Experimentos de Un Factor Uii t
description
Transcript of Experimentos de Un Factor Uii t
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
1.- En Design and Analysis of Experiments, 4ª. Edicion (John Wiley & Sons), D.C. Montgomery describe un
experimento en el que la resistencia a la tensión de una fibra sintética es de interés para el fabricante. Se piensa
que la resistencia se relaciona con el porcentaje de algodón de la fibra. Se usan cinco niveles del porcentaje de
algodón, y se hace cinco replicas en orden aleatorio, obteniendo los siguientes datos como resultado.
Porcentaje de algodón
Observaciones
1 2 3 4 5
15 7 7 15 11 9
20 12 17 12 18 18
25 14 18 18 19 19
30 19 25 22 19 23
35 7 10 11 15 11
a) ¿El porcentaje de algodón afecta la resistencia a la ruptura? Trace diagramas de caja comparativos y
haga un análisis de varianza. Use α= 0.05
b) Grafique la resistencia a la tensión promedio contra el porcentaje de algodón e interprete los
resultados.
c) Encuentre los residuales y examínelos en cuanto a la adecuación del modelo.
a)
Tabla.
Diagrama de cajas.
Porcentaje de algodón
Observaciones
Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 2 3 4 5
15 7 7 15 11 9 49 9.8 525 2401
20 12 17 12 18 18 77 15.4 1225 5929
25 14 18 18 19 19 88 17.6 1566 7744
30 19 25 22 19 23 108 21.6 2360 11664
35 7 10 11 15 11 54 10.8 616 2916
376 75.2 6292 30654
3530252015
25
20
15
10
5
Porcentaje de algodón
Re
sis
ten
cia
a la
te
nsió
n
Gráfica de caja
El 20% de algodón tiene
la mayor variabilidad en
sus datos.
En el porcentaje de 30%
se tiene la mediana que
representa la mayor
resistencia a la tensión.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = 0 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los
casos.
2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba.
Análisis de varianza
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=475.76 (a-1)=4 MSTra=118.94 Fo=14.76 P=0.001 Error SSE=161.20 a(n-1)=20 MSE=8.06 Total SST=636.96 an-1=24
5. Zona critica
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 6292−3762
25
𝑛𝑖
𝑗=1
= 636.96𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
30654
5−
3762
25475.76
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 636.96− 475.76 = 161.2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
2.87
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=4, df2=20
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
475.75
4= 118.9375
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
161.2
20= 8.06
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
118.9375
8.06= 14.75
𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 14.75 > 2.86 H0 se rechaza
7. Conclusión
Dado que H0 se rechazo se concluye que el porcentaje
de algodón que contenga la fibra sintética afecta la
resistencia ala ruptura de la fibra.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
b)
c)
Residuales
Porcentaje de algodón Residuales
15 -2.8 -2.8 5.2 1.2 -0.8
20 -3.4 1.6 -3.4 2.6 2.6
25 -3.6 0.4 0.4 1.4 1.4
30 -2.6 3.4 0.4 -2.6 1.4
35 -3.8 -0.8 0.2 4.2 0.2
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5
Re
sist
en
cia
pro
me
dio
Porcentaje de algodón.
Dado que la media de la media es
15.04, se observa que existe
variación de los datos respecto del
promedio de la resistencia y el
porcentaje del algodón.
La grafica nos muestra
que la resistencia a la
Tensión depende del
porcentaje de algodón,
además de que existe
variación considerable en
los porcentajes 15, 30 y
35 de acuerdo a su
respetiva media, el
porcentaje de algodón
más eficaz es de 25%. 3530252015
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
Porcentaje de algodon
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales de los Residuales
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
2-.En “Orthogonal Desin for Process Optimizationand its Application to Plasma Etching”(Solid State
Technology; mayo de 1987), G. Z.Yin y D. W Jillie describen un experimento para determinar el efecto de la
velocidad de flujo del C2F6 sobre la uniformidad delgrabado sobre una oblea de silicio utilizada en la
fabricación de circuitos integrado. En el experimento se emplean tres velocidades de flujo. A continuación se
presenta la uniformidad resultante (en porciento) para seis replicas.
Velocidad de flujo
Observaciones
1 2 3 4 5 6
125 2.7 4.6 2.6 3 3.2 3.8
160 4.9 4.6 5 4.2 3.6 4.2
200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1
a) ¿La velocidad de flujo del C2F6 afecta la uniformidad del grabado?. Construya diagramas de caja para
comparar los niveles del factor y efectué un análisis de varianza. Utilice α= 0.05.
b) ¿Los residuos indican algún problema con las suposiciones del análisis de varianza?
a)
. Tabla
Diagrama de cajas.
