Experiment  11        

1  

Magnetic  Torque  Physics  2150  Experiment  No.  11  

University  of  Colorado    

Introduction         In  this  experiment,  you  will  study  how  a  magnet  moment  !  interacts  with  a  magnetic  field  !.  You  will  measure  the  magnetic    moment  of  a  magnet  in  two  different  ways.    

Let  us  begin  by  reviewing  some  basic  theory.  Classically,  a  magnetic  moment  is  a  loop  of  electrical  current  !.  If  the  loop  has  area  !,  and  the  direction  normal  to  the  plane  of  the  loop  is  given  by  the  unit  vector  !,  then  the  magnetic  moments  is  defined  as  the  vector         ! = !  !  !,                                  (1)    where  the  direction  of  !  is  given  by  right-­‐hand-­‐rule  (with  your  right  hand,  curl  fingers  along  the  current;  your  thumb  points  along  !).    Examples  of  objects  with  magnetic  moments  include:      • Electrons  and  protons  in  which  the  “current”  is  a  result  of  the  quantum  mechanical  spin  

of  the  charged  particle  • Permanent  magnets  in  which  an  effective  current  is  formed  by  the  alignment  of  atomic  

currents  associated  with  spin  or  orbital  angular  momentum    • Loops  of  current-­‐carrying  wire    

A  magnetic  moment  !  in  a  uniform  magnetic  field  !  experiences  no  net  force  but  it  does  experience  a  torque         !  =  !  ×  !                                                          (2)    that  tends  to  align  the  moment  with  the  field.  A  magnetic  moment  !  in  a  non-­‐uniform  magnetic  field  !  experiences  a  net  force  given  by         !!"# =  !   ∙  ∇!.                          (3a)    In  the  case  that  the  gradient  is  aligned  with  the  z-­‐axis,  this  last  equation  becomes           !! = !!

!!!!".                              (3b)  

 Finally,  a  magnetic  moment  in  a  !-­‐field  has  a  potential  energy  given  by    

Experiment  11        

2  

      ! = −!   ∙  !,                                (4)    so  the  energy  is  minimum  when  the  moment  is  aligned  with  the  field.    

A  spinning  object  that  has  charge  possesses  a  magnetic  moment.  Similarly,  a  spinning  object  that  has  mass  possesses  angular  momentum.  For  instance,  protons  and  electrons  have  both  mass  and  charge  and  they  both  have  a  quantum  mechanical  spin,  which  can  be  thought  of  –  very  roughly  and  somewhat  inaccurately  –  as  a  rotation  of  the  particle.  So  both  protons  and  electrons  have  a  magnetic  moment  as  well  as  angular  momentum.    

    Classically,  the  angular  momentum  of  an  object  spinning  about  a  fixed  axis  can  be  defined  as           ! = !  !.                                  (5)    Here  is  the  moment  of  inertia,  defined  as  ! =   !!!!! = !!!",  where  !  is  the  distance  from  the  axis  of  rotation.  The  moment  of  inertia  of  a  uniform  sphere  about  an  axis  through  its  center  is  Isphere  =  !!!!

!.  The  vector  !  is  the  angular  velocity,  whose  

magnitude  is  ! = 2!" = !!!,  where  !  is  the  frequency  and  !  is  

the  period  of  rotation.  The  direction  of  !  and  !  is  along  the  axis  of  rotation,  given  by  the  right  hand  rule.    Part  I:  Harmonic  Oscillation    

In  this  part,  you  will  measure  the  magnetic  moment  of  a  small,  powerful  magnet  embedded  in  the  center  of  a  white  billiard  ball.  The  magnetic  moment  of  the  magnet  is  aligned  with  a  small  black  plastic  cap  on  the  ball.    

