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Faszination Quantentheorie:Die paradoxen Vorhersagen der Theorie

und ihre experimentelle Bestatigung

Peter Schmuser, Department Physik, Univ. Hamburg

The “paradox” is only a conflict between realityand your feeling of what reality “ought to be”

Richard P. Feynman

1 Einleitung

Die Quantentheorie ist schon 90 Jahre alt, sie bereitetaber immer wieder große Verstandnisschwierigkeiten, weilviele ihrer Aussagen unserer Erfahrung und Intuition wi-dersprechen. Wenn man jedoch heute diese Theorie leh-ren oder lernen will, befindet man sich in einer viel bes-seren Lage als die Professoren und Studenten vor 90 oderauch 50 Jahren. Viele der von Bohr, Schrodinger, Heisen-berg, Einstein und anderen vorgeschlagenen “Gedanken-experimente”, die damals heftig und kontrovers diskutiertwurden, sind durch enorme Fortschritte in der Experimen-tiertechnik inzwischen Wirklichkeit geworden. Messungenkonnen dazu dienen, eine Entscheidung zwischen verschie-denartigen theoretischen Ideen und Interpretationen zu tref-fen, was um 1925 - 1930 kaum moglich war. Die fremd-artigen, der Anschauung zuwiderlaufenden Aussagen derTheorie lassen sich Stuck fur Stuck durch ausgeklugelteExperimente bestatigen: Teilchen-Welle-Komplementaritat,das eigentumliche Verhalten von Bosonen und Fermionen,die Vorhersage der Antiteilchen, Vakuumfluktuationen, Ver-schrankung, Nichtlokalitat der Quantenmechanik (auf diesaktuelle Thema wird aus Platzgrunden hier nicht eingegan-gen). Auf mich uben die modernen Experimente zur Quan-tenmechanik eine große Faszination aus, und ich hoffe, dieseFaszination auch dem Leser vermitteln zu konnen [1]. Hin-zu kommt, dass die Quantentheorie die Grundlage fast allerneuen Technologien ist und somit außer ihrem erkenntnis-theoretischen Wert auch eine enorme praktische Bedeutunghat.

2 Teilchen-Welle-Dualismus

Die Quantentheorie ist notig, um das Verhalten von Teil-chen und Licht auf einer atomaren Großenskala zu beschrei-ben. Dabei treten fremdartige und paradoxe Phanomeneauf, die unserer taglichen Anschauung eklatant wider-sprechen: Lichtwellen verhalten sich manchmal so, als obsie aus Teilchen (Quanten) aufgebaut seien, und Teil-chen zeigen gelegentlich Welleneigenschaften. Der Teilchen-Welle-Dualismus (oder etwas praziser: die Teilchen-Welle-Komplementaritat) ist ein charakteristisches Merkmal dermikroskopischen Physik, das an einem Experiment verdeut-licht werden soll, fur das es im Rahmen der klassischenPhysik keine befriedigende Erklarung gibt: es ist das Dop-pelspaltexperiment. Historisch gesehen hat dies Experimenteine wesentliche Rolle gespielt um zu entscheiden, ob Lichtaus Teilchen besteht oder eine Wellenerscheinung ist. DieBeobachtung von Interferenzstreifen und von vielen weite-ren Beugungserscheinungen etablierte im 19. Jahrhundertdie Vorstellung von der Wellennatur des Lichtes.

2.1 Wellenverhalten der Elektronen

Doppelspaltexperimente mit Elektronen sind heute keine“Gedankenexperimente” mehr, sondern konnen tatsachlichdurchgefuhrt werden. Der Nachweis der Elektronen kannmit einem Film oder einem Pixeldetektor erfolgen. Was be-obachtet man, wenn viele monoenergetische Elektronen dieDoppelspaltapparatur durchlaufen? Uberraschenderweisefindet man genau wie beim Licht ein Interferenzbild mithellen und dunklen Streifen, siehe Abb. 1 (“hell” bedeutet,dass viele Elektronen auftreffen). Es folgt daraus: Elektro-nen haben Welleneigenschaften. Mit einem Rastentunnel-

6

17

Der Quantenpferch (Don Eigler, IBM)

Wellennatur der Elektronen direkt sichtbar gemachtabgetastet mit Raster-Tunnelmikroskop

Samstag, 16. März 13

Montag, 3. August 15

Abbildung 1: Die Wellennatur der Elektronen. Links:Doppelspalt-Interferenzen mit Elektronen. (G. Mollenstedtund Mitarbeiter, Universitat Tubingen 1962). Rechts: Ei-ne stehende Elektronenwelle innerhalb eines Ringes von48 Eisenatomen auf einer Kupferoberflache. (Wiederga-be mit freundlicher Genehmigung von D. Eigler, IBM-Forschungslabor Almaden. Image originally created by IBMCorporation.)

mikroskop kann man die Wellennatur der Elektronen direkt“sichtbar” machen.

Die Welleneigenschaften des Elektrons beschreiben wirdurch eine Wellenfunktion ψ(x). Dies ist eine komplexwer-tige Funktion, die in etwa der Amplitude einer klassischenWelle entspricht. Ihr Absolutquadrat |ψ(x)|2 = ψ?(x)ψ(x)ist aber keineswegs identisch mit der beobachteten Inten-sitatsverteilung. Das ist schon aus dem Grund nicht moglich,weil Interferenzen auch dann auftreten, wenn sich immernur ein Elektron zur Zeit im Apparat befindet. Das bedeu-tet, dass jedes Elektron mit sich selbst interferiert und nichtmit anderen Elektronen, ganz anders als Licht.

Was ist die Bedeutung der Wellenfunktion in der Quan-tenmechanik? Wir folgen hier der allgemein akzeptier-ten Wahrscheinlichkeitsinterpretation, die von Max Borneingefuhrt und insbesondere von Niels Bohr mit großerUberzeugung vertreten wurde (man spricht daher auch vonder Kopenhagener Deutung der Quantentheorie). Die Wahr-scheinlichkeit, das Elektron zwischen x und x+ dx auf demSchirm zu finden, ist ρ(x)dx = |ψ(x)|2 dx. Da das Elektronan irgendeiner Stelle auftreffen wird, muss die Integrationuber den gesamten Bereich den Wert 1 ergeben. Die Wel-lenfunktion ist in der Kopenhagener Deutung eine Wahr-scheinlichkeitsamplitude.

Wie wird das Interferenzmuster aufgebaut?Jedes Elektron trifft als ganzes, unteilbares Quant auf denSchirm und macht genau einen “Punkt” im Interferenzdia-gramm, wobei die Wahrscheinlichkeit, den Treffer am Ortx zu erhalten, proportional zu |ψ(x)|2 ist. Die Verteilung

1

wird durch viele Teilchen sukzessive aufgebaut. Schematisch

Abbildung 2: (a) Entstehung des Interferenzmusters beimDoppelspaltexperiment mit Elektronen. Jedes Elektronmacht genau einen “Punkt” im Interferenzdiagramm, wo-bei die Wahrscheinlichkeit durch das Absolutquadrat derWellenfunktion gegeben ist. (b) Beobachtung von Elektro-neninterferenzen mit 8, 270, 2000 und 60 000 Elektronen [2].Wiedergabe mit freundlicher Genehmigung von A. Tonomu-ra und des Springer-Verlags.

ist dieser Vorgang in Abb. 2a dargestellt. Die vier Fotos inAbb. 2b sind ein experimenteller Beleg dafur, dass es in derTat so ablauft. In den beiden ersten Bildern mit 8 oder 270Teilchen sind uberhaupt keine Interferenzstreifen erkennbar,dazu braucht man mehr als 10 000 Elektronen.

2.2 Welchen Weg wahlt das Teilchen?

Die Elektronen treffen als praktisch punktformige Teilchenauf den Beobachtungsschirm (fotografische Schicht oder Pi-xeldetektor), siehe Abb. 2. Demnach erscheint es vernunftig,sie generell als punktformig anzusehen und folgende Be-hauptung aufzustellen: jedes Elektron fliegt entweder durchSpalt 1 oder durch Spalt 2, aber nicht gleichzeitig durchbeide Spalte.

Diese einleuchtende Behauptung erweist sich als nichthaltbar. Sobald man eine Messung vornimmt, mit der ge-pruft werden kann, ob ein Elektron durch Spalt 1 oder Spalt2 fliegt, verschwindet das Interferenzmuster.

Werner Heisenberg hat ein Gedankenexperiment konstru-iert, in dem festgestellt werden konnte, durch welchen Spalt

das Elektron geht. Die Idee ist, kurzwelliges Licht zur Beob-achtung zu benutzen. Der Haken ist jedoch, dass das Elek-tron bei der Streuung des Photons eine Richtungsanderungerleidet, die das Interferenzmuster stort, wobei die Starkeder Storung von der Wellenlange des Photons abhangt.

(1) Bei sehr kleiner Wellenlange λ � d (d ist der Spaltab-stand) kann man eindeutig den richtigen Spalt erkennen, dieStorung ist jedoch stark, und es ergibt sich eine Additionder Wahrscheinlichkeitsdichten ohne Interferenzterm

ρ12(x) = ρ1(x) + ρ2(x) = |ψ1(x)|2 + |ψ2(x)|2 . (1)

(2) Bei großer Wellenlange (λ � d) kann man die beidenSpalte nicht mehr optisch auflosen, die Storung ist schwach,und man beobachtet das voll ausgepragte Interferenzmuster

ρ12(x) = |ψ1(x) + ψ2(x)|2

= ρ1(x) + ρ2(x) + 2<[ψ∗1(x)ψ2(x)]︸︷︷︸

Interferenzterm

. (2)

Durch eine sorgfaltige Analyse des Doppelspaltexperimentsgelangte Werner Heisenberg zu seiner beruhmten Unbe-stimmheitsrelation.

Ein interessanter neuer Gesichtspunkt wurde 1963 vonRichard Feynman in seinen “Lectures on Physics” [3] dis-kutiert. Wenn die Wellenlange des Photons und der Spaltab-stand etwa gleich groß sind, kann man nur ungefahre Aus-sagen machen, wie dies auch in der Fuzzy-Logik der Fallist. Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit fur die richtigeZuordnung des Spaltes sei w, die fur die falsche Zuordnung(1−w), so ergibt sich eine Verteilung der Form (siehe Feyn-man, Band 3)

ρ12(x) =∣∣√w · ψ1(x) +

√1− w · ψ2(x)

∣∣2+

∣∣√w · ψ2(x) +√

1− w · ψ1(x)∣∣2 . (3)

Fur w = 1 tritt der obige Fall (1) ein, fur w = 0, 5 derFall (2). Wenn aber beispielsweise w = 0, 75 ist, was be-deutet, dass die Wahrscheinlichkeit fur die richtige Zuord-nung des Spaltes dreimal so groß ist wie Wahrscheinlichkeitfur die falsche Zuordnung, ergibt sich ein Interferenzmus-ter mit reduziertem Kontrast. Dieser Ubergangsbereich zwi-schen der klassischen Physik (gar keine Interferenz bei Teil-chen) und der Quantenphysik (voll ausgepragte Teilchen-interferenz) war den Grundungsvatern der Quantentheorienicht bekannt und ist erst in den 1990er Jahren erforschtworden.

