Electronica Analogica

SISTEMAS ELECTR ONICOS

ANAL OGICOS

Un Enfoque Matricial

Luis Enrique Avendano M. Sc., D. E. A.

Universidad Tecnologica de Pereira

Programa de Tecnologıa Electrica

Pereira, Colombia

2006

SISTEMAS ELECTR ONICOS

ANAL OGICOS

Un Enfoque Matricial

por

Luis Enrique Avendano M. Sc., D. E. A.

Universidad Tecnologica de Pereira

Programa de Tecnologıa Electrica

Pereira, Colombia

2006

c©Universidad Tecnologica de Pereira

Primera publicacion 2006

ISBN: 958-8065-40-2

A Dios, el principio de todos los principios.

A mi esposa Gloria Mercedes,

mi companera de viaje en el trasegar de la vida

y quien me ha brindado su apoyo y comprension.

A mis hijos Luis David y Jose Daniel,

quienes han llenado mi corazon de alegrıa

y mi razon de esperanza.

Agradecimientos

Deseo agradecer el apoyo institucional dado por la Universidad Tecnologica de Pereira –Alma Mater

que nos ha dado la posibilidad de desarrollar nuestros pensamientos y realizar nuestras ideas– sin el

cual no hubiera sido posible escribir este libro. A mi esposa Gloria Mercedes, por su ayuda decidida

e incondicional y quien estuvo al frente de la composicion e impresion del texto. Tambien quiero

agradecer su voz de aliento en los momentos difıciles, la cual me permitio superar los innumerables

obstaculos que se presentaron durante la elaboracion del proyecto.

Agradezco, ası mismo, a mi hijo Luis David, quien elaboro la mayor parte de las graficas de los

circuitos que aparecen en el texto.

Tambien quiero agradecer a mi hijo Jose Daniel, quien empleo mucho de su tiempo en la paciente

lectura del borrador del texto, para la deteccion de innumerables gazapos.

A mis estudiantes quienes me han dado la motivacion intelectual para construir esta obra y han

contribuido con sus correcciones a la depuracion de la misma.

Finalmente, quiero agradecer a los integrantes del grupo LIDER por sus magnıficas ideas, muchas

de las cuales estan plasmadas en la obra.

Contenido

1 Multipolos 31.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Redes de r terminales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Parámetros de los cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Parámetros de impedancia en circuito abierto . . . . . . . . . 51.3.2 Parámetros de admitancia en corto circuito . . . . . . . . . . 71.3.3 Parámetros a de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Parámetros b de transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.5 Parámetros h híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.6 Parámetros g híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Interconexión de cuadripolos 352.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Conexión serie—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3 Conexión paralelo—paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Conexión en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5 Conexión serie—paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Conexión paralelo—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 El Amplificador Operacional 553.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Conceptos básicos sobre los amplificadores . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1 Amplificador como parte de una red . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Características de los AOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1 Parámetros en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.2 Características principales de operación . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Selección del AO Adecuado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4.1 El AO de propósito general bipolar . . . . . . . . . . . . . . . 823.4.2 Amplificadores operacionales BiFET . . . . . . . . . . . . . . 833.4.3 Amplificadores operacionales LinCMOSTM . . . . . . . . . . 83

iii

iv CONTENIDO

4 Redes con AOs 914.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Red general con AOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Convertidores de impedancia negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Fuente de corriente regulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2 Integrador de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Realización de funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.1 Sistema de ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.2 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5 Sensibilidad 1155.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2 Relaciones de sensibilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.1 Propiedades de la sensibilidad relativa . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Función de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3.1 Definición de función de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . 1195.4 Sensibilidad de los coeficientes de una función . . . . . . . . . . . . . 122

5.4.1 Dependencia bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4.2 Forma de la sensibilidad de los coeficientes . . . . . . . . . . 1235.4.3 Relación entre función de sensibilidad y sensibilidad de los

coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5 Sensibilidades de Q y ωn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.1 Caso de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.2 Caso de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.6 Sensibilidad parásita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.6.1 Elementos parásitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.6.2 Sensibilidad para elementos parásitos . . . . . . . . . . . . . . 1325.6.3 Sensibilidad parásita de un amplificador operacional . . . . . 1345.6.4 Sensibilidad multiparamétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6 Realimentación 1416.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3 Realimentación negativa. Efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.1 Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3.2 Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.3.3 Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.3.5 Estabilidad interna1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1Puede omitirse sin pérdida de continuidad.

CONTENIDO v

6.3.6 Sensibilidad y sensibilidad complementaria . . . . . . . . . . 1576.3.7 Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.4 Conexiones generales de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.4.1 Realimentación serie—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.4.2 Realimentación en paralelo—paralelo . . . . . . . . . . . . . . 1636.4.3 Realimentación en serie—paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.4.4 Realimentación en paralelo—serie . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5 Configuraciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.5.1 Realimentación serie—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.5.2 Realimentación paralelo—paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.5.3 Realimentación serie—paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.5.4 Realimentación paralelo—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7 Osciladores Lineales 2077.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.2 Osciladores sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.2.1 Oscilador de desfasamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.2.2 Oscilador en puente de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.2.3 Osciladores sintonizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2.4 Osciladores de Colpitts y Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.2.5 Osciladores controlados por cristal . . . . . . . . . . . . . . . 2237.2.6 Estabilidad de los osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8 Osciladores no sinusoidales 2318.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.2 Comparadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8.2.1 Comparadores de umbral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.2.2 Disparador Schmitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.3 Generador de ondas cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.4 Generador de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.5 Generador de ondas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5.1 Generador de ondas en diente de sierra . . . . . . . . . . . . . 2438.6 Generador controlado por voltaje (V CO) . . . . . . . . . . . . . . . 2458.7 El temporizador 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.7.1 Operación en modo astable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.7.2 Operación en modo monoestable . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.7.3 Generador de rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.8 Lazos de enganche por fase (PLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.8.1 PLL en la condición de enganche . . . . . . . . . . . . . . . . 255

vi CONTENIDO

8.8.2 El filtro de lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9 Descripción Matricial de Redes 2639.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.2 La matriz indefinida de admitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.2.1 Propiedades de la matriz indefinida de admitancias . . . . . . 2659.3 La matriz definida de admitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.3.1 Reducción de multipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.4 Funciones de red de un multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.5 La MIA de redes con elementos activos . . . . . . . . . . . . . . . . 274

9.5.1 Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2759.5.2 Fuentes controladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.5.3 El amplificador operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

9.6 Circuitos con AOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.6.1 Amplificador operacional con ganancia finita . . . . . . . . . 2849.6.2 Amplificador operacional con ganancia infinita . . . . . . . . 2929.6.3 Amplificador operacional con entrada en modo diferencial . . 299

9.7 Método de Vlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3049.7.1 Fuentes aterrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3049.7.2 Fuentes flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

10 Filtros Activos 31310.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31310.2 Aproximación a la magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10.2.1 Condiciones para |H(jω)|2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31410.2.2 Cálculo de factorizaciones espectrales . . . . . . . . . . . . . 31610.2.3 Función de magnitud máxima plana . . . . . . . . . . . . . . 317

10.3 Funciones de Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32010.3.1 Propiedades de las funciones de Butterworth . . . . . . . . . 32010.3.2 Localización de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32110.3.3 Determinación del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.4 Funciones de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32510.4.1 Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32510.4.2 Propiedades de las funciones de Chebyshev . . . . . . . . . . 32710.4.3 Localización de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32810.4.4 Determinación del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

10.5 Función inversa de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.1 Función de magnitud inversa de Chebyshev . . . . . . . . . . 33210.5.2 Orden de las funciones inversas de Chebyshev . . . . . . . . . 33310.5.3 Propiedades de una función inversa de Chebyshev . . . . . . 334

CONTENIDO vii

10.5.4 Localización de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33510.6 La característica elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

10.6.1 Funciones racionales de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 33910.6.2 Funciones elípticas de red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34010.6.3 Localización de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

10.7 Aproximación de fase lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34410.8 Transformaciones en la respuesta de los filtros . . . . . . . . . . . . . 351

10.8.1 Transformación de pasa bajas a pasa altas . . . . . . . . . . . 35210.8.2 Transformación de pasa bajas a pasa banda . . . . . . . . . . 354

10.9 Aproximación por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.9.1 Filtro tipo Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.9.2 Filtro Chebyshev tipo I (directo) . . . . . . . . . . . . . . . . 36110.9.3 Filtro Chebyshev tipo II (inverso) . . . . . . . . . . . . . . . 36210.9.4 Filtro elíptico (Cauer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36410.9.5 Filtro tipo Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36610.9.6 Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.9.7 Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

11 Realización de Filtros Activos 37311.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37311.2 Realizaciones en cascada y directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

11.2.1 El amplificador VCVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.2.2 Análisis de redes con VCVS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

11.3 Filtros en configuración Sallen—Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.3.1 Función general pasa—bajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.3.2 Realización de un filtro pasa-bajas con un solo amplificador . 37911.3.3 Realización de un filtro pasa—altas con un solo amplificador . 38811.3.4 Realización de un filtro pasa—banda con un solo amplificador 399

11.4 Filtros en configuración Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.4.1 Filtro pasa bajas con AO de ganancia infinita . . . . . . . . . 40711.4.2 Filtro de paso alto con AO de ganancia infinita . . . . . . . . 41111.4.3 Filtro pasa banda con AO de ganancia infinita . . . . . . . . 414

11.5 Síntesis de filtros por variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.5.1 Implementaciones en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

12 Amplificadores de Transconductancia 43112.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

12.1.1 Modelo del OTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43112.2 Circuitos básicos con OTAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

12.2.1 Amplificador de voltaje básico . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

viii CONTENIDO

12.2.2 Realización de resistores con OTAs . . . . . . . . . . . . . . . 43612.3 Bloques de construcción con OTAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

12.3.1 Estructuras de lazo para integrador doble . . . . . . . . . . . 44112.3.2 Circuitos ecualizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

12.4 Filtros OTA en variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

13 Aplicaciones Cuasi Lineales 44913.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.2 Circuitos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.3 Rectificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

13.3.1 Rectificador de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45113.3.2 Rectificador de onda completa . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

13.4 Limitadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.5 Generación de funciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

13.5.1 Circuito multiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47913.5.2 Generador de escalera con circuito de efecto bootstrap . . . . 480

13.6 Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48313.6.1 Amplificador logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48413.6.2 Amplificador exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48713.6.3 Cálculo de funciones de potencia utilizando logaritmos . . . . 489

14 Aplicaciones no Lineales 49314.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49314.2 Multiplicadores analógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

14.2.1 Tipos de multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49314.2.2 Multiplicadores con redes de función logarítmica . . . . . . . 49514.2.3 Multiplicadores de dos cuadrantes con OTA . . . . . . . . . . 49714.2.4 El par acoplado por emisor como multiplicador . . . . . . . . 49814.2.5 Mejora de la linealidad del par diferencial . . . . . . . . . . . 50114.2.6 La célula de Gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

14.3 Aplicación a dinámica no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51214.3.1 Aspectos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51314.3.2 Elementos básicos de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51414.3.3 Realización de elementos de circuitos . . . . . . . . . . . . . . 51714.3.4 Convertidores generales de impedancia . . . . . . . . . . . . . 52014.3.5 Síntesis de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 52214.3.6 Síntesis de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

14.4 Realización de ecuaciones de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . 52714.5 Realización circuital de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 535

CONTENIDO ix

14.5.1 Oscilador de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53514.5.2 Realización práctica del oscilador de Chua . . . . . . . . . . . 53814.5.3 Estimación de la frecuencia de oscilación . . . . . . . . . . . . 547

A Redes Generalizadas 551A.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

B Teoremas de Thévenin y Norton 557B.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557B.2 Teorema de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558B.3 Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

C Análisis de la constante de tiempo de valor cero 567C.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567C.2 Constante de tiempo de valor cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

D Herramientas Numéricas para Redes 573D.1 Descomposición triangular LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

D.1.1 Método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575D.2 Análisis nodal modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576D.3 Redes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577D.4 Soluciones en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

x CONTENIDO

Lista de Figuras

1.1 (a) Red de r terminales (b) Puerto en una red. . . . . . . . . . . . . 41.2 Red de dos puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Conexiones para determinar z11 y z21 (a), y z12 y z22 (b). . . . . . . 61.4 Circuito equivalente con parámetros z. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Conexión para determinar y11 y y21 (a), y y12 y y22 (b). . . . . . . . 81.6 Circuito equivalente con parámetros y. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Conexiones para determinar a11 (a), a21 (b), a12 (c) y a22 (d). . . . . 101.8 Conexiones para determinar b11 (a), b21 (b), b12 (c) y b22 (d). . . . . 111.9 Conexiones para determinar h11 y h21 (a), h12 y h22 (b). . . . . . . . 121.10 Circuito equivalente con parámetros h. . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11 Circuitos equivalentes con parámetros h: (a) base común, (b) emisor

común, (c) colector común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.12 Circuitos equivalentes para pequeña señal según el modelo T : (a) base

común, (b) emisor común, (c) colector común. . . . . . . . . . . . . . 141.13 Conexiones para determinación g11 y g21 (a), g12 y g22 (b). . . . . . . 211.14 Circuito simplificado de un transistor en emisor común. . . . . . . . 231.15 Amplificador diferencial con transistores BJT. . . . . . . . . . . . . . 241.16 Modelo híbrido de pequeña señal del amplificador diferencial. . . . . 251.17 Modelo simplificado de un transistor MOS en fuente común. . . . . . 261.18 Conexiones para determinar los parámetros y. . . . . . . . . . . . . . 261.19 Modelo equivalente T de un transistor en base común. . . . . . . . . 281.20 Conexiones para encontrar los hij : (a) h11 y h21, (b) h12 y h22. . . . 281.21 Conexiones para encontrar los gij : (a) g11 y g21, (b) g12 y g22. . . . . 291.22 Red de dos puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.23 Amplificador en simetría complementaria. . . . . . . . . . . . . . . . 331.24 Amplificador bipolar en cascada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.25 Amplificador BC—EC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1 Conexión serie—serie de dos redes de dos puertos. . . . . . . . . . . . 362.2 Forma experimental de las pruebas de Brune. Conexión serie. . . . . 37

xi

xii LISTA DE FIGURAS

2.3 Red lineal activa de dos puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Red dividida donde se observa la conexión serie. . . . . . . . . . . . 382.5 Representación de una red unilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Conexión paralelo—paralelo de dos redes de dos puertos. . . . . . . . 392.7 Pruebas de Brune. Conexión en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Diagrama de pequeña señal para un transistor MOS. . . . . . . . . . 412.9 Partición en paralelo de la red del transistor MOS. . . . . . . . . . . 412.10 Conexión en cascada de dos redes de dos puertos. . . . . . . . . . . . 422.11 Conexión en serie—paralelo de dos redes de dos puertos. . . . . . . . 432.12 Amplificador de dos etapas con transistores bipolares. . . . . . . . . 442.13 Equivalente de pequeña señal del amplificador de dos etapas. . . . . 452.14 Equivalente para encontrar los parámetros hij totales. . . . . . . . . 462.15 Conexión en paralelo—serie de dos redes de dos puertos. . . . . . . . 472.16 Amplificador con FET como dispositivo de entrada. . . . . . . . . . 492.17 Equivalente híbrido del amplificador FET. . . . . . . . . . . . . . . . 502.18 Equivalente de parámetros gij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.19 Red de dos puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.20 Circuitos bilaterales: (a) Red en T. (b) Red en π. . . . . . . . . . . . 53

3.1 (a) Amplificador de tensión. (b) Fuente de tensión controlada portensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 (a) Amplificador de corriente. (b) Fuente de corriente controlada porcorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 (a) Amplificador de transconductancia. (b) Fuente de corriente con-trolada por tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 (a) Amplificador de transimpedancia. (b) Fuente de tensión contro-lada por corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5 Circuito equivalente de un amplificador operacional. . . . . . . . . . 633.6 AO Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.7 Ancho de banda del AO LM6171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8 Producto ancho de banda por ganancia vs carga capacitiva en un AO

LM6171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.9 Influencia de la impedancia de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10 Influencia de la tensión offset de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . 683.11 (a) Pines de anulación de offset conectados a los emisores. (b) Pines

de anulación de offset conectados a los colectores. . . . . . . . . . . . 693.12 Influencia de la corriente de polarización de entrada. . . . . . . . . . 703.13 Influencia de la impedancia de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.14 Efecto de la velocidad de respuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.15 Velocidad de respuesta en un LM6171. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

LISTA DE FIGURAS xiii

3.16 Circuito de prueba para observar la velocidad de respuesta. . . . . . 743.17 Ondas de entrada y salida del circuito de la Fig. 3.16. Obsérvese la

deformación producida por la limitación del SR. . . . . . . . . . . . . 743.18 Respuesta de corriente de ruido en un amplificador. . . . . . . . . . . 763.19 Respuesta de tensión de ruido en un amplificador. . . . . . . . . . . 763.20 Hoja de datos de un amplificador típico. . . . . . . . . . . . . . . . . 773.21 Circuito simplificado de un amplificador operacional donde se indican

las etapas principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.22 Amplificación de tensión y desplazamiento de fase vs frecuencia.(según

[40]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.23 Circuito para la medición del margen de fase. . . . . . . . . . . . . . 803.24 Respuesta temporal de la red de la Fig. 3.23. . . . . . . . . . . . . . 803.25 Elongación de la tensión de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.26 Amplificador de instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.27 Amplificador inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.28 Amplificador no inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.29 Amplificador inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.30 Amplificador diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.31 Red donde se indican las corrientes de polarización y tensión de offset. 893.32 Amplificador con tensiones indeseables. . . . . . . . . . . . . . . . . 903.33 Amplificador de instrumentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1 Red general con un amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . 924.2 Amplificadores básicos con AO: (a) modo inversor, (b) modo no in-

versor (c) seguidor de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3 Respuesta temporal de los amplificadores básicos: (A) señal de en-

trada, (B) salida modo inversor, (C) salida modo no inversor, (D)salida seguidor de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Amplificador restador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5 Tensión de salida en el AO en modo restador. . . . . . . . . . . . . . 954.6 Circuito pórtico con AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Circuito NIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8 (a) Fuente regulada de corriente, (b) equivalente para análisis. . . . 974.9 Circuito integrador de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.10 Amplificador sumador—restador con parámetros de ajuste. . . . . . . 994.11 Realización de una función lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.12 Esquema del circuito para resolver un sistema de ecuaciones alge-

braicas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.13 Resultado de la simulación para el ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . 1064.14 Implementación en tiempo real de la ecuación y(t)+3y(t)+y(t) = u(t).107

xiv LISTA DE FIGURAS

4.15 Respuesta en el tiempo de la ecuación diferencial y + 3y + y = u . . 1084.16 Respuesta en frecuencia. A: salida (dos integraciones), B: una inte-

gración, C: no integración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.17 Red analógica que permite resolver una ecuación diferencial lineal

ordinaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.18 Respuesta obtenida de la ecuación diferencial. . . . . . . . . . . . . . 1104.19 Simulación en Matlab de la ecuación diferencial del ejemplo. . . . . . 111

5.1 Red RLC serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2 Magnitud de la función de sensibilidad para una red RLC. Línea su-

perior (azul): |Y (jω)| . Línea inferior (roja): ReSYR (jω). . . . . . . . 120

5.3 Fase de la función de sensibilidad de una red RLC. Línea superior(azul): arg Y (jω). Línea inferior (roja): ImSYR (jω). . . . . . . . . . . 121

5.4 Red con sensibilidad de coeficientes ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Red con elemento activo y con sensibilidad > 1. . . . . . . . . . . . . 1255.6 Filtro de tercer orden pasa—bajas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7 Red con un elemento parásito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.8 Modelo de un amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.9 Integrador amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.10 Circuito paralelo RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.11 Red con sensibilidad de coeficientes ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.1 Sistema retroalimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.2 Efecto del ruido presente a la entrada de un sistema. . . . . . . . . . 1456.3 Efecto del ruido en el punto interno de un sistema. . . . . . . . . . . 1466.4 Sistema con varias perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5 Esquema del circuito que permite identificar los efectos de la real-

imentación sobre las perturbaciones producidas por una fuente dealimentación mal condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.6 Amplificador no realimentado. A: Señal en vA. B: Forma de onda enla salida del rectificador de la Fig. 6.5. C: Modulación en la forma deonda de la señal de salida producida por mala filtración en la fuentede alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.7 Amplificador realimentado. A: Forma de onda de la señal de la fuentede polarización positiva. B: Señal predistorsinada en vA. C: Señal desalida del amplificador con realimentación. . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.8 Amplificador de potencia clase B no lineal. . . . . . . . . . . . . . . 1516.9 Característica de transferencia del amplificador de potencia clase B. 1516.10 Tensión de salida de un amplificador clase B mostrando la distorsión

de cruce por cero inherente al sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

LISTA DE FIGURAS xv

6.11 Circuito con realimentación negativa que permite eliminar la distor-sión de cruce por cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.12 Efectos de la realimentación: La curva A muestra la señal predistor-sionada en vA, mientras que la curva B muestra la forma de onda enla salida, una vez que se ha aplicado la realimentación. . . . . . . . 153

6.13 Salida del circuito realimentado, tomado con escopómetro. . . . . . . 1536.14 Sistema retroalimentado con varias perturbaciones. . . . . . . . . . . 1566.15 Respuesta en frecuencia de un sistema realimentado. . . . . . . . . . 1596.16 Realimentación serie—serie (muestreo corriente, comparación tensión). 1616.17 Realimentación paralelo—paralelo (muestreo tensión, comparación co-

rriente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.18 Realimentación serie—paralelo (muestreo tensión, comparación tensión).1666.19 Realimentación paralelo—serie (muestreo corriente, comparación co-

rriente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.20 Realimentación serie—serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.21 (a) Amplificador con realimentación serie. (b) Equivalente circuital

de pequeña señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.22 (a) Circuito para calcular impedancia de entrada. (b) Circuito para

calcular impedancia de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.23 Circuito para calcular ganancia de voltaje en lazo abierto. . . . . . . 1756.24 Realimentación negativa de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.25 Circuito equivalente del sistema realimentado. . . . . . . . . . . . . . 1776.26 Circuito realimentado en paralelo—paralelo. . . . . . . . . . . . . . . 1796.27 (a) Circuito realimentado paralelo usando amplificador operacional.

(b) Circuito equivalente de (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.28 Circuito con red directa y red de realimentación. . . . . . . . . . . . 1826.29 Circuito realimentado serie—paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.30 Circuito transistorizado con realimentación serie—paralelo. . . . . . . 1866.31 Modelo de pequeña señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.32 Circuito reducido de pequeña señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.33 Realimentación paralelo—serie (muestreo serie, comparación serie). . 1906.34 Circuito realimentado paralelo—serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.35 Modelo de pequeña señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.36 Circuito reducido de pequeña señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.37 Amplificador serie—serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.38 Realimentación paralelo—paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.39 Amplificador híbrido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.40 Amplificador realimentado con realimentación negativa de tensión. . 2016.41 Red con dos AOs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.42 Red con realimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

xvi LISTA DE FIGURAS

6.43 AO como VCCS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.44 Realimentación positiva y negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.45 Amplificador diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.46 Amplificador de potencia BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.47 Amplificador diferencial y BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.1 Circuito con realimentación positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.2 (a) Oscilador de desfasamiento con transistor. (b) Circuito equivalente.2097.3 Oscilador por desplazamiento de fase con AO. . . . . . . . . . . . . . 2117.4 Circuito equivalente de pequeña señal del oscilador. . . . . . . . . . . 2127.5 Transitorio de la respuesta del oscilador por desplazamiento de fase. 2137.6 (a) Oscilador en puente de Wien. (b) Circuito para determinar BA. 2147.7 Oscilador en puente de Wien con potenciómetro de calibración. . . . 2167.8 Respuesta del oscilador en puente de Wien. . . . . . . . . . . . . . . 2167.9 (a) Oscilador de colector sintonizado. (b) Circuito equivalente. . . . 2177.10 Construcción práctica del oscilador sintonizado de filtro pasa banda

y limitador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.11 Respuesta del oscilador de Antoniou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.12 (a) Oscilador de Colpitts. (b) Oscilador de Hartley. . . . . . . . . . . 2207.13 (a) Oscilador Acoplado. (b) Circuito equivalente T del oscilador

acoplado del ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.14 Circuito equivalente de un cristal piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . 2247.15 (a) Oscilador con cristal tipo Pierce. (b) Equivalente circuital. . . . 2257.16 Oscilador Colpitts utilizando un AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.17 Señal senoidal generada por el oscilador Colpitts. . . . . . . . . . . . 230

8.1 Operación de los dispositivos comparadores. . . . . . . . . . . . . . . 2328.2 Circuito comparador de umbral no inversor. Nótese que el LM339

requiere una resistencia pull—up, Rp, para polarizarse adecuadamente[48]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.3 Característica de transferencia del comparador de umbral. . . . . . . 2338.4 Configuración inversora para el comparador de umbral no inversor. . 2348.5 Característica de transferencia del comparador de umbral. . . . . . . 2348.6 Comparador de umbral en modo inversor. . . . . . . . . . . . . . . . 2358.7 Característica de transferencia del comparador de umbral en modo

inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.8 Disparador de Schmitt en el modo no inversor. . . . . . . . . . . . . 2368.9 Característica de transferencia de un disparador Schmitt en modo no

inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.10 Disparador Schmitt en modo inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

LISTA DE FIGURAS xvii

8.11 Característica de transferencia de un disparador de Schmitt en modoinversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.12 Disparador Schmitt con tensión de referencia. . . . . . . . . . . . . . 2398.13 Característica de transferencia del disparador Schmitt con tensión de

referencia negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.14 Generador de ondas cuadradas: (a) Diagrama circuital; (b) Forma de

onda de salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.15 Generador de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.16 Generador de ondas triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.17 (a) Tren de pulsos (b) Integración de (a). . . . . . . . . . . . . . . . 2448.18 Generador de onda en diente de sierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.19 Generador de ondas cuadradas y triangualares controlado por fre-

cuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.20 Generador de ondas cuadradas cuya frecuencia es controlada por vc. 2468.21 Diagrama de bloques interno del temporizador 555. . . . . . . . . . . 2478.22 Operación en modo astable del 555. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.23 Formas de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.24 Circuito monoestable disparado con un oscilador astable. . . . . . . 2518.25 Formas de onda en la entrada y la salida del circuito monoestable. . 2518.26 Generador diente de sierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.27 Formas de onda del generador diente de sierra. . . . . . . . . . . . . 2538.28 Circuito PLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.29 Diagrama de bloques de un PLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2558.30 Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia de un PLL de primer

orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.31 (a) Filtro RC. (b) Lugar de las raíces. (c) Respuesta en lazo cerrado. 2578.32 (a) Filtro con resistor de amortiguación. (b) Lugar de las raíces. (c)

Respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

9.1 Red multipolo flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.2 Red pasiva sin nodo de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.3 Red activa sin nodo de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669.4 Conversión de una red de tres a dos puertos. . . . . . . . . . . . . . 2679.5 Reducción de un multipolo por contracción . . . . . . . . . . . . . . 2689.6 Reducción de un multipolo por supresión. . . . . . . . . . . . . . . . 2709.7 Red multipolo con n terminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2729.8 Circuito T−puenteado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.9 Equivalente del transistor en EC en términos de los parámetros y. . 2759.10 Equivalente del transistor en EC en función de los parámetros h. . . 2769.11 Circuito equivalente T para el transistor en emisor común. . . . . . . 277

xviii LISTA DE FIGURAS

9.12 Topologías de fuentes controladas y su definición. . . . . . . . . . . . 2789.13 Fuentes controladas no ideales y su definición. . . . . . . . . . . . . . 2799.14 (a) Amplificador operacional ideal. (b) Amplificador operacional real. 2809.15 Red equivalente del amplificador operacional con fuente de corriente. 2819.16 Red con un amplificador operacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2819.17 Descomposición de la red activa en dos subredes. . . . . . . . . . . . 2829.18 Red de n+1 terminales conectada a una fuente de tensión controlada

por tensión ideal aterrizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2849.19 Red activa en la cual se emplea un AO como V CV S. . . . . . . . . 2859.20 Filtro activo pasa bajo utilizando AOs como V CV S. . . . . . . . . . 2869.21 Filtro activo pasa banda usando un AO como V CV S. . . . . . . . . 2879.22 Simulación de una inductancia con una red activa. . . . . . . . . . . 2899.23 Simulación de una inductancia a través de una red RC. . . . . . . . 2919.24 Red de n+1 terminales conectada a una fuente de tensión controlada

por tensión ideal aterrizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929.25 Red con amplificador operacional de ganancia infinita. . . . . . . . 2939.26 Red con amplificador operacional y red definida en zij . . . . . . . . . 2959.27 Cuadripolo RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.28 Respuesta frecuencial del filtro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.29 Red con amplificador operacional de ganancia infinita. . . . . . . . . 2989.30 Integrador doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2999.31 Multipolo activo con amplificador operacional en modo diferencial. . 3009.32 Red activa con amplificador operacional en modo diferencial. . . . . 3019.33 Amplificador para instrumentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029.34 Tensión de salida con relación a R/Rx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3039.35 Red con amplificador operacional y cuadripolo RC. . . . . . . . . . 3039.36 Red con fuentes aterrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3049.37 Realización de un convertidor de impedancia generalizada (GIC ). . . 3059.38 Filtro pasivo de cuarto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3079.39 Realización de un filtro usando la red de Antoniou. . . . . . . . . . . 3079.40 Respuesta en frecuencia de los filtros realizados con elementos pasivos

y activos, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3089.41 Red con fuente flotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3089.42 Filtro pasa banda de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109.43 Amplificador para instrumentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

10.1 Diagrama de magnitud de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31810.2 Diagrama de magnitud de Bode de la función H(s) = s+1

s2+√3s+1

. . . . 32010.3 Filtro de Paso Bajo Butterworth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32110.4 Diagrama de polos y ceros de una función racional. . . . . . . . . . . 323

LISTA DE FIGURAS xix

10.5 Especificaciones para un filtro de paso bajo. . . . . . . . . . . . . . . 32410.6 Respuesta de una función de igual rizo con coeficientes de Chebyshev. 32610.7 Gráficas de la respuesta de magnitud vs frecuencia para una función

con igual rizo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.8 Respuesta de Magnitud vs Frecuencia de una Función de Chebyshev

de cuarto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.9 Respuesta de magnitud vs frecuencia para un filtro con función de

Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33110.10 Parámetros de la característica de magnitud inversa de Chebyshev. 33310.11 Respuesta de la función inversa de Chebyshev, |H(jω)|2, para n = 4. 33510.12 Respuesta de magnitud vs frecuencia de una función inversa de

Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33810.13 Característica de magnitud vs frecuencia en un filtro elíptico. . . . . 34410.14Respuesta de Bode de dos funciones de transferencia tipo Bessel. Ob-

sérvese la respuesta de fase en cada caso. . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.15 Repuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa altas. . . . . . . 35410.16 Respuesta de magnitud vs frecuencia de un filtro pasa altas tipo

Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35510.17 Respuesta en frecuencia de una función de red pasa banda. . . . . . 35710.18 Función de red rechaza banda tipo inverso de Chebyshev. . . . . . . 35910.19 Respueta frecuencial del filtro de Butterworth. . . . . . . . . . . . . 36110.20 Respuesta frecuencial del filtro de Chebyshev II. . . . . . . . . . . . 36310.21 Respuesta frecuencial del filtro elíptico. . . . . . . . . . . . . . . . . 366

11.1 Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS). . . . . . . . . . . 37411.2 Realizaciones de VCVS : (a) modo no inversor, (b) modo inversor. . 37511.3 Configuración general de filtro con sólo un AO. . . . . . . . . . . . . 37611.4 Red activa RC con un amplificador operacional de ganancia finita μ. 37711.5 Filtro genérico de Rouch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.6 Relación entre los parámetros definidos por los polos. . . . . . . . . . 37911.7 Filtro de paso bajo en configuración Sallen—Key. . . . . . . . . . . . 38011.8 Filtro pasa bajas Sallen—Key. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38211.9 Respuesta en frecuencia del filtro de paso bajo Sallen—Key. . . . . . 38211.10 Filtro de Sallen—Key con ganancia unitaria. . . . . . . . . . . . . . . 38611.11 Respuesta en frecuencia del filtro de Sallen—Key de paso bajo con

ganancia unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38611.12 Filtro Sallen—Key de paso alto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38811.13 Filtro Sallen—Key de paso alto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.14 Respuesta frecuencial de un filtro Sallen—Key de paso alto. . . . . 39111.15 Filtro de paso alto Sallen—Key con ganancia unitaria. . . . . . . . . 396

xx LISTA DE FIGURAS

11.16 Respuesta en frecuencia del filtro de Sallen—Key de paso alto conganancia unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

11.17 Circuito de Sallen—Key obtenido para una ganancia μ = 2. . . . . . 39811.18 Respuesta en frecuencia de un filtro Sallen—Key de paso alto. . . . . 39811.19 Realización de un filtro Sallen—Key pasabanda. . . . . . . . . . . . . 40011.20 Realización del filtro pasa banda tipo Sallen—Key. . . . . . . . . . . 40211.21 Respuesta de la magnitud vs frecuencia del filtro pasa banda Sallen—

Key. Nótese el valor del cursor en la frecuencia central medida. . . . 40311.22 Filtro pasa banda tipo Sallen—Key según el método de diseño 2. . . 40511.23 Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa banda tipo

Sallen—Key. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.24 Realización de un filtro pasa bajas tipo Rouch. . . . . . . . . . . . 41011.25 Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa bajas tipo Rouch. 41011.26 Filtro pasa altas tipo Rouch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41311.27 Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa altas tipo Rouch.