 The  ball  can  be  placed  in  an  air  bearing  (the  brass  cup  in  

the  center  of  the  apparatus)  which  allows  it  to  rotate  freely  with  almost  no  friction.  The  air  bearing  is  located  in  the  center  of  a  pair  of  Helmholtz  coils  which  create  a  nearly  uniform  !-­‐field  at  the  location  of  the  ball.  The  !-­‐field  is  proportional  to  the  current  !  through  the  coils  according  to      

! = ! ∙ !,  where  ! =  (1.36±0.03)  x  10-­‐3  T/A.                      (6)    [See  additional  remarks  about  the  Helmholtz  coils  in  the  Appendix.]    When  the  magnetic  field  is  on,  the  torque  on  the  magnet  due  to  the  field  will  tend  to  align  the  magnetic  moment  with  the  field.  If  the  ball  is  released  from  rest  with  its  axis  not  aligned  

Experiment  11        

3  

with  the  field,  the  ball  will  oscillate  back  and  forth  about  the  field  direction.  From  the  period  of  oscillation,  it  is  possible  to  compute  the  magnetic  moment  as  we  show  below.    A  torque  causes  a  change  in  the  angular  momentum  according  to           ! =   !!

!".                                (7)  

 In  this  case,  the  magnetic  torque  has  magnitude  ! =  !  !   sin!  and  !"

!"= !   !"

!"= ! !

!!!!!,  

leading  to  the  equation          !  !   sin! = −! !

!!!!!.                              (8)  

 [Question:  Why  is  there  a  minus  sign  in  this  equation?]    In  the  special  case  of  small  angles,  !  <<  1  radian,  the  sin!  ≈  !,    and  Eq.  (8)  can  be  rewritten  as         !!!

!!!=  − !"

!  !.                                (9)  

 Though  you  may  not  recognize  it,  this  is  the  equation  of  motion  of  a  simple  harmonic  oscillator.  To  see  this,  recall  that  for  a  mass  !  on  a  spring  with  spring  constant  !,  we  can  write         ! = !"    −!" = ! !!!

!!!    !

!!!!!

=  − !!  !.                            (10)  

 

This  last  equation  has  the  solution  ! = ! sin !" +  ! ,  where  ! =   !!!=   !

!  and  !  and  !  

are  arbitrary  constants  determined  by  initial  conditions.  (You  should  verify  this!)    Comparing  Eqs.  (9)  and  (10),  we  notice  they  are  exactly  the  same  equation,  except  with  different  symbols.  The  symbol  !  corresponds  to  x  and  the  symbol  !B/I  corresponds  to  k/m.  Since  (9)  and  (10)  are  the  same  equation,  they  have  the  same  solution.  Hence  the  solution  of  Eq.  (9)  is  

    ! = !!"# sin !" + ! ,  where  ! = !!!= !"

!.                  (11)  

 We  emphasize  that  this  solution  is  only  valid  in  the  limit  of  small  amplitude  oscillations.    The  last  equation  can  be  rewritten  as         !

!!= !

!!!!!.                            (12)  

 

Experiment  11        

4  

Thus  a  plot  of  (1/!!)  vs.  !  should  be  a  straight  line  with  a  slope   ! 4!!! .  The  moment  of  inertia  !  of  the  ball  is  readily  determined  by  making  careful  measurements  of  its  mass  and  its  diameter.  [Recall  that  for  a  sphere,  ! = (2/5)!!!].  Thus,  one  can  solve  for  the  magnetic  moment  !.    Procedure  (for  Part  I)       Begin  this  experiment  as  you  would  begin  any  experiment  –  by  thoroughly  inspecting  the  apparatus.  Find  the  on/off  switch;  figure  out  what  all  the  switches  and  knobs  do;  find  the  air  supply  and  inspect  the  controls;  play  with  the  billiard  ball  on  the  air  bearing;  give  it  a  spin;  see  what  happens  with  the  field  on  and  off.  Get  the  big  picture  before  taking  any  data!       Carefully  measure  the  mass  and  diameter  of  the  billiard  ball.  Use  the  electronic  scales  and  the  calipers.  From  these  measurements,  compute  the  moment  of  inertia  !  of  the  ball.  As  usual,  estimate  the  uncertainty  of  your  result.       Make  careful  measurements  of  the  period  of  oscillation  of  the  ball  for  several  values  of  the  !-­‐field.  Be  careful  to  keep  the  amplitude  of  the  oscillation  small.  At  a  given  value  of  !,  determine  the  period  !  by  measuring  the  time  for  several  periods  (at  least  10)  and  dividing  by  the  number  of  periods.  (Don’t  measure  the  period  10  times;  measure  the  time  for  10  periods  once  and  then  divide  by  10.)       Make  a  plot  of  (1/!!)  vs.  !.  The  points  should  fall  on  a  straight  line.  Determine  the  slope  of  this  line  with  the  Mathcad  program  Wlinfit.mcd  (which  is  on  the  hard  disks  of  the  PC’s  in  the  2150  lab).  From  your  data,  determine  the  magnitude  of  the  magnetic  moment  !  and  make  a  clear  determination  of  the  uncertainty  in  !.    Part  II:  Mechanical  Torque  vs.  Magnetic  Torque    