Velocidad de flujo
Observaciones
Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 2 3 4 5 6
125 2.7 4.6 2.6 3 3.2 3.8 19.9 3.31666667 68.89 396.01
160 4.9 4.6 5 4.2 3.6 4.2 26.5 4.41666667 118.41 702.25
200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1 23.6 3.93333333 96.2 556.96
70 11.6666667 283.5 1655.22
200160125
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
Velocidad de flujo de C2F6
Un
ifo
rmid
ad
de
gra
ba
do
qu
imic
o
Gráfica de caja
En la velocidad de flujo de
200 se tiene la mayor
variabilidad del grabado
químico.
En la velocidad de flujo de
160 se tiene la mediana que
representa la mayor
uniformidad del grabado.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente
3. .α = 0.05
4. Estadístico de prueba.
Análisis de varianza.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=3.648 (a-1)=2 MSTra=1.824 Fo=3.59 P=0.053 Error SSE=7.630 a(n-1)=15 MSE=0.509 Total SST=11.278 an-1=17
5. Zona critica
6.
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 6292−3762
25
𝑛𝑖
𝑗=1
= 636.96𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
30654
5−
3762
25475.76
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 636.96− 475.76 = 161.2
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
475.75
4= 118.9375
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
161.2
20= 8.06
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
118.9375
8.06= 14.75
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
X
De
nsid
ad
3.68
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=2, df2=15 𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 3.58 < 3.68 H0 se acepta
7. Conclusion.
Dado que Ho se acepta se concluye que la
velocidad del flujo de c2f6 no afecta la
uniformidad del grabado químico.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
b)
Residuales.
Velocidad de flujo Residuales
125 -0.61666667 1.28333333 -0.71666667 -0.31666667 -0.11666667 0.48333333
160 0.48333333 0.18333333 0.58333333 -0.21666667 -0.81666667 -0.21666667
200 0.66666667 -0.53333333 -1.03333333 -0.43333333 0.16666667 1.16666667
3.-.Se estudia la resistencia a la comprensión del concreto y se investigan cuatro técnicas de mezclado
diferentes. Se han obtenido los siguientes datos.
Técnicas de mezclado
Observaciones
1 2 3 4
1 3129 3000 2865 2890
2 3200 3300 2975 3150
3 2800 2900 2985 3050
4 2600 2700 2600 2765
a) Pruebe la hipótesis de que las técnicas de mezclado afectan la resistencia a la comprensión del
concreto. Use α= 0.05.
b) Encuentre el valor de p para el estadístico de f calculado en el inciso a).
c) Analice los residuales de este experimento.
El grafico nos muestra que
no existe variabilidad
considerable en cada
cantidad que representa la
velocidad de flujo respecto
a su respectiva media,
siendo en 160 donde existe
menor variabilidad. 200160125
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Velocidad de flujo de c2f6
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales de residuales
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
a)
Tabla.
Técnicas de
mezclado 1 2 3 4 Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 3129 3000 2865 2890 11884 2971 35350966 141229456
2 3200 3300 2975 3150 12625 3156.25 39903125 159390625
3 2800 2900 2985 3050 11735 2933.75 34462725 137710225
4 2600 2700 2600 2765 10665 2666.25 28455225 113742225
46909 11727.25 138172041 552072531
Diagrama de caja.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: Ti ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba.
4321
3300
3200
3100
3000
2900
2800
2700
2600
Tipo de mezclado
Re
sis
ten
cia
a la
co
mp
ren
sio
n P
si
Gráfica de caja
El grafico nos muestra que no
existe variabilidad considerable
en cada una de los tipos de
mezclado pero si en
comparación de los cuatro.
El tipo de mezclado 2 tiene la
mediana que representa la
mayor resistencia a la
comprensión.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Análisis de varianza.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=489740 (a-1)=3 MSTra=163247 Fo=12.7281 P=0.001 Error SSE=153908 a(n-1)=12 MSE=12826 Total SST=643648 an-1=15
5. Zona critica
C)
Residuales
1 2 3 4
1 158 29 -106 -81
2 43.75 143.75 -181.25 -6.25
3 -133.75 -33.75 51.25 116.25
4 -66.25 33.75 -66.25 98.75
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 138172041−469092
16
𝑛𝑖
𝑗=1
= 643648.43𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
55207253
4−
469092
16= 489740.18
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 643648.43− 489740.18 = 153908.25
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
489740.18
3= 163246.72
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
153908.25
12= 12825.68
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
163246.72
12825.68= 12.7281
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 0.001 < 0.05 Ho se rechaza
7. Conclusión
Dado que Ho se rechaza se concluye que el tipo
de mezclado afecta a la resistencia a la
comprensión.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
3.49
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=3, df2=12
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
El grafico nos muestra
que existe significancia en
los residuos de acuerdo a
la media de la resistencia
a la comprensión de cada
uno de los tipos de
mezclado.
4.-.Se realizo un experimento para determinar si cuatro temperaturas de cocción específicas afectan la
densidad de cierto tipo de tabique. El experimento llevó a los siguientes datos.
