Experimentele mechanika : de modale analyse

van Heck, J.G.A.M.

Gepubliceerd: 01/01/1981

Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

Citation for published version (APA):van Heck, J. G. A. M. (1981). Experimentele mechanika : de modale analyse. (DCT rapporten; Vol. 1981.019).Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 17. Apr. 2018

D E M O D A L E A N A L Y S E

E x p e r i m e n t e l e m e c h a n i k a

na j a a r 1,981

WE 81-19

J o s v a n Heck

... __c_

I N H O U D

I N L E I D I N @ ...................................................... 4

KLASSIEKE BESCHRIJVING V A N EEN DYNAMISCH MODEL ................. 8

DE MODALE ANALYSE. THEORIE EN MEETPRQCEDUWE .................. . I 2 3.1 I n l e i d i n g ................................................. 12 3.2 B e s c h r i j v i n g van een rekenmodel i n h e t LAPLACE-domein ..... I 2 3 . 3 B e s c h r i j v i n g van h e t rekenmodel i n h e t f r e q u e n t i e - d o . e i n .. 1 8

3.3.1 Qngedempte systemen ................................... 3.3.2 P r o p o r t i o n e l e demping ............................... .4

3 . 4 Het meten van de f r e q u e n t i e - r e s p o n s ...................... .42

3 . 4 . 2 A l i a s i n o - f o u t b r o n n e n ................................ 4. 3 . 4 . 1 Ana loog-di g i t aa l o m z e t t i n g .......................... 42

3.4-3 A f r o n d i n g s f o u t e n i n de A D C ................... = . . . . . . 4 4 3 .4 .4 S ignaal - lek ....................................... . . 4 . 3.4.5 F o u t e n d i e o n t s t a a n door h e t random gedrag .......... 50

3.4.5.1 L i n e a i r Spek t r u m S x ( f l p S y(f 1 .............. -51 3 .4 .5 .2 Auto-poldger Spektrum G y x ( f ) . G Y y ( f l m ........ -51 3 . 4 . 5 . 3 Cross-Power Spektrum ....................... =52

3 . 4 . 6 E x c i t a t i e - t e c h n i e k e n ................................ 56 3.4.6.1 pseudo fan$om ............................... 56

3.4.6.4 P e r i o d i e k Random ............................ 57

3.4 .5 .4 K o h e r e n t i e - f u n k t i e du'x(f) ................... 53 3 . 4 - 5 . 5 De F r e q u e n t i e - r e s p o n s ...................... .54

3.4.6.2 P e r i o d i c c h i r p s ........................... . .57 3.4.6.3 Buur Random ....................... . . . . . . . . . . 5 7

3.4.6.5 Impact e x c i t a t i e ............ . . . . . . . . . . . . . . . ~ 5 7 3.4.7 Het meten van een f r e q u e n t i e - r e s p o n s ................ 58

3 .5 Het berekenen van de modale p a r a m e t e r s .................... 58 3.5.1 Q u a d r a t u r e - f i t ...................................... 5. 3 .5 .2 C i r c l e - f i t .......................................... .0 3.5.3 V o l l e d i g e f i t .........................................

3.5.3.1 Curve f i t i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n .......... 60 3.5.3.2 C u r v e - f i t i n h e t t i jddomein (Rergeay,1980) .. 61 3.5.3.3 C u r v e - f i t i n h e t t i j d - e n f requent ie-domein.62

MAAP PROGRAMMA ................................................ 63

.. . LITERATUUR ......................................................

- 3-

s y m b o l e n l i j s t

CA,] r e s i d u m a t r i x b i j p o o l pK B,,.,,,, M a x i ma l e b a n d b r e e d t e CCI D e m p i n g s m a t r i x

E E n e r g i e f f r e q u e n t i e A f O p l o s s e n d vermogen i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n C f 3 K r a c h t - k o l o m - m a t r i x G,, ( f l , G y y ( f 1 Auto-power S p e k t r u m G , ( f1 C r o s s - p o w e r S p e k t r u m C H ( p ) l T r a n s f e r - f u n k t i e m a t r i x H i j ( p 1 T r a n s f e r - f u n k t i e H ( f 1 F r e q u e n t i e - r e s p o n s H i j ( W 1 F r e q u e n t i e r e s p o n s h i j ( t 1 Impu 1 s - r e s p o n s IC11 j V e k t o r t e r L e n g t e 1 l a n g s i m a g i n a i r e a s C K I CMI Macsamat r i x m R e s i d u e l e massa P O n a f h a n k e l i j k e v a r i a b e l e i n L a p l a c e - d o m e i n P K P o o l n r . k i n h e t L a p l a c e d o m e i n S , ( f ) , S , ( f > L i n e a i r S p e k t r u m S!! R e s i d u e l e f l e x i b i l i t e i t iJ m e e t t i j d t t i j d A t t i j d t u s s e n b e m o n s t e r i n g e n Cx3 v e r p l a a t c i n g s - k o l o m - m a t r i x

&) d i r a c - f u n k t i e w h o e k s n e l h e i d

Qdk g e d e m p t e n a t u u r l i j k e e i g e n f r e q u e n t i e k%f e i g e n t r i L l i n g c v o r m b i j p o o l p K

ffk d e m p i n g c v e r h o u d i n g b i j p o o e p K

I d e n t i t e i t s-mat r i x

S t i j f h e i dsmat r i x

(f) k oh e r e n t i e -f u nk t i e

o n g e d e m p t e n a t u u r i i j k e e i g e n f r e q u e n t i e

c. . I C H z l CNs/ m]

C N m l CHzl CHzl CNI c. .I c. .I e. . I c. . I c. . I c. - 1 c. . I c-I c-I C N / m l Ck g1 Ck g l cc” 1 cc-’ 1 c. . I C m / N l cs 1 cs 1 cs 1 Cm 1 c-7 c. .I C l L S 3 cs-‘ 1 c. .I c-I

r- -1

- 4-

1 INLEIDING.

E e n g r o t e k l a s s e v a n p r o b l e m e n i n de w e r k t u i g b o u w w o r d t gevormd d o o r h e t a l d a n n i e t o p t r e d e n v a n t r i l l i n g e n . S i n d s l a n g e t i j d i s e e n b e k e n d e s t r a t e g i e op t r i l l i n g s p r o b l e m e n a a n t e p a k k e n h e t g e b r u i k v a n de zogenaamde "modale a n a l y s e " , w a a r o n d e r men h e t o p s p o r e n v a n e i g e n f r e q u e n t i e s en b i j b e h o r e n d e d e m p i n g e n e n t r i l l i n g s v o r m e n v e r s t o n d . De l a a t s t e t i j d w o r d t de naam "modale a n a l y s e " v r i j w e l u i t s l u i t e n d g e b r u i k t om e e n e x p e r i m e n t e l e t e c h n i e k a a n t e d u i d e n w a a r b i j o . a . g e b r u i k gemaakt w o r d t v a n d i g i t a l e a n a l y z e r s en k o m p u t e r s .

De k l a s s e v a n p r o b l e m e n w a a r i n modale a n a l y s e i n z i c h t k a n k r e n g e n k a n g e k e n s c h e t s t worden met: - I s m i j n b e r e k e n i n g s m e t h o d e op b a s i s v a n de e l e m e n t e n m e t h o d e w e l

- Z i j n e r zwakke p l e k k e n i n d e z e k e n s t r u k t i e a a n t e w i j z e n ? - Z i j n e r b e p a a l d e p r o b l e m e n m i s s c h i e n h e t g e v o l g v a n o n g u n s t i g e

- O p w e l k e p l a a t s e n i n de k o n s t r u k t i e k a n i k h e t b e s t e b e g i n n e n

j u i s t ?

d y n a m i s c h e e i g e n s c h a p p e n ?

met l a w a a i b e s t r i j d i n g ?

V o o r d a t we b e g i n n e n met de t h e o r i e v a n de m o d a l e a n a l y s e t e b e h a n d e l e n z u l l e n we e e r s t de m e e t p r o c e d u r e z e e r summier b e k i j k e n om e e n i n d r u k t e g e v e n v a n h e t h e l e p r o c e s . We g a a n a l s v o l g t t e w e r k : - V e r d e e l de s t r u k t u u r i n e e n a a n t a l d i s k r e t e p u n t e n .

I

-Meet e e n k o l o m v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s m a t r i x . D . W . Z . E e n p u n t e x c i t e r e n en v a n a l l e a n d e r e p u n t e n de v e r p l a a t s i n g , s n e l h e i d o f v e r s n e l l i n g r e g i s t r e r e n o f de r e s p o n s i n e e n p u n t r e g i s t r e r e n en a l l e a n d e r e p u n t e n a c h t e r e e n v o l g e n s e x c i t e r e n .

- B e p a a l u i t de m e t i n g e n de e i g e n f r e q u e n t i e s , d e m p i n g e n e n e i g e n t r i l l i n g s v o r m e n ( r e k e n p r o g r a m m a )

-Geef u i t g e b r e i d e u i t v o e r m o g e l i j k h e d e n , b . v . p l o t s , t a b e l l e n , g e a n i m e e r d e b e e l d e n .

- 5-

- 6-

Frekwer i t i e : 947117

- 7 -

- 8-

2 K L A S S I E K E BESCHRIJVING V A N EEN DYNAMISCH MODEL.

We b e s c h o u w e n e e n ongedempt s y s t e e m met b e w e g i n g s v e g e l i j k i n g e n :

C # l € X < t > > + CKlCx ( t ) I = C f ( t>I (2.1

A a n s t o t e n met e e n h a r m o n i s c h e f u n k t i e L e v e r t i n de s t e a d y s t a t e :

C - d C M 1 + C K I I C X I = C F I ( 2 . 2 1

M e t :

€ f ( t > I = C P 3 . e x p ( j . C L ) . t ) C x ( t 1 3 = € X 3 . e x p ( j . W . t )

O p l o s s e n v a n h e t homogene d e e l L e v e r t a l l e e n i n t e r e s s a n t e o p l o s s i n g e n b i j d e e i g e n w a a r d e n :

C C K I - ’ C M l - ~ 2 C I l l C X > = €0) ( 2 . 3 ) 1

Deze e i g e n w a a r d e n worden met de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g b e r e k e n d :

d e t ( C C K l - ’ C M 3 - G‘CI71) = O ( 2 . 4 ) i

D i t g e e f t een a a n t a l e i g e n w a a r d e n ( k = l , . . , n 9 met b i j b e h o r e n d e e i g e n v e k t o r e n áw~ I= De e i g e n v e k t o r e n z i j n op e e n k o n s t a n t e f ak t o r n a b e p a a I d . De e i genvek t o r e n (ook e i g e n t r i L l i n g s v o r m e n , modes genoemd) worden o p g e b o r g e n i n e e n m a t r i x :

cy3 = [Cur , I C 7v;I.. . c l y n > 3

A is we d e eigenwaarde r- riet G i j b e h s r e n d e e i genven t o r t e r u g s u b s t i t u e r e n i n ( 2 . 2 ) k r i j g e n we:

- W ~ C l i l C ~ > 9 C K l C ~ , l = €03 T

V o o r v e r m e n i gvu l d i gen met C I g e e f t :

( 2 . 5 )

A l s we h e t L i n k e r e n h e t r e c h t e r l i d t r a n s p o n e n e r e n ( s c a l a r s ! ) d a n k r i j g e n we, g e b r u i k m a k e n d v a n de s y m m e t r i e i n Clv13 e n C K 3 :

We s c h r i j v e n ( 2 . 5 ) n o g e e n s op v o o r mode s en v e r m e n i g v u l d i g e n v o o r met c y T , f :

-d:C ~ , - 3 C M l € ~ s I + C’l&23CKl€?& 3 = O T

(2 .81

A l s we (2.71 e n ( 2 . 8 ) v a n e l k a a r a f t r e k k e n k r i j g e n we: z T

( W, - W ~ ) C T ~ ~ C M I C Y ~ 3 = O

A l s Ld,#lJ3, v o l g t h i e r u i t met (2.7):

- 9-

r = s (2.91

7- T A l s r=s dan z i j n de s c a l a r s C?lr73CM7Cvs3 e n C v r > C K l C Y T j 3 n i e t g e l i j k a a n n u L , maar e e n p o s i t i e f g e t a l :

de m o d a l e i n e r t i a (2.101

de m o d a l e s t i j f h e i d

C y K > w o r d t z o g e s c h a a l d d a t mk=l; we s p r e k e n d a n van de genorma L i s e e r d e modevorm.

