energia de deformacion

Universidad Nacional de Huancavelica Facultad de Ciencias de Ingenierıa

Escuela Academico Profesional de Civil-Huancavelica

CURSO

ANA LISIS ESTRUCTURAL I CF-701

ENERGIA DE DEFORMACIO N Y COMPORTAMIENTO NO LINEAL

DOCENTE:

Ing. Caballero Sanchez Jaime

ALUMNOS:

Huayra Canales Lucia

Sedano Areche Demetrio

Sedano Areche Edgar

Romero Licapa Raul

Yapuchura Condor Yurfa

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Huancavelica-Diciembre 2014

RAL INDICE GENERAL

Objetivos

Generales.

1

1

1 Energıa de Deformacion PA GINA 2

2 Energıa de Deformacion en Barras PA GINA 5

2.1 Debido a Fuerza Normal EFECTO DE FUERZA NORMAL

Debido al Esfuerzo Cortante EFECTO DE FUERZA CORTANTE

5 7

8

9

7 • EFECTO DE MOMENTO FLEXIONANTE

2.2

9 • EFECTO DE MOMENTO TORSIONANTE

3 Analisis No Lineal PA GINA 11

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

ANTECEDENTES

Definicion del Analisis Estatico no Lineal (Pushover)

La Tecnica de Pushover Tradicional.

Patron de Cargas Laterales

Curva de Capacidad

Tecnica del Pushover Usando Modelos Espaciales

Demanda Sısmica

Sistema Equivalente de un Grado de libertad

Aplicacion del Comportamiento No Lineal

Analisis Estatico No Lineal-Pushover con SAP2000

Carga Muerta y Las Cargas Vivas

11

11

12

13

14

14

15

16

17

18

18

4 Ejercicios de Aplicacion PA GINA 25

- i

Conclusiones PA GINA 32

Bibliografıa PA GINA 33

- 1

Analisis Estructural I

INTRODUCCION: La energıa de deformacion es un concepto fundamental en la INGENIERIA CIVIL, ya que sus prin-

cipios se usan ampliamente para determinar el comportamiento de estructuras sometidas a cargas

estaticas y dinamicas. En el presente informe mostramos el estudio realizado a la energıa de defor-

macion ası como tambien las aplicaciones en distintas situaciones de carga que son extremadamente

utiles para solucionar problemas relacionados con elementos estructurales que a veces resultan te-

diosos y complicados.

Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir donde se cumple

que entre causas y efectos existe una relacion lineal. Para el cumplimiento de estas premisas debıan

verificarse que el material es elastico lineal y los desplazamientos de la estructura son pequenos.

Cuando no se cumple algunas de estas premisas el comportamiento de la estructura es NO LINEAL.

Las caracterısticas no lineales de los materiales se incorporan directamente en un analisis de un com-

portamiento no lineal de pushover, que inicialmente se realizo para modelos bidimensionales, pero

que con el paso del tiempo fue evolucionando trascendiendo en su aplicacion a los modelos espaciales.

Los cambios que sufrio la tecnica de pushover, sean controlados y no controlados, el uso del patron

de cargas laterales y el patron de desplazamientos en lugar de fuerzas, han logrado que el metodo

adquiera ventajas en su aplicacion, tambien se describen los modelos de plasticidad que se pueden

utilizar para modelar el dano esperado en una estructura que se someta a demandas sısmicas.

Se pretende sentar las bases y los criterios de calificacion de la respuesta sısmica de las edificaciones

que permitan tomar decisiones respecto del comportamiento esperado durante un sismo, basadas

en los conceptos de desempeno sısmico, desde el punto de vista estructural y no estructural, para

diferentes niveles de movimiento del terreno.

EL GRUPO

Escuela Academico Profesional de Civil-Hvca

Universidad Nacional de Huancavelica

Huancavelica, Diciembre del 2014.

OBJE TIVOS

Generales.