Curva A: Amplificador LM741/NS. Curva B : Amplificador LM6365. 41411.28 Filtro pasa banda tipo Rouch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41711.29 Respuesta frecuencial del filtro pasa banda tipo Rouch. . . . . . . . 41711.30 Implementación de un filtro de Chebyshev utilizando variables de

estado en modo controlable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41911.31 Respuesta frecuencial del filtro de Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . 42011.32Implementación de una ecuación diferencial en forma de Jordan. . . 42511.33Respuesta frecuencial del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42611.34 Circuito electrónico correspondiente a la descomposición en bloques

de Jordan de la ecuación (11.5.131). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42711.35 Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro inverso de Chebyshev. 428

12.1 Circuito básico de un amplificador operacional de transconductancia. 43212.2 (a) Símbolo del OTA. (b) Equivalente circuital. . . . . . . . . . . . . 43412.3 Amplificador de tensión utilizando OTA. . . . . . . . . . . . . . . . . 43512.4 (a) Realización de un resistor aterrizado. (b) Circuito equivalente. . 43612.5 (a) Realización de un resistor flotante. (b) Circuito equivalente. . . . 43712.6 Circuito sumador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43812.7 Integrador con entrada diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43812.8 Integrador amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43912.9 Simulación de un inductor aterrizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44012.10 Simulación de un inductor flotante.(a) Arreglo OTA. (b) Circuito

equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44012.11 Filtro de paso bajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44112.12 Respuesta en frecuencia del filtro de paso bajo tipo OTA. . . . . . . 442

LISTA DE FIGURAS xxi

12.13 Filtro activo de segundo orden OTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.14 Ecualizador activo con OTAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44412.15 Filtro programable en variables de estado. . . . . . . . . . . . . . . 44512.16 Circuito con OTAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44612.17 Circuito con OTAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44612.18 Filtro de paso bajo con OTAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44712.19 Circuito con OTAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

13.1 (a) No linealidad conectada a una red lineal de parámetros concentra-dos invariantes en el tiempo. (b) Equivalente Thevenin de la porciónlineal de la red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

13.2 Rectificador de media onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45113.3 Respuesta en el tiempo de un rectificador de media onda. . . . . . . 45113.4 Circuito equivalente con excitación positiva. . . . . . . . . . . . . . . 45213.5 Circuito equivalente con excitación negativa. . . . . . . . . . . . . . . 45213.6 Respuesta entrada—salida del rectificador de precisión. . . . . . . . . 45313.7 Rectificador con salida negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45313.8 Respuesta temporal del rectificador de media onda. . . . . . . . . . . 45413.9 Respuesta salida—entrada del rectificador. . . . . . . . . . . . . . . . 45413.10 Red con desplazamiento de eje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45513.11Desplazamiento del punto de quiebre producido por diferentes valores

paramétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45613.12 Desplazamiento de nivel de la relación de transferencia en el rectifi-

cador de media onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45713.13Desplazamiento de nivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45813.14 Red que permite desplazamiento en cuatro cuadrantes. . . . . . . . 45813.15Desplazamiento de nivel en cuatro cuadrantes. . . . . . . . . . . . . 45913.16 Circuito rectificador de onda completa. . . . . . . . . . . . . . . . . 46013.17Respuesta del rectificador de onda completa en el plano de fase. . . . 46113.18 Rectificador de onda completa con tensiones de desplazamiento hor-

izontal y vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46113.19Desplazamineto del rectificador de onda completa en el plano de fase. 46213.20 Divertimento alrededor del Ejemplo 89. . . . . . . . . . . . . . . . . 46313.21 Limitador realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.22 Equivalente Thevenin de la red diodo y circuito asociado. . . . . . . 46513.23Circuito equivalente como un sumador. . . . . . . . . . . . . . . . . 46513.24Característica de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.25 Respuesta temporal del circuito limitador. . . . . . . . . . . . . . . 46713.26 Respuesta temporal para el caso de referencia negativa. . . . . . . . 46713.27Característica de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

xxii LISTA DE FIGURAS

13.28Característica de transferencia del limitador. . . . . . . . . . . . . . 46813.29Limitador de la señal positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46913.30 Limitador doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46913.31Respuesta temporal del limitador de doble pico. . . . . . . . . . . . . 47013.32Característica de transferencia del limitador doble. . . . . . . . . . . 47013.33 Circuito modulador de amplitud utilizando un limitador doble. . . . 47113.34 Respuesta temporal del modulador de amplitud. . . . . . . . . . . . 47213.35 Función aproximada por tramos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47313.36Circuito no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47313.37 Circuito no lineal con D1 conduciendo. . . . . . . . . . . . . . . . . 47413.38Circuito no lineal con D1 y D2 conduciendo. . . . . . . . . . . . . . . 47513.39Construcción de la curva lineal por tramos. . . . . . . . . . . . . . . 47513.40 Circuito con respuesta no lineal para segundo y cuarto cuadrante. . 47613.41Respuesta de transfe-rencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47713.42 Circuito que genera la ecuación y = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . 47813.43 Tensión de salida vs. entrada de la Fig. 13.42. . . . . . . . . . . . . 47813.44 Diagrama de bloques del multiplicador. . . . . . . . . . . . . . . . . 47913.45 Circuito multiplicador basado en funciones no lineales de la forma

y = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48013.46Plano de fase para ondas con relación de frecuencia 1:2 (superior) y

5:6 (inferior). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48013.47 Salida del circuito multiplicador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48113.48 Generador de escalera con circuito de efecto bootstrap. . . . . . . . 48113.49 Forma de onda de salida (tipo escalera). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48213.50 Circuito generador de barrido de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . 48213.51 Respuesta en el plano de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48313.52Amplificador logarítmico con diodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48413.53 (a) Amplificador logarítmico con transistor. (b) Amplificador loga-

rítmico con compensación de frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 48513.54 Amplificador logarítmico compensado térmicamente. . . . . . . . . . 48613.55Función de red exponencial simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48713.56 Red de función exponencial compensada térmicamente. . . . . . . . 48813.57 Red general para elevar a una potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . 48913.58 Circuito limitador con diodos Zener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49013.59 Circuito limitador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49113.60 Circuito limitador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

14.1 Multiplicación con función logarítmica y exponencial. . . . . . . . . . 49614.2 Multiplicador de dos cuadrantes utilizando un OTA y dos AOs. . . . 49714.3 Par acoplado por emisor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

LISTA DE FIGURAS xxiii

14.4 Característica de transferencia del par acoplado por emisor . . . . . . 50014.5 Multiplicador análogo de dos cuadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . 50114.6 Par acoplado por emisor realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50214.7 Par acoplado por emisor con predistorsión y realimentación de emisor. 50614.8 Célula de Gilbert básica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50814.9 Multiplicador completo utilizando la célula de Gilbert y circuitos de

predistorsión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51114.10 Realización del sistema no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51414.11 Convertidores (a) Convertidor tensión — tensión, (b) Convertidor

co-rriente — tensión, (c) Convertidor corriente — corriente, (d) Con-vertidor tensión — corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

14.12Símbolo para el diodo de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51614.13 Diagrama esquemático de (a) un VNIC, (b) un INIC. . . . . . . . . 51714.14 Diagramas esquemáticos del circuito para un resistor negativo, un capacitor

negativo y un inductor negativo. (a) VNIC. (b) INIC. (c) Elementos decircuito, los cuales realizan un resistor negativo, un capacitor negativo y uninductor negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

14.15 Diagramas esquemáticos de los circuitos para resistor, capacitor e inductorflotantes, (a y b) Se dispone de dos clases de circuitos flotantes. (c) Elemen-tos de circuitos, los cuales realizan un resistor, un capacitor o un inductorflotantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

14.16 Diagrama esquemático de (a) un convertidor tensión — corriente, (b)un buffer, (c) un convertidor corriente — tensión. . . . . . . . . . . . 519

14.17 Circuito convertidor general de impedancia. . . . . . . . . . . . . . . 52014.18 Diagrama esquemático de un GIC flotante. . . . . . . . . . . . . . . 52114.19 Realización de un sistema no lineal con base a los diodos de Chua. . 52214.20 Realización de la ecuación dxj/dt = ajkxk. . . . . . . . . . . . . . . 52414.21 Realización de la j−ésima ecuación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52414.22 Circuito equivalente en caso de simetría, aij = aji. . . . . . . . . . . 52514.23 Circuitos equivalentes a redes LCR. (a) Circuitos equivalentes con dinámica:

x1 = x2, x2 = −x1. (b) Circuitos equivalentes con dinámica: x1 = x2,x2 = −x1 − x2. (c) Circuitos equivalentes con dinámica: x1 = x2 + x3,x2 = −x1, x3 = −x1. (Según [30]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

14.24 Circuito equivalente a una red abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . 52614.25 Realización de la j−ésima ecuación: (a) Realización de la admitancia Y (s).

(b) Los elementos yij(s) se realizan utilizando un capacitor y resistores.(Según [30]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

14.26Solución gráfica de una ecuación diferencial no lineal. . . . . . . . . . 52914.27Circuito correspondiente a la solución de un sistema de ecuaciones

diferenciales no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

xxiv LISTA DE FIGURAS

14.28Respuesta en el tiempo del sistema de ecuaciones diferenciales imple-mentada con una red electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

14.29Respuesta en el plano de fase del sistema de ecuaciones diferencialesno lineales implementadas con una red electrónica. . . . . . . . . . . 532

14.30 Realización de una admitancia Y (s) y de una impedancia Z(s). (a) y(b) Realización de la suma de fracciones parciales. (c) Realización de unafracción continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

14.31 Realización del oscilador de Chua. (a) El circuito no lineal se realiza direc-tamente de la ecuación del sistema. (b) Se eliminan los resistores conectadosen paralelo de valor −1 y 1. Los 2 resistores con resistencia de 1 y −2 seintercambian con un resistor de resistencia −1. Se eliminan los buffers, y elsubcircuito se intercambia con un resistor de valor 1. . . . . . . . . . . . 536

14.32 Realización del oscilador de Chua. (a) Parte del circuito realizadose intercambia con el circuito equivalente LCR. (b) Realización de laadmitancia Y (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

14.33 Convertidor de impedancia negativa. (a) Diagrama circuital. (b)Característica i− v de la resistencia negativa. . . . . . . . . . . . . . 539

14.34 Conexión de dos resistores lineales en paralelo. (a) Circuito, (b)relación i− v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

14.35 Diagrama final del oscilador de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54114.36 Oscilaciones caóticas en el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54114.37 Circuito esquemático del oscilador de Chua. . . . . . . . . . . . . . 54214.38I zquierda: Respuesta en el espacio de fase del oscilador de Chua. Derecha:

Imagen fotográfica, tal como se aprecia en un osciloscopio. . . . . . . . . . 54214.39 Oscilador de Chua con red osciladora lineal en puente de Wien. . . 54314.40 Circuito equivalente del oscilador de Chua. . . . . . . . . . . . . . . 54414.41 Respuesta en el espacio de fase del oscilador de Chua utilizando un

oscilador lineal de puente de Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54514.42 Oscilador de Chua con red de oscilación de tercer orden en puente

doble T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54514.43 Respuesta en el tiempo del oscilador de Chua con puente doble T. . 54614.44 Trayectoria del oscilador de Chua con puente doble T. . . . . . . . . 54714.45 Realización del oscilador canónico de Chua. . . . . . . . . . . . . . . 549

A.1 Redes genéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552A.2 Circuito lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

B.1 Circuito segmentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557B.2 Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton . . . . . . . . . . . . . 558B.3 Circuito general para obtener el equivalente Thévenin. . . . . . . . . 559

LISTA DE FIGURAS xxv

B.4 Circuito equivalente de Thévenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560B.5 Red cuyo equivalente de Thévenin se desea encontrar. . . . . . . . . 561B.6 Circuito generalizado para hallar el equivalente Norton. . . . . . . . 563B.7 Circuito equivalente de Norton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564B.8 Red cuyo equivalente de Norton se desea encontrar. . . . . . . . . . . 565

C.1 Circuito equivalente de pequeña señal de una etapa en EC. . . . . . 568C.2 Circuito equivalente para el cálculo de Rμ0 de la Fig. C.1. . . . . . 571

D.1 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577D.2 Circuito con elemento no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

xxvi LISTA DE FIGURAS

Lista de Tablas

1.1 Parámetros h: Equivalencias. Relación con parámetros T . . . . . . . 171.2 Equivalencia entre parámetros para redes de dos puertos . . . . . . . 221.3 Relaciones entre parámetros para redes recíprocas y simétricas de dos

puertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 Comparación entre AOs bipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Comparación entre AOs BiFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1 Cálculo de los parámetros del amplificador . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1 Propiedades de la función de sensibilidad relativa. . . . . . . . . . . 1175.2 Sensibilidad de los coeficientes para una red RLC en serie. . . . . . 1235.3 Sensibilidad de los coeficientes para una red RLC en serie—paralelo. 1245.4 Casos de la sensibilidad de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.1 Comportamiento de las redes realimentadas. . . . . . . . . . . . . . 197

7.1 Cortes comunes de cristales de cuarzo osciladores (RCA Co.) . . . . 224

9.1 Parámetros de dos puertos para fuentes controladas . . . . . . . . . 2789.2 Matrices de admitancia de fuentes controladas no ideales. . . . . . . 279

10.1 Polos de una Función de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33010.2 Ceros y polos de una Función Inversa de Chebyshev . . . . . . . . . 33710.3 Valores de los parámetros del filtro elíptico . . . . . . . . . . . . . . 34310.4 Frecuencias de corte alto y bajo en una transformación de LP a BP. . . . 35710.5 Transformación de pasa bajas a pasa banda con frecuencia central

normalizada del pasa banda a 1 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . 358

13.1 (a) Valores de la función. (b) Pendientes resultantes. . . . . . . . . . 477

14.1 Clasificación de los multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

xxvii

xxviii LISTA DE TABLAS

14.2 Realización de los elementos z(s) y y(s). . . . . . . . . . . . . . . . 535

Prólogo

Ya han transcurrido diez años desde que se publicó la primera edición de este textodestinado a los estudiantes de pregrado de la UTP. En esta década se han elaboradonuevas técnicas en el análisis de las redes electrónicas y se han encontrado otrasaplicaciones a los modelos ya conocidos.

La aplicación del computador a la ciencia y la tecnología ha permitido desarrollarherramientas de software y hardware las cuales han permitido conocer directamenteel comportamiento de sistemas físicos. Como un siguiente paso en la teoría delconocimiento de los sistemas, la experimentación ha llegado a ser el medio más ade-cuado para el estudio de su comportamiento. En ingeniería, se requiere el desarrollode experimentos diseñados cuidadosamente para concebir y verificar los conceptosteóricos, desarrollar nuevos métodos y productos, construir nuevos sistemas con,cada vez, mayor complejidad y evaluar el comportamiento y optimización de lossistemas existentes.

Las herramientas proporcionadas por el computador han permitido un avancenunca antes visto en los métodos de enseñanza y en el análisis de los resultados: laemulación y la simulación de procesos físicos.

En lo que tiene que ver con redes eléctricas, la revolución es impactante. Exis-ten paquetes que realizan, virtualmente cualquier tarea que se requiera. Otra cosaes; sin embargo, el análisis “a mano” de redes eléctricas: tradicionalmente se haseguido el método de sustituciones sucesivas con base en la aplicación directa de lasecuaciones de Kirchhoff. Cuando la red es relativamente compleja el método se hacetedioso y de difícil cálculo y baja confiabilidad. Si se quiere desarrollar un programade computador, es muy complicado establecer algoritmos funcionales, sin tener encuenta que, muchas veces se desconfigura la topología de la red, para facilitar elcálculo.

El principal interés del autor, al escribir este libro, es dar un tratamiento elemen-tal de la teoría de sistemas electrónicos análogos con el criterio de las estructuras dematrices, la cual es muy apropiada para la generación de algorítmos de computador.

El libro surge de varios años de experiencia del autor en diferentes cursos dic-tados a estudiantes de pregrado. Los requisitos para su completa comprensión son:

xxix

xxx PRÓLOGO

Elementos de álgebra lineal, Transformada de Laplace y teoría elemental de circuitoseléctricos y electrónicos.

El texto consta de catorce capítulos. El primer capítulo constituye un estudio,a modo de repaso, de las redes de circuitos eléctricos desde el punto de vista demultipolos descritos en el dominio de la frecuencia. Se hace énfasis en los cuadripolos,los cuales al fin de cuentas, constituyen el modelo físico más apropiado para describirredes electrónicas análogas. También se hace un estudio de los diferentes modelosde interés, con ejemplos resueltos.

El segundo capítulo trata de la interconexión de cuadripolos y de la forma mássimple para desarrollar su análisis. Se podrá observar, v. gr., que el modelo directode análisis para cuadripolos en serie no es el mismo que para la conexión paralela,etc. Se hace énfasis en la aplicación de la metodología en la solución de algunosproblemas típicos en circuitos electrónicos básicos.

El tercer capítulo enfoca el estudio del amplificador operacional (AO) desde elpunto de vista de sus características eléctricas y sus propiedades físicas. Este capítuloconcluye con el estudio de los dispositivos más adecuados para cada aplicación, conalgunos criterios de selección.

El capítulo cuarto trata de las aplicaciones lineales básicas de los AOs. Se enfa-tiza la utilización de estos dispositivos en la solución de sistemas de ecuaciones tantoalgebraicas como diferenciales lineales con coeficientes constantes. Un requisito parasu adecuada comprensión es el conocimiento elemental de ecuaciones diferencialesordinarias, así como su representación en variables de estado. Sin embargo, hayejemplos resueltos que ayudan a aclarar la teoría expuesta.

El capítulo quinto tiene que ver con un aspecto importante para el diseño desistemas, la sensibilidad. Este aspecto es tan importante que aunque un diseñoaparentemente sea atractivo por su solución, una mala respuesta a la sensibilidadlo hace inútil. El diseñador debe identificar los problemas factibles que presentesu diseño antes de iniciar la etapa de montaje del sistema. En este capítulo seestudian algunos métodos que ayudarán a comprender los fenómenos de sensibilidadinherentes a los sistemas eléctricos y electrónicos. También se hace hincapié en larespuesta frecuencial, tan útil en la práctica.

Aunque la realimentación ha estado presente en todos los temas tratados hastael momento, en el capítulo sexto se hace un estudio formal de las redes realimentadasde circuitos electrónicos. La metodología aplicada es el modelado de las redes condescomposición en cuadripolos para las diferentes conexiones. Una vez planteadala estructura adecuada, se hace el análisis utilizando matrices. Este procedimientofacilita enormemente el análisis y permite mostrar los resultados de forma sintéticay por demás elegante, de modo que se puede ver en cada topología la forma estándarde la realimentación definida inicialmente. Se desarrollan ejemplos detallados.

El capítulo séptimo tiene que ver con una de las aplicaciones de la realimentación,

Prólogo xxxi

en este caso la realimentación positiva la cual conduce a la realización de los os-ciladores lineales, es decir, aquellos que generan una señal de tipo sinusoidal. Parael estudio de este tipo de sistemas, de tan alta aplicación en la vida práctica, seemplean procedimientos matriciales; en particular, el análisis a partir de la ecuaciónhomogénea que resulta del modelo del circuito eléctrico que posea la característicaadecuada. Se analizan varias estructuras clásicas de osciladores y algunas moder-nas, como la aplicación de los denominados circuitos de Antoniou. Se dan numerososejemplos con las simulaciones correspondientes, para complementar los desarrollosteóricos.

El capítulo octavo trata sobre los generadores no lineales. Éste comienza conel análisis de algunos circuitos comparadores, tanto no realimentados como reali-mentados (disparador de Schmitt), los cuales tienen muy alta aplicación, no solo enaplicaciones analógicas, sino también en digitales; son el camino básico en la interfazanáloga—digital. Luego se hace un estudio de los generadores de pulsos de diferentesformas, incluyendo señales rectangulares, triangulares y diente de sierra, así comolos VCO; para continuar con temporizadores y finalmente con los conocidos PLL.También hay abundantes ejercicios resueltos y problemas propuestos, para facilitarla comprensión de los tópicos planteados.

El capítulo noveno trata de un estudio enfocado hacia el modelado con matricespara la descripción de los circuitos. Se hace énfasis en la definición de redes a travésde matrices de admitancias, partiendo de la denominada matriz indefinida de admi-tancias (MIA), la cual es una de las formas más prácticas de resolverlas. Se planteael método de Nathan para la simplificación de las redes que contienen AOs. Estemétodo permite la reducción de la matriz resultante y facilita los cálculos requeri-dos; por ejemplo, permite encontrar la función de transferencia o las impedanciasde entrada y salida. También se plantea el método de Vlach que, aunque reduceenormemente el orden de la matriz resultante, no permite la construcción de la mismapor el método de “simple inspección” empleado antes; sin embargo, es muy útil enalgunas aplicaciones. También hay abundantes problemas resueltos que permitenaclarar los conceptos dados.

El capítulo décimo trata de los filtros activos. Se hace un estudio detallado de losmodelos matemáticos que conducen a la formulación de las estructuras de los dife-rentes tipos de filtro análogo. Los procesos matemáticos son generales y se puedenemplear también para el estudio de algunos filtros digitales (en particular los IIR).El capítulo se inicia con el problema de la aproximación en magnitud, utilizandolas estructuras clásicas de Butterworth, Chebyshev y Bessel. También se analiza elmodelo elíptico o de Cauer. Una vez planteadas las estructuras normalizadas queconducen a filtros de paso bajo, el siguiente paso es generalizar el análisis para losotros tipos de filtros (pasa alto, pasa banda, eliminador de banda) y la desnorma-lización de las funciones de transferencia, esto se hace una vez que se finalizan los

xxxii PRÓLOGO

procedimientos y algoritmos de diseño de los filtros de paso bajo. Al finalizar el

capítulo, se da una introducción a las herramientas de MatlabR°utilizadas para el

diseño de filtros.El capítulo décimo primero trata de los métodos para el montaje de filtros activos

utilizando redes con AOs. Para la determinación de la función de transferencia seemplea el procedimiento desarrollado en el capítulo octavo. El proceso de diseñose hace utilizando esencialmente redes RC y los elementos activos requeridos. Seinicia el estudio con las configuraciones clásicas de Sallen—Key y Rouch. Tambiénse aplica nuevos métodos encontrados como los de variables de estado y los sistemasGIC, tales como los que emplean las redes de Antoniou. Hay ejemplos resueltos paracada caso, con las simulaciones correspondientes.

El capítulo décimo segundo trata sobre un dispositivo al cual cada día se le en-cuentran nuevas aplicaciones, se trata de los amplificadores de transconductancia(OTA), los cuales tienen unas propiedades excelentes para ciertas aplicaciones querequieren alta precisión. Su modelado matemático surge naturalmente de las matri-ces de admitancia, por lo cual se hace directa la aplicación de estos conceptos parasu análisis y aplicación a problemas lineales y no lineales (v. gr., se pueden realizarmultiplicadores de forma muy simple). Se dan, como siempre, ejemplos ilustrativosque permiten la comprensión fácil de los tópicos estudiados.

El capítulo décimo tercero trata de las denominadas aplicaciones cuasi linealesde los AOs, ya que en su respuesta aparece una región lineal en conexión con unarespuesta no lineal, tal es el caso de los rectificadores de precisión y los circuitoslimitadores. Estas redes tienen mucha aplicación en la generación de funcionesmatemáticas en el espacio de fase, tales como la función valor absoluto o la funciónlogarítmica. También se emplean en la generación de funciones no lineales para elacercamiento a los modelos en sistemas mecánicos, químicos o en otras disciplinas.

El capítulo décimo cuarto trata de sistemas no lineales. Se diferencia del anterioren que no se desagrega esencialmente, la parte lineal de la no lineal. Se trabajael sistema globalmente, utilizando técnicas modernas de teoría de circuitos. Enparticular, los modelos desarrollados por Chua y sus colaboradores. Hay variosmétodos de análisis y diseño; se han seguido los modelos de Itoh, Elwakil y Kennedypara la descomposición de las redes subyacentes y generar el circuito correspondiente.También se ha utilizado, cuando se ha requerido, el circuito GIC, así como el circuitoque realiza una resistencia negativa (estudiado en el capítulo cuarto). En realidadel desarrollo de este capítulo se debe a un proyecto de investigación desarrollado enel Laboratorio de Investigación y Desarrollo en Robótica y Electrónica (LIDER) enla UTP, del cual surgieron la ideas preliminares. El capítulo es de interés sobre todopara el análisis de procesos caóticos que surgen en el estudio de algunos sistemas deecuaciones diferenciales, las cuales a su vez modelan procesos dinámicos de muchasprocedencias. Se puede dejar este capítulo como tema de estudio opcional para

Prólogo 1

algunos estudiantes interesados en estos fenómenos. Como ejemplo de aplicación, sehace el estudio del oscilador de Chua empleando varias técnicas para su modeladocircuital.

El libro está planteado para ser desarrollado en dos semestres lectivos, aunqueno en todos sus contenidos. En el primer ciclo se pueden estudiar los capítulos delprimero al séptimo. En el segundo ciclo se pueden estudiar los restantes capítulos,aunque como se dijo, el tema del capítulo décimo cuarto se puede dejar como temade investigación, para algunos estudiantes interesados en los tópicos que trata.

Las simulaciones fueron desarrolladas en su mayoría empleando Circuit MakerR°

Pro V6, esta herramienta es de fácil operación y entrega resultados muy satisfacto-rios, aún en procesos no lineales, tales como en los procesos caóticos mencionados

antes. Otro simulador que se utilizó fue Pspice de OrcadR°, aunque casi todas las

simulaciones se pueden realizar en el primer ambiente. Como sistema de prueba,sobre todo para el diseño de filtros, se empleó Matlab

R°. Las aplicaciones Circuit

MakerR°yMatlab

R°están licenciadas a la Univesidad Tecnológica de Pereira, mien-

tras que Pspice es software licenciado a la Universidad Nacional sede Manizales. Eltexto se creó en ambiente Latex, de distribución libre.

2 PRÓLOGO

Capítulo 1

Multipolos

1.1 Introducción

En el estudio de los circuitos lineales es importante conocer las funciones de red quelos caracteriza. Se iniciará tal estudio desarrollando un grupo de funciones que des-criben el comportamiento de la red tomando variables pareadas como dependientese independientes. Se partirá del estudio de una red generalizada de r terminalesy luego se centrará el análisis a los cuadripolos de tan alto interés en los circuitoselectrónicos lineales, sistemas de comunicaciones, sistemas de control automático enlos cuales la señal eléctrica entra por los terminales de entrada, se procesa por lared y abandona ésta por los terminales de salida. Los terminales de salida puedenestar conectados con los terminales de entrada de alguna otra red que puede serde característica eléctrica, mecánica o electromecánica que a su vez actúa sobre unproceso físico cualquiera.

1.2 Redes de r terminales

Se dará a continuación la definición de algunos elementos de la red a fin de delimitarel problema.

Sea N una red arbitraria con un número finito de nodos, r de los cuales sonaccesibles para hacer mediciones o conexiones, como se muestra en la Fig. 1.1(a).Estos nodos externos r deN se denominan terminales de la red. Puesto que al menosdos terminales son necesarios para hacer cualquier conexión externa de N a otra red,tal como una fuente de tensión, un instrumento de medida como un voltímetro ouna carga de cualquier clase, estos r terminales se agrupan con frecuencia en pares.Si, por ejemplo, una fuente de tensión se conecta entre un par de terminales de N ,tales como k y k0 se producirá un flujo de corriente en la red. Entonces la corriente

3

4 CAPÍTULO 1. MULTIPOLOS

12

N

12

r

N+-

kk’v(t)

i (t)k

k’

Figura 1.1: (a) Red de r terminales (b) Puerto en una red.

ik(t) que fluye hacia el terminal k, necesariamente debe ser la misma corriente ik0(t)que sale del terminal k0, como se ilustra en la Fig. 1.1(b). Por lo tanto,

ik(t) = ik0(t) (1.2.1)

Bajo esta condición, el par de terminales k − k0 se define como un puerto. Si los rterminales de N se agrupan en n pares de terminales (n = r/2, asumiendo n par)tales que para cada par de terminales la corriente que entra a un terminal sea igual ala que sale por el otro, entonces N se denomina una red de n—puertos. Cuando unared tiene cuatro terminales accesibles para conexiones externas, se dice que es unared de dos puertos o cuadripolo. En la sección siguiente se estudiarán las formas deconexión de los cuadripolos. Obsérvese que los nombres de los cuadripolos se escogenpara indicar dimensiones (immitancia, z y ), aplicación principal del parámetro(transmisión, a b) o modelos mezclados (híbridos, h g).

1.3 Parámetros de los cuadripolos

Considérese la red general de dos puertos mostrada en la Fig. 1.2, la cual puede serpasiva o activa con fuentes dependientes. Los dos pares de terminales se identificancomo 1− 10 y 2 − 20 y se refieren como puertos 1 y 2 respectivamente. Nótese quela asignación del flujo de las corrientes I1 e I2 es hacia los terminales no primadoslo mismo que las marcas de polaridad positiva (+) de las tensiones V1 y V2. Esto sehace por convención.

En la red de dos puertos de la Fig. 1.2 se identifican cuatro variables —dos detensión V1 y V2 y dos de corriente I1 e I2. Solo dos de las cuatro variables son inde-pendientes y la especificación de cualquier par de ellas determina las dos restantes.En otras palabras, cuando se escoge cualquier par de variables como independientes,las otras dos se pueden expresar como variables dependientes en términos de lasvariables escogidas, por medio de dos ecuaciones independientes. La dependenciade dichas variables se puede escribir en varias formas, según las variables que se

1.3. PARÁMETROS DE LOS CUADRIPOLOS 5

1’ 2’

I1 2

V2

I2I21

V1

I1’ I2’

-N

++

-

Figura 1.2: Red de dos puertos.

hayan seleccionado como independientes. Existen seis combinaciones básicas posi-bles de cuatro cantidades tomadas de dos en dos, por lo cual se obtendrán seis nodosde caracterización de una red general de dos puertos (hay otros nodos de caracte-rización de redes, por ejemplo, a través de parámetros distribuidos). Los nombresde los parámetros se escogen para indicar dimensiones (immitancia), la carencia dedimensiones consistentes (híbridos) o la aplicación principal del parámetro (trans-misión). En la siguiente subsección, se definirán los seis conjuntos de parámetros dela red.

1.3.1 Parámetros de impedancia en circuito abierto

Con referencia a la red de la Fig. 1.2, si se escogen I1 e I2 como varibles indepen-dientes, se pueden expresar V1 y V2 con las siguientes ecuaciones:

V1 = z11I1 + z12I2 (1.3.1)

V2 = z21I1 + z22I2 (1.3.2)

o, en forma matricial ∙V1V2

¸=

∙z11 z12z21 z22

¸ ∙I1I2

¸(1.3.3)

o, lo que es lo mismo

[Vi] = [zij ] [Ij ] (i, j = 1, 2) (1.3.4)

La ecuación (1.3.4) representa la ley de Ohm para la red, los parámetros zij , tienendimensiones de ohmios (Ω) y se pueden determinar en función de una sola tensión yuna sola corriente, haciendo I1 = 0, o bien I2 = 0 (circuito abierto). Entonces, si seconecta una fuente de corriente al puerto 1, y el puerto 2 se deja en circuito abierto(I2 = 0), las ecuaciones (1.3.1) y (1.3.2) quedarán (ver Fig. 1.3(a)):

V1 = z11I1 + z12 · 0 (1.3.5)

V2 = z21I1 + z22 · 0 (1.3.6)


de donde se obtiene

z11 =V1I1

¯I2=0

[Ω] (1.3.7)

z21 =V2I1

¯I2=0

[Ω] (1.3.8)

Similarmente, si se deja el puerto 1 en circuito abierto y se conecta una fuente decorriente I2 al puerto 2, se obtiene de (1.3.1) y (1.3.2), (Fig. 1.3(b)):

V1 = z11 · 0 + z12I2 (1.3.9)

V2 = z21 · 0 + z22I2 (1.3.10)

de lo cual

z12 =V1I2

¯I1=0

[Ω] (1.3.11)

z22 =V2I2

¯I1=0

[Ω] (1.3.12)

I VN

1 2

1’ 2’

+

-

= 0

1

+

-

I1 I2

V1 2

(a)

1 2

I

I = 0

2

I21

1’ 2’

(b)

Figura 1.3: Conexiones para determinar z11 y z21 (a), y z12 y z22 (b).

Obsérvese que los cuatro parámetros encontrados, ecuaciones (1.3.7), (1.3.8),(1.3.11) y (1.3.12) son relaciones de tensión a corriente con las condiciones de circuitoabierto dadas. Estas se definen como impedancias de circuito abierto de la red dedos puertos N . La matriz correspondiente [zij ] en (1.3.3) se denomina matriz deimpedancias en circuito abierto de N .

Los siguientes nombres y símbolos descriptivos están comunmente asociados conlos parámetros z:

• z11 = zi, impedancia de entrada de circuito abierto, [Ω]


• z21 = zf , impedancia de transferencia directa de circuito abierto, [Ω]

• z12 = zr, impedancia de transferencia inversa de circuito abierto, [Ω]

• z22 = z0, impedancia de salida de circuito abierto, [Ω].

I

V

z +

-

22

12 21

I1 2

1 V

+

-

+ +

- -2

z11

zz I1I1

Figura 1.4: Circuito equivalente con parámetros z.

En la Fig. 1.4 aparece un circuito equivalente o modelo de los parámetros z.Obsérvese que este modelo corresponde a una red asimétrica, este modelo permitesimplificar los cálculos. Un modelo asimétrico similar se utilizará para esquematizarlos demás parámetros.

1.3.2 Parámetros de admitancia en corto circuito

Si se escogen las tensiones V1 y V2 de la Fig. 1.2 como variables independientes,entonces las corrientes I1 e I2 pueden expresarse en términos de V1 y V2,

I1 = y11V1 + y12V2 (1.3.13)

I2 = y21V1 + y22V2 (1.3.14)

o, en forma matricial ∙I1I2

¸=

∙y11 y12y21 y22

¸ ∙V1V2

¸(1.3.15)

o, lo que es lo mismo£Ii¤=£yij

¤ £Vj¤

(i, j = 1, 2) (1.3.16)

Los coeficientes yij se denominan admitancias de corto circuito de N , y la matriz[yij ], matriz de admitancias en corto circuito. Las ecuaciones que definen las admi-tancias de corto circuito se pueden obtener cortocircuitando uno de los puertos yalimentando el otro con una fuente de tensión, como se ilustra en la Fig. 1.5. Anu-lando sucesivamente las fuentes de tensión V2 y V1, y alimentando alternativamente,


con fuentes de tensión V1 y V2, las ecuaciones (1.3.13) y (1.3.14) conducen a lassiguientes expresiones:

y11 =I1V1

¯V2=0

[Ω]−1 ≡ [S]

y21 =I2V1

¯V2=0

[Ω]−1 ≡ [S]

y12 =I1V2

¯V1=0

[Ω]−1 ≡ [S] (1.3.17)

y22 =I2V2

¯V1=0

[Ω]−1 ≡ [S]

I

V N

1

2

1’2’

= 0

+

-

+ + +

---

N

1 12 2

1’ 2’

V = 01

I1

V1

I2I2

V2

+- -+

(a) (b)

Figura 1.5: Conexión para determinar y11 y y21 (a), y y12 y y22 (b).

Las dimensiones de los yij , como se observa de la ecuación (1.3.17), están dadasen [Ω]−1 o siemens [S]. De igual forma que para el caso anterior, los símbolos ynombres, que se dan en seguida, están comunmente asociados con los parámetros y:

• y11 = yi, admitancia de entrada de corto circuito, [S]

• y21 = yf , admitancia de transferencia directa de corto circuito, [S]

• y12 = yr, admitancia de transferencia inversa de corto circuito, [S]

• y22 = y0, admitancia de salida de corto circuito, [S].

