ゼミpp.152~161+問題9.1

2020年5月22日

齊藤雄一朗

9章概要

結晶(周期的)中の電子は原子核による

周期ポテンシャル𝑈(Ԧ𝑟)中を運動する

𝐻 = −ℏ2

2𝑚∇2 + 𝑈(Ԧ𝑟)

シュレディンガー方程式(結晶中)

(𝐻0+𝑈 Ԧ𝑟 )𝜓 = 𝜀𝜓(8.2)𝐻0

𝑈 Ԧ𝑟 が𝐻0に比べて弱いので摂動として取り扱える

𝑈 Ԧ𝑟 が小さい時、ほぼ自由な電子模型(Nearly free electron model)大きい時、強結合近似(Tight binding model)

のような近似法がある

今回はほぼ自由な電子模型を使って、結晶中の電子のバンド構造について考察していく

ほとんど自由な電子に対するシュレディンガー方程式

結晶中電子の波動関数

𝜓𝑘 Ԧ𝑟 =

𝐾

𝑐𝑘−𝐾 𝑒𝑖(𝑘−𝐾)∙ Ԧ𝑟

(9.1)

ポテンシャル𝑈 Ԧ𝑟 : 周期的

𝑈 Ԧ𝑟 =

𝐾

𝑈𝐾 𝑒𝑖𝐾∙ Ԧ𝑟 (8.31)

9.1 , (8.31)を(8.2)に代入、整理

ℏ2

2𝑚(𝑘 − 𝐾)2 − ℰ 𝑐𝑘−𝐾 +

𝐾′

𝑈𝐾′−𝐾

𝑐𝑘−𝐾′

= 0 (9.2)

ただし、𝑘: 1𝑠𝑡𝐵𝑍内の波数ベクトル、 𝐾:逆格子ベクトル

(9.2)式(逆格子点の数ある)を解くことで、エネルギー固有値やフーリエ係数が求められる

自由電子の場合

自由電子→ 𝑈 = 0ℏ2

2𝑚(𝑘 − 𝐾)2 − ℰ 𝑐𝑘−𝐾 +

𝐾′

𝑈𝐾′−𝐾

𝑐𝑘−𝐾′

= 0 (9.2)

ℰ𝑘−𝐾0 − ℰ 𝑐𝑘−𝐾 = 0 (9.3)

ℰ𝑞0 =

ℏ2𝑞2

2𝑚(9.4)

9.3 ・ ℰ𝑘−𝐾𝑖

0 ≠ ℰ𝑘−𝐾𝑗

0 (𝑖 ≠ 𝑗)のとき 、 𝜀 = ℰ𝑘−𝐾0 、𝜓 ∝ 𝑒𝑖(𝑘−𝐾)∙ Ԧ𝑟

・𝐾1 = ⋯ = 𝐾𝑚 がℰ𝑘−𝐾10 = ⋯ = ℰ

𝑘−𝐾𝑚

0 を満たすとき、𝜀 = ℰ𝑘−𝐾𝑖

0 、𝜓 ∝ σ 𝑒𝑖(𝑘−𝐾𝑖)∙ Ԧ𝑟 (𝑖 = 1,… ,𝑚)

縮退なし

縮退あり

この場合(無摂動系)を参考にして、ポテンシャル𝑈が存在するとき(摂動系)のエネルギー固有値について縮退がある場合とない場合に分けて考察していく

ほぼ自由な電子の場合(縮退なし)

𝑐𝑎𝑠𝑒1. 𝜀𝑘−𝐾1

0 − 𝜀𝑘−𝐾0 ≫ 𝑈 𝑓𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑 𝑘 𝑎𝑛𝑑 𝑎𝑙𝑙 𝐾 ≠ 𝐾1

(9.2)を𝐾 = 𝐾1の時を別にして書き直す

ℏ2

2𝑚(𝑘 − 𝐾)2 − ℰ 𝑐𝑘−𝐾 +

𝐾′

𝑈𝐾′−𝐾

𝑐𝑘−𝐾′

= 0 (9.2)

𝑐𝑘−𝐾 =𝑈𝐾1−𝐾 𝑐𝑘−𝐾1𝜀 − 𝜀

𝑘−𝐾0 +

𝐾′≠𝐾1

𝑈𝐾′−𝐾

𝑐𝑘−𝐾′

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 9.10 , (9.11)

𝑂(𝑈2)

(9.11)を(9.2)(𝐾 = 𝐾1)に代入する

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾1

0 𝑐𝑘−𝐾1 =

𝐾

𝑈𝐾−𝐾1 𝑈𝐾1−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 𝑐𝑘−𝐾1 + 𝑂(𝑈

3) (9.12)

(9.12)の𝜀を𝜀𝑘−𝐾1

0 に置き換えることで

𝜀 = 𝜀𝑘−𝐾1

0 + σ𝐾

𝑈𝐾−𝐾1

2

𝜀𝑘−𝐾1

0 −𝜀𝑘−𝐾0 + 𝑂(𝑈

3) (9.13)