1 Estudiar la energıa de deformacion en sus diferentes situaciones.

2 Estudiar y analizar los principales teoremas del analisis no lineal.

1 Energıa de Deformacion

Antes de poder desarrollar el metodo siguiente para calcular las deflexiones de las estructuras, es

necesario comprender los conceptos de conservacion de la energıa y de energıa de deformacion.

Definicion 1.1 Energıa y Energıa de Deformacion

La relacion entre el trabajo y la energıa de deformacion de una estructura se basa en el principio de

conservacion de la energıa, el cual se puede enunciar como sigue:

Definicion 1.2

- 2

La relacion entre el trabajo y la energıa de deformacion de una estructura se basa en el principio

de conservacion de la energıa, el cual se puede enunciar como sigue: El trabajo efectuado sobre

una estructura elastica en equilibrio por fuerzas externas aplicadas estaticamente(en forma

gradual)es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea, la energıa de deformacion

almacenada en la estructura.Este principio se Expresa de manera matematica como:

(1.1)

o bien

(1.2)

We = U

We = Wi

La energıa de una estructura se puede definir sencillamente como su capacidad para realizar

trabajo.

El termino de energıa de deformacion se atribuye a la energıa que una estructura tiene en virtud

de su deformacion.

En estas ecuaciones, We y Wi representan el trabajo realizado por las fuerzas externas e internas, respectivamente, y U denota la energıa de deformacion de la estructura.

Antes de desarrollar cualquiera de los metodos de energıa basados en este principio, determinaremos

primero el trabajo externo y la energıa de deformacion causado por una fuerza o un momento. Las

formulaciones que presentaremos proporcionaran una base para entender los metodos de trabajo y

energıa .

(1.3)

(1.4)

Sabemos:

Figure 1.1: Figura Relacion Carga Deformacion

(1.5)

(1.6)

El trabajo externo(1.3) desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:

(1.7)

δ EA

L

EAδ

¸

Wext = δdδ (1.8) 0

Wext = δ (1.9) L2

- 3

Wext = ¸

F dδ

P = E A

L δ

PL δ =

EA

We = U

Ue = ¸ x

F dx 0

Analisis Estructural I Energıa de

Deformacion

Reemplazando la ecuacion(1.6) en la ecuacion(1.9) se tiene:

P Wext = .δ

2 (1.10)

- 4

Analisis Estructural I Energıa de

Deformacion

2 Energıa de Deformacion en Barras

2.1 Debido a Fuerza Normal

Se tiene el siguiente grafico:

Figure 2.1: Debido a Fuerza Axial

N = P (2.1)

W = ( N

).δ (2.2) 2

. N .

. δ

.L W = (2.3) 2 L

. N .

2 W = .ε.L (2.4)

- 5

Como:

N

A τ = (2.5)

N = τ A (2.6)

Reemplazando (2.6) en (2.4) se tiene:

W = τ A

.ε.L (2.7) 2

W = τ .ε.(AL) (2.8) 2

A.L =. Representa un volumen que se puede considerar unitario, obteniendose el llamado TRABAJO

ESPECIFICO DE DEFORMACIO N (Wu). Como:

NL

EA

N.1

δ = (2.9)

δ = (2.10)

L EA

δ

E ε = (2.11)

De la energıa especifica de deformacion:

W =

$

(W ) dv (2.12) u

W =

$ 1 τεds dA (2.13) 2

Figure 2.2: Tomado una diferencia de volumen

- 6

Analisis Estructural I Energıa de Defor-

macion en Barras

Reemplazando la ecuacion (2.11) en la ecuacion(2.13):

2 1 τ W =

$

ds dA.................Exp.General (2.14) 2 E

2.1.1 EFECTO DE FUERZA NORMAL

N τ = (2.15)

A

Reemplazando en (2.14) se tiene: 2

W =

$

N

dsdA (2.16) 2EA2

Como N, E, A son constantes en una seccion transversal.

