Example 5.1 The Battery Life Experiment Text reference pg. 167
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Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery
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Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery
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Example 5.1 The Battery Life ExperimentText reference pg. 167
A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable)
1. What effects do material type & temperature have on life?
2. Is there a choice of material that would give long life regardless of temperature (a robust product)?
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Statistical (effects) model:
1,2,...,
( ) 1,2,...,
1, 2,...,ijk i j ij ijk
i a
y j b
k n
Other models (means model, regression models) can be useful
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Design-Expert Output – Example 5.1
5
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Residual Analysis – Example 5.1
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Residual Analysis – Example 5.1
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Interação significante é indicada pela falta de paralelismo entre as linhas. Em geral, maior vida é alcançada pela temperatura mais baixa, sem olhar o tipo de material. Na variação da temperatura mais baixa para a temperatura intermediária, o tempo de vida do material 3 parece crescer, enquanto ele decresce para os outros materiais. Da temperatura intermediária para a alta, o tempo de vida decresce para os materiais 2 e 3 e permanece inalterado para o material 1.
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Comparações múltiplas
• Quando a ANOVA indica que os efeitos de linha ou coluna ou de interação estão presentes, é de interesse fazer comparações entre as médias de linhas ou colunas ou de interações.
• Os métodos de comparações múltiplas foram apresentados no Capítulo 3.
• Ilustraremos aqui o uso do teste de Tukey sobre a vida da bateria.• Observe que nesse experimento a interação é significante.• Quando a interação é significante , comparações entre as médias de
um fator A podem ser obscurecidas pela interação AB.• Uma abordagem para essa situação é fixar o fator B em um nível
específico e aplicar o teste de Tukey para as médias do fator A nesse nível.
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Comparações múltiplas
Suponha que no exemplo trabalhado, estejamos interessados em detectar diferenças entre as médias dos três tipos de material. Como a interação entre material e temperatura é significante, fazemos essa comparação em um dos níveis de temperatura, por exemplo 70ºF.Suponha que a melhor estimativa da variância é dada por MSE da tabela ANOVA, usando a suposição de que a variância do erro experimental é a mesma sobre todas as combinações de tratamento.
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Teste de Tukey para a comparação de pares de médias: revendo...
• O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada
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},...,,{Min e
},...,,{Max com,
..2.1min
..2.1maxminmax
a
aE
yyyy
yyyy
nMS
yyq
• Valores da distribuição da estatística q foram tabulados
liberdade de graus de n. e os tratamentn.de - com ),,( fpfpq
• Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeitaa hipótese nula se
n
MSfpqTyy E
ji ),(..
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Comparações múltiplas
• Se há interação significativa, o experimentador poderia comparar todas as ab médias das celas para determinar qual delas diferem significativamente.
• Nessa análise, diferenças entre as médias das celas incluem efeitos de interação bem como efeitos principais.
• No exemplo em análise isso daria 36 comparações entre todos os pares possíveis das 9 celas.
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Estimação dos parâmetros
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Valores ajustados:
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A suposição de ausência de interação
• Suponha que o experimentador “sinta” que o modelo a dois fatores sem interação é apropriado,
nk
bj
ai
y ijkjiijk
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
,
É importante verificar com cuidado essa hipótese. Mas, se esse for o caso, a análise do modelo sem interação é imediata.
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Exemplo da Bateria
Como foi observado anteriormente, ambos os efeitos principais são significantes. Porém, fazendo a análise de resíduos desse modelo, torna-se claro que a hipótese de ausência de interação é inadequada.
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Exemplo da bateria
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Uma observação por cela
• Algumas vezes, deparamo-nos com um experimento a dois fatores com apenas uma observação por combinação dos níveis dos fatores.
bj
aiy ijijjiij ,...,2,1
,...,2,1,)(
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a
i
i
ab
y
b
y
1
2..
2.
b
j
j
ab
y
a
y
1
2..
2.
ab
yy
a
i
b
jij
2..
1 1
2
Fonte de variação
SQ gl QM QM Esperado
Linhas a-1 MSA=SSA/(a-1)
Colunas b-1 MSB=SSB/(b-1)
Resíduo (ou AB)
SST- SSA- SSB (a-1)(b-1) MSE
Total ab-1 -
1
22
a
b i
1
22
b
a j
)1)(1(
)(2
baij
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Teste de Tukey para verificação da presença de interação
• O procedimento de teste supõe que o termo de interação é de uma forma particular, a saber,
jiij )(
com uma constante desconhecida.
Estatística de teste: ]1)1)(1/[(0
baSS
SSF
erro
N
g.l. 1 com
(
22..
....
BA
BAi j
jiij
N SSabSS
ab
ySSSSyyyy
SS
g.l. 1)1)(1( comRe baSSSSSS Nsíduoerro
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Teste de Tukey para verificação da presença de interação
1)1)(1(,1,0 Se baFF
a hipótese de nenhuma interação deve ser rejeitada.
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5.4 O experimento fatorial geral
• Os resultados para o experimento a 2 fatores podem ser estendidos para o caso a k>2 fatores.
