f2_capitulo2

8/19/2019 f2_capitulo2

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Física I I - N 2 - Oscilações Amortecidas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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O Amortecedor Se não houvesse amortecedores em um carro, a

mola aumentaria e dissiparia a energia absorvida em umimpacto vertical descontroladamente econtinuaria oscilando na sua freqüência natural até quetoda a energia originalmente aplicada a ela dissipasse.

Uma suspensão que consiste apenas de molasficaria balançante e, dependendo do terreno, seriaimpossível de controlar o carro.

O amortecedor é um dispositivo que controla odeslocamento indesejado da mola pelo processoconhecido comoamortecimento. Ele reduz a magnitudedos deslocamentos oscilatórios. Isso ocorre quando oequipamento transforma a energia cinética do movimentoda suspensão em calor, energia dissipada através do fluidohidráulico. Para entender como isso funciona, observemossua estrutura e função.

Um amortecedor consiste basicamente de umabomba de óleo posicionada entre o chassi do carro e asrodas. Sua parte superior fixa-se ao chassi e inferior fixa-se ao eixo, próximo à roda. No amortecedortipo de doistubos, (mais comuns), a parte de cima é fixa a uma hastee esta ligada a um pistão. O amortecedor está inserido emum tubo contendo fluido hidráulico. O tubo interno éconhecido é o tubo de pressão. O externo é o tubo dereserva, que armazena o excesso do fluido hidráulico.

Quando a roda do carro encontra um obstáculovia, se comprime e se distende. Sua energia transfere-seao amortecedor através da parte de cima e segue-se pela haste para dentro do pistão. Os orifícios no pistão permitem que o fluido passe através dele movendo-se para cima e para baixo no tubo de pressão. Os orifíciossão relativamente pequenos; assim, somente uma pequenaquantidade de fluido passa sob grande pressão causandodesaceleração do pistão, desacelerando assim a mola.

Os amortecedores operam em dois ciclos: odecompressão e o de distensão. O ciclo da compressãoocorre quando o pistão se move para baixo, comprimindoo fluido hidráulico na câmara abaixo. O ciclo da extensãoocorre quando o pistão se move acima do tubo de pressão,

comprimindo o fluido na câmara acima. Um carro comumterá maior resistência durante o ciclo da extensão do queno ciclo da compressão, pois esse ciclo controla odeslocamento do peso não-suspenso do veículo; o ciclo dedistensão controla o mais pesado, o suspenso.

Todos os amortecedores modernos sãosensíveis

à velocidade: ao se mais rápido a suspensão movimentar,maior a resistência que o amortecedor fornece, permitindoajustarem-se às condições da estrada controlando todosos movimentos indesejados que ocorrem num veículo emmarcha, incluindo balanço, oscilação, mergulho nafrenagem e agachamento na aceleração.

Colunas de suspensão e barras estabilizadoras

Uma outra estrutura de amortecimento bastantecomum é a coluna de suspensão, conhecida porsuspensão MacPherson. É um amortecedor montadodentro da coluna e geralmente de uma mola helicoidal

externa a ela. As colunas de suspensão têm duas funções:fornecem uma função de amortecimento como osamortecedores e,apoio estrutural para a suspensão doveículo. Isso significa que a coluna de suspensão faz maisdo que os amortecedores, que não suportam o peso doveículo - eles somente controlam a velocidade na qual o peso é transferido em um carro, mas não o peso em si.

Os amortecedores e as colunas de suspensão sãoessenciais para a estabilidade do carro e são consideradositens de segurança. Amortecedores e colunas gastas podem permitir uma excessiva transferência veículo-peso de umlado para outro e de frente para trás, reduzindo a aderênciado pneu ao solo, a estabilidade e o desempenho nafrenagem.

As barras anti-oscilação (conhecidas como barrasestabilizadoras) são usadas junto com as colunas desuspensão ou braços triangulares para fornecerestabilidade adicional ao veículo em movimento. É umahaste metálica, que se estende sobre todo o eixo e seconecta a cada um dos lados da suspensão.

