F-DLPs: Extending Description Logic Programs With Fuzzy

8/14/2019 F-DLPs: Extending Description Logic Programs With Fuzzy

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f - D L P s : E x t e n d i n g D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m s w i t h F u z z y S e t sa n d F u z z y L o g i cT a s s o s V e n e t i s , G i o r g o s S t o i l o s , G i o r g o s S t a m o u , a n d S t e f a n o s K o l l i a s , NTUA

A b s t r a c t - T h e S e m a n t i c Web c a n b e v i e w e d a s l a r g e l y a b o u t" K n o w l e d g e m e e t s t h e W e b " . T h u s i t s v i s i o n i n c l u d e s o n t o l o g i e sa n d r u l e s . A k e y r e q u ir e me n t f o r t h e a r c h i t e c t u r e o f t h eS e m a n t i c Web i s t o b e a b l e t o l a y e r " r u l e s o n t o p o f o n t o l o g i e s "a n d " o n t o l o g i e s o n t o p o f r u l e s " . T h i s h as a s a c o u n t e r p a r t t h ed e f i n i t i o n o f a m a p p i n g b e t w e e n D e s c r i p t i o n L o g i c s a n d L o g i cP r o g r a m m i n g , w h i c h i s known a s D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m s .I n t h i s p a p e r we e x t e n d t h e D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m s w i t hf u z z y s e t s a n d f u z z y l o g i c i n o r d e r t o b e a b l e t o r e p r e s e n t t h ei m p r e c i s i o n a n d v a g u e n e s s o f r e a l - l i f e a p p l i c a t i o n s . We p r o v i d et h e common s e m a n t i c s o f t h e m a p p i n g , a n d t h e c o n d i t i o n s t h a tm u s t b e m e t f o r t h i s s e m a n t i c e q u i v a l e n c e , b a s e d o n t h e m o d e l -t h e o r e t i c s e m a n t i c s .I . INTRODUCTION

T h e S e m a n t i c Web [ 1 ] i s a m e s h o f i n f o r m a t i o n w h e r e d a t ai s o r g a n i z e d i n a m a c h i n e u n d e r s t a n d a b l e way a n d w h e r eS e m a n t i c Web a g e n t s a r e a b l e t o ( s e m i ) a u t o m a t i c a l l y c a r r yo u t c o m p l e x t a s k s a s s i g n e d b y h u m a n s i n a m e a n i n g f u l( s e m a n t i c ) w a y . T h e v i s i o n o f t h e S e m a n t i c Web i n c l u d e so n t o l o g i e s a s w e l l a s r u l e s .An o n t o l o g y i s a c o n t r o l l e d v o c a b u l a r y t h a t d e s c r i b e so b j e c t s a n d r e l a t i o n s b e t w e e n t h e m i n a f o r m a l way a n dh a s a g r a m m a r f o r u s i n g t h e v o c a b u l a r y t e r m s t o e x p r e s ss o m e t h i n g m e a n i n g f u l , w i t h i n a s p e c i f i e d d o m a i n o f i n t e r e s t .O n t o l o g i e s a r e e x t r e m e l y u s e f u l f o r t h e e x p l i c i t d e f i n i t i o no f t e r m s c o m m o n l y u s e d b y d i f f e r e n t web s o u r c e s . O n -t o l o g i e s a r e m o s t l y e x p r e s s e d t h r o u g h OWL ( W e b o n t o l o g yL a n g u a g e ) [ 2 ] , [ 3 ] , w h i c h h a s b e e n r e c e n t l y s t a n d a r d i z e db y W3C. I t c o n s i s t s o f t h r e e i n c r e a s i n g l y e x p r e s s i v e s u b -l a n g u a g e s , n a m e l y OWL L i t e , OWL D L a n d OWL F u l l . O WLL i t e a n d O WL D L a r e , b a s i c a l l y v e r y e x p r e s s i v e d e s c r i p t i o nl o g i c s ; t h e y a r e a l m o s t e q u i v a l e n t t o t h e S % L I . F ( D + ) a n dS - ( O I A J V ( D + ) D e s c r i p t i o n L o g i c s [ 4 ] . H o w e v e r , d e s p i t ei t s e x p r e s s i v e p o w e r r e g a r d i n g o t h e r l a n g u a g e s , s u c h a sR D F [ 5 ] , OWL h a s s o m e e x p r e s s i v e l i m i t a t i o n s . R u l e s , t h a ta r e more e x p r e s s i v e , a l l o w f o r t h e m o d e l l i n g o f k n o w l e d g eb y i m p l i c a t i o n r u l e s , a f e a t u r e m i s s i n g i n OWL. D e f - H o r nr u l e s , u s e d i n t h i s p a p e r , a r e t h e f r a g m e n t o f H o r n r u l e st h a t a r e d e f i n i t e , n e g a t e d p r e d i c a t e s a n d n e g a t i o n - a s - f a i l u r e -l i t e r a l s a r e n o t a l l o w e d i n t h e r u l e s , a n d e q u a l i t y f r e e , H o r nr u l e s t h a t d o n o t i n c l u d e t h e e q u a l i t y p r e d i c a t e .I n o r d e r t o c o m b i n e t h e a d v a n t a g e s o f o n t o l o g i e s a n d r u l e sa m a p p i n g b e t w e e n D e s c r i p t i o n L o g i c s a n d H o r n r u l e s h a sb e e n p r o p o s e d , k n o w n a s D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m s [ 6 ] .