Met d e z e o r t h o g o n a l i t e i t s e i g e n s c h a p p e n k u n n e n bewegi n g s v e r g e li j k i n g e n a Ls vo l g t o n t k o p p e l e n :

we de

Me b e s c h o u w e n e l k e v e r v o r m i n g s v e k t o r C x ( t 1 3 a l s e e n l i n e a i r e k o m b i n a t i e v a n de modevormen. D i t L e v e r t de v o l g e n d e t r a n s f o r m a t i e :

(2.111 C x ( t 1 3 = C V l C q ( t 1 3

I- I n v u 1 Len e n v o o r v e r m e n i gvu L d i gen met Cvl l e v e r t :

T ?- C v 3 C M l C v 3 < q ( t 1 3 + C ~ $ C K I C ~ l C q ( t 1 3 = C y l t f ( t 1 3 (2.121

Ort hogona L i t e i t e i s t :

(2 .121 g a a t nu o v e r i n e e n s e t d i i i e r e n t i a a i v e r g e t i j k i n g e n : -r

[ml €6 ( t 1 3 + rkJ Cq ( t 1 3 = C v l C f ( t 1 3

O f v o o r mode k : T

m 9 ( t 1 + k k q (t1 = Cvk 3 C f ( t 1 3 k

on t k oppe Lde

( 2 . 1 3 a )

(2 .13b1

- 10-

Y////////////////

- 11 -

- 12-

3 DE MODALE ANALYSE, THEORIE EN MEETPROCEDURE

3 .I I n l e i d i n g

I n d i t h o o f d s t u k z a l de m e e t p r o c e d u r e v o o r de m o d a l e a n l y s e e n de a c h t e r l i g g e n d e t h e o r i e i n h o o f d l i j n e n worden b e s p r o k e n . i n p a r . 3 . 2 wordt v o o r e e n dynamika-model e e n r e l a t i e g e l e g d t u s s e n e n e r z i j d s e e n massa-, s t i j f h e i d s - e n dempingsmat r i x e n a n d e r z i j d s de zogenaamde modale p a r a m e t e r s . V e r v o l g e n s z u l l e n i n p a r . 3 . 3 en 3 .4 e n k e l e o p m e r k i n g e n g e p l a a t s t w o r d e n o v e r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s e n h e t meten v a n d e z e f u n k t i e met een d i g i t a l e s i g n a l - a n a l y z e r . T e n s l o t t e w o r d e n i n p a r . 3 . 5 e n k e l e a l g o r i t m e n b e s p r o k e n om u i t g a a n d e v a n e e n a a n t a l gemeten f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s de modale p a r a m e t e r s v a n de s t r u k t u u r t e b e p a l e n . Met b e h u l p van d e z e p a r a m e t e r s z i j n we i n s t a a t e e n m e c h a n i s c h e s t r u k t u u r t e v e r g e l i j k e n met e e n r e k e n m o d e l .

3 . 2 B e s c h r i j v i n g v a n e e n r e k enmode L i n h e t LAPLACE-domei n

W e g a a n u i t v a n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n v o o r e e n v i s k e u s gedempt s y s t e e m met m e e r d e r e g r a d e n v a n v r i j h e i d :

d e m a t r i c e s [ M l , CCI en CKI z i j n s y m m e t r i s c h , t e r w i j l CNI e n CK3 b o v e n d i e n s e m i - p o s i t i e f d e f i n i e t z i j n . bde b e k i j k e n h e t s y s t e e m i n h e t L a p l a c e domein. De t r a n s f o r m a t i e i s l i n e a i r e n g e l d t a l i e e n v o o r L i n e a i r e s y s t z n ì e n . I n k e t L a p l a c e - d n m e i n b e s c h r i j v e n we h e t s y s t e e m met k o m p l e x e g e t a l l e n . D i t domein b e z i t de a a r d i g e e i g e n s c h a p d a t e e n r e s p o n s g e s c h r e v e n k a n worden a l s h e t p r o d u k t v a n e e n t e r m d i e v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l a f h a n g t en e e n t e r m d i e a l l e e n s y s t e e m - a f h a n k e l i j k i s . We k r i j g e n dan:

H i e r i n i s cx ( p )> e e n kolommat r i x met de L a p l a c e - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n de v e r p l a a t s i n g e n e n C F ( p I 3 d e L a p l a c e - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n de k r a c h t e n . P i s de o n a f h a n k e l i j k e L a p l a c e - v a r i a b e l e . V e r d e r z i j n de b e g i n w a a r d e n € k ( O > > = € x ( O > > = c O > v e r o n d e r s t e l d . We k u n n e n s c h r i j v e n :

met:

C B ( p > 3 . € X ( p > 3 = < F ( p ) >

CB(p13 = Cp2.CNl + p.CC1 + CKIJ

A L S we h e t s t e l s e l (3) op k u n n e n L o s s e n g e l d t :

(3)

H i e r i n i s CH(p)3 d e TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX. b e p a a l d worden met de r e g e l v a n C r a m e r :

C H ( p ) J k a n

- 1 3 -

CH(p13 = CB(p) I - ' = C D ( p ) l / d e t C B ( p ) l ( 4 )

C D ( p ) l i s de geadjugeerde van C B ( p ) l met a l s r e c e p t : - B e p a a l voor i e d e r e t e r m v a n C B ( p ) l de o n d e r d e t e r m i n a n t - V e r m e n i g v u l d i g de termen w a a r b i j de som v a n de i n d i c e s

- T r a n s p o n e e r de a l d u s v e r k r e g e n m a t r i x oneven i s met de f a k t o r -1.

H e t nul s t e l l e n van de noemer i n ( 4 ) L e v e r t de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g : (de v e r p l a a t s i n g e n i n (3) worden dan o n e i n d i g g r o o t )

d e t C B ( p ) l = O (5)

( p ) van C H ( p ) l i s een q u o t i e n t van twee polynomen i n p: term Hij

We b e k i j k e n v e r d e r a l l e e n nog o n d e r k r i t i s c h gedempte systemen. De w o r t e l s van de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g z i j n dan komplexe g e t a l l e n en z i j komen i n gekonjugeerde p a r e n v o o r . We kunnen dan v o o r (6) s c h r i j v e n :

R e t : c o = k o n c t a n t e p k = w o r t e i van Be k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e L i j h i n g c f pss! pk = komplex gekonjugeerde van p o o l p,.

P a r t i e e l breukcp li t s e n l e v e r t :

O f w e l :

+

-91 -

- 15-

v o o r e l k e r i j v a n C D ( p & ) I . D a a r de t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x C H ( p > l op een f a k t o r de tCB(p17 na g e l i j k i s aan de g e a d j u g e e r d e v a n C B ( p ) l ( = C D ( p > I ) k u n n e n we de v o l g e n d e b e l a n g r i j k e k o n k l u s i e t r e k k e n :

ELKE R I J O F KOLOM V A M DE TRANSFER-FUNKTIE-MATRIX C H ( p ) l BEPAALT D E EIGENTRILLINGSVORMEN V A N HET S Y S T E E M VOLKONEN.

U i t ( 9 ) b l i j k t d a t e l k e k o m p o n e n t H i j (PI v a n de t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x C H ( p > l b e p a a l d w o r d t d o o r k s e t s v a n t w e e ( k o m p l e x e ) p a r a m e t e r s : de p o o l P k en h e t b i j d i e p o o l b e h o r e n d e r e s i d u [ A k l . De p o l e n z i j n v o o r a l l e t r a n s f e r - f u n k t i e s b i n n e n C H ( p ) l g e l i j k , de r e s i d u e n v e r s c h i l l e n e c h t e r v a n k o m p o n e n t t o t komponen t .

S a m e n v a t t e n d k u n n e n we k onk l u d e r e n :

> H e t g e d r a g v a n een op v i s k e u z e d e m p i n g g e b a s e e r d d y n a m i k a - r e k e n m o d e l w o r d t v o l l e d i g b e s c h r e v e n d o o r e e n i n h e t L a p l a Ce-domei n g e d e f i n i e e r d e CH(p 11. t r a n s f e r - f unk t i e-ma t r i x

> E l k e k o m p o n e n t Hij ( p ) v a n CH(p)3 v l / A

k u n n e n we s c h r i j v e n a l s :

> De e i g n t r i l l i n g s v o r m e n C V k > wo d e n v o l k o m e n b e p a a l d doo 1 r i j o f 1 k o l o m v a n de t r a n s f e r - f u n k t i e - m a t r i x CH(p>J

> C H ( p ) l k a n b e s c h r e v e n w o r d e n met de zogenaamde moda le p a r a m e t e r s d i e v o o r e l k e e i g e n t r i l l i n g s v o r r n k b e s t a a n u i t een p o o l p k en e e n b i j b e h o r e n e r e s i d u m a t r i x CA,].

- 16-

- 17-

- 18-

3.3 B e s c h r i j v i n g v a n h e t r e k e n m o d e l i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n

A l s de b e s c h r i j v i n g i n h e t L a p l a c e - d o m e i n b e k e n d i s k a n de o v e r g a n g n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n e e n v o u d i g u i t g e v o e r d w o r d e n d o o r p=j.,(d t e s u b s t i t u e r e n , w a a r b i j IA) d e h o e k f r e q u e n t i e v o o r s t e l t . I n f i g u u r 1 k u n n e n we d i t v o o r s t e l l e n a l s een d o o r s n i j d i n g v a n de g r a f i e k met een v l a k d o o r de i m a g i n a i r e as l o o d r e c h t op de r e ë e l e as. We z u l l e n e e r s t de b e s c h r i j v i n g v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s e n de p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k b e k i j k e n , d a a r n a w o r d e n e n k e l e k o r t e o p m e r k i n g e n g e p l a a t s t o v e r s p e c i a l e g e v a l l e n z o a l s o n g e d e m p t e s y s t e m e n e n p r o p o r t i o n e e l gedempt e s y s t e m e n - A l l e r e e r s t w o r d t v e r g e l i j k i n g ( 9 ) o m g e w e r k t . d e r e s i d u m a t r i x CAk l d i e g e v u l d i s m e t de r e s i d u e n i s op e e n k o n c t a n t e f a k t o r ‘ i , k n a g e l i j k a a n C D ( p k ) l :

We h e b b e n i n p a r . 1 . 2 g e z i e n d a t e l k e r i j e n e l k e k o l o m i n 6 D ( p k ) 3 o p een k o n s t a n t e na g e l i j k i s a a n de e i g e n t r i l l i n g s v o r m (yK 3 . We k u n n e n C D ( p k ) l nu s c h r i j v e n a l s h e t p r o d u k t v a n CT+> e n z i j n g e t r a n s p o n e e r d e :

T CA,l=c,,, C D ( p K ) l = c , ,~ .clar<€?yk ><y, 3 ( 1 4 )

k on s t a n t 2, k C4,k e n c

D i t l e v e r t ons met ( 9 ) :

S p l i t s e n i n r e e e l e e n i m a g i n a i r e d e l e n met:

pL< =pk + j =%

ac(i%.k] iWkr= “ijk +j.vijk

e n o v e r g a a n v a n n e t i a p i a c e - d o m e i n n a a r h e t d o o r s u b s t i t u t i e v a n p = j.@ l e v e r t :

a l s a l g e m e n e f o r m u l e v o o r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s .