Quando a suspensão em uma roda se move paracima e para baixo, a barra estabilizadora transfere omovimento para a outra roda, fazendo com que o carroande mais nivelado lateralmente e com menos inclinaçãonas curvas e evitando que o carro role sobre a suasuspensão nas curvas. Por esse motivo, quase todos os

http://www.hsw.com.br/pneus.htm

http://www.hsw.com.br/freios.htm

http://www.hsw.com.br/freios.htm

http://www.hsw.com.br/pneus.htm




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carros possuem as barras estabilizadoras instaladas comoitem de série. No entanto, caso não estejam colocadas, oskits tornam fácil a instalação a qualquer momento.

As barras estabilizadoras permitem que o carrotenha molas mais macias, causando maior conforto derodagem, sem que sofra os efeitos da inclinação nascurvas.

Tipos de suspensãoAs quatro rodas de um carro funcionam juntas

em dois sistemas independentes - as duas rodas fixadas pelo eixo dianteiro e as duas rodas fixadas pelo eixotraseiro o que significa que o carro pode ter tiposdiferentes de suspensão na frente e atrás. Um único eixorígido pode conter as duas rodas ou elas podem se moverindependentemente. O primeiro arranjo é conhecido comosistema de eixo rígido, enquanto o segundo é conhecidocomosistema independente.

As suspensões dianteiras de eixo rígido possuem um rígido eixo ao qual se montam as rodas dafrente. Basicamente, ele se parece com uma barra sólidasob a parte dianteira do carro, mantida no lugar pelo feixede molas e amortecedores. Comuns em picapes, assuspensões dianteiras por eixo rígido não são usadas emcarros há muitos anos.

Em um sistema independente de suspensãodianteira, as rodas podem se mover independentemente.A coluna MacPherson, desenvolvida em 1947 por EarleS. McPherson, da General Motors, é o sistema desuspensão dianteira mais utilizado, especialmente emcarros originados na Europa.

A coluna MacPherson combina um amortecedor euma mola helicoidal numa mesma peça fazendo com queo sistema de suspensão seja mais compacto, leve e podendo ser usado em veículos com tração nas rodasdianteiras.

Funções dos AMORTECEDORES

Os amortecedores, portanto, são muito importantes para a regulagem do chassis. Eles têm três funções:

absorver choques (pressão do óleo)distribuir a transferência de peso (pressão do

óleo e molas)ajustar a tensão da mola (molas).

AMORTECIMENTO (PRESSÃO DOÓLEO)

O amortecimento (pressão do óleo) é feito nocilindro cheio de óleo do amortecedor. O pistão restringeo fluxo de óleo quando o amortecedor entra e sai. A taxa

de pressão é uma combinação da viscosidade do óleo(peso) e da restrição do pistão.

As características da viscosidade do fluido e seu tiposão características da constante de amortecimentoc dofluido existente no pistão.

A unidade da constante de amortecimentoc é o

Newton.segundo/metro:Unidade dec : Constante de amortecimento:N.s/mAdaptado de:

http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm







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3

Vibrações livres e amortecidas:

Em geral todos os sistemas vibrantes apresentamamortecimento, seja por atrito fluido, quando corposrígidos se movem num fluido, sejam por atrito interno,entre as moléculas de um corpo aparentemente elástico.

Um tipo de amortecimento é oamortecimentoviscoso, causado pelo atrito fluido a baixas velocidades.Esse atrito é caracterizado pelo fato da força de atrito serdiretamente proporcional à velocidade:

xc F a t

c é determinado de coeficiente deamortecimento viscoso.

Considere um corpo de massa m suspenso poruma mola de constante k e preso ao êmbolo de umcilindro.

equilíbriox

est k x

v P = m.g

- c.v

Utilizando a segunda lei de Newton, a equaçãode movimento será:

xc xk P xm F e )(

Podemos escrever:0kx xc xm

0c k

x x xm m ou

2202 0

d x c dx x

dt m dt

Com:2

0 0

k k m m

mk

0 é a freqüência angular natural,

depende apenas da massa da suspensão e da constanteelástica da molak .

