INTRODUCTIONAUX PLANSDEXPRIENCES9782100592968-LivreGoupy.fmPage ILundi, 4. f vrier 201312:25 12 9782100592968-LivreGoupy.fmPage IILundi, 4. f vrier 201312:25 12Jacques GoupyINTRODUCTIONAUX PLANSDEXPRIENCESAvec applications5e dition9782100592968-LivreGoupy.fmPage IIILundi, 4. f vrier 201312:25 12DU MME AUTEURPratiquer les plans dexpriences, Dunod, 2005Pratiquer les plans dexpriences : les mlanges, Dunod, 2001 Dunod, Paris, 2001, 2006, 2009, 2013 Bordas, Paris, 1988 pour la 1re ditionISBN 978-2-10-059296-89782100592968-LivreGoupy.fmPage IVLundi, 4. f vrier 201312:25 12VTABLE DES MATIRESTable des matiresV Avant-proposIX1 Faites connaissance avec la mthode des plans dexpriences11.1 Processus dacquisition des connaissances11.2 tude dun phnomne31.3 Terminologie41.4 Variables centres rduites81.5 Points exprimentaux91.6 Plans dexpriences102 Votre premier plan dexpriences152.1 Exemple 01 : je matrise la consommation de ma voiture153 Plan dexpriences pour 3 facteurs313.1 Exemple 02 : des bijoux en or313.2Conclusion de ltude474 Plans factoriels complets 4 facteurs494.1 Exemple 03 : la galette des rois504.2Fonction dsirabilit604.3Application lexemple 03644.4Conclusion de ltude655 Notions de statistique appliques aux plans dexpriences675.1 Exemple 04 : dure de vie des outils de coupe jetables685.2Notions de statistique appliques aux plans dexpriences715.3Facteurs et interactions influents815.4Analyse de la variance825.5Application lexemple 04855.6Conclusion de ltude919782100592968-LivreGoupy.fmPage VLundi, 4. f vrier 201312:25 12VI6 Plans factoriels fractionnaires936.1 Exemple 05 : le tellure946.2Thorie des aliases976.3Calcul de Box996.4Relation dquivalence1026.5Gnrateurs daliases1046.6Construction pratique dun plan fractionnaire1056.7Nombre maximal de facteurs tudis sur un plan de base1126.8Application de la thorie des aliases lexemple 051126.9Conclusion de ltude1137 Exemples de plans factoriels fractionnaires1157.1 Exemple 06 : la sulfonation1167.2 Exemple 07 : le spectrofluorimtre1247.3 Exemple 08 : les pommes de terre chips1408 Ordre des essais1478.1 Nature des erreurs1488.2 Exemple 09 : le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking)1518.3 Exemple 10 : les haricots de Yates1618.4 Exemple 11 : le broyeur (exemple de plan anti-drive)1688.5 Avantages et dangers de la randomisation1759 Plans pour surfaces de rponse1799.1 Prsentation des plans composites1799.2 Prsentation des plans de Box-Behnken1809.3 Prsentation des plans de Doehlert1819.4 Exemple 12 : la rectification du contrematre (exemple de plan composite)1849.5 Exemple 13 : un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken)1949.6 Exemple 14 : linsecticide (exemple de plan de Doehlert)19910 Plans de mlanges20710.1 Contrainte fondamentale des mlanges20710.2 Reprsentation gomtrique des mlanges20810.3 Plans de mlanges classiques21210.4 Modles mathmatiques des plans de mlanges21510.5 Exemple 15 : les trois polymres2179782100592968-LivreGoupy.fmPage VILundi, 4. f vrier 201312:25 12VII11 Notion de plan optimal22111.1 Exemple dHotelling22111.2 Peses et plans dexpriences22311.3 Optimalit22511.4 Plans optimaux avec un modle linaire22911.5 Quand utiliser des plans optimaux ?23211.6 Adaptabilit des plans optimaux23211.7 Exemple 16 : dveloppement dun dtecteur de fissures23511.8 Exemple 17 : les comprims du pharmacien24011.9 Exemple 18 : la crme bronzer24812 Carrs latins et plans associs25512.1 Exemple 19 : les salaires un facteur discret plusieurs niveaux25512.2 Suite de lexemple 19 deux facteurs discrets plusieurs niveaux25712.3 Carrs latins26412.4 Carrs grco-latins26512.5 Carrs de Youden26612.6 Exemple 20 : tude de la pntromtrie26712.7 Interaction entre facteurs discrets27012.8 Analyse de la variance dun modle avec interactions27413 Les plans facteurs mixtes27913.1Plans un facteur28013.2Plans deux facteurs28313.3Plans trois facteurs28413.4Plans quatre facteurs28513.5Plans n facteurs28613.6Exemple 21 : les deux catalyseurs28713.7Quaurait donn un plan fractionnaire ?29613.8Conclusion sur les plans facteurs mixtes30214 Les plans en parcelles divises ou plans split-plot30314.1 Introduction30314.2 Exemple 22 : le mas30414.3Exemple 23 : les revtements anti-corrosions31314.4Exemple 24 : crale31914.5 Conclusion sur les plans split-plot3279782100592968-LivreGoupy.fmPage VIILundi, 4. f vrier 201312:25 12VIII15 Les plans uniformes32915.1Introduction32915.2 Les diffrents plans uniformes33015.3 La modlisation mathmatique de la rponse34015.4Application34315.5Plans uniformes pour plusieurs facteurs35015.6 Utilisation des plans uniformes en exprimentation classique35116 Synthse et conseils35316.1 Choix dune mthode dexprimentation35316.2 Exprimentation35916.3 Analyse des rsultats35916.4 Acquisition progressive des connaissances36116.5 Recommandations36216.6 Limites de lexprimentique362A Origine des exemples365B Comparaison de deux moyennes indpendantes369C Sries dessais laissant les facteurs principaux insensibles une drive linaire371D Introduction au calcul matriciel377E Tlcharger un logiciel de plans d'expriences 383Bibliographie385Index397Liste des exemples 4019782100592968-LivreGoupy.fmPage VIIILundi, 4. f vrier 201312:25 12IX Dunod La photocopie non autorise est un dlit. AVANT-PROPOSPour la cinquime dition de ce livre nous avons complt le chapitre 12 sur lesfacteurs