Els nombres primers › repository › pdf › ... · porten els nombres primers. No puc negar que,...
44
ELS NOMBRES PRIMERS (4) CARLES SIMO Facultat de Ciencies, Universitat Autbnoma de Barcelona Tot-horn sap que un nombre primer es aquell que names es divisible per ell mateix i per la unitat. Aquesta simple definicio ha donat i donara floc a nombroses recerques dels matematics per a esbrinar corn son i corn es corn- porten els nombres primers. No puc negar que, en la meva vessant de mate- matic experimental, he dedicat estones, tot esperant els resultats d'algun pro- grama, a ojugar amb els primers>>. La questio iprimera es quants n'hi ha. Euclides (Elements, Ilibre IX, pro- posicio 20) diu: <<Hi ha mes nombres primers que qualsevol conjunt de nom- bres primers>>. La demostracio, ben coneguda, es: Si p2,...,pr fossin tots els primers, els nombre que s'obte afegint 1 al producte de tots ells o es primer o tot factor dell es mes gran que qualsevol dels primers p,. En ambdos ca- sos tenim un absurd. Una altra demostracio basada en la divergencia de -1 Pn (*) Pnep tconjunt de tots els primers = ipt < p2 <... j) es deguda a Euler (1737). Una prova elemental d'aquest fet es (Clarkson, 1966): Si (*) convergeix, k I L p - 1 M < 1/2 m>k ( S) Conferencia feta a I ' Institut d'Estudis Catalans el 23 de novembre de 1977. [145]
Transcript of Els nombres primers › repository › pdf › ... · porten els nombres primers. No puc negar que,...
ELS NOMBRES PRIMERS (4)
CARLES SIMOFacultat de Ciencies,
Universitat Autbnoma de Barcelona
Tot-horn sap que un nombre primer es aquell que names es divisible perell mateix i per la unitat. Aquesta simple definicio ha donat i donara floc anombroses recerques dels matematics per a esbrinar corn son i corn es corn-porten els nombres primers. No puc negar que, en la meva vessant de mate-matic experimental, he dedicat estones, tot esperant els resultats d'algun pro-grama, a ojugar amb els primers>>.
La questio iprimera es quants n'hi ha. Euclides (Elements, Ilibre IX, pro-posicio 20) diu: <<Hi ha mes nombres primers que qualsevol conjunt de nom-bres primers>>. La demostracio, ben coneguda, es: Si p2,...,pr fossin tots elsprimers, els nombre que s'obte afegint 1 al producte de tots ells o es primero tot factor dell es mes gran que qualsevol dels primers p,. En ambdos ca-sos tenim un absurd.
Una altra demostracio basada en la divergencia de
-1Pn (*)
Pnep
tconjunt de tots els primers = ipt < p2 <... j) es deguda a Euler (1737).Una prova elemental d'aquest fet es (Clarkson, 1966): Si (*) convergeix,
k I L p - 1
M < 1/2
m>k
( S) Conferencia feta a I ' Institut d'Estudis Catalans el 23 de novembre de 1977.
[145]
'^, Cf'KLI_S SIA4^)
Sigui Q el producte del k primers nombres primers. Considero 1-{- nQ,n >_ 1. Tots els divisors primers de 1-{-nQ son mes grans que pk. Llavorstindrem 1'absurd seguent:
VI> I,' I CItn951 < ^i C^
pnII,tn=I t=1 m >k
Euler digue, de fet, que
< 1 .
2+ 3 +
5+ ^ + 111 + 113 + ... = Zn (Zn ^)
La interpretacio d'aixo es:
pnl ^ lr.(Zn x) ,
<;;Pit=
que, en efecte, surf del teorema dels nombres primers (t.n.p.) o de la forma
multiplicativa de la funcio ^. (Una mica de notacio:
f(x) ^ g(x)f (x)
lim€(x)
_
x^
1 ,
Znzx = ZNCZN x) ; czpzCx) = ezpCezpCx)) ;
Zrk+lx = ''^(1;zlx)^^=^k+1
(x)
Destaquem que ln2x creix molt lentament:
= exp(expk(x))
., - 10^' > :;'2x = 2.6 x = 1020
Altres funcions que es comporten com ln,x son.
-^ Zn2x = 3.8
subVi(m)
(4^ _^ indicador d'I:uler) ,
m _x ,
o ^be el nombre mitja de factors primers diferents d'un enter.
Hi ha formules que donin els primers? La resposta es afirmativa, pero
sembla que poc titil. Vegem formules recurrents. Gandhi diu (1971): cone-
guts p,,...,p^, siguin P„ el producte de tots ells. Llavors p„^ t es Punic zero
enter t de
1 < bt ^ ^udd)
- b^ < b
d IPn
[14G]
FL.ti ;A'(^^11RRF;S PRI,",f1.R.ti ?;
on b es un enter qualsevol mes gran o igual que 2. Aci la funcio µ (de Mobius)es definida per µ(n) = 0 si n Conte quadrat; µ(n) _ (-1)k sines productede k primers; µ (1) = 1.
Golomb (1976) generalitza els resultats de Gandhi aixf: sigui a una pro-babilitat sabre
2?t. I dCn) > 0 ,^
aCn) = I ;N>I
definim
Vi(m) _ ^ ^( mn) 'f^k ) _ ,^ ;:(^l)l^(d)
n'_.t d In
Llavers si per a tota successio de naturals
1 < nl < n^ ^; n3 ..
T es un operador tal que
tenlm
Fin+1 ^^^'i^P ^ -n(1))n'
Aplicant aixo obteni^m, per exemple:
pn+1 = lim ^Pn (s);(s) -1)-1/s
s-^ ^
nn
Pies) -- 1[ (l - P-s) , t(s ) = j n-.^
Pi ^ Pn n> i
Voldriem formules mes explicites, es clay. Per exemple, que
Y = ap + a 1 x + ... + a xnIl
[147]
(;1l: LI:S ) l;1l 0
antis donant primers en donar a x cis valors 0 , 1,2,.... Si fem
y = x2+ x + 41 0 y = x
2- 79 x + 1601
obtenim primers per valors de x entre 0 i 40 o be entre 0 i 79, respectiva-
ment. Podem esperar una bona formula d'aquest tipus? La resposta es no.
En efecte si per a x = a surt y = p, primer, es immediat que per a x m a
(mod p) tenim y = 0 (mod p) i obtindrem forcosament no primers.
Pero si que hi ha -formules que representen tots els primers. Introduim
algunes definicions: Siguin
:I C z+ x e 77n , P(a,x) e 2Z(a,xj
Pcnsem en P(a,x) = 0 en les variables x. Un conjunt de m-pies a es diu dio-fanti si per a aquests valors 0 = P(a,x) to soluci6.
Un conjunt contingut a Z,"' es diu llistabie si existcix un algorismc qucpermet de fer-ne una llista (es a dir, tot membre del conjunt sortira en laIlista, potser diverses vegades, i no hi sortira cap no-membre). Trivialment:diofanti _ Ilistable. El teorema fonamental, que dona solucio negativa alproblema 10 de Hilbert, es (Matijasevic, 1970): llistab:c=;'> diofanti.
Tot conjunt diofanti de naturals es representat pels valors positius d'unpolinomi (Putnam, 1960):
Q(a,x) = (a+1){1 -P2(a,x)1 -1 .
Teorema: Els primers formen conjunt diofanti i aixo implica que son els tinics
valors positius de polinomis a coeficients enters quan les variables son natu-
rals. N'han estat donades formules amb 24 variables i grau 37, o 21 i 21, o
19 i 29, o 42 i 5, o 12 variables i grau molt alt. En donem aqui una amh 26
variables i grau 25 que usa nomes 325 simbols:
(k+2) {1 -Ewz+h+j - q]2 -C(gk+2g+k +1)(h+j)+h-2P]2 -E16( k+l)3(k+2 )(n+l)2+1-f_j
-F2n+p+q+z-e]2 -Ee3( e+2)(a+l )2+1-0212 -[( a2-1)y2+1-x2]2
-2 4 2 _ 2 2 _1)1 2 +1_. 2 ]2 2^16r y (a 1)+1-u ^ -^(a -^ai+k+l-1-i^` -
- [((a+u2( u2-a))2-1 ) ( n+4dy ) 2+1-(x+cu )2:12
- [n+1+v-yf -
-Ep+1(a-n+1)+ b(2an+2a-n2 -2n-2)-m]2 -[7+pl(a-p)+t(2ap-p2-1)-pml
-rq+y(a-p-1 )+ s(2ap+2a-p2 -2p-2)-xji
[ 148]
I L1 .A'O,111/ia i 1'i^l. ll1:R ^^
Aixi, mentre que hi ha una demostracio que un nombre es compost queexigeix una unica multiplicacio (simplement, multiplicant 2 divisors seus «ade-quats>>! ), hi ha una demostracio que un nombre es primer amb un nombreacotat d'operacions! (34 sumes, 39 restes i 68 multiplicacions). Exercici:Demostreu aixi que 13 es primer.
Podem preguntar-nos com apareixen els primers. En ^principi sembla queno segueixin cap llei. Aixi, mentre que del 101 al 113 n'hi ha 5, el seguentno apareix fins al 127; del 1327 saltem al 1347; per contra, entre el 5639i el 5659 n'hi ha 7. Entre 10'-100 i 107 n'hi ha 9 i entre 107 i 107+ 100 no-mes 2. En el primer milio de nombres hi ha mes primers que en el segon;en el segon mes que en el tercer, etc., per6 en el milio 32 menys que en el 33.(Per a mes irregularitats, vegeu mes endavant.)
Es facil de fer taules de primers. El metode mes eficac es el dcl garbell.Un ordenador potent eficientment programat pot tractar milions de nombresper segon. Aixi es possible d'obtenir tots els primers mes petits de 1012 en untemps prudencial (centenars d'hores). Mes dificil es d'emmagatzemar-los (alvoltant de 3.7 X 101° nombres, la major part de 12 xifres). La fig. 1 mostrauna Plana d'una llista de primers mes petits de 107 que ocupa 352 fulls d'im-pressora.
No creguem, ^per6, que hom nomes coneix primers fins a 1012. Molts d'al-tres primers han estat obtinguts en estudiar certes successions d'enters. Eu-clides, cercant nombres ,perfectes (que coincideixen amb la suma de Ilurs di-visors propis) diu (Elements, Ilibre IX, proposicio 36): Si diversos nombres,comencant per la unitat, estan en proporcio duplicada i el conjunt de tots esprimer, el producte d'aquest conjunt pel darrer es perfecte. En f6rmula, Si
(2P-1) 2P-12P-1 e
es perfecte.
P =
Els nombres del tipus M„ = 2P - I foren estudiats per Mersenne el 1644.Euler prova que tot perfecte parell es d'aquest tipus. Mp primer implica pprimer. Hom nomes coneix 24 (5) primers de Mersenne; corresponen a
2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2283,3217,4253,
4423,9689,9941,11213,19937.
El darrer, M19,37, es el primer mes gran que hom coneix actualment. Fou des-cobert per Tuckerman el 1971. Te 6002 xifres i el presentem a la fig. 2. Pera p mes petit o igual que 257, l'estat actual dels nombres de Mersenne (a
( S) Quan aquesta conferencia estava en premsa s 'ha dcscobert la seguent : p=21701.
[149]
.U (1}11 :. SL11 U
HTrN p, H - .. T ..0' TA n nTrrM-" 0 Pr
r
J Nn u
r r N J r _ - Nw
P r N P r c - N N f N 7• N n T m' r r A l n n n
h r P r u ) I C H _ a .^ r Y 0 Y r O P • P n r .0 D Y D I n
,•.. nT n O° •
N .. r rn nw nyp ••rCn r n n ryrhP ynNn m' rar Nnnnw
N a b; ^ N m 7 r N F D M N .Ti r r _ A O w 0' Y P •Ary a N O Y ^ O b N
r0, - N f .+ . . . r .D .•
.Y ., . N y' . • P r
.h K N
.N. N
4I•
n PPOP 0r r r n., 0' H ., Pn - n..w u ^
Y
rP.. P•..n PPr n0' 'ry HPP r^ y Pr
_ _'^^Q' ^P a n Pn r. m Pr. ^ NJ¢ rP va Pn m pr h W c N
f o r • y r P a Q I c a ^ ^^ r J ... t r N ` N? W + P H r A rv .L r`., w^ ^ N 3 a fr
• O.r _ n C Hn rTw r w Trrnn n aPn PP•" P r n
D t v 1 r ~ w^ w - n • rv T N-0 .+ P O W W N N a O m w N„ N b N^ ^^ I N 1 A P J V 0
h D •• S T S n N x T N P a r S D J D .. D J N r Jf J W J1 P M m N D w 7 3 r J• J• P
O'. .•. n P.^ r P ww Pr r r Pr r Q PPn OH .+ rn PQ r^ .. • nPrn ^n
°, y ^, w r' rO n
^ n _ s 0 r r W Q r n n n .' G l ^[ 3 a W f. W r m n 7 r h• h w P O
w^{'r> P a wM1 r. ^+N P a 0> mY P i PN .+ W O r ^'.^.Y TN W r 1 Pn nOh b.+W NwON7• PnP
• • •.. C r .- T n n n A P r n r A r r. n n n T r w A A Y n r P A r. H A h r n n H P' n F M n M I1 F
A f 7 i .• J .1 D •' M P G .. P n N^ N 0• .. r • Y a A r N N m .• I P W rD . N n .) A N n rt r n NANO h h r A w w
r• P S C. ..N P O'1 HNn W : 3 '. JNSNTN J Pn mNb..k ..W JI Pn0
y D J f a P n r N r P W a O N P a P N r b: D .. N:
rN.