T a s s o s V e n e t i s , G i o r g o s S t o i l o s , G i o r g o s S t a m o u a n d S t e f a n o s K o l -l i a s ar e w i t h t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g ,N a t i o n a l T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f A t h e n s , I r o o n P o l y t e c h n i o u 9 s t r e e t ,Z o g r a p h o u 1 5 7 8 0 , G r e e c e , a v e n e t @ i m a g e . n t u a . g r , g s t o i l @ i m a g e . n t u a . g r ,g s t a m @ s o f t l a b . n t u a . g r , s t e f a n o s @ c s . n t u a . g r

T h i s a p p r o a c h c o n c e r n s t h e s t u d y o f t h e f r a g m e n t o f OWLt h a t i s s e m a n t i c a l l y e q u i v a l e n t t o d e f - H o r n r u l e s a n d i sd i f f e r e n t f r o m t h e a p p r o a c h p r o p o s ed b y [ 7 ] w h i c h c o n c e r n sd l - p r o g r a m s , t h a t c o n s i s t o f a d e s c r i p t i o n l o g i c k n o w l e d g eb a s e a n d a f i n i t e s e t o f d e s c r i p t i o n l o g i c r u l e s t h a t i s t h eu n i o n o f D e s c r i p t i o n L o g i c s a n d L o g i c P r o g r a m m i n g .D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m s ( D L P s ) a r e t h e i n t e r s e c t i o n o fF i r s t O r d e r L o g i c ( F O L ) a n d L o g i c P r o g r a m m i n g a n d t o b em o r e p r e c i s e DLPs a r e t h e i n t e r s e c t i o n o f OWL a n d d e f - H o r nr u l e s . T h e y a r e o n t o l o g i c a l k n o w l e d g e b a s e s w h i c h l i e w i t h i nt h e i n t e r s e c t i o n o f OWL a nd L o g ic P r o g r a m m i n g . T h e y a r ec r e a t e d b y t h e D L P - f u s i o n : t h e b i d i r e c t i o n a l t r a n s l a t i o n o fp r e m i s e s a n d i n f e r e n c e s f r o m t h e DLP f r a g m e n t o f D e sc r i p -t i o n L o g i c s t o L o g i c P r o g r a m m i n g , a n d v i s e v e r s a f r o mt h e DLP f r a g m e n t o f L o g i c P r o g r a m m i n g t o D e s c r i p t i o nL o g i c s . S y n t a c t i c a l l y , DLPs a r e a f r a g m e n t o f OWL, i n t h es e n s e t h a t e v e r y DLP k n o w l e d g e b a s e i s a s y n t a c t i c a l l y v a l i dD e s c r i p t i o n L o g i c s k n o w l e d g e b a s e . S e m a n t i c a l l y , t h e y c a r r yt h e s e m a n t i c s o f OWL D L a n d e a c h DLP k n o w l e d g e b a s ei s e q u i v a l e n t ( s e m a n t i c a l l y ) t o a s e t o f H o r n c l a u s e s o f F i r s tO r d e r L o g i c .H o w e v e r , DLPs c a n n o t r e p r e s e n t i m p r e c i s e k n o w l e d g e .K n o w l e d g e i s o r g a n i z e d o r c o n t e x t u a l i z e d i n f o r m a t i o n w h i c hc a n b e u s e d t o p r o d u c e new m e a n i n g s a n d g e n e r a t e newd a t a . K n o w l e d g e i s i n h e r e n t l y i m p r e c i s e a n d v a g u e , l i k e t h ec o n c e p t s o f a " t a l l " p e r s o n , a " n i c e " c a r , a " b e a u t i f u l " w om ana n d o t h e r s , t h e r e f o r e t h e u s e o f f u z z y c o n c e p t s a n d r u l e sr e s u l t s t o m o r e r e a l i s t i c a p p l i c a t i o n s . T h e n e e d o f s t u d y i n gi m p r e c i s e k n o w l e d g e f o r t h e S e m a n t i c Web h a s b e e n s t r e s s e do u t many t i m e s i n t h e l i t e r a t u r e o v e r t h e l a s t y e a r s [ 8 ] -[ 1 0 ] . I n t h i s p a p e r we e x t e n d DLPs t o F u z z y DLPs i n o r d e rt o r e p r e s e n t u n c e r t a i n , v a g u e o r i m p r e c i s e k n o w l e d g e . O u ra p p r o a c h i s d i f f e r e n t f r o m [ 1 1 ] w h i c h i n t r o d u c e s f u z z i n e sf o r d l - p r o g r a m s a n d [ 1 2 ] t h a t i n t r o d u c e s t h e s y n t a x a n ds e m a nt ic s o f a n o v e l f u z z y v e r s i o n o f t h e n o m i n a l c o n s t r u c t .T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n I I p r o -v i d e s b r i e f i n t r o d u c t i o n s t o f u z z y OWL a n d f u z z y d e f - H o r nr u l e s , a s w e l l a s t h e i r m o d e l - t h e o r e t i c s e m a n t i c s . S e c t i o n I I Ip r o v i d e s t h e m a p p i n g b e t w e e n f u z z y OWL a n d f u z z y d e f -H o r n r u l e s a n d i n S e c t . I V we d e f i n e t h e l a n g u a g e s p r o d u c e df r o m t h i s m a p p i n g . F i n a l l y , S e c t . V c o n c l u d e s t h e p a p e r .

