Estadistica Elemental

7/17/2019 Estadistica Elemental

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Estadística General 2013

1 Mg. Miguel Angel Macetas Hernández

19 17 16 14 12 11

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5

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ÍNDICE

I. CAPITULO ¿Qué es la Estadística? ................................................................................................. 4

1.1 Introducción ................................................................................................................................... 4

1.2 ¿Qué se entiende por estadística? .......................................................................................... 4

1.3 ¿Por qué hay que estudiar Estadística? ................................................................................ 5

1.4 Tipos de estadística ..................................................................................................................... 7

1.5 Elementos que caracterizan a los problemas estadísticos ............................................... 8

1.6 Definiciones básicas .................................................................................................................... 8

1.7 Clasificación de las Variables ................................................................................................. 10

A. Según la Naturaleza de la Variable .................................................................................... 10

B. Según la Escala de Medición ............................................................................................... 11

ESCALAS DE MEDICIÓN ................................................................................................................... 21

C. Según la Relación Entre Variables ..................................................................................... 22

II. CAPITULO Presentación de Datos ........................................................................................... 24

2.1. Clasificación y cómputo de datos uni. y bivariables:. ...................................................... 24

A. Codificación y tabulación ..................................................................................................... 24

B. Presentación tabular de los Datos: cuadros de distribución de frecuencias ........ 24

C. Cuadros estadísticos ............................................................................................................. 24

D. Partes Principales de un Cuadro Estadístico ................................................................. 25

2.2. Cuadros de Frecuencias de Variables Discretas ............................................................... 30

A. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE CUALITATIVAS: .................. 36

B. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA VARIABLE CUALITATIVAS: .......................... 37

D. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA CUANTITATIVAS DISCRETAS: ......................... 43

2.3. Cuadros de Frecuencias de Variables Continuas .......................................................... 46

E. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, DE LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA: ......................... 55

F. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA CUANTITATIVAS CONTINUA: ................................................. 60

Gráficos Estadísticos ............................................................................................................................ 72

Clasificación De Los Gráficos ............................................................................................................. 72

III. CAPITULO Medidas de Resumen .............................................................................................. 87

3.1 Medidas de resumen para variables cualitativas ................................................................ 87

3.2 Razón e Índice. Definición. Cálculo e interpretación ........................................................ 87

3.3 Medidas de resumen para variables cuantitativas. ........................................................... 99

3.3.1 Medidas de Posición Centrales (Tendencia Central) ................................................ 99

1. La Media Aritmética ...................................................................................................................... 99





2. La Mediana (Me) ......................................................................................................................... 101

3. Moda (Mo) (Valor Modal o Promedio Típico) ......................................................................... 105

Características de las Medidas de Posición Centrales ................................................................. 107

4. Media Geométrica: G X , G ...................................................................................................... 114

5. Media Armónica: H X , H ......................................................................................................... 118

IV. CAPITULO Estadígrafos de Tendencia No central ............................................................. 121

4.1. Estadígrafos de Tendencia No central ................................................................................ 121

A. Los Cuartiles .......................................................................................................................... 121

B. Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es necesario saber: ......................... 123

C. Deciles ..................................................................................................................................... 127

D. Percentiles o Centiles ......................................................................................................... 129

V. CAPITULO Medidas de Dispersión ............................................................................................. 132

5.1. Medidas de dispersión ............................................................................................................ 132

A. Recorrido o rango (R) ................................................................................................................ 132

B. Recorrido Semi Cuartil (Q) ........................................................................................................ 132

C. Varianza (s2) ........................................................................................................................... 132

D. Desviación Estándar o Típica (s) ......................................................................................... 134

E. Coeficiente de Variación (CV) ................................................................................................... 134

VI. CAPITULO Estadígrafos de Deformación ............................................................................. 135

Asimetría.- ................................................................................................................................................. 135

A. Relación Entre La Media, Mediana y Moda .................................................................... 135

B. Distribución Simétrica ......................................................................................................... 135

C. Importancia de la Asimetría.- ................................................................................................. 136

D. Coeficiente de Asimetría. ................................................................................................... 136

E. Kurtosis o Apuntamiento.- ..................................................................................................... 136

VII. CAPITULO Regresión y Correlación Lineal .......................................................................... 142

Regresión y Correlación Lineal ........................................................................................................ 142





I. CAPITULO ¿Qué es la Estadística?

1.1 Introducción

La importancia de la estadística en la actualidad, no se pone en discusión. Casi

todos los programas profesionales universitarios incluyen en su currículo, al menos

un curso de estadística. En muchos países, inclusive en el Perú, la estadística forma

parte del currículo de la educación secundaria e inclusive se incluyen algunos

tópicos en la educación primaria.

La dinámica del mundo moderno, exige que todo ciudadano, para ejercer sus

derechos y comprender su entorno, requiera de una alfabetización en estadística.

1.2 ¿Qué se entiende por estadística?

Al revisar el texto, vemos que esta parte se encuentra desarrollada posteriormente a

las razones por las que se debe estudiar estadística, aquí lo hacemos primero, para

iniciar entendiendo lo que significa la Estadística.

Realice la lectura de este acápite e identifique las ideas principales al respecto. Le

sugiero que subraye las ideas principales que encuentre.

¿Está de acuerdo en que la idea central se relaciona con el tratamiento de

información numérica?

Lo invito ahora a que enuncie su propia definición sobre la estadística.

¿Le parece a usted que podríamos definir a la estadística como la ciencia que nos

proporciona los elementos de juicio necesarios para llegar a tomar decisiones

adecuadas?, si está de acuerdo reflexione sobre las razones que le llevan a estarlo;

si no lo está también reflexione sobre la definición adecuada y regrese al texto para

constatarlo.

De las diferentes formas de enunciar lo que significa la estadística, realice ahora un

cuadro sinóptico en la que se resuman las ideas claves que se observan en

cualquiera de las definiciones encontradas. Para ello lea detenidamente este acápite

que se encuentra en el texto básico y reflexione sobre los distintos ejemplos que sehan planteado allí.





1.3 ¿Por qué hay que estudiar Estadística?

Si se revisa un catálogo de información de la universidad, se descubrirá que la

educación estadística se requiere en muchos Facultades. ¿Por qué pasa esto?.

¿Cuáles son las diferencias en los cursos de Estadística impartidos en una

Facultades de la Universidad. La mayor diferencia son los ejemplos utilizados.Básicamente, el contenido del curso es el mismo; Por ejemplo en una Escuela

Profesional de Administración interesan cosas como las ganancias, horas de trabajo,

y salarios. En un Departamento de Salud interesan los resultados de las pruebas, y

en una Facultad de Ingeniería pueden interesar cuántas unidades son producidas

por una máquina en especial. Sin embargo, las tres áreas tienen interés en lo que es

un valor típico y en la cantidad de variación existente en la información. Es posible

que también exista una diferencia en el nivel de matemáticas requerido. Un curso deEstadística en ingeniería generalmente requiere del Cálculo, los cursos de

Estadística en escuelas de administración y en la educación, generalmente enseñan

un curso orientado a aplicaciones. Entonces, ¿por qué se requiere estudiar

Estadística en tantas carreras?.

La primera razón es que en todos lados encontramos información numérica. Si se

revisan los periódicos, revistas de información, revistas de negocios, publicacionesde interés general, o revistas de deportes, uno estará bombardeado con información

numérica.

Presentamos aquí algunos ejemplos:

Ford reporta que en 2011 sus ventas fueron de $146900 millones (de dólares),

arriba en un 7,2%; sus ganancias fueron de $4400 millones, con ascenso en un7,0%, y el efectivo neto circulante fue de S/.7200 millones.

Los egresados de postgrado de la Universidad, contaron con un sueldo promedio

inicial de $400 dólares y un 70% de ellos consiguieron trabajo a los tres meses de

la graduación.

Para los futbolistas que gustan de jugar en campos deportivos, el alquiler de los

campos promediaban S/.500 nuevos soles por semana.





¿Cómo podemos determinar si las conclusiones presentadas son razonables?, ¿las

muestras fueron suficientemente grandes?, ¿cómo se seleccionaron las unidades de

la muestra? Para poder ser un consumidor con conocimientos sobre esta

información, necesitamos poder leer los cuadros, las gráficas y entender la discusión

de la información numérica. El entender los conceptos básicos de la Estadística será

de gran ayuda.

La segunda razón para tomar el curso de Estadística es que las técnicas estadís-

ticas se utilizan para tomar decisiones que afectan nuestra vida diaria. Esto quiere

decir que afectan a nuestro bienestar personal. He aquí algunos ejemplos:

Las compañías de seguros utilizan análisis estadísticos para establecer las tarifas

de los seguros de casa, automóvil, vida y salud. Existen tablas que resumen la

probabilidad de que una mujer de 25 años de edad viva el año siguiente, los si-

guientes cinco años, etc. Las primas del seguro de vida se pueden establecer

basándose en estas probabilidades.

La Agencia de Protección al Medio Ambiente está interesada en la calidad del

agua en el Lago Ene. Periódicamente toman muestras de agua para establecer el

nivel de contaminación y mantener el nivel de calidad.

Los investigadores médicos estudian las tasas de cura de enfermedades, basán-

dose en el uso de diferentes medicamentos y distintas formas de tratamiento. Por

ejemplo, ¿cuál es el efecto de tratar cierto tipo de daño a la rodilla con cirugía o

con terapia física? Si se toma una aspirina diaria, ¿se reducirá el riesgo de sufrir un

ataque cardiaco?

La tercera razón para tomar el curso de Estadística es que el conocimiento de los

métodos estadísticos ayudará a entender por qué se toman ciertas decisiones, y le

aportarán una mejor comprensión sobre la manera en la que lo afectan.

Sin importar el tipo de trabajo que seleccione, encontrará que tiene que enfrentar la

toma de decisiones con la ayuda del análisis de datos. Para poder realizar una deci-

sión basada en la información, necesitará:

1. Determinar si la información existente es adecuada o si se requiere información

adicional.





2. Reunir información adicional, si es necesario, de tal forma que no hayan resultados

erróneos.

3. Resumir la información de una forma útil e informativa.

4. Analizar la información disponible.

5. Sacar las conclusiones y realizar las deducciones necesarias, al tiempo que se

evalúa el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta.

1.4 Tipos de estadística

Por lo general, el estudio de la estadística se divide en dos categorías

Estadística Descriptiva: cuando se recolección, clasificación resumen,

procesamiento y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y

gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos. No pretende

ir más allá del conjunto de datos investigados.

Estadística Inferencial: cuando apoyándose en el cálculo de probabilidades y a

partir de datos muestrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones y

otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

Figura N° 01





1.5 Elementos que caracterizan a los problemas estadísticos

La población de interés y el procedimiento científico que se empleó para tomar la

muestra de la población.

La muestra y el análisis matemático de su información.

Las inferencias estadísticas que resultan del análisis de la muestra.

La probabilidad de que las inferencias sean correctas.

1.6 Definiciones básicas

Población o Universo (N) Está referido a un colectivo finito o infinito de elementos

individuales. Población es un conjunto completo de individuos u objetos que

poseen alguna característica común observable. Población es el número de

elementos que definen la cobertura de un estudio. La población es el universo de

estudio que está integrado por la totalidad de todas las unidades de análisis. Por

ejemplo

Alumnos de Ingeniería Civil matriculados en ciclo académico 2012 en la

Universidad.

Alumnos de IV ciclo de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil de la

Universidad.

Ingenieros Civiles Colegiados en el departamento de Cajamarca en el año 2012.

Muestra (n) Es la parte o subconjunto de una población. La muestra está

constituida de elementos seleccionados de una manera deliberada, con el objeto

de investigar las propiedades de su población. La muestra sólo da información de

aquella población de la que ha sido extraída.

Figura N° 02

POBLACIÓN (N) MUESTRA (n)

Muestreo

Inferencia

µ δ2





Unidad de Análisis o Unidad de Observación Es el objeto o elemento indivisible

que será estudiado en una población sobre los cuales se va a obtener datos. La

unidad de análisis no es el fenómeno investigado sino el que genera el fenómeno y

proporciona datos concretos. Por ejemplo

El tipo de análisis al que se someterá la información es determinante para elegirla unidad de análisis. Por ejemplo, si el objetivo es dar cuenta de la satisfacción

del usuario de un servicio médico, la unidad de análisis natural es el paciente

atendido, o la persona que se atiende en ese servicio médico.

La unidad de muestreo corresponde a la entidad básica mediante la cual se

accederá a la unidad de análisis. En algunos casos, ambas se corresponden. Por

ejemplo:

Si se desea estimar la prevalencia de daño auditivo en relación con niveles de

ruido ambiental en una muestra de trabajadores de una fábrica, la unidad de

muestreo puede corresponder a la entidad "sujeto", si se dispone de un registro

detallado de cada sujeto. La unidad de análisis es por cierto el trabajador de la

fábrica.

Dato. Es el valor o respuesta que adquiere variable la en cada unidad de análisis.

Dato es el resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Los

datos son. materia prima de la Estadística.

Parámetro. Es una medida usada para describir algunas características de una

población, y para determinar su valor es necesario utilizar la información de la

población completa y por lo tanto, las decisiones se tomaran con certidumbre total.

Por ejemplo:Media poblacional (µ), Varianza poblacional (δ2), Proporción poblacional (p).

Estadígrafo. Es una medida usada para describir alguna característica de la

muestra y la toma de decisiones contiene un grado de incertidumbre. Por ejemplo:

Media muestral (), Varianza muestral (), Proporción muestral ( )





Variable: Es una característica que puede tomar diferentes valores o atributos. Las

variables son características observables , susceptibles de adoptar distintos

valores (cuant i f icado ) o ser expresados en varias categorías

1.7 Clasificación de las Variables

Podemos considerar muchos criterios de clasificación como:

A. Según la Naturaleza de la Variable

a) Variables Cualitativas o Estadísticas de Atributos.

Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, tienen carácter cualitativo

sus datos se expresan mediante una palabra es no numérico. Por ejemplo:

Estado civil, los colores, lugar de nacimiento, profesiones, actividad económica,

causas de accidentes, etc.

b) Variables Cuantitativas.

Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de, carácter

numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o de medir. Por

ejemplo:

Edad número de hijos por familia, ingresos, viviendas por centro poblado, niveles

de, desempleo, producción, utilidades por empresas, etc.,

Variable Valores o atributo Rendimiento académico

Genero

Calidad de atención de un

restaurante

Peso de alumnos

Número de hijos

12, 14, 17, 20

Masculino, femenino

Pésimo, malo, regular bueno excelente

45,6 Kg. 57,8 Kg. 73,6 Kg

1, 2, 3,





Las variables cuantitativas pueden ser: discreta y continua.

b.1. Variable Discreta.

Cuando el valor de la variable resulta de la operación de contar su valor está

representado sólo por números naturales (enteros positivos). Por Ejemplos:

Hijos por familia número de accidentes por día, trabajadores por empresa;

población por distritos, habitaciones por vivienda. etc.

b.2. Variable Continúa.Cuando la variable es susceptible de medirse es toda variable cuyo valor se

obtiene por medición o comparación con una unidad o patrón de medida. Las

variables continuas pueden tener cualquier valor dentro de su rango o recorridopor tanto se expresa por cualquier número real. Por ejemplos:

Ingresos monetarios, producción de maíz, peso, estatura, tiempo de

servicios, horas trabajadas, niveles de empleo. etc.

B. Según la Escala de Medición

a) La escala nominal o categóricaLa medición en su nivel más débil existe cuando los números u otros símbolos se

usan simplemente para clasificar un objeto, una persona o una característica.

Cuando se emplean números u otros símbolos para identificar los grupos a los

cuales pertenecen varios objetos, estos números o símbolos constituyen una

escala nominal o categórica. Esta escala se conoce como escala clasificatoria.

Por ejemplo:

Se resumen en preguntas dicotómicas, o aquellas con dos opciones de

respuesta, y de selección múltiple, o aquellas con tres o más opciones de

respuesta. Veamos algunos ejemplos:

Dicotómicas Género: Femenino Masculino

Has comprado el producto X? SI NO

Selección múltiple En tus próximas compras incluirás el producto X?

SI NO No sabe





Propiedades Formales

Todas las escalas tienen ciertas propiedades formales, las cuales proporcionan

definiciones casi exactas de las características de la escala; definiciones más

exactas que las que pueden darse en términos verbales. Estas propiedades

pueden ser formuladas de manera más abstracta de lo que hemos hecho aquí,

por un conjunto de axiomas que especifican las operaciones de la escala y las

relaciones entre los objetos que han sido escalados.

En una escala nominal, las operaciones de la escala dividen a una clase dada en

un conjunto de subclases mutuamente excluyentes. La única relación implica- da

es la de equivalencia; esto es, los miembros de cualquier subclase deben ser

equivalentes en la propiedad que está siendo escalada. Esta relación se simboliza

por el signo familiar de "igual" (=). La relación de equivalencia es reflexiva,

simétrica y transitiva.

Considérese un conjunto de objetos . . Supóngase que el objeto x,

tiene algún atributo verdadero, A (x). Entonces, para cualquier par de atributos en

el conjunto

()

()

()

Operaciones AdmisiblesYa que en una escala nominal la clasificación puede estar igualmente bien

representada por cualquier conjunto de símbolos, se dice que la escala nominal

es "única hasta una transformación de uno a uno". Los símbolos que designan las

variadas subclases en la escala pueden ser intercambiados si esto se hace de

manera cabal y consistentemente. Por ejemplo:

Cuando se emiten nuevas placas para automóviles, el código que previamente

pertenecía a una ciudad puede ser intercambiado con el de otra ciudad. La

escala nominal podría preservarse si este cambio se ejecutara cabal y

consistentemente en la emisión de todas las placas.

Ya que los símbolos que designan los variados grupos de una escala nominal

pueden ser intercambiados sin alterar la información esencial en la escala, el

único tipo de estadísticos descriptivos admisibles son aquellos que pueden ser





incambiables por tal transformación: la moda, la cuenta de frecuencias, etc. En

ciertas condiciones, podemos probar hipótesis considerando la distribución de

casos entre las categorías, usando pruebas no paramétricas tales como la ji

cuadrada o una prueba basada en la distribución binomial. Estas pruebas son

adecuadas para datos escalados nominalmente debido a que se enfocan sobre

la frecuencia en las categorías, es decir, sobre datos enumerativos. En suma,

cuando los datos en una escala nominal, podemos rotular las categorías "1", "2",

"3",….., en cualquier orden que el Vamos. En una muestra podemos contar el

número de "1", el número de "2", etc. (Estas son cuentas de frecuencia) Podemos

calcular el porcentaje de "1" en la muestra, el porcentaje de "2", etc. (Esta es la

distribución de frecuencia relativa.) Y podemos registrar qué categoría tiene la

frecuencia más grande. (Ésta es la moda.) Pero en general, no podemos "sumar"

las categorías "1" y "2" para formar la categoría "3", ya que podríamos violar las

suposiciones de un sistema de clasificación nominal. En capítulos posteriores

estudiaremos diferentes técnicas estadísticas adecuadas para datos categóricos o

escalados nominalmente.

b) La escala ordinal o de rangos

Puede suceder que los objetos en una categoría de una escala no sean tan sólo

diferentes de los objetos en otras categorías de esa escala, sino que también

exista algún tipo de relación entre ellos. Las relaciones típicas entre las clases

son: más alto, más preferido, más difícil, más perturbador, más maduro, etc. Tales

relaciones se denotan por medio del símbolo >, el cual en general significa "mayor

que". En referencia a escalas particulares, > puede ser usado para designar que

es preferido a, es más alto que, es más difícil que, etc. Su significado específico

depende de la naturaleza de la relación que define la escala.

Dado un grupo de clases de equivalencia (esto es, dado una escala nominal), si larelación > se sostiene entre algunos pero no todos los pares de clases, tenemos

una escala parcialmente ordenada. Si la relación > se sostiene para todos los

pares de clases, de manera que es posible un rango completo ordenado de

clases, tenemos una escala ordinal. Por ejemplo:

Grado de Instrucción: Primaria – Secundaria – Superior

Intensidad del dolor: Leve – Moderado – Intenso





Propiedades Formales Axiomáticamente, la diferencia fundamental entre una escala nominal y una

ordinal es que esta última incorpora no sólo la relación de equivalencia (=), sino

también la relación "mayor que" (>). Esta última relación es irreflexiva, asimétrica

y transitiva.

Considérese un conjunto de objetos . Supóngase que existe alguna

relación en el atributo verdadero entre los objetos de cada categoría, además de

la equivalencia dentro de las categorías. Esto es,

()

()

()

()

Es decir, la función de clasificación ordena los objetos en el mismo modo en que

de hecho están ordenados los atributos.

Operaciones Admisibles

Ya que cualquier transformación que preserve el orden no cambia la información

contenida en la escala ordinal, se dice que la escala es "única hasta una trans-

formación monotónica". Una transformación monotónica es aquella que preserva

el orden de los objetos. Esto es, no importa qué números demos a un par de

clases o a los miembros de esas clases, siempre que les sea asignado un número

mayor a los miembros de la clase que es "mayor que" o "más preferida".

(Naturalmente, se pueden usar números menores para las clases "más

preferidas". Así nos referimos generalmente a una ejecución excelente como"primera clase", y a ejecuciones progresivamente inferiores como "segunda clase"

y "tercera clase". Siempre que seamos consistentes, no importa si se usan

números mayores o menores para denotar "mayor que" o "más preferido".) Por

ejemplo:

En el ejército un cabo usa dos bandas en su manga y un sargento usa tres.

Estas insignias denotan que el sargento > el cabo, y el símbolo > denota "mayor

rango que". Esta relación podría ser igualmente bien expresada si el cabo usaracuatro bandas y el sargento siete.





Vale decir, una transformación que no cambia el orden de las clases es

completamente admisible ya que no implica pérdida alguna de información.

