問題5-1

拡大管(Diffuser)の中を20(℃)の水が、10(kg/s)の割合で流れている。管の内径は、入り口断面で3.0(cm)、出口断面で9.0(cm)である。摩擦のない流れとして、出入り口での静圧上昇を計算しなさい。ただし、ベルヌーイの法則

が成り立つとし、水の密度を1000(kg/m3)する。

222

211 u

21Pu

21P ρρ +=+

解法の方針5-1出入り口での静圧上昇は、ベルヌーイの法則より

出入り口での速度は、質量速度を、 とすると、連続の式

2211 uAuAG ρρ == より

であるから、

)uu(2

u21u

21PP 2

221

22

2112 −=−=−

ρρρ

)s/kg(G

22

11 A

Gu,AGu

ρρ==

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=−

2

2

2

1

22

2112 A

GAG

2)uu(

2PP

ρρρρ

4dA,

4dA

22

2

21

1ππ

==また

222

211 u

21Pu

21P ρρ +=+

ベルヌーイの法則：

問題5-2

内径1 cmの円管に油が、流量0.14 kg/sで流れている。油は、入口より一様な速度で流入するものとし、速度助走区間を求めよ。さらに、管摩擦係数λfを用い、十分に発達した流れの区間における管軸1 m当たりの圧力損失を求めよ。なお、油はニュートン流体とし、密度r=860 kg/m3、粘度m=0.0172 Pa・sとする。なお、速度助走区間は以下の式で記述できる。

du RedL 05.0≈ 10≈dLu：層流(Red≦2300) ：乱流(Red>2300)

また、管摩擦係数λfは以下の式で記述できる。

df Re

64=λ 413164.0 −= df Reλ：層流(Red≦2300) ：乱流(Red>2300)

また、長さl [m]当たりの圧力損失は以下で表される。2

21 u

dlp f ρλ=Δ

問題5-3

27℃で1atm(=1.0132×105Pa)の空気が平板に沿って2m/sの流速で流れている。平板の前縁からの距離が20cmにおける境界層厚さを計算せよ。ただし、空気のガス定数は287J/kgKであり、27℃における粘性係数は1.98×10-5kg/msである。

解法の方針5-3

==RTpρ

空気の密度は

であるから、レイノルズ数は、

無次元境界層厚さは、

==xRe

64.4xδ

== ∞

μρ xuRex

==xRex64.4δ

であるから、よって、境界層厚さは、

問題5-4

問題5-3の流れにおいて、平板が全面にわたって60℃に加熱されているとする。このとき、平板前縁から20cmまでの間の長さにおいて奪われる熱量を求めよ。ただし、奥行きｚ方向については単位厚みを考えよ。ただし、以下の値を使用してよい。

)Kkg/kJ(006.1C7.0Pr

)Km/W(02749.0k)s/m(1036.17

p

26

⋅==

⋅=×= −ν

解法の方針5-4

いま、レイノルズ数、ヌッセルト数は、

== ∞

νxuRe

=== 3/12/1xx PrRe332.0

kxhNu

==xkNuh xx

であるから、熱伝達率は

ここで、平均熱伝達率は、この２倍であるから、

=×= xh2hよって 奪われる全熱量は、

( ) =−= ∞TTAhQ w

問題5-5

単位体積当たりの発熱量がQの熱源が一様に分布した厚さL

の平板がある。片面は断熱されており、もう一方の面は、温度

T1の流体と熱交換している。この流体と板壁面との熱伝達率

をhとするとき、板内部の温度分布を記述する式を求めなさい。

ただし、この平板の熱伝導率をkとする。

問題5-6

単位体積当たり発熱する熱量が、0.35[MW/m3]の平板壁があ

る。片面は断熱されているが、もう一方の面は、93[℃]の流体

と熱交換している。流体と壁との間の熱伝達率を570[W/m2・K]、

平板壁の熱伝導率を21[W/m・K]、平板壁の厚さを7.5[cm]とし、

壁内部の最高温度を計算しなさい。

問題5-7

２００Aの電流が、長さが1m、直径3.0mmのステンレス鋼製針金中を流れる。ステンレス鋼線は、 110℃の液体に浸されており、熱伝達率は、4[kW/m2/K]とする。ステンレス鋼線の中心温度を求めなさい。ただし、ステンレス製の針金の熱伝導率を k=19[W/m･K]とし、鋼の比抵抗を70[μΩ･cm]とする。