A solução proposta para essa equação diferencial

homogênea é do tipo t e com satisfazendo a equaçãocaracterística:

2 20 0

cm

(Vide Apêndice).Teremos, resolvendo a equação do 2º grau:

2204

2

c cm m

Podemos escrever:

20

2

22 mc

mc

Definimos comocoeficiente de amortecimentocrítico cc o valor que torna nulo o radicando acima:

02cc m Podemos distinguir três casos de amortecimento,

dependendo do valor do coeficiente c:

1. Amortecimento supercr íti co c > cc :

As raízes da equação característica são reais edistintas e a solução da equação diferencial homogênea é:

1 2( ) t t x t Ae Be Ou

2( )c

t t t m x t e Ae Be

Com: 20

2

2mc

Características: Movimento nãovibratório. A posição x tende a zero quandot vai a infinito:

2lim ( ) lim 0c t t t m

t t x t e Ae Be

O sistema, na realidade retorna à sua posição deequilíbrio depois de um tempo finito.

As constantes A e B dependem das condiçõesiniciais da posição da suspensão ( x0) e da velocidadeinicial (v0).

Para acharmos a velocidade instantânea,encontramos a derivada de x(t ):

1 21 2

t t dxv t A e B e

dt

A aceleração instantânea será dada por:

1 22 21 2

t t dva t A e B e

dt




4

4

Assim, para acharmos as constantes A e B devemos resolver o sistema:

0 1 2

0

v A B

x A B

0 2 0

2 1

x v A

0 0 1

2 1

v x B

Assim, podemos resumir:

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( ) t t x v v x x t e e

1 20 2 0 0 0 11 2

2 1 2 1

( ) t t x v v xv t e e

1 22 20 2 0 0 0 11 2

2 1 2 1

( ) t t x v v xa t e e

Parâmetros: 2

21,2 02 2

c cm m

2. Amortecimento crítico c = cc :

A equação característica tem raiz dupla:= - c/2m

A solução geral da equação diferencial é:

2( ) ( )c

t m x t A Bt e

Características: Movimento tambémnão vibratório. Esses sistemas são de interesse desde queretornem à posição de equilíbrio após um tempo finito.

As constantes A e B dependem das condiçõesiniciais da posição da suspensão ( x0) e da velocidadeinicial (v0).

Novamente, para acharmos a velocidadeinstantânea, encontramos a derivada de x(t ):

2 2( )2

c ct t m mdx cv t B e e A Bt

dt m

2

2

ct

m cv t e B A B t

m

A aceleração instantânea será dada por:2 2

2 2 2

c ct t

m mdv c c ca t e B A B t B e

dt m m m

2 2

2 2

ct

m c ca t e B A B t

m m Assim, para acharmos as constantes A e B

devemos resolver o sistema:

0

0

2c

v B Am

x A

0 A x

0 02c B v xm

Assim:

20 0 0( ) ( )

2

ct

mc x t x v x t e

m Parâmetros:

0

k m

A,B, = -c/2m

3. Amortecimento subcr íti co c < cc

As raízes da equação característica são complexase conjugadas. Mostramos no Apêndice, com o auxílio dateria de série de potências que a solução da equaçãodiferencial é dada por:

2( ) cosc

t m x t e A t B sen t

Com: 220

2

c

m

Pode-se escrever também:2

0 1c

c

c

Características: Movimento vibratóriode amplitude decrescente. Podemos escrever a solução naforma:

2( ) ( )c

t m

m x t x e sen t Chamamos de período da vibração amortecida,

apesar do movimento não se repetir nesse caso, ao valor:2




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5

Casos possíveis de amortecimento:Resumo:

200 0

c k c x x x x x x

m m m

0 02c

k c m

m

1. Amortecimento supercrítico: c > cc:

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( ) t t x v v x x t e e

Parâmetros: 2

21,2 0

2 2

c c

m m

2. Amortecimento cr íti co : c = cc:

20 0 0( )

2

ct

mc x t x v x t e

m

Parâmetros:

0

k m

3. Amortecimento subcr íti co : c < cc

2( ) cosc

t m x t e A t Bsen t

2

0 1c

cq

cOu

2( ) ( )c t m

m x t x e sen t

Parâmetros: 0

0 0

2

2

mqxtg

mv cx

2

2 0 00

2

2m

mv cx x x mq

2

Gráficos mostrando os três tipos deamortecimento.