T P^ :• P n O N b r N r W: N T• P M O
'.^
C.v QV r '.ter n^ nnrr
's& .'..r c?f^0T arJ OPn.. r Ph' rrirP r, a
^; j a . a r 7 N P> o J ] r. J P J P + ^c P T M
IP H n A .. P .. ^ r A A T n .+ • A A r n A F n M a n 0 r .. a
N.w F
.. P^ . r r T r C A ----------A I 0 f 0 c P w P r n D r P r 0 h n T O H r0
rNY J d rn W ^> m NrG .. Dr P OmH W • OO mNONDNDNPf mf Nf OI Omm^Orb.. rb TNPn TM0
••. P n? .. T P P r T H r n r P r P r T P r P P n P r A w P P A r: P A P A r A w P n H. P n P P w H M r 0• T P ., r n n
n M1 N r n a m" n P A N P P P .`. • N .' A b P 0 .•^f .C P w A N W N T .D D N P r P W 0 0 W A n m 7 h b h N A M N
N J 0 ^ , D .. D N w > W N n h D r N P I P s M m f O H P N D N T N D N n f 0 • P i P• m N O n A N b .^ N .^ J T• T M T n 0
.. P M .. O A n T A w P P .. r r w n w A n n Q H r A P w H M r w r r r P M n r F P n r n w P H n •. T P n A r H h n P .. w M
G f r n P D A N a r. N ... D a P > 0 P rC a m s LL N' W CNN I A I w N w N N r A c P A J W P D W P N Y) N O• 0 0
O N P N N P• O f 0• P I O M1 A: A r N .+ N3J 0• / P rO P M 0
r N n y: LL- .D : n n m N r N W ..... . .. n O m ...•
r r• . P rnr.- O r n h . rr r rr rOr C0 'r
r r cr(SIAS r wn Kr 0. S r nr cr.r.Kr PIr
Cr.rc + na . • r r Fn rr n cr.Q a r. Y ano WM1mr YfO' 1
a•ra 3 r Qrr rrfc nna
M1 W UDNAn W N w M1^C .. N 0^i m f • Nr J mnmO DNPr PN01 • I O Pn ONF hw .. N',>N Db/ I O mN0
P Pn... n PMww P Tr PPw rn r.. P..^ ^ 0.'. • . r M M..A rn A..rnA rn FAA rr PnFnnA w nr
f. D en A P.C •^f D • T.•n r.+O rL r r ^ N p o-V Dom Tm?b.^ IrH N PNAn N Y` I > OAN^O .• Nh or.ONy
DN P•• ¢ Nn W N r.Cr N P 1 mn sN r • W f : NO' S P •)PS 0 • On Pn mM1w hAr 3r: N']r0TI M ONF
• • r PJ
r N H ^^ .. r w w P r M n A r/ n H n Qr P A H y n F n n H A n •. n n n A iA n •. F T n Or F F
D M C D Y a n f N .. m W P N m f i• N A M rr1 H N ) a h N A f I T O r1 o f N)O I NN J w D D W G 5-1
N P n a W : N h r M a N r r D P• m r, r M1 r: m n m S P N A f P J P f m• m n P M O N r N r: N: N P b 0\ 1 0 h. O N F
n^ ^n w ..2 r h..HH ^.. rA .. rPn!1 Qr .. Ah ^r r T MrQ)H M rrr 7'NArr.• TAnr A••1
• D .1 r m T .• •' H n J n T w r J 1 r N S N D W D m n D n 0 H T N y M r0 A N 7 b r• T W M n a r N n N
• P n r W O W : W N m N n a I m H m H n N O n O' N P f P• P • m n O n P n ANA : A r N N P N T M O n O N F
• r nHn ... r rcTOrr r rr r rr 0`r. TnrANP P T/wn P ... H rrnn HA .+ rnrn 0' AAw TA .,' M r
aQn .f O G n w n N P N m .D n m r l Y^ f O .. N J N A Y1 r1 N N .' N m 0r ^p 3 f r0 I f N m r 10 >r N m N A M n O n M r.l
j a P H A : N: N: D N m N D: N7J m n a N r .N A: W H O n P O P S P f P n O n A n P n A N .0 N b
^:+ pN
P N P Vt T r•1 0 M O N ••
'.^ > u` h D N w N^ r / h^ 2 a J u S N A 3 ^ T r w w1 n o m' N w h N N M^ • .. O D /- m N T n N Mr) r W s` r r N• N M 1] a N N IY
J I Pn rrN JN.. J. h an N> s mn OM1rhn HAN ¢ N Pf P • P O Pn OHAn pHr Nb NbrrrlPNC• h nn ON ONP
w P y T r ^. A P A _ H T M P n T r^ n A r r P n T T r M .1 P M M P P r 0^ r„ n A T A P A A r F Or Cr
0•\ h r N T J a W w 7 D D f r h 9 D A N J A m f W n> N r r• W W .+ •1 r N P r r .• 1V
Tf Pn n N r.. ,0 : N'^ mn ANAM1 NmN P I TJ O fOrn.
mHAH mn nNN Nb '] NT a TNOr^H`
AN ON
pFr
A P r P .' 1`0 O Y 0 ` h r n 7 P r0 h r rL P .r- Q' O r .r P I r r m r0 m A Ar T n r0 n N n h rD a+ n r{J fv ^('. O I Y P Ir
O PHA N T N .a N w .. D '] N J M n M F N A N b M A V O• m H m m m ^ A n A M W M A Y N r W 0 N P I T N 0• n w N w N y
n P P n r n T A r P r p P l 0 r c S H O. ' l N r T P C t M T r .• P Or r P n r Or A
n 0 0 r r u fM ^•' P 7 n D N S f m b N r P f A M1 r> N f r J Y N r N • D PPP T W r T y C
P i aN Dr NP 'n DN n.. D 1 rP w w V n'V .0 NAN N On Wn O nOhwnA nONn V .. D •,JNO`10I mNANAArO
r O n n n w 0 C ' ^'r C r .. P.• r.O AP..r A A .+ rrO ; r r nr P •. r. rw nv nv AP wFwr r/r
N r r r D G .v P I O C • n M1 Q h C r H a g n H .0 w fOJ• N a r G K c.. u. O r N a a r N C a a N A
Tn. N •C .•Vt PI ^ Nrr.. u' : SP"rrn
n n.• -
•.
AN mhP
.
He n a h nNA a` N b.. nr0 : rNPfa f Ohn nArb
.I[ hA-i r Op^
r r F I r n C N O r rC r0.' • 7 u1 1 10> N n n .I. u r ' u e r. r r ' Y f r u r ' r C u .' Y O f 0 r K r I f h' Y K 1 • % n
P n a N . P ^ ^^ P n w r .'• Y N r r A N m n m M Op M m h A N A n A N y r Y r Y ^ Y P• O f m N n r A .• .f
M ani..n0^y n n r.r TP ..Q .. wAQ nsa ^r ..
-1 a N r rnr
r P^ a rw nnh rnr0:. 0 a ^ .C M1 • .+ ; > r P • n F ^ LL 0000 D nnm . ^Y N
Pn.6N D.. • 0 • ^ .C rN ] O nAN.000 .. D.• ••D.'• mM6n W n5N WNA AN ..c r N J I Pn ROfONT•rwMy
r ^T
n
' r w ^r r .+P.'.rr^ AA rw ^ e nA F4r^ ^}` Cn'^ T Pr Pn Pp^
j Y a W n W G P,O N '1 n N N N n r W ry C.D a .' P P n 0, f C P a u` P N n N P J O C
P n a N N J S P a 0`u r N r n P J P n .C h .O r r b r r r W r A m m ^ r n O r b h n N A N rL r w N D i m n A I m N W r W O y
P O r 00 0 0 .. r O n . K l• K 0 ^' n • n r n 0 P P n ..r P r O r r r O n C r P n n •+. P n r P1 ••^•
0 J C 0 r C• P ' C N 0 a r O• 3 n r h P C C W O 3 h C LL .D N Q .... G• h• 0" 3
c n w N u ' G^ > O• 0 u .y Y 7 u P> 0 n u. N u ...L r Y : r Sy r H r N n n r r .C' N r N r N .D r I g Y P• m n r f m N .J r J O .0
b r i o' t1i ^° c a ,. b^I rrc r pp rF-
nr Q T Q r o^ n n r n n •P n Q'
u u :.C''sC ar- • NOt P P HGP I O)PW PG a r 0
^ n r r n ^> a a s n ,. ... J N m a° n W .N .a ...D .. , -^ D .. n A r, w rv r r v v W r r .. W n a D .O P • m n r r m r b r b D b
O h r 0 ' 0 r C P 0 ' P O A r r PO P 0 r nP h rP. r P..n PO .^Pn nPw
a G 0 - • C• C u r` h r/ C• C • r 0 n K 0 .0 P u r' r 3 h r r 0 .C O r .! M .. J T
m n w r N J r m f m S J W 0 • P T a H W N r. .^ D .. ^D O N r n N r r n N r .. D r D .^ A r W 0 I .^- f P• m H A n A r W r .0 O 00
p n o r r .. Y n r P r r 4 P r ... r P P r 0 r r P r P P H n r r r P r n A r n r r n F A F
N W r u h A n O
I
a P b r O w, y• G r a u P a a' r a - N .: D a n• a 0 0 h• n
0
r G'
.On rr SM m S O W 0 a Y n YN.0N X00 V J on,^.00 a .1 n Nr .. n.aAr .r .O ..00 00 0000 1 P• N a YNr nA r .O r•r10N
n P r P r r 0' .. O C.. T r- r r r h P r . T P 0- A M r r P r P r r P M A r r n n w .. n h
r N O •a • P r S W P P n f h C n°'•
r..
• r n„ O a h c Y. P A N
*Nrr ^' u- n • S - N_ s Pr O1h .O. Y D Y C Y T,O NC oor r n N .+ r! W r P 0 TON..A++MA
...00 NON
r^ r r. a; n P P P r Q r r j r n w n P P n nA I C .r n Y h
n H M rCh C r i h' .4 n n r n r e° P
0a C h . v 0 Sc K 0 f I / rC P 3 c Y O
OrvwrNP n mnm J C NOI Oh e h W .[ C YG w P V: Y7 W.^A 0000 r. Wr C W r W PI PhANr NF rbC N0•
P 0000y 3 .O PPp0^
h .D A O • O
A r r r w n n r r n w r r n n n w r A r w r r n n r- f- w F A
Fig. 1. Una pagina d'una taula de primers <_ 10". La taula ocupa 352 fulls d'impprc_sora.
F.LS N'O,lfl3KI:S PKL'<lERS 31
part els primers) es el de la taula 1 (recordem que si n divideix p, llavorsM„ divideix M0).
Diguem de passada que pel que fa a perfectes senars, hom no en coneixcap. Si n'hi ha, cal que siguin mes grans de 1050, que algun de Ilurs factorsprimers sigui mes gran de 100110 i que tinguin 6 factors primers o mes (10o mes si no hi es el 3).
Altres nombres curiosos son els de Fermat, F, = 22` + 1. Son primersper
P = 0,1,2,3,4 (FP =3,5,17,257,65537).
Fermat digue que tots ho eren. Pero Euler, el 1732, prova que F5 = 641 X6700417. De fet hom no coneix cap mes Fp primer. L'estat actual el tenima la taula 2.
El primer d'ells del qual no se sap res es F17 (fig. 3). Te 39457 xifres.Curiosament se sap que F1945 es compost. Corn a anecdota diguem que 1'ex-pressi6 decimal d'aquest numero es <<incalculable amb els mitjans actuals ifuturs>>. En efecte, to unes 9.6X 105&1 xifres. Si prenem corn a ordres de mag-nitud: Radi de l'univers = 1010 anys de Hum, 1 any de hum = 1016 m., radid'una particula elemental = 10-11m, tenim que a l'univers, hi caben aproxi-madament
103(10+16+1^) 10123particules elementals
Ni portant cada una d'elles una xifra podem somniar d'<<escriure>> F1945.Els primers de Fermat intervenen en algebra corn a corollari de la Teoria
de Galois, ja que els poligons construibles amb regle 1 compas son els quetenen n costats, on n = 2kpi...pr, amb pi primer de Fermat. No se sap sihi ha infinits nombres de Mersenne primers, ni infinits compostos, infinitsde Fermat primers o infinits compostos.
