主題 B：數學邏輯推理

七橋問題與一筆畫問題

西元 1727 年，歐拉接受了俄國聖彼得堡學院的工作。抵達波羅的海邊的哥尼斯堡。哥尼

斯堡被 Pregel 河貫穿全城。其中有二條支流，在城中匯成一條大河，流入大海。Pregel 河將

全城分成四部分，於是人們建造了七座橋以把哥尼斯堡連成一體，見圖 2-1 。

圖 2-1

每天城裡居民傳出了一個有趣的問題：是否能夠一次走遍所有七座橋，而且每座橋只能

走過一次？這個問題便歐拉以數學方法解決，首先先將七橋問題化為一數學模型。他看出兩

岸陸地及河中的島，都不過是橋的連接點，其大小及形狀與問題無關，因此可將它們視為 4

個點。至於七座橋是七條必經過的路線，它們的長短或曲直，也與問題本身無關，因此可以

任意 7 條曲線來表示。也就是他先想到圖 2-2，然後得到圖 2-3。

圖 2-2

圖 2-3

如此，歐拉將七橋問題抽象化成一個一筆畫的問題。七橋問題便換成了對於圖 2-3 中之

圖形的一筆畫的問題。接著歐拉發現凡是能用一筆畫畫出的圖形，除了起點與終點，每當你

用筆畫一條線（可以是曲線），進入其中的一個點時，你還必須畫一條線離開此點，否則圖形

不能以一筆畫出。也就是說除了起點與終點，途中每一個點都應與偶數條線相連（這種點稱

為偶點，不是偶點便稱為奇點）。而如果起點與終點重合，則此重合點也應與偶數條線相連（故

此點亦為偶點）；若起點與終點不重合，則此兩點皆與奇數條線相連（故皆為奇點）。因此可

以一筆畫的圖形，其奇點數必為 0 或 2。

現在圖 2-3 中，共有 A、B、C、D 4 個點。其中A、B、C 分別與 3 條線相連，D 與 5 條

線相連。由於 4 點均為奇點，因此一筆畫出此圖形是不可能的。歐拉將一實際的問題抽象化，

雖然看不到河也看不到橋了，但結果是不但解決了原來的問題，連更一般的問題也可解決了，

甚至還開創了一數學的新領域。

七橋問題本來是一幾何學的問題，但卻異於傳統的幾何學中所探討的問題。在幾何學中，

我們討論各種圖形，只是他們的大小及形狀都是不變的。如今在歐拉的解法裡，他把陸地變

成了點，橋樑變成了曲線，而且曲線的長短及行走方式都不重要了。明顯地，圖中什麼都可

改變，唯獨點線間之相關位置，以及相互間之連接方式不能變。歐拉認為對這類問題的探討，

為幾何學之一新的分支，稱為位相解析學(analysis situs)。後來此新領域被正式命名為拓樸學

(topology)。時至今日拓樸學已稱為數學中之一主要的領域。（節錄自輔大數學系何清人教授

七橋問題與一筆畫問題）

數學邏輯思考與推理

1. 莊惠二子觀魚（雄辯）

這是戰國時代，莊子莊周和惠子惠施的精彩對話。

莊子和惠子遊於濠梁之上。

莊子曰：「儵魚出遊從容，是魚之樂也。」

惠子曰：「子非魚，安知魚之樂。」

莊子曰：「子非吾，安知我不知魚之樂。」

惠子曰：「我非子，固不知子矣，子固非魚矣，子之不知魚之樂全矣。」

譯白話為：

有一天莊子和惠子，在濠水的石粱上漫步。

莊子說：「水裡的魚兒們從容地游著，是多麼的快樂呀！」

惠子回答說：「你又不是魚，怎麼知道魚兒們的快樂呢？」

莊子反問說：「這樣說來，你不是我，又怎麼知道「我不懂得魚兒們的快樂呢？」

惠子也不服氣地說：「我不是你，固然不知道你，但你也不是魚，你也無法知道魚兒們

的快樂，很明顯的嗎？」

試問： 莊子和惠子兩人的爭辯，誰贏了？

（探討）莊子：水裡的魚很快樂

惠子；→你不是魚怎麼知道魚的快樂

莊子：→你不是我怎麼知道我不懂得魚的快樂

惠子：→我不是你，我不知道你，但你不是魚，當然不知道魚的快樂

→結束 結果：惠子贏了。

2. 有五位選手參加一個比賽，任兩位選手恰比一場，

勝者得 2 分，輸者得 0 分，沒有平手的狀況。所有

比賽結束之後，A 和 B 並列第一名，C 為第三名，

D 和 E 並列最後一名，則選手 C 的得分為 4 分。

因為 A 和 B 並列第一名，且D 和 E 並列最後一名，

所以 A、B、C、D、E 的勝場數分別為 3、3、2、

1、1：

A B C D E A ○ ○ ○ × 6 分 B × ○ ○ ○ 6 分 C × × ○ ○ 4 分

D × × × ○ 2 分 E ○ × × × 2 分