Ademas:

„

dA = A (2.17) A

Reemplazando en (2.16) se tiene:

N2 ds

2EA

¸

WN = (2.18)

2.1.2 EFECTO DE MOMENTO FLEXIONANTE

MY τ = (2.19)

I

Reemplazando en (2.14) se tiene:

M2Y2 ¸

WN = ds

„ 1

dA (2.20) I2 2E

Como M, E, I son constantes en una seccion y Ademas:

„

Y2 dA = I (2.21) A

Reemplazando en la ecuacion(2.20) se tiene:

M2

2EI2 ds

¸

WN = (2.22)

- 7


macion en Barras

2.2 Debido al Esfuerzo Cortante

Figure 2.3: Elemento a Esfuerzo de Corte

P τ = .............. ⇒ P = τ.dx.dz (2.23)

dx.dz

δ τ = .............. ⇒ δ = γ.dx.dy (2.24)

dy

se sabe que:

W = ( P .δ) Reemplazando, (2.23) Y (2.24) se tiene: 2

W = τ dxdzγdy (2.25) 2

W = τ dxdyγdy (2.26) 2

Considerando: dx.dy.dz = 1, volumen unitario, se obtiene

DEFORMACIO N(Wu),debido al esfuerzo de corte.

ESPECIFICO DE el EL TRABAJO

1 Wu =

2 .τ.γ

(2.27)

como:

γ = τ ............ Deformacion Tangencial G

De la energıa especifica de deformacion:

W =

$ 1 τ.γds.dA (2.28)

2

Reemplazando en la Ecuacion(2.28):

2 W =

$

ds.dA........Exp.General τ

(2.29) 2G

- 8


macion en Barras

2.2.1 EFECTO DE FUERZA CORTANTE

VQ τ = (2.30)

It

En la Ecuacion(2.29) se tiene: 2 2 V Q A

. W =

$

Como:V,G,A son constantes y ademas:

ds.dA (2.31) I2t2 2GA

2 K =

„

Q A

dA (2.32) I2t2 A

Factor o coeficiente de forma. Reemplazando en la Ecuacion(2.31) se tiene:

V2 ¸

Wv = K. 2GA

ds (2.33)

2.2.2 EFECTO DE MOMENTO TORSIONANTE

Considerando seccion circular: Mt τ = .Y (2.34) J

Reemplazando en la Ecuacion(2.29) se tiene lo siguiente:

M2 $

t 2

2GJ2 .r

dA (2.35)

Como:Mt,G,J,son constantes y ademas: „

r2 dA = J A

Reemplazando en la Ecuacion(2.35):

M2 ¸

t WMt = ds (2.36) 2GJ

Aplicando el principio de superposicion de causas y efectos a fin de considerarse los cuatro efectos

simultaneos en la barra; ademas como un sistema estructural esta compuesto de barios elemen-

tos,aplicando la sumatoria, se obtiene la energıa interna a trabajo interno debido a la deformacion

elastica.

N2 M2 KV2 M2

¸ ¸ ¸ ¸ t Wint = Uint = ∑ ds + ∑ ds + ∑ ds + ∑

2EA 2EI 2GA ds

2GJ (2.37)

- 9


macion en Barras

Donde:Las ecuaciones de (2.37), son:

1 FUERZA AXIAL (Traccion o Compresion):

N2 ds

2EA

¸

UN = ∑

MOMENTO FLEXIONANTE: 2

M2 ds

2EI

¸

UM = ∑

3 FUERZA CORTANTE: KV2

ds

2GA

¸

uv = ∑

MOMENTO TORSOR: 4

M2 ¸

t UMt = ∑ ds 2GJ

El factor de forma K:

Table 2.1: Valores de factor de forma(K)

- 10

Seccion K

Rectangular 6/5

Circular 10/9

Seccion I 1


macion en Barras

3 Analisis No Lineal

3.1 ANTECEDENTES

El uso de La Tecnica del Pushover data alrededor del ano de 1970, al principio no tuvo mucha

aceptacion, pero fue durante los ultimos 10 y 15 anos que adquirio importancia debido a su facil apli-

cacion y buenas aproximaciones en los resultados obtenidos. Todas las publicaciones que inicialmente

se elaboraron de este metodo estuvieron enfocadas en discutir las ventajas y desventajas que conlleva

la aplicacion de la Tecnica de Pushover, comparandola con los procedimientos elasticos lineales y los

procedimientos dinamicos no lineales.

