EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION

C. —HHBBHMHM CEA-R-34290)| PREMIER MINISTRE

4 COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE

12.1

EQUATIONS FONDAMENTALES

DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES

Première partie

EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION

.V.'

par

Jean-Marc DELHAYE

Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble

Rapport CE A-R-3429(1)

S E R V I C E C E N T R A L DE D O C U M E N T A T I O N DU C.E.AJa*.•..••••••ii» • • • • <m* C.E.N. SACLAY B.P. n° 2, 91 - GIF-sur-YVETTE - France

CEA-R-3429 (1) - DELHAYE Jean-Marc ' • ,i .

EQUATIONS FONDAMENTALES DES ECOULEMENTSDIPHASIQUES i" " ,Première partie : EQUATIONS GENERALES, DE CONSERVA-TION _ ' ,

Sommaire. - Ce rapport traite des équations générales de *consenyàtion de la masse , de la quantité de mouvement et del'énergie pour un écoulement diphasique. Ces équations sontprésentées sous plusieurs formes à partir des équations in-tégrales qui sont posées à priori.

1. Equations aux variables locales instantanées et condi-tiojis ^'interface

2. Equations aux variables instantanées moyennées dansune section et applications pratiques : ces équations renfer=rment une donnée expérimentale intéressante qui est le rap-

CEA-R-3429 (1) - DELHAYE Jean-Marc

FUNDAMENTAL EQUATIONS FOR TWO-PHASE FLOW

Part I. GENERAL CONSERVATION EQUATIONS

Summary. - This report deals with the general equations ofmass conservation, of momentum conservation, and energyconservation in the case of a two-phase flow. These equationsare presented in several forms starting from integral equa-tions which are assumed initially a priori.

1. Equations with local instantaneous variables, and inter-facial conditions

2. Equations with mean instantaneous variables in a cross-section, and practical applications : These equations includean important experimental value which is the ratio of thecross-sectjon of passage of one phase to the total cross- sec-tion of a flow-tube. ,

port de la section de passage d'une phase sur la section to-tale d'une conduite.

3. Equations aux moyennes statistiques locales et équa>tions moyennées dans le temps : Une tentative plus pousséepour relier expérience et théorie consiste à prendre lesmoyennes statistiques des équations locales. On obtient alorsdes équations où interviennent des variables moyennées dansle temps par application d'une hypothèse ergodique.

4. Combinaisons des moyennes statistiques et des moyen~nés dans une section : on considère dans cette étude - desvariables locales moyennées statistiquement, puis moyennéesdans la section et également des variables moyennées dansla section puis moyennées statistiquement.

5. Equations générales relatives aux emulsions : Dans cecas, ,une phase se présente (localement sous un aspect très

3. Equations with a. local statistical mean, and equationsaveraged over a period of time : A more advanced attemptto relate theory and experiment consists in taking the statis-tical averages of local equations. Equations are then obtai-ned involving variables which are averaged over a period oftime with the help of an ergodic assumption.

4. Combination of statistical averages and averages over^a cross-section : in this study are considered the local va-riables averaged statistically, then averaged over the cross-section, and also the variables averaged over the sectionand then averaged statistically.

5. General equations concerning emulsions : In this casea phase exists in a locally very finely divided form. This

divisé. Cette particularité permet de définir une concentra-tion volumique locale et d'établir des équations aux applica-tions multiples.

1968 99 p.

Commissariat à l'Energie Atomique - France

peculiarity makes it possible to define a volume concentra-tion, and to draw up equations which have numerous appli-cations.

1968 99p.


- Rapport CEA-R-3429(1) -


Service des Transferts Thermiques

EQUATIONS FONDAMENTALES DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES

Première partie

EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION *

par

Jean-Mare DELHAÏE

Communication présentée au séminaire franco-soviétiquesur le transfert de chaleur - Grenoble - Novembre 1966

- Décembre 1968 -

TABLE DES MATIERES

NOTATIONSPages

0. INTRODUCTION

1. RAPPELS MATHEMATIQUES

1.1. Calcul v ectoriel

1.2. Théorème de l'intégrale nulle

1.3. Calcul tensoriel

Z. EQUATION GENERALE DE CONSERVATION SOUS FORMEINTEGRALE POUR UN ECOULEMENT DIPHASIOUE 11

2.1. Conservation de la masse 11

2.2. Conservation de la quantité de mouvement 12

2.3. Conservation de l'énergie 12

3 EQUATIONS AUX VARIABLES LOCALES INSTANTANEESCONDITIONS D'INTERFACE

3.1. Conservation de la masse

3.2. Conservation de la quantité de mouvement

3.3. Conservation de l'énergie

3.4. Théorème de BERNOULLI

3.5. Equatiou de l'énergie

13

14

16

20

22

26

4. ROITATTQMS ATTy VABTAm.KS TNSTANTAMERSDANS UNE SECTION

4.0. Introduction


27

27

23


4.Î. Conservation de l'énergie

4.4. Equation de lré*nergie

31

34

36

4.5. Equation de l'énergie approchée moyennes dans une section 40

5. EQUATIONS AUX MOYENNES STATISTIQUES LOCALES

5.1. Définitions - Généralités

5.Z. Equations aux moyennes statistiques locales

5.3. Equations aux moyennes temporelles locales

43

43

47

49

6. COMBINAISONS DES MOYENNES SURFACIQUES ET DESMOYENNES STATISTIQUES

6.1. Quelques relations importantes

6.2. Equations doublement moyennées

49

49

52

7. APPLICATIONS PRATIQUES DES EQUATIONS AUX VARIABLESINSTANTANEES MOYENNEES PANS UNE SECTION 54


7.2. Conservation de la quantité de mouvement 54

7.3. Application pratique de l'équation de l'énergie approchéemoyennée dans une section . 55

EQUATIONS GENERALES RELATIVES AUX EMULSIONS 62

8.0. Introduction 62

8.1. Définition des vitesses moyennes locales instantanées etde la vitesse barycentrique locale instantanée 63

8.2. Expressions de quelques flux élémentaires 65


8.4. Equation de diffusion 70



B.7. Equation de l'énergie

70

78

83

9. EQUATIONS GENERALES RELATIVES AUX EMULSIONS^MOYENNEES DAMS UNE SECTION




9.4. Equation de l'énergie

84

84

85

85

85

BEFERENCES

REMERCIEMENTS

87

89

Le tableau synoptique suivant résume la table défi matières :

^»^^ lois de con-^^v^servation

Equations ^""^v^

Intégrales

Locales instantanées

Instantanées et moyen-nées dans une section

Locales statistiques

Combinées

Relatives auxemulsions

Relatives auxemulsions et moyennéesdans une section

Masse

2. 1

3. 1

4. 1 7. 1

5.2.1.

6. Z

8. 3

9. 1

Quantité de

mouvement

2. 2

3. Z

4. Z 7. 2

5.Z.2.

6. 2

8. 5

9. 2

Energie

Z. 3

3. 3

4. 3

5.2.3.

6. 2

8. 6

<). 3

Equation de

l'énergie

3. S

4. 4 7. 3

5.2.4.

6. Z

8. 7

9. 4

N O T A T I O N S

Une lettre peut avoir plusieurs significations, Toutefois le contexte n'autori-

sera aucune confusion.

Lettres latines majuscules

A : surface

C : chaleur massique à pression constante

D : diffueivité

D : diamètre d'une conduite de section circulaire

E : énergie interne massique

F : force extérieure massique

dF : force élémentaire

H : résultante des quantités de mouvement

I : flux de diffusion

J : densité de flux de chaleur

L : longueur d'un canal chauffant

N : nombre de réalisations

R : rapport de la section de passage d'une phase sur la section totale de la conduite

T : température

T : puissance des forces de volume

T : puissance des forces de surface

^U : vitesse de diffusion

U : tenseur unité

V : vitesse

W : puissance volumlque

X : variable aléatoire de phase

X :

y -.

V

contour

domaine d'intégration

quantité de chaleur fournie au système G.L par unité de temps

intersection de l'interface avec un plan de section

chaleur latente de vaporisation

tenseur de contrainte en un point

volume

Lettre a latines minuscules

f

S

h

dl

m

dm

P

t

u

v

v

w

concentration volumique locale instantanée

fonction quelconque

accélération de la pesanteur

enthalpie massique

élément d'arc

nombre de particules dans un domalue élémentaire dr

masse élémentaire

vecteur normal unitaire

nombre de particules par unité de volume

normale à? située dans le plan da section, orientée de la phase k vers l'autrephase

pression réversible

temps

composante de la vitesse selon Ox

composante de la vitesse selon Oy

volume d'une particule

composante de la vitesse selon Os.

Lettres_erecques majuscules

r masse créée par unité de temps et par unité de volume dans des phénomènesinterfaciaux

surface frontière

aï. : élément d'aire

4> : densité de flux de chaleur

T : résultante des forces extérieures appliquées à un système matériel

ty : transfert de masse algébrique

/l : potentiel des forces extérieures massiques

Lettres grecques minuscules

Q- : concentration locale instantanée statistique

6 : écart de température caractérisant le déséquilibre thermodynamique

P : masse volumique

if : écart-type

T : déviateur de contrainte

To : contrainte tangentielle de frottement à la paroi

dT : élément de volume

Indice supérieur

* : variable relative au mélange

Indice inférieurs

e : extérieur

G : gaz

i : interface

^ • intersection de l'interface avec un plan de section

L, : liquide

s : saturation

EQUATIONS FONDAMENTALESDES ECOULEMENTS DiPHASIQUES

Première partie

EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION

Opérateurs

f : moyenne statistique de f

<S f * : moyenne volumique de f

< f > ; moyenne surfacîque de f

Notations tenaorielles

® : produit tensoriel de deux vecteurs

• : produit scalaire de deux tenseurs

0 - INTRODUCTION

La description du comportement général d'un milieu quelconque consiste

à déterminer tous ses paramètres (vitesse, masse volumique, pression, température) au

cours du temps. Pour ce faire, il faut établir un système d'équations traduisant les phéno-

mènes naturels et dont ces paramètres sont les solutions.

Tous les milieux, quels qu'ils soient, obéissent aux lois de conservation

des variables d'exteneité (masse, quantité de mouvement et énergie). Ces lois constituent

des postulats que nous admettrons sans discussion.

L'équation fondamentale de la dynamique, sous Ja forme d'une égalité

entredeux torseurs, présente deux aspects :

1. L'aspect résultante qui se traduit par trois équations de l'équilibre généralisé,

2. l'aspect moment résultant qui permet de ramener de 9 à 6 les éléments inconnus du

tenseur de contrainte.

Pour compléter le système d'équations de la mécanique rationnelle, il faut

introduire les propriétés physiques du milieu dans une nouvelle loi : la loi rhéologique

(ou loi physique).

Soit *& etQ> les tenseurs de contrainte et de déformation en un point* La loi

rhéologique consistera en une relation f (*Ç, ffi , t) = 0 entre ces deux tenseurs et le

temps. Les trois équations de l'équilibre et la loi rhéologique fourniront les équations mixtes .

Quelques exemples sont donnée dans le tableau suivant :

Lois rhéologiqueg Equations mixtes

Fluide visqueuxmonophasique ,$> 't ) « o NAVIER - STOKES

Elasticité f (16, <») = 0 AIRY

Plasticité f I'd ) = 0 KO1TER

Considérons par exemple le cas du fluide visqueux monophasigue. Les incon-

nues sont au nombre de S :

. les trois composantes de la vitesse

. la pression

. et la masse volumique.

Or il n'y a que trois équations de NAVIER-STOKES et l'équation de la masse. Il manque

l'équation d'état du fluide f (p, p , T) = 0 qui introduit une nouvelle inconnue : la tempéra-

ture T. Celle-ci, à a on tour, met en jeu le premier principe de la thermodynamique. En

définitive, on a :

1. - six inconnues ï u, v, w, p, p , T

2. - six équations :

. trois équations de NAVIER-STOKES

. une équation de conservation de la masse

. une équation d'état

. une équation thermodynamique

3. - des conditions aux limites

4. - des conditions initiales.

Ce système d'équations ne possède pas une solution unique. On peut .en effet

trouver des solutions aléatoires dans certaines conditions. L'écoulement est alors appelé

écoulement turbulent. Lorsque les solutions sont non-aléatoires l'écoulement est dit

laminaire.

Alors que le schéma général de l'étude des écoulements de fluides visqueux

'monophaaiques est bien connu, celui concernant les fluides diphasiques est loin d'être établi

de manière définitive.

Un fluide diphasique est un fluide composé de deux phases distinctes. Les

' deux phases peuvent être isaues du même corps (eau et vapeur d'eau, par exemple) ou ttie

constituées chacune d'un corps différent {liquide - solide, solide - gaz, liquide - gaz ou

liquide - liquide). Mous supposerons que ces corps ne sont pas miscibles entre eux.

Nous négligerons dans la présente étude l'influence des phénomènes inter-

faciaux estimant que l'énergie mise en jeu par ceux-ci est très faible devant les autres formes

d'énergie. Nous sommes parfaitement conscients de la faiblesse de cette justification et nous

essayerons au cours de travaux ultérieurs de tenir compte de ces forces supplémentaires.

Comme nous avons pour but essentiel d'appliquer les équations de conser-

vation aux systèmes diphasiques liquide - gaz, nous emploierons une terminologie en rapport

avec cette application. Néanmoins, les équations que nous écrirons seront tout à fait géné-

rales et ne feront l'objet d'aucune hypothèse sur la nature des phases en présence. Toutefois,

certaines conclusions auront trait à des écoulements liquide - gaz ou liquide - vapeur. Ceci

sera précisé au cours de l'étude.

Plusieurs types d'équations seront établies. Si, localement, la phase dispersée

se trouve dans un état extrêmement divisé, c'est-à-dire si on peut définir localement dans un

volume élémentaire du mélange le pourcentage de la phase dispersée, alors on aura une méca-

nique des emulsions ou des suspensions qui constitue un cas particulier de la mécanique des

écoulements .diphasiques.

Les écoulements diphasiques ont en général un caractère aléatoire. Un opéra-

teur de moyenne statistique sera donc appliqué aux lois locales instantanées ainsi qu'aux

conditions d'interface. Dans le cas d'un écoulement diphasique quasi- permanent, l'hypothèse

ergodique permet de confondre moyenne statistique et moyenne temporelle, et ainsi de con-

fronter les résultats théoriques avec les données expérimentales. Cette méthode nécessite

la définition de ce que nous appellerons le " taux de vide local instantané statistique pr.

Les expérimentateurs utilisent souvent en mécanique des systèmes dipha-

siques liquide - gaz le "taux de vide" dans la section, rapport de la section de passage du

gaz sur la section totale d'une conduite. 11 est donc intéressant de posséder des équations

générales utilisant cette variable. Nous avons ainsi été amenés a établir des équations aux

variables instantanées moyennées dans une section.

Pour établir toutes ces équations générales de conservation, nous sommes

partis de bilans globaux, sous forme intégrale, estimant que seule cette notion reflétait bien

la réalité macroscopique de la nature. Nous avons abouti après applications de théorèmes

mathématiques à des équations locales à dérivées partielles.

Nous insistons sur le fait que ces équations locales ne traduisent que des lois

de conservation, & l'exclusion de toute équation d'état et de toute loi rhéologïque (équations

constitutives}

Telles quelles, elles sont donc incomplètes, mais elles constituent la base rationnelle à

partir de laquelle des modelée particuliers peuvent être développée à l'aide d'un certain

nombre d'hypothèses qui devront Être clairement définies. Nous estimons donc que, même

à ce stade, elles constituent un instrument indispensable à l'analyse des systèmes aphasiques.

1 - RAPPELS MATHEMATIQUES

1.1 - Calcul vectoriel

1.1.1, Théorème d'OSTROGRADSKI

Soit I une surface fermée sans point singulier limitant un volume V, Tf la

normale extérieure en un point de cette surface, v 1171 vecteur de composantes V , V , V

à v jv àfonctions continues de x, y, z, pourvues de dérivées , , -, " , -r

a x dy ai:

dans le domaineV-, surface frontièreï comprise. Si des parallèles a Ox, Qy et Oz.

coupent £ en un nombre fini de points nous avons :

y

continues

tu.div V dT == //J

V . n dZ

Remarques :

a/ Le domaineVpeut tendre vers l'infini ou l'intégrant avoir des singularités à condition que

les intégrales convergent,

b/ Si le domaine"^ est rnultiplernent connexe, il faudra tenir compte dea intégrales de surface

correspondantes,

c/ Le théorème d'OSTROGRADSKI se généralise aux tenseurs. Il s'écrit alors :

1.1.2. Théorèmes de la dérivée lagranaiciuie

Considérons des domaines variables en fonction du temps et une fonction f

satisfaisant à certaines conditions de régularité. Les théorèmes s'énoncent :

a/ pour les intégrales triples :

1 dT 7/y „ i t d rft) ''V(t) à •.?; n d£

V : vitesse d'un point de la surface frontière £ (t) del'' (t)

n ; normale extérieure à S' ( t i -

ll/ pour les intégrales doubles :

1.3.1. Somme de deux tenseur a

- f d« dy =(t)

dy

V : vitesse d'un point de la courbe frontière "ft (t)

îï* : normale extérieure à "fi (t)

l.Z - Théorème de l'intégrale nulle

Soit une fonction continue f . Si noue avons

f f t f dT = 0 quel que soit f

alors f = 0

De même pour une intégrale simple ou double.

1.3 - Calcul tensoriel

dl

Nous emploierons le calcul tensoriel uniquement dana le but de simplifier les

.écriture».

.Aucune propriété des tenseurs ne sera utilisée dans la suite. Ceci justifie

l'absence dana cfl rappel de la définition mathématique du tenseur que nous considérons unique-

ment comme un tableau carré de neuf éléments :

: indice ligne

: indice colonne

- ( t , . + .y»

1.3.2. Multiplication d'un tenseur par un scalaire

X T! = (Jit.. ) =

1.3.3. Tenseur unité

<*ij > avee é

( l o oo i o0 0 1

0 si i / j

ij = 1 si i = j

1.3.4. Trace d'un tenseur

'22 + *33

Nous utilisons dans ces définitions la convention de l'indice muet, c'est-à-dire

que lorsqu'un mdics est répâté doux fois dans un mônSme il faut effectuer une sommation parrapport à cet indice.

1.3.S. Produit tensoriel^S de deux yecteura V et W

(v.) W =

W = ( v. w. V

Ce produit est encore appelé produit dyadique.

1.3.6. Produit scalaire de deux tenseurs fou double dot product)

s a

*22 B22 23

i B31 + «S2 S32 + '33 833

1.3.7. Produit tensoriel de deux tenseur^ fou^ single dot product)

1.3.8. Produit vectoriel d'un tenseur et d'un vecteur

4 = ( t.. ) Y" = (v.)

a/ Produit à droite :

S. r - ^ . V f c î '

b/ Produit à gauche :

1.3,9. Vecteur operateur nablaV

C'est par définition le vecteur opérateur de composante à . '

1.3.10. Divergence vectorielle d'un tenseur

' k ' *ki

10 11

1.3.11. Gradient tensoriel d'un vecteur

grad V* = ^«^V = (V. . Vj )

grad V =

Ôv3 /

~âz /

1.3.12 Forrfliues remarquables

Toutes lea relations ci-dessous se démontrent facilement à partir desdéfinitions précédentes :

-» -+ _» —» —t _»* 1 2 ' ' 3 ~ * 2 " 3 1

div" ( ?j® 72 ) = Vj . div 7E + "V2 . grad V^

div t . V = V . dïv^ + ̂ : grâd V

2 - EQUATIONS GENERALES DE CONSERVATION SOUS FORME INTEGRALE POURUN ECOULEMENT PIPHASIQUE

Considérons le système matériel diaphasique

représenté figure 1 et noté système GL». 11 est

constitué par du gaz et du liquide occupant res-

pectivement les domaines "fy et 17*T et formantG Liles systèmes G et L.

