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FÁBIO RICARDO FERREIRA CORREA

OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À

FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

Assis-SP 2011


OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À

FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao

Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como

requisito do curso de Licenciatura Plena em

Matemática, como requisito parcial à obtenção do

Certificado de Conclusão

ORIENTADOR: Cleiton Joni Benetti Lattari

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Educação matemática / Ensino de física

ASSIS

2011

FICHA CATALOGRÁFICA

CORREA, Fábio Ricardo Ferreira Os conceitos de funções de 1º e 2º grau aplicadas à física elementar da

primeira série do ensino médio / Fábio Ricardo Ferreira Correa. Fundação Educacional do Município de Assis – FEMA – Assis, 2011.

68p. Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino superior

de Assis – IMESA Ensino de física, funções, cinemática.

CDD: 510 Biblioteca da FEMA

OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO


Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito do curso de Licenciatura Plena em Matemática, analisado pela seguinte comissão examinadora:

Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari. Analisador: Alberto Luiz Pereira da Costa

Assis 2011

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a todos os docentes do Brasil que se preocupam com a formação dos alunos da rede pública de ensino e fazem o possível para contribuir com a educação.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, aos meus familiares: Minha mãe Laura Rita Ferreira Correa, meu pai Carlos Roberto Correa, meu irmão Felipe Ferreira Correa. Aos meus amigos: André Luiz Fernandes, Marcos André Vieira, Sérgio Rodriguez, Vinícius Felício, Matheus Palmeira, Silvio Rodriguez, Juliano Moreira, Adriano la Selva, Edgar Tenshi, Diego Faustino, Sônia Zancheta, Gabriel Pitta, Leonardo Morais e Jhonatan Gianase. Ao professor Cleiton J. B. Lattari, principalmente pelas orientações, indicações de leitura e pesquisa. Ao professor Alberto L. P. da Costa, pelas sugestões e ideias que contribuíram com esta pesquisa. Aos Professores da minha graduação: Leonor Farcic Fic Menk; José Carlos Cavassini; Fernando Graciliano de Brito; Sarah Rabelo de Souza; Ebano Bortotti de Oliveira; Maria Beatriz Alonso do Nascimento; Rafael Falco Pereira; Luiz Carlos Begosso; Sandra Regina Gregório Oliveira; Márcia Valéria Serôdio Carbone e Gabriela Helena Geraldo Issa Mendes. Aos meus colegas de sala: Pollyanna, Deise, Marcelo, Aline, Kelen, Edinei, Arlindo, Lídia, Raisa, Márcio e Adriana.

“Ensinar física não é fácil, aprender é menos ainda”

Marcelo Gleiser

RESUMO

Este trabalho discute a relação entre os conceitos de funções do 1º e 2º graus

aplicados ao estudo da cinemática. Discute também, a relação que os alunos do

primeiro ano do ensino médio da rede pública fazem entre essas funções

estudadas nas aulas de matemáticas e aquelas relacionadas ao movimento

retilíneo uniforme e uniformemente variado nas aulas de física.

Para isso, foi desenvolvido um questionário contendo questões sobre os

conteúdos mencionados com o intuito verificar se os estudantes conseguem

utilizar as ferramentas matemáticas para responder às perguntas referente aos

movimentos da cinemática. Esse questionário foi aplicado em alunos do primeiro

ano do ensino médio de uma escola pública da cidade de Assis, interior do estado

de São Paulo, e verificamos que os alunos têm dificuldades em estabelecer esta

relação como vamos constar nos capítulos deste trabalho.

Palavras chave: Ensino de física, funções, cinemática.

ABSTRACT

This paper discuss the relationship between the conceptes of functions 1 and 2

degrees to the study of the kinematics. It also discusses the relationship that the

students in the first year of high school from the public education make, between

these functions studied in mathematics classes, and those related to the rectilinear

uniform motion and uniformly varied in phisics classerooms.

For this, we developed a questionnaire containing questions about the content

mentioned in order to check if the students can use the mathematical tools to

answer questions concerning the movements of kinematics. The questionaire was

applied to studens of the first year of the high school of a public school in the down

of Assis, in the state of Sao Paulo, and we verified that the students have

difficulties to stablish this relation as we will included in the chapters of this work.

Keywords: Physics teaching, functions, kinematics.

ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1: Conjuntos numéricos ........................................................................ 14

Ilustração 2: Relação A x B ................................................................................... 15





Ilustração 7: Função do primeiro Grau .................................................................. 19

Ilustração 8: Função do segundo grau .................................................................. 21

Ilustração 9: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para

cima. ............................................................................................................... 22

Ilustração 10: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para

baixo. .............................................................................................................. 22

Ilustração 11: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 26






Ilustração 17: Gráfico de uma função Espaço x tempo do movimento retilíneo

uniforme ......................................................................................................... 31

Ilustração 18: Gráfico de funções Espaço x tempo do movimento uniformemente

variado ............................................................................................................ 33

Ilustração 19: Gráfico de funções Velocidade x espaço do movimento

uniformemente variado ................................................................................... 34

Ilustração 20: Foto dos alunos respondendo o questionário ................................. 38



Ilustração 23: Gráfico das respostas obtidas na primeira questão ........................ 40

Ilustração 24: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão ....................... 41

Ilustração 25: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão ....................... 42

Ilustração 26: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão ......................... 43

Ilustração 27: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão ......................... 44

Ilustração 28: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão

....................................................................................................................... 46


....................................................................................................................... 46


....................................................................................................................... 47


....................................................................................................................... 48


....................................................................................................................... 48

Ilustração 33: Gráfico das respostas obtidas na quinta questão. .......................... 50

Ilustração 34: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão

....................................................................................................................... 52


....................................................................................................................... 53


....................................................................................................................... 53

Ilustração 37: Gráfico das respostas obtidas na sétima questão ........................... 54

Ilustração 38: Gráfico das respostas obtidas na oitava questão ............................ 56

Ilustração 39: Gráfico das respostas obtidas na nona questão ............................. 57

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3

2. OBJETIVOS...................................................................................................................... 6

2.1. OBJETIVO PRINCIPAL ..................................................................................................... 7

3. REVISÃO DA LITERATURA ........................................................................................ 8

4. FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS ..................................................................................... 14

4.1. FUNÇÃO: CONCEITOS INICIAIS .......................................................................... 14

4.2. NOTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO ............................................................................... 18

4.3. FUNÇÃO AFIM ........................................................................................................ 18

4.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM................................................................................ 19

4.5. O ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM ......................................................................... 19

4.6. FUNÇÕES QUADRÁTICAS .................................................................................... 20

4.7. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ..................................................... 21

4.8. CONCAVIDADE DA FUNÇÃO ............................................................................... 22

4.9. O ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA................................................................... 23

4.10. O NÚMERO DE RAIZES ........................................................................................ 24

4.11. O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................ 25

4.12. SINAL DE UMA FUNÇÃO .................................................................................... 26

5. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA: ALGUNS CONCEITOS SOBRE

MOVIMENTO .................................................................................................................... 29

5.1. A VELOCIDADE ...................................................................................................... 29

5.2. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) ............................................... 30

5.3. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ........... 32

6. METODOLOGIA ........................................................................................................... 35

7. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS QUESTIONÁRIOS APLICADOS ........................ 40

8. CONCLUSÃO ................................................................................................................. 59

9. ANEXO 1: ........................................................................................................................ 64

QUESTIONÁRIO ............................................................................................................. 64

10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 67

3

1. INTRODUÇÃO

O ensino de matemática e física no contexto do ensino médio tem apresentado

dificuldades correlacionadas, quando observamos o ensino de funções do primeiro

e segundo graus, tanto na sua proposta de ensino da matemática como na

proposta de suas aplicações no ensino de movimento retilíneo uniforme e

uniformemente variado, relacionados à física.

Muitas dificuldades são encontradas quanto ao ensino de física e matemática,

como citado por Ricardo e Zylbersztajn (2002).

A falta de experimentos nas aulas de física e o pouco conhecimento matemático

dos alunos com referência ao estudo das funções e suas aplicações, interferem

claramente na educação científica.