3.2 Definicion del Analisis Estatico no Lineal (Pushover)

Cuando un edificio se somete a movimientos del terreno debido a las demandas sısmicas, este ex-

perimenta desplazamientos laterales y deformaciones en sus elementos. Para respuestas de pequena

amplitud, las deformaciones en los elementos permanecen en el rango elastico y practicamente no

ocurren danos, mientras que para respuestas de mayor amplitud, las deformaciones de los elementos

exceden su capacidad elastica y la edificacion experimenta danos considerables. Entonces la mejor

estimacion de la respuesta global de la estructura ante movimientos sısmicos y de la demanda en sus

componentes individuales, se obtiene recurriendo a sofisticados procedimientos de analisis no lineal,

cuyos resultados tienden a ser altamente sensibles a pequenos cambios del comportamiento de sus

componentes y a las caracterıstica del movimiento utilizado. El analisis estatico no lineal es una al-

ternativa muy practica para encontrar la respuesta sısmica de una estructura, en lugar de un analisis

- 11

no lineal dinamico que serıa lo mas adecuado, pero que a la vez es bastante complejo. El analisis no

lineal estatico, es un gran avance en comparacion con la forma de analisis actual que utiliza la teorıa

lineal.

El analisis estatico no lineal es un paso intermedio entre el analisis elastico lineal y el analisis no

lineal dinamico. Dentro del analisis no lineal estatico lo que mas se utiliza es la Tecnica de Pushover

para encontrar la curva de capacidad de carga de las estructuras bajo demandas sısmicas.

3.3 La Tecnica de Pushover Tradicional.

La Tecnica del Pushover consiste en llevar al colapso la estructura ya disenada, de la cual se conoce

su armado; esto se logra mediante la aplicacion de un patron de cargas laterales incrementales y

bajo cargas gravitacionales constantes, que se aplican en la misma direccion hasta que la estructura

colapse o hasta cierto valor de carga. Con esta tecnica es posible evaluar el desempeno esperado de la

estructura por medio de la estimacion de fuerzas y demanda de deformaciones en el diseno sısmico,

ademas se puede aplicar:

1 Para verificar o revisar la proporcion de sobre resistencia.

2 Para estimar mecanismos de plasticidad esperada y la distribucion de dano.

Verificar las conexiones crıticas que permanezcan con capacidad de transmitir cargas en los

elementos.

3

El analisis estatico no lineal, no posee un fundamento teorico profundo. En el se asume que los

multiples grados de libertad de la estructura estan directamente relacionados a la respuesta sısmica

de un sistema equivalente de un grado de libertad. El modelo que se genera para realizar el analisis,

incorpora directamente la no linealidad de los materiales, de manera que es empujado hasta un

desplazamiento esperado, y las deformaciones y fuerzas internas resultantes pueden ser determinadas.

La figura muestra que las fuerzas laterales aplicadas a la estructura genera un corte transversal la

Figure 3.1: Esquema de la Tecnica del Pushover

- 12

Analisis No Lineal Analisis Estructural I

cual se ira danando, de manera que existira un cambio en la rigidez del elemento danado, hasta

llevar a la estructura al colapso que esta asociado a un desplazamiento final. El cambio de rigidez

se realiza en funcion del diagrama momento curvatura, el cual se calcula para cada incremento de

carga, y la rigidez se evalua de acuerdo al modelo de plasticidad adoptado. La Tecnica del Pushover

generalmente se realiza con pequenos incrementos de carga alrededor de 0.1 toneladas para cuando

se utiliza un programa de computadora.

Con el uso de esta tecnica es posible apreciar la secuencia del agrietamiento, la aparicion de rotulas

plasticas y fallas en los componentes estructurales, hasta que se excede el desplazamiento esperado

o hasta que la estructura colapsa.