Nous appellerons A ., ( ou AeQ) la surface

frontière de la phase liquide (ou gazeuse) avec le

milieu extérieur. Cette surface sera une surface

Figure 1

matérielle, c'est-à-dire une surface constituée à chaque instant des mêmes particules fluides.

L'interface gaz - liquide intérieur au système sera notée A. . La normale extérieure à un

domaine sera appelée H^ ou n* * Les phénomènes de tension superficielle seront négligés,

L.C3 lois de conservation (de la masse, de la quantité de mouvement, de l'énergie

seront mises sous forme d'équations globales écrites pour le système matériel G.L,

2 .1» Conservation de la masse

La conservation de la masse du système GL s'écrit sous la forme globale

suivante :

(1) 5t/ff »G~5t (t)

2 .2 - Conservation de la quantité de mouvement

Si $ est Ici résultante des forces extérieures appliquées a un système matériel-*

et si H est la résultante des quantités de mouvement du même système, le principe fonda-

mental de la dynamique s'écrit sous la forme :

Nous aurons pour le système

1Z

Les forces extérieures comprennent les forces de surface et les forces de

volume. Si F est la force extérieure massique appliquée an système, la résultante des

forces extérieures de volume est égale à :

, , p F dT

Soit "8 le tenseur des contraintes en un point. Les forces de pression ont

pour résultante :

G G

La loi globale de conservation de la quantité de mouvement se traduit donc

par la relation :

(2)

, F dT +

2,3 - Conservation de l'énergie

Soit 3? la quantité de chaleur fournie au système GL par unité de temps, T

le travail des forces de volume par unité de temps, T le travail des forces de surface par

unité de temps ,

Le premier principe de la thermodynamique s'écrit en appelant E l'énergie

interne massique :

*G« «*,«'

=/ ^eG eL

13

Tv = PL r" VL. VT dT

(t).i

G GAeL «

J étant le vecteur densité de flux de chaleur.

Nous en déduisons l'équation intégrale de la conservation de l'énergie

(3)

AeL «

, ) 5T dZ - j .

eG Ct). u r dZ.

L L

eL '

3 - EQUATIONS AUX VARIABLES LOCALES INSTANTANEES - CONDITIONS D'INTERFACE

Les équations globales de conservation établies antérieurement sont transfor-

mées à l'aide :

a) du théorème de la dérivée lagraneienne

d r

V(t) étant un domaine limité par la surface T. (t) ayant pour normale extérieure c, V

étant la vitesse d'un point deZl(t}.

b) du théorème d'OSTROGRADSKI

Elles se mettent ainsi sous forme d'intégrales étendues aux volumes V^ (t) et

V (t) et d'intégrales étendues aux interfaces A (t) .L

Le théorème de l'intégrale nulle permet de déduire de ces relations des

équations locales valables en chaque point de VQ (t) et de VL (t) et en chaque point deA (t). Ces dernières constituent les conditions d'interface. Elles auront des aspects

différents suivant la présence mi l'absence de transfert de masse entre phases et dans cer-

tains cas leur interprétation sera aisée.

Nous avons suivi dans ce paragraphe la méthode de STANDART [l] .

3.1 . Conservation de la masse, .̂

L'équation globale (1) s'écrit :

dt= 0

Transformons chaque terme de cette équation par le théorème de la dérivée

lagrangienne ;

d£= 0

Le théorème d'OSTROGRADSKl nous donne les relations suivantes :

«G <*

PL div Û Vr T ** ' ~ II IT TL 4 Ai (t) r L L

L'équation (4) se met finalement BOUS la forme ci-dessous :

15

Cette équation doit Être vérifiée quels que soient VG (t), ifL* (t) et A. (t).

Nous en déduisons :

3,1.1, lea équations de conservation de la masse pour chaque phase

(5)

(6)

(7)

/A

ôt

Jt

. + div PG VG

-+ div PL

V,, = 0

= 0

3.1.2. la condition d'interface

(t)

Cette condition locale d'interface correspond à la condition globale suivante

( v! ' - Y! ) n! d£ = 0(Vf- - 7. ) ? dZ 4-G ! G _ (t)

Cette relation signifie que la. tnasse de gaz qui quitte la phase gazeuse par

l'interface est égale à la masse de liquide qui entre dans la phase liquide par l'interface.

a) Cas ou il n'y a pas de transfert de masse a l'interface :

La masse de gaz qui quitte la phase gazeuse par l'interface est alors égale

à la masse de liquide qui quitte la phase liquide par l'interface. Ceci s'écrit :

ffJj A. (t)

..rr p//A. (t)PL

(V - V.) n dï = 0Ll 1 Lr

Cette condition doit Stre réalisée quel que eoit A. (t), ce qui donne

PG ( \; - ? ) ̂ - PL ( Vj, - ^) ̂ • o

En comparant les équations (7) et [8} nous obtenons :

16

(9)

(10)

Ces relations sont vérifiées dans lea deux cas suivants :

V_ = V, = V. : l'interface reste constamment constitué des mêmes parti-es lj i

cules et constitue une surface matérielle.

( vt, - V^ ) et (7 -7. ) sont situés dans le plar^tangent à l'interface. Il

— » - » — » — ̂ — » —ffaut nécessairement avoir V_ - V, = V, - V. donc V = VT . En effet,

G i L i G J-f

il ne peut exister une discontinuité des vitesses'' à l'interface, car dans ce cas

la contrainte tangentielle serait infinie.

Les relations (9) et (10] imposent donc toujours l'égalité :

(11)

b) Cas ou il existe un transfert de masse :

Afin que la contrainte tangentielle reste finie, il faut que les composantes de

(Vc - ÎT ) et de (V^ - V^) sur le plan tangent à l'interface soient égales. Donc (Vç - VL> doit

Être perpendiculaire à ce plan,

3. Z - Conservation de la quantité de mouvement

Reprenons l'équation des quantités de mouvement sous sa forme intégrale (Z) :

< 2 >-dT At

dC

Le théorème de la dérivée lagrangienne appliqué aux termes du premier

membre donne :

17

+^AeG^

dTà»

4 (t,

(t) 5t

D'autre part nous pouvons écrire en utilisant le théorème d'OSTROGRADSKI :

^\W/ V"L JJ A. M L

div" (p_ VJ»V,) dT - (P V®VJ?G Cf G M A_ (t) G G G G,(t)

J*>

Noua obtenons ainsi une expression équivalente à (2) :

dT

C ^LV* «PL V(t) L àt

d£

IS

Cette équation devant être vérifiée quelB que soient les domaines & (t),

*• (t> et A. (t) nous en déduisons :j-i ï

3.2.1. les équations de conservation de la quantité de mouvement pour chaque

phase

(12)

(13)

( p V » V ) - p F - div 1S = 0

ôtd v ( PT v_ ® v. ) - prL L L L

= o

3.Z.Z. la condition d'interface

[pG ^Q

^L ' rL+<BG • "G = 0

a) Cas oa il n'y a pas de transfert de masse

Les relations (9) et (10) permettent d'écrire la relation (14) sous la

forme :

(15)

Donc quand il n'y a pas de transfert de masse et quand on néglige la tension

superficielle, la résultante dee forces exercées sur l'élément d'interface est nulle.

b) Cas où il v a transfert de rnasae

La. relation (14) s'écrit en tenant compte de l'égalité ï£ = - n* :L G

ou encore :

Or d'apiee la condition d'interface relative à la conservation de la masae (7)

nous pouvons définir y tel que :

(16) T. PL (?L - v.) rfc = PG (^G . v.) ̂

IjTest le transfert de masse algébrique exprimé en unité de masse par unité

de temps fit par unité de surface.

Nous avons alors :

Or d'après le paragraphe 3,1.2. (V - V ) est perpendiculaire au plan tangent

à l'interface donc (R£. -£ ) nt sera aussi normal à l'interface. Le transfert de masise i

travers un élément dÎL d'interface produira, une force normale à l'interface égale à :

di

.^-t [ < " L - V . ) ^ - ( V G . V . ) rj d*

dF . a, = Y '

et en tenant compte de la relation (16) :

(17)

(18) . .PG \ PL

"L

dP

Figure 2_

L'interface est soumis à une contrainte normale dirigée vers le liquide (cf.

fîg, 2 et équation (17). On retrouve dans l'équation (13) un résultat donné par KUTATELADZE

H •Exemple : flux = 20 W/cm2 if = 546 cal/g IO"2 g/cm2/s

p = — g/cm3

G 1673 dï.<3,2 baryes

2l

3.3 - Conservation de l'énergie

Reprenons l'expression intégrale de la conservation de l'énergie (3) :

'* ÎJ * H

Appliquons le théorème de la dérivée lagrangiemie au premier terme :

V

Le théorème d'OSTROGRADSKI nous permet d'écrire

diï

AeQ(t) "W

En transformant de la mÊme façon les termes do l'équation (3), relatifsau liquide, et ea regroupant les intégrales étendues aux domaines t>- (t), V- (t) et A. (t),noua obtenons :

) + diV J dT

- div C6, . ^T ) + div J? 1J_l J-l Jj I

-v.)

Cette équation devant Être vérifiée quels que soient v_ (t), •&, (t) et A. (t)Cj Là 1

nous en déduisons :

3.3.1. lee equations de conservation d'énergie pour chaque phase

(19)

(20)

V . F. v' = o

dêvîateur :

(21)

Le tenseur de contraint-: *6 peut se décomposer en une partie isotrope et un

. p TJ H- T

en appelant p la pression réversible vérifiant l'équation d'état du fluide, Û le tenseur unité,T le dévïateur de contrainte.

L'énergie interne massique E est liée à l'enthalpie massique h par larelation E - h --

remplaçant °S et K par leurs expressions en fonction de p, Uj T , P et

h dans les équations (19) et (ZO), il vient :

EG> V

* " - = 0

(22)

3*3.2» la condition, d'interface

Si nous utilisons la pression réversible et l'enthalpie massique noua aurons

n. = 0

Dans le caa ou il n'existe pas de transfert de masse à l'interface, les conditions

(9), (10) Gt (15) réduisent l'équation (22) à la condition :

T ^ '

* JG "G = o

3,4 - Théorème de BERNOULLI

Le théorème de BERNOULLI n'est pas «ne loi de conservation. C'est une

application de la relation fondamentale de la dynamique par l'intermédiaire du théorème de

l'énergie cinétique.

Les équations locales de la conservation de la quantité de mouvement (12) et(13) s'écrivent :

(12)PG F = 0

Z3

(13) _V L ® V L = 0

L'équation (12) s'écrit encore :

• + dw ( VG® pG VG) - div F = 0

-+• V, + Pa = o

En tenant compte de l'équation de continuité (5), il vient :

GPG . grd - pG F = 0

c'est-à-dire :

PG

d V

at- p F = D

Multiplions scalaïrement par V cette équation qui n.Test autre que la. relation

fondamentale de la dynamique :

(23) PG "V_ — - :

Or nous avons :

(le signe : indiquant le produit scalaire de deux tenseurs) et l'équation (23) s'écrit finalement :

! ^o .-, -H, =, = - -> ->T Pr2 rG dt

Or nous avons* f étant une fonction quelconque :

' 1

Nous obtenons ainsi :

et par conséquent :

dt

< ï

L'équation (21) combinée à la relation :

Û : grad V = trace (grâd V) = div V

noua permet d'écrire l'équation locale du théorème de l'énergie cinétique pour la phase

galeuse :

(24)div ! grad = 0

De même pour le liquide :

(25)

dlv

Ces équations sont valables en chaque point des domaines V- (t) et \9-, (t).Cî J_i

Noua pouvons <îonc intégrer chaque équation, dana son domaine respectif et faire la somme,ce qui donne :

.«

25

- f/f•*y»div

V dT ~

- fff (PJJJ* wUT-/// fpT divV, -T : srld V . l d TJ VTT UA¥ ' T *" * T

kL(t)

P T~Appliquons le théorème de la dérivée lagrangienne an premier terme ;

i (>„ ̂ dT

?Z'G— P V V

2 ^ ^ • - '

Le théorème d'OSTROGRADSKI permet de transformer le troisième terme :

^+ //"JJ A. (t)

• - dï

En opérant de la même façon sur lea termes relatifs au liquide, nous obtenona :

d£ -(t)

(26) +

(pc div V . r - grad V ) dT-/// {p div V -T : grid V ) dT

F. V_ dT - p F. V, dT = 0L

26

Les deux premier termes donnent la variation d'énergie cinétique par unité de

temps du système matériel G.L, les intégrales prises sur A le travail des forces de pression

par unité de temps, les intégrales prises sur A. la. contribution énergétique de l'interface,

les intégrales prises sur \f les travaux des déformations et des forces de volume par unité de

temps.

Lorsqu'il n'y a. pas de transfert de masse à l'interface nous avons les relations :

(9)

(10)

(11)

(15)

G L

Les termes de l'équation (26) prie sur l'interface A. (t) s'annulent done.

3.5 - Equation de l'énergie

Elle s'établit aisément en faisant la différence membre à membre de l'équatio

locale de conservation de l'énergie et de l'équation de BERNOULLI, Par exemple pour le

gaz nous avons :

<"> <FPG V G - o

d'oh l'équation de l'énergie ;

±-<ç. EG ) + div (pc EG Vc + j^ ) + PG div vj. -¥Q : grîd 'vj, = 0

De même pour le liquide ;

EL ' + div (PL EL VL + JL dlv V -f

27

4 - EQUATIONS AUX VARIABLES INSTANTANEES MOYENNEES DANS UNE SECTION^

4.0 - Introduction

4.0.1. Géométrie et moyennes utilisées

Lee résultats trouvés seront indépendants de la géométrie et de l'écoulement.

Ils seront valables quels que soient la forme et la dimension de la conduite, la nature de

l'écoulement (bulles, slugs, annulaire ...) ou son régime (turbulent ou laminaire).

La moyenne volumique (surfacique) d'une variable f sera notée $ f^ ( < f > )

et définie par :

rrr i£„ dT

dT

4.0.2. Intérêt des équations généralesmoyennéea dan3 une section

Les équations généralea moyennées dans une section feront apparaître des

teimes pouvant être mesurés facilement et l'expérience permettra peut-être de vérifier des

conclusions tirées des équations. Bans ce qui suit ces équations seront simplement établies.

Leur interprétation et leur utilisation feront l'objet de recherches ultérieures.

4.0.3, Recherche des équations moyennées

Deux méthodes peuvent être utilisées. Elles aboutissent naturellement aux

mêmes résultats.

a) Moyenne snrfaeique directe :

Les équations locales relatives à une phase donnée sont vraies en tout point

de la section de paffsage de cette phase. Le domaine d'intégration dépend donc de z (compté

le long de la conduite) et du temps t. Le calcul nécessite alors l'application de la relation

suivante (fig. 3) :

Fleure 3

-JL (Ta t^d) z, t)

f (xyzt) dx dy • /Y"Jj

dx dy + p f (xyat) 7. "n*dl

b) ' Moyenne volumlque et passage à la limite

Cette méthode consiste à écrire les équations globales de conservation dans

une tranche jde conduite! puis de prendre les moyennes volurniques de certains des termes et

enfin de faire tendre vers zéro l'épaisseur de la tranche. Le passage à la limite ne semble

pas créer de difficultés mathématiques et pour des raisons de clarté noua emploierons cetteméthode qui n'apparaît pas comme moins rigoureuse que la première.

4.1. - Conservation de

li'équation globale de conservation de la masse de gaz dana une tranche dehauteur û z s'écrit (figure 4} :

AL

^(0

d£

Prenons les moyennes spatiales :

A G <PG VGAG <PQ VG V

ou encore :

= 0

Quandû z—». 0 nous avons

-fdt

V

J (=:, t)

PG

annotant tf l'intersection de l'interface A. et de la section considérée, n la normale !

située dans le plan de section, orientée du gaa vers le liquide.

Nous en déduisons l'équation de continuité relative au gaz ;

<A (A

"G •

30

ou en posant H. = —— .A

(28) .*> ')

PG

De même pour le liquide nous aurons :

(29)

y Z l

(30)

4.1.1. Cas ou il n'y a pas de_transfert de masse

Les conditions d'interface (9) et (10) donnent :

. ni = 0JU

Les équations (28) et (29) se réduisent alors à

(HG <PG» + - f R G ^ G + PL 'V^'^ »

Ea additionnant membre à membre les équations (28) et (29) nous obtenons

(RG <PG WG> + RL <PL WL>) =

81 nous posons :

<Pc>

L'équation (30) devient :

[3l)

4.2 - Coneervatjon de la quanjjtë je mouvement

L'équation gloliale de la conservation de la quantité de mouvement de j

s'écrit :

i'J G

r VG G

r „ étant la surface de la conduite en contact avec le gaz dans le volume de contrôle .*• G

En prenant les moyennes spatiales il vient :

—dt

nT dZ = 0G

Mais nous avons :

V G ® V G > novc>'

QuandA z — > 0 il vient :

' - AG<PG W

(AG<PG

A

Pc

F>

îf étant la normale à la section orientée dans le sens de l'écoulement.

7£ dï-

/ dl

nc ' "G tf

en appelant if l'intersection del. et de la section, n ^ la normale à t? dans le plan de la

section, orientée vers l'extérieur de la conduite.

Finalement en posant R = l'équation des quantités de mouvement

moyennée s'écrit :

-(^r f Rdl

(32)dl

Four le liquide nous aurons de même :

33

(33

"•*/.L' Ll7 *= 0

4.2.1. Cas oh il n'y a pas de transfert de mgBse^

Les conditions d'interface (9) et (10) permettent de simplifier les équations

(32) et (33) qui s'écrivent :

' *— ( " —

= 0

G ' n . «,, .G G

<RL < PL V '

4l dl

4.2.Z. Cas oïl il y_a. transfert de masse

La condition d'interface relative aux quantités de mouvement (14) s'écrit :

En ajoutant membre à membre les équations (32) et (33) nous aurons :

V > + R 1+A.G i-r rLà Li j £Z

- [ '

34

*G G — » — »"G • "Off

En posant :

.G G

< .-L Li

L'équation des quantités de mouvement moyennes s'écrit

-llL- dl = 0


L'équation globale de conservation de l'Énergie s'écrit pour la. phase gazeusede la façon suivante :

dï.

/«

Noua obtenons en considérant les moyennes spatiales :

35

(EG+ T G ' - V , di

Si A z — » 0 l'équation précédente devient facilement :

^ [RG *"G <EG î

T+ -» dl

"G -

Pour le liquide nous aurons de même :

JL '

4,3.1, Cas où il n'y a pas transfert de masse

Les conditions (9) et (10) réduisent les équations (35) et (36) aux

expressions :

<PG

dlJG '

dl

' G1 - 0

' "G if

36

.= 0nT . nT iL L«/

n . n _L Li?

4.3.2. Cas où il y a transfert de masse

La condition (22) relative à la conservation de l'énergie permet d'éliminer

les intégrales étendues à c7 lorsque (35) et (36) sont ajoutées membre à membre :

En posant ;

T .L>

-J . n

_

J n dl f - * _ *_^ - +d J . nT _.j — * — ̂ t *p 1^ Lt — *n_ . ï!, . t/ ^ L ** n,"G ' nc-6 "L-6

nous obtenons :

4.4 - Equation, de l'énergie

L'équation de l'énergie s'établit en retranchant membre à membre l'équation

de la conservation de l'énergie et l'équation de mouvement aous la forme énergie cinétique.

Elle ne traduit pas une loi de conservation et. de ce fait, ne peut être posée à priori sous

une forme globale.

