Faraday Maxwell

Honey BeeBarfly wing Brain nerve cell

Einstein

第十一章

电磁感应

第三篇电磁学

1. 静电场力的性质：库仑定 律、电场强度、电场散度2. 静电场能的性质：静电场作功、电势能、电场能量

1. 静电场力的性质：库仑定 律、电场强度、电场散度2. 静电场能的性质：静电场作功、电势能、电场能量

第三篇　电磁学第三篇　电磁学

静电学静电学 静磁学静磁学 电磁学电磁学

真空、金属中静电荷与静电场

真空、金属中静电荷与静电场

介质中的静电荷与静电场

介质中的静电荷与静电场

稳恒电势差与稳恒电场稳恒电势差与稳恒电场

静电荷产生的静电场静电荷产生的静电场

磁场对电荷与电流的作用磁场对电荷与电流的作用

磁现象的电本质

磁现象的电本质

磁场的性质散度与旋度磁场的性质散度与旋度

磁产生电电产生磁磁产生电电产生磁

电磁场的散度与旋度电磁场的散度与旋度

麦克思维方程组麦克思维方程组

内容结构

第十一章　电磁感应第十一章　电磁感应

研究对象：研究变化的电场与磁场相互产生的规律

电磁感应

动生电动势

感生电动势

变化的磁场产生电场 变化的电场产生磁场

内容结构

基本应用

自感与互感

磁场的能量

§11-1. 电磁感应的基本定律

一　电磁感应的实验1. 电流在其周围空间中产生电场——奥斯特实验

2. 变化磁场在其周围空间产生电场——法拉第实验•由导线作机械运动而在导体内部产生电动势—— 动生电动势•由磁通量改变而导体不作机械运动而在导体内部产生电动势

　　——感生电动势

二　电磁感应的基本定律

1. 感生电流的方向定律——楞次定律

闭合导体回路产生的感生电流的方向，总是使感生电流自身产

生的磁通量，去反抗引起感生电流的磁通量的改变

说明： A. 感生电流产生的磁通量与原磁场磁通量变化方向相反

　　与外磁场本身磁场方向无关

　 B. 楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的必然要求

2. 关于感生电动势大小的定律——法拉第电磁感应定律

dtd

dtd

Ni

N 称为磁链数其中

说明： A. 上式中的负号已经将楞次定律考虑进去

B. 感生电动势的大小与磁通量的变化率直接相关，而与磁通

　量大小没有直接关系

C. 当感生线圈闭合时，感生线圈中有感生电流

dtd

RRI ii

1

)(1121

2

1

2

1

Rdt

dtd

RdtIQ

t

t

t

t ii

其中， R 是感生线圈的总电阻

磁通计的实验原理：实验测出 Qi ，可以求出总磁通量变化

§6-2 　动生电动势

一　动生电动势的宏观实验解释

思路：由特例推导动生电动势的基本表达式，将该结论推广

特例：如图，均匀磁场中导体作速度为 v的匀速直线运动

求解：运动导体中的动生电动势

解：动生电动势的大小

dtd

dtd

Ni

tBlvsB 因

Blvdtd

Ni 于是

动生电动势的方向：由楞次定律，感生电流的方向为 ba

b

a

讨论： A. 将条件推广到一般情况，及 v与 B、 l不互相垂直

lBvi

)(则 ( 自己思考 )

B. 具有普适性lBvi

)(

a

bc

d

v

二　动生电动势的微观实验解释

1. 动生电动势的微观数学表述电子随导体运动时，受到洛仑兹力的作用，从而发生定向运动

)( Bvefm

电子在导体两端堆积时，产生静电作用Eefe

达到平衡时产生的动生电动势

a

b

a

bldBvldEUEBvEeBve

)()(

f’

F

u

f

v

u+v

讨论： A. 动生电动势的一般计算公式

a

bi ldBv

)(

动生电场的一般计算公式 BvEe

f’