Analogia: Circuito RLC alimentado poruma fonte de tensão alternada V(t)=V 0cos t.




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6

A equação diferencial associada é:

dt

t dV

C

I

dt

dI R

t d

I d L

)(2

2

A equação diferencial homogênea é:

01

2

2

I LC dt

dI

L

R

t d

I d

Propondo uma solução do tipoemt teremos:

012

LC mm

L

R

Teremos como solução:

2

1

44

2

14 2

22

LC L

R

L

R

LC L

R

L

R

m

Logo:

ni L R

m

L R

LC i

L R

m 22

4

14 2

22

Pode-se mostrar que a solução é dada por:

)(}{)( 2 t I e Be Aet I pt t it i L

Rnn

t t it i H

L R

nn e Be Aet I 2}{)( Aqui I H (t ) a solução da equação diferencial

homogênea, com:

2

2

4

1

L

R

LC n

Podemos considerar ainda que

bia A bia A B

Substituindo em I(t) teremos:

t t it it it i H

L R

nnnn eeebieeat I 2}{)( Observe:

ieet

eet

t it i

n

t it i

n

nn

nn

2sen

2cos

Se:

Alguns exemplos de oscilações amortecidasExercícios

1. O movimento do pistão no interior do motor deum carro é aproximadamente um MHS.

(a) Sabendo que o percurso (o dobro daamplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso.

(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg, qualé a força resultante exercida sobre ele nesse ponto?

(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto médio do percurso.(d ) Qual é a potência média necessária para

acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada noitem (c)?

(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são asrespostas dos itens (b), (c) e (d )?




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7 2. Uma força de amortecimento F =- cv atua

sobre um rato infeliz de 0,300 kg que se move preso naextremidade de uma mola cuja constante ék = 2.50 N/m.

(a) Se a constantec possui um vaior igual a0.900 kg/s, qual é a freqüência da oscilação do rato?

(b) Para qual valor da constantec o movimento écriticamente arnortecido?

3. Um ovo de 50,0 g fervido durante muitotempo está preso na extremidade de uma mola cujaconstante ék = 25.0 N/m. Seu deslocamento inicial éigual a 0.300 m. Uma força de amortecimento F =-c v atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de0.100 m em 5.00 s. Calcule o módulo da constante deamortecimentoc.

4. O movimento de um oscilador comsubamortecimento é descrito pela Equação descrita nateoria. Considere o ângulo de fase igual a zero.(a) De acordo com esta equação, qual é o valorde x parat = 0?

(b) Qual é o módulo, a direção e o sentido davelocidade parat = 0? O que este resultado informa sobrea inclinação do gráfico de x contrat nas vizinhanças det =0?

(c) Obtenha uma expressão para a aceleraçãoa para t = O. Para que valores ou intervalo de valores daconstante de amortecimentoc (em termos dek e dem) é aaceleração parat = 0 negativa, nula e positiva?

Discuta cada caso em termos do gráficode xversus t nas vizinhanças det = 0.

5. Quatro passageiros com massa total igual a250 kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro comamortecedores gastos. Modele o carro e os passageiroscomo um único corpo sobre uma única mola ideal.Sabendo que o período da oscilação do carro com os passageiros é igual a l.08 s, qual é o período da oscilaçãodo carro vazio?

6. Um cavaleiro executa um MHS comamplitude A; sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleirode modo que sua amplitude é reduzida à metade do valorinicial. O que ocorre com os valores:

(a) do seu período, freqüência e freqüênciaangular?

(b) da sua energia mecânica total?(c) da sua velocidade máxima?

(d ) da sua velocidade no ponto x = ± A/4?(e) da sua energia potencial e energia cinética

no ponto x = ± A/4?