Cualesquiera o todos los números que se aplican a las clases en una escala

ordinal pueden ser cambiados de cualquier forma que no altere el orden (rango)

de los objetos. Puede aplicarse cualquier transformación montónica y aún

preservarse las propiedades de la escala, esto es, preservar la relación entre los

objetos.

El estadístico más, apropiado para describir la tendencia central de las

puntuaciones en una escala ordinal es la mediana, ya que en relación con la

distribución de puntuaciones, la mediana no es afectada por los cambios en

cualesquiera de las puntuaciones que están por arriba o por abajo de ella,

siempre que el número de puntuaciones por arriba y por debajo permanezca

constante. Con el escalamiento ordinal, las hipótesis pueden ser probadas usando

el gran grupo de pruebas estadísticas no paramétricas que en ocasiones se

llaman estadísticos de rango o estadísticos de orden.

c) La escala de Intervalo

Cuando una escala tiene todas las características de una escala ordinal y cuando

además tienen sentido las distancias o diferencias entre cualesquiera dos

números de la escala, se ha logrado una medición considerablemente más fuerte

que la ordinal. En tal caso, la medición ha sido lograda en el sentido de una

escala de intervalo. Esto es, si nuestro mapeo de varias clases de objetos es tan

preciso que conocemos cuán grandes son los intervalos (distancias) entre todos

los objetos de la escala, y estos intervalos tienen significado sustantivo, entonces

hemos logrado una medida de intervalo. Una escala de intervalo está

caracterizada por una unidad común y constante de medida que asigna un

número a todos los pares de objetos en el orden establecido. En esta clase demedición, la razón de cualesquiera dos intervalos es independiente de la unidad

de medida y del punto cero. En la escala de intervalo, el punto cero y la unidad de

medida son arbitrarios. Por ejemplo

Medimos la temperatura en una escala de intervalo. De hecho, comúnmente se

usan dos diferentes escalas: Celsius y Fahrenheit. Al medir la temperatura, la

unidad de medida y el punto cero son arbitrarios; son diferentes en ambas

escalas. Sin embargo, las dos escalas contienen la misma cantidad y la mismaclase de información. Esto es así debido a que están linealmente relacionadas.





Es decir, una lectura en una escala puede ser transformada en la lectura

equivalente de la otra por medio de una transformación lineal.

Donde

°F = número de grados en la escala Fahrenheit

°C = número de grados en la escala Celsius

Se puede mostrar que las razones de las diferencias de temperatura (intervalos)

son independientes de la unidad de medida y del punto cero. Por ejemplo, el

punto de "congelación" ocurre en 0° en la escala Celsius, y el punto de "ebulli-

ción" ocurre en los 100°. En la escala Fahrenheit, la "congelación" ocurre en los

32° y la "ebullición" en 212°. Algunas otras lecturas de la misma temperatura en

las dos escalas son las siguientes:

Celsius — 18 0 10 30 100

Fahrenheit 0 32 50 86 212

Nótese que la razón de las diferencias entre las lecturas de temperatura en una

escala, es igual a la razón entre las diferencias equivalentes en la otra escala. Por

ejemplo,

En la escala Celsius la razón de las diferencias entre 30 y 10, y 10 y 0 es (30 —

10) / (10 — 0) = 2. Para las lecturas comparables en la escala Fahrenheit, la

razón es (86 — 50) / (50 — 32) = 2. En ambos casos las razones son las

mismas; a saber, 2. En otras palabras, en una escala de intervalo, la razón de

cualesquiera dos intervalos es independiente de la unidad usada y del punto

cero, siendo ambos arbitrarios.

Muchos científicos de la conducta aspiran a crear escalas de intervalo, y en pocas

ocasiones tienen éxito. Sin embargo, generalmente lo que es tomado como éxito

son suposiciones no probadas que el constructor de la escala voluntariamente

cree. Una suposición frecuente es que la variable que está siendo escalada está

normalmente distribuida entre los individuos a los que se evalúa con base en esta

suposición, el constructor de la escala manipula las unidades de la escala hasta

que se encuentre la supuesta distribución normal de las puntuaciones de los

individuos. Naturalmente, el procedimiento es sólo tan bueno como la intuición del

investigador al elegir la distribución que supone.





Otra suposición que se hace a menudo para crear una escala de intervalo aparen-

te es la suposición de que las respuestas "afirmativas" de las personas en

cualquier reactivo son exactamente equivalentes a responder de manera

afirmativa en cualquier otro reactivo. Esta suposición se hace para satisfacer el

requisito de que una escala de intervalo debe tener una unidad de medida común

y constante. En escalas de habilidades o de aptitudes, la suposición de

equivalencia consiste en que dar la respuesta correcta a cualquier reactivo es

exactamente equivalente (en la cantidad de habilidad mostrada) a dar la

respuesta correcta a cualquier otro reactivo.

Propiedades Formales Axiomáticamente, se puede mostrar que las operaciones y relaciones que dan

origen a la estructura de una escala de intervalo son tales que las diferencias enla escala son isomórficas a la estructura de la aritmética. Los números pueden ser

asociados con las posiciones de los objetos en una escala de intervalo tal que las

operaciones de la aritmética pueden ser significativamente ejecutadas con las

diferencias entre los números.

Al construir una escala de intervalo no sólo se deben especificar equivalencias,

como en la escala nominal, y relaciones "mayor que", como en la escala ordinal,

sino también se debe ser capaz de especificar la razón entre dos intervaloscualesquiera.

Considérese un conjunto de objetos Supóngase que los atributos

verdaderos de los objetos existen en alguna relación unos con otros, además de

sus equivalencias dentro de las categorías. Esto es:

()

()

Entonces, una escala de intervalo es un sistema clasificatorio de los objetos L (x)

que tienen las propiedades de una escala ordinal y, además

Nótese que en este caso, la diferencia entre los atributos de los dos objetos es

proporcional a la diferencia entre las asignaciones de clasificación:

()






Cualquier cambio en los números asociados con las posiciones de los objetos

medidos en una escala de intervalo debe preservar no sólo el orden de los

objetos, sino también las diferencias relativas entre los objetos. Esto es, la escala

de intervalo es "única hasta una transformación lineal". Así, como hemosseñalado, la información proporcionada por la escala no es afectada si cada

número se multiplica por una constante positiva y después se le suma a este

producto una constante, esto es . (En el ejemplo de la

temperatura, c = 9/5 y b = 32.)

Ya hemos notado que en una escala de intervalo el punto cero es arbitrario. Esto

es inherente al hecho de que la escala está sujeta a transformaciones queconsisten en agregar una constante a los números que constituyen la escala.

La escala de intervalo es la primera escala verdaderamente "cuantitativa" que

hemos encontrado. Todos los estadísticos paramétricos comunes (medias,

desviaciones estándar, correlaciones producto-momento, etc.) son aplicables a

los datos en una escala de intervalo. Si de hecho se ha logrado una medida en

una escala de intervalo y si se han encontrado adecuadamente todas lassuposiciones del modelo estadístico paramétrico (dadas en la sección "El modelo

estadístico"), entonces el investigador puede utilizar pruebas estadísticas

paramétricas tales como la prueba t o la prueba F. En tal caso, los métodos no

paramétricos no aprovechan toda la información contenida en los datos de

investigación. Puede notarse que una escala de intervalo es una condición

necesaria, pero no suficiente, para usar una prueba estadística paramétrica que

incluya la distribución normal.

d) La escala de razón

Cuando una escala tiene todas las características de una escala de intervalo y,

además, tiene un punto cero verdadero en su origen, se llama escala de razón.

En una escala de razón, la razón de cualesquiera dos puntos es independiente de

la unidad de medida. Por ejemplo

Medimos la masa o el peso en una escala de razón. La escala de onzas y libras

tiene un punto cero verdadero, al igual que la escala de gramos. La razón entre





cualesquiera dos pesos es independiente de la unidad de medida. Por ejemplo,

si determinamos los pesos de dos objetos diferentes no sólo en libras sino

también en gramos, encontraremos que la razón de los dos pesos en libras es

idéntica a la razón de los dos pesos en gramos.

Aunque es difícil identificar ejemplos significativos en las ciencias sociales y de la

conducta, los contraejemplos abundan. Consideramos dos. Notamos

anteriormente que las calificaciones se miden en una escala ordinal. Considérese

a dos estudiantes, uno de los cuales recibe una A y el otro una C; y supóngase

que las asignaciones numéricas fueron 4 y 2, respectivamente. Aunque la razón

de las dos calificaciones es dos (4/2 = 2), no tiene sentido decir que el estudiante

con una A posee el doble de "algo" del estudiante que recibe la C. (El estudiante

puede obtener el doble de ciertos puntos, pero no es claro si esto tiene algún

significado sustantivo en conocimiento, habilidad o perseverancia.) Finalmente, en

el caso de la temperatura, considérese un cambio en la temperatura de 100 a 30

°C. No podemos decir que el incremento representa que el calor se incrementó al

triple. Para ver esto, nótese que el cambio en la temperatura es equivalente a un

cambio de 500 a 86 °F. Debido a que las razones de las temperaturas en las dos

escalas son claramente diferentes, la razón no tiene sentido interpretable alguno.

Propiedades Formales

Las operaciones y relaciones que dan origen a los valores numéricos en una

escala de razón son tales que la escala es isomórfica a la estructura de la

aritmética. Por tanto, las operaciones de la aritmética son permisibles con los

valores numéricos asignados a los objetos, así como a los intervalos entre los

números, como en el caso de la escala de intervalo.

Las escalas de razón, que se encuentran más comúnmente en las ciencias

físicas, se logran sólo cuando son operacionalmente posibles de alcanzar todas

las siguientes cuatro relaciones: 1. equivalencia; 2. mayor que; 3. razón conocida

entre cualesquiera dos intervalos, y 4. razón conocida entre cualesquiera dos

valores de la escala.





Considérese un conjunto de objetos . Supóngase que el atributo

verdadero de los objetos existe con alguna relación entre cada uno de ellos,

además de la equivalencia dentro de las categorías. Esto es

()

()

()

Entonces, una escala de razón es un sistema clasificatorio de los objetos L (x) si

()

()

y la razón de las clasificaciones asignadas es igual a la razón de los atributos

verdaderos.


Los números asociados con los valores de la escala de razón son números "ver-

daderos" con un cero verdadero: sólo la unidad de medida es arbitraria. Así, la es-

cala de razón es única hasta la multiplicación por una constante positiva. Esto es,

las razones entre cualesquiera dos números se preservan cuando los valores de

la escala son todos multiplicados por una constante positiva y, además, tal

transformación no altera la información contenida en la escala.

Cualquier prueba estadística paramétrica puede usarse cuando se han logrado

medidas de razón y se encuentran las suposiciones adicionales concernientes a

la distribución. Más aún, existen algunos estadísticos que se aplican sólo a datos

que descansan en una escala de razón; debido a la fuerza de las suposiciones

que sub- yacen a la escala, la mayoría de estas pruebas son pararnétricas.





ESCALAS DE MEDICIÓN

Tipo Variables Categóricas Variables numéricas

Naturaleza CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

Escala(0) NOMINAL Ningún

atributo(1) ORDINAL Un atributo (2) INTERVALO Dos atributos (3) RAZÓN Tres atributos

Atributos de laescala

Orden Distancia Origen Orden Distancia Origen Orden Distancia Origen Orden Distancia Origen

Característica

Posee categorías a lasque se asigna un nombresin que exista ningúnorden implícito entreellas.

Posee categoríasordenadas, pero nopermite cuantificar ladistancia entre unacategoría y otra.

Tiene intervalos iguales ymedibles, pero no tiene unorigen real. Puede asumirvalores negativos.

Tiene intervalosconstantes entre valores;además de un origen real.El cero significa laausencia de la variable.

Ejemplos Género Estado Civil Instrucción Intensidad Temperatura Hora del día Peso. Hijos

Valor FinalMasculino

Femenino

Soltero

Casado

Conviviente

Primaria

Secundaria

Superior

Leve

Moderado

Severo

-10 C

0 C

20 C

00 Horas

10 Horas

20 Horas

00.00 Kg

10.24 Kg

20.00 Kg

Uno

Dos

Tres

Observaciones

Dicotómicas: Tienen solamente dos categorías Ejemplosde Ordinal Dicotómica: Nuevo - Continuador

Vivo – Fallecido

Sano – Enfermo

Politómicas: Tienen más de dos categorías.

Continuas: Provienen de medirSe pueden representar con números enteros o fraccionarios

Entre dos valores siempre existe un número intermedio

Discretas: Provienen de contar

Solamente pueden ser representados con números enteros





C. Según la Relación Entre Variables

a) Variables Dependientes

Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados

respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causas o razón de ser, Es lavariable que traduce la consecuencia del efecto de una varias razones o causas.

b) Variables Independientes

Son las variables explicativas o predicativas, cuya asociación, relación o

influencia en la variable dependiente se pretende escribir en la investigación. Las

variables independientes son los que traducen o explican las causas o razones

de las variaciones en la variable dependiente. Simplificando, en la relación de

variables, las causas o antecedentes serían las variables independientes (VI) y la

causa o consecuente es la variable dependiente (VD). Ejemplos: En el caso más

simple, para la relación dé dos variables.

El presupuesto familiar (VD) depende de los ingresos (VI).

El volumen de ventas (VD) se explica por la inversión en propaganda (V).

El número de hijos por familia (VD) tiene relación con el nivel educativo de los

padres (VI).

c) Variables Intervinientes o interferentes

Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el

comportamiento de la variable dependiente. En el caso de la relación entre

presupuesto familiar (VD) y los ingresos (VI), algunas variables intervinientes

serian la conducta de consumo, la edad de los miembros de la familia, etc.

Elementos de una Variable

La identificación y definición de variables es la tarea más delicada de todainvestigación y del trabajo estadístico. En consecuencia, para tener éxito en la

selección de variables, es recomendable distinguir las siguientes cinco

características.

Un nombre o denominación. de la variable.

Alguna definición o conceptualización.

Un conjunto de categorías. que es definida por el investigador. Las

categorías no son únicas.

Procedimientos para categorías las unidades de análisis.

Algunas medidas de resumen o indicadores.





Ejemplo 1:a) Nombre : Estado civil o conyugal.

b) Definición: Es la situación de la persona empadronada en relación con las leyes

y costumbres del país.

c) Categorías:

01) Sol tero (a).

02) Casado (a).

03) Conviviente.

04) Viudo (a).

05) Divorciado (a).

06) Separado (a).d) Categorización: ¿Cuál es su estado civil o conyugal?

e) Medidas de Porcentajes

Resumen – Tasa de nupcialidad que indica la frecuencia de matrimonios, etc.

Ejemplo 2:

a) Nombre : Ingresosb) Definición Son los recursos monetarios netos incluyendo todas las

Bonificaciones que percibe una persona por su ocupación principal y secundaria

durante el período de referencia de la encuesta.

c) Categorías : Puede proponerse en forma de niveles o simplemente intervalos.

Niveles de ingreso: alto, medio, bajo

Intervalos: Por ejemplo 8 intervalos

Menos de 4000; 4001 él 8000; 8001 a 12000; 1 2001 a 1 6000; 16001 a 20000:20001 a 25000; 25001 a 30000; 30001 y más soles.

d) Categorización: ¿Cuál fue su ingreso total en el último mes?

e) Indicadores : Ingreso promedio.

Dispersión de los ingresos. etc.





II. CAPITULO Presentación de Datos2.1. Clasificación y cómputo de datos uni. y bivariables:.

A. Codificación y tabulación

La codificación facilita la tabulación y el conteo. (obtención de una buena

información)

La codificación de las respuestas da lugar a categorías o modalidades.

Es recomendable que los cuestionarios tengan las alternativas de respuesta pre

codificadas.

Si el cuestionario tiene preguntas abiertas (respuesta libre), estas previamente

debe ser clasificadas en categorías.

B. Presentación tabular de los Datos: cuadros de distribución de frecuencias

Es necesario agrupar los datos y presentarlos en cuadros y diagramas sencillos.

Un cuadro de frecuencias, son cuadros que indican la distribución de un conjunto

de datos en clases o categorías y muestran el número de elementos y la

proporción de cada uno de los valores de la variable.

Un cuadro de frecuencias, permite una buena ayuda para formularse

interrogantes acerca de los datos.

Un cuadro de frecuencias, es un punto de partida en la búsqueda de un modelo

teórico para analizar la distribución de los datos. En la cuadro se observa la frecuencia o repetición de cada uno de los valores de

la variable.

Las observaciones o recopilaciones de datos denotaremos la variable por X y los

datos originales: . donde Xi representan la i – ésima observación de

la variable con (i = 1, 2, 3, 4,..., N). Es decir que:

X1 = dato de la primera observaciónX2 = dato de la segunda observaciónX3 = dato de la tercera observación………………………………………… …………………………………………. XN = dato de la N – ésima observación

C. Cuadros estadísticos

En una investigación, después que los datos han sido recogidos, revisados y

almacenados en una base de datos, se procede a la presentación de los

resultados en forma tabular o gráfica y al análisis estadístico de la información.

La facilidad de su construcción y el rápido efecto en la transmisión de loscontenidos, han hecho de los cuadros estadísticos los recursos idóneos para la





presentación de los resultados de las investigaciones en todas las áreas

científicas.

“La presentación tabular y el gráfico no son competidores, sino más bien

elementos que se complementan. Los gráficos deben agregarse a los cuadros o

distribuciones de frecuencias para llamar la atención y despertar el interés por

los datos que se presentan, así como para reforzar las argumentaciones o

conclusiones a las que se haya llegado. Como un principio muy conveniente,

debe adoptarse el de que en ningún caso puede considerarse que el gráfico

sustituye a la presentación tabular. La práctica seguida por algunas personas, de

presentar gráficos omitiendo los cuadros que contienen la información básica,

debe ser evitada y combatida por inconveniente y por limitar la calidad y la

utilidad de las publicaciones y estudios. Sólo en casos de verdadera excepción,

como cuando se trata de propaganda o de artículos meramente divulgadores,

podría aceptarse la práctica comentada.”

Objetivo

Un cuadro estadístico tiene como objetivo presentar datos numéricos ordenados,

en filas y columnas, de acuerdo a ciertos criterios de clasificación.

Ventajas Los cuadros permiten presentar en forma resumida y ordenada muchos datos

Es un instrumento que clasifica, resume y comunica información estadística

Facilita el análisis de los datos

Su fácil comprensión, permite que sea utilizado por muchas personas

Todo cuadro estadístico debe explicarse por sí mismo, sin necesidad de texto o

figuras anexas, y debe ser sencillo y claro

D. Partes Principales de un Cuadro Estadístico

En general, un cuadro estadístico completo, tal como el Cuadro Nº 01, por ejemplo,

puede tener ocho partes:

1. Número del cuadro. 2. Título. 3. Encabezamiento o conceptos.

4. Cuerpo. 5. Nota de pie o llamadas. 6. Fuente.

7. Nota de unidad de medida. 8. Elaboración.





Ramas de Actividad

PEA de15 añosy más

N i v e l d e Educación

Sin

Nivel*Primaria Secundaria

Sup. No

Univer.

Superior

Univer.No Especificado

TOTAL 100,0 5,89 42,11 35,87 5,67 8,66 1,80

1. Agricultura, Caza, Selvicultura yPesca

100,0 14,97 64,05 15,59 0,70 1,30 3,40

2. Explotación de Minas y Canteras. 100,0 0,75 41,13 39,59 5,79 12,63 0,11

3. Industrias Manufactureras. 100,0 3,60 43,57 41,60 2,94 6,70 1,59

4. Electricidad, Gas y Agua. 100,0 0,00 21,95 48,29 8,29 20,49 0,98

5. Construcción. 100,0 4,78 64,36 24,99 1,05 3,54 1,28

6. Comercio, Restaurantes y Hoteles. 100,0 6,95 45,04 39,66 2,06 4,39 1,91

7. Transportes, Almacenamiento yComunicaciones. 100,0 1,34 45,18 46,87 2,28 3,15 1,18

8. Establecimientos Financieros,Seguros, Bienes Inmuebles yServicios a las Empresas

100,0 0,64 11,60 48,71 9,28 29,25 0,52

9. Servicios Comunales, Sociales yPersonales.

100,0 2,10 26,56 43,35 11,46 15,22 1,30

10. Actividades No bien especificadas. 100,0 9,35 44,70 34,99 3,55 4,97 2,43

11. Buscan trabajo por primera vez. 100,0 1,94 25,75 56,97 6,70 7,94 0,71

* Incluye PEA con educación inicial o pre – escolarFuente: INE Resultados definitivos de los Censos Nacionales IX de Población y IV de ViviendaElaborado: Statistic MAH.

5) NOTA DE PIE O LLAMADAS, se usa para aclarar algunos términos o siglas, y también para indicar quéelementos están o no incluidos en algunos de los conceptos del cuadro.6) FUENTE, es la indicación al pie el cuadro, que sirve para nombrar la publicación, entidad, estudio o fuente

de donde se obtuvieron los datos utilizados para construir el cuadro. La identificación de la fuente permite,si fuera el caso, comprobar la información o para obtener información complementaria.Hay dos tipos de fuentes: i) primaria, cuando se obtiene directamente de la unidad de análisis o cuando serecurre a los propios formularios de una encuesta: ii) secundaria, cuando se recurre a documentosboletines o cuadros estadísticos publicados.

7) Nota Unida de Medida se escribe debajo del título, se usa cuando se abrevia la escritura8) ELABORACIÓN, es una indicación que se coloca debajo de la fuente, y sirve para mencionar el

responsable, que utilizando datos originales o de la fuente elaboró el cuadro estadístico final: indica laresponsabilidad de la publicación del cuadro. A veces resulta Útil indicar la fecha de elaboración.QUE : Población Total Económicamente Activa De 15 Años Y Más DONDE : Del Departamento CajamarcaCOMO : Por Nivel Educativo Según Ramas de ActividadCUANDO : Censo de Población 2009.