Per que es poden abordar els M, Fp?.Teorema (Lucas, Lehmer): Mp (p; 2, primer) primer si i sols si divideix elterme p - 1 de la successio { ski, on
sl = 4, sk = S k2_1 - 2
Cal tenir en compte que sk creix rapidament ( sloo to mes de lO' xifres).Llavors definim { rki aixf:
r1 4 ' rk+1 r2 -2 ( mod M )P
[151]
n^^^ ,.^r :rte nr.5 ^:4MOr a rr u ^'mu 1
N' C P 4 0 0. ^- a C n 0 o•
J LL LL .a Y a u P
o C a r Q te
n u u - C r T a a f' CN
0' N u m O'v
N J a r P N a a u` r .. N O r a r r P
r J ^+ a L .- G' f. « L a N N f R N r. u _ U o c r r W m u n r u. N n a u G G N 0 n w N N N N .^ G P n a 1C
P •^ Y a N ,.[ N r .„ r T T n N LL S N N 1C r T u• N f' m h J C m m v .. a -- ¢ N v1 r N Y U) J N m N N Y+ m 1 o Yt r
m a r P r N N r a u`. 4 P N OPr m N
ah 1 N
CCM u' O P •C N h n P UI r
C0"' G w n u' M Y m 1 D N O uC
^I1t[ul N a' P C
Nm [' ' N N r P^ , v
N` N r. 1 C' .a^ h U f r a N N 1W' C r N N J(C N C S^ UI S O h NNr P r W O S 1b N C Y`y N u C' a r N r N 4
N O M1 Y aSr C' u' mfr C ' a IC ¢ w N Y a` a' '[ a' 1'
.P N . -. r 1 a n a N .. P
C'N u N S Y c. 1C n O n y+ P Y
WP
J N a n 4 1 i P NO
a C P u' a. ' N N u::. C uW
a t J 1r r a W N C a i u' PNP .+ P O' N LL P O' N N W P n N
N ^0 - n h C f^ r ...+ r¢ n v 1 ^+ a r n n C .r n r P D n P r P J Y` ^ 1^ ^O Y T a p N I I I
y1 u N P G Y u' 4 M N a 1 ': ' /' u. N 0 m LL r s h u n a 4 N . u N r. J h m 0 11f h N U' Un r^ O N`
1C (^ M N M1 P S 'D Y r f . C [C' S r n u ' h ^D h r 1 P m r N U` M T T m P C ^^ ut Y^ O' r O^ H N m ^f1 O f- P• N * N IC m
W C'S S 4 m N Y` W w u. J O^ w N ¢ u' v N N r. N O' P 10 a W N M ! J n N C r O P N C W ! N 1 YI n .7 h 1 M ^0 Y1
a M U; r a N NUJ o' n mON r r N a N u1 N a^ '0 W C
Nw m N"
P'NWN P N N N
Wm N
WC 7 M a H
N Cn J N
m J 0. r N M m w MO' J N LL u N w w S N P Y W w a C Y. N T N N N I M J N N M 3 N N h m N u1 N N r m 0 0 •d
Y m r r a m 1'
u P R Y m 4 m C mr
a r M N m 'f^P e' r v a n Y P N N e O P P P! N 0 OWWN
M NNWNNNN P
4 P d N a N 1 Y u 3 C 'i N
LL
r C' w N C u N .C N d N N Q N P LL N r r u^ tl '[` h N P a O N L N u^
N 1C fv N m N 1C a' J¢ •^ C M Y` ILLr (77 M1 a C 0 ' 10 Y CP a O M
SN u'. r P P m N N y`o / ryN/ N P.a
p' 1O CN 1p
n NGGC)0'tlW40
' 0'N 4 tlWr u`1C O Gr. w tt O ` 1! PP O 4 ha Lr• h:J W Itl LNON rtN N NNOsO1 r V^ N h C P M N O I O N U1 N O
wCm r
P N a .^ m P r f. Y P P r"WN N Y 7 N N N m n 1'N O C h n N P r 0 P .q
rv r O 1f y N 1(1 P W u' W h N D M M 3 r. P G u P r N 4 G h I w M 1 r: Y O O m W N ! Yi Y` W f^ r O^ 01 m Yl m o
1caNJN4NNr rlrwNaMglcml^^a nY.^n4^. .rtr^mr¢NU` r.r^caBN^oNP^nu ' NJ^orPr y r P tr M 1p a Q h i w N e' M N u N I' M 4 "' LL Y n n u^ o` N Y. N W r N LL N O 0' r. 1!1 N n N N 1
.. a u Y r N r ^- 'L 2- N u .- C h a N r a n N N N^ I u u a a 'f Y u •' .. N Y U a N C Y
r
n r P u: LL S
n N M f /: rya ^ tl N u u l_ ^. ^, a u a 4 u D N [. S N C LL [ v N N N a ^ n n O' Y N r 0' N u ^ro
D
S I N O N u!l n W O n P NyS'N u1 a v N w W N M N P C-
pPp.N a
((Oyy
IO 0I r O N Y N O 11p PP N O 0' O N r l N
.
0 Y1fh.•^
.+tl r NNh y NPN' a GGOD3 M1PN Pr u•Nar u D a Or, (a.NSW N rPP ^NMYII L 1711nmr^NO
u h r '> u. 7 u r rt a" .+ Y n a ... 1 h a ' a r P U P a N N M ,^ .^ r. N m Y 'O w N N tl! m I n
CCO''O1p .r ".
pp
u'. a.ay
u^ a .• r h W +. n r'. .. C ' 1" .. U' u, rfr
10 u. p_ r 7 h N[nom C-
- ^n '0 n N 0 ` a N a.C,
H1 u ' r iNp
^, P n a
a.nN wh Pa SO h d'N d 0u W tit' u N W r * '0 Nu: N NNr¢' OFg LLPr0' NONO NnO`ON^ OFNNIN
N Q! O r h O N Y Y M Y Y T N O N M N T P P N 7 m N r w N m a n m N P •,,'[ N W N N 1(^ N! M N CC N 1p I N Y'
10 P• Ulm . 01 1 : 0 . O W n N N M u1 W n N .O O ' u` M ^0 "' a7. B N H N N 1p t N 0 W N O J Y1 M P O N O O YI T Y+
N r P l0 N N Y N N N J N N r C N O N N r: P N P P N N n Z N ¢ O M O P 3 N r¢ m C M N N d N C P N O N N
r f0 Y h P N Y O N h N r N Y. 1:. n v a: ! 4 r u: 0 0' G W W S er
V; O u ' 4 u'. a W N 0 N14
N I N W P N M M
W^••1 I N m N M P r ] N 1C GC`` U1 N N 0 1C N u) N N
W
M m P O m N! 1 N pp P N I ¢1N N N M 1 N/ O 11 N i N 1 I
N W MOM NWN N
tO WI O N N!
m
O n 1 M N n 0 W N a N O r
e
O' N J• N H O m MO .0 W O N I N O d 4
t n m 0 T G' ! 10 n Y N 1D No- N " N 1D P N N N Y N P N r .+ M a N O N m G P 1 N y; p M O N NC
V1 1/ .' n M Y 4 N N W 0` O r rn^^p
I a: a d 1P^ r NrWr^^O a?
N.ppP
N^ppN u^ Y
oo.O1
1^ aK N Y1
rNr11J W 1I(
^rNPV
^ Kp7[
^NNyJ
f1NW^
0.p1 ^' rur+.1
NLL n p' DM L6 ulPN4 4 '
m.+W
r: NN OmO 01NG ^mJ RY P1 tlNn N10'Nf PNp01LL 01
N f I N r • D N a a I C f s 0 ¢ Y 1 N 17 C aa
r n u N N r NCY c C n tl r a N 1
aO CC P P C a u
Y u n I n 0. C u a C r a N r P C C N r I u a r I N r a tl P C N an C r O N o' 0 4 0 n 0 u• r 3 tl P P
O N u n W a N P M L N Nm
aLL¢ N Y S P 0 V1 m p C O` H N a' I N H -' N N 1!1 L^ m tl m 10 Y O N m M N N
1 P D r w r N P r f W U1 a [•" h h P r G N u O h P 1A P N a m O N r i O N m N U1 N O M N PNO'P N P N T
N O U; N P N N N r N n r N P¢ N m 0 N a r N N O M N u: N 10 O N .0 N P 01 1f i(1 a T s N P N r 1( N 1p O 01 N 10
^1Ipp„LLP4I L NNN NIL C W .'
AI1LCn Pu CN' L P mI PN.1 N
aoa r NYt LL• n C'
yr CaN.( 0'Nm (O4ILWINC.ap1 D^Nym
yO1••^nFN- C I A 1rvO h r O N1p 'f 3 / G / r Op 10 N a rP. 300` yeti W d®MCON S W O WNO l
+I O1^rCr Np one r ^pA
n N^(n^(''M .C n N
ooO N P
(r(
.. .. 0pp'`• N N N F
Y^ P T 1f`
pN' ^Y+ O
1 /N
C" ^Op1p .4 1!1 m r^^i N
1NpN N
pop 1Cp
PSr•m' 1r N
PyL N P 171 r Q S N 1C[^1
N
LL PO.¢+u'8 N171W a0 ,iC 0'•a rr1N ¢ Tm^ Y Sa 1 Q'O `IQr m syy0i
''..fv G.4 Y Y101O10t
f-W*I.PCN
N M.O P nN
^]O D .m0 OW 10(` m a` 0' OY' ^C. h r r y ^' O N= U r N N 1C N a 0 N NP ! n
* T 1r' e J S 4 C % .00 P Nf N W h tl W O O
Mu; s a N u'1rN a 4n Psa ¢ mvln¢r P¢m'Oa, NNr ' m =Nr l t-
.^ a [r[yy
¢ o[L^ .Op e
Ie N[u[.^N
a n.. ne n^(C•
^1jN PdY Uy. Y Mm GNp
1C 1 nWNr^ (.^ ^y
0` ONG 'J"Oa,
01^Np 1P^
Wu`epnr ^rpnNN
W Y^yyC
``
r } 7.cc
•1 !.PO IV .Ni J N F gN. P Ah r.O rf
1
r
[ cNc P 1Aa
[A[1^1f
P1AM6 •O' ri'9 11+yfO^O.ni
11 (0(111 .710r N, 1088 •^
N C' J J 0 4 C d' n r n LL q: 4 u N Y T P N s N a N 1f N G .N•+ N LL LLT4 N A 6 4 M O' N O v. O U '^^ d N S m N N
n N N N u ^r1. C'p W p^ N N LL N ►, s N h O m Y N N N N M m S Y N n N h 10A
S, Y Y P 1 P N Y O p 1p 01 N
. 0 41 . 0 O rv N O L a N N W lC W n N M u W 0 N W W N 01 N N 1C L ti P W s d 1L N N S1 O N N F N Y\ 10
N u h N N N .O LL 4 G W Y N W P s Y M1 u W n y P h 4 N; P N W N 4 0' yO' N M Y u^ W M" vu^^ rSf'aN
+?pC
yr1r r N.N'
n aFn 6 v^ 7r^O C.Oi ['i^ ^+^--°Cn NCNB ^ (r'^w^^C^3br nJ A757F. 1f v, ^1rr!.
mNW W
r IL1.C.N. C% It 0' NCitO^rr-C NN S tN O .r.c: RmC a'C'a G3: 81^c ^C NtCa CCit'erNP N'^ N mrv .ON ! N N YN P.0 N nN Y10 N W u' N PNUJ PN IOON aOrv U10O'104
MO0m M N .so
0 n 0 S m N N N .D W .D W N N X 3 h h M 7 N N O h N P P N u W O m N W s m00O!
u) N: N P N a .C IC ^O N J Y .+ N Y N a r N -.O m u N 1f N u' N C' N 'O h i d M N .( N Y ! N N pp N
n LL O` Y n .. _ N LL O • W a u 4 N a s ul C '[ LL u s N P LL .G. C Y. D a r O • C ol u+ P N n' N r N M m N
P J •^ m^ N l .O T T n n m m m W r .O .4 u1 N .O n m N n M N N N m .D N N m^ T W YI N m N W a IWNul
N! S
N J1 7 N W 0^ M r N .G n O N U' a P m W M M r N N N ry J M h M O W N S M a W S N 1 ut n O w .•' m M J U1 N
C C ; ,' . LL LL Y i T C a s .C a s N. ¢ R N .. Y r P 1C a
•,' 0 h 11 N Y N n "' N n M1 .-N d '•' I Y Y• Y• N
N C N r'. u u D a u 0 0 u O LL N = 1 a O r. 3 P u ^ N a U .' u N 0 0 0 Y Y r r Y J^ r. P l Y N a
•rt u: P •(, LL' N I. a K r O' a N LL N Y P h .•• .0 N C .. J •' N N a^ Y h. N v ^_ h a M' r. Y. P Y P d
r.
p
N N N .7' u N F a- J u Y h r -] '4. P P C.^a(m " N N R N =..
I1a IC LL .C
uCN a 0 J 1 UI 0` Y u
C u a r u u '.P
a f a n C' LL .0.^ C , ur r LL
a 0 O r h u N r C u A` 1.' u J 10 0 r'
y Y r N W s a u 7 S P N a'. 1^ O M a P N P m m c N S h r r Q• P 1 r N N LL n 10 10 N T N n O N N N
u' J .' J O u N C u. N O • u, O, P u . O J' N a N . • h .r h h s N 1 h a n' N U. 1 Y' •"` / h n N J.
r- r- a d LL LL Fv u N r Y' ttf^ p ^ r w O '. ^ 1^ i w r N LL 0 u ~^ a J c ^ a I- ¢%^ a a a ^ . R r u 1K N r P n• W u.
Y r N N- T
LL
N r r a d r- P a' n LL T N . N n .' N¢ d r N ^i m a -' 0 `_ y+ N r - N m I M N N N
,1. N M 0 R- . s u' o o• ,\ M - h .. N N P r. N S n v , J N .0 'J N^ S N^ LL N N N N N N
/J+ o+yN^ ,arP nNInNN^n rKEpn^.^ rrNnnn^n n. ^IgNMMn.+^rNNYa n N a r R . n r N 0 ." N .• ut (' R N u N N u N a . Y D r Y .'' N P N P N
a m P M .O T M ul N N .O N Nm
Y T, h n D a C T N P u' '] P n n N N N J u1 N T N Y N N M N N m O .0 !
