Exo s Transparent s Chap It Re 04

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Chapitre 4

Transformations thermodynamiquesExercices dentranement

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1. Transferts thermiques par conduction

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? Refroidissement dun composant electronique

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Un composant electronique de conductivite thermique = 4, 0.102W.m1.K1 a deuxfaces 1 et 2 separees par lepaisseur d = 2, 0cm. Un ventillateur refroidit la surface 1 grace a`un courant dair a` la temperature a = 20C tandis que lautre face (2) est maintenue (dufait de son utilisation) a` la temperature 2 = 50C. En regime permanent, la temperaturede 1 doit avoir la valeur 1 = 30C.1) Calculer quelle doit etre la valeur du coefficient h defini dans la loi de Newton.2) Sur quel parame`tre peut-on jouer simplement pour obtenir cette valeur ?

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? Refroidissement dun composant electronique

Elements de correction

1) h = d211a = 4, 0W.m

2.K1.2) On peut jouer simplement sur le debit dair pour obtenir cette valeur !

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? Temperature dans un igloo

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On assimile un igloo a` une demi sphe`re de rayonR = 1, 5m et depaisseur e = 20cm R,en glace (dont la conductivite thermique est = 50mW.K1.m1. Un etre humain dansligloo degage une puissance thermique Pth = 75W . Seul la conduction thermique sera priseen compte.1) Quelle est la temperature a` linterieur Tint si la temperature exterieure est :1.a) Text = 5 ?1.b) Text = 10 ?1.c) Text = 15 ?1.d) Text = 20 ?

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? Temperature dans un igloo


1) Tint = Text + e.P2.pi.R2. soit :1.a) Text = 5 Tint = +16 ;1.b) Text = 10 Tint = +11 ;1.c) Text = 15 Tint = +6 ;1.d) Text = 20 Tint = +1.

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? La sensation de chaud ou de froid

Enonce

Tout lexercice est a` une dimension : x et les transferts thermiques sont purement conduc-tifs. On sinteresse a` deux cylindres (1 en x [L, 0] et 2 en x [0,+L]), de memes lon-gueurs L, de masses volumiques respectives 1 et 2, de capacites calorifiques massiquesrespectives c1 et c2, de conductivites thermiques respectives 1 et 2, thermostates a` leursextremites (T (L, t) = T1 et T (+L, t) = T2), en contact en x = 0.1) Thermodynamique :1.a) Rappeler lequation de diffusion thermique.1.b) Donner lexpression de la temperature en regime permanent. Exprimer en particulierT0, la temperature en x = 0.2) Application a` la sensation de chaud et de froid :On suppose que le cylindre 2 est une main, et T2 = 37C. Lautre cylindre est un objettouche par la main. On imagine que la sensation de chaud ou de froid ressentie par la mainest reliee a` la temperature au point de contact x = 0.2.a) Discuter cette modelisation.2.b) Contact avec du bois : 1 2. Ce bout de bois semble-t-il chaud ou froid, si le boutde bois est a` T1 = 20C ? Et si T1 = 60C ?2.c) Contact avec un metal : memes questions, mais cette fois, 1 2.

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? La sensation de chaud ou de froid


1) Thermodynamique1.a) Equation de diffusion thermique : .c.T (~r,t)t = .T (~r, t).1.b) En regime permanent, la temperature est affine dans les deux cylindres : T (x [L; 0[) =a1.x+b1 et T (x [0;+L[) = a2.x+b2. avec a1 = 2(T1T2)L.(1+2) , a2 =

1(T1T2)L.(1+2)

et b = T0 =T1.1+2.T2

1+2.

2) Application2.a) La sensation de chaud ou de froid ressentie par la main est complexe (mesure detemperature, mesure differentielle de temperature, mesure de transfert thermique...). Etpourquoi les deux cylindres auraient la meme longueur ?2.b) Contact avec du bois : T0 T2. Que le bois soit chaud ou froid, cest la main quiimpose sa propre temperature au contact.2.c) Contact avec un metal : T0 T1. Que le metal soit chaud ou froid, cest lui qui imposesa propre temperature au contact. Si T1 = 20C, il semble froid (plus froid que la main !).Et si T1 = 60C, il semble chaud.