discrets et nous avons ajout un chapitre sur les plans en parcelles diviss.Lechapitre12comprendmaintenantunparagraphesurlesinteractionsentrefacteursdiscretsetunparagraphesurlanalysedelavariancedecesfacteurs.Lenouveauchapitre,lechapitre14,concernelesplanssplit-plot(ouplansenparcelles diviss) qui ont toujours t trs utiliss en agriculture. Depuis une ving-taine dannes les exprimentateurs industriels ont pris conscience que beaucoupdanalyses de leurs plans ne tenaient pas compte des restrictions la randomisationsouvent prsente dans leur exprimentation. Or ds que le niveau dun facteur estdifcile changer, les essais sont regroups pour viter ces changements. La rando-misation est alors partielle et le plan devient un plan split-plot dont lanalyse doittre traite diffremment des plans classiques. La premire et la deuxime dition de ce livre ne traitaient que des plans factoriels,complets ou fractionnaires. La troisime dition comportait, en plus, des chapitressurlesplanspoursurfacesderponse,surlesplansdemlanges,surlesplansD-optimaux et sur les plans pour variables discrtes. La quatrime dition introduisaitun chapitre sur les plans contenant des facteurs continus et des facteurs discrets quisoulventdesdifcultsparticulires.Cettequatrimeditionintroduisaitgale-ment un chapitre sur les plans uniformes qui sont importants dans le domaine dessimulations numriques et sont maintenant utiliss en exprimentations classiques. Ce livre est complt par un blog (http://www.plansdexperiences.com) sur lequelvoustrouverezdesexplicationssupplmentairessurlesexemples,desmanuelsd'introduction aux logiciels et les chiers tlchargeables des exemples. NoustenonsremercierBrunoBournique,MichelGenetay,EmmanuelGrenier,Rmi Longeray, Alain Morineau, Lalatiana Rakotozafy qui ont relu les manuscrits desdeux nouveaux chapitres de cette quatrime dition et qui nous ont fait bncier deleurs suggestions et de leurs conseils. Nousconseillonsauxlecteursquiveulentapprofondirleursconnaissances,d'accompagnerleurlectureparl'excutiondescalculsavecunlogiciel.Parexemple MINITAB, Statgraphics, JMP ou Modde qui peuvent tre tl-charg en version complte gnralement valable un mois gratuitement. Ils pourront ainsi approfondir les analyses et procder leur propre interprtation.Nous avons essay de fournir aux lecteurs tous les outils et toutes les explicationspourqu'ilspuissentutiliserfacilementlamthodedesplansd'expriencespourleurs propres travaux. Il nous reste leur souhaiter : Bons plans d'expriences ! .Jacques Goupy, Paris (France), Mars 20139782100592968-LivreGoupy.fmPage IXLundi, 4. f vrier 201312:25 129782100592968-LivreGoupy.fmPage XLundi, 4. f vrier 201312:25 121 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 FAITES CONNAISSANCE AVECLA MTHODE DES PLANS DEXPRIENCESSi vous lisez ce livre cest que, probablement, vous faites des expriences et que vouscherchezmieuxlesorganiser.Vouscherchezsurtoutnefairequelesbonnesexpriences,cest--direcellesquivontvousapporterlameilleureinformationexprimentale que vous puissiez esprer.Ce livre est crit pour vous aider. Il va vous dcrire la mthode et les outils pour quevous ne fassiez plus que les bonnes expriences et que vous en tiriez le maximumde renseignements. Vous prendrez vos dcisions en connaissance de cause et voustrouverez des solutions vos problmes.Nous allons dabord regarder comment sintgrent les plans dexpriences dans leprocessus dacquisition des connaissances. Puis, nous verrons les concepts de basequi permettent de bien dnir une tude et comment lon interprte les rsultatsdes essais.1.1 Processus dacquisition des connaissancesAugmentersesconnaissances,cesttrouverlarponseunequestionpose.Oncommence donc par se poser une ou plusieurs questions (Figure 1.1). Par exemple,silondsireconnatrelinuencedunengraissurlerendementenblduneparcelle de terrain, on pourra se poser les questions suivantes qui, bien sr, ne sontpas limitatives : Peut-on obtenir 10 quintaux de bl de plus lhectare en augmentant la quantitdengrais ? Quelle est lincidence de la pluie sur lefcacit de lengrais ? La qualit du bl restera-t-elle bonne si jutilise cet engrais ? Combiendois-jeutiliserdengraispourobtenirlaquantitmaximaledeblpar hectare ? Ces questions dlimitent le problme rsoudre et xent les travaux excuter.Ilestdoncimportantdeseposerlesquestionsquicorrespondentrellementauproblme. Bien sr, avant dentreprendre des expriences, il est prudent de vrierque linformation cherche nexiste pas dj ailleurs. Dans ce but, on effectue uninventaire des connaissances, soit une bibliographie, soit une consultation dexperts,soituncalculthorique,soittouteautredmarcheayantpourbutderpondre,9782100592968-LivreGoupy.fmPage 1Lundi, 4. f vrier 201312:25 1221.1 Processus dacquisition des connaissances 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencessansexprience,auxquestionsposes.Aprscettephasedenqute,lesquestionsinitiales peuvent tre entirement rsolues et il ny a plus de problme. Dans le cascontraire,certainesquestionsrestententiresouellessontmodies :ilestalorsncessaire dentreprendre des expriences pour obtenir les rponses compltes quelon souhaite. Ce travail pralable fait partie du mtier dexprimentateur et nousninsisterons pas. Ce nest pas sur cette phase du processus que nous voulons faireporter notre effort de rexion et damlioration.Nayant plus que les questions sans