Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS...

204
Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Transcript of Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS...

� ������� �� � ����� �������� � ����������� � ������������ �

!#"%$'&)(+*,$.-0/)1324*%56$ -�&7$8"%*9(:2<;>=?".@BAC@ED<F

GIHKJMLON.P%JMQSRTLVUXW NZY�U[LM\^]`_badc<LON R:JeRTU[Lf0U[gihjWlknm?U�R3opUXh<_4cpN8JM]qUX_<QSU�R0rsLut4vbJVU�a[LON.vjw�t

x c<k6czy{U[gic<LVk6]iP%w|C}#~'�M���T��}#�%���O�4�7�M�s~��6��}����,�#��}#����}3�M���e�B~6~�����}��S���M�T��}����M���������}#�������M�����`���T����������} �O�4�9����}#����}M¡£¢)}#���u¤¥�O��¡'¦¨§V©.ªX«'¬�­

®¯����°�±,¡'±O²O²¥³

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������

��� ������������������� � ��"!#�%$'&�()&+*,�.-�&/�0(1� � �324 (5�06"��7078�9��:;�<�=6?>�@A( � ���/�9()7"��B���>.���"���">.-C-��B�<�/��7EDF���0@GBH���I�J(5�<7���:K>.-��� � -�>�707��0����6MLK7�(��7'���<>.:#�<(5&NDO�C�<�K��L/�PBH(1(Q�K�0�SR��T&�()&U�<��>.� � ���/�9()7E>.�0(":K�.�E6?>�&/(V���E&#�T78�<���9!/L/�<()&UBH����/�0��W/�E���� ��6Q6Q(5� � ��>.-�>�&/R�>�:��X>.��(>�:K&I�<��>.�Y:K(ZD � ���/�9()7Y!J(5>��[�<�/��7Y:/���0� � (>�:K&I�<�K(OBHL�-9- � �C�X>.�0�9��:?��:"�<�/(W��<78�\�K>���(�2F]!�78�<�<> � �0�9:K�VDO�C�<� � �0()&��C�\��7\�J(1�06"�9�0�<(5&^2

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�X�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ���������

�7��})�����T��}#�9�j���M�%�����#����~6�4���<� ~���}#����� �����M��°3�6���M�E�<�O� �T��}����'�M~���}��j�O� �¥}����}����M�K~6���O���,���O�����`�p�'�M~6��}������)�O�<����}I��}����O����¤¥�M�����s} �O�<�T��}��p�O��������� �"!#%$�&(' ���*)+�-,/.�02143 & �6570 $ 398 1M­:<;*=?>*@BACA�=ED�FG@IHKJ6L�D4=CMNPORQTSVU�WXWXQ6YEZ\[^]_YEU�`XS6W(acbdZ<ac`\b�]KWXZfe2gh]jikeEWXlEacYdmonRWp]4gqZ\e2gr ]KWXZ*steKgCZXORQuZpORWXQVQ-vwbR]_W(Z�ikeEWXl<x*y4zd{7|K}4~��Iy4{��hy����G�����C~wyX�K�X}����_�T�B`XQVQu�Ga�mEURW(QP�����4����NPORQZXO�W(Q6Q�b�]KWXZX`Ge2g�ZXOdac`"iue_Wpl�]KWXQ���}����I���Cy6yK� ���E��}����I�P�u�_�����I��}4~��Iy4{�����]_YRn^�t V�Ky4{7|<~B�� u�t}2¡���I�����"NPOdQP¢�WX`XZ£bR]_W(ZP��S-e_YEZp]2acYda¤YRm¦¥uOR]KbRZ(Q6Wp`P�-§E¨��*O�]K`9©CQVQ�YªbRUR©d«¤a¤`pOdQ�n�©E¬^¥u]K[\©RWXa¤ndm_Q­ YRa�®_Q6Wp`(a¤Zw¬ r WXQ6`p`��IacY°¯_URYdQ<s2�_�R�4���"NPOdQ�`(Q�S-eEYRn�bR]_W(Z6�RS-eEYR`(ac`XZX`ue2g£¥uOR]KbRZ(Q6Wp`P±�§�²ª��W(QVvm_]_WXnRa¤Ydmª³uYRSVWX¬dbdZ(a¤e_YRaG´�S�OdQ�[¦Q6`6�%´Ea¤m_Y�]2ZXU�W(Q�`�´�S�OdQ�[¦Q6`6��]_YRnjµtQ6YdQ�WX]K«G¥uWX¬dbdZ(e_m_Wp]KbROdacSr WXeKZXedS-eK«c`6�¶W(Q�`XbCQ6SVZ(a¤®KQV«¤¬����^·�Q�Ode_bCQ^Z(eobRUR©R«�ac`XO�ZpOdQª`(Q�S-e_Y�n�bR]_W(Z�iPa¤ZXO¸¥u]K[\©RWXa¤ndm_Q­ YRa�®_Q6Wp`(a¤Zw¬ r WXQ6`p`uiPa�ZpOdacY°]\gqQ6i¹¬_Q6]KWp`6�

r ]KWXZ��Kº � YEZXWXe�n�URS-ZXa�eEY°]_YRnT»�]_`(acS�N e�e_«¤`¥uOR]KbRZ(Q6W<�Kº � YEZXWXe�n�URS-ZXa�eEY¥uOR]KbRZ(Q6Wtsdº£¥ke_[^bRUdZp]2ZXa�eEYR]2«%¼�a¾½�S6Ud«�Zw¬��À¿�YdQVv�·+]�¬���URYRS-ZXa�eEYR`��¥uOR]KbRZ(Q6WhÁRº r `XQ6URnRe_Wp]KYRndeE[µtQ6YdQ�WX]KZ(eEWX`¥uOR]KbRZ(Q6Wè�º£Ä�Q6WXe2vÀÅ<Yde4iP«¤Q6ndm_Q r WXe�e2gI`r ]KWXZPsdºG»P]K`Xa¤S�Æhb�bd«�acSV]KZ(a¤e_YR`¥uOR]KbRZ(Q6Wt±dºG³kYRS6W(¬dbdZXa�eEYÇ´dS�OdQ6[¦Q6`¥uOR]KbRZ(Q6WhÈRº£´Ea¤m_YR]KZXURWXQf´�S�OdQ6[¦Q�`¥uOR]KbRZ(Q6W�²�º£µtQ6YdQ�WX]K«�¥uW(¬dbdZXeKmEWX]_bROdacS r WXeKZXedS-eK«c`

r ]KWXZ�ÁRºG»�QV¬KeEYRnTZXOdQ�»P]K`XacSV`ɶɶÉ

�Ga¤m_URWXQ��R�¤�Kº£¿�W(mE]KYda¤Ê6]KZ(a¤e_YªeKg*ZpOdac`PikeEWXl

�X�X�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���

NPOdQ¦bR]KWXZ(a¤Z(a¤e_Yje2g£ZpOdQ\iue_WplTa¤YEZ(e°ZXO�W(Q6Q\bR]_W(Zp`hac`�]�«¤eKmKacSV]K«�eEYdQK����URW(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK�7a¤Ze��7Q6Wp`kZXOdQ�]KnR®�]_YEZX]2m_QÃe2g*bRUR©d«¤a¤`pOdacYdm¦ZXOdQ�¢CWp`(ZubR]KWXZuiPa�ZpOde_UdZui�]2a¤Z(acYdmfgqeEW£ZpOdQ�S-eE[¦bR«�QVvZ(a¤e_Y�e2g¶ZpOdQte_ZXOdQ�Wkb�]KWXZX`6�9´�a¤[¦a¤«¤]_W(«¤¬K��iuQtOdeEb�Q�Z(e¦S-e_[^bd«¤QVZXQtZpOdQ�`(Q�S-e_Y�n�bR]KWXZ£iPa¤ZXORa¤YT]S-eEURbd«¤Q�e2gG¬KQ6]_WX`6�d]KYRn°bRUR©R«�ac`XO°a¤ZPiPa�ZpOde_URZPiu]Ka�ZXa¤Ydm¦gqeEW�ZXOdQ�ZpOda¤WpnÇbR]KWXZV�� D4=ED�=��%L*@���@qJ�=�_M NPOdQ�[¦eE`(ZÇW(Q6«�Q6®4]KYEZ�©R]_S�l_mEW(eEURYRn gqeEW�ZpOda¤`°ZXQ�dZTac`°bRW(e4®�acndQ6n ©E¬©R]_`(acSfl�Yde4iP«¤Q6ndm_Q�e2g£]K«�m_e_WXa�ZpOR[^`<�IacYRSV«¤URnRa¤YdmÇWp]KYRndeE[¦a�Ê6Q6nÇe_YRQ6`����7S-e_[^bRURZX]K©Ra�«¤a�Zw¬ ]_YRnQV«¤Q6[¦Q�Y_Zp]KWX¬�bRWXe_©R]_©da¤«�a¤Zw¬�ZXORQVe_WX¬K�£»�]_S�lEm_WXe_URYRn�e_Y��BSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y�]2«q�uYEU�[f©CQ6WPZpOdQVeEW(¬_�iÃOdacS�Oªac`£WXQ ��UdacW(Q�n¦gqe_W£`pbCQ6S-a�¢CSha¤[^bd«¤Q6[¦Q6YEZp]2Z(a¤e_Y�`9e2g SVQ6WXZX]Ka¤YªSVe_YR`XZXWpURS-Zp`V�_a¤`uYde_Z£W(Q�]2«¤«�¬WXQ ��UdacW(Q�nTOdQ�W(Q_�� �6@���AÇJ�;�@��tJ�=�%JKMNPOdQÃZXQ�dZ9ac`9acYEZ(Q6Y�ndQ6nª]_`9bR]KWXZ"e2g¶]�iue_Wpl<ZpOR]2Z9ac`9]Ka¤[¦Q6n^ZXe<`(Q�W(®_Q©CeKZXO�]K`£]<Z(Q�dZp©�e�e_l^]_YRnª]fWXQ-gqQ�W(Q�YRS-QPZXQ�dZV�9NPOR]KZ9ac`V��a¤Z£ac`£]2ac[¦Q6n�]KZ£`XQ6WX®EacYdmf©CeKZpOªZXORQ©CQVmKacYRYdQ�W�]KYRn�ZXOdQ^Q�dbCQ6WXZV� � YjeEWXnRQ6WtZ(e ]KS�Oda¤QV®_QfZpOda¤`�]Ka¤[°�%ZpOdQ�bRWXQ6`XQ6YEZX]KZ(a¤e_Y eKgkZXORQ©R]_`(acS�[¦]KZ(Q�W(ac]2«%ac`P®KQ�W(¬TndQVZp]2a¤«�Q�n°`Xe^Z(e�]K«�«¤e4i¹]¦Zw¬dbdacSV]2«G¥P´_vÀU�YRndQ6WXm_Wp]Kn�UR]2ZXQtZXe^gqeK«¤«�e4ia¤ZV�fÆtY�]_nd®4]KYRSVQ6nj`XZXU�ndQ6YEZ^�B]_YRnjSVQ6WXZX]2acYd«¤¬o]KYjQ�Rb�Q�W(Z��PiPa¤«¤«G¢CYRn�ZXOdQ^bR]KSVQT�Ba¤Y�ZXORQ6`XQbR]_W(Zp`��ui�]�¬�ZXeEeT`(«¤e4i����he4iuQV®KQ�WV�R]_Y ]2ZXZ(Q6[^bdZtiu]_`Ã[^]KndQ�ZXe�]2«¤«¤e4i¹ZpOdQf«c]2ZXZ(Q6WtW(Q�]KndQ�WZ(e Q�]K`Xa�«¤¬ `plEa¤b nRQVZX]Ka�«c`ªeE©_®�a¤e_UR`^ZXe/Odac[��4OdQ�WV� � Y bR]KWXZ(acSVUd«c]KW6��bRW(e�eKgI`�]KWXQ Zw¬dbda¤S6]2«¤«�¬bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n¦a¤Y^]�[¦ednRUd«c]KW"i�]�¬K�*·�QÃ`XZX]_W(Z"iPa¤ZXOª]�ORa�mEO�v�«¤QV®_QV«R`pl2Q6ZXS�O¦e2g7ZXOdQt[¦]Ka¤Y^acndQ�]K`6�]KY�n^e_Yd«¤¬\«c]2ZXQ6W9b�]K`p`9Z(efZXOdQÃZXQ6S�ORYRa¤S6]2«CnRQVZX]Ka�«c`6� r ]_`X`p]2m_Q£gIWXe_[ Oda¤m_O�vÀ«¤QV®KQ6«�ndQ�`XS6W(acbdZ(a¤e_Y�`Z(e^«¤e4ikQ�Wu«�Q6®KQV«�ndQVZp]2a¤«¤`�ac`�Zw¬dbda¤S6]2«¤«�¬T[¦]_WXlKQ6n°©E¬�bRORWp]K`XQ6`P`pURS�O°]K`<|K V~w}4�q� �£�-yK� �¾y��"�

� :N> BT(1D �/-�> � ()7��3D�("�K�0�SR���&/(V78�<�<>.�9�����0BT����DO>.�<& !KL��,�<()&#�9��L�7P&�(1�X>.�C-�7,�9:N�9:��&�(5:��<()& ��>.�<>����<>��K�K7Q>�7V�<����7I��:/(�2 � :�7���6Q( ���<�/(5��� (5R�(5: BH(1D�(5�! V�/-�> � ()7Q7�L � ��K>��<>.���<>��/��7�K�0�SR��T&�( �<( � �/:/� � >.-F�K�0����BH7I��B � -�>S��6?7�<��>.�I>��0( ��B�6?>��0�.�9:�>.-F�0(1-9(��R�>�: � (,�<�I�<�/(,�<����� � ��B �<�/(P!J����@J2" eEW(QÇ]Knd®4]_YRS-Q�n [^]2ZXQ6WXa¤]K«Pa¤`^Zw¬dbdacSV]K«�«¤¬¸bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n ]KZª]jgI]_`(ZXQ6WªbR]_S-Q ]KY�n/iPa¤ZXO «¤Q6`p`ndQ6ZX]2a¤«c`V�ÃNPO�UR`6��iuQfOdeEb�Q<ZpOR]2ZtZXOdQ\]2Z(ZXQ6[^bdZtZ(e�`p]2ZXa¤`(gq¬°]�iPa¤ndQ\WX]_YdmKQ�eKg"WXQ6]_ndQ6Wp`PiPa¤«�«Yde_ZÃOR]KWp[ ]KYE¬ªeKg*ZpOdQ6[°�:u=#�H�;*@��*A�MNPOdQ¦[^]KZ(Q6WXac]2«GbRW(Q�`(Q�YEZ(Q6nja¤YjZXOdQ\gIUd«¤«P�IZpORW(Q6Q-vÀ®Ke_«¤UR[¦Q4��iue_Wpl�ac`V�%eEY e_YRQOR]_YRn%� i�]�¬j©CQV¬_e_YRn�iÃOR]2Z�eEYdQ�[^]�¬oi�]KYEZ�Z(eoS-e4®_Q6W�acY�]ÇSVe_URWp`(Q_� ]KY�n�eEYjZpOdQ�e_ZXOdQ�WOR]_YRn gI]K«�«c`¦®KQ6WX¬+`XOdeEW(Z¦e2gtiÃOR]2Z\e_YdQÇ[^]�¬�i�]KYEZ\Z(e+lEYRe4i ]K©Ce_UdZ�¥uW(¬dbdZXeKmEWX]_bROE¬�acYmKQ�YdQ6Wp]2«��^N e ]K`p`Xa¤`XZ�ZXOdQ�`(QªS-eEY�$�acS-ZXa¤Ydm YdQ6Q6nR`�iuQª[^]Kl2Qª]Çndac`(ZXa¤Y�S-Z(a¤e_Y+©CQVZwiuQVQ�Y&%p}����I�]KY�n¸}K|�'4}4{7�� p|o[¦]KZ(Q�W(ac]2«���]KY�n°b�W(e4®�acndQ<`XURmKmKQ�`(ZXa�eEYR`ugqe_WÃgIURWXZXOdQ�WÃW(Q�]KndacYdm �Ba¤YÇZpOdQ<«c]K`XZ`XQ6S-ZXa�eEY¦e2g7Q6]KS�O¦S�OR]_bdZ(Q�W���� � YªbR]_W(ZXa¤S6Ud«¤]_WV�2`XQ6SVZ(a¤e_YR`6�_`pUR©R`XQ6SVZ(a¤e_YR`6�K]_YRn^`XUR©�`XUR©�`(Q�S-Z(a¤e_Y�`[^]KWpl2Q�n�©E¬T]_YT]_`(ZXQ6WXa¤`plÇ�)(_�u]KWXQ�acYEZ(Q�YRndQ6nTgqeEWP]Knd®4]KY�S-Q6n°WXQ6]KnRa¤YdmC�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� ��� � � � ���� �����

� D4=� #�HK= �������� =���=ED�#����fD��%F*J���ACD #RF*;*@IH � D��CJ��¶H������ �� !�

²��¤� ¿t®KQ�W(®�a¤QVi "#"$"#"$"#"$"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ±'&_Ȳ��¤�K�¤� NPOdQ�¼�Q-¢�Yda�ZXa�eEYR]2«�ÆhbRbRWXe_]_S�O�]_YRno´Ee_[¦Q " edndQV«c`("$"#"$"#"#"$" ±'&�²

²d���_���_��� ´�e_[¦Q�bR]KWp]K[¦QVZXQ6Wp`�UR`(Q�n�acYÇndQ-¢�Yda¤YRm�`(Q�SVURWXa�Zw¬T[\edndQ6«¤`G±'&�)²d���_���_� s ³ R]K[^bd«¤QKº " Ud«¤Z(a�vwbR]KWXZw¬<bRWXeKZ(edSVeK«c`¶iPa¤ZXO¦Ode_YdQ�`(ZG[^]4v

*�eEW(a¤Zw¬+"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�_�²d���_���_� Á ÆtYdeKZpOdQ6W�Q�R]K[^bd«¤QKº"N�ikeKvÀb�]KWXZw¬�bRW(e_Z(edS-e_«¤`�]K«�«¤e4iPa¤YRm

]_©�eEW(Z,"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�Es²��¤�K��s ´EeE[¦Q�Å<Yde4iÃY.-ÃQ�`XUR«�Zp`/"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�K¨

²d���_� sR��� NPORQ�[^]Ka¤YÇWXQ6`pUd«�Zp`PbRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n�acY°ZXOdac`ÃS�OR]_bdZ(Q�W0"#"$" ÈK�K¨²d���_� sR� s ¿tZpOdQ6WPWXQ6`pUd«¤ZX`1"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�K¨²d���_� sR� Á ÆtY°Q�dZ(Q�YR`(a¤e_Y°]KY�n�QV½ªSVa�Q�YRS-¬°S-eEYR`(acndQ�WX]KZ(a¤e_YR`2"#"$" ÈK�E±

²��¤�K� Á ¥keEYR`(ZpWXU�S-Z(a¤e_Y r ]KWp]KnRa�mE[¦`3"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�_Ȳd���_� Á���� ��W(eE[ bR]_`X`Xa�®_QV«¤¬EvÀ`XQ6S6URW(QGbRWXeKZXe�SVeK«c`7Z(eÃ]_S-Z(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQ

eEYdQ6`4"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK�_Ȳd���_� Á�� s r ]_`X`Xa¤®KQV«¤¬EvÀ`XQ6S6URWXQ S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_Y�iPa�ZpO65X`pSVWp]K[\©d«�Q�ntSVa¤W(v

S6Uda¤ZX`879"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈK��)²d���_� Á�� Á r ]_`X`Xa¤®KQV«¤¬EvÀ`XQ6S6URWXQhS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YTiPa�ZpO°`pOR]_W(Q�`:"#"#"$" ÈK��&

²���s (¦NPOdQ�N�iue2v r ]KWXZw¬�¥u]_`(Q_ºG¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_YR`3"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��s²���sd�¤� NPOdQ<`X¬dYEZX]KSVZ(acStgIWX]_[\Q6ikeEWXl;"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��s

²d� sR���_��� ´�a¤[^bd«¤a¾gq¬�acYdm�S-eEYE®KQ6YEZXa�eEYR`<"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��Á²d� sR���_� s ¥keE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR]K«%a¤Y�nda¤`XZ(acYdmEUda¤`pOR]_©da�«¤a¤Zw¬�ºkS-e_YE®_Q6YEZ(a¤e_YR`

]_YRn°YdeKZp]2Z(a¤e_Y="#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��±²d� sR���_� Á -hQ6bRWXQ6`XQ6YEZX]KZ(a¤e_Y�e2g"bR]KWXZ(a¤Q6`�>d`(ZpWX]KZ(QVm_a�Q�`?"$"#"$"#"#"$" ÈR��È

²���sd��s NPOdQ<`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(ZP[¦edndQV«0"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��Ȳd� sR� sR��� NPORQ�`Xac[¦bR«�Q�gqeEWX[\Ud«¤]KZ(a¤e_YTe2gGbRW(a¤®4]KSV¬@"#"$"#"$"#"#"$" ÈR�4²²d� sR� sR� s NPORQ�]K«�ZXQ6WpYR]2ZXa�®_Q�gqe_Wp[fUd«c]2ZXa�eEY1"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈR��&²d� sR� sR� Á ³ ��Uda�®4]K«�Q�YRS-Q�e2gGZXOdQ�Zwiue¦gqe_Wp[fUd«c]2ZXa�eEY."#"$"#"$"#"#"$" È_sR�

²���sd� Á NPOdQ<[^]K«�acS-a¤e_UR`P[¦edndQ6«;"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È_s_s²d� sR� Á���� NPORQ�]_S-ZpUR]2«¶ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y "#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È_sKÁ²d� sR� Á�� s ÆtYÇ]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ�]KbRbRWXe_]_S�O6"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È_sA)

²�� Á ( r WXa¤®�]KZ(Q6«�¬T¥keE[¦b�UdZ(acYdm ��s4v r ]_W(Zw¬��"�CURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`B"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈKÁ���

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��

²�� ÁR�¤� r W(a¤®4]KS-¬�WXQ6n�URS-ZXa�eEYR`P]KYRnÇ]^S-eE[^b�eE`(a¤Z(a¤e_YTZXOdQ6e_WXQ6[ "#"$"#"#"$" ÈKÁ_Á²�� ÁR��s NPOdQ\¿�N��� bRWXeKZXe�SVeK«C§�ndQ-¢�Yda�ZXa�eEYÇ]KYRnÇS-eEYR`XZXWpURS-ZXa�eEY4"#"$"#"#"$" ÈKÁ�²²�� ÁR� Á r W(a¤®4]2Z(Q6«�¬TS-e_[^bRURZ(acYdm�� ��� ��� ��� � � ����������� � � ����� "#"$" È2¨E�²�� ÁR� ¨ NPOdQ<SVa¤WpSVURa�Z�QV®4]K«¤UR]KZ(a¤e_Y°bRWXeKZ(edSVeK«<"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È2¨�s

²�� ¨ (\��eEWXSVa¤YRmT�Às�vwbR]KWXZw¬��u´�Q6[¦a¾v)�heEYdQ6`XZ�»�Q6OR]�®�a¤e_W "#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È2¨d²²�� ¨��¤� NPOdQ<SVe_[^bda¤«�Q�Wk§�[\e_Z(a¤®4]2Z(a¤e_Y°]KY�nTe4®_Q6WX®�a�Q6i "#"$"#"$"#"$"#"#"$" È2¨ )²�� ¨���s ´EQ�SVURWXa¤Zw¬�W(Q�nRURSVZ(a¤e_YR`P]_YRnÇ]¦SVe_[^bCe_`Xa�ZXa�eEY�ZpOdQVeEW(Q�[�"#"$"#"#"$" È2¨ &²�� ¨�� Á NPOdQ<SVe_[^bda¤«�Q�Wk§ªgIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Z(a¤Q6`PacYÇUR`(Q "%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È_±_±

²d� ¨C� Á���� ¥ke_a¤Y°N�e_`p`(acYdm�"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" È_±E²²d� ¨C� Á�� s ÆtUdZXORQ6YEZ(acSV]KZ(Q6no¥keE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_Y�� r ]KWXZ(ac]2« � Q�WX`Xa�eEYC� "$" ÈKÈEs²d� ¨C� Á�� Á � [^]KmKQ�N�Wp]KYR`p[¦a¤`p`Xa�eEY "$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈKÈ�²²d� ¨C� Á�� ¨ ÆtUdZXORQ6YEZ(acSV]KZ(Q6no¥keE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_Y%� -ÃQ6®�a¤`Xa�ZXQ6n "$"#"#"$" ÈE²2�²d� ¨C� Á�� ± ÆtUdm_[¦Q�Y_ZXQ6n°S-e_a¤Y�vÀZ(eE`X`XacYdm:"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈE²2Á²d� ¨C� Á�� È � Y�bRUdZt¥ke_[^[¦a¤ZX[¦Q6YEZ0"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈE²2Ȳd� ¨C� Á���² ´dUR[^[¦]_W(¬ "#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA)_�

²�� ¨�� ¨ NPOdQ<SVe_[^bda¤«�Q�W�a�Zp`(Q6«¾g "#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA)_�²d� ¨C� ¨C��� NPORQ�Q���Q�S-ZPeKg*ZpOdQ<S-eE[¦bRa�«¤Q6W "#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA)Es²d� ¨C� ¨C� s ¥u]_Yde_YRa¤S6]2«fbRWXeKZXedS-eK«c`o]_YRn�ZXORQ ]KURm_[¦Q6YEZ(Q�n�`(Q�[¦a¾v

ORe_YdQ�`(ZP[¦edndQV«#"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA)�)²d� ¨C� ¨C� Á ¥keEYRS-«cUR`Xa�eEY^§ r W(e�e2g�e2g*NPORQVe_WXQ6[�²�� ¨��¤�/"$"#"$"#"#"$" ÈA&_Á

²���± (\³ dZXQ6YR`Xa�eEY�ZXeªZXOdQ " UR«�ZXa¾v r ]KWXZw¬T¥u]K`XQ�"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA&K¨²���±d�¤� ¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYR`B"$"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA&E±

²d� ±R���_��� NPORQ°SVe_[^[fURYRa¤S6]2Z(a¤e_Y/[\edndQ6«P]KYRn/Q�dZ(Q�WXYR]K«u]_nd®KQ�W�v`p]KWXa¤Q6` "#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA&E±

²d� ±R���_� s NPORQ�`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(ZP[¦edndQV« "$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA&�²²d� ±R���_� Á NPORQ�Zwiueª[^]2«¤a¤SVa�eEUR`P[¦e�nRQV«c`$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$" ÈA&�)

²���±d��s ´EQ�SVURWXa¤Zw¬�a¤Y°ZpOdQ\´EQ6[¦a�v �te_YdQ�`(Z " e�nRQV«;"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4�Es²d� ±R� sR��� Æ SVe_[^b�eE`(a¤Z(a¤e_YTZXORQVe_WXQ6[ "$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4�Es²d� ±R� sR� s r W(a¤®4]2ZXQV«¤¬�S-e_[^bRURZ(acYdm������ � ������� � ����������� � �<"?²4�E±²d� ±R� sR� Á NPORQ�[\Ud«¤Z(a�vÀbR]_W(Zw¬TS-acWXS6Uda�Z�Q6®�]K«¤U�]2Z(a¤e_Y°bRWXeKZXe�SVeK«3"#"$"?²4��²²d� ±R� sR� ¨ ¥keEYRS-«cUR`Xa�eEY%º r W(a¤®4]2Z(Q�S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_Y eKg¦]_Y_¬ gIURY�S�v

ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬ "%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4��)²���±d� Á NPOdQ " ]2«¤a¤SVa�eEUR` " edndQV«c`k§°¿t®KQ�W(®�a¤QVi ]_YRn r WXQV«¤a¤[¦acYR]KWXa�Q�` "#"$"?²4��&

²d� ±R� Á���� r W(Q�S-eE[¦bRa�«¤Q6Wt�IQ�[fUd«c]2ZXa¤Ydm�b�W(a¤®4]2Z(Q�S�OR]_YRYdQ6«¤`�� "#"#"$"?²��_�²d� ±R� Á�� s r eE`(ZpS-eE[¦bRa�«¤Q6Wt�IQ�[fUd«c]2ZXa¤Ydm�]^©RWXe_]_nRSV]_`(Z�S�OR]_YRYdQV«q�"?²���s

²���±d� ¨ NPOdQ�¢�WX`XZPS-e_[^bda¤«¤Q6Wk§���eEWXSVa¤Ydm�´EQ�[¦a¾v)�heEYdQ6`XZ�»uQ�OR]�®�a�eEW1"#"#"$"?²���Ȳd� ±R� ¨C��� ´�Q6SVU�W(a¤Zw¬�WXQ6nRURSVZ(a¤e_YR`P]_YRn°]¦SVe_[^bCe_`Xa�ZXa�eEY�ZpOdQVeEW(Q�[ "?²���Ȳd� ±R� ¨C� s ´�Q6SVWXQVZP©RWXe_]_nRSV]_`(Z "#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²���)²d� ±R� ¨C� Á " Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬�]_UdZXOdQ�YEZ(acSV]2ZXQ6nÇS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y "$"#"#"$"?²���&²d� ±R� ¨C� ¨ " Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬�]_Udm_[¦Q6YEZXQ6nÇS-e_a¤Y�vÀZ(eE`X`XacYdm "$"#"$"#"#"$"?²2s2¨²d� ±R� ¨C� ± " Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬ªacYRbRUdZ(vÀSVe_[^[¦a�Zp[¦Q6YEZ "#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2sA&²d� ±R� ¨C� È NPORQ�SVe_[^bda¤«�Q�W�a�Zp`(Q6«¾g$"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4Á_�²d� ±R� ¨C��² ÆtYR]2«¤¬d`(ac`�e2g*ZXOdQ<SVe_[^bda¤«�Q�W$"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4Á��

²���±d��± NPOdQ<`XQ6SVe_YRn°S-eE[^bda�«¤Q6Wk§�³ ��Q�S-Z(a¤®KQ6«�¬ r WXQV®KQ�YEZ(acYdm¦Æt©�eEW(Z@"#"$"?²4ÁEs²d� ±R� ±R��� � Q�W(a�¢C]_©d«�Qf´EQ�SVWXQVZh´�OR]_W(acYdm "#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4ÁK¨

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

²d� ±R� ±R� s NPORQ�SVe_[^bda¤«�Q�W�a�Zp`(Q6«¾g$"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4Á_Ȳd� ±R� ±R� Á ÆtYR]2«¤¬d`(ac`�e2g*ZXOdQ<SVe_[^bda¤«�Q�W$"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4Á�&

²�� È (¦NPOdQ r WXa¤®�]KZ(Qf¥uOR]_YRYdQV« " e�nRQV« ]_YRn r Q6W(gqQ6S-ZôEQ�SVURWXa�Zw¬ "#"$"#"$"#"#"$"?²�¨�±²�� ÈR�¤� ¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYR`B"$"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²�¨EȲ�� ÈR��s ´EQ�SVURWXa¤Zw¬�a¤Y°ZpOdQ\´EQ6[¦a�v �te_YdQ�`(Z " e�nRQV«;"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²�¨d²²�� ÈR� Á ´EQ�SVURWXa¤Zw¬�a¤Y°ZpOdQ " ]2«¤acS-a¤e_UR` " edndQ6« "#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±K�

²�� ² " ac`XSVQV«¤«¤]_YdQVeEUR`<"#"$"#"$"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±R�²�� ²��¤� (\NPORWXQVQ�ndQVgqQ6WpW(Q�n�ac`X`pUdQ�` "#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±R�

²d��²d���_��� r ]_W(ZXa¤]K«�gI]Ka¤WpYdQ�`X`�eEW�e_YTQ�RS�OR]KYRmKacYdm¦`XQ6S6W(Q6ZX`%"$"#"#"$"?²2±R�²d��²d���_� s NPORQ�]_nR]KbRZ(a¤®KQ�[¦e�nRQV« "$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±KÁ²d��²d���_� Á -hQ6]KSVZ(a¤®KQ�`(¬d`XZ(Q�[¦` "#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±_±

²�� ²���s (^¥ke_Y�SVURWpW(Q�YEZu³ dQ6SVURZ(a¤e_YR` "$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±E²²d��²d� sR��� ¼�Q-¢�Yda�ZXa�eEYR` "$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±E²²d��²d� sR� s ¥keEYR`XZXWpURS-ZXa�eEYR` "$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²2±A&

²�� ²�� Á �ta¤`XZ(eEW(acSV]K«��heKZXQ6` "%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4È_�²�� ²�� ¨ ´�URmKmKQ�`(ZXa�eEY�gqeEW��CURWXZXORQ6W -ÃQ�]KndacYdm "#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4È��²�� ²���± ¿�bCQ6Y r WXe_©R«�Q�[¦`4"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4ÈEs²�� ²�� È ³ �Q�WXSVa¤`XQ6` "#"$"#"#"%"#"$"#"$"#"#"$"#"$"#"%"#"#"$"#"$"#"$"#"#"$"?²4ÈEs

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��������� �

� �� � ��� � � �� � ����� ����� � ���

� � � �(� � �� �

NPOdQ¦ndQ6`Xa�mEYÇe2g£`XQ6S6URW(Q\bRW(e_Z(edS-e_«¤`ÃZXOR]KZhac[¦bR«�Q�[\Q�YEZt]KWp©da¤ZXWp]KWX¬TndQ�`(acWXQ6n°gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`ac`�]°[^]�*�eEWtbR]_W(Z�e2g�[¦e�nRQ6WpYjSVWX¬dbdZ(e_m_Wp]KbROE¬_��N*]KlEacYdmTZpOdQ^e_bRbCe_`Xa¤Z(Q^b�Q�WX`pb�Q�S-ZXa�®_QK�%ZXORQndQ�`(a¤m_Y/e2gt]_Y_¬ S6W(¬dbdZXeKm_Wp]Kb�Oda¤ST`XS�ORQ6[¦QT[^]�¬¸©CQT®�a¤QViuQ6n/]_`¦ZXOdQÇndQ6`Xa¤m_Y¸eKgt]�`(Q�SVURWXQbRWXeKZXe�SVeK«_gqe_W*ac[¦bR«�Q�[\Q�YEZ(acYdm�]t`pUda¤ZX]K©R«�QugIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K�9´EZXa�«¤«B�KikQ�©�Q6«�a¤QV®_QkZpOR]2ZGa¤Z"[¦]_l2Q�``XQ6YR`XQ£ZXe�nda �7Q6WXQ6YEZ(ac]2ZXQu©CQVZwiuQVQ�Yf©R]_`(acS£S6W(¬dbdZXeKm_Wp]Kb�Oda¤S£bRW(ac[¦a�ZXa�®_Q6`k�IiÃOdacS�O<acYE®Ke_«�®_Q9«�a¤Z(ZX«�QacY_ZXQ6Wp]KSVZ(a¤e_YC�f«¤a¤lKQ Q6YRS6W(¬dbdZXa�eEY ]_YRn?`(a¤m_Y�]2ZXU�W(Q `pS�OdQ6[¦Q6`^eEY e_YdQoOR]_YRn%�P]KY�n/m_Q6YdQ�WX]K«SVWX¬dbdZ(e_m_Wp]KbRORa¤S�bRWXeKZ(edSVeK«c`keEY�ZpOdQ�eKZpOdQ6WPO�]KYRn%�

� Y ZpOda¤`ÇS�OR]_bdZ(Q�W�iuQ�SVe_YR`XacndQ6WÇ�_ V{� V�X}K�<W(Q�`XUR«�Zp`TSVe_YRSVQ6WpYda¤YRm/`(Q�SVURWXQ��¦zR��~�� vÀb�]KWXZw¬S-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR`6�RiÃOdQ�W(Q�ZpOdQ�~ �£y�vwbR]KWXZw¬TS6]K`XQ�a¤`h]KY°a¤[^bCe_WXZX]_Y_Zt`XbCQ6SVa¤]K« SV]_`(Q_� � Y ]ªY�UdZ�v`pOdQV«¤«B�4ZpOdQ6`XQkWXQ6`pUd«¤ZX`*]K`p`(Q�W(Z ZXOR]KZ e_YRQkSV]_Y<S-eEYR`XZXWpURS-Z b�W(e_Z(edS-e_«¤`¶gqe_W*`(Q�SVURWXQV«¤¬�SVe_[^bRUdZXa¤YRm}4{C�fndQ�`(acWX]_©d«¤Qu[\Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬�gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬T�B`XQVQ�Z(Q�WX[¦acYdeK«¤eKm_¬<©�Q6«�e4it��� � YRndQVQ�n%�KiÃO�]2ZGa¤``XZXWXa¤lEacYdm<]K©Ce_UdZkZXOdQ�`(QtW(Q�`XUd«¤ZX`9a¤`£ZXOdQ6a¤WkmKQ�YdQ6Wp]2«¤a�Zw¬_�K]KY�n^ikQh©CQV«¤a¤QV®KQhZXOR]KZ£ZXORQÃikeEYRndQ�W"a¤`Yde_Zkndac[¦a¤Ydac`pOdQ6n�©E¬¦ZXOdQ\�I®4]KWXa¤e_UR`k]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ��"S-e_Y�nda�ZXa�eEYR`£U�YRndQ6W£iÃOdacS�OªZXOdQ�`(Q�W(Q�`XUR«�Zp`Ode_«¤n%�

¿�URW�gqedS6UR`feEY+ZXOdQÇ�_ V{� V�X}K�P`(ZpURnd¬+e2gÃ`XQ6SVU�W(Q�[\Ud«¤Z(a�vÀbR]_W(Zw¬+S-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y?��WX]KZXOdQ�WZXO�]KYÇe_YÇbRWXeKZXedS-eK«c`ugqe_WP`XeK«¤®�a¤YRm�`XbCQ6SVa¾¢CS�b�W(eE©d«�Q�[^`��kac`ÃYR]KZXURWp]2«¶acYÇZXORQ<S-e_YEZXQ�dZPe2g"ZXORQZXORQVe_WXQVZXa¤S6]2«_ZXWXQ6]2Zp[¦Q6YEZ¶e2gRZpOdQk`pUR©�*�Q�S-Z*[¦]KZ(ZXQ6W6� ·�QkiPac`XO�ZXetOda¤m_OR«�a¤m_OEZ¶ZpOdQkac[^b�eEW(Zp]KYRSVQe2g*ZXOdac`Ã�E -{7 -�X}K��`XZXU�nd¬�Z(eªbRWp]KSVZ(acS-Q_�*�GacWX`XZ(«¤¬K�dZpOdac`P`(ZpURnd¬TSV«¤]_W(a�¢�Q�`£gIU�YRnR]K[¦Q�Y_Zp]2«%ac`X`pUdQ�`WXQVm_]_WXnRa¤Ydmo`XQ6S6URWXa�Zw¬�a¤Y ]j[\Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬�Q6YE®�a¤WXe_Y�[\Q�YEZV�+´�Q6S-eEYRnd«¤¬K�"a¤Z¦n�WX]�iÃ`�ZpOdQ°«�acYdQ6`©CQVZwiuQVQ6Y iÃOR]2ZTa¤`°b�eE`X`Xac©d«�Q�a¤Y¹bRWXa¤YRSVa¤bR«�Q�]KYRn iÃO�]2Z�ac`°YdeKZ6� NPOdacWXnR«�¬_�ha¤ZTndQ6®KQV«¤e_b�`mKQ�YdQ6Wp]2«�Z(Q�S�ORYda �EURQ6`hgqe_WhnRQ6`Xa�mEYda¤YRmT`XQ6SVU�W(Qfb�W(e_Z(edS-e_«¤`6�hÆhY�no«c]K`XZV�%`(eE[¦QVZ(ac[¦Q6`6�Ca¤Z�[¦]�¬QV®_Q6Yª¬�a¤QV«cn�`pS�OdQ6[¦Q�`h�Be_Wu[\ednRUR«�Q�`��9ZXOR]KZu[^]�¬ª©CQ�acYRSVe_Wpb�eEWX]KZ(Q6n^acY�b�WX]_S-Z(acSV]K«�`X¬d`(ZXQ6[^`6�NPO�UR`6�*iuQ�©CQV«¤a�Q6®KQ�ZpOR]2Z\ZXOdQ�S6URWpW(Q�Y_Z\S�OR]KbdZXQ6W�ac`f©CeKZpO e2gPZpOdQVeEW(Q6Z(acSV]2«k]KYRn bRWp]KSVZ(acSV]K«ac[¦bCe_WXZX]_YRS-Q_�:u=_D��¸@�� � � ��A���� NPOdQoYde_Z(a¤e_Y e2g�] �B[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬��<gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬/ac`�S-Q�Y_ZpWX]K«�Z(e ZXORQSVU�WXWXQ6YEZ"S�OR]KbRZ(Q6W6�*»u¬¦]KY���� �"!$#&%('*)�+-,/. 01)2�435. ,6#ÃikQÃ[¦Q�]KY^]�WX]_YRndeE[ bRWXedS-Q6`p`GZXO�]2Z9[^]KbR`� acYRbRURZX`<ZXe7� eEUdZXb�UdZX`6�GiÃOdQ6WXQ^gIURYRSVZ(a¤e_YR`\[¦]_bRbdacYdm7� a¤YRb�UdZX`fZ(e7� e_UdZpbRUdZX`\]KWXQ

±'&_±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

±'&_È ����������� �����������������������������������������������������!

] `pb�Q�S-ac]2«tS6]K`XQ �B]K«¤`Xe¸W(QVgqQ6WpW(Q�n Z(e/]_`�ndQVZXQ6Wp[¦a¤Ydac`XZ(acSÇgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`�����NPO�UR`6��gIURYRS�vZ(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`k]_W(Q�WX]_YRnde_[¦a¤ÊVQ�nªQ�dZ(Q�YR`Xa�eEYR`£eKg e_WpndacYR]KWX¬\gIURYRS-ZXa�eEYR`6�9¿�YRQ�[^]�¬^ZXOdacYRl^eKg ]gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬#" ]_`¶©CQVacYdmh]ÃbRWXe_©�]K©da¤«�a¤Zw¬tnRa¤`XZXWXa¤©�UdZ(a¤e_Y�e4®_Q6WG�BSVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRm���gIURYRSVZ(a¤e_YR`�Ia�� QK�¤�$" Q ��UR]K«¤`ÃZXOdQ�gIU�YRS-ZXa�eEY&%(' �*) iPa¤ZXO b�W(eE©R]K©da¤«¤a�Zw¬,+ � ���PÆë¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQV«¤¬K�CikQfZXOdacYRlTe2g"^�.-0/21�" " "314-65��£]K`u`(Q6«�Q�S-Z(acYdm^]2ZuWX]_YRnde_[ ]\`(ZpW(acYdm87��R]_YRn�eEUdZXbRURZ(Z(acYdm9"�:I�;7214-0/21�" " "<1=-65<���iÃOdQ�W(Q�" : ac`P]¦gIURYRSVZ(a¤e_YÇ[^]KbRbdacYdm � � ��a¤Y�bRUdZX`ÃZ(e � e_URZXbRUdZp`V�:u=#�H�;*@��*A :<@qF �NPOdQ�SVe_YEZ(Q�Y_Zp`�e2gÃZpOdQ�S6URWXWXQ6YEZ<S�OR]_bdZ(Q�Wf]_W(Q���Uda¤Z(Q�SVe_[^bd«¤Q�%� ·�Q`pUdmKm_Q6`XZtZXe°SVe4®KQ6WtacY�SV«¤]_`X`te_Yd«¤¬oZpOdQ^e4®KQ6WX®�a�Q6i�`(Q�S-Z(a¤e_Y/�Ia�� Q_���"´EQ6SVZ(a¤e_Y+²��¤�����¶]_YRn�S-e_Ydv`Xa¤ndQ�W�ZXOdQ<WXQ6`XZ�e2g*ZXOdac`ÃS�OR]_bdZ(Q�W�Z(eª©�Q<]_nd®4]KYRSVQ6n°[^]2Z(Q�W(ac]2«��G�CURWXZXORQ6Wp[\eEW(Q_�dikQ�]_`X`pUR[¦QZXO�]2Z�ZXOdQ^W(Q�]KndQ�WPac`hgI]_[¦a�«¤a¤]_WhiPa¤ZXOjZXOdQ¦[^]2Z(Q�W(ac]2«*acYj]2«¤«*ZXOdQ^bRWXQV®�a�eEUR`hS�O�]KbdZXQ6Wp`V��NPOda¤`gI]K[¦a¤«�ac]KWXa¤Zw¬\ac`£ac[^b�eEW(Zp]KYEZ£Yde_Z£eEYd«�¬^©CQ6SV]_UR`XQhiuQhUR`XQt`Xe_[¦QÃe2g¶ZpOdQtYReKZ(a¤e_Y�`£]KY�n�W(Q�`XUR«�Zp`bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n�acY°ZXOdQ�`(Q<S�O�]KbdZXQ6Wp`V�R©RURZÃWX]KZXOdQ�WP©�Q�SV]KU�`(Q�iuQ<UR`(Q�`Xa¤[¦a¤«¤]_WPbRWXeEeKg�ZXQ6S�ORYda ��UdQ6`�B]_YRn^nde<`Xe�iÃORa�«¤QÃ]K`p`XU�[\acYdm�ZXO�]2Z"ZXORa¤`£a¤`P{7y4~*ZXOdQÃWXQ6]_ndQ6W�> `*¢CWX`XZGQ6YRSVe_URYEZXQ6W"iPa¤ZXO¦ZXORQ6`XQZ(Q�S�ORYda ��UdQ6`����> D4A # �*@.?�#RJ6@ � � � � Y�]Kn�nda�ZXa�eEYªZ(e¦ZXORQte4®_Q6WX®Ea¤QVi `XQ6SVZ(a¤e_Y �BaB� QK�¤�C´EQ6SVZ(a¤e_YDz��¤������ZpOdQ�S6URW(vWXQ6YEZPS�OR]KbdZXQ6WPSVe_YR`Xa¤`XZX`�eKg�Zwiueª[¦]Ka¤YÇbR]_W(Zp`V�NPOdQ�¢CWp`XZ�b�]KWXZ��BaB� QK�¤��´EQ�S-Z(a¤e_Y�`h²���s�§R²d� ¨d�"SVe_YR`Xa¤`XZX`ueKg*]^ndQVZp]2a¤«�Q�n�ZpW(Q�]2Zp[\Q�YEZueKg�m_Q6YdQ�WX]K«

`(Q�SVURWXQ\~ �£y�vwbR]_W(Zw¬�b�W(e_Z(edS-e_«¤`6�¿�URWPUd«¤Z(ac[¦]KZ(Q<m_e_]K«%a¤YÇZpOda¤`tbR]KWXZPac`PZ(e�nRQ6`Xa�mEYTZwiue2vwbR]_W(Zw¬�bRWXeKZXedS-eK«c`�ZXO�]2ZÃiPa¤ZXO�v`(Zp]KYRn^]KYE¬fgqQ6]K`Xac©d«�QÃ]_nd®KQ�WX`p]KWXac]2«d©�Q�OR]�®�a�eEWV��·�Q�bRWXe�SVQVQ�n\acY¦Zwike<`XZ(Q�bR`6�*�GacWX`XZ"iuQS-e_Y�`(acndQ6WG]�©CQ6Yda¤m_Y\Zw¬db�QPeKg�]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬K�4SV]K«�«¤Q6n��-  �¦� ¡À��y4{7 ���~��_]_YRn\SVe_YR`XZXWpURSVZGb�W(eKvZ(edS-e_«¤`�ZpOR]2ZÃ]_W(Q�`XQ6SVU�W(Q�iPa¤ZXO WXQ6`pb�Q�S-ZPZ(eª`pURS�OÇ]KYÇ]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬°��S�g��P´EQ6SVZ(a¤e_Yo²�� ÁE����hQ�dZ6�9ikQ°`XORe4i Ode4i Z(e�gqe_WpS-Q°bR]KWXZ(a¤Q6`\Z(e+©�Q�OR]�®KQTa¤Y ]j`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ^[¦]_YRYdQ�W�BS�g���´EQ6SVZ(a¤e_Yo²�� ¨����9NPOR]2Z�ac`V�RiuQ<`pOde4i¹Ode4i¹Z(e^ZXWp]KY�`�gqeEWX[ ]_YE¬�bRWXeKZ(edSVeK«��R`(Q�SVURWXQa¤Y�ZXOdQ�`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z�[¦edndQV«�� acYEZ(e ]ÇbRW(e_Z(edS-e_«GZXOR]KZ�a¤`�`XQ6S6URW(Qª]Km_]2acYR`XZ�]_YE¬ gqQ6]2v`(ac©d«¤Q¦]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤]K« ©CQ6OR]�®�a¤e_W6��»�URZ�©CQ-gqeEW(QªbRWXQ6`XQ6YEZ(acYdmTZXOdQ�`(Q^S-eEYR`(ZpWXU�S-Z(a¤e_Y�`V�7iuQbRW(Q�`(Q�YEZuZpOdQ�W(Q6«�Q6®4]KYEZPndQ-¢CYRa�ZXa�eEYR`��BS-g��u´EQ�S-Z(a¤e_Y ²���s_���

NPOdQ<`XQ6SVe_YRn°bR]KWXZ��Ia�� Q_���_´EQ�S-ZXa�eEYR`*²d� ±P]_YRn\²d� È��7ndQ6]K«¤`�iPa¤ZXO�m_Q6YdQ�WX]K«_`XQ6SVU�W(Q �¦zR��~�� vÀb�]KWXZw¬bRW(e_Z(edS-e_«¤`6�*´�bCQ6SVa¾¢�SV]2«¤«¤¬K�2acY�´EQ6SVZ(a¤e_Yª²���±ÃiuQ�Q�dZ(Q�YRnfZpOdQPZXWXQ6]KZX[¦Q6YEZGbRWXQ6`XQ6YEZ(Q�nfacYZXOdQ�¢CWp`XZÃbR]KWXZPZ(e �¦zR��~B� vwbR]_W(Zw¬�b�W(e_Z(edS-e_«¤`6�diÃOdQ6WXQ6]_`�a¤Yo´EQ�S-ZXa�eEY ²d� ȦiuQ<S-eEYR`(acndQ�WZXOdQ 5pbRW(a¤®4]2ZXQ�S�OR]_YRYdQ6«¶[\edndQ6« 7ª]_YRn°bRW(Q�`(Q�YEZ�]K«�ZXQ6WpYR]2ZXa�®_Q�SVe_YR`XZXWpURSVZ(a¤e_YR`ugqeEW�a�Z6�

Æë¤ZXORe_UdmEO�a¤Zkac`�b�eE`X`Xa¤©R«�QtZ(e^`XlEacb�`(eE[¦Qhe2g�ZXOdQ�Q6]_W(«¤a�Q�Wk`XQ6SVZ(a¤e_YR`ke2g¶ZpOdac`uS�O�]KbdZXQ6Wu©�QVgqe_WXQWXQ6]KnRa¤Ydmt]P«¤]KZ(Q�W�`XQ6SVZ(a¤e_Y%��iuQkWXQ6S-eE[^[\Q�YRn�Yde_Z Z(e�ndet`Xe�� � Y<bR]_W(ZXa¤S6Ud«¤]_WV��iuQkWXQ6S-eE[^[\Q�YRnZ(eªWXQ6]_n�ZXORQ�e4®KQ6WX®�a�Q6i `(Q�S-ZXa�eEYj�BaB� QK�¤��´EQ�S-Z(a¤e_Y ²��¤�����R©�QVgqe_WXQ�WXQ6]_ndacYdm¦]_YE¬�«¤]KZ(Q�Wu`XQ6SVZ(a¤e_Y%�

@BADC E FBG#H�FJI�G�K

Æ m_Q6YdQ�WX]K«GgIWX]_[¦QViue_Wpl gqe_WfSV]K`XZ(acYdm¸�6��vwbR]_W(Zw¬���SVWX¬dbdZ(e_m_Wp]KbRORa¤S°�Bb�W(e_Z(edS-e_« ��b�W(eE©d«�Q�[^`S-eEYR`Xa¤`XZX`�eKg*`pb�Q�S-a�gq¬EacYdmª]^WX]_YRndeE[ bRW(edSVQ6`p`�ZXOR]KZ�[^]_bR` � acYRbRUdZp`�Z(e � e_URZXbRUdZp`V�9NPORQacYRbRUdZp`ªZ(e ZpOdQobRWXe�SVQ6`p`ª]KWXQÇZ(e¸©CQ ZXOdeEUdm_OEZ^e2g�]K`^«¤edSV]2«ha¤YRb�UdZX`ªeKg � bR]KWXZ(a¤Q6`6�k]_YRn

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ±'&�²

ZXORQ7� eEUdZXbRURZX`�]_W(QÇZpOdQVacW�SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤Ydm?��ndQ6`Xa¤WXQ6n��¦«�edS6]2«ÃeEUdZXbRURZX`6� NPOdQ�WX]_YRnde_[bRWXedS-Q6`p`¦ndQ6`pSVWXa¤©CQ6`¦ZpOdQ ndQ6`Xa¤WXQ6n¸gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K� NPOR]2Z^ac`V�9a�gtZpOdQ � bR]KWXZ(a¤Q6`¦iuQ6WXQ�ZXeZXWpUR`XZkQ�]KS�O�eKZXORQ6W��IeEWkZpWXU�`(Z�`(eE[¦QtQ��ZXQ6WpYR]2«7bR]_W(Zw¬�����ZpOdQ6YTZXOdQ6¬�S-eEUd«cn�Q6]_S�O�`XQ6YRn�ZXOdQ6a¤W«¤e�S6]2«Ca¤YRb�UdZkZXefZpOdQhZpWXUR`XZ(Q�n�bR]_W(Zw¬_�_iÃOdefikeEUd«¤n�S-e_[^bRURZ(QhZpOdQheEUdZXSVe_[¦QÃeKg¶ZXOdQ�bRW(edSVQ6`p`]KY�n¦`XQ6Y�n^Z(e�Q6]_S�O^bR]KWXZw¬<ZXORQhS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm�e_UdZpbRUdZV�9Æ bRa�®_eKZX]K« ��UdQ6`XZ(a¤e_Y¦acY^ZXOdQt]KWXQ6]e2g"SVWX¬dbdZ(e_m_Wp]KbRORa¤S�bRWXeKZ(edSVeK«c`kac`PZXeªiÃOR]2ZPQ��ZXQ6YEZÃSV]_Y�ZpOdac`��Iac[^]2mKacYR]_W(¬��£ZXWpUR`XZ(Q6nÇbR]_W(Zw¬©CQ 5(Q6[\Ud«c]2Z(Q�n�7¦©_¬TZXOdQ<[\UdZXU�]2«¤«�¬�nRa¤`XZXWpUR`XZ�gIUd« b�]KWXZ(a¤Q6`�ZXORQ6[^`(Q6«�®_Q6`6�

NPOdQ�W(Q�`XUR«�Zp`*[¦Q�Y_ZXa�eEYdQ6n\]K©Ce4®KQu]KYRn\`XURWX®KQ6¬KQ�n<©�Q6«�e4i ndQ6`pSVWXa¤©CQ�]h®4]KWXa¤QVZw¬�e2g�[\edndQ6«¤`acY�iÃORa¤S�O�`XU�S�O�]_Y 5XQ6[fUR«¤]KZ(a¤e_Y�7°ac`�b�eE`X`Xa¤©R«�Q_�^NPORQ�[\edndQ6«¤`�®4]_W(¬j©E¬oZpOdQ�URYRnRQ6WX«�¬�acYdm]K`p`pUR[^bdZ(a¤e_YR`\W(Q6m_]_WXndacYdmoZpOdQTSVe_[^[fU�Yda¤S6]2ZXa�eEY¸S�OR]KY�YdQV«c`V�"Y�UR[¦Q6WXe_U�`fbR]_WX]_[\Q6Z(Q�WX`\W(QVv«c]2Z(acYdm°Z(eTZXOdQ^Q�dZXQ6YEZteKgk]KnR®KQ6Wp`p]KWXa¤]K« ©�Q�OR]�®�a�eEWV�7]KY�noZXORQ^nRQ6`Xa¤WXQ6n «¤QV®_QV«Ge2gkQ6[fUR«¤]KZ(a¤e_Ye2g9ZpOdQfZpWXU�`(ZXQ6nobR]_W(Zw¬��Ia�� QK�¤��«¤QV®_QV«*e2g 5p`(Q�SVURWXa�Zw¬ 7����P·�Q¦`XZXWXQ6`p`ÃZpOR]2Z�URYd«¤Q6`p`t`XZX]KZ(Q6njnda¾g vgqQ6WXQ6YEZX«�¬_�dZXOdQª~ �£y�vwbR]KWXZw¬�S6]K`XQtac`Ã]KYTac[¦bCe_WXZX]_YEZ�`pbCQ6S-ac]2«¶S6]K`XQ�e2g�ZpOdQ�ZXWXQ6]KZX[¦Q6YEZ�e2gGZXORQ�¦zR��~B� vwbR]_W(Zw¬�`XQVZXZ(acYdm �Ia�� Q_����ikQ�S-eEYR`Xa¤ndQ�W�]KYE¬ ��� s_������ �� ��������������������� ��� �"!$#�#&%��'�)(*�+�)�&,.-/� 01��23�4,��5�76

»�Q-gqeEW(Q¦ndQ6`pSVWXa¤©Ra¤Ydm°ZXORQ^]_©�e4®_Q6[¦Q6YEZXa�eEYdQ6n WXQ6`pUd«¤ZX`6�%ikQ\gIURWXZXOdQ�W�nda¤`pSVU�`X`tZXOdQªYde_Z(a¤e_Yje2g5(Q�[fUd«c]2ZXa¤YRm<]�ZXWpUR`XZ(Q6nªb�]KWXZw¬�7��2iÃOdacS�OªURYRndQ�W(«¤a¤Q6`9ZpOdQhndQV¢CYda¤Z(a¤e_YR]K«C]_bRbRWXe_]KS�O\Z(e\`(Q�SVURWXQ[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬�SVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y¶�9NPOdQ�]KbRbRWXe_]_S�O�S6]KY°©�Q<ZpWX]_S-Q�nT©R]_S�l^Z(eªZpOdQ<ndQ-¢�Yda�ZXa�eEY°e2gÊVQ�W(eKvÀl�Yde4iP«¤Q6nRmKQ��B`XQVQ�´EQ6SVZ(a¤e_Yª¨C� Á�����]KYRnªQ6®KQ�YªZ(e\ZXOdQ�ndQ-¢CYRa�ZXa�eEYªe2g `XQ6[^]KYEZXa¤St`(Q�SVURWXa�Zw¬�B`XQVQôEQ�S-Z(a¤e_Y\±d��sd�¤�����*NPOdQ�URYRndQ�W(«¤¬�a¤Ydm�bR]KWp]KnRa�mE[ ��SV]2«¤«¤Q6n�ZpOdQP`(ac[fUd«c]2ZXa�eEY<bR]_WX]_nda�mE[���a¤`ZXO�]2Z�]t`XS�ORQ6[¦Q9ac`�`XQ6S6URW(Q£a¾gRiÃOR]KZ(Q6®KQ6W�]�gqQ6]_`(ac©d«¤Qk]_nd®KQ�WX`p]KWX¬hSV]_Y�e_©dZp]2acY<]4gqZXQ6W�]2Z(Zp]KS�lEacYdma¤ZV�Ea¤`9]K«¤`Xe�gqQ6]_`(ac©d«¤¬\]2ZXZX]Ka¤YR]_©d«¤QPa¤Y^]KY15Xa¤nRQ6]2«R`XQVZXZ(acYdm�7�� � YªS6]K`XQ�e2g7ÊVQ6WXe2vwl�Yde4iP«¤Q6ndm_QkZpOda¤`]K[¦eEURYEZX`"ZXe<`X]�¬�acYdm�ZXOR]KZ"iÃOR]2ZXQV®KQ�W"]^�qgqQ�]K`Xa¤©d«¤Q��G®KQ6WXa�¢�Q6W"S6]KY¦e_©dZp]2acY^]4gqZ(Q�W"acY_ZXQ6Wp]KSVZ(acYdmiPa¤ZXO^ZXORQhbRWXe4®KQ6WGeEYª]�bRWXQ6`pSVWXa¤©CQ6n¦®4]2«¤a¤nª]_`X`XQ6WXZ(a¤e_Y¶�KSV]_Y¦©CQ<�IgqQ6]K`Xac©d«�¬��GSVe_[^bRUdZXQ6n¦gIWXe_[ZXORQ�]K`p`(Q�W(ZXa�eEYja¤ZX`XQV«�g�� � Y+SV]_`(Q^e2gP[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬jSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y�iuQ�S-e_[^bR]_W(Q¦ZXORQ�Q��7Q6SVZe2g9]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`�ZXOR]KZtbR]_W(ZXa¤SVa¤b�]2Z(Qfa¤YÇZpOdQ° 98� p�Vzd~��Iy4{ y��<~B�� ª}_�-~�z�}2���C�py4~wy6��y2�GZXe�ZXORQfQ-g vgqQ6SVZkeKg�]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`"ZXOR]KZub�]KWXZ(acS-acbR]2ZXQtacY�]_Y � �^}6�2� {7}4���� 98� p�Vzd~��Iy4{Çe2g�]fZXWXa�®�ac]2«G�IacndQ�]2«q�bRWXeKZXe�SVeK«dgqeEW£SVe_[^bRUdZXa¤YdmfZXOdQ�ndQ6`Xa¤WXQ6n¦gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬ �"� ~B�^~B�� t�d V� ��y���}f~���z���~À �|P�d}2��~B�4�� gPiÃOR]2ZXQV®_Q6W<]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`�SV]KY�gqQ�]K`Xa¤©d«¤¬�e_©dZp]2acY�acY+ZXORQªgqe_Wp[¦Q6W<WXQ6]K«£`(Q6Z(ZXa¤Ydm�SV]KY+]K«¤`Xe©CQfgqQ�]K`Xa¤©d«¤¬°e_©dZp]2acYdQ6n acY ZpOdQ\«c]2ZXZ(Q�WhacndQ6]K«*`XQVZXZ(acYdm�ZpOdQ6YoZXOdQ^bRWXeKZ(edSVeK« 5XQ6[\Ud«¤]KZ(Q�`ÃZXORQacndQ6]K«�`XQVZ(ZXa¤YRm�7 �BaB� QK�¤� 5(Q6[\Ud«c]2Z(Q�`Ã]ªZpWXUR`XZ(Q�nobR]_W(Zw¬ 7E���C]_YRn `(e�a¤`�ndQVQ�[¦Q6n `XQ6SVU�W(Q_�ÃNPOda¤`[¦Q6]_YR`¦ZXOR]KZ^b�W(eEb�Q�W(ZXa�Q�`\ZpOR]2Zª]_W(QÇ`X]KZ(ac`�¢CQ6n¸acY ZXOdQÇacndQ6]K«P`(Q6Z(Z(acYdm ]KWXQÇ]2«c`(e�`X]KZ(ac`�¢�Q�n©E¬°]�`(Q�SVURWXQfbRWXeKZXe�SVeK«¶ZpOR]2Zta¤`hQ�dQ6S6UdZ(Q�nÇa¤YoZXOdQ¦W(Q�]2« `XQVZXZ(acYdm��Ã�Ce_WPQ�R]K[^bd«¤QK�7`(Q�SVURWXa�Zw¬Zw¬dbdacSV]2«¤«¤¬ªa¤[^bd«¤a�Q�`uZXOdQ�bRWXQ6`XQ6WX®4]2Z(a¤e_Y^eKg�ZpOdQh����� '�}_�-��e2g ZpOdQ�bR]KWXZ(a¤Q6`�>_«¤edSV]K«�acYRbRURZX`��B©CQ-v¬KeEYRnTiÃOR]2ZXQV®KQ�W�a¤`hW(Q6®KQ6]K«�Q�n�©E¬�ZpOdQ�«¤e�S6]2«%eEUdZXbRURZX`hb�W(e4®�acndQ6nTZ(e^ZXORQf]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬����E]_YRn��y4���X ��V~B{7 ����<eKg9ZXOdQ¦Ode_YdQ�`(Z�bR]KWXZ(a¤Q6`�>�«¤edSV]K« e_URZXbRUdZp`f�BaB� QK�¤�7ZXOdQ6a¤WtS-eEYR`(ac`XZ(Q6Y�S-¬°iPa�ZpOoZXORQgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬����

NPOdQª]Kb�bRW(eE]KS�O eEUdZ(«¤acYdQ6n�]K©Ce4®KQ^SV]_Yj©CQ�]KbRbd«¤a¤Q6noacY+]�®4]_W(a¤QVZw¬ eKgu[¦edndQV«c`V��]KYRn�a¤`UR`XQ6n Z(e ndQ-¢CYRQ ZXOdQom_e_]K«¤`^eKg�`XQ6S6URW(a¤Zw¬/acY?ZXORQ6`XQo[\edndQ6«¤`6� / ·�Q ¢CWp`(Z�ndac`pSVUR`p`�`Xe_[¦Q:;=<?>A@=BC>�DFEHGHIJDLKNM�D�OQP4P4>�GRBCSTKNUC>'IJGWVHMXKND�>QY5Z�IJUCSCBCM []\H@^>KNS_S_`aP4> B_EbK9BcB_Ea>IJGHVa`aB_ScON<dKNMJMeVbKNUCBCIJ>�S

KNU_>�ON<fBCEH>cS_KNP4>^MJ>�GHgNB_EhY*ij>5D�OQP4P4>LG]B�B_EHK9B^KNS*MJOQGHg KNS*BCEH>5MJ>LGagNB_EHSkON<lBCEH>5IJGHVH`aBCSmKNUC>�VlOQM [nGHOQP4IXKNMJM [U_>�MXK9BC>�op\pBCEH>�KNqfO7r]>sD�OQG]r]>�GRBCIJOQGtDLKNGuqf>s>�Ga<?OQU_D�>�ojqR[�VHKNoHoHIJGHgHY4vTGjBCEH>sONBCEH>�U'EbKNGHop\pS_OQP4>/MJ>�GHgNBCEU_>�SwB_UCIJD�BCIJOQGxIJSs>�S_SC>�GRBCIXKNM5<?OQU/BCEH>�SC>�DL`aU_I By[xUC>LSC`HM BCS7\mqf>�DLKN`HS_>{zyIJGxgQ>�GH>�UFKNM}|/I B/IJSsIJP4VfOQS_SCIJqHMJ>4B_OjEHIJoH>KNMJMmIJGa<?OQU_P�K9BCIJOQGjU_>�g]KNU_oHIJGagWB_EH>�MJ>�GHgNBCEtON<5B_EH>�IJGHVa`aB_S B_O{KWVaU_ONBCOnD�OQM~Yj�n>�D�OQGHoHM []\*@^>�KNS_SC`HP4>sB_EHK9B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

±'&�) ����������� �����������������������������������������������������!

e2gÃZpOdQÇbR]KWp]K[¦QVZXQ6Wp`<UR`XQ6n/a¤Y¸nRQ-¢CYdacYdm�®�]_W(a¤e_U�`\[¦edndQV«c`6�9]KYRn¸YRQ�dZ\ndQ�[¦e_YR`XZXWp]2ZXQ�ZXORQ]Kb�bd«�acSV]KZ(a¤e_YTe2g*ZXOdac`Ã]Kb�bRW(eE]KS�O�Z(eª]ªS-eEURbd«¤Q�eKg�ac[^b�eEW(Zp]KYEZÃSV]_`(Q�`t��S�g��k´EQ�S-ZXa�eEYR`t²��¤�K�¤�K��s]KY�nDzd���_���_� Á����� M���M���M�� � � �/=TF #dD�# �¸=EJ�=_D��^L �6=��?@����*=�� �*@��*A �6=�HKL�D4@qJ � � ����=����NPOdQ�gqe_«�«¤e4iPacYdmªbR]KWp]K[¦QVZXQ6Wp`P]KWXQ<ndQ6`pSVWXac©�Q�nTacYÇZ(Q�WX[^`he2gGZXOdQf]_S-ZpUR]2«9�Be_WÃWXQ6]K« �uSVe_[^bRU�vZX]KZ(a¤e_Y%� � Y¸`Xe_[¦Q�SV]_`(Q�`V�GZpOdQTSVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤YdmonRQ-¢CYda¤Z(a¤e_Y/e2gh`XQ6S6URW(a¤Zw¬�a¤`\e_©dZp]2acYdQ6n ©E¬`Xe_[¦QfWXQ6`XZXWXa¤SVZ(a¤e_YR`he_Whb�W(e4®�ac`(a¤e_YR`h]KbRbd«¤a¤Q6n ZXe�ZXOdQ¦acndQ6]K«�[¦edndQV«�� � Yo]K«�«GSV]_`(Q�`V�CZXOdQ¦ndQ-v`Xa¤WXQ6nÇYde_Z(a¤e_YÇe2g9`XQ6S6URW(a¤Zw¬�ac`hndQV¢CYdQ�n ©_¬ÇWXQ ��UdacW(acYdm^ZXOR]KZPgqe_Wt]KYE¬T]_ndQ ��UR]KZ(Q<]_nd®KQ�WX`p]KWX¬acYjZpOdQ¦WXQ6]K«"[\edndQ6«B�%ZpOdQ6WXQ¦Q�da¤`XZX`�]°S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬TacYoZpOdQªS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmacndQ6]K«7[¦edndQ6«%ZXOR]KZueE©dZX]Ka¤Y�`£Q�`X`XQ6YEZ(ac]2«¤«¤¬ªZXOdQ�`p]K[¦Qtac[^bR]KSVZkeEY�ZpOdQ�S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEY�eKg�ZXORQgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬j��]K`�ZpOdQ<W(Q�]2«�vÀ[¦edndQ6«7]_nd®KQ�WX`p]KWX¬����

�  V~B¡wz��j}�����z �t�C~��Iy4{R��º ­ YR«�Q�`X`unda ��Q�W(Q�Y_ZX«�¬�`XZX]KZ(Q�n%��ikQ�[¦]_l2Q�Yde\`XQVZ(vÀURbT]K`p`XU�[¦bdvZ(a¤e_YR`°�IQ�RS-Q6bRZfgqeEW\ZpOdQÇe_©E®�a�eEUR`¦]K`p`XUR[^bdZXa�eEY ZXO�]2Zª]2«¤«PbR]KWXZ(a¤Q6`¦OR]�®KQÇS-eEbda¤Q6`\e2gZXOdQ^bRWXeKZ(edSVeK« > `tbRW(e_m_Wp]K[���� �he4iuQV®_Q6W6��acYj`Xe_[¦Q\S6]K`XQ6`ta�Z�ac`�]_`X`pUR[¦Q6noZXOR]KZtQ�]KS�ObR]KWXZw¬jl�Yde4iÃ`�`Xe_[¦Qªa¤Ydgqe_Wp[¦]KZ(a¤e_Y �IQ_� mC���G]Ç®KQ�W(a�¢CS6]2Z(a¤e_YdvÀlKQV¬��ÃSVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRmTZXeQ6]KS�O¦eKg�ZpOdQÃeKZpOdQ6WkbR]KWXZ(a¤Q6`Ã�Ie_W6�KeEYdQÃ[^]�¬\]_`X`pUR[¦QPZXOdQhQ�da¤`XZ(Q�YRS-Qhe2g%]<bRUR©d«¤acS�vwl2QV¬a¤Y�gIWp]K`XZXWpURSVZXURWXQ����*ÆtYdeKZpOdQ6W�]K`p`pUR[^bdZ(a¤e_Y%�d[^]KnRQ�[¦e_WXQ�WX]_W(Q6«�¬_�_ac`uZXOR]KZu]K«�«%bR]_W(ZXa�Q�`OR]�®KQ�]KS6S-Q6`p`uZ(e�`Xe_[¦Q�S-eE[¦[¦eEYj�BZXWpUR`(ZXQ6nC�uWp]KY�nde_[ `XZXWXacYdm��

�%�d f��y����¦zd{��I��}4~��Iy4{��-��}2{�{7 V� ��º �tQ6WXQtiuQ�WXQ-gqQ�W£ZXe\ac`p`XUdQ�`u«�acl2Q�ZXOdQ������ '�}_�-��]_YRn�X V� �I} %V��� ~B�ÇeKgknR]2Zp]�`XQ6YEZ�e4®KQ6WÃZXOdQ^S�OR]KY�YdQV«c`t]_`hiuQV«¤«G]K`tZ(e°ZXOdQ^]�®4]2a¤«¤]_©da�«¤a¤Zw¬°]_YRnZXOdQ<SVe_[^[fURYRa¤S6]2Z(a¤e_Y�gqQ6]KZXURWXQ6`�eKg*ZpOdQ<S�OR]KY�YdQV«c`V�NPOdQo`(Zp]KYRn�]KWpn ]_`X`pUR[^bdZ(a¤e_Y acY?ZXOdQo]_W(Q�]�ac`ªZpOR]2ZªZpOdQo]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬¸S6]KY ZX]_b ]K«�«S-e_[^[\URYdacSV]2ZXa�eEY¸S�OR]_YRYdQV«c`°�B©CQVZwiuQVQ�Y OdeEYdQ6`XZ^bR]KWXZ(a¤Q6`�����ZXO�]2Z¦a¤`6�£ZpOdQ S�OR]KYRYRQV«c`b�Q�W<`(QTndeoYdeKZ\bRW(e4®�acndQ�bRWXa�®4]_S-¬/�BaB� QK�¤�"bRWXa�®4]KSV¬jeKg�ZpOdQ�nR]KZX] `XQ6YEZ<e4®_Q6W�ZXORQ6[����� Y�S-eEYEZXWp]K`XZV�Ee_YdQ�[^]�¬^�dy4��~�zR�¾}2~À �ZpOR]2ZuZXORQ�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬^SV]KY�YdeKZue_©dZp]2acY�[¦Q6`p`p]2mKQ�``(Q�Y_Z�©CQVZwiuQVQ�Y�ORe_YdQ�`(Z<bR]_W(ZXa�Q�`V� ¬Ea¤QV«cndacYdm ZXORQ�`(eKvÀS6]2«¤«�Q�n� ! . ���2,�� �(+����4)*)���3��&0���� 3 �NPOda¤`hb�eE`(ZpUd«¤]KZ(Qf[^]�¬°©�Q�*(U�`(ZXa¾¢�Q�n acY `(eE[\Q<`XQVZXZ(acYdm_`6�u�CURWXZXOdQ�WX[¦eEW(Q_�Ra�Z�[^]�¬T©CQ®Ea¤QViuQ6n�]K`�] U�`(QVgIUd«£]K©�`(ZpWX]_S-Z(a¤e_Y�ZXO�]2Z<bRWXe4®�a¤ndQª]ÇS-«¤Q6]_Y+[\edndQ6«"gqe_W�`XZXU�nd¬�]_YRnndQV®_QV«¤e_bR[¦Q6YEZ�e2g�`XQ6SVU�W(QubRW(e_Z(edS-e_«¤`6� � YfZXOdac`GW(Q�`XbCQ6SVZV�4a¤Z�ac` ac[^b�eEW(Zp]KYEZ*Z(et[¦Q�Y_ZXa�eEYZXOR]KZV��a¤Yo]�®4]KWXa�Q6Zw¬�e2g£`XQVZXZ(acYdm_`te2g"ZpOdQfe_ZXOdQ�WtbR]_WX]_[¦QVZ(Q�WX`6�RZpOdQ\bRWXa¤®�]KZ(QVvÀS�OR]_YRYdQ6«[\edndQ6«"SV]KY�©�Q¦Q6]_`(a¤«¤¬ Q6[fUR«¤]KZ(Q6n�©E¬ e_Wpnda¤Y�]KWX¬��BaB� QK�¤� 5(Zp]KbRbCQ6n 7�bCeKacY_Z(v�ZXe2vwb�e_a¤YEZ��S�OR]KYRYRQV«c`V�NPOdQª`(Zp]KYRnR]_WXn�]K`p`XU�[¦bRZ(a¤e_Y�a¤Y�ZXORQ^]_W(Q�]�ac`�ZXO�]2Z�ZXORQ�]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬ÇSV]_YRYdeKZ�eE[\a¤ZV�[\ednda�gq¬K�2n�URbd«¤a¤S6]2Z(Q_�4e_W�mKQ�YdQ6Wp]2ZXQ£[¦Q6`p`X]KmKQ6`�`(Q�YEZ e4®KQ�W¶ZpOdQuSVe_[^[fU�Yda¤S6]2ZXa�eEY<S�OR]KYdvYdQV«c`^�B©CQVZwiuQVQ�Y Ode_YdQ�`(Z�bR]_W(ZXa�Q�`����GZXOR]KZ�a¤`6� ZpOdQ�S�OR]_YRYdQV«c`�]KWXQªb�eE`(ZpUd«c]2Z(Q�n�Z(eo©CQW(Q6«�ac]K©d«¤Q<�Ba¤Y�ZXOdQ�`(Q�YR`(QtZXOR]KZ£ZpOdQV¬^m_U�]KWp]KYEZ(Q6QÃZXOdQ�]KUdZpOdQ6YEZXa¤SVa�Zw¬^e2g¶ZpOdQ�nR]2Zp]<`(Q�YEZe4®KQ6WÃZXOdQ�[ª���h��URW(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK�Ce_YdQ¦[¦]�¬ÇbCe_`XZXUd«c]2ZXQ<ZXOdQ¦Q�dac`(ZXQ6YRSVQ<e2g£]�� ! 04���*+ ��� ,

BCEH>uoa>LSCIJU_>�o <?`HGHDAB_IJOQGHKNMJI By[ IJS�DLOQP4Va`aBFKNqaMJ>uIJG VaU_OQqbKNqHIJMJIJSwB_IJD{VfOQM [nGHOQP4IXKNM �~BCIJP4>]\5qf>�DLKN`HS_>j@^>�@cIJSCEBCEH>4S_>�D�`HU_>4VaU_ONBCOnD�OQMkBCOWU_`aG"IJGjVHU_OQqbKNqaIJMJIJSCBCIJDsVfOQM [aGHOQP4IXKNM ��B_IJP4>sz KNGaotK�VHUCONB_ORD�OQMmDLKNGHGHONBqf>4P4OQU_>> �4D�IJ>�GRBdB_EbKNGB_EH>5D�OQU_UC>LSCVfOQGHoHIJGHg)D�>�GRBCUFKNMJI"!�>�o�KNMJgQOQU_I BCEHP�|FY$#mMJ>LKNU_M []\QB_Ea>cUC>LSC`HM BCSdDLKNGsqf>�> %nBC>�GHoH>�o4B_O<?`HGHDAB_IJOQGHKNMJI B_IJ>�S)B_EHK9B/KNUC>/D�OQP4VH`aB_KNqHMJ>s@5I BCEHIJGjKNGR[{gQI r]>�G z�BCIJP4>��~DLOQGaSCBCU_`HDABCIJqHMJ>7|cB_IJP4>qlOQ`aGHop\e`HSCIJGHgKNoH>�&R`bK9B_> VbKNoHoaIJGHgHY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ±'&�&

+����4)*)���3 �°ÆÃm_]Ka¤Y¶��ZpOdQ6`XQ�]K`p`pUR[^bdZ(a¤e_YR`fSV]KY+©CQ#*(UR`XZ(a�¢�Q6n¸a¤Y `Xe_[¦Q�`XQVZ(ZXa¤YRm_`<]_YRnQ6[fUR«¤]KZ(Q6nTacYTe_ZXOdQ�WX`6�" e_`XZ^ikeEWXl acY ZXOdQ�]KWXQ6]�]K`p`XUR[¦Q ZpOR]2Z�SVe_[^[fURYRa¤S6]2Z(a¤e_Y ac`�`(¬dYRS�O�W(eEYde_UR`^]_YRnZXOR]KZÃb�e_a¤YEZ�vÀZ(eKvÀbCeKacYEZPS�OR]KYRYRQV«c`�Q�da¤`XZéCQVZwiuQVQ6Y°Q6®KQ6WX¬�bR]Ka¤WPeKgGb�W(edS-Q�`X`Xe_Wp`6� �te4i�vQV®KQ�WV� e_YdQ�[^]�¬�]K«¤`Xe S-eEYR`(acndQ�W<]K`X¬dYRS�ORWXe_YdeEUR`�S-e_[^[\URYdacSV]2ZXa�eEY%��]_YRn+]KWp©da¤ZXWp]KWX¬YdQVZwiue_Wpl�`£eKgGbCeKacYEZ�vÀZ(e2vwbCeKacY_ZPS�OR]_YRYdQ6«¤`6�

�"y �h��zd~À}2~B�Iy2{�}K�_��� �¦� ~w}4~��Iy4{R��º*N£¬dbdacSV]K«�«¤¬K�6ikQ9SVe_YR`Xa¤nRQ6W¶SVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y�]2«¤«�¬Evw©�eEURYRndQ�n]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`u�IQ_� mC���EbRWXe_©R]_©da�«¤ac`(ZXa¤SPbCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�v�ZXa¤[¦Qh]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`���� �he4iuQV®_Q6W6�2ZXORQbRW(a¤®4]2ZXQ-vwS�OR]KYRYRQV«2[¦edndQV«K]K«�«¤e4iÃ`%]2«c`XePZ(e��B[¦Q�]KYdacYdm2gIUR«�«¤¬��7S-eEYR`(acndQ�W%S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR]2«¤«¤¬_vURY�©�eEURYRndQ�n°]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤Q6`6�·�Q�`XZXWXQ6`p`�ZXO�]2ZV�"]K«¤`Xe a¤Y+ZpOdQ�«c]2ZXZ(Q6WfSV]K`XQK�G`XQ6SVU�W(a¤Zw¬�`pOde_UR«¤n+©CQ�ndQ-¢�YdQ6n ©E¬+W(QVv�EURa¤WXa¤YRmtZpOR]2Z6�2gqe_W*Q6®KQ6WX¬<WXQ6]2«R]_nd®KQ�WX`p]KWX¬K��iÃOR]KZ(QV®_Q6W*ZXORQÃ]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�SV]_Y\SVe_[^bRUdZXQ]4gqZ(Q�W�bR]KWXZ(acS-acbR]KZ(acYdm a¤Y�ZpOdQ�Q�dQ�SVUdZXa�eEY�eKguZpOdQ�]KSVZXUR]K«£bRWXeKZXe�SVeK«"ac`<S-eE[^bRUdZX]_©d«¤Q�"� ~I�E� { ��y��t�d}2�X} %V�¾ T~�� �^ o�IQK� m��¤� acY+b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«�«¤¬EvÀWXQV«c]2ZXQ6noZXa¤[¦Q4��©_¬�]KY�a¤[^]KmKa�vYR]KWX¬¦]_nd®KQ�WX`p]KWX¬\b�]KWXZ(acS-acbR]2ZXa¤Ydm\a¤YT]KY�a¤[^]2m_a¤Y�]KWX¬\Q��Q�SVUdZXa�eEYªe2g�ZXOdQ�ZXWXa�®�ac]2«�a¤nRQ6]2«bRW(e_Z(edS-e_«C�Igqe_WGS-eE[^bRUdZ(acYdm�ZXOdQPndQ�`(acWXQ6n�gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬<iPa¤ZXO\ZXORQuOdQ6«¤b\e2g�]hZpWXUR`XZ(Q�nbR]KWXZw¬����£NPO�UR`6�CWXQ6`pUd«¤ZX`PacYÇZXOdQ\S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR]2«¤«¤¬_vwURY�©Ce_URYRnRQ6n°]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�[¦edndQV«ZXWXa�®�ac]2«¤«�¬ªac[^bd«�¬°W(Q�`XUR«�Zp`ugqe_WPS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR]K«�«¤¬EvÀ©Ce_U�YRndQ6n°]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`V�

��  -��~����I�V~À �| }K|�'� V���V}4���I}K� %p ��d}�'��Iy4��ºjNPORQÇ[¦eE`(Z^mKQ�YdQ6Wp]2«�Zw¬dbCQ°eKg�]_Y ]_nd®KQ�WX`p]KWX¬S-e_Y�`(acndQ6WXQ6n\acYªZXOdQh«�a¤Z(Q�WX]KZXURWXQPa¤`£e_YdQPZpOR]2Zk[¦]�¬¦S-eEWXWpURbdZ9bR]_W(ZXa�Q�`"Z(efZXOdQhb�W(e_Z(edS-e_«iÃOda�«¤Q�ZXOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y�mKe�Q6`ke_Y%�d]_YRn�ndQ�S-acndQ�iÃOda¤S�O�bR]KWXZ(a¤Q6`kZ(e^S-eEWXWpURbdZu©R]K`XQ6nªeEYbR]KWXZ(ac]2«ka¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Y a¤Z¦O�]K`<mE]2ZpOdQ6WXQ6n¸`Xe gI]_WV�+Æ `Xe_[¦Q6iÃOR]2Zf[¦eEW(Q°W(Q�`(ZpW(acS-ZXQ6n[\edndQ6«B��iÃOda¤S�O `XQVQ�[^`Ã]KndQ ��UR]2ZXQ�a¤YÇ[^]KYE¬T`XQVZXZ(acYdm_`6�CbCe_`XZXUR«¤]KZ(Q6`ÃZXOR]KZÃZXOdQ\`(Q6ZPe2gnda¤`pOdeEYdQ6`XZ£bR]_W(ZXa�Q�`9ac`9¢ dQ�n �B]_WX©da¤ZXWp]KWXa¤«�¬��*©CQ-gqe_WXQÃZpOdQtQ�dQ6SVURZ(a¤e_Yª`XZX]KWXZX`h�B©RURZkZpOda¤``(Q6Z<a¤`6�"e2gÃSVe_URWp`(Q_�*YReKZ\l�Yde4iÃY+ZXeoZXORQTOdeEYdQ6`XZ\bR]_W(ZXa�Q�`����oNPOdQ�«c]2ZXZ(Q�Wf[¦edndQV«ua¤`SV]2«¤«¤Q6n )20 ) �(���*�� 2,/. ����]K`ueEbRb�eE`(Q�n�ZXe\ZpOdQ ���4�� ,/. ���t]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ª[¦Q6YEZ(a¤e_YdQ�n�¢�WX`XZV�ÆhY¦e_WXZXOde_mKeEYR]2«RbR]_WX]_[¦QVZ(Q�WGe2g%W(Q�`(ZpW(acS-ZXa�eEY^W(QVgqQ6Wp`GZ(e�iÃOdQ6ZXOdQ�W£]�ndac`XORe_YdQ�`(Z9bR]_W(Zw¬ZX]KlKQ6`9]_S-ZXa�®_Qt`XZ(Q6b�`9Z(e¦ndac`XWpURbdZkZXOdQtQ�dQ6S6UdZ(a¤e_YªeKg¶ZXOdQ�bRWXeKZ(edSVeK« �BaB� QK�¤�d`(Q�YRnR`k[\Q�`�v`X]KmKQ6`hZXOR]KZ�nda �7Q6WtgIWXe_[ ZpOde_`XQ¦`pbCQ6S-a�¢�Q�n�©E¬ ZXORQ^b�W(e_Z(edS-e_« ����eEW�[\Q�W(Q6«�¬ÇmE]2ZXORQ6Wp`a¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Y �BiÃOda¤S�Oja�Z�[^]�¬Ç«¤]KZ(Z(Q�Wt`pOR]_W(Q\iPa�ZpOoZXORQ\e_ZXOdQ�Wtndac`pOde_YdQ�`(Z�bR]_W(ZXa�Q�`����NPOdQk«c]2ZXZ(Q�W*]_nd®KQ�WX`p]KWX¬tO�]K`G©�Q6Q6Y\mKa¤®KQ�Yf]î4]_W(a¤QVZw¬�eKgCYR]K[¦Q�`*`pURS�O\]K` � � � . � �20 )�� � ,�� 2��� �-. ���2�d]KYRn �20 )�� � , � �4' , �(+�'4!6. 01' �6��NPOda¤`PWXQ6`XZXWXacS-Z(Q�nT[¦edndQ6«¶[¦]�¬�©CQ *(UR`XZ(a�¢�Q6n°acYS-Q6WXZX]Ka¤Y `XQVZXZ(acYdm_`6�%]KYRnjS-Q6WXZX]Ka¤YR«�¬ÇbRWXe4®EacndQ�`h]�U�`(QVgIUd«"[\Q6ZXOdednde_«�e_mKacSV]K«¶«�edS6UR`f��S�g��´EQ6SVZ(a¤e_Yj²��¤�K� ÁE���k»�Q6«�e4i ikQ\W(QVgqQ6WPZXe�ZXOdQ\]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�eKg"ZXOdQfU�YRW(Q�`(ZpW(acS-ZXQ6n [¦edndQV«]K`uZ(e ��+ ,/. ��� �R]KYde_ZXOdQ�WPS-e_[^[¦e_YR«�¬�U�`(Q�n°Y�]K[¦Q�a¤` � �435. +�. 0 '��V�

��  -��~����I�V~À �|T{�y2~B�Iy2{R�¦y(�<�V ��-zd��� ~��4º�¿�YdQ\Q�R]K[^bd«¤Qfac`�ZXOdQ¦iPa¤«�«¤a¤YRm_YdQ�`X`tZ(eTZ(eK«¤Q6Wp]2ZXQ5XURY�gI]Ka¤W87fb�W(e_Z(edS-e_«¤`ka¤YTiÃOdacS�O�ZpOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y°SV]_Y�©CQ�`XUR`pbCQ6YRndQ�nj��]2ZP]KYE¬ªZXa¤[¦Q��©_¬ª]¦ndac`XOdeEYdQ6`XZ�bR]KWXZw¬K��bRWXe4®EacndQ�nªZXOR]KZ�a�Zua¤`�ndQ6Z(Q�S-Z(Q�nTnReKacYdm\`Xe��G·�Q�`XZXWXQ6`p`kZXOR]KZa¤Y¸S6]K`XQ�ZXORQ�Q�dQ�SVUdZXa�eEY a¤`¦`pUR`XbCQ6Y�ndQ6n%�"ZpOdQÇnda¤`pOdeEYdQ6`XZ\bR]_W(Zw¬+nde�Q6`\YdeKZ\e_©dZp]2acY[\eEW(Q�a¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Y ZpOR]KY a¤Z^S-e_UR«¤n¸O�]�®KQ�eE©dZX]Ka¤YdQ�n iÃOdQ�Y¸YdeKZ¦`XU�`XbCQ6YRnRa¤Ydm�ZXORQQ�dQ6S6UdZ(a¤e_Y%��· OR]KZh[^]�¬°O�]KbRbCQ6YÇac`ÃZpOR]2Z�`(eE[\Q<ORe_YdQ�`(Zhb�]KWXZ(a¤Q6`ÃiPa¤«¤«�Yde_ZÃe_©dZp]2acYZXOdQ6a¤WPndQ�`(acWXQ6n�eEUdZXb�UdZX`���]2«¤ZXOdeEUdm_OTeKZpOdQ6W�bR]_W(ZXa�Q�`Pndacn�eE©dZX]Ka¤YTZXOdQ6a¤WPSVe_WpW(Q�`XbCe_Y�n�va¤Ydm eEUdZXb�UdZX`����h©�UdZ�iPa¤«�«�WX]KZXOdQ�W�ndQ6Z(Q6SVZ�ZXO�]2Z�ZpOdQoQ��Q�SVUdZXa�eEY?iu]_`�`pUR`XbCQ6Y�ndQ6n%�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈK�_� ����������� �����������������������������������������������������!

·�QªiPa¤«�«u`X]�¬jZXOR]KZ�ZXOdac`fWXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q�n�YReKZ(a¤e_Y�eKg�`XQ6S6URW(a¤Zw¬ �4353 0�� � ��� 0 ! ,¦�Ie_W �4353 0�� � ! � � �2,/'4! � �-'�� � ) � . 0 ) 0 % ,���� ����� +�'2,/. 0 )K���

�� �K�R V� %Xy2zd{�|4�<y2{j~B�� f{�z ��%p -�<y��\|4�c����y2{� -��~*�R}4��~��I ���º � Y°`Xe_[¦Q�[¦edndQV«c`V�C`(Q�SVURWXQ[fUd«¤Z(a�vÀb�]KWXZw¬^SVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEY�ac`ubCe_`p`Xa¤©d«¤Q�e_Yd«¤¬ªa¾g*]\`XZXWXa¤SVZu[^]'*�e_WXa�Zw¬^e2g�ZXOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`]KWXQ°OdeEYdQ6`XZV� �´Ee_[¦Q6Z(ac[\Q�`^QV®_Q6Y ]�`pbCQ6S-ac]2«Ã[^]'*�e_WXa�Zw¬ �BQK� m��¤��s�4ÁE�fac`ªW(Q ��Uda¤WXQ6n¶�µtQ6YdQ�WX]K« 5XWXQ6`Xa�«¤a¤Q6YEZ£]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬_vw`XZXWpURS-ZpURW(Q�` 7tOR]�®KQéCQVQ�Y�S-eEYR`Xa¤ndQ�W(Q�n^Z(e�e��BaB� QK�¤�d`(QVvSVURWXa�Zw¬fa¤`£m_UR]_WX]_Y_ZXQVQ�n<acY^ZXOdQhS6]K`XQ�ZXOR]KZ9ZXOdQt`(Q6Z"e2g%nda¤`pOdeEYdQ6`XZ9bR]KWXZ(a¤Q6`9Q ��UR]2«c`Ge_YRQe2g�ZpOdQ<`XQVZX`P`pbCQ6S-a�¢�Q�nTacYÇ]^bRW(Q�ndQVZXQ6Wp[¦a¤YdQ�nTgI]K[¦a�«¤¬�eKgG`XQVZp`����

�� y%��q�� T}_|�'4 -���V}4���4º � Y�[¦e_`XZ�ikeEWXl�`6��eEYRS-Q^]ÇbR]KWXZw¬Ça¤`�`p]2acnoZXe ©�Qªndac`XORe_YdQ�`(Z�a¤ZW(Q�[¦]Ka¤Y�`�`(e ZpORW(eEUdm_ORe_UdZ�ZpOdQ�Q�dQ�SVUdZXa�eEY%� " e_WXQªmKQ6YRQ6Wp]2«¤«�¬_� e_YRQ�[¦]�¬�S-eEYR`(acndQ�WZXWp]KYR`Xa�Q�YEZ\]KnR®KQ6Wp`p]KWXa¤]K«k©CQ6OR]�®�a¤e_WT�IQK� m��¤�k]_Y/]_nd®KQ�WX`p]KWX¬�`XQVa¤ÊVQ�`^S-e_YEZpW(e_«keKg�`Xe_[¦Q`(a¤Z(Q^]KYRnj«¤]KZ(Q�WtiPa¤ZXO�nRWX]�iÃ`tgIWXe_[ a¤Z����\NPOdac`�[\edndQ6«B� iÃOda¤S�OjiPa�«¤«9Yde_Z�©CQ¦gIURW(ZpOdQ6Wnda¤`pSVU�`X`XQ6n+acY ZXORa¤`¦iue_WplC�G]2«¤«¤e4iÃ`<Z(e�S-e_Y�`(ZpWXURSVZ\bRWXeKZXedS-eK«c`�ZpOR]2Z^W(Q�[^]2acY `(Q�SVURWXQQV®KQ�Y�a¤Y<S6]K`XQ"ZXOdQu]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬t[¦]�¬�`(Q6a�Ê6Q£S-eEYEZXWXeK«2eKg�]2«¤«_`Xa�ZXQ6` n�URW(acYdmÃZpOdQ9Q��Q�SVUdZXa�eEY�B©RUdZTYdQV®_Q6WªS-eEYEZXWXeK«hSVe_YRS6URWXWXQ6YEZX«�¬_�k`p]�¬K�P[¦e_WXQ°ZpOR]KY ��� e2g�ZXOdQj`Xa¤Z(Q6`���� ·�QS-e_[^[¦Q6YEZ"ZpOR]2Z9`pS�OdQ6[¦Q�`9`(Q�SVURWXQ�a¤Y^ZpOdac`£[¦edndQV«RiuQ6WXQP«c]2Z(Q�WGZ(Q�WX[¦Q6n15pbRWXe_]KSVZ(a¤®KQ�7R�

� Y\ZXOdQÃWXQ6`XZGe2gCZpOdac`"S�OR]KbdZXQ6W*iuQuiPa¤«¤«�S-eEYR`(acndQ�W*]tgqQ6i `pb�Q�S-a�¢CS�`(Q6Z(Z(acYdmE`Ge2gCZpOdQÃ]K©Ce4®KQ�bR]2vWp]K[¦QVZXQ6Wp`V��´�bCQ6SVa¾¢�SV]2«¤«¤¬K��ikQ"iPa¤«¤«4gqedSVUR` e_Y�Yde_YdvÀ]_nR]KbdZXa�®_QK��]KS-ZXa�®_QK��]KYRn�S-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR]K«�«¤¬Ev©Ce_URYRnRQ6n ]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬K� ]_YRn+iPa�«¤«kYReKZ<]K`p`pUR[¦QªZXOdQTQ�da¤`XZ(Q�YRS-QªeKgÃbRW(a¤®4]2ZXQ�S�OR]KYRYRQV«c`V� � Y´EQ�S-Z(a¤e_Y°²��¤�K�¤�K��s�ikQ�S-eEYR`(acndQ�W£ZpOda¤`�`XQVZXZ(acYdmfiÃOda¤«¤Q�WXQ6`XZXWXa¤SVZ(acYdm<ZpOdQ�nRa¤`pOde_YRQ6`XZkbR]_W(ZXa�Q�`£ZXe] `XZXWXa¤SVZ�[¦acYde_WXa¤Zw¬K� iÃORQ6WXQ6]K`�acY¸´EQ6SVZ(a¤e_Y¸²��¤�K�¤�K� ÁTikQ�SVe_YR`Xa¤nRQ6W�]ÇW(Q�`(ZpW(acS-ZXQ6n�YdeKZXa�eEY�e2g`XQ6SVU�W(a¤Zw¬<gqeEW9Zwiue2vwbR]KWXZw¬\bRWXeKZXedS-eK«c`GZXO�]2Zk]K«�«¤e4iÃ`#5pURY�gI]2acW£`pUR`pb�Q�YR`Xa�eEY�7�e2g¶Q��Q�SVUdZXa�eEYÇ�IeEW5X]K«�«¤e4iÃ`�]K©Ce_WXZ 7����� M���M���M�� � # � F �I= ��� L �IJ6@��pF #RD�J � F�D��CJ��¶H��������ª@IJ6; ; � �*=��VJ � #� �CD�@IJ �·�QÃS-e_Y�`(acndQ6W"]�YdeEY�vw]KnR]_bdZ(a¤®KQ_�2]KS-ZXa�®_QK�KSVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEYR]2«¤«�¬Evw©�eEURYRndQ�n\]_nd®KQ�WX`p]KWX¬K�4]_YRn\nReYde_Zt]K`p`pUR[¦QfZXORQ\Q��ac`XZ(Q6Y�S-QfeKg£bRWXa�®4]2ZXQ\S�OR]_YRYdQ6«¤`6��¿�URW�]2ac[�a¤`tZ(e°ndQ-¢�YdQ¦[\Ud«¤Z(a�vÀbR]_W(Zw¬bRWXeKZXe�SVeK«c`�ZXOR]KZ�WXQ6[^]Ka¤Y�`(Q�SVURWXQ^bRW(e4®�acndQ6n�ZXO�]2Z�ZXOdQ�ORe_YdQ�`(Z�bR]_W(ZXa�Q�`�]_W(Q^acY�[^]'*�e_WXa�Zw¬_��BNPORQ<W(Q�]K`Xe_Y�gqe_WPWXQ ��UdacW(acYdmª]^Ode_YdQ�`(ZÃ[^]'*�e_WXa�Zw¬�iPa¤«¤« ©�Q<nRa¤`pSVUR`p`XQ6nÇ]2Z�ZXORQ<Q6YRn°eKg*ZpOda¤``pUR©R`XQ6S-ZXa�eEY%� �<�Ce_WP[¦e_WXQ�ndQVZp]2a¤«¤`P]_©�eEUdZ�ZXOdac`Ã[¦edndQV«���`XQVQf´EQ�S-Z(a¤e_Yo²d� ±R���_�

¥ke_Y�`(acndQ6W¦]KYE¬ [fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬ bRWXeKZ(edSVeK«�� ·�QT¢CWp`(Z¦e_©R`XQ6WX®KQTZXOR]KZ\Q�]KS�O bR]KWXZw¬ [¦]�¬S�OR]_YdmKQ\a�Zp`t«¤edSV]K«*acYRbRURZ�©CQ-gqeEW(Q¦QV®_Q6Y Q�YEZ(Q6WXacYdmTZpOdQ¦Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Yje2g£ZpOdQªbRW(e_Z(edS-e_«B����URW�vZXORQ6Wp[\eEW(Q_�_ZpOdac`£ac`kU�YR]�®Ke_a¤nR]_©d«¤QÃ]2«c`(e<iÃORQ6YªZpOdQtbR]_W(ZXa�Q�`kURZ(a¤«�a¤ÊVQ�]<ZXWpUR`XZ(Q�n�bR]KWXZw¬K�9¥ke_Ydv`XQ ��UdQ6YEZX«�¬_�K`XU�S�Of]KYfQ��7Q6SVZ*eKgCZpOdQP]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�e_YfZXOdQPWXQ6]2«�Q��Q�SVUdZXa�eEY��BaB� QK�¤�K[¦ednda¾¢�SV]2ZXa�eEYe2gCa�Zp`�e4iÃYfa¤Y�bRUdZ"bRWXa�eEW ZXetQ�Y_ZXQ6WXa¤YRmhZXORQ�]_S-ZpUR]2«EQ�dQ6S6UdZ(a¤e_Y��%ac`GYdeKZGS-eEYR`(acndQ�W(Q�nf]h©�W(Q�]KS�Oe2g*`(Q�SVURWXa�Zw¬_� � Y�mKQ�YdQ6Wp]2«��_iÃO�]2Z(Q6®KQ�W£SV]_YRYde_Zu©CQ�]�®_eKacndQ6nÇ�BQV®_Q6YC�9iÃOdQ6Y�ZXOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`kUdZXa¾v«¤a�Ê6Q�] ZpWXUR`XZ(Q�n bR]KWXZw¬K�Pac`�YReKZTSVe_YR`XacndQ6WXQ6n?]/©�W(Q�]KS�O e2gf`XQ6S6URW(a¤Zw¬K� ·�QjiPac`XO `(Q�SVURWXQbRWXeKZXe�SVeK«c`^�IacY+ZXOdQ�WXQ6]K«£[¦edndQV«q�tZ(eo`pU��7Q6W<eEYd«¤¬ gIW(eE[ iÃOR]KZ(Q6®KQ6W�ac`fU�YR]�®Ke_a¤nR]_©d«¤Q¦]K«¤`XeiÃOdQ�YjZpOdQªbR]KWXZ(a¤Q6`�UdZXa�«¤a�Ê6Q�]�ZpWXU�`(ZXQ6n�bR]KWXZw¬K�¦NPOEU�`V�¶ZpOdQª©R]K`XacS\bR]_WX]_nda¤m_[ URYRnRQ6WX«�¬�acYdmZXORQTndQV¢CYda¤Z(a¤e_YR`fe2g��V p�Vzd�X  �\zR� ~B� ¡c�R}4��~�����y��t�Czd~w}4~��Iy4{���]K[¦e_URYEZp`<Z(e�`X]�¬�acYdmÇZXOR]KZfZXORQe_YR«�¬+`(a¤ZXU�]2Z(a¤e_Y�`<ZXO�]2Zf[^]�¬�e�S6SVURWfa¤Y+ZpOdQTWXQ6]K«9Q�dQ�SVUdZXa�eEY+e2gh]o`XQ6S6URW(Q�b�W(e_Z(edS-e_«B�G]KWXQ��� GHoH>�>�op\bUC> &R`HIJUCIJGHgsKNG&EHOQGH>�SCBcP�K��wOQU_I By[�IJG�B_EH> By@mO��yVbKNUCBy[&DLKNS_> [nIJ>�MJoHSTKP4>7KNGaIJGHgQMJ>�S_S^P4ORoH>�M~Y

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈK���

ZXORe_`XQÃZXOR]KZ£SV]_Yª]2«c`(e�edS6SVURW"acY�]<SVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRm�acndQ�]2«C[¦edndQ6« �IiÃORQ6WXQÃZXOdQtbR]KWXZ(a¤Q6`k[¦]�¬Q6[^bd«¤e4¬T]^ZpWXU�`(ZXQ6nÇbR]KWXZw¬���� � YÇeKZXORQ6WPiue_WpnR`6�dZXOdQ45XQ��7Q6SVZ(a¤®KQ<[^]2«�gIURYRSVZ(a¤e_YdacYdm�7^eKgGb�]KW(vZ(a¤Q6`tacY `(Q�SVURWXQfbRWXeKZXe�SVeK«c`Pac`hWXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q6nÇZXe�iÃOR]KZhac`hbCe_`XZXUd«c]2ZXQ6nÇacY ZXOdQ¦S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmacndQ6]K«¶[\edndQ6«B�

· OdQ�Y�ndQV¢CYdacYdm¦`XQ6S6URWXQh[fUd«¤Z(a�vwbR]KWXZw¬ªbRW(e_Z(edS-e_«¤`t�IiPa¤ZXOTOde_YRQ6`XZu[^]�*�eEW(a¤Zw¬����EikQ�YdQVQ�nZ(eÇbdacY�vwb�e_a¤YEZ�iÃOR]2Z�SV]_YRYdeKZ�©CQ¦]�®_eKacndQ6nÇacYjZpOdQ¦a¤ndQ�]2«"[¦edndQV«��Ia�� QK�¤�%iÃOdQ6YjZXOdQªbR]_W(ZXa�Q�`UdZXa�«¤a�Ê6QT] ZpWXU�`(ZXQ6n bR]_W(Zw¬���� NPOdac`<ac`\Q6]K`X¬K�G©CQ6SV]_UR`XQ�ZXOdQ�a¤ndQ�]2«u[\edndQ6«kac`<®_Q6WX¬�`Xa¤[^bd«¤QK�´EacYRS-QPiuQÃ]KWXQ�a¤YEZXQ6WXQ6`XZ(Q6n\acY\Q�dQ6SVURZ(a¤e_YR`"acY¦iÃOdacS�O\ZpOdQÃ[^]�*�eEW(a¤Zw¬�e2g%bR]KWXZ(a¤Q6`"]_W(QPOdeEYdQ6`XZV�iuQTS-eEYR`Xa¤ndQ�W\]_Y . ��� �43 �&0�����3¶acY¸iÃOdacS�O/]_Y_¬+[¦a¤YRe_WXa�Zw¬+m_WXe_U�b �IeKghZXOdQÇbR]_W(ZXa�Q�`��<[¦]�¬S-e_«�«cURndQ�]_`ugqeK«¤«�e4iÃ`6º

�_�P�*acWp`(ZX«�¬�ZXORQkndac`XORe_YdQ�`(Z*[\acYdeEW(a¤Zw¬�bR]KWXZ(a¤Q6`*`XO�]KWXQ9ZXOdQ6a¤W�e_WXa¤mKacYR]2«_a¤YRb�UdZX`G]KY�n<ndQ6SVa¤nRQZ(eKm_QVZpOdQ6W�eEY+W(Q�bd«¤]_S-Q�n�acYRbRURZX`\Z(ej©CQ�`XQ6YEZ<Z(ejZXOdQ�ZpWXU�`(ZXQ6n bR]_W(Zw¬_����NPOdQ�e_ZXOdQ�WbR]KWXZ(a¤Q6`"`XQ6YRn\ZXORQVacW9W(Q�`XbCQ6SVZ(a¤®KQ�e_WXa¤mKacYR]2«�acYRbRUdZp`9Z(e�ZpOdQÃZXWpUR`XZ(Q�n\bR]_W(Zw¬_��·�QÃ`XZXWXQ6`p`ZXOR]KZkZpOdQ�S-e_[^[\URYdacSV]2ZXa�eEY�©CQVZwiuQVQ6Y�ZXOdQ�OdeEYdQ6`XZ�bR]KWXZ(a¤Q6`u]KYRn�ZXOdQ�ZpWXUR`XZ(Q�n�bR]_W(Zw¬a¤`PYde_ZÃ`(Q6Q6Y°©E¬�ZXOdQ<nRa¤`pOde_YRQ6`XZÃS-eK«¤«cURndacYdmª[\acYdeEW(a¤Zw¬�bR]_W(ZXa�Q�`V� �

sR� ­ bCe_Y�W(Q�S-QVa¤®�a¤YRm°acYRbRURZX`�gIWXe_[ ]K«�«9b�]KWXZ(a¤Q6`6�¶ZXOdQªZpWXU�`(ZXQ6n�bR]KWXZw¬ondQVZXQ6Wp[¦a¤YdQ�`�ZXORQS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdmfeEUdZXbRURZX`Ã]_YRnÇ`(Q�YRnR`�ZXORQ6[ ZXe^ZXOdQ<SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤Ydm^bR]_W(ZXa�Q�`V�

Á�� ­ bCe_Y°W(Q�S-QVa¤®�a¤YRm\ZpOdQ65(e_URZXbRUdZP[¦Q6`p`p]2mKQ�7<gIWXe_[ ZpOdQ�ZXWpUR`XZ(Q�nTbR]_W(Zw¬_��Q6]KS�OTOde_YRQ6`XZbR]KWXZw¬TeEUdZXb�UdZX`ta�Z�«¤e�S6]2«¤«�¬_�CiÃORQ6WXQ6]K`hZXOdQ^ndac`XORe_YdQ�`(Z�S-eK«¤«cURndacYdm�[¦a¤YRe_WXa�Zw¬ bR]_W(ZXa�Q�`[¦]�¬?ndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRQoZXOdQ6a¤WTe_URZXbRUdZp`T©�]K`XQ6n?e_Y ]2«¤«hZXORQV¬ l�Yde4i �Ia�� Q_���ÃZpOdQVacWTa¤Yda¤Z(ac]2«a¤YRb�UdZX`Ã]_YRnTZXOdQ6a¤WÃWXQ6SVQVa¤®KQ�n�e_URZXbRUdZp`����

�he_Z(Q\ZXOR]KZhZXORQ¦]_©�e4®_Q<©�Q�OR]�®�a�eEWÃe2g9ZpOdQ\[¦acYde_WXa¤Zw¬TmEW(eEURbÇa¤`�URYR]�®_eKacnR]K©R«�Q�acYj]_Y_¬°Q�dQVvSVURZ(a¤e_Y eKg£]KYE¬°b�W(e_Z(edS-e_«9�IQ6®KQ6Yoa¤Yob�W(Q�`(Q�YRS-Q<eKg"ZXWpUR`(ZXQ6nob�]KWXZ(a¤Q6`����hNPOdac`ta¤`tZXOdQ¦W(Q�]K`Xe_YZXO�]2ZPZXORQ<a¤nRQ6]2«¶[¦edndQ6« i�]K`PndQV¢CYdQ6nÇ]_`P]K©Ce4®KQK� �te4i���]T�V p�Vzd�X  �\zR� ~B� ¡c�R}4��~�����y��t�Czd~w}4¡~��Iy4{ �"� ~I�Ç�dy4{� -��~ �ª}��Vy4��� ~��°a¤`�W(Q ��Uda¤WXQ6nÇZXe�Q�[fUd«c]2ZXQfZXORa¤`ta¤nRQ6]2«*[¦e�nRQV«��tNPOR]KZhac`V�7ZXORQQ��7Q6SVZheKg£]KYE¬�gqQ�]K`Xa¤©R«�Q¦]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�ZpOR]2Z�S-eEY_ZpW(e_«¤`h]�[¦a¤YdeEW(a¤Zw¬Çe2g"ZXORQ¦bR]_W(ZXa�Q�`ÃacYo]�WXQ6]K«Q�dQ�SVUdZXa�eEY e2gÃZpOdQ°]_S-ZpUR]2«ubRW(e_Z(edS-e_«B�"S6]KY¸©CQTQ�`X`XQ6YEZXa¤]K«�«¤¬�`Xac[fUd«c]2ZXQ6n¸©E¬ ] �BnRa �7Q6WXQ6YEZ��gqQ6]_`(ac©d«¤Q�]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬^ZXO�]2ZÃS-eEYEZXWXeK«c`kZpOdQ<`p]K[¦Q�bR]KWXZ(a¤Q6`�acY°ZXOdQ�acndQ6]K«¶[¦e�nRQV«��9NPOR]2ZPac`Vº� =�� �*@qJ6@ � � � M���M�� �B`XQ6S6URW(Q�bRWXeKZXe�SVeK«c` §<]�`pl2Q6ZXS�OC��º��* V~$% %p t}2{ ��¡(}4���9��zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~��}4{7|�� %X ¦}4{���¡c�R}4��~����C�py4~wy6��y2��y��R -�X}2~B� {��T� {j~B�� f�X �}2� �ªy6|_ V���

x�y2�u}��X �}2� ¡(�^y�|K 6�d}K|�'4 V���-}2��������y4{C~B�XyK� ��� {E���-y �^  �¦� {�y2��� ~B��y��k~B�� *�R}4��~��I ��u�B]_YRnZX]Kb�bda¤YRm¦]K«�«%S-eE[^[fURYdacSV]KZ(a¤e_YTS�OR]KYRYRQV«c`����9}2{�|�}2{ ��¡À�- � Vz� -{7��  -�� �£ f|_ -{7y4~w  %-������������ � � -¶�^~B�� ��V � -z� V{��� �y(� � y2zd~¾��zd~I�^�X -��zR��~B� {��<���Xy � ~B�� ° 98E ��Vzd~B�Iy2{ y����y4{o� {K�Czd~ -/zd{�|_ -�<}2~B~w}K����y���~B�� ¦}K|�'4 V���-}2������

x�y2��}2{ �I|K �}2��¡(�ªy�|K 6� }K|�'� V���V}4���� : �£��y4{�~��XyK� ��� {E�ª�-y �^  �\� {7y4��� ~��ªy(��~I�d u�d}2��~B�I -���}4{�|�}2{ ��¡À�- � Vz� -{7��  -�� �£ t|K V{�y4~w  %-�! #" �����%$ � ��& � -7�u~B�� P�V ' Vz� V{��� Py�� � y2zd~¾��zd~I��X ���zR��~�� {E�f���Xy�� ~B�� ��I|K �}2�¶�C�Xy��� ����T|K -�V�-����%p �|�} %py�'4 (��y4{ � {2�Czd~ - zd{7|K V��}4~�~À}_�(�y���~B�� ¦}K|�'4 V���-}2���� : �

)  T�-}2�j~B��}2~*� � � +�'4! ��3 # ."� *3 � � ��)2, � % �&. ,�� � 01)�� � , � �,+ 0 !6. ,6# � �t�-y2�° �'� V���\�- �}�����%V�¾ �X �}2� ¡(�^y�|K 6�Ã}K|�'� V���V}4���-��ª��y4{�~��XyK� ��� {E� �-y �^  �\� {7y4��� ~��/y��°~I�d ¦�R}4��~��I ����\~B�� V�X o 98_�c��~I�}T�- p}4����%-�¾  �I|K �}2��¡(�ªy�|K 6��}_|�'4 -���V}2���. : ����y4{C~B�XyK� ��� {E� ~B�� j�V}��ª ��d}2��~B�I -���ª�Vy¸~B��}2~¦~B�� 

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈK�Es ����������� �����������������������������������������������������!

�C�py %p} %-�q��� ~��� -{��V -��%-�� ���� ������� ��� � � -¶��� � }4{�|�� #" � ��� $ � � & � -¶��� �¸}2�X ���y �h��zd~À}2~B�Iy2{�}2� � �� {�|2�c��~B� {��2zd�c����}%-�� ¦�p}���� {��Ã}4��~��°y(�\ ��9{C� ~B�Iy2{� %���%����� �NPO�UR`6�C`XQ6SVU�W(a¤Zw¬T[¦Q6]_YR`PZpOR]2ZÃZpOdQ<Q���Q�S-ZheKg*Q�]KS�OÇ[¦a¤YRe_WXa�Zw¬Tm_WXe_URb°acY ]�W(Q�]2«%Q��Q�SVUdZXa�eEYe2gu]�`XQ6SVU�W(Q¦bRW(e_Z(edS-e_«�ac` 5(Q�`X`XQ6YEZ(ac]2«¤«¤¬°WXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q�n�7�ZXeTWXQ6bd«c]KSVa¤YdmTa�Zp`�e4iÃY «�edS6]2«Ga¤Y�bRUdZX`�IacYRndQ�b�Q�YRndQ�Y_ZX«�¬�e2guZXOdQª«¤edSV]2«"acYRbRURZX`�e2g�ZXORQ^[^]'*�e_WXa�Zw¬obR]_W(ZXa�Q�`��t©CQ-gqeEW(Q^ZXORQ^b�W(e_Z(edS-e_«`XZX]KWXZX`6�¶]KY�n�WXQ6bd«c]KSVa¤YRm�a¤ZX`�e4iÃY�«�edSV]K«Ge_UdZpbRUdZX`^��ndQ6bCQ6Y�nda¤YRm°eEYd«¤¬oe_Yja�Zp`�«�edSV]K«"a¤Y�bRUdZX`]KY�n\eEUdZXb�UdZX`��*]4gqZXQ6WGZXORQhbRWXeKZ(edSVeK«�Z(Q�WX[¦acYR]2ZXQ6`6�k�B·�QÃ`XZXWXQ6`p`GZXOR]KZ"a¤Y¦ZpOdQhWXQ6]2«�Q��Q�SVUdZXa�eEYZXORQ\[¦a¤YRe_WXa�Zw¬ÇbR]KWXZ(a¤Q6`tnde�eE©dZX]Ka¤Y ]_nRnda¤Z(a¤e_YR]K«�bda¤Q6SVQ6`te2g9acY�gqe_Wp[^]2ZXa�eEY �C¬_QVZta¤Yo]�`(Q�SVURWXQbRWXeKZXe�SVeK«7ZXORQV¬�mE]2acYTYReKZXORa¤Ydm¦gIWXe_[ÂZXOdQ�`(Q�]Kn�nda�ZXa�eEYR]2«¶bRa�Q�S-Q6`Ãe2g�acY�gqeEWX[^]2ZXa�eEY%� �

NPOdQfgI]KS-Z�ZXO�]2Z�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y�²d���_���\W(QVgqQ6Wp`hZXeT]�[¦edndQ6«*iPa¤ZXORe_UdZ�bRWXa�®4]2ZXQ\S�OR]_YRYdQ6«¤`ta¤`WXQ�$�Q�S-Z(Q�nÇa¤YoZXOdQ^`(Q6ZÃe2g£bCe_`p`Xa¤©d«¤Q<Q�YR`(Q�[f©d«¤Q6`�� ��� ������� � � -%��� ��ZXOR]KZhac`hndQ6Z(Q�WX[¦acYdQ6no©E¬ZXORQª�B`pl2QVZpS�OE¬R�kndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y°e2gGZXORQ<W(Q�]2«�vÀ[¦edndQV«¶]_nd®KQ�WX`p]KWX¬Ç�IiÃOdacS�O°a¤`h]2«¤«�e4iuQ6n�Z(eªZX]_bT]K«�«ZXORQoS-e_[^[\URYdacSV]2ZXa�eEY S�O�]KYRYdQ6«¤`����?· OdQ�Y?ndQ-¢CYRa¤Ydm¸`XQ6S6URWXa�Zw¬¸acY ZXOdQobRWXa¤®�]KZ(QVvÀS�OR]_YRYdQ6«[¦edndQV«��CZpOdQfWXQ6]K«¾vw[¦e�nRQV« ]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ªa¤`tYdeKZt]2«¤«�e4iuQ6nTZ(e�Zp]Kb S�OR]_YRYdQ6«¤`éCQVZwiuQVQ�Y Ode_YRQ6`XZbR]_W(ZXa�Q�`V�uiÃOdacS�O acY ZXURWpY WXQ6`XZXWXa¤SVZX`^ZXORQo`(Q6Zªe2g�b�eE`X`Xa¤©R«�Q Q�YR`(Q�[f©d«¤Q6`�� ������� ��� � � -7��� � �NPO�UR`6�_ZpOdQtnda �7Q6WXQ6YRSVQh©�Q6ZwikQ6Q6Y^ZpOdQhZwiue<[¦e�nRQV«c`£ac`9eEYd«�¬^WXQ�$�Q�S-Z(Q�n^a¤Y�ZXOdQhnRQ-¢CYda¤Z(a¤e_Y�e2gZXORQ¦WXQ6]K«¾vw[¦e�nRQV«G]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬_��¿�Y ZpOdQ\e_ZXOdQ�W�OR]KYRn¶��iÃORQ6YoiuQfiPac`pOoZ(eÇndQV¢CYdQ^`(Q�SVURWXa�Zw¬iPa¤ZXO�WXQ6`pb�Q�S-Z9ZXe\bR]_`X`Xa¤®KQÃ]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`V�2©CeKZpOªZXOdQ�`XSVe_bCQÃe2g¶ZpOdQtWXQ6]K«¾vw[¦edndQV«�]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤Q6`]KY�n�ZXOdQu`XSVe_bCQ9e2gdZXORQ£acndQ6]K«¾vw[¦e�nRQV«_]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤Q6`7S�OR]KYRmKQK� � Y�ZXOdQuW(Q�]2«�vÀ[¦edndQV«KQ�dQ6S6UdZ(a¤e_Y%�]2«¤«PbR]KWXZ(a¤Q6`fgqeK«¤«¤e4i ZXOdQ bRWXeKZXedS-eK«�©RUdZ^ZpOdQ°]_nd®KQ�WX`p]KWX¬+[¦]�¬ ]K«�ZXQ6W¦ZXOdQÇeEUdZXbRURZ\eKgtZXORQndac`XORe_YdQ�`(Zhb�]KWXZ(a¤Q6`h]_WX©Ra�ZpWX]_W(a¤«�¬TndQ6bCQ6YRnRa¤YdmTe_Y ]K«�«�ZXOdQ6a¤Wta¤YEZXQ6Wp[\Q�ndac]2Z(Qfa¤YEZ(Q�WXY�]2«�`XZX]KZ(Q�`�Bn�URW(acYdmTZXOdQ¦Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y���� � YoZXORQ\S-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm�acndQ�]2«�vÀ[¦edndQV«���ZXOdQ^]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬Ta¤`�Yde_Z]2«¤«¤e4ikQ�nTZXe�[¦ednda¾gq¬ÇZpOdQ�� {K�Czd~B�<e2g9ndac`XOdeEYdQ6`XZhbR]_W(ZXa�Q�`<�Ba¤Y�´�Z(Q6b¸�����7©RUdZta¤`t]2«¤«�e4iuQ6n°ZXe[¦ednda¾gq¬TZXOdQ6a¤WÃe_UdZpbRUdZX`��Ba¤Yj´�Z(Q6bÇÁ����

·�QhS-eE[¦[¦Q�Y_Z"ZpOR]2Zk]<ndQ-¢�Yda�ZXa�eEYª]KYR]K«�e_mKeEUR`*Z(e<¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYT²��¤�K�¤�PSV]KY^©CQtbRWXQ6`XQ6YEZXQ6n]2«c`Xeªa¤YoS6]K`XQ�ZXOdQ¦ndac`XOdeEYdQ6`XZÃbR]_W(ZXa�Q�`h]KWXQ<Yde_ZÃa¤Yj[\acYdeEW(a¤Zw¬K� � Y°gI]KSVZV�7`XU�S�O ]�ndQ-¢�Yda�ZXa�eEY`XQVQ6[^`G[¦e_WXQkYR]KZXURWp]2«��4©RUdZGZXORQubRWXe_©R«�Q�[ a¤`*ZXO�]2ZG`XURS�O\]hndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y¦SV]_YRYdeKZ*©�Q�`p]2Z(ac`(¢�Q6n%�NPOR]KZ9a¤`6��[\eE`(ZuYR]2ZpURWp]2«dgIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`knde\YdeKZuOR]�®KQÃ]<b�W(e_Z(edS-e_«dgqe_WkS-e_[^bRURZ(acYdmfZpOdQ6[`XQ6SVU�W(Q6«�¬<acY¦SV]K`XQP]2ZG«¤Q6]K`XZ9OR]K«¾g�e2g7ZXOdQÃbR]_W(ZXa�Q�`G]KWXQ�nRa¤`pOde_YRQ6`XZG]_YRn¦Q6[^bd«¤e4¬f]KY¦]KnRQ ��UR]2ZXQ�B]_S-ZXa�®_Q��G]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤]K«R`(ZpWX]KZ(Q6mK¬K�*NPOdac`9gqe_«�«¤e4iÃ`GgIWXe_[ ]KYªac[^b�eE`X`Xa¤©Ra�«¤a�Zw¬^WXQ6`pUd«�ZkW(Q6m_]KWpndacYdmZwiue2vwbR]KWXZw¬fS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y%�_iÃOdacS�O^Q6`p`(Q�Y_ZXa¤]K«�«¤¬f]_`X`XQ6WXZX`"ZpOR]2Z£ZXOdQ�W(QÃac`9Ydefiu]�¬<ZXefbRWXQV®_Q6YEZ]^bR]KWXZw¬ªgIWXe_[ b�W(Q�[¦]KZXURWXQV«¤¬�`pUR`XbCQ6Y�nda¤YRmªZXOdQ�Q��Q�SVUdZXa�eEY%�£¿�Y°ZXOdQ�eKZpOdQ6WPO�]KYRn%�C`(Q�SVURWXQ[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬?S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEY iPa¤ZXO nRa¤`pOde_YRQ6`XZT[^]�*�eEW(a¤Zw¬ ac`°b�eE`X`Xa¤©R«�Q�a¾g���]KYRn e_Yd«¤¬?a¾g��bRWXQ6[^]2ZpURWXQ�`pUR`pb�Q�YR`Xa�eEY�eKg�ZXORQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y°ac`PYdeKZÃSVe_YR`Xa¤nRQ6WXQ6n�]ª©�W(Q�]KS�O�eKgG`XQ6S6URWXa�Zw¬_�� M���M���M�� � � �CJ6;*=ED�=� # � F �I= �t: � � �pF #dD�J �?F�D��CJ��¶H�������#�� � � �^@���A #d> ��D�J� Y?«¤a�mEO_ZªeKg�ZXOdQo«c]K`XZ�bR]_WX]Km_Wp]KbRO%�kikQoYRe4i�SVe_YR`Xa¤nRQ6W�[\Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬ S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR`ªacYiÃOdacS�O�bRWXQ6[^]2ZpURWXQh`XU�`XbCQ6YR`Xa¤e_YªeKg¶ZXOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y�a¤`uYdeKZuS-eEYR`(acndQ�W(Q�nª]f©RWXQ6]_S�O^e2g `XQ6SVUdvWXa�Zw¬_�¶��eEW¶S-eEYRSVWXQVZXQ6YdQ�`X`6�ViuQGgqedSVUR`¶ORQ6WXQ"e_Y�ZXOdQk`XbCQ6SVa¤]K«KSV]_`(Q"eKgEZwiue2vwbR]KWXZw¬ÃS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR`6� ���eEWP[¦e_WXQ�nRQVZX]Ka�«c`P]K©Ce_URZPZXOdac`Ã[¦edndQV«��R`(Q6Q\´EQ6SVZ(a¤e_Y ²���sd� ÁR�

� YEZXUda¤Z(a¤®KQ6«�¬_�"a¤Y/]KYE¬�Zwiue2vwbR]_W(Zw¬�bRW(e_Z(edS-e_«B�GQ�]KS�O bR]_W(Zw¬+[^]�¬+`pUR`pb�Q�YRn ZpOdQTQ�dQ6SVUdvZ(a¤e_Y ]2Z¦]KYE¬ b�e_a¤YEZ¦a¤Y/Z(ac[\Q_�k]_YRn+gIURWXZXOdQ�WX[¦eEW(QTa�Z^[^]�¬+nRe�`Xe�]_`\`Xe�e_Y¸]_`fa¤Z\«¤Q6]_WXY�`� ;TSjIJG��n>�D�BCIJOQG��nY��QY��QY �n\ @^>xD�OQGHS_IJoa>LUjK GaOQG � KNobKNVaBCI r]>Q\�KNDAB_I r]>Q\/DLOQP4Va`aBFK9BCIJOQGbKNMJM [ �yqfOQ`HGHoH>�o

KNoar]>�U_S_KNUC[]Y

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈK�_Á

ZXORQ�ndQ6`Xa¤WXQ6nje_UdZpbRUdZ6��NPOEU�`V�¶acY�SV]K`XQ^ZXOdQ^eEUdZXbRURZ�e2gkQ�]KS�O�bR]KWXZ(a¤Q6`�ndQ�b�Q�YRnR`�eEY�©CeKZpOacYRbRUdZp`V�%a¤Zhac`�]2«¤iu]�¬d`ÃbCe_`p`(ac©d«¤Q<gqeEWheEYdQfeKg9ZXOdQ^bR]KWXZ(a¤Q6`tZ(eTe_©dZp]2acY ZXORQ¦ndQ�`(acWXQ6n eEUdZXbRURZiÃOda¤«�Q°bRWXQV®KQ�YEZ(acYdmoZXORQTe_ZXOdQ�WfbR]_W(Zw¬�gIW(eE[ gIUd«�«¤¬EvÀnRQVZ(Q�WX[¦acYdacYdmja¤ZX`¦e4iÃY+e_URZXbRUdZ6��NPORQ`p]K[¦QªbROdQ6YRe_[¦Q6YdeEY�e�S6SVURWp`�QV®_Q6Y�a¤Y+S6]K`XQ¦ZpOdQªZwiueÇb�]KWXZ(a¤Q6` *(UR`XZ<iPac`XO�Z(e m_Q6YdQ�WX]KZ(Q^]S-eE[^[\eEYjWp]KYRnRe_[ ®4]2«cUdQK�¦NPO�UR`V�%iÃORQ6Y�S-e_Y�`(acndQ6WXacYdmT]_S-Z(a¤®KQ^]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`ÃacYjZpOdQ^ZwikeKvbR]_W(Zw¬�`XQVZXZ(acYdm��diuQ<ndeªYde_ZÃS-e_Y�`(acndQ6W�`pURS�OÇbRWXQ6[^]2ZpURW(Q�`pUR`XbCQ6Y�`(a¤e_Y°e2g*ZXOdQ�Q�dQ6SVURZ(a¤e_Y°]©RWXQ6]_S�O�eKg"`XQ6S6URWXa�Zw¬_�u¥ke_YR`XQ ��UdQ�YEZ(«¤¬K�RiuQ<S-eEYR`(acndQ�WP]KY°a¤nRQ6]2«�[\edndQ6« iÃOdQ�W(Q�Q�]KS�OTe2g"ZXORQZwiue¦bR]_W(ZXa�Q�`�[¦]�¬ 5X`pOEURZ�vwnde4iÃY�7<ZpOdQ�ZXWpUR`XZ(Q6n��IZpOdacWXnC�ub�]KWXZw¬�]2ZP]KYE¬�bCeKacY_Z�acY°Z(ac[\Q_� � YbR]_W(ZXa¤S6Ud«¤]_WV�EZXORa¤`u[^]�¬^O�]KbRbCQ6Y�]2gqZ(Q�W£ZpOdQtZpWXU�`(ZXQ6n�b�]KWXZw¬¦OR]_`k`pURbRbR«�a¤Q6n�ZXOdQte_UdZpS-e_[¦Qte2gZXORQfS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YTZ(eªe_YRQ<bR]KWXZw¬�©RUdZt©�QVgqe_WXQ�a�ZhO�]K`P`pURbRbd«¤a�Q�nÇa�ZhZ(eªZXORQ<`(Q�S-e_Y�n%�£NPOR]KZac`V��]_Y�Q�dQ6SVURZ(a¤e_YTa¤Y°ZXORQ�a¤ndQ�]2«¶[¦edndQV«�bRW(edSVQVQ6n�`P]K`ugqeK«¤«¤e4iÃ`Vº

�_�P³k]KS�Oªb�]KWXZw¬¦`XQ6YRn�`£a¤ZX`uacYRbRUdZuZ(e\ZXOdQ�ZXWpUR`XZ(Q6n�bR]KWXZw¬K�EiÃOdQ6WXQhZpOdQ�nda¤`pOdeEYdQ6`XZkbR]_W(Zw¬[¦]�¬ WXQ6bd«c]KSVQ�a¤ZX`¦acYRbRUdZ^e_W^`XQ6YRn Yde�a¤YRb�UdZª]2Z^]2«¤«��BiÃOdacS�O/[^]�¬ ©�QÇ®�a�Q6ikQ�n/]_`]K©Ce_WXZ(acYdm����

sR� ­ bCe_YªWXQ6S-Q6a�®�acYdm<acYRbRUdZp`9gIWXe_[ ©CeKZXOªb�]KWXZ(a¤Q6`6�_ZpOdQhZpWXUR`XZ(Q�nªbR]KWXZw¬\nRQVZ(Q�WX[¦acYdQ6`kZXORQS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdmfeEUdZXbRURZX`6��]KYRnÇ`XQ6YRn�`�ZXOdQ�¢CWp`XZueEUdZXb�UdZPZ(eªZpOdQ�¢CWp`(ZPbR]_W(Zw¬_�

Á�� � Y<SV]_`(Q9ZpOdQ9¢�WX`XZ�bR]_W(Zw¬�ac` ndac`XORe_YdQ�`(Z6��a¤ZG[¦]�¬�acYR`(ZpWXU�S-Z ZpOdQ£ZpWXU�`(ZXQ6n<bR]_W(Zw¬�Z(e�OR]2«¤ZV�eKZXORQ6WXiPa¤`XQPa�Zu]2«¤iu]�¬d`"acYR`XZXWpURS-Zp`£ZpOdQhZpWXU�`(ZXQ6n�bR]_W(Zw¬\Z(e¦bRW(edSVQVQ6n¶� � g¶acYR`XZXWpURS-ZXQ6nªZXebRW(edSVQVQ6n¶�dZXOdQ�ZpWXUR`XZ(Q�nTb�]KWXZw¬�`(Q�YRnR`�ZpOdQ<`(Q�S-eEYRn�eEUdZXb�UdZPZ(eªZpOdQ<`(Q�S-eEYRnTb�]KWXZw¬K�

¨C� ­ bCe_Y WXQ6SVQVa¤®�a¤Ydm/ZXOdQ�e_UdZpbRUdZ(vÀ[¦Q6`p`p]2mKQjgIW(eE[ ZXOdQ�ZXWpUR`XZ(Q6n¹bR]KWXZw¬K�hZXOdQ+Ode_YRQ6`XZbR]KWXZw¬�eEUdZXb�UdZX`¦a¤Z¦«¤edSV]K«�«¤¬K�"iÃOdQ�W(Q�]K`fZXOdQ ndac`XORe_YdQ�`(Z¦bR]KWXZw¬ [¦]�¬ ndQ6Z(Q�WX[¦acYdQTa¤ZX`e_UdZpbRUdZ9©R]_`(Q�n\eEY^]2«¤«Ra�ZklEYRe4iÃ`��Ia�� Q_���Ea�Zp`"acYda�ZXa¤]K«RacYRbRUdZu]KYRn¦a¤ZX`9WXQ6SVQVa¤®KQ6n\e_URZXbRUdZ����

Æ � � +�'4! � , � 0 � �� ! , # + 0 � 4'2, �2,/. 0 ) �4353 0��&.5)�� ��� 0 ! ,�a¤`<WXQ ��UdacWXQ6n�Z(e Q6[\Ud«c]2Z(QªZpOdac`�a¤nRQ6]2«[¦edndQV«��*NPO�]2Z*a¤`6�2]K`*acY<¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Yª²��¤�K�¤�K�2`XQ6S6URWXa�Zw¬�ac`*nRQ-¢CYdQ�n\©E¬<WXQ ��UdacW(acYdmÃZpOR]2Z*gqeEW�Q6®EvQ6WX¬�gqQ�]K`Xa¤©d«¤QPW(Q�]2«�vÀ[¦edndQ6«�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬�<�_ZXOdQ�W(Q�Q�dac`(Zp`"]tgqQ6]K`Xac©d«�Q�acndQ6]K«¾vw[¦edndQV«R]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ : �4S-eEYEZXWXeK«¤«�acYdmÃZpOdQu`p]K[¦Q£b�]KWXZw¬K�4`(etZXOR]KZ ZpOdQub�W(eE©R]K©da¤«¤a�Zw¬�Q6YR`XQ6[\©d«¤Q6`*W(Q�bRW(Q�`(Q�YEZ(acYdmÃZXORQS-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm¦�BWXQ6]K«�]KYRn¦acndQ6]K« ��Q�dQ6SVURZ(a¤e_YR`9]_W(QPSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y�]2«¤«�¬<acYRndac`XZ(acYdm_Udac`pOR]K©d«¤QK�NPOdac`t[¦Q�]KYR`hZXOR]KZhQ6]_S�OÇbR]KWXZw¬!> ` 5(Q��7Q6SVZ(a¤®KQf[^]K«¾gIURY�S-Z(a¤e_YRa¤Ydm 7ªacYo]�`XQ6SVU�W(Qfb�W(e_Z(edS-e_«¶a¤`WXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q6n°ZXe�`XU�bRbd«¤¬EacYdm�]_YÇa¤YRa�ZXa¤]K«�acYRbRUdZhe2g9a¤ZX`hS�OReKacS-Q<]KY�n ]K©Ce_WXZ(acYdmªZXOdQ¦S-eE[¦b�UdZX]2vZ(a¤e_Yª]KZ£]KYE¬¦b�e_a¤YEZ9acY^Z(ac[¦QK�P� �tQVQ�nd«�Q�`X`£Z(e<`p]�¬K�_ZXOdQ�S�OdeKacS-QPeKg7ZpOdQÃacYda¤Z(ac]2«�acYRbRURZ£e2g%Q�]KS�ObR]_W(Zw¬�[^]�¬������onRQ6bCQ6YRn°e_Y°ZpOdQ�a¤YRb�UdZÃe2g*ZXOdQ�e_ZXOdQ�WPbR]KWXZw¬K� �

·�Q\[¦Q6YEZ(a¤e_YoZXOR]KZt]KYj]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ<i�]�¬�eKg£ndQ6]K«�acYdm�iPa¤ZXOoZXOdQ^bRWXe_©d«¤Q6[ e2g£bRWXQ6[^]2vZXU�W(Q�`pUR`XbCQ6Y�`(a¤e_YTe2gGQ�dQ6S6UdZ(a¤e_Y��Ia�� QK�¤��]K©Ce_WXZ��£ac`�Z(eªW(Q�`(ZpW(acS-ZP]KZ(Z(Q�YEZ(a¤e_YTZ(e �-.5)�� 3 �-� 01' ,� 4' ,%('4)2+ ,/. 0 )��435. ,/. � � ��ZpOR]2Zªac`V�kgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`�a¤Y iÃOdacS�O e_Yd«¤¬¸e_YRQÇb�]KWXZw¬¸a¤`�`XURb�b�eE`(Q�n/ZXee_©RZX]2acYj]_YoeEUdZXbRURZV�<NPOdQªndQV¢CYda¤Z(a¤e_YoeKgk`XQ6SVU�W(Q¦S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYoeKgk`XU�S�O gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`SV]_Y�©CQªacndQ6YEZ(acSV]K«"Z(e ZpOdQ^¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y/²��¤�K�¤�K�%iPa¤ZXO�ZpOdQªQ�RS-Q�bdZ(a¤e_Y�ZXO�]2Z<Yde WXQ6`XZXWXa¤SVZ(a¤e_Yac`<[^]KndQ�eEY�ZXOdQ�`XQVZfe2gPnda¤`pOdeEYdQ6`XZ<bR]KWXZ(a¤Q6`��B]KY�n+a¤Y bR]_W(ZXa¤S6Ud«c]KW�e_YRQ�[¦]�¬�S-eEYR`(acndQ�W�]`Xa¤Ydm_«�Q�nRa¤`pOde_YRQ6`XZ�b�]KWXZw¬oa¤Y S6]K`XQ^e2g�ZwikeKvÀbR]_W(Zw¬ob�W(e_Z(edS-e_«¤`����ª�Ce_W�gIURWXZXOdQ�W<ndQ6ZX]2a¤«c`V�*`(Q6Q´EQ�S-Z(a¤e_Yo²d� sR� Á�� sR�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈK�K¨ ����������� �����������������������������������������������������!

��� �� -s� 01��� ����� ���$�56������6

·�Qu©RWXa¤Q�$�¬�[¦Q6YEZ(a¤e_Yf`(eE[\Qke2gRZpOdQu[¦edndQ6«¤` gqe_W�iÃOdacS�Of�_ V{� V�X}K�R`(Q�SVURWXQ£[\Ud«�ZXa¾vwbR]_W(Zw¬�S-eE[\vbRUdZp]2ZXa�eEY a¤`tl�Yde4iÃYÇZ(e�©CQ\]KZ(Zp]2acYR]K©d«¤Q ��ZXO�]2ZÃac`V�7[¦edndQV«c`ÃacY iÃOdacS�O e_YRQfSV]_Y S-e_Y�`(ZpWXURSVZ`XQ6SVU�W(Q�[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬�bRWXeKZXe�SVeK«c`ugqe_WPSVe_[^bRUdZXa¤Ydmo}2{���ndQ�`(acWXQ6n�gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬K�� M���M��¶M�� :<;*=7� #�@�� D�=���L �IJ �¦F*D�=���=��7J6=�� @�� J6;*@��ªH�; #dF*J6=ED·�QÃ`(Zp]KWXZ*iPa¤ZXO^WXQ6`pUd«¤ZX`GZXO�]2Z9WXQ-gqQ6WGZXe�`(Q�SVURWXQ�ZwikeKvÀbR]_W(Zw¬�bRWXeKZXedS-eK«c`G]K`GiuQV«¤«�]K`*ZXe<`(Q�SVURWXQ[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬Tb�W(e_Z(edS-e_«¤`�acYÇZXOdQ\`(Zp]KYRnR]_WXnÇ[¦edndQV«k�IiÃOdQ�W(QfZXOdQf]_nd®KQ�WX`p]KWX¬�[^]�¬�Zp]KbÇZXORQS-eE[^[fURYdacSV]KZ(a¤e_YT«�acYdQ�`����:<;*=���D4= � � M���M�� �IZXORQ°[^]2acY+gqQ�]K`Xa¤©da¤«¤a�Zw¬ WXQ6`pUd«�Zp`�§ ]o`XlKQVZpS�OC��ºT���p��z �¦� {E�j~I�d   78_�c��¡~w -{7�p fy��� -{���}2{��� �|^~B�p}��R|Ky�y4���R -� �¦zd~À}2~B�Iy2{R���B]K`uacY�¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYÇ¥t�¤�K�¤�����%�E -{7 -�p}2���V ��-zd�X �¦zR��~B� ¡c�R}4��~�����y��t�Czd~w}4~��Iy4{��c�u�Ry�������%V�¾ \� {j~B�� k�-y2� �¾y��"� {E�°~B�_�X �  �^y�|K 6� ��

� � �Ã}������ '� ^}_|�'4 -���V}4��� �7�-y4�f}2{���{Cz � %p V��y(�<|4�c����y2{� -��~��R}4��~��I -����%���h�V~B� '4 f}_|�'4 -���V}2����~B��}4~ �ª}4����y4{C~B�XyK� y4{�����}^��~����I�-~ �¦� {�y4��� ~���y��<~I�d P�R}4��~��I �� � ���h�V~B� '4 ¦}K|�'4 V���-}2��� ���-y2�\}4{C�ª{�z ��%X V�fy�� %X}_|��R}4��~��I ������C�Xy�'6�I|_ p|T~B��}2~£��z��À�d V{R���Iy2{

y��< 98E ��Vzd~B�Iy2{o�c�<{�y2~u��y4{����I|K V�X �|T}�'6�IyK�¾}4~��Iy4{¸y����V ��Vzd��� ~B� � {/}K� �G~I�d ��V ���}4�- -���Ã~I�d �}K|�'� V���V}4��� �c�ª�py �h��zd~À}2~B�Iy2{�}K� ���4¡ %py4zd{�|_ �|j}4{7|Ç{�y2{�¡(}_|K}���~B� '4  �� {¹~B��  y2~I�d -�j��}2{�| �°~I�d  }K|�'� V���V}4��� �^}2� ~w}���~B��  ��y����\zd{C�I��}4~��Iy4{���� {� -� %p V~��£ � V{��y2{� -��~9�R}4��~��I ��ª�(� �   ��� �£ °|Kyo{�y2~t}�����z �^ �~I�d T 98_�c��~À V{��� �y(���C��� '4}4~w T�-��}2{�{� 6� �X���?�¶�� �X -��zR��~I�"�-y4�¦}K�V~B� '4 \}_|�'4 -���V}2���I ��¦}4����z �ª ¦} %-�Xy6}_|K��}���~Ã�-��}4{C{� 6� �-ÃQ�SV]2«¤«�ZXOR]KZk]f©�W(eE]KnRS6]K`XZ9S�OR]KYRYRQV«7SV]KYª©CQ�a¤[^bd«¤Q6[¦Q6YEZXQ6n �BiÃOda�«¤Q�Z(eK«¤Q6Wp]2ZXa¤YRmf]KYE¬^YEU�[fv©CQ6WÃeKg£©R]Kn b�]KWXZ(a¤Q6`���UR`Xa¤YdmT]�`Xa�mEYR]2ZpURW(Q<`pS�OdQ�[\Q\]KYRn ]_`X`pUR[¦a¤YRm�]�bRUR©R«�acS�vwl2Q6¬TacY�gIWp]K`(vZXWpURSVZXURWXQ��Ia�� Q_���EQ6]_S�O^bR]KWXZw¬fl�Yde4iÃ`"ZpOdQîKQ�W(a�¢CS6]2Z(a¤e_YdvÀlKQV¬<S-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm�Z(e<Q�]KS�O\e2g%ZXORQeKZpOdQ6WPb�]KWXZ(a¤Q6`���� �

" eE`(Z�eKguZpOdQ�SVU�WXWXQ6YEZ<S�OR]_bdZ(Q�W�iPa�«¤«£©CQ�ndQ6®KeKZXQ6n�Z(e�bRW(e4®�acYdm NPOdQVeEW(Q�[ ²��¤�K��sd� � Y´EQ�S-Z(a¤e_Y�`t²�� Á^]KYRn ²�� ¨^ikQ<bRWXe4®KQ�NPOdQ6e_WXQ6[ ²d���_� s<gqe_WPZpOdQ<`pb�Q�S-ac]2«¶SV]_`(Q�eKgu~ �£y��R}4��~��I ���º� YÇZXO�]2ZtS6]K`XQK� r ]_W(Zhs¦ac`hYReKZhWXQV«¤QV®4]KYEZ6� r ]KWXZ��<ac`ÃbRWXe4®KQ�nTacYj´EQ�S-Z(a¤e_Yj²d� Á��C]_YRn r ]KWXZPÁac`�b�W(e4®_Q6nÇacY+´EQ�S-ZXa�eEY�²�� ¨���NPOdQ¦mKQ�YdQ6Wp]2«*SV]_`(Q°�Ia�� Q_���%eKg&�¦zR��~B� vwbR]_W(Zw¬ÇS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YC�Ãa¤`ZXWXQ6]KZ(Q�n�acYo´EQ6SVZ(a¤e_Yo²���±d�� M���M��¶M�� > J6;*=_D�D�=���L �IJ �·�Q�YRQ�dZ"«�ac`XZG`Xe_[¦Q�eKZpOdQ6WG[¦edndQV«c`GacYfiÃOdacS�O\mKQ6YRQ6Wp]2«d`(Q�SVURWXQ�[fUd«¤Z(a�vÀb�]KWXZw¬<S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYac`P]2Z(Zp]2acYR]K©R«�Q_º

��� ONB_>�BCEbK9B�BCEH>WIJP4VHMJ>�P4>�GRB_K9BCIJOQGxON<'KuqHUCO]KNoHDLKNSCB�DFEbKNGaGH>�MTDLKNG qf>WDLKNSwB�KNS�KuD�UC[nVaBCOQgQUFKNVHEHIJDVHUCONB_ORD�OQMkVHUCOQqHMJ>�P�z~I~Y >QYJ\h<?OQUTBCEH>/<?`HGHDABCIJOQGbKNMJI By["z������������������f|��� z ���!���"�������#�n|F\p@5EH>�U_>$�&%('")*� �"+-,�KNGHo� oH>�GHONBC>LS&B_EH>j>�P4VaBy[ SCBCU_IJGHgR|FY/.^En`HSL\ I B&IJS&GaONBWS_`aU_VHUCIJS_IJGHgjB_EbK9B&B_Ea>uUC>LSC`HM BCS�U_>�g]KNUCoHIJGHg KNDAB_I r]>KNoar]>�U_S_KNU_IJ>�S�>�I B_EH>�U5KNS_SC`HP4>cBCEH> > %nIJSCBC>�GHD�> ON< S_`HDFE&KD_EbKNGHGH>�M OQU5K'S_>ABCBCIJGHgsIJG�@5EHIJDFE�S_`HD_E�K DFEbKNGHGH>�MDLKNG qf>WIJP4VaMJ>LP4>�G]B_>�o z~>QY gHYJ\^>�I B_EH>�U4BCEbK9B�MJ>LSCS/BCEbKNG K�B_EaIJU_o ON<)B_Ea>WVbKNUCBCIJ>�S�KNU_>�<�KN`HM By[xOQUsBCEbK9B&KVH`HqaMJIJD�� 0Q>�[{IJGn<�U_KNSCBCU_`HDABC`HU_>>�%nIJSCBCSA|FY�z�.^EHIJS)U_>LKNSCOQGHIJGHg&<�KNIJMJS I <dB_EH>/oH>21bGHI BCIJOQG"ON<^SC>LD�`HUC>sVHUCONB_ORD�OQMJS IJSU_>�MXK %n>�o�S_`aDFE&BCEbK9BcI BcoaOn>�S5GHONB5IJP4VHM [�KNgQU_>�>�P4>�GRB43bSC>L>65 �47-8:9yY |

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈK�E±

" ]KlEacYdmPYdeÃS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«K]K`p`XU�[¦bRZ(a¤e_YR`%]_YRn�]2«¤«�e4iPacYdmPS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR]K«�«¤¬EvÀU�YR©�eEURYRndQ�n]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6�2©RUdZ�}�����z �\� {��¦~I�d � 78_�c��~À V{��� �y(�9����� '�}2~À <�-��}2{�{7 V� ����mKQ�YdQ6Wp]2«C`(Q�SVURWXQ[fUd«¤Z(a�vÀb�]KWXZw¬�S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEY°a¤`PbCe_`p`(ac©d«¤Q�a¤Y°ZXORQ�gqeK«¤«�e4iPacYdmª[¦e�nRQV«c`Vº�K� r ]K`p`Xa�®_Q°]_nd®KQ�WX`p]KWX¬+ZXOR]KZ�[¦]�¬ S-e_YEZpW(e_«Pe_Yd«¤¬ ] �B`XZXWXacS-Z��ª[\acYdeEW(a¤Zw¬¸e2g�ZXORQbR]_W(ZXa�Q�`V�

sd�PÆhSVZ(a¤®KQo]_nd®KQ�WX`p]KWX¬+ZXOR]KZ�[^]�¬/S-eEY_ZpW(e_«Pe_Yd«¤¬¸«¤Q6`p`ªZXO�]KY e_YdQ ZpOdacWXn e2g�ZXORQbR]_W(ZXa�Q�`V� �B�C]_Ud«�Z(v�ZXeK«¤Q6Wp]KYRSVQ SV]KY?©CQ a¤Y�SVWXQ6]K`XQ6n Z(e¸] WXQVmEUd«c]KW^[¦a¤YdeEW(a¤Zw¬/a�g©RWXe_]_nRSV]_`(Z�S�OR]KY�YdQV«c`�Q�dac`(Zp`V� �

� YT©CeKZpOTS6]K`XQ6`uZXOdQ�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ª[¦]�¬�©CQ�]KnR]_bdZ(a¤®KQ_�G��e_W�ndQ6ZX]Ka�«c`V�R`XQVQf´EQ�S-ZXa�eEYDzd� È�� µtQ6YdQ�WX]K«K`(Q�SVURWXQ9[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬tSVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEY�a¤`�b�eE`X`Xa¤©R«�Q9]Km_]2acYR`XZ¶]KY�]_S-Z(a¤®KQ_��]_nR]KbdvZ(a¤®KQ�]KY�n �^y%��q�¾ Ç]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ ZXO�]2Z\[^]�¬�S-e_YEZpW(e_«£]o`p[¦]K«�«kS-e_Y�`(Zp]KYEZ�gIWp]KS-ZXa�eEY�e2gZXOdQ�bR]KWXZ(a¤Q6`�]KZT]_Y_¬?bCeKacY_ZTa¤Y?ZXa¤[¦Q_� NPOdac`TWXQ6`pUd«¤Z�[^]KlKQ6`�Yde S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«]K`p`XUR[^bdZXa�eEYR`6�_]2«¤«¤e4iÃ`£S-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_YR]K«�«¤¬EvÀU�YR©�eEURYRndQ�nª]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6�K©RURZ�}�����z �ª ��~I�d f 98K�c��~w -{7�� \y(�u�C��� '4}4~w ¦�-��}2{�{7 V� ���

������z �\� {��/~B��  � {�~��X}K�V~À}%��q� � ~B� y���� { '4 V��~B� {�� � ��IeEW�eKg\ZpOdQ+¼�� r ����m_Q6YdQ�WX]K«`(Q�SVURWXQu[\Ud«¤Z(a�vÀbR]_W(Zw¬\S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYfac`9bCe_`p`(ac©d«¤Q�a¤Y^]�[¦e�nRQV«R]2«¤«¤e4iPa¤Ydm�]_Y°}_|K}���~B� '4 ]KYRnT]KS-ZXa�®_Q�SVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEYR]2«¤«�¬Evw©�eEURYRndQ�n�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬\ZpOR]2ZP[^]�¬�S-eEYEZXWXeK«�e_Yd«¤¬�«¤Q6`p`ZXOR]_Y e_YdQ\ZXOdacWpn e2g9ZpOdQ¦b�]KWXZ(a¤Q6`6�÷�Q^`XZXWXQ6`p`ÃZXO�]2Z�ZXOdac`tWXQ6`pUd«¤Ztnde�Q�`tYde_Zt]_`X`pUR[¦QZXOdQ�Q��ac`XZ(Q6Y�S-Q�e2gGbRW(a¤®4]2ZXQ<S�OR]KYRYRQV«c`V�

-ÃQ�`XUd«¤ZX`�gqe_WT]K`X¬�Y�S�ORW(eEYde_U�`¦SVe_[^[fU�Yda¤S6]2ZXa�eEY ]_YRn ]KWp©da¤ZXWp]KWX¬/YdQ6ZwikeEWXl�`ªeKg�bCeKacYEZ�vÀZ(eKvbCeKacY_ZÃS�O�]KYRYdQ6«¤`P]_W(Q�]2«c`Xe^l�Yde4iÃY¶�*�Ce_WugIURWXZXORQ6WPndQ6ZX]2a¤«c`V��`XQVQf´EQ�S-ZXa�eEY ²d��²d� ¨C�� M���M��¶M�� � � = �%J�=�� ��@ � �&# ��� =��¸H_@I=���HA� H�� � �6@ ��=ED�#dJ�@ � � �� =EH_L D4=¹D4=#�H2J6@��C= HA� � FGL J #dJ6@ � � � Æ뤫hZXORQo]K©Ce4®KQÇW(Q�`XUd«¤ZX`�Q�dZ(Q�YRn �IQ6]_`(a¤«¤¬R�\ZXe ]WXQ6]KSVZ(a¤®KQª[¦edndQV«9eKguSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y�acY�iÃOda¤S�O�Q�]KS�O�bR]KWXZw¬oacY_ZXQ6Wp]KSVZX`�iPa¤ZXO ]ÇOda¤m_O�vÀ«�Q6®KQ6«bRWXedS-Q6`p`<�Be_W�]KbRbR«�acSV]KZ(a¤e_YC����NPOdQ¦Oda¤m_O�vÀ«�Q6®KQ6«*bRWXedS-Q�`X`t]KnR]_bdZ(a¤®KQ6«�¬Ç`XU�bRbd«¤a�Q�`hQ�]KS�OobR]_W(Zw¬iPa¤ZXO+]Ç`(Q �EURQ6YRSVQ¦eKguacYRbRURZX`6� e_YRQ^]KZ<]°Z(ac[\Q_��]_YRnjQ�Rb�Q�S-Z�Z(eoWXQ6SVQVa¤®KQ^S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdme_URZXbRUdZp`�gIWXe_[ ZpOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`V�ªNPOR]KZ�a¤`6��]ÇWXQ6]KSVZ(a¤®KQª`X¬�`XZ(Q�[ mKe�Q�`�ZXORWXe_UdmEO/��]Çb�eE`X`Xa¤©R«�¬URY�©Ce_URYRnRQ6nÇY�UR[f©CQ6W�eKg��ua¤Z(Q6Wp]2ZXa�eEYR`ue2gGZXOdQ�gqe_«�«¤e4iPacYdm\Zw¬dbCQKº

r ]KWXZ(a¤Q6`u]KWXQ�m_a�®_Q6YTa¤Y�bRUdZX`Pgqe_W�ZXORQ<SVURWpW(Q�YEZua¤Z(Q�WX]KZ(a¤e_Y%� ¼tQ�b�Q�YRndacYdm e_Y ZXORQjSVURWpWXQ6YEZ^a¤YRb�UdZX`6�PZXOdQob�]KWXZ(a¤Q6`�]_W(Q `pURbRbCe_`XQ6n Z(e¸SVe_[^bRUdZXQe_UdZpbRUdZX`�gqeEW�ZXOdQªS6URWXWXQ6YEZ�a¤Z(Q6Wp]2ZXa�eEY%�^NPOR]2Z�ac`V��ZXOdQ^e_URZXbRUdZp`�acYja¤Z(Q�WX]KZ(a¤e_Y�� ]KWXQndQVZXQ6Wp[\acYdQ�nT©E¬�ZpOdQ�acYRbRUdZp`Pe2g*ZXOdQ��_ZXO°a¤Z(Q�WX]KZ(a¤e_Y%�

Æ�[¦e_WXQ�mKQ�YdQ6Wp]2«7gqeEWX[\Ud«¤]KZ(a¤e_Y°]2«¤«�e4iÃ`uZpOdQ<e_URZXbRUdZp`Pe2g"Q�]KS�OTa�ZXQ6Wp]2Z(a¤e_YTZ(e�nRQ6bCQ6YRn ]K«¤`Xee_YÇ]^m_«�eE©R]2«¶`XZX]KZ(QK��iÃOda¤S�OÇac`ÃbCe_`p`(ac©d«¤¬TURb�nR]KZ(Q6n ]KZPQ6]_S�O�a¤Z(Q�WX]KZ(a¤e_Y%�uNPOdQ�mK«¤e_©R]K«¶`(Zp]2ZXQ[^]�¬ acYRSV«¤URnRQ�]K«�«ta¤YRb�UdZX`Ç]KY�n e_UdZpbRUdZp`�eKgfbRW(Q6®�a�eEUR`�a¤Z(Q�WX]KZ(a¤e_YR`6�Ã]KYRn [¦]�¬ e_YR«�¬ ©CQbR]_W(ZXa¤]K«�«¤¬�l�Yde4iÃY+ZXe a¤YRnRa�®�acnRUR]2«�bR]_W(ZXa�Q�`V��� � Y¸]j`(Q�SVURWXQ�W(Q�]KSVZ(a¤®KQ�S-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y+`pURS�O]�m_«�eE©R]2«�`(Zp]2Z(Q¦[^]�¬Ç©CQ\[^]Ka¤YEZX]Ka¤YRQ6no©E¬Ç]2«¤«*bR]_W(ZXa�Q�`ÃacYj] 5p`(Q�SVWXQVZh`pOR]_W(acYdm�7ª[^]_YRYdQ6W6� ���eEWugIURWXZXOdQ�WPnda¤`pSVU�`X`Xa�eEY%�R`XQVQ\´EQ�S-Z(a¤e_Y ²�� ²��¤�K� ÁR�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈK�_È ����������� �����������������������������������������������������!

��¸HK@I=��*H'�+HA� � ��@��*=ED�#dJ6@ � � �"�¿�YdQÃac[^b�eEW(Zp]KYEZ£QV½�S-a¤Q6YRSV¬¦[¦Q6]_`XU�W(QÃWXQVmE]KWpnda¤YRm�b�W(eKvZ(edSVeK«c`�a¤`�ZpOdQ�Y�UR[f©CQ6W�eKguS-eE[^[fURYdacSV]KZ(a¤e_Y�W(eEURYRnR`�acYjZpOdQVacW�Q��Q�SVUdZXa�eEY%�^NPOdQ�W(Q�`XUR«�Zp`[¦Q6YEZ(a¤e_YRQ6n<]_©�e4®_Q9ikQ�W(Q£e_WXa�m_a¤YR]K«�«¤¬�e_©dZp]2acYdQ6n<U�`(acYdmtb�W(e_Z(edS-e_«¤`%ZpOR]2ZGUR`XQk]_Y<URY�©�eEURYRndQ�nY�UR[f©CQ6W�eKguWXe_URY�nR`V� � Y�`Xe_[¦Q^SV]_`(Q�`V�¶`pUR©R`XQ ��UdQ�Y_Z�iue_Wpl�`heE©dZX]Ka¤YdQ�n�`XQ6S6URWXQÇ��y4{���~À}2{�~�vWXe_URYRn b�W(e_Z(edS-e_«¤`6� ¿tZXOdQ�W�ac[¦bCe_WXZX]_YEZ�Q-½�S-a¤Q6Y�S-¬ S-eEYR`(acndQ�WX]KZ(a¤e_YR`ªacYRSV«¤URnRQoZXOdQ�Z(e_ZX]2«Y�UR[f©CQ6W�eKg�©Ra�Zp`<`(Q�YEZ�a¤Y�ZXOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y�e2gP]ÇbRW(e_Z(edS-e_«B��]KYRn�ZXOdQª«¤edSV]K«9S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYZ(ac[¦QK�9NPOdQ<SVe_[^[fU�Yda¤S6]2ZXa�eEYT]_YRnTSVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEYTSVe_[^bd«¤Q�da�ZXa�Q�`�e2g*ZXOdQ<]2gqe_WXQ6[¦Q6YEZ(a¤e_YRQ6nbRWXeKZXe�SVeK«c`k]_W(Q�W(Q6«¤]KZ(Q�n�Z(e¦ZXORQª��y �h��zd~À}2~B�Iy2{�}2��S-eE[¦bR«�Q��a¤Zw¬ªe2g�ZXOdQ�ndQ6`XacW(Q�nªgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«¾va¤Z(a¤Q6`6��©RURZh]2«¤Z(Q�WXYR]KZ(a¤®KQ<WXQV«c]2ZXa�eEYR`��IQ_� mC����W(QVgqQ6WpW(acYdmªZXeªZXOdQÇ�py � �¦zd{��I��}2~B�Iy2{�SVe_[^bd«¤Q�da�Zw¬e2gGZXORQ�«¤]KZ(Z(Q�W��k[^]�¬�©CQ<b�eE`X`Xac©d«�Q_���� �� ��� ��6h�e% ��(k���L� ��� � %��),&��� 0 6

·�Q�©RWXa¤Q�$�¬ `pl2Q6ZXS�O ZpORW(Q6Q�b�]KWp]Knda¤m_[^`�U�`(Q�n acY ZXORQ�SVe_YR`XZXWpURS-ZXa�eEY e2g¦`(Q�SVURWXQ�[\Ud«�ZXa¾vbR]_W(Zw¬ªbRWXeKZXe�SVeK«c`V�*·�QtgqedS6UR`�e_Y�ZXOdQ�S-eEYR`XZXWpURS-ZXa�eEYªe2gG`(Q�SVURWXQtbRWXeKZXedS-eK«c`£gqe_WuZXOdQ�[¦edndQV«e2g*S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR]2«¤«¤¬_vw©Ce_URYRnRQ6n�]_YRn�YdeEY�vw]KnR]_bdZ(a¤®KQ�]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6� NPOdQ�`(Q�S-eEYR`(ZpWXU�S-Z(a¤e_Y�`bRWXedS-QVQ�n<acY<Zwiue�`XZ(Q�bR`6º¶�Ga¤Wp`(ZG]�`(Q�SVURWXQub�W(e_Z(edS-e_«_ac`GbRW(Q�`(Q�YEZ(Q6n<gqe_W�ZXOdQP[¦edndQV«�eKg��R}������ '� ]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`f�Igqe_W�]KYE¬jY�UR[\©�Q�W�e2gPndac`XOdeEYdQ6`XZ�bR]KWXZ(a¤Q6`����*]KYRn�YdQ��Z<`pURS�O+]ÇbRWXeKZ(edSVeK«Ga¤`5XSVe_[^bda¤«�Q�n�7�a¤YEZXe+] b�W(e_Z(edS-e_«uZpOR]2Zªac`�`XQ6S6URW(QÇacY e_YdQ eKgtZXORQ Zwike [¦edndQV«c`ªe2g�}K�V~�� '� ]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�` �Ia�� Q_����Q6a�ZpOdQ6W°acY ] [\edndQ6«<]2«¤«�e4iPacYdm¸ZpOdQ ]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬ Z(e?S-eEYEZXWXeK«�e_Yd«¤¬ ][¦a¤YRe_WXa�Zw¬ e2g<ZpOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`�eEW�acY ]¸[¦edndQV«�a¤Y iÃOda¤S�O bRW(Q�[^]2ZXU�W(Qj`pUR`pb�Q�YR`Xa�eEY?e2g<ZXORQQ�dQ�SVUdZXa�eEY�ac`ÃYde_Z�SVe_YR`XacndQ6WXQ6n°]¦®Ea¤eK«c]2ZXa�eEY�eKg*`XQ6S6URW(a¤Zw¬����-ÃQ�SV]2«¤«uZXOR]KZ\acY¸ZpOdQ°[¦edndQ6«ueKghbR]K`p`Xa�®_QT]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`V�G]2«¤«ub�]KWXZ(a¤Q6`fgqeK«¤«�e4i ZpOdQ°b�W(QVv

`pSVWXa¤©CQ6n bRWXeKZXedS-eK«��C©�UdZt]KZÃZ(Q�WX[¦acYR]2ZXa�eEYÇZXOdQ¦]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬�[^]�¬Ç]2«¤Z(Q�WPZXOdQ\e_UdZpbRUdZte2g9ZXORQndac`XORe_YdQ�`(ZubR]KWXZ(a¤Q6`undQ6bCQ6Y�nda¤YRmfe_Y�]2«¤«�ZpOdQVacWka¤YEZ(Q�WX[¦Q�nda¤]KZ(Qta¤YEZ(Q�WXY�]2«7`(Zp]2Z(Q�`h��nRURWXa¤YRmfZXORQQ�dQ�SVUdZXa�eEYC���"»�QV«¤e4i���ikQ�WXQ-gqQ�W�Z(eªbRWXeKZ(edSVeK«c`kZpOR]2ZÃ]_W(Q�`XQ6SVU�W(Q�acYTZpOdQ�[¦e�nRQV«¶eKg*bR]_`X`Xa�®_Q�BWXQ6`pb%�¤�_m_Q6YdQ�WX]K«Re_Wk]KSVZ(a¤®KQ��"]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`"©E¬^ZXOdQtZ(Q�WX[ ���� �-. ����3 # � � � + '*! ���BWXQ6`pb%�¤�4��+ ,/. ��� 3 # �� � +�'4! ������ M���M�� M�� �¶D�� � F # � �6@��C=�� � � �6=�H_L D4=ÇF*D��CJ�� HA� ���¦J�� #RHKJ6@ ��=�� � ����=�HKL�D4= � ��=��·�Q�`XOde4i Ode4i ZXeÇZXWp]KYR`(gqe_Wp[ ]KYE¬jb�]K`p`(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQ\bRWXeKZXedS-eK«GacYEZ(eo]ÇS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm]KSVZ(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQ\bRWXeKZXedS-eK«��<NPOdQªS-eE[^[fURYdacSV]KZ(a¤e_Y�[\edndQ6«"a¤Y�©CeKZXO�bRWXeKZXe�SVeK«c`tSVe_YR`Xac`(Zp`e2g*]f`Xa¤Ydm_«�Q�©RWXe_]Kn�SV]K`XZ£S�OR]_YRYdQ6«B� �he_Z(Q�ZXOR]KZkZpOdQ�[¦Q�`X`p]2m_Q6`9eKg ZXORQteEW(a¤mKacYR]2«��BbR]_`X`Xa¤®KQV«¤¬Ev`XQ6SVU�W(Q4��bRWXeKZ(edSVeK«�[^]�¬Ç©�Q^]K`p`pUR[¦Q6nÇZ(e°©�Q¦`(Q�YEZhe4®KQ�WÃ]�©RWXe_]_nRSV]_`(ZÃS�O�]KYRYdQ6«B�7©CQ6SV]_UR`XQZXORQ^]_nd®KQ�WX`p]KWX¬Ç[¦]�¬ `XQVQ^ZXORQ6[ ]_Y_¬dOde4i ��©E¬ ZX]Kb�bda¤YRm°ZpOdQªb�e_a¤YEZ(v�ZXe2vwb�e_a¤YEZtS�O�]KYRYdQ6«¤`����Æh`tgqeEWhZpOdQ\WXQ6`pUd«¤Z(acYdmT]_S-Z(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQfbRWXeKZXedS-eK«���ZXOdQ^©RWXe_]Kn�SV]K`XZÃS�OR]_YRYdQV«*a¤Z�UR`XQ6`�SV]_Y©CQ<a¤[^bd«¤Q6[¦Q�Y_ZXQ6nÇ®�ac]ª]KY��B]_UdZXOdQ�YEZ(acSV]2ZXQ6nC��»u¬�Ê�]KYEZ(acYdQ�ÆÃmEW(Q6Q6[¦Q6YEZÃbRWXeKZXe�SVeK«"��S�g��7´�Q6S�vZ(a¤e_Yj²d� ±R� Á�� sE���dZpOEU�`hbRWXe4®�a¤ndacYdm�]_YTQ�[fUd«c]2ZXa�eEY°e2g"ZXOdac`h[¦edndQ6« e_Y°ZpOdQf`XZX]KY�nR]KWpnÇb�e_a¤YEZ�vZ(eKvÀbCeKacYEZu[¦edndQ6«"�IacY�iÃOdacS�O�]¦©RWXe_]_nRSV]_`(ZuS�OR]KYRYRQV«%nde�Q6`�Yde_ZkQ��ac`XZ����"·�Q�[\Q�YEZ(a¤e_YTZXOR]KZ]KURZXOdQ�Y_ZXa¤S6]2ZXQ6nÇ»�¬�Ê6]KYEZXa¤YdQ\ÆÃm_WXQVQ�[¦Q6YEZPa¤`hZw¬dbda¤S6]2«¤«�¬°ac[¦bR«�Q�[\Q�YEZ(Q6njUR`(acYdm�]�`Xa¤m_YR]KZXURWXQ`pS�OdQ6[¦Q<��]KYRn�]_`X`pUR[¦acYdm<ZXO�]2ZuQ6]KS�Oªb�]KWXZw¬¦l�Yde4iÃ`"ZpOdQ�®KQ6WXa�¢CSV]KZ(a¤e_Y�vwl2Q6¬fS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmZ(e^Q�]KS�OTe2gGZXOdQ�e_ZXOdQ�WPbR]KWXZ(a¤Q6`����

N*URWXYRa¤Ydm^ZXe¦ZpOdQ<ZpWX]_YR`�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Y�a¤ZX`XQV«�g��RZpOdQ<[^]2acYTacndQ�]\ac`PZXe^U�`(Q�Ê6Q6WXe2vwlEYRe4iP«�Q�ndmKQbRWXe�e2gI`�acY�eEWXnRQ6W�Z(e°gqe_WpS-QªbR]_W(ZXa�Q�`�Z(e ©CQ6OR]�®_Q¦acY+]°iu]�¬ ZpOR]2Z�ac`<S-eEYR`Xa¤`XZ(Q�Y_Z�iPa¤ZXO�ZXORQ�Bb�]K`p`(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQ��Gb�W(e_Z(edS-e_«B�GÆhSVZXUR]K«�«¤¬K�diuQ�YRQVQ6n�Z(e^S-eEY�¢CYdQ�Q6]_S�O�bR]_W(Zw¬^Z(e^]¦URYda �EURQ

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈK��²

S-eEYR`Xa¤`XZ(Q�Y_Zt©�Q�OR]�®�a�eEW��Ia�� Q_���7]KS6S-eEWXndacYdmªZXe�`(eE[¦Q�¢ dQ6n «¤edSV]K« acYRbRUdZ�]KYRn ]�`XQ ��UdQ�YRS-Qfe2gS-e_a¤Y\Z(eE`X`XQ6`����E]KYRn\Z(e�mEUR]KWp]KYEZXQVQuZXOR]KZ9]�b�]KWXZw¬fSV]_YRYdeKZG¢ fa�Zp`"acYRbRUdZÃ��]KYRn ��e_W*a¤ZX`9SVeKacYR`��acY ]\i�]�¬�ZpOR]2ZhnRQ6bCQ6YRnR`he_Y°ZXORQ�a¤YRb�UdZX`he2g"Ode_YdQ�`(ZÃb�]KWXZ(a¤Q6`6�£NPO�UR`V�C`(eE[\Q<b�W(Q6«�ac[¦a¤YR]_W(¬`XZ(Q6b�`tOR]�®_QfZXeT©CQ\Zp]Kl2Q�Yo©CQ-gqe_WXQ¦ZXOdQ^`(ZXQ6b�vw©E¬EvÀ`XZ(Q�b Q6[\Ud«¤]KZ(a¤e_Y eKg9ZXOdQ¦e_WXa¤mKacYR]2«*bRW(e_Z(eKvS-e_«9SV]_Y�Zp]KlKQ^bR«¤]_S-QK�T´db�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K��ZXOdQ�SVe_[^bda¤«�Q�n�b�W(e_Z(edS-e_«u�BiÃOdacS�O�«¤acl2QªZXORQªe_WXa�m_a¤YR]K«bRWXeKZXe�SVeK«7ac`PQ�dQ6S6UdZ(Q�n°e4®KQ6Wu]^©RWXe_]Kn�SV]K`XZ�S�OR]KYRYRQV«q�ubRW(edSVQVQ6n�`u]_`ugqeK«¤«�e4iÃ`6º

�_� r WXa�eEWkZXe�ZXORQ<Q6[\Ud«¤]KZ(a¤e_Y°e2g"ZpOdQ<e_WXa¤mKacYR]2«¶bRWXeKZXedS-eK«��dQ6]_S�OÇbR]KWXZw¬TSVe_[^[¦a�Zp`PZ(e�a¤ZX`a¤YRb�UdZ<�BU�`(acYdm�]ªSVe_[^[¦a�Zp[\Q�YEZh`XS�ORQ6[¦Q���� � Y ]_nRnda¤Z(a¤e_Y%��U�`(acYdm�]^Ê6Q6WXe2vwlEYRe4iP«�Q�ndmKQbRW(e�eKg v�eKg vÀl�Yde4iP«¤Q6ndm_Qf��S�g��ôEQ6SVZ(a¤e_Y°¨�� ²K���RQ6]_S�O°b�]KWXZw¬�]2«c`(eªbRWXe4®KQ�`�ZXOR]KZPa�ZtlEYRe4iÃ`a�Zp`Ãe4iÃYÇacYRbRUdZ ��ZpOR]2Zta¤`6��ZXOR]KZha¤ZhSV]_Y bRW(eEb�Q�W(«¤¬ÇndQ6SVe_[^[¦a�ZtZ(e�ZpOdQ\SVe_[^[¦a�Zp[\Q�YEZa�Zh`XQ6YEZ6���BNPOdQ�`(Q\ÊVQ6WXe2vwl�Yde4iP«¤Q6ndm_Q�bRWXe�e2g vÀe2g vwl�Yde4iP«�Q�ndmKQ�]_W(Q<SVe_YRnRU�S-Z(Q�no`XQ ��UdQ6YdvZ(ac]2«¤«�¬TZ(e�bRWXQV®_Q6YEZPndac`XOdeEYdQ6`XZhbR]_W(ZXa�Q�`�gIWXe_[Â`XQVZXZ(acYdmªZXORQVacWÃacYRbRUdZp`ÃacY ]^iu]�¬TZXOR]KZndQ6bCQ6YRn�`Pe_YTa¤Y�bRUdZX`Ãe2g"Ode_YdQ�`(ZPbR]_W(ZXa�Q�`V� �

sR� �hQ�dZ6��]K«�«%bR]_W(ZXa�Q�` *�eKacY_ZX«�¬ªm_Q6YdQ�WX]KZ(Q�]\`XQ ��UdQ�YRS-Qte2g�Wp]KYRnRe_[ ©da¤ZX`kgqe_WuQ�]KS�O�bR]_W(Zw¬`XURS�O�ZXOR]KZkeEYd«�¬^ZpOda¤`�bR]_W(Zw¬ªl�Yde4iÃ`£ZXOdQ�e_UdZpS-eE[\Qte2g ZpOdQ�WX]_YRnde_[ `XQ ��UdQ�YRS-QtmKQ6YdvQ6Wp]2Z(Q�nogqeEW�a�Z6�*©�UdZ�QV®_Q6WX¬�©Cednd¬om_QVZX`�]ÇSVe_[^[¦a�Zp[\Q�YEZ<Z(eÇZXORa¤`�eEUdZXSVe_[¦QK��NPORQ6`XQ`(Q �EURQ6YRSVQ6`kiPa�«¤«¶©�Q�UR`XQ6nT]K`uZXORQ�Wp]KY�nde_[\vÀa¤YRb�UdZX`��Ia�� QK�¤�R`(Q �EURQ6YRSVQteKg*S-e_a¤Y�Z(eE`X`XQ6`��gqe_WtZXOdQ^e_WXa¤mKacYR]2«*bRW(e_Z(edS-e_«B��³u]KS�Oo©Ra�Z�a¤Y�ZXORQ¦Wp]KYRnRe_[\vÀ`XQ ��UdQ�YRS-Q\mKQ�YdQ6Wp]2ZXQ6nÇgqeEWr ]KWXZw¬�� ac`hndQ6Z(Q�WX[¦acYdQ6nÇ]K`�ZpOdQ<Q�dSV«¤U�`(a¤®KQVv�eEWkeKg*ZpOdQ<eEUdZXSVe_[¦Q6`�eKg*acYR`XZX]KY�S-Q6`Ãe2g]KY ��]KUdmE[\Q�YEZ(Q6n��9SVeKacY�v�ZXe_`p`(acYdmfb�W(e_Z(edS-e_«CZpOR]2Z r ]KWXZw¬�� bd«¤]�¬d`kiPa�ZpO�Q�]KS�OªeKg ZXORQeKZXORQ6WPbR]_W(ZXa�Q�`V�

Á�� � YT]_nRnda¤Z(a¤e_Y%�RiÃORQ6YÇS-eE[¦bRa�«¤a¤YRm°�BZXOdQ<b�]K`p`(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQtbRWXeKZXedS-eK«7ZXe�]KY°]KS-ZXa�®_QV«¤¬Ev`(Q�SVURWXQªbRW(e_Z(edS-e_« �hgqeEW�ZXORQ�[¦e�nRQV«£ZpOR]2Z\]2«¤«�e4iÃ`�ZpOdQ�]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬ Z(eoS-eEYEZXWXeK«"e_YR«�¬]o[¦a¤YdeEW(a¤Zw¬jeKgÃZXOdQ°bR]KWXZ(a¤Q6`6�*Q6]KS�O b�]KWXZw¬�`pOR]KWXQ6`�a¤ZX`\acYRbRUdZ¦]KYRn¸Wp]KY�nde_[\vÀa¤YRb�UdZiPa�ZpOj]2«¤«*eKZXORQ6W�bR]KWXZ(a¤Q6`�UR`Xa¤YdmÇ] � Q�W(a�¢C]_©d«�Q�´EQ�SVWXQVZ�´dOR]KWXa¤YRmTbRWXeKZXe�SVeK«k�BS�g��\´�Q6S�vZ(a¤e_Y�²d� ±R� ±E����NPOda¤`�iPa¤«�«*m_U�]KWp]KYEZ(Q6Q<ZXOR]KZta�gk`Xe_[¦Q\b�]KWXZw¬°bRWXQ6[^]KZXURWXQV«¤¬ `XUR`pbCQ6YRnR`ZXOdQ\Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y%�7ZpOdQ6Yo]K«�«*ZXORQ¦bR]_W(ZXa�Q�`hS6]KY ZXeKmKQ6ZXOdQ�WhWXQ6SVe_YR`XZXWpURS-Zt]2«¤«�a¤ZX`�`(Q�SVWXQVZp`]KYRn°SV]_WXWX¬Ev�eEYªZXOdQ�Q�dQ6SVURZ(a¤e_Y°iÃOda¤«�Q�bd«c]�¬�a¤Ydm^a¤ZX`ÃWXeK«¤QK�

¨C�ÃÆPgqZ(Q�W�]2«¤«ÃZpOdQo]K©Ce4®KQ `XZ(Q6b�`ªikQ�W(Q SVe_[^bd«¤QVZ(Q�n%��ikQÇZpURWXY ZXe ZXOdQj[^]Ka¤Y?`XZ(Q6b acYiÃOda¤S�O¦ZpOdQhYdQ6i bRWXeKZXedS-eK«�Q6[fUR«¤]KZ(Q6`9ZXOdQPeEW(a¤mKacYR]2«deEYdQK� � Y¦Q6]_S�O^`(ZXQ6b%�_Q6]KS�O^bR]_W(Zw¬]KUdmE[\Q�YEZX`\ZXOdQ [¦Q6`p`X]KmKQ°ndQVZXQ6Wp[\acYdQ�n/©E¬ ZXOdQÇeEW(a¤mKacYR]2«�bRWXeKZXe�SVeK«uiPa�ZpO ]�ÊVQ�W(eKvlEYRe4iP«�Q�ndmKQ¦ZXOR]KZ�]K`p`(Q�W(Zp`tZpOR]2Z�ZpOdQª[¦Q6`p`X]KmKQ¦iu]_`tacYRndQ6Q6n+S-eE[^bRUdZ(Q�n�SVe_WpW(Q�S-ZX«�¬_�-ÃQ6S6]2«¤«"ZXOR]KZ�ZpOdQ�YdQ��Z<[¦Q�`X`p]2m_QT��]K`�ndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRQ6n+©E¬oZXOdQªeEW(a¤mKacYR]K«Gb�W(e_Z(edS-e_« �Ãa¤`]¦gIURYRS-ZXa�eEYÇe2g"ZXORQ\`XQ6YRndQ�W > `Pe4iÃY°acYRbRUdZ6�Ca¤ZX`tWX]_YRnde_[\vÀa¤Y�bRUdZV��]KYRn°ZpOdQ\[¦Q6`p`p]2mKQ�`a�Z<OR]_`<WXQ6S-Q6a�®_Q6n�`(eÇgI]_Wª�IiÃORQ6WXQªZXOdQª«c]2ZXZ(Q6Wf]KWXQ�lEYRe4iÃYjZXe QV®KQ�W(¬d©Cednd¬j©CQ6SV]_UR`XQZXOdQ6¬\iuQ6WXQh`XQ6YEZ9e4®KQ�W9]<©RWXe_]_nRSV]_`(Z9S�O�]KYRYdQ6« ���G�CURWXZXOdQ�WX[¦eEW(Q_�KZXORQt`XQ6YRndQ�W > `"acYRbRUdZa¤`TndQVZXQ6Wp[\acYdQ�n ©_¬ a¤ZX`�SVe_[^[¦a�Zp[¦Q6YEZj��]K`�`XQ6YEZ�acY ´EZXQ6b��4���Ã]KY�n?a�Zp`�Wp]KYRndeE[\va¤YRb�UdZ�ac`�`Xa¤[¦a¤«¤]_W(«¤¬ nRQVZ(Q�WX[¦acYdQ6n �Ba¤Y ´EZ(Q�b s_��� NPO�UR`6�PZXORQjYdQ�dZ°[\Q�`X`p]2m_Q+�B]K`ndQVZXQ6Wp[\acYdQ�nf©E¬�ZXOdQ�eEW(a¤mKacYR]2«EbRWXeKZ(edSVeK«q�%ac`G]ÃgIURY�S-Z(a¤e_Y\e2g�bRUR©d«¤a¤SV«�¬<l�Yde4iÃY\`(ZpW(acYdmE`�Ia�� Q_���9ZpOdQ `X]Ka¤n/S-e_[^[¦a¤ZX[¦Q6YEZX`ª]_`fiuQV«¤«P]K`\ZXOdQÇe_ZXOdQ�W\[¦Q6`p`p]2mKQ�`\`XQ6YEZ\e4®KQ6W\ZXORQ©RW(eE]KnRS6]K`XZ<S�OR]KY�YdQV«q��� " e_WXQVe4®_Q6W6��ZpOdQÇ]K`p`(Q�W(ZXa�eEY+ZXOR]KZ\ZpOdQTYdQ�dZ¦[¦Q6`p`p]2mKQ�iu]_`a¤YRnRQVQ6n?SVe_[^bRUdZXQ6n S-eEWXWXQ6SVZ(«¤¬¸ac`�]KY � r vw]K`p`(Q�W(ZXa�eEY%�u]_YRn ZXOdQ�`(Q�YRndQ6W�lEYRe4iÃ`ª]S-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm � r v�iPa¤ZXYdQ�`X`T�Ia�� QK�¤�"a�Zp`\e4iÃY¸a¤YRb�UdZ¦]_YRn¸Wp]KYRnRe_[\v�acYRbRURZ\]K`fikQ6«�«

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈK��) ����������� �����������������������������������������������������!

]K`�ZXORQ�S-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm°nRQ6S-eE[^[\a¤ZX[¦Q�Y_Z�acY�gqeEWX[^]2ZXa�eEYC���TNPOEU�`V��ZXOdQ�`XQ6YRnRQ6W�SV]_YbRW(e4®_Qf�BZ(eªQ6]_S�O�eKg*ZpOdQ�eKZXORQ6WPbR]_W(ZXa�Q�`��£acYTÊ6Q6WXe2vwl�Yde4iP«�Q�ndmKQhZXOR]KZPZXOdQ<[¦Q6`p`p]2mKQ�a¤Za¤`P`XQ6YRnRa¤Ydm^i�]K`�acYRndQ6Q6nÇS-eE[¦b�UdZ(Q�n°]_SVSVe_Wpnda¤YRmfZ(eªZpOdQ�e_WXa¤mKacYR]2«%bRWXeKZXe�SVeK«��

Æ�ndQ6ZX]2a¤«¤Q6nÇndQ6`pSVWXacbdZ(a¤e_YTa¤`Pb�W(e4®�acndQ6nTa¤Y ´EQ�S-Z(a¤e_Yo²d� ¨Ç�B`XQVQ�]K«¤`Xe�´EQ6SVZ(a¤e_Y ²���±d� ¨����� M���M�� M�� � # � ��@ ��=�� � ����=�HKL�D4=oHA� � FGL J #dJ6@ � � �ª@qJ6;�����H2D�# ��> �I=��?HK@qD4H_L�@IJ ���NPOdQ�gqe_«�«¤e4iPacYdm^Z(Q6S�O�Yda ��UdQ\W(QVgqQ6Wp`Ã[^]2acYd«�¬TZ(e�Zwiue2vwbR]_W(Zw¬�SVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y¶�P´�U�bRb�eE`(QfZXOR]KZZwiueobR]KWXZ(a¤Q6`6� Q�]KS�O�OR]�®�a¤Ydm ] bRWXa¤®�]KZ(QªacYRbRUdZ6�GiPa¤`pO�Z(eoeE©dZX]Ka¤Y�ZXORQª®�]K«¤URQ�e2gP] bRWXQ6ndQVvZ(Q�WX[¦acYdQ6n¸ZwikeKvÀ]_W(mEUR[¦Q6YEZ�gIURYRS-ZXa�eEY QV®4]K«¤UR]KZ(Q�n ]2ZfZpOdQVacWfSVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRm a¤YRb�UdZX`T�Ia�� Q_���iuQ<S-e_Y�`(acndQ6W�eEYd«¤¬�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`Ãe2gGZXOdQ�gqeEWX[ �.- 1������� � %*�.- 1��� 1 %*�.- 1����(�(���£��URW(ZpOdQ6W`pURbRbCe_`XQtZpOR]2ZuZXOdQ�Zwiue\bR]_W(ZXa�Q�`kOde_«¤nT]\SVa¤WpSVURa�ZuZXOR]KZuSVe_[^bRUdZXQ6`uZXORQt®4]2«cUdQ�e2g ZpOdQtgIURYRS�vZ(a¤e_Y\e_Yfa¤Y�bRUdZX`GeKgCZpOdQP]KndQ �EU�]2Z(Qu«¤Q6Ydm_ZXO%�GNPOdQua¤ndQ�]�a¤`*Z(e�OR]�®_Q£eEYdQPbR]KWXZw¬�S-e_Y�`(ZpWXURSVZ*]_Y5X`pSVWp]K[\©d«¤Q6n�7tgqe_Wp[ eKg%ZXOdQhSVa¤WpSVURa�Z9`Xe�ZXOR]KZ9ZXORQÃeKZpOdQ6WkbR]KWXZw¬fSV]_YªbRWXe_bR]Km_]2ZXQkQ�YRSVWX¬dbdZ(Q�n®4]2«cUdQ6`�ZpORWXe_UdmEO�ZXORQ 5X`pSVWp]K[f©R«�Q�nªm_]KZ(Q6`87¦]KYRnTe_©dZp]2acY�ZpOdQ�e_URZXbRUdZ�acY°ZXOdQ�S-«¤Q6]_W��IiÃOda¤«¤Q]2«¤«�acYEZ(Q�WX[¦Q6nRa¤]KZ(Qî4]2«cUdQ�`£WXQ6[^]2acYª`(Q�SVWXQVZ���� �he_Z(QÃZpOR]2ZkZXOdQ�W(e_«�Q�`"e2g¶ZpOdQhZwiue<bR]KWXZ(a¤Q6`k]KWXQYde_Zk`X¬�[^[¦QVZpW(acS2��]KY�nªW(Q�SV]2«¤«�ZpOR]2ZkikQt]KWXQÃndQ6`pSVWXa¤©Ra¤Ydm\]<bRWXeKZ(edSVeK«�ZpOR]2Zka¤`k`(Q�SVURWXQ<�Be_Yd«¤¬��iPa¤ZXO°W(Q�`XbCQ6SVZuZXe¦b�]K`p`(a¤®KQ�]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6��ÆtY�ac[^bd«�Q�[¦Q6YEZX]KZ(a¤e_YTe2g�ZpOdac`�a¤ndQ�]\b�W(edS-Q6Q6nR`�]_`gqeK«¤«¤e4iÃ`Vº

�"y2{R��~���z��-~�� {E�o}�B�V�-�p}���%-�¾ �| ���V� �X�-zd� ~�º�NPOdQf¢�WX`XZ�bR]KWXZw¬ S-e_Y�`(ZpWXURSVZX`�] 5X`pSVWp]K[\v©d«�Q�n�7tgqe_Wp[�e2g7ZXORQPe_WXa�m_a¤YR]K«dS-acWXS6Uda�Z6�*NPORQ 5X`pSVWp]K[f©R«�Q�n�7hSVa¤WpSVUda¤Z9S-eEYR`Xa¤`XZX`*e2g��R}4� ���y��àV{��V�����C~w p|<�V ��-�X V~B�uZpOR]2Z9SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnfZ(e�ZXORQPiPa¤WXQ6`GeKgCZXORQPe_WXa�m_a¤YR]K«dS-acWXS6Uda�Z"]_YRn�_}_|V�E -~B��ZXOR]KZfS-eEWXWXQ6`pbCe_YRn�Z(e ZpOdQ�m_]KZ(Q�`�e2gPZXOdQ�e_WXa�m_a¤YR]K«9S-acWXS6Uda¤ZV�TNPORQ�`(Q�SVWXQVZp`]K`p`(edS-ac]2ZXQ6n�iPa¤ZXOfZXOdQkiPa¤WXQ6`�Q6YEZ(Q�W(acYdm�]Ãm_]KZ(Q£]_W(QuUR`XQ6nª�Ba¤YfZXOdQum_]_ndmKQ6Z¶ZXOR]KZ*SVe_WpW(QVv`XbCe_YRn�`�ZXetZpOdac`Gm_]2ZXQ�� ]K`Gl2Q6¬d`�acY<ZpOdQ�Q6YRS6W(¬dbdZXa�eEY<eKgCZXORQ�`XQ6S6W(Q6ZX`*]K`p`(edSVa¤]KZ(Q6nfiPa�ZpOZXOdQ�iPa¤WXQ�Q�da�ZXa¤YRm\ZpOda¤`�mE]2ZXQK�*�CURWXZXOdQ�WX[¦eEW(Q_�EZpOdQ6WXQ�a¤`�]T�X}4{7|Ky�� ��y4���X -�À�dy2{�|K V{��� ©�Q6ZwikQ6Q6Y�Q�]KS�O�b�]2acW£eKg*`XQ6SVWXQVZp`k]_YRn�ZpOdQ�»ue�e_«�Q�]KYª®4]2«cUdQ�`t�Be2g ZpOdQ�S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmiPa¤WXQ����uNPOR]KZÃac`V�CiPa¤WXQ���ac`h]K`p`Xa�mEYdQ6nÇ]�bR]Ka¤WÃe2g9`(Q�SVWXQVZp`V��nRQ6Yde_Z(Q6n+��� :� 1�� : :� ���C]_YRnZXOdQ�W(Q�ac`9]�WX]_YRnde_[ �-v���[^]_bRbdacYdm��KnRQ6Yde_Z(Q6n�� � �E©�Q6ZwikQ6Q6Y¦ZXOdac`9bR]Ka¤W"]_YRn¦ZXOdQÃb�]2acWe2g�»�e�eK«¤Q6]_Y�®4]K«¤UdQ�`��Ia�� Q_��� ��� � ��� :� � 1�� � ��� : :� ��� ��� 16� �4���³k]KS�O/m_]_ndmKQ6Z¦ac`ªS-eEYR`XZXWpURS-ZXQ6n `XURS�O ZpOR]2Z�l�Yde4iP«¤Q6ndm_QTeKg�]+`XQ6S6W(Q6Z¦ZpOR]2Z�SVe_WpW(QVv`XbCe_YRnÇZXeªQ6]_S�OÇiPa¤WXQ�Q6YEZ(Q�W(acYdmªZpOdQ\SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤Ydm^mE]2Z(Qª�Ba¤YoZXOdQfSVa¤WpSVURa�Z��u¬�a�Q6«¤nR`]�`XQ6SVWXQVZ�S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmªZ(eTZXOdQ¦iPacW(Q\ZXOR]KZtQ��a¤ZX`�ZpOda¤`tm_]KZ(Q_�t��URW(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK�7ZXORQW(Q�S-e_Y�`(ZpWXURSVZ(a¤e_Y eKgt`XQ6SVWXQVZp`\U�`(acYdm�Q6]KS�O/m_]_ndmKQ6Z\WXQ6`pb�Q�S-ZX`¦ZpOdQ°gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬ e2gZXOdQ^S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmªm_]KZ(Q_���Ce_WtQ�R]K[^bd«¤QK�7a�gkeEYdQ\l�Yde4iÃ`tZXOdQ^`XQ6SVWXQVZtZXOR]KZ�SVe_WpW(QVv`XbCe_YRn�`£ZXefZXORQ\�Vv�®4]2«cUdQte2g¶e_YRQhQ6YEZpW(¬EvÀiPa¤WXQt]_YRnªZXORQ�`XQ6S6W(Q6Z£ZXO�]2Z�S-e_WpWXQ6`pb�eEYRnR`"ZXeZXOdQ^�4vÀ®4]2«cUdQ<e2gkZXOdQ¦eKZpOdQ6WtQ6YEZXWX¬Ev�iPacWXQK�7]KYRn ZpOdQ¦m_]2ZXQfac`�]KY � � v�mE]2ZXQK��ZXOdQ�Yoe_YRQe_©dZp]2acYR`�ZXOdQ<`XQ6S6W(Q6ZkZpOR]2ZÃSVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nR`uZ(eªZXORQª�-vÀ®�]K«¤URQteKg*Q��a¤Z�vÀiPacW(Q_�´�b�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K�_Q6]_S�O^m_]KnRmKQVZ"SVe_YR`Xa¤`XZX`£e2g%¨�Z(Q�[^bd«�Q6ZX`kZXOR]KZ£]KWXQÃbRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n¦a¤Y�]�Wp]KYdvnde_[ e_WpndQ6W6�EiÃOdQ6WXQÃQ6]_S�O^Z(Q�[¦bR«�Q6ZuSVe_WpW(Q�`XbCe_YRn�`"Z(e\e_YdQÃeKg¶ZXOdQt¨\bCe_`p`(ac©d«¤Qî4]2«cUdQ6`e2gdZXOdQkZwikePQ�YEZXWX¬_vÀiPacW(Q�`V� Æ/Z(Q�[¦bR«�Q6Z�[^]�¬t©CQk[¦Q6WXQV«¤¬�]Ãnde_U�©d«�Q£Q6YRS6W(¬dbdZXa�eEY�e2gRZXORQ`(Q�SVWXQVZ9ZpOR]2ZuS-e_WpWXQ6`pb�eEYRnR`9ZXefZpOdQt]_bRbRWXe_bRWXa¤]KZ(QÃeEUdZXb�UdZ£®4]2«cUdQ_�EiÃORQ6WXQhZXORQtndeEUR©d«¤QQ6YRS6W(¬dbdZXa�eEY<UR`XQ6`*]K`*l2QV¬d`�ZXOdQ�Zwiuet`XQ6S6W(Q6ZX`�ZXOR]KZ*SVe_WpW(Q�`XbCe_YRn�ZXetZpOdQua¤YRb�UdZ�®4]K«¤UdQ�`V�NPOR]2Zua¤`6�R`pURbRbCe_`XQ�]\m_]KZ(QtSVe_[^bRUdZXa¤YRmB%jº ��� 1V� � ��� ��� 1V� �tOR]K`uacYRbRUdZPiPacWXQ6`�� /

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈK��&

]KYRn � � ��]KYRn°e_URZXbRUdZhiPa¤WXQ � � �kNPORQ6Y%�RQ�]KS�O°e2gGZXORQ�gqe_URW�ZXQ6[^bd«¤QVZp`Ãe2gGZXORa¤`hm_]2ZXQOR]K`�ZpOdQ�gqe_Wp[ ������� � ����� ��� ��� �(���CiÃOdQ6WXQ %*��� � � ��� � � � 1 � � ��� � �(� � ��� ��� ��� ����  V{�|4� {��+~B��  B�V�-�p}���%-�¾ �| � �-� �p�-zd� ~�º NPOdQ°¢CWX`XZªbR]KWXZw¬¸`XQ6YRnR`^ZpOdQ<5X`pSVWp]K[\©d«�Q�n�7S-acWXS6Uda�Z£Z(e�ZXORQt`XQ6S-eEYRn^bR]KWXZw¬K� � Yª]Kn�nda�ZXa�eEY%�EZXOdQh¢CWX`XZ9bR]_W(Zw¬^`(Q�YRnR`"ZXe<ZXORQt`XQ6S-eEYRnbR]KWXZw¬TZpOdQª`(Q�SVWXQVZp`ÃZXO�]2Z�S-eEWXWXQ6`pb�eEYRnÇZ(eTa�Zp`�e4iÃY¸�Ia�� QK�¤�%ZXOdQ\¢CWp`(Z�bR]KWXZw¬!> `���acYRbRUdZ©da�Zp`Ç�B©RURZ^YReKZ^ZXOdQÇ®4]2«cUdQ�`\eKgtZpOdQ6`XQ ©da�Zp`���� NPOdQ°¢CWp`XZ¦bR]_W(Zw¬¸]K«¤`Xe+W(Q6®KQ6]K«¤`\ZXORQS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndQ6Y�S-Q�©CQVZwiuQVQ�Y/ZpOdQ°b�]2acW\eKgt`XQ6SVWXQVZp`^]K`p`(edS-ac]2ZXQ6n iPa¤ZXO Q6]_S�O¸eEUdZXbRURZ�Ia�� Q_���PS-acWpSVUda¤Z�vÀe_UdZpbRUdZ�iPacWXQ��¦]KY�n?ZXOdQo»�e�eK«¤Q6]_Y/®4]K«¤UdQ�`V� ·�Qj`XZXWXQ6`p`ªZXOR]KZ�ZXORQWX]_YRnde_[ SVe_WpW(Q�`XbCe_Y�ndQ6YRSVQ¦©CQVZwiuQVQ�Y�ZXOdQ�bR]Ka¤W�eKg�`XQ6S6W(Q6ZX`�]_`X`XedS-ac]2Z(Q�njiPa¤ZXO�Q�]KS�OeKZXORQ6W�iPacW(Q�]KY�n�ZpOdQ�»�eEe_«�Q�]KY�®�]K«¤URQ6`Pac`Pl2Q�bdZÃ`(Q�SVWXQVZ��B©E¬�ZpOdQ�¢CWp`(ZÃb�]KWXZw¬R���

� %V��� '��Iy4z����d�p}4{R�q�- V�<y���}K|_ ' Vz�}4~w ��V ��V�X -~B��º �hQ�dZ6�EZpOdQ�¢CWp`(Z�bR]KWXZw¬ªUR`XQ6`u]��X�-vÀe_UdZ(ve2g v�s_�<¿�©d«¤a¤®Ea¤e_U�`fN*WX]_YR`�gqQ�WfbRWXeKZXedS-eK«£a¤Y eEWXnRQ6W<ZXe�OR]_YRn+ZXORQ°`XQ6SVe_YRn bR]_W(Zw¬�ZXORQ`(Q�SVWXQVZX`fS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm Z(eoZpOdQT`XQ6SVe_YRn b�]KWXZw¬ > `�acYRbRUdZ¦©da¤ZX`T�IiPa¤ZXOdeEUdZfZpOdQ�¢CWp`XZbR]KWXZw¬ª«�Q�]KWpYdacYdmª]KYE¬�ZXOdacYdmª]K©Ce_UdZ�ZpOdQ6`XQ<©da¤ZX`����� e�e_`XQV«¤¬�`pb�Q�]KlEacYdm��9] �Vv�eEUdZ�vÀe2g v��¸¿�©d«¤a�®�a¤e_UR`\N�Wp]KY�`�gqQ�W<ac`\]�bRW(e_Z(edS-e_«£Q�YR]K©d«¤acYdme_YdQ�bR]_W(Zw¬�Z(eje_©dZp]2acY+e_YdQ�eKg��+`(Q�SVWXQVZX`fOdQV«cn¸©E¬�]_YdeKZpOdQ6WfbR]KWXZw¬K�*iPa�ZpOde_URZfZXORQ`(Q�S-e_Y�n bR]KWXZw¬T«¤Q6]_WXYRa¤Ydm�iÃOda¤S�Oj`(Q�SVWXQVZhi�]K`he_©dZp]2acYdQ6nj©_¬ÇZpOdQ<¢CWp`XZtbR]_W(Zw¬_�tNPOR]KZa¤`6�dikQ�WXQ-gqQ�W�Z(eªZXORQ�ZwikeKvÀbR]_W(Zw¬¦gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬

��� 1V��� / 1 " " "<1�� � �(� �� ��� � 1���� �À²d���4�iÃOdQ6WXQ�� ndQ6YReKZ(Q�`�ZXOdQ�Q�[^bdZw¬T`XZXWXa¤YRm��

��y���}2� ���^ �'4}2��z�}2~B� {��\~I�d  B�V�-�p}���%-�¾ �| �t�V� �X�Vzd� ~Bº*�Ga¤Y�]2«¤«�¬_�_ZpOdQÃ`(Q�S-eEYRn^bR]KWXZw¬45(Q6®4]2«�vUR]2ZXQ6`87hZpOdQ 5X`pSVWp]K[\©d«�Q�n�7hSVa¤WpSVURa�ZGm_]KZ(QVvÀ©E¬Ev�mE]2ZXQK�4`(Zp]KWXZ(acYdmtgIW(eE[�ZXOdQPZXe_bT�BSVa¤WpSVUda¤Z�va¤YRb�UdZ��Ãm_]KZ(Q6`\�qgqeEW�iÃOda¤S�Ooa�Z�l�Yde4iÃ`ÃeEYdQ^`(Q�SVWXQVZtbCQ6WtQ6]_S�O iPacW(Q4�Ã]_YRnoQ�YRndacYdmT]KZZXOdQª©CeKZ(ZXe_[ �BS-acWpSVUda¤Z�vÀe_UdZpbRUdZ��ÃmE]2ZXQ6`^�qgqeEW�iÃOdacS�O%� ©E¬jS-eEYR`XZXWpURS-ZXa�eEY%�%ZXOdQ�SVe_WpW(QVv`XbCe_YRnRQ6YRSVQ<e2g9`XQ6SVWXQVZp`PZ(e�®�]K«¤URQ6`Ãac`hl�Yde4iÃY����PNPO�UR`V�CZXOdQ¦`(Q�S-eEYRnÇbR]KWXZw¬TeE©dZX]Ka¤Y�`ZXOdQ�e_URZXbRUdZ�®4]2«cUdQ�e2g*ZXOdQ�SVa¤WpSVUda¤Z��B©RURZÃYdeKZpOda¤YRm¦Q6«¤`XQ����R]KYRnT`(Q�YRnR`�a¤Z�Z(e^ZXOdQ�¢CWp`XZbR]KWXZw¬K�

��eEWugIURWXZXOdQ�WPndQVZp]2a¤«¤`6��`XQVQf´EQ6SVZ(a¤e_Yo²�� ²�� ¨��� M���M�� M�� � # � ��@ ��=�� � ����=�HKL�D4=oHA� � FGL J #dJ6@ � � �ª@qJ6; ��; #dD4=���eEW�]_Y_¬ � �sR�h`XU�bRb�eE`(QjZXOR]KZ�� bR]KWXZ(a¤Q6`6�PQ6]_S�O OR]�®�acYdm/]¸bRWXa¤®�]KZ(Q�a¤YRb�UdZV�tiPa¤`pOZ(eªeE©dZX]Ka¤Y°ZpOdQ<®4]2«cUdQ�e2g9]ªbRWXQ6nRQVZ(Q�WX[¦acYdQ6n �TvÀ]_W(mEUR[¦Q6YEZugIURYRSVZ(a¤e_YÇQV®4]K«¤UR]KZ(Q�n°]KZPZXOdQ6a¤W`XQ ��UdQ6Y�S-Q9eKgRa¤YRb�UdZX`6����URWXZXOdQ�W�`pURbRbCe_`XQ9ZXO�]2Z ZpOdQkb�]KWXZ(a¤Q6` OReK«cn<]ÃS-acWpSVUda¤Z ZpOR]2Z*S-e_[^bRURZ(Q6`ZXORQ<®4]2«cUdQ�e2gGZXOdQ�gIU�YRS-ZXa�eEYÇe_Y°a¤Y�bRUdZX`he2gGZXOdQ<]_ndQ ��UR]KZ(Q�«¤Q6Ydm_ZXO%�C]KYRn°ZXO�]2ZÃZpOdQ<S-acWXS6Uda¤ZS-eEYEZX]2acYR`PeEYd«¤¬ � ��"¸]KY�n � ����m_]KZ(Q�`V�PÆÃmE]2acY%��ZXOdQ\a¤ndQ�]ªac`ÃZ(eTbRW(eEbR]2mE]2ZXQ�a¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_YgIWXe_[ ZXORQtZXe_bo��S-acWXS6Uda¤Z�vÀa¤YRb�UdZ��9m_]KZ(Q6`kZ(e¦ZXORQ�©CeKZXZ(e_[ ��S-acWXS6Uda¤Z�vÀe_UdZpbRUdZ��£mE]2Z(Q�`V��©RUdZ�ZpOda¤`Z(ac[¦Q�ZpOdQjacY�gqeEWX[^]2ZXa�eEY?a¤`°nda ��Q�W(Q�YEZV�t]_YRn ZpOdQ�bRWXe_b�]2m_]KZ(a¤e_Y ac`TndeEYdQ.*�e_a¤YEZX«�¬ ©E¬ ]K«�«bR]_W(ZXa�Q�`V��NPOdQ¦a¤ndQ�]�ac`�Z(eT`pOR]_W(Q\ZXOdQ¦®4]2«cUdQfeKg£Q6]_S�O iPa¤WXQfacYoZpOdQ^S-acWXS6Uda�Z�`XU�S�O ZXOR]KZ�]K«�«

� .�EaIJSmDLKNG4ql>5oHOQGH>5q][sVHUCO7rnIJoHIJGHgH\]<�OQUd>LKNDFE�OQ`aB_Va`aBm@5IJU_>Q\RK)S_`HD�D�IJGHDAB � �~VbKNUCBCI B_IJOQG&z~ON<eKNMJMbSwB_UCIJGHgQSA|BCEbK9BTSC>�VbKNUFK9BC>�ScBCEH> By@^OsSC>LD�UC>�BCS KNSCS_ORD�IXK9B_>�o�@5I BCE�BCEHIJS�@cIJUC>QY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈR��� ����������� �����������������������������������������������������!