Entre o discurso da sala de aula e o que se comprova no cotidiano, existe uma

grande deformidade de informação. Os alunos veem as aplicações dos conceitos

da matemática à física com grande dificuldade, confundindo os conceitos de física

com os de matemática.

Durante o segundo ciclo do ensino fundamental, os alunos começam a lidar com

ferramentas matemáticas que serão fundamentais no processo de ensino e de

aprendizagem em física. Os estudantes dos últimos anos do ensino fundamental,

por exemplo, estudam as expressões algébricas, as equações de primeiro e

segundo grau e alguns gráficos, que serão utilizados no estudo de física para

descrever os movimentos da cinemática. Sendo assim, o mau aprendizado desses

conteúdos nos anos antecessores ao do primeiro do ensino médio, pode

prejudicar muito o processo de ensino e de aprendizagem da cinemática, fato o

qual é também observado por Paulino e Paulino (2007).

“A falta do conhecimento de matemática, (que é uma das

grandes ferramentas para se entender a natureza) em

4

muitas ocasiões, é o principal obstáculo para aquisição dos

conceitos de física.” (Paulino e Paulino, 2007, p. 8)

Essas considerações feitas pelos autores citados nos fornecem indícios de um dos

possíveis motivos pelos quais os alunos da primeira série do ensino médio têm

dificuldade na disciplina de física. Esse fator é observado também por Dantas e

Nobre (2006), que comentam sobre as referências bibliográficas utilizadas pelos

professores em sala de aula.

“Os professores seguem os conteúdos propostos pelos

livros didáticos, que são textos que valorizam o ensino

matemático, deixando de lado o verdadeiro significado da

física conceitual, (...)” (Dantas e Nobre, 2006, p. 8)

Essa passagem no trabalho de Dantas e Nobre nos fazem perceber que alguns

livros adotados pelos professores no ensino médio, valorizam muito o

conhecimento matemático dos alunos para o desenvolvimento do conhecimento

de física. Essa metodologia pode não ser muito bem sucedida quando existe uma

deficiência no ensino de matemática nos anos anteriores.

Essas observações são notadas, inclusive, pelos próprios alunos, segundo

Paulino e Paulino (2007)

“(...) a matemática é importante, segundo os alunos,

para o aprendizado de física, no entanto estes saberes

não são considerados importantes para estes alunos

(...). Para ele é mais útil saberes de aplicações práticas

5

de situações que os rodeiam.” (Paulino e Paulino,

2007, p.7)

O interessante nesta passagem é o interesse dos alunos sobre a contextualização

da física no cotidiano, apesar de reconhecerem a importância da matemática

como ferramenta para o estudo da física. Esse descontentamento dos estudantes

é observado também por Ricardo e Freire, os quais discutem questões referentes

às concepções dos alunos sobre a física do ensino médio. Segundo esses

autores, “a estrutura atual escolar parece estar cada vez menos capaz de atender

às expectativas dos seus alunos”,

Os fatores apresentados até então nos fornece indícios do porquê os alunos em,

geral não têm tanto interesse na disciplina de física. A partir disso, foi

desenvolvido este trabalho, a fim de observar e discutir se essas questões fazem

parte da realidade na qual os alunos do primeiro ano do ensino médio da rede

pública estão inseridos.

Para efetuar tal observação, foi preparado um questionário com questões sobre

movimentos, retilíneo uniforme e uniformemente variado, funções do primeiro e

segundo graus e seus respectivos gráficos, a fim de verificar o que os alunos

sabem sobre esses conteúdos.

6

2. Objetivos

Este trabalho tem por objetivo investigar o que os alunos do primeiro ano do

ensino médio entendem sobre a relação entre os conceitos de funções do primeiro

e segundo graus e suas aplicações na cinemática da física, tendo em vista que

esses alunos responderam um questionário com perguntas referentes aos

conteúdos citados, com o intuito de discutir os resultados e obter informações que

podem ser relevantes para o processo de ensino e de aprendizagem dos

estudantes do ensino médio.

Justifica-se com este trabalho, o fato de que os aprendizados de matemática e

física são complementares e que os conhecimentos elementares de uma dessas

disciplinas são necessários para o bom desenvolvimento da outra, assim como

conclui Paulino e Paulino (2007) sobre a importância da aprendizagem em

matemática dos alunos dos últimos anos do ensino fundamental, ao comentarem

sobre as opiniões, coletadas em questionários aplicados aos alunos do colegial

sobre a disciplina de física.

“O que fica bem evidente com esta pesquisa e

,consequentemente, fortalece a linha de pesquisa que

defende a matemática como ferramenta indispensável

para a construção do conhecimento científico sólido é

que se estes alunos tivessem desenvolvido um

background maior dos conteúdos de matemática

estudados no ensino fundamental e médio certamente

suas opiniões sobre as ciências físicas seriam

diferentes.” (Paulino e Paulino, 2007, p.8)

7

Salientamos, portanto, a importância dessa investigação no sentido de mostrar

que a aprendizagem das funções de primeiro e segundo graus tem aplicações

diretas no processo de desenvolvimento do aprendizado da física e em especial

da mecânica quando estudamos os movimentos retilíneos, seja ele uniforme ou

variado.

2.1. Objetivo principal

O objetivo principal deste trabalho é verificar se os alunos do primeiro ano do

ensino médio reconhecem a relação entre os conceitos de funções de 1º e 2º

graus e suas aplicações na cinemática da física.

8

3. REVISÃO DA LITERATURA

Foram utilizados alguns livros didáticos de física e matemática, além de artigos

científicos, com o intuito de recolher informações a fim de discutir o modo como os

conceitos de cinemática são introduzidos para os alunos dos primeiros anos do

ensino médio. Ao todo, foram utilizados 4 livros didáticos de física, 1 de

matemática e 5 artigos científicos. Os livros consultados foram:

1. A obra “Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções”

(Gelson Iezzi e Carlos Murakami; 2004; vol.1; 8ª edição; São Paulo: Editora

Atual.), tem como objetivo, propiciar aos estudantes do ensino médios, aos

vestibulandos e universitários um conhecimento sólido da matemática

elementar.

Neste volume é abordada a introdução ao conhecimento sobre função e o

estudo de funções polinomiais do 1º e 2º graus, estabelecendo uma

seqüência lógica na aplicação dos conceitos e propriedades. Os teoremas

apresentados são seguidos de suas respectivas demonstrações.

2. O livro ”Física em contextos: pessoal, social e histórico”, (Maurício

Pietrocola; 2010; vol.1; 1ª ed.; editora FTD S.A.), é dividido em seções nas

quais o aluno se informa a respeito de fatos históricos e sobre a relação da

física com a tecnologia atual, além apresentar pequenas biografias dos

principais cientistas que contribuíram para com a ciência e propor

atividades que exigem a reflexão dos estudantes. Nesta obra, os exercícios

resolvidos são considerados “exemplares”, para que os alunos possam

acompanhar as estratégias de resolução dos problemas. No final de cada

capítulo existem atividades extras curriculares como: pesquisa,

experimentos, problemas nos quais os alunos devem elaborar estratégias

de resolução e algumas sugestões de livros e filme que podem

9

complementar o que foi estudado.

3. A obra “Física: ensino médio”, (Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga;

Volume 1; Editora Scipione. 2009), tem como objetivo, tornar o curso de

física agradável a fim de evitar que ele seja uma das obrigação escolares

do aluno. Este livro possui ilustrações e vários textos que apontam algumas

situações do cotidiano onde podemos observar os fenômenos da natureza

estudados pela física. Ao longo de cada capítulo existem exemplos para

que os alunos possam se basear no método de resolução dos exercícios

propostos.

Assim como algumas obras pesquisadas, “Física: ensino médio”

apresenta também algumas pequenas biografias dos cientistas que

contribuíram pra com a ciência.

4. O livro Física, (Djalma Nunes Paraná; volume 1; Mecânica; Editora Ática –

1994), cujo autor é conhecido pelo apelido “Paraná”, aborda a física de um

modo mais cultural, utilizando não apenas fórmulas para representar as

teorias, mas um conjunto de informações que envolvem fatos históricos e

situações do cotidiano, com o intuito de colocar os estudantes em contato

com a cultura científica.

