166

バスタブ渦の起源

同志社大学 工学研究科 田中大介 (Daisuke Tanaka)

同志社大学 工学部 水島二郎 (Jiro Mizushima)

京都大学 工学研究科 木田重雄 (Shigeo Kida)

1. はじめに

バスタブやキッチンの流し台て水が渦を巻きながら流れ出るのが日常生活てよく見られる. これまて,

この現象に多くの人々が関心をもち研究を行ってきたにもかかわらす, その発生のメカニズムはまだ明らかになっていない.

この問題に対して初めて詳細な実験を行ったのは Shapiro 1) てある. Shapiro は北半球にあるボストンで, 円形の貯水槽の中心に設けられた流出口から水が流出するときに発生する渦の回転方向を可視化により調べる実験を行った. 撹乱が渦の発生に影響を与えないように非常に注意深く実験を行った結果,常に反時計回りの渦が確認され, 渦の回転方向は地球自転の影響によるコリオリカによって決定されると結論つけた. また, 彼は容器のもつわすかな非軸対称性や温度差などの撹乱がコリオリカよりも大きい場合は, その撹乱によって渦の回転方向が決定つけられることも同時に指摘した. この結果は台風な

どの地球規模で発生する自然現象における渦の回転方向と一致しているために広く支持されてきた.Shapiroが行ったバスタブ渦の実験では, 水が排出されて時間とともに水面高さが変化するのて定常問題として扱うことはできない. それに対し, 川久保 2) は流入流量と流出流量を調整し, 水面高さ一定

の条件て実験を行った. 彼はいろいろな流出流量について周方向速度を計測し , バスタブ渦の発生する

臨界流出流量を求めた. またパスタブ渦の発生には 2 つのタイプがあり, その発生の仕方は周辺の流れ

の状況に強く左右されることを報告した. その後, Shingubara and Kawakubo 3) は流出口周辺にてき

る渦を詳しく調べ, 時間的に変化するいくつかの弱い渦が, 流出流量の増加とともに安定な 1 つの渦に統合されることを実験的に見いだした.

Fernandez-Feria and Sanmiguel-Rojas 4) は自由表面をもたない密閉された容器に満たされた流体中

のバスタブ渦の発生を流速測定実験により調べた. その結果, 川久保の結果と同様にバスタブ渦はレイ

ノルズ数がある臨界値を超えたときに発生し, また解の分岐構造は超臨界ピッチフォーク分岐てあると結論つけた. 彼らは時計回りと反時計回りのどちらの渦も観測されたと報告している.

渦の構造を詳しく調べたのは Noguchi et al. 5) である. 彼らは一定速度て回転している円筒容器中に形

成される渦を計測するために, PIV(Particle Image Velocimetry) を用いた流速測定と垣 $\mathrm{F}(\mathrm{L}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}$ InducedFluorescence) による可視化実験を行い, 発生した渦とランキン渦との比較を行った. その結果, 流出流

量が多いときには, 渦はランキン渦と同様の構造をしており, 流出流量が少ないときには渦が発生しないことが確認された. また, 流出口付近では渦を伴った上昇流が存在し , 流入口から流入した流体は, 容

器の壁と底に形成される境界層を通り, 流出叫こ近つくと上昇した後, 再ひT降して排出 D}こ流れ込む

と結論つけた. このような渦の核の周りに形成される上昇流については, Anderson et al. 6) による数値

解析によっても示されている.本研究ては, 円筒容器中に満たされた流体が, 水面高さを一定に保った状態て底中央に設けられた流出口から流出する場合に生じるバスタブ渦の起源および構造を, 数値シミュレーション, 線形安定性解析およひ実験により調ぺる. また流れ場は中心軸に対して軸対称であり, 流体は非圧縮性流体てあると

仮定する.

数理解析研究所講究録 1406巻 2004年 166-177

187

Out flow

図 1 実験装置の概略図.