Temperatura °F
Observaciones
1 2 3 4 5 6 7
100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 21.5 21.8
125 21.7 21.4 21.5 21.5 0 0 0
150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 0 0
175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 0
a) ¿La temperatura de cocción afecta la densidad de los tabiques? Use α=0.05.
b) Encuentre el valor p, para el estadístico F calculado en el inciso a).
c) Analice los residuales de este experimento.
a)
Tabla
Temp. F° 1 2 3 4
5
6
7 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 21.5 21.8 152 21.7142857 3300.68 23104
125 21.7 21.4 21.5 21.5 0 0 0 86.1 21.525 1853.35 7413.21
150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 0 0 108.6 21.72 2358.9 11793.96
175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 0 130.5 21.75 2838.43 17030.25
477.2 86.7092857 10351.36 59341.42
4321
200
100
0
-100
-200
Tecnicas de mezclado
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales Residuales
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Diagrama de cajas.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=344.49 (a-1)=3 MSTra=114.8 Fo=1.47 P=0.248
Error SSE=1874.0 a(n-1)=24 MSE=78.1
Total SST=2218.5 an-1=27
175150125100
25
20
15
10
5
0
Temperatura F°
De
nsid
ad
Gráfica de caja
El grafico nos muestra que no se
encuentra una variabilidad
considerable en la temperatura 100
y 175, se observa que en las
temperatura 125 y 150 no existen
lecturas por lo cual la variación llega
hasta 0.
La temperatura 175 con tienen la
mediana que representa la mayor
densidad.
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 10351.36−477.22
28
𝑛𝑖
𝑗=1
= 2218.50𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
59341.42
7−
477.22
28= 344.49
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 2218.50− 344.49 = 1874.0
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
344.49
3= 114.83
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
1874.0
24= 78.08
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
114.83
78.08= 1.47
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
5. Zona critica.
d) Residuos
Residuos.
100 0.08571429 0.18571429 -0.01428571 -0.11428571 -0.01428571 -0.21428571 0.08571429
125 0.175 -0.125 -0.025 -0.025 -21.525 -21.525 -21.525
150 0.18 0.08 0.08 -0.12 -0.22 -21.72 -21.72
175 0.15 -0.05 0.05 -0.05 -0.15 0.05 -21.75
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
3.01
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=3, df2=24
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 → 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 0.248 > 0.05 Ho se acepta
7. Conclusión.
Dado que Ho se acepto se concluye que la temperatura no
afecta a la densidad del ladrillo. Esto se puede observar en
el diagrama de cajas donde las medianas no variaban
considerablemente.
El grafico nos muestra que la
temperatura 100 contiene
variabilidad mínima con respecto a
la media de densidad.
Las demás temperatura contiene
variación considerable y esto se
debe a los valores en 0 de las
observaciones.
175150125100
0
-5
-10
-15
-20
-25
Temperatura F°
Re
sid
uo
s
Gráfica de valores individuales de Residuos
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
5.-.Un ingeniero electrónico esta interesado en el efecto que tienen cinco tipos diferentes de recubrimiento de
un cinescopio, sobre la conductividad del mismo en un dispositivo de visualización de un sistema de
telecomunicaciones. Se obtuvieron los siguientes datos para la conductividad.
Tipo de recubrimiento
Observaciones
1 2 3 4
1 143 141 150 146
2 152 149 137 143
3 134 133 132 127
4 129 127 132 129
5 147 148 144 149 1. ¿Existe alguna diferencia en la conductividad debida al tipo de recubrimiento? Utilice α=0.01.
2. Analice los residuos de este experimento.
3. Construya un intervalo de 95% para la estimación de la media del recubrimiento del tipo 1.
Construya un intervalo del 99% para la estimación de las diferencias de las medias entre los
recubrimientos 1 y 4.
a)
Tabla.
Tipo de recubrimiento 1 2 3 4 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 143 141 150 146 580 145 84146 336400
2 152 149 137 143 581 145.25 84523 337561
3 134 133 132 127 526 131.5 69198 276676
4 129 127 132 129 517 129.25 66835 267289
5 147 148 144 149 588 147 86450 345744
2792 698 391152 1563670
Diagrama de cajas.
54321
155
150
145
140
135
130
Tipo de recubrimiento
Co
nd
ucti
vid
ad
Gráfica de caja
Con respecto a los tipos de
recubrimiento, se tiene que
existe variación considerable.
El tipo 2 tiene la mayor
variabilidad de sus valores.