rponse immdiate, il faut faire des expriences.Comment peut-on choisir ces expriences pour :arriver rapidement aux meilleurs rsultats possibles,viter de raliser des expriences inutiles,obtenir la meilleure prcision possible sur les rsultats,permettre davancer coup sr,tablir la modlisation du phnomne tudi,dcouvrir la solution optimale.Lestroisaspectsessentielsduprocessusdacquisitiondesconnaissancessontlessuivantes :le choix de la mthode dexprimentation,lanalyse des rsultats,lacquisition progressive de la connaissance.Examinons plus en dtail ces trois aspects sachant que les expriences sont organisespour faciliter lexploitation des rsultats et pour permettre lacquisition progressivedes rsultats dintrt.Figure 1.1 Les plans dexpriences optimisent les trois parties encadres du processus dacquisition desconnaissances.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 2Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.2 tude dun phnomne3 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriences1.1.1 Choix de la mthode dexprimentationLa mthode dexprimentation choisie doit faciliter linterprtation des rsultats.Elle doit galement minimiser le nombre des essais sans toutefois sacrier la qualit.La thorie des plans dexpriences assure les conditions pour lesquelles on obtientla meilleure prcision possible avec le minimum dessais. On a donc le maximumdefcacit avec le minimum dexpriences et par consquent le cot minimum.1.1.2Analyse des rsultatsLanalyse des rsultats dexpriences est facilite par le choix initial des expriences.Les rsultats seront faciles interprter et riches denseignement si lon a bien prparles expriences.Grce aux ordinateurs et aux logiciels la construction des plans dexpriences et lescalculs ncessaires leur interprtation sont devenus trs simples. Ces outils favorisentgalement les reprsentations graphiques qui illustrent de manire spectaculaire lesrsultats et amliorent la comprhension des phnomnes.1.1.3Acquisition progressive de la connaissanceLexprimentateurquientreprendunetudeneconnatpaslesrsultats,ilestdonc sage davancer progressivement pour pouvoir rorienter les essais en fonctiondes premiers rsultats. Une premire bauche permettra de mieux orienter les essaisvers les seuls aspects intressants de ltude et dabandonner les voies sans issues.Une premire srie dexpriences conduit des conclusions provisoires ; en fonc-tion de ces conclusions provisoires, on lance une nouvelle srie dessais. Lensembledes deux sries dexpriences est utilis pour obtenir un contour prcis des rsultatsdtude.Lexprimentateuraccumuleainsilesseulsrsultatsdontilabesoinetsarrte ds quil a obtenu ce quil cherche.1.2 tude dun phnomneLtude dun phnomne revient souvent sintresser une grandeur particulirecommelaconsommationdessencedunevoitureoucommeleprixderevientdunproduitchimiqueouencorecommelerendementenblduneparcelledeterrain.Cettegrandeur,consommation,prixourendement,dpenddungrandnombre de variables. La consommation de la voiture est fonction de la vitesse duvhicule, de la puissance du moteur, de la manire de conduire, de la direction etdelaforceduvent,dugonagedespneumatiques,delaprsenceounondunporte-bagages, du nombre de personnes transportes, de la marque de la voiture,etc. Le prix du produit chimique dpend de la qualit des matires premires, desrendements des units de production, des spcications imposes, des conditionsde fabrication, etc. Il en est de mme pour le rendement en bl qui est fonction delanatureduterrain,delaquantitdengraisincorpor,delexpositionausoleil,du climat, de la varit de bl ensemenc, etc.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 3Lundi, 4. f vrier 201312:25 1241.3 Terminologie 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesSousuneformemathmatique,onpeutcrirequelagrandeurdintrt,y,quenousappelleronsgalementrponseparlasuite,estunefonctiondeplusieursvariables xi (variables que nous appellerons aussi facteurs par la suite). On a :y = f (x1,x2,x3,,xk)Ltude du phnomne se ramne dterminer la fonction f( ) qui lie la rponse yaux diffrents facteurs x1, x2, , xk.Pour approfondir cette approche il faut introduire quelques notions particulireset une terminologie spcique aux plans dexpriences.1.3 TerminologieLa grandeur dintrt, qui est gnralement note y, porte le nom de rponse. Lesvariables qui peuvent modier la rponse sont appeles facteurs. On parle donc desfacteurs qui inuent sur une rponse. Les termes facteur et rponse sont universellementemploys dans le domaine des plans dexpriences.1.3.1Les diffrents types de facteursLaconstructiondesplansetlinterprtationdesrsultatsdpendentengrandepartie des types de facteurs rencontrs dans ltude. On distingue plusieurs typesde facteurs. Nous retiendrons les types de facteurs suivants : les facteurs continus,les facteurs discrets, les facteurs ordonnables, les facteurs boolens.m Facteurs continusLapressionestunexempledefacteurcontinu.Dansunintervalledepressiondonn, on peut choisir toutes les valeurs possibles. Il en est de mme dune longueur,dune concentration ou dune temprature. Les valeurs prises par les facteurs continussont donc reprsentes par des nombres continus.m Facteurs discretsAu contraire, les facteurs discrets ne peuvent prendre que des valeurs particulires.Cesvaleursnesontpasforcmentnumriques :onpeutreprsenterunfacteurdiscretparunnom,unelettre,unepropritoummeparunnombrequinaalorsensoiaucunevaleurnumriquemaisquunesignicationderepre.Parexemple, on peut sintresser aux couleurs dun produit : bleu, rouge et jaune sontdes facteurs discrets.m Facteurs ordonnablesIl sagit de facteurs discrets que lon peut mettre dans un ordre logique. Par exemple,grand, moyen, petit, ou encore premier, deuxime, troisime et quatrime.m Facteurs boolensLes facteurs boolens sont des facteurs discrets qui ne peuvent prendre que deuxvaleurs : haut ou bas, ouvert ou ferm, blanc ou noir, etc.