37

Néanmoins, l'équation de l'énergie moyenne o dans une section peut s'obtenir

facilement en intégrant l'équation d'énergie locale relative a une des phases dans la section de

passage de cette même phase et en utilisant la relation du paragraphe 4.0.3. a

L'équation locale instantanée de l'énergie relative au gaz s'écrit :

> + "G EG div : gr=ad

ou encore puisque l'on a :

« E JG -VG = o

Notre but est de moyenner cette équation dans une section. Remarquons tout

d'abord que les termes (î) et (?) se moyennent très facilement. En effet, nous avions pour

l'équation de conservation de la masse :

a/ la forme locale :

b/ la forme moyenne e dans urne section :

= 0

G * Gj

En remplaçant p par p E , les termes ©et © donnent en forme

moyeimée :

- -' nG3

Moyennons le terme (s) dans la section :

38

s., div JAG G

ai,Gz dx dy

Appliquons le théorème de GREEN aux deux premiers termes du membre de

droite :

dx dy =4) Jr dyh

Si nous posons :

alors nous aurons :

a2_dy

dl

dx"dT

1,

D'antre part, nous avons en appliquant la relation du paragraphe 4.0.3. a

JGx dx

Calculons le produit scalaire Vz . n (figure 5) :

\_

PiguJc 5

39

MlBC = tg Y . A z = . Û

- —i-- n

* *pFinalement l'équation de l'énergie moyennée dans une section s'écrit :

TtEG WG

(33)

"G ' "G-*

(39)

VL*

=,rL L

dlT .L L — » — if

= 0

4.4.1. Caa oh il n'y a paa^ejransfert de masse

Les équations (38) et (39) deviennent en tenant compte des conditions

d'interface :

<9o^o^*-h ^G'PG^G

^* -> dl * i r-> -» + ATnn • nr-. 1 «/ •«

- R

J.^ . n.—G G -

'G

dl

TT V »

.

40

, 4.4.2. - Cas où il y transfert de masse

Posons :



<<« ; grad ^ > = RG ,4=%G : gfad VG > + H-L<-

à (sans indice) = £ (indice G) + £ (indice L )

En ajoutant membre à membre les équations (38) et (39) il vient :

(40)

: grd

dl

4.5 - Equation de l'énergie approchée moyennes dans une section

Nous allons donner une forme approchée de l'équation de l'éneTgie et de la

condition d'interface correspondante en négligeant dans les expressions complètes les termes

relatifs au travail de compression, à la fonction de dissipation et à la conduction longitudinale.

4.5.1. - Equation de l'énergie approchée

L'équation de l'énergie s'écrit pour le gaz :

( pc Ec) + div (pQ EG VG + Tg) + pc div ï£ G - TG : grad VQ = 0

D'ol, en faisant E = h_ , une autre forme de l'équation de l'énergie" PG

ÔP -* -t - - -

JL ,àt '

DGPGrG "G 'G div JG -T

41

G ''G

En négl:Hgeant G ° et T : grad vl on obtientDt

div

La forme moyennée de cette équation s'écrira de fajon évidente

a fRTT (RG

et en négligeant le terme de conduction longitudinale :

- - R_ < .dz G G

= o

G ' "GJ "G •

De même pour le liquide :

TT

+ inL ' L3

"

4.5.2. . Condition d'interface approchée relative à l'énergie

La condition (Z2) s'écrit :

+ Ë > «" -7) + T - ' ''

ou en introduisant lTentbalpîe :

( ^ + h > <^ -7' +

42

Si on néglige les termes :

condition d'interface s 'écrit BOUB forme approchée ;

= 0

En faisant la somme membre à membre des deux équations phasiqu.es approchées

de l'énergie, et en tenant compte de la condition ci-dtssus, on aboutit à :

TT

^G "L • VS

5 - EQUATIONS AUX MOYENNES STATISTIQUES LOCALES

5.1 - Définitions - Généralités

5.1.1. Variable aléatoire de phase

a) Définition

Nous allons définir une fonction aléatoire X (x., t) pouvant prendre unique-

ment deux valeurs : 0 ou 1 de la façon suivante :

3L. t) = 1 si le point x. à l'instant t est entouré de gaz

xj. t) = 0 si le point x. à l'instant t n'est pas entouré de gaz

De même nous définissons X {x., t} par :

V 0 = 1 si le point x à 1'ineta.nt t est entouré de liquide

XL 'xi' ^ = ° 8l le P°int x- a l'Instant t n'est pas entouré de liquide

b) Propriété

Eu effet :

= o

< = 1 - K*

5.1.2. Tayg de vide local instantané statistique

Considérons un ensemble de N écoulements diphasiques identiques. Plaçons-

nous en un point donné M (x.), le même dans les N écoulements et à un instant t donné.

(41)

Nous pouvons définir un taux de vide local instantané statistique en M par :

N_ (x t)

NG (x., t) étant le nombre d'expériences ou le point IÀ est entouré de gaz à l'instant t.

De la même façon nous poserons :

(42) «T (x;, t) =

5.1.3. Moyennes statistiques

Soit f (x.( t) un paramètre de l'écoulement (par exemple la masse volumique,

la composante de la vitesse selon Ox, etc ...).

a) Moyenne diphasigue de f (x., t) :

Par dentition ca sera :

(43)G1

b) Moyennes phaaïqiiea de f {x., t) :

Elles seront définies par :

(44) ,., t)G1 ... G

... H- £'LN.

(45)Ll

c) Relation entre la moyenne dlphaeîque et lea moyennes T?hasiquefl_

Les équations (41), (42), (43), (44) et (45) donnent immédiatement

(46) f = aG G L 1>

d) Moyenne statistique d'une variable aléatoire de phase

Noua avons de façon évidente les relations :

«G (*i' *' = XG (it i' 4)

e) Ecart-type d'une variable aléatoire de phase

L'écart type <jj_ est défini par :

k = G ou L

45

En conséquence :

ffGZ ' °LG L, •- «G ttL.

B.I.4, Expression des corrélations doubles dishaalques

Soit : f = f + f - g +

B'

relation ;

Un calcul rapide montre que noua avons la relation :

£' g'

5.1.5. Expre&rgion des corrélations triples dlphaeicfues

Si nous avons de plus : h = h * hr un calcul fastidieux nous donne la

(a

G L

G f G «'G h'c

46

5,2 - Equations aux moyennes statistiques locales

5.2,1. Conservation de la masse

Pour les N_ expériences oh M as trouve environné de gaz l'équatio

locale de co&fiervation de la masse s'écrit (5) :

G2

et

ït

PQI VGI

GZ

_PGM VGNG = 0

G

équations

Ajout ODD membre à membre ces N_ équations :

' + dif,G N VGN >

G G

et d'aprea la définition du taux de vide local et de la moyenne phasique :

(4?) — P Q * * « o P o

Remarque importante : Cette équation n'est valable que pour les N expériences oîï le

point M est entouré de gaz.

De mSme pour le liquide :

(48)

Même remarque : Cette équation n'est valable que pour les N- expériences ou le point

M est entoure de liquide.

En ajoutant membre à membre (47) et (48) et en tenant compte de la relation

(46) nous obtenons :

47

(49) it + div p V = 0

5,2,2. Conservation de la quantité de mouvement

Le raisonnement précédent s'applique à chaque équation de conservation.

Nous trouvons ainsi lea équations Je quantité de mouvement suivantes :

PG YGPG

PL

5.2,3. Conservation de l'énergie

= 0

P (~ V2 + E ) + divf p (h+ ~~VZ) T+ T- V.^-pv" . F = 0

5.2.4. Equation de l'énergie

grad V = 0

= 0

E F "*" —*"1 -*- — •*— + div L P E V + J J t div -V -T . grid V =

P E= 0

N.B.- Dana toutes les équations moyennées statistiquement de ce paragraphe 5-2 les

termes-sources ds masse, de quantité de mouvement et d'énergie ne sont pas pris en

compte car nous n'avons pas inclus le cas o& M était sur l'interface, Une publication

ultérieure précisera ce point de façon définitive.

5.3 - Equations aux moyennes temporelles. locales

Dans le cas d'un écoulement permanent en moyenne (-TT = 0 ) le théorème

ergodique nous indique que la moyenne statistique est égale à la moyenne temporelle. Toutes

les équations du paragraphe 5.2 dans lesquelles les termes en"!r~ seront annulés peuvent donc

être considérées comme les équations générales moy eim.ee 3 dans le temps relatives à un

écoulement permanent en moyenne .

6 - COMBINAISONS DES MOYENNES SURFACIQUES ET DES MOYENNES STATISTIQUES

6.1- Quelques relations importantes

6.1.1. Nous avons la relation :

En moyennant dans la section totale nous aurons :

= — I ( X f d

Or nous avons :

49

et nous en déduisons :

fG>

*G 'G' - N •

En conaâqueace :

(50)

(51)

De la Btême façon nous avons

d£

* a G"* ' - RG

Ces relations sont valables quel que soit f . En particulier si nous faisons

f_ = 1 nous avorta f_ = 1 et <f_ > • 1 d'où nous concluons ;G G G

(52)

et de même :

(53)

6,1,2. Posons les égalités suivantes

ac =<cb>+fl t"G

<fG>=

Nous avons de manière évidente

50

(54)

(55)

Retranchons membre à membre liquation (54) à l'équation (55). Il vient entenant compte des relations démontrées au paragraphe 6.1*1. :

o = - <f

c'est-à-dire :

/ ri\

fÇ7Ï

_ <ci'G . *"G>- R'G < f G > '- XG ' - fG'

Rn

*o£ . £" > - R' < f >h

' L' ^ L ' ^Z

6.1.3. D'après le paragraphe 5.1.3. c noua avons

'

En moyennant dans la section totale nous obtenons :

En tenant compte de (50) et de (51)

< ï > = H.,, <f- P r ^f , >= <fLt L

avec <f > = R <f > +

En conséquence :

<f > = 1if >

51

6,2 - Equations doublement moyennées

L'équation de continuité moyennée dans une section s'écrit pour le gaz (28) :

-= 0

"G"

En prenant la moyenne sLatiatique sur l'ensemble des N réalisations il vient ;

(SB) -= o

L'équation (47) :

vc =

donne après avoir été moyennée dans la section totale :

PG> div^cv, pc

soit, en appliquant le théorème de GREEN et en se rappelant que UQ = VG = 0 à la paroi :

à £CC~ ft^ "* A

(59)à *-<*G fç > a

à t + az

Mais nous avons vu que l'on avait :

(50) ._ _ ,, -,G G G G

et (59) devient :

àt

ce qui implique en comparant avec

PGdl -= 0

ce qui eat absurde.

L'ertenr est de moyenner L'équation (47) dans la. section totale. Cette équa-

tion, comme nous l'avons fait remarquer au paragraphe 5.2.1. n'est valable que pour les NG

expériences ou le point M est entouré de gaz. Si AGi reste fixe et ne dépend pas de 1,

alors noua pourrions moyenner l'équation (47) sur AG. Malheureusement AG dépend de I

et les notions d'opérateurs de moyenne statistique et de moyenne spatiale ne peuvent être

rassemblées dans une opération commune.

Néanmoins nous obtenons à partir des équations [58) et (50) :

-» dl

De mSme pour le liquide :

-= 0

nL ' nL?

Ce raisonnement est valable pour toutes les autres équations de conservation

et nous pouvons énoncer les propositions guivantec :%v_

6.2.1. Toute équation phasique moyennée dans une section peut Être moyennée

statistiquement. C'est par exemple le passage de Téquation (28) à l'équation (58).

à.2.2. Une équation pLasique moyennée statistiquement ne peut être moyennée

spatialement.

6.2.3, Par contre, une équation diphasique moyennée statistiquement peut

être moyennes spatialement.

6.2.4. Lea opérateurs de moyenne surfacïque et de moyenne statistique sont

des opérateurs commutatifs a condition de lea appliquer à des équations diphasîques et non à

des équations phaeiquee.

Mous appelons Equation phaainue une équation relative à une seule phase,

équation k-phaslque une équation relative à la phase k (k = G ou L), équation diphasique

53

la somme membre à membre d'une équation G. phasique et de la marne équation L. phasique.

7 - APPLICATIONS PRATIQUES DES EQUATIONS AUX VARIABLES INSTANTANEES^MOYEMNEES DANS UNE SECTION

7.1 - Conservation de la masse

Noue avons vu au paragraphe 4.1 que l'on avait :

(27) _?L _3 (A dl

«, t)

Considérons un écoulement monophasique dans une conduite rectîligne de

section variable. L'équation (27) se réduit à :

(62) -^ (A ) + ^- ( A ) = 0

Nous retrouvons la une équation classique (voir par exemple [3] ) .

7.2 - Conservation ds la quantité de mouvement

L'équation diphasîque des quantités de mouvement (34) s'écrit :

(34) ~ <?V>+-±vv,V-%. n*>--ô

dl

54

Considérons une conduite rectiligne de section circulaire de diamètre D,

Projetons l'équation (34) sur l'axe Oz de la conduite.

7.2.1. Calcul du terme —

dl "Mous poserons par définition :

Nous aurons ainsi :

dl

d'où :

7.Z.Z. Calcul du terme ™— <.( «î ."J )

Or nous avons :

= - P,

» L = - "L Ù H * L

55

Supposons :

UJ que p soit constant dans A_ à z et t donnée. De même pour LO Cr

= R,oC(T r .~n")n,H f-+ — ̂ âT-22--! -

j ^PL ^V^VH fL X" à z d* J (.

p .L

Supposons en outre que :

IT t G '

PG = P, = p dîne une section A et à un temps t donnée.

Nous en déduisons, compte tenu de la relation R + RG i

Finalement l'équation (34) se met sous la forme :

(63) g +^TÔ-= 0

7.3 - Application pratique de l'équation de l'énergie approchée movenné'e dama

une section

Considérons une conduite de section circulaire de diamètre D chauffée a flux

constant. Les deux derniers termes de l'équation dipnasique approchée de l'énergie du para-

graphe 4.5.2. s'écrivent :

TTD "' (- ff ) . TTC

et l'équation devient :

Supposons la. constant dans AG (de mËme hL constant dans AL ) et

indépendant dn temps . Au lieu d'avoir hQ (Xj, t ), h^ (x^ t) nous aurons ]IG (z) et

h (z) uniquement. Avec ces hypothèses nous avons :L

à t

dh

-dz

dh_

-dz —<Jz,

(65)

L'équation (64) s'écrit alors :

àt dz

dh.

dz

.LiD

7,3,1» - Cas ou, dans une sectÎQnf les deux phases sont en équilibrethermodynamique

Si dans une section nous sommes à l'équilibre thermodynamique nous avons

T (z) = T (a) avec T = température de saturation

L'hypothèse h = constante dans A,_ implique en effet que T (température

d1un point situé dans la phase k } soit constante dans A- .

En outre, :

dh dT dh dT= c et

57

C et C, étant les chaleurs massiques à pression constante du gaz et du liquide, <£ laG L

chaleur latente de vaporisation.


»t

C dT

at

-= o

Le premier crochet est nul, car c'est le premier membre de l'équation

diphasique de continuité (3l).

Comme dans une section A, , p, et T sont constants par hypothbse, p.

est également constant.

Nous obtenons donc :

(66) °G RG CL RL dTs

dp= 0

dz

Four trouver l'équation analogue relative au liquide il suffît de mettre h

en facteur dans l'équation (65) et de remplacer h par H - <£ ce qui donne :

(67) àR CG RG dTa Jf

dp dz'-= 0

7.3,2. - Cas où. dans une section, les deux phases sont en déséquilibrethermodynamique

Si nous ne sommes pas à l'équilibre dans la section considérée, mais si

néanmoins, le déséquilibre est constant, nous avons :

T +6s

En outre, nous pouvons écrire :

h = hL +JÏ par définition (h est l'enthalpie massique du liquide à la tempé-

rature de saturation)

58 59

h = h, , + C, (T, - T )t, L sat L L s' ou encore

donc : ^I^^H

ou encore : •̂ .̂ ••H

G ~ L, L ^IHB

QnBD'autre part : ^Bifll

dh dT dh, dT, / dT d& \ iBHHG s -..- r L r 1 s i \ mSKK

~ CG ~ L " " L, l ) BBMBldz dz dz dz \ dz dz y HB^H

B5L'équation (65) s'écrit alors : H^^l

a (R » + i a (R ) - c e* (R ) + h a (R < P» HHjii ^ « « at ^ " jj jt u u "31 " • " j^^BB

, c """IL u - , r /dTa , ̂ , •+ L._ ' ^<V'i~ wo> 1 ^T 1 ' H "-Pi wr •* iflBBlG L j u u l - i l . , ., / T -L-i Lt •̂ ••̂ •̂1dz \ da dz / »J HHfl

a tf a i- ^ BBBàz )z ia ^H^M

: D'ob : BBH

f a i Cr dT« iBHI1 at ( G FG ' àz c G PG G J 4 dz *G~PG l"°'u HHc AT \ ir i HH

ou encore : •••••1d r 3 [ T i dT

B HBIJ * dz BHH

( v r 1C L e M è R G d RG< pGwG>M ^ „ 11 dT

' j, 1 ' ' CG G <PG WG^ L L ''PL "L1" J ^-a-A y Si da 1 L J* dz

C, d9 4*+ R

L<P1,WL> — L = °

L'équation relative au liquide s'établit de la même façon :

/ t* \ *^n %o "1

l * J l 3t Sz J 1 _ G G na G i, u li. 1.J.J dz

H *p v; > CL dÔ +_!£_= 0L L L ^ dz D

7,3,3. - Application pratique aux écoulements à détente sans flux à la paroi

Considérons un régime permanent sans flux à la paroi . L'équation finale du

paragraphe 7.3.Z. se met sous la forme :

L CLe\ dx , X CG + (1 ' X) CL dTs dP_+ ( 1 -x ) CL dÔ - „Y * 1 dz •£ dp ' dz Sf dz

c eSi 9 < 10°C — —41 :

^ x CG + ( 1 - x ) CL dTa dp C^ de Q

dz à£ dp dz ^t ^z

Comme dans le phénomène de détente, le titre massique est faible (xt

puisque la source de chaleur est uniquement la surchauffe initiale du liquidée

60

a dp LJ d 6dz T C, . . -*- + -3

^ dp dz * dz

et comme h_ . = C., TL sat L E

•a*-.,dhT dp C,

L "at

dz gf dp dz *u dz

8 - EQUATIONS GENERALES RELATIVES AUX EMULSIONS

8.0 - Introduction

N. ZUBER [4] emploie l'équation de continuité relative aa gaz sons la forme

(68)

avec les notations suivantes :

CLp ! concentration volumique locale du gaz

V^ : vitesse locale du gaz

pg : masse de gaz créée par unité de volume et par unité de ter::pe, par

transfert de masse aux interface.

A priori l'équation (68) paraît surprenante ai noua la comparons à l'équation

(47) rappelée ci-dessous :

(47) div

ou nous avons :

CC,. : taux de vide local statistique instantané

TQ : moyenne statistique phasique

61

En fait lea équations (£3) et (47) se rapportent à deux problèmes différents.

L'équation (68) est valable pour ce que nous appellerons une emulsion, c'est-à-

dire un écoulement diphasique comportant une phase continue et une phase discontinue (ail

point de vue topologique) qui se présente sous forme de particules de dimensions comparables,

petites devant l'élément de volume dT . Avec cette hypothèse nous pouvons alors définir :

8. 0.1. un taux de vide Local volunûque instantané G égal au rapport du

volume occupé par le gaz dans l'Élément dTaur dT.

8.0.2. une vitesse moyenne locale instantanée V_ des particules de la

phase dispersée dans le domaine élémentaire ù~[ . Si par exemple, dT comprend m particules

nous aurons :

(69)

81 0*3, une vîtes.se_moyeniie. locale inatantan.ee V_ des particules de la--.. . .-- — — . * L

phase continue dans d*T . Pour ceci il suffit de diviser C d-f en volume sous-élémentaire-* L

dT ' et de définir V. par :

— f •*- — •-

•̂* U t) - VG1 + VC2 + "' * VGmVG ( I' ' m

(70)

8.1 - Définition plus précises des vitesses moyennes locales instantanées et de la

vitesse barycentrique locale instantanée

Dans le volume dTilya. m = n dT particules de gaz de vitesse V,, . Soit

u , v , -w les projections de V . Nous appellerons particules de classe l'ensemble

des particules appartenant à l'élément de volume dT et dont la vitesse est comprise entre

V_ et V_ + d V_ . Nous introduisons alors une fonction de distribution F_ telle que leG G G G

nombre de particules de classe &. comprises dans dT soit :

n . dT . F_ . du_ dv^ dw,.

