ESCOLA DE ENGENHARIA - DEPTO DE ENG CIVIL

Rev. 3 03/09/2003 Notas de aula / PUCRS - Professores: Isabel Bet Viegas e Nelson Eltz de Sousa 1

ESCOLA DE ENGENHARIA - DEPTO DE ENGa CIVIL DISCIPL.: ESTRUTURAS III – ARQUITETURA – CONCRETO ARMADO



Bibliografia 1. CUNHA, Albino Joaquim Pimenta da

SOUZA, Vicente Custódio Moreira de Lajes em Concreto Armado e Protendido - 2ª edição - Editora : EDUFF, ed uerj

2. MONTOYA, Gimenez - Hormigon Armado 3. FUSCO, Péricles Brasiliense – Técnicas de Armar 4. NB-4/80 – Cálculo e Execução de Lajes Mistas 5. NBR 6118 – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado 6. NBR 6120 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações 1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 1.1. Introdução As lajes são “estruturas laminares planas solicitadas predominantemente por cargas normais ao seu plano médio” onde a espessura h é muito menor que as outras dimensões (lx, ly, onde ly ≤lx). As lajes podem ser encontradas nas mais diferentes estruturas, tais como: ! Edificações residenciais e comerciais

(a); ! Galpões industriais (b); ! Pontes (c) ; ! Reservatórios; ! Estrutura de contenção de terrra

(muros de arrimo, contafortes ...) (d); ! Pistas de rodovias e aeroportos (e).

Ref.[1.]

Ref.[1.]

(d)

(a)

(b)

(c)

(e)

ly

lx



As lajes tem como função: ! Transmitir para as vigas as cargas de utilização, aplicadas diretamente nos pisos, no

caso das estruturas convencionais do tipo laje-viga-pilar; ! Contraventar as estruturas (pórticos formados por pilares e vigas ou paredes

portantes, também denominada de shear-walls), funcionando como placas infinitamente rígidas em seu plano, que distribuem as cargas horizontais atuantes;

! Trabalhar como mesas de compressão da seção T, em casos das lajes serem construídas ligadas monoliticamente às vigas.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES 2.1. Quanto A Sua Natureza ! Lajes Maciças

• São as lajes constituídas por uma placa de concreto armado ou de concreto protendido;

• São as mais utilizadas nas edificações e pontes. ! Lajes Nervuradas

• São lajes em que a zona de tração é constituída por nervuras (50 à 100cm), onde são concentradas as armaduras de tração; (b)

• Entre estas nervuras pode ser colocado material inerte ( blocos cerâmicos de alvenarias, blocos de concreto, de pumex, de isopor, de concreto celular e outros , sem função estrutural, de forma que a superfície externa se mantenha plana; (a)

• Estas lajes possuem, obrigatoriamente, uma mesa de concreto na região comprimida, sendo o espaçamento regulamentado pela NBR 6118.

• Usadas quando os vãos a vencer são grandes (10 à 12 m) até máx 15m, em prédios residenciais ou comerciais, ou em alguns casos de carregamentos especiais;

Ref.[1.]



DISTRIBUIÇÃO DAS FORMAS

CONCRETAGEM

DESFORMA USO DE AR COMPRIMIDO P/ARA DESFORMA

PRÉDIO COMERCAIL

ESCORAMENTO

LAJE NERVURADA PLANA

INFORMAÇÕES DO FABRICANE DE FORMAS – ATEX FORMAS PESO DIMENSÕES ENTRE EIXOS ATEX 150 2,8 Kg Forma nervuras ortogonais com 600 mm entre eixos ATEX 180 2,7 Kg Forma nervuras ortogonais com 600 mm entre eixos ATEX 600 x 225 7,1 Kg Forma nervuras principais com 600 mm entre eixos e nervuras secundárias com 1,125 mm entre eixos ATEX 600 x 325 8,2 Kg ATEX 600 x 425 10,4 Kg ATEX 900 x 225 9,5 Kg Forma nervuras ortogonais com 900 mm entre eixos ATEX 900 x 325 11,4 Kg

Ref. - Catálogo de Fabricante de Formas Atex



! Lajes Mistas

" Lajes Compostas De Vigotas E Blocos Cerâmicos • São lajes compostas por nervuras(vigotas) pré-fabricadas de concreto armado,

entre as quais são colocados blocos, uma malha de armadura e um capeamento de concreto, solidarizando o conjunto. Os blocos tem a função de eliminar as formas;

• Tem sua principal aplicação em obras residenciais de pequeno porte; • Comumente usadas para vencer vãos de até 4m em caso de laje de piso e 5m

nas lajes de cobertura sem acesso à público; • As vigotas podem ser executadas em concreto armado ou protendido, mas as

mais usuais são em concreto armado; • Tem como vantagens a rapidez de execução, a economia de formas e

escoramentos; • Não suportam cargas de paredes diretamente sobre a laje, é necessário colocar

vigas sob as paredes.

Ref.[1.]