La relacion que existe entre la carga incremental aplicada a la estructura y el desplazamiento que

se genera el nivel superior se representa por medio de la curva de capacidad. Para determinar el

desplazamiento de la estructura existen varios metodos, entre lo que tenemos el metodo del espectro

capacidad – demanda, en el que la curva de capacidad es transformada a un espectro de capacidad por

medio del factor de participacion de masa; utilizando un espectro de respuesta elastico adecuado para

el tipo de suelo donde se encuentra la edificacion, ambos se superponen y el punto de intercepcion

indica el desempeno sısmico de la edificacion.

3.4 Patron de Cargas Laterales

Para poder aplicar la Tecnica de Pushover primero se selecciona una carga real que se obtiene de los

codigos regionales, para que luego sea incrementada monotonicamente. El patron de cargas utilizado

debe aproximarse a las fuerzas inerciales esperadas en el edificio durante el sismo. Es necesario

mencionar que aunque la distribucion de fuerzas inerciales variara con la intensidad de un sismo y

con el periodo de exposicion de la estructura, usualmente se usa un patron de cargas que no varıa.

Esta aproximacion probablemente sea la mas adecuada para el analisis de deformaciones (pequenas

o medianas), de los elementos para estructuras de marcos, donde su comportamiento lo determina el

primer modo de vibracion o modo fundamental de vibracion de la estructura.

Un patron de carga uniforme, basado en la fuerza lateral, proporcional a la masa de cada nivel,

sin tomar en cuenta la elevacion (respuesta uniforme de aceleracion).

1

2 Una distribucion de fuerzas proporcional al producto de la masa y la deformacion modal rela-

cionada con el primer modo de vibracion del edificio, que es un patron modal que se determina

utilizando un numero suficiente de modos de vibracion.

Una alternativa serıa utilizar un patron de carga lateral uniforme, donde las aceleraciones sısmicas

son proporcionales al peso de cada nivel de edificio.

- 13


3.5 Curva de Capacidad

La relacion entre la fuerza cortante basal y el desplazamiento en el nivel superior de la estructura se

representan en la curva de capacidad para cada incremento. Esta curva generalmente se construye

para representar la respuesta del primer modo de vibracion de la estructura basado en la suposicion

que el modo fundamental de vibracion es el que predomina en la respuesta estructural. Esta suposicion

generalmente es valida para estructuras con un periodo fundamental de vibracion alrededor de un

segundo. Para edificios mas flexibles con un periodo fundamental de vibracion mayor de un segundo,

el analisis debe considerar los efectos de los modos mas altos de vibracion. Para determinar la curva

Figure 3.2: Curva de Capacidad

de capacidad resistente, se necesita conocer la geometrıa de la estructura, el detallado del acero de

refuerzo para cada elemento, la calidad de los materiales constructivos y las curvas constitutivas del

concreto y el acero.

3.6 Tecnica del Pushover Usando Modelos Espaciales

La tendencia futura del analisis sısmico de edificios, a nivel mundial, sera la realizacion de un analisis

dinamico no lineal. Actualmente nos encontramos en una epoca de transicion entre el analisis lineal,

con algunas variantes para predecir el comportamiento no lineal, y el analisis no lineal dinamico. La

respuesta sısmica de edificios con un alto grado de irregularidad, usualmente se obtiene por medio de

analisis dinamicos no lineales, pero estos procedimientos se vuelven muy largos y necesitan mucho

tiempo para obtener resultados que puedan representar de la mejor manera la respuesta del sistema

para cualquier excitacion. La metodologıa del pushover ha sido una herramienta ampliamente usada

para predecir la respuesta sısmica de estructuras planas, que se ha extendido para la evaluacion de

desempeno sısmico de estructuras espaciales.

- 14


Para el caso de modelos planos, las fuerzas laterales son aplicadas en los nudos principales de cada

nivel. Para el caso de modelos espaciales, esta fuerza lateral sera aplicada en el centro de masas CM

si el programa utilizado permite definir la losa como un diafragma rıgido; de lo contrario las fuerzas

se aplicaran en los nudos de cada nivel.