En la Fig. 1.6 se ilustra un modelo equivalente para el caso de los parámetros deadmitancia yij .

1.3.3 Parámetros a de transmisión

Los parámetros de transmisión de la red relacionan la tensión y la corriente de unpuerto con la tensión y la corriente del otro. Si se escogen las variables V2 e I2 como


I

V y1

2

12 21 22

+

--

+I1

V2y11 yy V2 V1

Figura 1.6: Circuito equivalente con parámetros y.

independientes y las restantes V1 e I1, se expresan en términos de ellas, se obtienenlas siguientes ecuaciones:

V1 = a11V2 − a12I2 (1.3.18)

I1 = a21V2 − a22I2 (1.3.19)

o, en forma matricial ∙V1I1

¸=

∙a11 a12a21 a22

¸ ∙V2−I2

¸(1.3.20)

Donde los coeficientes aij , se denominan los parámetros aij de transmisión de la redde dos puertos. Los parámetros aij también se conocen como parámetros ABCD,A = a11, B = a12, C = a21 y D = a22, por la cual la matriz [aij ] puede escribirse,£

aij¤=

∙a11 a12a21 a22

¸=

∙A BC D

¸(1.3.21)

El signo negativo del segundo término de las ecuaciones (1.3.18) a (1.3.20) se originaen la convención adoptada por el sentido de la corriente I2. Las conexiones necesariaspara definir los parámetros aij se muestran en la Fig. 1.7. De allí se obtienen lasexpresiones siguientes:

a11 =V1V2

¯I2=0

[V/V ]

a21 =I1V2

¯I2=0

[S]

a12 =V1−I2

¯V2=0

[Ω] (1.3.22)

a22 =I1−I2

¯V2=0

[A/A]

De forma similar se define


I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

+-

(a) (b)

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

I1

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

+-

(c)

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V

I 2

I 1

(d)

Figura 1.7: Conexiones para determinar a11 (a), a21 (b), a12 (c) y a22 (d).

• a11 = A, ganancia inversa de transmisión de tensión, [V/V ]

• a12 = B, impedancia de transferencia inversa de corto circuito, [S]

• a21 = C, admitancia de transferencia inversa de circuito abierto, [Ω]

• a22 = D, ganancia inversa de transmisión de corriente, [A/A].

1.3.4 Parámetros b de transmisión

Si las variables V1 e I1 en el puerto 1 se escogen como variables independientes, sepueden expresar V2 e I2 del puerto 2 en términos de ellas como:

V2 = b11V1 − b12I1 (1.3.23)

I2 = b21V1 − b22I1 (1.3.24)


¸=

∙b11 b12b21 b22

¸ ∙V1−I1

¸(1.3.25)

Donde los bij se denominan parámetros bij de transmisión de la red de dos puertos.Como antes, el signo negativo del segundo término de las ecuaciones (1.3.23) a(1.3.25) se debe a la convención adoptada para I2. En la Fig. 1.8 aparecen lasconexiones requeridas para definir los parámetros bij . De éstas se obtiene:


I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I2

+-

(a) (b)

I1

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

+-

(c)

I1

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

(d)

2

I 2

I 2

Figura 1.8: Conexiones para determinar b11 (a), b21 (b), b12 (c) y b22 (d).

b11 =V2V1

¯I1=0

[V/V ]

b21 =I2V1

¯I1=0

[S]

b12 =V2−I1

¯V1=0

[Ω] (1.3.26)

b22 =I2−I1

¯V1=0

[A/A]

Similares a los aij , estos parámetros bij también se conocen como parámetros ABCDdonde b11 = A, b12 = B, b21 = C y b22 = D, o sea:∙

b11 b12b21 b22

¸=

∙A BC D

¸=

∙A0 B0

C 0 D0

¸(1.3.27)

Usualmente se expresan de la siguiente forma:

• b11 = A0, ganancia directa de transmisión de tensión, en circuito abierto, [V/V ]

• b21 = B0, admitancia de transferencia directa, en circuito abierto, [S]

• b12 = C 0, impedancia de transferencia directa en corto circuito, [Ω]

• b22 = D0, ganancia directa de transmisión de corriente en corto circuito, [A/A].


1.3.5 Parámetros h híbridos

Tomando como variables independientes la corriente I1 del puerto 1 y la tensión V2del puerto 2, se obtienen V1 e I2 en términos de aquellos, o sea:

V1 = h11I1 + h12V2 (1.3.28)

I2 = h21I1 + h22V2 (1.3.29)


¸=

∙h11 h12h21 h22

¸ ∙I1V2

¸(1.3.30)

Los hij se denominan parámetros hij híbridos, o simplemente híbridos. Las cone-xiones mostradas en la Fig. 1.9, permiten definir dichos parámetros, o sea:

(a) (b)

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2 I1

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I 2

I1 V2I2

Figura 1.9: Conexiones para determinar h11 y h21 (a), h12 y h22 (b).

h11 =V1I1

¯V2=0

[Ω]

h21 =I2I1

¯V2=0

[A/A]

h12 =V1V2

¯I1=0

[V/V ] (1.3.31)

h22 =I2V2

¯I1=0

[S]

Usualmente los parámetros hij se escriben e interpretan como se muestra a conti-nuación:

• h11 = hi, impedancia de entrada en corto circuito, [Ω]

• h12 = hr, gananacia inversa de tensión en circuito abierto, [V/V ]

• h21 = hf , ganancia directa de corriente en corto circuito, [A/A]


I

V1

2

12 21 22

+

--

+I1

V2

11

V2 I1h

h

h h+

-

Figura 1.10: Circuito equivalente con parámetros h.

• h22 = ho, admitancia de salida en circuito abierto, [S].

Los parámetros hij son los más usuales en las descripciones de las característicasdel transistor. Su representación general se muestra en la Fig. 1.10. Obsérvese

I

V1

2

+

--

+I1

V2V2 I1h

h

h h

ib

rb fb ob

e c

b

I

V1

2

+

--

+I1

V2V2 I1h

h

h h

e

cb

ie

re fe oe

(b)(a)

I

V1

2

+

--

+I1

V2V2 I1h

h

h h

e

c

b

ic

rc fc oc

(c)

Figura 1.11: Circuitos equivalentes con parámetros h: (a) base común, (b) emisorcomún, (c) colector común.

que h21 = β cuando se considera un transistor en configuración de emisor común yh21 = −α para un transistor en configuración de base común, puesto que h21, α y βse definen para salida en corto circuito. El signo negativo de α se debe a que en basecomún las corrientes I1 e I2 tienen igual sentido. Los valores de los parámetros hijdependen de la configuración del circuito, para diferenciarlos se agrega un segundosubíndice para designar el tipo de configuración, por lo tanto el funcionamiento enbase común se designa con hib, hrb, hfb y hob, para el emisor común se tiene hie, hre,hfe y hoe y para el colector común hic, hrc, hfc y hoc. En la Fig. 1.11 se muestranlos circuitos con la nomenclatura señalada.


I

V

cc

b

b

e+

-

+

-

2V1

r

α

Icre

e

e

rIb I

I

V

cc

b

b

e

+

-

+

-

2V1

r

βI

c

ree

r

I

bI

(1- )α

b

I

V

c

c

b

b e

+

-

+

-

2V1r (1- )α

I

c

e

rIb

(a) (b)

β Ib

Figura 1.12: Circuitos equivalentes para pequeña señal según el modelo T : (a) basecomún, (b) emisor común, (c) colector común.

Otra forma de representar las características del transistor es con el uso del mo-delo T , consistente en una resistencia en cada una de las tres ramas asociadas con eltransistor y, para simular la amplificación del dispositivo, un generador dependiente.Así, el equivalente T con generador de corriente contiene elementos re, rc y rb enlas ramas de emisor, base y colector, respectivamente, y un generador de corrienteαIe conectado en paralelo con rc como se se muestra en la Fig. 1.12(a). Usandola misma técnica se llega a la representación para emisor común y colector común,como se muestra en la Fig. 1.12(b) y (c) respectivamente.

Ejemplo 1 Equivalencia entre parámetros (1). Encontrar los parámetros h de basecomún, en términos de los parámetros h en emisor común.

Solución:Se escriben las ecuaciones matriciales correspondientes a los dos modelos.Para base común: ∙

vebic

¸=

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ievcb

¸(1.3.32)

Para emisor común: ∙vbeic

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ibvce

¸(1.3.33)

Pero

ib = ie − ic (1.3.34)

vce = vcb − veb (1.3.35)


∙vbeic

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ie − icvcb − veb

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ievcb

¸−∙hie hrehfe hoe

¸ ∙icveb

¸(1.3.36)

Despejando el primer término del segundo miembro de (1.3.36):

[he]

∙ievcb

¸= [he]

∙icveb

¸+

∙−vebic

¸(1.3.37)

donde

[he] =

∙hie hrehfe hoe

¸(1.3.38)

Efectuando la operación indicada en el segundo miembro de (1.3.37):

[he]

∙ievcb

¸=

∙−veb + hieic + hrevebic + hfeic + hoeveb

¸=

∙(hre − 1)veb + hieichoeveb + (hfe + 1)ic

¸=

∙hre − 1 hiehoe hfe + 1

¸ ∙vebic

¸(1.3.39)

Invirtiendo la expresión (1.3.39) se obtiene:∙vebic

¸=

1

∆he

∙hfe + 1 −hie−hoe hre − 1

¸ ∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ievcb

¸donde

∆he = (hre − 1)(hfe + 1)− hiehoe = − [(1− hre)(hfe + 1) + hiehoe] (1.3.40)

entonces,∙vebic

¸=

1

∆he

∙hie (hfe+1)hre−hiehoe

−hiehoe+(hre−1)hfe −hoe

¸ ∙ievcb

¸(1.3.41)

Desarrollando (1.3.41) se obtiene:

⎡⎣ veb

ic

⎤⎦ =⎡⎢⎣

hie(1−hre)(hfe+1)+hiehoe

hiehoe−(hfe+1)hre(1−hre)(hfe+1)+hiehoe

−hiehoe+(hre−1)hfe(1−hre)(hfe+1)+hiehoe

hoe(1−hre)(hfe+1)+hiehoe

⎤⎥⎦⎡⎣ −ie

vcb

⎤⎦ (1.3.42)


Finalmente, comparando los elementos de la matriz en (1.3.32), con los correspon-dientes de la matriz en (1.3.42) se llega a:

hib =hie

(1− hre)(hfe + 1) + hiehoe(1.3.43)

hrb =hiehoe − (hfe + 1)hre

(1− hre)(hfe + 1) + hiehoe(1.3.44)

hfb =−hiehoe + (hre − 1)hfe

(1− hre)(hfe + 1) + hiehoe(1.3.45)

hob =hoe

(1− hre)(hfe + 1) + hiehoe(1.3.46)

Si se hacen las aproximaciones hre << 1 y hfe + 1 >> hiehoe, para simplificar loscálculos y resultados, se llega a:

hib =hie

hfe + 1(1.3.47)

hrb =hiehoehfe + 1

− hre (1.3.48)

hfb =hfe

hfe + 1(1.3.49)

hob =hoe

hfe + 1(1.3.50)

Ejemplo 2 Equivalencia entre parámetros (2). Encontrar los parámetros h deemisor común, en términos de los parámetros h en base común.

Solución:Como en el ejemplo anterior, se escriben las ecuaciones matriciales correspondientesa los dos modelos.Para base común: ∙

vebic

¸=

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ievcb

¸(1.3.51)

Para emisor común: ∙vbeic

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ibvce

¸(1.3.52)

Pero

ie = ib + ic (1.3.53)

vcb = vce − vbe (1.3.54)


Tabla 1.1: Parámetros h: Equivalencias. Relación con parámetros T .

Relaciones entre parámetros de Relaciones entre parámetros debase común y emisor común base común y colector común

hie =hib

hfb+1hic =

hibhfb+1

hre =hibhobhfb+1

− hrb hrc = 1

hfe = − hfbhfb+1

hfc = − 1hfb+1

hoe =hob

hfb+1hoc =

1hfb+1

hib = re + rb(1− α) re = hib − hrbhob(hfb + 1)

hrb =rbrc

rb =hrbhob

hfb = −α rc =1hob

hob =1rc

α = −hfb

∙−vbeic

¸=

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ib − icvce − vbe

¸=

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ibvce

¸−∙hib hrbhfb hob

¸ ∙icvbe

¸(1.3.55)

Despejando el primer término del segundo miembro de (1.3.55):

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ibvce

¸=

∙hib hrbhfb hob

¸ ∙icvbe

¸+

∙−vbeic

¸(1.3.56)


Efectuando la operación indicada en el segundo miembro de (1.3.56):∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ibvce

¸=

∙hibic + hrbvbe − vbehfbic + hobvbe + ic

¸=

∙(hrb − 1)vbe + hibichobvbe + (hfb + 1)ic

¸(1.3.57)

O sea ∙hib hrbhfb hob

¸ ∙−ibvce

¸=

∙hrb − 1 hibhob hfb + 1

¸ ∙vbeic

¸(1.3.58)

Invirtiendo la expresión (1.3.58) se obtiene:∙vbeic

¸=

1

∆hb

∙hfb + 1 −hib−hob hrb − 1

¸ ∙−hib hrb−hfb hob

¸ ∙ibvce

¸donde

∆hb = (hrb − 1)(hfb + 1)− hibhob = − [(1− hrb)(hfb + 1) + hibhob] (1.3.59)

entonces,∙vbeic

¸=

1

∆hb

∙−hib (hfb + 1)hrb − hibhob

−hibhob + (hrb − 1)hfe −hob

¸ ∙ibvce

¸(1.3.60)

Desarrollando (1.3.60) se obtiene:

⎡⎣ vbe

ic

⎤⎦ =⎡⎢⎣

hib(1−hrb)(hfb+1)+hibhob

hibhob−(hfb+1)hrb(1−hrb)(hfb+1)+hibhob

−hibhob+(hrb−1)hfb(1−hrb)(hfb+1)+hibhob

hob(1−hrb)(hfb+1)+hibhob

⎤⎥⎦⎡⎣ ib

vce

⎤⎦ (1.3.61)

Finalmente, como en el caso anterior, comparando los elementos de la matriz en(1.3.52) con los correspondientes de la matriz en (1.3.61), se llega a:

hie =hib

(1− hrb)(hfb + 1) + hibhob(1.3.62)

hre =hibhob − (hfb + 1)hrb

(1− hrb)(hfb + 1) + hibhob(1.3.63)

hfe =−hibhob + (hrb − 1)hfb

(1− hrb)(hfb + 1) + hibhob(1.3.64)

hoe =hob

(1− hrb)(hfb + 1) + hibhob(1.3.65)


Si se hacen las aproximaciones, como antes, hrb << 1 y hfb + 1 >> hibhob parasimplificar los cálculos y resultados se llega a:

hie =hib

hfb + 1(1.3.66)

hre =hibhobhfb + 1

− hrb (1.3.67)

hfe =hfb

hfb + 1(1.3.68)

hoe =hob

hfb + 1(1.3.69)

En la Tabla 1.1, se consignan algunas equivalencias simplificadas entre los paráme-tros hij , para las tres configuraciones de los transistores, lo mismo que la relaciónentre los parámetros hij y los parámetros T .

Ejemplo 3 Equivalencia entre parámetros (3). Encontrar los parámetros h de colec-tor común, en términos de los parámetros h en emisor común.

Solución:Como en los ejemplos anteriores, se escriben las ecuaciones matriciales correspon-dientes a los dos modelos.Los parámetros híbridos en colector común están dados por∙

vbc−ie

¸=

∙hic hrchfc hoc

¸ ∙ibvec

¸(1.3.70)

Pero

ic = ie − ib (1.3.71)

vbe = vbc − vec (1.3.72)

o, en forma vectorial∙vbeic

¸=

∙vbc − vecie − ib

¸=

∙vbcie

¸−∙vecib

¸(1.3.73)

De la ecuación (1.3.52), donde se definen los parámetros en emisor común,∙vbeic

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ibvce

¸(1.3.74)


Combinando (1.3.73) y (1.3.74):∙vbcie

¸−∙vecib

¸=

∙hie hrehfe hoe

¸ ∙ib−vec

¸De aquí,∙

vbcie

¸=

∙vecib

¸+

∙hieib − hrevechfeib − hoevec

¸=

∙hieib + (1− hre)vec(hfe + 1)ib − hoevec

¸(1.3.75)

Cambiando signo a ie∙vbc−ie

¸=

∙hieib + (1− hre)vec−(hfe + 1)ib + hoevec

¸=

∙hie 1− hre

−(hfe + 1) hoe

¸ ∙ibvec

¸(1.3.76)

Finalmente, como en los casos anteriores, comparando los elementos de la matrizen (1.3.76), con los correspondientes de la matriz en (1.3.70), se llega a:

hic = hie (1.3.77)

hrc = 1− hre ≈ 1 (1.3.78)

hfc = −(hfe + 1) (1.3.79)

hoc = hoe (1.3.80)

1.3.6 Parámetros g híbridos

Tomando como variables independientes la tensión V1 del puerto 1 y la corriente I2del puerto 2, se puede expresar I1 y V2 en términos de aquellos:

I1 = g11V1 + g12I2 (1.3.81)

V2 = g21V1 + g22I2 (1.3.82)

o, en forma matricial

∙I1V2

¸=

∙g11 g12g21 g22

¸ ∙V1I2

¸(1.3.83)

Los coeficientes gij se denominan parámetros gij hibridos. Pueden definirse conayuda de las conexiones mostradas en la Fig. 1.13, de donde se obtiene:


(a) (b)

I

V

1

2

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I2 I1

2’

= 0

-

+ +

-

N

1 2

1’

V1

I2

V2+- = 0 +-

Figura 1.13: Conexiones para determinación g11 y g21 (a), g12 y g22 (b).

g11 =I1V1

¯I2=0

[S]

g21 =V2V1

¯I2=0

[V/V ]

g12 =I1I2

¯V1=0

[A/A] (1.3.84)

g22 =V2I2

¯V1=0

[Ω]

De manera similar a los anteriores, los parámetros g se escriben e interpretancomo se muestra en seguida.

• g11 = gi, admitancia de entrada con salida en circuito abierto, [S]

• g12 = gr, ganancia inversa de corriente, con entrada en corto circuito, [A/A]

• g21 = gf , ganancia directa de tensión, con salida en circuito abierto, [V/V ]

• g22 = go, impedancia de salida con entrada en corto circuito, [Ω].

En la Tabla 1.2 aparecen los diferentes conjuntos de parámetros concentradoscorrespondientes a redes de dos puertos.

De aquí se pueden observar los siguientes aspectos:

• Para una red general de dos puertos, se define∆k = k11k22 − k12k21 (k = z, y, a, b, h, ó g)

• Para una red lineal de dos puertos, es posible que un conjunto de parámetros nopueda ser encontrado a partir de otro conjunto dado. Por ejemplo, si h22 = 0,entonces los parámetros z no pueden determinarse a partir de los parámetroshij , etc.


Tabla 1.2: Equivalencia entre parámetros para redes de dos puertos∙V1V2

¸= [zij ]

∙I1I2

¸ ∙V1I1

¸= [aij ]

∙V2−I2

¸ ∙V1I2

¸= [hij ]

∙I1V2

¸∆z = z11z22 − z12z21 ∆A = AD −BC ∆h = h11h22 − h12h21∙I1I2

¸= [yij ]

∙V1V2

¸ ∙V2I2

¸= [bij ]

∙V1−I1

¸ ∙I1V2

¸= [gij ]

∙V1I2

¸∆y = y11y22 − y12y21 ∆A0 = A0D0 −B0C 0 ∆g = g11g22 − g12g21

Tipo Immitancia Transmisión Híbridos

[zij ] [yij ] [aij ] [bij ] [hij ] [gij ]

[zij ]

∙z11 z12z21 z22

¸ "y11∆y

−y12∆y

−y21∆y

y11∆y

# "AC

∆AC

1C

DC

# "D0

C01C0

∆A0

C0A0

C0

# "∆hh22

h12h22

−h21h22

1h22

# "1g11

−g12g11

g21g11

∆gg11

#

[yij ]

"z22∆z

−z12∆z

−z21∆z

z11∆z

# ∙y11 y12y21 y22

¸ "DB

−∆AB

−1B

AB

# "A0

B0−1B0

−∆A0

B0D0

B0

# "1h11

−h12h11

h21h11

∆hh11

# "∆gg22

g12g22

−g21g22

1g22

#

[aij ]

"z11z21

∆zz21

1z21

z22z21

# "−y22y21

−1y21

−∆yy21

−y11y21

# ∙A BC D

¸ "D0

∆A0B0

∆A0C0

∆A0A0

∆A0

# "−∆hh21

−h11h21

−h22h21

−1h21

# "1g21

g22g21

g11g21

∆gg21

#

[bij ]

"z22z12

∆zz12

1z12

z11z12

# "−y11y12

−1y12

−∆yy12

−y22y12

# "D∆A

B∆A

C∆A

A∆A

# ∙A0 B0

C 0 D0

¸ "1h12

h11h12

h22h12

∆hh12

# "−∆gg12

−g22g12

−g11g12

−1g12

#

[hij ]

"∆zz22

z12z22

−g21z22

1z22

# "1y11

−y12y11

y21y11

∆yy11

# "BD

∆AD

−1D

CD

# "B0

A01A0

−∆A0

A0C0

A0

# ∙h11 h12h21 h22

¸ "g22∆g

−g12∆g

−g21∆g

g11∆g

#

[gij ]

"1z11

−z12z11

z21z11

∆zz11

# "∆yy22

y12y22

−y21y22

1y22

# "CA

−∆AA

1A

BA

# "C0

D0−1D0

∆A0

D0B0

D0

# "h22∆h

−h12∆h

−h21∆h

h11∆h

# ∙g11 g12g21 g22

¸


Ejemplo 4 Amplificador en emisor común. Para el amplificador en emisor común,modelado para pequeña señal en la Fig. 1.14 encontrar: (a) Los parámetros híbridos,(b) a partir del resultado de (a) obtener los parámetros restantes posibles con la ayudade la Tabla 1.2.

+

--

+I

V Rgim o

2I1

1 V2R Vi

Figura 1.14: Circuito simplificado de un transistor en emisor común.

Solución:a) Comparando la Fig. 1.14 con la Fig. 1.11(b) se obtiene:

h11 = hie = Ri

h12 = hre = 0 (no hay fuente dependiente de la salida en la Fig. 1.14)

hfeI1 = gmV1

o sea

h21 = hfe = gmV1I1= gmRi

h22 = hoe =1

R0(hoe tiene magnitud de [S])

Por lo tanto, £hij

¤=

∙Ri 0

gmRi1R0

¸(1.3.85)

b) Para los restantes conjuntos de parámetros se tiene:

∆h = h12h22 − h12h21 = hiehoe − hrehfe = Ri1

R0− 0 · gmRi (1.3.86)

∆h =Ri

R0(1.3.87)

Reemplazando valores en la Tabla 1.2:

£zij

¤=

⎡⎢⎢⎣Ri

R01R0

0

−gmRi1R0

11R0

⎤⎥⎥⎦ =⎡⎣ Ri 0

−gmRiR0 R0

⎤⎦ (1.3.88)


£yij

¤=

⎡⎣ 1Ri

0

gmRiRi

RiR0Ri

⎤⎦ =⎡⎣ 1

Ri0

gm1R0

⎤⎦ (1.3.89)

£aij

¤=

⎡⎢⎣ −RiR0gmRi

−RigmRi

−1R0gmRi

−1gmRi

⎤⎥⎦ =⎡⎣ −1

gmR0−1gm

−1gmRiR0

−1gmRi

⎤⎦ (1.3.90)

£gij

¤=

⎡⎢⎢⎣1

R0RiR0

0

−gmRiRiR0

RiRiR0

⎤⎥⎥⎦ =⎡⎣ 1

Ri0

−gmR0 R0

⎤⎦ (1.3.91)

Nota: Los parámetros [bij ] no se pueden definir en este caso, pues h12 = 0 (VerTabla 1.2).

Ejemplo 5 Amplificador diferencial. El circuito de la Fig. 1.15 representa un am-plificador diferencial básico. Determinar, utilizando el modelo híbrido h, la tensiónde salida indicada. Suponer transistores idénticos en los que hre = hoe = 0.

Solución:

EE

CC

V

V

21

ovv v

-

-+

Q1 Q2

Rc Rc

Re

Rb Rb

Figura 1.15: Amplificador diferencial con transistores BJT.

El modelo lineal, utilizando parámetros híbridos se muestra en la Fig. 1.16.Las ecuaciones correspondientes están dadas por∙

v1v2

¸=

∙hie +Re(hfe + 1) Re(hfe + 1)

Re(hfe + 1) hie +Re(hfe + 1)

¸ ∙ib1ib2

¸(1.3.92)

Tambiénvo = Rchfe(ib1 − ib2) (1.3.93)


21

ov

v v

-+

Rc Rc

ReRb Rb

+ +

--

hie

ib1

hie

hfe

hie

ib2hfe

ib1 ib2

Figura 1.16: Modelo híbrido de pequeña señal del amplificador diferencial.

Resolviendo para ib1 e ib2:∙ib1ib2

¸=

1

∆h

∙hie +Re(hfe + 1) −Re(hfe + 1)−Re(hfe + 1) hie +Re(hfe + 1)

¸ ∙v1v2

¸(1.3.94)

donde

∆h = [hie +Re(hfe + 1)]2 − [Re(hfe + 1)]

2 = hie[hie + 2Re(hfe + 1)]

Entonces∙ib1ib2

¸=

1

∆h

∙[hie +Re(hfe + 1)]v1 −Re(hfe + 1)v2−Re(hfe + 1)v1 + [hie +Re(hfe + 1)]v2

¸(1.3.95)

La diferencia entre ib1 e ib2 se obtiene de (1.3.95):

ib1 − ib2 =1

∆h[hie + 2Re(hfe + 1)] (v1 − v2) =

1

hie(v1 − v2) (1.3.96)

Finalmente, sustituyendo (1.3.96) en (1.3.93) se obtiene:

vo =hfehie

Rc(v1 − v2) (1.3.97)

Ejemplo 6 Transistor MOS. El circuito de la Fig. 1.17 es la representación sim-plificada de un transistor MOS. Encontrar: a) los parámetros yij del circuito, b) conlos datos obtenidos en a) determinar los demás parámetros en forma matricial.

Solución:a) Los parámetros yij pueden obtenerse a partir de las ecuaciones (1.3.17), corto-circuitando primero la salida y luego la entrada de la red como se muestra en laFig. 1.18 (a) y (b) respectivamente.


G

C V

I D+

-

g r

S

gd

gsm ds

1 2

CC dsV1

+

-

V1 2

I

Figura 1.17: Modelo simplificado de un transistor MOS en fuente común.

G IC

g V

D

r

+

-

= 0

+

-

gs dsds

2I1 I1gd

C CV1 m V1 V1= 02 V2

Cgd

(a) (b)

Figura 1.18: Conexiones para determinar los parámetros y.

De la Fig. 1.18(a) se obtiene, por ley de corriente de Kirchhoff (LCK):

I1 = V1Cgss+ V1Cgds = V1(Cgs + Cgd)s

o sea:

y11 =I1V1

¯V2=0

= (Cgs + Cgd)s

También, aplicando (LCK ) al nodo 2 de la Fig. 1.18a:

I2 = gmV1 − V1Cgds = V1(gm − Cgds)

de donde

y21 =I2V1

¯V2=0

= gm − Cgds

Para los restantes parámetros se utiliza la Fig. 1.18 (b). Obsérvese que la fuentedependiente gmV1 no aparece pues V1 = 0. Aplicando LCK :

I1 = −V2Cgds

pero

y12 =I1V2

¯V1=0

= −Cgds


También,

I2 = V2

∙1

rds+ (Cgd + Cds)s

¸(1.3.98)

y22 =I2V2

¯V1=0

=1

rds+ (Cgd + Cds)s (1.3.99)

En notación matricial quedará:

£yij

¤=

⎡⎣ (Cgs + Cgd)s −Cgds

gm −Cgds1rds+ (Cgd + Cds)s

⎤⎦ (1.3.100)

Para obtener los demás parámetros se determina ∆y, o sea:

∆y = y11y22 − y12y21

∆y = (Cgs +Cgd)s

∙1

rds+ (Cgd +Cds)s

¸+ Cgds(gm − Cgds)

∆y = (CgsCgd + CgsCds + CgdCds)s2 +

Cgs + Cgd(1 + gmrds)

rdss (1.3.101)

Ahora, de la Tabla 1.2 se obtiene directamente:

£zij

¤=

⎡⎢⎢⎣1rds

+(Cgd+Cds)s

∆yCgds∆y

Cgds−gm∆y

(Cgs+Cgd)s∆y

⎤⎥⎥⎦ (1.3.102)

£aij

¤=

⎡⎢⎢⎣1rds

+(Cgd+Cds)s

Cgds−gm1

Cgds−gm

∆yCgds−gm

(Cgs+Cgd)sCgds−gm

⎤⎥⎥⎦ (1.3.103)

£bij

¤=

⎡⎣ (Cgs +Cgd)s −Cgds

gm − Cgds1

rgd+(Cgd+Cds)s

⎤⎦ (1.3.104)

£hij

¤=

⎡⎢⎣1

(Cgs+Cgd)sCgds

(Cgs+Cgd)s

gm−Cgds(Cgs+Cgd)s

∆y(Cgs+Cgd)s

⎤⎥⎦ (1.3.105)

£gij

¤=

⎡⎢⎢⎣∆y

1rds

+(Cgd+Cds)s

−Cgds1rds

+(Cgd+Cds)s

Cgds−gm1rds

+(Cgd+Cds)s1

1rds

+(Cgd+Cds)s

⎤⎥⎥⎦ (1.3.106)


Ejemplo 7 Transistor modelo T . La red de la Fig. 1.19 representa un transistor enconfiguración base común (modelo T ). Para esta red, determinar (a) los parámetrosh y (b) los parámetros g. Comprobar los resultados utilizando la Tabla 1.2.

I

V

c

b

e+

-

+

-

2V1I

I

Iαb

1

2

3R1

1R

R2

Figura 1.19: Modelo equivalente T de un transistor en base común.

Solución:(a) Para encontrar los parámetros h, se cortocircuita la salida y luego se abre laentrada. En la Fig. 1.20 se indican las conexiones requeridas. Obsérvese que setransforma la fuente de corriente dependiente a fin de aplicar leyes de tensión deKirchhoff (LVK ). También para hallar h12 y h22 la fuente dependiente se anula.

I

R

V

+

-

α

1

2

+ ++ +-

- - -

1I 1I = 02 I 2

= 0V1 V1 2V2

3

R

R 3R

2R

R1

3R 1I

(a) (b)

Figura 1.20: Conexiones para encontrar los hij : (a) h11 y h21, (b) h12 y h22.

Entonces, para la Fig. 1.20 (a) se obtiene:

V1 = (R1 +R2)I1 +R2I2 (1.3.107)

−αR3I1 = R2I1 + (R2 +R3)I2 (1.3.108)

o

V1 = (R1 +R2)I1 +R2I2 (1.3.109)

0 = (R2 + αR3)I1 + (R2 +R3)I2 (1.3.110)


Despejando I2 de la ecuación (1.3.110) y reemplazándola en la ecuación (1.3.109) sellega a:

V1 = (R1 +R2)I1 −R2 + αR3R2 +R3

·R2I1

y simplificando,

V1 =

∙R1 +

R2R3R2 +R3

· (1− α)

¸I1 (1.3.111)

De las ecuaciones (1.3.31) se obtiene:

h11 =V1I1

¯V2=0

= R1 +R2kR3(1− α) (1.3.112)

De la ecuación (1.3.110) se tiene

(R2 +R3)I2 = −(R2 + αR3)I1

o sea

h21 =I2I1

¯V2=0

= −R2 + αR3R2 +R3

(1.3.113)

De la Fig. 1.20 (b) se halla

h12 =V1V2

¯I1=0

=R2

R2 +R3(1.3.114)

h22 =I2V2

¯I1=0

=1

R2 +R3(1.3.115)

(b) Para encontrar los parámetros g, se abre inicialmente la salida y se cortocircuitaluego la entrada. La Fig. 1.21 ilustra las conexiones requeridas para la determinaciónde los parámetros g. De la Fig. 1.3.28 (a) se obtiene

I

R

V

-

α

1

2

+++ +

-

- - -

1I 1I

= 0

2 = 0

V 1V1 2V

2

3

R

R 3R

2R

R1

3R 1I

(a) (b)

I+

+- 2

α3R 1I

Figura 1.21: Conexiones para encontrar los gij : (a) g11 y g21, (b) g12 y g22.


V1 = (R1 +R2)I1 (I2 = 0)

Entonces,

g11 =I1V1

¯I2=0

=1

R1 +R2(1.3.116)

También

V2 = αR3I1 +R2

R1 +R2V1

I1 =V1

R1 +R2o sea

V2 =αR3

R1 +R2V1 +

R2R1 +R2

V1 =αR3 +R2R1 +R2

V1

y de aquí,

g21 =V2V1

¯I2=0

=αR3 +R2R1 +R2

(1.3.117)

De la Fig. 1.21 (b) se obtiene por división de corriente:

I1 =−R2

R1 +R2I2

de donde

g12 =I1I2

¯V1=0

=−R2

R1 +R2(1.3.118)

También de la Fig. 1.21 (b)

V2 = αR3I1 + (R3 +R1kR2)I2

I1 = − R2R1 +R2

I2

V2 =

µ−αR3R2R1 +R2

+R3 +R1kR2¶

=1

R1 +R2(−αR3R2 +R1R3 +R2R3 +R1R2) I2

Por lo tanto,

g22 =V2I2

¯V1=0

=R1R2 +R1R3 +R2R3(1− α)

R1 +R2(1.3.119)

Comprobación: Para comprobar los resultados obtenidos en el análisis anterior,se utiliza la Tabla 1.2, a partir de la cual se determinan los parámetros requeridos.