2. 実験

2-1. 実験装置およひ実験方法バスタブ渦の起源とその構造を明らかにするために流れ場の可視化実験およひ流速測定実験を行う.実験装置の概略を図 1 に示す- 実験槽として内径 $D=290\mathrm{n}1\mathrm{m}$ , 高さ $H=50\mathrm{m}\mathrm{m}$ の円筒容器を使用し, 材

質は可視化のためにアクリルを採用した. 円筒容器外縁部に 2 種類のスポンジを組み合わせた整流壁を設置して, そこから水を溢れ出させることにより水面高さを一定に保つ. 流出四ま直径 $2d=20\mathrm{m}\mathrm{m}$ , 流

出パイプ長さ $h=100\mathrm{m}\mathrm{m}$ とした. 代表長さを流出口半径 $d$ , 代表速度を流出流量 $Q$ から算出した流出口

における平均流速 $Q/(\pi d)$ にとり, レイノルズ数を $Re=Q/(\pi d\nu)$ て定義する. 水温は常に 20℃に保っ

た. そのときに動粘性係数 $\nu$ は $1.004\mathrm{m}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ である. また実験におけるロスビー数は $Ro=6.0\cross 10^{4}$ か

ら $Ro=3.0\cross 10^{5}$ の間をとった. 実験は京都 (緯度 35 度) て行っており, そこての地球の自転による角

速度は $\Omega=4.17\cross 10^{-5}(\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s})$てある.

流れ場をレーザー. ドツプラ流速計 (LDV) による流速測定と水素気泡法およぴボスターカラーを用いた流れの可視化によって調べる. LDV による流速測定ては水素気泡法て発生した水素およひ水道水に含まれる不純物をトレーサーとして用いた. LDV はカノマツクス社製の FLV SYSTEM8851 およひ

DANTEC DYNAMICS社製の BSA F60 を使用し, 周方向速度の測定は図 1 に示される点 $\mathrm{P}$ で行う. 点

$\mathrm{P}$ は流出口の円周部の延長直線上 $(r=1\mathrm{O}\mathrm{m}\mathrm{m})$ , 容器底面 $z=25\mathrm{m}\mathrm{m}$ の高さてある. 流れの可視化実験

ては水素気泡法によって発生した水素に対してスリント光を容器側面からあて, 側面およひ上面から撮

影する. スリット光源はモリテックス社製の MHF-G150LR を用い, 撮影にはニコン社製デジタノレカメ

ラ DIOO を用いた.

2-2. 実験結果

Shapiro の報告はバスタブ渦が容器のもつわすかな非軸対称性や周方向の撹乱に大きく影響されることを示している. したがって, 実験装置を製作するにあたっては, 装置が軸対称性を保つようこ精度よく

工作を行い, 実験においても周方向の撹乱の発生を出来るだけ抑制するよう [こ努めた. 図 2 に $Re=625$

およひ $Re=1280$ のときの上方から見たポスターカラーによる流れ場の可視化写真を示す. 図 $2(\mathrm{a})$ よ

188

(a) (b)

図 2 流れの可視化写真. (a) $Re=625$ . 非回転流れ. (b) $Re=1280$ . バスタブ渦流れ.

x1O-3

10

$u_{\phi}$

5

0

$Re$

図 3 分岐ダイアグラム (実験結果). $u\emptyset$ : 代表点 $\mathrm{P}$ ての周方向速度.

り $Re=625$ のときは渦は発生しておらす回転無しの吸い込み流れとなっているが, Re=1280(図 $2(\mathrm{b})$ )

ては時計回りのバスタブ渦流れとなっていることがわかる. ここて, 回転無しの吸い込み流れを非回転

流れと呼ぶことにする. この結果から, 非回転流れからバスタブ渦流れに遷移する臨界レイノルズ数が存在すると考えられる. 図 1 に示される代表点 $\mathrm{P}$ における周方向速度をそれそれのレイノルズ数につい

て計測した. その計測値を図 3 に黒丸て示す. 計測点に最小 2 乗法を用いて 2 次曲線近似し, 得られた

曲線が実線てある. この近似曲線が横軸と交わる点 (周方向速度力 $.\backslash \cdot$ 0 となる点) のレイノルズ数の値は665 となる. すなわち, 本実験において非回転流れからバスタブ渦流れに遷移する臨界レイノルズ数が$Re_{c}=665$ てあることを示している. 川久保と Fernandez-Feria and Sanmiguel-Rojas もそれぞれ臨界レイノルズ数を求めているが, 実験条件が異なるために本実験とその値を直接比較することはてきない.しかし臨界レイノルズ数が存在するという点については一致している. 今回の実験て, バスタブ渦が発

