Relatividade e Eletromagnetismo

 Relatividade RestritaMecânica relativísticaEletrodinámica relativística

Referências: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice­Hall, 1999 C. Schiller, Motion Mountain – The Adventure of Physics,                   

http://www.motionmountain.net/

Usenet Physics FAQ, http://math.ucr.edu/home/baez/physics/

   

Luz

 É o que vemos; É com referência a luz que definimos o que é reto; Foi usado antigamente para medir o tempo; Atualmente usamos para medir o tempo com precisão (frequência de transição em Ce­133);Atualmente é usado para medir distâncias e comprimentos com precisão.

A luz tem um papel importante na maioria das observações que fazemos, das mais mundanas às mais exatas.

   

A luz se move?

Será que a luz é um fenómeno de movimento? SIM!

Os gregos reconhecerem luz com uma entididade que se move através das sombras:  o andamento da luz da sua fonte é bloqueiado por um objeto opaco, formando uma região de sombra. 

O pensador grego Empedocles (c. 490 a c. 430 A.C.) concluiu que a luz deve levar um certo tempo para se mover da sua fonte até uma superfície qualquer – isto é, que a luz deve ter uma velocidade finita. 

Porém, a velocidade é muita alta.

   

Primeiras medidas da velocidade de luz                          1668 ­ 1676

Sol Terra (1a med.)

Terra (2a med.)

Jupitor e Io (1a med.)

Jupitor e Io (2a med.)

 Idéia do astrónomo italiano Giovanni Cassini; Tentativa feita pelo astrónomo dinemarquês Ole Rømer, ex­assistente de Cassini;  Rømer não conseguiu um resultado porque não teve um valor confiável para a distância até Jupitor e porque suas medições do tempo foram imprecisas; Estas deficiências foram sanadas por Christian Huygens e por Edmund Halley poucos anos depois;Desde aquela época é sabido que a luz leva um pouco mais do que 8 minutos para chegar do Sol até a Terra.

   

Segunda medida da velocidade de luz                          1726

v

v

c

Perspectivo da chuva

Perspectivo do andador

c

v

v

Sol

Sol

Terra

Terra

c

c

Perspectivo da luz

Perspectivo da gente

Método do 'andador na chuva' do astrónomo inglês James Bradley. O ângulo de desvio   é chamado a aberração da luz. Seu valor é aproximadamente 20.5'', ou 10­ 4 rad.

c = v / tan Bradley:

v = 2R  / T   = 30 km/s

c = 3.0 x 10 8 m/s

   

Medição precisa da velocidade de luz                         1849

Espelho

    Espelho semi­prateado

Fonte de luz

 Medição feito pelo físico francês Hippolyte Fizeau; Ele mandou um pulso de luz para o espelho e mediu o tempo que levou para ir e voltar; Ele conseguiu um valor para a velocidade de luz apenas 5% maior do que o valor moderno. 

   

As equações de Maxwell

Lei solenoidal Lei de Faraday

Lei de Gauss Lei de Ampère­Maxwell

 James Clerk Maxwell, um físico­matemático escocês, unificou a eletricidade, o magnetismo e a 

óptica na sua forma atual; Ele demonstrou que os campos elétricos e magnéticos propagam com a velocidade de luz e apresentou a luz como um efeito eletromagnetico; Em 1864, demonstrou que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza – uma força elétrica em uma referencial pode tornar­se uma força magnética em outra, e vice­versa.

   

Soluções oscilatóriasMaxwell determinou que suas equações possuem soluções oscilatórios que 

propagam com a velocidade de luz e naturalmente associou estas ondas 

eletromagnéticas com a luz. Em 1881, Hertz criou e detectou ondas 

eletromagnéticos de comprimento de onda muito maior – as ondas de rádio.

