Equation Differentielle Lineaire

7/24/2019 Equation Differentielle Lineaire

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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L.N.S.

DOUARD GOURSATSur lquationdiffrentielle linaire, qui admet pourintgrale la srie hypergomtrique

Annales scientifiques de l.N.S. 2e srie, tome 10 (1881), p. 3-142 (supplment).

Gauthier-Villars (ditions scientifiques et mdicales Elsevier), 1881, tous droits rservs.

Laccs aux archives de la revue Annales scientifiques de l.N.S. (http://www.elsevier.com/locate/ansens ), implique laccord avec les conditions gnrales dutilisation(http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systma-tique est constitutive dune infraction pnale. Toute copie ou impression de ce fichierdoit contenir la prsente mention de copyright.

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2/141

SUR

L ' Q U A T I O N

D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E

Q U A D M E T

P O U R I N T G R A L E

L A S R I E H Y P E R G O M T R Q U R ,

P A R

M .

E D O U A R D G O U R S A T ,

A N C I E N L V E

D E

L ' C O L E

N O R M A L E

S U P R I E U R E .

I N T R O D U C T I O N .

1.

L a

sr ie h y p e r g o m t r i q u eF ( a ,?,y ,

x),

c o n s i d r e c o m m e

fo n c -

t i o n d e

son

q u a t r i m e

l m e n t a ? , n ' e s t d f i n i e

q u e

p o u r les v a l e u r s

de

l a

v a r i a b l e d ^ u n m o d u l e i n f r i e u r

l ' u n i t . P o u r la d f i n i r p o u r

des

v a l e u r s q u e l c o n q u e s de o n d o i t l a

c o n s i d r e r

c o m m e

u n e

i n t g r a l e

p a r t i c u l i r e

d ' u n e

q u a t i o n

d i f f r e n t i e l l e

l i n a i r e

d u

s e c o n d

o r d r e ;

l a

q u e s t i o n

r e v i e n t

t r o u v e r

ce q u e

d e v i e n t ce t t e

i n t g r a l e

q u a n d

le

c h e m i n

s u i v i

p a r l a

v a r i a b l e a b o u t i t

a

u n

p o i n t

s i t u e n d e h o r s d u

c e r c l e de

r a y o n

i d c r i t d e l ' o r i g i n e c o m m e

c e n t r e -

Pa r

u n e

g n r a -

l i s a t i o n

q u i s ' o f f r e d ' e l l e - m m e , o n

est

a l o r s

c o n d u i t

se p o s e r le

m m e p ro b l m e p o u r u n e i n t g r a l e q u e l c o n q u e de

c e t t e q u a t i o n , l e

c h e m i n s u i v i

p a r l a

v a r i a b l e t a n t s i m p l e m e n t a s s u j e t t i

n e passe r

p a r a u c u n

des

p o i n t s c r i t i q u e s q u ' e l l e p r s e n t e .

Cette q u a t i o n

c l b r e ,

t u d i e

p a r G a u s s (

1

) et

K u m m e r

(

2

) ,

a d m e t ,

(

1

)

GEwef

campteff,

t . t ,

p .

'207.

( 2 )

Jo^nni d e .

Crelle,t.

X V,

p . 39 .


3/141

S. 4

* G O U R S A T .

c o m m e

l 'a m o n t r c e

d e r n i e r , v i n g t - q u a t r e i n t g r a l e s d e

la

f o r m e

(i-- . x ; ^ { c c ' , ^ , Y , ^ ) ,

o z e s t l ' u n e d e s v a r i a b l e s

x, i x ,

- - ?

,

' - 5

1

-

5 p o u r v u

o c i s e , s e " i * *

q u ' a u c u n

des

n o m b r e s

7 , y

-

a - |3, |3 a

n e

s o i t

u n

n o m b r e e n t i e r .

D a n s

l e

m m e

t ra v a i l , K u m m e r a d o n n

l e s

r e l a t i o n s

l i n a i r e s

c o e f f i -

c i e n t s c o n s t a n t s q u i e x i s t e n te n t r e

t r o i s

q u e l c o nq u e s d e cesi n t g r a l e s ;

m a i s , c e t m i n c n t

g o m t r e

s ' t a n t p l a c u n i q u e m e n t a u p o i n t d e v u e

d e sv a l e u r s r e l l e s

d e l a v a r i a b l e / l e s f o r m u l e s q u ' i l

a o b t e n u e s p r -

s e n t e n t

q u e l q u e s

d i f f i c u l t s

q u a n d

o n v e u t p a s s e r a u x a p p l i c a t i o n s ,

d ' a u t a n t p l u s

q u ' i l n 'a

p a s

t o u j o u r s p r c i s s u f f i s a m m e n t le sens d e ses

i n t g r a l e s .

S u p p o s o n s , en

e f f e t ,

q u ' o n

v e u i l l e p a s s e r

d ' u n e

v a l e u r

d e

x

r e l l e ,

p o s i t i v e

e ti n f r i e u r e

l ' u n i t ,

u n e

v a l e u r d e

x r e l l e , p o s i t i v ee t

s u p -

r i e u r e

l ' u n i t ; c e l a n e p o u r r a

se

f a i r e

e n a t t r i b u a n t la v a r i a b l e u n e

s u i t e

d e v a l e u r s t o u t e sr e l l e s ,

p u i s q u ' o n

n ep e u t

p a s s e r p a r

l ep o i n t , r = = = i ,

q u i e s t u n p o i n t c ri t i q u e p o u r l ' q u a t i o n

d i f f r e n t i e l l e . I l f a u d r a

d o n c

a t t r i b u e r

x u n e s u i t e

d e v a l e u r s

i m a g i n a i r es ,

ce q u e l ' o n

p o u r r a

f a i r e

d ' u n e

i n f i n i t

d e m a n i re s , e t ,

l a

v a l e u r f i n a l e d e la f o n c t i o n

d p e n d a n t

e s s e n t i e l l e m e n t

d e

l a

l o i d e s u c c e s s i o n

d e s

v a l e u r s d e l a

v a r i a b l e ,

o n

v o i t q u ' i l est n c e s s a i r e , p o u r l ' o b j e t

q u e l ' o n s e

p r o p o s e , d ' i n t r o d u i r e

l a c o n s i d r a t i o n d e s

v a l e u r s i m a g i n a i r e s d a n s l ' q u a t i o n d i f f r e n t i e l l e .

