faces of an inerger polyhedron
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FACES O F AN INTEGER POLYHEDRON* B Y R . E . GOMORY THOMAS J. WATSON RESEARCH CENTER, YORKTOWN HEIGHTS, NEW YORK Communicated by R. Courant, November 1, 1966 I n reference 5 connection was given between th e integer a n d noninteger solu- tions t o t h e linear programing problem maximize z = cx (1 ) A x = b , x> 0 . I n ( 1 ) x i s a n m + n vector, b is a n integer m-vector, c a n m + n vector, and A a n m X ( m + n ) integer matrix containing an m X m identity matrix. A i s assumed t o b e rearranged a n d partitioned into an m X m optimal basis matrix B f o r t h e noninteger problem a n d a collection of nonbasic columns forming th e matrix N with A = (B,N). A n alternative form o f (1 ) that i s useful here f o r geometric inter- pretation i s t o inequalities, A a s (A', I ) . Then ( 1) becomes maximize z = c'x' (la) A'x' . b where x ' a n d c ' a r e n-vectors. Under suitable conditions, given i n reference 5 , the integer solution to ( 1 ) could b e obtained from the noninteger o n e b y solving the optimization problem i =n m a x E cst, j =1 subject to t h e conditions i =n £ gat9 = g o (2 ) t = 1 where t h e t , a r e required t o b e nonnegative integers. T h e c * (which a r e n o t i m- portant here) a r e t h e relative cost coefficients associated with t h e columns o f N, and g9 i s t h e element o f t he factor module g = M(I)/M(B) corresponding t o th e i t h column o f N . Here M(I) i s t h e module o f a l l integer m-vectors, a n d M(B) t h e module generated over t h e integers b y t h e columns o f B . T h e connection between integer a n d noninteger solutions established by ( 2 ) held only under certain conditions. O n e w a y t o develop this approach into a general integer programing algorithm would b e t o develop from (2) n e w inequalities or "cutting planes" f o r a method similar t o that o f reference 6 . T he geometrical interpretation o f t h e solutions t o ( 2 ) suggests that this i s possible a n d this approach i s outlined here. T o s e e this, consider th e cone P ' i n t h e space o f t h e variables x ' o f (la) formed b y using only t h e inequalities corresponding t o t h e nonbasic variables or equivalently, P ' i s t he cone obtained i f i n (la) t h e nonnegativity condition f o r t h e basicvariables i s dropped. Within P ' i s t h e polyhedron P ' which i s t h e convex hull o f t h e integer points o f P ' . P' i s an interesting object o f study i n itself. I n addition, i t s faces 16
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FACES OF AN INTEGER POLYHEDRON*
BY R . E . G O M O R Y
THOMAS J . WATSON RESEARCH CENTER, YORKTOWN HEIGHTS, NEW YORK
C o m m u n i c a t e d b y R . C o u r a n t , N o v e m b e r 1 , 1 9 6 6
I n r e f e r e n c e 5 a c o n n e c t i o n w a s g i v e n b e t w e e n t h e i n t e g e r a n d n o n i n t e g e r s o l u -
t i o n s t o t h e l i n e a r p r o g r a m i n g p r o b l e m
m a x i m i z e z = c x ( 1 )
Ax = b , x> 0 .
I n ( 1 ) x i s a n m + n v e c t o r , b i s a n i n t e g e r m - v e c t o r , c a n m + n v e c t o r , a n d A a n
m X ( m + n ) i n t e g e r m a t r i x c o n t a i n i n g a n m X m i d e n t i t y m a t r i x . A i s a s s u m e d
t o b e r e a r r a n g e d a n d p a r t i t i o n e d i n t o a n m X m o p t i m a l b a s i s m a t r i x B f o r t h e
n o n i n t e g e r p r o b l e m a n d a c o l l e c t i o n o f n o n b a s i c c o l u m n s f o r m i n g t h e m a t r i x N
w i t h A = ( B , N ) . An a l t e r n a t i v e f o r m o f ( 1 ) t h a t i s u s e f u l h e r e f o r g e o m e t r i c i n t e r -
p r e t a t i o n i s t o r e v e r t t o i n e q u a l i t i e s , w r i t i n g A a s ( A ' , I ) . T h e n ( 1 ) b e c o m e s
m a x i m i z e z = c ' x ' ( l a )
A ' x ' . b
w h e r e x ' a n d c ' a r e n - v e c t o r s .
