(Ex - 1001004u.com1001004u.com/new.videos/math-110/ch-1/ch-1.pdf · v 2 (Ex:1) Whole number = W is:...
Transcript of (Ex - 1001004u.com1001004u.com/new.videos/math-110/ch-1/ch-1.pdf · v 2 (Ex:1) Whole number = W is:...
v
2
(Ex:1) Whole number = W is:
a) 2 b) c) 3.2 d) 25 = 5
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:2) Integer = Z is:
a) 25 = 5 b) 2 c) 5.3 d) 3
2
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:3) Integer = Z is:
a) b) 2 c) 3 8 = 2 d) 5.3
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:4) Whole number = W is:
a) 3 8 = 2 b) 12 c) 0.5 d)
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:5) Irrational number = I is:
a) 3
2 b) 2 c) 0 d) 5
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:6) Rational number = Q is:
a) 5 5 b) 2 c) 3 4 d) 25 =1
5
v
3
(Ex:1) if A={1,2,3,4,5,6,7} and B={1,2,6,8,9,3,4} then
-the element is
a) 1 b) 8 c) 9 d) 12
- A ∩ B =
a) { 1,2,3,4,6} b) { 1,5,3,4} c) { 1,7,3,4} d) { 1,2,9,4}
- A ∪ B =
a) { 1,2,3,4} b) { 1,5,3,4} c) { 1,,5,7, 3,4,2,8,9,6} d) { 1,2,9,4}
- A∖ B =
a) { 1,2,3,4} b) { 1,5,3,4} c) { 1,,5,7, 3,4,2,8,9,6} d) { 5,7}
Sets المجموعات
x: x ∈ A
v
4
Notation Set description Type Picture
(a, b) {x: a < x < b} Open
[a, b] {x: a x b} Closed
[a, b) {x: a x < b} Half Open
(a, b] {x: a < x b} Half Open
Notation Set description Type Picture
(a, ) {x: x > a} Open
( , b] {x: x b} Closed
( , ) R: set of all real numbers Open
1) Finite intervals: فترات محدودة
2) Infinite intervals: فترات غير محدودة
a
b
v
5
Write the sets as the intervals and show on the real line
(Ex:8) {x R / 3 x < 3} =
a) ( 3 , 3) b) [ 3 , 3] c) [ 3 , 3) d) ( 3 , 3]
{x R / 3 x < 3} = [ 3 , 3)
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:9) {x R : 2 < x < 5} =
a) ( -2 , 5) b) [ 2 , 5] c) [ 2 , 5) d) ( 2 , 5]
{x R : 2 < x < 5} = ( 2 , 5)
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:10) {x R : x 2}=
a) ( , 2) b) [ , 2] c) [ , 2) d) ( , 2]
{x R : x 2} = ( , 2]
3 3
2 5
-2
Solution
Solution
Solution
v
6
(Ex:11) (2 , ) ∪ [-10,0)=
a) (2 , ) b) [10, ) c) [2 , ) d) (2 , ]
(2 , )∪[-10,0) = [ -10 , )
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:12) (2 , )∩ [-10,0)=
a) (2 , 0) b) [10, ) c) [2 , ) d) (2 , ]
(2 , ) ∩ [-10,0) = (2 , 0)
(Ex:13) (2 , )∖ [-10, 0) =
a) (2 , 0) b) [0 , ) c) [2 , ) d) (2 , ]
(2 , ) ∖ [-10 , 0) = [0 , )
-2 -10
0
Solution
Solution
Solution
-2 -10
0
-2 -10
0
v
7
I -Linear equation of one variable
(Ex:1) If 2x+3=7 then x =
a) 2 b) -1 c) 7/2 d) 3/2
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:2) If 2(x+3) = 7 - 3(x+1) then x =
a) 2/5 b) -2/5 c) 7/2 d) 3/2
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:3) If 2(x+3) = x/3 + 1 then x =
a) -3 b) -2 c) 7 d) 3/2
Equationsالمعادالت