Noua avons :

m = n dT = n dT

62


dv

(7l)

(72)

La vitesse moyenne sera alors définie par

' FG '

De même pour le liquide noua aurons :

Ces definitions sont bien compatibles avec les définitions (&9) et (70) données

plus haut. D'une façon générale si f (V } représente une fonction quelconque, scalaireou vectorielle de V_ nous définirons la valeur moyenne f (V,_ ') par :

G G G

(73) = ffffG Û* > ' FG ' duG

De même :

(74) ' FL '

Nous appellerons vitesse barvcentrique V* , la vitesse du centre d'inertie duvolume élémentaire dT . SoitMQ le centre d'inertie du gais dans d^ , M le centre d'inertie

du liquide. Soit dm la masse totale de dT, dm» et dm les masses de gaz et de liquidecomprises dans dT telles que :

dtïi - dm_ dm»

Le centre d'inertie M de dT est défini par la relation

. OM . OMOM

et sa vitesse par :

dOM

dt dm

(75)

(76)

Co dTb

CG "G VG C L P L V

CG PG CL PL

La masse volumique du mélange p est égale à :

P = CG P G H CL P L

8.2 - Expressions de quelques flux élémentaires

8.2.1. Calcul d'un flux massique élémentaire

Le flux mas sîque de particules de classe *fî passantà travers l'élément de surface dl (figure 6) pendant un temps

dt est égal à :

n . n dt. dl . duQ dvc p v

avec :

n : nombre de particules par unité de volume,n. V dt. dl : élément de volume

v : volume d'une particule

n . n Y_ dt dt F du,, dv_ d*_ : nombre de particules de classe 1ff_ comprises dansG G G G G _ Gl'élément de volume "il" . VG dt . dl,

0 v : masse d'une particule

Le flux massique de toutes les particules passant à travers dl pendant dt

est donc égal à :

ftr-= n n dt dl PG v/j[ VG . FG . dv

n . VQ d£ dt puisque CQ = nv

8.2.2. Calcul d'un flux élémentaire de quantité de mouvement

L>e flux de quantité de mouvement des particules de classe 1g passant à

travers dl pendant un temps dt est égal à. :

a . n V dt dl , F_ . di

Le flux de quantité de mouvement de toutes les particules de gaz passant à

travers d£pendant dt s'écrit par conséquent :

• •

= n dt dï P

. dl . D v VP C V VG

du dv dwG G G- . G

-c*

CG dt dï- [ ^" \J ' VG 1 en tenMlt COïnPte de (73)

CG dt

8.3 - Conservation de la. masse

Considérons un domaine ff> fixe limité par une surface fermée I fixe .

La masse de la phase dispersée présente dans l'élément de volume dT est égale à p C

dl . En écrivant ceci nous faisons implicitement l'hypothèse que p ne varie pas à l'in-

térieur de dt, c'est-à-dire que le KHz eat localement homogène.

La masse de la phase dispersée comprise dans le domaine £ est égale à :

ffJL "G CG dT

Pendant le temps dt cette masse augmente de la quantité :

tf G CG dT

OÙ

65

Cette augmentation est due au flux de masse de la phase dispersée à travers £

et à la création de niasse aux interfaces.

Si T* est la masse de phase dispersée créée par unité de volume et par unité

de temps dans des phénomènes d'interface, la masse créée dans (^pendant le tempe dt est

égale à :

D'autre part, d'après le paragraphe 8.2.1. le flux de masse de la phase dis

persée qui entre dans le domainejJTJà traversé pendant dt est égale à :

- dt

D'où :

-^_^dr= d t / Y / P G d T -

àt JJJQ

En divisant par dt et en appliquant le théorème d'OSTROGRADSKI il vient

(77)

(78)

à*

De même pour la phase continue :

PL

PG + PL = 0

avec bien entendu la relation :

(79)

Nous avons retrouvé une équation analogue à (77) dans [lz] et [S] Ces

auteurs utilisent (77) de façon tout à fait correcte puisqu'ils considèrent, des écoulements oît

le volume élémentaire dT est assez petit pour être assimilé à un point, mais également assez

grand pour que des quantités telles que le taux de vide volumique ou le transfert de masse aux

interfaces puissent y être définies,

En ajoutant membre à membre les équations (77) et (73) et en tenant compte

de la relation (79) il vient :

66

JL (C P _ + C P ) + div (C P V* + C P V*) s 0- > . G G L* li G G G L i L i L i

d'oîi en utilisant (75) et (76)

(80) •̂ + div p"v* = 0

II est d'usage [6] , [7l d'introduire les vitesses massiques relatives

encore appelées flux de diffusion :

(82)

En ajoutant membre à membre ces deux dernières équations nous obtenons :

CG P0 VG*+* $

V, - V]_i

d'où

(83) ~£ * Y = 0

Da peut également définir [il] des vitesses de diffusion

UG * VG = VG -

=,, P,, V* 4- C P. VG G G L_ L I

^r P7- T fft ^rLi ta ij Jj

(84)

et :

(85)

facilement :

C G P G +

n = v* - v* =Xr

C P V* + C. P, VrG G G L J j l

G G

°L =-

( VL - V)

En comparant les relations (81), (82), (S3), (84), (85) nous obtenons

67

(86) CG ">G "G + CL = 0

Remarque : Lee vitesses de diffusion U_ et U, sont différentes des "drift velocities" deu ljZUBER [4] . En effet, ce dernier définit la vitesse moyenne par C V* + C V* et non

pas par l'équation (75) .

(87)

—4 DLa vitesse V permet de définir un opérateur de dérivation rp- tel que :

D _ 1 . 'DE -fr + - = - H- - V . grid

(88)

L'équation (80) devient alors :

S + div~V'= 0

L'équation (77) s'écrit en tenant compte de (81) :

bp r C _, _ .

+ div 'c + div CG PC V ' PG'

iiv IG

d'où eu utilleant (87) et (88) :

(89)D PC CG

+ div I_ -Dt

Or nous avons :

— — G p =Dt ° p Dt

En conséquence (89) devient :

P —Dt V P

+ div = P_G G

De mïme poux le liquide

(91)Et

8.4 - Equation de diffusion

L'étude de la diffusion au moyen des équations {81), (82) et (90) est souvent

appelée la description barycentrique. Il apparaît que cette description barycentrique eat la

plus commode pour résoudre les problèmes de transfert de masse convectif. Nous allons

établir maintenant une équation de propagation de concentration dans «ne emulsion gaz-liquide,

oil le gaz est sous forme dispersas, en écoulement monodimensionnel selon l'axe Oz, sans

transfert de masse aux interfaces (F Q = P ̂ = 0), à masses volumiques F et p constantes.constantes,

(92)

(93)

Léo équations (77) et (78) s'écrivent dans ce cas :

a t

et (93) :

(94)

Comme C .̂ + C^ = 1 nous obtenons en ajoutant membre à membre (92)

Par ailleurs l'équation (92) peut se mettre sous la forme :

69

et en vertu de (94) :

a t<ï>Cc

• = 0

jLfs^ t <C

Si nous admettons que la diffusion est due uniquement à un gradient de

concentration la loi de FICK s'écrit :

(95) = - D-c) z

D est la diffuBÎvité du gaz dans le liquide.

Cette expression est équivalente à la relation plus classique [8] :

(96) = - P D grad

En. effet cette équation projetée sur l'axe Oz s'écrit :

CG 'VG = - P D -£_ < CG ) si p _ est constant

donc :

Or :

P / p

p 2est

70

D'autre part nous avons :

- V*> = CG ( VG -

CG "G VG * C

G G

L L L .

+ CL pL J

d'où :

VG - CG PG VG - CL PL VL * CG

En remplaçant p par sa valeur noue obtenons enfin :

qui n'est autre que l'équation (95).

Nous obtenons finalement la forme classique des équations de diffusion :

(97)-+ (CQ Y' + C, V-)—!° = -=*-(D ~

L L > z *z •& «

Remarques :

ft.4.1. Le problème est de connaître la valeur de la diffusivité D des

bulles de gaz dans le liquide. Actuellement, seul M. ZUBER a proposé un calcul de D.

Ce calcul utilise la théorie des ondes cinématiquea [9 ] .

8.4.2, Nous avons supposé pour établir la relation (97) que le flux de

particules dispersées était uniquement dû à un gradient de concentration. En fait, cette

hypothèse semble difficilement acceptable car le flux doit certainement dépendre des gra-

dients de pression et peut-être des gradients de température (effet SORET).

8.4.3, La quantité C_ V* + CT V* peut être interprété comme lau <J .Lj Ij

vitesse du centre de volume de l'élément AT.

8.5 - Conservation de la quantité de mouvement

7Î

8.5.1. Equation des quantités de mouvement

Nous ferons un raisonnement analogue à celui qui a été fait pour la conser-

vation de la masse au paragraphe 8,3 . La conservation de la quantité de mouvement à

l'intérieur de î s'écrit pour I1 emulsion i

C « *

> C P L

Ce - •Le membre de droite de l'équation ne comporte pas de terme tel queJJ °ft .

dt

dl

puisque noue raisonnons sur un milieu discontinu, à une échelle microscopique. Des

transformations classiques permettent d'obtenir la forme locale de l'Équation précédente

+ div [CL PL (vL@

C P F + C r P , FG G L L

(98)

(99)

Nous allons poser par définition :

~*~ "*• r f o ï^*~^6 = P V^ V* - L G G ^VG®


c> P "v^ """" ~*"# ^+ ~*

vGf + CL P L (VL® ̂ r]

«*. n T,

Le premier membre s'écrit encore :

"

lit St. div p~V*> p"v* . grad

+ V . grad

D V= P —gj— par application de l'équation de continuité (30) et de la définition

72

(87) de

L'équation (99) se met donc également sous la forme suivante

P DV5-.r Dt -

-*- —div "5 + pF(100)

8*5,2. Expressions du tenseur de contrainte

a) D'après (98) nous avons :

- C PG G

cc PG

cc PG

CG ̂ +^*® PL,

PG (7G®7/.

= - CG G [V

Lf - 7*® V*.

= - CG PG

"L® v"*> - V

V*)]

(101)

Nous retrouvons ainsi une expression classique du tea s eux de contrainte.

Cette expression peut être également obtenue à partir de l'équation de BOLTZMANN. Voir

par exemple l'équation 7.2 - 23 page 467 de [lO] .

b) Nous avions posé pour le système diphasîque :

(98)°et P y*® v*. [CGPG (

73

Four Être cohérents nous sommes amenés à poser :

- C

= CL P L - CL P L V

Or noue avons la. relation suivante :

* * - * CG C I-P G P L *

et nous déduisons facilement une autre expression du tenseur de contrainte :

(102)CG CL. PG (V* - V L * ) ® ( V * - V * )

ou encore en tenant compte de (84) et de (85) :

(103) ^ - «G

8.5.3. Transformation de l'équation des quantités de mouvement

Si nous posons :

l'équation diphasique des quantités de mouvement (99) s'écrira :

P + div p V*® V * = - grad p + div T + p F

Or nous Avons les relations suivantes :

VG

74

En tenant compte des équations de continuité (77) et (78) il vient :

-fc -»- _ •* ïvf* —..+ V r 4. f_ n v* „•-., ,1 v* j- *7 nP „ V- . grad

G *

G L f > L + pr

Nous poserons par définition :

—- =-i-+ V * . gradDt "bt °

-^ =-*- + V* . gr-adDt "bt L

Nous obtenons finalement

D_ V* D V*

Dt Dt

-C_ C, P r P T -~G L G L / „*

C GPG

Si nous remplaçons °6 par son expression (102) il vient :

Cette équation doit Être comparée à l'équation (41) de ZUBER [4] .

Nous avions posé (87) ;

^ =-!-+ T* . grad

En tenant compte des définitions ci-dessus il vient :

Dt Dt ' - ( Vt - V») grad

75

d'où nous déduisons, en utilisant les définitions des vitesses de diffusion :

D

Dt

DCt

= — °-Dt

DL

Dt

-*G

-*.

- UT

. grad

. grad

Dt Dt

Formule remarquable :

Soit f* une fonction scalaire ou vectorielle quelconque (par exemple

scalaire) :

Dt ~ V*~ ' 6ra

. f*4f- + divo*

div f-^~« . f* f if_+ div\ T > t

Si f *"" est une fonction telle que :

comme nous avons

alors :

V 4


" C f

Dt

. div _!P . ̂ G L (t* - î» ) (V* - V* ) - f"(^£. + div p 7*)^ • î)t

76

o- tCG PG

CG PG

,v£* r a d fL

Nous obtenons ainsi une relation remarquable déjk indiquée par HAYDAY [ll]:

p-DT c' Dt

(104)> C p —*-

4 f» ( î^i 4 div cLPL v*) - f«

€„ C p _ p —G L G L {f* - f - ) (v* -n \j J_« U

• + div p V*" J

Compte-tenu des équations de continuité (77), (78) et (80) cette Équation ae

réduit à :

(105)

_D£f_

Dt

- dïv

Dt

D f*

Dt

C C p p —s- -a.G (f* . f > ) (yg . y*,


8.6.1. Equation de la conservation de 1Ténergie

De l'équation globale suivante :

V*15

Lt \j ]_,dT

77

nous déduisons l'équation locale ;

4 div C p (-i-1Jj Jj £

= 0

Nous allons définir l'énergie interne baryccntriquc massique E et lejlujc_

de chaleur barycentrigus J par les relations :

(107)

(106)

.

L'équation (106) de la conservation de l'énergie s'écrit par conséquent :

(109! ~[p(E*4 -i- V*2)]+div [pV*(E*+ yT*2)] + div~j;- div (^Ç* V*) - p V*. F = 0

De même qu'au paragraphe 8.5.1. cette équation peut se mettre sous la

forme :

(110) P -§f (E* + -j V*2) + div J* - d i v . V* - p V* . F = 0

8.6.2. Expressions de l'énergie interne barycentrique massique

a) L'équation (107) donne :

— [C_ P f-i- vl)* + CT p, èL G G 2 G Li Li 2 - Cr PrV* . V*- C -Lr G G G L . *

78

Finalement nous obtenons ;

E*Nous avons ainsi retrouvé l'expression de l'énergie interne massique

barycentrique donnée par l'équation 7.2 - 48 page 463 de

b) D'après l'équation (107) nous poserons maintenant pour être cohérents :

CG PG

ou encore

(111)

Or nous avons la relation :

P V*Z = p"^* . ~V* = (c . v*

En tenant compte des définitions de UQ et UL (paragraphe 8.3) il vient

-*- _»_• r% i, *ZPV*2 = c G P G v -

- CG PG VG '

L'équation (107) s'écrit finalement :

2

79

d'où une autre expression de l'énergie interne massique du mélange '•

8.6.3. Expressions du flux de chaleur barvcentrioue

a) Noue avons posé (108) :

"^ = CG PG <7 V02' V"+ CW-K ' V- ***'- 7"̂ *

Or, d'après les relations de définition (107) et (101)

P *»~^+ Tp~*2 •"*• = cc PG <7 VG>^*+ CLPL *T

°e*. v* = P

. (VG .

d'oîi nous déduisons ;

= CG PG <7VG ' - CGPG

-- CGPG[VG{VG. v*)]* -

( V* . V*) V*. V*2 , V*"Q ]l

+ les mêmes termes avec des indices L .

—

< -r- C P [ V 2 . V- - 2 (V_ . V*) .i Ç J x j L " G G

les mêmes termes avec des indices L .

* **

V*. V*2.

CG PG T

80

les mêmes termes avec dee indices Lu

Finalement nous obtenons :

et nous retrouvons l'équation 7.2 - 26 page 459 de [lui.

— *- ->-b) Par définition de JG et de J HOUE poserons d'après l'équation (108) :

C • V*- CGPG EG ' T CG "G

Par ailleurs nous allons démontrer quelques relations utiles :

(112)

p E*. V*= . *

13) L'équation (111) donne de la même façon :

PV«. v*=

T ) De même la relation (103) permet d'écrire :

•ë . 7-. 4 . 7 + T . 7 .-ë ,7 . .

En conclusion, l'équation (108) devient, compte-tenu de toutes les relations

précédentes :

ou encore

(113) J - - B . V * • V L

8.6.4. Transformation de l'équation de la. conservation de l'énergie

Supposons que les forces de massa dérivent d'un potentiel tî indépendants du temps

F = - grad Jl

L'équation de la conservation de l'énergie (110) s'écrit dans ces conditions

_> _». _ - » - » • - » -

p — (E*+ -y V )4 div J*- div °6, V*+ p V*. grad A = 0

Or nous avons ' :

—9 -3* -*• —*-

S.—=^i+ y*", grader V*. grad.fl- puisque ° "": est nul par hypothèse0t ôt "i t

Nous aurons donc :

Dtdiv J*"' div

et en. introduisant l'enthalpie massique : h* = E +• -P

l'équation précédente devient :

Nous poserons :

82

•f est l'énergie totale massique du mélange. L'équation de conservation de

l'énergie prend donc la forme :

(114) p-Ë- (E) . div (J . V. V*}

Dt Dt P

Calculons % en fonction des énergies de chaque constituant :

En remplaçant h" et V* par leurs expressions tirées de (111) et de (HZ)

nous obtenons :

(h* + | V*2 PL (h* +-i

En posant :

->*=+ _ i * , 1 ,,*2

S L = " ; + i <

il vient :

C G P G C L P L

donc ? vérifie la condition nécessaire à l'application de la relation (105)

L'équation (114) 8e met donc sous la forme :

( J - <

En tenant compte de l'expression (113) donnant la valeur de J -°6 . V*

nous obtenons :

Dt Dt PtJ

83

Or :

et finalement nous aboutissons à l'équation suivante :

DtG. V L. et =- - div <JG+ j j

Dt » t

Cette équation peut être comparée à l'équation (42) de ZUBER [4] .


L'élimination de l'énergie cinétique entre l'équation de conservation de l'énergie

(109) et l'équation de quantité de mouvement (99) se fait de la mémo façon qu'au paragraphe î. 5.

Nous obtenons alors l'équation suivante :

(115) p -̂ - + div J + p div V* - T ; grad V*= 0

Le terme T : grad V repréaente l'énergie dissipée par le frottement visqueux.

Introduisons l'enthalpie massique :

h* = E*- +-E.p

Nous avons :

d'où :

P - - + div J - - - _ T : grid V = 0

9 - EQUATIONS GENERALES RELATIVES AUX EMULSIONS MOYENNEES DANSUNE SECTION

Or nous avons :

9.1- Conservation de la niasse

L'équation (77) s'écrit :

PG

Intégrons dans une section de la conduite :

A at- dxdy

dx dy

Comme A est constant noua avons :

* C G PG „ A à rr— dx dy =—// CG PG dxA * d W A

D'autre part :

•dx dy =0 C * dy = 0 puisque u* = 0 sur la paroi' G PQ UQ <-"

1̂

f c "n "G d» dy ='-ffl»CG pc v^ dx = 0 puisque v* = 0 sur la paroi

A dy •*

d'où nous dôduisone en divisant par A et en appliquant la définition de l'opérateur < >:

PG>


Cette équation est analogue à l'équation (31) .

9. 2 - Conservation de la quantité de mouvement

L'équation (99) moyennee dans une section donne immédiatement

—*» à • »V> = ><"*.

. ^î*> n est la normale unitaire salon l'axe de la conduite tandis que

dans "* . H*dl ïï*estla normale à la paroi de la conduite. L'équation obtenue eat simi-

laire à l'équation (34).


L'équation (109) moyennes dans la section s'écrit :

-à- ip (E* + 1~V*2)> +-â_<pwlf (E* + i"v*Z)> +-!-Jj* ,"n*>

ai z àz z a,

A (/jt " ..- F.

Cette équation est à rapprocher de (37),

86R E F E R E N C E S


p —, + div J + °B! : gfad V = 0Dt

[ 1] G. STANDART

The mass, momentum and energy équations for heterogeneous flow systems.Chemical Engineering Science. Vol 19 n° 3, 1964,227-236

ou encore :

dt

div p E* V*" + div J**+%* : grad 7*= 0

Si nous moyermons dans la section noua obtenons :

-_a .<J . - n * > + i # r.Tfa.