In  this  part,  we  will  again  measure  the  magnetic  moment  !  of  the  magnet  in  the  billiard  ball,  but  this  time  with  a  completely  different  method.  Here  we  will  balance  the  magnetic  torque  on  the  ball  with  a  mechanical  torque.  

 There  is  a  small  weight  on  a  thin  aluminum  

rod  which  can  be  placed  in  the  hole  in  the  cap  of  the  billiard  ball.  One  end  of  the  aluminum  rod  has  a  tiny  steel  pin  in  it,  so  the  magnet  will  grab  it  when  the  rod  is  inserted  into  the  ball.  The  small  weight  on  the  rod  is  used  to  exert  a  mechanical  torque  about  the  center  of  the  ball,  as  in  the  diagram.  When  the  ball  is  in  the  air  bearing  and  is  given  a  spin  about  its  axis  (by  twirling  the  rod),  the  ball  has  an  angular  momentum  !  parallel  to  the  axis  of  rotation.  When  the  !-­‐

Experiment  11        

5  

field  is  zero,  the  only  torque  of  the  ball  is  the  mechanical  torque.  Under  the  action  of  this  torque,  the  angular  momentum  will  precess  like  a  top.  This  precessional  motion  is  described  by  Eq.  9:           ! =   !!

!"  ≈  !!

!!    

 [Can  you  see  in  the  diagram  at  the  right  that  the  vectors  !  and  Δ!  are  indeed  parallel,  as  demanded  by  Eq.  (9)?]       Now  if  a  magnetic  field  is  applied,  and  the  field  has  the  correct  magnitude  and  direction,  then  the  magnetic  torque  ! =  !  ×  !  can  cancel  the  mechanical  torque  ! =  !  ×  !!  leading  to  no  net  torque  and  no  precession.  The  condition  for  no  net  torque  is         !  ×  ! =   !  ×  !!    !" sin! =  !  !" sin!    ! = !

!"  !.              (13)  

 Thus  a  plot  of  !  vs.  !  should  be  a  straight  line  with  slope  !/!".    

We  have  been  slightly  glib  in  discussing  the  mechanical  torque.  To  be  precise,  we  should  take  account  of  the  mass  !!"#  of  the  aluminum  rod  as  well  as  the  mass  !  of  the  small  weight  on  the  rod.  The  torque  due  the  weight  of  the  rod  alone  has  magnitude  (!!"  !!"#  ! sin!)  where  !!"  is  the  distance  from  the  center  of  the  ball  to  the  center-­‐of-­‐mass  of  the  rod.  This  torque  due  to  the  rod  should  be  added  to  the  torque  due  to  the  small  weight  (!  !" sin!)  to  get  the  total  torque.  Eq.  (13)  should  be  rewritten  as    

      !" sin! = !  !"  sin! +  !!"!!"#  g   sin!    ! = !

!"! −   !!"#!!"

!.            (14)  

 From  this  equation,  we  see  that  the  mass  of  the  rod  has  no  effect  on  the  slope  of  !  vs.  !  curve.  So  we  can  completely  ignore  the  mass  of  the  rod  when  taking  measurements.  It  is  essential  to  make  a  plot  of  !  vs.  !  and  measure  the  slope;  we  cannot  determine  !  by  simply  taking  one  measurement  and  assuming  ! = !

!"!.    