El tipo 5 tiene la mediana que
representa la mayor
conductividad.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.01
4. Estadístico de prueba.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=1154.3 (a-1)=4 MSTra=288.6 Fo=18.46 P=0.001 Error SSE=234.5 a(n-1)=15 MSE=15.6 Total SST=1388.8 an-1=19
5. Zona critica
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 391152−27922
20
𝑛𝑖
𝑗=1
= 1388.8𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
1563670
4−
27922
20= 1154.3
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 1388.8− 1154.3 = 234.5
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
4.89
0.01
0
Gráfica de distribuciónF, df1=4, df2=15
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
1154.3
4= 288.57
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
234.57
15= 15.63
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
288.57
15.63= 18.46
𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
5. Regla de decisión.
Como 18.46 > 4.89 H0 se rechaza
6. Conclusión
El tipo de recubrimiento a la conductividad,
además de que existe diferencia en la
conductividad de cada tipo de recubrimiento.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
b)
Residuales
Residuales
1 -2 -4 5 1
2 6.75 3.75 -8.25 -2.25
3 2.5 1.5 0.5 -4.5
4 -0.25 -2.25 2.75 -0.25
5 0 1 -3 2
c)
Estimación.
TIPO 1
El grafico muestra que existe
variabilidad no considerable en
relación de los residuos con la
media que representa la
conductividad promedio de cada
tipo de recubrimiento.
𝑥 = 145
Datos
n = 4
s = 3.915
∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 4 – 1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-3.18
0.025
3.18
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=3
54321
5
0
-5
-10
Tipo de recubrimiento
Co
nd
ucti
vid
ad
Gráfica de valores individuales de residuales
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
El valor de la conductividad del cinescopio con el recubrimiento del tipo, se encuentra entre
138.7751 6y 151.2248.
TIPO 1 y 4.
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%
De
nsid
ad
138.7751
0.025
151.2248
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=3
𝑥 ± 𝑡 ∝
2 𝑆
𝑛
145 ± 3.18 3.915
4
145 ± 6.2248
• 145 + 6.2248 = 151.2248
• 145− 6.2248 = 138.7751
𝑥 = 129.25
Datos
𝑥 = 145
n1 = 4
s 1= 3.915
n2 = 4
s 2= 2.061
∝
2=
0.01
2= 0.005
99% α = 1 – 0.99 = 0.01 𝑥 = 129.25
n2 = 4
s 2= 2.061
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-3.71
0.005
3.71
0.005
0
Gráfica de distribuciónT, df=6
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 4 – 1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
99%De
nsid
ad
12.849
0.005
18.651
0.005
0
Gráfica de distribuciónT, df=6
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
6.-Se determino el tiempo de respuesta en milisegundos de tres tipos diferentes de circuitos de una
calculadora electrónica. Los resultados se muestran a continuación.
a) Usando α= 0.01 pruebe la hipótesis de que los tres tipos de circuitos tienen el mismo tiempo de respuesta.
b) Analice los residuales de este experimento.
c) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de respuesta del circuito tres.
a)
Tabla
Tipo de circuito
Observaciones
1 2 3 4 5
1 19 22 20 18 25
2 20 21 33 27 40
3 16 15 18 26 17
Tipo de circuito. 1 2 3 4 5 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 19 22 20 18 25 104 20.8 2194 10816
2 20 21 33 27 40 141 28.2 4259 19881
3 16 15 18 26 17 92 18.4 1770 8464
337 67.4 8223 39161
𝑆𝑝 = 𝑛1− 1 𝑆12 + (𝑛2− 1)𝑆22
𝑛1 + 𝑛2− 2= 𝑆𝑝 =
4 − 1 3.1952 + (4− 1)2.0612
4 + 4− 2= 3.128
𝑥1− 𝑥2 ± 𝑡 ∝
2 𝑆𝑝
1
𝑛1+
1
𝑛2 = 145− 129.25 ± 3.71 3.128
1
4+
1
4 = 18.651 𝑦 12.849
A un intervalo de 99%, la diferencia de las medias de la conductividad del recubrimiento 1 y 4 estará entre
12.849 y 18.651
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Grafica de cajas.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.01
4. Estadístico de prueba.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=260.93 (a-1)=2 MSTra=130.5 Fo=4.01 P=0.046 Error SSE=390.8 a(n-1)=12 MSE=32.6 Total SST=651.7 an-1=14
321
40
35
30
25
20
15
Tipo de circuito
Tie
mp
o d
e r
esp
ue
sta
Gráfica de caja
El grafico muestra que el
tiempo de respuesta al tipo
de circuito 2 contiene una
variación considerable.
Aunque tiene la mediana
más representable de
tiempo de respuesta.
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 8223−3372
15
𝑛𝑖
𝑗=1
= 651.73𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
39161
5−
3372
15= 260.93
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 651.73− 260.93 = 390.8
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
260.93
2= 130.5
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
390.93
12= 32.56
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
130.5
32.56= 4.007
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
5. Zona critica.
Residuales.
