Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y...
Transcript of Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y...
17/08/2015
1
Estimación de incertidumbre en
las mediciones: GUM y método de
Monte Carlo para principiantes
1
Grupo de Grupo de Grupo de Grupo de Ultrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaUltrasonido, Dirección de Vibraciones y AcústicaDirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.Dirección General de Metrología Física, CENAM.
Instructores:
Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez Ana Lilia López Sánchez ([email protected])
Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez Alfredo Elías Juárez ([email protected])
TelTelTelTel. (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. . (442) 2 11 05 00 ext. 3599 y 35153599 y 35153599 y 35153599 y 3515
Agosto 2015
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.2
� Que el participante adquiera los conocimientos básicos para realizar la estimación de incertidumbre en las mediciones;
- empleando la ley de propagación de incertidumbres
conforme a la GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in
Measurement), y
- el Suplemento 1 de la GUM (método de Monte Carlo).
Objetivo
17/08/2015
2
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.3
� Los datos y parámetros estadísticos que necesariamente requiere un presupuesto de incertidumbres;
en el caso del método de Monte Carlo, se utilizará software libre para realizar la propagación de distribuciones de probabilidad.
El participante identificará, con base en un modelo de medición,
OCTAVE
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.4
� Se revisa la metodología GUM para la estimación de incertidumbres de medida; contrastando los resultados obtenidos entre dos técnicas (combinación de varianzas vs. método de Monte Carlo).
Se sugiere que cada participante proporcione un problema de estimación de incertidumbres; de ser posible, con datos reales de un proceso de calibración, medición o publicación técnica.
Descripción del curso
17/08/2015
3
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.5
Temario
GUM: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, lEC, IFCC, ISO, IUPAC, lUPAP, OIML. Equivalentea la norma NMX-CH-140-IMNC 2002 Guía para la expresión de la incertidumbre en las mediciones.
1. Introducción: modelo de una medición
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM).
5. Reflexiones y consideraciones finales en su aplicación
4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método de simulación Monte Carlo.
2. Repaso de conceptos básicos de probabilidad y estadística.
0. Motivación y Referencias clave
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.6
Instrumentación típica
+ +
Medidores y detectores
Unidades rastreadoras (transductores)
Bloques de referenciay accesorios(ej. acoplante)
=
+ … ? =
+
Personal calificado
+Referencia Normativa
Procedimiento
Código, norma,
Instrumentación y cadenas de medición en aplicaciones de ultrasonido
prácticaRecomen-dada, etc.
0. Motivación/ un caso de aplicación
17/08/2015
4
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.7
¿Cómo indica o declara actualmente el valor de espesor de una tubería?
?mm
Medidor
ultrasónico de
espesor
Tubería
Condiciones
ambientales
interiores
Espesor
Condiciones
ambientales
exteriores
0. Motivación/ ¿es relevante el tema de la incertidumbre de medida?
¿25.6 mm?
¿25.4 mm?
¿25.35 mm?
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.8
0. Motivación/ ¿incertidumbre en la evaluación de la conformidad?
Toleranciasuperior
Toleranciainferior
Pasa No PasaNo Pasa
Valores medidos considerando la dispersión de los datos debido al
proceso de medición y/o usuario.
17/08/2015
5
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.9
http://www.bipm.org/en/publications/guides/gum.html
0. / Referencias clave
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.10
JCGM 100:2008 / “aka la GUM”
0.1 When reporting the result of a measurement of a physical quantity, it is obligatory that some quantitative indication of the quality of the result be given so that those who use it can assess its reliability. Without such an indication, measurement results cannot be compared, either among themselves or with reference values given in a specification or standard. It is therefore necessary that there be a readily implemented, easily understood, and generally accepted procedure for characterizing the quality of a result of a measurement, that is, for evaluating and expressing its uncertainty.
17/08/2015
6
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.11
https://archive.org/details/MathematicsAndStatistics
1. Introducción/
Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.12
1. Introducción/
Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication
17/08/2015
7
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.13
1. Introducción/
“La cuantificación de la incertidumbre debe obtenerse sobre la base de un adecuado entendimiento del proceso de medición involucrado y del sistema sujeto a medición”
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.14
1. Introducción: modelo de una medición
Fuente: Essential Mathematics and Statistics for Science, 2nd Edition, Graham Currell & Antony Dowman, The University of the West of England, UK, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication
17/08/2015
8
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.15
VERSIÓN VIM 2008
� Mensurando se mide directamente
Ej.: Medición del volumen de un cilindro por
desplazamiento de agua.
� Mensurando se mide de forma indirecta
Cálculo del mensurando a partir de otras
magnitudes medidas.
Ej.: Volumen de un cilindro: V = (ππππ/4)�d^2�h
d
h
1. Introducción: modelo de una medición
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.16
CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf
1. Introducción: modelo de una medición
17/08/2015
9
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.17
1. Introducción/
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.18
Resultado no corregido
Dispersión por errores aleatorios
Valor verdadero
IncertidumbreResultado corregido
Corrección (error sistemático)
Mensurando
Tolerancia
Tolerancia
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
17/08/2015
10
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.19
∑=
=n
i
ixn
x
1
1
( )∑=
−−
=σn
i
i xxn
1
22
1
1( )∑=
−−
=n
j
j qqn
qs
1
22
1
1)(
NNll xXxXll
lX
f
x
fc
==∂∂
=∂∂
=K
∑∑∑−
= +==
+=1
1 11
22 ),()()(2)()(
n
i
N
ik
kiki
n
i
i xxryuyuyuyu
( ) ( )( ) ( )
ji
ji
jixuxu
xxuxxr
⋅=
,,
( )mi xxfy ,...,=
)(
)(
1
4
4
∑=
ν
=νN
i i
i
cef
yu
yu
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.20
Definiciones iniciales y / Etc., ☺☺☺☺
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
J. N. Razo Razo, “Incertidumbre en la integración numérica de curvas de medición” , mayo 2003
17/08/2015
11
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.21
� Probabilidad, funciones de densidad probabilística
(probability density functions, PDFs) de uso común,
esperanza y momentos de una variable aleatoria.