U n d e r s u i t a b l e c o n d i t i o n s , g i v e n i n r e f e r e n c e 5 , t h e i n t e g e r s o l u t i o n t o ( 1 ) c o u l db e o b t a i n e d f r o m t h e n o n i n t e g e r o n e b y s o l v i n g t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
i=n
max E c s t ,j=1
s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n s
i =n
£ g a t 9 = g o ( 2 )t = 1
w h e r e t h e t , a r e r e q u i r e d t o b e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s . T h e c * ( w h i c h a r e n o t i m -
p o r t a n t h e r e ) a r e t h e r e l a t i v e c o s t c o e f f i c i e n t s a s s o c i a t e d w i t h t h e c o l u m n s o f N , a n d
g 9 i s t h e e l e m e n t o f t h e f a c t o r m o d u l e g = M ( I ) / M ( B ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e i t h
c o l u m n o f N . H e r e M ( I ) i s t h e m o d u l e o f a l l i n t e g e r m - v e c t o r s , a n d M ( B ) t h e
m o d u l e g e n e r a t e d o v e r t h e i n t e g e r s b y t h e c o l u m n s o f B .
T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n i n t e g e r a n d n o n i n t e g e r s o l u t i o n s e s t a b l i s h e d b y ( 2 )h e l d o n l y u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s . O n e way t o d e v e l o p t h i s a p p r o a c h i n t o a
g e n e r a l i n t e g e r p r o g r a m i n g a l g o r i t h m w o u l d b e t o d e v e l o p f r o m ( 2 ) new i n e q u a l i t i e so r " c u t t i n g p l a n e s " f o r a m e t h o d s i m i l a r t o t h a t o f r e f e r e n c e 6 . T h e g e o m e t r i c a li n t e r p r e t a t i o n o f t h e s o l u t i o n s t o ( 2 ) s u g g e s t s t h a t t h i s i s p o s s i b l e a n d t h i s a p p r o a c h
i s o u t l i n e d h e r e .To s e e t h i s , c o n s i d e r t h e c o n e P ' i n t h e s p a c e o f t h e v a r i a b l e s x ' o f ( l a ) f o r m e d b y
u s i n g o n l y t h e i n e q u a l i t i e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e n o n b a s i c v a r i a b l e s o r e q u i v a l e n t l y ,P ' i s t h e c o n e o b t a i n e d i f i n ( l a ) t h e n o n n e g a t i v i t y c o n d i t i o n f o r t h e b a s i c v a r i a b l e s
i s d r o p p e d . W i t h i n P ' i s t h e p o l y h e d r o n P ' w h i c h i s t h e c o n v e x h u l l o f t h e i n t e g e rp o i n t s o f P ' . P ' i s a n i n t e r e s t i n g o b j e c t o f s t u d y i n i t s e l f . I n a d d i t i o n , i t s f a c e s
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MATHEMATICS: R . E . GOMORY
c l e a r l y p r o v i d e t h e s t r o n g e s t i n e q u a l i t i e s o r c u t t i n g p l a n e s f o r t h e g e n e r a l i n t e g e rp r o g r a m i n g p r o b l e m t h a t c a n b e d e d u c e d l o c a l l y , i . e . , w i t h o u t u si n g t h e n o n l o c a l
i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e f r o m t h e n o n n e g a t i v i t y c o n d i t i o n o n t h e b a s i c v a r i a b l e s .S i n c e t h e v a r i a b l e s t o f ( 2 ) d e t e r m i n e a c o r r e s p o n d i n g x s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s
o f ( 1 ) b y t - * x = ( B ' - ( b -N t ) , t ) a n d h e n c e a l s o d e t e r m i n e t h e x ' o f ( l a ) , i n e q u a l i t i e so n t h e t j y i e l d i n e q u a l i t i e s o n t h e x ' , a n d i n t h i s s e n s e o n e c a n t a l k a b o u t a n i n -
e q u a l i t y o n t h e t j b e i n g a f a c e o f P " .