Residuales
1 -1.8 1.2 -0.8 -2.8 4.2
2 -8.2 -7.2 4.8 -1.2 11.8
3 -2.4 -3.4 -0.4 7.6 -1.4
321
10
5
0
-5
-10
Tipo de circuito
Tie
mp
o d
e r
esp
ue
sta
Gráfica de valores individuales de residuales
El grafico nos muestra que los datos
que representan el tiempo de
respuesta del tipo de circuito 1 y 3
no muestran mucha variabilidad
respecto a la media de cada tipo,
contrario del tipo de circuito 2,
donde si hay variabilidad
considerable.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
X
De
nsid
ad
6.93
0.01
0
Gráfica de distribuciónF, df1=2, df2=12
𝑆𝑖 𝐹0 > 𝑓𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 4.01 < 6.93 H0 se acepta
7. Conclusión
Los tiempos de respuesta de los tres tipos de
circuitos de la calculadora son similares, es
decir la variabilidad que tienen no es
considerable.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Estimación.
TIPO DE CIRCUITO 3
A un intervalo de 95% la media del tiempo de respuesta del tipo de circuito 3 estará entre
12.9422 y 23.8578.
𝑥 = 18.4
Datos
n = 5
s = 4.39
∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 5 – 1 = 4
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-2.78
0.025
2.78
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=4
𝑥 ± 𝑡 ∝
2 𝑆
𝑛
18.4 ± 2.78 4.39
5
18.4 ± 5.4578
• 18.4 + 5.4578 = 23.8578
• 18.4− 5.4578 = 12.9422
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%
De
nsid
ad
0.025
23.8578
0.025
012.9422
Gráfica de distribuciónT, df=4
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
7.-En un articulo de ACI (Vol. 84, pp,213-216) Materials Journal se describen varios experimentos para
investigar el varillado del concreto con una varilla, a fin de liberar el aire atrapado. Se utilizo un cilindro de 3
x 6pulgadas, y el número de veces que se usó esta varilla es la variable de diseño. La resistencia a la
comprensión resultante del ejemplar de prueba de concreto es la variable de respuesta. Los datos se muestran
en la siguiente tabla.
Nivel de varillado
Observaciones
1 2 3
10 1530 1530 1440
15 1610 1650 1500
20 1560 1730 1530
25 1500 1490 1510
a) ¿Hay alguna diferencia en la resistencia a la comprensión debida al nivel de varillado?
b) Encuentre el valor p para el estadístico F del inciso a).
c) Analice los residuales para este experimento. ¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca de los
supuestos fundamentales de los modelos?
a)
Tabla.
Nivel de varillado 1 2 3 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
10 1530 1530 1440 4500 1500 6755400 20250000
15 1610 1650 1500 4760 1586.66667 7564600 22657600
20 1560 1730 1530 4820 1606.66667 7767400 23232400
25 1500 1490 1510 4500 1500 6750200 20250000
18580 6193.33333 28837600 86390000
Diagrama de cajas.
25201510
1750
1700
1650
1600
1550
1500
1450
1400
Nivel de varillado
Re
sis
ten
cia
a la
co
mp
ren
sio
n
Gráfica de caja
El grafico muestra que el nivel de
varillado 20 tiene variación
considerable en sus datos, al
igual que el nivel 15.
El nivel 25 es el que menor
variación en sus datos tiene.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=28633.33 (a-1)=3 MSTra=9544.44 Fo=1.865 P=0.214
Error SSE=40933.32 a(n-1)=8 MSE=5116.66
Total SST=69566.66 an-1=11
5. Zona critica.
Residuos.
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 28837600−185802
12
𝑛𝑖
𝑗=1
= 69566.66𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
86390000
3−
185802
12= 28633.33
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 69566.66− 28633.33 = 40933.32
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
28633.33
3= 9544.44
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
40933.32
8= 5116.66
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
9544.44
5116.66= 1.865
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
4.07
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=3, df2=8
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 0.214 > 0.05 Ho se acepta
7. Conclusión.
No existe diferencia entre los valores que
representan la resistencia a la comprensión
entre los tipos de varillado.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
c) Residuales
Residuos
10 30 30 -60
15 23.3333333 63.3333333 -86.6666667
20 -46.6666667 123.333333 -76.6666667
25 0 -10 10
8.-En un articulo de Environment International (Vol. 18, n° 4) se describe un experimento en el que se
investigó la calidad del radón liberado en las duchas. Se uso agua enriquecida con radón, y se probaron seis
diámetros diferentes de los orificios de las regaderas. Los datos del experimento se presentan en la siguiente
tabla.
a) ¿El tamaño de los orificios afecta el porcentaje promedio de radón liberado? Use α = 0.05.
b) Encuentre el valor p, para el estadístico F del inciso a).
c) Analice los residuales de este experimento.