解法の方針5-7

Tmax

Tw

10V

導線内で発生する熱量は、対流熱伝達によって液体中に持ち去られるから

)TT(hAqRIP w2

∞−===

また、単位体積当たりの発熱量は

2max 4

)( rkqTrT&

−=であるから、熱伝導方程式の解より、中心温度Tmax は

=+=∴ w

2

max Tk4qrT&

max

w

2

2

2

22

TT

TrL2A

rL

rLR

LrVE

RERIIEP

V/Pq][

中心温度：　

壁温度：　

周囲流体温度：　

表面積：　

半径：　

長さ：　

抵抗：　

体積：　

電圧：　

電力：　

：　単位体積当りの発熱量

記号表

∞

=

=

=

===

=

π

πρ

π

&導線の抵抗は、

== 2rLRπ

ρ

鋼線の表面温度は、次式となる。

=+= ∞ hARITT

2

w

===Lr

PVPq 2π

&

問題5-8

図に示すように、長さ6 cmで幅50 cmの平板上を温度20 ºCの空気が速度20 m/sで流れている。平板表面が一様な温度60 ºCに保たれる時、その表面(片面)からの単位幅当たりの放熱量はいくらか。ただし、40 ºCにおける空気の動粘度を1.70×10-5 m2/s、熱伝導率を0.0272 W/(m･K)、プラントル数Pr=0.711とし，熱伝達率には平均熱伝達率 を用いること．h

回答5-1出入り口での静圧上昇は、ベルヌーイの法則より

出入り口での速度は、質量速度を、 とすると、

2211 uAuAG ρρ == より

であるから、

)uu(2

u21u

21PP 2

221

22

2112 −=−=−

ρρρ

)s/kg(G

22

11 A

Gu,AGu

ρρ==

( )( )( ) ( ) ( )

)MPa(099.0)Pa(10099.06561

18111081.0

09.01

03.01

14.31000108

d1

d1G8

A1

A1

2G

AG

AG

2)uu(

2PP

67

442

2

42

41

2

2

22

21

22

2

2

1

22

2112

=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −××=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=−

ρπ

ρρρρρ

4dA,

4dA

22

2

21

1ππ

==また

222

211 u

21Pu

21P ρρ +=+

ベルヌーイの法則：

回答5-2

管内平均速度uBは、

なので、この流速よりレイノルズ数は、

sm07.201.014.3860

14.04422 =

×××

==dmuB ρπ&

230010350172.0

01.007.2860<=

××==

μρ duRe B

d

となり、流れは層流である。よって助走区間は、

m52.001.0103505.005.0 =××=≈ dReL du

である。管摩擦係数λfは であることから、

管1 m当たりの圧力損失は、

0618.064==

df Re

λ

Pa1014.1101.0207.28600618.0

21 4

22 ×=×

××

×==Δ Bf udlp ρλ

回答5-3

( )( ) )m/kg(177.1300287

100132.1RTp 3

5

=×

==ρ空気の密度は

であるから、レイノルズ数は、( )( )( )

237701098.1

2.00.2177.1Re 5 =×

= −

ここで、境界層厚さは、

xx Re64.4

=δ

であるから、( )( )( )

)m(00602.023770

2.064.4Re

x64.42/1

x

===δ

μρ xu

x∞=Re

回答5-4

)K(5.316)C(5.432

6027Tf =°=+

=

物性値を、膜温度に対して見積もると(別添の表参照)