: grad

équation analogue a la relation (40),

[2] S.S. KUTATELADZE

Fundamentals of heat TransferE. Arnold 39-40

[ 3 ] G. BIRKHOFF

Averaged conservation laws in pipe -Journal of Mathematical Analysis and Applications n° 8 - 1

1964 - 66-77

[ 4] N. ZUBER - F.W. STAUB - G. BIJWAARD

A program of two-phase flow investigation7 th Quarterly report . October Décembre 1964 - CEAP 4778

Kamestit veyu le 5

[5] W.E. RANZ

Structured continuum model of transport with phase change in porous or dispersedmedia. Colloques internationaux du CNRS N° 160. Phénomènes de transport avecchangement de phase dans les milieux poreux ou colloWaux. Paris 18- ZO -

Avril 1966

[ fi 1 H. J. MERK

The macroscopic equations for simultaneous heat and mass transfer in isotropic,continuous and closed systems.

_App. Sci. Ras. A 88 (1959) p. 73-99

[ 7 ] R. ARI5

Vectors, tensors and the basic equations of fluid mechanicsPrentice Ball - 1962

fa ] R.B. BIRD - W.E. STEWART - E.N. LIGHTFOOT

Transport phenomenaWiley - 1960

R E M E R C I E M E N T S

[9] N. ZUBER

On the relation between kinematic waves and hydrodynamic diffusionG.E, Rept n° 64 GL, 76 - April 1964

J'exprime ma profonde gratitude à Monsieur le Professeur A. CRAYA,

Conseiller Scientifique au C.E.N - G, dont lea conseils ont constitué pour moi une aide

efficace et sûre.

[10] J.O. HIRSCHFELDER - G.F. CURT1SS - H..B, BIRD

Molecular theory of gases and liquidsWiley - 1964

Je tiens à remercier Monsieur H. MOND1N, Chef du Service des Transferts

Thermiques, qui m'a suggéré ce travail et qui n'a pas cessé de m'encourager au coure de

mes recherches.

[il] A. A. HAYDAY

On balance equations for heterogeneous continuaApp. Sci. Res. Vol. 16 (1966) 65-88

Enfin, je remercie particulièrement Monsieur R. SEMERIA et Monsieur

P. VERNIER, Ingénieurs de Recherche au C.E.N - G, pour leurs remarques constructiveE

concernant cette étude.

Pl2] J.J. VAN DEEMTER - E.T. VAN DER LAAN

Momentum and energy balances for dispersed two-phase flowAppl. Sci. Res. Sect A Vol. 10 n° Z - 1961 10Z-108.

o » CEA-R-3429(2)§ PREMIER MINISTRE~

« COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUEUJU

12.1

EQUATIONS FONDAMENTALESDES ECOULEMENTS DIPHASIQUES

Deuxième partie

COMPLEMENTS ET REMARQUES

par

Jean-Marc DELHAYE


Rapport CE A-R-3429 (2)

1968 SERVICE CENTRAL DE DOCUMENTATION DU C.E.AFa

,. i , C.E.N-SACLAY BP. n°2, 91 -GIF-sur- YVETTE -France

CEA-R-3429 (2)' - .DELHAYE Jean-Marc «

EQUATIONS FONDAMENTALES DES ECOULEMENTSDIPHASIQUESDeuxième partie : COMPLEMENTS ET REMARQUES

Sommaire. - On a complété et précisé certains points de lapremière partie de ce rapport concernant les équations gé-nérales de conservation des écoulements diphasiques.

On a introduit dans les équations générales les termescorrespondant ù la tension interfaciale. Les conditions d'in-terface ont ainsi été généralisées. Une étape supplémentaire'doit encore être faite : en effet il nous a été impossible detenir compte de la tension interfaciale dans le cas desemulsions,

En possession d'un groupe important drequaticns fondamen-tales relatives à différents modes- de présentation des écou-

CÊA-R-3429 (2) - DELHAYE Jean-Marc

FUNDAMENTAL EQUATIONS FOR TWO- PHASE FLOWPart II : COMPLEMENT AND RE MARKS

Summary. - Certain points arising in the first part of thisreport concerning general mas s- conservation equations fortwo-phase flow have been completed and clarified.

The terms corresponding to the interfacial tension havebeen introduced into the general equations. The interfacialconditions have thus been generalized. A supplementarystep has still to be carried out : it has, in effect , beenimpossible to take the interfacial tension into account in thecase of emulsions.

It was' then appeared interesting to compare this largegroup of fundamental equations concerning different methodsof presenting two-phase flows with those proposed in the

lements diphasiques, il a paru intéressant de comparer cesexpressions à celles de la littérature. On a ainsi été amenéà étudier en détail les travaux de C.G. TELETOV,S. S. KUTATBLADZE, M. À. STYRIKOVICH et N. ZÙBER età en retracer les grandes lignes.

1968 69 p.

Commissariat à l'Energie Atomique ~ France

literature. As a result a detailed study has been made ofthe work of C.G. TELETOV, S.S.- KUTATELADZE,M.A. STYRIKOVICH and N. ZUBER ; a summary of thiswork presented,

1968 69 p.


A partir de 1968, les rapports CEA sont classés selon las catégories qui figurent dans le plan de classi-fication ci-dessous et peuvent être obtenus soit en collections complètes, soit en collections partiellesd'après ces catégories.

Ceux de nos correspondants qui reçoivent systématiquement nos rapports à titre d'échange, et quisont intéressés par cette diffusion sélective, sont priés de se reporter à la lettre circulaire CËNS/DOC/67/4690du 20 décembre 19B7 qua nous leur avons adressée, et qui précise les conditions de diffusion.

A cette occasion nous rappelons que les rapports CEA sont également vendus au numéro par la Directionde la Documentation Française, 31, quai Voltaire, Paris 7e.

PLAN DE CLASSIFICATION

i. APPLICATIONS INDUSTRIELLES DESISOTOPES ET DES RAYONNEMENTS

2. BIOLOGIE ET MEDECINE

2. I Biologie générale2. 2 Indicateurs nucléaires en biologie2. 3 Médecine du travail2. 4 Radiobiologie et Radioagronomie2. 5 Utilisation des techniques nucléaires en

médecine

3. CHIMIE

3. 1 Chimie générale3. 2 Chimie analytique3. 3 Procédés de séparation3. 4 Radiochimie

4. ETUDES DU DOMAINE DE L'ESPACE

5. GEOPHYSIQUE, GEOLOGIE,MINERALOGIE ET METEOROLOGIE

6. METAUX, CERAMIQUESET AUTRES MATERIAUX

6. 1 Fabrication, propriétés et structure desmatériaux

6. 2 Effets des rayonnements sur les matériaux6. 3 Corrosion

7. NEUTRONIQUE, PHYSIQUE ETTECHNOLOGIE DES REACTEURS

7. \ Neutronique et physique des réacteurs7. 2 Refroidissement, protection, contrôle et

sécurité7. 3 Matériaux de structure et éléments

classiques des réacteurs

8. PHYSIQUE

8. 1 Accélérateurs8. 2 Electricité, électronique, détection des

rayonnements8. 3 Physique des plasmas8. 4 Physique des états condensés de la matière8. 5 Physique corpusculaire à haute énergie8. 6 Physique nucléaire8. 7 Electronique quontîque, lasers

9. PHYSIQUE THEORIQUEET MATHEMATIQUES

10. PROTECTION ET CONTROLE DESRAYONNEMENTS. TRAITEMENT DESEFFLUENTS

10. 1 Protection sanitaire10. 2 Contrôle des rayonnements10. 3 Traitement des effluents

11. SEPARATION DES ISOTOPES

12. TECHNIQUES

12. 1 Mécanique des fluides - Techniques duvide

12. 2 Techniques des températures extrêmes12. 3 Mécanique et outillage

13. UTILISATION ET DEVELOPPEMENTDE L'ENERGIE ATOMIQUE

13. 1 Centres d'études nucléaires, laboratoireset usines

13. 2 Etudes économiques, programmes

13. 3 Divers (documentation, administration,législation, etc..,)

Les rapports du COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE sont, à partir du n" 2 200, en vante a IsDocumentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quaiVoltaire, PARIS Vif.

The C.EA. reports starting with n" 2200 are available at the Documentation Française, SecrétariatGénéral du Gouvernement. Direction de la Documentation, 31, qua/ Voltaire, PARIS Vif.

- Rapport CEA-R-3429(2) -

Centre d'Etudes Nucléaires de GrenobleService des Transferts Thermiques

EQUATIONS FONDAMENTALES DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES

Deuxième partie


par

Jean-Marc DELBAYE

- Décembre 1968 -

T A B L E DES M A T I E R E S

PagesNOTATIONS

INTRODUCTION 1

1 - REMARQUES ET COMPLEMENTS SUR QUELQUES POINTSDELICATS DE LA PREMIERE PARTIE 2

1.1 - Conditions d'application du théorème d'OSTROGRADSKI 2

1.2 - Absence de glissement à l'interface 2

1.3 - Equations moyennées dans une section. Termes d'interface 2

2 - INTRODUCTION DES TERMES DE TENSION INTERFACIALEDANS LES EQUATIONS GENERALES 5

2.1 - Conservation de la quantité de mouvement 6

2.2 - Conservation de l'énergie 9

3 - COMPARAISON DES EQUATIONS OBTENUES AVEC CELLESDE C.G. TELETOV 11

3.1 - Présentation des équations générales selon C.G.TELETOV 11

3.2 - Equations globales 12

3.3 - Equations moyennées dans le temps 15

4 - COMPARAISON DES EQUATIONS OBTENUES AVEC CELLESDE S.S. KUTATELADZE et M.A. STYRIKOVICH 27

4.1 - Equation du mouvement 2 7

4.2 - Equation de l'énergie 29

5. COMPARAISON DES EQUATIONS OBTENUES AVEC CELLESDE N. ZUBER 30

5.1. Equation du mouvement 30

5.2. Equation de l'énergie 30

REFERENCES 32

REMERCIEMENTS 35

Annexe : Référence [16J : Hydrodynamique des mélanges diphasiques 36(traduction de l'article C.G. TELETOV)

N O T A T I O N S

Une lettre peut avoir plusieurs significations .

Toutefois, le contexte ne permettra aucune confusion .

Lettres latines majuscules

A : constante

A : surface

B : vecteur quelconque

C : chaleur massique

D : diamètre d'une conduite de section circulaire

E : énergie interne massique

E : expression quelconque

F : force extérieure massique

G : débit masse par unité de surface

H : enthalpie massique

—»J : denfeité de flux de chaleur

L, : puissance des forces extérieures

M : viscosité équivalente

N : normale en un point de 3 située dans le plan tangent à l'interface A.

Q : quantité de chaleur

R : taux de vide dans la section

R : rayon d'une conduite de section circulaire

R-, R : rayons de courbure principaux en un point d'une surface1 te

T : température

T^ : déviateui de contrainte

Tr : puissance des forces de tension superficielle

0 : tenseur unité

V : vecteur vitesse

X : variable aléatoire de phase (variable discontinue)

Z : vecteur transfert de quantité de mouvement entre phase

u : énergie totale

£J : intersection de l'interface avec un plan de section

<*-* : chaleur latente de vaporisation

tç : tenseur de contrainte

Lettres latines minuscules

a : vecteur vitesse

c : variable aléatoire de phase (variable continue)

c : concentration volumique locale instantanée

f : fonction quelconque

g : accélération de la pesanteur

h : enthalpîe massique

dl : élément d'arc

m.. : élément du tenseur M

T? : normale extérieure

~r^_ . : normale à J située dans le plan de section orientée de la phase k'w vers l'autre phase

p : pression réversible

q : vecteur densité de flux de chaleur

q : densité de flux de chaleur à la paroi

a : arc

t : tempo

rr

<t>In

a

a

a

a

e

M-

P

a

a

d f f

T

T

: vecteur unitaire

: vecteur vitesse (phase 1, 2)

: composante de la vitesse selon Oz

: titre massique

Lettres grecques majuscules

: transfert de masse à l'interface

: surface frontière

: densité de flux de chaleur

: tenseur de déformation

; tenseur de contrainte

: angle

Lettres grecques minuscules

: angle

: exposant

: taux de vide dans une section [20]

: concentration locale instantanée statistique [l ]

: cosinus directeurs de ~n*

: déséquilibre thermodynamique

: viscosité dynamique

: masse volumique

: tension superficielle

: surface de contrôle fixe

: élément d'aire

: déviateur de contrainte

: volume de contrôle

v: cisaillement à la paroi

: élément de volume

Indices inférieurs

G : gaz

L : liquide

i : interface

k : indice de phase (= G ou L)

o : origine

5 : saturation

Notations tensorielles

g : produit tensoriel de deux vecteurs

. : produit scalaire de deux tenseurs.

EQUATIONS FONDAMENTALES

DES ECOULEMENTS DIPHASIQUES

Deuxième partie


0 - INTRODUCTION

Dans 1» première partie de ce travail [l ] nous avions tenté de présenter sous

une forme aussi rigoureuse que possible des lois régissant les écoulements dipha&iques, eïi vue

de l'interprétation théorique de données expérimentales. A cet effet, nous avons établi les équa-

tions générales de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie pour

les écoulements diphasiques à partir d'équations globales, posées à priori. Les résultats

avaient été présentés sous plusieurs formes : locales, moyennées statistiquement ouxnoyennées

sur une surface.

Cette deuxième partie apporte des compléments et des précisions sur certains

passages de notre travail précédent. Nous avons introduit dans les aquations générales les

termes correspondant à la tension interfacïale» Les conditions d'interface ont ainsi été géné-

ralisées. Une étape supplémentaire doit encore Être faite : en effet, il nous a été impossible

de tenir compte de la tension interfaeïale dans le cas des emulsions.

En possession d'un groupe important d'équations fondamentales relatives à diffé-

rents modes de présentation des écoulements diphasiques, il nous a paru intéressant de comparer

DOS expressions à celles, trop peu nombreuses encore, de la littérature. Nous avons ainsi été

amenés à étudier en détail les travaux de C. G. TELETOV [15] , S.S. KUTATELADZE,

M.A. STYRIKOVICH [20] et N. ZUBER [21] et à en retracer les grandes lignes.

Pour chaque modèle d'écoulement diphasique nous avons un système d'équations,

mais il ne faut pas oublier que, dans la majorité des cas, la turbulence s'ajoute au caractère

aléatoire de la présence en un point et à un instant donnés d'une phase déterminée. Il y a, en

fait, une double probabilité dont il faudra rechercher les propriétés de la même façon qu'en

écoulement monophasiqne il a fallu proposer des lois statistiques et tenter de former les équa-

tions en introduisant une viscosité fictive de turbulence. La prochaine étape devrait consister

à amorcer une étude analogue à celle présentée par A. CRAYA dans son Introduction à la

Théorie de la Turbulence [23] .

1 - REMARQUES ET COMPLEMENTS SUR QUELQUES POINTS DELICATS DEPREMIERE PARTIE

1.1. - Condition» d'application du théorème d'OSTROGRAQSKI

Les conditions d'application du théorème d'QSTROGRADSKI, données au para-

graphe 1.1.1. de [1] , ne sont pas complètes. H faut en effet que la surface fermée Esoit suffisamment régulière. Pour être plus précis, il faut que l'on puisse découper I en unnombre infini de surfaces de L1APOUNOV telles que (figure 1) :

I*P - ̂ \ <ç A.

avec O < Œ < 1 et A constant.

On pourra, consulter à ce sujet lesréférences [Z] , [3] , [4] et

[5] ainsi que les travaux de J. KRAVT-

CHENKO , [6] dans lesquels on trouvera

une étude détaillée de cee conditions.Figure 1

1.2, - Absence de glissement à. l'interface

Lorsque noue avons étudié la condition d'interface relative à la conservationde la masse, au paragraphe 3,1.2. de [1] , nous avons admis qu'il ne pouvait exister de

discontinuité de vitesse à la traversée de l'interface, en l'absence de transfert de masse entre

les deux fluides supposés visqueux et non miscibles entre eux. C'est là une hypothèse physique

qui est souvent émise mais qui n'est jamais justifiée. Néanmoins nous la considérons comme

la plus plausible, tout en sachant bien que l'on peut introduire un glissement comme dans les

théories hydrodynamiques de la diffusion, par exemple. De nombreux auteurs [7] , [8] , [9] ,

[10] , [11] , [12] , [13] , admettent cette absence de glissement à l'interface et nousnous rangeons à leura cBtés. Remarquons que l'existence de la tension interfaciale n'a aucune

influence sur cette hypothèse, de non glissement qui est une condition purement cinématique.

1.3. - Equations movennées dans une section. Termes d'interface

Au paragraphe [4] de la référence (l] nous avons obtenu des termes d'interface

de la forme :

E ^tant une expression quelconque

Nous rappelons les définitions suivantes (figure Z) :

n ! trace de l'interface A. dans le plani r

de section

M : point de $

nG : normale en M à A.

"njj«j : normale en M à J située dans le plande section.

Quelques cas particuliers soulèvent des difficultés.Par exemple :

a/ Une bulle est tangente au plan ûe section. Le contact se réduit à un point unique et lanormale "n£,j n'est pas définie,

b/ Une bulle de forme torique est tangente au plan de section, l'axe du tore étant perpendicu-laire à ce dernier. Le produit BcalaireT?G . "Hjî,.. eat alors nul.

Noue supposerons que ces cas singuliers ont une probabilité d'existence quasinulle. De toute façon leur contribution est négligeable devant celle des cas réguliers. Evaluon

en effet leur ordre de grandeur. Pour cela envisageons une géométrie plane (figure 3) :

ordre :

ou encore

1.3.1. - Cas oîi z' fO) 4 0

En développant z (x) en série de Mac LAURIN, il vient :

z = z (0) + x z ' (0) +-£- . z" (0) •(-£-. z1" (0)4- ...Z 6

Comme z (0) = 0 nous obtenons en ne conservant que les termes du premier

z ~ x . z1 (0)

û z = ù x . tg OL

Or nous avons :

û x =A s . cos et

d'où :

ô. z = i a . cos o. . tgcx= & s . sin ce


ce qui entraîne :

Ci 5 = -aïn a.

1.3.2. -

ÛL= u s . 4, 1 = —

Cas où z' f O l = 0^

a-JL. z" (o)

_2 ' R

R étant le rayon de courbure de la courbe z (x) à l'origine.

Dans ce cas : ù s ~ A x

donc : Ù B = V z R . y û z

û l =J 2R ../ û z .

Nous constatons que ces termes sont négligeables devant ceu^c du premier cas

puisqu'ils sont en A/À z alors que les premiers sont en A z .

1.3.3. - Cas oh z" fO) = z' (0) = 0

z~ _al_ . z"' (0)

LxJl_. z"' (0)

6

A s ̂

d'où :

ÛE = A s .3 6

(0)

Nous obtenons de la. même façon des termes négligeables puisqu'ils sont en yû z

2 - INTRODUCTION DES TERMES DE TENSION INTERFACIALE DANS LES EQUATIONS

GENERALES

La prise ezi compte de la tension interfaciale entre les deux phases introduit

des termes supplémentaires dans les conditions d'interface relatives à la quantité de mouve-

ment et à l'énergie. L'énergie de tension superficielle ne doit pas être négligée à priori, car

en écoulement monopbasique, il existe des cas où cette énergie est du même ordre de grandeur

que l'énergie cinétique turbulente. On pourra consulter par exemple la référence [14] .

2.1 - Conservatïcm de la quantité de mouvement

2.1.1. - Equation^énérale,sous formejjitéarale

Considérons le système matériel

diphasique représenté figure 4, chaque phase

constituant un domaine simplement connexe.

Evaluons les forces extérieures agissant sur

ce système ; nous avons :

Figure 4

a/ les farces de volume : poids des phases

b/ lee forces de surface : contraintes exercées par le milieu extérieur sur la surface

extérieure du système,

c/ les forces de tension superficielle : ce ne sont ni des forces de volume, ni des forces

de surface, mais des forces linéiques. Elles s'exercent sur l'intersection 3 de l'inter-

face A. et de la surface extérieure du oysterne.