We g e v e n n o g t w e e e x t r a d e f i n i t i e s d i e a a n s l u i t e n b i j b e k e n d e k l a s s i e k e b e g r i p p e n : De o n g e d e m p t e n a t u u r l i j k e e i g e n f r e q u e n t i e v a n mode k :

E n de d e m p i n g s v e r h o u d i n g

- 19-

A l v o r e n s de p r e s e n t a t i e v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s i n h e t k o m p l e x e v l a k t e b e k i j k e n , beschouwen we e e r s t e de f u n k t i e :

m e t p k en V' r e ë e l e n k o n s t a n t .

Deze f u n k t i e b l i j k t v o o r - í P < W < m e e n c i r k e l i n h e t k o m p l e x e v l a k t e b e s c h r i j v e n met een m j d d e l p u n t ( - f /Z$RO) e n e e n s t r a a l vanj1/2/uvJ. ( z i e f i g u u r 2 . 1

fm / m - v . p

Re W

v -ci -*-$I

$ Drawing assumes '1 t'. pco u>o vto 'm R.

W *

V -

I

U * r Y - p" i ( W - v)

U - I V

-(I+If&J*V)

U * r V U - t V - p+ i lw -VI - ge i l w + v)

f i g u u r 2 De f r e q . r e s p o n s i n h e t k o m p l e x e v l a k ( n = l ) .

De b i j d r a g e v a n 1 mode k i n v e r g e l i j k i n g (19) b e s t a a t u i t t w e e f u n k t i e s v a n h e t t y p e (20) d i e a l l e e n g e b r u i k t w o r d e n v o o r O <

Jtuijk+vij,', e n v e r d r a a i d o v e r e e n hoek met e e n t a n g e n s v a n " i j k /'Jijk r e s p . -Vij1( 1 Uijk . De t o t a l e f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t v e r k r e g e n d o o r v o o r e l k e t r i L l i n g s v o r m d e z e c i r k e l b o g e n op t e t e l l e n . I n f i g u u r 2 w o r d t een e n a n d e r v e r d u i d e l i j k t . Men

c3 < Co . De c i r k e l s w o r d e n v e r g r o o t met een f a k t o r

- 20-

noemt de p r e s e n t a t i e van de f r e q u e n t i e - respons i n h e t komplexe v lak vaak een N Y Q U I S T - D I A G R A M .

- 21-

3 3-

- 22-

R '7 Re

- 23-

- 24-

- 25-

- 26-

i

- 29-

- 3 0 -

We z u l l e n nu v r i j summier de f r e q u e n t i e r e s p o n s en z i j n p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k b e k i j k e n v o o r de s p e c i a l e g e v a l l e n v a n ongedempte en p r o p o r t i o n e e l gedempte s y s t e m e n .

3.3.1 Ongedempte s y s t e m e n

We b e k i j k e n h e t r e k e n m o d e l e e r s t i n h e t L a p l a c e - d o m e i n . Omdat b i j o n g e d e m p t e s y s t e m e n de m a t r i x CCI = C O 7 i n v e r - g e l i j k i n g (2) komen e r i n de m a t r i c e s C B ( p ) I e n C D ( p ) I a l l e e n e v e n m a c h t e n v a n p v o o r . De p o l e n u i t de k a r a k t e r i s t i e k e v e r g e l i j k i n g z i j n dan z u i v e r i m a g i n a i r e n komen v o o r i n k o m p l e x g e k o n j u g e e r d e p a r e n . De m a t r i x C D ( p ) l b e s t a a t d a n ook u i t z u i v e r r e e e l e k o m p o n e n t e n . A l s we d u s de r e s i d u m a t r i c e s CAhJ b e h o r e n d e b i j de z u i v e r i m a g i n a i r e p o l e n g a a n b e p a l e n d a n b l i j k t d a t d e z e r e s i d u m a t r i c e s u i t z u i v e r i m a g i n a i r e k o m p o n e n t e n b e s t a a n . A l s we v a n u i t h e t L a p l a c e - d o m e i n n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n o v e r g a a n d o o r p = j . W t e s u b s t i t u e r e n k r i j g e n we met pK=/IAk+j.Vk=j.LK ( p o l e n z i j n z u i v e r i m a g i n a i r ) :

PK=,hk i- jd,, =j.gK

v o o r v e r g e l i j k i n g ( 1 9 ) :

( r e s i d u e n z u i v e r i m a g . )

De f r e q u e n t i e - r e s p o n s wordt o n e i n d i g g r o o t a l s 0 ge t i j k w o r d t a a n LilK ( d e e i g e n f r e q u e n t i e ) . I n h e t k o m p l e x e v l a k w o r d t de f r e q u e n t i e - r e s p o n s w e e r g e g e v e n dooi . e e n L i j n o v e r de r e ë e l e a s v a n -90 n a a r go . ~ e z e p r e s e n t a t i e i s n i e t z i n v o l e n n e t i s v e r s t a n d i g e r n a a r a n d e r e p r e s e n t a t i e s ( b . v . B o d e - d i a g r a m ) t e k i j k e n .

- 32-

- 33-

- 34-

3.3.2 P r o p o r t i one Le demping.

Een s y s t e e m noemt men p r o p o r t i o n e e l g e d e m p t a l s de b e w e g i n g s v e r g e l j k i n g e n t e o n t k o p p e l e n z i j n met de e i g e n v e k t o r e n d i e g e v o n d e n z i j n d o o r h e t o p l o s s e n v a n h e t o n g e d e m p t e s y s t e e m . N o d i ge e n v o l d o e n d e v o o r w a a r d e n h i e r v o o r z i j n o p g e s t e l d d o o r C a u g h l y & O ' K e l l y (1965); e e n v o l d o e n d e v o o r w a a r d e i s b i j v o o r b e e l d d a t de d e m p i n g s m a t r i x e e n L i n e a i r e k o m b i n a t i e i s v a n de massa- e n de s t i j f h e i d s m a t r i x . Een g e v o l g v a n p r o p o r t i o n e l e d e m p i n g i s dat , h o e w e l de p o l e n gewone k o m p l e x e g e t a l l e n z i j n , de r e s i d u e n w e e r z u i v e r i m a g i n a i r z i j n :

V o o r d e f r e q u e n t i e - r e s p o n s v o l g t daarmee: P k s - k +j Lk, i % . .xj = j. '/..I, Y

- 35-

(221

I n h e t N y g u i c t d i a g r a m w o r d e n de c i r k e l s u i t v e r g e l j k i n g (20) I

g e d r a a i d o v e r + Z / 2 r e s p - 1 2 / 2 . Z e l i g g e n d a n s y m m e t r i s c h om d e i m a g i n a i r e a s .

- 36-

- 37-

I -

I

- 38-

- 39-

- 4 0 -

i

- 41-

S a m e n v a t t e n d komen we t o t de v o l g e n d e o p m e r k i n g e n o v e r de b e s c h r i j v i n g v a n h e t r e k e n m o d e l i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n :

-De a l g e m e n e f o r m u l e v o o r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s l u i d t :

-De p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k k a n a l s

* v o o r e l k e t r i l l i n g s v o r m t w e e c i r k e l b o g e n met gek o n s t r u ee r d worden:

I e n m i d d e l p u n t <-1/2 v e r g r o t e n met f a k (LA$; + VijZ,'

* C i r k e l s d r a a i e n o v e r de h o e k e n

( 1 9 )

vo L g t

s t r a a l

- 42-

- V o o r ongedempte s y s t e m e n g e l d t : *De p o l e n z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De r e s i d u m a t r i c e s z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De u i t d r u k k i n g v o o r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t : i

*De p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k i s e e n l i j n op de r e g e l e a s .

- V o o r p r o p o r t i o n e e l gedempte s y s t e m e n g e l d t : *De p o l e n z i j n n o r m a l e k o m p l e x e g e t a l l e n *De r e s i d u m a t r i c e s z i j n z u i v e r i m a g i n a i r *De f r e q u e n t i e - r e s p o n s i s :

* B i j d e p r e s e n t a t i e i n h e t k o m p l e x e v l a k w o r d t de f r e q u e n t i e - r e s p o n s s a m e n g e s t e l d u i t e e n a a n t a l c i r k e l b o g e n d i e s y m m e t r i s c h z i j n t e n o p z i c h t e v a n de i m a g i n a i r e a s .

3 . 4 Het meten v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s .

Wanneer we h e t d y n a m i s c h g e d r a g e e n k o n s t r u k t i e e x p e r i m e n t e e l w i l l e n b e p a l e n i s h e t h a n d i g a l s we k u n n e n b e s c h i k k e n o v e r e e n m e e t t e c h n i e k d i e m e t i n g e n i n h e t L a p l a c e - d o m e i n m o g e l i j k maakt. Daarmee k u n n e n we d a n p o l e n en de b i j b e h o r e n d e r e s i d u m a t r i c e s o p s p o r e n , H e l a a s b e s c h i k k e n we n i e t o v e r z o ' n m e e t t e c h n i e k en k u n n e n we s l e c h t s m e t i n g e n v e r r i c h t e n i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n ; d . w . z . we k u n n e n de T r a n s f e r - f u n k t i e a i i e e n meten v o o r z u i v e r i m a g i n a i r e p - w a a r d e n , We h e b b e n i n de v o r i g e p a r a g r a a f g e z i e n d a t d a t o n s de f r e q u e n t i e - r e s p o n s L e v e r t . V o o r h e t meten v a n z o S n f r e q u e n t i e - r e s p o n s w o r d t t e g e n w o o r d i g v e e l g e b r u i k gemaakt v a n e e n d i g i t a l e " s i g n a l a n a l y z e r " , w a a r i n de s i g n a l e n g e d i g i t a l i s e e r d M o r d e n en v e r v o l g e n s n a a r h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d worden d o o r e e n m i k r o - p r o c e s s o r met e e n " F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m : : a i g o r i t m e . i n d e z e p a r a g i a a f Wûi.den enke!.e a s p e k t e n v a n h e t meten met z o ' n a n a l y z e r a a n g e t i p t . V o o r v e r d e r e i n f o r m a t i e wordt v e r w e z e n n a a r A l l e m a n g ( 1 9 8 0 a ) , Brown ( 1 9 8 0 a 1 , V a n h o n a c k e r (19801, K l o s t e r m a n ( 1 9 7 1 1 , V . L o o n (1974) e n v . d . S t a a y ( 1 9 7 9 ) .