J
u W N N .^1 r a N u M N N N D .r' .O 1 u N u w N N O' M n . J O
N
m N N J N a COI J
a 0 P v O C r• 1, r a Y a N u' P N u v C r
ra Y N C 0 a u f r N N P a r O C N O N N P P r r n N N C' Y' O
o f ,C N 0 0 N N u N 0 u tl 3 a 0 u .• C n u O r J u' LL N N N N u N 0 01 I Y I u
wn M r GG a r
U Uv U_I r h r M N ` u N u rt s u ' N u` m N NI N O a C' N N T Y r r p • S N P
N N S C O 1: a. u N 3 ...1 C U a u r N N N 0 ' O' 4 N W' Ci O G m P ! 3 S N u1 n M M O 0' 1 0' tl L 0
s N a N N a Nr
0' m.' U .y N a N N N a O N N N .d N N N N C r N N N 'l u' m N 01 N! P P P N T N 1 M
n N N o a C .^ u• N v N N .+ Z h u .: N u r N r u r N 0
NLL N
LLW N W ! N a1 N
N
N L O
O N 'J a N _ 0 .-1 , .f r! •, •I a s .r n r N N ' 0 N.4 1n N n 1 N T .y N P •] 0'
0 C'. r l N u . > 0 N M u' O .O O 0 u1 N N r
NI N C Q i 'J-. 0 a N 4 u, P u n O' CI'
0 0 .^ O N .f (f o
~'C P Y . J r e s a O N N O W N C.
' N N '+ G o N C v C r : G r u N G N N N N r u! N
- u .^ J' v M
N
H -.. M M .y N N M N Y' f' N N C Y u1 J .r T M U - . ^ 7 J •C .- 1 'J .0 •C u ` N u1 .D N .D N u` 1T J O J
f M al J^ ! .^ If N +' N H f W ^' M O O
0
1 N .O N T r !` 1 J ul u1 u' . J i .r W a J M a T NH0M W! N> N
Y y G G Y N U a C a N N u ' 'r J. P n 1 N r. a rr r J a O M r .f J D` a a O C O N M w N a W M nJ r1 u.
n 0 a. N S
a
O u N a O R ti 1 N d u - u N O S .^• .' a .^ O. u u` .. P .' ry M1 N a h a O N n P W O' P
M O: u 1,u'. N N .0 -.. ,, r J u r 4' .O T N M ,, J 1 W 0 J W
M
'] .0 •" N T n N T N P N
N
Nm~
u)M
3 a N 0 a N N N a 0 in 1 N u^ N rl m N C
a s 1." r fu N f a 1 o ^ N m [J 0 ." f r f. 1 - 'f u N ." C r 0 C a N P N .(' N r C
r 1 c ,. _ C .+ N r. r .+ r 0 S u C u G N '(. C u Q O G T
^vu'nanv .[ 1.. r11 ar' ^ fry[-r. N.rr.n f . r ¢.On ^1 m[^ ¢ a rTNNNa/0Nf^NnNp
Fig. 2 . El nombre primer mfs gran que es coneix: M19937=2 19937_1.
EIS NOMBRF:S PRIMERS 33
p 172,179,181,197,233,239 173,191,193,211,223,229,251 1 199,227,257
Mp
factoritzat del tot cofactor compost compost, cap factorconegut
Taula 1 (font Brillhart, Lehmer, Selfridge)
p s4 5, 6,7 10',11,12 *,19,^-2,33 9'13 , 15,16,18 , 21, 8,14 17,20,22,23,25, 26,27 , 32,36 , 24,28,29,39,42 , 52,55 , 58,63 , 31, etc.;3,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250 , 267,263,284,316 , 452,1945
F primer factoritzat 2 6 4* factors compost; es coneix com- ?(2 factors ccneguts un factor ; + = co- postconeguts ) factor compost no es
coneixcapfactor
Taula 2 (font Hallyburton, Brillhart)
x J1(x) x/n(x).
10 4 2.5
102 25 4.0
103 168 6.0
104 1229 8.1
105 9592 10.4----------- -
106 78498 12.7
107 664579 15.0
108 5761455 17.4
109 50847534 19.7
1010 455052512 22.0
Taula 3 (font Zagier)
[155]
LL. R n R P W N C` M N^ r'R r U` (^ N N! ti n r N ^^
r Hr titer PNP. ro m L r aP.n u; s NT u'0'
P. y N r N R '^ rC u r' N N r O` r a
P j Y N .Q a . f.NHNr v Y P LL u LL.-N ^LL C
T' r(' = a -' N N O V Y i
SO Z^
Taon
a -' r .. a r+ maou ' rrnTM.. .ra Hr a
T a¢ O u' N O. u` r n .. h n W N T r. r0 rc T .l N W r
a rT m n a' N h m rC n rv H m rO m W S rn W r ` n N N J1 a r
r s^ H N^Nhunn r .t amnm + r^^h.
N c rc rh-u.
a• ^ v„ o• a n r, o a. o u c• m n u c c r
mrv u: r - r. m a, r m P ^ .u-
r P m m .. m -.mo^..LL aNar,.E :.. rc Nr.n laarn^rar ^raa Nra u`in ^.r .+ a
n.a. °.h r"r ramM`
N_CYauPTnoham'r s rc r'
n:c LLr LLr ,. ^r
. r r: c r .f c Y. r a .y- sr^O M C
m
C H'I
a, U) C n H m y Y a a N T N m r. a" a
A N T W P O ui U m r^ .O Nc
a N m N^ W ^O r0 a
¢ N LL 0 rG O R n h u' Y LL
! N A Yn u N h
rt N n Y` n h m n P r T h r] r^ n n r r. n h tO n W u' 0
Y O' h¢ r N O h u P N N ¢ r LL h P N¢ Y m N h 0
N T
'
h a N r0 m r ¢• a r O mar , N T t r u- 'O cO N T P u
T h .. T N N ^, T .r h '^r H .+ a h
n¢~ c N C
N a N ^+ m m m O N Y'. h .+ r' r N 1D V' IC T N
wLL
P T O m T r^ a N r U •, m a ^ r mr
a a .^ .' Or
r
mnn h Hh .rrONNhhN
vCI a Nu' N a h O
O~ irO n C N a Oro T O N G mT
Nm u. TNOmH n ^` m,0 a a
nNr. T u• h TrC r h.rm^n PN r nr a a a TN.r c. ..N
h m r O .ri C^ rL C C
~
P ah^
W
Y r, a r•
0
T N 0
r R h a v O I u t v n v t m . t¢ N
r
s e a a,'' r
^ C r n r h 0¢ O V N P r ¢'Y" ^ C r N 1 Y r C V¢. r Y
a 10 O T^ T r^ 7 T LL H N h^. R N n V) 1n T .^ .+ Y r0 n N^
rO H n h n C LLl .+ i a M m N .^ N N h ¢ u N a .+ m^ i
CN.'7r0 .^e a P T m.0¢h V'h P Nm.y .+^i )0 o m
m M r O3
h OW N O C ONCOr
(Nr.^r
S P h,' CC w CC r M¢ h r _
ern Thrr Nr! LL u.n m COO^p N
.P+NTa1 LLrb .110 NP'l a
N T rG P u • 5 H N P N r0 T rh+ N 0 h N N r(` C .^ n h r _ T N u
COO' HNP a mn HIOHTn r ^r t' h r r^ t
r.r" rra 1 am -a Tr.N..arr « NO0fl I• to d.
rfl S= }wu10 0'N n
n.r N ^N'^,n''- P m Jn 3r0m NN
T Ilh NUr^ a :i a¢, 'Y ^'
m8^8^9.°: .acr`^+RA^41G^^ "oXSM$^3sA_rC rr ^3^T , ^nm Ta.rN r P..H.. ,r ...N ^h1 en N rr Rmrrcma ¢ s.'u'N-wv^ ^
iR2nSg'^r^Nr3T^^ahnn ^.ry c^v^ravg3
N 10 m ^^ pp T N h .r h N O + N a N H a i¢ ¢` T N n aONu7 N h NT 0 O a 1 Y7Y'
PH H O Nh T nn SnN LLY
.rrOHN a NNNN r U)a Nn^'a OTH..N s :M ThorY` a7.r u` n ..Nn = mTNrOLLn NrC a '+ n u Y mN
h N rLL
/. l^ w rp N 7 h h N 1u^' rP+
cT ' Cyr r a /.py
Or .m+ m
r u ra- ¢px r n Y .' r O 1^ S u a: V' n ¢ R F C V,
a 7 h N m h H h N^ rC N a N T '-O T H^ r0 rD n a W .+ rp H
n nw.r m = a a.n s h wmrO ron ,O aHH.rN J+7a a.0'
h N N. t' `
N N P. m m r. ro Co N h a a N h T n rO N N
rcNh n e. W ^hN Y. N N)C' ^ viTh0Nr N.'"Nr
h ^ n T ..r N ] Jt a r0 h N ^ r .O ^ ^ ^ N rD u` H H .
W ut
1n
a m rn 0' H n S .D C C a_ N ,0 N .. S N* m r0
nvv^navo v a - ^or.3 Nano u¢.^o -^ ru t
¢r
1 4 11 -t NNNa .+N ar NRRN ti a^: a i^•v`rrrv n a orcNN,. ^ o^NN.^^u o r,hN r, ur. nC r-u n '-^vn n r vsm N a r .^u r o^ a C ¢ a r Y r r. ^ r'. 3¢ r r ^ P P
Pipaah .rrm^ut arr.e r r o•m^MUr <uarn Y u u . a n P a a .' r. - r o'
r^ a t o' C n a a . R c: aY
a rr-^-.r nM arvv nr h v RM
P7^rna acC. .Sr\ PCC . N IC S*P a'+ Y _ - ^fn rc^r`ra Na emaNna rr u. a-' rrr -O.r Ly ar ¢^ ^ TNR Y 1u1 J J n! hNn hN" n.rr a
v .r r0 .n N R .. C. a a 7 a
rC r r[ N O N v c a n e N R N r C M n S N 0 .Z u
. r u N u o o c r r o r r^ a ^ a c o -
^+ .^..vNM1 `'rt a. ^n• rnpfv-^
^n N Nit?.. 3 icon r: a -
N O r`P N N
a 1 A r- - K a C rr ' ^r r.rC
t n r Y
r. O C r R n = ,n .-r O 'r
N a Y LL^ O r C' a Y Y N)/ . a n C NY rtP n ~r'r - .-c a s c c rrr N a r a n o t T v na n u r. n n ur N n V 7 n ^ V v V r.rna r n4Cu r: ♦. ..no r..
a Na r c a NN u`a ^ - r-r.. C .ne5 n a.+'Nranu'o•v` V r0uno j^^ N v J
N
Cr'r
Fig. 3. Primeres i darreres xifres del nombre de Fermat F.7=2' +1. Ocupa 6 fulls d'.