d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para el porcentaje promedio de radón liberado cuando el
diámetro de los orificios es 1.40
25201510
150
100
50
0
-50
-100
Nivel de varillado
resid
ua
les
Gráfica de valores individuales de residuos
Tamaño de los orificios
Observaciones
1 2 3 4
0.37 80 83 83 85
0.51 75 75 79 79
0.71 74 73 76 77
1.02 67 72 74 74
1.4 62 62 67 69
1.99 60 61 64 66
El grafico de residuos nos
muestra que el nivel de
varillado 10 y 25 no tiene
variabilidad considerable
respecto a la media de su
resistencia a la
comprensión, a diferencia
del nivel de varillado 15 y
20.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Tabla
1 2 3 4 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
0.37 80 83 83 85 331 82.75 27403 109561
0.51 75 75 79 79 308 77 23732 94864
0.71 74 73 76 77 300 75 22510 90000
1.02 67 72 74 74 287 71.75 20625 82369
1.4 62 62 67 69 260 65 16938 67600
1.99 60 61 64 66 251 62.75 15773 63001
1737 434.25 126981 507395
Diagrama de caja.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=1133.37 (a-1)=5 MSTra=226.68 Fo=30.85 P=0.001
Error SSE=132.24 a(n-1)=18 MSE=7.35
Total SST=1265.62 an-1=23
1.991.401.020.710.510.37
85
80
75
70
65
60
Diametro de los orificios.
Ra
do
n lib
era
do
(%
)
Gráfica de caja
El grafico nos muestra que
entre mayor es el diámetro del
orificio de la regadera menor
será el porcentaje de radón
liberado.
Siendo el diámetro de 0.37 en
el que se libera el mayor
porcentaje de radón, y el
diámetro de 1.99 el que menor
porcentaje de radón libera.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
5. Zona critica
c)
Residuales.
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
2.77
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=5, df2=18
Residuales
0.37 -2.75 0.25 0.25 2.25
0.51 -2 -2 2 2
0.71 -1 -2 1 2
1.02 -4.75 0.25 2.25 2.25
1.40 -3 -3 2 4
1.99 -2.75 -1.75 1.25 3.25
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 126981−17372
24
𝑛𝑖
𝑗=1
= 1265.62𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
507395
4−
17372
24= 1133.37
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 1265.62− 1133.37 = 132.24
El grafico muestra que en los diámetros
1.02, 1.40 y 1.99, se tiene variación
considerable respecto de su media.
Por otro lado los diámetros 0.37, 0.51 y
0.71 tienen menor variación con respecto a
su media.
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
1133.37
5= 226.68
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
132.24
18= 7.35
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
226.68
7.35= 30.85
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼
→ 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 0.001 < 0.05 Ho se rechaza
7. Conclusión.
Dado que Ho Se rechazo se concluye el tamaño
de los orificios de la regadera afecta el
porcentaje promedio de radón liberado.
1.991.401.020.710.510.37
5.0
2.5
0.0
-2.5
-5.0
Diametro de orificios.
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales de residuos
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
d)
Estimación.
DIAMETRO 1.40
A un intervalo de confianza de 95%, el promedio del porcentaje de radón liberado por la regadera
con 1.40 de diámetro estará entre 59.3555 y 70.6445.
𝑥 = 65
Datos
n = 4
s = 3.55
∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 4– 1 = 3
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-3.18
0.025
3.18
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=3
𝑥 ± 𝑡 ∝
2 𝑆
𝑛
65 ± 3.18 3.55
4
65 ± 5.6445
• 65 + 5.6445 = 70.6445
• 65− 5.6445 = 59.3555
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%
De
nsid
ad
0.025 0.025
0 70.644559.3555
Gráfica de distribuciónT, df=3
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
9.-.En un artículo de Journal of the Association of Asphalt Paving Technologist (Vol. 59) se describe un
experimento para determinar el efecto de los vacios de aire sobre la resistencia porcentual conservada del
asfalto. Para los fines del experimento, los vacios de aire se controlan en tres niveles; bajo (2-4%), medio (4-
6%) y alto (6-8%). Los datos se presentan en la siguiente tabla.
a) ¿Los Diferentes niveles de los vacios de aire afectan de manera significativa la resistencia
conservada promedio?. Use α = 0.01.
b) Encuentre el valor p para el estadístico F del inciso a).
c) Analice los residuales de este experimento.
d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la resistencia conservada promedio cuando hay un
nivel alto de vacios de aire.
e) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de la resistencia conservada
promedio en los niveles bajo y alto de vacios de aire.
a) .
Tabla.
Diagrama de cajas.
Nivel de vacio de aire
Observaciones
1 2 3 4 5 6 7 8
Bajo 106 90 103 90 79 88 92 95
Medio 80 69 94 91 70 83 87 83
Alto 78 80 62 69 76 85 69 85
Nivel de
vacio de aire
Observaciones
Totales Promedio 𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 2 3 4 5 6 7 8
Bajo 106 90 103 90 79 88 92 95 743 92.875 69519 552049
Medio 80 69 94 91 70 83 87 83 657 82.125 54525 431649
Alto 78 80 62 69 76 85 69 85 604 75.5 46076 364816
2004 250.5 170120 1348514
El grafico nos muestra que no existe
variación contundente en relación con
los datos de cada caja.