v
8
I –Second-degree equation of one variable
المجهول في معادالت الدرجة الثانية ذات المجهول الواحد بأحد طريقتين ةيتم ايجاد قيم
القاعدةالتحليل ويستند فيه الى -1
If a×b = 0 then a = 0 or b = 0
ويوجد عدة انواع للتحليل منها
التحليل باستخدام العامل المشترك-1
x=0-24x
x(4x-1)=0
x=0 , or x=1/4
تحليل المقدار الثالثي-2
2x+4=0-22x
x+2))=0-22(x
2(x-2)(x+1)=0
x=2 , or x=-1
المربعينفرق بين -3
4=0-2x
(x-2)(x+2)=0
x=2 or x=-2
فرق المكعبين-4
8 =0-3x
+2x+4)=022) (x-(x
(x-2)(x+4)(x-2)=0
X=2 ,x=-4
فان bx +c = 0 2ax +القانون العام اذا كان -5
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
v
9
(Ex:4) If x2-2x=0 then x =
a) 0,2 b) -1,2 c) 7,2 d) 3,2
(Ex:5) If x2-2x-3=0 then x =
a) 0,2 b) -1,3 c) 7,2 d) 3,2
(Ex:6) If x2-5x+6=0 then x =
a) 3,2 b) -1,3 c) 5,2 d) 3,2
(Ex: 7) If x2-16=0 then x =
a) 3, 2 b) -4, 4 c) 5, 2 d) 3, 2
v
10
(Ex: 7) x2 -x =5
a) 3, 2 b) 1∓√21
2 c) 5, 2 d) 3, 2
(Ex: 8) If x2-2x-4=0 then x =
a) b) 1,5 c) 5,2 d) 3,2
1 ± √5
v
11
If a, b and c are real numbers:
* إضافة أونفس العدد للطرفين ال يغير عالمة المتباينة.
a < b a c < b c
* ضرب الطرفين في عدد موجب ال يغير عالمة المتباينة. a < b a . c < b . c where: c > o
* ضرب الطرفين في عدد سالب يقلب عالمة المتباينة.
a . c > b . c where: c < o
عالمة المتباينة.* قلب الكسور التي لها نفس اإلشارة يعكس
a < b a
1 >
b
1
where: a, b are both positive or both negative
Inequalitiesالمتباينات
v
12
* Solve the inequalities and show the solution sets on the real line حل المتباينات ممثاًل الحل على خط األعداد
(Ex: 9) the solution of 4x 1 < 2x + 3 is
a) ( , 2) b) [ , 2] c) [ , 2) d) ( , 2]
4x 1 < 2x + 3
4x 2x < 3 + 1
2x < 4 (÷ 2)
x < 2
Sol. Set = ( , 2) = {x R / x < 2}
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:10) the solution of 8 3x 5 is
a) ( , 1) b) [ , 1] c) [ , 1) d)
( , 1]
8 3x 5
3x 5 8
3x 3 (÷ 3)
3
x3
3
3
عند القسمة على او الضرب في عدد سالب نعكس اتجاه المتباينة
X 1
Sol. Set = ( , 1] = {x R / x 1}
2
1
Solution
Solution
v
13
(Ex:11) the solution the 3 (2 x) > 2 (3 + x) is
a) ( , 0) b) [ , 0] c) [ , 0) d) ( , 0]
3 (2 x) > 2 (3 + x)
6 3x > 6 + 2x
3x 2x > 6 6
5x > 0 (÷ 5)
5
x5
<
5
0
x < 0
Sol. Set = ( , 0) = {x R / x < 0}
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:12) 10
4
x >
4 4
2
x
a) (- , 2) b) [- , 2] c) [- , 2) d) (-
, 2]
10
4
x >
4 4
2
x
(10 x) > 2(4x 4)
10 x > 8x 8
x 8x > 8 10
9x > -18 (÷ 9)
x < 2
0
- 2
Solution
Solution
v
14
Sol. Set = (- , 2) = {x R / x < 2}
(Ex:13) 5 < 2x + 1 < 9
a) (2, 4) b) [2, 4] c) [2, 4) d) (2, 4]
5 < 2x + 1 < 9
5 1 < 2x < 9 1
4 < 2x < 8 (÷ 2)
2 <x < 4
Sol. Set = (2, 4) = {x R / 2 < x< 4}
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:14) the solution of 6
1 <
y
1 <
4
1 is
a) (4, 6) b) [4, 6] c) [4, 6) d) (4, 6]
6
1 <
y
1 <
4
1
عند قلب الكسور تقلب عالمة المتباينة.