tiOi Y .1mr ^7 PP YH.y n ION rm^^IOrte r^^NNO
^m •., '" ¢ n aY, rN+n un s N^f r^i •^INn
sS
a m
uLLa Pmm P.D .+na r.Nm mrnC.trrr
0r
.err .^ Gr naa
p.c. mo^rrP
M Y r ! r P n W h ti G a7: P Z E F1 •L rv M yrj .N.•, 10
O i n N ^^ P 0) N N P NNmC
. 0.0HN +d a N P N ^0 I. f^
m P P M
3
m P m Si N r
m.0 n I O N i r V
^
r Y P Y •O i i m H i m Y N Yl N l0 •+ .O N m M my .O N ur J m ^_+ r m .^ Y 0` N N P .0 n M H J r^ f Yp
JmPr N. C r i r PN Y Pa .. r rrY r (..nNIO
u r P N r r •C P a t ^• N .• r 0' r
yy
{I^ u'1 P
y
ny P r m
rurN PaNM0 N tl.0+^g..Y tN N. +NS IV
N .o I a r r N M O a r. r M N at n y1 N N N r r N m rl y1a aO .n W M m P f J ^O N 1C /^ N Y r•> 0` r r •A. G M^ M p1 N
C•NP.+m r.0 ^.. p rrr G i i0 Prr nNPr.nN.. Y: r' r N S LL N M N r u. ^ n N r..O N I N N P' N P
i/ r C' ^' i P a r n 7 i N i t r t N n r r r N rO
.r 0• N r) ..^ 0 .1 J N ii .. a n t m P J1 H O .O D Ip D
,NN.t a r Mn a a'•! pr^O N NNPOPSN.ra Ia t 0 n N 0' P N r tin O n P N r r n n; N/._ Yr ru .+i.-au rrr t irY:N C'r Ja rNN 9N,t^N.O
a n .. r. P r a r P r P N P N n C O r .t N, I M
.t N .t m r P P .O .O 4: m O N m i+` C¢ r
r .gym N Q i f N N M .O H r r M K. N N .1 r P .O Ar- O P .r .' N N N Y. a 10 N P O p m 01
r• n r CO n P N n Y
n
^) Y` .> m V' r P t i N m .•1 10 10r.CC N u'rr PN '1 Q Pa P 0 H QNON.jn
N N a. N t i t a i N .t P r' uJ n m ...O ul u S n n / r^ .1
.ON it n n .rn 1 0'mn nnN r n to / YO IiC Y h t .C W O r d 7 P u- rt• O N M O r O N (tO .,
W N a N
It~ •O S^ P N
u N r N C O .Pi a r
lr
C N
f n r n r i 0 .r 0 4 f` P r I t P_' . O K r K r N ^' r
0 a e i ^ 1 r r 1. r r n Y c N G n r LL r LL N
^ vt r.1 .+a P N i ^"n rPr LL.r a r ^PN NNN w.1ra N rt r H m PN.. .+PN r5P m^rrr 10r N
nN a.aP V 0" N... (S 0') ClEit m10)Si^ceo9m
N N N .. .N^ '•W'1 P N 0 r l N n1pp0 Gr^pp
i100 N
N N P P
p
M P{50`
.. IOn P^ o rni ai.^yppl`•^
^ PIn ^.pO m^ Y1rfop a^rtit }^^rpyn
G
P .P• a .r T .O ^ N P ,0 a O^ 0)N N N Si .O N O' P .l N C
.t NU Pn00-N Nrm Slitm a.OMNOr Nm1Ohcmr..Nn a-r o NN P ^ a11ca rrr Pmf.L
CMdA7a^
O a n M1S o' ^ ^ n M 0`:• g r J. ^ ^ r u ^rP• it ^ ^
P_,r_S^. ^PnNlCiiC.N.Nn _e NWi,rN cm•RCi.m.NN tNNm..1P.O-N NON T i m.+ Nr0H 5Nrl4NH NPnr JY u^ r mm Nrlc .0r QO`n rMN ND^Cmm
J ^ @ ^ n h ^ p^p 1r0 u^. .CfppV
••p0p'. ^ N
^.t+j
r±f^ 1^1 n m rPi y
^^^^
a 4.^.^ ^ V ^FLL r X N NrOlf a O C R".N.y r OlinNJ1n m r IOr J N r 10N .1 I.r.+..INNN r
P Y
O
^• n N P m J r y .^ J P .O r M .O m m m N Nn•r^^ nr.t ..r NNmr4H r ,0 .+r a /Y r u: N 1P lL N Y' N 0 n r a r r I Ny . H 5 .. ifl O
J`3h .O it -NM'-_'n n mN- 1 ^NP 5) -N MN N^Ny y n It u' r^
a r O a 0 ..a...r a N^,C ^8'arr n.ntr C rN r •.ar
u,r1O ^^•-mn,ty ,r.+s tQ.-TN^rN.. ^. o•NY 0 i` Nr N,qO N 'r•c S._ o
it¢tI Oita, mN
N r-"N n r i Y ...tt N NP.(^ mLL' mrNN4 PmC.lit C ^N t SP Nr .t •^Q , P Prnr-t r PPO`
rY
r^ Y
San Cc.- u. m e iit .S r n 0
au rf rroPn'va _ u -.5) 0' ?• 1Na Y ' CMm a Mnn
Q n u n Ni.N
^u 0' u^ h LL N ^. m{.{(^•(11r K, C M S .O N
ss rr ^^1' m m_
y ~r .J m.1M.r J N mJ N-^iNrv NJOi ..N 0 r .
^m a F` nt rNr.q CN N.On
e n O i 00
d .r
~C P .•
LLu O M N G
aryS t
rN.^.n^ F •O" ^ 4 J CN
.a.y1 0' `J u 0 O N O
sns o fa rI.V WO' Or
a .r: a N r ' n H n ..^ , r+ O Y P .•1 N N' r O' i 4 .•i r I O.t r t .1 r H Y'' r, W .O n I r .O i N ,O a m rY `o r- H n o J O. Y> m O P r n i,. o f .n m M .o_ = a O r' ..r,u a ..N .+ a' a N Or'n r y G n
,r c a r a i r N c N Y r m r' P 1; r r P r N.5 i -10.Y n 0Nu rn m vM S NNmr i mr.um.O
r Oa iN Au.NNN .4 a.r Ha ,n SOrn n.0.. o y` r r CC H P .r r` 0 • N m r• f Y• O n n nn Y .. C V' P-o Oen tart a rP n NQ0.rr1.4Nat
^n0 a P .OJm a 4O.O.J.'+ OOPPO i O r N O M N N n A 1..
n'mc 0 ^o u ' c^ 4LL OI4 rm .1 .N.r ..rDNmI i n.r N site rr0 r O e Ho`w+Pr ILLo r .. r,dn
ssora . Es el mes petit d'aquests nombres del que no se sap si es primer o compost.
36 CARl.1'S S1JIu
Naturalment
M is <:_._ M i rpP-I p p-1
19937 quadrats de nombres d'unes 6000 xifres permeten de decidir que M19937es primer.
Teorema: Tot divisor primer de F. per a n mes gran que 1 es de la forma
2n}2 k+ 1.
Per a n = 8 s'ha provat fins k _<. 1542455295; per a n = 14,
k < 792008372, i per a n = 17, k _< 16777215.Teorema (Proth):
Fn 6P
<=" F 13(F,,-1)/2 +1 n'I,
Pensem, per , que per a F17 caldria quadrat i fer modul respecte a Fn, 131072nombres d ' unes 40000 xifres.
Corn se sap que F1945 es compost? 217 k + 1 es compost per a k < 5.Sigui
m21947 k + 1
i t la resta de dividir t entre m. Fern
rl =4
Vegem que
rk+l = t-k
km 122
- rk
per inducci6. Per a k = 1 es cert. Si ho es per a un cert k, tenim
2k+1 2m12 - rk
Zk+1_-> m 2 - rk+l 1945-r1945-1
Llavors nomes cal veure si r1945 + 1 es divisible per m (1944 quadrats i re•sidus de nombres de 587 xifres corn a maxim). Certament es divisible sik = 5 =;:^-F1945 to per divisor menor 5 X 2"" + 1. Pel que fa al divisor mesgran se cap per a F. es molt mes gran que m X 2m.
[156]
EI.S :1'OMI3RES PR1,1IER.S 37
Per a nombres qualssevol no es tan facil de trobar-ne els factors (decidirsi son primers es relativament mds facil). Tot metode (com el trivial) que im-pliqui 0 ( d n) operations no es considerat com a tal i cal descartar-lo. Calenmetodes 0 (n'/3) o millors.
Els ^mds usats es basen: en representacions de )cn (X 1,2) corn
21n=x -I) y2
amb D1, ±2, ±3, ±6, (n,6) = 1. (D. i E. Lehmer) i 2 representacionsde ))n d'aquesta forma (sempre existeixen amb ).,D adequats) donen la fac-toritzacio de n; en representacions en fraccio continua de V n o V kn per aun k > I escaient, metode que amb un 360/91 factoritza, com a terme mitja,nombres de 20 xifres en 6 segons i de 40 en 1 hora; en aprofitar factoritza-cions completes o parcials de
n-1, n+1, n2+1, n2 ± n+1.
Sembla que la cota actual es la factoritzacio d'un nombre qualsevol de 50xifres .Lehmer ha construIt dispositius electronics per a fer certs bucles ogarbells en alguns dels metodes de factoritzacio . L'ultim, el SRS-181, potprocessar 20 milions de nombres per segon ! Un metode degut a D. Shanksi encara no implementat assegura factorizacio en 0 (n' /°) operations . Existei-xen abundants taules de factoritzacions de nombres dels tipus
lOp'-1 , 2l'`1 , 2`1'"P+1 , 22p-1 ± 2p+1 , etc.
D'altres questions encara no resoltes son per exemple , si hi ha infinitsprimers del tipus nz + k, k fix ( Bouniakowsky conjecture que si
f(x) = Z alxl E 71[x-] , m.c . d. (f(x)) = N # 0
X e a
Ilavors f (x)/N cs primer per a infinits valors x (= N), o hC' si sempre hi ha unprimer a ( n2, n' +n ). Sc sap que
d7/12+:e> 0 x0 dx> x0 , [x,x+x 1 0
Mds endavant tornarem a aquesta giiestio.Una classificacio molt important dels primers ds la relacionada amb l'a-
nomenat 61tim teorema de Fermat: 1'equaci6 diofantina
xi1+ Y n=zn
[157]
3^8 CABLES SIM6
no to cap solucio nines mes gran de 2. Evidentment nomes cal demostrar-ho
per a valors de n primers. Kummer, en les seves recerques sabre el prable-
ma, introdui les nocions de primers regulars i irregulars, que no detallom. Di-
guem nomes que Kummer prava el teorema de Fermat per als ,primers re-
gulars. Dintre els primers menors de 100, sots 37, 59 i 67 son irregulars.
SigrtinnT
2n
B^^' c ^2n
els nombres de Bernoulli (definits mes endavant), p un primer mes gran de2. Es diu index d'irregularitat de p a
irr(p) _ #{k? 0^2k < p-3 i P^^2k^^
Els ,primers regulars es caracteritzen perque irr(p) = 0.
Se sap que hi ha infinits primers irregulars, pero cncara na ha estat de-
mostrat que n'hi hagi infinits de regulars. Les experiencies numeriques sem-
blen afavorir la conjectura segons la qual 1'index d'irregularitat segueix una
distribucio de Poisson de ^parametre 1/2. Per als primers irregulars Galen
altres procediments per a pravar el T. de Fermat. Diguem, pero, que en
1'actualitat esta demostrat que es cert per a tots els primers <100000.
La famosa conjectura de Goldbach: tot parell mes gran o igual yue 4
es suma de dos primers, cncara resta oberta. Ha estat verificada fins a 2u.
Se sap que tot nombre prow gran es soma de com a maxim 18 primers. Si
n es un senar mes gran de 3'15, podem baixar a 3 primers (Vinogradov, 1937),
cncara que sembla que aixo es cert per a tot senar mes gran de 5. Per als
parells ^prou grans hom pot escriure n = p-1-p,pz (Chen Jing Run, 1966), amb
p,, pi, pa primers. Hi ha constants electives, C, S > 0 tals Que
($$ =cardinal).Si v:(n) es el nombre de rcpresentacions d'un parell n a^.m
2 primers, consideracions heuristiyucs porten a
, nl! 9+9 } =7 ECX) < cxI-b
VzCn)~Aoi'^
p>2,91,I^'
a soma do
[158]
FLS NOMBRES PRI^fER.S
on
p>2
I)iguem
v (n) ^ ^ 1
r r
p.=n^PiEJi
i=1
I,a conjectura de Gold^baeh s'escriu
v
2
39
[1n teorema mes general que els de Vinogradov es: Sir >_ 3, n ^ r (mod 2),llavors
r-1 nr-llr. nv (n) = G (n) + 0r r (Zrt n)r (Zn n)r+1
n 2 1
G,{n) es una funcio aritmetica complicada, pero
0 < liCN) < C^CN) < CzCn) < ta, .
Una pregunta no contestada inversa a la de Goldbach es si tot parell es di-ferencia de 2 primers. Pero ja sabem que un boig pot fer una pregunta queun milio de savis no podran contestar.
Abans de ;passar al t.n.p. diguem, per a acabar la miscel^lania, que son elsprimers truncables. Un primer es diu truncable per la dreta si traient les se-ver xifres una a una per la dreta sempre tenim primers. fdem per 1'esquerra.F,ls mes 1largs en base 10 son 73939133 per la dreta i 357686312646216567629137 per 1'esquera. Exercici: trobeu-los en d'altres bases.
Despres de tot aixb que hem dit, sembla que els primers surten com vo-len i que no hi ha llei que pugui dir res sobre ells. Aixo no es veritat, sinoque a grans trets segueixen fidelment vna llei, encara que hi hagi irregula-ritat en els detalls. Sigui
^cX) = a {p e p, P <X} .
Si no ens agrada el salt de ^ en els primers , podem fer gy(p ) _ ^(p-e) ^- 1 /2
[159}
40 CARLES SIM6
per PEE amb que t queda mes simetrica. Per a elaborar taules de 7t nomescal un metode de garbellar. (En realitat es posible d'obtenir n(x) sense calculardirectament els primers ). La figura 4 mostra part d'una taula de n(x) ambpas de la x de 80000.
Si mirem la taula 3, el creixement regular de x1-n(x) amb un incrementde 2.3 quan x es multiplica per 10 fa sospitar una llei com
x/Tr(x) ,. Zn x .
El primer resultat en aquesta direccio es degut a Chebyshev qui, el 1815,prova que
x>r( < B x Si x > X, on A = A(x ) , B = B(x )
A in x =x)
= in x 0 0 0
Si xo = 30, puc agafar
21/2 31/3 51/5A = Z n
301/30= 0.921 B A = 1 . 105=
5
Una demostracio senzilla amb A i B pitjors es:
nTr (2n)-n(n) < II P <(12n1 < 22n
_..(2n) -Ti(t) < 1.39
S i suposo
tinc
n
In n,t(n) < 1 7
r(2n) < 3.09n
n< 1.7 Z2 2n
si n > 1020.
D'altra banda
T(2n+1) < n(2n)+1 < 3.09
si n > 1200. Com que
n<p<2n
n1 1 • 7
In n n (2n+1 )
n = 1 2 0 0 : 2 3 9 9 _> ii ( n ) < 1 . 7n-
,rr n
[160]
ELS NOMBRE.S PRIMERS
la formula es valida per a tot n mes gran o igual que 1200.