生しているときの渦の回転方向は, 時計回りおよひ反時計回りどちらも同じ程度観測されており, この

実験に関する限りバスタプ渦の回転方向は偶然に支配されていると考えられる.$Re=1200$ における周方向速度 $u\emptyset$ の動径方向の分布は図 4 のように求められた. また, そのときの

流れ場 (可視化写真) は図 5. のようになった. 図 4 と図 $5(\mathrm{a})$ は底面からの高さ $z=10\mathrm{m}$m, 図 $5(\mathrm{b})$ は$z=30\mathrm{m}\mathrm{m}$における速度分布てある. それぞれの Bi上り周方向速度 $u\emptyset$ は流出円筒上部 $(r=1\mathrm{O}\mathrm{m}\mathrm{m})$ まて

199

$\cross 10^{-3}$

$r$

図 4 周方向速度 $u\emptyset$ の動径方向分布 (実験結果). $Re=1200$ , $z=10\mathrm{m}$m.

(a) (b)

図 5 タイムライン (水素気泡による可視化写真). $Re=1200$ . (a) $z=10\mathrm{m}\mathrm{m},$ (b) $z=30\mathrm{m}$m.

線形に増加しており, そこから半径が大きくなるにしたがい漸近的に減少して $\mathrm{A}\mathrm{a}$る. これらの結果力 $\backslash$ ら,

バスタブ渦の構造は内側が強制渦, 外側が自由渦の組合せであるランキン渦 5) であると考えられる.

3. 数値シミュレーション

3-1. 定式化およひ数値計算法実験から得られた結果をより詳しく分析するために, 数値シミュレーションを行った. 数値シミュレー

ションて用いるモデルの概略を図 6 に示す. 円筒容器上部から流入した流体は容器内を通過し, 底中’む

に設けられた流出口から流出する. 計算領域における流れ場は完全な軸対称てあると仮定する. 基礎方

程式はナビエ = ストークス方程式と連続の式である. モデルの軸を通る鉛直断面を図 7 に示す. 流れを

支配する無次元パラメータてあるレイノルズ数およひロスビー数は

$Re= \frac{Q^{*}}{\pi r_{2}^{*}\nu}$ , $Ro= \frac{Q^{*}}{2\pi r_{2}^{*3}\Omega}$ (1)

170

図 6 流れ場の概略図.

て定義される. ここては, 流出口 (図 7 の $\mathrm{F}\mathrm{G}$ ) における平均流速 $Q^{*}/\pi r_{2}^{*2}$ およひ流出口半径 $r_{2}^{*}$ を代表速度およひ代表長さとしており 1

$Q^{*}$ は流出流量である. アスタリスク ‘は物理変数が次元量てあることを示している. また, $\nu$ は動粘性係数である.

図 7 容器の鉛直断面と座標系.

すべての物理量を代表長さ $r_{2}^{*}$ と代表流速 $Q^{*}/\pi r_{2}^{*2}$ て無次元化し, アスタ )$1$ スクの付けた物理変数を無

次元化したときそのアスタリスクを省略することとする. 座標系には円筒座標系 $(’ \phi, z)$ を用いる. 軸

対称性の仮定より流れ場は $\phi$ 方向の依存性をもたす, 計算領域は片側半分の領域 (図 7 の ABCDEFGA)

についてのみ行う. この仮定より, 子午面内の流れ関数 $\psi(r, z, t)$ を導入することがてきる. 流れ関数と

速度 $u_{f}$ と $u_{z}\text{の}$関係は$u_{r}= \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}$ , $u_{z}=- \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}$ (2)

て表される.