Der gleitende Teilchen-Wellen-UbergangDer Ubergangsbereich ist in einem Experiment [4] erforschtworden, das nur schematisch beschrieben werden soll (sie-he Abb. 3). Die Teilchen sind hier Rubidium-Atome in ei-nem hochangeregten Zustand, die Hauptquantenzahl be-tragt n = 51. Die mit A51 bezeichneten Atome durchlaufenzwei hintereinander angeordnete Hochfrequenz-ResonatorenR1 und R2, in denen die Atome durch Einstrahlung einerFrequenz von f ≈ f0 = 51, 099 GHz vom Zustand (n = 51)in den Zustand (n = 50) uberfuhrt werden konnen. Am De-tektor wird die Rate der A50-Atome gemessen. Dies ist einemoderne Variante des Doppelspaltexperiments, denn mankann nicht unterscheiden, ob der Ubergang A51 → A50 inR1 oder R2 erfolgt. Daher sind auch die typischen Interfe-renzen messbar, wenn man die eingestrahlte Hochfrequenz(HF) f ein wenig um f0 moduliert.

2

16

D g R 2

C R 1

B

S'

S

O

D e

L 1

L' 1

L 2

! " # $ % & !

'()*+,- ./012+*- 3021(4

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- - 5 6 7 8 9

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δφA51

A50

Freitag, 31. Juli 15

w = 0,5

w = 1

0,5 < w < 1

f - f0

Freitag, 14. August 15

Abbildung 3: Oben: Aufbau zur Untersuchung des Grenz-bereichs zwischen der Mikrowelt mit voll ausgepragten Teil-cheninterferenzen und der Makrowelt ohne Teilcheninter-ferenzen [4]. Darunter werden die Phasenverschiebungen±δϕ/2 im Mikrowellenresonator C durch die Atome A51

und A50 gezeigt. Da nur wenige Mikrowellenphotonen in Cvorhanden sind, gibt es einen Unscharfebereich fur Ampli-tude und Phase des HF-Feldes, der durch die kreisformigenScheiben angedeutet wird. Unten: Die beobachteten Inter-ferenzmuster fur verschieden prazise Identifikation des HF-Resonators R1 oder R2, in dem der Ubergang A51 → A50

erfolgt. Bild (a): gar keine Identifikation (w = 0, 5) ergibtmaximalen Kontrast. Bilder (b) und (c): teilweise Identifi-kation (partielle Uberlappung der Unscharfe-Scheiben) er-gibt Interferenzen mit reduziertem Kontrast. Bild (d): 100%sichere Identifikation (Scheiben getrennt) lasst die Interfe-renzen vollig verschwinden. Nachdruck mit freundlicher Ge-nehmigung von J.-M. Raimond und S. Haroche. Figures ad-apted with permission from [4]. c© 1996 American PhysicalSociety.

Das Besondere an dem Aufbau ist nun ein supraleitenderMikrowellenresonator C zwischen R1 und R2, der als Mess-instrument wirkt und die hoch angeregten Atome A50 undA51 unterscheiden kann. Diese Atome sind riesig verglichen

mit Atomen im Grundzustand (der Radius der n-ten Bohr-schen Bahn ist rn = n2r1 ≈ 125 nm fur n = 50) und besitzenein sehr großes elektrisches Dipolmoment. Beim Flug durchden Mikrowellenresonator wirken sie wie eine kleine, schnellbewegte dielektrische Kugel, die den Resonator verstimmtund die Phase ϕ der Mikrowelle verschiebt. Die Frequenzdes Resonators fC = f0 + ∆f wird so eingestellt, dass diePhase ϕ durch die A51-Atome um +δϕ/2 verschoben wirdund durch die A50-Atome um −δϕ/2 (siehe Abb. 3). DerGrad der Verschiebung kann variiert werden, indem man∆f verandert. Damit erhalt man ein einstellbares Mess-gerat zur mehr oder weniger deutlichen Unterscheidung derZustande A50 und A51. Ubertragen auf unser Doppelspalt-experiment heißt das: man kann die Wahrscheinlichkeit w inGl. (3) kontinuierlich zwischen w = 0, 5 (keine Unterschei-dungsmoglichkeit der beiden Spalte) und w = 1 (genaueKenntnis des richtigen Spalts) variieren. Das Ergebnis desExperiments ist ebenfalls in Abb. 3 gezeigt. Man kann sehrdeutlich die Veranderungen des Kontrasts im Interferenz-muster erkennen. In der Tat findet man maximalen Kon-trast fur w = 0, 5 (keine Entscheidungsmoglichkeit), ver-minderten Kontrast fur 0, 5 < w < 1 und Verschwinden desMusters fur w = 1 (genaue Kenntnis des Spalts).

Ein hochinteressanter Aspekt dieses Experiments ist, dasses gar nicht darauf ankommt, die Phasenverschiebung imMikrowellenresonator tatsachlich zu messen. Allein die Tat-sache, dass dies im Prinzip moglich ware, reicht aus, dasInterferenzmuster zu beeinflussen oder sogar zu zerstoren.Diese Erkenntnis geht weit uber die Argumentation beim“Heisenberg-Mikroskop” hinaus: dort ist es der vom Pho-ton auf das Elektron ubertragene Ruckstoßimpuls, der dasInterferenzmuster zum Verschwinden bringt.

2.3 Neutron- und Molekul-Interferenzen

Mit Neutronen sind viele verschiedene Interferenzexperi-mente durchgefuhrt worden, siehe [5]. Aus einem Silizium-Einkristall wurde ein sog. Perfektkristall-Interferometer her-gestellt (Abb. 4). Bragg-Reflexion wird benutzt, um die Teil-

Neutroneninterferornetrie 57

Quantenmechanik aufmerksam zu machen. Demnach ist eine Katze, die sich unbeobach- tet in einer Kiste befindet, in einem Superpo- sitionszustand, der die Katze gleichzeitig lebendig und tot sein lafit, und erst durch das Beobachten - Offnen der Kiste - entscheidet sich, ob die Katze tot oder lebendig ist. Aber auch die Tatsache, dai3 ein an sich unteilbares Objekt gleichzeitig uber zwei weit voneinander getrennte Wege gehen kann - wie in Ab- bildung 1 dargestellt - oder sich an zwei raum- lich getrennten Orten befinden kann, geht uber unser ,,klassisches" Verstandnis deutlich hinaus, und dennoch gibt es diese Phano- mene, wie wir im folgenden sehen werden.

Experimente, die diese ,,absurden" Vorstel- lungen bestatigen, konnten in den letzten beiden Jahrzehnten mit Neutronen durchgefuhrt werden, die zweifelsohne als massive Teilchen anzusehen sind. Sic haben eine wohldefinierte Masse und besitzen auch etliche weitere Eigenschaften, die sic als Teilchen ausweisen. Schliei3lich besteht die gesamte uns umgebende Materie zu fast 50 % aus Neutronen, die in den Atomkernen gebunden sind. Bei der Kernspaltung oder anderen Kernreaktionen werden etliche davon freigesetzt, und wir konnen damit experimen- tieren. Ein fur die Quantenmechanik relevan- tes Experiment, welches die Situation des Skifahrers nachempfindet, haben wir 1974 im Rahmen einer deutsch-osterreichischen Kooperation am 250 kW TRIGA-Reaktor in Wien durchgefiihrt [l]. Wie in Abbildung 2 dargestellt, wird ein Neutronenstrahl durch Beugung an einem vollig perfekten Silizium- Einkristall in zwei weit voneinander ent- fernte koharente Teilstrahlen geteilt und an- schliei3end werden diese Teilstrahlen wieder zusammengefiihrt. Dabei 1ai3t sich zeigen, dai3 es hinter dem Interferometer so aussieht als hatte jedes Neutron Informationen iiber beide Strahlwege, obwohl es als Elementar- teilchen nicht teilbar ist. Die Dichte der Neu- tronen ist dabei so niedrig, dai3 sich jeweils immer nur ein Neutron im Interferometer befindet und das nachste noch im Urankern des Kernbrennstoffs gebunden ist. Beschrie- ben wird der gesamte Vorgang n i t der Schro- dinger-Gleichung, die die zeitliche Anderung eines Zustandes awlat in Zusammenhang stellt mit der Wirkung des Hamilton-Opera- tors H auf dieses System, wobei jedoch zu beriicksichtigen ist, da8 eine kleinste Wirkung in Form des Planckschen Wirkungsquantums f i existiert

aly at

H y = iA -.

Abb. 2. Perfektkristall-Neutroneninterferometer, mit dem an sich unteilbare Neutronen auf getrennten Wegen durch das Interferometer gefuhrt werden.

Die Intensitat hinter dem Interferometer setzt sich aus Anteilen zusammen, die uber die Strahlwege I und I1 dorthin gelangt sind

wobei man fur die Vorwartsrichtung (0) aus Symmetriegriinden leicht erkennt, da8 die Anteile aus beiden Strahlwegen gleich sein mussen, weil sie transmittiert-reflektiert-reflektiert und reflektiert-reflektiert-transmittiert sind. Durch das Einbringen einer Wech- selwirkung in einen Teilstrahl in Form eines beliebigen Materials, eines Magnetfeldes oder durch Beriicksichtigung des Gravitationsfel- des ergibt sich eine Phasenverschiebung x einer Teilwelle gegeniiber der anderen, die ahnlich wie fur Licht durch einen Brechungsin- dex n und eine raumliche Verschiebung A des Wellenzuges beschrieben werden kann

w - w e

x = $ wobei 2 den kanonischen Impuls entlang der Strahlwege d? angibt und D die Dicke des Phasenschiebers.

(3) I1 - I ix

* d? = (n - 1) kD = d .&

Fur stationare Situationen ist die Losung der Schrodinger-Gleichung in Form eines Wel- lenpakets gegeben

Abb. 3. Typisches Interferenzbild hinter dem Interferometer, wenn in einem Teil- strahl der Phasenschub - Dicke des Alumi- nium-Phasenschiebers - geandert wird.

wobei I a ( Z ) 1 = g ( R ) die Impulsverteilung des Strahls angibt, deren Breite wir mit & bezeichnen. Damit ergibt sich als endgiil- tige Intensititsformel

z = 1 + I T(A) I cos d * i ( 5 )

mit

Das bedeutet, daf3 die Intensitat zwischen einem Maximalwert und fast Null oszilliert.

Physik in unserer Zeit / 29. Jahrg. 1998 / N,: 2

Neutroneninterferornetrie 57

Quantenmechanik aufmerksam zu machen. Demnach ist eine Katze, die sich unbeobach- tet in einer Kiste befindet, in einem Superpo- sitionszustand, der die Katze gleichzeitig lebendig und tot sein lafit, und erst durch das Beobachten - Offnen der Kiste - entscheidet sich, ob die Katze tot oder lebendig ist. Aber auch die Tatsache, dai3 ein an sich unteilbares Objekt gleichzeitig uber zwei weit voneinander getrennte Wege gehen kann - wie in Ab- bildung 1 dargestellt - oder sich an zwei raum- lich getrennten Orten befinden kann, geht uber unser ,,klassisches" Verstandnis deutlich hinaus, und dennoch gibt es diese Phano- mene, wie wir im folgenden sehen werden.