F

u

f

v

u+vB. 几种特例

当 B 、 v、 l两两相互垂直时 Blvi

ldBv )(当　　　　　时 0 i

C. 在电源内部，电流由低电位指向高电位2. 动生电动势产生的微观实质

　从电荷受力观点，动生电动势实质是由于导体作宏观机械运

动而使自由电子受到洛仑兹力作用，发生定向运动产生电势差

　从能的观点。一部分洛仑兹力 ( 导体的宏观机械运动速度对应

的洛仑兹力 ) 对电荷作正功，使导体产生宏观动生电动势。

而另一部分洛仑兹力对电荷作负功 ( 电子相对于导体运动速度

对应的洛仑兹力 ) ，使导体运动的机械能转换为电能。可以证

明，洛仑兹力对电荷所作的总功为零。其作用是将机械能转换

为电能3. 动生电动势的应用举例

例：长为 l的导体在无限长直导线产生的磁场中以速度 v向上运动求：导体内产生的电动势解法一：取微元，规定积分方向，如图

ldBvd i

)(

规定积分方向 ba 那么vBdxd i

统一积分变量积分

因 xI

B

20 于是 d

ldvxI

xdxI

vb

ai

ln

2200

解法二：利用法拉第电磁感应定律求解

求解电动势的大小 ：导线 ab 上微元 dx 在时间间隔 　　　 内

的磁通量变化量为

dttt ~

BvdxdBvdxdtvdtdxBsdBd dtd

i )(

因 xI

B

20 于是 d

ldvxI

xdxI

vb

ai

ln

2200

由楞次定律判断电动势的方向

dldv

xI

i

ln2

0

思考：如果导体 ab 以角速度绕无限长直导线在竖直平面内转动，情况如何？

例：一根长度为 L 的金属杆 OA 绕其中一端在与磁场垂直的平面　内作匀速转动求：金属杆中的动生电动势

O AL

B

解 ldlBBvdlldBvd i

)(

2

00 21 LBldlBd

LL

OA 上式表明， O 端电势高于 A 端

例： N 匝面积为 S 的线圈平面在均匀磁场中作匀速转动，初始

　时刻，线圈平面与磁场平行

求：线圈平面中的感生电动势

a

n

b

c

d

B解 tNBSNBSNm coscos

tNBSNBSdtd

i sin)cos(

NBS0令 ——电动势振幅

则 ti sin0 这便是正弦交流电

§6-3 　感生电动势　 涡旋电场

一　感生电动势

1. 感生电动势的定 义

导体不作宏观机械运动，而由导体所 处的磁场随时间变化在导体内部产生的感应电动势，称感生电动势2. 感生电动势产生的 物理机制

(1). 感生电动势不能由洛仑兹力进行微观解释例：无限长螺线管外线圈中的感生电流无法用洛仑兹力解释

因螺线管外的磁场 B=0 ，螺线管与线圈无相对运动。于是0 BvEe

这与实验结果不相符合结论：感生电动势是由与动生电动势不 同的物理机制产生的

(2). 感生电动势产生的 物理机制——涡旋电场假设

麦克斯维涡旋电场假设解释感生电场的逻辑思路•闭合电路中存在电流的前提条件是电路中存在电场•闭合线圈中的磁通量发生改变时，线

　圈中存在感生电流•变化的磁场将产生电场，且该感生电

　场是涡旋电场

结论：变化的磁场产生涡旋电场，涡旋电场的产生与变化磁　场中是否存在导体无关。

3. 感生电场、感生电动势的计算

感生电动势的产生 仍然满足法拉第电磁感应定律

dtd

dtd

Ni

对单匝线圈，法拉第电磁感应定律成为

sdBdtd

dtd

i

当线圈面积保持不变时，感生电动势为

sdBtdt

di

4.涡旋电场的性质

A.涡旋电场的散度或通量定理

由于涡旋电场是封闭的闭合曲线，通过任意封闭曲面的通量

0s i sdE

0 iE

结论：涡旋电场是无源场

B.涡旋电场的旋度或环量定理

0 sdBdtdldEii

tBEi

结论：涡旋电场是有旋场

结论：涡旋电场是无源、有旋场

思考题：总结电场的性质

5.涡旋电场的应用举例

例：半径为 R 的圆柱形空间区域存在均匀磁场，当该磁场均匀　　增加时求：感生电场的空间分布 E 感

B

解：考虑到对称性及楞次定律，则感生

　磁场大小的空间分布，当 r<R时

dtdB

rE

dtdBrrEsdB

dtdldE iiii 2

12 2

当 r>R时，所选取的回路包含的磁通量变化率为整个磁场

dtdB

rRE

dtdBrREsdB

dtdldE iiii 2

22

2

例：在上例情形下，如果距圆心为 h处有一导体

求：导体两端的感生电动势

E 感

B

h a b

O

解法一：由上题结果 dtdB

rEi 2

1 ( 　　　时 )Rr

dtdBhLdl

dtdBhdlEldE ab

Lb

a iii 21

2cos

0

由楞次定律，可以判别 a点比 b点电势高

解法二：利用法拉第定律求解，首先作辅助闭合回路 oabo ，由　于 oa 、 ob 上没有感生电动势，回路中的电动势 就是 ab 上的感　生电动势。 最后根据楞次定律得到感生电动势的方向

dtdBhL

dtd

abi 21

用辅助回路方法的前提条件是辅助回路中的感生电动势 易求或为 0

二　电子感应加速器

1. 实验装置•变化电磁场中放置真空环行加速器，变化的非均匀磁场由交　变电流加以控制。•在交变电流的 1/4周期内，完成对带电粒子的加速2. 实验原理带电粒子在交变的非均匀磁场中运动时，将受到两方面的作用