Leur résultante est égale à :

0- N* dl

0 : tension interraciale

dl s élément d'arc de 3

N : normale en un point de 3 située dan» le plan tangent à l'interface A. (figure S).

L'équation (2) de [1] comporte donc le

terme supplémentaire À & N dl au secondV V

membre et elle s'écrit :

° "*..t»-G(t) *

dt o- . N dl

2.1.2 - Condition d'interface

Le calcul est identique à celui du paragraphe 3.2 de la référence [l] .

L'intégrale/. (S N dl doit Stre transformée en une intégrale de surface étendue à A. . Ceci

est possible grâce à la formule suivante :

A dïf dl =J

grtd a. ai. .H .(_L_+_L_Y.JJ A l R TïT . Ht R u . n /

1 \ L l Qj £ £ (j

K.J et R étant les modules des rayons de courbure principaux en un. point de A. et U. le

vecteur unitaire du rayon de courbure R. dirigé du centre de courbure vers le point de la

surface correspondant .

L'équation [l] (14) devient finalement :

(1)- v -.

+ grad 6-6 na = 0

Lorsqu'il n'y a pas de transfert de masse à l'interface, l'équation (1) se

simplifie et nous obtenons une condition analogue à [l] (15) :

(2! • "L - grad f—V Ri ui •

= 0

Nous avons retrouvé là une condition d'interface indiquée, mais non démontrée

par LANDAU et LIFS CHJTZ [s] - (équation 60 - H page 234).

Le dernier terme de l'équation (2) représente la force de LAPLACE. Quant

au troisième terme, grad a~, il représente la variation de 0 sur l'interface (en fonction de

la température, par exemple) et explique leâ phénomènes de thermocapillarîté [10] .

L'équation (2) n'est valable que pour des fluides visqueux ; en effet, dans

le cas de fluides non visqueux, elle s'écrit :

' pc "G ' PL "L ~ giad 6 * 6Ri "" - "G

= 0

Les premier, deuxième et dernier termes sont des vecteurs normaux à

l'interface alors que le troisième est tangent à l'interface. L'égalité à zéro du premier membre

ne peut donc avoir lieu dans le cas général pour des fluides non visqueux*

2.1.3 - Equation aux variables instantanées moyenne es dana ujie_3ection

Reprenons le raisonnement du paragraphe 4.2 de [l ] . Il

faut ajouter au deuxième membre de la première équation du pa-

ragraphe 4.2 les termes .suivants (figure 6) :

jf-, Û N* dl +£ <j N* dl

* / f -^Quand 3'—. 3, jP-> <* N* dl + 0) j s N dl_»0

puisque les vecteurs N tendent vers des vecteurs opposés.

figure 6

Ce résultat est normal puisque l'on peut obtenir l'équation (32) de [l] en

moyennant directement les équations locales (12) et (13) de [l] et que dans ces équations la

tension interfaciale n'intervient pas.

2.1.4. - Equations a.ux emulsions

Bien que la tension interfaciale doive jouer un grand rôle dans les écoulements

oîi la phase gazeuse est extrêmement dispersée, il semble que ce paramètre soit très difficile

à introduire, étsfjt donné l'ab&ence de renseignements sur la topologie de l'élément de volume

dT . E n effet, tout ce que l'on connaît sur dT est sa concentration en gaz. On ne sait rien

sur la répartition même du gaz à l'intérieur de dT (diamètre des micro-bulles spheriques par

exemple) .

2.2 - Conservation da l'énergie

2.2.1 - Equation générale sous forme intégrale

Dans l'expression globale de la conservation de l'énergie, telle que nous

l'avons écrite au paragraphe 2.3 de [l] , il y a lieu d'ajouter au premier membre le travail

des forces de tension superficielle T0 par unité de temps, qui est égal à :

<S . V. . N dl

L'équation [l] (3) s'écrit alors :

(3)

(t) (t)PrL

v PL

2.2.2 - Condition d'interface

Un calcul analogue à celui effectué au paragraphe 3.3 de [l] néressite la

transformation du dernier terme de l'équation (3) en une intégrale de surface étendue à A .

Ceci est réalisé en appliquant la relation :

tfV. . N dl =y o-div

10

La condition d'interface (22) de [l] s'écrit alors

(4)

div V. + V. gTadfl -tfV. IT

Dana le cas ou il n'y a pas de transfert de masse ;

y = V = V. . En cuir»;, comme *6> et 0&_ sont des tenseurs symétrique*, nous avons :

'G' ' V

En tenant compte de la condition (2) relative à la quantité de mouvement nous

obtenons finalement :

(5) J_ . nr + JT .nT + diï V. = 0G G Jj L i

2.2.3 - Equations moyenne es dans mie section

Les conditions d'interface (4) et (5) pourront servir à simplifier les équa-

tions diphasiques obtenues en ajoutant membre à membre les équations phasiques. Les nou-

veaux termes relatifs à la tension interfaciale ne sont pas négligeables à priori. Seule lacomparaison avec des résultats expérimentaux permettrait de conclure en montrant leur im-

portance.

2.2.4 - Equations relatives aux emulsions

Comme pour le cas de la condition d'interface sur les quantités de mouvement

nous ne voyons pas, pour l'instant, le moyen d'introduire la tension interfaciale dans leséquations générales. La raison en est la même : si nous ne faisons aucune hypothèse sur

l'état de la dispersion du composant, noua ne pouvons écrire correctement l'énergie de la

tension interfaciale.

11

3 - COMPARAISON J3ES OUATIONS OBTENUES AVEC CELLES DE C.G. TELETOV

Le travail de C.G. TELETOV [is] , [16] a été l'une des premières tentatives

d'écrire des équations générales moyennées dans le temps concernant les écoulements diphasi-(jues. Bieo que contenant de nombreuses erreurs de principe et beaucoup de fautes de calcul,

cette étude ne constitue pas moins un ouvrage de référence essentiel pour celui qui s'intéresse

à la théorie des écoulements diphasiques. La traduction [id] est donnée en Annexe.

3.1 - Présentation des équations générales selon C.G. TELETOV

L'auteur considère une variable aléatoire de phase identique à celle que nous

avons introduite au paragraphe 5.1.1. de f i l . Cette quantité, encore appelée variable carac-

téristique d'ensemble par les mathématiciens, n'est cependant pas utilisée de la même façonque nous par C.G. TELETOV. Alors que nous avons introduit X et X en vue de faire une

G L,présentation statistique des écoulements diphasiques, C.G. TELETOV considère uniquementces grandeurs comme des fonctions de point et du temps dans une réalisation unique. Ces fonc-

tions, qui sont en fait constituées par une suite d'échelons unité, sont transformées par C.G.TELETOV en des fonctions continues, à dérivées également continues. Ceci est possible grâce

à la définition du point dont les dimensions, non nulles, doivent Etre considérées comme ni trop

petites, ni trop grandes par rapport aux plus petites dimensions des particules de la phase dl-dîspersée. Notons que C.G TELETOV aurait pu éviter une telle définition, peu satisfaisante,

en faisant appel a la théorie des distributions. Mais il faut bien admettre que cet outil mathé-matique paraît un peu compliqué pour l'usage que l'on veut en faire.

Finalement, l'auteur confond deux présentations : la présentation statistiqueet la représentation de l'écoulement diphasique par une emulsion, alors qu'il est possible de

faire une distinction très nette entre ces deux aspects comme nous avons tenté de le faire dansnotre référence [l] .

Par ailleurs, l'auteur considère directement des opérateurs de moyenne tem-

porelle sans passer par un système d'écoulements statistiquement identiques et par une hypo-

thèse ergodique. Ceci constitue un inconvénient lorsque l'on considère des régimes transitoires

ou aucune moyenne temporelle ne peut avoir de définition correcte. Seules les moyennes statis-

tiques doivent être prises en compte dans l'étude de ces phénomènes.

Nous allons maintenant rappeler brièvement les principaux points de la méthode

de C.G. TELETOV et comparer ces équations avec celles que nous avons obtenues.

12

3.2 - Equations globales

Contrairement à la méthode que nous avons utilisée an paragraphe 2 de la

référence [l] , l'auteur considère un volume de contrôle T fixe, limité par une surface de

centrale o- fixe.

3.2.1. - Conservation de la masse

Si nous considérons l'ensemble des deux phases, la conservation de la masse

dans le volumeT s'écrit (avec les notations de C.G. TELETOV) :

flô] (Z. l )

ât"T

. d<S

.l) 9 = c p + c p (c et c étant les variables aléatoires de phase}

[le] (1.2) f~a = c. p 'v* + c p "ï? (ïT 'rî ^ étant les vecteurs vitesses)

S'il n'y a pas de transfert de masse entre phases, la conservation de la masse

du composant 1 s'écrit sous la forme globale :

Cl6](2.2) . /* BI

JoP i v

3.2,2 - Conservation de la quantité de mouvement

= 0

L'équation des quantités de mouvement s'écrit :

— / pâ* dT 4 T p (â*®"a) Ta . g*/" pdT - T r dffàt ^T J« t/T Jff '

Or d'après le paragraphe 1.3.11 de [1] nous avons la relation :

("a « ~ a ) ZÔ = ("à* , d7 ) "a = "a* (7* . do )

et par conséquent l'équation précédente devient :

13

p^dT +/1

7<Jf d T . f K

T c/r

Mais nous pouvons écrire ;

("a de ) = C P V (7 d Is)

v V coa pz V w. cos (n7 aT.) dopT* ( "a* do" ) = c

|(7.1) pT" CTdS) = ( c j fj~î Vj +

En remplaçant pa et pa (a dô ) par leurs valeurs, on obtient

. ) cos ff, "xt ) do

h p f>- «7 P d T -/

t/f o/a

Jg (Cl PI VVj + Cz 'yo

^ . n d<S = 0

>- w w.) cos (n? x. ) dtf2 J J '

(7)

3.2.3 - Conservation de l'énergie

Elle se met sous la (orme générale suivante :

lib] (4.1) ÛE = AQ + Û L

L'équation [16] (4.Z) de C.G. TELETOV, qui donne l'expression de

l'énergie totale ù E est incomplète et doit s'écrire sous la forme :

[16] (4.5) û Q = "q

[lél (4.6) ÛL = ̂ p 7 . "a* dT + /" (T . TT ) d«

Si nous utilisons Venthalpie, A. E peut s'écrire sous une autre forme ;'

14

et par conséqueat l'équation [le] (4.1) s'écrit :

» P ( p ^ P H - p ) - ^ ( , £ *

- / p " ^ " â * d o - /" ( â ~ * K ) do* = 0

</T i/o

En tenant compte des relations suivantes :

at(B)

P H - dS

b)

«0

P « - el P 1 Hl + C2 P Z H2

p a - C j P l "? + C2 p 2 •?

(? TT ) dS = C j (v* TTj ) do + c ("vf TT2)

= C j (v* ïïj )U* dS + c2 ("v? TTz ) T


à - -H ->2— /(c, P] JL + =2 p c P H dT

-»2 -^>+ / f e i PI -T + =2 PZ "L/O"

- /" ~q "u du -T (Oj P I~V+t/ff /̂T

~ f (Cj"? fj +c2*^ TT2

t/CT

= 0

En développant le deuxième terme et en tenant compte des relations c. < = . = * . .

nous obtenons finalement l'équation suivante :

(9)

->2 —.2

l"V+ C2 P2"^"+ Cl P i Hl

~*z ~*2

*J, < C 1 ?! JT*+ Cl Pi "l V + CZ PZ^H w ) il dû"

Ci

V ) "g* dT~T p (CjV + cz "w ) "n* do - f "q"n* dff - f (C j fl ~v f GZ

c/ff Ja J-r

- /* ( c t V Ij + cz V îtz ) "S* do = 0

3.2.4 - Conditions d'interface

C.G. TELETOV ne démontre pas la condition d'interface [lô] (3.6) relative

à la quantité de mouvement qu'il écrit sous la forme :

x étant la tension interfaciale, , , ,et k le tenseur de courbure1t. = î l , - t - 2 x k1 2

Cette condition eat inexacte et doit être remplacée, en l'absence de transfert

de masse entre phase, par la condition (2) que noua avons établie ci-dessus au paragraphe

Z.I.Z,

3»3 - Equations movennées dans jg temps

L>a méthode utilisée par l'auteur pour obtenir des équations locales moyenne es

dans le tempe diffère de celle que nous avons exposée dans [l] . Rappelons que nous avons

moyenne directement les équations locales valables à un instant donné en chaque point d'une

réalisation. Au contraire C.G. TELETOV moyenne directement les équations globales de

conservation relatives à un domaine de contrôle immobile. Il applique ensuite le théorème

d'OSTROGRADSKl et passe enfin au volume élémentaire.

3,3.1 - Remarque préliminaire

En utilisant les notations du paragraphe 5 de [l] , nous allons démontrer la

relation :

(10) X, . f, = X. . f, = =«, . f,k k k k k k k = G ou L

Le calcul est immédiat. En effet, nous avons :

Or, par définition :

16

Comme nous avons

0

Nous en déduisons ;

**= t " x ^r et - ---- f " Tt ' k "3C . fi = | _ k _^ * l ( 1- Xfc) . f^ = 0

3,3.2 - Conservation de la masae

LT équation [16] (2.1) s'écrit sous forme moyennée

ou encore :

/ pdT = /" pfât c/T ,4

dor

et puisque T est un volume fixe limité par une surface cr fixe

pà* d(T

d'où en passant au volume élémentaire :

[16] (6.7) a pat

+ div pâ" = 0

avec : P = C . p + G .

et : p a = C j Pl

[1] (49).

L'équation [l6j (6.7) est identique à notre équation diphasique de continuité

3.3,3 - Conservation de la quantité de mouvement

En raisonnant de la même façon, l'auteur aboutit à l'équation locale de la

quantité de mouvement moyennée dans le temps :

[16] (7.4) (Cl f»j l? + Fz P2 V) ,+ (S] pt ~v . Vj + cz p2 "w . w^) -pg - d£ H = 0x.

Cette équation est la même que celle que nous avons trouvée au paragraphe5.2.2 de [l] . En effet, celle-ci s'écrit :

dat

ou encore :

- 0

at at

- p F - d ï v < % = 0

est identique à [ib] (7.4) .

En tenant compte des relations :

V V - V V - 4 - V VVk ' Vkj Vk ' Vkj + Vk ' Vkj

il vient :

at

X• VGj - div

18

En développant, on aboutit à :

«•G PG

à V / a v i- + VC- V "L M — + VLi

t Gj d*j ' L L\ it Lj

d1-àx.

VG « VGj>

En posant :

3

- div = 0

• + V,

on obtient finalement :

L

Dt

(11)

D V div div

Gj Lj - div "& 0

Noos avons retrouvé ainsi, à partir de nos équations, l'équation (1.5) de 16 .

Il existe cependant une différence fondamentale entre les équations (11) et [l&] (7.5).

En effet, comme nous avons pris dea variables aléatoires de phases discontinues

& l'interface, les crochets sont nuls qu'il y ait ou non transfert de masse. Par suite l'équation

(11) se simplifie compte tenu dea équations f l ] (47) et [1] (48) et s'écrit finalement sous la

forme ;

Dt Dt•î- —— fa P ~V V +CL o ~V V 1 -"ï

âv l GKG G' VGj LPL VL' VLj' 'j

C.G. TELETOV ne pent simplifier son équation car il considère des fonctions

c et c continues à l'interface. Il adopte ainsi un modèle avec couche de transition à l'inter-

face et doit faire intervenir un terme de transfert de masse dans les équations de continuité.

19

L'auteur définit une dérivée matérielle pour chacune des phases par les

expressions :

Dt ït

et une dérivée matérielle généralisée par la relation

k = G ou L

S32 Dt

_ âc pv») (-— S- + div T. p,

at 2 2

Le membre de droite de cette expression est parfaitement calculable. Il reste

à voir s'il eat bien égal au membre de gauche. Cela dépend, bien évidemment, de la définition

que l'on adopte pour l'opérateur -j^, définition que C.G. TELËTOV ne donne pas dans son

article.

La première idée qui vient à l'esprit est d'écrire :

D ^ -*— = -^ H- a . grad

a étant la vitesse moyenne diphasique.

Malheureusement, le membre de gauche de l'équation [l6] (7.6) calculée

l'aide de cette définition n'est pas égal au membre de droite (les termes en-L sont bien iden-

tiques mais les autres ne concordent pas). ^*

La deuxième idée est de chercher le vecteur B* à placer devant le gradient

pour obtenir l'égalité. Malheureusement, les termes autres que ceux en -i- dans le membre

de droite SB mettent sous la forme d'une divergence et on obtient : ^'

B* . gTad = div

ce qui ne permet pas de déterminer facilenent le vecteur B* et d'en donner une signification

physique simple en rapport avec la notion de dérivée matérielle.

20

La conclusion est que l'opérateur TJTT~ défini par lTéquation Jl6] (7.6) ne semble

pas correspondre à une dérivée particulaire. Il doit être considéré uniquement comme un sym-

bole, sans signification physique particulière (et surtout pas celle que lui donne C.G. TELETOV)

Cet opérateur ne permet que de concentrer les écritures.

Le mode d'établissement des équations générales adopté par l'auteur l'empêche

d'aboutir rigoureusement aux équations phaâiques. C.G TELETOV est donc obligé de les poser

à priori après un raisonnement plus ou moins clair. C'est ainsi qu'il propose les deux équations

[lt] (9.3) et [16] (9.4) dont la somme ne redonne pas l'équation diphasique [l6] (9.2) ce

qui est inadmissible. Les équations phasiques [l6] (9.3) et [16] (9.4) devraient être écrites

de la façon suivante :

37> _ •=- «^Cj P,~^ + C j Pi V , grad

= - grid Cj p, + c p ~g* ^

;+WlÏLlj_+dlïT

9 1

div "c T » div "c" p^

l "v'x"v' - ~i

(13)

div

. gïad c p dïv = ^ - dîv

Z étant le terme de transfert de quantité de mouvement entre les deux phases,

3.3.4 - Notion dé viscosité équivalente

Lorsque |i e t^2 sont constants l'auteur écrit les relations contraintes •

déformations sous la forme ;

*,*,+«,*,

= ZM . 2 M

Cette dernière relation définit une viscosité équivalente M qui dépend du point

par les concentrations. C'est cette propriété que C.G TELETOV exprime en parlant de l'ani-

sotropie ou de l'anomalie des écoulements diphasiques. Si m^ est l'élément du tenseur M,

on a alors d'une façon générale :

,. = F

Le fluide équivalent à donc des propriétés rhéologiques puisque la viscosité

dépend du gradient de vitesse. Dans certains cas les m., dépendent uniquement des viscosités

et des concentrations. Le fluide équivalent n'a plus de propriétés rhéologiques mais néanmoins

il garde ses caractéristiques d'hétérogénéité. Sous certaines conditions on pourrait donc se

ramener aux expressions de LEVY ou d'EINSTEIN [17] qui n'apparaissent donc pas comme les

définitions les plus générales de la viscosité équivalente.

3.3.5 - Conservation de l'énergie

L'équation locale moyennée dans le temps de la conservation de 1 énergie

s'établit par la même méthode qa'au paragraphe î, 3.Z ci-dessus. On prend la moyenne de

l'équation globale (9) et en appliquant le théorème d'OSTROGRADSKI on aboutit, après passage

au volume élémentaire, à la forme locale suivante :

div C, p. "v "v1 ® "v1 H-

+ div

div C j Pa -J' (\^Z * H ' j )

div c2 P2 ~$< , 1 ̂ *,2 H, ,' 2 z

- div "q - g -

L'équation précédente diffère de celle donnée par C.G. TELETOV [lb] (10.1)

par la présence des termes encadrés. Elle est identique à celle trouvée à partir des équations

du paragraphe 5.2.3 de [l] comme nous allons le montrer.