I I . P R E L I M I N A R I E SA . F u z z y D e s c r i p t i o n L o g i c s a n d O WLI n t h i s s e c t i o n , we p r o v i d e a n i n t r o d u c t i o n t o a f u z z ye x t e n s i o n o f OWL D L b y a d d i n g d e g r e e s t o OWL f a c t s ;we c a l l t h i s e x t e n s i o n f - O W L . T h i s e x t e n s i o n i s b a s e d o nF u z z y S e t s a n d F u z zy L o g i c [ 1 3 ] a n d o n p r e v i o u s w o r k o n

1 - 4 2 4 4 - 1 2 1 0 - 2 / 0 7 / $ 2 5 . 0 0 C 2 0 0 7 I E E E .


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TABLE IFuzzY OWL C L A S S D E S C R I P T I O N S AND AXIOMS

A b s t r a c t S y n t a x DL S y n t a x S e m a n t i c sC l a s s ( o w l : T h i n g ) T ( a ) = 1C l a s s ( o w l : N o t h i n g ) I I ' ( a ) = 0i n t e r s e c t i o n O f ( C l , C 2 , . . . ) C n C 2 ( C H D ) ' ( a ) = t ( C ' ( a ) , D ' ( a ) )u n i o n 0 f ( C l , C 2 . . .*l H 1 C 2 (C H J D ) E ( a ) =u(C ( a ) , D E ( a ) )c o m p l e m e n t O f ( C ) - - C ( - C) ( a ) = c ( C ' ( a ) )O n e O f ( o l , 0 2 , * ) { H i}i { 0 2 } ( { f i } L { o 2 } ) ' ( a ) = 1 i f a C { o f ,O2}( { o 1 } L H { o 2 } ) ' ( a ) = 0 o t h e r w i s er e s t r i c t i o n ( R s o m e V a l u e s F r o m ( C ) ) 3R.C ( 3 R . C ) ' ( a ) = S U p b, t ( R ' ( a , b ) , C ' ( b ) )r e s t r i c t i o n ( R a l l V a l u e s F r o m ( C ) ) VR.C ( V R . C ) ' ( a ) = i n f J ( R ' ( a , b ) , C ' ( b ) )r e s t r i c t i o n ( R h a s V a l u e ( o ) ) 3 R . { o } ( 3 R . { o } ) ' ( a ) = S U p b, t ( R ' ( a , b ) , { o } ' ( b ) )r e s t r i c t i o n ( R m i n C a r d i n a l i t y ( p ) ) > pR ( > p R ) ' ( a ) = s u p t ( t R E ( a , b i ) , t { b i & b j } )b 1 , . ,bpEAtI 1

r e s t r i c t i o n ( R m a x C a r d i n a l i t y ( p ) ) K pR ( K p R ) ' ( a ) = i n f J( t R E ( a , b i ) , u { b i b j } )b 1 , , b p + I E S i = 1 i 1[ I n v e r s e F u n c t i o n a l ] T1 < 1 R- i n f 7 b 1 b 2 J ( t 2 = 1 ( R ) ' ( a , b i ) , b i = b 2 ) > 1[ T r a n s i t i v e ] ) T r a n s ( R ) S U p b , A t ( R E ( a , b ) , R ( b , c ) ) < R ( a , c )I n d i v i d u a l ( o t y p e ( C I ) [ > < ] [ m l ] .. . t y p e ( C n ) [ M l ] [ m n ] o : C i M m i m C ' o 1 ) > < m i , mi E [ 0 , 1 ] , 1 < i < nv a l u e ( R I , 0 1 ) [ > < ] [ k 1 ] . v a l u e ( R e , o e ) [ > < ] [ k e j ) ( o , i ) : R i > < k i R E ( o ' , ) > < k 1 i , k i C [ 0 , 1 ] , 1 < i < fI IS a m e i n d i v i d u a l ( o l .. . O n ) 1 = . . On 0 1 O n =D i f f e r e n t l n d i v i d u a l s ( o l . . . O n ) o i o j O _ _ _ _ _ _ _ , _ _ [ 0 , 1 ] , ' a n d* a p r o p e r t y n a m e R t o a m e m b e r s h i p f u n c t i o n R 1 : A' xA' -> [ 0 , 1 ] .