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 4Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.3 Terminologie5 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesLafrontireestparfoisoueentrecesdiffrentstypesdefacteurs.Unecouleur,facteurapparemmentdiscret,peuttretransformeengrandeurordonnableetmmecontinuesilonintroduitlanotiondelongueurdonde.Unfacteurcontinu, comme la vitesse, peut tre transform en facteur ordonnable ou discret :rapide et lent, ou vitesse A et vitesse B. Cette possibilit nest pas un inconvnient,cest une souplesse supplmentaire dont lexprimentateur pourra tirer avantage aumoment de linterprtation. En effet, suivant le choix effectu, on pourra mettreplus facilement en relief un aspect particulier de ltude. Le changement de typesdevariablesestaussiunmoyendadapterlarponselobjectifdeltude.Parexemple,onpossdelgedesmembresdunepopulation.Siloncherchelgemoyen, la variable ge sera choisie continue. Si lon cherche le pourcentage despersonnes ayant un ge donn, la variable ge sera choisie ordonnable : il y auraplusieurscatgoriesdniesparleslimitesdge,lesjeunes,lesadolescents,lesadultes et les seniors. Si lon cherche la proportion de jeunes de moins de 18 ans,la variable ge sera choisie boolenne : les moins de 18 ans et les plus de 18 ans.Lacomprhensiondesplansdexpriencessappuiesurlanotionessentielledespaceexprimentaldesgrandeurstudies.Nousallonsexaminerendtailceconcept fondamental. Nous insisterons sur les facteurs continus qui sont les pluscouramment utiliss.1.3.2Espace exprimentalPourprsenterlespaceexprimentalnousutiliseronsunespacedeuxdimen-sions, ce qui facilitera les reprsentations graphiques. Il est ensuite facile dtendreles notions introduites des espaces multidimensionnels.Un facteur continu peut tre reprsent par un axe gradu et orient. Sil y a unsecond facteur continu, il est reprsent, lui aussi, par un axe gradu et orient.Cesecondaxeestdisposorthogonalementaupremier.Onobtientainsiunrepre cartsien qui dnit un espace euclidien deux dimensions. Cet espaceest appel lespace exprimental (gure 1.2). Lespace exprimental comprend tousles points du plan facteur 1 facteur 2 et chacun deux reprsente une exp-rience.Figure 1.2 Chaque facteur est reprsent par un axe gradu et orient. Les axes des facteurs sontorthogonaux entre eux. Lespace ainsi dfini est lespace exprimental.Espace exprimental9782100592968-LivreGoupy.fmPage 5Lundi, 4. f vrier 201312:25 1261.3 Terminologie 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesSil y a un troisime facteur, on le reprsente aussi par un axe orient et gradu, etonlepositionneperpendiculairementauxdeuxpremiers.partirdequatrefacteurs,onopredemme,maisilnyaplusdereprsentationgomtriquepossible et lon doit adopter une reprsentation purement mathmatique de lespaceexprimental qui est un hypervolume quatre dimensions.1.3.3Domaine dun facteurLa valeur donne un facteur pour raliser une exprience est appele niveau.Lorsquon tudie linuence dun facteur, en gnral, on limite ses variations entredeuxbornes.Laborneinfrieureestleniveaubas.Labornesuprieureestleniveau haut. Si lon tudie linuence de la vitesse du vhicule sur la consommation,celle-ci peut varier, par exemple, entre 80 et 120 km/h. La vitesse de 80 km/h estle niveau bas et la vitesse de 120 km/h est le niveau haut. Cest lexprimentateurqui dnit ces deux niveaux en fonction des spcicits de ltude. Lensemble detoutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut,sappelleledomainedevariationdufacteurouplussimplementledomainedufacteur.Sil y a plusieurs facteurs, chacun deux son domaine de variation. An davoirune reprsentation commune pour tous les facteurs, on a lhabitude dindiquer lesniveaux bas par 1 et les niveaux hauts par +1. La vitesse de 80 km/h est le niveau1 et celle de 120 km/h est le niveau +1.lintrieurdudomainedunfacteurcontinutouteslesvaleurssontthorique-ment possibles. On peut donc y choisir deux, trois ou plusieurs niveaux selon lesbesoins de ltude. Par exemple, si lon veut tablir un modle du second degr, onchoisira trois ou quatre niveaux, cest--dire trois ou quatre vitesses diffrentes.1.3.4Domaine dtudeDanslapratique,lexprimentateurslectionneunepartiedelespaceexprimentalpourralisersontude.Cettezoneparticuliredelespaceexprimentalestledomainedtude(gure1.4).Cedomaineestdniparlesniveauxhautsetlesniveauxbasdetouslesfacteursetventuellementpardescontraintesentrelesfacteurs.Supposonsquelesecondfacteursoitlasurchargeduvhiculedniecomme toute masse supplmentaire celle du vhicule et du chauffeur. Le niveauFigure 1.3 Le domaine de variation de la vitesse est constitu de toutes les vitesses comprises entre 80 et120 km/h. Le niveau bas du facteur est not 1 et le niveau haut +1.80 km/hniveau basVitesse du vhiculeniveau hautDomaine d'tude de la vitesse du vhicule 1 + 1120 km/h9782100592968-LivreGoupy.fmPage 6Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.3 Terminologie7 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesbas de la surcharge est 0 kg et le niveau haut 300 kg, par exemple. Sil ny a pas decontraintes, le domaine dtude est reprsent par tous les points dont les surchargessontcomprisesentre0et300 kgetdontlesvitessessontcomprisesentre80et120 km/h.Ilpeutyavoirdescontraintessurledomainedtude.Parexemple,ilpeuttreimpossibledatteindrelavitessede120 km/havecunesurchargetropleve.Lagure 1.5 illustre une rduction possible du domaine dtude initial. Une zone dudomaine dtude initial chappe aux expriences.Figure 1.4 Le domaine dtude est dfini par la runion des domaines des diffrents facteurs (ici, il ny apas de contraintes).Figure 1.5 Le domaine dtude sous contraintes est reprsent par la partie grise.+ 1+ 1 1 Facteur 1Facteur 2Domaine d'tudeVitesseSurcharge80 km/h0 kg300 kg120 km/h 1 + 1+ 1 1 1Vitesse ( km/h)Surcharge(kg)Domaine d'tude300080 120Zone exclue 9782100592968-LivreGoupy.fmPage 7Lundi, 4. f vrier 201312:25 1281.4 Variables centres rduites 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriences1.4 Variables centres rduitesLorsquon attribue la valeur 1 au niveau bas dun facteur et la valeur +1 au niveauhaut, on effectue deux modications importantes :Ondplaceloriginedesmesures.Danslexemplechoisi,lemilieudelinter-valle [1 ; +1] correspond une valeur de 100 km/h. La valeur numrique de lanouvelle origine, zro, diffre donc de lorigine exprime en unit courante.On change lunit de mesure. Par exemple, si le niveau bas du facteur vitessedu vhicule est 80 km/h et le niveau haut 120 km/h, il y a 40 km/h entre cesdeuxvaleurs,soit40foislunitdevitesse.Entre 1et+1ilyadeuxunitsnouvelles : la nouvelle unit vaut 20 km/h, on lui donne le nom de Pas.Cesdeuxmodicationsentranentlintroductiondenouvellesvariablesquelonappellevariablescentresrduites(v.c.r) :centrespourindiquerlechangementdorigine et rduites pour signaler la nouvelle unit. On utilise galement le termede variables codes ou dunits codes.Le passage des variables dorigine A aux variables codes x, et inversement, est donnpar la formule suivante (A0 est la valeur centrale en units courantes) :{1.1}Lintrtdesunitscodesestdepouvoirprsenterlesplansdexpriencesdelamme manire quels que soient les domaines dtude retenus et quels que soient lesfacteurs. La thorie des plans dexpriences prsente ainsi une grande gnralit.Lutilisation des v.c.r est trs rpandue dans les logiciels de plans dexpriences etcertaines oprations comme la recherche des meilleurs points dexpriences par lecritre de D-optimalit ne sont ralisables quavec ces variables.Les variables codes rsultent du rapport de deux grandeurs de mme unit physique,elles sont donc sans dimension. La disparition des units naturelles associe au faitquetouslesfacteursontlemmedomainedevariation(deuxunitscodes)permet la comparaison directe des effets des facteurs entre eux.Application 1Un exprimentateur choisit pour le facteur vitesse de la voiture 80 km/h comme niveau bas et120 km/h comme niveau haut. Quelle est, en variables codes, la valeur de la vitesse de 90 km/h ?Calculons le Pas du facteur vitesse. Il est gal la moiti de la diffrence entre le niveau haut et leniveau bas :A0 est la valeur centrale entre le niveau haut et le niveau bas, cest--dire la moiti de la somme duniveau haut et du niveau bas :Appliquons la relation {1.1} :Pour cet exemple, la vitesse de 90 km/h est donc gale 0,5 en variables codes.xA A0Pas--------------- =PasA+1A1 2----------------------120 80 2--------------------- 20 = = =A0A+1A1 +2----------------------120 80 +2--------------------- 100 = = =xA A0Pas---------------90 100 20--------------------- 0,5 = = =9782100592968-LivreGoupy.fmPage 8Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.5 Points exprimentaux9 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesApplication 2Onpeutaussichercherlavaleurnormaleconnaissantlavaleurcode.Quelleest,enunitsnormales, la valeur de la vitesse de +0,5 en units codes ? crivons la relation {1.1} :Do : A = +100 + 0,5 20 = 110La vitesse code de 0,5 correspond une vitesse de 110 km/h.1.5 Points exprimentauxDans un espace deux dimensions, le niveau i du facteur 1, not x1,i, et le niveau jdu facteur 2, not x2,j, peuvent tre considrs comme les coordonnes dun pointdelespaceexprimentaloududomainedtude(gure1.6).Parexemple,sileniveau de la vitesse est 90 km/h et celui de la surcharge est 250 kg, les coordonnesdu point exprimental sont :x1,i= 90 km/hx2,j= 250 kgUne exprience donne est alors reprsente par un point dans ce systme daxes.Cest la raison pour laquelle une exprience est souvent dsigne par lexpressionpoint exprimental, point dexprience ou mme simplement point. Un plan dexp-riences est donc reprsent par un ensemble de points exprimentaux, eux-mmessitus dans lespace exprimental. Dans lexemple que nous avons pris, lexprienceest conduite sur un vhicule qui roule 90 km/h avec une surcharge de 250 kg.Jusqutroisfacteurs,ilestpossiblededessinerledomainedtude.Au-deldetrois facteurs, on utilise une reprsentation en tableau, dite matricielle, plus gnralepuisquelle permet de reprsenter les points dexpriences dans un hypervolume un nombre quelconque de dimensions.Figure 1.6 Dans lespace exprimental, les niveaux des facteurs dfinissent des points exprimentaux.