Para calcular ∆h se tiene:

∆h = h11h22 − h12h21

=1

R2 +R3[R1 +R2kR3(1− α)] +

R2 + αR3R2 +R3

· R2R2 +R3

=R1R2 +R1R3 +R2R3(1− α) +R22 + αR2R3

(R2 +R3)2

=(R1 +R2)(R2 +R3)

(R2 +R3)2=

R1 +R2R2 +R3

Invirtiendo ∆h se obtiene:1

∆h=

R2 +R3R1 +R2

(1.3.120)

En las ecuaciones que se muestran a continuación, se ilustran los resultados obtenidosal aplicar la Tabla 1.2, los cuales se comparan con los obtenidos antes, con el procesomatemático.

g11 =h22∆h

=1

R1 +R2(ecuacion (1.3.116))

g21 =−h21∆h

=R2 + αR3R1 +R2

(ecuacion (1.3.117))

g12 =−h12∆h

=−R2

R1 +R2(ecuacion (1.3.118))

g22 =h11∆h

=R2 +R3R1 +R2

∙R1R2 +R1R3 +R2R3(1− α)

R2 +R3

¸=

R1R2 +R1R3 +R2R3(1− α)

R1 +R2(ecuacion (1.3.119))

En los ejemplos anteriores se observa que p12 6= p21, donde p está definido comoparámetro de immitancia, de transmisión o híbrido. Esto se debe a que las redesson activas. En el caso de las redes pasivas, p12 = p21. Entonces se dice quela red es recíproca o bilateral. Hay otras propiedades de las redes pasivas, porejemplo la simetría, esto es, la posibilidad de intercambiar los puertos sin que seafecten las tensiones y las corrientes de las mismas. En la Tabla 1.3 se resumenestas características. En general, para cualquier multipolo: si pij = pji, entonces setrata de una red pasiva, mientras que si pij 6= pji, se trata de una red activa. Entodos los casos pii > 0, es decir, la diagonal principal define el orden de la matrizcorrespondiente del circuito.


Tabla 1.3: Relaciones entre parámetros para redes recíprocas y simétricas de dospuertos.

Parámetros N Recíproca N Simétricapasiva

zij z12 = z21 z11 = z22

yij y12 = y21 y11 = y22

aij ∆A = 1 A = D

bij ∆A0 = 1 A0 = D0

hij h12 = −h21 ∆h = 1

gij g12 = −g21 ∆g = 1

Problemas

1. Encontrar el equivalente entre los parámetros híbridos de colector común yemisor común.

2. Repetir el problema (1) para el caso de colector común en términos de basecomún.

3. Demostrar que los parámetros h de base común están dados, en términos delos parámetros T , aproximadamente, por las expresiones: hib = re+ rb(1−α),hrb = rb/rc, hfb = −α y hob = 1/rc.

4. Encontrar los parámetros h de emisor común en términos de los parámetrosT .

5. Encontrar los parámetros T en término de los parámetros h de (a) emisorcomún y (b) de colector común.

6. Para el circuito de la Fig. 1.17, verificar las expresiones (1.3.102) a (1.3.106).(a) Utilizando la definición correspondiente; (b) a partir de la Tabla 1.2.


7. Para el circuito de la Fig. 1.22:

(a) Encontrar los parámetros zij .

+ +

- -

R1L

+

C R2Vi Vo


(b) A partir del resultado de (a), encontrar los parámetros híbridos y los detransmisión.

8. Para el transistor modelo T , determinar: (a) los parámetros de immitancia(zij y yij); (b) los parámetros de transmisión (aij y bij).

cc

vo+

-1kHz

Vi

V

ReQ2

Q1

Figura 1.23: Amplificador en simetría complementaria.

9. En el amplificador que se muestra en la Fig. 1.23, los transistores son idénticosy tienen hre = hoe = 0. Usar el modelo de parámetros h de emisor común paradibujar el circuito equivalente y encontrar las expresiones de:

(a) La función de transferencia de corriente Ai.

(b) La función de transferencia de tensión Av.

(c) La función de transferencia de transresistencia A>.

(d) La resistencia de entrada Ri.

(e) La resistencia de salida Ro.


(a) En el Ejemplo 5, verificar las relaciones (1.3.92) y (1.3.93).(b) Encontrar los parámetros zij , yij , gij .

CC

- EE

+

-

+

-

V

R5

Q2

+C2

+C1

Vi

V

Vo

+C3

Q1

R7

R6

R4

R3

R2

R1

Figura 1.24: Amplificador bipolar en cascada.

10. El amplificador en cascada que se indica en la Fig. 1.24 está construido contransistores idénticos para los cuales: hre = hoe ≈ 0 y hie = 1 kΩ. SeanR1 = 10 KΩ, R2 = 100 kΩ, R3 = 1 kΩ, R4 = 5 kΩ, R7 = 10 kΩ, R5 = R6 = 2.2kΩ y C1 = C2 = C3 →∞. Determinar:

(a) La ganancia de tensión Av,(b) La ganancia de corriente Ai.

+

-

+

-

R4

R5

Q2+C3

+

C2

Q1

RL

+C1

Vi

Vcc

Vo

+C4

R6R3

R2

R1

Figura 1.25: Amplificador BC—EC.

11. En el amplificador en cascada BC—EC que se muestra en la Fig. 1.25, eltransistor Q1 se caracteriza por hrb1 = hob1 ≈ 0, hib1 = 50 Ω, y hfb1 = −0.99.Los parámetros h del transistor Q2 son: hoc2 ≈ 0, hrc2 = 2, hic2 = 300 Ω,y hfc2 = −100. Sean R1 = 5.1 kΩ, R2 = 33 kΩ, R3 = 68 kΩ, R4 = 47kΩ, R5 = 100 kΩ, R6 = RL = 2.2 kΩ, Ci →∞. Encontrar:

(a) La ganancia de tensión Av,(b) La ganancia de corriente Ai.

Capítulo 2

Interconexión de cuadripolos

2.1 Introducción

Se pueden construir redes prácticas utilizando circuitos de dos puertos como si fueranbloques simples. Hay algunas razones para este procedimiento. Desde el punto devista del diseñador, es mucho más fácil sintetizar bloques simples e interconectarlos,que diseñar una red compleja en una sola pieza. Otra razón es técnica. Es más fácilapantallar unidades pequeñas para eliminar el efecto de las capacitancias parásitas.

Existen cinco formas básicas de interconexión de redes de dos puertos. Estascombinaciones se conocen como: conexión en serie, conexión en paralelo, conexión encascada, conexión en serie—paralelo y conexión en paralelo—serie. El principal interésal analizar estas condiciones es estudiar cómo los parámetros de la red compuestase relacionan con los parámetros de los bloques individuales.

2.2 Conexión serie—serie

Dos redes de dos puertos están conectadas en serie—serie si los terminales 10a y 1b y20a y 2b son cortocircuitados respectivamente, como se ilustra en la Fig. 2.1. En estasituación, la corriente I1a que fluye en el terminal 1a de Na, es igual a la corrienteI1b que fluye en el terminal 1b de Nb. De manera similar, la corriente I2a será iguala la corriente I2b.

De la Fig. 2.1, se obtiene por simple inspección:∙I1I2

¸=

∙I1aI2a

¸=

∙I1bI2b

¸(2.2.1)

También, por inspección de la misma, las tensiones de los terminales Na, Nb yN pueden relacionarse por las sumas correspondientes, así:

35

36 CAPÍTULO 2. INTERCONEXIÓN DE CUADRIPOLOS

I

VN

1

1'

2

2'

[ ]z

1 2

1' 2'

1 2

1a

2a

2b

ija

ijb

Na

b[ ]z

+ +

+

+ +

+

I1 I

1aI

V

1aV

I1b

I1bI 1

a

a

b1

1'b

1b

NI2a I2

V

a

2

a

2'

I2a

I

2b

2bI

b

b

V V

_

_

__

_

_

2

Figura 2.1: Conexión serie—serie de dos redes de dos puertos.

∙V1V2

¸=

∙V1aV2a

¸+

∙V1bV2b

¸(2.2.2)

Ahora, de la ecuación (1.3.3) se puede escribir para Na y Nb respectivamente,∙V1aV2a

¸=

∙z11a z12az21a z22a

¸ ∙I1aI2a

¸(2.2.3)

∙V1bV2b

¸=

∙z11b z12bz21b z22b

¸ ∙I1bI2b

¸(2.2.4)

Reemplazando las ecuaciones (2.2.3) y (2.2.4) en (2.2.2) y aplicando la restriccióndada en la ecuación (2.2.1), se tiene:∙

V1V2

¸=

∙z11a + z11b z12a + z12bz21a + z21b z22a + z22b

¸ ∙I1I2

¸(2.2.5)

Comparando las ecuaciones (2.2.5) y (1.3.3), se obtiene:∙z11 z12z21 z22

¸=

∙z11a + z11b z12a + z12bz21a + z21b z22a + z22b

¸(2.2.6)

o en forma compacta:[zij ] = [zija] + [zijb] (2.2.7)

Lo cual significa que cuando dos redes de dos puertos Na y Nb se conectanen serie, la suma de sus impedancias de circuito abierto zij es igual a los valorescorrespondientes de las impedancias zij de la red total N .

2.2. CONEXIÓN SERIE—SERIE 37

N

2

2'

1a

Na

b

I

I1b

a

2

2'

a

b

b

V2' 2a b = 0?V1' 1a b = 0

?

1

1'

a

b

1a

1'

b

I1 I2

I2a

I2b

(a) (b)

N

N N

a

b

Figura 2.2: Forma experimental de las pruebas de Brune. Conexión serie.

Las ecuaciones (2.2.6) son válidas solamente cuando se cumplen las restriccionesen (2.2.1) y (2.2.2). Si no, se debe insertar un transformador ideal en el puerto 2 decada red Na y Nb de la Fig. 2.1, para hacer posible la conexión serie. Existe unaprueba experimental, debida a O. Brune, la cual establece una condición necesaria ysuficiente para que la interconexión de dos redes no altere los circuitos individuales.En la Fig. 2.2 se muestran las conexiones necesarias para aplicar la prueba de Brunea una red serie. Para ello se conectan dos terminales en serie y se abren los otros dos.Al aplicar una corriente Ij (j = 1, 2), la diferencia de potencial medida en losterminales marcados debe ser cero. Si este es el resultado, entonces puede efectuarsela adición de matrices. Esto debe cumplirse para ambos puertos.

I

R αb

e

1I 2

V1

V2

c

R

RV1

+

_

+

_

N

aa

V1

+

_

I

R αb

e

1I 2

V1

V2

c

R

RV1

+

_

+

_

N

aa

V1

+

_

Figura 2.3: Red lineal activa de dos puertos.

Ejemplo 8 Amplificador con BJT. La Fig. 2.3 muestra una red lineal aterrizada Nde dos puertos, la cual consiste de una fuente dependiente αV1 y tres elementos Rb,Rc y Re. Encontrar la matriz de impedancias de la red.


I

R αb

e

1I 2

V1a

V2

c

R

RV1a

+ +

_

V1b

+

_

V2a

+

_

V2b

+

_Nb

N

Na

V1

+

_ _

Figura 2.4: Red dividida donde se observa la conexión serie.

Solución:Dividiendo la red en dos subredes como las de la Fig. 2.4 se observa que estánconectadas en serie. Por lo tanto, se puede encontrar, por inspección, los valores delos zij , es decir, las matrices zija y zijb estarán dadas por:

£zija

¤=

∙Rb 0αRb Rc

¸(2.2.8)

y £zijb

¤=

∙Re Re

Re Re

¸(2.2.9)

respectivamente. Por lo tanto, la matriz zij será la suma de las dos matrices (2.2.8)y (2.2.9):

[zij ] = [zija] + [zijb] (2.2.10)

£zij

¤=

∙Rb +Re Re

αRb +Re Rc +Re

¸(2.2.11)

Obsérvese que para esta red z12 6= z21, este hecho proviene de que en la matriz(2.2.8) z12a 6= z21a. Esa matriz representa una red que contiene elementos activos(fuente dependiente). Este tipo de redes, como se vió antes (Tabla 1.3), es decaracterísticas no recíprocas, por lo que el flujo de señal es preferencial, esto serepresenta esquemáticamente utilizando la punta de una flecha o triángulo parasimbolizar el cuadripolo en lugar de usar un rectángulo como en el caso general. Enla Fig. 2.5 se representa el diagrama de la Fig. 2.4 utilizando esta convención. Elextremo de la flecha indica la dirección del flujo de señal. Las redes Na y Nb serepresentan por A y B respectivamente.

2.3. CONEXIÓN PARALELO—PARALELO 39

I

R

V

A

B

1a 2a

1b 2b

1 2

cb

e

I1 2

+

_

R αV1a

R

V V+

_

+

_

V V

V

+

+

+

_ _ _

Figura 2.5: Representación de una red unilateral.

2.3 Conexión paralelo—paralelo

N

V

1

1'

2

2'

1 21a

2b

1b

a

b

+

[ ]y ija

ijb

N

N[ ]y

1a 2aI I I I

_

+ + +

+ +

_ _

_ _ _

a

1 b

1a V2a

a

2b

1aI

I

2aI

I b

V V1b

2b

1'b 2'bI2b1bI1I 2I

V1 V2

Figura 2.6: Conexión paralelo—paralelo de dos redes de dos puertos.

Dos redes de dos puertos están conectadas en paralelo—paralelo si los terminales1a y 1b y 2a y 2b se cortocircuitan, como se muestra en la Fig. 2.6. Esta condiciónhace que las tensiones de los puertos respectivos sean iguales. Si se asume que lasrelaciones de tensiones y corrientes de las redes individuales Na y Nb permaneceninalteradas cuando se conectan en paralelo, entonces se puede escribir:∙

V1V2

¸=

∙V1aV2a

¸=

∙V1bV2b

¸(2.3.1)

También: ∙I1I2

¸=

∙I1aI2a

¸+

∙I1bI2b

¸(2.3.2)


De la ecuación (1.3.15), se obtiene para Na y Nb, respectivamente:∙I1aI2a

¸=

∙y11a y12ay21a y22a

¸ ∙V1aV2a

¸(2.3.3)

∙I1bI2b

¸=

∙y11b y12by21b y22b

¸ ∙V1bV2b

¸(2.3.4)

Reemplazando los anteriores resultados en la ecuación (2.3.2) y aplicando larestricción (2.3.1), se obtiene:∙

I1I2

¸=

∙y11a + y11b y12a + y12by21a + y21b y22a + y22b

¸ ∙V1V2

¸(2.3.5)

y, comparando las ecuaciones (2.3.5) y (1.3.15), se llega a:∙y11 y12y21 y22

¸=

∙y11a + y11b y12a + y12by21a + y21b y22a + y22b

¸(2.3.6)

o, en forma compacta:[yij ] = [yija] + [yijb] (2.3.7)

2'

1 1a

2b

1b

aN

N

2aI I

V2a

a

2

b

I b

V

2'b

+_1

=0

=0

2

1a

2b

1b

aN

N

a II

V

2a

a

b

Ib

V

b

+_ V

=0

=0

1

1

1'

1'

V1' 1a b=0?V2' 2a b=0?2

Figura 2.7: Pruebas de Brune. Conexión en paralelo.

La ecuación (2.3.7) indica que, cuando Na y Nb están conectados en paralelo, lasuma de sus yij es igual a la yij total del puerto N . De nuevo, es necesario comprobarque al hacer la conexión, los circuitos individuales permanecen inalterados. Para ellopuede emplearse la prueba de Brune, como se ilustra en la Fig. 2.7. Entonces, cuandodos pares de terminales se interconectan y los otros dos se cortocircuitan, la tensiónmarcada debe ser cero. Si esta condición no se satisface, la suma de las matrices nodará la respuesta correcta para los parámetros de la red compuesta, a menos que seintroduzcan transformadores ideales de aislamiento en uno de los dos terminales.

2.3. CONEXIÓN PARALELO—PARALELO 41

V

C

kR

I+

_ _

+

1 2

3

V 1V R1 2C C1 2

2I1

Figura 2.8: Diagrama de pequeña señal para un transistor MOS.

Ejemplo 9 Conexión paralelo—paralelo. Hallar los parámetros de admitancia en lared de la Fig. 2.8.

Solución:Se puede simplificar el proceso si se hace una partición de la red en dos subredes Ay B. Observando la topología, se llega a una conexión en paralelo como se indica enla Fig. 2.9.

C

kR

_3

1V R1 2

C C1 2

+ + + +

+ +

_ _

___

1V

1V

1V

V2

V2

V2

A

B

Figura 2.9: Partición en paralelo de la red del transistor MOS.

Ahora, procediendo para cada subred como en el Ejemplo 6, se obtienen lasmatrices [yija] y [yijb], llegándose a los siguientes resultados:

£yija

¤=

⎡⎣ 1R1

0

k 1R2

⎤⎦ (2.3.8)

y £yijb

¤=

∙(C1 + C3)s −C3s−C3s (C2 +C3)s

¸(2.3.9)


Empleando la ecuación (2.3.7) se obtiene para la red total:

[yij ] = [yija] + [yijb] (2.3.10)

£yij

¤=

⎡⎣ 1R1+ (C1 + C3)s −C3s

k − C3s1R2+ (C2 + C3)s

⎤⎦ (2.3.11)

Nótese la sencillez de cada matriz individual. A partir de la matriz (2.3.11) puedenencontrarse los demás parámentos utilizando la Tabla 1.2.

2.4 Conexión en cascada

Dos redes de dos puertos están conectadas en cascada, si los terminales de salidade la primera red son los terminales de entrada de la segunda, como se ilustra en laFig. 2.10. Las siguientes restricciones se satisfacen para las redes dadas:∙

V1I1

¸=

∙V1aI1a

¸;

∙V2a−I2a

¸=

∙V1bI1b

¸;

∙V2bI2b

¸=

∙V2I2

¸(2.4.1)

2'

1 1a 1ba

NN

2aI I

a

2bI b

2'b

1a

1'a

1b

1'b

2a 2bI I I2

V ijbija [ ]a [ ]a +_

+ + + + +_ _ _ _ _1 VV1a V2a V1b V2b 2

N

Figura 2.10: Conexión en cascada de dos redes de dos puertos.

De la ecuación (1.3.20) se puede escribir para Na y Nb:∙V1aI1a

¸=

∙a11a a12aa21a a22a

¸ ∙V2a−I2a

¸(2.4.2)

∙V1bI1b

¸=

∙a11b a12ba21b a22b

¸ ∙V2b−I2b

¸(2.4.3)

Combinando las ecuaciones (2.4.1) y (2.4.3), se llega a:∙V1I1

¸=


¸ ∙a12b a12ba21a a22b

¸ ∙V2−I2

¸(2.4.4)

2.5. CONEXIÓN SERIE—PARALELO 43

y, comparando con la ecuación (1.3.20), se obtiene:∙a11 a12a21 a22

¸=


¸ ∙a11b a12ba21b a22b

¸(2.4.5)

o, en forma compacta:[aij ] = [aija] [aijb] (2.4.6)

La última ecuación indica que cuando dos redes están conectadas en cascada, lamatriz de transmisión total se obtiene multiplicando las matrices de transmisión delas redes individuales.

2.5 Conexión serie—paralelo

La conexión en serie—paralelo se realiza cuando los terminales de entrada se conectanen serie y los de salida en paralelo. En la Fig. 2.11 se ilustra la forma de conexión.

2

1a

2b

1b

aN

N

a II

V

2a

a

b

Ib

V

b

V

1

1

1'

1'

2

2+

_

+ + +

+ +_ _ _

__

I2a

V2a

V2b

V1

a 21 I1aI1

1' 2'

I1a

I1b

I1b 2bI 2'b

2'a

2b

I1 2I

[ ]h

ija

ijb

[ ]h

N

Figura 2.11: Conexión en serie—paralelo de dos redes de dos puertos.

Se tienen las siguientes ecuaciones de restricción:∙I1V2

¸=

∙I1aV2a

¸=

∙I1bV2b

¸(2.5.1)

También: ∙V1I2

¸=

∙V1aI2a

¸+

∙V1bI2b

¸(2.5.2)

De la ecuación (1.3.30), se obtiene para Na y Nb, respectivamente:∙V1aI2a

¸=

∙h11a h12ah21a h22a

¸ ∙I1aV2a

¸(2.5.3)


-

+

+C2

+

C3

+C1

Vcc

Vo+C4

R8

R7

R6

R5R4

R3

R2

R1

Q2Q1

Vi

Figura 2.12: Amplificador de dos etapas con transistores bipolares.

∙V1bI2b

¸=

∙h11b h12bh21b h22b

¸ ∙I1bV2b

¸(2.5.4)

Combinando las ecuaciones (2.5.1), (2.5.2) y (2.5.4) y reemplazándolas en (1.3.30),se obtiene: ∙

V1I2

¸=

∙h11a + h11b h12a + h12bh21a + h21b h22a + h22b

¸ ∙I1V2

¸(2.5.5)

y, comparando las ecuaciones (2.5.5) y (1.3.30), se llega a:∙h11 h12h21 h22

¸=

∙h11a + h11b h12a + h12bh21a + h21b h22a + h22b

¸(2.5.6)

o, en forma compacta:[hij ] = [hija] + [hijb] (2.5.7)

En este caso, y en el que se describe a continuación, se debe aplicar la prueba deBrune para determinar si la conexión realizada altera las subredes individuales. Paraello se hace la combinación de la prueba para los circuitos serie y paralelo estudiadosantes.

Ejemplo 10 Amplificador con BJT. Para el amplificador de la Fig. 2.12: (a) Dibu-jar el diagrama de pequeña señal a frecuencias medias asumiendo hre1 ≈ hre2 ≈ 0 yhoe1 ≈ hoe2 ≈ 0 (b) Encontrar los parámetros directos de la red.

Solución:a) En la Fig. 2.13 aparece el diagrama simplificado de la red mostrada en la Fig. 2.12,donde: R01 = R1kR2, R02 = R4kR5, también hre1 ≈ hre2 ≈ hoe1 ≈ hoe2 = 0.

Nótese que se ha hecho una partición a fin de facilitar al análisis, obteniéndoseuna conexión serie—paralelo.

2.5. CONEXIÓN SERIE—PARALELO 45

1

1'

2

2'

b

1

1

1'1'

2

2

2' 2'

a

a

a

a

b b

b

R

R'

i

V

I+

_

h h h h

V

V

V

V

V

+

+

+

+

+

_

_

_

_ _

I IiI

R

RR'

A

B

1

1a

b11

ie1

1 1

1b

N

3

8

fe ib1 2

b2

ie2 fe i2 b21 7

2a 2

2a

2

N'

a

2b

Figura 2.13: Equivalente de pequeña señal del amplificador de dos etapas.

b) Como se trata de una conexión serie—paralelo, se determinaran los parámetros[hij ], calculándolos para cada subred individual.

Para el circuito A (ver Fig. 1.11), se calculan los parámetros correspondientescomo se indica a continuación:

h11a =V1aib1

¯V2=0

= hie1 (2.5.8)

h12a =V1aV2

¯I1a=0

= hre1 = 0 (2.5.9)

h21a =I2aI1a

¯V2=0

(2.5.10)

Para calcular el parámetro híbrido h21a se plantea inicialmente la ecuación de Kirch-hoff:

I2a = hfe2ib2

ib2 =R02

R02 + hie2(−hfe1ib1) =

−hfe11 + hie2

R02

I1a

entonces,

h21a =−hfe1hfe21 + hie2

R02

Para el parámetro restante se tiene:

h22a =I2aV2

¯I1a=0

=1

R7


La matriz quedará:

£hija

¤=

⎡⎢⎢⎣hie1 0

−hfe1hfe2

1+hie2R02

1R7

⎤⎥⎥⎦ (2.5.11)

Procediendo de igual forma para el circuito B se llega a:

£hijb

¤=

⎡⎣ R3R8R3+R8

R3R3+R8

− R3R3+R8

1R3+R8

⎤⎦ (2.5.12)

Obsérvese que h12b = −h21b, condición de simetría de una red pasiva (Tabla 1.3).Aplicando la ecuación (2.5.6) se obtiene:

£h0ij

¤=

∙h011 h012h021 h022

¸=£hija

¤+£hijb

¤(2.5.13)

£h0ij

¤=

⎡⎢⎢⎣hie1 +

R3R8R3+R8

R3R3+R8

−hfe1hfe2

1+hie2R02

− R3R3+R8

1R7+ 1

R3+R8

⎤⎥⎥⎦ (2.5.14)

Las ecuaciones (2.5.14) representan la red marcada como N 0 en la Fig. 2.13, parahallar la matriz de N , incluyendo R01, se redibuja la red utilizando el equivalente deparámetros h de la Fig. 1.10. La red N se muestra en la Fig. 2.14, de esta se obtiene:

I I' N

V

h'+

_

1

1'

2

2'

R' h' h' h'

I

V V

+

_

1

2

11

12 21 221 1

1

1I'

2

2

Figura 2.14: Equivalente para encontrar los parámetros hij totales.

2.6. CONEXIÓN PARALELO—SERIE 47

h11 =V1I1

¯V2=0

= R01kh011 = R01k(hie1 +R3kR8) (2.5.15)

h21 =I2I1

¯V2=0

= h021I 01I1= h021 ·

R01R01 + h011

= h021 ·1

1 +h011R01

(2.5.16)

h12 =V1V2

¯I1=0

= h012 =1

1 + R8R3

(2.5.17)

h22 =I2V2

¯I1=0

= h022 =1

R7+

1

R3 +R8(2.5.18)

Reemplazando todos los h0 se llega a la siguiente expresión:

£hij

¤=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣R01k

³hie1 +

R3R8R3+R8

´R3

R3+R8

−Ã

hfe1hfe2

1+hie2R02

+ R3R3+R8

!· R01R01+hie1+R3kR8

1R7+ 1

R3+R8

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.5.19)

Si R01 es muy grande comparada con hie1 y R3kR8 la matriz (2.5.19) se reduciráa la de las ecuaciones (2.5.14). El anterior ejemplo muestra la ventaja de realizarparticiones en bloques pequeños los cuales permiten reducir circuitos de mayor com-plejidad.

2.6 Conexión paralelo—serie

2

1a

2b

1b

aN

N

a II

V

2a

a

b

Ib

V

b

V

1

1

1'

1'

2

2+

_

+ + +

+ +_ _ _

__

I2a

V2a

V2b

V1

a 21 I1aI1

1' 2'

I1a

I1b

I1b 2bI 2'b

2'a

2b

I1 2I

[ ]g

ija

ijb

[ ]g

N

Figura 2.15: Conexión en paralelo—serie de dos redes de dos puertos.


Dos redes de dos puertos están en conexión paralelo—serie cuando los terminalesde entrada están conectados en paralelo y los terminales de salida en serie, como seindica en la Fig. 2.15.

Para este caso se tienen las siguientes ecuaciones de restricción:∙V1I2

¸=

∙V1aI2a

¸=

∙V1bI2b

¸(2.6.1)

Además: ∙I1V2

¸=

∙I1aV2a

¸+

∙I1bV2b

¸(2.6.2)

De las ecuaciones (1.3.83), se obtiene para Na y Nb, respectivamente:∙I1aV2a

¸=

∙g11a g12ag21a g22a

¸ ∙V1aI2a

¸(2.6.3)

∙I1bV2b

¸=

∙g11b g12bg21b g22b

¸ ∙V1bI2b

¸(2.6.4)

Combinando las ecuaciones (2.6.1), (2.6.2) y (2.6.4) y reemplazándolas en (1.3.83),se obtiene: ∙

I1V2

¸=

∙g11a + g11b g12a + g12bg21a + g21b g22a + g22b

¸ ∙V1I2

¸(2.6.5)

y, comparando las ecuaciones (2.6.5) y (1.3.83), se llega a:∙g11 g12g21 g22

¸=

∙g11a + g11b g12a + g12bg21a + g21b g22a + g22b

¸(2.6.6)

o, en forma compacta:[gij ] = [gija] + [gijb] (2.6.7)

Ejemplo 11 Amplificador con FET. El circuito de la Fig. 2.16 representa un ampli-ficador de dos etapas con entrada de FET. (a) Hacer un diagrama de pequeña señalpara frecuencias medias asumiendo g12 = 0 para ambos transistores; (b) Desarrollarla matriz de parámetros directos a partir del circuito elaborado en (a).

Solución:(a) En la Fig. 2.17 aparece el diagrama simplificado de pequeña señal para frecuen-cias medias de la red de la Fig. 2.16, donde:R01 = R1kR2, R02 = rdskR4kR5kR6, además g121 = g122 = 0

Como en el ejemplo anterior, se ha hecho una partición de la red para facilitarel análisis. Obsérvese que no aparecen las capacitancias, pues se supone que actuáncomo corto circuitos para frecuencias medias y altas.


--

++

+

C2

Q1

Vcc

vovi

+C4

+

C1 C3

Q2

R5

R9

R1

R2

R7R3

R4 R8R6

Figura 2.16: Amplificador con FET como dispositivo de entrada.

(b) Puesto que se trata de una conexión paralelo—serie el modelo más convenientepara realizar el análisis es el equivalente híbrido g, por lo cual se determinarán losparámetros gij para cada subred.

El circuito A corresponde a la subred que contiene los elementos amplificadores,es decir, los transistores para este caso. Aplicando los conceptos desarrollados antes,se llega a los siguientes resultados:

g11a =I1aV1

¯I2=0

=1

R01(2.6.8)

g21a =V2aV1

¯I2=0

=gmhfe

hoe

³1 + hie

R02

´ (2.6.9)

g12a =I1aI2a

¯V1=0

= 0 (2.6.10)

g22a =V2aI2a

¯V1=0

=1

hoe(2.6.11)

Por lo tanto, la matriz de parámetros híbridos g, será como se muestra en la ecuaciónsiguiente:

£gija

¤=

⎡⎢⎢⎢⎣1R01

0

gmhfe

hoe

µ1+

hieR02

¶ 1hoe

⎤⎥⎥⎥⎦ (2.6.12)


1

1'

2

2'

b

1

1

1'1'

2

2

2' 2'

a

a

a

a

b b

b

R

i

V

I+

_

g v h g

V

V

V

V

V

+

+

+

+

+

_

_

_

_ _

I I

R

R

R'

A

B

1

1

1

1

N

7

9

m 2

b

ie2 f ib

8

2a 2

2

2

2

N'

+

_

I1a

hoe1

e

I'2

gsvgsR'1

Figura 2.17: Equivalente híbrido del amplificador FET.

Procediendo de igual forma para el circuito B, se llega a las siguientes ecuaciones:

g11b =1

R7 +R9(2.6.13)

g21b =R7

R7 +R9=

1

1 + R9R7

(2.6.14)

g12b =−R7

R7 +R9= − 1

1 + R9R7

(2.6.15)

g22b = R7kR9 =R9

1 + R9R7

(2.6.16)

en forma matricial £gijb

¤=

⎡⎣ 1R7+R9

− R7R7+R9

R7R7+R9

R7R9R7+R9

⎤⎦ (2.6.17)

Aplicando la ecuación (2.6.5) se tiene para N 0 :

£g0ij

¤=

⎡⎢⎢⎢⎣1R01+ 1

R7+R9− R7

R7+R9

− gmhfe

hoe

µ1+

hieR02

¶ + R7R7+R9

R7R9R7+R9

+ 1hoe

⎤⎥⎥⎥⎦ (2.6.18)

Para encontrar la matriz de N se procede como en el ejemplo anterior, en laFig. 2.18 aparece un diagrama simplificado que incluye la resistencia R8. De ésta se


I N

I'g'

+

_

1

1'

2

2'

Rg' g'

g'I'

V V

+

_

1

211 12 21

22

1 81V

2

2

I2

+

_

Figura 2.18: Equivalente de parámetros gij .

obtiene:

g11 =I1V1

¯I2=0

= g011 =1

R01+

1

R7 +R9(2.6.19)

g21 =V2V1

¯I2=0

= g021 =gmhfe

hoe

³1 + hie

R02

´ + R7R7 +R9

(2.6.20)

g12 =I1I2

¯V1=0

= g012I 02I2= − R7

R7 +R9· R8

R8 +R7kR9 + 1hoe

(2.6.21)

g22 =V2I2

¯V1=0

= R8kg022 = R8kµR7kR9 +

1

hoe

¶(2.6.22)

y la matriz de admitancias quedará definitivamente:

£gij

¤=

⎡⎢⎢⎢⎣1R01+ 1

R7+R9− R7

R7+R9· R8R8+R7kR9+ 1

hoe

gmhfe

hoe

µ1+

hieR02

¶ + R7R7+R9

R8k³R7kR9 + 1

hoe

´⎤⎥⎥⎥⎦ (2.6.23)

Se ha realizado una descripción de la conexión de redes de dos puertos, solo seha escrito la forma directa utilizando los parámetros más adecuados para cada caso.Sin embargo, es posible definir las conexiones utilizando todos y cada uno de losparámetros estudiados en la sección anterior. La manera más simple es utilizandolas equivalencias dadas en la Tabla 1.2.

Problemas

1. Para el amplificador con BJT de la Fig. 2.3, encontrar los parámetros híbridosh y g.


2. Comprobar las expresiones (2.5.11), (2.5.12) y (2.5.19).

3. Comprobar la expresión (2.6.18)

4. Comprobar la expresión (2.6.23).

Z3bZ3a

Z1b Z2b

Z2aZ1a

Z3bZ3a

Z1b Z2b

Z2aZ1a


5. La Fig. 2.19, consiste de dos subredes Na y Nb, interconectadas de modo sesatisfacen las restricciones de los puertos para la red total N , así como paralas subredes. Obtener el conjunto apropiado de parámetros de N en términosde los parámetros de Na y Nb.

6. Demostrar que para n redes de dos puertos idénticos, conectadas en cascadala matriz de transmisión está dada por

[aij ] =

∙a11 a12a21 a22

¸n7. Para el circuito de la Fig. 2.10, demostrar que se cumplen las siguientesrelaciones:

z12 =z12az12b

z11b + z22a,

y12 =−y12ay12by11b + y22a

8. Para el circuito T de la Fig. 2.20(a), encontrar los parámetros de transmisióndirectos (aij) e inversos (bij), en función de los parámetros de impedanciaseñalados.

9. Para el circuito Pi de la Fig. 2.20(b), encontrar los paráme-tros de transmisióndirectos (aij) e inversos (bij), en función de los parámetros de admitanciaindicados.


ba( ) ( )

y2

y1

y3z3

z2z1

y3

Figura 2.20: Circuitos bilaterales: (a) Red en T. (b) Red en π.

10. Conectar en cascada las redes de la Fig. 2.20.

(a) Encontrar la función de transferencia de tensión, utilizando los parámet-ros de transmisión.

(b) Conectar una resistencia de carga RL a la salida de la red Pi. Encon-trar la función de transferencia de corriente del sistema, utilizando losparámetros de transmisión.

11. Comprobar que en la conexión serie—paralelo mostrada en la Fig. 2.11, lamatriz hij del puerto total N está relacionada con las matrices hij de sussubredes Na y Nb por

[hij ] = [hija] + [hijb]

12. Comprobar que en la conexión paralelo—serie mostrada en la Fig. 2.15, lamatriz gij del puerto total N está relacionada con las matrices gij de sussubredes Na y Nb por

[gij ] = [gija] + [gijb]

13. Demostrar que si en una inaterconexión N dada de dos subredes de dos puertosNa y Nb satisface la prueba de Brune, entonces las condiciones necesarias ysuficientes en las restricciones de los puertos también se satisfarán para unaconexión en paralelo válida.