ほぼ自由な電子の場合(縮退あり)

𝑐𝑎𝑠𝑒2. 𝜀𝑘−𝐾0 − 𝜀

𝑘−𝐾𝑖

0 ≫ 𝑈 𝑖 = 1,… ,𝑚 𝐾 ≠ 𝐾1, … , 𝐾𝑚 (𝜀𝑘−𝐾𝑖0 : 𝑎𝑙𝑙 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑈 → 𝑚 𝑛𝑒𝑎𝑟𝑙𝑦 𝑑𝑒𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑒)

(9.2)について𝑐𝑘−𝐾𝑗 (𝑗 = 1, … ,𝑚)を含む項をわける

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾𝑖

0 𝑐𝑘−𝐾𝑖 =

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 +

𝐾≠𝐾1…𝐾𝑚

𝑈𝐾−𝐾𝑖𝑐𝑘−𝐾 (9.15)

(9.2)を𝑐𝑘−𝐾について書き直す(縮退なしの 9.10 , (9.11)に対応)

𝑐𝑘−𝐾 =1

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 (

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾 𝑐𝑘−𝐾𝑗 +

𝐾′≠𝐾1…𝐾𝑚

𝑈𝐾′−𝐾

𝑐𝑘−𝐾′

) 9.16 , (9.17)

𝑂(𝑈2)

(9.17)を(9.15)に代入

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾𝑖

0 𝑐𝑘−𝐾𝑖 =

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 +

𝑗=1

𝑚

(

𝐾≠𝐾1…𝐾𝑚

𝑈𝐾−𝐾𝑖𝑈𝐾𝑗−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 ) 𝑐𝑘−𝐾𝑗 + 𝑂(𝑈

3) (9.18)

考察

縮退なし 𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾10 𝑐𝑘−𝐾1 =

𝐾

𝑈𝐾−𝐾1 𝑈𝐾1−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 𝑐𝑘−𝐾1 + 𝑂(𝑈

3)

縮退あり 𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾𝑖0 𝑐𝑘−𝐾𝑖 =

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 +

𝑗=1

𝑚

(

𝐾≠𝐾1…𝐾𝑚

𝑈𝐾−𝐾𝑖𝑈𝐾𝑗−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾0 ) 𝑐𝑘−𝐾𝑗 + 𝑂(𝑈

3)

(9.12)

(9.18)

2次の摂動

1次の摂動 2次の摂動

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾𝑖

0 𝑐𝑘−𝐾𝑖 =

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 (9.19)

ブリルアンゾーン端でのエネルギー準位(1)

近縮退した電子のエネルギー準位𝜀𝑘−𝐾1

0 , 𝜀𝑘−𝐾2

0 について

(9.19)に代入

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾𝑖

0 𝑐𝑘−𝐾𝑖 =

𝑗=1

𝑚

𝑈𝐾𝑗−𝐾𝑖 𝑐𝑘−𝐾𝑗 (9.19)

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾1

0 𝑐𝑘−𝐾1 = 𝑈𝐾2−𝐾1 𝑐𝑘−𝐾2(9.20)

𝜀 − 𝜀𝑘−𝐾2

0 𝑐𝑘−𝐾2 = 𝑈𝐾1−𝐾2 𝑐𝑘−𝐾1

簡単のため Ԧ𝑞 = 𝑘 − 𝐾1, 𝐾 = 𝐾2 − 𝐾1を用いて、系の条件と(9.20)を書き直す

𝜀 − 𝜀𝑞0 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑞−𝐾0 𝑐𝑞−𝐾 = 𝑈−𝐾 𝑐𝑞= 𝑈𝐾

∗ 𝑐𝑞

(9.23)

両者は Ԧ𝑞 = Ԧ𝑞 − 𝐾 のとき、等しいエネルギー準位になる

𝜀𝑞0 ≈ 𝜀

𝑞−𝐾0 , 𝜀𝑞

0 − 𝜀𝑞−𝐾′0 ≫ 𝑈, 𝑓𝑜𝑟 𝐾′ ≠ 𝐾, 0

(9.22)

ブリルアンゾーン端でのエネルギー準位(2)

p.157

ブラッグ面Ԧ𝑞 = Ԧ𝑞 − 𝐾 のとき、 Ԧ𝑞はブラッグ面上(逆格子ベクトル𝐾で決まる)

条件𝜀𝑞0 ≈ 𝜀

𝑞−𝐾0 より、 Ԧ𝑞はブラッグ面付近に存在

2つの近縮退した準位の系は、ブラッグ反射の条件を満たす波数ベクトルを

持つ電子に適用できる

以上の議論より、

弱い周期的ポテンシャルは、近縮退した準位系のブラッグ面付近(ブリルアンゾーンの端)