T h e f u z z y i n t e r p r e t a t i o n i s e x t e n d e d t o g i v e s e m a n t i c s t of u z z y c o n c e p t s a n d p r o p e r t y d e s c r i p t i o n s p r e s e n t e d i n T a -b l e I , w h e r e s u p i s t h e s u p r e m u m , i n f i s t h e i n f i m u m , c i s af u z z y c o m p l e m e n t , t i s a f u z z y c o n j u n c t i o n ( t - n o r m ) , u i s af u z z y d i s j u n c t i o n ( t - c o n o r m ) a n d 5 i s a f u z z y i m p l i c a t i o n .' F o r i n s t a n c e , g i v e n a n o b j e c t a C A' a n d a c l a s s n a m e C , C ' ( a ) g i v e sa d e g r e e o f c o n f i d e n c e ( s u c h a s 0 . 8 ) t h a t t h e o b j e c t a b e l o n g s t o t h e f u z z yc o n c e p t C .


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T h e r e a r e s o m e r e m a r k s r e g a r d i n g T a b l e I . F i r s t l y , m o s to f t h e s e m a n t i c s h a v e b e e n p r e s e n t e d e l s e w h e r e [ 1 4 ] , [ 1 6 ] .I n c o n t r a s t t o [ 1 4 ] a n d [ 1 6 ] we u s e t h e r e v i s e d s e m a n t i c sf o r c a r d i n a l i t y r e s t r i c t i o n s ( c o n c e p t s o f t h e f o r m > pRa n d < p R ) p r e s e n t e d i n [ 1 5 ] . M o r e o v e r , t h e s e m a n t i c s o ft h e f u z z y a x i o m 3 R . T C C i r e s u l t f r o m t h e s e m a n t i c so f t h e e x p r e s s i o n s 3R.T a n d C i . 3R.T i s i n t e r p r e t e d a s( 3 R . T ) ' ( a ) = S U P b C A I t ( R ' ( a , b ) , 1 ) w h i c h i s e q u i v a l e n tt o ( 3 R . T ) ' ( a ) = S U P b C A I R ' ( a , b ) a n d C i a s C f ( a ) .T h u s , t h e s e m a n t i c s o f t h e f u z z y a x i o m 3R.T c C i a r eC f ( a ) > S U P b C A L R ' ( a , b ) . T h i s i s s i m p l i f i e d t o t h e e x p r e s -s i o n C f ( a ) > R ' ( a , b ) w h i c h i s e q u i v a l e n t t o R ' ( a , b ) [ 0 , 1 ] .S o , t h e r u l e P ( Y ) t ( Q ( x 2/2) Q n ( n ) ) lt h e r u l e r t ( Q l ( z 1 ) , Q 2 ( X 2 ) : : Q n ( x n ) ) : ( 2 )a n d t h e r u l e P(y)


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t o P ' ( b , a ) < C ' ( a ) . S i n c e t h i s f u z z y i n t e r p r e t a t i o n h o l d sf o r e v e r y m o d e l we c a n e d u c e t h e f u z z y d e f - H o r n r u l eC ( y ) < - P ( x , y ) . T h e t r a n s i t i v i t y a x i o m o f t h e f o r m P+ C Pi s i n t e r p r e t e d a s SUpbAl ( P ' ( a , b ) , P(b, c ) ) < P ' ( a , c )w h i c h i s e q u i v a l e n t t o t ( P ' ( a , b ) , P(b, c ) ) < P ' ( a , c ) .T h e l a t e r r e s u l t s t o t h e f u z z y d e f - H o r n r u l e P ( x , z ) < -P ( x , y ) A P ( y , z ) . T h u s , t h e r e e x i s t s s e m a n t i c e q u i v a l e n c eb e t w e e n t h e f u z z y a x i o m P+ C P a n d t h e f u z z y d e f - H o r nr u l e P ( x , z ) < - P ( x , y ) A P ( y , z ) .M o r e o v e r , we c h e c k t h e m a p p i n g r e g a r d i n g f u z z y d e f i -n i t i o n s o f c o n c e p t s a n d r o l e s . T h e f u z z y d e f i n i t i o n o f t h ef o r m C _ D , w h i c h d e c l a r e s t h a t c o n c e p t s C a n d Da r e e q u i v a l e n t , i s i n t e r p r e t e d a s C ' ( a ) = D(a). T h i s i se q u i v a l e n t t o C ' ( a ) < D ' ( a ) a n d D ' ( a ) < C ' ( a ) , f r o mw h i c h we c a n e d u c e t h e f u z z y d e f - H o r n r u l e s e t D ( ) < -C ( x ) a n d C ( x ) < - D ( x ) . C o n s e q u e n t l y , t h e r e e x i s t s am a p p i n g b e t w e e n C _D a n d t h e f u z z y d e f - H o r n r u l e s e tD ( x ) < - C ( x ) a n d C ( x ) < - D ( x ) . F o l l o w i n g t h e s a m ep r o c e d u r e we s h o w t h e e q u i v a l e n c e o f t h e i n t e r p r e t a t i o n s i nc a s e o f f u z z y r o l e s . T h e f u z z y a x i o m P_Q i s i n t e r p r e t e da s P ' ( a , b ) = Q(a, b ) , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o Q ' ( a , b )