CUADRO Nº 01 1Es el código o elemento deidentificación que permiteubicar el cuadro en el interiorde un documento

2

7

POBLACI N TOTAL ECON MICAMENTE ACTIVA DE 15 A OS Y M S, DEL DEPARTAMENTO DE

CAJAMARCA: POR NIVEL EDUCATIVO SEGÚN RAMAS DE ACTIVIDAD. CENSO DE POBLACIÓN 2009

Como

Que

CuandoDonde

Donde

Es la descripciónresumida del contenidodel cuadro. La redaccióndel título debe ser breve,

claro y completo, demodo que se puedandeducir sin ambigüedadqué tipo de informa.Debe indicar

1. QUE2. DONDE3. COMO4. CUANDO

Expresa en qué unidadesestán las variables

(Distribución porcentual)

Descripción de las filas ycolumnas del cuadro

3

Es elcontenidonuméricodel cuadro

4





CUADRO 04

PACIENTES SEGÚN NÚMERO DE LEUCOCITOS /mm3.

HOSPITAL REGIONAL DE CAJAMARCA - CAJAMARCA - 2007..

Número deLeucocitos

(miles)1/

Número dePacientes (ni )

Porcentaje dePacientes

( hi % )5.0 - 5.96.0 - 6.97.0 - 7.98.0 - 8.99.0 - 9.9

10.0 - 11.0

3101113108

5.518.220.023.618.214.5

T o t a l a/ 55 100.0

- Nota de pie. a/. Muestra aleatoria sistemática.1/. Datos expresados en miles.

- Fuente. H.R.C

E. Características:

1. La cuadro estadística debe ser lo más simple posible.

2. Si se utilizan símbolos, abreviaturas, etc., deben explicarse detalladamente en

notas de pie de página.3. Deben ser incluidas las unidades específicas de medida que corresponden a los

datos.

4. Deberán consignarse los totales.

5. Si los datos no son originales debe quedar explícita la fuente de donde se ha

tomado.

66.. Cuando se utilizan escalas cualitativas hay que tener cuidado si se desea

comparar datos de una cuadro con otra, ya que en los criterios de clasificación de

la variable puede que el entendimiento nuestro de un concepto no coincida

totalmente con el de otro investigador.

77.. Una cuadro estadística puede ser completada con las frecuencias acumuladas,

frecuencias relativas (porcentajes, promedios o razones), etc.

F. Tipos de cuadros.

En su forma más general los cuadros pueden dividirse en simples y

compuestas.

a) Cuadros Simp les . Clasifican un fenómeno según una única variable. Ejemplo





Cuadro 04.

b) Cuadros Comp uestos . Son las que recogen los datos de dos o más variables,

cada una de ellas con sus correspondientes criterios de clasificación. Dentro de los

cuadros compuestos las que se utilizan con mayor frecuencia son: Las cuadros

dobles y las Maestras.

c) Cuadros Dobles . Resumen información clasificadas según 2 variables, y estas se

denominan: Cuadros de contingencia y cuadros de correlación.

d) Cuadro de Cont ing encia. Cuando ambas variables son cualitativas o mixtas.

Ejemplo. El cuadro siguiente muestra una distribución bidimensional (Cuadro decontingencia)

CUADRO 05

REACCIÓN A LA VACUNACIÓN CONTRA EL SARAMPIÓN Y LA RUBÉOLA EN UNAMUESTRA DE 288 NIÑOS DE CAJAMARCA -1994.

Vacunados contrasarampión

Vacunados contra rubéolaT O T A L

Reacción Positiva Reacción Negativa

Reacción positiva

Reacción negativa

76

120

72

20

148

140

T O T A L 196 92 288

La interpretación a esta cuadro sería la siguiente: de una muestra de 288 individuos,

76 tuvieron reacciones positivas a las dos vacunaciones, 20 individuos tuvieron

reacción negativa a ambas pruebas, 120 individuos tuvieron reacción positiva ante la

vacuna contra la rubéola, pero negativamente ante la vacuna contra el sarampión, y

72 niños tuvieron reacción negativa a la vacuna contra la rubéola y positiva en la

vacuna contra el sarampión.

CUADRO DE CORRELACIÓN. Cuando ambas variables son cuantitativas. Por

ejemplo





CUADRO 06

MUJERES EN EDAD FÉRTIL SEGÚN GRUPO ETÁREO Y NÚMERO DE HIJOSNACIDOS VIVOS - HOSPITAL REGIONAL DE CAJAMARCA - CAJAMARCA – 2007

GRUPO ETÁREO(Años Cumplidos)

Número de Hijos Nacidos VivosT O T A L

0 1 2 3 45 y+

15 - 1920 - 2425 - 2930 - 3435 - 3940 - 4445 - 49

T o t a l

2. Cuadr o Maestra . En este tipo de cuadros todos los criterios de clasificación de

cada una de las variables son sometidos a una clasificación cruzada. Esto da

lugar a una perspectiva mucho más amplia, ya que nos permite obtener datos

de una única variable o de cualquier combinación de las variables que entran

en juego en la cuadro.

Ejemplo. El cuadro muestra la composición por edad, sexo y trabajo de ungrupo de personas con Tuberculosis pulmonar en Cajamarca (Esquema)durante 2007.

CUADRO 07

PERSONAS CON TBC SEGÚN EDAD, CONDICIÓN LABORAL Y SEXO - DISTRITO DECAJAMARCA - 2007

EDADTRABAJADORES NO TRABAJADORES T O T A L

Hombr es

Mujeres

TotalHombr

esMujere

sTotal

Hombr es

Mujer es

Total

15 – 1920 – 2425 – 29

.

.

.50 – 54

55 – 5960 ó +TOTAL





n

nh i

i

Nota: Con este tipo de cuadros podemos extraer datos de las personas que padecenTuberculosis en un determinado intervalo de edad (A), también del total depersonas que no trabajan y han contraído la TBC (B), y del total de mujeres, ya

sean trabajadoras o no, que tienen tuberculosis (C).

2.2. Cuadros de Frecuencias de Variables Discretas

Para este tipo de variables cuyo valor sólo se puede expresar por número enteros

positivos, los datos que caen dentro de cada clase.

Elementos de un cuadro de Frecuencia

Frecuencias Absolutas o Repetidas (f i o ni).- Es el número de veces que se repiteun determinado valor de la variable.

Frecuencia Relativa (hi ).- Es el cociente de:

Frecuencia absoluta o RepeticionesNúmero de Observaciones

CUADRO Nº 7.8NUMERO DE NACIMIENTOS EN EL DEPARTAMENTO DE LAMBAYEQUE,

POR PROVINCIAS – 2004

ProvinciasNúmero deNacimientos

Porcentaje de Nacimientos

Lambayeque n1 = 325 4334

944

100x325

n

nh 1

1 ,

Chiclayo n2 =330

9635944

100x330

n

nh 2

2

,

Ferreñafe n3 = 289

6130944

100x289

n

nh 3

3 ,

Total n = 944 100,00





Ejemplo con variables cualitativasEjemplo. El restaurante "Hay Que Rico" en la ciudad de Chiclayo, usa un cuestionariopara conocer la opinión de sus clientes sobre el servicio, la calidad de los alimentos, loscócteles, los precios y el ambiente del restaurante en el mes de julio del 2005. Cada

característica se valora en una escala: notable (O), muy bueno (V), bueno (G), mediano (A)y malo (P). Elabore un cuadro estadísticoG O V G A O V G O V A GV O P V O G A O O O G OV V A G O V P V O O G OO V O G A O V O O G V A

Aplicación de la función de Excel en la Elaboración de Tablas con variables cualitativas

Figura N° 03 Ingreso de los datos

Paso.- 1 Se ubica en la celda A1 (Calidad) Insertar se selecciona tabla dinámica

Figura N° 04 Selección de la tabla dinámica





Paso.- 2 En la ventana de Crear tabla dinamica se elije donde se desea colocar elinforme de la tabla dinamica

Figura N° 05 Crear tabla dinamica

Paso.- 3 En la ventana de lista de campos de la tabla dinámica se selecciona la variable

Calidad en Etiqueta de la fila y de columnas y en Σ valores

Figura N° 06 Seleccionar campos para agregar al informe





Paso.- 4 Insertamos un gráfico un dinámico de barras

Figura N° 07 Insertar grafico

Paso.- 4 Presentación del gráfico de barras de la variable calidad

Grafico N° 01: Grafico de Barras de la variable calidad





Ejemplo:En un estudio de mercado para determinar la aceptación de un centro comercial Shopping Plaza

por departamentos ubicada en la ciudad de Cajamarca, se eligió una muestra de 35 clientes para

conocer sus impresiones. Los resultados son los siguientes:

Cliente Razón de visita

Gasto

semanal

Ingreso

Mensual

Número

de hijos

Forma de

Pago

1 Oferta permanente 66.00 1200 2 Efectivo

2 Guardería 72.50 1500 1 Crédito

3 Tarjeta de crédito 79.10 2100 3 Crédito


5 Guardería 55.30 1500 1 Efectivo

6 Parking amplio 100.10 2200 2 Crédito

7 Aire acondicionado 35.30 1450 3 Efectivo




11 Tarjeta de crédito 69.10 1350 2 Efectivo




15 Parking amplio 95.20 1850 2 Efectivo

16 Guardería 65.30 1410 1 Efectivo



19 Parking amplio 130.20 2180 2 Crédito20 Aire acondicionado 48.40 1640 3 Crédito









29 Oferta permanente 125.10 2680 3 Efectivo30 Tarjeta de crédito 70.20 1970 2 Crédito


32 Oferta permanente 110.10 2180 4 Crédito

33 Tarjeta de crédito 84.30 1980 3 Efectivo







Se copia (Ctrl + C) y se pega (Ctrl + V) al Minitab las 35 observaciones

Figura N° 08: Pantalla del Minitab ingresado los datos





A. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE CUALITATIVAS: Realizamosla tabulación de la variable “Razón de visita” procedemos a ejecutar en el Minitab

MINITAB: Tabla de frecuencias

1. Paso 1 .- Estadísticas/Tablas/cuenta de variables individuales

Figura N° 09 Estadísticas/Tablas/cuenta de variables individuales

2. Paso 2.- En la ventana cuenta de variables indiv iduales se selecciona la variable‘Razón de Visita’. Mostrar Conteos/Porcentajes/ Conteos acumulados porcentajesacumulados. Aceptar

Figura N° 10 Ventana cuenta de variables individuales Resultado del procesamiento en Minitab





Figura N° 11 Cuenta de la variable Razón de visita

B. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA VARIABLE CUALITATIVAS: Realizamos latabulación de la variable “Razón de visita” procedemos a ejecutar en el Minitab

1. Grafico Circular .- Se trabaja con los valores de las frecuencias Absolutas (n i)frecuencias relativas (hi) como la variables seleccionada es variable cualitativa(Razón de Visita)

Paso 1 .- Gráfica/Gráfica Circular

Figura N° 12 Gráfico circular en minitab





Paso 2 .- En la ventana de Grafica circular se selecciona Variables Categórica:Razón de visita

Figura N° 13 Grafica Circular

Paso 3 .- En la ventana de Grafica circular se selecciona Etiquetas… Seleccionar la pestaña Etiqueta de división de la gráfica circular con: Nombre decategoría/ Porcentaje /Dibujar una línea de la etiqueta a la división

Figura N° 14 Etiqueta de división de la gráfica circular





Aire acon dicionado

Guardería

Oferta permanente

Parking amplioTarjeta de crédito

Categoría

Tarjeta de crédito22.9%

Parking amplio28.6%

Oferta permanente22.9%

Guardería14.3%

Aire acondicionado11.4%

Gráfica circular de Razón de visita

Gráfico N° 02 Gráfico Circular de Razón de visita

2. Gráfico de Barras.- En el eje horizontal representa los valores o las categorías yen el eje vertical se presentan los valores de las frecuencias Absolutas (n i)frecuencias relativas (hi) como la variables seleccionada es variable cualitativa(Razón de Visita)

Paso 1 .- Gráfica/Gráfica de barras…

Figura N° 15 Gráfico barras en minitab





Paso 1 .- En la ventana Gráfica de barrasLas barras representan: Conteos de valores únicosBarras simples/ Aceptar

Figura N° 16: Gráfica de barras

Paso 2.- En la ventana Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples seselecciona la variable categórica: ‘Razón de visita’ y se selecciona Opciones degráficas…

Figura N° 17: Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples





Paso 3.- En la ventana Gráfica de barras – Opciones de gráficasOrdenar grupos de X principal por Y descendente/Aceptar

Figura N° 18: Gráfica de barras – Opciones

Paso 4.- En la ventana Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples seselecciona Etiquetas

En Etiquetas de datos se selecciona Usar etiquetas de valor y /Aceptar/Aceptar

Figura N° 19: Gráfica de barras – Etiquetas





Aire acondicionadoGuarderíaTarjeta de créditoOferta permanenteParking amplio

10

8

6

4

2

0

Razón de visita

C o n t e o

4

5

88

10

Gráfica de Razón de visita

Gráfico N° 03 Gráfico de barras Razón de visita

C. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE CUANTITATIVASDISCRETAS: Realizamos la tabulación de la variable “Número de hijos” procedemos aejecutar en el Minitab

1. Paso 1 .- Estadísticas/Tablas/cuenta de variables individuales

Figura N° 20 Estadísticas/Tablas/cuenta de variables individuales





2. Paso 2.- En la ventana cuenta de variables indiv iduales se selecciona la variable‘Número de hijos’. Mostrar Conteos/Porcentajes/ Conteos acumulados porcentajesacumulados. Aceptar

Figura N° 21 Ventana cuenta de variables individuales

Resultado del procesamiento en Minitab

Figura N° 22 Cuenta de la variable Número de hijos

D. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA CUANTITATIVAS DISCRETAS: Realizamos latabulación de la variable ‘Número de hijos’ procedemos a ejecutar en el Minitab

1. Gráfico de Barras.- Se trabaja con los valores de las frecuencias Absolutas (ni)frecuencias relativas (hi) como la variables seleccionada es variable discreta

“Número de hijos”





Paso 1 .- En la ventana Gráfica de barrasLas barras representan: Conteos de valores únicosBarras simples/ Aceptar

Figura N° 23: Gráfica de barras

Paso 2.- En la ventana Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples se

selecciona la variable categórica: ‘Número de hijos’ y se selecciona Opciones degráficas…

Figura N° 24: Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples

Paso 3.- En la ventana Gráfica de barras – Opciones de gráficasOrdenar grupos de X principal por Y descendente/Aceptar





Figura N° 25: Gráfica de barras – Opciones

Paso 4.- En la ventana Gráfica de barras – Conteo de valores únicos, simples seselecciona EtiquetasEn Etiquetas de datos se selecciona Usar etiquetas de valor y /Aceptar/Aceptar

Figura N° 26: Gráfica de barras – Etiquetas

Salida de Minitab

04132

12

10

8

6

4

2

0

Número de hijos

C o n t e o

3

4

5

11

12

Gráfica de Número de hijos

Gráfico N° 04 Gráfico de barras Número de hijos





2.3. Cuadros de Frecuencias de Variables Continuas

Los sueldos mensuales en dólares de 60 empleados de la empresa Z.S.A., son lossiguientes:

440 560 335 587 613 400 424 466 565 393

453 650 407 376 470 560 321 500 528 526

570 430 618 537 409 600 550 432 591 428

440 340 558 460 560 607 382 667 512 492

450 530 501 471 660 470 364 634 580 450

574 509 462 380 518 480 625 507 645 382

Construir un cuadro de Frecuencias se aplica el procedimiento siguiente:

Población: Empleados de la empresa Z.S.A (n = 60)

Variable: X = sueldo mensual en dólares.

Datos: Xi = sueldo mensual en dólares

Xi (i =1, 2, 3,.....,60) n =60 trabajadores

Determinamos el máximo y mínimo de Xi, el sueldo más alto (Xmax) y el sueldo mínimo(Xmin).

X38 = Xmax = 667 X17 = Xmin = 321

1. Recorrido(R): Xmax – Xmin = 667 – 321 =346

2. Elegimos el número de Intervalos (m). Se puede considerar 5 ó 15 intervalos

Si aplicamos:

Para calcular el número de clases de un cuadro de frecuencias podemos usar las

siguientes expresiones ó fórmulas:a) Raíz cuadrada √

b) Regla de Sturges m = 1 + 3.322 Log(n)

m = 1 + 3.322 Log(60)

m = 7 intervalos

c) Regla de Stockes





3. Determinar la amplitud de los intervalos (C)

.......,minmax 4285497

321667

m

XXc i

Se puede redondear a 50

4. Construir los intervalos. Como Ci = 50, el recorrido se divide en 7 intervalos o

segmentos, cuyo extremos son:

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

320 370 420 470 520 570 620 670

Utilizaremos un concepto matemático de intervalo abierto (paréntesis) y de intervalo

cerrado (corchete). Donde (Li-1 – Li] significa que está abierto por la izquierda y

cerrado por la derecha, es decir que en cada intervalo no está incluida el extremo

inferior (Li-1) pero si lo está el extremo superior (L i).

Forma de expresar:

Intervalo de clase(Li-1 – Li]

320 – 370

370 – 420

420 – 470

470 – 520

520 – 570

570 – 620

620 – 670

Punto medio de cada intervalo, es la MARCA DE CLASE se denota con y i donde

6452

670620y

4952

520470y

3452

370320y

7

4

1





5. Elementos de una cuadro de frecuencia, en toda cuadro de frecuencia se

identifica los siguientes elementos:

a) Frecuencia absoluta (ni): Se denomina frecuencia absoluta del valor xi de la

variable X, el número de veces ni que se repite ese valor.

b) Frecuencia relativa (hi): Se denomina frecuencia relativa del valor xi de la variable

X la relación por cociente entre el número de veces que aparece el valor xi y el

número total de valores de la variable (N).n

nh i

i

c) Frecuencia absoluta acumulada (Ni): Se denomina frecuencia absoluta

acumulada del valor in a la suma de las frecuencias absolutas de los valores de la

variable X anteriores o iguales a in . Su valor es ii n N con j = 1......i

d) Frecuencia relativa acumulada (Hi): Es la frecuencia absoluta acumulada dividida

por el número total de valores de la variable. Su valor es iH = N

Ni

.

De todas estas definiciones se extraen las siguientes deducciones:

La suma de las frecuencias absolutas sin acumular es igual al número total de los (

in ,= N)

La última frecuencia relativa acumulada es el total de elementos (n).

La suma de todos las frecuencias relativas acumular es igual

La última frecuencia relativa acumulada es la unidad

La distribución de frecuencias de una variable suele presentarse ordenadamente

mediante la tabla de frecuencias siguiente:





Intervalosde clases

Marcade

clase

Frecuencia Absolutas

Frecuencias Absolutas

Acumuladas

FrecuenciasRelativas

Frecuencias Relativas Acumuladas

<Li-1 Li] xi ni Ni hi Hi

<L 1 – L2] x1 n1 N1=n1 h1=N

n1 H1=N

N1

<L2, – L3] x2 n2 N2 = n1+n2 h2=N

n2 H2=

N

N2

<L3, – L4] x3 n3 N3 =n1+n2+n3 h3=N

n3 H3=

N

3N

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

<Lk-1, –Lk ] xk nK Nk = n1+...+nK =n hk =N

nk Hk =N

Nk =1.00

Total n ni =n hi =1

Lectura de la información debe considerar los Signos y Símbolos siguientes:

( – ) No existe el fenómeno que trata

( 0 ) La cantidad no alcanza a la mitad de la unidad tomada como base

(···) Informe no disponible.

Los Intervalos pueden ser de lasiguiente manera:

<Li-1 – Li] <Li-1 – Li>[Li-1 – Li> [Li-1 – Li]





Aplicación de la función de Excel en la Elaboración de Tablas

Se ingresa los datos sobre el sueldo mensual en dólares de 60 empleados de la empresa

Z.S.A., en una columna desde la celda A1 hasta la celda A61.

Determinamos el máximo y mínimo de Xi, el sueldo más alto (Xmax =MAX(A2:A61) =667 y el sueldo mínimo (Xmin =MIN(A2:A61). = 321

1. Rango ó Recorrido(R): Xmax – Xmin = 667 – 321 =346

Restamos la Celda A2 menos la Celda A3

2. Elegimos el número de Intervalos (m). Se puede considerar 5 ó 15 intervalos

Si aplicamos:

Para calcular el número de clases de un cuadro de frecuencias podemos usar las

siguientes expresiones ó fórmulas:

a) Regla de Sturges m = 1 + 3.322 Log(n)

m = 1 + 3.322 Log(60)= 6.907

=1+3.322*LOG(CONTAR(A2:A61))

Para redondear a un entero superior se utiliza la siguiente función

=MULTIPLO.SUPERIOR(D7,1)





m = 7 intervalos

3. Determinar la amplitud de los intervalos (C)

.......,minmax428549

7

321667

m

XXci

Se divide el rango y el número de Intervalos =D5/E7. También redondear a un

entero superior =MULTIPLO.SUPERIOR(D9,1) Se puede redondear a 50

4. Construir los intervalos. Como Ci = 50, el recorrido se divide en 7 intervalos o

segmentos, cuyo extremos son:

Utilizaremos un concepto matemático de intervalo abierto (paréntesis) y de intervalo

cerrado (corchete). Donde (Li-1 – Li] significa que está abierto por la izquierda y

cerrado por la derecha, es decir que en cada intervalo no está incluida el extremo

inferior (Li-1) pero si lo está el extremo superior (L i).