O grande problema com as ondas eletromagnéticas foi que não se conhecia a matéria 

que oscilava para fazer estas ondas. Todo tipo de onde conhecido na época envolvia a 

oscilação de algum substrato material: ondas numa corda; ondas sonoras no ar ou em sólidos ondas em água.

Consequentemente, foi suposto a existência de uma substância cuja oscilação resultava 

em ondas eletromagnéticas – o éter. E procurava­se sinais que esta substância se 

comportava como os outros substratos de ondas. Em particular, procurava­se 

anisotropias na velocidade de luz, que assinalaria diferenças no movimento com 

respeito ao éter. 

   

A experiência de Michelson­Morley

Éter

SolTerra

Terra

O propósito das experiências de Michelson 

(1881) e de Michelson e Morley (1887) foi de 

medir a variação da velocidade de luz devido a 

movimento relativo ao éter.

  Fonte de luz coerente

Detetor

Espelho

Espelho

As experiências procuraram medir a 

interferência entre duas partes de um feixe 

de luz coerente que tinham propagadas ao 

longo de caminhos de comprimentos 

iguais mas em direções diferentes com 

respeito ao éter. O resultado foi nulo.

   

Coincidência?

v

v

fio fio

ímã ímã

A lei de força de Lorentz refer a 'a' velocidade da carga. Assim, a lei faz aparecer que existe um sistema de referência única na qual as leis de eletromagnetismo são válidas. Porém, considere a seguinte coincidência:

Aqui, pela lei de Lorentz,

uma força eletromotriz é gerada no fio que pode ser escrita em temos do fluxo magnético como

Aqui,v=0. Mas pela Lei de Faraday,

uma força eletromotriz é gerada no fio que pode ser escrita em temos do fluxo magnético como 

Einstein citou esta coincidência no primeiro parágrafo do seu trabalho de 1905 sobre a relatividade restrita.

   

Relatividade restrita

Assim, existiam duas evidências que a velocidade de luz deve ser invariante – as 

experiências de Michelson e Morley e as próprias leis de Maxwell. Porém, estas 

evidências não estão consistentes com a mecânica não­relativística. Os maiores físicos da 

época se esforçaram em tentativas de reconciliar as duas teorias até 1905, quando Albert 

Einstein publicou seu trabalho famoso.

Einstein propus dois postulados no seu trabalho: O princípio de relatividade – As leis de física são aplicáveis em qualquer sistema de referência inercial; A invariança da velocidade de luz – A velocidade de luz é a mesma para qualquer observador inercial, independente do movimento da fonte.

Uma das consequências fundamentais destes postulados é que conceito de simultaneidade 

perdeu seu sentido.  

   

A relatividade de simultaneidade

v

Consider um vagão de trem que se move a velocidade constante numa trilha reta. Quando uma lâmpada pendurado no centro da vagão é ligada, a luz espalha em todas as direções a velocidade c.  Um observador no trem conclui que a luz alcance a frente e o fundo do vagão simultaneamente.Um observador parado no chão conclui que a luz alcance o fundo da vagão antes que alcance a frente, porque o trem se move enquanto a luz propaga, diminuindo a distância até o fundo do vagão e aumentando a distância até a frente.

Dois eventos que são simultâneos em um sistema inercial não são necessariamente simultâneos em um outro sistema.

v

   

Dilatação do tempo

vh h

v t

Considere agora um raio de luz que atinge o chão do vagão diretamente abaixo da lâmpada. Quanto tempo este leva para alcançar o chão?

Para o observador no trem, a reposta é facil:

Para o observador no chão, o raio demora mais, porque o trem está em movimento:

Assim, temos

e

Relógios em deslocamento andam mais lentos.

v

   

Verificação experimental da dilatação do tempo

detetor alto

detetor baixo

muons Muons são partículas elementares que são formadas 

continuamente na atmosfera alta por raios côsmicos. Um 

muon em repouso tem uma meia­vida de 2,2 s . Isto é 

equivalente a uma distância de 660 m na velocidade de 

luz. Depois deste tempo, metade dos muons iniciais tem 

decaídos. 