`pOR]KWXQ6`�¬�a¤QV«cn�ZpOdQª®4]2«cUdQK�*iÃOdQ�W(Q�]K`�«¤]_S�lEa¤YdmÇQ6®KQ6Y�eEYdQ^e2g�ZXOdQ�`pOR]_W(Q�`�lKQVQ�bR`�ZXORQª®�]K«¤URQZ(e_ZX]K«�«¤¬�URYRnRQVZ(Q�WX[¦acYdQ6n¶�9NPOR]2ZPac`V�diuQ�UR`XQ�]^`Xa¤[^bd«¤Q<`XQ6SVWXQVZP`pOR]KWXacYdm¦`pS�OdQ�[\Q�`pURS�OTZXOR]KZ]f©Ra�Z���ac`k`pOR]KWXQ6nª©E¬ª]fWp]KY�nde_[ `(Q ��UdQ6YRSVQheKg ��©da¤ZX`uZpOR]2Zu`XUR[\vwURbªZXe��k[¦e�nªsR�*�GacWX`XZV�Q6]_S�O�bR]_W(Zw¬^`XO�]KWXQ6`9Q�]KS�O^eKg a�Zp`£acYRbRURZu©da¤ZX`uiPa¤ZXOT]2«¤«�bR]_W(ZXa�Q�`Ã��©_¬�`XQ6Y�nda¤YRmfQ6]_S�OªbR]KWXZw¬^]Wp]KYRndeE[®4]K«¤UdQ¦]KYRnj`(Q6Z(Z(acYdmTa�Zp`he4iÃY `pOR]KWXQf]_SVS-eEWXnRa¤Ydm_«�¬���� � �hQ�dZV�%]2«¤«*b�]KWXZ(a¤Q6` *�e_a¤YEZX«�¬`pSV]KYjZXOdQªSVa¤WpSVUda¤Z�gIW(eE[ a¤ZX`�a¤Y�bRUdZ�iPacW(Q�`tZXeÇZXOdQ^e_URZXbRUdZ�iPacW(Q�`V�¶b�W(edS-Q�`X`XacYdmTQ�]KS�Ojm_]2ZXQ]K`ugqe_«�«¤e4iÃ`6º

· OdQ6YªQ�YRS-eEURYEZ(Q�W(acYdmf]fm_]2ZXQK�EZXOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`£]2«cWXQ6]KnR¬¦Ode_«¤n�`XOR]_W(Q�`9eKg¶ZXOdQt®�]K«¤URQ6`ke2gZXOdQ�iPacW(Q�`PQ6YEZXQ6WXa¤Ydm^ZpOdQ<m_]KZ(Q_��]KYRn°ZpOdQVacWh]Ka¤[Âa¤`PZXeªe_©dZp]2acYÇ`XOR]_W(Q�`�e2gGZXOdQf®�]K«¤URQe2g�ZpOdQ�iPacW(Q�Q�da¤Z(acYdmªZXORQ�m_]2ZXQK�

��e_W�] � � �Cv�mE]2ZXQK��bRW(eEbR]2mE]2ZXa¤YdmÃ`pOR]_W(Q�`¶ZXO�W(eEUdm_O�ZpOdQkmE]2ZXQ9a¤`�Q6]_`(¬7º¶ZpOdQ9¢�WX`XZ�bR]_W(Zw¬*(UR`(Z $�acbR`£ZpOdQh®4]K«¤UdQte2g¶a¤ZX`u`XO�]KWXQK�_]_YRn�]K«�«�eKZpOdQ6WkbR]KWXZ(a¤Q6`k[¦]Ka¤YEZp]2acYªZXOdQ6a¤Wk`XO�]KWXQ6`6�

��e_W\]KY � ��"7vÀm_]2ZXQK�GbRWXe_bR]Km_]2ZXa¤YRmÇ`pOR]_W(Q�`<ZXO�W(eEUdm_O+ZpOdQ�mE]2Z(Q�WXQ ��UdacWXQ6`f]j`(Q�SVURWXQ�Ia�� Q_���fb�]K`p`(a¤®KQ6«�¬Evw`(Q�SVURWXQ��T[fUR«�ZXa¾vwbR]KWXZw¬¹b�W(e_Z(edS-e_«B�´EacYRS-Q/]_Y � ��"%v�mE]2Z(Q¸SVe_WpW(QVv`XbCe_YRn�`hZXeÇ[\Ud«¤Z(acbd«�acSV]KZ(a¤e_Y�[\ednRUR«�e sd�%ZpOdQ¦b�]KWXZ(a¤Q6`�YdQVQ�njZXe°`XQ6S6URW(Q6«�¬ SVe_[^bRUdZXQZXOdQ�gqeK«¤«¤e4iPa¤Ydm¦WX]_YRndeE[\a¤ÊVQ�nªgIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬o�Ba¤YTiÃOdacS�O�ZpOdQ#- � > `PnRQ6Yde_Z(Q�`XO�]KWXQ6`ke2ge_YdQTQ6YEZXWX¬Ev�iPacW(Q_�"ZXOdQ � � > `^ndQ�YdeKZXQT`pOR]KWXQ6`\e2gtZXOdQÇ`(Q�S-eEYRn¸Q�Y_ZpW(¬EvÀiPa¤WXQK�"ZpOdQ�� � > `ndQ6Yde_Z(Qj`pOR]_W(Q�`ªe2g�ZXORQjQ�da¤Z�vÀiPa¤WXQK�Ã]_YRn?ZXORQ�`pOR]KWXQ6`ªacYRndQ�dQ6n ©E¬ �¦©CQV«¤e_YdmE`�ZXer ]KWXZw¬ �(��º

�(�;- / 1� / � 1�" " "<16�.- 5 1�� 5 �(� �� ��� / 1 " " "31�� � � �À²d� sE�iÃOdQ�W(Q5�� / � �

5��� / - � É

5�� / � � �À²d� Á��

NPOR]2Z�ac`V�RZpOdQ�� � > `P]KWXQ�WX]_YRnde_[Â`XUR© *�Q6S-Z�ZXeª³ ���%�À²d� Á����Æ�ZuZXOdQ�Q6Y�n%��Q6]KS�OTbR]KWXZw¬ªOdeK«cnR`�]f`pOR]_W(Qte2g Q�]KS�OªeEUdZXbRURZuiPacWXQK�"NPOdQ�ndQ6`Xa¤WXQ6n�e_UdZpbRUdZua¤`e_©RZX]2acYdQ�n°©E¬T«�Q6Z(Z(acYdm�Q�]KS�O°bR]KWXZw¬T`XQ6Y�nTa¤ZX`t`XO�]KWXQ�eKg*Q�]KS�O°e_URZXbRUdZhiPa¤WXQ�Z(e�]K«�« b�]KWXZ(a¤Q6`6�NPO�UR`6�Ã`(Q�SVURWXQV«¤¬ Q6®4]2«cUR]2ZXa¤Ydm ZpOdQjQ�YEZ(acW(Q¸��]KWp©da¤ZXWp]KWX¬R�¦SVa¤WpSVURa�Z 5pW(Q�nRURSVQ6`87+Z(e/`XQ6S6URW(Q6«�¬S-eEYRnRURSVZ(acYdm ]+`XbCQ6SVa¾¢CS+�B®KQ�W(¬/`Xac[¦bR«�Q4�¦[fUd«¤Z(a�vÀb�]KWXZw¬¸S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEY%� »PUdZªZXORa¤YdmE`^mKQ6ZQV®_Q6Y°`(ac[^bd«¤Q6W6º"ZXOdQ<lKQV¬�eE©R`(Q�W(®4]KZ(a¤e_Y�ac`�ZXO�]2Z 5�

� / - ��� É 5��� / � ���

5�� / - � � � � �

/�� ����� �$5 �;- � � � � - � � � � �À²d� ¨d�

NPO�UR`6��ZpOdQ �TvÀ]_W(¬ gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬�e2gP³ �C�£�À²���s_���/�w²�� ÁE��S6]KY+©�QTS-e_[^bRURZ(Q6n ]_`�gqeK«¤«¤e4iÃ`�IiÃORQ6WXQ�]K«�«�]KWXa�ZpOR[¦QVZ(acS�e_bCQ6Wp]2ZXa�eEYR`�]KWXQ�[¦edn s_��º�_�P³k]KS�O r ]KWXZw¬ �9«¤e�S6]2«¤«�¬TS-e_[^bRURZ(Q6`�� � � ������� - � � � �� ZHOQUcS_IJP4VHMJIJD�I By[]\b@^> P�KL[�KNS_SC`HP4>)B_EH>VHU_I rNK9B_>DFEbKNGHGa>LM*P4ORoH>�M~\fIJG�@5EHIJDFE�DLKNS_>/K4rNKNMJ`H>/SC>�GRBcB_O

KNG�EaOQGH>�SCBcVbKNUCBy[�DLKNGHGHONBcqf>)U_>LKNo�q][�B_EH> KNoar]>�UCSFKNUC[]Y

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ������� � �� ÈR�_�

sR� �hQ�dZ6�RQ6]_S�OTbR]Ka¤W�eKgGb�]KWXZ(a¤Q6`��Ia�� QK�¤� r ]KWXZ(a¤Q6` �u]KYRn �d�u`(Q�SVURWXQV«¤¬�SVe_[^bRUdZXQ<WX]_YRnde_[`XOR]_W(Q�`Ge2g0- � � � � - � � � �"NPOR]KZ"a¤`6� r ]KWXZ(a¤Q6` ��]_YRn ���BOde_«¤ndacYdmª�;- � 1� � �G]KY�nT�;- � 1�� � ���W(Q�`XbCQ6SVZ(a¤®KQV«¤¬����"YdQ6Q6n¸ZXe�`XQ6S6URW(Q6«�¬ SVe_[^bRUdZXQ�ZXORQ°Wp]KYRnRe_[¦a�Ê6Q6n Zwiue2vwbR]_W(Zw¬jgIURYRS�vZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬j�X�.- � 1� � � 16�.- � 1� � �X���� ��� � � � 1�� � � � ����iÃORQ6WXQ�ZXOdQ � > `Ã]KWXQ�WX]_YRnde_[ `XU�©�*�Q6SVZZ(e � � � � � � � � � - � � � � � � - � �GNPORQh«c]2Z(ZXQ6Wh�B`Xa¤[^bd«¤Q��9ZwikeKvÀb�]KWXZw¬fS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YªSV]_Y©�Q¦`(Q�SVURWXQV«¤¬Tac[^bd«¤Q6[¦Q6YEZ(Q�noUR`Xa¤YRmj�B]o�-vÀe_UdZ(v�eKg v�¨d�P¿�©d«�a¤®�a�eEUR`hN*Wp]KYR`(gqQ6W6��´�bCQ6SVa¾¢RvSV]2«¤«¤¬K� r ]KWXZw¬ �£URYda�gqe_Wp[¦«�¬°`(Q6«�Q�S-Zp`�� � � � � ��� 1V� �_�d]KY�nTndQV¢CYdQ�`�a�Zp`�gqe_URWP`XQ6S6W(Q6ZX`P]_`gqeK«¤«�e4iÃ`6º

acYRndQ�Te2g SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤Ydm ®�]K«¤URQ�e2g�ZpOdQ<`XQ6SVWXQVZZXOdQ<`XQ6S6W(Q6Z ®4]2«cUdQ�e2gu�.- � 1� � � �Ie_URZXbRUdZhe2g r ]_W(Zw¬ �d�

� ��� 1p�E� � � � �s ��� 16��� � � � � � - �Á �X� 1p�E� � � � � � � �¨ �X� 16��� � � � � � - � � � �

r ]KWXZw¬ ��`(Q6ZX`�a�Zp`*a¤YRb�UdZ�ZXe�s - � � � � � �_��]_YRn�eE©dZX]Ka¤YR`�ZXORQk`XQ6SVWXQVZ � � � � � - � � � � � � - � �� � YRndQ6Q6n%�6gqe_W 5X`p[¦]K«�« 7����4]KYE¬ÃZwiue2vwbR]_W(Zw¬PgIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬#%oº ���� � � � ��� ��� 16� �SV]KY\©�QÃ`XQ6S6URWXQV«¤¬�a¤[^bd«¤Q6[¦Q6YEZXQ6n¦©_¬\]t`Xa¤YRmK«¤QuacYE®KedSV]KZ(a¤e_Yfe2gC]¦�-vÀe_URZ�vÀe2g v� ���¿�©R«�a¤®Eva�eEUR`�N*Wp]KYR`(gqQ6W6��iÃOdQ6WXQ£ZpOdQ£¢�WX`XZ*b�]KWXZw¬�nRQ-¢CYdQ�`*a�Zp`�� ����`XQ6S6W(Q6ZX`�a¤Y\S-e_WpWXQ6`pb�eEYRndQ6Y�S-QZ(e^ZXOdQ�� ���Rb�eE`X`Xa¤©R«�Q�®4]2«cUdQ6`�eKg*ZpOdQ�acYRbRUdZPZXeªZXOdQ<`XQ6SVe_YRn°bR]KWXZw¬K� �

Á��P�*acYR]K«�«¤¬K�7gqeEWhQ6®KQ6WX¬ � Â� 1�" " "31 ����ZpOdQª`XU�[ � 5�� / � � � � ¬�a¤QV«cnR`�ZXOdQªndQ�`(acW(Q�no`pOR]KWXQe2g r ]_W(Zw¬ ���Æ�ndQ6ZX]2a¤«¤Q6nÇndQ6`pSVWXacbdZ(a¤e_YTa¤`Pb�W(e4®�acndQ6nTa¤Y ´EQ�S-Z(a¤e_Yo²d� Á°�B`XQVQ�]K«¤`Xe�´EQ6SVZ(a¤e_Y ²���±d��s_���� D4=���#dJ�=�� H�� � �VJ6D4L�HKJ6@ � � � ·�Qj[¦Q6YEZXa�eEY ZpOR]2ZT]KY?]KYR]K«�e_mKeEUR`^S-e_Y�`(ZpWXURSVZ(a¤e_Y?OR]_`©CQVQ6Y `pUR©R`XQ ��UdQ�YEZ(«¤¬TUR`XQ6nÇacYÇZXOdQ\bRW(a¤®4]2ZXQ<S�OR]KYRYRQV«�[¦edndQ6« ]KYRnÇiPa¤ZXO�`(Zp]KYRnR`tS-eE[¦b�UdZX]2vZ(a¤e_Y�]2«¤«�¬ªURY�©Ce_URYRnRQ6n°]KS-ZXa�®_Qf��W(Q�`Xb%�¤�dbR]K`p`Xa�®_Q��"]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤Q6`"ZpOR]2Z�S-eEY_ZpW(e_«C«¤Q6`p`kZXOR]_Y�e_YRQZXORa¤Wpno��W(Q�`Xb%�¤�d]f[¦acYde_WXa�Zw¬��"e2g ZpOdQ�b�]KWXZ(a¤Q6`6�*NPOdQ�©R]_`(acSÃacndQ6]fa¤`uZXe\UR`XQ�]\[¦e_WXQt`Xe_bROdac`XZ(a�vSV]KZ(Q�n�`(Q�SVWXQVZ `pOR]KWXacYdmÃ`XS�ORQ6[¦Q �4`pb�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K��®�a¤]ë�e4i+ndQVmEW(Q6Q9b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¤`6��NPOR]KZ¶ac`V��ZXORQ»�e�eK«¤Q6]KY�S-acWXS6Uda�Zuac`k®�a¤QViuQ6nT]K`�]KYT]KWXa�ZpOR[¦QVZ(acS�S-acWXS6Uda�Zue4®KQ�Wk]<¢CYda¤Z(Q�¢�Q6«¤n°OR]�®�a¤YRm\[¦e_WXQZXO�]KY � Q6«�Q�[¦Q6YEZX`6�C]_YRn ]�`XQ6SVWXQVZPQ6«�Q�[¦Q6YEZ �fa¤YÇZpOdQ<¢�Q6«¤nÇac`h`pOR]_W(Q�n°©E¬°`(Q6«�Q�S-Z(acYdm�U�Yda¾vgqe_Wp[¦«�¬°]ªb�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«%e2g9ndQVmEW(Q6Q� ��w�6��� �����2Á����BWXQ6`pb%�¤��ndQ6m_WXQVQ� ��w�6��� �����2s��2�OR]�®�acYdmª]fgIWXQVQVv�ZXQ6Wp[ Q ��UR]K«%Z(e �_�R]KY�n°O�]KYRndacYdm^Q6]_S�OTb�]KWXZw¬�ZXOdQ�®4]K«¤UdQ�eKg*ZpOda¤`hb�e_«�¬dYdeKv[¦a¤]K«�QV®4]2«cUR]2ZXQ6n¦]2ZG]tnRa �7Q6WXQ6YEZ��q¢ dQ�nC��b�e_a¤YEZ��IQ_� mC���2bR]_W(Zw¬ �%ac`*mKa¤®KQ�Y<ZXORQu®4]K«¤UdQ�]2Z"bCeKacYEZ�(����ÆtnRnda¤Z(a¤e_Y�ac`�Q6[\Ud«¤]KZ(Q�n�©E¬/�B«�edS6]2«q��b�e_a¤YEZ�vÀiPac`(Qª]Kn�nda�ZXa�eEY�e2gkZpOdQo��`(Q�SVWXQVZ�`XO�]KWXa¤Ydmd�bCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«¤`tW(Q�bRWXQ6`XQ6YEZ(acYdm�ZpOdQ\Zwiue�acYRbRUdZp`¦�BUR`Xa¤YRm�ZXORQ<gI]KSVZtZpOR]2Zhgqe_W�b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¤`�+]KY�n���� ]_YRnj]_Y_¬°¢�Q6«¤n�QV«¤Q6[¦Q�Y_Z��Ç�B]_YRn�a¤Y�bR]KWXZ(acSVUd«c]KW�� � 1V� 1 " " "31 �o���7a¤Z�OReK«cnR`�ZXOR]KZ+¶���2� � �����2� ��3+ � �K�����2�(���£NPOdQ�Q�[fUd«c]2ZXa�eEYTeKg*[\Ud«�ZXa¤bR«�acSV]KZ(a¤e_Y°a¤`h[\eEW(Q�acYE®KeK«¤®KQ�n�]_YRnWXQ ��UdacW(Q�`kacYEZ(Q�WX]_S-Z(a¤e_Y��B©CQ6S6]KUR`XQ�ZXORQ<bRW(ednRU�S-ZPe2gGb�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¤`�¬�a¤QV«cnR`Ã]^b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«%e2gOda¤m_OdQ�W�ndQVmEW(Q6QK�%]KYRn�ZXO�UR`�ZpOdQªb�e_«�¬dYdeE[\ac]2«"WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZXa¤YdmTZXOdQ^eEUdZXbRURZ�S6]KYRYReKZ�©�Q^ZXORQbRWXednRURS-Z¦e2g�ZXOdQ bCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«c`\WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZXa¤Ydm�ZXOdQÇZwiue�acYRbRURZX`���� � Y�ndQVQ�n%�£ZpOdQ ]2ac[ e2gZXORQ�acY_ZXQ6Wp]KSVZ(a¤e_Y+ac`fZXeoZXURWpY ZpOdQT`pOR]KWXQ6`fe2gPZXORQTbRWXednRURS-Z¦b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«£acY_ZXe�`pOR]KWXQ6`<e2g]ÇndQVmEW(Q6Q jb�e_«�¬dYdeE[\ac]2«"ZpOR]2Z<O�]K`�ZXOdQ�`p]K[¦Q¦gIWXQVQ-vÀZ(Q�WX[ ]K`�ZXORQ^b�W(ednRURSVZ<b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈR��s ����������� �����������������������������������������������������!

�IiÃORa¤S�O^ac`9eKg7ndQ6m_WXQVQhs ����GNPORa¤`9S6]KYª©CQhndeEYdQÃUR`Xa¤Ydm�ZpOdQÃgI]_S-Z"ZpOR]2Z9ZpOdQtSVe�Q-½�S-a¤Q6YEZX`9e2g%]bCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«C]_W(QÃ]�«¤a¤YRQ6]KWkS-eE[f©dacYR]2ZXa�eEY¦e2g%a�Zp`£®4]K«¤UdQ�`£]KZ£`XUd½ªSVa�Q�YEZ(«¤¬¦[^]KYE¬¦]KWXm_UR[¦Q6YEZp`�B]_YRn�ZXOdQªe_ZXOdQ�W�iu]�¬o]_W(eEURYRnC���¶]KYRn�ZXOdQ^gI]_S-Z�ZXO�]2Z�e_YRQ^S6]KY�bRW(a¤®4]2ZXQV«¤¬_vwS-eE[^bRUdZ(Qª]_Y_¬«¤a¤YdQ�]KWPSVe_[f©Ra¤YR]KZ(a¤e_Y��IeKg*`XQ6SVWXQVZ�®4]2«cUdQ�`����"��e_WugIU�W(ZpOdQ6WÃnRQVZX]Ka�«c`6�R`(Q6Q<´�Q6S-ZXa�eEYo²�� ÈR�

@BA � ����� G � K���� � H���������!G���� G���� I���I���� �

� Y¸ZpOdac`ª`(Q�S-Z(a¤e_Y/ikQÇndQV¢CYdQÇ`(Q�SVURWXa�Zw¬+gqeEWfZwiue+[\edndQ6«¤`¦eKgt]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`<gqe_W\ZwikeKvÀb�]KWXZw¬bRWXeKZXe�SVeK«c`V� � Yj©CeKZpOj[¦edndQV«c`hZpOdQ^]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬Ta¤`�Yde_YdvÀ]_nR]KbdZXa�®_Qf]KY�noS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«�«¤¬Ev©Ce_URYRnRQ6n��BaB� QK�¤�hWXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q6n?ZXe bRWXe_©�]K©da¤«�ac`XZ(acSob�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦QoiPa�ZpO��BYRe_Y�vwURYda�gqe_Wp[��]KU �a¤«¤a¤]_W(¬ÇacYRbRUdZp`���� � Y�ZXOdQ¦¢CWp`XZ�[¦edndQ6«B�¶bRWXQ6`XQ6YEZXQ6noacY ´EQ6SVZ(a¤e_Y ²���sd��sd�%iuQ¦SVe_YR`Xa¤nRQ6W�]WXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q6n/]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬jS6]2«¤«�Q�n¸`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZV�"iÃOdQ�W(Q�]K`fZXOdQTmKQ6YRQ6Wp]2«kS6]K`XQ�eKgh[¦]K«�acS-a¤e_U�`]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬jac`\SVe_YR`Xa¤nRQ6WXQ6n+acY ´EQ�S-Z(a¤e_Y ²���sd� ÁR� � Y ]KnRnRa�ZXa�eEY Z(e�©�Q6a¤Ydm�e2gÃacYRndQ�b�Q�YRndQ�Y_ZacY_ZXQ6WXQ6`XZV�"ZpOdQT`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZf[¦edndQV«uiPa¤«�«Pbd«c]�¬�]�[^]�*�e_WfW(e_«�QTa¤Y ZpOdQTSVe_YR`XZXWpURSVZ(a¤e_YR`fe2gbRWXeKZXe�SVeK«c`kgqe_W�ZXORQ<[¦]K«�acS-a¤e_U�`P[\edndQ6«9�B`XQVQf´EQ�S-ZXa�eEYR`t²�� Á¦]KYRno²�� ¨�������/�� ����� 6"!��� �)(k���L($#9%*� 01� � �'%&%ƹZwikeKvÀbR]_W(Zw¬¦bRWXeKZ(edSVeK«7bRW(eE©d«¤Q6[ a¤`uSV]_`(Zu©E¬^`pbCQ6S-a�gq¬�a¤YRm¦]\WX]_YRnde_[ bRWXedS-Q6`p`kZXOR]KZk[^]KbR`bR]Ka¤Wp`^e2g�a¤YRb�UdZX`j�Ie_YRQ°acYRbRURZ�b�Q�WªQ6]_S�O/bR]_W(Zw¬��\ZXe+b�]2acWX`^eKg�eEUdZXbRURZX` �Be_YdQ bCQ6WªQ�]KS�ObR]_W(Zw¬���� ·�Q+W(QVgqQ6W�Z(e `pURS�O ] bRW(edSVQ6`p`�]K`�ZXOdQ�ndQ6`XacW(Q�n %('*)�+-,/. 01)2�435. ,6#��ÃndQ6Yde_Z(Q�n % º��� 1V� �(' � ��� 1V� �)' � ��� 1V� �)' � ��� 16� �)'��9NPOR]2Zuac`V��gqeEWkQ6®KQ�W(¬ªbR]Ka¤Wue2g*a¤Y�bRUdZX`��;- 1��R���RZXORQndQ�`(acW(Q�n e_URZXbRUdZ(vÀb�]2acWÃac`t]TWX]_YRnde_[ ®4]KWXa¤]_©d«¤QK�0%*�.- 1������%WX]_YdmKacYdm�e4®_Q6WtbR]2acWX`he2g£`XZXWXa¤YRm_`6�NPOdQª¢�WX`XZ<bR]KWXZw¬K�GOde_«¤ndacYdm acYRbRUdZ - �GiPac`XOdQ�`�Z(eje_©dZp]2acY�ZpOdQª¢CWp`XZ<QV«¤Q6[¦Q6YEZ<acY %*�.- 1�����iÃOdQ�W(Q�]K`uZXOdQ<`XQ6SVe_YRn°bR]_W(Zw¬_��OReK«cnda¤YRm¦acYRbRURZ����diPac`pOdQ6`�ZXe¦eE©dZX]Ka¤Y°ZpOdQ�`(Q�S-e_Y�n�Q6«�Q�[\Q�YEZacY %*�;- 1��R���9Æ gqQVi a¤YEZXQ6WXQ6`XZ(acYdmª`XbCQ6SVa¤]K«¶SV]K`XQ6`�]_W(Q�Oda¤m_Od«¤a¤m_OEZ(Q�nTYdQ�dZV�

� �����^ V~B���I�¦|K V~w -� �¦� {��c��~��I����zd{��V~B�Iy2{�}2� � ~B�I -��ºuNPOdac`Ãac`PZpOdQf`Xa¤[^bd«¤Q6`XZÃmKQ�YdQ6Wp]2«¶S6]K`XQe2gqZ(Q�Y¸S-eEYR`Xa¤ndQ�W(Q�n acY¸ZXORQT«¤a�ZXQ6Wp]2ZpURW(Q_� � Y/ZXOdac`^SV]_`(Q_��gqeEW\`Xe_[¦Q°bRW(Q�ndQVZXQ6Wp[¦a¤YdQ�ngIURYRS-ZXa�eEY%�+*��9©�e_ZXO/b�]KWXZ(a¤Q6`<iPac`pO Z(e�e_©dZp]2acY ZXOdQ°®4]2«cUdQ�eKg,*�Q6®4]2«cUR]2ZXQ6n¸]KZfZXORQa¤YRb�UdZ�bR]Ka¤W6� NPO�]2Zªac`V�PZpOdQ gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬/ZpOdQV¬ iPac`XO?ZXe �B`XQ6S6URW(Q6«�¬��¦SVe_[^bRUdZXQa¤` %*�;- 1��R� � ��� �-*��.- 1��� 1.*C�;- 1���X��� ��eEWªQ�R]K[^bd«¤QK��ZpOdQV¬?[^]�¬/©�Q�a¤YEZXQ6WXQ6`XZ(Q6n acYndQVZXQ6Wp[\acYdacYdm�iÃOdQVZpOdQ6WGZpOdQVacWG«¤e�S6]2«dacYRbRUdZp`9]KWXQuQ ��UR]2«%�BaB� QK�¤�/*��.- 1��� �ua � -� ���e_WtiÃOdQVZpOdQ6W�ZXORQVacW�«�edSV]K«Ga¤YRb�UdZX`�®�a¤QViuQ6nj]_`�`(Q6ZX`�]KWXQ\ndac` *�eKacY_Z^�BaB� QK�¤�0*��.- 1�����Â�a �ogqeEW�QV®_Q6WX¬ �9QVa¤ZXOdQ�W�- � �¦e_W � � �����

{2��zd~*y%-��� '��Iy4z����X}4{7|Ky �\�21� �|u��zd{��V~B�Iy2{�}2� � ~B�I -��º*· ORQ6WXQ6]K`GacYRbRURZ�vÀe_©d«¤a�®�a¤e_UR`£ndQVZXQ6W(v[\acYdac`(ZXa¤S�gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�ZXa�Q�`h]_W(Q�ZXWXa¤®Eac]2«��R`Xe_[¦Q�a¤Y�bRUdZ�vÀe_©R«�a¤®�a�eEUR`ÃWp]KYRndeE[¦a�Ê6Q6n�gIURYRS�vZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`k]KWXQh®KQ�W(¬¦acY_ZXQ6WXQ6`XZ(acYdm��9´�URb�b�eE`(Q_�_gqeEW9Q�d]_[^bd«�Q_��ZXOR]KZ£ZXORQhZwiue\bR]_W(ZXa�Q�`iPa¤`pO�Z(eÃZXe_`p`¶]9�-}2� ��SVeKacY^�Ia�� Q_���2`pURS�O�ZXO�]2Z�YRehbR]KWXZw¬tS6]KY65Xa¤Y�$�UdQ6YRSVQ9ZXORQ9e_UdZpS-eE[\Q�7©_¬�a�Zp`(Q6«¾g����jNPOdac`<Zp]K`pljS6]KY ©CQ�SV]_`(Zf©E¬+W(Q ��Uda¤WXacYdm ZXOR]KZV�*gqe_W<QV®KQ�W(¬�a¤Y�bRUdZ\b�]2acW�.- 1������RZpOdQ�e_UdZpbRUdZÃbR]Ka¤W�%*�.- 1���kac`PURYda�gqe_Wp[\«¤¬�ndac`XZXWXa¤©RURZ(Q6n°e4®_Q6W�_�B� 1X��� 1V�X� 16�����E�

������� �ª V~B���I�%��zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~��I -��º*NPOdQ£m_Q6YdQ�WX]K«_S6]K`XQ9e2gC]_`(¬d[^[¦QVZpW(acSGgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`a¤`¦SV]_bdZXURWXQ6n ©E¬+gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Z(a¤Q6`¦e2ghZpOdQTgqe_Wp[ %*�.- 1���� � ��� � % : �;- 1��� 1 �7���uiÃOdQ6WXQ% : º ��� 1V� �(' ����� 1V� �)'�� ��� 1V� �('tac`P]ªWX]_YRnde_[¦a¤ÊVQ�nTbRWXedS-Q�`X`P]_YRn � ndQ6YReKZ(Q�`PZXORQ

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# ÈR��Á

Q6[^bdZw¬^`(ZpW(acYdm��GÆ `pb�Q�S-ac]2«�SV]K`XQPe2g%acYEZ(Q6WXQ6`XZ9ac`9iÃOdQ�Y^e_YdQtbR]KWXZw¬fiPac`XORQ6`"ZXe<e_©dZp]2acY`(eE[\Q\bRW(Q�ndQVZXQ6Wp[¦a¤YdQ�n bR]KWXZ(ac]2«�a¤Ydgqe_Wp[¦]KZ(a¤e_YÇWXQVm_]_WXnRa¤YdmªZpOdQ\`XQ6S6W(Q6ZÃacYRbRUdZte2g9ZXORQeKZXORQ6WÃbR]_W(Zw¬_��iÃOdQ�W(QfZXOdQ\«¤]KZ(Z(Q�Wh`XQ6S6W(Q6ZÃa¤`h®KQ�W(a�¢C]K©R«�Q�iPa¤ZXOoWXQ6`pbCQ6S-ZhZ(e�ZpOdQ<acYRbRUdZe2ghZpOdQ°¢CWX`XZ^bR]KWXZw¬K�¸NPOdac`¦ZX]_`Xl+ac`^SV]KbRZXURWXQ6n ©_¬¸]jgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ % `pURS�O/ZXOR]KZ%*�.- 1���� � ��� ���¦� �R� 1 �7�Pa�g� ��.- 1���� �\]_YRn %*�.- 1��� ����� ��� 1 �7�Pe_ZXOdQ�W(iPac`XQK��iÃOdQ6WXQ� WXQ6b�W(Q�`(Q�Y_Zp`PZXORQ¦bR]_W(ZXa¤]K« acY�gqe_Wp[^]2ZXa�eEY Z(e°©�Q^W(Q6®KQ�]2«¤Q6n ]KY�n� WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZp`ÃZXORQ®KQ6WXa�¢CSV]KZ(a¤e_Y�b�W(edS-Q�nRURWXQK���

·�Q\`XZXWXQ6`p`ÃZXO�]2Z�iÃOdQ6YdQ6®KQ�WÃiuQfS-eEYR`(acndQ�Wh]�b�W(e_Z(edS-e_«%gqe_W�`(Q�SVURWXQV«¤¬ÇS-e_[^bRURZ(acYdm %*��a�Zta¤`ac[¦bR«�acS-a¤Z(«¤¬¸]K`p`XU�[\Q�n ZXO�]2Z¦ZXOdQÇbRWXeKZ(edSVeK«kSVe_WpW(Q�S-ZX«�¬+S-eE[¦b�UdZ(Q�`,% iÃOdQ�Y/©CeKZpO/bR]_W(ZXa�Q�`gqeK«¤«¤e4iÂZXORQjbRWXQ6`pSVWXa¤©CQ6n bRWXeKm_Wp]K[°� NPOR]KZªa¤`6�kZpOdQ �Vy2� {�~^e_UdZpbRUdZ�nRa¤`XZXWXa¤©�UdZ(a¤e_Y e2g�ZXORQbRWXeKZXe�SVeK«��Cbd«c]�¬KQ�n ©E¬°OdeEYdQ6`XZtb�]KWXZ(a¤Q6`6�CeEYÇa¤YRb�UdZ�b�]2acW<�.- 1�����7Q �EU�]2«c`ÃZXORQ\ndac`(ZpW(ac©RUdZXa�eEYe2g %*�.- 1������ �CJ #dJ�@ � � � ·�Q «�Q6Z � ndQ6YReKZ(QÇZpOdQ Q6[^bdZw¬ `(ZpW(acYdm+]KYRn�� nRQ6Yde_Z(Q ]+`XbCQ6SVa¤]K«\ -���py4������ %pyK���*NPO�]2Z*a¤`6�4iÃOdQ6WXQ6]_` � � ��� 1V� �('P�B]KY�n�� � � �E���4ikQub�eE`(ZpUd«c]2Z(QuZXO�]2Z����� ��� 1V� �)'�B]_YRn°a¤`�ZpO�UR`Ãndac`(ZXa¤YRm_Udac`XO�]K©d«¤Q�gIW(eE[ ]KYE¬�`XZXWXa¤YRm¦acY���� 1V� �)'-���� M��¶M���M�� � @ � F �I@ �¶@��*AjHA� � �C=��7J�@ � � �N�e^`Xac[¦bR«�a�gq¬�ZpOdQ�Q�RbCe_`Xa�ZXa�eEY�iuQ<[^]Kl2Q�ZXORQ�gqeK«¤«�e4iPacYdm^ZXORWXQVQ�]_`X`pUR[^bdZ(a¤e_Y�`Vº

�_�T�%�d ����Xy4~wy��pyK�%���Xy %V�¾  � �d}���~wy %p ª�VyK� '� �|�y4{����f�-y4�ª� {K�Czd~B��y��^~B�� ��-} �^ °�¾ V{E�K~B��Ia�� Q_��� � - � � � � ���

sR�T�%�d f��zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~�� �c�o�py �h��zd~À}%-�� o� { ~�� �ª ª�Ry2���4{7y��¦�I}2�h� { ~I�d o�¾ V{E�K~B�?y��Ç~B�� � {2�Czd~B� �

Á��  ��-zd��� ~��^�c� �^ �}���zd�X �|�� {j~w -� �\��y(��~I�d f�� -{��2~B�Çy(��~I�d <� {K�Czd~B� �Æh`¦ndac`XS6UR`p`(Q�n YdQ�dZV�"ZpOdQT]_©�e4®_Q�S-eEY_®_Q6YEZ(a¤e_Y�`��IeEWf]_`X`pUR[^bdZ(a¤e_Y�`���S6]KY ©CQ�mEW(Q�]2Z(«¤¬+W(QVv«c]�dQ6n%�d¬_QVZPQ�]KS�O�WXQ6b�W(Q�`(Q�Y_Zp`�]KY°Q6`p`(Q�YEZ(ac]2«7a¤`p`pUdQ�ZXOR]KZÃ[fUR`XZP©�Q<]_nRnRWXQ6`p`(Q�n%�

·�Qt`XZX]KWXZ£iPa¤ZXO�ZXOdQt¢CWp`(ZuS-eEY_®_Q6YEZ(a¤e_YÇ�Be_Wu]K`p`XU�[¦bRZ(a¤e_YC���9¿�©�`(Q�W(®_QÃZXOR]KZu[^]_l_acYdmfYReWXQ6`XZXWXa¤SVZ(a¤e_Y<eEYfZpOdQÃWXQV«c]2Z(a¤e_Y�`XOdacb¦]K[¦e_Ydm�ZXORQP«�Q�YdmKZpOR`Ge2g�ZXOdQPZwiue�a¤YRb�UdZX`6�_ndac`p]2«¤«�e4iÃ`*ZXORQQ�dac`(ZXQ6YRSVQ�e2g*`XQ6S6URWXQ�bRWXeKZXedS-eK«c`£gqe_WPS-eE[^bRUdZ(acYdmª]KYE¬ 5pYde_Y�vwndQ6mKQ6YRQ6Wp]2Z(Q�7�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K�NPOdQ¦W(Q�]K`Xe_Y°a¤`tZXO�]2ZhZpOdQ\b�W(e_m_Wp]K[ eKg9Q6]_S�O bR]KWXZw¬��Ba¤Yj]�bRWXeKZXe�SVeK« gqe_WhSVe_[^bRUdZXa¤YRm�ZXORQndQ�`(acW(Q�n<gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬��*[\UR`(ZàV� ~I�d -��ndQ�b�Q�YRn¦e_Yd«¤¬<e_Y\ZXORQP«�Q�YdmKZpO\eKgCZpOdQÃbR]KWXZw¬!> `*acYRbRUdZy4�ÇeE©dZX]Ka¤Y+acY�gqe_Wp[^]2ZXa�eEY+e_Y ZpOdQTSVe_URYEZ(Q�WXb�]KWXZ > `�a¤Y�bRUdZf«¤Q6YRmKZXO¶� � Y¸SV]_`(Q�a¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Ye2gGZXORQ�«¤]KZ(Z(Q�WPZw¬db�Q�ac`ÃYde_ZPa¤[^bd«¤a¤Q6nÇ©E¬�ZXORQ�e_UdZpbRUdZî4]2«cUdQ_��]^`(Q�SVURWXQ�bRW(e_Z(edS-e_«�5XS6]KYRYde_Z]��7e_Wpn�7tZ(e�mKa¤®KQua¤ZG]�i�]�¬K� �ª»�¬<UR`Xa¤YRm�]_ndQ ��UR]KZ(QPbR]_nRndacYdm��2]_Y_¬ 5XYR]KZXURWp]2« 7PgIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬SV]_YT©CQ<SV]_`(ZP]_`�e_YdQ�`p]2Z(ac`(gq¬EacYdm^ZXORQ�Q ��UR]2«%«¤Q6YRmKZXOÇSVe_YE®KQ�Y_ZXa�eEY%� �� vTGH>cP�K�[KNMJS_O)D�OQGHS_IJoa>LUdB_EH>��CGHOQG ��r]>LUCI 1fKNqHMJ>��'DLKNS_> zyI~Y >QYJ\! #"��7|A\RqH`nBmIJG/BCEHIJSkDLKNSC>cGHONBCEHIJGHg'DLKNG

VHUC>�r]>�G]B�B_EH>)SC>�DLOQGaoWVbKNUCBy[4<?U_OQP KNDAB_IJGag4KNS�I <eI B_S�IJGHVa`aB5IJS^oHI $l>LUC>�GRB�<?U_OQP I B_S��_KNDABC`bKNM��4S_>�D�U_>AB5IJGHVH`aBLY% .^EH>5S_I BC`bK9BCIJOQG4IJSmKNGbKNMJOQgQOQ`aSmB_O'B_Ea>coH>21bGaI B_IJOQG�ON< SC>�DL`aU_>5>LGaDLUw[aVnB_IJOQGp\R@5EH>�U_>5I BmIJSdU_>�&n`aIJU_>�osB_EHK9B

BCEH>/P4>�S_S_KNgQ>MJ>�GHgNBCEjql> VfOQM [aGaOQP4IXKNMJM [ �yUC>�MXK9B_>�oWBCO�BCEH>$0Q>A[�MJ>�GHgNBCEpY';cD�BC`bKNMJM []\lB_EHIJGagQS)ql>�D�OQP4>/>Ar]>�G@^OQUCSCB5IJG�BCEH>)D�`HUCU_>�GRBcS_>ABwB_IJGagH\bqf>LDLKN`HSC>'ON<eB_EH>'VfOQS_SCIJqHMJ> P�KNMJIJD�IJOQ`HS^qf>�EbKLrnIJOQUTON<�VHKNUCBCIJ>LSLY& � GWBCEH> S_>�&R`H>�M~\l@m>SCOQP4>�BCIJP4>�S5B_K-0Q>BCEH> MJIJqf>LUwBy[WON<dVHU_>�SC>LG]BCIJGHg�<?`HGHDABCIJOQGbKNMJI BCIJ>LSTIJG�Ks<�OQUCP B_EHK9B

rnIJOQMXK9B_>�SmBCEH>T>�&R`bKNMpMJ>�GHgNBCE�DLOQG]r]>�GRBCIJOQG{z~>QY gHYJ\aIJG4DLKNSC>TON<�vTqaMJI raIJOQ`HS . UFKNGHSw<�>�UA|FY � GHoH>�>�op\nB_EH>�SC>T<�OQUCP/` �MXK9BCIJOQGHScDLKNG&ql>)>LKNSCIJM [&P4ORoHI 1b>�o�B_O 1HB�B_EH>'>�&R`bKNM MJ>�GHgNBCEWD�OQGRr]>�G]B_IJOQGpY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈR�6¨ ����������� �����������������������������������������������������!

·�Q<Yde4i ZpURWXY°ZXeªZXOdQf`XQ6SVe_YRn°S-eEYE®KQ6YEZXa�eEY%�k¥kQ6WXZX]Ka¤Yd«¤¬K�dZpOdQ<ZXeKZX]K«¶WXU�YRYdacYdm2vÀZ(ac[¦Q�e2g]Ç`(Q�SVURWXQ¦ZwikeKvÀbR]_W(Zw¬ bRWXeKZXedS-eK«*gqeEW�S-e_[^bRURZ(acYdmÇZXOdQ¦gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬�S6]KYRYReKZ�©�Q�`p[^]2«¤«�Q�WZXO�]KY ZXOdQ ZXa¤[¦QjWXQ ��UdacWXQ6n Z(e S-eE[¦b�UdZ(Q ZpOdQ gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ �Ba¤Y?ZpOdQ e_WpndacYR]KWX¬¸`(Q�YR`XQ����ÆhWXm_URa¤Ydmo]_`<acY+ZXOdQTSV]K`XQ�eKg�acYRbRURZ<«�Q�YdmKZpOR`6�*eEYdQ�S6]KY+`(Q6Q�ZXO�]2Z<iuQ�YdQ6Q6n ]KY ]2vÀb�W(a¤e_WXa©Ce_URYRnje_Y ZpOdQ^S-e_[^bd«¤Q�da¤Zw¬Çe2g£ZpOdQ<gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬_��Æ [¦e_WXQfm_Q6YdQ�WX]K«�]Kb�bRW(eE]KS�OÇiue_Ud«cn©CQ�Z(e^«�Q6ZP`XURS�O°]^©�eEURYRn°©�Q�m_a�®_Q6Y�Q�Rbd«¤a¤SVa�ZX«�¬�ZXeª©�e_ZXOÇbR]KWXZ(a¤Q6`�]_`P]KY°]KU�da¤«�ac]KWX¬^a¤YRb�UdZV�� Y°`XURS�O°]^SV]_`(Q_�dZXOdQ<bRWXeKZXedS-eK«%S6]KY°©�Q�WXQ ��UdacW(Q�n�ZXe^WpURY�gqe_W�ZXa¤[¦Q�©�eEURYRndQ�nÇ©_¬T]f¢ �Q�nbCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«"a¤Y�ZpOda¤`�]_U�da�«¤ac]KWX¬obR]KWp]K[¦QVZXQ6W^�BaB� QK�¤� ZpOdQªZ(ac[¦Q-vwS-e_[^bd«¤Q�da¤Zw¬j©Ce_URYRn�eKg�%¶���Æh`p`pUR[¦a¤Ydm¦ZXO�]2Z�]fm_eEednTURbRbCQ6W�©�eEURYRn�e2g ZpOdQ�S-e_[^bd«¤Q�da¤Zw¬^e2g�%°ac`uZ(ac[¦Q-vwS-e_Y�`(ZpWXURSVZ(ac©d«¤Q]KY�noUR`Xa¤YdmT`(Zp]KYRnR]_WXn b�]KnRndacYdmTZ(Q6S�O�Yda ��UdQ�`V��iuQ\SV]_Y W(Q�nRURSVQfZXORa¤`tmKQ�YdQ6Wp]2«*SV]K`XQ<ZXe�ZXORQ`pb�Q�S-ac]2«PSV]_`(Q°nda¤`pSVU�`X`XQ6n ]K©Ce4®KQKºTNPOR]2Z^ac`V�9m_a�®_Q6Y ]jm_Q6YdQ�WX]K«9gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K� *C�k]KYRn ]Z(ac[¦Q-vw©�eEURYRn��uº�� ���ª��ikQ�acY_ZpW(ednRU�S-Q�ZXOdQ�gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬

%*�(�;- 16� � � 1V� � 1V� � �X� ������� *��.- 1��� a�g � � ���� � - � ������ � � � ���� 1 ��� eKZpOdQ6WXiPac`(Q

iÃOdQ�W(Q � ac`�]T`pb�Q�S-ac]2«"Q�WXWXe_Wt`(¬d[f©CeK«�� �te4i��%ZXOdQªbRWXe_©R«�Q�[ e2gk`XQ6S6URWXQV«¤¬oS-e_[^bRURZ(acYdm *WXQ6nRURSVQ6` Z(eÃZpOdQ£bRWXe_©d«¤Q6[¹e2gR`XQ6S6URW(Q6«�¬�S-eE[^bRUdZ(acYdm�%*��iÃOdacS�O�acY�ZXURWpY�a¤`*bCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦QS-eE[^bRUdZX]_©d«¤QK�

�Ga¤Y�]2«¤«�¬_�RikQ�ZpURWpYTZXeªZXOdQ�ZpOdacWXnÇS-eEYE®KQ6YEZXa�eEY%� � YRndQ6Q6n%��]ª[\eEW(Q�m_Q6YdQ�WX]K«¶S-e_YE®_Q6YEZ(a¤e_Yiue_Ud«cnT©CQ�Z(eªOR]�®_Q�]_Y�Q�Rbd«�acS-a¤ZÃ`XQ6SVU�W(a¤Zw¬�bR]KWp]K[¦Q6Z(Q6WuZpOR]2ZÃndQ6Z(Q�WX[¦acYdQ6`�ZpOdQ<`(Q�SVURWXa¤Zw¬ªe2gZXORQ�b�W(e_Z(edS-e_«B�*NPOda¤`Gm_Q6YdQ�WX]K«d]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ£ac`GQ6`p`XQ6YEZ(ac]2«Egqe_W"]K«�«¤e4iPacYdm 5p`(Q�SVURWXQ�7tS-eE[¦b�UdZX]2vZ(a¤e_Y\e2gC¢CYda¤Z(Q�gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`P�Ia�� Q_���KgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`"ndQV¢CYdQ�n\eEY<¢�Yda�ZXQ�a¤YRb�UdZ9nde_[^]Ka¤YR`����·�Q�[^]�¬ª]KS6S-e_[^[¦ednR]2ZXQÃZXORQtm_Q6YdQ�WX]K«CS-eEYE®KQ6YEZXa�eEYªUR`(acYdm\ZXOdQ�`XbCQ6SVa¤]K«�S6]K`XQK��b�eE`(ZpUd«c]2Z(Q�n]K©Ce4®KQ_�R]K`ugqe_«�«¤e4iÃ`V�£´�U�bRb�eE`(Q�ZpOR]2ZPiuQ�i�]KYEZ�Z(e�S-eE[^bRUdZ(Q�ZpOdQ�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ %*��e_YTa¤Y�vbRUdZ"bR]Ka¤Wk�.- 1��� iPa�ZpO\`XQ6S6URWXa�Zw¬^�BbCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�acYC� ZXOdQPbR]_WX]_[\Q6Z(Q�W �_�*NPORQ6Y\ikQka¤YEZXWXednRURSVQZXORQ�gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬

% : �(�.- 1V� � � 16� � 1V� � �(� � ��� %*�.- 1���$1]KY�n S-e_Y�`(acndQ6W\`(Q�SVURWXQ�bRWXeKZXe�SVeK«c`�gqeEWfS-eE[^bRUdZ(acYdm % : � � YRnRQVQ6n¶�*ZpOdac`\WXQ6nRU�S-Z(a¤e_Y SVe_WpW(QVv`pb�eEYRnR`tZ(e�ZpOdQ\WXQ6]K«�ac`XZ(acS<`(Q6Z(ZXa¤YdmTiÃOdQ6WXQfZpOdQ\b�]KWXZ(a¤Q6`h¢CWX`XZh]Km_WXQVQ<eEY ZXOdQ¦ndQ6`XacW(Q�n «�Q6®KQ6«e2gu`(Q�SVURWXa�Zw¬_�%]KYRnje_Yd«¤¬ ZXOdQ�YjbRWXedS-Q6Q6noZXe°SVe_[^bRUdZXQ\ZpOdQ\gIURYRS-ZXa�eEY/��UR`Xa¤Ydm°ZXORa¤`�«¤QV®_QV«*e2g`XQ6SVU�W(a¤Zw¬����

� #RD�J�@�#�� ÀL �*H2J�@ � � # �I@qJ�@I=��_M NPOdQt¢CWp`(ZuS-eEY_®_Q6YEZ(a¤e_Y�b�eE`(ZpUd«¤]KZ(Q�`£ZpOR]2ZuikQ�]KWXQt]_S-ZpUR]2«¤«�¬Yde_ZuSVe_YR`Xa¤nRQ6WXa¤Ydm\[¦]_bRbdacYdm<gIWXe_[ ZpOdQ�`(Q6Z£e2g*]2«¤«�bR]Ka¤Wp`ke2g ©da¤ZP`(ZpW(acYdm_`6��©RUdZ�WX]KZXOdQ�Wk[^]KbdvbdacYdm_`"gIW(eE[ ]<SVQ6WXZX]2acY°�Im_Q6YdQ�WX]K« ��`XQVZ9eKg%b�]2acWX`GeKg%`XZXWXacYdm_`��BaB� QK�¤��� �� ��� 16� � � � ��� 16� � � ���N*]KlEa¤YRm°ZpOdac`�S-e_YE®_Q6YEZ(a¤e_Yje_YdQ�`XZ(Q�bogIURWXZXORQ6W6� e_YRQ^[^]�¬jSVe_YR`XacndQ6WtgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`<ZXOR]KZ]KWXQ^ndQ-¢CYRQ6n�e_Yd«¤¬ e4®KQ�W�]T`XQVZ ���� �� �� ��� 1V� � � � ��� 1V� � � ��¥k«�Q�]KWX«�¬_� `(Q�SVURWXQV«¤¬oS-eE[\vbRUdZXa¤YRmf`XU�S�O¦]�gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬B% : S6]KYª©CQhW(Q�nRURSVQ6n¦Z(e<SVe_[^bRUdZXa¤Ydm\]KYE¬feKg�a¤ZX`£Q�dZ(Q�YR`(a¤e_Y�`Z(e� �� �� ��� 16� � � � ��� 1V� � � �IQ_� mC����S-eE[¦b�UdZ(acYdm % `pURS�O/ZpOR]2Z %*�;- 1��R� ����� % : �;- 1���fgqeEW�.- 1��� � � ]_YRn %*�;- 1��� ����� � � 1 ���<eKZpOdQ6WXiPac`(Q4���+· a�ZpO/eEYdQ�Q�RS-Q6bRZ(a¤e_Y �BZ(e+©�QÇndac`�vSVU�`X`XQ6njQ�Rbd«¤a¤SVa�ZX«�¬���� e_URWtQ�RbCe_`Xa�ZXa�eEYoe_YR«�¬oWXQ-gqQ�WX`tZ(eTgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`�ZpOR]2Z�]KWXQ¦nRQ-¢CYdQ�ne4®KQ�WuZXOdQ<`XQVZ�e2g"]2«¤«¶bR]Ka¤Wp`�e2gG`(ZpW(acYdm_`�eKg*Q ��UR]2«%«¤Q6Ydm_ZXO%�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# ÈR��±

� � # �qJ6=ED�� #dJ6@��C= ��=EJ3� �HA� � �C=��7J�@ � � �_MÆhY ]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ�i�]�¬+e2gt]_nRnRWXQ6`p`(acYdmj]K«�«ZXO�W(Q6Q�S-eEYRS-Q�WXYR`\ndac`XS6UR`X`XQ6n ]_©�e4®_Qªa¤`fZ(e�a¤YEZXWXednRURSVQ�]KY+Q�dbR«�acS-a¤Z\`XQ6S6URW(a¤Zw¬�b�]KWp]K[¦QVZXQ6W6�ndQ�YdeKZXQ6n��"��]KYRnªSVe_YR`XacndQ6W£ZXOdQhgqeK«¤«�e4iPacYdm<`XQ ��UdQ6Y�S-QÃeKg%gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Z(a¤Q6`��;% ��� � �� �G³u]KS�O% � a¤`�ndQ-¢CYRQ6n�e4®KQ�W7ZXOdQ£`XQVZ%eKg�]K«�«EbR]2acWp`7e2gd©da�Z�`(ZpW(acYdm_`6��©RUdZ¶Zw¬dbdacSV]K«�«¤¬Ãe_YRQ9S-e_Y�`(acndQ6Wp`7e_YR«�¬ZXORQk®4]2«cUdQke2g6% � e_Yf`(ZpW(acYdm_` e2gCbCeK«¤¬%�����%«�Q�YdmKZpO%� � Y<bR]KWXZ(acSVUR«¤]_WV��gqe_W*]PgIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬ %^]_`acY�e_URW¶[^]Ka¤Y�SVe_YE®KQ�Y_ZXa�eEYR`6�Ve_YRQ9[¦]�¬�S-eEYR`Xa¤ndQ�W(% � �.- 1��� ����� %*�.- 1����a�g � - � � � � ��ª]_YRn% � �.- 1��� � ��� ��� 1 ����e_ZXOdQ�W(iPac`(Q_�T· ORQ6Y+gqe_«�«¤e4iPa¤YRm ZXOdQ�]K«�ZXQ6WpYR]2ZXa�®_Q�S-eEY_®_Q6YEZ(a¤e_Y¶� e_YRQZw¬dbdacSV]2«¤«¤¬\bCe_`XZXUd«c]2ZXQ6`GZXO�]2Z9ZpOdQ6WXQPQ�dac`(Zp`"]�b�e_«�¬%������vÀZ(ac[\Qt]2«¤mKe_WXa¤ZXOR[ gqeEW"S-eE[¦b�UdZ(acYdm8% ��qgqeEW£]�m_Q6YdQ�W(acS�����E]_YRnª`(Q�SVURWXa¤Zw¬\ac`£]K«¤`Xe<QV®4]K«¤UR]KZ(Q�n^iPa�ZpO�W(Q�`XbCQ6SVZ9Z(efZXOdQ�bR]KWp]K[¦QVZXQ6W�"�·�Q�`XZXWXQ6`p`*ZXOR]KZ"a¤Y\ZXORa¤`"S6]K`XQkZpOdQÃbRWXeKZ(edSVeK« > `*WXU�YRYdacYdm2vÀZ(ac[¦Q�]_YRn\a�Zp`"`(Q�SVURWXa�Zw¬�mEUR]KWp]KYEZXQVQ]KWXQ¦e_Yd«¤¬jWXQV«c]2Z(Q�njZXeÇZXOdQ�bR]_WX]_[¦QVZ(Q�W��"��]KY�n�]_W(Q¦a¤Y�ndQ6bCQ6YRnRQ6YEZ<e2guZXOdQª«¤Q6YRmKZXO�e2g�ZXORQacYRbRUdZ6� /��

� M��¶M���M�� � � � F*L�J #RJ6@ � � #��T@����*@��6J6@���A�L*@���; #d>G@ �B@qJ ��� H�� � ��=��7J6@ � � � # � � � �CJ # �J�@ � �

Æh`uacY�¼�Q-¢�Yda�ZXa�eEYDzd���_���_�_iuQ�iPa�«¤«7e2gqZ(Q�Y�Zp]2«cl^e2g ZpOdQ�S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«CacYRndac`(ZXa¤YRm_Udac`XO�]K©da¤«¾va¤Zw¬¦eKg bRWXe_©R]_©da�«¤a¤Zw¬fQ6Y�`(Q�[f©d«¤Q6`ka¤Y�ndQ�dQ6n�©_¬^`XZXWXa¤YdmE`Ã��]K`ka¤Y r ]_W(Z£s<e2g%¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_YTÁR��sd� ²K���· OdQ�YdQV®_Q6WTikQ�nde `Xe��hikQ�W(QVgqQ6WTZ(e?S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR]2«ta¤Y�nda¤`XZ(acYdmEUda¤`pOR]_©da�«¤a¤Zw¬ ©_¬ ��Yde_Y�vURYda�gqe_Wp[��tgI]K[¦a¤«�a¤Q6`<e2gPb�e_«�¬dYdeE[\ac]2«�vw`(a¤ÊVQªS-acWpSVUda¤ZX`6�TNPOR]KZ<ac`V�*ikQ�`p]�¬oZpOR]2Z<ZpOdQªQ6Y�`(Q�[fv©d«¤Q6`6� � ����� � � � � � � ]KYRn�� ����� ��� � � � � ��]KWXQ +-0$� 4' , �2,/. 01)2�4353 #�.5)��1. � ,/.5)�� '4. � �����*3 �K�ndQ�YdeKZXQ6n ���� �ª�Ra�gGZXOdQ�gqe_«�«¤e4iPa¤YRm^OReK«cnR`Vº

��e_WTQV®_Q6WX¬ b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¾vw`(a¤ÊVQ�S-acWXS6Uda¤Z�gI]_[\a¤«¤¬K����� � � � �� ��QV®_Q6WX¬ b�eE`(a¤Z(a¤®KQb�e_«�¬dYdeE[\ac]2« +¶� É ����QV®KQ�W(¬ª`pU�½�S-a¤Q6YEZ(«¤¬^«¤]_W(m_Q��j]_YRn�Q6®KQ6WX¬ � ����� ��� 1V� � � �

��� !�� � � � � � � j� ���!� !"� � � ��� � � j� � �$# �+ ����� �w²���±_�

�he_Z(Q\ZXOR]KZt]KYÇacY�¢CYRa�ZXQ\`XQ ��UdQ6Y�S-Q<eKg � > `�[^]�¬°©CQfacYRSVe_Wpb�eEWX]KZ(Q6n°acY ZXORQ<gI]K[¦a¤«�¬_��ORQ6YRSVQZXORQ�ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ac`TYReKZ�`XZXWXQ6Ydm_ZXOdQ�YdQ6n ©E¬ bRWXe4®�a¤ndacYdm ZpOdQ�SVa¤WpSVUda¤Z%� � iPa¤ZXO � ]K`�]_Y]Kn�nda�ZXa�eEYR]2«%acYRbRURZV� /=/-ÃQ�SV]2«¤«EZXOR]KZGSVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEYR]2«Ea¤Y�nda¤`XZ(acYdmEUda¤`pOR]_©da�«¤a¤Zw¬<a¤`G]�W(Q6«¤]�R]2Z(a¤e_Y�eKgC`XZX]2ZXa¤`XZ(acSV]K«�a¤Y�v

ndac`(ZXa¤YRm_Udac`XO�]K©da¤«�a¤Zw¬K�EiÃOdQ�W(Q�OdQ6WXQÃZXORQhQ6Y�`(Q�[f©d«¤Q6` � � ��� � � � � � � ]KY�n�� ����� ��� � � � � ]KWXQ � , �2,/. � ,/. + �4353 # .5)�� . � ,/.5) �1'*. � �2���43 �2�4ndQ�YdeKZXQ6n �'&� �ª�_a¾g7gqe_WGQ6®KQ�W(¬<bCe_`Xa�ZXa�®_QÃb�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«+¶� É ���RQV®_Q6WX¬�`XUd½ªSVa�Q�YEZ(«¤¬�«c]KWXmKQ���]_YRn�Q6®KQ�W(¬�� �(�)� ��� 16� � � ��

* �+ � � /-,/. �0� !�� � � 213� ��� !"� � � 415���$# �+¶����� �À²d� È��

� Y S6]K`XQ�ZpOdQ+nda �7Q6WXQ6Y�S-Q6`Ç]_W(Q+]2«¤«�Q ��UR]2«�Z(e?Ê6Q6WXe��ÃiuQ�`p]�¬?ZXOR]KZÇZXOdQ�Q6YR`XQ6[\©d«¤Q6`Ç]KWXQacndQ6YEZ(acSV]K«�«¤¬�ndac`XZXWXa¤©RURZ(Q6n���]KYRnÇndQ�YdeKZXQ�ZXOdac`P©E¬ � � �\���:76 #mOQGHSC>�&n`H>�G]B_M []\HBCEH>TrNKNMJ`H>TON<"8:9ez<;��=a|dP�K�[soH>�Vf>�GHo&OQGaM [4OQG�VlOQM [fz?> | �~MJOQGHgVaU_>21�%n>LS�ON<�;&KNGao@=fY:A:�� GHoH>�>�op\pEa>LUC>)@^>DLKNVHI B_KNMJI"!�>OQG&B_EH>GHOQG �y`aGHI <�OQUCP4I By[�ON<dBCEH> D�MXKNS_STON<dVfONB_>�G]B_IXKNM*oHIJSwB_IJGHgQ`aIJS_EH>�U_SLY

� GWDLKNS_>'OQGH> D�OQGHS_IJoa>LUCScBCEH>'D�MXKNS_S5ON<k`HGaI <�OQUCP z~VHU_OQqHKNqHIJMJIJSCBCIJD'VlOQM [nGHOQP4IXKNM �~BCIJP4>7|koHIJSCBCIJGHgQ`HIJSCEH>�U_SL\bI BTIJSGH>�D�>�S_SFKNUw[sBCOVHUCO7rnIJoH>�B_EH>�SC> oHIJSCBCIJGHgQ`HIJSCEH>�U_Sk@5I BCEsB_Ea>ToHIJSwB_UCIJqH`aBCIJOQG�A SmIJGHoH> %�zyI~Y >QYJ\CB)|�3aSC>�>)z?D�KNUCB � ON<F|E >21bGHI BCIJOQGGFaY �nY �nY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈR��È ����������� �����������������������������������������������������!

� M��¶M���M�� ��=_F*D4=��6=��7J #RJ6@ � �<�� ÃF #dD�J�@I=���� �6JVD�#dJ6=�A�@I=��� Y°¥uO�]KbdZXQ6Wk¨���ZXOdQ�bR]_W(ZXa�Q�` >�`(ZpWX]KZ(Q6mKa¤Q6`"gqeEW£Q�dQ6SVURZ(acYdm¦]fmKa¤®KQ�Y�bRWXeKZ(edSVeK« �BQK� m��¤�d]\bRWXe�e2g`X¬�`XZ(Q�[���iuQ6WXQTWXQ6bRWXQ6`XQ6YEZXQ6n ©E¬+a¤YEZ(Q�WX]_S-ZXa�®_QTN*URW(acYdm�[¦]_S�OdacYdQ6`6� � Y¸ZXORa¤`^S�OR]_bdZ(Q�W<iuQbRWXQ-gqQ�W°]_Y Q �EURa�®4]2«¤Q6YEZTgqe_Wp[fUd«c]2ZXa�eEY%�hiÃORa¤S�O a¤`°«¤Q6`p`�gqeEWX[^]K«�]_YRn «¤Q6`p`ÇSVUR[\©�Q�WX`Xe_[¦Q_�´�bCQ6SVa¾¢CS6]2«¤«�¬_��ZXOdQ£b�]KWXZ(a¤Q6`�>6`XZXWp]2Z(Q6mKa¤Q6`%]_W(Q£b�W(Q�`(Q�Y_ZXQ6n�]K`%gIURYRS-ZXa�eEYR`*[¦]_bRbdacYdmÃZpOdQ£bR]_W(Zw¬!> `SVU�WXWXQ6YEZu®Ea¤QVi e2g�ZpOdQ�a¤YEZXQ6Wp]KS-ZXa�®_QtQ�dQ6SVURZ(a¤e_Y�ZXe^ZXOdQ�YdQ��ZP[¦Q6`p`p]2mKQtZ(eª©CQ�`XQ6YEZ6� -hQ6SV]K«�«ZXO�]2ZGZXOdQPbR]_W(Zw¬!> ` ®�a¤QVi S-e_Y�`(ac`(Zp` eKgCa¤ZX`GacYda¤Z(ac]2«dacYRbRUdZ6�K]KY¦]KU�da¤«�ac]KWX¬�a¤YRa�ZXa¤]K«EacYRbRURZP�IiÃOdacS�Oac`<W(Q6«�Q6®4]KYEZ�e_Yd«¤¬ogqeEWf[¦edndQV«¤acYdmo]Knd®_Q6Wp`X]_W(ac]2«"`XZXWp]2ZXQVmKa¤Q6`�����a�Zp`<Wp]KYRndeE[\v�Zp]KbCQK��]_YRn+ZXORQ`XQ ��UdQ6Y�S-QPe2g%[¦Q6`p`X]KmKQ�`�a¤Z£OR]_`9WXQ6S-Q6a�®_Q6n¦`(e�gI]_WV�*Æ `XZXWp]2Z(Q6mK¬<iPa¤«¤«�©�QtSV]2«¤«¤Q6n\gqQ6]_`(ac©d«¤QPa¾g%a¤Zac`tac[^bd«¤Q6[¦Q6YEZX]_©d«¤QfacYjbRWXe_©R]_©da¤«�ac`(ZXa¤S\b�e_«�¬dYdeE[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦Q��Ia�� QK�¤�%ZXOdQ\gIURYRSVZ(a¤e_Yj]_`X`XedS-ac]2ZXQ6niPa¤ZXO°a�ZPac`ÃSVe_[^bRUdZp]K©d«¤Q�a¤YÇbCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦Q����

Æh`¦acY?¥uO�]KbdZXQ6W^¨��£a�Zªac`¦Zw¬�bRa¤S6]2«¤«�¬ ac[^b�eEW(Zp]KYEZ^Z(e+]2«¤«�e4i ZpOdQ ]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`fZ(e+e_©dvZX]Ka¤Y+��Yde_YdvÀURYRa¾gqeEWX[¦«¤¬�mKQ�YdQ6Wp]2ZXQ6nC�u]_U�da�«¤ac]KWX¬�acYRbRUdZp`<�BS-g��h´EQ6SVZ(a¤e_YǨ�� ÁR� ÁE��� -ÃQ�SV]K«�«�ZXOR]KZ]KU �a¤«¤a¤]_W(¬�a¤YRb�UdZX`¦bd«c]�¬�]olKQV¬+W(e_«�QªacY+m_UR]_WX]_YEZ(QVQ6a¤YRm ZXOR]KZ<ÊVQ�W(eKvÀl�Yde4iP«¤Q6ndm_Q^a¤`\S-«¤e_`XQ6nURYRnRQ6W�`(Q �EURQ6YEZ(ac]2«GS-eE[¦bCe_`Xa¤Z(a¤e_Y+�B`XQVQª´EQ6SVZ(a¤e_Y ¨C� Á�� ¨d����´Ea¤[¦a¤«¤]_W(«¤¬K�%]_U�da�«¤a¤]_W(¬Ta¤Y�bRUdZX`�ZXeZXORQh]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`�iPa¤«�«�bR«¤]�¬¦]�lKQV¬¦W(e_«�Q�acYªS-e_[^bCe_`Xa�ZXa�eEYfZpOdQVeEW(Q�[^`Ggqe_W"`XQ6S6URW(QPbRWXeKZXedS-eK«c`6�iÃOdacS�O^]KWXQ�bRa�®_eKZX]K«RZ(e�eEURW"Q�dbCe_`Xa¤Z(a¤e_Y¦]KYRn¦®KQ�W(¬\a¤[^bCe_WXZX]_Y_Z"acY¦mKQ�YdQ6Wp]2«�� �tQV®KQ�W(ZpOdQV«¤Q6`p`6�gqe_Wu`p]Kl2Qhe2g `Xa¤[^bd«¤a¤SVa�Zw¬_��ikQte2gqZ(Q�Y�eE[\a¤Z£ZpOdQ�]KU�da¤«�ac]KWX¬\acYRbRURZX`kgIW(eE[ e_URWuYdeKZp]2ZXa�eEYR`£]_YRnndac`XS6UR`p`(a¤e_YR`��BQ6`pb�Q�S-ac]2«¤«�¬�a¤YÇbd«c]KSVQ6`�iÃOdQ�W(Q�ZXORQV¬TnRe^YReKZPbd«c]�¬�]KY 5X]_S-ZXa�®_Q�7¦W(e_«�Q4���-ÃQ�SV]2«¤«�ZXOR]KZuSVe_YR`Xa¤nRQ6WXa¤Ydm¦]KU�da¤«�ac]KWX¬^a¤Y�bRUdZX`���]K`uikQ6«�«7]K`ueEWXndacYR]_W(¬¦a¤Y�bRUdZX`��£iPa�ZpOde_URZ

acY_ZpW(ednRU�S-acYdm ]_Y_¬?WXQ6`XZXWXa¤SVZ(a¤e_YR`j�IeKZpOdQ6WTZXO�]KY eEY ZXORQVacW�«¤Q6Ydm_ZXOC��[¦Q6]_YR`�ZpOR]2ZTikQ�]KWXQ]KSVZXUR]K«�«¤¬obRWXQ6`XQ6YEZ(acYdm°]�ZpW(Q�]2ZX[¦Q�Y_Z�acYjZXQ6Wp[¦`�eKgkYde_YdvÀURYRa¾gqeEWX[ SVe_[^bd«¤Q�da�Zw¬_�<NPO�UR`V�¶]K«�«e_U�WP]K`p`XUR[^bdZXa�eEYR`�iPa¤«�«¶WXQ-gqQ�W�Z(e�YdeEY�vÀU�Yda¾gqeEWX[ÂS-e_[^bd«¤Q�da¤Zw¬K�

���/�� ����� 6p�50 ���b��� ���56h� 01�4,��5�

� e�eE`(Q6«�¬Ç`XbCQ6]_lEa¤YdmC��] � � � . � �20 )�� � ,PbR]KWXZw¬Tac`te_YdQ\iÃOde�gqe_«�«¤e4iÃ`ÃZpOdQ¦b�W(e_Z(edS-e_«�bRWXe_bCQ6WX«�¬iPa¤ZXO�ZXOdQ^Q�RSVQ6bdZXa�eEYoZXO�]2Z�a�Z�lKQVQ6b�`�]°WXQ6S-eEWXnje2gk]K«�«"a¤ZX`�acYEZ(Q6Wp[¦Q6ndac]2ZXQªS-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR`6�ÆhSVZXUR]K«�«¤¬K��a¤Z�`pU�½�S-Q�`¶Z(etl2QVQ�b�ZXOdQka¤YEZXQ6WpYR]2«KSVeKacY�Z(eE`X`XQ6`¶]_YRn<]K«�«E[\Q�`X`p]2m_Q6`%WXQ6SVQVa¤®KQ6ntgIWXe_[ZXORQke_ZXOdQ�W*b�]KWXZw¬K� � Y\bR]KWXZ(acSVUd«c]KW6�4]t`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z*bR]KWXZw¬�Z(e_`p`XQ6` gI]2acW�SVeKacYR`£��]K`*acYR`(ZpWXU�S-Z(Q�n©E¬�a¤ZX`Ãb�W(e_m_Wp]K[����d]KY�n°`XQ6Y�nR`P[¦Q6`p`X]KmKQ6`�]_SVS-eEWXnRa¤Ydm^ZXe¦a¤ZX`h`XbCQ6SVa¾¢�Q�nÇbRW(e_m_Wp]K[ �BaB� QK�¤�C]_`]TgIURYRSVZ(a¤e_Y�e2gka¤ZX`�acYRbRURZV� eEUdZXSVe_[¦Q¦e2guSVeKacYjZXe_`p`(Q�`V�¶]_YRn�a¤YRSVe_[¦acYdm°[¦Q�`X`p]2m_Q6`���� �teKZXQZXO�]2Zt]ª`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Zhb�]KWXZw¬TS-eEWXWXQ6`pbCe_YRnR`ÃZ(e�ZpOdQ 5pOde_YdQ�`(ZP®_Q6WXa¾¢CQ6W87^a¤YÇZpOdQ\ndQV¢CYda¤Z(a¤e_YR`e2gGÊVQ�W(eKvÀl�Yde4iP«¤Q6nRmKQ<��S�g��u´EQ�S-ZXa�eEY�¨C� Á����_��²_���

� Yo]_nRnda¤Z(a¤e_YÇZ(eTZXOdQ¦[¦QVZXORe�nReK«¤eKmKacSV]K«�WXeK«¤Q<e2g9`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZtb�]KWXZ(a¤Q6`ÃacY eEURWÃQ�dbCe_`Xa�vZ(a¤e_Y¶�2ZXOdQ6¬fnde�S-eEYR`(ZXa�ZpUdZ(QP]�[¦e�nRQV«de2gCa¤YRnRQ6bCQ6YRndQ�YEZ"a¤YEZ(Q�W(Q�`(Z6� � Y¦bR]KWXZ(acSVUR«¤]_WV�2ndQ6®�a¤]KZ(acYdmgIWXe_[ ZXOdQÇ`pb�Q�S-a�¢�Q6n bRW(e_m_Wp]K[°�GiÃOdacS�O¸[^]�¬+©CQ°a¤YE®KeEl2Q�n+a¤YR`XacndQ°]�S-eE[¦bR«�Q� `Xe2gqZwi�]KWXQ]Kb�bd«�acSV]KZ(a¤e_Y%� a¤`�[¦e_WXQªnda�½ªS6Ud«¤Z�ZXOR]_Y�[¦Q�W(Q6«�¬jWXQ6SVe_WpndacYdmTZpOdQ�S-eEYEZ(Q6YEZp`teKg�`Xe_[¦QªS-eE[\v[fU�Yda¤S6]2ZXa�eEY�WXQVm_a¤`XZ(Q�WX`6�f��URW(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK� WXQ6SVe_WpnR`�e2guZXOdQ�`(QªWXQVmKac`XZ(Q6Wp`�[^]�¬j©�Qª]�®4]2a¤«c]K©d«¤QZXO�W(eEUdm_O<`Xe_[¦Qu`(Zp]KYRnR]_WXn�]_S-ZXa�®�a¤Z(a¤Q6`�e2g�ZpOdQkeEb�Q�WX]KZ(acYdmh`X¬d`(ZXQ6[°�*NPO�UR`6��iÃOdQ6WXQ6]_`¶m_Q6YdQ�WX]K«[^]2«¤a¤SVa�eEUR`�©�Q�OR]�®�a�eEWk[^]�¬�©CQ�a¤Y�gqQ�]K`Xa¤©R«�Q�gqe_W�[^]KYE¬�UR`XQ6Wp`6��`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z�©�Q�OR]�®�a�eEW�[¦]�¬©CQtgqQ�]K`Xa¤©R«�Q�gqe_WuZpOdQ6[ �B]KY�n�eEYdQ�S6]KYRYReKZP]K`p`XU�[\Q�ZXO�]2Z�ZXOdQ6¬#*(UR`XZé�Q�OR]�®KQ�acYT]¦Z(e_ZX]K«�«¤¬EvOdeEYdQ6`XZ<i�]�¬R���j¥ke_YR`XQ ��UdQ�Y_ZX«�¬_�Ga¤Y [^]KYE¬+`(Q6Z(ZXa¤YdmE`V�GeEYdQ�[^]�¬�]_`X`pUR[¦Q�ZXO�]2Z\]K«�ZpOde_URm_OZXORQ�UR`(Q�WX`�[^]�¬ iPac`XO�ZXeÇS�ORQ6]2Z6� ZpOdQV¬j]_S-ZpUR]2«¤«�¬�©�Q�OR]�®KQ^acY�]Ç`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ�iu]�¬_�T�B·�Q[¦Q6YEZ(a¤e_Y\ZXO�]2ZGZXOdQ 5p]KUdmE[\Q�YEZ(Q6nf`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(Z87t[¦edndQ6«B�2acYEZXWXednRURS-Q�n<acY^´�Q6S-ZXa�eEY^²d� ¨C� ¨C���_�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# ÈR�4²

[^]�¬�©CQ<[\eEW(Q�]_bRb�Q�]2«¤a¤YRm^]_YRn°]KndQ �EU�]2Z(Q�gqeEWP[\eEW(Q�`XQVZXZ(acYdm_`6���»�QV«¤e4i��KiuQtbRWXQ6`XQ6YEZ9Zwiue<Q �EURa�®4]2«¤Q6YEZ£gqe_Wp[fUd«c]2ZXa�eEYR`9eKg `(Q�SVURWXa�Zw¬¦acYªZXOdQ�`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZ

[¦edndQV«��hNPOdQf¢CWX`XZÃgqeEWX[\Ud«c]2Z(a¤e_YÇS6]Kbda¤ZX]K«�a¤ÊVQ�`Ãe_YoZXOdQ¦`(ac[^bd«�acS-a¤Zw¬°e2g9ZXORQ\SVU�WXWXQ6YEZh[¦edndQV«]KY�n¦nRQ-¢CYdQ�`9`XQ6SVU�W(a¤Zw¬facY¦a�Z£©E¬¦]�`(ZpWX]Ka�mEO_Z(gqe_WXiu]_WXn<Q�dZ(Q�YR`(a¤e_Y¦eKg�ZpOdQhndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y¦e2g7ÊVQ�W(eKvl�Yde4iP«¤Q6ndm_QK��NPORQh`(Q�S-eEYRn\gqe_Wp[fUd«c]2ZXa�eEY¦]_bRbd«¤a�Q�`9ZpOdQÃmKQ�YdQ6Wp]2«R[¦Q6ZXOdednde_«�e_mK¬feEUdZ(«¤acYdQ6n^acY´EQ�S-Z(a¤e_Y^²��¤�K�¤�K� � YRndQVQ�n%�2©CeKZXOfgqe_Wp[fUR«¤]KZ(a¤e_YR` gqeK«¤«�e4i ZpOdQP`(ac[fUR«¤]KZ(a¤e_Yfb�]KWp]Knda¤m_[°�4©RUdZGZXORQ¢CWp`(Ztnde�Q6`h`Xe�©E¬°Q�dZ(Q�YRndacYdm�ZXORQ\ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y eKgGÊ6Q6WXe2vwl�Yde4iP«�Q�ndmKQ_�diÃOdQ6WXQ6]_`PZXORQ\`XQ6S-eEYRnnde�Q6`P`Xeª©E¬TndQ6mKQ6YRQ6Wp]2Z(acYdm¦ZXOdQ�m_Q6YdQ�WX]K« 5XWXQ6]2«�vÀ®�`(vÀa¤ndQ�]2« 7<[¦QVZpOdedndeK«¤eKm_¬K�� M��¶M��¶M�� :<;*= ��@ � F �I= ��D���L ��#dJ6@ � � � PF�D4@�� #RH'�� e�eE`(Q6«�¬Ç`XbCQ6]_lEa¤YdmC�C]TbRW(e_Z(edS-e_«¶����� '�}2~À 6��� �py �h��zd~À -�,%�a�g9iÃOR]2ZXQV®_Q6WhS6]KY ©CQfeE©dZX]Ka¤YdQ�ngIWXe_[�]�bR]_W(Zw¬!> `P®�a�Q6i�e2g£] ��`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(Z���Q��Q�SVUdZXa�eEY%�7S-e_UR«¤n ©CQ\Q�`X`XQ6YEZXa¤]K«�«¤¬�eE©dZX]Ka¤YdQ�ngIWXe_[ ZpOdQªacYRbRUdZf]_YRn�e_UdZpbRUdZ<]�®4]2a¤«c]K©d«¤Q^Z(e ZXO�]2ZfbR]_W(Zw¬_��NPOdac`�Q�dZ(Q�YRnR`�ZpOdQ^gqe_Wp[fUR«¤]2vZ(a¤e_Y^eKg9�BOdeEYdQ6`XZ�vÀ®KQ�W(a�¢�Q�W�� ÊVQ�W(eKvÀl�Yde4iP«¤Q6nRmKQP©E¬¦bRWXe4®�a¤nRa¤Ydm�ZpOdQt`Xac[fUd«c]2ZXe_W9]K«¤`Xe�iPa�ZpOªZXORQ�Bb�W(eEb�Q�W��*eEUdZXb�UdZV�"NPOdQÃQ�`X`XQ6Y�S-QPe2g%ZpOdQtndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y^ac`£S6]KbdZpURW(Q�nª©E¬fZXORQt`Xa¤[^bd«¤Q6W9`pbCQ6S-ac]2«SV]_`(Q�eKg*ndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRa¤`XZ(acS�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`6��Oda¤m_Od«¤a¤m_OEZ(Q�nT©CQV«¤e4i��� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�� �BbRWXa¤®�]_S-¬Ãi�� W6� Z `XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z¶©CQ6OR]�®�a¤e_W���º��* -~ %jº ��� 1V� � ' � ��� 1V� � ' ���� 1V� �('�� ��� 1V� �)' %p �}u��zd{��V~B�Iy2{�}K��� ~B� �9}4{7|#% / �;- 1���h�BWXQ6`pb%�¤� % � �.- 1���(��|_ -{7y4~w ��h~B��  �£����~�BWXQ6`pb%�¤�9`(Q�S-eEYRnC�° V�� -�ª -{C~fy��9%*�.- 1����� �* V~*� %p o}�~ �£y4¡c�R}4��~������Xy4~wy6��yK���-y2�°��y��t�Czd~�¡� {E�J%�� / � �¶��  �4. ��� e2gÃZpOdQ�¢�WX`XZ���W(Q�`Xb%�¤�"`(Q�S-eEYRnC��b�]KWXZw¬ |2zd��� {E� }2{? 98� p�Vzd~��Iy4{ y����y4{ �.- 1���'��|_ -{7y4~w �|��� ��� � / �.- 1���^��W(Q�`Xb¶������ ��� �� �.- 1����(�'���c�ª�.- 1=721 � / 1�" " "<1 ���X�^�BWXQ6`pb%���� � 1=721 � / 1 " " "<1 ���(�(��� �G�� V�X &7��X w���X -�- V{�~T~I�d  y2zd~À��y �^  y�� ~B��  �9����~T�BWXQ6`pb%���<`XQ6SVe_YRn���R}4��~���� ��� {�~w -��{7}2����y4� {?~Ày4���- -���f}4{�|�� � �X w���X -�- V{�~�~B��  ��� �^ -���-}6�_  � ~t�d}��°�X ��p V� '4 p| ��¶��  0 '2,� *'2,teKgkZpOdQ¦¢CWX`XZ¦�BWXQ6`pb%���¶`XQ6SVe_YRn��hb�]KWXZw¬ }���~w -��}2{  78� ��Vzd~B�Iy2{ y(� � y4{¸�;- 1��R���|K V{�y2~À �| �� ���� � � / �.- 1�������W(Q�`Xb¶��� �� ���� � �� �.- 1����(�'���c��� �t��� �I�-� ~\� { ~B�� \�R}4��~���� �Çy��"{'��I ��¹y(��~I�d \ 98� ��-zd~��Iy4{ �k}4{�| �� ����� � � �;- 1��� � �� ���� � � / �.- 1��� 1 �� ���� �� �� �;- 1���X���

�BndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRa¤`XZ(acSoSV]_`(Q4��x*y4��} |K V~w -� �¦� {��c��~��I�^��zd{��V~B�Iy2{�}2� � ~B� %�� �£ j�V}4�¸~B��}2~ � !6. ���2,���3 # +-0 � *'2,�� ��% � �P~I�d -�p � 98_�c��~C���Xy %p}%��q���c��~��I�u�Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^ f}2� �Ey4��� ~B�*�\���|K V{�y4~w �| � /�}4{7| � � �"��z��-�T~B��}2~

� � / �;- 1 % / �;- 1���X��� � � � �+ � � /-, . �� ���� ��� � / �;- 1����� � � � �+ � � / , . �À²d��²_�� � � � �$1 % � �;- 1���X��� � � � �+ � � /-, . �� ���� ��� �� �;- 1����� � � � �+ � � / , . �À²d� )��

�G�� V�X  � - � � � ���\� �  ��p}K� �*~I�d}4~2�� |_ -{7y4~w ��¦��y �h��zd~À}2~B�Iy2{�}2�*� {7|4�c��~B� {��2zd�c���d} %-�q��� ~B�%��ª�X{�y4{C¡wzd{�� �-y2� ���9�-}��¦�q���I ��^y��u�Ry2���4{7y��¦�I}2��¡À���21� ��V� �X�-zd� ~B� � �

�ImKQ�YdQ6Wp]2«ESV]_`(Q4� )  u�V}4��~B��}2~ � ! . �2�2,�� 3 # + 0 � 4'2,�� � %o� �u~B�� V�X Ã 98_�c��~����Xy %p}%��q���c��~��I��dyK���4{�y �\�I}K��¡w~B� �ª ^}2� �Ey4��� ~B�*�\����|_ -{7y4~w p| � / }2{�| � � �"��z��-�T~B��}2~�_� � / �.- 1 % / �.- 1���(� 1 %*�.- 1���(��� � � � �� �_���� ��� � / �.- 1���� 1 �� ���� � � �.- 1���(��� � � � �À²d� &���E� � � � � 1 % � �.- 1���(� 1 %*�.- 1���(��� � � � �� �_���� ��� �� �.- 1���� 1 �� ���� � � �.- 1���(��� � � � �À²��¤�6���

: ��� [/SFK�[aIJGHg)BCEbK9B�� D�OQP4VH`nB_>�Scz~UFK9BCEH>�UmB_EbKNG�VHUCI rQK9BC>�M [sD�OQP4VH`aBC>�S�� 8p\]@^>5P4>7KNGsBCEbK9BmBCEH>cOQ`aB_Va`aBoHIJSwB_UCIJqH`aBCIJOQG/ON<fB_Ea>5VaU_ONBCOnD�OQMhz�@cEa>LG/VHMXKL[]>�osq][/EaOQGH>�SCBdOQUdSC>LP4I �~EHOQGH>�SCB�VbKNUwB_IJ>�S���OQGIJGHVH`aBdVbKNIJUmz?;��=��IJS�oHIJSCBCU_IJqa`aB_>�o&IJoH>�GRBCIJDLKNMJM [�BCO�8lz<;�7=��AY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈR��) ����������� �����������������������������������������������������!

)  £��~B�p ����"~I�d}4~ }%Xy�'�  � ��� � / �;- 1��R������ ��� �� �.- 1����'� �� ����� � � / �;- 1���u}4{7| �� ���� �� �� �.- 1���'�}4�X h�X 6�¾}4~w �|f�p}4{�|_y�� '4}4���I} %V�¾ -���9|_  �£{� �|¦}��t}k��zd{��V~B�Iy2{°y��h~I�d P�V} �^ t�X}2{�|Ky � 78_¡ p�Vzd~��Iy4{ � {^�R}4��~��I�-zR��}4��� �� ���� � �� �;- 1��R���c�*��zR� ����|K V~w -� �¦� {� �| %-� � ��� �� �;- 1��R� �

¥ke_Y�`(acndQ6W"¢CWX`XZ9ZpOdQtndQ6Z(Q�WX[¦acYda¤`XZ(acSÃS6]K`XQKº*³ �����w²�� ²K�u��W(Q�`Xb%�¤�K³ �����À²d� )��(�G]_`X`XQ6WXZX`9ZXOR]KZ£ZXORQ®�a�Q6i e2gPZXOdQ�¢CWX`XZª�BWXQ6`pb%�¤�"`(Q�S-e_Y�nC��bR]KWXZw¬K�*e_Y�Q�]KS�O bCe_`p`(ac©d«¤Q�bR]2acW�e2gPacYRbRUdZp`V�"S6]KY ©CQQ-½�SVa�Q�Y_ZX«�¬<`Xac[fUd«c]2ZXQ6n<©R]_`(Q�n<`XeK«¤QV«¤¬�eEY<a¤ZX`�e4iÃY�acYRbRUdZ"]KY�n�e_UdZpbRUdZ6�GNPO�UR`6�4]2«¤«�ZXOR]KZ�ZpOda¤`bR]_W(Zw¬�«�Q�]KWpYR` gIW(eE[ ZpOdQ£gIUR«�«�ZXWp]KY�`XS6W(acbdZ¶eKg�ZXOdQubRWXe_bCQ6W�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y%��ac` Q���Q�S-ZXa�®_QV«¤¬�ac[^bd«¤a�Q�n©E¬^a�Zp`£e4iÃYªeEUdZXb�UdZ£gIWXe_[ ZpOda¤`uQ��Q�SVUdZXa�eEY �B]_YRnªa¤ZX`ke4iÃYªacYRbRUdZuZ(e\a�Z���� � Y�e_ZXOdQ�W9iue_WpnR`6�]2«¤«¶ZpOR]2ZPZpOdQ<bR]KWXZw¬�«¤Q6]_WXYR`ugIWXe_[ ZXOdQ���`(Q�[¦a¾vwOde_YRQ6`XZ��£Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y°ac`PQ6`p`XQ6YEZ(ac]2«¤«�¬ªac[^bd«¤a�Q�n©E¬TZpOdQ<eEUdZXbRURZÃa�Zp`(Q6«¾g�� �tQ�dZV�7YdeKZXQ<ZXO�]2ZÃZpOdQ�gqe_Wp[fUR«¤]KZ(a¤e_YTgqe_WhZXOdQfnRQVZ(Q�WX[¦acYdac`(ZXa¤S<S6]K`XQS-e_a¤Y�S-acndQ6`"iPa¤ZXO¦ZpOdQÃmKQ�YdQ6Wp]2«�gqeEWX[\Ud«c]2Z(a¤e_Y¦]K`"]_bRbd«¤a�Q�n¦Z(e<ndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRa¤`XZ(acS�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`�B©CQ6S6]KUR`XQK�"acY/]_YE¬�bRWXeKZXedS-eK« � ZpOR]2Z^S-eE[^bRUdZ(Q�`\]�ndQVZXQ6Wp[¦a¤Ydac`XZ(acSªgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬�%*�"a¤Z[fU�`(ZÃOde_«¤nTZXO�]2Z �� ���� � � �;- 1��R�� %*�;- 1�����dgqe_W�Q�]KS�O�b�]2acW�e2gGa¤YRb�UdZX`��;- 1��R�X��� / �

� Y¦S-e_YEZpWX]_`(Z*Z(e�ZXORQ�nRQVZ(Q�WX[¦acYdac`(ZXa¤SPS6]K`XQK�2]KURm_[¦Q6YEZ(acYdm�ZXOdQP®�a¤QVi e2gCZpOdQÃ`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZbR]_W(Zw¬ª©E¬�ZXORQ�eEUdZXb�UdZ�e2g ZpOdQ�eKZXORQ6W�bR]KWXZw¬^a¤`uQ�`X`XQ6YEZ(ac]2«7iÃOdQ�Yj�p}4{�|_y��¦�21� p|�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«¾va¤Z(a¤Q6`h]_W(Q�SVe_YRSVQ6WpYdQ6n%� �he_Z(Q�ZpOR]2ZÃacYÇZXORa¤`tSV]K`XQK�Rgqe_Wh]_YE¬�bRWXeKZ(edSVeK«�� ZpOR]2ZtS-e_[^bRURZ(Q6`h]Wp]KYRndeE[¦a�Ê6Q6nTgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ %*��a¤Zhnde�Q6`tYdeKZhYRQ6S-Q�`X`p]KWXa¤«�¬°OdeK«cnÇZXOR]KZ �� ���� � � �;- 1��R� %*�.- 1�����d©CQ6S6]KUR`XQtQ�]KS�OªeKg ZXORQtZwiuefeE©�*�Q6SVZX`ka¤`�]fWp]KY�nde_[ ®4]KWXa¤]_©d«¤QK� � YRndQ6Q6n%��ZXORQ6`XQtZwiueWp]KYRndeE[ ®�]_W(ac]K©R«�Q�`f[fU�`(Z^©�Q°acndQ6YEZ(acSV]K«�«¤¬ �IeEW\`Xac[\a¤«c]KWX«�¬���nRa¤`XZXWXa¤©�UdZ(Q�n%�£©RUdZ¦ZXORa¤`^nde�Q6`Yde_Z�`XUd½ªSVQÇgqe_W�]_`X`XQ6WXZ(acYdmC�£gqeEWªQ�R]K[^bd«¤QK��ZpOR]2Zª³ �C�h�À²�� ²K�^a¤[^bd«¤a�Q�`ª³ ���Ã�w²�� &E��� N�iuendac`(ZpURWp©da¤YRm^SVe_URYEZXQ6W(v�Q�d]_[^bd«�Q�`kgqeK«¤«�e4i�º

�_�t¥ke_YR`Xa¤nRQ6WTZXOdQ�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ �(� � 1V� � � �� �.721�������iÃORQ6WXQ&7¸ac`ÇURYda�gqe_Wp[\«¤¬ ndac`�vZXWXa¤©RURZ(Q6n a¤Y ��� 1V� � � ��]_YRn ] bRWXeKZ(edSVeK«�a¤Y¹iÃOdacS�O r ]KWXZw¬ ��URYRa¾gqeEWX[¦«¤¬ `(Q6«�Q�S-ZX`7 � ��� 16� � � ��`(Q�YRnR`ªa¤ZªZ(e r ]_W(Zw¬/sR�u]_YRn e_UdZpbRUdZX` 7E� ¥k«�Q�]KWX«�¬_�£ZXORa¤`�b�W(e_Z(edS-e_«S-e_[^bRURZ(Q6`tZXORQ¦]_©�e4®_Q<gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K�¶]K«¤]_`ÃacYEZXUda¤Z(a¤®KQ6«�¬ iuQ¦`pOdeEUd«¤njYdeKZ�S-eEYR`(acndQ�WZXOdac`\SVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEY/bRWXa�®4]KZ(Qj��©�Q�SV]_UR`(Q r ]KWXZw¬+so«�Q�]KWpYR`<ZpOdQ°e_UdZpbRUdZ¦e2g r ]_W(Zw¬ �]2«¤ZXOdeEUdm_O r ]KWXZw¬�s°ac`fYde_Z<`XURb�b�eE`(Q�n+Z(e «¤Q6]KWpY+]KYE¬�ZXOdacYdmo]_©�eEUdZ�ZXOR]KZ<e_URZXbRUdZ�����he4iuQV®KQ�WV�C]�`(ac[fUR«¤]KZ(e_W � � �X� � ��ZpOR]2Zte_UdZpbRUdZp`h]�URYRa¾gqeEWX[¦«¤¬ÇS�ORe_`XQ6Y 7 � ��� 16� � �`X]KZ(ac`�¢�Q�`u³ ���%�À²d� )��t�B©RUdZÃnReEQ�`PYdeKZÃ`p]2ZXa¤`(gq¬�³ �C�%�w²��¤�6���(���NPOdQ�bCeKacYEZ�a¤`uZXO�]2Z�³ ���7�À²d� &�� �/�w²��¤�6���9WXQ-gqQ�WkZXe\ZpOdQ�W(Q6«¤]KZ(a¤e_YT©�Q6ZwikQ6Q6Y�]¦bR]_W(Zw¬!> `e_UdZpbRUdZt]_YRnoZpOdQfe_ZXOdQ�Wtb�]KWXZw¬ > `î�a¤QVi�acYoZpOdQ¦`p]K[¦Q<Q�dQ6SVURZ(a¤e_Y eKg£ZXOdQ¦bRWXeKZ(edSVeK«��]KYRn�WXQ ��UdacW(Q£ZXOR]KZ ZXORa¤`*W(Q6«¤]KZ(a¤e_Y�©CQk[^]2acYEZX]Ka¤YdQ�n�acY�ZXOdQu`(ac[fUR«¤]KZ(a¤e_Y%�*Æh`�a¤` ®Ea¤®�a¤nR«�¬ndQ6[¦e_Y�`(ZpWX]KZ(Q6n�a¤Y°ZpOdQ�]4gqe_WXQ6[¦Q�Y_ZXa�eEYdQ6nTQ�R]_[¦bR«�Q_�dZXOdac`PW(Q6«¤]KZ(a¤e_YTa¤`P]KZ�ZXOdQ<OdQ�]KWXZe2g£ZpOdQ¦YReKZ(a¤e_Yje2g�`(Q�SVURWXa�Zw¬7ºÃ·�Qª`XORe_Ud«cnj`Xa¤[\Ud«c]2Z(Q^]�®�a¤QVi �Ie2gkZXOdQª`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZbR]KWXZw¬��\ZXOR]KZ�¢�Zp`�ZXORQ }K�V~�z�}2��e_UdZpbRUdZ�eKg<ZXOdQ�Ode_YdQ�`(ZTbR]KWXZw¬K�P]KY�n YdeKZ°[\Q�W(Q6«�¬`(ac[fUd«c]2ZXQ�]/®Ea¤QVi ZpOR]2ZT¢�Zp`TZpOdQ |4�c��~B����%-zd~��Iy4{ y���~I�d T�dy4������%V�¾ +eEUdZXb�UdZTeKgfZXORQOde_YdQ�`(ZPbR]_W(Zw¬_�

sR�P�CURWXZXOdQ�WX[¦eEW(Q_�k³ �C�t�À²d� &�� � �w²��¤�6���¦W(Q �EURa¤WXQ ZXOR]KZ�ZXORQ�bR]_W(Zw¬!> `ª`(ac[fUd«c]2ZXQ6n?®�a¤QVi¢�ZX`fa�Zp`<]KSVZXUR]K«£e_URZXbRUdZ��IiÃOdacS�O+a¤`fmKa¤®KQ�YjZXeoZXOdQT`(ac[fUd«c]2ZXe_W����ÇN eonRQ6[¦e_YR`XZXWp]2ZXQZXOdQ�a¤`p`pUdQ�]KZ°O�]KYRn%��S-eEYR`Xa¤ndQ�W�ZpOdQ�gqe_WXQVmKe_a¤YRm¸gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K��]KYRn¹] b�W(e_Z(edS-e_«

:�� � >�DLKNMJMaBCEbK9BkBCEH>5IJGHVH`aBdVbKNIJU_Smz<;�7=���SC>�UCr]>5KNSkIJGHoaIJDL>�S�B_O)BCEH>�oHIJSCBCU_IJqa`aB_IJOQGaSkIJGBCEH>�By@^O)>�GHS_>�PqHMJ>�S`HGHoa>LU�D�OQGHS_IJoa>LU_K9B_IJOQGh\TKNGao KNS�S_`HD_E BCEH>A[ KNUC>�KNM @�K�[aS�gQI r]>�G z~OQU�IJGHD�OQU_VfOQUFK9BC>�o ��IJG BCEH>�VfONB_>�G]B_IXKNMoHIJSwB_IJGHgQ`aIJS_EH>�U�3aS_>�> �n>�DAB_IJOQG �nY �nY��QY �nY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# ÈR��&

a¤Y/iÃOda¤S�O r ]KWXZw¬ �ÇURYda�gqe_Wp[¦«�¬¸`XQV«¤Q6SVZX`�� � ��� 16� � � �k]KYRn/e_UdZpbRUdZX`,7�� "^���4���iÃOdQ6WXQJ" ac`�]�e_YdQVv�i�]�¬ b�Q�WX[\UdZX]KZ(a¤e_Y%� Æhm_]2acY%�kZXOdac`�bRWXeKZXe�SVeK«PS-eE[^bRUdZ(Q�`ªZXORQ]K©Ce4®KQªgIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬_�k©RUdZ¦a¤Z¦ac`^YdeKZ^S-«¤Q6]_WfiÃORQVZXORQ6W¦e_W¦YdeKZ¦iuQ°[^]�¬ S-eEYR`(acndQ�WZXOdac`hSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_YÇbRWXa¤®�]KZ(Q���©�Q�SV]_UR`(Q r ]KWXZw¬o��«�Q�]KWpYR`PZpOdQfbRWXQVac[^]2mKQ�eKg"a�Zp`Ãe4iÃYe_UdZpbRUdZ�URYRndQ�W�"^�¶`Xe_[¦Q6ZXOdacYdm�a¤Z�S-eEUd«¤njYdeKZ�OR]�®KQ\e_©dZp]2acYdQ6nja¾gu]�ZpWXUR`XZ(Q�njbR]_W(Zw¬ikQ�W(Q�Z(efmKa¤®KQ�a�Z£ZXOdQÃeEUdZXb�UdZ���� �heKZXQPZXOR]KZ£]�`Xa¤[\Ud«¤]KZ(eEW � /��X� � 1=72�GZXOR]KZ£URYda�gqe_Wp[¦«�¬`(Q6«�Q�S-ZX` � � ��� 16� � � ]_YRnoeEUdZXb�UdZX`¦��� 1 "^���4�(�t`p]2Z(ac`(¢�Q6`�³ ���*�À²d��²_����©RUdZ�nde�Q6`�Yde_Z`X]KZ(ac`�gq¬�³ ���%�À²�� &E�X���·�QÃSVe_[^[¦Q6YEZ"ZXOR]KZ"ZXOdQtSVURWpW(Q�YEZ*ac`p`XUdQPac`"«¤Q6`p`9]KS6UdZ(QPZpOR]KY¦ZpOdQP¢CWp`(ZGeEYdQ��Ia�� Q_���EZXORQe_YdQ^WX]Ka¤`XQ6nja¤Y � Z(Q�[�4��� � YRndQVQ�n%� SVe_YR`Xa¤nRQ6W�ZXOdQ¦gqe_«�«¤e4iPa¤YRm°]K«�ZXQ6WpYR]2ZXa�®_Q\ZXeÇ©CeKZpO³ ���%�À²d��²_�£]_YRnT³ ���%�À²d� &���º

�E� � / �.- 1 % / �.- 1����(� 1 % � �.- 1����(��� � � � �� �E���� ��� � / �;- 1��� 1 �� ���� � �� �;- 1��R�X��� � � ��À²��¤�K�4��heKZXQ<ZXO�]2Zh³ �����w²��¤�K���u]_nRnRWXQ6`p`(Q�`ÃZpOdQ\bRWXe_©R«�Q�[ Wp]2ac`(Q�nÇa¤Y � Z(Q6[ �_��©RURZtYde_ZhZXORQbRW(eE©d«¤Q6[ WX]Ka¤`XQ6n^acYªZXORQ�S6URWXWXQ6YEZ9a¤Z(Q�[°�£�Ãzd~"�c�h~B�� f�-zd���X V{�~����Xy %V�¾  ��}¦�X �}2�7y4{7 ���heKZXQ�ZXOR]KZuZpOdQ�e_YR«�¬�nda �7Q6WXQ6YRSVQ<©�Q6ZwikQ6Q6YT³ ���7�À²�� &E�k]_YRn�³ ���%�À²��¤�K�4�"ac`�ZXO�]2ZPZXORQgqe_Wp[\Q�W�gqe_WpS-Q�`�ZXOdQ¦`(ac[fUR«¤]KZ(Q6n°®�a¤QVi Z(eª¢CZÃZXOdQ\e_UdZpbRUdZÃm_a�®_Q6Y°Z(e�ZXOdQf`Xac[fUd«c]2ZXe_W6�iÃOdQ6WXQ6]_`<ZXORa¤`^ac`^YdeKZ¦m_UR]_WX]_YEZ(QVQ�n acY¸³ �����À²d���_����� � YRndQVQ�n%�9acY/³ ���k�w²��¤�K���<ZXORQ®Ea¤QVi `(ac[fUR«¤]KZ(Q6nTgqeEW r ]KWXZw¬ �<[^]�¬�YdeKZ�¢CZÃZXOdQ�eEUdZXb�UdZÃmKa¤®KQ�Y�ZXeªZXOdQ<`Xac[fUd«c]2ZXe_W6�©RUdZ<ZpOdQ�`Xa¤[\Ud«¤]KZ(Q�n+®Ea¤QVi nde�Q�`�¢�ZfZpOdQ�eEUdZXbRURZfmKa¤®KQ�Y�Z(e ZXORQTOdeEYdQ6`XZ r ]KWXZw¬�sd� ��~I�d 9�-y4� �ª V�9�-}K�V~�y(���X �}2�%� �t�dy2��~À}2{��� ¦y4���c��� ~£~B�� ¦�p}4�V <~B��}2~u}2� �¶~I�d}4~ �ª}4~�~w -����c�^~B�� ��X 6�¾}4~��Iy4{?y��ª~B�� ���� �\zR��}4~w p| '6�I �� ~wy ~B�� ���y2{� -��~k�R}4��~���� ��'6�I ���� ·�Q�]KWXQYdeKZ<`pURWXQK�G©RUdZ��IgqeK«¤«�e4iPacYdmo]ÇmKQ�YdQ6Wp]2«9b�W(acYRS-acbd«¤Q���iÃORQ6Y+acY nde_UR©RZ<ikQ�b�W(QVgqQ6W�ZXe©�Qh[¦eEW(QPSV]_W(QVgIUd«C]_YRn^]KndeEbdZ"ZXORQh[¦e_WXQÃ`(ZpW(acYdmKQ�YEZ9ndQ-¢CYRa�ZXa�eEY%�G�CURWXZXOdQ�WX[¦eEW(Q_�KZXORQ`(ZpW(eEYdmKQ�W ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y^`(ac[^bd«¤a¾¢�Q�`*ZXOdQPbRWXe�e2gCeKg�ZXORQÃ¥keE[^b�eE`(a¤Z(a¤e_Y¦NPOdQVeEW(Q�[¹gqe_WGZXORQ`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(Z�[¦edndQV«9�BaB� QK�¤��NPOdQ6e_WXQ6[ ²d� Á�� Á����

� ; #RJ #d> �CL�J #RL �¶@ �I@�#dD���@���F*L�J ��� ÆhU�da¤«�ac]KWX¬hacYRbRUdZp` ]_W(QGac[¦bR«�acS-a¤Z¶acY�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yf²���sd�¤�K�NPOdQ6¬ ]KWXQjW(Q�bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�n ©E¬ ZpOdQ�gI]KSVZTZpOR]2Z°ZXOdQ+ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ]_`Xl�`�gqe_W°S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«acYRndac`(ZXa¤YdmEUdac`XOR]_©da¤«�a¤Zw¬�©E¬�Yde_Y�vwURYda�gqe_Wp[ gI]_[¦a�«¤a�Q�`<eKg�bCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�vÀ`Xa�Ê6Q�S-acWXS6Uda¤ZX`ª��WX]KZXOdQ�WZXO�]KY+S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«"a¤YRnRa¤`XZ(acYdm_URa¤`pOR]K©Ra�«¤a�Zw¬�©E¬�bRWXe_©R]_©da¤«�ac`(ZXa¤S^bCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�v�ZXa¤[¦Q�]2«¤mKeKvWXa�ZpOR[^`���� � Y/eKZpOdQ6WfikeEWXnR`6�"acYRndac`(ZXa¤YdmEUdac`XOR]_©da¤«�a¤Zw¬ OdeK«cnR`¦]2«c`(eoiPa¤ZXO W(Q�`XbCQ6SVZ\ZXe�bRWXe_©dv]K©Ra�«¤a¤`XZ(acS¦b�e_«�¬dYdeE[\ac]2«�vÀZ(ac[\Q¦[^]KS�OdacYdQ6`tZXO�]2Z�e_©dZp]2acY �BYRe_Y�vwURYda�gqe_Wp[��Ã]_U�da�«¤a¤]_W(¬°acYRbRUdZp`V�

� D4@ � #dJ�= H�� �¸F*L�J #dJ�@ � � �� \F #dD�J6@�# �# �L �*H2J6@ � � #��B@qJ6@B=��KM ��eEW�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`fZXOR]KZ]KWXQÇndQ-¢CYRQ6n e_Yd«¤¬ gqeEW^a¤YRb�UdZX`�b�]2acWX`^acY `Xe_[¦Q `XQVZ �� ��� 16� �(' � ��� 16� �('j��`(Q6Qo´�Q6S�vZ(a¤e_Y+²���sd�¤�K�¤������bRWXa¤®�]KZ(Q^S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_Yoac`�ndQ-¢�YdQ6n�]K`ta¤Y�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y+²���sd�¤�K�7Q�RS-Q�bdZ�ZXOR]KZZXORQ�Q6YR`XQ6[\©d«�Q�`P]KWXQ�a¤YRnRQ�dQ6n°©E¬TbR]Ka¤Wp`ua¤Y �¦�� M��¶M��¶M�� :<;*= #��IJ6=ED�� #RJ6@ ��= �CD2��L ��#dJ�@ � �� ZÃac`ÃacYR`XZXWpURS-ZXa�®_Q�Z(e�WXQ6S6]K`XZuZpOdQf]_©�e4®_Q<ndQ-¢CYRa�ZXa�eEYÇa¤YÇZXQ6Wp[¦`Ãe2g"ZXOdQfmKQ6YRQ6Wp]2«"� 5pW(Q�]2«�v�®d`(vacndQ6]K« 7��PgIWp]K[¦Q6ikeEWXl ndac`pSVUR`p`(Q�njacY¸´EQ6SVZ(a¤e_Y¸²��¤�K�¤�°�B]KY�n�U�`(Q�n�Q�dZ(Q6Y�`(a¤®KQ6«�¬oacY�ZXOdQ�S6]K`XQ

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

È_sK� ����������� �����������������������������������������������������!

e2g�]KWp©da¤ZXWp]KWX¬Ç[^]K«�acS-a¤e_UR`�©CQ6OR]�®�a¤e_W���� � YjZpOda¤`�gIWp]K[¦Q6ikeEWXl°e_YRQf¢CWp`XZ�SVe_YR`XacndQ6W�]KYja¤nRQ6]2«[¦edndQV«�a¤Y iÃOda¤S�O ZXOdQ �IZwiue��^bR]_W(ZXa�Q�`�]_W(Q *�e_a¤YRQ6n ©E¬ ] �IZpOdacWXnC�ªZXWpUR`XZ(Q6n bR]KWXZw¬K�Ã]_YRnZXORQTS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y+ac`fbCQ6W(gqe_Wp[¦Q6n+®�a¤]oZXOdac`fZpWXU�`(ZXQ6n bR]_W(Zw¬_� �hQ�dZ6�*eEYdQTSVe_YR`XacndQ6Wp`�ZXORQWXQ6]2«�[\edndQ6«�acYÇiÃOdacS�O ]�WXQ6]2«£�IZwiue2vwbR]KWXZw¬��ubRW(e_Z(edS-e_«¶ac`ÃQ�dQ�SVUdZXQ6n+�B]_YRnÇZXORQ6WXQ<Q�dac`(ZhYReZXWpUR`XZ(Q�n ZXOdacWpn¸bR]KWXZ(a¤Q6`�����ÆÂbRWXeKZXe�SVeK«ka¤Y ZpOdQTWXQ6]K«k[¦edndQV«uac`\`p]2acn+Z(e�©�Qj�- ��Vzd�X  �"� ~I��X -�À�d ��V~P~Ày°�� -��~w}4� {¸}K|�'� V���V}4���I}K� %p ��d}�'��Iy4��a�g9ZXOdQ¦b�eE`X`Xac©d«�Q¦W(Q�]2«�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_YR`hiPa�ZpOo`pURS�O]KYÇ]_nd®KQ�WX`p]KWX¬�SV]_Y°©CQ45p`(ac[fUd«c]2ZXQ6n�7¦acYÇZXOdQ\S-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm\acndQ�]2« [¦edndQV«���NPOdQ<YdeKZXa�eEYe2gÃ`Xa¤[\Ud«c]2Z(a¤e_Y U�`(Q�n¸OdQ6WXQ�ac`fnda �7Q6WXQ6YEZfZpOR]KY+ZpOdQ�eEYdQ�UR`XQ6n acY ´EQ�S-ZXa�eEY/²���sd��sd�¤�Kº\NPORQ`Xa¤[\Ud«¤]KZ(a¤e_Yªac`�{�y2~ky���~B��  '��I �� y(��y2{� u�R}4��~���'6�I}�}¦~B�X}_|4� ~��Iy4{7}2� }K� �_y2��� ~I�4�\�C©RUdZ�WX]KZXOdQ�W}���� �¦zR�¾}2~B�Iy2{�y��<~I�d  �Vy2� {�~ '6�I �� y(� %py4~B�f�R}4��~��I �� %-��~B�� ¦ 78� ��Vzd~B�Iy2{�y��\}4{j�I|_ �}2��¡(�ªy6|_ V��C�py4~wy6��y2� �

ÆhS6S-eEWXndacYdmTZ(e°ZXOdQ^mKQ�YdQ6Wp]2«G[¦QVZpOdedndeK«¤eKm_¬ �qgIWp]K[¦QViue_WplR���7ikQ^`pOde_Ud«cnj¢CWX`XZ�`XbCQ6SVa¾gq¬ZXORQTacndQ6]K«¾vw[¦edndQV«�bRWXeKZ(edSVeK«�� � Y SV]K`XQ�eKgt`(Q�[¦a¾vwOde_YRQ6`XZ\]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`V�*ZXOdQ°acndQ6]K«u[¦edndQV«S-eEYR`Xa¤`XZX`"eKg�Q�]KS�O^bR]_W(Zw¬f`XQ6Y�nda¤YRm�a�Zp`9acYRbRUdZ9ZXe<ZXORQPZXWpUR`(ZXQ6nªbR]_W(Zw¬��I®�a¤]f]�`(Q�SVURWXQPbRW(a¤®4]2ZXQS�OR]_YRYdQV«q����ZpOdQ�ZXOdacWXnTbR]KWXZw¬ªS-eE[¦b�UdZ(acYdm¦ZXOdQ�S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm<eEUdZXbRURZ�vwbR]2acW�]KYRn�`XQ6Y�nda¤YRmQ6]_S�O°e_UdZpbRUdZhZXeªZXOdQ¦S-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmªbR]KWXZw¬K��NPOdQ�eEYd«�¬Ç]KnR®KQ6Wp`p]KWXa¤]K«7©CQ6O�]�®Ea¤e_WP]K«�«¤e4iuQ6nOdQ�W(Qta¤`£gqe_W£e_YdQte2g¶ZXORQtbR]_W(ZXa�Q�`9Z(e¦ndQVZXQ6Wp[¦a¤YdQ�a¤ZX`ke4iÃY^e_UdZpbRUdZ�©R]K`XQ6n^eEYªa�Zp`£acYRbRURZu]_YRnZXORQteEUdZXbRURZka¤ZuO�]K`uW(Q�S-QVa¤®KQ�nÇ�qgIWXe_[ ZpOdQtZpWXU�`(ZXQ6n�bR]_W(Zw¬���� / �°NPORa¤`�]KnR®KQ6Wp`p]KWXa¤]K«R©�Q�OR]�®�a�eEWWXQ6bRWXQ6`XQ6YEZX`\ZXORQo]2Z(ZXQ6[^bdZ^Z(e+«¤Q6]_WXY `(eE[\Q6ZXOdacYdm�gIW(eE[ ZXORQÇb�]KWXZw¬ > `¦®�a�Q6iÂe2g�]�b�W(eEb�Q�WQ�dQ�SVUdZXa�eEYo�IiÃORa¤S�O�a¤Y�ZXOdQ�a¤nRQ6]2«7[¦edndQV«%S-eEYR`Xa¤`XZX`ke_Yd«¤¬ªe2g�a�Zp`k«¤edSV]K«CacYRbRUdZP]_YRnªe_URZXbRUdZ����NPOdQTeKZXORQ6WT�Ia�� Q_���£ORe_YdQ�`(Z���bR]_W(Zw¬+[¦Q6WXQV«¤¬�eEUdZXb�UdZX`¦ZXORQ�e_URZXbRUdZ¦ZXO�]2Z¦a�Z¦OR]K`¦W(Q�S-Q6a�®_Q6n�qgIWXe_[ÂZXOdQ�ZpWXU�`(ZXQ6n°bR]KWXZw¬����

�hQ�dZV�EikQPZpURWXY^ZXe<ZXORQtWXQ6]2«C[\edndQ6«B� �tQ6WXQK�KZpOdQ6WXQÃac`£]�WXQ6]K«�Zwiue2vwbR]KWXZw¬<bRWXeKZ(edSVeK«�]_YRnZXORQ�]_nd®KQ�WX`p]KWXac]2«�©CQ6OR]�®�a¤e_Wka¤`�WXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q�n�Z(e^©CQ�`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z6�GNPO�]2Zua¤`6��ZXOdQ�bRWXeKZXe�SVeK«�a¤`Q�dQ�SVUdZXQ6nªbRWXe_bCQ6WX«�¬_�_©RURZ£e_YRQÃbR]KWXZw¬\[^]�¬^bRW(ednRU�S-QPa¤ZX`9eEUdZXb�UdZk©R]_`(Q�n¦e_YÇ�B]_Yª]KWp©da¤ZXWp]KWX¬bCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦QªS-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYj]_bRbd«¤a�Q�njZXe��ta¤ZX`�®�a�Q6i eKgkZXORQ¦Q�dQ6SVURZ(a¤e_Y �B]K`�nRQ-¢CYdQ�n]K©Ce4®KQ4���t·�Q¦`(ZpW(Q�`X`tZXOR]KZhZpOdQ\eEYd«¤¬Ç]_nd®KQ�WX`p]KWXac]2«¶©CQ6OR]�®�a¤e_Wh]K«�«¤e4iuQ6n OdQ�W(Q<ac`tgqe_Whe_YdQ\e2gZXORQ^b�]KWXZ(a¤Q6`tZ(eÇndQVZXQ6Wp[\acYdQ^a¤ZX`�e4iÃYoeEUdZXbRURZ�©�]K`XQ6noeEYoa¤ZX`�Q6YEZXa¤WXQ\®�a¤QVi eKg£ZXORQ^b�W(eEb�Q�WQ�dQ�SVUdZXa�eEY�eKg*ZpOdQ<bRWXeKZ(edSVeK«��

�Ga¤Y�]2«¤«�¬_�6iuQ£ndQV¢CYdQk`XQ6S6URWXa�Zw¬ta¤Y�ZpOdQk`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ¶[¦edndQV«���Æ `(Q�SVURWXQ9bRWXeKZ(edSVeK«4gqeEW¶ZXORQWXQ6]2«"��`(Q�[¦a¾vwOde_YRQ6`XZ��u[¦edndQV«¶ac`Ã`pURS�O°ZXOR]KZ�gqe_WPQ6®KQ�W(¬^gqQ�]K`Xa¤©d«¤Q<`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZP©�Q�OR]�®�a�eEW�e2ge_YRQPe2g7ZXOdQhb�]KWXZ(a¤Q6`6�2ikQÃS6]KY^`Xa¤[\Ud«¤]KZ(QPZpOdQ *�eKacYEZ"e_UdZpS-eE[\Q��Be2g7ZXOdQ6a¤WkW(Q�]2«RSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y��©E¬¸]KY/Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y acY ZXOdQ°a¤nRQ6]2«P[¦edndQV«��BiÃOdQ6WXQ°]K«¤`XejeEYdQÇbR]KWXZw¬+a¤`^`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZ\]_YRnZXORQte_ZXOdQ�Wkac`uOde_YdQ�`(Z����9ÆtS-ZXU�]2«¤«�¬_�EiuQ�YdQVQ�n�Z(e^]KURm_[¦Q6YEZ£ZpOdQ�ndQ-¢CYRa�ZXa�eEY�ZXe¦]_SVS-eEURYEZ9gqeEW]4vwbRWXa�eEW(a a¤Y�gqeEWX[^]KZ(a¤e_Y ]�®4]2a¤«¤]_©d«¤Q<Z(e°`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(ZtbR]KWXZ(a¤Q6`t©�QVgqe_WXQfZXORQ\bRWXeKZXe�SVeK«*`(Zp]KWXZX`6�NPOdac`Pac`Pnde_YdQ�©E¬T`pURbRbR«�¬�acYdm^ZXOdQ�`(Q<bR]_W(ZXa�Q�`�iPa�ZpOÇ]KU�da¤«�ac]KWX¬ªa¤Y�bRUdZX`6�

�he_Z(Q�ZXO�]2ZPacY°©CeKZpO��IacndQ6]K«¶]KYRnÇWXQ6]2«q�k[¦e�nRQV«c`V�dZpOdQª�B`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ��k]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤]K«�©CQ-vOR]�®�a¤e_W*e_Yd«¤¬fZp]KlKQ6`"bd«c]KSVQÃ]4gqZ(Q�W"ZXORQÃbRW(eEb�Q�W"Q�dQ�SVUdZXa�eEYfeKg7ZpOdQÃS-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm�bRWXeKZ(edSVeK«��NPO�UR`6�da¤Y°ZXORQ�a¤ndQ�]2«¶[¦edndQV«%ZpOdac`é�Q�OR]�®�a�eEWua¤`ÃS6]KbdZpURWXQ6n°©_¬T]¦SVe_[^bRUdZp]2ZXa�eEYT]_bRbd«¤a�Q�n�ZXeZXORQ�«¤edSV]K«�acYRbRURZ�vÀe_UdZpbRUdZPbR]2acW6�diÃOdQ6WXQ6]_`£acY�ZpOdQ�W(Q�]2«7[¦e�nRQV«%ZXORa¤`P©CQ6OR]�®�a¤e_Wka¤`PS6]KbdZpURWXQ6n©E¬�]^S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YÇ]KbRbR«�a¤Q6nTZ(eªZpOdQ<bR]KWXZw¬!> `u«¤edSV]2«%®�a¤QVi �IeKg*ZpOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y����� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�� �B`XQ6S6URW(a¤Zw¬ÃacY�ZXOdQk`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(Z%[¦edndQV«q��º��* -~ % º ��� 16� �)' � ��� 1V� �(' �:!� ij>�SCBCU_>�S_SeBCEbK9Bk`aGHMJI�0Q>mIJG'B_EH>�P�KNMJIJD�IJOQ`HSeP4ORoH>�M~\NoHIJSCD�`HS_SC>LoIJGs�R>LDABCIJOQG �nY �nY Fa\QEH>�UC>mB_EH>^oaIJS_EHOQGH>�SwB

z~OQU*U_K9B_Ea>LU*S_>�P4I �yEaOQGH>�SCB��pVbKNUCBy[ IJSeGHONBdKNMJMJO7@m>Lo B_OTP4OnoHI <}[ I BCS�IJGHVH`aBmz~qH`aBdP/`HSwBeEbKNGHoI B_S*KNDABC`bKNMHIJGHVH`nBBCO/B_Ea>'BCU_`aSCBC>Lo&VbKNUCBy[ �FY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# È_sR�

��� 1V� �(' ����� 1V� �(' %p T}f��zd{��V~B�Iy2{�}K��� ~B� � �G�� V�X ,% / �;- 1��R�ª�BWXQ6`pb%�¤�!% � �.- 1����(�T|K V{�y4~w -�^~B�� �9����~P��W(Q�`Xb%�¤�%`(Q�S-eEYRnC�¦ V�� -�ª -{C~hy��#%*�.- 1���'�h}4{7|�� %p �}T~��£y2¡c�d}2��~B�\�C�Xy2~Ày���y2�d�-y2�^��y��¦¡�Czd~�� {E�,%��

�� V~ � ����/21 � � � %p  }j�d}2� �+y(�ª���Xy %p} %-�q���c��~��I�Ç�Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^ /}2� �Ey4��� ~B�*�\��X w���X -�- V{�~�� {E�\�R}4��~��I -���C��~��X}4~w À�2�I -�k�-y4�¦~B�� �acndQ6]K«*[¦edndQ6« � z��-�o}\�R}4� �¦�c� ���$� . � ��-."�43 �o�IacY ZpOdQ�acndQ6]K«u[¦edndQV«q��� �h�-y4�Ç}4~��¾ �}���~<y4{7  � � �£ ���}�'�  � � ��� 1��61 �E��� ��G�� V�X �� |K  �^y2~À -�\~B�� t�R}4��~���� �¦��y6��}2�G� {K�Czd~ ���¸� ~B�\�¾y���}2�"y4zd~��Czd~ �Ã}4{�|���� ~B�¦}4zl8_¡�q���I}4���Ç� {2��zd~ ���%�d  + 01.5) , ����� +�'2,/. 0 ) 0 %�% '4)�����! � .5)�,���� . ��� �43 �&0�����3�e_Y acYRbRUdZbR]2acW¦�.- 1����h]_YRn�]KU�da¤«�ac]KWX¬Ça¤YRb�UdZ����t|_ -{7y4~w �| #" ����� $ � � '� ) �.- 1���'�h�c��|K ��9{7 �|o}��� %*�.- 1��� 1 � / �.- 1 % / �.- 1��� 1 �E� 1�� � � � 1 % � �;- 1��� 1����(����BNPOR]KZ¶a¤`6��a¾g � � ac`*Ode_YdQ�`(Z ZXOdQ�Y�a�Z *(UR`XZ e_URZXbRUdZp` ZpOdQ9®4]2«cUdQ�% � �;- 1���%e_©dZp]2acYdQ6n�gIWXe_[ZXOdQ¦ZXWpUR`XZ(Q6n�bR]_W(Zw¬_��iÃORa¤S�Oja¤`�ac[¦bR«�acS-a¤Z�a¤Y�ZXOdac`�ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y%�fNPO�UR`6�%e_U�WtbCQ6S6Ud«�ac]KWS�OdeKacS-QªZXeogqQVQ�n ©�e_ZXO¸b�]KWXZ(a¤Q6`<iPa¤ZXO¸ZXOdQ°`X]_[\QT]KU�da¤«�ac]KWX¬jacYRbRUdZ\a¤`\ac[¦[^]KZ(Q6WXac]2«��©�Q�SV]KU�`(Q�ZXORQ<Ode_YdQ�`(ZPbR]_W(Zw¬�a�mEYde_WXQ6`ua¤ZX`Ã]_U�da�«¤a¤]_W(¬ªacYRbRURZV� �

�� V~ ��� �/ 1, � � %X �}h�R}4� ��y��£�C�Xy%X}%��q� �c��~��I���Ry2� �4{�y��¦�I}2� ¡w~B� �ª f}K� �_y2��� ~I�4�f���X ��C¡�X ��V V{�~�� {E�u�R}4��~��I -���6��~��X}4~w À�2�I -�7�-y2��~I�d 9WXQ6]2«E[¦e�nRQV«�� z��-�\}u�R}4� �P�c� ��� � . � �-."�43 ���IacYZXOdQ<WXQ6]K« [¦e�nRQV«q��� �9�-y2�\}4~P�¾ �}4��~Py4{7 �� � �E� 1ps ���£ f��}�'4  � �� �����$1������R� �������-y4�à�'4 V���� �����°}4{7|������ � �G�d -�X ��������c�u~B�� ty4zd~��Czd~%� �t�����I�V� ~*� {� �������\�¶�� �+ 01.5) ,� � � +�'2,/. 0 ) 0 %�� '4)�����! .5) ,���� ! � �43��&0���� 3Ve_Y�acYRbRUdZ*bR]2acW"�;- 1���¶]KYRn�]_U�da�«¤a¤]_W(¬ha¤Y�vbRUdZ � �7|_ -{7y4~w p| ������� ��� � '� ) �.- 1���'�%�c�k|_  �£{� �|�}��9� �� ���� � � �.- 1��� 1' / ���� ��� � / �;- 1��� 1���� 1, � ���� ��� �� �.- 1��� 1 �E�X�'��G�� V�X  �� ���� �� � �.- 1���°}4{7|o~B��  �� ��� �� �.- 1����� �T�X I�- V��~wyo~B�� ��V}��ª Ç 78� ��Vzd~B�Iy2{}4{�|T}4�X ¦|K ��9{7 �|�}���� {�\ ��9{C� ~B�Iy2{�� ��� � � ��BÆÃmE]2acY%�2a�g � ac`9Ode_YRQ6`XZ*ZpOdQ6Y¦a¤Z!*(UR`XZ9e_UdZpbRUdZp`"ZXOdQP®4]K«¤UdQ�% � �.- 1����e_©RZX]2acYdQ�n<gIWXe_[ZXOdQ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_YTe2g��f�R]KY�n�iuQ�[^]�¬^gqQ6Q6n°©�e_ZXO°bR]KWXZ(a¤Q6`uiPa¤ZXOTZXOdQ�`p]K[¦Q�]_U�da�«¤ac]KWX¬a¤YRb�UdZV� �

���Xy2~Ày���y2��� �c�^�-}2�I| ~wy � � +�'4! ��3 # +-0$� 4' ,��B% .5)�,���� � � � . � � 01)�� � , �&0�����3"��� � + '*! � ��� ! � ,% �4)�� � ��� . � �20 )�� � , � � �2� �4. 0 !q�j� �¦�-y4�  �'4 V���j���Xy %p} %-�q���c��~��I�Ç�Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^  �d}2� �+y(�}2� �_y2��� ~I�4�f� � / 1, � �j~B��}4~^�c��}_|��¦�c������%V�¾ ª�-y2��~B�� ��X �}K�&�ªy6|_ V�t~B�� V�X   78_�c��~B��}�C�py %p} %-�q���c��~B�I���dyK���4{�y �\�I}K��¡w~B� �ª t�R}4� �\y(�f}2� �Ey4��� ~B�*�\� � ��� / 1 � � ��~B��}2~k�c�\}_|��¦�c�p����%V�¾ �-y4�f~I�d <�I|_ p}K� �ªy6|_ V�%��z��-�T~B��}2~

� #" ����� $ � � '!� ) �.- 1������ � � � � � �� � ������� ��� � '� ) �.- 1����� � � � � � �À²��¤��sE��G�� V�X �- 1��$1 � � ��� 16� �)'\��z����°~I�d}4~ � - �� � � � }2{�|�� ��� bCeK«¤¬%� � - � ���¿�©R`XQ6WX®KQ"ZpOR]2Z�ZXOdQundQ-¢CYRa�ZXa�eEY<e2gdZpOdQ *�e_a¤YEZ�Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y�acY�ZXORQkWXQ6]2«E[¦e�nRQV«�bRW(eEOdac©da�Zp`�©CeKZpObR]_W(ZXa�Q�`f��Ode_YdQ�`(Z�]KYRnj`(Q�[\a�vwOde_YdQ�`(Z���ZXeTndQ6®Eac]2ZXQ<gIWXe_[�ZXORQ¦`XZXWp]2ZXQVmKa¤Q6`t`XbCQ6SVa¾¢CQ6nj©E¬ �f�NPOdQhnRa �7Q6WXQ6YRSVQt©CQVZwiuQVQ�YªOde_YdQ�`(Zk]KYRnª`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ£bR]_W(ZXa�Q�`"ac`£[¦Q6WXQV«¤¬\acYªZpOdQVacW£]_S-Z(a¤e_Y�`e_Y¦ZpOdQÃS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm�«�edSV]K«d®�a�Q6iÃ`"e2g7ZXOdQPQ�dQ6SVURZ(a¤e_Y%º*ÆhYªOdeEYdQ6`XZ"bR]KWXZw¬<e_URZXbRUdZp`"e_YR«�¬ZXORQTeEUdZXbRURZ�vwbR]KWXZfeKgÃZXOdQ°®�a�Q6i �B]K`¦`pb�Q�S-a�¢�Q6n ©_¬ �����9iÃOdQ�W(Q�]K`\]j`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZ\bR]_W(Zw¬[^]�¬�e_URZXbRUdZt]KYÇ]KWp©da¤ZXWp]KWX¬ �qgqQ6]_`(ac©d«¤¬TSVe_[^bRUdZp]K©d«¤Q��kgIU�YRS-ZXa�eEYTeKg"ZXOdQ�®�a¤QVi�� �teKZXQ�ZXOR]KZacYRS-«cURndacYdm�ZpOdQfeEUdZXb�UdZ�%*�;- 1�����BWXQ6`pb%������ ���� � � �;- 1��R�X�PacY #" ����� $ � � '� ) �;- 1�����BWXQ6`pb%���acY ������� ��� � '� ) �;- 1���X�Gac`9[¦Q6]KYRa¤YdmKgIUd«ReEYd«�¬\a¤Y^ZpOdQhS6]K`XQueKg¶]�WX]_YRnde_[¦a¤ÊVQ�n<gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

È_s_s ����������� �����������������������������������������������������!

%*�C]_YRnÇac`hndeEYdQ�a¤Yoe_WpndQ6W�ZXe�[^]2ZXS�OÇZpOdQ�gqeEWX[\Ud«¤]KZ(a¤e_Y°acYǼtQV¢CYda¤Z(a¤e_Y�²d� sR���_�k·�Qf`XZXWXQ6`p`ZXO�]2Z�ZXOdQ¦a¤`p`pUdQfac`�ZXOdQ¦a¤Y�S-«cUR`(a¤e_Yje2g9ZpOdQ^e_UdZpbRUdZ�e2g9ZXORQ^nRa¤`pOde_YRQ6`XZtbR]_W(Zw¬+�B`XQVQ � Z(Q�[ sacYTZpOdQ<ndac`XS6UR`p`(a¤e_YTZXOR]KZ�gqeK«¤«�e4iÃ`u¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEY ²d� sR���4���

·�Q°SVe_[^[¦Q6YEZ\ZpOR]2Z6�k]_`fiPa¤«�«Ã©CQ6SVe_[¦QÇS-«¤Q6]KW\acY¸ZXORQÇb�W(e�e2gte2g r W(eEb�eE`(a¤Z(a¤e_Y/²d� sR� Á��e_[¦a¤Z(ZXa¤Ydm^ZpOdQ<]KU�da¤«�ac]KWX¬ªacYRbRUdZÃnde�Q�`PYdeKZ�iuQ6]KlKQ6Y�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yo²���sd��sd� � YEZXUda¤Z(a¤®KQ6«�¬_�R`(acYRSVQZXORQu]_nd®KQ�WX`p]KWX¬Ãac`�bR]_`X`Xa¤®KQK��ZXORQkeEYd«�¬�]��7Q6SVZ�eKgRZXOdQu]KU�da¤«�ac]KWX¬�a¤YRb�UdZ�ac`�ZXOR]KZ a¤Z*]_bRb�Q�]KWp` ]_`bR]_W(ZGe2g�ZXOdQP]_nd®KQ�WX`p]KWX¬!> `�®�a�Q6i�� �he4iuQV®_Q6W6�2`(acYRSVQu³ ���E�w²��¤��sE� WXQ-gqQ�WX`*ZXe�ZpOdQÃYdeEY�vÀU�Yda¾gqeEWX[gqe_Wp[fUR«¤]KZ(a¤e_YªeKg S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYR]2«�acYRndac`(ZXa¤YdmEUdac`XOR]_©da¤«�a¤Zw¬K�d]KURm_[¦Q6YEZ(acYdm<ZpOdQ�Q6YR`XQ6[\©d«�Q�`k©E¬]KU �a¤«¤a¤]_W(¬ªacYRbRUdZp`ÃOR]_`PYde�]��7Q6SVZV�� M��¶M��¶M�� �%L�@�� #��I=��*HK= � PJ6;*= J � � �CD2��L ��#dJ�@ � �� ZPac`PYdeKZÃOR]_WXnTZ(eª`XQVQ�ZpOR]2ZP¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYR`t²���sd�¤��]KYRn ²���sd��s¦]KWXQtQ �EURa�®4]2«¤Q6YEZ6�9NPOR]2Z�ac`V�� D���F � ��@qJ�@ � � � M��¶M�� �� V~ � %p j}Ç���Xy4~wy��pyK�¶�-y4���py �h��zd~B� {��&%�� �¶�� V{ � � �C��� '4}4~w V� ���y��t�Czd~w ���% � �f}2{�|�y2{C���ª� �!� �V ��-zd�X 6������y��t�Czd~w -��% � { �V  �\� ¡À�dy4{7 ���~ �^y�|K 6� �� D�� � ����C=EJ�H�; �?·�Qj¢CWp`(Z�`pOde4i�ZXOR]KZ�¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEY¹²���sd��s+ac[¦bR«�a¤Q6`�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y¹²d� sR���_�´�URb�b�eE`(Q�ZXOR]KZ � `XQ6S6URWXQV«¤¬^SVe_[^bRUdZXQ6`�%ÇacYT`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Z�[¦e�nRQV«G�Ia�� Q_���R`p]2ZXa¤`(¢�Q�`k¼�Q-¢�Yda¾vZ(a¤e_Y°²���sd��s_���*· a¤ZXOdeEUdZ£«¤e_`p`9eKg7m_Q6YdQ�WX]K«�a¤Zw¬K�_ikQt`XOde4i Ode4i?ZXe\`Xa¤[\Ud«¤]KZ(QÃZpOdQâ�WX`XZ£bR]_W(Zw¬!> `®�a�Q6i���N e4i�]KWpnR`�ZXORa¤`�Q�YRn%�*ikQªndQV¢CYdQªZpOdQªgqeK«¤«¤e4iPa¤YdmÇ]Kn�[\ac`p`(ac©d«¤Q�bR]2acW � / 1' � �gqe_WkZXORQ�WXQ6]K«�[¦edndQ6«Bº��/hac`�[\Q�W(Q6«�¬^ZpOdQ�a¤ndQ�YEZ(a¤Zw¬ªZXWp]KYR`(gqe_Wp[^]2Z(a¤e_YÇ�BaB� QK�¤�da¤ZkeEUdZXbRURZX`�ZXORQ®�a�Q6i m_a�®_Q6YTZ(e^a�Z����CiÃOdQ6WXQ6]_`* � �IiÃOdacS�OÇW(Q�bRWXQ6`XQ6YEZX`�]KY°OdeEYdQ6`XZP`(ZpWX]KZ(QVm_¬ªgqe_W r ]_W(Zw¬�sE�bRWXednRURS-Q�`�]KY�e_UdZpbRUdZ<]_`�ndQVZXQ6Wp[\acYdQ�n�©E¬oZpOdQª®�a�Q6i m_a�®_Q6YjZ(e a¤ZV�ª·�Q�`(ZpW(Q�`X`�ZpOR]2Z�iuQS-eEYR`Xa¤ndQ�WÃ]KYÇ]_nd®KQ�WX`p]KWX¬ �/�ZpOR]2Ztnde�Q6`ÃYde_ZÃmKQ6ZÃ]KY ]_U�da�«¤a¤]_W(¬�a¤YRb�UdZ<�IeEWÃ]2«¤Z(Q�WXY�]2Z(a¤®KQ6«�¬a¤m_YdeEW(Q�`ka¤Z���� � Q6Z � ���#/ 1�� � �u©CQ�ZXOdQ�acndQ�]2«�vÀ[¦edndQV«¶]_nd®KQ�WX`p]KWX¬^m_UR]_WX]_YEZ(QVQ�n�©E¬�¼�Q-¢RvYda¤Z(a¤e_Y�²���sd��sd��·�QÃSV«¤]Ka¤[ ZXOR]KZ��#/h�IacY^W(e_«�Q�eKg � /���`X]KZ(ac`�¢�Q�`G³ ���d�À²d� &����KWp]2ZpOdQ6WGZpOR]KY\e_YR«�¬³ ���C�À²�� ²K��� � e�e_`XQV«¤¬\`pb�Q�]KlEacYdm��EZXOdQ�S-«c]2ac[ OReK«cnR`£©CQ6S6]KUR`XQh¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYT²���sd��s�m_UR]_WX]_YEZ(QVQ�`ZXO�]2Z�ZXOdQªWXQV«c]2ZXa�eEYj©CQVZwiuQVQ6Y�ZXORQ¦®�a¤QVi e2g r ]_W(Zw¬��ª]KYRn�ZXORQ¦eEUdZXb�UdZX`�eKgu©CeKZXO�bR]_W(ZXa�Q�`acY�]_YjWXQ6]2«*Q�dQ�SVUdZXa�eEYjac`�bRW(Q�`(Q�W(®_Q6n acYoZpOdQ^a¤nRQ6]2«�vw[\edndQ6«B�^´�b�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K��`(acYRS-Q / ac`�]bR]_`X`Xa�®_QÃ]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬��B]KY�n �¹S-eE[^bRUdZ(Q�`�%¶���_ZpOdQheEUdZXbRURZ£e2g r ]_W(Zw¬��ha¤Y�]fW(Q�]2«RQ��Q�SVUdZXa�eEYQ ��UR]K«¤`hZXOdQ\®4]2«cUdQ<ZXO�]2Zhac`�ndQVZXQ6Wp[\acYdQ�n a¤YoZXOdQ\®Ea¤QVi �Be2g r ]KWXZw¬j�4����iÃOdacS�OÇa¤Y ZpURWpYÇ¢�ZX`ZXORQ�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K� �te4i���¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Y�²���sd��sfac[^bd«¤a�Q�`hZpOR]2ZÃZpOdQ\`p]K[¦Q<WXQV«c]2ZXa�eEY°©CQVZwiuQVQ�YZXORQ��B`Xac[fUd«c]2ZXQ6nC�P®Ea¤QVi�eKg r ]KWXZw¬j�f]_YRn ZpOdQfeEUdZXbRURZX`�[fUR`XZtOde_«¤noa¤Y ZpOdQfacndQ�]2«G[\edndQ6«B�� ZkgqeK«¤«�e4iÃ`£ZXOR]KZkUR`Xa¤YRm � / acY�WXeK«¤QÃe2g � / mEUR]KWp]KYEZ(Q6Q6`"ZpOR]2ZkZXOdQ�`Xa¤[\Ud«¤]KZ(Q�nª®�a�Q6i?¢�ZX`uZXORQe_URZXbRUdZPm_a�®_Q6YTZ(e^ZXORQ<`(ac[fUd«c]2ZXe_W���]K`�iuQV«¤«¶]K`�ZXORQ�e_UdZpbRUdZÃYde_ZPmKa¤®KQ6YTZ(e^a¤Z����

·�Q<Yde4i¹`pOde4i ZpOR]2ZP¼�Q-¢�Yda�ZXa�eEYo²���sd�¤��ac[^bd«¤a�Q�`P¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yj²d� sR� sR�9´dURbRbCe_`XQ�ZXOR]KZ�bRWXa�®4]KZ(QV«¤¬�SVe_[^bRUdZXQ6` %*�*]KYRn�«¤QVZ � /^]_YRn � � ©CQ�]K`�m_U�]KWp]KYEZ(Q6Q6noacY+¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Y¸²d� sR���_�� Q6Z � #/21' � �£©CQ�]KY�]_nR[¦a¤`p`Xa¤©d«¤Q�bR]2acW9gqeEW£ZpOdQ�W(Q�]2«�vÀ[¦edndQ6«�]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`V� · a�ZpOde_UdZ«¤e_`p`�eKg\mKQ�YdQ6Wp]2«¤a¤Zw¬K�ÃiuQ�]_`X`pUR[¦QjZpOR]2Z � [¦Q6WXQV«¤¬ [^]KbR`°ZpOdQ+®Ea¤QVi �Ie2g\ZXOdQ `XQ6S-eEYRnbR]_W(Zw¬��fZ(e+ZXORQoS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm�eEUdZXb�UdZ �Ia�� Q_����% � �.- 1����(���tZXOR]KZ^a¤`6� r ]_W(Zw¬/s�ac`ªOde_YRQ6`XZ�B]_YRn r ]_W(Zw¬T�hac`k`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZ����*NPORQ6Y%��iuQtndQV¢CYdQt]_YªacndQ6]K«¾vw[¦e�nRQV«Cb�]2acW � ����/21 � � �`pURS�O+ZXOR]KZ ��/4�;- 1��61 �E� ����� �/2� � /4�.- 1 �R� 1����f]KYRn � � � � 1 �$1���� ����� ���/� �teKZXQ�ZXO�]2Z � a¤`acYRndQVQ�nª]KnR[¦ac`X`Xac©d«�Qf�Ii�� WV� Z9ZXORQÃa¤nRQ6]2«C[\edndQ6« ���d©�Q�SV]KU�`(Q � / bRW(ednRU�S-Q6`£]<`(ac[fUR«¤]KZ(Q6n¦®�a¤QViZXO�]2Zt¢�ZX`�ZXORQ¦eEUdZXb�UdZt®4]K«¤UdQ ������NPOdQ\gqeK«¤«�e4iPacYdm°OdeK«cnR`\�qgqe_W�]_Y_¬ÇacY�¢CYda¤Z(Qª`XQ ��UdQ�YRS-Q\e2g

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# È_sKÁ

�.- 1� 1���� > `���º������� ��� � '� ) �;- 1��� � / ���� ��� � / �.- 1���� 1���� 1' � ���� ��� �� �;- 1��� 1����(�

� #/����� ��� � / �.- 1���� 1���� 1 �� ����� � �� �;- 1��R�X��� � / � � / �;- 1 % / �;- 1���X� 1���� 1 % � �;- 1��R�X� ��� / �;- 1 % / �;- 1��R� 1���� 1 � � � � 1 % � �.- 1���� 1����(� #" � ��� $ � � '� ) �.- 1���

iÃOdQ�W(QPZpOdQÃS-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YR]K«da¤YRnRa¤`XZ(acYdm_URa¤`pOR]K©Ra�«¤a�Zw¬T�Ia�� Q_����� �*ac`9nRUdQPZXe�ZXOdQÃmEUR]KWp]KYEZXQVQ�W(QVvm_]_WXnRa¤Ydm � /��Ba¤Y�a¤ZX`*m_Q6YdQ�WX]K«4gqe_Wp[����2a�� Q_���4³ ���K�À²d� &���� � YRndQVQ�n%�4ZXORQk«c]2ZXZ(Q6W�e_YR«�¬�m_UR]_WX]_YEZ(QVQ�`��� ��� � / �;- 1��R� 1 �� ���� � �� �.- 1���(� �� � � / �.- 1 % / �.- 1���(� 1 % � �.- 1���(���C©RUdZt©_¬�a¤YRSVe_Wpb�eEWX]KZ(acYdm / ]_YRn��¦a¤YTZXORQ<b�e_Z(Q6YEZXa¤]K« ndac`(ZXa¤YdmEUdac`XOdQ�W�ZXOdQ<]_©�e4®_Q�`Xe2gqZ(v�Q ��UR]2«¤a�Zw¬�gqeK«¤«�e4iÃ`6�� � �*HA�BL ��@ � � �°NPOdQ°]K©Ce4®KQ�b�W(e�e2ghnRQ6[¦e_YR`XZXWp]2ZXQ6`fZXOR]KZ\ZpOdQ°]K«�ZXQ6WpYR]2ZXa�®_Qªgqe_Wp[fUR«¤]KZ(a¤e_Ye2g*¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yo²���sd��sfa¤`Ã[¦Q�W(Q6«�¬�]^S6UR[f©CQ6Wp`(eE[¦QhgqeEWX[ eKg�ZpOdQ<`(ac[^bd«¤Q6W�¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Yo²d� sR���_�·�Q�`(ZpW(Q�`X`�ZpOR]2Z�ZXORQ�W(Q�]K`Xe_YoiuQªOR]�®KQªbRWXQ6`XQ6YEZXQ6n�ZXOdQ�S6UR[f©CQ6Wp`(eE[¦QfgqeEWX[ a¤`�ZpOdQ^gI]KSVZZXO�]2ZGa�Z�gqeK«¤«¤e4iÃ` ZpOdQ�mKQ6YRQ6Wp]2«_gIWX]_[\Q6ikeEWXlte2g�ndQ-¢CYRa�ZXa�eEYR`Ge2gC`XQ6S6URWXa�Zw¬�ZXO�]2ZGa¤`GUR`XQ6n<gqe_W*ZXORQ[^]2«¤a¤SVa�eEUR` ]_nd®KQ�WX`p]KWXac]2«2©CQ6OR]�®�a¤e_W6� � Y�ZXORQkWXQ6`XZ¶e2gRZpOda¤`*S�OR]_bdZ(Q�WV��iÃOdQ�YdQV®_Q6W¶iuQ£ndQ�]2«EiPa�ZpOZXORQh`(Q�[¦a¾vwOde_YRQ6`XZG[¦edndQ6« �qgqeEW"Zwiue2vwbR]KWXZw¬<S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YC���KiuQPiPa�«¤«�UR`XQP¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y�²d� sR���_��CU�W(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK�d`(acYRSVQ�[\URS�O�eKg ZXOdQ�ZXQ�dZugqe�S6UR`XQ6`ue_YTndQVZXQ6Wp[\acYdac`(ZXa¤StgIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`V��iuQiPa¤«�« ©CQ<]K©R«�Q�Z(e�U�`(Q�ZXORQ<`(ac[^bd«�Q�WPSV]_`(Q�e2gG¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Yo²d� sR���_����/�� ����� 01�)�L�7(^��� �&6�01�4,��c�

·�QtYde4i?ZXU�WXY^ZXe\S-eEYR`Xa¤ndQ�W9]KWp©da¤ZXWp]KWX¬<gqQ�]K`Xa¤©d«¤QhndQ6®�a¤]KZ(a¤e_Y¦gIWXe_[ ZXOdQ�`XbCQ6SVa¾¢�Q�n�bRWXeKmEWX]_[e2g%]�Zwiue2vwbR]KWXZw¬<bRWXeKZ(edSVeK«���Æ?gqQ6i bRWXQV«¤ac[\acYR]_W(¬¦S-e_[^[¦Q6YEZp`9]KWXQ�a¤Y^bd«c]KSVQK�*�*acWp`(ZX«�¬_�KZXORQ6WXQac`ªYde�i�]�¬ Z(e�gqeEWXSVQ°bR]_W(ZXa�Q�`¦Z(e bR]KWXZ(acS-acbR]KZ(Q°a¤Y ZXOdQ bRWXeKZXedS-eK«�� NPO�]2Z^a¤`6�k]�bCe_`p`(ac©d«¤Q[^]2«¤a¤SVa�eEUR`^©�Q�OR]�®�a�eEW\[^]�¬¸SVe_YR`Xa¤`XZ¦e2gtYde_Zª`(Zp]KWXZ(acYdm�ZpOdQÇQ�dQ6S6UdZ(a¤e_Y ]2Z^]2«¤«B�ke_W6�£[¦e_WXQmKQ�YdQ6Wp]2«¤«¤¬K�7`XUR`pbCQ6YRndacYdm��Ie_Wt]K©Ce_WXZ(acYdm��PZXOdQ\Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Yj]2Zt]_YE¬ÇnRQ6`Xa¤WXQ6nobCeKacYEZhacYoZXa¤[¦QK�� Y�b�]KWXZ(acSVUd«c]KW6�E]¦bR]_W(Zw¬ªSV]_Y�]_©�eEW(Zu]2ZuZXOdQt¢CWp`(Z�[¦e_[¦Q6YEZuiÃOdQ6Y�a�Z�e_©RZX]2acYR`kZXOdQ�ndQ�`(acWXQ6nWXQ6`pUd«�Zte2g£ZpOdQ^S-e_[^bRURZ(Q6nogIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K��·�Q¦`XZXWXQ6`p`tZXOR]KZteEURWt[¦edndQ6«�eKgkS-eE[¦[\URYdacSV]2vZ(a¤e_Y+nde�Q�`�YdeKZ<]K«�«¤e4i Z(eoSVe_YRnRa�ZXa�eEYjZpOdQ�W(Q�S-Q6a¤bdZ�eKgu] [¦Q6`p`p]2mKQ^©E¬oe_YRQ�bR]KWXZw¬ e_Y�ZXORQ��y4{7�-zd���X V{�~*`(Q�YRndacYdm�e2g7]h���Xy��R V��[¦Q6`p`p]2mKQu©E¬<ZXOdac`9bR]_W(Zw¬_��NPO�UR`6�KYde�Zwiue2vwbR]KWXZw¬�bRW(e_Z(eKvS-e_«�S6]KY�b�W(Q6®KQ6YEZke_YdQte2g¶ZXORQ�bR]_W(ZXa�Q�`9ZXeÇ}%Xy2��~ �G�� V{jy %-~w}4� {�� {��ª~B�� <|_ ���� �X �|^�p ���zR��~9]_YRn©CQ-gqe_WXQ�a¤ZX`hSVe_URYEZXQ6WpbR]KWXZP]2«c`(eªeE©dZX]Ka¤YR`ÃZXOdQfnRQ6`Xa¤WXQ6nÇWXQ6`pUd«�Z6� � YÇe_ZXOdQ�WPiue_WpnR`V�da¤ZhS6]KY ©CQ`pOde4iÃYªZXO�]2ZkbCQ6W(gqQ6SVZ£gI]Ka¤WpYdQ�`X`"§¦acY�ZXORQ�`XQ6YR`XQÃeKg�©�e_ZXOTbR]KWXZ(a¤Q6`£e_©dZp]2acYda¤YRmfZXORQteEUdZXSVe_[¦Qe2g9ZpOdQ^S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYoS-eEYRSVU�WXWXQ6YEZ(«¤¬ª§Ça¤`�Yde_Z�]_S�Oda�Q6®4]K©d«¤Q<acY ZwikeKvÀb�]KWXZw¬TS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y%�·�Q�ZpO�UR`umKa¤®KQ�URb�eEY�`pURS�OªgI]Ka¤WpYdQ�`X`u]2«¤Z(e_mKQVZpOdQ6W6�u�I·�Q�SVe_[^[¦Q6YEZ�ZXOR]KZub�]KWXZ(ac]2«�gI]2acWXYRQ6`p`ac`P]KS�Oda¤QV®4]K©R«�Q_�R`(Q6Q<´�Q6S-ZXa�eEYo²�� ²��¤�K�¤�����

´EQ�S-e_Y�nd«�¬_��e_©R`XQ6WX®KQtZXOR]KZkiÃOdQ�YTSVe_YR`XacndQ6WXa¤YRm\[^]2«¤a¤SVa�eEUR`�]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`9a�Z�ac`PYdeKZ�S-«¤Q6]_WiÃOR]KZ\ZpOdQVacWÇ� {2��zd~�~Ày�~B�� ¦���Xy4~wy��pyK�Ãac`V� NPOR]2Z¦ac`V�u]�[^]2«¤acS-a¤e_UR`¦bR]KWXZw¬¸SV]_Y¸Q�Y_ZXQ6W¦ZXORQbRWXeKZXe�SVeK«diPa¤ZXO^]KWp©da¤ZXWp]KWX¬�a¤Y�bRUdZV�_iÃOdacS�O¦[^]�¬fYReKZ"Q ��UR]K«da�Zp`#5(ZpWXURQ�7�«�edS6]2«RacYRbRUdZ6�"NPOdQ6WXQac`uYRe\i�]�¬¦gqe_Wu]\bRWXeKZXedS-eK«�Z(e¦Z(Q6«�«%ZpOdQ 5(ZXWpUdQ�7<«¤e�S6]2«7acYRbRUdZugIWXe_[ ZXOdQ�eEYdQ�SV«¤]Ka¤[¦Q�n�©E¬ª]bR]_W(Zw¬^�IeEWV�4acY\eKZXORQ6W*ikeEWXn�`V��Z(e�bRWXQV®_Q6YEZ�]�[^]2«¤a¤SVa�eEUR`GbR]KWXZw¬�gIW(eE[�[\ednda�gq¬�a¤YRmta¤ZX`GacYRbRUdZ����

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

È_s2¨ ����������� �����������������������������������������������������!

�I·�QÃ`XZXWXQ6`p` ZpOR]2Z"ZpOdQ6`XQPbROdQ6YRe_[¦Q6YR]�ndacn\YReKZGedSVSVU�W�acY¦ZXOdQP`XQ6[¦a�vÀOdeEYdQ6`XZG[\edndQ6«B�2gqe_WGZXORQe_©E®�a¤e_UR`�WXQ6]K`Xe_Y�ZXOR]KZÃbR]KWXZ(a¤Q6`�iuQ6WXQ�b�eE`(ZpUd«c]2Z(Q�nTYReKZPZ(eªndQ6®�a¤]KZ(Q�gIWXe_[ ZpOdQ<bRWXeKZ(edSVeK«����

� Y ®�a¤QVi eKghZXOdQÇ]K©Ce4®KQ_�GZXOdQ�W(QÇ]KWXQ�ZpORW(Q6Q�ZpOda¤YRm_`¦ikQ°SV]_YRYdeKZ¦Ode_bCQ°Z(e+]�®KeKacn?�BYRe[^]2ZXZ(Q6W�iÃO�]2ZÃbRWXeKZXe�SVeK«7iuQ<UR`(Q4���

�_� r ]KWXZ(a¤Q6`�W(QVgIUR`(acYdm°Z(e bR]_W(ZXa¤SVa¤bR]KZ(Q¦a¤Y�ZpOdQªbRW(e_Z(edS-e_«��IiÃOdQ�YjZpOdQ�bRWXeKZ(edSVeK«*a¤`�¢CWp`XZa¤YE®KeEl2Q�nC���

sR� r ]KWXZ(a¤Q6`�`XU�©R`(ZXa�ZpUdZ(acYdm ZpOdQVacW�«¤e�S6]2«9acYRbRURZª�B]KY�n+Q6YEZ(Q�W(acYdmÇZXOdQ�b�W(e_Z(edS-e_«"iPa�ZpO�]_Ya¤YRb�UdZPeKZpOdQ6W�ZpOR]KY°ZXORQ�e_YdQ�bRWXe4®�a¤ndQ�n�ZXeªZXOdQ�[ª���

Á�� r ]KWXZ(a¤Q6`h]_©�eEW(ZXa¤YRmTZpOdQ¦b�W(e_Z(edS-e_«*bRWXQ6[^]KZXURWXQV«¤¬ �IQ_� mC���¶©CQ-gqeEW(Q^`(Q�YRndacYdm°ZXOdQ6a¤W�«c]K`XZ[\Q�`X`p]2m_Q����

NPO�UR`6�PikQj`pOR]K«�«�S-e_Y�`(acndQ6WT] Zwiue2vwbR]KWXZw¬/bRWXeKZXe�SVeK«ÃZXe ©CQ�`XQ6S6URW(Q a�g<ZXORQ�]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬ > `©CQ6OR]�®�a¤e_W�acYÇa�Zta¤`PQ�`X`XQ6YEZXa¤]K«�«¤¬TWXQ6`XZXWXa¤SVZ(Q�nTZXe�ZXORQf]K©Ce4®KQ�ZXO�W(Q6Qf]KSVZ(a¤e_YR`6�£�CeK«¤«�e4iPacYdmªZXORQ5XWXQ6]K«¾vÀ®d`�vÀacndQ6]K« 7�[¦QVZpOdedndeK«¤eKm_¬T�Be2g*´EQ�S-Z(a¤e_Y°²��¤�K�¤�����_ZXOdac`�[¦Q6]KY�`9ZXO�]2Z£iuQt`pOdeEUd«¤n�ndQ-¢CYRQ]KY�acndQ6]K«k[¦edndQV«kZXOR]KZfS-eEWXWXQ6`pbCe_YRnR`�ZXeoZXORQ6`XQ�b�eE`X`Xa¤©R«�Q�]_S-ZXa�eEYR`V�*]KYRn nRQ-¢CYdQT`(Q�SVURWXa�Zw¬`pURS�O�ZpOR]2ZPZpOdQ�Q�dQ�SVUdZXa�eEY�eKg*]^`(Q�SVURWXQ�bRWXeKZ(edSVeK«7a¤Y°ZpOdQ�W(Q�]2«¶[¦edndQV«¶S6]KY°©�Q<`Xa¤[\Ud«c]2Z(Q�n©E¬�ZXORQ�a¤ndQ�]2« [¦edndQ6«B�� M��¶M�� M�� :<;*= #RHKJ6L #�� �*=�� �*@qJ6@ � �·�Q°`XZX]_W(Z¦iPa�ZpO/]�`(ZpWX]Ka�mEOEZ�gqe_WXi�]KWpn�ac[^bd«¤Q6[¦Q6YEZX]KZ(a¤e_Y/e2ghZpOdQ°]_©�e4®_Q�ndac`XS6UR`p`(a¤e_Y%�¸ÆtY]2«¤Z(Q�WXY�]2Z(a¤®KQ9]_bRbRWXe_]_S�O%�ViÃOdacS�O�ac` `Xa¤[^bd«¤Q6W�]2«c]K`¶b�]KWXZ(ac]2«���ac` b�W(Q�`(Q�Y_ZXQ6n�acYf´EQ6SVZ(a¤e_Y\²d� sR� Á�� sR��À´db�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K�2ZpOdQP]2«¤Z(Q�WXYR]KZ(a¤®KQu]KbRbRWXe_]_S�O�a¤`GndacWXQ6S-ZX«�¬\]KbRbd«¤acSV]K©R«�Qke_Yd«¤¬�Z(e�`(acYdm_«�QVv�eEUdZXbRURZgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`6�¶acYjiÃORa¤S�O�SV]_`(Q¦ZXOdQªSVe_[^bd«¤a¤S6]2Z(a¤e_Y�`tacYEZXWXednRURS-Q�n�©E¬j]_©�eEW(ZXa¤YRmTnde Yde_Z]KWXac`(Q_�°NPOdQTa¤YEZXQ6WXQ6`XZ(Q6n+WXQ6]_ndQ6W<[^]�¬�bRW(edSVQVQ6n nRa¤WXQ6SVZ(«¤¬�ZXe�´EQ6SVZ(a¤e_Y/²d� sR� Á�� sR� iÃOdacS�O+a¤`[¦e_`XZ(«¤¬�`XQV«�g vÀSVe_YEZX]Ka¤YdQ�n%� �:<;*= @��*=�#���� ���*= �(M ·�QT¢�WX`XZ\ZpWX]_YR`X«¤]KZ(Q�ZpOdQÇ]K©Ce4®KQTnRa¤`pSVUR`p`Xa�eEY a¤YEZXe�]�ndQ-¢�Yda�ZXa�eEYe2gÃ]_Y�acndQ�]2«k[¦edndQ6«B�ÇNPOR]2Zfa¤`6��iuQ�iPa¤«�«u]2«¤«�e4i a¤Y+ZpOdQ�acndQ�]2«£[¦edndQV«kiÃOR]2ZXQV®_Q6W<S6]KYRYde_Z©CQ�b�eE`X`Xa¤©R«�¬jb�W(Q6®KQ6YEZXQ6n�a¤Y+]KYE¬oWXQ6]K«"Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y%��ÆtY+]2«¤Z(Q6WpYR]KZ(a¤®KQ¦iu]�¬ eKgu«¤e�e_lEa¤YRm°]KZZXORa¤YdmE`"ac`GZXOR]KZ"ikQP]K`p`pUR[¦QuZpOR]2Z"ZpOdQPZXORQPZwike�bR]_W(ZXa�Q�`"OR]�®KQP]2ZGZpOdQVacW9ndac`XbCe_`p]2«R]�ZpWXUR`XZ(Q�nZXORa¤Wpn bR]KWXZw¬K�*©RUdZ\QV®KQ�Y+`XURS�O+]ob�]KWXZw¬jSV]_YRYdeKZ<b�W(Q6®KQ6YEZ<SVQ6WXZX]2acY+[^]2«¤a¤SVa�eEUR`<©CQ6OR]�®�a¤e_W6�´�bCQ6SVa¾¢CS6]2«¤«�¬_�2iuQu]K«�«¤e4i¸]t[^]K«�acS-a¤e_UR`*bR]_W(Zw¬�acY<ZpOdQ�a¤ndQ�]2«d[¦edndQV«�Z(e�WXQ-gIUR`XQuZ(e�bR]KWXZ(acS-acbR]2ZXQacY<ZXORQ�b�W(e_Z(edS-e_«_eEW ZXe�`pUR©R`XZ(a¤ZXUdZXQ�a�Zp`�«¤edSV]K«_acYRbRUdZ6���À¥k«¤Q6]KWX«¤¬K�2YdQ6a�ZpOdQ6WGSV]_Y<©CQ�b�W(Q6®KQ6YEZXQ6n©E¬�]¦ZXWpUR`XZ(Q6nTZXORa¤WpnÇbR]KWXZw¬K� � � Y°]Kn�nda�ZXa�eEY%�RiuQ�b�eE`(ZpUd«¤]KZ(Q�ZXO�]2Z�ZXOdQ �£����~ubR]_W(Zw¬�O�]K`�ZXORQe_bRZ(a¤e_Y\e2g 5p`(ZXe_bRbdacYdm 7hZpOdQ�ZXWpUR`(ZXQ6n¦bR]KWXZw¬ *(UR`XZ"]4gqZ(Q�WGe_©dZp]2acYdacYdmta¤ZX`"b�]KWXZ�eKgCZXORQueEUdZXb�UdZV�]KY�n�©CQ-gqeEW(Q^ZpOdQªZXWpUR`XZ(Q6n+bR]_W(Zw¬o`XQ6Y�nR`�ZXORQªeKZXORQ6W�e_URZXbRUdZ(vÀb�]KWXZ�ZXe ZXOdQ�`XQ6SVe_YRn�bR]_W(Zw¬_�´�URS�O ]_Y�e_bdZXa�eEY�ac`<Yde_Z<mKa¤®KQ�Y�Z(e ZXORQ�`(Q�S-eEYRn+bR]KWXZw¬K� / NPOEU�`V�G]KY�Q�dQ�SVUdZXa�eEY�acY+ZXORQ: � .^EHIJSsKNSC[nP4P4>�BCUC[jIJSsoa`H>�BCO{B_EH>&GHOQG �yD�OQGHD�`HUCU_>�G]B�GbK9B_`aU_>�ON<TD�OQP4P/`HGHIJDLK9BCIJOQGtIJGtBCEH>�P4ORoH>�M~Y

�nIJGHD�>4@^>4VfOQSCBC`HMXK9BC>�BCEbK9B B_Ea>�BCU_`aSCBC>Lo"VbKNUCBy[uS_>�GHoHS'BCEH>�KNGHSC@^>�U 1bU_SwB'B_OWBCEH>61bU_SwB VbKNUCBy[]\�B_Ea> 1HU_SCBVbKNUwBy[��yqa`aB)GHONB)BCEH>/SC>�DLOQGao �TEbKNSTBCEH>sOQVaBCIJOQG�B_O�SCBCOQV�B_Ea>BCU_`HSwB)VbKNUCBy[��������sOQqaB_KNIJGHIJGHg�I B_STVbKNUCB)ON<BCEH>OQ`nB_VH`nB7Y�.^EH>'S_>�D�OQGHo�VbKNUCBy[]\lDLKNG�OQGHM [&SCBCOQVWB_EH>'BCU_`HSwBTVbKNUwBy[Wqf>A<�OQUC>'OQqaBFKNIJGaIJGHg�I B_ScOQ`aB_Va`aB7\lqH`nBBCEHIJSIJS)BCEH>�SFKNP4>4KNS'UC>�<?`HSCIJGHg�BCOWVbKNUCBCIJD�IJVbK9BC>]Y��n>�>s<�`aUCBCEH>�UoHIJSCD�`HS_SCIJOQGtK9B'B_Ea>�>�GHouON<�B_EH>4D�`HUCU_>�G]BS_`aqHS_>�DAB_IJOQGhY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# È_s_±

acndQ6]K«£[¦e�nRQV«kb�W(edS-Q6Q6nR`f]K`�gqe_«�«¤e4iÃ`^�IiÃOdQ�W(Q�]K«�«u]KSVZ(a¤e_YR`�eKg�©CeKZpO+ZXOdQTOde_YdQ�`(Z<]_YRn+ZXORQ[^]2«¤a¤SVa�eEUR`PbR]_W(ZXa�Q�`P[fUR`XZP©�Q�gqQ�]K`Xa¤©d«¤Q�Z(e^ac[^bd«�Q�[¦Q6YEZ���º {K�Czd~B��ºu³u]KS�OTbR]KWXZw¬�e_©RZX]2acYR`P]_Y�acYRbRUdZ6�CndQ�YdeKZXQ6n ���  V{�|2� {E��� {2��zd~I��~Ày�~B��z���~w �|��d}2��~B�4ºÃÆtY Ode_YRQ6`XZÃbR]KWXZw¬�]2«¤i�]�¬�`�`XQ6YRn�` �oZ(eªZpOdQ<ZpWXUR`XZ(Q�n

bR]KWXZw¬K�£Æ�[^]K«�acS-a¤e_UR`hbR]KWXZw¬�[^]�¬K��nRQ6bCQ6YRndacYdmªeEY �/�B]K`ÃikQ6«�« ]_`Pe_YÇ]_Y°]_U�da�«¤ac]KWX¬a¤YRb�UdZ�]_YRn a¤ZX`�S-e_a¤YoZ(e_`p`XQ6`����7QVa¤ZXOdQ�Wt]_©�eEW(Zte_W�`(Q�YRno`Xe_[¦Q � : � ��� 1V� ��� ���RZ(e°ZXORQZXWpUR`(ZXQ6n°bR]KWXZw¬K� / �

�¶�� \~���z���~w �|t�d}2��~B�°}4{R� �£ V����~I�d  �£����~ �d}2��~B�4º � Y°SV]_`(Qta�ZPOR]_`�e_©dZp]2acYdQ6nT]KY�a¤YRb�UdZÃbR]2acW6��.- 1������7ZXOdQ¦ZXWpUR`XZ(Q�njbR]_W(Zw¬��qgqeEWtSVe_[^bRUdZXa¤YdmJ%¶����¢CWp`XZtWXQ6bd«¤a�Q�`hZXe�ZpOdQf¢�WX`XZtbR]_W(Zw¬iPa�ZpO�% / �.- 1������ ¿tZpOdQ6WXiPac`(Q �Ia�� Q_����a¤Y SV]_`(Q�a�Z WXQ6SVQVa¤®KQ6`�e_Yd«¤¬ e_YRQ�acYRbRUdZ�����ZXORQZXWpUR`(ZXQ6n°bR]KWXZw¬�WXQ6bd«¤a¤Q6`�Z(eª©CeKZpO°b�]KWXZ(a¤Q6`�iPa¤ZXOÇ]^`XbCQ6SVa¤]K« `(¬d[\©�e_«B�RndQ�YdeKZXQ6n#�\�

�¶�� \~���z���~w �|t�d}2��~B�°}4{R� �£ V����~I�d ��V ���y4{�|��d}2��~B�4º � Y�SV]_`(Q¦ZXOdQ\¢CWp`(Z�bR]_W(Zw¬ ac`�[¦]K«�acS-a¤e_U�`a�Z<[^]�¬K�*ndQ6bCQ6Y�nda¤YRm e_Y�a�Zp`�acYRbRUdZT}2{�|o~I�d �~���z���~À �|¦�R}4��~���� ��}4{R� �£ V���*nRQ6S-acndQªZXe� ,(0 PZpOdQPZXWpUR`XZ(Q6n¦bR]_W(Zw¬_� � Y\ZXOdac`9S6]K`XQkZpOdQPZXWpUR`XZ(Q6n¦bR]_W(Zw¬f`XQ6Y�nR`�?ZXe�ZpOdQÃ`XQ6S-eEYRnbR]KWXZw¬K�k¿tZpOdQ6WXiPa¤`XQ^�Ia�� Q_���Ca¾g9Yde_ZÃ`(ZXe_bRbCQ6n�����ZpOdQ�ZXWpUR`XZ(Q�n°b�]KWXZw¬T`XQ6YRnR`�% � �.- 1���uZXeZXOdQ<`XQ6SVe_YRn°bR]KWXZw¬K�

� zd~¾��zd~I��º�ÆhY°Ode_YRQ6`XZ�b�]KWXZw¬�]2«¤iu]�¬d`ke_UdZpbRUdZX`�ZpOdQ<[¦Q6`p`X]KmKQta�ZÃOR]_`ue_©dZp]2acYdQ6n�gIW(eE[ ZXORQZXWpUR`(ZXQ6n¸b�]KWXZw¬K�oÆ�[¦]K«�acS-a¤e_U�`fbR]_W(Zw¬+[^]�¬�eEUdZXbRURZ\]KY/]KWp©da�ZpWX]_W(¬ �BbCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�vZ(ac[\QPSVe_[^bRUdZp]K©d«¤Q��¶gIURYRSVZ(a¤e_Y\e2g�a¤ZX`GacYda¤Z(ac]2«dacYRbRUdZP��]KU�da¤«�ac]KWX¬�a¤Y�bRUdZ9]KY�nfWp]KYRndeE[\vZX]KbCQ��u]_YRnTZXOdQ<[¦Q6`p`p]2mKQ�a¤ZÃOR]K`�eE©dZX]Ka¤YdQ�nTgIW(eE[ ZXOdQ�ZpWXU�`(ZXQ6nÇbR]KWXZw¬K�

� YªgI]_S-Z6�EiPa¤ZXORe_UdZu«�eE`X`ke2g¶m_Q6YdQ�WX]K«�a¤Zw¬K�EiuQt[^]�¬ª]K`p`XUR[¦QtZXOR]KZu©CeKZpO�bR]_W(ZXa�Q�`k`XQ6YRn�a¤Y�bRUdZX`Z(e�ZXOdQ\ZXWpUR`(ZXQ6n bR]_W(Zw¬��BWp]2ZpOdQ6WÃZXOR]_Yo]2«¤«�e4iPacYdmªZpOdQf[^]2«¤a¤SVa�eEUR`hb�]KWXZw¬TYde_ZhZ(e�Q6YEZ(Q�WÃZXORQbRWXeKZXe�SVeK«q��� NPOdac`�]_`X`pUR[^bdZ(a¤e_Y SV]_Y?©�Q *(UR`XZ(a�¢�Q�n ©_¬ «�Q6Z(ZXa¤Ydm ZpOdQ ZXWpUR`XZ(Q�n b�]KWXZw¬/UR`XQ`Xe_[¦QfndQVgI]KUd«¤Zh®4]2«cUdQ��Be_Wt]�`XbCQ6SVa¤]K«�]_©�eEW(ZÃ`X¬d[f©CeK«q��acY SV]K`XQ<a¤Ztnde�Q�`hYde_ZÃmKQ6Zh]KYÇacYRbRUdZgIWXe_[ e_YdQ\e2g9ZXORQ\bR]_W(ZXa�Q�`V� / � NPO�UR`6��ZXOdQ\a¤ndQ�]2«*[\edndQ6«k��S-eE[¦b�UdZX]KZ(a¤e_YC�Pa¤`�SV]_bdZXURWXQ6n ©E¬ZXORQ<gqeK«¤«¤e4iPa¤YdmTndQ-¢CYRa�ZXa�eEY%�7iÃOdQ6WXQ<ZXORQ\]2«¤mKeEW(a¤ZXO�[¦` � / ]KYRn � � WXQ6b�W(Q�`(Q�Y_Zt]2«¤«�bCe_`p`(ac©d«¤Q]KSVZ(a¤e_YR`�acY�ZXOdQT[\edndQ6«B� / � � Y�b�]KWXZ(acSVUd«c]KW6� � / �.- 1�� 147K�¦��W(Q�`Xb%�¤� � � � � 1�� 147K�(��WXQ6b�W(Q�`(Q�Y_Zp`ZXORQ<a¤Y�bRUdZhOR]_YRndQ�nTZXeªZXOdQfZXWpUR`(ZXQ6nÇbR]_W(Zw¬�©E¬ r ]KWXZw¬ �ª�BWXQ6`pb%��� r ]KWXZw¬Ts_�uOR]�®�acYdm^«�edS6]2«�vacYRbRUdZ�-o�BWXQ6`pb%�¤� ������]KU �a¤«¤a¤]_W(¬<acYRbRURZ �<]_YRnªUR`Xa¤YRm<WX]_YRnde_[\vÀZX]_b�Q�7�� � YRndQ6Q6n%�Ea�g r ]_W(Zw¬��:�� ij>uD�OQP4P4>�GRB4BCEbK9B�U_>�SCBCU_IJDABCIJGHg"BCEH>{IJoH>LKNM �yP4Onoa>LM KNoar]>�U_SFKNUw[ �~BCO U_>�VHMXKND�IJGHg�� q][����'ON<'B_EH>

SFKNP4>4MJ>�GHgNBCE �'OQGHM [jSCBCU_>�GHgNBCEH>�GHSsB_Ea>�oa> 1HGHI B_IJOQGxON<5SC>LD�`HUCI By[]Y .^EHIJSUC>�SCBCU_IJDAB_IJOQG"IJS>�S_SC>�GRBCIXKNMmB_O�OQ`aU<?OQU_P/`aMXK9B_IJOQGp\Nql>�DLKN`HSC> �~qR[/OQ`HUkD�OQG]r]>LG]BCIJOQG �dB_Ea>5<?`HGHDABCIJOQGbKNMJI By[�84IJSdoa> 1HGH>�o�OQGaM [<?OQUkVbKNIJUCSdON<hSCBCU_IJGagQSON<�>�&n`HKNMeMJ>LGagNB_EpY: � � ONBCExOQVaBCIJOQGHS �~I~Y >QYJ\koH>A<�KN`HM B/rNKNMJ`H>�OQUsK�S_Vf>�D�IXKNMcKNqfOQUwBsSC[nP/qfOQM �'KNU_>�`HS_>A<?`HM~\dKNGHotBCEH>�DFEaOQIJDL>

oH>�Vf>�GHoHS/OQGuB_EH>�VHUCONB_ORD�OQMmoH>�S_IJgQGa>LULY � GtDLKNSC>�K�S_Vf>�D�IXKNM�KNqlOQUwB SC[nP/qfOQMkIJS'`HSC>Loh\*BCEH>4<?`HGHDAB_IJOQGHKNMJI By[S_EaOQ`HMJo�qf>)P4ORoHI 1b>�o�KND�D�OQU_oaIJGHgQM [�SC`HDFE�B_EbK9BcI <eOQGH>'ON<eBCEH>)IJGHVH`nB_Sc> &R`bKNMJS�B_Ea>)S_Vf>�DLIXKNM KNqlOQUwB5SC[nP/qfOQMBCEH>�G�B_Ea>)OQ`aB_Va`aB IJS5KSCVf>LD�IXKNMeKNqfOQUwBcSw[aPqfOQM~Y: % ;cS IJG E >21bGaI B_IJOQG��nY �nY �n\p@^>/P�K-0Q>BCEH>4Vf>LD�`HMJIXKNU)D_EHOQIJD�>4ON<m<�>�>�oHIJGHg&qfONB_E�� A S @cI BCE�B_Ea>4SFKNP4>

KN` %nIJMJIXKNUC[�IJGHVa`aB� � KNGao�B_Ea> S_KNP4>TU_KNGHoHOQP �~B_KNVf> � �AY��5O7@^>Ar]>�U7\fKNg]KNIJGh\HB_Ea>)EHOQGH>�SCBcSCBCUFK9BC>�gN[�IJgQGHOQUC>�SBCEHIJS^KN` %nIJMJIXKNUC[IJGHVH`aBL\]@5EHIJDFE4IJSkOQGaM [/`HSC>�o�q][/BCEH>5P�KNMJIJD�IJOQ`HSdSwB_U_K9B_>�gN[]Y � ONBC>5BCEbK9B^`HGaMJI�0Q>5IJG4VaU_>AraIJOQ`aSoH>21bGHI BCIJOQGHSL\b@^>'P�K-0Q> B_EH>'U_KNGHoHOQP �~B_KNVf> �yON<*B_Ea>KNonr]>LUCSFKNUw[ �^> %aVHMJIJD�I BcIJG&BCEH>'GHONB_K9B_IJOQGpY�.^EH>'UC>7KNSCOQGqf>�IJGHgBCEbK9B�B_Ea>)SFKNP4>TSwB_U_K9B_>�gN[�IJS^`HSC>�o&BCO/oH>�S_D�UCIJql>cBy@^O/oHI $l>�U_>�G]BcKND�BCIJOQGHS�ON<eBCEH>)KNoar]>�U_S_KNUC[ �~UFK9BCEH>�UBCEbKNG/K^SCIJGHgQMJ>mKNDABCIJOQGp\QKNSeIJG E >21bGaI B_IJOQG �nY �nY � �FYd�nIJGHD�>dBCEH>�S_>kKND�BCIJOQGHS�P�KL[Tqf>kVHUCOQqbKNqHIJMJIJSCBCIJDLKNMJM [ UC>LMXK9BC>�op\I B5IJS�IJP4VlOQUwBFKNG]B^BCEbK9BcBCEH>A[�KNU_> oH>ABC>�U_P4IJGH>�o�qHKNS_>�o�OQG�B_EH>'S_KNP4> UFKNGHoaOQP �~BFKNVf>QY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

È_sKÈ ����������� �����������������������������������������������������!

�BWXQ6`pb%�¤� r ]KWXZw¬�s_�kac`ÃOdeEYdQ6`XZPZXORQ6Y � / �.- 1�� 147K�� - ��W(Q�`Xb%�¤� � � � � 1�� 147K� �R��� ��a¤lKQViPac`(Q_�� / �.- 1�� 14721��d� � WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZX`P]TndQ6SVa¤`Xa¤e_Y°e2g r ]_W(Zw¬o�fZ(eT`XZ(eEbÇZXOdQ\ZXWpUR`XZ(Q6n b�]KWXZw¬K��eEYacYRbRUdZ�-Ç�B]_U�da�«¤a¤]_W(¬�acYRbRUdZ �t]KY�n\Wp]KYRnRe_[\v�Zp]KbCQ�7K���E]4gqZXQ6WGW(Q�S-Q6a�®�acYdmhZpOdQ��Ie_URZXbRUdZ�� ®�]K«¤URQ�tgIW(eE[¹ZpOdQuZXWpUR`(ZXQ6n<b�]KWXZw¬K� � Y�ZpOdac`*S6]K`XQ ��/��.- 1�� 14721��61 ���%WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZX` ZXOdQubR]KWXZw¬!> ` «�edS6]2«�ve_URZXbRUdZ6�¦¿tZXORQ6WXiPa¤`XQ��BaB� QK�¤� �#/4�.- 1�� 14721 �R� � �����%iuQ\«¤QVZ���/��.- 1�� 14721��d�ha¤ZX`XQV«�gkW(Q�bRWXQ6`XQ6YEZZXORQ¦bR]_W(Zw¬!> `h«¤edSV]K«¾vÀe_UdZpbRUdZ6�<NPOdQ\«¤edSV]K«*eEUdZXb�UdZteKg r ]_W(Zw¬ sªac`�]2«¤iu]�¬d`hWXQ6b�W(Q�`(Q�Y_ZXQ6no©E¬� � � � 1 � 1=721 �R���"iÃOdQ�W(Q � a¤`\ZXOdQÇbR]_W(Zw¬!> `<«¤e�S6]2«ua¤Y�bRUdZ°���ja¤`¦ZXORQ°]_U�da�«¤a¤]_W(¬�acYRbRUdZ6� 7 a¤`ZXORQ<WX]_YRnde_[\vÀZX]_b�Q4�u]KYRn ��ac`PZXORQ�®�]K«¤URQ<W(Q�S-QVa¤®KQ�n�gIWXe_[ÂZXOdQfZXWpUR`(ZXQ6nÇbR]_W(Zw¬_� � YRndQVQ�n%��a�gr ]KWXZw¬¦�h�BWXQ6`pb%�¤� r ]KWXZw¬�sE�7ac`�OdeEYdQ6`XZ ZpOdQ6Y � / �.- 1�� 14721��d� �\��W(Q�`Xb¶��� � � � �$1 � 1=721 �R� �R���� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�� �B[^]2«¤acS-a¤e_UR`ª]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`V�"ZpOdQ acndQ6]K«Ã[\edndQ6« ��º �� V~�% º ��� 1V� �)' ���� 1V� �(' � ��� 1V� �(' � ��� 1V� �(' %p �}���zd{��V~��Iy4{�}K��� ~�� � �G�d -�X  % /4�.- 1����Ç�BWXQ6`pb%�¤��% � �.- 1���(�|K V{�y2~À -�f~B��  �£����~���W(Q�`Xb%�¤�7`(Q�S-e_Y�nC�f 6�¾  �^ V{�~Ãy(��%*�;- 1��� ���� V~ � ����/ 1�� � ��%p ª}f�d}2� �y��¦���Xy %p}%��q���c��~��I�T�dyK���4{�y �\�I}K��¡w~�� �^  }K� �_y2��� ~I�4�f�o�p w���X ��V V{�~�� {E�¸��~B�X}2~À À�K�I ��Ç� { ~B�� j�I|K �}K��ªy6|_ V� � z��-��}Ã�R}4� �t�c� ���$� . � � ."�*3 �f�IacY^ZXOdQÃacndQ�]2«C[^]K«�acS-a¤e_UR`£[\edndQ6« �Ã� � �-y2��}2~G�� p}4��~£y4{� � � �_� 1ps � �9�p}K� �¾ �| �20 )�� � ,�� �£ ���}�'�  � � ���!1�� 147K� � }4{7| � � ��� 1 � 1=721 �R� � ���-y4�f �'� V����Ry�������%-�¾  '4}2� z� �y�� �!1�� 147�}2{�| � �ux¶zd��~B�� V� �ªy4�X �� � � � ���!1�� 147K�� � � � �¦z���~¶��yK�¾|��-y4� %py4~B���� � �¦�¶�� �+ 01.5) , � � � +�'2,/. 0 ) 0"%!% '4)�����! ��.5) ,���� . ��� �43 � 0�����37�IeEY�acYRbRURZ�b�]2acWt�;- 1��R�k]_YRn]KU �a¤«¤a¤]_W(¬¦a¤Y�bRUdZ��E���£|K V{�y4~w �|� #" � ��� $ � � '� ) �.- 1���'�"�c�<|K ��9{7 p|�%-�^zd{�� �-y2� �¦���¦�V 6�¾ ��-~�� {E�T}�X}2{�|Ky �\¡w~w}��R  7��-y4��~B�� °}K|�'� V���V}4��� �f}4{7|j�� -~�~B� {�� #" ����� $ � � '!� ) �;- 1��R� � �����\�;- 1��$1 � 1=7K�'��G�� V�X ��\�.- 1� 1�� 147K���c�f|_  �£{� �|�}4�"�-yK� �¾y��G��

{���}��V  �Ã}4��~�� � �c���dy4{7 ���~ ���\�.- 1�� 1�� 147K�< � Vz�}2� �� % /��.- 1� : �$1 � � � �$1 � 1=721 % � �.- 1�� : �X�'� �G�d -�X  � : � ��� � � � �$1 � 1=7K��� �À²��¤�6Á��

{���}��V  �Ã}4��~�� �T�c���dy4{7 ���~ ���\�.- 1�� 1�� 147K�< � Vz�}2� �����/4�;- 1 � 1=721 % /��;- : 1��� 1 ���$1 ��� a¾g �#/4�.- 1�� 14721 % /��.- : 1���(� � �À²��¤�V¨d�

���#/2�.- 1�� 14721 % /��.- : 1���(�$1 % � �.- : 1���(� eKZpOdQ6WXiPa¤`XQ �À²��¤��±E��G�� V�X (�9� { %py4~B�Ç��}��V -�'� - : � ��� � / �;- 1 � 1=72� �

³ ���k�À²��¤�V¨d� � �À²��¤��±E��WXQ-gqQ6WfZ(e�ZXOdQ°SV]K`XQ�ZpOR]2Z r ]KWXZw¬�s ac`¦Ode_YdQ�`(Z��B]KY�n r ]KWXZw¬/�°[¦]�¬©CQo[¦]K«�acS-a¤e_U�`����¹´�b�Q�S-a�¢CSV]K«�«¤¬K�u³ ���P�w²��¤�V¨��\WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZp`\ZpOdQo`pUR©�vwSV]K`XQÇiÃOdQ6WXQ r ]KWXZw¬?�acY_®_e_lKQ6`9ZpOdQhZpWXU�`(ZXQ6n�b�]KWXZw¬\iPa¤ZXOT]fbCe_`p`(ac©d«¤¬^`pUR©R`XZ(a¤ZXURZ(Q6nTacYRbRUdZ6��nRQ6Yde_Z(Q6n�� / �.- 1�� 147K���]KY�n¸]K©Ce_WXZX`fiÃOda�«¤QT`XZ(eEbRbdacYdmoZpOdQ�ZpWXUR`XZ(Q�n¸bR]_W(Zw¬+W(a¤m_OEZf]2gqZ(Q�WfeE©dZX]Ka¤YdacYdmoZpOdQ�eEUdZXb�UdZV�% / ��� / �.- 1�� 147K� 1������ � Y°ZpOda¤`h`XUR©dvÀS6]K`XQK� r ]KWXZw¬�s¦e_©RZX]2acYR`PYde^eEUdZXbRURZ<�qgIWXe_[ÂZXOdQ�ZpWXUR`XZ(Q�nbR]_W(Zw¬���� ³ ���k�w²��¤��±_�fWXQ6bRWXQ6`XQ6YEZX`fZXOdQ `pUR©�vwSV]_`(QTiÃOdQ6WXQ r ]_W(Zw¬?��acYE®KeEl2Q6`\ZXORQTZpWXUR`XZ(Q�nbR]_W(Zw¬ªiPa¤ZXOÇ]¦b�eE`X`Xa¤©R«�¬�`pUR©R`XZ(a¤ZXURZ(Q6n°acYRbRUdZ6��]KY�nT]K«�«¤e4iÃ`£ZpOdQ�ZXWpUR`XZ(Q�nTbR]_W(Zw¬ªZXeª]KYR`XikQ�Wr ]KWXZw¬ªsd� � Y�ZpOdac`u`pUR©�vwSV]_`(Q_� r ]_W(Zw¬�s<e_©dZp]2acYR`�]KYRn�e_UdZpbRUdZ�% � ���#/4�.- 1�� 147K� 1��R��� � YT©CeKZpO`pUR©�vwSV]K`XQ6`6�¶ZpOdQªZXWpUR`XZ(Q6n+bR]_W(Zw¬�S-e_[^bRURZ(Q6` %*���#/4�.- 1�� 147K� 1��R���*]_YRn r ]KWXZw¬ �^e_UdZpbRUdZX`f]`XZXWXa¤Ydm ZpOR]2Z<nRQ6bCQ6YRnR`fe_Y�©�e_ZXO - 1�� 147Ç]KYRn % /4����/��.- 1�� 147K� 1������ ��a¤lKQViPac`(Q_� ³ �C�£�À²��¤�6Á��WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZPb�eE`X`Xac©d«�Q<[^]K«�acS-a¤e_UR`h©�Q�OR]�®�a�eEW�e2g r ]KWXZw¬Ts���ORe4ikQ6®KQ6W6��a¤Y ]_SVSVe_WpnR]KYRSVQtZXe�ZXORQ]K©Ce4®KQ9nRa¤`pSVUR`p`Xa�eEY%��ZXOdQkZXWpUR`(ZXQ6n�bR]_W(Zw¬t¢CWp`(Z�`XURb�bd«�a¤Q6` e_UdZpbRUdZ�Z(e r ]_W(Zw¬\�£]KY�n�`(e r ]_W(Zw¬�snde�Q6`PYReKZÃOR]�®_Q�]35XWXQ6]K« 7¦]K©Ce_WXZ(acYdm^e_bRZ(a¤e_Y��B]KY�]2«¤eKmKeEUR`uZ(e^³ ���%�w²��¤�V¨��X���

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# È_sE²

�¶=EH_L J�@ � � @�� J6;*=jD4=�#�� � ����=��(M ·�Q\YdQ��ZtS-e_Y�`(acndQ6WhZXOdQ\W(Q�]2«�[¦edndQ6« acY iÃOdacS�O ]WXQ6]2«£�IZwiue2vwbR]KWXZw¬��9bRWXeKZXedS-eK« a¤`PQ�dQ6SVURZ(Q6n+��]KYRn°ZpOdQ6WXQ<Q�dac`(ZÃYReªZXWpUR`(ZXQ6nÇZpOda¤Wpn bR]_W(ZXa�Q�`����� Y+ZXORa¤`\SV]K`XQK�G]o[^]2«¤acS-a¤e_UR`<b�]KWXZw¬�[^]�¬ogqe_«�«¤e4i ]KY+]KWp©da¤ZXWp]KWX¬ gqQ6]_`(ac©d«¤Q�`(ZpWX]KZ(Q6mK¬ �GZXOR]KZac`V��]KYE¬ `(ZpWX]KZ(Q6mK¬ a¤[^bd«¤Q6[¦Q6YEZp]K©d«¤Q�©E¬ ] bRWXe_©R]_©da�«¤ac`(ZXa¤S�b�e_«�¬dYdeE[\ac]2«�vÀZ(ac[\Q�]2«¤mKeEW(a¤ZXOR[�IiÃORa¤S�O+m_QVZX`�]_Y+]KU�da¤«�ac]KWX¬oacYRbRUdZ���� � Y bR]KWXZ(acSVUd«c]KW6�¶ZpOdQ�[^]2«¤a¤SVa�eEUR`<bR]_W(Zw¬�[¦]�¬�]K©Ce_WXZZXORQ£Q�dQ�SVUdZXa�eEY�]2Z�]_YE¬tbCeKacY_Z�a¤Y<Z(ac[\Q_�2]KYRn�iÃORQ6Y�ZpOda¤`*OR]_bRb�Q�YR` b�W(Q�[¦]KZXURWXQV«¤¬K��ZpOdQ£e_ZXOdQ�WbR]_W(Zw¬Ta¤`P«¤Q-gqZtiPa�ZpO Ydeªe_URZXbRUdZ6� � Y°]_YR]2«¤eKm_¬�Z(e�ZXOdQ<acndQ�]2« S6]K`XQK�RiuQ<UR`XQf]2«¤mKeEW(a¤ZXOR[^`�ZXendQV¢CYdQ£`XZXWp]2ZXQVmKa¤Q6`7acY�]PbRWXeKZXe�SVeK«��ViÃOdQ�W(Q"ZpOdQ6`XQ � ,/! �2,�� � . � �"�Be_W¶]K«�m_e_WXa�ZpOR[^`7a¤[^bd«¤Q6[¦Q�Y_ZXa¤YRmZXORQ6[�� �^}��T�R}4��~��I}2�* 78� ��Vzd~B�Iy2{ �_�c��~wy4���I -�<~Ày�~I�d <{7 78_~ �ª -�p�V}6�_ V�� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M � �B[^]2«¤acS-a¤e_UR`G]KnR®KQ6Wp`p]KWXa�Q�`V��ZXORQ�WXQ6]K«d[\edndQ6« ��º �� V~ % %p �}��P� {�¦  �£{�� ¡~��Iy4{ � ���%� � �P}2{�| � %p \}�~ �£y4¡c�R}4��~����C�Xy2~Ày���y2�K�-y2�\��y��t�Czd~�� {E�9%�� �� V~ �� �/ 1, � � %X }¦�R}4� ��y��t���Xy %p} %-�q���c��~��I���Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �ª °}K� �Ey4��� ~B�*�\�¦�X ��C�p ��V V{�~�� {E�°��~��X}4~w À�2�I -�¦� { ~B�� �X �}2� �^y�|K 6� � z��-� }<�R}4� �f�c� ��� � . � �-."�43 �ª�Ii�� W6� Z!���f�qgqe_WÃZXOdQ¦W(Q�]2« [^]2«¤acS-a¤e_UR`Ã[¦edndQ6« �<� �}4~u�¾ �}���~ky2{� ! � ��y4� {7�-�I|_ �� �"� ~B��~B�� ���~��X}4~w À�2�¦�À�d ��V� �k �| %-� ���h� {��d}2��~B�I�VzR�¾}4���9~B�_�c� ��¾�K{�y4�p ��f~B�� ª}2zl8_�q���I}4���Ç� {2��zd~ � �¹�¶��  + 0 .5)2, ����� +�'2,/. 0 )�0 % ��'4)���� ! �.5)�,���� ! � �43 �&0�����3�IeEYªacYRbRUdZ�bR]2acWÃ�;- 1��R�9]KYRn�]KU�da¤«�ac]KWX¬facYRbRUdZ����'�9|K V{�y4~w �| ������� ��� � '!� ) �;- 1��R���"�c��|K ��9{7 �|}��\~I�d ¦y2zd~¾��zd~*�d}2� �f�X -��zR��~B� {������Xy�� ~B�� \� {�~w V�X}K�V~B�Iy2{ %X V~ �£ p V{ / �;- 1 �E�¦}4{7|� � � � 1������� -hQ6SV]K«�«�ZpOR]2Z¦ZXOdQÇOdeEYdQ6`XZ� � a¤m_YRe_WXQ6`<ZpOdQ ]KU�da¤«�ac]KWX¬�a¤YRb�UdZ �R�9]_YRn¸`Xeje_U�W\bCQ6S6Ud«�ac]KWS�Ode_a¤SVQ�eKg*bRWXe4®�a¤nRa¤Ydmª©CeKZpO � > `PiPa¤ZXO°ZXOdQ<`p]K[¦Q �¦ac`�a¤[^[^]2ZXQ6WXa¤]K«B� �� Y�`Xe_[¦QtbR«¤]_S-Q6`t�IacY°´�Q6S-ZXa�eEYT²�� ¨����_iuQhiPa¤«¤«7]_`X`pUR[¦QÃZpOR]2ZuZXOdQ�]2«¤mKeEW(a¤ZXO�[¦`kW(Q�bRWXQ6`XQ6YEZ(acYdmZXORQTWXQ6]2«�vw[\edndQ6«k]_nd®KQ�WX`p]KWXa�Q�`¦�Ia�� Q_���"ZpOdQ°]K«�m_e_WXa�ZpOR[ � ZpOR]2Z¦nde�Q6`\YdeKZfgqeK«¤«�e4i ���<]KWXQndQ6Z(Q6Wp[¦a¤YRa¤`XZ(acS2�"NPOdac`9ac`!*(UR`XZ(a�¢�Q6n�©_¬\e_©R`XQ6WX®�a¤YRm�ZpOR]2Z£e_YdQh[^]�¬ *(UR`(Zh�BS-eEYR`Xa¤ndQ�W9]KY�nC��¢ ZXORQ 5X©CQ6`XZ 7ªbCe_`p`Xa¤©d«¤QfS�Ode_a¤SVQ<e2g9SVeKacYR`PgqeEWh]�Wp]KYRnRe_[¦a�Ê6Q6nÇ]KnR®KQ6Wp`p]KWX¬�]KYRnÇacYRSVe_Wpb�eEWX]KZ(QZXORa¤`kS�OdeKacS-Q�acY^ZXOdQh]_U�da�«¤ac]KWX¬<a¤Y�bRUdZ9eKg%]�nRQVZ(Q�WX[¦acYdac`(ZXa¤SÃ]_nd®KQ�WX`p]KWX¬^�BS-g��k´EQ6SVZ(a¤e_Y°�K� ÁR� ÁE���� =EH_L D4@IJ8� # �¸= ��L ��#dJ6@ � �9� ªD4=�#��ª=�¶=EH_L J�@ � � @�� J�;�= @ ��=�#�� � � ��=���M �t]�®�acYdmndQV¢CYdQ6n ZXOdQ�a¤ndQ�]2«�]KYRn WXQ6]K«t[¦edndQV«c`V�PiuQjeE©dZX]Ka¤Y?ZpOdQ�SVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRm+nRQ-¢CYda¤Z(a¤e_Y e2g`XQ6SVU�W(a¤Zw¬K� ��e�e_`XQV«¤¬t`pb�Q�]KlEa¤YRm���ZXOdQundQ-¢CYRa�ZXa�eEY�]K`p`(Q�W(Zp`%ZXOR]KZ ]Ã`XQ6S6URW(Q"Zwiue2vwbR]_W(Zw¬hb�W(e_Z(edS-e_«�IacYoZpOdQ\WXQ6]K«*[¦edndQ6« �PQ6[fUR«¤]KZ(Q6`tZXORQ\acndQ6]K«*[¦edndQ6«k�Ba¤YjiÃOda¤S�Oj]�ZXWpUR`XZ(Q�nobR]KWXZw¬°Q�da¤`XZX`����NPOdac`Ãac`PgqeEWX[\Ud«¤]KZ(Q�n°©E¬°`X]�¬�acYdmªZXOR]KZh]Kn�[\ac`p`(ac©d«¤Q<]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`uacYÇZXOdQ\a¤ndQ�]2«�vÀ[¦edndQ6« ]KWXQ]K©R«�Q"ZXeÃ`(ac[fUd«c]2ZXQP�IacY�ZXOdQ£a¤ndQ�]2«�vÀ[¦edndQ6« �CZpOdQ9Q�dQ�SVUdZXa�eEYteKgR]u`XQ6S6URWXQ9W(Q�]2«�vÀ[¦edndQV«2b�W(e_Z(edS-e_«URYRnRQ6WP]KYE¬�]_nR[¦a¤`p`Xa¤©d«¤Q�]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6�� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�� �B`XQ6S6URW(a¤Zw¬ªacYTZpOdQ�[^]2«¤a¤SVa�eEUR`P[¦e�nRQV«q��º �* -~�%?}4{�|�� %p \}4��� { \ B��¡� {�� ~��Iy4{ � ��� ��� � ���py4~wy6��y2� �Â�c���V}4�I|�~Ày � � + '*! ��3 #�+-0 � *'2,���%/�Ba¤Y°ZpOdQ<[^]2«¤a¤SVa�eEUR`P[¦e�nRQV«q�� �Ã�-y2�T �'4 V���^�C�Xy%X}%��q� �c��~��I�¦�Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �ª \�d}2� �Ty���}K� �_y2��� ~I�4�f� � #/ 1' � �^~B��}4~�c�^}_|��¦�c������%V�¾ h�-y4�^~I�d �W(Q�]2«G[¦e�nRQV«��IeKg9¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ²���sd��±_�<~I�d -�X � 78_�c��~I�^}<���Xy %p}%��q���c��~��I��Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^ h�R}4� �fy(��}K� �Ey4��� ~B�*�\� � ��� / 1�� � ��~B��}2~£�c�<}K|��¦�c������%-�¾ u�-y2��~B�� Ãa¤nRQ6]2«[¦edndQV«9�Be2gG¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yo²���sd� ¨�����z��-��~B��}2~

� #" ����� $ � � '!� ) �.- 1������ � � � � � �� � ������� ��� � '� ) �.- 1����� � � � � ��G�� V�X �- 1��$1 � � ��� 16� �('¦��z��-��~B��}2~ � - � � � ��}4{�|�� ��� b�e_«�¬%� � - � � �h� �  ���}2� �%~B��}2~��� |K V¡{�y2~À -�k��y��t�Czd~w}4~��Iy4{7}2�_� {�|4�c��~�� {E�Kzd�c����} %-�q��� ~�� %��t�({�y2{�¡wzd{C� �-y4� �<���-} �\�q� �I ��Py��%�Ry2� �4{�y��¦�I}2� ¡���21� T�V� �X�Vzd� ~I� � � ) �d -{/~I�d T��y4{C~À 98_~Ã�c���V�¾ �}2��� �£ ^�Vy �^ V~B� �ª -�^�p I�- V�ª~Ày � }���} � � +�'4! �."� 43 ��� � ) , �2,/. 01)°y���%��

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

È_sA) ����������� �����������������������������������������������������!

¿�YdQ^ac[¦bCe_WXZX]_YEZ�b�W(eEb�Q�W(Zw¬oZpOR]2Z�¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEY ²d� sR� È°ac[^bd«�a¤Q6`�ac` ! . ����+ # �"� ~B���X -�À�d ��V~h~wy�ª}2���I�V�Iy4z��\}_|�'4 -���V}4���I -���uNPO�]2Z�a¤`6��]K«�«%ZpOR]2ZÃ]_Y°]_nd®KQ�WX`p]KWX¬^SV]KY°«¤Q6]_WXY°©E¬�bR]KWXZ(acS-acbR]KZ(acYdmacY�ZpOdQ�bRWXeKZXe�SVeK«��¶iÃOda¤«�Q�U�`(acYdm ]KY�]KWp©da¤ZXWp]KWX¬ �qgqQ6]_`(ac©d«¤Q���`XZXWp]2ZXQVmK¬_� SV]_Y�©CQªQ6`p`XQ6YEZ(ac]2«¤«�¬acY�gqQ6WpW(Q�n^gIWXe_[ ZXORQ�SVe_WpW(Q�`XbCe_YRnRa¤Ydmfe_UdZpbRUdZ�]2«¤e_YdQ_�GÆtYdeKZpOdQ6WubRWXe_bCQ6WXZw¬^ZXOR]KZkac`£ac[^bd«¤a�Q�n©E¬ ¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ²���sd� Èoac` +-0 ! ! � +-,/)�� � �6�9iÃOdacS�O/[¦Q6]_YR`¦ZXOR]KZ\ZpOdQÇe_UdZpbRUdZ¦e2g�ZXOdQÇOde_YRQ6`XZbR]_W(Zw¬^[fUR`XZk©CQtSVe_YR`Xac`(ZXQ6YEZ9iPa¤ZXO�]_Y^a¤Y�bRUdZ�bR]2acW9acYªiÃOdacS�OªZXORQhQV«¤Q6[¦Q�Y_ZuS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdmZ(e°ZXORQ^ORe_YdQ�`(Z�bR]KWXZw¬ÇQ ��UR]K«¤`�ZXORQ¦bR]_W(Zw¬!> `�]KS-ZpUR]2«*acYRbRUdZ6�f�CU�W(ZpOdQ6Wp[¦e_WXQK�7ZXOdQ^Q6«�Q�[\Q�YEZS-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm�ZXefZXORQ�]_nd®KQ�WX`p]KWX¬\[\UR`(Zu©�Q�S�OdeE`(Q�Y^e_©d«¤a�®�a¤e_UR`X«¤¬\eKg ZXOdQ�Ode_YRQ6`XZkbR]_W(Zw¬!> `acYRbRUdZ6�"·�Q�`(ZpW(Q�`X`kZXO�]2Z�©�e_ZXO�b�W(eEb�Q�W(ZXa�Q�`k]_W(QtQ6]K`Xa¤«�¬¦a¤[^bd«¤a¤Q6n°©_¬^¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEYDzd� sR� È��_©RUdZZXORQu«c]2ZXZ(Q�WGa¤`GYde_Z*ac[^bd«¤a�Q�n¦©E¬<SVe_[f©Ra¤YdacYdm�ZXOdQPZwiue�bRW(eEb�Q�W(ZXa�Q�`V����eEW gIU�W(ZpOdQ6W"ndac`pSVUR`p`(a¤e_Y¶�`XQVQ�³ dQ6WpS-ac`XQ�Á��

·�Q�iPa¤`pO ZXejOda¤m_Od«¤a�mEOEZf]KYde_ZXOdQ�WfbRWXe_bCQ6WXZw¬jZpOR]2Z\a¤`fa¤[^bd«¤a¤Q6n¸©E¬�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ²d� sR� È�º� e�eE`(Q6«�¬�`pbCQ6]KlEacYdm��CZXOdac`ÃndQV¢CYda¤Z(a¤e_YÇac[^bd«�a¤Q6`hZXOR]KZh]2ZhZXOdQ<Q�YRnÇe2gGZXORQ��BWXQ6]K« �kQ��Q�SVUdZXa�eEYe2g�]Ç`(Q�SVURWXQ¦b�W(e_Z(edS-e_«B�%Q�]KS�Ojb�]KWXZw¬:5Xl�Yde4iÃ`87�ZXORQª®�]K«¤URQ¦eKgkZpOdQªS-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm�acYRbRUdZgqe_WtiÃOdacS�OoZpOdQ\eEUdZXb�UdZtac`te_©dZp]2acYdQ6n%� / � NPOR]KZtac`6��iÃORQ6Yj]T[^]2«¤a¤SVa�eEUR` r ]_W(Zw¬��\eE©dZX]Ka¤Y�`ZXORQÃe_UdZpbRUdZ ���_a¤Z9l�Yde4iÃ`"]KY,- : �IiÃORa¤S�O^nde�Q6`£YdeKZ9YdQ�S-Q�`X`p]KWXa�«¤¬<Q �EU�]2«dZ(e�a¤ZX`£a¤YRa�ZXa¤]K«R«�edS6]2«�vacYRbRUdZ�-%��`XURS�O�ZXO�]2Z � % /4�.- : 1��R�ÃgqeEW�`(eE[\Q �¸�BaB� QK�¤� ZpOdQª«¤e�S6]2«�v�acYRbRURZ�eKguZpOdQªOde_YRQ6`XZr ]KWXZw¬�sE���TNPORa¤` 5Xl�Yde4iP«¤Q6ndm_Q�7Ta¤`�ac[^bd«¤a�Q�n ©_¬�ZXOdQ�Q ��Uda¤®�]K«�Q�YRS-QªZXeoZXORQ�a¤nRQ6]2«k[\edndQ6«B�acY�iÃOdacS�OTZXOdQ�bR]_W(Zw¬ªQ�dbR«�acS-a¤Z(«¤¬�OR]_YRnR`uZXOdQ^��b�eE`X`Xa¤©R«�¬�[¦ednda�¢�Q6n��ka¤YRb�UdZ�Z(e^ZXOdQ�ZpWXUR`XZ(Q�nbR]_W(Zw¬_� ��eEW Q�R]K[^bd«¤QK�2`p]�¬ r ]_W(Zw¬¦��UR`(Q�` ZpOdQP[^]2«¤a¤SVa�eEUR`�`XZXWp]2ZXQVm_¬ / �GNPOdQ6YfZXOdQ�eEUdZXbRURZ®4]2«cUdQ6`¦�Ba¤Y ������� ��� � �;- 1��R�X��S-eEWXWXQ6`pb�eEYRn ZXe°ZpOdQ^a¤Y�bRUdZ<bR]Ka¤W¦��� / �;-7� 1������iÃOdQ6WXQ � / a¤`ZXORQ�a¤ndQ�]2«�vÀ[¦edndQ6«¶]Knd®_Q6Wp`X]_W(¬ªndQ�W(a¤®KQ�n�gIWXe_[ ZpOdQ<WXQ6]2«�vw[\edndQ6«%]Knd®_Q6Wp`X]_W(ac]2«7`(ZpWX]KZ(Q6mK¬ / �

·�Q\S-eE[^[\Q�YEZÃZXOR]KZ�]K«�ZpOde_URm_OǼ�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Y�²���sd� È�nde�Q6`tYdeKZtZX]2«clÇ]K©Ce_UdZtZXWp]KYR`(gqe_Wp[\vacYdm ]KnR[¦ac`X`Xa¤©R«�Q > `�Z(eo]_nR[¦a¤`p`Xa¤©d«¤Q � > `V� ikQ^iPa¤«�«"eKgqZ(Q6Y+UR`XQª`XU�S�O�bRO�WX]_`(Q�`V�¦�CURWXZXORQ6W(v[¦e_WXQK�7]2«¤ZXOdeEUdm_OÇZpOdQ^ndQ-¢CYRa�ZXa�eEYonde�Q6`�YdeKZtQV®_Q6YÇm_U�]KWp]KYEZ(Q6Q�ZXOR]KZ�`pURS�O ]�ZpWX]_YR`(gqe_Wp[¦]2vZ(a¤e_YTac`�Q��7Q6S-ZXa�®_Q^�Ia�� Q_����SVe_[^bRUdZp]K©d«¤Q����dZXOdQ�ZpWX]_YR`(gqe_Wp[¦]KZ(a¤e_YR`uUR`XQ6nTa¤YTZXORa¤`Piue_Wpl^]KWXQ�]K«�«bCeK«¤¬�YRe_[¦a¤]K«¾vÀZ(ac[¦QuSVe_[^bRUdZp]K©d«¤QK� " e_WXQVe4®_Q6W6�6ZpOdQ6`XQ�ZXWp]KYR`(gqe_Wp[^]2ZXa�eEYR` SVe_YR`Xa¤`XZ*e2g�m_Q6YdQ�W(acSbRWXeKmEWX]_[¦`hgqe_W�� � ZXOR]KZ�UR`(Qª`pUR©RWXe_UdZXa¤YRQT�Be_W�e_Wp]KSV«�Q4�PS6]2«¤«¤`�ZXe°ZpOdQªS-eEWXWXQ6`pb�eEYRndacYdm � �¥ke_Y�`(Q �EURQ6YEZ(«¤¬K�_ikQh`Xe_[¦Q6Z(ac[\Q�`£ndQ�`XS6W(ac©CQÃZXOdQ�`(QhZXWp]KYR`(gqe_Wp[^]2Z(a¤e_Y�`"iPa�ZpOde_URZ£W(QVgqQ6WpW(acYdm�ZXeZXORQ�]_U�da�«¤ac]KWX¬¦acYRbRURZV�R]KY�n�ZpOdQ�nRQ6`pSVWXa¤bdZXa�eEY�S6]KY�©CQ�S-eE[¦bR«�Q6Z(Q6n°©E¬�OR]�®�a¤YRm � � b�]K`p`ka¤ZX`]KU �a¤«¤a¤]_W(¬ªacYRbRUdZhZ(e � �Ba¤Y°Q�]KS�OTe2g�a¤ZX`Ãa¤YE®KedS6]2Z(a¤e_Y�`�����¶L�D�J6;*=ED �*@���HKL � �6@ � �kM Æt`ªQ�Rbd«c]2acYdQ�n ]K©Ce4®KQK�ka�Z�a¤`TURYR]�®Ke_a¤n�]K©d«¤QTZpOR]2Z�e_YdQobR]_W(Zw¬SV]_Y ]K©Ce_WXZªZXOdQ�W(Q�]2«ÃQ�dQ6SVURZ(a¤e_Y ]4gqZXQ6Wªa¤Zj�IgIUd«¤«�¬��^«¤Q6]_WXY�`ªa�Zp`�eEUdZXb�UdZ�©RUdZ°©�QVgqe_WXQoZXORQeKZpOdQ6W^bR]_W(Zw¬?�IgIUd«�«¤¬��f«�Q�]KWpYR`fa¤ZX`¦e4iÃY/e_UdZpbRUdZV� �he4iuQV®KQ�WV�GZpOdQ S-e_YE®_Q6YEZ(a¤e_Y ©E¬ iÃOdacS�OZXORa¤`t]K©da¤«�a¤Zw¬°a¤`tndQ6`Xa�mEYR]2ZXQ6nÇZXe r ]KWXZw¬o����WX]KZXOdQ�WPZXOR]_YÇZ(e r ]_W(Zw¬Çs_�uac` ��Uda¤Z(Q\]KWp©da�ZpWX]_W(¬_�" eEW(Q m_Q6YdQ�WX]K«ÃS-e_YE®_Q6YEZ(a¤e_YR`Ç��]KYRn SVe_WpW(Q�`XbCe_Y�nda¤YRm+nRQ-¢CYda¤Z(a¤e_Y�`�e2g�`XQ6SVU�W(a¤Zw¬��^[^]�¬ ©CQ[¦e_WXQf]Kb�b�Q�]2«¤a¤YdmC�%©RUdZhZpOdQ^SVURWpW(Q�YEZÃe_YdQ¦`(Q6Q6[^`�`(ac[^bd«�Q�`(Z�]KYRnj`XU�½�SVQ6`hgqe_WtZXOdQ¦W(Q�`(Zte2ge_U�W<Q�RbCe_`Xa�ZXa�eEY%� � � ­ YR«�acl2QTa¤Y ZpOdQ�ZpW(Q�]2ZX[¦Q�Y_Z\e2gPZXORQT`XQ6[¦a¾vwOdeEYdQ6`XZf[¦edndQV«��BS-g���¼�Q-¢Rv: & vTGH>4D�OQGHD�U_>ABC>�D7KNSC>/@5EH>�U_>sBCEHIJS'VHU_OQVf>�UCBy[jVHMXK�[aS K�D�>�G]B_U_KNMkU_OQMJ>/IJS IJG{BCEH>4IJGHVH`aB��yD�OQP4P4I BCP4>LG]B

<?`HGHDAB_IJOQGHKNMJI By[ �~ON<k�n>�D�BCIJOQG �nY 8HY FaY 7 �FY^�RVl>�D�I 1bDLKNMJM []\fI <*K/S_>�D�`HUC>)IJP4VHMJ>�P4>LG]B_K9B_IJOQG�ON<�B_EHIJS�<?`HGHDAB_IJOQGHKNMJI By[IJS 1HU_SCBT`HS_>�o�IJG�OQUCoH>�UcBCO&MJ>ABD�KNUwBy[�� D�OQP4P4I B5BCO�I B_ScIJGHVH`aBL\ KNGao�GH> %nB D�KNUwBy[ �s`HS_>�S I BTIJG�OQU_oH>�U5B_OD�OQP4P4I B�B_O�I BCS O7@5G�IJGHVH`nB7\lB_Ea>LG�BCEH>KNqlOLr]>/VHUCOQVf>LUwBy[�IJP4VHMJIJ>�S�B_EbK9BD*KNUwBy[ �sDLKNGHGHONB �w`HSwB D�OQVR[�B_EH>�CD�OQP4P4I B_P4>�G]B � P�KNoH> q][ D�KNUCBy[�� �~`HGHMJ>�S_S D�KNUCBy[ � 0RGHO7@5S�B_EH>'IJGHVa`aB5ON<�D*KNUwBy[ � �FY� 6 vTGH>4KNM BC>�U_GbK9BCI r]>4D�OQGRr]>�G]B_IJOQGxIJS BCOWKNSCS_ORD�IXK9B_>4@5I B_Ej>LKNDFE"VaU_ONBCOnD�OQM^K�qHIJGbKNUC[�rNKNMJ`H>sIJGHoaIJD7K9BCIJGHg

@5EHIJDFE ON< BCEH>�By@^OtVHKNUCBCIJ>LS4IJS�KNMJMJOL@^>�o BCO"P4>LKNGHIJGagN<�`HMJM [tKNqfOQUCBLY .^EHIJS4D�OQGRr]>�G]B_IJOQG [aIJ>�MJoHS�KjP4OQU_>

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# È_sA&

Yda¤Z(a¤e_YR`�²���sd�¤�<]KY�nj²���sd��s_���CikQ\nda¤njYdeKZtQ�Rbd«¤a¤SVa�ZX«�¬ÇacYRS-«cURndQ\ZXOdQ<eEUdZXb�UdZ#%*�;- 1��R���BWXQ6`pb%����� ���� � � �;- 1��R�X�%acY #" ����� $ � � '� ) �;- 1���"�BWXQ6`pb%����acY ������� ��� � '� ) �.- 1���(��� -ÃQ�SV]K«�«EZXOR]KZ ZpOda¤`ac`X`pUdQ^a¤`�[¦Q�]KYdacYdm2gIUR«"e_Yd«¤¬oacYjZpOdQ�SV]_`(Q¦e2g�]°Wp]KY�nde_[¦a¤ÊVQ6nogIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ %*� ]_YRn�ZXOR]KZa¤ZX`£SVe_YRS6W(Q6Z(Qh[¦e_Z(a¤®�]KZ(a¤e_Y^i�]K`"ZXef`Xa¤[^bd«¤a¾gq¬^ZpOdQtbRWXe�e2g7e2g¶ZpOdQhS-eE[^b�eE`(a¤Z(a¤e_Y^ZpOdQVeEW(Q�[ gqeEWZXORQ�`(Q�[¦a¾vwOde_YRQ6`XZ<[\edndQ6«Ã�IiÃORa¤S�O+ac`<acWXWXQV«¤QV®4]_Y_Z�OdQ�W(Q4���°Æh`�gqeEW�ZXORQ�mKQ�YdQ6Wp]2«9bRWXacYRS-acbd«¤Qe2gÃbRWXQ6`XQ6YEZXa¤YdmÇZpOdQ�[¦e_WXQ�`(ZpW(acYdm_Q6YEZ<ndQ-¢�Yda�ZXa�eEY%�*ikQ�S�OdeE`(QªZXeo`X]_SVWXa¾¢�S-Qªa¤Z�gqe_W<`p]KlKQ^e2g`Xa¤[^bd«¤a¤SVa�Zw¬_� �hQ6Q6nd«¤Q6`p`�Z(eÇ`X]�¬_�%]2«¤«*WXQ6`pUd«¤ZX`�bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�noacYoZXORa¤`�iue_Wpl°OReK«cnj]2«c`Xe�gqe_W�ZpOda¤`[¦e_WXQf`XZXWXa¤Ydm_Q6YEZtnRQ-¢CYda¤Z(a¤e_Y¶�t�GacYR]2«¤«�¬_�7ikQ¦S-e_[^[¦Q6YEZtZXOR]KZtZpOdQ\ndQV¢CYda¤Z(a¤e_YR]K«�ZpW(Q�]2Zp[\Q�YEZSV]_YT©CQ�Q�dZXQ6YRndQ�n°Z(e�bR]_W(ZXa¤]K«CgIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�ZXa�Q�`V���= � #RD � � M��%M � ��`(Q�SVURWXa�Zw¬?gqeEW bR]KWXZ(ac]2«�gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`���º �Ce_WTgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`oZXOR]KZ]KWXQÇndQ-¢CYRQ6n e_Yd«¤¬ gqeEW^a¤YRb�UdZX`�b�]2acWX`^acY `Xe_[¦Q `XQVZ �� ��� 16� �(' � ��� 16� �('j��`(Q6Qo´�Q6S�vZ(a¤e_Y ²���sd�¤�K�¤�����£`XQ6SVU�W(a¤Zw¬¸ac`ªndQ-¢CYRQ6n ]K`^acY/¼�Q-¢CYRa�ZXa�eEY ²d� sR� È�iPa¤ZXO ZXOdQÇgqe_«�«¤e4iPa¤YRm�ZwiueQ�RSVQ6bdZXa�eEYR`Vº

� � ) �d -{Ç|K ��9{�� {��\~I�d h�I|_ �}2� �^y�|K 6� �G~I�d �}_|�'4 -���V}2���\�c�t}K� �¾y��£ �|¦~wy �ªy6|2� ���\� ~B�P� {2�Czd~}4� %-� ~B�X}2���q���T}4����y4{E�°}��<~B��  �^y�|4� �u �|�� {K�Czd~��d}2� ���c��� { � �

�%�Ç�%�d P -{��V -��%-�� ��k��y4{����I|K V�X �|�}4�X u� {7|K 98E �| %��t~B��� �7�¾ V~I�£�;- 1��$1 �E�9~B��}4~��V}4~��c�q���h�;- 1��� ���}4� �£ 6� ��}4� � - � � � ��}2{�|�� ��� bCeK«¤¬%� � - � ���

� M��¶M�� M�� � � #��qJ�=_D�� #dJ6@��C= #dF�F*D�� #�H�;Æ `(ac[^bd«¤Q6W�ndQ-¢�Yda�ZXa�eEY�eKg*`XQ6S6URW(a¤Zw¬�[^]�¬ª©�Q�UR`XQ6nTa¤YTZXORQ�`pbCQ6S-ac]2«%S6]K`XQteKg�`(acYdm_«�QVv�eEUdZXbRURZgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`\�Ia�� QK�¤��gIURY�S-Z(a¤e_Y�]2«¤a�ZXa�Q�`hacYÇiÃOdacS�O e_Yd«¤¬°e_YdQfb�]KWXZw¬�e_©RZX]2acYR`t]KYÇe_URZXbRUdZ����Æh`p`pUR[¦QK�%iPa¤ZXOdeEUdZt«¤e_`p`te2g£m_Q6YdQ�WX]K«�a¤Zw¬K��ZXOR]KZteEYd«¤¬°ZpOdQ\¢CWX`XZ�bR]KWXZw¬Çe_©dZp]2acYR`t]_YoeEUdZXbRURZ�qgIWXe_[ ZXOdQugIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬ %¶���KZXO�]2Z"ac`V� %*�;- 1��R� � % / �.- 1��� 1������ � / � Y\ZpOdac`"SV]K`XQK�4iuQPYdQVQ�nYde_Z¶©�Q£SVe_YRSVQ6WpYdQ6n�eKgEiÃOR]KZ OR]_bRb�Q�YR`¶]2gqZ(Q6W¶ZXOdQ"¢�WX`XZ¶bR]KWXZw¬heE©dZX]Ka¤Y�`%a�Zp`%e_URZXbRUdZ£�B©CQ6SV]_UR`XQZXORQ�`(Q�S-eEYRn�b�]KWXZw¬jOR]K`fYde e_UdZpbRUdZ����G]KYRn�ZXO�UR`<ZXOdQ�SVe_[^bd«¤a¤S6]2ZXa�eEYR`�]KWXa¤`XacYdm°gIW(eE[ ZXORQac`X`pUdQ¦e2gu]_©�eEW(ZXa¤YRmTZpOdQ^Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Y�SV]KY�©CQ¦Q6«�ac[¦a¤Y�]2Z(Q�n%�^¥keEYR`XQ ��UdQ6YEZX«�¬_�¶S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYacYTZpOdQ . ��� �43$� 0�����3EZX]_l2Q6`�ZpOdQ�gqeK«¤«¤e4iPa¤Ydm\gqe_Wp[°º {K�Czd~B��ºu³u]KS�OTbR]KWXZw¬�e_©RZX]2acYR`P]_Y�acYRbRUdZ6�CndQ�YdeKZXQ6n ���  V{�|2� {E��� {2��zd~I��~Ày�~B��z���~w �|��d}2��~B�4ºÃÆtY Ode_YRQ6`XZÃbR]KWXZw¬�]2«¤i�]�¬�`�`XQ6YRn�` �oZ(eªZpOdQ<ZpWXUR`XZ(Q�n

bR]KWXZw¬K�£Æ�[^]K«�acS-a¤e_UR`hbR]KWXZw¬�[^]�¬K��nRQ6bCQ6YRndacYdmªeEY �/�B]K`ÃikQ6«�« ]_`Pe_YÇ]_Y°]_U�da�«¤ac]KWX¬a¤YRb�UdZ�]_YRn a¤ZX`�S-e_a¤YoZ(e_`p`XQ6`����7QVa¤ZXOdQ�Wt]_©�eEW(Zte_W�`(Q�YRno`Xe_[¦Q � : � ��� 1V� ��� ���RZ(e°ZXORQZXWpUR`(ZXQ6nob�]KWXZw¬K� �he4iuQV®KQ�WV��iPa¤ZXOdeEUdZt«¤e_`p`ÃeKg£mKQ�YdQ6Wp]2«¤a¤Zw¬K�7]K©Ce_WXZ(acYdmT]KZhZXORa¤`�`XZX]2m_Q[¦]�¬�©CQ�ZXWXQ6]KZ(Q�n°]_`P`XU�bRbd«¤¬EacYdm^ZXORQ�ZXWpUR`(ZXQ6nÇbR]_W(Zw¬ªiPa¤ZXOÇ]^`XbCQ6SVa¤]K« `X¬�[\©�e_«B�

gQ>�GH>�UFKNM �~OQUkMJ>�S_S*U_>�SCBCU_IJDABCI r]> �*oH>21bGHI BCIJOQG4ON<hS_>�D�`HU_I By[]\]@5EH>�U_> E >21bGHI BCIJOQG �nY �nY 7 IJSkOQqaB_KNIJGH>�o�KNS^K SCVl>�D�IXKNMDLKNS_> �yIJG�@5EHIJDFE�BCEHIJSTrQKNMJ`a>/IJS)KNM @�K�[aS)UC>�&n`HIJUC>�oWB_O�>�&n`bKNM � �FY��d>AB7\lBCEH>sVHUCONB_ORD�OQMJS)VHU_>�S_>�G]B_>�ojIJGWB_EaIJS@^OQU�0&KNUC> S_EaO7@5G&BCO4qf>)S_>�D�`HU_>)`HGaoH>�U5BCEH>)P4OQU_>TU_>�SCBCU_IJDABCI r]>)oH>21bGHI BCIJOQGpY��:c;TDAB_`HKNMJM [R\QBCEH>�B_UC>LK9B_P4>�G]BmON<fB_Ea>cDLKNS_>�IJG/@5EHIJD_EsOQGHM [ B_EH>�SC>LD�OQGHo4VHKNUCBy[sOQqnBFKNIJGHSkKNGsOQ`aBCVH`aB �~I~Y >QYJ\

8 �?;��=���� �#��� 8 � �?;��=������5IJS5S_MJIJgQE]B_M [&oHI $l>�U_>�G]B7Y �5O7@^>Ar]>�U7\hKNMJS_O/IJG�B_EaIJSTDLKNS_>Q\bBCEH>>Ar]>�G]B IJG�@5EHIJDFE&B_EH>1bUCSCB^VbKNUwBy[&KNqlOQUwB_S5K9<}B_>�U^OQqaB_KNIJGHIJGHg/I B_S �~>�P4VaBy[ �mOQ`aBCVH`aB5DLKNG�qf> oaIJS_DLKNU_oH>�opY � G�B_EaIJS5DLKNSC>]\nB_EaIJS^>�r]>�G]B�~ON<cOQqnBFKNIJGHIJGag{KNGtK �yVHUCIJOQU_I 1�%n>Lo"OQ`aB_Va`aB��'IJS'>LSCS_>�G]B_IXKNMJM [j>�&n`aI rQKNMJ>�GRBB_O&B_EH>�VbKNUwBy[uKNqlOQUwB_IJGag�ql>A<?OQU_>OQqaB_KNIJGHIJGHg4OQ`aBCVH`aBL\b@5EHIJDFE�IJG&BC`HU_G&DLKNG�qf> raIJ>A@^>�o�KNScUC>LVaMXKNDLIJGagsI B_S�IJGHVa`aBTq][&KSCVl>�D�IXKNM Sw[aPqlOQM~Y

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈKÁ_� ����������� �����������������������������������������������������!