Experimente, die diese ,,absurden" Vorstel- lungen bestatigen, konnten in den letzten beiden Jahrzehnten mit Neutronen durchgefuhrt werden, die zweifelsohne als massive Teilchen anzusehen sind. Sic haben eine wohldefinierte Masse und besitzen auch etliche weitere Eigenschaften, die sic als Teilchen ausweisen. Schliei3lich besteht die gesamte uns umgebende Materie zu fast 50 % aus Neutronen, die in den Atomkernen gebunden sind. Bei der Kernspaltung oder anderen Kernreaktionen werden etliche davon freigesetzt, und wir konnen damit experimen- tieren. Ein fur die Quantenmechanik relevan- tes Experiment, welches die Situation des Skifahrers nachempfindet, haben wir 1974 im Rahmen einer deutsch-osterreichischen Kooperation am 250 kW TRIGA-Reaktor in Wien durchgefiihrt [l]. Wie in Abbildung 2 dargestellt, wird ein Neutronenstrahl durch Beugung an einem vollig perfekten Silizium- Einkristall in zwei weit voneinander ent- fernte koharente Teilstrahlen geteilt und an- schliei3end werden diese Teilstrahlen wieder zusammengefiihrt. Dabei 1ai3t sich zeigen, dai3 es hinter dem Interferometer so aussieht als hatte jedes Neutron Informationen iiber beide Strahlwege, obwohl es als Elementar- teilchen nicht teilbar ist. Die Dichte der Neu- tronen ist dabei so niedrig, dai3 sich jeweils immer nur ein Neutron im Interferometer befindet und das nachste noch im Urankern des Kernbrennstoffs gebunden ist. Beschrie- ben wird der gesamte Vorgang n i t der Schro- dinger-Gleichung, die die zeitliche Anderung eines Zustandes awlat in Zusammenhang stellt mit der Wirkung des Hamilton-Opera- tors H auf dieses System, wobei jedoch zu beriicksichtigen ist, da8 eine kleinste Wirkung in Form des Planckschen Wirkungsquantums f i existiert

aly at

H y = iA -.

Abb. 2. Perfektkristall-Neutroneninterferometer, mit dem an sich unteilbare Neutronen auf getrennten Wegen durch das Interferometer gefuhrt werden.

Die Intensitat hinter dem Interferometer setzt sich aus Anteilen zusammen, die uber die Strahlwege I und I1 dorthin gelangt sind

wobei man fur die Vorwartsrichtung (0) aus Symmetriegriinden leicht erkennt, da8 die Anteile aus beiden Strahlwegen gleich sein mussen, weil sie transmittiert-reflektiert-reflektiert und reflektiert-reflektiert-transmittiert sind. Durch das Einbringen einer Wech- selwirkung in einen Teilstrahl in Form eines beliebigen Materials, eines Magnetfeldes oder durch Beriicksichtigung des Gravitationsfel- des ergibt sich eine Phasenverschiebung x einer Teilwelle gegeniiber der anderen, die ahnlich wie fur Licht durch einen Brechungsin- dex n und eine raumliche Verschiebung A des Wellenzuges beschrieben werden kann

w - w e

x = $ wobei 2 den kanonischen Impuls entlang der Strahlwege d? angibt und D die Dicke des Phasenschiebers.

(3) I1 - I ix

* d? = (n - 1) kD = d .&

Fur stationare Situationen ist die Losung der Schrodinger-Gleichung in Form eines Wel- lenpakets gegeben

Abb. 3. Typisches Interferenzbild hinter dem Interferometer, wenn in einem Teil- strahl der Phasenschub - Dicke des Alumi- nium-Phasenschiebers - geandert wird.

wobei I a ( Z ) 1 = g ( R ) die Impulsverteilung des Strahls angibt, deren Breite wir mit & bezeichnen. Damit ergibt sich als endgiil- tige Intensititsformel

z = 1 + I T(A) I cos d * i ( 5 )

mit

Das bedeutet, daf3 die Intensitat zwischen einem Maximalwert und fast Null oszilliert.

Physik in unserer Zeit / 29. Jahrg. 1998 / N,: 2

Abbildung 4: Das Perfektkristall-Neutroninterferometerund die gemessenen Interferenzstreifen als Funktion der Di-cke der Aluminiumplatte in einem Strahlweg [5]. Wiederga-be mit freundlicher Genehmigung von H. Rauch. c© WileyVCH-Verlag, reproduced with permission.

chenwelle in zwei Teilwellen aufzuspalten, die auf getrenn-ten Pfaden durch das Interferometer gefuhrt und wieder re-kombiniert werden. Bringt man in einen Strahlengang ei-ne dunne Aluminiumplatte, so wirkt diese ahnlich wie eineGlasplatte in einem Michelson-Interferometer. Die Neutro-nen haben verschiedene de Broglie -Wellenlangen in Alumi-nium und Luft, und daher ergibt sich ein Interferenzmus-

3

ter, bei dem die Intensitat periodisch von der Dicke derAl-Platte abhangt (Abb. 4). In diesem Experiment entste-hen die Neutronen durch Kernspaltung in einem Reaktor.Die Strahlintensitat ist so niedrig, dass sich immer nur einNeutron zur Zeit in der Apparatur befindet und das nach-folgende Neutron noch gar nicht entstanden ist. Wie bei denElektronen beobachten wir also die Interferenz von Teilchenmit sich selbst und nicht mit anderen Teilchen. Bei Fermio-nen sind Interferenzen zwischen verschiedenen Teilchen auchgar nicht moglich, da sie aufgrund des Pauli-Prinzips ver-schiedene Quantenzustande einnehmen mussen und dahernicht koharent sein konnen.

Als Fazit der Doppelspaltexperimente konnen wir festhal-ten:

Es ist nicht sinnvoll, von einer Bahnkurve des Elektrons im“Mikrokosmos” zu sprechen.

Aber wie steht es mit der Bahnkurve des Skifahrers inAbb. 5?

Abbildung 5: Die intellektuelle Herausforderung des Dop-pelspaltexperiments [5]. Cartoon von R.J. Buchelt, Abdruckmit freundlicher Genehmigung von H. Rauch.

Die Wellennatur der Materie ist fur kleine Objekte -Elektronen oder Neutronen - durch Interferenzexperimen-te eindrucksvoll bestatigt worden, wie wir gerade gese-hen haben. Bei großen Objekten - Billardkugeln oderFußballen - sind noch nie Interferenzen beobachtet worden.Ist die Quantenmechanik auf solche makroskopischen Ob-jekte uberhaupt anwendbar und macht es Sinn, von derde Broglie -Wellenlange eines Fußballs zu sprechen? In derKopenhagener Deutung wird dies verneint, dort wird einedeutliche Unterscheidung gemacht zwischen dem mikrosko-pischen Bereich der Elektronen, Atome und Molekule, indem die Gesetze der Quantentheorie anzuwenden sind, unddem makroskopischen Bereich unserer taglichen Erfahrung,der mit der klassischen Physik beschrieben wird. Eine span-nende Frage ist: wie groß durfen Objekte werden, um nochInterferenzen zu zeigen? Oder etwas allgemeiner gefragt: anwelcher Stelle setzt der Ubergang vom Quantenverhaltenzum klassischen Verhalten ein (Engl. quantum-to-classicaltransition)?

Interferenzen mit “Fußballen” kann man in der Tat beob-achten, allerdings sind dies Miniaturfußballe, die Fulleren-

Molekule C60. Experimentelle Resultate werden in Abb. 6gezeigt. Diese Messung ist aus zwei Grunden wichtig. Ers-

Abbildung 6: Links: Das Fulleren C60 ahnelt einem Fuß-ball. Es ist innen hohl und hat einen Durchmesser vonetwa 0,8 nm. Rechts: Beobachtete Interferenzen mit C60-Molekulen der mittleren Geschwindigkeit 136 ± 3 m/s [6].Abdruck mit freundlicher Genehmigung von M. Arndt,Univ. Wien. c© 2003 American Association of Physics Tea-chers, reproduced with permission.

tens ist die de Broglie -Wellenlange der Molekule viel klei-ner als ihr Durchmesser, und zweitens darf man die aus 60C-Atomen bestehenden Balle nicht als Punktteilchen anse-hen, da die Atome innerhalb des Molekuls Schwingungendurchfuhren und Strahlung emittieren. Die in der Quel-le hoch erhitzten Fulleren-Molekule senden auf ihrem Flugvom Beugungsgitter zum Detektor 2 bis 3 Infrarot-Photonenaus. Deren Wellenlange von einigen 10µm und ist allerdingsweit großer als der Spaltabstand im Gitter von 0, 1µm. Da-her ist es prinzipiell unmoglich, durch Messung dieser Pho-tonen den Weg des C60-Molekuls zu bestimmen, und ausdiesem Grund wird das Interferenzmuster auch nicht beein-trachtigt.

2.4 Elektronenwellen in Magnetfeldern

Ein Magnetfeld ubt auf bewegte geladene Teilchen die Lor-entzkraft aus, die in der Elektrotechnik vielfach ausgenutztwird. Es wird außerdem die de Broglie -Wellenlange beein-flusst, doch dieser Effekt ist kaum bekannt und viel diffiziler.Man kann das Magnetfeld als Rotation eines Vektorpoten-tials darstellen B = rotA =∇×A. Wahrend das Vektor-potential in der klassischen Elektrodynamik den Charaktereiner Hilfsgroße hat, gewinnt es in der Quantentheorie einezentrale Bedeutung: zusammen mit dem skalaren Potentialbildet es die Wellenfunktion der Photonen. Die de Broglie -Wellenlange eines Elektrons wird durch das Vektorpotentialgeandert

λ =2π~

mev − eA. (4)

Diese Beziehung wurde von Ehrenberg und Siday sowie vonAharonov und Bohm vorhergesagt und ist als Aharonov-Bohm-Effekt bekannt.