Vãos Livres Máximos para Intereixo de 33 cm



" Lajes Treliçadas

• O sistema construtivo de lajes armadas em uma direção, com vigotas treliçadas, tem 5 componentes: vigotas treliçadas, elementos de enchimento, nervuras transversais, armaduras complementares e capa de concreto;

• Vãos livre de 3 à 6m para obras de médio porte;

Para a montagem colocam-se as vigotas e os tijolos, escorando-se o conjunto. Antes de concretar a camada superior de concreto, devendo-se molhar intensamente o material, principalmente as lajotas, para evitar que absorvam a água do concreto. Em seguida executa-se a camada superior de concreto. Pode-se retira o escoramento somente após a cura do concreto.



• Como possuem estribos ( treliça) que absorvem o cisalhamento , podem ser utilizadas para vãos maiores, de 8 à 12m, quando projetadas com espessura maiores e armaduras adicionais;

• Suportam cargas de paredes.

Altura total das lajes (cm) – h

Largura mínima das nervuras(cm)

Armadura longitudinal mínima (inferior de tração – mm)

10 a 12 10 1 φ 6,3 13 a 16 11 1 φ 8 17 a 20 12 1 φ 8 21 a 24 13 1 φ 10 25 a 30 14 1 φ 10 31 a 37 15 1 φ 12,5

Elemento de enchimento

Vigota treliçada

Intereixo : valores usuais 40 a 43 cm, 47 a 50 cm e 57 a 60cm

12 a 13 cm

h

cerâmica

EPS

Ref. - Catálogo de Fabricante - Gerdau



" Lajes Pré-Fabricadas • Lajes planas alveolares ; Lajes Π; • As lajes em painéis são produzidas em usinas, em pistas de protensão e

moldadas em fôrmas metálicas ou por processo de extrusão; • Vão livre na ordem de 10 à 11m; • Vem crescendo no Brasil a utilização destas lajes, especialmente nas área

industriais e shoppings

Ref.[1.]

Ref. - Catálogo de Fabricante - Preconcretos



Ref.[1.]



Quanto Aos Seus Apoios ! Lajes Apoiadas Sobre Alvenarias (a) Ou Lajes Apoiadas Sobre Vigas (b)

! Lajes apoiadas sobre pilares

• Conhecida Como Lajes Cogumelos Ou Lajes Planas

São lajes de concreto executada “in loco”, maciça de espessura constante, sem vigas, exceto nas bordas; Tem como vantagens: " a rapidez de execução, podendo-se executar um pavimento por semana; " economia de formas e mão de obra; " junta de dilatação até 100m. Tem como desvantagens: " mão de obra especializada, no caso de barras pretensionadas; " puncionamento e; " pouca rigidez do conjunto.

O efeito do vento deve ser considerado com cuidado !!!

Capitel normal



• Laje Plana de Concreto Protendido Utilizadas em prédios comerciais e de escritórios com vãos de até 12 m; São colocadas armaduras em toda a área da laje nas duas direções perpendiculares por cabos (sistema VSL). Esta armação é completada por barras de aço comum apenas nos pilares e nas bordas; A laje plana protendida é pretensionada para a carga permanente, eliminando assim os problemas de deformação lenta.

• Laje Plana de Concreto Armado

Indicado para vãos de até 6,0m à 6,5 m. Acima destes vãos são desaconselháveis pois podem ocorrer flechas excessivas devido a deformação lenta.

2.2. Quanto À Armação Considerando apenas as lajes retangulares. ! Lajes Armadas em uma só direção • São aquelas que apresentam solicitações importantes (momentos fletores e esforços

cortantes) em uma direção apenas;

• Quando for suportada continuamente ao longo de 2 bordos apenas; • Quando tiver 3 bordos livres (Laje em balanço)

Se lx/ly >>>>2

lx

ly

Obs.: lx>ly



! Lajes armadas em duas direções • São aquelas que apresentam solicitações importantes em ambas as direções

3. VÃO TEÓRICO De acordo com o subitem 14.6.2.4 da NBR 6118 o vão efetivo (l ef ) o vão efetivo (vão teórico) pode ser calculado por:

l ef= l0 + a1 + a2 vão teórico = l Com a1 igual ao menor valor entre (t1 e h) e a2 igual ao menor valor entre (t2 e h).

(tomar o menor deles) a) Apoio de vão extremo b) Apoio de vão intermediário Nas lajes em balanço, o comprimento teórico é o comprimento da extremidade até o centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao comprimento livre acrescido da metade da espessura da laje junto ao apoio.

lx

ly

Se lx/ly ≤≤≤≤2



4. VINCULAÇÃO As lajes podem se apoiar sobre alvenaria, sobre vigas ou sobre paredes ou diretamente sobre pilares. É necessário adotar hipóteses, de forma a se estabelecer se uma laje é engastada (deslocamento vertical e rotação impedidos), ou se é simplesmente apoiada (deslocamento vertical nulo e nenhum impedimento à rotação) ao longo de um determinado bordo. O estabelecimento destas condições de apoio, tornará possível a idealização do modelo estrutural da laje, necessária para se obterem as suas solicitações e deformações. 4.1. Bordos Simplesmente Apoiados

• Convenção para a representação gráfica : • “A extensão dos apoios extremos de uma laje, sobre alvenaria, não deve ser menor

que sua espessura no meio do vão nem menor que 7cm”.