+0,5A 100 20------------------ =Facteur 2Facteur 1Point exprimentalx2, jx1, iVitesseSurcharge90 km / h250 kg9782100592968-LivreGoupy.fmPage 9Lundi, 4. f vrier 201312:25 12101.6 Plans dexpriences 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriences1.6 Plans dexpriences1.6.1Mthodologie des plans sans contrainteLe choix du nombre et de lemplacement des points dexpriences est le problmefondamentaldesplansdexpriences.Onchercheraliserleminimumdexp-riences tout en rduisant linuence de lerreur exprimentale sur les modlisationsmathmatiques qui serviront prendre des dcisions. On atteint ce but en consi-drantlespropritsmathmatiquesetstatistiquesquirelientlarponseauxfacteurs.Lorsquilnyapasdecontraintessurledomainedtude,ilexistedesplans classiques qui possdent dexcellentes qualits statistiques et qui permettentdemodliserlesrponsesdanslesmeilleuresconditions(gure1.7).Lorsquilexistedescontraintes,ilfautconstruiredesplanssurmesureenrecherchantlaposition des points exprimentaux qui conduisent, l aussi, de bonnes qualitsstatistiques et une bonne modlisation des rponses.1.6.2Mthodologie des plans avec contrainteLa procdure de construction des plans dont le domaine est contraint est la suivante :1. On dnit le domaine de chacun des facteurs (niveau bas et niveau haut).2. On dnit les contraintes qui psent sur les facteurs. Ces contraintes sont expri-mespardesrelationsdingalitentrelesfacteursetellesdnissentleszonesautorises,cest--direcellesolesexpriencessontpossibles,etleszonesinter-dites, cest--dire celles o les expriences ne doivent pas tre excutes.3. On dnit les niveaux des facteurs les plus intressants pour ltude, autres queles niveaux bas et hauts. Le plus souvent entre 2 et 5 niveaux supplmentaires parfacteur.4.Onconstruitunegrilleenprenantencomptetouteslescombinaisonsdesniveauxdesfacteurs.Cettegrillenedoitcontenirquelespointsexprimentauxralistes,cest--direlespointsdudomaineautoris.Cespointsconstituentlespoints candidats (gure 1.8).Figure 1.7 Exemple de disposition des points exprimentaux dans un domaine sans contraintes.+ 1+ 11 1Facteur 1Facteur 2 9782100592968-LivreGoupy.fmPage 10Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.6 Plans dexpriences11 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriences5. On choisit une fonction reliant a priori la rponse aux facteurs.6.Onslectionne,enfonctionduncritredoptimalitchoisi,lenombreetlemplacementdespointsexprimentauxlesplusutileslamodlisationduphnomne tudi (gure 1.9). Cette slection exige de longs calculs et nest possiblequavec laide dun logiciel de plans dexpriences.Figure 1.8 La grille des points candidats est constitue dexpriences possibles dans le domaine dtude.Figure 1.9 Les meilleurs points sont slectionns par le logiciel.+ 1+ 1 1 1Vitesse Surcharge (kg)1 000 0 80120 Facteur 1Facteur 2 (km/h)+ 1+ 1 1 1Vitesse (km/h)Surcharge (kg)1 000 0 80120 Facteur 1Facteur 2 9782100592968-LivreGoupy.fmPage 11Lundi, 4. f vrier 201312:25 12121.6 Plans dexpriences 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriences1.6.3Surfaces de rponse chaque point du domaine dtude correspond une rponse. lensemble de tousles points du domaine dtude correspond un ensemble de rponses qui se localisesur une surface appele surface de rponse (gure 1.10).Engnral,onneconnatquequelquesrponses,cellesquicorrespondentauxpointsexprimentauxretenusparlexprimentateur.Oninterpolelaidedunmodle mathmatique, les rponses inconnues pour obtenir la surface de rponse.Les points dexpriences retenus par la thorie des plans dexpriences assurent lameilleure prcision possible sur la forme et la position de la surface de rponse.1.6.4Modlisation mathmatique a priori de la rponsem Modlisation mathmatiqueEn labsence de toute information sur la fonction qui lie la rponse aux facteurs,on se donne a priori une loi dvolution dont la formulation la plus gnrale est lasuivante :y = f (x1,x2,x3,,xn) {1.2}Cette fonction est trop gnrale et il est dusage den prendre un dveloppementlimitdeTaylor-MacLaurin,cest--direuneapproximation.Silesdrivespeuventtreconsidrescommedesconstantes,ledveloppementprcdentprend la forme dun polynme de degr plus ou moins lev :{1.3}Figure 1.10 Lensemble des rponses qui correspond tous les points du domaine dtude forme lasurface de rponse.AB1+11Facteur 2Facteur 1RponseD+1 y a0aixiaijxixjaiixi2 + + + + =9782100592968-LivreGoupy.fmPage 12Lundi, 4. f vrier 201312:25 121.6 Plans dexpriences13 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.1 Dcouvrir la mthodedes plans dexprienceso :y est la grandeur laquelle sintresse lexprimentateur ; cest la rponse ou lagrandeur dintrt,xi reprsente un niveau du facteur i,xj reprsente un niveau du facteur j,a0, ai, aij, aii sont les coefcients du polynme.Ce modle est appel le modle a priori ou le modle postul.Les modles tablis sont des modles de prvision valables dans le domaine dtude,domainequelondoittoujoursprciser.Cenesontpasdesmodlesthoriquesbass sur des lois physico-chimiques ou mcaniques. Dans quelques rares cas, il estpossible dutiliser des lois physiques thoriques connues.m Modlisation exprimentaleDeuxcomplmentsdoiventtreapportsaumodlepurementmathmatiqueprcdemment dcrit.Le premier complment est le manque dajustement. Cette expression traduit le faitque le modle choisi par lexprimentateur avant les expriences est probablementunpeudiffrentdumodlerelquirgitlephnomnetudi.Ilyauncartentre