171

流れ関数 $\psi(r, z, t)$ , 周方向渦度 $\omega\emptyset(r, z, t)$ , 周方向速度 $u\emptyset(r, z, t)$ を用いて定式化を行う. 系全体は角

速度 $\Omega$ で回転しているものとし, 系と共に回転する円筒座標系を用いる. 発展方程式はナビエーストー

クス方程式とポアソン方程式てあり, それぞれ,

$\frac{\partial\omega_{\phi}}{\partial t}-J(\psi, \omega_{\phi})-\frac{1}{r^{2}}\omega_{\phi^{\frac{\partial\psi}{\partial z}-}}(\frac{2}{r}$u$\phi+\frac{1}{Ro}$) $\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}=\frac{1}{Re}(\Delta_{2}\omega_{\phi}-\frac{\omega_{\phi}}{r^{2}}$ ), $(3)$

$\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t}-J(\psi, u_{\phi})+\frac{1}{r^{2}}u_{\phi^{\frac{\partial\psi}{\partial z}+\frac{1}{Ro}\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}=}}\frac{1}{Re}(\Delta_{2}u_{\phi}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}})$ , (4)

$\omega_{\phi}=\frac{1}{r}D^{2}\psi$ (5)

で表される. ここで,

$J(g, h) \equiv\frac{1}{r}(\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial h}{\partial z}-\frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial h}{\partial r})$ :$\Delta_{2}\equiv\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$, $D^{2} \equiv\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

てある. 運動方程式には回転系の効果としてコリオリカによる項と遠心力による項が現れるが, 遠心力

は保存則なのて圧力項に含むことがてきる.境界条件は, 自由表面 (図 7 の AB) では水面高さ一定の仮定から鉛直方向速度が 0 てある条件を用い

る. また, 水平方向の応力がないという条件より, 渦度と周方向速度の鉛直方向微分を 0 とする.

$\psi=\psi_{0}$ , $\frac{\partial\omega_{\phi}}{\partial z}=0$ , $\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}=0$ . (6)

ここて, $\psi_{0}$ は定数てある. 流入口 (図 7 の $\mathrm{B}\mathrm{C}$ ) ては一様流入条件を用いる. このとき, 流入口と流出口

における流量が等しいことより, 流入条件は

$\psi=\frac{Q}{2\pi r_{1}d}rz+\psi_{1}$ , $\omega_{\phi}=0$ , $u_{\phi}=0$ (7)

となる. ただし, $\psi_{1}$ は定数てある. また, $\psi_{2}$ を定数として, 壁 (図 7 の CDEF) における粘着条件は

$\psi=\psi_{2}$ , $\omega_{\phi}=\frac{1}{r}D^{2}\psi$ , $u_{\phi}=0$ , $\frac{\partial\psi}{\partial r}=0$ (8)

と表せる. 流出口 (図 7 の $\mathrm{F}\mathrm{G}$ ) てはつぎの流出条件を用いる.

$\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}=0$ , $\frac{\partial\omega_{\phi}}{\partial z}=0$ , $\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}=0$ . (9)

また軸対称性の仮定より, 中心軸 (図 7 の $\mathrm{G}\mathrm{A}$) の境界条件として, 中心軸を横切る流れと渦度力 (0 てあ

る条件$\psi=0$ , $\omega_{\phi}=0$ , $u_{\phi}=0$ (10)

を用いる.

数値計算においては差分法を用いる. 図 7 に示される計算領域を $r,$ $z$ 方向にそれぞれ等間隔 $\Delta r,$ $\Delta z$

に分割する. 時間微分をオイラーの前進差分て近似し, 発展方程式の数値シミュレーションて $l\mathrm{h}$ $(3)-(5)$

式を境界条件 $(6)-(10)$ のもとて初期値境界値問題として数値的に解く. 空間微分 tま全て 2 次精度の中.

差分て近似する. またポアソン方程式は SOR 法 (Succesive Over Relaxation method) Iこより解く. 収

束条件として反復計算中のある計算ステツプでの流れ関数と, 一つ前の計算ステツプての流れ関数の値

の差を全ての格子点について和をとり, その残差の相対誤差が $10^{-10}$ 以下となったとき [ごは解?2収束し

172

$Re$

図 8 分岐図. 数値シミュレーション結果. 実線: $Ro=\infty$ , 波線: $Ro=5000$ .