において最も強い影響を及ぼす(バンドギャップ)

ブリルアンゾーン端でのエネルギー準位(3)

𝜀 − 𝜀𝑞0 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑞−𝐾0 𝑐𝑞−𝐾 = 𝑈𝐾

∗ 𝑐𝑞(9.22)

𝜀 − 𝜀𝑞0 −𝑈𝑘

−𝑈𝑘∗ 𝜀 − 𝜀

𝑞−𝐾0 = 0

(9.22)より

(9.24)

→ 𝜀 − 𝜀𝑞0 𝜀 − 𝜀

𝑞−𝐾0 = 𝑈𝐾

2(9.25)

→ 𝜀 =1

2𝜀𝑞0 + 𝜀

𝑞−𝐾0 ±

𝜀𝑞0 − 𝜀

𝑞−𝐾0

2

2

+ 𝑈𝐾2

ൗ1 2

(9.26)

𝑝. 158

マイナスの解

プラスの解

Ԧ𝑞 =1

2𝐾のとき 2 𝑈𝐾 のバンドギャップが生じる

Ԧ𝑞がブラッグ面から十分に遠い領域では、自由電子に近似できる

Ԧ𝑞 =1

2𝐾のとき、 𝜀𝑞

0 = 𝜀𝑞−𝐾0

→ 𝜀 = 𝜀𝑞0 ± 𝑈𝐾 (縮退がとける)

ブリルアンゾーン端でのエネルギー準位(4)

(9.22)式に𝜀𝑞0 = 𝜀

𝑞−𝐾0 , 𝜀 = 𝜀𝑞

0 ± 𝑈𝐾 を代入するԦ𝑞 =1

2𝐾のとき

𝜀 − 𝜀𝑞0 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾

𝜀 − 𝜀𝑞−𝐾0 𝑐𝑞−𝐾 = 𝑈𝐾

∗ 𝑐𝑞(9.22)

𝑈𝐾 𝑐𝑞 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾 = 𝑈𝐾 𝑐𝑞

𝑐𝑞 = ൝𝑐𝑞−𝐾 (𝑈𝐾 > 0)

− 𝑐𝑞−𝐾 (𝑈𝐾 < 0)(9.29)

𝜀 = 𝜀𝑞0 + 𝑈𝐾 のとき 𝜀 = 𝜀𝑞

0 − 𝑈𝐾 のとき

− 𝑈𝐾 𝑐𝑞= 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾

− 𝑈𝐾 𝑐𝑞−𝐾= 𝑈𝐾 𝑐𝑞

𝑐𝑞 = ൝− 𝑐𝑞−𝐾 (𝑈𝐾 > 0)

𝑐𝑞−𝐾 (𝑈𝐾 < 0)

𝜓(Ԧ𝑟) 2 ∝(𝑐𝑜𝑠

1

2𝐾 ∙ Ԧ𝑟)2 (𝑈𝐾 > 0)

(𝑠𝑖𝑛1

2𝐾 ∙ Ԧ𝑟)2 (𝑈𝐾 < 0)

𝜓(Ԧ𝑟) 2 ∝(𝑠𝑖𝑛

1

2𝐾 ∙ Ԧ𝑟)2 (𝑈𝐾 > 0)

(𝑐𝑜𝑠1

2𝐾 ∙ Ԧ𝑟)2 (𝑈𝐾 < 0)

一次元のエネルギーバんド

還元ゾーン 周期ゾーン拡張ゾーン

𝑘 ≠ 𝑘 − 𝐾 𝑘 = 𝑘 − 𝐾

問題9.1

(𝑎)ブラッグ面では𝑘|| = 0

9.36 → 𝜀 = 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝑘2 ± (02 + 𝑈𝐾

2)

= 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝑘2 ± 𝑈𝐾

𝜀 = 𝜀𝐹のとき𝑘 = 𝜌として

𝜀𝐹 = 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝜌2 − 𝑈𝐾 …(1)

1 , (9.37)を比較

ℏ2

2𝑚𝜌2 = ∆ → 𝜌 =

2𝑚∆

ℏ2

問題

(𝑏) 𝜀𝐹 = 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝑘𝐹

2 ± 𝑈𝐾

𝑘𝐹 = 𝜌1のとき

𝜀𝐹 = 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝜌1

2 + 𝑈𝐾 …(2)

𝑘𝐹 = 𝜌2のとき

𝜀𝐹 = 𝜀𝐾2

0 +ℏ2

2𝑚𝜌2

2 − 𝑈𝐾 …(3)

(2)と(3)を比較ℏ2

2𝑚𝜌1

2 + 𝑈𝐾 =ℏ2

2𝑚𝜌2

2 − 𝑈𝐾 → 𝜌22 − 𝜌1

2 =4𝑚

ℏ2𝑈𝐾

→ 𝜋 𝜌22 − 𝜌1

2 =4𝑚𝜋

ℏ2𝑈𝐾