�¶�� ^}4{�� �£ -�fy(��~B��z���~w p|��d}2��~B�4º ­ b�eEY�eE©dZX]Ka¤YRa¤Ydm ]_Y�acYRbRURZ<bR]2acWV�£�.- 1������*ZXOdQªZpWXUR`XZ(Q�nbR]KWXZw¬j�Igqe_WhSVe_[^bRUdZXa¤YRm %¶���7WXQ6bd«¤a�Q�`ÃZXe�ZXOdQf¢CWp`(Zhb�]KWXZw¬TiPa¤ZXO&% / �.- 1�����h· a�ZpOde_UdZ«�eE`X`te2gumKQ6YRQ6Wp]2«¤a�Zw¬_�%ZXOdQ^ZXWpUR`XZ(Q�n�bR]_W(Zw¬ÇeEYd«�¬�]KYR`XikQ�WX`tZXORQ\¢�WX`XZ�bR]KWXZw¬K�%©CQ6SV]_UR`XQZXOdQ°`(Q�S-e_Y�n bR]KWXZw¬�O�]K`fYReoe_UdZpbRUdZ°�IeEWV�"]2«¤Z(Q�WXY�]2Z(a¤®KQ6«�¬_�*`pOdeEUd«¤n/]2«¤iu]�¬d`�eEUdZXbRURZ�����

� zd~¾��zd~I��º�ÆhY°Ode_YRQ6`XZ�b�]KWXZw¬�]2«¤iu]�¬d`ke_UdZpbRUdZX`�ZpOdQ<[¦Q6`p`X]KmKQta�ZÃOR]_`ue_©dZp]2acYdQ6n�gIW(eE[ ZXORQZXWpUR`(ZXQ6n¸b�]KWXZw¬K�oÆ�[¦]K«�acS-a¤e_U�`fbR]_W(Zw¬+[^]�¬�eEUdZXbRURZ\]KY/]KWp©da�ZpWX]_W(¬ �BbCeK«¤¬dYde_[¦ac]2«�vZ(ac[\Q�S-eE[^bRUdZX]_©d«¤Q��"gIURYRS-ZXa�eEY�eKg a¤ZX`ua¤YRa�ZXa¤]K«�acYRbRURZ���]KU�da¤«�ac]KWX¬^a¤Y�bRUdZ�]KYRn�a�Zp`uSVeKacYZ(e_`p`XQ6`��9]_YRn°ZXOdQ<[¦Q6`p`p]2mKQ�a¤ZÃOR]K`�eE©dZX]Ka¤YdQ�n�gIWXe_[ÂZXOdQ�ZpWXU�`(ZXQ6n°bR]KWXZw¬K�

NPO�UR`6�kZpOdQoacndQ6]K«h[¦e�nRQV«<��S-e_[^bRURZX]2ZXa�eEYC�\ac`�SV]_bdZXURWXQ6n?©E¬¸ZpOdQ gqeK«¤«¤e4iPa¤Ydm ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y%�iÃOdQ�W(QÇZXORQo]2«¤mKe_WXa¤ZXOR[^` �#/°]_YRn � � WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZ^]2«¤«Ãb�eE`X`Xac©d«�Q ]_S-Z(a¤e_Y�`^a¤Y ZXORQo[\edndQ6«B�� Yjb�]KWXZ(acSVUd«c]KW6��� / �;- 1 � 1=72�f��W(Q�`Xb%�¤� � � � � 1�� 147K�X�hWXQ6b�W(Q�`(Q�Y_Zp`ÃZpOdQ\acYRbRURZ�OR]_YRndQ�noZ(e°ZXORQZXWpUR`XZ(Q�nfbR]_W(Zw¬�©E¬ r ]_W(Zw¬¦�h��W(Q�`Xb¶��� r ]_W(Zw¬�s_� OR]�®�a¤Ydmh«�edSV]K«¾vÀacYRbRUdZ!-T��W(Q�`Xb¶���������K]_U�da�«¤ac]KWX¬acYRbRUdZ��°]KY�n�Wp]KYRnRe_[\v�Zp]KbCQ 7�� � YRndQ6Q6n%��a¾g r ]KWXZw¬+�Ç�BWXQ6`pb%��� r ]KWXZw¬ sE�ha¤`�OdeEYdQ6`XZ�ZXOdQ�Y� / �.- 1�� 147K� - �BWXQ6`pb%�¤� � � � � 1 � 1=72� �R��� � acl2QViPac`XQK� � / �;- 1�� 14721��d�fWXQ6bRWXQ6`XQ6YEZX`\ZXORQe_URZXbRUdZ\e2g r ]KWXZw¬¸�_��iÃOdQ�Y OR]�®�a¤YRm «�edSV]K«¾vÀacYRbRUdZ - �B]KU �a¤«¤a¤]_W(¬�a¤YRb�UdZ � ]_YRn Wp]KYRndeE[\vZX]_b�Q 7K��]KY�n W(Q�S-QVa¤®�a¤YRmoZXOdQ�®�]K«¤URQ �ogIWXe_[ ZXORQ�ZXWpUR`XZ(Q�n bR]KWXZw¬K�GiÃOdQ�W(Q�]K`�ZpOdQ�eEUdZXbRURZe2g r ]_W(Zw¬°s^a¤`�WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZ(Q�nÇ©_¬ � � � �$1 � 1=721 �7��� � YRnRQVQ6n¶�Ca�g r ]KWXZw¬o����W(Q�`Xb¶��� r ]KWXZw¬°sE�ua¤`OdeEYdQ6`XZ�ZXOdQ�Y� / �.- 1 � 1=721 �R� �j�BWXQ6`pb%��� � � � � 1�� 14721 �7� ������ =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�� �IZpOdQhacndQ6]K«C[¦edndQV«q��º �* V~0%jº ��� 1V� �('�� ��� 1V� �(' � ��� 1V� �('�� � � � %X }���� {��K�� -¡(y2zd~¾��zd~���zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~�����z��-�T~B��}4~ %*�;- 1��� � % /��;- 1��R� 1 �7��� �� V~ � ����/21 � � �%p  }T�d}2� �Çy(�<���Xy %p}%��q���c��~��I�ª�Ry2� �4{�y��¦�I}2� ¡w~B� �ª j}K� �_y2��� ~I�4�f�Ç�X ��C�X -�V -{C~B� {�����~B�X}2~À À�K�I ��T� {~B�� ��I|K �}K� �^y�|K 6� � z��-��}t�R}4� ���c� ���$� . � � ."�*3 �\�IacYªZpOdQhacndQ6]K«�[^]K«�acS-a¤e_UR`k[¦e�nRQV«q�Ã� �*�-y4��}4~�¾ �}���~Ãy4{7 �� � �_� 1�s � �k�p}K� �¾ �| � 01)�� � ,�� �£ f��}�'�  � � ���!1�� 147K�� � }4{7| � � ���!1�� 14721 �R�� ��-y4�^}2� ���dy4������%V�¾  �!1�� 147o}2{�| � ��x¶zd��~B�� V� �ªy4�X ���� � � ���!1�� 147K��� � � � �¦z���~k��yK�¾|��-y4� %py4~B���� � �¦�¶�� �+ 01.5) , � � � +�'2,/. 0 ) 0"%!% '4)�����! ��.5) ,���� . ��� �43 � 0�����37�IeEY�acYRbRURZ�b�]2acWt�;- 1��R�k]_YRn]KU �a¤«¤a¤]_W(¬¦a¤Y�bRUdZ��E���£|K V{�y4~w �|� #" � ��� $ � � '� ) �.- 1���'�"�c�<|K ��9{7 p|�%-�^zd{�� �-y2� �¦���¦�V 6�¾ ��-~�� {E�T}�X}2{�|Ky �\¡w~w}��R  7��-y4��~B�� °}K|�'� V���V}4��� �f}4{7|j�� -~�~B� {�� #" ����� $ � � '!� ) �;- 1��R� � �����\�;- 1��$1 � 1=7K�'��G�� V�X �\�;- 1� 1 � 1=72� � ��� ���#/2�.- 1�� 14721 % /�����/4�;- 1 � 1=72� 1�� � � � 1�� 147K�(�X�$1 � � � � 1 � 1=721 �7�(� �À²��¤�6È��

�¶��}2~%�c�'� #" ����� $ � � '� ) �;- 1��� � ��� ��� / �.- 1 � 1=721 �R� 1 � � � � 1�� 14721����X�'� �G�� V�X  � � % / ��� / �.- 1 � 1=7K� 1�� � � � 1�� 147K�(�}4{7|�7 �c��zd{�� �-y2� �¦� �T|4�c��~�����%�zd~w �|�}��ªy4{���~B�� <�V -~�y�����~���� {E�2�fy��<}K|_ � -z�}2~À ¦�¾ V{E�K~I��� � �·�QhYdQ�dZ9SVe_YR`Xa¤nRQ6WGZXORQhW(Q�]2«R[¦edndQV«�a¤Y¦iÃOdacS�Oª]�W(Q�]2«¶�BZwikeKvÀbR]_W(Zw¬�� bRWXeKZ(edSVeK«dac`"Q�dQ6S6UdZ(Q�n�B]_YRn�ZXOdQ�W(Q¦Q�dac`(Z�Yde°ZXWpUR`(ZXQ6n�ZXOdacWpnjbR]_W(ZXa�Q�`���� � YjZpOdac`�S6]K`XQK�¶]°[^]2«¤a¤SVa�eEUR`tb�]KWXZw¬o[¦]�¬gqeK«¤«¤e4i ]KY�]KWp©da¤ZXWp]KWX¬°gqQ6]K`Xac©d«�Qª`XZXWp]2ZXQVmK¬ ��ZXOR]KZ�a¤`6� ]KYE¬j`XZXWp]2ZXQVm_¬ a¤[^bd«¤Q6[¦Q6YEZp]K©d«¤Qª©_¬�]bRWXe_©R]_©da¤«�ac`(ZXa¤S�b�e_«�¬dYdeE[\ac]2«�vÀZ(ac[\QT]2«¤mKe_WXa¤ZXOR[°�jNPOdQ°ndQ-¢�Yda�ZXa�eEY ac`facndQ6YEZXa¤S6]2«uZ(ej¼�Q-¢�Yda¾vZ(a¤e_Yo²d� sR� ±R��]_YRnTa¤`ÃWXQ6b�W(ednRURSVQ6n°©�Q6«�e4i gqe_WP`p]KlKQteKgG`XQV«�g vÀSVe_YEZX]Ka¤Y�[\Q�YEZV�� � � >�D7KNMJM�BCEbK9B'I < � cIJS)EHOQGH>�SwB)B_EH>�GjI B)VbKNSCS_>�S)I B_S)IJGaVH`aB BCO&BCEH>/BCU_`HSwB_>�ojVbKNUCBy[�KNGHouOQ`nB_VH`nB_S'I BCS

U_>�SCVlOQGaS_>QY .�ER`HSL\eOQ`HU Vl>�D�`HMJIXKNU'DFEHOQIJD�>4BCO�<�>�>�o"qfONBCE"VbKNUwB_IJ>�S'@5I B_E{B_Ea>�S_KNP4>sKN` %nIJMJIXKNUC[{IJGaVH`aBKNGHoSFKNP4>TUFKNGHoHOQP ��BFKNVf> IJS�IJP4P�K9BC>LUCIXKNM~\Rql>�DLKN`HSC>'BCEH>)EHOQGa>LSwBTVHKNUCBy[&IJgQGHOQU_>�S�qfONB_EpY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���8���� �&� ���;�0������ ���� �����!� �����!�����# ÈKÁ��

� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M �IZpOdQ�W(Q�]2«%[¦e�nRQV«q��º �* -~�% %X \}���� {�¦  �£{�� ~��Iy4{�� ���%�����u}4{7|�� %p ¦}~ �£y4¡c�R}4��~��f���Xy4~wy6��yK�E�-y2�^��y �h��zd~B� {��B%����� V~ � / 1, � � %p ª}\�d}2� �^y(�Ã���Xy %p}%��q���c��~��I��Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^ �}K� �Ey4��� ~B�*�\�Ã�X w���X -�- V{�~�� {E�<��~B�p}4~w ��K�I -��� {T~I�d Ã�p p}K� �ªy6|_ V� � z��-�^}P�d}2� ��c� ���$� . � �-."�43 �\�Bi�� W6� Z �����qgqe_WkZXORQ�WXQ6]K«C[^]2«¤a¤SVa�eEUR`u[\edndQ6« �t� ��}2~£�¾ �}���~ky2{�  � �py2� {��V�I|K -��"� ~B�\~B�� ���~��X}4~w À�2�t�À�d ��V� �k �| %-����¦�¶�� �+ 0 .5)2,�� � � + ' ,/. 01) 0 % � '4)�����! .5) ,����&! � �43 �&0�����3�IeEYªacYRbRUdZ�bR]2acWÃ�;- 1��R�9]KYRn�]KU�da¤«�ac]KWX¬facYRbRUdZ����'�9|K V{�y4~w �| ������� ��� � '!� ) �;- 1��R���"�c��|K ��9{7 �|}��\~I�d ¦y2zd~¾��zd~*�d}2� �f�X -��zR��~B� {������Xy�� ~B�� \� {�~w V�X}K�V~B�Iy2{ %X V~ �£ p V{ / �;- 1 �E�¦}4{7|� � � � 1���������\y4~w <~B��}2~k~B�� <��y2{� -��~ � �¾�K{�y4�p ���~B�� ¦}4zl8_�q���I}4����� {2�Czd~ � � ��t]�®�acYdm�ndQ-¢�YdQ6n\ZXOdQPacndQ�]2«�]_YRn\WXQ6]K«d[\edndQ6«¤`6�KiuQ�e_©dZp]2acYfZpOdQÃS-eEWXWXQ6`pbCe_YRndacYdm�ndQ-¢�Yda�ZXa�eEYe2gf`XQ6S6URWXa�Zw¬_� � e�eE`(Q6«�¬?`XbCQ6]_lEa¤YdmC�PZXOdQ+ndQV¢CYda¤Z(a¤e_Y ]_`X`XQ6WXZX`�ZXOR]KZT]/`XQ6S6URWXQoZwikeKvÀb�]KWXZw¬bRWXeKZXe�SVeK«G�IacYTZXOdQ<WXQ6]K«7[¦edndQ6« �kQ�[fUd«c]2ZXQ6`uZXOdQ�acndQ�]2«%[¦e�nRQV«9�Ba¤YTiÃOdacS�OT]¦ZXWpUR`XZ(Q�nTbR]_W(Zw¬Q�dac`(Zp`����°NPORa¤`�ac`�gqeEWX[\Ud«c]2Z(Q�n+©_¬�`X]�¬�acYdmÇZXOR]KZf]Kn�[\ac`p`(ac©d«¤Q�]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`�acY+ZXOdQ�acndQ�]2«�v[¦edndQV«9]_W(Q¦]K©d«¤Q\ZXe°`Xac[fUd«c]2ZXQT�Ba¤Y�ZXOdQ^acndQ6]K«¾vw[¦edndQV«q�PZpOdQ^Q�dQ6S6UdZ(a¤e_Yje2gk]°`XQ6SVU�W(Q¦W(Q�]2«�v[¦edndQV«7bRWXeKZ(edSVeK«CU�YRndQ6Wu]KYE¬^]KnR[¦ac`X`Xac©d«�Qt]Knd®_Q6Wp`X]_W(a¤Q6`6� NPOdQ�ndQ-¢CYRa�ZXa�eEY�ac`k]_YR]2«¤eKm_e_UR`GZXe¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Yo²d� sR� È��� =�� �*@qJ6@ � � � M��¶M�������`(Q�SVURWXa�Zw¬���º �� V~ % }2{�|�� %X ª}4�\� { ¦  �£{�� ~��Iy4{ � ��� ��� ���P�Xy4~wy6��yK�� �c�P�-}2�I|\~Ày � � +�'4! � 3 # +-0$� *'2,���%��IacY^ZXORQh[^]2«¤a¤SVa�eEUR`"[¦e�nRQV«q�P� ���-y4�� �'4 -���P���Xy %p}%��q���c��~��I��Ry2���4{7y��¦�I}2��¡w~�� �^ ��d}2� �^y(�¦}K� �Ey4��� ~B�*�\� � �/ 1, � �\~B��}2~P�c�¦}K| �\�c������%-�� h�-y2�\~B�� �WXQ6]K«[¦edndQV«¶�Be2g%¼�Q-¢CYda¤Z(a¤e_Y�²d� sR� ±E��~B�� V�X � 78_�c��~B�Ã}Ã�C�py %p} %-�q���c��~B�I���dyK���4{�y �\�I}K��¡w~B� �ª u�R}4� ��y��t}K��¡�Ey4��� ~B�*�\� � ��� / 1�� � �u~B��}2~��c�Ã}K| �\�c������%-�� G�-y4�P~B�� "acndQ�]2«R[¦edndQV«%�Be2gC¼�Q-¢�Yda�ZXa�eEY^²d� sR� ¨d���z����°~I�d}4~

� #" ����� $ � � '!� ) �.- 1������ � � � � � �� � ������� ��� � '� ) �.- 1����� � � � � ��G�� V�X �- 1��$1 � � ��� 16� �)'\��z����°~I�d}4~ � - �� � � � }2{�|�� ��� bCeK«¤¬%� � - � ���¥k«¤Q6]KWX«¤¬K�G]K`�gI]_Wf]_`<`(acYdm_«�QVv�eEUdZXbRURZ�gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`¦]KWXQ�S-eEYRS-Q�WXYdQ�n%�G¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_YR`^²���sd� È]KY�n/²���sd�¤�6� ]KWXQ�Q �EURa�®4]2«¤Q6YEZ���©�Q�SV]_UR`(Q�a¤Y ZpOdac`\S6]K`XQªZXOdQTa¤ndQ�]2«�vÀ[¦edndQ6«kndQV¢CYda¤Z(a¤e_YR`¦S-eKvacYRS-acndQ���� � Ztac`�]2«c`(e°S-«¤Q6]_WÃgIWXe_[�ZXORQ¦]_©�e4®_Q\ndac`XS6UR`p`(a¤e_YR`tZXO�]2Z�ZXOdQ¦Zwike°ndQ-¢�Yda�ZXa�eEYR`�]KWXQYde_ZkQ �EURa�®4]2«¤Q6YEZ�acY�mKQ�YdQ6Wp]2«*�Ia�� QK�¤�diPa�ZpOTWXQ6`pb�Q�S-ZuZ(e^Zwiue2vÀe_UdZpbRUdZ9gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�ZXa�Q�`����k´EZ(a¤«¤«B�a¤Z<a¤`fb�eE`X`Xa¤©R«�QªZXeo`(Q�SVURWXQV«¤¬jac[^bd«�Q�[¦Q6YEZf]KYE¬ �IZwiue2vÀe_UdZpbRUdZ��hgIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬�©E¬�UR`Xa¤YRmo]bRWXeKZXe�SVeK«ugqe_W^`XQ6S6URW(Q6«�¬¸SVe_[^bRUdZXa¤YRm+] ��W(Q6«¤]KZ(Q6n��f`XacYdmK«¤Q-vÀe_UdZpbRUdZ¦gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬K�?NPOR]KZac`V��]K©da¤«�a¤Zw¬°Z(e�S-eEYR`XZXWpURS-Zh`XQ6S6URWXQ<bRW(e_Z(edS-e_«¤`PU�YRndQ6Wh¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yj²d� sR�����\¬�a¤QV«cnR`h]_©da¤«�a¤Zw¬�ZXeS-eEYR`XZXWpURS-ZP`XQ6SVU�W(Q�bRWXeKZXe�SVeK«c`�URYRndQ�W�¼tQV¢CYda¤Z(a¤e_Yj²���sd� ÈR�� D���F � ��@qJ�@ � � � M��¶M�� � z��K�Ry��V T~I�d}4~�~I�d -�p ° 98_�c��~�y2{� V¡��£}4�f��zd{7�-~��Iy4{��T}4{�|j~B��}4~<}2{����� {E�_�¾ V¡(y4zd~��Czd~k��zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~�� ��}4{ %X o�V ��-zd�X 6���/��y��t�Czd~w �|/}4�¦�R V� ¦ ��9{�� ~��Iy4{ � ��� � �� ��¶�� V{�}2{��h��zd{7�-~��Iy4{7}2��� ~�����}4{ %p <�V p�Vzd�X 6������y��t�Czd~w �|�}����R -�¦ ��9{�� ~��Iy4{ � ���%�� �

� D�� � ���C=EJ6H�; �j´�URbRbCe_`XQ�ZXO�]2Z<ZpOdQTbR]_W(ZXa�Q�`�iPac`XO ZXej`XQ6SVU�W(Q6«�¬�S-e_[^bRURZ(Q�ZpOdQj�BZwikeKve_URZXbRUdZ��^gIU�YRS-ZXa�eEYR]2«¤a�Zw¬ �.- 1��� �� � % /4�.- 1���� 1 % � �.- 1���(��� NPORQo¢CWp`(Z�a¤ndQ�]¸ZpOR]2Z°S-e_[¦Q�`Z(e�[\acYRn ac`<ZXe ¢CWp`(Zf«�Q6Z<ZXOdQ°bR]KWXZ(a¤Q6`��B`XQ6SVU�W(Q6«�¬���SVe_[^bRUdZXQ�ZXOdQ�¢CWp`(Z�eEUdZXbRURZ��Ia�� QK�¤�G©E¬`XQ6SVU�W(Q6«�¬^S-eE[¦b�UdZ(acYdm��;- 1��R���� � % /4�.- 1��� 1����X�£]_YRn�YdQ�dZ£«¤QVZuZXOdQ�[ ��`(Q�SVURWXQV«¤¬��"SVe_[^bRUdZXQZXORQ�`XQ6S-eEYRn eEUdZXbRURZj�Ia�� QK�¤�t©E¬ `(Q�SVURWXQV«¤¬ SVe_[^bRUdZXa¤YRm �.- 1��� �� � � 1 % � �.- 1���(�X��� NPOda¤``XeK«cUdZ(a¤e_Y?ac`�acYR`XQ6S6URW(Q_�é�Q�SV]_UR`(Q�]/[^]2«¤a¤SVa�eEUR`�b�]KWXZw¬ [^]�¬ Q�YEZ(Q6W°nda ��Q�W(Q�YEZ�acYRbRUdZp`�acYZXORQfZwiueªa¤YE®KedS6]2Z(a¤e_Y�`��BYde_ZÃZ(eT[\Q�YEZ(a¤e_YÇZXO�]2ZhZpOdQf]_bRbRWXe_]KS�O°iPa¤«�« gI]2a¤«¶gqeEWhWp]KYRndeE[¦a�Ê6Q6n

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

ÈKÁEs ����������� �����������������������������������������������������!

gIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Z(a¤Q6`ÃQV®KQ�Y°a¾g"©�e_ZXO bR]_W(ZXa�Q�`P]KWXQ�Ode_YdQ�`(Z���� � Y�`(ZXQ6]Kn¶�RikQ<]_W(Q�m_eKacYdm\ZXeª«�Q6ZÃZXORQ¢CWp`(ZkbR]KWXZw¬\eE©dZX]Ka¤Y^a¤ZX`ke_URZXbRUdZu]K`£ikQ6«�«�]K`£]_Y �B]_UdZXORQ6YEZ(acSV]KZ(Q6n�]KYRnC�GQ6YRS6W(¬dbdZXQ6nª®_Q6Wp`(a¤e_Ye2g<ZpOdQj`XQ6SVe_YRn bR]_W(Zw¬!> `�eEUdZXbRURZV�ÃiÃOdacS�O a¤Z�iPa¤«�«�`(Q�YRn ZXe¸ZXOdQ�`(Q�S-eEYRn bR]KWXZw¬ �IiÃOdacS�OiPa¤«�«£©CQ�]K©R«�Q^Z(e ndQ�SVWX¬dbdZ�]KYRn�®KQ�W(a�gq¬oZXORQª®�]K«¤URQ����ªNPOR]KZ�a¤`6�¶iuQªiPa�«¤«9UR`XQªbRW(a¤®4]2ZXQ-vwl2QV¬Q6Y�SVWX¬�bRZ(a¤e_Y�]KY�n<]KUdZpOdQ6YEZXa¤S6]2Z(a¤e_Y�`pS�OdQ�[\Q�`V��iÃOdacS�O�Q�dac`(Z*URYRndQ�W¶ZpOdQ9¢CWp`XZ�OE¬db�e_ZXOdQ�`(ac`V�4]_`gqeK«¤«¤e4iÃ`V�¶�GacWX`XZV��ZpOdQk`XQ6SVe_YRn�bR]_W(Zw¬�mKQ�YdQ6Wp]2ZXQ6`¶]_Y�Q6YRS6W(¬dbdZXa�eEY �4nRQ6SVWX¬dbdZ(a¤e_YdvÀlKQV¬K��ndQ6YReKZ(Q�n�E�t]_YRn ] `(a¤m_YdacYdm ��®KQ�W(a�¢CS6]2Z(a¤e_YdvÀlKQV¬K�PndQ�YdeKZXQ6n �_� �tQ�dZV��ZXOdQ�Zwiue bR]_W(ZXa�Q�`T`XQ6S6URW(Q6«�¬S-eE[^bRUdZ(QhZXOdQhWp]KY�nde_[¦a¤ÊVQ6nfgIURYRSVZ(a¤e_YR]K«�a¤Zw¬°�(�.- 1V� �$1 � 1 �4�(� �� �(� % / �.- 1��� 1��21 �X� 1�������iÃOdQ6WXQ��ac`ÃZpOdQ\SVa¤bRORQ6WXZ(Q�dZte_©dZp]2acYdQ6n ©E¬ÇQ6YRS6W(¬dbdZXa¤YRm�ZXOdQ¦bd«c]2acY_ZXQ�dZ��� % � �.- 1���PU�YRndQ6WtZXORQQ6Y�SVWX¬�bRZ(a¤e_Y�vwl2Q6¬ �E�"]KYRn ��ac`f]_Y¸]KUdZpOdQ6YEZXa¤S6]2Z(a¤e_Ydv�Zp]2m e2g���U�YRndQ6WfZXOdQ°`(a¤m_YRa¤YdmKvÀlKQV¬ �K��Ga¤Y�]2«¤«�¬_�¶ZXOdQ¦¢CWp`XZ�b�]KWXZw¬o`(Q�YRnR`^��� 1 �X�hZ(eÇZXORQ�`(Q�S-e_Y�njbR]_W(Zw¬_�%iÃOda¤S�O�®KQ�W(a�¢�Q�`tZpOR]2Z��\a¤`bRWXe_bCQ6WX«�¬T`(a¤m_YdQ�nT]_YRn��Ia�g"`Xe��kWXQ6SVe4®KQ6Wp`�% � �.- 1���kgIWXe_[ a¤ZV�

@BA�� � H�I�F � ��G�� � ������ ��I ����� � �� �,H+�������� ��� ��I���� ����DI���I�G �

-ÃQ�SV]2«¤« ZpOR]2Zhe_URWÃUR«�ZXa¤[^]2ZXQ<mKeE]2«¶ac`ÃZXe�ndQ6`Xa¤m_Y+�IZwiue2vwbR]_W(Zw¬��kbRWXeKZ(edSVeK«c`PZXOR]KZÃiPa¤ZXOR`XZX]_YRn]KYE¬ gqQ�]K`Xa¤©R«�Qo]_nd®KQ�WX`p]KWXa¤]K«u©CQ6O�]�®Ea¤e_W6�?·�Q�bRW(edSVQVQ6n acY Zwiue `(ZXQ6bR`6����Y ZXORa¤`�`XQ6SVZ(a¤e_Y%�iuQ\`pOde4i Ode4i�Z(eÇS-eEYR`XZXWpURS-Z�bRW(e_Z(edS-e_«¤`hgqe_W�bRWXa�®4]KZ(QV«¤¬ S-eE[¦b�UdZ(acYdmÇ]KYE¬°gIURYRS-ZXa�eEYR]2«¤a¤Zw¬ �ZXO�]2Zªac`V��bRWXeKZ(edSVeK«c`\ZpOR]2Z�]_W(QÇ`XQ6SVU�W(QÇiPa¤ZXO?W(Q�`XbCQ6SVZ^Z(e+ZXOdQo`XQ6[¦a�vÀORe_YdQ�`(Zª[¦edndQV«�����Y´EQ�S-Z(a¤e_Y ²d� ¨C�PikQ iPa¤«¤«�`pOde4i Ode4i Z(e/SVe_[^bda¤«�QoZpOdQ6`XQjbRWXeKZXedS-eK«c`ªacYEZ(e¸eEYdQ6`�ZXOR]KZ�]KWXQ`XQ6SVU�W(Q�]2«c`Xe\acY°ZXOdQ<[^]2«¤acS-a¤e_UR`P[¦edndQV«��

NPORWXe_UdmEOde_URZ%ZXOdQuSVURWpW(Q�YEZ `(Q�S-ZXa�eEY%��ikQ£]_`X`pUR[¦Q9ZpOR]2Z�ZXOdQ�ndQ6`XacW(Q�n^�IZwiue2vwbR]KWXZw¬���gIURYRS�vZ(a¤e_Y�]2«¤a�Zw¬��Bi�� W6� Z*ZpOdQÃndQ�`(acW(Q�n<acYRbRUdZ"«¤Q6YRmKZXO���a¤`"WXQ6bRWXQ6`XQ6YEZXQ6nf©E¬f]¦�BZwikeKv�acYRbRUdZ�� »ue�e_«�Q�]KYS-acWpSVUda¤ZV�*·�QP`pOde4i/Ode4i/Z(e�ZXWp]KYR`(gqe_Wp[ ZXOdac`"S-acWpSVUda¤ZGa¤YEZ(e�]tZwikeKvÀbR]_W(Zw¬�bRWXeKZXedS-eK«_gqe_WGQ6®4]2«�vUR]KZ(acYdm�ZXOdQtS-acWXS6Uda�Z"eEY^]�mKa¤®KQ6Y¦bR]Ka¤W"eKg�«¤edSV]K«Ra¤Y�bRUdZX`6�"NPOdQPZXWp]KY�`�gqeEWX[^]2ZXa�eEY�gqe_«�«¤e4iÃ`"ZXORQe_URZ(«¤a¤YdQ<b�W(e4®�acndQ6n�a¤Y°acY ´�Q6S-ZXa�eEYo²��¤�K� ÁR� ÁR� � �

NPOdQªS-acWpSVUda¤Z�vÀQV®4]2«cUR]KZ(a¤e_Yjb�W(e_Z(edS-e_«B�¶ZXe ©�Q�bRWXQ6`XQ6YEZXQ6n�a¤Y ´EQ6SVZ(a¤e_Y¸²�� ÁR� ¨��¶`pSV]_YR`�ZXORQS-acWpSVUda¤ZªgIWXe_[ZpOdQoacYRbRUdZ�iPa¤WXQ6`ªZXe¸ZXORQoe_UdZpbRUdZ�iPacWXQ6`6�ubRWXedS-Q�`X`Xa¤YRm¸] `(acYdmK«¤Q m_]KZ(Q acYQ6]_S�O %p}����I����~À ��C�¦· OdQ6Y�Q6YEZXQ6WXa¤Ydm°Q6]_S�Oj©R]_`(acS¦`(ZXQ6b%�¶ZpOdQ�bR]_W(ZXa�Q�`�OReK«cn ����}2�X ��ªeKgkZXORQ®4]2«cUdQ6`�eKg*ZpOdQ�acYRbRUdZPiPacW(Q�`�e2g*ZXOdQ�mE]2Z(Q_�R]KYRn°iÃOdQ�Y°ZXOdQ<`XZ(Q�b�ac`ÃS-eE[^bd«�Q6Z(Q�n�ZpOdQV¬°OdeK«cn`pOR]KWXQ6`�e2guZXOdQ^eEUdZXbRURZ�iPa¤WXQ^e2gkZpOdQ^m_]KZ(QK�^NPOdQ�`pOR]KWXQ6`�OdQ6«¤n+©E¬oQ6]_S�OjbR]_W(Zw¬ ¬�a¤QV«cn�YReacY�gqe_Wp[^]2Z(a¤e_Y ]_©�eEUdZ¦ZXOdQ°S-e_WpWXQ6`pb�eEYRndacYdm ®4]2«cUdQ6`6�9©RUdZ^S-eE[f©dacYdacYdmoZXORQTZwiuej`pOR]KWXQ6`fe2g]KYE¬^®4]2«cUdQ�]2«¤«�e4iÃ`kZ(e^W(Q�S-eEYR`(ZpWXU�S-Z£ZpOdQ�®4]2«cUdQK�G³k]_S�O�©R]_`(acSt`XZ(Q�b�ac`�b�Q�W�gqeEWX[¦Q6n�iPa�ZpOde_URZ¬�a�Q6«¤nRa¤Ydm ]KYE¬ ]KnRnRa�ZXa�eEYR]2«�a¤Ydgqe_Wp[¦]KZ(a¤e_Y ��ZpOR]2Z°a¤`6�hZpOdQ�mKQ6YRQ6Wp]2Z(a¤e_Y?eKgf`XO�]KWXQ6`ªgqeEWT]K«�«iPacW(Q�`t��]KYRn°acYTb�]KWXZ(acSVUd«c]KWkgqe_WuZpOdQ<S-acWXS6Uda¤Z > `�e_UdZpbRUdZ�iPa¤WXQ6`��£a¤`PbCQ6W(gqe_Wp[¦Q6n�a¤YÇ]¦bRW(a¤®4]2ZXQ[^]KYRYRQ6W6� r UdZÃacY e_ZXOdQ�WÃiue_WpnR`V��ikQ\iPa�«¤«�`pOde4i ZXOR]KZhbRWXa�®4]KZ(QV«¤¬ÇQV®4]2«cUR]KZ(acYdmªZXOdQ¦S-acWXS6Uda¤Z5XWXQ6n�URS-Q�` 7\Z(eªbRWXa�®4]KZ(QV«¤¬�Q6®4]2«cUR]2ZXa¤Ydm^`Xa¤Ydm_«�Q�mE]2ZXQ6`ue_Y°®4]2«cUdQ6`P`pOR]_W(Q�n�©E¬T©CeKZpO°b�]KWXZ(a¤Q6`6�

¿�URW�bRWXQ6`XQ6YEZX]KZ(a¤e_Yoac`�[¦e�n�Ud«¤]_WV�%iÃORQ6WXQ\ZpOdQª[\ednRUR«¤]_W(a¤Zw¬ a¤`�`pURbRbCe_WXZ(Q�nj©E¬o]KY�]KbdvbRWXe_bRWXac]2Z(QPYde_Z(a¤e_Y¦e2g¶]^�X �|2z��-~��Iy4{C�*NPO�UR`6�_iuQ�¢CWp`(Z9nRQ-¢CYdQt`XURS�O^Yde_Z(a¤e_Y%�E]KYRn^`pOde4i ZXOR]KZacYRndQVQ�nÇa�Zha¤`t`XUda¤ZX]_©d«¤Q�Z(e�eEURWPmKeE]2«c` �dZpOR]2Zha¤`6�CSVe_[f©Ra¤YdacYdm�]ªWXQ6nRU�S-Z(a¤e_Y°eKg��BZXOdQ\bRW(a¤®4]2ZXQS-eE[^bRUdZX]KZ(a¤e_Y¦e2g�� *<Z(eª�BZXOdQÃbRWXa¤®�]KZ(QÃSVe_[^bRUdZp]2Z(a¤e_Y¦eKg���%�]_YRn^]�bRW(e_Z(edS-e_«�gqe_W9b�W(a¤®4]2Z(Q6«�¬S-eE[^bRUdZ(acYdm %*�d¬�a¤QV«cnR`Ã]^bRWXeKZ(edSVeK«7gqe_WPb�W(a¤®4]2Z(Q6«�¬TS-e_[^bRURZ(acYdm *C�9ÆtbRbd«¤¬�a¤YdmªZpOdac`ÃYdeKZXa�eEY� � � GHoH>�>�op\HBCEH>'D�`HU_UC>LG]B5S_>�DAB_IJOQG�IJS5P�KNIJGaM [�K/oH>AB_KNIJMJ>Lo�r]>�U_S_IJOQG&ON<d�n>�DAB_IJOQG �nY��QY FaY FaY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� ��������H� ������ � �����J��� �!� � ��� � �.�0��������� � ���!��������� ���!� � ���

�����������������! "��#%$'&��(�!�)�������*��+��*,��� "-.� �!�(���0/*,��1��� �! "��#2� �43 �)#1���5��67�8��#��9�! "��#�� 6: "�! "��;�����+��*,��� "-.� �!�*����/(,��������� :�0#2� �<�1�9�����5/* "#1 =;��! =�>�8��#��9�! "��#�� 6: "�! "��;�$%� #��2��+?��;@�A�1�9��;B�0#2��+��6=���!������C

D �*#1�9E1�F�9��#�;� =�1����$G&� :�5+1���1�F6"��;5;B� �43 �)#1���5��6" "�IH $G��+1�(��-.� 6"�����! "��#J���4KL�?� 6"����#2�� =�!M�9�� :�5;N&� :�5+ � ��" � #��*O � � 30������;���'�8� #1MP =#*Q�C ���SR ���5����6"6"H $ &���TU#��( "�V/*�����L�9��#0- �)#1 "��#0��!�W�9��#�;� =�1������+������0������;5,��0#��1 =#13X���! "��+�/X���! =�>�� =�����1 "��;��Y-����[Z@\L]PQ�^_$�&[+1�)�!�>/���6:�� ",16" =�9�YM�! "��#`���0������;5,��0#���;B�!� � ��" � #��`� ���1 "�! "��#J�!�SO � � C R -Y��6=�1� � =;F;�+�� �����2a0HS��+1�(�I&��,����!�� :�);� "#S�5+1�X#���������� 6b/(� #�#1�)�>]8 PC � C"$U�5+1��;5��/c� �N��+1��;5+����!�);���d?��� 6"; � /*�?�2Q0^eC D �;5+1�Y&f+��Y&g���h,��!�0,���30�����S;5+����!�);(���>-Y��6=�1��;i�5+������130+j��#0Hk3 "- �)#j3������l]8�0,��)��� �! "��#U^_Cm ����,���3�� �! "��#n��+��!�0�13�+`� #2�����1 "�! "��#230������ =;@�5�! "-? "� 6o$%��#��p&��*�9��#��9��#0���5�������0#J,�����,���M3�� �! "��#q�5+��!�0�13�+l�J/��16"�! =,16" "�����! "��#h3������ C2r�+1��3 �)#1���� "�i��� ;��W =;��5+����X��+1�sTU��;���,����!�IH+1��6"��;�]ot / 1 � / ^[� #��S�5+1��;����9��#��p,����!�IHn+1� 6=��;�]ot � 1 � � ^_$U&[+1�)�!�ut /<v t � =;@��+1�u-Y� 6"�1�������#��[ "#�,��1��&� "���B� #�� � /wv � � =;4�5+1�B-Y��6=�1�@���%��+��B� �5+1���4 "#�,��1��&� "��� C D +�����&��[&���#0�V ";�!�(,����Y-? "�1�@�����_+W,�� ���IH(&� :�5+��X����#��1�0/x;5+����!�@���b�5+1�F-.� 6"���@� �b��+1�������,��1�L&� =�!� � ��+�� � =;9$��(;5+�� ���F�����+1�>-Y� 6"�1�i]Pt /Vv t � ^zy ] � /Nv � � ^eC � #�����+1�)��&����5��;�&<�u���!� "#0��������;��!���n =#,��� :-Y� �!�96"Hs�9��/(,��1�� "#13i�5+1�F�A� 6"6"�Y&� "#13(�5� #��1�0/* :{����s�8��#����� :�0#���6" "�IH

]!]ot / 1���/ ^ 1 ]ot � 1 � � ^�^ �� ]o| / 1 | � ^ ]~}?C"�.}�^&[+1�)�!�>| / v | �B� ]ot / v t � ^zy ] ��/ v � � ^_C ]~}?C"���?^

r�+�� �� =;9$�]P| / 1 | � ^u���130+0�u�!��a��n��#1 :�A���5/X6"Hl�1 =;!�5�! =a��1�����h��/X�0#132�5+1�n,��� =��;X;�� �! =;��AH? =#13| / v | �B� ]ot / v t � ^Uy�] ��/ v � � ^eC R ;<;5+1�Y&[#( =#n�0�)���� :�0#�}?C � C � $���+1�� aU�Y- ���8��#����! "��#���6" :�IH�9��#XaU�B,��� "-.� �!��6:H��9��/(,��1�����(a0H����������9�! "��#*�!�>�F-Y� �� =� #0����w�a�6: "-? :�0��;Nr7�5� #�;��A�)�L]~�rB^eCr�+1 =;n-.���! =� #0�� ";S�1�9TU#1���� "#��0���9�! "��#�}?C � C�Q1$[&[+1�)�!�` :�S =;S;�+1�Y&[#���+�� ���5+1 ";n-Y� �� =� #0��9��#kaU�p,��! "-Y�����96"H� =/(,16"��/*��#0�!�)����;�;5��/* =#13`�5+1�n��E1 ";��!�)#����n���*]8�)#�+�� #������'^>�5����,U�1�?�0���#���M~&��.Hj,��)��/X�1��� �! "��#�;�C D �`;�������;5;W��+����n��+1��;�,U���9 �TU�2�8��#��9�! "��#�� 6: "�! "��;n/*��#0�! "��#1�)�� aU�Y- �[���!�[���96=���� :-��96"HX;� "/(,16"��]o� C 3�C"$ �5+1�9Hi+��.-��[�FTU#1 "�!��1��/(�� =#U^_Czr�+?��;�$1�?������ :�0#s}?C � C ����������9��;*��+��2,��! "-Y�����S�9��/(,��1�5���� :�0#h���F� �5a1 "���5� ��Hj]P���0/*,�6:�9E�^u�8��#����! "��#���6" :�� :�);i�!�q��+�����0#�;����5������ :�0#W���,���� �!�1�9� 6=;V�A�0��,��! "-Y���!��6:HW�9��/(,��1�� "#�3(�*;5,��)�� :TU�F;! =/(,16:��8��#����! "��#���6" :�IH]8��C 3UC:$���+1�>�0#1�F���7��d'Cw]~}?C"�.}�^ � ]~}?C"���?^!^_C

r�+1�u����������6b,�����;���#0�5���! "��#n,����1���9�)��;�aU� �!����/XMI��,wC D �>T'��;��[�1��T'#1�u�!�)�����9�! "��#�;[aU��M�I&��9��#(]o�I&<� M~,�� ���IH�^',��!���!�1����6 ,�����a16"��/(;N]o "#>�5+1�<;���/* :M~+���#1�);!�%/*�1�1�96A^eCz�B�9E1�9$.&<�<�1��TU#��� #��2 =/*,�6:�)/X�)#0�>�rF$G� #��`;�+��Y&�+1�Y&��!�S��;��(�r��A�0�@,��� "-.� �!��6:H2�9��/(,��1�� "#13n��;� =#13 6"�/���6:�� ",16" =�9���� :�0#n3������ CV\ =#���6"6"H $�&��u;�+��Y&�+1�Y&��!�W��;��>��+��u6"� �!������,���� ���?�9� 6w���W�1���� :-��>�,���� ���?�9� 6'�A����,��! "-Y���!��6:H��9-Y��6=��� �! =#13(��+1�>�)#��� "���>�� =�����1 "�9C

���0���)�z�8�z�����A� � �?��/*�W�!�)� �1�)��;F/(�.HJ,������A�)�F�!�2;��9�i�S���0#��9���9���(,��!���!�1����6�]o� #��` "��;,��� :-Y����HS� #�� 6:H1;� ";_^�a��9�A�����X�9��,1 =#13W&� "��+p�5+1�X��a�;����5� ���[#�� �! "��#2���V�s,��� "-.����Hn�!�)�������� :�0#]o��#��k�����0������;5,U��#��1 =#13�����/(,U��;� :�� :�0#l��+��9������/W^_C D �p���1-? ";���;5���_+k�������1���5;X�!�q�!�)� ��0�)���! "��#2}1C � C QXa��9�A�����>�!�)� �1 =#13s�0���9�! "��#p}?C � C"� C

���4�� � %*�I� �)( ! %��5, ��(k�������6 �)��,+�1(m� 01#�� 6 �A������ ������� %��50

� �4 =;V�� "/*�@�!���1�9TU#1�[&[+����V&��B/*����#ia�H(;5�.H0 =#13>�5+����<��+1�B,��! "-Y���!�@����/(,��������� :�0#(���w��#���8��#��9�! "��#�� 6: "�IHl���e�Y�� e��¡X�����5+1�*,��! "-Y���!�(���0/(,��1��� �! "��#J���<��#1� �5+1���B�8��#��9�! "��#�� 6: "�IH C*������� � GHoH>�>�op\bGH>�g]K9BCIJOQG�DLKNG�qf>)>�P/`HMXK9BC>�o�q][B¢ £�¤bIJGHg B_EH>'gQI r]>�G�qaI B5@5I BCE�BCEH>'D�OQGHSCB_KNG]Bz¥_¦5§)¨nY

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � ����������� �����������������������������������������������������!

�1�9TU#1 "�! "��#� ";>�S#�� �����5��6�9E?����#�;� "��#`���<�5+1�W;���� #���� �5�J#1���! "��#`�����S�!�)�������� :�0#J��;>��;!�)� =#J�5+1�i����#0����E1�@� �<�0���1 =#����!Hq]8 PC � C"$%��#1�i,����!�IH�^B���0/*,��1��� �! "��#wC��[������6"6z�5+����>;�����#���� �5����������9�! "��#�;F���!�*�1��TU#����` "#J�!���5/(;F���4�0������6"�X/(� �_+� "#1�);9Cur�+?��;�$w&��*#1�����`�!�S���0#�;! =�1�)��I&���MI,�� ���IHW,���� �!�1�9� 6=;L&� :�5+S���5� ��6"�>� ������;5;�C��B�)�!�>�5+1�u�0������6"� =;� =#0- ��� ���na0H�aU� ��+p,�� �!M�! "��;�$%�)� �_+J;5��,�,�6:H? =#13S :�F&� "��+`��#1�* "#�,��1�i]8�0�Fd0������H�^_$b� #��2 "�u�!�);�,U��#�;���;@&� "��+��n,��� =����4��#�;�&<�)��;�$���#���,��)�B�)� �_+p,����!�IH�C D �*;!�5�!�);�;B��+�� �B�5+1�X��#�;!&����!MI,��� =���1��,U��#���;B�0#p��+��]8�)#0�! =�!�Y^�d0������H�MI,�� "��C� ����z������U�� ������� ]o,���� ���1��� 6=;L&� "��+n���5� �96:�>� �����);�;_^�������������� ��� � � ��� � �!��"#�$�%�&�('=¡�)�*+ �5��',*-)���.0/'� +�1#+   +32 )��34�5i�6* 1 �5�87�.0/$)�' �e¡ +:9;+ �<)�  2 �%= 1 )�/��_¡ � + *G��/$)�' �>/����n�?)� �@A/&)Y� 1 . �)�*G� + �<)�  2 �6=! �) 2,2 ¡ 1 �#/U¡*� � � *G�5�A)Y¡ 9%+�2,2B+�C ¡ �>D )  %@ +:9�1 @?�E/&)Y� 1 '8�_¡F5G)�.�¡9�%*G�A)W¡H/��e %'I) 2���,����� JK�,J6LNMOJ6PQ"R5i��¡5¡6)S4��%T 1H+�1 @?� +�1 @?�9�U/&)Y� 1 .3VRWU�� %@X)�5i�_¡e¡6)640�K'=¡ 1 .�/Y'8 �) 2,2 .*¡��6* 1 ) 9�1 �9�1 @�'=¡Z/$)�� 1 . C ��' 1 ��¡F)i¡ 1 ��',* 4�T< ?) 2,2 �e�[' 1 ¡RLNMOJ��]\ T + *^' 1 ¡ +�C * C ��' 1 �%= + * 2 . + �<)   2 �6= 1 )�/1�_VR`%*����¡H/ + *�¡9��T 1 @?� +�1 @?�9�U/&)Y� 1 .a) 2 ¡ +�C ��' 1 ��¡b)�¡ 1 ��',*�4�TV �) 2,2 �e�a' 1 ¡Ec����9��.OT + *A' 1 ¡ +�C * + �<)   2 �6=1 )�/��E)�*'�>�5�_¡H/ + *'�Y¡ 1H+K1 @?�[����c�����¡ 1 ',*�4Z/&)Y� 1 . C ' 1 @G)d���,����� Je�6� �f�$5i�_¡e¡6)640�SVe� 1�1 @�'=¡g/ + ',* 11 @?� + �<)�  2 �;'=¡X',*Nh +Oi �5�j)�*'� 1 @1�����_¡_� 2f1 '=¡ 1 @�) 1 )J¡ 1 ��',*�4�Tb* +�1 *G�e 5��¡e¡6)Y��' 2 . 1 @1�W¡6)�5(�%T'=¡ C ��' 1k1 �6*j7%. 1 @?� + �<)   2 � + * 1 @?�X����) ��= + * 2 . + �?)   2 �%= 1 )�/�� +:9 ��)  %@a/&)Y� 1 .3VAl(@ '=¡R/&)�' � +Q9¡ 1 ��',*�4Y¡m'=¡� �) 2,2 �e� 1 @1�R���,����� Jb� nOP:o�J��:VD �@;�������;5;N��+�� �4�5+1�@;�H1#��5�YE*��� p��TU#1 "�! "��#n}?C � C"�[��6"6:�Y&[;�]o��#16"H�^N;���d?�1�)#��� "� 6��0������6"�[�9��6"6=;]oa��1�n#�� �s,������ 6:6"�96@��#1�);e^_C D �`�9� 6:6��+��`����� �����W� �!�!�)#0�! "��# ���h��+1��;!�)���0#�� "�!��/ =#p��TU#1 "�! "��#q}?C � C�Q(��+����@����d?�1 =����;[�5+����@��+1�X���5� �96:�9M~� "�1�)�S,��!���!�1����6 /'��',hO) 1 � 2 .2  + 5E/U� 1 �_¡��+��F�8��#����� :�0#���6" "�IH��5����+�������+���#S/X�)�!��6:H�����/(,����!��;L "�9Cq ��r�z������U�� �!s���t ]o,��� "-.����Hs������������ :�0#�;e^��

u �E* + �<)�  2 �%=Q)�'8� �e��/U� +�1H+   +�2 '=¡>¡%)�'8� 1H+ 7��>MOP%�fnOvG"�wOJK���,����� J �x M nO�6"�� �&n�� �f� "I\Fyz' 9m1 @?�+ �<)�  2 �8)�*�¡ C ���e¡{)Y���^)  e  + ����',* 4 1H+ y|V}l(@$) 1 '=¡�T C @?�6* 1 @?� + �<)�  2 �~'=¡A',*Nh +Oi �5�¡e�� %@ 1 @�) 1F1 @?�J����c�����¡ 1 ',*�4;/$)�� 1 . C ��' 1 ��¡ 1 @?�^c����9��.{�_��)�*'�h����¡k/ + *G��',*�4�/&)Y� 1 .C ��' 1 ��¡ 1 @?�0c����9��.G�6�3T 1 @1�0)�*�¡ C ����=�/&)�' ��'=¡W��'=¡ 1 ��'7�� 1 �5�^).¡>yz]� �O� �S�)^�T C @?�9��� 1 @?�����c�����¡ 1 ',*�4K/&)Y� 1 .F4�� 1 ¡ 1 @?���V�e¡ 1 /&)Y� 1 ]8 PC ��C:$-y � ]k� ��� �6�.^!^6V �<�� �J����c��$' �5� 1 @�) 1a1 @?� 2 �6* 4 1 @ +:9 �?)� �@�c9������.�75�0/ +�2 .�* + 5a'I) 2,2 .j��� 2 ) 1 �e� 1#+�1 @?�2 �%*�4 1 @ +Q9K1 @1�>',*Y' 1 'I) 2 ',*3/U� 1 V �<�

u �E* + �<)�  2 �%=Q)�'8� �e��/U� +�1H+   +�2 �?¡�',*�4 1 @?� + �<)�  2 �%= 9 �$*G  1 ' + *�) 2 ' 1 .Ey8'=¡L¡6)�'8� 1H+m� �� ���O":J�� \�%�&� � MO":J * ' 9G1 @1���5�n�?��'=¡ 1 / +�2 .�* + 5a'I) 2 = 1 ',5i��) 2 4 + ��' 1 @�5X¡�Tu���%* +�1 �e� � �~)�*G� � � T¡%) 1 '=¡ 9 .�',*�4 D cSVL]I}?C �0^G)�*'� D c_V�]~}?C"�S�?^?TB�5�_¡H/��5  1 ',h.� 2 .OT C @?�9��� 1 @1��  + �_�5�_¡H/ + *'��',* 4hS'8� C ¡ +Q9Z1 @1�B�?�?�5 9� 1 ' + * +Q9Z1 @1� + �?)   2 �%=Q)�'8� �e��/U� +�1H+   +�2 )����@���I��*'�e�K',* 1 @?�R*-) 1 �1�<) 25�)�*N*'�9�6V

u �E* + �?)   2 �%=Q)�'8� �e�[/U� +�1#+   +�2 '=¡i¡6)�'8� 1#+�� �k� ���O":J�� \~�,J6�NM��6JX� 1#+ y�TK' 9 ' 1 /U��',h�) 1 � 2 .  + 5�/'� 1 ��¡�� C @1�%*l�?¡�',*�4 1 @1� + �?)   2 �%= 9 �$*G  1 ' + *�) 2 ' 1 .Xy|V�`%*q¡_�� �@^)p �).¡9� C �(¡%)�.1 @$) 1 �{� P � �� ���O":J�� \X�,J6�NM����f� � JE"#�Xy�T

�#�b�(�O�d�f�O�: 6¡� ¡,¢F£�¤ ¡k�O�d¥�:¦S§O�:¨I¡k�f O©mªO«�¥¡,¢F¬R«Q¢>­��d�O�#¡�Q¥¬d�f O�:�a­%¢>¡k�O�Z¡,®�£mª�«�¥¡�f�:¨ � «�¯:¯:£�¥k�O�f O©¡£K�f 6¡�:¥H«�¯#¡�f£� aªO¥�f£�¥g¡k£b¡�O�d¥�Q¦6§O�:¨¡H°H±R², aª�«�¥I¡k�f¯:§O³´«�¥Qµ&«�¨U�f a«�³f³NªO¥k£�¡£6¯Q£�³f¨�§O¨�Q�F�f >¡k�O�f¨|®(£�¥¶3µ ¡k�O��f�O�: %¡k� ¡,¢E£�¤$¡k�_��¥�:¦S§O�:¨I¡k�f O©eª�«�¥¡,¢�¬R«Q¢R­��g·O¸S�:�m«?¹,ªO¥�f£�¥k��±�Hº � �_�f¨Y¥�Q¦6§O�f¥�Q¬d�: %¡-©�§O«�¥H«� %¡k�:�:¨�¡k�O«?¡-¡�O��¨�:¯Q§_¥k� ¡,¢�£�¤�¡�O��£�¥H«�¯:³f� ¯<«�³f³f¨Y­���¥�:³´«?¡k�:�Z¡£g¡k�O��¨k�:¯:§O¥� ¡,¢

£�¤$¡�O�U�O�f©��b³f�#»%�:³ ªO¥£�¡k£6¯:£�³�±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���������� ����������� � � � ������ ��� � �! "���� �#� �����$�%�" &��$����(' � �*)

D �u� ���F#��Y&������ ��Hi�!�W;��������>�*�9��/(,U��;� :�� :�0#s�5+1�9�0�!�)/��A���L�5+1�u;!�)/* �MI+1��#���;��L/*�1�1��6oC�u�z���,+Y�.- �!s��!s ]0/<��/(,U��;� :�� :�0#lr�+1�9�0�!�)/ �A�0�u��+��s;!�)/* �MI+1��#���;���/*�?���96A^��;WU�O/�/ + ¡��1 @�) 1 � '=¡>/'��',hO) 1 � 2 .����e�Y�� 6'7 2 � 1H+ y )�*'� 1 @�) 1m1 @?�9���p�?��'=¡ 1 ¡[)0/U� +�1H+   +�2�9%+ �F/U��',h�) 1 � 2 .  + 5E/U� 1 ',* 4ay|Val @1�%* 1 @1���5���?�3'=¡ 1 ¡F)K/U� +�1#+   +�2�9%+ �Z/'��',hO) 1 � 2 .n  + 5�/'� 1 ',*�4>�(Vr�+1��������/f}1C � C � ��� #Sa���3 ��#����5��6" :{����n�!�W��;�;������L��+�� �[ ��U�s ";[,��! "-Y���!��6:H0MI�!�)�����9 "a16"�>�!�0yz$� #��Fy* ";,��� "-.� �!��6:H0MI�!�)������ =a16"�V�!�21L��+1�)#>� ";z,��� :-Y� �!�96"H0M~���������� =a16"�4�!�210C�0���<�4E?�)���9 ";�� ) C3 +�� �54"6!7'� ���.��8&9 �9�&:";�< =iaU���(���5� �96:�9M~� "�1�)�s,���� ���1��� 6w�5+����[,��! "-Y���!��6:Hn�!�)�����9��;Z�W���yz$1� #��s6:���>:?=*a��>��,��!���!�1����6U�5+����L,��� :-Y�����96"Hi����/(,����!��;dyzC D ��9��#�;����5�����L��,��!���!�1����6:��A�0�4�9��/(,��1�� "#13F�� =#(��+1�#����5����� 6U/(� #�#1����@��5+����4 ";�$0;������!�� "#�3u&� :�5+A:";�< =U$�&��B����,16=� �9������_+h =#0- �1�9� �! "��#l� �@��+��n�0������6"�J]o oC � C"$4� �by%^Xa�Hh��#h�9E?�)�9�1�� :�0#k� �B��+��S,��!���!�1����6(:?=�C/<6"��� ��6"H $�:����0/(,��1�!�);Z�UC D �u#1�������!�W;5+1�Y&���+����:�,��� :-Y� �!�96"Hs�9��/(,��1����;d�'C

\��0�F�����_+CB � � � Q1$76:���ED ;�< =F � #��GD =F a��s��+1�s�9���5�!�);�,U��#��1 "#�3n;� "/X�16=���!�0��;�A�0�>��+��-? :��& ��� m � ���IHHB�]8 PC ��C:$0 "#A:2;�< =���#��A:2=�$0����;5,U������ :-��96"H�^eC D �B�9��#�;����5���9�4�u;� "/X�16"� �!�0��D F $�A���z�5+1�<-? "�9&h� � m � ���IH2Bw "#�:�$� =#u�5+1�L#����5����� 61/*��#�#1�)�9Czr�+����z ";�$Y&��4TU�5;��z�5��#ED ;I< =F ��#����a����� =#p�5+1�s]P;! =/��16=�������U^[-? :��&���� m ���!�IHJB< =#K:2;�< =�CFr�+1 =;�]P;! =/��16=�������U^[-? :��&� "#���6=���1��;d?�1���� "��;B/(���1��a0H m ���!�IHLB���#��2���0������;5,U��#��1 =#13i� #�;!&����5;9CF]�[������6"6o$U&<��+��.- �u�0#16:Hn��+��,����!�u� � m � ���IHMB "#q�5+1��d?�1�)�!H0MI� #�;�&<�)�>,��� =��C�^ � #0- � �� =#13CD =F ��#q�)� �_+q;����_+ON�,����!�� "� 6d?�1����H0M~��#�;�&<�)�QP�&<�T�6"6�M~ =#��5+1�>-? :��&�� � m ���!�IHABV�A�0�L�����_+s� �7��+���;��> "#0- �1�����! "��#�;<� ��:?=�C]8�@� ���[��+�� �4&��[�!��6:H*��#*�5+1�[�8�����V�5+����V�5+1�@;� =/��16=�������>D =F ���1�5,��1��;��F-? :��& ��+�� �NT���;<��+��������,��1��3� :-���#��!�( "�$@�;��9� � ����/gQX =#n��+1�u�1 =;5�9��;5;! "��#���+������A� 6"6:�Y&[;Zp��T'#1 :�� :�0#2}?C�Q1C"� C ^

RCS(TVUXWZY []\_^I`aU�T ^cbad T [�eZfhg�i*jck]jmlon�pq?lVr*sIk!lVr.p�tct_u k�pItQv?lVrxw�i*j�p$y�s$zIj({|jXn]t_k0lV} w]lVsIr,~� i|lot�i�} k]jXn0u*} }�s�n0jXnw�i.p�w2��p$k0w�v��>l�n�w�i*jx}*p�k0w�v�w�i.p�w2}|��pcv nw�i*jH��w�i�}.p�k0w�v�lVr�%�L� l�� jI��~���p$k0w�v��2lon(w�i j2}.p$k0w�v�lVr �(�$� � w�i.p�wk]jX�au*jcn�w�np$����sIk�pIt��ojHt_p$���onw�s��.�Q�� u wX~*lVr���jcr*jck�p���~.l�w(qHpcv�y�j%w�i.p$wX~ lVr�n0sIqxjlVr|zIsZtcp$w]lVsIr*n�s$� � � ~���p$k0w�vA�2} �opcv nw�i j�.k�n�w%}*p�k0w�vAlVr � � � l�� jI��~,��p�k0w�vJ�&lon>w�i j"}*p�k0w�vAlVr � ��� � w�i*p$w%k]jc�Zu jXn�w�n�w�i|lon}*p�k0w]lot_u|��p$ksIk�p�tQ�Vj�t_p$�����Q�H �r�w�i lontcpIn0j�~ � jxn0i sIu|��{�n�lVq2u �op�w�j2w�i*j?jQ¡ jct_u w]lVsIr�s���%� yavJu*n�lor �Ew�i*jHn�lVq"u �op$w�s�k&w�i*p$w"n�lVq2u �op�w�jXn%w�i*jxzalVj � s$�¢w�i*jHt_s�k]k]jXn0}�sIr*{|lVr*�}*p�k0w�v£lVr ��E� k�p$w�i jck¢w�i.p$r�w�i*j%t_sIk]k]jXn0}�s�r.{Zlor �x}.p$k0w�vHlVr � �Q�R�¤I¥$bZU�^c\c¤H^_W S&S�\IUc[_f�¦>s�w�jw�i.p�w � j"t_p�} l�w�p��VlV§cj"sIrAw�i j%��pIt�w(w�i.p�w>lVrAw�i j�n0jcq?l�¨i sIr jXn�w�qxsZ{|j_��~aw�i*j�j_¡|jXt_u w]lVs�r£s$�hw�i j%n�w�jc}*n©s$� � ��� � � lVr.n�lo{ j � ��lon©lVr*{ jc}�jcr*{ jcraws$��w�i*j�pItQw�u*p$��j_¡|jXt_u|w]lVsIr.n£s�� ��ª� p�r*{G{ jc}�jcr*{*nHsIr|�Vv«sIrGw�i*jLsIu|w�t_sIqxjXn£s���%� �Q�&g�i lon(�¬pItQwX~5p$���Vs � n�u*n�w�s£�.k�n�wn�lVq"u �op$w�j2pHw�k�p$r.n]t_k0lV} w�s$� �>��� � ~5p$r.{�r*jQ¡|w��jcr*j_k�p$w�j%n�lVq"u �op$w�jX{xw�k�p�r*n]t_k0lV} w�n�s$� �� �� �r£t_sIraw�k�p�n�wX~ lVrHw�i*j�qHp$��lotQlVsIu.n�qxsZ{|j_��~w�i j�pI{|z�jck�n]p�k0v®­ n�pItQw]lVsIr*n�lVr �(�$� � qHpcvA{|jc}�jcr*{EsIrAw�i j�w�k�p$r.n]t_k0lV}|w(s$��}*k]jczalVsIu*njQ¡ jct_u w]lVsIr*n&s$� �� ~�p�r*{Jw�iZu.nw�i*j£p�y�s�z�j�n�lVq2u �op�w]los�rKn�w�k�p$w�jc�$v � l����mr*s�w � s�k]¯lVr�w�i*j?qHp���l�t�los�u.nqxsZ{ jQ� � p�r.{LpEqxs�k]j?t_s�qx} �Vj_¡Ln�lVq2u|��p�w]lVsIr�n�w�k�p�w�jc��v � l�����y�ju*n0jX{.�Q�

� �� =;X6:�9�A�X���`;5+1�Y&���+�� �AD F "#��1�9�)�l3 �)#1���5������;��J�1 ";����� =a��1�! "��#h��+�� ��]P� �130/X�)#0�!���la0H��+��J-Y��6=�1�2� �K��^* =;W =#��1 =;!�� "#�3��1 =;�+�� a16"�p�8����/ ��+1�`-0 "�9& � � m ���!�IH°B�]P� �130/X�)#0�!��� a0H��+��n�0�1��,��1�(���@aU� �5+�,����!�� :�);e^u =#�����������6L��E1�����1�! "��#�;X� �&:�Cjrb�Y&L� �5��;X��+1 =;*��#��%$4&�� =#��5�!�1�������@�X@�.�7���'8�s��'=¡ 1 ��'7�� 1 ' + *�$��1�)#1� ������± F Cr�+� ";L+0H1a��! =�W�1 =;����� "a����! "��#s����,��!�);!�)#��5;��+��[-? :��&j� � m � ���IHHB<]P� #��(�5+1�B�0�1��,��1�V���%aU� �5+W,�� ���! "��;_^7 =#W� #*��E1�)�9�1�� :�0#(���!:";�< =���+�� � =;z���13�/*�)#������ua0Hu�9���5�!�);�,U��#��� "#13B "#0- �1�����! "��#�;%���!D =F Czr�+����z =;9$.�A�0�7�)� �_+ud?�1�)�!H0MI� #�;�&����

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

,�� "��$1]� � t1^_$�-? :��&<�)��a0H m � ���IH?Bw&<�L� ��3�/*��#0�z :�5;-0 "�9&k&� :�5+AD =F ]� � t�^eC � #�����+1�)�b&����5��;�$± F �!�),��!�);!�)#0��;<��+1���E1�����1�! "��#s����:X$1&� :�5+s�5+1�F��E����),1�! "��#s��+�� �<�5+1�F "#0-��?������ :�0#�;4� ��:2=� ���>�!�),16=� ���)�sa0H�;� =/��16=�����������5� #�;5�9�� ",���;�C

� W*S�S�\IUc[cf���jJn�w�k]jXn]nEw�i.p�w�n�lVr.t_j��«qHpcvGy�j�pMk�p�r*{ sIq?lV§cjc{G��u*r*tQw]lVsIr.p���lVw�va~� jEn0i sIu|��{�jXn�w�p$y ��lon0iMw�i*p$w"w�i*j£}*k]s�w�sZtQs���n]p$w]lon��*jXn2w�i*jH�Ij_r*jck�p��¢�¬sIk]q s����%j_� ¨r|l�w]los�ra� �a����k�p$w�i*j_kmw�i*p�r£lVw�n¢n�lVqx}|�Vl��*jX{£��sIk]qA��g�i.p�wml�n_~ � j�tQsIr.n�lo{|jck¢w�i*j���s�lVraw{Zlon�w�k0loy u w]lVsIr"t_s�r.n�lon�w]lVr*�(s$�*w�i j©zalVj � s��*��p�k0w�v��®p�r.{%w�i j�sIu|w�}*u|w�s��*y�s�w�i&}.p$k0w]lojcn� k�p�w�i*jck!w�i*p�r?qxjck]jQ�Vv&w�i*j���sIk]qxjck��Q�!g�i lon��¬pItQw©qxjck]j_��v"qHp�¯�jcn!w�i j¢}*i k�pIn0jXn�qxsIk]jtQu*q2y�j_k�n0sIqxjI~Zp$r.{Hw�i*j%jXn]n0j_r.t_j%s$��w�i*j%p�k]�Iu qxjcraw¢qHpcvxy�j%y�j_w]w�j_kmtcp�}|w�u*k]jX{Hyavp�n]n0u*q?lVr*�£w�i.p�w���lon�{ jQw�jck]q?lVr lon�w]lotxp�r.{Lu.n�lVr*��w�i*jHn0}�jXtQlop�� � n�lVqx} �Vjck��>��sIk]q s���(j_�.r|lVw]lVs�r a� �Z���I���,lo¯Ij � lon0jI~�lVrMtcpIn0j��Klon2k�p�r*{ s�q?lo§_jX{,~ � j�i.pXz�jxw�sLk]j_��v�sIrw�i jm�Ijcr jck�p$�.��sIk]q s����%j_�*r l�w]lVsIr�Z� �a�V��lVrxsIk�{|jck©w�s&n0i*s � w�i.p$w�w�i*j�{Zl�n�w�k0lVy u w]lVsIr*nk]j_}*k]jXn0jcraw�jX{£yav�����p$r.{ � p�k]j�t_s�qx}*u|w�p$w]lVsIr*p$����v£lVr*{|lon�w]lVr*�Iu|lon0i.p�y|�VjI�

� ;� =#13(��+1�F3���� �5� #0�!����;L�!��3������1 =#13�D =F ]o����;5,wC"$hD ;�< =F ^e$�&<�>;5+1�Y&���+�������+��F�� ";����� "a��1�! "��#�;���0������;5,U��#��1 =#13�!�x± F � #��£:�]P�!�);�,wC"$|± F ��#��AD F ^z���!�L���0/*,��1��� �! "��#�� 6:6"Hu =#��1 =;!�� "#130�1 =;�+?M� a�6:��C<�?,��)�� :TU�9� 6:6"H����C[l(@1�p��'=¡ 1 ��'7_� 1 ' + *�¡W���#/'����¡��6* 1 �e�87%.�± F )�*G��: )Y�5�p  + 5�/'� 1 ) 1 ' + *-) 2,2 .^',*G��'=¡ 1 ',*N=

4��$'=¡�@�) 7 2 �%�Vr�+1�@�!�)� ;���#(a��� "#�3���+����V�5+1��;��@�1 =;����� "a����! "��#�;<�1 ��G���<��#�6:H* "#W��+�� �4��+�� "#0- �1�����! "��#�;�� �2:?=� "# : � ���p�!�),16"�����)�h =# ± F a0H D =F M~;� =/��16=�����������5� #�;5�9�� ",���;�Cr�+0��;9$G��+��*+0H1,�����+1�);! =;F�!��3������1 =#13�D =F =/(,16: "��;�5+������+1�*�I&����1 =;!�5�! =a��1�� :�0#�;F� �������/(,��������� :�0#���6"6"Hi "#��� ";��! =#13��� ";5+�� a�6:�i]o&[+1�����> "#��1 ";��! =#130�1 ";5+���a1 :6" "�IHW ";B/X�)� ;5�������&� :�5+`����;5,��)���F�!�S�5+1�i6:�)#13 �5+J� �<�5+1�Wd?�1���� :�);9$7� #���+1� 6=��;F��6=;��n&[+���#�/X�)� ;5�������&� :�5+>�!�);�,U���9�w�!�[�5+1�V6"��#13���+���1��+��V "#� :�� "� 6 =#�,��1�5;e^_C ��� �?,U���9 �T'�9��6"6"H $.��#1�V/(�.H����#1M;! =�1���z+0H1a��! =��;z���h: ��#��£± F ;5���_+u�5+����z "#X��+�������+*+0H1a��! =�u�5+1�<TU��;����F "#0-��?������ :�0#�;���h:?=u���!��������6���#��X��+1�B����;��N� ����;! =/��16=�������wCr�+1�)#*�� ";��! =#13��� ";5+�� a� :6" :�IHX���w#1�9 "3�+1Ma��0�! =#13i+0H?a��! =��;[�9��#0���5� �1 =���5;L��+1�u+0H1,U� ��+���;� ";[���930� �5�1 =#13�D =F ]oa0H� "#��9���5,��0��� �! =#13�*,U��;5;� "a16"�F���5� #�;5�9�� =,1�L���7�5+1�u����;���� �z�5+1�>��E1�)�9�1�� :�0#s =#0�!�i��+��u�1 ";��! =#130�1 ";5+1�)�e^_C

Q�C[l(@1����'=¡ 1 ��'7�� 1 ' + *�¡i���:/U����¡9�%* 1 �e�~7%.�± F )�*'�LD F )Y���n  + 5E/U� 1 ) 1 ' + *�) 2,2 .{',*G��'=¡ 1 ',*N=4��$'=¡�@�) 7 2 �%�4r�+��u�!�)� ;���#saU�9 =#13i�5+������5+1��;��u�1 =;!�5�! =a��1�� :�0#�;[� �����a1�5�� =#1���w$U�!�);�,U����M�! "- �96"H $%�8�!�0/ : ;�< = ��#��«D ;I< =F $7a0HJ���13�/*�)#��� "#�3n�5+1�(6"� �!�����F&� "��+� "#0-��?������ :�0#�;���D =F C�r�+0��;9$N =#��1 =;!�� "#�3��1 =;�+�� a1 "6: "�IH`�A� 6"6:�Y&[;Xa�Hq�5+1��+0H1,�����+1�);! =;����930� �5�1 =#13CD ;�< =F C�?,��)�� :TU�9� 6:6"H $1�1 =;��! =#13��1 =;5+1 "#�3�± F � #���D F =/(,16" :�);��� ";��! =#13��� ";5+1 =#13�:2;�< =X��#��JD ;I< =F]oa0HW =#����0��,U���5���� "#13*��+��u,��!��3��5� / D =F =#0�!�(��+��u�1 ";��! =#130�1 ";5+1�)�e^_C

r�+1�>�5+1�9�0�!�)/��A� 6"6:�Y&[;�C

� �z���8�8���$����U�>8L+Y���! 7���8�z����+Y�#"��$�)�l�3�5-l�� ��)�$����U� �h4>�'�?�7�*+Y�$�"4% z�z������U�z�$�o�����o��&�S�'�7� ���*+a-h�o�7�(&6�)�8�~�'�z�)&�� Z@ :-���#q�n3 ��#����5��6�8��#��9�! "��#�� 6: "�IH{�'$b&��(TU�5;!�F&[�� :���i :�> =#�`&��.Hl�5+����i/(�3� ��;X��+1�p�5� #��1�0/* :{)���! "��#k��E�,16" "�9 :��C�r�+�� �( ";�$V&��n6"�9���']+* � ]+, �.- ^!^X�1��M#1���!�i��+��i-.� 6"���i���Z�U](, �/- ^&[+���#q��;� "#13p�9� =#`����;5;!�);0*2143_� � �6587:9.; <>=0< ? < @u]8 PC ��C:$ �']+, �.- ^ =;X�5+1�S����#��1��/* "{9�)�k,����1����;5;��9��#�;� =;!�� "#13������#1 :�A���5/X6"Hh;��96"������ "#�32*A1B3_� � �C5D7:9.; <>=0< ?*< @!$�FE�G �:¥� ®(�g§O¨�g¡k�_�|�6¢Sª�£�¡k�O�:¨�f¨IH�¬R«��O�g�f R¡k�_�g·�¥k¨I¡ � ¡k�:¬ £�¤KJ �#·� O� ¡�f£� 0LS± M_± N�°-¡��«?¡ ¡k�O�|³f�: O©�¡�b£�¤

�Q«�¯H�K¦6§O�:¥¢��f¨ ª�£�³ ¢_ O£�¬d�´«�³f³ ¢Z¥k�:³´«?¡k�:�b¡£e¡�O�|³f�: O©�¡�K£�¤$¡k�_���f _� ¡k�´«�³��f OªO§_¡Q±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���������� ����������� � � � ������ ��� � �! "���� �#� �����$�%�" &��$����(' � � }

� #��J�1���!���5/* "#� ";��! =�9� 6:6"H2���0/*,��1�! =#13;�U](* � ]+, �/- ^!^�^eCu�@��E1�9$b&<�*,��! "-Y�����96"H2�!�)�������a�S�!�n��1���!���5/* "#� ";��! =�>yz$1&[+1�����>yp =;[�1�9TU#1���S��;��A� 6"6:�Y&[;

yz]�]+, ��� * � ^ � ](,Y� � *_�)^!^������� �']+* ��� *S� � ]+, ��� ,Y�.^!^ ]~}?C"�S�?^R ,�,16:H? =#13Jr�+1��������/ }?C � C � ]o&[+1 "6:�s��;! =#132�p;����5�� "3�+0���A�0�!&L� �5�J,��� "-.����H0MI�!�)�������� :�0#J� �e��!�;y%^e$�&����9��#��96"�����>��+�� �B��+��u��E1 =;!����#��9�u���V�i,���� ���?�9� 6w�A�0�[,��� :-Y� �!�96"HS����/(,����! =#13W��+���1���!���5/* "#� ";��! =�n�8��#��9�! "��#�� 6: "�IHzy� "/(,16" "��;i�5+1�2��E1 =;!����#��9�S���u�q,��!���!�1����6L�A���W,��! "-Y���!��6:H���0/(,��1�! =#13���+1������#��1��/* "{9�)�j�8��#����� :�0#���6" "�IH �UC�\U���n;������2� �>�8�1�����!���!�9�A������#��9� $�&����E�,16" =�� "�!6"HW;!�5���!�@��+1�F,��� :-Y����Hi�!�)�����9�! "��#i� ���X����y�]o oC � $1�5+1����5� ��6"��MI�� =�1�)�*,��!���!�1����6��A�0��i3 "- �)#;y%^_C3 +�������&)���)�I�'� �!s��� ]o,��� "-.� �!��6:H>���������9 "#�3B�B�5� #�����/* :{�����8��#����! "��#���6" :�IHF�!��1�9�����5/* "#?M =;!�� "�L�0#1�.^���z� 1 �A75�b)u�?)�*'� + 5a'�)�5� 9 �$*'  1 ' + *-) 2 ' 1 .OT|)�*'��y�75�b).¡B� ��U*G�e�m',* D cSVG]I}?C"�S�?^%Vl @?�6* 1 @?� 9%+�2,2B+�C ',* 4 + �<)   2 �6=Q)�'8���5�F/'� +�1#+   +32 /U��',h�) 1 � 2 .W���e�Y�� e��¡d� 1#+ y|V� #�,�����;S� �R)Y� 1 .xBR4�� 1 ¡K',*�/'� 1 , F 1 3_� � �65��-V�0����,��3���R)�� 1 .HB�$*N' 9%+ ��5 2 .i¡9� 2 �e  1 ¡ * F 1 3O� � �65D7:9 ; < =0< ?���< @�V�0����,pQ��G�B�������9�! "��#(� ��)Y� 1 .�B�',*Yh +�i ��¡ 1 @1� + �<)   2 � C ' 1 @jc����9��.p]+, F � * F ^?Tb)�*'�p�5�5  + ���.¡

1 @1� + �?)   2 �X���_¡H/ + *�¡��_V��1�5,��1��;S� D )� �@a/$)�� 1 . + � 1 /'� 1 ¡ 1 @?� + �<)�  2 ��� ¡u����¡H/ + *�¡9�SVD �u����/(/*��#0�L��+�������+��u� aU�Y- �F����#�;!�5�����9�! "��#� ";���,�,16" "��� a16"�>��6=;!�( =#S�9� ;�����N/*� 6: =�� "����;� ��- ���5;5� �� :�);$@?;!�����0���9�! "��#2}?C ��C�Q1C3 +�� �54Q8 /<6:�)� ��6:H�$L��+1��� aU�Y- �2,���� ���?�9� 6P$[�1��#�� �!�)� :�$B�9��/(,��1����;0�UC�r7�k;5+1�Y& ��+�� �: ,��� "-.� �!��6:Hk�9��/(,��1����;0�h&<�p#1����� ���h,��!�);!�)#0�W�l;! =/��16=�������*�A�0�(��� �_+ ,����!�IHk-0 "�9&>Cr�+1�S;! =/���6"� �!���u�A��� m � ���IHCBe$V�1�)#1� ����� D F $N =;*��+1�n��a0-? "����;���#1��Ch�#h "#�,��1��](, F ��� F ^e$&[+1�)�!� , F =;F��+��i6:�1�9� 6N "#�,��1�>�!� m ���!�IH�BB��#�� � F =;> "��;F6"�1�9��6N�0�1��,��1�9$7��+1�i;� "/X�16"� �!�0���#1 :�A���5/*6:Hl;��96"���9��; * F 1 3_� � �65��>$V� #��l���1�5,��1�5;s](, F � * F ��� F ^e$N&[+�������� � ,���6:Hw]�� , F � ^eCr�+1�>/(�� =#W�0a�;!�)�!-Y� �! "��#W��#��1����6:H? =#13*��+1�>� #���6"H?;� =;4� �b��+1 =;�;� "/X�16"� �!�0�4 =;L��+�� �4�A�0���9- �)�!HT�E1���', ��� ,Y�q��#�� * 1 3_� � �65��>$B&��q+��.- � � � �U](* � ](, ��� ,Y�Y^!^W :�X� #�����#16"H �� � �yz]!](, ��� * � ^ � ]+,-� � *S�.^!^e$4�A���X�9-�����Hq,��� =�s](* ��� *S�.^X;�� �! =;��AH? =#132* ��� *S� � *?Cl�B�Y&>$46:����� FaU�X�W�5� #�����/ -Y���! =� a16"������,�����;���#0�� "#13(�5+1�X�5� #�����/f�_+1� =���>� � m � ���IH�B< =#`�0����,l��$U��#���! F �1��#1���!�(��+��W�����5����;5,��0#��1 =#13n�_+�� =���(/*���1�ia0H2��+1�W;� =/��16=�������HD F C(r�+���#w$z�!�9�A���5�! =#13�!�`��+1�n3 �)#1���5��64�A���5/ ���Rp��TU#1 "�! "��# }?C�Q1C"�2]o��;�&���;5+1�0�16"�k;! =#����[�` =;*�J�5� #��1�0/* :{�����8��#��9�! "��#�� 6: "�IH�^e$7&<�W;5+1�Y& �5+����F�A�0�F�9-�����HST�E1��� , ��� ,-� � * F � #�� � � ] ������� �)^@ "�u+1��6"��;��+����" �$#&%('*),+.-F ](, ��� ,-�)^ � ]+, F � * F �/� F ^0214365678365 - ](, ��� ,-�.^ � ] ������� �.^.9 � " �/: ]�� F � * F ^ 0 ]kyz]�]+, ��� � � ^ � ]+,-� � ���Y^!^ � � ^�;

� " �/: � F � * F ;Uy � 3D*=<�> F � yz]!]+, ��� * � ^ � ]+,Y� � *_�.^�^ � � 5,�Q �

� Q > � y � 38*F���']+* � ]+, ��� ,-�.^�^ � � 5,�Q �

� " �/: � F � * F ;Uy " �/: �']+, ��� ,Y�.^ � � ;� " �/: ]�� F � * F ^ 0 ]�U](, ��� ,Y�Y^ � � ^�;� " � # D F ](, F � � F ]+, ��� ,-�.^�^ � ](, F � * F �/� F ^0 �U](, ��� ,-�.^ � ] ������� �Y^ 9

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

&[+1�)�!����+1����d?��� 6: "�! "��;���!���!��;!�� �TU���*� ;b�A� 6"6:�Y&[;S�%��+��@�);!�a0Hu�1��TU#� :�� :�0#u���h:�$��5+1�LQ #���a0H =#��1��,U��#��1��#��9�F���7�5+1��� F�� ;�$1��+1� � ����a�H��1��TU#� :�� :�0#s� �(� F � #��;yz$?��+��>� ��+�a0Hs�1��T'#1 :�� :�0#��� � F ��#��G�'$ ��+�� ) �5+ia0HX =#��1�),��)#��1��#����B� � �! F � #����'$���#��(��+�� � �5+ia0H*�1�9TU#1 "�! "��#i� �©D F Cr�+?��;�$Y��+1��;� "/X�16"� �!�)�u-? :��&�]o��#��X���1�5,��1�e^b =;�1 ";����� =a��1�!�)�� =�1�)#��� "����6"6:H>���@�5+1�L-? :��&�]o��#��������,��1�_^L =#S�W�!�)��6%�9E1���9���! "��#wC�r�+1����6=�� =/ ]8&[+1 =�_+S��#16"H�����d?�1 =����;L��+���;��u��#�;���/Xa16"��;����aU�u����/(,��������� :�0#���6"6"HW "#��1 ";��! =#130�1 ";5+���a16:�Y^V�A� 6"6:�Y&[;�C

������� �� ����������������� �!"�$#&%('��*),+.-/��-0��+21�+.'3!"�$+�45� �76�!8��-9�$+r�+1�>]8�A� 6"6:�Y&� =#13F- �)��;� :�0#u� �U��+��.^,:�7 2 ',hS' + �?¡al1�?)�*�¡ 9 �9�[�8��#����! "��#���6" :�IHX ";N�F/(�� =#* "#130�!�)�1 :M��#0�<���%�����<�9��#�;����5������ :�0#wC 9 �9�<;iaU��FT�E?�)�W =#0�!�93����B]=; � ��&� :6"6w�1�>�A���<�����4,����5,U��;��.^e$� #��S6:���.> ��� >Y� �@?A?B?]� >8C 1 3_� � �C5�� #���B 1 30� �@?A?B?]� ; 5�C�r�+1�)#w$'��+1��]o;� "#13�6:�9MP�0�1��,��1�e^L�8��#��_M�! "��#���6" :�IHED � �NM_" � � x,� ;�FE� �f� � � �&MOP<G �,� nOP x J��~$��1�)#1� �����2�r C� $� =;��1��T'#1���S� ;

�r C� ]!]�> ��� >N� �H?B?A?!� >"C ^ � B!^ � ]=I � > F ^ ]~}?C�Q��?^J #��1�����w$F�9MP�0�1��M~��� M0;j�a�6: "-? :�0��;Wrz����#�;��A�)�9$� =;W� ;�H1/*/*������ "� C�r7�5� �� :�� :�0#���6"6:H�$L��+1�STU�5;��,16=�.H �)�9$L+1� 6=�1 =#13h =#�,��1�J]�>-� � > � �@?A?B?!� > C ^( =;W�9� 6:6"��� �5+1�l¡9�%*G� �9�_$[&[+1�)�!�)� ;(��+��`;������0#��,16=�.H �)�9$4+�� 6=�1 "#�3`�5+1�p "#�,��1��B 1 30� �H?B?B?]� ; 5� =;i�9� 6:6"������+1�q���e e�6',h.�9�_C J #��5�1 "�! "- �96"H $���+��3 �0��6G =;L�!�(���5� #�;!�A�����5+1�xB=KMLXa1 "���!�(�5+1�u�!�)���� :-�����$�&� "��+1�0�1��6"�9�!�� "#�3*�5+1�u�������� :-����<��a1�5�� =#�?#1�Y&�6"���13��>���V� #0Hn� ��+����[a1 "�@��#��S&� "��+1�0�1�B6"�9���! =#13W��+��X;���#��1�)����a����� =#��?#1�Y&�6"���13��>�����+��> "�1�)#0�! "�IHs���z��+1�ua� :�[����d?�1 =�!�)��a0HW�5+1�u�������� :-�����C

� ;� =#13���#�Hp�)#�+���#����)�2���5� ,'�1�?���,U���5/��1�5���! "��#%$ 3�yONm�QPRN.STPRN 5UN�V5W $w&<�(,�����;���#0��J,��!���!�1����64�A�0�X,��� "-.� �!��6:Hl���0/(,��1�! =#13l�r C� Clr�+1���1�);����! =,1�� :�0#ha���6:�Y&g�!�9�A���5;u�!����+����6"3 �0�! "��+�/*;(30��� �5� #0���9���ja0Hj;5���_+ �h�9� 6"6:�)���! "��#�]P;!����p@�9TU#1 "�! "��#�;nQ1C ��C ) � #�� /@C"� C"�.^_$� #��i�!�*�u+�� �5�?MI���0�!�[,������� "�����!�,X��A���<;����_+s�u����6:6"���9�! "��#p]P;!����0���9�! "��#sQ�C ) ^eC D �@�1�)#1� �����+��;���#������@]8 PC ��C:$1�5+1�BT'��;��<,����!�IH�^Va�HLDh� #��i�5+1�F�!�)���9 "- �)�[]o oC � C"$?��+1�F;!�)���0#��W,����!�IH�^Na0HY C R ;��1 ";5�9��;�;����( =#n�0�)���� :�0#s}?C�Q1C"� $?;! =#����@&<�@� ���B�1��� 6: =#13u&� "��+��FTU#1 "�!�@�8��#��9�! "��#�� 6: "�IH $&��X&L� #0���+1�i;����9���! "�IHp�!�Sa��i;���� �!���` =#J�����5/*;� �<� #�� �?E1 "6: =� ��Hp;!�)�9���� "�IHS,�� �5� /*�9������$Z $�,�����;���#0�������!�ia�����+S,����!�� :�);L "#S��#����!H�C[ �U�!&S�$+ 7�3����U�� �!s��]\ ]~�a16" :-? "����;�rz�5� #�;!�A����,���� ���1��� 6'�A�0��;!�)/X :MI+1��#1�);!��/*�1�1�96A^��J #�,�����;S�[l(@1�S¡9�6*'� �9�;@�)Y¡A',*3/U� 1 ]=> ��� >Y� �H?B?B?]� >8C ^ 1B3O� � �65 C T 1 @?�2���e e�%',hY���;@$).¡A',*�/U� 1

B 1 3�� � Q �@?A?B?]� ; 53TU)�*G�[7 +�1 @F/&)Y� 1 '8��¡b@$)�hY� 1 @1��)��3�3' 2 'I)Y��.i¡9�e ��1��' 1 .K/&)Y�<)�5(� 1 �9�>� � V�0����,2�'�3�0l @?�F¡��6*'�����@�$*N' 9%+ ��5 2 .X¡9� 2 �5  1 ¡b)�*A',*'���<��= 1 �<)�/�� +_+ ��/&)�' ��TN]�^ �9_ ^�TU7%.X�_�$*Y*N',*�4

1 @1�>4��6*'�9�<) 1 ' + * ) 2 4 + ��' 1 @�5�Ta`�T + *j',*3/U� 1 � � V8l @�) 1 '=¡�TR' 1 �$*Y' 9%+ ��5 2 .n¡�� 2 �e  1 ¡G)�<)�*G� + 5a= 1 )�/���T�* T 9%+ �b` )�*G�s¡�� 1 ¡�]�^ �9_ ^ � `*]!� � � * ^%VF` 1 ¡9�%*G�.¡ 1 @?�a',*G� �?�c^ 1#+1 @1�>���e e�%',hY�9�6V

�0����,;�u�3�0l @?�*�5�5 e�6',h.�9�u�$*Y' 9%+ ��5 2 .;)�*'�0',*'� �:/��%*G� �6* 1H2 .W¡9� 2 �e  1 ¡ , ���H?B?A?!� ,*C�1EPRN�TV¡9� 1 ¡- F � yON%]+, F ^X)�*'� -Ud � , d 9%+ �s�6hY����. �fe� B?TE)�*'�S¡��6*'�Y¡*] - ���/- � �@?A?B?!�/- C�^ 1H+A1 @?�¡��6*'�����6VGl @�) 1 '=¡Hgh V�` 1 �$*N' 9%+ ��5 2 .m)�*G�K',*'���#/��%*G� �6* 1H2 .¡9� 2 �e  1 ¡ ,�� �H?B?A?!� , C 1�P N T�7%.K',*Nh +Oi ',* 4 1 @?�� + 5�)�',*i¡6)�5E/ 2 ',*�4�) 2 4 + ��' 1 @�5i; 1 ',5(��¡�T + *�',*�/'� 1 ^ZVZW3/��e %' �� �) 2,2 .OT�' 1 ¡�� 2 �e  1 ¡�<)�*'� + 5 1 )�/1��¡�T * d � ¡�T 9%+ �.P )�*'�W¡9� 1 ¡ , d � Pp]=^ � * d ^�T 9%+ � � � � �H?B?A?!� ;�V

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������������� �����������������(������ ��� � �! "���� �# �©�����$�%�" &��$����(' � � �

� V��b¡�',*�4 1 @?�*�%h�) 2 �N) 1 ' + *j) 2 4 + ��' 1 @�5�T 1 @?�����e 5�6',hY���>¡9� 1 ¡ - F � yONw](, F ^%V V� + ����)  %@ �Ee� B?T 1 @?�����e 5�6',hY���>¡9� 1 ¡ -Ud � , d V� V[l @?�X���e e�%',hY�9�F¡��6*'�Y¡>] - � �/- � �H?B?A?!�/- C ^ 1#+G1 @?�F¡9�6*'�����6V

]or�+?��;�$0�5+1�>�!�)���� :-����e�0#��Y&[;ey > �N ] - F ^ � , F $�a��1���9��#�#1� �L,������1 =���X.]Hy > �N ] - d.^!^V�A�0�� #0H���e� BeC�^

�0����,2�1Q$� �Y/ + *����e e�%',h_',* 4h] - � �/- � �H?B?A?!�/- C ^�TX�?¡�',* 4 1 @1�A',*NhY��� 1 ',* 43= C ' 1 @�= 1 �<)�/�� +_+ �~) 2 4 + =��' 1 @ 5 )�*G� 1 @?� 1 �<)�/1� +S+ � _ T 1 @?�S¡9�6*'�����2  + 5E/U� 1 �_¡�� d � y > �N ] - d.^?T 9%+ �J�6h.�9��.�1 3�� �@?A?B?!� ; 5$VU` 1 ¡9�%*G�.¡[]=>-� � X.]��O�9^ � > � � X.]�� � ^ �H?B?A?!� > C � X.]�� C ^!^ 1#+>1 @?����e e�6',h.�9�6V

�0����,;�@Q$� �Y/ + *J���e e�%',h_',* 4�]P|S� � | � �@?A?B?]� | C ^�T 1 @1�u���e e�6',h.�9� 2B+  �) 2,2 . + � 1 /'� 1 ¡�| F � X.](, F ^%VD �(TU��;����a�;�����- �*��+�� �F��+1�W��a��Y-��*,���� ���1��� 6N�9���5�!�)���!6"Hp���0/*,��1�!�);��r C� �>r�+1 ";F =;F��+���9��;!�>;� "#����F��+1�u�����9�9 "- �)� � ;�6:�1�9� 6w���1�5,��1�>]o oC � C"$�| F � X.](, F ^!^�;5���! =;!T���;

| F � XY]+, F ^ � ]�> F � XY]�� F ^�^ � XY]+, F ^� > F � X.]Hy > �N ] - F ^�^ � X.]+, F ^� > F � X.]Hy > �N ]Hy N ](, F ^!^�^ � XY]+, F ^� > F

D �(;5+1�Y& aU�96"�Y& �5+����F�5+1�i,��!���!�1����6 "#����9����,��� :-Y� �!�96"HJ�9��/(,��1����;��r C� C J #��5�1 "�! "- �96"H $��+���;���#������73 �9�5;7#��@ =#?�A���5/(���� :�0#F�8�!�0/���+1����E1�����1�! "��#�a��)�9� ��;!��$.�A���z� #0H>,��0;�;� "a�6:�<-.� 6"������®Be$Y�5+1�<;���#������5;b;��9��;7��+���;5� /*�4�1 =;����� "a����! "��#!@ ;5,U���� :TU����6"6:H�$.�@;!�)d?�1��#��9�4� � ;>��#1 :�A���5/*6:H� #��p "#��1��,U��#�����#0�!6"H2�1 =;!�5�! =a��1�����p��6:�)/X�)#0��;@����P N CX] J #����9���%$w��+1�a���9Hn��a�;!�)�!-Y���� :�0#S ";��+�������,�,16"H0 =#13~y N �!�2�2��#� ��A�0��/*6"H`�1 =;!�5�! =a��1�����q��6:�)/X�)#0�u����P N H? :��6"��;X�p��#1 :�A���5/*6:H�1 =;!�5�! =a��1����� ��6:�)/X�)#0�s��� PRNwC ^ J #��5�1 "�! "- �96"H $��5+1�`�����9�9 "- �)�(3��� =#�;W#��k���0/*,��1��� �! "��#�� 6�?#1�Y&�6"���13��X�8����/ ��+��W��E1�����1�! "��#l;� =#�����$b�A�0��� e� Be$7�5+1�W�0#16:H������5�p "��+�� ;��!��3�� �5�1 =#13> d ";��+��X�5�! =,16"�9�(]�^ � * d�� > d � X.]ky > �N ]+, d ^!^�^e$%&[+�������, d � Pp]�^ � * d ^e$%�8�!�0/g&[+� "�_+J :� "; =#?�A����;! =a16"�u�!�s,��!�)�1 "�9��> d aU�9���!���@��+�� #pa0H��W�5� #��1��/c3��1�);�;�C��1,��)�� :TU�9� 6:6"H $U&<�����96"Hs�0#��+���N!��#�+�� #��9������#1�9MP&L�.H�P�+0H1,�����+1�);! =;�a0HW&[+1 =�_+w$13 "- �)# ^k� #���* d $1 "�� =;� "#1�A��� ;� =a16:�F���TU#��^y > �N ](, d ^>]8�0�[3�����;5;.X.]Hy > �N ](, d ^�^[aU�9���!���@��+�� #2� �@�5� #��1�0/W^eC R �A���5/*� 67���!30��/*��#0� =;L "#����9���S�����u� #��n3 "- �)#s#1�9E1�9C3 +�������&)���)�I�'� �!s���� WU�O/�/ + ¡�� 1 @$) 1 3Oy F �5P F S P F 5 F V5Wl  + *�¡ 1 ' 1 � 1 ��¡[)l  +32,2 �e  1 ' + * +Q9�6*&@�)�*' e�e� 1 �<)�/�� +_+ �>/1�9��5X� 1 ) 1 ' + *�¡i]o� ;F =#8p@�9TU#1 "�! "��#°/@C"� C"�.^G)�*'� 1 @$) 1 Xp  + *�¡ 1 ' 1 � 1 �_¡)�@$)Y����=!  + ���E/'���e��'8 �) 1 � 9%+ �>' 1 VGl(@1�%*NT�� + *�¡ 1 �_��  1 ' + *��OV V��S  + *�¡ 1 ' 1 � 1 ��¡m)m/U� +�1H+   +�239%+ �/U��',h�) 1 � 2 .n  + 5E/U� 1 ',* 4*�r C� ]8 =#S��+1�u;���/* :M~+���#1�);!��/*�1�1�96A^%VD �*�9��/(/*��#0�@�5+������+��X =#0���5� ���5� a1 "6" :�IHp� ;5;5��/(,1�! "��#2��;!�)�2 =# m ����,U��;� "�! "��#J}?C � C � $G&� "6:6,�����,�� 3�� �!�i�!�q��6"6L;���a�;!�)d0����#0�X����;5�16"��;X "#l�5+1�S�9���5�!�)#0�X� #��h#1��E1�(;!�)���� :�0# ]8 PC ��C:$<�?���_M�! "��#�;}1C � ��#��X}1C �1^eC J #u�8� ����$.��+1�� "/(,16"��/*�)#��5���� :�0#>���'�r C� ;��9�)/*;7�!�@a�����+1��a����!��6:�)#1����������+��> "#0���5� �9����a1 :6" "�IHW� ;5;���/(,1�� :�0#�;���;����n =#s�5+1��;��u;!�)���� :�0#�;9C3 +�� �54�6�7U� ���.�>8 �B���!�V�5+����z;! =#����<&<�<� ���4�1��� 6: =#13[&� "��+��[�1�9�����5/* "#1 =;��! =�N�8��#��9�! "��#�� 6: "�IH $&��X/(�.Hp��;!�*��+��*;5,��)�� =��6�]o;� "/(,16"���_^��A���5/g� ��p��TU#1 "�! "��#q}?C�Q1C"�W]8&[+� "�_+J��#16"H2�!�9�A���5;[��������_+�,����!�IH � ;s-? "�9&@^eCgr�+0��;9$@&<��&� :6"6>,�����;���#0�n�j;� "/X�16"� �!�0�W�A�0�s�5+1�q-0 "�9& �����)� �_+

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

,����!�IH�Cj�[������6"6��5+����(�5+1��;��n;� =/��16=�������5;X���!��3 "- ��#k��+1�S6"�1�9��6� =#�,��1�S]8&[+� "�_+� "#���6=���1��;��6=;��2��+1�n;!�)�9���� "�IH`,�������/X���!�)�e^F��#��q��+��s6"�?����6<���1�5,��1�*������+1�n���0������;5,��0#��1 =#132,����!�IH�Cr�+1��A� 6"6"�Y&� "#13*;��_+���/(���� "�F�1�),1 "�9�! "��#s���7�5+1�F "#1�A���5/*� �! "��#����Y&� =#�/<�0#�;!�5�������! "��#S}?C � C )/(�.HsaU�u��;!�9�8�16%���Y&�������;��5+1�u���0#�;!�5�������! "��#�;<� �z�5+1��;��>;! =/���6"� �!���5;S�

�0��#��1���>]]DV^ �[�)���� :-����] Y ^ =#�,��1� ]�>�� �@?A?B?]� > C ^ B�'� ]�^ �9_ ^�� `*]!� � ^

� S ^ � S�u� 3 ��#����5���!�); -Ud � ;

� � ] -��O�H?B?B?]�.- C�^�� � ]k�?#1�Y&[; , F ^�1Q | d � > d$� X.]Hy > �N ] -Ud ^!^

� S ]o| �O�H?B?B?]� |@C�^ � S�@Qn]o���1�5,��1�e^ I | F � X.](, F ^

D �4;!�5� ���%a0H@,�����;���#0�! =#13���;� "/X�16"� �!�0�'�A���w�5+1�4;���#��1�)� � ;G-? :��&>C�# =#�,��1�V]�]!]=> �3�H?B?A?!� >"C�^ � � � ^ � IG^e$��+� ";@;! =/��16=���������5� #�����/*6:H�;!��6:�)����;�^�]o��;� =#J�0�!�),p�G�.^e$'� #��n3���#1�)��� �!��;���#1 ��A�0��/*6"H���#�� =#��1��,U��#��1��#0�!6"H - ���H?B?A?!�/- C 1 PRN%Cr�+�� �B =;9$G6"�9� *W�1��#1���!�X��+1�(;!�)d?�1��#��9�u������� =#�;@��;!�)��!�`3 �)#1���5����� ^<$4� #��k� ;5;���/*��&� :�5+1���1�*6"��;5;u���@3 ��#����5��6" :�IH���+�� �X�5+1�s =#0- �)�!�� "#13 MP&� "��+1M���5� ,'�1�?����� 6:3����� :�5+�/ =;[�1���!���5/* "#� ";��! =�(]8&[+1 =�_+n ";[�IH?,� "����6"6:H���+1�u��� ;��u� #0H1+1�Y&@^eCVr�+1�)#��+��2;! =/��16=�������*������,��1�5;p]!]�]�> ���@?A?B?]� >8C�^ � � � ^ � * � ] - ���H?B?B?]�.- CY^!^_$�&[+������n�5+1�STU�5;!�(��6:�)/X�)#0�����,�����;���#0��;�5+1�W,�� ���IH � ;F =#�,����9$b�5+1�W;������0#��` :�5;u����#��1�0/ �_+1� =���);9$%��#�����+1�i�5+1 =������+��]o;� =#13 6"�.^@/*��;5;�� 3 �*��+�� �>��+1�W,�� ���IH2+�� ;>�����9�9 "- ���%C�/<6"�����!6"H $w�5+1 ";u���1�5,��1�u�1 =;!�5�! =a��1�� :�0# =;m'8� �6* 1 '8 �) 2 �!�i��+��>-0 "�9&������+1�u;���#��1���L =#n��+1�u����� 6w��E1�����1�! "��#wCL]Pr�+1 ";B+1� 6=��;�aU���9����;��y N =;��(,��)��/X�1��� �! "��#w$���#�����+?��;[��,�,16"H0 =#13* :�����W�(��#1 :�A���5/X6"Hs�1 =;����� "a����!���n��6:�)/X�)#0�����P N H? :��6"��;��(��#� ��A�0��/*6"H��1 =;!�5�! =a��1�����n�96"��/*�)#��L� � P N C ^

D �n#1�Y& �5���5#h�!�`��+1�p�����9�9 "- ����Cq�#k "#�,��1�S]!]�B � � � ^ � > F ^e$4��+1�S;! =/���6"� �!����]8� �B��+���������� :-���� � ;�-? "�9&@^<,����?�9�9�)��;�� ;��A��6:6"�Y&[;9C��C��</���6"� �! =#13F�0����,(�'� $Y�5+1��;� =/��16=�������z��#1 :�A���5/X6"H>;!��6:�)���5;z��#> =#��1��E?M~���5� ,'�1�?���z,��� =��$]�^ �9_ ^e$Ua�H�����#�#1 "#�3i��+1�>3���#1�)��� �! "��#s� 6:3����� :�5+�/���#n =#�,��1�>� � C

Q�C R ;i =#��0�!�), �u��$� "�s��#� ��A�0��/*6"H�� #�� "#�����,U��#��1�)#0�!6"Hj;��96"���9��; *�� �@?A?B?]� * C �A�0�i��+���1��/(�� =#�;���/*,�6:�)�,P2$7� #��`;��9�5;0, d � P2]�^ � * d�^B�A��� � � � �H?B?A?!� ;GC*�B�9E1�9$b "�u;��9��;- F � y N ]+, F ^���#�� - d � , d $��A���L�����_+��Ee� BeC

� C J �L;��9�5;[| F � > F � X.](, F ^e$���#��n��#1 :�A���5/X6"H�;��96"���9��;�| d 1 3_� � �650$��A�0�L�����_+��Ee� BeC�UC�\z =#�� 6:6"H $w "�F���1�5,��1��;*]�] B � � � ^ � ](* ���H?B?A?!� * C ^ � ]�^ � ]P| ���H?B?A?!� |@C ^!^!^_$%&[+1�)�!�*��+1�XTU�5;!��96"��M/X�)#0�L����,��!�);!�)#��5;���+1�>,����!�IH � ;< =#�,����9$��5+1�>;!�)���0#��s "��;��5� #��1��/ �_+1�� "�9��;�$�� #�����+����+1 =���n����,�����;���#0��;��5+1�>�I&<�i/*��;5;5��3 �);���+�� ����+1�u,����!�IH�+�� ;������9�9 "- ���%C

�B���!�h�5+�����$��9E1�9��,1�2�A���2�5+1�k;���d?�1�)#����h� �W| d � ;�$u�5+1 ";`������,��1�J ";��1 =;!�5�! =a��1������ =�1��#?M�! =�9� 6:6"H��!���5+1�k���0������;5,U��#��1 =#13 ,�����T�E����i�5+1�������9�9 "- ��� � ;S-0 "�9& =#���+1�j�!�)��6u�9E1���9�1M�! "��#%C\'������+1�)��/*����� $'��+��*��a��Y-��X+1��6"��;@�9-���#p :�4&��X =#��96"�����X�5+1�*a� :�F| F ]8&[+1 =�_+2�)d0����6=;> F � X.]ky > �N ] - F ^�^ � > F � X.](, F ^� "#2��+1������� 6b�9E?�)�9�1�� :�0#S� ;[&��96"67��;� =#p��+1�X;! =/��16=���� :�0#U^eCr�+?��;�$1��+1��I&<�(�1 =;!�5�! =a��1�� :�0#�;��1 �'�)����#16"Hi "#���+��-Y� 6"�1�);����7�5+1�F� �5+1���L| d � ;6�\U���I��e� B5$ =#k�5+1�n;� =/��16=���� :�0#k| d =;(��#1 :�A���5/ � #��h =#��1��,U��#��1��#0�(���@��#0H0�5+1 =#13`��6";�� $4&[+1��������;� =#

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������������� �����������������(������ ��� � �! "���� �# �©�����$�%�" &��$����(' � �U�

��+����!�)��6%�9E1���9���! "��#p| d ��d?��� 6";.X.]ky > �N ] -Ud ^�^ � XY]ky > �N ]+, d ^!^F]P� #��p+���#��9���1��,U��#���;[�0# * d&[+1 =�_+h�1���!���5/* "#���; , d ^eC^�B�Y&��9- �)�9$7 :�X ";X =/*,U��;5;� "a16"�W���`�1 =;!�� "#�3��1 =;�+q�5+1�s�I&��J��� ;���;�$aU���9����;�� , ds =;X��#1 ��A�0��/*6"H��� ";����� "a��1�!�)�h� #��h��+1�n�1 ";��! =#130�1 ";5+1�)�u =;u��#�6:H�3 "- �)# ^���#��* ds]Pa��1�F#1� �@��+1�X���5� ,'�1�?���B�!�[y N ^eCE�B������ =;@&[+1�����u&�����;�����+��X+0H1,�����+1�);! =;B�5+����bX ";�2+������1M~�9�����*� �B� #q�)#�+�� #������l�9� 6"6:�)���� :�0#q�������5� ,'�1�?���u,U���5/��������� :�0#�;W]P� ;� "#jp��T'#1 �M�! "��#�/@C"� C"�.^e$��5���5+1�����5+�� #n/*�����96"Hs�X;�����#������������ 6"6"������ :�0#s� �7�5����,U�1�?�0��,U���5/��������� :�0#�;�C

� �)�7�*+ "��®+.�o�����D& �h4 ��� �o�#"%�I� !&��>+Y���!&�4~�*+.8 R -Y���! "�9�IHq���F�1 �'�)�!�)#��*-Y� �� "��#0��;X�����+��X�a16: "-? :�0��;Lr7�5� #�;��A�)�4�8��#����� :�0#���6" :�IHs&<�)�!�>���0#�;� "�1�)�!�)�W =#s�5+1�>6" :�����5�������!��$?a��1�[/*��;��������� ��/*��#0�5;[�!�9�A�������i��+1�s]o/*�����u�_+���6"6"��#13� "#131^<,��!�0a16"��/ � �N "/(,16"��/*��#0�� "#13s��+1�);!�>-Y� �� :M� #0�5;N;!�)�9�����96"H> "#X��+��[/*� 6: =�� "����;z/*�1�1��6%]o�5���5+1���z��+�� #* "#X��+��[;!�)/X :MI+1��#1�);!�/*�1�1�96A^eC D �a��� :� ��Hs/*��#0�� :�0#��I&��(���z��+1�);!�>����+1�)�L-.���! =� #0�5;9C

��C��VE1�!�)#�;! "��#�;7� �7�9MP�0�1��M~��� M0;��a16" :-? "����;Nrz�5� #�;!�A���z�!� ;X;!�)�9���9�5;7�5+����V���!�La1 "�V;!�5�! =#130;��� ��+1�)�<�5+�� #S;� "#�3 6"�Fa� :�5;9C

Q�C@�a16: "-? :�0��;urz����#�;!�A���u� �[�J;� "#13�6:��;!�)�9���9�W]P�1��#1���!�)� >b^F�5+����X ";��!�`aU�����96" :-��������&� :�5+j,��!�0a�� a1 "6" :�IH ����Q1C r�+�� �i ";�$���+1�2�5� #�����/* :{����k�8��#��9�! "��#�� 6: "�IHh��+����W/(� ,�;]�> � IG^����n]�I � >b^�&� "��+p,�����a���a1 "6: "�IHp��� Q���#��n�!�S]=I � IG^�� �5+1����&� =;!��C

m �� "-.����Hq�!�)�����9�! "��#�;X� /*��#13`��+1�);!��-Y� �� "��#��5;���� #haU�s�)� ;� :6"Hl����#�;!�5�����9�!�)� ]o;��9�n�VE1���!M�� =;�� � ^eC

�������� � �7-I� 1 � ��#��T!"� �,6��-9+��� ��� �������� ��� ����������� ��� ��� �D �X#1�Y&������5#p���W��+1���8��#��9�! "��#�� 6: "�IHn����TU#1�)�p =#S�<d'Cb]I}?C"�.} ^ �']I}?C"���0^_C��B���9� 6:67��+�� �B�5+1 ";�8��#��9�! "��#�� 6: "�IHk =;i�q����#��1�0/X "{9�)��/(��,�,1 =#13 ]!]ot&� � X6��^ � ]Pt � � X � ^�^"!S ]P|S� � | � ^*;�� �! =;��AH? =#13|S� v | � � ]ot&� v t � ^wy.]=XS� v X � ^e$1&[+1�)�!�@��+1�>���! "��+�/*���! =�9;� ";� =#nZ@\�]~Q�^eC D �>�!�)���������+��,��� :-Y� �!�����0/*,��1��� �! "��#*���'��+1 =;�]AT'#1 :���.^7�8��#����� :�0#���6" :�IHX�!�(]8�5+1�B,��� "-.� �!�����0/(,��1��� �! "��#X���e^�r�# � C[ �U�!&S�$+ 7�3����U�� �!s��� ]o,��� :-Y� �!�96"HS�!�)������ =#13W�5+1�u�8��#����� :�0#���6" :�IHn���N��dUC7]~}1C:�Y} ^ �G]~}1C:�)�0^�!�s�r�# � ^��J #�,�����;S� �R)Y� 1 .xBb@ +�2 �.¡u]ot F � X F ^�1 3_� � �65%$23O� � �653T 9%+ �&B � � � QYV�0����,��3�0l @?�e�V�e¡ 1 /$)�� 1 .i�$*Y' 9%+ ��5 2 .i¡9� 2 �5  1 ¡L|S�0123O� � �C5�V�0����,pQ��G�B�������9�! "��#(�[l @1�X)�',5 +Q9>1 @�'=¡u¡ 1 �#/ '=¡ 1#+ /'��',hO) 1 � 2 .p  + 5�/'� 1 � 1 @?�X]����_¡�'8���N) 2 ^

� � 1 �9��5�',*Y'=¡ 1 '8  9 �$*G  1 ' + *�) 2 ' 1 .B]�]ot ��� X �O� | � ^ � ]Pt � � X��.^!^&!S ]=I � y ')(�* +,(Y]ot ��� X ��� | � ^!^?T C @1�����y '-* + ](, �.--� �0^4�=���� � v ]+, v t�^�y_] - v X�^%V�l @1�e/$)�� 1 '8��¡U/'��',hO) 1 � 2 .(���e�Y�� e� 1 @1�>  + 5E/U�$=1 ) 1 ' + * +Q9F1 @�'=¡ 9 �$*'  1 ' + *-) 2 ' 1 . 1H+ �r�# � VaW3/��e %' �� ?) 2,2 .OT$�R)�� 1 . h / 2 )�..¡ 1 @?�*¡9�6*'� �9�)�*'� �R)Y� 1 . � / 2 )�..¡ 1 @?���5�5 e�6',h.�9�6V��b¡�',* 4>' 1 ¡Z',*�/'� 1 ]ot ��� X � ^R)�*G�u  + ',**| � T ��)Y� 1 . h¡�� 1 ¡ 1 @?�u¡9�%*G� �9�8� ¡K',*3/U� 1 ]8 =#n��+1�X�r.# � ^ 1#+ ��c��N) 2(1 @1� � = 1 �O/ 2 �]ky�/0* /�]Pt ��� X ��� | � ^ � y�/0* � ]Pt ��� X �O� | � ^ � y � * /Y]Pt ��� X �_� | � ^ � y � * � ]ot �O� X �O� | � ^�^ ? ]~}?C�Q1�Y^

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� �?Q ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

�b¡�',* 4;' 1 ¡�',*3/U� 1 ]Pt � � X��.^?T$�R)�� 1 . � ¡9� 1 ¡ 1 @?�i���e 5�6',hY���8� ¡�',*�/'� 1 ]8 =#J�5+1�W�r # � ^ 1#+�?c9�N) 2 � v Q t � v X��01 3�� � Q � � � �$5�Vl(@0�?¡�T 1 @?����e e�6',h.�9� + � 1 /'� 1 C ' 2,2 75� 1 @?�]!� v Q�t�� v X���^�KMLS� 2 �65(�6* 1 ',* D c_Vw]I}?C�Q1�Y^?TC @�'8 %@;',* 1 �1��*J��c9�N) 2 ¡�y ')(�* +,(Y]ot ��� X ��� | � ^%VGl @�) 1 '=¡Hg

',*3/U� 1d+:9 �R)�� 1 . � ���e e�%',hY���8� ¡m',*3/U� 1 ',*S�r.# � ���e e�6',h.�9�8� ¡ + � 1 /U� 1 ',*S�r.# �]o oC � C"$%]Pt � � X��.^!^ ]8 PC ��C:$b� v Q t � v X��)^ ]o oC � C"$Yy ')(�* +,(Y]ot ��� X ��� | � ^!^

]� � �0^ h | � v t � X �]� � �.^ � |S� v t&�<y ]�X6� v �.^]!� � �0^ | � v ]Pt � v �Y^7y@X �]!� � �.^ � |S� v ]Pt$� v �Y^7y�]=X6� v �Y^

� �e �) 2,2(1 @�) 1 y ')(�* +,(Y]ot ��� X ��� | � ^ � | � v ]Pt � v t��)^7y�]=X � v X��)^%V��1�5,��1��;S� �R)�� 1 . h + � 1 /U� 1 ¡u|S�_T C @?�9����).¡ �R)�� 1 . � + � 1 /U� 1E1 @1�����_¡_� 2f1K+ 7 1 )�',*'�e� 9 � + 5

1 @1�@�r�# � ',*Yh +  �) 1 ' + *�V

D �uTU�5;!�@��a�;�����- �>�5+����B��+1�(� aU�Y- �u�����������! "��#S =;@-.� 6: =�!@G��+����B =;�$U&[+1�)# m � ���IH�BL��#0�����5;&� "��+* "#�,��1�[]Pt F � X F ^e$���+1���0�1��,��1�N��� m � ���IH�QB�)d?����6=;Uy ' ( * + (�]ot&� � X6� � |S�9^ � |S� v ]Pt$� v t � ^0y]=XS� v X � ^_$�&[+1�)�!��|S�< =;N�5+1�[������,��1�N� � m ���!�IHi��Czr�+����N =;9$���+1���0�1��,����4,��� =� =;V��#1 :�A���5/*6:H�1 =;!�5�! =a��1�����i��/X�0#13F��+1�@,��� =��;[]o| ��� |%�.^7�A���N&[+� "�_+i| � v |%� � ]ot � v t��)^1y�]�X � v X���^+�� 6=��;9Cr�+?��;�$U�)� �_+S���V�5+1�*6:�1�9� 6b�0�1��,�����;X]8 PC:C � $G���V�� :�5+1��� m � ���IHJ�X��� m � ���IHnQ�^L ";��#1 :�A���5/*6:H�1 =;!�5�! =a��1�����w$�� 6:�5+1����3�+W�5+1�>�I&��X6"�1�9��6:M~���1�5,��1��;L���!��1��,U��#�����#0�����b�0#1�>� #1����+1�)�B]P� ;L =#�<d'Cw]I}?C"���0^�^eC J �� =;[��6=;!�*����;!Hs�!�W;��9�F��+�� ����+1�u������������ :�0#s =;�,��� :-Y����� CVr�+�� �L ";�$3 +�������&)���)�I�'� �!s���� � + *�¡ 1 �_��  1 ' + * �_V V��|/U��',h�) 1 � 2 .@�5�5���� e�_¡ 1 @?�L  + 5E/U� 1 ) 1 ' + * +:9 D c_V1]~}1C:�Y} ^��� �_V h���� 1#+ �r�# � V3 +�� �54�6!7'� ���.��8 �0 =/��16=�������5;@�A�����+1�i�0������6"��MI�� =�1���J,��!���!�1����67� �/<�0#�;!�5�������! "��#q}?C � C }� ���W�)� ;� :6"H��9��#�;����5���9�!���%C��?,U���� :TU����6"6:H�$N��+1�S;! =/���6"� �!���u���[��+���-? "�9&���� m ���!�IH�� $V+���; =#�,��1�*]!]Pt$� � XS�9^ � |S�9^>]8 PC ��C:$w�5+1�* "#�,��1���#��p�0�1��,����B��� m � ���IHJ�.^_$G&[+1 "�_+2 ";@ "����#0�! =�9� 67�����+���-0 "�9&j��� m � ���IHi�L "#*��+��[�����5����;5,��0#��1 =#13@�9E1���9���! "��#�]8&[+1�)�!�[+1�)�!��| � ;�����- �);� ;N���� "#�;�!� m ���!�IHs�.^eCNr�+?��;�$ �5+1�B;� "/X�16"� �! "��#* =;N���� :-? =��6%]o oC � C"$?a�H*��+��[ "����#0�! "�IH��5����#�;��A�0��/(� �! "��#U^_Cr�+1�J;5� /*�2+1��6"��;W��6=;!�q�A�0�i��+��J;! =/���6"� �!���W���F��+1�2-? "�9& ��� m � ���IH�Q&�J "�W3 ����;i =#�,��1�]!]Pt�� � X���^ � | � v ]ot � v t��)^by.]=X � v X��)^�^[]o oC � C"$1��+�� =#�,����[� #��s���1�5,��1�L��� m � ���IH(Q0^e$1&[+1 =�_+ =;F "�1�)#0�! =�9��64�!�S��+1�i-? "�9& ��� m ���!�IHJQ� =#���+1�W�9���5�!�);�,U��#��� "#13���E1�����1�! "��#�]8&[+������W+1�����| � v ]ot � v t���^�y!]=X � v X���^7;!�)�!-���;� ;z�5+1�����5� �96:���!�);�,U��#�;����!� m � ���IH�Q�^_Czr�+?��;�$ ��30�� =#w$Y��+��;� "/X�16"� �! "��#S =;B�5�! "-? "� 6oC D �X�9��#��96"���1�u��+����B�5+1��-? "�9&�� ��)� �_+p,����!�IHS�9��#pa��*,��)���A�)����6:H;� "/X�16"� �!�)�p]o�5���5+1���<��+���#&�!��;���a��F;� "/X�16"� �!�)�i "#����9��/(,��1�5���! "��#���6"6:H( =#��1 =;!�� "#130�1 =;�+���a16"�/(� #�#����_^eC�r�+��S;5� /*�p+1��6"��;*&[+1�)#k&��p��6=;!�q� �����0��#0���A�0�X�5+1�p,�� ���! "��; � ���1�5,��1�5;S]o� ;����d?�1 =�!�)�� =#p�5+1�u3 �)#1���5��6%�A���5/c� �gp��T'#1 :�� :�0#`}?C�Q1C"�.^_$U��#��S��+1�*,�����,U��;� :�� :�0#s�A��6:6"�Y&[;�C �

����  E«�³ ¡k�:¥ �«?¡k� »%�UªO¥£S£�¤&�f¨ ªO¥�:¨k�: 6¡�:�K�f ��&¸_�:¥¯Q�f¨���_±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������������� �����������������(������ ��� � �! "���� �# �©�����$�%�" &��$����(' � � �

� �8�)�7�i�'�?�7�*+Y�8�X�7�$�8 �+Y�X�54 [ �U�!&S�$+ 7�3����U�� �!s����8 r�+1�L =�1���F��#��1����6:H? =#13��0�!�),iQ���"/<�0#�;!�5�������! "��#h}1C � C�}n��� #laU�s� ,�,�6: "���q���J�!�)�����9�i��+1�n����/(,��������� :�0#����[� #0Hq�1�9�����!M/* "#� ";��! =�X�8��#����� :�0#���6" "�IH2������+1�*�A���5/ ](, �/- ^�!S ]�I � y��?]+,w^!^@�����9MP�0�1��M~��� M�Q®< � <G�a16" "-0 "����;rz����#�;��A�)�9C J #��1�����w$��5+1 =;V�!�)�����9�! "��#u =;N� ,�,16: =�9��a16"���0#16"Hu&[+1��# - =;N;�+������<]o oC � C"$ �5+1��#0��/�MaU���N� �G,U��;5;! =a16"� - � ;N =;V� �V/X�0;!�V,U� 6"H1#1��/* =��61 =#(��+1�[;��������� :�IH*,�� �5� /*�9�����_^eCN�?,��)�� :TU�9� 6:6"H $���0#�;� "�1�)�[�5+1�u�8��#����! "��#�;by��0� 3_� � �65 C S 3_� � �C5�$1�A�0� - 1 3_� � �65��u]8&[+1�)#p =#C/<��#�;����5����M�! "��#k}1C � C�}�� � Q�]P� #�� ; � � ^!^_C�r�+1�)#w$N,��! "-Y�����96"H`���0/(,��1�! =#13l](, �/- ^ !S ]=I � y��?](,G^!^ =;u�!�)�����9���`�!�l��M~������M~��� M�Q����a16: "-? :�0��;>rz����#�;��A�)�>a0H26:���!�� "#13J��+1�(TU�5;��u,�� ���IH2,16=�.HJ��+��;���#��1�)�L&� :�5+S "#�,��1�B;��9���5+1�XQ��!MP�5��,16"�i]ky /�� ](,G^ �H?B?A?!� y � � ]+,w^!^���#��n��+1�u;����9��#��S,����!�IH�,16"�.H��+��u�!�)���9 "- �)��&� :�5+� =#�,����[;!�����!�(��+1�> =#��1�9E�� � - ��/*��#13(��+���_M~a1 "�L6:�0#13i;!�5�! =#130;9C

������� �� �� !*-9�7!*6�-0� �%� 1�#96�1 � -9�$+ ����� � �!"�$#D �u#1�Y&�;5+1�Y&���+�� ����+1���9��/(,��1�5���� :�0#s� ���#�Hn�1�9�����5/* "#1 =;��! =��8��#����� :�0#���6" "�IH $�&[+1 =�_+n ";����,�����;���#0�!�)�ha0Hl� #k���! "��+�/X���! =�s�9 "�5�9�1 "�*�Y- ���(Z@\L]PQ�^_$V =;*,��! "-Y���!��6:Hl���������� =a16:�n�!����+���8��#��9�! "��#�� 6: "�IHj���>�<d'CB]I}?C"�.}�^ �']I}?C"���?^eC �[������6"6B��+����W�5+1�J6=�����!���W�8��#��9�! "��#�� 6: "�IHj�9���5�!�9M;5,��0#���;[�����W,��! "-Y���!�*���0/*,��1��� �! "��#S���4/X�16"�! =,16: =�9� �! "��#S� �V "#�,��1��;@��+�� �@���!��;5+����!�)�na0H��+��n�I&��`,�� ���! "��;�C D �S�5+0��;*�����A�)�*�!����+1 =;*�8��#��9�! "��#�� 6: "�IHh� ;*��+��^�FM�� "�� � �f� �6�O"�� �Nn � v��O":JJ��FM�� �O"�� �Nn0C

����V������������ :�0#��A��6:6"�Y&[;N�5+1�B�Y-�����-0 "�9&j,�����;���#0�!�)�X =#(��+��Ba���3 =#�#1 =#13u� �G�5+1 =;4;������� :�0#]8 PC � C"$��0�)���� :�0# }1C � ^eC J #�,����!�� "���16=� ��$4��+��;P6wO�3�k�fn_v8� x �j� � " � ��� �fMOJ � �3J6"Io�JSJ�n�"�wOJ;"oU�� ����"�� J%PL/*��� #�;��(��#� ��A�0��/*6"HW�1 ";����� =a��1�!�)��,��� =�<� �za1 "��;F] � � �/� � ^<;5���_+W�5+���� � � � � v � � $&[+1�)�!�[�5+1�[T'��;��4,����!�IH*+1� 6=��; � �[� #��(�5+1�@;����9��#��i+�� 6=��; � � CN����4�� =/ ";<�!��,��!�0,���30���!��$-? "�(,��� "-.� �!�u�9��/(,��1�5���! "��#%$�;�+�� ����;L�����+��> "#�,��1��M~&� "����;[�����+1�u�9 "�5�9�1 "���!�W;5+����!�);<� �� 6:6&� =�!�);B� �<��+��*�9 "�5�9�1 "�9$%;��n��+�� �BTU#���6"6:Hp&��X�0a1��� "#`;�+�� ����;@���4�5+1�(���1�5,��1��M~&� =�!�);@� �4��+���� =�5�9�1 "�9C

RmY�T [_`aS>\�[�T ^�^�TVYV^ ��T [����([_`�\���b���T ^��cf���jXtcp����aw�i.p$w�p�r"p�k0l�w�i*qxjQw]l�t�tQlVk�t_u|lVw�s$zIjck���� � ���lon�pA{Zlok]jctQw�jX{Jp�tQv tQ��lotH��k�p�} i � l�w�i�lVraw�jck]r.p���z�j_k0w]l�tQjXn�t_sIk]k]jXn0}�s�r.{Zlor �Aw�s���bX[]\��_~� i jck]j�TVUc[0\IY�U�bZd z�jck0w]lot_jXn�p$k]jxz�jck0w]lot_jXni.pXzalVr*��y�s�w�i�lVr|¨�tQsIq?lVr*��p$r.{LsIu w]¨ ��s�lVr*�jc{ �Ijcn_� �«l�w�i*s�u wh�osIn]n5s��|��jcr*jck�p���lVw�va~ � j � l����|t_s�r.n�lo{ jck,w � s�w�v }�jcn,s$�*�Ip$w�jXn_~�tcp��V�VjX{b$¤a¤|T [�T W*U�p$r.{�S���d [�T���d T ^cbX[�T W U��!��j � l�����p�n]n0u*qxjw�i.p�w%jXp�t�i�lVraw�jck]r.p��!z�jck0w�j_¡Ei.p�nw � sLlor|¨�t_sIq?lVr*�LjX{|�IjXn_~�tcp$���VjX{Cl�w�n£TVU����c[! ¢TVYV\"�_~mp$r.{Mn0jcz�jck�p��(s�u w]¨ �Is$lVr*�Jjc{ �Ijcnt_p$���VjX{�l�w�n¢W#�c[$���c[% ¢TVYV\"�_� � sas��VjXp$r�zIp��Vu*jXn¢p$k]j}*k]sI}*p��Ip$w�jX{�w�i k]sIu �IiAn0u*t�i���p�w�jXnlVrxw�i*j�r.p�w�u*k�p��®qHp�r*r jck � l�� jI��~|jXpIt�i£sIu w]¨ ��s�lVr*� � lVk]j%i*s$��{ n©w�i*j>n0u*q sIk�q2u ��w]lV} �Vjs$�(w�i jAzIp��Vu*jXn?s$�(w�i*j�lor|¨�t_sIq?lVr*� � lVk]jXnxs��%w�i jE�Ip$w�j��Q�'&�jck0w]lot_jXn � l�w�iCr*s�lVr|¨tQsIq?lVr*�?jc{ �Ijcn(p�k]j&tcp����ojc{���W#�aYV^c\"�_~,p$r.{EzIjck0w]lot_jXn � lVw�i�r sxsIu|w]¨���s�lVr*�xjc{ �Ijcn(p�k]jt_p$���VjX{(��T�U�)"�_� � lVw�i sIu|w��Vs�n]n¢s��5�Ijcr jck�p$��l�w�va~|jXp�t�iEn0sIu*k�tQj%i.p�n¢p"n�lVr*�$�VjsIu w]¨ ��s�lVr*�jc{ �Ij�~ � i lot�ixlon�tcp����ojc{Ep�rETVU����c[+*� mTVYV\�W-,h[_`�\>^�T�Yo^���T [_~�p�r.{xjXp�t�i�n�lVr*¯?i*pIn�p�n�lVr*�$�VjlVr|¨�tQsIq?lVr*�%jc{ �Ij�~ � i lot�i?lon©tcp$���VjX{£p�rxW#�c["���c[.*� ¢TVYV\�W�,®[c`�\m^�TVYV^ ��T [_� �«i*jcrx}|��p�tQlVr*�� sas��VjXp�r£z�p$�Vu*jXn�sIrxw�i*jmlVr*} u w]¨ � lVk]jXn©s$�,w�i j(t�lok�tQu l�wX~aw�i*j�}*k]s�}.p��Ip$w]lVsIr£s��,z�p$�Vu*jcnw�i k]sIu �IiCw�i j���p�w�jXn�{|j_w�jck]q?lVr*jcnHz�p$�Vu jXn?w�sKp$���%s�u w�}*u|w]¨ � lok]jcn_� g�i jA�¬u*r*tQw]lVsIr��k]sIq lVr*} u w>zIp��ou jXn¢w�sxsIu w�} u w�z�p$�Vu*jXn>{ j_�*r*jX{£w�i lon � pcvElon(tcp����ojc{�w�i j/,��aU�^Q[�T W*U^QW*S����c[]\c¤���e[c`�\%^XTVYV^ ��T [_�R«[0\c¤|T W0�1�%^_W S&S�\IUc[_f��.s�k�n]p�¯�j2s��¢n�lVqx}|�VlotQl�w�va~ � jx{ s£r*s$w�}*k]s�zalo{ j"w�i j?tQlVk�t_u|l�w� l�w�iMt_s�r.n�w�p�raw2zIp��ou jXn � l�� jI��~%2�p$r.{«���Q��g�i*jEt_sIr*n�w�p�raw32Ltcp�rKy�j£jXpIn�l���vM}*k]s$¨{|u.t_jc{�yav�p�{*{Zlor ��p�rav4��� � �I�zIp��ou j?w�sAl�w�n0j_����~�y*u|w"s�q?l�w]w]lor �Ew�i*jHtQsIr.n�w�p$raw��� jXp�¯Ijcr.n%w�i*j2}�s � jck�s���n0u*t�iJtQlVk�t_u l�w�n � y�jXtcp�u*n0j?w�i lon�t_sIr*n�w�p�raw�lon�jcn]n0jcraw]l�p���w�s

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

w�i j&t_sIqx} u w�p$w]lVs�r�s���r*s�r ¨ qxsIr s�w�sIr j%�¬u r.tQw]lVsIr*n��Q���>s � jcz�j_kc~.w�i*j&t_s�qx}*u w�p�w]lVsIrs$�%p$ravKtQlVk�t_u l�wxw�i*p$w?u*n0jXn"w�i jAt_s�r.n�w�p�rawA�Etcp$rCy�j£}*k0lVz�p$w�j_��vKk]jX{|u.t_jX{�w�s�w�i*jtQsIqx}*u|w�p$w]lVsIr2s��,pt_s�k]k]jXn0}�sIr*{|lVr*�&tQlVk�t_u|lVw�w�i.p�w�{|sajXn�r*s�w©u.n0j�w�i j�t_sIr*n�w�p�raw>��� ���

D ��&� "6:6N���0#�;� "�1�)�B��#S��#?��/*���5���� :�0#S���4��6"6z&� "����;B "#J��+1�*�� =�����1 :��C@r�+1�X "#�,��1�&� "����;B�����+��B�� =�����1 "�9$ Z ,U���N�)� �_+*,�� ���IH $�&� :6"6�aU�B#?��/�aU�������n� � Q ?B?A?B?!� Q Z ;!�>�5+�����$��A��� � � � �H?B?B?]� Z $��+���� KMLF "#�,��1�V���w,����!�IHHBz���0������;5,��0#���;���>��+1�u]�B � �.^?y Z v � KML[&� =�!��Czr�+��[&� "����;&� "6"6UaU�#?��/�aU�������`;!�n��+������+1�(������,��1�F&� =�!�);B� �<�)� �_+p30���!�(+��.-��X��6"���!3����B#?��/Xa��)�! =#13n��+���# "��;u =#�,����u&� "����;�CSr�+1�i���1�5,��1�!MP&� =�!�);>�����5+1�s�� =�5�9�1 "��� ���i��6"�����!6"HJ�5+1�W6=� ;��>��#1�);9Cn\��0�;5�3���L� �w;� =/*,�6: =�� "�IHX&��[� ;5;5��/*����+�� �V�����_+*,�� ���IH���a����� =#�; Z �0�1��,����4a1 "��;�$0��#��(��+�� �V��+��������,��1�[a� :�5;������+1�u;����9��#��n,����!�IHW�9���5�!�);�,U��#��s�!�i�5+1�>6"��;!� Z &� "����;L� �z�5+1�u�� =�����1 "�9C[ �U�!&S�$+ 7�3����U�� �!s���� ]o���������9 "#�3p��+1�i��-.� 6"�����! "��#�� �L��#�H`�� =�����1 :�>���p��+1�s��/���6"� �! "��#���F�`/X�16"�! =,16: =�9� �! "��#?M~3�� �!�Y^�� + ��¡�',5�/ 2 '8 6' 1 .OT C �~).¡e¡_�$5i� 1 @$) 1>1 @?�` %' �� 9�$' 1 '=¡p�%' 1 @?�9����?�e� + � �)�*{75�>��� 1 ����5a',*'�e��',*i,���6:Hw] Z ^�= 1 ',5(�m)Y¡b) 9 �$*'  1 ' + * +:9�Z T C @�'8 %@n���%* +�1 �_¡ 1 @?�2 �6* 4 1 @ +:9m1 @?�>',*�/'� 1�1#+ ��)  %@F/&)Y� 1 .3V < /� n � M_"#P�� �R)Y� 1 .xBb@ +�2 �.¡ 1 @?��7�' 1 ¡ 1 ��',*�4 , �F y9y�y/, �F 1 3_� � �65 � T 9%+ ��B � � � QNV ":J � D� wO�3��fnOv�"�wOJ��fn � MO"#P������ �_+W,����!�IHS]P;�,16" "��;L� #��'^V;5+�� ����;4�����_+i���b "��;� =#�,��1��a1 "��;

&� :�5+p��+1�X� �5+1���,�� ���IH V�l(@$) 1 '=¡�T 9%+ �i�%hY�9��.�B � � � Q8)�*G�0� � � �H?B?A?!� Z T �R)Y� 1 .£B�$*N' 9%+ ��5 2 .¡9� 2 �5  1 ¡Z)F7%' 1 * dF )�*'�F¡��6*'�Y¡�' 1 1#+b1 @?� +�1 @1��� /&)Y� 1 .K)Y¡ 1 @?� +�1 @?�9��/&)Y� 1 . � ¡¡?@$)Y��� +Q9G1 @1�X',*3/U� 1bC ' ����] B � �.^4y Z v ��V �R)Y� 1 .�B*¡9� 1 ¡G' 1 ¡ +�C *k¡�@�)���� +:9G1 @?�] B � �.^7y Z v � KML ',*�/'� 1�C ' �5� 1#+ , d F v * dF V

":J �� �� �f�,��M � "��-�>M � �O"�� �&n�� m �!�1�9�9���� "#13 a0H ��+1�q�0���1�)�n����&� =�!�);9$��+��q,�� ���! "��;S��;����+1�� "��;�+�� ����;<���%��+��@�I&��� =#�,��1�L&� =�!�);4���X�X3�� �!�B =#W�0�������V���*,��! "-Y���!��6:Hi�9��/(,��1���;�+����!�);>�A�0���5+1���0�1��,��1�X&� =��� ]o;_^F� �[��+1�n3�� �!��V�WU�O/3/ + ¡9� 1 @�) 1m1 @1�a/$)�� 1 '8��¡X@ +�2 �¡?@$)Y����¡ 1H+A1 @?� 1kC�+ ',*�/'� 1RC ' ����¡ +Q9 )X4 ) 1 ��� 1 @$) 1 '=¡�T ��)Y� 1 . h @ +32 �.¡ 1 @?�i¡?@$)Y����¡t ��� X � )�*G� �R)�� 1 . � @ +�2 �Y¡ 1 @1�s¡?@$)Y����¡Xt�� � X��OT C @?�9���*t �O� t�� )Y��� 1 @?�s¡�@�)����_¡ +Q91 @1�g�V�e¡ 1gC ' ���m)�*G�&X �O� X��a)���� 1 @?�@¡�@�)�����¡ +:9E1 @1�@¡9�5  + *'� C ' ���_V � �>  + *�¡�'8����� 1kC�+ ?)Y¡9�_¡6V < ��</���6"� �! "��#W� ���#������1 "�! "��#n3�� �!��� �R)�� 1 . h�� �?¡ 1 ¡9� 1 ¡�' 1 ¡S¡�@�)���� +:9�1 @?� + � 1 /'� 1

C ' ��� +Q9b1 @1�R4�) 1 � 1H+ 75��t&� v X6�ST�)�*G� �R)Y� 1 . � ¡�� 1 ¡E' 1 ¡[¡�@�)Y�5� +:9E1 @?� + � 1 /'� 1C ' ��� 1H+ 75�Bt � v X � V

����� � »%�: K«�¯Q�f¥¯:§O� ¡��{®�� ¡k��¯:£� O¨¡k«� %¡ �f Oª_§_¡k¨Qµ_®(�|�_�Q¥� »%�|«e¯:�f¥k¯:§O� ¡���� ¡��«?¡�³´«�¯H¶6¨�¯:£� O¨I¡H«� %¡g�f _ªO§_¡¨­%¢m�f 6¡¥k£6�O§O¯:�f O©�«�§_¸S�f³f�´«�¥¢E»�«�¥�´«�­O³f�:¨ ¡k�O«?¡�«�¥k�U¡k£�­���¨�:¡ ¡k£��� ��± ��±fµ!� H#"3°�$%� � H#"'&(�*)+)()+�<°H±-,�³f�Q«�¥k³ ¢%µ¡�O��ª_¥k� »�«?¡���:»�«�³f§�«?¡�f£� F£�¤.� H�£� K¡k�O���f OªO§S¡gª�«��f¥�H/"!01&2" � °I°��f¨�¥k�:�O§O¯:�f­O³f�U¡£Z¡k�O��ªO¥k� »�«?¡k�U�#»�«�³f§O«?¡k�f£� £�¤*����H,­%¢b«e¨k�f O©�³f� £�¥H«�¯:³f�|¯Q«�³f³�¡��«?¡g«�¨¶S¨ ¤]£�¥ ¡�O�|�#»�«�³f§O«?¡k�f£� K£�¤3���$£� b�f _ªO§_¡4" 0 " � &+�*)()+)(�<°#±�65 ³ ¡�:¥k �«?¡� »%�:³ ¢6µ�®���¬R«:¢U³f�#¡N¡�O� ¯:�f¥k¯:§O� ¡N­�� ª�«�¥¡N£�¤�¡k�_���f _ªO§_¡N¡k£g­�£�¡�dª�«�¥¡�f�:¨<µ�®��O�f¯k�Z�:¨k¨k�: %¡k�´«�³f³ ¢¬d�Q«� O¨(¡k�O«?¡�¡�O�|ªO¥£�¡k£6¯:£�³$�f¨�¯:£�¬dªO§S¡k�f O©�¡k�O��7§_ O� »%�:¥k¨H«�³ ¯Q�f¥¯:§O� ¡¹��:»�«�³f§�«?¡�f£� 98Z¤!§_ O¯#¡k�f£�  ±� 0 ², �¡�O�(¡k�#¸6¡<µ%®(�(�f¬dª_³f�f¯Q� ¡³ ¢U«�¨¨k§O¬d�-¡��«?¡Y�Q«�¯H�Z©%«?¡���O«�¨�« ¨�f O©�³f��£�§_¡ªO§_¡Y®��f¥��µ�­O§_¡&¡�O�f¨-«�¨¨k§O¬dªS¹

¡�f£� ��f¨U�f¬d¬R«?¡k�:¥k�´«�³Y«� O�a¡�O�d¡¥k�Q«?¡k¬d�: %¡e�#¸6¡k�: O�_¨Z�Q«�¨k�f³ ¢F¡k£K¡�O�R¯Q«�¨k�d¡k�O«?¡e¡�O�R©%«?¡k�:¨e�O«Q»%��¨k�#»%�:¥H«�³£�§_¡ªO§_¡|®��f¥k�:¨Q±U², F¯Q«�¨�Z£�¤(¬e§_³ ¡k�fªO³f�f¯Q«?¡�f£� K©%«?¡�d­3£�¡�m¡k�_�Z �«?¡§O¥H«�³Nª�£�¨k¨k�f­_�f³f� ¡k�f�:¨ H!®��O�f¯H�m¤!£�³f³f£Q® ° «�¥k�·� O��±��(�O�U·�¥k¨I¡ H�¬d£�¥k�� �«?¡§O¥H«�³B°�ª�£�¨¨k�f­O�f³f� ¡,¢b�f¨�¡£E�f %»%£�¶���¡�O�e£�¥k«�¯:³f�e£� O¯:�eª��:¥g�Q«�¯H�F¬e§O³ ¡�fªO³f�f¯Q«?¡�f£� ©%«?¡�U«� O�b��«:»%�g�Q«�¯H�bªO«�¥¡,¢�§O¨k��¡k�O�|¨k«�¬d� ¨��«�¥k� ¤]£�¥ «�³f³3£�§_¡kª_§_¡�®��f¥�Q¨Q±N�(�O�g¨k�:¯:£� O�Eª3£�¨¨k�f­O�f³f� ¡,¢Z�f¨�¡k£�f %»%£�¶��U¡�O�|£�¥k«�¯Q³f�|£� _¯Q�Uª��:¥ �<«�¯k�K£�§_¡ªO§_¡�®��f¥� H�£�¤-«�¬e§O³ ¡�fªO³f�f¯Q«?¡k�f£� �©%«?¡�?°H±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������������� �����������������(�������� � � �! "������ # �©�����$�%�" &��$����(' � � )

�������� ������������������ ����������� ������ ���� �!3�bWY@�)Y�5�_¡ +:9�1 @?� + � 1 /U� 1EC ' ��� +:9G1 @?�a4�) 1 �)Y�5� + 7 1 )�',*'�e�a7�.b',*Nh +Oi ',* 4 1 @1� + �<)   2 � 9%+ � 1 @1� 9 �$*'  1 ' + *-) 2 ' 1 . +:9 D c_V�]I}#""�.}�^!�]~}�":�)�0^�T C @1����� �R)�� 1 . h ¡_�O/3/ 2 '8�_¡ 1 @?�~',*�/'� 1 ]Pd#��!%$�&(')���$� _^n]ot&� � X6��^?TX)�*'��R)�� 1 . � ¡_�O/3/ 2 '8�_¡X]ot � � X � ^6V � @1�%* 1 @?� + �<)�  2 ���5�_¡H/ + *�¡9��¡�TL��)  %@�/&)Y� 1 .i¡9� 1 ¡' 1 ¡>¡?@$)Y��� +Q9>1 @?� + � 1 /'� 1�C ' ��� +Q9>1 @?�K4 ) 1 � 1H+ ��c��N) 2 ' 1 ¡d/$)�� 1R+:9>1 @?� + �<)   2 �)�*�¡ C ���6V � �e �) 2,2-1 @�) 1 T�7%. D c_V7]~}�":�)�0^?T 1 @?� 1kC�+ /&)Y� 1 ¡ +:9b1 @?� + �<)   2 �a)�*�¡ C �9�¡_�$5�=I�O/ 1H+ ]ot&� v X6��^zy�]ot � v X � ^%V

":J ��* ,+�JS�%����J��k�fnOv�"�w�JK�&MO" � MO"R� � "#P��[�-���!. �/!�0�/1��$�!%02���3 �/�!�����$4����� �'5�(�� ��� 762��$�!80��$�!���������� �!%9;:<!%���=/>���$� ?&@0�!%�90.�� 40�04/��$�!��A�B!%���=/>04��=/C62��$�!D ��E 4/�!F���$� ?&62�� 4/,6G/����=/, 4/�!�62��$�!���0-��0�0����H���A �!%9�V~l @$) 1 '=¡�T 1 @?�X¡�@�)����_¡ +:9�1 @?� 2 )Y¡ 1 Z�C ' ����¡)Y���B¡9�%*G�G7�. ��)Y� 1 . h 1H+ �R)�� 1 . � T C @?�9����).¡ 1 @?�B¡�@�)����_¡ +:9R1 @?��/'���e 5�e��',* 4 Z�C ' ����¡)Y���p¡��6* 1 7�. ��)Y� 1 . � 1#+ �R)Y� 1 . h V D )� �@^/$)�� 1 .l�5�5  + h.�9�e¡ 1 @1�`  + �_�5�_¡H/ + *'��',* 4+ � 1 /U� 1 7�' 1 ¡a7�.;) � ��',* 43=I�O/ 1 @1� 1C�+ ¡�@�)Y�5�_¡ � 1 @$) 1 '=¡�T 1 @?�X¡�@�)�����' 1 @�) � + 7 1 )�',*G�5�',*�W 1 �#/ � )�*'� 1 @?�u¡�@�)�����' 1 @�)Y¡ + 7 1 )�',*'�e�0',* 1 @?�* ��1�_���6* 1 ¡ 1 �:/�V

FEMO" � MO"#P�� D )� �@a/&)Y� 1 . 2B+  �) 2,2 . + � 1 /'� 1 ¡ 1 @1�a7%' 1 ¡F�5�5  + h.�9���e�G',*~W 1 �#/ V\1�($G0� ���$� �!8$�0%:�!� 7�10GI�!8$����J&F 4/�A 7 �/�!.�(�� ��1�� 7��02���9�!�!89E�H�($�$�!%�� �"<r2/��0K�����paL!�04/��M6G�a(&����91��H ����(�����F �/�!-62��$�!80N���O �/�!P�H��$��%���� �0%"r2/!K���9��� ������Q�H��A���R��0S �/�� N 4/�!-04/��$�!80�A�T!8���=/U62��$�!@04���')�1�V ��W 4/�!X����$4$�!8�H �IM�A���!,�A�T 4/�!@62��$�!�"�r2/�!Ja��0�!,�%��0�!,�A�T �/!���9��� ������>��$�!� �/�!������ .62��$�!%0P���S 4/�!��H��$4������ �0%"n�#�L!%����TL�%�A��&�:Y 4/�!p] B � �.^4y Z v � KML62��$�!T/��0BIZ����! , d F ���9 �� �0204/��$�!%02��$�!�* dF ���9�* d F v , d F ][���9�!%!%9\04�����������')�� ���, d F ^]"\1�($P �/�!D���9�1�H ������C0� �!%�C6S!D�H���10���9�!%$P 4/�!�!%������� ������X�A�2� ���A �!�"W�#���L��0�!D �/1�A T �/!IM�A���!%07�A�^ �/!.���1��� 762��$�!%0u]_ ��� 4/�!.�(�A �!Y^B��$�!ut ���9EXZ:`���19\ �/�� G �/�!%��$K0�/1��$�!%0[t �O� t�����19 X �_� X%�D���19�!�!89a0��� ���0b�J&�t � v t�� � tC���9 X � v X�� � XZ" J �a�%��0�!D�A�G���>��919��� ����(����� �!�:; �/�!D04/��$�!%0-�A�S �/�!��(�� ��� -62��$�!�6S!%$�!c0�!� P ��SaL!it � v X � ���9�t � v X���:O���9�!�!8904�A ���0��J&(�����

]Pt$� v X6��^ v ]ot � v X � ^ � ]ot&� v t � ^ v ]=X6� v X � ^ � t v XJ �\����0�!T�����D����� ����������� ������ ���� �!�:� 4/�!�04/��$�!%0B���< 4/�!T��� ���� 762��$�!T6�!8$�!T0�!� 2 ��Wa1!�|_����19s|%�-0��1�=/� �/1�A L| � v |%� � ]ot � v t��)^Gy.]�X � v X��.^]"Nr2/#�0%:?| � v |%� � tyQX7��0S$�!)d#����$�!%9O"3 +Y�#"��d�e �h4G�)�7� +.�#f! Yd3����U���hg !E���M6i ��$4�j ��a0�/��M6k 4/�A L/��(�0� 4$��1�H ������ }#" l" ����9�!�!89\�$���IM�A �!��&�$�!89��H!80B �/�!T��������� 4�A ������Q�A�����H��$��%���� B ��c 4/�!.���� �����������A ����(�#')���A �!!%������A ������O"r2/1�A 2��0�:3 +�������&)���)�I�'� �!s��[m�n ]5�$���IM�A �!��&o$�!89��������p����$4������ !�IM�A���A ����(�q ��U����� ������������ ������#'���� �!Q!%������ ������U^�� � + *�¡ 1 �_��  1 ' + * �OV Vsr;/'��',hO) 1 � 2 .q���e�Y�� e��¡ 1 @?�2�6hO) 2 �N) 1 ' + * +Q9 )���' 1 @ =5i� 1 '8 X 6' �� 9�$' 1 ¡ + h.�9�@Z@\�]5t0^ 1#+�1 @1� 9 �$*G  1 ' + *�) 2 ' 1 . +Q9 D cSVN]~}#""�.}�^!�@]~}�":�)�0^6V3 +�� �54"6!7'� �%d.��8 �K�� �!T �/�� B0�����H!T6S!T��$�!P9!%�A�������62�� 4/ ��9�!% �!8$��c������0� ����-�[���� ��������u'�� ?&�:`6�!c���Z&\�10�!� �/�!�0��L!%������<]50��������!%$_^B�J�($��v�A�Up-!�Tw���� ����(��}�" t":�����9,�(���&\$�!H�J!8$G ��0���������� ������D �/!�I#��!%6x�A�^!%���=/ �1��$� ?&�"e�G!%�%�A�y �/1�A G 4/�!%0�!�0���������� ��($�0G04/��(���9\�$���9���! �/!FI#��!%6k�A�G 4/�!Q���$� ?&C���W���>�($����H�!H'?�A��9�!%9C!Hz�!8���� ����(� ][�5" !�"�:3���>!Hz�!%�%�� ������W�A�2/�����'0� �$4��H ����(�q}�" l1" �1:O6G/����=/@��0.���X��$4�����!�')����9!%9@�1$��� ����H�� ^=" g �� �/���� T���040P�A�S��!%�!%$4�A��� ?&�:6S!��$�!%0�!%�( G��0���������� ��($B�J��$2 4/�!�I#��!�6x�A� m ��$� ?&2��"�r2/���0K0��������� ���$G��!� 40G 4/�!����$� ?& � 0������ , �� �@?A?B?]� , � � :��0B6�!%�Y��0B�� �0B��� ���� %:L9�!8���� �!%9 - � �H?B?B?]�.- � " J 2�(�1!8$��� �!80S��0S�J�����M6G0%"

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

��"[r2/�!K0���������A ��($��1���u�J�($��c�&�0�!%�!8�H 40 * �� �H?B?A?!� * �� ���9 * �� �H?B?A?!� * �� :���0N���n�( �!%�`��"L]or2/!* d � � 0B62���%aL!.�0�!%9 ��0S �/�!.�������0S�A� m ��$� ?&n��:�6G/����=/Q��$�!P���$� S�A�Y 4/�!TI#��!%6q���Y �/!!Hz�!%�%�� ������;:y6G/�!%$�!%��0P �/�!* d � � 0P62���4aL!��0�!%9>��0P 4/�!��c!%040�����! m ��$� ?&l��$�!8�H!���I�!80�A [�( �!8�`��"�^u\1�($B!%���=/ ��� Z :� �/�!.0���������A ���$S0�!% �0 , d � v * d � ��0S 4/�!T���$� ?& � 0B04/��$�!�A�^ �/�!�IM�A���!����3 �/�!0�OK�LD62��$�!�"�#���c�����$��&�:L�J��$ ��� Z :` �/�!c���$� ?& � 070�/��$�!��A�3 �/!Z v � KML�62��$�!-��0G0�!� B ��* d � "r2/���0S�H�(�����!% �!80� 4/�!P�H������ ��A ����(�D�A�Y �/�!P���$� ?& � 0�0�/1��$�!%03���Y�A�w �/�!Tt Z ����$4������ b'����1�� 262��$�!%0%"

t"[r2/�!F���$� ?& � 0.0�/1��$�!%0P�J�($.�A�N�� �/�!8$.62��$�!80.��$�!��H�(�c�1�� �!89;:^�� �!%$4�A ���I�!��&@���� �!�'~a(&('���A �!�:���0S�J�����M6G0%"

u r2/�!��1��$� ?& � 0G04/��$�!T�A�^ 4/�!.��� ���� �'562��$�!.�A�^���E��99��� ������\���� �!T��070�!� G ��saL! �/!.0���i�A�< �/�!.���$� ?& � 020�/1��$�!%0S�A�� �/�!T����� b')62��$�!%0B���Y �/!T���A �!�"

u r2/�! ���$� ?& � 0.04/��$�!����2 �/�!Q���� 4��� b')62��$�!Q�A�G�@����� ����������� ������>���� �!���0c0�!�'�!%�H �!%9\������J��$4�c�&F��� 3_� � �C5�"

]or2/�!G04/��$�!%0���������� �!%9��J��$^�(�� ��1�� b')62��$�!%0����`����� ������������ ������c���� �!80�62����aL!G�0�!89��0S �/�!.���0�6�!8$�0S��a ��A����!89;:�a(& m ��$� ?&p��:#�[$���� �/�!T�($����H�!�" ^

l1"��1��$S!8���=/�62��$�!-����$4$�!80��L���9������ ��D���F���� 4��� �:L9�!%���� �!89 - d :� �/�� B��02�ZIM�A��������!7 ��� ��$� ?&h��:< �/�!Q0���������A ���$.0�!� 40. 4/�!FIM�A���! � d ��,!�(�1�A3 4/�!Q04�� �A� - d ���9> �/!���$� ?& � 0B04/��$�!K���< 4/�A 262��$�!�"

�L"�2/�!T0���������A ���$B�(�� ��� �0� � , �� �@?A?B?]� , � ��� � � - � �H?B?A?!�/- � � � � * �� �H?B?B?]� * ���� ��� � ��� � ��� < �

6G/�!%$�! � ��� � * �� �H?B?A?!� * �� � ����$4$�!80��L���9F ��� �/!.I#��!%6q�A� � ��$� ?&��P�����( �!%���P�A�� �/!�$��� ����H��_:M 4/�!20� 4$������ � � !�(�1�A�0� �/�!2�H�(����� �!8��A ����(�����L �/!���� 4030�!%�!8�H �!%9��J��$� �/!���� 4��� b')62��$�!80B�A�<����� ������������ ������ ���� �!80 � �H�($�$�!%04�L���9������c ��D 4/�!.���$� ?& � 0BI#��!�6 �A� �/�! ��$4�����! ���0�6�!8$�0������( �!8���,�A�K�C$�!%�AS!Hz�!8���� ����(� � :S���9 � < � � � � �@?A?B?!� � � ��H��$4$�!%04�1�(�90^ ��� 4/�!-�1��$� ?& � 03I#��!�6o�����# �!%�Ql � �_" !�"�:� �/�!P�c!%040�����!803�� �6S�����9�/�ZI�!���� 4�A����!%9F�[$��(� � ��$� ?& �������( �!%�\lc�A�� �/�!T!�z�!%��� ������ � "

g !C�������� �/1�A F 4/�!C���� 4��� �A�. �/!C0���������A ������o��0 9���0� 4$��!��� �!%9o��9�!8�� ����%�A��&V ��j �/!I#��!%6q��� � ��$� ?&��P��� 4/�!P!Hz�!%�%�� ������ �A�< �/�!T�($����H�!H'?�A��9�!%9F�$��� ����H��_""2/�!T�������� ���!8��$��&/����90.62�� 4/a$�!80��L!%�� . ��E 4/�!�#L$40� .�J���$.�1��$� �0T���S 4/�!�I#��!%6x@^ �/�� .��0�:< �/�!Q�H��A��� /����9062�� �/p$�!%04�1!8�H D ��a 4/�!@���$� ?& � 0����1��� � �_" !�"�: , �� �H?B?A?!� , � � � :B�� �0��(�� ��1�� � �5" !�"�: - � �H?B?A?!�/- � � :�� �0-���( �!%$4��A��H�����#') ��(0�0�!%0 � �5" !�"�:�* �� �H?B?A?!� * ��$� :O���9, �/�!D�c!%040�����!.�%�� ������!%9\�[$���� � ��$� ?&�����&�# �!%�'� � �_" !�"�: � * �� �@?A?B?!� * �� � � � � � ")(G�0��1:���&U9�!*#w���� ����(�U�A�P �/�!\�[��1�H ������1�A��� ?& �A�+ �w" �-, ".� , � � �-, ".�0/ � :3 4/�!,��$4�����!�')���0�6�!8$�0� ��a!%���=/ �1��$� ?& ��$�!E������J��$4�c�&U9���0� �$��!��� �!89���9�!%�L!%�19�!%�( ��& �A� � 4/�!����$� 402�A� � �/�!����$� ?& � 0��#��!8$���!%0%"12/#�0%:1 4/���07���$� 2���� 4/�!.I#��!�6�A� � ��$� ?&��T��0G������J��$4�c�& 9���0� �$��!��� �!89;:��9�!%�( ����%�A��&Q �� � � " J B�J�����M6G0�:� 4/�A K�A�32?@$)54 6*2@76 298 7%.���)54 1 . h ��$�!�0�!� :��&\ 4/�!c0���������A ���$G ��Q/�ZI�!.!Hz���H ��&\ �/�!c0����c!�9���0� 4$��!��� ����(���0c 4/�!�&j/1�ZI�!F���U�X$�!%��S!�z�!%��� ������;";2/��0D/����910�:3���U���$� ����������$%:^�J�($� 4/�!E0�/1��$�!%0��A� �/!E���� 4��� D62��$�!80c/!��9��(& � ��$� ?&&��"<������A��&�:S6�!\���10�!8$�I�!Q 4/�A =�L�� 4/ ��� �/�!,$�!%��

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���������������� �����������������(�������� � � �! "������ # �©�����$�%�" &��$����(' ��� ,

!Hz�!8���� ����(�U���9V���V �/�!@0���������A ����(�;:2��99������W 4/�!,��A � �!%$F0�/��$�!80 � �5" !�"�:2 �/�!@04/��$�!80��A� �/!F��� ���� �62��$�!%0�/�!��9 �(& � ��$� ?&;� � ��X �/�! ��!80�04�A��!%0.0�!%�( ��& � ��$� ?& �E���<�# �!%�jl� $�!%04�;"�:� �� � < � &#��!%�903 �/�!7����$4$�!80��L���19����� ��� 40^�A�; �/!G����%�A�'5�(�� ��� ^�A� � ��$� ?&���"32/#�0�:�H�(�9��� �������!89j�(�j 4/�!EI#��!%6 0��C�[��$%: � < ��0�9���0� �$��.�� �!%9U��9�!%�( ����%�A��&W ��> �/�!,�c!%0404�A��!800�!%�( ���& � ��$� ?&=�������( �!8�\l" g !P���������19�!T �/�� 2 �/�!T0���������A ������Q��0G�1!8$b�J!8�H � ���� B����&�H�(����� ��� ����������&����9���0� ����������0�/1�����! � :1���9 0��c 4/�!.�$����L��0��� ����(�D�J�����M6G0�"

[ ���<dC�( &�������� /��(� ����������� � $��(�1�(0��� ������0 , " l" � : , " l".�S�����9 , " l" /D62�� �/@ �/�!c �$4���0���' ���I#�� ?&Q�A���$���IM����&�'?$�!%9��� ������0 � 0�!%! + z�!%$4�H��0�! ) � :�6�!P�%�� ������(�� ���,+��.-����!s��[mwm �E*Y. 9�� *�� 1 ' + *�) 2 ' 1 .X'!2Z/$4�',h�) 1 6 2 . 4 6 8�� �%'7 2 6 1H+�� # � V/���� �����������2/�!��($�!8� , " l".�������19 � $����L��0��� ����(� , " l1" � 62�� �/P �/!(/������L��0��� ����(�:2/!���$�!%�� 2/!���$�!%� , " l" l � :�6S!P���� 4�A����� <<�� ���,+��.-����!s��[m&t W � /3/ + 2 6 1 @�) 1|1 @76 4 6 6?��'!2 1 � +32,2 6�� 1 ' + * 2 +Q9 66*&@$)�*���6 8a1 4<)�/ 83+_+ 4�/ 6 4�=5 �$1 ) 1 ' + *�26V l @766* )�*N. 9�� *�� 1 ' + *-) 2 ' 1 .���)�* 7�6�/$4�',h�) 1 6 2 .�� + 5E/ �$1 )�7 2 6 � ��� 4/�!,0�!%�c�u'/��(��!%0� 2����9�!% � V�1�($�0�� �A!N���1�[�� 4�$�!B�10�����! � �����(!8�H ������ , " � � :M6�!B�L������ ��(�� ^�K�$����L!%$� ?&P�A�w �/�!2�$��� ��#�����0��9!%$��&#������ �/�!.�$��#�A�<�A�"2/�!��($�!8� , " l".���"q ��r!� �#"$�%���&���!s��[m$s � ����������������0�!8�c�u'?/����!%0� \�1$��� ����H���0 � �(' /�4 +�1#+ � +32 : 9%+ 4A/�4*),=h�) 1 6 2 .+� + 5E/ �$1 ),* 4 1 @ 6 9�� *�� 1 ) + *�) 2 ) 1 .by,)!2-��) 2,2 6 8/.10 n32&n54 .1056 ) 9 ) 1 /$4 + ��6�6 8 2K7%. 6<�76�� �$1 ),*�41 @76 9%+�2,2B+�C ),* 4 1kC�+ 2 187 4�6*26V�( 4�A��! � �Xl @ 6�/ 7 4 1 ) 6*2 /$4*),h 7�1 6 2 ./� + 5�/ �$1 6 1 @76 9�� *�� 1 ) + * 732 ) 1 . � , �/- � !S � � * ��� *S� � � �89 ��� 9 � � � T

C @76 4 6 1 @76 * F � 2 7�:�8 9 F � 2 7 4 6 �;: ) 9=< 4�5 2 . 8 )!2 1 4*)7 �$1 6 8>7 5 <�: 4 7�2,2 / < 2�2*)7*) 2 ) 1 ) 6*2 1 @ 7�12 7�1 )!2 9 . � *O� � 9 � � * � � 9 � � � y � , �.- � V

�( 4�A��! �?� � 7 4 1 . � 2 6 : 8 2 9 � 1@< � 7 4 1 . h T C @ )��%@ 4 6*2k/ <�: 2 6 2 C ) 1 @ *S��V D 7 ��@j/ 7 4 1 .� < 5�/ �$1 6*2/) 1 2 <�CA:B<��$1 / �$1 � 1 @ 7�1 )!2?T�� 7 4 1 .xB <��$1 / �$1 2 * F � 9 F V

J �9�!%!%9;:K �/�!C�$��� ��������0F��9!%$��&#�����j 4/�!X�$��#�A�.��� 2/�!��($�!8� , " l1" � �>��$�!@������������%�A5"C !8��H!�:

� ���,+��.-����!s��[m,� W �3DED?< 2 6/F@ 7 FAF@76 4 6 6?� )!2�FG� <EHIH 6��=FJ) <�: 2 <Q9 6 : @ 7�: ��6 8 F 4 7�D�8E<�< 4 D 6 4�=K�� F 7 F%) <�: 26Vzl @ 6 :L7�:NM>9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M � 7�: 7�6 D 4*),h 7 F 6 HOM � <�K-D�� F 7 7 H 6�7 MP7 � 7�:�<�: )�� 7EHD 4 < F < � <�H Vg !��$�!80�!8�( K ?6S�E�A� �!%$4��� ���I�!��$��#���[0K����2/!���$�!%� , " l1" � � � 2/�! #L$40� T�$��#�A�S9!%�L!%�90���, �/�!�0� 4$��1�H ��1$�!.���N �/!��$��� ��#�����07�0�!%9,���@!%0� �������0�/������2/�!��($�!8� , " l1" ����:L6G/�!%$�!%��0 �/!.0�!8�H���19Q�$��#�A�<��0B��!%��!8$����P���9 �0�!%0G���Q��99��� ��������O$�!89��H ����(�;"�:� ³ ¡�Q¥ �«?¡� »%�Q³ ¢%µ3£� O��¬R«Q¢b«Q»%£��f�m¥�Q³ ¢S�f O©d£� K¡�O�U¡k¥k«� O¨k� ¡� »_� ¡,¢b£�¤-ª_¥k� »�«�¯#¢6¹,¥k�:�O§_¯:¡�f£� O¨g­%¢K¨§O¯:¯:�Q¨I¹

¨k� »%�:³ ¢b«�ªOªO³ ¢E¡k�O��,�£�¬dª�£�¨k� ¡�f£� K�(�O�:£�¥k�:¬ ¡£d�O�:¥k� »%��ªO¥k� »�«?¡k�UªO¥£�¡k£6¯:£�³f¨ ·�¥k¨I¡�¤]£�¥�¡�O��¬e§O³ ¡�fªO³f�f¯Q«?¡�f£� ¤]§O O¯#¡k�f£� O«�³f� ¡,¢6µ�¡�O�: K¤!£�¥ «� 6¢E�O�#¡�Q¥¬d�f O�f¨¡�f¯|¤!§_ O¯#¡k�f£� �«�³f� ¡,¢%µ�«� O�b·O �«�³f³ ¢b¤]£�¥ «� %¢b¤]§O O¯#¡�f£� �«�³f� ¡,¢%±�� �O«?¡�f¨<µ��f E¡k�O��·�¥k¨I¡g«�ª_ªO³f�f¯Q«?¡k�f£� m®(��§O¨k�RQY¥£�ª�£�¨k� ¡�f£� O¨ILS± M_± SR«� O��LS± M_± T_µ3�f b¡�O��¨k�:¯:£� O�m®(��§_¨k�RQY¥k£�ª�£�¨� ¹¡�f£� �LS± M_± �VU�«� O�d¡�O� ªO¥£�¡k£6¯:£�³�¥�:¨k§O³ ¡�f O©U¤!¥£�¬8¡k�_��·�¥¨¡ «�ªOª_³f�f¯<«?¡�f£�  µ_«� O�R�f Z¡k�_�g³´«�¨¡�«�ªOªO³f�f¯Q«?¡k�f£� R®(�§O¨�WQY¥k£�ª�£�¨� ¡k�f£� 0LS± M_± XZ«� O��¡k�O�UªO¥£�¡k£6¯:£�³�¥k�:¨§O³ ¡k�f _©e¤!¥£�¬ ¡�O�|¨�Q¯:£� O�K«�ªOªO³f�f¯Q«?¡k�f£� �±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� / ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� ��+ &$" 3 +������������ ���h+��*- ����s��_m �©8�� !8�����A 4/�A y �/�!3�($����H�!H'?�A��9�!%9K�$��� �������A�H��A���c!%9����2/�!��($�!8� , " l1" ���-��0G�%�� ������!%9��(& �������L��0������D 4/�!�$�!%91��H ����(�Q��� � $��(�1�(0��� ������ , " l" �62�� �/�/����0� �$4��H ����(�0 , " l" �K���9 , " l" , " 2/�!2/�����/�'5�!�I�!��0� 4$��1�H ��1$�!B�A�w �/�!2$�!%04��� ������-�1$���' ���������0^���9���!%9 �(&� �/!7�H��$��%���� ^!�IM�A���A ����(���1$��� ����H�� � �A�©/��(�0� 4$��1�H ������ , " l" � � :A6G/����=/��0��H�!%��$��&X�%�����(�������A � 62�� �/;�( �!%�Wl�#L � ������ �# ��A��! �\��� pK! #L���� ������ , " l1" �8l � " J �9�!%!%9;:�� -��0P���c�L��$� ����( - 4/�A T��� �( �!8�Xl !Hz���H ��&E ?6S�\�c!80�04�A��!%0-��$�!c0�!%�( T���9X �/1�A � ��$� ?&��0�!%�90� �/!7���0� ��c!%040�����!�" 2/�!7�[���H S �/1�A N 4/�!K04�A��9D�($����H�!H'?�A��9�!%9��$��� ��#������0S�����������������0��$�!%0�!%$�I�!89a�A�0��@6G/�!%� $�!8������H�����, 4/�! � �# � ��$4�����! �(&a��� ��9�!�#��A �!F0�� ��$��� �������5"

6��(d ���<f 3 +������ ��� � �5�h+��.- ���!s��[m,��8 � 0������ 2/�!%��$�!%� , " l".���:16�!��%����#L$40� 79�!H'$���I�! �>�$��� ��#����B�J�($c�1$���IM�A �!%�& �H������ ������a �/�! �[��1�H ������1�A��� ?& �A� �# ��A��!�� � ���zp-!*#'���� ������ , " l".�%l � "&(7����c!%�( ������a 4/���0F�$��� ����H����(&W �/�!@ �$���I#���A �( 4�A��!��:�6S!,9�!%$���I�!\�������������%�AY�1$��� ����H��O�J��$-�$���IM�� �!��&E�H�(�c�1�� ������F 4/�!c��$����������;�[���� ����������� ?& � �5" !�"�:(yC�� b'0�!��� � "

��� � ����������������������� �"!$#&%('*),+-�.��/0����),12!(34),5��76��8���� �$Y�A��� ��0Y ��7�0�!12/!���$�!%� , " l".�� � ��$<$��� �/�!8$ 2/�!%��$�!%� , " l".� � � ���T�($�9!%$O ��G!%0� ��������04/ �/!.�c�����\$�!%04��� S���Y 4/���07�=/���� �!%$�@� �/�� 2��0%:� ���,+��.-����� �[m � ���A���,$�!%04��� G�J��$G 4/�!� ?6S�A'?���$� ?& ����0�! � �bW �3DED?< 2 6�F@ 7 F FI@ 6*4 6 6?� )!2�F� <�HIH 6��1F%) <�: 2 <:9 6 : @ 7�: ��6 8 F 4 7*D 8 <$< 4 D 6 4 K�� F 7 F%) <�: 26V�l @76 : 7�:NM F CG<<; D?7 4*F M�9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M� 7�:>= 6 2 6�� � 4 6 HOM � <�K-D�� F 7?=1H 6 � ��� �/�!.���A����H�����02�c��9�!� � V2/�!%��$�!%� , " � ".�262���$�L!7!80� 4�������04/�!89���&��H�(����������������(&��$��� ���������J�($3 �/!K0�!%�c�u'?/��(��!%0� �c��9�!�(���( ��K���KN�!0�#����IM�A�!%�( QP7�$��� ����H��A�J�($y 4/�!S��������H�����0Y�c�#9!�5" 2/�!S���$4$�!%�( y0�!%�H ����(���0<9!�I��� �!89T ��- �/�!2�����0� �$4��H ����(�T�A�L �/�!204�A��9.�H�(�c����!%$%:M6G/����=/.6B��0<�A�$�!8��9�&-���� ������!89�����(!8�H ������ , ".��" l".��" 9 �#��0�!��&\0��L!%� �������L:1 �/!��H�(�������!%$K6S��$ �(0 ��&\$�!%������������F �/�!���$�������������0� 4$��1�H ������10 �(&a�����%$��(0� 4/�A ��J��$4�H!Q!%���=/j���$� ?&a ��X!��� �/�!8$�!>�w!8�H ���I�!��& �1!8/�ZI�!Q��� �0�!%�c�u'?/��(��!%0� �������!%$ � /�!8��H!Q �/�! ��� ��!F���G �/�!\���$4$�!%�( �0�!%�H ����(� � �($ �L!Q9�!% �!8�H �!89j��0�=/�!8�A ������ � ��� 6G/����=/Q�%��0�!�:� �/!.�$��� ����H��O���L��$� �0 � " �A@1d� ���CB(>�ED(8 �#���c!�$�!8��9�!8$�0P���Z&@�$�!H�J!8$P ��,0�!�!D�\�H�(���$�!� �!��1$��� ����H�� � ���19X�� �00�!%���1$��� ?&C����A�&�0���0 � �1!��J��$�!F��!� � �����, ��X �/�!Q��!%�!%$4�A��1$��� ����H��N�H�(�c����!%$ � ���9W�H�(�������62�� �/> �/!Q���10� 4$����H ������10T�0�!89>���>�� �0�!Hz�L��0��� ����(� � " g !F��9I(��0�!�0���=/a$�!%��9�!%$40P ��X$�!8��9�(!8�H ������ , " � " l1" �:�1!��J��$�!.$�!8��9������=�(!%�� ������0 , " � " �P���19 , " � " �"

������GF �� �� !"� �,-9#0����% � � -GH 1 ��-0��+(1�+�' �2H$� �IH�-9�KJg !P��$�!-����I�!8�F�c�$��� �������w�J��$S �/!P0�!%�c��')/����!80� B�c�#9!�5" J �F 4/���02�1$��� ����H��_:#!%���=/F���$� ?&/��0T�\�������^���1��� ����9X�10�!80.�\������J��$4���&X9��0� �$��.�1�� �!89X�������3$����9�����') ����1!�" �#��=/C��$��� ��#��������Z&:�1!S�0�!89- ��7�$���IZ�� �!%�&P�H�(�c�1�� �!N0����c!��[��1�H ������1�A��� ?& � !%�� 4/�!%$<�29�!� �!%$4�c���#'��0� ����2�($3�.�$����1���������0� ����B����! � :��1�� N 4/�!7�H�(�������!%$N9��#!%0N��� N$�!H�J!8$^ ��. 4/���0^�[���� ����������� ?&�"2/�!T�H�(�������!%$���020���1�1�(0�!89� ����$���9��H!P��� N�!�#����IM���!8�� S�$��� �������¬PT�J��$S 4/�!T�c������H�����10

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� �

�c��9�!�5" 2/1�A P��0%:y����&E����� b')���� 4��� �L!%/�ZI#����$- �/�� T�Q���A����H�����0P��9I�!%$404��$�&\�%���@���#'9���! �(&\�A � 4���*�(�����D �/�!c$�!80��� ������Q�$��� ����H��_:L�����E���0�� �L!����9���!%9��(&\��0�!%�c�u'?/��(��!%0� ��9I�!%$404��$�&. �/�� N�A � ����*�(03 �/�!K��$����������1�$��� ��#����5" Y���c�� ���IM�A �!7 4/�!K�$��� ����H��L�H���������!%$%:�!� K�10K0� ���$� �(&E�H�(�0���9�!8$������D6G/�� K����������H�����0-���$� ?& �c�Z&E9�� � �L!�&��(�9E6G/�� �!%I�!%$7�0�!%�c�u'?/��(��!%0� 2���$� ?&F�����Q9� � "��"�( �c������H�����102���$� ?&F���Z&�!%�( �!%$B �/!.���H 4��Ay!Hz�!%�%�� ������Q�A�� �/�!.�1$��� ����H��;62�� 4/ �������1�� �9�� �w!8$�!8�( T�[$��(� 4/�!F�(��!D�� ���0T����I�!8� � �5" !�"�:?N�04���0� ��� �� �!��� �0�����1�� QP � "�(709���04���10�0�!%9c��� �(!%�� ������ , " ��" l:� �/���0N��03��1�ZI�����9�����!�" g /�� N6S!G��!�!89� ��.�(���$4���( �!�!��0N �/�� 3 �/���0S0����10� ��� 4�� ������D��0N9����!G�%�����I#�����0��&��A�O 4/�!G������ ��A�O �/!G�� 4/�!%$����$� ?&�@ �/�� S��0%: �/�� 2 �/�!.04���0� ��� �� ������ �����&F9�!8�1!8�902�(� �/�!P��$���������A;������ %"� ����������.��/�!%��9;:�6S!G�c!%�( ������c �/1�A 3 4/�!�) :�D�� F ; � <�K K )IF K 6 : F��/��0�!2�A�; 4/�!7�H�(��'�����!%9U�$��� ��#����S��0D�����c!89 �� c���=/���!%I#�����C �/��0������A5";2/�!\ ��(���0��0�!%9U/�!8$�!\��$�!� <�K K )IF K 6 : F"21�%@76 K 6*2 � 0�!�! �(!%�� ������ � " � ".� � ���9 2*F 4 <�:�� �6 4 <<;Hi3:�<�C H 6 8�� 6 D 4 <�<G9 2<G9Fi�:�<�C H 6 8�� 6 � 0�!�!��(!%�� ������ � " , " � � " �(!0�#��!8�� �����Y!�z�!%��� ������07�A�N 4/�!%0�!��$��#�A�[07�A��(��M62�!89���!-�����$����( �!�!- �/!T! �`!%�H ���I�!P���9!%�L!%�9�!8��H!T���< 4/�!.�H�(������ � �!%9 IM�A���!%0%"

�"�( ��������H�����0P���$� ?&E���Z&E!%�( �!%$- �/�!D���H ��1�A^!Hz�!8���� ����(�,�A�S �/�!D�$��� ����H��<62�� �/C�$����9�����') ����1!^ 4/�A Y��0<���� <������J��$4�c�&T9���0� 4$��!��� �!%9;" g /�A Y6�!S��!�!89T ��-9��G��0O�J�($���! �/�!����$� ?&X ��,�0�!F�E$4���9����'5 4���L! � �J��$� �/�!F!%������ �!%9>0�!%�c��')/��(��!%0� .�$��� ��#���� � �/�� S��0G���u�J�($��c�&F9���0� 4$��!��� �!%9;"2/�! � < ) : ;�� 6 : 6*4 7 FJ) <�: �/��0�!P�A�� �/�!.�����������!89\�$��� ����H��`��0G�����c!89 �� 2���=/���!�I#����� �/���0P���(�A5" 2/!c ��#��3�0�!%9>/�!8$�!���0T���>�����(�c!%�( �!89 � < ) :�; F < 2�2�) :� ) : F < FI@ 6 C 6 HIH�$��� ����H��_:#6G/����=/ ���Q ��1$��\�0�!%0B ��(���02��0B��� J �!%� ��"

l1"�( ���A����H�����0S���$� ?&D���Z&D �$�&D ���0�!8�9F�c!%0404�A��!80N9�� �`!%$�!%�( � 4/���F �/�!P�(��!%0S0��L!%���u'#1!%9 ��&D 4/�!P��$��������1�A � 0�!%�c�u'?/��(��!%0� S�c��9�!% � �$��� ��#����5""�#��6S!-�!�!%9Q ����J��$4�H!- �/!���$� ?&� ���0�!%�9F��!80�04�A��!%0���0S0��L!%���9#1!89=�(&��� 40 � �A�$�!8��9�&��H�(������ � �!%9 � ��#�%�A�'5����� ���9 $����9��(��') ����1!�"2/�! D 4 < F < � <EH 6 K��?H 7 FJ) <�: �/1��0�!G�A�y 4/�!K�����������!89F�$��� ����H��L��0S�A���c!%9��� ����=/���!%I('������ �/���0B���(�A5" 2/!K ��(��w�10�!89F/�!8$�!-��0��6 4 <<;Hi3:�<�C H 6 8� 6 D 4 <$<:9 2 M 2*F-6 K 2 � �J��$�� � '0� 4�A �!8�c!%�( �0 � " J �E�[���H %:1�J�($�������F���$� ���!%07 �� ���H K�H���10���0� �!%�( ��& 62�� 4/@0����c!>�#���M6G����#�J�($����� ���������02 4/�!.��$4�=/�!� ?&���������;�����������A ����(�F���� %!%$��A'@�(��M62�!89���!-�$��#���[0�"

J �c��������$49���1�H!S62�� 4/� 4/�!G���L�MI�!B9���0��%�0�0������;:M 4/�!G�$��� ��������0Y�$���9���!%9 ��&� �/�!G�����������!8$�H�(�0���0� B�A�� �/$�!�!T�/��0�!80�"

� n � M���� . 2N�>��4 ���EJ�n�� � w 0 P<J!� + ���=/c�A�; 4/�!7���$� ���!80N�H�(������ �0N ��T�� �0����1��� 1�(&c�0���������0�!�'���$�!2�������!%�c!8�� 4�A ����(�����; �/�!2������ �')�������c�� 4�c!%�( 3�[��1�H ������1�A��� ?& � �� �1!79!*#L��!89�����(!%�� ������ , " � " l1" � � " 2/�!c��� � �!%$7�[���H ����(��A��� ?&,�����$����( �!�!802 �/1�A P �/�!��H�(������ b' ������Q���$� ?&E���H ��1�A��& �#���M6G07 4/�!cIZ����!� ��Q6G/����=/,�� -/��0K�������c�� � �!89;:;���9@ �/�� �/�!-0�!8��$�!%�H&��A�O 4/�!-�������c�� � �!89DIM�A���!7��0N�$�!%0�!%$�I�!89;" J 3�J�����M6G03 �/1�A N!8���=/D���$� ?&�H�����c�� �0S ����.IM�A���!- �/�� B��0S!%040�!%�( ����A��&����9�!8�1!8�9�!%�( B�A�Y �/�!PIM�A���!P�H�����c�� � �!89 �����&E 4/�!��� 4/�!%$-���$� ?&�" �L�$� �/�!8$��c�($�!�:w 4/�!����1��� b'?�H�(������ ��c!8�� -�[��1�H ������1�A��� ?&�$��MI#��9�!%0O �/�!S�H�����c�� � �!8$y62�� �/� �/�!S�H�($�$�!%04�1�(�9������G9�!8�H�����c�� ��c!%�( <���#�J�($����� ������� ����L!.�0�!%9 ��� 4/�!.�$��� ��������'5!8������A ����(���/��0�! � "

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ) � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

��2?4fn��kv J�n�J�� 0 ��4 2&n � w 0 P<J!� 2/!��1��$� ���!%0K��!%�!%$4�A �!c$����9��(��') ����1!80G�J�($- �/�!c!%������� ������@�A� �/�!P��$���������A`�$��� �������5" + ���=/��1��$� ?&D���� 4�A���0S �/�!TIM�A���!-�A�< �/�!T$4���9��(��'5 4���L!K ���1!G/�!%�9��(&��� %:�6G/�!8$�!8��0� 4/�!G�� 4/�!%$N���$� ?&.��� ��A���03�T�������c�� 4�c!%�( 3 ��T 4/���03IM�A���!�"2/�!2���$� ?&�/����9������P �/!2IZ����!G�A�0��P��� ��A���0� 4/�!G�H�($�$�!%04�1�(�9������P9�!%�������c�� 4��!8�( ���#�J�($����� ������;" (G�y �/��07��02�%�� ������!%9��(&Q�0���������0�!%���1$�!P���c��!8��!8�( ��A ����(�\�A�^ �/!� ������c!%�( �!89 � �H�����#') ��(0�0��������[��1�H ������1�A��� ?& � ����L!�9�!*#L�!%9X��� �(!%�� ������ , " � " l" ) � "J y�J�����M6G0< �/�� Y!8���=/��1��$� ?&-�%�� ������10<�-$4���9��(��'5 4���L!� 4/�A <��0�!80�0�!%�( �������&T$����9�������9Q���19�!%�L!%�9!%�( 2�A�^���(&# �/�������!��0�!�"" � 2 �@2 . 2 6 J��>M 6 0 ��4 2&n � w 0 P?J ��2/�!3���$� ���!80O�0�!3�20�!8���$�!^�������!%�c!8�� 4�A ����(�K���� �/�!3���� �/�!8�( ������A �!%9#'�H������ ��A ����(�T�[��1�H ������1�A��� ?& � �� �L!B9!*#L��!89����=�(!%�� ������ , " � " l" � � ������$49�!%$< ��K!8��'����� �!�!%���=/@0� �!%�,���N �/!��($���������A<�$��� �������5" �#�L!%���9#w���A��&�:;!%���=/,�c!%040�����!. 4$����0�'����040������>���a �/!F��$���������AS�$��� ����H��3��0�$�!%�������!%9 �(&>���a���(I������� ������>�A�2 4/�! 04�A��90�����')�$��� ����H�� � �������!%�c!8�� �����F �/��07�[���� ����������� ?& � :w6G/�!%$�!T �/�!c$����!80G����Z&�!89��(& �/�!2���$� ���!80<���9� �/�!B������ 40<�J!%9c ��- �/�!G04���#'?�$��� ��#����#��$�!S��0Y�J�����M6G0%" 2/�!2���$� ?& �/�� 7��0K04���L��0�!%9\ ��Q0�!%�9E 4/�!��c!80�04�A��!.���, �/�!���$����������Y�$��� ����H��Y���(I�� �A!802 �/!0�����')�$��� ����H��w62�� �/ ��������� 2 �/�� B�����0���0� 40N���Y�� �0B������ �����;���1��� � ��02�H�����c�� � �!89���F �/�! #L$40� B0� 4�A��! � :#�� �0B$4���9��(��'5 4���L! � ��0S��!%�!%$4�A �!89D���� �/!-0�!%�����9Q0� 4�A��! � :# �/!9�!%�������c�� 4��!8�( ^���#�J�($����� ��������$��MI(��9�!89� ��T�� 3���c �/�!7 ?6��T�H�($�$�!%04�L���9������P0� 4�A��!%0%:���9c �/!G0�!�(�!%���!2�A�;�A�����')�����c����.��!80�04�A��!%0 � �A�` �/�!G�($�����������$��� ����H����0�!8��'����� �!89�0����[��$ � ""2/�!-���1��� 2�$��MI(��9�!89���&D 4/�!-�� �/!%$S���$� ?& � �5" !�"�:� 4/�!-9!%0����(��A �!%9$�!8�H!���I�!8$ � �H���10���0� 407���N �/!c�������c�� 4��!8�( �0P�� -/����9107�J�($7 4/�!�0�!8�9�!%$ � 07������ T���9$����9�����') ����1! � $�!8�H!%��I�!%9P���. �/! #L$40� Y���19.0�!8�H�(�9.0� ��A��! � ��0y6S!��#��0Y �/�!B0�!�#��!%���!�A�O�A�L�c!%0404�A��!80^ �/1�A 3�� �/��0N�$�!�I#�����0��&�0�!%�( 3 ��� �/�!K0�!8�9�!%$%""2/�!2�[��1�H ������1�A��� ?&�����$����� �!�!80B �/�� G!��� �/�!8$7 4/�!�����$4$�!80��L���9����� � ��!Hz� �')0� �!8� � �c!%0404�A��!T��079!����I�!%$�!%9��$S �/�!.9!%0����(��A �!%9 $�!8�H!���I�!8$B9�!� �!%�H 40G�=/�!8�A ������L"

J �Q��$49�!%$S ��D�����M6q�c����9����$2�$�!80�!8�( ��A ����(�D�A�< �/�!.�����������!89Q�1$��� ����H���0%:�6S!T0� 4��$� �(&9�! #L�������.���c��9�!�#��A �!B��� ������c���`$�!%9�1�H�!������� ?& � 6G/�!8$�!G/!%$�!S 4/�!G�($����H�!H'?�A��9�!%9.�1$��� ����H����!%!%907 �� �L!�0�!%�%�$�!T���E 4/�!����A����H�����0G�c��9�!%<$4�A 4/�!%$2 4/���\���E 4/�!�0�!%�c�u'?/��(��!%0� G���! � "g !��!Hz� P ��$4�, ��\�����0� �$4��� ������Q0�!%�%�$�!��$��� ��#�����0G�J�($P0�!%I�!%$4�A3���0����.�[�1��H ����(��A��� ���!80�:���19��0�!S �/�!2��A � �!%$< ��P�����0� �$4��� <0�!%�%�$�!B�$��� ��#�����0Y�J��$< �/�!B 4/$�!%!2�c�������[���� ����������� ���!%0�c!%�( ������!%9\���L�MI�!�" ������A��&�:6S!P�1$�!80�!8�� 2���9Q����A�& �!P �/!.���H 4��AO�����������!8$�"

������� �<��!*6�� -/� �T�7��'�6.!8� -9�$+�4 1 +.' 1 !"� �&�$4 -0� -9�$+ �� �� � ��� (7�1�A������(�0��& ����(!%�� ������ , " l1" ��:L6S!����M6 9�! #L��!c6G/�A K6�!c�c!%��� ��&E04�Z&#�����F �/�� 7���!�[���� ����������� ?&�2 6�� � 4 6 HOM 4 6 8�� ��6 2 ��>������ �/�!8$.�[�1��H ����(��A��� ?&�" g !E�0�!F 4/�!E0�����! 9�!H�s'������ ����(�V�A�.���V�($����H�!H'?�A��9�!%9U�$��� ��#���� � �_" !�"�:dp-!*#L���� ������ , " l1" � � :���� $�!�#����$�!,04��=/V��$��� ��#����3 �� �L!F0�!8���$�!����> �/�!Q�c������H�����10��c��9�!� � $4�A �/!%$T 4/���a0�!%�%�$�!F���> 4/�!F0�!%�c�u'/��(��!%0� T����9�!%_:Y��0P$�!�#����$�!%9@���^p-!*#L���� ������ , " l" � � " � !8���A�^ �/1�A P �/�!����0����c0�&��( ��Az,�A����j��$4�����!�')����9�!89a�$��� �������B�A���M6G0c0�!�#��!%�( ����A � ��� D���� ����$�����!� � �($����H�!F������0%" �1�($0�������������� ?&D���Y�(�$N!�z�1�(0��� ������;:#6S!-$�!0�#����$�!K 4/�A S �/�!P�!%���� �/F�A�Y!8���=/D�($����H�! �#��!8$�&D������L!.9�!� �!%$4������!89F�[$���� �/�!T�!%���� �/ �A�< �/�!T������ ����AO����� 2 ��D �/!T��$4���H�!H'?�A��9�!89��$��� �������5"q ��r!� �#"$�%���&���� ��t � 0�!%�%�$��� ?&F$�!%9�1�H ������10 � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � ) �

u ':2 ) :�� 6� : )IF%) <�: �_V V � T 7�: < 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8BD 4 < F < � <�H )!2 2 7 ) 8 F < = 6^MOP=4fnOv���w�J2 � 0�.�6 J � x M�n . ��4 2Nn 056 4 �\0y�T ) 9 FI@ 6 < 4 7 � H 6 7�: 2 C 6 4�2 7 4 6 7 � � < 4 8 ) :� F < y|V�� <�C 66h 6 4�T) :,7 ��� < 4 8E7�: ��6 C )IFI@ FI@ 6 8 6� : )IFJ) <�: <G9 FI@ 6>) 8 6 7�H ;@K <08 6 H � �J��$2 4/�!.����I�� ��!%9F�[���=' ����������� ?& � T!FI@ 6 < 4 7 � H 6 8 < 6*2 :�< F 7�: 2 C 6 4 = < FI@ D?7 4*FJ) 6 2�� <�: � � 4 4 6 : F HOM T ==� F 4 7 F@76 47�: 2 C 6 4�2>� 4�2*F F@76 4 6 7�H ;@K+<8 6 HAD?7 4*F M F@ 7 F 4 6�c � 6 2*F-6 8 FI@5)!2�2 D 6��1) �R� < 4 7 � H 6 � 7EHIH� ���> �/�!��($����H�!H'?�A��9�!%9C�$��� ��#���� � V � @76 : 4�6 ��61),h$) :� )IF 2 D?7 4*F <G9 FI@ 6 < 4 7 � H 6 7�: ;2 C 6 4�T FI@5)!2 D;7 4*F M � �5" !�"�:w 4/�!�$�!8�A�')�c��9�!�<���$� ?& �/�� K$�!0�#��!%0� �!89E �/!��($����H�!.���A� �) : 2*F 4 � �1F 2-F@76 < 4 7 � H 6 C @ 6=F@76 4 < 4 :�< FRF < 4 6 2 D?<�: 8 F < F@76 < F@76 4 D;7 4*F M V� 6 � <�: 2*) 8 6*4 <�:�HOM+D 4 < F < � <EH 2 ) :zC @ )��%@,F@76 H 6 :�� FI@ <G9 6 7 ��@ < 4 7 � H 6;c � 6 4 M )!2 7D;<EHOM�:�<�K ) 7EH ; F%) K 6 � <�K-D�� F 7?=1H 6 9��;: �=FJ) <�: <G9 FI@ 6 H 6 :� F@ <G9 F@76 ) : )IF%) 7EH ) :ED�� F/F <FI@ 6 D 4 < F < � <�H V � 4*F@76 4 K+< 4 6�T 7 2/) :�� 6� : )IF%) <�: �_V V � TRF@76 H 6 :� F@ <:9 6 7 ��@�c � 6 4 MK � 2*F = 6 D;<EHOM�:�<�K ) 7EHIHOM 4�6 H 7 F 6 8 F < FI@ 6 H 6 :�� F@ <G9 F@76>) : )IFJ) 7�H ) :�D�� FHV� 6 � <�: 2*) 8 6 4 6?�76�� � FJ) <�: 2 <G9 2 � ��@ 7-D 4 < F < � <EHK==M 7-D;7 ) 4 <:9WD?7 4*FJ) 6*2?T C )IF@�2*F 4 7 F-6 ;� ) 6*2�4 6 D 4 6*2*6 : F-6 8 ==M D 4 <A= 7?= ) H )!2*F%)�� D?<�HOM�:�<�K ) 7�H ; FJ) K 6 7�H �5< 4*)IF@ K 2�� � 7�: 8 ���3T2 � ��� F� 7 F <�: 6 <:9 F�76 D?7 4*FJ) 6 2 9=<�HIH <�� 2 F�76 < 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8�D 4 < F < � <�H V>W � � � 7>D;7 ) 4)!2 � 7EHIH 6 8�0 �&��4 P<P=4f� 6 J�V ' :�7�H < � <�� 2 HOM F <�� 6� : )IFJ) <�: �_V � V��OT F� 6��J2?4fn �ZJ���J . M ��4 2&n 2 x0 n 2 � 0�.�6 J � 0 4 � J6� � � 2 �@2 . 2 6 :zo 4 ��w 2 � 0�.�6 J�y�M�n���J � � � � �b� � � � � 4fn ��wOJ ��J 056 � 2$� J 6� ���@���1��� .�����$ � , �/- � ���19X���#z��������$�&\������ �� � T 8 6 :�< F-6 8�� )���� =- * � =���@ � , �.- � T )!28 6� : 6 8+7 2-F� 6 <�� F D�� F D?7 ) 4:4 6 2 �?H FJ) :��+<:9 F�76/) : F 6 4 7 �=FJ) <�: = 6=F � 6�6 : �K� � , � � � 7�:�8� � � -�� � � T � �76 4 6 < 4 7 � H 6+� 7EHIH 2 7 4�6 7�: 2 � 6*4�6 8 � 2*) :�� y|V � 6 2*F 4 6*2�2 F� 7 F�� 6*4�6>F�764 6 7�H�K <08 6 H � < 4 4 6*2 D?<�: 8 2�F < 7�: 6<�76�� � F%) <�:,<G9�7�:,< 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8>D 4 < F < � <�H V

u ' :�< 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8 D 4 < F < � <�H : � 2�) :� F�76 < 4 7 � H 6 ; 9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M y )!2 2 7 ) 8 F < P<J �. M ��J 6 \ . 2&� � M��:J0�L) 9 7 � <�:�8 )IF%) <�:(7�:�7�H < � <�� 2 F < F�76 <�: 6 ) :�� 6� : )IF%) <�: �OV � V��� <�H 8 26Vjl�� 7 F )!2�T F�76=6 6��=F <G9+7�:NM 7�8�K )!2�2*) =1H 6�4�6 7EH ;@K <08 6 H 2*F 4 7 F-6 � ) 6*2 7 2 7?= < h 6� 7�: = 6�2*) K��?H 7 F-6 8 ==M�7�8�K )!2�2*) ==H 6 2*F 4 7 F-6 � ) 6*2 9=< 4 F�76P) 8 6 7�H K+<8 6 H T � �76 4 6 F�76) 8 6 7�H�K+<8 6 H 9=< 4�� <�K D�� F%) :� � )!2 6<� 7 �1F HOM 7 2 ) :�� 6� : )IFJ) <�: �_V � V � V

! s�k]j?n0}�jXt�lV�.tcp$����va~,w�i*j&sIk�pIt��ojQ¨�p�lo{ jX{L}*k]s�w�sZtQs�� � � u*n�lVr*�£sIk�pIt��ojH�.��lonn]p$lo{�w�s �]\c^ �aYV\�d e&^QW*S����c[]\�� � lVr£w�i*j%qHp��VlotQlVs�u.n¢qxsZ{ j_����l�����sIk�jcz�jck0vH} k]sIy|¨p�y|l��Vlon�w]lot%}�s���v|r*s�q?lop$��¨�w]loqxj�}.p�lVk "$# � " 0�% " � ��w�i*p$w�lon�p�{ q?lon]n�lVy �Vj(�¬s�k�w�i*j&('*),+�-/. 01'2+3.547698:';.<&5)>=�+?'2@)<A�01'*0B=(.<-7CED:6�),69A�.<F w�i jck]j�j_¡Zl�n�w�n�p�} k]sIy*p�y l���lon�w]lot}�s���v|r*s�q?lop$��¨�w]loqxj£}.p�lVk GH# � G 0�% G � ��w�i*p$w?lon?p�{ q?lon]n�lVy �Vj���sIk2w�i j A�0>'()<+-I. 0>'2+ � s�� �%j_�.r|l�w]los�ra� �a� Ja�>n0u*t�i£w�i.p�w

K�LNMPO�QSR ��T U�VXW2Y ��Z %5[ �(\^] T _<T Wa`b K^c�O�QPR �d T efVgWhY ��Z %i[ �(\�] T _<T W� i*j_k]j Z %*[�%(jlk K 2 % ��\<m&n0u.t�i�w�i.p�won Z n>#pn [ n p$r.{�n j n,#«}�s���v � n Z n �Q�

u ' :(< 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8 D 4 < F < � <EH )!2�2 7 ) 8 F < P<J . M �,J 6 \ ��JS�&M . J�� F < y�T ) 9 )IF 2 6 � � 4 6 HOM� <�K D�� F 6*2�� � � 6 : � 2*) :� F� 6 < 4 7 � H 6 ; 9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M y|V�` : 2 � � � 7 � 7 2 6 � 6 2 7�MF� 7 F�� 4 PeP?J . M �,J 6 \ �,J6�NM . 4f� 6 J �@2Xy�T

g !.��$�!P��M6 $�!%��9&D ���0� ��A �!T�c�������L��0��� ����(�F 4/�!��($�!8���J��$B 4/�!.���A��������(�02�c�#9!�5"

� ���,+��.-����� �!s � /������L��0��� ����(� 2/!���$�!%� �J�($< �/�!2���A��������(�0��c�#9!� � �eW �3D D;< 2*6 F� 7 F� )!2�2 6�� � 4�6 HOM 4�6 8�� �=) =1H 6 F < y 7�:�8 F� 7 F F� 6*4 6:6?�E)!2*F 2 7 D 4 < F < � <�H 9=< 4�2 6�� � 4 6 HOM � <�K-D�� FJ) :��y|V�l�� 6 : F�76 4 6 6?� )!2*F 2 7/D 4 < F < � <EH 9=< 4 2 6�� � 4 6 H M � <�K D�� F%) :� �(V

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ) � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� !8���A�� �/1�A � �/�!20�&��� 4�Mz.���L��$4�����!�')����9!%9.�$��� ����H���0�9���0������M6G0Y������%�$4$�!8�� <��$4�����!B������0%:���19V �/#�0 2/!���$�!%� , " � " lC��0Q���H 4��A��& ��2 6�c � 6 : FJ) 7�H � <�K D?< 2*)IFJ) <�: F�76 < 4 6 K "'(K0���� �/!C0�!%�c��')/��(��!%0� Q�%��0�!�:K �/�!ª/������L��0��� ����(� 2/�!��($�!8� ����� �1!C��!8��!%$4�A�� �!%9V �� &#��!��9 �$4���10��� ���I#�� ?&Q�A�30�!8���$�!H'?$�!%9��� ������0�@� �/1�A G��0�:L�u�U�F��0K0�!8���$�!��&Q$�!%9�1�H�!���!T ��[yX���9{y@��00�!%���1$�!%�&F$�!%91��H�!���!- ���1. �/!%�;�D��070�!8���$�!��&�$�!89����.���!T ���1 � 0�!%! + z�!%$4�H��0�! �8l � "(70-/����( �!%9X��� �(!8�H ������ , " l".��:` �/�!��$��#�A�3�A� 2/�!��($�!8� , " � " l���0P0����(���9#w�����( ��&E�c��$�!