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? Transfert par conduction et (ir)reversibilite

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Afin de modeliser un echangeur thermique, on conside`re une barre de section S etde longueur L, de conductivite thermique (on negligera les autres modes de transfertthermique) qui a, en regime permanent, ses deux extremites aux temperatures T1 (en x1)et T2 (en x2 > x1).1) Exprimer le flux thermique qui se propage suivant ~ux.2) Faire un bilan dentropie pendant dt : donner2.a) la variation dentropie dS ;2.b) lentropie echangee Se ;2.c) lentropie creee Sc.3) Interpretation :3.a) Le precedent resultat est-il conforme au second principe ?3.b) Comment faire pour rendre le processus reversible ? Quest-ce que cela impose pour ?3.c) Montrer que, pour minimiser les irreversibilites tout en conservant un flux non nul, ilfaut que T1 T2 = T T1.

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? Transfert par conduction et (ir)reversibilite


1) = T1T2L .S.2) Bilan dentropie pendant dt :2.a) dS = 0 ;2.b) Se = (T1T2)

2

T1.T2.SL dt ;

2.c) Sc =(T1T2)2T1.T2

.SL dt.

3) Interpretation :3.a) Sc 0.3.b) T1 = T2 Sc = 0, mais aussi = 0.3.c) = TL .S est un infinitesimal du premier ordre ;

et Sc (TT1

)2.SL dt est un infinitesimal du second ordre.

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2. Transferts thermiques par rayonnement

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? Deux corps noirs proches

Enonce

Deux corps noirs A et B de temperatures respectives T0 et T0 + T sont places facea` face. Leur distance mutuelle est petite devant les dimensions laterales de la surface enregard daire S0.1) Determiner le flux thermique AB qui transite de A vers B.2) En donner une approximation si T T0.

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? Deux corps noirs proches


1) AB = S0..(T 40 (T0 +T )4

).

2) Si T T0, AB 4.S0..T 30 .T .

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? Photographies en lumie`res naturelle et artificielle

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On definit le rapport (T ) = rb lorsquune feuille blanche (supposee reflechir de lameme facon toutes les radiations visibles) est eclairee par la lumie`re emise par un corps noirde temperature T , ou` r et b sont les flux surfaciques spectraux de la lumie`re reflechie parla feuille respectivement aux longueurs donde r = 650nm (rouge) et b = 450nm (bleu).1) Determiner les valeurs de pour1.a) la lumie`re solaire : (5500K) ;1.b) et pour un eclairage electrique : (3500K).2) Interpretation :2.a) Pourquoi une diapositive prise dans une pie`ce eclairee a-t-elle un aspect rouge ?2.b) Pourquoi ce phenome`ne nest-il pas apparent a` loeil ?

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? Photographies en lumie`res naturelle et artificielle


1) Valeurs de :1.a) la lumie`re solaire : (5500K) = 0, 95 1 ;1.b) et pour un eclairage electrique : (3500K) = 2, 6 6= 1.2) Interpretation :2.a) Ainsi, leclairage artificiel est plus charge en rouge : une diapositive prise dans unepie`ce eclairee a donc un aspect rouge.2.b) Ce phenome`ne nest pas apparent a` loeil, car le cerveau corrige les informations quien parviennent.

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? Detection infrarouge

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On sinteresse a` un syste`me dimagerie infrarouge dont les detecteurs delivrent un si-gnal proportionnel au flux thermique des objets analyses (assimiles a` des corps noirs detemperature T 300K) . On suppose que le syste`me electronique est capable de mettre enevidence un ecart relatif de 1%.1) Quel est lordre de grandeur de la longueur donde max pour laquelle le flux spectraldes objets usuels est maximal ?2) Quelle est la plus petite variation de temperature T detectable ?

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? Detection infrarouge


1) max 10m (dans linfrarouge !).2) T T400 = 0, 75K.

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? Radiateur infrarouge

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Un radiateur infrarouge compose de N = 20 cylindres de rayon a = 2, 5cm et delongueur l = 60cm, dans lequels circule de leau a` T = 70C dissipe toute sa chaleursous forme de rayonnement. On admet quil se comporte comme un corps noir. On donne = 56, 7032.109W.m2.K4.1) Quelle est la surface S totale du radiateur ?2) Calculer la puissance P du radiateur.3) Exprimer la longueur donde max pour laquelle la puissance thermique spectrale estmaximale.4) Quelle serait la puissance P rayonnee si la temperature de leau etait T = 60C ?

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? Radiateur infrarouge


1) S = 2.N.pi.a.l.2) P = S..T 4 = 1, 5kW .3) max = 8, 7m.4) P = S..T 4 = 1, 3kW .