“Acreditamos que um dos aspectos educacionais mais

importantes é o que relaciona o cidadão ao mundo em que

vive. E como a ciência não se constrói de forma linear,

aprender Física requer dinâmica. Um dos caminhos, pelo

qual optamos, é o que resgata a história da ciência.”

(Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática S.A.; p.3)

10

5. No livro “Os Fundamentos da Física”, (Francisco Ramalho Junior, Nicolau

Gilberto Ferraro e Paulo Antônio de Toledo Soares; 1991; vol.1; 5ª ed;

editora Moderna), aborda a física de uma forma mais convencional, ou seja,

daquela que grande parte dos livros de física costuma seguir. Essa obra,

segundo o prefácio escrito pelos autores, tem o intuito de preparar os

alunos para o vestibular e para cursos que demanda conhecimento sobre

física.

A fim de discutir a relação entre conhecimento de física com o de matemática no

âmbito escolar, em específico no primeiro ano de ensino médio das escolas

públicas, foi feita uma pesquisa na Internet para recolher informações sobre o que

já havia sido estudado sobre o assunto. Nesta busca, encontramos artigos

científicos e algumas publicações em revistas especializadas no assunto. Entre

eles, destacam-se:

1. O artigo “Uma seqüência lógica e conceitual do ensino de mecânica.”

(2006) dos autores Cláudio Rejane da Silva Dantas e Francisco Augusto da

Silva Nobre, apresenta uma nova abordagem sobre o ensino da mecânica,

na qual o docente, ao dar início ao estudo de mecânica, aborda

primeiramente a dinâmica, pois segundo os autores, dessa forma os alunos

podem entender com mais facilidade os conceitos sobre movimentos sem

precisar se envolver tão cedo com as fórmulas da cinemática.

No artigo de Dantas e Nobre (2006), essa metodologia de ensino foi

aplicada em uma sala de primeiro ano do ensino médio, enquanto no

mesmo período, havia outra sala do mesmo ano que estavam estudando a

física do modo convencional. De acordo com os dados coletados pelos

autores, a sala em que a metodologia não convencional foi aplicada, o

número de alunos que atingiram a nota média foi maior do que a da outra

sala.

11

2. O artigo “Porque ensinar física” (2000), de Marcelo Gleiser, publicado na

página 4 da 1ª edição da revista Física na Escola. Nele, Gleiser fala sobre

os desafios de ser um educador e comenta algumas de suas ideias sobre o

exercício da profissão de docente, colocando em questão a importância de

mostrar para os alunos como a ciência é feita, salientando as histórias e as

descobertas.

Para Gleiser a admiração do professor de ciências naturais, seja ela física,

química, biologia ou matemática, deve ser evidente para estimular os

alunos.

“Às vezes, nós educadores esquecemos de nos empolgar

com a beleza daquilo que estamos ensinando. Nesse caso,

como podemos esperar que nossos estudantes se

empolguem por si próprios?” (Gleiser, 2008, p.2)

3. O trabalho “A Falta do conhecimento de matemática atrapalha o

aprendizado de física de alunos de ensino médio?” (2007), dos autores

Ana Roberta Paulino, Igo Paulino e Patrício Félix, discute a opinião dos

alunos sobre o papel da matemática no processo de ensino e

aprendizagem de física. Nesta pesquisa os autores aplicaram um

questionário em alunos da rede público de três cidades do interior da

Paraíba com o intuito de observar a opinião dos alunos a respeito da

relação entre a matemática e a física. As questões eram:

“O que você acha da disciplina de física?

O que você acha da disciplina de matemática?

O que você acha da disciplina de Língua Portuguesa?

12

Você consegue associar o conteúdo estudado na disciplina de

matemática em problemas de física?

Você acha que é possível estudar física sem saber

matemática?

Qual é o grau de relação que você acha que existe entre a

física e a matemática?

Qual é o tipo de abordagem que você mais gosta de estudar

na física?

Para que serve a matemática?”(Paulino e Paulino; 2007, p.3).

O motivo de perguntar sobre a importância da Língua Portuguesa, segundo

os autores, é o de que os alunos dificilmente conseguirão resolver um

problema sobre física ou matemática sem um domínio razoável de sua

língua.

Com base nos resultados obtidos pelos autores, foi possível chegar à

seguinte conclusão:

“O que fica bem evidente com esta pesquisa e,

conseqüentemente, fortalece a linha de pesquisa que

defende a matemática como ferramenta indispensável para

construção do conhecimento científico sólido é que se estes

alunos tivessem desenvolvido um background maior dos

conteúdos de matemática estudados no ensino fundamental

e médio certamente suas opiniões sobre as ciências físicas

seriam diferentes.” (Paulino e Paulino; 2007; p.8)

Os resultados colhidos nessa pesquisa de Paulino e Paulino (2007) serão

discutidos e servirão como base das discussões deste trabalho.

4. O trabalho “Sobre a resolução de problemas no ensino da física” de

13

Luiz O. Q. Peduzzi (1997), aponta algumas falhas que os estudantes

cometem ao resolver exercícios de física. Nesse trabalho, o autor apresenta

algumas possíveis causas que leva os alunos ao “fracasso” em relação à

resolução de problemas:

“(...) insuficiente conhecimentos de matemática elementar

(deficiências em trigonometria básica, na análise de gráficos,

na manipulação das variáveis de uma equação, na

resolução de equações de 1° e 2° graus, e na solução de

um sistema de equações), que impedem uma adequada

formalização e tratamento ‘sem erros’ da situação-problema”

(Peduzzi; 1997; p.247)

5. No artigo “A concepção dos alunos sobre a física do ensino médio: um

estudo exploratório” (2006), os autores Elio C. Ricardo e Janaína C. A.

Freire, apresentam e discutem os resultado de um estudo que visava

explorar e identificar as concepções de alunos de duas escolas do ensino

médio sobre a física, afim de elaborar um cenário de discussão para

professores. O estudo de Ricardo e Freire (2006) foram realizados com

base em um questionário respondido pelos alunos. As perguntas contidas

no mesmo visavam verificar a opinião dos estudantes sobre a disciplina de

física. No nosso trabalho, as tabelas e os resultados serão apresentados e

discutidos durante o desenvolvimento deste trabalho.

14

4. FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS

Geralmente as funções são estudadas no primeiro ano do ensino médio. Durante

este período, os alunos aprendem a construírem gráficos e manipular expressões

algébricas que definem essas funções. Neste capítulo, portanto, vamos rever

alguns conceitos gerais, como suas definições e gráficos.

4.1. FUNÇÃO: CONCEITOS INICIAIS

Definição: Seja é uma relação binária entre dois conjuntos A e B, onde A é o

domínio e B o contradomínio. Podemos chamar a relação A x B de função, se

todos os elementos pertencentes ao conjunto A estiverem relacionado com um

elemento do conjunto B.

Por exemplo: Sejam A e B os seguintes conjuntos

Ilustração 1: Conjuntos numéricos

A B

1

2

3

4

5

2

3

4

5

7

15

Observe agora as seguintes relações:

1. A x B = {(1;2);(2;3);(3;4);(4;5);(5;7)}

Ilustração 2: Relação A x B

Como podemos notar, esta relação é uma função, pois todos os elementos

pertencentes ao domínio A estão associados a um elemento do contradomínio B.

2. A x B = {(1;2);(1;3);(3;4);(4;5);(5;7)}


B A

1●

2●

3●

4●

5●

●2

●3

●4

●5

●7

B A

1●

2●

3●

4●

5●

●2

●3

●4

●5

●7

16

Como podemos notar, o elemento {1} pertencente ao domínio está associado a

dois elementos diferentes do contradomínio B. Sendo assim, a relação acima não

pode ser considerada função.

3. A x B = {(1;2);(2;3);(4;5);(5;7)}


Na relação acima, o elemento {3} pertencente ao domínio não está associado a

nenhum elemento de B. Desta forma, portanto, esta relação não pode ser

considerada uma função.