力：感生电场的切向加速作用力与指向环心的洛仑兹力

电子感应加速器的核心问题是如何保证带电粒子在要求的圆周上作圆设带电粒子在半径为 r 的轨道上运动时感受到的磁感应强度为 Br ，在半径为 r 的圆周内的平均磁感应强度为B

确保带电粒子在希望的圆周轨道上运动的 问题转化为

切向的感生电场力

dtmvd

dtBd

re

dtBd

reeEF

dtBd

rE ii

)(222

1

径向的洛伦兹力

dtmvd

dtdB

ererBmvrvmqvBqvBBqvf r

rrr

)(2

于是 BBr 21

电子运动处的 B 应等于该路径所围面积内磁感应强度的一半

三　涡电流

1.涡电流产生的原理

当金属导体放置于变化磁场中时，变化的磁场将在金属导体

中产生感生电场，在感生电场作用下，金属中的自由电子将

形成涡电流。

由于金属导体的电阻很小，因而很小的感生电场就可以在金

属导体中形成强大的涡电流

2.涡电流的应用

感应加热：利用变化的磁场可以产生强大的涡电流，常常可以用之于感应加热电磁阻尼：涡电流在变化磁场中必然阻碍产生涡电流的金属导体的相对运动，用 之于迅速停止金属导体的相对运动

3.涡电流的克服将金属导体作成彼此绝缘的细片

§6-4 　自感 和互感

一　自感电动势

1. 自感现象由于电流回路自身的变化电流产生的变化磁通量在其自身回

路中激发感应电动势的现象，称为 自感现象2. 自感电动势设线圈匝数为 N ， t 时刻流过每匝线圈的电流为 I ，每匝线圈中

的磁通量为，则

dtd

dtd

Ni

sdB

由毕－萨定律 IB

于是 I

令 LI L 称为自感系数

)()(

dtdILI

dtdL

dtLId

dtd

i

当 L 为常数时 dtdIL

dtdILI

dtdL

i )(

讨论： a. 上式成立的条件： L 不随时间变化而变化b. 在数值上， L 是线圈通以单位电流时，通过线圈的磁链数　对比　　　　与　　　　， L 称之为电磁惯量c.L 反映自身的电磁 惯性，与通以多大电流没有直接关系