$–.–\equiv.=.---.---=---$

$\cdot$ -.–..クー$.—-=^{-}-\equiv^{-}.\cdot----$

$|$

$\mathrm{i}\cdot|$

: $-|\};.$ . $\cdot$

$.\backslash \cdot$.. . $\cdot$

$.\cdot|-$.$:-$. $\cdot$ .—-

$|$

$\{..||’$

.

$\dot{.\mathrm{f}}$

$||$

$\mathrm{i}$

.

(a) (b)

図 9 流れ場. $Re=625,$ $Ro=\infty$ . (a) 鉛直断面内の流線, (b) uゆの等速度線.

たと判断して, SOR法の反復計算を終了する. また, ある時間ステップとーっ前の時間ステップて, っ

ぎの条件を \mbox{\boldmath $\omega$}ゆと uゆが満たすとき, 解は定常状態に達したものとして計算を打ち切る.

$\frac{\sum_{i=0}^{M}\sum_{j_{-}^{-}0}^{N}|(\omega_{\phi},u_{\phi})_{i,j}^{t+\mathrm{J}}-(\omega_{\phi},u_{\phi})_{i,j}^{t}|}{\sum_{i=0}^{M}\sum_{j=0}^{N}|(\omega_{\phi},u_{\phi})_{i,j}^{t+1}|}<10^{-10}$.

3-2. 数値シミュレーショ $’\backslash$結果

計算領域を $r_{1}=15,$ $r_{2}=1,$ $z_{1}=5,$ $z_{2}=10$ とおき, 系が静止している場合 $(Ro=\infty)$ と回転している場

合 $(Ro=5000)$ について, $0<Re\leq 1000$ の範囲て数値シミュレーションを行った. 図 7 に示される定点$\mathrm{Q}(r=1.0, z =2.5)$ における周方向速度 $u\mathrm{Q}$ のレイ \nearrowルズ数に対する依存性を図 8 に示す. 図 8 において実線は系が静止しているとき $(Ro=\infty)$ の分岐図を表し, 破線は回転しているとき $(Ro=5000)$ の分

岐図を表す. 系が静止している場合, レイノルズ欲が小さいときには流れ場は非回転流れてあるが, レ

イノルズ数がある臨界値よりも大きいところてバスタプ渦流れが分岐していることがわかる. このバス

173

$z$

図 10 半径方向速度 $u_{r}$ の $z$ 分布. $Re=625,$ $Ro=\infty$ .

タブ渦が発生する臨界レイノルズ数は $Re_{\mathrm{c}}=588$ てあり, 臨界レイノルズ数近傍ての流れのふるまいを詳しく調べた結果, 解の分岐構造はピッチフオーク分岐てあることがわかった. また, 系が回転してい

る場合ては, レイノルズ数が小さいときでもある程度の周方向速度をもっており, レイノルズ数によら

すバスタブ渦が存在する. このときの渦の回転方向は系の回転方向により一意的に決定される. この解の構造は, ピツチフオーク分岐の構造不安定 9) によって発生することがわかつている. すなわち, 地球

の自転に代表される系の回転はピッチフオーク分岐を構造不安定にし, とんな小さなレイノルズ数ても

バスタブ渦が発生することを示している.

系が静止している場合の $Re=625$ における流線およひ周方向速度の等高線を図 9 に示す. 図 $9(\mathrm{a})$ よ

り流入口から一様に流入した流体が, 求心的に流出口に出て行く様子がわかる. また容器の角には再循

環領域が生じている. $Re=625$ における各半径ての中心方向の流速 $u_{r}$ の $z$ 方向分布は図 10 のようにな

る. この図より半径方向速度 $u_{r}$ は中心軸に近いほど大きく, 容器の底付近のほうが上部に比べて半径方

向速度が大きくなっていることがわかる. 容器の底に形威される境界層と流出口上方の流れ場の様子を詳しく調べた結果, Noguchi et al. や Anderson et al. が報告した渦周りの上昇流の存在は確認されなかった. 容器底面から高さ $z=1.0$ における周方向速度 $u_{\phi}$ の分布を図 11 に示す- 周方向速度 $u_{\phi}$ は原点から