B A

1●

2●

3●

4●

5●

●2

●3

●4

●5

●7

17

4. A x B = {(1;2);(2;2);(3;2);(4;2);(5;2)}


Apesar de todos os elementos do domínio estarem relacionados com o mesmo

elemento do contradomínio, a relação acima é uma função, pois todos os números

de A estão relacionados com algum elemento de B.

5. A x B = {(1;7);(2;5);(3;4);(4;3);(5;)}


A relação acima pode ser considerada uma função, pois todos os elementos do

domínio estão relacionados com um elemento do contradomínio.

B A

1●

2●

3●

4●

5●

●2

●3

●4

●5

●7

B A

1●

2●

3●

4●

5●

●2

●3

●4

●5

●7

18

4.2. NOTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

Geralmente, quando nos referimos a uma função, é comum o uso da seguinte

notação:

f: A → B, tal que f(x) = x

Que significa: Seja f uma aplicação, ou função, de domínio A e contradomínio B,

definida como f(x) = x.

4.3. FUNÇÃO AFIM

A Função Afim pode ser chamada também como função do primeiro grau, pois ela

é representada algebricamente como um polinômio de grau 1.

Definição: Seja a função f: A → B. Denomina-se Função Afim aquela onde os

elementos x pertencentes ao domínio A estão associados ao elemento (ax + b),

pertencentes ao contradomínio B, tal que a e b são números reais.

19

4.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM

O gráfico gerado por uma Função Afim é uma reta.

Ilustração 7: Função do primeiro Grau

4.5. O ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM

A coordenada da função para y = 0 pode ter vários significados, dependo do que

está sendo estudado. Sendo assim, esse ponto tem uma maior importância

quando nos referimos à sua aplicação. Dessa forma, vamos entender como

calculamos o valor de abscissa x quando a função f(x) é igual à zero.

20

ab

x

bax

bax

yFazendo

baxy

−=

−=

=+

=

+=

0

0:

Logo, podemos concluir que, a raiz função é:

ab

x −=

4.6. FUNÇÕES QUADRÁTICAS

As funções quadráticas são conhecidas também como do segundo grau, pois são

representadas algebricamente como polinômio de grau 2.

Definição: Seja a função f : A → B. Denomina-se Função Quadrática aquela onde

os elementos x pertencentes ao domínio A estão associados ao elemento (ax² +

bx + c), pertencentes ao contradomínio B, tal que a, b e c são números reais.

21

4.7. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

O gráfico gerado por uma Função Quadrática é uma parábola.

Ilustração 8: Função do segundo grau

22

4.8. CONCAVIDADE DA FUNÇÃO

A parábola da função de segundo grau pode ter a concavidade voltada para cima

ou para baixo, dependo do valor do coeficiente a.

Se 0⟩a , a concavidade da parábola é

voltada para cima.

Ilustração 9: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para cima.

Se 0⟨a , a concavidade da função é

voltada para baixo.

Ilustração 10: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para baixo.

23

4.9. O ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Assim como na função afim, a função quadrática pode oferecer informações

importantes quando f(x) = 0. Vamos, portanto, entender o procedimento realizado

para encontrar os valores de abscissa para os quais a função é zero.

Para determinar as raizes Reais de uma função do segundo grau, utilizamos a

equação de Bháskara.

aacbb

x2

42 −±−=

Vamos demonstrar essa equação, partindo da forma geral de uma equação do

segundo grau: ax² + bx + c = 0.

cbxax

cbxax

−=+

=++2

2 0

Multiplicando ambos os lados por a4 , temos:

acabxxa 444 22 −=+

Acrescentando 2b , em ambos os lados, temos:

acbbax

acbbabxxa

4)2(

44422

2222

−=+

−=++

Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:

24

aacbb

x

acbbax

acbbax

acbbax

24

42

42

42

2

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=+

−=+

Fazendo:

ab

x

Temos

acb

2

42

∆±−=

−=∆

4.10. O NÚMERO DE RAIZES

Podemos notar, com a equação de Bháskara, que o número de raizes de uma

função é determinado pelo valor de. Sendo assim, podemos considerar três

ocasiões.

(1ª) Quando 0⟩∆ , temos duas raízes Reais:

aacbb

x2

42

1

−+−= e

aacbb

x2

42

2

−−−=

25

(2ª) Quando 0=∆ , temos apenas uma raiz Real

ab

ab

xx22

021

−=

±−==

(3ª) Quando 0⟨∆ , não existem raizes Reais.

4.11. O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO

Observando o gráfico de uma função do segundo grau, podemos ver que existe

um valor de abscissa para o qual f(x) é Maximo (quando ) ou Mínimo (quando ).

Para determinar esse ponto do gráfico, podemos utilizar as seguintes equações:

ab

xv 2−= e

ayv 4

∆−=

Sendo assim, o ponto

∆

−−aa

b4

;2

é chamado de vértice da parábola.

26

4.12. SINAL DE UMA FUNÇÃO

Observando o gráfico de uma função do segundo grau, podemos notar que

existem valores de abscissa para os quais f(x) é positivo ou negativo. Vamos

estudar, a seguir, o sinal de uma função do segundo grau.

1º caso: 0⟨∆

Como vimos, quando 0⟨∆ , o gráfico da função não toca o eixo de

abscissa, sendo assim, temos:

Se 0⟩a , então 0)( ⟩xf qualquer que seja o valor atribuído à x .

Ilustração 11: Gráfico de uma função do segundo grau

Se 0⟨a , então 0)( ⟨xf , qualquer que seja o valor atribuído à x .


27

2º caso: 0=∆

Observando o gráfico da função quadrática quando 0=∆ , nota-se que:

Se 0⟩a , então 0)( ⟩xf , exceto para ab

x2

−= , o qual torna 0)( =xf .


Se 0⟨a , então 0)( ⟨xf , exceto para ab

x2

−= , o qual torna 0)( =xf .


3º caso: 0⟩∆

Quando 0⟩∆ , a função admite duas raizes Reais. Assim, temos:

Para 0⟩a :

0)( ⟨xf quando 21 xxx ⟨⟨ e 0)( ⟩xf quando 1xx⟨ ou 2xx⟩

28


Para 0⟨a , temos:

0)( ⟩xf quando 21 xxx ⟨⟨ e 0)( ⟨xf quando 1xx⟨ ou 2xx⟩


Neste capítulo, consideramos alguns conceitos gerais de funções que os alunos

do primeiro ano do ensino médio estudam. Esses conhecimentos são aplicados

nas ciências naturais e exatas para expressar alguns comportamentos da

natureza.

Na cinemática da física, as funções de primeiro e segundo graus são utilizadas

expressar os movimentos, Retilíneo Uniforme e Uniformemente Variado. Vejamos

agora no próximo capítulo, os conceitos básicos sobre esses movimentos

estudados no primeiro ano do ensino médio.

29

5. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA: ALGUNS CONCEITOS SOBRE

MOVIMENTO

Na cinemática, estudamos as características do movimento sem levar em

consideração o que o causou. Para isso, é necessário que fique claro alguns

conceitos, para os alunos.

Primeiramente, vamos retomar alguns conhecimentos sobre grandezas, que são

estudados nos últimos anos do ensino fundamental. Segundo a definição mais

geral sobre o assunto, Grandeza é tudo aquilo que podemos mensurar de alguma

forma, como por exemplo, a altura de uma pessoa, sua massa, qual tempo

necessário um indivíduo leva para chegar ao trabalho, entre outras.

Na cinemática, estudamos as características do Movimento, e para isso, faz-se o

uso de algumas grandezas como o espaço e o tempo.

Para que possamos estudar um deslocamento no espaço é necessário determinar

um referencial. Feito isso, podemos observar tudo o que está ao redor dessa

referência, para julgar os objetos que se movimentam e os que estão em repouso.

5.1. A VELOCIDADE

A velocidade é algo muito comum para nós. Ela é constantemente expressada em

nosso dia-a-dia, principalmente quando estamos nos deslocando de um lugar para

o outro.