En la figura se indica, a la izquierda una estructura espacial, en la cual se ilustra como las fuerzas

estaticas monotonicamente crecientes se aplican en el centro de masas CM, y a la derecha la respectiva

curva de capacidad. Para analizar una estructura espacial se realizan pushover en todos los marcos

y luego se obtiene una representacion bilineal equivalente de las curvas de capacidad resistente de

todos los marcos.

Figure 3.3: Esquema de Calculo de la Curva de Capacidad Resistente Basada en un Pushover Espacial

3.7 Demanda Sısmica

La demanda sısmica generalmente se representa por medio de un espectro de respuesta, en el cual se

presenta la respuesta maxima de sistemas de un grado de libertad como una funcion de sus frecuencias.

Para fines practicos, en la ingenierıa se ha utilizado un espectro de respuesta de aceleraciones para

procedimientos de analisis y diseno de estructuras basados en las fuerzas. Sin embargo, durante los

ultimos anos, se ha identificado que los parametros mas relevantes en el diseno son los desplazamientos

y las deformaciones. Por lo tanto se ha promovido el uso de espectros de respuesta en formato

aceleracion-desplazamiento para propositos de diseno basados en el desempeno sısmico.

Para poder calcular el desplazamiento esperado que una estructura experimentara cuando se utiliza

la Tecnica de Pushover, la estructura de multiples grados de libertad se tiene que representar como

un sistema equivalente de solo un grado de libertad.

- 15


3.8 Sistema Equivalente de un Grado de libertad

La masa equivalente para un sistema de multiples grados de libertad

factor de transformacion utilizando las siguientes expresiones:

se calcula por medio de un

m = Σmi Φi = ΣFi (3.1)

El factor de transformacion esta dado por:

m ΣFi Υ = = (3.2) Σmi Φ2 F2 i i

mi ∑( )

Donde:

Υ =Es el factor de transformacion.

m =masa equivalente de un grado de libertad.

Φ =Desplazamiento normalizado que experimenta el nivel i.

F =Fuerza lateral normalizada.

Para calcular los desplazamientos de cada nivel se normaliza a uno (Φ = 1) el desplazamiento del nudo

de control, comunmente se coloca en el nivel superior, que experimentara el mayor desplazamiento

ante la aplicacion de cargas laterales. Los desplazamientos de cada nivel se establecen proporcional-

mente al desplazamiento del nivel superior.

Es necesario explicar que el desplazamiento encontrado, que se esperarıa sea igual al que la estructura

experimente bajo una demanda sısmica; correspondiente al desplazamiento del nudo de control.

Para representar el dano esperado en una estructura sometida a una demanda sısmica, es necesario

utilizar un modelo de plasticidad que se ajuste a las caracterısticas del modelo estructural utilizado.

- 16


3.9 Aplicacion del Comportamiento No Lineal

Figure 3.4: Esquema de Comportamiento No Lineal

F1 L

EA F1 ⇒ δ1 = (3.3)

Donde:L1 = L + δ1

2F1sen(α) = P P

F1 = (3.4) 2sen(α)

PL δ1 = (3.5)

2sen(α)EA

∆ Si:sen(α) =

L + δ1

L1 = (L + δ1)2 = L2 + δ2.... ⇒: L2 + 2Lδ2 + δ2 = L2 + ∆2 1 1

∆2

2L ⇒: δ1 =

∆ 2∆L sen(α) = =

∆2

2L

2L2 + ∆2 L +

2∆L sen(α) =

Reemplazando en (3.6) en (3.5) tenemos:

(3.6) 2L2 + ∆2

PL δ1 = (3.7)

2(2L2 + ∆2)EA

2∆3 EA P = (3.8)

L(2L2 + ∆2)

