Exercices Electromagnetisme

8/14/2019 Exercices Electromagnetisme

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O O

D

D

a M1 M2 M3

L

Q

M

a L

M

M

P

P 45o ex R

f(x,y,z)

df

f

dr

df =gradf dr

A(r)

A(r)

A =gradf A(r) r1 r2

R

O

Q ez M(z)


3/38

M(z)

M(z)

E(z)

q O z = R Oz

+Q

Q

R O Q ez M(z)

M(z)

M(z) E(z)

R Ri

Ri R

M

OD

OM= u


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q

q

q O D

Q1 = 5 106C Q2 = 2 106C Ox Q1 Q2 x = d

OX

Q3 = 1 106C

x = 3d/2

x = 3d/2 x = 2d


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2. Gnraliser au cas dun champ de vecteur quelconqueA (r ) travers une surface S.

3. On considre un champ de vitesse uniforme. Calculer le flux dans les cas particulierssuivants :

i. v parallle la surface.

ii. v perpendiculaire la surface.

iii. v fait un angle de 60avec le vecteur normal la surface.

III. Ligne de champ

1. Rappeler la dfinition dune ligne de champ.

2. Reprsenter schmatiquement les lignes de champ cres par :

i. une charge ponctuelle

ii. un fil infini uniformment chargiii. un conducteur massif occupant tout le demi-espace z < 0 et charg en surface

iv. deux charges spares dune distance d.

3. Donner lexpression du flux deE travers une surface S.

4. On considre le champE cr par une charge ponctuelle q. Calculer le flux de

E

travers les surfaces suivantes :

i. Une surface ferme quelconque ne contenant pas la charge q.

ii. Une surface sphrique contenant la charge q place en son centre.

iii. Une surface ferme quelconque contenant la charge q.

5. Gnraliser le rsultat prcdent une distribution de charge et tablir le thormede Gauss.

2 Forme globale du thorme de Gauss

I. Application du Thorme de Gauss.

Dans chaque cas suivant : Dterminer la direction et la dpendance du champ lectrostatique par des arguments

dinvariance et de symtrie. En choisissant une surface de Gauss approprie, appliquer le thorme de Gauss pour

calculer le champE en tout point de lespace.

1. Un fil infini portant une densit linique de charge .

2. Un plan infini portant une densit surfacique de charge .

3. Une sphre centre en O, de rayon R et portant une densit surfacique de charge .

4. Une boule centre en O, de rayon R et portant une densit volumique de charge .


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II. Applition du Thorme de Gauss : le disque uniformment charg

On considre un disque uniformment charg de densit surfacique de charge .

1. Quelles sont les invariances et symtries de cette distribution de charge ?

2. Peut-on utiliser le thorme de Gauss pour calculer le champ lectrique ?

III. Latome dhydrogne. (facultatif mais vivement conseill)

Pour modliser un atome dhydrogne, on considre que llectron de latome est distribuuniformment sur une sphre de rayon a = 0, 5A et que le proton est une charge ponctuelleau centre de cette sphre.Calculer le champ lectrostatique cr par latome dhydrogne en tout point de lespace.

IV. Distribution de charge non-uniforme.

On considre une sphre centre en O, de rayon R et portant la densit volumique decharge :

(r) = 0r

R(1)

1. Calculer la charge Q (r) comprise lintrieure dune sphre de rayon r R. Endduire la charge totale QR de la sphre.

2. Calculer le champ et le potentiel lectrostatique en tout point de lespace. Reprsentergraphiquement ses variations.

3 Forme locale du thorme de Gauss et quation de Poisson

I. Flux et divergence, thorme de Green-Ostrogradsky.

On considre un paralllpipde rectangle de cts dx, dy, dz et dont lun des sommets esten P(x,y,z). Ce paralllpipde est plac dans un champ lectrique de la forme :

E (x,y,z) = Ex (x,y,z)

ux + Ey (x,y,z)uy + Ez (x,y,z)

uz (2)

1. En sommant les flux du champ lectrique travers les faces du cube, calculer le fluxlmentaire d du champ travers le paralllpipde.

2. Exprimer d en utilisant loprateur divergence

3. En intgrant la relation prcdente tablir le thorme de Green-Ostrogradsky.

4. En utilisant la relation prcdente et le thorme de Gauss pour une densit de chargevolumique (r ) tablir la forme locale du thorme de Gauss.

5. En utilisant la relation entre flux et divergence trouve la question 2 tablir lex-pression de loprateur divergence en coordonnes sphriques. Vrifier son expressionsur un formulaire.


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II. Divergence de champs de vecteur.On considre les champs de vecteur reprsents ci-dessous et invariants par toute trans-lation suivant un axe perpendiculaire la feuille. Quels sont ceux qui prsentent unedivergence nulle ? Prciser pour chaque champ la section de surface lmentaire choisir.

III. Forme locale du thorme de Gauss : la plaque infinie.

On considre une plaque infinie mais dpaisseur finie d, charge uniformment en volumeavec la densit de charge .En utilisant les prorits de symtrie et dinvariance du systme et en appliquant la formelocale du thorme de Gauss, calculer le champ lectrostatique en tout point de lespaceet reprsenter ses variations.

IV. Potentiel de Yukawa.

Dans un modle de latome dhydrogne plus labor que celui de lexercice 2.III, on consi-dre un proton ponctuel et un lectron lui aussi ponctuel en mouvement autour du proton.On suppose que llectron ne peut pas tre localis et que sa charge est rpartie statisti-quement autour du proton suivant une distribution de densit volumique (r) symtriesphrique (la distance radiale r est repre par rapport la position centrale du proton).Supposons alors que le potentiel lectrique rsultant soit donn par :

V (r) =e

40rexp

r

a

(3)

o a = 0, 5.1010m est une longueur donne et e la charge lmentaire.

1. Calculer le champ lectrique en tout point de lespace. Discuter les cas particuliers

r a et r a. Quelle est la signification physique de a ?2. Calculer le flux du champ lectrique travers une sphre de rayon r.