Z2

Si on suppose les masses volumiques p_ et p ̂ constantes, la somme des

Equations phasiques s'écrit :

- O, pr V , F +V , F + les mêmes termes avec l'indice L» = 0

En introduisant L'enthalpïe massique :

^r T- ?fc k = G ou

il vient :

_ », _G r G G

Or, nous avons les relations :

P», v_ F + les mêmes termes avec l'indice L = 0r G G

J = et j + et jG G li Lt

Ce qui nous permet d'écrire :

+ les mêmes termes avec l'indice L =-rf"- - div Jat

div f* ï* " '

23

Transformons les termes du premier membre

= «Got

V + « c 4 VôTf

V — VG ' 2 G

F G > dlv <°b PG

f, rG G Ggîtd (h + -7" .̂) + div a. p h' V' + div O, p "v ~V' fi If'

G 2 G G ' G G G G G G G G

^ ^ f 2G ' 2 G

Par con3eque.lt, l'équation complète devient :

div div

a- ^ —" *H- les mêmes termes avec l'indice L + div J-(cc p V +ci p "tf )

= 0

Les signes devant J et q diffèrent mais ce n'est que par convention.

3.3.6 - Equation de l'énergie cinétique du mouvement moyen

Considérons les deux équations phasiques (12) et (13) de conservation de la

quantité de mouvement. Multiplions scalairement la première par~vt la deuxième par "w et

ajoutons, en tenant compte des relations suivantes :

• ât et

(7" . grad If)

on obtient aisément l'équation :

grad ( — v )

div ~S

On retrouve bien comme cas particulier l'équation correspondant à l'écoulement

monophasique (équation p. 273 de [l&] ou équation (5.1) p. 83 de [19] ).

Noue avons par ailleurs :

. div

- (cj Tft - c-j P I •?' g t'} : grid

De même pour la phase Z. Par suite l'équation de l'énergie cinétique du

mouvement moyen sTécrit :

• div

-^ . 'z

(r2 f 2- c^

. "2 - (ëjïïj - ëj PI "v1' 8"v') : grad ~$

- ( cz TT2 - c~2 p 2 w' 9 w') : grad "w

On retrouve ainsi l'équation [l6] (10.6) de C.G TELETOV, mais ce dernier

25

a omis les termes en Z.

3.3.7 - Equation de l'énergie cinétique du mouvement fluctuant

L'équation [lo] (1D.8) de C.G. TELETOV s'écrit :

div [ c. "^ 'TT 1 , + c "w" TT ,1 - c TT. : grad ~3' - c - W, : gradX 1 C. Ct 1 1 Ci Ct

>, "v1' W "v1 : grad "v - c~, p . "w1 : grad w*

En écoulement monopbasique c, = 1 c = 0 et nous avons :

Dt

ou encore :

D

div v1 : grad "̂

~P—?' Z =~v ' .

On ne retrouve donc pas l'équation de l'énergie cinétique du mouvement fluc-

tuant de l'écoulement d'un fluide monophasique turbulent incompressible qui s'écrit [l&1 :

1 pZ Dt1 p — 7'2 + f~v'. grid •;- "v*2 =~v>- . dîvW -P~v'<s"v' : grad

L'équation [l&] (10.8) paraît donc erronée.

3.3.8 - Equation de l'énergie cinétique du mouvement total [moyen et fluctuant)

L'équation (24) de notre référence [l] peut s'écrire ainsi :

( P

Moyennons cette équation :

- P

26

<ï

ou encore en transformant le deuxième terme et en tenant compte de l'équation de continuité :

div1 ^2

= 0

Finalement, en ajoutant la mÊme équation relative au liquide, on obtient

div 1 ~3,22 G

(15)-» —* _ —+ —»

-« V_ div *.. - CL p F , V_ + les mêmes termes avec l'indice L = 0G G G G G G

3.3.9 - Equation de l'énergie

Elle s'obtient en retranchant membre à membre l'équation de l'énergie

cinétique du mouvement total (15) à l'équation de la conservation de l'énergie (14). On aboutit

à l'équation suivante qui concorde avec le cas particulier de la. simple phase :

divDt PG

+ les mêmes termes avec l'indice L - -r^- + div J = 0ot

Cette équation diffère de l'équation [l6] (10.10) de C.G, TELETOV qui

d'ailleurs paraît fausse puisqu'elle e 'écrit pour la simple phase :

-ST + P "̂Ot

r-Dt

p + T : grad v + div q

En fait, on devrait trouver (équation (6.2) de [19] page 85) :

- + div Ph' V1 - - - T : grid ~V + div 7* - V1 gîtd p1 = 0-

COMPARAISON DES EQUATIONS OBTENUES AVEC CELLES DE S.S. KPTATELADZE

et M.A. STYRIKOVICH 20]

4, 1 - Equation du mouvement

/ / r / / A / t t

-~r—hj / !i/ / s /

d Q

Les auteurs établissent l'équation des

quantités de mouvement en effectuant un

bilan dans une tranche d'écoulement mono-

dimensionnel de longueur dx (figure 7) :

k = O ou L

Comme on a les relations ;

5w. à w.div dt dx k = G ou L

On en déduit :

(G,dw.

dx dx dx

dG,.

dx

Par ailleurs, la conservation de la masse s'écrit :

dG, dG_

dx

28

, Z T l èw 6w \

/ iw_ i*r \ w - w dG

V 3t ^x 7 IT R dx ^ '

Finalement, en tenant compte des relations suivantes exprimant la conser-

vation de la masse :

a , 4» i + — ie>.

• dGn a 3

Tf R âx. ôt dx

on aboutît à l'équation suivante ;

{a. D -itt a 1 ^** w n t^^-* ^"Mj /r ft f & G\

[20] (1.461

29

Si nous supposons l'écoulement monodimensionnol,

constants dans une section. Si malgré cette hypothèse nous gardons

nous obtenons :

ô a 2 a a

~ùt 3z at dz

En développant les dérivées et en tenant compte des

l'équation complète s'écrit :

/à Vf àw \ /à w ôw \/ G G I I ^ " I f

\ &t &z / ^t âE

(16)

tous les paramètres sont

le terme de frottement.

P,. w!. + R p wf }G G L L L

équations de continuité,

/4RGPG |%RG P c .W GN

L àt 3z -^

Nous retrouvons l'équation [20] (1 .46) de S.S.KUTATELADZE et M. A.

STYRIKOVICH. Il est préférable de l'établir par notre méthode, car celle-ci permet de montrer

clairement toutes les hypothèses faites au cours du calcul alors que dans une méthode de bilan

ces hypothèses sont plus ou moins cachées.

le dernier terme représentant la force de réaction de MESHCHERSK1Y due au changement

d'état.

Nous avons vu que l'équation des quantités de mouvement phasique moyennée

dans une section, sous forme approchée, s'écrivait d'après le paragraphe T.2 de la référence

[l] :


Les auteurs effectuent un bilan d'e-nthalpie entre deux sections séparées par

une longueur dx et obtiennent une équation d'énergie de la forme :

- f . pw > + - <pw > 4- - + g + - = 0dt Bz 3z D

correspondant à la conduction longitudinale et"âT

- .

ozPG <P

a

az

Si on néglige la conduction longitudinale on retrouve l'équation de Ténergie

approchée moyennée dans une section [l] (64).

Remarquons qu'il ne faut pas, en toute logique, parler de bilan d'enthalpie.

30

En fait, l'entîialpie ne se conserve pas. Seule se conserve l'énergie totale, et, en toute

rigueur, il faut, comme nous l'avons fait, établir L'équation de l'enthalpie à partir des équa-

tions de conservation de l'énergie totale du système et de l'énergie cinétique.

5 - COMPARAISON DES EQUATIONS OBTENUES AVEC CELLES DE N. ZUBER fall

5,1 - Equation du mouvement

L'équation des quantités de mouvement pour un écoulement monodimensionnel

[ïl] (41) est écrite par l'auteur sous la forme :

(17}D V

Dt

ar

T et P, étant les seconds membres des équations de continuité.G L

Plusieurs remarques sont à faire. N.ZUBER définit c et c comme desU .Lr

concentrations volumiques locales. Il adopte donc une présentation analogue à celle de C.G.

TELETOV que nous avons exposée au paragraphe 3 de cette note.

L'équation (17) est en effet identique à l'équation (11) dans laquelle on a négligé les termes

fluctuants. Le problème se pose de savoir si cette hypothèse est correcte. Le cas échéant,

les grandeurs intervenant dans l'équation (17) doivent être considérées comme des moyennes

dans le temps.

Il est cependant plus probable que l'équation (17) de N. ZUBER doit être

assimilée à une équation moyennée dans une section. En ce cas, il faut la confronter à l'équa-

tion (16). Les quantités c_ et c ne sont plus des concentrations volumiques mais des tauxÔT 4 tvides dans la, section. En outre le —— doit être remplacé par l'expression 2- ,

5,2 - Equation de l'énergie

L'équation [20] (4Z) de N.ZUBER s'écrit :

4*

Dt

oîi est l'énergie totale de la phase h (enthalpie + énergie cinétique + énergie

31

potentielle. Comme l'auteur le fait, on peut négliger l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Par conséquent on a :

!>„ h,, D,

Dth. -

Dt G G L Lapat

= o

La présence du dernier terme nous suggère la parenté de cette expression

avec l'équation d'énergie moyennes dans une section. Si nous considérons l'équation (64)

de la référence [1] sans négliger le terme -|E- et ai nous développons les dérivées, nous

obtenons, pour un écoulement monodimensîonnel :

qui eat bien l'équation établie par N. ZUBER à condition que c_ et c, soient considérésG L

comme taux de vide dans la section et non comme concentrations volumiques locales.

32

R E F E R E N C E S

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Première partie : Equations générales de conservation -

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S.S. KUTATELADZE, M,A. STYRKOVICH - Hydraulique des systèmes gaz-

liquides . Moscou 1958

Traduction anglaise : Hydraulics of gaz-liquid systems

Liaison office-technical information center - Wright - Patterson air-farce base •

Ohio - Septembre I960

34

[ 2l] N. ZUBER - F.W. STAUB - G. BIJWAARD - A program of two-phase flow

investigation - 7th Quarterly report - October - Décembre 1964 - GEAP 4778

[" 22] J. KUNTZMANN - Mathématiques de la physique et de la technique - Hermann 1961

["23l A. CRAYA - Introduction à la théorie de la turbulence. Séminaire de turbulence

Jabloiraa - Octobre 1961

35

R E M E R G I E M E N T S

J'exprime ma profonde gratitude à Messieurs les Professeurs

J. KRAVTCHENKO et A. CRAYA, Conseillers Scientifiques au C.E.N.-G, dont

les conseils ont constitué pour moi une aide efficace et sure*

Je tiens à remercier Monsieur H. MONDJN, Chef du Service des

Transferts Thermiques, qui n'a pas cessé de m'encourager au cours de l'élabora-

tion de ce travail.

Enfin, je remercie particulièrement Messieurs J. BOURE,

R. SEMERIA et P. VERNIER, Ingénieurs de Recherche au C.E.N.-G. avec qui

j'ai eu de nombreuses discussions dont j'ai retiré grand profit.

- 37 -

ANNEXE

HYDRODYNAMIQUE DES MELANGES DIPHASIQUES

1. EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES ET DE L'ENERGIE

D'après : C.G. TELETOV

Vestnik de l'Université de Moscou N° 2 - 1958

39

S O M M A I K E

Page

1 - Champ des masses volumiques et des vitesses dans leià mélanges diphasiques .. 42

2 - Equations de continuité 44

3 - Equations du mouvement 45

4 - Equation de l'énergie 46

5 - Equations hydrodynamiques et de l'énergie moyennées pour les mélanges 47

6 - Equation de continuité moyennée 48

7 - Equation du mouvement moyennée pour les mélanges diphasiques , 49

8 - Tenseur des contraintes 51

9 - Equations hydrodynamiques moyennées pour un mélange diphasique et pour

chacun des composants 52

10 - Equation d'én&rgie moyennée 54

11 - Sur la fermeture du système d'équations 57

12 - Sur l'utilisation des équationa hydrodynamiques et de l'énergie pour un

système diphasique 59

REFERENCES 61

41

Les écoulements des mélanges diphasiques se caractérisent par de grandes

variations des propriétés physiques (masse volumique, viscosité, tension superficielle, etc . .

et par le degré de dispersion des composants. Des mouvements relatifs des deux phases ont

toujours lieu. Ils sont produits par la différence des masses volumiques des composants sous

l'action des forces de gravité et de viscosité, et sont d'autant plus importants que le degré de

dispersion est plus faible.

Nos références /"" 1 ~7 et /""2 ~T concernent les équations de transport et

les équations du mouvement relatives à des dispersions solides ou gazeuses pour de faibles

concentrations volumiques. Notre référence/" 3 J , écrite plus tard, concerne les équations

moyennées pour des mélanges diphasiques sous une forme plus générale et pour n'importe

quelles concentrations. Des équations différentielles constituent le point de départ et ceci

limite l'application de ces équations a. des écoulements faiblement dispersés .

Les écoulements diphasiques peuvent être représentés par des équations

générales sous forme intégrale quels que soient le degré de dispersion et les états phasiques

différents des composants. En 1947 nous avons établi/~~4 T des équations générales de

l'hydrodynamique et de l'énergie sous une forme intégrale et des équations différentielles

moyennées pour des écoulements de dispersion arbitraire avec transfert de phase d'un com-

posant à l'autre.

M. A. VIELIKANOV f~ 5 T a établi une équation de l'énergie pour des

mélanges diphasiques en écoulement plan stationnaire dans le cas de dispersions solides. Il

a calculé pour la première fois l'action du courant sur des particules en suspension entraînées

vers le haut.

Des équations générales pour les écoulements diphasiques, tenant compte du

mouvement relatif du composant ont été établies par N.A. SLIEZKIN^~6 _/, H.I.

BARIENBLATT/77J7et F-1- FRANKIEL^"8_^. Ces auteurs n'ont considéré que des écou-

lements sans changement de phase. Dans les travau^~ 6 / el£_ 1_J les auteurs partent

d'équations différentielles, c'est-à-dire qu'ils considèrent les propriétés d'un milieu dipha-

sique comme étant déjà moyennées dans un volume élémentaire. N.A. SLIEZKIN envisage

les mouvements d'une eau chargée de particules solides. 11 établit huit équations à partir

d'une série d'hypothèses. Les principales d'entre elles sont la non prise en compte du tenseur

42 -

des tensions visqueuses dans le liquide porteur et le fait d'admettre que le vecteur d'interac-

tion des particules solides avec le liquide soit égal à la somme de deux termes : le premier,

le principal, proportionnel à la différence des vecteurs vitesses des particules et du liquide,

le deuxième déterminé par le théorème de JOUKOVSKI sur les circulations. H.I. DARIENBLATT

a établi des équations pour des écoulements à faibles concentrations volumiques et massiques

de particules. Il suppose que les particules sont petites et que les accélérations instantanées

du fluide sont faibles. Dans ce travail les idées de A.N, KOLMOGOROV sur les bilans de

l'énergie turbulente ont été appliquées aux écoulements diphasiquea. L'auteur établit et

résoud un système d'équations pour un écoulement plan de profondeur finie ou infinie. Les

résultats obtenus sont comparés aux données expérimentales de VADON relatives aux distri-

butions de concentration.

F.I. FRANKIEL envisage également des écoulements de particules solides

dans un liquide. Il part d'équations sous forme intégrale, c'est-à-dire plus générales, puis

fait la moyenne de ces équations et passe ensuite à la forme différentielle. Contrairement à

ce que nous feront, l'auteur se donne les équations de départ pour chaque composant sépa-

rément. Je suis d'accord avec les conclusions de l'auteur au sujet de la généralité dea équa-

tions qu'il a obtenues pour les écoulements de mélanges avec particules solides, mais il est

à noter que la transformation appliquée à la résultante des tensions a un caractère formel

0 sur s = 1.puisque "lk

X.A. RAKHMATOUL.IN ["9"! envisage des mouvements de mélanges à

plusieurs phases en l'absence de forces dissipatives. Il tient compte du passage d'un deu

composants dans l'autre phase dans les éoi\ations de continuité. Les équations générales

obtenues (continuité et quantité de mouvement) sont mises sous une forme linéarisée pour

des écoulements unidirnensionnels de mélanges diphasiques de liquides compressibles ou

incompressibles (mouvement!» ondulatoires, écoulement stationnaire de section variable,

mouvement non stationnaire).

1 - CHAMP DES MASSES VOLUMIQUES ET DES VITESSES DANS LES MELANGES

DIPHASIOUES

Soit un écoulement d'un mélange diphasique de deux matières arbitrairement

43

dispersées l'une dans l'autre, dont au moins une constitue un liquide* la deuxième étant

constituée aussi d'un liquide ou de particules solides. La masse volumique p et le vecteur

vitesse en un point M (voir figure) peuvent alors être écrits sous la forme :

(1. 1) p = =2 "2

(1. 2)

ou C j , C_ , p _ , p , v , w sont les concentrations volumiques relatives, les masse

volumiques et les vecteurs vitesse des composants.

Si le point M est choisi infiniment petit, C et C sont des fonctions du

temps et de l'espace alternativement égales à 0 ou 1. Elles varient brusquement de 0 a 1 ou

inversement sur l'interface. Si sur ces surfaces il existe une condition de non glissement :

(1. 3)

le vecteur vitesse dans le mélange diphasique est alors une fonction continue du temps et

de l'espace. Néanmoins ses dérivées par rapport aux coordonnes subissent une discontinuité

sur l'interface.

Dans le cas ou il est nécessaire d'avoir des dérivées continues, on sous-

entendra par point M un certain volume, petit par rapport aux plus petites particules de la

phase dispersée mais assez grand pour négliger les fluctuations de masse volumique dues à

la structure moléculaire des composants du mélange. C. et C? deviennent alors des fonc-

tions continues du temps et de l'espace. Pratiquement, C et C sont, comme toujours,

alternativement égaux égaux à 0 ou 1, mais varient de 0 à 1 ou inversement non plus brus-

quement mais dans un intervalle de temps relativement petit (voir figure). C'est pour cela,

qu'en tout point, on peut considérer non seulement un vecteur vitesse ~£ mais aussi ses

dérivées par rapport au temps et à l'espace.

* Dans cette notion de liquide on inclue les gaz en tant que liquide compressible.

44

n j—ii n r

a - EQUATIONS DE CONTINUITE

Considérons un volume arbitraire T . La variation de masse au cours du

temps dans le volume T est égal au flux de masse a travers la surface o et nous avons

(Z. 1)

S'il existe un transport par des phénomènes thermiques et chimiques d'un

composant dans l'autre phase, l'équation de continuité conserve néanmoins cette forme

générale,

Pour le mélange d'un liquide (ou d'un gaz) avec un dispersofde solide ou de

deux liquides non miscibles et aussi pour un mélange gaz-liquide, si on peut négliger la

vapeur du liquide et le gaz dissous dans le liquide, l'équation (Z. 1) se subdivise en deux :

(2. 2)

<2. 3)

*t

l P i

cz V* *

•f,

•f.VI dO

Les masses volumiquee du gaz et du liquide 9e déterminent à partir de leurs

45

équations d'état. Four le liquide, la masse volumique

est pratiquement uniquement fonction de la température , mais pour le gaz elle est fonction

de la température et de la pression :

K T

3 - EQUATIONS DU MOUVEMENT

L'équation de l'équilibre dynamique du mélange peut se mettre sous la forme :

(3. 1) F - 7" + ~F~ = 0

avec F résultante des forces de pesanteur :

(3, z) "F = T C P d T

t T

et avec J résultante des forces d'inertie :

(3. 3)"* r -*•= J P a d T + J a ( a d < r )

T c

Ici la première intégrale représente la variation locale dans 1e temps de la

quantité de mouvement et la deuxième le flux de quantité de mouvement a travers la surface <T ,

(3.4)

ou :

(3.5)

La résultante des tensions s'exprime par :

~>- f- p-P = J H dcr

0"

n = - p ï + ï 1 iî

46

n , fl , H , sont les tenseurs des contraintes générales du

mélange et de see composants ;

T et T sont les tenseurs des tensions visqueuses des

compos êmts

A l'interface on a la condition supplémentaire :

(3 .6 ) H! •

ou x est la tension superficielle et

-ta

(3. 7) k =

le vecteur de courbure avec

(3. 8)

cos ( k, x )

cos { k, y )

cos ( k.

la normale principale à l'interface en représentation tensorielle.