F a c e s t o P a c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e f o l l o w i n g e a s i l y p r o v e d t h e o r e m w h i c h
a l l o w s t h e i r c o m p u t a t i o n b y l i n e a r p r o g r a m i n g .
THEOREM 1 . T h e i n e q u a l i t y 2 i r r t i > 7 r o i s a f a c e o f P ' i f a n d o n l y i f t h e O r e a r e a
b a s i c f e a s i b l e s o l u t i o n o f t h e s y s t e m o f i n e q u a l i t i e s ,
7 r T > l r o ( 3 )
m a d e u p f r o m a l l v e c t o r s T = ( t i , . . , t n ) , s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s o f ( 2 ) .
A n u m b e r o f r e m a r k s c a n b e m a d e a b o u t t h e f e a s i b i l i t y o f t h i s c o m p u t a t i o n .
F i r s t : A l t h o u g h t h e r e a r e a n i n f i n i t y o f T s a t i s f y i n g ( 2 ) a n d h e n c e a n i n f i n i t y o fi n e q u a l i t i e s , i t i s e a s y t o r e d u c e t h i s t o a f i n i t e n u m b e r b y c o n s i d e r i n g o n l y t h e i r -
r e d u c i b l e T , i . e . , t h o s e T n o t c o n t a i n i n g a s a v e c t o r T ' = ( t i , . . . , t n ) f o r w h i c h
Z t i g i = 0 . O r a l t e r n a t i v e l y o n e c a n w o r k o n l y w i t h t h o s e T t h a t s a t i s f y ( 2 ) f o r
s o m e n o n n e g a t i v e c * .S e c o n d : T h e t r i v i a l f a c e s o f P " , t h o s e t h a t a r e s i m p l y f a c e s o f t h e o r i g i n a l p r o b -
l e m ( 1 ) , c a n b e d i s c a r d e d b y c h o o s i n g l r o $ 0 .
T h i r d : T h e m u l t i p l i c i t y o f r o w s i n ( 3 ) c a n b e d e a l t w i t h b y a r o w - g e n e r a t i n g
m e t h o d s i m i l a r t o t h e m e t h o d s o f r e f e r e n c e s 1 , 3 , 4 , a n d 7 . B e c a u s e o f t h i s , a n n X n
b a s i s m a t r i x i s t h e m o s t t h a t i s r e q u i r e d a t a n y t i m e . T h e n e e d e d r o w a t e a c h
s i m p l e x s t e p c a n b e g e n e r a t e d ( a t w o r s t ) b y s o l v i n g a p r o b l e m a p p r o x i m a t e l y
e q u i v a l e n t t o ( 2 ) , e s s e n t i a l l y a s h o r t e s t p a t h p r o b l e m o v e r t h e g r o u p G .F o u r t h : T h e r e i s a s i m p l e way o f g e t t i n g a f i r s t f e a s i b l e s o l u t i o n t o ( 3 ) , a n d h e n c e
a f a c e o f P ' , b y s o l v i n g a s i n g l e p r o b l e m l i k e ( 2 ) w i t h a n a d d i t i o n a l s i d e c a l c u l a t i o nt h a t l e s s t h a n d o u b l e s t h e w o r k . ( F o r a n e s t i m a t e o f t h e w o r k i n v o l v e d i n s o l v i n g( 2 ) , s e e r e f . 5 . ) T h i s c a l c u l a t i o n w i l l n o t b e d e s c r i b e d h e r e .