� Parámetros estadísticos: mediana, moda, media
aritmética, varianza, desviación estándar,
incertidumbre estándar, histograma de resultados.
� Nivel de confianza, factor de cobertura,
incertidumbre combinada vs. incertidumbre
expandida
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.22
* CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
17/08/2015
12
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.23
CEM, Evaluación de datos de medición, Guía para la expresión de la incertidumbre de medidahttp://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.24
C.2.1 probabilidadnúmero real, entre 0 y 1, asociado a un suceso aleatorio
C.2.4 función de distribuciónfunción que da, para cada valor de x, la probabilidad de que la
variable aleatoria X sea menor o igual que x: F(x) = Pr(X ≤ x)
C.2.5 función de densidad de probabilidad (para una variable aleatoria continua) es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:
f(x) = dF(x)/dx
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
17/08/2015
13
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.25
C.2.19 media aritmética; valor mediosuma de valores dividida entre el número de valores
�� � �� ∙���
�
��
Mediana: el valor central de los datos ordenados.
Moda: el valor que más veces se repite.
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.26
C.2.9 esperanza matemática (de una variable aleatoria
o de una distribución de probabilidad); valor esperado; media0 Para una variable aleatoria continua X, con función de densidad de
probabilidad f(x), la esperanza, si existe, es
� � � � �� � ��
C.2.13 momento central de orden qen una distribución de una única variable, es la esperanza matemática de
la q-ésima potencia de la variable aleatoria centrada (X − µ):
� � � μ �
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
17/08/2015
14
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.27
del mensurando
Media
���� Medida de su Dispersión
(((( ))))∑∑∑∑====
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
====n
1i
2
ixx1n
1s
Desviación estándar experimental
s2 : Varianza experimental
C.2.20 varianzamedida de dispersión, igual a la suma de los cuadrados de las
desviaciones de las observaciones con respecto a su valor medio,
dividido por el número de observaciones menos uno.
2. Repaso de conceptos básicos de
probabilidad y estadística.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.28
Tiempo
Valores
C.2.18 distribución de frecuenciarelación empírica entre los valores de una
característica y sus frecuencias o
frecuencias relativas
NOTA La distribución puede representarse gráficamente como un histograma (ISO 3534-1:1993, definición 2.17), un diagrama debarras (ISO 3534-1:1993, definición 2.18),…
17/08/2015
15
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.29
y funciones de densidad de probabilidad (PDF)
Los histogramas permiten visualizar de manera preliminar la distribución, a partir de su envolvente.
012345678
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
Clase
Fre
cu
en
cia
0123456789
10
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
Clase
Fre
cu
en
cia
¿uniforme?¿uniforme?¿uniforme? ¿normal?¿normal?¿normal?
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.30
⋅−
−⋅⋅
=2
2
22
1
σµ
πσ)(
exp)(x
xf
µ σµ +σµ− x
f(x)
= Distribución de Laplace-Gauss
= Distribución Gaussiana
µ = Media
σ = Desviación estándar
17/08/2015
16
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.31
Intervalo
Nivel deconfianza 68,3% 95,4% 99,7%
σµ ±
µµµµ−−−−3σ µ3σ µ3σ µ3σ µ−−−−2σ µ2σ µ2σ µ2σ µ−−−−σσσσ µ µ+σµ µ+σµ µ+σµ µ+σ µ+2σµ+2σµ+2σµ+2σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ
σµ 2± σµ 3±
Probabilidad de encontrar x en un intervalo:
[ ] ∫=≤≤b
adxxf )(bxaP
x
f(x)
Para una distribución normal
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.32
Ref. VIM, JCGM 200:2008, trad. Español.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
17/08/2015
17
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.33
Fuente: Ref. NMX-CH-140-IMNC
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.34
-3uc -2uc -uc +uc +2uc +3uc
k 1 2 3
nivel deconfianza 68,3% 95,4% 99,7%
cukU ⋅⋅⋅⋅====
• Aumentar el nivel de confianza.
• k es elegido por el usuario según conveniencia.
La incertidumbre estándar uc representa un intervalo que contiene el valor verdadero del
mensurando con una probabilidad p de 68% aproximadamente, llamado el “nivel de confianza”. Para obtener una probabilidad mayor, se expande el intervalo de
incertidumbre por un factor k, llamado “factor de cobertura”. El resultado se llama
“incertidumbre expandida”
17/08/2015
18
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.35
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la “Guide to the expression of uncertainty in measurement” (GUM).
3.1 Mensurando, variables de influencia y variables de entrada (del
modelo de medición).
3.2 Ley de propagación de incertidumbres: con y sin correlación de
variables.
3.3 Coeficientes de sensibilidad y el “peso” de las contribuciones en la
incertidumbre de una medición.
3.4 Incertidumbre: Tipo A vs. Tipo B.
3.5 Componentes “mínimos” en un presupuesto de incertidumbres.
3.6 Ejercicio ilustrativo: medición de espesores utilizando ultrasonido.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.36
Parámetro no negativo que caracteriza la dispersión de los valores
atribuidos a un mensurando, a partir de la información que se utiliza.
¿25.4 mm?
¿25.6 mm?
¿25.35 mm?
NOTA. El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación típica (o un múltiplo de ella), o el semi
intervalo con un nivel de confianza determinado.