Para mensurar essa grandeza, utilizamos a unidade de medida

hKm

. Dessa

forma é fácil notar que a velocidade é a distância que percorremos em

30

determinado instante de tempo, pois temos a unidade de espaço [km] e a de

tempo [h]. Sendo assim, podemos concluir que a velocidade é definida pela

equação:

tempotodeslocamen

V =

5.2. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)

A princípio, vamos nos limitar ao deslocamento em uma dimensão, ou seja, aquele

que é realizado sobre uma reta, ou linear.

O MRU é aquele onde a velocidade de um objeto é constante, ou seja, a rapidez

com a qual algo se desloca é sempre a mesma.

Para que possamos estudar com melhor precisão e também tentar chegar a

outras conclusões, é interessante escrever esse tipo de deslocamento como uma

função. Para isso, vamos partir da equação de velocidade e chegar à outra que

expresse o deslocamento em função do tempo.

( ) 121212

12 .)()(

SSttVttSS

VtS

V −=−→−−

=→∆∆

=

Fazendo: 01 =t , temos:

tVSStVSSSStV ... 12112122 +=→+=→−=

31

Como podemos notar a função tVSS .12 += é uma função linear, ou seja, seu

gráfico é uma reta. A seguir, temos um gráfico o qual mostra uma família de

funções representada pela equação genérica y = x + b, onde:

Ilustração 17: Gráfico de uma função Espaço x tempo do movimento retilíneo uniforme

Aqui já podemos evidenciar a importância de alguns conceitos de matemática para

o estudo da cinemática. Vamos agora rever algo sobre o movimento

uniformemente variado.

32

5.3. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Vamos, novamente, nos limitar ao deslocamento realizado sobre uma reta. Mas

agora, será colocada em questão outra grandeza também muito presente no

nosso dia-a-dia, a aceleração.

O MRUV recebe esse nome porque, durante o seu desenvolvimento a velocidade

varia, podendo aumentar ou diminuir com o passar do tempo. Sendo assim,

podemos expressar a aceleração como tempo

velocidadea = .

Com base nessa equação, podemos concluir que a unidade de medida para a

aceleração é:

2sm

ssm

tempovelocidade

a ===

Assim como o MRU, vamos tentar escrever o MRUV como uma função para que

possamos estudá-lo de forma mais analítica.

Primeiramente, tentaremos obter a função de velocidade versus tempo, a partir da

equação de aceleração.

121212

12 ).()()(

VVttattVV

tV

a −=−→−−

=∆∆

=

Fazendo 01 =t , temos:

33

taVVVVta .. 12122 +=→−=

Existe também, a função de espaço versus tempo que pode ser deduzida a partir

de cálculos avançados. Sendo assim, vamos apenas escrevê-la

212 ..

21

. tatVSS

++=

Como podemos notar, a função espaço versus tempo é de segundo grau, ou seja,

seu gráfico é uma parábola. A seguir, temos um gráfico o qual mostra uma família

de equações do tipo y = ax² + bx + c, sendo que:

Ilustração 18: Gráfico de funções Espaço x tempo do movimento uniformemente variado

Existem vários casos em que é interessante expressar a velocidade do MRUV em

função do espaço percorrido. Para isso, utilizamos a equação de Torricelli, a qual

será deduzida a seguir, utilizando as equações já apresentadas.

34

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

++=→++=→+= 2

121

22

221

21

2212 2

.22. ta

tVaVVtaatVVVtaVV

Lembrando que:

+=∆→

+=−→

++= 2

12

1122

12 22..

21

. ta

VSta

VSStatVSS

Substituindo:

SaVV ∆+= 221

22

Diferente das funções passadas, o gráfico dessa de Torricelli é uma hipérbole.

Ilustração 19: Gráfico de funções Velocidade x espaço do movimento uniformemente variado

35

6. METODOLOGIA

Estudos recentes têm mostrado que a aprendizagem de física tem encontrado

algumas dificuldades quanto à aplicação dos conceitos de matemática. Assim,

aponta o trabalho de Paulino e Paulino (2007), em uma pesquisa feita em escolas

públicas de três cidades do interior da Paraíba, na qual dos 200 alunos que

participaram 90% destes consideraram não ser possível estudar física sem a

matemática. Logo em seguida, os autores concluem:

“Este é outro aspecto importante, devido a consciência dos

alunos referente a uma linguagem que possa auxiliá-los na

compreensão dos fenômenos naturais” (Paulino e Paulino,

2007, p.4)

Além disso, alguns livros didáticos como “Os Fundamentos da Física” dos autores

Ramalho, Nicolau e Toledo e “Física” de Djalma Nunes Paraná, ambos no primeiro

volume, no capítulo introdutório deixam explícito aos estudantes a importância do

conhecimento matemático. A seguir, destacamos alguns trechos dos livros:

“A matemática ajuda muito a Física, simplificando a

compreensão dos fenômenos. Uma fórmula matemática em

um fenômeno físico é uma ajuda para sua compreensão e

nunca deve ser assustadora para você.” (Ramalho, Nicolau,

Toledo; Os fundamentos da Física; 1991; vol.1; 5ª ed;

editora Moderna; p.3)

36

“(...) buscando compreender fenômenos da natureza, o

homem acabou aprendendo que o Universo pode ser regido

por leis físicas, expressadas em linguagem matemática.”

(Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática S.A.; p.33)

“Assim, a instrumentação matemática, necessária para

compreender fenômenos físicos, é uma tarefa fundamental

do estudante.” (Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora

Ática S.A.; p.33)

Podemos encontrar em livros atuais a mesma valorização sobre a importância do

conhecimento matemático do estudo da física, nos capítulos introdutórios.

“A matemática é fundamental para a descrição das leis

físicas, pois suas regras claras e bem definidas tornam-na

uma linguagem universal da Ciência.” (Maurício Pietrocola;

Física em contextos: pessoal, social e histórico; 2010;

vol.1; 1ª ed.; editora FTD S.A; p.54)

Como vimos nos capítulos anteriores deste trabalho e também nos capítulos

introdutórios de alguns livros didáticos, a matemática desempenha um papel

importante na cinemática, tanto para a reprodução da lógica envolvida nos

movimentos por meio de expressões algébricas, quanto para a representação do

mesmo com o uso de gráficos. O livro didático do autor Paraná comenta a respeito

disso no capítulo introdutório.

37

“Os conceitos de função e de gráficos são os primeiros que

o estudante de Física deve aprender, pois esses recursos

são freqüentemente aplicados no estudo de fenômenos

físicos.” (Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática

S.A.; p.33)

Neste trabalho, vamos investigar o aprendizado dos alunos do primeiro ano do

ensino médio quanto ao processo de aplicabilidade da matemática relacionada à

física. Para isso, foi realizada uma pesquisa em forma de questionário entre os

alunos de um dos primeiros anos do ensino médio de uma escola da cidade de

Assis. Ao todo, 10 alunos participaram dessa atividade, a qual ocorreu no mês de

Agosto.

Neste período, as salas de primeiro ano das escolas públicas já estudaram, ou

pelo menos ainda estão estudando, as funções de primeiros e segundo graus na

disciplina de matemática e os movimentos da cinemática, na disciplina de física.

Isso, segundo a matriz curricular do ensino médio regido pela Secretaria do

Estado de São Paulo.

O questionário foi respondido pelos estudantes na biblioteca da escola. Veja as

fotos a seguir.

38

Ilustração 20: Foto dos alunos respondendo o questionário

Neste questionário, havia 9 questões envolvendo assunto de física e matemática.


39

Essa atividade foi aplicada individualmente em um grupo de 10 alunos voluntários

do primeiro ano de ensino médio.

Foi dito a esses alunos que era uma pesquisa de conhecimento sobre física e

matemática

Os alunos foram alertados para a importância dessa aferição

Feito isso, os estudantes começaram a responder o questionário.


Essa atividade durou meia-hora

Apresentamos o questionário que foi respondido pelos alunos, no Anexo 1.

40

7. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS QUESTIONÁRIOS APLICADOS

Primeira questão:Você já ouviu falar de funções?

Ilustração 23: Gráfico das respostas obtidas na primeira questão

Na primeira questão, podemos notar que todos os alunos pelo menos ouviram

falar sobre funções.