14. Derivar la prueba de Brune para hacer válida una conexión serie—paralela Nde dos subredes Na y Nb haciendo primero las conexiones de prueba y lasmedidas necesarias y entonces proporcionando la justificación para hacer talesconexiones y medidas.

15. Repetir el problema 14 para hacer una conexión paralela—serie válida.

Capítulo 3

El Amplificador Operacional

3.1 Introducción

El concepto original del amplificador operacional (AO) procede del campo de loscomputadores analógicos, en los que comenzaron a usarse técnicas operacionales enuna época tan temprana como en los años 40. El nombre de AO deriva del conceptode un amplificador dc (amplificador acoplado en continua) con una entrada dife-rencial y ganancia extremadamente alta, cuyas características de operación estabandeterminadas por los elementos de realimentación utilizados. Cambiando los tiposy disposición de los elementos de realimentación, podían implementarse diferentesoperaciones analógicas; en gran medida, las características globales del circuito es-taban determinadas solo por estos elementos de realimentación. De esta forma, elmismo amplificador era capaz de realizar diversas operaciones, y el desarrollo gra-dual de los AOs dió lugar al nacimiento de una nueva era en los conceptos de diseñode circuitos.

Los primeros AOs usaban el componente básico de su tiempo: la válvula devacío. El uso generalizado de los AOs no comenzó realmente hasta los años 60,cuando empezaron a aplicarse las técnicas de estado sólido al diseño de circuitosAOs, fabricándose módulos que realizaban la circuitería interna del AO mediantediseño discreto de estado sólido. Entonces, a mediados de los 60, se introdujeronlos primeros AOs de circuito integrado. En unos pocos años los AOs integrados seconvirtieron en una herramienta estándar de diseño, abarcando aplicaciones muchomás allá del ámbito original de los computadores analógicos. Con la posibilidad deproducción en masa que las técnicas de fabricación de circuitos integrados propor-cionan, los AOs integrados estuvieron disponibles en grandes cantidades, lo que, asu vez contribuyó a rebajar su costo. El amplificador, que era un sistema formadoantiguamente por muchos componentes discretos, ha evolucionado para convertirseen un componente discreto él mismo, una realidad que ha cambiado por completo el

55

56 CAPÍTULO 3. EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL

panorama del diseño de circuitos lineales. Con componentes de ganancia altamentesofisticados disponibles al precio de los componentes pasivos, el diseño mediante com-ponentes activos discretos se ha convertido en una pérdida de tiempo y de dineropara la mayoría de las aplicaciones dc y de baja frecuencia. Claramente, el AOintegrado ha redefinido las “reglas básicas” de los circuitos electrónicos acercandoel diseño de circuitos al de sistemas. Lo que ahora se debe hacer es conocer ade-cuadamente los AOs, cómo funcionan, cuáles son sus principios básicos y estudiarsus aplicaciones.

Los AOs se diseñan para utilizarse con componentes externos y de esta man-era proporcionar las funciones de trasferencia requeridas, mejorar las capacidadesy la versatilidad, y cambiar las características de operación. Estas característi-cas incluyen respuesta en frecuencia, desplazamiento de fase de la señal, gananciay función de transferencia. Los componentes se colocan en uno o más circuitosretroalimentados y en los terminales de entrada.

3.2 Conceptos básicos sobre los amplificadores

Uno de los bloques funcionales más importantes de los sistemas electrónicos linealeses el amplificador. A continuación se estudiarán algunas características externasde los amplificadores. Un amplificador puede ser considerado como una red de dospuertos, uno de entrada y uno de salida. Por lo cual, como todo cuadripolo, tienecuatro parámetros a ser considerados: tensión y corriente a la entrada y tensióny corriente a la salida. La tensión (o corriente) de salida está relacionada con latensión (o corriente) de entrada mediante un parámetro de ganancia. Si la señalde salida es directamente proporcional a la señal de entrada, de tal manera que lasalida sea una réplica de la señal de entrada, se dice que el amplificador es lineal, esdecir,

xo = Akxi (3.2.1)

donde xo y xi son las señales de salida y entrada respectivamente, y Ak es la ganan-cia del amplificador. Se definen cuatro tipos de amplificadores básicos, según lasvariables dependientes e independientes que se tengan:

• Amplificador de tensiónAv ,

vovi

(3.2.2)

• Amplificador de corrienteAi ,

ioii

(3.2.3)

3.2. CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LOS AMPLIFICADORES 57

• Amplificador de transimpedancia

A> ,voii

(3.2.4)

• Amplificador de transconductancia

A⊥ ,iovi

(3.2.5)

También se definen otros dos parámetros importantes en el análisis de los am-plificadores lineales:

• Impedancia de entradaZi ,

viii

(3.2.6)

• Impedancia de salidaZo ,

voio

(3.2.7)

La impedancia de entrada es la medida de la corriente extraída por el amplifi-cador. Mientras que la impedancia de salida es el valor de la impedancia dinámica in-terna vista desde las terminales de salida de un amplificador; es decir, es la impedan-cia equivalente de Thévenin.

3.2.1 Amplificador como parte de una red

Las señales de salida de los transductores pueden estar dadas en V ó A y son engeneral débiles (del orden de los μV o pA), además poseen una cantidad de energíamuy baja (pW o nW ). De otra parte pueden estar en un lugar remoto, por lo cualla transmisión y adquisición de las señales generadas debe hacerse a través de unmedio adecuado, v. gr., transformando una señal de tensión a corriente para formarun lazo de corriente y evitar las pérdidas ohmicas en la línea de transmisión. Paraesto se deben analizar las topologías básicas de los amplificadores planteadas másarriba. Se analizarán los diferentes amplificadores conectados a una cierta fuente deseñal y a una carga determinada.

Amplificador de tensión

En este caso se tiene (ver Fig. 3.1(a)):


+vs

rs ii

+

_vi Ri

+_

A vvo i

Ro

RL

+_

ii

+

_vivs

+_ RL

i i = 0

rs

A vvo i

+

_vo

+

_vo

(a)

(b)

Figura 3.1: (a) Amplificador de tensión. (b) Fuente de tensión controlada portensión.

vo =RL

RL +RoAvovi =

1

1 + RoRL

Avovi

vi =Ri

Ri + rsvs =

1

1 + rsRi

vs

de donde

vo =1

1 + rsRi

1

1 + RoRL

Avovs

Entonces, la ganancia de tensión está dada por

Av =1

1 + rsRi

1

1 + RoRL

Avo (3.2.8)

Para máxima ganancia de tensión se debe cumplir

Ri −→∞ y Ro −→ 0 (3.2.9)


Esto significa que un buen amplificador de tensión debe tener alta impedanciade entrada y muy baja impedancia de salida. Este es el caso de la mayoría de AOsconvencionales.

Por lo tanto,Av∼= Avo [V/V ] (3.2.10)

yvo ∼= Avvi (3.2.11)

El sistema se comporta como una fuente de tensión controlada por tensión(VCVS) o convertidor tensión a tensión, como se muestra en la Fig. 3.1(b).

Amplificador de corriente


is rs

ii

Ri A iio i Ro

io

RL

is rs

ii

v i = 0

+

_vi

A iio i RL

io

(a)

(b)

Figura 3.2: (a) Amplificador de corriente. (b) Fuente de corriente controlada porcorriente.

io =Ro

Ro +RLAioii =

1

1 + RLRo

Aioii

ii =rs

rs +Riis =

1

1 + Rirs

is


de donde,

io =1

1 + Rirs

1

1 + RLRo

Aioii

Entonces, la ganancia de corriente está dada por

Ai =1

1 + Rirs

1

1 + RLRo

Aio (3.2.12)

Para máxima ganancia de corriente se debe cumplir

Ri −→ 0 y Ro −→∞ (3.2.13)

Esto significa que un buen amplificador de corriente debe tener muy baja impedan-cia de entrada y muy alta impedancia de salida. Este es el caso de los llamadosamplificadores Norton, tal como el LM3900 y el LM359.

Por lo tanto,Ai∼= Aio (3.2.14)

yio ∼= Aiii (3.2.15)

El sistema se comporta como una fuente de corriente controlada por corriente(CCCS) o convertidor corriente a corriente, como se muestra en la Fig. 3.2(b).

Amplificador de transconductancia


io =Ro

Ro +RLA⊥ovi =

1

1 + RLRo

A⊥ovi

vi =Ri

Ri + rsvs =

1

1 + rsRi

vs

de donde,

io =1

1 + rsRi

1

1 + RLRo

A⊥ovs

Entonces, la ganancia de transconductancia está dada por

A⊥ =1

1 + rsRi

1

1 + RLRo

A⊥o (3.2.16)


+vs

rs ii

+

_vi Ri

Ro RL

io

A v⊥o i

+vs

rs

ii

RL

io

vi

= 0

A v⊥o i

(a)

(b)

Figura 3.3: (a) Amplificador de transconductancia. (b) Fuente de corriente contro-lada por tensión.

Para máxima ganancia de transconductancia se debe cumplir

Ri −→∞ y Ro −→∞ (3.2.17)

Esto significa que un buen amplificador de transconductancia debe tener altaimpedancia de entrada y alta impedancia de salida. En el comercio se encuentranamplificadores de transconductancia en estructura monolítica tal como el LM3080y el LM13700.

Por lo tanto,

A⊥ ∼= A⊥o (3.2.18)

y

io ∼= A⊥vi (3.2.19)

El sistema se comporta como una fuente de corriente controlada por tensión(VCCS) o convertidor tensión a corriente, como se muestra en la Fig. 3.3(b).

Amplificador de transimpedancia



v i = 0

is rs

ii

Ri

Ro

io

RL

is rs

ii

+

_vi

+_

+_ A iTO i RL

A iTO i

+

_vo

io

+

_

vo

(a)

(b)

Figura 3.4: (a) Amplificador de transimpedancia. (b) Fuente de tensión controladapor corriente.

vo =RL

RL +RoA>oii =

1

1 + RoRL

A>oii

ii =rs

Ri + rsis =

1

1 + Rirs

is

de donde,

vo =1

1 + Rirs

1

1 + RoRL

A>ois

Entonces, la ganancia de transimpedancia está dada por

A> =1

1 + Rirs

1

1 + RoRL

A>o (3.2.20)

Para máxima ganancia de transimpedancia se debe cumplir

Ri −→ 0 y Ro −→ 0 (3.2.21)

Esto significa que un buen amplificador de transimpedancia debe tener muy bajaimpedancia, tanto de entrada como de salida. Por lo tanto,

A> ∼= A>o (3.2.22)

3.3. CARACTERÍSTICAS DE LOS AOS 63

yvo ∼= A>ii (3.2.23)

El sistema se comporta como una fuente de tensión controlada por corriente(CCVS) o convertidor corriente a tensión, como se muestra en la Fig. 3.4(b).

3.3 Características de los AOs

3.3.1 Parámetros en lazo abierto

Para evaluar adecuadamente el potencial de un AO para aplicación específica serequiere comprender sus características.

Ro+

IB2

IB1

+VIO

Ri

-

+

VvoVε Vo

v

v+

Figura 3.5: Circuito equivalentede un amplificador operacional.

La Fig. 3.5 representa el circuito equivalentede un AO y sus parámetros. Los parámetrosilustrados en la Fig. 3.5 se definen como sigue:

• Corrientes de polarización de entrada (IB1e IB2) —la corriente que fluye en ambas en-tradas del AO.

• Tensión de entrada diferencial (V∈) —ladiferencia de potencial entre la entrada noinversora (+) y la entrada inversora (−).

• Tensión de entrada offset (VIO) —una ten-sión de entrada generada internamente eidentificada como la tensión que se debeaplicar a los terminales de entrada para pro-

ducir una salida de 0 V .

• Resistencia de entrada (Ri) —la resistencia de cada entrada cuando la otra estáaterrizada.

• Tensión de salida (VO) —tensión normal de salida medida con respecto a tierra.

• Resistencia de salida (RO) —resistencia a la salida del AO.

• Ganancia de tensión diferencial (AV D) o ganancia de tensión en lazo abierto(AOL) —la relación entre las tensiones de salida y de entrada diferencial del AOsin realimentación externa.

• Ancho de banda (BW ) —la banda de frecuencias sobre la cual la ganancia(VO/V∈) del AO permanece en los límites deseados (por encima de 3 dB).


+

-

-

+ cc

ccV

V

Vo

V

V

+

Figura 3.6: AO Ideal.

El símbolo del generador en la Fig. 3.5 representala tensión de salida resultante del producto de laganancia y la tensión de entrada diferencial (AV D ·V∈).

UnAO (ver Fig. 3.6) proporciona una tensión desalida lineal, el cual es proporcional a la diferenciaen la tensión entre los dos terminales de entrada. Latensión de salida será de la misma polaridad de laresultante entre la diferencia de las tensiones en losterminales no inversor e inversor. Cuando la entradano inversora es más positiva que la entrada inversora, la tensión de salida tendrá unaamplitud positiva. Cuando la entrada no inversora es más negativa que la entradainversora, la tensión de salida tendrá una amplitud negativa.

Un AO sin realimentación externa desde la salida hasta la entrada se describecomo en modo de lazo abierto. Algunas características de un AO ideal funcionandoen el modo de lazo abierto son:

Ganancia diferencial → ∞ Resistencia de entrada → ∞Ganancia en modo común = 0 Resistencia de salida = 0Tensión de offset = 0 Ancho de banda → ∞

A partir de estas características del AO, se pueden deducir otras dos importantespropiedades adicionales. Puesto que la ganancia en tensión es infinita, cualquierseñal de salida que se desarrolle será el resultado de una señal de entrada infinitesi-malmente pequeña. Luego, en resumen:

• La tensión de entrada diferencial es nula.

• Si la resistencia de entrada es infinita, no existe flujo de corriente en ningunode los terminales de entrada.

Estas dos propiedades pueden considerarse como axiomas y se emplearán repeti-damente en el análisis y diseño del circuito del AO. Una vez entendidas estaspropiedades, se puede, lógicamente, deducir el funcionamiento de casi todos loscircuitos con amplificadores operacionales.

3.3.2 Características principales de operación

Las características detalladas y específicas de funcionamiento de un AO particularse pueden encontrar en las hojas de datos apropiadas. Una hoja de datos de unAO proporcionará normalmente muchas características eléctricas no genéricas. Lascaracterísticas eléctricas proporcionadas son para una tensión de alimentación y una


temperatura ambiente específicos y usualmente tendrá unos valores mínimo, típicoy máximo. Las principales características de un AO y su significado son como sigue:

• Corriente de offset de entrada (IIO) —la diferencia entre las dos corrientes depolarización de entrada cuando la tensión de salida es cero.

• Rango de tensión de entrada en modo común (VICR) —el rango de la tensiónde entrada en modo común (es decir, el voltaje común a ambas entradas).

• Corriente de salida en corto circuito (IOS) —la máxima corriente de salida queel AO puede entregar en un corto circuito.

• Fluctuación de la tensión de salida (VOPP ) —el máximo voltaje de salida picoa pico que el AO puede entregar sin que ocurra saturación o corte. Estacaracterística es dependiente de la resistencia de carga.

• Ganancia de tensión diferencial de gran señal (AV D) —la relación entre la fluc-tuación del voltaje de salida y la del voltaje de entrada cuando la salida selleva a un voltaje de gran señal específico (típicamente ±10 voltios).

• Velocidad de cambio (SR) —la tasa de tiempo del cambio del voltaje de salidaen lazo cerrado con el circuito AO llevado a una ganancia de voltaje unitaria(1 ).

• Corriente de alimentación (ICC) —la corriente total que el AO drenará de lasfuentes de polarización cuando está sin carga.

• Relación de rechazo en modo común (CMRR) —medida de la habilidad queposee un AO para rechazar las señales que se presenten simultáneamente enambas entradas. La relación del voltaje de entrada en modo común al voltajegenerado de salida y se expresa generalmente en decibeles (dB).

En los parágrafos precedentes se ha discutido las características básicas del AO.Los parágrafos siguientes proporcionarán una información más detallada.

Ganancia y respuesta en frecuencia

A diferencia del AO ideal, un amplificador operacional típico tiene una gananciadiferencial y un ancho de banda finitos. Debido a que muchas de las característicasdel AO ideal son irrealizables, las características de un AO típico difieren significa-tivamente de las del AO ideal.

La ganancia en lazo abierto de un AO típico se muestra en la Fig. 3.7 (LM6171).A bajas frecuencias, la ganancia en lazo abierto es constante. Sin embargo, a al-tas frecuencias (por encima de 100 MHz) la ganancia se reduce a una tasa de −6


Figura 3.7: Ancho de banda del AO LM6171.

dB/octava. La frecuencia a la cual la ganancia alcanza al valor unitario se denominaancho de banda unitario y se denota por B1.

Cuando una porción de la señal de salida se realimenta a la entrada del AO,la relación entre el voltaje de salida y el de entrada se denomina ganancia en lazocerrado. La ganancia en lazo cerrado es siempre menor que la ganancia en lazoabierto. Debido a que el error en la ganancia es proporcional a la relación entre laganancia en lazo cerrado y la ganancia en lazo abierto, es deseable un valor muyalto de la ganancia en lazo abierto.

Producto ganancia—ancho de banda

Cuando se selecciona un AO para una aplicación particular, uno de los factores pri-marios que se debe considerar es el producto ganancia—ancho de banda. El productode la ganancia en lazo cerrado y la respuesta en frecuencia, permanece constanteen cualquier punto de la porción lineal de la curva de ganancia en lazo abierto (verFig. 3.8).

El ancho de banda es la frecuencia a la cual la curva de ganancia en lazo cerradointercepta la curva de ganancia en lazo abierto como se muestra en la Fig. 3.8. Sepuede obtener el ancho de banda para cualquier ganancia en lazo cerrado, dibujandouna línea horizontal desde la ganancia deseada a la intersección con la curva deganancia de lazo abierto. En un diseño típico, se deberá utilizar un factor de 0.1 omenos de la ganancia en lazo abierto a una frecuencia dada. Esto asegura que el AOfuncionará adecuadamente con un mínimo de distorsión. Cuando se incrementa la


Figura 3.8: Producto ancho de banda por ganancia vs carga capacitiva en un AOLM6171.

ganancia de voltaje de un circuito con AO, el ancho de banda se decrementa.

Influencia de la resistencia de entrada

La influencia de la resistencia de entrada se puede encontrar aplicando las leyes deKirchhoff. De la Fig. 3.9 se obtiene:

I1 = I2 + I3 (3.3.1)VI − VDI

R1=

VDI − VOR2

+VDI

RI(3.3.2)

Si la ganancia en lazo abierto es infinita, la tensión de entrada diferencial será ceroy el valor de la resistencia de entrada no tendrá influencia (si no es cero). Puestoque VDI = VO/AV D, se tiene:

VI − VDI

R1=

VDI − VOR2

+VDI

RI(3.3.3)

Por lo tanto,VIVO

=1

AV D+

1R2R1AV D

+R1

RIAV D− R1

R2(3.3.4)

oVIVO

= −R1R2

+R1

R2AV D+

1

AV D

µ1 +

R1RI

¶(3.3.5)


I1

R1 I3

I2

R2

RiVDIVi Vo

Figura 3.9: Influencia de la impedancia de entrada.

Las ecuaciones anteriores indican que la resistencia de entrada tendrá poco o ningúnefecto (a menos que sea pequeña comparada con R1) sobre la relación de la tensiónde salida a la tensión de entrada. Por lo tanto, la ganancia en lazo cerrado paraaplicaciones típicas, es independiente de la resistencia de entrada.

Influencia de la tensión offset de entrada

La tensión offset de entrada (VIO) es una tensión generada internamente y puedeser considerada como una fuente de voltaje insertada entre las dos entradas (verFig. 3.10). Además, es una tensión diferencial de entrada resultante del desajustedel AO en las etapas de entrada.

I1

R1 I3

I2

R2

VIOVi Vo

Figura 3.10: Influencia de la tensión offset de entrada.

El efecto sobre la corriente I1 e I2 puede ser determinada por las siguientesecuaciones:

VI − VIOR1

=VIO − VO

R2(3.3.6)

Si la tensión de entrada (VI) es cero, la ecuación es como sigue:


−VIOR1

=VIO − VO

R2(3.3.7)

La tensión de salida es la tensión offset de salida (VOO). La siguiente ecuaciónse usa para determinar VOO:

VOO =

µR2R1

+ 1

¶VIO (3.3.8)

EL valor de la tensión offset de entrada se puede encontrar dividiendo la tensiónoffset de salida entre la ganancia de lazo cerrado.

Compensación del offset de entrada

Un AO ideal tiene voltaje offset de entrada cero y no tiene pérdidas de corriente. Sinembargo, debido al desajuste de los transistores y a las resistencias de entrada delcircuito monolítico, el AO típico tiene un bajo, pero definido, voltaje de offset. Lamayoría de los AOs vienen provistos de conectores para un potenciómetro externo,de modo que el offset de entrada pueda ser ajustado a cero. El método exacto usadoy la resistencia total del potenciómetro de ajuste nulo es dependiente del tipo decircuito que conforma al AO. Un AO de propósito general, compensado internamente(v. gr.: un μA741), puede requerir un potenciómetro de 10kΩ. Un BiFET o AOcompensado externamente puede requerir un potenciómentro de 100kΩ. El voltajeoffset de entrada recomendado para circuitos de ajuste nulo, se muestra usualmenteen la hoja de datos.

N1

N2

100kΩ

15kΩ-VCC

N1

N2

2MΩ

1MΩVCC

( )a ( )b

Figura 3.11: (a) Pines de anulación de offset conectados a los emisores. (b) Pinesde anulación de offset conectados a los colectores.

Los métodos de anulación de tensión offset de entrada se muestran en la Fig. 3.11(a)y Fig. 3.11(b). Se utiliza un circuito similar al que se muestra en la Fig. 3.11, cuando


los pines de anulación de offset (N1 y N2) se conectan a los emisores del generadorde corriente constante. Cuando los pines de anulación de offset se conectan a loscolectores del generador de corriente constante, se usa un circuito similar al que semuestra en la Fig. 3.11(b).

Los valores reales del resistor dependen del tipo del AO usado. Se debe consultarla hoja de datos apropiada para complementar los procedimientos de nulidad deloffset de entrada.

Coeficiente de temperatura de la tensión offset de entrada

El coeficiente de temperatura de la tensión offset de entrada (tensión offset dederiva) se específica en voltios por grados Celsius. La cantidad acumulada que ocurrecon los cambios de temperatura se relaciona directamente a cuan cercanamenteajustadas estaban las características de entrada cuando se fabricó el dispositivo. Losdispositivos de entrada BiFET (tales como la familia TL080 ) típicamente tienen de10 a 12 μV/C. La familia deAOs LinCMOS R° tienen de 0.7 a 5 μV/C dependiendodel modo de polarización seleccionado.

I1

R1

I2

R2

VDIVi Vo

I3

Figura 3.12: Influencia de la corriente de polarización de entrada.

Influencia de la corriente de polarización de entrada

Tanto la corriente de polarización (I3) como las corrientes de operación normal (I1e I2) fluyen a través de los resistores R1 y R2 (ver la Fig. 3.12). La corriente I3genera una tensión diferencial de entrada igual al producto R1||R2 × I3. La tensiónde entrada diferencial (la cual es similar a la tensión offset de entrada) aparecetambién como una componente de la salida la cual es amplificada por la gananciadel sistema. Más tarde se discutirán algunos métodos para corregir los efectos de lacorriente de polarización de entrada.


Influencia de la resistencia de salida

La influencia de la resistencia de salida se ilustra en la Fig. 3.13. La corriente desalida se puede expresar con la siguiente ecuación:

Io = I2 + IL =VOR

R2||RL(3.3.9)

Si VOI es la tensión de salida del amplificador ideal equivalente y VOR es latensión de salida del dispositivo real, entonces VOR se puede determinar a partir dela siguiente relación:

Io =VOR − VOI

R0(3.3.10)

Combinando (3.3.9) y (3.3.10):

VOR =R2||RLVOIR2||RL −R0

(3.3.11)

I1

R1

I2

R2

VOI

Vi

VOR

ROIO

RLIL

VDI

Figura 3.13: Influencia de la impedancia de salida.

Para el caso ideal, VOI = AvdVDI ; por lo tanto:

VOR =Avd

1− RoR2||RL

VDI (3.3.12)

Se observa que si la resistencia de salida Ro es pequeña, el valor de la tensión desalida del amplificador real se acercará al ideal.

Rango de entrada en modo común

Se puede definir rango de entrada en modo común como el rango máximo de latensión de entrada que se puede aplicar simultáneamente a ambas entradas sin causarcorte, deformación o saturación en las etapas del amplificador. La etapa de entrada


debe ser capaz de operar dentro de las especificaciones para todo el rango dinámicode elongación en la salida. Si no lo hace, el amplificador puede ir a saturacióncuando se exceden los límites en la entrada. El rango de tensión en modo comúnespecificado de la etapa de entrada, debe exceder a la máxima elongación de latensión pico a pico en los terminales de entrada o la etapa de entrada se puedesaturar con los picos. Cuando ocurre la saturación, la etapa de entrada inversorano invierte más. La realimentación negativa se transforma en positiva y la etapapermanece en saturación.

Relación de rechazo en modo común (CMRR)

La relación de rechazo en modo común (CMRR) se puede definir como la razón dela ganancia de señal diferencial a ganancia de señal en modo común y se expresa endecibeles (dB)

CMRR dB =Ganancia de señal diferencialGanancia en modo común

= 20 log10

¯Ad

Ac

¯(3.3.13)

Un AO ideal responde solamente a las señales de entrada en modo diferenciale ignora las señales en modo común en ambas entradas. En un circuito típico, sinembargo, los amplificadores tienen un pequeño, pero definido error en modo común.El rechazo en modo común es importante para los amplificadores no inversores odiferenciales debido a que estas configuraciones ven una tensión en modo común.Dependiendo del tipo de dispositivo, las relaciones de rechazo pueden estar en unrango entre 90 dB y 120 dB. Generalmente, los AOs bipolares tienen relaciones derechazo más altas que los amplificadores con entrada FET.

Influencia de la deriva de corriente y tensión

La tensión de offset de entrada, la corriente de polarización de entrada y las co-rrientes de offset diferenciales pueden derivar con la temperatura. Aunque es rela-tivamente fácil compensar cada uno de estos efectos en si mismos, es dificil corregirla deriva producida por las variaciones de temperatura. Sin embargo, hay algúncontrol limitado ofrecido en los diseños, para las características de deriva presen-tadas. Cuando se esperan tendencias de deriva en un problema de diseño, se deberáconsiderar el tipo de dispositivo, la construcción y la aplicación correspondiente.

Velocidad de respuesta (slew rate)

La velocidad de respuesta se puede definir como la tasa máxima de cambio de latensión de salida en la unidad de tiempo, para una tensión escalón aplicada a laentrada (ver Fig. 3.14).


0

1

0 t

v o

ΔV

Δt

Figura 3.14: Efecto de la velocidad de respuesta.

La velocidad de respuesta normalmente se mide con el amplificador conectadoen configuración de ganancia unitaria. Tanto la velocidad de respuesta como elproducto ancho de banda por la ganancia son medidas de la velocidad del AO. Enla Fig. 3.14 se puede ver el valor de la pendiente de la recta generada en la salida,cuando el amplificador se excita con un pulso. Por lo tanto, la medida de la velocidadde respuesta estará dada por

SR =

¯∆Vo∆t

¯(3.3.14)

Figura 3.15: Velocidad de respuesta en un LM6171.

El SR en los AOs típicos varía entre 105[V/s] ≤ SR ≤ 109[V/s]. A continuaciónse dan los valores del SR de algunos AOs: Para el OP—07 alimentado con±15V y conRL ≥ 2kΩ, el valor típico es de 0.3V/μs, para el LF353 alimentado con ±15V y conRL ≥ 1kΩ, el valor típico es de 13V/μs, para el LM6171 con Av = +2, vi = 13VPP ,


el valor típico es de 3600V/μs. Para el caso del LM6171 el SR se determina por lacorriente disponible para cargar y descargar un capacitor interno en un nodo de altaimpedancia.

gain

200kHz

-1/1V

+

OP07

R1 10k

R2

10k

A

B

Figura 3.16: Circuito deprueba para observar la veloci-dad de respuesta.

La corriente se define como la relación entre latensión de entrada diferencial y la impedancia (re-sistencia) de entrada equivalente. Por lo tanto, elSR es proporcional al nivel de la tensión de en-trada, por lo que se obtienen valores más altos deSR en configuraciones de ganancia más bajas (verFig. 3.15) [48].

El SR ocasiona que la forma de onda de salidade un AO real pueda llegar a ser muy diferente ala de un AO ideal.

Por ejemplo, considérese el amplificador de ten-sión de la Fig. 3.16. Puesto que se trata de unOP—07, presenta un SR = 0.3V/μs. Se ha aplicadouna señal de entrada senoidal de 200kHz dada por

vi(t) =

½0 t < 01.0sen (4× 105πt) t ≥ 0 (3.3.15)

0 4.17u 8.33u 12.5u 16.7u 20.8u 25u-2.1

-1.4

-700m

0

700m

1.4

2.1

Xa: 2.278u Xb: 0.000 Yc: 550.3m Yd:-1.526

a-b: 2.278uc-d: 2.076

frec: 439.0k

Ref=Tierra X=4.17u/Div Y=voltaje

d

c

b aA

B

Figura 3.17: Ondas de entrada y salida del circuito de la Fig. 3.16. Obsérvese ladeformación producida por la limitación del SR.


En la Fig. 3.17 se ilustra la forma de onda de la tensión de salida del circuitode prueba. En t = 0, la tensión de salida es cero. La salida ideal aumenta a unavelocidad superior al SR del AO, de modo que la salida del AO crece a un máximo de0.3V/μs. En el punto (a, c) definido por los marcadores a y c, la salida real alcanzaa la salida ideal, pero en este momento la salida ideal diminuye a una velocidadsuperior a la del SR. Por lo tanto, en el punto (a, c), la salida del AO comienza adisminuir a su máxima velocidad. Nótese que, a causa del SR, la salida real del AOtiende a ser de forma triangular.

Ancho de banda de potencia

El ancho de banda de potencia de un AO es el margen de frecuencia para el cual elAO puede producir una señal de salida sinusoidal sin distorsiones, con una amplitudpico igual al máximo garantizado de la tensión de salida. Se calculará a continuaciónuna expresión para calcular el ancho de banda de potencia en función del SR y dela amplitud del pico de la señal de salida. La señal de salida está dada por

vo(t) = Vop sen ωt

Tomando la derivada respecto al tiempo se obtiene

dvo(t)

dt= ωVop cosωt

La máxima velocidad de cambio es ωVop = 2πfVop. Igualando esta expresión allímite de la velocidad de subida se obtiene

2πfVop = SR

Despejando la frecuencia se llega a

fbp =SR2πVop

(3.3.16)

donde se ha expresado el ancho de banda de potencia total como fbp. Una formade onda de salida sinusoidal de amplitud total y sin distorsión, solo es posible parafrecuencias inferiores a fbp.

Ejercicio 1 Calcular el ancho de banda de potencia de un amplificador operacionalOP—07 si el SR = 0.3V/μs, y la amplitud de la salida máxima garantizada es 14 V.

Solución:Se sustituye la información proporcionada en la ecuación (3.3.16) y se obtiene

fbp =SR2πVop

=0.3V/μs

2π × 14 V ' 3.4 kHz

Por lo tanto, se puede obtener del OP—07 una salida sinusoidal sin distorsión de14 V de pico para frecuencias menores de 3.4 kHz.


Ruido

Figura 3.18: Respuesta decorriente de ruido en un am-plificador.

Aunque no se establece como una de las carac-terísticas principales del AO ideal, es deseable unaoperación libre de ruido. Los AOs típicos degradanla señal de entrada agregando componentes de ruido.Los componentes de ruido usualmente son aleatoriosy determinan el límite inferior de la capacidad demanejo de señal. El ruido generalmente se especificaen la hoja de datos como ruido de entrada equivalentey, como los otros factores de entrada, se incrementacon la ganancia de la etapa. Hay varias fuentes po-tenciales de ruido en un AO. Las más comunes son elruido térmico, causado por las resistencias de las dosfuentes, el ruido de corriente interno y los generadoresde tensión de ruido. En aplicaciones normales de au-dio, la tensión de ruido será la fuente dominante deruido en el amplificador. Cuando se incrementa la resistencia de la fuente, el efectodel ruido corriente (ver Fig. 3.18) se incrementa hasta que la corriente de ruido y elruido del resistor de compensación de polarización en conjunto son los componentesdominantes del ruido de entrada del amplificador [51]. En las especificaciones estosdos parámetros se detallan separadamente (ver Figs. 3.18 y 3.19). La tensión deruido se especifica con una resistencia de la fuente baja (ver Fig. 3.19).

Figura 3.19: Respuesta detensión de ruido en un am-plificador.

Tanto vn como in se dan en términos de densidadde energía. Éstos se miden con un filtro de ancho debanda estrecho (1Hz de ancho) en una serie de puntosa lo ancho del espectro útil del amplificador. Los datosusualmente se dan en términos de la tensión de ruidovs la frecuencia. Datos prácticos o curvas sobre hojasde datos normalmente se dan como sigue:

vn =en√BW

[V ]√Hz

donde en es la densidad de ruido en la tensión deentrada y BW es el ancho de banda en [Hz]. La Fig.3.20 correponde al fragmento de una hoja de datosdel AO LM6271 (amplificador con realimentación decorriente) donde se indican algunos de los parámetrosmencionados en este apartado, en particular el ruido de tensión y de corriente en eldispositivo.


Figura 3.20: Hoja de datos de un amplificador típico.

En general, los AOs de baja corriente de entrada (FET ) o los AOs de bajacorriente de polarización tendrán corriente de ruido más baja y tienden a ser mássilenciosos a impedancias de la fuente por encima de 10kΩ. Por debajo de 10kΩ,la ventaja es ahora de los AOs bipolares los cuales tienen más bajo ruido en latensión de entrada. Cuando la impedancia de la fuente está por debajo de 10kΩ,la resistencia real de la fuente está compuesta principalmente por la resistencia delgenerador. La configuración no inversora del AO tiene menos ganancia de ruidoque la configuración inversora para ganancias bajas de señal y por tanto tendrá altarelación señal a ruido. A altas ganancias; sin embargo, esta ventaja disminuye [51].

Ancho de banda de ganancia unitaria y margen de fase

Hay cinco parámetros relacionados con las características de frecuencia de los AOsque probablemente se encuentran en las hojas de datos de los AOs. Éstos son elancho de banda a ganancia unitaria (B1), producto ancho de banda por ganancia(GBW ), margen de fase a ganancia unitaria (φm), margen de ganancia (Am) yMáximo ancho de banda de oscilación de salida (BOM).