 Procedure  (for  Part  II)       Begin  by  carefully  determining  the  mass  !  of  the  small  weight  by  using  the  high  precision  digital  scale.  When  inserting  the  aluminum  rod  into  the  ball,  make  sure  the  end  with  the  steel  pin  is  inserted:  you  can  feel  the  magnet  grab  the  rod  when  it  is  all  the  way  in.  To  determine  the  length  !,  you  will  need  to  measure  the  diameter  of  the  billiard  ball  the  length  of  the  black  plastic  cap  on  the  ball,  the  width  of  the  small  weight,  and  the  distance  from  the  top  of  the  cap  to  the  bottom  of  the  weight.    

Experiment  11        

6  

      With  the  !-­‐field  set  to  zero,  and  !  at  some  particular  value,  place  the  ball  with  its  rod  and  small  weight  in  the  air  bearing  and  give  it  a  good,  strong  twirl.  It  will  precess  and  will  continue  to  precess  as  long  as  the  ball  is  spinning  about  its  axis.  Adjust  the  magnitude  and  direction  of  the  !-­‐field  until  the  precession  stops  completely.  (There  is  a  field  polarity  switch  for  changing  the  direction  of  the  field.)  This  gives  you  one  (!,!)  data  pair.  Repeat  this  procedure  for  several  values  of  !  and  plot  !  vs.  !.  Determine  the  slope  of  the  line  and,  from  your  measurements,  determine  the  magnetic  moment  !  and  its  uncertainty.  Be  sure  to  compare  your  results  from  Parts  I  and  II.    Part  III:  Field  Gradient  Method    

In  this  part,  you  will  determine  the  magnetic  moment  of  a  small  magnetic  by  measuring  the  force  on  the  magnet  in  a  field  gradient  as  given  by  equation  (3b).           !! =  !!

!!!!"                            (3b)  

 This  is  called  the  field  gradient  method  and  is  a  technique  frequently  used  by  chemists  and  physicists  to  determine  the  magnetic  moment  of  an  unknown  sample.    

In  our  case,  the  “unknown”  is  a  small  magnet  (in  a  white  plastic  case),  which,  according  to  the  manufacturer,  is  identical  to  the  magnet  in  the  billiard  ball.  (You  will  determine  how  identical  it  actually  is!)  

 There  is  a  switch  on  the  apparatus  which  turns  

on  the  field  gradient  by  switching  the  current  direction  in  one  of  the  Helmholtz  coils.  The  formula  for  the  gradient  produced  by  two  single  loops  of  wire  of  radius  !,  separated  by  a  distance  !,  and  each  carrying  a  current  !  is        

!!!!"

=   !!!!!!!!

!

!!!  !!

!

! !                        (15)  

 

Experiment  11        

7  

  Each  of  our  coils  has  195  turns.  The  average  radius  of  the  coils  is  !  =  0.109  m  and  the  average  separation  of  the  coils  is  !  =  0.138  m.  (The  uncertainty  on  each  number  is  one  place  in  the  last  digit.)  For  our  magnet,  the  resulting  field  gradient  is         !"

!"= !   ∙ !,  where  D  =  1.69  x  10-­‐2  T  /  (m  ∙  A)                  (16)  

 The  magnet  is  attached  to  a  spring  of  unknown  spring  

constant  !  –  all  in  a  plastic  holder  which  fits  neatly  over  the  air  bearing,  so  you  can  suspend  the  magnet  by  the  spring  in  the  field  gradient.  (The  air  bearing  is  OFF  throughout  this  part.)  To  determine  the  spring  constant  !,  you  can  use  the  5  small  steel  balls  as  weights  (they  will  stick  to  the  magnet).  By  measuring  the  stretch  of  the  spring  as  a  function  of  the  number  of  balls  hanging  from  the  magnet  at  the  end  of  the  spring,  you  should  be  able  to  determine  the  spring  constant  !.  (HINT:  You  do  not  need  the  mass  of  the  magnet  in  your  calculations  if  you  make  the  correct  graph  and  take  the  slope.)  