$r$ 方向に $u_{\phi}\propto r$ で増加しており, 流出部円筒上部 $r=0.4$て最大値をとる. また流出口円筒上部 $(r=1.0)$

より外側ては $u_{\phi}\propto r^{-1}$ で減衰している. 次に $z=1.0$ における鉛直方向の渦度 $\omega_{z}(=1/r\cross\partial’(ru\phi)/\partial r)$

の分布を図 12 に示す. 渦度 $\omega_{z}$ は軸中心付近のみで大きな値をもち, 流出口上部 $(r\leq 1)$ 以外ではほほ

0 となっている. 図中の破線は流出口の幅を示している. 鉛直方向の渦度 $\omega_{z}$ が 0 てある流れは自由渦流

れと呼ばれる. これらの結果から, バスタブ渦の構造は渦の内側が強制渦, 流出口円筒上部外側が自由

渦となっていることが確認された. この結果は実験結果とも良く一致している.

4. 非回転流れの線形安定性

4-1. 非線形定常解非線形非回転流れの線形安定性を調べる. 非線形定常解は, 基礎方程式 (3), (4) を時間発展法で数値

シミュレーションすることによっても得られるが, より正確な定常解を求める場合には基礎方程式 (3),

174

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}^{1}1:_{f_{1}^{1},\mathfrak{l}1}.\}4|||!|||_{1}|1|1|\mathrm{I}||_{1}\mathrm{I}1_{\mathrm{I},||}^{\mathrm{I}}|:_{1}|!||1||$

5

図 11 周方向速度 $u\emptyset$ の半径方向分布. $Re=625,$ $Ro=\infty$ .

(4) て時間項を省略した次の定常方程式を解く.

$-J( \psi, \omega_{\phi})-\frac{1}{r^{2}}\omega_{\phi^{\frac{\partial\psi}{\partial z}-}}$ ( $\frac{2}{r}$ u$\phi+\frac{1}{Ro})\frac{\partial u_{\phi}}{\partial z}=\frac{1}{Re}(\Delta_{2}\omega_{\phi}-\frac{\omega\phi}{r^{2}}$), (11)

$-J( \psi, u_{\phi})+\frac{1}{r^{2}}u_{\phi^{\frac{\partial\psi}{\partial z}+\frac{1}{Ro}\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}=}}\frac{1}{Re}(\Delta_{2}u_{\phi}-\frac{u_{\phi}}{r^{2}})$ (12)

定常解を直接計算するためには SOR法を用い, 境界条件式 $(6)-(10)$ のもとて方程式 (11)-(12) を解く.

ここでは非回転流れを考えているのて周方向速度 $u\emptyset$ は 0 てある.

数値計算においては時間発展方程式の数値シミュレーションと同様に, 空間微分を 2 次精度の中心差分で近似し , 得られた代数方程式を数値的に解ぐ あるステップと一つ前のステップで, $\psi$ と $\omega\emptyset$ がつぎ

の条件

$\frac{\sum_{i=0}^{M}\sum_{j_{-}^{-}0}^{N}|(\omega_{\phi},\psi)_{i,j}^{n+1}-(\omega_{\phi},\psi)_{i,j}^{n}|}{\sum_{i=0}^{M}\sum_{j=0}^{N}|(\omega_{\phi},\psi)_{i,j}^{n+1}|}<10^{-10}$

を満たせば, 解は定常状態に達したものとして計算を打ち切る.

4-2. 線形安定性理論系が静止している場合の非回転流れの線形安定性解析 9) を行う. 流れ場を基本解 (非回転定常解) と

撹乱の和で表し, この撹乱の時間発展を調べることにより基本解の線形安定性を調べることがてきる.ここては, 基本解だけてなく撹乱も軸対称てあると仮定する. 基本解 $\overline{\psi}$ と $\overline{u}\phi$ に微小撹乱 $\psi’(r, z, t)$ と

$u_{\phi}’$ (r, $z,$ $t$ ) を加え, $\psi$ と $u\emptyset$ をそれそれを $\psi=\overline{\psi}+\psi’,$ $u\emptyset=\overline{u}\emptyset+u_{\phi}’$ のように表す- 静止系すなわちロス