Simplificação : • Vão teórico = medida de eixo à eixo de apoio; • Vão teórico (BALANÇO) = medida da extremidade ao

eixo de apoio;

lo + b/2≤≤≤≤lo + h/2

b lo

h



• Quando a laje termina sobre uma viga

• Quando a laje não tem continuidade no seu plano devido a um rebaixo

4.2. Bordos Engastados

• Convenção para a representação gráfica : • Toda a borda que há continuidade com a laje vizinha de espessura

aproximadamente igual (diferença máxima 2cm)

L1

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (ESQUEMAS)

L1 L1

CORTE

L1

CORTE

L2

L1

L1

L2

L2 R = -20 L2

R = -20

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (ESQUEMAS)



• Quando o vão da menor é maior ou igual a 40% do vão maior adota-se o bordo

engastado

Exemplo: • Toda a laje que tem 3 bordos livres deve ter o quarto bordo engastado. Neste bordo,

mesmo que exista rebaixo é necessário criar o engaste por questão de equilíbrio • Quando num bordo ocorrem duas situações de vínculo, considera-se a favor da

segurança em todo o bordo apoio simples, a não ser que o trecho engastado corresponda a mais de 2/3 do bordo, podendo neste caso sem grande erro considerar a borda engastada.

l2 l1

BORDO

Vão menor =3m Caso 1 : Vão maior = 5m

L1

L1 h=8

L2

L1 L2 R = -20 L2

h=10

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA (ESQUEMAS) 8

10 CORTE

L1 L2

Caso 1 Caso 2 3m > 0,4*5=2m 1,5m < 0,4*5=2m BORDO ENGASTADO BORDO APOIADO

Vão menor =1,5m Caso 2 : Vão maior = 5m

L1 R=-15

L1 R=-15 L1

l2≥≥≥≥0,4.l1 l2<0,4.l1



5. ESPESSURAS 5.1. Item 13.2.4.1 Lajes Maciças, NBR 6118/2003 Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura :

a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; e) 15 cm para lajes com protensão.

Sugestão: Adotar 8cm para espessura mínima.

5.2. Lajes Maciças 5.2.1. Lajes Armadas Em 2 Direções

Se A ≥ 2/3 B ∴∴∴∴ BORDO

lx

ly

Se lx/ly ≤≤≤≤2 Obs.: lx>ly

d ≥≥≥≥ 0,025.(1-n.0,1).l [cm]

CASO lx>ly l ≤ ly (Vão teórico Menor)

0,75.lx (Vão teórico Maior) CASO lx=ly l=lx=ly

n = nº de lados engastados

{

B

A

Se A < 2/3 B ∴∴∴∴



5.2.2. Lajes Armadas Em 1 Dir 5.2.3. Lajes em Balanço 5.3. Item 13.2.4.2 Lajes Nervuradas A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm. A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm.

Se lx/ly >>>>2

ly

Obs.: lx>ly

c

h d

c = cobrimento h = altura da laje d = altura útil φl = diâmetro da barra Usualmente: φl = 0,5cm c = ver norma

φl

lx

d ≥≥≥≥ 0,025.(1-n.0,1).l [cm]

ly = lado menor

l

l = Vão teórico

d = l/ 12,5

φl

h = d + c+ φl cm

h = d + c+ φl cm

h = d + c+ φl cm



Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições:

a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média das nervuras for maior que12 cm; c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.

5.4. Lajes Pré-Fabricadas Adotar espessuras iguais ao caso de lajes maciças. Ver nos catálogos dos fabricantes as espessuras disponíveis. 5.5. Lajes Planas

d ≥≥≥≥ 0,025.(1-n.0,1).l.1,5 CASO lx>ly l≤ ly (Vão teórico Menor)

0,75.lx (Vão teórico Maior)

CASO lx=ly l=lx=ly n = nº de lados engastados

{ h = d + c+ φl/2 cm

c = cobrimento de viga φl = diâmetro da barra Usualmente: φl = 2 cm c =2cm (ver norma)

5cm



5.5.1. Laje Plana De Concreto Armado Espessura mínima: Cobertura = 12cm Piso = 15cm

5.5.2. Laje Plana Protendida 6. EXERCÍCIOS Dada a planta abaixo indique a espessura das lajes para os seguintes casos: • Laje Maciça de Concreto Armado; • Laje Nervurada; • Laje Plana de Concreto Armado; • Laje Plana Protendida; OBS.: As vigas de contorno serão mantidas. Caso necessário acrescente vigas e pilares na solução estrutural.

h =l / 36 cm

h =l / 45 cm Onde l = Maior vão teórico Para sobrecarga de 350 kgf/cm2

Onde l = Maior vão teórico

10 12 12

12

12 L1 L2 L3

L6 L5 L4

P1 P2 P3 P4

P5 P6 P7 P8

P9 P10 P11 P12

VIGA

VIGA

VIGA

VIGA



6.1. Caso De Laje Maciça De Concreto Armado (Caso da L3) Neste caso foi necessário acrescentar vigas e pilares para ter lajes com áreas até 36 m2, Dividiu-se a laje L3 em 4 lajes menores ( L3A, L3B, L3C, L3D). l = 6,0m n = 2 lados engastados 6.2. Caso De Laje Nervurada (Caso da L3)

L3A L3B

L3C L3D

PILARES ADICIONAIS

VIGA

VIGA

d ≥≥≥≥ 0,025.(1-n.0,1).l d ≥≥≥≥ 0,025.(1-2.0,1).600 [cm] d ≥≥≥≥ 12 cm

CASO lx>ly l [ ly (Vão teórico Menor)