L a

t h o r i e

g n r a l e

d e

c e t t e

q u a t i o n ,

q u a n d o n

n ' a p p o r t e

a i n s i

a u -

c u n e ^ s t r i c t i o n a u x v a l e u r s d e la v a r i a b l e , n 'a

p a s

t f a i t e j u s q u ' i c i

d ' u n e m a n i r e c o m p l t e , d u m o i n s m a c o n n a i s sa n c e *Je d o i s r a p p e l e r

c e p e n d a n t

q u e

M . T a n n e r y (

On

t r o u v e r a

c i - a p r s l e T a b l e a u d e

ces

six

i n t g r a l e s , a v e c l es c o n d i t i o n s q u e d o i v e n t r e m p l i r

les

q u a n t i t s

a,6, y p o u r

q u e ces

i n t g r a l e s a i e n t u n s en s ( l ' i n g a l i t A>o i n -

d i q u e s i m p l e m e n t q u e l a

p a r t i e

r e l l e de A e s t

p o s i t i v e ) .


7/141

S.8 . G O i m y A T .

(i)

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2

' )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

(6)

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-

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o

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4. A v a n t

d ' a l l e r p l u s

l i n , i l i m p o r t e , p o u r l a

s u i t e ,

d eb i e n p r c i s e r

q u e l l e est c e l l e d e sv a l e u r s d e

l a f o n c t i o n

V q u e l ' o n p r e n d d a n s

l ' i n -

t g r a t i o n e t a u s s i d ' t u d i e r

d e

p l u s

p r s

l e s p r o p r i t s d e s f o n c t i o n s

r e p r s e n t e s p a r

ces

i n t g r a l e s d f i n i e s .

5 .

I / i n t g r a l e

y

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j

u ^

\(

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^ T - - M

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s e n s ,p o u r v u

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q u e

l e s

p a r t i e s r e l l e s

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y ( 3

s o i e n t

p o s i t i v e s , e t

en

o u t r e

p o u r v u q u e

x

n ^ a i t p a su n e

v a l e u r

r e l l e s u p r i e u r e

l ' u n i t .

On p r e n -

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-

K

d r a

c e t t e

i n t g r a l es u i v a n t

l e

c h e m i n

r e c t i l i g n e

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(fig ) ;

p o u r

a r g u -

n e n s d eu e t

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o n

p r e n d r a

o ,

et p o u r

a r g u m e n t d e

xu

c e l u i

q u i es t n u l

p o u r

u

o.


8/141

S U R

L ' Q U A T I O N

D I F F R E I N T I E L L E

L I N A I R E ,

E T C . S. 9

L a f o n c t i o n y

a i n s i

d f i n i e es t

u n e

f o n c t i o n

u n i f o r m e d ex d a n s

t o u t e

l ' t e n d u e

d u

p l a n ,

c o n d i t i o n q u e

l e c h e m i n

s u i v i

p a r

l a

v a r ia b l e

ne c o u p e p a s l a l i g n e 4 - 0 0

.

F a i s o n s d c r i r e a u p o i n t o c u n e

c o u r b e f e r m e n e c o u p a n t p a sc e l t e

l i g n e ;

l e p o i n t xu ^ c o r r e s p o n d a n t

u n e

v a l e u r

d e u c o m p r i se e n t r e o

e t i ,

d c r i r a

u n e

c o u r b e f e r m e

h o m o t h t i q u e

l ap r c d e n te

e t l a i s s a n t

l ep o i n t s

l 'e x t r i e u r . L ' a r g u -

m e n t d e o c u r e p r e n d r a d o n c sa v a l e u r i n i t i a l e ; i l e n s e r a d e m m e

d e l ' l m e n t d e l ' i n t g r a l e

q u i

c o r r e s p o n d c e t t e v a l e u r

d e

u,et

p a r

s u i t e

d e l ' i n t g r a l e

e l l e - m m e .

I l

r s u l t e

d e

ce

q u i

p r c d e q u e

l a

f o n c t i o ny

p o u r r a ,

l ' i n t r i e u r

d ' u n c e r c l e

d e r a y o n

g a l

l ' u n i t d c r i t d e l ' o r i g i n e c o m m e

c e n t r e ,

t r e d v e l o p p e

e n

s r i e c o n v e r g e n t e o r d o n n e s u i v a n t l e s

p u i s s a n c es

c r o i s s a n t e s

d e

l a

v a r i a b l e .

L e

c o e f f i c i e n t d e x'^

1

d a n s

ce d v e l o p p e m e n t

s e r a

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(7)

P o u r t o u t e v a l e u r

d e

x d e m o d u l e i n f r i e u r a

l ' u n i t ,

o n a u r a d o n c

'v. m Ft., ,.).