� La incertidumbre es un intervalo de valores en el
cual estimamos que se encuentra el valor
verdadero con una probabilidad asociada.
� La incertidumbre se estima, no es una cuantificación
exacta.
� El nivel de incertidumbre apropiado depende del
uso intencionado.
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
17/08/2015
19
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.37
Fu
ente
s p
osi
ble
s d
e in
cert
idu
mb
re
definición incompleta del mensurando;
realización imperfecta de la definición del mensurando;
muestra no representativa del mensurando;
lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del técnico;
resolución finita del instrumento de medida;
conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales en la medición, o medición imperfecta de las mismas.
valores inexactos de los patrones de medida;
valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas;
variaciones en las observaciones repetidas del mensurando, en condiciones aparentemente idénticas.
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.38
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
17/08/2015
20
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.39
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Esta Guía proporciona reglas
generales para evaluar y
expresar la incertidumbre de
medida de una magnitud física
bien definida, el mensurando.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.40
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de entrada .
2) Determinar el valor estimado de las magnitudes de entrada
3) Evaluar la incertidumbre estándar de cada estimación de entrada.
4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén correlacionadas.
5) Calcular la estimación del mensurando.
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando.
7) Determinar la incertidumbre expandida.
8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre.
Procedimiento de evaluación y expresión de la incertidumbre conforme al método de la GUM
17/08/2015
21
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.41
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
En general, un proceso de medición involucra cantidades de entrada ��cuyo valor estimado, ��, contribuyen al valor estimado � del mensurando o
cantidad de salida, �.
Proceso
de
medición
⋮����
�
� � � ��, ��, ⋯ , ��� � � ��, ��, ⋯ , ��
Magnitud que se desea medir.
Cantidad particular objeto de una medición.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.42
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada .
Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes
de entrada (Xi ) de las que depende Y.
��� �"#$#"%"& � '&( �$#"%" � '&( �"#�#�#�#)*%&��� �"#$#"%"& � '&( �$#"%" � '&( �"#�#�#�#)*%&
Decidir qué se quiere medir.
Decidir qué mediciones y cálculos se requieren para obtener el resultado final.
Ejemplo:
� � � ��, ��, ⋯ , ��� � � ��, ��, ⋯ , ��
17/08/2015
22
43
� Volumen de un cilindro:
Ejemplos:
� Error del instrumento:
� Medición directa
Mensurando Modelo Magnitudes de entrada
m : Masa .ρ : Densidad
E = L – Lref L : Lectura del instrumentoLref : Valor de referencia
� Longitud de un bloque: l = L + C L: Lectura del instrumento de
medición
C: Corrección
+ � ,-
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada .
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.44
Volumen de un cilindro.
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
' � .4 ∙ 0� ∙ 1
Volumen del cilindro
Diámetro del cilindro
Altura del cilindro
'01
Mensurando�
�� Magnitudes de
entrada
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada .
0
1
17/08/2015
23
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.45
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
2) Determinar el valor estimado �� de la magnitud de entrada 2�.
Las magnitudes de entrada �� pueden ser a su vez mensurandos,
pudiendo depender de otras magnitudes.
3#*45�&"#(%)64�5$#)4 3#*45�&"#(%)64�5$#)4
Se pueden determinar a partir del análisis estadístico de una serie de
observaciones.
Ejemplo:
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.46
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
2) Determinar el valor estimado �� de la magnitud de entrada 2�.
Magnitudes cuyos valores e incertidumbre se introducen en la
medición procedentes de fuentes externas:
� Magnitudes asociadas a patrones,
� Materiales de referencia certificados
� Valores de referencia tomados de publicaciones.
'&( �$#"%" � 3#*45�&"#(%)64�5$#)4 7 8 ��#**%ó)'&( �$#"%" � 3#*45�&"#(%)64�5$#)4 7 8 ��#**%ó)
Por el instrumento Por magnitudes de influencia (ej. temperatura, presión atmosférica, o humedad)
Ejemplo:
17/08/2015
24
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.47
Diámetro del cilindro.D
h
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
0 � 0:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.
2) Determinar el valor estimado �� de la magnitud de entrada 2�.
Certificado de calibración del instrumento de medición.
Material del instrumento.
Regla.
Corrección = 0 mm.
U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.48
Altura del cilindro.
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1 � 1:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.
2) Determinar el valor estimado �� de la magnitud de entrada 2�.
Certificado de calibración del instrumento.
Material del instrumento.
Regla.
Corrección = 0 mm.
U = ± 0.1 % de la lectura, k=2.
D
h
17/08/2015
25
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.49
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.
a) Identificación de las fuentes de incertidumbre.
b) Clasificación según su método de evaluación.
c) Distribución de probabilidad.
d) Determinación incertidumbre estándar.
� Certificado de
calibración.
� Resolución del
instrumento.
� Repetibilidad de
las lecturas.
� Bibliografía.
� Tipo A.
Se evalúa por análisis
estadístico de una serie
de observaciones.
� Tipo B.
Adopción de valores
“externos” al proceso de
medición.
� Tipo A.
a partir de distribución
de frecuencia
observada.
� Tipo B.
distribuciones
supuestas a priori.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.50
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Fuente de incertidumbre
Distribuciónde probabilidad
Expresión para obtener E ��
Comentarios o ejemplos
Resolución del instrumento
Rectangular
(tipo B)E �� � F�
12Un termómetro digital con una
resolución de 0.1°C. E �� � I.��� °C
Repetibilidad de las lecturas
Normal
(tipo A)
E �� � J ��
J �� � J ��
JK � � �� � �� �L � ��
�
L�
Evaluación estadística de la repetibilidad proporciona el resultado en términos de una desviación estándar; por lo que no es necesario realizar un procesamiento adicional.