3 - 4 - 1 Ana Loog-di g i t aa 1 omzet t i ng.

Omdat de m e e t s i g n a l e n v e r w e r k t moeten w o r d e n d o o r e e n m i k r o p r o c e s s o r , i s h e t n o d i g om d e a n a l o g e s i g n a l e n a a n t e b i e d e n i n e e n d i g i t a l e vorm. D a a r t o e w o r d t na e l k e t i j d s i n t e r v a l v a n A t s e k o n d e de w a a r d e v a n de i n g a n g s s i g n a l e n gemeten e n d i g i t a a l o p g e l a g e n t o t d a t e e n t o t a a l v a n N b e m o n s t e r i n g e n genomen i s . V o l g e n s h e t t h e o r e m a v a n S h a n n o n g e l d e n de v o l g e n d e r e l a t i e s ( z i e b . v . B e n d a t & P i e r s o l ( 1 9 7 1 ) ) :

- 4 3 -

-De t o t a l e m e e t t i j d i s : T = N . A t (23 1

-De m a x i m a l e b r e e d t e v a n de f r e q u e n t i e b a n d w a a r b i n n e n de F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e m.b.v. N b e m o n s t e r i n g e n met t i j d s i n t e r v a l A t b e r e k e n d k a n w o r d e n i s :

( 2 4 )

- H e t f r e q u e n t i e - i n t e r v a l t u s s e n de d i s k r e t e u i t k o m s t e n v a n de Fou r i e r- t r a n s f o r m a t i e i s :

A f = 1 / T ( 2 5 )

D i t h e e f t o n d e r a n d e r e de v o l g e n d e g e v o l g e n : - W i l men de b a n d b r e e d t e v e r k l e i n e n , . d a n w o r d t de m e e t t i j d

l a n g e r . -Om e e n t r i l l i n g s v o r m g o e d t e b e s c h r i j v e n i s h e t n o d i g o v e r

e e n g r o o t o p l o s s e n d ve rmogen i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n t e b e s c h i k k e n . Omdat d a a r e e n Lange m e e t t i j d v o o r n o d i g i s k a n de b e s c h r i j v i n g v a n h e t s i g n a a l i n h e t t i j d d o m e i n o n n a u w k e u r i g w o r d e n omdat de b e m o n s t e r i n g e n met t e g r o t e t i j d s i n t e r v a l l e n p l a a t s v i n d e n . ' D i t k a n met name b i j i m p a c t - e x c i t a t i e t e c h n i e k e n p r o b l e m e n o p l e v e r e n .

3 . 4 . 2 A l i a c i n g - f ou t b r o n n e n .

i n d i e n we d e i n g a n g s s i g n a l e n v o l g e n s de " F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m " w i l l e n b e h a n d e l e n w o r d e n de r e s u l t a t e n b e i n v l o e d d o o r e v e n t u e l e s i g n a l e n met e e n f r e q u e n t i e d i e b u i t e n de i n g e s t e l d e b a n d b r e e d t e v a l t . H e t v e r b a n d t u s s e n t o e g e v o e r d e e n g e m e t e n f r e q u e n t i e i s w e e r g e g e v e n i n f i g u u r 3.

- 44-

f i g u u r 3 . A li a c i n g

H e t i s d u s b e i a n g r i jk om f r e q u e n t i e s b u i t e n de i n g e s t e i a i e b a n d b r e e d t e t e e l i m i n e r e n . I n d i e n e r g e b r u i k gemaakt w o r d t v a n k o m p l e t e a n a l y z e r - s y s t e m e n z i j n d e z e a n t i - a l i a s i n g f i l t e r s r e e d s ingebouwd e n h o e f t men z i c h g e e n z o r g e n t e maken o v e r d e z e f o u t b r o n . Omdat e r g e e n i d e a l e a f k a p f i l t e r s b e s t a a n w o r d t e r b i j d e z e s y s t e m e n vaak met e e n t w e e k e e r z o g r o t e f r e q u e n t i e b e m o n s t e r d d a n t h e o r e t i s c h n o o d z a k e l i j k i s v o o r de g e w e n s t e b a n d b r e e d t e .

3 . 4 . 3 A f r o n d i n g s f o u t e n i n de A D C

Omdat h e t s i g n a a l van e e n a n a l o g e n a a r e e n d i g i t a l e vorm w o r d t omgezet i n de A - D k o n v e r t e r z u l l e n e r a f r o n d i n g s f o u t e n o p t r e d e n d i e de m e e t r e s u l t a t e n n a d e l i g b e i n v l o e d e n . H e t i s d u s b e l a n g r i j k d a t de a n a l o g e waarde n a d i g i t a l i s e r i n g d o o r v o l d o e n d e b i t s w o r d t w e e r g e g e v e n . ( B i j 8 b i t s i s de m a x i m a l e a f r o n d i n a s f o u t 0 . 4 % ) A f r o n d i n g s f o u t e n k u n n e n b e l a n g r i j k e m e e t f o u t e n v e r o o r z a k e n i n d i e n de t o e g e v o e r d e s i g n a l e n e e n g r o t e h a r m o n i s c h e o f s t a t i s c h e komponent b e v a t t e n ; h e t d y n a m i s c h e d e e l wordt d a n met a a n z i e n l i j k e a f r o n d i n g s f o u t e n b e s c h r e v e n . ( z i e f i g u u r 4 1

- 45-

f i g u u r 4. A f r o n d i n g s f o u t e n i n de A D C .

3 . 4 . 4 S ì g n a a ì - ì e k

Een v a n de m e e s t voo rkomende f o u t b r o n n e n b i j h e t meten v a n f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s met d i g i t a l e a p p a r a t u u r i s de zogenaamde " s i g n a a l - l e k " . Deze f o u t o n t s t a a t omdat we n i e t i n s t a a t z i j n de i n g a n g s s i g n a l e n g e d u r e n d e s n e ì n d ì g e t i j d t e o b s e r v e r e n , z o a l s de F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e v o o r s c h r i j f t . A l s we h e t s i n u s v o r m i g e s i g n a a l u i t f i g u u r 5a w i l l e n a n a l y s e r e n , w o r d t d i t s i g n a a l s l e c h t s g e d u r e n d e e e n e i n d i g e t i j d

f i g u u r S a t e v e r m e n i g v u l d i g e n met een r e c h t h o e k i g e f u n k t i e u i t f i g u u r 5b. Z o ' n f u n k t i e w o r d t i n d i t v e r b a n d vaak e e n "w indow f u n c t i o n " genoemd. H e t r e s u I t a a t v a n de v e r m e n i g v u l d i g i n g i s w e e r g e g e v e n i n f i g u u r 5c.

y e o b c e r v z e r d - E f t l ü n f i e n Es v o o r c t e ! ! e n d==r h e t s i g n a a ! g f t

- 46-

f i g u u r 5a. Te a n a l y s e r e n s i n u s v o r m i g s i g n a a l .

f i g u u r 5b. Window f u n c t i o n

f i g u u r 5c. S i g n a a l d a t i n w e r k e l i j k h e i d

g e a n a l y s e e r d w o r d t .

De v e r m e n i g v u l d i g i n g v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l met e e n window f u n c t i o n h e e f t t o t g e v o l g d a t i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n de F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e n v a n h e t i n g a n g s s i g n a a l e n v a n de w i n d o w f u n c t i o n g e k o n v o l u e e r d worden . ( H e t p r o d u k t v a n t w e e f u n k t i e s i n h e t t i j d d o m e i n k o m t o v e r e e n met de k o n v o l u t i e v a n de g e t r a n s f o r m e e r d e n v a n d e z e f u n k t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - domein; H u r t y & R u b i n s t e i n ( 1 9 6 4 1 ) . D o o r d e z e k o n v o l u t i e w o r d t h e t g e m e t e n s p e k t r u m v e r v o r m d ; een e n a n d e r i s d u i d e l i j k t e z i e n i n f i g u u r 6.

- 47-

~

f i g u u r 6a. F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n

s i g n a a l u i t f i g u u r Sa.

F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n w indow f u n e t i o m u i t f i g u u r 5b.

3 K o n v o l u t i e v a n f i g . 6a & 6b; h e t g e m e t e n

s p e k t r u m . ( = F o u r i e r g e t r a n s f o r m e e r d e v a n f i g . 5 c )

S i g n a a l - l e k i s e e n f o u t b r o n d i e t h e o r e t i s c h g e z i e n n i e t t e omzei Len i s ; men k a n n u e e n m a a l n i e t g e d u r e n d e e e n o n e i n d i g e t i j d me ten . E r z i j n e c h t e r w e l m o g e l i j k h e d e n om d e v e r v o r m i n g v a n h e t s p e k t r u m t e beperken . b i j v o o r b e e l d :

- Z o r g e r v o o r d a t de s i g n a l e n p e r i o d i e k z i j n met e e n p e r i o d e t i j d d i e g e l i j k i s a a n de m e e t t i j d T . D i t w o r d t

- 48-

ook w e l p e r i o d i e k e e x c i t a t i e genoemd e n h e e f t a l s e f f e k t d a t de s p e k t r a a l l i j n e n v a n h e t s p e k t r u m p r e c i es s a m e n v a l l e n met de nu l d o o r g a n g e n v a n de F o u r i e r - g e t r a n s f o r mee r d e v a n de w i ndow-f unk t i e . Z i e v e r g e l i j k i n g (25) e n f i g u u r 7 .

-De m e e t t i j d v e r l e n g e n p d . w . z . h e t o p l o s s e n d vermogen i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n v e r g r o t e n .

- G e b r u i k maken v a n a n d e r e window f u n c t i o n s i n p l a a t s van de r e c h t h o e k i g e f u n k t i e u i t f i g u u r 5b. V e e l g e b r u i k t e window f u n c t i o n s z i j n :

2 H a n n i n g : s i n (7t t / T )

Hamming: 0 . 0 8 + s i n ’ ( 7 t t l T ) E x p o n e n t i e e l : e x p ( - o T t )

B i j d e z e f u n k t i e s z i j n de t o p p e n v a n de z i j l o b b e n v e e l m i n d e r h o o g ; d e h o o g s t e t o p w o r d t e c h t e r b r e d e r . ( V e r l i es aan s e l e k t i v i t e i t . 1

S i g n a a l l e k i s vaak t e h e r k e n n e n a a n e e n s l e c h t e k o h e r e n t i e ( z i e p a r 3 . 4 . 5 ) b i j de r e s o n a n t i e - f r e q u e n t i e s .

- 49-

I ; i I I , '

~~

f i g u u r ?a. De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n p e r i o d i e k

met de m e e t t i j d . E P o n c t a a t geen s i g n a a l - l e k .

- 50-

f i g u u r 7b. De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n n i e t p e r i o d i e k

met de m e e t t i j d . E r o n t s t a a t s i g n a a l - l e k .

3 . 4 . 5 F o u t e n d i e o n t s t a a n d o o r n e t random g e d r a g .