L ' i n t g r a l e p r c d e n t e e s t

s u s c e p t i b l e

d e

t r o i s

a u t r e s f o r m e s s e m -

b l a b l e s , q u e

l ' o n

o b t i e n t

a u m o y e n

d e s

c h a n g e m e n t s d e v a r i a b l e

s u i -

v a n t s , i n d i q u s p a r J a c o b i ;

u =.=

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S2


9/141

S.O .

C O U R S A T .

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1

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l a

p r e m i r e

s u b s t i t u t i o n , ^

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c h a n g e e n

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C e t t e

d e r n i r e

i n t g r a l e

e s t p r i s e

s u i v a n t

l e m m e c h e m i n q u e

la

p r e m i r e .

S i

l ' o n

f a i t s u r l e s a r g u m e n t s d e c , i

v,

i

^

v

l e s

m m e s c o n v e n t io n s q u e

t o u t

l ' h e u r e , i l f a u d r a ,

p o u r

q u e l e s

d e u x

i n t g r a l e s s o i e n t i d e n t i q u e s ,

p r e n d r e

p o u r a r g u m e n t

d e

i x c e l u i

q u i e s t n u l p o u rx=o. On a u r a a l o r s

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1

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C e t t e

d e r n i r e i n t g r a l e

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p r i s e

l e l o n g

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d e

c er cl e o M i ; m a is

i l

e s t

f a c i l e d es'assurer q u e l ' a i r e c o m p r i s e e n t r e

c e t

a r c d e c e r c l e

e t

l a l i g n e o - f n e c o n t i e n t

p a s

le p o i n t - ? q u i e s t u n p o i n t c r i t i q u e

se

p o u r

l a n o u v e l l e f o n c t i o n s o u s l e s i g n e d ' i n t g r a t i o n . E n e f f e t , l a

v a l e u ry=

c o r r e s p o n d p o u r

u l a v a l e u r

u=

4 - 0 0 ; l e p o i n t A

q u i

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f i g u r e

^ d o i t d o n c a p p a r t e n i r l a c i r c o n f r e n c e d o n t

f a i t p a r t i e

l ' a r c o M i . O n p o u r r a ,

p a r

c o n s q u e n t , p r e n d r e la s e c o n d e

i n t g r a l e

s u i v a n t

l e c h e m i n r e c t i l i g n eo -i e t , e n f a i s a n t

s u r l e s

a r g u m e n t s

les

m m e s

c o n v e n t i o n s

q u e t o u t H i e u r e , o n p o u i T a c r i r e

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10/141

S U R L ' Q U A T I O N

D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E ,

E T C . S, 1

L a

t r a n s f o r m a t i o n

i/.=

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d o n n e r a i t

d e m m e

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t r e

d v e l o p p e e n

s r i e p o u r

d e s

v a l e u r s

d e

l a v a r i a b l ec o m p r i se s

e n t r e

c e r t a i n e s l i m i t e s .

A i n s i ,

p o u r d e s

v a l e u r s

d e

x d e m o d u l e i n f r i e u r l ' u n i t , o n a

(l_,c]~a-p /

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11/141

S

2.S

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C O U R S A T .

D a n s

le c e r c l e

G o , o n a

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y,

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D a n s

l ' e s p a c e

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o n a

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t a n t s u p p o s

c o m p r i s

e n t r e T T e t +

T T . A

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v r i t ,

l e s

r s u l t a t s

q u i

p r c d e n t n e s o n t t a b l i s

q u ' e n

s u p p o s a n t p o s i -

t i v e s

le s p a r t i e s

r e l l e s d e

?e t

d e 7 f 3 ;

m a i s

i l

e s t c l a i r

q u e ces

r s u l -

t a t s

s u b s i s t e n t t a n t q u e 7n ' e s t p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f

o u

n u l .

I m a g i n o n s

q u ' o n

v e u i l l e

v r i f i e r d i r e c t e m e n t

q u e

l ' u n e

d e s

q u a t r e

f o n c t i o n s p r c d e n t e s s a t i s f a i t

l ' q u a t i o n ( i ) : le

s i g n e d e s

q u a n t i t s

P, 7 a n ' i n t e r v i e n d r a en r i en

d a n s

l e c a l c u l , e t , p a r c o n s q u e n t ,

l a

v r i f i c a t i o n

d e v r a se f u i r e

d a n s t o u s

l e s c a s . 11

e n

s e r a i t d e

m m e

si

l ' o n

v o u l a i t

v r i f i e r

q u e

d e u x de c es f o n c t i o n s s o n t g a l e s

p o u r l e s

v a l e u r s

d ex, q u i r e n d e n t

c o n v e r g e n t e s

le s d e u x s r i e s .

Je f a i s

c e t t e

r e m a r q u e u n e

fo i s

p o u r

t o u t e s ,

p o u r n ' a v o i r

p a s

y r e -

v e n i r d a n s

l e s

c a s

a n a l o g u e s .

S i

l e s

p a r t i e s r e l l e s d e f t e t

d e

y p s o n t p o s i t i v e s , o n a

r^y-

6.