ces deux modles. Cet cart est le manque dajustement (lack of t en anglais),on le note par la lettre D.Le second complment est la prise en compte de la nature alatoire de la rponse.En effet, dans le cas gnral, si lon mesure plusieurs fois une rponse en un mmepointexprimental,onnobtiendrapasexactementlemmersultat.Ilyaunedispersion des rsultats. Les dispersions ainsi constates sont appeles erreurs alatoiresou erreurs exprimentales (pure error en anglais) et on les note par la lettre e.La relation gnrale {1.2} doit tre modie ainsi :y = f (x1,x2,x3,,xn) + D + e {1.4}Cette relation sera exploite au cours du chapitre 5 o lon verra comment on estimele manque dajustement D et lerreur alatoire e.m Systme dquationsChaque point exprimental apporte une valeur de la rponse. Or cette rponse estmodliseparunpolynmedontlescoefcientssontlesinconnuesquilfautdterminer. la n du plan dexpriences, on a un systme de n quations (sil y anessais)pinconnues(silyapcoefcientsdanslemodlechoisi apriori).Cesystme scrit dune manire simple en notation matricielle :y = X a + e {1.5}o :y est le vecteur des rponses,Xestlamatricedecalculdescoefcientsoumatricedumodlequidpenddespoints exprimentaux choisis pour excuter le plan et du modle postul,a est le vecteur des coefcients,e est le vecteur des carts.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 13Lundi, 4. f vrier 201312:25 12141.6 Plans dexpriences 1 Dcouvrir la mthodedes plans dexpriencesCe systme ne peut pas, en gnral, tre rsolu simplement car le nombre dqua-tionsestinfrieuraunombredinconnues.Eneffet,ilyanquationsetp+ ninconnues.Cettersolutionnepeuttremenebienquesilonutiliseunemthode de rgression. La plupart du temps cette mthode est base sur le critredoptimisation des moindres carrs. On obtient ainsi les estimations des coefcientsque lon noteLe rsultat de ce calcul est : = (X X)1 X y {1.6}formule dans laquelle la matrice X est la matrice transpose de X (voir lannexe Dsurlecalculmatriciel).Ilexistedenombreuxlogicielsquiexcutentcecalculetqui donnent directement les valeurs des coefcients.Deuxmatricesinterviennentconstammentdanslathoriedesplansdexp-riences :la matrice dinformation X X,la matrice de dispersion (X X)1.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 14Lundi, 4. f vrier 201312:25 1215 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.2 VOTRE PREMIER PLAN DEXPRIENCESSi vous avez lu le premier chapitre, vous en savez assez pour attaquer votre premierplandexpriences.Nousallonssuivreladmarchesuivantedontlesprincipalestapes sont :la prparation de ltude,le choix du plan dexpriences,lexprimentation,linterprtation des rsultats,larrt ou la poursuite de ltude.Nous allons examiner ces diffrentes phases sur un premier exemple.2.1 Exemple 01 : je matrise la consommation de ma voiture2.1.1Prparation du plan dexpriencesCettetapesedcomposeenplusieurspartiesdontlesprincipalessontdcritesdans les paragraphes suivants.m Dfinition de lobjectif de ltudeNousallonssuivrelaralisationdunetudequetoutlemondepeutmettresurpieds.Lobjectifdeltudeestdeconnatrelaconsommationdessencedunevoiture lorsquon roule plus ou moins charg et plus ou moins vite.Ltude sera russie si on peut rpondre des questions telles que : Combien mavoiture consomme-t-elle : si elle est vide ou non ? si je roule vite ou non ? si elleest charge et si je roule vite ? m Description des lments sur lesquels va porter lexprimentationJe vais dcrire les essais que jai effectus sur ma propre voiture. Je vais tre le seulconducteur et jeffectuerai les essais sur une autoroute. Si jen avais la possibilit, jeferais les essais sur un circuit automobile o il est facile de respecter la plupart desconditionsimposeslexprimentation.Ilesteneffetplusfacilederaliserdesessais sur un circuit, dans un laboratoire, un atelier pilote ou tout lieu spcialementconu pour ce genre dactivit.9782100592968-LivreGoupy.fmPage 15Lundi, 4. f vrier 201312:25 12162.1 Exemple 01 : je matrisela consommation de ma voiture2 Votre premier plandexpriencesm Choix de la rponse permettant datteindre lobjectifLa rponse sera la consommation dessence en litres pour 100 kilomtres parcourus.m Recherche des facteurs qui pourraient tre influents sur la rponseQuels sont les facteurs qui peuvent modier la consommation dune voiture ?Il y a bien sr les deux facteurs que je vais tudier, la charge et la vitesse de la voiture.Mais il y en a dautres. Par exemple, la marque et la pression de gonage des pneu-matiques, la prsence ou non dune galerie, la direction du vent, la pluie, le rglagedu moteur, le nombre darrts et de dmarrages, la route plus ou moins accidente.Il est prudent de noter par crit tous les facteurs possibles. Pour remplir la listedes facteurs et essayer de ne pas en oublier, on peut aller voir son garagiste pour luidemandersilneconnatpasdautresfacteurspouvantaugmenterourduirelaconsommation. On a toujours intrt bien faire le tour du problme. On ne serapasobligdtudiertouslesfacteursmaisonconnatraceuxquipourraienttreinuents. Les facteurs qui ne seront pas tudis dans le plan dexpriences seront, engnral, xs un niveau constant pendant toute lexprimentation.m Dfinition des niveaux des facteursIl sagit de choisir les niveaux haut et bas de chaque facteur.La vitesse ne devra pas tre trop faible et elle ne devra pas dpasser les limitationsimposes par la scurit. Dans