ビー数は無限大なのて撹乱を支配する方程式は,

$\frac{\partial\omega_{\phi}’}{\partial t}$

$=$ $J( \overline{\psi},\omega_{\phi}’)+J(\psi’,\overline{\omega}_{\phi})+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial\overline{\psi}}{\partial z}\omega_{\phi}’+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial\psi’}{\partial z}\overline{\omega}_{\phi}+\frac{1}{Re}(\Delta_{2}\omega_{\phi}’-\frac{\omega_{\phi}’}{r^{2}})$ ,

$\omega_{\phi}’$ $=$ $\frac{1}{r}D^{2}\psi’$ ,

$\frac{\partial u_{\phi}’}{\partial t}$

$=$$J( \overline{\psi},u_{\phi}’)-\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial\overline{\psi}}{\partial z}$ u$\phi’+\frac{1}{Re}(\Delta_{2}$u$’ \phi-\frac{u_{\phi}’}{r^{2}})$ (13)

のように表され, この式より $\psi’$ と $u_{\phi}’$ は分離していることがわかる. すなわち, $\psi’\neq 0$ となるモード

と $u_{\phi}’\neq 0$ となるモードが存在する. ここては周方向の撹乱のみを考えるので, 撹乱方程式は $u_{\phi}’$ につ

175

$\mathrm{x}10^{-2}$

4$\mathrm{i}|$

$\dot{|}|$

$\omega_{z}$

3$i$

$i.\cdot$

$||$.2 !.$\mathrm{i}$

$\mathrm{i}$

1$i|$

.$\mathrm{i}|$

0$i|!.\cdot$

$\mathrm{i}.\cdot$

-15-10-50 10 15$r$

図 12 鉛直方向渦度 $\omega_{z}$ の半径方向分布. $Re=625,$ $Ro=\infty$ .

いてのみ解けばよい. このときの流れ関数の撹乱或分は $\psi’=0$ てある. 線形撹乱方程式の解として

$u’\phi$ ( $r,$ $z$ , t)=\^u $\emptyset(r, z)\exp(\lambda t)$ を仮定する. ここで, $\lambda$ は線形増幅率と呼ばれ, 一般には複素数てあるが,

数値シミュレーションの結果から線形増幅率は実数てあることが示されており, 線形増幅率が正てあれ

ば撹乱は時間と共に指数関数的に成長する. この $u_{\phi}’$ を (13) 式の第 3 式に代入すると $\mathrm{f}$

線形増幅率 $\lambda$ を

支配する方程式$\lambda\hat{u}_{\phi}-J(\overline{\psi},\hat{u}_{\phi})+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial\overline{\psi}}{\partial z}\hat{u}_{\phi}=\frac{1}{Re}(\Delta_{2}\hat{u}_{\phi}-\frac{\hat{u}\emptyset}{r^{2}})$ (14)

が得られる. \^u\phi の境界条件は

$\frac{\partial\hat{u}_{\phi}}{\partial z}=0$ (AB), $\hat{u}_{\phi}=0$ (CDEF)

$\frac{\partial\hat{u}_{\phi}}{\partial r}=0$ , (BC), $\frac{\partial^{2}\hat{u}_{\phi}}{\partial z^{2}}=0$ (FG) (15)

となる.

線形増幅率 $\lambda$ を支配する方程式 (14) は $\lambda$ を固有値とした固有値問題となっており, この固有値問題を

SOR法により境界条件 (15) のもとに数値的に解 $<1$ 空間微分は 2 次精度の中心差分て近似し, 等間隔

格子を用いる. SOR法の収束条件はすべての点で, 一つ前の繰り返し計算ステツプての流れ関数と比較を行 $\mathrm{A}$

$\mathrm{a}$ , その最大値が $10^{-10}$ 以下になれば計算を収束したと判定する. また, 線形固有関数を図 7 て示

される $\mathrm{R}$ 点の値て規格化する.