El ancho de banda a ganancia unitaria (B1) y el producto ancho de banda porganancia (GBW ) son muy similares. B1 especifica la frecuencia a la cual AV D delAO es 1:

B1 = f ·AV D = 1 (3.3.17)

GBW especifica el producto ancho de banda por ganancia del AO en configu-ración de lazo abierto y la salida con carga:


Etapa de entrada Segunda etapa Etapa de salida

Cc

-Vcc

Vcc

Vp

Vn

D2

D1

Q7

Q6

Q5

Q4

Q1 Q2

Q3

Vo

Figura 3.21: Circuito simplificado de un amplificador operacional donde se indicanlas etapas principales.

GBW = AV D × f (3.3.18)

GBW es constante para amplificadores con realimentación de tensión. No tienemucha significación para amplificadores con realimentación de corriente debido aque no hay una relación lineal entre la ganancia y el ancho de banda [40].

• El margen de fase a ganancia unitaria (φm) es la diferencia entre la cantidadde desplazamiento de fase que experimenta una señal a través del AO conganancia unitaria y 180 :

φm = 180 − φ@B1 (3.3.19)

• El margen de ganancia es la diferencia entre la ganancia unitaria y la gananciaa 180 de desplazamiento de fase:

Margen de Ganancia = 1−Ganancia@180 de desplazamiento de fase

• Máximo ancho de banda de elongación de salida (BOM). Especifica el anchode banda sobre el cual la salida está por encima de un valor específico:

BOM = fMAX , mientras vO > vMIN


El factor limitante para el BOM es el SR. A medida que aumenta la frecuenciala salida es cada vez más limitado el SR y puede no responder suficientementerápido a la elongación de la tensión de salida.

Con el fin de hacer que el AO sea más estable, se fabrica a propósito un capacitorCC , en la segunda etapa dentro del chip (Fig. 3.21). Este tipo de compensaciónen frecuencia se denomina compensación del polo dominante. La idea es hacer quela ganancia en lazo cerrado del AO sea la unidad antes que la fase de la salida sedesplace 180.

Figura 3.22: Amplificación de tensión y desplazamiento de fase vs frecuencia.(según[40]).

La Fig. 3.22 muestra una gráfica típica de ganancia vs frecuencia para un AOcompensado internamente, como se presenta en la hoja de datos de un fabricantetípico.

Como ya se observó, AV D se reduce con la frecuencia. AV D (y también B1 oGBW ) es un aspecto del diseño del dispositivo cuando se requiere una gananciaprecisa dentro de una banda de frecuencia.

El margen de fase (φm) y el margen de ganancia (Am) son modos diferentesde especificar la estabilidad del circuito. Puesto que el valor de salida de los AOs


+

1kHz

V1-20m/20mV

R

10k

Rf

100k

10k

A

B

Figura 3.23: Circuito para la medición del margen de fase.

con salidas rail-to-rail 1 (RR) tiene más alta impedancia de salida, se puede ver undesplazamiento de fase significativo cuando se impulsan cargas capacitivas. Estedesplazamiento de fase extra reduce el margen de fase, y por esta razón la mayoríade los AOs CMOS con salida RR tienen habilidad limitada para impulsar cargascapacitivas.

El margen de fase es de 180 menos el desplazamiento de fase a la frecuenciadonde la magnitud de la ganancia de tensión en lazo abierto es igual a la unidad. Elmargen de fase se mide en grados y debe ser positivo para estabilidad incondicional.La Fig. 3.23 ilustra un circuito típico usado para medir el margen de fase, cuyarespuesta temporal correspondiente se observa en la Fig. 3.24. Si la diferencia de

0 .000m s 1.000m s 2.000m s 3.000m s 4.000m s 5.000m sA : u1a_1 200.0m V

-200.0m VB : v1_1 20.00m V

-20.00m V

Figura 3.24: Respuesta temporal de la red de la Fig. 3.23.

fase entre la forma de onda de la entrada y la salida es de 180, 180 − 120 = 60será el margen de fase. El margen de fase puede o no ser dado en la hoja de datos

1La designación rail-to-rail para indicar que la tensión de elongación permitida es igual a ladiferencia de potencial entre las fuentes de polarización, es marca registrada por Motorola Co. Conesto se especifica también un tipo de AO con polarizaciones muy bajas y alta elongación en laentrada y/o en la salida.


del amplificador. El margen de fase normalmente estará entre 50 y 70 en los AOsdisponibles comercialmente. Cuando el margen de fase decrece a 45, el amplificadortiende a ser inestable y puede oscilar.

Máxima elongación de la tensión de salida

La máxima elongación de la tensión de salida, VOM±, se define como el máximovoltaje pico positivo o negativo que se puede obtener a la salida sin que la formade onda se recorte, cuando la salida dc es cero. La VOM±, está limitada por laimpedancia de salida del amplificador, la tensión de saturación de los transistores desalida y las tensiones de las fuentes de polarización. Esto se muestra pictóricamenteen la Fig. 3.25.

Figura 3.25: Elongación de la tensión de salida.

Esta estructura de seguidor de emisor no puede impulsar la tensión de salidaal valor de polarización (riel por la forma ). Los SRR usan una etapa de salidaen emisor común (bipolares) o en fuente común (CMOS). Con estas estructuras, laelongación de la tensión de salida está limitada solamente por la tensión de saturación(bipolares) o la resistencia de encendido (CMOS) de los transistores de salida y porla carga que se desea impulsar.

Las resistencias de carga dadas en las hojas de datos usualmente son de 2 kΩ ode 10 kΩ. Con resistencias de carga inferiores a 2 kΩ, la salida se decrementa debidoa límites en la corriente. Normalmente, esto no dañará al AO, hasta tanto los límitesde corriente especificados en la hoja de datos no sean excedidos. Sin embargo, laganancia en lazo cerrado se reducirá debido a la carga excesiva.


3.4 Selección del AO Adecuado

Debido a su versatilidad y facilidad de aplicación, el AO es hoy en día el circuitointegrado lineal más ampliamente utilizado. Debido a la popularidad del AO, haydisponibilidad de muchos tipos diferentes los cuales ofrecen una gran variedad decaracterísticas. ¿Cuál dispositivo utilizar para una aplicación específica? es unacuestión que debe ser respondida. Si las características del dispositivo seleccionadono son adecuadas, el comportamiento del sistema global puede ser menor al deseado.Si el dispositivo seleccionado es demasiado complejo para la tarea, el costo del sis-tema se incrementará innecesariamente. Los siguientes parágrafos proporcionan unresumen de varios tipos de AOs.

3.4.1 El AO de propósito general bipolar

Desde su concepción, muchos diseños de AOs han utilizado transistores bipolarescomo el par amplificador diferencial de entrada. Puesto que estos transistores deentrada operan con fuentes de corriente constante, se utiliza un par adicional detransistores pareados para obtener tensiones base emisor con alta similitud y asíobtener una relación de corrientes predecible para los generadores de corriente cons-tante. El desplazamiento de fase se controla internamente en el amplificador porcompensación de frecuencia. El desplazamiento de fase del amplificador debe serinferior a 135 a la frecuencia donde se intersectan las curvas de ganancia en lazoabierto y lazo cerrado. En los AOs bipolares, el desplazamiento de fase típicamentese ajusta con un capacitor de unos 30 pF . La etapa de salida se debe diseñar demodo que tenga un amplio rango de elongación de voltaje con capacidad media decorriente [51].

El AO bipolar usualmente opera en configuración clase B. Las característicasclave en un AO bipolar son como sigue:

• Impedancia de entrada de 106 Ω

• Velocidad de respuesta (Slew rate) típico de 0.5 a 1.0 V/μs

• Ancho de banda de ganancia unitaria típico de 1 MHz

• Niveles de ruido de 25 a 30 nV/√Hz

En la Tabla 3.1 se da una guía de selección que muestra los parámetros típicosa ser considerados al escoger AOs bipolares para el diseño de un circuito particular

3.4. SELECCIÓN DEL AO ADECUADO 83

Tabla 3.1: Comparación entre AOs bipolares

Pará- Dispositivo Unid.metro OP-07 LM741 TL321 SE5534A MC1458 RC4558

VIO 30 1 2 0.5 1 0.5 mV

IIO 0.5 20 5 10 20 5 nA

IB ±1.2 80 45 400 80 40 nA

SR 0.2 0.5 0.5 6 0.5 1 V/μs

B1 0.6 1 1 10 1 3 MHz

3.4.2 Amplificadores operacionales BiFET

Los AOs BiFET combinan transistores de entrada JFET con transistores bipolaresen un circuito integrado monolítico. El proceso de implantación iónica utilizado enla fabricación de los dispositivos BiFET, resulta en transistores de muy alto nivelde similitud. Esto permite verdadera operación clase AB en la etapa de salida conlo cual resulta en una distorsión de cruce por cero (cross over) cercana a cero y unadistorsión armónica total (THD) muy baja.

Además de la alta impedancia de entrada (1012 Ω) y de las corrientes de po-larización de entrada del orden de los picoamperios, la mayoría de los AOs BiFETtienen velocidad de respuesta (slew rate) de aproximadamente 13 V/μs y un anchode banda de ganancia unitaria de 3 MHz. Sin embargo, los AOs BiFET tienentensiones de desplazamiento (offset) y ruido, más altos que los AOs bipolares.

Algunos AOs tienen potencia ajustable. Esto permite al usuario seleccionar (conun resistor externo) los niveles de corriente de operación. Mientras se genera un com-promiso con la disipación de potencia, se obtiene mayor control sobre la velocidadde respuesta o el ancho de banda para la señal. Un ejemplo de estos dispositivos esel AO BiFET TL066. El TL066 puede ajustarse para una fuente de alimentaciónsin señal de 5 a 20 μA. La velocidad de respuesta y el ancho de banda tambiéncambiarán dependiendo del nivel de corriente de operación. La aplicación clave paraAOs de potencia ajustable es en equipos operados con batería y en equipos de tele-comunicaciones donde el consumo de potencia es un factor importante. La Tabla3.2 es un listado guía de selección de los parámetros importantes a ser consideradoscuando se escoge un AO BiFET para alguna aplicación particular.

3.4.3 Amplificadores operacionales LinCMOSTM

El proceso de fabricación del circuito integrado lineal de compuerta de silicio, CMOSfue desarrollado inicialmente por Texas Instruments y designado con la marca re-gistrada LinCMOS. La tecnología LinCMOS combina la alta velocidad de los dispo-


Tabla 3.2: Comparación entre AOs BiFETs

Pará- Dispositivo Unid.metro TL080 TL070 TL060 TL087

VIO 5 3 3 0.1 mV

IIO 30 30 30 60 nA

IB 25 18 42 18 nA

SR 13 13 3.5 13 V/μs

B1 3 3 1 3 MHz

sitivos bipolares con la baja potencia, bajo voltaje y alta impedancia de entrada delos dispositivos CMOS. Los dispositivos LinCMOS proporcionan mejores caracterís-ticas de tensión de desplazamiento y elongación que la mayoría de los dispositivosbipolares.

Además los dispositivos LinCMOS superan las limitaciones de estabilidad y an-cho de banda impuestos sobre los diseños lineales por las compuertas metálicas.

Una desventaja al usar CMOS lineal de compuerta metálica convencional paraaplicaciones lineales es el inevitable desplazamiento de la tensión de umbral quetiene lugar con el tiempo y con los cambios en la temperatura y en la tensión de lacompuerta. Estos desplazamientos (producidos por los movimientos de los iones desodio dentro del transistor ), son frecuentemente de más de 10 mV/V del voltajede compuerta aplicado. Sin embargo, la tecnología LinCMOS supera este problemasustituyendo las compuertas metálicas con compuertas de polisilicio dopadas confósforo, las cuales retienen los iones de sodio [51]. El resultado es un grupo decircuitos integrados lineales con bajos voltajes offset de entrada (2 a 10 mV ) quevarían no más de algunos microvoltios de sus valores originales.

Las series TLC251 y TLC271 de AOs de propósito general tienen tensionesoffset de entrada que varían típicamente solo 0.1 μV por mes y 0.7 μV por gradoCelsius. La tensión offset sumamente baja puede reducirse aún más usando los pinesde anulación en el dispositivo. A diferencia de los dispositivos CMOS de compuertametálica, la tensión offset de entrada de los dispositivos LinCMOS, no es sensible ala sobreexcitación de las tensiones de entrada.

Además de proporcionar tensiones offset estables, la tecnología LinCMOS pro-duce circuitos integrados con anchos de banda que son dos o tres veces mayoresque los dispositivos CMOS de compuerta metálica. Esto sucede debido a que lacompuerta de Si en los transistores LinCMOS se forman durante el mismo paso deprocesamiento que la fuente y el sumidero. Como resultado de esto, la fuente, lacompuerta y el sumidero están autoalineados. En contraste, las compuertas metáli-cas se forman después que las regiones de fuente y sumidero se han difundido. La


compuerta autoalineada en los transistores LinCMOS resulta en una capacitanciacompuerta—sumidero que es aproximadamente una séptima parte de la que poseenlos circuitos integrados CMOS típicos. Esto incrementa el ancho de banda y lavelocidad de los dispositivos LinCMOS. Por ejemplo, los AOs TLC251 y TLC271ofrecen un ancho de banda de 2.3 MHz, un tiempo de subida de 60 ns y unavelocidad de respuesta de 4.5 V/μs.

Problemas

1. Se requiere diseñar un amplificador de tensión, el cual se excita con una fuentede señal de 10 mV de amplitud y tiene una resistencia interna de 10 kΩ. Sepretende suministrar una salida pico de 3 V a una carga de 1 kΩ.

(a) ¿Cuál es la ganancia de tensión desde la fuente hasta la carga?

(b) Si la corriente pico disponible de la fuente es de 0.1μA. ¿Cuál es laresistencia mínima permitida?

(c) Para el diseño con este valor deRi, encontrar la ganancia total de corrientey de potencia.

2. Para el circuito de la Fig. 3.26, (i) Encontrar la ganancia de tensión en dB(Nota: se debe hacer el análisis total) (ii) Si v1 = 3v2, encontrar el valor de latensión de salida.

v

1v

2

vo+

-

2

3

3 24

24R

R

R

R

R

R

R

Figura 3.26: Amplificador de instrumentación

3. Determinar la ganancia de tensión en el circuito de la Fig. 3.27, suponiendoque el AO es ideal. Todas las resistencias, como se ve, son iguales.


vo+

-

+

1kHz

Vi

R

RL

RR

RR

R +

1kHz

Vi

R

RL

RR

RR

R

Figura 3.27: Amplificador inversor.

4. La tensión de salida de un AO determinado varía entre −10 V y +10 V , yproduce o absorbe una corriente máxima de 20 mA. El límite de la velocidadde conmutación es SR = 10 V/μs. Este AO se emplea en el circuito de la Fig.3.28.

v (t) v (t)o-

+

sRL

+

-

+

R1R2

Figura 3.28: Amplificador no inversor.

(a) Hallar el ancho de banda del AO.

(b) Para la frecuencia de 1 kHz y RL = 1 kΩ . ¿Qué tensión máxima desalida es posible sin distorsión?

(c) Para una frecuencia de 1 kHz y RL = 100 Ω. ¿Qué tensión máxima desalida es posible sin distorsión?

(d) Para una frecuencia de 1 MHz y RL = 1 kΩ. ¿Qué tensión máxima desalida es posible sin distorsión?

(e) Si RL = 1 kΩ y vs(t) = 4 sen(2π × 106t), dibujar la forma de onda desalida en función del tiempo.

5. Se desea diseñar un amplificador que pueda producir una tensión de salida


senoidal de 100 kHz con una amplitud de 5 V . ¿Cuál es la mínima especifi-cación de tiempo de subida tolerable para el AO?

6. Una forma de medir el SR de un AO es aplicar una onda senoidal (o una ondacuadrada) a la entrada del amplificador, y aumentar la frecuencia hasta quela forma de onda de salida sea triangular. Suponer que la señal de entrada de1 MHz produce una forma de onda de salida triangular con un valor pico apico de 4 V . ¿Cuál es la especificación de tiempo de subida para el AO?

7. La tensión de salida de un AO determinado varía entre −10 V y +10 V , yproduce o absorbe una corriente máxima de 30 mA. El límite de la velocidadde conmutación es SR = 10 V/μs. Este AO se emplea en el circuito de la Fig.3.29.

v (t) v (t)o-

+

s

R15.6k

+

RL+

-Rm

R2

56k

Figura 3.29: Amplificador inversor.

(a) Hallar el ancho de banda del AO.

(b) Para la frecuencia de 6 kHz y RL = 200 Ω. ¿Qué tensión máxima desalida es posible sin distorsión?

(c) Para una frecuencia de 6 kHz y RL = 10 kΩ. ¿Qué tensión máxima desalida es posible sin distorsión?

(d) Para una frecuencia de 200 kHz y RL = 10 kΩ. ¿Qué tensión máximade salida es posible sin distorsión?

(e) Si RL = 1 kΩ y vs(t) = 5 sen(2π × 106t), dibujar la forma de onda desalida en función del tiempo.

8. La hoja de datos de un cierto AO muestra una ganancia de tensión de con-tinua en lazo abierto de 80 dB, una impedancia de entrada de 100 kΩ, unaimpedancia de salida de 50 Ω y un ancho de banda de ganancia unidad de


106 Hz. Dibuje un modelo lineal del AO, incluyendo los valores numéricos detodos los componentes.

9. Considere el amplificador que se muestra en la Fig. 3.29. Con una tensión deentrada en continua nula para la fuente de excitación, se desea que la tensiónde salida en continua no supere los 10 mV en magnitud.

(a) Ignorando los demás errores en continua, ¿cuál es la tensión máxima dedesplazamiento permitida para el AO?

(b) Ignorando los demás errores en continua, ¿cuál es la corriente máxima depolarización permitida para el AO?

(c) Mostrar la manera de añadir una resistencia al circuito, incluyendo suvalor, de modo que se anulen las corrientes de polarización.

(d) Suponiendo que se utiliza la resistencia del punto (c) e ignorando la ten-sión de desplazamiento, ¿cuál es la corriente máxima de desviación per-mitida para el AO?

10. El amplificador diferencial para instrumentación de la Fig. 3.30 debe tener unaganancia de 103 con una precisión del 0.1%. ¿Un LM741 reunirá los requisitospara esta aplicación? ¿Cuál será la ganancia que debe tener el AO? Suponerque la ganancia en lazo abierto del AO tiene una tolerancia de +100%, −50%.Despreciar los efectos de Ri y de Ro en el AO.

d

+

-ov (t)v (t)

R41M

R31k

+

+

-

R11k

R2

1M

Figura 3.30: Amplificador diferencial.

11. El AO de la Fig. 3.30, una vez que su tensión de offset se ajusta a cero, debetener una tensión de offset referida a la entrada inferior a 1 mV en magnitudpara tensiones de entrada en modo común entre +10 V y −10 V . ¿Cuál es elmáximo CMRR permisible para que el amplificador pueda realizar esta tarea?


¿Puede un LM741 reunir los requisitos exigidos? (El CMRR para el LM741es de 80 dB mínimo).

12. Calcular las corrientes de polarización y la ganancia de tensión de pequeñaseñal a baja frecuencia de un AO LF355, utilizando tensiones de polarizaciónde ±15 V .

13. El circuito mostrado en la Fig. 3.31 es el modelo de una red con AO en el cualse muestra la tensión de offset y las corrientes de polarización.

io

/2

V

+

-V2

V1

Ib2

Iio

Ib1

+ -Vo

R4

R3

+R1

R2

Figura 3.31: Red donde se indican las corrientes de polarización y tensión de offset.

(a) Determinar la componente de la señal de vo en términos de la diferenciade las señales v2 − v1.

(b) Determinar la componente de vo producida por Iio/2.

(c) Para v1 = v2, determinar la tensión total offset en la salida.

(d) Evaluar la tensión offset de salida para Vio = 6 mV , Iio = 0.2 μV ,Ib = 0.5 μA, R1 = R3 = 50 kΩ, R2 = R4 = 500 kΩ.

14. Considerar circuito de la Fig. 3.32, donde V1 y V2 representan tensiones inde-seables.

(a) Demostrar que si Ri −→∞, Ro −→ 0, y Av1 < 0 y Av2 < 0, entonces

vo = Av2[Av1(V0 − V1)− V2] donde V 0 =

R1R1 +R2

vo

(b) Demostrar también que, si Av2Av1[R1/(R1 +R2)]À 1, entonces

vo =

µ1 +

R2R1

¶µV1 +

V2Av1

¶


v2v1 AA

21 VV-

+

V' +- +

+

-

+

-

Vo

+

R1

R2

Figura 3.32: Amplificador con tensiones indeseables.

15. Para el amplificador de instrumentación mostrado en la Fig. 3.33.

V2V1

R2R1R1

+Vo

+

R2

R

Figura 3.33: Amplificador de instrumentación.

(a) Verificar que

vo =

µ1 +

R2R1

+2R2R

¶(v2 − v1)

Notar que se puede ajustar la ganancia variando R.

(b) Deteminar las impedancias que ven las fuentes v1 y v2.

Capítulo 4

Redes con AOs

4.1 Introducción

Los AOs son dispositivos lineales de alta versatilidad y prestaciones; su área deaplicación es muy amplia: Una de las aplicaciones prácticas más interesantes es enla solución de ecuaciones algebraicas y diferenciales, así como en la emulación desistemas complejos en ingeniería tales como en el modelado de máquinas eléctricasy sistemas de control. En tales casos, el circuito puede analizarse escribiendo lasecuaciones del modelo matemático del sistema y simular el proceso con la ayudade un simulador como Spice. De otra parte queda la opción de montar la redy observar su funcionamiento en tiempo real con la ayuda de la instrumentacióncorrespondiente.

En este capítulo se estudiará el comportamiento de las redes que contenganAOs operando en forma lineal. En la primera parte se analizará la red planteandocondiciones de equilibrio dinámico en las corrientes de polarización de los nodos deentrada. En la segunda parte, se aplicarán los resultados obtenidos, para la soluciónpráctica de ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales lineales. Finalmentese plantea la solución de ecuaciones diferenciales lineales a través de ecuaciones deestado.

4.2 Red general con AOs

Considérese la conexión de la red que se muestra en la Fig. 4.1, donde por conve-niencia, a los elementos que están conectados en el nodo negativo, se les ha colocadouna barra en la parte superior (i.e., Rj , vj).

Se parte de dos conceptos básicos generales: (i) Las corrientes de polarizaciónI+B e I−B son pequeñas y aproximadamente iguales y la ganancia en lazo abierto es

91

92 CAPÍTULO 4. REDES CON AOS

vv

vv

v

v

1

1

2

2

n

m

-

-

--

-

Rm

R2

R1

Rn

R1

R2

+

R

vO

f

IB

IB+

v

v+

Figura 4.1: Red general con un amplificador operacional.

muy elevada. De la expresión

vo = Ao(v+ − v−) = Aovε (4.2.1)

donde Ao es la ganancia en lazo abierto del amplificador operacional, despejando vεse obtiene:

vε =voAo

= v+ − v−

Puesto que el valor de Ao es muy elevado en la mayoría de los casos, la relaciónvoAo

tenderá a cero para las aplicaciones normales; por lo tanto, vε = v+ − v− ' 0 y setiene la siguiente principio operativo:

(i) vε = v+ − v− ' 0 =⇒ v+ ' v−.El segundo corresponde a la aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK)

a la red y teniendo en cuenta que las corrientes de polarización son despreciables:(ii)

Pik = 0.

Con estos dos conceptos se plantean las siguientes ecuaciones:

v1 − v−

R1+

v2 − v−

R2+ · · ·+ vn − v−

Rn+

vo − v−

Rf= 0

v1R1

+v2R2

+ · · ·+ vnRn

+v0Rf

= v−µ1

R1+1

R2+ · · ·+ 1

Rn+1

Rf

¶(4.2.2)

4.2. RED GENERAL CON AOS 93

Despejando vo de la ec (4.2.2) se obtiene:

vo = Rf

µ1

R+1

Rf

¶v− −Rf

µv1R1

+v2R2

+ · · ·+ vnRn

¶vo =

µ1 +

Rf

R

¶v− −Rf

nXj=1

vjRj

(4.2.3)

donde1

R=

1

R1+1

R2+ · · ·+ 1

Rn(4.2.4)

Escribiendo la ecuación de nodo para el terminal positivo se obtiene:

v1 − v+

R1+

v2 − v+

R2+ · · ·+ vm − v+

Rm= 0 (4.2.5)

Despejando v+ de (4.2.5) se tiene:

v+ = R

µv1R1

+v2R2

+ · · ·+ vmRm

¶= R

mXi=1

viRi

(4.2.6)

donde,1

R=1

R1+1

R2+ · · ·+ 1

Rm(4.2.7)

Puesto que v+ = v−, entonces, sustituyendo (4.2.6) en (4.2.3) se llega a:

vo =

µ1 +

Rf

R

¶R

mXi=1

viRi−Rf

nXj=1

vjRj

(4.2.8)

que es la ecuación general de la red con AO. De esta relación se pueden obteneralgunos resultados particulares.

En la Fig. 4.2 se muestran las formas básicas de conexión del AO. Para la parte(a), modo inversor, se tiene, aplicando la ecuación (4.2.8) y dado que no hay señalaplicada al nodo de entrada positiva del AO :

vo = −Rf

Rv1 = −

100kΩ

10kΩ× 20mV sen(2000πt) = −200 sen(2000πt) mV

Nótese el cambio de signo debido al desfasamiento de 180 que ocurre en el amplifi-cador. En la Fig. 4.3B, se observa la respuesta temporal para este caso. También sepuede ver el valor pico de la señal, el cual es Vop = 199.79 mV. El cálculo del erroren la tensión de salida conduce a ε% = 0.105%. Este resultado se debe a que el AO


(c)(a) (b)

+1kHz

V3-20m/20mV

1kHz

V1-20m/20mV

+

1kHz

V2-20m/20mV

+

10k

Rf

100k

R

10k

R2100k

R1 10k

AB C

D

Figura 4.2: Amplificadores básicos con AO: (a) modo inversor, (b) modo no inversor(c) seguidor de tensión.

utilizado, el LM324, no es de alta precisión. Para el caso (b), modo no inversor, setiene aplicando la ecuación (4.2.8),

vo =

µ1 +

R2R1

¶v2 =

µ1 +

100kΩ

10KΩ

¶× 20 mV sen(2000πt) = 220 sen(2000πt) mV

0.000ms 1.000ms 2.000ms 3.000ms 4.000msA: v1_1 20.00mV

-20.00mVB: u2c_8 200.0mV

-200.0mVC: u2a_1 250.0mV

-250.0mVD: u2b_7 25.00mV

-25.00mVMeasurement Cursors1 u2c_8 X: 1.7511m Y: 199.79m2 u2a_1 X: 2.2504m Y: 217.58mMinimum 1 . . 2 Requires 1 W ave

Figura 4.3: Respuesta temporal de los amplificadores básicos: (A) señal de entrada,(B) salida modo inversor, (C) salida modo no inversor, (D) salida seguidor de tensión.

En este caso, como en el anterior, aparece un error pequeño en la respuesta. Elvalor obtenido para la tensión pico de salida, según el simulador, es Vop = 217.58mV, o sea, ε% = 1.1%. Para el caso (c), modo seguidor de tensión, el voltaje vistoen la salida será:

vo = vi = 20 sen(2000πt) mV

4.2. RED GENERAL CON AOS 95

+

-Vi2 0.5V

+

-

Vi1 0.2V

+ OP07A

R4100k

R2

10k

R3

100k

R1

10k A

Figura 4.4: Amplificador restador.

El valor leído en el simulador es Vop =19.965mV . En este caso el error es ε% =0.025%. Lo anterior significa que en todoslos casos hay un error pequeño debido alas características no ideales del AO uti-lizado.

Como otra aplicación obsérvese el cir-cuito de la Fig. 4.4, la tensión de salida(punto A), según la ecuación (4.2.8), estádada por

vo =

µ1 +

R3R1

¶R2||R4

vi2R2−R3

vi1R1(4.2.9)

En el caso de la Fig. 4.4, R1 = R2 y R3 = R4. Sustituyendo para estos valores enla ecuación (4.2.9) se llega a

vo =

µR1 +R3

R1

¶R2R4

R2 +R4

vi2R2−R3

vi1R1

=

µR1 +R3

R1

¶R1R3

R1 +R3

vi2R1−R3

vi1R1

vo =R3R1(vi2 − vi1) =

100kΩ

10kΩ(0.5V − 0.2V ) = 3.0V

0 .000m s 1.000m s 2 .000m s 3 .000m s 4 .000m s 5 .000m s

3 .200 V

3 .100 V

3 .000 V

2 .900 V

2 .800 V

A : u2c _6

M eas urem ent C urs ors1 u2c _6 X: 3 .9931m Y : 3 .0001

Figura 4.5: Tensión de salida en el AO en modo restador.

Para la implementación de este circuito se empleó el amplificador operacionalOP07A, el cual es un dispositivo de alta precisión (ver hoja de datos del OP07A).La simulación correspondiente a este circuito se puede ver en la Fig. 4.5. La tensiónde salida es vo = 3.0001V . Nótese en este caso que el error en el valor de la tensión


ha decrecido apreciablemente, ε% = 3.3333× 10−3%. Esto demuestra la diferenciaen las características de estos dos AOs utilizados en la práctica de ingeniería.

4.3 Convertidores de impedancia negativa

Z3

Z2

Z1

Z4

+

Figura 4.6: Circuito pórticocon AO.

En esta sección se analizará uno de los disposi-tivos más útiles para la solución de sistemas linealescomo es el convertidor de impedancia negativa (NIC ).Tal sistema surge de la aplicación simultánea de reali-mentación positiva y negativa a un AO como se puedever en la Fig. 4.6. En dicha figura se puede observarque se aplica realimentación tanto por el nodo inversorcomo por el no inversor. Si se sustituye el elemento Z2con una fuente de tensión, se tiene para la impedanciade entrada (ver Fig. 4.7):

Zi =viii

(4.3.1)

pero

ii =vi − voR

=vi −

³1 + R1

R2

´vi

R= − R1

RR2vi (4.3.2)

i>

i

>

iZ

v v -+

Vo

R2

R1R

+

-Vi

+

Figura 4.7: Circuito NIC.

Sustituyendo la ecuación (4.3.2) en (4.3.1) sellega a

Zi = −RR2R1

(4.3.3)

es decir, la impedancia vista desde el puerto de en-trada es negativa, luego el sistema se puede usarcomo convertidor de impedancia. Para el casocuando R1 = R2, entonces Zi = −R que es unaforma más simple del convertidor de impedancia.Se pueden desarrollar algunas aplicaciones impor-tantes de esta propiedad.

4.3.1 Fuente de corriente regulada

Se puede realizar una fuente de corriente inde-pendiente de la carga utilizando el convertidor deimpedancia visto más arriba. Sea la Fig. 4.8(a), se desea determinar el valor de lacorriente que circula por el resistor RL.

4.3. CONVERTIDORES DE IMPEDANCIA NEGATIVA 97

iLi

v v -+-

ii

RR

Vo

R3

R4R

+

-Vi

+

RR

+

-Vi RLL

L

Figura 4.8: (a) Fuente regulada de corriente, (b) equivalente para análisis.

Para ello se puede realizar el equivalente Zi = −R encontrado antes. Se dibujaentonces una red como se muestra en la Fig. 4.8(b). De aquí se tiene

iL =−R

RL −Rii =

−RRL −R

Vi

R− RLRRL−R

=−R

RL −R

RL −R

RRL −R2 −RLRVi (4.3.4)

Simplificando, se llega aiL =

viR

(4.3.5)

La ecuación (4.3.5) indica que la corriente en la carga iL no depende de RL pues,como se puede observar, solo depende de la tensión aplicada vi y del resistor R.En el anterior análisis se ha supuesto que los resistores etiquetados R son idénticos.En la práctica, sin embargo, es imposible que se de esta condición. Para tener encuenta la situación real, supóngase que alguno de estos resistores, v.gr., el resistorde entrada R, tiene una pequeña desviación respecto del valor nominal, es decir,R±∆R. Recalculando la corriente en la carga, se tiene

iL =−R

RL −Rii =

−RRL −R

Vi

R±∆R− RLRRL−R

=

=−R

RL −R· RL −R

RRL ±∆R ·RL ∓∆R ·R−R2 −RLRVi

o seaiL =

1

R+∆R³1∓ RL

R

´vi (4.3.6)

De esta ecuación se pueden hacer algunas observaciones: Si ∆R = 0, entonces setiene el caso dado en la ecuación (4.3.5), para ∆R 6= 0, la corriente dependerá del


valor de RL; sin embargo, la dependencia es función directa del valor de la carga:crecerá en la medida que RL se haga mayor pero, por otro lado, si la carga aumenta(RL ↓), entonces la dependencia será menor. Este es el caso en la mayoría de lasredes cargadas, por lo tanto, el circuito se comporta bien cuando está más cargado.En el caso límite, RL → 0 (corto circuito), la red tendrá la mejor respuesta.

4.3.2 Integrador de Miller

C

v v -+i C

R

Vo

R3

R4R

+

-Vi

+

Figura 4.9: Circuito integradorde Miller.

Una aplicación interesante del NIC es la redconocida como integrador de Miller, cuyo circuitose muestra en la Fig. 4.9, donde se ha sustituido,en la Fig. 4.8, el resistor de carga RL por un ca-pacitor C. En estas condiciones y suponiendo queR3 = R4, se tiene para la tensión de salida

vo =

µ1 +

R4R3

¶v. = 2v+ (4.3.7)

pero

v+ =1

C

Z t

0iC(τ)dτ =

1

CsIC(s) (4.3.8)

De la ecuación (4.3.5), se encuentra que

IC(s) =viR

(4.3.9)

Sustituyendo sucesivamente (4.3.9) en (4.3.8) y ésta en (4.3.7), se llega a

vo =2

RC

Z t

0vi(τ)dτ (4.3.10)

que es la ecuación del integrador. Este integrador tiene algunas ventajas sobre elintegrador básico (capacitor como lazo de realimentación) puesto que el capacitorse conecta físicamente a tierra y no a través de la tierra virtual del amplificadoroperacional. En estas condiciones, el circuito no necesita un resistor para descargay el polo del integrador estará situado sobre el origen del plano complejo (polo encero), es decir, se trata de un integrador puro.

4.4 Realización de funciones lineales

Dadas las características dinámicas de los amplificadores operacionales, se hacenaptos para resolver múltiples problemas que tienen lugar en la ciencia y la ingeniería.

4.4. REALIZACIÓN DE FUNCIONES LINEALES 99

En esta sección se estudiarán algunas aplicaciones desarrolladas por el autor en lasolución de sistemas de ecuaciones algebraicas y diferenciales ordinarias, utilizandopara este último caso el modelo de las variables de estado en forma controlable y losintegradores de Miller estudiados antes.