7. Você pendura um peso desconhecido naextremidade de uma mola e, segurando o peso, deixa-o

descer suavemente até que ele estique a mola a umadistância L na posição de equilíbrio.Se a mola possui massa desprezível, prove que o

peso pode executar um MHS com o mesmo período de um pêndulo simples de comprimento L.

8. Uma criança irrequieta faz deslizar em umamesa horizontal seu prato de jantar de 250 g com MHScom amplitude 0.100 m. Em um ponto situado a 0.060 mda posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a0.300 m/s.

(a) Qual é o período?(b) Qual é o deslocamento quando a velocidade é

igual a 0.160 m/s?(c) No centro do prato existe um pedaço decenoura de 10.0 g. Se o pedaço de cenoura está naiminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual ocoeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o prato?

9. Um touro mecânico se move verticalmentecom MHS de amplitude igual a 0.250 m e freqüência iguala l.50 Hz, que permanecem as mesmas independentementede existir ou não alguém montado no touro. Um vaqueiromonta no touro e diz que para um macho não é necessáriosegurar em nenhuma parte do touro,

(a) Ele abandona a sela quando o touro está semovendo para cima. Qual é o módulo da aceleração dasela para baixo quando ele perde o contato com ela?

(b) Em que altura está a sela acima de sua posiçãode equilíbrio quando ele perde o contato com ela pela primeira vez?

(c) Qual é o módulo da sua velocidade quando ele perde o contato com a sela?

(d ) Ele está em queda livre até retomar para asela. Mostre que isto ocorre 0.538 s mais tarde.

(e) Qual é a velocidade relativa entre ele e a selano momento em que ele retoma?

10. Um bloco de massa M repousa sobre umasuperfície sem atrito e está preso a uma mola horizontalcuja constante ék , a outra extremidade da mola está presaa uma parede. Um segundo bloco de massam repousasobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é s. Ache a amplitudemáxima da oscilação paraque o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior.




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11. Um bloco de massa igual a 0.200 kg estásubmetido a uma força restauradora elástica e a constanteda força é igual a 10.0 N/m.

(a) Faça um gráfico da energia potencialU emfunção do deslocamento x no intervalo de x = - 0 .300 maté x = +0.300 m. Em seu gráfico adote a escala l cm =

0.05 J no eixo vertical e l cm ~ 0,05 m no eixo horizontal.O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia potencial igual a 0.140 J e uma energia cinética igual a0.060 J. Examinando o gráfico, responda às perguntasseguintes:

(b) Qual é a amplitude da oscilação?(c) Qual é a energia potencial quando o

deslocamento é igual à metade da amplitude?(d ) Para qual deslocamento a energia potencial é

igual à energia cinética?(e) Qual é o valor do ângulo de fase sabendo que

a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial énegativo?

12. A Figura indica um corpo de massam suspenso a uma mola vertical cuja constante ék. O sentido positivo do eixoOx está orientado de baixo paracima e x = 0 é a posição de equilíbrio do corpo.

(a) Mostre que quando o corpo está nacoordenada x, a energia potencial elástica da mola é dada por:

212el U k l x

(b) Seja x = x0 a coordenada para a qual a energia potencial gravitacional é igual a zero. Mostre que aenergia potencial total é dada por:

220

1 12 2el U kx k l mgx

(c) A expressão para a energia potencial da parte

(b) é da forma 212

U kx C , onde a constanteC é

dada por 2

0

12

C k l mgx . Explique por que o

comportamento do sistema não depende do valor desta

constante, de modo que o MHS vertical não éfundamentalmente diferente do que o MHS horizontal

para o qual 212

U kx .

13. Um fio de l.80 m de comprimento é suspensoverticalmente. Quando uma bola de aço de 60.0 kg ésuspensa na extremidade do fio, este se dilata 2.00 m. Se a bola for puxada para a baixo a uma distância adicional elibertada, com que freqüência ela oscilará? Suponha que atensão no fio seja menor do que o limite de

proporcionalidade.14. Uma perdiz de 5.00 kg está pendurada em

uma pereira presa na extremidade de uma mola ideal commassa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo auma distância de 0.100 m abaixo da sua posição deequilíbrio e libertada, ela oscila com um período igual a4.20 s.