F i f t h : D u p l i c a t i o n , i . e . , many c o l u m n s o f N m a p p i n g i n t o t h e s a m e g r o u p e l e -
m e n t , c a n e a s i l y b e t a k e n c a r e o f a n d s i m p l y r e d u c e s t h e s i z e o f t h e p r o b l e m t o b e
d e a l t w i t h .I n a d d i t i o n t o p r o v i d i n g a m e t h o d o f c o m p u t i n g f a c e s o f P " b y l i n e a r p r o g r a m -
i n g , e q u a t i o n s ( 3 ) l e a d t o t h e p r o o f o f t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s w h i c h i n v o l v e c o n -
s i d e r i n g t h e t r e e o f s h o r t e s t p a t h s o v e r t h e g r o u p G .L e t g i , . . . , g n b e t h e g r o u p e l e m e n t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o l u m n s o f N . C h o o s e
f r o m among t h e g j a b a s i s ( w e c a n a s s u m e i t i s g 1 , . . . , g p ) s o t h a t G = g i 9 1 )02 ). . . 0 g , t h e d i r e c t s u m . T h e r e m a i n i n g g i a n d t h e e l e m e n t g o c o r r e s p o n d i n g t o b
i=p
c a n t h e n b e r e p r e s e n t e d a s p - v e c t o r s w i t h r e s p e c t t o t h i s b a s i s ; s o k = E Y k i g i1=1
a n d t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w h o s e p r o o f i s n o t g i v e n h e r e , h o l d s .
THEOREM 2 . I f f o r s o m e b a s i s g 9 , . . . , g p , t h e r e p r e s e n t a t i o n o f g o , g o = 2 y o j g j h a s
a c o m p o n e n t s f o r w h i c h
7 0 . 5 s . maxk > p Y k , . s
t h e n t h e 7 r i g i v e n b y
V O L . 5 7 , 1 9 6 7 1 7
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MATHEMATICS: R . E . GOMORY
TO = Y O s , w=1, T k = ' Y k s k > p , a n d 7 k = 0
o t h e r w i s e g i v e a f a c e o f P " .
T h e c o n d i t i o n o f t h e t h e o r e m i s a l w a y s m e t w h e n e v e r , f o r s o m e c o m p o n e n t s ,
Y O y s i s e x a c t l y one l e s s t h a n t h e o r d e r o f g , . I n p a r t i c u l a r , w e h a v e t h e c o r o l l a r y .C O R O L L A R Y . I f g i s t h e d i r e c t s u m o f c y c l i c g r o u p s o f o r d e r 2 , t h e n a n y b a s i s o f g
s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 2 .
I t i s e a s i l y s h o w n t h a t a l l A c o n s i s t i n g o f c o l u m n s w i t h a t m o s t t w o n o n z e r o e n -
t r i e s t h a t a r e r e s t r i c t e d t o b e 1 , o r - 1 , y i e l d g r o u p s G t h a t a r e d i r e c t s u m s o f
c y c l i c g r o u p s o f o r d e r 2 . T h i s c o n n e c t s w i t h t h e w o r k o f E d m o n d s . 2
I n t h e n e x t t h e o r e m we r e f e r d i r e c t l y t o t h e s h o r t e s t p a t h t r e e . I n a g r a p h , i f
a n y u n a m b i g u o u s m e t h o d o f b r e a k i n g t i e s among p a t h s i s u s e d s o t h a t t h e r e i s a
u n i q u e s h o r t e s t p a t h b e t w e e n t w o p o i n t s , t h e s h o r t e s t p a t h s f r o m o n e p o i n t t o a l l t h e
o t h e r s w i l l f o r m a s p a n n i n g t r e e . H o w e v e r , d i f f e r e n t t i e - b r e a k i n g m e t h o d s p r o d u c e
d i f f e r e n t t r e e s . I f t h e e l e m e n t s o f g a r e t a k e n a sn o d e s
o fa
g r a p h ,a n d
i ft h e
g i ,i
= 1 , . . . , n , a r e t a k e n a s d i r e c t e d a r c s c o n n e c t i n g e a c h g ' t o t h e p o i n t g ' + g i , we
h a v e a g r a p h a n d h e n c e f o r a n y c h o i c e o f 7 r i , i = 1 , . . . , n , a s h o r t e s t p a t h t r e e .
I n w h a t f o l l o w s , b ' d e n o t e s a r i g h t - h a n d s i d e i n ( 1 ) a n d g ' i s t h e g r o u p e l e m e n t f b '
u n d e r t h e n a t u r a l m a p p i n g f w h i c h s e n d s M ( I ) o n t o G . We c a n now s t a t e T h e o r e m
3 .