{

h = d + 0,5 + 1,5 = 14 cm

12

P7

P8

P3 P4

L3A L3B

L3C L3D

VIGA

VIGA

12

P7

P8

6

P3 P4

12

P7

P8

P3 P4

12

P7

P8

P3 P4

L3 L3



Neste caso foram acrescentadas vigas entre os pilares. l = 12,0m n = 2 lados engastados 6.3. Caso De Laje Plana De Concreto Armado (Caso da L3) 6.4. Caso De Laje Plana De Concreto Protendido (Caso da L3)

CASO lx>ly l [ ly (Vão teórico Menor)



{d ≥≥≥≥ 0,025.(1-n.0,1).l.1,5 d ≥≥≥≥ 0,025.(1-2.0,1).1200.1,5 [cm] d ≥≥≥≥ 36 cm

h = d + 1,5+1= 36+1,5 + 1 = 38,5 ≅≅≅≅ 40

12

P7

P8

6

P3 P4

Para este tipo de laje foi necessário acrescentar novos pilares para garantir vãos de 6 a 6,5 m. l = 6 m

h = l / 36 = 600/36 ≅≅≅≅ 17 cm

Para este tipo de laje não foi necessário acrescentar novos pilares. l = 12 m

h = l / 45 = 1200/45 ≅≅≅≅ 27 cm

12

P7 P8

12

P3 P4



7. CARGAS 7.1. Carga Permanente (g) A carga permanente é constituída pelo peso próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas, como por exemplo, elementos construtivos fixos e instalações permanentes. 7.1.1. Peso Próprio (gp)

Pesos Específicos KN/m3 Concreto Armado 25 Concreto Simples 24 Tijolo furado 13 Tijolo maciço 18

7.1.2. Peso De Revestimento (gr) Quando houver definição de piso especial na época de projeto, deve ser adotado o valor específico para cada caso, conforme indicação da NBR 6120. • Revestimento de piso de tacos = 0,7 kN/m2 • Revestimento de piso de mármore, ladrilhos, cerâmica, granitina = 0,85 kN/m2 7.1.3. Peso De Enchimento (ge) Ocorre no caso de lajes com rebaixos, ou com pisos elevados, sendo calculado multiplicando-se o peso específico do material utilizado pra o enchimento pela altura do rebaixo. Enchimento de lajes rebaixadas (10cm , com Peso específico de 14 kN/m3) = 0,14 kN/m2 7.1.4. Peso De Alvenarias (ga) Segundo NBR 6120, item 2.1.2, quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, as lajes deverão ser calculadas para um carregamento adicional uniformemente distribuído, por metro quadrado de laje: não menor que um terço do peso próprio por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 kN/m2.

• Alvenarias em lajes armadas em cruz - a carga será considerada uniformemente

distribuída:

gp = γγγγ c . h = 25 . h (em kN/m2)

hpar bpar



Onde lx, ly = vãos teóricos da laje, lpar = comprimento da parede,

bpar = largura da parede, hpar = altura da parede γγγγpar = Peso Específico da Alvenaria (Tijolo furado=13 kN/m3,Tijolo maciço=18 kN/m3)

• Alvenarias sobre as lajes armadas em uma só direção: 7.1.5. Tabela De Cargas

Telhados por m2 de projeção

KN/m2

Telha francesa 1 Telha colonial 1,2 Telha fibrocimento 6mm 0,38 Telha fibrociemtno 8mm 0,44 Telha de znco 1mm 0,32 Telha folha galvanizada 0,34

Local CargaKN/m2

Assoalho com barrotilhos 0,27 Assoalho com vigamento (8x16) 0,34 Forro de madeira 0,16 Forro de tela argamassada 0,55 Forro de fibrocimento com 6mm de espessura

0,18

Reboco de laje (10cm) 0,25

7.2. Carga Acidental (q) Segundo NBR 6120, item 2.2, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículo, etc).

Local Carga

lx . ly

Pa ga =

ga ≥≥≥≥ 1 kN/m2

pa /3 { pa = b par . hpar . γγγγpar

Pa = b par . hpar . lpar . γγγγpar

ly

2/3.ly

ga = 2/3.ll

pa

p p = (gp+gr+ge+ga+q) p=carga linear distribuída ao longo de uma faixa de 2/3.ly

ly

p

P P = Peso da parede numa faixa de 100cm p = (gp+gr+ge+q) p=carga linear distribuída numa faixa de 100 cm

100

parede

pare

de

Local CargaKN/m2

Forro de fibrocimento com 6mm de espessura

0,18

Reboco de laje (10cm) 0,25 Carga acidental em forros não destinados à depósitos

0,5



KN/m2 Assoalho com barrotilhos 0,27 Assoalho com vigamento (8x16)

0,34

Forro de madeira 0,16 Forro de tela argamassada 0,55

Para edifícios residenciais a carga acidental é:

➲ Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro = 1,5 kN/m2 ➲ Despensa, área de serviço e lavanderia = 2 kN/m2 ➲ Escada com acesso ao público = 3 kN/m2 , Sem acesso ao público= 2 kN/m2

Ao longo de parapeitos e balções devem ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. Para demais situações ver “TABELA 2 – Valores Mínimos das Cargas Verticais”, da NBR 6120 , item 2.2.1.2. 7.3. Carga Total (qt = g + q) ➲ Composição das cargas

Peso Próprio = gp = γ c . h = 25 . h kN/m2 Revestimento + Reboco = gr = (0,85 + 0,25) kN/m2 Enchimento (10cm) = ge = 0,14 kN/m2 Carga de Parede = ga kN/m2 Carga Acidental = q kN/m2 qt kN/m2

8. REAÇÕES E SOLICITAÇÕES 8.1. Lajes Em 1 Dir - Reações E Solicitações

8.2. Lajes Em 2 Dir

P

l

p

l

p

l

p

l

100 100

Obs.: Os itens deverão ser computados conforme a situação de projeto exigir.

