50

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

Objetivo Aplicar los conceptos de escalamiento en impedancia y en frecuencia a un circuito filtro de segundo orden. El escalamiento en impedancia y en frecuencia es una técnica de circuitos eléctricos mediante la cual se modifican los valores de los elementos de un circuito obteniendo la misma función de trasferencia que la del circuito original. El escalamiento en impedancia consiste en modificar los elementos pasivos de un circuito lineal e invariante en el tiempo, por medio de un factor que se calcula de manera general como

ZkZ i=' y de manera particular, sustituyendo las impedancias correspondientes como

RkR i='

LkL i='

LkL i='

ikC

C ='

Donde ki representa el factor de escalamiento, Z’ es el valor de la impedancia modificada y Z el valor de la impedancia del circuito original. El escalamiento en frecuencia consiste en modificar las impedancias de un circuito de referencia, de manera que al variar la frecuencia del mismo, la respuesta en frecuencia sigue manteniéndose igual a la del circuito original. Este escalamiento se lleva a cabo alterando el valor de los capacitores e inductores por un factor. La impedancia resistiva no se afecta dado que no depende de la frecuencia. De manera que el escalamiento en frecuencia se aplica a los elementos en forma similar a la Ec.(1), pero ahora cambia el factor de escalamiento en frecuencia a kf.

ZZ ='

las impedancias deben ser iguales a la misma frecuencia, lo que implica que

'ωω=fk

los resistores no se alteran en valor ya que su impedancia no depende de la frecuencia. De manera particular para las inductancias y capacitancias

LkL f='

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

51

CkC f=' Donde kf representa el factor de escalamiento en frecuencia, Z’ es el valor de la impedancia modificada y Z el valor de la impedancia del circuito original. Análisis del Circuito de referencia Se dibuja con Pspice el circuito de segundo orden

La expresión de la respuesta en frecuencia para este circuito está dada por

RCjCRjH

ωωω

3)1(1

)(222 −−

=

En donde si R1= R2= 10kΩ y C1= C2= 10nf, |H(jω)|=0.5 y ∠H(jω)=72º . Se puede verificar de manera similar la respuesta en frecuencia para la misma red cuando se modifican los valores de los componentes al aplicar el escalamiento en impedancia y en frecuencia. Estos datos se verificarán con el simulador PSPICE.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

52

Experimento 1: Obtención de parámetros de referencia En este ejercicio se simula el comportamiento del circuito de referencia con sus respectivos valores, el cual se ha dibujado con la herramienta Pspice.

Los parámetros de la fuente V1 y del barrido en frecuencia se indican a continuación. Obsérvese que no es necesario especificar una frecuencia, ya que el barrido en frecuencia se lleva a cabo desde 10 a 50kHz.

El comportamiento simulado en Pspice se lleva a cabo con (F11), en el cual está graficada la magnitud de V2/V1. Además se incluye una ventana para el manejo del cursor, que indica la magnitud a la frecuencia de interés, en este caso 1kHz. En la gráfica se observa la función de transferencia simulada, en la que se incluye la ventana del cursor con la cual se aprecia el valor de V2/V1=.505 a 1kHz como era de esperarse de acuerdo a los valores teóricos de referencia.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

53

El ángulo de defasamiento se mide en el dominio del tiempo encontrando a la frecuencia de 1 kHz

º1053.70360 −=⋅∆=

Ttφ

donde ∆t=194.737u y T=1/f=1ms. Estos valores se indican en la gráfica de tiempo

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

54

Experimento 2 Escalamiento en Impedancia Aplicando el concepto de escalamiento en frecuencia se obtiene un factor de escalamiento ki = 0.1, por lo que el nuevo capacitor debe ser de 0.1µf y la resistencia de 1kΩ. El circuito original se modifica en sus valores de los componentes, obteniendo el circuito escalado, cambiando las resistencias de 10 kΩ por 1 kΩ y los capacitores de 10nf ahora son de 100 nf. En Pspice queda de la siguiente forma

Para la simulación se consideran los parámetros similares al experimento anterior. Obsérvese de nuevo que no es necesario especificar una sola frecuencia, ya que el barrido se realiza de 10 a 50kHz.

Después de haber efectuado la simulación (F11) se obtiene la gráfica de resultados , en la cual se presenta la magnitud de la función de transferencia indicando un valor de V2/V1 = .505 a una frecuencia de 1kHz, que es el resultado esperado de acuerdo a los valores de referencia.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

55

Para el caso del defasamiento, la medición se lleva a cabo en el dominio del tiempo, obteniendo la siguiente gráfica

Se puede observar que en la simulación se obtuvo un ángulo de desfasamiento de:

º2.70360 −=⋅∆=

Ttφ

donde ∆t=195.62u y T=1/f=1ms que es el periodo correspondiente a la frecuencia de 1 kHz. Experimento 3 Escalamiento en frecuencia

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

56

En esta simulación se comprueba el escalamiento en frecuencia cambiando solamente los capacitores, ya que las resistencias no dependen de la frecuencia. El factor de escalamiento al modificar la frecuencia es ahora de

210002000 ==

ππ

fk

Por lo que el nuevo capacitor debe ser de C’= kfC = 0.02µf =20nf con las resistencias de 10kΩ. El circuito modificado se dibuja con Pspice

Para la simulación se consideran los siguientes parámetros

Después de haber simulado se habilitan la magnitud V2/V1 del circuito mostrando la siguientes señal.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

57

Se observa la magnitud de la función de transferencia a la frecuencia de 500 Hz, obteniendo una magnitud de V2/V1=.5047.

Se puede observa que en la simulación se obtuvo un ángulo de desfasamiento de:

º2.70360 −=⋅∆=

Ttφ

donde ∆t=391.241u y T=1/f=2ms que es el periodo correspondiente a la frecuencia de 500Hz. Experimento 4 Escalamiento simultáneo en impedancia y en frecuencia

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

58

En esta simulación se comprueba un doble escalamiento tanto en impedancia como en frecuencia. Por lo que se alteran todos los elementos del circuito de referencia RC. Los valores de referencia para escalar son

R=10k Ω R’=1000Ω C=0.01µ ω=2000π ω’=4000π

Los factores de escalamiento y el nuevo capacitor son

1.0100001000' ===

RR

k i

5.040002000 ==

ππ

fk

µµ 05.001.01.05.0

' === Ck

kC

i

f

la resistencia nueva es de 1kΩ, ya que como se mencionó antes, ésta no depende de la frecuencia. El circuito modificado en sus valores de los elementos es el que se muestra, similar al circuito anterior, con la excepción de que los capacitores de 10 nf son ahora de 50 nf.

Para la simulación se establecieron los parámetros de la fuente y del barrido en frecuencia como se indican.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

59

La gráfica muestra la magnitud de la respuesta en frecuencia que se obtuvo en la simulación, en la cual para la frecuencia de 2 kHz, el valor de V2/V1=.505535.

El ángulo de desfasamiento que se obtuvo en la simulación, medido en el dominio del tiempo es de

º42.70360 −=⋅∆=

Ttφ

donde ∆t=97.81u y T=1/f=0.5ms que es el periodo correspondiente a la frecuencia de 2000Hz.

Escalamiento en Impedancia y en Frecuencia

60

Comentarios Es conveniente que se determinen los valores teóricos de la magnitud y el ángulo para tenerlos de referencia con los aquí obtenidos y compararlos con los resultados teóricos. En esta práctica se han presentado las mediciones del ángulo de fase en el dominio del tiempo. Se sugiere que se realicen graficando directamente la fase con la expresión VP(n2)-VP(n1) y compararla con los resultados obtenidos en esta práctica.