THEOREM 3 . I f R i s a s h o r t e s t p a t h t r e e f o r t h e 7 r T f o r m i n g a f a c e o f P " , a n d i f g '
= f b ' i s s e p a r a t e d f r o m 0 i n R b y g o , t h e n t h e 7 r i a r e a l s o a f a c e f o r t h e p o l y h e d r o n P "
r e s u l t i n g f r o m t h e r i g h t - h a n d s i d e b ' .
T h e 7 r O ' c o r r e s p o n d i n g t o b ' c a n b e o b t a i ne d b y a d d i n g t h e t r e e d i s t a n c e f r o m g o
t o g ' t o t h e o r i g i n a l T r o .
F i n a l l y we s t a t e a t h e o r e m t h a t a l l o w s t h e c o m p u t a t i o n o f f a c e s o n a o n c e - a n d -f o r - a l l b a s i s , i n d e p e n d e n t o f t h e p a r t i c u l a r c o l u m n s p r e s e n t i n t h e m a t r i x M.
L e t t h e f a c e s F j b e a l l f a c e s o f t h e h i g h e r - d i m e n s i o n a l i n t e g e r p o l y h e d r o n P* o b -
t a i n e d f r o m ( 2 ) b y l e t t i n g t h e i n d e x i i n ( 2 ) r a n g e o v e r a l l g r o u p e l e m e n t s .
F j = ( T r o i , T i i , T 2 , i j , . T D - , i ) ) - ( 4 )
THEOREM 4 . T h e f a c e s F j ' , o b t a i n e d b y d e l e t i n g f r o m ( 4 ) a l l 7 r i j w h o s e c o r r e s p o n d i n gg r o u p e l e m e n t i s n o t a c o l u m n o f N , i n c l u d e a l l f a c e s o f t h e o r i g i n a l p o l y h e d r o n P " .
* T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e O f f i c e o f N a v a l R e s e a r c h u n d e r c o n t r a c t Nonr 3 7 7 5 -
( 0 0 ) , NR 0 4 7 0 4 0 .1 D a n t z i g , G . B . , a n d P . W o l f e , " D e c o m p o s i t i o n p r i n c i p l e f o r l i n e a r p r o g r a m s , " O p e r a t i o n s R e s . ,
8 , 1 0 1 - 1 1 1 ( 1 9 6 0 ) .2 E d m o n d s , J . , "Maximum m a t c h i n g a n d a p o l y h e d r o n w i t h 0 , 1 - v e r t i c e s , " J . R e s . N a t l . B u r .
S t d . , B , 6 9 B , 1 2 5 - 1 3 0 ( 1 9 6 5 ) .3 F o r d , L . R . , J r . , a n d D . R . F u l k e r s o n , "A s u g g e s t e d c o m p u t a t i o n f o r m a x i m a l m u l t i - c o m m o d -
i t y n e t w o r k f l o w s , " M a n a g e m e n t S c i . , 5 , 9 7 - 1 0 1 ( 1 9 5 8 ) .4 G i l m o r e , P . C . , a n d R . E . G o m o r y , "A l i n e a r p r o g r a m i n g a p p r o a c h t o t h e c u t t i n g - s t o c k
p r o b l e m , " O p e r a t i o n s R e s . , 9 , 8 4 9 - 8 5 9 ( 1 9 6 1 ) .5 G o m o r y , R . E . , "On t h e r e l a t i o n b e t w e e n i n t e g e r a n d n o n i n t e g e r s o l u t i o n s t o l i n e a r p r o -
g r a m s , " t h e s e P R O C E E D I N G S , 5 3 , 2 6 0 - 2 6 5 ( 1 9 6 5 ) .6 G o m o r y , R . E . , "An a l g o r i t h m f o r i n t e g e r s o l u t i o n s t o l i n e a r p r o g r a m s , " i n R e c e n t A d v a n c e s i n
M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g , e d . R o b e r t L . G r a v e s a n d P h i l i p W o l f e ( N e w Y o r k : M c G r a w - H i l l ,
1 9 6 3 ) , p p . 2 6 9 - 3 0 2 .
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