�H�(�����!�zT �/���. �/!B�1$��#�A����$2/�!%��$�!%� , " l" l" 2/��0�9��#!%0<���� <$�!H�J!8$y ��K 4/�!S�����0� �$4��� �������A�� �/!.$�!80���� ������D�$��� ��#����5: ��� G$4�A �/!%$B ���!80� 4�������04/��������� 40G0�!%���1$��� ?&�"3 +������L6!7�� "8d3�8 (7�����������10��&> ��C �/�!\�$��(���7�A�:2/�!��($�!8� , " l1" l1:^6�!\��$�!F����I�!%�W�����$4�����!�')����9!%9-�$��� ����H��_:89�!%��� �!892:";�< =L:8 4/�A O0�!%�%�$�!��&K$�!%9���!%0(�7 ��Ey<:Z���9P���P��$49����1��$�&�$��� ��#����>:2=X �/�� �0�!%�%�$�!%�&a��������� �!%0�y<" (G�(�A���;:^6S!Q�H�(�0� �$4��H c�@�$��� ��#����>:i�J�($�H�(����� ������a�D���F �/�!T��� ��$4�A;�����1��!%$�@� �/�� ���0%:0� 4��$� �������62�� �/�:";�< =1:�6�!P$�!%�������!K!8���=/����I������A ����(�����< 4/�!T��$4�����! � �5" !�"�:1�A�Uy � �(&F��� !Hz�!%�%�� ������Q�A�� �/�!.�1$��� ����H��5:?="

/��!%��$��&�:�:i�H�(�c�1�� �!80F�w:^���9>6S!F��!%!%9> ��C0�/�M6R 4/�A �: 0�!%���1$�!%�&C�H������ �!%0F�L"�#�L!%���9#L�%�A��&�:6S!P04/��(���9\�$�!%0�!%�( 2�� �$4���10b�J�($����A ����(������$�!%��u'?�c�#9!�;��9�I�!%$40���$���!%0N�J��$�:���� �����9�!8�A�')�c��9�!�`��9I�!%$404��$���!80��J��$e�w" g !P/�ZI�!-�A N�(�$B9���0��L��04�Aw ?6��� �$4���0��J��$4���A ����(�0�A�S$�!8�A�')�c��9�!�<��9�I�!%$40���$���!%0 � �J��$2:2;I< = ���9E�J�($&:?= � ���( �� ����$4$�!80��L���9�����F��9�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$���!80 � �J�($��D���190y<:�$�!80��L!%�� ���I�!��& � " �(�c �/�! #L$40� � �/������c6�!P0�/�����9�9�����0B9�!8$���I�!�:�[$���� �/�!\$�!%�A�'?����9�!%S��9�I�!8$�04��$���!%0P�A�":�:N$�!%��u'?�c�#9!����9�I�!8$�04��$���!%0P�J�($£:2;I< =C���9a�J�($:2=1"g !7��040��1��!�:�62�� �/���� 3���0403���;��!%�!%$4�A��� ?&�:A �/�� ����w$�!8�A�')�c��9�!�L��9�I�!%$40���$���!%0��(�� ���

�/!���$�I(��!�6i�A�K 4/�!\!Hz�!%�%�� ������O" � � !%�%�A�2 �/�� ����(&a�� �/!%$c���� 4��� D�����<�L!\!����H��!%�( ��&�H�(����� �!89p�[$���� �/!CI#��!�6T:-���9p 4/�A \���(&p��9I�!%$404��$�& �����)�L!X!8��0����&p�c�#9�9#1!89o ����� ���� 2�� �0GI(��!�6T" �

9 !% � � � � ��� �E� � �L!F���C��9�c��040��.���!������$T���G$�!8�A�')�c��9�!�30� �$4�A �!�����!80T�A�%:�" g !#L$40� �9�!%$���I�!2�[$����R�� S�.��A��$3���O0� 4$��� �!�����!80 � � � � � � � � � 4/�A �$�!8�$�!80�!8�( 3 �/�! �1!8/�ZI#���($�A� � 91�$������ � !%���=/\��� � 4/�!.����I������A ����(�02����:?=1" � g !�0� �$�!%0402 4/�A G6S!.9�!8$���I�!.��0��������!�����$N�A�O$�!8�A�')�c��9�!%L0� �$4�A �!%����!%0^ 4/�A �$�!8�$�!80�!8�( 3 �/�! �1!8/�ZI#���($3�A�; 4/�!K��9�I�!8$�04��$�&�9�$�������A�� �/�!c����I������A ����(�0G����: = " � < < �(���1�H!c �/�!D/��(��!%0� � F ���10� �L!%/�ZI�!%0-��������$49������� ��J:�:�� G�J�����M6G0G �/1�A G 4/�!����9���!%9 � F ���10� :�1!8/�ZI�!80G���%�H��$49������D ���:2=1:L6G/���=/,�c!8���07 �/�� � F ��0�/����!%0� �"<2/#�0%:36S! �J�#�%�0c���j �/�!\�� 4/�!%$ � �_" !�"�:S9��04/����!%0� � � F " J � �/���0D����0�!�: �/!�9�!8$���I�!89 � F ��0-��$�!8�A�')�c��9�!%y��9�I�!%$40���$�&F�A�¢: = �/�� 7��!� �0K��0K���#z��������$�&F������ - �/!/���0� ���$�&Q���3 �/�!�!Hz�!%�%�� ������,�A�m:R�1�E ��Q �/�!c���$4$�!8�( G���(I��#�%�A ����(�\�A�¢:2=L"��L��$4�c����&�:f� F �� �A!80Y ?6S�P���1��� �0%:A�(��!2$�!8�$�!80�!8�( ������ � ��0^�04��� � �/!B/��0� ��($�&T���w 4/�!2���$4$�!8�( Y!�z#!8���� ����(��A�>:2=1:O���9E 4/�!c�� �/!%$ � �5" !�"�:O���@����z#�������$�& ����! � �L!������ �/�!�/���0� ���$�&\�A�3 �/!�!�z#!8���� ����(��A�:i�1�> ��, 4/�!F���1$�$�!%�( T����I������A ����(�C�A�%:2=L" g /!%��� F �H�(�����!% �!80 � �($.���L��$� �0 � �/!���1$�$�!%�( ^!Hz�!8���� ����(�����!:2=1:��� 3��� ���� 403�� �0NI(��!�6V���` 4/�A N!Hz�!%�%�� ������;" 9 �#�(0�!%�&c0��L!%� �������L:6S!S9�!8$���I�!S �/!B����$4$�!80��L���19�����7��9�!%��u'?�c�#9!����9�I�!%$40���$�&K�J��$|y<:A9�!8���� �!%9 � � � � � � �& � � :�(&,!%������M&#����Q 4/�!������$����� �!�!89E �$4���0��J��$4���A ����(�;" (R�J!�6R �!8�=/�������A39�������� ���!80T��$���0�!���19Q��$�!T$�!%0����I�!%9Q��0S�J�����M6G01�

�����(�O�E¨k�f¬dªO³f�:¥Z«�³ ¡�:¥k �«?¡� »%�K£�¤|�_�Q¥� »_�f _©a«>�O� �3�:¥k�: 6¡RªO«��f¥d£�¤ H�¥k�Q«�³ ¹,¬d£6�O�:³B°�¨¡¥H«?¡�:©��f�Q¨Z¤]£�¥d�Q«�¯H��f %»%£S¯Q«?¡�f£� E£�¤�� � ®(£�§O³f�R��«:»%� ¨k§d¯:�Q�d¤]£�¥���«� O�_³f�f O©�£�¥k«�¯:³f�:¹,«��f�O�:��ª_¥k£�¡£S¯:£�³f¨�¡��«?¡(¬R«�¶���«�¯:£� O¨I¡H«� %¡ 6§O¬e­��:¥g£�¤(£�¥k«�¯Q³f��¯Q«�³f³f¨<±��(�O�Zª�£��f %¡|�f¨ ¡��«?¡U¡k�O��¯:£�¥k¥k�:¨ª3£� _�O�f O©b�f�_�<«�³ ¹�¬d£S�O�:³&¨¡¥H«?¡�:©��f�:¨�H�®U± ¥<± ¡Q±���° O�:�:�b¡£Z­��|¯Q£�¬�­O�f O�:�b�f %¡£d«�¨�f O©�³f�|¥k�Q«�³ ¹,¬d£6�O�:³�¨I¡k¥k«?¡k�:©�¢�¤!£�¥ � ��� � ±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � ) l

u � ��$� ?&�B � �5" !�"�: � F � ��0.���� .�!%�H!80�04��$����&, 4/�!����$� ?&, 4/�A .���Z&�0P �/!�B) �/>���$� ?&,���:2= � �5" !�"�: � ��$� ?&��\��0����� ��!%�H!80�04��$����&> �/!\�1��$� ?&a��� :";�< => 4/�A D$�!0�#��!%0� �0c 4/���0���$� ����������$c�($����H�!\�%�A�G ���y � ")�L�1$� 4/�!%$4�c��$�!�:N 4/�!,��9�!%�( ��� ?& �A�P �/�!,���$� ?& � ���:2= � ����Z&�!89���& � F ��0K��� �#1z#!89;: ��� -��0K$��� �/�!8$79�!% �!8$��c����!%9 ��& �/!c/���0� ���$�& �A� �/�!�!Hz�!%�%�� ������\����: � 6G/����=/E��07����I�!%� ���� F ��0G���#z��������$�&Q������ � " J �E�H���( 4$���0� %:���$G9!*#L���� ������107$�!H�J!%$G ��F��9�I�!8$�04��$���!80S �/�� 7����Z& �D�$�!%9!� �!8$��c����!%9E�1��$� ?&�"�2/���0 �!%�=/1�����%�A<9���04��$�!%�1�����&Q�������1!��MI�!%$4�H�(�c! �(&E�H�(�0���9�!8$������D ?6S�DI�!8$�0����(�02��� � F :9�!%���� �!89�� F * � ���19�� F * � :�04��=/� 4/�A � F * d ���c�0�!%9 � ���0� �!%��9���� � F � �����%��0�! � ��$� ?&?B��0S �/!P�1��$� ?&D �/�� B���Z&�0� �/�! �� �/\���$� ?&����L:?=" J �9!�!%9O:3� F * d ��02�A�6S�Z&�0S�0�!89� ������Z&�0S �/!��� 4/\���$� ?&�����:?="

u ( �c������$<�$������!%� ��0Y 4/�A � F ���Z&T/�ZI�!��� 40Y�M6G�����#z��������$�&K����� �:A���.6G/����=/��%��0�! �/�!S$�!80���� ������l� F 62����/�ZI�!N ?6��-���#z��������$�&K����� �0 � �5" !�"�:� �/�!1#L$40� Y��9�!8�( ������A( ��- �/!����!B�A�f� F :����9� 4/�!G0�!%�H�(�9c$�!8�$�!80�!8�( ������-�P���$� �����#!Hz�!%�%�� ������� �$4���04��$����� ��A�h: � "/��!8��$��&�:� �/!%0�!K ?6S������z#�������$�&c���1��� �0B�%�����L!-����� �����!89D���� �����0��������!K���#z��������$�&����1�� �" � 2/���07�[���H -/����90K��!8��!%$����%�A��&�:$�� -�c��$�!�0��F���E �/��0P04�1!8�H� #L��0�!� � ������F���6G/����=/��� N��0N���(&#/�M6U��� ��$4�A1 ��.����H�($��L��$4�A �!2 �/�!K���1��� �0� ������D��9I�!%$404��$�&T���D�� �0I(��!�6 �A�� �/�!T!�z�!%��� ������Q �$4���04��$���� �" �

u 2/�!B���0� ^�$������!%� ��0^ 4/�A ��� ^��0N���� ^�H�!%��$<6G/�A xN������� ����A������ QPT04/������9 �1!2����I�!%� ��7 4/�!2��9�I�!%$40���$�&l� F ��M6B��$490y�� 40<�%�$4$�!8�� Y!Hz�!%�%�� ��������A�,:?= � �5" !�"�:A 4/�!S����1�� � �/�� ��0T04���L��0�!%9X ����L!��0�!89,�J�($T�H�(�c�1�� ������{y � " C �M6S!�I�!%$%:` �/���0.�$������!%� � 6G/����=/��0.�c�($�!������#�[�0������E �/���>$�!8�A � /��0T��� � ��!���������� .���C���1$.��$�����c!8�� %: �L!%�����0�!6G/�A T���A � �!%$40P��0P �/�!����H ��1�A3���� ������0-��� � F 9�$������\ 4/�!����$4$�!%�( K!�z�!%��� ������X�A�:2=1:#���9� 4/�!%0�!T��$�!K9�!% �!8$��c����!%9 ���0�!%9F������ �0 � ���H 4��A � ���#z��������$�&�����1�� � 6G/����=/$�!8�$�!80�!8�( c 4/�!,/���0� ���$�&j���- 4/�!,!Hz�!8���� ����(� ���2: � " �( ����_:2 4/�! N������� ����AG����� �0_P�J��$. 4/�! !Hz�!%�%�� ������0��A��:?=C/�ZI�!� �� �L!Q9!*#L��!89j0��@ 4/�A � �/�!%&W�����;�1!\���040�!%9 ��D �/!���9�!%��u'?�c�#9!�y��9�I�!8$�04��$�&� �/1�A G6S!�9�!8$���I�!P�[$���� � F " g !����Z&\�A��c��0� G0�!% �/�!80�!EN������� ����A(����1�� �0_PK��$ ��� 4$���$����&�:Z!Hz�H!8�� Y 4/�A � �(&T�(�$Y�����(I�!8�( ������0Y$�!%����$49�������[���H ����(��A��� ���!%0 � 6�!G���0� N0�!% 3 �/!%�R ���0� �$������0^���;����$4$�!8�H ��!%���� �/ � �5" !�"�:�!�(�1�A �� �/�!.�!%��� �/ ���� 4/�!.�� �/�!8$G���$� ?& � 0RyL')������ � " C !8$�!T6S!.�0�!. �/�!�/�&��L�� 4/�!%0���0G �/�� �/���0B�!8���� 4/\�������L!.9�!� �!%$4������!89F�[$���� �/�!T�!%���� �/ �A�� �/!T����1�� 2 ��A: �� �0�!���b" < #

2/#�0%:K6S!C/1�ZI�!@�%�� ������!%9q��� � ��9�c��0�0��.��! � ��9�!8�A�')��9�I�!8$�04��$�& �����$ � � � �& � � �& � ��H�($�$�!%04�L���9������c ��Xy,04��=/ �/1�A

3 '�� )�� � = * ��� =�� � @ � , �.- � 5 ? � * � � * � � �� 3 � )�� � - � * ��� =�� � @ � , �/- � 5 ? � * � � * � � � , " ��� �g !B�������c!%�( � �/�� �6G/�!%�c�����&#����� + �w" �-, " ��� � :M6S!S0�!� � �/!S����� ^�A�1 4/�!G/����!%0� <���$� ?& ��c!0�#���` �/�!PIM�A���!-����6G/���=/F �/�!T04����$��� ��#���� � �($3�[��1�H ������1�A��� ?& � 6S��0N���(I��5�A!%9O:(���9��� �d¯Q£�¬d¬d�: %¡U¡k��«?¡�®��O�: a§O¨�f O©b¡�O��«�³ ¡k�:¥ �«?¡k� »%�R¯:£� %»%�Q %¡�f£� O¨Z�O�f¨¯Q§_¨k¨k�:�a«?¡�¡�O�d�: O��£�¤� S�:¯#¹

¡�f£�  LS± NS± ��± ��µ6®(�|¬R«Q¢Z®(«�� »%� ¡k�_��¥�:¦S§O�f¥�:¬d�Q %¡�¡��«?¡�¡k�O�|¦6§O�:¥¢R³f�: O©�¡�b­��|�O�#¡�:¥k¬d�f O�:��­6¢d¡�O�|�f OªO§S¡³f�: O©�¡� ±U², O¨¡�Q«�� µ ®���ª�£�¨¡§O³´«?¡�e¡��«?¡�«�³f³$£�¥H«�¯:³f�e¯Q«�³f³f¨�¬R«��O��­%¢K¡�O�e£�¥k«�¯:³f�:¹,«��f�O�:�Fª_¥k£�©�¥H«�¬z§O¨k��¡k�O�¨H«�¬d��¨k�:¯:§O¥� ¡,¢mª�«�¥H«�¬d�#¡�:¥|«�¨ ¡�O�e£� O��®�� ¡�K®��O�f¯H�m¡�O�eªO¥£�©�¥H«�¬ �f¨g�f %»%£�¶��:� ±��  K¡k�_�e£�¡�O�:¥|��«� O� µ§O O�_�Q¥R¡�O�>¯Q§_¥k¥k�: %¡�¯Q£� %»%�: 6¡�f£� O¨Qµ ®��O�: [¡¥¢S�f O©a¡£��#¸S¡�: O�;¡�O�>¯:£�¬dª3£�¨� ¡k�f£� X¡�O�:£�¥k�:¬ ¡£�ª�«�¥¡�´«�³¤]§O O¯#¡k�f£� O«�³f� ¡k�f�:¨ H�£�¥-®��O�: d¥k�:¬d£<»S�f O© ¡�O� 7³f�Q _©�¡k�d�O�#¡�:¥k¬d�f �«?¡�f£� 98U�6¢Sª�£�¡k�_�Q¨�f¨#°Hµ_®(� ¥§O Z�f %¡k£|¡¥k£�§O­O³f�­��:¯<«�§_¨k�|®(�g O�:�:�E¡£Z�O�#¡�:¥k¬d�f O�g¨£�¬d� �_¹,�f Oª_§_¡ ¡k��«?¡ ·O¡¨ ¡k�O�|§_ O¶S _£<®�  �_¹,�f Oª_§_¡�£�¤$¡k�O�|£�¡�O�:¥�ª�«�¥¡,¢%±H,� �_�f¨�ªO¥£�­O³f�:¬�¯Q«� E­3�U¥�Q¨£�³ »%�:�E­%¢��f 6¡¥k£6�O§O¯:�f O©R«��O�:¦6§�«?¡���f %¡k�:¥I¤�«�¯:�g¡£Z£�¥H«�¯:³f�|¯Q«�³f³f¨<± °

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ) � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

0�!� � �/�!E���#z��������$�&>������ D ��>!0�#��AB 4/�!E���$4$�!8�( �!�z#!8���� ����(�j 4$����04��$����� c�A�K �/�!,/�����/�'�!�I�!%T�$��� ����H�� � ��0\0�!%!%� ��&p 4/�!>��9�I�!%$40���$�& � " � (K0\!Hz����A����!%9q���L�MI�!�:K �/�!>0�!� � ������A�K �/�!\�$�������$�&C����1�� � ��X 4/�!\9���04/��(��!%0� ����$� ?&>��0��������A �!8$����A5: �L!%�����0�!F �/!Q��A � �!%$9�!% �!%$4�c���!%0B�� �0G���H ������102��������$49������� ����� 40G���#z��������$�&D������ %" �

� �$��!Hz� Q0� �!8�V��0F ��j9�!8$���I�!\�[$���� � � � � ��� �E� � �j��A��$D�A�.0� �$4�A �!�����!%0 � �� � � � � � � 4/�A �$�!8�$�!%0�!%�( . �/!��L!%/�ZI#����$��A� �v9�$������X �/�!J: ;�< = ')�1��$� ��A��:�" (7�������;: �/!�/����!%0� o� F ���9�1�H!%0K���H�($�$�!%04�L���9������ � F �/�� ����0� �1!8/�ZI�!80G���%�H�($�9������� ���:2;�< =1"<�$�������D ��D �/�!.9��04/����!%0� � F :16S!P9!%$���I�!B� F �(&Q$�!%�����������c 4/�! � $�!8�A � ���H ����(�0B�A� � F �/1�A - ��E��!c�����H!c��� � F �(&,0���������A �!%9X���H ����(�0K�A�N 4/�!���9�!8�A�')�c��9�!% � F " 2/�A -��0%:; �/!��9I�!%$404��$�& � F $4��0T�����=/�����! � F ���������&�:Y6G/����!D���( �!%$4���� ������\62�� 4/C �/�!����H ��1�A3�� �/�!8$���$� ?&P�A�5:";�< =1:A���� 4�A���������K 4/�!B��!80�04�A��!%0Y �/�� � F 6��(���9�/�ZI�!�0�!%�( Y���c�K$�!%���!�z#!8���� ����(��A��:�:#���19��J!%!%9������ � F 62�� �/D�c!%040�����!80� �/�� 3�� ^!�z�1!8�H �0N ��.$�!%��!���I�! � �5" !�"�:#�c!%040�����!80� �/�� � F 6��(���9D/�ZI�!7$�!%��!���I�!89������.$�!%��!Hz�!8���� ����(�D�A�!: � ""2/�!K/���9������.�A��� F � 0��c!%0404�A��!809�!8�1!8�9 ��� 6G/�!� 4/�!%$B 4/�!�&��1!%��(���� ��D 4/�!x: ;�< = ')���$� B�($B �������!P���< 4/�!T���(I��#�%�A ����(�0S�A�:2=1" 2/�!���!�&F�L�����( 2��0B 4/�!./���19���������A�� �/!T��� � �!8$2�c!%040�����!%0%"

� 7�:�8;H ) :�� K 6*2�2 7�� 6 2 <G9 :";�< =?��2/!%0�!C�c!%0404�A��!80F��$�!@�J��$�6S��$�9�!89V ����8�[$���� �/�!>�� �/�!8$���$� ?&�62�� 4/����� 2�=/������!�""2/�A B��0�:�� F �10�!807� F ���Q��$49�!8$N ���9!� �!8$��c����!P �/�!T��!�z� ��!80�04�A��!Q ��;�L!@0�!8�( �:B���9p9��#!80�0�� �(&W�J!%!%9������ � F 62�� �/V �/!@/���0� ���$�&W�A�T �/!!Hz�!%�%�� ������ 0����[��$ � 6G/���=/\�H�(�( ��A���0%:2;I< =�'?���$� 2�c!%040�����!%0B 4/�A � F /��0G$�!8�H!%��I�!%9�1!��J��$�!���0P6�!%�3��0P �/�!�:?=M'?���$� 40P �/�� T�� ./��0P��!8��!%$4�A �!%9@0�� �[��$ �(&@�� �0�!��� � " J ����$� ����������$%:#�u� � F ���L��$� �0S �/�!8�\0��D9��#!%0o� F "

� 7�:�8;H ) :�� K 6*2�2 7�� 6 2 <G9 :2=N� � �L���c!%�( �!8$������.�T��!%6 ���(I������� ��������A�!:2=1:� 4/�!7��9�I�!8$�04��$�&� F 0�!� �0�� F ���$�!8�H�($�9F �/�!�/��0� ��($�&����< 4/�!T!Hz�!8���� ����(�Q����: 0����[��$%" �7�M6T:L$��� �/�!8$ �/���X!�z�!%��� ������K:2=@�0������ � F � � F � � ��0B� F 6S�����9>/�ZI�!�9��(��! � :Y 4/�!F��9�I�!8$�04��$�&� F ���(I�� ��!%0 �& F � � F � :<6G/�!%$�! �& F ��0T 4/�!���9�!%��u'?�c��9�!�N��9�I�!8$�04��$�& �J��$Fy � 9!%$���I�!%9���L�MI�! � " � !%�����w �/1�A �& F 0�!%�90B���c�c!%040�����!%0����9Q���E�A!80���0��������!K��$4���H�! �#��!8$�&� 6G/����=/��� �I#��!�6G0B��0S0�!%�9����������c!%0404�A��!K ��c�� 40S�����A�����1��$�&� 4$��0� �!89F���$� ?& � "32/!$�!8�A�')�c��9�!�L��9�I�!%$40���$�& � F � �J��$N �/�!K��$4���H�!H'?�A��9�!89c�1$��� ����H��®: ;�< = � �J�($�6B��$490^ 4/���0�(�!%$�&F ��Q�� 407�M6G� �($����H�! � �5" !�"�: y � :`���19 �J!�!%910 � F 62�� �/E 4/�!��($����H�!.���0�6S!%$%"�(B 0��(��!K�1�����( � F �!%$4�c����� �!80�:#���9 � F �10�!803�� �0����� 4��� N �����w9�A �!7 4/�!K0���������A �!89/���0� ��($�&����y �/�!P!�z#!8���� ����(������:�" J �Q���$� ����������$%:(��$4���H�!H'?0� ����1������.!�I�!%�( �0B�����0�!%9��& � F � � F � � �����%��0�! � ��$� ?&2BO$�!0�#��!%0� �!89. 4/���0^04�L!%�H� #L�S��$4�����!S����� � ���9��7')���0�6S!%$40�A�1 4/�!B��$4���H�! � ���� �/�!B�� �/�!8$<�%��0�! � ��$�!�/���9��!%9����� �/�!20� �$4�A����/( b�J�($�6B��$49T������!%$%"

� U ��[�W#����TVU1�"[c`�\WZYob$^�d \�bZU�¤���*�bZU1�. �\IY �cfZu*} }�s�n0j�.k�n�w�w�i.p�w(��p$k0w�vA�©i.p�nk]jX�au*jcn�w�jX{Mw�i|l�nxn0}�jctQl���tEs�k�pItQ�Vj�tcp��V���ª �rMw�i|l�nxt_pIn0jI~mp���w�jckHk]jXtQj_lVzZlVr �Jw�i*jsIk�p�tQ�Vj&p�r.n � jck � � i lot�i�l�wmzaloj � n�p�n�w�i*jp$r.n � jckms���l�w�n�w�k]u.n�w�jc{�}.p$k0w�v*�Q~Zw�i*jlo{ jXp���¨�qxsZ{|j_�5pI{ zIjck�n]p�k0v G �� qHpcv£n�w�sI}El�w�n�w�k]u.n�w�jX{£}.p$k0w�va�� ��5w�i lon¢i.p�} }�jcr.nw�i*j_rLqHp�t�i|lVr*j " � �� lVr.n�w�k]u*tQw�n>l�w�n(s � rLsIk�pIt��oj � l�� jI��~!�.�>r*s$w(w�s£k]jXn0}�sIr*{�w�sw�i*j&s�w�i jck%}*p�k0w�va�(¦(j_¡ZwX~®n0u }*}�sIn0j"w�i.p�w%��p$k0w�v���lon>w�i j"}*p�k0w�vAk]jXn0}�sIr*{|lVr*�w�s?w�i lonmn0}�jXtQl��.t%sIk�pIt��oj"tcp��V� � k�p$w�i jck¢w�i.p�rEk]jX�au*jXn�w]lVr*�"lVwQ�Q�© �r£w�i lon�tcpIn0jI~ l�wqHpcv�i.p$}*}�jcrLw�i.p$ww�i j?sIk�p�tQ�Vjxl�nn�w�s�}*}�jX{�yZv�w�i j?s�w�i jck}.p$k0w�v � l�� jI��~�w�i*jsIk�p�tQ�Vj&lonmr*s$w(p����os � jX{Aw�sHp�r.n � jck���p�k0w�v����Q�!�Gi jcrEr s�w]l��.jc{As��!w�i lon¢jcz�j_rZw� l�� jI��~©k]jct_j_lVzalor �Lp��(¨�p�r*n � jck��k]sIq lVw�n&sIk�p�tQ�Vj��Q~�qHpIt�i lVr*j " � �� �¬j_jX{*n�� p�np�r*n � jckmw�sIG �� �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � ) )

2/���02���������!� �!%0B �/!./���9������D�A�< �/�!.�%�$4$�!8�� B���(I������� �����������:?="g /�!8� � F /1�A� �0T62�� �/a0����c!D��� ���� %: � F /��� 40.62�� �/> 4/�!F04���c!D���� 4��� %" �K�� �!F �/�� � � � � � � � � � ��0G��9�c��0�0��!���!.��02�D$�!8�A�')�c��9�!%`��9�I�!8$�04��$�&��J��$B 4/�!T��$4�����!�')����9!%9F�1$���' �������&:2;�< = � 6G/����=/o�H�(�c�1�� �!80X�j62�� �/q��$4�����!E ���y � " 2/#�0%:G6S!@�����o9�!8$���I�!\�[$����� �C�H�($�$�!%04�1�(�9������,��9�!%��u'?�c��9�!�B��9�I�!%$40���$�&X�J��$��w:N9�!%��� �!89 � � � � � � � � � : �(&!%������M&#����c 4/�!.0�!%�H�(�9Q�����$����� �!�!89D �$4���0��J��$4���A ����(�;:�0���=/ 4/�A

3 '�� )�� � ; * ��� � =���@ � , �/- � 5 ? * � * � �� 3 � )3��� =-�� � � * � � � =�� @ � , �.- � 5 ? * � * � � , " �Al �

2/#�0%:3����I�!8�j�@$�!%��u'?�c��9�!�2��9I�!%$404��$�& � �J��$�:�:�6�!\/�ZI�! 9�!%$���I�!%9 ���j��9�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$�& � �=���� � �J��$Z�w" J 2��02�!H�J 2 ���0�/�M6o �/�� 2���19�!�!89Q 4/�!P�J�����M62�����D/����910

3 '�� )�� � ; * � =�� @ � , �.- � 5 ? * � * � �� 3 � )���� - * � =���@ � , �.- � 5 ? * � * � � , " � � ��7�� �!� �/1�A T �/!c5" /;" 0.�A� + �w" � , " � � � !�#��A�0P �/�!�5" /O" 0T��� + �L" �-, " �Al � :y0�� �� T0�� �D��!%0P ��04/��M6 4/�A K �/�!%��$K�H�($�$�!%04�1�(�9������D$�" /;" 07��$�!.��������� 4�A ������1�A��&Q���9��0� ����������04/����!�"��B� � )���� - * � =���@ � , �/- � 9����`!%$40��[$��(� � )���� =-�� � � * ��� � =���@ � , �/- � �����&a���W �/1�A � �/�!J:2=C���(I������A' ������10F���p �/!@�J�($��c!%$Q��$�!@$�!%�������!%9V���p �/�!C��A � �!%$ ��&V��9�!%��-�%�A��0F �� y<" C �M6S!�I�!%$%:�(& + �L" � , " ��� � :!8���=/J:2=����(I��#�%�A ����(�F��0G�H�(����� ��� ����������&F���9���0� �����������04/�����!P�[$����i�����9�!%��`�%�A�` ��Xy<:#6G/�!%$�!-��������� 4�A ����(��A`���9���0� ������(����0�/��������� ?&�/����90B�A�0���62�� �/ $�!80��L!%�� ��P����z#�������$�&P������ 40 � 6G/����=/���$�!S�0�!89�/�!8$�!S ��P$�!%�$�!%0�!%�( O 4/�!B!Hz�!%�%�� ������� �$4���04��$���� Y��#' ��T 4/�!G�L������ ^���w 4/�!G���1$�$�!%�( ����(I��#�%�A ����(� � " � 0������.�T/(& �$���9c��$����1��!8�( � �H�($�$�!%04�1�(�9������ ��E�\�($���9��A^04���0� ��� ��� ����(�C�A�>:?=\����I������A ����(�0 �(&,��9!%�A����A��0K ��~y � :Y����!D�����X04/��M6 �/1�A 3 � )���� =-�� � � * � � � =���@ � , �.- � 5 ? * � * � ���9�3 � )�� � - * � =���@ � , �/- � 5 ? * � * � ��$�!B��������� 4�A ����(��A��&���9���0� ������(����0�/�����!�" <<� 2/���02!%0� ��������04/�!%0 + �L" � , " � � � :����19Q 4/�!T �/!���$�!%�k�J�����M6G0%"6��(d �+���"4e +��#f <d�"������ ��� B��5� �*+<@$��� �<d�"������2@$�%�#"�����&L"$� f �5"$�*+a- ��� �+&$"$�_d(��� ��& �2/�!@�J�����M62�����j$�!%9�1�H ������o62���-��� �L!>�0�!89p���p���$Q�H�(�c����!%$%: �L!%�����0�!, �/�!>�H�(��'�����!8$�$�!H�J!8$�0N ��c�$��� ����H���0 � $4�A �/!%$3 ��.�[��1�H ������1�A��� ���!80 � ���9�6S!K/1�ZI�!7���$�!%��9�&��%�� �������!89�$��� ��#�����0B�J��$7�$���IM�A �!��& ��������� ������F��!%�!%$4�A;�[��1�H ������1�A��� ���!80 � �(&E�$���IM�� �!��&(')$�!%91��H����� �/!%� ��,9�!% �!8$��c������0� ������(��!%0 � " �( ����5:<6S!F�����0���9!%$T�� .�A�2���( �!%$�!%0� . ��@0� 4�A �!D �/�� � �/!$�!%9��� ������D�$�!%0�!%�( �!%9c��� � $��(�1�(0��� ������ , " l" � ��03���c�[���H �0�!8���$�!2���� 4/�!K��������H�����0N����9�!%_"3 +�� DR��&��#"������L���� �� � 0�!%�%�$�!%�&a$�!%9�1�H�����@�@$4���19����c� �!%9C�[�1��H ����(��A��� ?&a ��X�X9�!� �!%$�'�c�����0� ����2���! � � 61F-� = 6 7 4 7�: 8E<�K )�6 8 9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M T�y = 6 7 2 8 6I� : 6 8 ) :�� c_V �-, ".�S� � T7�: 8 : = 6 F�76 < 4 7 � H 6 ;V7 ) 8 6 8 D 4 < F < � <EH89=< 4|� � 2*) :�� F� 6 < 4 7 � H 6ey 7 2 D 4�6 2 6 : F-6 8 ) : ��4 <*D;< ;2*)IF%) <�: �OV V � V[l�� 6 : : 2 6�� � 4 6 H M � <�K D�� F 6*2d��V�:� G �Q¥��®(� §O¨k��¡k�O� �6¢Sª�£�¡k�O�:¨�f¨ ¡��«?¡ ¡�O�g¦6§O�:¥¢R³f�: O©�¡�O¨�«�¥k� ª�£�³ ¢S O£�¬d�´«�³f³ ¢6¹,¥k�:³´«?¡�Q�Z¡£�¡�O�g³f�: O©�¡�

£�¤3¡k�O���f OªO§_¡Q±Y�(�O���f¨¨k§O� �f¨N¡k��«?¡��f  �Y¦�±8H+LS± N N�°Hµ_¯:£�¬dªO§S¡H«?¡�f£� �«�³3�f O�O�f¨¡�f O©�§O�f¨��«�­O�f³f� ¡,¢��f¨Y®�� ¡�d¥k�:¨kª��:¯#¡¡£�¡�O�Z³f�: O©�¡�>£�¤�¡k�_�e¦6§O�:¥k�f�:¨�H�¡£ ��°Hµ�®��O�:¥�<«�¨g®��e O�:�:��¯:£�¬dªO§S¡H«?¡�f£� �«�³N�f O�O�f¨¡�f O©�§O�f¨��«�­O�f³f� ¡,¢K®�� ¡�¥k�:¨ª3�:¯#¡N¡k£g¡�O��³f�Q _©�¡k�Z£�¤3¡�O� �f O� ¡k�´«�³_�f OªO§_¡¨<± � ��«�³f¨k£g�_�f©��O³f�f©��6¡N¡�O��¶��#¢�¥k£�³f�(£�¤�¡�O� «�§S¸_�f³f�´«�¥I¢��f _ªO§_¡¨¡£ � � «� O� � �f U¡k�O�f¨Y«�¥k©�§_¬d�Q %¡ H�¯:¤I±$¡�O��«� �«�³ ¢_¨�f¨&£�¤�¡k�O� ¨�Q¦6§O�: %¡k�´«�³�¯:£�¬dª�£�¨k� ¡�f£� �£�¤�:�:¥k£�¹�¶S O£Q®�³f�Q�_©��H���± �%±fµ_ªO¥k£6£�¤&£�¤ � �:¬d¬R«WXO± M_± ���<°°H±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ) � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

3 +������£6!7�� "8d3�8 �#���L��0�!�:O62�� �/���� -��(0�0-���N��!8��!%$4�A��� ?&�:` �/�� � ��$� ?&��c��0P���A��������(�0%:���19o9�!%��� �! �(& � ,� � � * �� 4/�!��(�!%$�& �� Q���E��!%0F ��zy<" pK!8���� �����<�(& , F 4/�!C������ ����A������ -�A� � ��$� ?&�B � ���M: � :`�� G�J�����M6G0G 4/�A K �/�!c��$4�����!.���0�6S!%$G��0Ky � � ,� � � * � � � � , � � * � � � :6G/�!8$�! * � ��0����u�J�($��c�&C9���0� �$��.�� �!%9 � �L!%�����0�! � ��$� ?& �\��0�/����!80� � " � !8���A�������@ �/�� y � � , � � * � � � � , � � * � � � � � � * � � * � � � , � � , � � � :7�� ��J�����M6G0� 4/�A Q �/�!X��$4�����!@���0�6�!8$D��09���0� 4$��!��� �!%9D��9�!8�� ����%�A��&� ��>� � ,� � � , � � ""�w�$� �/�!8$��c��$�!�:%�(&c 4/�!K9!*#L���� ��������A��:�:#�A�w �/�� � ��$� ?& ����!� �0-��0my3� � � ,� � � * �0� � � , � ��� < � �� < � � � ��� � ,� � � , � � " 2/���0-��0-!%��0����&\0���������A �!%9 �(&���H�($�$�!%04�1�(�9������c��9�!8�A�')�c��9�!%O��9�I�!%$40���$�&� �/1�A G0�!� �0 ,� � ���%�H�($�9������c ��D 4/�!.$�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$�&�:#���9\0�!%�90 ,� � ��D �/�!T 4$��0� �!89 �/���$�9\���$� ?& � 6G/����=/E���0�6S!%$40S��������$49������ ��� � "

� �.- @®+I7L��� ��� \���+3�#f! YdE"$�%���!& "�� @ &��5"���� � �YdE"$�����C@$����"$����&���8>g !,!Hz� �!8�9V �/!���� ������a���70�!8���$��� ?&>$�!%9��� ������0� ��C����������( T�J�($��$��� ����H���0. 4/�A c�0�!Q0�!�I�!8$���3��$4�����!80$4�A �/!%$P �/1���X����!�" �#�1!8�H� #L������&�:��E��0�0�!8���$�!��&,$�!89����.���!D ��E�E0�!� P�A�S�[���� ����������� ���!%0 � 3Oy � �@?A?B?]� y� 5��u�� �/�!8$�!.!�z���0� �0-���\�($����H�!H'?�A��9�!%9\�$��� ��#����O 4/�A -0�!8���$�!��&\�H������ �!%0�D6G/�!8�Q����I�!%�F��$4���H�!%0dy � �@?A?B?!� y�]" 2/�!��($�!8� , " � " lc�A�0��c!Hz� �!8�90B �����040�!8$� S �/�� B�u�g�D��00�!%���1$�!%�&\$�!89����.���!� �� :`���9,!%���=/ �[�1��H ����(��A��� ?&\��� �%�����L!c0�!%�%�$�!%�&\�H�(����� �!89 �/!%�a0��@�����^�w" g !Q�H�����c!%�( . 4/�A � �/�!Q!%�( ���$�!�$�!%����$ �@��0��E�c�� � �!%$.���G0�!8�c���( �����0%:�L!%�����0�!K�(��!T�����°N�����*�.P. �/!P0�!� ���Q����!K�[���� ����������� ?&[y � !�" �1"�:Ny � � B � , � � � B �/- � � ������y F � , �.- � � "

�������� �� �� !"� �,-9#0����% �Q6.+�!8��-0��+�1�#9-0� -9��4�-9+ 6�4 �(7020� ��� �!89F�����(!%�� ������ , " � ".��:# �/�!.�1$��� ����H���0S�$��#91��H!89 �(&��(�$B�H���������!%$2���E��!K!�z# �!%�#'0���I�!S�0�!B�A�L�1$��� ����H���0Y �/�� ^0�!8���$�!��&.�H�(�c�1�� �!B �/1$�!%!N�[��1�H ������1�A��� ���!80� �/�� ���$�!S �/!B����$�!�A�Y �/�!P �/1$�!%!-����$4$�!80��L���9�������/��0�!%0S���y �/�!P�H�(�������!%9Q�$��� ��������0�" J �F 4/�!P���$4$�!8�( S0�!%�H' ������O:�6�!-!Hz��������� ��&Q9�!*#L�!K 4/�!%0�!-�[���H ����(��A��� ���!%02���19F�$�!%0�!%�( B�$��� ����H���0N�J��$B0�!%�%�$�!%�&�H�(����� ������� �/!%� "g !.0� 4��$� ���&\�H�(�0���9�!8$������� �/1$�!%!.��A 4�$���;�[���� ����������� ���!%07 �/�� 7��$�!T$�!%��� �!89Q ��� �/!

�[���� ����������� ���!%0Q�0�!%9&�(& 4/�!@�����������!8$�" �#�L!%���9#L�%�A��&�:26�!�#L$�0� ��H�(�0���9�!8$D �/!X�H������' ��(0�0������S�[���H ����(��A��� ?& � 0�!%!1�(!%�� ������ , " � " l".� � :%� 4 6*2*F 4*)��1F 6 8 ���� ������-�A�� �/!N���� 4/�!%�( ����%�A �!89#'�H�(����� ��� ������K�[���� ����������� ?& � �(!%�� ������ , " � " l1" � � :%���9P���JN��1����� 4/�!%�( ����%�A �!89#'?�H������ ��A ����(��[���� ����������� ?&�P � �%�A��!89 ) K 7�� 6�F 4 7�: 2 K )!2�2*) <�: �����(!%�� ������ , " � " l1" l � " �7!�z� �:L�10������D �/!%0�! �/1$�!%!��[���H ����(��A��� ���!%0%:86S!3�$�!%0�!%�( ;0�!8���$�!3�$��� ��#�����0w�J��$O� � 6 : 6 4 7�H ���� ����(�-�A����� 4/�!%�( ����%�A �!89#'�H�(����� ��� ������ �[���� ����������� ?& � 0�!�!<�(!8�H ������ , " � " l1" � � :-�J��$@��� 7�� �EK 6 : F 6 8 ���� ����(� �A��H�����F ��(0�0����� � �(!8�H ����(� , " � " l1" ) � :����9D�J�($N 4/�!P���1��� b'?�H�(������ ��c!8�� ��[���� ����������� ?& � �#!%�=' ������ , " � " l" � � " 2/�!3��A � �!%$Y �/$�!�!3�[���H ����(��A��� ���!%0Y62���%�L!��10�!89.9���$�!8�H ��&-���T 4/�!������������!89�$��� ��#�����0 � 0�!�! �����(�$�! , ".��:16G/!%$�!�0������9E��$�$��M6G0B���19����%�A �!�9���$�!8�H -���9\!80�0�!%�( ����A<�0�! � "g !c�������c!%�( K 4/�A P�A� �/�����(/E �/�!����A �!%$�����Y��� �(!8�H ����(� , " � " l" ����0-��� P�0�!89,9���$�!8�H ��&���Q 4/�!.$�!%0� S���< 4/���0B6��($ �w:��� 2��0B���0� �$4��H ���I�!- ��D �/�!.$�!%0� B�A�< �/�!.�%�$�$�!%�( 20�!%�H ����(�;"g !.�H�����c!%�( 2 4/�A 2�� G��02!%��0�&� ����$�!%0�!%�( G�$��� ��������0N�J�($ D 4*),h 7 F-6 HOM ��������� ����������

�/!P���1�MI�!%�c!%�( ����(��!%9��[���H ����(��A��� ���!%0 � ���Q �/�!T0�!%�c�u'?/��(��!%0� 2����9�!%�@0�!�! + z�!8$�����0�! ��� � "� �$������ :2/��M6S!�I�!%$%:N��0D ��W�$�!%0�!%�( � �J��$D��A �!%$��0�!E���V �/�!@�����������!8$ � �1$��� ����H���0c�J�($2 6�� � 4 6 HOM ��������� ������D 4/�!%0�!-�[���� ����������� ���!%02��� �/�!.��������H�����02�c��9�!%_"

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � ) ,

ZK proofs

THE COMPILED PROTOCOL

ORDER OF PRESENTATION

Commitmentschemes ZK POKs

AUTH. C.

AUG.COINCOMMIT

INPUT

COINTOSSING

TOOLS

21

3

456

restricted

AUTH. Comput.

IMAGETRANS.

�������$�! , ".�E�"2/�!P�[���� ����������� ���!%07�0�!89F��� �/�!.�����������!89\�$��� ����H��_"

� @$&$�_d "$��� �+& @?�<f dE��� "�����"������ &G+�� B�@�+Mf �%�2B "� �.- � 9 !% ��10D$�!8���A�20��(�c!F�[���H �0���19Q���� ��� ������02$�!��(��$49������ 4/$�!%!P ��#���0B �/�� 26�!P62���Y�0�!�"

u � <�K K )IF K 6 : F 21���76 K 6*2 � ��0D9�! #L��!%9 ��� p-!*#L��� ����(� � " � " � � " �L��$�0�� �A! �A�K0�����'������H�� ?&�:#6S!K62���O�0�!P�c�����#')���� �!%$4���� ���I�!K�������c�� 4�c!%�( 20��=/�!8�c! � ��0S����/����0� �$4��H' ������ � " � " � � " g !���0404��c!�:;�J�($T0�����������H�� ?&�:< �/1�A T���C0�!%���1$��� ?&@���$�����!% �!8$ Z �/!�H�����c�� ��c!%�( P0��=/�!8�c!��� ����� %!%0P!�z����H ��& Z $4���9��� ���� �0%" g !�9�!%��� �! �(&�� � � X � �/�!7�������c�� 4�c!%�( 3 ��T 4/�! ��� �XS�0������ � 0�!%�%�$��� ?&c���$4���c!� �!%$ Z ���19 � $4���9��(����!%040* 1 3_� � �C5 � :N���9;��&�� � X � 4/�! IZ����!F�A��� � � X � �J��$c�@���u�J�($��c�&W9���0� �$��!��� �!89*�1 3_� � �65 � � 6G/!%$�! Z ��07��9�!8$�0� ��#��9��[$���� �/�!.�����( �!�z# � "

u�� 6*4 <<;Hi3:�<1� H 6 8� 6 D 4 <$<:9 2 <G9�� � ;V7 2�2 6 4*F%) <�: 2=" g !Q$�!%�&C���C �/!D�[���� � �H�b"�2/�!���'$�!8� � " � " ��� � �/1�A y 4/�!%$�!N!�z���0� y04��=/.�$��#�A�0�&�0� �!8�c0y���.6G/����=/. �/�!S�$��MI�!%$;0� �$4�A �!���&�������L!T�������!%�c!8�� �!%9\���E�$�������������0� ����P�L���&#����c����u') ����c!�:6G/!%�\����I�!8�Q��� � � '62�� 4��!%040���0����#z��������$�&X���1��� �" g !Q0� �$�!%040. �/1�A �(&> �/!Q���L�MI�!D6S!Q�c!8���W�$��#�A�0�&�0� �!%��0S62�� �/\��!���������!���!T0��(��9��!80�0S!8$�$���$%" �w�$� �/�!8$��c��$�!�:#6S!T$�!%�&D�(�F 4/�!P�[���� �/�� . �/�!80�! �$��(���G0�&�0� �!%��0�/�ZI�!F�L!%$��J!%�� ����������!� �!8��!%040 � �_" !�"�:^ �/!FI�!8$�� #1!8$.���H'�H!%� �02�cIM�A���9\0� ��A �!%�c!%�( 262�� �/\�$������������� ?&�� � "

u�� 6*4 <<;Hi3:�<1� H 6 8� 6 D 4 <$<:9 2 <G9bi3:�<1� H 6 8� 6 <G9� � ;*� )IF : 6*2�2*6*2=" g !T62���Y�0�!P 4/�!.9�!H�s'������ ������>���G��2*F 4 <�:�� �$��#�A�B�A� �#���M62�!89���! � 0�!%!Xp-!*#L���� ������ � " , ".�%l � " g !F�����A���$�!%�&a�(�W �/!,�������������10T�[���� D$�!%����$49������@ 4/�!E�H�(�c��!�z#�� ?&a�A�P��9�!�#��A �! �$��MI�!8$0� 4$��� �!�����!801��2/�� ���0�:20� �$������a�$��#�A�[0�'5���s'8�#���M62�!%9���!F 4/�A F��$�! %!%$��A'@�(��M62�!89���!!Hz���0� �0��J��$c���(& � � ')$�!���A ����(�;:^���9W�[�$� 4/�!%$4�c��$�!�:� �/! �$��MI�!8$.0� �$4�A �!%��&a����� �L!�������!%�c!%�( �!%9\���E�$��%���������0� ����T�L���&#����c����u') ����c!�:6G/!%�\����I�!8�\��� � � '562�� ��!%040��0B���#z��������$�&������� � 0�!%!�/����0� �$4��� ������ � " , " � � � "

(G�� �/�!80�!c ��#���0-��$�!>�#���M6G�E ��F!Hz���0� P��0404��c�����F �/�!c!Hz���0� �!%���!����3����!�'56B�Z& ��'��.�[���=' ������10�" J �Q�[���� �:L �/�!���'��P$�!�#����$�!%�c!8�� 2�%�����1!.�ZI�����9�!%9 �A B 4/�!.�H�(0� 2�����0������D��� ���( �!%$�'���� ���I�!T�H�(������ ��c!8�� G04�=/�!8��!�"

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ) / ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� � "$ � @f "��*+ &�@�+�����& � ���%�2B d ���!&$�_f �*+��#fG� �L��$D04�E�A! �A�T0�������������� ?&�:����V�A�G �/!�$��#�A�[0D���T0�!%�%�$��� ?&U�$�!80�!8�( �!%9U���V �/���0 0�!8�H ������O:S6S!E����&V$�!��J!%$D ��j���A��������(�0 � $�!8�A�'�c��9�!� � ��9�I�!%$40���$���!%0762�� 4/X���\����z#�������$�&\������ %" �w�$� 4/�!%$4�c��$�!�:`6S!�62���3��0�04��c!c �/�� �/!%0�!.�c������H�����10 � $�!%��u'?�c�#9!� � ��9�I�!8$�04��$���!%0S��$�!P9!� �!8$��c������0� �����"1(7079���04���10�0�!%9 �����#!%�=' ������ , " ��" l".� � 0�!�!F �!Hz� .�J�����M62������pK! #L���� ������ , " ��" ) � :� 4/�!F 4$�!8�A ��c!8�� ��A�7$4���9��(�c� %!%9��9I�!%$404��$���!80 � 62�� 4/D���#z��������$�&.������ 40 � �%��� �1!K$�!89��H!89c ��T �/!2 �$�!%�A 4�c!%�( ^�A�;9�!� �!%$4�c���#'��0� ����T��9�I�!8$�04��$���!80 � )IF� 7�� � ) H ) 7 4 M ) :ED�� F 2=:0��� �/!T��040��!P/!%$�!-��02���� ������&� 4/�!P�[���� 2 �/�� 6S!G���(����$�!G����z#�������$�&�����1�� �0%" C �M6S!�I�!8$�:��������w����0�!80�:� �/�!K!Hz� �!8�0������c���O���$^ 4$�!8�A 4��!8�( ��W��������H�����0F��9�I�!%$40���$���!%0c62�� �/p����z#�������$�&W����� ���0F0� 4$������(/� ��J��$�6S��$�9O" �#�1!8�H� #L������&�:���W�A���%��0�!%0%:<6S!F�����0� �$4��H ���9�!8�A�')�c��9�!%���9I�!%$404��$���!80 ��&>�0�����, �/�! $�!8�A�')�c��9�!%���9�'I�!8$�04��$���!%0���0�04���$���� �����!%0%" 2/���0 �����*��'-�L�Zzj�0�����!E!8��0����&j04���L��$� �0� 4/�!,!�z# �!%�0������ ��C��9�I�!%$40���$���!%0P62�� �/j���#z��������$�&X����� �0%: �1!8�����10�!F���S �/1�A ���0c��!�!89�!%9a��0� ��X�1��040. �/!����z#�������$�&(')����1�� � ����I�!8�c ��. 4/�!2��9!%�A�'?����9�!%1��9I�!%$404��$�& � ��� �/�!7$�!%��u'?�c��9�!���9�I�!8$�04��$�&� 6G/���=/ ��0B���(I��5�A!89F��02�D04���$���� �����! � "[ �h-°- ����"D&G+�� B�@®+Zf ���CB "$ � �8���(����� ���CB ���KDG� &$��"$�%���R� (7�P�$��� ��#�����0F��$�!@�1$�!�'0�!%�( �!89��(& 0��L!%���u�J&#������ �/! �1!8/�ZI#���($B�A�^/�����!80� K���$� ���!%0%:�6G/����!>��!�!8������c���E�c���19\ �/�� 9���0�/����!80� c���$� ���!%0��c�Z&>9�!%I(���A �!D�[$���� �/�! 0��L!%���9#L!%9 �L!%/�ZI#����$%"�2/#�0�:^6S!F���Z&C���#'0� �$4��H ^�(��!G���$� ?&. ���0�!8�9��T0��L!%���9#w�2��!80�04�A��!B �/�� 30��� ���0 #1!8030����c!G�$����L!%$� ?&����9���!�z� ���0� 4$��1�H 2 �/!T�� �/!%$2���$� ?&D ����=/�!%�*�D 4/�A B 4/�!.�c!%040�����!T$�!8�H!%��I�!%9����9�!%!%9\04�A ���0 #1!%0B 4/���0�$����L!%$� ?&�" g /�!%�� �$4���0��J��$4�c�����T$�!%��u'?�c�#9!�L��9�I�!8$�04��$���!%0< ��.��9�!8�A�')�c��9�!�w��9�I�!%$40���$���!%0%:6S!.0��(��!% ����c!%02�A���M6q �/!T��� � �!8$2 ���/1�A� ��1!��J��$�!-���(I��5�������� �/! F 4 � 2*F-6 8/D;7 4*F M " (K0G9���0b'���10�0�!%9c�����#!%�H ����(� , " ��" l".� � 0�!%!2 �!Hz� 3�$�!%��!%9������mp-!*#L��� ����(� , " �" � � :A 4/���0N����� �L!GI#��!�6S!%9��03���(I��5�(�����P 4/�!G �$4�0� �!89D���$� ?&.62�� �/��T04�1!8�H���A1���1�($� 30�&�� �L��5:�6G/�!8$�!2���� �/��0�����0�!2 �/!��A � �!%$2$�!%04�1�(�0�!%0B ��D���O���$� ���!80B62�� 4/\�c04�L!%�H���AY���L��$� B0�&�� �L��5"���� �!s��[m [ �����LR� &8&$�%�2Bg !C0� ���$� Q���$ ��040�!8� ���&U�A�.�[��1�H ������1�A��� ���!80F 4/�A \��$�!X�0�!H�[�K�J�($F 4/�!X�����������!8$ �(&�$�!%0�!%�( ������G���9P�������!%�c!8�� �����7�BI�!8$�&-��A 4�$���M�[���� ����������� ?&-6G/����=/P��0;���#���9�!8�1!8�9�!8�� ���� �!%$�!%0� �"1�#�L!%���9#w���A��&�:6S!T$�!��J!%$B ��D 4/�!.�H�����Q ��(0�0������c�[���H ����(��A��� ?& � � � � � � � !S � X � X � :6G/�!8$�! XD��0�������J��$4���&a9���0� 4$��!��� �!%9a��� 3_� � �C5�"�2/���0.�[��1�H ������1�A��� ?&>�A���M6G0��,�����$��A�9���0� 4$��10� ��[��y���$� ���!80B ��D�A�($�!%!K�(� ���������c��� $����9���� IZ����!�" <<�q ��r!� �#"$�%���&���� ��� � �������#'5 ���040����������( ��c �/!K6S!��_:��1��0����KI�!8$�0����(� � �G' . 2?4fn�� �@2����=4fnOv 4fn �@2��w��Ro� 6O6ED 4 < F < � <�H )!2 7 F �G<<; D?7 4*F M D 4 < F < � <�H<9=< 4 2 6�� � 4 6 H M � <�K-D�� FJ) :�� � ���� 4/�!T�c������H�����10�c��9�!� � F�76 4 7�:�8E<�K )�6 8,9��;: �1F%) <�:�7EH )IF M � � � � � � � !S � X � X �� � �76 4 6bX+)!2 �;: ) 9=< 4 K�HOM�8 )!2 ;F 4*) =*� F-6 8 ) : 3O� � �C5��2/�� y��0�:Z���.0���� �!N�A����A����H�����0 �1!8/�ZI#���($ �(&-���(&K�(��!N���$� ?&�:Z�7�����#'?���L��$� ������2!�z#!8���� ����(��A�����������#') ���040�������'5���( ���'5 4/�!H')6�!%�L�$��� ����H��`!%�90S62�� �/��1�� �/\���$� ���!80�/����9������ 4/�! 2 7�K 6�;: ) 9=< 4 K�H M 8 )!2*F 4*) ==� F-6 8 = )IF5: XZ" � !%�%�A�^ �/�� P���$P9�! #L���� ������C�A�B0�!8���$��� ?&,�����M6G0 � X � � � ��a����1!8��$���0c�(�� ��� D���U����0�! � ��$� ?&��\���1�($� 40�" � J �6S�����9 /1�ZI�!��1!%!%� �����L��040��!���! ��W0�!%�%�$�!��&a�������!%�c!%�( � 4/�!,�H������'5 ���040������X�[���H ����(��A��� ?&j���- 4/�!,9�!*#w���� ����(�V/��9V���� �#º ¯#¡k§O«�³f³ ¢6µS�f Z£�¥�O�:¥Y¡£�¯:£� _¤]£�¥k¬ ®�� ¡�e¡�O� ¯:£� %»%�Q %¡�f£� R¡��«?¡�¡�O� ¤!§_ O¯#¡k�f£� �«�³f� ¡,¢Z��«�¨Y¡£�­�� �O�#·� O�:�

¤]£�¥�«� %¢��f OªO§_¡�ª�«��f¥Qµ_®(�|¬R«:¢R¯:£� O¨k�f�O�:¥ ¡k�_�g¤!£�¥¬e§O³´«?¡�f£�  H#"'&� O°��� H�� &��:°H±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � ) �

�A���M6�!89, �/��0.0�����*�#��!%040�@y0�!%! �(!%�� ������ , " , ".��".��" � 2/�!��������#') ���040������F�[���� ����������� ?&@62������� �L!T�0�!89F9���$�!%�H ��&D���� 4/�!P�H���������!%9F�1$��� ����H���0%:%�1�� B�� B62��� �L!-�0�!%9Q ����������!%�c!8�� ��� ������c!%�( �!89Q��� ������ ���<�H����� ���040������ � 0�!�! �(!8�H ������ , " � " l" ) � :�6G/����=/F��� ��$4� 62��� �L!�0�!%9\9���$�!8�H ��&���� �/�!80�!T�$��� ����H���0%"

[ ���!&$"$+ YdE"$�%���(���� � � � �j�������#') ���040�������'5���( ���'5 4/�!H')6�!%�G�1$��� ����H�� � � < 4�6%h56*4 M * H 6=F� � � 3_� � �C5�S 3O� � �65�� �J ��� �0$��� < F� D;7 4*F%) 6*2 � 61F12*6�� � 4*)IF M D?7 4 7�K 61F-6*4 � � ��( �!%�K/ �E��� 7 4*F M h �;: ) 9=< 4 K�H M 2 6 H 6��=F 2,> 1 3O� � �C5 7�:�8 9 1 3_� � �65 � 7�:�8 2 6 :�8 2�� ������

��� � > � F < � 7 4*F M � �l < 2�) K-D�H ) 9�M F� 6 6?� D;< 2*)IF%) <�: � 6 7�8E<�D F+F� 6 � <�: h 6 : FJ) <�: =*M � �5)�� � 9=7 ) H � 4 6 <:9� 7 4*F M h F < 2 6 :�8+7�K 6*2�2 7� 6 � )�� 6 � 7A= < 4*F%) :� � )!2 ) : F 6 4 D 4�6=F-6 8�7 2 7�: 7 4 = )IF 4 7 4 M = )IF2�F 4*) :�� 2 7�M �./� � � � �

�( �!%�K/��;��� 7 4*F M � �;: ) 9=< 4 K�HOM 2 6 H 6��=F 2�>6 1 3_� � �65 7�:�8 2 6 : 8 2�>6 GF < � 7 4*F M h � ) K ) H 7 4 HOM 7�:�M�D?< 2�2*) ==H 6 4 6 2 D?<�: 2*6 <:9 � 7 4*F M � ) : � HO� 8 ) :� 7?= < 4*F � ) HIH"= 6>) : F 6 4 ;D 4 61F 6 8 =*M � 7 4*F M h 7 2 7 = )IF � < �

�( �!%�K/Sl?��� 7 4*F M h <�� F D�� F 2-F�76�� 7EHO� 6,> � >6 7�: 8 2 6 :�8 2 � > � 9 � F < � 7 4*F M � ��( �!%�K/ � ��� 7 4*F M � ���76��� 02 � �761F�76 4 < 4 :�< F�� � ��� � > � ���=F <�� F D�� F 2 > � >6 �) 9 � � ��� � > �

7�:�8 � 7EH F 2 � )IF� <�� F D�� F � < F�76 4 � )!2 6 �� : � <�: F 4 7 2*F F < F-6 D 2 � h � � � � 6*4 6 7�:NM ) HIH 6 �57�H�7�: 2 � 6*4 )!2 ) : F 6 4 D 4�6=F-6 8 7 2 7?= < 4*F �

� �� 4��� �0$� � 7 4*F M h 7EHX�G7�M 2 <�� F D�� F 2.X ������ > � >6 � � 6*4�6 7 2 � 7 4*F M � 61)IF�76 4 <�� F D�� F 2�X< 4�� �

J �( ����� ���I�!%�&�:%�( �!%�0>/ � �®/��7�c�Z& �1!BI#��!%6�!89���02N� ��(0�0������-�P�����������( ��P �/�!B6S!���P1" (B ^ 4/���0�L������ T 4/�!�IM�A���!D���B 4/�!��H�����C��0�9�!% �!8$��c����!%9 � !80�0�!%�( �������&X��0T�E$����9���� IM�A���! � : ��� ����&Q����!T���$� ?& �(��M6G0 � N��%��� 0�!%!�P � �/���02IM�A���!�"%/��!8��$��&�:�u�"�L�� �/E�1��$� ���!%02��$�!T/����!%0� �/!%�W 4/�!�& �L�� 4/j�(�� ��1�� � 4/�!\0�����!\������J��$4�c�&a�=/��(0�!8� ���� �:S$�!8�H�MI�!8$�!89C�����( �!8�0L/Sl���19�/ � :1$�!80��L!%�� ���I�!%�&�"3 +�� DR��&��#"������L���� ��� �3D D;< 2*6 F� 7 F � )!2 7 = )IF � <�K�K )IF K 6 : F�21� � 6 K 6 ��� �76 : � <�: ;2*F 4 � �1FJ) <�: � � � ��� � <�: 2*FJ)IF � F-6*2 7 � < ) : ; F < 2�2*) :�� ; ) : F <<; F�76 ;*� 6 HIH;D 4 < F < � <�H �3 +�������6!7��5"%d3�8Cg ! ��!%!%9 ��C �$4���0��J��$4�h���(&a��91����040��!���! �����$%: � � ��� ��� � :N�J��$c �/!$�!%�A�����9�!%N���( ��,�E�H�($�$�!%04�L���9������E�����$%: � � ��� �b� � :Y�J�($T �/!���9!%�A�����9�!%_" g !� �$�!%�� 0�!%���$��� �!��&7!8���=/P��� �/�!� ?6��-����0�!%0y�H��$4$�!%04�1�(�9������2 ��K �/�!���9�!8�( ��� ?&-��� �/�!S/����!%0� Y���$� ?&�"� !8���A�3 4/�A T6S!D�c�Z&C��040��1��!�:;�J��$�0�����������H�� ?&�:Y �/�� T �/�!Q��9�I�!%$40���$�&\��0.9�!� �!%$4�c������0� ����� 0�!�!K9���04���10�0����(�����1�MI�! � " (7�0��1:��J��$30�����������H�� ?&�:(6�!2�(���� 3 4/�!G������ �� � ���D0����c!G�������!%0%"2/�!-�J�����M62�����c0��=/!%���A ����P9�!8������ ������F�A�Y 4/�!P�����J��$4�c�� ��������1�M6o����/��(�0� 4$��1�H ������ , " � " ,���Z& �L!.�0�!��[��O ��M6S��$�90S 4/�!P�J�����M62������������&�0���0$�� Ee�(�O�:¨k�g¡,®(£Z¯:£� %»%�: 6¡�f£� O¨<µ�ª_¥k�#»%�: 6¡�¡k�_��ªO«�¥¡�f�Q¨ ¤]¥k£�¬ «�­�£�¥¡�f O©Z¡k�_�|�:¸S�:¯:§_¡k�f£� m­��#¤]£�¥k� 6¡�:ª ,�M_±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� ��$� ?&�� � ��$� ?& �/ � 0�!��!%�H 40 � > � 9 �

� � � � � > � � S � � S/�� 0�!��!%�� �0>6 123O� � �C5

� � >6 � �/Sl X � > � >

� S � > � 9 � � S�(�� ��� X X7��$ �� 9�!%�L!%�9�����D�(�F6G/!� �/!%$ � � ��� � > � �

g ! 0� ���$� �62�� 4/W �/! �%��0�!F6G/�!8$�! F� 6m� 4�2*F D;7 4*F M )!2a� <�: 6 2*F5" J �j �/���0�����0�! � � ��09�!% �!%$4�c���!%9 � �(&C 4/�!\�$��� ����H�� � :3���9j6�!Q �$4���0��J��$4� �/�!\$�!8�A�')�c��9�!%S��9�I�!8$�04��$�& ������� ��W���U��9�!%��u'?�c�#9!�7��9�I�!8$�04��$�& �E��" � ���=/�����! �b�E62���7$4��p�����=/�����! �E�E����%�A��&�:��� ��A���������� �/�!T0�������!P�c!80�04�A��!K 4/�A ;���P6S����9 /�ZI�!P0�!%�( B��� ��$�!8�A;!Hz�!8���� ����(�F���Y �/!�$��� ��#���� � �5" !�"�:*>6 I1 3_� � �65 � ���9E�J!�!%9������� � 62�� 4/E �/!c�c!%0404�A��!802 �/1�A -�� K!Hz�1!8�H 407 ��$�!%�H!%��I�!�" � !8�����< �/�� � � !Hz�L!%�� �0K ��Q0�!�!� �/�!c��!80�04�A��!%0 � � � > � ���9 � > � 9 � � ���9, �/�� � � ��!� 40B���1��� � � � "��" �E�Q0�!8�9 � � ��@ 4/�!,F 4 � 2*F-6 8 D?7 4*F M ���9a�%�� ������W���W���10�6S!%$ � ���� � :�9�!8���� �!%9 XZ:6G/����=/Q��0G������J��$4�c�&F9��0� �$��.�1�� �!89;" � � !8�����O 4/�A �X7��0G�A�0���/���9�!%9 �� � ��$� ?&���" �

�" �E�7 �$���!80� �����!%��!8$��� �!7����!Hz�!8���� ����(�DI#��!%6 � �A� ��� � !8�9�������62�� �/F���� 4��� XZ""2/���0��029��(��! �(&Q$�!%�L!%�A �����c 4/�!P�J�����M62������0� �!%�10G�A 2�c��0� Z ����c!%0$�� � � � � ���u�J�($��c�&C0�!��!%�� > 1 3O� � �65F���19 9 1 3_� � �65 � :3���9>�J!%!%90 � � 62�� 4/

� ������ � � � > � " � !%������ 4/�A I� � �A�6B�Z&#0-$�!%04�1�(�90K62�� 4/X������ �:y9�!8���� �!%9 > :6G/����=/\�c�Z&Q9�!%�L!%�9 �(� � � �5" !�"�:7>6 � � � � � � � "

� � � J �.> � >6 � X� �/!%� �b�F�J!�!%910 �E�F62�� �/j �/�! !Hz�!8���� ����(�aI#��!%6 � � � � > � 9 � � :���19@�(�� ��� �0P6G/�� �!�I�!%$/���D9�(!80�" � �/!%$�62��0�!�:;�� T�H���( ����#��!80P �� �/�!���!�z� �� �!%$4�A ����(�;"

J �C�%��0�!��A� Z �� �!%$4�A ������10T6�!8$�!D���������!� �!89a��04�����!%040b�[���& � �_" !�"�:�62�� 4/����� T�(�� b'��� � : � � ���� 4��� �07�c04�L!%�H���A����������� c0�&#� �1��_"

g !X��!%!%9o �� 04/��M6 �/�� ��J�($F 4/�!X�������#'5 ���040������>�[��1�H ������1�A��� ?&�:K9�!8���� �!%9�y<:7���9V�J�($/����10� 4$���� ������ , " � " , :�9�!8���� �!%9J:�:�� G/����90B 4/�A

3 '�� )���� = * � � � � � � � � 5 � V�� �� 3 � )�� � - * � � � � � � � � 5 � V��J �@�[���H %:;6�!c62���304/��M6 �/1�A P �/�!c ?6S�Q!8�0�!8� ���!%0P��$�! 2�F 7 FJ)!2*F%)�� 7EHIHOM ) :�8 )!2�FJ) :��E� )!2�� 7A==H 6�"g !.0� 4��$� ��(& 0�/��M62������ �/1�A 2 �/!.�$��%��������� ?&F �/�� �E�P�(�� ��� �0����������� ���0G!Hz�1�(��!%��' ����A��&�04���A�_"32/���0N��0S0�/��M6G���(&D�$��MI#������ �/�� 3�J��$N!�I�!%$�& X 1 3_� � �65(:�!%���=/��� �!%$4�A ����(���A��( �!%� �204�����!�!890;62�� �/T�$������������� ?&K����$��Zz#�����A �!��& ������" �#�1�=/T���-�� �!%$4�A ����(�-04��%�H!�!890O������19.����&T���8> � > � Xa@A �/�� ���0%:M�u�f��� � ��� � > � � � X � >�:M6G/�!8$�! � > � 9 � 1 3_� � �65 $ 3_� � �C5 ���02������J��$4���&Q�=/��0�!%�;" g !./�ZI�!" ����* � : ��� � ��� � > � � � X � > ;

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� �

� ���� " ��: ��� � � � � � � � X ;�� ���� " �/: �E� � � � � � � � X � � ;

� �� �

���� � " ��: ��� � � � � � � � X ; � " � : ��� � � � � � � � X�; �

� 0������E �/�!�/(&��L�� �/!%0���0P 4/�A �i��0�� �������c�� 4�c!%�( .0��=/!%�c!�:Y �/�!�0�!%�����9X �!8$�� ���1�MI�!��0S����!%��������.��!K�[���� ������Q��� Z :����9 0��c���1$S��������k$�!��(��$49������. �/!P�1$��%���������� ?&D 4/�A � ���� ���� 40 ��� ������ D�J�����M6G0�" 9 !% � �������� 9!%���� �!D���C����1$��(�$����A �!���!%��������.��!��[���� ������;:6S!P0� ��� �!T 4/�!P�J�����M62�������J��$S�[�� 4�$�!.$�!��J!%$�!%���!E�

" � ��* � : �E� � ��� � > � � � X � > ; � �� � � � Z � � , " � ) ��7!�z� �:T6S!W0�/��M6 �/�� ,�H�(�9��� �������!89 �(� �b�W���� E���� 4��� � ������ ��� ������ 1:K �/�! 9���0� �$���'��� ����(� '��4)���� = * � � � � � � � � ��0�0� ��� ���0� ����%�A��&>���9���0� ������(����0�/�����!��[$���� �/�!\9���0� 4$��!��� ����(�� )���� - * � � � � � � � � " �B�� �/X9���0� 4$��!��� ����(�0T/�ZI�!� �/�!c�J�($�� � X � ��� � ��� � > � � � > � 9 � � � :�62�� 4/X � > � ��� � ��� � > � � :����19 4/#�0 �L�� 4/ ��$�!W9�!� �!%$4�c����!89 �(& 4/�! � > � 9 � '?��A��$�0%" J �� )���� - * � � � � � � � � :L�A� � > � 9 � ')�����$40G��$�!-!0�#�����&��� ��!��& � �5" !�"�:1!%���=/ ���1�1!8��$40�62�� �/\�$�����'�������� ?&�� > = �� � @ � @16G/!%$�!%��0 � ��0G�1$��MI�!%� �L!���M6 � ��� '�� )���� = * � � � � � � � � !%���=/Q�1�A��$ � > � 9 ����1�1!8��$40�62�� �/E�1$��%���������� ?& �

����� D ���� ( = ���/= � @#@ � � , " � � �

6G/�!8$�!�D�+ ������ 3 � , �.- � 1 3_� � �C5 $ 3_� � �C5 � ��, � �E� � � � � , � � � X:5c��0P �/�!D0�!� P�A�B��A��$40 �/1�A ����0�0. �/�!F�����9�� ����(�X���;�( �!%�;��� � 6T" $%" . �/�!FIZ����!�Xc���� 4�A����!%9C���;�( �!8��� � "�Y����0� ����J& + �L" � , " � � � :����0�!%$�I�! �/�� D �/�!,�1�A��$ � > � 9 � ����1!8��$40D��0��(�� ��� D�u�T���9 ����&���S�� T��0�0�!%�!8�H �!89@��� �( �!8� �A� ���9C 4/�!D �$4�0� �!%9>���$� ?&,���0�6�!8$�0-62�� �/ > � ��� � ��� � > � � :6G/�!8$�!P �/!T��� � �!8$B!�I�!%�( B�#�%���$40B62�� �/\�$������������� ?&���� �"3�L�$� �/�!8$��c�($�!�:( 4/�!.04�����!%040b�[�������$40�:Y0�!%�!8�H �!89C���;�( �!%� �A�\���9>���040������\ �/!��H���19��� ����(�C���;�( �!%� � �O:Y��$�!D������J��$4�c�&9���0� 4$��!��� �!%9�����D ���� ( = � � = � @#@ :�6G/����=/,���0� ��9#L!%0 + �L" � , " � � � " g !G�!Hz� N04/��M6j 4/�A � D�+���� � :1�J��$2!%I�!8$�& X�1 3_� � �65(" �B& + �w" � , " � ) � :�J��$2!%I�!%$�&=#1z#!89EX�1 3_� � �C5T���9\������J��$4�c�&9���0� 4$��!��� �!%9 � > � 9 � 123O� � �C5 $03O� � �C5 � :M 4/�!S!�I�!8�( � > � 9 � 1KD + � �5" !�"�:O> � � � � � � � > � � � X ������%�$�0�62�� �/ �$��%��������� ?&� 4/�A B��0S�!���������!���&D����(0�!- ���������:#���9Q0�� � D + � � � � � � � Z � �

��� � � ��� � :Y6G/�!%$�!�� ��0.�\��!���������!���!c�[���H ����(�;" 2/#�0%:O�J�($P!�I�!8$�&X��A��$ � > � 9 � :Y�� ./����90 �/1�A �� D ���� ( = ��� = � @#@ ��1 3 � D / � � � D��!� 5T$�!%0���9�!K���Q �/�!T���( �!%$�IM�A � � � � � Z � ��� � " J S�J�����M6G0

�/1�A 2 �/!TIZ����!T�A� + �w" � , " � � � ��0 � � � � � Z � ��� > = �� � @4:1���9\0�� � )�� � - * � � � � � � � � ���9'�� )3��� = * � � � � � � � � ��$�!P0� ��A ���0� ���������&����9���0� ����������0�/1�����!�"

g !-���M6p 4�$4�� ��c �/!-�%��0�!76G/�!8$�!�F� 6:2 6�� <�:�8 D?7 4*F M )!2 � <�: 6*2*F_" J �F �/���0B����0�! �E�K��09�!% �!%$4�c���!%9;:O���9,6S!� 4$����0��J��$4� � � ���( �� � � � �J��$K �/�!���9�!%����c��9�!% � " � �E������ � � :�����=/�����! � � $4��0������=/����!;� � ���������&�:A�%�� �����������- �/!G��!80�04�A��!%0Y �/�� � � 6S�����9�/�ZI�!0�!%�( G���E�D$�!8�AO!�z#!8���� ����(�\�A�^ �/!��$��� �������O���19 �J!�!%9������� � 62�� �/\ 4/�!�0�������!.��!80�04�A��!� �5" !�"�:7> 1 3_� � �65 � 4/�A 2�� 2!Hz�L!%�� �02 ���$�!%��!���I�!�"��" �K�.���(I�� �A!80o�K� � ���@����1�� � � � " � !%�%�A�< 4/�A �(&E���$P�����(I�!8�� ����(�0%: �K�����6B�Z&�00�!8�90T�\�c!%040�����!c��� �( �!8�ª/ ��" 9 !% P�10.9�!%��� �!� 4/���0���!80�04�A��!%0 � 6G/����=/C��0T04��#'�1�(0�!89��&\�F�������c�� 4�c!%�( -�10������ � � �(& �M" � !8�����< �/�� ���c�Z&��L!����, 4/�!�$4������!�A� � � > � �J��$2�� G�c��0� S�(��!&> 123O� � �C5�"

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

�" � ���=/�����! � � �$���!80� ��T��� ��A���c �/�!G���0�6�!8$�0<�A��� � � ���=�( �!%�L/Sl � �� �1�� �/��L��040��!���!��!80�04�A��!%0� �/�� G�H�(���9��L!.0�!8�( S�����( �!8�K/���"� � � � � �J!�!890 � � 62�� 4/a �/�! � �( �!%� /�� � �c!80�04�A��!X�,���9j$�!8�H��$490T 4/�!\���0�6�!8$6G/����=/>��0.!��� �/�!8$����L��$� T��$ � > / � 9 / � "�2/�!�����0�!D���>6G/����=/ ��e� � ��� � > / � ��0 �$�!%�� �!89Q��0B�u� �b�P/1��02���L��$� �!89;"

� � � � !%62���9�����B�K�� ��T 4/�!��1!%������������T�A� �( �!8�L/���:������=/����! �m�N�J!�!890��K�S62�� 4/ �/!B�c!80�04�A��! �B���9�$�!8�H��$490y �/�!2���10�6S!%$Y6G/����=/.��0Y!%�� 4/�!%$^���1�($� Y��$ � >�� � 9 � � "� (7�������;:1 �/�!.�%��0�!K��� 6G/����=/ � e� � � � � >�� � ��0B �$�!%�� �!89Q��02���L��$� �" �

J � �b�S���1�($� 40<��� �L�� �/c����0�!80�:� �/�!8�������=/����! �m�S���L��$� �0<62�� �/c���� 4��� ��K� � � � � >6 � :�J��$y�7������J��$4���&T�=/���0�!%�&>6 123O� � �65 � ���9.9��#!80y0��G62�� 4/���� y����I�� �(�����G �/! F 4 � 2�F-6 8D;7 4*F M :6G/���=/ �c!%���102 �/�� 2 �/�!./����!80� � ��$� ?& �c$�!8�H!%��I�!%0 � �[$����i �/�!T��A � �!%$ � " <� �B!���M6T:N6S!E$�!��J!%$� ��> 4/���0F����0�!\��0� �� � 7 2 6��M" � � �/�!8$�62��0�!�: � � �$��#��!�!89 ��0�J�����M6G0%:�9���0� ������(����04/������D ?6S�c�%��0�!%0%"

� 7 2 6 h go� � ���0�6S!%$40��1$��(�1!8$��& � ���W �/!\���1�MI�!�!Hz�L!%$����c!8�� � �J�($��@0��������!;�M'��IM�A���!�:L9�!%���� �!89 >6 5" J � �/���0G�%��0�!�:�6S!P9!*#L��! > ������ >�� � "

� 7 2 6 � go� � ���0�6�!8$�0T�1$��(�1!8$��&E�J��$ �1�� �/CIM�A���!%0%" J �C �/��0�����0�!� �/�!DIM�����!80 > /���19�> � � 9�!*#L�!%9\��� �( �!8� � � ���0� �1!.��9�!8�� ����%�A5:$�L!%�%���0�! ��� � � > / � � � ���� � � > � � 6G/�!%$�!%��0� 4/�! $4�����!%0��A��� � � � ���19 � � � � ��$�!Q9���0 �b�����( %" J �j 4/���0����0�!�:�6�!T9�! #L��! > ������ > / � � > � � "

l1" � ���=/�����! � � 0�!%�190 � � ��G 4/�! F 4 � 2*F 6 8GD;7 4*F M :M6G/���=/T$�!%04�1�(�0�!%0O62�� �/��G������J��$4�c�&0�!%�!8�H �!89FIM�����! X 1 3_� � �C5�" � !%�%�A�; �/�� 2 �/�!� �$4�0� �!%9\���$� ?&�/��0G���� G$�!80��L���9!%9 �� � ��$� ?& �E&�!� %:^���9> 4/�A � � 0� �����/��0. 4/�!F�(�� ������>���20� ��(��������, 4/�!F 4$��0� �!89���$� ?&=�1!��J��$�!P�� G$�!%04�1�(�90B �� � ��$� ?&��"

� " J �J/S��0�! ��:�����=/�����! �m� 2*F <*D 2/F� 6/F 4 � 2*F-6 8-D;7 4*F M ��� X e� > � >6 � 6G/�!8$�!b>6 `��0B��09�!*#L�!%9 ���M/S��0�! � � :L���9 �� 4/�!%$�62��0�!T�A���M6G0B�� G ���0�!8�9EXK �� � ��$� ?& � � ���\6G/����=/����0�!&X � > � > /����90 � " J �K/S��0�! ��:�����=/�����! �m�-0�!% �0> � X � >�:1���9 �A���M6G0 �/�! F 4 � 2*F 6 8 D?7 4*F M ��,0�!%�9 X� �� � ��$� ?& �" �7!Hz� %:Y�����1�� �/>����0�!80�: �m���J!�!890 >6 ��$�b�Z:�6G/����=/ $�!%04�1�(�90�62�� 4/j 4/�! �( �!8� /SlC�c!%040�����! � > � 9 � � � " �7�� �!\ �/�� c��� �/�!. 4$��10� �!%9\���$� ?&Q0�!%�( �X- �� � ��$� ?& �c �/�!8�\���19�!�!89�> � >6 � X-/����90 � �����L�� 4//S��0�! �.���9�/S��0�! � � "

) "��<�������&�: � � �J!%!%90 � � 62�� �/\ �/!.!Hz�!%�%�� ������ I#��!�6T: � � � � >6 � :L���19Q�(�� ��1�� �026G/1�A b'!�I�!8$ � � 9��#!%0%"

g !B��M6j0�/�M6W �/�� '�� )���� = * � � � � � � � � ���9 � )���� - * � � � � � � � � ��$�!S���H ��1�A��& ) 8 6 : F%)�� 7�HIH M8 )!2*F 4*) =*� F-6 8 " /����10���9�!%$ #L$40� c 4/�!E����0�!\6G/�!8$�! � � � ���9U0�� � � � : 6 �56*4@���1�($� 40 � �5" !�"�:� � � �e¯:£�¬d¬d�: %¡ ¡��«?¡|®��O�: O�#»%�Q¥ 0 �f¨ �O�#¡k�:¥k¬d�f _�Q�m¡£b«�­�£�¥I¡<µ � ¡| O�:�:�O¨| O£�¡U�f %»%£�¶���¡�O�e¡¥k§O¨I¡k�:�

ª�«�¥I¡,¢m«?¡U«�³f³�µ�­��:¯Q«�§O¨k��� ¡ H���± �%±fµ �0�°�¯Q«� >¨k�f¬�§O³´«?¡k�|¡�O�U¡k¥§O¨¡�:�FªO«�¥¡,¢�� ¨|«� O¨®��Q¥ ­6¢b� ¡k¨�Q³ ¤I±��(�O�e£� O³ ¢¥k�Q«�¨£� E¡£d�f 6»%£�¶��|¡�O�g¡k¥§O¨¡�:�Kª�«�¥I¡,¢b�f¨(¡£dªO¥k£Q»_�f�O�WQ&«�¥I¡,¢0NU®�� ¡�K«� K«� O¨®(�:¥(¡��«?¡g�f¨ ¥k�:³´«?¡�:�E¡£Z¡k�O�£�§_¡ªO§_¡�£�¤ �06±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� l

/S��0�! � � " J �F 4/���07����0�!�:�6S!T/�ZI�!

'�� )3��� = * � � � � � � � � � � �K� � � � � > � X � � X �� )�� � - * � � � � � � � � � � �K� � � � � > � � > � > �

6G/�!8$�!�>6 T���9iX,��$�!@���u�J�($��c�&o9���0� �$��!��� �!89q��� 3O� � �65�:G���9 > ��0\9�!% �!%$4�c���!%9)�(&� � � � � � � � � �_" !�"�: > � � > � � � � � " � �0�!8$�I�!� 4/�A >6 3��0.9��0� �$��.�1�� �!89C�1���u�J�($��c�&,���9�!H'�L!%�9�!8�( ��&F�A� >�:L���9Q0��R> � >6 ;��0G������J��$4�c�&Q9���0� �$��!��� �!89 �MI�!%$ 3O� � �C5�" g !.���������9! �/1�A � � � � � � � > � X � � X � ���9 � � � � � � � > � � > � >6 � � � > � >6 � ��$�!���9�!%�( ����%�A��&a9���0b' �$��!��� �!89;"

�7!�z� �:;�H�(�0���9�!8$7 4/�!��%��0�!� �/1�A � � 7�HX�G7�M 2����1�($� 40 � 9��!c ��F�����$����L!%$l� � �1!8/�ZI('����$B�����# �!%�M/Sl � " J � �/��0K����0�! � �5" !�"�:�/S��0�!K�D���1�MI�! � : � � ���1�($� 40��1!��J��$�!-���(I��5�������� �/! �$4�0� �!89T���$� ?&�:8���9T0����1�� �/P!8�0�!8� ���!%0y��$�!^��9�!8�( ������A � �5" !�"�:5�L�� �/P!�#��A � � � � � � � >6 � � � ��J��$��,$4���9��(� >6 � " �#�����!�� � ��0�9�!% �!%$4�c�����0� ���� � 0�!%!F���L�MI�! � :< �/�!Q�����&C�%��0�!D�!��J � ���H�(�0���9�!8$B��0B6G/!%$�!/� � $�!80��L���10�!802�$��(�1!8$��& � �����( �!8�K/Sl � ��D��0��������!TIM�����!�:9�!%��� �!89> " J �c 4/���0�����0�! � �5" !�"�:./S��0�! � � :A �/! 4 6 7�H 6<�76�� � FJ) <�: �A��:p��03���������!� �!%9c�����&���� � ��$� ?& �0�!%�90&>6 ���0P�� �0 �# �!%�ª/�� �c!%040�����! � 6G/����=/>/���1�1!8�0T62�� �/>�$������������� ?& ����� � :Y���9X��0���L��$� �!89j�� �/�!8$�62��0�!�" �(���c�����$��&�:����U �/�!E��9�!8�AG�c��9�!�5:B �/�!E!�z#!8���� ����(�j��0����������!� �!89� 62�� �/���� �K�,���L��$� ������ � ���� 4/�!@ 4$��0� �!89o���$� ?&U���0�6�!8$�0�62�� 4/ X � > � >6 � 6G/����=//����1!8�0c62�� 4/j�$����1��������� ?&������ � " <�� J �<�1�� �/j�c��9�!%�0%:3 �/! �b�����( ������#'?���L��$� �!89a!Hz�!�'��� ������C!0�#����0 � �b� � � � � >6 � � > � >6 � :<6G/�!%$�!%��0P �/�!&�b�����( .���1�($� �!%9C!Hz�!%�%�� ������C!�(�1�A�0� � � � � � � >6 � � � � � � "���� ������� � �"� ����"$�_d @;"��#f [ �h->D� " @;"������ � 3 @�+3"$� @$��� �*+:&������ �g !X�H�(�( ����(�!@���1$F��040�!%� ��&U�A�T�[��1�H ������1�A��� ���!80Q 4/�A ��$�!@�0�!H�[��-�J�($� �/!C�����������!8$�(&Q�$�!%0�!%�( ������D���9\�������!%�c!8�� ������������ �/�!8$G��A 4�$4�A`�[���� ����������� ?&F6G/���=/\��02�A�����9�!H'�L!%�9�!8�( T���( �!8$�!80� %" �#�1!8�H� #L������&�:Y6�!D$�!H�J!8$P ��E �/!���$��=/!� ?&��������A^���������%�A ������X�A� �!8$���'�#���M62�!%9���!��$��#�A�[0 � �=�b" �(!8�H ����(� � " � " l � :M6G/����=/.��0Y ��-0����I�!� �/�!S�J�����M62����K�$������!%� " �1�($ ?6S�,�$�!89�!� �!%$4�c����!89 � �L���&������c���A�'5 ����c!F��������� 4�����! � �[�1��H ����(�0�:� ���19 �O:��,���$� ?&/����9������P�K0�!%�%$�!% ^@0�/��(���9�0�!%�9� �/�!2����$4$�!8�H yIM�����!B���� � ^ � ��P �/�!B�� �/�!8$<�1��$� ?&�:M6G/����=//����90 � � ^ � :�6G/����!P���� �$�!�I�!8�A���������(&# �/������.!%�0�!- ��� 4/�!-�� �/!%$S���$� ?&�"32/�A ���0%:#6�!-��$�! ��� �(���������1�(�� N0�!%���1$�!%�&c�H������ ������. �/!2�[���� ����������� ?& � ^� � � ^ � � !S � I�� � � ^ � � :�6G/�!%$�! ?&��������A��& �c��0 �H'�� � ���19�0��K 4/�!BIM�A���!����L�� �0������A��!B����!�#��!��&.9�!% �!%$4�c���!S�� �0^�1$�!%�����A��! � "g !�0� 4$�!80�0G �/�� 7 �/!T�[���� ����������� ?& 9!%04��$��.�L!%9E���1�MI�!./��0G�F���$� ����Ay9�����A���!@w �/��

��0�:^�� ���0c���� c9�!*#L�!%9a�MI�!%$.���B��A��$40.�A�K����1�� �0 � ���7!0�#���N�!%���� �/ � : ��� c$��� �/�!8$.����&�J��$-�����$40G���3 �/�!��J��$4� � ^�� � � ^ � � " 2/���0P$�!80� 4$����H ����(� � �5" !�"�:;9�! #L���������� ?&E�MI�!%$7�F���$� �����9��(�c����� � ��������H��9�!%0�62�� �/� 4/�!T0� 4���91��$49���$4�=/�!� ?&���������L���������%�A ��������A� %!%$��A'@�(��M62�!89���!�$��#�A�[0%:#���9���0B!%��0���!%$� ��c���c��!8��!8�( �" C �M6S!�I�!%$%:� 4/���02$�!80� 4$����H ����(��9��#!%02���� S04�����H!-�J�($���c�#91�����$B!Hz�L��0��� ����(�F���< 4/�!.�H�(�c����!%9 �$��� ��������0 � �1!8�����0�!T�������1�(0��� ������Q�A�^���$� ������[���� ����������� ���!%0���0��c��$�!��H�������!HzC �/���> �/�!Q�H�����L��0��� ����(�>$�!80���� ��%���� 4�$�!89���& 2/�!H'��$�!%� , " � " l � " J �19�!�!89;:O�����(!8�H ����(� , " � " l1" � 6�!c6S����I�!� 4/�!D$�!80� 4$����H ����(� � ��\ �/�!D���$� �����9��(�c����� � ���9E�����0���9�!%$G���\!Hz� �!8�0����(�\�A�^ �/�!c���� 4/�!%�( ����%�A �!89E�H�(�c�1�� ��� ������ �[���� ������#'�A��� ?&� �����$ ���� �$4��$�&D��A��$40B�A� � !0�#���O�!8���� 4/ � 0� �$������(0�"�6�����:¯Q«�³f³�¡��«?¡Qµ��f �¡�O�f¨�¯Q«�¨k��µ��>«� O��� �N«�¥k�g�O�#¡�:¥k¬d�f O�:�b­%¢R¡k�_� 6¡k�:ª�,��|¬d�:¨¨H«�©���±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���E� ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� ���!� �#"$�%���&���� ��� � ���� �/�!8�( ������A �!%9P�H�(����� ��� ������;:Z���$� �����AI�!8$�0����(� � � 61F �P� 3O� � �C5�� $3_� � �C5��S 3O� �0�65�� 7�:�8 � �$3_� �0�65 �S 3_� � �C5�� = 6 D;<EHOM�:�<�K ) 7EH ; FJ) K 6 � <�K-D�� F 7?=1H 6 � � �76� � 0�� ��� ������4 .$0 � �6� � � . 2�� � � 0 ��4 2�� � � . ��4 2�� 056 4 ��� )!2 8 6�� : 6 8 ==M

� ^�� � � ^ � � !S � I ��� � ^ � � � , " � , �g !Q��0404��c!�:<�J��$�0�����������H�� ?&�:� 4/�A �a��0��!%���� �/W�1$�!80�!8$�I#�����1" � �/!%$�62��0�!�:< �/�! 9�!*#w���u' ������ ���Z&=�1!.�c��9�� #1!%9Q ��D�����0���9!%$S �/�!-�[��1�H ������1�A��� ?& � � ^�� �*< �8= N @]< � � � � � ^ � � �*< N < � � !S� I ��� � ^ � � " y�E�[���H����� ��� �!� 4/�!F�������!%�c!%�( ��� ������;:�6S!F��0404��c!� �/�� . �/!��[���� ������ �W��0���!H') ��A')���!�:M��0<��0Y 4/�!2����0�!����� ?&������%�A#����������� ������0%" 2/���0^�A���M6G0Y�0< ��-�0�! � ��$49������$�& � �!8$���'8�#���M62�!%9��!��$��#���[0�:Z$��� �/�!8$; �/1���T0� �$������ � �!%$��A'@�#���M62�!%9���! � �$��(���[0b')�A�s'@�#���M62�!%9���!�"2/�!T��0�04��!P��0S�[�$� 4/�!%$79���04���10�0�!%9Q�����(!8�H ����(� , " � " l1" l1"2/�!-�[���� ����������� ?&F��� + �L" �-, " � , � ��0B���c��!8��!8�( �!%9��(&Q/1�ZI(����� � ��$� ?&��T0�!8�9 � � ^ �

�� � ��$� ?&���:;���9, �/�!8�X�$��MI�!���� �!%$��A'@�#���M62�!%9���!T �/�!��H�($�$�!%�� ���!80�07�A�3 �/!cIM�����!c0�!8�( � 62�� �/�$�!%04�1!8�H < ��P �/!B�������c��������1�� � � ^ � � " �7�� �!B �/1�A � �/���0^0� ��A �!%�c!%�( ���0��A�1 4/�! � � ' ?&��1!2���9. 4/�A � ��$� ?& �S/1��0< �/�!2����$4$�!80��L���9����� � � '562�� ���!80�0%" (K�H 4��A��&�:A �/!��J�����M62������$��� ��#����`��0 F� 6 7 4 ���761F M�D )�� 7EH �����������A ����(�F��� %!%$��A'@�#���M62�!89���!-�$��(���<0�&�0� �!%��0�"[ ���!&$"$+ YdE"$�%���(���� �[m�n � ���� 4/�!%�( ������� �!89o�H�(�c�1�� ��� ������o�$��� ����H��5:G���$� �����7I�!8$�0������ � � 6=F�� = 6PF�76�2 61F <:9�D;7 ) 4�2 ��� � � � 2 7 FJ)!2 9�M ) :� ��� � �-, " � / � = 6 H <�� 7�:�8 ��� � � � = 6 7�:) : F-6 4 7 �1F%) �56 D 4 <�<G9 9=< 4�� � � 4*F�76 4 K+< 4 6 2 �3DED?< 2 6PF� 7 F � � 7�: = 6 ) K-D�H 6 K 6 : F 6 8 ) :D 4 <?= 7?= ) H )!2*F%)�� D?<�HOM�:�<�K ) 7�H ; FJ) K 6 � �76 : � ) �56 : 7�: 7�8 6 �1�N7 F-6 7���� ) H ) 7 4 M<; ) :ED�� F � )�� 6 � 7�:� � ;*� )IF : 6 2�2 9=< 4 K 6 K = 6*4�2��5) D <:9 F� 6 � <�K K <�: ) :�D�� FR) : � � �J ��� �0$� � 7 4*F M h � 6=F 2 ) :�D�� F ^ 1 3�� � �C5 � 7�:�8 � 7 4*F M � � 6=F 2 ) :�D�� F � � � � ^ � ��( �!%�K/ �E��� 7 4*F M h 2 6 : 8 2 � ������ � � ^ � F < � 7 4*F M � ��( �!%�K/��;� � �76 D?7 4*FJ) 6 2 ) : � < 56 F�76 D 4 <�<G9 2 M 2*F-6 K ��� � � � 2 � ����F� 7 F � 7 4*F M h D�H 7�M 2

F� 6 D 4 < �56*4 7�: 8 � 7 4*F M � D�H 7�M 2>F�76 �56*4*) � 6*4 � � � 6 � <�K K <�: ) :�D�� FRF < F�76 D 4 <$<:92 M 2*F-6 K )!2 ��� � � �� F� 6 D 4 < �56 4 � 61F 2 7���� ) H ) 7 4 M ) :�D�� F�^ 7�: 8 )IF 2 <?= � 6��=FJ) �56 )!2+F <D 4 < � 6>F� 7 F

, 0%" �" ��� � � � , � � 0 � � � � � , � � � , " � / �� � 7 � � D?7 4*F M H < � 7EHIHOM 8 61F 6 4 K ) : 6*2 F�76 � <�K K <�: ) :ED�� F ��� � � � 7 � � < 4 8 ) :� F < )IF 2<1�A: �$) 6 � <:9 F�76 6 � 6�� � F%) <�: 2 <,9=7 4 � � # / � : � 7 2 6�F� 6 � 6 4*) �16 4 4 6 � 6��=F 2>F�76 D 4 <$<:9 � 7 4*F M � � 7�H F 2 � )IF� <�� F D�� F� � < F�76 4 � )!2 6>F�76 <�� F D�� F � ) HIHC= 6 � � �� ' :NM D;< 2�2�) =1H 6�4 6 2 D?<�: 2*6 �,) : � H � 8 ) :���7?= < 4*F � <:9 � 7 4*F M � 8�� 4*) :�� F�76�6 � 6�� �I;F%) <�:�<G9 F� )!2 2*F-6 D � ) HIH = 6 ) : F-6*4 D 4 61F 6 8 ==M � 7 4*F M h 7 2 7 � 7�:�<�: )�� 7�HGH 6 � )IFJ) K+7 F 6K 6*2�2 7� 6 � �

� �� 4��� �0$��� : � 7 2 6 � 7 4*F M � � 7 2 :�< F � 7�H F 6 8 � )IF� <�� F D�� F � � ���9������� ������a���c�1$��(�1!8$�1!8/�ZI#���($7��� � ��$� ?&�� �� � 7 4*F M � 2 6=F 2 )IF 2 H < � 7EHG<�� F D�� F F < � � � � 7 4*F M h � 7 2 :�<<�� F D�� F � < 4 7EH F 6 4 :�7 F%) �56 HOM 7EHX�G7�M 2 <�� F D�� F 2�I � " �

65 ², mª�«�¥¡�f¯:§O³´«�¥<µ Q&«�¥¡,¢��U¨k�#¡k¨ H"!�&�#_° $ H�$CH"%&°6&��CH&%&°I°#µ3®��O�:¥k�Q«�¨AQ&«�¥¡,¢ NZ¨k�#¡k¨'!a«�¯:¯:£�¥k�_�f O©d¡k£R� ¡¨£<®� E�f OªO§_¡�«� O�(#E«�¯:¯:£�¥k�_�f O©e¡£Z¡k�O�|¬d�:¨¨H«�©��g¥�Q¯:�:� »%�:�K�f  6¡k�:ª�,���±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� )

� �0�!%$�I�!� �/1�A T �/!F0��L!%���9#L!%9>0� 4$��� �!%����!%0T��$�!����19�!�!89X�������!%�c!%�( ������!����>�L���&������c���A�' ����c!�" J �U���$� ����%�����$�:^�����# �!%� /���: � ��$� ?&<�\0��1������!80� 4/�!E�$��MI�!%$�0�� �$��(�� �����! 62�� 4/ �/! � � ')62�� 4��!%040.^V04��=/E 4/�A + �w" � , " � / � ��0-04�A ���0 #1!89E62�� 4/�, � ^N" (7�0��1:;�0�����F �/!D 6*4 9 6��1FR� <�K-D�H 61F 6 : 6*2�2/� <�: 8 )IFJ) <�: �A�O 4/�!P�$��#���;0�&�0� �!%� �� N�J�����M6G03 4/�A ��u� �L�� 4/F���$� ���!80��$�!T/����!%0� S 4/�!%�\��!%�� 4/�!%$7���L��$� �0B���9 4/�!T���� 4��� 2��02��02$�!0�#����$�!89;"3 +�� DR��&��#"������L���� �[mwm �3DED?< 2 6 F� 7 FGF�76 9��;: �1F%) <�: � )!2 <�: 6 ; F <<;V<�: 6 7�:�8 F� 7 F ��� � � �)!2 7 �6*4 <<; :�<1� H 6 8� 6B) : F 6 4 7 �=FJ) � 6 D 4 <�<G9 � � )IF� : 6 �EH ) � ) =1H 6 2 <��;: 8�: 6*2�2 6*4 4 < 4 � 9=< 4 � �

� �76 : � <�: 2*F 4 � �1FJ) <�: � � � � h � 2*6�� � 4 6 HOM � <�K-D�� F-6*2 � ��� �/�!\���A��������(�0�����9�!% � F�76�� ;7�� F�76 : FJ)�� 7 F-6 8 � ; � <�K-D�� F 7 FJ) <�: 9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M <:9 � � � � , " � , � �g !70� 4$�!80�03 �/�� � $����L��0��� ����(� , " � " ���B$�!H�J!8$�03 ��T �/!70�!8���$��� ?&��A�O�T�$��� ����H��#�J�($3�H�(����� b'����� �\���$� �����y�[�1��H ����(��A��� ?&�:y��0P9���04���040�!89,��� � !%����$ � , " ��" , " J �X����0�!c�A� + �w" � , " � , � �/��0-�c!%���102 �/�� 7 4/�!���9�!%��u'?�c��9�!�y��9�I�!8$�04��$�&���07���� 7�A���M6�!89Q ��ªN��c��9����J&Q�� �0K������ _P� �5" !�"�:��� B���0� 2���040��� 40������� ����A;������ B ��� 4/�!K 4$��10� �!%9F�1��$� ?& � : �1!8�����10�!-�� 40S������ ����A`������ ��0B �/�!.���.�#��!TIM�A���!T 4/�A �#1 40B �/�!T�� �/�!8$2���$� ?& � 0B����� �"3 +������26�7��5"%d3>8 (G�(�A���;:6S!���!�!89 ��D �$4���10b�J�($�� ���(&F��91����040��!���!.��A��$�: � � � �h��� � :�J�($ �/!G$�!8�A�c��9�!�L���( ��T�T����$4$�!80��L���9�����P�����$%: � � � � ��� � :��J��$^ 4/�!2��9�!%��1�c�#9!�5" g !G �$�!%�� 0�!%���$��� �!��&>!%���=/W�A�- �/�!E ?6S�>����0�!%0%:N����$4$�!80��L���9�����X ��> �/! ��9�!8�� ��� ?&j�A�K 4/�!E/����!%0� ���$� ?&�"g ! 0� ���$� �62�� 4/W �/! �%��0�!F6G/�!8$�! F� 6 � 4�2*F D;7 4*F M )!2a� <�: 6 2*F5" J �j �/���0�����0�! � � ��0

9�!% �!%$4�c���!%9;:7���9V6S!@ �$4���10b�J�($�� � �/!C$�!%��u'?�c�#9!�7��9�I�!8$�04��$�& � ���@���( �� � ���p��9�!8�A�'�c��9�!�O��9�I�!8$�04��$�& � ���A:6G/����=/ �0�!80;���P��02��04���$����� ����!�" � !%�%�A�; �/�� ���P��!� �0S������ � � � � ^ � :16G/�!8$�!&^a��0B �/�!T����� G�A�< �/�!./��(��!%0� � ��$� ?&���"��" � � 0�!%�9 � ��� 4/�! F 4 � 2�F-6 8 D?7 4*F M ���19Q�%�� ������ 4/�!.IM�A���! � :16G/����=/\!0�#����0 � � ^ ��J��$�^V/���9�!89 �(& � �/!c/��(��!%0� � � ��$� ?& �� �� �/�!� �$4�0� �!%9X���$� ?&�":2/(�10�:`���9�!�!89� � 9�(!80G���� 7�c�#9�u�J&\�� �0G����� 7���9 ��� � � � 1 �G" � � !%�%�A�O �/�� � ��$� ?&��.���6B�Z&�0���� 4�A���0�I �[$����k 4/�!T �$4�0� �!%9\���$� ?&�" �

�" ���P���(I�� ��!%0B 4/�!�0���������� ��($B�����$����� �!�!89D�J��$G �/�! %!%$��A'@�#���M62�!89���!P�$��#�A�<0�&�0� �!%���� � � � :G�(�V���1��� ��� � � � :7�0����� � 4/�!X$�!%0���91��A � ���X��0Q�W�1�(0�0��!���!X�c������H�����10I�!%$�� #1!%$%" # � �K�� �!2 4/�A N6�!G��$�!20���������� ������T �/!7���� ������0^���w 4/�!7�$�!%04��$��!�1!89��$��MI�!8$� :36G/����=/j���j 4/�!E$�!8�A2�$��� ��#����S��0D���Z&�!%9;�(&a 4/�!E/�����!80� � ��$� ?&���"��K!8���� �! �/�!D�%�� �������!89>0���������A ����(�@ 4$����04��$����� �(&GD � D ��� � � � :<6G/�!%$�! � ���9�!�!89 � � � ��0������������� 2��� �/�!.��� ��� ������;"

l1"��<�������&�: � � �J!�!890I� � 62�� �/C �/!�����!���!%9@!Hz�!%�%�� ������XI#��!%6 � � �cD � :Y���9X���� 4��� �06G/�A �!�I�!8$ � � 9��#!%0%"

g !Q��!%!%9W ��@04/��M6k �/�� .�J�($. �/!F�[��1�H ������1�A��� ?&�:39�!%���� �!89 :^�A� + �L" � , " � , � ���9>�J�($/����10� 4$���� ������ , " � ".� �1:#9!%���� �!%9�:�:1�� G/����9102 �/��

3 '��4)����� * � � ^�� � � ^ � � 5 N V� /0* � ��� �� 3 � )���� - * � � ^� � � ^ � � 5 N�V� /)* ����� � , " ��� � 0 �(�O�|¯Q«�¨k�U�f E®��O�f¯H� ���U�:¸S�:¯:§_¡k�:¨ %¡k�:ª�, N�®�� ¡�b¥k�:¨ª3�:¯#¡�¡k£R«e�_� ���:¥�Q %¡�¯Q£�¬d¬d£� R�f Oª_§_¡ �f¨��I§O¨¡

«e¨ª3�:¯:�´«�³�¯Q«�¨k�|£�¤N«�¬R«�³f�f¯Q�f£�§_¨(­3�:��«:»_�f£�¥Q±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

9 !% Y � ^ � 9�!%��� �!� 4/�!�I�!8$�� #1!8$ � 0-I(��!�6 �A�B �/!�$�!8�A^���� �!%$4���� ������X62�� 4/ � ���>�������c��������� � � � ^ � ��� � ^ � � ���9D�$��MI�!8$ � 0^���#z��������$�&.������ a^N:#6G/�!8$�!2 4/�!7I�!%$��9#L!%$���0N����Z&�!89 �(&����""2/�!%�O:

� )�� � - * � � ^�� � � ^ � � � � I �S� � � � � ^ � � � � ^ � � Y � ^ � � �'��4)���� � * � � ^�� � � ^ � � � � I �S��� � � � ^ � � � � ^ � �XD � � � ^ � � � � ^ � � � �C �M6S!�I�!%$%: �(&7 4/�!N0� ����19��$49K�J��$4������A ����(�7���� %!%$��A'@�(��M62�!89���!�:H�� O�J�����M6G0` 4/�A I3 Y � ^ � 5 N�V� /)* ��������19 3ZD � � � ^ � � � � ^ � � 5 N V� /0* � � � ��$�!\�H�(����� ��� ����������&W���9���0� ����������0�/1�����! � �A�0��X6G/�!8�����I�!8� ^j��02����z#�������$�&D������ � :w���9 0�� + �L" �-, " ��� � �J�����M6G0%"g !c���M6 4�$4�@ ��Q 4/�!c�%��0�!�6G/�!8$�! F�76 2 6�� <�:�8 D?7 4*F M )!2 � <�: 6*2*F_" J �, �/��0T�%��0�! ���

��0-9!� �!8$��c����!%9O:O���9@6�!� �$4���0��J��$4� � $�!%�A�'?����9�!% � � � ���� �� � ��9!%�A�'?����9�!% � � � :;6G/����=/�0�!%0;� � ��02��0�� �$��(�� �����!�" � !%�%�A�; �/�� � � ��!� �0B����� �^ 1 3�� �0�65 � "��" � � ���(I�� �A!80 � � �(�W������ ^N" (K0 � ���c�����H�� � ���W 4/�! �1$��� ����H��_:3����&a���H ������W�A�

� � �����# �!%�M/ � � �������19���������L��$� � ��02���( �!%$4�$�!% �!89Q��020�!8�9���������0� 4$������1" 9 !� G�09�!%���� �! �(& � 4/�!.�c!%040�����!P0�!8�� ��(&a� � � �5" !�"�: � � � � � ^ � � "

�" J �� 4���� ���I�!��&�:��c���=/�����! � � �=/�!%�*�#0.6G/!� �/!%$c��$c���� � � � � ^ � :N6G/�!8$�! ^x��0���0���L�MI�! � �_" !�"�:� �/�!-������ B �� � � � " (K�H 4��A��&�: � � �=/�!%�*�#0�6G/�!� 4/�!%$S�($����� S��/����!%0� I�!%$�� #1!%$�6��(���9j/�ZI�!��L!�!8� �����(I#�����!%9<��& � �/�!,$�!%0���9��A � � � �/�� � � � � ^ �/����90%:L6G/����=/E��07!�#����IM���!8�� 7 �� �L!������\�H�(��I#����H!89\ �/�� � � � ^ � � � � 1 �7" �#�L!%���9#'���A��&�: � � !%������ �!%0< 4/�!2!Hz�!%�%�� ��������A� �( �!8�A/�� � �_" !�"�:� 4/�!B!Hz�!%�%�� ��������A�w �/�!G�$��#�A�0�&�0� �!%� ��� � � � �(���H�(�����(�������� � � � ^ � � � � � :16G/����!T�0������� �/�!T0� �$4�A �!���& � � ��9�!� �!%$4������! �/�!E�c�MI�!80����7 �/! � �1�(0�0��!���&W�=/!%�A ����� � �$��MI�!%$ � ���19j����Z&#�����C �/!/�����!80� BI�!%$��9#1!8$S���\��0� 4$������(/( b�J��$�6B��$49��������!8$ � " # �� !%�%�A�K 4/�A Q �/���0\�$��#����0�&�0� �!%� /��0Q�!���������!���!X0��(��9��!80�0Q!%$4$���$%:G���9o0��j���� � � ^ � � � � 9��#!%07��� K04�A ���0��J& + �w" �-, " � / � �/���0G�[���H G��0-9�!� �!%�H �!%9E62�� �/@�$��%��������� ?&� � � � Z � :%6G/�!%$�! ����0O0����c!N�!���������!���!��[�1��H ����(�;" J �� �/!3I�!8$�� #1!%$ � ����Z&�!89:�(& � � �� b'0�!%u� � $�!0�b!%�� �0Y �/�!8�������=/����! � � ���L��$� �0 � 62�� �/��(�� Y���(I��5�������G 4/�! F 4 � 2*F-6 8GD?7 4*F M � " # <� �/�!8$�62��0�!�:;6�!��$����H!�!89@��0�04��c����Q 4/�A � � � ^ � � � � 04�A ���0 #1!80 + �w" �-, " � / � " �K�� �! �/�� �0�����H! �V��0 �H'��E���9 + �w" �-, " � / � ��0Q0��� ���0 #1!89U�� F���0� =�1!, 4/�!@�%��0�!E �/�� � � � � � > � � � � ^ � � � � � � ^ � " # #

l1"�(7040���c�����- �/�� <�����=/����! � � /1��0����� ����L��$� �!89;:M�� �0�!%�190 ^\ ��- �/�! F 4 � 2*F-6 8RD;7 4*F M :���9������M6G03 4/�!7��A � �!8$N ���$�!%04�1�(�9D �� � ��$� ?& �" � 2/�!- �$4�0� �!%9��1��$� ?& � 0N$�!%04�L���0�!62��� �1! � � ^ � � � " (G�(�A���;:���� �!T �/�� B���9!�!%9 � � 9��#!%02���� G�c�#9�u�J&Q�� 402���1��� �" �

� ², >ª�«�¥I¡k�f¯:§O³´«�¥Qµ3� ¤ ��0e«�­3£�¥I¡k¨g¡�O���:¸S�:¯:§_¡k�f£� F£�¤ 6¡k�:ª , NZ¡�O�: m¡k�_�e�O£� O�:¨I¡g»%�:¥k� ·��:¥ ®��f³f³$ O£�¡ ­3�¯:£� 6»S�f O¯:�:� ±�� ³ ¡�:¥k �«?¡� »%�:³ ¢%µ$¬R«�¯H�O�f O� 0 ¬R«Q¢m�f %»%£�¶��Z¡�O�e¡¥k§O¨I¡k�:�aªO«�¥¡,¢>­O§_¡�ªO¥�#»%�Q %¡U� ¡|¤]¥k£�¬�«� O¨®��Q¥�f O©

Q&«�¥¡,¢ NS±e�(�O�Z�O� �3�:¥k�: O¯:�d�f¨g�f¬d¬R«?¡�:¥k�´«�³�µ�­��:¯<«�§_¨k� Q&«�¥¡,¢ �e©��:¡¨U O£�¡�O�f O©b¤]¥k£�¬ ¡�O�e¡¥k§O¨I¡k�:��ª�«�¥¡,¢%±� ��«?¡ ¬R«?¡I¡�Q¥¨ �f¨ ¡��«?¡IH,�f E�:� ¡k�O�:¥�¯Q«�¨k�<°�Q&«�¥I¡,¢0N|®��f³f³ ©��#¡�«� K«�­�£�¥¡�¨¢S¬e­�£�³�H,��± ��±fµ��U°H± � � ¯:£�¬d¬d�: %¡-¡��«?¡ �#»%�Q R� ¤ $d®(�:¥�  O£�¡��#¹ � ­O§S¡ «�¨I¡k¥£� O©�ªO¥k£6£�¤]¹�£�¤]¹,¶6 O£Q®�³f�:�O©��IH,¥k«?¡k�_�Q¥�¡��«� E«� 

£�¥k�_�f �«�¥¢�ªO¥£S£�¤&¨I¢_¨I¡k�:¬�°-® «�¨�§O¨k�:�b�f  6¡�:ª�, N�¡k�_�Q b£� O�U¯Q£�§_³f�b��«:»%���f S¤!�:¥k¥�:��¡��«?¡ QN«�¥I¡,¢��|¶S _£<®�¨«�  % � ¨£Z¡k�O«?¡ $CH&% � ° $ !�«� O� # $ �CH&% � °Hµ�®��O�:¥k�Q«�¨ % � �O£S�:¨g _£�¡| O�:¯:�Q¨¨H«�¥�f³ ¢b�:¦6§�«�³�%-± S�: O�_�f O©�% �¡£R¡�O�U¡k¥§O¨¡�:�>ª�«�¥¡,¢b�f b¡k�_�e O�#¸6¡ H��Q¬�§O³´«?¡�f£� �°�¨I¡k�:ª µ3®(�|®(£�§O³f�m��«:»%�e­��:�: K·� O��µ�«�¨g� ¡�®�£�§O³f�m��«Q»%�H,«�³f¨k£6°�¬d�Q«� 6¡ ¡��«?¡�¡�O�|¡¥k§O¨I¡k�:�bªO«�¥¡,¢�� ¨�¥�Q¨ª�£� O�E¡£ Q&«�¥¡,¢�N��f¨ #�±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� ,

� "��<�������&�: � � �J!�!%910 � � 62�� 4/� 4/�!B!Hz�!%�%�� �������I#��!%6T:A6G/����=/��H�(�0���0� �0<�A�L �/�!2�$��MI�!8$ � 0I(��!�6V���O �/�!-!%������� ���������� �( �!8�J/�� � �$���9�1�H!%9���� �# �!%���T���L�MI�! � :#���9����� 4��� �06G/�A �!�I�!8$ � � 9��#!%0%"

g !.���M6 04/��M6q 4/�A

3 '��4)����� * � � ^�� � � ^ � � 5 N V� /0* � ��� �� 3 � )���� - * � � ^� � � ^ � � 5 N�V� /)* ����� � , " l�� �(7�� ������&�:;6S!�62����04/��M6 4/�A - �/�!80�!c ?6S�F!%�10�!8� ���!%0-��$�!�0� ��� ���0� ����%�A��&\���9���0� ������(����0�/#'����!�:�6G/�!%$�!P �/�!T0� ��A ���0� �������O9�� �w!8$�!8��H!P��029��!P ��� �/!P�%��0�!P6G/�!%$�!K 4/�!.$�!%�A;��9�I�!8$�04��$�&� � 04�����!�!8907 �� �����(I#���1�H!� 4/�!cI�!%$�� #1!%$ � ����Z&�!89��(&E �/�!�/��(��!%0� � ��$� ?&�� � �/1�A ��� � � �04�A ���0 #1!%0 + �w" �-, " � / � :����19�&�!� � �/���0^�H��A��� ��0��[�A�0�!�" �B&�0����1�9��!80�0����L �/!G�$��#���L0�&�0� �!8�Q: �/��07!�I�!8�( B/1����L!%�07�����&�62�� �/E��!%��������.��!.�$����1��������� ?&�" � �Q 4/�!T�� 4/�!%$7/���9O:���E�%��0�!��� � � � 0��� ���0 #L!%0 + �w" � , " ��/ � :A6�!204/��M6W 4/�A '�� )3��� � * � � ^�� � � ^ � � ���9 � )3��� - * � � ^�� � � ^ � ���$�!7��9�!8�� ����%�A��&D9���0� �$��.�� �!%9O" �K!% ��A���0N�J�����M6T" � ��! ��!�&����10�!8$�IM�A ����(����0� �/1�A F� 6 6 K �I;H 7 F%) <�: <:9 F�76 D 4 <$<:9 2 M 2*F-6 K � 62�� �/X�$��MI�!%$20� �$4�A �!���&�� � � ^ � � D 6 4 9=< 4 K 6 8 ) : F 6 D � ==M� � )!2 8 )!2*F 4*) ==� F-6 8 ) 8 6 : F%)�� 7EHIHOM F < F�76 4 6 7�H 6 � 6�� � F%) <�: <G9 F� 6 D 4 <�<G9 2 M 2�F-6 K F� 7 F F 7 6 2D�H 7 ��6 ) : F-6 D � � <:9 :�"���uz������@����& ^�:3$�!8���A�N 4/�A � �=���� � � � ^ � ��!%!%9W��� �!�#��A�� � ^ � :3���19a �/�� � ������

� � ^ � ����!�#��!��& 9!� �!8$��c����!%0�^ � �L!%�%���0�! �\��0 ��'�� � " g !�9�!8���� �! ��&��\ �/�!��$��%��������� ?& �/1�A � � � ^ � � ���Z&#�������.�L��040��.���&D�=/�!%�� ��������1$��MI�!%$ � �H���(I#����H!803 �/!KI�!%$��9#1!8$ � ���Z&�!%9D����( �!%�C/�� ��& � ��$� ?&�� � 4/�A ��� � � � 04�A ���0 #1!%0 + �w" �-, " � / � " � �#�����!�� � ��0K9�!% �!8$��c������0� ����A:� � � � � ^ � ��0 #z�!89F���19F 4/�!T�$��%��������� ?&D��0S�����&D �� �A!8�F�MI�!%$3 4/�!T�c�MI�!%0S��� � ��$� ?&=��" �g !��H�(�0���9�!8$y ?6S�7�%��0�!%0y����$4$�!80��L���19�����2 ��7 4/�!�$�!���A ����(� �1!% ?6�!%!%���.���9. �/�!B0��(��9�!%040!%$4$���$�' �L����19D�[���� ��������X��0�0����H���A �!%9Q62�� 4/Q 4/�!.�$��#�A�<0�&�0� �!%� ��� � � � " #����" �#���L��0�!���� � � Z � " J �� �/���0N�%��0�!�:��(&� �/�!70����1�9��!80�03�����9�� ����(�;:��� 3���0� �L!G �/!����0�!7 4/�A � � � ^ � � � � � � ^ � : �L!%�����0�!7���F 4/���0B�%��0�! ��� � � � 0��� ���0 #L!%0 + �w" � , " � / ����9 0�� � � � � � > � ��� � � � � � � > � � � � ^ � � � � � � ^ � " 2/#�0%:������L�� 4/F 4/�!.$�!%�A;���9 �/�!���9�!8�A(����9�!%_:Z62�� �/.�1$��%���������� ?&��O:Z �/! �b�����( y!�z#!8���� ����(�PI#��!%6C��0 :�<�:�;V7?= < 4*FJ) :�����9X!0�#����0 � � � � ^� � �2� � � ^ � � � � � � � ^��� � ��� � ^ � � :y6G/�!8$�!��$�!8�$�!%0�!%�( �0- �/!�$��MI�!%$ � 0NI#��!%6o�A�< �/�!-!Hz�!%�%�� ������Q�A�"�( �!8��/�� � �(�Q�������c��������� � � � ^ � ��� � ^ � � :6G/�!%$�!� �/�!��$��MI�!8$-��0.���Z&�!%9 ��& � � � ^ � ���19X 4/�!DI�!8$�� #1!8$P��0./����!80� � " � �C �/!�� �/!%$G/���9;:L�����L�� 4/E����9�!%�0%:w62�� 4/E�$��%��������� ?& � � �O:1 4/�!��b�����( G!�z�!%��� ������ ��07?= < 4*FJ) :�� ���9E!�(�1�A�0 � � � � ^� � � � � :w6G/�!%$�! ��0-��07���1�MI�! � !�z�H!%� 7 �/1�A P/�!%$�!�� S��0B�c$�!9�b!%�� �������!�z�!%��� ������� 4$����04��$����� � ""2/#�0%:(���� 4/���02����0�!�:# 4/�!-9��0� �$��.�1�� ������0��� + �w" � , " l�� � ��$�!P��9!%�( �������_"g !C/����(/�����(/� F �/�!X!Hz� �!8�0���I�!X�0�! � ���L�MI�!X���9&�L!���M6 � ���P 4/�!,�[���H Q �/�� F �/!!%������ ������C�A�2 �/!Q�$��#�A�G0�&�0� �!8� � 62�� 4/a�$��MI�!%$B� � � ^ � � 4/�A .��0��L!%$��J��$4�c!%9>����( �!8� ���(& � � ��0P9���0� 4$��!��� �!%9C��9!%�( ���������&E ��\ �/!�$�!8�A�!Hz�!%�%�� ������@�A�S �/�!��$��#�A�0�&�0� �!%� �/�� 2 ��E��!%0B�������!T�����( �!8�M/����A�©:�"

�" �#���L��0�!D �/�� ���� � � Z � "�(G�(�A���;:Y��� �L�� �/a�c��9�!%�0%: 7A= < 4*F%) :� !Hz�!%�%�� ������10.��$�!��9�!8�( ������A(���9P���%���$y62�� 4/.�$������������� ?& � � �y" C �M6S!�I�!%$%:����T �/���0<����0�!�:86S!N/�ZI�!3��

�� � � ¨I¡k¥ � ¨k¨&¡���«?¡�«�  � ¸SªO³��f¯�� ¡ � ¥k¥£�¥¹,­�£�§O _�e¯Q«� Z­ � «�¨k¨k£6¯��´«?¡ � �e®�� ¡��d«�³f³_¨I¡H«� _��«�¥k� � ¥k£�¹�¶S O£Q®�³ � �_© �ªO¥£S£�¤&¨I¢_¨I¡ � ¬d¨<µO«� O�b¡���«?¡�� � ¥ � ® � §O¨ � «e¨¢S¨¡ � ¬�¤]£�¥(®����f¯������f¨   � ©�³��f©��f­O³ � ± �O§_¥¡�� � ¥k¬d£�¥ � µS® � ¬R«Q¢§O¨ � «eªO¥k£6£�¤&¨¢S¨¡ � ¬�®�� ¡�� � ¥k¥£�¥�­�£�§O _����H"!�°$#&%('$ N*),+&±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� / ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

/���9�!T�(�Q 4/�! :�<�: ;V7A= < 4*F%) :� !Hz�!%�%�� ������0G���\ 4/�!.$�!8�Ay�c��9�!% � �L!%�%���0�!T�� 7��0G����(����!8$B�����$����� �!�!89F 4/�A � � � ^ � � � � � > � ��� � � /����902���\ �/!�$�!8�Ay����#'?���L��$� ������!Hz�!%�%�� ������;:<6G/�!8$�!8��0T���> �/�!F��9�!8�AS����9�!%N�� �0� ����B/����90T 4/�A ����W����#'?���L��$� ������!Hz�!%�%�� ������0 � ��$� ?&��Q���� 4��� 40 � � ^ � � � � � > � ��� � � � "��2�� P6�!D9��E���� T����$�!�: �L!H'�����10�! � ���j 4/���0�����0�! � 4/�!%0�!E�����#'?���L��$� ������X!Hz�!%�%�� ������0����%���$c62�� �/V��!���������!���!�$��%��������� ?& � �_" !�"�: ��� � � Z � � " 2/(�10�:��� �/���0G�%��0�!�:� �/!�9���0� 4$��!��� ����(�Q!8�0�!%� ��!80��� + �w" � , " l�� � ��$�!T0� 4�A ���0� ���������&����9���0� ������(����0�/�����!�"

2/�!.�$����L��0��� ������D�J�����M6G0%"g !��H�(�c�c!8�� 7 �/�� G �/�!����L�MI�!P �$�!%�� ��c!%�( 7�%�����1!�!Hz� �!8�9�!%9\ ��� �/!�����0�!T 4/�A ��,��07�$4���9��(�c� %!%9E�$����H!%040G$4�A 4/�!%$7 �/���,���[���� ������ � ��0K��(���F��0G �/!����c����!.��� �@���.�#��!%�&9�!% �!%$4�c���!%0P�� �0T�$�!������A��! � " �-!� 4�A���0T��$�!c���c�� � �!%9X���XI#��!%6 �A�S �/�!c�[���H P �/�� T�Q����=/�c��$�!P��!%�!%$4�A` �$�!%�� ��c!%�( B62��� �L!.�$��MI(��9�!89F�����(!%�� ������ , " � " l" �

���� ������� � - @ B�� >+<@?� &I- �(&D&������g !-���M6o�����0���9�!%$� �/�!K�J�����M62�������[���� ����������� ?&�:�������!%9 4 0�� � � � 0 � � �4 � �=4 2�� � �($��1����#' �/!%�( ������� �!%9\��������� 4�A ������ � �

� ^�0� < N < � !S � I ��� � ^ � � � , " l�� �6G/�!8$�! � ��0.���;�(!8�H ������ , " � " l1" � � �/�!F�[���H ����(� � ��0��1���&����(�����A�') �����!���������� 4�����!�" #��J �C�H���( 4$���0� - �� �(!8�H ������ , " � " l" ��:` 4/�!DIM�A���! � � ^ � ��0T���� -I�!%$��9#w�����! � 62�� 4/X$�!%04�L!%�H P ���cIM�A���! � � ^ � �/�� 2��0 �#���M6G�Q ��D 4/�!.0�!8�H�(�9Q�1��$� ?&F���9 ����!�#��!��&Q9!� �!8$��c����!%0�^ � " J ��� 4/�!%$c6S��$490%:< 4/�!\IM�A���!Q�(�� ��1�� ���& � ��$� ?& �E��0c�����&W$�!0�#����$�!89a ����1!E���W���c����!Q�A�� � ����$4$�!80��L���9�����E ��@�,�$�!������A��!D�A�G�E����I�!8�>�!8���� 4/ � "�2/#�0%:^�A #w$�0� .������1�H!�:<���!���Z&> �/����?�a 4/�A �0�!8���$�!��&a�H�(�c�1�� ������ + �w" � , " l�� � 04/�����9<�1! !%��0���!%$� �/���j0�!%�%�$�!%�&�H�(����� ������ + �w" �-, " � , � :y!80��L!%��������&,���X�%��0�! �W��0.���( �� � ���C6G/����=/>�%��0�!����(&,0� 4$������\��0��� �L'5�����A��! � "�2/���0K�����$�!%040������\��0K6G$��(���1:��1!8�����10�!c0�!8���$�!��& ��������� ����� + �w" � , " l�� ��c!%���07!8������A �����Q���,��9�!8�A��c�#9!�����,6G/����=/ � ��$� ?& ���(��M6G07 4/�!�0� �$�����F�� -0�!%�9107 �� �/!K 4$��0� �!89����$� ?&�" 2/�� ���0%:(������0�!8���$�!K�$��� ����H��1�J��$ + �w" � , " l�� � :(6G/�!%�!�I�!8$ � ��$� ?& ���� ���� 4030����c!2��������! � ��� � � : � ��$� ?&��G���0� R�(��M6 �T�H�($�$�!%04�L���9������P�$�!����c����! � �1�9�!%$� � " # � �( ������$��MI#����� �#���M62�!%9���!c���B�E�1$�!%�����A��! � ���19C9�������,0��\��� �!8$���'8�#���M62�!%9���! ���0G6G/�� 7� �!8$���'8�#���M62�!%9��!P�$��#���s'5���s'8�#���M62�!%9���!P��0K�A�Y���L��� �"�(7�� ������&�:w���\�($�9!%$2 ���ZI�����9.!Hz�1!8�H �!%9c�$��%���������0� ����N�L���&������c���A�'5 ����c!B��9�I�!%$40���$���!%0%:86�!B�0�! %!%$��A'@�(��M62�!89���!2*F 4 <�:�� '?�$��#���s'5���s'8�#���M62�!%9���! � ��0N9!*#L��!89D���9������0� �$4��H �!%9c��� �(!%�� ������ � " , " � � " g !G62���04/��M6j 4/�A >/��(�0� 4$��1�H ������ , " � ".� �P�%��� �1!G!8��0����&���9���� �!%9� ��T&#��!��9c�T0�!%�%�$�!S�������!%�c!%�#' ��� ������D��� + �w" �-, " l�� � " �#�1!8�H� #L������&�:����w �/�� N��0��!�!%9!%9D��0N ����0�! � �����( �!8��/�� � � �!8$���'�#���M62�!%9���!�2*F 4 <�:�� ')�1$��#�A�s')�A�s'@�#���M62�!%9���! � $��� �/�!8$. �/1���W���a��$49������$�& %!%$��A'@�(��M62�!89���!�$��#�A� � :1���9 0�!� � ��=�L!.���H�(�0� 4���( S�[���� ������;"#º ¯#¡k§O«�³f³ ¢6µ*�f Z£�¥� � ¥Y¡£�¯:£� _¤]£�¥k¬ ®�� ¡��e¡�� � ¯:£� %» �  %¡��f£� R¡���«?¡�¡�� � ¤!§_ O¯#¡��f£� �«�³�� ¡,¢���«�¨Y¡£�­ � � � ·�  � �

¤]£�¥�«� %¢��f OªO§_¡�ª�«&�f¥Qµ_® � ¬R«:¢R¯:£� O¨��f� � ¥ ¡�� � ¤!£�¥¬e§O³´«?¡��f£�  H"%3&��$° �� H� & �CH&%&°I°#± E � � ¯:£�¬d¬ �  %¡$¡���«?¡Y¡�� � ¨k«�¬ � �O£�³f�O¨Y«�³f¨k£�®�� ¡���¥ � ¨kª � ¯#¡Y¡£ �N¦3± H+LS± N L�°H±��§_¡&¡�� � ¥ � ¡�� � ¶S O£Q®�³ � � © �

£�¤(«RªO¥ � �f¬R«�© � H�£�¤���� ��� §��ªO§�� #E§�� � ��� ��°��f¨g©�§�« � «���� ����� ­������ ��� «�¯�������«��g¨ � ¯:§ � � ��� �f¬dª_³�� � ¨ ���O«����� � ª ��� �f¬R«�© �!��� #d§�� � ��� �E¬�§O¨��(­ � ¯ � �O¨��f¨�� � ����®�� ����$CH&%&°Hµ_®�� ����� «�¨"��� ��� �O³ �R¨k§_¯��Eª ��� �f¬R«�© � �f¨ %� �¨ � ³ � µS®�� �f¯����#�$�§ � ���f¨%��� � �#� � ���´«�³ �#�_ªO§�� ��� QN« � �����|«�� � ���6§O¨�¶�� � ®!�&� � � �Q±

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� ��� �

3 +�� DR��&��#"������L���� �[m � �3DED?< 2 6 F� 7 F ��� � � � )!2 7 �6*4 < ; :�<1� H 6 8�� 6 2*F 4 <�:�� ; D 4 <�<G9 ;V<:9 ; :�<1� H 6 8� 6 9=< 4 F�76�4 6 H 7 F%) <�: Y ������ 3 � � ��� � � � � � � � � 5 7�:�8,H 61F � = 6 7 � <�: 2*F 7�: F9��;: �1FJ) <�: � � �76 : � <�: 2*F 4 � �=FJ) <�: � � � � h � 2 6�� � 4 6 HOM � <�K D�� F 6*2 � ���� �/�!K�c������H�����103�c�#9!� �F�76 9��;: �1F%) <�:�7�H )IF M <:9 � � � � , " l � � �3 +������26�7��5"%d3>8 � !8���A�O 4/�A � ��0G�L��0� �����A �!%9\ �� �1!.�������!%�c!%�( �!89\���E�1$��%����������0� �����L���&#����c����u') ����c!D6G/�!%�W����I�!%�>���C��9�!0�#��� �!F���#z��������$�&�')������ � �_" !�"�:^�E�$�!%��������!���#'9�!8$ �a�A�B �/!��H�����c���X������ � "��1�($T�H���$��� ?&�:O6S!�$�!%�1$���9���!� 4/�!��c��9��9#L!%9>�$��� �������5:���c�� � ����������O�c!8�� ����(� �A�Y 4/�! � �����0� ����( � �[���� ������ �y"J ��� �0$� � ��$� ?&��-��!� 40B����1�� �^ 1 3�� � �65 �8:1���9 � ��$� ?&�����!� �0G����1�� � < N <u"�( �!%�K/ �E� � ��$� ?&��T0�!8�90 � ������ � � ^ � �� � ��$� ?& ��"�( �!%�K/��;��(7�1�A������(�0��&G ��"/����0� �$4��� ������ , " � ".� �1:H �/�!����$� ���!%0;���(I��5�A!< �/�! %!%$��A'@�#���M62�!89���!

0� 4$��(���A'?�$��(���s'5���s'8�#���M62�!%9��! � �J��$ Y � 04��=/ �/�� � ��$� ?&��.����Z&�02 �/!��$��MI�!%$B���9� ��$� ?& �T����Z&�0^ �/�!7I�!%$�� #1!%$%" 2/!7�H�(�c�c�(������� N ��� �/�!-�$��#���;0�&�0� �!%� ��0 � :# �/!�$��MI�!%$^��!� 40�^>��0S����z#�������$�&c���1��� B���9D�� �0S�%� �b!%�� ���I�!7��0� ����$��MI�!2 �/�� ��� �(��M6G0���R04��=/E 4/�A � � ��� � 1 Y � �_" !�"�: � � � � � � � " J �@�%��0�!� �/!�I�!8$�� #1!8$K$�!0�b!8�H �0K �/!�$��#���b: � ��$� ?&���/1�A� �0B62�� �/ ���� 4��� �� � �� 4/�!%$�62��0�!P �/!T���� 4��� 262��� �L! � � "

� �� 4��� �0$� J ���%��0�! � ��$� ?& �T9���9����� 3��� ���� ��:��� �/1�A� �0362�� �/����� 4��� � " � � ��$� ?& �7/��0�������� 4��� �" �

2/�!T���1�A�&#0���0����< 4/���02�$��� ����H��_:�9�!8���� �!%9J:�:�J�����M6G0S �/!T��9�!8��0B��9!%$��&#������ �/�!.�$��#�A��A� � $��(�1�(0��� ������ , " � " ����" 2/�!7�(���&D0����(��� #L������ S�c�#9�9#L�%�A ����(�D��0����D �/�!P�H�(�0� �$4��H ����(���A���9�!%��u'?�c�#9!�O��9I�!%$404��$���!803�J�($ � ��$� ?&���"

9 !% 2�0 #L$40� ���0� ����J&F6G/(&� 4/�!T �$�!%�� ��c!%�( B�A�< �/�!.�%��0�!P���Q6G/����=/ � 7 4*F M h )!2/� <�: 6*2�F��0B!Hz���� ��&F��0B��� �/�!T�$��#�A�Y��� � $��(�1�(0��� ������ , " � ".����" J � �/���0G�%��0�!�:#6�!T�%��� �0�!T!�z���H ��& �/!@0����c!E �$4���0��J��$4���A ������U���- 4/�!@$�!%�A�'?����9�!%7��9I�!%$404��$�&�� � ���( ��W���V��9�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$�& � � :"�1!8�����10�!�6G/1�A � 4/���0. �$4���10b�J�($����A ����(�>9��#!%0.��0.!80�0�!%�( �������&X���(I��5�A!D �/!0���������� ��($���0�0����H���A �!89�62�� �/ � 4/�!T$�!80���9���`�1$��MI�!%$ � � � �(�F������ B 4/�!T0� 4$������ � � � � ^ � �/1�A ��� ��%�� ������10T�[$���� �/�! F 4 � 2*F-6 8 D;7 4*F M " �L�$� �/�!8$��c�($�!�:Y 4/�!Q��9�!0�#��� �!%�!%040T�A�G 4/���0 �$4���10b�J�($����A ����(����0S!80� 4�������04/�!89 �(&������&�$�!��J!%$4$������. ��� 4/�!P��9�!�(�1�A �!8��!%040��A�y 4/�! � �!8$���'�#���M62�!%9���! � 0��������� ���$%:#6G/����=/ /���902�A�0���/�!8$�!�"g !c���M6 4�$4�@ ��Q 4/�!c�%��0�!�6G/�!8$�! F�76 2 6�� <�:�8 D?7 4*F M )!2 � <�: 6*2*F_" J �, �/��0T�%��0�! ���

��0-9!� �!8$��c����!%9O:O���9@6�!� �$4���0��J��$4� � $�!%�A�'?����9�!% � � � ���� �� � ��9!%�A�'?����9�!% � � � :;6G/����=/�0�!%0;� � ��02��0�� �$��(�� �����!�" � !%�%�A�; �/�� � � ��!� �0B����� �^ 1 3�� �0�65 � "��" � � ���(I�� �A!80 � � �(�W������ ^N" (K0 � ���c�����H�� � ���W 4/�! �1$��� ����H��_:3����&a���H ������W�A�

� � �����# �!%�M/ � � �������19���������L��$� � ��02���( �!%$4�$�!% �!89Q��020�!8�9���������0� 4$������1" 9 !� G�09�!%���� �! �(& � 4/�!.�c!%040�����!P0�!8�� ��(&a� � � �5" !�"�: � � � � � ^ � � "

�" � ���=/�����! � � 4$���!%0� ��.�%�� ������D���$�!%��������!G��� � ��9!%$��<" Y�M6S��$�910� �/���0N!8�9;: � ��0�!80� �/�! � 0� 4$��(��� � �#���M62�!%9��!H')!Hz� 4$����H ��($���0�0����H���A �!89j62�� �/V 4/�!,�$��#�A�-0�&�0� �!%��A� �( �!%� /���"����1!8�H� #L������&�:S�$��MI#��9������@ 4/�! 0� �$�����,�#���M62�!%9���!H')!Hz� �$4���� ��($T62�� 4/��$4���H�!�������!%0407 �� � �/�!�$�!%0���9��A^�$��MI�!8$ � � � � ^ � :Y�����=/����! � � �$���!80- ��\!Hz� �$4����

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� , � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

� �[$����H� � � ��0� 4$������ � 04��=/\ 4/�A � � � � � � " J �E�%��0�!T �/�!.!�z� �$4���H ���$G04��%�H!�!890%:� � 0�!� �0�^4 ������ ��" � �/�!8$�62��0�!�: � � 0�!� 40�^( ������ ��"

l1" � ���=/�����! � � ���M6�!%������� �!80c���a!Hz�!8���� ����(�a�A� �# �!%� /���" �#�L!%�H� #L�%�A��&�:3�� c�!� �0� � � ^ � ����Z&� 4/�!P�$��MI�!%$^���9D!%������A �!801�(&c�� 40�!%u�Y �/�! � /��(��!%0� � I�!%$�� #1!%$N���( �!8$����H �'������62�� �/ � � � ^ � � �5" !�"�: � � �L!%/1�ZI�!%0B�� �A!I� � � "

�J �q�%��0�!X 4/�!C!%������ �!%9qI�!8$�� #1!%$ $�!0�b!%�� �0%:K�����=/����! � � ���1�($� 40 � 62�� 4/����� ����I�� �(�����. �/! F 4 � 2*F 6 8 D;7 4*F M � :���9����� 4��� �0S6G/�� �!%I�!%$ � � 9��#!%0 � 6G/!%�D�J!8962�� �/ �/���02!8������A �!%9\�$��(���Y 4$����0��%$����� � "

� � �/!%$�62��0�! � �5" !�"�:B 4/�!,!%������A �!89UI�!%$�� #1!%$D�����H!8�� �0 � :B��� ^4 e� � �/!%� � �0�!%�90 ^ ��C �/�!,F 4 � 2*F-6 8 D?7 4*F M :N���9j�����M6G0.�� � ��X$�!%04�L���9j �� � ��$� ?& ��"� 2/!�$�!80��L���10�!T62��� �1! � � ^( � :L6G/����=/��(&��( �!%�������0� 7!0�#��A � " � J �E�%��0�!^( � � �/��0P04���#'?0� �!%�E62���Y�[�A��5:`���9 � � ���1�($� 407��07���@ �/�!c����0�!. 4/�A - �/!!%������A �!89 I�!%$�� #1!%$B$�!0�b!%�� �0%"

� "��<�������&�: � � �J!�!%910 � � 62�� 4/� 4/�!B!Hz�!%�%�� �������I#��!%6T:A6G/����=/��H�(�0���0� �0<�A�L �/�!2�$��MI�!8$ � 0I(��!�6V���O �/�!-!%������� ���������� �( �!8�J/�� � �$���9�1�H!%9���� �# �!%�Ql.���L�MI�! � :#���9����� 4��� �06G/�A �!�I�!8$ � � 9��#!%0%"

�-!%���� ������D �/�!P�[�1��H ����(��A��� ?&F�A� + �w" � , " l � � �(& :6S!P��M6 04/��M6q 4/�A 3 '�� )�� �� * � � ^�0� < N < � 5 N�V� /)* ����� �� 3 � )���� - * � � ^�0� < N < � 5 N�V� /)* ����� � , " l�� �

(7�� ������&�:;6S!�62����04/��M6 4/�A - �/�!80�!c ?6S�F!%�10�!8� ���!%0-��$�!�0� ��� ���0� ����%�A��&\���9���0� ������(����0�/#'����!�:�6G/�!8$�!\ 4/�!,0� 4�A ���0� �������G9����`!%$�!%�1�H!E��0�9��!E ��C 4/�!,����0�!\6G/�!8$�!\ 4/�!,$�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$�& � � 0���%�H!%!%90B ��������(I#���1�H!- �/�!��#���M62�!%9���!H')I�!8$�� #1!%$ � ����Z&�!89 �(&� 4/�!T/����!%0� ��� � �/�� ��� ��#���M6G0c�@�1$�!%�����A��!��A� � �1�9�!%$ �<:3���9W&�!� � 4/�! �(��M62�!89���!�'5!�z# 4$����H ���$�[�A���!%9 �� #L�19 04��=/ �D�$�!����c����!�" �B&F9!*#L���� ������\���<0� �$������ �#���M62�!%9���!H')I�!8$�� #1!%$40%:�04��=/���F!�I�!%�( S���Z&D�����%�$S�����&D62�� �/ ��!���������!���!-�$����1��������� ?&�" 9 �#�(0�!%�&�04�1!8�E�(�����1:#�������($������ �/!�$���$�!D����0�!����>6G/����=/X!�z� �$4���H ����(�,�[�����0.��� 4/������(/@ 4/�! �#���M62�!%9���!H')I�!8$�� #1!%$ � ���Z&�!%9�(&���� � ��0G�H�(��I#����H!89;:��� 7����� �L!�04/��M6G�F 4/�A 2 4/�!.9���0� 4$��!��� ����(�0 '��4)���� = * � � � > �/* � �0� � ����19 � )�� � - * � � � > �/* � �0� � � ��$�!P��9�!%�( ����%�A5" �-!� 4�A���02�J�����M6T"���uz������E���(&E^�:<$�!%�%�A�< 4/�A � �=���� � � � ^ � ��!�!89X��� �L!����X�����A��!���� � � �!� .����(��! �/1�A ^�� 3�c�Z&����� ^!�(�1�A � � ^ � � " g !G9!%���� �!��(&��� �/!G�$��%��������� ?&� �/�� �� � � ^ � :(���Z&#������D�L��040��!���& �=/�!8�A ������D�$��MI�!8$�:�����(I#���1�H!%0G �/�!>�#���M62�!%9��!H')I�!8$�� #1!8$ � ����Z&�!%9 ��� �( �!8�C/���(& � ��$� ?&;� � �/�� D�� �(��M6G0D�a�$�!%��������!\�A� � ��19�!%$ �<" g !,�����0���9�!%$D ?6S�a����0�!80�H�($�$�!%04�L���9������P ��� �/�!7$�!���A ����(� �1!% ?6�!%!%� �����9� �/�!K!%$4$��($b'-�L����9��[���� ��������E$�!H�J!%$4$�!%9 ������ �K! #L���� ������ � " , ".�%l1"��" �#���L��0�!� 4/�A �� � � � Z � " J �, �/��0P����0�!�:��(& �-!*#L���� ������ � " , ".�%l1:162�� �/@�1$��%��������'�� ?&>�A ��!8��0� � � � � Z � :3�����=/����! � � /��0�04�����!%040b�[����&C!�z� �$4���H �!%9a�,�1$�!%�����A��!^4 � �A� � � � � � ^ � �1�9�!%$ � � " J � �/�!E$�!%��B�c��9�!%_:�62�� 4/U�1$��%���������� ?& �y:N �/!�b������ P!�z#!8���� ����(�C!%�90��� :�<�:�;V7?= < 4*FJ) :�� " �B&, 4/�!����L�MI�!�:O���C 4/�!D��9!%�A�����9�!%_:�&�b�����( 7!�z#!8���� ����(�E��0-����#'?���L��$� ������D62�� �/@�1$��%���������� ?& � � � � Z � � ���� ������&�:` �/!�$��%��������� ?&>��0��A ��!%��0� � � � � Z � ���19j�A ��c��0� �� � " 2/#�0%:3���<�L�� 4/j�c��9�!��0�:62�� 4/o�$������������� ?& � � � � Z � � �b�����( F!�z#!8���� ����(�V��0Q������')���1�($� ������W���9p!�(�1�A�0

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # �%�x������ � �|� �! &����^�"'.� �� � ���%�"�('!���%� �& &�©$�%� � , �

� � � � ^��� � �h� � � ^ � � � � � � � ^� � � � � ^( � � :T6G/�!8$�! $�!%�1$�!80�!8�� 40 �/�!a�$��MI�!8$ � 0I(��!�6R�A�2���C!Hz�!8���� ����(�X�����# �!%�ª/�� � ���>�H�(�c�c�(�@������ � � ^( � � � � � � � ^ � :6G/�!%$�!T �/�!c$����!T���^ �/�!c�$��MI�!%$B��07����Z&�!89��(&Q 4/�!�$�!%0���9�1�AY0� �$4�A �!���&a� � � ^ � ���9 �/�!PI�!8$�� #1!8$B��02/��(��!%0� � " � �F 4/�!T�� 4/�!%$2/1���9;:1�����L�� �/\�c��9�!��0%:�62�� 4/ �1$��%��������'�� ?& � � � � � � Z � :L �/�!�b�����( G!�z�!%��� ������ ��0 7?= < 4*FJ) :�� ���9\!0�#����0 � � � � ^��� � � � � :6G/�!%$�! W��0���0<���L�MI�! � !Hz��!%�� < �/�� </!%$�!��� Y��0��7$�!0�b!8�H ������-!Hz�!%�%�� ������� �$4���04��$����� � "2/(�10�: 4/�!.0� ��A ���0� �������y9�� �w!8$�!8��H! �L!� ?6S!�!8� �/�!T ?6S���c�#9!��02��0G�����&F9��!� ��D �/!9����`!%$�!%�1�H!G���� �/�!K�$��%��������� ?&c�A�O�$���9��������.���D���L��$� ������T!Hz�!8���� ����(������ 4/�!7 ?6S�����9�!%�0%:�6G/����=/ ��� ��1$��Q��07��!���������!���!�"g !C/����(/�����(/� F �/�!X!Hz� �!8�0���I�!X�0�! � ���L�MI�!X���9&�L!���M6 � ���P 4/�!,�[���H Q �/�� F �/!!%������ ��������A�; 4/�!K�$��#�A�O0�&#0� �!8� � 62�� 4/��$��MI�!8$ � � � ^ � � �1!8$b�J�($��c!%9���� �( �!%� � �(&� � ��0B9���0� 4$��!��� �!%9F��9�!8�( ������A��&c ��� 4/�!-$�!%��L!�z�!%��� ������D���y �/�!P�$��#�A�O0�&�0� �!8�� �/�� ��E��!%0B�������!-�����( �!8�K/�������:�"

�" �#���L��0�!P �/�� ���� � � Z � " (7���A���;:���� �/�!�$�!%��;����9�!%O �/!.�����#'?���L��$� ������D�$�����A'������� ?&T��0 �y:A6G/����=/.���� 4/���0^�%��0�!���0���!���������!���!�"32/#�0�:M6S!B���(����$�!N 4/�!%0�!B!Hz�!%�%�� ������10���9.�J�#�%�0����� �/�!2���1�($� ������-!Hz�!8���� ����(�0�:M6G/���=/��#�%���$<62�� �/c�$������������� ?&.�A <�!8��0� � � ��� � � � � Z � ��� �1�� �/@�c��9�!%�0%" � !%�%�A�������F 4/�A P���L��$� �������!�z�!%��� ������0-��$�!��9�!8�( ������A��&U9���0� �$��.�� �!%9o��� �L�� 4/q�c��9�!��0%:26�!C�H���1�H��9�!, 4/�A Q �/�!>0� 4�A ���0� �������9����`!%$�!%�1�H! �1!% ?6�!%!%� �/!T ?6����c�#9!��02��02�� G�c��0� � � Z � "

2/#�0%:S���&�L�� �/q����0�!�:S �/!X9���0� 4$��!��� ����(�U!%�0�!%� ���!80���� + �w" �-, " l�� � ��$�!,0� ��� ���0� ����%�A��&���9���0� ������(����0�/�����!�" 2/�!T�$����L��0��� ����(���J�����M6G0%"

���� ������ � �"� ����"$�_d @;"��#f [ �h->D� " @;"�������� � �)"��+&��#"$�#fg !P��M6q��!8��!%$4�A�� �!- �/�!P���c����!- �$4���04�c��040����(�D�[���� ����������� ?&� ��c 4$�!8�A B �/!P�%��0�!P6G/�!%$�!� ��$� ?&:�G/��0<0��(�c!N���$� ����A������J��$4�c�� ������P��� �/�!�����1�� Y��� � ��$� ?& ��" J �T �/!N!Hz� 4$�!8��!S����0�!�: �/!D���#�J�($����� ������C�ZIZ���������!c �� � ��$� ?& � ����!�#��!��&@9�!% �!%$4�c���!%0P �/!D����1�� .�A� � ��$� ?&��� ��� 4/������/X���� 4�A�������� 4/�!���� � �!%$-�[$���� 4/�!��J��$4�c!%$P���Z& �1!����#�J!%��0��!���! � "=2/(�10�:O���C�0�!%�0�!�:�6�!G$�!�I#��0��� ^ �/�!K���� 4/�!%�( ������� �!89c��������� 4�A ����(���[�1��H ����(��A��� ?&�:�6G/���=/c6B��03�����0���9�'!%$�!%9@�����(!%�� ������ , " � " l" ��" 2/�!������L��$� ����� P��04�L!%�H -�A�� �/�!����$4$�!%�( K 4$�!8�A 4��!8�( K��0- �/�� 6S!P�����0���9�!%$2���[���� ����������� ?&� 4/�A 2��029�!*#w��!%9 ���\���O�����$40S�A� � !�(�1�A;�!%���� �/ � 0� �$������0%:$4�A �/!%$B �/1��� �c�1��$� ����A`�[���� ����������� ?& � ��0B 4$�!8�A �!89F�����(!%�� ������ , " � " l" � � "� ���!� �#"$�%���&���� �[m � � ���� 4/�!%�( ������� �!89p�H������ ��A ����(�;:2$�!%I#��0��� �!%9 � � 6=F�� �03�� � �65 � $3�� � �C5��S 3 � �0�65�� 7�:�8 � �$3�� �0�65 �S 3�� � �C5�� = 6 D;<EHOM�:�<�K ) 7EH ; FJ) K 6 � <�K-D�� F 7?=1H 6 � � �76� � 0�� ��� ������4 .$0 � ��� � � . 2�� � � 0 ��4 2�� � � . ��4 2�� 056 4 ��� )!2G$�! 8 6�� : 6 8*==M

� ^��� � !S � � I � � � ^ � � �u�� � � � ^ �� I � � � � ^ � ��� � ^ � � � �� �/!%$�62��0�!� , " l�l �

J �c �/�!2���( �!8�9�!%9����������%�A ������10Y���w 4/�! �')���� �/�!8�( ������A �!%9 �L')��������� 4�A ��������[���� ����������� ?&�:� ��$� ?& �c��020���1�1�(0�!89Q ��D���1��� � � � � ^ � :L���9\0��� �/! #L$40� 2����0�!T��� + �w" � , " l�l � /����90�$��MI#��9�!89\ �/�� :�L�� 4/@���$� ���!80K��$�!�/�����!80� %" J �9�!�!89;:`�u� � ��$� ?&�����0-/����!%0� 7 �/!%�,!%�� 4/�!%$�� G��!% �02 4/�!��H�($�$�!%�� 2IM�A���!T�A�� � ^ � � �_" !�"�:L6G/���=/�#1 40�� � ^ � �#���M6G� ����� � ��$2�� G��!% �0G������9������A ����(�> �/�� � ��$� ?& �F��0��=/�!%�� ������1"�2/�!F04�L!%�H� #L���J�($�� �A�G 4/�!F0�!%�����9a�%��0�!D6S��0

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� , � ���" &�2����� ��� �%�>�&�>�� &� �����¢�2��x�%�� &����$�°���x�x��x��%��'

9�!80�������!89F ��c�[���H����� 4�A �!P 4/�!T�������!%�c!8�� 4�A ����(�;:6G/����!T���� 2�����10������D���(&�/��$�� " # g /�� ���A � �!%$40T��0P �/�� . �/!D���� 4��� �0.���> 4/�!D ?6��E�%��0�!%0T��$�!D9�� �w!8$�!8�� %:<���9C0�� � ��$� ?& � ����� �!%��6G/�!% �/�!8$7�($K��� 7�� P$�!8�H!���I�!89\ �/�!��H�($�$�!%�� GIM�A���!c�A��� � ^ � " g !c0� �$�!%040G 4/�A -���, �/!���� �!%�9!%9\����������� ������0%: � ��$� ?&=� �#���M6G0 � � ^ � ���19Q��0204���L��0�!%9Q ��D��� ��A��� � � ^ � :1���90��.�� B�����0�!%0N���/��$4� ��c�$��MI#��9�! � ��$� ?& �.62�� 4/=�L�� �/F�A�O 4/�!%� � !%I�!8�D���F����0�! � ��$� ?& ��c��0��L!%/�ZI�!%0B���9 !8�� �!%$402���Q���1��� 2�� 4/�!%$B 4/��� � � ^ � � "g ! ��0�04��c! ���������;:3�J��$�0�������������� ?&�:N �/1�A � ��0��!%���� �/U�$�!%0�!%$�I(����� � 6G/����=/ �����A���

�����<�L! N�!8�#�J��$4�H!89®P �(&j�����0���9!%$������ ^( � � ^�� � < �:= N @]< � ���9 �� � ^4 � � � � � ^ � �0� < N < � � "C �M6S!�I�!%$%:6S!.�c� �A!���D�[�$� �/�!8$7��0404����� ������07�H���1�H!%$4�������D �/!.�[���� ������ �y:w���9\ �/#�0+ �w" �-, " l�� � ��0B!%040�!8�( ����A��&F��04�1!8�H���AO�%��0�! � ���� 4�A����!%9��(&F0�!� � ������ � � ^ � � � < N < � "2/�!F�[���H ����(��A��� ?&a�A� + �L" � , " l�l � ��0c���c��!8��!8�( �!%9<�(&>/1�ZI(����� � ��$� ?&<� �0�! �/!

���c����!G 4$����04����040������c�[��1�H ������1�A��� ?&� ��c0�!8�9D 4/�!K�����$ � � � ^ � � � � ^ � � �� � ��$� ?& ��:(6G/����=/�H�(�����$�!%0- �/! #L$�0� P!��!%�c!%�( T �� �� �0.�M6G�@������ .���9C���H 40T���%�H��$49��������&�" 2/�� T��0%:O6S!�0�!P �/�!P�J�����M62���� � ��$4�����!�')����9�!89 � �$��� ����H��_"[ ���!&$"$+ YdE"$�%���(���� �[m,� � ���� 4/�!%�( ������� �!89Q��������� 4�A ������Q�$��� �������5:(��!%��!8$���LI�!%$40������ � �J ��� �0$� � 7 4*F M h � 6=F 2 ) :�D�� F ^ 1 3�� � �C5�� 7�:�8 � 7 4*F M � � 6=F 2 ) :�D�� F � 1 3�� �0�65.< N < ��( �!%�K/ �E��� 7 4*F M h � 2*6*2 F�76,) K 7�� 6BF 4 7�: 2 K )!2�2�) <�:>9��;: �1F%) <�:�7�H )IF M F < 2 6 :�8 F� 6 D;7 ) 4

��� � � � ������ � � � ^ � ��� � ^ � � F < � 7 4*F M � � � � 7 FR)!2 F�76 D;7 4*F%) 6*2 ) : � < 6�F�76 9��;: �1F%) <�: ;7�H )IF M <G9 � � � � , " l�� � � )IF� 4 6 2 D 6��=FWF < F�76 9��;: �1F%) <�:�� � ^ � �=���� � � � ^ � ��� � ^ � �� � �76 4 6� 7 4*F M h 6 : F-6*4�2/F�76>) :�D�� F ^ 7�:�8 � 7 4*F M � )!2/F < <A= F 7 ) :�� � ^ � �

�( �!%�K/��;� ':2�2 �;K ) :�� F� 7 F F-6 D � h �G7 2 :�< F 7A= < 4*F-6 8 =*M � 7 4*F M h 7�: 8 F� 7 F � 7 4*F M �4 6���61) �56 2�F� 6 D;7 ) 4 ��� � � � ) : F 6 D � h � 7 4*F M � <�� F D�� F 2 � ) 9 � � � 7�: 8 ��� � � �< F�76 4 � )!2*6 �

� �� 4��� �0$��� 9 :�< F 7A= < 4*F-6 8 � � )IF� <�� F D�� F � �� � 7 4*F M � 2 6=F 2 )IF 2 H < � 7EH�<�� F D�� F 7 2 8 ) 4�6 �1F-6 8) : F-6 D � � � � � 7 4*F M h � 7 2 :�< <�� F D�� F � �

g !-0� �$�!%040S �/�� ����� 4/�!P��$4���H�!G���(I������� ������ � �A�3�( �!%��/ � � : � ��$� ?&AB^����Z&�0N 4/�!?B5 4/F���$� ?&� 6T" $%" - �/�!��($����H�!������ � " � !8������ �/1�A � ����� �A! � ��$� ?&�� � : � ��$� ?& �����Z&,���L��$� K���9,������$� ����%�����$�9��0���9�$��������# �!%��/ ��" �(����H! �( �!%�J/ �P�H�(�0���0� �0��A�y������$4�����!7���(I����%�A ������O:���L��$� ������D9�$������ �( �!8��/ �T�c!%���0B���0� 4$��1�H ������D 4/�!T��$4�����!P���� B ������0�6�!8$ � ��$� ?& ��"3 +�� DR��&��#"������L���� �[m�\ � <�: 2*F 4 � �1FJ) <�: � � � � h � 2 6�� � 4 6 H M 4 6 8�� ��6*2 F�76 � ;V7�� F�76 : FJ)�� 7 F-6 8� ; � <�K-D�� F 7 FJ) <�: 9��;: �1FJ) <�:�7EH )IF M <:9 ��� � � , " l�l � F < F�76 ) K 7�� 6 F 4 7�: 2 K )!2�2*) <�:�9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M<G9 � � � �-, " l�� � �3 +������>6!7��5"%d3�8�g !K��!�!89� ��T �$4���0��J��$4� ����&c��9�c��0�0��!���!G�1�A��$�: � � � �h� � � :��J��$� 4/�!7$�!%����$4�����!�')����9!%9��c��9�!�`���( ��D������$4$�!80��L���19�����������$%: � � � � � � � :#�J��$S 4/�!P��9�!8�AO�c��9�!�5" g !0� ���$� �(&���0�04��c����T �/�� F� 6 � 4�2*F D?7 4*F M )!2;� <�: 6*2*F_:#���19� 4$����0��J��$4�������P �/!7$�!8�A�')�c��9�!% ��� ��� � ��� ��� � � � » � ��� � � » � � ��� ����� ��� ��� ���#��� ��� ��� � ��� � � �� ����"� ��������� � � ��� � ����H"%3&���� �� H � &�#����

� � ����� # $ �CH&%���� � ��$ $CH&%�� � � � #�$ � � ��� ��� � � �� �$� �!� ��� "#� � ��� � ��� ����� ��� ��� � ��H �� ��� ����� � � �� � � $ � � � � ���$� � � ����� � �����#��� �&%('8H+L�' M M)�� ���� �+* ��� ��� �� �.N�'&, � �!� � � ����� ��� � � ��� � � �+%-'8H#L�' M M)� ���!�#� � � ���� $ � ��� $CH"%��"� � Q ��� ���0N H � � ��� "�� ���!� ���#�.� ���� $ H"%��0/$ �1��� � � � ��� �� ��� �2� � ��� � � �� ���� � ��������� � � ��� � ������ �� � � � ���!�#� � ��� � '

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� # ���x������ � �|�� � �����^�"'�� ��� � ���%���(' ����� � ��� �$��� � , l

��9I�!%$404��$�&a� � � �J��$K �/!���$4�����!�')����9!%9 !Hz�!%�%�� ������ � ���� ��F�F����$4$�!80��L���19�����D��9�!8�A�')�c��9�!%��9I�!%$404��$�& � � " � �Q������ �N: �/�!T��A � �!8$2�$�����!�!%9102��0S�J�����M6G01���" � ���=/�����! � � 0�!8�90 �V ��E 4/�!D �$4�0� �!%9C���$� ?&�:y���9C�%�� ������0P 4/�!����10�6S!%$-6G/����=/!0�#��A�0 � ������ � � ^ � ����� � � � ^ � ���19 ��� � � � �=���� � � � ^ � � � � ^ � � �� �/�!8$�62��0�!�:`6G/�!%$�!^q��0. 4/�! � ��?�#���M6G�> �� � � � ������ ��A� � ��$� ?&;��" # � J �a �/!=#L$40� �����0�!�: � � 0�!� �0� ������ �3:1���19Q0��������L�� �/\�%��0�!%0 ��� � � � � � � � ^ � ��� � ^ � � "

�" � ���=/�����! � � !%������A �!80D �/!@�$��� �������5: �(&W�J!%!%9������ � � 62�� �/ � ���19V �/�!@�1�A��$��� � � � :;6G/����=/ � � !�z�1!8�H �0- ��Q��!� -�����( �!8�«/ ��:`���9,�(�� ��1�� � ������\6G/�� �!%I�!%$K �/!��� � �!8$B���� 4��� 40 � �����( �!8��/�� � "

�7�� �!2 4/�A �L�� 4/� �/�!2��9�!8�A!�z#!8���� ����(����9�!8$ � � � � � � � ���19� 4/�!7$�!%���!Hz�!%�%�� ������ � ���� �/!��$4�����!�')����9!%9-����9�!% � ��9�!8$ � � � �h� � � &#��!��9P �/�!����� 4��� Y�1�A��$ � I �P� � � � � � � � ^ � � � � ^ � � � "2/#�0%:� �/�!T��9�!%��y���19Q$�!%��;!%�0�!%� ���!802��$�!K��9�!8�� ����%�A5"g !Q���M6� ��1$��a ��@ 4/�!Q�%��0�!�6G/�!%$�! F�76 2 6�� <�:�8 D?7 4*F M )!2 � <�: 6*2*F_:����9> 4$����0b�J�($��

�/!7$�!8�A�')�c��9�!%��9�I�!%$40���$�&B� � ���( ��.�T�H��$4$�!%04�1�(�9������K��9�!8�A�')�c��9�!�L��9�I�!%$40���$�& � � " � ������� �^�:1 4/�!T��� � �!%$2�$����H!�!890B��0S�J�����M6G01���" � ���=/�����! � � !%������� �!80 �# �!%�«/ �����N �/!c�$��� ����H��5: �(& �%�� �����������Q�[$���� � � �/!����1�� ^4 � � � � ^ � � �/�� ;� � 62��04/�!80� ��� 4$����04���� SI(��� + �w" � , " l�� � � ���9��J!�!89������ � 62�� �/ �/�!T!�z�1!8�H �!89\���0�6�!8$IO"

�" J � � � ���0� 4$��1�H �0c 4/�!\��$4���H�!F���� � ��>���0�6�!8$ � ��$� ?& �E 4/�!%� � � /1�A� �0c62�� 4/���� ���(I��5�(�����Q �/�!c �$4�0� �!89X���$� ?&�" � �/!%$�62��0�!�: � � 0�!%�190&^ ��Q 4/�!� �$4�0� �!%9C���$� ?&�:���9E�!� 40-�� P���0�6S!%$ � ��$� ?&��" J � �1�� �/X����0�!%0%: � � /��� 40762�� �/X���� 4��� -!0�#���Y �� �/�!.����$4$�!80��L���9���������� 4��� 2��� � � "�7�� �!T �/�� 2�u� � � ^ � � �N:16G/�!8$�! �>��02 �/�! � ��?�#���M6G� �� � � � ����1�� G�A� � ��$� ?& ��: �/�!8�. �/!S 4$��10� �!%9��1��$� ?&P���0�6�!8$�0 � ��$� ?& �762�� �/ � � ^( � ���19.�� 4/�!%$�62��0�!��� ^���10�6S!%$40� ��$� ?&���62�� �/ � � � ^4 � � � � ^( � � "

�7�� �!Q �/�� �L�� �/W �/�! ��9!%�A�!Hz�!%�%�� ������j��9�!8$ � � � � ��� � ���9a 4/�!Q$�!%��N!Hz�!8���� ����(� � ��� �/!D��$4���H�!H'?�A��9�!89@�c��9�!� � ��9!%$ � � � �2��� � &#��!%�9C �/!D���� 4��� ������$ � � � � ^�� I � � � � � ���� � � � ^�QI � � � ���9 � � � � ^�� I � � � � � � ^ � � � � �� 4/�!%$�62��0�!�:y6G/�!%$�! � ^( ��� � ��0.��0P���+ �w" �-, " l�l � @G�5" !�"�: � ^ � � � � � � ^ � �u� � � ^ � � �x���9 � ^ � � � � � � � ^ � ��� � ^ � ��� 4/�!%$�62��0�!�"32/#�0%:�A�0���/!%$�!- 4/�!T��9�!%��O���9\$�!%�A`!8�0�!8� ���!%02��$�!P��9�!%�( ����%�A5"

���� �����]\ � 2B5- ����"$�#fUdE������� "$� &8&$�%�2BJ �X �/���0T0�!8�H ����(�;:;6�!c��!8��!%$4�A�� �!� 4/�!D�H�����#') ��(0�0��������[��1�H ������1�A��� ?& � �A���(!%�� ������ , " � " l1" � ����o ?6S�j6B�Z&#0%" ����$�0� ��&�:K6�!C�H�(�0���9�!8$F 4/�!X��!%��!8$��� ������V�����j$4���9��� � � Z � ' ���� ��(���0� �$������,$4�A 4/�!%$. �/���a�E0��������!=���� �" �(!8�H���19��&�:Y6S!F�$��MI#��9!c 4/�!F0�!%�����9>���$� ?&X62�� 4/a��[���� ������Q�A�y 4/�!P�H�����#')���� 4�H�(��!80N�%�� ������!%9 �(&� �/! #w$�0� S�1��$� ?&�:#$��� �/�!8$N 4/���Q�$��MI#��9������6� � � � ���!� ��� � � �,�#� � � ��� ��� � ���� � ��� � � � � � � � � ��� ��� � � �!���� � � Q ��� ��� � ��� � � � � ��� � ' �!�� � � � ���� � � ��� � ��� � � � ��� � � � � �!������� � �#� $ ��� � � ��� � ��� ������ � ���!����� ��� ��� � � �#� ��� � � �#��� � �� � �� � � ��� � � � � � ���� ��� ��� H�� � � � � �� � � � � � ��� ��������� � �!� � � � � � �!� H � *�� � �!��� � � ��� ��� � � � $ � �CH&%�� �� � ���!���� H � *�� � �!��� � � � � �� � � � �!��� � � �#� ��� � � � $ � $CH"%�� � '

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� , � ��� �� � � � ��� ���>��� � ��� � ��� ������� �� ��� ��� ������� � �

�� 762�� �/E 4/�!��(�� ������c!%07 �/�!8�c0�!��I�!80�"�2/1�A 7��0%:1�J�($7���(& �1�(0��� ���I�!��L���&������c���A%�>��� S�h���19C�E�L���&������c���A�'5 ����c!���������� 4�����!��[���� ������ � :<6S!������0���9�!%$P 4/�!F$4���9��(�c� %!%9�[���� ����������� ?&

� ��� � ��� � !S ��� � � ��� � � :16G/!%$�! � ��07������J��$4���&F9���0� �$��.�� �!%9 ������� �0��� ��� ���b" � , " � � �J �9�!%!%9;: �-!*#L��� ����(� , " � " � ��0��>04�1!8�H���A7�%��0�! � ���� 4�A����!%9��(& 0�!� � ������ � � Z ���� "!� �E���9� ��� � �� "!� � � "32/�! 7�� �EK 6 : F 6 8 � < ) : ; F < 2�2*) :�� 9��;: �=FJ) <�:�7�H )IF M � �c!8�� ����(��!%9P��� �(!8�H ������ , " � " � �62���3�1!�9�!%$���I�!%9E��0G��04�1!8�H���AY�%��0�! � 0�!�! �1!%��M6 � "��B� �#L$40� G6S!�04/��M6x �/�� + �w" � , " � � ������ �1!Q0�!8���$�!��&C$�!%91��H!89X ��@ 4/�!F0�!� .���S�[�1��H ����(��A��� ���!80��1$�!80�!8�� �!%9>���L�MI�! � 0�!%!F9���0b'���10�0����(�,���N �/���0P���� ����(�,���S� $�!89��H ����(�E��� � !8����$ � , " � " # � " 2/�� P��0%:;6�!��$�!%0�!%�( K�����$4�����!�')����9!%9F�1$��� ����H��; �/�� G�0�!802 ?6S�D�A�� �/�!T��A � �!%$2�[���H ����(��A��� ���!%0 � �_" !�"�:$���0����T�H������' ��(0�0������K���9.��!%��!8$���(���� �/�!8�( ������A �!%9��H������ ��A ����(� � ��0Y6�!%����0<�-�H�����c�� ��c!%�( ^0��=/!%�c!�c" 2/�!-�$��� ����H��L�%���=�L!KI#��!�6S!%9���0��%$�$�����10� '&TI�!8$�0����(�c�A�)(��(�0� 4$��1�H ������ , " � " ,�� �5" !�"�:0��������!��(�1!8$��� ������0K0���=/E��0 2 6 :�8 ) :� 7 � <�K�K )IF K 6 : F F < 7 � 7EHO� 6c���9 F < 2�2*) :�� 7 � < ) :��$�!T$�!8������H!89 �(&Q����$4$�!80��L���19�����.�[���� ����������� ���!%0G6G/����=/\�$�!�I�!%�( SIZ��$������102����0�!%0 � "[ ��� *$"�+-,YdE"$�%���(���/. �[m � � ���P��$4�����!�')����9!%9-�$��� ����H��M�J��$ + �w" �-, " � � � � � < 4 � � � ?B?A? � � ��0��� � �1� � 7�: 8 > � � ?B?A? ��> � 0 � � � �1� � 6 H 6=F � � � *323232 * � � � > � � ?B?A? ��> � � � � � � � � > � � � ?A?B? � � � � � > � � � �J ��� �0$��� < F� D;7 4*F%) 6*2 � 61F12*6�� � 4*)IF M D?7 4 7�K 61F-6*4 � � 7�: 8 2 6=F%� �� "!� � � Z � ��( �!%�4( �E��5 7 4*F M76 �;: ) 9=< 4 K+HOM 2 6 H 6��1F 298 � ��:;:;: �'8=< 0 � � � �1� 7�:�8�> � ��:;:/:�� > < 0 � � � �1� �

7�:�8 H 61F 2 �-? � 8 � � � � 8�< 7�:�8 > � > � � � � > <��

�( �!%�4(��;��5 7 4*F M@6 � 2*6*2/F� 6�) K 7�� 6 F 4 7�: 2 K )!2�2*) <�: 9��;: �1F%) <�:�7EH )IF M F < 2 6 :�8 A �� "!� � � �B�-? �F < 5 7 4*F M4C � '-�1F �N7EHIHOM 2*) : ��6 ) K 7�� 6 F 4 7�: 2 K )!2�2*) <�: 9��;: �1FJ) <�:�7EH )IF M )!2 7 2 D 6��=) 7EH� 7 2 6 <:9 F�76 � 6 : 6*4 7�H 7�� F�76 : FJ)�� 7 F-6 8 � <�K-D�� F 7 FJ) <�:>9��;: �1FJ) <�:�7EH )IF M � 6 � 2 6PF�76H 7 FJF 6 4 � ��� 7 FW)!2 5 7 4*F M�6 6 : F-6*4�2 � � � � , " ��� � � )IF� ) :�D�� F ���-? � > � 5 7 4*F MDC 6 : F-6*4�2� )IF� ) :�D�� F1� < � <'E � 7�:�8 5 7 4*F M9C )!2 2 �3DED?< 2 6 8 F < <A= F 7 ) : �GFIH-JLK ���-? � > � �� "!� � � �B�-? � �M 6�� 7�HIH F� 7 F =*M 8 6�� : )IF%) <�: 7 D?7 4*F M � 7�:N:�< F 7?= < 4*F�F� 6�6 � 6�� � F%) <�:(<G9 7�:(< 4 7<;� H 6 � 7�HIH F� 7 F �G7 2 :�< F�) : )IF%) 7 F 6 8 � $�!�#��!%0� �!89 � ==M )IF 7�:�8 2 < 5 7 4*F MNC � 7�:�:�< F7?= < 4*F F 6 D 2PO C�Q OSR ��T < 4 2*) K D�H )��1)IF M � 6 7 2�2 �;K 6/F� 7 FU5 7 4*F M�6�8E< 6 2 :�< F 7?= < 4*F F-6 D 2DO C 7�:�8 OWV ==� FG)IF K+7�M 7?= < 4*F F-6 D OSR �

�( �!%�4(X�?� � �76 D?7 4*FJ) 6 2�) : � < 56�F�76 = 7 2*)��+� < ) : F < 2�2*) :��79��;: �1FJ) <�:�7EH )IF M�Y F%) K 6*2/F < � 6 : ;6*4 7 F 6 7 � <�K�K+<�: 4 7�:�8 <�K 2*F 4*) :�� �Z? ? 0 � � �0��� < � � � 7 FR)!2 ) : F�76�[L\�] ) : � < � 7 FJ) <�:<G9 F� 6 9��;: �1FJ) <�:�7EH )IF M <:9;� 6�� : )IF%) <�:N^ � R ��� F�76 D?7 4*FJ) 6*2 <A= F 7 ) : F�76�[B\B] = )IF <:9 �-? ? �

�( �!%�4( � ��5 7 4*F M_6 2 61F 2 � �� "!� � ?a` � ? ? 7�:�8�� 2 6 2 F�76 7�� F�76 : FJ)�� 7 F-6 8 � <�K D�� F 7 F%) <�:9��;: �1F%) <�:�7�H )IF M F < 2 6 :�8 � ��� � F < 5 7 4*F MbC � D 6��1) �R� 7�HIHOM 5 7 4*F Mc6 6 : F 6 4�2 � � � � , " �1� �� )IF�L) :�D�� F �B�-? � > � �-? ? �� 5 7 4*F MdC 6 : F-6*4�2 � )IF� ) :ED�� F � A � �-? ? � � �76 4 6 � A � �-? ? � )!22 �3D D;< 2 6 8 F < 6 �=�N7EH � FIH�efK ��� ? � > � � ? ? � �� "!� � � � �B� ? � � � ? ? � 7�:�8 5 7 4*F MgC )!2 2 �3D D;< 2 6 8F < <A= F 7 ) : �GFhH�e"K ���-? � > � �-? ? � �� "!� � ���-? ` �-? ? � � � : � 7 2 6P5 7 4*F M46 7?= < 4*F 2 < 4c5 7 4*F MiC<?= F 7 ) : 2 7�:P7�: 2 � 6 4 <:9 7 8 ) 6*4 6 : F 9=< 4 K 7 F � �5)�� � � 7�D D 6 : 2/) 9 F�76 ) :ED�� F 2 F < F�76

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������������P������ � ������ � � ����� ����� � ����� ���� ����� � , #

9��;: �1F%) <�:�7�H )IF M 8 < :�< F K 7 F@� � 5 7 4*F MiC � 7�H F 2 � )IF� <�� F D�� F � ��������������������� ��!���" �#��%$ �'& ��(�)+*,!��.-/*,� � �0 6 � <�K K 6 : F F� 7 F � � �Z? ` �-? ? )!2 �;: ) �1� 6 HOM 8 6=F-6 4 K ) : 6 8 ==M A 7�: 8 �-? ? �

�21 �43 1 ��( ��5 7 4*F Mb6-<�� F D�� F 2 � 7�: 8 5 7 4*F M�C�<�� F D�� F 2!F�76�� 7�H � 6 8 61F 6 4 K ) : 6 8 ) : F-6 D OSR � � )���� )!2 61)IF� 6*4 �65 � � < 4�� �

7 *8(���#�*,(4(9�4!����,:����;��<�< =>#��/�?<�*@����<�<�(�: " �/#��%$ � ��(A�4!�*83B�#��%$C������������������� 5 #�*,D 1 *,(���������E��!�*2�,��<�<GF 7 *2��= &H& *,�>� �4!���� & =/#�*I* � ���J*K�>�L�<J��*,#4�������J-/*,( ��= ( =>��(���# 1 �?���J=>� ,MF � F � � ��=*?N���(��,:����O��(QP 1 (��O��!B���ORL* # ���8��!�*9�/)B=S-/*2*K�(��J*K(��L��=@�/����<�$ */F

T +�� DR� *��#"������L���/. ��U?�WV 61F = 6RF�76 2 6=F <:9 9��;: �1FJ) <�:�7EH )IFJ) 6 2 8 6�� : 6 8 ) :I� 6�� : )IF%) <�: ^ � R ���7�: 8 � � � 5 ,MF XX>E 4 6*2 D 6��1F%) �56 HOM � ��� 6 : O <�: 2*F 4 � �1FJ) <�: ^ � R � 6 � � <�: 2*F%)IF � F-6 2 7 2 6�� � 4*)IF M 4 6 ;8�� �1FJ) <�: 9 4 <�K F� 6 � 6 : 6*4 7�H )JY6 8 � < ) : F < 2�2*) :�� 9��;: �1F%) <�:�7�H )IF M <:9 � � � 5 ,�F X � E F < �

T +������2Z\[��5",]3 ^ 7 *_(��4�#���)/$8�(4( 1 & �����H��!B��� F�76 � 4�2*F D;7 4*F M )!2I� <�: 6 2*F :+��B�`�4#��/��(�ab =/# & �����O��!�*L#�*K��<Ja & =���*�<��/��-*K#�(4�#�$ � � 5 b =>#\��!�*c=/#4���<J*�ad�����*K�I*�N�*,� 1 ����=/�+E6���>��=�����=/#4#�*�a(43B=>���������9����*,�<ea & =M��*�<+�/��-*K#�(4�#�$ � � F � �H����3 1 � � � :M��!�*I<������*K# 3B#�=��?*,*,��(f�( b =/<J<�=SR�( �� F � ��g!�����* � � * & 1 <����*,(f��!�*2<�=M�,��<6��?���J=>��( = b ��!�*h!�=>��*,(�� " �/#��%$ � ��� � ��*,3 ( � = b��!�*93�#�=��=��?=<i:�)>$ 1 ��� b =/# & <J$8(�*,<J*K�?������� �-? 0 ��� � ��� < �/��� > 0 ��� � ��� < E � F

� F � ��g!�����* ��� * & 1 <�����*,( � ��*K3 (�� = b �4!�*`3B#�=/��=��?=/<G:j)>$ b *,*,������� ��� RO����! A �� "!�� � 5 �-?�EkF 5 � *,�,��<�<G:��4!�����)>$l= 1 #��?=>�/-/*,�>����=/� ��� ��*�-*K#��)+=/#���(,FmE

XBF � ��g!�����* � � * & 1 <�����*,( � ��*K3 ( X'= b ��!�*n3�#�=��=M��=<i:/)>$ 1 ��� b =/# & <J$o(�*�<�*,�?�������c�-? ? 0��� �0��� < :+���� b *�*K������� � � RO����!p����F� F � ��g!�����* ��� ���>-= � *,(q�4!�*f�4# 1 (���*,�93��/#��%$2RO����!'����3 1 � � � �/���n=/)��4������(r��!�*L���(�R *K#�+5 ��Eg: b =/#2� 1 ��� b =/# & <�$s����(��4#���) 1 ��*,�%� 0 � � � �1� < �4!����n��(n!������*,�s��= " �/#��%$ � F �4t� *?N��,: & ��g!�����* � � =>)��������(���!�*9����3 1 � 5 =>#�D 1 *,#�$BEL= b � � ��=@�4!�* b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$= b � ��*,3 ( � Fvu b �4!���(_����3 1 � 5 �iF */FJ: � � 5dw � � � 5 �Z?�E � �-? ?xEg:cR�!�*K#�* w #�*,3�#�*,(�*,�>�4(9��!�*� ��*K3 � * & 1 <�������=/�H= b � ��*K3 ( � Ec��=M*,( ��=� *,D 1 ��<+��!�*23�����#c= b -S��< 1 *,( 5 � � 5 � ? E � � ? ? Eb *,�9��= � � ��� � ��*,3�( �.y XO�4!�*,� � � !���<���(rRO����!_= 1 �43 1 � � � 5dw � A � �Z? ? � 5�5 A � �-? ?�E � �65 �E�E�EkF� ��!�*K#�RO��(�*/: � � !��<J�4(ORO����!8= 1 �43 1 � � � 5iw � A � �-? ? � �65 �E�EgF� =��*z�4!����C���{)+=�4!{���/(�*K(s�4!�*;= 1 ��3 1 �v= b � � �?=/#4#�*,(43B=>����( ��=W��!�*;= 1 ��3 1 �= b � � R�!�*,� b *K�|RO�J�4!}��!�*C�?=/#4#�*,(43B=>���������~* & 1 <������=/��= b � ��*,3�( ( �gy ( � F�u��3��#������ 1 <��#,: � � * & 1 <����*,( � ��*K3 ( � )>$ b *�*K������� � � *�����!�*K#ARO����! �+5 ��E9=/#ARO�J�4!5 � FIH�efK 5 �-? � > � �Z? ?�E � �+5 �E�Ek:SR�!�*,#�*���!�*c��*K�?��(���=/�n��*K3B*K����(�=/�2R�!�*��4!�*,#\=/#\��=/� � � 5iw � � �K5 �-?�E � �-? ?�E �5 � �.5 � ? E � � ? ? EgF 5 � *,���<J<h��!��� 5 � �.5 � ? E � � ? ? E � � FIH�efK 5 � ? � > � � ? ? EgFmE�u��B��*�*K��: � � ��(�g!�*,�������� 5 ���v��!�*�* & 1 <������=/�v= b � ��*,3 ( � Ek:�)+*,�,� 1 (�* � � *�N�3B*K�?��(2��=`�/*��I*,�J�4!�*,#�GFIH�efK 5 �-? � > � �-? ?�E � �65 �-? ` �-? ?�EI=/# 5 � FIH�efK 5 �-? � > � �-? ?xE � �65 �-? ` �-? ?�E�Eh) 1 � 5 �/(2R *�(�!��<J<(�*,*.Ef��!���(��g!�*K���������H��( 1 ����*,��*K�?���/)�<�*F

�d� � � � ����� ����� � � ��� � ��� ��� � � � � ��� ��� � � � � � � �#� � �k��� � � � � �2���!�� � � � � � ���� � ��� � � � � '

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� , � � ��� � � � ��� ��� ��� � ��� � ��� ������� �� ��� ��� ������� � �

� *,� 1 ( # #4(��L�/(�( 1 & *I�4!����L��!�*2����3 1 �L*,�>��*K#�*K�@)>$ � � ��=_��!�* b 1 ��������=/���<J���%$o= b � ��*,3 ( ���=M*,( # �f����(f->��*�R�= b � ��*,3�( (�� ��B� ( XB:>�/��*�-*K�>����!���f=���� 1 #�(jRO����!@*,D 1 ��<+3�#�=>)��)��J<��J�%$���`)+=�4! & =���*�<�( 5 )+*,�,� 1 (�*n��!�*n* & 1 <������J=>�@= b � ��*K3�( (��Ky ( X9��(O3B*K# b *K�?�gEkF�u��`��!���(O���/(�*/:��!�*c����*,��<Ja & =���*,<�*?N�*K� 1 ���J=>� 1 ����*,# 5 � � � ��� E+$>��*�<���(��4!�*f3����# 5 � �3��� 5iw � � 5 �-?xE � �-? ? � �65 �E�E�Ek:R�!�*K#�* � ? � � ? ? � �9�/#�* 1 ��� b =/# & <�$@��B�o���B��*,3+*,����*,�>��<�$@����(��4#���) 1 ��*,��F � �@�4!�*I=/��!�*K# !B�����:��!�*�#�*,�<ea & =M��*�<Q*?N�*,� 1 ����=/� 5 ���C��!�*_=>#��/�?<�*?a%������*,� & =���*�<�E 1 ����*K# 5 � � �h��� E�$>��*�<���(2��!�*3����# 5 �-? ` �-? ? �3��� 5dw � � 5 �-?�E � �Z? ? � �+5 �Z? ` �Z? ?�E�E�Ek:.R�!�*K#�* �-? � �-? ?>�#�*c�(\�/)B=S-/*:KR�!����g! 5 b =/#U� ��-? ` �Z? ?�EQ��(c����(��4#���) 1 ��*,�H����*,�>�����,��<�<J$_��= 5 � �S� � 5dw � � 5 � ` �-? ?�E � �-? ? � �65 �E�E�EkF C =SR *,-*K#�:�� 1 *��=O�4!�*f!����������I3�#�=/3+*,#��%$�= b � :K��!�*c�%R =O*K��(�* & )�<J*K(\�#�*c�?= & 3 1 �������=/���<J<�$���������(�������� 1 ��(�!Ma�)�<J*/Fru��o�,�(�*L�4!�*�����3 1 �f*,�>��*K#�*K��)>$ � � ��=9��!�* b 1 ���?���J=>����<��J�%$�= b � ��*,3 ( � ��=M*,(f��=� # �����(�-M��*�R�= b � ��*K3�( (�� ��B� ( XB:��!�*O����*K��<Ja & =���*,<�*?N�*,� 1 ����=/� 1 ����*,# 5 � � � � � Er$M��*�<���(���!�*3����# 5 � �3� � 5iw � � 5 �Z?�E � �-? ? � 5�5 � 5 �-?�E � �-? ?�E � �65 �E�E�E�Ek:IR�!�*,#�*,�/(H��!�*v#�*,�<ea & =���*�<O*�NM*K� 1 ���J=>�1 ����*,# 5 � � �h� � Er$M�J*,<���(c��!�*I3B����# 5 � ? ` � ? ? �P� � 5dw � � 5 � ? E � � ? ? � 5�5 � 5 � ? E � � ? ? E � �+5 � ? ` � ? ? E�E�E�Ek:R�!����g!n��(Q����(��4#���) 1 ��*,�'����*K�/�����,��<�<J$2��= 5 � �S� � 5iw � � 5 � ` �-? ?�E � �-? ? � 5�5 � 5 � ` �-? ?�E � �-? ?�E � �+5 ��E�E�E�EkF( �>������:���!�*'�%R =H*,�B(�* & )�<�*,(O�/#�*'�?= & 3 1 �������=/���<J<�$o��������(�������� 1 ��(�!��/)�<�*F7 *`��=SR � 1 #��~��=v�4!�*`�,�(�*@R�!�*,#�* F�76 2 6�� <�:�8 D?7 4*F M )!2 � <�: 6*2*F : ���� �4#��/��( b =># &��!�*I#�*K��<Ja & =���*,<����-/*,#4(��/#�$ � � ���>��=9�'�?=/#4#�*,(43B=>���������h����*K��<Ja & =���*�<+���-/*,#4(��/#�$ � � F � �����3 1 � � � :���!�*'<�������*K#O3�#�=���*�*,�B(O�( b =<�<�=SR�( �� F � ��g!�����* � � * & 1 <�����*,( � ��*K3 ( � = b ��!�* 3B#�=/��=��?=/<G:n)>$}=/)��4����������� 5 �-? � > E��

� � 5 � � Eg:�R�!����g!`��(���!�*9D 1 *,#�$@��!��� � � RO��<J< 1 (�*n��� � ��*K3 (�� F� F � ��g!�����* � � * & 1 <����*,( � ��*,3 (�� )>$l��=/�����o��=/��!������+F

� =��*n��!���L�4!�*9#�*,��<Ja & =���*,<����-/*,#4(��/#�$ � � RL= 1 <��8!��.-* & ���*n��!�*2=>#��/�?<�*2D 1 *K#�$5 �-? � > EL����`RL= 1 <��`!B�.-*n=/)��4������*,� w �/(O��8���(�R *K#�F

XBF � ��g!�����* � � ���>-= � *,('�4!�* F 4 � 2*F 6 8 D;7 4*F M;5 =/� ����3 1 � � � Ek:c��B� =/)��4������(A� 1 ���eab =/# & <�$C����(���#���) 1 ��*K�N� 0 ��� �0��� < F 7 *8(��4#�*K(�('�4!��������9�4!���(A��� & * � � ��=M*K(A��=/�����(���# 1 ���O��!�*'�4# 1 (���*K�p3��#��%$@R�!�*,��!�*K#�=/#O��=/�O��=@��B(�RL*,# " �#��%$ � F � ��g!�����* � �* & 1 <����*,( � ��*,3 ( XB:�)/$ b *�*,�������9�-? ? �� "!� � ` �Z?���= � � F

� F � ��g!�����* � � (��4�#���(��J�4(r* & 1 <������J=>�'= b � ��*K3 ( � :�)>$'�g!�*K� � �����hR�!�*��4!�*,#r=/#Q��=�Q��!�*D 1 *,#�$'��!��� � � RO��(�!�*K(j��= & � � * 5 �GF *F�: � � 5 ��� � w � � ? ? E�E # ��(��4!�*O� 1 3�<J* 5 � ? � > � � ? ? Er�����!�*f(�*,�B(�*c�4!����r�J�r$M�J*,<���(���!�*L(�� & *c-S��< 1 * 5 � � 5 �-?�E � �Z? ?�EkF��O!���\��(,:.<J*,� 5�� ? � � � � ? ?xE �� "!�� � 5��� � w � �Z? ?�EkFlu b 5 � 5�� ?�E � � ? ?�E � 5 � � 5 �-?�E � �-? ?xEh�4!�*,� � � ���B(��4# 1 ����('�4!�* F�� �� F����D;7 �*F M ��=����(�R *K# " �/#��%$���:M*�<�(�* � � ����(���# 1 �?�4(f�4!�*h�4# 1 (���*,�@3��/#��%$H��=_(���=/3 5 RO����!Ma= 1 �l�/��(�R *K#������ " �#��%$��>EkF � ��� ���B��<�<J$/: � � = 1 ��3 1 ��(`R�!�����*�-/*,# � � ��=M*,( 5 �iF */FJ:� � 5��� � w � �Z? ? � w Ek:MR�!�*K#�*I��!�* b = 1 #f����3 1 ��( = b � � �?=>#�#�*,(43B=>���_��=A����(f-M�J*,R����o*K��g!= b �4!�* b = 1 #O(���*,3�(gEkF

� =/��*`��!���9��!�*`= 1 �43 1 �_= b " �#��%$ � ��� )+=�4!~��!�*8#�*K��<Ja & =���*,< 5G1 �B��*,#_��!�* ���� (gEn�/�����!�*o����*K��<Ja & =���*,< 5i1 ����*K#'��!�* ���� (gEI*,D 1 ��<�( � � 5���� � w � �-? ? � w Ek:�R�!�*,#�*D�-? ?���( 1 ��� b =/# & <J$����(��4#���) 1 ��*,� 5 ���v)B=/��! & =���*�<�(gEkF��O!�*A��(4( 1 *9��(h��!�*_�?=>#�#�*�<������J=>�l= b ��!���(�= 1 ��3 1 �I��=l��!�*= 1 ��3 1 ��= b " �#��%$���:MR�!����g!l��(�#�*�<�*�-S��>� =/��<�$o� b " �#��%$��A��=M*,(�!��.-/*h��l= 1 �43 1 �,F � *,���<J<��� � � � ��� ���!��� � ��� � � �! �#� � � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ���#��� �� � � ����� � �(� � � � � � � � � ��� � ��� �� � �#"�X��� � � ��� � �� %�� � ��� �$ &%�')( %*(�%�' ' � � %�� ���! � � � � ��� �� � � � "�� + ,- &.�' � (�.�' ' � '

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������������P������ � ������ � � ����� ����� � ����� ���� ����� �����

��!B��� " �/#��%$ �O=/)��4������(\��n= 1 ��3 1 � 5 ���')+=�4! & =M��*�<�(kE6=>��<�$I� b ��!�*f��=/#4#�*K(�3+=/�B������� " �/#��%$ ���=M*,('��=�9�)+=/#�� 5 =/#'(���=>3�(n��!�*o��# 1 (���*,� 3��/#��%$BEkF � 1 #��4!�*,# & =/#�*:\��� )B=/��! & =M��*�<�(�:��/�= 1 ��3 1 �r��(r=/)���������*K�'� b �/���'=>��<J$n� b 5 � 5�� ?�E � � ? ?�E � 5 � � 5 �-?xE � �-? ?�E\!�=/<��B(�:.R�!�*K#�* 5 �-? � > E �� "!�� � 5���� Ek:���B� 5�� ? � � � � ? ?�E �� "!� � � 5��� � w � �-? ?�EkFju��`3��#������ 1 <��#,: 5 � 5�� ?xE � � ? ?�E � 5 � � 5 �Z?�E � �-? ?�E� & 3�<J��*,(O�4!���� 5�� ? � � ? ?xE � 5 �-? � �-? ?�EL����8�4!����O�4!�*'���B3 1 ��(�*,�>��*K#�*K�l�����>��*K3 (�� ��= & ���4�g!5 �iF *F�: � FIH�efK 5�� ? � � � � ? ?xE � 5 � � 5 �-?�E � �-? ?�E�EkF!�O!���( & *,��B(���!���\���n��!�*f#�*,�<ea & =���*�<S�4!�*f= 1 ��3 1 �= b " �/#��%$ �H��( �GFIH�efK 5�� ? � � � � ? ?�E � �GFIH�efK 5 �-? � � � �-? ?�E � �+5 �Z? ` �-? ?�Ek:�R�!�*K#�*K�(���� �4!�*_����*K��<Ja& =���*�<j���2*KD 1 ��<�( �65 �E � �65 �-? ` �-? ?�EkF 7 *���=/����< 1 ��*_�4!����2��!�*�����*K��< & =M��*�<�3B*K# b *K�?��<J$* & 1 <�����*K(���!�*9#�*,�< & =M��*�<i:B����`��!�*93�#�=>3B=>(�������=/� b =<�<�=SR�(�F

��� � D�� +�� @ � � *8D��M] @��Q] @�*������ ��� & 3+=/#����/�>�c(�3+*,�����<B���/(�*�= b�� D6F 5 � F X � E\��(�R�!�*K��65 � � > E � � �.5 �Eg:/R�!�*K#�*�� > � ���

�� ���eF �O!���(f(�3+*,�����<B���/(�*�RO��<J<6)B*��,��<�<J*K�_�4!�*! ��� �#"�� � �

$&%(' " � % � � ' " � � " $ � ' % " �) ' ��� F� ��� �* � � �,+ �/.-��U/. 5 �?=���Mad��=>(�(������I���/��=h�4!�*�R *,<J<i:�� 1 � & *,�>��*K�+E1032546 ��� �#"�� � � $7%�' "��� % � � ' " � ' "�� % ��� �38� )9)&: �<;>=?;�@A;CBED GF = � ; ; : F �H=JI : �<;>=?;�@A;CB 9 ; � �1@&K ��LB9IM@A;#N : K/= D 4 � =��� 9 ;CB ;BO; � D 4 � � F 4 ��;>NPDJY*��� 9 K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI � DR=�#� � : �A@7=S=?; (�= & *UT�N�*,� @A;#NVNPDR=JN�� 4 = @����7N�� � F 4 � F : ; DR= D � � : ;CB9I 4 ;#NVD F B Y�W

5�� � � � � EYXZ 5�5 � � > E � � � 5 �E�E 5 � F X # E� ��� �� 5 � � > E D K 4 D 9 ; �HNPB9I �>D =��HD = K/=�� �[D 4 � � � � � < � �1�]\ ��� � � � < � �1� E � �� �o� 1 � & *K�/��*,�H�?=/����ai��=/(4(������93�#�=��=M��=<���(c*�N��/�?��<J$_R�!����c��(c��*,*,��*K� b =/#f��!�*�� & 3�<�* & *,�Ma�������=/�p= b ��!�*��?=���Mad�*K��*,#4�����J=>�`3�!B�(�*9= b �4!�*_��= & 3���<J*K#�FOu�� 3��/#������ 1 <��#,:B��!�*_(���#������ > :�����?< 1 ��*K�C���C��!�*H= 1 ��3 1 �'= b " �/#��%$ � :r��<�<J=SR�(2���2��= 5 <�����*K#kEh3�#�=S-*���� *,#�=�a?^>��=SRO<J*K���*(�������* & *,�>�4( #�*��>�#4�������9��!�*n���� 1 �<+-S�< 1 */:��M:���= &H& �J����*,� 5 ��= " �/#��%$��/EgF��O!���( b ���� RO��<J<)+* 1 (�*K�8���`��!�*93B#�=/��=��?=/<�* & 1 <������=/�83�!��(�*n= b ��!�*9��= & 3���<J*K#�FT +>�(_�� * � � ��+ �/.-��U/` V �7= ba � F D 4 5$�<; : ; DR= DQ; 4 ^ � R � 6=^ F 4 � K :C: ; �P= c F = �dD F @1;#NVNPDR= N�� 4 = @&c��7N�� � �ec�� 4 O3; 4 =��HK(@7= DQ; 4 ^ � R � 6�f hg c � 4 F :�: B9D ���i=j; � � � @1; 4(k = DR=JK/=�� !F �1@7K �������>K(@7= DQ; 4 ;mlU=Qc � F KCnCN�� 4 =�����@1;>D 4ok =j; D 4 nGl1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= I5q � � 5 � F X # E=?;r= c�� �7=h;sl3l1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JD � �

+ �/.-���t�vu �&� _),t�wV� �x�y � � � � ��O!�*c<��(�����= & 3B=>��*,�>����*�*,��*,� b =/#���!�* �?= & 3���<�*,#\��(�� b 1 ���?���J=>����<����%$h�4!������,�3�� 1 #�*,�nR�!�����(�#�*KD 1 ��#�*,�A���_��!�*�����3 1 ��ad��= &H& �J� & *,�>�c3�!��/(�*L= b ��!�*���= & 3���<J*K#�FS�M3B*K�?�zT+���<J<�$:R *�R���>���= b =>#���* " �/#��%$ � ��= & ��^�*n��#4��B��= & ��= &H& �J� & *,�>�O��=o��`����3 1 �O= b ����(O�g!�=/����*:�R�!���<�*^M��=SRO�����I�4!�*L��= &H& �J����*K�9-S��< 1 *�����A��!�*��?=>#�#�*,(43B=>���������I��*K�?= &�& ��� & *,�>�,F-{9��=SRO<�*,���*= b �4!�*�<������*K#IRO��<�<Q�<J<�=SR ��!�*H3��#��%$8��= 5 <�����*K#kE�3�#�=S-*'����|�*K#�=aj^M��=SRO<�*,���*'(��4����* & *,�>��(#�*��/�/#��������A��!�*'���� 1 �<6��= &H& �J����*K�l-S��< 1 */:M�/���@�4!���( b ��?�LRO��<J<\)+* 1 (�*K�@���l�4!�*23B#�=/��=��?=/<* & 1 <�������=/�83�!��/(�*n= b �4!�*9�?= & 3��J<�*,#,F

� *,�5}�)B*��o�?= &�& ��� & *,�>�2(��g!�* & *:+�/���p<�*�� } )+*A��*7T+��*,�v�(O���~�>*K�?����=/� � F � F XBF # F7 *9�?=/�B(�����*,#��4!�* ' "�� ��� $7% ' � ��>" � � " $ � ' % " �) ' � �5Q� � ��� ��� E3XZ 5 � � }M� 5 � E�Eg:BR�!�*K#�*b����( 1 ��� b =># & <�$`����(���#���) 1 ��*,�8��� � � � � � � ��� J 5 � F X � E

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� � ��� � � � ��� ��� ��� � ��� � ��� ������� �� ��� ��� ������� � �

( *,#��������<J$/:>�4!�*n������-*23�#�=/��=��?=/<+= b P 1 (���<J*,��������� " �#��%$ � (�*,��� " �/#��%$#�A�_��= &H& �J� & *K�>���= � ��=M*,(p��=�p�?=>��(������ 1 ��* �;(�*K� 1 #�*v� & 3�<J* & *,�>�������=/� = b�� D6F 5 � F X � E10 �O!���(p����J-/*( 1 ��/*,(�����=/�9��=M*K(���=�j� 1 �#4��>��*,*f��!B���j��!�*�= 1 ��3 1 ����(j���A�4!�*O#��/���*L= b ��!�*���= &H& �J� & *K�>�(4�g!�* & *:r<J*,�A��<�=/��*��4!����'���9��(9� #4�����= & �?= &H& ��� & *K�/� b =/#nR�!����g! " �#��%$ � ^>��=SR�('��?=>#�#�*,(43+=/���������H��*,��= &H& �J� & *,�>��F �O! 1 (,:���!�*9������-*'3�#�=��=M��=< & 1 (���)+*9� 1 � & *,�>��*K�`)>$& *,�g!��/����( & ('�4!����A�/����#�*,(4(9��<�<f�4!�*,(�*l��=/����*,#4��(�F 7 *l(�!�=SR �4!���� � D6F 5 � F X � E2�,��~)+*(�*,� 1 #�*,<J$l#�*,� 1 �?*K�l��=��4!�*9(�*��O= bQb 1 ��������=/���<J������*,(O3B#�*K(�*K�/��*,�8�)+=S-*/FwV� � *L��+-,r]C� � � + �/.-����� 5 ��8=/#4���<J*�ad�����*K�@3�#�=��=M��=< b =># � D6F 5 � F X � E�EH0u���3 1 ��(L0 5 F �H=JI 6 c F D 4#: K/= � 0 ��� � � � ��� g c�� �� F 5 F �H= I C n �7= D 4C: K/= ������>��*,3 ( � 0 5 F �H= I 6� �7B �1@7= K 4 D l&; �HNPBpI �-? 0 ��� � � � � J ��>��*,3 ( �/0 5 F �H= I 6 K � =Qc �UDRN F n ��=�� F 4 NPD � DQ; 4 l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= IV=j; � 4 �� ? �� "!� } �� 5Q� E

=j; 5 F �H=JI C�� 2 n F D 4 � g � F @7=JK F BRB9I K � =Qc � F K/= c�� 4 =JDQ@ F = ���Y@1;>N : K/= F =JDQ; 4 l1K 4 @ k= DQ; 4 F BpDR= I � g c�� �� 5 F �H=JI 6 � 4 = � � q � �q5 � F X/X>E g DR= c D 4#: K/= 5Q� � �-?�E � 5 F �H=JI C D 4#: K/= ��� � � J �PF 4 �%5 F �H= I C D K :C: ; ����=?;�; a = F D 4 �GFhH-JBK 5Q� � �-?�E �� "!� }M�� 5 � E ��� c�K ��� =�� : O 6-Q O C I>D �LB � F 4`������������<r�?= &H& ��� & *,�>� =?;r= c���D 4#: K/= �2 D 4 O3; 4 =��HK(@7=JDQ; 4 ^ � R � 6�f � g � ��1@ F BRBe= c F = 5 F �H=JI C @ F 4(4 ;>= F a ; �H= � = � : O C1QO R �hF 4 � F K/N�� = c F =)5 F �H= I 6 �C; � 4 ;>= F a ; �H= � =�� : O C F 4 �gOWV �

�>��*,3 ( X�0��h*K��*,#4���������H�?=/���B( b =/#���!�*MT+����<r�?= &H& ��� & *,�>��F � c � : F �H=JD � K � =Qc � F KCn kN�� 4 =�����@1;>D 4 =?; � D 4 nPl1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI =j;~; a = F D 4 = c�� ;>K/= : K/= H5 � � �-? ?�E F 4 ��� ? ? �� "!�} �� 5 �E � � � : �A@7=JD�� �LB9I � g c�� �� � 0 ��� � � � � J F 4 � �-? ? 0 ��� � � � ��� F ��iK 4 D l&; �HN B9IF 4 �[D 4 � � : � 4 � � 4 =jB9I �#D =��HD a K/= ��� ��� c F =hD �� 5 F �H=JI 6 n �7= '5 � � �-? ?�E � g c�D B �b5 F �H= I Cn �7= � ? ? �

�>��*,3 (�� 0��>*K���������H��!�*MT6����<���= &H& �J� & *,�>��F 5 F �H= I 6 K � =Qc � F K/= c�� 4 =JDQ@ F = ���P@1;>N : K k= F = DQ; 4 l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI�=j; � 4 � } � 5 � E =?; 5 F �H=JI C�� g c � �� 5Q� � �E D K 4 D � K �LB9I� �7= � �HNVD 4 ��� a I 5 � ? ��� ? ?�E � � : �1@7D ��@ F BRBpI � 5 F �H=JI 6 � 4 = � � q ����5 � F X/X>E g DR= cYD 4#: K/=5Q� � � � �-? � �-? ?�E � 5 F �H=JI C � 4 =�� � g DR= cYD 4C: K/= 5 � ? ��� ? ?xE � g c � � � 5 � ? ��� ? ?xE D � K :�: ; � �=j; � � K F B�� FIH�efK 5 � � � � �-? � �-? ?xE �� "!� 5 } � 5Q� E � } � 5 ��E�E � F 4 � 5 F �H=JI C D K :C: ; ��� =?;; a = F D 4 �GFIH�efK 5 � � � � �-? � �-? ?�E �� "!� } � 5Q� E �� 4 @ F ��5 F �H= I 6rF a ; �H= ; ��5 F �H=JI C ; a = F D 4 F 4 F 4 g � �6;ml F �#D ��� � � 4 =(l&; �HN F = �g c�DQ@&c�c F :C: � 4 D lG=Qc � D 4C: K/= =?;M= c��-l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= I ��; 4 ;#=tN F =?@Hc � 5 F �H= I C c F B9= g DR=Qc ;>K/= : K/=! 5 ���������,���������o�4!���� " �/#��%$ � & ��(4)B*K!��.-*K�+E �

" 1 �43 1 ��(L0 5 F �H= I 6 ;#K/= : K/= � �tF 4 �X5 F �H=JI C ;>K/= : K/= = c��#� F BpK � � �7= � �HNVD 4 ���UD 4 � =�� : OSR �g c�DQ@&c D �7DR=Qc � � } � 5Q� E ; �$ �

� �>������: & =>#�*p*&%o���J*K�>�H�<J��*,#4�������J-/*,(���=~�4!�*s�)+=S-*p�?=>��(���# 1 �?���J=>�;��= *�NM��(���:�) 1 �oRL*3�#�* b *K#���=o����<J$E|,*2�4!�*'=/��*n�/)B=S-/*FT +>�(_�� * � � ��+ �/.-�('\U O3; 4 =��HK(@7=JDQ; 4 ^ � R �;C*) @1; 4 =JDR= K/=�� 6F# �1@&K �HDR=JI#����>K(@7=JDQ; 4 l��<;>Nq � �j5 � F X � E =?;=Qc � �7=G;sl = g ;Ul1K 4 @7= DQ; 4 F B9DR= D � � ��� 4 ���[D 4 q ����5 � F X # E F 4 ��q ���j5 � F XXME ��� : �1@7= D�� �7BpI �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������������P������ � ������ � � ����� ����� � ����� ���� ����� ��� �

T +>�e���2Z\[o���,]�� ^ 7 *_(��4�#���)/$8�(4( 1 & �����H��!B��� = c��� � = : F �H= I[D c/; 4 � = :+��B�`�4#��/��(�ab =/# & �����O��!�*L#�*K��<Ja & =���*�<��/��-*K#�(4�#�$� � 5 b =>#\��!�*c=/#4���<J*�ad�����*K�I*�N�*,� 1 ����=/�+E6���>��=�����=/#4#�*�a(43B=>���������9����*,�<ea & =M��*�<+�/��-*K#�(4�#�$�� � F " �H����3 1 � ��� :M��!�*I<������*K# 3B#�=��?*,*,��(f�( b =/<J<�=SR�(L0� F��s��g!�����*�����* & 1 <�����*,( 5 ��!�*2�������=/��(�= b ��!�*h!�=/��*K(�� " �#��%$ � ���+E��M��*,3 ( � = b ��!�*3�#�=/��=��?=/<G:�)>$ 1 ��� b =># & <�$`(�*�<�*,�?�������D� ? 0 ����� � ��� J F

��F��s��g!�����*�� � * & 1 <����*,(P�>��*K3 ( �8= b �4!�*@3�#�=��=M��=<i:�)>$ b *,*,�������� � RO�J�4! � ? �� "!�} � 5 �1� EgF 5 ( <�*,�#�<�$:�� � ��(2�g!�*,���������B:�)B*K��� 1 (�*� � ��(2( 1 3�3+=/(�*,�s��=p)B* b *,�CRO�J�4!} 5Q� Eg:�R�!�*,#�* � ��(H��!�* 5G1 ��^M��=SR��;��=�� � E_����3 1 �o= b " �/#��%$ � F��h=SR *,-*,#,:� �����B��=�O��*,��*,���O��!���(��g!�*K���������+FmE

XBF��s��g!�����*����'* & 1 <�����*K(5�>��*,3 ( XH= b �4!�*A3�#�=��=��?=<i:B)>$ 1 ��� b =/# & <�$`(�*�<�*,��������� > 0����� � � � J �/���@�-? ? 0 ����� � � ��� :B�/��� b *�*K������� �nRO�J�4! � ? ? �� "!� } �� 5"> EkF

� F��s��g!�����*!� � ���>-=�^�*,(q�4!�*f�4# 1 (���*,�93��/#��%$2RO����!'����3 1 � ��� �/���n=/)��4������(r��!�*L���(�R *K#} � 5Q� Ek: b =/#j� 1 ��� b =/# & <�$9����(��4#���) 1 ��*,�D� 0 ����� � � � J ��!������(j!��/����*,�_��= " �/#��%$ � F "

�# *?N��,: & ��g!�����*�� � =>)��������(���!�*9����3 1 � 5 =>#�D 1 *,#�$BEL= b � ��=@�4!�* b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$= b �M��*,3 (�� F}u b �4!���(@����3 1 � 5 �iF */FJ:$ � 5dw ��� ? ��� ? ?�E�E���=M*,(o��=�o*,D 1 �<O��!�*s3B����#H= b-.�< 1 *,( 5 � ? ��� ? ?�E � 5 } � 5 � � E � } � 5L> E�E b *,�~��=% � ��� �>��*K3�(�� y Xs��!�*K�&� � !���<���(RO�J�4!'= 1 �43 1 �'�� 5iw ��� ? ��� ? ? � 5�5 � ? ��� ? ?xE � }M� 5Q� E�E�EgF " �4!�*,#�RO��(�*/:����L!���<���(rRO�J�4!9= 1 ��3 1 ��� 5dw ��� ? ��� ? ? � }M� 5Q� E�EkF# =��*`�4!����H���z)+=�4!;�,�(�*,(_��!�*p= 1 ��3 1 �H= b � � ��=/#4#�*K(�3+=/���B(9��= ��!�*8= 1 ��3 1 �H= b � R�!�*K� b *K� RO�J�4! ��!�*@��=/#4#�*K(�3+=/���������8* & 1 <�������=/� = b �>��*,3�( ( � y�(�� FHu�� 3B�#�a����� 1 <��#,:$� � * & 1 <�����*,( �>��*K3 (�� )>$ b *,*,�������� � RO����!|*�����!�*,# } � 5Q� EH=/#lRO�J�4!5�5 } 5 � � E � } 5"> E�E � } � 5 � E�Eg:.R�!�*,#�*���!�* ��*,����(��J=>�n��*,3+*,���B(\=/�2R�!�*,��!�*K#�=/#���=�( � 5iw � }6�� 5 � � E � } �� 5L> E�E �5 }M�� 5 � � E � }6�� 5L> E�EkF 5*) *K���<J<��4!���� 5 }6�� 5 � � E � } �� 5L> E�E � � FIH�efK 5 � � � > � �-? � �-? ?�EkF Enu��Ma��*�*K��:+=>� ��=>3 = b �g!�*K���������l��� �4!�*�* & 1 <������=/�p= b �M��*,3 ( ��: & �/�g!�����*+���A�g!�*K���4(��� �4!�*z* & 1 <������J=>� = b �>��*,3 (�� :6T6#�(���<�$�)+*,�,� 1 (�*z�4!�*;��*,�?��(��J=>� ��( ( 1 3�3B=>(�*K���=z��*K3B*K���}=>�|R�!�*��4!�*,#`=/#@��=�, � 5dw � } �� 5Q� E � } �� 5 �E�E � 5 }M�� 5Q� E � }6�� 5 �E�Ek:R�!�*,#�* 5 }M� 5Q� E � } � 5 �E�E � � FhH�e"K 5Q� � � � � ? � � ? ? Ek: ����;(�*K�?=/�B��<J$~)+*,�,� 1 (�*, �`*�NMa3B*K�?��(H��= �*��H*,�J�4!�*,# }M� 5Q� E �.- FIH�efK 5Q� � � � �Z? � �-? ?�E_=># 5�5 } 5 � E � } 5 ��E�E � }6� 5 � E�E0/5 � FIH�efK 5Q� � � � �Z? � �-? ?�E � - FIH�efK 5 � � � � �-? � �-? ?xE�EkF1�h=SR *,-*,#,:��(cR *�(4!���<�<B(�*�*/:��!���( �g!�*,����������( 1 �B��*���*,�?�4�)�<�*F