De i n g a n g s s i g n a l e n z i j n b i j n a a l t i j d s i g n a l e n met e e n random k a r a k t e r ; d . w . z . hun v e r l o o p k a n n i e t v o o r s p e l d w o r d e n maar

t o e v a 1 li ge h a n g t a f v a n e e n a a n t a l min o f o m s t a n d i g h e d e n . Z i j d i e n e n dan ook a l s z o d a n i g b e h a n d e l d t e w o r d e n . K a r a k t e r i s t i e k e n v a n e e n random p r o c e s k u n n e n we ook n o o i t p r e c i e s b e p a i e n t o n d e r a i i ë m o g e i i j i c e v e r i o p e n v a n h e t p r o c e s i n b e s c h o u w i n g t e nemen. I n de p r a k t i j k k u n n e n we d u s a l l e e n s p r e k e n v a n SCHATTER§ v o o r d i e k a r a k t e r i s t i e k e n ; b i j e l k e s c h a t t e r h o o r t e e n BETROUWBAARHEIDSINTERVAL. De s c h a t t e r s worden b e p a a l d u i t o b s e r v a t i e v a n e e n o f meer random p r o c e s s e n g e d u r e n d e e e n e i n d i g t i j d s i n t e r v a l . Door de p r o c e s s e n l a n g e r t e o b s e r v e r e n worden de s c h a t t e r s n e u w k e u r i g e r b e p a a l d e n w o r d t h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l k l e i n e r , D i t i s ook h e t g e v a l i n d i e n de s c h a t t e r s e e n a a n t a l k e e r b e p a a l d w o r d e n ( t e l k e n s u i t een a n d e r e o b s e r v a t i e v a n h e t random p r o c e s ) e n g e m i d d e l d worden. We z u l l e n nu e n k e l e f u n k t i e s b e k i j k e n d i e de random i n - e n u i t g a n g s s i g n a l e n v a n e e n l i n e a i r s y s t e e m i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e s c h r i j v e n e n v o o r de modale a n a l y s e v a n b e l a n g z i j n .

meer

- 51-

3 . 4 . 5 . 1 L i n e a i r S p e k t r u m S x ( f ) , S y ( f )

D e z e f u n k t i e s worden b e r e k e n d d o o r h e t i n g a n g s s i g n a a l x ( t > e n h e t u i t g a n g s s i g n a a l y ( t ) v a n h e t s y s t e e m t e T r a n s f o r m e r e n v o l g e n s F o u r i e r :

( 2 6 )

H e t i s i n de p r a k t i j k n i e t m o g e l i j k om g e d u r e n d e e e n o n e i n d i g e t i j d t e meten. H e t m i d d e l e n v a n de s c h a t t e r s S , ( f ) e n S , ( f ) w o r d t b e m o e i l i j k t d o o r h e t f e i t d a t de f a s e a f h a n k e l i j k i s v a n h e t b e g i n t i j d s t i p v a n de m e t i n g . D i t i s de b e l a n g r i j k s t e r e d e n d a t h e t l i n e a i r s p e k t r u m v r i j w e l n o o i t g e b r u i k t w o r d t .

3 . 4 . 5 . 2 Auto-power S p e k t r u m G,, ( f ) , G y y ( f )

D e z e f u n k t i e worden vaak g e b r u i k t om d e f r e q u e n t i e - i n h o u d v a n e e n s i g n a a l t e b e s t u d e r e n . ( U i t w e l k e f r e q u e n t i e s en i n w e l k e v e r h o u d i n g e n i s m i j n i n g a n g s s i g n a a l o p g e b o u w d ? ) . De b e r e k e n i n g g a a t v o l g e n s :

( 2 7 )

D o o r h e t L i n e a i r S p e k t r u m met z i j n k o m p l e x g e k o n j u g e e r d e t e v e r m e n i g v u l d i g e n r a a k t de f a s e - i n f o r m a t i e v e r l o r e n t e r w i j i de a m p l i t u d e S n f o r r n a t i e v a n h e t l i n e a i r s p e k t r u n b e h o u d e n b l i j f t . H e t i s nu w e l m o g e l i j k om s c h a t t e r s v o o r G x x i t ) e n G y , i i j t e m i a a e i e n . A i s e r e e n s c h a t t e r v o o r h e t Auto-power spektrurn b e p a a l d i s d a n k a n h e t b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l r o n d d i e s c h a t t e r b e r e k e n d worden

M e t : * G ( f > = Auto-Power S p e k t r u m * $ ( f l = s c h a t t e r v o o r G ( f ) *n = a a n t a l v r i j h e i d s g r a d e n v a n de y : - v e r d e l i n g = 2 * a a n t a 1 met i n g e n . *xi = C h i - s q u a r e v e r d e l i n g met k g r a d e n v a n v r i j h e i d .

I R t a b e l 1 i s een v o o r b e e l d g e g e v e n v o o r e e n 90 % b e t rouwbaa r h e i ds i n t e r v a L

- 52-

T a b e l 1,90% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n v o o r G ( f )

B i j d e m o d a l e a n l y s e w o r d t h e t A u t o - P o w e r S p e k t r u m vaak g e b r u i k t om t e k o n t r o l e r e n o f a l l f r e q u e n t i e s d i e g e w e n s t z i j n v o l d o e n d e i n h e t i n g a n g s s i g n a a l v e r t e g e n w o o r d i g d z i j n .

3 . 4 . 5 . 3 Cross -Power S p e k t r u m @.&).

H e t C r o s s - P o w e r S p e k t r u m w o r d t b e r e k e n d met :

D i t s p e k t r u m w o r d t g e b r u i k t om d e r e l a t i e t u s s e n t w e e s i g n a l e n t e b e s t u d e r e n . De a m p l i t u d e v a n G y x ( f ) i s h e t p r o d u k t v a n de a m p l i t u d e s v a n S y ( f ) e n S,(f), t e r w i j l de f a s e h e t v e r s c h i l i s v a n de f a s e h o e k e n v a n S y ( f ) e n S x ( f ) . H e t i s dus m o g e l i j k om t e m i d d e l e n i n d i e n e r e e n d u i d e l i j k v e r b a n d b e s t a a t t u s s e n i n - e n u i t g a n g s s i g n a a l . ( d a n i s h e t f a s e v e r s c h i l k o n s t a n t ) D i t w o r d t i n f i g u u r 8 t o e g e l i c h t i n h e t k o m p l e x e v l a k v o o r e e n b e p a a i d e f r e q u e n t i e f f B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n w o r d e n w e e r b e r e k e n d met ( 2 8 ) .

- 53- m e t ingen gemiddeld

t figuur 8a fl' a l l e vermogen b i j deze f r e q u e n t i e i s i n beide s ignalen van d e z e l f d e bron afkomstig.

metingen gemidde I d

f iguur ab Cross power voor f requent ie fl' a l l e vermogen b i j deze f requent ie is voor be ide s igna len van een andere bron afkomstig,

m e t ingen gemiddeld

I" Figuur Q Cross-power b i j freqi ;entie f Een gedee van h e t vermogen i n beide s ignalen i s van deze l fde bron zflaomstig, een gedee l t e ni

2 3 . 4 . 5 . 4 K o h e r e n t i e - f u n k t i e tYy ( f ) . I

I U i t f i g u u r 8 b l i j k t d a t we met h e t C r o s s - P o w e r S p e k t r u m G,(f) i n s t a a t z i j n s i g n a a l - k o m p o n e n t e n met een k o n s t a n t f a s e v e r s c h i l i n x ( t > e n y ( t ) t e s c h e i d e n v a n s i g n a a l k o m p o n e n t e n met een random f a s e v e r s c h i 1. (b. v. r u i s , v reemde i n g a n g s s i g n a l e n enz . ) Door h e t C ross -Power S p e k t r u m t e s c h a l e n t u s s e n n u l e n één k u n n e n p e r f r e q u e n t i e k e t p e r c e n t a g e " k o h e r e n t " s i g n a a l a f lezen; we noemen de a l d u s v e r k r e g e n f u n k t i e de k o h e r e n t i e - f u n k t i e . De kokerent ie-funk t i e * ( f ) w o r d t b e r e k e n d met :

Y Y "

( 3 0 )

De k o h e r e n t i e - f u n k t i e b e v a t g e e n f a s e - i n f o r m a t i e . I

- 54-

5 B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n voor be rek end worden met:

s c h a t t e r s lux ( f 1 kunnen

(31

n = 2 * a a n t a l m i d d e l i n g e n

zcul r = z-waarde b i j normale v e r d e l i n g b i j gegeven twee-zi j d i g e o v e r s c h r i j d i n g s k a n s nv200r e e n (1 - 6 - 1 O O % b e t r o u w b a a r h e i d c i n t e r va 1 r on d b/J#'). Deze f ormu l e i s u i t g e w e r k t v o o r e e n b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l van 90% i n t a b e l 2 .

T a b e l 2,90% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n v o o r d y Y

3.4.5.5 De F r e q u e n t i e - r e s p o n s H(.f). We hebben de f r e q u e n t i e - r e s p o n s g e d e f i n i e e r d door de t r a n s f e r - f u n k t i e H i j d i e aan h e t komplexe g e t a l p een komplex g e t a l Hi j ( p ) t o e v o e g t , a l l e e n t e b e k i j k e n voor z u i v e r i m a g i n a i r e waarden voor p <p=j.k) , w a a r b i j Cu r e ë e l i s ) . E r g e l d t vo lgens ( 3 ) :

H i j ( p ) = X ( p ) / F ( p ) (33)

D i t komt met *p = j . W * X ( j . W 1 4 S x ( f ) = F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e van

- 55-

u i t g a n g s s i g n a a l ; * F ( j . W ) 4 S , ( f ) = F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n i n g a n g s s i g n a a l ; o v e r e e n met:

H ( f > = S , ( f ) / S , ( f 1 ( 3 4 )

D a a r S x ( f ) e n S , ( f ) m o e i l i j k v o l d o e n d n a u w k e u r i g t e meten z i j n w o r d t de o v e r d r a c h t c f u n k t i e b e r e k e n d met:

D a a r G u x ( f ) e n G , , ( f ) w e l g o e d gemeten k u n n e n worden is d e z e methode vee 1 nauwkeu r i ge r . B e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n r o n d de s c h a t t e r H ( f ) worden b e r e k e n d v o l g e n s :

.T (36) A 2 r2(0 p - 2 ) 2;n-x ;H

H i e r i n i s : S 2 ( f ) = 9 e s t r a a l v a n e e n c i r k e l i n h e t k o m p l e x e v l a k r o n d

H ( f ) w a a r i n H ( f ) met e e n b e t r o u w b a a r h e i d v a n ( 1 - c Y ) . I O O X l i g t .

n = 2 * a a n t a l m i d d e l i n g e n . F 2;n-2 = F - v e r d e l i n g met 2 en met n-2 v r i j h e i d c g r a d e n ?yx ( f ) $ , , , ( f > . G , , ( f > : s c h a t t e r s v o o r h e t Auto-Power S p e k t r u m G X X ( f ) e n G Y y ( f ) .

H e t i s d u i d e l i j k d a t a l s de gemeten k o h e r e n t i e - f u n k t i e g e i i j k i s a a n 1 de f o u t a o o r h e t random g e d r a g v a n de s i g n a l e n i n a < f > g e l i j k i s a a n 8 .

S c h a t t e r v o o r de k o h e r e n t i e - f u n k t i e xy'x ( f )

S a m e n v a t t e n d k u n n e n we de b e s p r o k e n f u n k t i e s d i e de random s i g n a l e n x ( t ) e n y ( t ) e n h u n o n d e r l i n g e r e l a t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e s c h r i j v e n p l a a t s e n z o a l s i n f i g u u r 9 .