La repetibilidad del proceso depende de factores como: instrumento utilizado, el método de medición, y en algunas ocasiones de la persona que realiza la medición.
17/08/2015
26
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.51
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Fuente de incertidumbre
Distribuciónde probabilidad
Expresión para obtener E ��
Comentarios o ejemplos
Certificado de calibración del instrumento
Normal (tipo B)
E �� � MN
Un certificado de calibración expresauna incertidumbre expandida U, con un factor de cobertura (k) que corresponde a un nivel de confianza informado.
Especificaciones del fabricante
Normal (tipo B)
E ��� Oí,�QR�RQSTRUF�V�F
NAlgunas especificaciones de fabricantes se indican para un nivel de confianza, en estos casos se supone una distribución normal y el límite de tolerancia se divide entre el correspondiente factor de cobertura.
Si no se especifica un nivel de confianza, entonces se debe suponer una distribución uniforme.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.52
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Distribución de probabilidad
Expresión para obtener E ��
Comentarios o ejemplos
Triangular E �� � F�W
La combinación de dos distribuciones uniformes idénticas, cada una con límites del semi-intervalor de X &, resulta en una distribución triangular con un semi-intervalor de X2&.
17/08/2015
27
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.53
Repetibilidad
Resolución del instrumento 0:;<
Repetibilidad
Resolución del termómetro ∆ZCertificado de calibración del termómetro
Bibliografía ∝
0
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Certificado de calibración del instrumento 8�=>?
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.
Diámetro de
un cilindro
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.54
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
4) Evaluar las covarianzas asociadas a todas las estimaciones de entrada que estén
correlacionadas
� � � ��, ��, ⋯ , ��
5 �� , �\ � 6 ��� , �\� Covarianza estimada de dos magnitudes de entrada �� y �\:
Donde �� y �\ son las medias aritméticas determinadas a partir de pares
independientes de observaciones simultáneas de �� y �\, realizadas en las mismas
condiciones de medida.
6 ��� , �\� � 1) ) � 1 � �� � ��� �\ � �\�
=
]�
Si las observaciones
son realmente no
correlacionadas, la
covarianza calculada
será próxima a cero.
17/08/2015
28
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.55
Magnitud de entradaxi
Lecturas registradas
1 2 3 / N
Valor
Promedio
Modelo matemático Mensurando
Y
¿Cuál es el valor calculado del mensurando?
x
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
5) Calcular el resultado de medición
La estimación �del mensurando �, a partir de la relación funcional �utilizando para las magnitudes de entrada �� las estimaciones ��obtenidas en el paso 2.
� � � ��, ��,⋯ , ��� � � ��, ��,⋯ , ������⋮��
�̅��̅��̅�⋮
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.56
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Origen de la
información
Tipo de distribución Incertidumbre estándar,
E ��Diámetro medido, _,R�
Repetibilidad Lecturas A. Normal
Resolución Instrumento B. Uniforme
Corrección del
instrumento,`��JQCalibración Certificado B. Normal.k=2
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.
0 � 0:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.
Diámetro de un cilindro
5) Calcular el resultado de medición
17/08/2015
29
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.57
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Origen de la
información
Tipo de distribución Incertidumbre estándar,
E ��Altura medida, a,R�
Repetibilidad Lecturas A. Normal
Resolución Instrumento B. Uniforme
Corrección del
instrumento,`��JQCalibración Certificado B. Normal.k=2
1 � 1:;< 7 8�=>? 7 8@A=<.C:D.
Altura de un cilindro
5) Calcular el resultado de medición
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.58
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV bLa incertidumbre típica combinada 5@ � es la raíz cuadrada positiva de la
varianza combinada 5@� � , dada por:
5@� � � � c�c��
�5� ��
�
��Ley de propagación de incertidumbre
5@� � � � *� ∙ 5 �� ��
��≡ �5�� �
�
��
*� ≡ c�c��
Coeficiente de sensibilidad, es el
impacto de cada fuente sobre el
mensurando.
contribución de cada fuente a la incertidumbre
combinada.
magnitudes de entrada independientes
17/08/2015
30
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.59
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV bLa incertidumbre típica combinada 5@ � es la raíz cuadrada positiva de la varianza
combinada 5@� � , dada por:
5@� � � � c�c��
�5� ��
�
��7 2� � c�
c��c�c�\
�
\�e�5 �� , �\
�f�
��Ley de propagación de incertidumbre
� � 5 �� , �\5 �� 5 �\
Coeficiente de
correlación entre �� y �\ .
magnitudes de entrada correlacionadas
5@� � � �*��5� ���
��7 2 � � *�*\5 �� 5 �\
�
\�e�� �� , �\
�f�
��
Covarianza estimada
asociada a �� y �\ .
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.60
5@� 0 � 5ghij� 0 7 5klmno,pqr� 0
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
5@� 0 � c0c0:;<
�5� 0:;< 7 c0
c8�=>?,@Cs�5� 8�=>?,@Cs
5� 0:;< � 6 0:;<)ghij
�7 t#6 0:;<
12�
5� 8�=>?,@Cs � u@Cs 8�=>?,@Csvklmno,pqr
�
*ghij � c0c0:;<
� 1
*klmno,pqr �c0
c8�=>?,@Cs � 1
Diámetro de un cilindro
17/08/2015
31
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.61
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Tipo
distribución
E �� V� contribucióncontribucióncontribucióncontribuciónV� ∙ E ��
Diámetro medido,
_,R�Repetibilidad
Resolución
Corrección por
instrumento,`��JQCalibración
5@ 0 � 5ghij� 0 7 5klmno,pqr� 0
5@ 0 � *ghij ∙ 5 0:;<� 7 *klmno,pqr ∙ 5 8�=>?,@Cs �
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.62
Intervalo
Nivel deconfianza 68.3% 95.4% 99.7%
σµ ± σµ 2± σµ 3±
µµµµ−−−−3σ µ3σ µ3σ µ3σ µ−−−−2σ µ2σ µ2σ µ2σ µ−−−−σσσσ µ µ+σµ µ+σµ µ+σµ µ+σ µ+2σµ+2σµ+2σµ+2σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ µ+3σ
k=1 k=2 k=3
Teorema del Límite Central:
La distribución del mensurando Y es (aproximadamente) normal, si las
contribuciones Xi son independientes (no correlacionadas) y la varianza s2(Y)
es mucho más grande que cualquier componente individual ci2·s2(Xi) cuya
distribución no sea normal.