L ' i n t g r a l ey=

""

1

( i ^^"^"'(i ocu)-^

d u a

u n

s e n s ,

t/


12/141

S U R

L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E , E T C * S.l^

p r e n n ea r g . ( ^ ) = = + 7 ; ,

e t

f a i s o n s

l e

c h a n g e m e n t

d e

v a r i a b l e

:

___f__ \_

c

l

'

i

^

^

^ (h

j

[ V }

i

v v a r i a n t

d eo

,u

v a r i e d e o

o o:

c [

T .ri

T xn = . ' - ,

S i

n o u s

p r e n o n s

o

p o u r

a r g u m e n t

d e

v

e t

de

i

< ^ n o u s d e v o n s

p r e n d r en

p o u r a r g u m e n t

d e ( 1 ) , e t l ' a r g u m e n t d e 1 ^ ( 1 ^ ) s e r a

n u l

p o u r

^=o. P a r ce

c h a n g e m e n t

d e v a r i a b l e , l ' i n t g r a l e d e v i e n t

^

j

^

^]

a-Y

_

,

f

_ )]-a

v < (

D a n s c e l t e d e r n i r e

i n l g r a l e , l e s a r g u m e n t s d e

7

,

1 ^ , 1 ^ ( 1 ^ )

o n t l e m m e

s e n s q u e

d a n s l ' i n t g r a l e d j t u d i e . O n p e u t

d o n c

l u i

a p p l i q u e r

l e s

t r a n sf o r m a t i o n s

p r c d e n t e s , e t l ' o n c o n c l u t q u e ,

t a n i q u e

+p

y n ' e s t p a s u n n o m b r e

e n t i e r

n g a t i f

o u n u l ,

r q u a t i o n

( i )

a d m e t u n e

n o u v e l l e

i n t g r a l e

9 2

h o l o m o r p h e

d a n s

t o u t

le

p l a n , s o u s

l e s

c o n d i t i o n s i n d i q u e s p l u s

h a u t .

D a n s

l e

c e r c l e

C , , o n a

c^==

F

(a, S,

a-4"

|3-H

7,

i.^ )

==.z-'-TFi 4 - 1 y,P+

--

y,

-4-

p-h r y,

r

.r).

D a n s l ' e s p a c eEo

o n

a

d e

m m e

c p . >=- Ffa,a

+

y,

a

+

|3 - 4 - 1

-

y,^-j

\

%

y

/ _

p

==: --P

F(

p,p+

y,

a+- (3 -4-

y,

l ' a r g u m e n t

d e^

t a n t

c o m p r i s

e n t r e T T

e t

+ 7 7 .


13/141

S.4

- G O U K S A T .

L o r s q u e | 3 e t a 4 - i y a u r o n t l e u r s p a r t i e s r e l l e s p o s i t i v e s , c e t t e

f o n c t i o n

^

p o u r r a

t r e r e p r s e n t e

p a r

u n e

i n t g r a l e d f i n i e ,

F

^ p - - i

( , )- ( r-xuY-^du=

111 ^ ^

o.,

Jo r(a-4-(3-+-iy)

i

"

e n s u p p o s a n t q u e

l ' o n p r e n n e +n

p o u r

a r g u m e n t

d eu

d a n s l ' i n t -

g r a l e .

S i

l ' o n

p r e n a i t

T T

p o u r c e t

a r g u m e n t ,

o n a u r a i t

^

"

n (i

--P- - - " ' , .r i a - n- ' / i r C y i S ) ,

?-,

( ,

-u

)-P-

( -xu

-

d u

=

< ? (- T '

;7-r-

1

ensupposant

qu'onprenne(-71)pour argument dei-u.


15/141

S.I

.

G O U R S A T .

S i l ' o n p r e n a i t

+n p o u r

ce t a r g u m e n t , o n

a u r a i t

F -'(i-,,)Y-P--


16/141

S U R L ' Q U A T I O N D I F F R E N r E L L E L I N A I R E ,

E T C .

8.17

D e

m m e , a

l ' e x t r i e u r

d u ce rc l e

C ^ ,

Q,=(i_)-pF

(;3,

y

--a,

(34-

-a,)

\

i

-^/

-:

(--^)I-T(T^)-P-

1

F(p-l-

y ,

--a,

f3+a,

)>

l e s a r g u m e n t s

de

( ^ )

e t

d e ( r ^ )

t a n t c o m p r i s

e n t r e

( T T ) e t

'(+7

P o u r d es v a l e u r s c o n v e n a b l e s d e fi e t d e r

a,

o n a u r a

r' -.f , _ ' i - p - .

/

,

-

, ^ < ) - a < / . = e ^ p '

y p ) ^ ' - ^ ,

. / o

r ^ + i - ;

f

- i - . w

9. L'intgraler== ^'"

1

( ^-P

1

--

1

f r /r^)-

01

a un

s e ns ,

< ? -

p o u r v u

q u e

l e s p a r t ie s r e l l e s d e

a e ta-h

s

7

s o i e n t p o s i t i v e s e t

q u ex

n ' a i t

p a s u n e v a l e u r

r e l l e

s u p r i e u r e

l ' u n i t ; d e p l u s ,

l a f o n c -

t i o n

y s e r a

h o l o m o r p h e

si l e

c h e m i n s u i v i

p a r l a

v a r i a b l e

n e c o u p e

a u -

c u n e

des l i g n e s in d f i n i e s c e

o , +co .

O n r a m e n

c e l t e i n l g r a l c

a l a p r e m i r e f o r m e e n p o s a n t u= =

e t

l ' o n t r o u v e

/ +

^

^

-

i

f

._

H

Y( ~~

\

(

_

^uY~

7

-

f/if

^

^

^=fc'n:/'(Y-.^-I')w.f \ -- Y j

( > a -

Y f (; ' ; --^

^

(.'.r

)'~?"~

1

o

L e s a r g u n e n i s ( l eu

e t

d e

u

s o n t

f i x s

p a r l ac o n t i n u i t en s u p p o s a n t

q u ' o n

p a r t e

d e

l ' o r i g i n e a v e c l ' a r g u m e n t

o

e t q u ' o n d c r i v e le r a y o n

i n f i n i o L p a s s a n t p a r l e

p o i n t -

I

-

Q u a n t i ^, o n p e u t

p r e n d r e

p o u r

a r g u m e n t T T . D a ns

la formule

p r c d e n t e , on

prendra

le

signe

-4-

ou

le signe

-

d e v a n t

ni(;/

-fi

1

. ) s u i v a n t

qu e

le

pointquifigure la

va l e ur dex sera

d a n s la par t ie

s u p r i e u r e ou

d a ns

la p a r t i e

infrieure

du

p l a n ,

e t le

signe

4-

ou

d e v a n t

i

s u i v a n t

que

l'on

prend,

p o u r

a r g u m e n t de

t .vu,

-+- T T

ou

- T r .