 With  the  spring  constant  known,  you  can  measure  the  

force  on  the  magnet  when  it  is  suspended  in  the  field  gradient.  (Be  sure  the  magnet  is  always  centered  in  the  Helmholtz  coils.)  Take  many  measurements  with  different  values  of  the  field  gradient.  Make  the  necessary  plot  to  get  the  desired  slope.  Now,  boldly  proceed  to  determine  !!      Appendix  I:  Helholtz  Coils       Helmholtz  coils  are  a  pair  of  current-­‐carrying  loops  of  wire  designed  to  produce  a  magnetic  field  of  very  high  homogeneity.  When  the  separation  !  of  the  coils  is  equal  to  the  coil  radius  !,  the  both  dB/dz  and  dB2/dz2  vanish  as  the  center  of  the  coils,  producing  a  region  of  extremely  uniform  B-­‐field  at  the  center.      Appendix  II:  Just  for  Fun  How  does  this  relate  to  NMR  (Nuclear  Magnetic  Resonance)?       Nuclear  Magnetic  Resonance  (NMR)  is  a  standard  analytic  technique  used  by  chemists,  physicians,  and  physicists.  Chemists  use  NMR  to  identify  unknown  chemical  compounds;  physicians  use  NMR  to  image  the  interiors  of  patients;  physicists  invented  NMR  and  they  are  always  trying  to  develop  new  ways  to  use  it.    

Experiment  11        

8  

  NMR  relies  on  the  fact  that  many  nuclei  possess  a  magnetic  moment.  For  instance,  in  water  molecules,  the  nucleus  of  each  hydrogen  atom  (which  is  simply  a  proton)  possesses  a  magnetic  moment  of  magnitude  1.4  x  10-­‐26  A  ∙  m2.  Compare  this  tiny  moment  with  the  moment  you  measured  in  this  experiment.  Even  an  Avagadro’s  Number  (6  x  1023)  of  water  molecules  with  their  moments  all  aligned  would  have  a  small  magnetic  moment  compared  to  an  ordinary  magnet.       In  NMR,  a  sample  containing  the  nuclei  is  placed  in  a  large  external  magnetic  field  B,  typically  B  =  1  tesla  or  more.  The  nuclei  tend  to  align  with  the  B-­‐field,  but  because  the  nuclei  posses  angular  momentum  as  well  as  a  magnetic  moment,  they  precess  about  the  field  direction.  These  precessing  moments  create  an  oscillating  magnetic  field  which  produces  an  emf  (by  Faraday’s  Law)  in  a  wire  coil,  called  a  pick-­‐up  coil,  wound  around  the  sample.  In  essence,  the  nuclei  act  like  a  radio  transmitter  and  the  pick-­‐up  coil  acts  like  a  receiver.  The  nuclei  broadcast  a  radio  signal  at  a  frequency  equal  to  the  precession  frequency,  which  is         ! = !

!!   !!!                        (II.1)  

 where  !  is  the  magnetic  moment  of  the  nucleus  and  !  is  its  angular  momentum.  The  ratio  (!/!)  is  called  the  gyromagnetic  ratio.  If  you  wish  derive  this  formula,  start  with           ! =  !  ×  ! =   !!

!"  .                        (II.2)  

 For  nuclear  magnet  moments  in  magnetic  fields  of  about  one  tesla,  this  frequency  is  several  megahertz  (in  the  radio  regime).    

With  our  apparatus,  you  can  observe  this  NMR  precession  with  the  billiard  ball  acting  as  a  big  proton.  Turn  on  the  magnetic  field,  place  the  ball  (without  the  aluminum  rod)  in  the  air  bearing,  and  give  it  a  spin  by  twirling  the  plastic  cap.  Observe  at  higher  !-­‐fields,  as  predicted  by  Eq.  (II.1).  

In  magnetic  resonance  imaging  (MRI),  the  “sample”  is  usually  a  human  being  and  the  NMR  signal  comes  from  the  protons  of  the  water  molecules  in  the  patient.  The  patient  is  placed  in  a  slightly  non-­‐uniform  magnetic  field.  Since  the  NMR  signal  frequency  is  proportional  to  the  !-­‐field,  which  varies  with  position  in  the  patient,  different  parts  of  the  patient’s  body  will  be  producing  different-­‐frequency  signals.  The  frequency  of  the  signal  gives  information  on  the  location  in  the  body,  and  a  picture  of  the  water  density  in  the  patient  can  be  reconstructed.