Wie kann man diese Vorhersage experimentell testen?Die Idee ist, ein geeignetes Doppelspaltexperiment durch-zufuhren (Abb. 7a). Hinter einem Schirm mit zwei Spal-ten befindet sich eine Solenoidspule, die so klein ist, dasssie zwischen den Spalten Platz hat. Das Vektorpotential

4

umgibt die Spule mit kreisformigen Feldlinien. Auf demWeg 1 lauft das Elektron antiparallel zu den A-Feldlinien,auf dem Weg 2 lauft es parallel dazu. Am Beobachtungs-

35

Weg 2

A

Weg 1

Spule

A

Strom I

B

SpuleQuarzfaden 1negativ

Quarzfaden 3negativ

Quarzfaden 2positiv

Film

Weg 1

Weg 2Quelle

Samstag, 28. April 2012


I = const

I = const

I wirderhöht

(a)

(b)

(c)

17

Weg 2

A

Weg 1

Spule

A

Strom I

B

SpuleQuarzfaden 1

negativQuarzfaden 3

negativ

Quarzfaden 2positiv

Film

Weg 1

Weg 2Quelle



Bew

egun

gsric

htun

g de

s Fi

lms

Spulenstrom konstant

Spulenstrom konstant

Spulenstrom wird hochgefahren


Dienstag, 4. August 15

Dienstag, 4. August 15

Abbildung 7: (a) Gedankenexperiment zur Beobachtungvon Doppelspalt-Interferenzen mit einer Solenoid-Spule zurErzeugung eines magnetischen Vektorpotentials. (b) Sche-ma des Aufbaus von Mollenstedt und Bayh [7]. (c) Dasbeobachtete Interferenz-Muster [7] bei konstantem und beigleichformig anwachsendem Strom in der Spule. Der Filmzur Aufnahme der Interferenzen wird in der vertikalen Rich-tung bewegt.

schirm haben die beiden Teilwellen deswegen eine Phasen-differenz, die proportional zum Vektorpotential A und da-mit zum Strom in der Spule ist. Dies wurde durch Messun-gen von Mollenstedt und Bayh bestatigt. Die benutzte Ver-suchsanordnung wird in Abb. 7b gezeigt. Ein Elektronen-strahl wird durch einen metallisierten Quarzfaden in zweikoharente Teilstrahlen aufgespalten. Der Quarzfaden befin-det sich auf negativem Potential und wirkt wie ein optischesBiprisma. Zwei weitere Quarzfaden mit passenden Poten-tialen sorgen dafur, dass die beiden Teilstrahlen auf einemFilm zur Interferenz kommen. Hinter dem ersten Quarzfa-den wird eine Solenoidspule (ca. 15µm Durchmesser) ange-bracht, die aus Wolframdraht von 4µm Dicke gewickelt ist.Die Messresultate werden in Abb. 7c gezeigt. Man beob-achtet sehr scharfe Interferenzlinien. Durch Verandern desSpulenstroms I kann das Interferenzmuster kontinuierlichverschoben werden. Dies wird sichtbar gemacht, indem derfotografische Film synchron dazu bewegt wird, so dass dieInterferenzstreifen schrag verlaufen. Die gemessene Phasen-verschiebung stimmt quantitativ mit der theoretischen Vor-hersage uberein.

Der Aharonov-Bohm-Effekt kann dafur genutzt werden, ma-gnetische Feldlinien direkt “sichtbar” zu machen, und zwarmit viel besserer Auflosung als durch Eisenfeilspane. Dievom Vektorpotential verursachten Phasendifferenzen wer-den mit Hife der Elektronen-Holografie in beobachtbareInterferenzmuster umgewandelt. Abbildung 8 ist eine ein-drucksvolle Demonstration dieser Methode.

Abschließend soll noch erwahnt werden, dass die durch denAharonov-Bohm-Effekt modifizierte de Broglie -Beziehungvon fundamentaler Bedeutung in der Quantenelektrodyna-mik ist. Aus ihr ergibt sich die korrekte Kopplung zwischengeladenen Teilchen und Photonen in der QED [8].

Vakuum

1 µm Blei

Freitag, 27. April 2012

Abbildung 8: Sichtbarmachung magnetischer Feldlinien mitHilfe der Elektronen-Holografie [2]. Gezeigt werden die Feld-linien oberhalb eines supraleitenden Bleifilms von 1µm Di-cke, der sich in einem schwachen Magnetfeld befindet. Wie-dergabe mit freundlicher Genehmigung von A. Tonumuraund des Springer-Verlags.

3 Bosonen und Fermionen

In der Quantentheorie sind identische Teilchengrundsatzlich ununterscheidbar, ganz anders als imtaglichen Leben. Zwei exakt baugleiche Autos sind leichtunterscheidbar, wenn man einem von ihnen einen Farb-fleck auf die Motorhaube malt. Die Elektronen in einemEisenatom hingegen sind nicht unterscheidbar, wir konnensie weder durch Farbflecke markieren noch mit einemNummernschild versehen. Auch die Protonen im Atomkernsind nicht voneinander zu unterscheiden. Die grundsatzlicheUnunterscheidbarkeit elementarer Teilchen hat weitreichen-de Konsequenzen fur Vielteilchen-Wellenfunktionen: dieWahrscheinlichkeitsdichte muss invariant sein gegenuberder Vertauschung irgend zweier Teilchen.

Von Wolfgang Pauli wurde bewiesen, dass ein System vonTeilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) eine symmetri-sche Gesamtwellenfunktion haben muss, bei Teilchen mithalbzahligem Spin (Fermionen) dagegen eine antisymmetri-sche Gesamtwellenfunktion. Daraus resultieren zwei volligkontrare Verhaltensweisen. Bosonen (Photonen, Heliumato-me etc.) gehen vorzugsweise alle in exakt den gleichen Quan-tenzustand. Fermionen (Elektronen, Protonen, Neutronenetc.) tun das genaue Gegenteil: jedes Fermion beanspruchtseinen eigenen Quantenzustand und geht niemals in einenbereits besetzten Zustand.

3.1 Der Bose-Verstarkungseffekt

Stimulierte Emission und LaserDie stimulierte Emission ist eine der wichtigsten Folgen desBose-Prinzips und Grundlage des Lasers (LASER = “LightAmplification by Stimulated Emission of Radiation”). Einangeregtes Atom kann auf zwei Weisen in den Grundzustandubergehen: durch spontane oder durch stimulierte Emissi-on eines Photons (Abb. 9). Die spontane Emission lauft

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E1

spontane Emission stimulierte Emission

E2

E1

Absorption spontane Emission stimulierte Emission

Sonntag, 12. Juli 15

E2

E1



E2

E1



E2

E1



E2

E1



n n+1

Montag, 13. Juli 15

Abbildung 9: Spontane und stimulierte Emission von Strah-lung.

“von selbst” ab (siehe aber Abschnitt 4.4), die stimulierteEmission wird durch ein externes Strahlungsfeld induziert.Wenn bereits n Photonen in einem bestimmten Quantenzu-

5

stand vorhanden sind (charakterisiert durch wohldefinierteFrequenz, Richtung, Polarisation und Phase der Lichtwel-le), wird die Wahrscheinlichkeit, dass das nachste Photondurch stimulierte Emission ebenfalls in diesen Zustand geht,n-mal großer als die Wahrscheinlichkeit wspon fur die spon-tane Emission in einen anderen Zustand, bei dem z.B. dieLichtwelle eine andere Richtung hat.

wstim = nwspon . (5)

Dieser Bose-Verstarkungseffekt ist entscheidend fur dieFunktion des Lasers und bewirkt, dass die Zahl der Pho-tonen, die exakt parallel zur Laserachse laufen, exponen-tiell anwachst, bis schließlich eine Sattigung erreicht wird.Laserlicht ist nahezu monochromatisch, eng gebundelt, hateine hohe Brillanz und ist optisch koharent: all diese bemer-kenswerten Eigenschaften sind eine direkte Konsequenz desBose-Verstarkungseffekts.

Bose-Einstein-KondensationMit dem Laser lassen sich Interferenzen sehr einfach de-monstrieren. Es handelt sich dabei um die Uberlagerungvon makroskopischen Wellen, bestehend aus Millionen vonPhotonen, die alle den gleichen Quantenzustand einnehmenund koharent sind. Im Bereich der Teilcheninterferenzen istdies lange Zeit nicht moglich gewesen. Wie wir oben ge-sehen haben, sind die Elektroneninterferenzen an Doppel-spalten, aber auch die Neutroneninterferenzen in Kristal-len grundsatzlich als Interferenz jedes einzelnen Teilchensmit sich selber zu deuten. Koharenz zwischen verschiede-nen Elektronen kann man aufgrund des Pauli-Prinzips auchnicht erwarten.

scale (16). Stoof predicted that a coherentcondensate would form immediately (17).Several groups discussed interference exper-iments and quantum tunneling for conden-sates (18–29). If the condensate is initiallyin a state of well-defined atom number, itsorder parameter, which is the macroscopicwave function, vanishes. However, thequantum measurement process should stilllead to quantum interference and “create”the phase of the condensate (20, 23–25,27, 28), thus breaking the global gaugeinvariance that reflects particle numberconservation (30). This is analogous toAnderson’s famous gedanken experiment,testing whether two initially separatedbuckets of superfluid helium would show afixed value of the relative phase—andtherefore a Josephson current—once theyare connected (31).

Arguments for and against such a fixedrelative phase have been given (31, 32).Even if this phase exists, there has beensome doubt as to whether it can be directlymeasured, because it was predicted to beaffected by collisions during ballistic expan-sion (12, 26) or by phase diffusion resultingfrom the mean field of Bose condensedatoms (21, 25, 27, 33). Additionally, thephase of the condensate plays a crucial rolein discussions of an atom laser, a source ofcoherent matter waves (34–37).

The phase of a condensate is the argu-ment of a complex number (the macroscop-ic wave function) and is not an observable.Only the relative phase between two con-densates can be measured. Here, we reporton the observation of high-contrast inter-ference between two atomic Bose conden-sates, which is clear evidence for coherencein such systems.

The experimental setup. Two Bose con-densates were produced using a modifica-tion of our previous setup (3, 7). Sodiumatoms were optically cooled and trappedand were then transferred into a double-well potential. The atoms were furthercooled by radio frequency (rf)–inducedevaporation (38). The condensates wereconfined in a cloverleaf magnetic trap (3),with the trapping potential determined bythe axial curvature of the magnetic field B05 94 G cm–2, the radial gradient B9 5 120G cm–1, and the bias field B0 5 0.75 G. Theatom clouds were cigar-shaped, with thelong axis horizontal. A double-well poten-tial was created by focusing blue-detunedfar-off-resonant laser light into the center ofthe magnetic trap, generating a repulsiveoptical dipole force. Because of the far de-tuning of the argon ion laser line at 514 nmrelative to the sodium resonance at 589 nm,heating from spontaneous emission wasnegligible. This laser beam was focused intoa light sheet with a cross section of 12 mm

by 67 mm (1/e2 radii), with its long axisperpendicular to the long axes of the con-densates. The argon ion laser beam propa-gated nearly collinearly with the verticalprobe beam. We aligned the light sheet byimaging the focused argon ion laser beamwith the same camera used to image thecondensates.

Evaporative cooling was extended wellbelow the transition temperature to obtaincondensates without a discernible normalfraction. Condensates containing 5 3 106sodium atoms in the F 5 1, mF 5 –1 groundstate were produced within 30 s. The pres-ence of the laser-light sheet neither changedthe number of condensed atoms from ourprevious work (3) nor required a modifica-tion of the evaporation path; hence, prob-lems with heating encountered earlier withan optically plugged magnetic trap (2) werepurely technical. In the present application,the argon ion laser beam was not needed toavoid a loss process, and thus we had com-plete freedom in the choice of laser powerand focal parameters.