4 - EQUATION DE L'ENERGIE

L1 éqiiation générale de l'énergie pour un volume du mélange en mouvement

indique que la variation de l'énergie totale est égale à la somme de l'apport de chaleur et du

travail des forces extérieures :

(4. 1)

(4.2)

AE = J Û Q + û L

La variation de l'énergie totale eut égale & :

û E = -£- f JV) (a d~0

où V" est l'énergie interne

(4. 3) •V = H -

Dans le cas d'un mélange diphasique on. peut représenter l'enthalpie de la

façon suivante :

(4.4) p H = Cj p j H, +

Le dernier terme représente l'augmentation du potentiel thermodynamique

dans un volume unité si celui-ci referme des Interfaces s entre les composants. L'apport

de chaleur est égal à :

(4. 5)

et le travail des forces extérieures a :

A Q = J q d f f«y

û L = / P (T O df * / ( a d ) d o

ou la première intégrale représente le travail des forces de pesanteur et le second le travail

des forces de surface.

EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES ET DE L'ENERGIE MOYENNEES POUR LES

MELANGES

Les équations sous forme intégrale ne sont pas toujours d'une utilisation

aisée, d'autant plus que, dans le cas envisagé, elles comportent des termes exprimant des

variations brusques au moment du passage à l'interface.

Pour les applications pratiques des équations hydrodynamiques et de l'énergie

des écoulements diphasiques, toutes les variables doivent être des fonctions continues de

l'espace et du temps, lissées par rapport à la structure de l'écoulement et aux fluctuations

turbulentes. C'est pourquoi il faut moyenner les équations . Des deux moyennes possibles,

dans l'espace et dans le temps, la dernière est la plus précise et pour les écoulements

faiblement dispersés c'est la seule possible.

L'opérateur de moyenne dans le temps doit être appliqué directement sur les

équations de forme intégrale. Pour les écoulements stationnaires on peut toujours choisir

l'intervalle de temps assez grand par rapport à la durée moyenne des fluctuations. Pour les

écoulements non stationnaires, nous admettons, en outre, que la variation dans le temps des

grandeurs moyennes, pendant la période de moyennage, est uniformément variable [lOJ .

Aussi nous passons maintenant aux équations moyenne es et à leur transformation

en forme différentielle.

6 - EQUATION DE CONTINUITE MQYENNEE

Moyennons la masse volimaîque et le vecteur vitesse dans un intervalle de

temps fini, très grand devant le temps d<î présence moyen, en un point donné des particules

du composant dispersé. Nous avons alors pour la masse volumique :

f =

où C. et C_ sont les probabilités de présence en un point donné des composants ou leurs

concentrations volunûques réelles ; contrairement à C et C , ce sont des fonctions

continues du temps et de l'espace. En outre :

(6. Z)

Si les variati on P de pression û p sont telles que A p <£* p f alors le signe

moyenne au-dessus de p peut être enlevé. On peut donc supposer que p _ — ~n~ _ fit£ Z r Z

par conséquent :

(•• 3)

(6. 4)

Le vecteur moyen de quantité de mouvement est représenté par :

P a = P v + v +

en vertu de la définition adoptée plus haut des fonctions créneaux C. et C , Moyennong

l'équation de continuité {2. !}„ Si la dispersion et la vitesse du composant en suspension

sont telles que la péTiode de moyennage est très grande devant le temps de présence, dans

49

le volume T , des éléments dispersés de ce composant, et si la variation des valeurs moyen-

nes au cours de cette période peut Otre considérée comme une fonction linéaire, alors on peut

écrire :

(6. 5)

(6.

Dans ce cas, l'équation (2, 1) se met sous la forme moyennes suivante :

. r _ÏL dr = rj . ^ . t/. d CF

oîl p et p a sont des fonctions continues du temps et des coordonnes. En utilisant le

théorème d'QSTRQGRADSKI - GAUSS, nous transformons l'intégrale sur 5- en une intégrale

dans T et en passant à un volume infiniment petit noua aurons :

(6. 7) 1 9 + dlv P ï = - - 0

ou p et pa Bout déterminées par les égalités (6. 3) et (i. 4)

7 - EQUATIONS DU MOUVEMENT MOYENNEËS POUR LES MELANGES DIPHAStQUES

Moyeiwons la résultante des forces d'inertie.

Remarquons d'abord que, conformément à (1. 1) et (1. 2) ;

(7. 1) p a (a d o ) ( d c ) + dd)

P i v v. + GZ p z w Wj ) cos (n, x ) ds

En ce cas, en vertu de (6, 4} et par application du théorème d'OSTROGRAD-

SKI à la seconde intégrais de (3* 3) nous obtenons :

( 7 . 2 )w ) S ( C P v v + C P w wj

ï t]"1dT

Agissons de la même façon avec la résultante des forces de contrainte ;

nous obtenons :

50

(7. 3}

moyennée ;

(7.4) -f-t

-*• /* n ~" /> "*" =

p = J n d o = J div FI dT

En passant à un petit volume, noue obtenons l'équation de mouvement

v v. + C2 p z w VF.) =p g + div Tl

Transformons le membre de gauche de cette équation. En vertu de lTéquation

de continuité (6. 7) il peut se mettre sous la forme ;

7' 5>

^ ~. v) ( —- + div C p "£)

T^ ( c, P! v v. + c2 p2 . »j )

Si noua désignons par TTT- l'opérateur généralisé de dérivée matérielle par

rapport au temps, la variation de la quantité de mouvement moyennes dans le temps s'exprime

par :

7. 6)D t Dt Dt

+ (w - v) ( div

ou :

Dt

Lee deux première termes représentent les dérivés matérielles habituelles des vecteurs

vitesses de chaque composant par rapport au temps, le troisième la variation de quantité

de mouvement due à la va.ria.tion de la vitesse d'une partie de la niasse d'un des composante

au cours de son transfert dans l'autre phase (evaporation, condensation, dissolution, réac-

tion chimique etc ,.. ) .

En verta de (7* 5} et de (7* 6) l'équation du mouvement (7. 4) peut être

écrite BOUS la forme :

51

(7 '8) -5T S '2

8 - TENSEUR DES^CQNTRAINTES

Le tenseur de contrainte moyenne eet égal, conformément à (3. S) et aux

définitions de C, et C données au J 1 à :

P I +

ou p. et p sont les pressions statiques moyennes des composants, I le tenseur unitaire

et T. et T les tenseurs de contraintes visqueuses des composants du mélange. Si un des

composants est très dispersé, p. et p_ diffèrent par la pression capillaire 2 x k ou k

est la courbure moyenne de GAUSS en un point de l'interface :

(8. 2) = P2 + 2 x k

(S. 3)

Dans la majorité des cas pratiques on peut poser :

Considérons le tenseur moyen des contraintes visqueuses :

(8.4) T = ° T

ou :

(8. 5) - -1L div

52

puisque seul le deuxième composant est compressible. Si on néglige cette compressibilité,

alors :

(8 .6 )

Désignons par

(8.7)

le tenseur_de déformation massique moyen. Il est alors évident que T ne peut être repré-

senté par ^ dans le cas général que si 0 est multiplié par un certain tenseur 2 M, la vis-

cosité du mélange ayant été déterminée.

Ceci est entièrement conforme aux propriétés physiques des mélanges dipha-

siques qui peuvent être considérés comme des liquides anisotropos ou anormaux, L'aniso-

tropie des mélanges est très forte. Les concentrations des composants, la masse volumique

moyenne et la viscosité effective d'un mélange dépendent fortement des coordonnées . Lorsque

la concentration locale et la masse volumique des composants du mélange sont fixées, le

tenseur visqueux reste une fonction des gradients de vitesses de chacun des composants

(propriété d'anomalies).

9 - EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES MOYENNEES D'UN MELANGE DIPHASIQUE ET DE

SES COMPOSANTS

D'après (6, 7) , (7. 4) et (7. 5) les équations hydrodynamiques moyennées

des mélanges diphasiques peuvent être écrites définitivement sous la forme :

(9 .D - f î F p i

(9-Dw,. C, P:

dlv w) =

53

P et p étant déterminée par les équations d'état (2 .4 ) et (Z. 5), C et C étant

reliés par l'égalité (6, 2), •* ., , composantes du tenseur des contraintes visqueuses, étant

définies par les expressions (8. 4) et (3, 5) .

Nous avons ici quatre équations dans lesquelles il entre 3 inconnues : C ,

p, v. , w. et les composantes de deux tenseurs : le tenseur des contraintes visqueuses et

celui des contraintes turbulentes. Toutefois ce dernier est constitué en fait aussi de fonctions

inconnues.

Le système d'équations (9. 1), (9. 2) est pour cette raison incomplet. Pour

obtenir un système d'équations plus complet il faut considérer les forces intérieures de ré-

sistance réciproque entre les composants. Soit le vecteur Z la somme des forces appliquées

au deuxième composant ; ce vecteur Z représente les forces non conservatives de resis-

tance par rapport au premier composant par unité de volume.

Ecrivons séparément les équations du mouvement pour la phase dispersée et

la phase continue. Si le deuxième composant est en suspension dans le premier et si le champ

defl pressions étatiques est étudié aux points ou se trouve le premier composant, le terme

} p doit demeurer complètement dans les équations de la phase continue. En outre,

0 i dans la pratique, il est commode, pour les équations de la phase continue, de mettre

les forces de pesanteur uniquement sous forme de force d'ARCHIMEDE* L'équation du mou-

vement s'écrit alors pour le premier composant ;

- DVJ_ _ a c~2 p 2 _ —9. 3)

- p l g cos v . ) - T..

et pour le deuxième composant :

< 9 ' 4 > ~CZ P^" »lZ + div w ) =

= c2 ( p 2 - P l ) g x. .) H-

Nous avions obtenu [1] l'équation du mouvement (9 .4) sans les deuxièmes

termes des membres de droite et de gauche de l'équation, pour des dispersions de faible

concentration volumique. La conclusion énoncée ici n'est pas liocjà cette restriction.

54

S1!! n'y a pas de phénomène de transfert de masse d'un composant à l'autre

l'équation de continuité se divise en deux :

(9. 5)

(9.6)

Cl p l 4- div C. p.~

C; P Z_+ div C p "w = 0

et les deuxièmes termes des membres de gauche des équations (9. 3) et ((9. 4)

disparaissent.

10 - EQUATION DE L'ENERGIE MOYENNES

Etablissons l'équation différentielle d'énergie sous forme moyennée. Les

étapes de l'opération pour moyenner les différents termes de l'équation (4. î) et l'exécution

de la transformation sont analogues aux passages à un volume élémentaire faits aux J 7 et 8.

Nous obtenons alors l'équation générale moyennée de l'énergie soua forme différentielle :

(10. 1} -~ (E + É + JpH) =y|- + [ Cj p1 {7"v) + C2 P2 (7 ^} ] + J div q

la variation de l'énergie totale étant égale à la somme du travail des forces extérieures de

volume et de surface et du flux de chaleur. La variation de l'énergie cinétique des mouvements

moyen et fluctuant a la forme suivante :

(10. 2) •£• < ) . JL ( v 2 + ^'2) + Ct

La variation d'enthalpie est :

(10. 3) "^-(JDH __

— + C2

(H - H + J " x s) (- a t + div

Dt

p., v,)

55

(10.4)

Les tenseurs partiels de tension turbulente des composants du mélange sont

v. v. et T| = -C2 w. .

Etablissons maintenant l'équation de l'énergie mécanique du mouvement moyen

k partir des équations du mouvement. Ajoutons les équations (9. 3) et (9, 4) multipliées

par V et w. Nous obtenons le résultat suivant :

Dv

( g . w ) ] + | v [ to^n, + T-

w) =

Le dernier terme dans l'accolade représente la partie du travail accompli

par les forces de surface en compensation du travail des forces de gravité et de l'accroisse-

ment de l'énergie cinétique du mouvement moyen. Il peut Être représenté sous la forme de

la différence entre tout le travail dea forces de tensions visqueuses et turbulentes sur la

surface d'un volume élémentaire avec la somme de l'énergie de dissipation du mouvement

moyen transformée en chaleur et de l'énergie du mouvement moyen transformé en mouvement

de pulsation :

div) w

- [ ( T j div) + ( div

Par conséquent nous avons :

56

L'équation de l'énergie mécanique pour le mouvement moyen est analogue

à l'équation correspondante de REYNOLDS pour les liquides monophasiques.

Pour déduire l'équation de l'énergie mécanique du mouvement fluctuant à partir

de l'équation du mouvement, nous profitons des définitions données plus haut des fonctions C^

et C (cf figure) comme valeurs de la concentration des composants dans une région de très

petit volume par rapport au plus petit volume des éléments dispersés des composants du

mélange,

Selon ces définitions C , C , p et a doivent être considérés comme des

fonctions continues munies de dérivées ne présentant pas non plus de discontinuités.

En ce cas, en appliquant le théorème d1 OSTROGRADSKI aux intégrales

étendues à a dans l'équation du mouvement (3, 1) et en réduisant (J à des dimensions très

petites, on peut écrire l'équation (3. 1) sous la forme différentielle :

(10. w) p v

- f g + div H

En transformant cette équation à l'aide des équations {8. 3) et (S. 4) nous

pouvons écrire l'équation de l'énergie mécanique du mouvement fluctuant du mélange dipha-

sique sous la forme :

(ic. a) -~ (GJ2 * 2 C P2 Z+ div

Dt

= div , j L i i

[ (T' div) * + (T° div)

En conséquence des équations générales (10. 1), (10. 6), (10. 8) et du

résultat concernant l'équivalence mécanique de la chaleur, nous déduisons l'équation de

l'énergie thermique :

, ->2 - a , ,(w - V j (

2 i , ^ CZ P Z + div C, p, w) =t> t

2 r 2

57

= div q + J ~1 ) [ Cj ( (1 j didiv) v div)

= - — = - nj (Hjdiv) v + Cz ( H z div) w J

qui représente l'équation du premier principe de la thermodynamique pour un mélange

diphasique. Le membre de gauche représente la variation d'énergie interne par unité de

volume du mélange. Un nouveau terme entre dans l'équation de la chaleur par rapport à

l'écoulement d'un milieu liquide. Il représente la chaleur restituée en variation d'énergie

cinétique par unité de volume pouf l'évaporation ou la condensation d'un composant dans le

deuxième en conséquence de son mouvement relatif. Le membre de droite de l'équation

représente la somme des apports de chaleur de l'extérieur et du travail mécanique trans-

forma en chaleur .

LT équation (10. 9} peut €tre écrite sous une forme plus commode pour les

calculs pratiques :

do. 10} - p - - div

— , = -*. = -> ? ( ^>+ C2 [ ( T2 div ) w + ( Tz div ) w j V 4 div q

oïl -jr— p H est la variation d'enthalpie apr^s l'expression (10, 3).

L'équation (10. 10) détermine l'état des mélanges dïphasiques dar.9 les

écoulements desquels ont lieu des transferts d'un composant dans la phase de l'autre (evapo-

ration, condensation, fusion, solidification etc ...).

11 - SUR LA FERMETURE DU SYSTEME D'EQUATIONS

Le groupe (9.3 - 6) comporte 8 équations, c'est-à-dire deux fois plus que

le groupe (9,1 - 2). 11 constitue un système aussi incomplet que celui des équations moyen-

nées de REYNOLDS pour les équations monophasiques.

Le système est complet pour les 8 inconnues C , p, v., w. si on connaît

les tenseurs des tensions complètes, visqueuses et turbulentes, et les résistances internes

réciproques entre les composants en fonction de ces valeurs mais aussi en fonction du temps

et des coordonnées. De cette façon, comme dans le cas des liquides monophasïques, les

équations hydrodynamiques des mélanges diphasïques peuvent se refermer si, ai.na les résul-

tats d'études expérimentales sur les écoulements turblleuts diphasiqnes de natures différentes,

des relations semi-empiriques pour les éléments du tenseur des tensions et pour les forces

de resistance réciproques entre les composants du mélange, sont trouvées.

Les forces de résistance mutuelle sont fonctions de l'aptitude a. être dispersé,

de La vitesse relative et de la concentration du composant en suspension. L'influence de la

concentration a été peu étudiée.

Four de faibles concentrations volumiques, la résistance spécifique par

unité de volume peut être définie par :

£ W

c'est-à-dire comme la somme des résistances spécifiques des particules par unité de

volume. La quantité W se calcule à partir de données théoriques et expérimentales pour

des particules solides, des bulles et des gouttes : les formules de STOKES, de RIBTCHINSKI

et de TAYI/OR pour des petites particules et des E.e < 1, des données expérimentales de

coefficient de résistance des particules pour I<Re < 10 , Cn possède encore peu de données

sur l'influence de la concentration volumique de la phase dispersée sur la résistance volumique

des particules. Pour étudier cela, des expériences spéciales sont nécessaires.

Des analyses expérimentales sur les tensions turbulentes, les transferts

de masse dans les mélanges diphasïques et les résistances entre les composants du mélange,

exigent des techniques de mesure avancée. Les méthodes actuelles des enregistrements

optiques des phénomènes acquièrent dans défi domaines pratiques donnés, un rôle toujours

plus important que dans l'hydrodynamique monophasique. Les mesures des pressions dyna-

miques et du débit local des mélanges diph&Eiquea s'imposent pour déterminer les champs

de vitesses moyennes et les concentrations des composants malgré la complexité apparente.

Si un transfert a lieu entre les composants, par exemple lors d'une ebullition

ou d'une condensation, le groupe des 8 équations (9.1 - 2) et (9.4 - 6) est remplacée par le

groupe des 7 équations (9.1 - 2) et (9.4). Mais dans ce cas, il s'y ajoute l'équation d'énergie

thermique (10. 10).

Pour l'étude des écoulements des mélangea, considérés comme unidimension-

nelst il y a quatre équations. Pour leur fermeture, il faut posséder des données expérimen-

tales sur les résistances hydrauliques et sur le poids spécifique réel du mélange, c'est-à-dire

sur les vitesses relatives des composants.

1Z - SUR L'UTILISATION DES EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES ET DE L'ENERGIE

POUR UN SYSTEME DIPHASIQUE

La fermeture d'un système fondamental d'équations, avec des conditions aux

limites complètes, en vue de résoudre différents problèmes théoriques et pratiques, cons-

titue le but final de leur établissement. Pour des phénomènes aussi peu étudiés et aussi

complexes que les écoulements de mélangesjla fermeture et la résolution immédiate des

équations ne peuvent être qu'un but secondaire de leur établi s sèment. Cependant et dans

cette direction, il faut utiliser toutes les possibilités qui nous sont offertes. Une série de

cas particuliers d'écoulements diphasiques a déjà été étudiée théoriquement. Les travaux

de G.N. BAR1ENBLATT constituent des exemples de problèmes étudiés théoriquement et

complètement [?] .

Le but immédiat et principal de l'établissement des équations hydrodynamiques

et de l'énergie est, pour nous, leur application à la réalisation et à la méthode des analyses

expérimentales, c'est-à-dire à l'obtention de données expérimentales nécessaires à la fer-

meture du système d'équations sur des bases solides. Pour cela dee problèmes de similitude

et de traitement de données expérimentales ont été envisagés, ainsi que la réduction de?

problèmes techniques d'un écoulement unidimensionnel à la concordance avec les équations

hydrodynamiques obtenues pour des mélanges en vue d'obtenir une généralité et une précision

satisfaisante des calculs . On a également envisagé les exigences expérimentales afin d'ob-

tenir les données nécessaires pour résoudre certains problèmes théoriques particuliers. Ob-

server ces exigences a permis d'augmenter la qualité et la portée pratique des expériences

réalisées. L'établissement, à partir des équations hydrodynamiques et de l'énergie, de

corrélations physiques fondées, dans une forme généralisée semi-empirique, pour des gran-

deurs telles que les coefficients de résistance, le poids spécifique etc ... étend beaucoup

les possibilités du calcul des écoulements diphasiques.

Manuscrit reçu le S décembre 1967

61

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