C ' ( a ) . H o w e v e r , t h e r e c i p r o c a l , t h ee q u i v a l e n c e o f D ' ( a ) > C ' ( a ) a n d D ' ( a ) > C 2 ( a ) t oD ' ( a ) > u ( C - ' ( a ) , C ' ( a ) ) s t a n d s o n l y f o r t h e G o d e l ' s t -conorm, as i t i s t h e o n l y i d e m p o t e n t t-conorm ( u ( a , a ) = a ) .T h u s , u si ng o n ly t h e G o d e l ' s t - c o n o r m , we ca n e d u c e , f r o mt h e f u z z y i n t e r p r e t a t i o n s C - T ( a ) < D ' ( a ) a n d C : 2 - ( a ) C ( y )w h i c h means t h a t ever y y f o r w h i c h P ( x , y ) i s v a l i di s a n i n s t a n c e o f t h e c o n c e p t C . A u n i v e r s a l q u a n t i f i e rt h a t occurs i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f a s u b c l a s s a x i o mo f t h e f o r m D VP.C i s i n t e r p r e t e d as D ' ( a )


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TABLE I IMAPPING BETWEEN FuzzY DESCRIPTION LOGIC AXIOMS AND FUZZY DEF-HORN RULES

F u z z y D L A x i o m s F u z z y d e f - H o r n R u l e s Commo n S e m a n t i c so : C>xr C ( x ) < - r C ' ( o ' ) > r , r C [ 0 , 1 ] ( > x > )r < - C ( x ) C ' ( o ' ) < r , r C [ 0 , 1 ] ( > x K )( 1 , 2 ) : P x - r P( , Y ) < - r - P ( o l o ) > r , r C [ O , 1 ] ( > < = >r < - P ( x , Y ) P ' ( o T , o ' ) < r , r C [ 0 , 1 ] ( > x K )C C D D ( x ) < - C ( x ) C ' ( a ) < D( a )Q C P P ( X , Y ) < - Q ( X , Y ) Q ' ( a , b ) < P( a, b )3 ~ P . T C - C C( z ) < - P( , Y ) P - T ( a , b ) < C - T ( a )3P- . T C C C ( y ) < - P ( X , Y ) P ' ( b , a ) < C ( a )P+ C P P ( x , z ) < - P ( x , y ) A P ( y , z ) t ( P ' ( a , b ) , P ' ( b , c ) ) < P(a, c )C D D ( x ) < - C ( x ) a n d C ( x ) < - D ( x ) C ' ( a ) =D( a )P Q P ( x , y ) < - Q ( x , y ) a n d Q ( x , y ) < - P ( x , y ) P ' ( a , b ) = Q ' ( a , b )P Q_ P ( x , y ) < - Q ( y , x ) a n d Q ( y , x ) < - P ( x , y ) P ' ( a , b ) = Q ' ( b , a )C l n C 2 C D D ( x ) < - C 1 ( x ) A C 2 t ( C ( a ) , C : 2 - ( a ) ) < D ( a )C C D1 n D2 D i ( x ) < - C ( x ) a n d D 2 ( X ) < - C ( X ) C ( a ) < D ' ( a ) a n d C ' ( a ) < D ' ( a ) ( t m i n )C 1 H C 2 C D D ( x ) < - C i ( x ) a n d D ( x ) < - C 2 ( x ) D ' ( a ) < C ( a ) a n d D ' ( a ) < C(a) ( u max)D C K V P . C C ( y ) < - D ( x ) A P ( x , y ) t ( D ' ( b ) , P ' ( a , b ) ) < C(a) ( R - i m p l i c a t i o n s )3 P . C K D D ( x ) < - P ( x , y ) A C ( x ) t ( P ' ( a , b ) , C ' ( b ) ) < D(a)

f u r t h e r s i m p l i f i e d t o t ( P ' ( a , b ) , D ' ( a ) ) < C ' ( b ) . S i n c e t h i sf u z z y i n t e r p r e t a t i o n h o l d s f o r e v e r y m o d e l we c a n e d u c e t h ef u z z y d e f - H o r n r u l e C ( y ) < - P ( x , y ) A D ( x ) . U s i n g t h e S -i m p l i c a t i o n t h e r e c a n b e n o f u r t h e r s i m p l i f i c a t i o n o f D ' ( a ) s u p y a n d x > y a r e e q u i v a l e n t . T h u s , t h e r e e x i s t ss e m a n t i c e q u i v a l e n c e b e t w e e n t h e f u z z y a x i o m 3 P . C K D