0 2 4 6 8 10

Não

Sim

Número de respostas

41

Segunda questão: Você já efetuou alguma operação utilizando funções

(valor de raizes, domínio e contradomínio)? Se sim, qual operação foi essa?

Ilustração 24: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão

Apesar de todos os alunos já pelo menos ouvirem alguma coisa sobre funções,

quatro deles não efetuaram nenhum tipo de operação envolvendo o conteúdo.

Levando em consideração que durante o primeiro ano do ensino médio os

estudantes aprendem a trabalhar com funções, efetuar cálculos de raizes e

construir seus gráficos, nota-se que apenas 60% dos que participaram do

questionário admitem já ter efetuado alguma operação.

0 2 4 6 8 10

Não

Sim


42

Se sim, qual operação foi essa?

Ilustração 25: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão

Como apenas 60% alunos admitiram ter efetuado alguma operação envolvendo

função, podemos acreditar que as três respostas encontradas nos questionários

foram desses mesmos alunos. Ou seja, metade dos que já efetuaram alguma

operação envolvendo função não respondeu a pergunta, 2 não se lembram e 1

respondeu o seguinte:

Pergunta: Se sim, qual operação foi essa?

Resposta: “raiz quadrada”

Essa resposta foi enquadrada no termo “Respostas adversas incorretas”, pois a

raiz quadrada é uma operação que pode ser efetuada apenas quando

1

2

7

0 2 4 6 8 10

Respostasadversas

incorretas

Não estãolembrados

Nãoresponderam

número de respostas

43

trabalhamos com o cálculo das raizes de equações ax² +bx + c = 0 incompleta,

onde b = 0. Mesmo assim, se essa foi a intenção de resposta do aluno, nota-se,

portanto a falta de habilidade para se expressar corretamente.

Terceira Questão: Você já construiu o gráfico de uma função? Se sim,

comente quais foram as funções?

Ilustração 26: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão

O gráfico apresentado nos permite observar que quase todos os alunos não

construíram um gráfico de função. Como todos os estudantes que participaram do

questionário são da mesma sala é curioso o fato de apenas um deles ter

construído o gráfico de uma função. Essa resposta pode nos induzir a algumas

hipóteses como, por exemplo: o aluno que assinalou SIM pode ter buscado outras

informações em livros didáticos da escola ou pode ter realizado atividades que os

1

9

0 2 4 6 8 10

Não

Sim


44

outros alunos não desenvolveram, uma vez que essas lições poderiam pedir a

construção do gráfico de uma função.

Se sim, comente quais foram as funções?

Ilustração 27: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão

O único aluno que respondeu que já construiu o gráfico de uma função respondeu

que “Não se lembra”. Sendo assim, podemos colocar em questão outras hipóteses

como: Esse aluno pode ter se confundido a Construção de Gráficos de Funções

com a de Relações ou até mesmo a de outro conteúdo que ele deve ter estudado,

ou não sabe o que respondeu.

1

9

0 2 4 6 8 10

Não se lembram

Nãoresponderam


45

Quarta questão: Associe, desta vez, as equações abaixo com os movimentos

que elas representam:

(a) Movimento Retilíneo Uniforme

(b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

(c) Esta equação não representa um movimento

( ) S = So + Vo.t + (½).a.t²

( ) S = So + V.t

( ) V² = Vo² + 2.a.∆S

( ) V = Vo + a.t

( ) h² = a² + b²

Tabela: Respostas dos alunos referentes à associação

(tipo de movimento)x(equação)

Respostas

Equações M.R.U. M.R.U.V.

Esta equação não representa um movimento

Não responderam

S = So + Vo.t + (½).a.t² 1 5 3 1

S = So + V.t 5 5 0 0

V² = Vo² + 2.a.∆S 2 5 0 3

V = Vo + a.t 7 0 2 1

h² = a² + b² 1 1 7 1

Nesta questão, o aluno deveria responder se as equações eram referentes a um

movimento retilíneo uniforme, uniformemente variado ou não.

Observe a distribuição das respostas nos gráficos.

46


Pode-se notar que, com relação à equação S = So + Vo.t + (½).a.t², metade dos

alunos responderam que ela corresponde ao movimento retilíneo uniformemente

variado (MRUV), três apontaram essa equação como uma que não representa um

movimento, um aluno não respondeu e um respondeu que a equação representa

um movimento retilíneo uniforme (MRU). Esses dados nos fornecem a informação

de que pelo menos 50% dos alunos sabem identificar que S = So + Vo.t + (½).a.t²

se refere a um MRUV.


Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação S = So + Vo.t + (½).a.t² representa

10%

30%

10%

50%

M.R.U.

M.R.U.V.

Esta equação nãorepresenta um movimento

Não responderam

Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação S = So + V.t representa

50%50%

M.R.U.

M.R.U.V.

47

A segunda função, S = So + v.t, ocorreram repostas dividas. Metade dos alunos a

apontou como representativa de um MRU e a outra metade como MRUV. Pode-se

perceber que apesar de 50% das respostas estarem incorretas, todos os alunos

pelo menos se aproximaram do acerto, pois nenhum deles respondeu que a

equação não representa um movimento ou deixaram de assinalar a questão.


Na terceira equação, V² = Vo² + 2.a.∆S, 70% dos alunos responderam. Cinco

assinalaram corretamente e dois incorretamente.

Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação V² = Vo² + 2.a.∆S representa

20%

30%

50%

M.R.U.

M.R.U.V.

Não responderam

48


Sobre a função, V = Vo + a.t, nenhum aluno apontou ela como representativa de

um MRUV. Entretanto, 70% das respostas a apontam erroneamente como uma

função do MUV.


Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação V = Vo + a.t representa

70%

20%

10% M.R.U.

Esta equação nãorepresenta ummovimento

Não responderam

Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação h² = a² + b² representa

10%

70%

10%

10%

M.R.U.

M.R.U.V.

Esta equação nãorepresenta um movimento

Não responderam

49

Na última equação, estudada geralmente no 9º ano do ensino fundamental, ou

seja, um conteúdo estudado há pouco tempo pelos alunos do primeiro ano do

ensino médio, pode-se notar que 70% das respostas compreendem a equação

como uma que não representa os movimentos estudados na cinemática do ensino

médio.

Nesta quarta questão pode-se perceber que os alunos conseguem identificar que

as equações que começam com S representam um deslocamento. Observe que,

ao somar as respostas da primeira e da segunda equações, nota-se que 50% das

respostas estão corretas e 30% apontam as equações como representação de um

movimento, mas erram na caracterização do mesmo ao confundir alguns

conceitos como a presença de aceleração em uma das equações, por exemplo.

Somando as respostas das equações de velocidade versus tempo, veremos que

apenas 25% delas estão corretas e 45% as confundem com funções do MRU.

Dessa forma, é possível notar que pelo menos metade dos alunos consegue

associar os movimentos da cinemática com as funções que são utilizadas por ela.

No entanto, é interessante salientar as respostas obtidas na equação V = Vo + a.t,

que apesar de ser uma função do primeiro grau, representa a variação da

velocidade em função do tempo, ou seja, caracteriza um MRUV, conceito o qual

pode não estar muito claro para os alunos uma vez que 70% deles assinalaram

que V = Vo + a.t está associado ao MRU.

50

Quinta questão: Considere a seguinte afirmação: “Um veículo está se

deslocando com velocidade constante”. Que tipo de movimento ele executa?

(a) Movimento Uniformemente Acelerado

(b) Movimento Uniformemente Retardado

(c) Movimento Uniforme

(d) Movimento Circular Acelerado

Ilustração 33: Gráfico das respostas obtidas na quinta questão.

Esta equação visou apenas o conhecimento conceitual dos alunos sobre a

cinemática. Observando o gráfico, nota-se que 50% dos alunos entende o

conceito de que quando um veículo está se deslocando à velocidade constante ele

está reproduzindo um movimento uniforme.