Sea la ecuación algebraica dada por la siguiente expresión:

z = a1x1 + a2x2 + · · ·+ amxm − b1y1 − b2y2 − · · ·− bnyn

z =mXi=1

aixi −nX

j=1

bjyj (4.4.1)

dondeai, bj ∈ R+

vv

vv

v

v

1

1

2

2

n

m

-

-

--

-

Rm

R2

R1

Rn

R1

R2

+

R

vO

f

IB

IB+

v

v+

-R0

R0

Figura 4.10: Amplificador sumador—restador con parámetros de ajuste.

Como se puede observar, la ecuación (4.4.1) tiene la forma de la ecuación (4.2.3)con algunos ajustes de sus parámetros. Por lo tanto, la ecuación (4.4.1) se puederealizar utilizando la red generalizada con operacional. Para ello, se redibuja la redcomo la de la Fig 4.10 donde se han adicionado los resistores R0 y R0 [68].

La ecuación (4.2.8) se puede escribir como

vo = Req

mXi=1

viRi−Rf

nXj=1

vjRj


donde

Req =

µ1 +

Rf

R

¶R (4.4.2)

Puesto que la tensión de salida es la combinación lineal de las tensiones de entradamultiplicadas por una constante, se pueden dar condiciones de diseño de modo quese tenga una red con impedancias de entrada iguales, tanto en la entrada inversoracomo en la no inversora, es decir,

R0kR1kR2k · · · kRm = R0kR1kR2 · · · kRnkRf (4.4.3)

El miembro de la izquierda corresponde al equivalente Thévenin visto desdela entrada no inversora, mientras que el de la derecha corresponde al equivalenteThévenin en la entrada inversora. De las ecuaciones (4.2.4) y (4.2.7) se obtiene:

R = R0kR1kR2k · · · kRm (4.4.4)

R = R0kR1kR2 · · · kRn (4.4.5)

Reemplazando en (4.4.3):R = RkRf (4.4.6)

Sustituyendo (4.4.6) en (4.4.2) se llega a:

Req =

µ1 +

Rf

R

¶RkRf = Rf (4.4.7)

De esta ecuación se puede ver que para que el sistema esté en equilibrio dinámicobasta hacer la resistencia equivalente vista desde el lado no inversor, igual a laresistencia de realimentación asignada. Con esto, la ecuación de la red generalizadaquedará:

vo = Rf

mXi=1

viRi−Rf

nXj=1

vjRj

(4.4.8)

La cual es una estructura simple y en equilibrio dinámico, como se dijo más arriba.Comparando término a término las ecuaciones (4.4.1) y (4.4.8) se obtiene:

ai =Rf

Rió Ri =

Rf

ai(4.4.9)

bj =Rf

Rjó Rj =

Rf

bj(4.4.10)

Reescribiendo la ecuación (4.4.3):

1

1R0+

mPi=1

1Ri

=1

1R0+ 1

Rf+

nPj=1

1Rj


o1

R0+1

Rf+

nXj=1

1

Rj=

1

R0+

mXi=1

1

Ri(4.4.11)

Sustituyendo (4.4.9) y (4.4.10) en (4.4.11):

1

R0+1

Rf+

nXj=1

bjRf

=1

R0+

mXi=1

aiRf

o1

R0+1

Rf+1

Rf

nXj=1

bj =1

R0+1

Rf

mXi=1

ai

Definiendo

A ,mXi=1

ai (4.4.12a)

B ,nX

j=1

bj (4.4.12b)

se llega a1

R0+1

Rf+

B

Rf=

1

R0+

A

Rf

de donde, luego de factorizar y ordenar:

AT

Rf=

A−B − 1Rf

=1

R0− 1

R0(4.4.13)

donde, como se ve AT , A−B − 1.Con relación a la ecuación (4.4.13), se pueden presentar tres casos (para efectos

de minimizar el número de resistores):

1. R0 −→∞ =⇒ AT > 0 y

R0 =Rf

AT(4.4.14)

2. R0 −→∞ =⇒ AT < 0 y

R0 =Rf

−AT(4.4.15)

3. R0 −→∞, R0 −→∞ =⇒ AT = 0.


Tabla 4.1: Cálculo de los parámetros del amplificador

AT R0 R0 Ri Rj Rf

> 0 ∞ Rf

AT

< 0Rf

−AT∞ Rf

ai

Rf

bjκZi

= 0 ∞ ∞

Aun falta determinar el valor de Rf . Para calcularlo se hace uso de las carac-terísticas eléctricas de la red, es decir, se asigna un valor en la impedancia de entradade cada nodo (se asume Z+i = Z−i = Zi), entonces

Rf > κZi (4.4.16)

dondeκ = supA, (B + 1), |AT | (4.4.17)

En la Tabla 4.1 aparece un resumen del método de diseño utilizando el proce-dimiento desarrollado aquí.

Ejercicio 2 Realizar la siguiente ecuación utilizando un AO.

z = 3x1 + 5x2 − 3y1 − 2y2 − y3 (4.4.18)

Solución. En este caso A = 3 + 5 = 8, B = 3 + 2 + 1 = 6 =⇒ AT = 8− 6− 1 =1 > 0,=⇒ R0 −→∞ y R0 =

Rf

AT.

Para determinar Rf se asigna inicialmente el valor de Zi := 20 kΩ (un valorapropiado). κ = sup8, 7, 1 = 8. De aquí se obtiene Rf > 8 · 20kΩ = 160 kΩ. Sepuede tomar el valor comercial más cercano, entonces Rf := 180 kΩ. Con este valorse obtienen todos los valores de los resistores requeridos:

R0 =180k

1= 180kΩ R1 =

180kΩ

3= 60kΩ

R1 =180kΩ

3= 60kΩ R2 =

180kΩ

2= 90kΩ

R2 =180kΩ

5= 36kΩ R3 =

180kΩ

1= 180kΩ

Esto implementará el circuito. En la Fig. 4.11 se muestra la realización de lared correspondiente.


+

-

Vy3

Vy2

Vy1

Vx2

Vx1

VzVcc

Vcc

180k

60k

R6180k

180k

+

60k

90k

36k

Figura 4.11: Realización de una función lineal.

4.4.1 Sistema de ecuaciones algebraicas

Se puede extender el procedimiento anterior para el caso de un sistema de n ecua-ciones lineales con n incógnitas de la forma⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

b1b2...bn

⎤⎥⎥⎥⎦ (4.4.19)

Para aplicar el método, se despeja cada una de las incógnitas de la ecuación(4.4.19), obteniéndose n ecuaciones linealmente independientes, es decir,

x1 = b1a11− a12

a11x2 − a13

a11x3 − · · ·− a1n

a11xn

x2 = b2a22− a21

a22x1 − a23

a22x3 − · · ·− a2n

a22xn

......

...xn = bn

ann− an1

annx2 − an2

annx3 − · · ·−

an(n−1)ann xn−1

(4.4.20)

Se normalizan los términos independientes a fin de utilizar el número mínimo defuentes dc. Para ello se multiplica y divide por el factor de normalización, v. gr.:VC = 5V . El sistema de ecuaciones quedará:

x1 = b15a11

Vc − a12a11

x2 − a13a11

x3 − · · ·− a1na11

xnx2 = b2

5a22Vc − a21

a22x1 − a23

a22x3 − · · ·− a2n

a22xn

......

...xn = bn

5annVc − an1

annx2 − an2

annx3 − · · ·−

an(n−1)ann xn−1

(4.4.21)


A partir del conjunto de ecuaciones (4.4.20) y, puesto que cada una es independientede las demás, se resuelve como en el caso anterior, es decir, se aplica el procedimientodado antes para resolver una sola ecuación.

La forma como se utilizan los anteriores parámetros de diseño para resolver sis-temas de ecuaciones, se muestra a través de los cálculos desarrollados a continuación.

Ejemplo 12 Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas

3x+ y = 3

5x+ 3y = 1

La solución del sistema lineal con los respectivos valores de x y y es la siguiente:

x = 2

y = −3

Se despeja cada una de las variables de las dos ecuaciones separadamente, eneste caso x de la primera ecuación y y de la segunda:

x =3− y

3= 1− 1

3y (4.4.22)

y =1− 5x3

=1

3− 53x (4.4.23)

Se aplica un valor de tensión normalizada, es decir,

VC = 5 V

Las ecuaciones quedarán:

vx =1

5VC −

1

3vy (4.4.24)

vy =1

15VC −

5

3vx (4.4.25)

Se hallan las respectivas resistencias utilizando una impedancia de entrada Ri =20 kΩ.

Para la ecuación (4.4.24):

A = 15 B = 1

3 AT =15 −

13 − 1 = −

1715

κ = B + 1 = 43 Rf ≥ 4

3 × 20 ≈ 27 kΩ R0 = 27× 1517 ≈ 24 kΩ

R1 = 27× 5 = 135 kΩ R1 = 27× 3 ≈ 82 kΩ


Para la ecuación (4.4.25):

A = 115 B = 5

3 AT =115 −

53 − 1 = −

135

κ = B + 1 = 83 Rf ≥ 8

3 × 20 ≈ 56 kΩ R0 = 56× 513 ≈ 22 kΩ

R1 = 56× 15 = 840 kΩ R1 = 56× 35 ≈ 33 kΩ

Luego se procede a montar el circuito siguiendo el esquema del circuito de la Fig.4.12, utilizando tensiones de polarización ±VCC = ±5V.

Vy

Vx

-5V

5V+

+

-5V

5V

840k

33k

22k

56k

82k 27k

135k

24k

A

B

Figura 4.12: Esquema del circuito para resolver un sistema de ecuaciones algebraicaslineales.

En la práctica es imposible realizar la red con los valores teóricos encontrados, porlo cual se deben hacer las aproximaciones correspondientes a los valores comercialesexistentes. La simulación correspondiente se muestra en la Fig. 4.13.

En este caso solo interesan los valores de la ordenada. Se observa que para laposición A (vx), la ordenada vale yA = 2.0165, mientras que el punto B (vy) tieneun valor de yB = −3.0778. El error relativo es para cada caso:

εvx = 0.825%, εvy = 2.59% (4.4.26)

Estos valores son aceptables si se tiene en cuenta la tolerancia de los resistorescomerciales.


0.000 s 5.000 s 10.00 s 15.00 s 20.00 s

5.000 V

2.500 V

0.000 V

-2.500 V

-5.000 V

A: u1d_14B: r11_1

Measurement Cursors1 u1d_14 X: 4.9960 Y: 2.0165 2 r11_1 X: 15.008 Y: -3.0778 Cursor 2 - Cursor 1 X: 10.012 Y: -5.0943

Figura 4.13: Resultado de la simulación para el ejemplo.

4.4.2 Ecuaciones diferenciales lineales

Se puede aplicar el método expuesto anteriormente para la solución de ecuacionesdiferenciales lineales ordinarias. Para ello se hace la transformación adecuada avariables de estado y de allí se obtiene la solución en tiempo real utilizando redescon amplificadores operacionales. Sea la ecuación diferencial dada por

y(n)(t)+any(n−1)(t)+· · ·+a1y(t) = bmu

(m)(t)+bm−1u(m−1)(t)+· · ·+b1u(t) (4.4.27)

donde el superíndice (i) denota la i−ésima derivada y ai, bi son números realesconocidos. En este caso se tiene una ecuación diferencial lineal ordinaria de ordenn. Tomando la transformada de Laplace, con condiciones iniciales cero, conduce ala respuesta en el dominio de la frecuencia.

H(s) =y(s)

u(s)=

bm+1sm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1

sn + ansn−1 + · · ·+ a1(4.4.28)

Para encontrar la realización en la forma de variables de estado, cada estadocorresponde a la salida de un integrador pues es en los integradores en donde sealmacena la energía del sistema. La ecuación de estado en forma de controlabilidadse escribe por inspección a partir de la función de transferencia dada en la ecuación4.4.28 asumiendo que el sistema es estrictamente propio, es decir, m ≤ n − 1. Lafunción de transferencia, entonces se transforma en n ecuaciones diferenciales de


primer orden [34],

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1−a1 −a2 −a3 · · · −an

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦x+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣00...01

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦u = Ax+Bu (4.4.29)

y =£b1 b2 · · · bn−1 bn

¤x = C>x

donde x =£x1 x2 · · · xn−1 xn

¤>. La realización se desarrolla utilizando n in-

tegradores y hasta dos sumadores. Para el cálculo de los parámetros que representanlos coeficientes ai, bj , se utiliza el mismo procedimiento empleado antes para resolverel problema algebraico. En los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento parala realización de los circuitos con AOs.

Ejemplo 13 Resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando redes con AOs.

y(t) + 3y(t) + y(t) = u(t)

x =

∙0 1

−a1 −a2

¸x+

∙01

¸u =

∙0 1−1 −3

¸x+

∙01

¸u

y =£b1 b2

¤x =

£1 0

¤x

ABC

+

-u 1.0V

10uF

+++

200k

200k

100k33k

200k100k

100k 200k

27k

Figura 4.14: Implementación en tiempo real de la ecuación y(t)+3y(t)+y(t) = u(t).

En este caso la ecuación de estado conduce a

z.= x2 = u− x1 − 3x2


de donde

A = 1, B = 1 + 3 = 4 =⇒ AT = 1− 4− 1 = −4 < 0

Por lo tanto,

κ = sup|AT |, A,B + 1 = sup4, 1, 5 = 5 Rf > κZi

0.000 s 5.000 s 10.00 s 15.00 s 20.00 s 25.00 s 30.00 s

1.250 V

1.000 V

0.750 V

0.500 V

0.250 V

0.000 V

-0.250 V

A: u1b_7

Figura 4.15: Respuesta en el tiempo de la ecuación diferencial y + 3y + y = u

Si se toma Zi = 20kΩ, entonces

Rf = κZi = 5× 20 kΩ = 100 kΩ

R0 =Rf

−AT= 25 kΩ −→ R0 = 27 kΩ

R1 =Rf

1= 100 kΩ

R1 =Rf

a1=100 kΩ

1= 100 kΩ, R2 =

Rf

a2=100kΩ

3≈ 33 kΩ

La implementación de la red correspondiente se muestra en la Fig. 4.14. La solucióna la ecuación diferencial se puede ver en la salida del circuito (punto A), cuyarespuesta temporal se observa en la Fig. 4.15.

Adicionalmente se puede obtener la respuesta frecuencial, tanto en la salidacomo en algunos puntos internos del sistema. En las gráficas de la Fig. 4.16 sepuede observar la respuesta frecuencial en algunos puntos del sistema. El puntoA corresponde a la salida del sistema, donde la función se ha integrado dos veces.Nótese que representa la respuesta de un filtro pasa bajas. Las respuestas en lospuntos B y C corresponden a un filtro pasa banda y pasa altas respectivamente.


1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz

1.250 V

1.000 V

0.750 V

0.500 V

0.250 V

0.000 V

-0.250 V

A: u1b_7B: u1a_1C: u1d_14

Figura 4.16: Respuesta en frecuencia. A: salida (dos integraciones), B: una inte-gración, C: no integración.

Ejemplo 14 La ecuación diferencial que describe el comportamiento lineal de laentrada vs la salida de una transmisión hidráulica acoplada a través de un resortea su carga, está dada por

...y + 11y + 39y + 29y = 29u+ 29u (4.4.30)

donde u(t) es la barra de control (entre ±1) e y(t) es el ángulo de salida del motor[34]. Realizar la implementación de este sistema utilizando redes con AOs.

Solución.La función de transferencia se obtiene por inspección como

H(s) =29s2 + 29

s3 + 11s2 + 39s+ 29=

29(s2 + 1)

(s+ 1) [(s+ 5)2 + 22]

Por lo tanto, el sistema tiene un polo real en s = −1, el cual corresponde ala constante de tiempo del motor hidráulico τ = 1s, y un par de polos complejosen s = −5 ± j2, correspondiente al comportamiento de alta frecuencia del resorteacoplador. Hay dos ceros en s = ±j.

El sistema puede realizarse inicialmente utilizando la teoría de variables de es-tado y luego, el procedimiento desarrollado más arriba. La ecuación diferencial envariables de estado será:

x =

⎡⎣ 0 1 00 0 1−a1 −a2 −a3

⎤⎦x+⎡⎣ 001

⎤⎦uy =

£b1 b2 b3

¤x


+

-

1V

++10uF+

++22k

12k 680k

22k

27k22k

75k

820k

820k10k

A

Figura 4.17: Red analógica que permite resolver una ecuación diferencial lineal or-dinaria.

Es decir,

x =

⎡⎣ 0 1 00 0 1−29 −39 −11

⎤⎦x+⎡⎣ 001

⎤⎦u (4.4.31)

y =£29 0 29

¤x (4.4.32)

En este caso hay dos sumadores, uno conectado a la entrada para acumular lasrealimentaciones desde los integradores y el otro conectado a la salida para adicionarlas excitaciones. El procedimiento de diseño es el mismo en ambos casos.

0.000 s 1.000 s 2.000 s 3.000 s 4.000 s 5.000 s

2.000 V

1.500 V

1.000 V

0.500 V

0.000 V

-0.500 V

A: u2a_6

Figura 4.18: Respuesta obtenida de la ecuación diferencial.

Para el diseño del sumador de entrada se toma la ecuación lineal (tercera fila dela ecuación 4.4.31):

x3 = u− 29x1 − 39x2 − 11x3


Aplicando el procedimiento anterior

Figura 4.19: Simulación en Matlab de la ecuación diferencial del ejemplo.

A = 1, B = 29 + 11 + 39 = 79 =⇒ AT = 1− 79− 1 = −79 < 0

Por lo tanto,



Rf ≥ κZi = 80× 10 kΩ = 800 kΩ → Rf = 820 kΩ

R0 =Rf

−AT= 10.38 kΩ → R0 = 10 kΩ

R1 =Rf

1= 820 kΩ

R1 =Rf

a1=820 kΩ

29= 28.28 kΩ → R1 = 27 kΩ,

R2 =Rf

a2=820 kΩ

39= 21.03 kΩ → R2 = 22 kΩ,

R3 =Rf

a3=820 kΩ

11= 74.55 kΩ → R3 = 75 kΩ

Falta determinar los componentes del circuito sumador de salida. Para ello seutiliza la expresión (4.4.32), es decir,

y = 29x1 + 29x3


En este caso B = 0 por lo que los demás parámetros serán:

A = 58; AT = 57 > 0, κ = sup|AT |, A,B + 1 = 58

Entonces, tomando como antes, Zi = 10kΩ, se obtiene:

Rf ≥ κZi ≥ 580 kΩ → Rf = 680 kΩ,

R0 = 11.93 kΩ → R0 = 12 kΩ

R1 = R3 = 23.44 kΩ → R1 = R3 = 22 kΩ

La implementación de la red correspondiente se muestra en la Fig. 4.17. La solucióna la ecuación diferencial se puede ver en la salida del circuito (punto A), cuyarespuesta temporal se observa en la Fig. 4.18. En la Fig. 4.19, se muestra lasimulación del ejemplo anterior realizada en Matlab , para efectos de comparacióncon el resultado obtenido.

Observación: Aunque para la solución de ecuaciones algebraicas y diferenciales,la mayoría de las redes se simularon empleando el popular LM324, en la prácticade laboratorio es a veces difícil obtener buenos resultados con estos dispositivos depropósito general. Por esto se recomienda utilizar AOs de mejores característicasdinámicas como: alta impedancia de entrada, el LF353, el TL084, etc., o alta pre-cisión (bajo offset, bajo ruido), el OP07A, OP215A, etc.

Problemas

1. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas

w + x = 3x + y = 5

y + z = 72w + x + y + z = 11

2. Resolver el siguiente conjunto de ecuaciones algebraicas

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 02x3 + x4 = 1

2x1 + 4x4 = 42x2 − 2x3 − x4 = −3

3. Utilizando amplificadores operacionales, resolver la siguiente ecuación diferen-cial. Utilizar un sistema con número mínimo de componentes.

y + 5y + 4y = 2u(t)


4. Usando AOs resolver la siguiente ecuación diferencial...y + 5y + 4y + 3y = u− 3u

Aplicar modelo controlable de variables de estado. ¿Cómo será la respuestatemporal?

5. Resolver, usando AOs, el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

x(t) =

⎡⎣ 0 1 00 0 1−1 −1 −2

⎤⎦x(t) +⎡⎣ 1−12

⎤⎦u(t) +⎡⎣ 310

⎤⎦6. Resolver, usando AOs, el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

2x0 + y0 = t

x0 + y0 = t2

sujeto a x(0) = 1, y(0) = 0. Sugerencia: Realizar la transformada de Laplacedel sistema y luego trasformar a variables de estado.

7. Resolver el siguiente sistema lineal, utilizando redes con AOs.

x = −x+ 10y + 5cos t x(0) = 0

y = −10x− y + 5cosπt y(0) = 0.5


x = −x+ y/2 + cos2 t

y = −x− 2y + 5sen t


x = −x+ 4y + 14y = −3x− 2y + 28

10. El modelo para un circuito eléctrico está dado por⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦ =⎡⎣ 0 0 1/C2

0 −1/(RC1) 1/(RC1)−1/L R/L 0

⎤⎦⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦+⎡⎣ 01/R0

⎤⎦ v1+⎡⎣ 0

01/L

⎤⎦ v1Resolver el sistema, utilizando redes con AOs, si v1 = cosωt, y los demásparámetros están dados por:


(a) L = 1, R = 1, C1 = C2 = 1;ω = 1, 2, 100

(b) L = 1, R = 0.1, C1 = C2 = 1;ω = 1, 1.5, 20

(c) L = 1, R = 100, C1 = C2 = 0.000;ω = 0.1, 20, 200

11. Rastreo de Pb a través del organismo. Se ha encontrado que la absorción dePb por parte del organismo sigue un patrón definido por el siguiente conjuntode ecuaciones [5]:⎡⎣ x1

x2x3

⎤⎦ =⎡⎣ −0.0361 0.0124 0.000035

0.0111 −0.0286 0.00.0039 0.0 0.000035

⎤⎦⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦+⎡⎣ 49.30.0

0.0

⎤⎦donde las variables de estado x1, x2 y x3, corresponden a las acumulacionesen los huesos, la sangre y los tejidos, respectivamente. Realizar este modeloutilizando redes con AOs. Analizar para diferentes condiciones iniciales. ¿Sepodría plantear algún método para eliminar el plomo de la sangre?

12. Las vibraciones de un sistema acoplado masa—resorte se modelan con el sistemade segundo orden

x = −(a+ b)x+ by

y = cx− cy

donde las constantes positivas a, b y c están dadas por

a = k1/m1, b = k2/m1, c = k2/m2

siendo ki y mi la constante del resorte y la masa, respectivamente. Sean losparámetros del sistema dados por

m1 = 5 slugs, m2 = 1 slug, k1 = 50 slugs/s2, k2 =

50

3slugs/s2

Encontrar la solución al sistema dado, utilizando redes con AOs.

Capítulo 5

Sensibilidad

5.1 Introducción

Uno de los problemas que encara continuamente un diseñador de sistemas elec-trónicos es la evaluación de su diseño, especialmente con la comparación de otrarealización posible que reuna las mismas especificaciones. Para hacer esto, el di-señador debe tener en cuenta la sensibilidad del sistema. Sensibilidad, es la medidadel cambio en alguna característica del comportamiento del sistema, resultado dealgún cambio en el valor nominal de uno o más de los elementos (dispositivos) quelo conforman. Aún si la realización de un sistema electrónico es atractivo por consi-deraciones teóricas, altas sensibilidades pueden hacerlo inútil en la práctica. Así, enel diseño de sistemas electrónicos el interés está en escoger realizaciones que tenganbaja sensibilidad y, por otro lado, minimizar las sensibilidades de las realizacionesque se deseen utilizar. Otro aspecto, es el problema del sensor o captador de la señalfísica: éste si que debe tener la más alta sensibilidad posible, a fin de tomar el datolo más cercano posible a su valor real.

5.2 Relaciones de sensibilidad relativa

Se utiliza el símbolo S para denotar la sensibilidad. Además, se usa un superíndicepara indicar la característica de comportamiento que se desea evaluar y un subíndicepara indicar el elemento del sistema (o red) que está produciendo el cambio.

Considérese el modo en el cual una característica y(λ) puede depender del ele-mento λ. Si el valor nominal de λ es λ0, entonces las variaciones de y(λ) producidaspor cambios en λ se pueden expresar por la serie de Taylor como

y(λ) = y(λ0) +∂y

∂λ

¯λ=λ0

dλ+1

2

∂2y

∂λ2

¯λ=λ0

(dλ)2 + · · · (5.2.1)

115

116 CAPÍTULO 5. SENSIBILIDAD

Para variaciones pequeñas en λ se pueden ignorar los términos de las derivadassuperiores en la ecuación (5.2.1), reteniendo solo la de primer orden. Se puedeescribir el resultado como

∆y(λ0) = y(λ)− y(λ0) =∂y

∂λ

¯λ=λ0

dλ (5.2.2)

donde se ha definido ∆y(λ0) como el cambio en y resultado de la variación en λ.Puesto que se está interesado en cambios relativos (en lugar de absolutos) de y y deλ, se pueden agregar términos de normalización a la ecuación (5.2.2) para obtener

∆y(λ0)

y(λ0)=

∂y

∂λ

λ

y(λ)

¯λ=λ0

dλ

λ0(5.2.3)

La relación entre ∆y(λ0)y(λ0)

y dλλ0es la función de sensibilidad. Ahora se puede definir

formalmente

Sy(λ)λ =

∂y

∂λ

λ

y=

∂y/y

∂λ/λ=

∂(ln y)

∂(lnλ)(5.2.4)

Debido a la normalización, tanto de y como de λ, a esta expresión se le conocecomo sensibilidad relativa. Un tratamiento de varios tipos de sensibilidad se dará acontinuación.

5.2.1 Propiedades de la sensibilidad relativa

Cualquier función de sensibilidad relativa definida como se muestra en la ecuación(5.2.4) se caracteriza por un conjunto de propiedades algebraicas [27]. Algunas delas más importantes se dan en la Tabla 5.1. A continuación se demostrarán variasde estas relaciones.

Propiedad 1. La sensibilidad de cualquier característica multiplicada por unaconstante es la misma de la sensibilidad original.

Para demostrar esto, se tiene

Skyλ =

∂(ky)

∂λ

λ

ky=

∂(ky)

∂y

∂y

∂λ

λ

ky=

∂y

∂λ

λ

y= Sy

λ (5.2.5)

Donde k no es función de λ.Propiedad 2. La sensibilidad de una característica relativa a sí misma, es la

unidad.Se demuestra similarmente a la propiedad número uno:

Sykλ = Sy

λ

Sλλ = Skλ

λ = Skλkλ = 1

5.2. RELACIONES DE SENSIBILIDAD RELATIVA 117

Tabla 5.1: Propiedades de la función de sensibilidad relativa.

Número Relación Número Relación1 Sky

λ = Sykλ = Sy

λ 10 Sy1/y2λ = Sy1

λ − Sy2λ

2 Sλλ = Skλ

λ = Skλkλ = 1 11 Sy

λ1= Sy

λ2Sλ2λ1

3 Sy1/λ = S

1/yλ = −Sy

λ 12† Syλ = S pypλ + j arg ySarg yλ

4 Sy1y2λ = Sy1

λ + Sy2λ 13† Sarg yλ = 1

arg y ImSyλ

5 S

Qn

i=1yi

λ =Pn

i=1 Syiλ 14† S pypλ = ReSy

λ

6 Syn

λ = nSyλ 15 Sx+y

λ = 1x+y (xS

xλ + ySy

λ)

7 Sλn

λ = Skλn

λ = n 16 S

Pn

i=1yi

λ =Pn

i=1 yiSyiλPn

i=1 yi

8 Syλn =

1nS

yλ 17 Sln yλ = 1

ln ySyλ

9 Sλλn = Sλkλn =

1n

† En esta relación y es una cantidad compleja y λ es una cantidad real.

Propiedad 3. La sensibilidad a una cantidad recíproca es el negativo de la sen-sibilidad a la cantidad original.

La demostración es como sigue:

Sy1/λ =

∂y

∂(1/λ)

1/λ

y=

∂y

∂λ

∂λ

∂(1/λ)

1/λ

y=

∂y

∂λ

1∂(1/λ)∂λ

1

λy= −∂y

∂λ

λ

y= −Sy

λ (5.2.6)

Similarmente: S1/yλ = −Syλ

Propiedades 4 a 9. La sensibilidad de un producto de características es la sumade las sensibilidades de las características individuales.

Para demostrar esto se escribe:

Sy1y2λ =

∂(y1y2)

∂λ

λ

y1y2=

y2∂y1∂λ

∂y

∂λ

λ

y1y2+

y1∂y2∂λ

λ

y1y2

=∂y1∂λ

λ

y1+

∂y2∂λ

λ

y2= Sy1

λ + Sy2λ (5.2.7)


Extendiendo esto, se puede ver que la sensibilidad de una característica a lan−ésima potencia es n veces la sensibilidad de la primera potencia, esto es,

Syn

λ =∂(yn)

∂λ

λ

yn= nyn−1

∂y

∂λ

λ

yn= n

∂y

∂λ

λ

y= nSy

λ (5.2.8)

Similarmente, Syλn = n−1Sy

λ.Propiedad 10. La sensibilidad de una razón de características es la diferencia de

las sensibilidades individuales.Aquí, se pueden utilizar las propiedades 1 y 4 para obtener:

Sy1/y2λ = Sy1

λ + S1/y2λ = Sy1

λ − Sy2λ (5.2.9)

Propiedad 11. Propiedad transitiva.La demostración es directa:

Syλ1=

∂y

∂λ1

λ1y

∂λ2∂λ2

λ2λ2=

∂y

∂λ2

λ2y

∂λ2∂λ1

λ1λ2= Sy

λ2Sλ2λ1

(5.2.10)

Propiedades 12 a 14. La sensibilidad de una característica compleja también escompleja. La parte real es la sensibilidad de la magnitud y la parte imaginaria es lasensibilidad de fase multiplicada por la fase.

Para ver esto sea y = |y| ejφ, entonces

Syλ =

∂(|y| ejφ)∂λ

λ

y= ejφ

∂(|y|)∂λ

λ

y+ |y| ∂(e

jφ)

∂λ

λ

y= ejφ

∂(|y|)∂λ

λ

y+ j

∂φ

∂λλ

Syλ =

∂(|y|)∂λ

λ

|y| + jφ∂φ

∂λ

λ

φ= S

|y|λ + jφSφ

λ (5.2.11)

Propiedad 15 y 16. Sensibilidad de una suma de funciones.

Sx+yλ =

∂(x+ y)

∂λ

λ

x+ y=

1

x+ y

µ∂x

∂λλ+

∂y

∂λλ

¶=

1

x+ y

µx∂x

∂λ

λ

x+ y

∂y

∂λ

λ

y

¶=

1

x+ y

¡xSx

λ + ySyλ

¢(5.2.12)

Se puede extender fácilmente esta propiedad para el caso designado por 16: z =y1 + y2 + · · ·+ yn

S

Pn

i=1yi

λ =1Pni=1 yi

nXi=1

yiSyiλ (5.2.13)

5.3 Función de sensibilidad

En esta sección se introducirá la primera de las sensibilidades que tienen la formadada en la ecuación (5.2.4).

5.3. FUNCIÓN DE SENSIBILIDAD 119

5.3.1 Definición de función de sensibilidad

La función de sensibilidad se define escogiendo la característica de y de la ecuación(5.2.4) como la función de red H(s). Usualmente se escoge λ como algún elementopasivo o activo en la realización del circuito de la función dada. La función desensibilidad se define como1

SH(s)λ =

∂H(s)

∂λ

λ

H(s)(5.3.1)

Si la función de red se escribe como una relación de polinomios B(s) y A(s)

H(s) =B(s)

A(s)(5.3.2)

entonces se puede derivar la siguiente forma conveniente de (5.3.1):

SH(s)λ = S

B(s)λ − S

A(s)λ (5.3.3)

Bajo condiciones de estado estacionario sinusoidal, aplicando la Propiedad 12 de laTabla 5.1, se encuentra que

SH(jω)λ = S

|H(jω)|λ + j

∂ argH(jω)

∂λ/λ(5.3.4)

Resumen 1 Función de sensibilidad para H(jω). La función de sensibilidad paraSH(s)λ definida en (5.3.4) para la función de red H(jω) tiene las siguientes propiedades:

• La parte real de SH(jω)λ es igual a S|H(jω)|λ , la sensibilidad de la magnitud de

la función de red.

• La parte imaginaria de SH(jω)λ es igual al cambio en argH(jω) con respecto al

cambio en el valor del elemento normalizado. Este es proporcional a SargH(jω)λ .

Ejemplo 15 Función de sensibilidad de una red pasiva RLC. Considérese la reden serie RLC de la Fig. 5.1. Encontrar las funciones de sensibilidad para R,L y C.

Solución:La admitancia vista desde los terminales de entrada está dada por

Y (s) =1

L

s

s2 + RLs+

1LC

=B(s)

A(s)(5.3.5)

1Esta expresión a veces se refiere como sensibilidad clásica o de Bode. Esta fue presentadaoriginalmente en Bode, H. W., Network Analysis and Feedback Amplifier Design, D. van NostrandCo., 1945 [27].


Y

R=1Ω L H=1

C F=1/3

Figura 5.1: Red RLC serie.

con

B(s) =s

Ly A(s) = s2 +

R

Ls+

1

LC

Aplicando la ecuación (5.3.3) (Propiedad 10) y luego las Propiedades 1 y 16 de la

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

1 2 3 4 5

Figura 5.2: Magnitud de la función de sensibilidad para una red RLC. Línea superior(azul): |Y (jω)| . Línea inferior (roja): ReSYR (jω).

Tabla 5.5.5, se encuentra para el primer caso:

SY (s)R = S

B(s)R − S

A(s)R = S

sLR − S

s2+RLs+ 1

LCR =

= Sk1R −

1

s2 + RLs+

1LC

∙s2 · Sk2

R +R · SsLR

R +1

LC· Sk3

R

¸=

= 0− 1

s2 + RLs+

1LC

∙s2 · 0 +R · s

L+

1

LC· 0¸

5.3. FUNCIÓN DE SENSIBILIDAD 121

Nótese que los superíndices ki, corresponden a los parámetros donde R no es factor.Entonces,

SY (s)R = −R

L

s

s2 + RLs+

1LC

(5.3.6)

Para el segundo caso:

SY (s)L = S

sLL − S

s2+RsL+ 1LC

L = −1− 1

s2 + RsL + 1

LC

∙0 +

Rs

L· (−1) + 1

LC· (−1)

¸Entonces,

SY (s)L =

−s2 − RLs−

1LC +

RLs+

1LC

s2 + RLs+

1LC

= − s2

s2 + RLs+

1LC

(5.3.7)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 5.3: Fase de la función de sensibilidad de una red RLC. Línea superior (azul):arg Y (jω). Línea inferior (roja): ImSY

R (jω).