Forma de expresar:

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

320 370 420 470 520 570 620 670

En el primer intervalo I1 en el límite inferior la observación mínima se le resta una

observación porque es intervalo abierto (321 – 1 = 320), para el límite superior al valor

obtenido en el límite inferior se suma la amplitud (se fija la amplitud con F4)=E16+$E$9

En el segundo intervalo I2 en el límite inferior es =F16, para para el límite superior

=E17+$E$9





5. Elementos de una cuadro de frecuencia, en todo cuadro de frecuencia se

identifica los siguientes elementos:

a) Frecuencia absoluta (ni): Se denomina frecuencia absoluta del valor xi de la

variable X, el número de veces ni que se repite ese valor.

Para calcular la Frecuencia absoluta en Excel se tendrá que activar Archivo

Opciones Complementos Ir… Herramienta para análisis

Se selecciona el Rango de entrada desde la celda A2 hasta A61 y el Rango de

Clase F:16 hasta F22





Por lo tanto las frecuencias quedan determinadas de la siguiente manera

b) Frecuencia relativa (hi): Se denomina frecuencia relativa del valor xi de la variableX la relación por cociente entre el número de veces que aparece el valor xi y el

número total de valores de la variable (N).n

nh i

i

Se divide H16/$H$23

c) Frecuencia absoluta acumulada (Ni): Se denomina frecuencia absolutaacumulada del valor in a la suma de las frecuencias absolutas de los valores de la

variable X anteriores o iguales a in . Su valor es ii n N con j = 1......i

d) Frecuencia relativa acumulada (Hi): Es la frecuencia absoluta acumulada dividida

por el número total de valores de la variable. Su valor es iH =N

Ni .





Figura:





E. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, DE LA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA: Se trabajara con

la variable “Gasto semanal en la tienda VENDO”

Calculo previos para tabular la variable

Paso 1.- Hallar el rango o amplitud de los datos

Rango = 140.0 – 30.0 = 110.0

Cálculos del Rango con el Minitab

Figura N° 19: Calculo del Rango

Figura N° 20: Calculo de las observaciones mínimas, máximas y el rango

Rango = Observación mayor – Observación menor





Figura N° 21: Calculo del Rango

Pasó 2.- Hallar el número de Intervalos (m) Dos maneras:

a) Por la experiencia del investigador, usualmente

b) Por la fórmula de Sturges

m = 1+ 3.322 log (35) = 6.12939 ≅ 6 Intervalos

Seleccionamos Calc para calcular número de clases

Figura N° 22: Cálculo de Número de Intervalos

5 ≤ m ≤ 15

m = 1+ 3.322 log





Paso 3.- Hallar la amplitud de los intervalos (C)

≅

Paso 4.- Hallar los intervalos de clase

Li-1 = límite inferior de la clase i

Li = límite superior de la clase i

Intervalos de clasesFrecuenciaAbsolutas

FrecuenciasAbsolutas

Acumuladas[Li-1 Li> ni Ni

[Observación menor – L2> n1 N1=n1

[L2, – L3> n2 N2 = n1+n2

[L3, – L4> n3 N3 =n1+n2+n3

.

.

. ...

.

.

.

Lk-1, –Lk > nK Nk = n1+...+nK =n

Total n ni =n

Los intervalos son los siguientes:

[Li-1 Li>

[L1 = obs. menor = 30.0 L1 = L1 +IC = 48.4>

[L2 = 48.4 L2 = 66.8>

[L3 = 66.8 L3 = 85.2>

[L4 = 85.2 L4 = 103.6>

[L5 = 103.6 L5 = 122.0>

[L6 = 122.0 L7 = 140.4>

Paso 5- Tabulación de los datos (conteo de datos)

Gasto mensual

[Li-1 Li>

Frecuencia

absoluta n

i

Frecuencia

relativa hi %

Frecuencia

acumulada

absoluta Ni

Frecuencia

acumulada

relativa Hi %

[ 30.0 – 48.4> 2 5.71 2 5.71

[ 48.4 – 66.8> 8 22.86 10 28.57

[ 66.8 – 85.2> 10 28.57 20 57.14

[ 85.2 – 103.6> 7 20.00 27 77.14

[103.6 – 122.0> 5 14.29 32 91.43

[122.0 – 140.4] 3 8.57 35 100.00

Nota: Creamos una nueva variable denominada Gastos en la columna C8

Paso 6- Tabulación de los datos (conteo de datos) con Minitab. Seleccionamos Datos/

Codificar/ Numérico a numérico…

• Redondeo por exceso •Igual # decimales que los datos





Figura N° 23: Codificar de Numérico a numérico

Pasó 6- En la ventana Código – Numérico a numérico se ingresan los valores de los

intervalos mencionando a que intervalo corresponde:

Figura N° 24: En la ventana Código – Numérico a numérico se ingresan los valores





Pasó 7- Mostrar los intervalos con sus respectivos frecuencias absolutas y relativas.

Seleccionamos Estadísticas/Tablas/Cuentas de variables individuales seleccionamos C8:

Gastos en la ventana de variables. También Conteos/Porcentajes/Conteos acumulados y

porcentaje acumulados.

Figura N°

24: Cuentas de variables individuales

Figura N° 25: Cuentas de variables: Gastos





F. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA CUANTITATIVAS CONTINUA: Realizamos la

tabulación de la variable ‘Gasto semanal’ procedemos a ejecutar en el Minitab

Calculo previos para tabular la variable

1. Histogramas Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un grannúmero de datos, y que se han agrupado en clases. Paso 1.- Seleccionamos Gráfica/Histograma…

Figura N° 25: Seleccionar Histogramas

Paso 2.- En la ventana Histograma seleccionamos simple/Aceptar

Figura N° 26: Ventana Histogramas





Paso 3.- En la ventana Histograma simple en la ventana de Variables gráficas:

‘Gasto semanal’

Figura N° 27: Histograma simple

Paso 4.- Se selecciona Escala… selecciona Tipo de escala Y

Figura N° 28: Histograma – Escala





Paso 5.- En la ventana Histograma – Escala/tipo de escala Y/Porcentaje


Paso 6.- Se ejecuta doble click en el Histograma en el eje de X

1351201059075604530

25

20

15

10

5

0

Gasto semanal

P o r c e n t a j e

Histograma de Gasto semanal

Gráfico N° 03: Histograma de Gasto semanal





Paso 7.- En la ventana Editar Escala se seccionamiento: Tipo de

intervalo/Punto de corte. En Definición de intervalo/posiciones de punto

medio/punto de corte: 30:140.4/18.4/Aceptar


140.4122.0103.685.266.848.430.0

30

25

20

15

10

5

0

Gasto semanal

P o r c e n t a j e


Gráfico N° 04: Histograma de Gasto semanal

2. Histogramas Se construye con cada punto medio o marca de clase (Xi) de cada

Observación

MínimaObservación

Máxima

Amplitud del

intervalo





intervalo se levanta un segmento de altura igual a la respectiva Frecuencias

Absolutas (ni ó hi).

Paso 1.- Se copia la marca de clase y frecuencia relativa

Figura N° 31: Marca de clase y Frecuencia Relativa

Paso 2.- Seleccionamos Gráfica/ Gráfica de dispersión…

Figura N° 31: Gráfica de dispersión

Se agrega una clase:

39.2 – 18.4 =20.8

Se agrega una clase:

131.2 + 18.4 = 149.6

Frec. Rela

h = 0.00

Frec. Rela

h = 0.00





Paso 3.- En la ventana Gráfica de dispersión con línea de conexión

Figura N° 32: Gráfica de dispersión

Paso 4.- En la ventana Gráfica de dispersión con línea de conexión:

Se agrega en la Variables Y: ‘Frec. Rela’ y Variables X: Marca de Clase

Figura N° 32: Gráfica de dispersión con línea de conexión

Pasó 5.- En la Gráfica de Frec. Rela vs Marca de Clase

Doble Crick en eje de Y en la frecuencia Relativa se muestra la venta Editar escala





16014012010080604020

30

25

20

15

10

5

0

Marca de clase

F r e c .

R e l a

Gráfica de dispersión de Frec. Rela vs. Marca de clase

Gráfico N° 05: Polígono de frecuencia de Gasto semanal

Pasó 6.- En la venta Editar escala en el Rango de escala/Mínimo =0/ Aceptar

Figura N° 32: Editar escala





16014012010080604020

30

25

20

15

10

5

0

Marca de clase

F r e c .

R e l a

Gráfica de dispersión de Frec. Rela vs. Marca de clase

Gráfico N° 05: Polígono de frecuencia de Gasto semanal

3. Polígonos Acumulativos de Frecuencias (Ojiva). Aquellos que se desarrollan mediante la

marca de clase que tiene coincidencia con el punto medio de las distintas columnas del

histograma. En el momento de la representación de todas las frecuencias que forman parte

de una tabla de datos agrupados, se genera el histograma de frecuencias acumuladas que

posibilita la diagramación del polígono correspondiente.

Paso 1.- Seleccionamos Gráfica/Histograma…

Figura N° 33: Seleccionar Histogramas





Paso 2.- En la ventana Histograma seleccionamos simple/Aceptar

Figura N° 34: Ventana Histogramas

Paso 3.- En la ventana Histograma simple en la ventana de Variables gráficas: ‘Gasto

semanal’

Figura N° 35: Histograma simple





Paso 4.- Se selecciona Escala… selecciona Tipo de escala Y


Paso 5.- En la ventana Histograma – Escala/tipo de escala Y/Porcentaje


Pasó 6.- Doble Click en eje de Gasto mensual donde se presenta la ventana Editar escala





1351201059075604530

100

80

60

40

20

0

Gasto semanal

P o r c e n t a j e a c u m u

l a d o


Gráfico N° 06: Polígono de frecuencia Acumulada

Pasó 7.- En la ventana de Editar Escala/Tipo intervalo/Punto de corte

Posiciones de punto medio/punto de corte: 30:140.4/18.4 Aceptar

Figura N° 38: Ventana de Editar Escala





140.4122.0103.685.266.848.430.0

100

80

60

40

20

0

Gasto semanal

P o r c e n t a j e a c u m

u l a d o


Gráfico N° 06: Polígono de frecuencia Acumulada

4. Diagrama de Tallos y hojas: Permite obtener simultáneamente una distribución de

frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada

dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que

formará el tallo).

Paso 1.- Seleccionamos Tallo y Hoja.

Figura N° 38: Seleccionar Tallo y Hoja





Gráficos Estadísticos

Primero definiré lo que es un gráfico o diagrama en estadística.

Un diagrama es una especie de esquemático, formado por líneas, figuras, mapas,utilizado para representar, bien datos estadísticos a escala o según una cierta

proporción, o bien los elementos de un sistema, las etapas de un proceso y las

divisiones o subdivisiones de una clasificación. Entre las funciones que cumplen los

diagramas se pueden señalar las siguientes:

Hacen más visibles los datos, sistemas y procesos

Ponen de manifiesto sus variaciones y su evolución histórica o espacial. Pueden evidenciar las relaciones entre los diversos elementos de un sistema o de

un proceso y representar la correlación entre dos o más variables.

Sistematizan y sintetizan los datos, sistemas y procesos.

Aclaran y complementan las cuadros y las exposiciones teóricas o cuantitativas.

El estudio de su disposición y de las relaciones que muestran pueden sugerir

hipótesis nuevas.

Algunos de los diagramas más importantes son el diagrama en árbol, diagrama de

áreas o superficies, diagrama de bandas, diagrama de barras, diagrama de bloques,

diagrama circular, diagrama circular polar, diagrama de puntos, diagrama de tallo y

hoja diagrama, histogramas y gráficos de caja y bigote o boxplots.

Clasificación De Los Gráficos

Los gráficos podemos clasificarlos en la siguiente forma:

A. Gráficos de coordenadas ortogonales.

Con divisiones equidistantes: Cronodiagrama, historiograma, histograma y

polígono acumulativo, gráfico en Z, gráfico en escalera, gráfico de banderola,

gráfico mixto (La Banda Flaman), curva de frecuencia, estereograma, gráfico

de Gantt, gráfico de barras, etc

Con divisiones semi-equidistantes: Cuadriculado logarítmico y semi-

logarítmico.





B. Gráficos de coordenadas seudo-ortogonales.

C. Gráficos de coordenadas no ortogonales.

Gráficos de coordenadas polares, gráfico en espiral, gráfico triangular

equilátero, etc.

D. Gráficos sin coordenadas.

De superficies: Gráficos de sectores, gráficos geométricos diversos.

De volúmenes: Cubo, esfera, etc.

De figuras (pictórico).

Cartograma de señalización y densidad.





AbscisasOrdenadas

E. GRÁFICOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Las frecuencias (ni, hi, Ni, Hi) siempre son cantidades no negativas ( 0), por lo tanto elgrafico de las frecuencias sean para variables discretas como para variablescont inuas , se construye en el primer cuadrante del plano cartesiano o rectangular. Eneje de las abscisas (horizontal) se indican los valores de la variable (sean puntos o

intervalos), y en el eje de las ordenadas (vertical) se anota el valor de la respectivafrecuencia.

i. Frecuencias de variable DiscretaLa representación gráfica de las (ni ó hi) se hace mediante el Diagrama de Frecuencia.Par el efecto, en el eje horizontal se representan los valores Yi, y en el eje verticalesrepresenta los valores de las frecuencias (ni ó hi)

Opiniónde los

Clientes

Frecuenc

iaabsoluta

ni

Frecuen

ciaRelativa

hi % A 6 12,5G 10 20,8O 18 37,5P 2 4,2V 12 25,0

Total 48 100,0

Al considerar las frecuencias absolutas acumuladas o relativas acumuladas, larepresentación gráfica se hace mediante el GRÁFICO ACUMULATIVO DEFRECUENCIAS. En el eje horizontal se colocan los valores de la Marca de Clase (X i), y enel eje vertical los valores Ni ó Hi, a continuación, a partir de cada extremo de los segmentosse traza tramos horizontales formando una escalera como se aprecia en el siguiente grafico

Intervalos de

clases

(Li-1 L i

]

Marcade

clase

Xi

Frecuencia

Absolut

asni

Frecuencias

Absolutas Acumula

dasNi

16 – 27 21,5 3 327 – 38 32,5 5 838 – 49 43,5 10 1849 – 60 54,5 3 2160 – 71 65,5 8 2971 – 82 76,5 7 3682 – 93 87,5 4 40Total 40

Opinión de los Clientes

F r e c u e n c i a A b s o l u

t a s

A G O P V 0

5

10

15

20

6

10

18

2

12

ni

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100

Marca de Clase

F r e c u e n c i a s A b s o l u t

a s

A c u m u l a d a s





ii. Frecuencias de variable ContinuaEn el caso más general, las variables continuas se agrupan en cuadros de frecuenciascon intervalos, por lo tanto se trata de representar gráficamente intervalos en el ejehorizontal.

La representación gráfica de las frecuencias (absolutas o relativas) se hace medianteel Histograma de Frecuencias , que está constituido por un conjunto de rectángulos,cuya base es igual a la amplitud de un intervalo y la altura igual a la respectivafrecuencia. Para construir el histograma de frecuencias, se indican en el eje horizontal

Otro gráfico que se usa para representar las frecuencias es el Polígo no de Fr ecu enc ias ,que se construye como sigue: en cada punto medio o marca de clase (X i ) de cada intervalose levanta un segmento de altura igual a la respectiva frecuencias Absolutas (ni ó h i), luegoune los extremos con una línea poligonal, resultando el Polígo no de Frecu enc ias . Para

completar los extremos, se extiende el polígono en media amplitud de cada extremo.

Opiniónde los

Clientes

Frecuencia

absolutani

Frecuencia

Relativahi %

Conviertenhi %

A Grados

EnGrad

os

A 6 12,5

100

5,12x360 45.0

G 10 20,8

100

8,20x360 74.9

O 18 37,5 135.0

P 2 4,2 16.3

V 12 25,0 91.8

Total 48 100,0

Intervalos de

clases

(Li-1 Li]

Frecuencia

Absolutasni

16 – 27 3

27 – 38 5

38 – 49 10

49 – 60 3

60 – 71 8

71 – 82 7

82 – 93 4

Total 40

6

10

18

2

12

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

F r e c u e n c i a A b s o l u t a

A G O P V

Opinión de los Clientes

En el caso de Gráficos de

Barras, en el eje horizontal

representa los valores de Yi, yen el eje vertical se presentanlos valores de las frecuencias Absolutas (ni ó hi)

ara los Gráficos de Sectores

irculares ó Pastel , se

onvierten los valores des frecuencias Absolutas

ni ó hi) a grados mediante

100

%ixh360

12.5%

20.8%

37.5%

4.2%

25.0%

0

2

4

6

8

10

0 16 27 38 49 60 71 82 93

Límite inferior

F r e c u e n c i a A b s o l u t a s

ni





Intervalos de

clases

(Li-1 Li]

Marcade

claseXi

Frecuencia

Absolutasni

10.5 0

16 – 27 21,5 3

27 – 38 32,5 5

38 – 49 43,5 10

49 – 60 54,5 3

60 – 71 65,5 8

71 – 82 76,5 7

82 – 93 87,5 4

98.5 0

Total 40

Por su parte, las frecuencias acumuladas (Absolutas o Relativas) se grafican mediante los

Polígono s Ac um ulativo s de Frecuencias (Ojiva) . De igual manera, en el eje horizontal

se ubican los extremos los intervalos y en el eje vertical lo valores de N i, H i. En el extremosuperior de cada intervalo se levanta un segmento de altura igual a la respectiva frecuenciaabsoluta, luego partiendo del extremo inferior del primer intervalo se une, con segmentosde recta, los extremo de los segmentos verticales, obteniendo una línea poligonal que, apartir de la última frecuencia acumulativa, se extiende paralelamente al eje horizontal,obteniéndose la gráfica del Polígono A cum ulativ o de Frecuencias

Intervalosde clases<Li-1 Li]

Marcade clase

Xi

Frecuencia

Absolutas

ni

Frecuencias Absolutas Acumulada

s

Ni

16 – 27 21,5 3 3

27 – 38 32,5 5 8

38 – 49 43,5 10 18

49 – 60 54,5 3 21

60 – 71 65,5 8 29

71 – 82 76,5 7 36

82 – 93 87,5 4 40

Total 40

Años Demanda de cobre en China1990 5051991 6001992 8501993 10001994 7701995 11251996 12401997 12602008 13801999 1550

2000 16602001 17502002 18402003 1900

0

2

4

6

8

10

12

0 10.5 21.5 32.5 43.5 54.5 65.5 76.5 87.5 98.5

F r e c u e n c i a A b s o l u t a

Marca de clase

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 27 38 49 60

Intervalode Clase

F r e c u e n c i a s A b s o l u t a s

A c u m u l a d a s

71 82 93

Gráfico Nº 3.3: Diagrama de dispersión

Demanda de cobre refinado en China

(miles de toneladas métricas)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1 9 9 0

1 9 9 1

1 9 9 2

1 9 9 3

1 9 9 4

1 9 9 5

1 9 9 6

1 9 9 7

1 9 9 8

1 9 9 9

2 0 0 0

2 0 0 1

2 0 0 2

2 0 0 3

Años (variable independiente = X)

D e m a n d a d e c o b r e e n C h i n a

( v a r i a b l e d e p e n d i e n t e = Y )





32,030,028,026,024,022,020,018,016,0

40

30

20

10

0

0

1

1 2 3 4

3020100

32

30

28

26

24

22

20

18

16

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4

CLASIFICACIÓN DE LASVARIABLES

OBJETIVO DEL GRAFICOMOSTRAR

TAMAÑODEL

RECORRIDO

ESCALA DEMEDICIÓN

DISTRIBUCIÓN DEFRECUENCIAS

(UNA VARIABLE)

ASOCIACIÓN ENTREVARIABLES (DOS O

MAS)

D

I

S

C

RE

T

A

S

T

O

D

A

S

BASTONES

BARRAS SIMPLES

SECTOR CIRCULAR

BARRAS AGRUPAS

BARRASCOMPUESTAS

C

O

N

TI

N

U

A

S

INTERVAL

O

O

RAZON

HISTOGRAMA

POLÍGONO DEFRECUENCIAS

CORRELACIÓN

LINEAL





F. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS GRÁFICOS

Ventajas de los gráficos.

a) Síntesis.- Un cuadro con cifras es difícil de estudiar requiriendo a menudo un

penoso trabajo analítico para poder descubrir las informaciones que contiene.

Por el contrario, mediante un gráfico el investigador hace aparecer lasprincipales características de una serie estadística.

b) Descubrimiento.- El gráfico permite descubrir hechos esenciales, que

pasarían desapercibidos al simple examen de los cuadros numéricos.

c) Control.- Permite descubrir anomalías de cálculo o tipográficas, que no son

fáciles de hallar en los cuadros.

d) Comparación.- Si el análisis de los datos de una serie en un cuadro, es una

labor delicada, la confrontación de los datos de dos series lo es más todavía.

En cambio, los gráficos permiten un conjunto de comparaciones a simple vista.

e) Búsqueda de las regularidades.- Los gráficos permiten hallar fácilmente la

regularidad de los movimientos de las series cronológicas. También permite

destacar la alternancia o repetición de ciertos fenómenos.

El Gráfico es un instrumento de investigación científica.

Desventajas de los gráficos

a) Ocultamiento.- El gráfico oculta una cierta cantidad de información. En este

sentido es menos preciso que un cuadro.

b) Deformaciones.- Por fallas deliberadas o no en la construcción, puede

introducir importantes deformaciones de los hechos. Un dibujante poco

escrupuloso puede exagerar o reducir, mediante un mal uso de las escalas y

de los trazos, la importancia de un fenómeno. Tal cosa puede ocurrir en

gráficos para fines políticos, económicos o publicitarios.