(a) Qual é sua velocidade quando ela passa pela posição de equilíbrio?

(b) Qual é sua aceleração quando ela está a 0.050m acima da posição de equilíbrio?

(c) Quando ela está se movendo para cima,

quanto tempo é necessário para que ela se mova de um ponto 0.050 m abaixo da posição de equilíbrio até um ponto 0.050 m acima do equilíbrio?

(d ) O movimento da perdiz é interrompido e elaé removida da mola. De quanto a mola se encurta?

14. Um prego de 0.0200 kg executa um MHScom amplitude igual a 0.240 m e período igual a l.500 s. Odeslocamento do prego é igual a +0.240 m quandot = 0. Calcule:

(a) o deslocamento do prego quandot = 0.500 s;(b) o módulo, a direção e o sentido da força que

atua sobre o prego quandot = 0,500 s;(c) o tempo mínimo necessário para que o pregose desloque da posição inicial até um ponto x = -0.180 m;(d ) a velocidade do prego quando x = -0.180m.

15. Uma mola de massa desprezível e constantek= 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de0.200 kg está suspenso em sua extremidade interior.

Um açougueiro deixa cair sobre o prato de umaaltura de 0.40 m uma posta de carne de 2.2 kg. A posta decarne produz uma colisão totalmente inelástica com o prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:

(a) a velocidade do prato e da carne logo após acolisão;

(b) a amplitude da oscilação subsequente;(c) o período do movimento.

15. Uma força de 40,0 N estica 0,250 m umamola vertical.

(a) Qual é o valor da massa que deve ser suspensada mola para que o sistema oscile com um período igual al.00 s?

(b) Se a amplitude do movimento for igual a0.050 m e o período for o especificado na parte (a), ondeestará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo0.35 s depois de ele atravessar a posição de equilíbrio decima para baixo?

(c) Qual é o módulo, a direção e o sentido daforça que a mola exerce sobre o objeto quando ele esta0.030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se paracima?




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16. Um pequeno barco de excursão com umconvés largo oscila verticalmente com MHS em virtudedas ondas de um lago. A amplitude do movimento é de0.200 m e o período é igual a 2.80 s. Uma doca estávelestá próxima do barco em um nível igual ao nível mais

elevado da oscilação do convés. As pessoas desejamdescer do barco para a doca, mas isto só pode ser feitoconfortavelmente quando o nível do convés estiver a umadistância menor do que 0.100 m do nível da doca. Quantotempo as pessoas dispõem para descer confortavelmentedo barco durante cada período do MHS?

17. Um exemplo interessante de oscilação,embora fortemente impraticável, é o movimento de umobjeto lançado em um furo que passa através do centro daTerra, oscilando de um lado até o outro da Terra. Usandoa hipótese (que não é realista) de que a Terra seja umaesfera com densidade uniforme, prove que a oscilação

constitui um MHS e determine seu período.18.Seja t , o tempo necessário para que um corpo

que executar MHS se desloque de x = 0 (parat = 0) até x= A. Obtenha uma equação parat do seguinte modo. NaEquação, substituav por dx/dt. Separe as variáveisdeixando todas as grandezas contendo x em um dosmembros da equação e todas as grandezas contendot nooutro membro. Integre a equação entre os limites det desde 0 atét , e os limites de x desde 0 até A e, a partirdaí,obtenha uma expressão parat 1. Comot 1 se compara como períodoT ?

19. Para um certo oscilador a força resultantesobre um corpo de massam é dada por F = -cx 3.

(a) Qual é a função energia potencial desteoscilador se considerarmosU = O para x = 0?

(b) Um quarto do período é o temponecessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A. Determine este tempo e, portanto, o período.

(c) De acordo com o resultado obtido na parte(b), verifique se o período depende da amplitude domovimento. Este movimento constitui um MHS?