� *,� 1 (3T+#4(��L�/(�( 1 & *I�4!����L��!�*2����3 1 �L*,�>��*K#�*K�@)>$���2��=_��!�* b 1 ��������=/���<J���%$o= b �>��*,3 (����=M*,(6TB�A����(_-M�J*,R = b �>��*,3�( ( �s�/��� ( X�Fsu�� ��!���(_�,�(�*:Q��!�*`����*,��<Ja & =���*,<f*�NM*K� 1 ���J=>�1 ����*,# 5 �32 � � � E�$M��*�<���(f�4!�*n3�����# 5 � � � 5iw � } 5 � � E � } 5L> E � } � 5 � E�E�Ek:�R�!�*,#�*��9��B� > �#�*1 ��� b =/# & <J$�����H������*K3B*K����*K�/��<J$H����(��4#���) 1 ��*,��F " �H�4!�*�=�4!�*,#f!�����\:��!�*I�?=>#�#�*,(43B=>���������#�*,��<Ja & =���*,<�*?N�*,� 1 ����=/� 5 ���8��!�*9=/#4���<J*�ad�����*K� & =���*�<�E 1 ����*,# 5 �2 � � EL$M�J*,<��B(���!�*A3B����#5 � � � 5dw � } 5Q� E � } 5 �E � } � 5 � E�E�Ek:\R�!�*,#�*c�o��(2�(2�)+=S-*/F��I=SRL*�-/*,#,:B� 1 *���=`��!�*�!����������3�#�=/3+*,#��%$v= b }�:j�4!�*l�%RL= *,��(�* & )�<�*,(A�/#�*@��= & 3 1 �4�����J=>����<�<J$C���B����(�������� 1 ��(4!��/)�<J*/F "54�u�����/(�*O�4!�*�����3 1 � *,�>��*K#�*K�H)/$ �����=9�4!�* b 1 ��������=/���<J���%$�= b �>��*K3 (�� ��=M*,(f��=�ST+�c�J�4(c-M��*�R687 �:9�;�<=<=; ��>@?�A � �CB >(DCEF>@? < � � BGBG<=9 > > < � �=D�� ��; > �k�H< � � � � <2���! D � > �C9�< �CB� A <=B > � � < '6JI �:9 E � �8> �K>@? < � A ;,<L9�G<�� � ��<�.�CBG< �=D � ���M> � >@A�D 9#���!� N A 9�; A >GA 9 ����A ? � � ��<3< $ <=9 � ? <=9 . �C9�;PO�CBG< "�* <=;QB � >@? <=B >@? �C9 � < A 9 � B �C9�; D � ' ,�? � >'A ��>@? <�<L9�G<�� � ��<�1R- + :S�T U�T � ( + VO � ( +'W :X � �@Y U�Z W Z ,[ 9�;R- + \X � ( + . � ( +'W \X � �GY U�Z W Z ,$[ BG<!] D �$^�_ > [ >GA�D 9 [C`�` N A 9�; A�a*>GA 9�bH_ A�aG? [ � ` <dcfe ? <=BG<$ [ a _ a _ [C`hg >G? <; A�a*> B A i

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � � ��� � � � ��� ��� ��� � ��� � ��� ������� �� ��� ��� ������� � �

= b �>��*K3�( ( �2��B� ( XB:���!�*O����*K��<Ja & =���*�<�*�N�*,� 1 ����=/� 1 ����*K# 5 � 2 � � �.Er$>��*�<���(j�4!�*�3�����#j��!�*3����# 5 � � � 5dw � } 5 � � E � } 5"> E � 5�5 } 5 � � E � } 5"> E�E � } � 5Q� E�E�E�Ek:rR�!�*,#�*,�/(I�4!�*o�?=>#�#�*,(43B=>���������#�*,��<Ja & =���*,<S*?N�*,� 1 ����=/� 1 �B��*,# 5 �2 � � E+$M��*�<���(\�4!�*c3�����# 5 � � � 5dw � } 5Q� E � } 5 �E � 5�5 } 5Q� E � } 5 �E�E � } � 5Q� E�E�E�EkF� �>������:9�4!�*z�%RL= *,�B(�* & )�<�*,(C�#�* �?= & 3 1 �������J=>����<�<�$ ��������(�������� 1 ��(�!B�)�<�*F �>������*z��!�*�%RL= ���(�*,(p=��,� 1 # RO����! �< & =>(��p��!�*z(�� & * 3�#�=>)��)��J<��J�%$W��� )+=�4! & =���*,<�( 5 )+*,��� 1 (�*��!�*s��*,����(��J=>�z��*K3B*K����(o=>� � 5dw ��� ? ��� ? ?xEk:LR�!�*,#�* 5 � ? ��� ? ?xE_��(H*,�J�4!�*,# 5 } 5 � � E � } 5L> E�E_=>#5 } 5Q� E � } 5 �E�E�Eg:B�4!�*'= 1 �43 1 �4(O���8�4!�*'�%R = & =���*�<�(O�#�*n���B����(�������� 1 ��(4!��/)�<J*/F7 *`��=SR � 1 #��~��=v�4!�*`�,�(�*@R�!�*,#�* = c�� �1@1; 4 � : F �H=JI D c/; 4 � = : ���� �4#��/��( b =># &��!�*I#�*K��<Ja & =���*,<����-/*,#4(��/#�$�Q2L���>��=9�'�?=/#4#�*,(43B=>���������h����*K��<Ja & =���*�<+���-/*,#4(��/#�$��32.F " �����3 1 � � :B��!�*'<������*K#O3�#�=M��*�*K��(��( b =<�<�=SR�(70� F��s��g!�����*�� 2 * & 1 <�����*K(h�>��*,3 ( � = b ��!�*23�#�=/��=��?=/<G:/)/$�=/)����������������-? b #�= & 2 5Q� EkF� �?� 1 ��<�<�$:�� 2 =/)��4������( 5Q� ? � �-?xE � 2 5Q� Eg:BR�!����g!`��(O�4!�*9D 1 *,#�$o��!B���� 2 RO��<�< 1 (�*��� �>��*K3 ( ��F

��F��s��g!�����*3� 2 * & 1 <����*,(U�M��*,3 ( ��)>$l��=/�����o��=/��!������+F# =��*n��!���L�4!�*9#�*,��<Ja & =���*,<����-/*,#4(��/#�$ �2hRL= 1 <��8!��.-* & ���*n��!�*2=>#��/�?<�*2D 1 *K#�$5Q� ? � �Z?�E ��B�`RL= 1 <��8!��.-*2=/)���������*K� w �(O��8��B(�RL*,#,F

XBF��s��g!�����*��32L���/-/=�^*,(j��!�* =��HK =���� : F �H=JI =>�_����3 1 � � ?i:M�����=>)��������( � 1 ��� b =/# & <J$����(���#���) 1 ��*K�i� 0 ��� � � � � J F 7 *A(���#�*,(4(O��!B���I�����!���(���� & *�� 2 ��=M*K(���=�I����(���# 1 �����!�*h��# 1 (���*,�@3B�#��%$_R�!�*,��!�*K#c=>#f��=/�f��=����(�RL*,# " �/#��%$���F1�s��g!�����* � 2 * & 1 <����*K(�>��*K3 ( XB:�)>$ 1 ��� b =/# & <J$8(�*,<J*K�?������� �-? ? 0 ����� � � ��� �/��� b *�*,������� 5 � � �-? ?�E ��= 2 F

� F��s��g!�����* � 2 (����/#��4(n�J�4(n* & 1 <������=/�s= b �>��*,3 (�� :r)/$s�g!�*,�H^>�����`R�!�*,��!�*K#n=/#n��=/���!�* D 1 *,#�$;�4!����P 2 RO��(�!�*K(8��= & ��^�* 5 �GF *F�: 2 5 � � w � 5 � � �-? ?�E�E�E[TB��(8��!�*C� 1 3�<�*5Q� ? � � � �-? � �-? ?xE'��� ��!�*8(�*K��(�*l��!���_���A$M��*�<���(9�4!�*8(4� & *@-S�< 1 * 5 }M�� 5Q� ?�E � }6�� 5 �E�EkF�O!���� ��(�:A<J*,� 5�� 2 � � � � > 2 � > �KE �� "!� 2 5Q� � w � 5 � � �-? ?GE�EgF�u b 5 } ��� 5�� 2 E � } � J 5�� �KE�E �5 } �� 5Q� ?xE � } �� 5 �E�El�4!�*,� �Q2s���B(��4# 1 ���l�4!�* =��HK = ��� : F �H= I ��=����(�R *K# " �/#��%$ �*�<�(�* �Q2@���B(��4# 1 ���_�4!�*8��# 1 (���*,�;3��#��%$ ��= (���=/3 5 RO�J�4!�= 1 ���/��(�RL*,#������ " �#��%$ �/EkF� �����<J<�$:K�32A= 1 �43 1 ��(nR�!B����*,-*K# Q2A��=>*K( 5 �iF */FJ:(Q2 5 � � w � 5 � � � ? ? E � w Eg:�R�!�*K#�*���!�*b = 1 #�����3 1 �4(O= b �2n��=/#4#�*K(�3+=/�B�@��=H����(O-M��*�R ���8*,�/�g!l= b �4!�* b = 1 #I(���*,3�(gEkF

# =/��*`��!���9��!�*`= 1 �43 1 �_= b " �#��%$ � ��� )+=�4!~��!�*8#�*K��<Ja & =���*,< 5G1 �B��*,#_��!�* �� (gEn�/�����!�*@����*,��<Ja & =���*,< 5i1 ����*K#9��!�*0� ��� (gE2*KD 1 ��<�(� 2 5Q� � w � 5 � � �-? ?iE � w Ek:jR�!�*K#�*9� 0 ��� � � � � J��B���-? ? 0 ����� � � ��� �#�* 1 ��� b =/# & <J$ ���� ������*K3B*K����*K�/��<J$ ����(��4#���) 1 ��*,� 5 ���~)+=�4! & =��Ma*�<�(gEkF �O!�*'��(4( 1 *'��(O�4!�*A��=/#4#�*,<������=/�@= b �4!���(�= 1 ��3 1 �I��=o��!�*9= 1 �43 1 �O= b " �/#��%$ ��:�R�!����g!��(�#�*�<�*�-S�/�/�_=/��<�$~� b " �#��%$ �C��=M*,(H!��.-/*`�/�~= 1 �43 1 �,F ) *,�,��<�<���!��� " �/#��%$ �s=>)�������B(�� = 1 ��3 1 � 5 ���;)B=/��! & =���*�<�(gE2=/��<�$ � b �4!�*l��=/#4#�*K(�3+=/��������� " �/#��%$ � ��=M*,(_��=���)+=/#��5 =>#H(���=/3�(���!�*8�4# 1 (���*,��3��#��%$BEkF � 1 #��4!�*,# & =/#�*:c����)B=/��! & =���*,<�(,: �/� = 1 ��3 1 ����(H=/)�a�������*,�}� b ��B�|=/��<�$|� b 5 } ��� 5�� 2 E � } � J 5�� �SE�E � 5 } �� 5 � ?�E � } �� 5 ��E�Ek:2R�!�*,#�* 5 � ? � �-?�E � 2 5Q� E��/��� 5�� 2 � � � � > 2 � > �.E � 2 5Q� � w � 5 � � �Z? ?�E�EkF'u��v3B�#������ 1 <��#,: 5 } ��� 5�� 2 E � } � J 5�� �SE�E �5 }6�� 5 � ?�E � }M�� 5 �E�E9� & 3�<��J*K(9�4!���� 5�� 2 � � �KE � 5Q� ? � �E'�/��� ��!���A�4!�*@����3 1 �4(A*K�/��*,#�*,� ���� _ >@A�D 9�� a A 9�;�<�� \X�( .�(8O g A�a [C` aGD b A � <=9 >@D >@? <�^ DC> <=9 >GA [C` ; A�a*>GA 9�bH_ A�aG? <=B

?�A�a�E D `�` D e a�E B D�� >G? <] D�� ^�_ > [ >GA�D 9 [C` A 9�; A�a@>@A 9�bH_ A�aG? [ ��A ` A > N DCE R- + :S T U�T g ( + VO g*g Y U�Z W Z , [ 9�;�R- + \X g ( + &. g@g Y U�Z W Z , cfe ?�A ] ?3A 9> _�BG9 E D `�` D e a�E B D���>@? < ?�A ; A 9�b ^�B D ^ <=B > N DCE +

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������������P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� ��� �

�>��*,3 (�� ��= & ���4�g! 5 �GF *F�: � FIH�efK 5�� 2 � � � � > 2 � > �KE � 5 } �� 5 � ?�E � }M�� 5 ��E�E�Eg:LR�!����g! & *,��B(��!B���\���2��!�*f#�*,�<ea & =���*�<S�4!�*c= 1 ��3 1 ��= b " �#��%$ �L��( - FIH�efK 5�� 2 � � � � > 2 � > �.E � - FhH�e"K 5Q� ? � � � > 2 � > �.E �} � 5 � ?�E 5 *?N��/�?��<�$s�(h���v�4!�*_����*K��<Ja & =���*�<�EkF 7 *H�?=/�B�?< 1 ��*���!���h�4!�*H����*K��< & =M��*�<�3B*K#�ab *,����<�$l* & 1 <�����*,(���!�*9#�*K��< & =���*�<i:B��B�l�4!�*93�#�=/3+=/(��J���J=>� b =/<J<�=SR�(�F

+ �/.-���t� + ZU, �x��� +��( = & )���������� " #�=/3+=/(�������=/� � F � F � 5 #�*,(43�F�: " #�=/3+=/(�������=/� � F � F � �>E�RO����! ( 1 �����)�<J* #�*K( 1 <J�4(�)+= 1 �o��!�* 1 ����*,#�<�$>����� 3�#�� & ������-*K(�:LRL*s�?=/�B�?< 1 ��* ��!B���l��=���;��=/(4(������ 5 #�*,(43�F�:�� & ���/*��#4��B( & ��(�(��J=>�'�(r��� � D6F 5 � F X � E�E����/�9)B*�(�*,� 1 #�*,<J$n� & 3�<J* & *K�>��*,�_)��(�*,�9=/�9�/�/$ � a � =/��*�aR��.$ b 1 ��������=/��F ( = & )���������� " #�=/3+=/(��J���J=>� � F � F � # 5 #�*K(�3\FJ: " #�=/3+=/(��J���J=>� � F � F ��� E�� #�*,(43�F�:" #�=/3+=/(�������=/� � F � F � � � RO����!A��!�*�3�#�*�-M��= 1 (Q#�*K( 1 <J�4(�:�)>$ 1 (������I��!�* ( = & 3+=/(�������=/� �O!�*�=/#�* &5 �iF *F�: �O!�*,=/#�* & � F � F XH=># ) * & �#A^ � F � F # Ek:�RL*'=/)��4�����p(�*K� 1 #�*n� & 3�<�* & *,�>�4������=/�B(O= b ��!�*� 1 ��!�*K�/�����,����*,�Ma%�?= & 3 1 �������=/� b 1 ��������=/���<J���%$ 5 #�*K(�3\FJ:6� 1 � & *K�>��*,�p��=���Mai��=/(4(�������E!� #�*,(43�F�:����3 1 ��ad��= &H& �J� & *K�>� b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$ � F��O!�* � a � #�*,(���#���������=/�~���/� )+*`R�����-*K�~)/$ 1 (�������@(�<J���/!>��<J$ & =/#�*A� 1 & )B*K#�(�= & *9��=/��(���# 1 �?���J=>�p��!��� 1 ���J<��v|�*,(h��!�*_�?= &H& ��� & *K�/�2(��g!�* & *= b ( =>��(��4# 1 �?����=/� � F � F � 5 ����(���*K��p= b �4!�*A(�� & 3�<�*A(4�g!�* & *9= b ( =/��(���# 1 �?���J=>� � F � F �/EkF 7 *��! 1 (I(��4����*n�4!�* b =<�<J=SRO����� b =/# b 1 � 1 #�*9#�* b *,#�*,����*C0T +>�(_�� * � � ��+ �/.-�(' ' 2 � K/NPD 4 n�= c�� �#"�D = � 4 @��!;sl 5 4 ; 4ok K 4 D l&; �HNPB9I =��<; 4 n E ; 4 � k g F Il1K 4 @7=JDQ; 4 �� = c���l&;#BRBO; g D 4 n = c �����l1K 4 @7= DQ; 4 F B9DR= D � @ F 4 a � �A@7K ��LB9I@1;>N : K/=���� �

6�� � c �6D 4C: K/= k @1;>NPNVDR=JN�� 4 =�l1K 4 @7= DQ; 4 F B9DR= I F � �@� 4 � �[D 4 q%$ �Q5 � F X � E �C�� � c � F KCn#N�� 4 =�� �i@1;>D 4(k =?; � D 4 n5l1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JI F � �@� 4 ���rD 4 q�$ �Q5 � F X # E �V � � c � F K/=Qc � 4 = DQ@ F = ��� k @1;#N : K/= F = DQ; 4 l1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JI F � �@� 4 ���rD 4 q�$ �j5 � F XXME �

&('*)�'*) +-,%.0/21436587:9;.=<>7@?BAC.=9;D7 *9�#�*2��=SR�#�*K���$o��=o3�#�*K(�*K�>�L�4!�*9�?= & 3��J<�*,#,F ) *,�,��<�<���!����R *'�#�*n���-*K�l�H3�#�=��=���=<i:E : b =/#f��!�*2(�* & �ea%!�=/��*,(�� & =M��*�<i:>�/���oRL*�RL�/�>����=A�/*,��*K#����*��/� $ *,D 1 ��-S��<�*,�>� & 3B#�=/��=��?=/<E ? b =>#��4!�* & �<J���?��= 1 ( & =���*�<iF��O!�* & *K��������2= b ��!�*L��*,# &6F *KD 1 �J-S�<J*K�/� � RO��<�<M)+*O�?<��#��OT+*,����r�M*,�?���J=>� � F � F � F � F 7 *O(��4�#��j)>$A��= & 3���<J����� E ���/��='��_=/#4��?<�*?a%������*K�A3�#�=��=M��=< E ?���!���1 (�*,(��4!�*'��!�#�*�* b 1 ���?���J=>����<��J���J*K(O#�* b *,#4#�*K�l��=H��� " #�=/3+=/(�������=/� � F � F � ��F7 *H�/(�( 1 & *:�RO����!�= 1 �'<�=/(4(2= b �/*,��*K#��<J���%$:��4!����n=>�C�/�/$ ����3 1 �'= b <�*,�����! � :\*K��g!3��/#��%$~��= E ��=>(�(�*,( Y�5 � E � 3+=<�$ 5 � E_�?=/���B(�F ) *,���<J<O�4!���� } ��(o� 5 ��=>�Mai���>��*K#��/�?����-*SE5 (���#������ME���= &H& �J� & *,�>�I(4�g!�* & *:6��*,#���-*,� b #�= & ��!�*�)����I�?= &�& ��� & *,�>�2(��g!�* & *�}�:6�/�����!B��� } � 5�G EL��*,��=/��*,(���!�*9��= &H& �J� & *K�>�O��=H-S��< 1 * G@1 (������o�4!�*9#4�����= & ai�4�3+* �MFwV� � *L��+-,r]C� � � + �/.-�('H� 5 ��!�*��?= & 3���<�*,� 3�#�=��=M��=<i:�=/#4���<J*�ad�����*,�`-*,#4(��J=>�+E10JI D�� � 4 F: �A;>=?;L@1;#B � E � l&; �= c�� �7NVD k c/; 4 � =MN ; � �LB � g � @A; 4 D � � � =Qc �5l&;CBRBO; g D 4 ny; � F @LB � k F D � ���: �A;>=?;L@1;#B � E ? � l&; � = c���N F B9DQ@7DQ;>K Nr; � �LB �K "MLCN �@OQP 5 F �H=JI 6 n �7= D 4#: K/= � 0 ��� � � � �~F 4 �D5 F �H=JI C n �7= D 4#: K/==R 0 ����� � � � �K "MLCN �TS $&%VUWU6' � U �#" � LMX O � P q F @&c~;ml6= c��P= g ; : F �H= D � @1;#NVNPDR= =?;iDR= D 4#: K/= a IK D 4 n

=Qc �[D 4C: K/= k @A;#NVNPDR=JN�� 4 =*l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= IY;ml�q%$ ��5 � F X � E � M �1@ F BRBS= c F =!q%$ �O5 � F X � E

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

N F : =Qc �rD 4#: K/= : F D&� 5�� � ��� E =j; = c��i;>K/= : K/= : F D&� 5"> � } � 5�� E�E � g c�� �� > D K 4 D kl&; �HN B9I �#D =��HD a K/= ��� D 4 ����� � � � J � � c�K �� � F @Hc ;sl= c�� : F �H= D � ; a = F D 4 � �1@1;>N kNVDR=JN�� 4 =UD 4 l&; �HN F =JDQ; 4 =Qc F = g D BRB F BRBO; g DR=U=?; : � � l&; �HN DR= �A;#B �[D 4 =Qc � : �<;>=?;L@1;CB�&NPK�B F =JDQ; 4: c F � �� : �A@7D ��@ F BRB9I � g � F ���= F B���D 4 n F a ;>K/=�= g ;VD 4 �>;�@ F = DQ; 4 ;mlGq%$ ��5 � F X � E � � 4 = c��1� � =D 4 �>;L@ F =JDQ; 4 � 5 F �H=JI 6 g D c�D 4 nP=?; @A;#NVNPDR=]=j; ��� : B F I = c�� �<;CB � ;mlU=Qc � � � = : F �H=JID 4 q%$ �f5 � F X � E �5F 4 ��; a = F D 4 F K 4 D l&; �HN B9I �>D =��HD a K/=����� 2 0 ����� � � � J � g c�� �� F 5 F �H=JI C 5 g c�DQ@&c : B F I = c�� �<;#B � ;mli=Qc � �1@1; 4 � : F �H= I D 4 q%$ �I5 � F X � E�E ; a = F D 4 2 �� "!� }�� � 5Q� E � V D � � g D � � D 4 = c�� �1@1; 4 � D 4 ��;�@ F =JDQ; 4 � 5 F �H=JI C g D c�D 4 n�=?;@A;#NVNPDR= =?; R � : B F I = c�� �A;#B �[;sl�= c�� � � = : F �H=JI D 4 q�$ � 5 � F X � E �GF 4 � ; a = F D 4 rFK 4 D l&; �HN B9I �#D =��HD a K/= ����� � 0 ��� � � � � J � g c � � � F 5 F �H= I 6`5 g c�DQ@&c : B F I =Qc � �A;#B �;mlM= c�� �1@1; 4 � : F �H=JIrD 4 q%$ �j5 � F X � E�E ; a = F D 4 � � �� "!� }�� J 5 R E �

� %�' " S�� �>">��� � ' % "�LMX O � P q F @&ci;ml!= c�� : F �H=JD � n � 4 � � F =�� 5F � F 4 ��;>N k = F : �*l&; �U= c�� �7NVK kB F =JDQ; 4 ;ml E � a I5D 4 �>;���D 4 nM= c�� F KCn#N�� 4 = ����@1;>D 4(k =?; � D 4 n]l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI�;sl-q%$ ��5 � F X # E �M �1@ F BRBG= c F =V=Qc�D l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= I�N F : = c���D 4#: K/= : F D&� 5���� � ��� E =j;y=Qc � ;#K/= : K/=: F D&� 5�5 � � > E � } � 5 �E�E � g c�� �� 5 � � > E D K 4 D l&; �HNPBpI �>D =��HD a K/=����,D 4 ����� � � < � ��� \����� � � � E < � �1� � � c�K �� � F @&c : F �H= Ix; a = F D 4 = c�� � F 4 �C;#N k = F : ��=?; a � c �7B � a IYDR= �g c�� �� F = c�� ;>= c�� � : F �H=JI�; a = F D 4 �F @A;#NVNPDR=JN�� 4 = =?; =Qc�D � F B9K � � � c�� : F �H=JIcE;#B �>D 4 n = c�� � F 4 ��;>N k = F : � F B ; ; a = F D 4 =Qc � � F 4 �C;#NVDJY F =JDQ; 4 K ����D 4 = c�� @1; � k�� : ; 4 �>D 4 n�@1;>NPNPDR= N�� 4 = � g c�DQ@Hc,DR= g D BRB5K �~D 4 : � � l&; �HNPD 4 n DR= �<;CB � D 4 = c��: �<;#=j;�@1;#B �7NVK�B F =JDQ; 4[: c F � �� : �A@7D ��@ F BRB9I � g � F ���= F B���D 4 n F a ;>K/=�= g ;VD 4 �>;�@ F = DQ; 4 ;mlGq%$ ��5 � F X # E � � 4 = c��1� � =5 �� : � � �A@1; 4 � E D 4 ��;�@ F =JDQ; 4 � 5 F �H= I 6C5 �� : � � 5 F �H=JI C E6: B F I =Qc � �<;#B � ;ml[= c��� � = : F �H=JI�D 4 q%$ �25 � F X # E �PF 4 � ; a = F D 4 F K 4 D l&; �HNPBpI �>D =��HD a K/=�� � 5 � 2 ��� 2 E 0����� � � < � ���S\ ��� � � � � E < � �1�I5 �� : � ��5 � � ��� � E 0 ��� � � � < � �1�3\ ����� � � � E < � �1� E � g c�� �� F 5 F �H=JI Cp5 � � : � � 5 F �H= I 6 E g c�DQ@&c : B F I = c��r;#=Qc � � �<;#B �r; a = F D 4 �� 2 �� "!� }�� � 5 � 2 E5 �� : � ��� � �� "!� }�� J 5 �

� E�E �� � % � %E$7% ) � U N ) � ' % " LCX O � P�� c�� : F �H=JD � K � = c�� F K/= c�� 4 =JDQ@ F =�� � k @1;>N : K/= F =JDQ; 4 l1K 4 @ k

= DQ; 4 F BpDR= I ;ml5q�$ �c5 � F XXME D 4 ; �� � �V=j; �7NVK�B F = ��� F @&c = � : ;ml : �<;>=?;�@A;CB E � M �1@ F BRB=Qc F = � l&; � : ���� �7= � �HNPD 4 ���]l1K 4 @7= DQ; 4 � F 4 � - � = c�D l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JIMN F : =Qc �hD 4#: K/=: F D&� 5�� �� E =j;6=Qc �U;>K/= : K/= : F D&� 5iw � - 5�� E�E D l! � � 5�� E F 4 � =j; 5iw � 5 � 5�� E � - 5�� E�E�E;>= c�� � g D � � g c � ��V= c�� �1@1; 4 �i@ F ��D =�� � F = ��� F �F a ; �H= �� c � : F �H=JI = c F =6D K :�: ; ���Y=?; � 4 � F N�� � 7F n � : B F I =Qc � �<;#B � ;ml = c��3� � =5 �iF */FJ:���������������������E*: F �H=JI D 4 q%$ �q5 � F X/X>E F 4 � = c�� : F �H=JI�= c F =-D $ K :C: ; ��� =?; ��1@��7D�� �=Qc �[N�� � 7F n � : B F I =Qc �#�<;CB � ;ml = c�� �A@1; 4 � : F �H= I � � K :�: ; �[= c F =5= c�� @&K �-� � 4 =N�� � &F n �VD 4 E D =?; a � � 4 = a IP5 F �H= I�" �GF 4 � B �7= � �� "!� � D l#" � � F 4 � � �� "!� R;>= c�� � g D � � � c � 4 = c���l1K 4 @&=JDQ; 4 �K� - F 4 �5=Qc �hD 4#: K/= �� �� � l&; ��= c���l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI;ml!q%$ �j5 � F X/X>E �3F �� �7= F l&;#BRBO; g 7W

$ � c�� =��HD 4 n � D �&=�=j; � $7K F B 5�� 2 � � � � � 4 E � g c�� �� � 2 � 5�� ���&% E D = c��$7K � �HI F 4 � F 4 g � ��;ml�5 F �H= I�"~D 4 =Qc ��; � F @LB � @ F BRBe= c F =�DR=�D 4 DR=JD F =�� �D 4 = c��D 4#: K/= k @1;#NVNPDR= N�� 4 = : c F � �'� � � 5 � % ���!% E D =Qc � F 4 g � � =Qc F =S5 F �H=JI#" ; a k= F D 4 ���PD 4 = c��6; � F @LB �V@ F BRB�=Qc F =SDR=3D 4 DR= D F = ��� D 4 = c���@A;#D 4(k n � 4 � � F =JDQ; 4 : c F � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� ��� X

F 4 � � 4 D =Qc � � $7K � 4 @ ��;mlUN�� � 7F n � = c F =S5 F �H=JI#" ; a = F D 4 ��� ;�l F �!D 4 = c���7NVK�B F = DQ; 4 ;ml E � � c�� =��HD 4 n� � $&K F B 25� %f� � % � � 4 E � g c � � � % F 4 � � % F ��= c�� F 4 g � � = c F =h= c��r;#=Qc � � : F �H= I ; a = F D 4 ��� D 4 = c�� 7F N�� ; � F @LB �[@ F BRB D 4= c�� � � =�= g ; : c F � 95AF 4 � � 4 D 6F �F a ; � � E �� 4P: F �H=JDQ@&K�B F � �'� D = c��MD 4C: K/=S=?; g c�DQ@Hc 5 F �H=JI�" @A;#NVNPDR=J= ���VD 4 =Qc �MD 4#: K/= k@1;>NPNVDR=JN�� 4 = : c F � F 4 � � % D =Qc � � F 4 �C;#N k = F : � n � 4 � � F = ����l&; �VDR= D 4 = c��@1;>D 4ok n � 4 � � F =JDQ; 4 : c F � � � ;An �&= c�� � g DR= c � 4 � = c��7I � �&=�� �HNPD 4 ��= c���N�� 7F n �= c F =5D =j; a � � 4 = a I@5 F �H= I "yD 4 E � � c�� F K "�D B9D F �HI =��HD 4 n � % F 4 � �!%g D BRB a � K � ��=j; F K/=Qc � 4 = DQ@ F = � � F 4 � � % �rF �� � �A@7=�� ��D 4 = c��Vl&;#BRBO; g D 4 n� �@� 4 DR= DQ; 4 ;sl � �

$ � c���l1K 4 @&=JDQ; 4 �iD � �@� 4 � � K(@&c�= c F =�� 5�5 G 2 � > 2 E � 5 G � � > �SE � G 4 E �#$7K F B c5 } ��� 5 G 2 E � } � J 5�G �.E � G 4 E �� 4 � ����� � DR=�cE;CB � = c F = � 5�� 2 � � � � � 4 E � 5 } ��� 5�� E � }���� 5 � % E � � 4 E � �$ � c��5l1K 4 @7= DQ; 4 - �#$7K F B = c��[@1;#N : K/= F = DQ; 4 = c F =�� �7= � �HNVD 4 � = c��rN�� 7F n �=?; a � � 4 =�D 4 E ��� ;#= �6=Qc F =h=Qc�D N�� � 7F n �VD @1;#N : K/= F a B �VD 4r: ;#BpI 4 ;>NPD F B k=JDRN��Vl��<;>N = c�� : F �H= I�� D 4C: K/= 5 ��*K��=��*,� � ����|)+*������z3��/#��o= b � 2KE � DR= � F 4 �C;#N k = F : � 5 ��*,��=/��*,�4� % �/���p)B*,�����`3��/#��O= b � �.E �GF 4 �i= c��VN�� � 7F n � DR=c F � �A@��7D�� ��� ; l F � 5 �iF */FJ: � 4 E � � 4 � � ��� � DR=3cE;#B � =Qc F = - 5�� 2 � � � � � 4 E D = c��N�� � 7F n �V=Qc F = 5 F �H=JI�" c/;>K�B � � 4 �rD 4 E �

M �1@ F BRB-=Qc F =G=Qc � : F �H= Ii=Qc F = : B F I =Qc � ��1@ �7D�� � �VD 4 = c��r@7K �-�� 4 = ; � F @7B �[@ F BRB � ; a k= F D 4 �7DR=Qc � � - 5�� E ; � 5 � 5�� E � - 5�� E�E � � =G=�� � F = = c�� �1@1; 4 � @ F � F D l6= c�� ;>= c�� �: F �H= I c F �F a ; �H=���� � g c�DQ@Hc D �F B ; : ; � D a B � : � � � �

� % � � ' " � P � 4 @ F � F 4 I ;slP=Qc � l1K 4 @7= DQ; 4 F B9DR= D � D 4 �>;�� ��� D 4 F 4 I ;slV= c�� F a ; � � : c F � = � �HNVD 4 F =�� D 4 F 4 F a ; �H= = F =�� � = c�� : F �H=JI 5 ; � : F �H=JD � E ; a = F D 4 D 4 n6=Qc�D D 4 �>DQ@ F =JDQ; 4F a ; �H= = c��#�#"��1@&K/=JDQ; 4 � F 4 � �7= DR= ;#K/= : K/= =j;� ��� =Qc � � g D � � ;>K/= : K/= PF �� F l&;#BRBO; g �

N � LMN �@O�P 2 =�=Qc � � 4 �i;ml = c�� �&NPK�B F = DQ; 4[: c F � � � F @&c : F �H=JI cE;CB � =Qc �V@1; �-� � : ; 4 �#D 4 n;>K/= : K/=3;ml5=Qc � : F �H=JI�D 4 : �A;>=?;L@1;#B E � � c�� : F �H= I��HK =3BO;L@ F BRB9I[;>K/= : K/= =Qc�D � F B9K � �

( <�*,�#�<�$:����H���(�*�)+=��!H3��/#����J*K(c�#�*O!�=/��*,(���:�4!�*O����3 1 ��ai= 1 ��3 1 �f#�*,<������=/�_= b E ?B��(�����*K�/���ea���<���=���!���O= b E F 5 7 *'RO��<J<\(4!�=SR �4!�����*,(4(�*,�>������<�<J$o�4!�*9(4� & *2!�=<���(O��<�(�=����l�/*,��*K#��<GF E7 *n��=��*2��!B���L��!�*n��#4��B( b =># & �����J=>�H= b E ��= E ? ����`)B*n� & 3�<J* & *,�>��*K�l���l3+=<�$���= & ����<Ja��� & *F � �����<J<�$:6#�*K3�<��/�?�����H��!�*'=>#��/�?<�*'����<�<�(�)>$l��!�*9( 1 )B3�#�=/��=��?=/<�(O3B#�=S-M����*,�`��� " #�=>3B=a(��J���J=>� � F � F � �9$M��*�<���(��H(��4����B�#4�l3�#�=��=M��=< b =>#���!�* & ��<����?��= 1 ( & =���*�<iF

+ �/.-�/.-��U ���*�������M]#�r���G�M�*�s]C� � _ � ��+� (2RO��<J<c)+*o(�!�=SR��s)B*,<J=SR':��/�J-/*,�s�83�#�=��=M��=<j�(n�?=>��(���# 1 �?��*,�s���s�4!�*o3�#�=>= b = b �O!�*�=a#�* & � F X�F � ��:+�4!�*H�?= & 3���<�*,#23�#�=�� 1 �?*,(n�`3�#�=/��=��?=/<r�4!����n(�*,� 1 #�*,<J$ �?= & 3 1 ��*K(2��!�*o(4� & *b 1 ��������=/���<J���%$F �O! 1 (,: b =/#2��>$ b 1 ��������=/���<J���%$ - :q��!�*H�?= & 3��J<�*,#h��#4���( b =/# & (h�`(�3+*,���OT6�3�#�=��=M��=< b =/#�: �HD�� F = �LB9I �?= & 3 1 ������� - 5 ��� ��!�*@(�* & �Ja%!�=/��*K(�� & =���*�<�Eh���/��= �83B#�=/��=��?=/<b =/# �A@7K ��LB9I ��= & 3 1 ������� - 5 ���o��!�* & ��<������J= 1 ( & =���*�<�EkF �O!���( ( 1 %@��*,(c��=A*K(��4�)�<���(4!H= 1 #& ����� #�*,( 1 <J� 5 �iF */FJ: �O!�*�=/#�* & � F � F � Eg:j$*��_�J�H��=M*,(���=/�_(4�.$CR�!���A�4!�*`��= & 3���<J*K#A��=M*,(R�!�*K�~���-*K� �/�~�#4)�����#4�#�$v3�#�=��=���=< 5 �GF *F�:j=/��*`��=�A��=/��(���# 1 ����*,�~�/(9���~��!�*l3�#�=>= b = b

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

�O!�*,=/#�* & � F X�F � �>EkF�u��z=>#���*,#���=~��B��<�$�|,*`�4!�*s�������=/�z= b �4!�*s�?= & 3��J<�*,#,:f���;�*,��*,#4��<i:RL*@���>�4#�=�� 1 ��*@��!�* b =<�<J=SRO����� & =���*�<L��!B���9��(A�s!>$�)�#���� = b ��!�*l(�* & �Jad!�=/��*K(��A�/��� ��!�*& ��<������J= 1 ( & =M��*�<�(�F "�� 7 *o�,��<�<Q�4!���(9��*�R & =���*,<G:rR�!����g!s��(n= b ������*K3B*K����*K�/�n���>��*,#�*,(���:��!�* F KCnCN�� 4 =���� �&NPD k cE; 4 � =�& =���*,<GF

� ��� �* � � �,+ �/.-�(' . 5 ��!�*@� 1 � & *,�>��*,� (�* & �Ja%!�=/��*K(�� & =���*�<�E10 V �&= E a � F = g ; k : F �H=JI: �A;>=?;L@1;#B � 254 N � U �>" � ��� O � U6' S X % ">� Os� � X �� ' % � 5 R'F #�F � E E D FC5 b *,�/(���)�<�*.E =�� F =��JnCI= c F = 7F =JD � � = c���l&;#BRBz; g D 4 n @1; 4 �>DR=JDQ; 4 7W� �>��*,#���������!�*'*?N�*,� 1 ����=/� 0 � : � 4 �#D 4 n�; 4 DR= D 4 DR= D F B�D 4C: K/= � � � 4 ;>=���� � � =Qc � : F �H=JIMN F I

F a ; �H= a � l&; � �[= F ��D 4 n F 4 I =�� : D 4 = c�� � "��1@&K/=JDQ; 4 ;ml E � � =Qc � � g D � ��F n F D 4 � � k: � 4 �#D 4 n ; 4 � � DR= � 4 = � � =Qc � �#"��1@&K/=JDQ; 4 g DR= c F 4 I D 4C: K/= � ? 0 ��� � � � � �E� ;ml[DR= @Hc/;>DQ@�� � T �<;#N = c�D : ;>D 4 = ; 4 � � ? D ��"���� �

" #�=/3+*,#�(�*�<�*,������=/�`= b ��#4��B��= & ad���3+*C0 � c�� : F �H=JI �LB �1@&= =Qc � � F 4 ��;>N k = F : �U=j; a � K ���D 4 E K 4 D l&; �HNPB9I F N ; 4 n F BRB =��HD 4 n ;ml�= c��6B � 4 n#= c : �1@7D � ��� a I E � � c F =�D �� = c�� �LB �1@7= DQ; 4 ;mlM= c�� � F 4 �C;#N k = F : �VD � " F @7=jB9I F : �1@7D � ��� a I E �

" #�=/3+*,# & *,(4(4���*2��#4��B( & ��(�(��J=>�l=>#��)+=/#��70 � 4 � F @&c = � : ;ml E � � � : � 4 �#D 4 ni; 4 DR= �LD � g;mlP=Qc � �#"��A@7K/=JDQ; 4 ; l F � � =Qc � : F �H=JI N F I �&DR= c�� � F a ; �H=M; � � 4 � F N�� 7F n � F D 4 =��HK(@7=�� � a I E � 0 � =��� = c F =M= c��N�� � 7F n �D @1;#N : K/= ��� F E D 4 =��HK(@7= a F � �M; 4 D 4C: K/= � ? � = c�� � F 4 �C;#N k = F : � �7B �A@7=�� � F a ; � � �-F 4 � F BRB�N�� � 7F n � ��1@ �7D�� � � ;Ul F � �

" 1 �43 1 �7052 = = c�� � 4 � ;mlP=Qc � D 4 =�� � F @7= DQ; 4 � = c�� : F �H=JI : �<; �>K(@�� F 4 ;#K/= : K/=�� � : � 4 �#D 4 n; 4 DR= � 4 = D&� � ��D � g ;sl = c��UD 4 =�� � F @&=JDQ; 4 � 0 � =��� � = c F =-= c�� �LD � g @1; 4 D = ;ml = c��D 4 DR=JD F B*D 4#: K/= � � = c���� F 4 ��;>N k = F : � �LB �1@&=���� F a ; � � �5F 4 � F BRB]N�� � 7F n � ��1@ �7D�� � � ;Ul F � �

2 : F D&��;ml : �A; a F a D B9D = DQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k =JDRN�� =�� F =��jn#D � �� } � 5 } 2 � }�SE � D � U6' O O ' ) �R'F #�F � E ' " � X>� N � U �>" � ��� O � U�' S X % ">� O<� UU% ��� ) D li; 4 � =�� F =��JnCI DRN : B �7N�� 4 = E F 4 �= c��P;>= c�� � DRN : B �&N�� 4 = 6F 4 F KCn#N�� 4 = ��� �7NPD k cE; 4 � = a �Hc F ��DQ; � g � � � = E ��O!�*o� 1 � & *,�>��*K�v(�* & �Jad!�=>��*,(�� & =���*,<�*?N���*K����(n�4!�*H=/#4�����B�#�$s(�* & �Ja%!�=/��*K(�� & =���*�<������<�<�=SRO�����o�/��-*K#�(4�#��J*K(L��= & =���� b $`�4!�*���#�������������<�����3 1 �I����p��=l�)+=/#��O��!�*9*?N�*,� 1 ����=/�p���#4)�����#4�#�$l��� & *F �O!�*�� 1 � & *,�>��*K�s(�* & �ea%!�=/��*,(�� & =M��*�<j��(2�#�� 1 �)�<�$ & =/#�*_�/3�3+*,��<��������!B�� ��!�*`(�* & �Ja%!�=/��*K(�� & =���*,<G:j)B*K��� 1 (�*o��� & ��>$C(�*����������/('����3 1 ��a & =����zT+�,������=/� �/����)+=/#��������n���/�A��<�(�=h)+*�3+*,# b =/# & *,�_�����h!��J�>!Mai<�*�-/*�<i:SRO�J�4!�= 1 � & =���� b $M�����n�4!�*O3�#�*K(��,#���)+*,�3�#�=�>#�� & F�u��_�?=>�/�4#��/(��,:,� & 3�<�* & *,�>�������2��'*��6*K�?����-* & ��<������J= 1 (��/��-*K#�(4�#�$ & �.$n#�*KD 1 ��#�*(�= & *I����(��J�>!/�L���/��=A�4!�*h=>#���������<63�#�=��=��?=<6����l�%$�3����,��<�<J$o#�*,D 1 ��#�*K( ( 1 )�(������ 1 ����=/�@= b ��!�*3�#�=�>#�� & � (L�?=���*Fu��>� 1 ������-*,<J$/:f�4!�*s�?= & 3��J<�*,#���#4��B( b =># & (H��>$ 3�#�=��=M��=< E ���>��= �/� 5 =/#4���<J*�ad�����*K�+E3�#�=��=M��=< E ?I( 1 �g!z��!���o*?N�*,� 1 ����=/�B(_= b E ?O�����4!�* & �<J���?��= 1 ( & =���*,<I�?=>#�#�*,(43B=>���~��=*?N�*K� 1 ���J=>��(�= b E ���`��!�*9� 1 � & *K�>��*,�8(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =���*,<GF �O!B���O��(706� �� 9�;�<L<=; c ? < D B@< ���

� �� e A `�` E D `�` D e [ a [ a ^ <=] A [C` ] [ a < DCE >@? <'bH<=9�<=B [C` [ 9 [C` N aGA�a�DCE >G? < ] D�� ^ A ` <LB [ a ^�B D �MA ;�<=;�� < ` D e g�� <=< E _�B >@? <=BK; A�a ]=_ a@aGA�D 9 E D `�` D e A 9�b >@? < a@> [ > < � <=9 > DCE�� B D ^ DHaGA >@A�D 9 � � ���

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� ��� #

T +>�(_�� * � � ��+ �/.-�('�� 5 �*K��*,#4��<���B��<�$M(���(j= b �4!�*��%RL=�a%3��#��%$'�?= & 3��J<�*,#gE10 V �&= E ? a �U= c��5 =>#��/�?<�*?a%������*,�6E�: �<;#=j;�@1;#B : �<; �>K(@���� a IgO3; 4 =��HK(@&=JDQ; 4 ^ � R �;C V g c�� 4 nCD�� � 4 =Qc � : �<;>=?;L@1;CBE �iF 4 � B �7=�� � � 4 ;>=�� =Qc � �7=[;ml~=Qc �~=Qc �����; � F @7B �[l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= D � = c F = F �� K ���a I : �<;#=j;�@1;#B E ? � � c�� 4 � l&; � � � � �HI : F D&� ;ml : �A; a F a D B9D = DQ@ : ;#BpI 4 ;>NPD F B k = DRN�� =�� F = �jnCD � � 5 �2 � � E =Qc F = F �� F �>NPD D a B � 5 R'F #,F � E ? E l&; �=Qc � 5 #�*K��<�E N F B9DQ@7DQ;>K N ; � �LB 5 = b� *&T+��������=/� � F � F �/E=" " =Qc � � ��� "�D = VF : F D&�r;ml : �A; a F a D B9D = DQ@ : ;CB9I 4 ;#NVD F B k =JDRN�� =�� F = �jnCD � � � 5 �32 � � � E =Qc F = F �� F �>NPD � D a B � R'F #,F � E l&; ��= c�� F KCn#N�� 4 = ��� �&NPD k cE; 4 � = Nr; � �LB5 = b � *&T6���J���J=>� � F � F � � E K(@&ci= c F =

������ ���� � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� �

�/ ������ ��� � � ��� � 5Q� � RE � � � ��� �

g c�� �� � � R���� 0 ����� � ��� K(@Hc =Qc F = � � � � � R � F 4 � � � � � 3+=<�$ 5 � � � E �" #�=/3+=/(�������=/� � F � F � # RO�J<�<O)B* �3B3�<J��*,�z��= 3�#�=/��=��?=/<�(��(��?=>��(���# 1 �?��*,�~���z�4!�*p3�#�=M= b = b�O!�*,=/#�* & � F X�F � ��F � �?� 1 ��<�<�$:�RL*_RO��<J<c�/3�3�<�$ " #�=/3+=/(��J���J=>� � F � F � # ��= �O!�*�=>#�* & � F X�F � �5 R�!����g!p3�#�=S-M����*K( @ F 4 ; 4 DQ@ F B 3�#�=��=���=<�( b =>#O3�#���-S����*�<�$l�?= & 3 1 �������o��>$ b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$BEkF� (hRL*A(�!B��<�<Q(�*�* 5 ���Y�>*,������=/� � F � F � F �>Ek: b =/#��4!�*,(�* : �1@&D �h@ 3�#�=��=��?=<�(,:B��!�*�� 1 � & *,�>��*,�(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =���*�< 5 = b � *&T+���J���J=>� � F � F � � Ej���/�@)+*2* & 1 <�����*,�@)>$H��!�*h����*,�< & �<J���?��= 1 (& =���*�< 5 = b � *7T+��������=/� � F ��F � EkF �O! 1 (,:OR *C=/)��4�����}(�*K� 1 #�* 5 =/#4��?<�*?a%������*K�+EH3�#�=��=M��=<�(5 RO����!�=>#��/�?<�* ��= � E b =>#���>$ b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$/:)B*K��� 1 (�* 5 (��g!�* & ���������<J<�$A(43B*K�C^>�����ME b =/#j*,->a*,#�$ b 1 ��������=/���<J���%$ - ��!�*K#�*h*?N���(�� E �/��� E ?�( 1 �g!o�4!������� !�� �" � & ��<����?��= 1 ( 5Q� � R E�*KD 1 ��<�(���� �#� � 1 �ad(�* & �Jad!�=/��*K(�� 5Q� �:R Ek:MR�!����g!@���@� 1 #4�o*,D 1 �<�( ���� �� � & ��<������J= 1 ( 5 � �:R EgF 5 " #�a�������#�$;(�*,� 1 #�*s3�#�=/��=��?=/<�(l�#�* =/)��4������*,�})>$ 1 (������z(�*,� 1 #�* � & 3�<�* & *,�>�������=/��(l= b ��!�*=/#4���<J*K(���� � 5 R�!����g! �/#�*'3�#�=S-M����*,�p)>$ " #�=/3+=/(�������=/� � F � F � �/EgFmE��O! 1 (�: �O!�*�=>#�* & � F � F ���(@3�#�=S-*,��)>$z�?= & )����������~��!�*s3�#�=>3B*K#����J*K(o= b ��!�*s�?= & 3���<�*,#,:L�/(@(��4����*,����� " #�=>3B=>(��Ja����=/� � F � F � # :�RO�J�4! ��!�*@3�#�=/3+*,#�����*,(2= b (43B*K�?�zT+�o3�#�=��=���=<�(I��=p)+*@�?= & 3��J<�*,� )>$s����F 7 *(����#��O)>$@*,(����/)�<J��(4!������ " #�=>3B=>(�������=/� � F � F � # FT +>�e��� Z�[����,]��f^ �h��-*,�H�'3����#j= b (���#4����*��/�J*K(�: 5 2 � �KEk:>R�!����g!���(c�/� & ��(4(���)�<�*OR'F #�F � E ?b =/#���!�*�#�*K��< & ��<����?��= 1 ( & =���*,<G:6R *93B#�*K(�*K�/���l�?=/#4#�*,(43B=>���������o3�����#�: 5 � 2 � � �.Ek:6��!������(�� & ��(4(���)�<�*9R'F #,F � E b =/#���!�*A� 1 � & *K�/��*,� (�* & �Jad!�=>��*,(�� & =���*�<iF�u��p��!�*�� 1 #4#�*K�>��3�#�=M= b :��!�*h�4#�*K��� & *K�/� = b �4!�*I�%RL=_�,�(�*,( b =>#c�4!�*h����*K�/���J�%$H= b ��!�*n!�=/��*,(�� 3��/#��%$���(L(�$ &H& *��4#�����F�I*K���?*/:RL* 1 (�*��2�/*,��*K#���� (�$ & )+=< b =>#j��!�*�(4�����_����*K�>�����%$F 5 � <���*K#��B������-*,<J$/:RO����!�= 1 ��<�=/(4(= b �*K��*,#4��<����%$:M=/��* & �.$l�/(�( 1 & *n��!��� " �#��%$ � ��(�!�=>��*,(���F E7 *_��*K��=��*�)>$%$'&�( �4!�*_����*K�/���J�%$p= b ��!�*H!�=>��*,(��h3��/#��%$ �/���s)>$*),+.-@��!�*_����*,�>���J�%$= b ��!�* & ��<������J= 1 (H3��#��%$ 5 �iF */FJ: � $'&�( � ),+.- � � � � � � � EgF �O! 1 (�:!� $'&�( ��(H��*���*,# & ����*K�)>$ E :�����zR *p�4#��/��( b =># & 5 ��!�* & ��<������J= 1 (H���-/*,#4(��/#�$BE� ),+�- ���>��= 5 �/�;� 1 � & *,�>��*,�(�* & �ea%!�=>��*,(��h�/��-*K#�(4�#�$BE� ),+�- :�R�!����g! 1 (�*,(� ),+�- �/(h�`( 1 )B#�= 1 ������*F2u��s3��/#������ 1 <��#,:& ��g!�����* � ),+�- RO�J<�<M* & 1 <����*���<�<>�4!�*L=/#4��?<�*,(r��!B���j�#�* 1 (�*,�A��� E ? 5 R�!����g!A��(j�/�9=/#4���<J*�a������*K�83B#�=/��=��?=/<q��= & 3���<J*K�8= 1 �O= b ��!�*'=/#4�����B�#�$l3�#�=��=���=< E EgF " �8����3 1 � � 0 ��� � � � � :& ��g!�����*3� )�+�- )+*,!��.-/*,(��( b =/<J<�=SR�(,Fq 4 = � �HD 4 n=Qc � �#"��1@&K/=JDQ; 4o0 �v��g!�����*P� ),+�- ���>-=�^�*,(+ ),+�- =/� ����3 1 � � :f�/���z��*K�?����*,(R�!�*��4!�*,#`��=�*,�>��*K#l�4!�*~3�#�=��=���=<i:I���� � b (�= y RO����! R�!����8���B3 1 ��F �r=SR��#4��(6860/ <L] [C`�` >G? <$;�<21 9 A >@A�D 9 DCE B@< [C` i �$D ;�< ` [ ; � <=B a [ B A < a'E D B [ 9 D B [ ] ` < i [ A ;�<=;+^�B DC>@D ] D ` A

<c�3 <41�9 A i

>@A�D 9 � � �g <�� > <=9�; a(>G? <1;�<41�9 A >GA�D 9 DCE BG< [C` i �$D ;�< `f[ ; � <=B a [ B A < aKE D B D BG; A 9 [ B@N�^�B DC>GD ] D ` a A

<c�3 <41�9 A i

>@A�D 9 � � �g

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���/� � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

��!���(f*K����: & ��g!�����*�� ),+�- * & 1 <�����*,( ��!�*h����3 1 ��a%�?= &�& �����������H3�!��/(�*h= b E ?G: 1 (������ ),+�- 5 �/(�( 1 )B#�= 1 ������*.EgF1�s��g!�����*�� ),+�- =>)��������( b #�= & ),+�- ��!�*2=/#4���<J*ID 1 *K#�$��!�����J� & ��^�*K(O��=@�4!�*9����3 1 ��ad��= &H& �J��������� b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$ 5 ��������������*K�s)>$l���kEg:6�/���1 (�*K(Q��!���(cD 1 *,#�$'��='��*,��*K# & ����*O��!�*O#�*,3�<����*,�A����3 1 � � ? 5 ��=9)+* 1 (�*K�A������!�*O#�*,(��j= b��!�*_*?N�*,� 1 ����=/�+EgF�u%�h�<�(�=@3�#�=S-M����*K(� )�+�- RO�J�4! ��!�*_=/#4���<J*9�/��(�RL*,#4(O�4!����� ),+�-*?N�3B*K�?�4(���=o�*,��F � *�����J<�( b =/<J<�=SR'F) *,�,��<�<���!���o��!�*v��!�*s����3 1 ��a%�?= &H& �����������z3B!��(�*s�?=>��(���(���(o= b �%RL=~���>-/=M�,�����J=>��(= b ��!�*A����3 1 ��ad��= &H& �J��������� b 1 ���?���J=>����<��J�%$/:q=/��*�)/$ " �/#��%$ $!&�( ���� �4!�*�=��!�*,#I)>$" �#��%$ ),+�- Fou�� *,��g!C���/-/=��������J=>�s=>��*o3��#��%$v( 1 3�3�<��J*K(9��C����3 1 �9�/��� ��!�*o=/��!�*K#3��#��%$'�*,��(��n�?= &�& ��� & *,�>����=2��� 5 R�!��J<�*O��!�*GT6#�(��c3��#��%$'�*,��(j�4!�*��?=>#�#�*,(43B=>����������?= &H& ��� & *,�>���?=/���B(kEgF

$ u��n��!�*c���>-/=M�,�����J=>�I= b �4!�*c����3 1 ��ad��= &H& �J��������� b 1 ��������=/���<J���%$I���nR�!����g! " �#��%$ $'&�(�?= &H& ����(c��=n�J�4(�����3 1 �,: & ��g!�����*$� ),+.- �/*,��*K#����*,(��n� 1 &�& $_��= &H& �J� & *K�>�5 ( 1 3�3+=/(�*,��<J$9��=h�4!�*����B3 1 ��= b " �#��%$ $'&�( Er���� b *�*K��(Q�J�j��=Q ),+.- :�R�!����g!A*�NMa3+*,�?�4(���=o�*����o��= &H& �J� & *,�>� 5 �/(���B(�RL*,# b #�= & �4!�*9=>#��/�?<�*.EkFG�M3B*K�?�zT+���<J<�$:� )�+�- 1 ��� b =/# & <J$s(�*�<�*,����( � $!&�( 0 ����� � � � J :\���� �?= & 3 1 ��*K(2��!�*o�?= &H& ����a& *,�>� $!&�( �� "!� } � $'&�( 5 � � Eg:�R�!�*K#�* � � ��(9�� �#4)�����#4�#�$ 5 � 1 &�& $BEh-.�< 1 *5 R�!����g!'#�*,3�<����*,(��4!�* 1 �(^>��=SR��h����3 1 ��= b " �/#��%$ $!&�( EkF �v��g!�����*�� )�+�- b *,*,��( ),+�- RO����! $'&�( 5 �/(O� b $!&�( RL*,#�*h�4!�*'=/#4���<J*'��B(�RL*,#gEkF

$ u��n��!�*c���>-/=M�,�����J=>�I= b �4!�*c����3 1 ��ad��= &H& �J��������� b 1 ��������=/���<J���%$I���nR�!����g! " �#��%$ ),+�-�?= &H& ����(_��=v�J�4(9����3 1 �,: & �/�g!�����*0� )�+�- ��#��J*K('��=C=/)��4����� ��!�*8�?= &H& ������*K�-S��< 1 * 5 3�#�=S-M����*,� )>$ " �#��%$ ),+�- E_�/��� b *,*,��(� )�+�- RO����!���*,��= &H& �J� & *K�>���� b =/# & ������=/� 5 R�!����g!8���O*?N�3+*,�?�4(���=��/*��gEkFG��3B*K�?�zT+���<J<�$: � ),+�- =/)��4������(O��!�*D 1 *,#�$:j��*K��=��*,� � ?�:j��!B���+ ),+.- & ��^�*K('��=s�4!�*l����3 1 ��a%�?= &H& ����������� b 1 ���ga����=/�B��<��J�%$/:B���� b *,*,��(I�J��RO����!p� 1 ��� b =># & <�$`(�*�<�*,�?��*,� � ),+.- 0 ����� � ��� J F 7 *(���#�*,(4(_�4!������ ),+.- RO��<J< 1 (�*8��!���( � ?O�/(A����( & =����zTB*,�;����3 1 �H���z����( 5 � 1 �a& *,�>��*K�p(�* & �Ja%!�=/��*K(��gEf*?N�*,� 1 ����=/�8= b E Fu��8���(�* ),+.- !��/(L�/)B=>#���*,�o�4!���(�=/#4��?<�*I�,��<�<G: & ��g!�����*�� ),+�- �)+=/#���( 5 �iF */FJ:��=M*,(O��=�O*,�>��*,#���!�*'*?N�*,� 1 ����=/�`= b E EgF

u��`�,�(�*�� ),+.- �����p��=�O�/)B=>#��,:��J��*,�>��*,#4(O3�#�=/��=��?=/< E RO����!8����3 1 � � ?GF # =��*n��!�����!���(9*K�/����#�*`(���*K3 ��(_� & 3�<J* & *K�>��*,� ��� 3+=<�$���= & ����<Jai��� & */:j�/��� ��!�*`#�*,( 1 <J������� � ?��*,3+*,���B(O=/��<�$@=>� �~5 ��!�*9������������<�����3 1 �I= b � ),+�- EkF� �LB �1@7= DQ; 4 ;ml � F 4 �C;>N k = F : � 0�� ),+.- (�*�<�*,����(2�J�4(n#��/����= & ad���/3B* 1 ��� b =/# & <J$ ��� ����� � � < � �1�

5 �(�(�3+*,���OTB*K�n)/$ E Eg:.�/���n* & 1 <�����*K(q��!�*f*?N�*,� 1 ����=/�2= b �4!�*c�?=/���Mad�*K��*,#4�����J=>�h3B!��(�*= b E ? *,���������vRO�J�4!~��!���(9= 1 ����= & *:�(�=s�(A��=v3�<����*0 ),+�- ��� ��!�*`�3B3�#�=>3�#������*(��4����*`��=SR��#4��(9�4!�* 3�#�=��=���=<Jai* & 1 <������J=>�~3�!��(�*F �r= �/�g!���*�-*l��!�*p<�������*,#_�=>��<i:& �/�g!�����* � ),+�- ( 1 3�3�<���*,(� ),+.- RO�J�4!~��!�*l=/#4��?<�*o���(�RL*,#4('��!���9���9*?N�3+*,�?�4(9��=(�*,*F � �/����\:>RL*n����(�������� 1 ��(4!@)+*��%RL*�*K�@��!�*h�%RL=A=>#��/�?<�*I���<J<�( 5 ��=_��!�*'� 1 � & *,�>��*,��?=���Mad��=>(�(������ b 1 ��������=/���<J���%$BE & ���*9� 1 #������H��!�*9��=���Mad�*,��*,#4������=/�l3�!��(�*n= b E ? 0

$ u��9�4!�*L���>-=��,������=/�n= b ��!�*�� 1 � & *,�>��*K�9�?=/����ai��=/(4(������ b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$n���9R�!����g!" �#��%$ $'&�( =>)��������(n�4!�*@= 1 ����= & *o= b ��!�*`�?=���Mad��=>(�(,: & ��g!�����*�� ),+.- �*,��a*,#4����*,(C� � 1 &H& $ ��= &H& �J� & *K�>� 5 ( 1 3B3B=>(�*K��<J$���= ��!�*�#��/����= & ad���/3B*z= b

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� ���E�

" �#��%$ $'&�( E`�/��� b *�*K��(p���`��= )�+�- :hR�!����g! *�N�3B*K�?��(8��=;�/*��p�z�?= &H& ����a& *,�>� 5 �(_���(�R *K# b #�= & ��!�*@=>#��/�?<�*.EgF���3B*K�?�zT+���<J<�$:1� )�+�- 1 ��� b =/# & <�$ (�*�a<�*,�?�4( � $'&�( 0 ��� � � � � E < � �1� :��/���|�?= & 3 1 ��*K(@��!�*v�?= &�& ��� & *,�>� � $'&�( �� "!�} � $'&�( 5 � < � �1� Eg:�R�!�*,#�* � < � �1� ��(2��C�#4)�����#4�#�$ 5 � 1 &H& $BEI-.�< 1 * 5 R�!����g!C#�*�a3�<����*,(���!�* 1 ��^M��=SR��`#4��B��= & ad���3+*I= b " �/#��%$ $!&�( EkF��s�/�g!�����*Q� ),+�- b *,*,��( ),+�- RO����! � $'&�( 5 �(�� b � $'&�( RL*,#�*h�4!�*'=/#4���<J*n���(�RL*,#gEkF

$ u��9�4!�*L���>-=��,������=/�n= b ��!�*�� 1 � & *,�>��*K�9�?=/����ai��=/(4(������ b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$n���9R�!����g!" �#��%$ ),+�- =>)��������(A��!�*`= 1 �4�?= & *l= b ��!�*8�?=/���Mad��=>(�(,: & �/�g!�����*0� ),+�- T+#4(��(�*�<�*,�?�4( 1 ��� b =/# & <�$ � )�+�- 0 ��� � � �

< � �1� ���� � ),+.- 0 ��� � � � � E < � �1� :M�/��� b *,*,��( ),+�- RO�J�4!@�4!�*'3�����# 5 � ),+.- ��� ),+�- EgF��s��g!�����*Q� ),+�- RO�J<�< 1 (�* � ),+.- �/( ����(#4�����= & ai�4�3+*����@�J�4( 5 � 1 � & *K�>��*,�l(�* & �Ja%!�=/��*K(��gEj*�NM*K� 1 ���J=>�H= b E FQu b ),+�-�)+=/#���(��4!���(O=/#4���<J*n���<J<��4!�*,�P� )�+�- �/)B=>#��4(�F

u��8�,�(�*3� ),+�- �����8��=�I�/)B=>#��,:��J��RO��<�< 1 (�*�� ),+�- �/(��J�4(�#��/����= & ad���/3B*n���8�J�4(���!�*( 1 )B(�*KD 1 *,�>�O(���*,3�(�= b 3�#�=��=M��=< E F # =��*n��!���O��!���(O*,�>����#�*'(���*,3`��(�� & 3�<J* & *,�>��*K����`3B=/<J$���= & ����<Jad��� & */:�����l��!���X� ),+�- ��(�(�*�<�*,�?��*,� 1 ��� b =/# & <�$o��� ����� � � < � �1� ������*?a3B*K����*,�>�O= b ��>$M��!������H*,<�(�*F

� K a � $&K � 4 = =�� : �Q N�� � 7F n �V=�� F 4 NPD DQ; 4(0$�s��g!�����*3� ),+.- ��=SR *,�>��*K#�(L�4!�*9���� 1 �<*?N�*,� 1 ����=/� = b E Fvu%��3�#�=M��*�*K��(9��� �4!���(�#�*,��< *?N�*,� 1 ����=/�~�<J=>���sRO����!z* & 1 <�����������!�*��?=/#4#�*,(43B=>���������@=/#4���<J*_���(�R *K#�(I= b �4!�*�� 1 ��!�*,�>���������*,��ad��= & 3 1 �4������=/� b 1 ���ga����=/���<J���%$F|u��|� & *,(4(���*?ad��#4��B( & ��(�(��J=>�~(���*,3|)>$ " �/#��%$ $!&�( 5 ��� E Eg: & �/�g!�����*� ),+�- =/)���������( b #�= & " �/#��%$ $'&�( 5 ���s�4!�*_#�*,�<�*?N�*K� 1 ���J=>�p= b E EI� & *,(4(4���*/:+�/���* & 1 <����*,( ��!�*n�/��(�R *K#f�/�J-/*,�o��= " �/#��%$ )�+�- )>$o��!�*'� 1 ��!�*K�/�����,����*,�Ma%�?= & 3 1 �������=/�b 1 ���?���J=>����<����%$F�u��s� & *K(�(4���/*?ad��#4���( & ��(4(��J=>�`(���*K3s)>$ " �/#��%$ )�+�- ��� E : & �/�g!�����*� ),+�- ��= & 3 1 ��*,(2��!�* & *,(4(4���*_��=p)B*o(�*,�>�2��= " �#��%$ $'&�( 5 ��� E EI�(2����(��4# 1 �?��*K�)/$ E :B)B�(�*,�8=/�8��!�*9���B3 1 � � ?\��*,��*,# & ����*,� �)+=S-*/:���!�*9#4��B��= & ad���3+*�� ),+.- (�*�a<J*K�?��*K�s�)+=S-*/:6�/��� �4!�* & *K(�(4���/*,(�=>)��������*,�s(�= b �/# b #�= & " �#��%$ $'&�( 5 ��� E EgFnu%���!�*K�l�g!�*K�H^>( � b ),+�- & ��^�*K(f�4!�*'�?=/#4#�*,�?� =/#4���<J*ID 1 *K#�$/:M���lR�!����g!8���/(�*h�J��(�*,����(" �#��%$ $'&�( �4!�* & *,(4(���*fP 1 (�����= & 3 1 ��*,�p��B�l=/��!�*K#�RO��(�*2�����)+=/#���(,F � *��4����<�( b =/<ea<J=SR'F

$ u�� � & *K(�(4���/*?ad��#4���( & ��(4(���=/�C(���*,3 )>$ " �#��%$ $'&�( 5 ��� E Ek: & ��g!�����*0� ),+�-T+#4(��'=>)�������B( b #�= & " �#��%$ $'&�( 5 ��� ��!�*l#�*K��<�*�NM*K� 1 ���J=>� = b E En� & *,(4(���*/:��*K��=��*,��)����BF # *�N���: & ��g!�����*�� ),+.- =/)��4������( b #�= & ),+�- ��!�*hD 1 *,#�$���!��� ),+�- & ��^�*K(���=`��!�*H� 1 ��!�*K�/�����,����*,�Ma%�?= & 3 1 �������=/� b 1 ��������=/���<J���%$F � *,� 1 (��*K��=��*��4!���('D 1 *,#�$s)/$ � 5�� 2 � � � � � 4 EkF�u b 5�� 2 � � � E � 5 $'&�( � � $'&�( Eh�/���� 4 *,D 1 �<�(��4!�*I(�*,D 1 *K���?*O= b & *K(�(4���/*,(c(�*,�>�c(�= b �# 5 )>$�� ),+.- ��= " �/#��%$ $!&�( E��!�*,� � ),+�- b *,*,��(� ),+.- RO����!;��!�* #�*,�?*,�J-/*,� & *K(�(4���/* )����+F " �4!�*,#�RO��(�*/:� )�+�- b *,*,��( ),+.- RO����! 5�5 $!&�( � � $'&�( � � 4 E � )�����Eg:�R�!�*,#�* � 4 ��(o��!�*s(�*�aD 1 *,�B�?* = b & *,(4(���*K(�(�*,�>�@(�= b �# 5 )/$ � ),+�- ��= " �/#��%$ $'&�( EkF 5 �O!�* <�����a��*K#l�,�(�* & *K���(@��!���, ),+�- ��(@�g!�*K���������+:�) 1 � " �/#��%$ $!&�( ��=>*K(@��=/�l��*?a��*K�?�2��!���( b ���� 5 )B*K��� 1 (�*��J�2=/)���������(2��=p���(�R *K# b #�= & ��!�*�� 1 ��!�*K�>����������*,�Ma�?= & 3 1 �������=/� b 1 ��������=/���<J���%$BEkF E

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

$ u�� � & *K(�(4���/*?ad��#4���( & ��(4(���=/�C(���*,3 )>$ " �#��%$ ),+�- 5 ��� E Ek: & ��g!�����*0� ),+�-T+#4(��c��= & 3 1 ��*,(��4!�* & *,(4(4���*/:���*,��=��*K� )�� �+:�4!����c���f(4!�= 1 <���(�*K��� 5 �/����=/#4�Ma�����`��= E EO=>�s����3 1 � � ? 5 �/(n��*���*,# & ����*K�s�)+=S-*SEk:�#��/����= & ad���/3B* � ),+�- 5 �(#�*,�?=>#���*,�z�/)B=S-/*.Eg:L�/���z�4!�* & *,(4(���*K(�#�*,��*���-*K�z(�= b �/# 5 b #�= & " �#��%$ $'&�(���W*�NM*K� 1 ���J=>� = b E EgF # *�N���: & �/�g!�����* � ),+�- =>)��������( b #�= & )�+�- ��!�*D 1 *,#�$9�4!����1 ),+�- & �C^*,(Q��=n��!�*�� 1 �4!�*,�>���������*K�Mad��= & 3 1 �4�����J=>� b 1 ��������=/���<ea���%$F � *,� 1 (L��*,��=/��*I�4!���(OD 1 *,#�$H)>$ 5�5�� ? ? ��� ? ?�E � 5 �Z? ? ��� ? ?xE � � ? ?4 EkF�u b } � 5�� ? ?xE �} � ),+.- 5�� ?�Eg: } � 5 �-? ?�E � } � ),+�- 5 � ),+�- E2�/��� � ? ?4 *KD 1 ��<�(h�4!�*@(�*,D 1 *,�B�?*�= b& *,(4(���*K(�#�*K�?*,�J-/*,�p(�= b �# 5 b #�= & " �/#��%$ $'&�( E��4!�*,��� ),+�- (�*K����(h��!�* & *K(�a(4���* )�� � ��= " �/#��%$ $'&�( F " �4!�*,#�RO��(�*:�� ),+.- �/)B=>#��4( E F 5 �O!�*�<�������*K#2�,�(�*& *,�/��(9�4!����� ),+�- ��(_�g!�*K��������� ��� E ?G:��/��� " �#��%$ $'&�( ��*,��*K�?��(_��!���( b ������B�`�4#�*K���4(��J���/(�� b " �#��%$ ),+�- !��(O�/)B=>#���*,�`��� E ?iF E

� K/= : K/= 0 �s�/�g!�����*Q� ),+�- P 1 (���= 1 ��3 1 �4(OR�!����*�-/*,# & ��g!�����*3 ),+�- = 1 �43 1 �4(����-*,�`��!�**?N�*,� 1 ����=/�8!���(���=/#�$ 5 ��� E ?xE * & 1 <����*,�p�/)B=S-/*F( <�*,�#�<�$: & ��g!�����* � ),+�- 5 ��*K(��,#���)+*,���)+=S-*.E�� & 3�<�* & *K�/�4(����� 1 � & *,�>��*K�A(�* & �ea%!�=>��*,(��)+*,!��.-M��=/#LRO�J�4!p#�*K(�3+*,���O��= E F�u%�O��(O<�* b �O��=@(4!�=SR �4!����

������ �� � � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� �

�/ ���!�� ��#� � ��� � 5Q� � RE � � � ��� � 5 � F X � E

�O!�*K#�*O��(c=>��<J$�=/��*���� �q*,#�*,�B�?*I)+*��%RL*�*K�H��!�*��%RL='*,�B(�* & )�<�*,( #�* b *,#4#�*K�A��=9��� � D6F 5 � F X � EH0u��C��!�*VT+#4(��'����(��4#���) 1 ���J=>� 5 �GF *F�: ���� �� � � ��� � 5 � �:RE�Ek:��4!�*o�?= &�& ��� & *,�>�4(h=>)��������*,�v)>$

),+�- ������!�*�����3 1 ��a%�?= &H& ��� & *,�>�f�/���H�?=���Mad�*K��*,#4�����J=>�A3�!��/(�*K(c�#�*���='�4!�*���# 1 *O����3 1 ���B�h�4# 1 *f#��/����= & ad���/3B*j= b " �/#��%$ $!&�( F " �2��!�*f=��!�*,#\!��/����:.���h�4!�*f(�*,��=/���n����(��4#���) 1 ���J=>�5 �iF *F�: ���� �#� � ��� � 5 � �:R

E�Ek:c�4!�*`* & 1 <�����*,� & �/�g!�����*, ),+�- ��(_���-*K� �?= &�& ��� & *,�>�4(A��=� 1 &H& $�-S�< 1 *K( 5 ����@��!�*n�������=/��(f= b � )�+�- �#�*I��*���*,# & ����*K�@��,�?=>#��������/<J$BEkF 7 *h(���#�*,(4(��!B����:r=�4!�*,#'�4!��� �4!���(A��� �q*,#�*,�B�?*: � ),+�- 3B*K# b *K�?��<J$ * & 1 <����*K(3 ),+�- F �h=SR *,-*,#,:���!�*��� �6*K#�*K���?*'��( $ 1 ����*,��*,�����/)�<J* & 5 �iF */FJ:6�?= & 3 1 �������=/���<J<�$@��������(�������� 1 ��(�!��/)�<�*.EL� 1 *A��=o��!�*!����������@3�#�=/3+*,#��%$o= b ��!�*9��= &H& �J� & *K�>��(��g!�* & *F

( = & 3+=/(������A��!�*'=/#4��?<�*?a%������*K�o3�#�=/��=��?=/<�(L3�#�=�� 1 �?*K�`)>$o�4!�*9�?= & 3��J<�*,#LRO����!8(�*K� 1 #�*� & 3�<J* & *K�>�������J=>��(L= b ��!�*K(�*n=/#4���<J*K( 5 �(�3�#�=S-M����*K�@)>$ " #�=/3+=/(�������=/� � F � F � �/Ek:M��B� 1 (��������!�* ( = & 3B=>(�������=/� �O!�*,=/#�* & �/��� " #�=>3B=>(�������=/� � F � F � # :>RL*n=/)��4����� 0

wV� +>���Q� � +�� + �/.-�('ou 5 ��= & 3���<������=/��= b �%RL=�a%3��#��%$ 3�#�=��=���=<�(kEH0 2 K/NPD 4 n�= c�� � "�D k=�� 4 @ � ;ml 5 4 ; 4(k K 4 D l&; �HN B9I =��<; 4 n E ; 4 � k g F Il1K 4 @7= DQ; 4 ��F 4 Iy= g ; k : F �H= I : �<;#=j;�@1;#B E@ F 4 a � � � @&D � 4 =jB9I=�� F 4 l&; �HN����[D 4 =j; F = g ; k : F �H= I : �<;>=?;�@A;CB E ? K(@&c =Qc F =G=Qc �hl&;#BRBO; g kD 4 n cE;CB � &� T-; ��� � � �HI : F D&�U;sl : �<; a F a D BpD =JDQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k =JDRN�� =�� F =��jn#D � � 5 2 � ��SE= c F = F �� F �>NPD D a B � 5 R'F #,F � E ?xE l&; ��= c�� 5 #�*,�<xE N F B9DQ@7DQ;>K Nr;*� �7B 5 = b � *7T+��������=/� � F ��F # E= c�� ���� "�D = PF : F D&�r;sl : �<; a F a D B9D =JDQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k =JDRN�� =�� F =��JnCD � � � 5 � 2 � ���.E = c F =F � � F �#NVD � D a B � R'F #�F � E l&; �h= c�� F KCn#N�� 4 = ��� �&NPD k cE; 4 � = N ; � �LB 5 = b � *&T6���J���J=>� � F � F � � E K(@Hc =Qc F =

������ ���� � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� �

�/ ������ �� � � ��� � 5Q� � RE � � � ��� �

g c�� �� � � R���� 0 ����� � ��� K(@Hc =Qc F = � � � � � R � F 4 � � � � � 3+=<�$ 5 � � � E �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� ��� �

+ �/.-�/.-�(' w ��� � �* ] � �h_a+>�o�L�\]��o�B* ����� ���-� � ,�� � � � �L� � *L� �y�� �*� � � *7� � � � ���) *K����<�<���!B���O�H3�#�=/��=��?=/< b =>#O3�#��J-S����*�<�$@�?= & 3 1 �������o(�= & * b 1 ���?���J=>����<��J�%$l��(�� 1 �#4��>��*,*,���=�)B* �1@&K �� g DR= c �� : �1@&= =?; �7NVD k c/; 4 � = a �Hc F ��DQ; � F �O! 1 (,:h� �� F B �&NPD k cE; 4 � =�#" �1@7K/= DQ; 4p= b �4!���(�3�#�=��=��?=<6���/�l)+*h* & 1 <�����*,�l)>$o�� D � � F B �7NVD k c/; 4 � =h@1;#N : K/= F = DQ; 4= b ��!�* b 1 ��������=/���<J���%$F �O!�*nD 1 *,(�����=/�o��( R�!�����!��3B3B*K��(L��=_( 1 �g!`�A3�#�=��=M��=<+R�!�*,�l�J�L��(# 1 � 1 �B��*,#2��!�* F KCn#N�� 4 = ��� ad(�* & �Jad!�=>��*,(�� & =���*,<GF 7 *o��=SR{(4!�=SR ��!��� b =/#2�����=/�������<3�#�=��=M��=<�( 5 */F �+FJ:���!�*v3�#�=��=���=<�(o�?=/�B(��4# 1 ����*K�|������!�*v3�#�=>= b = b �O!�*�=>#�* & � F X�F � �>Ek:L��� F B F KCnCN�� 4 = ��� k �7NVD k c/; 4 � =��#" �1@7K/= DQ; 4 ;sl K(@&c F : �<;>=?;�@A;CB*@ F 4 a ���7NVK�B F =�� � a I F 4D � � F B]N F B9DQ@&DQ;#K @A;#N : K/= F = DQ; 4 ;mlP= c��!l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI F �O!���h��(,:���!�*K(�*o3�#�=��=M��=<�(I!��.-/*��!�*9(��<J��*,�>�O3�#�=/3+*,#��%$o= b �<J<�=SRO�����_��=H* & 1 <����*n��!�* 5 RO����*,#gEL�?<��(4( = b #�*,�<�� 1 � & *K�>��*,��a(�* & �ea%!�=>��*,(��@*?N�*K� 1 ���J=>��(l)>$|��!�* 5 RO����*,#gEo��<��/(�(@= b ����*,�< & ��<����?��= 1 (`�?= & 3 1 �������J=>��(,F( = & )�����*,��RO����! ( =/#�=<�<��#�$ � F � F � � :S�4!���( b ���� & *,��B(���!���c� b =>��*��3�3�<J��*,(��4!�*I��= & 3���<J*K#��=H�������=/�������<63�#�=��=��?=< E ��!���O3�#���-S����*�<�$@�?= & 3 1 ��*,( - �4!�*,�`��!�*n#�*,( 1 <��������_3B#�=/��=��?=/<E ?q(�*,� 1 #�*,<J$o��= & 3 1 ��*,( - 5 )+*,�,� 1 (�* & ��<����?��= 1 ( *?N�*,� 1 ����=/�B(f= b E ?q���/�l)+*h* & 1 <�����*,�@)>$� 1 � & *,�>��*K�Ma%(�* & �Ja%!�=/��*K(��O*�N�*,� 1 ����=/��(I= b E :qR�!����g!p���s� 1 #4� ���/� )B*_* & 1 <����*,�v)/$8��!�*����*,�< & �<J���?��= 1 ( & =���*,< b =/# - EgF) *K����<�<���!B���O��!�*A� 1 � & *,�>��*K�`(�* & �Jad!�=>��*,(�� & =M��*�<��<J<�=SR�(��%R =H�4!������/(O�4!����O�/=H)+*?a$=>���H��!�*h(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =���*�<J0 5�� E�=/)�<���->��= 1 (f( 1 )�(������ 1 ���J=>�o= b ����3 1 �4(�:��/��� 5 �>E��/)B=>#��,F

�O!�*rT6#�(��A�%$�3+*@= b )+*,!��.-M��=/#9!B�(A�v�?=/#4#�*,(43B=>����*,�B�?*H��� ��!�* & �<J���?��= 1 (9����*,�<ea & =M��*�<i:��B�_(�='3B=>(�*K(���='3�#�=>)�<�* & F �r='�����= 1 �>� b =/#Q�4!�*�(�*K�?=>���A�%$�3+*�= b )B*K!��.-M�J=>#�:SRL*O��*�*K�A��=& ���4�g!9��9�/)B=>#���������*?N�*,� 1 ����=/�9���'�4!�* � 1 � & *K�/��*,�9(�* & �Jad!�=/��*K(�� & =���*,<>RO����!A��9�/)B=>#���a�����o*?N�*,� 1 ����=/�`���`�4!�*9����*,�< & ��<������J= 1 ( & =M��*�<iF��I*K#�*'��(OR�!�*K#�*n��!�*'*?N���#4�H3�#�=>3B*K#��%$l= b��!�*�(43+*,�?�zT+��3�#�=��=M��=<�(�:���=/��(���# 1 ����*,�A���_��!�*�3B#�=M= b = b �O!�*�=/#�* & � F XBF � ��:S�?= & *,(Q��='!�*,<�3�F�M3+*,���OT+�,��<�<J$/:MR *I#�* b *K#c��=A��!�* b ����f�4!����L��!�*K(�*23�#�=��=���=<�(c�#�* @ F 4 ; 4 DQ@ F B :�R�!����g! & *,��B(��!B���2��!�*�= 1 �43 1 �2= b *K��g!s3B�#��%$`��(n��*���*,# & ����*K�s=/��<J$ � b ��*,#2���2#�*,��*���-*,(I��!�*�-*K#�$8<��(��& *,(4(���* 5 �/���C��= ^M��=SRO<�*,���*�= b �4!�*o= 1 ��3 1 �'��(n=/)���������*K�C)+* b =>#�*SEkF��O! 1 (�:r�)+=/#��������)+* b =/#�*@�4!���(�(������/*@��(9*,(4(�*,�>������<�<J$ *,D 1 ��-S��<�*,�>�9��=C��=/�A*,�>��*,#������ �4!�*l*�N�*,� 1 ����=/� ��A��<�<G:R�!�*K#�*K�(��)+=/#��������9��c��!�*I<��/(��c(�����*O��(c��,�?= 1 �/��*,� b =/#f)/$���!�* & ��<������J= 1 (�����*,�<ea & =M��*�<iF

T +>�(_�� * � � ��+ �/.-�(' + 5 =/�|���/��=/�����,��<�3�#�=��=M��=<�(kEH0 V �7= E a � F @ F 4 ; 4 DQ@ F B : �<;>=?;L@1;CB= c F = : �HD�� F = �LB9I @A;#N : K/= � = c���l1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JI - � � c�� 4 � l&; � �&� � �HI : �<; a F a D B9D =JDQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k=JDRN�� : F D&� � � 5 �32 � � � E = c F =GD VF �>NPD � D a B �!l&; ��= c�� 5 #�*K��<�E F KCn#N�� 4 = ��� �&NPD k cE; 4 � =Nr;*� �7B 5 = b � *&T6���J���J=>� � F � F � � E = c�� �� � "�D = xF : �<; a F a D B9D = DQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k =JDRN�� : F D&�} � 5 } 2 � } � E =Qc F =-D F �>NPD D a B �-l&; � = c�� D � � F B/N F B9DQ@7DQ;>K Nr;*� �7B 5 = b � *&T6���J���J=>� � F ��F � E K(@Hc =Qc F =

���!�� �#� � ��� � 5Q� � RE � � � ��� �

�/ � �� ��� " � � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� �

g c�� �� � � R���� 0 ����� � ��� K(@Hc =Qc F = � � � � � R � F 4 � � � � � 3+=<�$ 5 � � � E �7 *`�?= &H& *K�>�A��!B������!�*8(��4����* & *,�>�A= b " #�=/3+=/(��J���J=>� � F � F � � � & 3�<J���?����<�$~���>�4#�=�� 1 ��*,(_���=/����=/�}= b �A@7K �HDR=JIxD 4 =Qc � F KCnCN�� 4 =���� �7NPD k cE; 4 � =rNr;*� �7B F u�����*,*,��:h� b �4!�* #�*K��<Ja& =���*�<c�/��-*K#�(4�#�$p��('�<J<�=SR *K�s� 1 � & *,�>��*K�C(�* & �Jad!�=/��*K(��n)B*K!��.-M�J=>#2��!�*K�v���'��('�B��� 1 #��<��=���<�<J=SR �_�?=>#�#�*,(43B=>���������9)+*,!��.-M��=/#c���@�4!�*2����*K��< & =M��*�<i:>R�!����g!l��!�*K�l�?=/���B�?����*,( RO�J�4!��!�*8����*K��< & ��<������J= 1 ( & =M��*�<iF��I��*�RL*,�;���z�4!�*,(�*p��*,# & (�: " #�=/3+=/(��J���J=>� � F � F � � �(4(�*K#��4(��!B��� @ F 4 ; 4 DQ@ F B : �A;>=?;L@1;#B 6F �� �A@7K ��6D 4 = c�� F KCnCN�� 4 =���� �&NPD k cE; 4 � =hNr;*� �7B F

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

T +>�e���'Z\[o���K]�� ^ ) *K����<�<Q��!���2�,���=>�����,��<Q3�#�=/��=��?=/<�( 5 � b F � *&T6���J���J=>� � F XBF � X>E�3�#�=��?*,*,����~�%R =s(�����*K(�:QR�!�*,#�*@�4!�*rT+#4(��_(��4���*l$>��*�<���(_��=s��� b =/# & ������=/� ��A��<�< 5 ��=C�/�>$C(�* & �ea!�=>��*,(��I3��/#��%$BE��/��� ��!�*_(�*,�?=>��� 3�!��/(�*_�?=/�B(���(��4(�= b �4!�*A*�N��g!�����/*'= b �@(������<�*A3����#I= b& *,(4(���*K( 5 �iF *F�:S*,��g!A3��#��%$'(�*K����(Q�I(������/<J* & *,(4(���*.EgF 7 * 1 (�*L��!�* b �������!B���j�����=/�������<3�#�=��=M��=<�(f�/� & �J�L� = g ; k = F n � (�� & 1 <�������=/�o3B#�=��?*K� 1 #�* 5 b =>#f�4!�*I-M��*�R}= b �A(�* & �ea%!�=>��*,(��3��/#��%$BEkF�� 1 �g! � 8 % STOs� � � (�� & 1 <�����=>#�(��/�?�O�( b =/<J<�=SR�(70� 4C: K/=�=j; DRNPK�B F =j; � 0 � 3����# 5�� � G Ek:�R�!�*,#�* � ��(L�4!�*h������������<�����3 1 �L= b ��!�*'(�* & �ea%!�=>��*,(��3��#��%$@���� G �4!�*'�?=>#�#�*,(43B=>����������<J=����<�= 1 �43 1 �,F� DRNPK�B F = DQ; 4 � = F n � 6 0��O�(�*,� 5 =>��<J$BEr=>� � :��4!�*I(�� & 1 <����=>#r�/*,��*K#����*K(��h�4#��/��(4��#���3�����=/#�a#�*K(�3+=/���������p��=8�4!�*o-M�J*,R = b �4!�*@(�* & �ea%!�=>��*,(��'3��#��%$s���C�4!�* T+#4(��9(�����*H= b ��!�*�����=/�������<q3B#�=/��=��?=/< E F

) *,�,��<�<h�4!����8��!���(8��(8�;��# 1 �������*K�}*?N�*,� 1 ����=/�W= b E :hR�!�*K#�*C��!�* *?N�*K� 1 ���J=>�}��(��# 1 �������*K�'P 1 (���)B* b =/#�*n��!�*n-*K#�$o<��(�� & *K(�(4���/*h��(O#�*,�?*,�J-/*,�`)/$o�4!�*9(�* & �ea%!�=>��*,(��3��#��%$F 7 *2(��4#�*K(�(f��!���c��!���( ��# 1 �������*K�o-M�J*,R':/��*K��=��*,���9:/��(L3�#�=�� 1 �?*K�HRO�J�4!�= 1 �1 (������ G F

� DRNPK�B F = DQ; 4 � = F n � C 0��O�(�*,�|=>��� ���� G :��4!�*C(�� & 1 <�����=>#l3�#�=�� 1 ��*,(l�z(��4#������z��=/#�a#�*K(�3+=/���������C��= ��!�*8<��(�� & *K(�(4���/*8#�*,��*���-*K� )>$ ��!�* (�* & �Jad!�=>��*,(��H3��#��%$F �O!�*(�� & 1 <�����=/#L��!�*,�8= 1 �43 1 �4(O��!�*9��=/���,����*,�������=/�@= b � ��B�l�4!���( 5 <��(��kE & *,(4(���*/F

�O!�*l#�*,�/��*,# & �.$ *,�/(���<�$C-/*,#�� b $C��!���_��>$ ���/��=/�������<f3�#�=��=M��=<f!B�(9�%RL=�a%(������/*@(�� & 1 a<�����=>#�(,F � =M=/(�*�<�$C(43B*K�C^>�����B:r�v(�� & 1 <�����=/#'�/(9#�*KD 1 ��#�*,� ���x�>����* � ��(9� & 3�<J���?���A��� ��!�*��*7T+��������=/�s= b �`�����=/�������<Q3�#�=��=��?=< 5 � b F � *&T+��������=/� � F X�F � XMEk:q����v��!�*o(�� & 1 <�������=/�s= b�>�4���* �_��(���#��J-M����< 5 )+*,�,� 1 (�*��>����* � ���8�H���/��=/�������<\3�#�=��=���=<q*,���B(�RO�J�4!`�4!�*93��/#����J*K(!�=/<���������(�!��/#�*K(c= b ��!�*2��*,(���#�*K�o= 1 �43 1 �4(L�/���i�>�4���/*��9��=/��(���(��4(f= b *,��g!l3��#��%$�(�*,�B���������!�*9(�!��/#�*n#�*,D 1 ��#�*K�`)>$@�4!�*'=�4!�*,#O3��/#��%$BEgF# *�N���: b =/#r��>$'3�#�=��=���=</!B�.->�������%RL=�a%(������/*c(�� & 1 <����=/#4(,:,�/�J-/*,�'�I3B����# 5 � 2 � ���KE\��!�����( �/� & ��(4(���)�<�*�R'F #�F � E b =/# ��!�*2� 1 � & *K�>��*,�o(�* & �Jad!�=/��*K(�� & =���*,<G:>RL*h�?=>��(���# 1 �?�f�_3�����#,:

5 } 2 � }�KEg:��4!����'��('�� & ��(�(���)�<J* b =>#n��!�*o����*,�< & ��<������J= 1 ( & =M��*�<iF 7 *o����(�������� 1 ��(�! �%RL=���/(�*K(�:M�?=>#�#�*,(43+=/���������9��=A�4!�*h����*K�/���J�%$o= b ��!�*2!�=>��*,(�� 3B�#��%$F �O!�*h��� �q*,#�*,����*2)+*��%RL*�*K���!�*,(�*A���/(�*K(O� & = 1 �>�4(O��=@�4!�*A3+=/(4(���)���<J���%$l= b 5 & *,�/������� b 1 <�<J$BE��/)B=>#����������4!�*9*�NM*K� 1 ���J=>�� b ��*,# #�*K�?*���-M�����'��!�*h<��/(�� & *K(�(4���/* 5 ��B�2P 1 (��L)B* b =/#�*I(�*,���������9�4!�*�<��(�� & *,(4(���*SEkF��O!���(3+=/(4(���)���<J���%$C*�N���(���( b =/#A�v����(4!�=>��*,(�� " �#��%$ � ) 1 �_��=� b =>#A�s����(4!�=/��*K(�� " �#��%$ � 5 (�*,*� �J� 1 #�* � F �>EkF7 *�(����/#��2RO�J�4!v�4!�*H���(�*AR�!�*,#�* " �/#��%$ � ��(n!�=/��*,(�� 5 ���� " �#��%$ �l��(2����(4!�=/��*,(��kEkFu��8��!���(I�,�(�*6} 2 ��(���*,��*K# & ����*,� 5 )/$ E Eg:+��B�`RL*'��*�*K�8��=o��#4��B( b =># & �4!�*A� 1 � & *,�>��*,�(�* & �ea%!�=>��*,(��h#�*,�<Q�/��-*K#�(4�#�$,� � ���>��=8� & ��<������J= 1 (h����*K��<Ja & =���*,<Q�/��-*K#�(4�#�$ } � F �O!�*<�������*,#2=/3+*,#4����*,(2�( b =<�<�=SR�(�: 1 (������`�4!�*_�%RL=�a%(������/*A(�� & 1 <����=>#�:���*K��=��*,��� � :\3�#�=S-M����*,�b =/#j�4!�*�-M�J*,Rz= b " �#��%$ �I���H(�* & �ea%!�=/��*,(��r*�NM*K� 1 ���J=>��(j= b E 5 R�!����g!H3�#���-S����*�<�$9�?= & 3 1 ��*,(

- EkF ) *,���<J<��4!����U} � �/*���(�����3 1 � R 0 ��� � � � � F� F��s��g!�����*V} � T+#4(��n��*���*,# & ����*K(I�4!�*�����3 1 � R ?r��=8)B*H(�*K�>�I��=8��!�*A��# 1 (���*K�v3��/#��%$/:R�!�*,#�* R ?���(2��*���*,# & ����*K�s��,�?=/#4�������o��=`��!�*H)+*,!��.-M��=/#O= b � � � 1 #������@��!�*�*,�>����#�** & 1 <������=/��= b ��!�* 5 ���/��=/�����,��<�E�3�#�=/��=��?=/< E F�u��}��B���J���J=>��:!}�s* & 1 <�����*K(o��!�*& *K(�(4���/*,(_(�*K�/������;#�*K�?*,�J-/*,�~)>$&� �8� 1 #������v�4!�*T6#�(���3B!��(�*l= b E : �/��� �<�(�=

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� � � �

Party 1 Party 2

Stage 2

(r1,r2) (s1,s2)

r1 + s1 r2+ s2

meaningfulabort

r2

s1

Stage 1

� �J� 1 #�* � F ��0��M�g!�* & ������2��*,3����?���J=>�`= b �H���/��=/�����,��<\3�#�=��=M��=<iF

��*���*,# & ����*K(���!�*_<��(�� & *,(4(4���*'= b � � 5 �iF *F�:6����(n(������<�*P�>����*��.a & *K(�(4���/*.EgF �O!���(��(O��=>��*'�( b =/<J<�=SR�(70

5 �>E � ��#4(���:�}�I�?= & 3 1 ��*K(f�4!�*h( 1 )�(������ 1 ��*,�l���B3 1 �fRO����!@R�!����g! 5 ��!�*2� 1 � & *,�>��*,�(�* & �ea%!�=>��*,(��f���-*,#4(4�#�$�E � � *K�>��*,#4( E F �O!���� ��(,: R ? � � � 5 R EkFju��@�,�(�*�� ��)+=/#���(,: & �/�g!�����*�} � (�*,��( R ? � 5 (�=_��=_��=/� b =># & RO����!l��!�* 5 (�� & 3�<�� b $M�����ME�?=>�>-*,�>���J=>�l�4!����O�4!�*'����*,��<Ja & =���*,<����-*,#4(4�#�$H�<JR��.$�(�(�*K����(O����3 1 �I��=o��!�*��# 1 (���*K�83B�#��%$�EgF5 )+E # *�N���:C}�L���>-=�^�*K(���!�* � � = = F n � = b �4!�*L(�� & 1 <�����=/# ����:S��=h=/)��4�����'��!�* -M��*�R= b �4!�*I*�N�*,� 1 ����=/�o= b ��!�*UT+#�(��f(�����*�= b E �( (�*,*,�@)>$H�A(�* & �Jad!�=>��*,(��f3��/#��%$!��.-M�����_����3 1 � R ? F � *K��=��*h�4!���(�->��*�R�)>$��9:�����`��=��*2�4!���� � ������< 1 ��*,( R ? F

�s�/�g!�����*M}�h*?N���#4�����( b #�= & � ��!�*n#4�����= & ai�4�3+*:M��*,��=/��*K���M:�= b " �/#��%$���F�O!���(�#4�����= & ai�4�3+*hRO��<J<r)B*MT�N�*K� b =>#���!�* 1 (�*n= b ����F

5 �KE � (������ �9: & ��g!�����*r} ��* & 1 <�����*,(2��!�*o*�N�*,� 1 ����=/�s= b ����=/�s����3 1 � R ? �/���#4�����= & ai�4�3+*P�M: 1 3v��=8�4!�*o3B=/���>�'R�!�*K#�* " �#��%$ �`��(2��= #�*,��*���-*���!�*H<��(��& *,(4(���* 5 ��� E EkF 7 *l(��4#�*K(�(9��!���9��!���(A3+=���>�9��(OP 1 (��_� b ��*,# " �#��%$ � !��/((�*,�>�H�J�4(H<��/(�� & *,(4(���*F �O! 1 (�:c�4!�*p<��/(�� & *,(4(4���*`= b " �#��%$ � 5 ��� E EA��(��*,��*,# & ����*,�����8��!���(p(���*,3�F �r=|3B*K# b =># & �4!�*C* & 1 <������J=>��: } � b *�*K��( � �RO����! ���B3 1 � R ?����� #��/����= & ad���/3B*P�M:r��B�v����*K#������-*�<�$ b *�*K��(3� � RO����! ��!�*(�*,D 1 *,�B�?*o= b 5 ������= & �����ME & *,(4(4���*K('�('�/3�3B*K�#������ ��� ��!�*l�?=>#�#�*,(43B=>���������<�=M�,�����J=>��('��� �AF 7 *@(��4#�*K(�('�4!����9�<J�4!�= 1 �/! � ��('=>��<�$v��!�*@��#4���(4��#���3��n= b

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

�>�4���* � ��� E :M�J�f��*���*K# & ����*,( ��<�< & *,(4(4���*K(�= b " �/#��%$ �'��� E 5 �����?< 1 �������A����((������/<J*��>�4���/* � & *,(4(4���*SEkF# =/��*2��!��� �4!�*n� 1 � & *K�>��*,��ad(�* & �Jad!�=>��*,(��f(���#4����*��$ ��� & �.$o�)+=/#��f���@( 1 �g!��9*?N�*,� 1 ����=/��:S) 1 �����9���/(�*c���r��=>*K(r��=���/)B=>#��r��!�* & *K(�(4���/*,(����r(�*,�B��( TB�Q��!�*��#4��B(��,#���3�� �9F ( =/�B(�*KD 1 *,�>��<�$:��4!�*'-M�J*,R = b 5 ��!�*9� 1 � & *K�/��*,�p(�* & �ea%!�=>��*,(�����-*,#4(4�#�$�E�� � ���W�/�|*?N�*,� 1 ����=/� = b ��!�* T+#4(��`(������/*s= b E ��(`* & 1 <�����*K�)>$~�v3�#�*&T�N~= b � 5 R�!����g!~��� � 1 #��z#�*K3�#�*K(�*K�>��(9�4!�*p(�� & 1 <�����*,�~-M��*�R = b �(�* & �ea%!�=>��*,(��O3��#��%$@=/�`����3 1 � R ?xEkFu��~���/(�*�� � !��/('�)+=/#���*,� �4!�*@*?N�*K� 1 ���J=>� 5 *�-/*,�`P 1 (��A)B* b =/#�*@(�*K��������� ��!�*<��(�� & *K(�(4���/*:�R�!����g!`)+*�<�=/���/(���=i�M�����/* �/Ek: & �/�g!�����* } � � � �7= R ?q��= F

7 *I(���#�*,(4(��4!���� R ?B��(c��*���*K# & ����*,�o)B�(�*,�H=/��<J$_=/� R :>�/���H��!����}����*,-*,#f�)+=/#���(,F��F��s��g!�����*�}� ���>-/=�^�*K(���!�* =��HK =���� : F �H= I RO�J�4!'����3 1 � R ?�:S��B�'=/)��4������(Q��#�*K(�3+=/�B(�*/:��*,��=/��*K� G F5 �>�����?*_��!�*_��# 1 (���*,�v3��#��%$8�/��(�R *K#�( " �/#��%$ � T+#4(���: " �#��%$ �@��=>*K(I��=/�h!��.-/*9��!�*=/3����J=>�s= b (���=/3�3������p�4!�*H��# 1 (���*,� 3��#��%$s)+* b =/#�*��J�9�/��(�RL*,#4( " �#��%$ � F � 1 �n�4!���(=/3����J=>�v��('��=�'��*,*,��*K� )B*K��� 1 (�* " �#��%$ �8����B��=� & *,�/������� b 1 <�<J$C�)+=/#�� E � b ��*,##�*K�?*���-M�����A��!�*h<��(�� & *K(�(4���/*I���l����F �O!��� ��(,:>� b ���n!��(L��=/���/)B=>#���*,�@(�= b �#L��!�*K��J�����/����=� 5 & *,�/������� b 1 <�<�$�Ef�)+=/#�� ��=SR':>)+*,�,� 1 (�*I���L!B�(���<�#�*K���$H(�*,�>� 5 =/#L#����!�*K#��*���*,# & ����*K�+E �J�4(�<��/(�� & *K(�(4���/*F E

XBF � �����<J<�$:(}�'��*,��*,# & ����*,(O����(O= 1 ��3 1 ���( b =/<J<�=SR�(705 �>Ei}�o���/-/=�^*,(2��!�* �1@1; 4 � = F n � = b ��!�*l(�� & 1 <����=/# ����:���� =/#4��*K#h��= =/)��4�������!�*A<��(�� & *,(4(���*A(�*,�>����= " �#��%$ ��F��O!����I��(,:�} � ( 1 3�3�<��J*K(���!�*_(�� & 1 <����=>#RO����! ��!�*rT+#4(���ad(�����*���#4���(4��#���3�� ���/��� ��!�*@= 1 ��3 1 � G :Q�/��� =/)��4������('��!�*<��(�� & *K(�(4���/*:���*K��=��*,� ) ���6F5 )+E }�h��=SR�* & 1 <�����*,( ��!�*h<��/(��L(���*,3o= b � � 5 �iF */FJ:M����( = 1 �43 1 �L�?= & 3 1 �������J=>�+E�)>$( 1 3�3�<�$M�����o���ORO����!8��!�* & *K(�(4���/* )����+F

5 # =��*'��!���O��!�*'<��(�� & *K(�(4���/*h= b ���nRL�/(���<�#�*K���$@��*,��*K# & ����*,�8��� �>��*,3 � :��B�8(�=H��!�*'*�N�*,� 1 ����=/�`= b }�'*K����(O!�*K#�*/FmE�O!�* = 1 ��3 1 ��= b }����(j(�*,�Q��=')B*���!�*L= 1 ��3 1 �j= b ����:/#�*,�/�#4��<�*,(4(\� b ����!��(j�/)B=>#���*,�=/#��?= & 3�<J*,��*,�8�4!�*'*?N�*,� 1 ����=/�\F

7 *9��*�*K�`��=o(�!�=SR ��!���

���!�� �#� � ��� � 5Q� � RE � � � ��� �

�/ � �� ��� " � � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� � 5 � F X � E

� ) 1 (������@��=/�������=/��:�RL*'#�*K3�<��/�?*n��!�*MT+����<�-S�< 1 *'= b R ? )>$0��� 5 R Eg:B��B�`�/*��L0

������ �#� � 5Q� �:R E � � � � / � 5������������ � 2 5Q� � � � 5 R E�E � ��� 5� � � �� 5 � � � � 5 R E�E�E�E � � � ��/ � 5 - 2 5Q� � � � 5 R E�E � ��� 5 ��� 5 R�� - � 5 � � � � 5 R E�E�E�E�E � � � �/ � 5 - 2 5Q� � }� 5 R E�E � }� 5 R � - � 5Q� � }� 5 R E�E�E�E � � � �/ � �� ��# " � � 5 � �:R E � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�������������� � ���P������� �������� ��� ����� ��� �X� ��� � ��������� � � X

R�!�*K#�* � � 5 R � G Ej��*K��=��*,(f��!�*I#�*,( 1 <���= b ��!�*��%R =ad(�����*�(�� & 1 <������=/��F � D6F 5 � F X � E b =/<J<�=SR�(,F7 *n(���#�*,(4(L��!������!�*MT+#4(��L(�����*2= b �4!�*9(�� & 1 <����=># � �2��( 1 (�*,�`��=o��*���*,# & ����*n�4!�*n-.�< 1 *= b R ? � � � 5 R Ek:�) 1 � 1 � b =>#�� 1 ������*�<�$C�4!���( b ����'��(_��=�A*?N�3�<������J�9��� = 1 #9��=�4�����J=>��F � ���B��<�=�= 1 (��?= &�& *K�/�h!�=<���(ORO����! #�*,(43B*K�?�O��=@��!�*_���(�*'��#�*,���*K�8��*?N�� 5 R�!�*K#�* " �#��%$ ���(O����(4!�=>��*,(��kEgF7 *_��=SR�� 1 #4�p��=`��!�*_���(�*'R�!�*K#�* " �/#��%$ �H��(I��=/����<�<�$8!�=>��*,(�� 5 ���� " �/#��%$ � 3B=>(�(���)�<J$����(�!�=/��*K(��gEkFlu�� �4!���(_���/(�*[}�o��(9��*���*,# & ����*K��:j���� RL*@��*�*K�C��= ��#4���( b =/# & �4!�* F KCn kN�� 4 = ��� �&NPD k cE; 4 � = #�*K��<����-/*,#4(��/#�$ � 2 ���>��=C� & ��<������J= 1 ( D � � F B k Nr; � �LB �/��-*K#�(4�#�$} 2 F �O!�*@<�������*,#9=/3+*,#4����*K('�( b =/<J<�=SR�(,: 1 (������s��!�*@(�� & 1 <�����=/#,:r��*K��=��*,� � 2 :Q3�#�=S-M����*,�b =/#��4!�*'-M�J*,RW= b " �/#��%$ � F ) *,���<J<��4!����U}$22�/*��4(�����3 1 � � 0 ����� � � � F

� F��s��g!�����*V}$2 T+#4(��2��*���*,# & ����*K(I�4!�*A����3 1 � � ?Q��=`)+*_(�*,�>�I��=l��!�*_�4# 1 (���*K�s3��/#��%$/:R�!�*,#�* � ?���(���*���*K# & ����*,� �/����=/#4����������=o��!�*_)B*K!��.-M�J=>#�= b �Q2n� 1 #������i�>�4���/* � = b��!�* 5 ���/��=/�����,��<�En3�#�=��=���=< E Fvu�� �/����������=/��:�}$2o* & 1 <����*,(_��!�* & *,(4(���*K(9(�*K�>����� #�*,��*���-*K� )>$ �32l� 1 #������ ��!�*T+#4(��_3�!��/(�*`= b E F �O!���(A��(H��=/��*p�(_��� ��!�*3�#�*,-M�J= 1 (L��#4���( b =/# & ������=/�l= b � � ��=r} � :�*?N��?*K3��O��!B���O!�*,#�*n��!�*'<��(�� & *,(4(���*2= b� 2 5 �iF *F�:�����(V�>�4���/*�� & *,(4(4���*SEO��(9(�����<J< 1 ����*���*,# & ����*K� ���'��!���('(���*K3 5 ���� ���/�)B*n��*���*,# & ����*K�l=>��<�$�R�!�*,�`���-*,�@��!�*n<��(�� & *,(4(4���*h= b " �/#��%$���:MR�!����g!@���`� 1 #4���(�=>)��������*K�l=>��<�$`���U�>��*,3pX>EgF��F��s��g!�����*�} 2 ���>-=�^�*K(���!�* =��HK =���� : F �H=JI RO����!9����3 1 � � ?G:S�/���'=/)���������(r��#�*K(�3+=/�B(�*/:��*,��=/��*K� G F7 *�(��4#�*K(�(I��!����: 1 ��<��v^*A���s���/(�* " �/#��%$ �H��(h����(4!�=/��*K(��,: " �/#��%$ �@5 �iF *F�: }$2KEO(�����<J<!��(��4!�*'=/3����J=>�l= b (���=>3�3������o��!�*'�4# 1 (���*,�83��#��%$l)+* b =/#�*n�J���/��(�R *K#�( " �#��%$ ��F

XBF # *?N��,: }$29���>-/=�^�*K(��4!�* �1@1; 4 � = F n � = b �4!�*�(�� & 1 <�����=/# �(2.:q��=8=/)��4����� ��!�*A<��(��& *K(�(4���/*A(�*,�>� 5 )>$ " �#��%$ �>E���= " �#��%$ � Fnu%�'( 1 3B3�<J��*,(h��!�*H(�� & 1 <�����=/#�RO����!C��!�*��#4���(4��#���3���= b ��!�*hT+#4(���a%(��4���*L����A��!�*�= 1 ��3 1 � G :/�/���9=>)�������B(r�4!�*�<��/(�� & *,(4(���*/:��*,��=/��*K� )����+F

� F��s��g!�����* } 2 ��=SR * & 1 <�����*K(���!�* <��(���(���*K3z= b � 2 )>$ ( 1 3B3�<J$M����� �J�HRO����!���!�*& *K(�(4���/*�)�� �6Fsu�� �,�(�*0� 2 �)+=/#���(,: & ��g!�����*i} 2 3B#�*,-*,�>�4(9��!�* =��HK =���� : F �H=JIb #�= & �/��(�RL*,#������ " �#��%$���:j�/��� �/)B=>#��4(�F " �4!�*,#�RO��(�*/: & ��g!�����* } 2 ��<�<�=SR�(9��!�*=��HK =�� � : F �H= I ��=@���(�RL*,# " �#��%$ ��F 7 *9(��4#�*K(�(O�4!����U}$2n��=>*K(���=/�I�)+=/#������ �/�/$3�#���=/#�(���*K3�F�O!�* = 1 ��3 1 ��= b }$2 ��(j(�*,�Q��=')B*���!�*L= 1 ��3 1 �j= b �32.:/#�*,�/�#4��<�*,(4(\� b �32 !��(j�/)B=>#���*,�=/#��?= & 3�<J*,��*,�8�4!�*'*?N�*,� 1 ����=/�\F

7 *2��/�����o��*,*,�o��=_(4!�=SR}��!��� � D+F 5 � F X � Ej!�=<���(�F �O!�*2�#�� 1 & *K�/�f��(���B��<�=�= 1 (���=A��!�*=/��*A�3�3�<J��*,� b =>#I�@����(4!�=/��*K(�� " �#��%$ ��F5� 1 3�3B=>(�*�T+#4(��,: b =/#h(�� & 3�<������J�%$/:+�4!���� & �/�g!�����*� 2 4 �&� � � F a ; �H= F�u��p( 1 �g!8�H���/(�*/:�)/$`��*&T+���J���J=>�`= b � 2 :������ �#� � 5Q� �:R E � � � � / � 5 � 2 5 � � � � 2 5 � 2 5Q� E � R E�E � ����������� �� 5 � 2 5 � E �:R E�E � � � �

�/ � 5 � 2 5 � 2 5 � 2 5Q� E � - 2 5 � 2 5Q� E �:R E�E�E � - � 5 � 2 5 � E �:R E�E � � � �/ � 5 } 2 5 � � - 2 5 } 2 5Q� E � R E�E � - � 5 } 2 5Q� E �:R E�E � � � �/ � �� ��# " � � 5 � �:R E � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ��� � � � � �%��� � ��� 8�������%�� � � 4��� ��� � ��� �

# *�N���:M( 1 3B3B=>(�*O�4!����!� 2 ��<�R��.$M(��/)B=>#��4( F l1=�� � ��1@��&D���D 4 nP= c���B F =]N�� � 7F n � :>�/���H)B* b =/#�*(�*,���������H����(O<��(�� & *K(�(4���/*h��= " �#��%$ ��Fju��8��!���(��,�(�*:�RL*n!B�.-*

������ �#� �O5Q� �:R E � � � � / � 5 � 2 5 � � � � 2 5 � 2 5Q� E � R E�E � E � � � ��/ � 5 �32 5 �K2 5 �Q2 5Q� E � - 2 5 �32 5Q� E �:R E�E�E � E � � � �/ � 5 } 2 5 � � - 2 5 } 2 5Q� E � R E �� E �� E � � � �/ � �� ��# " � ��5 � �:R E � � � �

u��@�4!�*n�*K��*,#4��<q���/(�*/: & ��g!�����*Q� 2 & �.$o�)+=/#��f���8(�= & *2*?N�*K� 1 ���J=>��( �/���l��=���)+=/#�� ���=�4!�*,#4(,F 7 !�*K��*�-/*,# �Q2��/)B=>#��4(�:/�J�L��=M*,( (�=9)+* b =>#�*I(�*,�B�������9�J�4(c<��(�� & *,(4(���* 5 3B=>(�(���)�<J$P 1 (��O� b ��*K#O#�*K�?*,�J-M�����A�4!�*n<��/(�� & *,(4(���*.EgF'�I=SRL*�-*K#�:M)+=��!`��!�*n��*,�?��(��J=>�@= b R�!�*��4!�*,#�=>#��=/�\��=I�/)B=>#��\�/���n��!�*f= 1 ��3 1 �r����( 1 �g!'���,�(�*c�#�*c��*���*,# & ����*K�')/$Q�32�)��/(�*K�h=>�n�J�4(\-M��*�R= b ��!�*9*?N�*,� 1 ����=/� (�= b �#,F �O!���(�-M��*�R ���/�8)+*A(�� & 1 <�����*K� )>$ �K2 5 �32 5Q� E � - 2 5 �Q2 5Q� E � R E�Ek:R�!����g! ��� � 1 #�� ��('���>-/=�^�*K�C)>$~}$2���� �%R =s(�����*K( 5 ���x�M��*,3B( � ���� XB:r#�*,(43B*K�?����-*,<J$BEgF�O! 1 (,: � D6F 5 � F X � E !�=<���(O���`��!���(����/(�*n��=>=+F

+ �/.-�/.-��� wV� � ]���, * � ��

T +>�e� �U� � ���-�E� +�� � + �/.-��U� (4(�*,�>������<�<J$/:*�O!�*,=/#�* & � F � F � b =/<J<�=SRC)>$2�?= & )����������O��!�* b =/<J<�=SRO��������!�#�*�*c#�*,( 1 <���(L0 5�� E �O!�*?a=/#�* & � F X�F � � 3B#�=S-M���������9�����=/�������<+3�#�=��=M��=<�( b =/#L3�#��J-S���*�<�$H�?= & 3 1 �������_�/�/$ b 1 ��������=/�Ma��<����%$: 5 �/E���!�*h�*K��*,#4��<B�/����<�$�(���(�= b ��!�*2�?= & 3���<�*,# 5 �GF *F�: ( =/#�=<�<��/#�$ � F � F � � Eg:��B� 5 XMEj��!�*(43B*K�?����<�3�#�=/3+*,#�����*,(2= b �,���=>��������<j3�#�=��=M��=<�( 5 �GF *F�: " #�=>3B=>(�������=/� � F � F � � EgFV�M3B*K�?�zT+���<J<�$:<�*�� - )+*n�/�`�/#�)��J�4#��/#�$ b 1 ��������=/���<J���%$: E )+*n�H�,���=>�����,��<q3�#�=��=���=< b =/#O3�#��J-S���*�<�$@�?= & a3 1 ������� - 5 � 1 �/#��/�/��*�*K�A)>$ �O!�*,=/#�* & � F XBF � � Eg:����� E ? )B*��4!�*�3�#�=��=M��=<���= & 3���<J*K� b #�= &E )>$ ( =/��(���# 1 ������=/� � F � F ��X 5i1 (������A(�*,� 1 #�*O� & 3�<�* & *,�>�4������=/�B(c= b �4!�* b 1 �B�?����=/�B��<��J���J*K(f���� EkF # =SR':.<�*�� z)+*L�/� & ��(4(���)�<�* b =>#��4!�* #�*,�< N F B9DQ@7DQ;>K & =M��*�< 5 R'F #�F � E ?�Eg:S<J*,� � )B*L��!�*#�*,��<Ja & =���*,<B���-*,#4(4�#�$ 5 R�!����g!H��( �� & ��(�(���)�<J*IR'F #,F � E ���H�4!�*I� 1 � & *,�>��*,�o(�* & �ea%!�=>��*,(��& =���*�<�E ��*,#��J-/*,�`)/$ ( =>#�=/<J<��#�$ � F � F � � :>�/��� } )B*n�4!�*n����*K��<Ja & =���*,<q�/��-*K#�(4�#�$ 5 R�!����g!��(O�� & ��(�(���)�<J* b =>#���!�* & ��<����?��= 1 ( & =���*�<�EL��*K#���-*K�l)>$ " #�=>3B=>(�������=/� � F � F � � F��O!�*K�

������ �� � � ��� � 5Q� � RE � � � ��� �

�/ �����# ��#� � � � � 5 � � RE � � � ��� �

�/ � �� ��� " � � ��� � 5Q� �:RE � � � ��� �

�O!�*,=/#�* & � F � F � b =<�<J=SR�(,F

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � � ���C����� ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � ���

����� ������������! #"��$�"%�'&(�*) +-,�� �.0/2143'�6587914�!�

u�����!���(�(�*,�?���J=>�ARL*�*?N���*K������!�*O�4#�*K��� & *K�>�Q= b �/*,��*K#��<M(�*,� 1 #�*L3�#�=��=��?=<�( b #�= & ��!�*O�%R =a3��/#��%$2���(�*c��=���!�* & 1 <����Ja%3��#��%$h�,�(�*F � �/������:.= 1 # 1 <���� & ���* �=/�<���(\��=2��*,(����/�'3�#�=��=M��=<�(��!B���nRO�J�4!�(�����B�v��>$ b *K�(���)�<�*H���-/*,#4(��/#�����<�)+*,!B�.->��=/#,:�����C���>����� R *H3�#�=��?*�*K� ���v�%RL=(���*,3B(�F � ��#4(���RL* �?=>��(�����*K#�� )+*,�����/���%$�3+*8= b �/��-*K#�(4�#�$:c�,��<�<J*K� �7NVD k c/; 4 � = :L�/����?=>��(���# 1 �?�L3�#�=/��=��?=/<�( ��!B�����#�*h(�*,� 1 #�*hRO�J�4!`#�*,(43B*K�?� ��=H( 1 �g!`��`���-/*,#4(��/#�$/F �O!�*n��*&T�a��������=/�8= b ��!���(��%$�3B*'= b �/��-*K#�(4�#�$H��(�-/*,#�$ & 1 �g!`��!�*9(4� & *'�(L���8��!�*'�%RL=�a%3��#��%$o���/(�*/F�I=SRL*�-/*,#,:���� �,�(�*'= b �*K��*,#4��<\�/��-*K#�(4�#�$@)+*,!��.-M��=/#,:�R *A��=/��(�����*,#��%RL=@��� �6*K#�*K�/� & =��Ma*�<�(,F �O!�* � � = Nr; � �LB];slPN F B9DQ@&DQ;#K a �&c F �LDQ; �`& � & ����(2��!�*_�4#�*K��� & *K�/�h= b �/��-*K#�(4�#���*,(��� ��!�*A�%R =ad3��/#��%$`���(�*;:6���I��<�<J=SR�(���!�*����-/*,#4(��/#�$@��=l�?=>�>��#�=<\*,-*,� � & ��P�=/#��J�%$`= b ��!�*3��/#����J*K(�:�) 1 ����=M*,(O��=/�O->��*�R ��!�* 5i1 ���.-/=�����)�<�*.Ef*K�#�<J$@�/)B=>#��O3�!�*K��= & *K���H�(O��-M�J=/<���a����=/�8= b (�*,� 1 #��J�%$/Fcu��8��!�* �1@1; 4 �[Nr;*� �7B*;ml N F BpDQ@&DQ;#K a �Hc F ��DQ; � :qR *9�/(�( 1 & *n��!������!�*���-*,#4(4�#�$_���/�@�?=>�>��#�=<6=/��<�$o�_(���#������ & ����=/#��J�%$H= b ��!�*n3��/#����J*K(�Fju��@�4!���( & =���*,<G:MR�!����g!RL= 1 <��l!��.-/*h)+*�*K�l-S�� 1 = 1 ( ���@�4!�*n�%R =ad3B�#��%$H�,�(�*:>��!�*n*K�#�<J$@�/)B=>#��L3�!�*,��= & *,�������/�)+*s* �q*,������-*�<�$;3B#�*,-*,�>��*,��F 7 *v(4!�=SR !�=SR ��= ��#4��B( b =># & 3B#�=/��=��?=/<�(o(�*,� 1 #�* ���|��!�*(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =���*,<c���/��= 3�#�=/��=��?=/<�(n(�*,� 1 #�*H��� *,��g!v= b ��!�*o�%RL= & ��<������J= 1 (�a%)+*,!��.-M��=/#& =���*�<�(�F � (����8�4!�*n�%R =ad3��/#��%$@�,�(�*:M��!���(O��(O��=>��*')/$ b =/#4�?������3B�#�����*,( 5 ���8*,�/�g!@= b ��!�*<�������*,# & =���*�<�(gE ��=o)B*K!��.-*n���p��`* �q*,�?���J-/*�<�$`(�* & �Jad!�=>��*,(�� & �����*K#�F

�O!�*��?=>��(��4# 1 �?����=/�B(r�/#�* =/)��4������*,�_)/$9( 1 �����/)�<J* & =����OT6�������J=>��(Q= b ��!�*��?=>��(��4# 1 �?����=/�B(1 (�*,� ���~��!�*l�%RL=�a%3��#��%$v���/(�*/Fpu�� b ��?�,:���!�*`�?=/�B(��4# 1 ������=/� = b & 1 <����Jad3��/#��%$ 3�#�=��=M��=<�(b =/#9��!�*@(�* & �Jad!�=>��*,(�� & =���*�<c��(A� & ����=/# & =����zT+�������=/� = b ��!�*l�?=>��(��4# 1 �?����=/� 1 (�*,� �����!�* �%R =ad3��/#��%$~�,�(�*F �O!�* (�� & *p!�=<���( b =/#H�4!�*s�?= & 3��J<������J=>� = b 3�#�=��=M��=<�( b =/#H��!�*(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =���*,<����>��= 3�#�=��=��?=<�( b =/#n��!�* � � =h& ��<������J= 1 ( & =M��*�<iF 7 !�*K�C��= & 3���<ea�����@3�#�=��=���=<�( b =/#O�4!�*A(�* & �ea%!�=>��*,(�� & =M��*�<����>��=@3�#�=��=��?=<�( b =/#���!�* �1@1; 4 �p& �<J���?��= 1 (& =���*�<i:rRL*oRO��<J< 1 (�*@� ��*�R 3�#�� & �J���J-/*:j���<J<�*,� ��*,#��zT+�)�<�*i�>*K��#�*��V�M!��/#������ 5 � ����Eg:r���=/#4��*K#\��=�<�*��6*K�?���J-/*�<�$n3B#�*,-*,�>�>= & ����=>#����%$'3��#�����*,( b #�= & �)+=/#��������I�4!�*�3�#�=/��=��?=/</3�#�* & ��a� 1 #�*,<J$/F � ��� 1 �<J<�$:qRL*A(�!B��<�<r�?= & 3��J<�*_3B#�=/��=��?=/<�(�(�*,� 1 #�*9���s��!�* � � =�& ��<������J= 1 ( & =���*�<���/��=o3�#�=/��=��?=/<�(�(�*,� 1 #�*n���8��!�* �1@1; 4 �8& ��<����?��= 1 ( & =���*�<iF

" 1 #���#�*,�� & *,�>����= 1 �g!�*,( 1 3+=/���C-.�/#���*��%$~= b ��(�( 1 *K(_�4!����HRL*,#�*l���/��=>#�*K� 5 =/#H�#�*�����3�3�<J�����/)�<J*SEA������!�* �%R =ad3��/#��%$~�,�(�*F �O!�*,(�*p��(4( 1 *,(H�����?< 1 ��* �4!�*s�?= &�& 1 �����������=/�& =���*�< 5 �iF */FJ:��4!�*l�%$�3+*l= b ��= &H& 1 �����,�����J=>�~�g!������*�<�(kEg:Q�4!�*`��=/��(�����*,#4�����J=>� = b ��~*�NMa��*K#��B��< �/��-*K#�(4�#�$:r���� �4!�*@R��.$v��!�*@<������*,#A(�*�<�*,����(_����(4!�=>��*,(��A3��/#����J*K( 5 =>#9�?=>#�# 1 3��4(3��/#����J*K(kEgFcu��p3��#������ 1 <��#,:����8(�= & * & =���*�<�( 5 �iF *F�:+3+=/(�� 1 <����������@3B#���-S����*'�g!��/����*,<�(��/���8�& �SP�=>#����%$'= b !�=/��*K(���3��/#���������3B��>��(gEk:S������(j3+=/(4(���)�<�*���=n=/)��4�����_(�*,� 1 #�*L3�#�=��=��?=<�(QRO�J�4!�= 1 �#�*�<�$>�����H=/�8��>$@���>��#4������)��J<��J�%$@�/(�( 1 & 3����J=>��(70��M*�*��>*,������=/� � F � F

�h� � ]�� Q� � � _ ^ 7 *n(���#�=/���<�$H#�*,��= &H& *,���`��=H#�*,�� �>*,������=/��( � F � y � F � )+* b =>#�*n#�*,���a�����h�4!�*�� 1 #�#�*,�>�r(�*,������=/��FQu�� & �/�>$93�<��/�?*K(r���_��!�*O� 1 #�#�*,�>�j(�*K�?����=/�\: & =/����-S���������'����(�� 1 (�a(��J=>��(n����v��*,�g!B�����,��<j��*��4����<�('�/#�*_= & ������*K�sR�!���<�*H#�*�<�$M�����l=/�v��!�* b �/�?�2��!���n�/����<�=� 1 **�<��)+=/#4�����J=>� !��(_�3�3+*,�/#�*K� ���~�4!�*l�4#�*K��� & *K�>�A= b �4!�*l�%RL=�a%3��/#��%$v�,�(�* 5 �iF *F�:���� �M*,�ga����=/�B( � F � y � F � EkF

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ����� � � � �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

&('�� '�� � .�� 7@?B7;1� A� & 1 <����Jad3��/#��%$�3�#�=��=���=<I3�#�=/)�<J* & ��(`�,�(��l)>$�(43+*,�?� b $M�����z� #4�����= & 3B#�=��?*K(�(@��!���& �3�( (�*KD 1 *,����*,(�= b ����3 1 ��( 5 =>��*O���B3 1 � 3+*,#f*,�/�g!�3B�#��%$�Ej��=A��=/#4#�*K(�3+=/���������'(�*,D 1 *K���?*K(= b = 1 ��3 1 ��(,F � *��� ��*,��=��*A��!�*A� 1 & )B*K#�= b 3��/#����J*K(�FLu%�IRO��<�<r)+*A�?=>�/-/*,����*,�>�O��=@��!�����^= b �(f)+*������ TBNM*K��:>$*��f=/��*I�,��o��*,#���������<�$_�4!�����^A= b �J� �(f�/�o������J���J=>����<B3B�#4� & *���*,#,F� �� S �����@N�" $ � ' % " �) ' � � :\��*,��=/��*,� - 0 5�� ��� ��� � E�� Z 5�� � � ��� � E��A:r��(n�4! 1 ('�p#��/����= &3�#�=��?*,(4( & �3�3������ (�*,D 1 *,�B�?*,(n= b �4!�* b =/# & � � 5Q� 2 ��:;:;: � � � EI���>��= (�*,D 1 *K���?*K(n= b #4���a��= & -S�#����/)�<�*,(,: - 5 � E � 5 - 2 5 � E ��:;:/: � - � 5 � E�EgF �O!�*_(�* & �/�>������(���(O��!����: b =>#O*�-/*,#�$ [ :���!�*[ \�] 3��/#��%$/:j������������<�<�$ !�=<���(_�/�~����3 1 � � � :c���� RO��(4!�*,(_��=C=/)��4�����~��!�* [ \�] *,<J* & *K�>�_���- 5Q� 2 ��:/:;: � � � Ek:\��*,��=/��*,� - ��5 � 2 ��:;:/: � � � EkF � =>#I*�N�� & 3�<�*:��?=>��(�����*K#h��*,��*K# & ������(������ b 1 ���ga����=/�B��<��J���J*K( b =/#_�?= & 3 1 �������s�4!�* & �SN�� & 1 & :j�.-*K#���*H=/#9�/�>$C=/��!�*K#9(��4������(�������(A= b ��!�*��������->��� 1 �<�-.�< 1 *,(�!�*�<��;)>$ ��!�*83��/#����J*K( 5 ����;(�*,* & =>#�*`*?N�� & 3�<�*,(_��� � N�*,#4�?��(�*,( � ���B� � � EkF �O!�*'����(4� 1 (4(���=/�B(L�/���8(�� & 3�<J� b $M�����H��=/�>-*K�>����=/��( & ���*n��� �M*,�?���J=>� � F ��F � �3�a3�<�$v��� ��!�*`� 1 #4#�*K�>�n��=/�>��*�N��'��=M=BF0�s=/(��'� & 3+=/#�����>��<J$/:rRL*@�(4( 1 & *H�4!�#�= 1 �/!�= 1 �'�4!���((�*,�?���J=>�l�4!������<J<\3B�#�����*,(O!�=/<��8����3 1 �4(O= b *,D 1 ��<�<�*,�����! :���!���O��(,:-� � � � � � � % � F

wV� ��� � � � � ����� � � � �"!*Q� ���M�*� �#-�%$ � � ���U_ � � � � � � � =>#I(�� & 3�<������J�%$8= b *�N�3+=/(��Ja����=/�\:�R *9�/(�( 1 & *'��!B#�= 1 �/!�= 1 ��= 1 #�*�N�3B=>(�������=/�8��!B���& ��(GT�N�*K��F � #�= & ��� & *'��=@��� & *:RL*s�?= &H& *,�>�o=>�;R�!B���o��(l��*,*,��*K�;���|=/#4��*K#H��= ��*K#���-* ��*7T+��������=/��( 5 ��B����=/��(���# 1 �?a����=/�B(kE b =/#9�4!�*p���(�*@�4!����' ��(_�v3��#4� & *���*,#,F 7 *`�?= &H& *K�>�A��!B���A���A��(������ 1 #��<f��=����(�� 1 (4( & 1 <����Ja%3��#��%$ b 1 �B�?����=/�B��<��J���J*K(c��!B���f�/#�* < 1 ��� b =># & =n���H��!�*h(�*K��(�*O�4!����f��!�*K#�*�*�NMa��(�� 5G1 ��� b =># & E ��<��=>#�����! & ( b =/#O��= & 3 1 �������_�4!�* & b =/#L*,�/�g!@-S��< 1 *2= b 5 ����`= b �?= 1 #�(�**,�/�g!( `ad(�*,D 1 *K���?*SEkF " ��*_( 1 �g! b 1 ���?���J=>����<����%$ ��(h��!�* < 1 ����-*,#4(4��< b 1 �B�?����=/�B��<��J�%$ =`��!�����(����-*,�8�H��*,(4��#���3�����=/�`= b �H�?��#�� 1 �J���/(�R *,<J<\�/(O�H�?=/#4#�*,(43B=>����������(�*,D 1 *K���?*n= b ����3 1 �4(�F5 � =/#'*�N�� & 3�<�*:Q��!�*l����#4� 1 �J� & �.$C)+*l3��/#��'= b �4!�*@����3 1 �_= b *,�/�g! 3B�#��%$:r�/��� ���~�,�(�*��!�*,(�*_�?��#4� 1 ����(2�#�*A��=/�I����*,�>�������<r�4!�*�-.�< 1 *A= b �4!�* b 1 ���?���J=>����<����%$8��(2��*&T+��*,�s�/(h�`(�*�aD 1 *,�B�?*H= b � (,FmE~u�����*,*,��:�� 1 ���J-/*,#4(��< b 1 ���?���J=>����<��J�%$v��('���� 1 #4��<j��=p��=/��(�����*,#n��<�(�=`�����!�*@�%R =ad3B�#��%$v���/(�*/:r) 1 ��!�*,#�* 5 ��� -M�J*,R = b ��!�*l*?N���#4� 3��#4� & *,��*,#) sE2����(_�3�3+*,�<c��(*,�B!������*,��F

+ � �e��U���U ���*�s]�� �y��#*�- ] � � � �x� � ! �E� ����! �+* �L� �>��� � �,!-� � �"�Q� �> � �u��8��!�*9��*&T+��������=/�B��<\�4#�*K��� & *K�/��= b �%RL=�a%3��#��%$o���/(�*/:�R *n-M�J*,R *K�8=/��*n= b ��!�*_�?= &H& 1 ���Ja����������o3��#�����*,(��/(L�/�`�/��-*K#�(4�#�$H����8�?=>��(�����*K#�*K�@����(�* �q*,���O=/�`��!�*'3�#�=��=��?=< � ( *�N�*,� 1 a����=/�\F �O!���(h�/3�3�#�=/�/�g!8�,��s)+*�*?N���*K����*,�s��=l�4!�* & 1 <����Jad3��/#��%$p���/(�*/:+*�N��?*,3��I��!B���n!�*,#�*RL* & �.$_�?=/�B(�����*,#f�?=/�<J������=/�B(j= b ����(4!�=>��*,(��c3��#�����*,(f�������!�*���#�* �q*,���c=/����!�*O*?N�*,� 1 ����=/��F� <���*K#��B������-*,<J$/:jR * & �.$ �?=/�B(�����*,#_�� 5 *?N���*K#����<xE'���-/*,#4(��/#�$s�4!����_�?=/�>�4#�=/<�(9�v( 1 )B(�*,�= b ��!�*l3��#�����*,(9��!���A3��#������?��3����*o���C�4!�*@*�NM*K� 1 ���J=>��F � -S�#��J*,�%$s= b ��(�( 1 *,(n�4!����_�#���(�*�����?< 1 ��*K('��!�*`(��v|�*o= b �4!���(_( 1 )�(�*,��:Q��!�*lRL�.$s���'��(A(�*�<�*,�?��*,� 5 )>$C��!�*l�/��-*K#�(4�#�$BEk:\�/���3+=/(4(���)�<�*2*��6*K�?�O= b �4!�*9���-/*,#4(��/#�$H=>�l�4!�*9�?= &�& 1 �����������=/�8�g!������*�<�(�F

���*� �#*�%$ � � ����_ � � � � � ]C� � � � ���Q�Q� !.$ � ���-� �/!0� � �"���/� �o� u�� ��!�*@�%R =ad3B�#��%$���/(�*/:BRL*A!��.-/* b =M� 1 (�*,�p=/�p�4!�*_�,�(�*9���pR�!����g!p�4!�*_�/��-*K#�(4�#�$@��(�����*,�>���OTB*K� RO����!p=/��*= b �4!�*l3��/#���������3��/�>��('��� ��!�*l*?N�*,� 1 ����=/��F21 <�*,�/#�<�$:r��!�*8���(�*o��� R�!����g! �4!�*l�/��-*K#�(4�#�$

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � � ���C����� ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � � �

�?=>�>��#�=<�(_)+=�4!�3B�#������?��3���>��(���(�= b ��= ���>��*K#�*K(��,: ) 1 �H�4!�* ���(�*8����R�!����g! �4!�*s���-/*,#�a(4�#�$p��=/�>��#�=<�(I��=/��*�= b �4!�*H3��#������?��3���>�4( & �.$ )B*H= b ���>��*,#�*,(��I���v���/(�*_��!�*o�/��-*K#�(4�#�$���/� RO��#�*?ad���/3v�4!�*l�?= &H& 1 �����������=/�C<J����* 5 �(9����(4� 1 (4(�*K� )B*,<J=SRhEgF@u�� ��!�* & 1 <����Jad3��/#��%$���/(�*/:�R * RO��<J<2�?=>��(�����*K#@���-/*,#4(��/#���*,(��4!����l��=/�>��#�=<��/�>$;� 1 & )+*,#l= b 3��/#���������3��/�>��(,F "��5 " b �?= 1 #�(�*:�R�!�*,����*&T+�������~(�*,� 1 #����%$ b =<�<J=SRO����� ��!�*�<�����*K��<Jai-�(�ad#�*,�< = 3B�#4������ & :�RL*(4!�= 1 <��;����(���(��o�4!����H��!�*s�?=/#4#�*,(43B=>���������C����*K��<����-*,#4(4�#�$ ��=/�>��#�=<�(���!�*s(4� & * (�*,�H= b3��/#���������3��/�>��(,FmE

���*� � �E�Q�M]#� � � ���!_ � � � � � ]C� � � � �o� �Q� ! $ � �M�*� �/!0� � �"�Q� � �(� �O!�*9��=���J=>�`= b �/�*?N���*,#4����<����-*,#4(4�#�$����� 1 #4��<�<�$o<J*K���(���=��4!�*n��(4( 1 *h= b !�=SR ��!���(O���-*,#4(4�#�$�(�*�<�*,����(���!�*(�*��9= b 3��/#����J*K('��!B���9���A�?=>�>��#�=<�(�F �O!�*l)��/(���� 5 �/���~(�� & 3�<�*,#gE & =M��*�<f3+=/(�� 1 <�����*,(A��!�����!���(�(�*��j��(Q��*���*K# & ����*,��)+* b =/#�*L��!�*�*?N�*K� 1 ���J=>�_(����/#��4( 5 ����A��(,:�= b �?= 1 #4(�*/:���=�]^M��=SR��9��=��!�*I!�=/��*,(��c3��#�����*,(gEkF!�O!���( & =M��*�<���(c���<J<�*,� " % " S � L � ' � � �(j=>3�3+=/(�*,����='�4!�*! � L � ' � �& =���*�<6���@R�!����g!H�4!�*h�/��-*K#�(4�#�$ & �.$H(�*,<J*K�?�c�4!�*2(�*��f= b 3��/#����J*K(c��!B���c���L��=/�>��#�=<�( F � F :�k=JD�� �LB9I :�� 1 #������9��!�*I*?N�*K� 1 ���J=>�o= b �4!�*h3�#�=��=��?=<6����l��*,3+*,���������_=/�o��� b =># & �����J=>�H�J��!��/(�/���!�*K#�*K�v(�= b �/#�F_u�� ��!���('(�*K�?���J=>�sRL*�=>��<�$s�?=/�B(�����*,#2�4!�*@��=/��ad�/���3����J-/* & =���*�<i:��/�����* b *,#L��!�*n�4#�*K��� & *K�/�L= b ��!�*'��B�3����J-/* & =���*�<���=r�>*K�?���J=>� � F � F � F ��F 7 *n��= &H& *,�>�L��!�����!�*h��� �6*K#�*K���?*h)B*,�%R *,*,�H��!�*h��=>�Mad�/���3�����-* & =M��*�<q����H�4!�*h�/���3����J-/* & =M��*�<+)+*,��= & *,(��# 1 �����<cR�!�*,� �4!�*l� 1 & )+*,#9= b 3��#�����*,( 5 �GF *F�:� E2��('�4#�*K����*K� �(9� 3��/#�� & *���*K#�:r#����!�*K#��!B��p)B*,�����VTBNM*K��F

���*�W]�� �y��#*�- ] � � � � ]�� ���-� �E� � � u%�o��(o�B��� 1 #��<L��=~�(4( 1 & *p��!B���H��!�* *�N���*,#4���<���-*,#4(4�#�$ & �.$ �4�3 �<J<��?= &H& 1 �����������=/�~�g!��/����*,<�( 5 �iF */FJ:f(43+*,�?�zT+�,��<�<J$/:Q�4!�*p�g!������*�<�()+*��%RL*�*,�o!�=/��*K(��L3��#�����*,(gEkFQu��o( 1 �g!@�9���/(�*/:*,-*,�o�/�o���-/*,#4(��/#�$'�4!����L�?=>�/�4#�=/<�(f��=/��*I= b��!�*�3��#������?��3���>�4(���(j= b ���>��*K#�*K(��,:/)+*,��� 1 (�*O�J� & �.$_3+=��*,�>������<�<�$9�/�������� b =/# & ������=/���)+= 1 ���!�*l*?N�*K� 1 ���J=>� )>$ RO��#�*?ad���/3�3������BFP�h=SR *,-*,#,: b =>#A(4�C^*�= b (�� & 3�<������J�%$/:QRL*@(�= & *���� & *,(3�#�* b *K#h��=83B#�*K(�*K�/�n��B� 1 (�*���*&T+��������=/�B(n��!���2#�* b *K#h��=`�4!�* <�3�#���-.���*H�g!���B��*�< & =M��*�< =5 (�*�*h��<�(�=V�>*K�?���J=>� � F � E :>��!B���c��(�:>RL*I(�= & *���� & *,( 3�#�*K( 1 3�3B=>(�*O�4!����L!�=/��*,(��c3��#�����*,( & �.$�?= &H& 1 ���������*H���~(�*K��#�*,�?$ 5 =/#,:r3 1 �A��� �6*K#�*K�/��<J$/:�RL*@(�= & *���� & *,('�/(�( 1 & *o��!���9���-/*,#�a(4�#��J*K(9��=v��=/�9���/3~�?= &�& 1 �����������=/� <�����*K(A)+*��%RL*�*K�~!�=/��*K(��_3��#�����*,(gEkF 7 *l�?= &H& *K�>���!B���A��� ��!�*`��=>�Mad�/���3�����-* & =���*�<i:���!�*l��(4( 1 *@= b � & 3�<J* & *,�>�������v�4!�* <43�#���-S����*l�g!����a��*,< & =M��*�< =_=S-/*,#L��!�*(<�(�����B���#4� & =���*�< = 5 �iF */FJ:+3�#�=S-M����������(�*,�,#�*,�O�?= &H& 1 �����������J=>�+Ef��(RL*�<�< 1 ����*K#�(���=M=���:��/���p����8)+*'*,�(���<J$l��*,�?= 1 3�<�*,� b #�= & �4!�* & �����l�4#�*K��� & *K�>��Fh�M3+*,��� b a������<�<�$:j3�#�=/��=��?=/<�('(�*,� 1 #�*o��� �4!�* <�3B#���-S����*@�g!B�����*,< & =���*�< =s���/� )B*@*K�(��J<�$C��= & 3���<J*K���=_RO�J�4!�(�����B�oRO��#�*?ad���/3�3������A�/��-*K#�(4�#��J*K( 5 )>$ 1 (������_*,���,#�$�3����J=>�o(��g!�* & *,(gEkF3�>� & ��<��/#�<�$:RL*h�(4( 1 & *���!��� & *K(�(4���/*,(c(�*,�>� )+*��%RL*�*K�@!�=>��*,(�� 3��/#����J*K( �/#�#���-*O���/�4�����:MR�!�*,#�*,�/(�=/��*& �.$ RL�/�/�_��= �?=>��(�����*K#_�/��-*K#�(4�#��J*K('��!B��� & �.$ ���.P�*,��� & *K(�(4���/*,(A=/�~�4!�* �?= &H& 1 ���Ja�������=/�C<J����*l)+*��%RL*�*K�C!�=/��*K(��93��/#����J*K(�F � �/�����:r��!���(9�,�� )B*@��= 1 �>��*,#4��?��*,� )>$ 1 (�*o= bRL*�<�<ea 1 ����*K#�(���=M=��83��#4������ & (#:M���`��!���(��,�(�*:���!�* 1 (�*'= b (��J�>����� 1 #�*n(4�g!�* & *K(�F

6�� � 9�;�<=<=; c >@? <�] [ a < A 9 e ?�A ] ?�>G? < [ ; � <LB a [ B*N ] D 9 > B D ` a [C`�` ^ [ B >@A < a A�a(DCE 9 D A 9 > <LB@< a@> c [ 9�; A�aKDCEh> <=9A bH9 D B@<L;

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ����� � � � �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

+ � �e��U��(' ���*� � � �y � �-� � � � � � � ! �E��O!���( & =���*,<I��(`��*7T+��*K�}*?N������<�$��/(@���}��!�*v�%RL=�a%3��#��%$z���/(�* 5 (�*�*Y�M*,�?���J=>� � F ��F ��F � EgF) *K����<�<f�4!����_� O � U6' S X % ">� O<� 3��/#��%$C��(A=/��*lR�!�= b =<�<J=SR�(9��!�*83�#�=/��=��?=/<f3�#�=/3+*,#�<J$CRO�J�4!��!�*L*�N��?*,3�����=/�'�4!����j���*^*�*,3B(Q�h#�*K�?=>#��'= b ��<�<M�J�4(Q���>��*K# & *K�������*��?= & 3 1 �������=/��(,F � =>=>(�*,<J$(43B*K�C^>�����B:j� & 1 <����Jad3B�#��%$C3�#�=��=M��=<c3�#���-.���*,<J$ �?= & 3 1 ��*K( - � b R�!����*�-/*,#9� �7= 5 =/#A�@1; F B9DR=JDQ; 4MEh= b (�* & �ea%!�=>��*,(��h3��/#����J*K(n����s=/)��4�����v� b ��*,#n3��/#���������3���������l���C��!�*H3�#�=��=���=<i:�?= 1 <��C)+*@*,(4(�*,�>������<�<J$ =>)��������*,� b #�= & ��!�*o����3 1 �9���� = 1 ��3 1 � ;ml = c�� � � � �HI : F �H=JD � F�O! 1 (,:>�4!�*I=>��<�$H��� �q*,#�*,����*h)+*��%RL*�*K�o��!�*n� 1 #�#�*,�>� ��*&T+��������=/�l����o�4!�*2=/��* 1 (�*K�o���@��!�*�%RL=�a%3��#��%$A���/(�*I��(f��!���cR *h�?=/�B(�����*,#f��!�*I�/�����H= b �9��=/�<J������=/� 5 #4���4!�*,#f��!��/�H= b �9(������<�*3��/#��%$BE b #�= & 3��/#���������3���������H���8�4!�*93�#�=��=���=<iF� ��� �* � � �,+ � �e��U 5 3�#���-.�/�?$ R'F #,F �_(�* & �ea%!�=>��*,(��A)+*,!��.-M��=/#,:rRO����!�= 1 ��RO��#�*?ad���/3�3������MEH0V �&= - 0 5�� ��� ��� � E�� Z 5 � ��� ��� � E�� a � F 4 k F �HI5l1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= I � g c�� �� - � 5 � 2 ��:;:/: � � � E �� � 4 ;#= � = c�� [L\�] �LB �7N�� 4 =!;ml - 5Q� 2 ��:/: � � � E � T*; ��� � � [ 2 ��:;:/: � [�� ��� � ������ � � ��:;:/: � ���g �GB �7= -�� 5Q� 2 ��:;:;: � � � E � � 4 ;>=��h=Qc � K a � $&K � 4 @�� - � � 5 � 2 ��:;:/: � � � E ��:;:/: � - �� 5Q� 2 ��:;:;: � � � E � V �&=E a � F 4 ~k : F �H=JI : �<;#=j;�@1;#B�l&; �r@1;#N : K/= D 4 n - � "�� � c�� � ' �&8 = b �4!�* [B\B] 3��/#��%$ �>K �HD 4 nF 4 � "��1@&K/=JDQ; 4 ;sl E ; 4 � � 5Q� 2 ��:/:;: � � � E � � � 4 ;>=���� � � �� 5 � E � D � �*� 4 ��� F D 4 �*� 4 D k=JDQ; 4 ^ �;C�� 6 �*F 4 �*l&; ��� � � [ 2 ��:;:/: � [�� ��� g �hB �&= � � �

� 5 � E ���� 5 � � � � � �� � 5 � E ��:/:;: � � � �

��� 5 � E�E �

$ 5 ��*,��*,# & ������(������o���/(�*SE � 4 @ F � - D F � �7=�� �HNPD 4 D =JDQ@ k F �HI l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI � g � &F I =Qc F = E L � ' �> � � ) � $7%BU LCN � � O - D l = c�� �� � "�D = rF : �<; a F a D B9D =JDQ@ : ;#BpI 4 ;>NPD F B k= DRN�� F B n�; �HDR=Qc�N � � � 4 ;#= ��� � �� K(@&ci= c F =�l&; � �&� � �HI�� � � � DR=�cE;CB � = c F =� � 5 � � 5Q� � � ��:/:;: � � � E � - � 5 � E�E � ������� t � 2��������

�/ � � � � �� 5 � E � ������� t � 2���� ��� 5 � F X � E

$ 5 �*K��*,#4��<r���(�*.E 0 � 7F I= c F = E L � ' �� � � ) � $7%BU LCN � � O - D l6= c�� ����#"�D = VF : �<; a F ka D B9D =JDQ@ : ;CB9I 4 ;#NVD F B k = DRN�� F B n�; �HDR=Qc�N � � � 4 ;#= ��� � � K(@Hc =Qc F =�l&; � �&� � �HI!� � � �DR=3cE;CB � = c F =

�>5 � 5 � � 5Q� � � ��:/:;: � � � E � - � 5 � E�E � - 5 � E�E � ������� t � 2���� ����/ �>5� � � �� 5 � E � ����������� � 5 � E�E � �"���#� t � 2�� � � � 5 � F � � E

g c�� �� ������������ 5 � E � � 4 ;>=�� = c�� ;>K/= : K/= �#$7K � 4 @��;sl F BRB : F �H= D � �>K �HD 4 n = c��

� "��1@&K/=JDQ; 4 �� : �� � 4 =����rD 4 � � � �� 5 � E �

� D6F 5 � F � � EO�/(�(�*,#���(I��!���I�4!�*_-M��*�R{= b ��!�*H3��/#����J*K(I��� � ���/�s)B*�* %@���J*K�/��<J$ (�� & 1 <�����*K�)��/(�*K�@(�=/<J*,<J$�=/�@��!�*,��# ���B3 1 ��(��/���o= 1 ��3 1 �4(�F # =��*h��!��� � � � � � 5 � Ec���B�?< 1 ��*,( =/��<J$H��!�*BO;�@ F B -M�J*,R�(c= b 3��#�����*,(���� � :�����o��=M*K(f��=/�f�����?< 1 ��*��4!�* & *K(�(4���/*,(c(�*,�>� )+*��%RL*�*K�o3�����#4(= b !�=>��*,(���3��#�����*,(,F �O! 1 (,: � *7T+��������=/� � F � F � #�* b *,#4(���=H�4!�*A���/(�*n�4!����O�4!�*A(�* & �ea%!�=>��*,(��3��/#����J*K(A��=v��=� 5 =/#_����B��=�gE2RO��#�*?ad���/3 ��!�*8�g!���B��*�<�(A)+*��%RL*�*K� !�=/��*,(��A3��#�����*,( 5 �/�����! 1 (@��(o<��)+*�<�*,� <�RO�J�4!�= 1 �HRO��#�*�ai�4�3�3�������=>Eg: R�!����g!���(H*KD 1 �J-S�<J*K�/�o��= �(4( 1 & ����� ��!�**?N���(���*,����*'= b <�3�#���-.���*'�g!��/����*�<�(>=�F �r=@��*,�<�RO�J�4!p��!�*9�,�(�*'= b RO��#�*?ad���/3�3������B:�=>��*LP 1 (��6%$�& a�A 9 � <=] >GA�D 9 � � c�� N a [ N A 9�b >@? [ >(' ] D�� ^�_ > < a \B [ >@? <=B >@? [ 9^�B A � [ > < ` N�] D�� ^�_ > < a g*) c5e�< � < [ 9>@? [ >�>G? < D _ > ^�_ > ; A�a@> B A ��_ >GA�D 9 DCE >@? < ^�B DC>GD ] D ` e ? <L9+^ ` [ Nd<=; � N ?�D 9�< a@>�D B a < �$A i:?�D 9�< a*> ^ [ B >GA < a gD 9 >@? < A 9�^�_ > a <,+M_�<=9�]=< \X � (.-/-/- (*X�0 g A�a ; A�a*> B A ��_ > <=; A ;�<=9 >GA ] [C`�` N >GD ) \X � (.-/-/- (VX�0 g

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � � ���C����� ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � �M�

��*,*,��(���='� 1 � & *K�>� � � � �� 5 � ErRO����!��4!�*O��#4���(4��#���3��j= b ��!�* & *,(4(4���*K(j(�*K�/�c)+*��%RL*�*K�_�<J<��!�*L3����#4(Q= b !�=/��*K(��Q3��#�����*,(,F�u��A��!���(����/(�*/:K���j��( & =/#�* �B��� 1 #��</��=2��=/��(�����*,#Q��9*�N���*,#4���<���-*,#4(4�#�$@��!���I=>)��������(I��!�*_-M�J*,R�(�= b �<J<j3��#�����*,(���� � �(IR *,<J<Q�(h��<�< & *,(4(���*K(�(�*K�>�=S-*K#���<�<\�g!������*�<�(�F

� *&T+��������=/� � F � F � ���/�s)+*_*K�(��J<�$ ����/3���*K� ��=8��*,�<QRO����!C�@-S�#�$M�����l3��#4� & *,��*,# C:)>$~����^/�����~���-.�/�>�����/*l= b ��!�*p� 1 #4#�*K�/��=/#4��*K#A= b D 1 ��>���OTB*K#�( 5 �iF *F�: <���!�*K#�*8*?N���(��4(��/���<��=>#�����! & � ( 1 �g!;��!��� b =/#H*,-*,#�$ � =>EkF "�� 7 *s��<�(�= ��=/��*p��!B���o��!�*s(�� & 1 <�����=/#H���/��?*K#��4������<�$s!������<J*H��!�*o��#��J-M����<����/(�*K(h���CR�!����g!C*�����!�*,# � � � � =/# � ��� F 5 �O!�*H�,�(�*� � � � ��(��<JR��.$�(L��#��J-M����<i:�R�!�*,#�*,�/(���!�*A�,�(�* � ��� ��(O�4#���-M���<�=/��<�$`)+*,�,� 1 (�*9!�*K#�*nRL*�?=>��(�����*K#���!�*9�,�(�*h= b ��=�RO��#�*?ad���3B3������BF E

� (n��� ��!�*o�%RL=�a%3��/#��%$s�,�(�*: � *&T+���J���J=>� � F � F � ��('*,D 1 ��-S��<�*,�>�n��=s�p��*&T6���J���J=>� ��!������/�;)+*s��*K#���-*K�;)>$ b =/<J<�=SRO����� �4!�* <�#�*,�<ead-�(�ad����*,�< =s3B�#4������ & 5 ����<J=/�= 1 (�<�$ ��=~��!�*��#�*,�� & *,�>����� �M*,�?���J=>� � F ��F ��F �/EkF

+ � �e��U���� ���*� ����� ��� � ] � #0�P� � ! �E� �7 *9��=SR � 1 #4�`��=@�?=>��(�����*K#O�#4)��J�4#��/#�$ b *K�(���)�<J*9��*,-M�������=/�`= b 3��#�����*,( b #�= & �o(�3+*,���OTB*K�& 1 <J���ea%3��#��%$~3�#�=��=���=<iF � ( & *,�>����=/��*K�z�/)B=S-/*:�=/��* & �.$ �?=>��(�����*K#A�%RL=C�<J��*,#4�������J-/*& =���*�<�(70

� F � & =M��*�<L���~R�!����g! �4!�*`� 1 & )B*K#A= b 3B�#�����*,(9�4!�������*�-M������* b #�= & �4!�*`3B#�=/��=��?=/<��(��#4)�����#4�#�$F �O!�*`�4#�*K��� & *K�/�_= b �4!���(��,�(�*l*�NM��*,���B(A�4!�*p��#�*,��� & *,�>�A�/�J-/*,�~�����!�*o�%RL=�a%3��#��%$ ���/(�*/F�u�� 3��/#������ 1 <��#,:\��� �4!���( & =���*,<�=/��*@�,�����=�'3�#�*�-*K�>� & ��a<J���?��= 1 (I3��#�����*,( b #�= & �/)B=>#��������o�4!�*_3B#�=/��=��?=/<�3�#�* & ��� 1 #�*,<J$/:+�/���p��!�*���*&T6���J���J=>�= b (�*,� 1 #����%$s!��/(I��=p�/����= 1 �>� b =>#2��!���( b ���� 5 � b �J�n��(2��= !��.-*��`�g!B�����*_= b )B*,�����& *,�kEgF

��F � & =M��*�<L���~R�!����g! �4!�*`� 1 & )B*K#A= b 3B�#�����*,(9�4!�������*�-M������* b #�= & �4!�*`3B#�=/��=��?=/<��(8(��4#����?��<J$}<�*,(4(8��!��/�W!��< b ��!�* ��=/����<'� 1 & )B*K#`= b 3��/#����J*K(�F �O!�* ��*&T6���J���J=>����<��#�*,��� & *,�>�@= b �4!���(`�,�(�* ��(8(�� & 3�<�*,#@�4!��� ��!�*C��#�*,��� & *,�>�@���-*K�|��� ��!�*C�%R =a3��#��%$`�,�(�*FLu��s3��#������ 1 <��/#�:�=>��* & �.$ y ��� (�= & *A(�*,��(�* y 5 * �q*,�?���J-/*�<�$BEO3�#�*�-/*,�>�& �<J���?��= 1 (Q3B�#�����*,( b #�= & �/)B=>#��������n�4!�*�3�#�=��=���=<�3�#�* & ��� 1 #�*,<J$/F "�� 1 =>��(�*,D 1 *,�>��<J$/:��!�*v��*&T+��������=/� = b (�*K� 1 #����%$z��( < b #�*�*K� = b #�= & ��!�*v��*�*,�|��=z��,�?= 1 �>� b =/#o*K�#�<J$(���=/3�3������+:�����`��! 1 (O��(O(�� & 3�<�*,#,F

7 * b 1 #��4!�*,#O�/(�( 1 & * 5 ��=SRL�/#���(��/�g!��J*,-M�����H�H!����/!�*K#�<J*,-*�<�= b (�*,� 1 #����%$BEf��!��� & �<J���?��= 1 (3��/#����J*K( & �.$s��= &H& 1 �����,����* 5 RO����!�= 1 �')+*������ ��*���*,�?��*,� )>$s��!�*o!�=>��*,(��n3��#�����*,(gEk:\�/���& �.$p��! 1 (n�?=M=/#4����������*9��!�*���# & �<J���?��= 1 (2�������=/��(,F � �?� 1 ��<�<�$:����hRO��<J<�)+*_����(���# 1 �?���J-/*A��=��!�����^ = b ��<�< & �<J���?��= 1 (_3��#�����*,(��(_)B*,����� ��=/�>��#�=<�<J*K�~)>$ =>��* 5 *?N���*K#��B��<�E'���-*,#4(4�#�$F" 1 #93B#�*K(�*K�/�4�����J=>� b =/<J<�=SR�(9�4!�*@����*,�<ead-�(�a%#�*,��<�* & 1 <������J=>�~3��#4����J� & ���>�4#�=�� 1 ��*,�~�/���1 (�*,�`���8�4!�*93�#�*�-M�J= 1 (�(�*K�?���J=>��(�F �O!�*n��� �q*,#�*,����*')B*,�%R *,*,�8��!�*'�%RL= & �<J���?��= 1 ( & =���*,<�(��(L#�*�+*,�?��*,�o���l����� �6*K#�*K���?*2���@��!�*2��=/#4#�*K(�3+=/��������� D � � F B Nr; � �LB :�R�!����g!`���/3�� 1 #�*,( ��!�*6� �(DC> < >G? [ > c E D B [ 1 �M<=;���c A > � [ N � [ �H< [ a � _�] ?3a <=9 a < >GD BG< � <=B a < >@? < D B@;�<=B DCE + _ [ 9 >GA 1�<LB a

A<c�BG<,+ _ A BG< >@? [ >��*E D BK< � <=B@N � >@? <=BG<1<�� A�a*>Ga [ 9 [C` b D B A >G? ������� g

6�� & a e�< a@? [C`�` a <L<Hc >@? < [ a@a _ � ^ >@A�D 9 >@? [ > � [C` A ] A�D _ a ^ [ B >@A < a [ B@< A 9 �$A 9 D B A > N D ^ <=9 a >@? <1; D D B >GD<��f<L] >@A � < ` N3^�BG< � <=9 >GA 9�b >@? < ��E B D�� [ � D B >@A 9�b >G? <!^�B DC>GD ] D ` A � � [ > _�B@< ` N

?�A�a e A `�` �f< [ ] ?�A < � <=; � N` < >@>@A 9�b >@? < � [�� D B A > N$^ [ B >@A < a(? [ � < >@D bH< >G? <=B�� g <=9 D _�b ?QA 9 E D B � [ >@A�D 9 a@D>@D � < [ � ` < >GD < � _ ` [ > < >G? <

�$A 9 D B A > N$^ [ B >@A < a A 9�] [ a < >@? < ` [ >@> <=B [ � D B >

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ����� � � � �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

��� �6*K#�*K�>� �%$�3+*,(L= b )B*K���J�>�l)+*,!��.-M��=/#4(f�4!�������(�*K� 1 #�*h3�#�=��=��?=<6��(L�� & *K�l������g!��J*,->�����+F� ��=��!�*,#\��� �q*,#�*,����*c��(����n�4!�*f� 1 & )B*K#�= b & ��<������J= 1 (\3��/#����J*K(��?=>��(�����*K#�*K�h���n*,�/�g! & =���*,<GF

���*� � �"� � �>� � ] � #�� � � ! �E��^ � =/<J<�=SRO�����C�4!�*s����(�� 1 (4(���=/�;���,�>*K�?���J=>� � F ��F XB:cRL*�?=>���?< 1 ��*n�4!����O�4!�#�*,*'��!������>(O����B��=�O)+*9�.-=����*K�@���`�4!�*MT+#4(�� & �<J���?��= 1 ( & =���*�<J0

� F��s��<������J= 1 (L3��#�����*,( & �.$H#�* b 1 (�*2��=H3��#������?��3����*2���l��!�*n3�#�=��=���=< 5 R�!�*K�l�4!�*23B#�=a��=��?=/</��(*T+#4(��Q���>-/=�^�*K�+EkF � �?� 1 ��<�<�$:�/(r*�N�3�<������*,�9���P�M*,�?���J=>� � F ��F XB:.��!���(j)B*K!��.-M�J=>#& �.$`)B*'-M��*�RL*,�p�(O�o(43B*K�?����<\�,�(�*2= b ����3 1 ��a%( 1 )B(����J� 1 ����=/� 5 �(�����(4� 1 (4(�*K�l���p��!�*��*?N����J��* & EkF

��F��s��<������J= 1 (c3��/#����J*K( & �.$�( 1 )�(������ 1 ��*I�4!�*���#c<�=����<B����3 1 �4( 5 ����H*K�/��*,#f��!�*I3B#�=/��=��?=/<RO�J�4!`����3 1 ��(O=/��!�*K#���!��/�`�4!�*'=/��*,(�3�#�=S->����*K�l��=��4!�* & b #�= & �4!�*'= 1 �4(�����*SEkFXBF��s��<������J= 1 (j3��#�����*,( & �.$��)+=/#��Q�4!�*�3�#�=��=M��=<�3�#�* & ��� 1 #�*�<�$ 5 */F �+FJ:>)B* b =/#�*�(�*,�B���������!�*,��#�<��(�� & *K(�(4���/*.EgF

� �,�?=>#��������/<J$/:Q�4!�*l����*K��< & =���*,< ��(_��*,#��J-/*,�~)>$ �C(��4#���J�>!>� b =/#�R��#4�s�*K��*,#4��<��v|,�����J=>� = b� *&T+��������=/� � F ��F � F u��p<����/!>�O= b ��!���(h(�� & �J<��#��J�%$/:BRL*9��<�<J=SR�= 1 #�(�*�<�-*K(���=@)+*_D 1 ����*9��*,#4(�*/F�r=`(�� & 3�<�� b $p�4!�*_*�N�3B=>(�������=/��:6RL*A�(4( 1 & *_��!����: b =/#I*�-/*,#�$ � :�T+#�(��I�4!�*A�4# 1 (���*,�s3��/#��%$( 1 3�3�<��J*K(��4!�*A���-*,#4(4�#�$oRO�J�4!p��!�* � a%3��#��O= b ��!�*9= 1 �43 1 � 5 �GF *F�:6��!�*9-S�< 1 *'= b -�� Eg:+�/���=/��<J$z��*?N��o��(H���@3+=/(4(���)�<�$z��<�<J=SRL*,� 5 ����4!�*s���-*,#4(4�#�$ � (A����(4��#�*����J=>�+EA��= ��B(�RL*,#���!�*=�4!�*,#23��/#����J*K(�F � ��� 1 �<J<�$:\�/(I���s�4!�*_�%RL=�a%3��/#��%$p���/(�*/:+�4!�*��/��-*K#�(4�#�$`!B�(h��!�*H�)���<��J�%$��=83�#�*�-*K�>�I��!�*_�4# 1 (���*K�s3��/#��%$ b #�= & ���(�RL*,#������`��<�<Q3��/#����J*K(�=>��<J$p���v�,�(�*A���2��=/�>��#�=<�(" �#��%$ � F � t� ��� �* � � �,+ � �e�(' 5 �4!�*c����*,�< & =M��*�< y T+#4(�� & �<J���?��= 1 ( & =M��*�<�E10 V �7= - 0 5 � ��� ��� � E�� Z5�� ��� ��� � E�� a � F 4� k F �HIhl1K 4 @7= DQ; 4 F B9DR= I � T*; � � � � [ 2 ��:;:;: � [ � ��� � � � ��� � � ��:;:/: � ��� B �&=� � � ��� � F 4 � 5Q� 2 ��:/:;: � � � E � � 5Q� � � ��:;:/: � � �� E � 2 : F D&� 5 ��� �HE � g c�� �� � � � �F 4 � � D xF : �<; a F a D B9D =JDQ@ : ;CB9I 4 ;#NVD F B k = DRN�� F B n�; �HDR=Qc�N � � � : �� � 4 = xF 4 F � � � � 7F �HID 4 =Qc �YD � � F B5Nr; � �LB � � c���� %�' " � ���>� $ N � ' % " % � - N�" ��� � 5 � � ��E ' " � X�� ' ��� �) UU% ��� )5 =>� ����3 1 � � � 5Q� 2 ��:/:;: � � � E2��B� � 1 N��J<����#�$ ����3 1 � � E � � � 4 ;>=�� � �� ��# �

2 �" � � � � � � � 5 �

E � D � �@� 4 ��� a IYK 4 D l&; �HN B9I �7B �1@7= D 4 n F � F 4 ��;>N k = F : ��� l&; � =Qc � F � � � � 7F �HI �[F 4 ��B �7= =JD 4 n�� !�� �

2.�" � � � � � � � 5 �

E � ���� 5 � � � ������ E � g c � �� � 5 � �.��� � ��� E D � �*� 4 ��� F l&;CBRBO; g 7W$ � 4 @ F � � F �H=JI 6 D c/; 4 � = 5 �iF */FJ: ���� � E �

� 5 � � � ������ E � ��� 5 - � 5 � ? E � � 5 � � �.��� � ��� � -�� 5 � ? E�E � 5 � F � � E

g c�� �� � ? � ��� 5Q� ? 2 ��:;:;: � � ?� E K(@Hc[= c F = � ?� � � 5 � � �.��� � ��� E � l&; � [ � � F 4 � � ?� � � �;>= c�� � g D � �

$ � 4 @ F � � F �H=JI 6 D 4 ;>=�cE; 4 � = 5 �iF */FJ: � � � E � � 5 � � � ������ E � $&K F B 5 � � � � � 5 � � �.��� � ��� � -�� 5 � ? E � E�E � b � 5 � � �.��� � ��� � -�� 5 � ? E�E � 5 � F � �>E5 - � 5 � ? E � � 5 � � � ������ � -�� 5 � ? E�E�E =/��!�*K#�RO��(�* 5 � F � XME

�%� & aKA 9 >G? < > e DCi ^ [ B > N�] [ a <Hc >G?�A�a ] D 9 � <=9 >GA�D 9 A�a B [ >G? <LB [ B � A > B [ B@N�� a <L<1; A�a ]=_ aGa@A�D 9 [ >K>@? <1<=9�; DCE� <=] >GA�D 9 � � � ���

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � � ���C����� ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � � �

g c�� �� � D 4 a ;#=Qcx@ F � �� � ? ���� 5 � ? 2 ��:;:/: � � ?� E K(@&c = c F = � ?� � � 5 � � �.��� � ��� E � l&; �[ � � F 4 � � ?� � � ��;#=Qc � � g D � �u��9�<J<M���/(�*K(\��!�*f��# 1 (���*K�93��#��%$2��(r���>-/=�^�*K�2RO�J�4!A3+=/(4(���)�<�$2( 1 )�(������ 1 ��*,�A����3 1 ��(,:���*,��=��*K�� ? � 5Q� ? 2 ��:/:;: � � ?� Ek:jR�!�*K#�* � ?� �� � � =>��<J$ � b [ � � F � D6F 5 � F � �>En#�*K3�#�*,(�*,�>��('�4!�*`�,�(�*R�!�*K#�*n��!�*2�4# 1 (���*,�p3��#��%$o��(O(���=/3�3+*,�8#����/!>�O� b ��*,#O( 1 3�3�<�$M�������4!�*'���-/*,#4(��/#�$HRO����!8��!�*� ad3��/#��'= b �4!�*@= 1 ��3 1 � 5 �iF */FJ: -�� 5 � ? E�EkF �O!���(A���/(�*H��(A�<J<�=SR *K�v=>��<�$vR�!�*K� � � � :Q�/���(�= " �#��%$ � ���/� ��<�RL�.$�(@)+*�<�)�<�� & *,� =~R�!�*,� ��!���(p!��3�3+*,�B(�F � 2 � D 1 �����=/��( 5 � F � � E��B� 5 � F � XMEL#�*K3�#�*K(�*K�>�L�4!�*A�,�(�*,(OR�!�*K#�*'�4!�*9�4# 1 (���*K�p3��#��%$l��(O���/-/=�^*,�`RO�J�4!s3B=>(�(���)�<J$( 1 )�(������ 1 ��*,�~����3 1 �4( 5 �(_�)+=S-*.Eg:Q) 1 �A��(A�<J<�=SR *K� ��=v�/��(�RL*,#A��<�< 3��/#����J*K(�F 7 *`(���#�*,(4(��!B���L*�����!�*K# �<J<q!�=/��*,(�� 3��/#����J*K(c�*,�f�4!�*���#f= 1 ��3 1 � =>#f�<J<q�#�*I��=/���zTB*,�l��!���f��!�*h�4# 1 (���*K�3��/#��%$|R��(8(���=/3�3+*,� )/$}�4!�* ���-/*,#4(��/#�$/F � ( 1 ( 1 �<G:h��!�*~��*7T+��������=/�W= b (�*,� 1 #����%$|��(=/)���������*K�v)>$ #�*KD 1 ��#������l��!B��� b =/#2*�-/*,#�$ b *K�(���)�<J*����-/*,#4(��/#�$`���C��!�*H#�*,��< & =���*�<j��!�*,#�**?N���(��4(j�I�?=>#�#�*,(43+=/���������I�/��-*K#�(4�#�$I���9�4!�*�����*,��< & =���*�<M��!B������g!���*�-/*,(���!�*�(�� & * *��6*K�?��F�M3+*,���OT+�,��<�<J$/:����v�4!�*@#�*,��< & =���*,<G:r��!�*o���-*,#4(4�#�$ & �.$s�4�3 ��<�<c�?= &�& 1 �����������=/�C<J����*,(��B�`��*,��*K# & ����* 5 �/���3����J-/*�<�$BEf�<J<���!�*'= 1 ���/=����� & *K(�(4���/*,(L= b ��<�<�����(�!�=>��*,(��O3��#�����*,(,F� ��� �* � � �,+ � �e��� 5 (�*,� 1 #����%$l���p��!�*6T+#4(�� & �<J���?��= 1 ( & =���*,<xEH0 V �7= - a � F D 4 �@� k4 DR=JDQ; 4 ^ ��� �;C��GF 4 � E a � F 4 k : F �H= I : �<;>=?;�@A;CBCl&; ��@A;#N : K/= D 4 n - �

$ � c � � %(' " � � �#� $ N � ' % " % � E N�" ��� � 5 ��� nE ' " � X�� �R� �) UU% ��� ) 5 =/�p����3 1 �2(�*KD 1 *,����*� � 5 � 2 ��:;:/: � � � EQ�/���_� 1 N��J<����#�$'����3 1 � � E � � � 4 ;>=�� �0���� �#� � � � � � � 5 � E � D � �@� 4 ���F = c��[;#K/= : K/= � $7K � 4 @�� �� K�B9=JD 4 n ;slP=Qc �PD 4 =�� � F @&=JDQ; 4 a �7= g ��� 4 =Qc � : F �H= D � ��g c�� ��[= c��N�� � 7F n � ;sl : F �H=JD � D 4 � F ��i@1;#N : K/= ��� F @1@A; ��>D 4 n =j; 5 � � �.��� � EF 4 �y=Qc ��N�� 7F n � ;ml : F �H=JD � D 4��� � ��� � ��� � F ��Y@1;>N : K/=�� � F @1@1; ��#D 4 n =?;E � � � � : �A@7D ��@ F BRB9I � =Qc ��N�� 7F n � ;ml�N F B9DQ@7DQ;>K : F �H=JD � _5 �iF */FJ:q3��#�����*,(I��� � E F ��� �7= � �HNVD 4 ��� a I =Qc � F � � � � &F �HI a F ����; 4 = c�� D 4 DR= D F B�D 4C: K/= ;mli=Qc � : F �H= D � D 4 � � = c�� F K "CD BpD F �HIyD 4C: K/= � �[F 4 � F BRB!N�� � 7F n � � 4 = ;l F � a I F BRB : F �H= D � 5 �����?< 1 ������� & *,(4(���*K(L#�*,��*���-*K�l)>$@��!�*9!�=/��*K(���3B�#�����*,( 5 �iF */FJ:63��#�����*,(L������ E�E �

$ �$�<;>=?;�@A;CB E D 7F D ��=j; O � $ N �R� ) � $&%VU LCN � � - 5 ���A�4!�*hT+#�(�� & �<J���?��= 1 ( & =���*,<xE D l l&; �� � � �HI : �<; a F a D BpD =JDQ@ : ;#BpI 4 ;>NPD F B k = DRN�� F B n�; �HDR=Qc�N 5 #�*K3�#�*,(�*,�>�������'�'#�*K��<Ja & =���*,<���-/*,#4(��/#�$p(��4#����*,�$BE =Qc � �� � "�D = F : �<; a F a D B9D =JDQ@ : ;#BpI 4 ;>NPD F B k = DRN�� F B n�; �HDR= c�N� 5 #�*,3B#�*K(�*K�/������� ��|����*,�<ea & =M��*�<h�/��-*K#�(4�#�$ (���#4����*,�$BE K(@&c = c F =Gl&; � �&� � �HI� � � �

� �� ��# �2 �" � � � � � � � 5 �

E � � � ��/ � ���� �#� � � � � � � 5 � E � � � �

0 c � 4 =Qc � @A; 4 =�� "�=hD @LB � F � � g � ;#N��7= DRN�� �� l � �6=?; E F VF 4 ' U L ) � U �#" � � ' % ";ml - �

7 *9(��4#�*K(�(L��!B���O��!�*'����*K��<Ja & =���*,<q�/��-*K#�(4�#�$ 5 �iF */FJ: ��EL�?=>�>��#�=<�( *�N���?��<J$o�4!�*9(4� & *'(�*,�= b 3��/#����J*K( 5 �iF */FJ: � EO�(O�4!�*'��!�*_#�*K��<Ja & =���*�<\�/��-*K#�(4�#�$ 5 �iF *F�: 2EgF � *&T6���J���J=>� � F � F X 5 �(��� � 9 E [ ] > c A 9 >@? <1^�B DC>@D ] D ` a ^�B@< a <=9 > <=;�� < ` D e�cM< [ B ` N [ � D B >KA�a [C` e [ N a ;�_�< >GD � [C` A ] A�D _ a � < ? [ �MA�D BDCE � [ B > N ���� N�3 <21 9 A >@A�D 9 � � � � < ` D e g c >@?�A�a�> B [ 9 a ` [ > < a >GD � [C` A ] A�D _ a � < ? [ �MA�D B DCE � [ B > N � A 9 >G? <A ;�< [C` �$D ;�< `

�=7 D 1 >�>G? < E D B � [ > _ a <L; A 9 3 <21 9 A >@A�D 9 �

� � c >@? < D _ > ^�_ >@a DCE >@? <'^ [ B >@A < a A 9����� �� Z � Z ������� X g*g[ BG< [ B@B [ 9�bH<=; a _�] ?�>G? [ > >@? < D _ > ^�_ >@a'DCEF>@? < ?�D 9�< a@> ^ [ B >GA < a [ ^�^ < [ B D 9 >@? < `?a

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ����� � � � �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

RL*�<�<>�/(��4!�* b =/<J<�=SRO����� � *&T+��������=/� � F � F � Eq#�* b *K#�(r��=2��9�/��-*K#�(4�#�$I�4!���� & �.$2RO��#�*?ad���3'�<J<�?= &H& 1 �����������=/�s�g!B�����*,<�(,F �O!���(2��(n#�*�B*K�?��*K� ���v�4!�*���*&T+��������=/�C= b ���� �#� � � � � � � 5 � Ek:R�!����g!l�<J<�=SR�(!���=���*���*,# & ����*2����(��������=/��(L)��(�*,�l=/�@�<J< & *,(4(4���*K(f��= &H& 1 �����,����*K�l(�=b �#,F 5 �O! 1 (,: b =/# � ��: � *&T6���J���J=>� � F � F X'��(L(��4#�=>���*K#c��!B�� � *&T6���J���J=>� � F ��F � :/)+*,��� 1 (�*5G1 ��<J� ^�*_��!�*_<������*,#gEL��!�* b =/# & *,#I#�* b *K#�(h��<�(�=o��=l�4!�*_�,�(�* � � � :6R�!����g! ��(h��=/��ai�4#���-M���<)+*,��� 1 (�* ����#�* b *,#4(���=n�/�A�/��-*K#�(4�#�$h�4!���� & �.$'RO��#�*?ad���/39�4!�*O�?= &H& 1 �����������J=>�9�g!��/����*�<iF Eu��`=/#4��*,# ��=H��*,#���-*n�_��*7T+��������=/� b =/#L��!�*n3B#���-S����*n�g!��/����*�< & =���*�<i:�=/��*2(4!�= 1 <�� & =M��� b $��!�*9��*&T+���J���J=>�p= b ���� ��� � � � � � � 5 � EL( 1 �g!8��!���� � (��������=/��( & �.$l��*,3+*,���p=>��<J$`=/�8��!�*& *,(4(���*K(L#�*,��*���-*K�l)>$`3��/#����J*K(���� � F

���*� � �>]�� ��!���� � ] � #0�5� � ! ����^ u�����!�*I(�*K�?=>��� & =���*,<G:>R�!�*,#�* & ��<������J= 1 (c3��/#����J*K(�#�*A���v(���#����?� & ����=>#����%$:q��!�*�*K�#�<J$>a%�)+=/#��I3�!�*K��= & *K���l�,��v)+*�* �q*,�?���J-/*�<�$s3�#�*�-*K�>��*,�\F�O! 1 (,:6���s�4!���('���(�*:6��!�*,#�*_��(n��=`��*,*,�v��= <���=/<J*K#����* =o*,�/#�<�$>ad�/)B=>#����/���v��=/��(�*,D 1 *K�/��<J$= 1 #9��*&T6���J���J=>� = b (�*K� 1 #����%$v#�*KD 1 ��#�*,( <43�#�=/3+*,#n��*K# & ���������J=>� =p= b *?N�*K� 1 ���J=>��(�F �O!���('��(#�*�B*K�?��*K�l���`��!�*'��*7T+��������=/�`= b �4!�*n����*,��< & =���*,<G:�R�!����g!8��?� 1 ��<�<�$@)B*K�?= & *K(O(�� & 3�<J*K#�F �54� ��� �* � � �,+ � �e��� 5 (�*,� 1 #����%$n���_��!�*L(�*,��=/��� & �<J���?��= 1 ( & =���*�<i:�/(�( 1 & �����h!�=>��*,(�� & ��aP�=/#����%$�EH0 V �&= - F 4 � E a � F D 4 �*� 4 DR=JDQ; 4 ^ ����� V �

$ � c ��D � � F B k N ; � �LB F � � � � &F �HI D � �@� 4 ��� F D 4 �*� 4 DR=JDQ; 4 ^ ��� �;C�� �#"�@�� : =]= c F =S= c��F a ; �H=U@ F �[@ F : =JK ���� a Irq%$ �f5 � F � �/E D 4 ;>= F BRBz; g ��� � � c��[@1; �-� � : ; 4 �#D 4 n �7;#D 4 =@A;#N : K/= F = DQ; 4 D 4 = c���D � � F B�Nr; � �LB � K 4 � � � 5 � � ��E � D � � 4 ;>=���� a I �� ��� � � �" � � � � � � � 5 �

E �$ � c �#� � F B k Nr;*� �7B F � � � � 7F �HI�D � �@� 4 ��� �#" F @7=JBpI F D 4 �*� 4 DR=JDQ; 4 ^ ����� V ��� ; g k� � � � � g � g D BRBh; 4 B9IY@1; 4 D � � �i=Qc � @ F �i= c F = K(@&c F � � � � 7F �HIY@1; 4 =��A;#B � =��HDQ@&=jB9IB � � = c F 4 �� �P: F �H= D � &�

$ �$�<;>=?;�@A;CB E D 7F D � =?; O � $ N � � ) � $7%BU LCN � � - 5 ���C��!�*H(�*,�?=>��� & ��<����?��= 1 ( & =M��*�<�ED l-l&; � �&� � �HI : �<; a F a D B9D = DQ@ : ;CB9I 4 ;#NVD F B k = DRN�� F B n�; �HDR= c�N 5 #�*,3�#�*,(�*,�>�������A�A#�*K��<Ja& =���*,<����-/*,#4(��/#�$p(��4#����*,�$BE =Qc � �� � "�D = F : �A; a F a D B9D = DQ@ : ;#B9I 4 ;>NPD F B k =JDRN�� F B kn�; �HDR=Qc�N � 5 #�*K3�#�*K(�*K�>�������o��p����*,�<ea & =M��*�<��/��-*K#�(4�#�$@(��4#����*,�$BE K(@&c = c F =�l&; �� � � �HI���� � � K(@Hci=Qc F = � � �� �� � DR=3c/;#B � =Qc F =

� �� ��# �� �" � � � � � � � 5 �

E � � � ��/ � ���� �#� � � � � � � 5 � E � � � �

0 c � 4 =Qc � @A; 4 =�� "�=hD @LB � F � � g � ;#N��7= DRN�� �� l � �6=?; E F VF 4 ' U L ) � U �#" � � ' % ";ml - �

7 *8(���#�*,(4(9�4!�������� � *7T+��������=/� � F � F � R *8�?=>��(�����*K#9=/��<J$~���-*,#4(4�#��J*K('��!���_��=/�>��#�=<L�(���#������ & ����=/#����%$@= b ��!�*93B�#�����*,(,F

�i � ] #�� �� � � � �O!�*_�%R =@�<J��*,#4�������J-/* & ��<������J= 1 ( & =���*�<�(��/�J-/*A#���(�*9��=l�%R =l�/3�3+*,��<��������B�~$*,� b 1 ���B� & *,�>���<J<�$ ���B�?= & 3��/#��/)�<�*l��=���J=>��(9= b (�*K� 1 #����%$F " 1 �A��� =/��!�*K#9RL=/#4��(,:��!�*,#�*2��(�����#4���*?ad= �v)+*��%RL*�*,�`��!�*'RO�J<�<J�����>��*,(4(���=o3 1 ��a 1 3pRO�J�4!`*K�#�<J$>a%�)+=/#�� 5 �GF *F�:B��=/��?=>��(�����*K#'���A�s)�#�*,�/�g!v= b (�*,� 1 #��J�%$BEk:j��B�~#�*KD 1 ��#������ ��!�*l3B#�=/��=��?=/<c��=v)+*l#�=/) 1 (��9�<�(�=�8I � 9 >@?�A�a ] [ a <Hc >@? <�;�<21 9 A >@A�D 9�<�� > <=9�; a >@? < D 9�<�^�B@< a <=9 > <=; A 9 � <=] >@A�D 9 � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � � ���C����� ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � � X

���>������(�� & ��<����?��= 1 (n�?=>��<��J���J=>��(2�?=/�>�4#�=/<J<������`� & �SP�=/#����%$8= b �<J<�3��/#����J*K(�F �O!�*�D 1 *K(����J=>�= b R�!����g!C��=���J=>� = b (�*K� 1 #��J�%$p��(n3�#�* b *,#4�)�<�*_��*,3+*,����(2=>�s��!�*��/3�3�<����,������=/� 5 =>#I=>�s��!�*(�*����������MEkFlu�� (�= & *o(�*����������/(n=/��* & �.$C3�#�* b *,#n��=s)B*@3�#�=��*,����*,� b #�= & & �<J���?��= 1 ( & ��aP�=/#�������*,(,:cR�!���<J*8���-M�����a 1 3~��!�*8� 1 �#4��>��*,*@��!����3B�#�����*,(�����B��=�H�)+=/#��A�4!�*83B#�=/��=��?=/<3�#�* & ��� 1 #�*�<�$ 5 R�!��J<�*A)+*������@��*���*,����*,� ��=�����@(�=�EkF " �8��!�*9=/��!�*K#�!��/����:B��� (�*����������/(O���R�!����g!`�H(���#������ & �SP�=/#����%$o= b �4!�*93��/#����J*K(L�,��8)B*'�4# 1 (���*,�8��= b =<�<�=SR ��!�*93B#�=/��=��?=/<G:M=/��*& �.$~=/)��4�����~��!�*p)+*,��*&TB�H= b * �q*,�?���J-/*�<�$ 3�#�*�-*K�>�������C3��/#����J*K(���= �)+=/#��_�4!�*83B#�=/��=��?=/<3�#�* & ��� 1 #�*�<�$F 7 * (��4#�*K(�(_��!���o��<�<���*&T+���J���J=>��(H�#�*`*K�(��J<�$ ����/3���*K� ��= ��*K��<�RO����!��-S�#�$M�����H3��/#�� & *,��*K# CF

&('�� '�� ��.=/��%<H7@?�� 7 ?�,�.���.=3 7�� 1��.=AM?�� 1� %.=9" 1 #j�?=>��(���# 1 �?���J=>�'= b 3�#���-S����* & 1 <J���ea%3��/#��%$93�#�=��=��?=<�( 5 �iF */FJ:(�*,� 1 #�* -/*,#4( 1 (Q(�* & �ea%!�=>��*,(��)+*,!��.-M��=/#gE b =/# ��>$_�/�J-/*,� & 1 <J���ea%�#�� 1 & *K�>� b 1 ��������=/���<J���%$ b =<�<J=SR�(��4!�*h3B#�*K(�*K�/�4�����J=>�H= b��!�*I�%RL=�a%3��#��%$A���/(�*/F � =/# (�� & 3�<J���?���%$:MRL*���!�����^�= b �4!�*h� 1 & )B*K#c= b 3��#�����*,(� �( )B*,�����T�N�*,�\F$�O!�*A#�*K���*K# & �.$l-/*,#�� b $`��!���I��!�*A��*,3+*,�B��*,����*9= b = 1 #I��=/��(���# 1 �?���J=>��(O=>� ���(��� & =/(���3+=<�$M��= & ���<GF

" 1 #�3�#�=��=���=<O�?=>��(��4# 1 �?����=/�z����/3���(���!�*8=>��* 1 (�*K�z��� �4!�*p�%R =ad3B�#��%$ �,�(�* 5 (�*,*�>*K�?����=/� � F X>EgF��O!B���H��(,:LR * �?=>��(�����*K#H� � � 5 �/E_�?��#�� 1 ��� b =/#�*�-S��< 1 �������� ��!�* 5 ��*���*K#�a& ������(������KE� la%�#�$ b 1 ���?���J=>����<��J�%$ - :q���� (����/#��h)/$p<�*����������l*K��g! 3��/#��%$p(�!B�#�*'�J�4(I����3 1 �)�����(hRO�J�4!v�<J<Q=�4!�*,#h3��#�����*,(2( 1 �g!p��!���h�4!�*_( 1 & = b �<J<j(�!B�#�*,(�*KD 1 ��<�(��4!�*_����3 1 �h)�����F# *�N���:M(��,����������9�4!�*I����#4� 1 ��� b #�= & �J�4(c����3 1 � RO��#�*,(f��=9����(f= 1 �43 1 � RO��#�*,(,:RL*I3�#�=/3���/���*(4!��#�*,(n�4!�#�= 1 �/! �4!�*@�?��#�� 1 ���9�/���*,(,:r)>$ 1 (������s� ( 1 �����)�<J*@3�#���-.���*@��= & 3 1 �4������=/�\F � (���s��!�*_�%RL=�a%3��#��%$p���(�*:6RL* b =�� 1 (I=>�s��!�*�3�#�=/3B���/�����=/�p= b (�!��/#�*K(I�4!�#�= 1 �>! & 1 <�����3�<��ea�������=/� �>����*K(�F �O!����_��(,: b =/# " �#��%$ [ !�=<��������v)�����(�� � �/����� � :�R *lRO��(4!~��= �?=>��� 1 ���� 3�#��J-S���*o�?= & 3 1 �������=/� ( 1 �g!C�4!����'�4!���(93��#��%$s*K����(�a 1 3 RO����! � #4�����= & )���� � � �/���5�� ���� 2 � � E�� 5�� ���� 2 � � E � � ���� 2 � � !�=/<���(,F�� =>#�*A3B#�*K�?��(�*,<J$/:BRL*A�#�*'���>��*,#�*,(���*,�p���s3�#��Ja-S����*�<�$l�?= & 3 1 �������o��!�* b =<�<J=SRO�����H#��/����= & �v|�*K� `ad�/#�$ b 1 ���?���J=>����<��J�%$

5�5 � 2 � � 2 E ������� � 5 � � � � � E�E XZ 5 � 2 ������� ��� � E 1 ��� b =/# & <J$@��� � � � ��� � 5 � F �C� E( 1 )�P�*,�?�O��=

����� 2

� � ������ 2

� � ������ 2

� � � 5 � F � � E

�O! 1 (,:Q�<J< ��!���9R *@��*�*,� ��=v��= =>� ��=/3 = b �>*,������=/� � F Xp��(A��=v3B#�=S-M����*@� 3�#��J-S����*� la3��/#��%$p�?= & 3 1 �������=/� = b �4!�*H�)+=S-* b 1 ��������=/���<J���%$F��O!���(I��(h��=/��*�)/$p3�#��J-S���*�<�$ #�*K� 1 �?a�����B: b =>#n�#4)��J�4#��/#�$ :\��!�*o��= & 3 1 �4������=/�v= bh� D6F 5 � F �C� E y 5 � F � � E���=`�4!�*o�?= & 3 1 �������J=>�= b �4!�*A(4� & * b 1 ��������=/���<J���%$ b =>#O��!�*A���/(�*9�,�(�*� � ��:+R�!����g!p���p� 1 #��p��=�����?����*,(IRO�J�4!� D6F 5 � F � � E y 5 � F � � EgF � 1 �hT+#4(��OR *'��*,*,�`��=@��*7T+��*'��8�3�3B#�=>3�#�������*2��=����=/�`= b �H#�*K� 1 �?a����=/�\FCu�����*�*,�\:���!�*p��*�R ��=����=/� = b �v#�*,� 1 �?���J=>�~��( & *,#�*�<�$ �v�*K��*,#4��<��z|K�����J=>� = b ��!�*��=/����=/�83�#�*K(�*K�>��*,�`��� �M*,�?���J=>� � F X�F � F

+ � �e�('e��U � ]C� � _�� �� � � � �M�*�E� � � �7 *hRO��(�!l��=_�*,��*,#4��<��z|,*���!�*n��=/����=/�@= b 3�#��J-S���$o#�*K� 1 �?���J=>�l3�#�*,(�*,�>��*,�o��� �>*K�?���J=>� � F X�F �5 ���;��!�*p�?=>�/��*?N���= b �%RL=�a%3��#��%$ 5 (�* & �ea%!�=/��*,(��kEA�?= & 3 1 �������J=>�+EkF��h*,#�*`�4!�*p#�*K� 1 �?���J=>���(��� `ad3��/#��%$`3�#�=/��=��?=/<���!��� & �.$l���>-=�^*'���Mad�/#�$ b 1 ���?���J=>����<��J�%$8���`����(I=/#4���<J*'���<J<�(,:

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� �C� � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

R�!�*K#�* ��� F�u��A�,�(�* � � :���A=/#4���<J*f�,��<�<>��*�*,�B(r��=h(43B*K�?� b $9��<�(�=h��!�*�(�*���= b 3��/#����J*K(R�!�=9�/#�*���=93B#�=S-M����* �4!�*I��=/#4#�*K(�3+=/��������� �_���B3 1 ��(,F � ��� 1 �<J<�$:/��!�*O=>#��/�?<�*��,��<�<���*�*K��(���=(43B*K�?� b $ ��!�*_=/#4��*,#I= b �4!�*,(�*_3��/#����J*K( 5 �GF *F�:�R�!����g!s3��#��%$ (�!�= 1 <��s( 1 3�3�<�$pR�!����g!s����3 1 ��:*��4��F EkF 5 7 *l��=/��*o��!B���9�4!�*@=/#4��*K#������p= b 3��#�����*,(A��*�*K��('��=s)+*l(43B*K�?�zTB*,�~�<�(�=p���~�,�(�*� � :S����n������*,*,�'�4!���(\R��(���=/��*c� & 3�<������J��<J$n���V�>*,������=/� � F XBF � :,R�!�*K#�*f��!�*L�?=/�>-/*,�>����=/�R��(��4!����2��!�*_3��/#��%$pR�!�= & ��^�*K(���!�*_=>#��/�?<�*9#�*KD 1 *,(��I��(I�4!�*_=>��*_( 1 3�3�<J$M�����l�4!�*6T+#4(������3 1 �,FIu�� ���/(�*���� �o( 1 �g! �`�?=/�>-/*,�>����=/�p��=M*,(h��=�h��*���*,# & ����*_��!�*��?=/#4#�*,(43B=>����*,�B�?*)+*��%RL*�*,�|3��/#����J*K(o����|#�=<�*,(,:L�/������! 1 (@)+*�<�=SR RL* 1 (�*s���*?N�3�<����?��� & *K�g!������( & b =>#��*7T+�������o��!�*9��=/#4#�*K(�3+=/�B��*,����*F E� ��� �* � � �,+ � �e� � 5 `ad3B�#��%$A3�#�=��=���=<�(jRO�J�4! �>a%�#�$9=/#4���<J*O��,�?*K(�(gE10 2 D 4 = c��5= g ; k: F �H=JIP@ F � �SF % � $ ) � S ' ������L � % � %/$&% ) D �F 4 ; � �>D 4 F �HI : �<;>=?;�@A;CB F KCnCN�� 4 =���� a I F : F D&��;sl; � F @LB � k = F : � : � � � F @Hc : F �H=JI ��F 4 �[; � F @LB � k @ F BRB = � : � �@� 4 � � F l&;#BRBO; g � q F @&c ;mlM= c�� �: F �H=JD � N F I � 4 � F : �1@&D F B % � $ ) � � ���BN>� O<� N�� � &F n � � =?; F BRB�;>= c�� � : F �H= D � &� � c��; � F @LB � �� $7K � = N�� � 7F n �!@1; 4 = F D 4 F � $7K � 4 @�� ;ml � �#D = D 4 @&= : F �H=JD � �� @ F BRB ���M=Qc � �R���VN�� Os�O ���BN>�>" $ � � = c F = F �� =?; K :C: BpI $&K � �HD � D 4 = c���@7K �-�� 4 =�; � F @LB �P@ F BRB � � 4 �� : ; 4 � � � F @Hc: F �H=JI : �1@7D � ���6D 4 = c����� $&K � = � $&K � 4 @�� g �HDR= � UF =��HD 4 n � @ F BRB � �VDR= �BN>����� � ; 4 DR= ; g 4g �HDR=�� k ; 4 B9I~; � F @LB � k = F : � ��F 4 � �� : ; 4 � =?; =Qc �#�� $7K � =JD 4 n : F �H= I g DR=Qc F 4 % � $ ) � $ �)9)N�� � 7F n � � 2 =h= c�D : ;#D 4 = = c��r; � F @LB � D D 4 ��;�� ��� F 4 �i=Qc � �� K�B9= D =Qc F = F =��HD 4 n � 4 ;>=4 �1@�� 7F �HD B9I6= c�� &F N�� � D g �HDR=J= � 4 a I =Qc �5; � F @LB �M; 4 =Qc � � � F � k ; 4 B9I�; � F @LB � k = F : �M;ml � F @Hc;ml6=Qc � � : �A@7D � ��� : F �H= D � &� � c�D ��k � $&K � 4 @���;sl =��HD 4 n D @ F BRB ���=Qc � % � $ ) � " O 8���� �" ��* & �.$z�/(�( 1 & *:LRO�J�4!�= 1 �@<J=>(�(H= b �/*,��*K#��<J���%$: ��!���o��!�*C3��#��%$ R�!�=~���>-=�^*,(���!�*=/#4���<J*'��(��4!�*9=>��*9R�!�=l3�<��.$�(O�4!�*A#�=<�*'= b ��!�* T+#4(��I3B�#��%$l���p��!�*�#�*K� 1 �?���J=>� 5 �iF */FJ:6��!�*T+#4(���*�<�* & *K�/�H���z�4!�* #�*KD 1 *,(��o(�*KD 1 *,����*`��(H��<�RL�.$�(_��!�*p����*,�>�����%$ = b ��!�*p3B�#��%$~��!���#�*,D 1 *,(���(��4!�*9� 1 #�#�*,�>�L=/#4��?<�*n����<�<�EkF� ��� �* � � �,+ � �e�vu 5 & 1 <J���ea%3��/#��%$l3B#���-S��?$@#�*,� 1 �?���J=>��(kEH0

$ 254 k : F �H= I5; � F @LB � k F D � � � : �<;#=j;�@1;#B�D 7F D ��=?; a �4N O ' " � � X>� � S ��� % � $ ) � S �@N�" $ � ' % " �) ' � �- D lM= c��P; � F @LB � F 4 g � � 6F �� F @1@1; ��#D 4 ni=j; - � � c F =GD �� g c � 4 =Qc �V; � F @LB ��D D 4(k��;�� ��� g DR=Qc �� $7K � = � $7K � 4 @ � 5 2 ������� � �� E �GF 4 �[= c�� $7K � �HI k � $7K � 4 @ � � 2 ������� � � � D K :�: B9D ��� a I : F �H=JD � � 2 ������� � ���� =Qc � F 4 g � � k �#$7K � 4 @���D �>D =��HD a K/=���� F - 5�� 2 ������� � ��� E �� : �A@7D ��@ F BRB9I � : F �H=JI % D 4 = c�� ~k : F �H=JI : �<;#=j;�@1;#B 5 ��!�*O=/��*�R�!����g!_( 1 3�3�<J��*,� � % E � D =Qc �U; 4 � g c�DQ@Hc[; a = F D 4 = c�� F 4 g � � : F �H= - % 5�� 2 ������� � � � E � 2 D 4 �*� 4 DR=JDQ; 4�� ��� �����g �$�� $&K/D&� �G=Qc F =e= c��!B � 4 n#= cV;ml � F @&c�$7K � �HI a � : ;#B9I 4 ;>NPD F BRB9I � �7B F = ���M=?;�= c�� B � 4 nC= c;mlM= c���D 4 DR=JD F BeD 4C: K/= �

$ 254� ~k : F �H=JIi; � F @LB � k F D � ��� : �<;>=?;L@1;CBtK D 4 n= c�� ��k F �HI ; � F @7B � k l1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JI - D &F D � =j;>L � ' �� � � ) � $7%BU LCN � ��� D l�= c�� �� �#"CD = F : ;CB9I 4 ;#NVD F B k = DRN�� F B n�; �HDR= c�N �� � 4 ;>=���� � � 7F =JD l1I>D 4 n q%$ ��5 � F � � E � g c�� ���= c��M@1; �-�� : ; 4 �#D 4 n ��D � g 5F �� � �@� 4 ���D 4 =Qc � 4 F =JK � F BeN F 4(4 � � �

$ 254� ~k : F �H=JI�; � F @7B � k F D � ��� : �<;#=j;�@1;#B�D $ 7F D ��=?;8L � ' �� � � ) � � � �BN $ ��=Qc � k F �HI3l1K 4 @ k= DQ; 4 F BpDR= I�� =?;Y=Qc � ��k F �HIPl1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI - � D l DR= : �HD�� F =��7BpIx@A;#N : K/= � � g c�� 4K D 4 n =Qc �[; � F @LB � k l1K 4 @&=JDQ; 4 F B9DR=JI - � � 4 K(@Hc F @ F � g � 7F I =Qc F =�� ' O L � ' �> � � ) �� � �BN $>' ) � � % - �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � � ��� � ���� � ����� � � � � � � �

7 *9�#�*n��=SR #�*,���$o��=o�*K��*,#4��<��v|�* �O!�*�=>#�* & � F X�F X�0

���*�E� � � � + � �e� + 5 1 = & 3+=/(��J���J=>� �O!�*�=>#�* & b =/#\��!�* & 1 <J���ea%3��/#��%$2(�* & �Ja%!�=/��*K(�� & =���*,<xEH0� K :�: ; � =Qc F = = c�� k F �HIMl1K 4 @7=JDQ; 4 F B9DR=JI ��D : �HD�� F =��7B9I ����#K(@&D a B �r=?;i=Qc � ��k F �HI5l1K 4 @ k=JDQ; 4 F B9DR=JI - ��F 4 ��= c F =5= c�� �� � "�D = [F ��k : F �H=JI : �<;#=j;�@1;#B(l&; � : �HD�� F =��LB9I @1;>N : K/=JD 4 n - �� c�� 4 = c�� �� � "�D = �F 4� ~k : F �H=JI : �A;>=?;L@1;#B�l&; � : �HD�� F = �LB9Ii@1;#N : K/= D 4 n � �� (����`��!�*n�%RL=�a%3��#��%$o���(�*:M�4!�* 1 = & 3B=>(�������=/� �O!�*�=>#�* & ���/�`)+*n�*,��*,#4��<��z|,*,�o��=�$M��*�<����#4��B(�������-M�J�%$8= b 3�#���-.�/�?$>a%#�*K� 1 �?���J=>��(#:B��!B���I��(,:+� b � ��(23�#���-S����*�<�$8#�*,� 1 �?��)�<J*_��= - �/��� -��(O3�#���-S����*�<�$`#�*,� 1 ����)�<J*n��= � ��!�*K� � ��(�3�#���-.���*,<J$l#�*,� 1 �?��)�<�*2��= � FT�� �e��� Z�[����,]��f^ �O!�*h�?=/�B(��4# 1 ������=/�H( 1 3�3+=/#��������'��!�*I��!�*,=/#�* & ��(f����*K�>��������<B��=9�4!�*�=/��*1 (�*,�~���~�4!�*`3�#�=M= b = b �O!�*�=/#�* & � F X�F X�0 � *,� E�� � " )+*`�s=>#��/�?<�*?a%������*,� 3�#�=��=M��=< ��!���3�#��J-S���*�<�$v#�*,� 1 �?*,( � ��= - :r�/��� <J*,� E " )+*l�p3�#�=��=M��=<��4!����93�#���-.���*,<J$ �?= & 3 1 ��*,( - F�O!�*K��:/�'3�#�=��=��?=< E b =/#c��= & 3 1 ������� � ��(f��*,#��J-/*,�H)>$_(����/#��������nRO����! E � � " :>����H#�*,3�<���?a�����_*K��g!l���>-=��,������=/�@= b �4!�*n=/#4��?<�*h)>$@�/�@*?N�*K� 1 ���J=>�@= b E " F 1 <J*K�#�<J$/: E ��= & 3 1 ��*,( � F7 *9��*�*K�`��=o(�!�=SR ��!���O�J��3B#���-S����*,<J$`�?= & 3 1 ��*,( � 5 �(O3+*,# � *&T6���J���J=>� � F � F � EgF7 *_�?=>��(�����*K#���v�#4)��J�4#��/#�$ 5 ��=>�Mai�4#���-M���<xEO(�*,� � � � � = b (�* & �Jad!�=>��*,(��I3��/#����J*K(������!�*9*?N�*,� 1 ����=/�8= b E :BR�!�*K#�*'�4!�*9��#���->����<r���(�*,( 5 �GF *F�: � � � ���� � � � � E��/#�*n�4#�*K����*K�

5 ��� �q*,#�*,�>��<�$BE_���|�~(���#4�����/!>� b =>#�R��#4� & �����*,#,F # =��* ��!����: b =/# � � 5G1 ��<�� ^�* ��!�*(��J� 1 �����J=>�z���z�4!�*p�%R =ad3B�#��%$ �,�(�*.Eg:f��!�*p(�*�� � & �.$~����� 1 ��*s��� �q*,#�*,�>�o(�*���(H= b (�* & �ea!�=>��*,(��h3��/#����J*K(���� ��!�*_��� �6*K#�*K�>�I*?N�*K� 1 ���J=>��(I= b E " 5 #�*,3�<���������l��� �6*K#�*K�/�h���>-/=M�,�����J=>��(= b ��!�*n=/#4���<J*SEkF3�>����<�<�= 1 #4< 1 ��� b =># & =_��*&T+���J���J=>�l= b (�� & 1 <������=/� 5 �GF *F�: 1 ��� b =/# & =S-/*,#f�<J<3+=/(4(���)�<�*l(�*,��(A= b (�* & �ea%!�=/��*,(��A3��#�����*,(gEM^*�*,3B( 1 (A�.R��.$ b #�= & ��#�= 1 )�<J*/F~�M3B*K�?�zT+���<J<�$:<�*�� � � � " ���� � " )B*n��!�*2(�� & 1 <�����=>#�( � 1 �#4��>��*,*,� b =># E�� � " �/��� E " :�#�*,(43+*,�?���J-/*�<�$F 7 *�?=>��(���# 1 �?���H(�� & 1 <������J=>� �L: b =># E :����l�4!�*'����� 1 #4��< & �����*K#�F " �`���B3 1 � 5 ��� � � � - � 5 � E�Ek:RL* T+#4(��I# 1 � � � � " 5 ��� � � � - � 5 � E�Ek:���B�p=/)��4�����p��!�*9-M��*�R = b �4!�*A(�* & �Jad!�=>��*,(��I��=/��<�������=/�� �� � ��� E � � " F �O!���(I->��*�R ������< 1 ��*,(h��!�*�(�*KD 1 *,����*9= b �<J<r=/#4��?<�*?a%���<J<\#�*,D 1 *K(��4( & ���*� 1 #������O��!�* *?N�*,� 1 ����=/�\:,R�!����g!n���n� 1 #4�'�?=>��(���(���(�= b �4!�*f(�*,D 1 *K���?*�= b 3B�#�����*,(��4!�����( 1 3�3�<J$D 1 *,#�$>ad3B�#���(����s*K��g!s( 1 �g!s�,��<�<GF �O!�*_-M�J*,R ��<�(�=`�?=/�>�4������(I�4!�*HD 1 *,#�$/a%3��/#��4(I( 1 3�3�<��J*K�)>$ ��!�*p3��#�����*,(A��� � �(9RL*�<�<��(_��!�*p�?=>#�#�*,(43B=>���������s��B(�RL*,#�ad3B�#���(,F � =>#A*K��g!~( 1 �g!=/#4���<J*�ad�,��<�<G:R *I��*,��=/��*I)>$��`�4!�*h( 1 )�(�*�� = b � ��!���f( 1 3�3�<��J*K�@D 1 *,#�$>ad3��/#��4(����o��!���(f�,��<�<G:��B�`���>-=�^�* � " 3�#�=S-M���������H���ORO�J�4!`�4!�*A( 1 )�(�*���� �(�RL*�<�<��(�RO����!p�4!�*9�?=>#�#�*,(43B=>����������6ad3B�#���(c= b ��!�*2D 1 *K#���*,(L����l���(�R *K#�(,F �O! 1 (,:MR *UTB<�<ea 1 3@�4!�*2->��*�R}= b � ���l��!�*n� 1 #4#�*,�>�*?N�*K� 1 ���J=>�A= b E " F 5*) *K���<J<��4!���� � " �������<�(�=n!B�����<�*���!�*O�4#���-M���<����/(�*K(j����R�!����g!A*,�J�4!�*,#��S� � �l=/#6��3� � � FmEu%�H��(H<�* b �o��= (�!�=SR ��!��� � ������*,*,�;�*K��*,#4����*,(H� ����(���#���) 1 ����=/�;��������(�������� 1 ��(�!��/)�<�*b #�= & �4!�*9-M��*�R�= b (�* & �Ja%!�=/��*K(��O3��/#����J*K(O���8�/�?� 1 ��<\*�N�*,� 1 ����=/��(O= b E F � (����`�4!�*A3�#�=M= b= b �O!�*,=/#�* & � F XBF XB:���!���(���(I��=/��*9)>$l���>��#�=�� 1 �?�����@� c�I a �HD � �>D =��HD a K/=JDQ; 4+:6��*,��=/��*,��~F�O!���(�!>$M)B#����_����(���#���) 1 ����=/��#�*K3�#�*,(�*,�>��(Q��!�*L-M��*�R;= b �4!�*�3��/#����J*K(r��� � 5 ��B�_= 1 ��3 1 �j= b �<J<3��/#����J*K(kEQ���@�/�o*?N�*,� 1 ����=/�H= b E � � " ��!���f��( � 1 � & *,�>��*,�o)>$o�?=/#4#�*,(43B=>���������'���>-/=M�,�����J=>��(= b � " Fju��@=/��!�*K#fRL=/#4��(,:� #�*K3�#�*K(�*K�>��(c�4!�*2*?N�*,� 1 ����=/�o= b E :�RO����!l��!�*2*?N��?*K3�����=/�@��!�����!�*c���>-/=M�,�����J=>��(q= b E " �#�*c#�*K3�<��/�?*K�2)>$2(�� & 1 <�����*,�2��#4��B(��,#���3���(,F � (������O��!�*c� 1 �/#��/�>��*�*K(#�*��/�/#�������� � " 5 #�*,(43�F�: � � � " Eg:\R *o(4!�=SR{�4!����2��!�*o����(���#���) 1 ����=/��('��=/#4#�*K(�3+=/���������`��=���B� E 5 #�*,(43�FJ:� ��B� �cEA�#�*`��= & 3 1 �4������=/�B��<�<J$ ��������(�������� 1 ��(�!��/)�<�*F �O!�*p��!�*�=/#�* &b =<�<�=SR�(�F

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� � � � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

+ � �e�('e�(' T��> �B� �L�E�*��]C� � _ # � � � � ��� � � 5 � ��� � E�� 5 � ��� � E7 *���=SR � 1 #�����=n�4!�*& la%�#�$ b 1 ��������=/���<J���%$_��*7T+��*K�A��� � D6F 5 � F ��� E y 5 � F � � EkF ) *,�,��<�<���!�����!�*H�/#�����! & *,��������(n�4!����n= b � � 5 �/Eg:���B�C(�=�� � � � :\*,����F��O!�*r^�*,$ =/)�(�*,#�-S�����J=>� ��(��!B���� ����� 2