6 > y > 4
Sol. Set = (4, 6) = {y R / 4 < y < 6}
2 4
4 6
Solution
Solution
v
15
(Ex:15) the solution of 2 < 2 2x < 3 is
a) (2
1 , 2 ) b) [
2
1 , 2] c) [
2
1 , 2) d) (
2
1 , 2]
2 < 2 2x < 3
2 2 < 2x < 3 2
4 < 2x < 1 (÷ 2)
2
4
>
2
x2
>
2
1
2 > x > 2
1
Sol. Set = (2
1 , 2) = {x R /
2
1 < x < 2}
2
Solution
v
16
(Ex:16) if 5
4 (x 2) <
3
1 (x 6) then x =
a) ( ,7
6 ) b) [ ,
7
6 ] c) [ ,
7
6 ) d) ( ,
7
6 ]
5
4 (x 2) <
3
1 (x 6)
5
8x4 <
3
6x
12x 24 < 5x 30
12x 5x < 30 + 24
7x < 6 (÷ 7)
x < 7
6 Sol. Set = ( ,
7
6 ) = {x R / x <
7
6}
Solution
v
17
a : is the distance from a to 0 on the real line.
القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد ونقطة الصفر على خط االعداد
* Distance is always positive or zero. a 0
أي ال تكون سالبة أبداً Zeroأي أن القيمة المطلقة دائماً أكبر من أو تساوي
The absolute value of a number a
= a if a 0 = 2
= a if a < 0 = (2) = 2
v
18
(Ex:17) 4 = 4 , 4 = 4 , 0 = 0 , 5
2 =
5
2
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:18) 13 = 3 1 ما بداخل المطلق كمية موجبة *
يكون الناتج نفس ما بداخل المطلق.
-------------------------------555555555555555------------------------
بداخل المطلق كمية سالبة يكون الناتج ما
+ 31 االشارات إما عكس
(Ex:19) 31 =
3 1 أو تبديل الترتيب *
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:20) 822 = 2222 = 0 = 0
(Ex:21) 2 3 = 32 = 1 = 1
(Ex:22) 5 23 = 5 23 = 18
v
19
فان ازالة رمز المطلق يكون كما يلي xاما اذا احتوي تعبير المطلق على المتغير
(Ex:23) 2x3
3x 2 if x 3
2
2x3 =
3x + 2 if x < 3
2
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:24) 1x2 = 2x + 1
موجبة. مجموع المربعين دائمًا كمية بما ان يبقى ما بداخل المطلق كما هو.
ما بداخل المطلقنضع = 0
3x 2 = 0
3x = 2
X = 3
2
عكس x مثل اشارة
(3x 2) + (3x 2)
= 3x + 2 = 3x 2
3
2
إعادة تعريف المطلق
v
20
* a = a * ba = a b
* b
a =
b
a * 2x = x
* 3 3x = x * na =
na
If: a is positive number:
(1) x = a x = a
x = a , a
-------------------------------555555555555555------------------------
(2) x < a a < x < a
(a, a) الحل على شكل فترة
* التظليل في الوسط-------------------------------555555555555555------------------------
(3) x > a x > a OR x < a
(, a) (a, ) الحل على شكل اتحاد فترتين
* التظليل على األطراف
-a a
a -a
للقيمة المطلقة خواص هامة
v
21
(Ex:25) if 3x2 = 7 then x =
a) {5, 2} b) {5, 2} c) {-5, 2} d) (-2, 5]
2x 3 = 7
2x 3 = 7
2x = 7 + 3
2x = 10 (÷ 2)
x = 5
2x 3 = 7
2x = 7 + 3
2x = 4 (÷ 2)
x = 2
Sol. Set = {5, 2}
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:26) 1x2 = 2
Sol. Set =
Where: القيمة المطلقة 0
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:27) y = 4
y = 4 Sol. Set = {4, 4}
Solution
Solution
Solution
v
22
(Ex:28) if 12
x = 1 then x =
a) {-4, 0} b) {4, 0} c) {0, 4} d) (0, -4]
12
x = 1
2