3. Vrifier que la distribution de charges est quivalente une charge +e place au centre(cas r a) et une distribution volumique de charges ngatives de densit (r) quelon dterminera laide du thorme de Gauss. Vrifier galement la neutralit delatome lorsque r a.

4. Vrifier lexpression obtenue pour (r) la question prcdente en utilisant la formelocale du thorme de Gauss.

5. Quelle serait la forme du potentiel si toute la charge lectrique se trouvait la distancea du proton?

6. Tracer sur un mme graphique les courbes reprsentatives du potentiel de Yukawa etde celui obtenu la question prcdente.


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V. Equation de Poisson.

1. En utilisant forme locale du thorme de Gauss, dmontrer lquation de Poisson.

2. partir du potentiel de Yukawa (exercice prcdent), dduire la distribution de charge

pouvant tre responsable dun tel potentiel. Vrifier que lon obtient bien le mmersultat dj obtenue.

3. Soit la distribution volumique de charge (r) = 0rR

. Daprs les symtries de cette distribtion, quels seront celles du potentiel lectrosta-

tique associ? Par intgrations successives de lquation de Poisson, exprimer ce potentiel. et le

comparer au rsultat de la question 2.IV.2.

VI. Equation de Laplace.

1. On se place dans un milieu en abscence de charges lectrique. Comment sexprimelquation de Poisson dduite de lexercice prcdent ? Comment appelle-t-on cettequation?

2. Rsoudre cette quation (dite au drivs partielles) avec comme conditions limites :

limr

V (r) = 0

etV

r

r=R

= V0

R

4 nergie Potentielle

I. Densite dnergie lectrostatique.

Pour une distribution continue de charge, lnergie lectrostatique scrit :

U =

espace

u (r ) d =1

2

espace

(r ) V (r ) d (4)

tablir lexpression de la densit dnergie lectrostatique en fonction du champ lectrique.

On rappelle lidentite : div

fA

= f divA

+A gradf


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II. nergie lectrostatique dune sphre uniformment charge.

1. On considre une sphre centre en O et de rayon R de densit surfacique de charge uniforme.

i. Calculer lnergie lectrostatique de la sphre. Quelle est lexpression en fonction

de sa charge totale Q ?ii. Calculer la densit dnergie lectrostatique (en fonction du champ lectrique) et

vrifier, par intgration, le rsultat de la question prcdente.

2. On considre une boule centre en O et de rayon R de densit volumique de charge uniforme.

i. Calculer lnergie lectrostatique de la boule. Quelle est son expression en fonctionde sa charge totale Q ?

ii. Calculer la densit dnergie lectrostatique (en fonction du champ lectrique) et

vrifier, par intgration, le rsultat de la question prcdente.iii. Retrouver ce rsultat en considrant que lnergie lectrostatique de la boule char-

ge correspond au travail ncessaire pour lassembler partir de la superpositiondune infinit de couches sphriques dpaisseur dr.

3. (facultatif ) On considre une boule centre en O et de rayon R de densit volumiquede charge (r) = 0 rR .

i. Calculer lnergie lectrostatique de la boule. Quelle est lexpression en fonctionde sa charge totale QR ?

ii. Calculer la densit dnergie lectrostatique (en fonction du champ lectrique) etvrifier, par intgration, le rsultat de la question prcdente.


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i .

g l u l r l m o m n t d o l r p d l m o l u l d 9 u n o n t o n d q D t

F

i i .

g l u l r l o t n t l @ x A r r l t r o r u r u n o n t w @ x A d l 9 x y x F

i i i .

y n l n x F i n ' t u n t u n d l o m n t l m t d @ x A r t r o u r l 9 x E

r o n d u o t n t l r r n d d t n r u n d l p F

i v .

e l t o n n u m r q u X l u l r l m o m n t d o l r p d 9 u n m o l u l d 9 u t

l 9 x r m r n h n t q u 1D = 1/3.1027

D P

a I H S D a = 0.1nm

Dq = 0.33e

D

e = 1.61019CF

v .

u l l r o r t o n r l 9 x t n d m o m n t d o l r u x m o l u l d 9 u c

v i .

s n d q u r l m t r t r r n t r l m o m n t d o l r d m o l u l u n t X

H2 D HCl D NH3 t CH4 F

3 O r i e n t a t i o n e t E n e r g i e d ' u n D i p l e d a n s u n C h a m p E l e c t r i q u e

I .

o t u n d l l t r q u d m o m n t d o l r p a q F A B l o n d n u n m l E

t r q u u n o r m E n t u n n l

p F

i .

i r r l o r x r u r p d u t d u m E F

i i .

u E t E l l m n 9 t l u u n o r m c

i i i .

g l u l r l m o m n t M d u o u l d o r u q u l t o u m l d l F g o m m n t

9 o r n t E t E l c

i v .

u l l o n t l o t o n d 9 q u l r d u t m c h u t r l u r t l t F

v .

y n u o l l o n u u r e f d u d l t r t t d n t l l o n u u r r t r t q u

d r t o n d u o t n t l d o n t d r l m E F g l u l r l 9 n r o t n t l l

l t r o t t q u d u d l l d n l m E F

v i .

r r l o u r @

A F

v i i .

u l l n r u t E l o u r n r u d l o u r l r t o u r n r d I V H r r o r t

o t o n d 9 q u l r t l c


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I I . y n l q u u n m o l u l d 9 u d m o m n t d o l r r m n n t p = 1.8

h u n m

l t r o t t q u u n o r m E = 105V /m

F

i .

g l u l r l r t o n d 9 n r l t r o t t q u d l m o l u l n t r l t u t o n

t n m D n u o n t q u l m o l u l 9 l n n t n t n m n t d n l d r t o n

d u m F

i i .

g o m r r t t n r l 9 n r d 9 t t o n t r m q u F g o m m n t r F

4 I n t e r a c t i o n D i p l e / D i p l e

I .