B. Rossi e D. B. Hall (Phys. Rev. 59, 223 (1941)) mediram o fluxo de muons com 

velocidades entre 0,9950c e 0,9954c a um altura de 1,9 km e ao nível do mar. Usando a 

meia­vida de muons em repouso, apenas 13% dos muons observados no detetor alta 

alcançaria o detetor baixo. Porém, 82% dos muons chegaram em baixo, devido ao diferença 

de tempo de aproximadamente  0,62 s , no sistema  de referência dos muons, em acordo 

com o efeito de dilatação do tempo.  

   

Simetria da dilatação do tempo

Relógio no chão A Relógio no chão B Relógio no chão

Relógio no trem Relógio no trem B Relógio no trem A

Visto do chão: Visto do trem:

O observador no chão usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando 

o relógio do trem passa ponto A e depois ponto B;O observador no trem usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando 

o relógio do chão passa ponto A e depois ponto B;

Ambos vão concluir que o relógio do outro anda mais lentamente. Também vão concluir que o outro fez uma comparação errônea por não ter usado relógios sincronizados.

   

O paradoxo dos gêmeos

Início

Fim

Viradatempo

Gêmeo 1 Gêmeo 2

Vamos supor que um de um par de gêmeos faz um viagem 

espacial a velocidade próximo a velocidade próximo a 

velocidade de luz e volta anos depois para encontrar seu 

par. Devido a dilatação do tempo, o gêmeo que viajou 

voltaria mais jovem do que o gêmeo que ficou. 

E a simetria da dilatação do tempo? Do ponto de visto do gẽmeo que viajou, o gêmeo que ficou aproveitou da dilatação de tempo para permanecer mais jovem.  espaço

Neste caso não há simetria, porque o gêmeo que viajou necessariamente teve que acelerar para 

se separar do outro. O gêmeo que viajou teve que ter, no caso mais simples, dois sistemas 

inerciais diferentes  para se afastar e depois voltar. Uma consequência disto é o grande 

intervalo nos tempos que ele considera simultâneos, mostrados pelas linhas azuis. Para mais 

detalhes veja, o Usenet Physics FAQ.

   

Contração de comprimento

v

Considere uma lâmpada no fundo do vagão que emite um raio que reflete de um espelho na 

frente da vagão e volta. Quanto tempo leva para a luz ir e voltar?

Para um observador no 

trem, a reposta e fácil:Para um observador no chão, o raio demora mais para ir mas 

menos para voltar, por causa do movimento do trem:

v t 1

v t 2

or

v

   

Contração de comprimento (cont.)

Para um observador no trem: Para um observador no chão:

Devido a dilatação do tempo, temos 

Temos então

O comprimento do vagão é mais curto quando medido pelo observador no chão do que 

quando medido pelo observador no vagão.

Objetos em movimentos são contraídos em comprimento. Este efeito é chamado contração de Lorentz.

   

A escada e o celeiroUm fazendeiro tem uma escada que é comprida demais para 

armazenar no celeiro. Aproveitando da contração de Lorentz, ele 

pede sua filha veloz de correr com a escada para dentro do celeiro 

para ele poder fechar a porta e guardar a escada. Ela, por outro lado, 

diz que não vai dar certo, porque quando ela corre com a escada é o 

celeiro e não a escada que encolhe. Quem está certo?  

Ambos! É uma questão de prespectiva. 

O comprimento da escada (ou do celeiro) é a distância entre suas 

extremidades a um mesmo instante de tempo. Para decidir se a 

escada cabe no celeiro ou não, temos que examinar: o tempo em que a extremidade A da escada alcance a parede do 

celeiro eo tempo em que a extremidade B entra na porta do celeiro.Simultaneidade destes tempos depende do sistema inercial.