+ P

+ P. l pl/2 pl/2

pl2/12



8.2.1. Reações 8.2.2. Solicitações

qt = Carga distribuída total At = Área total = lx.ly

REAÇÕES A1 = ly.(ly/2)/2 ply = A1 . qt / ly ply = ly2 / 4. qt / ly A2 = ( lx + m).(ly/2)/2 m = lx –ly/2 – ly/2 = lx – ly A2 = ( lx + lx - ly).(ly/4) A2 = ( 2.lx - ly).(ly/4) plx = A2 . qt / lx plx = ( 2.lx - ly).(ly/4). qt / lx plx = qt . ly / 4 . (2lx –ly)/lx Multiplicando por lx e dividindo por lx

Onde ξ = ly/lx

4

qt . ly ply =

. ( 2 - ξ ) ply plx =

Reação - Carga distribuída ao longo do bordo ly

Reação - Carga distribuída ao longo do bordo lx

4

qt . ly. (2 - ξ ) plx =

4 lx

qt . ly. 1 .(2.lx-ly) (lx) plx =

Verificação das reações: At. qt = ply. ly.2 + plx .lx.2

A2

A2

A1 A1

lx

ly 45o

m



Quando a relação entre os lados lx/ly ≤ 2 e quando a laje não for apoiada apenas em dois lados opostos ela deverá ser armada em duas direções ou armada em cruz. Deve-se determinar os momentos nos vãos e nos engastes nas direções paralelas aos lados da laje. Os momentos podem ser determinados considerando a laje como placa, funcionando ou em regime elástico ou em regime plástico. 8.2.2.1 Método Baseado no Regime Elástico O estudo das placas apresenta dificuldades bem maiores do que os elementos lineares que são as vigas. O funcionamento é bem mais complexo e mesmo um exame intuitivo, que é muito útil, resulta mais difícil. Há a contração transversal que não ocorre nas vigas que tem as faces laterais livres, há o momento torçor que tem uma importância significativa sobre o comportamento da laje. Seja uma placa retangular de espessura constante h fletida no plano xz e no plano yz.

A placa devido aos momentos mx e my por unidade de comprimento flete em ambas as direções e o plano médio xy se transforma numa superfície de dupla curvatura, que se chama superfície elástica da placa.

ε

σ

Material elasto-plástico

ε

σ

Material elasto-plástico Material rígido-plástico



Para as lajes armadas em 1 direção fez-se a hipótese de que fosse constituída de um conjunto de faixas ou vigas de largura b=100 cm, cada uma suportando a carga correspondente e funcionando como uma viga independente da adjacente. Bem diferente do comportamento da laje armada em duas direções. No regime elástico as lajes poderão ser calculadas através da teoria das placas ou por processos simplificados como, método da grelha, método de Marcus e outros. O cálculo exato das solicitações em regime elástico é feito com a aplicação da teoria matemática da elasticidade, resultando a tabela de J. Montoya para placas apoiadas nos 4 lados. As tabelas apresentam 9 casos de vinculação para carga uniformemente distribuida com ly/lx compreendido entre 0,5 e 1. As tabelas fornecem coeficientes que permitem determinar os momentos positivos nos vãos e negativos de engastamento (quando houver) nas direções ly e lx : 8.2.2.2 Método Baseado no Regime Plástico No regime rígido-plástico, quando as cargas atuarem sempre no mesmo sentido as deformações específicas da seção estiverem nos domínios 2 ou 3, as lajes poderão ser calculadas pela teoria das charneiras plásticas. Esse processo é um recurso relativamente simples para a solução dos casos mais variados de cargas e condições de contorno. O trabalho original sobre este método acha-se traduzido sob o título “Linhas de Ruptura” de autoria de K.W. Johansen.

m = 0,001.qt.ly.COEF

Ml = Momento Positivo de plastificação Xl = Momento Negativo de plastificação



9. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 9.1. Cálculo Das Armaduras De Flexão O cálculo das armaduras de flexão é efetuado segundo os critérios da NBR 6118, para o dimensionamento de seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples. Sendo os momentos fletores calculados por unidade de comprimento, a seção para dimensionamento terá altura útil (d) e largura (100cm) (seção retangular). O dimensionamento nos exemplos foi feito tomando uma altura d, que corresponde a um reboco com argamassa de espessura mínima de 1cm. De acordo com o item 6.4 da NBR 6118, classificamos a agressividade do ambiente conforme a tabela a seguir. Tabela 6.1 da NBR 6118 - Classes de agressividade ambiental

Classe de agressividade ambiental

(CAA)

Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto

Risco de deterioração da estrutura

Rural I Fraca Submersa

insignificante

II Moderada Urbana1)2) pequeno Marinha1) III Forte

Industrial1)2) grande

Industrial1)3) IV Muito forte Respingos de maré

elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos(salas, dormitórios,cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões que chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela a seguir, conforme item 7.4 da NBR 6118.