Per la cota inferior, sigui
P e , P P
Com que
vP
P
vP+1
nIIkl
l /l^ r, nCC
n, p_j
(( 11 1
1 _
i=1 LP1J CP 1)
k 11
i cada termc de la suma es mes petit o igual que 1, p"P < n. Llavors
11 p
P < n
< nIT (n)
2n = n (knj-
(n+1) n n(n)
k=0
2 n( +1)2I - r. >n_(n) > n n Si n > 200= Znn zn 3 , n
Es mostra tambe que
Pp >nInn,VneN , 1imn
n
III -n n
41
(Un raonament heuristic envers el t.n. p.: Si f es ]a densitat i hi ha «inde-pendencia>> entre els deferents primers,
f (x)
Derivant
x x11 ; In f (x) f x f (p) , j a que
2 Pa
f ,f = X f = In x
com voliem.)A mes de la funcio it(x), Chebyshev introduf
11 (x) =k
n(x1/k) =
L
C v
k> l pv<x
Z rt ^-1P
0 (x) ^ In p -
p<x
1
P
[161]
99421841 99425386 99429281 99432996 9943672
99459270 99462932 99466666 99470386 9947410
99496517 99500247 99503994 99507738 9951150
99533699 99537433 99541218 99544965 9954863
99570986 99574710 99578450 99582155 9958594
II(202968E4 ) = 99608336 99612074 99615782 99619492 9962316
99645589 99649310 99653025 99656726 9966045
99682970 99686553 99690321 99694061 9969781
99720250 99723948 99727721 99731471 9973519
99757623 99761366 99765074 99768786 9977254
99794952 99798702 99802426 99806152 9980996
99832482 99836261 99840042 99843723 9984749
99869784 99873576 99877206 99880929 9988465
99907068 99910819 99914481 99918214 9992194
99944328 99948063 99951745 99955514 9995919
n(203768E4 ) = 99981595 99985302 99989073 99992746 9999642
100018818 100022546 100026345 100030038 10003377
100056265 100060002 100063755 100067515 10007120
100093551 100097313 100101049 100104727 10010844
100130822 1.00134520 100138333 100141992 10014570
100168011 100171776 100175525 100179195 10018288
100205243 100209004 100212701 100216384 10022013
100242717 100246493 100250230 100254003 10025770
100280052 100233817 100287592 100291302 10029500
100317419 100321154 100324883 100328624 10033235
n(204568E4) = 100354858 100358588 100362314 100366046 10036971
100392045 100395821 100399616 100403293 10040708
100429493 100433174 100436927 100440614 10044435
100466656 100470317 100474087 100477841 10048156
100503972 100507754 100511450 100515174 10051885
Fig. 4. Part d' una taula de valors de la fun(
99440506 99444234 99448036 99451775 99455491
99477848 99481599 99485379 99489101 99492818
99515162 99518913 99522645 99526358 99529988
99552388 99556077 99559804 99563479 99567249
99589653 99593362 99597068 99600815 99604543
99626889 99630632 99634361 99638086 99641821 = 11(2030400000)99664236 99668092 99671810 99675485 99679228
99701507 99705254 99709010 99712753 99716564
99738986 99742744 99746442 99750206 99753934
99776246 99779953 99783730 99787435 99791227
99813692 99817459 99821229 99825009 99828768
99851236 99854917 99858675 99862430 99866076
99888419 99892183 99895921 99899574 9990328599925664 99929401 99933142 99936851 9994055399962961 99966604 99970314 99974079 9997784400000237 100003974 100007677 100011441 100015163 = 11(2038400000)000.7568 100041289 100045028 100048740 10005252200074907 100078643 100082416 100086166 10008987100112187 100115932 100119666 100123389 10012713900149482 100153159 100156885 100160571 100164291)0186570 100190331 100194024 100197711 100201460)0223982 100227774 100231494 100235231 100238964)0261441 100265111 100268848 100272571 100276311)0298780 100302526 100306266 100309986 100313677)0336100 100339781 100343596 100347349 100351073)0373460 100377178 100380907 100384667 100388339 = 11(2046400000))0410782 100414476 100418207 100421938 100425741)0448043 100451812 100455510 100459223 100462916)0485307 100489055 100492800 100496483 100500207)0522603 100526371 100530126 100533904 100537667a intervals de 80000 numet+os.
44 CAKLLS SIAfcS
In del producte de tots els primers Ames petits o iguals que x, i
W(x) _ ^ E3(xl/k) _
k^l
1 n del m . c.m. de tots els Hombres mes petits o iguals que x.
Si certament x/In x aproxima 1s(x) i, de fet Terror relatiu tendeix a zero
si x tendeix a 1'infinit , Gauss, intuint que la «densitat de pri^mers » ^prap del
valor x es 1 /^ln x, digue que n era mes ben representada pel logaritme integral
= fx^t
Li(x)Zn t0 '^°^=i!:c5+1^2'
valor principal de Cauchy . Si dibuixem mi(x) i Li ( x) per x < 10^ es impossible
de distingir Puna grafica de 1'altra a simple vista, ja que la diferencia ma-
xima es de 1'ordre de 130 per x == IOh. Tenim
(.'^^ x)
nil
six > 1. y es la constant d'Euler-Masoheroni =
lim
n^^
( 1 _
kZ^tn) _ .577:156649
k>1
Encara que es mes dificil de calcular que que es coneix amb 2'^ obits), hom
to ja y amb mes de 20000 decimals.
Una millor aproximacio s'abte posant
d'on
_.(x) C u(k) Li(xl/k) =Li(x) - 1 Li(xl/=) - I Li(xl/3) _ i-Li(xl/5) + 1 Li(xl/6)..L kL 3 5 6
k>1
k(x) ,
com va fer Riemann . La taula 4 mostra la bona coincidencia entre ^c( x) i R(x)
Les diferencies Li-^t i R-•n presenten oscil^lacions petites ( relativament) perm
(164]
I:LS NOMBRF' I'RIlIERS .15
x (x) L1(x)- 11(x) R(x)-2(x) x n(x) Li (x)-fl (x) R (x)-1i(x)
108 5761455 754 97 13.108 65228333 2560 563
2.108 11078937 1038 153 14.108 69985473 2088 25
3.108 16252325 1084 30 15.108 74726528 1580 -546
4.108 21336326 1052 -141 16.108 79451833 1876 -312
5.108 26355867 965 -350 17.108 84163019 2365 118- -- - ------ - -- -- - - - - - - -----6.108 31324703 1342 -81 13.108 88862422 1607 -697
7.108 36252931 1311 -212 19.108 93547928 2505 146
8.108 41146179 1683 69 20.108 98222287 3015 602
9.108 46009215 2434 734 21.108 102886526 2738 272
10.108 50847534 1701 -79 22.108 107540122 2765 248- - - - - -- - - - -- ------------------11.108 55662470 1021 -834 23.108 112184940 1743 -824
12.108 60454705 2034 106 24.108 116818447 2672 -57
Taula 4 (font autor)
kPk
1 .5+1.14.134125
2 .5+1.21.022040
3 .5+1.25.010856
4 .5+i•30. 424878
5 .5+1.32.935057
6 .5+i•37.586176
7 .5+i•40.918720
8 .5+i•43.327073
9 .5+1.48.005150
10 .5+1.49.773832
Taula 5 (font Edward:)
[165]
46 CAkLLS' .SI1O
en principi estranyes (fig. 5). Per contra, Li(x) - R(x) es molt usuau» . D'al-
tra banda R es una funcio entera en In x:
R(x) = 1 +1 (Zn x )n
t nc(n+1) n!n>1
on i. es la funcio de Riemann.Diguem que Gauss obtingue la relacio Li (x) - Tt(x) a partir de 1'expe-
riencia (calculant ell mateix els primers fins a 3 milions). Riemann fou con-
duit a R(x) = mi(x) a partir de 1'estudi de la funcio , pero no demostra que
R fos asimptotica a c({).
En el seu article basic (1859) «Uber die Anzahl der Primzahlen unter
einer gegebener Grosse» introdueix la funcio
r(s) = I n- s z 11 (1-p-9)-1
n>1 pep
be clue aquesta relacio fonamental ja havia estat notada per Euler. Simplement
H (1- p-s)-1 = (l+p-s+p---s+...)
per Pe?
isi
k k kl
n=P1 P2
s'obte en agafar els termes en
p , flavors n-s
r
-kls -k2sP1 , P2
en els diferents factors.
De
1
c(s) -(1-p-s)
pep
[166]
6 x 105
2000
1000
500
200
TT (x)6
4
3
2 a
x en milions2 3 4 5 6 7 8 9 10
H
C
x en milions10 2,0 30 5,0 70 700 200 330 500 7Q0 10p0
Fig. 5. a) Grafica de 7t(x). No es distingeixen les irregularitats.b) Grafiques de R(x)-zt(x) i de Li( x)-7e(x),c) Grufiques de Li(x)-n(x) i de Li( x)--R(x) en escala logarltmica . (Font : Lagier,.
^n
tenon
^'ARI,f;S Slafu
5(s) sn=1 n
Cam que ^(1) _ + ^ , Euler (1748 ) trague d'aci:
t 1 1 1 1 11 -1 -1 -1+1 -t+= - - - -
2 3 S 6 1 10 11 13 + 14 + 15 17
que no es pas evident! La demostracio es de Mangoldt (1897).
Mitjan^ant
2 s'inCns) I'CS) 5CS) = i 1^^
^^
s'c^ten ^ a C - { 1 ^ .
Dibuem yue
s(2k) _ (2n)2k (-1)k+1
B2k^2(2k)!
on Bzn son els nombres de Bernoulli:
B xnx __ C n
ex-1 L nln>0
^ verifica la relacio funcional
^(s), = r(1-s) ('^)^-1 ? Dirt("2s) s(t-s) .
^s clar que ^(s) no to zeros a Re s > 1, ^perque
P
0
es un producte infinit convergent si Re s> 1 i cap factor no os zero. A mos
[168]
ELS NOMBR. 'S PRIMERS 49
dels zeros « trivials> s = -2k, k = 1,2,3,..., tots els altres son Re s E [0,1].La funci6
F,(s) = r(1+Z) (s-1) Tr-s/2 r(s)
nomes to zeros a Re s E [0,1]. Aquesta es 1'anomenada banda critica. La fa-mosa hipotesi de Riemann ( HR) diu que tots els zeros de F son a la rectacritica: Re s = 1 /2. Hardy ( 1914 ) ,prova que 1; (1/2 + it), teR, que prennomes valor reals to infinits zeros reals ( per parelles : ± t). El 1921 Hardyi Littlewood mostren que existeix un A positiu tal que el nombre de zeros ala recta critica amb I lm t I <T es > AT si T es prou gran . Selberg, el 1942,assegura que horn pot posat AT in T en comptes de AT. Finalment Levinson,el 1974, demostra que mes d ' un ter; dels zeros cauen en la recta critica.
La demostraci6 del t.n . p. fou feta independentment per J . Hadamard iCh. de la Vallee- Poussin el 1896 . ( Nascuts els anys 1865 i 1866 amb pocadiferencia, i morts el 1962 ambd6s , demostraren el t.n.p. simultaniament).
Aquesta demostraci6 requereix la integraci6 de
xs-1(s)
s(s+1) (- s)) = n(s)
en So(fig. 6). Cal que la regi6 limitada per^ono tingui zeros , la qual cosa s'a-consegueix veient que hi ha cota inferior de
I t I C(a+it) = 0 ,
i que a c = 1 no hi ha zeros . Llavors s'ha de veure que per a tote positiu,si T, To, x s6n prou grans, s'acompleix
CT] < e en `e' = ABCDEFGH
Aixi es mostra que
fi(x) - x (o millor, Ji ^(t)dt - x2/2)
Les relacions
,T(x) _Li(x) , ?I(x) _Li(x) , W(x) - x , 0(x) ...x
s6n equivalents.
[169]
50 (:ARLES SLAW
Demostracions <elementals» (sense usar altra cosa sins combinatoria, al-
gebra i analisi real) foren donades per Erdos i Selberg el 1949.
Una bonica consequencia del t.n.p. es que, donat un natural qualsevol de
k xifres, sempre hi ha un primer tal que les seves k primeres xifres son les
del natural donat.
Hom demostra (Mangoldt) que
fi(x) = x -
-2n+ y x - Zn(2n)
xP
p n
n
>1
on p son els zeros de . (presos en l'ordre I Im p I creixent, )a que la serie no
es absolutament convergent). Tambc s'obte, equivalentment:
n(x) = R(x ) - ^ R(xp)
P
(exactament! ). Notem que xP o R(xP) constitueixen ]a part oscillatoria de
^(x)ode 'R(x).
Si
Tk(x) _ - ( R(xPk) + R(xPk))
amb els Pk ordenats per part imaginaria creixent Tk es fortament oscillatori
(vegeu fig. 7 ). Cada zero p = o + it implica la presencia dels zeros v - it,
10 ± it.HR implica
<Cx1/2(inx)2 i In (x) - Li(x)I < Cx112 Z7:x .I^(x) - xI
Un cert reciproc es:
HR<==V c> 0
pcr a tot x prou gran
T1(x) - Li(x)Li(x)
[170]
<x-1/2+c
ID^3+liT ^
c
iE F
.3
.2
.1
0
-.1
-.2
-.3
.2
.10
-.1
-.2
C+/ I
G HFig. 6. Corba usada en la demostracio del teorema dels nombres primers.