∆3 EA ∴ P =

L3

- 17


3.10 Analisis Estatico No Lineal-Pushover con SAP2000

3.10.1 Carga Muerta y Las Cargas Vivas

Figure 3.5: Carga muerta

Figure 3.6: Carga viva 1

- 18




- 19


Figure 3.9: Carga Lateral

Figure 3.10: Seccion Circular y rectangular de Columnas

- 20


Figure 3.11: Seccion Rectangular-Viga

Figure 3.12: Secciones respectivas de las columnas y vigas

- 21


Figure 3.13: Espectro

Figure 3.14: Analisis no lineal

- 22


Figure 3.15: Analisis no lineal

Figure 3.16: Nudo o Punto de Control

- 23


Figure 3.17: Curva del pushover 0 curva de Capacidad

Figure 3.18: Linealizacion de la Curva del pushover segun FEMA440

- 24


4 Ejercicios de Aplicacion

Ejercicios 4.1

- 25

Hallar la Energıa de deformacion de la siguiente estructura, si EI es constante.

SOLUCIO N: De la Estatica se tiene:

∑ MA = 0 VA = aw ∑ FH = 0 :

2wa(a) + 2aVc = 0 HA − 2wa = 0

∴ Vc = −wa ∴ HA = 2wa

- 26

Calculo de Energıa de Deformacion: Tramo AB:(0 ≤ x ≤ 2a)

2

M = −2aWx + wx 2

V = Wx − HA

N = VA

Tramo BC:(0 ≤ x ≤ π)

X = a − acos(θ) Y = asen(θ) ds = adθ

M = −awx

M = −a(a − acos(θ))

Energıa de Deformacion del trama AB:

wx2

¸ 2a ( − 2awx)2 ¸ 2a ( wa)2 ¸ 2a K( 2aw + wx)2

U = 2 2EI · dx +

− · dx +

− · dx

0 0 2EA

0 2GA

Resolviendo se tiene:

M = −a2(1 − cos(θ))

V = awsen(θ)

N = awcos(θ)

Mt = 0

N = −Wa

Mt = 0

V = Wx − 2Wa

M = wx2

2 − 2awx

Ejercicios de Aplicacion Analisis Estructural I

Ejercicios 4.2

- 27

Hallar la energıa de deformacion de un canal usado para transportar un fluido cuyo γ =

800Kg/m3:

Solucion:

γ = 800Kg/m3

w = γh1 = 800 ∗ 3.2a = 2560aKg/m

Energıa de Deformacion del trama BC:

¸ π (−a2w(1 − cos(θ))2 ¸ π (awcos(θ))2 ¸ π K(awsen(θ))2

U = adθ + adθ + adθ 0 2EI 0 2EA 0 2GA

Resolviendo se tiene:

Sumando U1 + U2 se tiene:

4.489w2 a5 1.7854w2 a3 2.1187Kw2 a3

Utotal = EI

+ EA

+ GA

3πw2 a5 πw2 a3 πw2 a3 U2 =

4EI +

4EA +

4GA

32a5w2 a3w2 4w2 a3K U1 =

15EI +

EA +

3GA


- 28

Hallando reacciones: ΣFv = 0

2R − 2Fcos(53) − w(6a) = 0

∴ R = 11048.448a2(Kg) Hallando la energıa de deformacion de la seccion del canal:

Calculo de Energıa de Deformacion: Tramo AA1:0 ≤ x ≤ 0.614a

M = 0 N = 0

V = 0 Mt = 0

Tramo A1 B:0 ≤ x ≤ 04.368a

1 f = (x)(qx ) = 291.8375x2

2 1 x

M = − 2

(x)(qx )( 3 )

1 x

M = − 2

(x)(583.678x) 3

1

V = − 2

(x)(qx ) 1

V = − 2

(x)(583.678x)

qx = w

x l 2560ax

qx = 4.386a

= 583.675x

V = −291.837x2

N = 0

Mt = 0

M = −97.273x3


- 29

Tramo BB1:0 ≤ x ≤ 3a

2

M = 7669.81a2 x − 8207.785a3 − wx

2

V = 7669.81a2 − wx

Energıa de Deformacion del trama AA1:

U1 = 0

Energıa de Deformacion del trama A1 B:

¸ 4.368a (−97.273x3)2 ¸ 4.368a K(−291.837x2)2

U2 = dx + dx 0 2EI 0 2GA

Resolviendo se tiene: a=1

20503830.007 13542344.3591K U2 = EI

+ GA

Energıa de Deformacion del trama BB1:

¸ 3a (−1280x2 + 7669.81a2 x − 8207.785a3)2 ¸ 3a (4483.6036a2)2

U3 = dx + dx + 0 2EI 0 2EA

¸ 3a K(7669.81a2 − 2560ax)2 dx

0 2GA Resolviendo se tiene: a=1

18049182.753 30154051.863 29373966.9542K U2 = EI

+ EA

+ GA

Sumando U1 + U2 + U3:

38553012 30154051.863 42916311.3133K ∴ Utotal =

EI +

EA +

GA

∴ Por simetrıa:

38553012 30154051.863 42916311.3133K

Utotal = 2( EI

+ EA

+ GA

)

V = 7669.81a2 − 2560ax

N = 4483.6036a2

Mt = 0

M = −1280x2 + 7669.81a2 x − 8207.785a3


Ejercicios 4.3

- 30

Si E = 207106KN/m2,A = 1.210−4m2

∑ Fx = 0......F1coc(60) = F2cos(45)

F10.5 = F20.707

(4.1)

∑ Fy = 0...F1sen(60) + F2sen(45) = 60

(4.2)

F10.866 + F20.707 = 80

De las ecuaciones (??)y(4.11) tenemos:

F1 = 58.565KN...................F2 = 41.418KN

Reemplazando en:

FL δ = EA F1 L 58.565 ∗ 0.6 δ = = = 1.415mm

1 EA 207106 ∗ 1.210−4 F2 L 41.418 ∗ 0.7348

δ = = = 1.228mm 2

EA 207106 ∗ 1.210−4

Realizamos el analisis lineal:


- 31

Y = δ1sen(A) + xtan(A) (4.3)

δ2

cos(B) = Y + Xtan(B) (4.4)

De las ecuaciones (4.3) y (4.4):

Y = 1.667mm

X = 0.062mm


CONCLU SIONES

Se logro estudiar la energıa de deformacion en sus diferentes situaciones 1

Es necesario conocer la energıa de deformacion, para su aplicacion posterior a los diferentes

metodos energeticos.

2

Es necesario Conocer el comportamiento de una estructura ante demandas sısmicas es de mucha

importancia, sobre todo en aquellas que se encuentran construidas o que se piensan construir

en zonas de fuerte actividad sısmica.

3

La fallas que se produce en estos elementos cuando la demanda sısmica es mayor que la capaci-

dad estructural, ponen de manifiesto la necesidad de evaluar las estructuras utilizando metodos

modernos, en los cuales se toma en cuenta el desempeno por sismo de las edificaciones, es por

ello que se considera un posterior comportamiento no lineal de los materiales.

4

Analisis de colapso (Pushover); es una tecnica simple y eficiente para obtener la capacidad,

resistencia-deformacion de una estructura bajo una distribucion de fuerzas inerciales esperadas.

5

Cuando un edificio se somete a demandas sısmicas, considerando respuestas de pequenas am-

plitud, las deformaciones en los elementos permanecen en el rango elastico y practicamente

no ocurren danos, mientras que para respuestas de mayor amplitud las deformaciones de los

elementos exceden su capacidad elastica y la edificacion experimenta danos considerables.

6

BIBLIOGRAFIA

(A) ING. RONALD SANTANA TAPIA ANALISIS ESTRUCTURAL .

(B) Kenneth M.Leet FUNDAMENTOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL . 2° Edicion. McGrawHill

(C) Aslam Kassimali ANALISIS ESTRUCTURAL . 2° Edicion. THOMSON LEARNING

(D) Maximo G. Peralta Alvarez ANALISIS ESTATICO NO LINEAL Y ANALISIS DINAMICO

NO LINEAL DEL HOSPITAL DE VIELHA . Tesina de Master. Barcelona, Junio del 2012

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