Factor de cobertura
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
17/08/2015
32
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.63
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
7) Determinar la incertidumbre expandida
y-U y y+U
k = ?
u � v ∙ 5@ �
� � � X u � � u � � � � 7 uDe acuerdo con prácticas internacionales
generalmente aceptadas, se recomienda
que se utilice un factor de cobertura de k=2
para calcular la incertidumbre expandida.
Este valor de k dará un nivel de confianza
de aproximadamente 95%, suponiendo
una distribución normal.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.64
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre
con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.
0 X u
17/08/2015
33
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.65
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre
e) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
a) D = (1.025 3 ±±±± 0.002 3) km (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
Y = y ±±±± U con k = ? @ x %
Y Mensurando
y Mejor estimado del mensurando
U Incertidumbre expandida
b) D = 1.025 3 km ±±±± 2.3 m (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
c) D = 1.025 3 km ±±±± 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
d) D = 1.025 3 km ±±±± 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
f) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 0.22 % (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
g) D = 1.025 3 km, U = ±±±± 2.2·10-3 (k=2 @ 95 % nivel de confianza)
Ejemplos de expresión de resultados en la magnitud de longitud:
Resultado:
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.66
Volumen de un cilindroD
h
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
' � .4 ∙ 0� ∙ 1
5@ ' � *g ∙ 5 0 � 7 *� ∙ 5 1 �
Usando incertidumbres relativas
*g � c'c0 � .
4 20 1 � 2 '0
5@ '' � 2 ∙ 5 0
0�7 5 1
1�5@ '
' � 2 ∙ 5 00
�7 5 1
1�
*� � c'c1 � .
4 0� � '1
17/08/2015
34
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.67
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Unidad
rastreadora
(transductor)
Bloque de referencia
Acoplante
Cable
Medidor
Reflexión (eco)
Mensurando:
Error de medida
Magnitudes de entrada:
� Espesor medido
� Espesor de referencia (��)
(��)
(�)
� � � ��, ��
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.68
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada .
Relación matemática existente entre el mensurando (Y ) y las magnitudes
de entrada (Xi ) de las que depende Y.
��� �"#$#"%"& � �6�#6 �$#"%" � �6�#6 �"#�#�#�#)*%&
# � (:;< � (�;�
17/08/2015
35
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.69
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada .
Las magnitudes de entrada Xi, de las que depende la magnitud de salida Y pueden ser
consideradas a su vez como mensurandos, pudiendo depender de otras magnitudes,
junto con las correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos.
(�;� � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs 7 (C@
Longitud del bloque
patrón dada en su
certificado de
calibración
Coeficiente de
dilatación térmica
lineal del bloque
patrón
Temperatura del
bloque durante la
medición
Temperatura de
calibración del
bloque
Espesor de la capa de
acoplante a la
temperatura de
medición.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.70
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
1) Modelo matemáticamente de la relación entre el mensurando y las magnitudes de
entrada.
# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@
17/08/2015
36
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.71
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
2) Determinar el valor estimado xide la magnitud de entrada X
i.
A partir del análisis estadístico de una serie de observaciones:
d1 (mm) d2 (mm) d3 (mm) d4 (mm) d5 (mm) d6 (mm) d7 (mm)
2.543 5.072 7.635 10.165 12.708 19.042 25.40
2.541 5.08 7.633 10.166 12.700 19.036 25.40
2.547 5.087 7.635 10.162 12.706 19.034 25.41
2.541 5.084 7.627 10.168 12.704 19.053 25.40
2.543 5.08 7.624 10.165 12.708 19.047 25.398
2.543 5.081 7.631 10.165 12.705 19.042 25.401 media aritmética
(n = 5)
observaciones
repetidas e
independientes.
(:;<
4 � 21.4 °C Temperatura promedio del
bloque durante la medición.
21.3 °C4 �21.5 °C4 �
Temperatura del bloque.
Al iniciar la medición.
Al finalizar la medición.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.72
Magnitudes cuyos valores e incertidumbres se introducen en la medición
procedentes de fuentes externas:
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
2) Determinar el valor estimado xide la magnitud de entrada X
i.
(C@ (0 ± 0.005) mm(@Cs (mm)2.543
5.085
7.621
10.161
12.702
19.048
25.400
Del certificado de
calibración del
bloque.
De estudio realizado.
∝ 1.1 x 10-5 (°C-1)
De bibliografía.