> . ? o


17/141

.i8 ^ * C O U R S A T .

T a n t q u e

2 7

n e s e r a

p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f

o u

n u l , l ' q u a -

t i o n

( i )

a d m e t t r a

u n e

i n t g r a l e

^ g ,

u n i f o r m e

s o u s

l a

c o n d i t i o n

n o n c e

p l u s

h a u t .

D a n s

l e

c e r c l e C o , o n

a u r a

o ;;

= =

. % < -Y F

( p - 4 - 1

y , e x . -+ -

r

y ,

? ---

y )

:^-^( - PF(i

a,

(3,

2

--y,

.r).

D e

m m e , d a n s

l ' e s p a c e E o ,

/

.

^ \

c p , , = = "r(

;r)T- --'

F a4- y, T p, a

y,

' 6

, *

/

^

-r(

_

^y..~p-i

Ffp

+

y,

^,

-

y,

^^TY)

'

l e s

a r g u m e n t s

de

o c

e t d e o c t a n t

c o m p r i s

e n t r e

T T

et

- 4 - 7 T .

P o u r d e s v a l e u r s c o n v e n a b l e s d ea, f 3 , 7 , o n a y r a

^-4-w

T

f^--J-

][

vVf

1 OC \

[

,,?-.

(

_

a)r-P-


18/141

S U R . L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E

L I N A I R E ,

ETC.

S.Q

p a r t

d e

l ' o r i g i n e a v e co p o u r v a l e u r i n i t i a l e , e t l ' o n d c r i t le c h e m i n

r e c t i l i g n e

o - ; p u i s o n p a r t d u p o i n tx= i,

e t

l ' o n d c r i t l e c h e m i n

r e c t i l i g n e q u i j o i n t c e p o i n t

a u

p o i n t a v e c d es

v a l e u r s p a r f a i t e m e n t

d t e r m i n e s

p o u r

ces a r g u m e n t s . M a i s

i l

y

a

a m b i g u t

p o u r l ' a r g u -

m e n t de

i

u.

D a n s

l a

f o r m u l e p r c d e n t e , o n

d e v r a p r e n d r e

le s i g n e -+ o u l e

s i g n e

"

d e v a n t 7 u ( y - p i ) , s u i v a n t q u e

l ' o n

p r e n d

arg.( r

u]

== = arg.

( .v] arg.^dz

T T .

T a n t q u e7

+ - 1

a p n e s e r a p a s u n n o m b r e e n t i e r n g a t i f

o u n u l ,

o n a u r a u n e n o u v e l l e i n t g r a l e

< p e

d e l ' q u a t i o n

d i f f r e n t i e l l e ,

u n i f o r m e

a u x m m e s c o n d i t i o n s q u e la p r c d e n t e .

D a n s l e

c e r c l e

C i ,


19/141

S. 20

. C O U R S T .

N o u s

r e n d o n s

ces

i n t g r a l e s u n i f o r m e s e n i m p o s a n t c e r t a i n e s c o n d i -

t i o n s

a u

c h e m i n

s u i v i

p a r

l a v a r i a b l e ; a i n s i , p o u r l e s

i n t g r a l e s ^ , y ^ ,

< p 5 ? y ( >

c e c h e m i n n e d o i t c o u p e r a u c u n e d e s l i g n e s x o ,i-4-xi ;

p o u r

l e s

i n t g r a l e s

y ; ;

e t

y , . ,

ce

c h e m i n n e d o i t p a s c o u p e r l a l i g n e

i n d f i n i e

o 4 - c e

.

Ces s i x i n t g r a l e s

se

p a r t a g e n t e n

t r o i s g r o u p e s ,

c h a q u e g r o u p e

c o m -

p r e n a n t

les

i n t g r a l e s q u i s e

c o m p o r t e n t d ' u n e m a n i r e s i m p l e d a n s l e

v o i s i n a g e d ' u n p o i n t

c r i t i q u e * L e p r e m i e r g r o u p e c o m p r e n d l e s

i n t -

g r a l e s < p i

e t y ; i ; l e

s e c o n d

se c o m p o s e d e ( p ^ e t d e y , ; ;

93

e t 9 4 f o r m e n t

l e t r o i s i m e .

C h a c u n e d e ces i n t g r a l e s

e s t s u s c e p t i b l e d ' t r e r e p r s e n t e p a r

u n e

i n t g r a l e d f i n i e ,

p o u r v u

q u e le s l m e n t sa,

f ^ ,

7

s a t i s f a s s e n t

c e r -

t a i n e s c o n d i t i o n s .

Tableau, de s intgrales,

i) F(a,p,y,,z'j,

^ ) (

/r)r F(y

y ., y

p,

y,.r

;,

x

9.

( 3 ;

(i- )

,,/

r

F ,7-^y, "

X 1

^

x

( 4

^ )

1 1

^ F (3,7-a,

y ,

.y i

i )

F

(a,

[3

o t .

-t-

p4-.

y ,

i

x},

.r'-TFla 4 - 1 y ,

(3

4" i y ,a+p

4-

i .7, i -"-

3 c \

N

1

.

^ i

\

-"

a

F a,

a

+

y ,

a+

[3

4"

i

y ,

?