別添の表より

)Kkg/kJ(006.1C7.0Pr

)Km/W(02749.0k)s/m(1036.17

p

26

⋅==

⋅=×= −ν

従って、レイノルズ数、ヌッセルト数は、

( )( )23041

1036.172.00.2Re 6 =×

== −∞

νxu

( )( ) ( ) 74.447.023041332.0

PrRe332.0

3/12/1

3/12/1

==

==kxhNu x

x

回答5-4(続き)

平均熱伝達率は、この２倍であるから、

( )( ) )Km/W(15.62.002749.074.44

xkNuh 2

xx ⋅===

熱伝達率は

)Km/W(3.1215.62h 2 ⋅=×=

総熱流束は、

( ) ( )( )( ))W(18.81

27600.12.03.12TTAhq w

=

−×=−= ∞

回答5-5

であるから、これを以下の境界条件のもとで解けば、

一次元温度分布は、以下の式として得られる。

直行座標系における温度分布を支配する１次元定常熱伝導方程式は、

0kQ

dxTd2

2

=+

x

断熱

熱伝達率h

T(x=L)

熱伝導率k

T1

x

断熱

熱伝達率h

T(x=L)

熱伝導率k

T1

( )h

QLxLk2

QTT 221 +−=−

( )1TThLQ:Lx

0dxdT:0x

−⋅=⋅=

==

回答5-6

( )∞−−==

==

TTkh

dxdT:Lx

0dxdT:0x

のもとで解けば

( )h

qLxLk2qTT 22 +−=− ∞

となる。最高温度はx=0の温度であることは明らかだから、

( )( )( )( )

( )( )( )

[ ]C9.18505.46875.4693

570075.01035.0

212075.01035.093

hQL

k2QLTT

626

2

max

°=++=

×+

×+=

++= ∞

直行座標系における１次元定常熱伝導方程式を境界条件

x

断熱

熱伝達率h

T(x=L)

熱伝導率k

T1

x

断熱

熱伝達率h

T(x=L)

熱伝導率k

T1

回答5-7

Tmax

Tw

10V

導線内で発生する熱量は、対流熱伝達によって液体中に持ち去られるから

)TT(hAqRIP w2

∞−===

また、単位体積当たりの発熱量は

2max r

k4qT)r(T&

−=であるから、熱伝導方程式の解より、中心温度Tmax は

[ ]C6.231215194

10560)105.1(Tk4qrT

623

w

2

max °=+×

×××=+=∴

−&

max

w

2

2

2

22

TT

TrL2A

rL

rLR

LrVE

RERIIEP

V/Pq][

中心温度：　

壁温度：　

周囲流体温度：　

表面積：　

半径：　

長さ：　

抵抗：　

体積：　

電圧：　

電力：　

：　単位体積当りの発熱量

記号表

∞

=

=

=

===

=

π

πρ

π

&

導線の抵抗は、

[ ]Ωπ

ρ 099.0)105.1(14.3

1)1070(rLR 23

82 =

×××== −

−

よって、鋼線の表面温度は、次式となる。

[ ]C1.215)1105.114.32(104

099.0200110

hARITT

33

2

2

w

°=××××××

×+=

+=

−

∞

[ ] [ ]336

23

2

2

m/MW560m/W105601)105.1(14.3

099.0200Lr

PVPq

=×=×××

×=== −π

&

回答5-8

膜温度(75+15)/2=45℃におけるレイノルズ数は

45 1006.7

1070.106.020

×=××

== −νuLReL

となる。平均熱伝達率は、

( )( )KmW4.71

06.00272.0711.01006.7664.0332.02

2

31214

⋅=

××××=×=LkPrReh 3121

よって、放熱量Qは、

( ) ( ) ( ) W7.8520605.006.04.71 =−×××=−= airwall TTAhQ