y n o n d r d u x d l l t r q u p1 t p2 l r t m n t n O1 t O2 F

v d l o n t l r d 9 o r n t r d n u n l n o n t n n t p1 D p2 t O1O2 F o t 1 =

(p1,O1O2) t 2 = (p2,O1O2); y n n o t r O1O2 = dF

i .

r r t o r l l m n t l m l t r q u r r

p1 n O2 F i n d d u r l 9 n r o t n t l l

U2 d p2 d n m F

i i .

r r t o r l l m n t l m l t r q u r r p2 n O1 F i n d d u r l 9 n r

o t n t l l U1 d p1 d n m F

i i i .

y n n o t r U1 = U2 = U l 9 n r d 9 n t r t o n n t r l d u x d l F w o n t r r q u

t t n r r t n r n t q u n d o n n l d u x d l o u q u n d o n n r

l n d d u x m o m n t d o l r F

i v .

i x r m r n o n t o n d 1 t 2 F

v .

g l u l r t r r n t r n o n t o n d 2 d n l 1 = 0 D 1 = 90 t 1 = 2 = F

r r d n q u l o t o n d 9 q u l r t l d u d l

p2F g o m l t r t t

t u d l 9 d d m t r q u l n t n r n t F g o m m n t r F

v i .

p1 t p2 o n t n t d u x m o l u l d 9 u D d = 109m

t o n l o u m t u n m i

u n o r m d I H H G m F y n u o p1 t p2 l n O1O2 t EF i t m r l 9 n r

d 9 n t r t o n n t r l d u x d l t l o m r r l 9 n r d 9 n t r t o n n t r

d u x d l t l m l q u F

v i i .

p o r d n h r l F y n m l u n m o l u l e l n O1 u n d l

p1 r m n n t @ C q D E q D P A 1 = H F n m o l u l f l n O2 q u r t u n m o m n t d o l r n d u t

p2 a F E1 @ O2 A @ > 0 A d u m E1 r r l m o l u l e F h o n n r l 9 x r o n d l 9 n r o t n t l l l t r o t t q u d l m o l u l

f n o n t o n d d F i n d d u r q u l o r d 9 n t r t o n n t r l d u x m o l u l t

t o u j o u r t t r t t d l o r m F = K/r7

F


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calculera. Que vaut le dipole p induit par le champ electrique exterieur ?

2. On donne a = 0, 5 A, E = 1000 V/cm. Calculer x et p. Commenter le resultat.

5 Agitation thermique et polarisabilite

Un milieu dilue polaire est constitue de particules portant un moment dipolaire de modulep en densite volumique n. Lensemble est plonge dans un champ electrique E. La probabiliteque, pour une molecule donnee, le moment dipolaire pointe dans un angle solide compris entre

et + d est Cde

U

kB

T , ou U est lenergie du dipole, kB la constante de Boltzmann, T latemperature, et C est une constante de normalisation. Quelle est la polarisabilite du milieu enfonction de p, 0, n et kB T ? Que se passe-t-il dans la limite ou lenergie dipolaire est grandedevant lenergie dagitation thermique (repondre dabord qualitativement, puis verifier avec uncalcul) ?

6 Ferroelectrique

On considere un milieu dense, de volume fini, constitue dune grande quantite de moleculesportant chacune un moment dipolaire p.

1. Definir le vecteur polarisation P. Quelle est sa dimension ? Quel moment dipolaire peut-onassocier a un element de volume dV ?

Le polyvinylidene (CH2CF2)n est un materiau que lon peut rendre ferroelectrique : tousles groupements CH2CF2 portent des moments dipolaires permanents p alignes. Il se pre-

sente souvent en feuilles minces, dont la polarisation P uniforme est perpendiculaire aux feuilleset est de lordre de 50 mC/m2.

2. Sachant que la masse volumique du materiau est 1500 kg/m3, calculer le moment dipolairep porte par un groupement CH2CF2.

3. Quelle est la densite surfacique de charge de polarisation ? Calculer et representer lechamp electrique E a linterieur et a lexterieur de la feuille (supposee plane) de ferroelectrique.Proceder a lapplication numerique.

On dispose une feuille de ferroelectrique depaisseure

au milieu dun condensateur plan dontles armatures sont separees par une distance d et portent une densite de charge .


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e

+

d

x

4. On suppose dabord P dirige suivant ex. Determiner la valeur de E en tout point a linterieurdu condensateur.

5. On suppose maintenant P dirige suivant ex. Meme question. Quest ce qui est change si lafeuille de ferroelectrique est remplacee par une feuille de dielectrique ordinaire ?

7 Questions de cours

1. Soit P le vecteur polarisation locale au sein dun domaine de volume V centre en un pointO. Montrer que le potentiel cree par ce domaine a une distance r grande devant les dimensionsdu volume V est celui quon obtiendrait avec une distribution de charge locale au sein duvolume V et une distribution de charge en surface de V, ou lon exprimera et a laidede P. Verifier que le volume V est bien neutre!

2. Exprimer la densite volumique denergie electrostatique dun milieu dielectrique a laide duvecteur D et de la permittivite du milieu.

8 Loi de la refraction

Etablir les relations de passage des champs E et D de part et dautre dun dioptre separantdeux milieux de permittivites 1 et 2. Soit i1 et i2 les angles des champs E par rapport a lanormale au dioptre, dans le milieu 1 et 2, respectivement. En deduire les lois de la refractionentre i1, i2, 1 et 2. Quel est le rapport avec les lois de Snell-Descartes que vous connaissez ?

9 Principe de superposition

Soit V0(x , y , z) le potentiel cree en tout point de lespace par un ensemble de charges situeestoutes dans le meme demi espace z > 0, lespace etant rempli completement dun dielectrique depermittivite 1. On remplace, dans le demi espace z < 0 ce milieu par un autre de permittivite 2.