4@Cs (20 ± 0.2) °C
Del certificado de calibración del bloque.
uspqr � 0.004 (mm)
17/08/2015
37
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.73
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Repetibilidad
Resolución del medidor ultrasónico de espesores (:;<
Repetibilidad
Resolución del termómetro 4Certificado de calibración del termómetro
Certificado de calibración del bloque de referencia (@Cs
Bibliografía ∝Medición del espesor de la capa de acoplante. (C@
#
Certificado de calibración del bloque de referencia 4@Cs
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Origen de la
información
Tipo de distribución Incertidumbre estándar,
E ��Espesor medido, T,R� 2.543 mm
Repetibilidad 0.002 mm Lecturas A. Normal 0.001 mm
Resolución 0.001 mm Carátula B. Uniforme 2.887x10-4 mm
Longitud del bloque,TVFT 2.543 mm
Calibración 0.004 mm Certificado B. Normal.k=2 0.002 mm
Temperatura del bloque, Q 21.4 °C
Repetibilidad 0.14 °C Lecturas A. Normal 0.1 °C
Resolución 0.1 °C Carátula B. Uniforme 0.03 °C
Calibración 0.2 °C Certificado B. Normal.k=2 0.1 °C
Temp. calibración bloque, QVFT 20 °C
Calibración 0.2 °C Certificado B. Uniforme 0.06 °C
Coef. dil. térmica lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1
Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 Referencia B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1
Espesor capa acoplante, TFV 0 mm
Informe 0.005 mm Informe B. Normal.k=2 0.0025 mm
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
3) Evaluar la incertidumbre estándar, E �� , de cada estimación de entrada ��.Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm
17/08/2015
38
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.75
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
5) Calcular la estimación b del mensurando �, a partir de la relación funcional utilizando para
las magnitudes de entrada 2� las estimaciones ��
# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@
Espesor MedidoT,R�
Espesor ReferenciaTUR
Error de medidaR
(mm) (mm) (mm)
2.543 2.543 0.000
(�;�
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.76
5� (:;< � 6 (:;<)shij
�7 t#6 (:;<
12�
5� (@Cs � u@Cs (@Csvspqr
�
5� (@Cs � 5�� ∝12
�
5� 4 � 6 4)?
�7 t#6 4
12�7 u@Cs 4
v?�
5� 4@Cs � u@Cs 4@Csv?pqr
�
5� 4C@ � u (C@vsqp
�
5@� # � 5shij� # 7 5spqj� # 7 5∝� # 7 5?� # 7 5?pqj� # 7 5sqp� #
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
5@� # � c#c(:;<
�5� (:;< 7 c#
c(@Cs�5� (@Cs 7 c#
c ∝�5� ∝ 7 c#
c4�5� 4 7 c#
c4@Cs�5� 4@Cs 7 c#
c(C@�5� (C@
17/08/2015
39
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.77
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@
*shij � c#c(:;<
� 1
*spqr �c#c(@Cs � �1 7∝ 4 � 4@Cs
*∝ � c#c ∝ � �(@Cs 4 � 4@Cs
*? � c#c4 � �(@Cs ∙∝
*?pqr �c#c4@Cs � (@Cs ∙∝
*sqp �c#c(C@ � �1
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Tipo
distribución
E �� V� contribucióncontribucióncontribucióncontribuciónV� ∙ E ��
Espesor medido, T,R� 2.543 mm 1
Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm 0.001 mm
Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm 2.887x10-4 mm
Longitud bloque,TVFT 2.543 mm -1
Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm -0.002 mm
Temperatura bloque, Q 21.4 °C -2.8x10-5 mm/°C
Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C -2.8x10-6 mm
Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C -8.08x10-7 mm
Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C -2.8x10-6 mm
Temp. cal. bloque, QVFT 20 °C 2.8x10-5 mm/°C
Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C 1.62x10-6 mm
Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1 -3.56 mm�°C
Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1 -1.13x10-6 mm
Espesor acoplante, TFV 0 mm -1
Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm -0.0025 mm
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
Ej. Longitud del bloque de 2.543 mm
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
17/08/2015
40
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.79
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
6) Determinar la incertidumbre estándar combinada del mensurando, EV b
5@ # � 5shij� # 7 5spqj� # 7 5∝� # 7 5?� # 7 5?pqj� # 7 5sqp� #
Espesor Medido
Espesor Referencia
Error de medida EV R
(mm) (mm) (mm) (mm)
2.543 2.543 0.000 0.004
5.081 5.085 -0.004 0.006
7.631 7.621 0.010 0.006
10.165 10.161 0.004 0.004
12.705 12.702 0.003 0.005
19.042 19.048 -0.006 0.008
25.401 25.400 0.001 0.005
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.80
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
7) Determinar la incertidumbre expandida
Espesor Medido
Espesor Referencia
Error de medida M R
(mm) (mm) (mm) (mm)
2.543 2.543 0.000 0.008
5.081 5.085 -0.004 0.012
7.631 7.621 0.010 0.012
10.165 10.161 0.004 0.008
12.705 12.702 0.003 0.010
19.042 19.048 -0.006 0.016
25.401 25.400 0.001 0.010
u � v ∙ 5@ #Considerando un factor de cobertura v � 2 representa un intervalo con un nivel
de confianza de aproximadamente el 95%
17/08/2015
41
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.81
3. Estimando la incertidumbre de una medición conforme al método de la GUM
8) Documentar el resultado de medición junto con su incertidumbre
Espesor Medido
Espesor Referencia
Error de medidaR X M
(mm) (mm) (mm)
2.543 2.543 0.000 ± 0.008
5.081 5.085 -0.004 ± 0.012
7.631 7.621 0.010 ± 0.012
10.165 10.161 0.004 ± 0.008
12.705 12.702 0.003 ± 0.010
19.042 19.048 -0.006 ± 0.016
25.401 25.400 0.001 ± 0.010
con U determinada con un factor de cobertura k = 2, basado en una distribución normal del error de
medida, definiendo un intervalo estimado para tener un nivel de confianza de aproximadamente 95%.
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.