� � � �� ����� 2

� ��� ������ 2

� � � � �2�� ��� % � ��� � � � % � % � ��� � ��� �����

� � � � � �� � ��� � ����� 2

� � � � �2�� ��� % � � � � � � % � � � � � � % �

� � ����� 2

� � � � �2�� ��� % � � � � � � % � � � � � � % � � ��� � � ������! "�$#%����&('*)�#+�-,�./'0&212#435 "�-&612�-)87�9:#����;)�<=�->?1 T >-)+70@ �BA �DC � � # 7E�GF!&67�7 ^ 1(9�HI'0# � , � � ��� � � � F�J��7�K/)��- �L*�5#��/'*#M�-'�>��N</'* �#43*F F�>-'*9N>?7�OP</.�#�� � K�3P12#�)��?&6@ � #%���5#��- %O �� ��Q �RQ F������- ��-'�)�-'�>�� CES )%./K/)��?#-F �� ��" � FT>-'*9U</ �16LE'0#��?&23V>R7�OP</.�#"�I)%�/'* ��-)W#�7:#%���X#"�! �O � ��Q � % � � � ��Q � % � FK�3Y129�L*7 ^ 129�HZ#����U#4�;7 S <['* �#43Z@�./9[>R#"127�9['0&216#43Y70@ � , � � ���2\T] � ^ � ]��2\�� � �B_ �/12)B&6�!'*`/)B#"7a#��/�@b7*&2&27E�I129�HN>?7�9/)�#� %./>R#�167�9 �

wdc=e �-f �"#hg*f-i c=e +8j � j . � </ �16LE'*#"�?&23k "�!`/./>R1(9�HX#��/� S </'� "#435>?7�OP</.�#%'0#�167�9B7*@ � , � � ]�� l�l � ^� ]�� l � � #"7P#%���G#4�;7 S <['* �#43m>R7�OP</./#�'0#�167�9Z7*@ � , � � ]��2\T] � ^ � ]��2\�� �"� 0n 9/</./#�) 0 � FEo =JI cE;#B6pTq � ��Q � ��Q � � � ��� \ �M\2� ��� \ ��� l&; o Wr \ ������� � �s #��-< \ ^ ) �-`/./>?#"127�9 0 q F @&c : F D o ;sl : FEo =JD�tRq � � � "�� � g c�t o t � " � D 4 �>;��0tRqV= c�t � k F0o Il1K 4 @7= DQ; 4 F BpDR= I[;ml q%$ � � ]��6\E] �vu � ]��6\ � � � � FEo =JI : o ; ��D�p*tRqM= c�t D 4#: K/= : F D o�� � ��Q � ��Q � �g c�t o t F q � FEo =JI " : o ;��LD�p�t�q � � % � � % � �xw t&=VK�qyp�t 4 ;>=4t~=Qc�t ; oAF @LBzt o t�q : ; 4 qRt =?;� FEo =JI a I � � Q � % �Q ��F 4 p[=Qc�t o t�q : ; 4 q?t�=j; � FEo =JI�" a I � �

Q � % �% �s #��-< C 0 � F0o = I q?t&= q � Q r � Q � Q � %T{� Q � � Q � % �Q �� 4 p�tvt%p � ��Q���Q r � D l D(qVt&�Tt 4 F 4 p ��Q���Q r ��Q ��Q ;#=Qc�t o g D(q?t �

" .�#%</.�#�) 0 � F0o = I ;>K/= : K/= q � Q �| � T %)"#}7�K/)��- �L*�~#��['0#}#%���M'�K[7EL��� "�!`/./>R#�167�9k12)}LE'0&212` : #%�/'0#h12)-F!#����;7�.�#%</.�#}7*@/'0&2&�</'� "#�16�!)1(9/`��?�!`y)�.[O S ./<Y#�7m���/'0#5#����-3a)%��7�./&2` �Xn #B12)�'*&2)�7N�-'�)"3�#"7Z)��?�V#��/'*#�#����U "�!`/./>?#"127�9a12)</ �16LE'*#"� ��_ �['0#X12)-F��� c(_;c �!ibf!i c�e�� j � j `����E� q�� o��[� �D� �E� � ��� �(�:�=o ���E�E�4t?��� o tvp �[� tRqI�Qc�t � �E� �=� �4�E�D� �E�y� l�� c�t k � o � l � � � � � �0� �*����� �[n*���Tt � a �[q%$ � � ]�� l*l ��u � ]�� l � �V� � � c�t � �E� �=� �4�E�D� �E��� lU�Qc�t C k � o �l � � � �D� �E� �*�����D�Vn0���Et � a ��q%$ � � ]��2\T] �vu � ]��2\�� � ���� c8c��P�8�=� f-g �;� | ��>?7�9/)�#� %./>?#�'�)"1(OV./&2'*#"7� -F~`��-9�7�#"�!` � FW@b7� G#%���ZL�12�?�70@�</'� "#�16�!)1(9�#%���N7� %'*>?&6� S '*12`/�-`�<[ "7�#"7�>R7�& F8`��!9�7*#��-` E Fh70@ 1 7�9/)�#� %./>?#"127�9 ]�� �/��]�� � 16L��-9�'Y)"�-#G70@)��-OU1 S ��7�9��-)�#m</'* �#"12�-)-F � r �� 2 ������� � � � � �I16#%��� � � F�'*9/`�'�)��-,�.��!9/>R�y7*@�129[</.�#�)� ��Q � � ��Q � �C��������� � � ��Q � ��Q %� '�9/`a7�.�#%</.�#�) � Q � ������� ��� Q F�#�����)�12Od.�&('0#"7� I</ �7�>?�?�!`/)X'*)J@b7*&2&27E��) �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ] � ]\�� A 7� B�-'�>���</'*12 -F � � "�� � ��� � ���/�- �� � " F+#����N)�12Od.�&2'*#"7� B./9/1z@b7� �OU&23�)"�-&6�!>R#�)

� �Q � % �Q � � ��� \ � '�9/`a)"�-#�) � � Q � % �% r � �

Q � % �Q � ��Q � % � � � ��Q � % � �C ��� �?# �� ���r � � � � F8'*9[`�&2�?#�VK[�P#��/�d&('* �H*�!)"#��-&6�!OU�-9�#B1(9 �� � � s ./>���'�9� � � �����12)�#�)I)�1(9/>R�� � � � �

� ' � A 7� 5�!'*>�� � � '�9/`y�!'*>�� " � �� �)� � � F�#��/�U)�12Od.�&('0#"7� B.[9�1z@b7� �OU&23y)"�-&6�!>R#�)� �Q � % �Q � � � � \ � �

� K � A 7� M�!'*>�� � � F�#����k)"1(OV./&2'*#"7� ;)"�-#�) � � Q � � �Q r � Q ��Q ��Q � %T{��� Q � � � � � Q � % �Q F�����! "�k#��/�G&2'*#"#"�! � � Q � % �Q � )I'* ��G'*)XH��-9��! �'*#"�-`Z129 s #��-</) \ '�9/` C ' ��[��_ ���:)�1(OV.�&('0#�7� ;7�.�#%</.�#�)X'*&6& � � Q � % �Q � )JH*�!9��- %'0#��-`m'�K[7EL�� �~_ �/'0#J12)-F�12#;7�.�#�</./#�)X#��/�)"�!,�./�-9/>?�:7*@ � � Q � % �Q � )�>?7� % "�!)�<=7�9[`�129/HV#"7m'*&6& � � '*9/` " � � � � �� � �| ��>R&('01(O #��/'*#I#����G7�.�#�<[.�#X70@~#�����)�12Od.�&('0#"7� J12)I`�1()�#� �12K/./#"�-`a1(`��-9�#�12>-'0&2&63m#�7P#����GL�12�?�70@J#����m<['* �#"12�-)k1(9 � `[./ "1(9�HY#��/�U�����->?./#"127�9�70@X#����P7� %'*>?&6� S '*12`/�-`�<[ "7�#"7�>R7�& � A ./ �#��/�- SOU7� ��*F��;�B>R&('01(O #%�/'0#M@b7� M�?L*�! "3U)�.[>�� � F��?L��- �3 ��r �"� � 2 � � 2 �C������� � � � � � � � �"� '*9[`P�?L*�! "3<=7�)%)"1(K�&2�:7�.�#�>?7�OU� � � 2 ������� ��� � � 70@h#����k@�./9[>R#"127�9['0&216#43 - 70@��J, � � ]�� l*l � ^ � ]�� l � � F�16#I��7�&2`/)#��['0#�#%���Z>R7�9/`�12#"127�9/'*&;`�1()�#� �12K/./#"127�9 70@ � � � � � � � - � � � �"� 12)�`/12)�#� �12K[.�#"�!` 12`/�-9�#"1(>?'*&6&23�#�7#��/��>R7�9[`�16#�167�9/'0&8`/12)�#� �12K[.�#"127�9a70@ � � � �� � � � �_ 7�</ "7EL��N#�����'*K=7EL*�m>R&('01(OaF~�;���= %)�#V9�7*#��m#��['0# - � � � 12)d./9�16@b7� %Od&23 `�12)�#� �1(K/.�#"�!`7EL*�! I#��/� S K�12#5&27�9�Hm)��-,�.��!9/>R�!)�#%�/'0#:)�./O S ./<Y#"7 � � ��r � � Q ��Q � � � � Q ��Q � ��_ �/�d)%'*OU���7�&2`/)5'0&()"7P@b7� I#����V7�.�#%</.�#�)570@~#����d</'* �#"12�-)I1(9y</ �7*#�7�>?7*& E F=K=�->-'*./)��G#����d)"�!,�./�-9/>?�G70@#��/�V7�./#�</.�#%)57*@���'* �#"12�-) \ ������� � � \ 1()5./9�16@b7� %OU&63y`�1()�#� �12K/./#"�-`�7EL*�- � ��� \ � ��� 2 � `/./�#��/�Z>R7�9�#% "1(K/.�#�167�9�7*@ � � Q � � �Q #�7�#����N7�.�#�<[.�#�70@���'� "#43 � �����! "�!'*)k#��/�Z)�.[O 7*@X'*&6& 7�./#�</.�#%)I�-,�./'*&2) � ��_ ./ %9�1(9�HP#"7N#%����>R7�9/`�12#"127�9/'*&8`�12)�#� �1(K/.�#"127�9[) � 1 � � � F[>?7�9/`/16#�167�9�129/HU7�9- � � � r � � 2 ������� ��� � � r � ������� �

� � � �"� F0�J�X)%��7E��#%�/'0#~#%���I)"�!,�./�-9/>?�;7*@ � � Q � % �Q � ) � @b7� ��/� 1()M`�1()"#% "1(K/.�#��-`N1(`��!9�#�12>-'0&2&63U1(9mK[7�#��m`/12)�#� �12K[.�#"127�9/) � 1 � � � F�1(9N#��/�5�����!>?.�#�167�9PL�12�?��'�9/`1(9�#��/�P)�1(OV.�&('0#�167�9 � � s <=�->?1���>?'0&2&23*F+1(9�K=7*#���>?'�)"�!)?F #%���U)��-,�.��!9/>R� � � � Q � % �Q � Q � � � % ��� ��� � � Q �1()�./9�16@b7� %OU&63 `�1()"#% "1(K/.�#��-` '*OU7�9�HY#����Z)��-,�.��!9/>R�!)�)%'0#"1()"@b3�1(9�H � �Q � % �Q � �

Q � % �% r � ��Q � % � � � ��Q � % � � @b7� 5�-'*>�� � � '*9/` " �r � '*9/` � %T{� Q � � Q � % �Q r � Q ��Q ��Q � @b7� 5�!'*>�� � �/� �!#"%$'&)(+* ,.-0/21436587 9;:.<>=@?A:#9B7 58=@<'7�CADB=E7 143�14FB=@?A:#5'DACBGH5':JIKDA:.3ALM:ONQPJRES Z T.US V SQW � Z T W;X 02Y Z RES Z ['U�\] ?;:.<E:_^a`cbd 7 5fe45ge�C�1�hi:ijlk83mC�14=@?nL.e45':J5 \ =@?A:oLM1i3A9B7p=E7�1i3B7 3;qnNr1i3ts>N u V_vNQP.w�x.ypypypxMP 0 Vzv|{~}����B}0�

� N u VEV 9B1K:J5�3A1�=�e��0:.L%=�=@?;7 5�9�7�58=@<'7�C;D;=E7�1i3 \ C�:.L.e4DA5':�=@?A:P.R@S Z ['US � 5e�<E:���7 5E587�3AqBj���?�D65 \ 7�3�C�1�=@?aL.ei5':J5 \ =@?B7 55'D;C;GH5':JIKDA:.3ALM:�7 5�D;3;7pF�14<E���p�9�7 58=@<'7 C;D;=@:J9�e���1i3;q�=@?;:#5':JIKDA:.3ALM:J5�5Ee�=E7 58F���7�3Aq�PJRES Z TMUS � PJRES Z T.UT v Nr� S � � T VM� NQ� S � � T VN�F�1i<�:JeiL@?_���v�� ` d V j��6DA<'=@?;:.<E��1i<E: \ 7�3_C�14=@?�L.e45':J5 \ =@?A:�PJRES Z [EUS � 5�e�<E:�5':%=�5'D6L@?=@?Ae�= � Ti�� S P RES Z T.US v P S ��� � S � S ?A14� 9;5Mj_ ����</ �7�<=7�)�12#"127�9N@b7�&6&27E��) �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] � � � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

� j � j ' j � ���W��� #���f-i���� � �Tf � g*i �Eg #hi�f � �B��� #��f-i c=e ��� c f c g c �A 7� �)%'��*��70@V>?7�OP<�&2�?#��-9��!)�)-F��J�����/<�&21(>R12#"&23�<[ "�!)"�!9�#�#���� S </'� "#43�'*9/'*&67�H�.���70@�#��/�</ �7*#�7�>?7*& 70@ s �->?#"127�9 ]�� �/� l[� s <=�->R1 �=>-'0&2&63�F��;�k)��/7E� #��/'*#I#����G>?7�OP</.�#%'0#"127�9Z70@~'*9�3m`�� S#"�! �OU1(9�1()"#�12>J@�./9[>R#"127�9['0&216#43�F*����1(>��V1()$����<[ "�!)�)��-`dK�3d'*9P'* �16#%�/OU�?#�12>X>R1( %>?.�12#$7EL*�! �BA ��C � F1()I</ "12LE'0#��?&23� ��-`/./>?12K/&6�k#"7P#%���k@�./9/>?#"127�9/'*&612#43Z7*@2�J, � � ]�� l*l � ^ � ]�� l � � �" ./ ~ ��-`/./>?#"127�9�@b7*&2&67E��)W#��/�J7EL��- �L�16�-��</ "�!)"�!9�#"�-`V129d#��/��K[�-H*1(9/9�1(9�HB7*@=#%��12)$)��->?#"127�9 �n 9a</'* �#"1(>?.�&('* -F�#����G)%�/'* �1(9�HV7*@W'UK�16# S LE'*&2.�� G K=�?#4�J�?�!9 </'� "#�16�!)XOd�!'*9/)X'U./9�16@b7� %OU&63)��?&2�->R#��-` S )��-,�.��-9[>R�a70@:K/16#%) � G 2 ������� � G � � )�'*#"1() @b3�1(9�H G�r � �Q � 2 G Q FJ�����- ���#%��� ��</'� "#43Z�/7*&(`/) G Q � " ./ I'01(O 1()I#"7N</ �7�</'*H�'*#"�*F�L�1('N</ "12LE'0#��k>?7�OP</.�#%'0#�167�9+F[)%�/'* ��-)J70@~#��/�1(9/</.�#B�I12 ��-)570@$#����U>R1( �>-.�12#�#"7Z)%�/'� "�!)I70@M'*&6&h�I12 ��-)I7*@�#����d>R1( �>-.�16#-F�)�7m#%�/'0#���9/'0&2&63a�J�7�K/#�'01(9a)��/'� "�!)X70@W#����G7�.�#�</./#I�I12 ��-)X7*@W#%����>R1( �>-.�12# �| �G�I16&2&}>R7�9/)�12`��! �'*9��-9�./OU�! �'*#"127�9a70@$'0&2&8�I1( "�!)X129Y#%����>R1( �>-.�12# �;_ �/�G129/<[.�#��I1( "�!)70@�#%����>?12 %>?./16#-F� �<=�- d�-'�>�� </'* �#43*F~�I12&6&XK=��9�./OVK=�- ��-` \ � C ������� � � )�.[>�� #��/'*#?F~@b7� " r \ ������� � $Fh#%��� " �� 1(9/</.�#d70@���'* �#43 >?7� % "�!)�<=7�9/`[)k#"7y#��/� � � \ � � " �� �I1( "� �_ ���G�I1( "�!)X�I16&2&}K=��9�./OVK=�- ��-`a)"7P#%�/'0#I#%���G7�.�#%</.�#��I1( ��-)X70@W�-'�>��ZH�'0#"�G�/'TL��G'd&('* �H*�! 9�./OVK=�- �1(9�HB#%�/'*9V16#%)W129/<[.�#~�I12 ��-) �h_ ���J7�./#�</.�# S �I1( ��-)W70@[#%���X>R1( �>-.�16#~'* ��M#%���X&2'�)"#W7�9/�-) �A 7� �)%'��0�X7*@ )�12OP<�&21(>R12#43V�J��'*)%)�./OU�I#%�/'0#$�!'*>��P</'* �#43�7�K�#�'*129/)� �7�.�#�</./#MK�12#�)-F�'�9/`U#��/'*##��/� "��� 7�.�#%</.�#5K/16#B70@~#���� �� <['* �#43�>R7� � ��-)%<=7�9/`/)X#�7N�I12 ���� � � \ � � � " F�����! "��� `��-9/7*#"�!)X#�����)�1 | �k70@~#�����>?12 %>?./16# �wdc=e �-f �"#hg*f-i c=e � j � j�� � � </ "12LE'0#��?&23Y ��-`[./>R1(9�HZ'�9�3y`��-#"�! �OU1(9�12)�#"1(> S '* �3m@�./9/>?#"127�9/'*& S12#43Z#"7N#%���k@�./9/>?#"127�9/'*&612#43a70@��;, � � ]�� l�l � ^ � ]�� l � � F�@b7� �'*9�3 �� C ����� � o qv� � � ��� � ���D� � g t�Tqvq � � tk�����E�;����t � � o%�R� ���;�(qGt?������t o �"�tvp � oG� � ��� tdp*t?��t o � � � tvpP� � <=7*&23 � � k �D� � t�TqG�Gl � � � � � �0��� l � � p � g ��t o t p*t ��� �4tRqB����tG�zt � n*��� � lB����tk� � ��� ��� � tv� � � � � o �D� �K�� LCN �@OQP ��� o �D� � � �6pTq�����t � ���;q�� o � � n � Q r�� 2Q ����� �! Q � � � � \ �" �� l � o ~r \ ������� � �# � � L%$'& # X"(&��) � � � X��*) � LMN �@O�P �J'*>���</'* �#43�)%<�&612#�)V'*9/` )%�/'* ��-)k�!'*>���70@X16#%)G129[</.�#VK�12#�)�I16#%� '*&6&I7�#����! N</'* �#"12�-) � � ���E�d�(q �,+ � o t&�Et o � mr \ ������� � � � p " r \ ������� � �� � pYt&�Tt o � � �r �� ��� o �D� G� � � + � o � ����q?t?�zt � ��qP� � ��� � � Q � 2 � �- %� � � p�qRt � pEqV���I� �

��� o �D� � �TqU����t � � o � ��� qUq���� o t � + � � ��� �,.$� o t � � \ � � " � ��� o �D� q?t?��qd����q� . � q���� o t � + ����t � � \ � � " �� � � �=� �,.$� o tV� � � % Q � � {� Q � � Q � 2.� /- %� �# � � L*0�& � )��21 N3) �'4 U N35 ( � ) 6 � P �J "7�>?�?�-`/129�H�K�3�#���� 7� �`��! a70@V�I1( "�!)?F:#��/� <['* �#"12�-)Y./)��#����-12 U)��['* ��-)�7*@�#����a#4�J7�129[</.�#U�I12 ��-)d#"7�'�H�'*#"�m1(9�7� �`/�- �#�7�</ �12LT'*#"�-&63 >R7�O S</.�#"�d)��/'� "�!)J@b7� I#%����7�.�#�</./#��I12 ��G70@$#%����H�'*#"� � � �T�*� � q?tU�����0�;����t � � o �D��t�q�� � �zpq7��� o tRq5� � ����t:�. � � � ��� �8.$� o t�q � + q �0� t:9��E�4t<;$�����0�W�(q �=+ � o Wr \ ������� � � ��� o �D�

� � �6pTq�����t�q7��� o tRq � Q � � Q � .>��t o t ��2 ������� � � � � o t�����t�q���� o t�q � + ����t�� o qv�?.$� o tU� � p� 2 ������� � � � � o tV����tGq���� o tRq � + ����t�qRt � �E� p@.$� o t �BA t � �E� qv��p�t o ��. � � �Eq?t�q ��;OV./&2'*#"127�9m7*@~'�9�'�`/`�12#"127�9aH�'*#"� ��C�� � � � � o � � � �� � � q��+q?t?��qM��� qMq���� o t � + ����t � � ��D�=� �?.$� o t � + ����tE9��0��tV� �B� t � Q � Q ��;OV./&2'*#"127�9m7*@~'POd.�&6#�12</&61(>?'*#"127�9aH�'*#"� � � ��� o t�q � + ����t � � � �=� �'.$� o t � + ����tF9��0��t� o t �3� �4�E� � t%p � �G� � � � �T� � 9d����t � o � � �zt + � o ����t +v� � � �D� �E� �*�����D� � + C%$ � � ]�� l�l ��uG � � H���I � .>��t o t ��� o �D� q �T�*� ����t�qP����tP� � ��� � � ,�.��! "3 S </'* �# � � ��Q � ��Q � �JA ��t �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ] � �����t � o � � �zt o tRq � �E� q?t�q � t%� � � � � o �D��q?t?��qm��� qNq���� o t � + ����t � � � ��� �'.$� o t � +����tE9��0��tV� � t $ � �*�+����q � � o � � + ����t � o � � �6tU� � q<.Mt o&�

# � � L���&���� 1 6 � ���) � �V� X>� 6BN � LMN � ) �@O�P " 9/>?��#��/�V)��['* ��-)I7*@�#����V>?12 %>?./16# S 7�.�#�</./#5�I1( "�!)'* ��P>?7�OP</.�#��-`+FW�-'�>�� </'* �#43�)��-9/`/)�16#%)V)%�/'* ��P70@X�-'*>�� )%./>����I12 ��N#"7y#%���Z</'� "#43�I16#%�P����12>��U#%���5�I1( "�I1()�'�)�)�7�>R1('0#"�!` � � ���0�$�(q � + � o ~r \ ������� � � � p�" r \ ������� � �t%� � � � � o � �Uq?t � pTqk����q:q���� o t � + .$� o t � � � \ � � � "�� � ��� o �D� � C�� � �� � o � � o t � � �Et o qX����t � � o�o t�q � �E� p0� � 9 � � � �=� � � ����q � �k��p*pE� � 9 D �T� ����t � � o�o t�q � �E� p0� � 9 q���� o t�q�;M�����0�;�(q � ���I�*p�pTq�����t�q7��� o tV���?���*p �/� �4�E� � tvpm� � � �4t � � � � ����t �� \q7��� o tRqG��� ���Tq �/� �4�E� � tvpZ� � ����t �R��o�o t � ��q���t � �

N � LMN �@O�P C�� � � � � o �D�m� � � �*����� � � � ��� ��qk����t � ��� q o t � � �Tt o tvpN� � � �4t � ���� ):1(9�#%���d#4�J7 S </'� "#43Y>?'�)"��F�7�9��d>-'*9��-'*)�12&63YL*�! "16@b3Y#��/'*#B#%���U7�.�#%</.�#:70@M#%���U<[ "7�#"7�>R7�&1()G129[`��?�!`�>?7� % "�!>R# � s <[�!>R1 �=>?'*&6&23*F~K�3�./)�129/Hy129/`[./>R#�167�9�7�9�#����m�I1( ��-)k70@X#��/�m>R1( �>-.�16#%)?F7�9/�m>?'*9 )%��7E� #��/'*#�#��/�Z)��['* ��-)G7*@J�!'*>�� �I1( "�m)%./O S .[< #"7y#��/��>R7� � ��->?#kLT'*&2./�m70@I#��/��I1( "� �Wn 9[`��?�!`+F�@b7� r C F 1 7�9/)�#� %./>?#"127�9 ]�� � �6\ � >?7*1(9/>R1(`��!)X�I16#%� 1 7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� �[� � �_ ���m</ �12LT'�>R3�7*@ 1 7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� � �6\ � 1()�'*&2)�7y)���7E��9�K�3�����#��-9/`/129�Hy#%���m'*9['0&23�)�1()k70@#��/��#4�;7 S <['* �#43�>?'*)�� : #��/'*#m12)-FI'*9/'*&67�H*7�./)"&23 #"7n�J "7�<[7�)"12#"127�9 ]�� �/�2\ � FM7�9���>?'�9�)%��7E�#��['0# 1 7�9[)"#% �./>?#"127�9 ]�� � �2\ � </ "12LE'0#��?&23� "�!`/./>?�-)k#��/�m>R7�OP</./#�'0#�167�9�7*@J'Y>R1( %>?.�12#k#"7y#��/�OV./&6#�12<�&21(>?'0#�167�9 S H�'0#��k�-OV./&2'*#"127�9 ���� c � c �!ibf!i c�e�� j � j�� � ���0� q�� o��[� �D� �E� � ������� )��=o ���E�E�4t?��� o tvp �[� tRq ����t�t&�E�0� � �0� � �0� � +� o ����� � t?� � ��� � o��?� ����q � �Et o �BA �DC � �Go t ��o tRqRt � �D� � 9 � � D"� o � p*t?��t o � � � �(q�� � � +v� � � � � �0� D�0����� � � � � ����t +v� � � �D� �E� �*�����D� � + C%$ � � ]�� l*l ��u G � � H���I����� c8c��5�+��� f!g �M��� ./)"#J@b7�&6&27E� #��/�k<[ "7�70@h70@��J "7�<[7�)"12#"127�9 ]�� �/�2\ � F�#� ��-'*#"1(9�HU#����G</'� "#�16�!)1(9 � '�9/'0&27*H�7�./)�&63V#"7�#%�����X'T3V#��['0#z��'� "#43 \ 12)M#� ��-'*#"�-`P#%���- �� �Wn 9P#� ��-'*#"1(9�H�#%���57�.�#�</./#�I1( "�!)P70@G</'* �#"12�-)P1(9 � � 1 � � � F s #"�-< � 1(9�#�����)�1(OV.�&('0#�167�9 � FX9�7*#��y#��/'*#N#�����)��/'� "�!)U70@</'� "#�16�!)~129 � '�9/`d#���� ��9�7E��9d7�./#�</.�#$LE'*&2.���.[9�12,�.��-&63U`��?#��- %OU129��!)$#��/�5)��['* ��-)~ "�!>R�-16L��-`1(9 s #"�!< � 70@I#�����</ "7�#"7�>R7�&$7�9�&23�16@� � r � \ � '*)G�X'*)�#����Z>-'*)��P129 #%���Z</ �7�70@X70@�; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� �[�6\ ��� � " #%���- ��I12)�� � 1 � � � F�@b7� � � � \ � F/#%���G)��/'� "�!)X)"�!9�# � 129 s #��-< �70@�#�����<[ "7�#"7�>R7�& � K�3V</'� "#�16�!)~129 �� )%��7�.�&(`UK[��)��?&2�->?#"�-`U./9�16@b7� %OU&63d'*OU7�9�HG'*&6&/)��-,�.��!9/>R�!)#��['0# � #"7�H*�?#%���- ;�I12#��m#%���B)%�/'� "�!)�70@}<['* �#"12�-);129 �/� '*`/` S ./<P#�7d#%���5H�16L��-9P7�./#�</.�#JLE'0&(.�� �� j � j ' j � dc�e g/� #��-i c=e;� ���Ei �B��f � g c!� ��#hf���f!i c�e�c � � e2� � # e g0f!i c�e ����ibf �� ):1(9 s �!>R#�167�9 ]�� � F �J�UOP'T3y</ �16LE'*#"�?&23y "�!`/./>?�d#%���U>?7�OP</.�#%'0#�167�9�70@J'mH*�!9��- %'0& � %'*9 S`�7�Od1 | �!` � S '* �3P@�./9/>?#"127�9/'*&612#43*F � F�#"7P#%���G>R7�OP</./#�'0#�167�9Z7*@h#%���G`��?#��- %Od1(9�1()"#�12> S '* �3@�./9/>?#"127�9/'*&612#43*F - F/`����=9/�-`YK�3

- ��� � 2 �� 2 �H������� � � � � ��� � �"� � ��r � � �Q � 2 � Q � � � 2 ������� � � � �"� � ]�� l � ������! "� � � � � � � `��-9/7*#"�d#����ULE'0&(.���7*@ � � � � �����-9�.[)"1(9�H�>?7*1(9y#"7�)�)��-) � � � ��� \ ���� �� � ��� ��� �� 1 � � � F � � � � 1()+#����; �'�9/`�7�OU1��?�!`B</ �7�>R�!)�)+>?7�9/)�12)�#"1(9�HI7*@�./9/1z@b7� �OU&23B)��?&2�->R#�129/H � � � � � \ ���� �� � ��� ��� � F'*9[`�`��?#��- %Od1(9�1()"#�12>-'0&2&63�>R7�OP</.�#"1(9�H � � � � � ��� � 1 7�OVK�1(9�1(9�H�#%��12)Z@�'*>?#m�I12#��l�J "7�<[7�)"1 S#"127�9[) ]�� � �2\*\ F ]�� � � � '�9/` ]�� �/� � � '*9/` ./)�1(9�Hy#����N#% �'�9/)�16#�16L�12#43�70@I</ �16LE'�>R3 S ��-`[./>R#�167�9/) � F�J�:7�K�#�'*129 �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

]�\ � � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

���W��c � � � � j � j�� '��B� � +v� � � �D� �E� �0�����D�m�(q �=o ���E�E�4t-��� o tvp �[� � � �ztV� � " _ � 2 �1 7�OdK�1(9�129/H _ ���?7� "�!O ]�� � �2\ C '*9[`��; �7�<=7�)�16#�167�9 ]�� �[� � �I12#��k#��/� 1 7�OP<=7�)�16#�167�9 _ �/�?7� ��-O� _ �/�?7� ��-O ]�� � ��] � F;�J�y7�K�#%'01(9�#��/'*# � + t � ��� � � tvp � o � � p �!� oP� t o � � �4�E�D� �E� t#"��(q��V����t �� � � D"� o � +v� � � � � �0� �0����� ���(q �=o ���E�E�4t-��� � �E� �=� �4� � �zt � � )G1(9�#����N#4�J7 S </'� "#43y>?'�)"��F8�J��I1()���#"7���12H��/&612H���#G'�.[)"�?@�.�&M</ �7�<=�- �#43y70@X#����N</ �7*#�7�>R7*&()k./9/`��! "&23�129/Ha#%���N&('0#"#��- :@�'�>R# �n 9/`��-�-`+FI�J�� ��R@b�- m#"7�' 9�7�#"127�9�70@G>?'�9�7�9/12>-'0& S <['* �#43 >R7�OU<[.�#�'*#"127�9�#��/'*#m����#��-9/`/)� ���=9�12#"127�9 ]�� �[�6\!�/�� ���~e ibf-i c=e � j � j�� � � >?'*9/7�9�1(>?'*&/)"�!Od1 S ��7�9��!)"#~OV./&6#�1 S </'* �#43V</ �7*#�7�>R7*&() ��� � �=o � � � � � ���+ � o~��o ���T�0��t-��� � �0� ��� � � � 9�����t D"� o � +v� � � � � �0� �0����� � - �(q � �0���ztvp'1 ( � 6 � ) 1 (35�� + ��� �=o � � tvtvpTq� �Zt "�t �R� �D� � 9m����t + � ��� � .$� � 9a��. � q���� 9�tRq �s #%'0H*� \ � � ��t � � o � ��tRq �=o ���E�E�4t-��� � �0� ��� ��tJ����t +v� � � �D� �E� �*�����D� ���� ��� � 22 ������� ��� 2� �H������� � � � �2 ������� ��� �� �"� �.>��t o tG����t � Q% � q�� o t � � � + � o � ���mpE�(q�� o � � � �4tvpZ� �P�0� 9Z�*��� � � qvqv� � �b�����D��t�q������0��q?�E�D�(q + �� �Q � 2 � Q2 ������� � �Q � 2 � Q� � r - � � � �s #%'0H*� C �:� � o Jr C ������� � � � p�" � � � �)�� ��� ��� o �D� q?t � pTq � Q% � � ��� o �D� " � � t#"�� ���� o �D� \ q?t � pTq � 2% � � ��� o �D��" �!+ � o " r C ����� � � �;� � �0����� � tv� � � � � o �D� � �E� �=� �4t�q����q � . � � � � �=� ��;������E�M�(q �!+ � o " r \ ����� � � ��� o � ��" � � � �=� � q �Q � 2 � Q% �n 9/`��-�-`+FI#%����<[ "7�#"7�>R7�&2)m.[9/`��- �&23�1(9�H�#%����</ �7�70@G70@ _ ���-7� ��-O ]�� � �2\ C '* ��y�-)%)��-9�#"1('0&2&63>?'�9�7�9/12>-'0& � � �,� �-9/>?�*F���W��c � � � � j � j�� � � �T�*� � q?tk�����E�$����t o tGt#"��(qv� � � ���zt � �D� �E� q � + t � ��� � � tvpU� o � � p �!� o;� t o D� � ���0� � �0� q � � ��t � � � � +v� � � �D� �E� �0�����D� � � � � t ��o ���T�0��t-��� � �E� �=� �4� � �zt � ��� � � � �E� � � �*��=o � � � � � � �| ��>R7�OPOU�-9�#N#%�/'0#m#%����)%'01(`�<[ "7�#"7�>R7�&2)P�/'�</<[�!9�#"7�OP'01(9�#�'*129�#��/�?1( m)"�!>?./ �12#43 t �Et �� + ����t��*p��Tt o q?� o � � � � .$� o t D4�4� � �0��� � �E�U� � � � � �E�D� �E� ��� � t�q ��_ ��1()V@b7�&6&27E��)d@� "7�O #��/�@�'*>?#�#��['0# ��o ���T� � � . �2o&� �:.$� o t D4��� �*� � � 9��*p��Tt o q?� o ��tRq �/'�</<=�-9/)5#"7Z��7�&2`a@b7� �'0&2&h<[ "12LE'*>R3 ��-`/./>?#"127�9/)M</ "�!)"�!9�#"�-`P1(9P#��/�5>?./ % ��-9�#�)"�!>R#�167�9U'�)��J�?&2&['*)�@b7� $#%���5</ �7*#�7�>R7*&()�</ ��-)��-9�#��-`1(9 s �->R#�167�9 ]�� �[�&('�� '�� +-,%. � 9:7 / 7;1 � A � 1� �.=9:A��� ��4.=<��%7;.��� �� <B.=9:7 3 7 � <V7:.=A" ./ k'01(O 1()k#"7Y./)"� _ ���-7� ��-O ]�� � �6\-l 129�7� %`��! B#�7��!)"#%'*K�&21()���#����NOP'01(9� ��-)%.�&2#B7*@;#%��12))��->R#�167�9 : #��['0#I1()?F���W��c � � � � j � j�� � � OU'*129N ��-)%.�&2#~@b7� $#%���5Od.�&6#�1 S </'� "#43V>-'*)�� �<��� �T�*� � q?t:�����E�W����t o tGt "/D�(q�� � � ���zt � �D� �E� q � + t � ��� � � tvpV� o � � p �-� o$� t o � � ���0� � �0� q���� ��t � � � � D"� o � +v� � � �D� �E� �0�����D�� � � � tGq?t �?��o t-��� � �E� �=� �4� � �ztd� � tv� � � � + ����t��. �N� �0��� � � � � q �P� p*t-� q�� �=o � �!��p*tvp������E�I��=� � ��� � D �Et?�m� � +vo �Tq�� o��[� � ��o tVt#"��(q���qk� � ����t � t?��. � o � � �5"� ?�A�a [ a@a <=B >@A�D 9$;�<=^ <L9�; a D 9 >@? <(< � [ ] >�A � ^ ` < � <=9 > [ >@A�D 9 DCE � > <=^ � DCE"! D 9 a@> BG_�] >@A�D 9 � � �� S�c [ 9�;?�D ` ; a ^�B D �MA ;�<=; >@? [ > � [ B > N � A�aK>@? < ` [ a*> ^ [ B > N >GDa <=9�; A >@a(aG? [ B@< a�>@D [C`�` DC>@? <=B ^ [ B >@A < a �=6 ? [ > A�a c�e�< [ aGa _ � < >G? [ > < [ ] ? ^ [ B > N ? [ a bH<=9�<=B [ > <=; [ ^ [ A B DCE$# <8N a(E D B [ aGA bH9 [ > _�B@< a ] ? < � <Hc[ 9�; ? [ a ^�_ � ` A ] A&% <=; A >Ga � <=B A 1 ] [ >GA�D 9 i'# <=N�( aGD�>G? [ >�A >1A�a)# 9 D e(9 >GD [C`�` DC>@? <=B1^ [ B >GA < a g

?�A�a'a < >*i _�^[ aGa _ � ^ >@A�D 9 ] [ 9 � < [ �dDHA ;�<=; A EF>@? <�9�< > e D B #�A�a [ _�b � <=9 > <=;�e A >G? [ ��B D [ ;�] [ a@> ] ? [ 9�9�< `

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ]�\�\_ ���m#%���?7� "�!O �I12&6&XK=�m�-)�#�'�K�&61()%���-`�1(9 #4�;7�)�#"�!</) � A 1( �)�#?F~�J�m>R7�OP<�12&2�Z'*9�3�<[ "7�#"7�>R7�&@b7� :#%���N)"�!Od1 S ��7�9��!)"#kOU7�`��?&$1(9�#"7y'*9 < �-,�.�12LE'0&2�-9�# = </ �7*#�7�>?7*&h@b7� :#��/�f�� �)�#GOU'*&61(>R127�.[)OU7�`��?& �x_ ��1()m>?7�OP<�12&6�! N12)mL*�- �3 )�12OU12&2'� N#"7 #%���y7�9/��./)"�!`�129�#%����#4�J7 S </'* �#43�>?'�)"� �# ����#?F��;�5>?7�OP<�12&6�B'*9�3d</ �7*#�7�>R7*&/@b7� �#%�����= %)�#MOP'0&212>?167�./)�OU7�`��?&�129�#�7�'*9 < �!,�.�16LE'*&6�!9�# =</ �7*#�7�>?7*&+@b7� I#��/�V)"�!>R7�9/`YOU'*&61(>R127�.[)�OU7�`/�?& �X_ �/�V���-'� "#I7*@W#%���d)��->?7�9/`Y>?7�OP<�12&6�! I12)5'</ �12OU12#"12L*��F����/12>��y1():'0&216�!9y#"7�#����d#4�;7 S </'� "#43a>?'�)"��F >-'0&2&6�!` � �- �1���'*K�&2� s �!>? ��?# s �/'* �1(9�H� � s/s � � A 7� J)�12OP<�&212>?16#43�F��;�k'0H�'01(9P#���1(9 �P70@h#����k9�./OVK=�- J70@}<['* �#"12�-) '�);K=�?1(9�Hf�0���-` �_ ���U "�!'*`��! 5OP'T3a'*H�'*129YL��- �1z@b3a#��/'*#B#%���d`/�-<=�-9/`��!9/>R�U70@�7�./ 5>?7�9/)�#� %./>?#"127�9/)57�9 12)'0#IOU7�)�#�<=7*&23�9/7�OU12'*& �_ 7d)�12OP<�&21z@b3N#%���:���/<[7�)"12#"127�9m70@8#��/�:Od.�&6#�1 S </'� "#43N>R7�OP<�16&2�- %)-F��J�B`��!)�>- "1(K=�B#%���-O '�)</ �7�`/./>R1(9�HU</ "7�#"7�>R7�&2)�@b7� J'V>?7�OPOV./9/12>-'0#"127�9ZOd7�`��-&+>R7�9[)"1()"#�129/HV70@}'U)�129�H�&6�:K/ �7�'*`[>?'*)�#>��/'�9/9��?& � '�9/`�9�7�<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#U&2129 ��) � � n 9 #���1()POd7�`��-& FM129 �-'�>���>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9 �7�./9/`8Fh7�9�&63�7�9/� � </ ��-`/�?#"�! �OU1(9��-` � </'� "#43�OU'T3�)"�!9/` '�OU�-)%)%'0H*�m'�9/` #��/12)dOd�!)�)%'0H��'* % �16L��-)J#"7Z'*&6&h</'* �#"12�-) �M| ��)"#% "�!)�)�#��/'*#�7�9�&23Z#%��1()5</ ��-`��-#"�! �OU1(9��-`Y</'� "#43ZOP'T3a)"�!9/`Y'OU�-)%)�'*H*�I1(9N#��/�B)%'01(`m "7�./9/` � 1 � � � F�#����:Od�!)�)%'0H��I12) < '�.�#��/�-9�#"1(>?'*#"�-` = 129N#%���k)"�!9/)"�5#��/'*#�-'�>��m7�#����! I</'* �#43m>?'�9mL*�! "16@b3N#��['0#I1(9/`��?�!`Z#%���GOU�-)%)�'*H*�:�J'�)J)��-9�#IK�3N#�����`/�-)�16H�9/'0#��-`)��-9/`��! � � s ./>���'�K/ �7�'*`[>?'*)�#5>��/'�9/9��-&W>-'*9�K=�U12OP<�&2�-OU�-9�#��-`�L�1('Z'�9 � '�.�#��/�-9�#"1(>?'*#"�-` �� 3 �-'*9�#�129�� � H� "�-�-OU�-9�#U</ "7�#"7�>R7�& F$#%��./)N</ �7EL�1(`�1(9�H�'�9��-Od.�&('0#"127�9 70@5#%���yK/ �7�'*`[>?'*)�#OU7�`��?&�7�9N#%���B)�#�'�9/`/'� �`N<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#;Od7�`��-& � 129Z����1(>��N'VK/ �7�'�`/>?'�)"#�>��/'�9/9��-&=`�7��-)9�7�#I����12)�# � �) �!>?'0&2&�#%�/'0#�7�./ GH�7�'0&$1()�#�7�#� %'*9[) @b7� �O <[ "7�#"7�>R7�&2)G#%�/'0#d'* ��P)��->-./ ��N129 #%���Z)��-OU1 S��7�9��-)�# � � � � ��D4� � D � � � � � �P� p*t-� 129�#"7a</ �7*#"7�>?7*&()�#��['0#k'* ��V)"�!>?./ ��V1(9�#%���U#4�;7aOU'*&61(>R127�.[)

� o � ��p � �Tq�� �P� p*t-� q � s #�'� "#�129/HZ�I12#�� � )"�!OU1 S ��7�9/�-)�#"&23�)"�!>?./ �� � </ "7�#"7�>R7�&2)5#��/'*#B7�<[�! �'*#"�!)1(9�#�����<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#m>R7�OPOd./9�1(>?'0#�167�9�Od7�`��-& FI�J��= %)"#m`/�- �16L��y�-,�.�12LT'*&6�!9�#m</ "7�#"7 S>R7�&2)B@b7� B#%���NK/ �7�'*`[>?'*)�# S >��/'�9/9��?&WOU7�`/�?&DF}'*9/`�7�9�&23�9�����#k�J�U'�</<�&23�#��/�U#4�J7�>?7�OP<�12& S�- %)-F����/�- ��B�!'*>��Z>?7�OP<�12&6�! M#%'��*�-)X'*9/`�</ �7�`[./>R�!)J<[ "7�#"7�>R7�&2);129�#��/�kK[ "7�'*`/>-'*)�# S >��/'*9/9/�?&OU7�`��?& � ����1(>�� '* ��P)��->-./ ��N�I16#%�� ��-)%<=�->R#V#"7�'y>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�Ha#43�<[�N7*@I'�`�L*�! �)%'* �12�-) � �_ ��./)-F8#����P@�./&6&�)��-,�.��!9/>R�P70@J#� %'*9/)"@b7� %OP'0#�167�9/)5�!)"#%'*K�&21()���1(9�H _ ���-7� ��-O ]�� � �2\ � � K/'�)"�!`7�9 _ ���-7� ��-O ]�� � �6\-l � 12)�'�)J@b7*&2&67E��) �$ | �O�� �)�#}./)���#��/� �=o t D � �E� � �b�zt o � 7*@ s �->?#"127�9 ]�� � � �/�2\ � #�7�#� %'*9[) @b7� �Ox'�</ �7*#"7�>?7*& ���#��/'*#W</ �12LT'*#"�-&63V>?7�OP</.�#��-)~'5@�./9/>R#�167�9/'0&212#43 - 1(9V#%��� � </ �16LE'*#"�X>��/'*9/9/�?& � <=7*1(9�# S #"7 S<[7�129�#MOU7�`��?&=129�#�7�'�</ �7*#"7�>?7*& ���� #��/'*#M</ �16LE'*#"�?&23d>?7�OP</.�#��-) - 1(9N#��/�5K/ �7�'*`[>?'*)�#Od7�`��-& � �����! "��9/7P<[ "12LE'0#"�G<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#I>��/'�9/9��-&2)X����1()�# � �# 7*#��M#%�/'0#-F*)"1(9/>?�;�J�; ��R@b�! }#�7:)��-OU1 S ��7�9��-)�#hK=�-�['TL�127� -FT�;�J`�7k9�7*#WH�'*129�K�3G�/'TL�1(9�H':K[ "7�'*`/>-'*)�#h>��/'�9/9��?&/'�9/`U�;�IOP'T3�7�9�&63V&67�)"�IK�3�#��/�I�?&212OU1(9/'0#�167�9V7*@�#%���I</ "12LE'0#��<[7�129�# S #"7 S <=7*1(9�#U>��['*9/9��-&2) � K[�!>?'�./)"�Y#%��12)N'*&6&27E��)U#�����'�`�L*�! �)%'* �3�#"7 7�K�#%'01(9 '*&6&Od�!)�)%'0H��-)X)��-9�# � � � 7E�J�?L*�! ?F�#%����</ �7*#"7�>?7*&()J<[ "�!)"�!9�#��-`�129 s �!>R#�167�9 ]�� � � C �/'�</<[�!9#"75K=�J)��->-./ ���129V#����J)"�!OU1 S ��7�9/�-)�#}K/ �7�'*`[>?'*)�#}OU7�`��?&DF � � '*9[`�)"75#���1()~</ "� S >?7�OP<�12&6�! 12)a'*>?#�./'*&6&23 9�7*#a9��?�!`��-` � </ �7EL�12`/�-`��J��)�#�'� "#��I16#%� #%���-)�� )�<=�->?1��=>�</ �7*#�7�>?7*&() �'*#����! ;#%�/'*9a�I12#��Y'* %K�12#� %'* �3N)"�!Od1 S ��7�9��!)"#�&63�)"�!>?./ ��G</ "7�#"7�>R7�&2) � �� � & a 9 DC> <L; [ > >@? < � <LB*N<=9�; DCE � <L] >@A�D 9 � � � c >@? < a <(^�B DC>@D ] D ` a ? [ ^�^ <=9 >GD � < a <=]=_�B@< [C` a@D [ b [ A 9 a*>a < �$A i:?�D 9�< a@> [ ; � <=B a [ B A < a1>G? [ > ; D e A BG< i\> [ ^f< [C`�` ] D�� � _�9 A ] [ >GA�D 9�] ? [ 9�9�< ` a

? < a < ^�B DC>GD ] D ` a ] [ 9

� < > B A �MA [C`�` N ] D 9 � <LB > <=; >GD e D B # A 9 >@? < ��B D [ ;�] [ a@> �$D ;�< ` � N ` < >*>GA 9�b >@? < ?�D 9�< a*> ^ [ B >@A < a$A bH9 D BG<��B D [ ;�] [ a@> � < aGa [ bH< a >G? [ > [ B@< 9 DC>$A 9 > <=9�;�<=; E D B >@? < �

� 9�;�<L<=; c A 9 >@? <QB@< a _ ` >@A 9�b�^�B DC>@D ] D ` c >G? <[ ; � <=B a [ B@N�BG<=]=< A � < a [C`�` � < a@a [ bH< a ( A 9�] ` _�; A 9�b >G?�DHa < A 9 > <=9�;�<L; E D B DC>@? <=B'^ [ B >GA < a g c ��_ >'A > ] D _ ` ; [C` aGD

D � > [ A 9 >@? < a < � < aGa [ bH< aKA 9 >G? < D B A b A 9 [C` ^�B DC>@D ] D ` �dN�e A B@< i > [ ^�^ A 9�b [C`�` ^ DHA 9 >*i\>GDCi ^ DHA 9 > ] ? [ 9�9�< ` a

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

]�\ C � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

$ � )�129�H�#��/� � o qv� � �0� � �b�zt o � 7*@ s �->?#"127�9 ]�� � � l � FB�;��#� %'*9[) @b7� �O ���� � ����12>�� 12))"�!>?./ ���1(9�#��/�d)��-OU1 S ��7�9��-)�#BOU7�`��?& � 129�#"7a'Z</ �7*#�7�>R7*& ��� 2 #��/'*#51()k)"�!>?./ ���1(9�#��/�� o q�� � �0��� � � � � q �N� p*t-� �| �:)"#% "�!)�)M#��/'*#JK=7*#%� ���� '*9/` ��� 2 7�<=�- %'0#"�B'*9/`m'� "�5�?LE'0&(./'0#��-`P@b7� ;)��->-./ �16#43U129Z'>R7�OPOd./9�1(>?'0#�167�9�OU7�`��-&}>R7�9/)"1()�#"1(9�HP70@$'U)�1(9�H*&2��K/ �7�'*`[>?'*)�#X>��/'*9/9/�?& �M_ ����)%'*OU���7*&(`/)I'0&()�7V@b7� ���� OU�-9�#�167�9��-`a9�����# �$ � )�129�H #%��� qRt � �E� p � �E� � �b�zt o � 70@ s �!>R#"127�9 ]�� � � � � #"7 #% �'�9/)"@b7� %O ��� 2 � ���/12>�� 12))"�!>?./ ��I129P#%������ �)�#MOP'0&212>?167�./)�OU7�`��?& � 1(9�#"7V'V</ "7�#"7�>R7�& ���� #��/'*#M1()M)��->?.[ "�I1(9N#��/�qRt � �E� p � �0��� � � � � q �N� p*t-� �$ A 1(9/'*&6&23*F��J��./)��:#%��� � � q���D � �0� � �b�zt o � 7*@ s �->R#�167�9 ]�� � � �/� C � #"7N#� %'*9[) @b7� �O�!'*>���70@#����I</ �7*#�7�>?7*&() ��� 2 '*9/` ���� F0����1(>��U'* ��J)��->-./ "�J1(9V#%�����= %)"#$'*9[`V)��->R7�9/`UOU'*&61(>R127�.[)Od7�`��-&2)}�����-9V>R7�OPOd./9�1(>?'0#�167�9k12)}L�12'B'�K/ �7�'*`[>?'*)�#8>��/'�9/9��?&DFT129�#�75>R7� � ��-)%<[7�9/`�1(9�H</ "7�#"7�>R7�&2)-F � 2 '�9/` � � F�@b7� �#�����)�#�'�9/`/'* %`Y<[7�129�# S #�7 S <[7�129�#IOU7�`/�?& �;_ �/'*#I12)-F � 2� ��-)%< � F � � � )��->-./ ��?&23V>R7�OU<[.�#"�!) - 1(9d#%�����= %)"# � "�!)�< � F*)��->?7�9/` � OP'0&21(>R127�./)$OU7�`��?&129�����1(>��a>?7�OPOV.[9�12>-'0#�167�9Z1()XL�12'P)�#�'*9[`/'* %`�<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#X>��['*9/9��-&2) �| �U)"#% "�!)�)5#��/'*#B)��->?.[ "12#43y��7*&(`/)��-L*�!9y1z@;#����U'*`�L��- %)�'� "3m1():'0&2&67E�J�-`Y#�7Z�I1( "� S #%'*<#���� � <[7�129�# S #"7 S <=7*1(9�# � >R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9�&61(9��!)�K[�-#4�;�-�-9a��7�9/�-)�#X<['* �#"12�-) �| �:)�#�'� "#JK�3N`�1()%>?./)%)"1(9�Hd#����k)"�!>?./ �12#43U`����=9�12#"127�9/);@b7� M#%���:K[ "7�'*`/>-'*)�#M>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9OU7�`��?&DF�'�9/`N</ ��-)��-9�#"1(9�HG#%���5</ �� S >R7�OU</16&2�- $'�9/`P#����:<[7�)"# S >?7�OP<�12&6�! $OU�-9�#"127�9��!`N'*K=7EL*� �" 9/>?�m#���1()�1()V`/7�9���Fh�J�m#�.[ �9 #�7�#����a "�!'0&M>?7� ��N70@I#��/12)d)"�!>R#"127�9 � #��/�Z#4�J7�>R7�OP<�12&2�- %)� ���/12>��Y'* ��k'*</<�&212�-`a#"7N</ �7*#�7�>?7*&()X#��/'*#X7�<=�- %'0#"�k1(9a#�����K/ �7�'�`/>?'�)"#XOU7�`��?& � �

� ���~e ibf-i c=e ��j n 9/`/�?�-`8F8)"�!>?./ �16#43Y1(9�#%���UK[ "7�'*`/>-'*)�#BOU7�`��?&~�X'*)59/7*#k`����=9/�-`�)�7�@�'* �� 7E�J�?L��- -F�#�����#%�/ ��?�� ��?&2�?LE'*9�#I`�����9�16#�167�9/)X@b7� I#�����K[ "7�'*`/>-'*)�#X>?7�OPOV.[9�12>-'0#�167�9�OU7�`��?&'* ��$�-'�)"12&23:`��! "12L*�!`B@� "7�O #%���M>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�H�`����=9�12#"127�9/)}H*12L*�!9B1(9 s �!>R#�167�9 ]�� � �2\ F!�����- ��'Z<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#5>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9�OU7�`��?&W�X'*)5.[)"�!` � s <=�->?1���>?'0&2&23*F 129�`�����9�129/H�)��->?. S �16#43�129 #%���Z)��-OU1 S ��7�9��-)�#�OU7�`/�?&M7�9��mOU�- ��?&23�1(9/>R&(./`��!)�#%���m�-9�#�12 ��N#� %'*9/)%>? �1(<�#G70@I#��/�>R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9Y7EL��- �#%��� � )"1(9�H�&6� � K/ �7�'�`/>?'�)"#5>��['*9/9��-&}1(9��!'*>��y</'� "#43 � )�L�16�-� � s 1(OU1 S&('* �&63�F������-9a`�����9�129/Hm)"�!>?./ �16#43Z129a#��/�:#4�J7NOP'0&212>?167�./)IOU7�`/�?&()X7�9���OU�- ��?&23Z9�7�#"�!)X#��/'*##��/� < ��-'*&8�����!>?.�#�167�9aOU7�`��-& = � 1 � � � F ���� ��� � � � � >��['*9�H��-) � )�1(9/>R�d#����V<[ "7�#"7�>R7�&}1()59�7E������!>?.�#��-`�7EL��- h'B`�1 � �- ��-9�#W>?7�OPOV.[9�12>-'0#�167�9VOU�-`�1(' � FE�����- ��-'�)}#%��� < 1(`��-'*&�OU7�`��-& = � 1 � � � F�� !�� �2.�" � � � � 7� �� ��� � � �" � � � � � ��-OP'01(9/)J129�#%'*>R# �

� j � j � j�� ��� � g c � �~i�� � ��� � � #�����f-i e�� ���Ti �B��f � g � � eWeh� � ���n #�1()I�-'�)"3Z#"7 � )��->-./ ��?&23 � �!OV.�&('0#���'P)"�-#�70@ � </ �12LT'*#"� � <[7�129�# S #"7 S <=7*1(9�#�>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9>��/'�9/9��?&()�7EL��- G' � )"1(9�H�&6� � K/ �7�'�`/>?'�)"#�>��/'�9/9��-& � � &2&J#��/'*#V7�9/�Z9��?�!`/)�#�7�`�7�12)d./)"��')��->?.[ "�:</./K�&212> S �*�?3N�!9/>? �3�<�#"127�9�)�>����!OU� � s <=�->R1 �=>-'0&2&63�F�'U</ �7*#�7�>?7*& � #��/'*#J7�<[�! �'*#"�!)M1(9#��/� � </ "12LE'0#�� � <[7�129�# S #�7 S <[7�129�#;>?7�OPOV.[9�12>-'0#�167�9mOU7�`/�?&+1();�!OV.�&('0#��-`m'�);@b7*&2&67E��) � A 1( �)�#?F�-'�>��y</'* �#43Y �'�9/`�7�OU&23�H��-9��! �'*#"�!)�'Z</'*12 570@��!9/>? �3�<�#"127�9��0`��->- "3�<�#�167�9 �0�?3�)-F�<=7�)�#�)B#��/��-9[>? �3�</#"127�9 S �0�-3a7�9�#%���UK[ "7�'*`/>-'*)�#B>��/'�9/9��?&DF8'*9[` �0�-�-</)B#��/�P`/�->? �3�<�#"127�9 S �*�?3y)"�!>? ��?# �# ����#?F='�9�3Z</'* �#43Z1(9/)�#� %./>R#��-` � K�3 �k� #�7m)"�!9/`Y'NOU�-)%)�'*H*�*F )���� F[#"7_��'� "#43 F=�-9/>- "3�<�#%)

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ]�\!�)���� ./)�129�H #%���y�-9[>? �3�</#"127�9 S �0�-3 <[7�)"#��-`�K�3 ��'� "#43 FI'*9/`�<�&('*>?�-)P#%���� ��-)%.�&6#�129/H >?1 S</���! "#�����#G7�9�#��/�mK/ "7�'*`/>-'*)�#:>��['*9/9��-& � 1(9/`�1(>?'*#"1(9�Hy#��/'*#G16#G1()k1(9�#��-9/`/�-`�@b7� ���'� "#43 � ���'* �#43 "�!>R7EL��- %) ) ��� K�3 ./)�129/H�16#%)d`/�->? �3�<�#"127�9 S �*�?3*FW'*9/` <[ "7�>R�-�-`/)d'*)�`/12 ��->?#"�-` K�3� � � �-9/7*#"�k#%���G "�!)�.�&2#"1(9�HP</ �7*#"7�>?7*& K�3 � � � � �-&67E�GF��J�kOU�! "�-&63m>?7�9/)�12`/�- ;#����k� � �->?#X70@#��/12)I#% �'�9/)"@b7� %OU'*#"127�9Z129a#��/��)"�!Od1 S ��7�9��!)"#IOU7�`��?& ���� c � c �!ibf!i c�e�� j � j���� � </ �� S >R7�OP<�12&2�- ��� � �T��� � q?t������0�;����t o tUt "��(q�� � � ���zt � �D� �E� q � + t � D��� � � tvpY� o � � p �!� o:� t o � � ���0� � �0� q�� � ��t � � � � D"� o � +v� � � � � �0� �0����� �Y�(q ��o ���T�0��t-��� � �E� D�=� �4� � �zt�� � ����t � o � ��p � �Tq�� � �0�d� � � � � �E�D� �E� �N� p�t?� � � ��o ����t o �N� o t �Z����t �=o � � � � � �:�(q� � � �E� � � �*� ���� c8c��P�8�=� f-g �;� � �?# - K=��'�9 S '* �3�@�./9[>R#"127�9['0&216#43�F~'�9/` � K=��'y</ �7*#�7�>R7*& � H�.['* S'*9�#��?�-`�K�3 _ ���-7� ��-O ]�� � �6\-l � @b7� �<[ "12LE'0#"�-&63�>R7�OP</./#"1(9�H - 1(9�#���� � </ "12LE'0#��m>��/'*9/9/�?& �<=7*1(9�# S #�7 S <[7�129�#�>?7�OPOV./9/12>-'0#"127�9�OU7�`��?& ��� 12L*�!9�'Y#% �'�<=`/7�7� G<[�! �Od.�#�'*#"127�9+FW�J�m>R7�9 S)�#� %./>R#�'N)��->-./ "��<[./K�&212> S �*�?3m�!9/>? �3�<�#"127�9Y)%>����-OU��'*9[`a.[)"�G12#�#"7N#% �'�9/)"@b7� %O � 1(9�#�7 ���'*)I`/�-)%>? �12K=�-`a'*K=7EL*� �_ 7�)"1(OV./&2'*#"�m#%���ZL�12�?�70@5</'� "#�16�!)�1(9 '*9 �����->?./#"127�9 70@ � � � #�'/��1(9�H�</&2'�>R�m1(9 #��/�K/ �7�'�`/>?'�)"#$>R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9POU7�`��?& � F��;���� �)�#�)"1(OV./&2'*#"�I#��/�?1( �L�16�-� 1(9N'*9U�����!>?.�#�167�9U70@� � #�'���1(9�HZ<�&('*>?��1(9Y#����U<[7�129�# S #"7 S <=7*1(9�#�>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9YOU7�`/�?& � �I| �V#��/�-9Y�-9[>? �3�</#�-'�>��yOU�-)%)�'*H*�G)"�!9�#BK�3a'Z</'* �#43Z#%�/'0#:K[�-&67�9�H�)I#�7Z#%���V)��-OU1 S ��7�9��-)�#5>R7�'0&216#�167�9+F='�)�#%��12)�J7�.�&(` K=�y`�7�9/�a1(9�'*9 �����->-.�#"127�9 70@ � � ��# 7*#��Y#��/'*#U�J� ��9�7E��K=7*#���#%���yOd�!)�)%'0H��'*9[`d#%���B>?7� % "�!)�<=7�9[`�129/HB�!9/>? �3�<�#"127�9 S �0�-3 �h| �5`/7�#����B)�'�Od�X@b7� �OU�-)%)�'*H*�!)$ "�!>R�?12L*�!`dK�3)��-OU1 S ��7�9��-)�#�</'* �#"12�-) � � &6&8#%�/'0#B "�!OU'*129�1()�#"7m`/�-'0&}�I16#%�aOU�!)�)%'0H��-)-F�����12>��a�J��`�7m9�7�#��9�7E�GF=)��-9�#5K=�?#4�J�?�!9y#4�J7m��7�9��!)"#B</'* �#"12�-) � � �! "���J�VOU�- ��?&23�</&2'�>R�V'�9Y�-9/>- "3�<�#�167�9Y70@'*9Y'� �K�12#� %'* �3ZOU�-)%)%'0H*� �M_ ��1()�>R7�9/>R&(./`��!)I#��/�V`��-)%>? �1(<�#"127�9a70@~#��/� < K/ �7�'�`/>?'�)"# S OU7�`��-& =)�12Od.�&2'*#"7� �_ ���Y'*9/'*&63�)�12)U7*@5#����y&('0#�#"�! U)�1(OV.�&('0#�7� U>R7�OdK�1(9��-)P#%���YH�./'� �'�9�#��?��H*12L*�-9 @b7� P#��/�< <=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#X)�1(OV.�&('0#�7� = '�9/`a#����VH�./'� �'�9�#��?�k#��['0#�#%���G�-9/>- "3�<�#�167�9Y)�>����!OU�G12)B)"� S>?.[ "� �J_ �/'*#�1()?F�'*K�12&612#43Z#�7Z`�1()"#�129/H�.�1()��a#%���V7�.�#�</./#�70@$#��/� < K/ �7�'�`/>?'�)"# S OU7�`��-& = )"1(OV. S&('0#"7� X@� �7�O #����������->?./#"127�9aL�16�-� � 129�#����VK[ "7�'*`/>-'*)�#XOU7�`��-& � 3�12�?&(`/)I�-16#%���- � \ � '*K�12&216#43#"7Y`�1()"#�129/H�.�1()���#��/�d7�.�#�</./#:7*@M#��/� < <[7�129�# S #�7 S <[7�129�# = )"1(OV./&2'*#"7� 5@� �7�O #��/�d�����!>?.�#�167�9L�16�-� � 1(9d#����I<=7*1(9�# S #�7 S <[7�129�#~OU7�`/�?& � 7� �DC � '*K/16&216#43V#"7k`�12)�#"1(9�H�.�12)%�d�-9/>- "3�<�#�167�9/)h.[9/`��- #��/�P'�K[7EL��d</.[K�&61(> S �0�-3y�-9/>- "3�<�#�167�9�)%>����-OU� �Gn 9�K=7*#%��>-'*)��-)B�;�P "�!'*>���>?7�9�#� %'*`/12>?#"127�9#"7P7�./ I��3�<=7*#%���-)�1() �� j � j � j� � c �-f-g c!� �~i�� � � � � � #8� ��f!i e � �%$�� c �/!Wg �/�-fmg � � eheW� � �� �! "�V�;��H�7m#��/��7*#%���- 5�J'T3a'* �7�./9/` � 1 � � � F=@� "7�O�#%���dK/ �7�'�`/>?'�)"#�OU7�`��-&}#"7Z#����U<[7�129�# S#"7 S <=7*1(9�#IOd7�`��-& � ��| ��'* ��BH�16L��-9a'U<[ "7�#"7�>R7�&+#��/'*#�)"�!>?./ ��?&23m>R7�OU<[.�#"�!) � 1(9a7�9��k70@~#��/�#4�J7�OP'0&212>?167�./):Od7�`��-&2) � )�7�OU�V@�./9/>R#�167�9/'0&212#43*F+�����! "�d#����P</ �7*#"7�>?7*&h.[)"�!):'�K/ �7�'*`[>?'*)�#>��/'�9/9��?& � | �a�I1()�� #�7�>?7�9�L*�! "#V#���1()P</ "7�#"7�>R7�&M1(9�#"7 '*9 �!,�./16LE'0&2�-9�#U7�9���#��/'*#d�J7� 7��)1(9�'Z<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#B>R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9yOU7�`��?& � � � >R#�.['0&2&63�F+�;�U`�7�9�7�#BH�7Z'0&2&W#����U�J'T3K/'�><�=F;K[�!>?'*.[)"�a�;�Y`�7 9�7*#P'*)%)%./OU��#%���-)��a<=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�#d&2129/�-)U#"7 </ �7EL�1(`��a</ "12LE'0#��>R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9 � � _ ��./)-F}'0&2&~�;�N9��-�-`�#"7Y`�7Y12):�!OV.�&('0#��P'aK/ �7�'�`/>?'�)"#k>��/'*9[9��?&~7EL*�! 'a<[7�129�# S #"7 S <=7*1(9�#B9��-#4�;7� ��Y'�9/`�`�7Y)�7Z1(9�#%���U<[ "�!)"�!9/>R�d70@;OP'0&21(>R127�./)k</'� "#�16�!)?F ����1(>�� ��-`/./>?�-):#"7Y)�7*&2L�1(9�Ha#����N>?�?&2�-K/ %'0#��-` � 3 �-'�9�#"1(9�� � H� ��?�!Od�!9�#B</ �7�K�&2�-O � � 7E�J�?L*�! ?F��J�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

]�\-l � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

�/'TL���)"12H�9/'*#�./ ���)%>����-OU�-);'0#�7�./ M`/12)%<[7�)�'*&['*9[`N)"7��J�5OU�- ��?&23P9��?�!`P#"7V)�7*&2L*��#%���5Od./>���-'�)"12�- k</ �7�K/&6�!O ��9�7E��9�'�) � � ����t � �D� � �E�4t%p������!� � � � � t � 9 o tvt � t � � � A 7� G)%'��0�U70@X)"�-&z@ S>R7�9�#�'01(9/OU�-9�#X�J�k`/���=9��G#%����</ �7�K�&2�-O�'*9/`Y</ ��-)��-9�#I'P)"7�&2.�#�167�9 �� #hf �W��e f-i g ��f � !�� ��� � e f-i eW� � � � ��� ����e f � | ��<[ "�!)�./<[<[7�)"��'I)�3�9/>��/ �7�9�7�./) <[7�129�# S#"7 S <=7*1(9�#BOU7�`��?&W70@J>R7�OPOd./9�1(>?'0#�167�9y'*9/`�'Z)�16H�9/'0#%./ "�d)�>����!OU�V1(9�@� �'�)"#% �.[>R#�.[ "� �B_ �/'*#1()?F��!'*>���<['* �#43 ��9�7E��)d#��/��L��- �1��=>-'0#�167�9 S �*�?3�70@5'*&6&X7*#%���- U</'� "#�16�!) � ��'* �#43 \ �/'�)d'�91(9/</.�#GK�12#?F}`/�-9�7�#"�-`~F}'*9[`�12#�)k7�K�� �->R#�16L��V1():#"7Y&6�-#:'*&6&$��7�9��-)�#k</'* �#"12�-)k'0H� "�-�V7�9�#��/�LE'0&(.��V7*@$#���1()kK�16# �5n 9�>-'*)�� ��'* �#43 \ 12):��7�9/�-)�#?F�#����d7*#��/�- 5<['* �#"12�-)5Od./)�#B'0H� "�-�G7�9y12#�)'*>?#�./'*&/1(9/</.�#-F�K[.�#�7*#%���- ��I1()"�I#%���?3POP'T3d'0H� "�-�X7�9P'*9�3VLE'*&2.�� � '*)�&67�9�H�'*)$#%���?3P'0H� "�-� � �dc=e �-f �"#hg*f-i c=e � j � j�� � � � .�#%���-9�#"1(>?'*#"�!` � 3 �-'�9�#"1(9�� � H� ��?�!OU�-9�# �<� w tR� p*t ��� ��t����t � � �@� t o � +�� � o �D��t�q�� A t��Tqvq � � tY�����E������tYqv��9 � �0� ��o taq � ��t � ty� � � q?t ���Tqaqv��9�D� �0� ��o t � + �zt � 90���������E�Vp�t � t � pTq �E� ��� �E� ����taq?t �R��o ���D� � � o � � tR�4t o �d� � p � � � �E� ����t�zt � 9*��� � + ����t � tRqvq?� 9�tV� �B� t�q���9 � t%p � ���� X"( O� $ P ��� o �D� � q���9 � qV��� q�� � ��� �5� � pZq?t � pTqd����t o t�q � ���D� � 9�� � �=� �D�qv��9 � �0� ��o t � �E� o � ��0��� � � o �D��t�q�� ��� o � � � � �0�m�4t o � � � �0��td�E�J�����(q � � � � � �� �� � ) ��) 6 � P � � t�qvq?� 9�tU�(q � �0���6t%p � G � � S (CN�� X � ��) 1Z� + ���?���TqV����t + � o � � G ����� � ������� �������"���.>��t o t�� 2 r \ ���*����� % � q�� o tUpE�(q��D� � � � �M� � p + � o t �Et o ��" r \ ������� � �~����tkq�� o � � 9���� ��(qY� �v� t � �4t%p �TqY� qv��9 � �0� ��o tY� � � G ����� � ������� ����� ��� � � o t-�z�E�D���Tt�� � ����t �Tt o � � � �E�D� �E�

�Et?� � +X� � o �D��� % �� � q?t o �EtZ�����E�E.>��t � ��� o � � ��+ � ��� � .~qZ����t �=o � � � � � ��.$����� � � �=� � G �G�E� �,���Eq?t ����dq?t � pEq�� � G � \ �<D"� � ����t � �D� � � tRqvqR� 9�t�� � t%� � � � � o �D��� � � o t �Tt o � � C �N� +� G ��� � � ������� ��� � �"�M�(q � G � �<D"� � ����t � �D� � ����t � � G ��� � � ������� ��� � � � � ���(q � G � � \ ��D"� � ����t � �D� � �

� X"( O� $r C ������� � P C�� � � � �E� t�q�� � � o � � � 7*#%���- ~#%�/'*9f��'* �#43 \ �J� � q � t � ��qI����t � tRqvqR� 9�tRq�������Tq o t � t?���TtvpP�E�������Tq?t � \ �~� � p + � o .M� o pTqBqv��9 � tvp �Et o q�� �E� q � + ����t � � � � \ ��D� � ����t � �D� � � tRqvqR� 9�tRqd�����0�I���:���Eq o t � t?���Ttvp�� � � t � � � � �*����� � + � o t �Tt o � G � � ��� \ � �� + ��� o � � " ���Tq o t � t?���Et%pN� � G � � \ ��D"� � ����t � �D� � � tRqvq?� 9�t � G ��� � � ������� ��� � � � � �5q �[� ������E�I�0��� � � � qd� o tPpE� !5t o t � � +vo �E� "�����t � ����� ��� t � pEqV��� q:q���9 � �0� ��o td� � ����t � t�q<DqR� 9�t �;� � pNq?t � pEqk����t o tRq � ��� � � 9 � G � �<D"� � ����t � �D� � � tRq%q?� 9�tV� � �0��� � � o � ��tRq��A t�q�� o t�qvq������0� � + � o t%� � � �E�0� � t � + G ����� o �D� " qRt � pEq �0� �P� qv� �0� t � G � ��D� � ����t � �D� � � tRqvq?� 9�t�� � �0��� � � o � ��tRq�� � � � � �0����� �d��� � �E� o t +vo �E� � +vo �E� qRt � p0� � 9� G � ��D"� � ����t � � � � � t�qvq?� 9�tRqa� + �������EqY�*� o tv�*p0��q?t � � � G � �b�<D"� � ����t � �D� � � tRqvqR� 9�tRq+ � o q �E� t � � �

" � U ) � (���) 6 � P C5� � � � �E� t�q�� � � o �D� � 7*#%���- 5#��/'�9���'* �#43 \ �dt �E�0� � �0��tRqd����tdq���� � �E�D� �E� �Tq+ � ��� � .~q�#

�,$ � _�] ? [ a@A bH9 [ > _�BG< a ] ? < � < ] [ 9 � <] D 9 a*> B@_�] > <=;+b A � <L9 [ 9dN D 9�< i e [ N E _�9�] >GA�D 9 � 9�^ [ B >@A ]L_ ` [ B cD 9�< � [ N'_ a < ! D 9 a*> B@_�] >GA�D 9%$ � � S '& [ A 9 > [ A 9 A 9�b aG?�D B >Fa@A bH9 [ > _�BG< a�A�a A � ^ D B > [ 9 >FA 9 >@?�A�a [ ^�^ ` A ] [ >@A�D 9 c� <=] [ _ a <�e�< [ BG<�b DHA 9�b >@D'A > <=B [ >GA � < ` N aGA bH9 � < aGa [ bH< a ] D 9 aGA�a*>GA 9�b DCE ( >@? <K] D 9�] [ > <=9 [ >@A�D 9 DCE [ 9 D B A b A 9 [C`

� < aGa [ bH< [ 9�; g ^�B A�D B a@A bH9 [ > _�BG< a

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ]�\ �� ��� + � + � o q �E� t � � 2 � � � � .>��� � ��� o t ��� � � t � t�qvq?� o �b����p0� !5t o t � ��������� ���Tqo t � tR���Etvp ��� ����� � ��� �-��D"� � ����t � � � � � t�qvq?� 9�tP� � pa� � \ � 2 ��D"� � ����t � � � � � t�q<Dq?� 9�tN����t � ���Bp*t � ��p*tRqN�����E� ��� o � � � �(q � �*��� � � � � q��:� � p � � � �=� � qU� � t o�o � oq�� �@�%� � ��q?�E��� �� ��� + � + � o �Vqv� � 9*�6t G � � ��� \ � � � pVq �E� t �W�������Tq o t � t?���TtvpP� � G � ��D"� � ����t � � � �� t�qvq?� 9�td����t � ��� � � � �=� � qk����t �E�0� � t G �� ��� + ���?���Tq � t �Et o�o t � tR���Etvp�� � G � ��D"� � ����t � � � � � t�qvq?� 9�t � + � o � � � G � � ��� \ �� � p ������t � ���Ip*t � ��p*tRqV�����E� ��� o �D� � �(q � �*��� � � � � qU� � p � � � ��� ��q�� � t o�o � oq�� �@�%� � ��q?�E��� �

A t � �E�U� t � �I�����E�I� � ����t �(qv� o � � � ��tvp ���E� �=� �D� � 9y�����4t o �E� ��o t �I� � �*���4t o � �E�D���Tt�=o tRq?t � ���0� � �0� �(q �=o t + t o�o t%p�� � .>��� � ��� + � � � o � � p*t?��t � ��q � ��tv�0� � � 9 � � ��� o �D� �

� � ��t � �Z� � � �EqRtRq � � � p � ������t � ����t � � o � � � � � �=� � q���p�t + � � ��� �E�0� � t �Nq?�E��� �o �E����t o ����� � ����tUt o�o � o q�� � �%� ��� �_ ���k</ �7*#"7�>?7*&=>-'*9mK=�:�-'*)�12&63N'*`['*<�#��-`m#�7d�/'�9/`�&2�:9/7�9 S K�1(9/'* �3d1(9/</./#;LE'0&(.��!) � A 7� ;)%'��*�70@����m>R12�-9/>?3*F�7�9��VOP'T3Y1(9/)"#% �.[>R#5��7�9��-)�#B<['* �#"12�-)�#�7m@b7� "�X'* %`Y'0#5OU7�)�#5#4�J7Z'�.�#����!9�#"1(>OU�-)%)�'*H*�!)V#%�/'0#N ��R@b�- U#�7 `/1 � �- ��-9�#ULT'*&2./�-) � K=�->-'*./)��a#���1()N)�.�N>?�-)P#�7��!)"#%'*K�&212)%� #��/'*#��'* �#43 \ 12)IOP'*&61(>R127�./) � ���� c � c �!ibf!i c�e�� j � j�� � qvq � � � � 9d�����0�$����tBqv��9 � �0� ��o tBq � ��t � tk� � � qRtB�(q � � + � o 9�tv� � �zt ����E� qv� o��[� � � �0� � � � � � � q?�E�D�(qV�;tRqk����t + � ��� � .$� � 9a�. � � �0� pE���D� �E� q #

� �����M�(qG� � + t%�Eq�� � �ztU� �P� ���0tP� � �N�. � � �E� t�q�� � � o � ��tRq � � � �=� �Jp0� !5t o t � � �E�0� � t�q��� ��� + �5� o �D� � �(q*� �E� t�q��I����t � �����(qV� � + tv�Eqv� � �ztZ� ��� ���0tm� � �%� �E� t�q�� � � o �D� � � � ��� �� �E�0� � tUpE� !5t o t � � +vo �E� ����tV� � �=� � � + �5� o �D� � �

� ��t � �z�E� � � � �zpTq o t9�� o p��ztRq%q � + ����t � � � � t o � + p0�(q�� �E� t�q�� � � o �D��t�qZ� � p�t �Et � � + pE�(q<D� �0� tRq�� � � o �D��t�qV� ��� o �X����tVt#"�t �?� � � �0� �n 9�7�#����! Z�J7� %`/)-F��J "7�<[7�)"12#"127�9 ]�� � �6\�� '*)%)"�! "#%)N#��['0# 1 7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� � �2\T] 1()Z�!)�)��-9 S#"1('0&2&23a'N)��->-./ "�G1(OP<�&2�-OU�-9�#�'*#"127�9Y7*@~#%��� � < K/ �7�'�`/>?'�)"# = � @�./9/>?#"127�9/'*&612#43 � G � �K������� ��� � ��� G � G ������� � G � � n 9 </'� "#�12>-.�&2'� ?F~#%���a>-'*)��Z1(9�����1(>���#%���Y��7�9��!)"#U</'* �#"12�-)d7�./#�</.�# � >?'�9K=�Y'�>?>?7�./9�#"�!` K�3 #��/�Y'�K[7� "#U70@k'*9 12`��!'0& S OU7�`��-&X'�`�L*�! �)%'* �3 <�&2'T3�1(9�H ��'� "#43 \�� | �9�7�#"�V#%�/'0#B)"�!>?./ �16#43Y'*)B./)��-`����! "�V12)5129/>?7�OP</'� �'�K�&6�V#"7Z)��->-./ "12#43a129y�-16#%���- 570@�#%���V#4�J7OP'0&212>?167�./)5OU7�`��-&2) ��� 9y7�9/�V�/'*9[`+F=�J�V`�7�9�7*#:</ "7EL�1(`���)��->?.[ "12#43��I12#��� "�!)�<=�->?#�#"7Z'�9����#��- %9/'0& '*`�L��- %)�'� "3V#��/'*#;7�9�&63P#%'*</);#����k>R7�OPOV./9�1(>?'*#"127�9N&21(9��-);����12&6�k9�7*#X>R7�9�#� �7*&2&61(9�H'*9�3�70@X#����Z<['* �#"12�-) ��_ �/'*#�12)-FW�;�m`�7�9/7*#V</ �7EL�12`/�P)��->- "�!>R3��I16#%� "�!)�<=�->?#G#"7�'*9 ��� S#"�! �9['0&;'�`�L*�! �)%'* �3*Fh'*9/` 1(9/`��-�-` #%��12)�@b�-'*#�./ ��m1()V9�7�#V "�!,�.�12 ��-` K�3�#����a<[7�)"# S >?7�OP<�12&6�! � <[ "�!)"�!9�#��-`YK=�?&27E� � ��� 9a#����G7�#����! I�/'*9[`+F/�J��`�7N</ "7EL�1(`��G)"�!>?./ �12#43m129a#%��� � )�#� �7�9�H��- �)��-9/)��N70@I#��/�Z)"�!>R7�9/` OU'*&61(>R127�.[)GOd7�`��-&;K/./#V`�7�)�7 .$����� � � �k��� � ��� � � 9�����t � � �@� t o � +pE�(q�� �E� tRq�� � � o �D��t�q ��_ �/'0#U1()?FM@b7� P'*9�3 9�./OVK=�- P7*@B`�1()���7�9��-)�#P</'* �#"12�-)-F�#��/�Y<[ "7�#"7�>R7�&� � �->?#"12L*�-&63m</ ��?L��-9�#�)J`�1()��/7�9��!)"#X</'* �#"12�-)M@� �7�O '*K=7� �#"1(9�H � K=�->?'�./)��:'�K[7� "#J12)J#% "�!'0#"�!`Z'�))��-9/`�1(9�HP)"7�OU�512&6&2�?H�'0& Od�!)�)%'0H�� � �hn 9�</'* �#"1(>?.�&('* -F�#����k>?'�)"�B129Z����12>��o��'* �#43 \ `�7��-)J9�7�#�?L��-9��-9�#"�! X#����G�����->?./#"127�9�12)X#% "�!'0#"�!`�'�)X#�����>-'*)��k129�����1(>���12#�)��-9�#X16&2&6�-H�'*&8Od�!)�)%'0H��-) �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

]�\ � � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

��� c8c��h�+��� f-g �M� A 1 ��129/H�'*9�3 " '*9[` G FE)%./</<=7�)���#��/'*#81(9��;�/'�)"� � \ F)��'* �#43 " ��->?�?12L*�!)+'� G � � \ � S '�.�#����!9�#"1(>BOU�-)%)%'0H*��F�'�9/`a'*)%)�./OU�:#��/'*# 12)J#��/�k)%OP'0&2&6�!)"#J1(9�#��?H��- ;@b7� J����1(>��#��/12)N�/'�</<=�-9/) � A 7� U#���1()P�?L��-9�#U#"7 �/'*<[<[�!9 12#NOV./)�#NK[�Y#��['0# � FJK[�!>?'*.[)"�Y#��/�OU�-)%)�'*H*�5Od./)�#;>R7�9�#�'01(9 � \ )�16H�9/'0#%./ ��-)$@� �7�O`�1 � �- ��-9�#;</'� "#�16�!) � 7*#��/�- ;#��/'�9_��'* �#43 "12#�)��?&6@ � � � � n 9Z)�./>��N'V>?'*)��*F�16@ ��'* �#43 " 12)J��7�9��-)�#�#��/�-9m12#M�I12&2&�)��-9/`Z'*9N'*./#����!9�#�12> � G � � SOU�-)%)�'*H*�U129 �;�['*)�� � � � F}'*9[`�)�7y'0&2&~<['* �#"12�-)k�I12&6&� ��->?�?12L*�P'*9�'*.�#%���-9�#"1(> � G � � SOU�-)%)�'*H*��1(9a�J�/'*)�� �k_ ��.[)?F�@b7� 5�?L��- �3 G F 1z@J'*9���7�9��-)�#B<['* �#43Y)��?�U' � G � � � S '�.�#����!9�#"1(>OU�-)%)�'*H*�J#����!9d)�7G`�7k'0&2&�7*#��/�- $��7�9��-)�#W<['* �#"12�-)-F*'*9/`f��'* �# \ @b7�&6&27E��) � ��'* �# C @b7*&2&27E��)WK�37�K[)"�! "L�1(9�HV#%�/'0#X16@2��'� "#43 \ 12)I��7�9��-)�#I'*9/`��/'*)X1(9/</./# G #%���-9Y'*&6&+��7�9��-)�#I</'* �#"12�-)X)��?�k'� G � \ � S '*.�#%���-9�#�12>BOd�!)�)%'0H�� � A ./ �#��/�- %Od7� "��F�9/7�9��:>?'*9Z)"�-�B' � G �G� � S '�.�#��/�-9�#"1(>�OU�-)%)�'*H*��F@b7� G � �r G '*9[`a'�9�3 ���� c � c �!ibf!i c�e�� j � j���� � <[7�)"# S >?7�OP<�12&6�! �<� � �T��� � q?tJ�����E� �E� t D .M�0� +v� � � �D� �E� q;t#"��(q�� � � ��t �� � � D"� o � +v� � � � � �0� �0����� �y�����0�5�(qUqRt �?��o t-��� � �E� �=� �4� � �ztN� � ����t�� o q�� � "�!)�< � F})��->?7�9/` �� �0��� � � � � q K[ "7�'*`/>-'*)�# �P� p*t-�[�(q5�*� q � q?t �?��o t?��� � �0� ��� ��� � �6t5� � ����t � o q�� � "�!)�< � F*)��->?7�9/` �� �0��� � � � � q <=7*1(9�# S #�7 S <[7�129�# �N� p*t-� � �=o � �!��p*tvp������0�:� ��� � ��� � D �0tR�y� � +vo �Tq�� o��[� � ��o tmt#"��(q���q� � ����t � t?�. � o � ���� c8c��$�8�=� f!g �;� _ �/�J1(`��!'51()~#"7k "�!<�&('*>R�X'*9�3�K/ �7�'�`/>?'�)"#WOU�-)%)�'*H*�;)��-9�#~1(9V#%���X7� �16H�129/'*&</ �7*#�7�>?7*&kK�3 '*9������!>?.�#�167�9 7*@ � .�#%���-9�#�12>-'0#"�!` � 3 �-'�9�#"1(9�� � H� ��?�-OU�!9�# � � .�#�� � � � �_ ��1()N1(`��-' 9��-�-`/)N#�7 K[��>-'* ��R@�.�&2&63 12OP<�&2�-OU�-9�#��-`�K[�!>?'�./)"�y12#N1()N9�7*#m>?&6�!'* P#��['0#N#��/�)��->?.[ "12#43y70@ � .�#%� � � 12)k</ ��-)��- �L*�!`�./9/`��! GOV.�&2#"1(<�&2�N�����->-.�#"127�9[)?F8'�9/`�#%��./)G'*</</&63�1(9�H�; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� � �6\�� <=�- G)��P�I16&2&M9�7�#k`/7 �P_ ���N</ "7�K�&2�-O 1()k#��/'*#G#����N'�`�L*�! �)%'* �3yOU'T3./)��y'*.�#%���-9�#"1(>?'*#"�!` OU�-)%)%'0H*�!)P)"�!9�#P1(9�7�9��Y�����!>?.�#�167�9 7*@B#��/��</ "7�#"7�>R7�&X129 7� %`��- U#�7@b7�7*&X)"7�OU��</'� "#�16�!)V1(9 '�`�1 � �- ��-9�#d�����->-.�#"127�9 � _ ��1()P'0#"#%'*><��>?'�9�K[�Y'TL*7�12`/�-` 1(9�#��/�>?.[ � ��-9�#�>R7�9�#"����#-F[K�3a./)�1(9�HN12`/�-9�#"1 �[�- %) � ����12>��y>-'*9yK=�V'*)%)�16H�9��-`a>R7�9/)"1()�#"�-9�#�&63aK�3a#��/���12H����! S &2�?L*�-&8</ �7*#"7�>?7*& � @b7� I�!'*>��a70@~#����V�����->-.�#"127�9/)�70@$#���� � .�#%� � � </ �7*#"7�>?7*& �;_ �/'*#1()?Fk'*.�#%���-9�#�12>�OU�-)%)�'*H*�-)��I12&6&�K=� "�!,�./12 ��-`�#�7�K=�-'� a#���� `�1()"#�129[>R#Y12`/�-9�#"1 �[�- a7*@d#��/�>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�H � .�#�� � � �����->-.�#"127�9 � '*9/` '0&2&:)�16H�9/'0#%./ ��-)m�I12&2&:K=��'�</<�&216�!`�#"7 #��/'*#1(`��-9�#"1 �[�! a'�)Z�J�?&2& � � _ ��./)?F:'*.�#%���-9�#�12>�OU�-)%)�'*H*�-)Z70@V7�9�� � .�#%� � � �����!>?.�#�167�9 �I12&6&9�7�#�K[�N'*./#����!9�#�12>P1(9 '*9�3y7*#%���- � .�#�� � � �����->-.�#"127�9 �Pn #k@b7�&6&27E��)k#��/'*#k#����m</ �7�70@J70@�; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� � �6\�� >-'*9YK=�G����#"�!9/`��-`a#�7N7�./ I>?7�9�#"����#-F/�����! "�G)��-,�.��-9�#�12'*&8�����->-.�#"127�9[)70@ � ./#�� � � � �I12#��a����#��- %9/'0&2&23 S '*)%)�16H�9��-`�`�12)�#"1(9/>?#I12`��!9�#"1 �[�- %) � #%'��0�G<�&('*>?� �_ ���V<[ "7�70@$7*@$)��->-./ �16#43a#� %'*9/)"@b7� %OP)�'*9�3Y "�!'0& S OU7�`��-&}'*`�L��- %)�'� "3m@b7� �#%���d<=7*1(9�# S #"7 S<=7*1(9�#I</ �7*#�7�>R7*&+#�7N'U ��-'*& S OU7�`��?&+'*`/L*�- %)%'* �3V@b7� X#�����K/ �7�'�`/>?'�)"# S >��['*9/9��-&=</ �7*#�7�>R7*& �~n 9</'� "#�12>-.�&2'� ?F[#�����&('0#�#"�! �`��?#��- %OU129��!)�#%���VOU�-)%)�'*H*�!)I<[7�)"#��-`Y7�9a#%���dK/ �7�'�`/>?'�)"#I>��/'�9/9��-&���/'�>R#"&23�'*):'*9���7�9/�-)�#:</'� "#43y`��-#"�! �OU1(9��-):#��/�dLE'0&(.��!):`/�?&216L��- ��-`�K�3y#��/�ULE'� "127�./)B����� S>?./#"127�9/)570@ � .�#%� � � ��n 9y#��/��#� %'*9/)"@b7� %OP'0#�167�9��J��'*)%)%./OU��#��/'*#��-'�>��Y129[)"#%'*9/>?��70@$#��/�� ./#�� � � )�./K S </ �7*#�7�>R7*&W)�'*#"1()@�=�-)B#����P>R7�9/`�12#"127�9/):)"#%'0#��-`y1(9a�J "7�<[7�)"12#"127�9 ]�� � �6\�� � 1 � � � F12#P`/�?&216L��- %)V#%���a)%'*OU�aLE'0&(.���#�7�'*&6&I��7�9��-)�#P</'* �#"12�-)P'*9[`�#��/12)ULE'0&(.��a�-,�./'0&()U#����a7�9/��-9�#��- ��-`aK�3Z#�������7�9��-)�#I)"�!9/`��! � �$n 9�>-'*)��:#%����'*)%)%./OP<�#"127�9a`�7��-)I9�7�#I��7*&(`+F/�J�G`��- �16L��'d@b7� �H*�! M@b7� X#�����.[9/`��- �&23�1(9�HN)�16H�9/'0#%./ "�G)%>����-OU� ��� � DC> < >@? [ > >G? < a [ A ; � < aGa [ bH<�] [ 9�9 DC> ] D 9 > [ A 9 [ aGA bH9 [ > _�B@< DCE � [ B > N���;�_�< >GD >@? < �$A 9 A � [C` A > NDCE���� � E >@? < (�� � � �

g i [ _ >G? <L9 >@A ] � < a@a [ bH< ? [ ;+] D 9 > [ A 9�<L; [ a@A bH9 [ > _�BG< DCE�� [ B > N�� >@? <=9 c E D B aGD�� <������� c � [ B > N��e D _ ` ; ? [ � <�BG<=]=< A � <=; [ (��� ����� �

g i [ _ >@? <=9 >@A ] � < a@a [ bH< A 9 � ? [ a < ����� ��

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����C��� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ]�\E]&('�� '*) +-,%. �8<VAM? /214365 7 9;. < ���%14<V/ 7 �� � .�367�� 1�%.�A ?�� .=,���%7:1 <| �M@b7�&6&27E� #����JK/'*)�12>;)"#% �.[>R#�.[ "�;70@/#��/�;>R7�OP<�16&2�- W</ ��-)��-9�#"�!`k129 s �->?#"127�9 ]�� l @b7� h#����;#4�;7 S</'� "#43�>-'*)�� � � `/'�<�#"1(9�HY#��/'*#G>R7�OP<�12&2�- k#"7Y#%���NOV.�&2#"1 S <['* �#43�)"�-#"#�129�HyOU�- ��?&23� ��-,�.�1( "�!)H*�!9��- %'0&21��?1(9�H�#%���Y12OP<�&2�-OU�-9�#%'0#"127�9 70@B�-'*>�� 70@:#����Y#��[ "�-�a</�['*)��-) � 7*@B#��/�Y>?7�OP<�12&6�!`#4�J7 S </'* �#43B</ �7*#�7�>R7*&() � � A 7*&2&67E�I1(9�H�1()h'5��16H�� S &6�-L*�?&�`��-)%>? �1(<�#"127�9G7*@/#����JOV.�&2#"1 S </'* �#43:<[ "7 S#"7�>?7*&()MH��-9��! �'*#"�-`NK�3N#%���B>?7� % "�!)�<=7�9/`/129�Hd>R7�OP<�12&2�- � ) �->?'*&6&�#��['0#X'0&2&�>?7�OPOV./9/12>-'0#"127�98FK=7*#��a1(9Y#����G1(9/</./#5</ �7*#"7�>?7*&+'*)X�J�?&2&}'*)X1(9Y#��/�G7�9��G ��-)%.�&6#�129/HP@� "7�O #����d>R7�OP<�12&('0#"127�98F1()I>R7�9[`/./>R#��-`YOU�- ��?&23ZK�3�<=7�)�#"1(9�HNOU�-)%)�'*H*�-)J7�9�'P)�129�H�&6�GK/ �7�'�`/>?'�)"#X>��/'�9/9��?& �� e ��#hf �vg c � � i�f ����e f������/� ��� �J'*>���7*@d#%��� </'* �#"12�-)Y>R7�OPOd12#�)Y#�7 12#�)Y1(9/</./#�K�16#%) �_ ��12)U�I12&6&�K=��`�7�9��a.[)"1(9�H '�Od.�&2#"1 S </'� "#43 L��- %)"127�9�70@B#%���Y129[</.�# S >R7�OPOd12#�OU�!9�#@�./9/>R#�167�9/'0&212#43m70@��;, � � ]�� � ��� �n 9�#%.�12#"12L*�?&23*F�OP'0&212>?167�./)M</'� "#�16�!)�OP'T3 � '*K=7� �#�7� � )�.[K/)"#�16#%.�#"�B#����-12 M129[</.�#�)J`/./ �1(9�H#���1()�</�/'�)"��F/K/.�#I#%���?3aOU'T3�`�7m)"7N`��!<[�!9/`�1(9�HN7�9/&63m7�9a#����GLE'0&(.��G7*@h#��/��129[</.�#�)���?&(`�K�3aOU'*&61(>R127�.[)I</'* �#"12�-) �dc i e � �=��eW� ���/f-i c�e ���/� �=� _ ���Y</'* �#"12�-)dH*�!9��- %'0#��Z %'*9/`�7�O S #%'*<=�-)G@b7� V�!'*>�� 7*@5#��/�</'* �#"12�-) � _ ���-)��� %'*9/`�7�O S #%'*<=�-)m'� "�y1(9�#"�-9[`��-`�#�7 )��- �L*��'*)Z#�����>R7�129/)m70@�#��/�>R7� % ��-)%<[7�9/`�1(9�HB</'� "#�16�!)~129U#%���?1( $�-Od.�&('0#"127�9d70@�#�����)��-OU1 S �/7�9��!)"#$</ �7*#�7�>?7*& � �J'*>��</'* �#43P7�K�#%'01(9/)X#����G %'*9/`/7�O S #%'*<=�5#�7PK=�G���?&(`aK�3Z16#-F������- ��-'�);#%���k7*#%���- X</'� "#�16�!)7�K�#%'01(9y>R7�OPOU12#�OU�-9�#�):#�7m#���1():LE'0&(.�� �:_ ��12)B�I12&6&~K[�P`�7�9��d./)�1(9�HZ'ZOd.�&2#"1 S </'� "#43L*�- %)�167�9m70@W#�����'�.�H�OU�!9�#��-`a>R7�129 S #"7�)�)�1(9�HV@�.[9/>R#�167�9/'0&216#43�70@2�;, � � ]�� � � � �n 9�#%.�12#"12L*�?&23*F8OP'*&61(>R127�./)k</'� "#�16�!)kOU'T3�'�K[7� "#k`/./ �1(9�H�#%��1()G</�/'*)��*F8K[.�#k7*#��/�- ��I12)��#����-3m�-9/` S ./<a�I12#��Y'P./9�16@b7� %OU&63a`�12)�#� �1(K/.�#"�!`Y �'�9/`�7�O S #�'�<[� ���� c f c g c � �3� #8� ��f!i c�e �����,� ��� _ ����</'� "#�16�!)��!OV.�&('0#��Z#��/�Z�����!>?.�#�167�9 70@�#��/��)��-OU1 S��7�9��!)"#W</ �7*#"7�>?7*&��I16#%�d ��-)%<[�!>R#h#"7:#����J129[</.�#�)$>?7�OPOU16#�#"�!`�1(9V#%���z�� �)�#W<[�/'*)��;'�9/`#����m %'*9/`/7�O S #%'*<=�-)�)��?&2�->?#"�!`�1(9 #��/�Z)"�!>R7�9/` </�/'*)�� �a_ ��1()G�I16&2&;K=�Z`�7�9��m./)�129/H' OV.�&2#"1 S <['* �#43 L��- %)"127�9�70@G#%����'*./#����!9�#�12>-'0#��-` S >R7�OU<[.�#�'*#"127�9�@�./9/>?#"127�9/'*&612#43�70@

�;, � � ]�� �*� � �~_ ���J@�'*>?#$#��/'*#$#����X7� �12H*1(9/'0&�</ �7*#�7�>?7*&�1()$�����->-.�#"�!`V7EL��- ~'kK/ �7�'*`[>?'*)�#>��/'*9/9/�?&+1()I./)"�!`Y���- �� �n 9�#%.�12#"12L*�?&23*F8OP'*&61(>R127�./)k</'� "#�16�!)kOU'T3�'�K[7� "#k`/./ �1(9�H�#%��1()G</�/'*)��*F8K[.�#k7*#��/�- ��I12)��#����-3m�-9/` S ./<Y)��-9/`/129�HNOU�-)%)%'0H*�!)X'*)I`�1( "�!>R#��-`YK�3m#�����)��-OU1 S �/7�9��!)"#I</ �7*#�7�>?7*& �n 9 7� %`��- d#"7�12OP<�&2�-OU�!9�#N#%���y'*K=7EL*�a</�/'*)��-)-F��J�a`/���=9��y9/'*#�./ %'0&XH��-9��! �'*&61��-'*#"127�9/)V70@#��/�Z1(9/</.�# S >?7�OPOU16#%Od�!9�#?FM>?7*1(9 S #�7�)%)"1(9�H=FW'�9/`�'*./#����!9�#�12>-'0#��-` S >R7�OU<[.�#�'*#"127�9�@�./9/>?#"127�9 S'0&212#"12�-) � 70@X#����N#4�J7 S </'* �#43y>?'�)"� � Fh'�9/` </ ��-)��-9�#G)"�!>?./ ��P12OP<�&2�-OU�-9�#%'0#"127�9[)G70@J#����!O 1(9#��/��>?./ % ��-9�# � �= %)�#ZOP'0&212>?167�./) � Od.�&2#"1 S </'� "#43 Od7�`��-& � _ ���y7� "12H*1(9/'*&�`����=9/16#�167�9/)Z'�9/`>R7�9/)�#� %./>R#�167�9/)�'* ��I7�K/#�'01(9��!`NK�3U)"�-#"#�129�H r C �h| �5)�#�'� "#M'*H�'*129UK�3U`����=9�1(9�HV'�9N'*`�� S,�./'0#��J9/7*#"127�9�70@= ��-`/.[>R1(K�16&212#43*FE����1(>��V'*&6&27E��)}'BOd7�`/./&2'� W<[ "�!)"�!9�#%'0#�167�9k70@[#%���J>?7�OP<�12&6�!`</ �7*#�7�>?7*&() �� j � j � j�� �}� g�#0�Ti�f � � � !0#Wg0f!i c�e � � e ! ��g c � � c �-i�f-i c=e f� ��c � �3�� 9['0&27*H*7�./)�&63 #�7 s �->?#"127�9 ]�� � � C �2\ FM�J�y9�7E� `/���=9��y���['0#P�;��OU�!'*9�K�3�)�'T3�1(9�H�#��/'*#7�9/�I@�./9/>?#"127�9/'*&612#43P12) q?t �?��o t-��� o t%p �[� � � �zt #�7V'*9/7*#��/�- $@�.[9/>R#�167�9/'0&216#43 �~| �k./)���#����k)%'*OU�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

]�\�� � ��8� � � ����� ����� �%��� � ��� 8�������%�� %� � 4� � ��� � ���!�

`����=9�12#"127�9y7*@M'*9Y7� %'*>?&6� S '*12`/�-`Y</ �7*#"7�>?7*& � 1 � � � F � ���=9�12#"127�9 ]�� � � � � F�K/.�#B ��-,�.�1( ��V)�.[>��y'</ �7*#�7�>?7*&8#�7mK[�U)"�!>?./ ��G1(9Y#������� �)�#�OP'0&212>?167�./)�OU7�`��?& � %'0#��/�- I#%�/'*9yK=�d)��->-./ "�G1(9Y#��/�)��-OU1 S ��7�9��-)�#UOU7�`��-& � � � )P129 #����Y#4�J7 S </'* �#43 >?'�)"��F��;�Y ��-,�.�1( "�a#��/'*#P#����Y&2�-9�H�#�� 70@�-'�>��a7� %'*>R&2�G,�.��- �3�>-'*9YK[�d`��?#��- %Od1(9��!`a@� "7�O #��/��&6�!9�H*#%�Y70@$#��/��129/16#�12'*&}1(9/</.�#�#�7m#��/�7� %'*>?&6� S '*12`/�-`m</ �7*#�7�>R7*& �� ���~e ibf-i c=e � j � j��� � )"�!>?./ �16#43� "�!`/./>R#�167�9/)X1(9�#%�����= %)"#IOP'0&21(>R127�./)IOU7�`��?& ���

$ � q5� � t�� � ���D� �E� � � � ��� �;� � D � � o �D� � o � � �zt D"�E��p�t%p �=o � � � � � ���(q5q?�0��pP� �@� t8N O ) � �� X � S L"(&� � � 6 � ( 1 5 S �@N � 1���) 6 � (35 ) � � - � + ����t � o � � �6tZ� � q<.Mt o qN� o t�� �v� � o p0� � 9y� � - �� � .Mt �Et o �8� � � �v� � o p*� � � t:.$�����k����t5p*t�� � ���D� �E�Z� + ����t � �= %)"# �;��p*tv�0� D �N� p*t-� � @b7� h#��/�129�L*73�0�!`�@�./9[>R#"127�9['0&216#43 � �~����t � o � � �zt�p � tRq ��� �M� � q<.Mt o �*��� � � o �D��tRq � �E� �?��o�o t � ����� �� � � o �E����t o � � q<.Mt o q�� o q��P����t o t%�*� D �N� p�t?� � � o � � �����E� o t $ � t�q��4t%p �����(qyq � t � � � �� o � � �zt � �0��� � 1(9 #��/�m7� %'*>?&6� S '*12`��!`�</ �7*#�7�>R7*& � � A ��t � o t � t?���-� � 9�����q � � o � � + ����t� o � � �ztN� � q<.Mt o �J����t � � o �D�Z�����0� o t $ � tRq���tvpZ����t � o � � �zt � �*���}� � q�� o��[� ��q�����t � o � � �zt.>��t?����t o � o ��� �J� � o tRq � �0� pN� � ����t � ����t oI� � o �D��t�q��A t � �E� q���p�t o �0� ��� ��o � � � � � � qm� � .>��� � ������t��zt � 9*��� � + tv� � � � o � � �6t $ � t o �y�(q��� � ��� ���0� ���*� D4� � � t � �E� �=� �4� � �zt +v� � � �D� �E��� + ����tY�zt � 90��� � + ����ta� � ��� ���*�M� � �=� �k� �����t �=o � � � � � � � � ��o ����t o �N� o t �X����tN�zt � 9*��� � + tv� � �-$ � t o � � � qv� � t � � ��� � �E� ���0�����o t?�6�E�4t%pm� � ����t��zt � 9*��� � + ����t�� � ��� ���*�8� � ��� � ��B� �0� � 9 � � qR���a� � t�� � ���D� �E� � � � � � �B����t �6�) � � � 1 N���) 6 � 6��?( � 6 �2( 1 5 S (3) � � L&� 6 S� 6 1 6 5��� ) � X 6 � ( 1 5 - N � � � � � ��:� ) � � X � (35 U 6 � 5 ��� 7�9 129[</.�#N)"�!,�.��-9/>?���r � � 2 ������� � � � � '�9/`d'�.6��16&21('* �3G129/<[.�# ��� �Wp�t � � �4t%p0���� "�#� � � � � � � � � ���}�(qBp*t�� � tvp�TqV����t � � � ��� �JqRt $ � t � � t o t�q � ���D� � 9 � + ����tU� � �4t o � � �D� �E�J� t?��.Mtvt � ����t � � o � ��tRq��.>��t o tk����t � t�qvq?� 9�tRq � +M� � o �D��t�qk� � ��� o t � �0� ��� ��tvpP� �v� � o pE� � 9m� � � � � �������W����t� tRqvqR� 9�tRq � +I� � o �D��t�q ��� �X� � � � o t � �0� ��� ��tvpa� �v� � o p0� � 9Y� � � ��� � pZ����t � o � � �zt� �*��� qV� o tU� � q<.Mt o tvpa� �v� � o p0� � 9�� � - �

$ �B� � o � � �zt D"�E��p*tvp �=o � � � � � � � � � q�� � 9�����t � o � � �zt D +v� � � �D� �E� �*�����D� - �m�(q�q?�E��p�� �O 1 N � 5 � 1 6 U LMN�� � � 129y#%��� �� �)�#5OP'0&212>?167�./)5OU7�`��-& ��� + � � �E� pE���D� �E� � � �0� � 9 � � q� � ����t �E� tY� � t�� � ��� � �0� � � � � � � � �6pTq���� ���E���(q�������tyt !5t � � � + � � � t � � ��t � �o tv�0� D �N� p�t?�;�*p �Et o qR� o ���Tqm� �%� �Tt � � � � tNqv� � � �z�0��tvp � ��� � � o�o t�q � �E� p0� � 9���p*tv�*� D�P� p*t-�J��p �Et o q?� o � � .>��t o ta����t���p*tv�0� �N� p�t?� + � oY� �0� ��� � � � 9 ���(qYt "�� � �������Tq�� � t�� � ��� � �0� � � � � � �

� 14<E:�5� �:JL�7��6L.e��p�p� \ =@?A:�1i<@eiL�� :%G8e�7 9;:J9� A<E14=@1�L%14��� NrDA587�3Aq�1i<@eiL�� : s V 7 55Ee�7 9�=@1f,E"�������"4* �����������.$'"���N�7 3�=@?A:��6<@58=�� e��p7�L�7 14D65���1�9B:M� V 7pF2F�1i<�:.h):M<'� A<E14C6e�C;7p�p7�58=E7 L� �14�p�B3A1i��7 e���GQ=E7���:! �=@?A:M<E: :�"�7�58=�5>e# A<E14C6e4CB7p��7 58=E7 L$ �1��p�;3;1i��7 e��pG=E7���:&% 5'DAL�?�=@?6e�=OF�1i<z:.h):M<'� d('*) �,+

-/.103254�6 ��7 �8/9 � 9 : ����� N u V<; = 9 �?>@ -BAC254�6�D� 9 � 9 ������� N u V<; = 9 �$ �B�y� o � � �zt D"�E��p�t%p �=o � � � � � � �(qBqR�0��pP� � O 1 N � 5 � � �VN"1 �y� �FE � 1(9m#��/���= %)�#JOP'0&21 S>R127�./)JOU7�`/�?& � �$� + ���$q?t �?��o t-��� � �0� ��� ��tRq�� � 129�#��/���= %)�#;OP'0&212>?167�./)JOd7�`��-& � .>��t �� qv� � 9y����t � o � � �zt D +v� � � �D� �E� �*�����D� E � � � q �[� ��� � �[email protected]?�E�y�����E��� ) O!O 1 N � 5 �� �BN 1 ) 5 � 6 E �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� � ��� �C��� � ��� � ��� � � ���� � ����� � � � � ]�\ �� � p*tvtvp �F.>��t � � �6t%� o +vo �E� ����t � �0� �4t "���� .Mt � + ��t �x�E� ���V����t $ � �*��� �;t o < 1(9 #�����= %)�#OP'0&212>?167�./)IOU7�`��?& = �| �V'* ���9�7E� "�!'*`�3�#"7m)�#�'0#��V'N>R7�OP<[7�)"12#"127�9Y#%���?7� "�!O @b7� �#������� �)�#5OV./&6#�1 S </'* �#43�OP' S&212>?167�./)IOU7�`/�?& �� � ��c � � � � j � j� � � 1 7�OP<[7�)"12#"127�9 _ �/�?7� ��-O @b7� �#���� �= �)�#�Od.�&6#�1 S </'� "#43 OU'*&61(>R127�.[)OU7�`��?& ��� � �T�*� � q?t:�����E�$����t D"� o � +v� � � �D� �E� �0�����D� �a�(q5qRt �?��o t-��� o tvp �[� � � �zt:� � ����t � D"� o �+v� � � �D� �E� �*�����D� E � � pd�����E�$����t o tGt#"��(qv� q:� � D � � o �D� ��o � � � � � � + � o q?t �R��o t?��� � �E� �=� �D� � 9 E �� ��t � ����t o tUt "��(q���qV� � D � � o �D� �=o � � � � � � + � o q?t �?��o t?��� � �0� ��� � � � 9 ���� �!>?'0&2&�#��['0#~#����I)�3�9�#%'K��7*@=7� %'*>?&6� S '*12`/�-`�</ �7*#�7�>R7*&()~`�1()�'*&6&27E��)h>?7�9/>-./ % "�!9�#W7� %'*>?&6�X>?'*&6&()-F'*9[`P#���./) _ �/�?7� ��-O ]�� � � C \ 1()M'�>R#�.['0&2&63U' q?t#$ � t � �D���0� � �0� � � q����D� �E� ����t � o t � � � )�1(9N#��/�#4�J7 S </'* �#435>?'�)"��FT#���� 1 7�OP<[7�)"12#"127�9 _ �/�?7� ��-Ox>?'�9�K[�;H*�!9��- %'0&21 �-�-`:#"753�12�?&(`G#% �'�9/)"12#"12L�16#4370@ )"�!>?./ �� S ��-`/./>?#"127�9/)~'�9/`U#"7G'*>->R7�.[9�#W@b7� $ "�!`/./>R#�167�9/)W#��/'*#�./)���)"�-L*�- %'0&�7� %'*>?&6�!)~ �'*#����! #��['*9a7�9�� ���� c8c��I�8�=� f!g� � � 9/'*&67�H*7�./)"&23U#"7U#����k</ �7�7*@870@h<[ "�-L�127�.[);>?7�OP<[7�)"12#"127�9m#����-7� ��-OP)?F��J�'* ��VH�16L��-9�'�9y7� %'*>?&6� S '*12`/�-`y</ �7*#�7�>?7*&DF�`/�-9�7�#"�-` � � �

" F+#��/'*#:)��->-./ "�-&63Y ��-`/./>?�-) � #"7 E F'*9[`�'*9y7� �`/129/'� "3Y</ �7*#�7�>?7*& � " #��/'*#:)��->-./ ��?&23a>?7�OP</.�#��-) E � � H�'*129+F �J�d>?7�9/)�#� %./>R#B'</ �7*#�7�>?7*& � @b7� ~>R7�OP</./#"1(9�H � 1(9V#%���J9['0#�.[ �'*&�OP'*9[9��- : #��['0#W12)-F*)�#�'* �#"1(9�HB�I16#%� � � �" FE�J� ��-<�&('*>?�:�!'*>���129�L�7�>-'0#�167�9m70@~#��/�G7� %'*>R&2� � 1 � � � F=70@ E � K�3Z'�9a�����->-.�#"127�9�70@~#�����<[ "7�#"7�>R7�&

� " � 1 &2�-'* �&23*F � >?7�OP</.�#��-) � F+'�9/`y�J�U9��-�-`�#"7�)%��7E� #%�/'0# � )��->-./ ��?&23Y>?7�OP</.�#��-) � �_ ��1()I1()I</ "7EL��-9aK�3ZOU�- ��?&23mH*�!9��- %'0&21 �-129/Hd#%����</ �7�7*@W7*@ _ ���-7� ��-O ]�� l=� � � 1 � � � F/#��/�G#4�;7 S</'� "#43Y>?'�)"� � �B_ �/�V7�9/&63y<=7*1(9�#B#��/'*#51()5�J7� �#�������12&2�d)�#� ��-)%)"1(9�HN1()5#%�/'0#:#����U "�!'0& S OU7�`��-&'*`/L*�- %)%'* �3�@b7� � " Fh`/�- �16L��-`�@� "7�O #��/�m "�!'0& S OU7�`��?&�'�`�L*�! �)%'* �3a@b7� � Fh1()�>R7�9/)�#� %./>R#��-`7�K/&612L�167�./)"&23N70@W#�����)��?#X7*@W</'� "#�16�!) � #%�/'0#X#%����'*`�L��- %)�'� "3P>R7�9�#� �7*&() � � � � )X1(9�#�����</ �7�70@70@ _ ���?7� "�!O ]�� � ��] FT�;�J`��?#��- %Od1(9��J#����X)��?#W70@[</'� "#�16�!)8@b7� h�-L*�! "3k)�.[>��G129�L�7�>-'0#�167�9G70@ � " F'*9[`� ��?&23a7�9�#%���V@�'�>R#:#��/'*#:)��->-./ �16#43y��7�&2`/):�I12#��� "�!)�<=�->?#B#�7a'�`�L*�! �)%'* �16�!)�>R7�9�#� �7*&2&61(9�H'*9�3�)%./K/)��?#k70@J#���� � </'* �#"12�-)k</'� "#�12>?12<['0#"1(9�Ha129 '�9������!>?.�#�167�9�7*@ � " �Un 9�</'� "#�12>-.�&('* -F#��/�k)��->-./ �16#43P70@W'*9m1(9�L*7�>?'*#"127�9N7*@ � " K�3m</'� "#�16�!)�� r � � 7 ����� � � � ��7�&2`[)J'*&2)�7V1(9Z>-'*)����� � r � F������! "�B16#XOU�-'*9[);#%�/'0#X'V ��-'*& S OU7�`��?& '*`�L��- %)�'� "3 � ����1(>��Z>?7�9�#� �7*&()M9/7U</'� "#431(9 � � &2�-'� �9[)J9/7*#��/129�HmK�3ZOU�! "�-&63m#%'*</</129�HP#%����K/ �7�'*`[>?'*)�#X>��/'*9/9/�?& � � �� j � j � j� �}� g�� � f $�� c �,!hgM�/�?fn 9�7� %`��- :#�7�@�'�>R12&612#�'*#"�N#%���N12OP<�&2�-OU�!9�#%'0#�167�9�7*@J)�7�OU�U@�./9/>?#"127�9/'*&612#"12�-)-F}�J�P129�#� �7�`/./>?�#��/�k@b7*&2&67E�I1(9�H O 1�� � � 63( �/1 ( O � @�.[9/>R#�167�9/'0&216#43 �

� � \ � � � ����� \ � � � � �� � � � ����� � � � ]�� l � �� #��= %)�#�H*&('*9/>?�*Fh16#V)��?�!OP)�#��['0# �J, � � ]�� l � � 12)V#� �16L�1('0&2&63�12OP<�&2�-OU�!9�#%'*K�&2�ZK�3m��'* �#43 \<=7�)�#"1(9�H � 7�9�#����aK/ "7�'*`/>-'*)�#V>��/'�9/9��?& ��_ �/12)P)�7*&(.�#"127�9 1() < )��->?.[ "� = '*)d&67�9�H�'*)d#��/�����������&#���������������! #"�$&%#'(��)+*,%#-.�0/1�2�3'����!��*4%#��2 #��% � �'.56�. �*3 ��2-.��52�3'7%852�3-���9��2%:���35;%#5�<0�,'.-=%#'()

> �'?�,%#*=��-�@ � -.�A�� > $2%#'.�.���,-,B$=C � �3*3@2'�� ��)D�2 ���5-�%#��-. ���������E #���2�3'?�AF��.'��3GH�I*,%#-���/2�?�2�3'.� ��J8KML K / � @�?��-!�2 #�?GH�,%#�2���29 > @2�N����.�&%:�O*,%#-.�0B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] C � � �������� ������� � �� ������ ���������� ��� ����� �����������!�

� ��-'*& S OU7�`��?& � '*`�L��- %)�'� "3N>R7�9�#� �7*&()J'P9�7�9 S �-OP<�#43Z)��?#I7*@W</'� "#�16�!)?F/K/./#I@�'012&2)X1(9Y>?'�)"�k#��/�'*`/L*�- %)%'* �3Y>?7�9�#� �7*&()k9�7�9/�N70@X#����m</'� "#�16�!)G'*9/`�3��?#�>?'�9�#%'*<�#��/�mK/ "7�'*`/>-'*)�#G>��/'*9/9/�?& �_ �/'*#M1()?F�#����B#� �16L�1('0&�)"7�&2.�#�167�9m`�7��-);9�7*#J</ �7EL�1(`���)��->- "�!>R3U�I16#%�m "�!)�<=�->?#M#�7V'*9N����#"�- %9/'*&'*`/L*�- %)%'* �3 � ���/12>��y#%'*</)B#��/�U>��/'�9/9��-&WK/./#B>R7�9�#� �7*&()59�7�9��V7*@M#����U</'* �#"12�-):'*9[`y#���./)B12)9�7�#X)%./</<=7�)��-`�#"7N&2�-'� �9Z#����GLE'*&2.��G)��-9�#IK�3���'* �#43 \ #�7N'0&2&+7*#��/�- I</'� "#�16�!) � ��� 7*#��G#��/'*#)��->? ��->?3Y�I16#%�� ��-)%<[�!>R#:#"7Y'*9�����#"�- %9/'*&W'�`�L*�! �)%'* �3a'� "1()��-)�1(9�'�)%./K�#�&6�U�J'T3y'*&2)�7Z�����!9�J�k`/7m9�7*#I>?'� "�G'�K[7�.�#X16#�' S </ �127� �1 � � � H � F/)"�-�G#�����<[ "7�70@W70@ _ ���?7� "�!O ]�� � � C \ � ���� c � c �!ibf!i c�e�� j��8j��� � qvq � � � � 9B����tIt����(qv�4t � � t � + � o � � p �-� o}� t o � � �4�E�D� �E� q��+����t o tIt��/D�(q���qV�NqRt �?��o tG� � � �6t � t � ���0� � �0� � + C � � � ]�� l � �:� � ����t � o qv� � �*��� � � � � q �N� p�t?� ���� c8c��B�+��� f-g � � _ �����= %)"#X1(`��-'P#%�/'0#�>?7�OU�-)X#�7mOd1(9/`a1()I#"7N&2�?#I�!'*>��a</'* �#43mH*�!9��- %'0#��'V<['01( M7*@ �0�?3�)M@b7� J'V</.[K�&61(> S �0�-3d�!9/>? �3�<�#"127�9Z)�>����!OU�B'*9[`mK/ �7�'*`[>?'*)�#�#%���B�!9/>? �3�<�#"127�9 S�0�-3*F~'*9/` #%���-9 &2�?#���'* �#43 \ K/ �7�'*`[>?'*)�#k#������-9/>- "3�<�#�167�9�70@I16#%)�1(9/</.�#d./9/`��! ��-'�>���70@#��/�-)��Z�-9[>? �3�</#"127�9 S �0�-3�) ��_ ���a</ "7�K�&2�-O �I16#%��#��/12)U</ �7*#"7�>?7*&M1()�#%�/'0#U12#V1()d9�7�&67�9�H*�! H�.['* %'*9�#"�-�-`d#��/'*#M'0&2&=</'� "#�16�!)� ��->R�-16L��X#����:)�'�Od�ILE'*&2.�� � � 9/�5)"7�&2./#"127�9U12)M#"7G&2�?#���'* �#43 \</ �7EL�12`�� �-�- �7 S ��9�7E�I&6�!`�H*�~</ �7�70@�) � #"75�!'*>��:70@�#%���;</'� "#�16�!) � #%�/'0#h#����;<[7�)"#��-`G>R1(</���! "#�����#�)'* ���>R7�9/)�12)�#"�!9�# � 1 � � � FX�-9/>- "3�<�#Z#�����)%'*OU�yLE'0&(.�� � FIK/.�#�#�����1(OP<�&2�-OU�-9�#�'*#"127�9�70@G#%��12))�7*&(.�#"127�9:1()}9�7�#8)"#% �'*16H���#"@b7� ��J'� �` � >R@ � 1 7�9/)"#% �.[>R#"127�9 ]�� � � C l � � � 9G'0&2#"�! �9/'*#"12L*��)�7*&(.�#"127�98F'*`/7�<�#��-`U���- ��*FE1()~#"7G./)��X#����I�!9/>? �3�<�#"127�9d)�>����!OU�J1(9d7� %`��- W#"7k�!OV.�&('0#��X':)��?#~70@ </ "12LE'0#��� <=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�# � >��/'*9/9/�?&()?F0'�)h1(9 s �->?#"127�9 ]�� � � �[�6\ FE'*9/`d �./9d'*.�#%���-9�#�12>-'0#"�!`"!X3 �-'�9�#"1(9��� H� "�-�-OU�-9�#$7�9d#%��1()�9��?#4�J7� 7� � s 1(9/>?���;���['TL*�I'*9U7� %`�1(9/'* �3�K/ �7�'�`/>?'�)"#$>��/'�9/9��?&='0#$7�.[ `�1()�<=7�)%'0&DFE�J�J`�7k9�7�#W9��-�-`V#"7G'*)%)�.[Od�J'*9V129�12#"1('0&/)��?# S .[<�#��['0#$>R7� � ��-)%<[7�9/`/)}#"7k'B</.[K�&61(> S�0�-3m1(9�@� �'�)"#% �.[>R#�.[ "��F/K/.�#�>?'�9� %'0#%���- XH��-9��! �'*#"�k12#I7�9�#���� � 3 ��_ ���� ��-)%.�&6#�129/HP<[ "7�#"7�>R7�&1()I'*)J@b7*&2&27E��) �\�� �;'*>���</'* �#43mH��-9��! �'*#"�-)I'N<['01( X70@��0�?3�)J@b7� �'P)"12H�9/'*#�./ ��G)�>��/�-OU�*F['�9/`Y<[7�)"#%)I#��/�L*�- �1 �=>?'*#"127�9 S �0�-3U7�9a#����VK[ "7�'*`/>-'*)�#J>��/'�9/9��-& �M_ �/12)5�-)�#�'*K/&61()��/�-)X#��/�V</./K�&21(> S �0�?3129�@� %'*)�#� %./>?#�./ ��:'�)I "�-&612�-`a./<=7�9a1(9 1 7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� � �6\E]��C � �;'*>�� </'� "#43�H*�!9��- %'0#��-)�'�<['01( G70@ �*�?3�)k@b7� d'�</./K/&61(> S �0�-3��!9/>? �3�<�#"127�9 )%>����-OU�*F'*9/` <=7�)�#�)�#%���m�!9/>? �3�<�#"127�9 S �0�-3�7�9 #%���ZK/ �7�'�`/>?'�)"#G>��/'�9/9��-& �Y_ ��1()��$# �->?#"12L*�-&63�-)�#�'*K/&61()��/�-)P'�9/�?#4�J7� 7� 70@:<[ "12LE'0#"� � <=7*1(9�# S #"7 S <=7*1(9�# � >��/'*9[9��?&()P#"7 K=�Y.[)"�!` 1(9s #"�!< �[��[��_ ����</'� "#�16�!)Z1(9�L*73�0��#%����'�.�#��/�-9�#"1(>?'*#"�-`�!J3 �!'*9�#"1(9�� � H� ��?�!Od�!9�#�</ �7*#�7�>?7*&B70@

1 7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� � �2\T] 129Z7� %`��- M#"7U&6�-#���'� "#43 \ K[ "7�'*`/>-'*)�#�16#%)J129/<[.�#;#�7U'*&6& 7�#����! </'* �#"12�-) � � &2&MOU�-)%)�'*H*�!)k70@X#���1()�</ �7*#�7�>?7*&�'� "�N)��-9�#G129��!9/>? �3�<�#"�!`�@b7� �OaFh�����- ���-'*>���OU�-)%)�'*H*�N1()G�-9[>? �3�</#"�-` ./)�1(9�H�#��/�m�-9/>- "3�<�#�167�9 S �0�?3�<[7�)"#��-`�129 s #"�-< C K�3#�����`��!)"12H�9['0#"�!`Z ��->?�?12L*�- �1 7�OdK�1(9�129/H:#%���I1(`��-'�)$./9/`��! "&23�129�HG#%����</ �7�70@�)~70@��; �7�<=7�)�16#�167�9/) ]�� � �2\ � '*9/` ]�� � �6\�� FE#��/�>?.[ � ��-9�#I</ �7�<=7�)�16#�167�9N@b7*&2&27E��) �� j��8j � j&% '.#8�bf!i)(7��* �Tf,+-*,#}f� ��e f-i g.*�f � ! g c � � #}f/*�f-i c=e| �Z)"#%'* �#�7�.[ �'*)%)"�!OVK�&23�7*@XOd.�&2#"1 S </'� "#43�@�./9/>?#"127�9/'*&612#"12�-)UK�3�</ ��-)��-9�#"1(9�H�'�9/` 12OP<�&2� SOU�-9�#"1(9�Hk'BOd.�&2#"1 S </'� "#43kH��-9��! �'*&61��-'*#"127�9k70@=#����I'*./#����!9�#�12>-'0#��-`V>?7�OP</.�#%'0#�167�9G@�./9/>?#"127�9 S'0&212#43m70@��;, � � ]�� ��� � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � ] C \ ���~e ibf-i c=e � j��8j� % � '*.�#%���-9�#"1(>?'*#"�!` >R7�OP</.�#�'*#"127�9+F$Od.�&6#�1 S </'� "#43 L*�! �)�127�9 �<� w tR� E �� � \ ��� � � � \ ��� � � � \ ��� � � p�� � � � \ ��� � � � \ ��� � t � � ��� ���0� ���*� D4�D� � t � �E� D�=� �4� � �zt � � ��t���� (�� ��� � ��) 1 (�� �� E � 1 6�� ��� � (���) 6 � �!�"(#" � ���$� � 1 ��) 6 � (35 ) � �a�(q�p�t�� � tvp � �

� % '&)(N ����� *&,+ � �� � � *-.(N ����� '-.+ � � ]��0/ � �.>��t o t - Q21�354r E � % �k� + & Q r � � % �d� � p - Q21�354r � � � % � E � % �"� � ����t o .$�(q?t � + � o tv� � � �06 7� 7�#"�y#%�/'0#m#%���y7�K�L�127�./)N ��-`/.[>R#"127�9�7*@��J, � � ]��0/ � � #"7 #��/��#4�;7 S <['* �#43�>?'*)�� � 1 � � � FX#�7�;, � � ]�� ��� ��� `�7��!)y9�7*#Y�J7� 7� � )"�-� �����- %>R1()"� \ ��� � � )Y129x#���� #4�J7 S </'* �#43�>?'�)"��F5�J��I12&6&})��->-./ ��?&23 S ��-`/./>?��J, � � ]��0/ � � #"7m'*9a'*`/�-,�./'0#��GOV.�&2#"1 S <['* �#43mH*�!9��- %'0&21 �!'0#�167�9m70@~#��/�1(OU'*H*� S #% �'�9/)�OU1()�)�127�9 @�./9[>R#"127�9['0&216#43�F;'*9[` </ �7EL�12`/�a'�)"�!>?./ ��Y12OP<�&2�-OU�!9�#%'0#�167�9 7*@B#��/�&('0#"#��- �h| �B)�#�'� "#;K�3d12OP<�&2�-OU�!9�#�129/HV#��/�B'*`/�-,�./'0#���OV.�&2#"1 S </'* �#43VH��-9��! �'*&61��-'*#"127�9U70@+#��/�1(OU'*H*�k#� %'*9[)�OU1()�)�167�9N@�./9[>R#"127�9['0&216#43�F[`�����9��-`Y'*)J@b7�&6&27E��) �

� % \ � � � ����� \ � � � � �� � � E � % � ����� E � % �"� � ]��0/�\ �n 9/`��-�-`+F~�;, � � ]��0/�\ � 1()X�-)%)��-9�#"1('0&2&63�'d)%<[�!>R1('0&8>-'*)��B7*@��;, � � ]��0/ � � �~| ��)�#� ��-)%)J#��/'*#J1(9a')��->?.[ "��1(OP<�&2�-OU�-9�#�'*#"127�9�70@��;, � � ]�� //\ � �-16#%���- k'0&2&~</'* �#"12�-)57�K�#%'01(9y#����P)%'*OU� E S 12OP'*H*�7� J#%���?3a'0&2&+7�K�#%'01(9�'�9Z1(9/`�1(>?'*#"127�9�#��/'*#���'� "#43 \ �/'�)XOd1()%K[�!�/'TL*�!` ��_ ��./)?F�#%���G��7�9/�-)�#</'� "#�16�!)MOV.[)"#JK[�B129m'*H� ��?�!Od�!9�#� "�-H�'* %`�1(9�HG�����-#����! �7� ;9�7*#���'* �#43 \ �['*)MOU1()�K=�-�['TL*�-`8F����1(>��GOP'��0�!)+#��/��H*�!9��- %'0&21 �!'0#�167�957*@�#%����#4�J7 S </'* �#435</ �7*#�7�>R7*&E&2�-)%)87�K�L�127�.[) #��/'�9k16#WOU'T3)��?�-O �~n 9Z<['* �#"1(>?.�&('* -F�#%���B@�'*>R#J#��['0#J�;�:./)"�k'V<[ "7�70@})�3�)"#��-O7*@h<[�! @b�!>R#X>R7�OU</&6�-#"�-9/�-)%)<�&('T3�)I'N>R�-9�#% �'*&8 "7�&6�k1(9�#%����'*9['0&23�)�1()X70@~#�����Od.�&6#�1 S </'� "#43Z<[ "7�#"7�>R7�& ��_ ����)%'*OU�G��7�&2`/)�I12#��N ��-)%<[�!>R#�#�7G#����I@�'�>R#�#%�/'0#;'0&2&[OU�-)%)�'*H*�-)$'� "��)��-9�#�7EL��- $'GK/ �7�'�`/>?'�)"#$>��/'�9/9��-& � '�9/`)�7d#%���G��7�9��!)"#I</'� "#�16�!)X'0H� ��?�B7�9Z#����-12 XLE'0&(.�� � ��_ 7*H*�-#����! M#%���-)��k#4�;7d@�'*>?#�)X1(OP<�&63Z#��/'*#'*9�3�</'� "#43�>-'*9�`��?#��- %OU129��Y�����-#����! N)"7�OU��7�#����! U<['* �#43��/'*)87 �"./)"#�1���'*K�&23 �� � �->?#"�!`�9)�7�OU�Z>R&('01(OaF$'*9/` #%��12)U'*K/16&216#43��-9['*K�&2�-)V#����a</'* �#"12�-)V#"7� ��-'�>���'*H� ��?�!Od�!9�#� "�-H�'* %`�1(9�H�����-#����! X7� I9�7�#���'* �#43 \ �['*)IOU12)%K=�-�/'TL��-` �dc=e;: f�<�=hg*f-i c=e � j��8j�?> � 12OP'0H��V#% �'�9/)�OU1()�)�127�9Y</ �7*#"7�>?7*&DF�Od.�&6#�1 S </'� "#43aL*�! �)�167�9 ��� w tR�@ 1�354rBA � - *C ��� - r E � C ��D"� � � o q�� � � ��� � ���D� ��.MtZ�Eq%q � � tm�����0� E �(qN�zt � 9*���3D o t 9 � �z� o ;�����E�J�(q�� E � � � r E �FE � + � o t �Et o � � r

E �n 9/</./#�) �HG�� o �D� � 9�tR� qI� � �=� � %JIKA � \ D � �W� � pVtv� � � � ����t o~� � o �D� 9�tR� qJ� � �=� � \ � .>��t o t r % �s #��-<ML \ �NG�� o � � � q?t �?o tR����� � o � �*p � �Eq���q - 1�354r E � % � � � ���0�+�(q���G5� o �D� � � � � �PO t�q>C � � � ]�� l � �.$�����U� � �=� � - ��.>��t o tv�Tq5tv� � � � ����t o~� � o �D�Vt � ��t o qX����t�� � �=� � \ � Q�R�7TS.U � � � p o t � t?���TtRq����t � � � �=� � - �s #��-<ML C � � � o ~r C �VWVWV *X �YG�� o �D��tRq \ � � p � � � ��O td� �-t o � D O!� � .I�ztvp 9�tGq�� o �E� 9 D ��o �!� + D� + D OT��� .I�ztvp 9�tVq��Tq���t � + � o @ q �[� �������0�;G�� o � � ��� �6�E�TqG����t ��o � �Et o � � pZG�� o � � � �z�0�TqV����t �Tt o � �;t o � � ��t � �0�d�N�E� � � ��� �J� � ����t ��o �-� + q��Tq���t � �(q - �J����t �=o � �Tt o[ w � �52�3�,5 / %#�6%#� ���3'��2%:��� <0��G�@2� �.� "�$&%#'.��)89��3�2�3'=%#���&%,%:�.�� ��+G�%3) '��T\ @2��'�� �.�&%:�7%#��� � ST] -O�'\ @&%#�)^ (`_�a � >b#c Led'dTd L b.f Lhg (i_�a %#�25��T\ @&%#� (`g�(`_�a ^ (i_�aFa #����,'(�?��-���B,j� 4� �3<0�3',/2�����-�%#� �.�3'��&%:�.� <0� 9��3�2�3'=%#���&%,%:"

�.�� ���-��3�3GH- �&%#'�5�,'!�. H��GH$2���3GH�3� �,/0����,'.�,%#-;k?\NB (`l B m�n a -�@po�*,�3- > �' �@2'�%#$2$2����*,%:�.�� ���B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] C�C ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

9�t?��q % �Eqa� � ���b����� o ��� � ��� ��� � p���� q �/��� t � �D���Tta�(q�� � �=o � �Tta�����0�k��� OT��� .~qa� Cq �[� �N�����E� � - *C � I @ � � ��t � � - r E � C ��� � � � � �Tq?tk����t �Et o � �Jt o:o t � t � � q5����t �=o �-� + �G�� o �D���Pq?t � pTqm����t � � � � q � qRtvp � ������t �Tt o � �;t o q � �����E���0��� � ����t oG� � o �D��t�q � � �� t � �0� �!� � � tvp � + ��� q �".[)"#�1��='�K�&2�: �� � �!>R#"127�9 �>.>��t o tG����t��6�E�D��t ok� � o�o t�q � �E� pTqk� � ����t�-��t . � + ����t �Et o � �Jt o � � � o t � t � �D� � 9�� � ��t o � � �D� �E� � � ��� � tRqvq?� 9�t�q � + ����t ��o �-� +qv�Tq��4t � � o t�q?t � � � q�� � 9Z����t�qRt �?o t?� � o � ��p � �Tq�� +v� � � �D� �E� �*�����D���

� .�#%</.�#�) � � � o � r C �VWV V 'X ��� + G�� o � ���$q?t%tRq$q �E� t � � q�� � �J� � �zt o t � t � �D� �E� ����t � ��� � � � ��� ��q� t-� q?tV��� � � � ��� ��q - � � G5� o �D� � ���Tq ����� � � �=� � ���

� H� "�-�-OU�-9�#h7�9����/�?#��/�- W7� W9�7*#���'* �#43 \ �/'�)hOU1()�K=�-�/'TL��-`G1()W7�K�#%'01(9��-`dK�3:#%���I`��->?12)�127�9�����-#����! Z7� �9�7�# q �0� t L��- �1��[�! Z�/'�) �".[)"#�1��='�K�&23 "� � �->R#��-`�1(9 s #"�-< L C FB�����- ���#%��12)`��!>R1()"127�9x`��-<=�-9/`[)�7�9 1(9�@b7� %OP'0#�167�9 'TLE'012&2'�K�&2��#"7�'0&2&G</'* �#"12�-) � � �0�?3�7�K/)��- �LT'*#"127�91()�#%�/'0#a16@���'* �#43 \ 12)Y��7�9��-)�#a#����!9 9�7�</'* �#43�>?'*9 �"./)�#"1 �='*K�&23 �� � �->?#�12#�)Y</ �7�70@�1(9s #��-<ML C F/K=�->-'*./)��B#%����</ �7�70@W)�3�)"#��-O �['*)X<[�! @b�!>R#�>?7�OP<�&2�?#"�!9��-)%) � ���/12>��aOU�-'*9[)X#��/'*##��/�- ��:����12)�#�)I9�7N %'*9/`/7�O S #%'*<=�B#%�/'0#�OP'/�0�-)J#%���GL*�! "1 �[�- X �� � �!>R#I'P>R&('01(O K�3Z'*9a��7�9/�-)�#</ �7EL*�! � � � 7�#"��#��/'*# L;7�9/)"#% �.[>R#"127�9 ]��0/�� C l 1()Y'*>R#%./'0&2&23�'�9 7� %'*>?&6� S '*12`/�-`�</ �7*#"7�>?7*&DF./)�129/H #�����)��->- "�-#mK/ �7�'*`[>?'*)�#N7� %'*>?&6� � L;7�9[)"�!,�./�-9�#"&23*FX16@k#%���� ��-'*& S OU7�`/�?&5'�`�L*�! �)%'* �3>R7�9�#� �7*&()59�7�9��d7*@M#��/�U</'� "#�16�!)?F+#%���-9�16#k&2�-'� �9/)B9�7*#%��1(9�H � '*):7�<[<[7�)"�!`y#"7a���/'0#kOU16H���#�/'TL��:�/'�</<=�-9��!`�16@~�;�G�J�- ��B#�7m./)��:7� �`/129/'� "3mK[ "7�'*`/>-'*)�#;1(9 s #"�!</) L \ 7� HL C � ���< c � c,: ibf!i c�e�� j��8j� � � �T�*� � q?t������E�U����t ��o �-� + q��Tq���t � � � � ��� � q?tvp � � �=�4t � ����(qP� � p*tvtvp�� �!t o � D OT��� .X�6t%p 9�tmq�� o �E� 9�D �=o �-� + D � + D OT��� .I�ztvp 9�t + � o ����t o t?�z�0� � �0� @ ��� ��t � ����E� qv� o��[� � � �0�� ��� � � H q?t �R��o t-��� o tvp �[� tRq C � � � ]��0/�\ �:� � C � � � ]�� l � � ���< c8c��}�+��� f!g � � _ ���;</ "7�7*@�����#��-9/`[)+#����M#4�;7 S </'� "#43�>-'*)��~#� ��-'0#��-`:1(9��; �7�<=7�)�16#�167�9 ]�� l=�6\ C �� �! "��FE�;�J#� %'*9[) @b7� �O '*9�3G ��-'0& S Od7�`��-&�'�`�L*�! �)%'* �3 1(9�#"7k'5>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�HB12`��!'0& S OU7�`��-&'*`/L*�- %)%'* �3��mF������- ���K=7*#��mH*�?#M#����5)��?#��U'�)�'*.6��12&61('* �3V1(9/</./# ��_ ���5>-'*)���� r�� 12);�/'*9 S`�&2�-`aK�3m "�-&63�1(9�Hd7�9m#%���G)"�!>? ��?#XK/ "7�'*`/>-'*)�#�@�./9[>R#"127�9['0&216#43 � ����12>���1(OU</&612�-)X#%�/'0#X1(9Z#%��12)>?'�)"�:#��/�: ��-'*& S OU7�`/�?&+'*`�L��- %)�'� "3�F*����1(>��Z ��R@b�! �);#"7N'�9m7� %'*>?&6� S '*12`/�-`N</ �7*#�7�>?7*&�129�����1(>��'0&2&hOU�!)�)%'0H��-)�'� "�V)��-9�#5.[)"1(9�H��J, � � ]�� l � � F�H*�-#�)B9�7*#%��129/H � � � #����! "�I1()"��F[#%���V7�<[�! �'*#"127�970@�� `��!<[�!9/`/)B7�9a�����-#����! �7� I9/7*# \ I ��F�����12>��Y>?7� % "�!)�<=7�9/`[)X#"7N#��/�V>?'�)"�!)��/'*9[`�&6�!`1(9�#%���G#4�J7 S </'* �#43N>?'*)�� �� );1(9N#����:#4�J7V</'* �#43P>?'*)��*F������!9N#� %'*9/)"@b7� %OU129/HV "�!'0& S OU7�`��-&='*`/L*�- %)%'* �16�!)~#"7V1(`��!'0& SOU7�`��?&�'�`�L*�! �)%'* �16�!)?F$�J�y)"7�OU�?#"1(OU�-)N'*&6&27E� #��/�a&('0#�#"�! P#"7 �/'0&2#NK[�?@b7� ��Y129�L*73��129�H�#��/�� o�� qv�4tvp � � o � � ��_ ��1()k>?'�9�K[�PL�12�?�J�-`�'�)51(9�L*7/��1(9�HZ#%���U#� %./)"#��-`�</'* �#43Y�I16#%��'Z)%<=�->R1('0&'*K=7� �#�)�3�OdK[7�& F������- ��I1(9P#���1()M>-'*)��I#�����&('0#�#"�! M ��-)%<[7�9/)"�!)~#"7V'*&6&=</'* �#"12�-)$�I12#��N'G)%<=�->R1('0&'*K=7� �#I)"3�OdK[7�& �| �5)"#%'* �#$�I16#%�P#����B>?'*)��X�����- �� ����t � o q�� � � o � �d�(q:� �0� tRqv� F�����12>��POU�-'�9/)M�/�- ��I#��/'*#\��I � ��n 9Y#���1()�>-'*)��:#%����1(9/</.�#5#"7�� >R7�9/)�12)�#�)X�!)�)��-9�#"1('0&2&23m70@ \ F/���/�- ��� r % zF='�9/`12#I7�<=�- %'0#"�!)X'*)J@b7*&2&27E��) � '*)%)%./OU129�H�� �r�� �<�\�� � >R#�129/H�7�9 K=�-�['0&6@570@��!'*>�� </'� "#43�129��=F$#%����1(`��!'0& S OU7�`��?&J'*`�L��- %)�'� "3�� )��-9/`/)\ � � � #�7Z#��/� � o�� qv�4tvp � � o �D� '*9/`Y7�K�#�'*129/)B#��/�d'*9[)"�J�- - F ����1(>��y�-,�./'*&2) E � % � @b7� % �/'�9/`��-` � #"7�#�����#� %./)"#��-`�<['* �#43 � K�3 � #%�����/7�9��!)"# � ��'* �#43 \���_ ��.[)?F~1(9/`��?�!`� - % � I @U� � � �!>?'0&2&}#%�/'0#���'* �#43 \ '0&2�J'T3�)X7�K�#�'*129/) � @� �7�O #�����#% �.[)"#��-`y</'� "#43�FK/.�#I#��/�G7*#��/�- I</'� "#�16�!)X129��� r! X#"%$ �N7�K�#�'*129 - � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � ] C �

C � A 7� � r C �V VWV *X F�OP'*>��/129�� � 129�L*73�0�!)�#��/�k)�1(OV.�&('0#�7� �H�./'* %'*9�#��?�-`N@b7� ;#���� �?�! "7 S��9/7E�I&6�!`�H*�Z<[ "7�70@:)"3�)�#"�-O � � � FM7�9�1(9/</.�# - F;./)�129/H � #����Y "�!)"1(`/./'*& �� '*)U'<[7�)�)�12K/&6��OP'*&61(>R127�./)ZL*�! "1 �[�- � � 7*#"��#��/'*#Z�J��'� "��)�1(OV.�&('0#�129�H #�����'*>?#"127�9/)Z70@#����5<[ "�!)�>- "1(K[�!`P</ "7EL��- E�PF�����1(>��P129P#%���B ��-'*&[</ �7*#"7�>?7*&/1()M<�&('T3*�!`PK�3U#��/�5��7�9/�-)�#��'* �#43 \�� � 9[>R�X7�9��I)�12Od.�&('0#"127�9V12)O�=9�1()����!`+F012#�)$#% �'�9/)%>? �12<�#~K=�->R7�OU�-)$</'� "#~70@ #��/���12)�#"7� "3U@b�!`Z#�7 1(9Z)%./K/)��-,�.��-9�#I)�12Od.�&2'*#"127�9/) ��� �!9�7*#��:#%���k7�K�#%'01(9��-`�)"�!,�.��-9/>?�70@W)�1(OV.�&('0#�167�9Z#% �'�9/)�>- "1(<�#%)IK�3�� r � � - � ��[� A 1(9/'*&6&23*F � @b�?�!`/) �I12#���#%����'0&2&2�?H*�!` �����->?./#"127�9�L�16�-� � - � � F�'�9/`�7�.�#%</.�#�)���/'0#��?L*�! `�7��-) �_ ���J>R7�OP</./#�'0#�167�9/'0&�1(9/`�1()"#�129�H�.�1()��/'�K�12&612#43k70@[#%���;7�.�#�<[.�#}7*@[#����X ��-'0& S Od7�`��-&�'�`�L*�! �)%'* �3./9/`/�- � � � '*9[`�#%���N7�.�#%</.�#G7*@J#%���N12`/�-'0& S Od7�`��-&�'*`�L��- %)�'� "3Y./9/`/�- � � � � @b7*&2&27E��)@� �7�O #%���mH�./'* %'*9�#"�-�-`�,�./'0&216#43�70@X#���� �?�- �7 S ��9�7E�I&2�-`�H��U)�12Od.�&('0#"7� �Zn 9 '*`/`�12#"127�98F}�J�9��-�-`�#"7�>?7�9/)�12`/�- k#��/�N7�.�#%</.�#�)V70@J#����Z�/7�9��!)"#�</'� "#�16�!) � 1 � � � FW#��/�m</'* �#"12�-)k1(9 �� � FW'�9/`)%<[�!>R1 �=>?'*&6&23�#���� 7�./#�</.�#%)a70@d</'� "#�16�!)Z1(9 �� $ A \ D � )"1(9/>R�m��'* �#43 \ �/'�)a9/7 7�./#�</.�# � �� n 9[`��?�!`+F+#���1()B12):'*9y1()%)�.��d7�9�&23Y1z@ �� $ A \ D �r � F ����12>���12)B#����P ��-'*)�7�9a#%�/'0#:#���1()B12)%)�./�`�1(`�9/7*#k'* �12)��d1(9�#4�J7a#4�;7 S </'� "#43y>-'*)�� � � n 9�#��/�U1(`��!'0& S OU7�`��?&~�����!>?.�#�167�9+F+�-'�>���</'� "#431(9 �� $ A \ D 7�.�#�<[.�# - r E � % � F8'*9[`��J�U�/'TL��V#�7a</ �7EL*�V#��/'*#B#%���N)�'�Od�d7�>?>?.[ �)B129�#��/� ��-'0& S Od7�`��-&������!>?.�#�167�9 � �����!9n��'* �#43 \ 1()U��7�9��!)"# � ��_ �/12)�@b7*&2&67E��)�@� "7�O #%����<=�- "@b�->?#>R7�OP<�&6�-#"�!9��-)%)X70@ � � � F='*)I`�1()�>-./)%)"�!`�'�K[7EL�� �| �U9�7E� #�./ %9�#�7�#%���N>?'*)��V���/�- �� ����t&� o q�� � � o � �Y�(qPp0�(q�� �E� t�q�� � 1 � � � F \ I � � ��n 9#��/12)I>-'*)��B#%���k129/<[.�#I#"7�� 129[>R&(./`��-) % F/'*9[`Z12#X7�<=�- %'0#"�!)X'*);@b7*&2&67E� � 12H�9�7� "1(9�HU#����k�-'�)"3>?'�)"� � r! X#" ���\�� � 129�L*73�0�!) 7�9U129[</.�# % F�'�9/`U7�K�#%'01(9/)$#%��� s #"�!< L \ OU�-)%)�'*H*�*F�`��-9�7�#"�!` - F�#��/'*# 129/)�#� %./>?#���'* �#43 \ #"7m)��-9[` � 1 � � � F - r � % ��� � � ) � 1(OU</&61(>R12# � 129a#��/�V</ �7*#"7�>?7*&DF'*9�3�'*>?#"127�9�70@ 129 s #��-<JL \ � 1(9/>R&(./`�1(9�H�'*K=7� �# � 1()k129�#��- %</ "�-#"�!`�'�)G)"�!9/`�1(9�Hy')"#% "1(9�H �

C � � #� �16�!)N#"7 7�K�#%'01(9�' </ "�-12OP'*H*�Y70@ - .[9/`��- E � _ 7E�X'* %`/)U#���1()Z�!9/`+F�� ./)��-)#���� � )�#� �7�9�H � ��9�7E�I&2�-`�H�� S ����#� %'*>?#"7� $'�)�)�7�>R1('0#��-`U�I16#%� � � � � s <=�->R1 �=>-'0&2&63�F�<[ "7 SL�1(`�1(9�HZ#%���N)"#% "7�9�HB��9�7E�I&2�-`/H*� S ����#% �'�>R#"7� X�I16#%��7� �'�>R&2�V'*>->R�!)�)B#"7 � #%���N "�!)"1(`/./'*&</ "7EL��- � � % � F$OP'*>���1(9���� #% "12�-)�#"7y����#% �'�>R# � @� �7�O :� 'y)"#% "1(9�H C )%./>���#��/'*#E � C � r - �5_ ��1()51()5`/7�9��G@b7� ��!'*>��Y70@�#%���� �� /�����!>?.�#�167�9/)�7*@$#����U</ "7�7*@$)�3�)"#��-O129�����12>���#����UL*�! "1 �[�! 51()k<�&2'T3��-`�K�3�'���7�9��!)"#k</'� "#43�F����/16&2�N./<=`['0#"1(9�Ha#����P��1() S#"7� �3P70@ '�>?>R7� �`/129�H�&63 � 6*( n 9�>?'�)"�B#����k����#% �'�>R#"7� M)%./>?>?�?�!`/) � 1(9Z7�9��57*@h#��/�-)��� �� '0#"#��-OP<�#%) � F[OP'*>���1(9���� )"�-#�) % � 1�354r C � � #%���- ��I1()"��F � )"�-#�) % � 1�354r � ��[� � 9�7E���!OV.�&('0#��-)N'*9������!>?.�#�167�9 7*@ s #"�-< L C � s <[�!>R1 �=>?'*&6&23*FJ@b7� P�-'*>�� � I ��=FOU'�>���1(9���� &6�-#�)I#%���V'�`��-,�./'*#"�� ��-)�12`/.['0& <�&('T3m#%���V</ �7EL*�! ?F�'*9[`Y�-OV./&2'*#"�-)IK�316#%)"�-&z@�#%��� � ��7�9��!)"# � L��- �1��[�! I1(9�#��- %'*>?#"1(9�Hm�I12#�� � 1 � � � F ��K=�-�['TL*�-)B'*)B'm��7�9/�-)�#��'* �#43 �"� � � _ ���U�-OV./&2'*#"127�9Y70@�#%���d<[ "7�70@�)5H*12L*�!9y#"7Z<['* �#"12�-)B129 �a1()B<=�- "@b7� %OU�-`129N#%���k)"#% �'*16H���#"@b7� ��J'� �`POP'*9[9��- � � � ����#?F%� `/�->R1(`��!)M�����-#����! M7� ;9/7*#M#�7d1(9�L*73�0�

[ c � > �2�3*3�3-�-=%#'() ( � B ��B�/����� �L��� ������ ���� ������� a / �!�H%#��-� 8�3G�@2� %:�.���.�2�H��� �.�3'����,%,<0�35+$2'� > -E�.�&%:��%#'��9�� <0�3� �. $2%#'.�.���,-H��� � B�� ���-H��-�$ �,' > �'.GH�35 ��� �.�2� -(��'�%#��9�� � > �'.� %#'.5 G�%#��2�3' ( � B ��B�/��0) ���A�.�.���29���3G�@2� %:�.��� #���8$&%#'.�.���3-������.�2� ��� �.�3'=%#*A���� �� a B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] C l ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

#����N#% �./)�#"�!` </'* �#43�'*9[`�&2�?#�12#� ��-)%<[7�9/`�#%���m��7�9��-)�#�</'* �#"12�-) �m_ ��1()�`��!>R1()"127�9�12)K/'*)��-`�7�9a'0&2&+#���� X�� \ �!OV.�&('0#��-`a</ "7�7*@�) �� n 9N>?'�)"�I'�9�3d70@ #���� X�� \ �!OV.�&('0#��-`UL*�! "1 �[�- %)$ �� � �->?#�) �".[)"#�1��='�K�&23*F�OU'�>���1(9��� '*K=7� �#�) � �I12#���7�.�#J129�L*73��129�Hd#���� � o�� qv�4tvp � � o � �-� F/'*9/`Z7�.�#%</.�#%);���['0#"�-L*�! `�7��-) � �����-9�@b�!`Y�I16#%��#%���-)��k�-Od.�&2'*#"�!`a<[ "7�70@W#� %'*9/)%>? �1(<�#�) � �� � #��/�- ��I12)�� � 1 � � � F~9�7yL��- �1��[�! G "� � �->?#�) �".[)"#�1��='�K�&23 � Fh�J�m>R7�9/)�12`��! G#4�J7Y)%./K S>?'�)"�!) �� ' � n @ % � �r � #����!9 � )"�!9/`/) % � � 7�9�K[�!�/'0&6@M70@���'� "#43 \ � #"7a#���� � o�� qv�4tvp� � o �D� F�'�9/`m'*&6&27E��)$12#M#"7U "�!)�<=7�9[`P#����:��7�9��!)"#;</'* �#"12�-) � � _ ���B ��-)%<=7�9/)���I12&6&}K=� E � % �b� F/���/12>��aK�3 s #��-< C OV./)�#I�-,�./'*& - � �� K � � #��/�- ��I12)�� � 1 � � � F % � r � 1(9/`�1(>?'*#"1(9�H #��/'*#m����#% �'�>R#"127�9��/'�)P@�'012&6�!` � F

� @�'012&2) � � � 7*#���#%�/'0#U#���1()NOU�-'�9/)V#%�/'0#P1(9 s #��-< � #%����L��- �1��=�- d�J'�)>R7�9�L�1(9/>?�-`+F�����12&2�G129 s #��-< C #����G����#% �'�>R#�167�9�'*#"#"�!OP<�#��/'*)J@�'*16&2�-` � �l=� A 1(9/'*&6&23*F � @b�-�-`/) �I16#%� #��/�m�����->-.�#"127�9 L�12�?�GF~����1(>�� >R7�9�#%'01(9/)G#%���Z</ �7EL*�! � )L�12�?��7*@8#����:�-Od.�&2'*#"127�9P7*@ s #"�!<hL CP� </ "7�`/.[>R�-`m129 s #"�-< � '*K=7EL*� � F�'*9/`m7�.�#%</.�#�)���/'0#��?L*�! `�7��-) �� );1(9P#����B#4�;7 S </'� "#43U>?'�)"� � )"�-�B</ �7�70@ 70@ �; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� l[�2\ C � F0#%���B ��-'*& S OU7�`/�?&[�����->?. S#"127�9P`�1 # �- %)~@� "7�O #%����1(`��-'*& S OU7�`/�?&������!>?.�#�167�9d7�9�&23V1(9U>-'*)��X#����5 ��-'*& S OU7�`��?&/'�`�L*�! �)%'* �3 )%./>?>?�?�-`[)G#"7�>?7�9�L�129/>?�P#���� ��9�7E�I&2�-`�H�� S L*�! "1 �[�- � ���/12>�� 1()�</ �7�<=�- �&63��-OV./&2'*#"�-`�@b7� '*9�3 � I �� � #%�/'0#}16# ��9�7E��)}'I</ "�-12OP'*H*�$70@ - .[9/`��- E F!'�9/`k3*�-#+#����?��9/7E�I&6�!`�H*� S ����#% �'�>R#�7� @�'012&2�-`a#"7��=9[`a)%./>��a'N</ ��?1(OU'*H*� � !X3Z`/���=9�12#"127�9Y7*@W)�#� �7�9�H@��9�7E�I&2�-`�H�� S L*�! "1 �[�- %)-F�)%./>��'*9��?L��-9�#IOP'T3m7�>?>?.[ X7�9�&23m�I12#��Y9��?H�&612H*1(K�&2�G</ "7�K/'*K/16&216#43 ��}� g�= < � � + (!< ��� =Wg*i e�� *�=hf � ��e f-i g.*�f ��� g c � �=}f/*�f-i c=e f c i � * �=� (%f�< * e;: � i :�: i c�e j� 9['0&27*H*7�./)�&63N#�7U#%���G#4�J7 S </'* �#43m>?'�)"��F��;�G)��->?.[ "�-&63 S "�!`/./>R���;, � � ]��0/ � � #�7g�J, � � ]��0/�\ � �dc=e;: f�<�=hg*f-i c=e � j��8j�� � OV.�&2#"1 S <['* �#43B'*./#����!9�#�12>-'0#��-`k>R7�OU<[.�#�'*#"127�9+F!7� %'*>?&6� S '*12`��!`5</ �7 S#"7�>?7*& ���n 9/</./#�) �HG�� o �D� � 9�t?� q�� � �=� � % IeA � \ D � �$� � p�G5� o �D� � �r \ 9�t?��q�� � �=� � & Q I A � \ D � � � �s #��-<ML \ �NG�� o � � �:� q?t�qM����t � � � ��� �2D � � o �D�-�;� � � 9�tI� o � � q � �(qvq�� �E� +v� � � �D� �E� �*�����D�B� � q?t � p����t � �0� o � *- � 1�354r � � � % � E � % ����� � ����t � ����t od� � o �D��t�q�� � ���0���(q�������t � � o � ��tRq� � � �PO ta����t +v� � � � � �0� �0����� � � + C � � � ]�� //\ � � .>��t o t G�� o � � � t � ��t o qm����t�� � �=� � %� � p G�� o �D���:�(q�� �m�3� �4�E� ��� � % � 1�354r � � � % � E � % ��� �s #��-<ML C � � qvq � � � � 9y�����0������t � � � .M�Eq � � �k� �%� o �4tvp � � G�� o �D� � � � py�����0� G�� o � ���o t � t?���Et�qV����t � �0� o � *- �V� � �=�4t � � � ��G5� o �D� � � � � ��� ��q - � + �r & Q � � p � '- �� ����t o .$�(qRt �� .�#%</.�#�) ��� + ��� �V� �%� o �4tvp � .$����� � � � �=� ���G��� G�� o �D� � �r \ q?t?��qZ��� qa� � � �0� � � � ��� �V�TqpE� o t � ��tvpN� � �=�4t � ��� � � G�� o � � � ���Eq ���Z� � � ��� � ���

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � ] C /����#��-9/`�1(9�Hk#��/��</ "7�7*@=70@ �; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� l=�6\P/ � #"7�'�</<�&23�#"7 L;7�9/)"#% �.[>R#"127�9 ]��0/�� C ��� F0'�9/`./)�129/Hg�J "7�<[7�)"12#"127�9[) ]�� //� C / '�9/` ]��0/�� C*C F��J�k7�K�#%'01(9 ���< c � c,: ibf!i c�e�� j��8j� ��� qvq � � � � 9�����tYt����(q��4t � � t � + � o � � p �-� o�� t o � � �4�E�D� �E� q��k����t � D� � ����t � �D� � �E�4tvp E D � �E� �=� �4�E�D� �E� X D � � o �D� +v� � � � � �0� �0����� � � + C � � � ]��0/ � � � � � � t�q?t �?��o t-���� � � �zt � t � �4tvpm� � ����t � o qv� � �*��� � � � � q �N� p�t?� ���< c8c��I�8�=� f!g� � | �B@b7�>?./)J7�9m#��/�k'�9/'0&23�)"1()�7*@L;7�9[)"#% �./>?#"127�9 ]��0/�� C � F�����1(>��m����#��-9/`/)#��/�Y<[ "7�70@:70@��; �7�<=7�)�16#�167�9 ]�� l[�2\p//� � )P1(9 #%����</ �7�70@57*@�; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� //� C / F������!9����#��-9/`�1(9�HY#��/�P<[ "7�70@;70@M#%���P#4�;7 S </'� "#43y)��?#�#"1(9�H[F+#%���P#4�;7Y>?'�)"�!) � 129�#��/�P<[ "7�70@ � >?7� S ��-)%<[7�9/`Y#"7m���/�?#��/�- B7� �9�7�#���'� "#43 \ 12)B��7�9/�-)�# � ��-)%< � F \ �I �a7� \ I � � � � H�'*1298F[�J�`�1()�>-'* %`G#��/�J>-'*)���� r�� FE�����! "�J���- ��J#���� �"./)�#"1 �=>?'*#"127�9�1()W#��/'*#h#%���X7� %'*>?&6� S '*12`��!`k</ "7�#"7 S>R7�&�`/7��!)X9�7*#J./)"�:#��/�:K/ �7�'�`/>?'�)"#;>��/'*9/9/�?& '0#X'0&2& � '*9/`�)"7U9�7d1(9�@b7� �OP'0#�167�9N1();'TLE'012&('*K�&2�#"7U#��/�k ��-'*& S OU7�`��?& '*`�L��- %)�'� "3d129Z#���1()I>?'�)"� � �$_ ���k>?'�)"� \��I � �r�� 1()I�/'�9/`�&2�-`m���/'*>R#�&63'*)~#%���I>?'�)"�X#��['0#O��'* �#43 \ 12)$��7�9��-)�#~129U#%����</ �7�7*@[70@ �; �7�<=7�)�12#"127�9 ]�� l=�6\P/ � 1 � � � F � )��-9/`/)#��/� & Q � ):16#G��7�&2`/):#�7�#%���d#% �.[)"#��-`�<['* �#43*F 7�K�#%'01(9/) � � % � � �?12#����! B���/<�&61(>R12#"&23�7� 51(OP<�&61(> S12#"&23 � '*9/` E � % � F����/�- �� % 1()�#%����1(9/</.�#;70@ ��'* �#43 \ F�'*9/`N.[)"�!) � � � % � E � % �"� #"7��!OV.�&('0#��#��/�U ��-'*&h�����!>?.�#�167�9 � �Gn 9�>?'�)"� \ I ��F+�;�P9��-�-`�#�7Z����#��-9/`�#����P#4�J7 S </'* �#43Z#% "�!'0#%Od�!9�#'G&216#�#"&2�*F�K=�->?'�./)��5�J�5'0&()"7d�/'TL*�I#�7V�-Od.�&('0#"�B#����B7� %'*>?&6� S '�9/)"�J�- WH�16L��-9 � 1(9 s #��-< L \ � #�7`�1()��/7�9��!)"#�</'� "#�16�!) � `/1 # �- ��-9�#I#��['*9��'* �#43 \ F=����1(>���H��?#%)�9�7m'*9[)"�J�- � ��� 7E�;�-L*�! ?F�#%��12)'*9[)"�J�- I1()5`/�?#"�! �OU1(9��-`yK�3a#����d,�./�- �3 % � OP'�`���1(9 s #"�!<KL \ K�3 ��'� "#43 \ F='�9/`Y1(9/`��?�!`�J�UOU�- ��?&23�9��-�-`�#"7a@b�?�!` �I16#%��#����N>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�Hm7� �'�>R&2�d'�9/)"�J�- � � � % ��� E � % �(��� �_ ���P "�!)"#B70@M#%���U#� ��-'0#%OU�-9�#51():���/'*>?#"&23Y'�)51(9�#%���U#4�;7 S </'� "#43Y>?'�)"� �:_ �/�U</ �7�<=7�)�12#"127�9@b7*&2&27E��) �dc!� ����e f � �= < �xc < */g/� � (�*/i �h� � �;< c f c g c � : j � 7*#���#%�/'0# L;7�9[)"#% �./>?#"127�9 ]��0/�� C �OP'��*�-)X9�7N`�1( "�!>R#I./)��B7*@h12#�)�>?7�OPOV./9/12>-'0#"127�9�>��/'*9[9��?&DF�K/.�#I1()I �'*#����! J>?7�96��9��-`�#"7P#��/�1(9�L�7�>?'0#�167�9y70@;7� %'*>R&2�-):'*9[`�&27�>-'0&$>R7�OP</.�#�'*#"127�9/) � s .[>���'�9�7� %'*>?&6� S '*12`/�-`y</ �7*#�7�>?7*&W12)>?'*&6&2�-` ����" � � 7�#"�V#%�/'0#:OU7�)�#�7� %'*>?&6� S '*12`��!`Y</ "7�#"7�>R7�&2)5</ "�!)"�!9�#"�-`Y1(9 s �!>R#�167�9 ]�� l '* ��</./ �� � � 9P1(OP<[7� "#%'*9�#M</ �7�<=�- �#43�7*@+<[./ "�I7� �'�>R&2� S '01(`��-`U</ �7*#�7�>?7*&()~12)M#��/'*#�'*9N'�`�L*�! �)%'* �3#��['0#X>R7�9�#% "7�&2);9�7�9��:70@8#%���k</'* �#"12�-)J'*9/`Z7�9�&23P�I12 �� S #�'�</);#����k>R7�OUOd./9�1(>?'*#"127�9m>��/'�9/9��-&H*�-#�)B9�7m1(9�@b7� %OP'0#"127�98F='*9[`�)"7Z#���1()5>-'*)��V>?'�9yK[�U`�12)%>?'� �`/�-` � '�)5`�7�9��V1(9Y#����U</ �7�7*@$70@�; �7�<=7�)�12#"127�9 ]��0/�� C ] � � 6 � n 9 @�'�>R#?F L;7�9/)�#� %./>R#�167�9 ]�� //� C l 12)U'0&()�7�'�</./ ��m7� �'�>R&2� S '01(`��-`</ �7*#�7�>?7*& � K�3�L�1( �#�.��k70@~12#�)�./)��k70@~#�����)��->- "�-#IK/ "7�'*`/>-'*)�#�@�./9[>R#"127�9['0&216#43 � �� j��8j >hj > ' =8�bf!i)(7��*�<Tf,+-*?= � ����e f � � g c i e (�f c,:p: i e �n 9�#%��1()B)��->?#"127�9+F �J�dH��-9��! �'*&61��?�G#%���U'�.�H�OU�!9�#��-`�>?7*1(9 S #"7�)%)�129�Hm@�./9/>R#�167�9/'0&212#43 � 70@ s �-> S#"127�9 ]�� l[� �/�0/ � #�7d#%���BOd.�&6#�1 S </'� "#43N)��?#"#�129/H ��� 7� ���H��-9��! �'*&6&23*F�@b7� ;'*9�3N<[7�)"12#"12L*�:<[7�&63�9�7 SOU12'*& � ��� � � '�9/`Y'N<[7�&63�9�7�OU12'*& S #"1(OU��>R7�OP</./#�'*K/&6�G@�.[9/>R#�167�9 � F/�J��>R7�9/)�12`��! I#��/� %'*9/`�7�OU1 �-�-` X S '* �3P@�./9/>?#"127�9/'*&612#43� \ �V VWV \ � �� � � � � � � �V VWV � � � �"� � ]��0/ C �[��?�3*,%#��� �.�&%:���������3*3�.�� �� l B �!��52��5;� #��*3 ��2-.��52�3'�-�@*=�;�AF��.�3'��&%#�?%#5<0�3'.-=%#'����3-,/ %#�25;��� @2-7���2��2 #�.�� �� > $2@2'.�E �'=%#*3���A" %#��52�35�$'� #�. �*3 ���- � %#-���,� �.�2�3'?52��-�*[email protected]��35��2 �' @2-.�35�B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] C � ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

�����! "� � 1()N./9�16@b7� %OU&63 `�12)�#� �1(K/.�#"�!` 1(9 A � \ D � R2 #U ��| ��)"�!>?./ ��?&23 S ��-`/.[>R�o�J, � � ]��0/ C �#"7Y#%���mOV.�&2#"1 S </'* �#43�'*.�#%���-9�#�12>-'0#"�!` >R7�OP</./#�'0#�167�9�@�.[9/>R#�167�9/'0&216#43 �P| �m9�7�#"�P#��['0#G#��/�@b7*&2&27E�I129�HN>?7�9/)�#� %./>R#�167�9m1()�`�1 #��! "�!9�#;@� �7�O�#����G7�9��G./)��-`a129�#��/�G#4�;7 S </'� "#43m>-'*)�� �dc=e;: f�<�=hg*f-i c=e � j��8j�� � '*9 7� �'�>R&2� S '01(`��-`�</ �7*#"7�>?7*&$@b7� ��J, � � ]�� / C �"�<� w t?��� � ty�� �E�U� ��� � t � �Pq � ��t � t�� � p ����������� �� � 7&�V VWV � � r � ����� � 7 � �VWVWV � �� � � �"� � t �Tq�� ����E� qv� o��[� � � �0�� � H � � ���n 9/</./#�) � C�� � � � � o �D��9�tR� qG� � �=� � \ �;� � pPq?t?��q � 1�354r � � � �s #��-<ML \ � � � o � r \ �VWV *X ��G�� o �D��� � � � + � o � ����q?t-�zt � � q � Q IKA � \ D � � � p � Q I A � \ D ��� �s #��-<ML C � � � o � r \ �VWV 'X ��G5� o �D� � � q?t�qU����tN� � � 9�tN� o � � q � �(qvq�� �E� +v� � � �D� �E� �0�����D�y� �qRt � p�� Q;1�354r ����� � � Q �d� � �0��� � � o �D��t�q�� � � � � �*����� ��G�� o �D� �dt � �4t o q'C � � � ]�� / � � .$������ � �=� � � � Q � Q � �Xt%� � � � ����t oI� � o �D�Zt � ��t o q�.$�����Y� � ��� � \ � - ��� � .>��� � �y�(qkq �T��� � q?t%p� � t,� � �*�)��������� � � Q � Q � 1�354r \ � � � � - � � � � �X� � p��(q�q �T�*� � q?tvpZ� �a�/� ���0� � E ������� � � Q � Q � 1�354r����� � � Q ��� ��� � q�� � 9 ��� ���0� � �0� �M�zt?� � qGp*t ��� ��t � ��� Q ����tU� � q<.Mt oGo t � tR���Etvp � �Zt%� � �� � o � � �>.>��t o t�� Q � �E�Pt,� � �*��� � � �Eq?t�G�� o �D� � ���TqG� �%� o �4tvpd����t � �� � o � � �zt � �0��� �

� � � q���� � �=�4t � q � � u ��� �ktv� � � � � o �D� � �0�d� ��� qU� � � o � � p �0� q�� o � � 9 � A ����� � � �� � qvq � + 9�t � t o �0����� � �8.Mt:�Eqvq � � tB�����E� ��� � � o � �V� �%� o � q�����t�q?t5q���t � q � � ��t � ��.MtB� o tv�0�� �%� o �I�TqG� + ���,.Mt o t�q �E� tV�6t9*���D� � �0��tPp*t + � � ���I� � �D� �E� � �s #��-<ML � � � � o � r C �V V 'X � K/.�#m9/7*#U@b7� � r \ � ��G5� o �D� � � q?t�qa����t�� � ����t � �D� � �E�4tvp� �0� ��� ���0� � �0� +v� � � � � �0� �*����� �P� � q?t � p � Q � � �0��� � � o �D��tRq � � ���0�M�(q�� G�� o �D� �Bt � �4t o qC � � � ]��0/ � � .$�����a� � �=� � � � Q � Q � �Itv� � � � ����t o5� � o � ��t � �4t o q .$�����Y� � �=� ��� Q � .>��t o t� Q �(qNq �T�*� � q?tvp�� � t�� � �0�;��� �"!�� � � Q � Q � 1�354r ����� � � Q � �G� � p��(qNq �T�*� � q?tvp�� ���3� �4�E� �E ���"!#� � � Q � Q � 1�354r � Q ��� + G�� o � ����� ��� o ��q�����t � o � � �zt � �0��� � �����E�J���,���Eq�� � � �PO t%p!� � oq �0� t G�� o � �%$ �/� ���0� � qZ� � � � q�.Mt o � + ��pE� !5t o t � � + � o � �E���'.>��� � � ��� �*� t � qm� �� �Eq?tG����tG� � �=� � q � + ����t�q?tV��. � � � o �D��tRqGp �N��� � � �E� � � ������t � G�� o �D��$ �/'*&6#%)X�I16#%�7�.�#%</.�# � �'&X����t o .$�(q?t � G�� o � ��$ �/� ���0� � q E ���"!#� � � Q � Q � r � Q � � p�q?tR� q �)( Q r � Q �� � � o q�� � � ��� � ��� � �X�ztR� �)((

1�354r � ( ���� � � q��h� � �����(q�q���t � ��tv� � � � � o � � � t�� � t � � G�� o � � � ��� o t �Et%�*� q5����t � D � ���$� �E� 9dqv� o � � 9� � .>��� � �P��� ���Tq � �E�U� ���D�4t%pG� � �=�4t � � � � � ��t � � o�o t � � � tRqvq � + ����t o t �Ttv�*�ztvp �E�0� � t�(q'9 � � o � � ��tvtvp � �Z����tPp�t�� � ���D� �E��� + ����tU� � ����t � � � � �0��tvp � �E� �=� �4�E�D� �E� +v� � � � � �0� D�0�����D� � .>��� � �P�(q � q?tvpE��t o t5� � q��4t%��p � + ����t�q�� o �E��9 ��� + � o .M� o p .M�0� � + pE�(q � � � q�� � 9V����tp*t � �E�U� ��� � t � �I� � + � o � �E�D� �E� � ��� + � ��� � .~qN�����E��� + � o t �Tt o ��$ I X#" ��� + G5� o �D��$�(qE� �E� t�q��J� � papE��p ��� �����*���J����t � �*( Q r � Q + � o t �Tt o ��� I� X " $ A \ D �>.>��t o t � Q �(q����t �E�0� � t � �E�U� ���D�4t%p � �ZG5� o �D���B� � �=�4t � ��+ �s #��-<ML l � � � � �Tq?t G�� o �D� � pE��p ��� � ���0��� � � � p�q � � 7Q r � Q + � o t �Et o � � I� X#" ��� G�� o � � �� qRtRq�����tm� � ����t � � � � �E�4tvp � �0� ��� ���0� � �0� +v� � � � � �0� �*����� �a� � qRt � p � � +Q-, 7 � 7Q �d� � �*���� � o � ��tRq���.Ut?���0�b� q + � ��� � . �� � o $ r \ �V VWV 'X �2G�� o � ��$yqRt?� q � ( 1�354r +Q-, ( �*( Q �0/ � �4t:�����E���~� � � �EqRtHG�� o �D��$�pE��p��� �����0��� ����� � � �6pTqG�����E� �*( Q r � Q � + � o t �Tt o ��� I� X " �G� � pUq � � ( r +Q-, ( � Q r �57 �� � � q�� +Q1, 7 � 7Q r � 7 �57 �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � ] C ]G�� o �D� � q?t?��q � 1�354r � 7 �57 �W� � p � q?tRqJ����t:� � ����t � �D� � �E�4tvp � �E� �=� �4�E�D� �E� +v� � � � � �0� D�0�����D��� � q?t � p � � � �5� � �*��� � � o �D��tRq ��� � t � � � � �0����� �YG�� o �D� � t � �4t o q?C � � � ]��0/ � �:.$������ � �=� � � � 7& � 7& � 7 � �Ztv� � � � 7*#��/�- � G�� o � � $ t � �4t o q .$������� � �=� � � � 7& � ( � � .>��t o t� � 7& � ( �m�(qmq �T�*� � q?tvp�� � t�� � �0������ � � � � 7& � 72 � 7 � 1�354r � ��� � � � 7 � �57 � �V� � p��(qNq �T� D� � qRtvp�� ���3� �4�E� � E ��� � � � � 7 � 72 � 7!� 1�354r � � � 7 � 7!� �'.>��� � � t,� � �0� q � � � � � � � � �Tq?tG�� o �D� � � ��� o ��q � o G�� o �D� $ �3� �4�E� � qP� � � � q<.Mt o � + �YpE� !Bt o t � � + � o � �0� �:.>��� � ���� ��� t � qk� + ����tG� � �=� � qB� � ����t +v� � � �D� �E� �0�����D�Zp �P� � � � �0� � ��� G�� o � � $ ���0����q .$������ � � �=� � � � 129/`/12>-'0#"1(9�HP#��['0#���'* �#43 \ OU12)%K[�!�/'TL*�!` � �

� .�#%</.�#�) ��� � �ztRq%q ���0���4tvp � � ����t � ��+ � .$����� � � � ��� � �G��� G�� o �D� � � � � �=� � q � ��� � pG�� o �D� $ �r \ � � � �=� � q:����t �E�0� � tUp*t?��t o � � � tvpN� � �=�4t � � H ��.>��� � �y�(q�t?������t o � � � �� o � �n 9Z>-'*)�� X r C F?L;7�9/)"#% �.[>R#"127�9 ]��0/�� C � 3�12�?&(`/)J'*9Z'*&6#��- %9/'0#�16L��B</ �7*#�7�>R7*&=@b7� ��;, � � ]�� �*l ���#��['0#P12)-FX'�<[ "7�#"7�>R7�&J#%�/'0#P1()U@�./9/`/'�OU�-9�#�'*&6&23 `�1 #��! "�!9�#P@� "7�O #����y7�9��Y129 L;7�9/)�#� %./> S#"127�9 ]�� l=�6\ � ���< c � c,: ibf!i c�e�� j��8j� � ���0� q�� o��[� �D� �E� ����� � � q?t �R��o t-��� o t%p �[� t�q�C � � � ]��0/ C �$� � C�� � � ]��0/ � � ���< c8c��a�8�=� f-g � � 6�� | �y#% �'�9/) @b7� �O '�9�3� "�!'0& S OU7�`��?&�'�`�L*�! �)%'* �3 � @b7� P#%���y7� %'*>?&6� S'01(`��!`Y�����->-.�#"127�9 � 129�#�7Z'm>R7� � ��-)%<=7�9/`�1(9�HP1(`��-'*& S OU7�`/�?&h'�`�L*�! �)%'* �3 � �5_ ����7�<[�! �'*#"127�970@ � `��-<=�-9/`[)k7�9����/�?#��/�- k7� k9�7�#��'� "#43 \ 12)G�/7�9��!)"# � 1 � � � F \ I �� � F}'�9/`��J�U16H�9�7� ��#��/�U#% "12L�12'*&�>?'�)"�!)B7*@�� r � '�9/`�� r X " �Un 9�>-'*)�� \ I �� � 1 � � � F���'* �#43 \ 1()G��7�9/�-)�# � FOP'*>���1(9���� </ �7�>R�?�!`/)I'*)J@b7�&6&27E��) �\�� � '*>���1(9�� � �!OV.�&('0#��-)J#��/�B&27�>?'0&+'�>R#"127�9[)M7*@}#����G��7�9��-)�#X</'* �#"12�-)J1(9 s #��-< L \*�~n 9</'* �#"1(>?.�&('* -F�16#�.[9�1z@b7� �OU&23Z)��?&2�->R#%) � � Q � Q � @b7� X�!'*>�� � I �� � 1(9/>?&2./`/129�H � r \ � �

C � A 7� h�?L��- �3 � I ���F*OP'*>��/129�� � �!OV.�&('0#��-)h#���� � �� )%./K S )�#"�-<V70@ s #��-< L C FEK�3k@b�?�!`�129/H �I16#%�Y#����U>R7� � ��-)%<[7�9/`�1(9�H � Q r � � � � � Q � � '*)51z@$12#5�J�- ��G#����d'*9/)��;�! X70@$#��/� � ��7� %'*>R&2��>?'*&6& � � A 7� ��-L*�- �3 � I ��F+OP'*>���1(9�� � 7�K�#%'01(9/)�#%���U129/<[.�# � � Q � Q � #��['0# �-9�#"�! �) � 7�9�K=�-�['0&6@W7*@���'* �#43 �"� #"7P#���� � �� 7� %'*>?&6�:>?'*&6&+7*@ s #��-<ML C F/'�9/`m@b�-�-`/) �I16#%�a'�`��-,�./'*#"�k�-Od.�&('0#"127�9[);7*@W#%���G7� %'*>?&6�k'*9[)"�J�- %) � #"7N7�#����! I</'* �#"12�-)J1(9 � � ��[� A 7� J�-L*�- �3 � I �� $ A \ D F�OP'*>��/129�� ��-Od.�&('0#"�!)X#���� � �� )�.[K S )�#"�!<Z7*@ s #"�-< L � F/K�3@b�?�-`/129�H �I12#�� 'Y)��-,�.��-9[>R�P129 A � Q � � Q � Q �!D � ��� #%�/'0#�>?7� % "�!)�<=7�9[`/):#"7Y�����?#%���- 7� m9�7�#Z�!'*>�� ��'* �#43 $ I � �/'�)m�-9�#��- ��-`�#%����1(9/</.�# � Q � `����=9��-` 129 s #"�-< C � �A 7� V�?L��- �3 � I �=F�OP'�>���129/� � 7�K�#�'*129/)V#�����129[</.�# � � �Q � �Q � #%�/'0# �-9�#��- %) � 7�9K[�!�/'0&6@B7*@��'* �#43 �"� #�7 #���� � �� 7� %'*>?&6�a>?'0&2&I70@ s #"�!<�L � FJ ��->?7� %`/)d�����?#%���- P7� 9�7*# � � � � � Q � r � �� � � �Q � F/'�9/`N@b�-�-`/) �I16#%�Z'�`��-,�./'*#"�5�!OV.�&('0#�167�9/)J70@8#%���k7� %'*>R&2�'*9/)��;�! �) �A 7� d�?L��- �3 � I �� FMOP'*>��/129�� � )"�-#�) � 7Q r � Q � A 7� d�?L*�! "3 � I ��FMOP'*>���1(9�� �)"�-#�) � 7Q r � Q 16@ � � � � � Q � r � �� � � �Q � '*9[` � �%� o � q 7�#����! "�I1()�� � ����12&6�Z7�.�#%</.�#"#�129/H[��� O- ���H�.�2�E$2'� > >�� '. �$ �-�� �.�� �� l B m�B m�/��!�E-� �GH�A�.��GH�,- $2'��3-��3�0�?��52�,%#� "�GH �5�,� %#5<0�3'�-�%#'����3-!���2%:��&%#� � � � > �'.�I��� <0 # ���29��.�2���������������������� �B �!�2��- *,%#� � �I<����3� �,5�%#-����0<0 # ���29��.�2�I��'.@2-.�.�35 $&%#'(��)D�?� �.�%�-.$N�3*3� %#� %�� �'.�?-()G �N �� B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

] C � ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

���������?L�� ��� ��� � ������������� ��������������� ���"!#� s ����� L �%$�$'& � � ����������)(+* � �),���� � (-����!#�.���)����!#��/ � * � 70 ��/%������1�2!3���4�����5��������!3��/ � * � 70 !3�6�����5�� � � ��7)� � &�n �������! 7)� �#��( �8��9 � ����1!:*;��/` � ���3�<! *1�������=� � ������� $ �������4�>� ��� �2`?���@,�A�����3���!`!3�?����� 7)� ������� � �[`�!3��/?����B � �3����-` $ ����� 7�� ��! � � � * s �����ML ��& 6�ClD&In � 7 ������ `�!2`E� � �F�9 � ��)(G! �5!3�%, � �����>�����<�� � �����!`E���������2!3���H!3�-� � �"� ���/`� 9�����!#���������I�������J�� � � � $ (K�������� � !3�>����� � ��! * � �BI� �y`�!#�����!#9 � ���-`a�MLN9�!3�>�����!#��/����/`��-`�� � �������H� & � �����)(GBO� 7 ��!3��� �P��B � �#������� s �����8L l (Q9%�4*R�)�-`�!3��/4��� 7 �`�!3��� � �������I�-�����H�2!3���S�)!3������ � � � $ � 6��� � 7 �57 $ � � � $�$ (+�������� � 7 1�354r +0 , ( � 70 &T ��� 7 � � ! 7 �O!#�FU��������BI!3����UV9%�W������������ � =� � �<�X!#� s �����JLJY $ ����!3�Z�������W��������%�������UE�����6!#��� � �4� � 7 � 7 $'& � � � ���?�������I�1� 7 �������5!#�S�����6��B � �3���! � � � *.������ �� 7 �3�.�������1��J!#�4[%����� LJY � ���-� 7 ! � 7 �� �3�(\�1� � ��� � � � $ ��������]������ � � � 7 � 7 $M&^$_ !#���� �3�(�BO� 7 ��!3����� �%� ��� � ���2���������,�� U � ��� &

| �?����������=������)(`!#�V����!#� 7 �������! & � & (+� �I � $ (`BI� 7 ��!#��� �aBO�@�V� � ����!#9�� �V�9 � �� � ��� �9D�b* � ��I!3�%, � �%!3��/?�����O�� � ������Uc�-�����H������! 7 �c������!3���-���d�����<��� 7)� �! ���eU����D��!3��! � � $M& � 9�L�����,�I������d����� � ��� �WU�! #f������ 7 �<9-�����J�����c�����<!#U�����:L�B � U��)�`���\� 7)� ��! � � � ��U�����g����U�����6�����:L�B � U��)�1����� 7�� ��! � � � ��U��� !#�Z�������I!#�h�����?!#U�����:L�B � U��)�+����� 7)� ��! � �h��i!3�\LU����-����U����%��� �W����U � ��!:* � �BI�3��U�!3�����!#9 � ����U �hI�A � � D

� !#� � ����Uh��!3�W�����O��B � �#����! � � � *[%����� LJY $ (K�����������.!3�W�����O������ LNB � U����Q����� 7)� ��! � � � ����� � ����Ue!#�H[%����� LJY $ !#�A�����.� � +0 , 7 � 70ej � 7 � 7 &4T �-���F!#�)(;!#�E�����"!3U������ L�B � U���� � 7 !#�F!#��U����D���-U����%� � * � ����U � 7 (�����������2!#�4�����Z������ LNB � U��)� � 7 j � � 7 (k�������� � � � $ ����U � 7 j � 0 �R* � .�),����� � $ ����\� � ���?� � �����5�U�,����������4�l���U � ����D������+!#�6����� � � !3�%�mLN,\! ��� $'&]T � � ��(�!#�4�U�U�!3��! � �6� �!3���F� � ����!#9��3�"� #f� 7 � � � � ��!3�V�����"������ LNB � U���� $ (Q����� � ���3�i� � ������ $ � #f� 7 �=������� � 7 ������ �H����� � � !#�%�mLN,\! ���n!#�=���-���=�����"�3������� 7)� �%���!3��� � 7 j � � � 7 $M&?o � � ������=� � �U-�)(��������� � !#�%�mLN,\! �����J!#� $ �����F������ LNB � U����f����U?�����A!#U�����:L�B � U��)�pU�! #k�� � ���3�"!#�q�����)������ � 7 !#�2�7b� BOBZ!3��BI�����A� � � �57 � >� � � � ��!:* � �BI�3�����UW!3��U����D����U����%���3�cU�!#�����!#9 � ����UH�����!#��/D(�������� � ���U � 7 ���A�������3! 7 ! �2!#�4����� � � !#����Ll,\!3�)� & !+�q�����F��!#U�!#��/q�� � �D������ � * � (-����!3�U�! #k������ 7 �=!#� � ��U��)��� 7 ���9��3� &| �I� � �r� � ���� � ����� 7 ����Z�������I� I �H��! & � & ( �������H�Z!#�AU�!3��� � ������� $M&FT ���Z���������LBI���%� � *s����!#� 7 �����=U�! #f����+!3�6��� � BO��!#�4����-� 7 ��� &;_ !3����)( � ���3! ���A!3�6�����F����),\! �%� � 7 ������(������<�����"������ LNB � U����]�U�,����������V������! 7 � 7)� �%�� � �#���������h� $ � 9����!3�-�=���3� � 0 � �Z���UV� ��1�>B � ���1/ � ������%���)�.������J!#�"�����>!#U������ LNB � U��)�k����� 7)� ��! � �<�����d�� � ������U\LN�-����� � �1������J���X� � �������c� $ ��t � ���#� +0 , 7 � 0 & [%� 7b� �-UK( � ���3! ��Z!#�c�����<����),\! ��� � 7 ������(p������Z�����O������ LB � U��)����U�,��������eBI�@�W�$#f� 7 ��! ,��)�3�W�9 � ��5[%�����8LJYV��! & � & (G��9 � ��=�u*R���� � 9����!3��!#��/4�������� � 7b� BI� $ (�9 � �J����!3�J!#�]������I� � ������U��3� � ��!#��/5�����>!#U������ LNB � U��)�f�U�,�������� � �`�9�! �3! ���O� �!#������ �-7 �.�����I�� � ������U��-�����6� � �>� � ������ � ��U4�����I� � �������>�-����!3��� &D� ��� � ���!#��/q� � ������D����d!#��� � �(K�1�O����������%�d�6U�! #k��������d�+�@� � *]��B � �#����!#��/6�����<�����:L�B � U��)�s����� 7�� ��! � � & 6�v[\�D� 7 !�� 7 ���3� ��(]�1�4�2! �3� 7 ������Z!#� ��� I��B � �#����! � � � *>������� � �������O������!3���O��-U � ���V�X!#�[�w � �252�3�35�/���� � �.�,$ !Kx/ � %#'.��) � �&%#� �.-O� > %#�25 ��2� )8� > > �'�-� �GH� � �.�2�7���2$2@�?���2%:� � %#'.��) � �,�0�.�,'.-

�. ����2� �#y#zD-.@ �"�-(���3$ ( �?�2��*=� ���D��@2'.� �T\�@2%#��-��.�2�E<�%#��@2�]{ S L |`} � (#~ S a �.�&%:� � %#'.��) � �&%#-? ���%#���2�35�����.�2� �#y#z�-�@ ��"�-.�.�3$� > � �.�3$�! a 52 ��3-E�2 #�s�2�O�.�2�����$2@� (#~ �S N� �S a �.�&%:�E��-O�,�0�.�,'.�35 �0) � %#'(��) � ( � B ��B�/ � �{ S L | } � (�~ �S aFa B[N�1�+� *3 �GHGH�3� � �.�&%:�O�.�2�7%#� �.�,'.�&%:�.� <0���3G�@� %:���� ��8-.�.'=%:�.�,9#)�*,%#� �N� @2-.�35�%#��-� ����8*,%#-�� � %#'(��) � ��-�2 ��2�3-(�4B

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � ���.�

[%����� �bL ��$ 7)� BOBI! ��BI���%���O� � �����?,u�� � � � � ���������I������� 7)� BOBI! ��BZ���%���O� � ����� 7)� �L������ � ��U�!#��/ � 0 � �)(`����! 7 �i�2! �3�29-�4U��)�����BI!3����U � ��� �E��Z�����?����U � *d[%����� ��& � �)����!3�3�* � �3� � � &

� & � � 7 ��!#��� � ���������>9��4!#�%, � �%!#��/<�����Z�� � ������U����������(D��-U � 9�����!#���d� � ��! * � �BI� �U�!3�����!#9 � ����U � IKA � � D

� & � �1����!#�+��!#BZ��( � U � ���2� � �1U�� 7 !#U��A������������ � +� � �+� ����3� � � �����=�� � ������U6�-�����<� � ��-���1��1�����F� � �������2�������! ��� &o �?��U�U�!3��! � �K( � ��B � �#�������+�����=� ��7 ��p� 7 ��! � ��� � *s�����F� � �������2�������! ���+!3��[%�����ML>�9�� � ��! * � �BZ�3�q���)�3� 7 ��!#��/ � ���3�q����� � 0 � �)(�* � +��� 7 � � I �� &

��&2_ � q�),����� � I ��D(.BO� 7 ��!3����� ��B � �#�������?����� � �� � � 9\L�������� � *I[%����� L � (.9%�*R�)��U�!3��/ �2!3��� � 0 j ����� � � � $M&�_ � O�),���� � I �k(+BI� 7 ��!#��� � � 9�����!#���O�����!3��� � �e� � 0 � 0 $ ������ ���%������4� � � 9-������� * � *�������� � $ � � ����� � �� � �� 7 �3� 7 �� �� *>[%����� L ��&e_ !#�����3�3�(�� � ��!:* � �BI�3�H���)�3� 7 ���Z���3� � ������ � 0 � �"�X! & � & (;* � � � �F!#� �� $� ��7 �c���-��� +0 , 7 � 0 j � � � �#U�� � � & / & (p* � A��� 7 � � I �� $ A � D (p���)�3� 7 � � 0 I A � � D

�� ��! * � �BZ�3�(�����U4����� � 7 j � � +0 , ( � 0 $'&

�-&2_ � q�),����� � I ��D(.BO� 7 ��!3����� ��B � �#�������?����� � �� � � 9\L�������� � *I[%����� L � (.9%�*R�)��U�!3��/ �2!3���E�4����t � ��� 7 �O!3� A � 0 � � 0 � 0 $ D � ��� ������� 7)� ������� � �-U��d� � �����)������� �� � ����� 7 ��������� $ I �?�����������������U6�����F!3�-� � � � 0 &�� � ���F�������.�����5*X� 7 �.������� 0 !3� � ��� ! ����� �?� � 9D�F� 7)� BOBI! ��BI���%�2� � � 0 !3�2!#����� ��,@���%�1������ &�T ���=������ � *s����!3��������h��! & � & (Q�����<U��)�����BI!3�����! � � � *J����� � 70 � � $ !#�=��d!#�W����� 7 ����I���������������V�I!3�� � ������� &Qo �O�������! 7�� �3��)(u�1�1� ����� ���0��� ! *f� � BI��������� � I �F9-�����@,���s!3BO�� � �D���� ��X! & � & (;!#��, � ����A����� 7b� ������� � ��U�!#��/ � �� 7 � �<�2!3���h!3��� � �5�������5U � ���5� � ���-� � 0 ����� 7b� �U���U"!#�?�����=��B � �#����! � � � *�[%�����ML ��$'&T ���?�������I�������E!3�O�D���* � �BI��U � ��� �V!#� 7 ����� � U�!3Uh� � �O�9 � �� &Ho �E����!#� 7 ������(�570 j � 0 � � �#U��1* � +��,���� � j � �VWV V 'X (����U � j � 7 � +0 , ( � 70 $ * � �3� � ��� &

Y & � ������(�BI� 7 ��!#��� � ��B � �#�������?[%����� LJYD(+����U�U��������BI!3�����<������������ � "� � � !3������ ��7 ����������� �4� � �9 � ��O! ��� � �� 7 �3� 7 ���3�=�X!#� [%������LJY $'&�T ���eU�� 7 !#��! � �S!3�9������U � �F������������ � s� � �;����� � �� 7 �3�Jt � ����O��� 7 � ( � � $ � *~�������I�>��!3�<[%����� LJY $BI�� 7 �����q����� � �� 7 �3�Wt � ���� � � 0 � 0 $ ! �4BO�U��H!#� [%����� L � ��-U������H,u��� � � � * +0 , ( � 70 ���ZU��������BI!#����UE!#� [\����� � ��! & � & (������������� � 5� � � ��� � ��� 7 $ j � � � � � 0 $���U�� � j +0 , ( �570 $'&4o *���������h�"��9 � ����=��������� �-���,���%���=�����q�� � ������UE��������*X � B ��-���1���!3��/H�����W� � �������"�������! ���)(2��-U � ��������2!#��� � ���3� � ���O�������� � ������U�������?� � �������J�� & � o ��U��)��Up(K!3� 7 ����F�����O�� � ������U��-�����4�������J������������ � �j �(�����O������1��>!3� � � � $�$M&Zo �c�U�U�! ��! � �K( �P��B � �3������>�����O������J���� � *1�����q[%����� LJY� �� 7 �3�bL 7 �� �D� � �����FU�!3��� � �������2������!3���d�����+!3�6����� 7 ����d��������������6�A!#�2� � ������� $'&_ !#���� �3�(�BO� 7 ��!3����� �%� ��� � ���2���������,�� U � ��� &

� 9������,�A���-���2����� � ���3�?U�! #f������ 7 �F9-�����J����� � *;�����F!3U������ L�B � U����p����� 7)� ��! � � � ��U��� ���-U?�����5�����:L�B � U��)�p���\� 7)� ��! � � � ��U��� !#�2�������!#�4�����=* � �BI�� 7b� BIBI!3��BI���%���2� � � ������������A������H� � ����� � 0 � �)(Q* � � I �� $ ����<U���� !3,�����UW!#�h[%�����JL ��&�� � �1�),����(p9%�W�������!#U�!#��/"�� � �D������ � * � (�����!#��U�! #f������ 7 �d!#� � �-U��)��� 7 ���9��3� &

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�E� � ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

����� � ���,<�� *��� : � �� � * � * :!� � � �I!#BI� � ������%�����D� 7 !3�� 7 ����� � * �Jt & � �\&0/ �%$ !#�`�������� � � � $ j ��� � � $ (���������� � j ��. � &�T ��!3�]���D� 7 !3�� 7 �����+�2!3� �k9-� 7 ���3� ��UZ����� (������ � � ��� X �!�"(#" ������1 6 ) � � � 6���� ) � ���$� � 1 ��) 6 � (35 ) ��� &sT �-���]!#��(�* � �� �0��� � � � � 7b� BOBZ!3��BI�����+� 7 ����BI�(� (-����U?�<� � ��!3��!3,�=� � � ��� � BI!3�� ��(��J� 7b� ����!3U���+����� X L����O* � � 7 ��! � �����3!3��� �

��� �V VWV � $ �� ��� � � $ � � � � $ �V VWV � � � � $�$ � �\&0/0�\$

���������� � � $ !#� � ��!:* � �BI�3�dU�!3�����!39 � ����UA!3� A � � D� R #U � A � � D

� R �U � & L � B59�!3��!#��/��1 � � � L��! ��! � ��� �\&0/�& � � ���U �\&0/�& � � (\�J�=/��)� �!�<"���#� : �$�%��� �'& � � � % � � � � � � � � 9���� ��� ��� � � �?� � �5� + ��(%� � �*�!� ( � � ( � � �4�E�D� �E� � �}��� � � � 9�D�)�R� � � � � � � � D4� � � � � � 9 +v� � � �D� �E� �0�����D� � + C�� � � �\&0/0�%$ � � � �*� � � �R� ( � ���y� � � � �R�)�R� � � � � ���� � �+( � � � �0��� � � � � � �N�%��� � �& � � � > � � ' =8�$�%�)(7��*�<��,+,��� �=-�$( � � � �$� ��� ��T ���=�#����+* � � 7 ��! � ���� !3���?������U���U?* � +�������D�����B � � ��!:L�������� 7)� BO��!3� ��2!3�2�<B � �3��! LN��������/����������3!�������! � � � *p�����.!3��� � �mL 7b� BIBI!3��BI���%�J* � � 7 ��! � ���� !3��� � *G[%� 7 ��! � � ��& Y & �-& .-& [\�D� 7 !���L7 �� �3�(�* � � ����U � ���K!#�5[%� 7 ��! � � �\&0/�& Y & Y-(��J� 7)� ����!3U���f����� X �!� (." ��� ) � ��� �5� 1 6?� � ) ��� � ��$� � 1 ��) 6 � (35 ) ���

� � � � � � �VWV V � � � � $ �� � � � � � � $ �VWV V � � � � $�$ � �\&0/ Y $�������� � !#� � ��! * � �BI� �cU�!3�����!#9 � ����UH!3� A � � D � � � � & !+� 7b� B59�!#��!#��/e�4������! /%����* � ��1���U/����������3!�������! � � � * L � ������ ��7 ��! � � �\& Y & � � �2!3��� �1 � � � ��!3��! � ��� �\&0/�& � � ��-U ��& /�& � � (`�1�/��� �!�<"���#� : �$�%��� �'& � � � % � � � � � � � � 95��� �/� �*� � � �R� � �J� + �0(�� � �*�!� ( � � ( � � ���0� � �0� � ����� � � � �=� �D� �E�U� ��� �)�R� � +v� � � �D� �E� �*�����D� � + C�� � � �\&0/ Y $ � � � �*� � � �?� ( � ���N� � � � �?���?� � � � � � ��� � ��( � �� �0��� � � � � � �N�1��� � �!�<"�2� �V�+��� � � � [%�������!3��/?*X � B L � �-���� ��7 ��! � � ��& Y & � � (f�1�I������#� 7 �5��� 7 � � �� 7 �3� 7 �� �� � �H��� � L��������H* � � 7 ��! � �����3!3���i9%�i� 7 ���3�2� � ����� 7b� ������� � ��U�!#��/cB � �3��! LN��������h* � � 7 L��! � �-���3! ��� &4T �-���F!#�)(s!#�S[%����� L � �������h� � �����=�����?!3BO�/�<�����-��BI!#����! � � � � 5�������������O� � �������%��! 7 �����U 7b� BO� � �����! � � $ * � � 7 ��! � �-���3! ����� � �����-U � � 1�354j � � � � $ � � �� � � �������������! ���)(\!#�6[%����� L � ��?� � /%BI���%����U 7b� !3��Ll� � ����!#��/F!#� � ����U"� � �� � ,\!3U����������6�>�2!3���?�����U � B ����!#d� � � � � $ ������������]��� 7 � � ������J�-�����</�)��� � � � 1�354j � � � � $ (-��-U"!#�4[%����� LJY�������V� � �����A�����<� � ����������! 7 ������U 7)� BO� � ������! � ��* � � 7 ��! � �-���3! ����� � �����-U � � � � $ � � �� �� ������]������!3��� & �1� 7 � � *K����� � ��������������! ����� 7 ���;����� 7 ���3�Z���O������� � � 7 ���`!#� L � ������ ��7 L��! � � ��& Y & � � &

T ���A��� 7)� �!3��� � *Q�����A���� � �3��!#��/ZB � �3��! LN�������� � �� 7 �3�bL���!#U���U<�� � � ��7b� �k!#�J�������9��3!#������U��"!3� �����e��� � LN�-����� 7 �����V�X�����������U !#�t�1 � � � ��!3��! � � �\& Y & � � $'& � �"!#� �����W�-���,%! ��� ���-���3�\��!#� � *JB � � ��!:L����������� � � �\7)� �#�d������d/���������� !��)�I��� � L�������� � ������(p�����O��� �47 �������������I���Z� 7�7b� �U�!#��/<� � ������������ � >� � ����������H�5!#�A� � �������5�������� & (;� �I � � Z� I � $'&_ !3�-���3� ��( 7)� BO� � ��!#��/=�����.�9 � ,� � �� 7 �3�bL���!#U���UI�� � � ��7)� ���2!3���<��� 7�� ��2!#BO���3��BI���%�����! � ���� *J�����O�U���t � �����ZB � � ��!:L��������6* � � 7 ��! � ���� !3��!3���I�����>�- � ,\!#U���U�9%��J � � � ��!3��! � ��� �\&0/�& � ���-U ��& /�& � � $ (������F�� � � � ��! ��! � �<* � � � � ��� &

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� � ����� � ���� � ��� � � �E� �

& � � � > � � � � � � � � ��� � <���� :!� � �� �.����� � ������U��Z� � �-����������`�������k�����B � �3��! L�������� 7)� BO��!3� �� & � ! ,����<�FB � �3��! LN���������� � � �\7)� �l( � (]* � I�����4����BI!:L�� � �������IB � U�����(J�J�6�1���%�5� � /������������?��� 7���t � ! ,u�� �����!9�� � � �\7)� � ��� * � >�����g�D����ABO���3! 7 ! �%� �AB � U���� &6� � 7 ���3�`������>�����O/!3,���c�� � � ��7)� � � �D���L�������=!#�h� 7)� BOB � ��! 7 ����! � �VB � U��)� 7b� ����!#����!#��/ � *2����!3��/�3�"9� � �U 7 ���� 7 ����-���)� &6T ���7b� BO��! �3��US�� � � ��7)� �1�2! �3� � �D��������?!3�i�����e���BI� 7)� BOB � ��! 7 ����! � �hB � U��)� & � �I!3�S�������� � L�������� 7 ����(%�J���D����J�-����������1�� � �� 7 �3�bL���!#U���UI,������! � � � *p����� 7b� BI��! �3��U"�- � � ��7b� ��X����! 7 �W�2! �3�s� 7 � � ���3� �e9D�I����� ( � � �� 7 �3�bL���!#U���U4�� � � ��7b� �l(f���UW��� � �>����� 7b� BIB � ��! 7 ��L��! � �iB � U����J!#�I� 7 � � ���3�3�c!#���)�3�),u�����F* � IU�!3� 7)� ����!3��/������ � �� 7 � �)LN�!3U���UH,�����! � � � *������7b� BO��! �3��UV�� � � ��7b� � $'&6T ��� 7)� BO��!3� ��UH�- � � ��7b� �`!3�Z�4/����������3! ������! � � � *2����� � ���"�-��)L�����%����U�!#�8L � ������ �-7 ��! � � �\& Y & ��� �X* � X j �%$ (p����U������<����U���.!#�A��)*R������Ue��������I* � �U-U�! ��! � ����� 7 �3���!� 7 ����! � �-� & � � : ��<�= �1��� � & � � � % � � T ����D����=B � � ��!:L�������� 7)� BO��!3� ��)( � �� 7 �3�bL���!#U���U�,�����! � � $�� �� � ������� X D � � (���� � (���������� � � � �"!#�"($�&% � � �#' �)( %*� � � � � ' � ��� � � � ��!#��/"�O��!#��/�3�F9� � ��U\L7 ����� 7 �-�������� $ �+�&% � ��� ' � � � � ( � (�� � � � � � �,% � !#���)�-��. � �0/ � ( � �1� � ( � � ���*� X ( � � (���� � (������1��� � ������ ��� � � �����"!#�"($�&% � �+( � � '� � � � � � ��� ' � ��� � �2-3 ��� � ��4�G � (������ /�� � � � � �5� � � 0 IKA � � D76 �2-3 ��� �5��8#9?� �$: ��� 3 �N����;�� 4�< � �#%=�>!?�&% � � � (�� � � � ��� '@' � � � �A� � � � � � ��� �CB�� ��� � �0/ �&% �

� � ��� � ( ��� '?' � � ')�#� �D! � � �#� � � �E� � � �����>!< � � � ��& / Y $ � �F% � � � � �G!#� ( � j � �VWV V 'X �G � (���� � � � �7� O"� � < � � � ��& / Y $ � � � � � � �*/ �&% � (�� � � �>!H�&% � ��( � � � � (����I. � �&% � � �5� �FJ 0 ���� � �0B�� � � � � �&% � � � � ��� �FK 0 �L.D% � ( ��� � ��� �#%M���,% � ( � � (����N�0B�� � � � �PO 0 1�354j �CQ � � J 0 $ �

R 9S: 3 �0� 3 ");���: 9 3 ����;�� 4 �T% � � � (�� � � � /���� � ( � � � ( ��� � � ' ( � � � � � !#�"(��&% � ��' � � � � � � � �U!V?W < � �#% � � (��&�X�YB#� � � � � �&% � ( ��� � � ' ( � � � � ���XB � % � � � B#� � �&Z�.D% � ( ��� � ��� ��%���&% � ( � � (��&�M�YB#� � � � � � ��� '?' � � '���� �[�����&% � � � � � � � W]\ % � � � � � � � � B#� � � ��� O � �0/�,% �M� � /�')��� � �*� ��� � � ( �A� � � � �*/ ! � � ��� � � �5� � � �&���>!?< � W � ��& / �%$�W^\ % � � � � ZL!#� ( � j� �VWVWV *X Z G � (��&��� � � ��� O � � < � W � ��& / �%$ Z � � � � � �*/ �,% � (�� � � �>!C�&% � �+( � � � � (����7Z ��� ��YB#� � � � � �&% � � � � �5� � � � 0 U_ 0 $ ZD.D% � ( ��� � ��� �#%����,% � ( � � (��&��YB#� � � � ��` 0 1�354j �ba � � � 0 $�W

c "d9 ��9*8�9Se � �0e ;���: 9 3 ���7;�� 4 \ % � � � (�� � � �f��� � �&% �g� � �&% ��� � � � � � �*� ( ��� ' ��� � � � � � � ! � � � (� � � �5� � � �&�=�>!@<�� W � �\&0/ � $ � � �"( ��� (h�A� �#' � � � � � ��� �#% � � � � �U! � (������1����� V?Wi\ % �� � (��&��&% � � � �����7�Y� � � �*� �A� � ��� � �X! & � & (�9- � �U 7 ���� $ �N')� �*� �1/�� � � � � � �,% � (�� � � �U!�,% � ��( � � � � (���� � � < � W � �\&0/ � $ ��� � �,% � ���,% � ( � � (�� � � �L� � � �I�&% � ���,% � (�(���� � � Wkj �7� (� � � � �&% � �l�&% � � � ( ( ��� � '�� � � ��/ � � � V � � ���@B � � ��� �LB���G � (���� $ W@\ % ��� �&% � ! � � � (� � � � � � Em��� � �&% � � � ��� � � % '& ( �VWVWV *& + ZF!#� (@�&% � ! � � ��� � � �5� � � �&�n�>!C< � W � �\&0/ � $ Z� ( � � � � � � !#���)�-��. �5��������� � / ��� ���3�I� � ������!32���)����!#��/<!#� L � ������ ��7 ��! � � ��& Y & � �%$ #� \ % � � �0( � �0/ % � �)� � �H��� � � � � � � % 7 % ( % � $ ZC.D% � ( � % 7 j � J ( K ( $ � � �&% �

� � � (�� ��� �h��� � . � (I�>!HG � (��&� $ � � �,% � �"( � �1� � � � �)�T�&% � � � � � � � � � � � �*� � � �&% �� � �5� � ( ��� '@' � � ')��� � � % � � � Z % ( j � � ( U_ ( $ � � �,% �C��� � . � (k�,% � �2G � (���� $f�YB (� � � � � � � � �&% � � ( � �1� � � � �)�E�,% � � � � � � � � � � � � � � � �&% � ��� � � ( / �#�� ( � � � � � � % � � � Z���� % � � � �,% � � � � � �#� � � �U! ')� � � ��/ � � �,% � �NG � (�����$o�0B�� � � �� � � �@! � ( � ��&% � �#' � � � � � � � �>! VW < � �#% & 0 � � � � � � & 1�354j �pO ( ` ( % � $ Zq.D% � ( � O ( ��� �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ��������� ������������ ������ ���������� ��� ����� ����������� �

` ( � ( � �&% �?��� � . � ( � �&% � �[�&% � ���&% � ( � � (�� � � � �YB#� � � � � � � � �&% � � ��')� � ( � �1� �� � �)� � � � �,% � ��( � �G��.G� � % � � � �Z� ���� % � � � � � � B�� � � $#W/I��� � �&% � � � � � � � V � � � ( � � � � � � � ( � � � �0/ � � B (�� ��� � � � �G�#% ���"� � � Z � �)� � � (�� � � �( � � � � � ��� � � �#�A� �N�&% � � ��'��I')� � � ��/ � � W

� \ % � ! � � �#� � � � � � � ��� � ��*� ��� �#%b�&% � �?� ��� -�72 � 7 $ � - ( � ( $ '- � $ � � � � � ��� ��� � � -�7 $ �%� � � - ( $ '- � $�W� ���� � � Z � �P%*� � � � �&% � �;� � % 7& % ( % � $ j & W

� \ % � ! � � ��� � � � E � � � � � � �&% � ��� ' �5� � � � � � � �&% � � ��� � � ( ' � �� � �&% �N')� �*� �1/�����]B � � ��� � � � V?W /I��� � �,% � �[�,% � � ')� � � ��/ � � � ��� ' �5� � � B#� � � � � ��� � � � ' � � � (� � '�� ! (�� ' �&% � � � (���� � � � � ��� � ��U���� � ����U J ( ���US9-��!3��/H����� � * % 7 $ Z � � �( ��� � � ' ( � � � � ��U���� � ����U � ( ����U49-��!3��/?������ � * % ( $ Z ��� � �&% �@'�� � � ��/ � � � �% � � ( � � � � � � � � �k! � ( �X! & � & ( % � $�W � � ���*� � Z � � %*��� � � �,% � � E � % 7& % ( % � $ � � �&% �')� � � ��/ � �,% � �;G � (���� $ � % � � � � � �#�� � � VW

� � � � �)���&% � � ��� �#% � � (��&�H�,% � � � � � � � � ( � � � ��� � ( � � �,% � � � ( ( �#� �F� ( � �1� � � � �)� Z �YB#� � � � �� � �&% � ( E � % $ �"( � � � % $ E � % $�$�W ���T�0( ��� � � �&% � � � ��� � � � � � �b� � � !��,% � � ��� � � �*/ � � (����% � � � B�� (�� � � ZG.D% � �#% � � � � � � � � � � � B#� � � � ( � � W

��� 9 "��: 3 �54 � � � � � ����� �f�U!?�,% � ! � � ��� � � �5� � � � � � � � � � � O � � � � ��� �f�U!@�&% �h� B�� � � � % � � � �� � ( ' � �E� � � � � �n���f� B�� (�� � � � � � Z+�&% � � � (�� � � � �YB#� � � � � �0/ �,% � � � � � � � � � � � � � B��"(��L�&% �� � � � � � � � � Z ��� � � � � � �,% � � (I� � � �5� �G��� � W &[�&% � (�. � � � Z�� � � ��� � � � ( �@� � !#���)�-��. � W

��������� �14 �H�P�,% � ��� � �>! �&% � �#' � � � � � � � � % � � � Z ��� �#% � � (����%*� � � � �,% � ���"( ( � �A� � � � � �0/� � � ��� � �>!H�,% � � � (���� � � � (������1����� VW?\ % � � � (��&� � ��� � �-�1� � �)� ��� � � ��� � � �,% � � � � � � � W