a n d t h e f u z z y d e f - H o r n r u l e D ( x ) < - P ( x , y ) A C ( x ) .When t h e e x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r o c c u r s i n t h e r i g h t h a n ds i d e o f a s u b c l a s s a x i o m o f t h e f o r m D K 3 P . C i t si n t e r p r e t a t i o n i s S U P b E C A t ( P ' ( a , b ) , C ' ( b ) ) > D ' ( a ) . T h i si n t e r p r e t a t i o n g i v e s u s n o i n f o r m a t i o n a n d t h e r e f o r e wec a n n o t e d u c e a n y d e f - H o r n r u l e . T h i s m e a n s t h a t w h e n t h ee x i s t e n t i a l q u a n t i f i e r o c c u r s i n t h e l e f t h a n d s i d e o f a s u b c l a s sa x i o m t h e r e e x i s t s n o m a p p i n g b e t w e e n f-OWL a n d f u z z yd e f - H o r n r u l e s .5 ) N e g a t i o n a n d C a r d i n a l i t y R e s t r i c t i o n s ( - , < a n d > ) :T h e s e c o n s t r u c t o r s c a n n o t , i n g e n e r a l , b e m a p p e d i n t o f u z z yd e f - H o r n . I n c a s e o f n e g a t i o n t h i s i s o b v i o u s a s f u z z yd e f - H o r n r u l e s d o n o t a l l o w n e g a t i o n i n e i t h e r t h e H e a dn o r t h e B o d y o f t h e r u l e . M o r e o v e r , c a r d i n a l i t y r e s t r i c t i o n sc o r r e s p o n d t o a s s e r t i o n s o f v a r i a b l e e q u a l i t y a n d i n e q u a l i t yi n F i r s t O r d e r L o g i c t h a t i s n o t s u p p o r t e d b y f u z z y d e f - H o r nr u l e s .A l l t h e m a p p i n g s t h a t h a v e b e e n p r e s e n t e d a b o v e a r e s u m -m a r i z e d i n T a b l e I I , w h e r e P , Q a r e r o l e s , C , C l : . . . C, Da n d D l , . , D, a r e c o n c e p t d e s c r i p t o r s , o a n d . , . . , o , a r en a m e s o f i n d i v i d u a l s , a , b C A' a r e o b j e c t s a n d t i s a t - n o r mf o r f u z z y i n t e r s e c t i o n ( c o n j u n c t i o n ) a n d u i s a t - c o n o r m f o rf u z z y u n i o n ( d i s j u n c t i o n ) .

I V . D E F I N I N G F-DLPFrom t h e a b o v e we c a n c o n c l u d e t h a t t h e F u z z y D e -s c r i p t i o n L o g i c s a x i o m s C K D , A B , 3 P . T K C ,3P-.T C C , P C Q , P _ Q , P Q - , P+ C P ,D CK V P . C , 3 P . C K D , o C > r , o C K r ,( 0 1 0 2 ) : P > r a n d ( 1 , 2 ) : P < r c a n , i n g e n e r a l ,b e m a p p e d t o f u z z y d e f - H o r n r u l e s w i t h o u t l o s i n g t h e i rs e m a n t i c s . H o w e v e r , t h e f a c t t h a t t h e a x i o m C K D1 H D2c a n b e m a p p e d w i t h o u t l o s s o f i t s s e m a n t i c s o n l y w h e n t h eG o d e l ' s t - n o r m ( m i n ) i s u s e d , t h e a x i o m C 1 L C 2 K D c a n b e


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TABLE I I IFuzzY DESCRIPTION LOGIC LANGUAGES AN D FUZZY DESCRIPTION

LOGICS AXIOMS|CLDiFD2 C1LLC2 CD DLIVP.CfR-DHL vfRmin-DHL V Vf R m a x -DHL V Vf R m i n m a x -DHL V V VfS-DHL