Construir Una Pirámide Poblacional

Elaborar una pirámide poblacional a partir de datos

1. Abre una nueva hoja de cálculo Excel para introducir los datos.

2. Escribe en la primera fila el título de la tabla de Datos: Perú 2011.

3. Introduce los grupos de edad en la primera columna:

En la cabecera de la columna escribe: Edad

A continuación escribe los grupos de Edad: 0-4, 5-9, ..., 80 y más

Al final de la columna escribe: Total

4. En las siguientes columnas escribe los datos, en el siguiente orden: Hombres,

Mujeres.

Nota: Los datos de que aparezcan en la columna izquierda de la pirámide

(Hombres) deben ser representados con números negativos. Simplemente inserta elsigno - antes de cada valor o crea una nueva columna y multiplica la población

masculina por –1.

5. Ya que estas trabajando con grandes poblaciones, debes ajustar la escala de la

figura, expresando los datos en miles. Puedes hacer esto dividiendo cada celda de

datos por 1.000.

6. También puedes transformar los datos de los distintos grupos de edades en porcentaje

respecto a la población total. En una nueva columna divide el valor del grupo de edad entre

el total de la población.

Creación del Gráfico

1. Selecciona todos los datos -excepto el título y la fila Total- haciendo clic con el ratón y

arrastrando a lo largo de los datos de la tabla (A3:C22).

2. Haz clic en el botón As ist ent e para g ráfic os .

Paso 1. Elige Tipo d e gráfico: B arras , y selecciona el subtipo Barra agrup ada .

Pulsa el botón Siguiente.

Pasó 2. Verás la pirámide. Deja los datos como están y pulsa Siguiente.

Pasó 3. Escribe el títu lo de t u gráfi co (p.e., Perú 2001). Deja los otros cuadros en

blanco, y pulsa el botón Siguiente.

Pasó 4. Selecciona el botón En una hoja nueva (llama a esta hoja como desees) y

pulsa el botón Finalizar.

3. Ya tienes tu pirámide. Es hora de mejorar su apariencia:

Arreglar las barras. Haz doble clic en una de las barras del gráfico. En el cuadro de

diálogo Formato de la serie de datos, selecciona la pestaña Opciones . Configura





Superposic ión a 100 y pulsa Anch o del rango a 0 y pulsa el botón OK. No

cambies nada más. Las barras del gráfico deben aparecer juntas, sin agujeros.

Arreglar el eje vertical (desplazar las etiquetas de edades hacia la izquierda). Haz

doble click en los datos del eje vert ical . En el cuadro de diálogo Formato d e ejes ,

elige la pestaña Tramas y configura los botones de marca de graduación a Ninguno

y el botón de rótulos a Inferior .

Arreglar el eje horizontal (eliminar los valores negativos del eje hombres). Haz

doble clic sobre los datos del eje horizontal . En la pestaña Número selecciona

Categ oría: Person alizad a y escribe en Tipo: 0;0 .

Aplica cualquier otro formato para mejorar la apariencia de la pirámide: colores de

las barras, tamaño y tipo de fuentes y títulos, eliminación de rejilla y fondo...

Edades Hombres Mujeres Totales Edades Hombres Mujeres

0-4 1266429 1203652 2470081 0-4 -5.5 5.2

5-9 1352926 1298331 2651257 5-9 -5.9 5.6

10-14 1269705 1243519 2513224 10-14 -5.5 5.4

15-19 1154745 1145976 2300721 15-19 -5.0 5.0

20-24 1072826 1097428 2170254 20-24 -4.7 4.8

25-29 918063 958505 1876568 25-29 -4.0 4.2

30-34 857675 894850 1752525 30-34 -3.7 3.9

35-39 768107 816358 1584465 35-39 -3.3 3.5

40-44 691549 729825 1421374 40-44 -3.0 3.2

45-49 561907 592190 1154097 45-49 -2.4 2.6

50-54 449661 471292 920953 50-54 -2.0 2.0

55-59 296106 319847 615953 55-59 -1.3 1.4

60-64 238627 261898 500525 60-64 -1.0 1.1

65-69 177284 204213 381497 65-69 -0.8 0.9

70-74 139265 163512 302777 70-74 -0.6 0.775-79 92800 113044 205844 75-79 -0.4 0.5

80 - + 136901 95194 232095 80 - + -0.6 0.4

Totales 11444576 11609634 23054210 Totales -49.6 50.4





Pirámide Poblacional

Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática

8.0000 6.0000 4.0000 2.0000 0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000

0-4

5-9

10-14

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

80- +

Mujeres Hombres





Ejercicios de variables cualitativas

1. Construye una tabla de distribución de frecuencia, haz una gráfica de barras y un

diagrama de pastel para una muestra de compras de refresco según la preferencia

de 50 personas:

Coke Classi Sprite Coke Classic Pepsi-Cola Coke Classic Coke Classic

Pepsi-Cola Diet Coke Coke Classic Diet Coke Coke Classic Coke Classic

Coke Classic Diet Coke Pepsi-Cola Coke Classic Coke Classic Dr. Pepper

Dr. Pepper Sprite Diet Coke Coke Classic Diet Coke Pepsi-Cola

Pepsi-Cola Coke Classic Pepsi-Cola Pepsi-Cola Coke Classic Pepsi-Cola

Coke Classic Coke Classic Pepsi-Cola Dr. Pepper Pepsi-Cola Pepsi-Cola

Coke Classic Coke Classic Coke Classic Coke Classic Sprite Dr. Pepper

Diet Coke Diet Coke Pepsi-Cola Coke Classic Pepsi-Cola Sprite

Sprite Dr. Pepper

2. Según Nielsen Media Research, los cinco programas de TV más vistos a las 8:00 P.M.

del 14 de octubre de 2012 fueron Congo, The X-Files, Holliday in Your Heart, Ellen

Foster y Unhappily Ever After. La lista siguiente es una encuesta entre 50

espectadores.

Unhappily Ellen Congo X-Files Congo Ellen Ellen X-Files

Ellen Ellen X-Files Ellen Holliday X-Files X-Files

Congo Holliday Congo Ellen Congo Holliday X-Files

Ellen Ellen X-Files X-Files X-Files Ellen Holliday

Ellen Ellen Holliday Holliday Ellen Unhapily X-Files

Holliday X-Files X-Files Ellen Congo Holliday Ellen

Holliday Ellen Holliday X-Files Congo Congo Holliday

a) ¿Traza una gráfica de barras y un diagrama de pastel?

b) ¿De acuerdo con la muestra, qué programa tiene la mayor parte del mercado?

3. Se pidió a los alumnos de primer año del Colegio de Administración en la Universidad

que indicaran su campo preferido, y se obtuvieron los siguientes datos.





Campo Alumnos

Administración 55

Contabilidad 51

Finanzas 28

Mer cadotecnia 82

Haz una gráfica de barras y el diagrama de pastel.

4. En el censo de 1960 (Dirección General de Estadística de la Secretaría de Comercio

y Fomento Industrial) se encontró que la distribución del material predominante en los

muros o paredes de las casas era como se muestra en la tabla:

Material de los murosNúmero de

viviendasProporciones Porcentajes

Adobe 3 184 0.499 49.9

Tabique 1 547 0.242 24.2

Madera 558 0.087 8.7

Embarr o 495 0.078 7.8Mamposter ía 171 0.027 2.7

Bloque de material ligero 76 0.012 1.2

Otr os 349 0.055 5.5

Total 6 380 1.000 100.0

Traza un diagrama de pastel.

5. A continuación vemos datos de una muestra de 55 miembros del Salón de la Fama

de Béisbol, en Cooperstown, Nueva York, para cada posición en el campo. En cada

caso se indica la posición principal del jugador: lanzador(P), receptor (H), primera

base (1), segunda base (2), tercera base (3), parador en corto (S), jardinero izquierdo

(L), jardinero central (C) y jardinero derecho (R).

L P C H 2 P R 1 S S 1 L 2 P R P P P P R C S L R P C L C





P P R P 2 3 P H L P 1 C P P

P P S 1 L R R 1 2 H S 3 H

b) Construye una gráfica de pastel y otra de barras.

c) ¿Qué posición tiene más miembros en el salón de la fama?d) ¿Qué posición tiene menos miembros?

6. Los empleados de Electrónica Moderna tienen un sistema de horario flexible.

Pueden comenzar su jornada de trabajo a las 7:00, 7:30, 8:00, 8:30 o 9:00. Los

datos siguientes representan una muestra de las horas de entrada que

seleccionaron.

7:00 8:30 9:00 8:00 7:30 7:30 8:30 8:30 7:30 7:00

8:30 8:30 8:00 8:00 7:30 8:30 7:00 9:00 8:30 8:00

a) Haz una gráfica de barras y un diagrama de pastel.

b) ¿Qué opinas acerca de las preferencias de los empleados en el sistema de

horarios flexible?

7. .Durante los primeros 11 meses de 1997, los coches Honda Accord, Chevy Cavalier,

Toyota Camry, Honda Civic y Ford Taurus fueron los coches nuevos más vendidos

en USA. Se presentan los datos de 50 compras de automóvil en Cleveland, Ohio.

Taur us Civic Civic Taur us Accord Civic Accord Camry Camry

Taur us Civic Cavalier Cavalier Taurus Accord Cavalier Taur us Taurus

Camry Civic Cavalier Cavalier Camry Accord Camry Cavalier

Camry Camry Camry Civic Camry Camry Accord Civic

Civic Accord Cavalier Cavalier Accord Camry Taur u Taur us

Cavalier Taur us Accord Civic Accord Taurus Accord Camry

Traza un diagrama de pastel y di: ¿Cuál es el coche que más se vende?





8. Cada una de las 500 empresas Fortune se clasifica como perteneciente a uno de

varios giros industriales. A continuación vemos una muestra de 20 empresas con

su correspondiente ramo industrial.

Compañía Ramo Compañí a Ramo

IBP Alimentos Borden AlimentosIntel Electrónica McDonnell Douglas Aeroespacial

Coca-Cola Bebidas Norton International Prod. Químicos

Unión Carbide Prod. Químicos Quaker Oats Alimentos

General Electric Electrónica Pepsico Bebidas

Motorola Electrónica Maytag Electrónica

Kellog’s Alimentos Textron Aeroespacial

Dow Chemical Prod. Químicos Sara Lee Alimentos

Campbell’s Soup Alimentos Harris Electrónica

Ralston Purina Alimentos Eaton Electrónica

Elabora una distribución de frecuencias que muestre la cantidad de empresas en

cada ramo industrial y traza una gráfica de barras.

9. Para realizar su Índice de Confianza Comercial, la revista Fortune encuestó a 50

altos ejecutivos financieros preguntándoles sus políticas financieras actuales de

presupuesto de capital y publicidad. En Noviembre de 2011, los encuestados

describieron sus políticas como sigue: Agresiva 57%, Cautelosa 29%, Indecisa 14%.

Traza una gráfica de barras y una de pastel que describan las políticas de

dichos ejecutivos.

10. Cuando se les pidió clasificar la destreza que se requiere para obtener una alta

calificación en un nuevo juego de computadoras como principiante, aprendiz,

competidor, maestro o experto, 44 evaluadores respondieron de la manera siguiente:

experto, maestro, maestro, competidor, experto, maestro, maestro, maestro,

experto, aprendiz, maestro, maestro, maestro, maestro, experto, maestro,

competidor, maestro, maestro, principiante, experto, competidor, maestro, maestro,

experto, experto, maestro, maestro, maestro, competidor, competidor, experto,maestro, experto, experto, experto, competidor, maestro, maestro, experto,





competidor, maestro, maestro y experto. Construye una tabla que indique las

frecuencias correspondientes a estas clasificaciones de destreza que se

requiere para obtener una alta calificación.

11. En la siguiente tabla se mue st ra la estructura de la fuerza de trabajo en el Perú, por

sectores de actividad para los años 2009, 2010 y 2011

Actividad 2009 2010 2011

Agr opecuar ia 65.4 58.3 54.3

Minero, metalúrgico y petrolero 1.8 1.2 1.2

Electr icidad 0.2 0.3 0.4

Manuf actur er o 9.0 11.8 13.8

Construcción e instalación 1.8 2.7 3.6

Tr anspor te 2.5 2.5 3.2

Comercio 9.4 8.3 9.1

Otr as 9.9 14.9 14.3

Total 100.0% 100.0% 100.0%

Base de % (miles de habitantes) 5857 8273 11 202

Construye un diagrama de barras y un diagrama de pastel.





III. CAPITULO Medidas de Resumen 3.1 Medidas de resumen para variables cualitativas

En trabajos de investigación frecuencia se utilizan variables cualitativas, bien por su

naturaleza, o por la escala empleada. Por supuesto, una vez que la información se

recogió, es necesario calcular alguna medida de resumen cuyo resultado es un

indicador que deberá analizarse en un momento posterior.

En este tema te presentamos las medidas de resumen para variables cualitativas que

se utilizan con mayor frecuencia en los estudios que realizas en el nivel primario de

atención de salud.

3.2 Razón e Índice. Definición. Cálculo e interpretación

Por razón puede entenderse: Una razón es la relación por cociente que se establece entre las unidades de análisis

que pertenecen a un grupo o categoría (a) y las unidades de análisis que pertenecen

a otra categoría (b) de la misma variable. Su expresióngeneral es:

¿Ésa es la definición? No te desanimes, es una medida de fácil comprensión. Te la

explicaremos con un ejemplo:

Supongamos que de los 600 recién nacidos (RN) de un hospital en cierto período, 300

presentaron los ojos oscuros (OO), en tanto que sólo 100 los tenían claros (OC).

Aplicando la expresión general, la razón OO/OC es

La razón ojos oscuros/ojos claros es de 3; o lo que es lo mismo, 3:1.

Pero, ¿qué significa este resultado? Expresa que hay tres recién nacidos con ojos

oscuros por cada recién nacido de ojos claros en ese hospital y en ese período.

Fíjate que el numerador y el denominador son disjuntos, es decir, no se interceptan,

no están contenidos uno en el otro. Ello te ayudará a establecer las diferencias con

las medidas de resumen que estudiarás a continuación.

Si multiplicas el resultado obtenido por 100, entonces el nuevo número se denomina

índice, de tal suerte que en el ejemplo anterior el índice sería 300. En otras palabras,





en el hospital de referencia, en el período estudiado, por cada 100 bebés de ojos

claros hay 300 de ojos oscuros.

Proporción y Porcentaje. Definición. Cálculo e interpretación

Una proporción.- Es la relación por cociente que se establece entre las

unidades de análisis que pertenecen a un grupo o categoría (a) de una variable y el

total de las unidades de análisis estudiadas (a + b). Su expresión general es

. Si

se multiplica su resultado por 100, se obtendrá el porcentaje

Seguiremos utilizando el ejemplo anterior. ¿Lo recuerdas? Por supuesto que sí. Pues

bien, determinemos la proporción de niños con ojos oscuros (300) en la población de

recién nacidos (400):

Alternativamente, puedes calcular el porcentaje:

Nota: Usamos la P con fines ilustrativos, pues la proporción carece de simbología.

Los resultados anteriores significan que tres de cada cuatro recién nacidos tienen los

ojos oscuros; o que el 75 por ciento de los recién nacidos tiene los ojos oscuros (y,obviamente, el 25% los tiene claros).

¿No te resultan familiares estas nuevas medidas, o sea, la proporción y el porcentaje?

Ya debes estarte preguntando la diferencia que existe entre éstas y la distribución de

frecuencias relativas que ya estudiaste. Nada más claro: no es que sean parecidas,

son exactamente las mismas, pero restringidas a variables cualitativas.

Observa que el porcentaje te permite analizar el aporte, el peso específico o la

importancia relativa de cada categoría respecto al total.

Tasas

Siempre que necesites medir el riesgo de que acontezca cierto fenómeno en una

población determinada, dispones de un indicador valioso y único: las tasas





Una tasa.- Es una relación por cociente que expresa el riesgo de que ocurra cierto

evento en una población y período determinados. Está compuesta por tres elementos,

a saber

Veamos cuáles son esos elementos: El numerador contiene al número de veces que ocurrió determinado fenómeno en

un área geográfica y en un período determinado.

El denominador indica el número de habitantes de la población en la cual puede

ocurrir el fenómeno.

k es un múltiplo de 10 cuyo uso está justificado por el hecho de que habitualmente

el resultado del cociente es un número fraccionario, y al multiplicarlo por una

potencia de 10 se facilita enormemente la lectura y comprensión del indicador.

Esta es una medida que expresa el riesgo de ocurrencia del evento estudiado en el

numerador en la población involucrada, en el tiempo y lugar establecidos.

Las tasas que más importancia revisten para nuestro desempeño en el campo de la

Salud son las siguientes:

Tasas de importancia Relevante en Salud Tasas relacionadas con la natalidad

Tasas relacionadas con la mortalidad

Tasas relacionadas con la morbilidad

Una particularidad realmente útil de las tasas es que puedes calcularlas tanto para la

totalidad de la población, como para parte de ella (por ejemplo, para el grupo de edad

de cinco a nueve años, para los estudiantes, para los residentes del área rural, y así

por el estilo); por otra parte, puedes calcular las tasas para todas las causas, o

solamente para una de ellas (o un grupo de ellas). De este modo, tendrás calculadas

tasas brutas, crudas, generales o globales si se tratara de tasas que involucren a toda

la población o al total de causas; al tiempo que habrás calculado tasas específicas si

incluían a una parte de la población o a una causa o grupo de ellas.

Así las cosas, estarás en plena facultad de hallar tasas brutas de mortalidad, de

natalidad, o bien específicas por edad, por sexo, por edad y sexo a la vez, entre





muchas otras. Teniendo a tu disposición los datos adecuados, podrás hallar una tasa

tan específica como desees.

Existe en punto cardinal en el manejo de las tasas: la población expuesta al riesgo en

cuestión. Como ya sabes, este es el denominador de la ecuación, y de su correcta

determinación depende la fidelidad del cálculo. Nunca serán suficientes las medidas

que tomes para asegurarte que estás empleando el dato acertado. No creas que es

muy difícil saber que estás errado o en lo cierto, el problema radica en que muchas

veces se pasa por alto este “detalle” de forma involuntaria.

Probablemente te habrás preguntado: «Bueno, ¿y qué tanto problema con el

denominador?»

¡Ah! Es que ahí radica el quid de la cosa. Recuerda que calculas una tasa para medir

el riesgo de ocurrencia de un evento o fenómeno en una población, pero no en

cualquier población, sino en la población expuesta a ese riesgo. Esto quiere decir que

sólo podrás calcular la tasa de mortalidad por cáncer de útero en las mujeres de cierta

ciudad, puesto que sería imposible calcularla en los hombres; del mismo modo que no

puedes calcular la tasa de morbilidad por cáncer de pulmón de los habitantes de Perú

en 2009, utilizando para ello a los habitantes del Perú en el año 2009.

¿Satisfecha tu inquietud?

También haz de saber que las poblaciones están sometidas a constantes cambios en

lo que a su número atañe, determinados por los nacimientos y defunciones y por

los movimientos migratorios (emigración e inmigración), que provocan que no sea la

misma a lo largo de todo el año. De ahí que, por convenio, se tome la población

existente a mediados del período 11 o población media para el cálculo de las tasas.

Por otra parte, debes tener especial cuidado al calcular tasas para poblaciones

pequeñas, como la que usualmente manejan los Consultorios, pues suelen volverse

inestables, ya que cualquier evento “mueve“ mucho la tasa, y a veces no guarda

relación el resultado obtenido con la magnitud del evento acontecido.

Bueno, ya estamos en condiciones de particularizar en las tasas más relevantes en la

práctica diaria.





Tasas relacionadas con la natalidad

El estudio de la natalidad está relacionado con el número de nacimientos ocurridos en

una población y tiempo determinados, así como la distribución que siguen de acuerdo

con ciertas características. Como ves, todo gira en torno a la medición de la misma, y

una de las formas de conseguirlo es utilizando las tasas.

Ahora nos tropezamos con una contrariedad: la población expuesta al riesgo es muy

difícil de definir, ya que tener un hijo no involucra a toda la parte femenina de la

población, y va más allá, pues otros factores de índole psicosocial actúan en tal

decisión. Por estas razones, verás que se han buscado soluciones alternativas a esta

situación.

Tasa bruta de natalidad

Comencemos por la tasa bruta de natalidad. La misma expresa cómo se comportan

los nacimientos en un área y tiempo determinados. Su cálculo es sencillo:

Por ejemplo, la tasa cruda de natalidad de Perú en 2008 fue:Total de nacidos vivos en Perú durante 2008: 151 08012

Total de habitantes en Perú durante 2008: 11 122 308.

Bien, ya tienes el número calculado. Pero, ¿es suficiente con eso? Claro que no,

necesitas saber qué significa, a fin de manejarlo apropiadamente. En primer lugar,

debes informar el resultado de la siguiente forma: «La tasa bruta de natalidad de Perú

en 2008 fue de 14 nacidos vivos por cada 1000 habitantes», ello significa que durante

2008 en Cajamarca nacieron como promedio 14 niños por cada 1 000 habitantes.

Esta tasa tiene el inconveniente de no tomar en cuenta a las personas realmente

expuestas al evento, pero por su sencillez y facilidad de comprensión es la

medida más generalmente utilizada.





De ahora en adelante nos limitaremos a enseñarte cómo calcular e interpretar el

indicador. Continuemos entonces.

Tasa general de fecundidad

Este indicador mide la natalidad, pero tomando en cuenta solamente a la población

femenina en edad reproductiva o fértil (15 a 49 años). El hecho de que se restringe el

denominador no inyecta especificidad a la tasa, pues continúa siendo una mezcla de

diversos grupos de edades con situaciones diversas; amén de que se mueve a la par

de la tasa cruda de natalidad. Se calcula de la siguiente forma:

Así, la tasa de Cuba en 2008 fue:

Interpretación: En Perú, durante 2008, nacieron como promedio 49 niños por cada

1000 mujeres en edad fértil (15 a 49 años).