  

  

v

v

Vistos de cima

   

Contração de Lorentz

v

v

Considere uma linha vermelho pintado a uma altura de 1 m no muro ao lado da trilha por uma 

pessoa no chão e uma linha azul pintado na mesma altura por alguem no trem. Se a dimensão 

fosse contraído, o observador no chão veria a linha azul pintado pelo observador no trem 

abaixo da linha vermelho, enquanto o observador do trem veria a linha vermelho abaixo da 

linha azul. A única maneira dos dois estar certos é se a linhas se sobrepoem. Isto é, não há 

contração de Lorentz nesta direção.

A contração de Lorentz encurta um objeto em movimento apenas na direção do 

movimento.

Dimensões perpendiculares ao movimento não são contraídas.

   

As transformações de Lorentz

Um processo físico consiste em um ou mais eventos, onde um evento é um acontecimento a 

um posição específica (x,y,z) a um tempo específico (t). Aqui construimos a transformação das coordenadas (x,y,z,t) de um evento em um sistema inercial S para as coordenadas (x',y',z',t') do mesmo evento em outro sistema inertial S'.

y y'

z'z

x'xO O'

x

EdA'

v

Orientamos os eixos tal que o sistema S' se desloca do sistema S ao 

longo do eixo x com velocidade v e que os eixos O e O' coincidem 

a t=0.

No instante t do evento E, O' está a uma distância vt de O. Assim,    

   

onde d  é a distância de O' a A' a tempo t. Agora, observamos que d 

é a distância de O' a A' medida em S, enquanto x' é a distância de 

O' a A' medida em S'. Assim, x' é contraído a d em S,                       

  

Substituindo, temos

   

As transformações de Lorentz

y y'

z'z

x'xO O'

d'

Ex'A

v

Para obter a transformação em tempo t, consideramos o 

transformação contrária em x. Assim, no instante t' do evento E, O' 

está a uma distância vt' de O e      

onde d' é a distância de O a A a tempo t'. Aqui, d' é a distância de O 

a A medida em S', enquanto x é a distância de O a A medida em S. 

Assim, x é contraído a d' em S',                               .  Substituindo, 

temos                                   .

Junto com a equação                                 , podemos resolver para t ou para t'  e completar as 

equações da transformação de Lorentz. De S para S': De S' para S:

As coordenadas perpendiculares ao movimento não mudam.

   

Sincronização e dilatação de tempo 

x=0 x'=0 v

Considere um sequência de 

relógios no eixo x do sistema S 

sincronizados em t=0.

No sistema S', seu tempo t' varia de 

acordo com a sua posição:

Os relógios em x>0 são atrasados e os em 

x<o adiantados.

Considere agora um relógio fixo a um ponto x'  no sistema em movimento  S'. Quando 

observado durante um intervalo ∆t do sistema S, o tempo decorrido no relógio em 

movimento será

Assim, recuperamos a expressão para dilatação do tempo 

   

Contração de Lorentz 

                                 .                                                            ,                              .

S' S

xe xdx'dx'ev

Considere um objeto em movimento ao direito com velocidade v. Seu comprimento de repouso, isto é, seu comprimento em S', é dado por

onde d e e significam direito e esquerda. 

Um observador no sistema S mede as posições extremas do objeto a um instante do 

seu tempo t,

Usando  

recuperamos a expressão para a contração de Lorentz, 

   

A transformação de velocidades

Suponha que a velocidade de uma partícula no sistema  S é  

No sistema S', a partícula se desloca

no tempo 

 Sua velocidade em S'  é 

Devido à transformação do tempo, componentes da velocidade perpendiculares a direção da transformação também são transformadas 

Quando u = c, u' = c.