Tabela 7.1 da NBR 6118 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

Classe de agressividade (tabela 6.1) da NBR 6118 Concreto Tipo I II III IV

CA

≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação água/aglomerante

em massa CP

≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45

CA

≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto

(NBR 8953)

CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40

NOTAS: CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado CP Componentes e elementos estruturais de concreto protendido Seguindo as orientações do item 7.4.7 da NBR-6118, o cobrimento a ser adotado na peça está indicado na tabela abaixo. O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Item 7.4.7.2 da NBR 6118.Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 4 para ∆∆∆∆c=10 mm. Item 7.4.7.3 da NBR 6118. Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Item 7.4.7.4 da NBR 6118.Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Item 7.4.7.5 da NBR 6118.Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser:

cnom ≥ φ barra cnom ≥ φ feixe = φn = φ √n cnom ≥ 0,5 φ bainha

Item 7.4.7.6 da NBR 6118.A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

dmax ≤ ≤ ≤ ≤ 1,2 cnom

Tabela 7.2 – NBR6118 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para ∆∆∆∆c=10mm



Classe de agressividade ambiental (tabela 1) II III IV3)

Tipo de estrutura

Componente ou

elemento Cobrimento nominal mm

Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado Viga/Pilar 25 30 40 50

Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55 1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão. 2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal ≥ ≥ ≥ ≥ 15 mm. 3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ ≥ ≥ ≥ 45mm. Calculadas as armaduras, não deve ser tomado valor inferior a Asmin= 0,0015.100.h 9.2. Detalhamento φ BARRA ≤ h /8 (Item 20, da NBR 6118) • Laje Armada 1 Dir • Laje Armada em 2 Dir • Armadura de Tração Sobre os Apoios de Continuidade Para dimensionar o momento negativo toma-se o maior dos 2 momentos adjacentes a borda e a menor espessura.

Asp ≥≥≥≥ Asmin = 0,0015.bw.h , onde bw=100 cm Asd ≥≥≥≥

• 0,9 cm2/m • Mínimo de barras /m

5 • 1 Asp

ESPAÇAMENTO (e) ≤ 2.h ≤ 20 cm

Asd

lx

ly Asp

lx

ly

Asy

// l

y

Asx // lx

As ≥≥≥≥ Asmin = 0,0015.bw.h , onde bw=100 cm

ESPAÇAMENTO: Asx,Asy (e) ≤ 20 cm

Para evitar a ocorrência de fissuras, quando o vão > 2,5 m ∴ φ min = 4 mm, e ≤ 15 cm p/ As+ φ min = 5 mm, e ≤ 20 cm p/ As-

l l

l ≥ 40 cm l ≥ ¼ do maior entre os menores vãos

das lajes contíguas l

•

• • • • • • •

•

•

•

•

Asx // lx

Asy

// l

y



• Armadura de borda De acordo com o código modelo do CEB devemos dispor ao longo dos apoios extremos uma armadura de borda em cavalete igual a ¼ da armadura principal, com comprimento igual a 1/5 do vão menor, não inferior a 30 cm.

h-1 h-1



10. EXERCÍCIOS

Dor

mitó

rioA=

10,5

5m

Dor

mitó

rioA=

8,71

m2

Esta

r/jan

tar

A=13

,50m

2Sa

cada

A=5,

40m

Dor

mitó

rioA=

10.8

8m2

Dor

mitó

rioA=

10,2

0m2

Esta

r/ja

ntar

A=13

,37m

2

Circ

. con

d.A=

8,10

m2

Esta

r/jan

tar

A=13

,50m

2

Dor

mitó

rioA=

10,5

5m2

Dor

mitó

rioA=

8,71

m2

Esta

r/ja

ntar

A=13

,37m

Dor

mitó

rioA=

10,8

8m2

Dor

mitó

rioA=

10,2

0m2

Saca

daA=

6,50

m2

Saca

daA=

6,50

m2

Coz

inha

/ár

ea s

erv

A=7,

12m

2

Coz

inha

/ár

ea s

erv

A=7,

12m

Banh

oA=

2,64

m2

Banh

oA=

2,64

m2

Circ

.A=

1,20

m2

Circ

.A=

1,20

m2

Hal

la=

1,05

m2

Hal

lA=

1,05

m2

Coz

inha

/ár

ea s

erv

A=6,

15m

2

Coz

inha

/ár

ea s

erv

A=6,

15m

2

Banh

oA=

2,7m

Banh

oA=

2,7m

Saca

daA=

5,40

m2

PLANTA DE ARQUITETURA



PLANTA DE FORMAS



10.1. Lajes Em 1 Dir

1ª Faixa – Sem Parede • Composição de cargas

Peso Próprio = gp = γ c . h = 25 . h = 25.0,08 = 2 kN/m2 Revestimento + Reboco = gr = (0,85 + 0,25) = 1,1 kN/m2 Carga Acidental (cozinha) = q = = 1,5 kN/m2 qt 4,6 kN/m2