� �I� � ���Z������>9 � ��������� 7b� BI��! �3��>���Ue�����O�� � � ��7b� �3�>�� � U ��7 ��Ue9��4!3�d����5��� 7 !3���%�)(��-Uq�������2�����)!#�U����-����U���� 7 � � � X !#�2� � � ��� � BI!3�� �3�q9 ��� ��U���U &

& � � � > � & � � *�� + : � : ���/����� ����� ������<T ���O�$#f� 7 � � *�L � ������ �-7 ��! � � �\&0/�& � � !#�=��-���3� ����U�������� � / ��� ���3�?� � �����I�$#f� 7 � � *�L � ��L���� ��7 ��! � � ��& Y & � ��&5o �H,\!3�)� � *J����!3�5��!#BI! �#��! ���e�1� 7b� B59�!#���O�����<��� � BI�!3�H�������-�<�X!#������F����� ����!3� $ (�����U?�������� � ��� �?�����=����U?���� � �3� ��!�"���?<#�$� & � � � % % � � ���������!#��/q����:* � * T ��� � ���B ��& /�& � /�$�� j �7�Y� � � � �&% � ���,% � ( ��� � � � ������)� � ��� � � � � �>! ��� % ��� � � � �0( � � � ���"( � � ( ' � � � � � � � � W \ % ���m��� � X ( � (��N! � � �#� � � �E� � � ���� ��� B � � � � � ( � � � ��� ' ��� � � B�� � � � �&% � �D���� '� � � � � � ��� ' � ��� � � � ��!3��/ � ���3� � � !#�%�mLN� � L� � !#��� 7b� BIB � ��! 7 ���! � �H� !#����� $ Z � (�� ��� ��� � �&% � � � ��� B�� � � ( O"� � � � ! ( � � �0( � �#� � ( � � � � � � � � ��&% � � � ��.G�"( O W&% � (��&% � ( ' � ( � Z � � � � ( � ����%*� � � � � � ��� � !g�&% ����� � � ( � � (�� � ��� ( �����o� �)���� '?' � � � � � � � � � ��' � �0/ %*� � � � � � � (�� � � � W!�<"�2���('*)�� � �,+C� �I�������.9%�6� � ��!#��/q�������>�����IU��#�k��! ��! � � � *`����� � � /�')�#� � � � � �#' �)(%*� � � � � ' � ��� � �X! & � & ( � �#�k��! ��! � � �\& Y & � Y $ ������ !3���d�2!3��� �%� �F��%� 7 ������/�Z� � �����<B � � ��!:L�������� 7)� �%���.-��1�l���#� � !#� 7 ����+����� 7)� BOB � ��! 7 ����! � �5!#�;,\!3�=�A��!3��/�� �29� � ��U 7 ����� 7 ���������)� $'&� � 7 ���3�%������G����� � � /�')��� � �*� � ��' �)( % � �� � � ' � ��� � ���3� � ���G������!3���G� � ���%����Q�����1�- � � ��7b� ��2!3���EB � U�!-�D��UV!#��� � ���"�����������F�������V����� � �!3/!#����� � ����� $ (;��-UE�9 � ��d�����"�.-\� 7)� ��! � ��������%�q� � !3�%��!#�6��!#BI� &[� �F����������+�������!#�?�����5B � � ��!:L���������q� � /�BI��������U4����BI!:L�� � �������B � U��)�l(-��6�U�,�������� 7)� �%�� � �#�+���3�p� � �\L�� � �������2������!3���2����U 7)�\� �U�!3�-�������1������!3+!#��� � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��������� ��� ����� � ��� � ��� ����� � � ����� � ���� � ��� � � ���Y�

B � U�!-� 7 ����! � ���=��-UH��9 � ��=U�� 7 !#��! � �-� &�� �=!3�H�����"��� � L�������� 7 ����( � ������A������H���������� � �\LN�- � �-��.� 7 ��! � ����(f�����O� � �\LN� � �������d������!3���.* � �3� � �r�����O�� � � ��7b� �J�l��>!3�W�����O����BI!:L� � �������2B � U���� $M&

T ���@�D����=��! /%��!-� 7 ��%�A����� � *J�����<�� �%� *]!#�=��� � �2!#��/6������A����� 7b� BO��! �3�� � *�L � ��L���� ��7 ��! � � �\&0/�& � � ��������m* � �BO�>��%�6�- � � ��7b� � V !3�%� � �q�� � � ��7b� � V�� � �-7 �e������>�.-�� 7)� L��! � �-� � * V�� !#�V������D����FBO���3! 7 ! �%� �=�������B � U���� 7 ���H9D�<��B � �#������UV9��c��-�� 7�� ��! � �-� � *V !#�6�����5� � /�BI��������U4����BI!:L�� � ��������B � U��)��� � ,��2�<��!#��/�3�F9� � �U 7 ���� 7 ����-���)� $'&1T ��!3��������!#�d����� � / ��� �+� �� � � � ��!3��! � � �\& Y & �#/ (D����U4! ���>�- �\� *`!#�>������� � / ��� �+� � �����Z�� �\� *����������%����U5!#�I�����2��� � L��������� 7 ����� &sT �-���;!3��(�1�+��������* � �B �����F�����:L�B � U��)����U�,���������� � $ * � V�� !#�%� � � 7b� ������� � ��U�!#��/O� � /%BZ���%����U4����BI! LN� � �������2�U�,�����������(f� � � $ (�* � V5&`T ��� 7b� �-���� ��7 ��! � � � * � ��� � � * �!3�q����� � / ��� �G� � ����� 7b� ������ ��7 ��! � � � * ������� ��� �� *�������E� 7 ���! ��U ��� �d!#�W�����I�- �\� * � * � � � � ��!3��! � � ��& Y & ��/�$�� [\�-� 7 !� 7 �� �3�( �PB � U�!:L�-���;!3��� � ����� 7)7)� �U�!3��/.� � ������t � ���! ���s��������BO�������s!#�5�����2!#��� � ��L 7)� BOBI! ����!#��/F����������(� ��! * � �BI� �Z����� � 7 ���`���-U � BZLN����D�.��!3�O� 7)7b� �U-�� 7 �]� � ����� 7b� !#�\LN/�����������! � �F��������� $ (����U�9 � �����!3� 7 ����=�����Z��B � �3�����UeBO� 7 ��!3���FU � ���.� � &+T � � ��( �"(k����! 7 �4!3�>��e� � /�BI���%����U����BI!:L�� � �������2�U�,�����������(���B � �#�������+�����FBI�� ! 7 ! ��� �2�U�,����������� &

T ���F��� 7)� ��U4��! /%��!-� 7 ��%�������� � *;�����I�� �\� *s!#����� � �2!3��/<������ 7 ��� � ��! 7 ��Q�� � � �\7)� �#������>�- � ,\!#U���Ue9%� T ��� � ���B ��& /�& ��Y $ �-�@,�F�����Z�� � �D������6������.�����)!#.�.-\� 7)� ��! � �e!#�������� � /�BI���%����US����BI! LN� � �������OB � U��)� 7 �� 9-�4��B � �#������Ui!#� �����E�,�D���� $ BO�� ! 7 ! ��� �O!#U������ LB � U��)� � * � �#�D��!3��! � � �\&0/�& ��&2T ��!#�.�������!#�.������� � / ��� �+� ��� � � � ��!3��! � � �\& Y & � � (-���U4!3����� �\� *G!#�2��-��� � / �%� �1� � �����F�� �\� *s����������%����Uq!#�6�����=��� � L��������� 7 ���� &

T � � ��(�/!3,��� ��%� X L����S* � � 7 ��! � �����3!3��� E (>�J� �D����H� � ��� T ��� � ���B ��& /�& ��Yh� � $� 9�����!#� � 7 ��� � ��! 7 ��.�� � � �\7)� � V �������?���!3,u�����)�3� 7b� BO� � ����� E & � � 7 � � �� �3�(2�1� � ��������I,������! � � � * V ������ � �-��������� � ,���.�6��!3��/�� �O9� � ��U 7 ����� 7 �-���������(p���>�- � ,\!#U���U�9%������F����)L 7)� BO��!3� ��.��! & � & ( � � � � ��!3��! � � �\&0/�& � .%$M&^$ L � BZ9�!3��!3��/O�����F�9 � ,�>��� � ��������)(\�1�7b� � 7 � � U��d���-���+�������"*R�)��U�!3��/ V � � ����� 7)� BO��!3� �� � *L � �-���� ��7 ��! � � �\&0/�& � � (%�����d���� � �3�!#�2�� � �� 7 �3�bL���!#U���Uq�� � � ��7b� � V�� � ��7 �"�������+��-�� 7)� ��! � ��� � * V�� !#�q�����O�p�D���� $ BI�� ! 7 ! ��� ������� L�B � U���� 7 ��S9-�e��B � �#������US!3�S�����6!#U�������B � U��)� � * � �#�D��!3��! � � ��& /�& ��&iT � � �)( V����� 7)� ���� � 7)� BO� � ����� E !3�6�����C�D�����BO���3! 7 ! �%� �+B � U��)� &

� �?���?��3B � ���IU � ����(�9 � �I��������4���"��� � ��)�#����! ,��)�3�HBI!#� � Z!3��� � ���Z� � �U�U������� &_ !3����)( V�� !3�q�� � �� 7 � �)LN�!3U���U �� � � ��7b� ����������<���-����� � �U�!#������ � ��� & � � �1�),����(�� � �U�!#�����e�� � � ��7)� �s������A��� 7�� ��)�3� 7b� BO� � ����� E 7 ��H9D�OU����! ,���UW9%� � ��!#��/e��� 7)� ��!#BI��� ��BZ���%������! � ��� � *������ � �� 7 �3��� � ����Ue9%� V�� �l��>�� � ,\!#U���U49%� � � � � ��! ��! � ��� �\&0/�& � � (�\&0/�& � � ����U �\&0/�& � � $'& [\� 7b� ��UK( V�� � �D����������=!#�V�����q9- � �U 7 ����mL 7 ��������)� 7b� BIB � ��! 7 ��L��! � �qB � U�����(\�����������]�J� 7 �#��!#BZ��Uq�Z�� � � ��7b� �-!#�<�����d� � !#�%�mLN� � L�� � !#��� 7b� BIB � ��! 7 ���! � �B � U��)� &`T ��!3�J/����O!3�19��!3U�/��U<9%� � ��!3��/F�����d� � ����L 7)� BO��!3� �����! & � & ( � � � � ��! ��! � � ��& /�& � �%$M&

��������� ���! #"� %$�&('*)+$�&�,.-�/�0� 132.4657 8$:9;/=<( 80?>.@A1; B<� 8'�9�/C'!DFEHGI&J1�9� �d� � � ��� � � � � ��� � ��������m* � �B8��%�<�� � � �\7)� �D* � 1��� 7)� ��)�3� 7b� BO� � ��!#��/I� � BI�.* � � 7 L��! � �-���3! ���O!#�"������K ( � � BO�� ! 7 ! ��� �JB � U��)�f!3�%� � �5�- � � ��7b� �-���-���+��� 7)� ��)�3� 7)� BO� � �����1��������BI�2* � � 7 ��! � ���� !3���O!3�"����� � � ��� � � BO���3! 7 ! ��� �JB � U���� &D� �>������������������1��/��!3�<�� � 7b� BZLB � ��! 7 ����! � �K(k9 � ���4!3�������Z!3��� � �>�� � � ��7b� �G����1�)�3�G����!#�4����� � ���Z���� � �3��!#��/<*X � B �����7b� BO��! �#����! � �K(�!#� 7b� ��U ��7 ����U69%�?� � ����!#��/<BI�������/��� � �?�O��!3��/�� �=9� � ��U 7 ����� 7 ���������)� &

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� Y ���������������������� ������ ���������� ��� ����� ����������� �

T ��� 7�� �����%� 7)� BO��!3� ��F����F� !3����� �"� � U � �2!3���E�����\����!3��/�U � ���<!#�V�����"��� � LN�-�����7 ����� &`T ��� � ���3�"��!#BI! �#��!3���<!3�2��1�I��� 7 ����! 7 ��k�3�),��)� � ������+!3��(�!3� � ��!3��/O�I��� 7)� ��d!3BO���3�bLBI���%�����! � � � *;�����5� � �������%��! 7 ������U 7b� BO� � ������! � �"* � � 7 ��! � �����3! ��� &JT ���FBO�!3�4� � ,��)�3���"!3�!#�?����� � ��� � *`�I���)� !3��/%���U�!3���%�)( 7 ���3� ��U�� � ( � K � B#� � j � � ( � � j % � ( � �*/ ���A[-[ $'&

o �%�����������!3��/�� ��(��1� � ���]!#BO���3��BI���%�����! � ��� � *������J� � �������%��! 7 ������U 7)� BO� � ������! � �=* � � 7 L��! � �-���3! ���O� � *�Jt & � ��& /�%$�$ ��-U � *��A[�[=������s����>��7 � ���3� 9 $ ��� 7�� �� � � �&% � K ( � � '� � � � � � ���' � ��� � &qo �=!3�=���-���=�1�O��U�U � �c� � � � *1���������O!3BO���3��BI����������! � ���=���-���FBO� ����A�����"��)L� � � ��!3��/q�� � � ��7)� �Q��� 7�� �� � � �&% � � � ��� � �h'� � � � � � ��� ' � ��� � &2_ � � � � �2!3��/<!3�>�"��!3/��\LN� ��,���U���� 7 �!#����! � � � *s�����FB � �3��! LN��������?�� � � ��7b� �3�J/�������������U69%�"����� 7�� ������� 7b� BO��! �3�� &� �bL7 �� ��������p������!3�-� � �Q� � ����� 7b� BO��! �3��p!3�G���� � � ��7)� ����� 7)� ���!#�A�����8K ( � � BO���3! 7 ! �%� �pB � U��)�������U6� � �����=����U � BZLl����D�>����U?� 7 ��! � ���JBI������! � ����U69D�)� � � ��)*R��1� � ����!3�2�- � � ��7b� � $M& 6!6\ % � � % � ( � �0/ � % � � � � �J� 7 �V��������V���������=!3���Z!#��� � �O���UE���-U � BZLN����D�"�2!3���h�� �1�����

������!3���I� �-7 �E������I���%�V�����! 7 �OBI��� � �! ��� � *.������!3��� 7 ���i��)���!3�),�q������!3I,u��� � �(������������s� � BZ!#� � �!3���5/% �%� � 7 �� � 9�����!#�O��%� �\� � �2�3��U�/�� � *k���������2,u��� � ��� &;T ��!3�!3�2U � ���=9%� � ��!3��/��`���!�D��9�� �5[%� 7 ��)�.[\�����!#��/4���=[�[ $M&o ��� � !3��!3,�)�3�(Q�����"BO���3! 7 ! ��� �=�������! ���I�X����! 7 �V��� � � � �0( � �#� ' � � �"( � ��� $ ���I�$#f� 7 L��!3,�)�3�q����),����%����U"*X � B �9 � ���!#��/Z�����F�� � � �\7)� �p9%�"�����A* � �3� � �2!#��/ 7b� �%,���%��! � ��� �

� o *F�V�������i�9 � ����O�������.-\� 7)� ��! � � ���! � I� �h7b� BO���3�)��! � � � *A������������!#��/����������(J������� ������� � �������"������!3���4������! 7 � ����4!#� BI��� � �! ��� $ �2!3� �.���)�<!3���!#��� � ������U?���-U � BZLN����D�d� � � � BZ�=U��)*X� � �3�+,u��� � �(�����Uq�2!3�3� 7 ���� ��� �+�������-�� 7)� ��! � �W��7 � �6!3���29D������:*!9 $'&

� o *>���-�����H��9 � ����F�����q��-�� 7)� ��! � �h�u*R����F����� 7b� BO���3�)��! � � � *������?������!#��/����������(;�������E�����?� � �������?��BO��� � �!3��� $ ������!3���5�2! �3�J�� 7)� ������ ��7 �F! ���F!#��� � ���-U?����U � BZLl����D�(\���Uq�2! �3� 7 ����� ��� �+�����>�.-�� 7)� ��! � �c��7 � �"!3���+9D������:**9 $'&T ���q��9�!3� !3��� � *+�����qBO��� � �!3���c�-����!3���A� � �� 7b� �-���� ��7 �=�����?��������� �A!#��� � ���-U6���-U � BZLN����D�A���� !3��� � �q�����F�� � �D�����!3��� � *��A[�[ &

T ���5*X� 7 �d������ 7b� BOB � ��! 7 ����! � ��!#� 7b� �-U ��7 ����U � ,��d�69� � �U 7 ���� 7 ���������)�`����U�����2�9 � ,��BI���%��! � ����U 7b� �%,���%��! � ���p/ � ����%�����]�������;�����d�l� � ������� $ BO��� � �!3���A�-��L��!3���s�2! �3�����3�+�@�\�s9D�1!#� 7b� �-������� � �G���G� � ����! 7 �Z������!3���;���@,��J��9 � �����U"�l���UZ������BZ��������/����J�J����=�����%� $M&

G (����A������� �#' � � � � � � � � % � � � �>T ���1�-����!3���s��B � �3����+�����1�.-�� 7)� ��! � � � *D����� � �! /�!3����%�- � L� ��7b� ���2! ���I������D� 7 �`� � �����2!#��� � �J���UI�����U � B5LN�����-���;���������U5!#�I�������k�������������� &T ��!3�.�2! �3�G9D�5U � ��� � ��!#��/"�"��� 7)� ��<� � � �&% � K ( � � 'N� � � � � � ��� ' � ��� � $ !#BO���3��BI���\L������! � � � *s�����F� � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �<* � � 7 ��! � �����3! ��� � *��Jt & � ��& /�%$M&

� �F�������+9%�6U��#�D��!3��/"����U?!3BO���3��BI���%��!3��/q����� � ��� �?���)� � �\� �G���)��U���U � ������2!3��(��`���! L�D��9�� �5[%� 7 ��)�>[\�-��!3��/ &[$[ �����������! � #"%$%&'�)(*$%���,+.-�/102/3/345(*6#/7&3�#�8�*/3�9(:&3��;< #$%"%/3��-=$ (86��> #�*�!(8��&3��"�?�/3�#/3�*�)(*/34 �A@ (*6#/ � �*B8(

&3��;< #$%"%/3�DC � (8$%"%"=(86#/E�*�!�#4#��;GFH(*�! �/E�!�#4I #�8�!(*�9&3��"J�!&K(*$%���#B7;</3�A(*$%���#/34 � /'"%�'-L�8/30M/3�G(*�N(*6�/EB*/3&3�#�*/ #�8�!(*�9&3��"=&3��;< #$%"%/34 �9@ (*6�/ � �8B8(�&3��;< #$%"%/3�D+.�#�!(�(*�E(86#/>B*/3;<$ F�6#����/'B�(O #�*�!(8��&3��"P0M�*��;Q-=6#$%&*6R$ (�-P�!B4#/3�*$ SA/34,C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,��� ��� ����� � ��� � ��� ����� � � ����� � ���� � ��� � � ����/

& � � � � ��� � ��<"� � *��"��� '*� <�� � ' � *�<���� �� �\� ����� �I���D������!#��/D(��E�`���!�D�9��3�>[%� 7 ��)�1[\�-��!3��/F� 7 ����BZ�2!#���lBI����)�3� $ �=��� 7)� ��=�X!#�<�����K ( � � BO���3! 7 ! �%� �=B � U��)� $ !3BO���3��BI���%������! � � � *1�e��� 7 ��)�=������!#��/q* � � 7 ��! � �����3! ��� &"T � � �)(�1�H�k�����U��#�k���A�����=�#��������2* � � 7 ��! � �����3!3��� & � � � �$�1��� � & � � � %,> �l��� 7 ��)�.������!#��/<� 7 ����BI��� $��� � ��� X B � � � � � � ��� � � � � ��/ � ( � W �5�A9����5��9��i� X �� �8."� .� ���7;#"�: 3 � ��8��� ��� � � � � � � (k�>! � � / � ( � �,% ' � Z�� + � � ��� � @ + � ��Z � � � � � !�� � �0/�&% � !#���)�-��. � �0/ ��� �� � � � � � � W 6�����\�%���#- �h\ % � � ��;."� � �� 3 ." ;���: 9 3 ;0e � 9 "�: �����IZ�� + � ��Z � � � �� � 9-�9�!3� !#����! 7 'N� �Y� � �0/ �>! � � � ( � �

B � � � ��� X ( � � � � ��� � � � �>! ���7;#"� ���I�&% � � � � ZG!#�"( � � � (���� I A �� � DYZb�&% � ( ��� � � '� � ( � � B�� � � + � � � � $ � � � � � �0( � B � � � � � � � ( � A �� � D � $ + W \ % � "� �8#9! " ."&: 3 �];0e �Y9 "&: �����$Z@ + � ��Z 'N� � � ( � � � � �#� � � � �>! � � � ( � � � X "$# A %� � D � � � �A� � � � �*/ � � B � �&ZH.D% � ( � X#" 1�354j A � � VWV V � X D W

T ���F�� 7)� ,���� 7b� ��U�!3��! � � � % �"( ��� �&� I A %� � D Z ��� � � � � � ��� � � �('�) � VWV V � ' + $ � � �&% �( ���*/�� �>!*� + � � � � $ Z ����]��� �+ ( ��� B � � � A � ) � VWV V � �,�!D+- X " Z � �P%*��� � � �&% � �

@ + � � ��� � ) � ' 0 � $.� VWVWV � � � � � ' 00/ $�$ j �

T ���F��� 7 �� 7 � 7b� ��U�!3��! � � � % �"( ��� � � �

� $ ( ��� B � � � �21 X " Zb�&% � � � � ��( � B � � � � � �>!��&% �� ( ��� ' � � � ��� � � �>!3� + � � � � $ � � � � ��� � ��� ����� � �U!4� W \ % � � � � Z?!#�"( ��� � � jA � ) � VWVWV � �(�,5 ) D 1 X#" ZP� � � � � � � $ B ����� K � � � ��� � � � � � ��� � ) � ' 0 � $.� V VWV � � �,�,5 ) � ' 0 /�6 � $�$ Z.D% � ( � �(' ) � V VWV � ' + $87 � + � � � � $�W \ % �#� Z . � ( � � � � ( � �&% � �D!#� ( ��� � ��� �#% � �&% �( ���� � ' � � ( � � B�� � � � � � %$ ��� � �

� ��� $ � ( � � ����� � � � � �)� � � � � ��( � B � � �*� Wo ��U�����UK(A�� X L ��� �mL � *�L X ��� 7 ����6������!#��/S� 7 ����BI�H!3�6!#BO��� ! 7 !3�4!3� ����� 7)� ������ ��7 ��! � �����������%����U4!3�H[%� 7 ��! � � �\&0/�& � �+T � ���-���F�q9�!3� � ( � ���7� � ���d/�������������� X �����U � B 9�!3������-���.� � BZL � �4� �9� ��B � U ��$M& � � 7 !3���%� L ��� ��L � *�L X ��� 7 ��������-��!3��/"� 7 ����BZ����U � �.-\!#���* � Q��%�.,u��� � � � * :� X &sT ���]B � ���p� � � � �#� � ���(�����! 7 � � �����K� � �+LNU��)/���)�`� � �3��� � BI!#���#�� ,��P�D��!3���C�-���3U���(�!#�2����������%����U?���.-�� &; � � : ��<�= �1��� � & � � � % � ��[\���BI!#9� � L �%� �mL � *�L X ��� 7 ��)�I�������!#��/V� 7 ����BI� $�� % � � � �&% �� '� �)� � � � � ( � '�� � � ' B � (�Z ����� ��� � �=< ZC�,% � � � � B � /�/�� (]�&% ��� X Z ���� ��� � � � ��� ( � ( � �,% (')� � � ��� � � (?�&% � K � � � � K � � �?> _ � < $�W 6A@ \ % � � % � ( �$/ �#�� ( � � � �*/ � � / � ( � �,% ' ��� � � � � � � �U!� � � !#� ( ' � � � � � � ��� � �0/ � ����/ ( � �

���� ��� � � � ' � � �k� � � ( > _ � < $ . � �&%N! ( �*� � � ( ' � � � � �

���B�lZ ���� � � ��� � �0/ �&% � �DCDE � % � ( � �A� B � �,% � � � � � � �>!�&% � �b� � � � � � ' � � � � ��� W \ % � ( � (��� � � ( � �*/f� � / �"( � �&% ' ��� � � � � � � �U! K �� � �*/ ��9%�?!3�%������ � �#����! � � $ �&% � � � � � � � ����/ ( � �

��

� ��� � � � ' � � �+�,% � � K � � �&% �b/ ��� ��� � � � � � � Z ���� � � � ��� ��� � �0/ � � � ! ( � � � � ( ' W

L � �-���� ��7 ��! � � �\&0/�& ��/ !#�"����� �$����US!3�L� -\�� 7 !3���H� �\& > �)����!3��/i9�� 7 �h� �E��� "� � 9 �m� 7 �BO���������(��1�FU����! ,��>�����F9�����! 7 U��#�D��! ��! � � � *s,����!-�k�9��3�d��� 7 ����2�������!#��/ &[,F (O(86#$%B1 ���$%�A(D+�-P/7 #" �!&3/>�#� &3��;< #��(*�)(*$%�����!" �8/ \ �#$%�8/';</3�A(*BO���9G f$H I �!�#4?J f$H I C �@ #$%&'�!"%" @ +-=6#/3��K $%B�(8�*/'�)(8/'4 �!B=�� ��!�*�!;</3(8/3�D+9(*6�/'B8/:�!"%?����*$ (86#;<B -=$%"%"��� �/3�*�)(*/J$%�<(8$%;</ (86��)(=$%BP ���" @ �#��;<$ �!"�$%�

K5C[,L+M @ (86#/�N#�#�#4��!;</3�A( �!" � 6#/3���*/3; �!0PO �#; � /'� � 6#/3��� @ +RQ�S K5C � 6��#B'+�Q &'�!� � /<02�����#4 �9@;</3�*/3" @�T�� �*��(*/KFH0M���*&3/ a 02�!&K(*���8$%�#?<�!"%" $%�9(8/3?�/'�8B � /K(�-P/3/3�+K ��� �!��4 KNC

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����. ���������������������� ������ ���������� ��� ����� ����������� �

� � � �$�1��� � & � � � % � �8�`���!-�D��9��3�=[%� 7 ��)�2[\����!#��/-(\9����! 7 ,�����! � � $�� � � �"�: � ; � e �� 18�"� ��� ��;#"&: 3 � ������� �/��8.�" .�� �2!3���e�������BZ��������d� X � $ � � ��� X ( � � (���� � (������1��� �T�&% � � � ' � � � (')�#� � ����! & � & (���� 7)� ��)�3� 7)� BO� � �����]!3�<����� �k����JBO���3! 7 ! ��� ��B � U���� $ �&% � � % � ( � ( /���� � ( � � � � �! � � ��� � � �5� � � ��� �>! � � ')� ( � � � ( �>! ( X � � � ( � � � % � ( � �*/ � �#% ��'�� W \ % � � � � Zq� � �$� + � � B �]�� % � ( � ( / ��� � ( � � � � �n� � / � ( � �,% ' �>! � � '�� ( � � � ( �U! ( X � � � ( � � � % � ( � �0/ � �#% ��'�� WN\ % �#� Zl�&% ����"( ( � �A� � � � � �0/ � % � ( � ( /���� � ( � � � � � ! � � ��� � � �5� � � �&�?�&% � �G�,% � � j�j � � � � ( � � �N��� ' ��� � � �d�X!#������C�D����2BO���3! 7 ! �%� �2B � U��)� $ � �

��� � � � 6 $ � � 6 � V VWV � � 6 $�� � + � � � � $ � �\&0/#/%$� 7 � � �� �3�(;!3�F�2!3� �+9-�?B � �� 7)� �%,����!3���%�=� �W� ���q���E� � /%BI���%����UE� � ��! � � � *<�`���!-�D��9��3�[%� 7 ��)�d[\�-��!3��/ &1T ���Z� � /�BI���%�����! � �4�� � ,\!3U����+��� 7 �e�������q�2!3�������e� � -�!3� !#���"!#��� � ����-���`U��)�����BI!3�����;�����2��� 7 ���� � ����;!#�I� 7)� BOBI! ��BZ���%�;� 7 ����BZ� $ (����UI���3� � ��� � �����O�J� ��#������ 7)� ��U ��7 � � � �&% ��� � � � � � � � ��� ' ��� � � � � � � �I��)�#����! ,��F� � �����O� � -\!3�3!3����6!3�-� � ���d/�! ,����� � ����� � ������=�������! ��� &I_ � ��������B � ��(K��� 7 �c�-�����e!3�=�� � ,\!3U���Uc�2! ���c� 7 �����!-� 7 ����� � *�����F,u���3!3U�!3��� � *;! ��� � ���4���-���<����)�#����!3,�=� � �����I� � -�!3� !#���"!#��� � ����/�! ,����6� � ����� � �������������! ��� $M&+� �>���)! �)�2����� � ��� � �� � ��!3���5� � /����������3! ���2�����>U��#�D��! ��! � �"� �-7 �Z�������J! �J��)*R����� � �����<�������!#��/ � *+�����!#��/��I� � *2�uL����! � �!��%� � �����3����/���� $ ���������d���-��c� � �����<������!#��/� *.��!#��/�3�q9�!3��� &c_ � Ba����!#�I� � !#�%� � �K(`�������h�J�q���@� �`���!-�D��9��3�4[%� 7 ��)�O[�����!3��/h� � �A[-[ $ (K�1�IBI����������O� � ��! � �WU����D����UH���.-\�I�����������>�����I�����I�J��� �����* � �BP!#� � �#�k��!:L��! � � ��& /�& ��.%$'& � � � �$�1��� � & � � � %& �8�`���!-�D��9��3�1[%� 7 ����G[\�����!#��/-(����,\!3����U $�� ���� ����� � % � ( � ( / �#�� ( � � � � �� � / � ( � �,% ' � + � � �U! � � ')� ( � � � ( �U! ( X � � � ( � � � % � ( � �*/ � �#% ��')� ZD. ��� �Y� ��� � � �+���C% ���� � � ( B � �[�-� �0/ � ��( � �*/ � � �&% � � � � ZP� + � � � � ) � VWVWV � � 6 $ 1�354j �,' ) � VWV V � ' + $ ZG.D% � ( � ' 0 j ' 0 � ) �1� �.' 0 � 6���� �,' ) � ( � VWVWV � ' + � ( $ 7 � + � � � � ( $ !#�"( � � � (�� � j � � VWVWV � X ���� $ j � � VWVWV � W j �7� (� � � � �,% � � � + � � � % $ I � A %� � D�� R� �� U $ +IZ ��� � � � ��� B �� ��� '?' � � ')�#� � � �#% ��'�� Z ��� � �B �f� � � ��� � � � ��( � ��� � � � W � W ��� W � � � � � ��� (]�,% � ��� ( ( � ��� � �� � �*/ ��� � /�BI���%����U $ � % � ( � (/ �#�� ( � � � � � ! � � �#� � � �E� � � ���

� % � � �� � V VWV � � �� $�� ��� ' � K $ � �,' ( � K ( � � $.� V VWV � �(' + � K + � � $�$ � �\&0/ .\$�������� ' 1�354j �(' ) � VWV V � ' + $ 7 � + � � � % $ ( � �\&0/ ��$K 1�354j � K ) � V VWV � K + $ I A %� � Dp+ � � R� �� U � � �\&0/��\$

!#� � ��! * � �BZ�3�qU�!#�����!39 � ����Up(���U � 1�354j � � Q � �,' ) $ � VWV V � � Q�� �(' + $�$M& � �\&0/ �\$

\ % ���g��� � X ( � � (���� � (���������� �E�,% � � � � � � ( � � ���� ' ��� � � � < � W � �\&0/ .\$�� � ��& /.�%$ � � �&% � �D����'N� � � � � � ��� ' � ��� � � � � � �)� � �@� � �"�: � ; � e ��� �8."� .�2� ��;#"&: 3 � ������� � ��8.�" .�� �2!3���I�����BI�)������� X � $�W� 9������,�A���-���.��� 7 �4��������6BI�@�4U���B � ������������<��� � ��� 7 � � �������������� $ �����F,u���3!3U�!3��� � *!3��� 7����!3BO����9=���-���=�X! & � & (%����� ' 0 $ �2!3���q������D� 7 ��� � ������/�� � 9����3� �I���)�#U � (\9%�I��),����� !#��/����� 7)� ������� � ��U�!3��/ K 0 &b� �I�������3�;9-�I������! 7)� �#���3�?!#�%�������������Ue!#� �A[�[�� 7 ����BI���>�2! ����������BZ��������<� X �! X#" �%$�$ � ! & � & ( j X&" ��$�&WT ���?����� � �c* � F����!3�5* ��7)� �5!3�Z������F�1����� � BI�.���- �%� /�� �%� �]����!#�1��� 7 ��! � �q������J�����dBO�� ! 7 ! ��� �+�������! ���J����>!3�?�����! 7 �+BI!3� � �! ��� &

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,��� ��� ����� � ��� � ��� ����� � � ����� � ���� � ��� � � ��� �

T � � ��(�9��5�����+��� 7 �� 7 �F���t � !3���BI���%��(@���)����!#��/ �� X&" � / � ����%���)���Q������;�����A�X�3�����s�������X#" ��$ U�!3��� � ��������������!3���2����F� � ���9��3�=� �<� 9����!3�4�����?!3��* � �BI���! � �4�9 ��� �2�����5��� 7 ����*X � B ������!3?���������� & � � ����� � ������?����-UK(�9%�S�����c�� 7)� ,����i���t � !#���BI���%�)(2���)����!3��/ � X&" �%$ / � ����%�������<�������"�����i�lB � ��W���-�� X#" ��$ � � �������?������!3���?���W�9��3��� ���� 7 ! ������� �V�� 7b� ,���d�����?��� 7 ��)�A*X � B �����)!#F���-����� &6T � � ��(G!#�E�����q����t � �)�l(s����������,���1�WBI���%��! � � �=[�[ �2!3��� �%� �?���D� 7 ! *R�\!3��/h�����H�����BI���������(1�1�WBI����������� �A[�[��2! ����������BZ��������d� X �� X&" �%$u$ (��������� X !#� � ��U������� �\� Uq*X � B ����� 7)� �%���.-�� &LJ�3�����3�(u9%� T ��� � ���B �\&0/�& � � (#�`���!�D�9�� ��[%� 7 ����`[�����!3��/d� 7 ����BI���Q�.-\!#���)(�� � ,\!3U���U

���-���1��������� 7 ��U"������DU �\� J�D���B � ������! � ���]�.-�!3��� &J� 7 � � ���3� ��(%� � �������9��3!#���q�����d��-�!#������� 7 �� *1�A[�[W�1�<BZ������ �����)��UH� � �������3�e������k���� 7b� BO��!3�3��d� � �����"������! /%����* � ��1���Ue�- � L� ��7)� ���������I���!3,u�����)�3� 7b� BO� � ����� �Jt & � �\&0/ .\$�� � ��& /.�%$ � ���)� � -��� 7 !#���4� -&q_ � 5��� �� � *� � 9�����t � ���%�2��b*R������ 7 �A�J�=��������=�����=�3�������2���� � � � &

!�<"� �#� : �$�%��� �'& � � � %�� j �7� � � � � �,% � �l��( � � � ���"( � � ( ' � � � � � � � � � � � � � W?\ % �#� Z*!#� ( � � � (��:� X Z �,% � ( � � � � � � � � � � ( � K � B�� � � � � ( � � � % � ( � �0/ � ��% �#')� . � �,% � � ( ��')� � � ( �F� X � $#W� � ���d������J�����=���� � BI����! � � � ����U"!#� � � � � ��!3��! � � �\&0/�& � � !3�d�lBZ������ � $ ����� � ���d������U���U* � ]����� � �D�������! � � � *K�����q�D���� 7)� BO��!3� ��)(%����! 7 �"�B �%� �%���`� � �����>���� � BO����! � �<������U���U* � +!#BO���3��BI���%��!#��/<�����A* � � 7 ��! � ���� !3��!3��� � ����Uq!#�ML � ������ ��7 ��! � � ��& /�& � ��&

& � � � � ��� �!�"� ����� ������<���� : �$���� �"���I� � �8����U��e� � ����������%�>�����"��� 7b� ��U 7b� BO��!3�3�� &� � 7 �� �`�������A�1�<���I/�! ,����c�B � � ��!:L��������Z�- � � ��7b� ��( V (��������!#����� 7�� ��2�����(K ( � � BO���3! 7 ! �%� ��B � U��)�l(�����UI�J�2�+��%�`� �/������������2��K7���t � !3,u���3���%�*9A�� � � ��7b� � V�� * � �������� � ��� � � BO���3! 7 ! ��� �`B � U��)� &�� �#� � �� 7 ���3����-���]9 � ���<�����>/!3,���I�- � � ��7b� �-���UO����� � ����/�������������UO9%�I����� 7)� BO��!3� �� � �-�������2!#�<�7b� BOB � ��! 7 ���! � �6B � U��)� 7)� ����!3����!#��/ � *`� � � �*/ � � B (�� ��� � � � ���#% ���"� � � &�_ !#�����3�3�(��1�=� � ������-���`�����1/�������������U5�� � � �\7)� � � �����`� � 9��� � � ��7b� �#�s������`���+��� 7�� ��J�2!3���O������-� 7 �;� � ������D�����BO�� ! 7 ! ��� �2B � U�����������U6��)�2�����=���%��!3��F�� � � ��7)� �f�2! �3�G9D�F��-���3� ����U?�2! ���4������D� 7 �� � �����F��� 7b� ��U?BO�� ! 7 ! ��� �2B � U���� $M& ���

; � � : ��<�= �1��� � & � � � %�� � T ���h��� 7b� ��U B � �3��! LN�������� 7b� BO��!3�3�� $�� � � � 1�354j X#" � $*W ���� ��� ��� X ( � � (��&� � (������1����� Z V Z+!#� (N�,% � �D���� '� � � � � � ��� ' � ��� � Zq�&% � ��� ' � � � � ( � (�� (� � � � � �&% � !#� �)�-��. � �*/ X ( � � (���� � (������1��� � Z ����� ��� � � V�� Z !#� (��,% � ��� 7b� ��U 'N� � � � � � ��� ' � ��� � W2-3 ����� ��4�G � (������ /�� � � � � �5� �+J 0 IKA �� � D 6 W ; 3 � 9��H� �>;��! Y4 G � (��&� � � � � !#�"( ' � � � � � � �#� � � "); 3 � 9��H� �>;��! �Z ���#� ��� �*� � 0 I A %� � D� R 6 U Z

!#�"( �&% � �#' � � � � � � � �>! VWF � N#����(86#$%BP�*/'�!B8���,+�-�/�&'�!�#�#�!(=��(8$%"%$��3/���&3��;< ���B*$ (8$%���G(86#/3���*/3; 0M����(86#/�B8/'&3���#4 ;7�!"%$%&3$%���#B ;<�94#/3"HC� /�&3��;<;</3�A(=(86��)(JB8�#& 65�G&3��;< ���B*$ (8$%��� (86#/3���*/3;L-P���#"%45�!� @ 6��D- � /O;<���*/J�8/3B8(8�*$%&K(*/34 (86��!� � 6#/3�!F

�*/3; l C m C � C����#/�$%B*B8�#/�$%BP(86��)( (*6#/JB8/3&'����4 ;7�!"%$%&3$%���#BP;<�94#/3" 4#/3 �/3�#4#B=���E� � �����#4 ���>(*6#/�0M� �!&K(8$%����!0�4#$%B*6#����/'B�(� ��!��(*$%/3B'C � 69�#BD+�$ 0(86#/$K7F� ��!��( @ ���*�!&'"%/KF �!$%4�/'4 #�*�!(8��&3��"�$%�ASA����/'B����AF �!� @ 0M�#�#&K(*$%���#�!"%$ ( @-=$ (*6���� K (*6#/3� (86#/ � ���#�#4 T ���I(86#/ 0M� �!&K(8$%��� �!0�4#$%B86#���#/3B8(< #�!�8(8$%/'B a ;7� @�� / S�$%��" �)(*/34I$%�R(*6#/B*� � F� #�8�!(*�9&3��" (86��)(=�*/3 #" �!&3/3B�(*6#/J" �)(�(8/'�'C N#����(*6#$%B �8/D�!B8���,+9- 6�/'�>4#/'�!"%$%�#?O- $ (867(*6#/�B*/3&3���#4 ;7�!"%$%&3$%���#B;<�94#/3"H+ ���#/ B*6#����"%4 &'��� � �#/ (86#/ (8�*/'�)(8;</3�9(�(*� K>FH ��!�8( @ ���*�!&3"%/3F��!$%4#/34 #�*�!(8��&3��"%BG(86��)(7�#B8/�K7F �!� @T � �)(86#/3�=(86��!���9F��!� @ a 02�#��&3(8$%�����!"%$ (8$%/3BDC

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

��� � ���������������������� ������ ���������� ��� ����� ����������� �

� �� � ��;."�: 3 ������;��� 4k< � ��% � � (���� � % � ( � � � � � � � ��� � ���� ( ��� � � ' ( � � � � . � �&% � �)�S�&% � � � ( (� � � � Z ��� � �0/g� � � ( � K � B#� � j � � ( � � j % � ( � �0/ � ��% �#')� W \ % � � � � ZD!#� (�� j � � VWV V � X ZG � (���� � � � � � O � � �&% � � j"j � �#% ��'�� � � � � � �0/ �,% � K ( � � � � (����=. � �,% � � ��� � J 0 � 0 Z.D% � � � �&% � ���,% � ( � � (�� � � �$� � � � �,% � (���� � � �>!h�,% � ���&% � ( � � (�� � � � � � < � W � �\&0/ .\$��� �\&0/ �\$ . � �,% � � �5� � � 6�� R 6 U W� �A/Y� ( � � �*/ �,% � �DCDE � j�j � � � ��� � � � � � Z � ) . ������� ��� � �&% � � � � �5� �?�&% � � G � (���� ��YB#� � � � � B#� � ' 0 � K 0 $ Z ��� � �&% � � � � �5� � � �&% � � ��� �#%m���&% � ( G � (���� $ �0B�� � � � � B#��(' 0(

� K 0(� � 0 $ Z .D% � ( � ' 0 j �(' 0 ) � VWV V � ' 0+ $ 7 � + � � � J 0 � 0 $ Z K 0 j � K 0 ) � V VWV � K 0+ $ � �� � �)(

!#�"( ' � � � � � ��( � B � � � � Z � 0 j � � 0 ) � VWV V � � 0+ $ ��� � � 0 � j � Q��� �(' 0 � $�W /I��� � �&% � � � � �&% � (� �)�E% � � � � � � � (�� � � � / � �P�,% � ���"( ( � ���[� � �A��� '�� �"(C�&% � � � �)� ��� � � �#�P�,% � �;G � (������ � ���% ��� � � �*/]��� � � � �[�,% � � (I� � �A��� ')� �A��� W ; 3 � e : 3 � ��� 9 "�#4�,! G � (��&� � � B��"(�� � �,% � �DCDE � j�j � � � ��� � � � � � ZL.D% � �#% '������ � �&% � �� �)�D% � � � � � � � (�� � � � ( � � � ��� �*� �,% � � � �A��� '�� �IZq�&% ��� �,% � % � �� � � � � (�� � � �)� � � � � �� � ��� � ��� � ( ���� � ' ( � � � � ��� � � ')� ��� ! � � � � � � � � � � �&% � � � � Z �,% � � � � �G�,% � � ( ( � ���"( ��>!b�,% � � � ��� � ��� � ( ��� � � ' ( � � � � �>!�G � (��&� � �X����! 7 �q���� � ��������2!3��� � �;�\� � ���"� �������B $ ��� � � ')� ��� ! � � � � � � � � � W /I��� � �,% � �bB#� ��� K � � � � � � Z �,% � � j�j � ��% �#')� � �� � � � ( � � � �&% � K ( � � 'N� � � � � � ��� ' � ��� � Z ��� � �&% ��� � �)�P% � � � � � � � (�� � � � �1/ ( � � � �.D% � �,% � (I� ( � ���[�&% � � j"j � � � � � � �A� ( � � W � W ZG � (������ $ % � � � B��"(�� � � W �!(� � � ��( � � � �&% � � � � � � � � G � (������ � B��"(�� � �&% � �DCDE � j�j � � � �1� � � � � � Z � � �=��U��)*X� � �3� $� � ��� � ���� ( ��� � � ' ( � � � � B � ��� ')�ZO�� ��. � �A� � �)� � � (�� � � � W j � � � � �,% ���#� � � ( � � � � (� � � � � � � �PO � �H� � � � � � � � ( � B (�� ��� � � � �C��% ���"�� � Z ��� ��% � � (����n� ��� ��� � � ( ' � � � B#�� � � � � !.D% � � ')� � � ��/ � � G � (��&��� � %*� � � � � ��� � � � � ���"( ( � �A� � � � � �*/ � � � � � � � � � �U!V?W \ % ��� ZH�&% � ( � � � � ��� � � �)� � � � ��*� � �A� � �#�� � ��� � � � ')� �*� �1/�� � � � B � % � � !]�U!G � (������ W

c "d9 ��9*8�9Se� �� �0e ;���: 9 3 ���7;��� 4 \ % � � � (�� � � � ��' � � � � � �&% � � � � � � � � � � �U!M�,% � � (������1����� V. � �,% ( � �A� � �#�[�A�N�,% � � � ��� � ��� � ( ���� � ' ( � � � � � � % � ( � � � � �,% � K ( � � � % � � � Wh\ % � �. � �)�"B � � � �� B#� ��� � �*/$� � � � � ( � ��!3�F�����P�D����sBI�� ! 7 ! ��� �GB � U��)� $ � ' � � ��'���� � � � � � ��>!C�&% �?� � �&% ��� � � � � � � � ( ��� ' �5� � � � � � � ! � � �#� � � �E� � � ���]�>! <�� W � �\&0/�\$#W\ % � � � � Z G � (���� ��Z?.D% � ��% � � ���7� � � � � � ��� � ��� � � ')� � � ��/ � � � V Z � � � � � �&% �(���� � �>!]�,% � K ( � � � � (���� � � < � W � �\&0/�\$ ��� � �&% � ���&% � ( � � (�� � � �?� � � �=�,% � ���&% � ((���� � � W?\ % � � � ��� � � % � & ( � VWVWV � & + ��� � �&% � ! � � ��� � � � � � �� Z*!#� ( �,% � ! � � �#� � � �E� � � ����>! < � W � ��& /�%$ Z � ( � � � � � � !#���)�-��. ���� \ % � � �0( � �0/ % j � % ) � % ( $ � � � � � ��� ��% �&% � � % ) j � J 0 � 0 � ' 0 � K 0 $ ���� % (� � � � � � �&% � ��� � � � � �#�E� � � � � �>! � �)� � ( � ��� � ��� '�� � � ��/ � � � ��� � � � �&% �)��' � � � (

� � � � �>! � ( � ��� � ��� � � � � � �U! VW � � � � �)�[�&% � � � J 0 � 0 � � ' 0 � K 0 $�$ � � �,% � � � �5� � (� � � ��� � � � � (@�>!NG � (������ � � �,% � �(C�E � � � ��� � � � � � �>!C�&% � � j�jEW

F���� �#4#/3/34E(*6#$%B �#�!(*�)(*$%��� $%B=B*"%$%?�6A(*" @ $%�#&3���#B8$%B8(8/3�9(�-=$ (86 (86#/O���#/:�#B*/34 $%��� / � �#$ (*$%��� l C m C x l C j /3�*/� �!�8( @�� #" � @ BO(*6#/ � �8B8(O ��!�8( @ $%� (86#/�� � � +.�!�#4 � /'$%��? &'����B*$%B8(8/3�9(�-=$ (*6�� / � �#$ (*$%��� l C m C x l -����#"%4�*/ \ �#$%�*/34J&'�!"%"%$%�#?=$ (*B,B*6��!�8/ ���� �*�)(*6#/3�,(86��!� ���� C������#B8/ \ �#/3�A(*" @ +!(86#/�B86��!�*/�!0 � �!�8( @ � $%��(*6#$%B,$%�9SA�9&'�)(*$%���-P���#"%4 6��'SA/ � /3/3�E4#/3�#�!(8/'4 � �! �#" $&% +#-=6#/3�8/(' � T)� a $%BP(*6�/O�8��"%/�(*6#�)( � �!�8( @*� #" � @ B=$%� (86#$%B $%�ASA�9&D�)(8$%���,Cj �'-P/KSA/3�D+�B8�#& 6 ���!( �)(8$%��� -P���#"%4 6��'SA/:;7�!4#/����#� /#+� ���B*$ (8$%��� ;<���*/�&'��; � /3�*B*��;</�CF c � 6#$%B:$%BJ�*/#,�/3&K(*/34R$%�5(86#/<&3���*�*/3B8 �����4#$%�#?E$%4#/'�!" F�;<�94#/3"��!4�SA/3�*B �!� @ (*6��)(O/3$ (86#/3��;7� ��/3B:�!"%" 6�����F

/3B8(> ��!��(*$%/3B74#/K(*/3&K( � � ����( T $HC /�C%+ ����(8 #��(�- a ���>�!"%"%�D-=B>�!"%"��!0�(86#/3; (8�R� � (*�!$%� T �!�#4 ����(8 #��( a (*6#/&3���*�8/'B8 ����#4#$%�#?G/3�A(*�8$%/3B $%� �OS��!"%$%4�K>FHB*/ \ ��/'��&'/�C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,������������� ��� � ���������� �� � � � ����������������� �����

� \ % � � �0( � �0/ & ( ��� � � � � & 1�354j � � 0 � % ( $ Z[.D% � ( � % ( � � � � � B�� � � W � � � � �)�+�&% � �� 0 � �[� � (��[�U!C�,% � � � � �5� � �,% � � ��� ��% ���&% � ( � � (���� / ��� � � �&% � �(C�E � � � �1� � � � � ��>!$�,% � � j"jEW

� \ % � ! � � ��� � � � � � � ��� K � � � ��� �#%$�,% � �,� ����� � �(' ) � V VWV � ' + $ � � � ) � VWV V � � + $�$.� O $ j��� � � � �,'�) $ � VWV V � � � � �,' + $�$.� O $#W � ��� � � Z � � % ) � % ( $ j & W

� \ % � ! � � ��� � � � � ��� � � ����B � �&% � ��� ' �5� � � � � � � �,% � � ��� � � ( ' � �� � �,% �C')� � (� ��/ � �A�CB � � �#� � � � V?W /I��� � �,% � �E�&% � � ')� � � ��/ � � � ��� ' ��� � � B�� � � � � � � � � � ' � � � (� � '�� ! (�� ' �,% � � � (���� � � � � �5� � ��U���� � ����U J 0 �9 � ,� $ Z � � � ( ���� � ' ( � � � � �lU��bL� � ����U � 0 $ Z ��� � �&% � � ( � ��� � ��� ')� � � ��/ � �k� � � � � � � � ! � ( �X! & � & ( % ( $#W

� � � ( � ��� � �k�>!I�,% ��� ��� � � � � � � �>!I�,% �� � �&% ��� � � � � � � � ��� ' ��� � � � � � � ��� B � (������1��� � Z��� ��% � � (���� � � �&% � ( /�� � � ��� � � � � � � � � � � �&% � � G � (���� � � B�� (�� � � �"( ��� � � ( ' � � � � �&% �'�� � � �1/�� �&% � ��G � (���� � � %*� � � � % � � � � ��� � � �=� ���"( ( � �A� � � � � �0/ �!��� � � � � � � �>! VW" � ��� K � � � � � � �>! � � � � ( � ��� � � �,% � K ( � � '� � � � � � ��� ' � ��� � Z � �)�[%*� � � � � � � (�� � � ���/ ( � � � � .D% � �&% � (@�"(HG � (������ � B��"(�� � �]��� � � � � � � � � � � � �]� ��� � B�� (��P�&% � � � � � ���/ ( � � � � �&% � ')� �*� �1/�� � � � ��� � W ; 3 � e : 3 � ��� 9 " �#4�p! � � � (���� � B�� (�� � .D% ��� � � � � � �*/ �,% � (�� � � �>!N�&% � K ( � � � � (����� � ��� � � � ��� � � � � � �U! < � W � �\&0/�%$ � � ( � �0/ �,% � �#' � � � � � � � � % � � � �&% ��� �&% � 'N� � � ( (� �&� � � (�� � � � ( � ��� � � ( � � �<��� 7 � � ��� $ � � �5� � ���� ( ��� � � ' ( � � � � Z ��� � � � ( (�� � � �q�&% �� ��� � � � � � � � � � � � B � % � � ! W j � � � � K � � �)� �7Z � ! G � (���� $ ��� � � ��� � �&% � ��G � (���� ��% � �� B��"(�� � � �,% �#� � �kB (�� ��� � � � � � �&% � � � � ( �(' 0(

� K 0($ �&% � � � �L% � � �YB#� � � � � � � � �&% � � % � ( (

� �0/ � % � � � Z ���� ��� ��% � � (���� ��� � � �&% � 7b� ��� 7 ��� �HU�� 7)� BI!3������U � % � ( � �"�X! & � & (;�����' 0( � �

$ �A� ( � ��� � � �0( � �#� J 0 � 0 W� �]� ��� � �&% � �C�,% � ��� ' � � � � � � � �>!��&% � � % � ( � �0/ � % � � � � ��� � �,% � ��� K � � � � � � �U!� j"j�$ / � � ( ��� � � � �&% � �q�&% ��'� � �"( � ��� � � (�� � � � %*��� � � % � ( � � �&% � �q� � � � � �&% � � � ��� ���� � ( ��� � � ' ( � � � � �>! ��� � � � (���� W % � (��,% � ( ' �"( � ZG�&% � ���"( ( � ��� � % � ( � � � ( � � � ( � K (� B�� � B#� ��� �#%M�U!q�&% � ���,% � ( � � (�� � � � Z ���� � � ( � ��� � � �0( � �#� � � � �>!b�&% � � � � � � � � � � � ( � �� � �$# � � ��� �A� � � ' � � ��')�#� � � B#� � .D% �#�� � � ( � 'N� � �"( � ���@�U! � � (�� � � � . � � % � � �A� � � � � W

��������� �14 �H�P�,% � ��� � �>! �&% � �#' � � � � � � � � % � � � Z ��� �#% � � (����%*� � � � �,% � ���"( ( � �A� � � � � �0/� � � ��� � �>!H�,% � � � (���� � � � (������1����� VW?\ % � � � (��&� � ��� � �-�1� � �)� ��� � � ��� � � �,% � � � � � � � W

% � ���<�������=����� �A[�[c� 7 ����BI�O!#�=!3BO���3! 7 !3���3� � ����UV��=� 7)� BOBI! ��BZ���%�F� 7 ����BI�O* � A�����,u��� � � � * J 0 � 0 � �������!#�)( � 0 j � � 0 ) � VWV V � � 0+ $ �����,���������� 7b� BOBZ!3��BI�����J� � �����>����t � ��� 7 � � *���������2�,' 0 ) � VWVWV � ' 0+ $ (%����! 7 �O!3�O� � ��<U��)�����BZ!#��� J 0 � 0 &�� 7 � � ���3�3�(%�����dBI�!3�<���������`!#�<�������B � �#����! � �H��������� � ��� �c��)*R��A� � ����!3�5����-� 7 � � *+����� �=[�[k(p����������� � ��� �W�����"��9 � ���L������U��3!3��/4�� ��7 ��U � ��Z��)*R����.� � �����I��U�U�!3��! � ����`����-� 7 ���Z�X� & / & (K�����Z*X� 7 �d���-��� � ����� $� � �3U��J�����>,u��� � � � *p�����d�������� ' 0( �������1!#�1U��)�����BI!#����Uq9��<����� 7b� BOBI!3��BI���%� � 0

( ��J�J��� ���+����� 7b� ������� � ��U�!#��/OU�� 7)� BOBI! ��BI���%�2!3��* � �BI���! � � $M&

; ��� � ���� + � �����3�\!3��/4�����<��� � �lB � �3��! LN�-�����W�� � � ��7)� � $ 7)� BO��!3� ���� � ���<�u*R����=������ ������I!#�O!3�-U��)��Ui�+������)* � � & _ � I��-��BO���3�(J�J�6���\* � 7 �e�� � �-��I��B � �3���! � � ��,\!3�H������ � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �e* � � 7 ��! � �����3! ��� $ ���2! 7 � � �D����A�2!3���V������D� 7 �>� � �����<����BI!:L� � �������=�� � � ��7b� ��(K����Uc����-��A�2! ���c������-� 7 �A� � �����<�� � � ��7b� �s���� � �3��!#��/6*X � Bg�����?�D����7b� BO��! �3�� &`o ��U�����UK(DB � ��A�.� 7 ! ���%���� � � ��7b� �3�J* � +�����F��� 7)� ��U6BO���3! 7 ! �%� �2B � U��)� 7)��� �#U

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� Y ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

9D�qU����!3,��UV9%� � BI! ����!#��/e�����?� � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �H�� � � ��7b� �3�F/�������������Uc9%������k�D���� 7)� BO��!3� ����l���U<���@,��2�����>��� 7b� �-U 7b� BO��!3�3�����b*R��`� � �����>� 7 ��! � ��� � *K�����.����BI!:L� � �������F�� � � ��7)� � $'& [%!3BI!3�3����3�( � ��� 7 �� � BZ!3�F�����"!#��� � ��L 7)� BOBI! �5�-������<!3�V�����N�D����7b� BO��! �3�� &;o �</����������l(�*R�)��U�!3��/Z�����A��� 7b� ��U 7)� BO��!3� ��]�2!3���?�� � � ��7b� �3�]������J����d��� 7)� ��!#�������@�k����>BO���3! 7 ! ��� �AB � U��)�;!#�d��� � ,��� ��!3�3� � ���)�F* � �������AU�!#� 7�� ����! � �c� � 9-����t � ���%�.� �� � � � ��!3��! � � ��& /�& Y ��&

& ���2���2�� � ���� � : � : ���/����� ����� ������<� � 2�!3B !#�2� � �������9��3!#���6�����>* � � � � �2!#��/ �

�!�"���?<#�$� & ���2� >�� � ���������!#��/O�����F��� 7)� ��U6����� * � * T ��� � ���B �\&0/�& � /�$���j �7�Y� � � � �&% � ��&% � ( ���!� � � �l�����)� � ��� � � � � �U! �#� % ��� � � � �0( � � � ���"( � � ( ' � � � � � � � � W@\ % ���M��� � X ( � (�� ! � � � (� � � �5� � � ��� � ��� B � � � � � ( � � �f��� ' �5� � � B#� � � � �,% � ��� 7b� ��U 'N� � � � � � ��� ' � ��� � � � ��!3��/ � ��� �� � !#����Ll� � L�� � !3�%� 7b� BOB � ��! 7 ���! � �S� !#����� $ Z � (�� ��� ��� � �,% � � � ��� B�� � � ( O � � � � ! ( � � ��( � ��� � ( ��!� � � � � � � �,% �n�� ��.G�"( O W % � (��&% � ( ' � ( � Z � � � � ( � ���=%*� � � � � � ��� � ! �&% �g��� � � ( � � (�� � ���( �����]� �)�l��� '@' � � � � � � � � � ��' � �*/ %*� �� � � � � (�� � � � W

� �q�2! �3�>9D�W��� � ��� 9-��� � �=(+/�! ,���� �E�� � � ��7)� �.���</ � ������%���)��US9%� T ��� � ���B �\&0/�& � � (�����5��� 7b� ��U 7b� BO��!3�3����� � U ��7 �����<�� � � ��7b� �K�������>��� 7)� ��)�3� 7b� BO� � �����F��!3�4�����5��� 7b� ��UBO���3! 7 ! �%� �qB � U���� $ �����V����BI�e* � � 7 ��! � ���� !3��� &8T � � �)(2* � q�����S* � � 7 ��! � ���� !3��� (������7b� BO��! �3��I��������m* � �BO�I�� � � ��7)� �#�5* � O��� 7)� ��)�3� 7b� BO� � ��!#��/ !3�S�����]�k����<BI�� ! 7 ! ��� �B � U��)��!#�%� � �� � � ��7b� �#�d* � =��� 7�� ��)�3� 7b� BI� � ��!#��/ !3�V�����"��� 7b� ��UVBI�� ! 7 ! ��� �=B � U���� &T ��!#�2� � � 7 ���1� � �������9��3!3��� T ��� � ���B �\&0/�& Y (%����+! �2U � ���2� � �2���@�<���-���1����� 7)� BO��!3� ��U � ���Q�������A/�! ,����=���=��9�! �������>�� � � ��7b� ���X! & � & ( � ���]� � �Q�� � ,\!3U���UA9�� T ��� � ���B ��& /�& �Y�%$M&o � � �U����� � ��-���3� ���F�����Z� 7 ��! � � � *`�����O��� 7b� ��U 7b� BI��! �3���(D!#��/�����������(D�J�5!3�%�� � U ��7 ������Z* � � � � �2!#��/6B � U����`������d!#�=�6����9��!#U � *]�����"����BI! LN� � �������A���Uc�����I��� � BI�� ! 7 ! ��� �B � U��)�#� & � � 7 ���3�A����!#�4���)� B � U�����(>����� � � ��� � � ( � � / '���� � � � � ��' �)( %*� �� � � B � U���� &� ��� ! ���>�����Z�p�D���� $ � � /�')�#� � � � � �#' �)( %*� � � � � B � U��)�Q� � ����U<!#�<�����>��-���3�\��!#� � *K����� �D����7b� BO��! �3��������)���� �\� * � * T ��� � ���B �\&0/�& � �\$�$ (������>���)� B � U��)�D�� � � ���`�=U�!#��� � ����������������� � ���)�3� 7 �2! ���������U � B5LN�����-�A��9�!3�����! �3�(�9 � ��U � ��� � ��� ���3� � � !3�2� � ��9 � �� &

� ��� � �$�1��� � & ���2� > � �������]��� 7)� ��U�LN� � /�BI���%����Ud����BZ! L�� � �������pB � U���� $��P� � � V B �[�H' � � � �)(� � (���� � (������1����� W � ���1� ( � � �E� � �*� � �0( � � �A/ �@!#�"( � � (�� � � ��� � � ����' � � � � B#� � � � � �� 18#9 3����;������� 3 � � �� ��$: ��� 9 3 � � � � ; Y: 9�� �X� & & � VA$ � !C�,% � !#� �)�-��. � �*/ %*� � � � W

�J�%�����!3��/I�����=��-�� 7�� ��! � � � . � � ��� � � �0/ � � �&% � � ( � � � � � � � � � �5� � � ���� � � �����"( � � �5� � � � �. � �,% ��� �#%����,% � (�ZC�,% � � � (�� � � � � � � 'N� � ��� � � (N�,% � �!��� � � � � � � �>! V . � �,% ��� �� � ��� ���>! �&% � � (I�#%*� � � � W

[%��� � 7 ��! � � � *s����U � BZLl����D� � . � � ��� � � �0/ � � �&% � � B�� � �q��� � � � �����"( � � �5� � � � � . � �&% ��� ��%���&% � (�Z@�&% � � � (�� � � � � � � '� � � (1B � �0( � ( � � � � � � � ���I�&% � � ( ( ���� � ' ( � � � � � !#�"( �&% �� ��� � � � � � � �>! V?W � ( � ���� � � �,% � � ( � �1� � ��� � � � � Z$�,% � � � (�� � � � � � � '� � ��' � �-��� ( ��� � � ' �"! �*�� (���� �*� � ( � � ZPB � �L�,% � ( ��� � � ' �"! � � � � � � � �&% � � ( � (���� �*� � ( � � � � � ���G�A��B � ��� � ! ��� � �. � �,%M�,% � ( ��� � � ' ( � � � � � !#�"( V � � � � ��� � � � � �,% � � � ( ( ��� � � � � � W

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,������������� � � � �������������� � � � ����������������� � YD�

� � �D��+BI��������/�d�����-��BI!#����! � � � �,��� �#% � � � � �>! V Z ��� � ��� � � �*/ � � � � � ��� � . � �$! � (�Z�,% � ��� � � / �5� � � � � B#� VA$ � � (��&� � �#�� � �@')� � � ��/ � � � � � � ��( � ��� � � B�� V?W � � � �0( � �*��,% � �L�&% � ')� �*� �1/�� � � ��� ' ��� � �*�h� � V � � � ��( � ��� � B � � �*� � � �,% � � � (���� � �d�l� � ����!39�� �B � U�!�-��U $ � � �5� �,Z � � �4��� � ����!#9��3�i� � �\L � ��!:* � �BI�3�i���)�3� 7 ����U $ ( ���� � ' ( � � � � Z ��� ��,% �?'�� � � �1/�� � ( � � � ��� � � � �C! � (�Zk.D% � ( � �,% � � � �5� � ��� � ( ��� � � ' ( � � � �h� ( ��� � � � �� � �,% � � ( � �1� � ��� �&.G� � � � � � W

� � ��� � � � �H�F�&% ���#�� �>![�&% � � � � � ( � ��� � � � ZT�&% � � � (�� � � � � � � � (�� � � � � � � � �5� � � ��� � ��� � � �0/� � �&% � � ( ��� � � ( � ��� � . �>!�&% � � � � � ( � �#� � � � W � � � ��( � � � �&% � �q�&% � �1� � . ��� � � � � � ��,% � � ( � � � � � � � � � �5� � � ����]� �)� ')� � � ��/ � � � ��� ��� � � ( � �)�+�#% ����� � � � W � �

o �%� � !3��!3,��� ��(Q����� 7b� BI��! �3��=���������* � �BI�A�����c�� � � ��7b� � V !3�%� � �e�- � � ��7b� � V�� � � ��������-�� 7)� ��! � ��� � * V�� !3�"�����A��� 7b� ��U<BO���3! 7 ! �%� �JB � U���� 7)� ������� � ��UI� � ��-�� 7)� ��! � ��� � * V !#������F��� 7b� �-U?� � /�BI���%����U6����BZ! L�� � �������2B � U��)� &�T ����2!3� �!�<"� �#� : �$�%��� �'& ���2� > � ��/����������k����� ����!3� � *p�����d��� 7)� ��U<B � � ��!:L��������� 7b� BO��! �3�� $�� � � �V�� B � �,% � X ( � � (��&� � (������1����� � (�� � � � � � B��C�&% � ��� ' � � � � (k�U! � � � � �0( � �#� � � � W � W +�� ZD.D% ���/ ��� ��� �,% � � (����A������� VW \ % ��� ZP!#� ( � � � (�� � (��0B � B � � � � � � � � � � � � � ' � � � ( � � ')� ��� � � ( � � (�� !#� ( �&% � � � ��� � � '� � � � � � ��� ' � ��� � �&% � ( � �!� � � � � � � (��YB � B � � � � � � � � � � � � � ' � � � ( � � ')�� ��( � � ��/ �� �&% � � � � ����' � � � � B�� � ��� & & � VA$ � � �&% � � � ��� � � ( � � / '���� � � � � �#' �)( %*� � � � �' � ��� � � � * � ���D��!3��! � � ��& /�& YD� $ ��� ��%M�,% � �5!#�"( � � � (�� �?1 X#" . � �,%� � � X&" �

A���� ����� � � � � R���U � J $ D � � ��� A���� ����� � � � � R �!U � J $ D � � �� � � � ��!3��! � � �\&0/�& Y � 7 ���69D�F,\!3�)�1��U4��������������!#��/O���-��� � ! V � � � � � � ( � � � �,% � � � ��� �� (� � / ')�#� � � � � �#' �)( %*� � � � � ' � ��� �D�,% �#� V �k� � � � � � ( � � � �,% � � � ��� � �M'N� � � � � � ��� ' � ��� � (��������29%�5�����+* � �BI��;�����B �J��BI�����5�������;* � ;�),�����5������ LNB � U����\��U�,�������� � ������`!3��U-BZ!#����!#9��3�F�X� & & � V=$ !#�O�����d��� 7b� �-U\LN� � /�BI��������UO����BI!:L�� � ��������B � U��)�k����������.-�!3���������!#U�����:L�B � U��)���U�,�������� � ��p�D�� � ���D��!3��! � � �\&0/�& Y�� ��7 �d������ A�!�"�� ��� R ( UQ � � � # R���U � J $ D � � � ��A����$����� � � � � R �!U � J $ D � � � �X* � ���,����#� $M& � � � � ��! ��! � � ��& /�& Y � �2! �3�;9-�I������3!3��U4� � �� � � � L7b� �3�d�������=��� 7)� ���� � 7)� BO� � ���I�?* � � 7 ��! � ���� !3���e!#�W�����?�D����=BO���3! 7 ! �%� �>B � U���� & � �d�1��������3�2�����69D�)� � �=(`* � O� ��7 �i�- � � ��7b� �3��(������6��� 7)� ��US� � /%BZ���%����US����BI!:L�� � �������IB � U��)�� � * � �#�D��!3��! � � �\&0/�& Y-� $ 7 ���W9D�Z��B � �#������U�9%�e�����I��� 7)� ��Ue!#U������;BI�� ! 7 ! ��� �>B � U��)�+� � *� �#�D��!3��! � � �\&0/�& Y $'&eT � � ��( T ��� � ���B �\&0/�& Y �2!3�3��* � �3� � � &M� �?��������Z9��H��������9��3!3����!#��/� � � � ��!3��! � � ��& /�& Y ��&!�<"�2��� '*)�� � �,+ > !3,��� �i������ LNB � U��)����U�,�������� �X* � V��#$ (2�J������������%�"� 7)� �L������ � ��U�!#��/H��U�,�������� � �������O!#�<�U�BI!#����!39�� �6� & & � V * � Z�����e��� 7b� ��Ui� � /�BI���%����U����BI!:L�� � �������ZB � U��)� &�� �6����������5��� � � � !#�%��� &V_ !#�����(������������� PBO�@�h�9 � ��Z� � BI��������! ���)(f�����O��U�,�������� � BO�@�e� � �AU � � � �����>�D�� � �#�k��! ��! � � ��& /�& YD� $'& [\� 7b� ��UK(f�1�BO�@�q���� � BI�d�������2�����F� � B59D�� � *s�-����!3��� 7b� �%�� � �3� ��U?9%� �l���U?��� � �.9�� � $ !#�2�3��������-�� X&" � �l9-� 7 � � ���F� � ����!3��/O!#�����t � !#���U � ��������2!#��� $'&

� � 7 ��!3��� � �2! �3� � ��� r����J��� �Q���2�����=!3U������ LNB � U����Q�U�,���������!3���+U����!3,��UW�l����D��� �#�D��!3��! � � ��& /�& �\$ *X � B �����W9-�����@,\! � � *I !#� ������,u���! ��� �<� � 9��- � � ��7b� �3�O!#�%, � ���UF � � 6#$%B ;<��4�/'"�$%B �! # #"%$%&'� � "%/ � �!(86 -=6#/3� (86#/J&3��;<;1���#$%&'�)(*$%���7$%BPS�$ ����B8$%�#?�"%/ � �8�A�!4#&'�!B8( & 6��!�#�#/3"

�!�#45-=6#/3� (86#/<&3��;<;1�#�#$%&'�)(8$%���5$%B�S�$ �> ���$%�A(�FH(*�!FH ���$%�A(O& 6��!�#��/'"%B:(86��)(O&D�!� � /1-=$%�*/KFH(*�! # �/34 �A@ (*6#/�!4�SA/3�*B*�!� @ C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� Y � ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

9%� V��l& � �?����������F���-���5���������"!#U�����:L�B � U��)�+�U�,���������!3���=���� � *������h�D����IBI�� ! 7 ! ��� �B � U��)� &O_ � ��������B � ���(QBO� 7 ��!#��� � �2! �3�]���#� � ��B � �#�����I�����"9D�����@,\! � � *1�����<�� � ������U��������F!#�O���������2!3U������ LNB � U�������B � �3���! � ���+���2! ��� ��� � 7b� BIB � ��! 7 ���!#��/=�2! ���<��%�F�� � ������U�������� � ��������+!3�`� � �� � ������UZ�-�����=!3�I�����+� � /�BI��������UI����BI!:L�� � �������sB � U��)� $'&`T � � ��(������* � �3� � �2!3��/?U���� 7 �!3����! � � 7)� �%���!3���>��4!#BO��� ! 7 !3�A���D� 7 !3��:L�� � �� � ��� 7b� BO� � ��! ��! � �e����� � ���B�X!#������! 7 ��� � 9��- � � ��7b� �3�.������d����I��� 7)� ��F!#�������I�D����>BO���3! 7 ! �%� �dB � U����s���� � ����Ue� �!#BI��� ��BZ���%�F����� � �� 7 �3��� � *���� � �� 7 �3�bL���!#U���Uc�� � � ��7b� �`������F!#�F��� 7)� ��O!3�H�����q��� 7b� ��UBO���3! 7 ! �%� �2B � U��)� $'&

< � � � ( � �0/ �,% � �!��� � � � � � �g��� � � � � � ��� � �*/]� ( ���� � ' ( � � � � � � !3�%, � �����7 � � �V�����q,����!3��� � �I� � ����� !3��Ui� � ! � $ (]����UhU�� 7 !#U����I�2!3���h���-���I!3��� � �I����Ui���-U � BZLN����D�"� ����%����q�����V��-�� 7�� ��! � � � * VZ& T � �+��U��q����!#�6����UK(ABO� 7 ��!#��� � ��B � �#�������6�������-�� 7�� ��! � � � *G�����F������!3��/I���-���� � * V�� ( � ��!#��/�n�l��2� � 9� ��� ��!3��� $'&�� � 7 ��!#��� �� � �-��� !3��� �2!3���6�����FBI�������/���1!3�2��-��D� 7 ���2� � ���)��(���� � �+��B � �#����!3��/O�����F� � �������������!3���]!3� V�� (\����U � 9����!3���J�����>BI�������/���]�����%�J9%�O�����A�������! ����!#���6�X! & � & (\��� � ���7b� �%�� � � �3��UI9%� $M&D� ������������`���-���`����!3�J� 7 ��! ,\!3���F!#��!#�������������� � � (\���UI!#�%, � �3,���� � ������K!#�������� 7 ��! � ��� � * � !3� V=$'&[\�-� 7 !� 7 �� �3�( � ��B � �3������5�����?�.-�� 7)� ��! � ��� � *������ �=[�[E�- � � ��7b� ��(;!#�h��������BO���� �i� 9����!3� �����c,@�� � ���?������q�����H�������! ���q!#� � ���-�����2! ��� �� �A������!3��� &nT �����B � �3���! � � � *.��� 7 �i� ��7 � �=[�[�LN��-�� 7�� ��! � �S!#�<U � ���49%� � ��!3��/V�����4!3U������ LNB � U�����U�,�����������U����!3,��UH*X � B �������4�����!3U � ���]�����:L�B � U��)�JBO�� ! 7 ! ��� �Z�U�,���������� $ &� �<����������>�������A!#�V� 7)7)� �U��� 7 �5�2!3���c�����"U��#�D��! ��! � � � *��A[-[h��! & � & (G��� 7�� �! ���e!#������M�D����"BO�� ! 7 ! ��� �OB � U��)� $ (+�����e!3U������ L�B � U������U�,����������EU����!3,��UE*X � B ������������!#U � �� $ !#�=!#�V������D����FBI�� ! 7 ! ��� �FB � U��)�l(s����UVBI�@�c�9 � ��F� � BZ�"�-����!3��� &% � ���e������e��9%� � �#�k��! ��! � ��� ��& /�& � ����U �\&0/�& ��$ ����!#�"BO�@�S�-����D��� � ��� �S!:*=�����!3��!3��!#��� � � *`����� �A[�[4!3�dU�!#��� � ������� &2o � 7 ����=�����5��-�� 7)� ��! � �4!3��!3��!#������U�9%�e� � BI��������I��9 � ����)(%!3���J!3��� � �2���U"���-U � BZLN����D�.����.���)�1� � �����AU��)*X� � �3�J,u�� � �Z�����]!#������ 7)� ������� � ��U�!3��/I�9 � ��mL�����-U�� !#��/ � * V��R$'&�� �)����!3�3�1* � � � � � &

� o �E��V�.-�� 7)� ��! � � � *<�=[�[H!#��! ��!3�����UE9��V��E� � �������5�-�����i�X! & � & (s!#�V����! 7 ���e� � ����������������6���#�@�\�������5 � �3� � *;�����$�D������-�����q!#� �A[�[ $ (kBO� 7 ��!3��� �� 9�����!#���>����� 7b� ������� � ��U�!#��/"� � /�BI���%����Ue���-�����F�l�@,u��!3�3��9�� �5� � � $'& � � � ��L7 ��!#��� � �2! �3� � ���O���W���9�!3������4,u��� � �(Q���@� 6 � R 6 U (Q���>������D����A���������� �!#��� � �+* � J����� 7)� �����%�J��B � �#����! � � � *G����� �=[�[W��9D� 7 � � ���>�����F������f,u��� � �d!3�� �;�\� � ���"� � � $'&`o �q��B � �3���!#��/5�����>�=[�[k(�BO� 7 ��!#��� � �2!3� � � ���.�����>!#U������ LB � U��)�K�U�,��������(U���� � ����U � (�������]��B � �#�������]�����A9-�����@,\! � � *8 !#�"����!3��A[-[H�X!#� V���$ (k�������4/!3,���4�����5��!#��� � ��?� � *X�� &�� �5�����������������>��!3� 7 �F�����!#��! ��!3���!#��/Z�-����� � *p����� �A[�[<!3�1� � �������)(%����!#�]!#U������ LNB � U��)�k�U�,����������?�X! & � & ( �R$ 7 ���� � �2�9 � ��+���%�q������� &o �%, � ��!#��/2�����]!#U�����:L�B � U��)�%�U�,����������* � (u����U=��B � �#����!#��/.9 � ���A�����1� � ��������X!#U������ LNB � U��)� $ �������! ���=���UH�����"�� � ������UH�-�����(GBO� 7 ��!3��� �g� 9�����!#���=�������� ��� � ��� � *Q���3�D�-����!3���>�X! & � & (���-UO!3�?������! 7)� �#�]����� ��� ��� � � � *p�����.!#��!3��!#���mL!#��/I�-����� $M&`T �����1!3��(�BO� 7 ��!#��� � ��B � �#�������J�����A���-��!3��/ � *Q,u�� � � 6 � R 6 U9%�>�����]!#��!3��!#����!3��/d�������(u����UA��B � �3������p�����J������ � ����� � *������J�� � ������U � �� 7 �3�

F� � 6#/3B*/�-=$%"%" � /J�#B8/34 $%� (86#/J/3;1��" �)(*$%��� �!0.02��(8�#�8/J;</'B8B �!?�/KFH(8� �!�#B8;<$%B*B8$%���<B8(8/' �BDC

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,������������� � � � �������������� � � � ����������������� � Y �

�X! & � & (�9��"���)����!#��/ ' 7 � + � � � 6�� R 6 U $ ( � ��! * � �BI� �"���)�3� 7 ��!#��/ K<� *G�U���t � ������3����/����K(-����U 7b� BO� � ��!#��/<����� �%� ��� � �������+!3� �1t & � �\&0/ .\$�� � �\&0/ �\$�$M&

� o � ��S��-�� 7�� ��! � � � * �=[�[h!3��!3��!#������U 9%�i�c�-�����E!3� ���X! & � & (1�cU�!3��� � ���������������O���#�@�\�������d � � � � *K�����q�D����]��������I!#� �A[�[ $ (\BI� 7 ��!#��� � � 9����!3�-�������7b� ������� � ��U�!#��/"!#��� � �A����UW���-U � BZLN����D� � *]�����Z!#��!3��!#��� � >���d�J��� �;��d���������U � BI! ������! � � � ����Uq!#�?����� 7b� BOBZ!3��BI�����2� � !3� &J� �29-�)* � ��(�BO� 7 ��!3����� �� �����5�����6U����! ,���UH!#U�����:L�B � U��)�J��U�,��������(GU���� � ����U � (;� � ��B � �#�����"�������-�� 7)� ��! � � � *J�������=[�[ & � 7 �� �;�������7 � ��B � �3������A�����<9-�����@,\! � � *�8!#������ 7b� ������� � ��U�!#��/Z�.-�� 7)� ��! � � � *;����� �=[�[ &[ � �-� � ���1������;�J�+��� 7�� �����%��� �A��B � �#����!#��/>�����+!#�������� 7 � � *�A[-[=!#��!3��!#������U9%� � ����� � (D�������� � I � &>T �����K( � !#�%, � �����* � � �4!#��� � � J 0 � 0 �X! & � & (f�����!#��! ��!3��+!3��� � �I����Ui���-U � BZLN����D� � * � ����� � $ (����Ui��B � �3���!#��/c9 � ���h������ � �������]��!3U������ LNB � U���� $ ������!3���G���UA�����J�� � ������UF���������(�BO� 7 ��!3��� � � 9����!3�-������ ��� ��� � ��� � *��� �]�-����!3���<��!3� 7 � � U�!3��/������ 7'�A[-[�LN���-U � BI! ������! � ��9H�X! & � & (� ' 0 � K 0 $�$ ������U���Ud� � � ����� � ������! 7 �A!#�K!#� � $�$'& � �����>� � !#���K!#�p�������GBI� 7 ��!#���� ���� � 9�����!#����UK(\����! �3�A��B � �3���!#��/5�����A�� � ������U?�������(\�����>!#��� � �+�-���U���U9%� � � � �����6�� � ������Ui�-����� &ET ��!#�5,u��� � �6!3�O�� 7)� �U���Uh���5����� �q9 � : � �: 3 �����P; 3�� �); 3 � 9�� � �>;��! b9 � c ; ������ &o � 7 ����`�����J��B � �3�����U=BO� 7 ��!3���]U�!#U=� � �Q��9 � ��Q�����J!3��!3��!#��� � `��! & � & ( � ����� � $ (BO� 7 ��!#��� � �� 7b� �U��;�����>��9 � ,��2,u��� � �.��]�J��� �k��]�����.���-U � BI! ������! � � � ����U9%� � ����A�� � ������UW�-����� $ !#�W�����O��-�� 7�� ��! � � � *O�=[�[ & � ��������2!#���6�X! & � & (%�9 � ���� � ������ � !3�S�����?!#�%, ��7 ���! � � � * �A[-[V!#��! ��!3�����US9%�E!3� $ (1�����?!#��� � ���-U"�����U � B5LN�����-� � * � ����� � ����.���)�J� � �����AU��b*X� � � �J,u��� � �5�l��J!3� V��R$'&;o ��)!3������ 7 ����( � 7)� � 7 ��������������.�����Z��B � �3���! � � � *������ �A[�[e� � �����I��!3��� � ��� *;�����=��-�� 7�� ��! � � � * &

T � � �)(J!3��� � ���"����U �����U � BZLN�����-���I����4U��������BI!3����Ui* � <���3���������! ���Z!#� �D(1U��bL�-����U�!#��/ � ��� � � �e������!3>!#��! ��!3��;!3��� � ��� & � � �3�;����!#�.!#�dU � ���I9-�)* � ��5���������!3��/q������ 7 � � ���G��-�� 7�� ��! � � � * V5& $6_ � ��������B � ��(k�����Z,\! ��� � *]BO� 7 ��!#��� n!#�e�����I���-��L!3��/<���-���� � * V�� ����29D�)���6��B � �3�����Up(����U?����� �=[�[�L������U � BZ! �����! � ���d��! & � & (����������!#��I� ' 0 � K 0 $�$ � ����UH!3�c�����"�������!#��/ � *2���3�`,u��� � ���=���@,��I9D�)���V�� 7b� �U���UW9%� � &� � 7 � � �� �3�(�! �J� � � 7 ���`� � �� 7b� �UZ�����7�=[�[�L������U � BZ! �����! � �I����-U���UI� � U�!3��� � �������������!3���Z���UE����� 7)� BOBI! ��BI���%���OBO�U�� � �h9D���-��� * � *.� � ������� � ����� � ���������q�2!3� �9-� � ����UH!#�c�����<��B � �#����! � � � *1�����"BI��������/��bLN��������BI!3����! � �e��������� � * V�� (G�������������5�=[�[�L������U � BZ! �����! � �6�2!3� �s9-� � ����U � ���3�q!#� 7 �����=����� 7)� ������� � ��U�!3��/<���������9 � ���� &^$

j � B � ��� � ��� � � � � � ��� ')� � � ��/ � ��( ��� � ' � �*� � � � � � � 7 ��!3��� � � � � ����������]�����=� 7 � � ��k�.-\L� 7)� ��! � � � * V �X�2!3���V!#��� � ���5����UV�����U � B5LN�����-���d* � ���L�������!3���=���FU��)�����BI!3����U�9 � ,� $M&2o �d�- ��7 ����U��.!3������!#�>�����Q�.-\� 7)� ��! � � � * V (f�� � ��/"�2!3���e��B � �#����!3��/q�����7b� ������� � ��U�!#��/q�.-\� 7)� ��! � ��� � *1�����"� � �������%��! 7 ������U\L 7b� BO� � �����! � � � *��1t & � �\&0/�\$�X����! 7 �?����A!#�%, � ���Uq!3� V��R$M&o �F�.BI��������/�)Ll���������BZ!#����! � �d�������Z9��=���F� � �������G��������d!3� V (�BO� 7 ��!3��� � � 9����!3�-�*X � B ����!#�`� � �������;��������O�X!#�Z�����+������\��-�� 7)� ��! � � � * VA$ �.BI��������/��(����U5��B � �3��������c��-�� 7�� ��! � � � *1�����?� � �������%��! 7 �����U\L 7)� BO� � ������! � �c�� � � ��7b� �`���� � �3��!#��/e!3�H����!3�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� Y�Y ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

BZ��������/��`�� �%� ��� � � &so �=��BI�������/�)Ll���������BI!#����! � �.�������=9%�dU�!#��� � �������G�������.!#� V (BI� 7 ��!#��� � 7)� BO� � �����+�����ABI��������/��>� � 9D�=�����%�+���1!3������ ��7 ����U69%� V (�9-�����U � ������A!#��� � �2��-U?����U � BZLl����D�dU��)�����BI!#����U6�9 � ,��(%����U?�����=BI�������/��� � 9����!3����U� � *X��=�X!#� VA$M&+o �e�U�U�!3��! � �p( � ��B � �#�����������4��-�� 7�� ��! � � � *;�����5� � �������%��! 7 ������U\L7b� BO� � ������! � �4�� � � ��7b� �p���� � � ��!3��/<!#�6����!#�.BI��������/��A��� ��� ��� � � &1T ���5��B � �3���! � �� *A��� 7 � �.-\� 7)� ��! � � � *=�����c� � �������%��! 7 �����U\L 7)� BO� � ������! � � �- � � ��7b� ��(1����! 7 �����)L7)� ��)�3� 7b� BO� � �����2�X!#�I�������k�����BO���3! 7 ! �%� �`B � U��)� $ �����2* � � 7 ��! � �����3! ���N�Jt & � ��& /�%$ (!3�1U � ���>9%� � ��!#��/Z�����dBI�� ! 7 ! ��� �]!#U�����:L�B � U��)�f�U�,����������ZU����! ,���UO*X � B &;T ���*X� 7 �A�������A!#�W���������O��B � �3���! � ���ABO� 7 ��!#��� � ���#� � ��B � �3������A�����O�� � ������Uc�����������3� � ���J! �+� � ���)�1����� ��� � 7b� BI� � *s�����=� � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �q�- � � ��7b� �D� ��-�+�����=BI�������/�d9-��!3��/<U���� !3,�����U &l� �=����������J�������+�����d*X� 7 �+�������2�?��U�!#��� � ������� $�������<BI�@�?�9 � ��1� � BI�A������!3���1!#�?���������d��B � �3���! � ��� � * V�� U � ��� � ��� ���� � � �+!#��9 � ���!#��/Z�����F������K�.-�� 7)� ��! � � � * V ������Uq!#��BI����)�3�q����-� 7 ����U6!3�6�����=������� 7 �!#���� *G���������=��B � �#����! � �-� $M&�� �)����!3�3�2* � �3� � � &

� o �E�eBI�������/�)Ll���������BI!#����! � �W�������E9%�c��� � �������F��������c!3� V (;BO� 7 ��!3��� ��D���� � 9�����!#���>*X � BP����!#�=��������V�X!#�c�����O������s��-�� 7�� ��! � � � * V=$ �qBI�������/��(U���� � ����U ����� &;T ��!#� 7b� BO��� �����������3�-��������!#��U � ����!#�I����!#�]�������O�2! ���<������D� 7 �� �"7)� BOB � ��! 7 ����! � �q!#� VZ&% �.-��)(pBO� 7 ��!#��� � �- ��7 ����U��.!3�W��B � �3���!#��/6����� 7b� ������� � ��U�!#��/qBI��������/�)L�����-��BI!#����! � �q� � 9��� � � ��7b� � � * V��l&;_ !3������ ��(�BO� 7 ��!#��� � U����! ,����J�����=!#U������ LB � U��)�1�U�,�����������(pU���� � ����U � (s����! 7 � 7b� ������� � ��U��A� � �����?9-�����@,\! � � * !#�V����� 7)� ������� � ��U�!3��/6��-�� 7)� ��! � � � *1�����"� � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �� � 9��� � � �\7)� �`����-�� 7�� ����U69%�6�� � � ��7b� � V��R$'&�o �%, � �%!3��/Z�����=!3U������ L�B � U����Q�U�L,��������� � (-����Uq��B � �#����!3��/O9 � ���6�����F� � �������A�X!#U�����:L�B � U��)� $ ������!3���+����U�����d�� � ������U6�������(�BO� 7 ��!#��� � �������1�����=�� � ������U\L����������� �J������3!3���d�X� � �-��L��!3���>!#� � $ � � ��t � ���s�)!3������ ����� � =� & � ����� $ (D�������� & !#�.����!#�KL � ������ ��7 L��! � � �\&0/�& � ��& ��C T ���ZU�� 7 !3��! � �4����! 7 �e������ �6� � U��)�3! ,���.� � ��� 7 �e��������?!3� �U����-����U�� � �e�����5!#��� � �d���-���.����!#�>��������4������U���� � �����5�� � ������U���������H� � ���������1�����=!#��� � �2������ � ������U�� � �?!3���29D������:* $�� ! *s�����F�������"������U��+�����7b� ��� 7 �J,u�� � � & (��������6! ���� 7 �)!3,��� ����� � ��������2!#���d! ���� 7 �)!3,���>� & � ����� $'&% � ���4���-���O�����4��B � �#����! � � � *>�����e� � ����������! 7 ������U\L 7b� BI� � �����! � �i� � 9��- � L� ��7)� �A!3� 7 ���!3��U �%� �e� � � � �� � U ��7 �V�� ��� ��� � �4!#� A ����� � � & � ����� $ D �% (�������� ����� U � ���F� � �Z��� 7 ���������!3� �n�-�F����� ��� ��� � � � *1�����q� � �������%��! 7 ������U\L7b� BO� � �����! � �O* � � 7 ��! � �����3! ��� � * �Jt & � �\&0/�%$ � �<����� 7)� ������� � ��U�!3��/ � � '@' �!#��� � ��� & � � �1�),����(u������BO� 7 ��!3��� � � ����UI!#�I�����2��B � �#����! � � 7 ���� � ��U��)��� 7 ����-���F�1�<��� 7 ��������!3��/�9-� 7 � � ���O�����"!3�-� � ���F������ � /�)���O�X! & � & ( 7b� BOBZ!3�mLBI���%���.� � U � BIB5�?,u�� � ��� $ ���� 7)� BO� � ������! � �����3� �q!3��U�!3����!#��/ � !3�����9�� �A*X � B����� 7)� ��� 7 �s!3�-� � ���+��! & � & ( 7)� BOBI! ��BI���%���;� � ,u��� � ���;������ 7)� ������� � �-U=� � ������ �;�\� � ���O!#��� � �1����U<�����U � B5LN�����-� � *p����� 7b� ������� � ��U�!#��/=� � �������J�������� $M&_ !3�-���3� ��( � 7)� � 7 ��������������f��������B � �#����! � � � *%�����]� � �������%��! 7 ������U\L 7b� BO� � �����! � �� � 9\L��� � � ��7b� �`� � �����q��!#��� � �� � *+�����"��-�� 7�� ��! � � � * & � % � ���"������F��!#� 7 �

Fmw /3&'�!"%" (86��)( b�� T { � _ c a +�-=6#/3�*/ { � $%BO(*6�/ &3��;<;<$ (*;</3�A(O #�*�94#�#&3/34 �9@ (*6#/ � � � (86��)(G-P�!B$%�ASA����/'4 �9@ � �!�8( @ � +.-=6#$%& 6 $%B1�!B8B*�#;</345(*� � /<(*6�/<B*/3�#4#/3�1$%�N(*6�/>&3�#�8�*/3�A(�;</3B8B �!?�/KFH(8� �!�#B8;<$%B*B*$%���B8(8/3 ,+��!�#4 _ c / \ �#�!"%B=(86#/JB*/ \ �#/3�#&3/��!0�;</3B8B �!?�/3B B*/3�9( B*�O0H�!� $%�7(*6�/O/3;��#" �)(*/34 / +�/3&3��(*$%��� �!0��:C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����,������������� � � � �������������� � � � ����������������� � Y /

�����>!#��!3��!#��� � � *Q�����d� � �������%��! 7 ������U\L 7b� BO� � �����! � �<� � 9��� � � ��7b� �k!#�J� � �������)(�9 � ��+!3�.� � �2� � ����!#9��3�A������(-9%�qU����D��!3��! � � � *s�����C�k����2!3U������pB � U���� & $

� o �"�FBI��������/��bLN��������BI!3����! � �Z�������"9%�O�5U�!#��� � �������J�������5!#� V (�BO� 7 ��!3��� ��D���� 7b� BO� � �����.�����IBI�������/�A� � 9D�Z�����%�.� 7)7)� �U�!3��/I� � V5&�T ��!3�dBI�������/�!#� 7b� BO� � ����Uh9�������U � �V�����"!3�-� � �Z����UE����U � BZLl����D�"U��)�����BZ!#����U�������U�� 7b� �U���U $ !#�������I��B � �3���! � � � *������O���-��!3��/?�������� � * V � (p���U������IBZ���mL����/���5�� 7 �)!3,��UV� � *X��"�X!#�E�����?�.-�� 7)� ��! � � � * V=$'& � ��� � ���q�����6���� � �3��!#��/BI�������/�59%� ����� &� � 7 ��!3��� �P7b� BO���3�)�����>�����I��-�� 7)� ��! � � � *�����!#�d��������!#�V 9%�q� � ����!#��/ ����� � �6�����F9� � ��U 7 ����� 7 ����-���)� &% �.-��)(uBO� 7 ��!#��� � �� ��7 �)��U��K!#�d��B � �3���!#��/2����� 7b� ������� � ��U�!#��/2� � �������%��! 7 �����U\L7b� BO� � �����! � �?� � 9-�� � � ��7b� � � * V���&;_ !#������3�(�BO� 7 ��!3��� � U����!3,���J�����d!#U������ LB � U��)�+�U�,�����������(GU���� � ����U � &co �%, � �%!#��/ � ����UV��B � �3���!#��/W9 � ���h������ � �������<�X!#U�����:L�B � U��)� $ ������!3���=����UH�����<�� � ������UV�������(QBO� 7 ��!3��� � �- � LU ��7 ���p���A��B � �3���! � � � *������ 7b� ������� � ��U�!#��/1��-�� 7�� ��! � � � *\�����]� � �������%��! 7 ������U\L7b� BO� � �����! � �V�� � � �\7)� � &qT ���<!#��� � �?�R* � =�����<���������BZ!3����!3��/�������� $ � ����U9%� � !#�?����!#�+��B � �3���! � �?��t � ���#�+�����=,@�� � �A�� 7)� �U���Uq!3�?�����=��B � �3���! � � � *�X����� 7b� ������� � ��U�!#��/��A[�[q!#� $ �����F�������!#��/<��������� � * V��l&% � �����������K����!#�p��B � �#����! � �I� � *\����� 7)� ������� � �-U�!3��/+� � �������%��! 7 �����U�L 7)� BO� � ������! � �� � 9��� � � �\7)� � � * V���$ �)!3������<�� � U ��7 ���O�����e,�����h����BI�4BI��������/�� ����� � � �V����!#6� & � ����� $ ��O��9 � ,�� $ � O�9 � ����I������������U��� & o �i�����4�3������� 7 ������(�1�I��B � �#�����O�����"��9 � ���LN������U��3!3��/6�� ��7 ��U � �� � * V�� (Q9%� � ��!#��/4����� 7)� ���)L��� � ��U�!#��/>�=[�[�L������U � BI! �����! � �<�l��s�� 7b� �U���UA!3�5�����1�������!#��/d�������� � * V��R$'&o � 9 � ��� 7 �������( � 7b� � 7 ��������������I�����4��B � �#����! � � � *.�����e� � �������%��! 7 ������U\L7b� BO� � �����! � � �� � � ��7)� �A������U � � ����!39�� �i��3� � ��������9 � ���LN������U��3!3��/H�� ��7 �)LU � �� $ � � �����F��!#��� � �� � *s�����=��-�� 7�� ��! � � � *� &

% � ���Z�������d��� 7 �WBI��������/�)Ll���������BZ!#����! � �4�������W!3�d!#BO��� ��BI���%����UW!#�W� � �3��� � BI!#��� L��!#BZ��(����UV��� 7 �EBI��������/�"� � ������UE!#� 7)� BO� � ����UV��-�� 7 ���3�V��F!#������ ��7 ����Uh9%� V5&� � �O����������=��/%��!#���������A�����<��B � �3���! � � � *1���c��9 � ���!3��/6�),����%�A!3� V � U � ���=� � ����� � �3�+!3�4��9 � ���!3��/I�����=��-�� 7�� ��! � � � *;��%�q��������q!3� V5& $

& � � �5� � � � � 7 ��!3��� � � � ��� ��� ��� � �������������),��2BO� 7 ��!#���7 ��� ��� � ����/�! ,����?�����F�.-�� 7)� L��! � �6��!3��� � �� 7b� BO� � ����Uc� � 2� 7 � � ���3�3�"��B � �3�����U $ ��2��9 � ,�� &

LJ�3�����3�(�BO� 7 ��!#��� � ��U���� 7 �!#9-��U �9 � ,� $ !3BO���3��BI�������?�i��� 7b� �-U\LN� � /�BI��������U ����BI!:L� � �������29-�����@,\! � +�2! ���6������D� 7 �+� � V5&`o �2!#�+� �)*R�2� � ��� � � �������

A���� ��� � � � � � � J $ D � �� A����$��� � � � � � � J $ D � � �\& .�\$T ������=���A��� � U�!��k������ 7 ����9D�)���1�)���?�����=��� � ���-����B59��3���2��b*R������U?� � !#� �1t & � �\& .�\$��

� &2o �i�����M�D����<U�!#�����!#9 � ��! � � ��! & � & ( ���$��� � � R � � ��U � J $�$ (+��� 7)� ��V�X!#� �k����<BI�� ! 7 ! ��� �B � U���� $ �� � � ��7b� �3�O!#BO���3��BI���%��!#��/ �=[�[ ��-U � � �������%��! 7 �����U�L 7)� BO� � ������! � � � � *�Jt & � ��& /�.%$�� � ��& / �%$ ��-U �1t & � �\&0/�\$ (s������D� 7 ��!3,�)�3� $ ���I�.-�� 7)� ����U � �����������A!#������1��� 7b� �-U=U�!3�����!#9 � ��! � �q�X! & � & ( ���$��� � � R � � ��U � J $�$ ���������1��-�� 7�� ��! � ���G������B � �#������U� ��!#��/O����� 7b� ������� � ��U�!#��/5!#U�����:L�B � U��)�Q��U�,�������!3��� &

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� Y . ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

��&�T ���A��B � �3���! � � � *��Jt & � ��& /�%$ !#� ���$����� � R � � ��U � J $ !3�2�D���* � �BI��U?�2! ���e�I� � �����\L��!#���3� �F�� � ��/.!#��� � � � ���-� 7 !� 7 �� �3�(�2! ��� 7)� BOBI! ��BI���%���;� � U � BOBF�F,u��� � ���`���������������q� � ����� 7)� ��� 7 �1,@�� � ��� &

� � �1�),����(\���������=U�!��k������ 7 ������� 7b� BO� � ������! � �����3�3� � ��U������ 7 ����9��3� &

!�<"�2�������q�!�"���?<#�$� & � � � > � + > !3,���e�� X LN����q* � � 7 ��! � ���� !3��� (k�3�)� V 9-�5��� X L����������� � � ��7b� �l(p��A/ � ����%���)��UW9�� T ��� � ���B �\&0/�& � � (k* � =��� 7)� ��)�3� 7b� BI� � ��!#��/ !#�������K ( � � BO���3! 7 ! �%� �]B � U��)� & � � 7 � � ���3� ��(\�J�dBZ������ �O������U"�Z�� � � ��7b� � � �-������!#��/F!#�"�����9� � ��U 7 ������L 7 �����������k�l��������;�������<� � !3�%��Ll� � L�� � !3�%� $ 7)� BOB � ��! 7 ����! � �\LNB � U���� & $C� �.� � ���-��� �H����� 7b� BI��! �3�� � * L � ������ ��7 ��! � � �\&0/�& � � � � V ��-UEU����! ,��q�e�� � � �\7)� � V��l&�� �� � � � ��!3��! � � ��& /�& Y � (�* � +��%�<��� 7 !3���%�+������ LNB � U����k��U�,�������� n�R* � V � $ ��������d��-�!3�������6�.� 7 ! ���%�.�U�BI!#����!#9�� �F9D���-�@,%! � A��� & & � VA$ !#�4�����5��� 7b� ��U\L�� � /%BZ���%����U6����BI!:L�� � �������B � U��)�l(-U���� � ����U � (-� ��7 �6������1* � 2��,������?1 X#" �2!3��� � � X&" �

A���� ��� � � � � � � J $ D � �� A����$��� � � � � � � J $ D � � �\& . � $� ��� ����� � 9������,@���! � �E!#�I������ � 7)� ������!3� � �����<�c9-����! /%�h* � �B � *>�H������ LNB � U��)�+�U�L,�������!#���A9-�����@,\! � q� & & � V �X����! 7 � !3� 7 �������!#���3� ���3� � �J��U 9%�������=�k����eBI�� ! 7 ! ��� �B � U��)� $'& [��-� 7 !� 7 �� �3�(G�����qBO�� ! 7 ! ��� �=9D���-�@,%! � � * � ��B �%� �%���A� � ������3� 7 !#��/4!3�-� � �����-Uc����U � BZLl����D���d��9�!3�����! �3�(p����UW�.-�� 7)� ��!#��/ V �2!3���c���������O������3� 7 ��Uc,u��� � ���A����U�2!3��� �%� �=�9 � ���!#��/6���%��������� &IT � � �)(Q9%�������<��� 7)� �!3��� � * V ��!3�H�����@�k����=BI�� ! 7 ! ��� �B � U��)� $ (>�����H������ LNB � U��)�d�U�,���������� � 7 �� 9D�W��B � �#������U 9%�����!#U������ LNB � U��)�A�U�L,�������� � ������ � �D����������.!#�������@�D����d!3U������ LNB � U����1�l���Uc� � BO�@��� � �����%��!3�� �3���9 � ���������! ��� $M&�� � �J��,���(���!3� 7 � � U � ���>� � ����9 � ����-����!3����(�������������! �������U � ��� � �X�.- 7 ������2!3���4���)/�� !3/!#9��3�=�� � 9��9�! �3! ��� $M&so �+* � � � � ���+���-��� � !3�+���������%��!#���3�3�q��6�U�BI!#����!#9�� �=!#U������ LB � U��)�p��U�,��������5* � +�����=��� 7)� ��U?BI�� ! 7 ! ��� �1�-�����( � �(�B � ��d� 7)7)� �����)�3�( � 9-�����@,���!#�e�<�1�@�?�������!#�.��������!3����! 7 �� �3� 7 � � ���5� � �"��� 7)� ��U6!#U�����:L�B � U��)�G��U�,�������� � � �X����! 7 �9D�����@,����]��� � �.- 7 �����J������]!3�J����,��]�9 � ���� $'& L � BZ9�!#��!3��/N�Jt & � �\& . � $ �2!3���<�����.�#��������� 9-�����,u����! � ����(%�1� � 9�����!#�W�X* � 2��,���� � � X#" �%$

A���� ��� � � � � � � J $ D � �� A���� ��� � � � � � � J $ D ��� A�!�"��$��� R ) UQ � � � # � J $ D ��� A�!�"��$��� R ( UQ � � � # � J $ D �

� �+����+���#B � ���sU � ��� &GT ��� � ��� �F�� � 9�� ��B !3�s���-��� V�� � �-���������Q!#�5����� 7b� BIB � ��! 7 ���! � �B � U��)� � *�����!3��/�3�q9� � �U 7 ���� 7 ����-���)� & � �5!3�E�����?�- �\� * � * T ��� � ���B �\&0/�& � � (G����!3��� � 9��3��B !#�Q���� � �3,��U=9��=�������3�%!#��/������+� � ����L 7)� BO��!3� ����X! & � & ( � � � � ��! ��! � � ��& /�& � �%$M&

����� ���� ����������������� ������ �! �#"$�%& ���')()�*�,+-"$(. � ���/0 1�2 ��/

o �<����!3�1��� 7 ��! � �O�J�>����������%�]��<�� �����������! ,��2���������BI���%� � *f/����������-��� 7)� ��.B � �3��! LN���������� � � �\7)� �#� & [\�-� 7 !� 7 �� �3�(�J�2���� � BI�J�����+��-�!3������� 7 � � *f���! ,u����� 7 �-��������3�;9D�)���1�)���5��� 7 �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� ����� � ����� � � ��� � � � � ��� � � ����� � � ��� ����� ���� � �� � ����� � Y �

���!3 � *;�-����!3����(-���U4����������%���� � � ��7b� �#�+���-���.�������D���*R� 7 ���3�6��� 7�� ���6�X! & � & (k�-��m*R� 7 ��� ���B � �#�����e�V�� � ������U ������� $ ����U U � � � �2!3��� �%� �"��)�3�%!#��/ � � ��%�h!#�%���� 7 ���9�! �3! ���S���L� � BO����! � ��� &�� � �J��,���(���� 7)� �!3���?� � �3U�� � ���3�q!#� 7 ����A�����5� � ���������������! ���2���A!3�4�����! 7 �BO��� � �!3���(`��-UE��� � �Z����� 7)� �����%�F���������BI�����Z!3�I� � �ZBI������!3��/�* � �J* � Z�����?��� � LN�-�����7 ����� &�� �)� � �+� � BIBO���! �)�>����� � (�� �d��-U � � � � � *G����� 7)� �����%�]���������BI�����1!#� 7b� BO����L!#� � �q� � �����=���������BI����� � �k�����Uq!#��[%� 7 ��! � � �\&���&� ������� � 9������� 7 ��!#��/<�@�1�@� 7)� BO� � ������! � �-���K!#��� � ��� &;o �4������! 7)� �#� �

� & � ����!#��/<� � !#������ 7 ���9�!3� !3���q����� � BO����! � �-� &��& �JB � �#����!#��/��+�� � ������UA�������.!#�A�2�-��m*R� 7 �Q���������2�����������f������A!#�A� 7b� BI� � �����! � ���� �3�%L

!#��U�!#����!3��/ � !#������9��3����������� $ (��),����d�2! ���=������D� 7 �K� �.7)� BO� � ������! � �����3� �%L � �\9 �%� ��U���U�U�,�������! ��� &

� ������� � !#BI! ����U4������ ! 7 ��9�! �3!3��� &;o �4������! 7)� �#� �� & � �����! 7 �1BO��� � �!3��� � *G� � �������1�-����!3���J!3�+���t � !#���Ue�X��,���"* � J�2! ����������-U�!3��/

����BI!:L�� � �������p�U�,���������!3��� $'&pT � � ��(������ 7�� ������%�K��������BI���%�p!#�K!#����-��� ! 7 ��9��3�� � �����=��� � L�������� 7 ���� &

��& � ���*R� 7 ���3�%LN���!3,@���� 7 ����-���)�#�2���=� � ��� � �3�����Uq� � ��-�!3��� &� /%��!#�K( ��� � � ��!3BO����I/ � ��p!#�.� � U�����!3/����- � � ��7b� �3�2�������>�2! ����������-UW��%�?*R������!#9��3�Z�U�L,�������!#���J9D���-�@,%! � �(���-Ui��/%��!#�h�1�6�- ��7 ����UE!#�S��� � ��������� � �k����IU������3!#��/c�2!3���S���������BI!:L�� � ��������B � U��)�D����UO����-����2!3���O�����.BO���3! 7 ! ��� ��B � U���� & � � �1�),����(�������(��� � � �\7)� �#�* � I�����eBI�� ! 7 ! ��� �IB � U��������?U����!3,��Ui9%�h��-�������U�!#��/H�����4!#U������I������ � ��U�����3! �4���������BI!:L�� � �������2�� � � ��7b� �3��(���������+�������?9%� 7b� BO��!3�3!3��/O�����=�3������� &

����� ��� � ! �'�/?9;/=&('�"� � 7b� �-��!#U���;9 � ���5����������BI!:L�� � �������s����U5������BO���3! 7 ! �%� �;B � U��)�#�)(���������J!#�O9 � ��� 7 ��������1�d��b*R��]� � �.-���� ! 7 !3�29 �%� ��U�� � �q�����A� � B59D�� � *GU�!#��� � �������+������!3��� &G_ � ��������B � ��(\!#�9 � ��� 7 �������(Q�1� 7b� ����!3U���=� 7b� BOB � ��! 7 ���! � �V������� � C� 7)� ����!#����!3��/ � *�� � !3�%�mLN� � LN� � !#�%�7 ���������)�#�>������ 7 ���� � �>9D�Z�2!#��bLN����D��UW9��4�����I��U�,�������� &>_ !3���� �3�(f!#�W9 � ���WB � U��)�#�)(�1�1���t � !#��J�����+��)�3�),u��%�G�- � 9��9�!3�3! ���A���-����B59��3���s� � 9-�2�������!#����! 7 ���3� �A!#��U�!#����!3��/ � !#������9��3����������+���-��c� � ��� � $ 7b� BO� � �����! � ���� �3�"!#��U�!#����!3��/ � !#���-�9��3� &

' � �"�# ����� ��� � �"�%$ �$� �'& � � �"�($ � � �*)��$� � T ����* � � � � �2!#��/iU����D��!3��! � ��!#�?U����! ,���U*X � B,+>���D��!3��! � � �\&���& �]9%�A��������! 7 ��!#��/������J� � BZ9-�� � *-U�!#��� � �������G�-����!3���s���UF���������/����L����!3��/O�����=!3�-U�!3����!#��/ � !3������9�! �3!3���?���t � !#���BZ���%� &� ��� � �$�1��� � & �.- ��� � L����! ,u� 7 � � *0/qL��������=�� � � ��7)� �#� $�� � � � B �b��� / ( � (�� ! � � ��� � � � (� � � �&�7Z ��� � V B �$��� / ( � � (���� � (����A��������!#�"($��� ' ��� � � �0/ LW � � � �21 � K � � � � � �43 W65YW67 ZG. ������ ��� � �&% ��8 � � � � �1� � . �U! �&% � � � (�� � � � � �:9 -<; /2= B#�?> !��A@ � BDC J $ Z ���� �&% � ���"( ( � �A� � � � (� �0/ � � � ��� � � ��� � ��� � � �>! � �)� � � (�� � � � B#� ��E!F � E!F � C J!G W � � � � �=�,% � � V � � �&: �;�� �e �8#9 � ����� � � !H�&% � ( � �!� � � � � � � ��� � � � ' � � � ( � � ')�@� � / � ( � �,% ' Z ���#� ��� � �IH Z ��� �#%��,% � �"!#� (� � � (�� 9 1 ; /2= �U!I� � ( � � �5� � � �&� � � ' � � �� � �G% ��� � � �,% � �

J C H C 9 � J B �& B C J*GKG � C J!GKGML �ONQPSR �UT )MVMWMX ��� J C > !��(@ � B C J!G � ��E!F � E*F � C J*GKGYL �ONQP'R �ZT )MV W X � C �([ . � G

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� Y � ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

.D% � ( � J B ���� B ����� ��� � � (�� 8 � ��� � � � � �>!$�,% � ���"( ( � �A� � � � � �0/ / ( � (�� � ��� � ��� � � � � �&% ����1� ( � � �E� � � � � � 9 W � � � � � �,% � ��� � ��' B�� � � � � < � W C �([ . � G � ( � � ����� � � � � �)� � � � � ��( � B � � �*� Z. � � � �N�,% � �"� � + � �0e ;���: 9 3 : � �! �� �� �8�� W��������� ������ �1t [ C �([ . � G �� t���� ��������� � �� ��� ��� ������� � � ��!"��� � ���$# � � � &%�')(*��������������� � ����+ !$� �����, ��� ����-�� � � � + � �.��� � + �0/ [��A[�1 � �2+�3 � +$-54 � �� � + � ��� � ����� �� ����!$��� �����# � � � &%�[�6� � � + � �.��� � + �7/ [��A[�1�'8���:9 � �;(<+�3=4���� � ��� ��� 9 � +���� � ��� ����� � ��� �0-����� � ! ���>��� � ��-:+ ��! 4���� � ��� � �@?9BA;CEDF ; /2=�G 9 ['IH"J "�#LKNM � KNOPM �QH � �� K J KSR " $ � R )QH$��T � � ����+ ! + � ��U%$'V���:3W+�����+L( ����!X� � �.��� � + �Y� �� ��� � 9�� � 3N��+"- + � �.��� � + �Z/ [��A[ [\#"%:����� ��� � ��! ��� ��� -B#.���)+�3 ��� ���+ � ����)4���� � ����' ��� �^]������+L( ����! ( � ��_]E��4�4 ����! '2� ��� ��� ��! ��� ��� ��! ��� � ����� �� ����!$��� �����# � � � &%`����, ��� ���-:� � �[ *� � �����a���� + � �.��� � + �b/ [ � [ [c��_3W����5+`�� ��� � � &% � � ���`d_e ��� �8f -:��� � �_� + � �0-�+ � ���S'(*� � � � � ���� � � � � ����� ��� � ��+ � � �:+�3g��� ��� �����)-:+ � ����[0h��53 � ��������� ��� ��! ��� � ���� � �.��� � + � #"%i������+L( ����!X� +$-54 � �� � + � �����U%"] ��� #�+ ����� � � ������j]&-:+ � �;�k� � 9���� � ��� � ���;'l� ���#"%m���, ��� � � ��! ��� � +"����� 4�+ ����� ��!`��� �����U]&-�+ � ���6� � 9���� � ��� � ���B+n#��i+�3 �� +"-54���� ��#����� +"-54��U� -�� &% C � [ ��[�'o���p9$��4�+$�U% � +"- � ������%$]&��;� ���� � � ����������! ]q � -:� G [6r�4.� �_��.� �����U%$'.(=�\��p%����)��� ! +$� � ��- � ���$� 8#9 � ��; �); � e �8�9�� �0e ts*: �Nu ��9$;0e v 9���: � � � b� 38 ������a� -�� �� �k�\4.+���%"]� +"- � ��� < � ��� �m����53W+$�5�;9$���%cw � x��+�� � �5����5 � -:� � C w G � < C � -:� � C w GKG 'g(*������ � -:� � C w G C �����4![�'V � -:� � C w GKG � � � +$����> ��� �"� -B#.���y+�3g����4��y � � � � #"% C �����4![�' � G+ �Z� � 4 � *w�[�ZH�� OzKWM�KSR.O|{ T - T � C ]&��� �;� � � &%*+�3 / ]&4��$��&%64���+$�+ � +$��� G ���ze � Z V Z ���of !�"�� ��� P } X~ T

BT � P � X

C J!GB e�e �*� �#�A� � � d � � 1 e K � � � � � � 3 W65 W �5WN\ % ey�e � � ( ' � f e � ��f � e;�td � � � � d f e K � e f� d � � 1 e K (� � � � � � d 3 W65YW � ���8f 3 W65 W � Z e � � e&� �L�,% � �l% e;�e �&% e��e � � ( ' � f e � �$f � e_�td � � � �� +���� � +��d;e e' e�dtd ��/ e�d6d_e � � ��' � �0/ % � � e_d � � � � � � e_d C � [ ��[�'�4���� � ��� � � ?9 G W ��e6d � �?�&% � � V �E� �8 ���� �e u8#9 � ����� � � !L!#� �Be � e_� � �o� �YB � B � � � d � � � � � / � � � �&% ' C ����4������ � � ��! �:������j]&-:+ � �;�V� � ]9����� ���%0�� ����� ! % GH�,% e_� e�e � � d � d � �.� �YB � B � � � d � � � � � / � � � �&% ' �>!I��� ' � � � � B#� e ��� ' � � e � � ���� C ����4������ � � ��! � ��� � �����j]&-:+ � �;�l� � 9���� � ���%x�� ����� ! % G d�� ��%M�,% � �E!#� ��e � e;� � 9 1 ; / =�>!@� � � f � �E� � � ��� � � ' � d � � �P%*� � f d �&% � �

J !�"�� ��� P } X~ TBT � P � X

C J�GML � T � �� J ���$��� � TBT � P � X

C J*GML � T �C / [ � � G

� � � d;e �&% e�e � d;e ' B�� e_d � � < � W C / [ � � G � �e � f e � � � � � �)� � f � d � � � B � � e f Zq. e5d � �f�&% � � � � �� �Ye ;���: 9 3 : � �! �U�� 18�� Wh�������� ������ � ,0[ C / [ � � G ���, ��� ��������� � �� ��� ��� ������� � � ��!"��� � ���$# � � � &%�')(*��������������� � ����+ !$� �����, ��� ����-�� � � � + � �.��� � + �0/ [��A[ [ � �2+�3 � +$-54 � �� � + � ��� � ����� �� ����!$��� �����# � � � &%�[�X+"��� � -54.+$�� � �U%$'k(=��-5� � � � + � +$-54 � �� � + � ���a������ � � � � + � �:��� ! ��� ��� ��! ���X�������U]-:+ � �;�2� � 9$��� ��$��%$'�� ��� ���, ��� ��\��� � +"����� 4�+ ����� ��!5��� �����U]&-�+ � ���Q� � 9����� ���%x�+Z#���+�3� +"-54���� ��#���� � +$-54���� -�� &%�[5�a���5������������, ��� ����-�� � � �y9�����% � -54�+"�� � � �� � y4�����9�� � �+$#"9 � + � ��U%:#�� � 4���+$�+ � +$��� C ����� � - ��� �_� ���1�� G � ���5� !$� ��� � � ������2���� + � �o��� � + ��/ [ � [��� �a� � � ������%��0�� ��� ��! ��� ������! +�3 + � �.��� � + ��/ [ � [ [ C ��;� � - ��� �;� ��:1 � G [����� �E� � 8$V�!1 /?9 > /C' 9��* �� 8, /E�p�#&('* 8"�9n� & )! 80�a����3W+����U+L( � ��!y� + � �� � ��� � + � +�3 ]&4�� � 9L���� / ]&4����&%�4���+$�+ � +$����'p3W+$� � / " ��' � �2�>-�+ � ]��.� �� � + � +�3� ��� � + � �� � ��� � + � 4������ � �� �\� � r"� � � + �5/ [ � [ � C (*� � � � ��� � � ��! � � ��� ��� � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� ����� � ����� � � ��� � � � � ��� � � ����� � � ��� ����� ����6���� � ����� / [��

��� � + � �� ��� � + � 4������ � �� �x� � ����&(=+�]&4��$��&% � �$��� C � [ ��[U'�r"� � � + ��/ [ � G G [� *� � �����8������� � +"���B+�3k������ � + � �� ��� � + � � � �* ���:4�� � 9L������U%"] � +"-:4 � �� � �.� � � �1/Y� � � � � �>! d % � �e_d+�3 # � �6���+ ��! ��� �_� � ����� a ���������4�������� � �g��� � ��� � ��� ��� +$-54 � �� � + � [�� � ���B4���;9 � ]+ � � � �$����� C ��;�:r"� � � + � � / [ �5� ���i/ [ � [ � G '�(=� � �� � �59�����%Z� � -54��U� / ]E+ � �]q+�3 ] / �� � ����� ����� ����! � � ����-:� C � [ ��[�'��Y# � :(g���:� ������ � #"% / �� ��� +"- # � �5����:� � -�] � 47�+����9L��� � �0+�3g������� � ��;\# � G [��������'Q(�� � ��0����-:+$��5�+$4�� � � � � ���� � C �� 1 G ]E+ � ^]E+�3 ] /�� � ��;�����$� � ��! � � ����-:�\+�3���+ � �� ��� � + ��/ [��A[ ��� C � [ ��[�'o�x# � � ������$��� � #"%Z ���\9L��� � ���+�3y�Y� � ��� +$- � � ! ��;� 4.+���% � +$- � ���g( � �73N��;�;]q��� - ����5��, � �����:����9L��� � ��+�3������ � ��;g# � G [)�a� � �;'�+ � ��3W+ ��� � � �g+ � 4���+"4�� ! �� � ��! �������y&%�4����=+�3z� ���$������ ���+ ��! �x����_� � �;��� ;' � ��� + �`� + � ��! �+X9 � �i� ]E4�� � 9p���� � +$-54 � �� � + � [3� ! � ��� 'Q �����������\+�3a���� + � �� ��� � + ��� �)4.����3W+$� - ����! ����4���+"4�� ! �� � + � ����+ ��! �0�B� � ��! ���*- � �U � 4�� � � �� � + �0! �����[

�I�� � � � ���$� � 3W%x���\��#.+L9�� ��� � ��� �� � + � #$%�#�� ����! -�+"����� 4�� �_��.� ��#.+ � a��� � ��� � � �U[h�� ��- �+$-:��4�� � -:� < / 'V� ���i� + � � ��� ���64.+���% � +$- � ��� �6+�3 � � ! ����� +L9���� >�� C < G [ �� *� � ������ ����Q���)9p��� � �)+�3�� ��� ���*4.+���% � +$- � ���$�� �� 1)��� # � � ���% C ��� +L( � G 4�+ ��� �I������+L(*��+0�� � +L9����)����4.+���% � +$- � ���V� ��� � 4�� �_��.� ���U��% � �=3N�����y���� - [ � � ���y+������a��� ��� '����9L��� � �y+�32��� � ��� +$- C � � ! ��;� G 4�+$�U% � +"- � ���8�� ��� # � � ���% C ��� +L( � G 4.+ � � � � +���� � +$��;9������ � � 3W+"�-5�� � + � ��#.+ � B���Z9p��� � �x+�3a���x3N��;�x��� - +�3a����4�+$�U% � +"- � ��� [X�a� � �;'��� � �X4����&%�( � ���z� ���$���\��� � ��+�3 � � � � 4 � y# � ��( � �i���U�Q+������>4���� � ����'o#"% ����� 3W+$� -:�U%��;��� � ����! �0�� ��� +$- C � � ! ��;� G 4.+���% � +$- � ���V( � ��3N�����_]E����- ��, � ���l ���\9L��� � ��+�3z � � �# � ;'�� ��� ��� ��� + � ���&%�������9L��� � �y+�3z � � �64�+$�U% � +"- � ���V��*4�+ ��� ��Y[

r � 4�4�+"���0 ����\ ����4��$�� � ���\��+$� � ����� ��������y+�3g&(=+ >�� C < G 9L��� � ���B� ��� ( � ���+� ��� � 9��6� ���$�����k+�3l ����� � - +�3Q��������9p��� � ����'$(*�������������o�$� � ��-:�� � � +$4.��� �� � + � �)��_3W���k+>�� C < G [a�a��� � '����;� ����! ��� � ��4����&%Z� ��� ���\&(=+x� �������� � 6��+$� � ��'�% � �;� � �* ��� � ��� � �� �� ���������[z�a���� � ��'�� � 4�4�+"���>����� ���y9L��� � �����X� ����� �$���>������� �x� � � ��! ��� C � � ! ��;� G4.+���% � +$- � ������� C G � ����� C G '�� ��� �0������ F � C G � ����� F � C G '�� ��� � �$��&%�� ��+�� � �=���� ������������ F � C � G � ����� � F � C � G [k�a��� � ��� ��� � � � � �a����>� ���$������+�32�54.+���% � +$- � ���"! C G���� �����Q3N��;�g����-#� � � C � [ ��[U'����; � ��! ! C � G F � C � G$� � C � G ' � 2��+�� � �z����%! C � G F ��� � � �� ��� ! C G F � � � G [ � � �� ����� -:+$���'$��� � � ! ��;�g+�3&! C G � �)��k-:+"�� [ �a� � ��'�(=�*����g�$#�����+04��+$4�� ! ����y���������=���+ ��! ��� � � ����� � + �Z! ����$'�� ��� (�� � +0�+ ��� �:�+� �����U%Z4�� � 9L���-5� ��� ��� C #.� � � � ��y+ � ��%���+ � ��� � +$-54 � �� � + � �a���� � ��� � G [�& � ���$4�4������ ����! �+��%�+ � +����5� ��-:� ����� �$���:+�3�- � �� � 4�� � � �� � + � C � �������>��� �� ����� � + � G ['� ��� ��� � 'g ����� � � ������ !$� -:� � ! +����5����+ ��! �V'g� -�� ��4�0 �������� � +$� ���;]

� 4�+ ����� ��! 4�+$�U% � +"- � ���(!y-:�p%����p9�� � � ! ��;� ! ����������=��� � C # � � +�*-:+$������ � � G [�a� � ��'l(�� � ��� � �Z-:+$��5��+"4�� � �� ��� ���� � (g�p%�+�3g4���+"4�� ! �� ����! ����$�����>���+ ��! �i- � �U � ]4�� ��� �� � + �Z! ������[ ��� ����! ���\� ��-:� � +$�� � + � � C �$�*��#.+L9�� G '�(=� � + � � � � ���a���y3W+$�U��+L( � ��!C � � ��� +$- � � � � G 4���+ � ����1�; R.O $ MU# " J M�KSR.O@{ T - T � C ]&4�� � 9L��� / ]&4����&%64��+�+ � +��p3W+"�l4��+$4�� ! �� � ��! ����$�����8���+ ��! ��5- � �� � 4�� ��� �� � + �Z! ��� G � �6e � � �)�F�&% � � � / " � Z ���of d � � :� /*) 1*W� � 4 � �� � � � �&� �6e � � e;�td . � �,% � � �o� � C ��� � � � G�Z+.D% e_�e���� F � C � G ���of � � F � C � G !#� � f e / � e e

� ��� � � � ' � � � d�� C G ���of � C G W\ % e6�.� �����1����� � � d;e � ! �.� �1� ete f d � d !#���)���. d�WF,+.- /3�*/G�!�#4�/�/3"%�D-:+.-=6#/3� -P/<B*� @ �103254$6725298�:�;=< >@?A;$B�C D3<�-P/7�!&K(8���!"%" @ ;</D�!� � ���" @ �#��;<$ �!"��!0

4#/3?��*/3/O�)(=;<��B8((8#C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ �� ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

7 W % � �Be � e_� � � Z � � � �&� � C �-�1� � �)� ��G?��� ' �o� � e_d�!3��7 ��� � � ��W �of ete f ZL�,% e�d;e�! � � d � �e �&% e � � � ��e�d �>!b�,% e=� ��� � � � ' � � � ! C � G A�CEDF � C � G � � C � G � � �&% e��� ���e_dq� � �8f � �*/ � � d Z ���of ! C G F � � � W� ��. e � e;� Z ! '� �@% � � e f e / �ete6� C � � �&% e;��,% ���g� � ' � d �P G W

� W % � �ae � e_� � � Z � � � �&� �)d % � �e_d�! � . � �&% � �)�5���&% e;�2� � � � � e_d�W?\ % � � � d Z � � � ��� ��d_e � e ��� d� � � !#� � ' � � � � ��� � � � ' � � ��� � �>! f e / �ete d�� ��%]�,% � ��� � C G F !3� Z ���of d_e �of d � � C�� G�A� � � � ��� � Z"!#� �Be � e;� � � W�X+� � 9L�� � + � � < � � � � � � � � � � � � �>!��&% e�!3� � d � � e � f d �&% e � � � ��e �U! ! C G F � � � W "�e �-��.DZ. e . � �)�F� e � e � �#% � � � �&� ��e_� !#� � ' �&% e ��� ��� e�dE� � �of � �0/ � ��e_� � � � � � � � �&% e>d % � �e_d � ��YB#� � � � e f W ��e . � �)� d % ��. �&% � �P�&% � d . � �)�+� � e � f d % � �e_d . � �&%M�&% e f e�d � �e f �.� � ��e;� (� � e_d�W�6e � � �)�T�&% � �kB#���&% e � - ��$4�+$���� � + � �a���;+"����- ZP�,% e_�e:e � � d � ��� � d � ��� � d O%) ����� � O �dt� �#%h�&% � �5!#� ��e � e;� � � � � � � � ' � � ���n�U! f e / �ete / ) 1 � �P%*� � f d �&% � �

� C G F����� ) O

� � C � G C / [ ��[ GC j���e � � K � � �)� �7Z O � F ) C 1 G � � ) ��� � ��� W G

�YW % � �ge � e;� � � Z � � � ��� � C �-��� � �)� ��GH��� ' �o� � e_d�����7�� ���� ) O � � � C�� G�ZT.D% e_� e O%) ����� � O �� �e �&% e\e � � � � � ��� � � � � � ��� � d � ��� � d*d � � � d !�� � �0/ < � W C / [ ��[ G�Z ���8f � � C�� G � d �&% e�d % � �e�,% � � � � � ��� � � e � e ��� e f ! � � ' � � � �&� � � � j � e^� � W

� � 4 � �� � � � ��� ��e � � � d . � �&%f� � � �.� � � � W�& � �5, ��� �� � �������B���� ��+ � �� ��� � + �m/ [ � [ �X% � ��� � � � + � � 3W+$� -5�� � + � ��#.+ � �� � ��� ��+X� � % � +$��� � � + � +�3 C +$�y����� � G 4��$�� � ���U[5�a���x����$��+ � #.� � ��! ��������0+ � �U% � �;( ��� ]3W+$� -5�� � + � +"#�� ��� � � #"% 4��$�� � ��� C � [ ��[�' ����$�����y+�3*��� � ��+�3a����+� ����� !3� � � G % � ��� � �� + ��� 3W+$� -:�� � + � �$#�+ � =����4.+���% � +$- � �������0� ����� C #�� � � � ��� � =% � �;� � � � + ��� 3W+"�-5�� � + ���#.+ � : ������ !3� � � G [ �& � �0��� �+ � �����$�:����:��9�����%7���, � � ��� ��+�3 +�3>����� � � � � � ����� ]3W+$� -:�U% ��� �� � � # � � � C #�� � � � �������\9L��� � ���*+�32 ��� � � � �6��6� � % 4�+ ��� ������ ����� 3W+$� -:�U%��� �� � � # � � � G [yh|���� � �>����� � � �����$� � ������� ����� � � �>���� � ��� �;� � � � - � � � � #������ ��������6+�3��� � ��� � ��� � 9p��� � � C � [ ��[U'�� � F � C � G 3W+$�)�+$-:� � � ! ��;� 4.+���% � +$- � �����:���p9 ����! 3N�����*����-� � � G [��a� � �a3N� � g( � �U�Q#������� ��#�� � � ��� �Z� � - U[ �J MZ{ T - T! �Qe�"�" % e#� � � d B e f e K%$ e f�& d(' $ �%) $ d*"S����+�",' ) $ 3 W.-�W � Z & $ f � / " �"W@\ % e $" % e;�e0e � ' d*"Sd &�f e / � e e � )0/21 $ )�' ' &0/ Z � Z d���+ % " % & "%� C G F � C G � � C G & $ f � C � G F � �! ) �9� F 1�������0� / W

3 #LRlR � +���+ � � � � ��� ���*3W+"�-5����4�+$�U% � +"- � ��� � C � G A;CEDF � ���� ) O � � � C � G '"(*������a��� � � � ���������64�+$�U% � +"- � �����k��;��� � �� � ���r"��4x�A[)r � ��� �*��� � � � � ���$� � � ! ����� '$ � � �)��+$� � �)��� ��+y3W+"�� [ � +$�>�;9$���% � F 1!����� � / 'l#"%Yr"��44��'V(=�:���p9����0� F � ���� ) O � � � C�� G F � C�� G 'I(*���������\��� � + ��� ��, � ��� � &% � � ��� ��+0��� � �65 ��� � + � +�3 � [ � ��� �����U%$' � +��y����

� C G F����� ) O

� � � C G

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����� ����� � ����� � � ��� � � � � ��� � � ����� � � ��� ����� ����6���� � ����� / ��1

F����� ) O

� ! �

F����� ) O

� � � C � G � � C � GF � C G � � C G

(*�������� ���\��� � + ��� ��, � ��� � &% � �6#$%Xr"���4���'� ����� � � � ��, � ��� � &% � �*#"%�r"��4`1�'.� ��� ���� ������, � ��� � &% � �a#"%0��� � - ��$4�+$���� � + � �a����+$���- C ��4�4�� � � � �+5���\� R� / ) 1 � � ! �����4.+���% � +$- � ��� � C � G � � C � G G [

; R.O J � " $ KNRoO + �>� � ��! � � � / [ � [ [.'V3W+$� � / " ��'I+ � � � � � ���+L( C ��;� � - ��� �_� ���x�0� G�������+ � �� ��� � + ��/ [ � [ � � + � �� � � ��g� ]&4�� � 9L���� � +$-54 � �� � + � +�3���� C 4���� � ��� G / ]&���%3 ����� � + � ��� � &%

C C � C 1 G � � C 1 GKG �����0� C � C / G � � C / G GKG � C��(C 1 G ������� � �QC / G G C / [ ��� G(*�������9�:� ����� ���� � � ! ��;� 4.+���% � +$- � �����)� ��� � � �)� ����� 3W+"�-:��% ��� �� � # � �� �x� � ! ��;� 4.+���% � +$- � ���V( � �Z3N���������� - ��, � ��� � C G � � C G [ �g%��5�� �� �U! �$�3W+$�(=�$� � � � �$4��� � + � +�3��+ � �� � ��� � + �Z/ [ � [U1�\� ���0� �g� � ���U%�� � ��' � �3W+����U+L(*������=� � % / ]&���%B3 ����� � + � ��� � &% � � �#.� ( �.�*' � & "&e / 1 �e f ��+te f �+ � ,0[ C / [ ��� G [ � � � �����U%$'z#"% � � � ��! ��� ��� ��#�������+"-:4.+$� � � + ��a����+$���-�'�(��y+"#�� ��� �� �zH R # H$� { T - T � % ) � � / " � Z & $ 1 / ( & � 1 ! � $ +�" ' ) $ & / ' " 1 ' d ( �.�*' � & "&e /21 + )�' (�.��" & B / e�W�%l���*" % e;� ' ) �e Z " % e�e ' � /& " ' ) $ ' dg��e_� ! e +�"AW� �7� + � � ���;'Q9����%Y3W�;( / ]&���%�3 ����� � + � ��� � � �����$��� ]&4�� � 9L����;��% � +$-54 � ��#��U�03W+"� �/ " �A[#� � 4��$�� ����� � ����'= ���i+ � ��% / ]E�$��% �=+�+$�U��� � ]E9L��� � � � 3 ����� � + � �Z������$��� / " �L]4�� � 9L����;��% � +$-54 � ��#��U�6�$���a� � � ���$� � +"-B# � � �� � + � � +�3 �=+�+$�U��� � ]E9L��� � � � 3 ����� � + � ��+�3V���� ����� 9 � ��� ��� � � 4 � � C � [ ��[U' C J ) ������� � J � G F � ���� ) ! � P � X C J � G -:+ � � G [����� ��� � 8$V�!1 /?9 > /C' 9��* �����0C/�$B/�&)�*"c� & )* 80� � +$� � ���>�+ � �����2( � �����0-5��� � �_� + � �y-:+ � �;�q'l(=�5���4���� � ����+ � �� ��� � + ��/ [ � [ ��#"%��-:+$����+$# � ��04��+�+ � +��=���� ]&��� �;� ��;��% � +"-:4 � ���� � ,0[ C / [ ��� G [ � � 4���� � �;� � ����'k���4��+�+ � +��k� ��+ � � � ( � ���� ��� ��4.+$� � � #����x-:+ ��� 5 � �� � + � +�3 +�3=��� � � 4 � � C (*� ��� � � �4��$�� ����� ���$�I-5�p% � +��5�z��� � +"-:� ��� +�3����)3 ����� � + � ��� � &%\�$�Q4��$�� � ���U��% � �65 � � � �$#�+L9$� G [�a� � �a � � � �g+ � a�+0#.�\4�+"�� � #��U�$'�4��+L9 � � � � � / " ��'�� ��� �+:(=� ! ����� �zH R # H$� { T - T - % ) � � / " � Z & $ 1 / ( & � 1 ! � $ +�",' ) $ &0/ ' " 1 ' d ( d;e +;���e / 1 + )�' �.��" & B / e�W%I���*" % e_� ' ) �e Z " % e:e ' � / & " ' ) $ ' dg��e;� ! e +6"�Wh��6#�� � � � %�� � �� � �:��� � � ����� ���� ����� ���� � �a ���64��+�+�38+�3V�a���;+"����- / [ � [ � [��I�� � � 5.� ���� � � -:������ � / " [�'�� ���X� +�������>r"���4���� � �:+�3���+ � �� � ��� � + �X/ [ � [ � � + � � � � �� ( �.�*' � & "&e + )�' �o��" & ",' ) $ +�32��� C 4��$�� � ��� G / ]E�$��%53 ����� � + � ��� � &%

C ! C 1 G ������0��! C / G G � C��QC 1 G ������0� �(C / GKG C / [ ��� G

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ �$� ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

(*�������9! � �)� � � ! ������� 4.+���% � +$- � ����� ��� � � ��� ����� 3W+$� -:�U% ��� �� � � # � � �x� � ! ��;� 4.+���%"]� +"- � ���g( � �73N�����Z��� - ��, � ����! C G [chY��( � ��n�+ ( d_e +;���e /21 + )�' �.��"&e � ,0[ C / [ �$� G [�I�� � � 5.� �� � + � � � � ���B������;� ���� � �$� � +�3 ]&��� �;� ��;��% � +$-54 � � ��! ! C G [ ��+ � �� ��� ] � + �n/ [ � [U1��� ��!$! ���� �y���� ! C G � � � #�� � +$-54 � �� � #"%�� - � ��4.+�� �� � + � +�3a����! C � G � �;'� ��� ������ - ��$4�+$���� � + �Y� ����� � � ���$�63 ����� � + � 'Q(*� ��� � C �$��� ��� � G � � � #.� ]E4�� � 9L������U%� +"-54 � �� � C ��;� � - ��� �_� ���\�� G [��6+L(=�;9$����'�(*��� � �+$-:�B4��$�� � ���*�����-5��� ���;� + � �;'o� � -54����� - ��$4�+$���� � + � ( � �U�=3N� � � [ch|����5(=� � ��� �n� �5� � �+$# � �B� - � ��4.+�� �� � + � 4��+ � � ��� ���$'(*� � � � � +$� �����4.+ ��� �a�+���� ��+"�^] � +"��� � � + � +�3: *��� � ]�r"+$�U+"-�+ ��� + � ���;'8(*� � � � � � � � �i� ��5� ��� �����=3 ����� � + � +�3z ��� !�� 9�� � ����, � � ��� ��[=r�4.� �;� 5 � ������%�'� � � �6�$� �0� �a+ 5 ��� ���y3N���������- +�3)��� ����� , � � � � ! ��;�:� 4.+���% � +$- � ��� C � [ ��[�' ! G ���� 5� �y��6�����$�� / ) +�3)���� � 4 � � C � [ ��[U'���� � +$� ��� � �! C � G � � G '�� ��� (�� � � � 4����^3W+"�- � � �a�$� �0� � � ]E�� ��� ����-5� � ]� ���U[ C �a��� � ��� � ��� � 4.+���% � +$- � ��� � � ����� �;� �c����� , � �$' #�� � � � ���0+$������( � ���0(=� ! �;\&(=+����� ����� � � � ! ��;��� 4�+$�U% � +"- � ������������ ! ��;�*+ � / ) � � � � 1�+�3l ��� � � 4 � ��[ G � � ]� ���U��%�'"+$#�����9��g ����k ����4���� � ��� � � � ]&��� �;� ��;��% ! � � �������*� ��������2+�3V�B�� ��� +$- � � ! ����� 4�+$�U% � +"- � ����( � �B3N��;�a��� - ��, � ��� � ���+ [ ��+$-B# ����� ��! ���*&(�+y� ��� ����� � +$-54 � �� � + � ��'+ � �X+$#� � � � �0��� � ��� � �� � ]&��� �;� �� � -54�����-:� � �� � + � +�3 � ,0[ C / [ �$� G 'a4��+L9 ��� � � ���� � / " [ [� � +"� � ���*+Z��� ��� ���B��� � ���� / " [ � � / " ��'o(=�B���p9����+Z(�+"� ����� ��� � ���%�( � �� ,0[ C / [ ��� G '���������� ��� � ( � � � ,0[ C / [ �$� G�� ���� � �;'�(�� � ��> ���y3N� � g����= ���\4��$�� � ���� � � ���U��%���+�� � ����� ��������I+�3�&(=+ � � ! ��;� 4�+$�U% � +"- � ��� �I� �� �����I��� � + � �U%>���=4��+ ����� +�32������y� ���$����� C (*� � � � � +$� �����4.+ ��� �=�+0���������g+�32� � � ! ������� 4.+���% � +$- � ��� G [

����� 0 ���*� ��/!/�( $� 1 ���

��������� � ���!1; 8 )* �� 1;1; 8) /�" "��! 8"� � � � �>�� � � + � (��:#�� � � � % ��� � �;� � �>����;� � -54.+$�� � � �� � ��������>(������:�p9�+ � � � � C 3W+$�� � � �>+�3 � � -54�� ���;� &% G � � 4�����9 � + � �g��� � � + � �U[

{ T { T � T � 3 #pM�K � � K'#LO H($ $ R #�RoO H�lJ��� O�oKNO� $�H�J # H M $�6� � +$-5-:� � �� �0��� r"� � � + �Z/ [ � [ ��' � �x! � � ������S' � +B&(=+�]&4��$��&%54��+��+ � +�� � � �0!"� ��� � � �;���e_� ! e +�" ! & ' � $ e_dtd � ���� � ��' � � � ��� +��#�� !$� �$�� � ��;� � ����Z+ � �`4����&% +$#� � � � � � �� ��� � ��� � + � 4 � � 3�� ��� + � ��% � 3�����+$�����54����&%c+$#� � � � � � �5+L( �n� ��� � �� � + � 4 � U[� � ��� � 9����U%$'z� � � � 9$��� ��$��%X-5�p%Y���U(g�p%��>�$#�+"��\������ 5.��\4.+$� � � #����0 � -��Z���(*� � � �� :+"#�� ��� � � �:+ � 4 � �'�� ��� � � �0-:��� � ������5+ � �Z+�3� ����4���� � ���:-5�p%c+$#� � � � ���� ��� � ��� � + � 4 � =(*� � ���y���y+� �����a4����&% � +"��� � +�g, ��� �� ! �� � �g+L( � + � 4 � �[�� � 3N� � ;'� � ���=� 4�� �_� 5 � C &(=+�]&4����&%>� ��� - � �U � ]&4��$��&% G 4���+$�+ � +$���I����Q(=�=���p9��)4������ � � � 'L � � �4���� � +$-:� � + � + ���;� � � ��� � � � - ���-:�>�� � ��� � ���� � �;' � �$��&%�1 ! �; �) ���y+ � 4 � g#��;3W+$��� � %5+� ������4����&% ! � ��� ��� � % �"� +L(a�U� ��! �6�� ! ��� ��� ��!�� �=+L( � + � 4 � �[����=(��*( � ���8� ��+L(#.�;��+L(�'V���5����9���� � &%�+�3) � � ��4���� � +"-:� � + ��� � � #.�5�� ����� � � C # � ;'I�$�>� ��+L( �X� � ; �"� = '� � �m� +�x#.��+� �����U%m�;� � - � � ��� � G [|�a���� � �;' � 4��$�� � ���=3N� � � � ���� C ��� ��� � +� � 4.����3W� � 3N� � � � ��� � G -5�p%X#��0� � � � ��9�� �X��� ��+"-:�:�� � ���[ � � ���5�����+�3)� � ���� � � + � '8(���3W+ �;� �+ � &(=+�]&4��$��&% 4���+$�+ � +$����'a# � �� � - � � ���������-:� � � � � #.�Y�$4�4�� � � � �+m- � �� � ]E4��$��&%4��+�+ � +�� � C � � � �"����! �5��+ � ���a-5� � +$� � &% G [

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8��� � � ����� ���� � ��� / � �

� ! � � ������k3N� ��-:�;(=+$� � 3W+$��+$#� � � ������! � 4��$�� � ���)3N� � � � ���� �� + � � � ��B+�3(5.� � � +"-�]4 � ����! � ���������+�3>#�+$� � ��� � �� � + � 4 � ��')� ���n� � - ! � � ��� �����U%`��;9������ ����! 4 � � � ����+�3������\����$�����g� ��� �� ����*�04��$��&%Z����9��������= ��� � � - *4 � � � ��+ � ��% � 3 � � � + ��� ���� 4��$��a���$���;9�������� � ���>4�����9 � + � �)4 � � � ��[ �a���y4���� � �������+ � � � #��y��#��U���+:9���� � 3W%� ��� � +$� ��� � � ��� �+�3����0��;9�������� � 4 � � � ����'l(*� � � � � � � #��0� � � � ��9�� � #$% ! � � ��� �� � ��! ��� ��+ � +$-5- � -:� � ��+� ������*4 � � � ��� C � ��� �$� �"� ��! ���*��;9$����� � ��! 4����&%\�+\�����+�4��+L9 � � �g��� � +"����� 4�+ ����� ��!� � � +$-5- � -:� � � � 3W+$� -5�� � + � G [g�a� � �;'�3W+$�*�53 ����� � + � ��� � &% z'�(*� � � ��( � ��+ � *�U+"��*+�3! � � ��� ��� � &%x��� � � 5���� ) C J ��w G F } C J �w G '.(���-5�p%�4��+ � ��� �Z��� &(�+0�� ! ����

1�[]\ % e�� & �*" 'Ne_d:d;e +;���e / 1 + )�' �o��"Ee0d % & � e�d ) ! " % e f e�d*' �e f ) ��"j�o��"Nd ) ! LW�r�4.� �;� 5�]� ������%�'����\4���� � ���a�� ��� �����U% � +$-54 � �����y3 ����� � + � ��� � &%

C J ��w G � CKC ��)�� '�) � ' } � � ) � ! G � C '�) � � } � ' } � � } ��! G G(*������ C ��) � � } G 7 C J �w G 'k ��� ' � � �5���� ����� 3W+"�-:��% ��� �� � # � �� �7� � J ��;1 L � � '� ��� ! 7 ��������� C � ) � � } G '�3W+$� ����� 3W+"�-:��% ��� �� � # � �� � � ) � � }�� J ���1 L � � T � [%6+��Z �����')��:� � �5�� ! ��'k��� � � � ����� 9 ����� ���a4��$��&%`+$#�� � � � � + �"� +L(a�U� ��! �Z+�3��� � ��� � �� � + � 4 � ��'k# � ��+ ! �; �����B����%`��+�� � C 9$��� � 5.�$#���� G �� � ����� C � [ ��[�' ���� � � ' � � �*� ��� ' � � � G ����a% � �;� � #.+� �Z+ � 4 � ��[

� []\� �e=� & �*" 'Ne�d���� &$f � & / /21 e � +� & $ �$e "� �e�d;e +;�e�"Nd "� & "%"� �e 1 )0/jf W)�a���� � ��' � �$��&%Z1����9��������Q4 � � � ���I+�3 ' } � � � -�� ��� ��! � 3W+$�z4 � � � ���z+�3 ' ) C ��;9$������� � #"% � �$��&%�� G 'L(*������+ � ��4 � � � �\+�3 ' } � ������9������U� � 4.���6+ � ��4 � � � �\+�3 ' ) [��a���\4 � � � ���*����\����9�������� � #"%� � � ��! �Y�� ��� �� � +$-54 � �� � + � +�3y� � � � ��, � ����Z3 ����� � + � ��� � &%�[br � 4�4.+$�������� ���&% � � �*� � 4�4.+$�� � �+x+"#�� ��� ���B4 � � � ��� � C ' � G '.(*�������� �k-5�p%Z#.�B� C 4���� � �_]���� - ��� � � G �=+�+$�U��� � 3 ����� � + � +"�)���� ��� +$- � � � � 4���+ � �����[2�a��� � ���y4���� � �������;]�;� ��;��% � +$-54 � �) ���k3 ����� � + � ��� � &%y����Q-5�$4�� C C � ) � � } � K ) � O�) G � C � ) � � } � K"} � O } GKG�+ C � ) C � ) G ��� } C � }�GKG � 3 O%) F O } F � Q � � Q C � )�� � ) � � } � � }�G � ��� �+ C�� � � G +$��]���( � ���[�� ��� �;� � '.��� � �X4��$��&%Z� � �����6� � ���� ��� �� � +"-:4 � �� � + � ( � �X ��� � � 4 � � B�����\�� � � � 9�� �Y� � ��� 5o��\�� � ! � � ���� � �;' � ���&%71 C ���� 4![�' � �$��&%i� G � � ��� �( � � � � 4 � C ��)��2'�) � ' } � � ) ��! G C ���� 4![U' C '�) � � } � ' } � � } ��! G G [

�a���*� � � ���*�$4�4��+$� � � C � ���5� � 4���� � �;� � ���2 ��� ! �� ��� ����� -�� ��� ��! �g+�3l�� � ��; � G � ��4.� ��� �+ � �\� �� � ��3N� � �+"��% � �65 ��� � + � +�3l�>��'Ne +te )�� & d;e +_� e6" [ r ��� �0� � �65 ��� � + � ���+ � � � ��� � �^3W%&(=+74���+"4����� � ����� C 1 G !$� 9$� � � �$�x�_� � � ���%m-5� � % 4 � � � ���0+�3\�c�� � ��;�'�+ � ��� ��+ � � � #.���#��U�x+Y�� � +L9����y ������ � ����;'2(*��������$� C � G ! �;� ����! %���B� � +$�����B4 � � � �x+�3* ���Z�� � ����� + � � � # � ����)� � ��U���+���� �"� +L(a�U� ��! �a+�3l���>��� � ��;U[zh��>� � - � k �����(�� � + � +$ ��� +L(+�3*� � �65 ��� � + � C +�36�i4 � � � �x+�36���� � ��; G ���� � � � ����� + � �+L9����� � ���U��%X��� � �^3N� � +$�% '� � �U�I�+$-:��� ��!�! ��� � + � � C 3W+"�g(*����a �������4 � � � ���a+�3 ��� 3W+$� -:�� � + � -5�p%�#�� G ������- , ��� ���4�4������ ����! [ � +$��� - ��-54�����' � + � � ��� ���k ����� � ��� +$- � � � � 4��+ � ������������-5��4��) ��� ]&# � ��+ ��! �� � ��; � ) ���� ��� +� ��� ]&# � 0��+ ��! �� � ��!�� ) ���� � � � ��� � ���� � � F � ��( � �4��+$#��$# � � � &% )} �! � ���"� � F 1 ) � �2+� �����( � ���'"3W+"�g�;9�����%��t' � ��� ��4.� ��� � � ���%�[ �$# �a��� � 'F�%'& ���!" (*/3�8���)(*$ SA/<�*�!�#4#��;<$��3/34 ��*�9&'/3B8B�' ;7�! #BJ(86#/�( F /�$ (:B8(8�*$%�#?�)G(8� (86#/<� �!��4#��; ��!$%� T+* �,�-

B*��& 6G(*6#�)( * $%B ���#$ 02���8;<" @ 4#$%B8(8�*$7/���(*/347$%�'.0/ �10203 �!�#4 ,54 .0/ �102 /�69���!"%B (86#/=$%�#�#/3�8F� ��*�94#�#&K( T ;<��4�7 -�!0�)��!�#4 * -=$ (*67 #�8� /���/#$%"%$ ( @ �8:9�; T �!�#47(*6#/�&'��;< �"%/';</3�A( �!� @ S��!"%��/��!(*6�/'��-=$%B*/ - C � �7(*6�$%BP&D�!B8/�+#/'�!& 6 #$%/3&3/:&D�!�8�*$%/3B5< T ; 8 - /#$ (8B=�!0�$%��02���8;7�)(*$%��� ��/�����(�)�+�-=6#/3�*/'�!B��)0 (8/'�=B*/3/3$%�#?'< T (>= ; 8 - B8�#& 6E #$%/3&3/3B����#/ #�*�!&3(8$%&'�!"%" @ � /�( �!$%��B?)�C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ ��[ ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

��� � ��4 � � � � � �$�� � ����� C } G # � �a+�3 � � 3W+$� -5�� � + � '�(*��������$�g�L3W����a����� � ��! � ��� �Z4 � � � ���+�3Q������ � ��;�+ � � � � �x!"� ��� � � g( � ��� ���;� ��� �g4���+"#���# � � � &%0��������$��>1 ) � � - 4 C ) � } G '(*� � � �b3W+"� F � C �� } G -���� � ��4�� � � � � ���U��% +$#� � � ������! ���`�� � ����U[ ��+L(���9����;' � 3� ���&%�1 ��� +L(*������ '�) � J � ��1 � L (*��������$� � ���&%0��+ � �U% ��� +L(*������ ' } � J %�;1 L � '��� � � C '�) G ��;��-5�z-:+$���-:��� ������! 3 � ���+ � ���&%51) ��� � � C ' }�G � �Q+ � �$��&%��A[ d#' "I�e & / /21d ) +"� ' d "� �eB�.� ) � ) d;e f e � + & $ �$e & +�"q� &0/ /21 �6& ' ��� %6+��� ����\ � � ��! �:����0�;9$� � -:+$��� +"-54��U� - C ��� � ���;%5������- G '�#.� � � � ��*��� ����� ���� � � &%B+�38 ����4���� � ��� � �)� � � �����U% � +$� � 3W+$� -5�� � + � ]q ���;+"���� � � # � *�������� � +$-54 � �� � + � ��� [

{ T { T � T � � �zH ) � M�K�� H � R )QH$��a��� � ��5 ��� � + � �54������ � �� �7� � r�� � � + � / [ � [U1����;3W��� ��� � �+`� � 9���� � ��� � ���;' � ���U��� � $ ) $�&�f�& � ",' � e_')���� � + � �+��)��4���� � �;��� - � � � � ����B+�3*4��$�� � ��� C (*� ��� �l'z+�3 � + � ����' � � � +$��� +L( � +����x��+ � ���y4���� � ��� G [ ��� � � � � ����� � � + � (=� � + � � � � ���y���� ��+ ��! ���6&%�4.�5+�3� � 9���� � ��� � ���;' � ���U��� � &$f & � ",' � e;'. ���� � � � ��;��� � a ���B4��$�� � ���g����*���;% � + � �+��l�$�a���� - � �;� � + � 4��+ � �;� � �U[2�Q+ � ��-:+ � �� �����* ����4.+L(=���k+�3I� � �$4� � 9���� � 9$��� ��$� � ����' � + � � � � ���� �2/ ]E4��$��&%Z4���+$�+ � +$� ��� (*� � � � � ���&%X1 ����� 3W+"�-:��%���;��� � �*� �2/ � �L]&� � #���;�i+�32���4��$�� � ���;'�4 � #�� ���;� � ����2'o� ��� � �������� � �6+L( ����� 4 � *( � ������4��$�� � ��� ��� `���*�5(*��+����C � [ ��[�' � ���� ��� �6��� � � � �$��&% � � � c�0�� ��� +"- � ��� ��� �� ���� � � N� � �B��, � ����� � ��+L( �� � 4 � G [ �Q����� � ��! / �$���`4��$��$-�������;' � � �04���+$�+ � +$� C 3W+$� � +"-:4 � � ��!c� +� � � ��! G � ��� �;� ����( � ������ 4�� � =�+ + �65 ��� � + ��/ [ � [ [.'$����� � � ���U��%:#.� � � � ���3W+$���;9�����%5��; 9 +�3I����� ���� � / � �x4��$�� � ��� � ���+�� � �y ����y���54���+"#���# � � � &%�������Z� � ��� +$- / � ��]E� � #���;� � �� + � � � � � �0��� 9 � �=� - 4.+ � � � � �����U%09L� ��� � � � ��!B� �2/ [%�6+L(=�;9$����'"� � � � ��4� � 9$��� � 9����� ���%����Z��;��� � �0 ���Y��;�+�3B4��$�� � ���0���� � � + � �+�� �5�+7��, � ��������4 � #�� ���;� � � � ��;�z'+$#�� � � � � ��� � � 4 � B+�3 � �$��&%71�( � ��+ � � + � ��+$�U� ����!X� C � ��� ��� ��� � � ��-:+ � �� �����������a���\4���+$�+ � +$� � � � � �� ��� ���y( � ������ 4�� � g�+x� � ��4� � 9$�>� � 9����� ��� � ��� G [� � ��� � 9����U%$'V+ � �5-5�p%X� � �;� +�3=� � � � ��4� � 9$�:� � 9����� ���%��$�>+ � �:���� � � �Y� � �;��� �

(*� � � ��4���� � ���2�+ + ) �����p� " C � [ ��[U'"��� � � � � + � �+���+�3 G ��� � ����! ��� � + � � ���=+�38���g� - � �;� � + �+�38���64��+��+ � +�� [ � +�� � � ������%�'�� ��� �5� � � � �$4� � 9�� � � �_� � � + � -5�p%�#.�6-:+$��a#�� � �65 �_� ����+���>� � 9����� ���%� ��� � � � +"#�� � 9 � + � � � � �;� � � + � [)r"� �;� � � &% � � ���y� � �$4� � 9��>-�+ � ���l-:��� � ����� �;9$� � � � � � �$4� � 9��g� � 9���� � ���% � � ��� +� ! � ��� 3N��+"- ���a� - � ��� � + � -:+$��= ��� � (*����� � ��� �p9�+ ��� ��#���� C �;9$� ����� ���\4������ ��� ��+�32�:� � ��� � 4����&% G [

�Q+�� � � �����U% � �65 � �x�� ��� � � &%�( � ������ 4�� � ��+X� � ��4� � 9$�:� � 9����� ��� � ����'o(=�0���+ � � �5.� �� � �65 � �B� � � � ��, � ���� � � �����Q-:+ � �;�q'�(*� � � � � +"����� 4.+ ��� �g+x(*���� � � ��� �p9$+ � � ��#����(*��� �\� + � � � � ��� � ��! � � ��4� � 9$��� � 9����� ��� � ���U[V�a��� � � ���_� ����4.+ � � � �Q����z�;9�� �y��� � ��� � �����U]-:+ � �;��� - � �;� � + � 'L���a� � 9����� ���%�-5�p%\��;��� � z���=4��$�� � ���I ���� � � + � �+�� �z� � �$4� � 9����U%$'� ��� #��$��� � + � ��� � � 3W+$� -5�� � + �\� 2����� ! ��������� � ��+�3N��� C � [ ��[�'���� � � 4 � �2+�3.���a4��$�� � ���� + � �+����U� � �+B3N�$� G [ ��@ hY������� �� ����g+ ��� �>���\� � 9����� ���%5��� � � ��� � + � ��+$�8+�3Q�54��$��&%$'� ��� +L(*�Q���=4��$��&% � � � ��� � ��� � � 4 � C � ���B��� ���g�������-:+ � �;� � ��� ��+ �"� +L(*� � �2� � ��� +"-�]�$4��\� ��� ���\-:��� � � ! ���=����a� � �*4��$��&%������a�� � � � 9$� � ��+:3N��� G [

h|��� ��� �65 ������! �������� � �U�+�3)� ��� �X� ����� �����U]E-:+ � ���I� - � �;� � + � '8(�� � ��� � ��� � � ��� F F�� 6#/�$%B8B*�#/��!0��!4��! �(8$ S�$ ( @ �!"%B8���!�8$%B*/3BD+ /#��(�$%�O� ;<���*/ B8�$/�(8"%/�- � @ +�$%�:&D�!B8/��!0#(�-P�!FH ��!�8( @ #�8�!(*�9&3��"%BDCF L�� 6#/��#����F �!4��! �(*$ SA/G;<�94#/3"�&'�!� /�/�S�$%/K-P/34��!B��>B8 �/3&3$ �!"&D�!B8/G$%�E-=6#$%& 6 (86#/<�!4�SA/3�*B*�!� @ B8/3"%/'&K(8B

(86#/ ��!��(*$%/3B1(86��)(<$ (1&3���9(8�*��"%BG�� �FH0M�*���A(D+ /�/30M���*/>"%/'�!�*�#$%��? �!� @ $%��0M���*;7�)(8$%���R�8/'?A�!�84#$%�#? (86#/ &3�#�8�*/3�A(/#+�/3&3��(8$%���,C M ��(P$%�7?�/3�#/3� �!" T $%�<(86#/��!4��! �(*$ SA/�;<�94#/3" - +�����" @ (*6�/�& 6#��$%&3/��!0 (*6#/����*B�(P&3���9(8�*��"%"%/347 ��!��( @$%B � /#"%$ S�$%���#B �!0(86#/J/#+�/'&3��(8$%���,C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8��� � � ����� ���� � ��� / ���

��� �+����6��;)+�3V4���� � ��� ���������� � 9$��� ��$��% � + � �+�� �U[z�a���6� ��-:� � � � + � �a(*��� �0� �65 � ]� ��! ���B����� � �Ua+�32 ���B������j]&-:+ � �;�l� - � �;� � + � [ ��+ � ���, � � � �U%$'�(*��� � (��\���, ��� ���������� � � �����U]E-:+ � �;�8� - � �;� � + �Z� � � ��- � ������>����������U]&-�+ � ���8� - � ��� � + � '� ���y� - � ��� � + � �- � ��a��_3W���g+5����� ��-:� C +$� � +$-54 � �� � + � �����U% � ����� � � ��!$��� � ����#���� G ��; �g+�3 � + � �+������ �4��$�� � ���U[ � � � ������%�')+ � �����+ � � � �����+ � + � � ��� ���:����+"� � ��� ��� (*� � � �7��� � + � �+������ �4��$�� � �����$���B��;��� � �� � [>�Q+ � � ��� � 3W%�� � � ��� � ��� �� � + � 'o�U�� � ��� � + � � � � ���6� � � - �� � � � + � +�3+ �65 ��� � + ��/ [ � [ [ C � [ ��[�'����\�� � + ��� -5��� ���;� + � �a-:+ � �;� G �+5���\� � �$4� � 9���-:+ � �;� [�ZH�� OzKWM�KSR.O|{ T { T � C �� ��� � � &% � � ����-5��� ���;� + � �B� � ��4� � 9$�x-:+ � �;�q'z��� � �� � � G � �ze6" & $ f���� e & d ' $�� e +6" ' ) $ 3�� 5 � 7� & $ f � e &� ) � $ f ) $ "� �e $ ��� � e;� )�� � & �*" 'Ne�d "� & "%"� �e&�f� e;�td & � 1 ' d & / / )�� e f " ) + ) $ "q� ) / C ��[ ! [U' � / � � G �

� � ������� ����� � �� � ��� � ��� � ����� � �� ��� ��u ' d & � & $ f ) � ' ! e f �.� ) +te_d d "� & " ) ��e_� & "Ee_d ' $�p� � " ) � 1�d*"&e&�.d�� � ' + & �e=� & �*" ' " ' ) $ e f ' $ " ) " � ) � & ' $ � ���p� � � $ e & + �d "&e^�)�� "� �e � � � � � ��p� � � & d;e f ) $ "� �e ' $ �6) ��� & ",' ) $ &� & ' / &���/ e " ) ' "�� "� �e &$f� e_�td & � 1f e +6' f e�d � �e6"� �e;� " ) d;e6' ! e + ) $ "q� )0/�)�� & $ ) "� �e;�g� & �*" 1 ) � " ) � )� e " ) "� �e�d;e + ) $ f�� & d;e � $ "� �e K �td*"(+ & d;e�� "� �e &�f� e;�td & � 1 &0/ d )Xf e6"&e_��� ' $ e_d "� �e ' f e $ ",' " 1 )�� "� �e$ e � � & �*" 1 " )�� e�+ ) $ "q� )0/ / e f � & $ f )�� " & ' $ d ' "Sd / ) + & / ' $ �.��" � $ "� �e\d_e + ) $ f + & d;e �"� �e &$f� e_�td & � 1 ' $ )�! e_d "� �e "q����d "&e f � & �*" 1 � & $ f d��p��� / 'Ne�d "� �e "S����d*"&e f � & �*" 1"� ' "� ' $ �.��"Sd )�� ' "Nd +� ) ' +te + ) ���e_dq� ) $ f ' $ � " ) "� �e6� & �*",'Ne_d "� & " ' " +;�����e $ " /21 + ) $ "S� )0/ d �� "�"� �' dl� ) ' $ " "� �e ) "� �e;�l� & �*" 'Ne�d�d��p��� / 1 "� �e#"q����d "&e f � & �*" 1�� ' "� "� �e6' � ) �*' � ' $ & / ' $��.��"Sd#� "� �e "q����d*"Ee f � & �*" 10f e�"&e_��� ' $ e_d "� �e + ) ���e_dq� ) $ f ' $ � ) ��"U�.��"Sd�� & $ f �o� )� ' f e_de & + 0� & �*" 1�� ' "� ' "Sd + ) ���e_dE� ) $ f ' $ � ) ��"j�o��"$� � �e;�e "� �e &$f� e_�td & � 1 �e +te�' e_d & / /"� �e ) ��"U�.��"Sd )�� � & �*" 'Ne�d "� & " ' " + ) $ "q� ) / d � @ � $ e & + �d*"Ee^� )�� "� �e � &% �(' � � ��p� � � & d_e f ) $ "� �e ' $ �6) ��� & " ' ) $ &� & ' / &���/ e " ) ' "��"� �e &�f� e;�td & � 1�f e +�' f e_d � �e�"� �e;� ) � $ ) "%" ) d_e�' ! e�+ ) $ "q� )0/ )�� & $ ) "� �e_�=� & �*" 1 & $ f' � d ) & / d )xf e�"Ee;��� ' $ e_d ' "Sd ' f e $ " ' " 1)� �%) $ d;e � ��e $ " /21 ��"� �e &�f� e;�td & � 1 �e +te�' e_d "� �e/ ) + & / ' $ �o��" & $ f ) ��"j�o��" )�� "� ' d:� & �*" 1)�+* �e", �-�.'��/% ��� ����� � ��� �('0�.' � � 1� � ������ � � �:� $ f e;� & $ &�f & ��" ' e &$f� e_�td & � 1 � ' d f e K%$ e f & d�"� �e + ) $ + & "Ee $ & ",' ) $ )��"� �e ) ��"j�o��"Nd )�� "� �ei� $ + ) $ "q� ) / / e f � & �*" 'Ne�d�� "� �e &�f� e;�td & � 132 d ) ��"j�o��"$� & $ f "� �ed_e � ��e $ +te )�� "� �e*� & �*" 'Ne�d ) $ � �' +� "� �e &$f� e_�td & � 1 � & ' $ e f + ) $ "q� )0/4�

� � �5����� ����� � �� ��� � ��� � ����� " � �#� ��u ' d & � & $ f ) ��' ! e f d*"S� & "Ee�� 1 "� & " + ) ���e�dE� ) $ f d" )4& $ & " " & + ! ) $ "� �e & +6"q� &0/ e � e +;��",' ) $ )�� "� �e��o� ) " ) + ) /6� � ��+� & $ &$f� e_�td & � 1� &01 &$f & ��" ' e /21 d;e / e +6"��p� � " ) � & �*",'Ne_d ' " � ' d$ �e_d " ) + ) $ "q� )0/ � )�� " & ' $ "� �e�' � +_��� ��e $ " 'Ne � )�� "� �e�e � e +_��" ' ) $ C ���B4���� + �65 ��� � + � / [��A[�1 G � & $ fYf e6"&e_��� ' $ e "� �e�' �& +�",' ) $ d �7* �e &$f� e_�td & � 1 � &�1 d;e / e +6">d ) �0eB� & �*",'Ne_d � e �6) �e "� �e & +�"q� &0/ e � e +_� �",' ) $ d*" & �*"Nd��Qd ) �5e)� & �*" 'Ne�d f ���*' $ ��"� �e & +�"S� & / e � e +;��" ' ) $ � & $ f d ) �0e &�� "&e_� ' " & d"Ee;����' $ & "&e f � & d / ) $ � & d "� �e " ) " & / $ ��� � e;� )�� d;e / e +6"&e f � & �*",'Ne_d ' d & "�� ) d*" �* �e8, �(�.'��9% ��� ����� � ��� �(':�.' � � �� ��� ��� � � �6� $ f e_� & $ &$f & � ",' e &$f� e_�td & � 1 � ' df e K%$ e f & d "� �e�+ ) $ + & "&e $ & " ' ) $ )�� "� �e ) ��"j�o��"Nd )�� "� �ey� $ + ) $ "q� )0/ / e f � & �*" 'Ne_d#�%"� �e&�f� e;�td & � 132 d ) ��"j�o��"$� & $ f "� �e�d_e � ��e $ +te )�� "� �e�� & �*" 'Ne_d ) $ � ' + "� �e &$f� e_�td & � 1� & ' $ e f + ) $ "S� )0/6�

L � & B�$%� � / �#�#$ (*$%���<;�C =�C > T �!�#4 �#�#"%$���/O$%� ��/ ���#$ (8$%���?;�C =�C 7 - +�(86#/�(8�*��B8(8/'45 ��!��( @ �!" - � @ B��!�#B8-P/3�8B�!"%"� ��!��(*$%/3B�@A(86��)(�$%B'+�(*6�/��!4�SA/3�8B �!� @ 6��!B ���O�� �(*$%���<�!0 #�*/KSA/3�A(*$%�#?J(86#/ (8�*��B8(8/'4< #�!�8( @ 02�8��; �!�#B8-�/'�8$%�#?(86#/76#���#/3B8(1 ��!�8(8$%/3BDC�A /3&'�!"%"�(*6��)(�6#/3�*/<(86#/<(*�8�#B8(8/34R ��!��( @ $%BO$%�9SA����/34 T / @ (86#/>�!4�SA/3�*B �!� @ - �)(O(*6#/(8$%;</�(*6�/:�!4�SA/3�*B �!� @ 4#/3&'$%4�/'B=(*6#�)(�$ ( &3���A(*�8��"%B /3�#���#?�6 ��!�8(8$%/3BDC

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ ��� ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

� � � ) " ) + ) /� �6) � + ) �6�o��",' $ � ' d + & / / e f �5����� ����� � � u � &%����� ' ���6) �6e e;� 1 e # +6'Ne $ " � &�f & ��" ' e>� e & / � � )�f e / &�f� e;�td & � 1 "� �e;�eye � ' d*"Sd & $ e # +6'Ne $ " � &�f�& � ",' e ' f e & / �� )�f e /�&$f� e_�td & � 1 � d���+� "� & " "� �e 8�) ' $ "%+ ) ���.��" & " ' ) $ ' $ "� �e��e & / � )�f e / � $ f e;� ' d + ) ���.��" & " ' ) $ & / /21 ' $ f ' d*" ' $ ����' d0 &���/ e � � ) � "� �e 8�) ' $ " + ) �6�o��" & ",' ) $ ' $ "� �e' f e &0/ � )�f e / � $ f e_� � �

h�������� �k���� � � ����������.-:+ � �;�q'$(*��� � ���>� � 9����� ���%B�� � � ��� � + � �+���+�3I�\4����&%�' � ! ��� ���*4��$��&% � �29 � �;( +�38���a� - � ��� � + � �+�3N�$� C (*������= ���64��$��&% � �29 � ��( � �k��� � �65 � � �� � + �65 ��� � + �c/ [ � [U1 G [ � � 4��$�� ����� ���$�;'V ���04��+��+ � +�� � �y4.+$� � � #���� � � �� ��� � + � �y�+���� ����� ���� � � �Y� ��� � +���� � +��� � � � ����x4����&% � �>9 � ��(�'l(*� � � �����U(g�p%�� � + � � ��� � � � ��� 4 � ;'� �0� � ��� +"-�]q ��4.��� ��� ���U�*-:���� � ! ��� � 0���$�0��� � � � 9$� � �+Y3N����[H� (=��� � ��� � +$ � + � +�3�� �;� � � &%B4.+$� � � ����� ���� (*��� � ���*� � 9����� ���%���� � � ��� � + � �+���+�38�y4��$��&%$' � k+ � ��% ! �; ���� ��� � ��� � y9L��� � ����+�3� ���x4����&% � �>��+ � ���29L��� � ��#������y��� � �;����- � � � � #"%����54���+$�+ � +$�C � � (*� ��� � � �$��������� � 9����� ���% � +���� � +�5+"#�� ���m� �� �Y ����5(g����� - 4�� ���;� �U%n��� ���� �#"%�� �X� � �� ��� � + � +�3)���54��+�+ � +�� G [ � � � � �65 ��� � + � ��� � ��+ ��� � � �y-�+$ � 9L���� � #"%X���3W���$�* ����>���:4����69L��� � ���6+�3k���:4����&% � �6�U+ � ���z9p�$� � ��#��U��� C � [ ��[U'V ����4����&% � �*9 � �;(��$�4.��� + �65 ��� � + �Y/ [��A[�1 G -5�p%�#��B�p9L� � � ��#����\�+$-:�;(*��������+ ��� � � +$-54 � ����! ��%�����- � ������ � ����+ ! + � � ��� � �;� �� � + ��� � r"� � � + ��/ [��A[�� C �� ! �$� ������! ���\����- � ]&��+ � ����a-:+ � �;� G [� �zH R # H$� { T { T � C -5� � � ����� � ���a�� ! ��� ��� ��! � � ��4� � 9��;��%x�� �;� ����4��+�+ � +�� � G �

7 � � � ���=4�� � 9L��� � ��� ��� �;��-:+ � �;��� & $ 1 / � & � 1?� � $ +�",' ) $ &0/ ' " 1 + & $ � e(+ ) ���.��"&e f ' $ &� C /*) 1 G � ��� � &�f�& � ",' e / 1 d;e +;���e � & $�$ e;� � %I���*"� �e_��� ) � e�� & d#' $ * �e ) �e � 3� - � -��"� �eBe ��� / & ",' ) $ ' dg��e_� � e +�" �

� � � dtd�����' $ � "� �e ' $ "q� & +�" &�� ' / ' " 1 )�� ' $ e;�*",' $ ��� � � C ) � )�� "� �e 1 � � G � & $ 1 / � & � 1� � $ +�",' ) $ &0/ ' " 1 + & $ � e + ) ���.��"&e f ' $ & � C /*) 1 G � ��� � &$f & ��" ' e /21 d;e +_���e�� & $�$ e;����;9�� � (*��� � ���\� � 9����� ���% � � � �$4������ � +$-5- ����� � �� � + � � � � ��� �

� ���5153W+����U+L(*�B#$%Y� - �� ����� ��! ����4��+"+�3=+�3*�a���;+"����- / [ � [ � � ���� � �;'z#"%Y+"#�������9 � ��!����6 ����4���+$�+ � +$��� � ��� � �+L(g��� � �a4��+L9 ����! ���B� ����������� � ��6���� ��� 3N� � >� � �$4� � 9����U%�� �;� ����[ � ��+L9 � ��! � ����� � �:-:+$��Z4��+$#�����-5�� � � [� � 4��$�� ����� ���$�;' �Y�� �� �U! �$�3W+$�(=�$� ���4�4�� � � �� � + � +�3=���x4���_] � +"-54 � ����� � ��� � � � #.� �Y��� r"� � � + �c/ [��A[ � [�15������-5�>�+�3N� � � [5�a����+ � � � �x+�3a�+ � #���� � �\ ����:�� � ��� ��� � � ��� ��%�4� � + � � � ����-:����'Q(*� ��� �7-5�p%`#�� � �� � +��- � � ����5�o�*' & "Ee C 4.+ � � ^]E�+�]E4.+ � � G � ��� ��� �;� �y+L9���� ) � f ' $ & � 1 C 4.+ � � ^]E�+�]&4.+ � � G � ��� � ]� ������'�� � � � � 9����U% � � +"-:- � �+5 ���\� � ��! �U�y9L��� � �y����a(=�$�a��� � C (*� � � � � �a�04��+$#�����-#.� � � � ��6+�3I-:���� � ! ���)�� � g#���&(���� � ��+ � ����=4���� � ��������=�$���6�������� � +"�� � 4�� � #"%5���� � 9���� � ���% G [�� � ��� � 9��;��%�'o�����+�� � � + ��� �6+ � �� � + � ]&�� � ��� �$� � � ��� �%�4� � + � � � ����-:���C � [ ��[�' � � + � ] � +"-5- � � ����!� + � ��� G [ �a���X� ������ � � � #�� � + � �� ��� �� �m� � ����! ��$4 � +�+"�4.��� - � �� � + � �g( � � � ���� ��� � ����� � + � ���l4��+$4.��� � ����[

{ T { T � T � � H��J M�K�� H $ �*$ M H$� $� � �������-:� � ���+m3N���X�����Z3W+ �;� �� � + � 3 ����� � + � ��� � � ��������X����4������ � Z�� ��� ��� �C - � �� � ]E4��$��&% G � +"-54 � �� � + � ��'�-5�$4�4 � ��! C ���, � � ��� ���5+�3 G � � 4 � �0�+ C ����, � � ��� ���:+�3 G+ � 4 � �U[�� -:+$�� ! � � ������V�����-:� � *-5�p%���_3W���g+ C - � �U � ]&4��$��&% G ���� � � 9����%�����-5����� � ��� �� � 9$�;��%5���� 4.+ ��� �+ ��� 4 � �a4������ � � � 3N�+$- ���y+ � � � � ��[ � � �� ����� -:+$���'����

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8��� � � ����� ���� � ��� / � /

3 ����� � + � ��� � � ���5+�3� ����������� � � 9$���%�����-5�5-:�p% � ��4.� ��� + � � C ! ��+$#���� G ������������;%�-5� � � � ��� � ����� 4 � ����[k�a� � � ! ��+$#����V�� ���y-5�p% � +�a#�� ��� +L( � �+0� � % � ����� 9 ��� ]� ���o4��$��&% C # � � �=� ����������� � + ��� ���� � �� � + � +�3I������+ � ���8������������ ��� ������� 9 � ��� ���4��$�� � ���*-5� � � � � � � ����� 4 � ��� G [=�a� � ��'�(=��9 � �;( C - � �� � ]E4����&% G ���� � � 9$�y�%�����-5�*�$�� ���� �� ����! ���y3W+�����+L( ����! ����4�� C 3W+"�a� � �L]&4�� � +"� �8��� #�+ ����� � ���"� -B#.���a+�3Q � -:��� G � @ )

� � ��� � ���V���� !�� 9�� �>��� 4 � �I3W+$�I��� ��� � ��� � � ������ � + � � ���� � ��' ��� ��� � C�E � ������ � + �� ���&% � � � !�� 9�� ����� 4 � �� P � X� [�� � � ����� � + � '������� � �g� ! �U+"#����8�� ��� � �a��� ! ��+$#������ �������) ���y#�� !�� ����� ��! +�3l��� � CDE � ��� �� � + �5� � � � � +��� �9' P � X '�(*�������* ��� ����� � ���! ��+$#����8����� � �a��-54�&% C � [ ��[U' ' P ) X F � G [

� + ��4�� ����� ��! + � ��� �;� � ��� � � � 4 � �X� ��� ��� ! ��+$#����y�� ����$'6 ���c4���� � ��������� � 4�4�+"��� � + � +$-54 � �5+ � 4 � ��3W+$�y��� ��� � ��� � � ������ � + � �$�y(����U�k�$� � 4 � ������ ! ��+$#����a�� �����[n�a���� � ��'k����+ � 4 � � � �n� ������ � + � � �$��� � ������ - ��� � � #"%����� P � X� � �;'�3W+"�a�����"� � ��'�� ����' P � X [k�a��� � �;( ! ��+$#����l�� ����$' ' P � � ) X ' � � � �;��� - ��� � �� � - � � ����U% C � [ ��[�'������+0#����� � + � � P � X� � �a� ��� ' P � X G [

�g� � ��! � � ��#��� � � � + � '�+ � ��-5�p%� � � �;� +�3� ��� ! �U+"#����"�� ����=���Q#�� ����! ���;� � #"%y�* � � ��� �4��$��&%�[ � � +� �����y(=+$� � ��'l����� � � 9��5��%�����-5���$��� � �$4� � �� � #"% �� � %���� � :� ��'%���� �(' ��� � ��� �� � (*� ��� �� ���\� � ��� � 4����&%Z-5� � � � � � �*�0�����\� ������� ����� � �a( � �����B� � � ���I4�����] � ��� � ��� ���� �� � + � ��[�� ��� �;� � ' � � ��� � � � ������ � + � '8���B� � ��� � 4��$��&%�+$#� � � � �>� �X� � 4 � 3N�+$- ��� � �Y4����&%�'l���� 4�+ ��� � C �$� ��� �� � �� � #"%X���0���� � � 9���3 ����� � + � ��� � &% G ( � � � +$��]���� 4�+ ����� ��! + � 4 � ��' � ��4.� ��������! �����+�+ �n� �5�� ����$'k� ���m� 4 � ����� � �:������[ %�+������) ���>��������� 3W+"�- � ���� � + � 5� �g� � �65 ��� � + � +�3V� �0� � �����o-:+ � �;� C 3W+"� � +$-54 � ����! ������� � � 9��:3 ����� � + � ��� � &% G 'z(*��������$�\� C ������j]&-:+ � �;� G ����� � � 9$�x4��+��+ � +��k- � �����- � � ���� � �:� ��! -:� � �� �c� +� � + � +�36�X � � ��� � 4��$��&%�[��a� � �;'2�������� � � 9��x4���+$�+ � +$�)���+ � � ���- � � ����y ��� � ��� �� � 9�� � +"-54 � �� � + � +�3z+ � 4 � � � �' / e?� & ' $ " & ' $ ' $ � "� �e�d*" & "&e )�� "� �e' � & � ' $ & � 1 "S����d*"&e f � & �*" 1 [ � ��� ��� � ' � � � � �� � � ���g+7���p9�������������j]&-:+ � �;�a4��$�� � ���� ��\�5��� � ��;*� ����� ����! � � ����-:� � � +$� � ���=�+x-5� ��� � ��� ������������*����� C � ��� �Z����*�������B���-5� � � � ��� �"� +L( � �+ � ����� 9 ����� ���Q4���� � ���*� ��� �;9$� � �+Z�x#�+ ����� � �X��� -B#.���6+�3��� ���+ � ����54���� � ��� G [ � � 3N� � �'k(=� � ��� � + � ������9$��� � 5.�$#����Z�� � ��;:������ ����! � � ����-:�C ��;�xr"� � � + �c/ [��A[��A[�1 G 'V#�� � � � ��� ��� ���+ � ���y4���� � ���y� ��+ � � � #.�04���;9�� � �� � 3N��+"- C � �U���_]! ���U��% G -�+ ��� 3W% ����! ��� C �%�����- � � G ����� C � -�� ��4�>3N�+$- ���x4��� � ������- � � � � � � � � �+�3��� � ��+ � � �y+�3z��� � �*+L( ��� � 4 � � G [

�a�����$#�+L9$� ��� � �;� � � � + � � ��!�! ����5 ����0 ���i�� �;� ��� � -:4��U��-�� � �� � + � +�3������ � � 9$�3 ����� � + � ��� � � ��� � � � #��X�� ����� � � �+`���X�� ��� ��� � -54�����-:� � �� � + � +�3�+$� ��� � ���% C � [ ��[U'� + � ]E���� � � 9$� G 3 ����� � + � ��� � � ���U[ � +$�:� - �$-:4��U�$' (������;3W���:�+`�� �;� � � &% ��� ���X�� � + ���-5��� ���;� + � ��-:+ � ���S'>��� � �65 � � �|� � + �65 ��� � + �P/ [��A[ [ C 3W+"��+"� ����� �$��%m3 ����� � + � ��� � � ��� G [�a���� � ��'"(=��4�+"�� � � ����>����a�5-:� � +$� � &%5+�3Q���y4���� � ���g�������+ � ���a� ��� ����, ��� ��>������� ��� ���+ � ��� 4���� � ��� � � ��� +� C � � � � � 9$�;��% G ��#.+$� ���a� - � �;� � + � [ � � � ��� �:� � �$���$'�(=�� ����a9$��� � 5o��#����)�� � ��;Q����$� � ��! � � ����-�� ��� (*� ��� ��+ � ��%y�6-:� � +$� � &%>+�3� ���=4 � � � ���I% � ��� � ����x��� � ��;U[ � ��� �:��9���� � 5.�$#��U�5�� � ��;�� ����� � ��! � � ����-:� � � 5 - � � � ��� ��� C ��%�����- � � G���� � ��� ���$��� �0� � � ��!\� ;'� ��� � +$-54 � �� � + � +�3l��� � � � ��� �� � + � +�3l���>���� � � 9��*�%�����-L�� & B=�#B*�#�!"H+�(86#/:���#;�/�/'�=�!0�$ (8/'�*�)(*$%����B T �!�#4 (86#/:"%/'��?!(*6E�!0�(86#/:$%�# #��(8B - ;��#B8((/�/J ���" @ �#��;<$ �!" $%�

(86#/GB*/3&3�#�8$ ( @ ��!� �!;</K(8/3�DC$N#�#�8(86#/3�*;<���8/�+ (86#/G"%/3�#?!(86 �!0�(*6�/G?�"%� /��!"B8(*�)(*/ T �)(O�!� @ (*$%;</ - ;��#B8(��!"%B*�/�/J ���" @ �#��;<$ �!" $%�>(86#/:B*/3&3�#�8$ ( @ #�!� �!;</K(*/3�'C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ � � ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

� � � #.� � ���Z���Z� � +"� ����� �$��%m3 ����� � + � ��� � &%�[ �a�������������-:�$4�������, � � ��� ���x+�3B���3W+$� - CKC � ) � ' ) G ������0� C � � � ' � GKG 'l(*������ � � � � � +$����� ��� �;� � ��� � � � 4 � >+�3 � ���&%��a� ���' � � � � +���� � ��� �������+�3 ��� ��� ��� � 6�����$'.+x���:����, � � ��� � CKC w ) � � ) G ����� � C w � � � � G G '(*�������Xw � � � � +$����0��� � � - x+ � 4 � x+�3 � ���&% ��� ��� � � � � � +$���� � ��� �������+�3����� 4 � ��� � �����[

h�� � + ��� � ��� �� ����g ��������� � ���g�� ! ��� ������! ��� �;� �� � +$-54 � �� � + � +�3Q+$� ��� � ���% C � [ ��[U'� + � ]E���� � � 9$� G � +$-54 � �� � + � �;' � � � #.�g� - �� ��� � � �+����� � � 9�����%�����-5� C � � �2+$#� � � ��� ��!�� �;� ��� � -:4��U��-�� � �� � + � �g+�32������������� G [

�������E� � � &�'*$V�!1 1; 8'�9 4�� 8$V� 9;/=&�'*"� � �� � � ���l4��+$#��U��- ��� ! �$� ��� ��!:� �%�4��+ ! ��$4�� � � 4���+$�+ � +$� � �g(*��������� C +"�g�+5(*����a� - ]�� � G ����%74��������9��x ��� � �5��� �;� � � &%`(*��� � � - � �;� � �m� + ���;� � ��� � ���%�[`�a����4���+"#��U��-5�������$� � ��*( � �x���� 4�� � k+B����4��������9L�� � + � +�3 � ���+�] ��� +L(a��� ��! � C �����yr"� � � + � � [ � [U1 G�����-:�������U%X� �i��������� �� � + � �+����:&%�4��:+�3=4���+"#�����-5�6 ����y(=��-5�p%�� ��� + ��� ����[y�a�������� ��+ � �+y#��g�����$� � � � C ��9�� � 3N�+$-P���� #�� � �;3 ��� � ��� �� � + � G � �z ���� & $ &$f� e_�td & � 1�& " " & + ! �' $ �Bd;e e;� &0/ + ) $ +;�����e $ " e � e +;��",' ) $ d )�� "� �e*d & �0e)�.� ) " ) + )0/ � &01/� e &��6/ e " ) + & ��d_e � ) �e & ��� "� & $ �*1�& " " & + ! ' $ � & d*' $ � / exe � e +;��",' ) $ C +$�y��;9$��� ���Q���, � � � � ���z� - � ��� � + � � G +�3���\��$-���4��+�+ � +�� [{ T { T � T � �ZH�� OzKWM�KNRoO $� � ��-5�p%7��p%`����5�Y4��+�+ � +�� � � % �('�%���� �� �' � � u � &%����� � 3�(*������;9$�������X� � 9����� ���%-5�p%�+"#�� ��� #"% � � 9�+ �"� ��! � ���X� + � �+���� � ��! 4���� � ��� ��� ������#+ ) $ +;�����e $ "=e � e +_��" ' ) $ d )��"� �e=�o� ) " ) + ) / � �=��� �+B+$#�� � � �$#��U��#$%0� � +$� ���� 4�+ ����� ��! � � 9���� � ���%\���� � + � �+�� � � +$� ���;]� 4�+ ����� ��! 4��$�� � ���6-5� �"� ��! + ) $ +_�����e $ " � � $ +6" ' ) $ &0/ ' " 1 + &0/ / d��+��0� � ��� � 4����&% C ��� �� +"����� 4.+ ����� ��!x� � ����� -:+ � �;� G [\�X+"��� ! � � ��� �����U%$'.+ � �5-:�p% � + � � ��� ��� � + ���;� � ��� � 6� - �;]�;� � + � �6+�3)-5� � %������� � + � �a+�3ad_e e_� & / 4��+��+ � +�� �;'�� ��� � �p%� ����>��d;e6" )�� �.� ) " ) + )0/ d � �% �-'% ��� �� �' � � u � % ���� � 3)(*������;9$�������5� � 9���� � ���%Z-5�p%�+$#� � � � #"% ��� 9�+ �"����! � ���Y� + � ]�+���� ����! � ��� �n������� � + ���;� � ��� � \� - � ��� � + � � � �������+i+"#�� ��� �$#�����#"%`� � +"����� 4�+ ����� ��!� � 9���� � ���%Y ���� � � 9�+ � ���:� ��� � + � �+�� � � + ����� ��� � � ���U� �:�+c��� � ��� � 4����&% C � � �� +"����� 4.+ ����� ��!Z��� ����� -:+ � �;� G [ ��+ � ���, � � � �U%$'V�Z4��+�+ � +�� � �y�� ��� �+�#�� � &%����� �� � � ��� � �! &%�� �5��% �-'% ��� �� �' ��% � � ��� � � ��� �(' � � 3=� ����� ��! � � �y4��+��+ � +��z�+ & $ 1 d;e6"�+�3 � + ����� ��]�� � ���%��� �;� ����4��+�+ � +�� �=% � �;� � �a�0��;g+�3 � + ���;� ��� � ���%x�� �;� ����4��+�+ � +�� �U[

�7- ��� �y-�+"���k�$4�4.����� � ��! ��4�4���+"� � �>�����l#.�;� � �� � � � ���%�� ��!�! ����� � #"% �=� � �; � ; � /�= [�I+�+"�����U%��4.��� �$� ��! '����B� ��!�! ����a+ � + � � ��� ���*�04��+�+ � +��l+�#.�B��� �;� �� C ���������3W����6���;]3W��� �� � �+X���xe $ ' � ) $ �5e $ " &0/ / 1 � d_e +;���e G @ } + � ��% � 3 � \����-5� � � �y��� �;� ��5(*��� � � - � ��� �� �( � � � � � � % C 3W����� � #��U� G � � 9 � �+ � -:� � �[��a��� � +$ � + � +�3�� � � � 9 � �+ � -�� � � �5� ! � � ����]��� � � �� � + � +�3)��� � +$ � + � +�3�� � � �$-�� � � �$��%"] ��� 4 � � � � �Z�� � ���'V ���5� � 9 � �+ � -�� � � �>� �� � -�� � � �$��%:+$� � � �U� C +$�=������������� ���_] � ��4.� ��� � � �+"�� � ��� G ����=���>� � 9����� ���%�-5�p%0� � ]� �����[.� � 4��$�� ����� � ����'. ���5� � 9 � �+ � -:� � �-:�p%X���4������ � �+�������� - � ��� � + � �>+�3k9p�$� � + � �4��+�+ � +�� �2����)����g� �$� ��! 4�� � � � � + ���;� � �� � ���% C +����6� - � ��� � + � ����k(=� � + � � � � ��� G [h��6�� ������k����k���6� � 9 � �+ � -:� � � � � +$k� � 4�4�+"��� � �+\�$�� � � ���64��+$4.��� � - � �;� � + � +�3����4��+�+ � +�� C � ������� 3N� � >��+ � ����>4���� � ���6-��������U%�+"#�� ��� ��� � � � � 4 � �63N��+"- � �� ���L 8 � 6#/�(*/3�8; �#B8/'4 $%��� � ;,$%B��� ���������������� � �"!�#%$&!����('�� �3+ /���( -P/�/�/'"%$%/KSA/J(86��)(����*/'�!B*������/�"%/JB*/3�#B*/

�!0*)8�#�#$ SA/3�8B �!" &3��;< ���B ��/#$%"%$ ( @&+ $%B ���#" @ �1&3���8��"%" �!� @ �!0�(*6�/JB*�#?�?�/3B8(8/34 4#/ ���#$ (8$%���,C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8��� � � ����� ���� � ��� / � �

��; � � � ��� � �g+ � 4 � �g+ � G [ � ��� + � ��$���'�4.+�� � � ������%�'� ���y� � 9 � �+ � -:� � g-5�p%���� � � ������ � 9$��� ��$��% � � ��� � �$� ��! ���x� - � �;� � + � [ � +����U+L( � ��! ����� � - � ���� � + � 4��$�� ���U! -�'(=�x��p%� ����\�X4���+$�+ � +$� � ��� � 9 � �+ � -:� � �����U%"]&��� �;� �� � 3a� � %�3W����� � #����X�e &0/ � � )�f e / &�f � e_�td & � 1 & "," & + ! ' $ ��"� �e>�o� ) " ) + ) / � � ' "� "� �e & d d*' d*" & $ +te )�� & $ 1 � e & d*' ��/ e�e $ ' � ) $ �0e $ "S'� � � #��0��- � � ��� � #"%Y� � +"����� 4.+ ����� ��! ' f e &0/ � � )�f e /#&$f� e_�td & � 1 "� & ">��d;e�d "� �exd & �5ee $ ' � ) $ �5e $ "q'Q(*� � ����-5� �"� ��! � � - � ���$�\, � ��� � �����+i���x� � 9 � �+ � -:� � �[�� � ���03W+�����+L(g]� ��! 3W+"�- � � �� � + � '. ���5� � 9 � �+ � -:� � � � � -:4��U��-�� � �� � #"%�� C � + � ] ����� 3W+$� - G 3N�$- � ��%X+�34.+���% � +$- � ���j]&� � � � �;� � �;��� ��'�� ���B� � ��� �+>���� 4�+ � � � #����=3W+$�24��+L9 ����� ��! ���*4���� � ���z( � � ��� ]4 � �)� ��� 3W+$� ��% � ��! �+ ��� � � ��!"��� � �5���6�������U]E-:+ � ����� - � ��� � + � 3N�+$- ��� ��� �����U]E-:+ � ���� - � �;� � + � [�ZH�� OzKWM�KSR.O|{ T { T � C � � 9 � ��+ � -:� � ���U��%"]E�� ��� ��>4��+�+ � +�� ��'��0��+ ��! ��� � �; � � G ��Qe�"( � e& $ / � & � 1�� � $ +6" ' ) $ &0/ ' " 1 & $ f�� � e & $ / � � & �*" 1 �o� ) " ) + ) / � & $ f + ) $ d ' f e_� "� �e �6)0/ / )�� ' $ ��e &0/�& $ f ' f e &0/ � )�f e / d*�

��� d6��d�� &0/ � & ������j]&-:+ � �;� &�f� e;�td & � 1 + ) $ "S� ) / d*d ) �0e )�� "� �e�� & �*" 'Ne_d ' $ & $ e � e +_� �",' ) $ )�� "� �e*�.� ) " ) + )0/��� $ &�f$f ' " ' ) $ " ) e � e +_��" ' $ � � � &0/ / � & �*" 'Ne_d + & $ + ) �/��� �$ ' + & "&e � ' "� & $ & � � ' "S� & � 1 ' $ "&e;� & +�",' ek�.� ) +te�dtd�� � �' +� ' d + &0/ / e f & $ �' �� � �('��� �' � � ) $ e�d*""� & �*" 'Ne�d ) $ / 1 + ) �/�:� $ ' + & "&e � ' "� "� �eae $ ' � ) $ �0e $ " � e �6) � e "� �eae � e +;��",' ) $d " & �*"Sd & $ f � �e $ ' "=e $ f d � "� �e 1 �0e_�e /21 )�� " & ' $ "� �e�' � ' $ �o��"Nd � � ) � "� �eBe $ ' � ) $��5e $ " & $ f � & d d "� �e�' � ) ��"U�.��"Sd " ) ' " � $ + ) $ "q� & d*"�� f ' d$ ) $ e_d ".� & �*" 'Ne�d C � + � �+������ �#$%� ���0� � 9$��� ��$��% G � &�1 + ) �/�:� $ ' + & "&e � �ete /21�� ' "� "� �eZe $ ' � ) $ �0e $ "$� & $ fXf )d ) + ) $ +;�����e $ " /21 " ) "� �e�e $ " ' �e�e � e +_��" ' ) $ )�� ��

��� $���� �����U]E-:+ � ��� &�f� e;�td & � 1 + ) $ "S� )0/ d=d ) �0e )�� "� �e2� & �*" 'Ne�d ' $ & $ ' f e &0/ + ) ���.��" & �",' ) $ & dtd*' d*"Ee f��*1 & "q����d "&e f � � & �*" 1 "� & " � e &� e�d & + + ) � f ' $ � " ) "� �e � � $ +6" ' ) $ &0/ ' " 1 � $ &$f�f ' " ' ) $ � & / / � & �*" 'Ne�d(+ & $ + ) �/�:� $ ' + & "&e � ' "� & $ e $ ' � ) $ �0e $ " C ��� ��� �����������-:+ � ��� G � $ f e e f � "� �e f ' d$ ) $ e�d*"a� & �*" 'Ne_d�� &01 + ) �/�:� $ ' + & "&eXe � "&e $ d*' e /21� ' "� "� �e\e $ ' � ) $ �0e $ " � e �6) � e & $ f &�� "&e_� "� �e�' �6d*' $ � / e + ) �<�:� $ ' + & ",' ) $ � ' "� "� �e"S����d*"&e f � & �*" 1 � � �e_� e & d "� �e ) $ e_d*")� & �*" 'Ne_d�0e;�e / 1 )�� " & ' $ "� �e�' � ' $ �.��"Sd � � ) �"� �eBe $ ' � ) $ �5e $ " & $ f � & dtd "� �e6' � ) ��"j�o��"Nd " ) ' " �

�Xe\d &01 "� & " � � ��� ' �' �� � �('��� �' � ���.� u �q� %����� � � � �5��% � � � ��� % ��� ��� ���.'pv ' ���6) �:e e;� 1�.� )�� &�� ' / ' d*",' +�� ) /21 $ ) ��' & / � " ' �5ex�e &0/ � � )�f e /�&$f� e_�td & � 1 "� �e;�e0e � ' d*"Sd & �o� )�� &�� ' / ' d*" ' +� )0/21 $ ) � ' &0/ � " ' �5e ' f e &0/ � � )�f e /(&�f� e;�td & � 1 � dt��+� "� & " �6) � & $ 1 dt� � d;e6" 9 1 ; / = )��� � ��, � ��� � ��� ����� ��� � &% @�� $ )��6& � ' /21 )�� � )0/21 $ ) � ' &0/ � d*' ! e +6' � +;��' "Sd�� F J � � L � N�� + & $f ' d*" ' $ ����' d$ "� �e + & d;e ' $ � �' +� ' "�' $ "&e_� & +�"Nd � ' "� y� & �*",'Ne_d ' $ "� �e>�e & / � � )�f e / e � e +;��",' ) $)���� � $ f e;� &�f� e;�td & � 1 C 9 � G � � ) � "� �e + & d;e�' "#' $ "Ee;� & +6"Sd � ' "� 5� & �*" 'Ne�d ' $ "� �e�' f e & / �� )�f e / + ) �6�o��" & ",' ) $ )�� � $ f e;� &�f� e;�td & � 1 C 9 � � G � � + �e � & " ' + &0/ /21 �

J !�"�� ��� ~ TBT � P )��X T � L � N�� �� J ��� ����� T

BT � P )�OX T � L � N��

� �e;�e !�"�� ��� ~ TBT � P )���X T �

C ���� 4![U' ��� ��� � TBT � P )�OX T � G f e $ ) "&e�d "� �e ) ��"U�.��" )�� � � &�� "Ee;�

' $ "&e;� & +�",' $ � � ' "� "� �e ' f e &0/ � � )�f e / C ���� 4![U'�������j]&-:+ � �;� G e � e +;��",' ) $ � $ f e;� C 9 � � G C ���� 4![U'C 9 � GKG �L � � 6���BD+!(86#/P4#/ ���#$ (8$%���1B86#���#"%4��!&K(*���!"%" @ B8 �/3&3$ 0 @ �!���!4#4#$ (8$%�����!"# #�!� �!;</K(*/3� /����#�#4#$%��?�(*6�/P���#;�/�/'�

�!0� ��!��(*$%/3B (*6��)( ;7� @ /�/J&3���A(*�8��"%"%/'4�/ @ (86#/O�!4�SA/3�*B*�!� @ C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ � ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

�6�y� � � �� � ��#.+L9��$'8���:� � 9 � �+ � -�� � �-5�p%X� �;� + ��� 63W+$��+�������� - � ��� � + � �>+�3k9p�$� � + � �4��+�+ � +�� �>����\����: � �"� ��! 4���� � � � + ���;� ��� � ���%X�+X ���x-5� � � � - � ��� � + � #�� ����!�� + � ]� ��� ����� � [ + ��5 ��� � + �Y/ [ / [ � � -:4�� � ���6����6� ��� ��� � 9 � �+ � -:� � � � � ��� +� ��� � � ��!"��� � �����������o� - � �;� � + � 3N��+"- � �0� � �����8+ � ��[ �a� � �=-:��� � �=����=� � %� � ����! ����=���y�������U]E-:+ � ���� � 9���� � ���% ! � � � ��3N��+"- ���5� - � �;� � + � +�3)���x4���+$�+ � +$�z� ��� � � %X� � 9 � �+ � -:� � C ���4�]����� � � ��! +$����� � + ����� � ��� � B� - � ��� � + � � G ' � � � #��X��� �+�+$#� � � � � � #"%`� � � � 9����� ���%+$4.��� �� ����!B� � ��� � � �����V-�+ � ���V� ��� ���p9 ����! � ��� ��� �k+� ������$-:�6� � 9 � ��+ � -:� � U[2�a� � �;'��� � �Yd ' $ � / e\� - � �;� � + � +�3 � � � � 9 � ��+ � -:� � ���U��%"]E�� ��� ���y4��+�+ � +�� � � � #.�B����4�� � � � � #"%� �|��� �����y+$� � � �U� � �����>�+ ��� � +"����� 4�+ ����� ��! 3 ����� � + � ��� � &%$'6( � ��+ � �� � � � ����! ���+� ����� � + ���;� ��� � \� - � �;� � + � ��[ � � �� ����� -:+$���' + � � � � � d*' �:� / " & $ e ) ��d /21 ����4���� � �����U������� � + ����� � ��� � :� - � �;� � + � �0#"% ��� �����a+"�� � ��� � ��������'�� ���m� ���X���$%�#�� � � �$� !"� -:� � �+c� ��+L( ����5 ����#������p9 � +"� � �x-5� ��� � ��� � � [ C � � � � �;� � �5�+ � ��X����3N� � 0����0�� ����! �U�\���4���� � ��-:� � � +���� � +$6� � � � *���B+� ����� � + ���;� � ��� � a� - � ��� � + � �*�;9�� �����X� �����+$-:��+�32���B+������g� - � �;� � + � �*���� ��� ���\������Q-�+ � ���I� ��� ���B����*���� ��� ��� ��� �����-:+ � �;� [ G �&a3W+$�U��+L(*�a �����e $ ' � ) $ �0e $ " & / /21 � d;e +;���e��o� ) " ) + ) / d & � e\d;e +;���e � ' "� ��e_dq��e +6"" ) + ) $ +;�����e $ " + ) �6� ) d*' " ' ) $ ; � /�= [ h��>(=+ ��� ���=(*���������g������;9������ ��� �� � � + � ��+�� � �U[

{ T { T � T � ; RoO $ MU# " J M�KSR.O $�a���\-5� � � 4�+"� � � 9��\���� � �� ��� � ��� � �U% �"� +L( ��� �g����a� � 9 � �+ � -�� � ������%$]&�� �;� ���>4���+$�+�]� +$���B3W+$�:� � %Y3 ����� � + � ��� � &% � � � #�� � + � �� � ��� �� � 3W+$�:��;� ����! � ��� (*� ��� �n-�+"���Z��� �&(=+�]E� � � � ��+�3Q ���\� � � 9��y4���� � ���a�$���y��+ � ��� C � 3�[ ; � / = G [k�a� � �6��+�� � � ����� + ����� � + � �����U%3W+$�> ���:4�� � 9L���� � ��� ��� �;� -:+ � �;�q'l� ���Y����� ���y�� ��� ��� � ��� � � -54� � + � � C ��[ ! [U'Q�����U+L( � ��!��� � + � �� ��� � + � +�3z4 � #�� ��� ] � �;%5� ��� �%�4� � + � � � ����-:��� G 3W+$�����y�� � ��� ��� � -:+ � �;� C � [ ��[U'( � ��+ � =4�� � 9L���� � ��� ��� �;� G [ �a��� � -5-:� ��� ��� � + � ���, � � ��� �6+�3l� � �g���� � �U � ������ ! � � ]��� ���z� � 9 � ��+ � -:� � ���U��%"]E�� ��� ���\- � �� � ]E4��$��&% � +"-54 � �� � + �i� �>4�+"�� � #��U�$'V4���+L9 � � � � ����-:+$��y��� � &(=+�]E� � � � �=+�3z���\4��$�� � ���a�������+ � �����[� �@� + � � ���;' ! � � ��� ���>� � 9 � �+ � -�� � ������%$]&�� �;� ��� " � ) � � & �*" 1 � +"-:4 � �� � + ��� � � +$

4.+$� � � #���� C � � ������ � ��� �$� � �� � �� G [ @�� r" � ���q'�+ � � � � � ����U9L� ! � ! � � ��� ���L� � 9 � ��+ � -:� � ���U��%"]�� �;� ����&(=+�]&4����&% � +"-:4 � �� � + � ��� ����3W+����U+L( � ��! ������+ � ��#�����-:+ � ���,���+ � � ��� ���5�� ��&(�+"� � ���� � + � � ��� �a����9�����= ����*�$���y( � �U� ����! �+04���� � �_� 4����� C �$� � ������4.��� � '�4.+$��]� � #���%Z3W+$�6��4��p%�-�� � G � �X� +"-54 � �� � + � � ����� � ���� � #$%��x��;�+�3 C &(=+x+$��-:+$�� G � ���� ��[%6+L(�'"� � 4�4�+"���a ���� &(=+ � ���� �2( � � � � ��! + � + ������� k���� ��� �� � +$-54 � �� � + �5� � � � ! ��;�+ � ����;=+�3I����9������� ��� �x�������� � � � ����=#.�;� � ��9����= ����g-:+$��6��� � &(=+�]E� � � � �)+�3I�������9���� � C ��� � � �y��; G �$���:��+ � �����[B�a��� � 'V( � �i ���5� � � 9$�:4���� � �_� 4��� � + � +�3=� � �y����+�3)����9������'� ����&(=+ � ���� � � � ��� +$-54 � ��� � %Z3 ����� � + � ��� � &% ��� � � � � 9 � ��+ � -:� � ���U��%"]�� �;� ����-5� ��� ����[

� � +������5�������+ � �$#�����-:+ � �;�a(*������� ! � � ��� ���=� � 9 � �+ � -�� � ������%$]&�� �;� ��� " � ) � � & �*" 1� +"-54 � �� � + ��� ��4.+$� � � #���� � �* ����� ������ � � � ��� +$-�]&�� � � ��! -:+ � �;� ; / � = [9� � � � �>-�+ � ���S'�����a4���� � ���5���p9$��� �;� ��� �B+`� ����� 9����� ���a� � ��� +$- �� � � ��! C +�3���� ��! � ���������� � �+`����� �;� � � &%74���� ��-:������ G [mhY�X����� �:����: ���X� � � &%c � � ��� � +c4�+"��5� � � ����� 9$��� ����� � ��� +"-<�� � ��!\� � � +$����, ��� ��� � �+�� � �64��$�� � � � � %:� - � �;� � + � +�3I� � %54��+�+ � +��q'$� �������g�����o� - � �;� � + � ��+�3Q���U�84��+�+ � +�� ��-5�p% � ��6 ������$-�� ����� 9����� ���o�� ��� +$- �� ����! [L�� � 0�&3���#�*B8/A+)B*��;</B* �/3&3$ ��& (�-P�!F� #�!�8( @ &3��;< #��(*�)(*$%����B�4#�=6��3SA/�/3�9S�$%�*���#;</3�A( �!"%" @ F�B8/'&3�#�8/� #�8�!(*�9&3��"%BDC

� /3/ � � ; ,0M��� B*/KSA/3� �!",$%;< �����( �!�A(=/ +��!;< #"%/3B T /�C ?#C%+ ��/ @ /#+�&*6��!�#?�/ - C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8��� � � ����� ���� � ��� / ��1

��������� � /�"�9�&J1 /C$ � 0�� & 9� 8"

�a����-5� � � ���� � ���a4������ � � �x� � � � � � ���$4����� C � [ ��[�'��a����+$���-5� / [ � [�1>� ����/ [ � [U1�� G ������� �Z�+��)��+ ; � /�/U= � ��� �+ > +$� � ��� ��� �V'2� � � ��� � � ��� h ��!$� ����+ � ; 1 �$�"'�1��0� = ' ����� � ��!����&(=+�]&4����&%Y� ��� - � �U � ]&4����&% � �������' �����4.� � � 9����U%�[ � � 3W+"�� ��� ����;��%�' ����+$� �U!$��� ���4��$4����� � + � +�g4��+L9 � � �>�B� �� � ��3N� � +$�%04�������� � �� � + � +�3I ������y����� � ����[%� � 4��$�� ����� � ����'������Z4��$4�����B��� � � � � ��, � ��� � ��5 ��� � + � ��+�36�� ��� � � &% C (*� � � �c(=����0+ � ��% � �;9$�;��+$4.� �� ������ G 'k� ��� 4���+L9 � � �x+ � �U%c�+ ��! �7� � �; � �����B+�3* ��� � + � �� ��� � + � ��� ���7� +�4��+�+�3N�B+�3��� � �Z�� ��� � � &%�[ r" � ���S'���� � + � 3W���� ��� ��9$��� � � + � +�3 ; 1���� = 4��+L9 ��� �����m��+ ��! �b� � �� � �+�3\ ��� � +$-54 � � �� � + � +�3�4��+�+ � +�� �03W+"�� ���`����- � ]&��+ � �����-:+ � �;� ��� �+ 4��+�+ � +�� �03W+"����\-:��� � �_� + � �a-�+ � ���S'�#"% � � � ��! � ����+�] ��� +L(a��� ��! ��4���+�+�3N� C (*� ��� ���$���y���\-:� ��� 3W+ �;� �+�3 ; 1 ��� = G + � 3W+$� � � -:��� � �_� + � �a4���� � ���a+x#������p9�� � � �0����- � ]&��+ � ����*-5� ��� ����[��)��+ � �(=+$� � ; � /$/U= 4������ � �z� � + � �� ��� � + � ���� � � � #.� � �� � �+ � ��� � 9��=&(�+�]E4��$��&%y4��+�+ � +�� �3W+$�)4�� � 9L���;��%$] � +"-54 � � ��! � � % � ��� � ��$#��U�=3 ����� � + � ��� � &%$'$(*�����������2 ���6�� � + ��� 4���4.���k+�3> +�� � �� � � �x��U[���� [ ; 1 �0� = 4�������� � �g� ��� � ���� � � + � �� ��� � + � 3W+$�= ���\- � �� � ]&4����&% � �$����[

� � ��4������ � �� � + � ��;9$��� ������ ��� � ����+ � +���+ !$��� ���6+"� � ��� C � � (*� � � �| ������c����� � �U �(=���� ��� � � +L9������ � G [ � � � ���U%$' + � �������-:� � :+�3*���Z&(=+�]&4����&% � ���� � � � ��� � 9$� � ' 9 � ��+$-:� � � ! � � ����� � + � 'o3N�+$- ���0�����-:� � y+�3=���0- � �U � ]&4����&% � �$��� C ��� ; 1�����' 1��0� = G [r"� � + ��� �U%$'I(=�0�� ���y#"%Y����� ����! ���x���- � ]&��+ � ����-�+ � ������'Q� ��� + � ��% � � - � +$-54 � ���4��+�+ � +�� �a3W+"�*� � �>-:+ � �;� ��� �+�4��+��+ � +�� �a3W+$�6���:-5��� ���;� + � ��-:+ � ������[6h�� � +$�������C 3W+$�U��+L( � ��! ; 1��0� = G + � ��4������ � �� � + � +�3g���x-5� ��� 4��+��+ � +�� � � ������� � � ������%���%�-5-:�;^]� ��� 'l(*��������$���)��+ � �>+$� �U!$��� ��� 4��+��+ � +��z3W+$�>���0&(�+�]E4��$��&% � ���� ; � /$/�=k� ���$��%�-5-:�; � � �C ( � �Y�����4.� � �+� ����&(=+Z4���� � ��� G [y�a���B� ������>���%�-5-����%X����� � �>+L( � -���� � �y�$�� ��-�+ � �� ���� ��� � ; �Q��'.� � / '.�� � = [� � ������ ����! ���g���- � ]E��+ � ����2-:+ � �;�q'�(��=3W+$�U��+L(7����3N� ��-:��(�+"� � +�3 > +�� � ��� ��� �l'�� � ]