   

Espaço de MinkowskiA  transformação de Lorentz toma uma forma mais simples se escrevermos todos as coordenadas nas  mesmas unidades. Definimos 

e renomeamos os coordenadas espaciais

As equações da transformação de Lorentz se tornam

   

Espaço de MinkowskiPodemos escrever as equações da transformação em forma matricial como

e resumí­las na forma compacta como

Escrita desta maneira, a transformação é muito aparecida com a forma geral de uma rotação em 3­D

De fato, uma transformação de Lorentz pode ser considerada como uma rotação generalizada – entre o espaço e o tempo.  

   

A geometria do espaço­tempoDa mesma maneira que podemos definir um 3­vetor como qualquer conjunto de 3 

componentes que transforma sob rotações como (x, y, z), podemos definir um 4­vetor 

como qualquer conjunto de 4 componentes que transforma como (x0, x1, x2, x3) sob 

transformações de Lorentz,

ou no caso de uma 

transformação de 

Lorentz ao longo do 

eixo x

Em analogia ao produto escalar de 3­vetores que é invariante sob rotações 

podemos definir um produto escalar de 4­vetores que é invariante sob transformações de 

Lorentz (incluindo rotações)

   

A geometria do espaço­tempoPor causa do sinal de menos no produto escalar, é conveniente introduzir um vetor 

covariante a que é relacionado com o vetor contravariant a  por

O produto escalar pode ser escrito em termos dos dois como 

ou, simplesmente,

Dado dois eventos A e B, com

e

podemos definir o 4­vetor de deslocamento entre os dois

e o intervalo invariante entre os dois

   

Diagrama de espaço­tempo

x0 = ct

x

Passado

Futuro

Presente Presente

O intervalo invariante entre os eventos A e B

com

contém informação física sobre os eventos.

Nomeamos os tipos de intervalo de acordo com 

seu sinal:

'spacelike'

'lightlike'

'timelike'

Quando o intervalo é 'timelike', podemos distinguir entre o futuro 

                                                                                      e o passado 

linha de mundo

   

Mecânica RelativísticaQuando um partícula se movimenta no espaço tempo com velocidade u , seu relógio interno anda 

mais lentamente do que um relógio em repouso. O tempo interno é chamado tempo próprio 

Em termos do tempo próprio, podemos definir a velocidade própria 

que em termos da velocidade ordinária  é

A velocidade própria pode ser estendida a um 4­vetor,

com componente 0:

A velocidade própria transforma com um 4­vetor

é tem norma invariante

   

Energia e momento Em mecânica clâssica, o momento é definido como o produto da massa e da velocidade. 

Para ter uma quantidade que transforma como um 4­vetor, fica  claro que devemos usar a 

velocidade própria em vez da velocidade ordinária

O componente temporal do 4­vetor de momento é

Associamos este com a energia relativística

A energia relativística é não­nula, mesmo quando a massa está em repouso,

O resto da energia, que atribuimos ao movimento, é a energia cinética,

   

Conservação de energia e momento 

Em qualquer sistema fechado,  o 4­vetor de energia e momento total é conservado .

Nota que distinguimos entre uma quantidade invariante, que é igual em qualquer sistema 

inercial, e uma quantidade conservada, que é igual antes e depois de qualquer processo físico.

O 4­vetor de energia  momento é conservado mas não é invariante. O produto escalar do 

momento com si mesmo

ou,

fornece a massa m como uma quantidade invariante,. 

Em um sistema fechado, tanto o 4­vetor de energia e momento total quanto a sua massa são 

conservados.

   

Partículas sem massaPara uma partícula com massa nula, temos para o produto do seu momento consigo mesmo,

ou

Das definições da velocidade própria e do momento, verificamos que podemos  recuperar o 

valor da velocidade ordinária de um objeto  como

Para uma partícula de massa nula, temos 

Uma partícula de massa nula, como o fóton, podem ser acelerada ou deceleradas – sua 

energia e momento podem mudar – mas sua velocidade sempre será a velocidade de luz. 

Pode dizer que tais partículas são movimento puro.