• Cálculo das reações p=qt.1,0m=4,6kN/m2.1,0m=4,6kN/m R = p. l / 2 = 4,6 kN/m.1,7m / 2 = 3,91 kN M = p. l2 / 8 = 4,6 kN/m.1,72.m2/8 =1,66 kN.m/m • Dimensionar a armadura necessária

Fck=20 Mpa Aço CA-60B bw=100cm d=8-1=7cm Da tabela, com fck=200kgf/cm2,temos:

k6 = bw.d2/Mk = 100.72/16,6 = 295,18 K6 k3

Ca-60B 366,2 0,273

Adotar o k6 imediatamente inferior 246,1 0,275

Asp = k3.M/d = 0,275. 16,6 / 7 = 0,65 cm2 Asmin = 0,0015.bw.h = 0,0015.100.8 = 1,2cm2 Asp > Asmin ∴ Asp =1,2 cm2

p

l

Caso da laje L3 – Cozinha • Definir classificação da laje quanto a

armação lx = 625 cm ly = 170 cm lx/ly=625/170=3,67 > 2 ∴ Laje 1 Dir

• Cálculo da altura da laje

l=ly= lado menor

Cuidar Unidades 1kN.m = 10tf.cm

d ≥ 0,025.(1-n.0,1).l [cm] n=0 d ≥ 0,025.(1-0.0,1).170=4,25∴ 4 cm

h = d + c+ φl cm

h = 4 + 1,5 + 0,5 = 6 cm Adotar altura mínima h = 8 cm



Da tabela “ÁREA DA SEÇÃO EM FUNÇÃO DO ESPAÇAMENTO (cm2/m) – LAJES E ESTRIBOS (1 RAMO)”, temos: φ5 c/ 16. Vamos adotar φφφφ5 c/ 15, por ser um espaçamento mais usual. 2ª Faixa – Com Parede Dados: • Composição de cargas

Peso Próprio = gp = γ c . h = 25 . h = 25.0,08 = 2 kN/m2 Revestimento + Reboco = gr = (0,85 + 0,25) = 1,1 kN/m2 Carga de Parede = ga = = 4,47 kN/m2 Carga Acidental (cozinha) = q = = 1,5 kN/m2 qt 9,07 kN/m2

• Cálculo das reações Considerando uma faixa de 1,0m temos: p=qt.1,0m=9,07kN/m2. = 9,07kN/m R = p. l / 2 = 9,07 kN/m.1,7m / 2 = 7,70 kN/m M = p. l2 / 8 = 9,07 kN/m.1,72.m2 / 8 =3,28 kN.m/m • Dimensionar a armadura necessária

Fck=20 Mpa Aço CA-60B bw=100 cm d=8-1=7cm Da tabela, com fck=200kgf/cm2,temos:

k6 = bw.d2/Mk = 100.72/32,8 = 149,39 K6 k3

Ca-60B 150,1 0,280

Adotar o k6 imediatamente inferior 126,2 0,282

Asp = k3.M/d = 0,282. 32,8 / 7 = 1,32 cm2 Asmin = 0,0015.bw.h = 0,0015.100.8 = 1,2cm2 Asp > Asmin ∴ Asp =1,32 cm2 Da tabela “ÁREA DA SEÇÃO EM FUNÇÃO DO ESPAÇAMENTO (cm2/m) – LAJES E ESTRIBOS (1 RAMO)”, temos: φ5 c/ 15. Vamos adotar φφφφ5 c/ 15, por ser um espaçamento mais usual, nas duas faixas (com e sem parede)

Cuidar Unidades 1kN.m = 10tf.cm

b par = 15cm hpar = 2,60m γγγγpar=13kN/m3, Tijolo Furado pa = b par . hpar . γγγγpar = 0,15m.2,6m.13kN.m3 = 5,07 kN/m

ga = 2.ly/3

pa ly=1,70m (2.ly/3) = 2.170/3=113,33 cm ga = 5,07/(2.ly/3) = 5,07/(2.1,7/3) = 4,47 kN/m2

p

l



Asd = 1/5.Asp = 1,32/5 = 0,264 cm2/m < 0,9 cm2/m ∴ Asd = 0,9 cm2/m (φ 5 c/ 20) Ver detalhamento a seguir 10.2. Laje Em 2 Dir Para o caso da laje L1 (Dormitório) 1º ) Cálculo da altura d ≥ 0,025.(1-n.0,1). l, onde n = nº de lados engastados = 1 l < ly = 360 cm 0,75 lx = 0,75. 470 = 345 cm d ≥ 0,025.(1-n.0,1). l d = 0,025.(1-1.0,1).345cm = 7,76 cm = 8

h=d+c+fl cm h=d+1,5+0,5 h=10cm 2º ) Composição de cargas Carga de parede ga > 1kN/m2

1/3.bpar.hpar.γtijolo furado= 1/3.0,15.2,6.13=1,69 kN/m Σ Peso das Paredes / área da laje=0,15.2,6.13.(1,2+3,35) /(4,7.3,6)=1,36kN/m2 ∴ ga = 1,69 kN/m2 Peso Próprio = 0,10m . 25 kN/m3 = 2,5 kN/m2 Revestimento + Reboco =0,85 + 0,25 = 1,1 kN/m2 Carga Acidental (dormitório) = 1,5 kN/m2 Peso das paredes ga = 1,69 kN/m2 qt = 6,79 Kn/m2 Carga total 3º ) Cálculo das reações Verificação: qt.At = ply.ly.2 +plx.lx.2

6,79 . 4,7.3,6 = 6,11.3,6.2 + 7,54.4,7.2

lx = 470

ly = 360 L1

Par2 =120 Par1 =335

hpar=260 bpar=15

A2

A2

A1 A1

lx

ly 45o

6,11 . (2- 3,6/4,7) = 7,54 kN/m plx =

4

6,79.3,6 ply = = 6,11 kN/m

Reação - Carga distribuída ao longo do bordo ly



114,88 kN = 114,88 kN ok!!!