\

^

^

( 3 )

( 4 ) x F( |3,p-7,^

-4-p

4-

i-

7 >

)

\

IA

-

/

(

i

)

(--

.z* p

7

'

F (a, a-1- i

-~ -

y ,

a

4-

i

"-

p 7

)

y < y /

( a )

(-^^^(^^^^Ffi-^y-p^

(3 ,

/ \

( 3 )

(i-^)=

(4 )(- < -T (

- )Y-"-^

p o u r

l i m i t e .

N o u s

a v o n s ,

p a r

c o n s q u e n t ,

l ' g a l i t

/

f / - /

-

f

/-

V4-^ Ndu V=r(>,

du\

^du^j

V

).T

"-

( .6i+i)

2

' (^+4^_4).

7

--

[7-; jz^72j2

=

2=:-

/ = = o ,B+C=o,

\

z=tm=,, ^ (i _ ^Lri L

" (i+^

9

,

""-

(.-^)

^=:t.=i-.)

- i 6 ? ( i ~ - ? )

(" F'"'


87/141

S 88

,

GOITRSAT.

{

A

-0,

Br

C0,

j

^

= . ? niiirL z JJLr-

- ii-LzA^

' i - .^(^^-h) ^(^4^4)2' ^-(,+4^4 '

I

H

-~--h:|-,l/=U

Transfo rm

afions

fn

verses.

i A

~:

C ,

B

=- =

% A,

\ ' (^.2

.6^

.

p_

(L^L l

4

-

i^

2

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6

^

4

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)

2

.

j J:::=

W=,

^ .i . _.yj2 """"

K.y - "'"

4 ^ . ~

"

1

,

.

^ 1 (-i. Y

1 6 ^ ( 1

-

_ ZL LZL -.,

A:r:, __y.] ._^a~- (l+. ~

?

2_ + 2-

^ c = : 4 A , B r : r 4 . A ^ ( y 2 ^ 4 . y^ ,4 )2^ L

2

' - l5f-rJ-1

2

- -

^

= =

- - ,

w

==

~7u^^^-^)^

^

y

Tir T )

"""

5

^^p~:-

/,

* ' ^ ( LT IL - l iLZ)--- S^^^) _ _ _

^==: .=y. ^ : r4J2

=:=

^

T y"'

" (^+4^4)2-^

, A , = = 4 c , B ==-4 ,

c , ,

(

4

4 ^ 2 j 2

^

;

Jjzj

-

(jA r- l

) / . ,m= ,^.._.. - _.^^.^_^~ ^^_ ,i =

'

' " 1

y

(

( j ? ^ - ) - ^ _

" ilfliri

/

-J in L/

t

A=^:^=:^.

] - (7+4^r : -4^2 ) i - -^ " ( ^ ^ . - . i ^ - ^

l

'

( + 4 ^ - 4 ^ 2 ) 2 - - ^

1 3 .

S o i t

n=.:a , ^r^S.

I I

f a u t d t e r m i n e r

B .

e t

S

de t e l l e so r t e

q u e

l 'on

a i t

I^^s^Hrt ^.

R p e u t

t r e

du p r e m i e r ,

d u d e u x i m e o u d u t r o i s i m e

d e g r ; Sp e u t

t re d u p r e m i e r

ou du d e u x i m e d e g r ,

ce

q u i

f a i t

en

t o u t si x ca s

e x a m i n e r .

Premier

cas.

S u p p o s o n sR e t

S

d u

p r e m i e r

d eg r ,

R - a l -i -

h,

S = = / y ? ^ - + - n ,

l e

p o l y n m e R

2

S

3

sera d u t r o i s i m e d e g r ; i l a d m e t t r a

u n

f a c t e u r

d o u b l e

e t

u n

f a c t e u r

s i m p l e .

Soi t

t

le f a c t e u r d o u b l e ;

il

f a u d r a

q u e

Fon ait

h n

3

, 2ab-3mn

2

, (a

&)2=:(m4"/?,)

3

.


88/141

S U R

L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E

L I N A I R E , ETC. S.89

On

p e u t t o u j o u r s p r e n d r e

b

= = i,n=i. On a u r a a l o r s

3m

a==5

2.

e t

p a r s u i t e

On

en t i r e

d ' o r i d e n t l l

3ni

L

f

m

= =.

-,

==

[

m-[- 1

;{

^

_-

s '

(g8)-(4---3=27^(-^

Deu x i me

cas .

S u p p o s o n s

R

d u

d e u x i m e d e g r , S d u p r e m i e r

d e g r

:

R

==

a

2

+bt+c,

S

==

m^

4- .

L e

p o l y n m e

R ^ S

3

s er a d u q u a t r i m e d e g r ;

il n e

p e u t a d m e t t re

d e u x f a c t e u r s d o u b l e s . Si

l'on a v a i t

R 2 _ 8 ^ = 11^ (1"

t y

2

,

o n

en

c o n c l u r a i t

SrrrRaH l- )

2

.

O r

l ' q u a t i o n

B .

2

H ^ ^ i

--^ o se d d o u b l e e n d e u x q u a t i o n s a u

p l u s d u

d e u x i m e d e g r ,

R .it[),

e t p a r c o n s q u e n t n e

p e u t a d m e t t re

d e

r a c i n e t r i p l e ;

S

2

R

3

a u r a d o n c

u n

f a c t e u r t r i p l e

e t

u n f a c t e u r

s i m p l e ,

S o i tt l e f a c t e u r

t r i p l e ,

o n

a u r a les c o n d i t i o n s

c n

3

,

2bc= 3fnn

2

, b

2

-} -lac Zm n, [a~\-b

-^

^ (m

4-

n)

3

.