The double condensate was directly ob-served by nondestructive phase-contrastimaging (Fig. 1A). This technique is anextension of our previous work on disper-sive imaging (4) and greatly improved thesignal-to-noise ratio. The probe light fre-quency was far detuned from a resonanttransition (1.77 GHz to the red), and thusabsorption was negligible. Images wereformed by photons scattered coherently inthe forward direction. The phase modula-tion caused by the condensate was trans-formed into an intensity modulation at the

camera by retarding the transmitted probebeam by a quarter-wave with a phase platein the Fourier plane. Previously, the trans-mitted probe beam was blocked by a thinwire (dark-ground imaging).

Interference between the condensateswas observed by simultaneously switchingoff the magnetic trap and the argon ionlaser-light sheet. The two expanding con-densates overlapped and were observed byabsorption imaging. After 40 ms time-of-flight, an optical pumping beam transferredthe atoms from the F 5 1 hyperfine state tothe F 5 2 state. With a 10-ms delay, theatoms were exposed to a short (50 ms)circularly polarized probe beam resonantwith the F 5 2 3 F9 5 3 transition andabsorbed ;20 photons each. Under theseconditions, the atoms moved ;5 mm hori-zontally during the exposure.

Absorption imaging usually integratesalong the line of sight and therefore hasonly two-dimensional spatial resolution.Because the depth of field for 15-mm fringesis comparable to the size of an expandedcloud, and because the fringes are in generalnot parallel to the axis of the probe light,line-of-sight integration would cause con-siderable blurring. We avoided this problemand achieved three-dimensional resolutionby restricting absorption of the probe lightto a thin horizontal slice of the cloud. Theoptical pumping beam was focused into alight sheet of adjustable thickness (typically100 mm) and a width of a few millimeters;this pumping beam propagated perpendicu-larly to the probe light and parallel to thelong axis of the trap (39). As a result, the

A B

50 mm

0% 100%Intensity (arbitrary units)

Fig. 1. (A) Phase-con-trast images of a singleBose condensate (left)and double Bose con-densates, taken in thetrap. The distance be-tween the two conden-sates was varied bychanging the power ofthe argon ion laser-lightsheet from 7 to 43 mW.(B) Phase-contrast im-age of an originally dou-ble condensate, withthe lower condensateeliminated.

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probe light was only absorbed by a thin sliceof the cloud where the atoms were opticallypumped. Because high spatial resolutionwas required from only the fraction of atomsresiding in the slice, a good signal-to-noiseratio required condensates with millions ofatoms.

Interference between two Bose conden-sates. In general, the pattern of interferencefringes differs for continuous and pulsedsources. Two point-like monochromaticcontinuous sources would produce curved(hyperbolic) interference fringes. In con-trast, two point-like pulsed sources showstraight interference fringes; if d is the sep-aration between two point-like conden-sates, then their relative speed at any pointin space is d/t, where t is the delay betweenpulsing on the source (switching off thetrap) and observation. The fringe period isthe de Broglie wavelength l associated withthe relative motion of atoms with mass m,

l 5htmd

(1)

where h is Planck’s constant. The ampli-tude and contrast of the interference pat-tern depends on the overlap between thetwo condensates.

The interference pattern of two conden-sates after 40 ms time-of-flight is shown inFig. 2. A series of measurements with fringespacings of ;15 mm showed a contrastvarying between 20 and 40%. When theimaging system was calibrated with a stan-dard optical test pattern, we found ;40%contrast at the same spatial frequency.Hence, the contrast of the atomic interfer-ence was between 50 and 100%. Becausethe condensates are much larger than theobserved fringe spacing, they must have ahigh degree of spatial coherence.

We observed that the fringe period be-came smaller for larger powers of the argonion laser-light sheet (Fig. 3A). Larger powerincreased the distance between the twocondensates (Fig. 1A). From phase-contrastimages, we determined the distance d be-tween the density maxima of the two con-densates versus argon ion laser power. Thefringe period versus maxima separation (Fig.3B) is in reasonable agreement with theprediction of Eq. 1, although this equationstrictly applies only to two point sources.Wallis et al. (26) calculated the interfer-ence pattern for two extended condensatesin a harmonic potential with a Gaussianbarrier. They concluded that Eq. 1 remainsvalid for the central fringes if d is replacedby the geometric mean of the separation ofthe centers of mass and the distance be-tween the density maxima of the two con-densates. This prediction is also shown inFig. 3B. The agreement is satisfactory givenour experimental uncertainties in the deter-mination of the maxima separations (;3mm) and of the center-of-mass separations(;20%). We conclude that the numericalsimulations for extended interacting con-densates (26) are consistent with the ob-served fringe periods.

We performed a series of tests to supportour interpretation of matter-wave interfer-ence. To demonstrate that the fringe patternwas caused by two condensates, we com-pared it with the pattern from a single con-densate (this is equivalent to performing adouble-slit experiment and covering one ofthe slits). One condensate was illuminatedwith a focused beam of weak resonant light20 ms before release, causing it to disappearalmost completely as a result of opticalpumping to untrapped states and evapora-tion after heating by photon recoil (Fig. 1B).

The resulting time-of-flight image did notexhibit interference, and the profile of asingle expanded condensate matched oneside of the profile of a double condensate(Fig. 4). The profile of a single expandedcondensate showed some coarse structure,which most likely resulted from the nonpara-bolic shape of the confining potential. Wefound that the structure became more pro-nounced when the focus of the argon ionlaser had some weak secondary intensitymaxima. In addition, the interference be-tween two condensates disappeared whenthe argon ion laser-light sheet was left on for

Fig. 2. Interference pattern of twoexpanding condensates observedafter 40 ms time-of-flight, for twodifferent powers of the argon ionlaser-light sheet (raw-data images).The fringe periods were 20 and 15mm, the powers were 3 and 5 mW,and the maximum absorptionswere 90 and 50%, respectively, forthe left and right images. The fieldsof view are 1.1 mm horizontally by0.5 mm vertically. The horizontalwidths are compressed fourfold,which enhances the effect of fringecurvature. For the determination offringe spacing, the dark centralfringe on the left was excluded.

Fig. 3. (A) Fringe period versus power in the argonion laser-light sheet. (B) Fringe period versus ob-served spacing between the density maxima ofthe two condensates. The solid line is the depen-dence given by Eq. 1, and the dashed line is thetheoretical prediction of (26) incorporating a con-stant center-of-mass separation of 96 mm, ne-glecting the small variation (610%) with laserpower.

Fig. 4.Comparison between time-of-flight imagesfor a single and double condensate, showing ver-tical profiles through time-of-flight pictures similarto Fig. 2. The solid line is a profile of two interferingcondensates, and the dotted line is the profile of asingle condensate, both released from the samedouble-well potential (argon ion laser power, 14mW; fringe period, 13 mm; time of flight, 40 ms).The profiles were horizontally integrated over 450mm. The dashed profile was multiplied by a factorof 1.5 to account for fewer atoms in the singlecondensate, most likely the result of loss duringelimination of the second half.

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Abbildung 10: Links: Phasenkontrast-Aufnahmen vonzwei getrennten Bose-Einstein-Kondensaten, bestehend ausNatrium-Atomen [9]. Rechts: beobachtete Interferenzen beider Uberlappung der beiden Kondensate. Bildwiedergabemit freundlicher Erlaubnis von W. Ketterle und Science. c©1997 AAAS.

Anders ist dies bei Atomen mit ganzzahligem Gesamtdre-himpuls, die Bose-Teilchen sind und sehr wohl den gleichenQuantenzustand einnehmen durfen. Seit langer Zeit ist einsolches System bekannt: es ist die supraflussige Phase desHeliums, die bei Temperaturen unter 2,17 K auftritt. In den1990er Jahren ist es gelungen, in Teilchenfallen bei extremtiefen Temperaturen sehr viele Alkali-Atome in einem einzi-gen Quantenzustand zu kondensieren. Diese Bose-Einstein-Kondensate haben ungewohnliche Eigenschaften. Wolfgang

Ketterle und Mitarbeitern gelang es, ein solches Kondensataufzuteilen und die beiden Atomwolken zur Uberlappungzu bringen (Abb. 10). Dabei sind erstmals makroskopischeMateriewellen-Interferenzen beobachtet worden.

SupraleitungDie Supraleitung ist ein drittes Phanomen, das auf demBose-Prinzip beruht. Trager des Suprastroms sind Paa-re von Elektronen mit entgegengesetztem Spin, die sog.Cooperpaare, die eine makroskopische Wellenfunktion imSupraleiter bilden.

3.2 Das Pauli-Ausschließungsprinzip

Um das Periodische System der Elemente und Re-gelmaßigkeiten in den Eigenschaften der Atome zu erklaren,postulierte Wolfgang Pauli 1925 das Ausschließungsprinzip:

Zwei beliebige Elektronen in einem Atom mussen sich inmindestens einer der vier Quantenzahlen n, `, m` und ms

unterscheiden.

Eine Welt ohne Pauli-Prinzip? Lieber nicht!In der Nachtszene von Goethes Tragodie Faust 1 sagt Faustin seinem großen Eingangsmonolog “Dass ich erkenne, wasdie Welt im Innersten zusammenhalt”. Dieses Streben istdas Leitmotiv der Elementarteilchenphysik geworden. DieErforschung der kleinsten Bestandteile der Materie und derzwischen ihnen wirkenden Krafte und Wechselwirkungenhat zu tiefgreifenden Erkenntnissen gefuhrt. Wir wissen,dass Materie aus Elektronen, Protonen und Neutronen be-steht. Wir kennen die elektrischen Krafte, die Elektronenund Atomkerne zusammen halten, und die starken Wech-selwirkungen, welche die Bindung der Nukleonen im Atom-kern bewirken. Da ergibt sich die naheliegende Frage: wenndie elektrische Anziehung zwischen Protonen und Elektro-nen so groß ist, warum fallen die Elektronen nicht in denKern, um zusammen mit den Protonen eine extrem dichteneutrale Materie zu bilden? Die klassische Physik hat kei-ne Antwort auf diese Frage, wohl aber die Quantentheorie.Wenn wir versuchen, Elektronen auf das kleine Kernvolu-men einzuschranken, mussten sie aufgrund der Heisenberg-schen Unscharferelation eine so hohe kinetische Energie ha-ben, dass die Coulombkraft nicht ausreichte, sie an die Pro-tonen zu binden.

Jetzt kommt das Ausschließungsprinzip hinzu, das einenweiteren Hinderungsgrund darstellt, Materie auf ein winzi-ges Raumvolumen zu konzentrieren. Wir machen ein Gedan-kenexperiment und nehmen an, die Elektronen seien Boso-nen. Das Wasserstoff- und Heliumatom bleiben unverandert,aber bereits beim Lithium ergeben sich Unterschiede. Dasdritte Elektron wird in die K-Schale gehen, falls Li bosonischist, es muss aber in die L-Schale gehen, wenn Li fermionischist (Abb. 11a). Als Fermion ist es weiter vom Kern entferntund relativ locker gebunden (man braucht 25 eV, um He zuionisieren, und nur 5 eV, um Li zu ionisieren). Lithium alsfermionisches System hat also vollig andere chemische Ei-genschaften als ein hypothetisches Li-Atom mit bosonischenElektronen.