.2
.1
0
-.1
-.2
.2
.1
0-.7
-.2
T(x)A(
00
Fig. 7. Termes oscillatoris en la expressio de 7t(x). (Font: Zagier).
52 CA!ZLI:S SIAfu
Sigui
M(x) = I u(n)
n<x
llavors si
HRX-
(Se(Se sap que
axd x > 6 , IM (x) I <
(Zn x)a
on, per exemple, a = 2.9 , a = 1, i que
IM(x) A x exp x )
amb A,a explicites).Un altra propietat equivalent a HR es: Sigui x E R+. Consideren els tren-
cats (-=[0,11 (de Farey) amb denominador natural mes petit que x, ordenats
de petit a gran, i sigui A(x) el cardinal del conjunt de trencats. (Com a
exemple, si x=5.5 surten
1 1 1 2 1 3 2 3 45'4'3'5'2'5'3'4'5'1 '
A(x) = 10). Si 6i = iesim terme de la serie - i /A(x), llavors:
A(x) 1/2+EHR <^-== > V E> 0 , Ibil = o( x ) quan x^W
Siguin 11/2 + it„1 els zeros de E en el semipla superior si es certa HR
amb t4T. Hom conjectura que
Zn(tn +1 -tn
)
lim e (-1,0)nIn
[172]
ELS 1VOMBRES PRI^1fERS 53
i potser val -1/3, i que
1im Ctn^^ - l:n)z' z tn = t:':.
Alguns resultats mes sobre els zeros son:Teorema (Bohr-Landau): Per a tot S ,positiu, tots els zeros excepte una pro-porcio «infinitesimall» disten menys que S de Res = 1/2. ^ no to zeros a
{ s= Q+ i t i I t I > 21 , Q? 1- 1 ^i - 9.6459 Zn ( t /17) J '
Destaquem que una regio sense zeros es correspon amb una
^D^^V(x) =:.+0(xexp(- fi(x))) .
Rosser, Yohe i Schoenfeld han demostrat rigorosament que els 3502500primers zeros (,per banda) de ^ tenen Re = 1 /2. Per a ells la part imagina-ria es menor o igual que 1894438,51... En donem uns quants a la taula 5.Calculs de Gram, Lehmer, Rosser, Yohe i Schoenfeld, entre d'altres, Posenen evidencia que ^ to prapietats sobre la recta critica que suggereixen la nocertesa de HR. Per exemple, prop del zero numero 13.4 X 106 n'hi ha dosde separats per 4.4 X 10-4. Pel que hom coneix, entre dos extrems consecu-tius de ^ sobre la recta critica hi ha un zero, Pero si per a valors mes gransde t entre dos extrems seguits no travessava 1'eix, llavors HR seria falsa.
De 1'estudi amb detall dels zeros de ^ surten nombroses acotacions delsopus:
Si x> 108 ^6(x) -xj, ^t^(x) -xl < .0242269 x/Z>> x
x> 1
on
Majorant ^(s)
^0(x) -x^ ^V^(x) -x^ <nkx/Znkx,
n2=s.^ , .j 1200, n4 =1.86*107.
a la banda critica, tenim
n(x) - Li( x) = 0(x exp (-. 009 Z^ ^ 6x )) .Znz2x
[173]
54 CARLE.ti SIM^S
Formules similars apareixen .per a
M(x), II(x), P(x), fi(x) .
D'aci surten corol^laris com es ara que
{P/4 P^9 E I }
es dens a R, .Sigui
Hom coneix que
N(T)
on
Hom conjectura
N(T) _ ^{Zeros de ^ amb t < T} .
t= 2 (tra
z^r- i> + s(T> +8 +o(T) ,
S(t) ==nArg ^(z + it)
9Ct)=11(7i7).51.
Si be no se sapsiescert
si que tenim una idea de 1'oscillacio de ^(x) - x. Diem
f = Sl+ g si• lim E > 0 f = S2- g si limf
< 0g S
(limits ^potser no acotats ). S2 ^ es SZ+ i St_.
Littlewood demostra que
ta(x) - x i 8(x) - x son S2+(^ Zn3x)
d'una bands, i d'una altra que
Tr(x) - Li(x) i i(a) - Li(x) son SZ,^Zn xx ln3x^
De fet els limits no estan acotats en aquests casos . A mes, si
x e ^2,T^ T>exp535 ,
[174]
ELS NOMBRES PRI^^IERS
el nombre de canvis de signe de
35
=_ -+
Formules per al nombre de carrvis de signe, de «grans> canvis de signe
^' (^c) - Li(x) ^ ^ 100 Z^x Zn3Y '
55
de canvis de signe de la mitjana sobre intervals de llargaria x/lnzx, i per aintervals que garanteixen canvi de signe, amb HR o sense, amb constantsefectives o sense, han estat donades per Pintz.
Ara Abe, tots els exemples donats indiquen que mi(x) es mes petit que Li (x).Aixi es per a x < 10". Lehman demostra que entre 1.53 X 10"ss i 1.65 X 10iies
hi ha lOx"' Hombres seguits amb mi(x) mes gran que Li {x). Raonaments detipus estadistic, concretament la hi^potesi segons la qual
la(x) -^(:c)) ";nx/^
es comporta com una llei normal N (0,.21), (vegeu fig. 8) porten a esperarque n(x) es mes gran que Li (x) per a algun x = 0(10900). Per contra, semblaque no podem esperar canvi de signe abans de 10100.
-6-,"- N
2^
^^^
150 -^^,c.^
^f`k
n
100 -^
50 1
S2 (x)
^_
I^ig. 8. Distribuci6n estadistica de la fu^ncio s,(x) fins a x =8x10'". (Font :Brent).
Malgrat el comportament asirnptotic segons el t.n.p., localment poden ha-ver-hi discrepancies notables. Aixi la taula 6 mostra fins a 82 milions en quinsblocs d'1 milio de Hombres el nombre de primers es mes gran que en blocs
[175]
56 C/1RLI:$ .SIM(S
mili6 An n mili6 An n mili6 d o n
1 78498 31 58120 61 55930(+2)
2 70435 32 57836(-1) 62 55555(-5)
3 67883 33 57842(+1) 63 55706(+1)(-1)
4 66330 34 57717 64 55780(+2)
5 65367 35 57396(-2) 65 55468(-3)------------------
6 64334 36 57487(+1) 66 55559(+2)(-2)
7 63799 37 57361(-1) 67 55644(+3)
8 63129 38 57343(-1) 68 55575(+3)
9 62712 39 57436(+3) 69 55332(-2)
10 62090 664579 40 57252 2433654 70 55390(+1)(-1) 4118064
11
12
61938
61543
41
42
571C2
56864(-2)
71
72
55309(-1)--------
55285(-2)
13 61192 43 56915(+1) 73 55431(+4)
14 60825 44 56849(-1) 74 55165(-1)
15 60627 45 56776(-1) 75 55050(-1)--------------------
16 60426 46 56893(+3) 76 55307(+3)
17 60184 47 56640 77 54924(-4)
18 60053 48 56451(-1) 78 55009(-2)(+1)
19 59683 49 56387(-1) 79 54900(-3)
20 59557 1270607 50 56603(+2) 3001134 80 54938(+2)(-2) 4669382
21 59336 51 56360---- -81
-- --- -------55027(+4)
22 59318 52 56349 82 55021(+4)
23 58960 53 56209
24 58901 54 56151
25 58805 55 55997(-2)
26 58600 56 56130(+1)
27 58538 57 56105(+1)
28 58365 58 55901(-2)
29 58246 59 55978(+1)
30 58183 1857859 60 55801(-1) 3562115
Taula 6 (font autor)
[1761
ELS NOMBRFS PRIMERS 57
Desenes de milio on n Desenes de milio :n IT
201 467612 221 464533(-3)
202 467063 222 464680(+2)(-2)
203 466201(-4) 223 464681(+3)(-1)
204 466708(+1) 224 464455(-3)
205 466522(+1) 225 464478(+1)(-2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
206 465920(-5) 226 464362(-2)
207 466245(+2)(-1) 227 464841(+7)
208 466068(+1)(-3) 228 464499(+3)
209 466106(+2)(-1) 229 464156
210 465;94(-3) 102886526 230 464133 112184940
211 466323(+6) 231 463456(-3)
212 466071(+3) 232 463631(+1)(-1)
213 464998(-4) 233 463699(+2)
214 464860(-5) 234 463620(+1)
215 465831(+3) 235 463131(-3)
216 465334(+2)(-1) 236 463388(+1)
217 465180(+2)(-1) 237 463337(+1)
218 465475(+4) 238 463113(-1)
219 464656(-4) 239 463186(+2)
220 464868(+2) 107540122 240 462946 116818447
Taula 7 (font autor)
p II(P) r1(P) r2(P) sl(P) s2(P)
110102617 6308959 239 -446 .4218 -.7871
36917099 2256804 692 260 1.9845 .7456
179845447 10022306 331 -514 .4691 -.7285
11.467849447 518601767 8594 3352 1.8589 .7250
Valors grans de s2(p)
Taula 8 (font Brent 1975)
[177]
58 CARLES SIMO
anteriors (el simbol +k indica en quants) o mes petit que en blocs seguents
(i - k indica en quants). Si prenem blocs de 10 milions, la frequencia dels
primers va disminuint, pero per a x > 2 X 109 els blocs de 10 milions ens do-
nen anomalies. No aixi els de 100 milions (taula 7), etc.
Quant a R(x) - 7 x), Ia taula 8 mostra
r2(x) = R ( x) -1T(x), r1 (x) =Li(x) -ir(x), s i = riIn x/v'
i la taula 9, intervals en els quals r2 to signe constant . L'amplada creixentdels interva l s indica que caldre refusar ] a hipotesi de Shanks:
lim n . s2 (k) = 0
n-s m 2
ja que sembla que no existeix el limit. Brent proposa
1 °C° s2(k)
limZn n
2L k 0
Recordem que
HR - s. = 0 (in2x)i
Preguntes similars respecte a la distribucio de primers ens les podem
fer per a primers en progressions aritmetiques. Si (a,k) = 1 es to que a #a + ki
hi ha infinits primers (Dirichlet). Sigui
ttk(x) = #(p < x, P e p, p -- a (mod k)
Llavors
ITk(x) IT (x)
^(k)
Existeix Co positiu, calculable , tai que
inf(p I p e I fl(a +k)) <kc0 , t! k>0,V a, si (a,k)=1 (Linnik).(c0< 104
)
Per a acabar , anem una mica al detail dels primers vistos de prop. Poden
haver-hi ,primers molt junts?. Els que disten 2 entre ells es diuen bessons.
No se sap si n'hi ha infinits. Bombieri, pero, ha demostrat que hi ha infinits
primers p tals que p+2 to menys de 5 factors primers. Golubew conjecture
l'existencia d'un parell de bessons entre n' i (n+ 11', per a tot n natural.
A diferencia d'allo que passa amb tots els primers, Viggo Brun demostre
que1 1
(p +p+2
<«p
primer besso"
[178]
ELS NOMBRES PRIMERS 59
Hardy i Littlewood conjecturaren que sires mes gran o igual que 1 i n esgran, el nambre de primers p mes petits o iguals que n tals que p-}- 2r es elproper primer, es
2CN)-A^,II^;^^
on
i cz es la dita
q-1Ar ^ 1 = 2^2
oo q-2
4^r>qE1-{2}
constant dell bessons:
c = iI 1-2^q
= .660162 (1-1/q)2
qEp-{2}
El valor de r pot esser arbitrariament gran:
Pn = suP{P E ^^ P ^ m! + 1 } _-^ Pn+1- Pn ? m
Malgrat les experiencies numeriques i els raonaments heuristics i «esta-distics » que donen stcport a la conjectura HL, aquesta no ha estat demos-trada . Sembla que cal afegir - hi alguns termes ( Brent ) i escriure
n r^r2r(n) ^ I, ^ Ar k(? r: h)-k-1 ,
1c=1 '
de manera que el terme de HL seria el dominant quan n tendeix a infinit.Per a Hombres entre 10^ i 109 hi ha bon acord entre la distribucio teorica
de «forats» de longitud 2,4,6,8,... i la real. Cam son alguns dels 50769035forats, .podem veure- ho a la taula 10. Quan n creix, les frequencies mes eleva-des es desplacen cap a r grans.
Tornem als bessons. Els mes grans que ^hom en coneix son 76 X 319 ± 1.Tots son de ti^pus 6k ^ 1 (excepte ( 3,5)). Les irregularitats dell primers s'ac-centuen en els bessons . Per exemp]e
n^(R-1 (352500))-r2(n-1(350000)) = 183 .
5061919 5063307
[179]
6(1 ('ARLES SI,bko
a b a/b min r2 max r2
9278 11046 1.191 -6 0
324090 369790 1.141 -33 0
4889994 5530998 1 . 131 -84 0
34225760 38856760 1.135 0 260
53087472258 58483092228 1.102 -5288 0
Intervals [a,b] amb r2 ( p) de signe constant
Taula 9 ( font Brent 1975)
r nombre de forats
1 3416337 n II2(n) r3(n)
2 3416536103 35 11
3 60762426 816910 79
4 2689540910 3224506 802
5 347768892.10 6388041 984
6 4460952 4.109 11944438 1032---------------- ----
7 246033296.10 17244409 -770
8 184321698.10 22384176 -248
9 334612310 27412679 -126210
10 1821461102.10 51509099 -4667
11 1567507 4.1010 96956707 1869--------------------12 2364792
106.10 140494397 155513 1118410
108.10 182855913 -98514 1218009
15 2176077Taula 11 ( font Brent 1975)
Taula 10 ( font Brent 1974)
[180]
F.LJ' ;VO,ti113RE.S ' PKI,t1F.RS'
Admetent HL, surf 214. Si
IzCX) = !. i,CH -',', ,C:.:) , UI, I. i,CX) = Zcz!^^ ^ ,
tenim la taula 11.