El nivel Bajo es el que contiene la
mediana que representa el mayor
porcentaje de resistencia conservada. MedioBajoAlto
110
100
90
80
70
60
Nivel de vacio de aire
Re
sis
ten
cia
co
nse
rva
da
(%
)
Gráfica de caja
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.01
4. Estadístico de prueba.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=1230.3 (a-1)=2 MSTra=615.1 Fo=8.30 P=0.002
Error SSE=1555.7 a(n-1)=21 MSE=74.1
Total SST=2786 an-1=23
5. Zona critica.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
X
De
nsid
ad
5.78
0.01
0
Gráfica de distribuciónF, df1=2, df2=21
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 170120−20042
24
𝑛𝑖
𝑗=1
= 2786𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
1348514
8−
20042
24= 1230.25
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 2786− 1230.25 = 1555.75
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
1230.25
2= 615.12
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
1555.75
21= 74.1
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
615.1
74.1= 8.30
6. Regla de decisión.
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 →
𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
Como 0.002 < 0.05 Ho se rechaza
7. Conclusión.
Dado que Ho se rechaza, se concluye los
diferentes niveles de los vacios de aire
afectan de manera significativa la resistencia
conservada promedio.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
c)
Residuales.
Residuales
Bajo 13.125 -2.875 10.125 -2.875 -13.875 -4.875 -0.875 2.125
Medio -2.125 -13.125 11.875 8.875 -12.125 0.875 4.875 0.875
Alto 2.5 4.5 -13.5 -6.5 0.5 9.5 -6.5 9.5
d). Estimacion
NIVEL ALTO.
MedioBajoAlto
10
5
0
-5
-10
-15
Nivel del vacio de aire
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales de residuos
El grafico muestra que existen
variaciones en los tres niveles de vacio
de aire respecto a su media.
𝑥 = 75.5
Datos
n = 8
s = 8.22
∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05 0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-2.36
0.025
2.36
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=7
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 8 – 1
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
A un intervalo de confianza de 95% la resistencia conservada promedio cuando hay un nivel alto de
vacio de aire se encuentra entre 68.6414 y 82.3586.
e)
NIVEL BAJO Y ALTO.
𝑥 ± 𝑡 ∝
2 𝑆
𝑛
75.5 ± 2.36 8.22
8
75.5 ± 6.8586
• 75.5 + 6.8586 = 82.3586
• 75.5− 6.8586 = 68.6414
𝑥2 = 75.5
Datos
n 2= 8
s2= 8.22
𝑥1 = 92.875
n 1= 8
s 1= 8.55 ∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 8 – 1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-2.36
0.025
2.36
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=7
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%De
nsid
ad
68.6414
0.025
82.3586
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=7
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%De
nsid
ad
7.4789
0.025 0.025
0 27.2711
Gráfica de distribuciónT, df=7
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
10.- Un articulo de Materials Research Bulletin (Vol. 26 n°11) investigo cuatro métodos diferentes para
preparar el compuesto superconductor PbMo6S8. Los autores sostienen que la presencia de oxigeno durante el
proceso de preparación afecta la temperatura de transición de superconducción Tc del material. Los métodos
de preparación 1 y 2 usan técnicas que están diseñas para eliminar la presencia de oxigeno, mientras que los
métodos 3 y 4 permiten la presencia de oxigeno. Se hicieron cinco observaciones de Tc en °K para cada
método, y los resultados son los siguientes.
a) ¿Hay evidencia que apoye la afirmación de que la presencia de oxigeno durante la preparación afecta
la temperatura de transición media?. Use α= 0.05.
b) ¿Cuál es el valor P para el estadístico F del inciso a)?
c) Analice los residuos de este experimento.
d) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para Tc media cuando se usa el método 1 para preparar
el material.
Métodos de preparacion
Observaciones
1 2 3 4 5
1 14.8 14.8 14.7 14.8 14.9
2 14.6 15 14.9 14.8 14.7
3 12.7 11.6 12.4 12.7 12.1
4 14.2 14.4 14.4 12.2 11.7
𝑆𝑝 = 𝑛1− 1 𝑆12 + (𝑛2− 1)𝑆22
𝑛1 + 𝑛2− 2= 𝑆𝑝 =
8− 1 8.552 + (8 − 1)8.222
8 + 8− 2= 8.3866
𝑥1− 𝑥2 ± 𝑡 ∝
2 𝑆𝑝
1
𝑛1+
1
𝑛2 = 92.875− 75.5 ± 2.36 8.3866
1
8+
1
8
= 17.375 ± 9.8961
17.375 + 9.8961 = 27.2711
17.375− 9.8961 = 7.4789
A un intervalo de 99%, la diferencia de las medias de la resistencia conservada del nivel bajo y alto estará entre
7.4789 y 27.2711.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
a)
Tabla.