x 1 = 1
2
x 1 = 1
2
x = 2
2
x = 0
x = 4 x = 0
Sol. Set = {4, 0}
(Ex:29) if 5y2 < 1 then x =
a) (3, 2) b) {2, 3} c) {-2, 3} d) (-3, -2]
1 < 2y + 5 < 1 )قيمة مطلقة أقل من( 1 5 < 2y < 1 5
6 < 2y < 4 (÷ 2)
3 < y < 2
Sol. Set = (3, 2)
= {y R / 3 < y < 2}
Solution
-3 -2
Solution
v
23
(Ex:30) if x32 > 5 then x =
a) ( , 1)
,
3
7 b) ( , 1]
7,
3
c)
71,
3
d)
71,
3
)قيمة مطلقة أكبر من(
2 3x > 5 OR 2 3x < 5
3x > 5 2 3x < 5 2
3x > 3 (÷ 3) 3x < 7 (÷ 3)
3
x3
<
3
3
3
x3
>
3
7
x < 1 x > 3
7
Sol. Set = ( , 1)
,
3
7
= {x R / x < 1 OR x > 3
7}
(Ex:31) The Sol. Set of: 1x
1x2
= 3 is:
a) 4, 5
2
b) 4, 0 c) 2, 0 d) 0, 1
a
-1
Solution
v
24
(Ex:32) ) x2 < 2
a) ( 2 , 2 )
b) [- 2 , 2 ] c) [ 2 , 2 ) d) ( 2 , 2 ]
by
2x < 2
| x | < 2
2 < x < 2 2 2
Sol. Set = ( 2 , 2 )= {x R / 2 < x < 2 }
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:33) 2)1x( 4
a) [1, 3]
b) (1, 3] c) [1, 3) d) (1, 3)
by
2)1x( 4 | x 1 | 2 2 x-1 2
2 + 1 x 2 + 1 1 x 3 1
3
Sol. Set = [1, 3] = {x R / 1 x 3}
في حالة المتباينة التربيعية
فقط أو قوس تربيع وجود
للطرفين نأخذ
التحليل x، وجودفي حالة
ودراسة اإلشارة
Solution
Solution
v
25
(Ex:34) x2 – x < 0
a) (0, 1)
b) [0, 1) c) (0, 1] d) [0, 1]
)سالبة(
تحليل x (x 1) = 0
x = 0 , 1
فترة الحل هي الفترة السالبة ألن المتباينة أقا من 0
Sol. Set = (0, 1)
= {x R / 0 < x < 1}
-------------------------------555555555555555------------------------
(Ex:35) 2x x 2 0
a) ( , 1] [2 , ) b) ( , 1) (2 , ) c) (-1 , 2) d) [-1 , 2]
)موجبة(
تحليل مقدار ثالثي (x 2) (x + 1) = 0
x = 2 , 1
Sol. Set = ( , 1] [2 , )
مثل عكس
مثل
+
Discard
+
Discard
1 0 ـــــ
Ok
-1 2
مثل مثل عكس
ــــــ Discard
+
Ok
+
Ok
-
Solution
Solution
v
26
(Ex:37) x2 > 5
a) ( , 5 ) ( 5 , ) b) ( , 5 ) ( 5 , ) c) (- 5 , 5 ) d) [-
5 , 5 ]
by
2x > 5
| x | > 5
x > 5 OR x < 5 5 5
Sol. Set = ( , 5 ) ( 5 , )
* في حالة المتباينة الكسرية: البد من دراسة إشارة البسط والمقام
(Ex:40) 3x
2x
0 (موجبة)
Sol. Set = ( , 2] (3 , )
= {x R / x 2 OR x >3
Solution
نوجد أصفار البسط والمقام*
x = 2 , x = 3
ونحدد اشارات كل من البسط والمقام ومن ثم *
اشارة المقدار
* منطقة الحل هي المنطقة الموجبة حيث أن
Zeroالمتباينة أكبر من
-2 3
ــــــ+ +
البسط مغلق لوجود
عالمة المساواة المقام دائماً مفتوح
v
27
3 7 ـــــــ +
صفر المقام دائماً
مفتوح
صفر البسط مغلق
لوجود المساواة
4
ـــــــ
(Ex:43) 1
3
x
x
2
1
3
x
x
1
2 0
توحيد المقامات
3x
6x21x
0
3x
7x
سالبة 0
- × × ×
Sol. Set = ( , 3) [7 , )
Solution
* نوجد أصفار البسط
x + 7 = 0 x = 7
* نوجد أصفار المقام
x 3 = 0 x = 3
ونحدد اشارات كل من البسط والمقام ومن ثم اشارة *
المقدار* منطقة الحل هي المنطقة السالبة حيث أن المتباينة أقل
Zeroمن
v
28
المسافة بين نقطتين
21 PP = d = 22 )y()x(
d = 2
122
12 )yy()xx(
* Mid Pointe: نقطة المنتصف
M =
2
yy,
2
xx 2121
P1 ( , )
P2 ( , )
P ( , )
Q ( , ) M