, si el radi de la base del con és de 4 cm, i la generatriu, de 15 cm.

La longitud de l’arc és igual a la longitud de la circumferència de la base:L = 2π ⋅ 4 = 25,12 cm.

Un con té 12 cm de generatriu i 8 cm de diàmetre de la base. Calcula’n l’àrea total.

A = 2π ⋅ 42 + 2π ⋅ 4 ⋅ 12 = 401,92 cm2

Troba l’altura d’un con de generatriu 13 cm i radi de la base 5 cm.

Calcula el radi d’una esfera si saps que l’àrea de la seva superfície és de 803,84 cm2.

A = 4πr 2 → 803,84 = 4πr 2 → r = 8 cm

074●●

h = − =13 5 122 5 cm

073●●

072●

071●

r = 5 cm⎯⎯⎯⎯→

471 2 22

2= +=

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

π πr rhh r

070●●

g = =756,6

62,8cm12

069●●

SOLUCIONARI

15 c

m

4 cm

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 315

316

Troba l’àrea total d’aquestes figures:

a) A = 2πrg + πr 2 + πrg' → A = 2π ⋅ 5 ⋅ 10 + π ⋅ 52 + π ⋅ 5 ⋅ 10 →→ A = 314 + 78,5 + 157 = 549,5 cm2

b) A =

= 50 + 150 + 157 = 357 cm2

Esbrina quina ha de ser la generatriu del con perquè tots dos tinguin:

a) La mateixa àrea lateral.

b) La mateixa àrea total.

a) AL = 2π ⋅ 10 ⋅ 1.000 = 62.800 cm2

62.800 = π ⋅ 10 ⋅ g → g = 2.000 cm

b) AT = 2π ⋅ 10 ⋅ 10 + 2π ⋅ 10 ⋅ 1.000 = 63.428 cm2

63.428 = π ⋅ 10 ⋅ 10 + π ⋅ 10 ⋅ g → g = 2.010 cm

Les parets i el sostre d’una habitació tenen una àrea de 94 m2. Si el terra és un rectangle de 7 m de llargada i 4 m d’amplada, quina altura té l’habitació?

ASostre = ATerra = 7 ⋅ 4 = 28 m2

Les quatre parets ocuparan una àrea de: 94 − 28 = 66 m2.

Hi ha dues parets de 7 m de llargada i altura h, i dues parets més de 4 m de llargada i altura h.

2 ⋅ 7 ⋅ h + 2 ⋅ 4 ⋅ h = 66 → 14h + 8h = 66 → 22h = 66 → h = 3 m

Un edifici té forma de prisma recte de 30 m d’altura i la base és un triangle equilàterde 5 m de costat. Quines àrees lateral i total té l’edifici?

AL = 15 ⋅ 30 = 450 m2

AT = ⋅⋅

+ =25

2540 24,33

561,65 m

a = − =52 22,5 4,33 m

078●●

077●●

10 c

m

10 cm 10 cm

076●●●

10 5 10 10 5 5 52 5 2 5 5

2

2

⋅ + + + + ⋅ +⋅ + ⋅ ⋅

=( )π π

10 cm

10 cm 10 cm

5 cm

10 cm

a) b)

5 cm

G

075●●

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 316

317

10

Calcula l’àrea lateral i la total d’un monòlit en forma de piràmide hexagonal que té el costat de l’hexàgon de 10 cm i el costat dels triangles laterals de 25 cm.

AL = 60 ⋅ 24,49 = 1.469,4 cm2

Determina quant costarà construir aquest edifici si saps que el metre quadrat de totxos costa 4,35 €, i el de teules, 9,65 €.

Terrat de la torre:

Terrat de l’església:

A = 2 ⋅ 15,81 ⋅ 30 = 948,6 m2

Façanes laterals: 2 ⋅ (30 ⋅ 15 + 10 ⋅ 30) = 1.500 m2

Façanes frontals i del darrere: 15 ⋅ 30 + 15 ⋅ 15 + 15 ⋅ 15 = 900 m2

Cost de les teules: (223,6 + 948,6) ⋅ 9,65 = 11.311,73 €

Cost dels totxos: (1.500 + 900) ⋅ 4,35 = 10.440 €

Cost total: 11.311,73 + 10.440 = 21.751,73 €

Una tenda de campanya de forma cònica té una altura de 2 m i un diàmetre d’1 m. Quants metres quadrats calen per folrar-la, inclosa la base?