4. Estimando la incertidumbre de medición utilizando el método SMC
82
4.1 Breve introducción al software Octave y Matlab: vectores y
operaciones básicas
4.2 Gráfica de variables aleatorias: PDFs vs. histogramas
4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de
incertidumbres
4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición
para llevarla a cabo
4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación
de resultados GUM vs Monte Carlo
17/08/2015
42
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.83
� Matlab y Octave tienen la misma sintaxis y nombre de muchas
funciones. Por supuesto hay diferencias, pero en general son
bastante compatibles.
� Octave es software libre, en tanto que Matlab no lo es.
� Existe una tremenda cantidad de librerías y programas
desarrollados en ambas plataformas. Algunos son más eficientes
y robustos; siendo importante saber qué estamos resolviendo y
contar con algún mecanismo de comprobación.
� GNU Octave, http://www.octave.org� Matlab, http://www.mathworks.com
4.1 Octave y Matlab
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.84
Modelos y transformaciones matemáticas
v y
y_wv_w
A
inv(A)
TT inv(T)inv(T)
¿?
Modelov(t) y(t)
17/08/2015
43
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.85
Algebra con matrices y vectores
AA
ABAB
AA
BABA
TT
TTT
TT
TTT
=
=
=
+=+
)(
)(
)(
)(
λλ
=
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
...
:...::
...
...
21
22221
11211
∑=
=n
j
jj
T xyxy1
La transpuesta de una
matriz o vector cumple con:
Sea A la matriz, real o imaginaria0,
Producto interno
(punto o escalar),
vector columna:
vector renglón:
� ������…�m
� � �� �� �… �:
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.86
Líneas de código demostrativo
t=0:0.01:2*pi; x = sin(t);plot (t,x)title(‘ x = sin(t), con t=0:0.01:2*pi’)xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)
t=0:0.01:4*pi; x = sin(t);plot (t,x)xlabel(‘t’); ylabel(‘x’)
Graficando vectores
17/08/2015
44
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.87
t=0:0.01:4*pi; x = sin(t); y=cos(t);mesh(x'*y)
imagesc(x’*y); axis('square')
contour(x'*y); axis('square') imshow(x'*y)
Graficando matrices
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.88
4.2 Variables aleatorias (o random)
Variable aleatoria con distribución normal
y=randn(1000,1); plot(y)
mean(y)median(y)mode(y)
std(y)
hist(y)
hist(y,20) histfit(y,20)
17/08/2015
45
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.89
Variable aleatoria con distribución uniforme
y=rand(1000,1); plot(y)
mean(y)median(y)mode(y)
std(y)
hist(y)
hist(y,20)histfit(y,20)
Histograma de variables aleatorias
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.90
Histograma vs PDF
y=randn(1000000,1);
mean(y), std(y)median(y), moda(y)
subplot(221)plot(y)
subplot(222);hist(y,20)
subplot(223);histfit(y,20)
subplot(224);hist(y,20,1)title('PDF')
17/08/2015
46
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.91
y=rand(1000000,1);
mean(y), std(y)median(y), moda(y)
subplot(221)plot(y)
subplot(222);hist(y,20)
subplot(223);histfit(y,20)
subplot(224);hist(y,20,1)title('PDF')
Histograma vs PDF
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.92
4.3 Modelo de una medición y el concepto de propagación de
incertidumbres
Referencia: JCGM 101:2008 Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” —Propagation of distributions using a Monte Carlo method
“Introduction
This Supplement to the 0 (GUM) is concerned with the propagation of
probability distributions through a mathematical model of measurement
[GUM:1995 3.1.6] as a basis for the evaluation of uncertainty of
measurement, and its implementation by a Monte Carlo method. The
treatment applies to a model having any number of input quantities, and
a single output quantity.”
17/08/2015
47
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.93
“This Supplement also provides guidance in situations where the conditions for
the GUM uncertainty framework [GUM:1995 G.6.6] are not fulfilled, or it is
unclear whether they are fulfilled. It can be used when it is difficult to apply the
GUM uncertainty framework, because of the complexity of the model, for
example. …
This Supplement can be used to provide (a representation of) the PDF for the
output quantity from which
a) an estimate of the output quantity,
b) the standard uncertainty associated with this estimate, and
c) a coverage interval for that quantity, corresponding to a specified coverage
probability
can be obtained. …”
Suplemento 1 de la GUM
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.94
Suplemento 1 de la GUM
“4.1 A mathematical model of a measurement [GUM:1995 4.1] of a single(scalar) quantity can be expressed as a functional relationship f:
Y = f(X), (1)
where Y is a scalar output quantity and X represents the N input quantities(X1, . . . ,XN)>. Each Xi is regarded as a random variable with possiblevalues ξ_% and expectation x_i. Y is a random variable with possible values η_iand expectation y.”
“4.2 … The concepts of model, PDF, and distribution function are central to following and implementing the guidance provided. … The symbol f is reserved for the model.
17/08/2015
48
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.95
Pero antes de continuar, tres definiciones
importantes0
“3.17propagation of distributionsmethod used to determine the probability distribution for an output quantity from the probability distributions assigned to the input quantities on which the output quantity dependsNOTE The method may be analytical or numerical, exact or approximate.
3.18GUM uncertainty frameworkapplication of the law of propagation of uncertainty and the characterization of the output quantity by a Gaussian distribution or a scaled and shifted t-distribution in order to provide a coverage interval
3.19Monte Carlo methodmethod for the propagation of distributions by performing random sampling from probability distributions”
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.96
“Receta” para la propagación de
incertidumbres
Método de Monte Carlo, sección 5.9.6 de Suplemento 1 de la GUM:
a) definir el número de veces, M, que será evaluado el modelo de
medición Y = f(X);
b) generar datos aleatorios para cada magnitud de entrada X_i
conforme a su correspondiente PDF asignada;
c) evaluar M veces el modelo de medición f(X);
d) ordenar en forma creciente los valores obtenidos para el
mensurando; y obtener su distribución de probabilidad G_Y;
e) obtener el valor del mensurando e incertidumbre estándar;
f) utilizar G_Y para obtener el intervalo de cobertura para una
probabilidad de cobertura estipulada, p.