0

5

0

5

0 2 4 6 8 10

Alternativa D

Alternativa C

Alternativa B

Alternativa A

Quantia assinalada

51

Sexta questão: O movimento, seja ele uniforme ou uniformemente variado,

está associado a uma função. Apresentamos alguns gráficos a baixo para

que você os identifique. Relacione, indicando com as letras o(s) gráfico(s) de

movimento.

(a) Movimento Retilíneo Uniforme

(b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x t )

(c) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( S x t )

(d) Movimento Nulo

(e) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x s )

Tabela: Número de vezes em que foram assinalados pelos alunos

Gráficos

Tipos de movimento

M.R.U. M.R.U.V. (V x t) M.R.U.V. ( S x t) Movimento nulo M.R.U.V. ( V x S )

f(x) = ax² + bx + c 0 6 0 4 0

f(x) = ax + b 9 0 0 0 1

f(x) = x 1 0 2 4 3

52

Nesta questão, podemos notar se os alunos conseguem associar os gráficos de

funções com o tipo de movimento que ele pode representar. Foi introduzido um

movimento “fictício”, para verificar se os alunos pudessem descriminar um termo

que não é citado na cinemática.


Observe que o gráfico de parábola foi indicado erroneamente por 60% dos alunos

como um gráfico do movimento uniformemente variado de velocidade versus

tempo, ou seja, percebe-se que houve uma confusão pelos alunos, uma vez que o

gráfico MRUV velocidade versus tempo é uma reta.

O tipo de movimento que "f(x) = ax² + bx + c" representa

60%

40%M.R.U.V. (V x t)

Movimento nulo

53


O gráfico f(x) = ax + b, apesar de ser uma função que tem uma reta como gráfico,

pode representar um MRU e MRUV. Se observarmos as respostas dos alunos,

veremos que 90% associam as funções cujos gráficos são retas como

representativas de MRU.

O tipo de movimento que xxf =)( representa


O tipo de movimento que "f(x) = ax + b" representa

90%

10%

M.R.U.

M.R.U.V. ( V x S )

10%

20%

30%

40% M.R.U.

M.R.U.V. (S x t)

Movimento Nulo

M.R.U.V. (V x t)

54

Analisando esse gráfico de pizza, pode-se notar que os alunos não compreendem

muito bem que a função y = x representa um MRUV. Observe que 80%

associaram o gráfico incorretamente, sendo que metade dessa porcentagem o

aponta como o de uma função “fictícia” descrita “como movimento nulo”.

Sétima questão: Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está

acelerando”. Que tipo de movimento ele executa?

(a) Movimento Uniformemente Acelerado

(b) Movimento Uniformemente Retardado

(c) Movimento Uniforme

(d) Movimento Circular Acelerado

Ilustração 37: Gráfico das respostas obtidas na sétima questão

5

0

2

3

0 2 4 6 8 10

Alternativa D

Alternativa C

Alternativa B

Alternativa A

Quantia assinalada

55

Nesta questão, a intenção era novamente a de verificar a compreensão dos

estudantes sobre os conceitos da cinemática.

Observando as respostas, nota-se que existem duas possíveis respostas para o

enunciado. Uma delas é a alternativa A, indicada como correta por 30% dos

alunos, e a outra a D, assinalada por 50%. Entretanto é interessante deixar bem

claro que nenhum dos alunos assinalou mais do que uma alternativa, uma vez que

eles podem ter entendido que havia apenas uma verdadeira e optaram pela que

acreditavam estar correta.

Oitava questão: O gráfico (S x t) abaixo representa o deslocamento de um

corpo em um determinado período. Com base nele, complete a tabela:

t S(t) -1 0 1 2 3 4

56

Nesta questão, podemos observar a habilidade dos alunos nas operações que

envolvem gráficos de funções. Em cada linha da tabela, havia uma resposta

diferente, sendo que apenas um valor para f(t) não está evidente no gráfico, que é

o de f(t) = -2, atribuído para a função quando t = -1. Para esta resposta, foi exigida

do aluno a noção de como é a expressão algébrica que define a função do gráfico

acima, ou apenas um pouco de intuição para perceber que os valores de f(t) é

sempre uma unidade a menos que a de t.

Ilustração 38: Gráfico das respostas obtidas na oitava questão

De todas as 60 respostas que os participantes do questionário responderam,

houve apenas 17 acertos totalizando aproximadamente 28% do total.

Com base nos resultados desta questão, pode-se notar que a interpretação das

informações de um gráfico para sua reprodução em uma tabela, deixa a desejar.

17

43

0 10 20 30 40 50 60

Acertos

Erros

Número de questões

57

Nona questão: Utilize a equação (S x t) para completar a tabela:

S(t) = 2 + t + 2.t²

t S(t) 0 1 2 3 4

Nesta última questão, a intenção era de verificar se os alunos conseguem obter

informações da função de MRUV para completar a tabela.

Ilustração 39: Gráfico das respostas obtidas na nona questão

Note que, novamente, foram poucas as respostas corretas, representando 20% do

total. Os erros foram predominantes, totalizando 64%.

8

10

32

0 10 20 30 40 50

Sem resposta

Acertos

Erros

Número de questões

58

Com essas informações, pode-se perceber que existe uma defasagem na leitura

de expressões algébricas.

59

8. CONCLUSÃO

A nossa pesquisa revelou que a falta do domínio dos conceitos de funções

elementares, em específicas as de 1º e 2º graus, influenciam negativamente na

aprendizagem da física, principalmente na mecânica quando iniciamos o estudo

dos movimentos dos corpos.

Alguns estudos feitos sobre o assunto, como o de Paulino e Paulino (2007) que

discute alguns resultados obtidos através de uma pesquisa feita com 200 alunos

de escolas públicas de três cidades do interior da Paraíba, discutem a importância

da matemática para o ensino de física.

“(...) o ensino de física e de matemática não pode acontecer

de forma isolada e sem oportunidade dos alunos refletirem

sobre a veracidade do conhecimento que está sendo

ministrado. Quando é feito uma contextualização com outras

ciências abre-se os horizontes dos alunos para que eles

possam refletir sobre a legitimidade do conhecimento e

como este conhecimento será útil para outros momentos de

suas vidas” (Paulino e Paulino, 2007, p.8).

Logo após esta observação, com base nos dados obtidos na pesquisas

realizadas, os autores concluem:

“A falta do conhecimento de matemática, (que é uma das

grandes ferramentas para se entender a natureza) em

muitas ocasiões, é o principal obstáculo para aquisição dos

conceitos de física.”

“O interessante destacar é que os alunos entrevistados

consideram a física um campo de estudo muito interessante

60

e reconhecem a importância do conhecimento matemático

para entenderem física” (Paulino e Paulino, 2007, p.8).

“O que fica bem evidente com esta pesquisa e,

consequentemente, fortalece a linha de pesquisa que

defende a matemática como ferramenta indispensável para

construção do conhecimento científico sólido é que se estes

alunos tivessem desenvolvido um background maior dos

conteúdos de matemática estudados no ensino fundamental

e médio certamente suas opiniões sobre as ciências físicas

seriam diferentes.” (Paulino e Paulino; 2007, p.8).

O trabalho citado à cima ressalta a importância do conhecimento sobre

matemática para o processo de ensino e de aprendizagem em física. Além disso,

os livros didáticos que foram consultados, da disciplina de física, apontam também

a matemática como uma ferramenta importante para o estudo da mecânica.

Vamos agora ressaltar alguns dados do questionário aplicado nos alunos do

primeiro ano do ensino médio.

Podemos notar, com base na análise dos resultados do questionário que parte dos

alunos entende que existe uma relação de interdisciplinaridade entre as disciplinas

de matemática e física. Por exemplo, na quarta questão (página 45), 50% dos

estudantes apontaram a equação do segundo grau S = So + Vo.t + (½).a.t², como

representante de um movimento Uniformemente Variado (veja a ilustração 28,

página 46), ou seja, metade deles consegue identificar um movimento através de

sua representação algébrica.

Apesar disso, existe uma confusão por parte dos mesmos alunos com relação à

função de primeiro grau e os movimentos que ela pode representar. Podemos

notar que metade, apontou S = So + v.t, como uma representação de um

Movimento Uniforme, enquanto a outra parte interpreta a equação como um

Movimento Uniformemente Variado (veja a ilustração 29, página 46).