- 56-

f i g u u r 9. S y s t e e m r e l a t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n .

3 . 4 -6 E x c i t a t i e - t e c h n i e k e n .

O m e e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s met een d i g i t a l e s i g n a l - a n a l y z e r t e meten moet de k o n s t r u k t i e i n a l l e f r e q u e n t i e s b i n n e n de i n g e s t e l d e b a n d b r e e d t e a a n g e s t o t e n worden. H i e r v o o r b e s t a a n e e n a a n t a l t e c h n i e k e n d i e nu k o r t b e s p r o k e n z u l l e n worden met hun s p e c i f i e k e v o o r - e n n a d e l e n .

3.4.6.9 p s e u d o random.

E r wordt e e n g e w e n s t e x c i t a t i e k r a c h t - s p e k t r u m i n de k o m p u t e r b e r e k e n d . M e e s t a l b e s t a a t d i t u i t e e n s p e k t r u m met een a m p l i t u d e d i e v o o r a l l e f r e q u e n t i e s g e l i j k i s met e e n random f a s e ; e r b e s t a a t e c h t e r ook de m o g e l i j k h e i d t e k o r r i g e r e n v o o r b i j v o o r b e e l d de bewegende m a s s a v a n de e x c i t a t o r . V e r v o l g e n s w o r d t h e t b e r e k e n d e s p e k t r u m n a a r h e t t i j d s d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d e n n a a r d e e x c i t a t o r

opgebouwd e n d a a r n a n a a r h e t t i j d d o m e i n g e t r a n s f o r m e e r d i s , i s h e t k r a c h t v e r l o o p p e r i o d i e k met de m e e t t i j d . H e t i s nu m o g e l i jk s i g n a a l - l e k t e voorkomen d o o r de k o n s t r u k t i e met h e t p e r i o d i e k e s i g n a a l a a n t e s t o t e n e n d e m e t i n g e n t e b e g i n n e n a l s de i n s c h a k e l v e r s c h i j n s e l e n u i t g e s t o r v e n z i j n . E e n g r o o t n a d e e l v a n d e z e methode i s d a t d o o r de p e r i o d i e k e e x c i t a t i e e v e n t u e l e L o s s e o n d e r d e l e n van de k o n s t r u k t j e mee k u n n e n g a a n t r i l l e n . D e z e t r i L l i n g e n z i j n k o h e r e n t met de e x c i t a t i e e n k u n n e n d u s n i e t d o o r m i d d e l e n v e r w i j d e r d w o r d e n .

o m d a t h e t s ignaai in h e t Z - - - . . - - & ' g e v o e r d . I requrr iL . i=dûï i ìe5~

- 57-

3 . 4 . 6 . 2 P e r i o d i c c h i r p s .

D e z e e x c i t a t i e v o r m L i j k t v e e l op de p s e u d o random e x c i t a t i e . H i e r b i j w o r d t h e t k r a c h t v e r l o o p e c h t e r n i e t i n h e t f r e q u e n t i e-domei n be rek e n d maa r e l e k t r o n i s ch g e r e a l i s e e r d d o o r e e n s i n u s i n de m e e t t i j d de f r e q u e n t i e b a n d t e l a t e n d o o r l o p e n . De m e e t p r o c e d u r e v e r l o o p t h e t z e l f d e a l s b i j d e p s e u d o - r a n d o m e x c i t a t i e .

3 . 4 . 6 . 3 P u u r Random.

H i e r b i j w o r d t de s t r u k t u u r a a n g e s t o t e n met e e n p u u r random s i g n a a l . ( m e e s t a l " w i t t e r u i s " ) D i t s i g n a a l w o r d t vaak e l e k t r o n i s c h opgewekt en i s n i e t t e b e i n v l o e d e n . Omdat h e t s i g n a a l n i e t p e r i o d i e k i s o n t s t a a t e r s i g n a a l - l e k d i e b . v . d o o r e e n g e s c h i k t e window f u n c t i o n g e r e d u c e e r d k a n w o r d e n . D e z e e x c i t a t i e v o r m i s vaak e e n v o u d i g t e r e a l i s e r e n e n wordt daarom vaak t o e g e p a s t .

3 - 4 . 5 - 4 P e r i o d i e k Random.

De p e r i o d i e k e random e x c i t a t i e k o m b i n e e r t de v o o r d e l e n v a n p u r e random e n pseudo-random e x c i t a t i e . E r worden e e n a a n t a l m e t i n g e n g e d a a n met p s e u d o - r a n d o m e x c i t a i t e w a a r b i j h e t g e g e n e r e e r d e k r a c h t v e r l o o p t e l k e n s o p n i e u w i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n b e r e k e n d w o r d t en d u s o n g e k o r r e l e e r d i s met de v o o r g a a n d e m e t i n g e n . T e n s l o t t e w a r d e n de m e t i n g e n gemi dde I d . A l s e n i g e n a d e l e n g e l d e n de omvangr i j k e i n s t a l l a t i e d i e n o d i g i s en de t i j d r o v e n d e m e e t p r o c e d u r e .

3 . 4 . 6 - 5 I m p a c t e x c i t a t i e .

H i e r b i j w o r d t de s t u k t u u r g e e x c s ' t e e r d d.m.v. e e n i m p u l s v o r m i g e k r a c h t d i e b i j v o o r b e e l d v e r k r e g e n k a n worden d o o r e e n k l a p n e t een hamer. De i m p u l s v o r m i g e k r a c h t i s e e n b e n a d e r i n g v o o r e e n d e l t a - f u n k t i e d i e a l l e f r e q u e n t i e s

op de hamer t e b e v e s t i g e n k a n h e t v e r l o o p v a n de k r a c h t a l s f u n k t i e v a n de t i j d b e i n v l o e d worden. De methode i s z e e r s n e l . A l s n a d e l e n worden genoemd:

-Door h e t hoge p i e k v e r m o g e n w o r d e n e e r d e r n i e t l i n e a i r e

- B i j k l e i n e b a n d b r e e d t e s w o r d t h e t p u l s s i g n a a l d o o r t e

s'n g e i 5 j k e h o e v s e L h 2 i d b e v a t . D 9 9 r k u r d e 9f z a c h e k n p p e n

v e r s c h i j n s e l e n i n de m e t i n g b e t r o k k e n .

w e i n i g b e m o n s t e r i ngen b e s c h r e v e n .

- 58-

3 . 4 . 7 H e t m e t e n v a n e e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s .

S a m e n v a t t e n d k u n n e n we s t e l l e n d a t a I s we e e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s w i l l e n m e t e n we met de v o l g e n d e a s p e k t e n r e k e n i n g m o e t e n houden :

-Worden de s i g n a l e n i n h e t t i j d d o m e i n d o o r v o l d o e n d e b e m o n s t e r i n g e n b e s c h r e v e n ?

-Worden de r e s u l t a t e n i n h e t f r e q u e n t i e - d o m e i n d o o r v o l d o e n d e s p e k t r a a l l i j n e n b e s c h r e v e n ?

-Worden de f r e q u e n t i e s b u i t e n de i n g e s t e l d e b a n d b r e e d t e u i t g e f i l t e r d ?

-Word t e r v e r s t a n d i g g e b r u i k gemaak t v a n h e t b e r e i k van de A - D k o n v e r t e r ?

-Worden e r v o l d o e n d e m a a t r e g e l e n g e t r o f f e n om s i g n a a l - l e k t e v o o r k o m e n o f t e r e d u c e r e n ?

- I s de k o h e r e n t i e - f u n k t i e b i j d e b e l a n g r i j k e f r e q u e n t i e s b i j b e n a d e r i n g g e l i j k a a n 1 z o d a t de r a n d o m f o u t i n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s n a a r n u l g a a t ?

-Heb i k de s t r u k t u u r i n a l l e f r e q u e n t i e s g o e d a a n g e s t o t e n ?

3.5 H e t b e r e k e n e n v a n de m o d a l e p a r a m e t e r s .

I n p a r 3.2 i s a a n g e t o o n d d a t een r e k e n m o d e l v o o r d y n a m i k a p r o b l e m e n met v i s k e u z e d e m p i n g b e s c h r e v e n k a n w o r d e n met een i n h e t L a p l a ce -domei n ge d e f i n i ee r d e T r a n s f e r-f unk t i e mat r i x CH ( p 13. E l k e k o m p o n e n t H i j ( P I v a n d e z e m a t r i x k a n b e s c h r e v e n w o r d e n d o o r de v e r g e l i j k i n g :

Y

A l W V r r e s i d u m a t r i x

i k e t r i l i i n g s v o r m K een p o o i pK n e e n b i j b e h o r e n d e f A k 3 k e n n e n i s h e t r e k e n m o d e l v o l l e d i g b e s c h r e v e n .

H e l a a s i s h e t o n m o g e l i j k om d e z e p a r a m e t e r s d i r e k t t e meten; b i j e x p e r i m e n t e n k u n n e n we a l l e e n i n f o r m a t i e v e r k r i j g e n o v e r h e t f r e q u e n t i c d o m e i n . Daarom w o r d t v e r g e l i j k i n g ( 9 ) o m g e w e r k t n a a r de a l g e m e n e f o r m u l e v o o r de f r e q u e n t i e - r e s p o n s :

m e t : A ij,u =üi jk + j . V i j u en p K =fl , + j . J , H e t p r o b l e e m i s d u s om v o o r e l k e t r i l l i n g s v o r m d e 4 p a r a m e t e r s Uijk / V i j k , p ~ / d ~ t e b e p a l e n . D i t k u n n e n we b i j v o o r b e e l d d o e n met k l e i n s t e k w a d r a t e n a l g o r i t m e s . Omdat we i n d e p r a k t i j k s l e c h t s e e n b e p a a l d e f r e q u e n t i e b a n d i n b e s c h o u w i n g nemen b r e i d e n we v e r g e l i j k i n g ( 1 9 ) u i t met t w e e e x t r a t e r m e n :

- l / ( m ; j . L I ' ) : R e s i d u e l e m a s s a t e r m v o o r de e f f e k t e n v a n t r i l l i n g s v o r m e n met e e n L a g e r e f r e q u e n t i e . S s : r e s i d u e l e f l e x i b i l i t e i t v o o r e f f e k t e n v a n t r i l l i n g s v o r m e n met e e n f r e q u e n t i e d i e h o g e r i s d a n de i n g e s t e l d e h o o g s t e f r e q u e n t i e . We v e r g e l i j k e n de gemeten f r e q u e n t i e - r e s p o n s nu met de v o l g e n d e f ormu l e :

P

- 59-

De (4n+2> o n b e k e n d e p a r a m e t e r s k u n n e n w o r d e n b e p a a l d d o o r de zogenaamde " c u r v e - f i t " p r o c e d u r e s . E r z u l l e n e n k e l e van de m e e s t b e k e n d e p r o c e d u r e s b e s p r o k e n w o r d e n w a a r b i j d e n a d r u k g e l e g d w o r d t op de v e r o n d e r s t e l l i n g e n w a a r v a n w o r d t u i t g e g a a n .