このようにして求めた線形増幅率を図 13 に示す. 線形増幅率 $\lambda$が 0 となる点は中立安定てあり, 計算

の結果その点は $Re=593.8$ となった. すなわち, 基本流の安定性は臨界レイノ /レズ数 $Re_{c}=593.8$ て

入れ替わり, Re>Re。ては基本流が不安定になる. この結果は, 数値シミュレーションの結果とも非常によく一致しており, 両者の臨界レイノルズ数の相対誤差は約 1%となった. 線形安定性理論によって

得られた線形固有関数 $\hat{u}_{\phi}$ の $Re=625$ における等速度分布線を図 14 に示す- 図 14 [こ示される分布線 $[]\mathrm{h}$

数値シミュレーションによって得られた周方向速度の等高線 (図 $9(\mathrm{b})$ ) と非常によく似て $\mathrm{A}\mathrm{a}$る. 線形安定

178

x1O-2

$Re$

図 13 線形増幅率 $\lambda$ .

$\overline{.\cdot..\cdot.\cdot.\cdot.\backslash \cdot.\cdot.‘...\cdot.\cdot..\cdot.‘..\cdot.\dagger\dot{}\dot{}i_{\mathrm{i}_{1^{’}}^{i}}^{\cdot \mathrm{i}_{}^{!\dot{_{!}}}}i\mathrm{i}|^{\dot{}}\{^{_{\mathrm{i}}}i^{\mathrm{i}}i_{\dot{}_{ 1}}\dot{}..\mathrm{i}..-\cdot.\cdot.\cdot.\cdot..._{}...\cdot..}$

$_{}^{}$ :

図 14 線形固有関数. 周方向速度 \^u\emptyset の等速度分布. $Re=625,$ $Ro=\infty$ .

性の結果から, Kawahara and Mizushima 7) の結論と同様にバスタブ渦は非回転流れの不安定性によって生じていると結論される.

5. 結論

数値シミュレーションおよひ線形安定性解析の結果, バスタブ渦の起源は非回転流れの不安定性により発生しており, 解の分岐構造はピッチフォーク分岐てあることがわかった. このことから, 静止系ては

バスタブ渦の回転方向は一意的に決まらす偶然に支配されることになる. しかし, 系が回転系におかれ

ている場合は, ピッチフォーク分岐は構造不安定なので $\text{コ}|$) オリカの影響を考慮すると, どんなに小さ

なレイノルズ数でもバスタブ渦は発生し , そのときの渦の回転方向は系の回転方向により一意的に決定される. ただし, そのように決まる渦の回転方向は絶対的なものではなく, コリオリカよりも大きな撹乱が加われば簡単に逆回転の渦が発生する可能性がある. 実験て渦の回転方向が一意に決定されながった理由は, 容器の非軸対称性およひ撹乱がコリオリカよりも大きかったためてある.

177

一般に装置の非軸対称性や温度などの撹乱はコリオリカに比べて非常に大きい. つまり我々が日常見ているバスタブ渦の回転方向はコリオリカだけでは決定てきない. このことは, 非常に厳密な実験を行っ

た場合にはバスタブ渦はコリオリカによって回転方向を決定づけられることを示している. この結論はShapiro の実験結果に非常によく一致している.

参考文献1) $\mathrm{A}.\mathrm{H}$ . Shapiro, “ Bath-tub vortex ” Nature, 196, 1080-1081 (1962).

2) 川久保達之, “ 吸い込み口のまわりの渦流 ” 日本物理学会誌, 36, 831-833 (1981).

3) S. Shingubara, T. Kawakubo, “ Formation of vortices around a sinkhole” J. Phys. Soc. Japan, 57 1026-1030(1984).

4) R. Fernandez-Feria and E. Sanmiguel-Rojas, “ On the appearance of swirl in a confined sink flow ” Physicsof Fluid, 12, 3082-3085 (2000).

5) T. Noguchi, S. Yukimoto, R. Kimura and H. Niino, “ Structure and instability of a sink vortex ” Chamonix,F4080, 1-6 (2003).

6) A. Anderson, T. Bohr, B. Stenum, J. Juul Rasmussen, B. Lautrup, “ Anatomy of a bathtub vortex ” Phys.Lett, 91, 1-4 (2003).

7) H. Kawahara and J. Mizushima, “ Generation mechanism of sink-hole vortex$\mathrm{r}$

Private communication,(2000).

8) 酉島製作所, “ 取水部に発生する旋回流 $’$’社内研修資料, 1-63 (1992).

9) 水島二郎, 藤村薫,「流れの安定性」 (朝倉書店, 東京, 2003), 1-1181