1. Montrer que lon peut prendre comme nouveau potentiel

V(x , y , z) =

V0(x , y , z)AV0(x,y,z) pour z > 0(1A)V0(x , y , z) pour z < 0

(1)

ou A est une constante a determiner.


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2. Trouver le potentiel cree en tout point de lespace par une charge ponctuelle q situee (dansle vide) a une distance a dun dioptre plan separant le vide dun milieu de permittivite .

10 Champ electrique au centre de volumes particuliers

Determiner le champ electrique total au centre dun cube dielectrique uniformement polariseparallelement a lun de ses aretes. Meme question pour une boule (dans ce dernier cas, deter-miner egalement le vecteur polarisation).

11 Petites questions sur les dielectriques

1. Pourquoi peut-on considerer, dans certains cas, un conducteur parfait comme un dielectriquede permittivite infinie ?

2. On considere une lame dielectrique a faces paralleles de permittivite plongee dans un champuniforme E0. Le vide regne a lexterieur de la lame. Quel est le champ electrique E a linterieurde la lame?

3. Linterieur dun condensateur plan est divise en trois lames dielectriques de permittivites 1,2 et 3 depaisseurs d1, d2 et d3. Donner la capacite du condensateur en fonction des i, di etde laire S des plaques du condensateurs.

4. On sinteresse a un condensateur cylindrique de rayon interieur r0, et dont lespace entre r0et r1 est rempli dun milieu de permittivite 1, entre r1 et r2 de permittivite 2, entre r2 et r3,

de permittivite 3. La seconde plaque cylindrique du condensateur se trouve a une distance r3.Exprimer la capacite de ce condensateur en fonction des rayons et des permittivites.

12 Sur la polarisation

On considere un dielectrique ou regne un champ electrique uniforme E. Exprimer le champelectrique E effectif agissant sur un dipole moleculaire. On lexprimera en fonction de la per-mittivite relative r du milieu et du champ E.


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0BSrie 5 : Conducteurs en quilibre

I. Pression lectrostatiqueA. Champ au voisinage dun conducteur

Dans un conducteur soumis un champ lectrostatique extrieur les charges se rpartissent

prs de la surface. En raison, en particulier, de lagitation thermique elles ne sont pas

exclusivement localises dans le plan de la surface, mais sur une certaine paisseur , trs

faible. Considrons un conducteur semi-infini (voir figure ci-dessous). tant donne lasymtrie du systme, la densit volumique qui caractrise la distribution des charges ne

dpend que de la variable x (voir figure). Cette couche superficielle dpaisseur est appele

zone de charge despace . Le reste du conducteur ( x ) a une densit de charges nulle.

1) Exprimer la densit superficielle de charge correspondant la charge de la couche

superficielle.

2) Dans cette zone, apparat un champ lectrostatique E(x) non nul. Utiliser la forme locale

du thorme de Gauss pour exprimer le champ de surface E(x 0) en fonction de la densit

superficielle.

0

dx x

(x) 0

B. Pression lectrostatiqueLe champ E(x) agit la fois sur les charges mobiles (lectrons de conduction) et sur les

charges fixes (ions du rseau cristallin). Par suite des chocs, les lectrons mobiles transfrent

ConducteurVide


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Universit Paris Diderot 2008-2009

51PH2EM3 Electrostatique et Magntostatique TD srie 4

de la quantit de mouvement, donc des forces, aux ions fixes. Soient e (x) et i(x) les

densits de charge respectives des lectrons et des ions. Dans la zone de charge despace

e i , tandis qu lintrieur du conducteur e i 0. On considrera un lment de

volume dv Sdx de la couche superficielle.

1) Exprimer la force dFi exerce sur les ions dans llment de volume d v . (On dsignera par

d F la force transmise aux ions par les lectrons mobiles au cours des chocs).

2) Exprimer de mme la force dFe

exerce sur les lectrons dans llment de volume dv ,

puis la condition dquilibre du conducteur. En dduire dFi.

3) Intgrer dFi sur toute la couche superficielle en utilisant la loi de Gauss locale, et en

dduire la force totale exerce par unit de surface, P , dite pression lectrostatique.

C. Mise en vidence exprimentaleUne boule conductrice de rayon R est suspendue un fil isolant Oy . Au contact de la boule

conductrice, en O, on place un petit disque conducteur circulaire trs mince de masse m et de

rayon rpetit devant R (on supposera que la rpartition des charges la surface de l'ensemble

boule-disque est uniforme).

Ce disque peut coulisser sans frottement de long de l'axe Oy . Lorsqu'on augmente

progressivement le potentiel V de la sphre, le disque dcolle de la boule conductrice partir

d'une tension critique V0 .a) Quelle est la valeur de V0 ? (le disque dcolle quand la force correspondant la pression

lectrostatique devient suprieure son poids).

b) Ds que le disque a dcoll, sa charge reste constante. Donner, en fonction de V, V0 et R

la hauteur h laquelle il s'lve lorsque le potentiel V de la boule devient suprieur V0 .

Tracer lallure de la courbe h(V) .

II. Pouvoir des pointes.On charge une boule mtallique S1 de rayon R1avec une charge Q.1) Quels sont le potentiel V et la capacit Cde S1 ?

2) On relie maintenant S1 une seconde boule mtallique S2 de rayon R2 par l'intermdiaire

d'un fil conducteur long et fin. On ngligera la charge porte par le fil.

Indiquer ce qui se passe. Quels sont le potentiel V et la capacit C de cet ensemble une fois

l'quilibre atteint ? Comment se rpartit la charge ? Que vaut le champ lectrique au voisinagedes deux sphres ? A.N. : R1 9 cm ; R2 1 cm ; Q 10

8 C.


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Universit Paris Diderot 2008-2009

51PH2EM3 Electrostatique et Magntostatique TD srie 4

III. InfluenceA. Influence totale - Condensateur

Une boule mtallique de rayon R1 10 cm est porte, par rapport au sol, au potentiel

V 600V , puis isole.