20. Para medir o valor de g de modo nãoortodoxo, uma estudante coloca uma bola de bilha sobre olado côncavo de uma lente. Ela coloca a lente sobre umoscilador harmônico simples (fornecido efetivamente porum pequeno (alto-falante estéreo) cuja amplitude A e cujafreqüência f podem variar. Ela pode medir A usando a luzde um estroboscópio.

(a) Se a bola possui massam, ache a forçanormal exercida pela lente sobre a bola de bilha emfunção do tempo. Seu resultado deve ser dado em funçãode A, f , m, g e do ângulo de fase .

(b) A freqüência é aumentada lentamente.Quando ela atinge um valor f b, sua oscilação pode serouvida. Qual é o valor de g em termos de A e de f b?




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Trabalho – Opcional

1. Reproduzir em laboratório de informática, usandoo programa interactive physics.

2. Encontrar para cada tipo de amortecimento, os

valores de:

0

k p

m

02 2cc m m p

3. Escrever a solução de y(t ) para cada caso animado.

4. Elaborar os gráficos de velocidade versus tempo eaceleração versus tempo para cada caso.

2a Parte:

Utilizando o programa Interactive Physics(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do arquivoosh2.ip e osh3.ip.

1. Para cada caso: (a) Encontre a freqüência angular 0 natural.Encontre o períodoT e a freqüência f .Complete a tabela.

Caso

i

k e

( N/m)

m

(kg )

v0

(m/s) 0

(rad/s )

x0

(m)

T

( s)

f

( Hz )1 0,75 0 0,252 0,75 0 0,253 0,75 0 0,25

(b) As equações x(t ), v(t ) e a(t ) para cada caso, onde x0 = 0.25m e v0 = 0m/s.Dados:k = 50N/m;m = 0,75 kg

2. Dado o pêndulo simples com0 = 20.

(a) Faça o cálculo do período para:l = 0,2 m el = 0,3 m.

(b) Encontre a freqüência angular para os valores do

comprimento do pendulo acima.(c) Ache a função s(t ) sabendo que emt = 0v0=0.

3. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acopladoa uma mola de constante elásticak = 400N/m e a umamortecedor de constante de amortecimentoc. Para cadavalor dec na tabela:

(a) Encontre a freqüência angular0 natural.(b) Determine a constante de amortecimento

críticacc.(c) Classifique o amortecimento e forneça os parâmetros importantes para cada caso classificado.

(d ) Determine as funções posição x(t ), velocidadeinstantânea v(t ) e aceleração instantâneaa(t ), para ascondições iniciais:v0 = 0 e x0 = 5mm.

(e) Construa os gráficos das funções posição x(t ),velocidade instantâneav(t ) e aceleração instantâneaa (t ).

Faça utilizando o programa graphdpr em:www.claudio.sartori.nom.br

Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.

Complete a tabela.

C a s o

i c

( N

. s / m )

C l a s s i f i c a ç ã o

a m o o r t e c i m o

P a r â m e t r o s x(t)

(m) v(t)

(m/s)v(t)

(m/s)

1 402 353 304 255 206 197 188 16

9 1410 10

4. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acopladoa uma mola de constante elásticak = 400N/m e a umamortecedor de constante de amortecimentoc.

(a) Encontre a freqüência angular0 natural.(b) Determine a constante de amortecimento

críticacc.Para cada valor dec na tabela:(c) Classifique o amortecimento e forneça os

parâmetros importantes para cada caso classificado.

(d ) Determine as funções posição x(t ), velocidadeinstantânea v(t ) e aceleração instantâneaa(t ), para ascondições iniciais:v0 = 0.1m/s e x0 = 2mm.

(e) Construa os gráficos das funções posição x(t ),velocidade instantâneav(t ) e aceleração instantâneaa (t ).

Faça utilizando o programa graphdpr em:www.claudio.sartori.nom.br

Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.

http://www.claudio.sartori.nom.br/









11

11

Complete a tabela.

C a s o

i c

( N

. s / m )

C l a s s i f i c a ç ã o

a m o o r t e c i m o

P a r â m e t r o s x(t)

(m) v(t)

(m/s)a(t)

(m/s2)

1 402 353 304 255 206 197 188 169 1410 10

f2_capitulo2

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