Método de preparación 1 2 3 4 5 Totales Promedio
𝑦𝑖𝑗2
𝑛𝑖
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
𝑦𝑖2
𝑎
𝑖=1
1 14.8 14.8 14.7 14.8 14.9 74 14.8 1095.22 5476
2 14.6 15 14.9 14.8 14.7 74 14.8 1095.3 5476
3 12.7 11.6 12.4 12.7 12.1 61.5 12.3 757.31 3782.25
4 14.2 14.4 14.4 12.2 11.7 66.9 13.38 902.09 4475.61
276.4 55.28 3849.92 19209.86
Diagrama de cajas.
Prueba de hipótesis.
1. Ho: T1 = T2 = T3 = T4 Los efectos de los tratamientos son iguales para todos los
casos.
2. Ha: T1 ≠ 0 Al menos un efecto de algún tratamiento es diferente.
3. α = 0.05
4. Estadístico de prueba.
4321
15.0
14.5
14.0
13.5
13.0
12.5
12.0
11.5
Metodo de preparacion
Te
mp
era
tura
de
tra
nsic
ion
Gráfica de caja El grafico nos muestra que los
métodos 1 y no tiene variación
en cuanto a sus datos y en
común. A diferencia de los
métodos 3 y 4, donde existe
variación de sus datos tanto en
singular como en conjunto
ambos.
Esto nos dice qué e la presencia
de oxigeno en el proceso afecta a
la variación de la temperatura.
Donde los métodos 3 y 4
permiten la presencia de
oxigeno.
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
Fuente de variación
Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados medios
Fo Valor P
Tratamiento SSTra=22.124 (a-1)=3 MSTra=7.375 Fo=14.85 P=0.001
Error SSE=7.948 a(n-1)=16 MSE=0.497
Total SST=30.072 an-1=19
5. Zona critica.
b) Residuales.
Modo de preparación Residuales
1 0 0 -0.1 0 0.1
2 -0.2 0.2 0.1 0 -0.1
3 0.4 -0.7 0.1 0.4 -0.2
4 0.82 1.02 1.02 -1.18 -1.68
𝑆𝑆𝑇 = 𝑦𝑖𝑗2− = 3849.92−276.42
20
𝑛𝑖
𝑗=1
= 30.072𝑎
𝑖=1
𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑦𝑖2
𝑛
𝑎
𝑖=1
−𝑦𝑖𝑗2
𝑁=
19209.86
5−
276.42
20= 22.124
𝑆𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝑇 − 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎 = 30.072− 22.124 = 7.948
𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎 = 𝑆𝑆𝑇𝑟𝑎
(𝑎 − 1)=
22.124
3= 7.404
𝑀𝑆𝐸 = 𝑆𝑆𝐸
𝑎(𝑛 − 1)=
7.948
16= 0.496
𝐹𝑜 = 𝑀𝑆𝑇𝑟𝑎
𝑀𝑆𝐸=
7.404
0.496= 14.90
𝑆𝑖 𝑃 < 𝛼 → 𝐻0 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎
6. Regla de decisión.
Como 0.001 < 0.05 Ho se rechaza
7. Conclusión.
Dado que Ho se rechaza, se concluye que la presencia
de oxigeno durante la preparación del compuesto
afecta significativamente la temperatura de transición
media. .
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
3.24
0.05
0
Gráfica de distribuciónF, df1=3, df2=16
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
d) Estimación.
METODO 1.
4321
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Metodo de preparacion.
Re
sid
ua
les
Gráfica de valores individuales de residuos.
El grafico nos muestra que la variación
de los valores del método 1 y 2 no
contienen variación significante con
respecto a la media de la temperatura
de cada método. Contrario al método 3
y 4, que si tienen variaciones, esto
respalda los supuestos de la prueba de
hipótesis aceptados.
𝑥 = 14.8
Datos
n = 5
s = 0.070
∝
2=
0.05
2= 0.025
95% α = 1 – 0.95 = 0.05
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
De
nsid
ad
-2.78
0.025
2.78
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=4
Grados de libertad.
V = n – 1
V = 5 – 1
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas
Av. Melchor Ocampo # 2555, Col. Cuarto Sector, C.P. 60950, Cd. Lázaro
Cárdenas, Michoacán,
Teléfono (753) 53 7 19 77, 53 2 10 40, 53 7 53 91, 53 7 53 92 Dirección Ext.
101
e-mail: [email protected] Internet: www.itlac.mx.
A un intervalo de confianza de 95% la temperatura de transición promedio del método de
preparación 1 estará entre 14.713 y 14.887.
𝑥 ± 𝑡 ∝
2 𝑆
𝑛
14.8 ± 2.78 0.070
5
14.8 ± 0.087
• 14.8− 0.087 = 14.713
• 14.8 + 0.087 = 14.887
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
95%
De
nsid
ad
14.713
0.025
14.887
0.025
0
Gráfica de distribuciónT, df=4