� ��� � � ��� h �U!"� ��� �+ � ; 1��0� = '�(*� � �U�\� � ��4� � ��!5� -54.+$�� � a� � -54�� � 5 � �� � + � � ��� ���+ ; 1 / � =� ��� ; 1���1 = [(� � 4������ � � ��! ��� � ���- � ]&��+ � ���V�+*-5��� � �_� + � � g� +$-54 � ����� � C +"�8���)4���� � ����! -+�3 � 3W+"� �;����!� ����- � ]&��+ � ���8#.�����p9 � +$� G '�(=�23W+����U+L(Y���k+ � �� � � �)4��+L9 ��� � �6� � ; 1 ���"' � � �ar � ���^]� � + � '>r"� � [�� = � ��� ; 1 � ��'>r"� � [?� = [ h�� � +$-5-:� � Z��������Y+"� ��!�� � ���>��+ � � � ��� C � [ ��[U'; 1 ����'V1 �0� = G ����>9����%0�������'�� ��� ����g3 � �U� � �; � � ���g(=�����+ � ��%�4��+L9 � � � �x� � ; 1��� = [ � � ������-:� � ����� ��� �a3N�+$- ; 1��� =Q� �X� � ����! �x� ��! �����a�U��9����l+�3k-:+ ��� � ��� � &%$'�(*� � � � � �*� � 4�]4.+$��� � #"% � +$-54�+"� � � + � ���;+$���-5�=3W+"�g���\-5��� � �_� + � �g-:+ � �;� �U[

�6�y����� � ��#.+L9��$'l�Z� �� � ��3N� � �+$�% � �65 ��� � + � ��� ������-:� � >+�3=��� �;� ��:- � �� � ]E4��$��&%� +"-54 � �� � + � (g����4���+L9 � � � � ��3W����\���Z4������ � �� � + � +�3* ��� � + � �� ��� � + � �B+�3 ; 1�����'1 � ��'.� /�/U= [)�a���\#��$� � � ��4�4��+$� � �x(g��� � ��9����U+"4�� � #"%�� ��� ��� � � ��� *+ ! �p(g�p% ; �$�� = � ����g���p9$��� ; 1���'o1 � = ' @ � ��� ����� � ��� � -5�� � � � &% � � �=� � �; �*� ��(=+$� � ; ��� = '�(*� ��� ��4���+L9 � � ���)���;� �� � 9����U%:� � -54�����' � � -�� #��U�6� ���0� +"-54�������� � � � 9��g�����-:� � k+�3V��� C #���� � � G � ��5 ��� � + � �+�38��� �;� ��g- � �� � ]E4����&% � +$-54 � �� � + � [(� � 4��$�� ����� ���$�;'L ��� � +"-:4.+$� � � + � ����+$���-5�z����(=� � ���\�$���>��� ��� � � �����U%x � � � � 3N��+"- ; �$� = [

� 9L��� � ��&%�+�3 � �%�4��+ ! � ��4�� � � �+�+�� � � � � ��� ����� ����$#�� � � � � ��! ���x-5� � � ����� � �U �y+�3� � � � ����4�����[ � � �����%�'$(��a-:� � � + � ���64��+$- � � � � ��+$�U�g+�3 � #�� � 9 � + � �k�Q� � � �^3W��� � � ���

L���� 6#/ �! # #�8�A�!& 6 �!0� ���"%4�- �!B8B*/3�<�!�#4��,/KS�$%� � 1 ��� $%B�;<���*/7?�/3�#/3� �!"�� $ (<�3SA��$%4#BG(*6�/ 4#/ ���#$ (8$%����!0 B*/3&3�#�*$ ( @BT -:C �'C (G�E?�$ SA/3�R0M�#�#&K(*$%���#�!"%$ ( @ - �!�#4 4#/ ���#/3BG$%�#B�(*/'�!4 �E�#�!(8$%��� �!0 $�� !�� !�� !�� � ! '�� ��� ��� � C�,�9��B*/3" @ B8 �/'� �9$%�#?#+��: ��*�!(8��&3��"�$%B �*� /��#B8(P$ 0�-=6��)(8/3SA/3� �!�>�!� /�$ (*�*�!� @ ;7�!"%$%&'$%����B��!4�SA/3�*B*�!� @ &D�!�7� /�(*�!$%�/ @ �)(�(*�!& ��$%��?>$ ('+#&'�!� �!"%B*��/�/J� /�(*�!$%�#/34./ @ �OSA/'� @ /�/3�#$%?�� �!4�SA/3�*B*�!�*$ �!" /�/36��3S�$%���'C

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ �"� ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

4��+�+ � +�� � � ��9��;��+$4.� � 3W+"�V�������- � ]&��+ � ���I-:+ � �;� [ @ � � � #�� � 9 � + � �l�z� � � ��3W���l4���+$�+ � +$�(g��� 5.� �� � ��!�! ����� � #"%5 6�$# � � ; � � /�= '$# � + � � � � � ��� � �65 ��� � + � � ���:� -:4��U��-�� � �� � + �3W+�����+L( ��� ��� ������+�3 � 9�� � ' > +�� � �� � � �Y� ��� �I��-54.�;� ; 1� � = C ���y3 � ������ � ��9��;��+$4.� ��� ����x4���+ � �;� ������! �y9����� � + � +�3 ; 1 �$� = G [�r"�;9$��� ��� � ��! �� ��� � � ��4�� �p%i��-:� � +$���+���� ��� ���� +"-54 � � �� � + � +�3=4��+�+ � +�� ���� ��� �� � � ���0���- � ]&��+ � ���>-:+ � ��� ��� �+ ! � � ������U��%X��� �;� ��4��+�+ � +�� � C 3W+$�=���y-5��� � �_� + � �g-:+ � �;� � G [ �a������ ����� � ��� � + ) �<� ' " �5e $ " d�+� �e �5e_d�' ! e_� ) �! $ )�� / e f �$e��o� ) )�� d � )�� � ! $ )�� / e f �$e;' e;�*' K &��6/ e�d;e +;�e�":d0 & �*' $ � C � � �+ ����� � � #"% �=��+$��'> +�� � (g��� �����;'$� ��� ��� � � ��� �*(=��� # ��� � ; � = G '"� ��� d;e +_��� e + ) ' $� � ' ��� ' $ � C � � ��+ ����� � � #"%�g� � - ; �� = G [

��� H�� #LK � M H@J � OQO H��� R )zH��� �6�0+"4�4�+"��� � +c����# � ���n+�3y� � � � ���$4����� C ���(=�;���Q���*���B# � ���Z+�32���B� � � ���(�+"��� G '�����4�� � 9L��� � ��� ��� �;�I-:+ � ��� C ������� ����� r�� � ] � + ��/ [ � G �����U+L(*�2+\4������ � k����� � �U � ���� � + � +$)��;��%B+ �:� � � � � ��# � � � &%:��� � � -54� � + � ��[�a�������:����� � ��� C ��[ ! [U'V�a����+$���- / [ � [ � G 'o(=����\+$#� � � � � � #$% �g� � ] � ��' > +$� � (g��� ����*� ���h ��!$� ����+ � ; �(� = � ��� �=��� � -�' �=�����4���� � � ���:+ �$- !����� � ; / � = [ �a�������g(=+$�����Q(=���� � + � ��L3W���B��������� � ���B+�3 �)��+ ; � /�/�= � ��� > +$� � ��� ��� �V'2� � � ��� � � ��� h ��!$� ��� ��+ � ; 1 �$��')1��0� =(=������ � +L( � 'V( � �� ���5����4�� ���;� �-:+� � 9L�� � + � +�3�+"#�� ����� ��! ����� � �U �y���� � + � +�������U%+ �x��� � � � �$# � � � &%:�$�� � -54� � + � �U[ � � ��4�������� � �� � + �5� �g#��$��� � + � ; �Q� = C � 3�[ ; 1���� = G [k�a������ �� � � �����+����a+�3V ����#.+ ����� + � ��� ��� -B#.���)+�3 ��� ���+ � ���)4��$�� � ��� C ��9�� �5��� ���6���- � ]��+ � ���a-�+ � ��� G (g���a� ����� � ����� ; ��1 = � ��� � � #�����, � � � g(�+"������[

��������� �a�!DJD! #"�9�/%$(' �&$J1('6�!1�9�)* 1,+( �.-0/%1*D�6�>� � � �� � ��#.+L9��$' �)��+ � �>�������� � �� � 9��B����� -:� � *+�3�����&(�+�]E4��$��&% � �$���\+ � ����>�+$-:�� � 9p� � � ! ���g+L9$���=���B����� -:� � 64������ � �� ����� r"� � � + �i/ [ � [��������� � �Z+�3 �)��+ � � � + � ]�� ��� � + ��� �*4��+L9 ��� � �x� � r"� � � + ��/ [�1�[ � [��A[ � +"�a-�+"��� � ��� � � �;'���;� ; ���$� = [

�a���k���� � ���l-:� � � + � � � �$#�+L9$�z(=���� +$� ��!�� � �����U%6+$#� � � � � ��� � � ��! 4��+��+ � +�� �8���� � ���a4.+���% � +$- � ��� ��� -�#����V+�3��+ ����� �U[ � � ��+"-�� � �������'�� � #����, � � � I(�+"�����8+$#�� � � � � ��� �;� ��+ ) $ d " & $ "j]&�+ ����� 4��+��+ � +�� � C ��[ ! [�' ����� �$���>+�32- � �� � ]&4����&% � +"-:4 � �� � + � �g( � ����+ � ���-5� � +"� � &% ; �Q� = '�� ����� �Z� ����y+�32&(�+�]E4��$��&% � +$-54 � �� � + � �a�����U+L( � ��! ��#.+$� ; ���� = G [

h��x���p9��x-:� � � + � � � C ��[ ! [U' � � r"� � � + �n/ [ / [�1�[�1 G ��� � -:4.+$� � � # � � � &%Y+�3a+$#� � � ��� ��!3N� � � � ��� � � � �� �;� ��� � +$-54 � �� � + � �B( � ��+ � :����+ � ����-5� � +"� � &%�[i�a��������� ����-:� � �����x#�� � ��� � #"%i ��� � -54�+"�� � # � � � &%�+�3 � -54��U��-:� � � ��! ��3N� � �\&(�+�]E4��$��&% � + � � ]E�+"���'Q�$�4��+L9�� �x� � ; �$� = [

h��=���p9$�)#�� � � � % ��� � ��� � ��� � ��� � +$ � + � +�3�� � �$4� � 9��=� � 9$��� ��$� � ����[2� -�+"��� � �; � � �U� ���� � ��� � � � + � +�3l ��� � ��5 ��� � + � � � �)4��+L9 ��� � �:��� ; ��� = '�(*� � � �0# ��� � � �)+ � ; ��� = [ � +"�)�\4��+�+�3+�3y�a���;+"����- / [ / [���'k ���X����� � ��� � �0��_3W��� �� � + ; �Q��'k� � = [ � +$�0���� ��� %7+�3>� � ��4� � 9$�9����� � � � + � ]E� � ��4� � 9��y��� �;� � � &%$'����\���� � ��� � �*��_3W��� �� � + ; � � = [� � � ������ -�� � k+�3l- � �U � ]&4����&%�4���+$�+ � +$��� �$�� � -:���k�B��% ��� ���+ � + � � � ��&(�+"���B( � �4.+ � � �]q+�]&4�+ ��� � ��� ��� �;� �a#���&(���� � �;9�����%x4�� � ��+�3z4��$�� � ���U[� *��� � �U �=3W+$�a���% ��� ���+ � + � �� +"-5- ����� � �� � + � � ��� ��� # � � ���% � ��&(�+"�����V+�3�4�+ ��� ^]E�+�]E4.+ � � � ��� ��� �;� �l(=����)4������ � � �� � ; �"��'���� = � ��� ; � /�= '������4.� � � 9����U%�[L,+ � �@/#B*/�69�#/3�9(��*/3B*��" (*B / @!3 $%"%$ �!� � 1%454 �0M�#�8(86#/3�.4#/3;<���#B�(*�*�)(*/ (86#/�$%;< �����( �!�#&3/��!0 � /#"%$ S�$%����B � � �!�#B�F0M/'� $%�7(*6�$%B &3���A(*/#+9(DC

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

���8����� � ����� ���� � ��� / ���

> � � ��� ���Q�� ��� ��B- � �� � ]&4����&% � +$-54 � �� � + �X��� ��-:+ � �;�z+�3k �� � � � � � 6� � 9����� ��� � ���#.�����p9 � +$��(=�$� � + � � � � ���� ����� ; � � � = [�� � � � �a-�+ � ���8����� � 9���� � ���%:-5�p%x�� ��� � � + � ��+$�+�3 ��� � ��4����&% ��� � � ��! ����4��+�+ � +�� � �g����� ��� � + � 'o# � � � ��� ��9���� � + � ��+$�I-:+$������ �C � �p% G 1����+�3I ����4��$�� � �������� � %54.+ � � � � � -:��[ h�� � +$-5-:� � ) ����=� � ����-:���=��� �;� ��� � � � �*-:+ � �;�l(=������ �����g��� -�� � � 4��+$� � � 9�� C � 3�[�' ; / � = G [

h|��� � �;9$���2(=�*���p9��a����� ��� �� � ���6� � 9$��� ��$��% � � � + � �+���+�384���� � ����'�(=�g���p9�� � + � ��+y#"%:#�+ ������� ��! ��� � �$� ��� � ��� � &%�+�38�������� +�3 � + � ��+$�U��� � 4���� � ����[(�& � �k, ��� �� � �� � �����+ � + � � � � ���Q��� # � � ���%������ ��� � + � �V+ � ���=����I+�3 � + � �+������ � 4��$�� � ��� C � [ ��[�'� ����Q� � �z����#.�;��+ ��! �k�+:�y3N��- � �U%5+�3I�����)� ! � ��� �k(*� � � �x�� ��� � � &% � � !$� �$�� � �;� � G [2�a��� � � ��������� ����� � ��� � �6���;3W��� ��� � �+ ; 1 / � = [� +"�>3 � ������ ��� � ��� �� � + � +�3��=% � � � � � � � ! ������-:� � ;'z�����0� � %i�� ��� ��� � ����#.+�+ �

+ � +>� �� � # � �� � ��+"-54 � � ��! C ��[ ! [U' ; ��'I��1� = G [5h��x-:� � � + � ����y(*��������$�>4���� ��� / ]4��$��&% �g% � � � ��� � � ! ������-:� � � � � �+$�U�������y��g-�+"�� � C / ) 1 G � ����-:��� � �_� + � �=4���� � ����'� � ��� � ��� ��� � �g% � � � � � ��� ! ��;��-:� � � � � �+������ ����� � % ��� -B#.���g+�32-5��� � �_� + � �a4�����] � ��� C ��;����+ � �� ��� � + �n/ [��A[�1 / 'I(*� � � ��3W+����U+L(*� ; ��� = G [i�a���Z4���+"#�����-5�B�$� � � � ��! (*��� �� +"-54�+"� � ��! � � ��� � ��� ���� � �=% � � � � � � � ! ������-:� � a���� � � 9����� �U! ���� ��� � ; �� � = [

��������� � #1 @���$JG� � �� "

*� � �����6 ����Z#$% �a���;+"����- / [ � [U1p��+ � � � � � 4�� � 9L����;��%"]E�� ����� �X� � %n3 ����� � + � ��� � &%m+� #�� � 9 � + � ���z� � � ��3W����[ � � ������-:+$���'I��� � +"-54 � � �� � + � +�3g4���+$�+ � +$���>���������0��� �;� ��� � ��������- � ]&��+ � ����g-:+ � �;� � � �+54���+$�+ � +$���= ����a������� ��� �� � � ����-5��� ���;� + � �g-�+ � �����+ � �U%n���, ��� ����:+ � �;]q(g�p%�3 ����� � + � �x� ��� 4�� � 9L��� � ��� ��� ������'=(*��������$�� ������������ � � �#.�:��- � � ��� ��� � ����! �� �;� ��� � +"-:- ����� � �� � + � 4���+$�+ � +$��� C ��[ ! [U'I�� ��� ��:4 � #�� � � ] ����%X� � ]� �%�4� � + � � � ����-:��� G [Br � ��� � � #�� � 9 � + � �>�Q� � � �^3W��� � -:4�� � ���>����� � � ��� ��� �:+�3k����� ������C ��;� � ����� �_� ��� / G ' ! � � ��� ���l�� ��� �� � +$-54 � �� � + �Z� �*�� �����_� #��U��+ � #�� � 9 � + � �a�z�� � ��3W����[�a� � ��' � �;����- � ��� ��! ��� � +$-54������ � &%x��� � � -:4� � + � �=����, ��� �� � 3W+$�=��� � -:4��U��-�� � �� � + �+�3 � #�� � 9 � + � �5�Q� � � �^3W������;��-:�:+�#.��+�3 ���;% � -:4.+$�� ��� ��[ � � 4���� � �;� � ����' (=�����p9$�� ��+L( � ���� � #�� � 9 � + � �0�Q� � � �^3W��� � � � #.� � -54�����-:� � � � � � ����! � � ��� ��� � � ��$4 � +�+"�4.��� - � �� � + � � C ��;�����+$4.+$� � � + �:/ [ � [ � G [QhY�a(=+ ��� ���z(*���; �����k���a� � ��� ��� � � ���, ��� ���;]-:� � � � � #.�=+"- � �� � C � [ ��[�'�(*���������Q+"� ����� �$��%y ��$4 � +�+"�z4.��� - � �� � + � �2-5�p%\� ���x� � G [� +"�=3 � ������ ��� � �;� �� � + � +�3z� � ��� ��� � � ��$4 � +�+"�a4����- � �� � + � ��'������Br"� � � + � � [U1�[

��������� ��� ���� /�" #"

� �lH # J K $�H � �� �6/ ' ' ) ��dYd & ��� / ' $ �0�|r � 4�4.+$��������#.+� ��4��$�� � ���Z��+�� � �n3 ����� � + �C +$� �;� � �;��� G ���� � ��5 � ����� ��� �� � # � � + � � � ��� � �� � � ���a(g�p%�'g� ��� ( � �� ++$#� � � � ��� ��-54�����3N��+"-< � � � ��� �� � # � � + � ( � ��+ � =���; � ��! � � %04����&%5�U����� � ���� +$� ���� 4�+ ����� ��! 4���_] � -:� ! ��[��=�$��g� � �a4��+$#��U��- ���=+ � �>+�3z�� ��� �����U% � +$-54 � ����!� � +$� �����4.+ ��������! 3 ����� � + � ��� � &%�'=����� � ��!`��� � ���� � �U%m��� � �$��� � � (*� ��� � ���3 ����� � + � C +$� �_� � ����� G � � 5���� � � ��� ��� � ���� � � (*� � � � � � � !$� 9$� � �$� � � 4 � �+#�+$�n4���� � ����[ ��+ � � ��� ���5��� ��+Y��� � �$��� � � (*� � � �7+ � �U%c ��� 5.� ��54����&% � �:++$#� � � � ����+ � 4 � �[

� �lH # J K $�H � �� �6/ ' ' ) ��dyd*' � $ ' $ � ��� ��� + � � ��� �� � + � + � ����� �;� ��B1$' � + � � � � ������� � ������������ ��� �� � # � � + � �+�#.�x� ��-54���� ��� � � �;��� - � � � � #$%i��� � � 4 � �\+�3g#.+� �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ ��� ������ ��� ������������ ��� ����� � ������������ � � � ��� ��� ��� �

4���� � ����[ � +"�6� ���$-54��U�$' � + � � � � ���6 ���5������+�3 )���/ ' ' ) ��d5d ' � $ ' $ � ��� (*� � � ��+ � �4����&%�( � � �����2�+y+$#� � � � ���*� �U!"� �� � ���=+�3o���*�� � + ��� 4��$��&%�+y�+$-:� � + �;� -�� � ( � ��+ � :����9������ ����! ��� � + �;� -:� � ��+������ �U!"� ��� C � [ ��[U'k ��� � + �;� -:� � � �:������ 4 � a+�32��� 5.��*4��$��&%x(*����������= ���B� �U!"������! ] ���;% � �a ��� ��� 4 � *+�3z ���B�� � + ���4����&% G [

� �lH # J K $�H � � �*' �& + 1�& $ f �%) ���e +�" $ e�dtd*�G *�_3W���� � ��! �+Z��� ��� � �;� � � � + � ����*3W+�����+L(*�+ ��5 ��� � + �X/ [��A[ ��' � + � � � � ���� ���>3W+����U+L( � ��!5� �65 ��� � + � �g+�3 C 4��$�� � ��� G 4�� � 9p� � %x� ���� +$� �� � � ��� � C ( � �Y�����4.� � *�+�-5��� ���;� + � �6� � 9����� ��� � ��� G [ �k��� � ���I4�� � 9p� � % � � � �_]5 � � � ����������� ��� � + � +�3 + ��5 ��� � + �7/ [��A[ ��+X���0� � 9����� ���% � � � +"-:4.+ � � � y+�3���>�� ��� +$- 9L��� � �$#��U��� ��� ��� � T � P � X

C ����w G � ��� !�"��$��� ~ T � P � XC ����w G '�(*�����������k4�����]

� ��� � +"��� � � ���� � + �����;��� ���z( � ���>����� ��� � + � +�3 + �65 ��� � + �0/ [��A[ �*+� ���a��+ � ���4����&% � � � +"-54�+ � � � g+�32�������\� � ��� +$- 9L��� � ��#�������[

1�[6r���+L( ����>#.+� �i4��+$4.��� � ���>���� � -54�� � � � #"% + ��5 ��� � + �c/ [��A[ ��'8# � y�;9$� ���� � � � +"-B# � � �� � + �Z� +"��� � +� � -54��U% + ��5 ��� � + �i/ [ � [ � [�A[gh|�"%�(=����>#.+� �X4��+$4.��� � ���g, � ��� � 5.� � #"%x������� - � 4���� � ��� � �

������������ ���������������� O �"!$#%!$&('�!*)+�-,/.101!2'�!435�-6('"7 35698935:;!$3569<-0135:$&('�/935753 !�=��">#?69:$#?,�/975#?:@�">A.('"35B$:@35,/.97535#?:C)?�-,/.90D!2'�!435�-6('"7E35698135:4!43569<-0935:$&9'�/935753 !�=/�">F!4&9#G#?69:$#?,*H/975#?:IB$#?:4097 !$3561<�/�=J.9B4�"K4#?)�!435�-6L!4�M#+'")2&N)?�D�-B489356('�!4#�O /901!I!4&9#*)?�-6�P�#+B4:$#*81�D#?:I69�"!69#?)?#?:$:2'"B4357 =%&9�-758�Q

������������ �N�����"��SRF�-� � &935:�35:�B$#?7T'�!4#?8U!4�V!$&9#�69#?#+8I!4�W01:$#�!4&9#�<-#+61#+B$'"7X>Y�-B$,Z01H7T'�!435�-6L�"> �[# �(693 !435�-6<;DQ 7DQ 1 >��-BWB2'"6989�-,/35\?#?8]>Y0969)�!$35�-69'"753 !$35#?:�@�:$#?#U!$&1#^8935:4)+01:$:$35�-6!4&('�!W>Y�-7575��_ : �[# �(693 !435�-6�;DQ 7DQ 1 Q

� �lH # J K $�H�!#�� $ "� �e ' ��� ) �*" & $ +te )�� "� �e / e $ � "� �+ ) $ e $ ",' ) $ �zr���+L(Y ���� � 3� ���)��, � ���U]�U� ��! � � + � 9�� � � + ��� �2+$- � �� � 3N�+$- � �65 ��� � + � �2� � ��� + �65 ��� � + �x/ [ � [U1=� ���0/ [��A[ ���� � ����% � � ��� +�:#������ � � 5.� � 3W+"��-5� � % � �� � � ����3 ����� � + � ��� � � ����[��a���� � �;'� + � � � � ���)������� � �65 ��� � + � �=(*��� � ���>� � ���-�#������=���� ����� ����� � #"%: ���y����)+�3I���U�4�� � ��=+�32�� ����! ��'�� �� �����g ��� � #"%x ���\����a+�324�� � ��g+�3Q��, � ���U]q��� ��! ���� � � ��! �U[

������������ �F�I` - #+B4#-O�.9B$3 P"'")?=a'"618Z:4#+)?09B43 !�=aB$#�>�#?BE!4�[!4&9#C69�"!435�-69:b� /1!2'"3561#+8Z_W&1#+6�-,/3 !;!$3569< !$&1# #�6X0('"7 H�75#?69<"!4&^)?�-6�P�#+6�!435�-6�Q - � &9�+_c!$&9'�!�!4&9#C>Y0969)�!$35�-69'"753 !�= `�d ;e -�fg`ih�`�d 4e - h�`�d $e -�- O(_ &9#?B$# h�`�d $e -�j�k;l� 1 3 > m d m � m e mD'"698 h�`�d $e -�j"kil� /Z�"!$&9#?B;_W35:4#-O)+'"6969�"! /n# $ ��������� ��� � � !�#%$ � � �$o-Q � &9�+_p!4&('�! `�d $e -bfg ` m e m m d m - )+'"6 /�# $���������� �� �� !�#%$ � � �2o�/901!^!$&9#M:$35,/.975#/.1B$�"!4�D)?�-7 356q_W&135)2&srA'"B4!�= 1 :$#?6981:Jm d m�!$�NrA'"B4!�= 7` '"698Lrb'"B;!�=�7^:4#+6189:/m e m1!$�%rA'"B4!�= 1�- >�'"3575:V!4� �������&� ��� � � !�#%$ � � �Z3 !�QGtC&('"7575#?69<-#��� B4=u!4�*:$&1��_v!4&('�!W!4&9#I7T'�!;!$#?BV>�0169)�!$35�-6('"753 !�=M)+'"6969�"! /n#I:$#?)?09B$#?7 =%)?�-,/.901!4#+8�Q

� �lH # J K $�H � * � & $ d*' " ' ' " 1 )�� �.�*' �& + 1 �e f ��+�" ' ) $ d*�@r���+L( ���� � 3sw � �X4�� � 9L���;��%"]��� �����_� #������+xwCyS'g� ��� wCy � �x4�� � 9L���;��%"]E�� �����_� #��U��+xwCy y*��� � w � �x4�� � 9L���;��%"]��� �����_� #�����+zw y y [ %6+$�������5�a���;+$���- / [ � [ � � �:+$#�� � � � � ���:���4.� �;� ��� � ����C ��[ ! [�'�#"%���;� ����! w y y �+0#��� ��� � � � � � &%Z-5�$4�4 � ��! G [

������������ �F� [#?69#?B2'"7535\?#I!$&1#I.9B$�X�">A�"> � &9#?�-B$#?, ;DQ �1Q �1Q � .n#?)?3 �()+'"757 =�O(75#�! �[{9| {-}` B$#?:$.�Q5O��G{ } | { } } - /n#a'"6]�-B2'")?75#�Hi'"3589#?8].9B4�"!$�X)?�-7E>��-B hL` B4#?:$.�Q5O h(~ - 01:$3569</�-B$'")+75# h(~` B$#?:$.�Q5O h ~ ~ - Q�tC�-,/.n�-:$3569<U!$&1#+:4#G!�_@�^.1B$�"!4�D)?�-75:�O1� /1!$'"356]'"698M'"6('"7 =D\+#G!4&9#G�-B$'")?75#?H'"3589#?8�.1B$�"!4�D)?�-7 � � � {9| { } }2Q

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

����������� ������� ����� � ��� / �Q�

� �lH # J K $�H - � & �*' & $ "Sd )�� � ��/ ' ' ) ��d * � & $ d � e;�*� � �c� + � � ��� �� � + � +�r"� � � + �7/ [ � [ ��'� + � � � � ���= ���y3W+����U+L( � ��! &(=+�9L��� � � � �g+�3��>#�� � 9 � + � �a�z� � � ��3W����[

1�[ � +"�Z3 ����� � + � ������� ����� �0' � + � � ��� ���Z���������� � � � + � +�3Z1_]E+ � �]q+�3 ]���>#�� � 9 � + � �=�z�� � �^3W���)+�� C�� G ��� � ��;����� � �0+�3Q�U� ��! ��� C�� G '�(*������ � � �=����� �;� � � &%�4��$��$-�������U[

�A[ � +"���73 ����� � + � � ����� �0' � + � � � � ���� ��� �>#�� � 9 � + � ���Q� � � ��3W���Z+�3:�� ����! �U�!� C�� G ]E# � :�U+ ��! �� � ���� C � � � +$�� � " G ���� � �:�+�#�� � ��� � 9������ � ( � �4��+$#��$# � � � &%@1 � �A[ �a���� � �;'* ���i� � ��� +$- � � � � 3 ����� � + � ��� � &% �����-5��4��C " � � G �+ C � � " G ( � ��4���+"#���# � � � &%�1 � ��� ��� �+ C�� � � G +������( � ���[

�6� � � - � ��! ����#�@� ��� �������4.+���% � +$- � �����U%"]&#�+ ����� � � � ��� � �x�_� � � ���% � +"-�]4 � �$#�����'�4������ � Q4�� � 9L� � %��� ����� � + � �Q#.�;&(=�;� � �����"�������=9L��� � � � �U[2r�4�� �_� 5 � ���U��%�'���+L(|�:4�� � 9L� � %x�� ����� � + � +�3I ���y������ ��� � � 1_]E+ � ^]E+�3 ]��$�>#�� � 9 � + � �g�Q� � � �^3W���)+���:+$� �U!$��� ���=1_]E+ � �]q+�3 ]&�%�>#�� � 9 � + � �y�Q� � � ��3W����+�3=# � �;'Q� ��� #���&(���� � 1;]q+ � ^]E+�3 ]^��>#�� � 9 � + � �a�z�� � �^3W���g+�3���]&# � a��+ ��! ��� � ��;�a� ��� �>#�� � 9 � + � �*�z� � � ��3W���g+�3 �0� � ��! ���� C�� G ]&# � g�U+ ��! ��� � ��;U[

������������ �F��& �"!$#C!4&('�!b=��-0*'"B4#C�-697 =Z'":('-#?8Z!4�G.9B4#?:$#?6X!��-B2'")?75#�Hi'"3589#?8Z.9B$�"!4�D)?�-75:!4&('�!C'"B4#C:$#?)?09B4#@356a!4&9#@:$#?,/3 H�&1�-69#?:4!A,/�X89#?7�Q � &9#@�-697 =U69�-6DH�� /XPD35�-09:�B$#?8909)�!435�-6^35:>YB$�-, 1 H��-01!;H��">YH 7�) /9753 PD35�-09: � B$'"69:4>Y#?BF!$�I:43569<-75#�H�:$#?)?B$#�!*) /9753 PD35�-09: � B$'"69:4>Y#?B ` ) � - O.9B4#+:4#?6X!4#?8%61#�+X!+Q � &9# �(B4:4!�.('"B4!�=^B2'"6989�-,/7 =a:4#+75#?)�!4: *-, * 8 4 .0/ �102/.�0 321 OD'"698^!4&9#.('"B;!$35#?:C356�P��-'-#�) � !�_ 35)?# _ &9#?B$#V!4&9#��9B$:4!�.('"B4!�=^3569.901!4: * ,W356^!4&9#��(B4:4!b!$35,/# '"698* 8 356]!$&9#Z:$#?)?�-698J!$35,/#-Q43�>�!4&9#Z:$#?)?�-698 .('"B4!�=]_ 35:4&9#?:W!4�M� /1!$'"356J!$&1#57678�:$#?)?B$#�!+O>Y�-B*5 4 . 1 7 2 O�!4&9#?6u3 !C:2'?=1:9) 3 3 >�'"698u�-697 =^3 >�3 !�&('":C� /1!$'"3569#?8 *;: /901!C61�"! * �=< : Q)W!4&9#?B4_ 35:$#-On!$&1#Z.('"B;!$35#?:GB4#?.�#+'�!W!$&9#Z#�+1.n#?B$35,/#?6�!�Q�)[69)?#a!4&9#a:$#?)?�-698 .('"B4!�=�:2'?=1:) 3 O(!4&9# �9B$:4!W.('"B;!�=]:$#?6981:G3 !W!4&9#a.('"35B `?> ,A@ * , > 8 @ * 8 - On_ &9#?B$#U!4&9# >CBED :['"B4#!4&9#a'")?!40('"7E:4#?)+B4#�!$:+Q

� �lH # J K $�H { �� �6/ ' ' ) ��d * � & $ d � e;��' ��� / 'Ne�d�d_e +;���e + ) �/��� $ ' + & ",' ) $ �.� ) " ) + )0/ d*� � �;F �%���� F % ��� � �HG�� % � ��� �IG�� � � �5��% � � � ���y&(�+�]E4����&%B4��+��+ � +��� ����)���U��+L(*� ���64��$�� � ����+ � +$-5- ������� ���� � � �� � ��� � %���9�� � (*��� � ��� � +"-5- ����� � �� � + � � ��� � � �B�$4�4�� �#$%X� � � � 9$��� ��$��% C ��;�KJ ����� �_� ��x1B+�3��=����4���� � G [\r���+L( ����>� � %�1;]q+ � ^]E+�3 ]^��>#�� � 9 � + � �*�z�� � ��3W��� C ( � ���� �;� � � &%Z( � �i�����4.� � 6�+����5����- � ]&��+ � ���6-:+ � �;� G� -54�� � ���g����� � � ��� ��� �y+�3 �5��� �;� �� � +$-5- ����� � �� � + � 4���+$�+ � +$��[�L*� � �����V����a������������ � -54�� � ���a ������� � ��� ��� �>+�3Q+ � �_]E(=�p%53 ����� � + � �U[

������������ �F� � �/!$B$'"69:$,/3 !['�/93 ! > !$&1#^:$#?6981#+B[356XP��-'-#?:[!4&9# 1 H��-01!4H��">YH�7M) /1753 PDH35�-09: � B2'"69:;>�#?BU_W3 !4&q3569.101! `?> / - _ &93575#/!4&9#%B$#?)?#+3 P�#?BZ:$#�!$:Z3 !$:Z3569.901!a!4� 1 OC'"698<-#�!$: > ` 3�Q #-Q5OE!4&9#u:$#?6989#?B D : �9B$:4!�/93 !U356L!$&1#�) � - QI) /9:4#?B4P�#*!4&('�! )4.1B$3 P-'")�= _ 3 !$&B$#?:4.�#?)�!C!4�I!$&9# :$#?6981#+B + 35,/.97535#?:A!4&('�! ` !4&9#[:4#+6189#?B@'"698*!4&D09:C'"75:$� - !4&9#W'"81P�#?B$:$'"B4=)+'"6969�"!a8935:;!$3569<-0135:$&J!$&1#*)+'":$#^!4&('�!U!$&1#*B$#?)?#?3 P�#+BI#?6�!$#?B4: 1 >�B4�-, !$&1#*)+'":$#*3 !I#?61H!4#+B4:?7DQ ��3N'-#�_ 35:$#-O")4.1B$3 P-'")�=u_ 3 !$&MB$#?:$.n#?)�!W!4�^!4&9#IB$#?)?#?3 P�#?B + 35,/.97535#?:�!4&('�!+On356%!4&9#` �()�!$3 !435�-09: - )�'":4#I!$&('�!W!$&1#ZB4#+)?#?3 P�#?BW#?6�!$#?B4:�7DO9!4&9#^'"8DP�#+B4:2'"B;= ` 753N'-#I!$&9#aB$#?)?#?3 P�#?B -)+'"6969�"!�!$#?7579_ &9#�!$&1#+Bb!$&1# :4#?6989#?B�#?6�!$#?B$: ` / / - �-B ` 1 / - Q � &D09:+OX'"75:$�G356a!$&1# ` B$#+'"7 -)+'":$#V!$&9'�!�!4&9#WB4#?)+#?3 P�#?B�#?6�!$#?B4: 1 O-!$&1#['"81P�#?B4:2'"B4=^)+'"6969�"!�!4#?7579_ &9#�!$&9#?B�!4&9# :$#?6989#?B#?6X!4#?B$: ` / / - �-B ` 1 / - Q

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ �$� ����������� ����� ���������� ������������������� ��������������� ���

� �lH # J K $�H��2 � �*' �& "&e /21 �e f ��+�' $ � � * " ) "� �e � � $ +�" ' ) $ & / ' " 1 )������&� C / [�1 / G�� � 3� 7"!$# [r���+L( �����1_]E+ � �]q+�3 ]&���>#�� � 9 � + � ���z�� � ��3W��� � � � #��x4�� � 9p������U%���� ����� � � �+X���3 ����� � + � ��� � &%x+�3�J�,0[ C / [U1 / G&% C / [U1(' G [

������������ �F� AV#?8909)?# 1 H��-01!;H��"> H�7 ) � !$� `;` ) ,�) ) 8 - ) ` * ,�) * 8 -�-�fg `+* ) ) ,�*-, 9 ) 8 * 8 - O'"698MB$#?8909)?#I!$&1#I7T'�!4!4#?BW!4��, 6nQ ` ;DQ 1 ; -.- ` ;DQ 1%4�- Q� �lH # J K $�H�/2 � / "&e_� $ & " ' e & $ & /21 d*' d )��10�) $ d*"q����+6" ' ) $ 3� � � 3�� �a���c� � � ��� + � �� ��� ] � + �@� � � #�� � � � + � 4��U� �@� � �+ &(�+ ��� ����� � + � ��[ � � � ���'� ����3 ����� � + � ��� � &%b+�3

J�,0[ C / [U1 / G2% C / [U1(' G � �I��� ����� � � �+a��� � �;��� - ����� � � � 3 ����� � + � ��� � &% C C �43E� � 32�6573 G � C � } � � }�GKG98�C � ��w": T ; C �43E� � 3E�<573 GKG 'o(*�������Nw=: T ; C ��w*��> G A;CEDF > � C � � � G � C w � � G G '8� ���X� � ��������������� � �>��� ����� � � �+��>� � 3 [ �=������� � *��� � ��+�3k��������� ����� � + � �>� ��� 4��+L9������=��� � � � �6�:4�� � 9L� � %Z��� ����� � + � [

������������ �F��? &9#?6 '"6('"7 =D\+3561<u!4&9#a:$#?)?�-698 B$#?8909)�!435�-6�O�09:$#U!4&9#a>�'")�!W!4&('�!I3 !W35:09:4#+8%!$�Z)?�-,/.901!4#U'Z89#�!4#+B4,/356935:4!435)W>Y0969)�!435�-6('"753 !�=M'"698u!$&X09:V!$&9#I:435,/.975#?B�>Y�-B$, �">@ # �(693 !435�-6";DQ 7DQ 1 )�'"6�/n#a01:$#?8�Q

� �lH # J K $�HBADC# � ) �0e � � $ +�" ' ) $ & / ' " 'Ne�d "� & " & �e "q�*' ' & / " ) �o�*' & "Ee /21 + ) ���.��"&e6��r���+L(����)��� � �0+�3Q����3W+����U+L( � ��! &%�4.����+�3I3 ����� � + � ��� � � ���g�����=�\ � � 9 � ���o4���+$�+ � +$��3W+"�4�� � 9L���;��%$] � +"-54 � � ��!:� C � [ ��[�' � � � ��! �5� � ��! ����-:��� �� ! � G [

1�[ J�� � � � �;��� - ����� � � � 3 ����� � + � ��� � &%`����B+ � ��% � ��4.� ��� �:+ � ��� ��� 4 � :+�3+ � �Z4��$��&% C � [ ��[U' C ��;1FE GHE GI8� C w 3 C � G �"w } C � G G ' 3W+"�B�$�# � � ���%�3 ����� � + � ��w 3� ��� w } G [

�A[ J�� � ��� � ��� +$- ��� � � 3 ����� � + � ��� � &%�+�3���� 3W+"�- C �4�;1HE GFE G�8� CKJ0C � G �"w C �� J C � G GKG '(*������� J � �a� � %�� � ��� +$- � � � � 4���+ � ��� �a� ��� w � �a��3 ����� � + � [

L � � ������ ��� �>���\�$#�+L9$��+0���\- � �� � ]E4��$��&% � �����[� �lH # J K $�HBAMA �� �c� + � � ��� �� � + � +�J ����� �_� ���1(N�'z���+L( ����B���U�)� � �i3 ����� � + � ��� � � ���

��� �+ ����� � �Z��� r"� � � + �X/ [ � [ �5����� � � 9 � ���V�+ � +$-54 � � � � �54�� � 9L���\-:� ��� ���U[������������ �F� & �"!$# !$&('�!@!4&9#WB$#?:4!4B$35)�!4#+8%'"01!4&9#?6�!$35)+'�!4#+8�)+�-,/.101!2'�!435�-6/>�0169)�!$35�-61H'"753 !�=*�">D, 6nQ ` ;DQ 7�; - '"618u!4&9#W35,u'"<-#V!4B2'"61:$,/35:$:435�-6^>Y0969)�!$35�-69'"753 !�=/�">O,�6�Q ` ;DQ � 1�- �9!3�!4#+, 1 O"_ &9#?B$#+'":�!4&9#"/('":435)V'"698/'"09<-,/#?6�!$#?8*)?�-3561H�!4�-:$:43569<[>Y0969)�!435�-6('"753 !$35#?:�'":b_C#+757'":V!$&9#I3561.901!;H�)?�-,/,/3 !$,/#?6�!C>�0169)�!$35�-6('"753 !�= �9!3�!4#+, 7DQ ? &('�!['�/n�-01!�,�6�Q ` ;DQ ��� -KP

� �lH # J K $�HBAOQ2 � $ "� �e f ' R +;� / " 1 )�� ' ��� / e �0e $ ",' $ �0� ) �e $ & "q��� & / e_�td*' ) $ d )�� & � �"� �e $ ",' + & "&e f + ) �6�o��" & ",' ) $ � ��+ � � ��� ���V��� 3 ����� � + � ��� � &% C2S �UT G98� C � � � G 'L(*������� F w C&S G � 3�T FWV C2S G � ����� F � +� �����( � ����[

1�[6r���+L( ����x ���i��, � ��� � &%n3 ����� � + � ��� � &% C � [ ��[�' C&S �<T GX8� CKY � Y G '6(*������Y F 1 � 3ZT F S � ��� Y F Nc+� �����( � ��� G � �Z4�� � 9L���;��%$]&�� �����;� #��U�X+7�� 4�� �_� ��� � �$���y+�3z ���\��#.+L9���3 ����� � + � ��� � &%�[

�A[6r���+L(` ���� �>#�� � 9 � + � �Q�Q� � � ��3W��� � �z4�� � 9L���;��%"]E�� �����_� #��U�)�+6���4.� �;� ��� � �$���)+�3���)��#.+L9��23 ����� � + � ��� � &%�[%��+ ��� � ��� � ����l ������ � � � #�� � +a� � 9 � ����4���+$�+ � +$�3W+$��4�� � 9L����;��%"] � +$-54 � ����! ���Y� ������ C ��[ ! [�'��n4���+$�+ � +$�� �����4�� � 9L���;��%"]� +"-54 � ����x ���i��#.+L9���3 ����� � + � ��� � &% � -54�� � ���Z����� � � ��� ��� �X+�3y+ � �_]E(g�p%3 ����� � + � � G [

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����������<� ����� ����������� / � /

������������ � �������-�qRE��� r�B43 P-'�!4#+7 =XH�B4#+8109)?#Z!4&9#^:43569<-75#Z:4#?)+B4#�! ` /13 ! - P�#?B4:$35�-6 �">) /9753 PD35�-09: � B2'"69:;>�#?BG!4��!4&9#/:$.n#?)?3T'"7�)+'":$#/�">@!4&9#u'�/n��P�#*>Y0969)�!435�-6('"753 !�=L356L_ &935)2& `� - ` B4#?:$.�Q5O h�`� -�- #�6X0('"75:�!4&9# �(B$:;! ` B$#?:$.�Q5O�:$#?)?�-698 - /13 !C�"> Q*)[6*3569.901!�'G:$#?)?B$#�!/93 ! > O�rA'"B;!�= 1 :4#�!$:a3 !$:a�-B2'")?75#�H 6X09#?B4=L!$� 1 > '"698qrb'"B;!�= 7�:$#�!$:a3 !4: 6X09#?B4= !4� '09693 >Y�-B$,/7 =M:$#?75#?)�!$#?8 /93 ! ` '"698N:4�M3 >�!$&1#*7T'�!4!4#?BI#�6D0('"75: ` 1 > -� 1 !4&9#?6�rA'"B4!�=�7<-#�!$: h�` 1 > -� > '"698M�"!$&9#?B;_W35:4#I3 ! <-#?!4: * - Q

� �lH # J K $�HBA��# * � & $ d*' ",' ' " 1 )�� d;e +_���*' " 1 �e f ��+�" ' ) $ d*�cr���+L( ���� � 3Lw � ����� �;� ��;��%"]��� �����_� #����`�+�w y '\� ��� w y � ����� �;� ��;��%"]E�� �����_� #����Y+�w y y ��� � w � �X��� �;� ��;��%"]��� �����_� #�����+zw y y [��6+$�������5�a���;+$���- / [ � [ � � �:+$#�� � � � � ���:���4.� �;� ��� � ����C ��[ ! [�'�#"%���;� ����! w y y �+0#��� ��� � � � � � &%Z-5�$4�4 � ��! G [

������������ �F� � #?#9,I+D#?B$)?35:$# =DQ� �lH # J K $�HBA !� � ) " ' $ ��� � / e +�" ' ) $ d�� & $ f�� ) " "&e_� 1 ��h�� � ��i�c� 4�� �_� 5 � �� � + � 3W+"���+$-:�

��+ �_� ���l4���+ � � ��� �� C ��[ ! [�'�9�+$ � ��! '��;��� � � + � �g+$�g��+������% G '.� ����� �$�� � *���a�0- � �U � ]4����&%\3 ����� � + � ��� � &%�[���+��*��������U��+L( ����! ��4�4.�������k� ��� 9L��� � + � �23W+"�-5� +�3 ��� ����]� � � + � ���, ��� �����)�B���� � � 9$�a3 ����� � + � ��� � &% C ��;�\r"� � � + �Z/ [ / [U1�[ � G '"(*� ��� � ��� � � �� � � #.�\��� ����� � � +0�0�� � ��� �$� � C � + � ]&����� � � 9$� G 3 ����� � + � ��� � &%�[

� �lH # J K $�HBA��2 * "�e�d$ )0/jf 0 � 1 ��" ) ��� & �� 1 ���I+�+$��;��%i� 4���� � � ��! 'I�a���������+$� � �=�%�4��+ ! ]��$4��"% � � � + ��� ��� � � � ( � �7���U��+L( ����! ����;\+�364���� � ���B�+i� ������x ���Z�$# � � � &%Y+4����^3W+"�- � ���� � � � C � �%�4��+ ! � ��4�� ��� G +$4.��� �� � + � � C � 3�[ ; � ��'�1p��1 = G [ � +$�B������-54�����'� � 4�4�+"���a ����k(=�*( � �� / 4���� � ���k�+B��+$� � � ��������k+�3l��� ��!$������! ]����;% C ( [ ��[ ��+$-:�� ��!$� �� � ��X� � ����-:� G � ��� � ����x�;9$���%��:+�3���������4���� � ��� C # � � +$0�U���� G � � �! � � ��� ����\� ��!$� �� � ����6�+ � + ��� -:� � ��+�3k ��� � � � ��+ � � ��[.�=���6 � � �6� ���$-54��U�:�����- � �� � ]E4����&%\3 ����� � + � ��� � &%�[ C �a����� ��-:�*��+$� � �k3W+$�)+������k9$��� � � + � � +�3l�a������ ��+�� ��=��%�4�+ ! � ��4��$%�[ G

� �lH # J K $�HBA - �� & ' / ���e )�� & d*' �6� / ea�o� ) " ) + ) / �6) �9�:� / " ' � � & �*" 1 & ��"� �e $ " ' + & "&e f + ) ���.� �" & ",' ) $ [%��+ � � ��� ���8��� / ]&4����&%*+"�� � ���_]&� � � � � 4���+$�+ � +$�p3W+$� � +$-54 � ����! J�,0[ C / [ �=N G��� (*� ��� �l'V3W+$�1� F � ������ � / ' �k��� � ����15� ��� � ��� 9�+ ��� J�,0[ C / [ � � G ( � � �k���&%�1� � ���� � ��! ��� � � 4 � S � ��� � ��� �k���&% �>� � ���� � ��! ��� � � 4 � IT ��[`r���+L( ����� � �6+"�� � ���_]&� � � � � 4��+�+ � +�� � +���� � +� � + � �� � � ��:���� ��� ��� � -54�����-:� � �� � + � +�3J�,0[ C / [ �=N G [

� �lH # J K $�HBA { � $ &0/21 d*' d )�� � & � ' � 2 d � e +;�e6" � & �*' $ � � +� �e �5e�� �=��+L9$���������+ � ]�� � ��� � + �X/ [��A[ ������� � � 5.���=��� � + ����� � + � �a+�3 + ��5 ��� � + ��/ [��A[ � � [

������������ �F��� �-B%#�P�#?B4= :$#�6X09#?69)?# `! , )#" , - )%$&$&$ ) `� . )'" . - OW_ &9#?B$#]!4&9# : D :M'"B4#8935:;!$3569)�!+O@)?�-69:$3581#+B*!4&9#]:4#�!/�">I89#?<-B$#?# 8)(+*-, 1 .n�-7 =D69�-,/3T'"75:/.�!4&('�!%:2'�!435:4> =. `! : -0 "-: >Y�-B�5 �1 )1$&$&$ ) *-Q @ #+61�"!$3569<%!$&1#*096 'X69��_ 6L)?�D#�2/)?35#?6X!4:U�">3.�/�=4. B D :�O� /9:4#+B;P�#*!$&9'�!Z#+'")2&N#�6D0('"753 !�=5. `� : -6 "-: =D35#+7581:Z'%753569#+'"BI#�6D0('�!435�-6N>Y�-BG!4&9#7. B D :` 3�Q #�Q5O �98B;:=< B :?> . B "-: - Q � 09B4!4&9#?B$,/�-B4#-OC!$&1#]#�6D0('�!435�-69:M'"B$#]753561#�'"B47 =q356981#?H.n#?6989#?6X!+OV'"698s:4� !4&9#%:$�-7501!435�-6c:$.9'")+#M&('":*)+'"B$81356('"753 !�=A@ 8;B , <H. QK3�6981#+#?8�OC3 !*35:35,/.n�-B4!$'"6X!@!4�*)?�-69:43589#?B !4&9#?:$#I#�6X0('�!$35�-61:G'":VB$#�>Y#+B4B$3569<U!4�^!$&1#GP-'"B$3T'�/175#+:0. BED : '"698!4&9#U)+�-61:4!$'"6X!4: : D :�O1B2'�!4&9#?B !4&('"6M!4&9#U�"!4&9#?B _V'?=M'"B$�-09698�Q

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

/ �H' ����������� ����� ���������� ������������������� ��������������� ���

� �lH # J K $�HBAD�# � $ "� �e ' ��� ) �*" & $ +te )�� + ) ��� & � &���/ e + ) �6� / e�� ' " 1 ' $ "� �e f e�� $ ' " ' ) $ )����e;� � e +6"=d;e +_���*' " 1 [���+ � � ��� ���*�0-:+ ��� 5 � �� � + � +�3 + ��5 ��� � + �i/ [ � [ �:� ��� ������*������ �����U]E-:+ � ���2� � 9����� ���% � � � +������, ��� �� � �+X#.�0+�3 � +$-54��$��$#��U� � +"-54��U� � � &%X+���`�������U]E-:+ � ���y� � 9����� ���%�[ ������� � �4���+$�+ � +$���Z����X���� � ����-:� ��� �� ��� ��������� ���2���a-:+ ��� 5.� �:� �65 ��� � + � ���U ��+ ��! �\ ���;%:���� � � �� ��� ��� ����� ���2���a+$� �U!$��� ���� �65 ��� � + � C ���g(=�;���l��� ����� ��� + �65 ��� � + ��/ [�A[ � G [

������������ �F� tC�-69:$3589#?BF'"6�=G.1B$�"!4�D)?�-7�>��-B�)+�-,/.101!$3561<V!4&9#b>�0961)?!435�-6('"753 !�= `�d ) 1 | 9| )%$&$&$ ) 1 | 9| -�fg`ih�`�d - ) h�`�d - )%$&$&$ ) h�`�d -�- On_ &9#?B$# h 35:['*�-61#?H�_V'+=M.n#+B4,^01!$'�!435�-6�Q � &9�+_ !4&('�![:$09)2&]'.9B4�"!$�X)?�-7�O1#�P�#?6/!$&9#V!4B$3 PD3T'"7 ` '"698 /('"8 - �-69#[356Z_W&135)2&urA'"B4!�= 1 :4#+6189:C3 !4:C3569.901! ` 356!4&9#^)?75#+'"B - !$�u#�P�#?B4==/��X81=�O�35:[89#?#?,/#?8 )4:$#?)?09B$# + 096989#?B[!4&9#a,/�D893 �9#+8J81# �9693 !$35�-6�Q3�6q.('"B;!$35)?097T'"B+Ob'"6�3589#+'"7 H�,/�X89#?7C'"8DP�#+B4:2'"B;=L!4&('�!^89�D#?:a69�"!Z)+�-6�!4B$�-7 ` B$#?:$.�Q5OA)?�-61H!4B$�-75: - rb'"B;!�= 1 )+'"6uB$#?)?��P�#?B@!4&9#G3569.90D!@�">ArA'"B4!�= 1 ` B$#?:$.�Q5OX!4&9#G:$0@/9:4!43 !$0D!$#?8�3561.901!�">�rA'"B4!�= 1�- 356M#�+D.��-61#+6�!43T'"7A!435,/# /�=%356XP�#?B;!$3569< h �-6]'"6�=M.9'"B4!�= D :W�-01!4.901!+Q

� �lH # J K $�HBAD/#��6e_� � e +�"Zd;e +;���*' " 1 ' ��� / 'Ne_d ) � f ' $ & � 1 d;e +_���*' " 1 [ r���+L( ���� + �65 ��� ] � + �X/ [ � [�� � -54�� � ��� + ��5 ��� � + �i/ [�A[ � [������������ �F� ) /1:$#?B4P�#a!$&('�!U3 >� 35:G.n�-7 =161�-,/3T'"7 H�!$35,/#a'"698��x&9'":I)+�-,/.175#�+D3 !�=)?�-,/.('"B2'�/175#G!$�� !4&9#?6�� 35:V.n�-7 =169�-,/3T'"7 H�!$35,/#-Q

� �lH # J K $�H Q C#��a�*' & "Ee + ) ���.��" & " ' ) $ )�� / ' $ e & � � � $ +�" ' ) $ d [ � +$�B� � %�5���� � / ]E#"%"] /-:��� � ��� '.+L9$���a� 5 ��� � 5���� � 'o� ��+L(�����6��� / ]E�$��%03 ����� � + � ��� � &% � 8� ���� � � #.� / ]&4�� � 9L���;��% � +"-:4 � �� � C ���*4.��� + �65 ��� � + ��/ [ � [�1 G [

������������ �F� � �-B^:4!$'"B4!4#+B4:�O@)?�-69:43589#?B��(B4:4!*!4&9#M>Y0969)�!435�-6('"753 !�= `�d , )%$&$&$ ) d�� -ufg` � �: : ,�� : d : ) / ) $&$&$ ) / - O(_ &9#?B$#U!4&9# � : D :W'"B$# � +D#+8J)?�-69:;!2'"6�!4:�Q � &9��_ !4&('�![!4&9#U>��-7 H75��_ 3569<W.9B$�"!4�X)+�-7D35:��%H�.9B$3 P"'�!$#�� � 35B4:4!+O"#+'")2&a.('"B4!�=U:4&('"B$#?:A3 !$:F3561.901!F_ 3 !$&Z'"757X�"!$&9#?B.('"B;!$35#?: ` /X=^09693 >Y�-B$,/7 =U:4#+75#?)�!43569<U:$&('"B4#+:b!$&9'�!@:$09,*H�09.Z!4�U3 !$:�3569.901!+OD'"698/:$#?69893561<'/:$&('"B4#a!4�u#+'")2& .('"B4!�= - Q & #�+X!�O�#+'")2& .('"B4!�=�)?�-,/.901!4#+:W!$&9#Z753569#+'"B[)?�-,�/1356('�!$35�-6�">�!$&9# :$&9'"B$#?:�3 !�&('":CB4#+)?#?3 P�#?8�Q � 356('"757 =�O�#�'")$&/.('"B4!�=^:$#?6989:b!$&9# B$#?:4097 !�!4�arA'"B4!�= 1 Q& �"!4#W!4&('�!@!4&935:C)?�-,/.901!$'�!435�-6u_C�-09758�/n#���H�.9B43 P-'�!4#W3 >�_@#V_@#?B$#V!$�a09:$# :$&9'"B$3569<IPD3T''^89#?<-B4#+#��C.n�-7 =D69�-,/3T'"7�Q

� �lH # J K $�H Q A ��a�*' & "Ee �$e $ e;� & ",' ) $ )��/ e +�" ) �td ' $ &�/ ' $ e & �5d�� � dE� & +teZ[ � +"��� ��� � �J ����� �_� ���*�=N�'�� ��+L( ����)��� / ]&���%�3 ����� � + � ��� � &% C � ������ � � G98� � � ��� �:���� � � ���� � ��� +$- / ]E�$��%59�� � +$�g��� � �^3W% � ��! � � F N � � � � #.� / ]&4�� � 9L����;��% � +"-54 � �� �C ���a4.��� + �65 ��� � + �i/ [ � [�1 G [

������������ �F� tC�-69:$3589#?BG!4&9#^<-#?69#?B$'�!$3569<M,u'�!$B43 +�On81#+61�"!$#?8� ZO��">�!$&9#Z:$0$/1:$.('")?#89# �(69#?8 /X= ` !4&9#*.('"B43 !�=DH�)2&9#?) ' - ,u'�!$B43 +�! Q � 01.9.n�-:$#^!4&('�!" z&('":IB2'"62'�# ` 3�Q #�Q5O 35:W'Z>Y09757 H�B2'"62'$#XH /�=DH%� ,u'�!4B$3 + - Q � &9�+_ !$&('�!+O(_ 3 !$&1�-01!G75�-:4: �">b<-#?69#?B2'"753 !�=�O(!4&9##XH /�=XH&#^75#�>Y!V:40$/9,u'�!4B$3 +*�">' v#�6D09'"75:V!4&9#I3589#?6�!$3 !�=u,u'�!4B$3 +�Qbr�B43 P-'�!4#?7 =uB$#?8909)?#[!4&9#<-#?69#?B2'�!435�-6�!$'":('u!$�^!4&9#G>Y0969)�!435�-6('"753 !�=��"> , +1#?B4)+35:4#�7$/1Q

� �lH # J K $�H QMQ2 � / "Ee;� $ & ",' ea�o�e_d_e $ " & " ' ) $ )�� � � �o�*' & "Ee + ) ���.��" & " ' ) $ )�������� C / [ �$� G [1�[�� ��� + � ����� �� � + � �+ J ����� �_� �������"N�� ��� ��1$' !�� 9�� � ��3�� ��� � } ' � + � � � � ���

��� / ]E�$��%i3 ����� � + � ��� � &% � 8� �(��3 � � � ��� �c ���� � � �:�i� � ��� +$- / ]���%x9$� � +$�a� �� � ��3W% ����! � � } F N � [=r���+L(� ����a � � �a3 ����� � + � ��� � &% � � � #.�/ ]E4�� � 9p������U% � +$-54 � � � [

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

�����������<� ����� ����������� / � �

�A[6r���+L(b ����=���63 ����� � + � ��� � &%5+�34J�,0[ C / [ ��� G � �g���4.� �;� ��� � ����6+�3l ��� � � ��� �+�3z3 ����� � + � ��� � � ��� � + � � � � ���� ����� �&��- 1�[������������ ����������������%& �"!$#%!$&('�!*.9B$3 P"'�!$#?7 =c)?�-,/.901!43569< #+'")2&s�">[!4&9#M!�_C�!4#+B4,/:*�"> d ! , 9 * O�:$#?.('"B$'�!$#?7 =�O@_ 35757 61�"!u89�9Q 3�61:4!4#�'"8�OV�-69#]&('":/!4�N)?�-,�/13569#!4&9# 3589#+'":M096189#?B$7 =D3569<�!4&9#?:$# )?�-69:4!4B$09)�!435�-69:�Q @ # �(693561< '":%356 , +1#?B$)?35:4# 7 1 O�-09B/'"35, 35:Z!4�L.1B$3 P-'�!4#?7 =q)?�-,/.901!4# d fg d !K, 9 )� ZOb_W&1#+B4# )u35:*']09613 >��-B4,/7 =8935:;!$B437/901!4#+8 #�H�#?75#+,/#?6�! 75�-69</:$#�6X09#?69)?#�Q & :4:$09,/3561<9O1_ 3 !$&1�-01!I75�-:$: �">�<-#+61#+B$'"753 !�=�O!4&('�!M!4&9# #XH /X=XH&#q75#�>Y!%:$0@/9,u'�!$B43 +c�"> �35:u�">I>Y09757[B$'"6 '�OV_@#�)�'"6pB$#�H�_ B$3 !4#M!4&9#>Y0969)�!$35�-69'"753 !�= '": d fg d ! ~ 9 ) ~ OC_ &9#?B4#M!4&9#�#XH /�=XH&#N75#�>Y!*:$0$/9,u'�!4B$3 +��">" ~35:G!4&9#^3589#?6�!$3 !�= ,u'�!4B$3 +]'"698 !$&9# �%H /�=XH&#�75#�>Y!I:40$/9,u'�!4B$3 +��"> ! ~ 35:[!4&9#/'"757 H�\?#?B$�,u'�!4B$3 +�Q�AV#+)+'"757�!$&9'�!F_@#*'X69��_�&9��_N!$�W.9B$3 P"'�!$#?7 =I)?�-,/.90D!$#C#+'")2&a�">1!4&9#�!�_C� !4#?B$,/:�"> d ! ~ 9 ) ~ O�:4#+.9'"B2'�!4#+7 =)@ /901!I'"<�'"356J!4&935:W_ 35757E61�"!I89�9Q43�69:4!4#+'"8�O�_@#U)?�-,�/13569#!4&9#?:$#G!�_@�*)?�-,/.90D!2'�!435�-69: :$09)2&%!$&9'�!W61�"! !4�^=D35#?758M3561>Y�-B$,u'�!435�-6%'�/n�-01!W!4&9#GP"'"7509#�"> !$&9#%3569893 PD35890('"7�!$#?B$,/:+Q & :Z'�_V'"B4,*H�09.�)?�-69:43589#?B^.9B43 P-'�!4#?7 =�)?�-,/.901!43569<]!4&9#>Y0969)�!$35�-69'"753 !�= `;`�d ,() e , - )%$&$&$ ) `�d � ) e � -�-�fg `�d , ) e , )%$&$&$ ) d � ) e � - ! O1_ &9#?B$#"! 35:V'� +D#?8�7��%H /X=XH%� ,u'�!$B43 +�Q

������������ � �2���"�� RF��� � &9�+_ !4&('�!C!4&9#[)?�-,/.90D!2'�!435�-6u�">�!4&9# >YB$#?#V!$#?B4,z�">�!4&9#.n�-7 =161�-,/3T'"7 � )�'"6 /n#a)+'".1!$01B$#?8 /X=]'"6J'"89#�6X0('�!$#�!�,�O(_ &9#?B$#+'":[!4&9#a<-#?69#?B2'�!435�-6�">�!$&9# P-'"7509#?:C�">�'GB2'"6189�-,z89#?<-B$#?# �b.n�-7 =D69�-,/3T'"71_ 3 !4&*>�B4#+#�H�!4#?B$, #�6X0('"7n\?#+B4�I)+'"6/n#I)+'".1!$01B$#?8./�=�'"6�'"89#�6D09'�!$# ! 8 Q

� �lH # J K $�H Q �# � $ &0/21 d*' d )�� 0�) $ d*"q����+6" ' ) $ 3� - � �O[ � +"�5� � / � ��'k� ��+L( �������+ � ]�� � ��� � + �x/ [ � [ � � + � � � � ���)�B4���+$�+ � +$������-�E]&4�� � 9L���;��% � +$-54 � ��� J=,0[ C / [ � � G [

������������ �F� tC�-69:$3589#?B+O1_ 3 !$&1�-01![75�-:4:V�">A<-#+61#+B$'"753 !�=�O�� . 1 )1$&$&$ ) � 2 Q � &9#I:$35,Z01H7T'�!4�-BF35:F<-3 P�#+6Z'"6a3569.901!F:4#�6D09#?69)?# `;`�� , ) , , - ) $&$&$ ) `���� ) , � -�- '"698Z'"6a�-0D!$.90D!�:4#�6D09#?69)?#` * , ) $&$&$ )�* � - O�'"618]69#?#?89:[!4�%#?,Z097T'�!$#I!4&9#U,/#?:$:2'"<-#?: !$&('�!W!$&1#Z.('"B;!$35#?:W356��/� /1!$'"356'�! � !$#?. 7DQ � &935:b)+'"6�/n#V89�-69# /X=aB$'"6989�-,/7 =a:$#?75#?)�!$3569<I81#+<-B4#?# �F.n�-7 =D69�-,/3T'"75: . ~B D :!4&('�! '"B$# )?�-69:$35:;!$#?6�!@_W3 !4&/!$&1#G'�/n��P�#G:4#�6D09#?69)?#?:�O9'"698u75#�!4!43569<U!$&9#W,/#?:$:2'"<-#?:�!4&('�!rA'"B4!�= 5�� /1!$'"356�#�6X0('"7=. ~, ` 5 - )%$&$&$ ) . ~� ` 5 - Q � .�#?)?3 �()+'"757 =�O9>Y�-B45 1 )%$&$ ) �2O9!4&9#U.n�-7 =169�"H,/3T'"7 . ~: 35:I:$#?75#?)�!$#?8�753N'-# . : ` 3�Q #-Q5O�09693 >Y�-B$,/7 =J'",/�-61<%!4&9# �W.��-7 =D69�-,/3T'"75:G&9'+PD3569<>YB$#?#�H�!$#?B4, � : , : - @->��-B 5 � 9 1 )%$&$ ) � , 1 O"!4&9#@.n�-7 =169�-,/3T'"7 . ~: 35:A:$#?75#?)?!4#?8^09613 >��-B4,/7 ='",/�-69<M'"757'�W.n�-7 =169�-,/3T'"75: @E'"618�. ~� 35:I:$#?75#?)�!$#?8�:409)2& !$&9'�! � �B;: , B . ~B ` 5 -6 *;:&9�-7589:V>Y�-BW'"757H5 4 � � �Q

� � �������� ��� � � F���������� �"!�$#�%&�(')���*���*+-,/.0#���,21435��,5627�786 � +�9 ���:+ !;��,=<#>,@?�#>�A3#>,@!B<C?�,D+E6�7�7>F �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� ���������� ���

� 1������ ���.� � ����-�� � � ��� ������� � ��! � �a�*' � & / ' " 1 * e�d*" ' $ � & $ f � � e / ' & $ � & �*'Ne�",'Ne_d� e_��� ' $ ' "Ee � 'Ne /jf d!�Yr�4 "$#&% ! �'"^])(*�+"$,�� ! �-�+.�/$� "$� �6+0/1�'23#&% ��+$-54 �4/$�+":r4.5#��+% .��6 (*78,9��: �4:<;0=?>@: � � ; ���@"1�+,A#&BC#�%D�8"$EGF8�'"$2$#�70%H#�%JI0K�"� � 0ML � 1 �ON )QP 'SR�� ) $ "� UT* 4T )WV*1 )�� 0�) �XNYR�",' $ �W>-: � 'UZU�

� ;Q��[\� �]#���,�,A7^�8%D_a`D�4� ��82$/$�0_b� �*�+"1cd�+.�/feY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�/�k�8%4jl� �Wj0�+2@.��8%nmo� LX�+.!g70j0%4# � �'_p#�%rqsi@7 L]7l� % _ 2+�utv%\wH!8x� �y ��9� �Yz �XN { P!| R��}{Q~ ��{WR4~Y�0�Qx | {Q~ P {1�0 {��XNYR4x)T V ��� | T5~ � T5>D�D�Wj8�'2s�0� � % �0�H'D>D: � 'lZ4�

� �W����� ���v/$�8#�� L �+%4�'"$�8/1#&%4j����8"�_�tv% 2$/$�8%D.5�+2O7Wc-�k�W/$/1#&.5� �@"17lm4,��+B�2��Xtv%�wH!8x�� � 0-L�Yz �XN { P!| R���{Q~�x��4T * �UT?{ V z {v� 0 {��XNYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2 � � % :7NH' >o: � �0� �

� �8����� �*�v/��W#9>U`D�Wh�7lB�,�702+> JO�l� � �'BC�+"4��+_4#9�D����/$�+"�BC#�%4#&2$/1#&.O�l#&B��4,&�W/$#A7l%�#&%��-70jU�U� �0.5�0�tv%\I0KQx�� � 0-L�� zQ� N { P!| R � {Q~Jx��UT��b�4T?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>f� �8j8�+2n:'�0; % :��FN >: � 'UZU�� �Q��[\� �],����4#�>8���0�@  70"+> ��� L 78,&_ "1�+#�.! C�8%D_C�O� �*�0�U.!  %47l"$"+� L�����¡ LX�0m4#�%�¢o�D% .5/$#A7l% 2�£

���'"1/��W#&% ���8"$/$2X�8"$� �X2O�O�0"$_ �O2O/� 4��[J  78,��8� � y$¤ L¦¥ {WR V ~Y�8§k{W~ 0 { � NYR4x | ~U�W>(*70,��-:<ZU>��O� "$#A,*: � '='D>4� �Wj0�+2�: � � % ;"N � �� � �������],�70%a�8% _¨`D� ���D�U�o�+% .��+"+���M�UT � V {l©$�l© | § |&P x | � L T�x��U{'�Q>�`W7l  %�[r#�,���E�ª«�l7l% 2�>

tv%D.W��>M: � � ;4�� Z<�3`D� ��� �O%n�0% _¬�­� �s��,�,&�8"$�8����70%D21/�"$� .�/1#&%4j�(Xt��-g)� �X�@2@c�"$70B®¢¯t��Mg°� �X�@2�£��±�+21g

2��Wj0� �X�4/� 4�+%l/$#�.+�W/1#�70%^�D% _4�+"²[��'� �8�+%4�'_��O2$2�� B��4/$#A7l% 2��Ytv% 0¯V z Nox°{8K0KQ>o�U� "$#&%4j8�'"���+.�/$� "$���X78/$�+2f#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�M: �0�8� =!>4� �Wj0�+2]; �0; % ; � � �

� 'W��q�� �­� �O�D7l21/$78,9�²y!~ox V {'�QR � x | {Q~�{Wx*¤O~��W§ z x | �O³ R � ©�T V �b�4T?{ V z �@�U�D"1#&%4j8�'"�>b: � Z � �� � �����2�s/1/$#AEl�a�0% _H`D��[��+,�.! M�C´ |&P x V!| ©5R4x)T?� 0 { � NoR4x | ~l�lµ4�-R4~Y�8� � T�~Dx°�W§ P�¶f�Y| � R §A�Q·x | {Q~ P �Q~Y�C¤X�W¸<�W~ � T?���o{?N | � P ���G. L "��<isg9�O#A,�,�>b: � � ' �� :7NW� ���D�f�8mD�W#9�@qk"$�0_4#&%4j L "17l� �¬qf 4��7l"1E¨cd70"MLO�8% _47lB�%4�+2�2��@tv%�I4¹+x��¨¤ 0-L¦� zQ� N {Q·P!| R � {Q~�x��4Ta�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>o�D�Wj8�'2@�l;4: % �U;"N >o: � ' �4�� :8:�� JO���f�8.! M�º¤O~��W§ z x | � L T�x��4{+� PJ| ~»x��UTp¤O~Y�W§ z P?|&P �W~Y�¼´CT P?| �8~�{1� ³ R � ©�T V ·�M�4T�{ V T�x | � ¤�§ �l{ V!| x�� � P ���X�@�»��#&21/$#�%4jl�4#&2$ 4�'_���#�2�21�'"1/��W/$#A7l% 6 : � 'W�4=?><��tvq �@"1�'2$2+>

�@�0B�m "$#&_4j8��� �3>�: � ' �4�Z8Z �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z 'HN � ��� �A����������� �

� :';Q� JO���s�0.! G�0% _�`D�-�U  �W,�,�#A/+��¤�§ �l{ V!| x�� � | ��³ R � ©�T V �M�UT?{ V z 6 (*78,&� BC�Ct!£�J � .�#A�'%l/�X,Aj070"$#A/�  B�2?=!����tvq �@"1�'2$2+>�: � �8� �

� :+�W����� �f�0"$� �o�k�X7Qi /17 L 7^�s��E070% _¨/$ 4���s,&�8.5�0g)�@7 �n�U#�B��4,��8/1#�70%a�f�8"�"1#��+"+��tv%��Dw8~Y�y �9�9� � zQ� N { P!| R � {W~��k{QR4~��8�Wx | {W~ P {1� 0 { � NYR4x)T Va� � | T5~ � T�>²� �8j8�'2¨:(N � % :8: �4>;=N=ND:8�

� :��8�����*�f�8"�� �Y�r��70% 2$/$�0%0/1g(LX70� % _p��78#&%Ug°q-7l2$2$#�% jGif#�/$ p� �±�8% #�%�/$  �¬�±#�_ _ ,A��7l"LX�+�W,�# � #&%4j�/� 4���U D�8"$�+_�LX�0% _470B»�l/�"1#&%4jC��74_4��,9�btv%����Wx���y �9�9�¼� zQ� N { P!| R � {W~�k{QR4~��8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5> /$7��8� �o�+�0"�> ;=N=N0; �

� : �Q�����<�f�8"�� ���8% _���� L 70,�_D"1�+#�.! b>�%4#AF0�+"�2$�8,l�0"1jl� BC�+%l/$2k�8%D_�/$ 4�+#�"¯�0� �4,�#�.+�W/1#�70%D2��ltv%/� 4�aI ¹�x��^y �9�9� 0 {W~+�5T V T5~ � TC{W~ 0 { � NYR4x)�Wx | {W~Y�W§ 0 { � NY§ T�� | x z >�� �Wj0�+2�: � � % ;"N0� >;=N=Nl;4�

� : � �����o�s�0"$� �Y>*��� L 78,&_ "$��#&.! b>IL��DtvB�� �Wj0,A#&� � � 7o>Y�Y�ILO� _4#&.! b> �����U�0  �W#9>����D(��8_D  �8%b>�0% _�h^���²�0%4jD���%�/� 4� 6 #&B�=°�o702�21#&m4#�,A#�/°E�7WcM2$7Wcd/°is�8"$�@7lmUc�� 2�.��8/1#�70%b��tv% 0¯V z Nox°{� 0IQ>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj��-�+.�/$� "$�A�X70/1�'2s#�%±��70B�� � /1�+"X�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�o; :+� � =?>4� �8j8�+2�: %:(' �� :<Z<�������s�0"$�����8% _��C�0�-#&% _4�+,A,9�±�l/$"$#�.�/ �*78,�E4%470BC#&�W,Ag9/$#�BC��#�% �U#�B��4,��8/1#�70% �8%D_ J��Ug

/�"$�0.5/$#A7l%b��tv%���� x��H¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~px��UT��M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>²� �8j8�'2�F'W� % � � � >U;"N=Nl;4�� :7'W���C�k�@�'�<F8�'"��a¢D70�D% _ �W/$#A7l% 2378cO�l�+.+� "1�^tv%l/$�+"��8.5/$#AF0�a��70B�� �4/$#�% jD��tv% 0¯V z Nox°{8K0IQ>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/$�D"1� �X70/1�'2*#�%���7lBC�D�4/1�'"��U.5#��+%D.5� 6 (*70,�� �0Z � =?>8�D�Wj8�'2*�lZ0Z %� � :0�� : � ���C�D�s�'�<F8�+"+���l�'.�� "$�3�±�4,�/1#Ag ���0"1/°E ��"$78/174.�78,&2@�0% _±eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0� �@"17U7Wc²�lE421g

/$�+B�2�q�78,��+"��W/$#�% j¬�¬¢Y�8�4,�/°E��±#�%47l"1#�/°E8� ¥ {WR V ~Y�8§²{v� 0¯V z NYx){8§ {$� z >*(*78,9�-�o>�� �8j8�'2Z � % :';8; >o: � � :8�� ;"NW�����+�s��,�,&�8"$�8��� �X70/1�²7l%A�X�+j8,�#Aj0#�m ,A��¢Y� % .�/1#�70% 2+� ¥ {WR V ~Y�W§4{1� 0¯V z Nox°{W§A{$� z >8(*70,��l: � >�D�Wj8�'2];0Z4: % ;='W�o>l;"NHN0; �� ;4:������4�@�+,A,&�8"$�8> L3�o�@�0%4��/$/1#b�8% _a���Uh3"��<i@. � E��Y����2$�+�D_470"��8% _ 70B«c�� % .5/$#A7l% 2 L]�+Fl#&21g

#�/1�'_b£�qf  �C�@�82�.��0_4����70% 2$/$"�� .5/$#A7l%¬�8% _n#�/$2O��7l% .�"$��/$���l�+.+� "1#�/°E8��tv%�� ¹+x���y �9��� zQ� N { P!| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>o� �Wj0�+2 �4:+� % �8;W�D>D: � �8� �

� ;8;Q�����@�s�+,A,&�8"$�8> L��O�@�8%4�+/1/1#��0% _J���@h3"��<is. � E��Y�«h��+EU#�%4j �O�02$ r¢Y� % .�/1#�70% 2ncd7l"�±�+2�2$�8j8���X�4/� 4�+%l/$#�.+�W/1#�70%M�Qtv% 0kV z NYx){0K��Q>0�U� "$#�%4j0�+" ���+.�/$� "$� �X70/1�+2M#�%3��70B�� � /1�+"�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�M:0:7N � =?>4� �8j8�+2�: % : � �

� ;W�W�����Q�@�+,A,&�8"$�8>EL��0�@�8%4�+/1/1# �0% _3���Qh3"$�<is. � E��o�U��74_ �4,&�8"��O� � "$70�8.! �/17�/$ 4�s���+2$#Ajl%�0% _��O% �W,�E421#&2M78c��O�4/$  �+%l/1#&.��8/1#�70%3�0% _�h���E J�� .!  �0%4j8� �@"170/174.570,�2+�Qtv%��� Wx���¤ 0-L� zQ� N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2s�D: � % �U;"'D>D: � � 'D�

� ;Q�8�����Q�@�+,A,&�8"$�8>����Q�O�'2$�8#�>W�C� �*78#&%l/$.! 4�+FQ�W,0�0% _ �*�2LX78j0�<is�<E8�HL]��,&�W/$#A7l% 2k�8BC70%4j�%478g/$#A7l% 2@7Wc-2$�+.+� "1#�/°ECcd70"@� � m4,�#&.!g �W��E��'% .�"$E4�4/1#�70%�2�.! 4�'B��'2��btv% 0¯V z Nox°{8K"!8>Y�U� "$#&%4j8�'"���+.�/$� "$���X78/$�+2f#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�M:�� � ;0=!>4� �Wj0�+2]; � % ���4�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z 'D:

� ; �Q�����X�s��,�,��0"1�­�0% _ ��� L 78,&_ "$��#&.! b� ��%u�����o%4#&%4j �@"17U7Wc�2¬78c^h3%47Qif,A�'_4j8�0��tv%0¯V z NYx){0KQw8>M�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j4�-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"f�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�oZ<�FNl=!>�D�Wj8�'2f� � N % �U;"ND�

� ; � �����Y�s�+,A,&�8"$�8>��� L 78,&_ "1�+#�.! G�8% _���� L 70,�_ i@�02$2$�+"+�Xtv% .+"1�'BC�+%l/$�8,*�@"$E4�4/170j0"��8�  lE�£/� 4�n�@�021��78c@���82� 4#&%4jG�8%D_­�U#Ajl%4#�% jD�ntv% 0¯V z Nox°{8K �D>��U� "$#�% j8�+"1g)(*�+"$,��8j ���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,��M'8� � =?> � �8j8�'2s; : � % ;W�0� >Y: � � �D�

� ;0Z<�����M�s��,�,��0"1�0>���� L 78,&_ "$��#&.! ��0% _��Y� L 70,�_4is�82�2$�+"+�Ctv%D.�"$�+BC�+%l/$�8,��@"1E4�4/$78jl"$�0�  lE�0% _ �X� � ,A#&.��8/1#�70% /17­(X#&"�� 2 ��"$78/$�+.5/$#A7l%b��tv% wo¹�x�� ¤ 0-L � zQ� N4{ P?| R � {Q~Jx��UT�M�4T�{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2s� � % � � >Y: � � �4�

� ;"'W����� �s��,�,��0"1�0> ��� L 78,&_ "1�+#�.! n�8%D_¨��� h3"$�<is. � E��o���l/��W/1�+,A�'2$2 J�FQ�W,&� �W/$#A7l%�7Wc ��2$�+�4g_ 70"��8% _47lB«¢Y� % .�/1#�70% 2+£²�l�+.+� "1#�/°E^mD�+E87l% _�/� 4�X�s#&"1/�  _ �<E��f�8"�"1#��+"+��tv% 0¯V z Nox°{8K0KQ>�4� "1#&%4j0�+" �-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"X�U.5#��+% .�� 6 (*70,��M: �8�0� =?>4� �8j8�'2s;lZ N % ;"'UZU�

� ; � �����f�@�+,A,&�8"$� �8% _u�Y� L 78,&_4is�82�21�'"�� �X�+i ���0"$�0_4#AjlB�2^cd70"n��#Aj0#A/��W,��l#�j0%D�W/$�D"1�'2�0% _u���+2�2��Wj8���O�4/$ 4�'%l/1#&.��W/$#A7l%u�f�82$�+_ 70% �X7l%Ug9tv%l/$�+"��W/1#�F8� eY�'"17ph3%47Qif,��+_ j8��@"17U78c�2���tv% 0kV z NYx){=!0KW>M�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj��-�'.5/$�D"1�A�O78/1�'2]#&%G��70B�� �4/$�+"O�4.5#��+% .��6 (*78,9� �0� �0=!> � �Wj0�+2�: � � % ; :8:0�

� �=NW�����X�s��,�,��0"1�0>�L3� L �4�'"1#&%u�8% _ �*� L]70j0�<is�<E8��� � L � �X�@2+£ �X��i ���+/$ 474_ 2cd7l"����+2�2��Wj8� �X�4/� 4�+%l/$#�.+�W/1#�70%u� 2$#&%4j ¢¯#&%4#�/1� ��2$�+�D_470"��8% _ 70B ¢o� %D.5/1#�70%D2���tv%0¯V z NYx){0K��Q>M�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j4�-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"f�4.5#��+% .�� 6 (*78,9� �8� �l=!>�D�Wj8�'2�: � % ;"'D�

� � :������Y�s�+,A,&�8"$�8>-�Y���O�8,A�+FU#�> ���M�4�8  �8#k�0% _H�Y��(��0_   �8%M�3q�"��8�Y_47U70"X¢o� % .�/1#�70% 2��0% _�@� m4,�#�.5g9h��+E¨�@"1E4�4/$702$EU2$/1�'B�2���tv% 0¯V z Nox°{8K=!W>Y�4� "1#&%4j0�+" �-�'.5/$�D"1� �X70/1�+2@#&%¬��7lB�g�D�4/1�'"O�U.5#��+%D.5� 6 (*70,��M:+� � ;0=?>4� �8j8�'2];"'8� % ; � ' �

� �0;Q����� �s��,�,��0"1�0> L3�DtvB�� �8j8,�#�� � � 7��8%D_n���=�O�870"+�*�O7U�+2 ���8"��W,�,A�+,*LX�+�o��/1#�/1#�70% ��7Qi��'"/� 4� J@"$"$70"�#�%¨��7lB�� �4/$�8/1#�70% �8,A,�EC�l7l� % _ ��"$78/$74.578,&2��±tv%��H!Wx���y �9�9�J� zQ� N4{ P?| R �{W~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {v� 0 { � NoR4x°T V�� � | T5~ � T�>D� �8j8�'2@�UZ<� % �='0� >Y: � � ZU�

� �8�W�����Q�@�+,A,&�8"$�8>W`D�<h�#A,�#��0%3�8%D_ �*� L]78jl�<i@�<E0�0qf 4�]�l�'.�� "$#A/°E�78c���#��D 4�+"k�s,A74. ���@  �8#�%4g#&%4jo� tv% 0kV z NYx){0K �D>3�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj����+.5/�� "$���O78/1�'2¨#&% ��7lB�� �4/1�'"¬�4.5#��+% .��6 (*78,9� '8� � =!> � �Wj0�+2s�W�o: % � �"'D�

� �W�8�����*�@�+,A,&�8"$�a�0% _r�Y�*��#�.+�W,�#�� �X7Qi»/$7­�U#Ajl% L #�F8�'% �X%lE�qk"$�0�o_ 7l7l"C¢o� % .�/1#�70%b�¥ {WR V ~Y�W§�{v��x��UT�¤ 0ML > (*70,��o� � > �D�Wj8�'2f;4:�� % ;8�8� >Y: � � ; �

� � �Q���C�M�s�+�<F0�+"+>b���M��#�.+�W,�#��8% _ �*��L]78jl�<i@�<E0�3qf 4��L]70�D% _H��7lBC� ,A���U#�/°E±78cf�l�'.�� "$��@"170/174.570,�2+�²tv%�w8w8~��^¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {W~�x��UT��M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>Y� �8j8�'2�=N8� % �4:'� >o: � � N �

� � � �����b�@�+,A,&�8"$���0% _ �*�*LX78j0�<is�<E8��LX�0% _47lB ��"$�0.5,��+2��8"$� ��"��8.�/1#&.��8,�£X� ���8"��8_ #AjlBcd7l"@�O�'21#�j0%4#&%4jKJ � .5#��+%l/ ��"$78/$7U.�78,&2��btv%HI P x 0 {W~+���*{Q~ 0 { � NYR4x)T V �Q~Y� 0 { ��� R4·~ | � �Qx | {Q~ P�� T � R V!| x z > �X�@�­>D� �8j8�'2 � ; % ZQ� >Y: � � �D�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z 'l; � ��� �A����������� �

� �lZ<�������s��,�,&�8"$�±�8% _ �*�L]78jl�<i@�<E0� J@%l/1#�/°E �O�4/$ 4�'%l/1#&.��W/$#A7l%J�8%D_ph���E��O#&21/�"1#&m �Ug/$#A7l%b�ptv% 0kV z NYx){0K��8>O�U� "$#�%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj��-�'.5/$�D"1� �X70/1�'2�#�%J��70B�� � /1�+"¨�4.5#��+% .��6 (*78,9�YZ8ZW�l=!> � �Wj0�+2f;W�l; % ;W� � >D: � � �o�

� �='W�����k�s�+,A,&�8"$�¨�8%D_ �*�4LX78j0�<is�<E8� �@"17QFQ�8m ,AE��l�+.+� "$�n�l�+2�2$#A7l%­h���E ��#�2$/$"$#�mD�4/1#�70%b£qf  ��qf  "$��� ���8"$/°Ea�@�82$�8�²tv% wD¹�x��¨¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {Q~Hx��UT¬�b�4T?{ V z {1� 0 { � ·NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2��0Z %U�8� >�: � � �4�

� � � �����'�s�+,A,&�8"$�²�8%D_ �*��LX78j0�<is�<E8�Wqf  �J��4�0.5/k�U�+.��D"1#�/°E�7Wc ��#Aj0#A/��W, �l#Ajl% �W/�� "$�+2+£M�X7Qi/$7a�l#�j0%aif#A/� �L���\�8%D_!LO�8m4#&%b�*tv% � R V { 0kV z NYx)K �<>b�U� "$#�%4j0�+" ���+.5/�� "$� �O78/$�+2f#&%��7lB�� �4/1�'"X�U.5#��+%D.5� 6 (*70,��-:7NlZ"Nl=!�

� �HNW�����Y�s�+,A,&�8"$���0% _G�­� �²� % jD�����+"$/1#AcdEU#�% j �*�'"$B��4/$�8/1#�70% 2+£/�X7l%4#�%l/$�+"��8.5/$#AF0��eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8���f�82$�+_¬7l% �X%lE¬q�"��8�Y_47U70"��*�'"$B��4/$�8/1#�70%b� ¥ {QR V ~��W§¯{v� 0¯V z NYx){8§ {$� z >(*70,�� � > � �8j8�+2�:+� � g�: �8� >o: � �8� �

� �D:��3���0�s�+%4g9���<FU#�_b>0���U�@ 47l"�> ��� L 78,&_ "$��#&.! b>0�0% _��­� ��� mlE8���%�/� 4�Xqf 4�+70"$E�7Wc �XF0g�'"$�8j8�]�@�82$�X��70B��4,�� �4#A/°E0� ¥ {QR V ~��W§D{1� 0 { � NoR4x°T V �W~Y� � z P x°T � � � | T5~ � T5>0(*78,9�W�8�o>�O7D�o; > �X� "$#�,�: � � ;4>U� �8j8�+2�: � � % ;4: � �

� �l;Q�����8�s�+%Ug/��"+> L3�4�@�8%4�+/1/1#Y�8% _%��� L 78,&_ "1�+#�.! M� �O21E4% .!  "$70% 70� 2²�l�'.�� "$����7lBC�D�4/$�Wg/$#A7l%b�Mtv%Gw �Qx���¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~�x��4T¨�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8> � �8j8�+2 �8; %U� :0>: � � � ���l���3_4�+/$�8#A,&2s#�% � � �'�)�

� �0�W�����M�s�+%Ug/��"�>���� L 78,&_ "$��#&.! b>k�Y� L 70,�_ i@�02$2$�+"+>-` �-� ��82$/$�0_b>k`D�bh�#�,A#&�8%b>*�Y�-��#&.��8,A#�0% _��*� L]70j0�<is�<E8� J²F8�'"1EU/� 4#�% j �@"17QFQ�0m4,A��#&2���"$70m �0m4,��O#&%GeY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0�8�ktv%0¯V z NYx){=!=!W>M�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j4�-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"f�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�4�HN0�l=!>�D�Wj8�'2f�lZ % � � >o: � � N

� �8�8����� �s�+%Ug/��"�>o��� L 78,&_4is�82�21�'"�>D`D�4h�#A,�#&�8%¬�8% _���� [r#Ajl_4�+"�2$70%b���±� ,A/$# g���"$7QF8�'"²tv%Ug/$�+"��8.�/1#�F8� �@"17U7Wc�2+£k�X7Qip/17KL]�+BC7QF0�]tv%l/$"��8.5/��8m4#�,�#A/°E0�btv%�w Wx���¤ 0-L � zQ� N4{ P?| R �{W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�+2�:0:+� % :+�D:8>o: � 'H' �

� � �Q�����*�@�'%Ug/��"�>��Y� L 70,�_ i@�02$2$�+"C�8% _ �3�*[r#�j0_4�'"$2$70%M� ��70B��4,���/1�'%4�+2�2�qf 4��7l"1�'B�2cd7l" �O70%Ug1�@"$EU� /178jl"$�0�  4#&.�¢o�0�4,A/1g)q�78,��+"��8%l/]��#&21/�"1#&m �4/$�+_���7lBC�D�4/$�8/1#�70%b��tv%­w Wx��¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�+2�: % :(N >�: � '=' �

� � � � JO� L�� �s�+"$,A� �'�0B��b�²¢Y�8.5/$70"$#�% j �*70,AE4%47lBC#��8,�2s7QF0�+" ���0"1j0�O¢¯#&%4#�/1��¢¯#���,&_ 2+� L �Qx��UT�·� �Qx | � P {1� 0 { � NoR4x°�Qx | {Q~o>D(*78,9�D;Q�o> � �Wj0�+2]ZU:'� % ZQ� � >o: � Z"N �

� �UZ<� JO� L��b�@�'"1,�� �<�0BC�M>AL3� ` �M�±. J²,�#A�'.5�0>-�8% _H��� �O� �3�MFQ�0%�qs#�,�mo70"$jD�$��%�/$ 4�^tv%   �+"1g�'%l/�tv%0/�"$�0.5/��8m4#�,A#�/°E�7Wc]���+"$/$�8#�%­��74_4#�% j��@"17lm4,��+B�2��^y ��9� � V �Q~ P �f{W~�y!~'�5{ V � ��M�4T�{ V z >-: � Z 'D�

� �H'W��`D�b�s,��0. �Y>��Y�b�O�8,A�+Fl#9>b���-h3"$�<is. � E�Y>�q��bh3"17QF0��/ � >b�8% _ �*��L]78jl�<i@�<E0��O� �X�O£¢Y�82$/��0% _­�l�+.+� "1�����'2$2��Wj0� �X� /$ 4�'%0/$#�.+�W/$#A7l%b�3tv% 0kV z NYx){0K8KW>¯�U� "$#&%4j8�'" ���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,��-: �8�0� =!>U�D�Wj8�'2];4: � % ;8�8�D�

� � � �������s,�� Bn�r�O7Qi®/17 J��4.! D�8%4j0���l�'.�"$��/^h��+EU2+�J¤ 0ML � V �Q~ P � 0 { � NYR4x � � z P ��>(*70,��-:8> � �8j8�+2�:QZ�� % : � � >o: � '0� �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z '0�

� �"NW�����o�s,&� Bn����78#&%¬¢¯,A#&� �4#&%4jnm0E �@ 470%4�0�ftv%­x��UTCw �Dx��¨y �9�9� 0 { � NoR4x°T V 0 {W~+�5T V ·T�~ � T 6 0 { � N 0 {W~U=!>D� �Wj0�+2O:+�0� % :'�lZ4>Q¢D�+mD"$� �0"1E¬: � '0; ���l�����W,&217 � y���¤ 0 � ³ T�� P >(*70,��-: �4>��O7D�b:0>b: � '0� �

� �4:�� ���U�@,&� Bn> �­�4�s,&� B �8% _a�­�o�U U� mb��� �l#&BC� ,A�3�l�+.+� "$� �% � "$�+_4#&.5/��8m4,�� �@21�'� _478gLO�8% _47lB �O� B�mD�'" L �'%4�+"��W/$70"+� � y�¤ L ¥ {QR V ~��W§b{Q~ 0 { � NYR4x | ~U�W>U(*78,9��: � >o: � ' � >�D�Wj8�'2f� � � % �H'8�D�

� �8;Q�����l�s,&� Bn> �3�U���3�4�8%l/1#&2�>D�Y�4��#&.��8,A#9>4�8% _ L ���*�+"�21#&�8%47o� �X7l%Ug9tv%l/$�+"��8.5/$#AF0��eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8� �@"17U7Wc��lE42$/1�'BC2+� � y$¤ L ¥ {WR V ~Y�8§�{Q~ 0 { � NoR4x | ~l�8>�(*78,9��;=N >��X7o� � >�D�Wj8�'2�:7NH'W� % :8:0:7' >D: � � :8� 6 ��7l% 21#&_4�'"1�'_¨/� 4�s�v70� "�% �8,bF8�+"�2$#A7l%�7Wc � �8�<�)� =

� �W�W�����0�s,&� Bn>��*�l¢D�+,�_DBC�0%��8%D_a�Y�U��#�.+�W,�#�� �O70%Ug)tv%l/1�'"$�0.5/1#�F8��eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0�@�0% _#�/$2 �O� �4,�#�.+�W/1#�70%D2���tv%�w Qx��n¤ 0ML � zQ� N4{ P!| R � {Q~ x��UTG�M�UT?{ V z {1� 0 { � NYR4x | ~U�W>�D�Wj8�'2�:7N0� % :0:'; >D: � '='D�*�l�+� � �0;<�)�

� �Q�8�������s,&� B �8% _ �Y� L 78,&_4is�82�21�'"�� �O% J � .5#��+%l/ �@"17lm �8m #A,�#�2$/1#&. ���Dm4,A#&.!g)h���E J�%4g.+"1E4�4/$#A7l%��U.! 4�+BC�]i]  #�.! ^ 4#&_4�'2²�W,�,o�D�8"$/1#&�W, #&%Ucd70"�B��W/$#A7l%b�otv% 0¯V z NYx){=!�� >����+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,��-: �8� =s�U� "$#�%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wjo>l�D�Wj8�'2f;"' � % �HN0;4�

� � �Q�����-�s,��DB �8%D_­���-��#&.��W,�#9���X7Qi /17 L �'%4�+"��W/$���@"$E4�4/170j0"��8�   #�.+�W,�,AE��l/�"17l%4jG�l�5g� �4�'% .5�'2�7Wc ��2$�+� _478g(LO�8% _47lB��@#�/$2+� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§*{Q~ 0 { � NYR4x | ~U�W>�(*78,9�*:+�D>�D�Wj8�'2I' �"N % ' � �D>@: � 'W�D� �@"1�+,A#&BC#�% �0"1EHF8�'"$2$#�70%­#&%¼w � V ��y �9�9� � zQ� N { P!| R � {W~�k{QR4~��8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>M: � 'l;4�

� � � � L��'�s7l� � �8%D� >Q` �'� ��021/��8_b>Q�8%D_��Y�We��8.! 47l2��8�O7U�+2*��7Wg � ���O�<F0�@�U 47l"1/Mtv%l/$�+"��8.5/$#AF0��@"17U78c�2 ��y!~'�5{ V � �Qx | {Q~�� V { � T P?P!| ~l� � T�x9x)T V?P >D; �4> �G�<E±: � 'lZU>U� �b�-:';0Z<g�:'�0; �

� �0Z<��`D� ���*�s7QEl�8"+��tv%Ucd�+"�"$#�%4j��l� � � �+% .��+2 ��"$74_ � .��+_ mlE�@21�'� _478g(LX�0% _47lB ��� B�mo�+"L �'%4�+"��W/$70"�2�� ¥ {QR V ~��W§-{1��x��4T�¤ 0-L > (*78,9�D� � > � �8j8�+2�:<; � % :��o:8>Y: � ' � �

� �"'W� L �-�s"��82�2��8"�_b� � �X70/1��70%�/$ 4�a��7lB��4,A���4#A/°E±78cf�@"$E4�4/170j0"��8�  lE8�Cy �9�9� � V �W~ P �{W~ny5~+�5{ V � �X�M� ��>o(*78,9�D; � > � �Wj0�+2];W�l; % ;W�8�D>D: � Z � �� � � � L ���f"$�02$2��8"�_b����� �0%0/�� B tv%Ucd70"�B��W/1#�70% �@"174.��+2�21#&%4jD£ qf 4� L 7U74_b>�/$ 4���f�8_

�0% _�/� 4� Oj8,�E8��tv% 0¯V z Nox°{8K ¹�>k�4� "1#&%4j0�+"7���+.�/$� "$�5�O78/1�'2X#&%H��7lB�� �4/1�'"��4.5#��+% .��6 (*78,9�M:'; � �4=?>4� �Wj0�+2f�0�lZ % �W�o:8�� � NW� L ���f"��82�2$�0"$_b>Y�C���@  �8� B��0% _��O�-�@"4��+�o�+�0�b����#�% #�B�� B �O#&2�.5,�702�� "1� ��"$7U7Wc�2X7Wc

h3% 7Qif,A�'_4j8�0� ¥ {QR V ~��W§X{1� 0 { � NoR4x°T V �W~Y� � z P x)T � � � | T5~ � T�>f(*78,9���UZU> �X7o��;4>�D�Wj8�'2¬: � � % :(' � >f: � 'H' ����"$��,�#�BC#&% �8"$E­F8�'"$2$#�70% mlE �s"��82�2��8"�_��8% _J�@"4��+�o�+�0��#&%wo¹�x��^y �9�9� � zQ� N { P!| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>-: � ' � �

� � :�� L �4�f"��82�2$�0"$_��0% _n�O�D�@"4��+�o�+�0�b�keY�'"178g9h3%47Qif,��+_ j8�O�l#&B��4,&�W/$#A7l%�78c-�s7l70,A�'�8%a��#&"1g.+�4#�/$2+�±tv% 0¯V z Nox°{"!�<>s�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/�� "1�)�X78/$�+2�#�%���70B�� �4/$�+"C�4.5#��+% .��6 (*78,9�o; � �l=!> � �Wj0�+2f;8;8� % ;8�8�D>D: � 'lZ4�

� � ;Q� L �²�s"��82�2��8"�_b>��O���@"4��+�o�+�8� �8% _��­���²� %4jo�r��7l% 2$/$�8%l/1g(L]7l� % _ �*�+"1cd�+.5/¨eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8����7lB�� �4/$�8/1#�70% �8,A,�E¨��70%lFU#�%D.5#&%4j ��"$78/$74.578,&2+�]�M�4T�{ V T�x | � �W§ 0 { � NYR4x)T V� � | T�~ � T�> (*78,9� '8�D> � �8j8�+2f;8� % �0;4>Y: � � :8�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z '8� � ��� �A����������� �

� � �W� JO� ¢s�Y�f"1#&. �W�+,A,k�8% _ ��� ���9��_4,�E � �87D���@"$E4�4/$�0% �W,�E421#&2�£ � �4� "1F0��En7Wc L]�'.5�'%0/ L]�5g2��4,�/$2+�*tv%�� V { � T?T?� | ~U� P {1��x��4TOy �9�9� >D(*78,9�YZ � > � �Wj0�+2��0Z"' % � � �D>o: � '='D�

� � �8�3�O���@�8.!  #�%»�0% _ ��C�±�0� "$�+"+� O% .�70% _4#�/1#�70%D�W,¬21�'.�� "$#A/°E �Wjl�W#&% 2$/ BC�+BC70"$Elgmo70�D% _4�+_­�0_4F8�'"$2��8"$#��+2+��tv% 0¯V z Nox°{8K ¹�>��U� "$#&%4j8�'"��-�+.�/$� "$� �X70/1�+23#�%���70B�� � /1�+"�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�M:<; � �4=?>4� �8j8�+2f; � ; % �=N � �

� � �Q� L��o�@�8%4�+/1/1#9� � x�RD� | T P�| ~ � T � R V T L R § x | ·&�]� V x z 0 { � NoR4x°�Qx | {Q~��W~Y��¤sN8NY§ | � �Wx | {W~ P ��@ b� ���<qf 4�+2$#&2�>Q���+� �0"1/�BC�+%l/-78cY��70B�� �4/$�+"*�U.5#��+% .����0% _��X�D�4,A#��+_��±�W/� 4�+B��W/$#�.+2�>[H��# � B��0% %�tv% 2$/1#�/$�4/$�f7Wc-�U.5#��+% .��8>HL]�+ 47QF078/+>Wtv2$"��W�+,�>l`8� % ��: � � �4� �XFQ�W#�,��0m4,A�@c�"$70Bc�"$70B������������������� ������������������������� !��"#�$�%�������� ����'&�(�(')�*����,+'-�.%�����/�0���%�1�D�

� �8� � L��Y�@�8%4�+/1/$#��²�l�'.�� "$#A/°Ea�8% _±��70B��o702$#A/$#A7l%�78c¯�±� ,A/$# g°� �8"$/°Ea�@"$EU� /178jl"$�0�  4#&. �@"178g/$74.578,&2+� ¥ {WR V ~Y�W§�{v� 0¯V z Nox°{W§A{$� z >D(*70,��M:'� >��O7D�b:8>o� �Wj0�+2�:��l� % ;=N0; >l;"NHN=ND�

� � Z<� L��4�@�0%4��/$/1#9� O%4#�F8�'"$2��W,�,�E���70B��o702��8m4,����l�'.�� "$#�/°EY£��9�O��i ���0"$�0_4#AjlB\cd7l"@�@"$EU�4g/$78jl"$�0�  4#&. ��"$78/$74.578,&2+�Xtv% �Dw8~���y �9�� � zQ� N4{ P?| R � {Q~ �k{QR4~Y�0�Qx | {Q~ P {v� 0 { � ·NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>*� �8j8�'2^:+� � % :+� � >-;"N=ND:8��¢Y�4,�,�F0�+"�21#�70% 6 if#�/$ �_ #32��+"$�+%l/�/1#�/1,��<=�#�2�<FQ�8#A,&�8m4,��Oc�"17lB 0¯V z Nox°{W§ {�� z T�� V!| ~Dx*¤ V � � | ¸<T�>ILX�+�o70"$/f;=N=NHNl¡ N � Z4�

� � 'W� L��@�@�8%4�+/1/$#�>@t!�*���0BCj0�8"�_b>f�Y�*�54+#A�'B�mo7Qi]2 �l#9>��C�*tv2$ D�W#]�8%D_ q��²�G�W, �0#&%b� ��%�0_ �8� /1#�F8��F8�'"$2�� 2s%470%4g)�0_ �8�4/$#AF0��21�'.�� "$#A/°E¨7WckB��4,�/1#&� �8"$/°Ea� "$78/$74.578,&2+� ¥ {QR V ~��W§-{1�0¯V z NYx){8§ {$� z >Y/17^�8� �o�+�0"��

� � � � L��U�@�8% ��/1/$#�>���W¢o��#�j8�0> ��� L 70,�_ "$��#&.! C�8% _��­� �O�W7l"����X_ �0�4/1#�F8�+,AE^�l�+.+� "1�]�G�4,A/$# g�D�8"$/°En��70B�� �4/��W/$#A7l%b�²tv%HwH!8x��¨¤ 0-L � zQ� N4{ P!| R � {W~�x��UT¬�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x9·| ~U�W>o� �Wj0�+2 � � � %4� �H'D>D: � �8� �

� Z NW� L��0�@�8%4�+/1/1#9> ��� L 78,&_ "$��#&.! ��0% _C�Y�Q���W,���FU#9�Uqf  � LO�8% _47lB ��"$�0.5,������+/$ 474_470,A70j8E0>LX��FU#�2$#�/1�+_M�3tv% � Qx��¬¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~­x��4TG�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>-� �8j8�'2;=N � % ;4:(' >o: � � ' �

� ZU:�� L��b�@�0%4��/$/1#9>9��� L 78,&_ "1�+#�.! M>��Y� L 78,&_4i@�02$2$�+"+>D�0% _G�Y����#�.+�W,�#�� L]�'21�+/1/��8m4,���eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8�0�Dtv% �8w8~Y��¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~nx��UT��M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>l� �8j8�'2;8� � % ;Q�0�D>U;"N=NHN �

� ZW;Q� L����@�8%4�+/1/1#9>¯���b�O�W,���FU#��0% _ ���M�X�'"4'mD�'"1jo���X7Qi«/17��±�W#&%l/$�8#�%��X�4/� 4�+%l/1#&.��8/1�'_��7lB�B�� %4#&.��8/1#�70%u#&%\/$  �76�"$�+2$�+%D.5�­7Wc��f"$�+���8g)tv% 2+� ¥ {WR V ~Y�W§C{v� 0¯V z NYx){8§ {$� z >(*70,��-:+� >��O7D�b:0> � �Wj0�+2 � : % :(N � >4;"NHN=ND�

� ZQ�W� L��]�@�0%4��/$/1#��8%D_ �3�s�X�'"4'mD�'"1jo� �±�8#�%l/��W#&%4#�% jp�l�'.�� "$#A/°Ep#&%J/� 4�86@"1�'21�'% .5�G7Wcqk"��8% 2$#A�'%l/-¢o�0�4,�/$2+�ltv% 0kV z NYx){0K �D>4�U�D"1#&%4j8�'"vg)(*�+"$,&�Wj/�-�'.5/�� "1�?�X70/1�+2�#&%C��70B�� � /1�+"�4.5#��+% .�� 6 (*78,9� '0� � =!>4� �Wj0�+2s�l; � % �0� � �

� Z<�8� L��*�@�0%4��/$/1#9>*`D�-h�#�,�#��0%b>�JX�96*�+/$"��8% ���8% _����4LX702$�+%b���s,&�8. �0g9�s7 �H��7l% .�� "�"$�+%l/e��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8� L]� � � #�"$�+2;:< 6 ,�78j � =ML]70� %D_ 2��ftv% ��� V ��¤ 0-L¦� zQ� N { P!| R � {W~x��UT¬�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�'2 �0Z N % �lZ � >U;"NHN :8�

� Z��Q� L��f�@�0%4��/$/1#9> ��� �-#&% _4�+,A,9> L3�M��21/�"17QF42 �0E �8% _ ���f�4�8  �8#�� O% #AF0�+"�2$�8,A,�Er��7lB�g�o702��8m ,A�^qsi@7Wg=6��8"$/°E¬�0% _H�±�4,�/1#Ag06��0"1/°E��l�'.�� "$�¨��70B�� �4/��W/$#A7l%b�^tv% � � x��±¤ 0-L� zQ� N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2s� � � % �=N8�D>l;"NHN0; �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z ' �

� Z � � JO� L��o�@�8% �D�+,�_M>,6*� J�"�_4702+>4�8% _��O�,6*70BC�+"��8%D.5�8����%a��� "$70m ,A�'B 7Wc ��� �D�'%  4�+#�B.�70% .��+"�%4#&%4j � c��8.�/170"$#&2$�8/1#�7¨%U� BC�+"$70"�� B � � ¥ � ³ R � ©$T V �b�4T?{ V z >k(*78,9�k:QZU>M� �8j8�'2: % ;=' >�: � '8� �

� Z8Z<� ���-�@�8"$/1�+"��8%D_G�­��[H��j0B��0%b��O%4#�F8�'"$2��W,k�O�02$ G¢o� %D.5/1#�70%D2�� ¥ {QR V ~��W§*{v� 0 { � ·NYR4x)T V �Q~�� � z P x°T � � � | T�~ � T5>D(*78,9�M:7'D>b: � Z � >U� �Wj0�+2�:+�0� % : �W�D�� Z 'W���C�]�@  �8� Bn�\�s,�#�% _¼�U#Ajl% �W/�� "1�'2^cd7l"�O%l/$"��8.��+�0m4,A�;6��<E4BC�+%l/�2�� tv% 0¯V z Nox°{"!8w8>

6�,A�'%U� B�6�"$�+2�2+> � �Wj0�+2�: � � % ;=N8�D>D: � '8�D�� Z � ���C���@ D�8� Bn>M�O�Y�@"4��+�o�+�8�¬�0% _nt!�D���8BCj ��0"$_b�@�±�4,�/1#Ag)�D�8"$/°Ea� % .�70% _ #A/$#A7l% �W,�,AE��l�5g

.+� "$� 6�"$78/$74.578,&2+�ntv%Jw Qx���¤ 0-L � zQ� N4{ P!| R � {Q~�x��4T��b�4T?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>�D�Wj8�'2�:8: % : � >o: � 'H' �� '=NW�����f�@ 470"+>f��� L 78,&_4is�82�21�'"�>]�Y�@��#�.+�W,�#X�8%D_ ��� �]i@�+"�m � .! b� (*�+"$# �o�0m4,����l�+.+"1�+/

�4  �8"$#�% jH�0% _ �O.! 4#���FU#�% j­�l#&B�� ,A/��8%4�+#A/°E�#&% /$ 4� 6�"$�+2$�+%D.5�n7WcO¢Y�8�4,�/$2+� tv% w�Qx��y �9�9� � zQ� N { P!| R � {W~��k{QR4~��8�Wx | {W~ P {1� 0 { � NYR4x)T Va� � | T5~ � T�>²� �8j8�'2��H'8� % � � �4>: � ' �4�

� ' :������o�@ 47l"s�8% _!JX�4h3� 2� 4#�,A�+FU#A/ 48���\e��+"$7Wg/��%4� �k�<iJcd70"@�s7U78,��+�0% 6�"$#�F<�0.5E0� � y�¤ L¥ �*{W~n´ |&P � � L �Qx�� ��>o(*78,9� �D> � �8j8�'2f� � % �UZ4>o: � � :0�

� '0;Q� L��M��,���F0�8� �-#&B�#�/$2�7l%�/$ 4�^�l�+.+� "$#A/°E¬7Wcf��78#&%�¢¯,A#&� 2Oi] 4�+%G�O�W,Ac�/$  � 6@"174.5�'2$2$70"�2�0"1��¢Y�8�4,�/°E8�@tv%�I"!8x��¨¤ 0-L¦� zQ� N { P!| R � {Q~Hx��4T¬�M�4T�{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>Y� �8j8�'2� � � % � � � >o: � ' � �

� '8�W��`D� ���o��7l 4�+%n�8% _a�­� ` �4¢¯#&2$.! 4�'"���� L]70mD� 21/f�0% _�(*�'"1# �o�8m ,A���@"$EU� /178jl"$�0�  4#&.��8,A,�E�U�+.��D"1� J²,��+.5/$#A7l% �U.! 4�'BC�8� tv% w�Qx�� y �9�9� � zQ� N4{ P!| R � {W~9��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {1�0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>D�D�Wj8�'2f�lZ8; % �H'0; >D: � ' � �

� 'W�8� ���f��7l 4�+%r�0% _ ���²[r#�j0_4�'"$2$70%b�\��#&2$�o�+% 2$�+"�2+>f�O�+/1�+"�BC#�% #�2$/1#&. �OBC� ,A# �o.��8/1#�70%b>�0% _ [��'��� LX�0% _47lB¦�l70�D"$.��+2+� �� Wx�� y �9�9� � zQ� N4{ P?| R � {Q~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {1�0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>M: � ' � >4� �Wj0�+2�:+� % : � �

� ' �Q� L��]�@"��8BC�'"a�0% _rt!�s���0BCj ��8"�_b� �X�+i L �+%4�'"$�8/1#�70%r78c��l�'.�� "$���0% _ 6@"$�0.5/1#&.��8,L���fg°m �82$�+_¬�l#�j0% �8/$� "$�+2+�Mtv% 0¯V z NYx){0K��<>��U� "$#�%4j0�+"?�-�'.5/$�D"1� �X70/1�+2�#&%n��70B�� � /1�+"�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�M:0:7N � =?>4� �8j8�+2�:QZQ� % :7' �4�

� ' � � L����@"��8BC�'"��0% _­(��²�U  70� �b� � 6�"��8.�/1#&.��8,/6��Dm4,A#&.!g)h���E �@"$E4�4/17l21E42$/1�+B 6�"$7QFlg�0m4,�E �l�'.�� "$���]j0�8#�%D21/��O_ �8�4/$#AF0�¨�@ 4702$�+%���#&�  4�+"$/1���4/��s/1/$�0. �U2��^tv% 0¯V z Nox°{8K=!W>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/$�D"1� �X70/1�'2*#�%���7lBC�D�4/1�'"��U.5#��+%D.5� 6 (*70,��D:�� � ;0=!>8� �Wj0�+2@:+� %; �4�

� 'lZ<�3�O���@"4��'�D�'�8�b��J � .�#A�'%l/O�@"1E4�4/$78j0"��8�D 4#�.56�"$78/$74.578,&2��s�021�'_¨7l% �X78#&2$En�@  �8%D%4��,&2��tv% � R V { 0¯V z Nox°K4¹+>4�U�D"1#&%4j8�'"�> ���+.�/$� "$� �X78/$�+2*#&%^��70B�� �4/$�+"²�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9� :';8�8�l=!>�D�Wj8�'2f�=N � % �D:<Z4�

� '='W��t!�@���8BCj ��0"$_b� ��78,�,A#&2$#A7l%p¢o"$���G���82� r¢o�D% .5/$#A7l% 2a�0% _ 6@� m4,�#�.Gh���E¼�l#�j0% �8/$� "$��4.! 4�+BC�+2+� tv% � R V { 0¯V z Nox ! ¹+>s�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8jD>6�-�'.5/�� "1� �X70/1�+2�#&%���70B�� � /1�+"�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�D�HNW�U=!>4� �Wj0�+2];"N0� % ;4: � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z ' � � ��� �A����������� �

� ' � ��t!�'���8BCj ��0"$_b��� �O�'21#�j0% 6@"1#&% .�#��4,��*cd7l"M�O�02$ �¢Y� % .�/1#�70% 2+�8tv% 0¯V z Nox°{"!lKQ>l�4� "1#&%4j0�+"1g(*�'"1,&�Wj ���+.5/�� "$� �O78/$�+2s#&%���7lB�� �4/1�'"X�U.5#��+%D.5� 6 (*70,��D�0� �l=?>4� �8j8�+2s�o: � % �l;lZU�� � NW��t!�����0BCj0�8"�_b� ��7l% .��D"$"$�+%l/¨eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0�¨#&% J��021E�#&% 6�"��8.�/1#&.5�0�¼qf 4��7l"1E

78c �@"$EU� /178jl"$�0�  lE ��# gmD"$�0"1E0> � � g�:+�D>o`0� %4��: � � � � ������������'��� ����,���0 !���'� ������ !���'�������� ,�,�������U�����8,�2$7� J � .5#��+%l/X��70%D.�� "�"1�'%l/feY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�O#�%a/$ 4���O��4#A,�#&�8"$En�l/$"$#&%4j^��74_4��, � 6 #&%� R V { � V z Nox�� � W>�;=N=NHNl=?�

� � :���t!�8���0B�j ��8"�_b> ��� L 70,�_D"1�+#�.! b>0q�� � �<�8BC78/$7��8% _ �3�8[r#Ajl_4�+"�217l%b�D�O70%4�'21/*(*�'"1# �D�'"F42��O#&2� 470%4�'21/²(*�+"$# �D�'"²#&% 6@� m4,�#�.O��70#�%neY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0� 6@"17U7Wc�2+��tv% 0¯V z Nox°{8K �Q>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/$�D"1� �X70/1�'2*#�%���7lBC�D�4/1�'"��U.5#��+%D.5� 6 (*70,�� �8� �U=?>8�D�Wj8�'2*�0; � %�0�='D>Y: � � �4�

� � ;Q� ���b�O���U�0%0/$#�2+> L �b��#��@"$�+2�.5�'%,4�7o>�L3�4��21/�"17QF42 �lE8> L �$6*�'"$2$#&�8%47¨�0% _ �����U�8 D�W#9�LX70m � 2$/5�O70%Ug)#&%0/$�+"��8.�/1#�F8�aeY�'"178g9h3%47Qif,��+_ j8�8�atv% 0¯V z Nox°{� 0IQ>s�4� "1#&%4j0�+"A���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,��Y;4:+� � =!>U�D�Wj8�'2 � �0� % � � 'D�

� � �W� �C�s�O�'2$BC�+_ /¬�0% _ �C�s¢o"��8% �8��,9� qf  "$�+2� 470,�_ �@"$E4�4/17l21E42$/1�'BC2+� tv% 0¯V z Nox°{"!lKQ>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/$�D"1� �X70/1�'2*#�%���7lBC�D�4/1�'"��U.5#��+%D.5� 6 (*70,��8�0� �l=?>8�D�Wj8�'2*�=NUZ %�D: � �� � �8��[\�*��# � �0>@�0% _ ��� JO�*�X��,�,&BC�0%b� �O��i �O#&"1�'.5/$#A7l% 2C#�%r�@"1E4�4/$78jl"$�0�  lE8��y �9��� V �W~ P �*{Q~¬y!~+�5{ �X�M�UT?{ V z >otvq@g°;0; 6 �X7QF��M: � Z � =?>4� �8j8�+2 � �8� %4� �W�D�� � �Q�����U�O7lm mD�'"1/$#�%M��qf 4���l/$�8/$� 2@7Wc-�±�����Qcd/$�+"@� L]�'.5�+%l/ �s/1/��8. �Y�Mtv% 0¯V z Nox°{�� z x°T P >

L��� ���0mb�A>D(*78,9�D;4>=�O7D�D;4>b: � �0� �� �8� ���C� ��78,���F�>o�O�4��i�7l" �Y>4�8% _n�­�����W70"+���X70%4g)�±�8,A,��+�0m4,����@"$E4�4/170j0"��8�  lE8��tv%Gw � V �

¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~±x��4Ta�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�+2 �Q�U; % � �8; >D: � � :0�M¢o� ,A,F0�+"�21#�70%a�<FQ�W#�,��0m4,A��c�"$70B»�0�4/$  70"�2��� � Z<���C���O70,A�+F�>M�O����i�7l" �Y>A����[H�0�8"$/$2+>Y�0% _G�­���²� %4jo� 6*�+"1cd�+.5/$,AE�2$�+.+� "1��B��'2$2��Wj0�

/�"$�0% 2�B�#&2�21#�70%b� ¥ {QR V ~��W§M{1��x��4T�¤ 0-L > (*70,��n�HN 6 :Q=?>D�D�Wj8�'2�:<Z % �UZ4>Y: � � � �� � 'W���C�Y�O70,A�+F¬�0% _ �3� �O���²�W7D� ��%¬/� 4���U�+.��D"1#�/°Ea78c 6�� m4,�#&.!g)h���E 6�"$78/174.�78,&2��fy �9��� V �W~ P �*{Q~¬y!~+�5{ V � �O�b�4T?{ V z >D(*70,��o�=N >��O7D�o; > � �Wj0�+2�: � ' % ;"N='D>D: � '8�D�� � � ���C�<�O70,A�+F��8% _���� L3�8�l/�"17l%4jD���X�4/� 4�+%l/1#&.��8/1�'_ �],�j87l"1#�/$ DBC2Mcd70"��sE�4'�8%l/1#&%4���Xj0"$����g

BC�'%0/+� � y�¤ L ¥ {QR V ~Y�8§M{Q~ 0 { � NYR4x | ~U�W>o(*78,9�b:'; > � �Wj0�+2 � � � %U�0�8� >o: � '8�D�� :7N=NW�3�O�l��i�7l" �Y>���0¢o��#�j8�0>U`D�8h�#�,A#&�8%M>0�­� �O�870"��0% _a�Y�4�U�Qc�"�� � �-7Qi¼��7lBCB�� %4#&.��8/1#�70%

6*�'"vcd�'.5/�eY�'"17sh3%47Qif,��+_ j8�*qsi�7�6@"17QF0�+"�2$6�"$7l78c4�lE42$/1�'BC2+�Qtv% 0¯V z Nox°{8KWw8>0�U� "$#&%4j8�'"(*�'"1,&�Wjo>��-�'.5/$�D"1���X70/1�'2s#�%±��70B�� � /1�+"X�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�YZQ�HNl=!> � �Wj0�+2f;4: � % ;8;0Z4�� :7N :��3�O�4��i@70" �o>U�8%D_¨�­�����W70"+� �O%$J � .�#A�'%l/J��U#&2$/1�+%l/$#��8,A,�E�O%Ucd7l"1j0�+�0m4,A���l#�j0% �8/$� "$�

�4.! 4�+BC�G�0% _�#A/�2��X�D�4,A#&.��8/1#�70%b� ¥ {QR V ~Y�8§X{v� 0kV z NYx){8§ {�� z >](*70,��O:8: 6 �l=?>f� �8j8�'2:('lZ % ;"NH' >o: � � '

� :7N0;Q�3�O����i�7l" �Y>��­� �O�870"+>Y�0% _ �3�-�U�0  �W#9����7l% .��D"$"$�+%l/�e��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8�0�ftv% �� Wx��� ��� 0 >D�D�Wj8�'2s�HN � % �o:7'D>D: � � 'D�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z 'UZ

� :7N8�W�3��� J�F8�'%r�8% _ ��� L 78,&_ "$��#&.! b� ��%r/� 4�­�U�+.��D"1#�/°E 78c��±�4,�/1#Ag)�D�8"$/°E 6�#�% jWg=6*70%4j6@"170/174.570,�2+�ltv%¨w � x���y ��9��� zQ� N { P!| R � {W~���{WR4~Y�0�Qx | {Q~ P {1� 0 { � NYR4x)T Vs� � | T�~ � T5>�D�Wj8�'2f�W� % � � >o: � '0� �

� :7NW�8�3���EJ²F8�'%b> ��� L 78,&_ "1�+#�.! M><�0% _ ��� �-�'BC�o��,9� � LX�8% _ 70BC# 4+�+_ 6�"$78/174.�78,Wcd7l"¯�U#Ajl%4#�% j��7l%l/$"��8.5/�2�� 0 ¤ 0-L > (*78,9�o;"'D>��X7o� � >b: � ' � >U�D�Wj8�'2 � �UZ %U� �UZ4�

� :7N �Q�3���*J�F8�'%b>��� L 70,�_ "$��#&.! ±�0% _��Y�b��#&.��8,A#9� ��%Ug9,�#&%4�<¡H� 2og),A#&%4���O#�j8#�/$�8,k2$#Ajl% �W/�� "$�+2+�¥ {WR V ~Y�W§�{v� 0¯V z Nox°{W§ {�� z >o(*70,�� � >b: � �8� >4� �8j8�'2@� � %4� ZU�

� :7N � �3��� J�F8�+%M>��3� �²�M�l�+,�B��8%M>o�8%D_���� �²�8.57lm4#9�]qf 4����7lBC� ,A���U#�/°E¨78c 6�"$70BC#&21� 6@"17lmUg,��+B�2¯if#�/$  �X�D�4,A#&.��8/1#�70% 2¯/$7 6�� m4,�#&.!g)h���EC�@"$E4�4/170j0"��8�  lE8�4y!~'�5{ V � �M�Q~�� 0 {Q~ox V {W§ >(*70,�� � :8> �D�Wj8�'2�: � � % :QZQ� >o: � 'W�D�

� :7NlZ<�3��� J�F8�'%^�8% _ �����²�8.57lm4#9�k�@"1E4�4/$78jl"$�0�  lE��8%D_ � 6²gv��7lBC� ,A�+/1�+% �+2�2��btv%a� "174.����+_4g#&%4jl2�78c¨¹�x��Gy 0 ¤ � �s>²�U� "$#�%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj ���+.�/$� "$�)�O78/1�'2�#&%���7lB�� �4/1�'"��4.5#��+% .��6 (*78,9� ' �l=?> � �8j8�'2�: � � % ;=NlZU>o: � '=N �D�l�+� � :(N � �)�

� :7N='W� ��Q¢D�+#Aj0�8� J�"�"17l"M"$�+_ � .�/1#�70%�m0E3�D�8"��W,�,A�+,l"$�+�o��/$#A/$#A7l% % /$ 4�s21/��W/$��78co/$  �@�0"1/+�Uq��+.! 4g% #�.+�W,�"1�'�D7l"1/@�f� � �<g°�0; >l��70B�� � /1�+"s�U.5#��+%D.5�X���+�D�8"$/$BC�+%l/�>l[H��# 4+B��8% %�tv% 21/$#A/��4/1�78c��4.5#��+% .��8> L]�' 47QF870/�>����������D>b: � � �4�

� :7N � � ��f¢D�+#Aj0�8> ���f¢¯#��8/n�0% _����]�4  �8BC#&"�� eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�;6@"17U7Wc�2a7Wc�tv_4�+%l/1#�/°E8�¥ {WR V ~Y�W§�{v� 0¯V z Nox°{W§ {�� z >o(*70,��M:0>b: � '=' >4� �8j8�'2fZ0Z %�� �D�

� :8:7NW� ��f¢D�+#Aj0�8>����/�k�8�4#&_478/+>��0% _ �3�O�U  �0BC#�"+�®�±�4,�/1#&�4,����X7l%Ug9tv%l/$�+"��8.5/$#AF0� eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8� 6@"17U78c�2 �% _4�+" L �+% �+"��W,��X2�2$�DBC� /1#�70% 2+� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§*{Q~ 0 { � ·NYR4x | ~U�W>D(*78,9�D; � 6 :Q=?>D� �8j8�'2O: % ;=' >�: � � � �

� :8:8:�� ��*¢D�+#Aj0�n�0% _ �����U  �8BC#&"�� e��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8� 6@"17U78c�2�78cOh3%47Qif,��+_4j0��#&% qsi@7LX70� % _D2���tv% 0¯V z Nox°{"!lKQ>o�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j��-�+.�/$� "$�/�X70/1�'2�#&%¨��70B�� �4/$�+"@�4.5#��+% .��6 (*78,9� �0� �0=!> � �Wj0�+2��8; � % �W�8�o�

� :8:';Q� ��4¢D�+#Aj0�O�8%D_��3�D�U D�8BC#�"+�-[r#�/$% �+2�2�tv%D_4#�2$/1#&%4jl�4#�2�  �0m4#A,�#�/°E��8% _¨[r#A/�%4�+2�2@�X#&_4#�% j6@"170/174.570,�2+�²tv%�w8w8~��^¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {W~�x��UT��M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>Y� �8j8�'2�o: � % �l; � >o: � � N �

� :8:+�W��[\��¢D�+,A,��+"+�u¤O~ y5~Dx V {'�QR � x | {W~¼x°{ � V {l©$�l© | § | x z �b�4T?{ V z �W~Y��y!x P ¤sN8NY§ | � �Wx | {W~ P �`870 D%¨[r#�,A�+E8>=�O��i ��70" �Y>b: �8� ' �� :8:��8� ���W¢¯#��8/��8% _ �3�U�U  �8BC#&"��D�X7Qi�/$7 6�"$7QF8����7l� "�21�+, cv£�6�"��8.5/$#�.+�W,D�l70,��4/$#A7l%�/$7�tv_4�+%Ug

/$# �Y.��W/$#A7l%G�0% _H�l#�j0%D�W/$�D"1� 6�"$70m4,��+B�2+�Otv% 0¯V z Nox°{"!�<>¯�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj ���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,��Y; � �U=?> � �8j8�'2O:(' � % :7' � >Y: � 'lZU�

� :8: �Q�����X¢¯#�2�.! 4�'"�>��Y����#&.��W,�#9>C�O��LX�0. �W72k>��8%D_u��� h^�X[r#�/1/$�+%UmD�'"1jo� �O% ��m4,�#AFU#Ag7l� 2�q�"��8% 21cd�+"56�"$78/$74.578,4J � �4#�FQ�W,��+%l/X/$7¨¢o�0.5/$70"$#�%4jo� �% � � m ,A#&2$  �+_HBC�0%U� 2$.+"1#&�4/+>: � ' � ��6�"$��,�#�BC#&% �8"$EOF0�+"�21#�70%D2Mi@�+"$��� "$�+2$�+%l/1�'_3#&% � R V { 0¯V z Nox !��D>l�0% _3#&%3/� 4� ³ � ���{ V� 'P �U{!N�{W~ L �Qx��UT � �Wx | � �8§s�M�UT?{ V z {v� � T � R V!| x z > J�%D_4#�.�78/$/@�O70� 2$� 6 : � ' �l=?�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z 'H' � ��� �A����������� �

� :8: � � L��o¢¯#&2$.! 4,�#&%��8% _��O� 6*���4.!  %470"�"+�]�U/$"$70%4j0�+"O�l�'.�� "$#�/°E 6@"17U7Wc�2fcd70" L���«�0% _�LX�Wgm #�%­�s#�/$2+�Gtv% � R V { 0¯V z Nox°K4¹+>s�U� "$#&%4j8�'"4�-�'.5/�� "1�)�X78/$�+2�#�%���70B�� �4/$�+"C�4.5#��+% .��6 (*78,9�M:';8�8�U=?>4� �Wj0�+2]; � Z % ;0Z � >D: � � ZU�

� :8:<Z<� ���-¢o70"$/$%47Qi�>Gqf  �n��70B��4,�� �4#�/°E�78c�6*�'"vcd�'.5/Ce��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8�0��tv%¼I0KQx��G¤ 0-L� zQ� N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2];"N8� % ;=N � >D: � 'lZ4�

� :8:7'W� ��� ����¢Y"1#�� 4+�8>*` ��� ��82$/$�0_b> L3��h3�0% % �0%b>k`D� �O�����8j0�8"$#&�82+>-�8% _����*�4  �8BC#&"�� L]�5g.�70% 2$/$"�� .�/1#&%4j�q�"�� % .+�W/1�'_±tv%l/1�+j8�'"O(��0"1#&�8m ,A�'2��4�W/1#&21cdEl#&%4j �-#&%4�'�8"���70% j0"��4�+% .��+2+�� y$¤ L ¥ {WR V ~Y�W§M{W~ 0 { � NoR4x | ~l�8> (*70,��M:QZU> � �8j8�'2s; � ; % ;"'HN >Y: � '=' �

� :8: � � ��� L �8mo�+"*�8%D_^e¯� L �W,�#A,9�IJ�� �4,A#&.5#�/���70%D21/�"$� .�/1#�70% 2¯78c���#�% �+�8"²�U# 4+�O�U� �o�+"�.570%D.5�+%4g/�"$�8/17l"$2+� ¥ {QR V ~��W§�{v� 0 { � NYR4x)T V �W~Y� � z P x°T � � � | T�~ � T�>0(*70,��U;8;4>l� �Wj0�+2¯�FNlZ % �l;=N >: � 'D:8�

� :';"NW����� L3� L �0"1�+E��8% _¨��� �Y�D`870  %D217l%b� 0 { � NoR4x°T V?P �W~Y�3y5~Dx V � � x°�0© | § | x z µf¤ �sR | �8T�x°{x��UT^�M�UT?{ V z {v� ³ �s· 0 { � NY§AT5x°T5~�T P?P �Y[\� ���8¢o"$���'B��8%��8% _^��70B�� �0%lE8> �O��i ��70" �Y>: � Z � �

� :';4:�� 6*� �Y� L �'B�B��+,A,9���O%�tv%l/�"174_ � .�/1#�70%H/17±qf D"1�'2$ 470,�_­�@"$EU� /178jl"$�0�  lE8�Ctv% 0kV z NYx){W·� z x°T P > L���� ���0mb�A>4(*70,��Y;4>��X7o� � >M: � � ZU�

� :';8;Q� L�� L �'% % �0"17o>l�­� LX�0m4#�%a�8% _¨q�� LO�8m4#&%b�k�l#&B��4,�# �D�'_�(�� �^�0% _^¢o�021/1g9/�"$�0. ���G�4, g/$#��D�8"$/°E ��70B�� � /$�W/$#A7l% 2�if#�/$ ��X�D�4,A#&.��8/1#�70% 23/17±qf  "$�+2� 478,&_��@"1E4�4/$78jl"$�0�  lE8��tv%I ¹�x���¤ 0-L � zQ� N4{ P!| R � {Q~�� V!| ~ � | NY§ T P {v��´ |&P x V!| ©5R4x°T�� 0 { � NYR4x | ~U�W>l� �Wj0�+2�:7ND: %:0:'; >Y: � � ' �

� :';W�W� L�� L �'% % �8"$7±�8%D_ �²��qk"$��FU#�2��8%M� ��7Qi��'"3mD7l� % _ 2�70% /� 4�¨� � .�#A�'% .5EH7Wcfj0�+%4�'"1#&..+"1E4�4/$78jl"$�0�  4#&.O.�70% 2$/$"�� .5/$#A7l% 2+� � 0�0�0 >Yq L�N=NQg N0;0;4>U�±�<Ea;=N=N=ND�

� :';Q�8� JO� ��� L #A,&mD�'"1/+>M¢s� `D�b�±�8.�[r#A,�,�#��0BC2+>b�8% _ ��� ` � �3���U,A7l�8%4�0�3��74_4�'2�i] 4#�.! �_4��/$�+.�/_ �+.5�'�4/1#�70%M���OT+§S§ � z P x �]�oT � � � ¥ ��> (*70,����W� > �D�Wj8�'2@�HN � % �U;Q�D>o: � Z<�D�

� :'; �Q� ��� L 78,&_ "$��#&.! b�fqsi�7�L]�'B��8" �l2���70% .��+"�%4#�% j^/$ 4� L ��L �l#�j0% �8/$� "$�C�U.! 4�'BC�8�stv%0¯V z NYx){=! �<>M�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j4�-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"f�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�D; � �l=!>�D�Wj8�'2�:7N8� % :0:7ND>D: � 'lZ4�

� :'; � � ��� L 78,&_ "1�+#�.! M� q-7Qis�8"�_ 2¯��qf 4��7l"1E378cM�U7Wcd/°is�8"$� 6@"170/1�+.�/1#�70%��8% _��l#&B��4,&�W/$#A7l%�mlE��m ,A#�FU#A7l� 2 L �X�G2��*tv%­I8KWx���¤ 0-L � zQ� N4{ P?| R � {Q~�x��4Ta�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>�D�Wj8�'2�:7'l; % : � �o>D: � 'lZ4�

� :';0Z<� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M� ��{WR4~Y�8�Wx | {W~¬{1� 0¯V z Nox°{$� V �!ND� z � 0 § � P?P ³ {Qx°T P �!6�"$�+� "$#&%0/+>l�U� "$#&%4j: � ' � ���U� �o�+"�21�'_4�+_¬mlE�/$  �3.�� "�"1�'%l/@i@70" �Y�� :';"'W� ��� L 78,&_ "$��#&.! b� � T � x9R V T ³ {Wx)T P {W~ � ~ � V z Nox | {Q~ ¶ �Y| �W~��Qx9R V T P �Q~Y�

0¯V z NYx){�� V �?ND� | � � V {Wx){ � {W§ � J��4/�"$�0.5/$2 c�"$70B � :';lZ��9� �]FQ�W#�,��0m4,�� c�"$70B�,������� ������������� ���'�� � ���,�!��� �1+'-�- � +�� � �'����" ������,���, ,� � ���'�1� �U�D�D�'"$2$�+_4�'_ mlE/� 4�3.��D"$"$�+%l/si�7l" �Y�

� :'; � � ��� L 78,&_ "$��#&.! b� �9�O78/$�X70%n��70B�� �4/��W/1#�70%D�W,Dtv%D_4#�2$/1#&%4jl�4#�2�  �0m4#A,�#�/°E8��y5~+�5{ V � �Qx | {Q~� V { � T P?P?| ~U� � T�x�x°T V?P > (*70,�� �8�D> � �8j8�'2s;lZ8Z % ;"'D:8>U�±�<E±: � � ND�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z ' �

� :+�=NW� ��� L 70,�_D"1�+#�.! b��� O% # cd7l"$B ��7lB��4,A���4#A/°E¨qk"$�+�W/�BC�+%l/s7Wc4J@% .�"$E4�4/1#�70%n�8%D_¬eY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8�0� ¥ {QR V ~��W§-{1� 0¯V z Nox°{W§ {�� z >D(*78,9� � >��X7D�-:8> � �8j8�+2]; : % �W� >Y: � � �D�

� :+� :�� ��� L 70,�_ "$��#&.! b�0�k{QR4~��8�Qx | {Q~H{v� 0¯V z Nox°{$� V �?No� z � � V �+� � T5~ox P {v��� �O{'{ �k¢D�+mD"$�Ug�0"1E : � � �4� �]FQ�W#�,��0m4,�� c�"$70B�,������� ������������� ���'�� � ���,�!��� �1+'-�- � +�� � �'����" ������,���, ,� � ���'�1� �U�D�D�'"$2$�+_4�'_ mlE/� 4�3.��D"$"$�+%l/si�7l" �Y�

� :+�0;Q� ��� L 78,&_ "$��#&.! b� �O78/1�'2±7l% �-�+Fl#&%�� 2�qf  ��70"$E 7Wc �]F0�+"��Wj8��gv�@�021� ��7lBC� ,A���U#�/°E8���0 0�0 >oq L � Z'g N �=' >l�O�'.W�M: � � ZU�

� :+�8�W� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M� L {+�0T V ~ 0¯V z Nox°{$� V �!ND� z ¶ � V {0©��0© | § |&P x | � � V {'{v� P �Q~�� � P T5RD�0{ V �W~D·�0{ � ~YT P?P � �],�j870"$#�/$  B�2s�8% _±��7lB�m4#&% �W/$70"$#�.+2s21�'"1#��+2 6 (*70,��-:<Z8=!> � N V!| ~l�lT V >�: � � � �� :+�W�8� ��� L 70,�_ "$��#&.! b� � T � R V T L R § x | ·&�]� V x z 0 { � NoR4x°�Qx | {Q~o� �% � � m ,A#&2$  �+_nBC�0%U� 2$.+"1#&�4/+>

: � � ' � �XFQ�W#�,��0m4,A� c�"$70B�,������� ������������� ���'�� � ���,�!��� �1+'-�- � +�� � �'����" ������,���, ,� � ���'�1� �U�D�D�'"$2$�+_4�'_ mlE/� 4�3.��D"$"$�+%l/si�7l" �Y�

� :+� �Q� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M�� ~ � V z Nox | {Q~ � � �4T � T P � � V ��� � T�~Dx P {v��� � �U�!Nox°T V �r���+.��+B�mo�+"±: � � � � �]FQ�W#�, g�0m4,���c�"$70B �������������������� � ���'�� � ������� � �1+-�-���+�� � �����" ��,���� �, ��. �, � ���� ���'�$��4� �D�'"$2$�+_ �+_¬mlE�/$ 4�3.+� "�"1�'%0/si@70" �Y�

� :+� � � ��� L 70,�_ "$��#&.! b� �o| �8~Y�Wx�R V T � � �UT � T P � � V �+� � T�~Dx P {v��� � �4�?NYx)T V � �±�<E�;=N=N=ND��XFQ�W#�, g�0m4,���c�"$70B �������������������� � ���'�� � ������� � �1+-�-���+�� � �����" ��,���� �, ��. �, � ���� ���'�$��4� �D�'"$2$�+_ �+_¬mlE�/$ 4�3.+� "�"1�'%0/si@70" �Y�

� :+�lZ<� ��� L 70,�_ "$��#&.! b� �k{QR4~Y�0�Qx | {Q~ {v� 0¯V z Nox°{$� V �!ND� z � ��� P!| � �o{'{W§ P � �@�8B�m "$#�_4j0��%4#�F8�+"�2$#A/°E 6@"1�'2$2+> ;"NHN :8�

� :+�='W� ��� L 70,�_ "$��#&.! b� ��70%D.�� "�"1�'%l/�eY�'"178g9h3%47Qif,��+_ j8�^[r#�/$ �qs#�BC#&%4jD>L]��FU#&21#�/1�'_b�­tv%� � x���¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~�x��4T¨�M�UT?{ V z {1� 0 { � NYR4x | ~U�W>4� �8j8�'2��0�0; % �W�FN >0;=N=N0; �

� :+� � � ��� L 78,&_ "$��#&.! b>-�Y� L 78,&_4is�82�21�'"�>Y�8% _����Y���W,���FU#9����70,A,�#�2$#�70%Ug)¢o"$���3���82� 4#&%4j�c�"$70B�k�W/$/1#&.5� 6�"$70m ,A�'BC2+� � 0�0 0 >Yq L � �Qg N8�l;4>Y: � �8� �

� :��HNW� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M>¯�Y� L 70,�_ i@�02$2$�+"+>-�8%D_­���-��#&.��W,�#9���X7Qi /17���7l% 21/�"$�D.5/�LX�8%D_470B¢Y� % .�/1#�70% 2+� ¥ {QR V ~Y�8§-{v��x��UT�¤ 0-L > (*78,9�D�8�D>��X7o�4�D>D� �8j8�'2fZ � ; % '=NUZU>o: � ' � �

� :��D:�� ��� L 70,�_D"1�+#�.! b>D�Y� L 70,�_ i@�02$2$�+"+>l�0% _��Y� ��#&.��W,�#9����%a/$ 4���@"$E4�4/170j0"��8�  4#&. �O� �4,�# g.+�W/$#A7l% 2¯7Wc�LX�8%D_470B«¢o� % .�/1#�70% 2+�Ytv% 0¯V z NYx){=!�� >D�U�D"1#&%4j8�'"vg)(*�+"$,&�Wj �-�+.�/$� "$� �X70/1�+2#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�o; � �l=!>U�D�Wj8�'2];0Z � % ;='='D>D: � ' � �

� :��l;Q� ��� L 78,&_ "$��#&.! b>L3��tvB�� �Wj0,A#&�'4�4�7D>��²� �3���-��FU#&%b>�L3�-(*�'% �<�W/$�+2��8%b>¯�8% _ �C�¯eb� . �0g�'"$B��0%b� �l�+.+� "$#A/°E 6@"1�'21�'"1FU#&%4j �XB��4,�# �o.��8/1#�70% 7Wc����8"�_ %4�+2�2+� tv% �0I P x�y �9��� zQ� N { P!| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>o� �Wj0�+2f� :(' % �0; � >D: � � ND�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z � N � ��� �A����������� �

� :��0�W� ��� L 70,�_D"1�+#�.! ��8% _ �3�²h3�8  �0%b� �O7Qi®/17 ��7l% 21/�"$�D.5/¨��70% 2$/$�0%l/vg L]70� %D_peY�'"178gh3% 7Qif,A�'_4j8� 6�"$7U7Wc]�lE421/$�+B�2�cd70"4� 6*� ¥ {WR V ~Y�W§�{v� 0¯V z Nox°{W§A{$� z >*(*78,9� � >0�X7o��;4>�D�Wj8�'2�: � Z % :(' � >D: � �8� ��6@"1�+,A#&BC#�% �0"1E^F0�+"�21#�70%D2@_D�W/1��/$7�: � 'H' �

� :��8�8� ��� L 70,�_ "$��#&.! ±�0% _±���bh3"$�<is. 4+E�Y� ��%±/� 4�¨��70B��D7l21#�/1#�70%±7WcseY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�6@"17U78cX�UEU2$/1�'B�2�� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§�{W~ 0 { � NYR4x | ~U�W>²(*78,9�¯; �4>6�X7o�@:0>¯¢D�+mD"$� �0"1E: � �0� >4� �Wj0�+2�: � � % : � ; �

� :�� �Q� ��� L 78,&_ "$��#&.! r�8% _p����h3"��<i@. 4�E��Y� ��%¼�4� �8"�21� 6�2$�+� _47l"$�0% _47lB J�% 2$�+B�m4,��+2+��O�Q~��8{ � � x V R � x�R V T P �W~Y�C¤�§ �0{ V!| x�� � P >o(*78,9� � >��X7o�o;4> 6 : � � ;0=!> � �Wj0�+2�: � � % :<Z<�o�

� :�� � � ��� L 78,&_ "$��#&.! b>k���kh3"$�<is.5E�4 �G�8% _������k� mlE8� ��%­/� 4�%J��U#&2$/1�+%D.5��78c�6@21�'� _478g"��8%D_470B L �+% �+"��W/17l"$2+� � y�¤ L ¥ {WR V ~Y�8§�{W~ 0 { � NoR4x | ~l�8>4(*78,9�U;0;<g � >U� �Wj0�+2]:0: � � %:0:<Z �4>�: � � � �

� :��UZ<� ��� L 70,�_D"1�+#�.! H�8% _ JX�bh3�D2$ 4#�,���FU#A/ 48� � 6*�+"1cd�+.�/�eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0� 6�"$7U7Wc²cd7l"�����+.�#�2$#�70%;6@"17lm4,A�'B J � �4#AFQ�8,A�'%0/X/17¨��#&2$.+"1�+/1�5��78jl�8"$#A/�  Bn� ¥ {QR V ~Y�8§k{1� 0¯V z NYx){8§ ·{�� z >D(*78,9� � 6 ;l=?>D� �8j8�'2 � Z % :8: � >Y: � � � �

� :��H'W� ��� L 78,&_ "$��#&.! 3�8%D_A�²� �3� �-�+FU#�%b�l�O�0"$_4g).�70"$� 6�"$�+_4#&.��8/1�+2Mcd70"k�8%lE ��%4�5g)[ �<EO¢Y� % .!g/$#A7l%b�ktv%±wlI P x¯¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~�x��UTa�M�4T�{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8> � �Wj0�+2s; � % �0; >: � ' � �

� :�� � � ��� L 78,&_ "1�+#�.! n�8%D_ �C� �-#&% _4�+,A,9���l�'2$2$#A7l%Ug)h���E L �'%4�+"��W/$#A7l%a� 2$#&%4j��O� B��8% 6��02$21gi@70"�_ 2+�Otv% 0¯V z Nox°{� 8IW>¯�U�D"1#&%4j8�'"vg)(*�+"$,&�Wj �-�'.5/�� "1���X70/1�'2X#&% ��7lB�� �4/1�'"��4.5#��+% .��6 (*78,9�o;4:'� � =?>4� �Wj0�+2s�FN=' % �0�l;4�

� : �"NW� ��� L 78,&_ "$��#&.! b> �C� �k� 21/$#Aj��0% _±�­� �O�870"+�M��%G�@ 47l21�'%G��#��D 4�+"$/1���U/��l�+.+� "1#�/°En7Wc�G�4,A/$#�� ,A��J�%D.�"$EU� /1#�70% 2+� 0¯V z Nox°{W§ {�� z T�� V!| ~oxk¤ V � � | ¸QT5> L]�'�D7l"1/f;"NHN0;l¡ N=' � >8;=N=N0; �

� : �4:�� ��� L 78,&_ "1�+#�.!  �0% _H��������E0�+"+�a��70B�� �4/��W/1#�70%D�W,�tv% _ #�2$/1#&%4j0� #�2�  �8m #A,�#A/°E % �],�j878g"$#�/$  B�2�F42+�k��#�"�.�� #A/�2�� �M�UT?{ V T5x | � �W§ 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>k(*78,9�*: � :8>-�D�Wj8�'23;4: � %; :7'D>Y: � � ' �

� : �8;Q� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M>]���²��#&.��W,�#X�0% _ �3��[r#Ajl_4�+"�217l%b� 6@"17U7Wc�2C/�  �W/���#A�+,�_ �O78/� 4#�% jmD�4/^/$ 4�+#�"�(��8,A#&_4#�/°E�70"��X,A,/�k�8%4jl� �Wj0�+2C#&% �56 ���<F8�±eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0� 6�"$7U7Wc�UEU2$/1�'B�2�� ¥ {QR V ~��W§¯{v��x��4T3¤ 0ML >Y(*78,9�o�H' > �O7D�k:8>Y� �Wj0�+2 � � : % ZW; � >b: � � :0� 6@"1��g,�#&B�#&% �0"1EHF8�'"$2$#A7l%H#�%rwo¹�x���y �9�� � zQ� N { P!| R � {Q~��k{QR4~Y�0�Qx | {Q~ P {v� 0 { � NYR4x)T V� � | T�~ � T�>M: � ' � �

� : �W�W� ��� L 78,&_ "$��#&.! b>l�Y�l��#�.+�W,�#o�0% _��3�0[r#Ajl_4�+"�217l%b�D�O7Qip/17 6²,&�<E��0%lE����'%0/��W, L �0BC�% � ��70B��4,���/1�'%4�+2�2�qf 4��7l"1�'B cd70" 6�"$78/$7U.�78,&2]if#�/$ G�X70% �+2$/��±�W�v70"$#A/°E0��tv% I8KWx��¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l� ¶ � �Wj0�+2f;4:(' % ;0; � >D: � 'lZ4�

� : �Q�8� ��� L 70,�_ "$��#&.! b> ��� �O#�2��8%��8% _ �3�Q[r#�j0_4�'"$2$70%b� ��%��²�87 � 2 � � Lfg �-�'B�BC�D� ��0 0�0 >q L � �<g N �=N >Y: � � �4�

� : � �Q� ��� L 78,&_ "1�+#�.! a�8% _ �C�*��"1�'%b�*�����o%4#�/1#�70%D2]�8% _ 6�"$70�o�+"$/1#��+2s78c*eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�6@"17U78c*�lE42$/1�+B�2+� ¥ {WR V ~Y�8§-{v� 0¯V z Nox°{W§A{$� z >o(*70,���ZU>��X7o�M:8> �D�Wj8�'2�: % �l;4>�: � � �o�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z � :

� : � � � ��� L 78,&_ "1�+#�.! ¬�0% _ JX��6*�+/$"��8% �Y� ��� �0%0/$# cdEU#&%4j^h3%47Qif,��+_4j0����70B��4,�� �4#A/°E0� 0 { � ·NYR4x)�Wx | {W~Y�8§ 0 { � NY§ T�� | x z >o(*78,9� ' > �D�Wj8�'2��"N %�� 'D>Y: � � � �� : �0Z<� ��� L 78,&_ "1�+#�.! M> L3� LO� m4#&%Ucd��,&_r�8% _p�­�s�U� _ �0%b� �-�'�8"�%4#�% j �o78,�E4%470BC#&�W,&2�if#A/� 

� �4�'"1#��+2+£3/� 4�¨ 4#�j0 4,�E�% 78#&21EH.��82$�8�aq-7±�0� �D�'�8"�#&% � y�¤ L ¥ {QR V ~��W§²{W~H´ |&P � V T�x)TL �Wx��4T � �Qx | � P �� : �"'W� ��� L 70,�_ "$��#&.! b> �����U�8  �8#�>b�0% _ ���Y(��0_   �0%b�3�X7l%4�+2$/vg)(*�+"$# �D�+"��l/$�8/1#&21/$#�.+�W,�eY�'"178g

h3% 7Qif,A�'_4j8�f� � �D�W,&2�j8�'%4�+"��W,b�l/$�8/1#&21/$#�.+�W,beY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0�8�Dtv% �� Qx��C¤ 0-L � zQ� ·N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2f� � � % �FN='D>D: � � 'D�� : � � � ��� L 70,�_D"1�+#�.! a�8% _n�­�o�U� _D�8%b�²��70B�� � /$�W/$#A7l% �W,btv%D_4#�2$/1#&%4jl�4#�2�  �0m4#A,�#�/°EY£��«�U�0B�g

� ,A���O#A�'"$�0"$.! lE0� ¥ {QR V ~Y�8§²{v� 0 { � NYR4x)T V �W~Y� � z P x)T � � � | T5~ � T�>k(*78,9��� � >�� �8j8�'2; �W� % ; � � >o: � � � �� : � NW� ��� L 70,�_D"1�+#�.! ��0% _r�Y�*(��8_  D�8%b�r��70B�� �8"$#&%4j#J@%0/�"17l�4#��+2�#�%r�l/$�8/1#&21/$#�.+�W,OeY�'"178g

h3% 7Qif,A�'_4j8�±if#�/$  �X� � ,A#&.��8/1#�70% 2n/17 /$ 4���l/�"$� .�/$� "$�H7WcC� eYh^� tv%«I�� x�� y �9��0 {W~+�5T V T5~ � TC{W~ 0 { � NoR4x°�Qx | {Q~��W§ 0 { � N�§ T�� | x z >o�D�Wj8�'2��Q� % ZQ�D>Y: � � � �

� : � :�� ��� L 70,�_D"1�+#�.! ��8% _ L3�M(��8#�%4#&2� b���O7Qi«/$7±�U78,�F8���8%lE 6�"$78/$74.578, 6�"$70m ,A�'B % �O%J � .5#��+% .�E±tvB�� "17QF0�+BC�+%l/+��tv% 0¯V z Nox°{"! ¹+>*�4� "1#&%4j0�+"�(*�+"$,&�WjD> ���+.�/$� "$� �X78/$�+2�#&%��7lB�� �4/1�'"X�U.5#��+%D.5� 6 (*70,��Y; � �U=?> � �8j8�'2fZW� % ' � �

� : � ;Q�3��� L 70,�_4is�82�2$�+"��0% _¼`D��h�#�,A#&�8%M� 6�"$#�B��8,A#�/°E�q��+2$/1#&%4j �21#&%4j J²,�,A#&�4/1#&.H�@�D"1F0�+2+�¥ {WR V ~Y�W§b{1�Ox��UTO¤ 0ML >U(*78,9�l� � >U� �8j8�+2�� �=N % �UZW; >4: � � � � 6@"1�+,A#&BC#�%D�8"$E�F0�+"�21#�70%�#&%I=!Wx���¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>M: � ' � �

� : � �W�3��� L 70,�_ i@�02$2$�+"3�0% _���� ��������FU#&%b� ¢o�W#&"C��7lB�� �4/$�8/1#�70% 7Wc L �+% �+"��W,@¢o� % .�/1#�70% 2#&% 6@"1�'21�'% .5��78c]tvB�B�7l"$�8,��±�W�v70"$#A/°E0�±tv% 0¯V z Nox°{8K� Q>f�U� "$#�%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj ���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,����W�lZ0=?> � �8j8�'2fZ0Z %�� � �

� : � �8�3��� L 78,&_4is�82�21�'" �8% _ �����-#&% _4�+,A,9��l�'.�� "$� ��70B�� �4/��W/$#A7l% [r#�/$  70�4/ �Xj0"$����gBC�'%0/+�8tv%¨I �<x��Oy!~ox)T V ~Y�Wx | {W~Y�W§ � zQ� N { P!| R � {W~�´ |&P x V!| ©5R4x°T�� 0 { � NoR4x | ~l� 6 ��t$� �f=?>�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj 6 �0���f�n; �"NH'l=!> � �Wj0�+2�:<Z % �0; >U;=N=Nl;4�

� : � �Q�3��� L 70,�_ i@�02$2$�+"O�8% _������±#�.+�W,�#�� 6�"$70m �0m4#�,A#&21/$#�. J�% .+"1E4�4/$#A7l%b� ¥ {WR V ~Y�W§¯{v� 0 { � ·NYR4x)T V �W~Y� � z P x°T � � � | T5~ � T�><(*78,9�<;=' > �X7o�';4>Q� �8j8�'2-;0Z"N % ; � � >W: � 'W�D�%6@"1�+,A#&BC#�%D�8"$EF0�+"�21#�70%¨#�%­I�� x���¤ 0-L � zQ� N4{ P!| R � {W~Gx��UT¬�b�4T?{ V z {1� 0 { � NYR4x | ~U�W>�: � '0;4�� : �8� �3��� L 78,&_4is�82�21�'"�>-�Y�-�±#�.+�W,�#��8% _­�O�9LX�8. �87'2¯��qf 4�^h3% 7Qif,A�'_4j8�^��70B��4,�� �4#A/°EG7Wc

tv%l/$�+"��8.5/$#AF0� 6@"17U78cs�lE421/$�+B�2+� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§�{W~ 0 { � NoR4x | ~l�8>-(*70,��*:(' >-� �8j8�'2:(' � % ;"NH' >Q: � ' � � 6�"$��,�#�BC#&% �8"$E]F8�'"$2$#�70%O#�%�I ¹�x��X¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Cx��UT��M�UT?{ V z{1� 0 { � NoR4x | ~l�8>M: � ' � �� : � Z<�3��� L 78,&_4is�82�21�'"�>U�Y�0��#&.��8,A#9>0�0% _KL3� �²� LX#AF0�+2$/�� �r�O#�j8#�/$�8,��l#�j0%D�W/$�D"1�O�U.!  �+BC�O�l�5g

.+� "$� �Xj0�8#�% 2$/ �X_D�8�4/$#AF0�3�@  702$�+%Ug°���+2�2��Wj8� �s/1/��8. �U2�� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§-{W~ 0 { � ·NYR4x | ~U�W>��X� "$#A,²: � 'H' >U� �Wj0�+2];=' : % �=NH' �� : � 'W�3��� L 78,&_4i@�02$2$�+"+>W�Y�Q��#�.+�W,�#4�8% _ 6*�<q�70% jD�l[J 0E��8% _��O7Qi�/17 J�2$/$�0m4,�#�2� 3�56�"$#AFQ�W/$�

��74_4�C#&%�� 6�� m4,�#&.��O��/°i@70" �Y��tv% w�� V ��y ��9� � zQ� N4{ P!| R � {Q~ �k{QR4~��8�Wx | {W~ P {1�0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>M: � 'l;4>4� �Wj0�+2�:'�W� % :��0�D�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z � ; � ��� �A����������� �

� : � � �3��� L 78,&_4is�82�21�'"�>0�Y�0��#�.+�W,�#D�8%D_ ��� �O���²�W7D�b�l/$"$70% j3�U#Ajl% �W/�� "1�X�U.!  �+BC�+2+�Dtv%�I��Wx��¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�+2s�l� : % �0� � >o: � '0� �

� :<Z NW�3��� L 78,&_4is�82�21�'"��0% _ L��H��21/�"17QF42 �0E0�Utv%0FQ�0"1#&�8%l/��l#Ajl% �W/�� "$�+2¯�8% _��X7l%Ug)tv%0/$�+"��8.�/1#�F8�e��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8��6@"17U7Wc�2²�8"$� J � �4#�FQ�W,��+%l/��btv% 0¯V z NYx){0KQw8>��U� "$#�%4j0�+"1g9(*�'"1,&�WjA���+.5g/�� "$�A�X78/$�+2s#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�YZ<�FNl=?>4� �8j8�'2];8;"' % ;W� �4>o: � � ;4�

� :<ZU:��3��� L 78,&_4i@�02$2$�+"��8% _��­�0�l#&� 2$�+"+��6@"1#�FQ�W/$�f��70#�% 2kF0�+"�2$� 2�6��Dm4,A#&.f��78#&% 2k#�%�tv%0/$�+"��8.5g/$#AF0� 6�"$7l78c¯�lE42$/1�+B�2+�²¤X�W¸<�W~ � T P�| ~ 0 { � NYR4x | ~U� �OT P T?� V � �Uµ�� V T P T?� V � ���Q~D~oRD�W§ >(*70,�� � 6 LX�0% _47lBC% �+2�2@�0% _n��7lB�� �4/$�8/1#�70%b>o���U�±#�.+�W,�#�>U�+_M� =!>D� �Wj0�+2fZQ� %�� ND>D: � ' � �

� :<ZW;Q�3��� �O�0mD�'"f�8% _±�Y�D�±#�.+�W,�#���6�"$#�F<�8/1��.57lB�B�� %4#&.��8/1#�70%b>b: � ' � �� :<ZQ�W��`D�¯� ��021/��8_b>�L3�¯tvB�� �8j8,�#��4 4�7o>6�²� �3� �-�+FU#�%��0% _ �����k� mlE8��� 6�2$�+� _47l"$�0% _47lB

L �'%4�+"��W/$70"�c�"$70B �8%lE ��%4�5g)i@�<E ¢o� % .�/1#�70%b� � y$¤ L ¥ {WR V ~Y�W§O{Q~ 0 { � NYR4x | ~U�W>(*70,��DB��¬;"'D>���� B�mo�+"��D>��D�Wj8�'2�:'� � � % :'� �8� >*: � � � �;6@"1�+,A#&BC#�%D�8"$EGF8�'"$2$#�70% 23mlEtvB�� �8j8,�#��4 4+7C�+/��Y�W,9� #�%HwUI P x²¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {Q~�x��4T��b�4T?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�6 : � ' � =*�8% _�� ��82$/$�8_�#�%�w0w8~��3¤ 0ML � zQ� N4{ P!| R � {Q~¬x��4T¨�M�UT?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�6 : � � Nl=!�

� :<Z<�8��`D��� ��021/��8_b> ���M�4.!  "1#Acd/��8% _��3�-�U  �0BC#�"+�3qf 4���O#&2�.�"$��/1���-70j0�0"1#�/$  B���74_ �4,�7¬���7lB��D7l21#�/1�a�X#&_4�+2 � 6 � =��s#�/$2+� ¥ {WR V ~Y�W§s{v� 0 { � NoR4x°T V �Q~�� � z P x)T � � � | T�~ � T5>(*70,��D�UZU> �D�Wj8�'2s�lZ � % �FNW�D>o: � � � �

� :<Z��Q�����W�X#&"1/*�0% _ ��8�±�0� "1�'"��o��7lB��4,A�+/1�f.!  �0"$�0.5/1�'"1# 4+�8/1#�70%�78cY�0_4F8�'"$2��8"$#A�'2M/$78,��+"��8m4,��#&%¬21�'.�� "$��B��4,�/1#Ag°� �8"$/°E¨.57lB�� �4/$�8/1#�70%b� ¥ {WR V ~Y�W§M{1� 0¯V z Nox°{W§ {�� z >o(*70,��M:'� >��O7D�b:8>�D�Wj8�'2f� : %U� ND>U;=N=NHN �

� :<Z � � L��DtvB�� �Wj0,A#&�'4�4�7^�8%D_n��� ���Dm0E0�M��% �5g)[H�<E�¢Y� % .�/1#�70% 2O�8"$� J@2$2$�+%l/$#��8,bcd70"O��7lB�g� ,A���U#�/°E��f�82$�+_¨�@"$EU� /178jl"$�0�  lE8�Ytv% � Qx���y �9�9�¼� zQ� N { P!| R � {W~ �k{QR4~��8�Wx | {W~ P {1�0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>D�D�Wj8�'2];W�HNQgv;W� � >D: � ' � �

� :<Z8Z<� L��QtvBC�D�Wj8,�#&�'4 4+7��0% _C�­� �O�870"+� J � .5#��+%l/²�@"1E4�4/$78j0"��8�D 4#�.s�U.! 4�'B��'2�6�"$7QFQ�8m4,����02�U�+.��D"1�]�02��U� m 2$��/s�U� Bn� ¥ {WR V ~Y�W§Y{v� 0kV z NYx){8§ {�� z >U(*78,9� � >D: � �8� >W� �Wj0�+2s: � � % ;4: � �

� :<Z 'W� L��-tvB�� �Wj0,A#&�'4�4�7��8%D_­���ALX� _4#&.! b� �-#&BC#A/�2�70% /� 4� 6�"$7QFQ�8m4,��¨��70% 2$� � �4�'% .5�'2�7Wc��% �5g)[H�<E 6*�+"�B�� /$�W/$#A7l% 2+�Ytv%GwlI P x*¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~�x��UTa�b�4T?{ V z {v� 0 { � ·NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2@�8� %U� :0>�: � ' � �

� :<Z � � L��otvB�� �8j8,�#��4 4�7^�0% _ �3�Y[r#Ajl_4�+"�2$70%b� 6��O��6/6p#Ac JJ"1� � �4#�"$�+2]� � �D7l%4�+%l/$#��8,�.5#&"1g.+�4#�/$2+£*�O�'"$�0% _470BC# 4�#&%4j�/$ 4� � � L �-�'B�BC�D�*tv%HwlKQx��¨¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {Q~Gx��UT�M�4T�{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2];8;=N % ;8; � >D: � � Z4�

� :7'=NW� L��²tvB�� �Wj0,A#&�'4�4�7­�8%D_ �C�seb� . �W�'"$B��8%M�J�X7Qi�/17 L]�'.5E4.5,���LX�0% _470B¦�s#A/�2�� tv%� Qx��^y �9�9� � zQ� N4{ P!| R � {W~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>�: � ' � >4� �8j8�'2;W�H' % ; �8� �

� :7' :�� L��btvBC�D�Wj8,�#&�'4 4+7a�0% _G�­� �²�D%4jD���O#&"1�'.5/3eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0�C��70B�� � /$�W/$#A7l% 2+�3tv%0¯V z NYx){=! ¹�>M�U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8j4�-�'.5/�� "1���O78/1�'2s#�%±��7lBC�D�4/1�'"f�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�D; � �l=!>�D�Wj8�'2s�HN % �4:0>o: � 'UZU�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z � �

� :7'0;Q� ��� `8�4�+,�2+>U�­� �k� mlE^�8% _�L�� ��2$/$"$7QF42 �lE8�M�l�'.�� "$#A/°E�78cM�@,�#&% _^��#Aj0#A/��W,M�l#Ajl% �W/�� "$�+2+�tv% 0¯V z Nox°{8K ¹�>M�U� "$#�% j8�+" ���+.5/�� "$� �O78/$�+2f#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�b:'; � �U=!�

� :7'8�W��`D�b`8� 2$/1�'21�'%b� � .�,��02$2X7Wc�.�70% 2$/$"�� .5/$#AF0���82$E4B��4/170/1#&.��W,�,�Eaj07l74_±�8,A�+j0m "��W#&.�.574_4�'2��y �9�9� � V �W~ P �by!~'�5{ V � �]�M�UT?{ V z >Y(*78,9�b:7'D> � �Wj0�+2 � �0; %4� � � >D: � ZW; �

� :7'W�8� ���4h3�8  �8,A�0�AJ²#�j8�'%lF<�8,�� �+2@�8% _%J�� � �8%D21#�70%^78cL]�+j0�4,&�8" L "$�0�   2+� ¥ {QR V ~��W§b{v��x��UT¤ 0-L > (*70,�� �U; 6 �0=!>D� �8j8�+2�:(N � : % :0:7N � > : � � � �

� :7' �Q��`D�Dh3�0  %b>��­���4���U2�>��8%D_G�O�b�UB�EU/$ b� �«��� �8,�(*�'"$2$#�70%n7Wc L]�+#�BC�'" � 2]tv%4� � � �W,�#A/°E�0% _�� 6@"17U78cY78cALX� _4#&.! �� 2@��70%Q�v�+.5/�� "$�8�btv%GI �Qx���y �9�9� 0 {Q~'�5T V T5~ � T�{Q~ 0 { � NoR4·x°�Qx | {Q~��W§ 0 { � N�§ T�� | x z >Y;=N=NHN �� :7' � ����� �Y��h3�8,A#&2 �l#9� J²,�,A#&�4/1#&.G�@� "$F8�'2^�8% _J�@"$EU� /178jl"$�0�  lE�£ � 6@21�'� _470"��8%D_470B �s#�/

L �'%4�+"��W/$70"s�8%D_��O/� 4�+"fq�7U78,&2���6@ b� �C�Dqf 4�'21#&2+>��¯�f�Y>D�±tvq�>b: � 'H' �� :7'lZ<��`D� h3�8/4��8% _¬�­� �²� %4jD�s��70B��4,���/1���@ D�8"��8.5/$�+"$# 4'�W/$#A7l%�7Wc²�l�'.�� "$#A/°E)�X78/$#A7l% 2scd7l"

6@"17lm �8m #A,�#�2$/1#&. 6�"$#AFQ�8/1�5g)h���E#J�% .+"1E4�4/$#A7l%b�¨tv% �8w8~Y��¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~ x��UT�M�4T�{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2];Q��� % ; �Q�o>l;=N=N=ND�

� :7'='W��`D�@h�#A,�#��0%b� �f�82$#&%4j��@"$EU� /178jl"$�0�  lE�70% ��m4,A#�FU#A7l� 2¨qk"��8% 21cd�+"+�\tv% w Qx�� ¤ 0-L� zQ� N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2];"N % � :0>o: � 'H' �

� :7' � ��`D�4h�#�,A#&�8%b��� �X70/1��70%!J � .�#A�'%0/XeY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�#6@"17U78c�2��0% _ �O"1jl� BC�+%l/$2+�¯tv%w � x���¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~�x��4T¨�M�UT?{ V z {1� 0 { � NYR4x | ~U�W>4� �8j8�'2sZ8;W� % ZQ�l;4> : � � ; �

� : � NW��`D�kh�#A,�#��0%­�8% _ JO��6*�+/$"��8% �Y� �X% J � .5#��+%l/4�O70%Ug)tv%l/1�+"��8.�/1#�F8�aeY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�6@"17U78cs�lE421/$�+B�cd7l" �56uif#A/�  L �'%4�+"��W,��X2�2�� B��4/1#�70% 2+� ¥ {QR V ~��W§�{1� 0¯V z NYx){8§ {$� z >(*70,��-:8:8> �D�Wj8�'2�: % ;lZU>�: � � 'D�

� : � :���`D�bh�#�,A#&�8%��8% _ JX�16*��/�"$�0% � ��7l% .��D"$"$�+%l/��8% _#L]�+2$��/$/$�8m ,A�¨eY�'"178g9h3%47Qif,��+_ j8�3#&%6*70,AElg),A70j0�0"1#�/$  BC#&.�L]7l� % _ 2stv% ��� V ��¤ 0-L�� zQ� N4{ P?| R � {Q~¨x��4TC�M�UT?{ V z {v� 0 { � ·NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2�� � N % � � � >U;=N=N :0�

� : � ;Q�����²h3"��<i@. 4�E��Y�9�-¢²� L]g)m �021�'_��O�82� 4#&%4j��8%D_ �X�4/� 4�+%l/1#&.��8/1#�70%b� tv% 0¯V z Nox°{8K�� >���+.�/$� "$���O78/1�'2-#&%���7lBC�D�4/1�'"¯�U.�#A�'% .5� 6 (*70,�� '8� � =!>W�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wjo>+� �8j8�+2²:'; � %:'� � �

� : � �W�����Uh3"$�<is. 4+E�Y���X�+iJ�O�02$ ^¢Y� % .�/1#�70% 2�¢D7l"����'2$2��Wj0� �X� /$ 4�'%0/$#�.+�W/$#A7l%b�Mtv% � R V {Q·0¯V z NYx)K �Q>��U� "$#&%4j8�'"vg)(*�+"$,��8jD>����+.5/�� "$�5�X70/1�'2]#&%���70B�� �4/$�+"��U.5#��+% .�� 6 (*70,�� � ; :<=!>�D�Wj8�'2f�=ND: % �D:7ND�

� : � �8��`D� �O�����Wjl�8"$#��02��8%D_ ��� �­� ��_ ,AE�4 �87D�*�l78,�FU#�%4j��-7Qisg)�O�'% 2$#A/°Ea�U�Dm 21�+/X�U� B�6@"17lmUg,��+B�2+� ¥ {QR V ~Y�8§-{v��x��UT�¤ 0-L > (*78,9�D�0; > � �Wj0�+2f;8; � % ;Q� � >D: � ' � �

� : � �Q���C�����8� #�_470/3�8% _����¯�U D�8BC#�"+�n¢o�4,�,AE � �0"$�8,A,���,�# 4+�+_ B�� ,A/$# g°� "$7QF8�+"�� "$78/$74.578,&2�cd7l"� J �56�g)/1#&B��0� ¥ {WR V ~Y�W§M{1� 0 { � NYR4x)T V �Q~�� � z P x°T � � � | T5~ � T5>4(*70,�� �Q� 6 ;l=?> � �8j8�'2; : � % ;8;=N > �X� "$#A,²: � � ZU�

� : �8� � ���=�-�'B��D�+,����@"$E4�4/170j0"��8�  lE^#&%aqk"$�0% 2$#A/$#A7l%b� 0 { � NYR4x | ~U� � R V ¸QT z P >4���+.W�-: � Z � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z � � � ��� �A����������� �

� : � Z<� ��� h^� �-�'% 21/�"$�D>8��� [\� �-�'% 21/�"$�D> ��� �-7QFs��0240�o¢Y�8.5/$70"$#�% j3�D70,AE4%47lB�#&�W,&2*if#�/$ ^"��W/$#A78g%D�W,-.�7l� � .5#��+%l/$2+� L �Wx��4T � �Qx |&P � �4T3¤O~D~��W§ T�~�; � :0>4� �Wj0�+2 �4: � % �W�W�o>D: � '0; �

� : � 'W� ��� ���3�-�+FU#�%b� �]F0�+"��Wj0���@�82$�¨��70B��4,���/$� 6@"17lm4,��+B�2�� � y�¤ L}¥ {WR V ~Y�8§�{Q~ 0 { � ·NYR4x | ~U�W>D(*78,9�b: �4> �D�Wj8�'2];"' � % ;=' � >D: � ' � �� : � � � ��� ��� ����FU#&%b�9��% �5g)[H�<E�¢o� % .�/1#�70%��0% _ 6�2$�+�D_470"��8% _ 70B L �'%4�+"��W/$70"�2�� 0 { � © | ~Y�W·

x°{ V!| � �W>D(*78,9�oZU>o� �Wj0�+2s� �lZ % � � �D>D: � 'lZ4�� ;"N=NW� ��� ��� ����FU#&%b� LX�0% _47lBC% �+2�2-�8%D_��X70%4g)_4�+/1�'"$BC#&%4#�2�Bn� ¥ � � zQ� © � � {�� | � >Q(*78,9� �"' 6 �l=!>�D�Wj8�'2�:8:(N0; % :8:(N8� >D: � � � �� ;"N :������=�-#-�0% _ 6*�4(X#�/$�0%0EU#9��¤O~ny5~Dx V {+�WR � x | {Q~Gx){��C{8§ � {$�l{ V {W¸ 0 { � N�§ T�� | x z �W~Y� | x P

¤sN8N�§ | � �Qx | {Q~ P �f�U� "$#�%4j0�+"@(*�+"$,&�WjD> �O�4j0�D21/�: � � �D�� ;"N0;Q� �C� ��#�%D_4��,�,�� � �l#&B��4,A�'"���7l% 2$/$"�� .5/$#A7l%¬7Wc��f� �O;Qgv�l�'.�� "$� 6@� m4,�#�.5g9h��+E%J�%D.�"$EU�4g

/$#A7l% �% _4�'" L �+%4�'"$�8, �X2�2$� B��4/$#A7l% 2+�4tv% � R V { 0¯V z Nox ��8>4�4� "1#&%4j0�+"��-�'.5/$�D"1� �X70/1�+2#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�o; � � � =?>4� �Wj0�+2f;Q�o: % ; �Q�o>U;=N=N0� �� ;"N8�W� �C� ��#�% _ ��,�,�� 6��0"$�8,A,���,-��70#�%Ug°q�702�21#&%4j^�8% _���70%D21/��8%l/vg L]70�D% _±�l�+.+� "1��qsi@7Wg=6��8"$/°E

��7lB�� �4/$�8/1#�70%b�Xtv% 0¯V z Nox°{� 8IW>k�U� "$#&%4j8�'"7�-�'.5/�� "1�5�X78/$�+2O#�%H��70B�� �4/$�+"��4.5#��+% .��6 (*78,9�o;4:'� � =?>4� �Wj0�+2�:QZU: % :7' � >l;=N=ND:8�� ;"NW�8� �C� ��#�% _ ��,�,�> �3� ��E421El�8% 2 �<�<E0�X�0% _�q�� LX�0m4#&%b�9��%C/� 4�O��70B��o702$#A/$#A7l%�78c �X�4/� 4�+%Ug

/$#�.+�W/$�+_a�@E�4'�8%l/1#&%4� �]j0"$���'BC�+%l/��ktv%�� � x��^¤ 0-L � zQ� N4{ P?| R � {Q~±x��UT¬�M�UT?{ V z {1�0 { � NYR4x | ~U�W>Y� �Wj0�+2��4:+� % �0;W�D>l;"NHN0; �

� ;"N �Q��`D� ��� FQ�8% ��#�%l/��²y5~Dx V {'�QR � x | {W~Gx°{ 0 {+� | ~l���M�UT?{ V z �f�U� "$#�% j8�+"1g)(*�+"$,��8jD> L "$�0_ � �W/$�q�� �4/�2f#�%n�±�8/$ 4�'BC�8/1#&.�2 6�� '='l=!>6�X��i ��70" �Y>b: � '0;4�� ;"N � � ���=���DmD70/4 �lE0> L3��6�  #A,�,A#&� 2+>,6*�o�U�8"�% ���o> LX�0BC�0%U�<�1�8% L "$�0�   2+� 0 { � © | ~Y�Wx){ V!| � �Q>(*70,��M' > � �8j8�+2]; � : % ;0Z0ZU>o: � 'H' �� ;"NlZ<����� ��� mlE8��� P T5RD�0{ V �W~Y�8{ � ~�T P?P �Q~�� 0¯V z Nox°{$� V �!ND� | � ¤sN8NY§ | � �Wx | {W~ P � 6�"$#�% .���/$70%

�%4#�F8�+"�2$#A/°E 6@"1�'2$2+>�: � �8� �� ;"N='W�����=��� mlE¨�0% _��O� LX�8. �87'2¯�k�O7QiJ/17a��7l% 2$/$"�� .5/�6�2$�+�D_470"��8% _ 70B 6*�+"�B��4/��W/$#A7l% 2

c�"$70B 6�2$�+� _ 70"��8% _47lB ¢o� %D.5/1#�70%D2�� � y$¤ L�¥ {QR V ~��W§]{W~ 0 { � NoR4x | ~l�8>f(*78,9�]:<Z4>: � 'H' >4� �Wj0�+2s�lZW� % �=' � �� ;"N � �3�O�����D% _b> �²��¢D7l"1/�%47Qi�>¯���-h3�0"1,�7'2¯>*�8% _ �����O#�2��8%M� �],�j8�+mD"$�8#�.��±��/$  7U_D23cd7l"

tv%l/$�+"��8.5/$#AF0� 6�"$7l78c��lE42$/1�+B�2+� ¥ {QR V ~��W§]{v�¬x��UTn¤ 0-L >�(*78,9�²� � >��O7D���o>@� �8j8�'2' � � % ' � ' >o: � � ;4�

� ;4:7NW� ������EU%D.! b�¼´ |&P x V!| ©!R4x°T?��¤�§ �l{ V!| x�� � P �¼��7l"1jl�8% h3�8�Uc�B��8%D%76@� m4,�#�2� 4�+"�2+>f�U�0%�G�W/1�+7D>o� ��>M: � �8� �

� ;4:8:�� ��*�±�8� "$�+"+�H�l�'.�"$��/3h��+E��]j0"$���'BC�+%l/�mlE 6�� m4,�#&.���#�2�.�� 2�2$#A7l% c�"17lB ��70B�BC70%tv%4cd70"�BC�8/1#�70%b��y �9�9� � V �Q~ P �f{Q~�y5~+�5{ V � �3�M� �s>�(*78,9�M� � 6 �O7D�-�U=?>k� �Wj0�+23ZQ�0� %ZQ�l; >U�G�<E±: � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z � �

� ;4:';Q� ��� `D�U���+%4��4��'2�>�6*� �O�0F<�0%%�O70"�2$.!  78/*�8% _¨��� ���0(��0% 21/$70%4�0�����Q~��0©�{'{ {1�@¤@N0NY§ | T?�0¯V z NYx){�� V �?ND� z �f�LX� 6�"$�+2�2�>�: � �8� �

� ;4:+�W� L�� �O�s���+" �l,A�0�\�U�+.��D"1�H��7lB�B�� %4#&.��8/1#�70%�7QF8�'"^tv% 2$�+.+� "1���@ D�8% %4�+,�2+� 0 ¤ 0ML >(*70,��Y;4:8>��O7D�4�o> � �Wj0�+2]; � � % ; � � >D: � Z 'D�

� ;4:��8� L�� �O�U���+" �l,A�0� 6�"$78/$7U.�78,&2¯cd70"@� � m ,A#&. �8��E�.�"$EU� /1702$E421/$�+B�2+�Ytv% � V { � �¯{v�Ox��UT�I8K=!� � zQ� N { P!| R � {Q~ � T � R V!| x z �Q~�� � V!| ¸Q� ��z �� ;4: �Q� L�� �O�*���'" �l,��8� �®��#Aj0#A/��W,X�l#�j0% �8/$� "$�¨�f�021�'_­70%�� ��70%lF8�'%l/1#�70% �8, J�%D.�"$EU� /1#�70%

¢Y� % .�/1#�70%b�Wtv% 0¯V z NYx){=! ¹�>0�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�Wj �-�'.5/$�D"1�-�O78/$�+2b#&%���70B�� �4/$�+"��4.5#��+% .��6 (*78,9�o; � �l=!>b: � 'UZU>U� �Wj0�+2f� � � g°�lZ"' �� ;4: � � L�� �O�Q���'" �l,��8���p���'"1/$# �o�+_3��#�j8#�/$�W,D�l#�j0%D�W/$�D"1�]�U.! 4�'B��0�Utv% 0¯V z Nox°{"!lKQ>U�4� "1#&%4j0�+"1g(*�'"1,&�Wj ���+.5/�� "$� �O78/$�+2s#&%���7lB�� �4/1�'"X�U.5#��+%D.5� 6 (*70,��D�0� �l=?>4� �8j8�+2]; :7' % ;W�H' �� ;4:<Z<� L�� �O�����'" �l,����8% _ �­� JO�*�X�+,A,&B��8%b���X#&_4#&%4j tv%Ucd70"�B��W/1#�70% �8% _r�l#�j0% �8/$� "$�+2C#&%

qk"��8�Y_47U70"�h3% �0� 2$�0. �U2��^y �9�� � V �Q~ P �*y5~+�5{ V � �3�M�UT?{ V z >¯(*70,���;W�D>-�D�Wj8�'2��8; � %�8�=ND>Y: � Z"' �

� ;4:7'W�3���Y��#&.��8,A#9>��­�N��� LX�8m #�%b>��8%D_��Y�D(��0_   �0%b�](*�+"$# �o�8m4,�� LX�0% _47lB®¢Y� % .5/$#A7l% 2+�]tv%� Qx��ny ��9� � zQ� N4{ P!| R � {Q~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {1� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T�>M� �Wj0�+2�:';=N %:'�=ND>Y: � � � �

� ;4: � �3���+��#&.��8,A#9>Q�O��LX�8. �87'2¯>+�0% _����Q�l,�70�8%M�<qf  �-�X70/1#�70%�7Wco�l�'.�� "$#A/°EXcd70" 6@"17lm �8m #A,�#�2$/1#&.�@"$E4�4/17l21E42$/1�'BC2+� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§X{W~ 0 { � NoR4x | ~l�8>f(*78,9�]:QZU>f� �Wj0�+2��o:'; % �l; � >: � 'H' �

� ;8;"NW�3���M��#�.+�W,�#��8% _86*�9L]70j0�<is�<E8���l�'.�� "$�¨��70B�� �4/��W/1#�70%M��tv% 0¯V z Nox°{8K8IW>*�4� "1#&%4j0�+"1g(*�'"1,&�Wj ���+.5/�� "$� �O78/$�+2s#&%���7lB�� �4/1�'"X�U.5#��+%D.5� 6 (*70,����0Z � =?>4� �8j8�+2f� � ; % �HN8�D�� ;8;4:����C� ��#&.�.�#��0% .5#�7D����m4,A#�FU#A7l� 2����8/$�^�l/$"�� .5/�� "$�+2+£��O� �4,�#�.+�W/$#A7l% 2@/17��@"1E4�4/$78j0"��8�D 0E0�

tv% wUKQx��­¤ 0-L�� zQ� N { P!| R � {Q~Jx��UT��b�4T?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>f� �8j8�+2C��� � % � � �D>: � � ZU�� ;8;8;Q� L � �²�¯��#�,A,��+"+�#LX#A�'BC�0% %�� 2��OE4�D70/$ 4�'21#&2��0% _�q��+2$/$2�cd70" 6@"1#&B��W,�#A/°E0� ¥ {QR V ~��W§�{1�

0 { � NYR4x)T V �Q~�� � z P x°T � � � | T�~ � T5>D(*78,9�M:+�D>U�D�Wj8�'2f�=NHN % �D:<Z4>D: � Z � �� ;8;W�W� L��M��78/°is�8%4#*�0% _ 6*�9LO�Wj0 D�<F<�0%b� �O�Q~Y�0{ � |�� T��n¤�§ �l{ V!| x�� � P >*�@�8B�m "1#&_4j0� �%4# g

F0�+"�21#�/°E 6�"$�+2�2+>b: � � �4�� ;8;Q�8� ���W/$#A7l% �W,��f� "$�+�8�¨7Wc��l/$�0% _ �8"�_ 2+�=��T?�8T V �8§Dy!~'�5{ V � �Qx | {Q~ � V { � T P?P?| ~U� � x)�W~Y�0� V � P >

6@� m4,9� � � 6 � Js�G: � Z8Z0=?�� ;8; �Q� ���W/$#A7l% �W,Wtv%D21/$#A/��4/1�²cd70"��l/��8% _D�8"�_ 2b�8% _�q��+.! D%478,�78j0E8����� �� ��� ���� � G �� � � F ���� G�� � ���6�� � �+=!>���T?�0T V �8§ �OT9� |&P x)T V >4(*78,9�'� � >��X7o�b: � � > �X� j0� 2$/�: � � :8�� ;8; � ����� �O�W7l"����s#�/3��7lB�B�#�/$BC�'%0/�� 2$#�% j 6@21�'� _470"��8%D_470B L �+%4�'"$�8/17l"$2+� ¥ {WR V ~Y�8§¯{1�

0¯V z NYx){8§ {$� z >Y(*78,9� �D> � �8j8�'2O: �4: % : �=' >Y: � � :8�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z �0� � ��� �A����������� �

� ;8;0Z<�������O�870"+> L3�M��21/�"17QF42 �lE8> L���(*�+% �<�8/1�+2��8%p�0% _p�­���²� % jD� eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8��O"1jl� BC�+%l/$2�cd70" �56®.��0%rmD�G�s�021�'_p70% L �'%4�+"��W, �O2$2�� B��4/$#A7l% 2�� ¥ {QR V ~��W§X{1�0¯V z NYx){8§ {$� z >Y(*78,9�M:8:0>U�D�Wj8�'2�'lZ % :7NH' >Y: � � ' �

� ;8;"'W����� �O�W7l"¯�8% _���� L]��#&%4j870,�_M�o�lE4%0/� 4�+2$# 4��+"�2¯�8% _�/$  ��#&"��X� �4,�#&.��W/$#A7l%�/$7O/� 4��6��8"��W,Ag,���,¯��70% 2$/$"�� .5/$#A7l%n7Wc�6�2$�+� _478g(LO�8% _47lB ¢o� %D.5/1#�70%D2���tv%���<x��^y �9�9�\� zQ� N4{ P?| R �{W~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {v� 0 { � NoR4x°T V�� � | T5~ � T�>D� �8j8�'2O:QZ N % :7'D:8>Y: � � �4�

� ;8; � ���������W7l"X�8%D_ ��� LX��#&%4j870,�_b� ��%�/� 4����7l% 21/�"$�D.5/1#�70%±7Wc 6�2$�+�D_47Wg LX�8%D_470B 6*�+"1gB��4/$�8/1#�70% 2+£ �k� mlE0g LX�0. �W7'2 L]��FU#&21#�/1�'_b� ¥ {QR V ~Y�8§@{1� 0¯V z NYx){8§ {$� z >@(*78,9�@:<; 6 :<=?>�D�Wj8�'2]; � %U�8� >o: � � � �

� ;W�=NW�������O�870"^�0% _ ��� L]�+#�%4j078,&_b�¼¢Y"17lB �% � "$�+_4#&.5/��8m4#�,A#�/°E /$7­tv% _4#&21/$#�% j0�4#&2$ D�8m4#�, g#�/°E�£ �»�l#&B��4,��a��70% 2$/$"�� .5/$#A7l%±78c 6�2$�+�D_470"��8% _ 70B ¢o� % .�/1#�70% 2�c�"$70B � �X�@2���tv%0¯V z NYx){0K"!W>b�U� "$#�% j8�+"?�-�'.5/�� "1� �X70/1�'2�#&%n��7lB�� �4/1�'"]�U.5#��+% .�� 6 (*78,9��:�� � �U=!>l� �8j8�'2; � Z % ;"'l;4�

� ;W� :������ ���W70"��8% _��­���²�D%4jD� O%4#�F8�'"$2��W, ��%4�5g)[ �<EO���82� �¢o� % .�/1#�70% 2k�8%D_�/$ 4�+#�"*�@"$EU�4g/$78jl"$�0�  4#&.��X� � ,A#&.��8/1#�70%b�lwlI P x�¤ 0ML�� zQ� N4{ P?| R � {Q~^x��UT��M�UT?{ V z {1� 0 { � NYR4x | ~U�W>: � ' � >4� �Wj0�+2s�8� % �l� �

� ;W�0;Q���������W70" �8% _ �­� �²� %4jo� 6�� m4,�#&.!g)h���E �@"$E4�4/17l21E42$/1�'BC2 6�"$7QF<�0m4,�E �l�'.�� "$��Xj0�8#�% 2$/n�@ 47l21�'%J��#��   �+"$/1� �4/��s/$/$�0. �l2+� tv%uw8w8~��H¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~¼x��UT�M�4T�{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>o� �Wj0�+2s�l;lZ'g)�0�UZU>D: � � N �

� ;W�8�W� ��� �O#�2��8%��0% _¬�C�be��D. �W�+"�B��8%b� LX�0% _470B�%4�'2$2]#�2 �-#&%4�+�0"f#�%H�U� �8.��8� ¥ {QR V ~��W§�{1�0 { � NYR4x)T V �Q~�� � z P x°T � � � | T�~ � T5>D(*78,9�'�8; 6 :Q=?>D� �8j8�'2s�0� % �8; >o: � �8� �

� ;W�W�8� ��� ��� ��_ ,AE�4 �87D� qf 4�Gc��4/$�D"1�H7Wc3#&%l/1��j0�+"�c��8.5/$70"$# 4'�W/$#A7l%b� 0¯V z Nox°{�� z x)T P 6 qf  �/$�+.!  % #�.+�W,�%4��i]2$,���/1/$�+"a7Wc L��� �k�8mo70"��W/$70"$#A�'2?=!>f(*78,9��: 6 �O7D�];0=!>O� �8j8�+2 �<g?:'; >: � � �4���]FQ�W#�,��0m4,��Oc�"$70B �,���������� ���������������+�!� ���=+���� � �' �1��" + �$

� ;W� �Q� ��� ��� ��_ ,AE�4 �87D���O#&2$.+"1�+/1�n,A70j0�0"1#�/$  B�2��8% _�2�BC7U78/$  �D70,AE4%47lB�#&�W,&2+��tv% � | ~ | x)T� | T+§ � P µ¬�M�UT?{ V z ¶ ¤@N0NY§ | � �Wx | {W~ P �W~Y�^¤�§ �l{ V!| x�� � P > L ���²�Y�±�4,�,A�'%±�8% _ 6*�b�U 4#&�4�8>�'_ 2+�A> �XBC�+"+���±�8/$ b�@�U7U.8�A>]��70%l/$�+B��D7l"$�0"1E­�±�8/$ b�*(*70,��X: � 'D>²� �8j8�+2^; � � % ;0Z"' >: � � �D���]FQ�W#�,��0m4,��Oc�"$70B �,���������� ���������������+�!� ���=+���� � �' �1��" + �$

� ;W� � ��q��A� �<�8BC78/$7D� ��%G"1�+,��8/1#�70% 2� 4#&� 2Xmo��/°i@���'%±21/��W/$#�2$/1#&.��8,�4+�+"$7Wg �l% 7Qif,A�'_4j8��� "$7U7Wc�2+�tv% wF!Wx��­¤ 0-L�� zQ� N { P!| R � {Q~Jx��UT��b�4T?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>f� �8j8�+2 � � � %4� �=' >: � �0� �

� ;W�lZ<� L�� ��2$/$"$7QF42 �lE8> L3�0(*�'% �<�W/$�+2��8%^�8%D_^�­���²�D%4jD> � �U�+.��D"1�^��70B�BC#A/�B��'%l/ �]jl�W#&% 2$/6*7Qi@�+"1c��4,�X_4F0�+"�2$�0"1E�£ �J�l�+.+� "$#A/°E 6@"1#&BC#A/$#AF0��m �021�'_370% �]F0�+"��Wj8��tv%l/$"��8.5/��8m4#�,�#A/°E0�tv% � V { � T?T?� | ~U� P {1��x��4T�KQx�� � zQ� N { P!| R � {Q~r�b�4T?{ V T�x | � �8§�¤ P N T � x P {v� 0 { � NYR4x)T V� � | T�~ � T 6 � �l¤ 0k� KWw<=?>Y� �Wj0�+2@�0� � % �8�H'D�

� ;W�='W� L�� ��2$/$"$7QF42 �lE��8% _����<[r#Ajl_4�+"�217l%b� ��% �5g)[H�<E�¢o�D% .5/$#A7l% 2��0"1���+2�21�'%l/1#&�W,Wcd7l"0�O70%Ugqk"$#AFU#&�W,oeY�'"178g9h3%47Qif,��+_ j8�8�4tv%nw0~Y��y P!V �8T+§ � zQ� N �-{W~­�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U���Q~Y�� z P x)T � P >4t�JJ J¼��70B��b�o�l74.8��6�"$�+2�2�>4� �8j8�'2@� % :QZU>�: � � � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z � Z

� ;W� � � L�� ��21/�"17QF42 �lE��8% _��­���²� % jD�J�O7Qi®/17­[r#�/$ D21/��8% _p��7lm4#A,���(X#&"�� 2 �s/1/��8. �U2+�tv%pI� Wx��±¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~ � V!| ~ � | N�§ T P {v��´ |&P x V!| ©!R4x°T?� 0 { � NoR4x | ~l�8>�� �8j8�'2� : % � � >Y: � � :0�

� ;Q�HNW��q�� 6*�,6*�+_ �+"�21�'%��8% _a���,6 �D/ 4+B��8%D%b�¯¢o�W#�,Agv�l/$70���l#�j0% �8/$� "$�+2+� � y$¤ L ¥ {QR V ~��W§M{W~0 { � NYR4x | ~U�W>4(*70,�� ; � ¡W; >0� �8j8�+2@; � : % �0�=ND> : � � ZU�b�f�021�'_�70%¨2$��F0�+"��W, �'�8"$,A#��+"²i�7l" �6 21�+� �o"�21/@cd7U78/�%478/$��#&%n/$ 4�3�D�8�o�+"!=?�

� ;Q�D:������ 6 �D/4'B��8% %b��´ | � | x°�W§ �o| �8~Y�Wx�R V T � � �UT � T P 6 �]T5~�T V �8§0� V � � T �²{ V� �W~Y� ��� | § ·� x){!N �o| �8~Y�Wx�R V T P =?�o�4� "1#&%4j0�+"��-�+.�/$� "$� �X78/$�+2¯#&%C��7lBC�D�4/1�'"*�4.5#��+% .�� 6 (*78,9�4:8:(N=Nl=!>: � �0� �

� ;Q�l;Q�����/6�"��8mD  ���<�8"��8%M> �3�L]702$�+%p�0% _ �3�f�U�8  �8#��\��70% .+� "�"1�'%0/¨eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�6@"17U78c�2X#&% ��78jl�8"$#A/�  BC#�.5�O� B�mD�'"�7Wc L]7l� % _ 2+��tv% � � V ��y �9�9� � zQ� N { P!| R � {W~�k{QR4~��8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>o;=N=Nl;4�

� ;Q�0�W��(���6�"��W/$/�� J²F0�+"$E 6@"1#&BC��  �02¬�p�U�D.�.5#&% .�/±���'"1/$# �Y.��W/$�8� � y$¤ L�¥ {WR V ~Y�8§�{W~0 { � NYR4x | ~U�W>o(*78,9�4�D> � �8j8�+2]; :�� % ;8;=N >o: � Z �4�

� ;Q�8�8�����N����LX�0m4#�%M� 6�"$70m �0m4#A,�#&21/$#�. �],�j870"$#�/$  B cd70"�q��+2$/1#&%4j 6�"$#�B��W,�#�/°E8� ¥ {QR V ~Y�8§@{1�³ R � ©�T V �b�4T?{ V z >D(*70,��-:';4> �D�Wj8�'2�:';"' % :'�=' >Y: � '=ND�

� ;Q� �Q�����N���*LX�8m #�%b�X�O#�j8#�/$�8,A# 4��'_��l#�j0% �8/$� "$�+2+�]tv% �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {v� � T � R V T 0 { � NoR4x°�Q·x | {Q~ 6 L3� �3� ���+��#�,�,A7^�+/��D�8,��4�'_ 2�� =?>��X.��0_4�+BC#&. 6�"$�+2�2�>�: � Z8Z4�� ;Q� � �����N��� LO�8m4#&%b� ��#Aj0#A/��W,�# 4+�+_«�l#�j0%D�W/$�D"1�'2��8% _ 6��Dm4,A#&. h���E¼¢o� % .�/1#�70% 2��82¬tv%Ug

/�"$�0.5/��8m4,����82s¢o�0.5/$70"$#�%4jo�k�±tvqX¡ �¯�f�D¡Qq Lfgv;4:<;4>Y: � Z � �� ;Q�UZ<�����N���ELX�0m4#&%b�4�X7Qi /17 J�� .!  �8% j8�s�U�+.�"$��/�2*mlE ��m4,A#�FU#A7l� 2¯q�"��8%D2vcd�'"�� q��+.! b�Q���'BC7

q L]g 'D:8> �]# �W�'%¬��7lB�� �4/$�8/1#�70% ���0mD7l"$�8/17l"1E0>0���8"$F<�0"$_����>M: � ' :0�� ;Q�H'W�3�O� LX�0. �W7'2 �8% _p�C� L��f�l#&BC70%b� �O70%Ug)tv%l/1�+"��8.�/1#�F8��eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8� 6�"$7U7Wc�7Wc

h3% 7Qif,A�'_4j8���8% _��@ 47l21�'%¬��#&�  4�'"1/$� �4/ �s/1/��8. �Y�¯tv% 0¯V z Nox°{8K0IQ>M�U� "$#�% j8�+"@(*�'"1,&�Wjo>���+.�/$� "$���X78/$�+2f#&%±��70B�� �4/$�+"X�U.�#A�'% .5� 6 (*78,9�Y=?>D�D�Wj8�'2s�0�0� % �0�8�o�

� ;Q� � � L��4LX�48� ��6��0"$�8,A,���,�L]�'�D�+/1#�/1#�70%�qf  ��70"$�+Bn� � y�¤ L ¥ {QR V ~��W§²{W~ 0 { � NYR4x | ~U�W>(*70,��Y;0Z 6 �U=?> � �8j8�+2XZ � � % '=N0� >o: � � ' �� ; �"NW� L�� LX#�.!  �0"$_D217l%��8% _ ` �¯h�#�,A#&�8%b� ��%�/� 4�±��70% .+� "$"$�+%l/^��70B��D7l21#�/1#�70%�7Wc�eY�'"178g

h3% 7Qif,A�'_4j8� 6�"$7U7Wc�2+��tv% � R V { 0kV z NYx)K0KQ>M�U� "$#�% j8�+" �����f�G: � � ;4>U� �8j8�+2@�o: � % �D:'� �� ; �4:�� L��AL]#�F8�+2$/�> �3�k�U D�8BC#�"��0% _��²� �O_4,A�'B��8%b��� ���+/$ 474_Gcd70" ��m4/��W#&%4#�% jn��#�j8#�/$�W,

�U#Ajl% �W/�� "1�'2��0% _ 6@� m4,�#�.¨h���E �@"$E4�4/17l21E42$/1�+B�2+� 0 ¤ 0-L >*(*78,9��;4:8>*¢o�+mb�s: � Z 'D>�D�Wj8�'2�:';=N % :<; � �� ; �8;Q� 6*� LX78j0�<is�<E8� qf  �

LX70� % _p��70B��4,�� �4#�/°EH78c��l�'.�� "$� 6@"170/174.570,�2+����tvq 6� b� ���*qf 4�'21#&2+>²`8� % ��: � � :0��XFQ�W#�,��0m4,A��c�"$70B��������������������� ��� �0 1� �,+��$����� ��� ���" �� ���+ ��+���%��+%�������U�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

Z � ' � ��� �A����������� �

� ; �W�W��`D��L]7lBC�o��,9� ��%4�5g)i@�<E ¢Y� % .5/$#A7l% 2^�8"$� �X�+.��+2�2$�0"1E­�0% _p�4� � .5#��+%l/Ccd70"¨�l�'.�� "$��U#Ajl% �W/�� "1�'2���tv%Gw0w8~���¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {Q~±x��UTn�b�4T?{ V z {v� 0 { � NoR4x | ~l�8>M: � � ND>�D�Wj8�'2f�='UZ % � � �o�

� ; �Q�8� ���b�4�8  �8#��7�O70%Ug°�±�8,A,��+�0m4,A�5�X70%4g9tv%l/1�'"$�0.5/$#AF0��eY�+"$7�h3%47Qif,��+_4j0�3�8% _ �X.! 4#���FU#&%4j�@  702$�+%Ug1��#��D 4�+"$/1���U/]�l�'.�� "$#A/°E0�¯tv% � Qx���y ��9� � zQ� N { P!| R � {W~ �k{QR4~Y�0�Qx | {Q~ P {1�0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>D�D�Wj8�'2 �Q�l� % � �W�D>D: � � � �

� ; � �Q� ���o�U�8 D�W#9�-tvB�� "$7QF8�+_¨��7l% 2$/$"�� .5/$#A7l% 2 �O.! 4#���FU#�% j^�@ 47l21�'%Ug1��#��   �+"$/1� �4/f�l�+.+� "1#�/°E8�tv%¬� "$�+�D�8"��W/1#�70%M>4;=N=ND:8���l��� � � ;'�)�

� ; � � � ���s�U�0  �W#]�0% _J�Y��(��0_   �8%M��� ��70B��4,���/$�;6�"$70BC#�2$� 6�"$70m4,��+B cd70"¨�l/��W/1#&2$/1#&.��W,e��+"$7Wg)h3%47Qif,A�'_4j8�0�stv% �=!8x��¨y ��9�«� zQ� N4{ P?| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V� � | T�~ � T�>D� �8j8�+2s�0�H' % � �lZU>o: � � ZU�

� ; �0Z<�3�O� 6*���4.!  %470"�"f�8%D_¬��� ���Y�X70"�%4�'"�> �s/1/$�0. �l#�%4j^/� 4���@  70"1g(L]#�F8�'21/X�@"$E4�4/17l21E42$/1�+BmlE^tvB�� "$7QF8�'_ ���W/$/1#&.5� L]�+_D� .5/$#A7l%b��tv% � R V { 0kV z NYx)K �Q>Y�4� "1#&%4j0�+"1g9(*�'"1,&�WjA���+.5/�� "$��O78/$�+2f#&%¬��7lB�� �4/1�'"O�U.�#A�'% .5� 6 (*70,�� � ;4:Q=?> � �8j8�'2O: % :<;4�

� ; �"'W� ���*�4  �8BC#&"�� ��% /$ 4�¬�@"1E4�4/$7U.�70B��4,�� �4#�/°EG7Wcfh3% �0� 2��8. �G2$E421/$�+B�2+� I0IQx��G¤ 0-L� zQ� N { P!| R � {Q~�x��4Tn�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>D�D�Wj8�'2�:8:(' % :<; � >D: � Z � �

� ; � � � �����U  �0B�#&"+���X7Qi /$7��4  �8"$�a�­�l�+.+"1�+/�� 0 ¤ 0-L >*(*78,9�²;8; >-�X7QF��@: � Z � >�� �8j8�'2� :'; %U� :'� �

� ; � NW� ���C�U  �0BC#�"+� � 6*70,AE4%47lBC#��8, g°qs#�BC� �],�j870"$#�/$  B�cd7l" �f"1�'���l#�% j¼/$  �J���+" �l,A��g�O��,�,�B��0%��@"1E4�4/$702$E421/$�+Bn�Wtv%^w � V �fy �9�9� � zQ� N4{ P!| R � {Q~4�k{QR4~Y�0�Qx | {Q~ P {v� 0 { � ·NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>o� �Wj0�+2�:���� % : �8; >D: � '0; �

� ; � :�� ���¯�U D�8BC#�"+�nt�6 � 6f��6 �X�JX� ¥ {QR V ~Y�8§²{v��x��4T�¤ 0-L >-(*70,��k� � >��O7D�M�o>k� �8j8�'2' � � % 'lZ0ZU>o: � � ;4�

� ; � ;Q� ���0�U  �0B�#&"+> L3� �²�EL]#�F8�'21/+>8�8% _��²���O_4,A�'B��8%b�D�±�+%l/$�8,,6*7��W�'"��U��tvqX¡ �¯�f��LX�+�o70"$/qf��g�:<; �4>�: � Z � �

� ; � �W�3�O� JX�W�U  �0% %47l%b�4��7lB�B�� %4#&.��8/1#�70%�qf 4�+70"$EO78cY�l�+.+"1�'.5E��lE42$/1�+B�2+� ��T�§S§ � z P �k�oT � � �¥ ��> (*70,��Y;"' >4� �8j8�'2 � � � % Z4: �4>o: � � � �� ; � �8�������U#�� 2$�+"+� � ��7lBC� ,A���U#�/°E­qf 4��7l"1�+/1#&. �X�D� "17l�8.! ­/$7#LX�0% _47lBC% �+2�2���tv% I��Wx��

¤ 0-L � zQ� N { P!| R � {W~Gx��UT¬�M�UT?{ V z {1� 0 { � NoR4x | ~l�8>D� �8j8�+2f�0�=N % �8� �4>o: � '0� �� ; � �Q�������l#��D21�'"��3y!~ox V {+�WR � x | {Q~­x°{nx��4TG�M�UT?{ V z {1� 0 { � NYR4x)�Wx | {W~D� 6�[ �;6@� m4,�#�2� 4#&%4j

��7lB�� �8%lE8>b: � � ZU�� ; �8� � L��U�l70,A7QFQ�<E3�8%D_�(��l�l/�"$�02$2$�+%b� �p¢o�021/���7l%l/1�5g1�@�8"$,�7�q��+2$/¯cd70" 6@"1#&B��W,�#A/°E0� � y�¤ L

¥ {WR V ~Y�W§@{Q~ 0 { � NoR4x | ~l�8>*(*78,9� � >k� �8j8�'2 'W� % ' �4>²: � Z0ZU���X_ _4�'% _ � B #&% � y�¤ L¥ {WR V ~Y�W§�{Q~ 0 { � NYR4x | ~U�W> (*70,���ZU> � �8j8��:8:(' >�: � Z ' �

� ; � Z<���C�k�l/$#�%D217l% �%4#AF0�+"�2$�8,�  �82� 4#&%4j��8% _H�8� /$ 4�'%0/$#�.+�W/$#A7l%�.�7U_ �+2+�¨´�T P!| �W~ P�¶I0 {'�8T P�W~Y� 0kV z NYx){�� V �?No� z >�(*78,9�4�D>D�D�Wj8�'2s� � � % �H'=N >o: � � �D�

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.

� ��� �A����������� � Z � �

� ; � 'W�������U� _D�8%b���O�'.574_4#&%4j^7Wc�L]���'_Ug1�l78,�70BC70%���74_4�+2XmD�+E870%D_a/� 4�3�'"$"$70"1g).�70"�"1�'.5/$#A7l%�s7l� % _b� ¥ {QR V �¯{1� 0 { � NY§ T�� | x z >o(*78,9�M:+� 6 :Q=?> � �8j8�'2�:7'=N % : � � >o: � � ZU�

� ; � � ������q�70B�� �¬�8% _H���-[H78,�,�> LX�8%D_470B �l��,AcSg(LX�+_ � .�#�m #A,�#A/°EH�8% _�eY�'"178g9h3% 7Qif,A�'_4j8�tv%l/$�+"��8.5/$#AF0� 6@"17U7Wc�2�7Wc�6*702�21�'2$2$#A7l%C7Wc-tv%Ucd7l"$B��8/1#�70%b��tv%±wH!8x���y �9�9�u� zQ� N4{ P?| R �{W~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {v� 0 { � NoR4x°T V�� � | T5~ � T�>D� �8j8�'2��4ZW; % �H'l;4>Y: � 'lZU�

� ;0Z NW�3���M(��8_  D�8%b���®�l/�� _4EG78cf�l/��W/$#�2$/1#&.��8,@eY�+"$7Wg)h3%47Qif,��+_4j0� 6�"$7U7Wc�2+� 6@ 4�»qf 4�'21#&2�>���+�D�8"$/$BC�+%l/f7Wc¯�±�W/� 4�+B��8/1#&.�2+>D��tvq�>b: � � � �

� ;0ZU:��3���M(��8_  D�8%b� ��%���7l% 21/�"$�D.5/1#&%4j �-74.+�W,�,AEH��7lB�� �4/$�0m4,���J��4/$"��8.�/170"�2��8% _��@"$EU�4g/$702$E421/$�+B�2@#�%¨/$ 4���s70� %D_4�+_¬�l/17l"$�8j8�O�±7U_ ��,9� 0¯V z Nox°{W§A{$� z T � V!| ~Dx¯¤ V � � | ¸<T�> L]�5g�o70"$/X;"NHN0;l¡U: � ;4>0;=N=Nl;4�

� ;0ZW;Q� ���¯(��8"�_4#�� �],�j87l"1#�/$ DB�#&.n��7lB��4,A���4#A/°E #&%���74_4#&%4j�qf 4�+70"$EH�0% _�/� 4�¬��#�% #�B�� %��#&21/�% �8.��#6�"$70m4,��+Bn� tv%¬wUKQx���¤ 0ML � zQ� N { P!| R � {Q~nx��UT^�M�UT?{ V z {v� 0 { � NYR4x | ~U�W>�D�Wj8�'2 � ; % :7NH' >o: � � ZU�

� ;0ZQ�W� �� (��¯(��'4�#&"��8%4#s�8% _�(�� (��¯(��'4+#�"��8%4#9�#J � .5#��+%l/C�0% _ �l�'.�� "$� 6@21�'� _478g(LX�0% _47lB��� B�mo�+" L �'%4�+"��W/$#A7l%b�²w �Qx��Cy �9�� � zQ� N4{ P?| R � {Q~ �k{QR4~��8�Qx | {Q~ P {1� 0 { � NYR4x)T V� � | T�~ � T�>D� �8j8�+2s���"' % � � � >o: � '8�D�

� ;0Z<�8�����k[H��jlB��8%��0% _��²�²�@�0"1/$�+"+� �X�+i»�O�02$ �¢o� % .�/1#�70% 2��0% _­/$  ��#&" �21�a#�% �X�Ug/� 4�+%l/$#�.+�W/1#�70%��0% _G�l�+/ J � � �8,A#�/°E8� ¥ {WR V ~Y�8§�{v� 0 { � NoR4x°T V �W~Y� � z P x°T � � � | T�~ � T5>(*70,��Y;8;4>b: � 'D:8>U� �Wj0�+2]; � � % ;0Z � �

� ;0Z��Q� ���*���¯[rE4%4�'"���qf 4�¬[r#&"1��g)qk�8���@  �8% % ��,9� �OT+§S§ � z P x°T � �oT � �l~ | � �W§ ¥ {QR V ~��W§ >(*70,����Q� 6 �O7D�4'l=!>D� �8j8�+2�:'� � � % :'�='lZ4> ��.�/��b: � Z�� �� ;0Z � � ��� �O� �²�W7o�²qf 4��7l"1Ea�8% _��X�D�4,A#&.��8/1#�70%n7Wc*qk"$�0�o_47U7l"s¢o� % .�/1#�70% 2+��tv% w � V �Cy �9��

� zQ� N { P!| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T�~ � T5>o� �Wj0�+2�'=N %�� :8>Y: � 'l;4�� ;0Z8Z<� ��� �O� �²�W7D�k�X7Qi¼/17 L �+%4�'"$�8/1���8% _!J�� .!  �0%4j8���l�+.+"1�+/$2+�¯tv%Gwo¹�x���y ��9� � zQ� N {Q·P!| R � {Q~ ��{WR4~Y�8�Wx | {W~ P {v� 0 { � NYR4x)T V�� � | T5~ � T5>Y� �Wj0�+2�: � ; % : � Z4>D: � ' � �

Extracted from a working draft of Goldreich’s FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY. See copyright notice.