Die Unterschiede werden viel krasser bei schweren Ato-men. Wenn man alle 82 Elektronen eines Bleiatoms in die K-Schale stecken konnte, ware die Ausdehnung des Atoms vielgeringer als sie in Wahrheit ist. Blei hatte eine unglaublichhohe Massendichte. Das Schalenmodell der Atome, das die

6

26

K

bosonisches Lithium

fermionisches Lithium

(a)

(b)

Mittwoch, 5. August 15

Abbildung 11: (a) Schema der Elektronenwolken fur bosoni-sches und fermionisches Lithium. (b) Die Potentialtopfe furNeutronen und Protonen im Atomkern. Der Topf der Pro-tonen ist wegen der positiven elektrostatischen Energie an-gehoben. Die Niveaus werden von unten her mit jeweils zweiNeutronen bzw. Protonen besetzt, bis die Fermi-Energie er-reicht ist. Das Proton-Neutron-Verhaltnis ergibt sich aus derForderung, dass das Fermi-Niveau in beiden Topfen die glei-che Hohe haben muss. Das ist wie bei zwei Wasserbehaltern,die durch eine kommunizierende Rohre verbunden sind.

Grundlage des Periodischen Systems der Elemente, der Che-mie und der Biologie darstellt, wurde zusammenbrechen.

Die Auswirkungen auf Atomkerne waren sogar nochdramatischer, wenn Protonen und Neutronen nicht demPauli-Prinzip gehorchten. Bei mittelschweren Kernen ist dasProton-Neutronverhaltnis etwa 1:1, bei schweren Kernen istes etwa 2:3. Eine qualitative Erklarung liefert ein Potential-topfmodell der Kernkrafte, unter Berucksichtigung der elek-trostatischen Abstoßung der Protonen (siehe Abb. 11b).

Auf jedes Energieniveau des Neutron-Potentialtopfskonnen jeweils zwei Neutronen mit entgegengesetztem Spingesetzt werden, entsprechendes gilt auch fur die Protonen.Ein Bleikern hat 126 Neutronen und 82 Protonen. Man mussdie Niveaus des Neutrontopfes bis zu einer bestimmten Hohebesetzen, um all diese Teilchen unterzubringen, und ent-sprechend die Niveaus des Protontopfes. Was wurde pas-sieren, wenn die Nukleonen Bosonen waren? Dann wurdensich alle 126 Neutronen auf das tiefste Energieniveau desNeutron-Potentialtopfs begeben. Der Protontopf liegt we-gen der Coulombenergie viel hoher. Nichts in der Weltkonnte die Protonen daran hindern, sich durch Betazerfalloder Einfang von Hullenelektronen in Neutronen umzuwan-deln und dann auch auf das Grundniveau des Neutrontopfeszu fallen. Die Konsequenz: schwere Atomkerne wurden ihreLadung verlieren, und es gabe keine schweren Atome.

In etwas lockerer Sprechweise konnen wir sagen, dass dasPauli-Prinzip zwei Fermionen mit parallelem Spin daranhindert, sich am gleichen Ort aufzuhalten. Das sieht so aus,als ob es eine abstoßende Kraft gabe, die bei sehr kleinenAbstanden wirksam wird. Eine solche Kraft ist jedoch unbe-

kannt, und wir mussen uns damit begnugen, dass es nur dasabstrakte Ausschließungsprinzip ist, welches die Atome dar-an hindert, kleiner zu werden, als sie in Wirklichkeit sind.Trotzdem konnen wir in Abwandlung des Faust-Monologsden Wunsch aussprechen:Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten “auseinan-derhalt”Wir durfen gespannt darauf sein, ob jemand eines Tageseine dynamische Erklarung fur das Ausschließungsprinzipfindet. Auch fur den modernen Faust gibt es noch viel zuerforschen.

Eine anschauliche, auf der taglichen Erfahrung oder derklassischen Physik beruhende Erklarung des Pauli- oderBose-Prinzips ist mir nicht bekannt. Versuche, eine solcheErklarung zu finden, sind vermutlich auch zwecklos, weil diezwei Typen identischer Teilchen sich so kontrar verhalten.

4 Relativistische Quantentheorie

Die Vereinigung von zwei der wichtigsten Theorien desfruhen 20. Jahrhunderts, der Speziellen Relativitatstheorieund der Quantenmechanik, zu einer relativistischen Quan-tentheorie hat sich als sehr fruchtbar erwiesen und zu ra-dikal neuen Einsichten gefuhrt [10]. Die erste relativisti-sche Wellengleichung war die Klein-Gordon-Gleichung, ei-ne Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y, z undt. Sie hat zwei Typen von Losungen mit unterschiedlichenZeitabhangigkeiten: ψp ∼ exp(−i ω t) und ψn ∼ exp(+i ω t).

Bei Anwendung des Energieoperators E = i ~ ∂∂t auf ψp

erhalt man einen positiven Wert fur die relativistische Ge-samtenergie eines freien Teilchens (Ruhe-Energie plus kine-tische Energie), was ja auch den Erwartungen entspricht.Beim zweiten Typ ψn dagegen werden die Eigenwerte desEnergieoperators negativ. Dies unsinnige Ergebnis blieb lan-ge Zeit unverstandlich.

4.1 Dirac-Gleichung und Antiteilchen

Probleme mit negativen kinetischen Energien gibt es bei derSchrodinger-Gleichung nicht, die von der ersten Ordnung inder Zeit ist. Daher konstruierte Paul Dirac eine relativisti-sche Gleichung, die ebenfalls von der ersten Ordung in derZeit ist. Wegen der relativistischen Invarianz muss sie dannauch von der ersten Ordnung in den Ortskoordinaten sein.Die Dirac-Gleichung fur freie Elektronen lautet

i ~∂ψ

∂t= −i ~c

(α1∂ψ

∂x+ α2

∂ψ

∂y+ α3

∂ψ

∂z

)+ β mec

2ψ . (6)

Die Koeffizienten αj und β sind nicht einfach komplexe Zah-len, sondern 4× 4-Matrizen, und die Wellenfunktionen sindvierkomponentige Spaltenvektoren, die man Dirac-Spinorennennt [11].

Dirac erkannte schnell, dass auch seine Gleichung zweiTypen von Losungen mit positiven und negativen Eigenwer-te des Energieoperators hat. Als herausragender theoreti-scher Physiker akzeptierte er das Unvermeidliche und such-te nach einer neuen Erklarung. Er machte die kuhne An-nahme, dass die Zustande mit negativer Energie tatsachlichexistieren, aber normalerweise samtlich mit Elektronen be-setzt sind. Nach dieser Deutung ist der Grundzustand, oft

7

auch das Vakuum genannt, nicht leer, sondern enthalt un-endlich viele Elektronen mit negativer Energie. Das Pauli-

33

!"#$%&#'()*#+,!"#,

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"$�

&

positive Energien

negative Energien


Antiprotonen

Protonen


Elektron e-

E(-) = - E < 0Positron e+

E(+) = + E > 0

Ort Ort

Zeit ZeitP2 P2

P1P1

Sonntag, 29. April 2012

Dirac-Bild des Positrons

Wellenfunktionen mit negativer Energie? Umdeutung als Antiteilchen

In den Feynman-Graphen werden die Positronen durch zeitlich rückwärts laufende Elektronen negativer Energie dargestellt

Elektron-Positron-Paarerzeugungin einer Blasenkammer

(a) (b)

Sonntag, 16. August 15

Abbildung 12: (a) Dirac-Bild der Antiteilchen. Die posi-tiven Energieniveaus der Elektronen mit E ≥ +mec

2 be-finden sich in dem grun schattierten Bereich, die negativenEnergieniveaus mit E ≤ −mec

2 im rot schattierten Bereich.Die negativen Niveaus sind samtlich mit Elektronen besetzt.Ein γ-Quant der Energie Eγ > 2mec

2 kann ein Elektron e−

von einem Zustand negativer Energie in einen Zustand po-sitiver Energie anheben. Das verbleibende “Loch” im Seeder Elektronen negativer Energie verhalt sich wie eine po-sitive Ladung mit positiver Energie. Dies ist das Positrone+. (b) Erzeugung eines Elektron-Positron-Paars in einerFlussig-Wasserstoff-Blasenkammer. Ein π−-Meson trifft aufein ruhendes Proton und lost die Reaktion π− +p→ π0 +naus. Das neutrale π0-Meson zerfallt in zwei γ-Quanten, vondenen eines ein Elektron-Positron-Paar erzeugt. In der Bla-senkammer sind nur geladene Teilchen sichtbar.

Prinzip verbietet den Ubergang eines “normalen” Elek-trons von seinem Zustand positiver Energie in ein negativesEnergieniveau, so dass man normalerweise von den vielennegativen Niveaus nichts merkt. Das ist ein Gluck, dennsonst wurden die atomaren Elektronen in negative Ener-giezustande ubergehen und die gesamte Materie zum Ver-schwinden bringen.

Durch ein γ-Quant mit einer Energie von mehr als 2mec2

konnte jedoch ein Elektron von einem negativen auf ein po-sitives Energieniveau angehoben werden (siehe Abb. 12a).Das verbleibende Loch im “See” der Elektronen mit E < 0sollte sich wie ein Teilchen mit positiver Ladung und po-sitiver Energie verhalten. Aufgrund dieser Uberlegungenhat Paul Dirac die Existenz von Antiteilchen vorhergesagtund damit eine der revolutionarsten Ideen der theoretischenPhysik hervorgebracht. Das Antiteilchen des Elektrons, dasPositron, wurde 1932 von Anderson in der Hohenstrahlungentdeckt. Es hat die gleiche Masse me, aber die entgegenge-setzte Ladung +e. Die Blasenkammeraufnahme in Abb. 12bzeigt die Erzeugung eines Elektron-Positron-Paars durch γ-Strahlung.

Das Dirac-Bild ist spater erfolgreich auf Halbleiterubertragen worden. Ein nicht dotierter Halbleiter mit kom-plett gefulltem Valenzband und leerem Leitungsband ist einIsolator. Durch ein Photon, dessen Energie großer als dieEnergielucke des Halbleiters ist, kann ein Elektron-Loch-Paar erzeugt werden. Das Loch im Valenzband entsprichtdem Positron (in [11] wird erklart, weshalb Locher positiveLadungtrager sind).In der Teilchenphysik ist eine alternative Deutung der Wel-lenfunktionen vom Typ ψn vorteilhaft, die von Feynman

stammt. Die konjugiert-komplexen Funktionen ψ∗n kann

man als Wellenfunktionen der Positronen interpretieren,und diese haben einen positiven Energie-Eigenwert [8].

