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Dept. of Physics, Hallym University

벡터해석학 소개2


선적분


벡터장

벡터값을 가지는 물리량으로 구성된 장

해류의 흐름, 바람, 파이프를 흐르는 액체전기장, 자기장, 중력장

),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ)( zyxVzzyxVyzyxVxrV zyx


경로의존성 물리량경로에 따라 결과가 바뀌는 물리량예) 경로, 비보존력이 작용하는 경우한 일의 양, 열기관이 한 일의 양, Action 등

l

rdFW


선적분

벡터장 및 미분작용소의 변수를 하나의 변수로 변환

)()()(

)(),,(

thztgytfx

with

tVzyxV


예제 1yyxxyF ˆˆ 2

)1,2()0,0(

22

2

,2:4)1,2()1,0()0,0(:3

4/:22/:1

tytxpathpath

xypathxypath

dyydxxrd ˆ

dyyxydxrdF 2

4,3,2,1

2 )( dyyxydxW


경로 1

dxdyxy21;

21

dxxxdxxdyyxydx21)

21(

21 22

1

)41

21(

1

22

dxxdxxW


경로 2

xdxdyxy21;

41 2

xdxxxdxxdyyxydx21)

41(

41 22

32

)321

41(

2

53

dxxdxxW


경로 3

35

)01()0()(2

0

1

0

2

3

2

xy dxxdyydyyxydxW


경로 4

tdtdydttdxtytx 2;6;;2 223

tdttdttttdyyxydx 2)(62 222232

67

62

812)212(

4

57

dttdxtW


예제 2

22

ˆˆyxyxxyF

2,1

22 yxydxxdyI

경로 1:

ddyddx

yx

cossin

sincos

d

ddyxydxxdy

1sincos 22

22

0dW


예제 2경로 2:

)1,0()0,1( 1 xy

2,1

22 yxxdyydxI

)1,0()0,1( xy 1

2)

4(

4)1(tan1tan)12(tan

1)12(2

1221

)1()1(

110

1

1

0

1 2

0

1 2

0

1 22

x

dxx

dxxxxx

dxxxdxI

2)

4(

4)1(tan1tan)12(tan

1)12(2

1221

)1()1(

111

0

1

1

0 2

1

0 2

1

0 22

x

dxx

dxxxxx

dxxxdxI


그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리


미적분의 기본정리

)()()( afbfdttfdtdb

a 꼭 당연하지만은 않음.

?

2차원: 그린 정리

AA

QdyPdxdxdyyP

xQ )()(


그린 정리

스칼라장 에 대해

uy),( yxP

A

ul

lu

y

y

dxyxP

dxyxPdxyxP

dxyxPyxP

dyy

yxPdxdxdyy

yxP ul

),(

)),(()),((

)),(),((

),(),(

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1)),(( dxyxP l

ly

1

2)),(( dxyxP u


그린 정리스칼라장 에 대해

lx

),( yxQ

A

lr

lr

x

x

dxyxQ

dxyxQdxyxQ

dyyxQyxQ

dxx

yxQdydxdyx

yxQ rl

),(

),(),(

)),(),((

),(),(

3

4

4

3

4

3

4

3

4

3)),(( dxyxQ l

rx

4

3)),(( dxyxQ u


그린 정리

따라서

AA

dxdyyP

xQQdyPdx )()(

그린정리의 의미

소구간의 경계영역에서 선적분방향이 반대이므로 서로 소거됨→외곽선만 남음경계면이 가장 중요함!


발산 (Divergence)벡터연산자

xz

xy

xx

ˆˆˆ

벡터장 ),,(ˆ),,(ˆ),,(ˆ)( zyxVzzyxVyzyxVxrV zyx

발산: 벡터 연산자와 벡터장의 스칼라곱

zyx VzV

yV

xV

다른 좌표계에서 발산

zr VzV

rrV

rrV

1)(1

원통좌표계

V

rV

rVr

rrV r

sin1)sin(

sin1)(1 22

구면좌표계


발산의 의미발산 – 한 점에서 벡터장이 흘러나가는 알짜비율

벡터장의 ‘유량’ vV

vV

nvV

n

시간 t 동안 단면적 A’ 를 통과하는 유량

'vtA

'A A

단면적 A의 경우

cos' AvtvtA

단위면적당 단위시간당 유량 (flux)

nVv cos


발산의 의미미소면적 1과 2 사이의 유량 변화

xV

dxxVdxxV xxx

)()(

알짜 흐름의 총량x

x dxx

)(xVxV x )( dxxVx

1A dydzA 2

dydzdxxVAdx

xV xx )()(

폐곡면 전체에서 들어오고 나오는 흐름의 총량

dxdydzVdxdydzzV

yV

xV

dxdydzzVdzdzdy

yV

dydzdxxV

zyx

zyx

)(

)()()(

한 점에서 벡터장이 흘러나가는알짜비율→’source’가 존재하는가? 얼마나존재하는가?