notre exemple, le niveau bas sera de 80 km/h et leniveau haut de 120 km/h.La charge vide est dnie par la prsence du conducteur seul, sans aucun bagage. Lasurcharge est dnie par le poids ajout la charge vide. Sil y a 3 personnes suppl-mentaires et 25 kg de bagage par personne, la surcharge est denviron 3 70 = 210pourlespassagerset425 = 100 kgpourlesbagagesdesquatrepersonnesbord, soit environ 300 kg de surcharge. Au lieu de faire appel ses voisins pour lesessais, on pourra utiliser des gueuses de fonte rgulirement reparties sur les sigeset dans le coffre. Le poids total des gueuses est de 300 kg.Le niveau bas du facteur charge sera : la voiture et le conducteur seul et sans bagage.Leniveauhautdufacteurchargesera :lavoiture,leconducteuretunechargesupplmentaire de 300 kg rgulirement rpartie.Il est bon de rsumer ces niveaux dans un tableau (Tableau 2.1).Ce tableau est important car les conclusions de lexprimentation ne seront valablesqulintrieurdecedomainedtude.Silonchargelavoiture400 kgetquelon roule 130 km/h, on ne pourra pas utiliser les conclusions de cette tude.Tableau 2.1 Facteurs et domaine dtude.Facteur Niveau bas () Niveau haut (+)Vitesse (1) 80 km/h 120 km/hSurcharge (2) 0 300 kg9782100592968-LivreGoupy.fmPage 16Lundi, 4. f vrier 201312:25 122.1 Exemple 01 : je matrisela consommation de ma voiture17 Dunod La photocopie non autorise est un dlit.2 Votre premier plandexpriencesm Examen des contraintesLorsque lon roule, la quantit dessence diminue. Le poids du vhicule est doncmodi au cours de lexprimentation. Il faudra commencer chaque essai avec lerservoir plein pour que le facteur diminution dessence au cours de lessai naitpas trop dinuence. Cela oblige dbuter le parcours dans une station service.Il faudra quil fasse le mme temps pour tous les essais (temprature, vent, pluie).On choisira donc de faire les essais le mme jour et, si possible, un jour de beautemps sans vent ni pluie. La longueur du parcours devra tre compatible avec cettecontrainte.On choisira le mme parcours et dans le mme sens pour chaque essai pour quelinuence des ctes et des descentes soit toujours la mme.On vriera que les pneus sont bien gons la mme pression avant chaque essai.Onpeutainsifaireunelistedeprcautionsprendrepourtenircomptedescontraintes.2.1.2Choix du plan dexpriencesOn sait quil y a deux facteurs tudier. Les niveaux bas et haut de chaque facteuront t dnis. Les facteurs conserver constants pendant lexprimentation sont :leparcoursetparconsquentlekilomtrage,lesensduparcours,lepointdedpart, le point darrive et la pression des pneus.Ayant deux facteurs prenant chacun deux niveaux, le plus simple est de choisir unplandexpriencesfactorielcomplet22.Ladnomination22alasignicationsuivante : le 2 en exposant indique le nombre de facteurs, lautre 2 indique les nombresde niveaux des facteurs. Ce plan est bien adapt notre problme puisquil corres-pond exactement deux facteurs prenant chacun deux niveaux. Les points dexp-riences ont pour coordonnes les niveaux bas et les niveaux hauts des facteurs.On peut prsenter ce plan de plusieurs manires qui se compltent les unes les autres.Onpeutdaborddessinerledomainedtudedanslespaceexprimental,puisajouter les points dexpriences en tenant compte de leurs coordonnes (Figure 2.1).On peut aussi reprsenter les expriences faire sous forme de tableaux, en utili-santsoitlesgrandeurshabituellesoulgales(km/hetkg),soitlesgrandeurscodes. Avec les grandeurs lgales, le tableau prend le nom de tableau dexprimen-tation ou de matrice dexprimentation. Avec les grandeurs codes, le tableau prendle nom de plan dexpriences ou de matrice dexpriences.La premire colonne de la matrice dexprimentation est utilise pour indiquer lesnomsdesessais(Tableau 2.2).Onpeutsoitlesnumroter,soitleurdonnerunnom. La deuxime colonne est celle du premier facteur, on y indique successive-ment les niveaux quil faut donner ce facteur. La troisime colonne est celle dudeuxime facteur et on y indique galement les niveaux de ce facteur. Le premieressai,essain 1ouessaiA,seraexcutavecunevitessede80 km/hetsanssurcharge. Le deuxime essai, essai n 2 ou essai B, sera excut avec une vitesse de120 km/h et sans surcharge. Le troisime essai, essai n 3 ou essai C, sera excutavec une vitesse de 80 km/h et avec une surcharge de 300 kg. Enn le quatrimeessai, essai n 4 ou essai D, sera excut avec une vitesse de 120 km/h et avec unesurcharge de 300 kg. Ce tableau est trs utile pour lexcution des essais. 9782100592968-LivreGoupy.fmPage 17Lundi, 4. f vrier 201312:25 12182.1 Exemple 01 : je matrisela consommation de ma voiture2 Votre premier plandexpriencesLapremirecolonnedelamatricedexpriences(Tableau 2.3)estutilisedelammemanirepourindiquerlesnomsdesessais.Ladeuximecolonneestcelledu premier facteur, on y indique successivement les niveaux quil faut donner ceFigure 2.1 Reprsentation du plan dexprimentation.Tableau 2.2 Matrice dexprimentation.Essai nVitesseFacteur 1SurchargeFacteur 21 (A) 80 km/h 0 kg2 (B) 120 km/h 0 kg3 (C) 80 km/h 300 kg4 (D) 120 km/h1 300 kgTableau 2.3 Matrice dexpriences.Essai nVitesseFacteur 1SurchargeFacteur 21 (A) 1 12 (B) +1 13 (C) 1 +14 (D) +1 +1Niveau 1 80 km/h 0 kgNiveau +1 120 km/h 300 kg+ 1+ 1 1 1Facteur 1Facteur 2Domaine d'tudeVitesseSurcharge80 km/h0 kg300 kg120 km/hAD CB 9782100592968-LivreGoupy.fmPage 18Lundi, 4. f vrier 201312:25 12