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__EXPLICATIONS : CALCUL du MOMENT d’un vecteur « Force » par rapport à un point __ Définition mathématique du moment d’un vecteur force par rapport à un point

Exercice ( lire et comprendre les explications ) Attention : 1 carreau = 0,1 m On compte + le moment d’une force qui provoque une rotation autour de I dans le sens « TRIGO » 1) Calculer le moment en I de chaque force

c’est-à-dire de F→

, A→

, D→

, K→

, S→

et T→

2) Déduire le moment résultant en I de ces 6 forces Méthode pour calculer le moment en un point d’une force Indication : On peut utiliser la formule M F d= ± × ( en prenant le sens trigo comme sens positif ) avec d qui est la distance orthogonale (perpendiculaire) entre le point de pivot et la droite d'action (support) de la force

Exemple : Calcul de la distance d et du moment au point P d’une force F→

qui est appliquée en A :

M F d= ± × (le signe dépende si la force F→

provoque une rotation autour du pivot dans le sens désigné comme étant + )

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DANS CET EXERCICE, comme TOUTES LES FORCES sont dans le plan ( ),Ox Oy c.à.d. dans le plan ( O , i , j  )→ →

on « peut donc en déduire » que les différents vecteurs « MOMENT au point I de ces différentes forces »

sont TOUS colinéaires à l’axe Oz c’est-à-dire sont tous colinéaires au vecteur k i ^ j=→ → →

qui est le vecteur unitaire tel que ( O , i , j , k  )→ → →

est un repère orthonormé « direct » de 3¡ 1 ) Calculons le moment au point I de la force F

r

On a F 200 i→ →

= ⇔ les coordonnées du vecteur F→

dans i , j , k→ → →

sont 200

00

Le calcul de la valeur du moment de cette force par rapport au point I est négative ( car sens « inverse » )

I / FM F d 200 0,3 60= − × = − × = − ⇔ le vecteur I / FM 60 k→ →

= −

Remarque : Calcul du moment avec le produit vectoriel IM ^ F→ →

avec M le point d’application de la force F→

( )( )I / F

0 4 0,1 200 0, 4 200 0M IM ^ F 5 2 0,1 ^ 0 0,3 ^ 0 0

0 0 0 0 60

→ → → − × − = = − × = =

−

⇔ I / FM 60 k→ →

= −

2 ) Calculons le moment au point I de la force A→

On a A 600 i 400 j→ → →

= + ⇔ les coordonnées du vecteur A→

dans i , j , k→ → →

sont 600400

0

2.1 ) Le calcul de la valeur du moment au point I de la force A 600 ix→ →

= est positif

car cette force provoque une rotation autour du point I dans le sens TRIGO

donc on a : I / A xxM A d 600 0,2 120= × = × = ⇔ vecteur M 120 kI / Ax→ →

=

⇔ les coordonnées du vecteur M I / Ax→

dans i , j , k→ → →

sont 00

120

2.2 ) Le calcul de la valeur du moment au point I de la force A 400 jy =→ →

est négative

car cette force provoque une rotation autour du point I dans le sens contraire au ses TRIGO

donc on a : I / A yyM A d 400 0,4 160= − × = − × = − ⇔ vecteur M 160 kI / Ay→ →

= −

⇔ les coordonnées du vecteur M I / Ay→

dans i , j , k→ → →

sont 00160

−

CONCLUSION : Calcul du moment au point I de la force A→

c’est le vecteur de coordonnées 0 0 00 0 0

120 160 40

+ = − −

c’est-à-dire M 40 kI / A→ →

= −

Rq) On obtient le même résultat avec la formule M IP ^ AI / A→ → →

= avec P point d’application de la force A→

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3 ) Indications : pour le calcul du moment au point I de la force T→

Il est nécessaire de calculer les coordonnées de la force T→

dans i , j→ →

c’est-à-dire T 240 i 320 j→ → →

= − − d’où les 2 vecteurs T 240 i

T 320 j

x

y

= −

= −

→ →

→ →

Pour faire ce calcul il faut appliquer le théorème de Pythagore

2 24 3 16 9 25+ = + = et en utilisant l’échelle du dessin 25 5= représente T 0,4 KN 400 N→

= =

donc 3 représente 3 400 N 240 N5

× = et donc T 240 ix = −→ →

et donc 4 représente 4 400 N 320 N5

× = et donc T 320 jy = −→ →

Faisons une vérification de ces 2 calculs en utilisant de nouveau le théorème de Pythagore car on doit avoir :

( ) ( )2 2 2

2 2x yT T T 240 320 160 000→ → →

= + = − + − =

Comme T 0,4 KN 400 N→

= = et comme 2400 160 000= les calculs précédents semblent corrects…

DE PLUS on a : T se trouve à 6 carreaux de I d 0,1 6 0,6 m

T se trouve à 2 carreaux de I d 0,1 2 0, 2 m

x

y

=> = × =

=> = × =

→

→

Commentaire : Calcul du moment au point I de la force T→

On devrait obtenir M M M a kI / T I / T I / Tx y→ → → →

= + = avec a 0> car d’après le dessin la

force T→

fait tourner le système autour du point I dans le sens « TRIGO » ( c’est-à-dire dans le sens + ) … ETC … puis après avoir calculé les 6 vecteurs « MOMENT au point I » correspondant aux 6 forces il faut les « additionner »

Le « MOMENT TOTAL au point I des 6 forces » est colinéaire au vecteur k→

/

c’est-à-dire I / total I / F I / A I / T I / I / K I / DSM M M M M M M a k→ → → → → → → →

= + + + + + =

Le signe du nombre a permet de conclure :

1) si ce nombre est positif ALORS la résultante des forces fait tourner le système autour du point I dans le sens TRIGO 2) si ce nombre est négatif ALORS la résultante des forces fait tourner le système autour du point I dans le sens inverse ( sens horaire ) 3) si ce nombre est nul ALORS le système ne tourne pas autour du point I