fSmin-DHL Vf S m a x -DHL Vf S m i n m a x -DHL V V_

m a p p e d w i t h o u t l o s s o f i t s s e ma nt i c s o n ly when t h e G o d e l ' st-conorm ( m a x ) i s u s e d a n d t h a t t h e a x i o m D C VP.Cca n b e m a p p e d w i t h o u t l o s s o f i t s s e m a n t i c s o n l y when weus e R - i m p l i c a t i o n , r e s u l t s t o t h e d e f i n i t i o n o f e i g h t d i f f e r -e n t l a n g u a g e s , f u z z y fR-DHL, f R m i n j D H L , f R m a x n D H L ,fRminmax-DHL, fs-DHL, fSmin-DHL, fSmax-DHL,f G m i n m a x - D H L . T h e s e l a n g u a g e s a r e d e f i n e d a c c o r d i n g t ow h a t i m p l i c a t i o n ( R or S ) , w h a t t - n o r m ( m i n or o t h e r ) a n dt - c o n o r m (max or o t h e r ) i s u s e d .I n T a b l e I I I we p r e s e n t t h e f u z z y a x i o m s t h a t c a n n o t b em a p p e d w i t h o u t l o s s o f t h e i r s e m a n t i c s f o r a l l t h e DLPl a n g u a g e s . F o r e a c h o f t h e a b o v e l a n g u a g e s we d e f i n e aD e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m b a s e d on t h i s l a n g u a g e , v i a t h ed e f i n i t i o n o f a D e s c r i p t i o n H o r n L o g i c o n t o l o g y , as f o l l o w s .An f -DHL o n t o l o g y i s t h e s e t o f f u z z y D e s c r i p t i o nH o r n L o g i c a x i o m s t h a t ca n b e m a p p e d t o f u z z y d e f - H o r nr u l e s w i t h o u t l o s s o f t h e i r s e m a n t i c s .T h e m a p p i n g b e t w e e n f u z z y D e s c r i p t i o n L o g i c s a n d f u z z yd e f - H o r n r u l e s preserves t h e s e m a n t i c e q u i v a l e n c e . L e t I Cb e a f u z z y f -DHL o n t o l o g y a n d X H b e t h e f u z z y d e f -H o r n r u l e s e t t h a t r e s u l t s f r o m a p p l y i n g t h e m a p p i n g t o a l lt h e a x i o m s o f I C . T h e n t h e 'H s e t i s l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t oI C w i t h r e s p e c t t o t h e s e m an t i c s o f F i r s t O r d e r L o g i c , w h i c hmeans t h a t 'H h a s t h e same m o d e l s as I C .A f u z z y D e s c r i p t i o n L o g i c P r o g r a m f- DLP i s t h e f u z z yL o g i c P r o g r a m m i n g r u l e s e t t h a t a re t h e l o g i c e q u i v a l e n t o f af u z z y f- DHL s e t .

V . CONCLUSIONI n t h i s paper we s t u d i e d t h e m a p p i n g b e t w e e n f u z z y D e -s c r i p t i o n L o g i c s a n d f u z z y d e f - H o r n r u l e s , b a s e d on t h e w o r kd o n e b y G r o s o f , H o r r o c k s , V o l z a n d D e c k e r [ 6 ] on m a p p i n g

c r i s p D e s c r i p t i o n L o g i c t o d e f - H o r n r u l e s . O u r c o n t r i b u t i o nconcerns t h e i n v e s t i g a t i o n o f t h e m a p p i n g b e t w e e n f u z z yD e s c r i p t i o n L o g i c s a n d f uz z y L P s , a n d t h u s t h e d e f i n i t i o no f t h e v a r i o u s f r a g m e n t s o f f u z z y D e s c r i p t i o n L o g i c P r o -grams. T h i s i s e x tr e m el y i mp o r t an t as t h e r e p r e s e n t a t i o n o fv a gue a n d i m p r e c i s e i n f o r m a t i o n i n t h e S e m a n t i c Web g a i n smore a n d more a t t e n t i o n b y t h e r e s e a r c h c o m m u n i t y . H e n c e ,f o l l o w i n g t h e c u r r e n t t r e n d o f r e s e a r c h we h a v e t o f i n d wayst o c o m b i n e f u z z y DLs w i t h f u z z y LP s y s t e m s i n o r d e r t op r o v i d e a c o m p l e t e f r a m e w o r k f o r r e p r e s e n t i n g f u z z i n e s s i nt h e S e m a n t i c W e b . As f a r as we know t h e r e e x i s t s no s u c h

i n v e s t i g a t i o n o f t h e f u z z y DLP f r a g m e n t o f f u z z y D e s c r i p t i o nL o g i c s .ACKNOWLEDGEMENT.

T h i s w o r k w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e E u r o p e a n Com-m i s s i o n u n d e r p r o j e c t X - M e d i a ( F P 6 - 2 6 9 7 8 ) . T h e w o r k o fG i o r g o s S t o i l o s w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e G r e e k S e c r e -t a r i a t o f R e s e a r c h a n d T e c h n o l o g y (PENED O n t o m e d i a 0 3ED 4 7 5 ) .REFERENCES