1) Donner la capacit de la boule et sa charge.2) On dispose alors, concentriquement autour d'elle, une coquille mtallique sphrique de

rayon interne R2 (surface S2 ) et de rayon externe R3 (surface S3 ).

Dans chacune des situations a), b), c) suivantes :

a) la coquille extrieure est maintenue isole,

b) elle est relie au sol,

c) elle est isole, mais aprs avoir touch brivement la boule intrieure.

Calculer :

les charges Q2 et Q3 et les densits superficielles 2 et 3 apparaissant sur les surfacesS2 et S3 ;

le champ et le potentiel lectriques en tout point. Tracer les courbes reprsentatives.3) Calculer la capacit du condensateur ainsi forme. La comparer celle de la boule

centrale seule.

R1

R2

R3

B. Influence partielle

Un pendule lectrique est constitu d'une petite boule mtallique s de rayon r et de masse m ,

suspendue un fil conducteur reli au sol. Une boule mtallique S, de rayon R (R r) est

porte au potentiel V, puis isole. On approche s de S de telle sorte que leurs centres soient

distants de det au mme niveau ( d R ).

1) Calculer la charge Q de S. crire l'expression du potentiel du pendule s (nul puisques est relie au sol) et en dduire sa charge q.

2) Calculer le nouveau potentiel V de la boule S. Exprimer V en fonction de V.3) Calculer l'angle dont le pendule s'carte de la verticale.


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IEPSCF - Uccle

Exercices Magntisme 2009 -2010

Magntostatique : force et champ

Les exercices fondamentaux sont nots avec une flche (). Leur matrise est ncessaire.

1 Force de Lorentz

1.

(a) Rappeler la loi de Lorentz qui exprime la force F qui agit sur une particule de

charge q se dplaant vitesse v dans un champ lectrique E et magntique B.Quelle est lunit du champ magntique dans le systme international. Quelle estla relation entre 1 Gauss et 1 Tesla ?

(b) Soit un conducteur rectiligne, de longueur L et de section A, parcouru par uncourant lectrique dintensit I dirig selon z. Ce conducteur est plong dans unchamp magntique B dirig selon x reprsent sur la figure (1a). Reprsenter la

force F qui agit sur le conducteur. Exprimer cette force en fonction du courant Iet du vecteur longueur L, de module gal L et dirig selon laxe du conducteur.

(c) Que devient cette relation entre force et courant, lorsque lon gnralise unconducteur de forme quelconque ( figure (1b)) plong dans un champ magntiqueB orient selon y ? Que vaut la force totale F sexerant sur une boucle ferme deconducteur, parcouru par un courant I?

2. La Loi de Lorentz nous permet de calculer le mouvement dune particule plonge dansun champ lectrique et magntique. En 1897 J.J. Thomson a dtermin le rapportmasse sur charge de llectron en utilisant le montage exprimental reprsent sur lafigure (2). Les lectrons de charge q = e et de masse m sont mis depuis la cathodeC avec une vitesse initiale nulle , ils sont acclrs sous laction dune diffrence depotentiel V = VA VC. Quel est la vitesse des lectrons lorsquils arrivent en C?Les lectrons traversent ensuite une rgion o rgne un champ lectrique uniforme Edirig selon z, ils subissent une force FE dirige dans la direction oppose. Lide est

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alors dajouter un champ magntique B dirig selon x qui va exercer une force FB.

On ajuste la valeur du champ B, tel que FE + FB = 0. Dterminer sous ces conditionsle rapport e/m des lectrons.

3 On considre un barreau cylindrique de section circulaire de rayon R et de masse m.Celui-ci est libre de rouler (sans glisser) sans frottements sur deux rails parallle distantde L et de longueur a, comme reprsent la figure (3). Le barreau, situ dans le plan

xy, est travers par un courant I, le systme est plong dans un champ magntique Bdirig selon z . Si on considre le barreau plac initialement en y = 0 et au repos, quelsera sa vitesse lorsquil atteindra lextrmit des rails en y = a ? On rappel lexpressiondu moment dinertie I dun cylindre I= mR2/2. Dans ce systme quelle est la naturede la force qui fournit le travail ncessaire pour dplacer le barreau le long des rails,sachant que la force magntique ne travail pas? Expliquer le rle jouer par la forcemagntique?

4 Un conducteur de forme rectangulaire supportant une masse m est reprsent sur lafigure (4), celui-ci est tel que son extrmit suprieure est plonge dans un champmagntique uniforme B pointant dans la direction z. Pour quelle valeur du courantI, dans le circuit, la force magntique compensera exactement la force gravitationelle ?Que se produit-il si le courant est respectivement suprieure ou infrieure cette valeur ?Dans ce systme quelle est la nature de la force qui fournit le travail ncessaire pourvaincre la gravit ? Quel est la valeur du travail de cette force. Comme dans lexerciceprcdent, prciser le rle jou par la force magntique ?

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2 Loi de Biot Savart

1 Rappeler lexpression de la loi de Biot et Savart qui relie le champ magntique B sasource de courant pour les 3 cas suivants :

(a) source de courant linique I = v o et v dsignent respectivement la densitde charge par unit de longueur et la vitesse des charge.

(b) source de surfacique K = v o et K dsignent respectivement la densit decharge par unit de surface et la densit de courant surfacique.

(c) volumique J = v o et J dsignent respectivement la densit de charge parunit de volume et la densit de courant volumique.

(d) Expliquer pourquoi le champ magntique B est un pseudo vecteur, encore ap-pel vecteur axial. Cette proprit pose-t-elle un problme pour la dterminationexprimentale de B ?

2 Considrons un conducteur de longueur L parcouru par un courant I, reprsent surla figure (5), valuer le champ magntique B au point P de ce conducteur.