61

Sobre a função V = Vo + a.t, 70% dos alunos a apontaram como representativa de

um MRU, fato o qual deixa bem clara essa confusão desses estudantes com

relação à interdisciplinaridade entre física e matemática, neste caso (veja a

ilustração 30, página 47).

Além disso, a análise do questionário também mostra a realidade sobre o

conhecimento que os alunos possuem sobre as disciplinas de física e matemática.

Note que na quinta questão mostra que 50% dos alunos entendem o conceito

básico de MRU (veja a ilustração 33, página 50).

Observando a sétima questão, nota-se que apenas 30% entendem a parte

conceitual de MUV (veja a ilustração 37, página 54). A oitava e a nona questão

mostram, com o número de erros dos alunos, que eles têm dificuldade com as

operações envolvendo funções, apesar 60% deles já terem ouvido falar a respeito.

Ou seja, os alunos do primeiro ano do ensino médio possuem um quanto ao

conceito de funções e também confundem os conceitos dos movimentos da

cinemática.

Portanto, a abordagem da física do ponto vista só da matemática parece ser

pouco proveitoso nessa fase de aprendizagem, pois os alunos que têm dificuldade

na disciplina de matemática consequentemente não vão apresentar bons

resultados no estudo de física. Vejamos as considerações de Dantas e Nobre

(2006) sobre o assunto.

“A física é vista pelos alunos do ensino médio como matéria

que apresenta um grau de dificuldade elevado (...)”

“Percebemos que o ensino de física é tratado no ensino

médio sem vínculo com a realidade dos alunos, apenas o

que vale é decorar fórmulas e mais fórmulas e reproduzi-las

nas provas e depois esquecê-las, tornando o estudo

enfadonho” (Dantas e Nobre, 2006, p.1)

62

“Geralmente a grande rejeição por parte dos alunos é devido

ao caráter matemático de como vem sendo trabalho a física

do ensino médio.” (Dantas e Nobre, 2006, p.9)

Ao que parece, com base na análise dos questionários, poucos alunos conseguem

aplicar efetivamente os conhecimentos de matemática nas teorias de física, no

que diz respeito à metodologia proposta pelos livros didáticos. Vejamos as

considerações de Ricardo e Freire (2006)

“(...) não é de se estranhar a dificuldade dos alunos em

diferenciar a física da matemática. (...) uma das causas pode

ser a forma como os livros didáticos costumam a apresentar

a física, excessivamente presa à aplicação de fórmulas. Os

próprios PCN+ destacam esse problema ao ressaltarem que

a formalização matemática carece de uma compreensão

fenomenológica e qualitativa.” (Ricardo e Freire, 2006,

p.264)

Sendo assim, portanto, pode-se perceber que os conhecimentos de matemática

auxiliam no processo de ensino e de aprendizagem em física. No entanto, afim de

democratizar o ensino e tornar o aprendizado de física acessível a todos os

alunos, inclusive daqueles que apresentam dificuldades na disciplina de

matemática, é interessante que o professor busque alternativas e recursos para

priorizar a consolidação dos conceitos de cinemática.

A física ensinada do ponto de vista só matemático, não tem contribuído para o

aprendizado eficiente dessa disciplina. Por outro lado a matemática, da forma

como é ensinada, com poucas aplicabilidades, tem deixado a desejar quanto ao

seu contexto cotidiano.

63

Vimos em nossa pesquisa, que essa interação interdisciplinar seria de grande

valia para o processo de ensino e de aprendizagem dessas disciplinas

consideradas difíceis pelos alunos, uma vez que elas se completam formando um

elo comum que pode ser utilizado de forma a orientar o aluno no entendimento

dos conceitos matemáticos aplicados à física e de forma inversa, a matemática

pode se apoiar em alguns conceitos da física para reforçar a utilidade de seu

raciocínio e mostrar a aplicabilidade de sua lógica.

O aprendizado das funções, principalmente as de 1º e 2º graus e o destaque de

suas aplicações em vários segmentos sociais e também na física, é importante,

uma vez que o cotidiano do aluno está repleto de fenômenos e objetos que

envolvem retas e parábolas, além de movimentos relacionados com tais objetos.

64

9. ANEXO 1:

QUESTIONÁRIO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (1) Você já ouviu falar de funções? ( ) Sim ( ) Não (2) Você já efetuou alguma operação utilizando funções (valor de raizes, domínio e contradomínio) ? ( ) Sim ( ) Não Se sim, qual operação foi essa? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________ (3) Você já construiu o gráfico de alguma função? ( ) Sim ( ) Não Se sim, comente quais foram as funções: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (4) Associe, desta vez, as equações abaixo com os movimentos que elas representam: (a) Movimento Retilíneo Uniforme (b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (c) Esta equação não representa um movimento ( ) S = So + Vo.t + (½).a.t² ( ) S = So + V.t ( ) V² = Vo² + 2.a.∆S ( ) V = Vo + a.t ( ) h² = a² + b²

65

(5) Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está se deslocando com velocidade constante”. Que tipo de movimento ele executa? (a) Movimento Uniformemente Acelerado (b) Movimento Uniformemente Retardado (c) Movimento Uniforme (d) Movimento Circular Acelerado (6) O movimento, seja ele uniforme ou uniformemente variado, está associado a uma função. Apresentamos alguns gráficos a baixo para que você os identifique. Relacione indicando com uma reta o(s) gráfico(s) de movimento. (a) Movimento Retilíneo Uniforme (b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x t ) (c) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( S x t ) (d) Movimento Nulo (e) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x s ) ( ) ( ) ( )

(7) Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está acelerando”. Que tipo de movimento ele executa? (a) Movimento Uniformemente Acelerado (b) Movimento Uniformemente Retardado (c) Movimento Uniforme (d) Movimento Circular Acelerado

(8) O gráfico (S x t) abaixo representa o deslocamento de um corpo em um determinado período. Com base nele, complete a tabela;

(9) Utilize a equação (S x t) para completar a tabela:

S(t) = 2 + t + 2.t²

t S(t) 0 1 2 3 4

T S(t) -1 0 1 2 3 4

67

10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTAS, CLÁUDIO REJANE DA SILVA. NOBRE, FRANCISCO AUGUSTO

SILVA. Uma sequência lógica e conceitual do ensino de mecânica. (2006)

E. C. RICARDO; FREIRE, JANAÍNA C. A. A concepção dos alunos sobre a

física do ensino médio: um estudo exploratório. Revista Brasileira de Ensino

de Física, v.29, n.2, p. 251-266, (2007).

GLEISER, MARCELO. Porque ensinar física. Revista: Física na escola – 1ª

edição – página 4, (2000)

IEZZI, GELSON. Fundamentos de matemática elementar, 1: Conjuntos e

funções. Gelson Iezzi, Carlos Murakami - 8ª edição – São Paulo: Atual, 2004.

LUZ, ANTÔNIO MÁXIMO RIBEIRO DE. Física: volume 1 / Antônio Máximo

Ribeiro da Silva, Beatriz Alvarenga Álvares. – São Paulo : Scipione, 2005.

PARANÁ, DJALMA NUNES. Física. – volume 1 - Mecânica – Editora Ática, 1994.

68

PAULINO, ANA ROBERTA. PAULINO, IGO. FELIX, PATRICIO. A falta do

conhecimento de matemática atrapalha o aprendizado de física de alunos de

ensino médio?. (2007)

PEDUZZI, LUIZ. Sobre a resolução de problemas no ensino da física.

Departamento de Física / Centro de Ciências Físicas Naturais / Centro de Ciências

da Educação. Universidade Federal de Santa Catarina.

PIETROCOLA, MAURÍCIO. Física em contextos: pessoal, social e histórico:

moviementos, força e astronomia. – 1ª edição – São Paulo: FTD, 2010 –

(coleção física em contextos: pessoal, social, histórico; v.1)

RAMALHO JÚNIOR, FRANCISCO. Os fundamentos da física / Francisco

Ramalho Júnior, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio de Toledo Soares. – 5ª

edição – São Paulo: Moderna, 1991.

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