P r e n o n sn=i, c==i ;

o n

en

t i r e

, 3m 3w

2

qm

4

qm

3

-

^

a=: -? 4-==

m

3

,

2 8 64 o

p a r

c o n s q u e n t

m

==

j, 6

== , a

== ; fV ,

S.

12


89/141

S.90 . G O U R S A T .

d ' o r s u l t e

l ' i d e n t i t

(8^-

36 - -

^

-(9-8 ^ ) 3

=

-64 ( i -~^.

Troisime cas . S o i e n t Rd u t r o i si m e

d e g r

e tSd u p r e m i e r

d e g r

:

R=:< ^

3

-i-

it

2

-i-


90/141

S U R L ' Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E , E T C . S.Q

Quatr ime

cas .

S u p p o s o n s R d u

p r e m i e r

d e g r etS d u d e u x i m e

d e g r ,

{-=:at 4-

6,

S^wP+ra-+-p.

R

2

S

< t

n e p o u r r a

a d m e t t r e

d e u x f a c t e u r s t r i p l e s .

S i

l ' o n a v a i t

R2- S3"=(-

3

,

o n e n

d d u i r a i t

R2^S3.4,^(i-^).-i;

o r

le

s e c o n d

m e m b r e a d m e t v i d e m m e n t p l u s

d ' u n f a c t e u r

d i s t i n c t .

S i l ' o n a v a i t

S3=:R2^(i?)

2

,

c h a c u n e d e sd e u x q u a t i o n s

R

= = ( i t)d e v r a i t a d m e t t re u n er a c i n e

t r i p l e - On

a u r a i t

i -^ - ^ /

\

/

.

.

\ p .

R

^(U-^

R+2 ( 1

,_i)=[Ut- -V)

D o n c

9,R

=(Z

+

(/)

3

+,

(M i

-+- i )

3

;

R

t a n t d u

p r e m i e r d e g r , l ' g a l i t e s t i m p o s s i b l e

S i l ' o n

a v a i t

S2_R3 :H(~ ,

o n

t r o u v e

c o m m e

c o n d i t i o n

,

n

= =

o, ab

==

o.

L ' h y p o t h s e n e

d o n n e e n c o r e

r i e n .

Cinquime

cas ,

R

e tS s o n t du

d e u x i m e d e g r .

On

d m o n t r e ,

c o m m e p o u r

le s

ca s p r c d e n t s ,

q u e

c e t t e

h y p o t h s e

e st r e j e t e r .

Sixime cas . R

es t

d u

t r o i s i m e d e g r e tS d u d e u x i m e d e g r :

f^

34. 6 ^ 2

_

ci

4. cl , S = - .

mt^

nt

" --

p .

" R 2 _ g 3p o u r r a t r e d ' u n d e g r i n f r i e u r a u s i x i m e . On r a m n e p a r

d e s t r a n s f o r m a t i o n s f a c i l e s

l e

s e c o n d

m e m b r e d e l ' i d e n t i t

j { 2 ^

g

= 1 , 1 . ^ ( 1 - - -ty


91/141

S.92 . G O U R S A T .

a v o i r

l ' u n e d e s

f o r m e s s u i v a n t e s:

HP, H^,

lit,

H ^ ( T - - ^ 2 , H^(i-^), l-^r.-r).

Si

l ' o n

a v a i t , p a r

e x e m p l e ,

BsS

3

^ /^ --^),

e n c h a n g e a n tt

en ^

e t en

m u l t i p l i a n t

p a r ^

6

,

o n

e n

d d u i t

B^S=:--H/(i--^).

Si

l ' on

a v a i t

R2_S3, I

o n

e n

c o n c l u r a i t

q u e

l ' q u a t i o n

S

3

t - H ^

a

t r o i s

r a c i n e s d o u b l e s , c e

q u i

est i m p o s s i b l e .

S u p p o s o n s

q u e

Fo n a i t

RS^S^-H^;

o n

en

d d u i r a

R a H ^ ^ S

3

.

Il

f a u d r a i t

d o n c q u e

l ' o n e t

R+ \ / H ^ = = ( ^ 4 - - ^ )

3

,

R

it .(u t~\~Vi]^

D o n c

2

/t^=:

[ut -vY

[ u ^ t -

J

r - V ^ Y .

c e q u i est i n a d m i s si b l e .

S i

l ' o n

a

RiS

3

:

^

,

o n

d e v r a a v o i r d e

m m e

e t p a r s u i t e

R - i -^/H^i- t}-=.[ut

+ )

;

,

B

---

^^i / ) (? ^ -4 - ( ^ iY,

[ut

- { v)

3

( ^ ^ ^ - ^ y ^ )

;

= = 2 v

/

H ( I t}.

N o u s

a v o n s

v u

p l u s

h a u t q u ' i l

f a l l a i t

p r e n d r e p o u r c e l a

u t 4-^ == t 4-/, ? ^

^ -\ -

^ ^

^= t

- \~ j

2

;


92/141

S U R L ' Q U A T I O N

D I F F R E N T I E L L E

L I N A I R E , E T C .

S.

9

o n e n t i r e

R==-i ( ^ 4-j)

3

-+-

A

( ^+

2

)

3

== 1-

-4-

s ,

s=(?+y)(^p)^(^_^^

d ' o

l ' i d e n t i t

('7.^3^

2

3^ -^%)

2

4(^

f4,);:=:_ f2(_.