3.5.1 Q u a d r a t u r e - f i t .

De v o l g e n d e v e r o n d e r s t e l l i n g e n w o r d e n gemaak t :

b e l a n g r i j k , d.w.z. r o n d W = V k i s de t e r m -Rond e e n r e s o n a n t i e - p i e k i s s l e c h t s een t r i l l i n g s v o r m

i n ( 3 7 1 v e e l g r o t e r d a n de o v e r i g e t e r m e n .

( m i e v e r g e l i j k i n g (2211 - H e t s y s t e e m i s p r o p o r i t o n e e l gedempt; d.w.z. U$" = O.

Piet d e z e v e r o n d e r s t e l l i n g e n w o r d t (371 v e r e e n v o u d i g d t o t :

( 3 8 1

r o n d t r i l l i n g s v o r m m.

De o n g e d e m p t e n a t u u r i i j k e e l g e n f r e q u e n t i e do,- - 4- /Am-fdm v o l g t

u i t k e t n u l s t e l l e n v a n h e t r e e e l e d e e l v a n (381. V e r v o l g e n s worc i t cie d e m p i n g b e r e k e n d met:

u, -a* prn = 2 (391

H i e r i n z i j n cilf e n L 3 , f r e q u e n t i e s r o n d % w a a r b i j R e ( H i j (w ;; = I rn(H; - / l a \ \ \

J \ - " -

T e n s l o t t e w o r d t W i j b b e p a a l d u i t h e t i m a g i n a i r e d e e l v a n de f r e q u e n t i e - r e s p o n s b i j &&,:

"ijm (401

De q u a d r a t u r e - f i t i s de m e e s t e e n v o u d i g e m a n i e r om d e m o d a l e p a r a m e t e r s t e b e p a l e n u i t e e n g e m e t e n s e r i e f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s - H e t a l g o r t i m e i s z e e r s n e l maar e r k u n n e n e r n s t i g e f o u t e n o p t r e d e n i n d i e n de t r i l l i n g s v o r m e n d i c h t b i j e l k a a r l i g g e n o f n i e t - p r o p o r t i o n e e l gedempt z i j n . L i t e r a t u u r : H. v a n B r u s s e l (19801, K l o s t e r m a n (19711, Wan L o o n (19741, Wergeay (19801 e n v a n d e r S t a a y (19791.

- 60-

3 . 5 -2 C i r c l e -f i t .

H i e r b i j g a a t men u i t van: -De t r i L l i n g s v o r m e n b e i n v l o e d e n e l k a a r n a u w e l i j k s , d.w.z.

r o n d t r i l l i n g s v o r m m k a n de t o t a l e b i j d r a g e v a l a l l e andere modes v o o r g e s t e l d worden door e e n komplexe k o n s t a n t e (RP + j . I P ) .

de t r i l l i n g s v o r m m i s de t e r m

r o n d -Het systeem i s l i c h t gedempt, d.w.z.

t e verwaar- l o z e n t . o . v .

V e r g e l i j k i n g (37) wordt vereenvoudigd t o t :

r o n d t r i L l i n g s v o r m m .

v la% i s d i t een c i r k e l met een d i a m e t e r van n een middelpunt ( R P - Uijm ( 2 . , h ) , 1 P -

-Met a a n t a l t r i l l i n g s v o r m e n wordt a f g e s c h a t u i t een f r e q u e n t i e - r e s p o n s .

-De gedempte n a t u u r l i j k e e i g e n f r e q u e n t i e s z i j n d i e f r e q u e n t i e s w a a r b i j de a m p l i t u d e van H.,j (Lz) 1 e e n maximale waarde be r e i k t .

-Met een k l e i n s t e k w a d r a t e n a l g o r i t m e w o r d t een c i r k e l b e r e k e n d door e e n a a n t a l p u n t e n r o n d 4~ I

-De demping ,AK e n h e t r e s i d u ( U i j K P V i j k 1 worden berekend u i t de p l a a t s van h e t miaueipunt en de d i a m e t e r van de c i r k e l .

Met deze methode k a n n i e t - p r o p o r t i o n e l e demping s n e l worden berekend; i n d i e n e r e c h t e r v e e l r u i s i n de m e t i n g e n aanwezig i s k a n h e t a l g o r i t m e d i v e r g e r e n . L i t e r a t u u r : Van B r u s s e l (19801, Mergeay (19801, Van d e r Staay (1979) .

D e ' c i r c l e - f i t v e r l o o p t a l s v o l g t :

3 . 5 . 3 V o l l e d i g e f i t .

B i j d e z e methode worden geen e x t r a v e r o n d e r s t e l l i n g e n g e b r u i k t en wordt de v o l l e d i g e f o r m u l e ( 3 7 ) i n beschouwing genomen. E r b e s t a a n momenteel d r i e w e r k w i j z e n :

3 .5 .3 .1 Curve f i t i n h e t f requent ie-domein.

Maak een b e g i n s c h a t t i n g v o o r /cAk e n V k i K = l . . . f l ,Bepaal de r e s i d u e n ( U i j k ,\ijk 1 e n l/m';j met behulp van een l i n e a i r k l e i n s t e k w a d r a t e n a l g o r i t m e

-Bereken met de z o j u i s t v e r k r e g e n v o l l e d i g e s e t van (4n + 2 ) p a r a m e t e r s a l s b e g i n s c h a t t i n g de v o l l e d i g e s e t p a r a m e t e r s met b e h u l p van een n i e t - l i n e a i r k l e i n s t e

e n S!'- '.I

- 61-

k w a d r a t e n me thode a l g o r i t m e . - B e p a a l h e t g e m i d d e l d e v a n pk e n Jk o v e r a l l e g e m e t e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s i e s .

- B e r e k e n b i j d e z e s e t v a n 2 n p a r a m e t e r s p k e n 9% de r e s i d u e n e n de e x t r a t o e g e v o e g d e t e r m e n met e e n l i n e a i r k l e i n s t e k w a d r a t e n me thode a l g o r i t m e .

V o o r meer i n f o r m a t i e : Van L o o n (1974) .

3.5.3.2 C u r v e - f i t i n h e t t i j d d o m e i n (Mergeay ( 1 9 8 0 ) )

H i e r v o o r g e b r u i k e n we de i n v e r s F o u r i e r - g e t r a n s f o r m e e r d e v a n f o r m u Le (19) :

F - ' ( H i j (I% 1 ) = h i j ( t )

m e t :

v o L g t :

í 46)

E f f e k t e n v a n t r i L l i n g s v o r m e n b u i t e n de b e s c h ouw de f r e q u e n t i e b a n d C iAIhP Gg i w o r d e n i n r e k e n i n g g e b r a c h t d o o r t w e e e x t r a t r i l l i n g s v o r m e n mee t e nemen met yk=uA e n d, = wg:

D o o r e e n k l e i n s t e k w a d r a t e n a a n p a s s i n g a a n de g e m e t e n i mpu 1s r e s p o n s i e ( o f be r e k e n d u i t e e n g e m e t e n f r e q u e n t i e - r e s p o n s ) k u n n e n de o n b e k e n d e p a r a m e t e r s b e p a a l d worden .

- 62-

3.5.3.3 C u r v e - f i t i n h e t t i j d - e n f r e q u e n t i e - d o m e i n .

B i j d e z e methode w o r d t e e r s t e e n c u r v e - f i t i n h e t t i j d d o m e i n t o e g e p a s t om d e p a r a m e t e r s PK en L?K t e b e p a l e n v o o r k = l , n . D a a r n a worden d e z e p a r a m e t e r s i n ( 3 7 ) i n g e v u l d e n e e n c u r v e - f i t i n h e t f r e q u e n t i e d o m e i n t o e g e p a s t om d e o v e r i g e (2n+2> p a r a m e t e r s t e b e p a l e n . V o o r de l a a t s t e c u r v e - f i t k u n n e n we v o l s t a a n met een l i n e a i r e k l e i n s t e k w a d r a t e n a l g o r i t m e . L i t e r a t u u r : Piergeay (198O) -

- 63-

4 M A A P PROGRAMMA

Het programma MAAP (Modal Analysis Application Program), waarvan de

oorspronkelijke versie is geschreven ~p de "University of Cincinnati",

en waarin een aantal wijzigingen door WPT zijn aangebracht, biedt

de modelijkheid om van een struktuur de eigen-trillingsvormen te

analyseren.

Voor men kan overgaan tot de metingen moet men van de struktuur die

men wil meten vastleggen waar de meetpunten liggen. De situering van

die punten moet dusdanig zijn dat men, door de punten met lijnen te

verbinden, een goede indruk krijgt van de geometrie van de struktuur.

Soms is het prettig de struktuur op te bouwen uit meerdere componenten

(maximaal 1 0 ) . Voor ieder van deze componenten heeft men dan een

lokaal assenkruis waarbinnen men de coördinaten van de knooppunten

opgeeft. Het is mogelijk deze coördinaten op te geven in rechthoekige

(X,Y,Z) ofcylindrische (r, Q, z) grootheden. Van iedere component moet men in het GLOBALE assenkruis opgeven wat de verschuiving van de

oorsprong (x, y, z ) en de oriëntatie van de globale assen ten opzichte

van het lokale assenkruis is. In Fig. 1. zijn een aantal voorbeelden

gegeven.

Het programma MAAP bestaat uit een aantal delen (monitoren) welke niet

allemaal gelijktijdig in het geheugen van de HP 9825 geplaatst kunnen

worden. De basis van het programma bestaat uit de MAIN-monitor. De

werk-monitoren kunnen met behulp van de special-function toetsen aan

de MAIN-monitor worden gekoppeld. Men kan altijd weer terugkeren naar

de MAIN-monitor door de functie-toets van de werk-monitor nogmaals

in te drukken., In Fig. 2. ziet men een afbeelding van de special-

function toetsen. Een overzicht van de monitoren en de bijbehorende

functies staan in Fig. 3 .

De globale volgorde van werken met MAAP treft U aan op pagina 4 en 5.

In Tabel 1 . zijn de belangrijkste vragen die U tegen kunt komen weer- gegeven.

- 64-

Binnen de PLOT-monitor zijn een groot aantal functies aktief. In

Tabel 2. kan men vinden voor welke gevallen de funktie-toetsen kunnen

worden gebruikt.

Tijdens het werken met MAAP zijn in het werk-geheugen een groot aan-

tal gegevens aanwezig in de "current set-up". Wil men uit deze "current

set-up" gegevens behouden dan moeten deze worden gesaved op de 9825

tape. Ook kan men de complete "current set-up" op de 9825 tape saven.

Met de RECALL-monitor kan men gegevens welke aanwezig zijn op de 9825

tape naar het werkgeheugen halen. Men moet er aan denken dat gegevens

welke men heeft ingebracht met de INPUT- of EDIT-monitor verloren

gaan als de machine wordt afgezet. Men kan ze behouden door met de

SAVE-monitor de betreffende files op de 9825 tape op te slaan. Fig. 4.

geeft een indruk van de data die opgeslagen kunnen worden, en die

welke beschikbaar zijn in de "current set-up".

*Als appendix is een kontrole-lijst toegevoegd, aan de hand waarvan men de uitgevoerde metingen kan registreren, zodat op een later ijdstip de gegevens gemakkelijk ku en worden-teruggezocht.

- 65-

IY GLOBAL assenkruis voor oriëntatie van componenten en voor

(l,l, 1) vieuw

Y

Lokaal-assenkruis met coördinaten

- - - -

Rechthoekig (x,y,z) = Type 1 Cylindrisch (r,@,z) = Type O

X

Voorbeelden van lokale-assenkruizen.