• É necessário ter n2 replicações por cela para avaliar interações.• Se todos os fatores do experimento são fixos, é fácil formular e testar
hipóteses sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA.• Para um modelo de efeitos fixos, testes estatísticos para cada efeito principal e
de interação podem ser construídos dividindo-se os correspondentes quadrados médios para o efeito pelo quadrado médio do erro.
• Todos esses testes F (valendo a suposição de normalidade, independência e variância constante) são unilaterais.
• O número de graus de liberdade de qualquer efeito principal será o número de níveis do fator menos 1 e o número de graus de liberdade do efeito de interação será o produto dos números de gruas de liberdade dos fatores envolvidos na interação.
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Modelo Fatorial a 3 fatores
nl
ck
bj
ai
y ijklijkjkikijkjiijkl
,...,1
,...,1
,...,1
,...,1
)()()()(
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• Supondo que A, B e C são fixos, a tabela ANOVA é dada por
FV SQ g.l. QM F
A SSA a-1 QMA QMA/QME
B SSB b-1 QMB QMB/QME
C SSC c-1 QMC QMC/QME
AB SSAB (a-1)(b-1) QMAB QMAB/QME
AC SSAC (a-1)(c-1) QMAC QMAC/QME
BC SSBC (b-1)(c-1) QMBC QMBC/QME
ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) QMABC QMABC/QME
Erro SSE abc(n-1) QME -
Total SST nabc-1 -
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Factorials with More Than Two Factors
• Basic procedure is similar to the two-factor case; all abc…kn treatment combinations are run in random order
• ANOVA identity is also similar:
• Complete three-factor example in text, Example 5.5
T A B AB AC
ABC AB K E
SS SS SS SS SS
SS SS SS
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Exemplo: exercício 16
A porcentagem da concentração de madeira-de-lei na polpa bruta, a pressão do tonel, e o temo de cozimento foram investigados sobreseus efeitos na resistência do papel.Três níveis de concentração, três níveis de pressão e dois tempos de Cozimento foram selecionados.Um experimento com duas replicações foi conduzido e os dados obtidos estão no arquivo madeira.txt.
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y=read.table("e:\\dox\\madeira.txt",header=T)x1=as.factor(y$madeira)x2=as.factor(y$pressao)x3=as.factor(y$tempo)modeloC=y$resistencia~x1+x2+x3+x1:x2+x2:x3+x1:x3+x1:x2:x3fitC=aov(modeloC)summary(fitC)
Comandos no R para ajustar o modelo completo
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F.V. Df Sum SqMean
Sq F value Pr(>F)
Madeira 2 7.7639 3.8819 10.6193 0.0009 ***
Pressão 2 19.3739 9.6869 26.4992 4.33E-06 ***
Tempo 1 20.25 20.25 55.3951 6.75E-07 ***
MP 4 6.0911 1.5228 4.1657 0.014626 *
MT 2 2.195 1.0975 3.0023 0.074956 .
PT 2 2.0817 1.0408 2.8473 0.08426 .
MPT 4 1.9733 0.4933 1.3495 0.290305
Residuals 18 6.58 0.3656
Total 35 66.3089
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Conclusões
• Pela tabela ANOVA as hipóteses de ausência de efeitos principais (madeira, pressão e tempo) são rejeitadas e também a hipótese de ausência de efeito de interação entre madeira e pressão. Os demais efeitos de interação não são significativos a 5%.
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Avaliação do Modelo
Esse gráfico indica desvioda suposição de normalidadedos dados.Uma solução é trabalhar comtransformações.
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Pressure
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Pressure
-0.85
-0.425
0
0.425
0.85
1 2 3
2
2
2
2
Cooking Time
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Cooking Time
-0.85
-0.425
0
0.425
0.85
1 2
Predicted
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Predicted
-0.85
-0.425
0
0.425
0.85
195.90 197.11 198.33 199.54 200.75
2
2
2
2
Hardwood
Re
sid
ua
ls
Residuals vs. Hardwood
-0.85
-0.425
0
0.425
0.85
1 2 3
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DESIGN-EXPERT Plot
strength
X = B: Cooking TimeY = C: Pressure
C1 400C2 500C3 650
Actual FactorA: Hardwood = Average
PressureInteraction Graph
Cooking Time
str
en
gth
3 4
195.6
196.925
198.25
199.575
200.9
DESIGN-EXPERT Plot
strength
X = B: Cooking TimeY = A: Hardwood
A1 2A2 4A3 8
Actual FactorC: Pressure = Average
HardwoodInteraction Graph
Cooking Time
str
en
gth
3 4
195.6
196.925
198.25
199.575
200.9
DESIGN-EXPERT Plot
strength
X = C: PressureY = A: Hardwood
A1 2A2 4A3 8
Actual FactorB: Cooking Time = Average
HardwoodInteraction Graph
Pressure
str
en
gth
400 500 650
195.6
196.925
198.25
199.575
200.9
Para uma maior resistência, realize o processo com porcentagem de concentração de madeira em 2, pressão em 650, e tempo em 4 h.A ANOVA padrão trata todos os fatores do experimento como se fossem qualitativos. Nesse caso, todos os três fatores são quantitativos, dessa forma análises adicionais podem ser feitas.