[ 1 ] T . B e r n e r s - L e e , J . H e n d l e r , a n d 0 . L a s s i l a , " T h e s e m a n t i c w e b , "S c i e n t i f i c A m e r i c a n , 2 0 0 1 .[ 2 ] I . H o r r o c k s , P . F . P a t e l - S c h n e i d e r , a n d F . v a n H a r m e l e n , " F r o m S7(IQa n d R DF t o OWL: T h e m a k i n g o f a w e b o n t o l o g y l a n g u a g e , " W e bS e m a n t i c s , v o l . 1 , n o . 1 , p p . 7 - 2 6 , 2 0 0 3 .[ 3 ] W3C, O WL W e b O n t o l o g y L a n g u a g e , h t t p : / / w w w . w 3 . o r g / 2 0 0 4 / O W L U ,2 0 0 3 .[ 4 ] I . H o r r o c k s a n d P . P a t e l - S c h n e i d e r , " R e d u c i n g OWL e n t a i l m e n t t od e s c r i p t i o n l o g i c s a t i s f i a b i l i t y , " i n I n P r oc . o f t h e 2 n d I n t e r n a t i o n a lS e m a n t i c W e b C o n f e r e n c e ( I S W C ) . , 2 0 0 3 .[ 5 ] W3C, RDF P r i m e r , h t t p : / / w w w . w 3 . o r g / T R / r d f - p r i m e r / .[ 6 ] B . N . G r o s o f , I . H o r r o c k s , R . V o l z , a n d S . D e c k e r , " D e s c r i p t i o n l o g i cp r o g r a m s : C o m b i n i n g l o g i c p r o g r a m s w i t h d e s c r i p t i o n l o g i c , " i n WWW' 0 3 : P r o c e e d i n g s o f t h e 1 2 t h i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e o n W o r l d W id eW e b , 2 0 0 3 .[ 7 ] T . E i t e r , T . L u k a s i e w i c z , R . S c h i n d l a u e r , a n d H . T o mp i ts , " C o m b i n i n ga n s w e r s e t p r o g r a m m i n g w i t h d e s c r i p t i o n l o g i c s f o r t h e s e m a n t i cw e b , " i n I n P r o c. o f t h e I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o f K n o w l e d g eR e p r e s e n t a t i o n a n d R e as o n i n g ( KR '0 4 ), 2 0 0 4.[ 8 ] G . S t a m o u , V . T z o u v a r a s , J . P a n , a n d I . H o r r o c k s , " A f u z z y e x t e n s i o no f s w r l , " i n W3 C W o r k s h o p o n R u l e L a n g u a g e s f o r I n t e r o p e r a b i l i t y ,2 0 0 5 , P o s i t i o n P a p e r .[ 9 ] C . M at h e us , " U s in g o n t o l o g y - b a s e d r u l e s f o r s i t u a t i o n a w a r e n e s s a n di n f o r m a t i o n f u s i o n , " i n W3C W o rk . o n R ul e L a n gu a ge s f o r I n t e r o p e r -a b i l i t y , 2 0 0 5 , P o s i t i o n P a p e r .[ 1 0 ] M . K i f e r , " R e q u i r e m e n t s f o r a n e x p r e s s i v e r u l e l a ng u ag e o n t h e s e m a n -t i c w e b , " i n W3 C W o r k s h o p o n R u l e L a n g u a g e s f o r I n t e r o p e r a b i l i t y ,2 0 0 5 , P o s i t i o n P a p e r .[ 1 1 ] U . S t r a c c i a , " F u z z y d e s c r i p t i o n l o g i c p r o g r a m s , " i n P r o c e e d i n g s o ft h e 1 1 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g a n dM a n a g e m e n t o f U n c e r t a i n t y i n K n o w l e d g e - B a s e d S y s t e m s , ( I P M U - 0 6 ) ,2 0 0 6 .[ 1 2 ] F . B o b i l l o , M. D e l g a d o , a n d J . G o ' m e z - R o m e r o , " A c r i s p r e p r e s e n -t a t i o n f o r f u z z y SH OIN w i t h f u z z y n o m i n a l s a n d g e n e r a l c o n c e p ti n c l u s i o n s , " i n P r o c . o f t h e 2 n d I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n U n c e r t a i n t yR e a s o n i n g f o r t h e S e m a n t i c W e b (URSW 0 6 ) , A t h e n s , G e or g i a, 2 0 0 6 .[ 1 3 ] L . A . Z a d e h , " F u z z y s e t s , " I n f o r m a t i o n a n d C o n t r o l , v o l . 8 , p p . 3 3 8 -3 5 3 , 1 9 6 5 .[ 1 4 ] U . S t r a c c i a , " T o w a r d s a f u z z y d e s c r i p t i o n l o g i c f o r t h e s e m a n t i c w e b , "i n P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d E u r o p e a n S e m a n t i c W e b C o n f e r e n c e , 2 0 0 5 .[ 1 5 ] G . S t o i l o s , G . S t a m o u , a n d J . P a n , " H a n d l i n g i m p r e c i s e k n o w l e d g ew i t h f u z z y d e s c r i p t i o n l o g i c s , " i n P r oc e ed in g s o f t h e I n t e r n a t i o n a lW o r k s h o p o n D e s c r i p t i o n L o g i c s ( D L 2 0 0 6 ) , L a k e D i s t r i c t , U K , 2 0 0 6 .[ 1 6 ] G . S t o i l o s , G . S t a m o u , V . T z o u v a r a s , J . P a n , a n d I . H o r r o c k s , " F u z z yOWL: U n c e r t a i n t y a n d t h e s e m a n t i c w e b , " i n P r o c . o f t h e I n t e r n a t i o n a lW o r k s h o p o n OWL: E x p e r i e n c e s a n d D i r e c t i o n s , 2 0 0 5 .

F-DLPs: Extending Description Logic Programs With Fuzzy

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