4.2 Spin und magnetisches Moment

Die Dirac-Gleichung macht noch andere tiefgehende Aus-sagen uber Eigenschaften, die in der nichtrelativistischenQuantenmechanik nicht begrundet werden konnen. Dies be-trifft zunachst den Spin (Eigendrehimpuls) des Elektronsvon ~/2. Die erste und zweite Komponente eines Dirac-Spinors beschreiben das Elektron mit seinen zwei Spin-einstellungen, die dritte und vierte beschreiben (nach demUbergang zum konjugiert-Komplexen) das Positron mit sei-nen zwei Spineinstellungen. Die mathematischen Details fin-det man in [8].

Ein weiteres, selbst von Dirac nicht erwartetes Resultatist das anomale magnetische Moment des Elektrons. Aus derDirac-Gleichung mit elektromagnetischem Potential folgtohne jede Zusatzannahme, dass das magnetische Momentden Wert

µe = − e~2me

≡ −µB (7)

hat, in sehr guter Ubereinstimmung mit dem Experiment.Dieser Wert ist doppelt so groß wie erwartet, wenn mansich das Elektron als geladene Kugel vorstellt, die mit demDrehimpuls ~/2 um die eigene Achse rotiert. Das magneti-sche Moment dieser Kugel sollte namlich ein halbes Bohr-Magneton betragen. Das “magneto-mechanische” Modelldes Elektrons ergibt also falsche Resultate. Ein anschau-liches Bild des “Dirac-Elektrons” existiert meines Wissensnicht.

4.3 Antisymmetrie der Dirac-Spinoren

Bei einer Rotation des Koordinatensystems um den Win-kel 2π ' 360◦ geht eine Schrodinger-Wellenfunktion in sichselbst uber. Dies erscheint so selbstverstandlich, dass manman sich daruber wundert, dass es auch anders sein konnte.Aus der Dirac-Theorie folgt jedoch die eigentumliche Vor-hersage, dass die Spinoren bei einer 2π-Rotation in ihr Ne-gatives ubergehen. Erst nach einer 4π-Rotation, also nachzwei kompletten Umdrehungen, gehen sie in sich selbst uber.

Abbildung 13: Untersuchung der Spin-Prazession in einemPerfektkristall-Interferometer. In einem Interferometerarmdurchlauft die Neutronenteilwelle ein Magnetfeld B. Ge-zeigt wird die Intensitat im Detektor D1 als Funktion desPrazessionswinkels ϕ. Bei einer Rotation um 2π geht einInterferenzmaximum in ein Minimum uber. Gezeichnet mitfreundlicher Genehmigung nach einer Abbildung von H.Rauch.

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Mit Neutron-Interferenzen ist diese befremdliche An-tisymmetrie verifiziert worden. Die experimentellen Da-ten und eine schematische Darstellung des verwendetenPerfektkristall-Interferometers werden in Abb. 13 gezeigt.In einem der Interferometerarme durchlauft das Neutron eintransversales Magnetfeld, in welchem das magnetische Mo-ment des Neutrons eine Prazessionsbewegung durchfuhrt.Der Rotationswinkel ϕ des magnetischen Momentenvektors,der naturlich identisch mit dem Rotationswinkel des Spin-vektors ist, kann aus dem Feld B und der Lange ` des Ma-gneten berechnet werden. Das gemessene Interferenzmusterbeweist, dass eine 2π-Rotation ein Interferenzmaximum inein Minimum uberfuhrt. Erst bei einer 4π-Rotation gehenMaxima in Maxima uber und Minima in Minima.

4.4 Die komplexe Natur des Vakuums

Im 19. Jahrhundert wurde der Ather postuliert, da mansich transversale elektromagnetische Wellen ohne irgendeinTragermedium nicht vorstellen konnte. Der Ather wurde alsfest im Raum verankert angesehen, so dass Bewegungenim Raum einen Mitfuhrungseffekt des Lichts hervorrufenmussten. Im Michelson-Morley-Experiment wurde vergeb-lich nach diesem Mitfuhrungseffekt gesucht. Der experimen-telle Befund, dass Licht unabhangig von seiner Richtung re-lativ zur Erdbahn immer die gleiche Geschwindigkeit c hat,war der Ausgangspunkt der Speziellen Relativitatstheorie.Albert Einstein hatte damit dem Konzept des Athers einEnde bereitet, und nach 1905 wurde das “Vakuum”, dermaterie- und feldfreie Raum, als vollkommen “leer” angese-hen.

Ironischerweise anderte die zwei Jahrzehnte spater ent-wickelte relativistische Quantenfeldtheorie die Sichtweise,und das Vakuum wurde allmahlich wieder “bevolkert” [13].Im Jahr 1927 publizierte Paul Dirac eine bahnbrechendeArbeit mit dem Titel The Quantum Theory of the Emis-sion and Absorption of Radiation. Das elektromagnetischeStrahlungsfeld wird als ein Ensemble von unendlich vielenquantisierten harmonischen Oszillatoren behandelt. Im “Va-kuum”, definiert als der tiefste Energiezustand des Strah-lungsfeldes, existieren immer noch die Nullpunktsschwin-gungen fur alle erlaubten Frequenzen. Die Energie-Zeit-Unscharferelation erlaubt einem Oszillator, fur eine sehrkurze Zeit in den Anregungszustand E1 uberzugehen unddanach in den Grundzustand E0 zuruckzukehren. Die beidiesen Vakuumfluktuationen auftretenden virtuellen Photo-nen haben vielfaltige Auswirkungen.

Spontane Emission: gar nicht so spontanDie Schrodinger-Gleichung hat einen prinzipiellen Mangel:sie ist außerstande, die spontane Emission von Strahlung zuerklaren. Wenn kein externes Strahlungsfeld vorhanden ist,sind der Grundzustand und alle angeregten Zustande einesAtoms stationar. Ein Elektron, das sich auf dem 2p-Niveaudes H-Atoms befindet, wird fur ewige Zeiten dort bleiben, esdenkt nicht daran, in den 1s-Zustand zu springen und dabeiein Photon zu emittieren. Damit scheint eines der wichtigs-ten Postulate des Bohrschen Atommodells unerfullbar zusein.

Die Quantenfeldtheorie ist imstande, diesen prinzipiellenMangel zu beheben. Es sind die bei Vakuumfluktuationenauftretenden virtuellen Photonens, die die angeregten Ato-me zu ihren “spontanen” Ubergangen veranlassen.

Abbildung 14: Unterdruckung der spontanen Emissiondurch “Abschirmung” der Vakuumfluktuationen. Links wirdein Schema des Experiments gezeigt, rechts ist die Zahlrateder angeregten Cs-Atome A∗ als Funktion des Winkels θzwischen dem E-Vektor und den Platten aufgetragen. Ge-zeichnet mit freundlicher Genehmigung nach einer Skizzevon S. Haroche.

Wie kann man diese Aussage testen? Die Idee ist, ange-regte Atome in eine Art “Faraday-Kafig” zu sperren, der dieVakuumfluktuationen abschirmt, und dann zu uberprufen,ob sie langer als normal im Anregungszustand bleiben. EinExperiment dieser Art ist von S. Haroche und Mitarbei-tern mit einem Casium-Atomstrahl durchgefuhrt worden.Als Abschirmung dienten zwei sehr ebene parallele Metall-platten oberhalb und unterhalb des Atomstrahls (Abb. 14),deren Abstand d = 1, 1µm kleiner als die halbe Wel-lenlange der beim Ubergang 5d → 6s emittierten Strah-lung war (λ = 3, 5µm). Eine elektromagnetische Welle mitλ = 3, 5µm kann sich im Raum zwischen den Platten unge-hindert ausbreiten, sofern ihr elektrischer Vektor senkrechtauf den Platten steht. Ist aber der E-Vektor parallel zu denPlatten, so wird die Welle exponentiell abgeschwacht unddringt nur wenige µm in den Zwischenraum ein. Mit einemDetektor wurde die Zahl der angeregten Cs-Atome als Funk-tion des Winkels θ zwischen dem E-Vektor und den Plattengemessen. Bei paralleler Ausrichtung (θ = 0◦, 180◦) wur-de eine hohe Zahlrate gemessen, aus der man eine 13-facheVerlangerung der naturlichen Lebensdauer herleiten konnte.Bei senkrechter Ausrichtung (θ = 90◦) erreichte kein einzi-ges angeregtes Atom den Detektor.

Es sind auch Experimente mit angeregten Atomen inmetallischen Hohlraumen (cavities) durchgefuhrt worden,die Vakuumfluktuationen jeglicher Polarisation abschirm-ten. Der spontane Zerfall konnte komplett zum Erliegen ge-bracht werden [12].

Die Vakuumfluktuationen haben noch andere messba-re Konsequenzen: die Energieaufspaltung zwischen den2s1/2 - und 2p1/2 -Niveaus des H-Atoms (Lamb shift) unddie geringfugige Abweichung des magnetischen Momentsdes Elektrons vom Bohr’schen Magneton. Beide Effektesind mit hoher Prazision gemessen und berechnet wor-den, die Ubereinstimmung zwischen Messungen und QED-Rechnungen ist fantastisch.

Der Higgs-MechanismusDie nachste Population des physikalischen Vakuums kammit der Vereinheitlichung der elektromagnetischen undschwachen Wechselwirkungen in den 1970er Jahren. DasStandard-Modell der elektro-schwachen Wechselwirkung isttheoretisch sehr gut fundiert und beruht auf einer verall-gemeinerten Eichinvarianz (eine Einfuhrung findet man in

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[8]). Die Vorhersagen dieser Theorie sind an den Elektron-Positron-Collidern mit hervorragender Prazision bestatigtworden, es gibt jedoch ein tiefliegendes Problem: die Eichin-varianz ist nur gultig, wenn alle Feldquanten und Teilchenmasselos sind. Fur die Photonen trifft das zu, aber die Feld-quanten der schwachen Wechselwirkung, die Z0- und W±-Bosonen, haben extrem hohe Massen, sie sind fast hundert-mal so schwer wie das Proton. Massive Feldquanten erzeu-gen ein Yukawa-Potential

Φ(r) ∼ e−µr

rmit µ =

Mc

~, (8)

dessen Reichweite fur Massen von 90 GeV/c2 extrem kurzist, etwa 1/1000 des Protonradius.

Bis heute ist nur ein einziger Weg bekannt, den Z0-und W±-Bosonen eine Masse zu geben und gleichzeitig dieEichinvarianz zu bewahren: dies ist der beruhmte Higgs-Mechanismus, benannt nach den schottischen Physiker Pe-ter Higgs. Die grundlegende Idee ist folgende: die schwa-che Wechselwirkung hat “an sich” eine unendliche Reich-weite und Feldquanten mit Masse null, genau wie die elek-tromagnetische Wechselwirkung, aber die schwachen Kraftewerden durch ein Hintergrundfeld abgeschirmt, so dass diebeobachtete Reichweite auf 2 · 10−18 m reduziert wird. AlsFolge dieser Abschirmung wird den a priori masselosen Feld-quanten Z0 und W± eine “effektive Masse” verliehen [14].