Tasa de fecundidad específica por edad

Esta es una tasa específica, que usualmente se calcula para grupos quinquenales

comprendidos entre 15 y 49 años.

Interpretación: Durante 2008 en Perú nacieron como promedio 56 niños por cada

1000 mujeres de 15 a 49 años de edad.

Tasas de mortalidad

La medición de la mortalidad tiene como fin conocer el número de defunciones

ocurridas en cierta población durante un período dado, a la vez que se estudia su

distribución relacionándolas con diversas características de dicha población.

Entrando en la materia que nos ocupa, te decimos a continuación las tasas que

podrás calcular.





Tasa bruta de mortalidad

Esta tasa expresa el riesgo que tienen todos los habitantes de cierta población, en un

momento dado, de morir por cualquier causa.

En 2008, en nuestro país esta tasa fue:

Esto significa que en 2008, en Perú fallecieron como promedio 7 personas por cada

1000 habitantes.

Tasa de mortalidad por edad

Ahora te presentamos una tasa de mortalidad específica, que solo mide el riesgo de

morir que tienen las personas del grupo de edad analizado. Su cálculo se logra

restringiendo el denominador a las personas de la edad deseada, e incluyendo en el

numerador a los fallecidos en esa edad.

Por ejemplo, en 2008, en Perú, la tasa de mortalidad en personas de 60 años y más

fue:

Tasa de mortalidad por sexo

El cálculo de esta tasa es muy similar a la anterior, con la diferencia de que te

restringes a un sexo en particular. Expresa el riesgo de morir de las personas de ese

sexo en esa población, en el período especificado. Para calcularla, sustituye elnumerador por el total de defunciones del sexo analizado, y el denominador por el

total de habitantes de ese sexo en el lugar y momento deseados.

En nuestro país, durante 2008 la tasa de mortalidad del sexo femenino fue:

Interpretación: en Perú, en 2008 fallecieron como promedio 6 mujeres por cada 1000féminas.





Tasa de mortalidad por causa

Análogamente, puedes conocer el riesgo a que están sometidos los habitantes de

cierto lugar, en un momento definido, de morir por una causa de muerte dada. Ahora

el numerador está formado por las defunciones debidas a la causa en cuestión,

mientras que el denominador incluye al total de población.

En Perú, durante 2008 la tasa de mortalidad por enfermedades del corazón fue:

Interpretación: en Perú, en 2008 fallecieron como promedio 193 personas por

enfermedades del corazón por cada 100 000 habitantes

Tasa de mortalidad infantil

Arribamos a un punto de suma importancia al analizar la situación de salud de una

comunidad. Este indicador es una especie de diana hacia la cual se dirigen los ojos de

todo aquel que, avezado o no, se tome interés en el estudio de las características de

una población.Es un indicador que toma como población expuesta al riesgo a los nacidos vivos en

período estudiado, y se calcula de la siguiente forma:

A partir del triunfo revolucionario, este indicador ha mostrado una tendencia

descendente, llegando a alcanzar en los dos últimos años cifras inferiores a 8,

incluyéndose de esta forma entre los países de más baja tasa a escala mundial. En2008, la tasa cubana fue:

Ello significa que en 2008, en Cuba fallecieron como promedio 7 niños por cada 1000

nacidos vivos.

Este indicador tiene la singularidad de que puede descomponerse en varios

indicadores, que miden con más especificidad el comportamiento de la mortalidad enel menor de un año. Estos componentes son los siguientes:





1. Tasa de mortalidad neonatal precoz

Al calcular esta tasa conocerás el riesgo de morir de los bebés con menos de

siete días de nacidos. Su cálculo estriba en sustituir el numerador de la TMI por

las defunciones ocurridas en recién nacidos de menos de siete días en el período

y lugar estudiados. En 2008 tuvimos una TMNP de 2.9 por 1000 NV. De este

modo, puedes decir que en Perú, durante 2008, fallecieron como promedio 3

niños de menos de 7 días por cada 1000 nacidos vivos.

2. Tasa de mortalidad neonatal tardía

Conforme calculaste el riesgo de muerte de los bebitos menores de siete días,

puedes conocer también el de siete en adelante y menores de 28 días, cerrando

así el diapasón en la etapa neonatal de la vida. Sólo tienes que sustituir el

numerador de la tasa anterior por las defunciones de niños de 7 - 27 días en la

población de tu interés, durante el período que necesites.

Para nuestro país la TMNT en 2008 fue de 1.4 por cada 1000 nacidos vivos, lo

que quiere decir que en 2008, en Perú falleció como promedio 1 niño de 7 a 27

días por cada 1000 nacidos vivos.

3. Tasa de mortalidad posneonatal

Ahora determinarás el riesgo de muerte de los niños mayores de 28 días y

menores de un año. Con sólo sustituir el numerador de la TMI por las defunciones

acaecidas en los bebés de 28 días a 11 meses, 29 días y 23:59 horas, habráscumplido tu cometido.

El que el denominador, de los tres componentes de la mortalidad infantil, sea el

mismo le imprime a estas tasas una peculiaridad: se puede obtener la mortalidad

infantil mediante la simple suma de sus componentes, o lo que es lo mismo, los

componentes de la mortalidad infantil son sumables.

En Perú, durante 2008, tuvimos una TMP de 2.8 por 1000 NV. Dicho sea con

otras palabras: en 2008, en Perú fallecieron como promedio 3 niños mayores de28 días y menores de un año por cada 1000 nacidos vivos.

Tasa de mortalidad perinatal

Esta es una tasa especial que mide el riesgo de morir en los momentos cercanos al

nacimiento.

Se calcula de la siguiente forma:





Donde:

DFT: defunciones fetales tardías (edad materna igual o superior a las 28

semanas, o peso fetal de 1000 gramos o más).

DNP: defunciones neonatales precoces (defunciones en el menor de siete días).

NV: nacidos vivos

Tasa de mortalidad materna

Aquí tienes otro de los indicadores más celosamente cuidados por todo el personal de

salud, bien sabes de ello. La lógica aspiración de todo país interesado realmente en

exhibir indicadores de salud ejemplares, es mantener esta medida en niveles bajos,

juntamente con la tasa de mortalidad infantil, entre otros. Su cálculo comprende algo

que puede inducir extrañeza: el denominador está formado por los nacidos vivos del

lugar y tiempo escogidos. Al analizarlo con detenimiento verás que resulta lo más

indicado, ya que brinda una estimación mejor del riesgo puesto que este indicador

solamente toma en cuenta las defunciones maternas producidas por complicaciones

del embarazo, parto o puerperio (entendido como los 42 días siguientes al parto).

La TMM fue de 47.7 por 100 000 NV en 2008 para nuestro país. Esto quiere decir que

por cada 100 000 nacidos vivos, murieron en promedio 48 mujeres por causas

directamente relacionadas con el embarazo, parto y puerperio durante 2008 en Perú.

Tasas de morbilidad

La morbilidad, entendida como el patrón de enfermedades que sufren los habitantes

de alguna región, puede ser estudiada numéricamente mediante las tasas de

morbilidad. Ellas son la tasa de incidencia, la tasa de prevalencia y la tasa de

letalidad.

La tasa de incidencia (TI) mide el riesgo que tiene una persona que habita en un lugar

y tiempo determinados, de contraer o adquirir cierta enfermedad, visto esto en función

del tiempo. Por su lado, la tasa de prevalencia (TP) mide el riesgo de tener la

enfermedad, o sea, de estar enfermo; y la tasa de letalidad (TL) expresa la gravedadde la enfermedad.





Comparación de tasas

En ocasiones, pretendemos comparar los riesgos de morir, de enfermar, etc. entre

distintas poblaciones o entre distintas categorías o clases de una variable. Para ello,

lo más conveniente es utilizar la tipificación, bien por el método directo o por el

indirecto; técnicas que no se expondrán en este curso, pues se abordarán en cursos

posteriores. Esta técnica solo sirve para comparar, sus resultados no miden en modo

alguno el riesgo de ocurrencia de los eventos estudiados en la población

Resumen

En este tema estudiaste que:

MEDIDAS RESUMEN VARIABLES CUALITATIVAS 41

1. Las medidas de resumen para datos cualitativos más frecuentemente utilizadas

son las razones, las proporciones y las tasas.

2. Cada uno de esos indicadores tiene diferente interpretación. Así, los más

refinados son las tasas, pues expresan el riesgo de ocurrencia del evento

consignado en su numerador.

3. Debes tener cuidado al calcular las tasas para poblaciones pequeñas, por

ejemplo, en el Consultorio Médico de la Familia, porque suelen ser inestables.

4. Las tasas pueden dividirse en generales y específicas.

5. En el ámbito sanitario, las tasas más usadas son las de natalidad, mortalidad y

morbilidad.





Ejercicios

Un grupo de investigadores recogió algunos datos relacionados con la población

cubana del año 2008, con el objetivo de confeccionar indicadores que reflejaran la

situación del país.

Debido a un virus informático, se estropeó parte de la información almacenada. A

continuación te mostramos los datos que se pudieron recuperar. A partir de los

mismos, ¿podrías ayudarnos a completar las partes faltantes? Para ello, calcula e

interpreta los indicadores solicitados.

Información recogida por los investigadores

Nacidos vivos bajo peso: 10 145

Población total: 11 122 308

Nacidos vivos: 151 080

Defunciones totales: 77 558

Total de hombres: 5 571 882

Total de consultas médicas y estomatológicas: 100 819 793

Fallecidos de 15 a 49 años: 10 057

Total de mujeres: 5 550 426

Fallecidos menores de un año: 1 070

Fallecidos de la provincia Guantánamo: 2 722

Casos diagnosticados por enfermedad meningocócica: 44 Fallecidos mayores de 28 días y menores de 12 meses: 417

Población de Guantánamo: 508 864

Hombres fallecidos por tumores malignos: 9 126

Total de nacidos vivos en Sancti Spíritus: 5 642

Mujeres fallecidas: 34 692

Fallecidos menores de 7 días: 435

Población de 15 a 49 años: 6 117 424 Fallecidos mayores de 7 días y menores de 27 días: 218

Nacidos vivos de la provincia Guantánamo: 7 939





3.3 Medidas de resumen para variables cuantitativas.

3.3.1 Medidas de Posición Centrales (Tendencia Central)

Se calcula una medida de tendencia central cuando se necesita un valor único que

resuma una serie de datos; por ejemplo: si se presentara la información de

ingresantes a Universidad en el año 2012, se puede decir que la edad mediana de los

postulantes fue de 18 años.

1. La Media AritméticaEs la medida de tendencia central con la cual probablemente esté usted más

familiarizado es la media aritmética; se conoce también como media o promedio; se

representa como x y se conoce como "x barra"; la fórmula para calcularla es:

1.1. Para Datos Sin Agrupar

media x x

n

i

Se lee así: la media es igual a “la suma de las x’s dividido por n”.

Ejemp lo Datos Sin Agrupar

En un brote de hepatitis A, 6 personas iniciaron síntomas 24 a 31 días después de la

exposición. Calcule el promedio del período de incubación en éste brote; los períodos

de incubación para las personas afectadas (Xi) fueron:

29, 31, 24, 29,30 y 25

Pasó Uno Para calcular el numerador sume las observaciones individuales

x = 29+31+24+29+30+25= 168

Paso Dos para calcular el denominador cuente el número de las observaciones: n = 6

Paso Tres Para calcular la media divida el numerador sumatoria de las

observaciones) entre el denominador (número de las observaciones).

Entonces, el promedio del período de incubación del brote es 28 días

Aplicación de la función de Excel en la Media Aritmética Para Datos Sin Agrupar

Se ingresan los datos de los días de incubación desde la celda A1 hasta la A6 y se la

función PROMEDIO(A2:A6)

media x

29 31 24 29 30 25

6

168

6 28 días





8755540

2235

40

350535,5524163,5435162,564,5xmedia ,

1.2.Para Datos Agrupados

Intervalos

de clases

Marca de

clase

Frecuenci

a

Absolutasxi ni

(Li-1 Li ] xi ni

16 – 27 21,5 3 64,5

27 – 38 32,5 5 162,5

38 – 49 43,5 10 435

49 – 60 54,5 3 163,5

60 – 71 65,5 8 524

71 – 82 76,5 7 535,5

82 – 93 87,5 4 350

Total 40 2235

n

nxxmedia

ii

Marca de Clase

Frecuencia absoluta

Total de Observaciones





Interpretación: El puntaje promedio en el rendimiento de la línea de acción

educativa de Lenguaje de una muestra de 40 alumnos es 55,875.

1.3. Propiedades de la Media. Aritmética.

Sean: x e y : variable

k : constante

M [ ] : Operador Media Aritmética.

a) M [k] = k

b) M [x + k] = M[x] + k

c) M[kx] = kM[x]

d) M [x y] = M[x] M [y]

e) M[x - μ] = 0

f) f) M ((X –M)2) es mínimo si K = X

La media aritmética es un indicador de posición sensible a valores extremos.

2. La Mediana (Me)Otra medida de tendencia central es la mediana; como se verá es especialmente útil

cuando los datos están sesgados.

Mediana significa a la mitad y la mediana es el valor a la mitad de una serie de datos

que han sido colocados en orden. Específicamente, la mediana es el valor que divide

una serie de datos en dos mitades con una mitad de las observaciones mayores que

ésta y la otra mitad menores a la mediana.

Para Datos Sin Agrupar

Ejemplo Al tener los siguientes datos de presión arterial sistólicas: 110, 120, 122, 130,

180 Mm. de Hg.

En este ejemplo, hay dos observaciones mayores y dos menores que 122, luego

entonces, la mediana es 122 Mm. de Hg., el valor de la 3ª observación. Al obtener la

media (132) ésta sería mayor que 4 de los 5 valores.

Cómo Identificar la Mediana de Datos Individuales

Paso Uno Ordene los datos de menor a mayor o viceversa

Paso Dos Encuentre el rango medio con la siguiente fórmula

2

1n





Rango mediano =

a. Si el número de observaciones (n) es impar el rango medio cae en una

observación.

b. n es par el rango medio cae entre dos observaciones.

Paso Tres Identifique el valor de la mediana

a. Si el rango medio cae en una observación específica (n = impar) la mediana es

igual al valor de ésta observación.

b. Si el rango medio cae entre dos observaciones (n = par) la mediana es igual

al promedio (media aritmética) del valor de estas observaciones.

Ejemplo con Número Impar de Observaciones:

n = 5 13, 7, 9, 15, 11

1. Ordenar de mayor a menor: 7, 9, 11, 13, 15 o viceversa: 15, 13, 11, 9, 7.

2. Encontrar el rango mediano

Rango mediano =

Entonces, el rango medio cae en el valor de la 3ª observación.

3. Identificar el valor de la mediana que es igual al valor de la tercera observación

n = 11

Ejemplo con número par de Observaciones:

n = 6: 15, 7, 13, 9, 10, 11

1. Ordenar los datos 7, 9, 10, 11, 13, 15

2. Encontrar el rango medio

Rango mediano =

Entonces, el rango medio cae entre el valor de la 3ª y la 4ª observación.

3

2

15

2

1n

53

2

16

2

1n,





3. Identificar el valor de la mediana que es igual al promedio de la 3ª y 4ª

observación

Mediana =

En contraste con la media, la mediana no está influenciada por valores

extremos.

Aplicación de la función de Excel en la Mediana Para Datos Sin Agrupar

Se ingresan los datos desde la celda A1 hasta la A6 y se la función MEDIANA(A2:A6)

Para Datos Agrupados

Para calcular la mediana (Me) a partir de una tabla de frecuencias debe

determinarse las frecuencias absolutas acumuladas Ni, que permite conocer hasta

que el valor de la variable o intervalo se tienen acumulado el 50% de n;

Se Calcula con la Siguiente Fórmula:

Donde

5102

1011,

j

n

1 jN

2

n

jc

i jLMe





jN

2

n

1 jN

n j

n = número total de datos u observaciones

N j = es una Ni inmediata superior a

N j-1 = es una Ni inmediata inferior a

Lj-1 = extremo inferior del Intervalo Mediano

IMe = es el intervalo que corresponde a N j

n j = es el n j que le corresponde al Intervalo Mediano

C j = amplitud del intervalo mediano

Ejemplo

Calcular el puntaje de rendimiento mediano en la línea de acción educativa de

Lenguaje de una muestra de 40 alumnos de un determinado centro educativo

Paso Uno

Aquí n = 40 luego se compara con los N i se obtiene que 20,observando en la tabla este valor no coincide con algún N i, está entre 18 y 21,

es decir: 18 < 20 < 21

Intervalos de

clases

Frecuencia

Absolutas

Frecuencias

Absolutas

Acumuladas

(Li-1 Li ] ni Ni

I1 16 – 27 n1 = 3 N1 = 3

I2 27 – 38 n2 = 5 N2 = 8

I3 38 – 49 n3 = 10 N3 = 18

I4 49 – 60 n4 = 3 N4 = 21

I5 60 – 71 n5 = 8 N5 = 29

I6 71 – 82 n6 = 7 N6 = 36

I7 82 – 93 n7 = 4 N7 = 40Total 40

Reemplazar los valores obtenidos en la fórmula de Me:

202

40

2

n

2

n

IMe=

N j-1

N j

L j-1

3356Me

33563

182

40

1149Me

,

,





Interpretación, significa que 20 alumnos tienen calificación iguales o inferiores a

56,33 puntos, y los 20 alumnos restantes (el otro 50%) tienen una calificación superior

a 56,33 puntos

3. Moda (Mo) (Valor Modal o Promedio Típico)

La moda es el valor que ocurre más frecuentemente en una serie de datos

1.3.1. Para Datos Sin Agrupar

Ejemplo:

a) El conjunto: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 6 tiene la Mo = 1

b) El conjunto: 4, 8, 12, 15, 26, 35 no tiene moda

c) El conjunto: 1, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 9, 9, 9, 11 tiene dos modas, 5 y 9 es una distribución

“Bimodas”.

Aplicación de la función de Excel en la Moda Para Datos Sin Agrupar

Se ingresan los datos desde la celda A2 hasta la A12 y se la función

MODA.VARIOS(A2:A12)

1.3.2. Para Datos Agrupados

Cuando los datos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias, el

modo es el punto medio o marca de clase que contiene la mayor frecuencia.





21

1i1 j

dd

dCLMo

Se Calcula con la Siguiente Formula

Donde

Lj-1 = Límite inferior del Intervalo Modal

C j = Amplitud del intervalo Modal

d1 = n j – n j –1

d2 = n j – n j+1

Ejemplo

Calcular el puntaje de rendimiento más frecuente en la línea de acción

educativa de Lenguaje de una muestra de 40 alumnos de un determinado

centro educativo

Intervalos de ClasesFrecuencia

Absolutas

(Li-1 Li ] ni

I1 16 – 27 n1 = 3

I2 27 – 38 n2 = 5

I3 38 – 49 n3 = 10

I4 49 – 60 n4 = 3

I5 60 – 71 n5 = 8

I6 71 – 82 n6 = 7

I7 82 – 93 n7 = 4

Total 40

Reemplazando los valores obtenidos en la formula:

Interpretación La Moda indica que la calificación más frecuente en los 40

alumnos es 42,5833 puntos, o también la mayoría de los alumnos tienen una

calificación aproximados a los 42,5833 puntos.

IMo=

L j-1

n j-1

n j+1

n j

5833,42310510

5101138Mo

5833,42310510

5101138Mo





Características de las Medidas de Posición Centrales

Media Aritmética

1. Es una medida totalmente numérica o sea sólo puede calcularse en datos de

características cuantitativas.2. En su cálculo se toman en cuenta todos los valores de la variable.

3. Es lógica desde el punto de vista algebraico.

4. La media aritmética es altamente afectada por valores extremos.

5. No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases

abiertas.

6. La media aritmética es única, o sea, un conjunto de datos numéricos tiene una

y solo una media aritmética.

Mediana

1. En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.

2. La Mediana no es afectada por valores extremos.

3. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas.

4. No es lógica desde el punto de vista algebraico.

Moda

1. En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable.

2. El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el método de

designación de los intervalos de clases.

3. No está definida algebraicamente.

4. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia que tengan clases abiertas.

5. No es afectada por valores extremos.





EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una empresa grande de equipos deportivos está probando el efecto de dos planes

publicitarios sobre las ventas de los últimos 4 meses. Dadas las ventas que se ven

aquí, ¿cuál programa de publicidad parece producir el crecimiento promedio más

alto en ventas mensuales?

Mes Plan 1 Plan 2

Enero 1657,0 4735,0

Febrero 2008,0 5012,0

Marzo 2267,0 5479,0

Abril 3432,0 5589,0

2. Los estadísticos del programa de Meals on Wheels (comida sobre ruedas), el cual

lleva comidas calientes a enfermos confinados en casa, desean evaluar sus

servicios. El número de comidas diarias que suministran aparece en la siguiente

tabla de frecuencia. Calcular la media, mediana y la moda e intérprete.

Número de comidas por día Número de días

0 - 5 3

5 - 10 6

10 - 15 5

15 - 20 8

20 - 25 2

25 - 30 3

3. Bill Karl compró 20 acciones a $ 15 cada una, 50 acciones a $20 cada una,100

acciones a $30 cada una y 75 acciones a $35 cada una. ¿Cuál es el precio

promedio por acción?.

4. Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 20.

Determine la media de los datos.





si

L L i X

ni Ni iin X

880

1950

35 1800

13200)

4 70

5. En el curso de Estadística I; se tiene las notas de los alumnos distribuidas según el

siguiente histograma de frecuencias, entonces la nota promedio del curso es:

6. En una encuesta sobre los ingresos anuales en miles de soles de un grupo de

familias se obtuvo la siguiente información:

si

L L in

10 – 30 20

30 – 50

50 – 70

70 - 90 20

Además, 54 x y 5/1/ 32 nn , calcular el número de familias con ingreso no

menos de 50 mil soles.

7. Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular el valor de “n” sabiendo que

la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo.

si L L

in

16 – 32 6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

4 6 8 10 12 14

N ú m e r o d e A l u m n o s

Notas





32 – 48 n

48 – 64 8

64 – 80 3n

80 - 96 3

8. Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular el valor de “n” sabiendo que

la mediana vale 6.61 y que pertenece al quinto intervalo.

si

L L in

20 – 30 3

30 – 40 1

40 – 50 2

50 – 60 6

60 – 70 n

9. El salario promedio mensual pagado a los trabajadores de una compañía es de 200

dólares. Los salarios promedios mensuales pagados a hombres y mujeres de la

compañía son 210 y 150 respectivamente. Determinar el porcentaje de hombres y

mujeres que trabajan en la compañía.

10. Las ganancias diarias de los establecimientos de un centro comercial se presentan

en una tabla de frecuencias con 6 intervalos de clase y se sabe que: la mínima

ganancia es de $6, el rango es 36, el promedio de ganancias diarias es $25.14, el

50% de los establecimientos ganan más de 25.58 dólares diarios, H2=0.15,

N2=120, h3=0.25, H5=0.93, n4=304, n2=2n1. Reconstruir la distribución de todas las

frecuencias y hallar la ganancia más frecuente y la ganancia promedio.

11. Una compañía minera tiene 100 trabajadores. Para los nombrados el haber

máximo es 450 dólares y el mínimo 60 dólares. Hay un 5% de eventuales (en

prueba) que trabajan ad-honorem o perciben compensaciones inferiores a $60.

Quince trabajadores nombrados perciben haberes inferiores a $250 y el 85% ganan

haberes inferiores a $400. Con esta información, calcule las medidas de tendencia

central posibles.





12. La siguiente distribución muestra la producción diaria de un pozo de petróleo (en

barriles) durante n días. Halle la medida de tendencia central más adecuada y

explique por qué su uso.

Producción Porcentaje

Menos de 206 20 %

206 – 214 25%

214 – 222 18%

222 – 230 15%

230 – 238 13%

Más de 238 9%

13. Un grupo de 200 estudiantes con estatura inedia de 60.96 pulg. se divide en dos

grupos, un grupo con una estatura media de 63.4 pulg. y el otro con 57.3 pulg. ¿

Cuántos estudiantes hay en cada grupo?.

14. En una clase hay 35 estudiantes varones con una edad media de 17. 5 años y 15

estudiantes mujeres las que en promedio son 12% más Jóvenes. ¿Cuál es la edad

media de la clase?.

15. Las temperaturas registradas en una ciudad, en grados Fahrenheit (°F), fueron: 51,60, 58, 62, 57, 49, 52, 62, 61 y 63. Determinar la Media en grados centígrados (°C)

sabiendo que: C=(5/9)(F-32).

16. De una muestra de tamaño tres se sabe: la suma de los cubos de las tres

observaciones es 1971, la media aritmética es 7 y la mediana es 6. Calcular el

valor de cada una de las observaciones.

17. Cien estudiantes divididos en cuatro grupos A, B, C y D dan un examen y obtienen

un promedio general de 72 (calificación centesimal). Los puntajes medios de los

grupos A, B, C son 75, 62 , 80, respectivamente. Los registros del grupo D se

extraviaron; pero se sabe que en el grupo A están el 40% del total de alumnos, en

el grupo B un cuarto del total, en el grupo C habían 15 alumnos más que en el

grupo D. Determinar el promedio del grupo D.





18. En una empresa el sueldo promedio por trabajador es de 360 dólares mensuales,

los trabajadores manuales constituyen el 40% del total y reciben el ¼ del monto

dela planilla, ¿cuánto recibe en promedio cada trabajador manual?.

19. Los costos de fabricación, en soles, de diez objetos son los siguientes: 9.35, 9.46,

9.20, 9.80, 9.77, 9.00, 9.99, 9.36, 9.50, 9.60, si el precio de venta de cada objeto es

3 veces su costo de fabricación menos 5 soles, calcular la utilidad media por objeto.

20. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la

mediana es 23 y la moda es 22. Encuentre las edades de las cuatro personas.

21. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente, se

escogen 15 familias de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros

cúbicos; 11.2, 21.5, 16.4, 19.7, 14.6, 16.9, 32.2, 18.2, 13.1. 23.8, 18.3, 15.5, 18.8,

22.7, 14.0. Si en la ciudad hay 5,000 familias, ¿cuántos metros cúbicos de agua se

requieren mensualmente si el consumo promedio por familia permanece igual?.

22. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es S/400. Se proponen dos

alternativas de aumento: a) S/. 75 a cada uno, b) 15% de su sueldo más 10 soles a

cada uno. Si la empresa dispone a lo más de S/. 94,000 para pagar sueldos, ¿cuálalternativa es más conveniente?.

23. Al calcular la media de 125 datos, resultó 42. Un chequeo posterior mostró que en

lugar del valor 12.4 se introdujo 124. Corregir la media.

24. De una central telefónica salieron 70 llamadas de menos de 3 minutos

promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de3 minutos, promediando 6.4 minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos

promediando 15 minutos. Calcular la duración promedio de todas las llamadas.

25. Cuatro fábricas A, B, C y D, producen un mismo objeto. La fábrica B produce el

doble de C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos que la B. Los costos de

producción (en dólares) por unidad de estas fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3,

0,2, y 0.5. Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el 20% por unidad.

26. El sueldo medio de los obreros de una fábrica es de $286.





a) ¿Que porcentajes de hombres y mujeres trabajan en la fábrica si sus sueldos

medios respectivos son $300 y $260?.

b) Si el 60% de los obreros tienen menos de 30 años y percibe el 20% del total de

los sueldos, ¿cuánto es el sueldo medio de los obreros de al menos 30 años?

27. En una empresa donde el sueldo medio es de $400 se incrementa un personal

igual al 25% del ya existente con un sueldo medio igual al 60% de los antiguos. Si 3

meses más tarde se incrementan cada sueldo en 20%, más 30$, ¿cuánto es el

nuevo salario medio?.

28. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las siguientes notas: 07,

08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del número de alumnosrespectivas: 1, 1, 1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2. ¿Cuánto es la media, la mediana y la

moda de las notas?, ¿qué valor escogería como el promedio?.

29. Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica

en 5 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20%, y 30% de casos en el primer,

segundo y tercer intervalo respectivamente. Calcule los diferentes indicadores de

tendencia central.





4. Media Geométrica: G X , G La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio porcentual

promedio en una serie de números.

Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento porcentual

promedio de series de datos, a través del tiempo.

Es una medida de tendencia central por lo general menor que la media aritmética

salvo en el extraño caso en que todos los incrementos porcentuales sean iguales,

entonces las dos medias serán iguales.

Se le define como la raíz enésima del producto de “n” valores. Cuando los datos

son bastantes o cantidades grandes, para facilitar el cálculo se lo debe simplificar

pero sin alterar su naturaleza, para lo cual se puede utilizar los logaritmos de base

10.

CÁLCULO DE LA MEDIA GEOMÉTRICA:

a) Datos Originales:

nn

i

nnG Xi x x x X

1

1

21 ,...,

b) Datos agrupados

n

l

ni

m

i

n n

m

nnG Xi x x x X m

....,1

2121

Aplicando logaritmos tenemos:

Xi Xinin

X

m

i

G loglog11

Entonces:

xG X

log10

La media geométrica se utiliza los datos tienen crecimiento geométrico: población, montos de

capital, producción

1.3.3. Propiedad:G X < X





Ejemplo

La media geométrica es útil en el cálculo de tasas de crecimiento; por ejemplo, si el

crecimiento de las ventas en un pequeño negocio son 3%, 4%,8%,9% y 10%, hallar la media

de crecimiento.

Respuesta: 6.128%

Utilizando logaritmo

Empleando Excel se calcula insertando la función MEDIA.GEOM.





Calcular la tasa de crecimiento promedio a la que ha variado las ventas de cierto producto

con base a la siguiente tabla:

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Ventas 500 550 600 700 800 850

Solución:

Es necesario calcular el porcentaje que las ventas de cada mes representan respecto de los

obtenidos el mes anterior.

Mes VentasPorcentaje del

mes anterior

Enero 500

Febrero 550 550/500=1,100

Marzo 600 600/550=1,091

Abril 700 700/600=1,167

Mayo 800 800/700=1,143

Junio 850 850/800=1,063

Calculando la media geométrica se obtiene:

Restando 1 para convertirlo a un incremento mensual promedio da 1,112-1 =0,112, o un

incremento promedio de 11,2% para el período de 6 meses.

Comprobación:

Mes Ventas Ventas calculadas con G

Enero 500Febrero 550 500 x 1.112 = 556,000

Marzo 600 556 x 1.112 = 618,272

Abril 700 618,272 x 1.112 = 687.518

Mayo 800 687,518 x 1,112 = 764.52

Junio 850 764.52 x 1.112 = 850.146

Se puede observar que el valor de 850.146 calculado con la media geométrica es

semejante al valor de venta real de 850, por lo tanto el valor calculado para la media

geométrica está correcto.





Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias

Se emplea la siguiente ecuación:

∑

Donde:

ni = frecuencia absoluta de cada dato xi

Ejemplo

Calcular la media geométrica para las siguientes calificaciones de Estadística:

xiin

4 5

6 8

8 9

9 10

10 8

Solución: Se llena la siguiente tabla, realizando los cálculos respectivos:

xi ni log xi log x

i ni

4 5 0.602 3.010

6 8 0.778 6.225

8 9 0.903 8.128

9 10 0.954 9.542

10 8 1.000 8.000

Total 40 34.906

Se aplica la siguiente ecuación para obtener la respuesta.





5. Media Armónica: H X , H La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética de los

recíprocos

PROPIEDADES

Es un promedio que se utiliza para el cálculo del costo promedio y todo tipo de variables

expresadas en tasas o porcentajes. como por ejemplo: velocidad/distancia,

productividad/tiempo, etc

La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de

valores nulos.

Cuando la unidad constante o unidad de evaluación es igual a la unidad del numerador

de una razón, se usa el promedio armónico, y si es igual a la unidad del denominador se usa el

promedio aritmético.

CÁLCULO DE LA MEDIA ARMÓNICA:

a) Datos Originales:

n

i

H

Xi

n X

1

1

Ejemplo:

La velocidad de producción de azúcar de tres máquinas procesadoras son 0,5, 0,3 y 0,4

minutos por kilogramo. Hallar el tiempo promedio de producción después de una jornada de

4800 minutos del proceso

Solución:Como en la razón minutos/kilogramos (min/kg) cada máquina trabaja 4800 min, la razón

contante es el tiempo de trabajo (4800 min), es decir la contante es la unidad del numerador,

por lo tanto se debe emplear el promedio armónico





Empleando Excel se calcula insertando la función MEDIA.ARMO

b) Datos Agrupados:

Se emplea cualquiera de las siguientes ecuacion

n

i

H

Xi

ni

n X

1

Propiedad:

H X < G X < X

Ejemplo:

En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en horas que se demoran en

realizar la misma obra determinados obreros. Calcular el tiempo promedio que se demora en

realizar la obra un obrero tipo (un obrero promedio).

Tiempo Obreros

4 4

5 5

6 7

7 2

9 2





Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación

n

i

H

Xi

ni

n X

1

Ejemplo:

En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran

para resolver una prueba de Estadística determinados estudiantes. Calcular el tiempo

promedio que se demora en resolver la prueba un estudiante tipo.

Tiempo Estudiantes

[40-50) 4

[50-60) 8

[60-70) 10

[70-80) 7

[80-90] 11

Solución: Realizando los cálculos respectivos se obtiene:

ni xi ni/xi

[40-50) 4 45 0,089

[50-60) 8 55 0,145

[60-70) 10 65 0,154

[70-80) 7 75 0,093

[80-90] 11 85 0,129

Total 40 0,611

Aplicado la ecuación se obtiene:





IV. CAPITULO Estadígrafos de Tendencia No central

4.1.Estadígrafos de Tendencia No central

La medida de posición no central son valores cuyas posiciones en las series ordenadas

de los datos permiten dividir a estos en grupos, cada grupo contiene igual número

(porcentaje). A estas medidas se conocen con el nombre genérico de cuant i les . Los

cuantiles más importantes son los cuartiles

A. Los Cuartiles

Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los cuartiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Donde

n = Número total de datos

K = Número del cuartil

Ejemplo

Encuentre los cuartiles dada la siguiente distribución, y represéntelos gráficamente

mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor

6 9 9 12 12 12 15 17

Aplicando la ecuación para el cuartil uno se obtiene:

[ ]

Como la posición del cuartil 1 es 2.5, su valor es el promedio de los datos segundo y

tercero

O también la posición 2.5 dice que el cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto

comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q1=

9+0.5 (9-9) = 9

Interpretación: Este resultado indica que el 25% de los datos es inferior a 9





En Excel se calcula insertando la función CUARTIL.INC

Aplicando la ecuación para el cuartil dos se obtiene:

[ ]

O también la posición 4.5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayectocomprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es

decir,

Q2= 12+0,5(12-12) = 12

Interpretación: Este resultado indica que el 50% de los datos es inferior a 12

Aplicando la ecuación para el cuartil tres se obtiene:

[ ]

O también la posición 6,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto

comprendido entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato que 15, es decir,

Q3= 12+0,5(15-12)

Q3= 12+0.5 (3)=12+1,5=13,5

Interpretación: Este resultado indica que el 75% de los datos es inferior a 13,5





B. Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es necesario saber:

Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que ayuda a visualizar

una distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), y bigotes el

recorrido (distancia desde valor mínimo hasta el valor máximo).

Para elaborar un diagrama de caja se procede de la siguiente manera:

a) Se marca los valores de la serie de datos sobre el eje horizontal o vertical.

b) Se ubica sobre el eje el valor mínimo, primer cuartil, mediana o segundo cuartil,

tercer cuartil y el valor máximo.

c) Se construye un rectángulo (caja) paralelo al eje, de longitud desde Q1 a Q3 y

anchura arbitraria.

De acuerdo al ejemplo ilustrativo se tiene:

Valor mínimo = 6

Q1 = 9

Q2 = 12

Q3 = 13,5

Valor máximo = 17





n j

j

1J

j1i jn

N4

jn

CLQ

Datos agrupados

Los cuartiles son estadígrafos de posición que dividen al total de las observaciones,

debidamente ordenados o tabulados, en cuatro partes de igual tamaño.

Para calcular los cuartiles se utiliza la siguiente formula

DondeL j-1 = Límite inferior del Intervalo del CuartilC j = Amplitud del intervalo Cuartill j = El número de Cuartil j = 1, 2 y 3n = Número total de observaciones o datos.N j = Es un inmediato superior a

4

jn

N j-1 = Es una Ni inmediata inferior a 4 jn

n j = Es el n j que le corresponde al Intervalo

a) Primer Cuartil (Q1)



Paso Uno

Aquí n = 40 y j =1 luego se compara con los N i se obtiene que 10,observando

En la tabla este valor no coincide con algún Ni, está entre 8 y 10, es decir: 8 < 10 <

18

Intervalos declases



Acumuladas

(Li-1 Li ] ni Ni

I1 16 – 27 n1 = 3 N1 = 3

I2 27 – 38 n2 = 5 N2 = 8

I3 38 – 49 n3 = 10 N3 = 18

I4 49 – 60 n4 = 3 N4 = 21

I5 60 – 71 n5 = 8 N5 = 29

I6 71 – 82 n6 = 7 N6 = 36

I7 82 – 93 n7 = 4 N7 = 40

Total 40

10

4

40x1 jn

4

IQ1=

N j-1

N j

L j-1





24010

8101138Q1 ,

n j

Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula:

Interpretación Que el 25% del total de alumnos, es decir 10 de ellos tienen una puntuación

inferior o igual a 40,2 puntos, y los 30 restantes, o sea el 75% de trabajadores, tienen un

puntaje superior a 40,2 puntos.

b) Segundo Cuartil (Q2)



Paso Uno

Aquí n = 40 y j =2 luego se compara con los N i se obtiene que 20,observando

En la tabla este valor no coincide con algún Ni, está entre 18 y 21, es decir:

18 < 20 < 21

Intervalos declases



Acumuladas

(Li-1 Li ] ni Ni

I1 16 – 27 n1 = 3 N1 = 3

I2 27 – 38 n2 = 5 N2 = 8

I3 38 – 49 n3 = 10 N3 = 18

I4 49 – 60 n4 = 3 N4 = 21

I5 60 – 71 n5 = 8N5 = 29

I6 71 – 82 n6 = 7 N6 = 36

I7 82 – 93 n7 = 4 N7 = 40

Total 40


20440x2 jn

4

IQ2=

N j-1

N j

L j-1

33563

1840x2

11492

Q 4 ,





n j


inferior o igual a 56,33 puntos, y los 20 restantes, o sea el 50% de trabajadores, tienen un

puntaje superior a 56,33 puntos.

c) Tercer Cuartil (Q3)Calcular el puntaje de rendimiento mediano en la línea de acción educativa de


Paso Uno

Aquí n = 40 y j =3 luego se compara con los Ni se obtiene que

30, observando en la tabla este valor no coincide con algún N i, está entre 29 y 36, es

decir:

29 < 30 < 36

Intervalos declases



Acumuladas

(Li-1 Li ] ni Ni

I1 16 – 27 n1 = 3 N1 = 3

I2 27 – 38 n2 = 5 N2 = 8

I3 38 – 49 n3 = 10 N3 = 18

I4 49 – 60 n4 = 3 N4 = 21

I5 60 – 71 n5 = 8 N5 = 29

I6 71 – 82 n6 = 7 N6 = 36

I7 82 – 93 n7 = 4 N7 = 40

Total 40



inferior o igual a 39,57 puntos, y los 10 restantes, o sea el 25% de trabajadores, tienen unpuntaje superior a 39,57 puntos.

30

4

40x3 jn

4

IQ3=

N j-1

N j

L j-1

57397

2940x3

11713

Q 4

,





C. Deciles

Definición

Son cada uno de los 9 valores D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 que dividen a la

atribución de los datos 10 partes iguales.

El primer decil es igual al décimo percentil (D 1=P1), el segundo decil es igual a

veinteavo percentil (D2=P20), y así sucesivamente.

Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los deciles se encuentra aplicando la siguiente ecuación

Donden = Número total de datos

K = Número del cuartil

Ejemplo

Ejemplo:

Calcular el quinto decil de la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los deciles se ordena los datos de menor a mayor.

6 9 9 12 12 12 15 17

Aplicando la ecuación para el quinto decil se obtiene:

[

]

O también la posición 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto

comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es

decir,

D5= 12+0,5(12-12) = 12

En Excel se calcula de la siguiente manera:





j

J

ji jn

N jn

C L D1

110

Como D5 es igual a P50 se introduce la función PERCENTIL.INC

Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los deciles para datos sin

agrupar.

Para Datos Agrupados en Intervalos


Donde

L j-1 = Límite inferior del Intervalo de clase del decilC j = Amplitud del intervalo Decil j = El número de Decil j = 1, 2, 3,…,9 n = Número total de observaciones o datos.N j = Es un inmediato superior a

10

jn

N j-1 = Es una Ni inmediata inferior a10

jn






D. Percentiles o Centiles

Son cada uno de los 99 valores P1, P2, P3,……..P99 que dividen atribución de los

datos en 100 partes iguales.

Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los percentiles se encuentra aplicando la siguiente

ecuación:

Donde:

n = número total de datos

k = número del percentil

Ejemplo:Calcular los percentiles de orden 20 y 33 del peso de diez personas que pesan (en

kg) 80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y 72

Solución:

Se ordena los datos de menor a mayor se tiene:

65 65 67 68 70 72 72 73 78 80

1) Cálculo del percentil de orden 20 se obtiene:

[ ]

En Excel se obtiene un valor aproximado insertando la función PERCENTIL.INC





j

J

ji jn

N jn

C L P 1

1

100

Cálculo del percentil de orden 33 se obtiene:

[ ]

Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los percentiles para datos sin

agrupar.

c) Para Datos Agrupados en Intervalos


Donde

L j-1 = Límite inferior del Intervalo de clase del Percentil

C j = Amplitud del intervalo Percentil

j = El número de Percentil j = 1, 2, 3,…,99

n = Número total de observaciones o datos.

N j = Es un inmediato superior a100

jn

N j-1 = Es una Ni inmediata inferior a100

jn






EJERCICIOS

1. Las edades de 50 de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la

nación reportadas aparecen en la siguiente tabla de frecuencias. Calcule e

interprete la media, la mediana y la moda. Además, calcule e interprete: Q1, Q2, D10,

D60, P15, P90.

Edades Frecuencias

50 y menos de 55 8

55 y menos de 60 13

60 y menos de 65 15

65 y menos de 70 10

70 y menos de 75 3

75 y menos de 80 1

2. La siguiente información corresponde al consumo mensual en combustible

destinado a calefacción, expresado en miles de $, en una muestra aleatoria de

hogares de un barrio de Santiago, durante los meses de invierno:

Consumo($miles) Nº de casos

4 – 6 176 – 8 26

8 – 10 14

10 – 12 9

12 –14 11

a. ¿Qué consumo deja bajo sí al 25% de los consumos más bajos?

b. ¿Qué consumo deja sobre sí al 15% de los consumos más altos?3. La siguiente distribución corresponde a la recaudación de impuestos de 40

contribuyentes. (Recaudación de impuestos en miles de pesos).

[L i −1 − L

i ] xi ni a) ¿Cuál es la recaudación correspondiente a

cuartil 1? Interprétela.

b) ¿Cuál es la recaudación correspondiente al

Percentil 65? Interprétela.

c) ¿Bajo qué recaudación están el 20% de lasrecaudaciones menores?