   

Duas partículasLaboratório Centro de massa

p, m pc, m pc, m

Devido à invariança da massa, as massas nos dois sistemas são iguais e

m

Um deuteron é um núcleo formado de um neutron e um proton de massas (quase) iguais. No 

sistema do centro de mass, sua massa invariante quadrada é onde B é a sua energia de ligação.

e

Em colisões de partículas, apenas a energia no sistema do centro de massa está disponível para 

contribuir à reação. O resto está presa no movimento conservado. É por isto que aceleradores 

modernos usam colisões de dois feixes e não alvos fixos. 

   

Uma colisão elástica

pc, m

pc, mCentro de massa

Laboratório

p2, m

p1, m

A conservação de energia e momento depois da colisão fica clara no sistema do centro de 

massa. A forma explicita da transformação de Lorentz é necessária para voltar para o 

sistema do laboratório.

Com um pouco  de esforço, é possível mostrar (no caso de duas massas iguais) que

onde   é o fator de Lorentz da transformação. Para colisões não­relativísticas, temos

Mas em geral,

   

Dinâmica relativísticaA segunda lei de Newton é válida em mecânica relativística (e consistente com a conservaçõ 

de momento em um sistema fechado), quando o momento relativístico é usado,

O trabalho continua a ser definido em termos da  integral de linha da força,

Assim podemos mostrar que a teorema de trabalho e energia (o trabalho feito numa 

partícula é igual ao aumento na sua energia cinética)  continua a valer. Temos

e

   

Dinâmica relativísticaAssim, temos

Podemos tomar para as equações de movimento do 4­vetor de momento 

A terceira lei de Newton – a de ação e reação – não continua válida em mecânica 

relativística, em geral. Quando os dois objetos em questão são separados, a aplicação do 

lei traz a questão do tempo da ação e reação. Como vimos, simultaneidade é um conceito 

relativo para objetos  separados. A terceira lei vale apenas quando as duas forças são 

aplicadas no memso ponto  ou no caso trivial de uma força constante.

   

Uma força constanteConsideramos uma massa m sujeito a uma força constante F e supomos que ela está  em 

repouso a x=0 em t=0. Temos 

Desde que p=0 em t=0, temos

ou

Integrando novamente, temos x

ct

Clássico(parabólico)

Relativístico(hiperbólico)

Este movimento ocorre, por exemplo, quando uma partícula carregada está num campo elétrico uniforme.

   

Transformação da equação de movimentoAs equações de movimento na forma 

são faceis de entender, mas não transformam bem sob transformações  de Lorentz. Por 

exemplo, sob uma transformação na direção x,

com o componente da força na direção x mais complicado ainda.

Uma maneira de evitar esta complicação é de usar a força 'própria', que é igual à 

deriva do momento com o tempo próprio,

com componentes

A qual das duas forças corresponde uma força clássica ­ ordinária ou de Minkowski?

   

Eletrodinâmica relativística

Diferente da mecânica, eletrodinâmica já é consistente com a relatividade restrita. 

As equações de Maxwell e a força de Lorentz podem ser aplicado em qualquer 

sistema inercial. O que é visto com um processo elétrico em um referencial pode 

se tornar um processo magnético em outro, mas o movimento de partículas será o 

mesmo nos dois. 

Com a mecânica corrreta, é possível desenvolver uma formulação completa e 

consistente de eletrodinâmica. Porém, esta reformulação nào modifica as leis de 

eletrodinâmica, apenas expressa as na linguagem de relatividade restrita.    

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

vv

v­ v+

+ + + + + +

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

s s

q qu

S: S':

Considere um condutor com uma cadeia de cargas positivas se movendo à direita com 

velocidade v e uma cadeia de cargas negativas se movendo à esquerda com a mesma 

velocidade v. Supomos que as duas cadeias de cargas podem ser consideradas densidades 

de carga de linha, e ­ , respectivamente. Introduzimos uma carga q a um distância s do 

condutor que se move à direita com velocidade u<v. 