Ein Abschirmvorgang dieser Art ist der Meissner-Ochsenfeld-Effekt in Supraleitern, der dafur sorgt, dass einexternes Magnetfeld nur in eine dunne Oberflachenschichteindringen kann und im Inneren des Supraleiters verschwin-det. In dieser nur 50 nm dicken Schicht fließen widerstands-freie Suprastrome, die das Magnetfeld exponentiell abklin-gen lassen.

Auch die Massen der Quarks und Leptonen werden auf denHiggs-Mechanismus zuruckgefuhrt. Das Higgs-Feld mussuberall im Raum vorhanden sein, denn auch in der Son-ne und anderen Sternen verlaufen Prozesse der schwachenWechselwirkung mit den in irdischen Labors gemessenenWahrscheinlichkeiten.

In den Experimenten am Large Hadron Collider des For-schungszentrums CERN wurde ein neues Teilchen gefun-den, dessen Masse von 125 GeV/c2 in dem Bereich liegt, woman aufgrund zahlreicher fruherer Experimente und theo-retischer Analysen das Higgs-Teilchen erwartet. Vermutlichhandelt es sich dabei wirklich um das Higgs-Teilchen, doches sind noch weitere Messungen notig, um diese Vermutungabzusichern.

5 Der Quanten-Klassik-Ubergang

5.1 Schrodingers Katze

Um gewisse absurde Aspekte der Quantenmechanik zu de-monstrieren, prasentierte Erwin Schrodinger 1935 ein Ge-dankenexperiment, in dem ein makroskopisches Objekt(die Katze) mit einem mikroskopischen System (angeregtesAtom) verschrankt ist. Beide befinden sich in einem ver-schlossenen Kasten. Beim Ubergang in den Grundzustandemittiert das Atom ein Photon, welches mittels einer geeig-neten Apparatur Giftgas freisetzt und dadurch die Katzetotet.

Das Atom befindet sich in einer Superposition des Anre-gungszustand ψa und des Grundzustands ψg, und erst nachOffnen des Kastens entscheidet es sich, ob das Atom in ψaoder ψg ist. Wenn die quantenmechanischen Regeln auch furdie Katze gelten, sollte sie sich in einer Superposition vonlebendig und tot befinden, wobei die Entscheidung, ob dieKatze lebendig oder tot ist, solange offen gehalten wird, bisein Beobachter den Deckel des Kastens offnet. Diese absurdeSituation wird naturlich nie beobachtet.

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+

Schrödinger's Katze(nach Serge Haroche)

Freitag, 15. März 13

Um die Absurdität der Quantenmechanik zu illustrieren, schlug Schrödinger 1935 ein Gedankenexperiment vor, in dem ein makroskopisches Objekt (die Katze) mit einem mikroskopischen System (angeregtes Atom) verschränkt ist.

Schrödingers Katze

ψ = [ (angeregtes Atom / Katze lebend) + (Atom im Grundzustand / Katze tot) ]

Das Atom befindet sich in einer Superposition von Anregungs- und Grund-zustand, also sollte sich die Katze in einer Superposition von lebendig und tot befinden. Eine Entscheidung über das Schicksal der Katze würde erst im Augenblick der Messung erfolgen.

Diese absurde Situation wird nie beobachtet

geschlossenerKasten

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Abbildung 15: Die Idee der Schrodinger-Katze. Die lebendeKatze ist mit dem angeregten Atom verschrankt, die toteKatze mit dem Atom im Grundzustand.

Andererseits muss man bedenken, dass makroskopischeObjekte wie Katzen aus Atomen aufgebaut sind, die jedesfur sich der Quantenmechanik gehorchen und auch der Ver-schrankung unterworfen sein konnen. Es bleibt demnach diewichtige Frage: warum und auf welche Weise verschwindendie Skurrilitaten der Quantenmechanik in großen Systemen?

5.2 Dekoharenz

In den letzten 25 Jahren sind große Fortschritte im theore-tischen Verstandnis großer Systeme gemacht worden. Dorttritt eine Dekoharenz auf, die die quantenmechanischen Su-perpositionseffekte sehr rasch zum Verschwinden bringt. Die“Umgebung” hat einen signifikanten Einfluss auf die De-koharenzzeit (d.h. die Zeitspanne, innerhalb derer die quan-tenmechanische Koharenz verschwindet). Man kann eineKatze nicht vollig von ihrer Umgebung isolieren und bei-spielsweise in einen Vakuumbehalter stecken, denn dannwurde sie auch ohne die Giftkapsel sterben. Daher treffendie Molekule der Luft auf die Katze und reduzieren die In-terferenzeffekte. Man kann die Katze auch nicht in einenFlussig-Helium-Kryostaten sperren, um die thermische 300-Kelvin-Strahlung zu unterdrucken, und so treffen die zahl-reichen Photonen dieser Strahlung auf das Tier. Durch dieWechselwirkung mit der Umgebung sickert unweigerlich In-formation uber das Quantensystem in die Umgebung mitder Konsequenz, dass die Quantenkoharenz beeintrachtigtwird. Genauere Analysen zeigen, dass die Dekoharenzzeitganz rapide mit wachsender Systemgroße absinkt. In ma-kroskopischen Systemen sind die storenden Prozesse so ef-fektiv, dass die Quantenkoharenz in unmessbar kurzer Zeitverschwindet. Was ist die Konsequenz?

Eine Katze kann nicht in einem verschrankten Zustand exis-tieren, vielmehr ist sie - wie in der klassischen Welt - ent-weder lebendig oder tot, aber nicht beides gleichzeitig.

Wir konnen feststellen, dass die Quantenmechanik nachheutigen Erkenntnissen das Schrodingersche Gedankenex-periment unbeschadet “uberstanden” hat.

Messung einer DekoharenzzeitIn einem hervorragenden Artikel [15] beschreibt Serge Ha-roche ein Experiment zur Dekoharenz in einem mesoskopi-

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schen System. Mesoskopische Systeme liegen in ihrer Großezwischen mikroskopischen Systemen (Atomen) und makro-skopischen Systemen (Katzen). Es wird ein “Schrodinger-Katzchen” (Schrodinger kitten) realisiert, das aus wenigenverschrankten Mikrowellenphotonen in einem supraleiten-den Mikrowellenresonator besteht. Das Experiment ist sehranspruchsvoll, sowohl im theoretischen Hintergrund als auchin der praktischen Realisierung, so dass wir nur sehr pau-schal darauf eingehen konnen. Die benutzte Apparatur wur-de bereits in Abb. 3 gezeigt. Ein erstes Rubidium-Atom er-zeugt einen verschrankten “Schrodinger-Katzen-Zustand”in dem supraleitenden Resonator C, ein zweites, mit zeit-licher Verzogerung folgendes Atom tastet ab, ob die Ver-schrankung noch vorhanden ist oder ob inzwischen einUbergang in ein inkoharentes Gemisch von Zustanden ein-getreten ist.

Abbildung 16: Gemessene zeitliche Abnahme der Koharenzin einem “Schrodinger-Katzchen-Experiment” [4], [15]. DieDekoharenzzeit betragt etwa 50 µs. Nachdruck mit freundli-cher Genehmigung von J.-M. Raimond. Figure adapted withpermission from [4]. c© 1996 by the American Physical So-ciety.

Durch Variation der Verzogerung kann die De-koharenzzeit gemessen werden, sie genugt der Formel

tdecoh = Tcav/n ,

wobei Tcav = 160 µs die Dampfungszeitkonstante der Re-sonatorschwingung ist und n die mittlere Zahl der Mikro-wellenphotonen. Eine Messung wird in Abb. 16 gezeigt. Furn = 3 ergibt sich eine Dekoharenzzeit von etwa 50 µs. Immakroskopischen Fall n � 1 wird die Dekoharenzzeit un-messbar klein: die Dekoharenz einer realen Katze erfolgtinstantan.

Literatur

[1] Eine systematische Einfuhrung in die Quantenmechanikund eine ausfuhrliche Beschreibung der hier diskutiertenExperimente findet man in: P. Schmuser, TheoretischePhysik fur Studierende des Lehramts, Band 1 Quanten-mechanik, Springer 2012.

[2] A. Tonomura, Electron Holography, Springer 1994.

[3] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The FeynmanLectures on Physics, Addison-Wesley 1965. DeutscheAusgabe: Vorlesungen uber Physik, Oldenbourg 1991.

[4] M. Brune et al., Observing the Progressive Decoherenceof the “Meter” in a Quantum Measurement, Phys. Rev.Lett. 77, 4887 (1996).

[5] H. Rauch, Neutronen-Interferometrie: Schlussel zurQuantenmechanik, Physik in unserer Zeit, 29. Jahrg.1998, Nr. 2.

[6] O. Nairz, M. Arndt, and A. Zeilinger, Quantum interfe-rence experiments with large molecules, Amer. Journ. ofPhysics, 71 (4) 319 (2003).

[7] G. Mollenstedt und W. Bayh, Kontinuierliche Pha-senverschiebung von Elektronenwellen im kraftfeldfreienRaum durch das magnetische Vektorpotentials eines So-lenoids, Phys. Blatter 18, 229 (1962).

[8] P. Schmuser, Feynman-Graphen und Eichtheorien furExperimentalphysiker, Springer 1995.

[9] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H.-J. Miesner, D. S.Durfee, D. M. Kurn, W. Ketterle, Observation of Inter-ference Between Two Bose Condensates, SCIENCE Vol.275, 637 (1997).

[10] Es ist bis heute nicht gelungen, die Allgemeine Relati-vitatstheorie und die Quantentheorie zu vereinigen.

[11] Die Dirac-Gleichung und ihre Losungen werden in allerAusfuhrlichkeit in [8] besprochen. Eine kurze Diskussi-on findet man in: P. Schmuser, Theoretische Physik furStudierende des Lehramts, Band 2 Elektrodynamik undSpezielle Relativitatstheorie, Springer 2013.

[12] S. Haroche, J.-M. Raymond, Cavity Quantum Electro-dynamics, Scientific American, April 1993, p. 26.

[13] Sehr lesenswerte Betrachtungen zur Entwicklung derQuantenfeldtheorie und der Vorstellungen uber die Na-tur des Vakuums findet man in einem Artikel von Vic-tor F. Weisskopf, einem der Pioniere dieses Gebiets: Thedevelopment of field theory in the last 50 years, PhysicsToday November 1981.

[14] Effektive Massen treten auf, wenn man in der New-ton’schen Bewegungsgleichung (Masse ·Beschleunigung= Summe aller Krafte) nur eine Kraft berucksichtigt unddie anderen Krafte ignoriert. Ein triviales Beispiel istein mit Helium gefullter Ballon. Der Ballon steigt nachoben, entgegengesetzt zur Schwerkraft. Ignoriert mandie Auftriebskraft in der Luft, so muss man dem Balloneine negative effektive Masse zuordnen, da er scheinbarvon der Erde abgestoßen wird.

[15] S. Haroche, Entanglement, Decoherence and the Quan-tum/Classical Boundary, Physics Today, July 1998.

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