I

7

/* X

Definitie oriëntatie: pos. X-as = +1 pos. Y-as = + 2 pos. Z-as = + 3

Figuur 1. De gebruikte assenkruis-stelsels binnen MAAP.

- 66-

Figuur 2 . De Special-function toetsen voor MAAP.

vieuw

components

5420 plot

undeformed

deformed

move

e amplitue . O expand

a label

e animate

P L O T (blauw)

(e kan gebruikt worden

ti jdens anhatie)

CLEAR

I N P U T

E D I T

P R I N T

5420 P R I N T

SAVE

RECALL ( zwart)

P set-up

components

coordinates

connectivity

modal coefficients

eigen values b

MA I N RESTART

mass storage mass storage

pick modal coeffi MEASUREMENT

cients from tape pick modes from peaks (rood)

Figuur 3. De monitoren met bijbehorende funkties.

- 6 7 -

M .A.A.P. programma.

Opstarten. Schakelaar achterop de analyzer op "adressable" zetten MAAP-cassette in de calculator en evt. data cassette in analyzer plaatsen. Analyzer aanzetten, pas daarna plotter en calculator aanzetten. "RESET" "Id€ O EXECUTE" "RUN" #i if no digital plotter ''CONTINUE I'

#main monitor O000 Bij problemen: Analyzer: "RESET" of "O RESET" Calculator: 1 e "RESTART" 2 . "stop RESTART continue" 3. "stop reset RESTART continue" Globale werkwijze.

setup

comp.

coörd.

conn.

Naam voor identificatie, datum

Definitie voor max 10 componenten van een een assenkruis: coördinaten oorsprong, richtingen assen en type. Voor elk punt moeten de coördinaten en com- ponenten worden ingevoerd. Definitie van de wijze waarop in een plaatje de punten door lijnen aan elkaar worden verbonden. Er kunnen max 5 files worden ingevoerd.

setup comp . coörd. conn. setup coörd. conn. comp . setup comp . coörd. conn - setup comp. coörd. conn.

Uitprinten van de zojuist ingevoerde data op de kassarol

uitprinten van de invoeïgegevens op het scherm van de anaiyzeï.

Evt. corrigeren van invoerfouten. Na cor- rigeren weer uitprinten.

setup Haalt alle gegevens die bij de laatste gesavede setup in het programmageheugen aanwezig waren weer op.

vi euw Definitie gezichtspunt in het globale MAAP

5 plot Laat onvervormde structuur op het scherm assenstelsel.

van de analyzer zien. (controle van de invoer).

___--_______________--------------------------------------------- i MAIN MONITOR I .............

- 68-

modal eigen

---+ ms

- st

Uitwissen van evt. aanwezige eigenfrequen- ties en bijbehorende dempingen en eigen- vectoren.

Schakelaar achterop analyzer op "talk" en maak oriëntatiemetingen, instellingen set- up analyzer en instelling ladingsversterkers.

Schakelaar achterop analyzer op "adressable", evt. O-reset. Maak meting voor mode identi- ficatie. Zet imaginaire deel van de TRANSFER op het display.

Zet cursor op gewenste mode en definiëer zo een aantal gewenste modes. Definities - random/impact excitatie

- aantal zooms (max 5) met bijbe- rende analyzerinstellingen

(eerst de breedband, daarna zooms 1 geakkumuleerd wordt.

- de mode die in programmageheugen

Definitie van de plaats waar de gemeten data opgeslagen moeten worden. 9825 tape=Calculator; 5420 tape=Analyzer Uitprinten van de meetinstellingen op kassa- rol. Start metingen.

.te

eigen modal

und

def

anima amp modal

mass

-pick reen)

Opslaan eigenfrequentie + dempingen Opslaan één mode (die in het programmage- heugen)

Plotten van de onvervormde structuur op de plotter. Plotten van de in het programmageheugen aanwezige mode op de plotter Animate op net analyserscherml d o p p e n 171e-k 'PLr Veranderen van amplitude Verwijderen van de mode uit het programma- geheugen.

Definitie van de plaats op de cassette waar de te fitten waarden opgeslagen zijn (zie ms). Opdracht om een bepaalde mode te curve fitten.

SAVE MONITOR (black), modal PRINT MONITOR (black) , modal PLOT MONITOR (black), und, def, ampl, animate CLEAR MONITOR (black) , modal CURVE FIT MONITOR (green), mass,pick voor volgende mode.

set Opslaan van de in het programma aanwezige informatie. (setup, comp' conn, coörd, eigen, modal voor één mode, view, label).

- 69-

Belangrijke vragen naar invoer van MAAP.

Funk t i e toe t L

set comp coörd conn

conn

vieuw

peak -

type

,ns

st

Vraag

TEST ID (hoofsletters!) ; date; comp no. X, Y, 2 , IX, IY, 12, T; point no. X I Y, 2 , comp no; enter connectivily - k (K = index)

O - ik wil een nieuwe k invoeren (correc-

getal - invoeren van dat getal 2 getallen - invoeren van reeks getallen

tiemogelijkheid)

die met 1 opgehoogd worden

edit sequence no. Ll, L2; getal: verwijderen van getal met die in-

dex of toevoegen van data vóór die index

2 getallen; vervangen van die range 1 to delete ins er t point

connectivily file no.: (1 t/m 5 mogelijkheden)

vieuwing direction X, Y, 2;

peak mode no.; 1 for impact test no. of zoom ranges; zoom range, CF, BW, avgs; mode no; 1 to save on 9825 tape; 9825 start record (1-550) 1 to save on 5420 tape; 5420 start record (2-120) IMPACT TEST POINT; / move transducer to nextpoint; point no., direction;

Tabel I.

- 70-

Druk op PLT om de p l o t - m o n i t o r t e a c t i v e r e n :

p l o t m o n i t o r ( b l u e )

D e v o l g e n d e k l e i n e b l a u w e le t ter f u n k t i e s b e p a l e n op w e l k e w i j z e de

o n g e d e f o r r n e e r d e of gedeformeerde geometrie w o r d t geplot op de

d ig i t a l e plot ters of op welke w i j z e d e ' g e a n i m e e r d e s t r u k t u u r w o r d t

g e t o o n d op de 5420:,

cmp v m def urid a n i m a t e 5 4 2 0 p l o t amp M v ex lbl

( d da d d a d dax d dax dax 1

h i e r i n is: d e e n digi ta le-plot f u n c t i e toets

a e e n a n i m a t i e f u n c t i e toe ts e n

x e e n f u n c t i e t o e t s welke a k t i e f i s g e d u r e n d e a n i m a t i e

Tabel 2 .

D e " c u r r e n t se t -up" of d e l e n

e r u i t kunnen v e r s c h i l l e n v a n

de data op de 9825 tape

t e n g e v o l g e v a n e d i t i n g , h e r m e t e n

comp. x e n

F ig . 4 . D a t a s t r u c t u u r v a n MAAP.

etc .

ANkLk'Z ERL

S e t - up's gesaved op: ---------

D a t a gesaved op:

- f i l t e r 1

I I

selup(inkl, viei;, l a b e l )

c ompon en t;s

co o rdinakes

c o n n e c t i v i t y (max 5) 1

- S A v

modal ( inax 20)

e i gen

- 72-

:.iass (metingen)

51120%

X o l e v a n t e gegevens u i t g e p r i n t op kassarol

- i n v o e r

- modal c o e f

- eigeriva lues

- print-out measureinen t s .

- 73-

5 LITERATUUR

R . A l l e m a n g F r e q u en cy R e s p ons e c o n cep t s S e m i n a r on m o d a l a n a l y s i s , L e u v e n 1 9 8 0 a

R . Al lemancg O v e r v i e w of e x p e r i m e n t a l m o d a l a n a l y s i s methods S e m i n a r on m o d a l a n a l y s i s , L e u v e n 1980b

J . B e n d a t , A . P i e r s o l Random d a t a , a n a l y s i s and measurement p r o c e d u r e s J o h n W i l e y 8 S o n s i n c . 1971

D . Brown, G . C a r b o n , K . Ramsey S u r v e y o f e x c i t a t i o n t e c h n i q u e s a p p l i c a b l e t o t h e t e s t i n g o f automot i ve s t r u c t u r e s S o c i e t y o f a u t o m o t i v e E n g i n e e r s C o m g r e s s , Feb-March 1 9 7 7 .

H . v. B r u s s e l M o d a l a n a l y s i s t h e o r y S e m i n a r on m o d a l a n a l y s i s , L e u v e n 1 9 8 0

T . K . C a u g h l y , M . E . J . O ' K e l l y C l a s s i c a l modes i n damped l i n e a i r d y n a m i c s y s t e m s J o u r n a L o f App li e d M e c h a n i c s , s e p t 1 9 6 5 , p p 583-558

E . D o e b e l i n M e a s u r e m e n t s y s t e m s , a p p l i c a t i o n a n d d e s i g n M c G r a w - H i l l I n c , 1 9 7 5

W . H a L v o r s e n a n d B. Brown I m p u l s e t e c h n i q u e f o r s t r u c t u r a l f r e q u e n c y - r e s p o n s e t e s t i n g S o u n d a n d V i b r a t i o n , november 1 8 7 7 , pp 8-25

W . C . H u r t y , M.F. R u b i n s t e i n D y n a m i c s o f s t r u c t u r e s P r e n t i c e H a l l I n c . 1 9 7 4

A .L . K l o c t e r m a n ûn i n e e x p e r i m e n t a i a e t e r m i n a t i o n ä n c t h e u s e o f modal r e p r e s e n t a t i o n s o f , dynami c c h a r a c t e r i s t i c s D i s s e r t a t i on U n i v e r s i t y o f C i n c i n n a t i , 1971

P . Van L o o n M o d a l P a r a m e t e r s o f m e c h a n i c a l s t r u c t u r e s D i s s e r t a t i o n k a t h o l i e k e U n i v e r s i t e i t L e u v e n p 1 9 7 4

M. N e r g e a y T h e o r e t i c a L b a c k g r o u n d o f c u r v e - f i t t i n g methods u s e d by modal a n a l y s i s S e m i n a r on m o d a l a n a l y s i s , L e u v e n 1 9 8 0

J . P e t e r s , P1. M e r g e a y D y n a m i c a n a l y s i s o f m a c h i n e t o o l s u s i n g c o m p l e x m o d a l method A n n a l s o f t h e C I R P , V o l 25-1-1976

- 7 4 -

Th. v . d . S t a a y E e n n i e u w e d i m e n s i e i n de m e c h a n i k a : I n l e i d i n g t o t de m o d a l e a n a l y s e R a p p o r t HP, A m s t e l v e e n 1 9 7 9

P . V a n h o n a c k e r The u s e o f m o d a l p a r a m e t e r s o f m e c h a n i c a l s t r u c t u r e s i n s e n s i t i v i t y a n a l y s i s , s y s t e m s y n t h e s i s a n d s y s t e m i d e n t i f i c a t i on met h o d s d i c s e r t a t i on k a t ho li e k e u n i ve r s i t e i t L e u v e n , 1 9 8 0 a

P V a n h o n a c k e r S y s t e m I d e n t i f i c a t i o n o f mechani ca 1 s t r u c t u r e s S e m i n a r on m o d a l a n a l y s i s , L e u v e n 1980b