17/08/2015
49
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.97
a) Formulation
b) Propagation
c) Summarizing
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.98
1. Un valor grande para M; e.g., 1e6 o utilizar métodos adaptivos2. Una probabilidad de cobertura, e.g., 0.953. Un modelo de medición, Y = f(X), con los siguientes datos
para cada magnitud de entrada
Magnitudes de entrada
Valor PDF u(k = 1)
… … …
Valor medido o
asignado a cada X_i
Tipo de
distribución
Incertidumbre
estándar
Qué datos necesito para la propagación de incertidumbres:
4.4 Simulación por el método de Monte Carlo: datos de medición para
llevarla a cabo
17/08/2015
50
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.99
Ejemplos GUM
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.100
4.5 Incertidumbre en las mediciones ultrasónicas: comparación de resultados
GUM vs Monte Carlo
Interface de usuario desarrollada en OCTAVE, por los instructores deeste curso, para realizar la estimación de incertidumbres empleando elmétodo de simulación de Monte Carlo para cualquier mensurando,definido con una sola ecuación o modelo matemático del tipo:
Para n variables de entrada, Xn. Cada variable de entrada acepta unmáximo de tres contribuciones de incertidumbre. Esto es, las magnitudesde entrada del modelo pueden representarse, a su vez, como:
donde, representan las medicionesrepetidas, el error por resolución y el error por calibración,respectivamente.
( ) ( )XfXXXfY n == ,...,, 2,1
ncalibracióiresoluciónimedidaii XX ,,, δδ −−=
ncalibracióiresoluciónimedidaiX ,,, ,, δδ
17/08/2015
51
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.101
Comparación de resultados GUM vs Monte Carlo
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.102
MODELO:# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Tipo
distribución
E ��
Espesor medido, T,R� 2.543 mm
Repetibilidad 0.002 mm A.Normal 0.001 mm
Resolución 0.001 mm B.Uniforme 2.887x10-4 mm
Longitud bloque,TVFT 2.543 mm
Calibración 0.004 mm B. Normal.k=2 0.002 mm
Temperatura bloque, Q 21.4 °C
Repetibilidad 0.14 °C A. Normal 0.1 °C
Resolución 0.1 °C B. Uniforme 0.03 °C
Calibración 0.2 °C B. Normal.k=2 0.1 °C
Temp. cal. bloque, QVFT 20 °C
Calibración 0.2 °C B. Uniforme 0.06 °C
Coef. dil. térm. lineal, ∝ 1.1x10-5 °C-1
Bibliografía 1.1x10-6 °C-1 B. Uniforme 3.18x10-7 °C-1
Espesor acoplante, TFV 0 mm
Informe 0.005 mm B. Normal.k=2 0.0025 mm
17/08/2015
52
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.103
I.C. = [-6.6246e-003, 6.5681e-003] @ 95% M = 1 000 000
MODELO:# � (:;< � (@Cs 1 7∝ 4 � 4@Cs � (C@
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.104
med
ref
lc
cl =MODELO:
Variable/Fuente de
incertidumbre
Valor Origen de la
información
Tipo de
distribución
Incertidumbre
estándar, E ��Espesor medido, T,R� 23.16 mm
Repetibilidad 0.009 mm Lecturas A. Normal 0.004 mm
Resolución 0.01 mm Carátula B. Uniforme 2.89x10-3 mm
Calibración 0.01 mm Certificado B. Normal.k=2 0.005 mm
Velocidad de
propagación del
bloque medido, V6 380.1 m/s
Calibración 59.3 m/s Certificado B. Normal.k=2 29.65 m/s
Velocidad de
propagación del
bloque referencia, VUR 5 914.8 m/s
Calibración 57.7 m/s Certificado B. Normal.k=2 28.85 m/s
Ej. Bloque de aluminio AISI 6061
17/08/2015
53
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.105
I.C. = [24.653, 25.314] @ 95% M = 1 000 000
med
ref
lc
cl =MODELO:
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.
5. Reflexiones y consideraciones finales/
106
¿Cuál es el mensurando? /
¿Medición directa o medición indirecta?...
¿Qué modelo matemático puedo utilizar para representar la medición? /
¿Cuáles son las magnitudes de entrada? /
¿Es aceptable suponer independencia estadísticaentre las magnitudes de entrada del modelo de medición?
.
.¿Método GUM-varianzas o Método GUM-SMC?
¿Software y/o plataformas de programación disponibles?
25,4mm
25,4mm
17/08/2015
54
Estimación de incertidumbre en las mediciones: GUM y método de Monte Carlo para principiantes.107
� ¿Realmente necesito estimar la incertidumbre de una medición?
� ¿Qué beneficios obtengo al estimar la incertidumbre delresultado de una medición?
� ¿Las mediciones repetidas y su correspondiente estimación deincertidumbres, dado que implican más tiempo de operación ydemoran el proceso para emitir un resultado, son un gastoinnecesario o en qué momento agregan valor al resultado?
con o sin una estimación de incertidumbres el responsable o usuariode la medición tomará una decisión respecto a la aceptación orechazo del artefacto medido, evaluado o inspeccionado/ ¿entrevarios laboratorios, cómo establecer la confiabilidad de susmediciones y resultados?
5. Reflexiones y consideraciones finales/
108
17/08/2015
55
109
http://www.bipm.org/en/conference-centre/bipm-workshops/measurement-uncertainty/
“The revision of the twenty-year-old GUM, currently under way, …”
110