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? Lois de Planck du rayonnement

Enonce

On rappelle que la puissance rayonnee par unite de surface dun corps noir est repartiesur lensemble des frequences , selon la loi de Planck :

() =2.pi.hc2

3

eh.kB.T 1

Sa repartition selon les longueurs donde est notee (). Le flux surfacique total est

=

+0

.d

1) Relier et pour une onde electromagnetique dans le vide.2) Reecrire sous forme dune integrale de .3) En deduire lexpression de ().

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? Lois de Planck du rayonnement


1) . = c.

2) =+0

.d.

3) () = 2.pi.h.c2

51

eh.c

kB.T.1.

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? La constante de la loi de Planck du rayonnement

Enonce

On donne :

la celerite de la lumie`re dans le vide : c = 3, 00.108m.s1 ; la constante de Planck : h = 6, 62.1034J.s ; la constante de Boltzmann : kB = 1, 38.1023J.K1.On rappelle que la puissance P rayonnee par unite de surface dun corps noir est repartie

sur lensemble des frequences , selon la loi de Planck :

dPud

= Cte.T 3.g (u) ou` g (u) =u3

eu 1 et u =h.

kB .T

La fonction g(u) verifie +u=0

g (u) du = pi4

15 .La constante Cte de la loi de Planck nest fonction que des constantes universelles h, c

et kB , sous la forme : (c)

(h

)(kB) = C

te

ou` , , et sont des constantes sans dimension.1) Determiner les valeurs de :1.a) ,1.b) 1.c) et .Letude experimentale du rayonnement du corps noir porte a` la temperature T montre quela puissance rayonnee par unite de surface de ce dernier, sommee pour toutes les frequences,est donnee par la loi de Stefan : P = .T 4 ou` = 5, 69.108W.m2.K4.2) Determiner la valeur numerique de la constante sans dimension (la valeur theoriqueest = 2.pi).

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? La constante de la loi de Planck du rayonnement


1) Constantes :1.a) = 2 ;1.b) = 2 ;1.c) = +3.2) = 15.h

3.c2

pi4.k4B = 6, 30.

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? Loi de Stefan-Boltzmann

Enonce

On rappelle que la puissance rayonnee par unite de surface dun corps noir est repartiesur lensemble des frequences , selon la loi de Planck :

() =2.pi.hc2

3

eh.kB.T 1

Le flux surfacique total est

=

+0

.d

On donne +u=0

u3

eu1du =pi4

15 .1) Demontrer la loi de Stefan-Boltzmann : = .T 4, en particulier donner :1.a) la valeur litterale de (en fonction des autres constantes universelles) ;1.b) sa valeur numerique dans le syste`me international.

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? Loi de Stefan-Boltzmann


1) = .T 4, avec :1.a) = 2.pi

5.k4B15.h3.c2 ;

1.b) = 5, 67.108W.m2.K4.

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? Loi de Wien du rayonnement

Enonce

On donne :

la celerite de la lumie`re dans le vide : c = 3, 00.108m.s1 ; la constante de Planck : h = 6, 62.1034J.s ; la constante de Boltzmann : kB = 1, 38.1023J.K1.On rappelle que la puissance P rayonnee par unite de surface dun corps noir est repartie

sur lensemble des longueurs donde , selon la loi de Planck :

() =2.pi.h.c2

51

eh.c

kB.T. 11) Travail preliminaire :

On pose u = h.ckB .T. .1.a) Determiner la fonction h(u) telle que = cste.h(u).1.b) Que doit verifier u.eu dans le cas ou` h(u) est maximale ?On admet que h(u) presente, en fonction de u, un maximum unique atteint pour la valeurumax = 4.96511423.1.c) La precedente relation est-elle numeriquement verifiee ?2) Loi de Wien :2.a) Etablir litteralement le produit de la longueur donde m du maximum demissionthermique dun corps noir et de la temperature T a` laquelle celui-ci est chauffe.2.b) En donner une expression numerique.

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? Loi de Wien du rayonnement


1) Travail preliminaire :1.a) h(u) = u

5

eu1 .1.b) u.eu = 5. (eu 1).1.c) um.eum 5. (eum 1) = 2.107 0 : la relation est assez bien verifiee.2) Loi de Wien :2.a) m.T = h.ckB .um .2.b) m.T = 2, 89848404.103K.m 3000m.K.

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