L’àrea total de la tenda és la superfície que s’ha de folrar:

A = π ⋅ 0,52 + 2π ⋅ 0,5 ⋅ 2 = 7,065 m2

081●●

l = + =15 52 2 15,81 m

A =⋅

=40

2211,18

223,6 m

a = + =10 52 2 11,18 m

080●●

AT =⋅

+ =60

228,66

1.469,4 1.729,2 cm

a' = − =25 52 2 24,49 cm

a = − =10 52 2 8,66 cm

079●●

15 m

30 m 10 m 15 m

10 m

5 m G

GF

30 m

GF

SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 317

318

Una bobina de paper de forma cilíndrica té una altura d’1,75 m i un diàmetre de la base circular de 80 cm. Calcula’n l’àrea total.

A = 2π ⋅ 402 + 2π ⋅ 40 ⋅ 175 = 54.008 cm2

Determina la superfície esfèrica d’una pilota que té 30 cm de diàmetre.

A = 4π ⋅ 152 = 2.826 cm2

Calcula l’àrea total d’aquestes figures:

Àrea de la casa:

Àrea del gelat:

Àrea de la cúpula:

Si considerem C = 11, V = 11 i A = 20 es compleix la fórmula d’Euler. Hi ha cap poliedre les cares del qual coincideixin amb aquestes quantitats? En cas afirmatiu, dibuixa’l.

Sí, per exemple un prisma coronat per una piràmide.

085●●●

A =⋅

+ ⋅ =4 5

25

22π

π 235,5 m2

A =⋅

+⋅ ⋅

=4 3

2

2 3 7

2

π π94,2 cm2

A = ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅

=π ππ

3 2 32

22 2,5

3,5 4,03119,65 m2

g Teulada 3,5 4,03 m= + =22 2

7 cm

3 m

2,5

m

3,5 m

2 m

10 m

5 m

3 cm

084●●

083●

082●●

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 318

319

10

Amb 1.000 cubs petits construïm un cub gran que té 10 cubs per aresta. Tot seguit, pintem les 6 cares del cub. Quants cubs petits tenen 3 carespintades? Quants cubs petits tenen 2 cares pintades? I quants en tenen 1?Quants cubs petits no tenen cap cara pintada?

Tenen 3 cares pintades els que formen les cantonades: 8 cubs petits..

Tenen 2 cares pintades els que formen les arestes menys els que estan a les cantonades: 12 · 8 = 96 cubs petits.

Tenen una cara pintada els que formen les cares exteriors menys les arestes: 81 · 6 = 486 cubs petits.

No tenen cap cara pintada: 1.000 − 486 − 96 − 8 = 810 cubs petits.

L’Enric té 36 cubs de fusta per fer construccions. Quants prismes diferents pot formar si utilitza tots els cubs?

Si considerem que són iguals els prismes que tenen les mateixes dimensions,encara que estiguin en posicions diferents, tenim aquests prismes amb les dimensions següents:

1 ⋅ 1 ⋅ 36 1 ⋅ 6 ⋅ 6

1 ⋅ 2 ⋅ 18 2 ⋅ 2 ⋅ 9

1 ⋅ 3 ⋅ 12 2 ⋅ 3 ⋅ 6

1 ⋅ 4 ⋅ 9 3 ⋅ 3 ⋅ 4

En total, pot formar 8 prismes diferents.

Una formiga es desplaça des del punt X fins al punt Ysobre la superfície d’un cilindre.

Quina és la distància mínima que ha recorregut la formiga?

La distància mínima recorreguda és fer menys d’una volta. Si desenvolupem l’àrea lateral, la distància és la diagonal d’un rectangle amb base la meitat de la circumferència i amb altura l’altura del cilindre.