As cargas em linha fornecem uma corrente 

mas não há qualquer força elétrica na carga q porque as cargas em linha se cancelam.

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

vv

v­ v+

+ + + + + +

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

s s

q qu

S: S':

Agora considere a mesma situação no sistema S', no qual a carga q está em repouso. As velocidades das cargas em linha são  

Desde que v­ > v+, a contração de Lorentz é maior para as cargas negativas do que para as cargas 

positivas. Existe então uma carga negativa residual no condutor. Para calculá­la, usamos

com

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

vv

v­ v+

+ + + + + +

­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­

s s

q qu

S: S':

Com um pouco de álgebra, obtemos 

e a densidade carga residual

A carga residual cria um campo elétrico e uma força na carga q no sistema S',

que, em S, tem a forma,

onde usamos

   

Transformação dos campos eletromagnéticos

Nos supomos que  carga é invariante. Como a massa, a carga de um objeto é um número independente da sua velocidade. 

 Os campos elétrico e magnético, porém, se transformam, como vimos no exemplo anterior. 

Supomos que a transformação não depende de como os campos form produzidos, Se isto não 

fosse o caso, não faria sentido falar em campos. Assim podemos escolher as configurações mais 

simples dos campos para analisar as transformações. 

   

Transformação do campo elétricoS0: S:

v0

w w

l0l

Um capacitor em repouso em S0 que carrega densidades de carga superficial ±0 

tem um campo elétrico entre as placas dado por

Pela lei de Gauss, o campo elétrico no sistema S, onde as placas estão em movimento,  é dado por

A carga total em cada placa é invariante e a largura w não muda. O comprimento, l0, 

porém, sofre uma contração de Lorentz, tal que

Assim,

y0

zz0

x0x

y

v0

   

Transformação do campo elétrico

z0

y0

x0

z

y

x

S0: S:S:S:

v0

Quando as placas são perpendiculares ao velocidade, apenas a distância entre eles sente a contração de Lorentz. Mas o campo elétrico não depende desta distância. Assim, 

Em resumo, podemos dizer que o campo elétrico de uma distribuição de cargas inicialmente me repouso transforma como

e

   

S: S':

'

v0

w w

l l'

y0

z'z

x x'

y'v' (v relativa S)

Transformação dos campos eletromagnéticos

'

Para obter a regras gerais de transformação, precisamos começar com um sistema que tem ambos os campos – o elétrico e o magnético. O sistema S serve. Tem um campo elétrico 

e um campo magnético devido as correntes de superfície,      

Pela lei de Ampère, o campo magnétic está na direção z com

No sistema S', a velocidade v com respeito a S, os campos são

onde

O que precisamos fazer agora é expressar os campos em S' em termos dos campos em S.

   

Transformação dos campos eletromagnéticosO primiero passo em relacionar os campos é de escrevé­los como

Com um pouco de álgebra, obtemos 

com

Então, temos

e

Usando a identidade

   

z

y

x

S: v0

Transformação dos campos eletromagnéticos

Para determinar a transformação em Ez e By, alinhamos as 

placas do capacitor no plano xy. Então

e, da mesma maneira que antes, obtemos

Usando a terceira configuração, com as placas do capacitor no plano yz, vimos que componente do campo elétrico paralelo à velocidade da transformação não é modificado. 

z

v0

y

x

Esta configuração não produz um campo magnético.

   

Transformação dos campos eletromagnéticosy

z

x

Para obter a regra de transformação do componente do campo magnético paralelo à velocidade da transformação, considere um solenoide longo alinhado no eixo x e em repouos no sistema S. 