Les oscil•lacions de r3 > son molt llargues:
r3 (x) > 0 , d x E L3 1 . 36 . 106 UL1 . 5.10$ 3.06 • l0y ^ ,
r3 (x) < 0, d x E L 1 . 52. 106 3.52 . 107 U ^l .19.1010 2.71.1010
(vegeu fig . 9). De tota manes fins a 8 X 1010,
Ir3(x) Zn x /^I < 2.3
Y V
105 106 10^ 108 109 1010 x
61
Fig. 9. Oscillations de 1^ discrepancies en la distribucio dels primers bessons: s,(x)=(Li,(x}-n,(x))]n (Font: Brent).
Si admetem HL, la constant dita de Brun
L p + p+2
p primer besso
val 1.9021604 ± 5 X 10-'.Una generalitzacio dels primers pot separats la constitueixen les k^ples, es
a dir, conjunts de nambres de la forma
n+dl, n+d2, .., n+dk
[181]
(,? l'A^:LES SLl1b
tots ells primers. Sigui
rrd(N )=#{ n<N^n+diEp , i=1:1.^ .
Ho^m conjecture que
pk-1(p_v(P))
^rd(N ) .. Sdk
si Sd ^ 0, on Sd = ?t kZn N
PE^(P-1)
i va(p) = nombre de classes mod p ocupades per d^,dz...,dk. Si swposem la
conjecture certa uniformement per a
1 <dl < ... <dk <h
pet a cads k, i
tenitn
Pr (h, N ) =#{n ;;N I #^(n,n+h^^p) =r} ,
e-a^rPr (h,N) - N -r per Nip h ^ a Zr N
Quan al nambre de pruners en un interval petit, es demostra que
c > 0 ^ si U ^ ^ > 1, #{n z N ^ rr (n+^ Zn N) - Tr (n) > u} = N e-cN/^
Una pregunta natural es cam cal trier d, < dz < ... < dk ^perque Se ^ 0
i dk - d; Sigui el mes petit possible. La taula 12 diu cam ^poden ester de
compactats els primers, i en ,presenta exemples. Per exemple, si k = 4, dk - d;
val. 8 com a minim. D'aquestes quaternes n'hi ha 165 fins a un milio, 295
entre un milio i dos milions i 897 fins a 10 milions. Sipes diferent de 5 i
p, p-^6, p+8 son -primers, llavors p = 11,101 0 191 (mod 210).
Una conjecture que hom pot fer tenint en compte la convexitat de Li (x)
es la de subadditivitat de ^:
Hensley i Richards hen provat, pero, que Mesta en contradiccio amb la de les
k-ples, i sembla que la certa es aquesta. Llavors caldra obtenir
X , :,' I' rC ~ :j) > ^(;i) t ;^ )'
[182]
k
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
13
19
20
21
22
dk
8
12
16
20
26
30
0d.
i
0,2,6,8
0,2,6,8,12
0,4,6,10,12
0,4,6,10,12,16
0,2,6,8, 12,18,20
0,2,8,12,14,18,20
0,2,6,8,12,13,20,26
0,2,6,12,14,20,24,26
0,6,8,14,18,20,24,26
0,2,6,8,12,18,20,25,30
0,2,6,12,14,20,24,26,30
0,4,6,10,16,13,24,28,30
0,4,10,12,18,22,24,28,30
0,2,6,8,12,18,23,26,33,32*
0,2,6,8,12,18,23,26,33,32,35*
0,2,6,8,12,18,20,26,30,32,36,42*
0,2,6,8,12,18,20,25,30,32,36,42,43*
0,2,8.14,18,23,24,33,32,38,42,44,48*
0,2,12,14,18,20,24,30,32,38,42,44,48*
0,2,6,8,12,18,20,26,33,32,35,42,48,50*
0,2,6,8,12,18,20,25,33,32,36,42,48,50,55*
0,2,6,12,14,20,24,26,30,36,42,44,50,54,56`
0,2,6,12,14,20,26,30,32,36,42,44,50,54,56,60*
0,2,6,12,14,20,24,26,30,36,42,44,50,54,56,62,65*
0,4,6,10,16,18,24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66*
12
36
42
48
50
56
60
66
7'2
76
30
84
90
0,4,6,10, 16,18,24,28 , 30,34,40,46 , 48,54,58,60,66,70*
0,4,6,10 , 12,16 , 24,30 , 34,40,42 , 46,52,54,60,66,70 , 72,76*
0,4,6,10,16,18 , 24,28,30,34,40,46,48,54,58,60,66,70,76*
0,2,6,8, 12,20,26,30 , 36,38,42,48,50,56,62,66,68,72,78,80*
0,2,8,12 , 14,18,24 , 30,32,38,42 , 44,50 ,54,60,
68,72, 74,78 , 80,84*
0,2,6,8,12,20 , 26,30,36,38 , 42,48,50,56,62,66,68 , 72,78 , 80,86,90*
0,4,6,10,12,16,24 ,30,34,40 ,42,46, 52,54,60,66,20,72,76,82, 84,90*
exemples
5,11,101,191 ,821,1481 ,1871,...
5,11,101,1481, 16061,19421 ,21011,..
7,97,1867,3457,5647,15727,16057,..
7,97,16057,19417,43777,1091257,1615837,...
11,165701,1068701,11900501,15760091,18504371,21036131,...
5639,88799,284729, 626609,855719,1146779,6560999,...
- - - - - - - - - - - - - - - - -11,15760091,25658441,...
17,1277,113147,2580647,20737877,..
88793,284723, 855713,1146773,6560993,...
11,...
17,1277,113147,...
13,113143,...
88789,855709,...
* = amb cada k-pla de valors di (coin 0,2,6,8 ,12,18, 20,26,30 , 32) existeix la si4trica(0,2,6,12,14,20,24,26 , 30,32)
Taula 12
(4 (.ARLES SIMV
Es immediat de veure que si p es el primer element d ' una k,pla minimal,
r'(p+dk-dl ) = T1 (p) +k .
Si Tt ( dk - dr) es mes petit que k i hi ha un tal p, la subadditivitat es falsa.
All6 que si que es cert es que:
x 11 =='vr(2x ) < 27r(x)
A 1'extrem contrari dels hessons hi ha els primers molt separats. Podemdefinir la funcio g: N -> N aixi:
g(r) =min{Pk
EPk+1-Pk > 2r}
Ls monotona creixent, i la taula 13 ens dona valors en els quals g salta. Hom
conjectura
lim sup pn11 -Pn
= 1x-,^ p
r <= x (Zn pn)
La figura 10 ens diu el valor de
Pn+1 - Pn
(Znpn)2
per als valors p de la taula anterior . Aixo en particular implicaria que
tle > 0, ] N I dx> N - [x,x+(1 +e)In 2xl
to un primer. Se sap (Nicolas, 1969) que per a tot E positiu, hi ha infinits
n tals que
YZn2pn in4pn
Pn+1 - Pn > (e -E) In pn Zn2
3pn
i que o be hi ha a positiu tal que hi ha infinits primers
api I pi+l-pi> Pi
o be
In2'x Infix
sxl-1/d
V 6> 1, #{P i < x I Pi+1 - Pi> eY In x
2}
Zn3x
[184]
0-1
0
-1
Oa
N
ri r0--i
--I--i
0-H
dlOJ-i
OO--i
r-01
H
--1
Oa--i
N0
.-i
--1'
--i
Fig. 10. Valors de la funcio p=(pof,-p,) / (l,npop per primers pels que p.+,-.p, esmes gran que per tots els interiors.
66 CAKLES SM;
D'ZtIeS CONjCCtWCS SObIC CIS.PIiMeIS MOk iunts 0 ^0I1 sepaIats WN:
112 ElllCXth) - |YCX) = N t OCN x) peI I<h<x .=-
1
pn = x' pn +l-pn > aln pn
per a> 0 fixat.
Sl
P(h) = lim ( n(x+h) - ^r(x))
per a h gran ham tindrti
IrCh)<'pCN)< ^- .
Una giiestio natural es: Si la distribucio dels primers esta relacionada anrb
la funcio ^ i, de fet, un cone^ixement <exacte» de la ^ (zeros, compartament
asi-nLptotic, sumacio, etc.) ens Bona tota la informacio sobre ^s(x), am^b que
esta relacionada 7ta(x)?.
Hem vist que 1'infinit conjunt dels primers to infinits aspectes que atrauen
1'atencio dels matematics des de fa centuries. Moltes de 1es coses que hom
conjectura semblen raonables, Pero n'hi ha d'altres que, be que verif7cades
en unes quantes experiencies, Thom no weu la rao que en faciplausible la cer-
r g(r) r g(r) r g(r) r g(r) r g(r)
1 3 26 19609 105 20831323 177 4302401359 251 304599508531
2 7 36 31397 110 47326693 191 10726904659 258 416608695821
3 23 43 155921 111 122164747 192 20678048297 266 461690510011
4 89 48 360653 117 189695659 197 22367084959 261 614487453523
7 113 56 370261 124 191912783 228 25056082087 270 738832927927
9 523 57 492113 125 387096133 232 42652618343 291 1346294310749
10 '887 59 1349533 141 436273009 234 127976334671 294 1408695493609
•il 1129 66 1357201 144 1294268491 237 182226896239 301 1968188556461
17 1327 74 2010733 146 1453168141 243 241160624143 326 2614941710599
18 9551 77 4652353 160 2300942549 i 245 297501075799
22 15683 90 17051701 168 3842610773 250 303371455241
Taula 13 (font Brent 1975 i autor)
[186]
ELV NOMBKES PRIMERS 67
tesa. No puc resistir la tenlptaci6 de cloure amb la conjectura de Gilbreath:Si horn escriu en una fila els primers ordenats, i a sota una altra fila amb lesdiferencies primeres, i a sota una altra amb les diferencies de la fila anterior,preses sempre en valor absolut, i horn va construint files aixi, sempre el pri-mer element de cada fila es + 1! .
KEFERENCIES
APOSTOL, T. M.: -Introduction to Analytic Number Theory)), Springer, 1976.BAYER, P.: <El Teorema de Fermat>>, Pub. Mat. U.A.B. 2 (1976), 94-110.BRENT, R.: <The First Occurrence of Large Gaps between successive Primes>>, Math. Comp.
27 (1973), 959-963.BRENT, R.: <The Distribution of Small Gaps between successive Primes*, Math. Comp.
28 (1974), 315-324.BRENT, R.: <Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes*, Math. Comp.
29 (1975), 43-56.BRILUIART, J., LEHMIR, D. H., SELFRIDGE, J. L.: <New Primality Criteria and Factori-
zations of 2m ± l», Math. Comp. 29 1975), 620-647.BROWDER, F. E. (Editor): <<Mathematical developments arising from Hilbert problems>>,
Proceed. Symp. Pure Math. XXVIII (1976), A.M.S.Cientfficos Griegos I, Ed. Aguilar, 1970.EDWARDS, H. M.: <Riemarsn's Zeta Functions, Academic Press, 1974.ELLISON, W. J., MENDES FRANCE, M.: <Les nombres premiers, Hermann, 1975.GALLAGHER, P. X.: <<On the distribution of primes in short intervals, Mathematika 23
(1976), 4-9.GOLOMB, S W.: <<Formulas for the next prime>>, Pacific J. of Math. 63 (1976), 401-404.HALLYBURTON, J. C., BRILLHART, J.: <Two new factors of Fermat Numbers>>, Math.
Comp. 29 (1975), 109-112.JONES, J. P. et al.: <Diophantine Representation of the set of Primes, Amer. Math.
Monthly 83 (1976), 449464.Journces Arithmetiques de Caen, Asterisque 4142 (1977), S.M.F.KNUTH, D.: <The Art of Computer Programming II: Seminumerical Algorithms>>, Ad-
dison-Wesley, 1%9.LEHMER, D. H.: <A new Factorization Technique using Quadratic Forms>>, Math Comp.
28 (1974), 625-635.LEVINSON, N.: <<More than one third of zeros of Riemann's Zeta function are on v=I/zn,
Advances Math. 13 (1974), 383-436.MORRISON, M. A. BRILLIIART, J.: <<A Method of factoring and the factorization of F7N,
Math. Comp. 29 (1975/, 183-205.RIEMANN, B.: <Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grasse*, Monatber.
Preuss. Akad. Wiss. (Berlin) (1859), 671-680.ROSSER, J. B., SCHOENFELD, L.: <Sharper Bounds for the Chebyshev functions 0(x), kP(x)*,
Math. Comp. 29 (1975), 243-269.SHANKS, D., WRENCH, J. W.: <Brun's constant*, Math. Comp. 28 (1974), 293-299.SIERPINSKI, W.: <Elementary Theory of Numbers», Monografie Matematyczne, Tom 42,
P.A.N., 1964.ZAGIER, D.: <The First 50 Million Prime Numbers», The Math. Intelligencer 0 (1977).
7-19.
[1871