(a) Nous supposerons que les contributions des deux extrmits du conducteur se

compensent au point P. Pour dterminer le champ, nous suivrons la dmarchesuivante : on calcul la contribution au champ magntique dun lment de longueurinfinitsimale not dl. La distance relative de cet lment infinitsimale et du pointP o le champ est valu sera not r, on lexprimera en termes de langle .On value ensuite le produit vectoriel dl r o lon note r = r/r vecteur delongueur unit dirig selon r. On en dduit lexpression du champ infinitsimaldB correspondant. Enfin on obtient lexpression de B en intgrant le long du

conducteur. Le calcul de cette intgrale se fait facilement si lon exprime dB et ren fonction de , on peut alors intgrer sur domaine angulaire (1, 2).

(b) Exprimer la rponse obtenue en fonction de L, quel est alors lexpression de B

la limite L ? Quel symtrie prsente alors le champ magntique ? 3 On considre une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant I (figure (6)).

Dterminer le champ magntique en un point P sur laxe de cette boucle et situ unedistance z de son centre. On suivra pour ce faire la mme stratgie de rsolution qualexercice prcdent.

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3 Loi dAmpre

1 Rappeler lexpression de la loi dAmpre qui relie la circulation du champ magntiqueB sur un contour ferm au courant total encercl par ce contour.

2 Soit un conducteur cylindrique de longueur infinie et de section circulaire de rayon Rparcouru par un courant I, comme reprsent sur la figure (7). En appliquant la loi

dAmpre, dterminer en tout point de lespace lexpression du champ magntique B.Reprsenter graphiquement B en fonction de la coordonne radiale r.

3 Considrons une feuille de dimension infinie et dpaisseur b, reprsente sur la figure(8), parcourue par une densit de courant volumique uniforme J = J0x.

(a) Calculer lexpression du champ magntique B partout dans lespace.

(b) Que devient ce rsultat lorsque lon fait tendre lpaisseur b 0 ?

4 On considre un solnode cylindrique de longueur infinie, et de section circulaire Rcomprenant n boucles de conducteur par unit de longueur qui soient accoles les unesaux autres (figure (9)). On considre que ce solnode est parcouru par un courant I.Dterminer lexpression de B lintrieur du systme.

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4 Champ magntique, Force et couple

1 On considre un systme constitu de deux bobines circulaires de mme rayon contenantN enroulements chacune, elles sont parallles et places lune en face de lautre unedistance l (voir figure (10)). Dterminer le champ magntique B sur laxe des Z une distance z du centre de lune des bobines. Pour l = R, reprsenter graphiquement

Bz/B0 en fonction de z/R o B0 dsigne le module de B valu en z = 0. Montrer queB

z(0) = 0, calculer B

z(0) et dterminer la condition sous laquelle cette drive seconde

sannule. Lorsque l = R ce dispositif est connu sous lappellation bobines dHelmholtz,les calculs effectus ci-dessus montrent que le champ magntique cr dans le voisinagede ces bobines a la particularit dtre relativement uniforme au centre du dispositif.

2 Considrons un cadre rectangulaire mobile de conducteur parcouru par un courant Iet plong dans un champ magntique B = Bx, comme reprsent sur la figure (11).

(a) Quel est la force magntique totale subie par le cadre rectangulaire?

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(b) Calculer le couple total N qui sexerce au centre cadre mobile. Exprimer le rsultat

en fonction du moment magntique dipolaire m et du champ magntique B.

(c) Quel est lnergie potentielle magntique de ce diple ?

3 Soit un champ magntique non uniforme cre par un barreau aimant, comme repr-sent sur la figure (12). On place un moment dipolaire magntique m le long de laxe desymtrie du barreau aimant. Exprimer la force magntique qui sexerce sur ce momentmagntique.

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IEPSCF

Travaux Dirigs

Magntostatique : force et champ

Les exercices fondamentaux sont nots avec une flche (). Leur matrise est ncessaire.

1 Force de Lorentz

1.

(a) Rappeler la loi de Lorentz qui exprime la force F qui agit sur une particule de

charge q se dplaant vitesse v dans un champ lectrique E et magntique B.Quelle est lunit du champ magntique dans le systme international. Quelle estla relation entre 1 Gauss et 1 Tesla ?

(b) Soit un conducteur rectiligne, de longueur L et de section A, parcouru par uncourant lectrique dintensit I dirig selon z. Ce conducteur est plong dans unchamp magntique B dirig selon x reprsent sur la figure (1a). Reprsenter la

force F qui agit sur le conducteur. Exprimer cette force en fonction du courant Iet du vecteur longueur L, de module gal L et dirig selon laxe du conducteur.

(c) Que devient cette relation entre force et courant, lorsque lon gnralise unconducteur de forme quelconque ( figure (1b)) plong dans un champ magntiqueB orient selon y ? Que vaut la force totale F sexerant sur une boucle ferme deconducteur, parcouru par un courant I?

2. La Loi de Lorentz nous permet de calculer le mouvement dune particule plonge dansun champ lectrique et magntique. En 1897 J.J. Thomson a dtermin le rapportmasse sur charge de llectron en utilisant le montage exprimental reprsent sur lafigure (2). Les lectrons de charge q = e et de masse m sont mis depuis la cathodeC avec une vitesse initiale nulle , ils sont acclrs sous laction dune diffrence depotentiel V = VA VC. Quel est la vitesse des lectrons lorsquils arrivent en C?Les lectrons traversent ensuite une rgion o rgne un champ lectrique uniforme Edirig selon z, ils subissent une force FE dirige dans la direction oppose. Lide est

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alors dajouter un champ magntique B dirig selon x qui va exercer une force FB.

On ajuste la valeur du champ B, tel que FE + FB = 0. Dterminer sous ces conditionsle rapport e/m des lectrons.