O campo magnétic dentro do solenoide pode ser escrito em termos da corrente I e o número de espiras por unidade de comprimento n como

No sistema S', o comprimento contrai. Assim, 

O tempo dilata também. Desde que é o relógio de S que está no sistem do solenoide em repouso, é este que anda mais lentamente. Assim, a corrente (carga por unidade de tempo) transforma como 

Vemos que os dois fatores cancelam e concluímos que o campo magnético paralalo à velocidade da transformação também nào é modificado. Temos

   

Transformação dos campos eletromagnéticosPodemos resumir as regras de transformação como

ou como 

   

Uma carga puntiformeConsidere uma carga puntiforme q em repouso no origem em S. Seus campos eletromagnéticos são

Queremos obter os campos em um sistema de referência S' que se move na direção x>0 com velocidade v. Usamos 

para escrever os novos campos nas velhas coordenadas,

Escrevemos  as velhas coordenadas em termos das novas

e obtemos

   

Potenciais eletromagnéticosOs campos eletromagnéticos normalmente podem ser escritos em termos de potenciais como

Os potenciais podem ser escritos como um 4­vetor

Para reescrever as expressões para os campos em termos de 4­vetores, usamos

Temos então

Estas expressões deixam claro que os campos eletromagnéticos podem ser 

unificados em um tensor antisimétrico

   

O tensor eletromagnéticoOs componentes do tensor eletromagnético são

Tanto o 4­vetor dos potenciais eletromagnéticos quanto o 4­vetor de derivadas transformam como tal sob transformações de Lorentz,

O tensor eletromagnético, então, se transforma como

Esta equação fornece as mesmas expressões que obtivemos antes para a  transformação dos componentes dos campos eletromagnéticos.

   

A força de LorentzQueremos reformular a força de Lorentz e as equações de Maxwell em terrmos do tensor eletromagnético,

Começamos com a força de Lorentz. Comparando componentes, verificamos que

De outros argumentos, (acoplamento mínimo), identificamos a força de Minkowski como

e a força ordinário como

   

As fontes das equações de MaxwellAntes de reformular as equações de Maxwell em termos do tensor eletromagnético, vamos 

unificar as fontes dos campos em um 4­vetor. Considere um nuvem de carga e analise em 

um volume infinitesimal V  contendo uma carga Q e se movendo a velocidade u. Temos 

para suas densidades de carga e corrente

Expressamos estas densidades em termos da densidade de carga própria, isto é, a 

densidade de carga no sistema de repouso,

Devido a contração de Lorentz, 

e, assim,

Reconhecendo os componentes da velocidade própria, podemos escrever

   

As fontes das equações de MaxwellConservação de carga implica que as densidades de carga e corrente satisfazem uma equação de continuidade,

Temos 

tal que, usando

temos, para a equação de continuidade,

   

As equações de MaxwellAnalisamos primeiro as equações homogêneas em termos do tensor eletromagnético,

Verificamos que a equação solenodial pode ser escrita como

enquanto os três componentes da equação de Faraday podem ser escritas como

Podemos unir estas em uma equação,

Nota que esta equação é automaticamente satisfeita quando

   

As equações de MaxwellUma outra maneira de escrever a equação homogênea de Maxwell e

onde o tensor completamente antisimétrico é

Uma alternativa é de definir outro tensor – o tensor dual 

que satisfaz a equação 

   

As equações de MaxwellAnalisando agora as equações de Maxwell com fontes, em termos do tensor eletromagnético, 

verificamos que a lei de Gauss pode ser escrita como

enquanto os três componentes da equação de Ampère­Maxwell tomam a forma

Obviamente podemos unificar estas na equação

   

As equações de MaxwellAssim, em notação relativística, as equações de Maxwell tem a forma simples

e

Quando escrevemos o tensor eletromagnético em termos dos potenciais,

a equação homogênea é satisfeita automaticamente e a equação não homogênea se torna 

Para simplificar esta equação, lembramos que o tensor eletromagnético é invariante sob  uma transformação de calibre dos potenciais

Se nos escolhemos a condição de calibre de Lorentz,

a equação de Maxwell reduz a