가우스 법칙 (Gauss’s theorem)

전기장의 경우: source는 전하

source (전하밀도)

sourceE

가우스 법칙 (Maxwell 방정식 1번)

0

E

ε: 유전상수: 공간이 전하를 ‘screening’ 하는 정도


연속방정식

물질의 흐름의 경우

tsource

(물질 밀도의 변화량)

0

tV

tsourceV

음의 부호: 발산은 흐름에 의해 사라지는 물질의 양


2차원 발산정리 (Divergence theorem) – 그린 정리

2차원 벡터장 yVxVV yx ˆˆ

그린 정리에 적용 yx VPVQ ,

yP

xQ

yV

xVV yx

AA

dxdyVdxdyyP

xQ )(

nVdxydyxyVxVdyVdxVQdyPdx yxxy ˆ)ˆˆ()ˆˆ(

AA

dsnVQdyPdx ˆ)(

AA

dsnVdxdyV ˆ


발산정리 (Divergence theorem)미소부피 dτ에 대해

dV

dτ에서 빠져나가는 흐름

일정 부피 τ를 빠져나가는 전체 흐름의 양

dV

일정 부피 τ를 빠져나가는 전체 흐름은 표면을 빠져나가는 흐름의 양과 같음

dnV

(단위면적당 단위시간당 유량 (flux) )nVv cos

dnVdV


가우스법칙의 추출

가우스법칙의 적분형태 (일반물리학 참조) i

iqdnD

연속적 분포의 전하의 경우 ddnD

발산정리의 적용 ddDdnD

0 ED


무한히 넓은 도체판에서의 전기장

가우스법칙의 적분형태 (일반물리학 참조)

ADdnD

Ad

0/ zED


회전 연산자 (Curl)

Curl

yV

xV

zz

VxVy

zV

yVx

VVVzyx

zyx

V

xyxzyz

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ


예제 1

VV

VVV

2)(

)()()(

CBACABCBA

)()()(


Curl의 의미Curl – 회전의 양

벡터장의 흐름이 한 점에서 얼마나 ‘회전’하는지를 알려주는 값


각속도와 회전 연산자위치 r에서의 물체의 선속도

Curl = 각속도 (회전)

CBACABCBA

)()()(

rv

회전 연산자의 적용

rrrrr )()()()()( 각속도는 일정하다고 가정

3)()(

zz

yy

xxr

zyx

zzyyxxzyx

r

zyx

zyx

ˆˆˆ

)ˆˆˆ)(()(

2 v


2차원 스토크스 정리

그린 정리를 이용

2차원 벡터장 yVxVV yx ˆˆ

그린 정리에 적용

xy VPVQ ,

AA

dxdykVdxdyyP

xQ ˆ)()(

rdVdyydxxyVxVdyVdxVQdyPdx yxyx ˆ)ˆˆ()ˆˆ(

AA

rdVQdyPdx ˆ)(

AA

rdVdxdykV ˆ)(

)()ˆˆ()ˆˆ(ˆ)(yP

xQyxy

yVx

xV

kV xy


스토크스 정리 – 일반화자유곡면을 미소면적요소 dσ로 분할

dd

rdVdxdykV ˆ)(

2차원 스토크스 정리 적용 가능

곡면을 구성하는 모든 미소 면적에 대해 적용→ 우변은 면적 경계에서 모두 소거됨

AA

rdVdxdykV ˆ)(

Curl의 값은 곡면의 형태와 상관없이경계면에만 의존!


Ampere의 법칙

Ampere 법칙의 적분형

AA

dxdynHrdH ˆ)(

IrdHA

연속전류밀도 분포시 AA

dnJrdH ˆ

J

n

스토크스 정리 적용

JH

dxdynJdxdynHAA

ˆˆ)(

Ampere 법칙의 미분형 (Maxwell 방정식 3번)


Curl 과 보존장

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