3 On considre un barreau cylindrique de section circulaire de rayon R et de masse m.Celui-ci est libre de rouler (sans glisser) sans frottements sur deux rails parallle distantde L et de longueur a, comme reprsent la figure (3). Le barreau, situ dans le plan

xy, est travers par un courant I, le systme est plong dans un champ magntique Bdirig selon z . Si on considre le barreau plac initialement en y = 0 et au repos, quelsera sa vitesse lorsquil atteindra lextrmit des rails en y = a ? On rappel lexpressiondu moment dinertie I dun cylindre I= mR2/2. Dans ce systme quelle est la naturede la force qui fournit le travail ncessaire pour dplacer le barreau le long des rails,sachant que la force magntique ne travail pas? Expliquer le rle jouer par la forcemagntique?

4 Un conducteur de forme rectangulaire supportant une masse m est reprsent sur lafigure (4), celui-ci est tel que son extrmit suprieure est plonge dans un champmagntique uniforme B pointant dans la direction z. Pour quelle valeur du courantI, dans le circuit, la force magntique compensera exactement la force gravitationelle ?Que se produit-il si le courant est respectivement suprieure ou infrieure cette valeur ?Dans ce systme quelle est la nature de la force qui fournit le travail ncessaire pourvaincre la gravit ? Quel est la valeur du travail de cette force. Comme dans lexerciceprcdent, prciser le rle jou par la force magntique ?

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2 Loi de Biot Savart

1 Rappeler lexpression de la loi de Biot et Savart qui relie le champ magntique B sasource de courant pour les 3 cas suivants :

(a) source de courant linique I = v o et v dsignent respectivement la densitde charge par unit de longueur et la vitesse des charge.

(b) source de surfacique K = v o et K dsignent respectivement la densit decharge par unit de surface et la densit de courant surfacique.

(c) volumique J = v o et J dsignent respectivement la densit de charge parunit de volume et la densit de courant volumique.

(d) Expliquer pourquoi le champ magntique B est un pseudo vecteur, encore ap-pel vecteur axial. Cette proprit pose-t-elle un problme pour la dterminationexprimentale de B ?

2 Considrons un conducteur de longueur L parcouru par un courant I, reprsent surla figure (5), valuer le champ magntique B au point P de ce conducteur.

(a) Nous supposerons que les contributions des deux extrmits du conducteur se

compensent au point P. Pour dterminer le champ, nous suivrons la dmarchesuivante : on calcul la contribution au champ magntique dun lment de longueurinfinitsimale not dl. La distance relative de cet lment infinitsimale et du pointP o le champ est valu sera not r, on lexprimera en termes de langle .On value ensuite le produit vectoriel dl r o lon note r = r/r vecteur delongueur unit dirig selon r. On en dduit lexpression du champ infinitsimaldB correspondant. Enfin on obtient lexpression de B en intgrant le long du

conducteur. Le calcul de cette intgrale se fait facilement si lon exprime dB et ren fonction de , on peut alors intgrer sur domaine angulaire (1, 2).

(b) Exprimer la rponse obtenue en fonction de L, quel est alors lexpression de B

la limite L ? Quel symtrie prsente alors le champ magntique ? 3 On considre une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant I (figure (6)).

Dterminer le champ magntique en un point P sur laxe de cette boucle et situ unedistance z de son centre. On suivra pour ce faire la mme stratgie de rsolution qualexercice prcdent.

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3 Loi dAmpre

1 Rappeler lexpression de la loi dAmpre qui relie la circulation du champ magntiqueB sur un contour ferm au courant total encercl par ce contour.

2 Soit un conducteur cylindrique de longueur infinie et de section circulaire de rayon Rparcouru par un courant I, comme reprsent sur la figure (7). En appliquant la loi

dAmpre, dterminer en tout point de lespace lexpression du champ magntique B.Reprsenter graphiquement B en fonction de la coordonne radiale r.

3 Considrons une feuille de dimension infinie et dpaisseur b, reprsente sur la figure(8), parcourue par une densit de courant volumique uniforme J = J0x.

(a) Calculer lexpression du champ magntique B partout dans lespace.

(b) Que devient ce rsultat lorsque lon fait tendre lpaisseur b 0 ?

4 On considre un solnode cylindrique de longueur infinie, et de section circulaire Rcomprenant n boucles de conducteur par unit de longueur qui soient accoles les unesaux autres (figure (9)). On considre que ce solnode est parcouru par un courant I.Dterminer lexpression de B lintrieur du systme.

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4 Champ magntique, Force et couple

1 On considre un systme constitu de deux bobines circulaires de mme rayon contenantN enroulements chacune, elles sont parallles et places lune en face de lautre unedistance l (voir figure (10)). Dterminer le champ magntique B sur laxe des Z une distance z du centre de lune des bobines. Pour l = R, reprsenter graphiquement

Bz/B0 en fonction de z/R o B0 dsigne le module de B valu en z = 0. Montrer queB

z(0) = 0, calculer B

z(0) et dterminer la condition sous laquelle cette drive seconde

sannule. Lorsque l = R ce dispositif est connu sous lappellation bobines dHelmholtz,les calculs effectus ci-dessus montrent que le champ magntique cr dans le voisinagede ces bobines a la particularit dtre relativement uniforme au centre du dispositif.

2 Considrons un cadre rectangulaire mobile de conducteur parcouru par un courant Iet plong dans un champ magntique B = Bx, comme reprsent sur la figure (11).

(a) Quel est la force magntique totale subie par le cadre rectangulaire?

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(b) Calculer le couple total N qui sexerce au centre cadre mobile. Exprimer le rsultat

en fonction du moment magntique dipolaire m et du champ magntique B.

(c) Quel est lnergie potentielle magntique de ce diple ?

3 Soit un champ magntique non uniforme cre par un barreau aimant, comme repr-sent sur la figure (12). On place un moment dipolaire magntique m le long de laxe desymtrie du barreau aimant. Exprimer la force magntique qui sexerce sur ce momentmagntique.