amF

LI

例：无限长螺线管的自感系数

ILLI

解 NBSN nIB 0

于是 InL 20

当螺线管内充以介质时 InL 2

二　互感电动势

1. 互感现象

由于一个线圈中电流变化而

在附近另一个线圈中产生感应电动势的现象

2. 互感电动势

由法拉第电磁感应定律 dtd 12

12

dtd 21

21

因 11212 IMI 22121 IM

于是 dtdI

M 11212

dtdI

M 22121

可以证明 2112 MM

则dtdI

M 112

dtdI

M 221 112 I 221 I

讨论： A. 互感系数的物理意义：互感系数在数值上等于一个线

　　圈单位电流在另一个线圈上的磁链数

　　 M 表示两线圈相互作用的惯性

B. 对非铁磁介质， M只与两线圈的结构和所处的介质环境有关

　　与通以电流形式无关

　　对铁磁介质， M 不是一个常数，且与线圈中流过电流相关

C. 上面式子成立的前提条件是 M 为恒定值

例：求解共轴线圈的互感系数，互感系数与自感系数的关系

解： (1). 求解互感系数

设原线圈流有电流 I １，则原线圈内部的磁感应强度 lIN

B 11

原线圈磁场在副线圈上的磁链数 lSINN

N 12112212

按互感系数的定义l

SNNI

NM 21

1

122

(2). 自感系数与互感系数间的关系原线圈有电流 I １时，流过其自身的磁链数 s

lIN

N 112111

按自感系数的定 义，原线圈的自感系数为

lSN

IN

L21

1

1121

同理，副线圈的自感系数为

lSN

IN

L22

2

2122

互感系数和自感系数的关系为 21MMM

讨论： A. 求解自感系数，互感系数的一般方法是 给线圈一个　假想电流，然后由定义求解B.只有共轴互感线圈，才有　　　　　　成立，对一般情况有21MMM

21MMkM k 称为耦合系数，由两线圈相对位置确定

§6-5 　磁场的能量

一　磁场的能量

1. 磁场的能量

讨论磁场能量的思路

•将磁场储能元件放置于电路中，那么，在时间 t 内，电场在其

　上消耗的电能就应当等于磁场储能元件所储藏的磁场能量•计算一个特例，然后将此结果作推广

特例：如图，计算线圈中储存的磁场能量

解：电源在 dt 时间范围内对线圈所做的功 idtdA L

而 dtdiLL

于是 mWLiA 2

21

讨论： A.设线圈为无限长通电螺线管

VnL 2 于是 VBWm

2

21

B. 将此结论推广，磁场储存的能量为 VBWm

2

21

2. 磁场的能量密度 HBVWm

m

21

讨论： A. 该公式对任意磁场储能都适用

　　　 B. 利用磁场的能量密度可以计算磁场的总能量

dVHBdVWV mm

21

例：螺绕环的平均半径为 R=8.0cm ，截面积 S=1.0cm2 ，线圈

　匝数 N=1000

求： 1.螺绕环的自感系数

　　 2.若螺绕环通过的 I=1.0A ，其磁场

　　　能量和能量密度是多少

解： 1.螺绕环的半径远大于环的截面半径，

　螺绕环的磁场可以看作为无限长螺线管

产生的磁场。对应地，螺绕环的自感系数为

)(105.2 42

0 HSlNL

2.螺绕环的磁场储能 )(1025.121 42 JLiWm

螺绕环的能量密度 )/(5.2 2mJSl

Wmm

讨论：对无限长螺线管或截面积很小的螺绕环，用本题的求解　方法求解较为简单。也可以用公式求解：

dVHBdVWV mm

21

例：计算内外半径分别为 R1 、 R2 的同轴　电缆单位长度的自感系数 和磁场储能解：能量密度：由安培环路定理，只有

R1

R2

21 RrR 的区域中存在磁场分布 rI

B

20

22

20

821

rI

HBVW

mm

m

由

单位长度的能量：选择底面半径为 r ，厚度为 dr ，长度为 l的体积元，该体积元的磁场能量为

1

22

02

0 ln44 R

RlIdVW

rdrl

IdVdW

V mmmm

令 l=1 ，单位长度磁场的储能为

1

22

0 ln4 R

RlIWm

单位长度的自感系数

1

202

2 ln2

221

RR

IW

LLIW mm

讨论： A. 求解磁场储能的通常方法是首先求解磁场的分布，

　再求磁场的能量密度分布，最后通过磁场的能量密度分布

　求解磁场的总能量。

B. 求自感系数通 常有两种方法，一是由定义求解，另外就是

　通过能量求解

例：设两线圈分别通以电流 I1 、 I2

求： 1). 解相邻两通电线圈的能量

　　 2). 证明两线圈相互的互感系数相等解： 1). 两线圈储存的磁场能量

计算磁场储能，只需考虑两线圈电流达到稳定前电能转化为

磁场的能量

假设先给线圈 1 通以电流，当其从 0 达到 I1过程中，线圈 1 自身

由于自感，在 此过程中储存的磁场能量为2

111 21 ILW

当线圈 2 通以电流时，除了线圈 2 的自感 会将电能转化为磁场能外，线圈１对线圈 2还有互感。保持线圈 1 的电流在线圈 2 电流从零增大到 I2过程中始终不变，那么，电源 1 必然克服线圈 1 的互感电动势作功，从而 又将一部分电能转化为磁场能。因此，在此过程中，电能转化为磁场能量的总能量值为

2222 2

1 ILW

21210 21212

12112121

2

IIMdiIMdtdtdi

IMdtIWI

在上述两个过程中，电能转化为磁场能的总能量值为

如果首先让线圈 2 通以电流 I2 ，然后保持 I2 不变，再通以电流 I1

则与 1)类似，系统储存的总能量为

21122

222

111221 21

21 IIMILILWWWW

2). 证明两线圈的互感系数相等2121

222

2112121 2

121 IIMILILWWWW

显然，上述过程的最终状态完全相同，因而磁场储存的能量应

当相同，于是

2112 MMWW