50- 70 60 2

70- 90 80 15

90 - 110 100 8

110 - 130 120 12130 150 140 3





2

QQQ 13

V. CAPITULO Medidas de Dispersión

5.1. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión permiten calcularla representatividad de una medida de

posición, para lo cual será preciso cuantificar la distancia de los diferentes valores de

la distribución respecto a dicha medida. A tal distancia es a lo que, en términos

estadísticos, denominaremos variabilidad o dispersión de la distribución. Las medidas

de dispersión tienen como finalidad estudiar hasta qué punto, para una determinada

distribución de frecuencias, las medidas de tendencia central o de posición son

representativas como síntesis de toda la información de la distribución. Medir la

representatividad de una medida de posición equivale a cuantificar la separación de

los valores de la distribución respecto a dicha medida. Entre los estadígrafos de

Dispersión de mayor uso se tiene:

A. Recorrido o rango (R)

El recorrido do un conjunto de observaciones es simplemente la diferencia entre el

mayor y menor valor de la variable.

En datos no agrupados:

R = Xmax – Xmin

B. Recorrido Semi Cuartil (Q)

La desviación cuartil de un conjunto de datos está definido por

Donde Q1 y Q3 son el primer y tercer cuartil de los datos. A veces se usa el

"Recorrido Intercuartil Q3 – Q1". El recorrido semi-intercuartil o desviación cuartil,da una idea de la dispersión del 50% de los datos centrales.

C. Varianza (s2)

Es el estadígrafo de dispersión más importante. y expresa el grado de dispersión

de las observaciones respecto a la media aritmética. Se denota por s 2; V(X); V(Y);

2; etc.

La varianza se define como:

"La varianza es la media o promedio del cuadrado de las desviaciones de la

variable respecto a su media".





1n

nxxs

i

2

i2

1n

n

nxnx

s

2

ii

i

2

i2

1769157140 40

1030432652

s

2

2

,

,

La expresión de la definición, también se escribe:

Propiedades de la varianza:

Sean:

X : variables

k : constante

V( ): Operador varianza

a) V (X) 0

b) V (k) = 0c) V (x + k) = V(x)

d) V (kx) = K2 V(X)

Si tenemos una muestra tamaño n la dividimos en r sub muestras determinando en

cada una de ellas sus respectivas medias, entonces la media total se determina por la

formula siguiente:

n

ni X X

n

niS

X

n

i

t

r

i

T

1

1

1

2)(

Intravarianza + Intervarianza

[Li-1 – Li) Xi ni xi ni i

2

i nx

0,2 – 7,2 3,7 3 11,1 41,07

7,2 – 14,2 10,7 5 53,5 572,45

14,2 – 21,2 17,7 8 141,6 2506,32

21,2 – 28,2 24,7 5 123,5 3050,4528,2 – 35,2 31,7 10 317 10048,9

35,2 – 42,2 38,7 4 154,8 5990,76

42,2 – 49,2 45,7 5 228,5 10442,45

Total 40 1030 32652,4





sXV

100x

SCV

%,

,

,6874644648

7525

10053712CV

D. Desviación Estándar o Típica (s)

La desviación estándar o típica, se define como la raíz cuadrada de la varianza

5370221121769157 ,,

Es uno de los estadígrafos de dispersión de mayor uso, en si cual las unidades de

la variable ya no están elevadas al cuadrado. La desviación estándar, al igual que

la varianza, es no negativa (s ≥ 0), puesto que es la raíz cuadrada positiva de la

varianza. A mayor dispersión le corresponderá una mayor desviación estándar.

NOTA: En general, los estadígrafos de dispersión se usa para comparar dos o más

distribuciones o poblaciones. A mayor dispersión o heterogeneidad entre losvalores o elementos de una población, le corresponde un valor mayor para

el estadígrafo de dispersión.

E. Coeficiente de Variación (CV)

Está definido por la expresión:

El valor se expresa en términos porcentuales. Una regla empírica, cuando el CV

< 33% los datos no presentan dispersión en los datos recolectados ó los datos

son más homogéneos

Datos presentan dispersión

0%<CV<5%, Altamente representativa.

5%<CV<10%, Representativa de su serie.

10%<CV<15%, moderadamente representativa

15%<CV<30%, Bajo grado de representatividad.

CV>30%, No tiene ningún grado de representatividad





MoMe

X

MoMe

X

VI. CAPITULO Estadígrafos de Deformación

Asimetría.-Es el grado de deformación de la curva representativa de una distribución de frecuencias

con respecto a la vertical que pasa por la abscisa de la media aritmética; se mide a

través del Coeficiente de Asimetría.

A. Relación Entre La Media, Mediana y Moda

La distribución de frecuencias de un conjunto de datos puede ser simétrica o

asimétrica.

B. Distribución Simétrica

Una distribución es simétrica cuando su grafica semeja una de las tres curvas:

Curva hipotéticaNormal

Curva hipotética enU

Curva hipotéticaRectangular

Curva Unimodal

Curva Bimodal

Curva sin moda Me = X = Mo X = Me X = Me

Distribución Positivamente Asimétrica

Es una distribución donde los valores extremos son observaciones mayores. La

grafica es semejante a la siguiente curva hipotética.

Distribución Negativa Asimétrica Es una distribución donde los valores extremos son observaciones menores. Lagrafica presenta una prolongación hacia la izquierda, como la siguiente curvahipotética.

Curva Positivamente Asimétrica (o Curva

con Sesgo Positivo).

Curva Unimodal

Mo < Me < X

Curva Negativa Asimétrica (o Curva con

Sesgo Negativo).

Curva Unimodal

Mo > Me > X

Me = X = Mo X = Me X = MeMo Mo





Mo = 3 Me – 2 X

Relación Emperica Entre Media, Mediana y Moda

Cuando la distribución es casi simétrica, se puede utilizar la fórmula de la moda

empírica dad por: Moda = 3(Mediana) – 2(Media)

C. Importancia de la Asimetría.-

El conocimiento de la asimetría es importante por el hecho de que la teoría estadística

se basa a menudo en el supuesto de una distribución normal. Por lo tanto una medida

de asimetría de una distribución es necesario para preservarnos de las consecuencias

de esta suposición (La condición necesaria de una distribución normal es que sea

simétrica).

D. Coeficiente de Asimetría.

Consideramos varias fórmulas para el cálculo de la medida de asimetría:

Coeficiente de Asimetría en base a Momentos.

sn

n ) x- x( = A 3

i

3

im1

S

Primero y segundo coeficiente de asimetría de PEARSON

A.S

MoXAS1

; Denominado primer coeficiente de Parson.

B.S

)MeX(3AS2

; Denominado segundo coeficiente de Pearson.

Coeficiente de Asimetría cuartílico o de ARTHUR BOWLEY

13

123

QQ

QQ2QAS

Decisión:

As=0, entonces la distribución es simétrica.

As<0, entonces la distribución es asimétrica (-)

As>0, entonces la distribución es asimétrica (+)

E. Kurtosis o Apuntamiento.-

Es la mayor o menor altura de la curva representativa de una distribución de

frecuencias en el punto o abscisa correspondiente a la media aritmética.





j

1J

j1ir n

N100

rn

CLP

KURTOSIS EN FUNCIÓN DE MOMENTOS:

media : x ; M

M =

sn

n ) x- x( = K

22

4

4

i

4

im1

Decisión:

K=3, Entonces la distribución posee una curva mesocúrtica (Normal).

K<3, Entonces la distribución posee una curva platicúrtica.

K>3, Entonces la distribución posee una curva leptocúrtica.

KURTOSIS EN FUNCIÓN DE CUARTILES Y PERCENTILES.

1090

13

2 P P

QQ K

Donde:

Los percentil P90 y P10 se calcula con lasiguiente fórmula:

Decisión:

K=0.263, la distribución es mesocúrtica.

K<0.263, la distribución es platicúrtica.

K>0.263, la distribución es leptocúrtica.

L j-1=Limite inferior del Intervalo del Percentil

C j =Amplitud del intervalo Percentilico

r = El número de Percentill r = 1,2,3,…,99

n = Número total de observaciones o datos.

N = Es un inmediato su erior a100

jn

100

jn

D. Leptocúrtica

D. Mesocúrtica (Normal )

D. Platicúrtica





Ejemplo. Calcular el grado de asimetría y kurtosis de la distribución del nivel de glucosa de los60 varones adultos evaluados. Los cálculos son organizados en la tabla, de modoque reemplazando datos en fórmula se tiene:

Distribución del Nivel de Glucosa de 60 varones adultos

(Li-1 Li] xi n Xini X2ni i

3

i n)XX( i

4

i n)XX(

35 45 40 5 200 8000 -158773.1481 5027816.358

45 55 50 7 350 17500 -71199.0741 1542646.605

55 65 60 11 660 39600 -17467.5926 203788.5802

65 75 70 14 980 68600 -64.8148 108.0246914

75 85 80 8 640 51200 4629.6296 38580.24691

85 95 90 7 630 56700 43134.2593 790794.7531

95 105 100 4 400 40000 90981.4815 2577808.642

105 115 110 4 440 48400 225314.8148 8637067.901

Total 60 4300 330000 116555.556 18818611.111

Coeficiente Asimetría =3

8

1

3)(

n

n xii

=3)076.19(*60

56.116555 = 0.2799,

Coeficiente Kurtosis =4

8

1

4

*

)(

n

n xii

=4)076.19(*60

1111.18818611 = 2.3686

Por tanto se puede afirmar que la distribución empírica es: Aprox. Simétrica, puesto que AS = 0.28 0

Platicúrtica, puesto que K = 2.37 < 3.Entonces se puede concluir que dicha distribución difiere ligeramente de la normal.2.4. Aplicaciones de las medidas en datos univariados

Ejemplo 1. Los siguientes datos constituyen las vidas útiles en horas. de una muestraaleatoria de 60 bombillas de luz de 100 watts.

807 811 620 660 817 732 747 823 844 907660 753 1050 918 857 867 675 880 878 890881 872 869 841 847 833 829 827 822 811766 787 923 792 803 933 947 717 817 7531056 1076 958 970 776 828 831 781 1088 1082

832 863 852 788 980 889 1030 897 755 891a) Clasifique convenientemente con Anchos de Clase iguales y trace el Polígono de

Frecuencias Absolutas.b) Una vez clasificadas; determine el porcentaje de bombillas cuyas vidas útiles oscilan

entre 700 y 1000 horas.c) Encuentre los límites que sub-clasifiquen las bombillas en tres categorías con referencia

a su duración. El 15 % más durables en la categoría A El 15 % menos .durables en la categoría C. El resto en la categoría B

SoluciónCálculos previos para elaborar la tabla Recorrido (R) =1088 – 620 = 468





Elegimos el número de Intervalos (m) = Tomamos m = 6 intervalos

Determinar la amplitud de los intervalos (C)

a) Clasifique convenientemente con Anchos de Clase iguales

CUADRO Nº 01DISTRIBUCIÓN DE DATOS CONSTITUYEN LAS VIDAS ÚTILES EN HORAS. DE UNA

MUESTRA ALEATORIA DE 60 BOMBILLAS DE LUZ DE 100 WATTS.

Vida útil en horas

[Li-1 – Li>

Marcade

clase

Númerode

Bombillas

Frecuencia Acumulada

Simple

FrecuenciaRelativa

FrecuenciaRelativa

Acumuladaxi ni Ni hi Hi

[620 – 698> 659 4 4 0,0667 0,0667[698 – 776> 737 7 11 0,1167 0,1833[776 – 854> 815 23 34 0,3833 0,5667

[854 – 932> 893 15 49 0,2500 0,8167[932 – 1010> 971 5 54 0,0833 0,9000[1010 – 1088> 1049 6 60 0,1000 1,0000

Total 60 1,0000

El Polígono de Frecuencias Absolutas.Para graficar el polígono de frecuencias se realiza algunos cálculos

Vida útil en horas

[Li-1 – Li>

Marca declase

Número deBombillas

xi ni

581 0[620 – 698> 659 4[698 – 776> 737 7[776 – 854> 815 23[854 – 932> 893 15[932 – 1010> 971 5[1010 – 1088> 1049 6

1127 0Total 60

GRAFICO Nº 01POLÍGONO DE FRECUENCIA DE LA VIDA ÚTIL EN HORAS DE UNA MUESTRAALEATORIA DE 60 BOMBILLAS DE LUZ DE 100 WATTS

0

4

7

23

15

56

00

5

10

15

20

25

581 681 781 881 981 1081

N ú m e r o d e b o m b i l l a s

Vida promedio en horas de bombillas de luz de 100 watts.





b) Una vez clasificadas; determine el porcentaje de bombillas cuyas vidas útiles oscilanentre 700 y 1000 horas.

Vida útil en horas

[Li-1 – Li>

Número deBombillas

FrecuenciaRelativa

FrecuenciaRelativa

ni hi hi %[620 – 698> 4 0,0667 6,667[698 – 776> 7 0,1167 11,667

[776 – 854> 23 0,3833 38,333[854 – 932> 15 0,2500 25,000[932 – 1010> 5 0,0833 8,333[1010 – 1088> 6 0,1000 10,000

Total 60 1,0000 100,000Calculamos el número de observaciones pedido:

698 a 776 11,66667 78 11,6667

698 a 700 x 2 xPara encontrar el valor 698 a 700 = 11,6666667 – 0,2991453 = 11,3675214

932 a 1010 8,3333 78 8,333

932 a 1000 x 68 xPara encontrar el valor 700 y 1000 horas. = 11,368 + 38,333 + 25,000 + 7,265 =81,966% El 15 % más durables en la categoría A

Basta calcular el percentil 15 y el percentil 85

Ejemplo 2. En la siguiente distribución de frecuencias relativas calcular:a) Las desviación cuartillitab) Discutir el sesgo y la kurtosisTiempo 0 → 3 3 → 6 6 → 9 9 → 12 12 → 15 15 → 18

hi 0,04 0,06 0,40 0,38 0,10 0,02Solución

Tiempo Xi hi Hi xi hi xi2 hi

0 → 3 1,5 0,04 0,04 0,06 0,093 → 6 4,5 0,06 0,10 0,27 1,215

6 → 9 7,5 0,40 0,50 3,00 22,5

9 → 12 10,5 0,38 0,88 3,99 41,895

12 → 15 13,5 0,10 0,98 1,35 18,225

15 → 18 16,5 0,02 1,00 0,33 5,445Total 1 9 89,37

Directamente de la tabla: media aritmética 9iih x x

Varianza 37,8937,89 2222 X h xS ii

Desviación estándar S = 2,89309523





Medio

40%

Bajo

45%

Alto

15%

a) Las desviación cuartillita

b) Discutir el sesgo y la kurtosis

No podemos concluir que la distribución sea simétrica. En efecto, como la media está a laderecha de la moda la distribución es sesgada a la derecha y usando el primer Coeficientede Pearson tenemos:

Como Sk > 0 la distribución es ligeramente sesgada a la derecha

Como es K>0.263, puede considerarse la distribución que es Leptocúrtica

Ejemplo 3. Al investigar el nivel socioeconómico en los valores: Bajo (B), Medio (M), Alto(A),20 familias dieron las siguientes respuestas:

M, B, B, M, A, B, B, M, M, B, M, B, B, A, M, B, M, A, M, B.

Construir la distribución de frecuencias y trazar su gráfica.

Nivelsocioeconómico

FrecuenciaAbsoluta

FrecuenciaRelativa

Medio 8 40,0Bajo 9 45,0 Alto 3 15,0Total 20 100

89

3

0

2

46

8

10

Medio Bajo Alto N ú m e r o d e F a m i l i a s

Nivel Socioecónomico





VII. CAPITULO Regresión y Correlación Lineal

Regresión y Correlación Lineal

Son dos herramientas para investigar la dependencia de una variable dependiente Y en

función de una variable independiente X. Y = f(X)

Y = Variable dependiente que se desea explicar o predecir, también se llama regresor orespuesta

X = Variable independiente, también se llama variable explicativa, regresor o predictor

Regresión lineal - La relación entre X y Y se representa por medio de una línea recta

Regresión curvilinea - La relación entre X y Y se representa por medio de una curva.

La ecuación de la recta es la siguiente:

El término de error es la diferencia entre los valores reales observados Y i y los valores

estimados por la ecuación de la recta. Se trata de que estos sean mínimos, para lo cual

se utiliza el método de mínimos cuadrados.

Se trata de minimizar la suma de todos los errores o residuos:

Las fórmulas resultado de la minimización de lo cuadrados del error se aplicarán en el

siguiente ejemplo por claridad. Se tienen los siguientes supuestos:

1. Los errores o residuos se distribuyen normalmente alrededor de la recta de regresión

poblacional

2. Las varianzas de los errores son las mismas en todos los valores de X

(Homoscedasticidad) en caso contrario se tiene (Heteroscedasticidad)

3. Los errores o residuos son independientes: No se muestra algún patrón definido.

estimadaregresiónde Modelo X bbY

muestraladedatosenbaseCone X bbY

poblaciónlaenbaseCon X Y

...................

.................

.............

10

*

10

10

e b b





El coeficiente de Correlación r desarrollado por Carl Pearson es un indicador de la

fuerza de la relación entre las variables X y Y, puede asumir valores entre -1 y 1 para

correlación negativa y positiva perfecta respectivamente. Por ejemplo si se encuentra

que la variable presión tiene una correlación positiva con el rendimiento de una caldera,

se deben buscar soluciones al problema mediante acciones asociadas con la variable

presión; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.

Se identifican tres medidas de desviación como sigue:

Ejemplo: Se sospecha que el tiempo requerido para hacer un mantenimiento preventivo

está relacionado con su número. Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos

de tiempo tomados para n = 25 servicios se muestran a continuación:

X Servicios Y Tiempo (Xi-X)*(Yi-Y) (Xi-X) 2 (Yi-Y)2 Yest Error

2 9.95 119.076672 38.9376 364.1533 10.9199 0.9408

8 24.45 1.099872 0.0576 21.0021 28.3362 15.1022

11 31.75 7.499472 7.6176 7.3832 37.0443 28.0292

10 35.00 10.502272 3.0976 35.6075 34.1416 0.7369

8 25.02 0.963072 0.0576 16.1026 28.3362 10.9969

4 16.86 51.612672 17.9776 148.1771 16.7253 0.0181

2 14.38 91.433472 38.9376 214.7045 10.9199 11.9721

2 9.60 121.260672 38.9376 377.6337 10.9199 1.7422

9 24.35 -3.558928 0.5776 21.9286 31.2389 47.4563

8 27.50 0.367872 0.0576 2.3495 28.3362 0.6991





4 17.08 50.679872 17.9776 142.8694 16.7253 0.1258

11 37.00 21.989472 7.6176 63.4763 37.0443 0.0020

12 41.95 48.568672 14.1376 166.8541 39.9470 4.0121

2 11.66 108.406272 38.9376 301.8142 10.9199 0.5477

4 21.65 31.303072 17.9776 54.5057 16.7253 24.2523

4 17.89 47.245472 17.9776 124.1620 16.7253 1.3564

20 69.00 470.014272 138.2976 1,597.3771 63.1686 34.0052

1 10.30 135.625472 52.4176 350.9178 8.0172 5.2111

10 34.93 10.379072 3.0976 34.7770 34.1416 0.6216

15 46.59 118.686672 45.6976 308.2553 48.6551 4.2646

15 44.88 107.127072 45.6976 251.1337 48.6551 14.2512

16 54.12 194.676672 60.2176 629.3676 51.5578 6.5649

17 56.63 241.751472 76.7376 761.6054 54.4605 4.7068

6 22.13 15.462272 5.0176 47.6486 22.5307 0.1606

5 21.15 25.540272 10.4976 62.1385 19.6280 2.3164

206 725.82 2,027.7132 698.5600 6,105.9447 220.0926

Sxy Sxx Syy = SST SSE

X

promedio Y Promedio

Sxy Sxx Syy

Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería

y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que

se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos tomando las sumas de

cuadrados siguientes se muestran a continuación:

Sxy = 2027.71

Sxx = 698.56

Syy = 6105.94

Las ecuaciones para el cálculo manual son las siguientes:

XX

XY

S

S

X Xi

Y Yi X Xi

b

211 )(

))((ˆ

b = 2.902704421

X Y

Xi-X)*(Yi-Y) (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2





X Y n

X Y b

ii b

b b ˆ

ˆˆ

1

00

= 5.114515575

Las sumas de cuadrados son:

2)( Y Y SST i 6,105.9447

22 ))*1(()ˆ( iiii X bboY Y Y SSE 220.0926

SSE SST SSR 5,885.8521

El coeficiente de determinación r 2

y el coeficiente de correlación r se calculan acontinuación:

SST

SSR

SST

SSE SST

SST

SSE r

)(12 = 0.9639

El coeficiente de determinación indica el porcentaje de la variación total que es explicada

por la regresión.

2r r = 0.9816

El coeficiente de correlación proporciona el nivel de ajuste que tienen los puntos a la línea

recta indicando el nivel de influencia de una variable en la otra. El factor de correlación r es

un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación positiva evidente), y r

= 0 indicaría correlación nula.

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística

para afirmar que el tiempo de atención está relacionado con el número de servicios

atendidos.




EJERCICIOS:

1. La energía consumida en un proceso depende del ajuste de máquinas que se realice,

realizar una regresión cuadrática con los datos siguientes y responder las preguntas.

Cons_energía Ajuste Máq.

Y X

21.6 11.15

4 15.7

1.8 18.9

1 19.4

1 21.4

0.8 21.7

3.8 25.3

7.4 26.4

4.3 26.736.2 29.1

a. Trazar un diagrama de dispersión

b. Obtener la ecuación de regresión lineal y cuadrática y comparar

c. Estimar el consumo de energía para un ajuste de máquina de 20 con regresión

cuadrática

d. Obtener los intervalos de predicción y de confianza para un ajuste de máquina de 20

e. Obtener el coeficiente de correlación y de determinación

Estadistica Elemental

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