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IEPSCF- Electromagntisme 2009-2010

T.D. 2

Magntostatique - Magntisme de la matire

1. Une coque sphrique de rayon R portant une charge surfacique de densit , tourne autourde son axe la vitesse angulaire (voir FIG 1). Dterminer lexpression du potentiel vecteur

produit au point P dfini par le vecteur position : OP = r

Figure 1

2. Considrons le mouvement dune particule de masse m et de charge lectrique qe dans le champdun hypothtique monople magntique qm plac lorigine du systme de coordonnes etdexpression

B =0

4

qm

r2r

(a) Trouver lacclration de la charge qe, exprimer le rsultat en termes de q, qm,m, r (laposition de la particule) et v (sa vitesse).

(b) Montrer que le module de la vitesse |v| est une constante du mouvement.

(c) Montrer que la quantit vectorielle

Q m(r v) 0qeqm

4r

est une constante du mouvement. Pour cela calculer sa drive par rapport au temps etmontrer en utilisant lquation du mouvement dduite de (a) que cette quantit est nulle.


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Figure 2

3. En partant de la relation obtenue en cours pour le moment magntique dipolaire

Adip(r) =0

4

m r

r2

calculer le champ magntique B pour un diple pur m plac lorigine du systme de coor-donnes et pointant dans la direction z (voir FIG 2).

4. Considrons un long cylindre de rayon R qui prsente une magntisation M = ks2 o k estune constante, s dsigne la distance laxe et est le vecteur unit dans la direction azimutale.Dterminer le champ magntique B engendr par M et ce lintrieur et lextrieur ducylindre.

5. Soit un long cylindre de matriau diagmagntique de rayon R qui prsente une distributionuniforme de courant libre I. Dterminer le champ auxiliaire H lintrieur et lextrieurdu barreau.


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IEPSCF- Electromagntisme 2008-2009

T.D. 3

Force lectromotice et induction

1. Soit un conducteur filiforme de longueur infinie parcouru par un courant I distant de s duneboucle de conducteur rectangulaire de largeur w et de longueur l disposs comme sur la FIG1.

(a) Dterminer le flux du champ magntique au travers de la boucle rectangulaire d aucourant I circulant dans le conducteur infini.

(b) Supposons que le courant I soit donn par lexpression I(t) = a + bt, o a et b sont desconstantes positives. Quelle est alors la force lectromotrice induite (emf) dans la bouclede conducteur ? Prciser la direction du courant induit et justifier la rponse ?

Figure 1

2. Un barreau conducteur dune longueur de 10 cm repose sur deux rails supposs tre desconducteurs idaux (FIG 2). La diffrence de potentiel V0 entre ces deux rails est de 15V. Larsistance R du barreau est de 0.1. Le barreau est connect via une poulie une masse m de1.2kg. Calculer la vitesse du barreau si lon applique un champ magntique uniforme B0 de104 Gauss selon une direction orthogonale au plan du systme (voir FIG 2) ? Quelle fraction

de la puissance fournie par la batterie est convertie en nergie mcanique ?

Figure 2

3. Un long solnode cylindrique de base circulaire de rayon a comportant n tours par unit delongueur est entour dune boucle de conducteur de rsistance R comme indiqu sur la FIG.3. Si le courant dans le solnode est augment selon un taux constant (cd si dI/dt = k),quelle est la valeur de I qui circule dans la boucle, et selon quelle direction ?


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Figure 3

4. Considrons une boucle de conducteur de gomtrie carr de longueur a dont la rsistance estgale R. Cette boucle est distante de s dun conducteur de longueur infinie parcouru parun courant I. Supposons que le conducteur est coup et que le courant dcrot selon la loisuivante :

I(t) = (1 t)I pour 0 t 1/

= 0 pour t > 1/ (1)

Dans quelle direction va circuler le courant induit dans la boucle ? Quelle est la charge totalequi passe en un point donn de la boucle durant le temps pendant lequel scoule le courant?

Figure 4


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IEPSCF Electromagntisme 2009-2010

T.D. 4

Inductance mutuelle et auto-inductance

1. Une petite boucle de conducteur de rayon a est situe une distance z du centre dune grandeboucle de rayon b, elles sont reprsentes sur la FIG 1. Les deux boucles sont situes dans des

plans parallles daxe commum dirig selon z.(a) Soit un courant I circulant dans la grande boucle. Dterminer le flux de B au travers

de la petite boucle. On suppose que celle-ci est suffisamment petite pour que lon puisseconsidrer que le champ B y est constant.

(b) Supposons quun courant I circule dans la petite boucle, trouver le flux de B au tra-vers de la grande boucle. On considre que la petite boucle est assimilable un diplemagntique.

Figure 1

(c) Dterminer linductance mutuelle M et en dduire que lgalit M12 = M21 est bienvrifie.

2. Une boucle carre de conducteur de ct a est dispose au centre dun conducteur rectangulairede longueur L et de hauteur h = 3a (FIG. 2), on considre que L >> h. Un courant I circulantdans le sens des aiguilles dune montre dans la boucle carre est graduellement augmente selondI/dt = k avec k constant. Dterminer la force lectromotrice induite dans la grande boucle.Prciser le sens du courant induit.

3. Calculer lauto-inductance par unit de longueur dun long solnode de rayon R comportantn tours par unit de longueur.

4. Un courant alternatif I = I0 cos(t) avec I0 = 0.5A et de frquence f = 60 Hz traverse, dansla direction z un conducteur rectiligne dispos selon laxe dun anneau torodal de sectionrectangulaire ( rayon interne ri = 1 cm, rayon externe re = 2 cm, hauteur h = 1cm), autourduquel un bobinage de n spires (n = 1000) a t effectu (voir FIG.3). Le bobinage toroidalest connect une rsistance R de 500

(a) Dans lapproximation quasi-statique, quel est la force lectromotrice induite dans le tore ?Dterminer le courant Ir(t) qui traverse la rsistance.


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Figure 2

Figure 3

(b) Calculer la contre force lectromotrice dans lanneau due au courant Ir(t). Quel est lerapport des amplitudes de cette contre force lectromotrice et de la force lectromotricedirecte calcule ci-dessus ?

Exercices Electromagnetisme

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