L = + ⋅h r2 2( )π

088●●●

087●●●

086●●●

SOLUCIONARI

X

Y

π ⋅ r

h L

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 319

320

A LA VIDA QUOTIDIANA

L’empresa FAÇANES NETES es dedica a la restauració i la neteja de façanesd’edificis. L’última feina que els han encarregat consisteix a netejar les finestres i les portes, i també a polir el marbre, de la façana d’un edifici.

Per elaborar el pressupost, un tècnic s’ha acostat fins a l’edifici per prendre mides.

Aquestes mides les lliura al Departament de Facturació i Pressupostos, on calculen els costos de la neteja.

089●●●

17 m 9 m

2 m

1 m

1m1 m

2 m

3 m

5 m

Cossos geomètrics

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 320

321

Quin és el cost de la neteja total de l’edifici?

Suposem que l’edifici ocupa tota l’illa de cases i que les finestres es reparteixen de manera semblant per tot l’edifici.

El nombre de finestres és: 2 ⋅ 9 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 = 108 finestres, que tenen una àrea de 108 ⋅ 1 ⋅ 2 = 216 m2, que és la superfície de vidre de les plantes altes.

El marbre que cobreix cada finestra té una superfície de: 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 = 10 m2, en què 1.080 m2 és la superfície de marbre en les plantes altes.

A la planta baixa hi ha una porta amb 8 vidres de: 2 ⋅ 3 = 6 m2, que fan un total de 48 m2 de vidre a la planta baixa.

La superfície del marbre de la planta baixa és la superfície del sòcol menys la de l’espai de la porta: (17 ⋅ 2 + 9 ⋅ 2) ⋅ 5 − 4 ⋅ 3 = 248 m2.

El cost de la neteja de l’edifici serà:

48 ⋅ 8,50 + 216 ⋅ 14,30 + 248 ⋅ 19,80 + 1.080 ⋅ 26,10 = 36.595,20 €

L’escultora Mara Cisell ha rebut un encàrrec de l’ajuntament de Burí.

Volem una escultura que simbolitzi la relació entre l’ésser humà

i la natura... La simbiosi entre la nostra gent i l’entorn que els envolta.

090●●●

A la planta baixa A la planta alta

Vidre 8,50 €/m2 14,30 €/m2

Marbre 19,80 €/m2 26,10 €/m2

COSTOS DE NETEJA

10SOLUCIONARI

830885 _ 0292-0323.qxd 13/11/08 13:29 Página 321

322

L’escultora ha pensat fer una escultura de granit, que és la pedra predominantde la comarca, amb una estructura similar a aquesta.

Quan ha trucat a una pedrera on li poden proporcionar el granit, l’han informatque tenen aquestes peces:

Per aconseguir l’estructura que vol haurà de fer un tall al con i un altre a l’esfera. A quina altura els ha de fer?

Com que són triangles semblants:

Ha de tallar el con a 1,37 m de la base.

Ha de tallar l’esfera a una distància de 30 cm del centre, és dir, a 20 cm de la superfície.

h = − =0,5 0,4 0,3 m2 2

1,4

2,4

0,81,37 m= =

hh→

Un con de 2,4 m d’altura

i un diàmetre d’1,4 m.

Un cilindre de 0,4 m

de radi i 0,6 m d’altura.

Una esfera de 0,5 m

de radi.

Cossos geomètrics

1,4 m

2,4 m 0,8 m

h

0,8 m

0,5 mh

G

F

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 322

323

10

Tenim un tros de suro d’aquesta forma:

Si la boca de l’ampolla és un cercle de 314 mm2 d’àrea, a partir de quin punt podem tallar el suro perquè serveixi per tapar l’ampolla?

El radi de la boca de l’ampolla és:

A = πr 2 → 314 = πr 2 → r = 10 mm = 1 cm

El diàmetre és de 2 cm.

L’altura del con és: .

L’altura del tronc de con mesurarà: .

S’ha de tallar el suro a partir de 2,29 cm de la base.

4

2= =

4,582,29 cm

hh→

H = − =5 22 2 4,58 cm

091●●●

314 mm2

SOLUCIONARI

4 cm

5 cm

4 cm

5 cm 2 cm

h

H

830885 _ 0292-0323.qxd 4/11/08 15:55 Página 323