^2^

Si l ' o n

v o u l a i t

a v o i r

K a S ^ ^ H ^ ^ i

) ,

o n a u r a i t , e n s u p p o s a n td^p=^

i,

le s c o n d i l i o D S s u i v a n t e s

:

m

3

^^

2

,

m n- lab,

3m

2

^

Smn

2

^:

&

2

-4- 2a


93/141

S.94

E

" C O U R S A T .

o n en t i r e s u c c e s s i v e m e n t

,-

3n\/m

Gmn- n m m

a ==:

m\//r,

b ==

^

c = = ==- )

( =(-^')^-


122/141

S U R

I / Q U A T I O N D I F F R E N T I E L L E L I N A I R E ,

E T C .

S.I23

EF(a , a-{--^k^

^fi+^l^FfAa

5 9 )

^(l4-^)4aF(4^2^+ ^ + ^ (i4_^maF^^^ 2^+ ^),

( 6 0 ) GF++U)

( ==(I4-^)

4a

F(4a,-^4-^2a+l, j(+^

4a

F(4^,2^+:;,2a+^^

//

i;

i\ L " s o n t le s d e u x r a c i n e s d e

I n q u a t i o n

^t^Qt - L-

[

4-tYx-=0,

q u i s o n t g a l e s

3 2 \ / ^ p o u r ^ = = = o .

j-

^

f

.==3

2

y .

4"

(

3

^'2

4)


123/141

S.124 ' ^-

C O U R S A T .

^

E F [ a , ^ + { ^, ^ )

(63)

j

( ) F(4a, + 4, +( )"F(4a ^ 4-

( G^F(a-4-4,a+ j,^)

(64) =

(l_y

x

F(4a,2a+4 + ')

' '

/

i \

2

/

1 -f

1

)"

F(4^

+- o 4 ^+ t " ) ;

, ^

/

s o n t .

l e s

d e u x r a c i n e s d e l ' q a a t i o n

( ^ + 4 ^ 4 ) 2

( 2

^ ^ ===0 ,

q u i

s o n t

g a l e s

2 ^ / 2 2 p o u rxo.

t

1

==

2 ^ '2

2+(3 ^/2

4 ) - ^

2

+ ?

r==2\/2

,-2

--(3V 4)^^-r.. .

.

HF(a ,4~- a J^ )

H(i_^^F(.â,a+^, )

' 'GS

')

'

~8~

,

/"-f- ,

,

-',

-*- g

./

x

/o

1.

r=^+-i ^ -...,

L,==^7^_,,

3

V

7T^

^

)

Mi-io^â-. K

3

-

1

.

'

1 ;

r(^-a)ri(+^' "'-i- . r(a)r^-

j PF(,o:+.^^ ';==(i+8f')-"t;i/'^F(3o:,^-a:,â+;;-, )

(

m6

) i "

-

(i

+

S^")

2

^ ;"]^F(3a,.i

x,

na-t- r)

( +l+8^

/ff

)2(


135/141

S

(36

^

GOUKSAT.

(^Q)

Q^F(a+^

a+U,.r:i= (i

-

Q/^^FtS^,Sa+âa+i,^

+j2(^c)^)^F(3a,3^+ 2a-+-|,

/

/ /

;

+ / ( o^^FtSa,

3a+^

â+jf,r):

^, ^

/

,

fs o n t l e s

t r o i s r a c i n e s


(3 /4 - )

3

( y t^xô:

9.

V^

^

r^~^-+^- ^+...,

'^V3l . ^

+

---./+-

^_+2+,..

l

F(a,

a

-+-

a

+)=(--^1"F(^

-+-

a

+- | - ,

2a

4-)

(l

TO )

.

/

Cf \

2a

1 J

=,,.^) F(3a,3a +^4^^^ )-

l

\

0

/

t' es t u n e d e s d e u x

r a c i n e s


/2i_

+

-8)2==0,.

q u i

s o n t

n u l l e s

p o u r

r = = o .

^

l F (a.a-4-.7,2a-4-f, )

==

(l )

3

F(a-l-

a+t,2a+1, )

/ r

1 1 1

/

j =(l+V

a

(I- F(3a+4 +^

/

S;

^ '

e s t u n e d e sd e u x r a c i n e s d e l ' q u a t i o n

-27^-h

(^-+8)

2

(I^)^=.o,

q u i

s o n t n u l l e s p o u r.r

=

o.


136/141

S U R

LQUATION D I F F R E N T I E L L E

L I N A I R E , ETC.

S.

13"7

(ip2)

j

r(a,a+2a+ )=(r- F(a-+-i,

a+,2a4-t )

(

==(i--9F(3a,

3a4-^2a4-^),

^ t a n t l a

r a c r o e

d e

l ' q u a t i o n

27^ 1-.

2+fi_ 2 ^

o,

q u i est n u l l e p o u rx=o.

\

,la-4-I-,

-

= ==

( f

-y^

3)

F(

^+,-+-1-, )==

(i

-.r)

3

F(a+,

,

a+

t,

2a4-)

= ( 4 -8^ )2a ( ,)aF(3^,

-a,2a+ ^);

^

t a n t l a

r a c i n e


t

(i4-

S / )

2

^ i?)^==o,

q u i e st

n u l l e

p o u r a ? = = =o.

/ _i

F(a,a4--;I-,a:+^,^)==(i )

2

F(a4-4,a

4-

,2a -4-,x}

(

) f 3^N3a

( = - F(3a,3a4-^4^+t^');

^

es t

u n e

d es

d e u x

r a c i n e s d e

I n q u a t i o n

27^(1-- t] (43^)

3

^===o,

q u i

s o n t

n u l l e s p o u r a?==o.

/

i

F(a,

a

4-4,2 4-1, )=(i )

2

F(a4-^

a

4-j,

2 c4-t,

)

(*

1 5

)

Equation Differentielle Lineaire

Documents

Transcript of Equation Differentielle Lineaire