5º ) Dimensionamento das Armaduras Positivas my+ : Asy+ // ly fck=20Mpa, CA-60B, bw=100cm, d=9cm, h =10cm Da tabela, com fck=200kgf/cm2,temos: k6 = bw.d2/Mk ∴ k6= bw.d2/my+ = 100.92/46,5= 174,19 k3=0,280 Asy+ = k3. my+ / d = 0,280.46,5/ 9 = 1,45 cm2/m Asmin = 0,0015.bw.h = 0,0015.100.10 = 1,50 cm2/m Asy+ < Asmin ∴ Asy+ = Asmin=1,50 cm2/m

Da tabela “ÁREA DA SEÇÃO EM FUNÇÃO DO ESPAÇAMENTO (cm2/m) – LAJES E ESTRIBOS (1 RAMO)”, temos: φ5 c/ 13.

Qte Barras = Vão livre lx / espaçamento +1 = 453/13 +1 = 35 BARRAS Medida da barra : L=bw1+lo+bw2 – 2. Cobrimento da viga = 12+343+22-1,5.2=374cm mx+ : Asx+ // lx fck=20Mpa, CA-60B, bw=100cm, d=9cm, h =10cm Da tabela, com fck=200kgf/cm2,temos: k6 = bw.d2/Mk ∴ k6= bw.d2/mx+ = 100.92/34,7= 233,43 k3=0,277

-? - 60 12x(-0,06)

-0,1 =

0,76

60 ?

48

0,8 0,7

60-48

0,7-0,8

60-?

0,7-0,76 =

? = 52,8 -? - 110 8x(-0,06)

-0,1 =

0,76

110 ?

102

0,8 0,7

110-102

0,7-0,8

110-?

0,7-0,76 =

? = 105,2

4º ) Cálculo dos momentos Da tabela do Montoya, temos : 6ºCaso my+ = 0,001.qt.ly2.COEFICIENTE = 0,001.6,79.3,62.52,8=4,65 kN.m mx+ = 0,001.qt.ly2.COEFICIENTE = 0,001.6,79.3,62.39,4=3,47 kN.m mx- = 0,001.qt.ly2.COEFICIENTE = 0,001.6,79.3,62.105,2=9,26kN.m

Obs.: Por interpolação linear, obtemos os coeficientes.

-? - 40 1x(-0,06)

-0,1 =

0,76

40 ?

39

0,8 0,7

40-39

0,7-0,8

40-?

0,7-0,76 =

? = 39,4



Asx+ = k3. mx+ / d = 0,277.34,7/ 9 = 1,1 cm2/m Asmin = 0,0015.bw.h = 0,0015.100.10 = 1,50 cm2/m Asx+ < Asmin ∴ Asx+ = Asmin = 1,50 cm2/m

Da tabela “ÁREA DA SEÇÃO EM FUNÇÃO DO ESPAÇAMENTO (cm2/m) – LAJES E ESTRIBOS (1 RAMO)”, temos: φ5 c/ 13.

Qte Barras = Vão livre ly / espaçamento +1 = 343/13 +1 = 27 BARRAS Medida da barra : L=bw1+lo+bw2 – 2. Cobrimento da viga = 22+453+12-1,5.2=484cm 6º ) Dimensionamento das Armaduras Negativas Para dimensionar o momento negativo toma-se o maior dos 2 momentos adjacentes a borda e a menor espessura. mx- : Asx- // lx fck=20Mpa, CA-50A, bw=100cm, d=9cm, h =10cm Da tabela, com fck=200kgf/cm2,temos: k6 = bw.d2/Mk ∴ k6= bw.d2/mx- = 100.92/92,6= 87,47 k3=0,347 (CA-50A) Asx- = k3. Mx- / d = 0,347.92,6/ 9 = 3,57 cm2/m Asmin = 0,0015.bw.h = 0,0015.100.10 = 1,50 cm2/m Asx- < Asmin ∴ Asx- 3,57cm2/m

Da tabela “ÁREA DA SEÇÃO EM FUNÇÃO DO ESPAÇAMENTO (cm2/m) – LAJES E ESTRIBOS (1 RAMO)”, temos: φ8 c/ 14

Qte Barras = Vão livre ly / espaçamento +1 = 343/14 +1 = 25 BARRAS Medida da barra : l ≥ 40cm Menor vão da L1 = 360cm

Menor vão da L2 = 275cm Maior entre eles = 360cm

l ≥ ¼.360 = 90 cm 10.3. Detalhamento

90 90

l ≥ 40 cm l ≥ ¼ do maior entre os menores vãos

das lajes contíguas

l

25 φ8 c/14 L = 196

7 9 Ver detalhamento a seguir

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