Estrutura CristalinaKittel, 5a edição (1976):“A fivefold axis of symmetry can not exist in a lattice because it is not possible to fill all space with a connected array of pentagons”

Kittel, 7a edição (1996):“A fivefold axis of symmetry can not exist in a periodic lattice because it is not possible to fill the area of a plane with a connected array of pentagons. We can, however, fill all the area of a plane with just two distinct designs of tiles or elementary polygons. A quasicrystal is a quasiperiodic nonrandom assembly of two types of figures”Ho-Mg-Zn

Rede de Bravais conjunto infinito de pontos no espaço onde cada ponto tem a mesma vizinhança

R = n1a1 + n2a2 + n3a3

Base um ou mais átomos associados a um ponto da rede de bravais

Cristal arranjo periódico de átomos = Rede de Bravais + Base

“menor” unidade do cristal que pode ser repetida para se gerar todo o cristal (P: primitiva, NP: não primitiva) Célula unitária

Rede de Bravais em 2D 5 tipos diferentes!

oblíqua retangular

Retangular centrada

quadrada

hexagonal

Uma única folha de grafite célula unitária primitiva + base de 2 átomos

Cristais em 2D

M.C. Escher

Rede de Bravais em 3D 14 tipos diferentes!

BCCVetores primitivosa1= a i a2= a ja3= a/2 (i + j + k)

FCCVetores primitivosa1= a/2 (j + k)a2= a/2 (k + i)a3= a/2 (i + j)

HCPVetores primitivosa1= a ia2= a/2 i + √3a/2 ja3= c ka4= 1/3 a1 + 1/3 a2 + 1/2 a3)

Cristais em 3D

Zincblend

Bem, aumentando o número de átomos na célula unitária.......

Planos cristalinos e direções cristalográficas

Índices de Miller

1) Determinar onde o plano corta os eixos cristalográficos: (a,0,0) e (0,a,0), (0,0,) 2) Tomar o recíproco: 1/a, 1/a, 1/3) Se “livrar” das frações: 1, 1, 04) Reduzir para os menores 3 inteiros (hkl): (110)

(???)

ConvençõesPlano: (hkl); família de planos equivalentes: {hkl}Direção: [hkl]; família de direções equivalentes: <hkl>

Operações de simetria em 2D:

+

17 grupos de espaço

Operações de simetria em 3D:

14 redes de Bravais +

operações de ponto em 3D=

230 grupos de espaço diferentes!!!!