De igual manera, para el tercer caso se obtiene:

SY (s)C =

1

LC

1

s2 + RLs+

1LC

(5.3.8)

Se puede completar el examen de sensibilidad al parámetro R, insertando losvalores nominales dados en la Fig. 5.1 y haciendo s = jω:

SY (s)R =

−ω2ω2 + (3− ω2)2

+ j−ω(3− ω2)

ω2 + (3− ω2)2(5.3.9)

Gráficas de magnitud y de fase de la funciones de red y de sensibilidad, para losvalores dados en la Fig. 5.1, se muestran en las Figs. 5.2 y 5.3, respectivamente.


5.4 Sensibilidad de los coeficientes de una función

En esta sección se introducirá otro tipo de sensibilidad que tiene la forma relativadefinida en la ecuación (5.2.4). En general, una función de red H(s) para cualquiertipo de red pasiva o activa, de parámetros concentrados, es una relación de poli-nomios que tienen la forma

H(s) =B(s)

A(s)=

b0 + b1s+ · · ·+ bmsm

a0 + a1s+ · · ·+ ansn(5.4.1)

en la cual los coeficientes ai y bi son reales y son funciones de los elementos de lared λi. Así, para cualquier elemento λ de la red, se pueden definir sensibilidadesdenominadas sensibilidades de los coeficientes, como sigue:

Saiλ =

∂ai∂λ

λ

aiSbiλ =

∂bi∂λ

λ

bi(5.4.2)

5.4.1 Dependencia bilineal

Una de las razones de la importancia de la sensibilidad de los coeficientes es la maneraen la cual una función de redH(s) es dependiente de algún elemento λ. Esta relaciónse conoce como dependencia bilineal. Así, H(s) puede también escribirse como

H(s) =B(s)

A(s)=

E(s) + λF (s)

C(s) + λD(s)(5.4.3)

donde C(s),D(s), E(s) y F (s) son polinomios con coeficientes reales que no sonfunciones del elemento de red λ. Esto es cierto si se escoge λ como el valor de unelemento pasivo o la ganancia de algún amplificador o una fuente controlada.

Ejercicio 3 Dependencia bilineal de una función de red. Considérese la red RLCde la Fig. 5.1. Usando los valores de los elementos indicados, escribir Y (s) comouna función bilineal de R,L y C.

Solución:Para este caso se puede hacer

E(s) = s, F (s) = 0, C(s) = s2 + 3 y D(s) = s

de donde se obtieneY (s) =

s

(s2 + 3) + sR(5.4.4)

Similarmente, para los otros elementos de la red se tendrá:

Y (s) =s/L

s2 + (3 + s)1/LY (s) =

s

(s2 + s) + 1/C(5.4.5)

5.4. SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE UNA FUNCIÓN 123

Tabla 5.2: Sensibilidad de los coeficientes para una red RLC en serie.

CoeficientesElemento b1 a0 a1 a2

RLC

0 0 1 0−1 −1 −1 00 −1 0 0

Nótese que en la ecuación (5.4.5) aparecen los recíprocos de los elementos evaluados.De la Propiedad 3 de la Tabla 5.1, demostrada en la ecuación (5.2.6), la sensibilidaddel coeficiente es simplemente el negativo del valor encontrado para el recíproco.Entonces las expresiones en la ecuación (5.4.5) se pueden escribir también como

Y (s) =s

(3 + s) + s2LY (s) =

Cs

(s2 + s)C + 1(5.4.6)

5.4.2 Forma de la sensibilidad de los coeficientes

A causa de la dependencia bilineal, hay tres casos que especifican el modo en el cualun coeficiente ai (o bi) puede depender de un elemento de la red λ, valorado comopositivo.

Caso 1 ai = kλ donde k puede ser positivo o negativo:

Saiλ = 1 (magnitud de la sensibilidad =1) (5.4.7)

Este caso de sensibilidad ‹‹buena› › en la cual el porcentaje de cambio en elparámetro es el mismo que el del elemento. Como un ejemplo de este caso, consid-érese la red de la Fig. 5.1. La admitancia es

Y (s) =1

L

s

s2 + RLs+

1LC

=s

s2 + s+ 3=

b1s

a2s2 + a1s+ a0

Las sensibilidades de los coeficientes se listan en la Tabla 5.2. Nótese que se ha usadola Propiedad 3 de la Tabla 5.1 para los casos donde λ aparece como una cantidadrecíproca.

Caso 2 ai = k0 + k1λ donde k0 y k1 tienen la misma polaridad:

Saiλ =

k1λ

k0 + k1λ(magnitud de la sensibilidad <1) (5.4.8)


+ +

--

VoViL 1H

C

1F

G 1

R

1

Figura 5.4: Red con sensibilidad de coeficientes ≤ 1.

Tabla 5.3: Sensibilidad de los coeficientes para una red RLC en serie—paralelo.Coeficientes

Elemento b2 a0 a1 a2RLCG

−1 −1 0 00 −1 −0.5 00 −1 −0.5 0−1 −1 0 0

Este es un ‹‹buen› › caso de sensibilidad, en la cual el porcentaje de cambio delparámetro es menor que el porcentaje de cambio del elemento.

Como un ejemplo de este caso, considérese la red mostrada en la Fig. 5.4. Lafunción de transferencia de tensión es

vo(s)

vi(s)=

1

RG+ 1

s2

s2 +1

RG+ 1

µR

L+

G

C

¶s+

1

LC(RG+ 1)

= (5.4.9)

=b2s

2

a2s2 + a1s+ a0

donde

b2 =1

RG+ 1, a0 =

1

LC(RG+ 1), a1 =

1

RG+ 1

µR

L+

G

C

¶y a2 = 1

Las sensibilidades de los coeficientes se muestran en la Tabla 5.3.Nota: La sensibilidad de una función de la forma:

ai = k0 +k1λ

(5.4.10)

está dada por:

Saiλ = − k1

k1 + k0λ(5.4.11)

5.4. SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE UNA FUNCIÓN 125

Caso 3 ai = k0 + k1λ donde k0 y k1 tienen polaridad opuesta y |ai| es menor que|k0| o que |k1λ|:

Saiλ =

k1λ

k0 + k1λ(magnitud de la sensibilidad >1) (5.4.12)

Este es un caso de sensibilidad ‹‹mala››; el valor grande resulta del hecho deque |k0 + k1λ| puede ser mucho menor que |k1λ|. Como un ejemplo de este caso,considérese la red mostrada en la Fig. 5.5.

vvi o

-

++

-

C1 1

C2

1

+

R11

R2

1

RaRb

Figura 5.5: Red con elemento activo y con sensibilidad > 1.

La función de transferencia de tensión está dada por (ver Sección 11.3):

H(s) =vo(s)

vi(s)=

μ

R1R2C1C2

1

s2 +

µ1

R1C2+

1

R2C1+1− μ

R2C1

¶s+

1

R1R2C1C2

Para el caso en el cual R1 = R2 y C1 = C2, la función de transferencia se reduce a

H(s) =μ

R2C21

s2 +

µ3− μ

RC

¶s+

1

R2C2

Cuando la ganancia y los valores normalizados de los parámetros están dados por

μ = 1 +RbRa

= 2.5, R1 = R2 = 1 y C1 = C2 = 1

la función de transferencia es

H(s) =μ

s2 + (3− μ)s+ 1=

2.5

s2 + 0.5s+ 1=

b0a2s2 + a1s+ a0


Tabla 5.4: Casos de la sensibilidad de los coeficientesCaso Forma de ai Restricciones Sai

λ

¯Saiλ

¯1 kλ 1 1

2 k0 + k1λ k0 y k1λ de igual signo k1λk0+k1λ

< 1

3 k0 + k1λ k0 y k1λ de signos opuestos k1λk0+k1λ

> 1

Las sensibilidades de los coeficientes son

Sb0μ = 1 y Sa1

μ = − μ

3− μ= −5

Un resumen de los tres tipos de sensibilidades de los coeficientes se da en la Tabla5.4.

5.4.3 Relación entre función de sensibilidad y sensibilidad de loscoeficientes

Las sensibilidades de los coeficientes definidas en esta sección, se relacionan fácil-mente con la función de sensibilidad en la sección precedente, insertando las ecua-ciones (5.4.1) y (5.4.2), se obtiene:

SH(s)λ = S

B(s)λ − S

A(s)λ = Sb0+b1s+···+bmsm

λ − Sa0+a1s+···+ansnλ

es decir, la sensibilidad de los coeficientes de la función de transferencia estará dadapor

SH(s)λ =

1

B(s)

mXi=0

Sbiλ bis

i − 1

A(s)

nXi=0

Saiλ ais

i (5.4.13)

Ejemplo 16 Para el circuito de la Fig. 5.1, encontrar las funciones de sensibilidaddadas las sensibilidades de los coeficientes.

Solución:De la ecuación (5.3.5), usando R = 1 y C = 1/3, se obtiene

Y (s) =1

L

s

s2 + RLs+

1LC

=b1s

a2s2 + a1s+ a0(5.4.14)

Si se aplica la ecuación (5.4.13), se llega a

SY (s)L =

Sb1L b1s

b1s− Sa0

L a0 + Sa1L a1s

a2s2 + a1s+ a0

5.5. SENSIBILIDADES DE Q Y ωN 127

Para el valor L = 1, se llega a

SY (s)L =

(−1)(1)s(1)s

− (−1)(3) + (−1)(1)s(1)s2 + (1)s+ (3)

=−s2

s2 + s+ 3(5.4.15)

Esto concuerda con la ecuación (5.4.6).

5.5 Sensibilidades de Q y ωn

5.5.1 Caso de segundo orden

Considerando el comportamiento de una red bajo condiciones de estado estacionario,la función de sensibilidad definida en (5.3.4) es demasiado complicada y es de pocouso, puesto que especifica el comportamiento de la red sobre el rango total de fre-cuencia. Esto es especialmente cierto en el caso de una red pasabanda de segundoorden, en la cual es más aconsejable usar criterios que enfaticen la resonancia, esdecir, la naturaleza selectiva de tales funciones. Tales criterios son: la frecuenciade resonancia ωn, a la cual ocurre el pico de respuesta de magnitud y la agudezarelativa o factor de calidad Q de ese pico. Esta última cantidad se define como

Q =ωnBw

(5.5.1)

donde Bw es el ancho de banda definido como la diferencia entre las frecuencias alas cuales la función de red está a 3dB por debajo de su magnitud pico a ωn. Estosvalores se pueden utilizar para definir una función general pasabanda de segundoorden

H(s) =B(s)

A(s)=

b1s

s2 + a1s+ a0=

H0ωnQ s

s2 + ωnQ s+ ω2n

(5.5.2)

Las cantidades en la expresión anterior se relacionan con las posiciones de los polosp0 y p∗0 por las expresiones

p0 = σ0 + jω0 =−a12+ j

ra0 −

³a12

´2=−ωn2Q

+ jωn2Q

p4Q2 − 1 (5.5.3)

Q =|p0|2 |σ0|

=ωn2 |σ0|

=

√a0a1

, ωn =√a0 (5.5.4)

En términos de esas cantidades se puede definir las sensibilidades Q y ωn como

SQλ =

∂Q/Q

∂λ/λSωnλ =

∂ωn/ωn∂λ/λ

(5.5.5)


Para el caso de segundo orden las anteriores sensibilidades se evalúan relacionándolasa las sensibilidades de los coeficientes, usando la expresión (5.5.4) y las dadas en laTabla 5.1. Así se obtiene

SQλ =

1

2Sa0λ − Sa1

λ Sωnλ =

1

2Sa0λ (5.5.6)

También, para el caso del pasabanda de segundo orden, la parte real de la funciónde sensibilidad, la cual da la sensibilidad de la magnitud de la función de red, puederelacionarse a las sensibilidades Q y ωn a la frecuencia de resonancia (ω = ωn), parala cual puede demostrarse que

S|H(jωn)|λ = <eSH(jωn)

λ = SH0λ + SQ

λ − Sωnλ (5.5.7)

Ejemplo 17 Las sensibilidades Q y ωn para una red. Determinar las sensibilidadesQ y ωn, para la red de la Fig. 5.1.

Solución:Usando la Tabla 5.1 para determinar las sensibilidades de los coeficientes de la redy las relaciones de la ecuación (5.5.6), se obtiene

Q =1

R

rL

CSQR = −1 SQ

L =1

2SQC = −

1

2

ωn =1√LC

SωnR = 0 SωnL = −12

SωnC = −12

5.5.2 Caso de tercer orden

Las técnicas desarrolladas anteriormente se pueden extender al caso de tercer orden.En esta situación el polinomio del denominador tendrá la forma

A(s) = s3 + a2s2 + a1s+ a0 (5.5.8)

Este puede factorizarse en un témino de primer orden y otro cuadrático. Así, usandola notación de (5.5.2), se puede escribir

A(s) = (s+ g)

µs2 +

ωnQ

s+ ω2n

¶(5.5.9)

Para el caso de tercer orden se pueden definir tres funciones de sensibilidad, Sgλ, S

Qλ

y Sωnλ , las cuales se calculan más convenientemente a partir de las sensibilidades de

5.5. SENSIBILIDADES DE Q Y ωN 129

los coeficientes Saiλ . Estas relaciones se determinan colocando primero la ecuación

(5.5.9) en la forma

A(s) = s3 + s2µg +

ωnQ

¶+ s

µω2n +

gωnQ

¶+ gω2n (5.5.10)

Igualando los coeficientes correspondientes de las ecuaciones (5.5.8) y (5.5.10), seobtienen las relaciones

a0 = gω2n a1 = ω2n +gωnQ

a2 = g +ωnQ

(5.5.11)

Tomando las derivadas parciales de estas expresiones, se obtiene

dai =∂aidωn

dωn +∂aidQ

dQ+∂aidg

dg

donde i = 0, 1, 2. Transformando a forma de sensibilidades:

∂ai∂λ

λ

ai=

∂aidωn

∂ωn∂λ

λ

ai+

∂aidQ

∂Q

∂λ

λ

ai+

∂aidg

∂g

∂λ

λ

ai

es decir,

Saiλ =

ωnai

∂ai∂ωn

Sωnλ +

Q

ai

∂ai∂Q

SQλ +

g

ai

∂ai∂g

Sgλ (5.5.12)

Ahora, escribiendo las ecuaciones (5.5.12) en forma matriz se llega a:⎡⎢⎢⎢⎢⎣Sa0λ

Sa1λ

Sa2λ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

ωna0

∂a0dωn

Qa0

∂a0dQ

ga0

∂a0dg

ωna1

∂a1dωn

Qa1

∂a1dQ

ga1

∂a1dg

ωna2

∂a2dωn

Qa2

∂a2dQ

ga2

∂a2dg

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

Sωnλ

SQλ

Sgλ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (5.5.13)

Realizando las derivadas indicadas se obtiene:∂a0dωn

= 2gωn∂a0dQ = 0 ∂a0

dg = ω2n

∂a1dωn

= 2ωn +gQ

∂a1dQ = −gωn

Q2∂a1dg =

ωnQ

∂a2dωn

= 1Q

∂a2dQ = −ωn

Q2∂a2dg = 1

Sustituyendo y simplificando en la ecuación (5.5.13) se llega a:⎡⎢⎢⎢⎢⎣Sa0λ

Sa1λ

Sa2λ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 0 1

2ω2na1+ gωn

Qa1− gωn

Qa1gωnQa1

ωnQa2

− ωnQa2

ga2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

Sωnλ

SQλ

Sgλ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (5.5.14)


Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas, se encuentra que [60]:⎡⎢⎢⎢⎢⎣Sωnλ

SQλ

Sgλ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = 1

∆

⎡⎢⎢⎢⎢⎣(Qg − ωn)a0 Qω2na1 −Qω2nga2

σoa0 σ1a1 σ2a2

2ω2nQa0/g −2ω2nQa1 2ω2nQga2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

Sa0λ

Sa1λ

Sa2λ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (5.5.15)

donde,

∆ = 2ω2n£Q(ω2n + g2)− ωng

¤σo = 2ωnQ

2 + gQ− ωn

σ1 = Qωn(ωn − 2gQ)σ2 = Qω2n(g − 2ωnQ)

Como un ejemplo del uso de esta relación, considérese la función de Butterworth,normalizada de tercer orden, definida en la Sección 10.3. Para este caso, se tiene

A(s) = s3 + 2s2 + 2s+ 1 = (s+ 1)(s2 + s+ 1) (5.5.16)

Así, a0 = 1, a1 = 2, a2 = 2, g = 1, ωn = 1 y Q = 1. Sustituyendo esos valores en(5.5.15) se obtiene: ⎡⎣ Sωn

λ

SQλSgλ

⎤⎦ =⎡⎣ 0 1 −11 −1 −11 −2 2

⎤⎦⎡⎣ Sa0λ

Sa1λ

Sa2λ

⎤⎦Por ejemplo, la sensibilidad de Q en este caso, está dada por

SQλ = Sa0

λ − Sa1λ − Sa2

λ (5.5.17)

Ejemplo 18 Sensibilidades de un filtro RC activo de tercer orden. Una red RCactiva pasa-bajas de tercer orden se muestra en la Fig 5.6. Se puede demostrar quela función de transferencia de tensión para este circuito está dada por

V2(s)

V1(s)=

μb0s3 + a2s2 + a1s+ a0

donde

a0 = G1G2G3S2S3

a1 = G2G3S2S3 +G2G3S1S2 + (G2G3S1S3 +G1G3S1S3)(1− μ) +G1G3S1S2

+G1G2S1S2

a2 = G1S1 +G3S2 +G2S2 +G2S1 +G3S3(1− μ)

5.6. SENSIBILIDAD PARÁSITA 131

y donde, por conveniencia, para tomar las derivadas parciales, se ha usado la con-ductancia Gi = 1/Ri y la susceptancia Si = 1/Ci. Encontrar las sensibilidadescorrespondientes a los coeficientes de la función de transferencia dada.

1 2

+ +

- -

vv

R4

R5C1 C3

C2

R3R2R1

Figura 5.6: Filtro de tercer orden pasa—bajas.

Solución:Tomando el caso Butterworth en la ecuación (5.5.16) se obtienen los siguientes

resultados:μ = 2, R1 = 1.565, R2 = 1.469, R3 = 0.435

donde se ha asignado a los capacitores un valor unitario. Las sensibilidades de loscoeficientes para la ganancia μ se encuentran como

Sa0μ = 0 Sa1

μ = −μ(G2G3S1S3 +G1G3S1S3)

a1= −3.0338

Sa2μ = −μG3S3

a2= −2.2989

De (5.5.17) se ve que

SQμ = 0 + 3.0338 + 2.2988 = 5.3327

5.6 Sensibilidad parásita

5.6.1 Elementos parásitos

Una de las aplicaciones más interesantes y prácticas de la sensibilidad está en ladeterminación de los efectos sobre varias características de red de un elemento par-ticular llamado parásito. Se define un elemento parásito como aquel cuyo valornominal (ideal) es cero. Ejemplo de elementos parásitos son:


• La resistencia usada en serie con una inductancia para modelar pérdidas en elnúcleo, resistencia de devanado y otras cantidades disipativas.

• La conductancia usada en paralelo con un capacitor ideal para modelar efectosde dispersión.

• La resistencia usada en serie con una fuente de voltaje ideal para modelar laresistencia interna de un amplificador.

• La conductancia usada en paralelo con una fuente ideal de corriente paramodelar la conductancia interna de la fuente.

• El recíproco de la ganancia de un AO ideal.

5.6.2 Sensibilidad para elementos parásitos

La sensibilidad relativa Syλ = (∂y/∂λ)(λ/y) definida en (5.2.4) no se puede utilizar

para elementos parásitos. La razón para esto es que como el valor nominal delelemento es cero, resulta que la sensibilidad también será cero. En lugar de esto, sepuede definir como sensibilidad parásita

PSyν =

∂y

∂ν

1

y(5.6.1)

donde ν es un elemento parásito y y es alguna característica. Nótese que la sensibili-dad parásita es una sensibilidad semi—relativa en el sentido en el que la característicay está normalizada, pero el elemento ν no lo está. La aplicación típica de la sensi-bilidad parásita puede ser, encontrar el cambio normalizado en y como resultado deun cambio en ν. Así, la ecuación (5.6.1) se puede usar en la forma

∆y

y= PSy

ν∆ν (5.6.2)

En el siguiente procedimiento se describen los pasos utilizados para determinar lasensibilidad parásita:

Resumen 2 Determinación de la sensibilidad parásita. Para encontrar la sensibili-dad parásita de la forma dada en (5.6.1), se puede seguir el siguiente procedimiento:

1. Determinar una expresión para la característica y que incluya el elementoparásito ν como una cantidad literal.

2. Tomar la derivada ∂y/∂ν y formar la función (∂y/∂ν)(1/y).

3. En la expresión (∂y/∂ν)(1/y) hacer ν = 0.


El resultado es la sensibilidad parásita PSyν . Lo mismo que en el caso de sensi-

bilidad relativa, la sensibilidad parásita es una sensibilidad de primer orden, válidasolamente para pequeñas variaciones de ν.

Ejemplo 19 Sensibilidad parásita de una red simple. Considérese la red RC pasa-bajas mostrada en la Fig (5.7) en la cual el capacitor C tiene una conductanciaparásita G en paralelo con ésta. Si se ignora G, la función de transferencia detensión para la red es

v2(s)

v1(s)=

1/RC

s+ 1/RC

la cual tiene un polo en −1/RC. Se desea encontrar el cambio causado en la lo-calización del polo por la conductancia parásita cuando ésta varía desde 0 hasta0.01.

+ +

- -

G VoVi C

R

Figura 5.7: Red con un elemento parásito.

Solución:El polo es real, así que no se necesita usar una forma desnormalizada para la carac-terística. Siguiendo los pasos dados más arriba, primero se encuentra la función dered incluyendo G,

v2(s)

v1(s)=

1/RC

s+ (RG+ 1)/RC

la cual tiene un polo p en −(RG+1)/RC. Seguidamente se toma la derivada parcialdel polo y se multiplica el resultado por 1/p:

∂p

∂G

1

p=−RRC

µ−RCRG+ 1

¶=

R

RG+ 1

Si se escoge G = 0 en ésta última expresión, se obtiene

PSpG =

∂p

∂G

1

p

¯G=0

= R


de la ecuación (5.6.2) ahora se tiene

∆p

p= PSp

G∆G = R∆G = R(0.01)

Como un ejemplo numérico, si R = 2 y C = 1, p = −12 y ∆p/p = 0.02 o ∆p =−0.01. Se ve que la sensibilidad parásita predice que el cambio G desde 0 hasta 0.01(cambiando la resistencia paralela desde infinito hasta 100 Ω) podrá mover el polodesde −0.5 hasta −0.51. Este resultado es fácilmente verificable por cálculo directo.

5.6.3 Sensibilidad parásita de un amplificador operacional

Uno de los usos más importantes del concepto de sensibilidad parásita es en ladeterminación del efecto de la ganancia dc finita en un AO, una cantidad asumidacomo infinita en la mayoría de los análisis. Esto puede hacerse tratando el recíprocode la ganancia como un elemento parásito con un valor nominal de cero [27]. Paraver como se hace esto, considérese el modelo del AO de la Fig. 5.8.

v vv+ +

+

--

-o

+

-

Figura 5.8: Modelo de un amplificador operacional.

Para el caso no ideal se tiene

v0 = A0(v+ − v−) (5.6.3)

donde A0 es la ganancia dc, un número muy grande e idealmente infinito. Paratratar ésta como un elemento de sensibilidad parásita, se define B = 1/A0 como unacantidad parásita y se escribe la ecuación (5.6.3) en la forma

v0 =1

B(v+ − v−)

donde B es un número muy pequeño, idealmente cero. Para un circuito dado, sepuede determinar la sensibilidad parásita usando los pasos esbozados en el Resumen2 dado más arriba. Esto se muestra con un ejemplo.

Ejemplo 20 Sensibilidad parásita en un integrador amortiguado. Un circuito queusa un AO se muestra en la Fig.5.9. Consiste de las conductancias G1 y G2 y el


capacitor C. Si el amplificador es ideal, la función de transferencia de tensión es

v2(s)

v1 (s)= − G1/C

s+G2/C

Considérese el efecto de usar un AO no ideal. Encontrar la función de sensibilidaddel sistema.

-

+

1v

-

+

2v

C

G2

G1

Figura 5.9: Integrador amortiguado.

Solución:La función de transferencia considerando B es

v2(s)

v1 (s)= − G1

B (G1 +G2 + Cs) + (G2 + Cs)= − G1

BC + C

1

s+ B(G1+G2)+G2BC+C

la cual tiene un polo en

p = −B (G1 +G2) +G2BC + C

Si se toma la derivada de p con respecto a B, se obtiene

∂p

∂B= −(G1 +G2) (BC + C)− C [B (G1 +G2) +G2]

(BC + C)2

Multiplicando por 1/p y haciendo B = 0, se obtiene

PSpB =

∂p

∂B

1

p

¯B−→0

=G1G2

Como un ejemplo de este resultado, considérese una aplicación en la cual G1 = 10,G2 = 0.1, C = 1 y el AO tiene una ganancia de A0 = 104. Idealmente, para B = 0,el polo está localizado en −0.1. Aplicando la sensibilidad parásita se obtiene

∆p

p= PSp

B∆B =G1G2∆B =

10

0.110−4 = 0.01


El cambio en la localización del polo se encuentra fácilmente multiplicando esteresultado por p. Se obtiene ∆p = −0.001. Así, la posición del polo es −0.101 comoconsecuencia de que el AO es no ideal. El mismo procedimiento puede aplicarsepara determinar los efectos del AO no ideal sobre cualquier otra característica, porejemplo, la función de transferencia de tensión.

5.6.4 Sensibilidad multiparamétrica

Se puede ahora construir una expresión general multiparamétrica que da el cambionormalizado en alguna característica y como el efecto combinado de las sensibilidadesrelativa y parásita. Se define

y = y(λ1, . . . , λi, . . . , λn, ν1, . . . , νj , . . . , νm) (5.6.4)

donde los λi son elementos regulares (no parásitos) y los νj son parásitos. Si sola-mente se consideran los efectos de primer orden, se puede escribir

∆y =nXi=1

∂y

∂λi∆λi +

mXj=1

∂y

∂νj∆νj (5.6.5)

Si se dividen ambos miembros de esta ecuación entre y, se obtiene

∆y

y=

nXi=1

Syλi∆λiλi

+mXj=1

PSyνj∆νj (5.6.6)

Se ve que el cambio normalizado en y es la suma de los efectos de los cambiosnormalizados en los elementos no parásitos λi y los cambios no normalizados en loselementos parásitos νj .

Ejemplo 21 En el integrador amortiguado mostrado en la Fig.5.9 se asume que losvalores nominales de los elementos son G1 = 10, G2 = 0.1, C = 1, y la gananciadel AO A0 =∞. Para estos valores, el polo p está localizado en −0.1. Encontrar elcambio en la localización del polo producida por cambios del 1% en las conductanciasG1 y G2 y la ganancia real del AO dada como A0 = 104.

Solución:Se puede usar la sensibilidad multiparamétrica definida en la ecuación (5.6.6)

∆p

p= Sp

G1

∆G1G1

+ SpG2

∆G2G2

+ PSpB∆B

Utilizando los resultados del ejemplo anterior se obtiene

p = −G2C= −0.1 Sp

G1= 0 Sp

G2= 1 PSp

B =G1G2

= 100


Para estos resultados se obtiene

∆p

p= (0× 0.01) + (1× 0.01) +

¡100× 10−4

¢= 0.02

Multiplicando este resultado por el valor de p, se obtiene ∆p = −0.002. La loca-lización de los polos estará en −0.102 como resultado de los cambios específicos enlos parámetros.

Problemas

1. Demostrar las relaciones (12 ), (13 ) y (14 ) de la Tabla 5.1.

2. Para el Ejemplo 15.

(a) Graficar S|Y (jω)|L ,=SY (jω)L y Sarg Y (jω)L .

(b) Graficar S|Y (jω)|C ,=SY (jω)C y Sarg Y (jω)C .

(c) Calcular la sensibilidad S|Y (j1.5)|L .

3. Un filtro tiene la siguiente función de red

H(s) =1

R1Γ2R3C4

1

s3 + 1R3C4

s2 + 1Γ2

³1R1+ 1

R3

´s+ 1

R1Γ2R3C4

donde R1 =32 Ω,Γ2 =

43 H−1, R3 =

12 Ω y C4 = 1 F . Para estos valores

numéricos, encontrar expresiones para E(ω), F (ω) y G(ω), donde

SH(jω)Γ2

=E(ω)

G(ω)+ j

F (ω)

G(ω)

4. Para la red de la Fig. 5.10:

(a) Encontrar expresiones para las sensibilidades

S|Zi(jω)|L y S

argZi(jω)L

(b) Hacer las gráficas de |Zi(jω)|, argZi(jω), S|Zi(jω)|L y SargZi(jω)L .


EZ (s)i

=1=1/3=1 RL

+

C

Figura 5.10: Circuito paralelo RLC.

5. Usar las sensibilidades de los coeficientes con respecto a la ganancia μ en elfiltro de la Fig. 5.5, para encontrar la función de sensibilidad. Verificar elresultado determinando directamente la función de sensibilidad.

6. Demostrar la expresión (5.4.11).

7. .Comprobar la expresión (5.4.9) y verificar las sensibilidades de la Tabla 5.3.

8. Para la siguiente función de red, determinar las sensibilidades de los coefi-cientes

H(s) =bo

s2 + a1s+ ao=

μ

R2C21

s2 + 3−μRC s+ 1

R2C2

9. Se define la función de red siguiente:

H(s) =bo

s2 + a1s+ ao=

2

s2 + s+ 1

Las sensibilidades de los coeficientes con respecto a un parámetro específico λson:

Saoλ = 1 Sa1

λ = − λ

3− λ

(a) Encontrar la sensibilidad de la función S|H(jω)|λ .

(b) Encontrar el máximo valor de la magnitud de S|H(jω)|λ .

10. Encontrar las sensibilidades de los coeficientes en el circuito de la Fig. 5.11.

11. El denominador de una función de red tiene la forma dada abajo. Encontrarla sensibilidad Q con respecto a μ en términos de los coeficientes a, b y c. Laexpresión resultante no debe ser función de μ:

s2 + (a− bμ)s+ c


+ +

- -

v2

L

v1 GC

R

= 2

2==1

=1

Figura 5.11: Red con sensibilidad de coeficientes ≤ 1.

12. Una función de red de segundo orden tiene las expresiones dadas por

1

Q=

rR3C6R1C4

+

rR1C6R3C4

+ (1− μ)

rR1C4R3C6

ωn =1√

R1R3C4C6

las cuales determinan Q y ωn en términos de la ganancia μ y los elementos dela red R1, R3, C4, C6. Encontrar expresiones para las sensibilidades Q y ωn.

13. Un filtro de paso bajo con AO de ganancia infinita, tiene la función de trans-ferencia dada por

H(s) =Ho

s2 + ωnQ s+ ω2n

=− 1

R1R3C2C5

s2 + 1C2

³1R1+ 1

R3+ 1

R4

´s+ 1

R3R4C2C5

Para la realización de una función normalizada, en la cual |Ho| = 1, Q = 3, yωn = 1 rad/s, los valores de los elementos están dados por R1 = R4 = 7.8485Ω, R3 = 12.7429 Ω, C2 = 1 F y C5 = 0.01 F ; con lo cual la función detransferencia es

H(s) =−1

s2 + 13s+ 1

Encontrar los valores numéricos de las sensibilidades Q en términos de losparámetros de red R1, R3, R4, C2, C5.

14. Una función de red de segundo orden tiene las expresiones dadas por

ωn =1√

R3R4C2C5

1

Q=

rC5C2

Ã√R3R4R1

+

rR3R4

+

rR4R3

!


las cuales determinan ωn y Q en términos de los elementos de la red R1, R3,R4, C2, C5. Encontrar expresiones para las sensibilidades ωn y Q.

15. Para la siguiente función pasa banda normalizada en frecuencia, encontrar lamáxima magnitud de S|H(jω)|Q :

H(s) =Ho(1/Q)s

s2 + 1Qs+ 1

16. Para la red de la Fig. 5.6, suponer que todos los resistores y capacitores tienenvalor unitario y μ = 2. Hallar el valor de la sensibilidad de Q respecto a μ.

17. Una fuente de tensión controlada por tensión (VCVS) se realiza con un AOy dos resistores R1 y R2 como se muestra en la Fig. 3.28. La ganancia de laVCVS se define como μ = vo(t)/vs(t). La ganancia en lazo abierto del AO sedefine como Ao = 1/B donde B es un parásito con un valor ideal de cero.

(a) Encontrar la sensibilidad parásita PSμB en términos de R1 y R2.

(b) Para los valores de los resistores R1 = 1 kΩ y R2 = 100 kΩ, usar losresultados de la parte (a) para determinar ∆μ/μ si Ao = 104 (en lugarde ∞).

18. Una fuente de tensión controlada por tensión (VCVS) se realiza con un AOy dos resistores R1 y R2 como se muestra en la Fig. 3.28. La ganancia de laVCVS se define como μ = vo(t)/vs(t). La resistencia parásita de salida delAO se define como Ro con un valor ideal de cero.

(a) Encontrar la sensibilidad parásita PSμRoen términos de R1 y R2.

(b) Para los valores de los resistores R1 = 1 kΩ y R2 = 100 kΩ, usar losresultados de la parte (a) para determinar ∆μ/μ si Ro = 0.01 (en lugarde 0).

19. Una fuente de tensión controlada por tensión (VCVS) se realiza con un AOy dos resistores R1 y R2 como se muestra en la Fig. 3.28. La ganancia dela VCVS se define como μ = vo(t)/vs(t). La conductancia parásita entre losterminales de entrada del AO se define como Gi con un valor ideal de cero.

(a) Encontrar la sensibilidad parásita PSμGien términos de R1 y R2.

(b) Para los valores de los resistores R1 = 1 kΩ y R2 = 100 kΩ, usar losresultados de la parte (a) para determinar ∆μ/μ si Ri = 1/Gi = 100 Ω(en lugar de ∞).

Capítulo 6

Realimentación

6.1 Introducción

En el capítulo anterior se estudiaron los conceptos básicos de las redes eléctricas.Haciendo énfasis en la formulación matricial se analizaron, aunque sin desarrollarlos conceptos de realimentación, algunas redes de lazo cerrado.

La primera parte de este capítulo estará dedicada a estudiar este importanteaspecto que se aplica en todo sistema al cual se le quiera dar algún tipo de control.

En la segunda parte se aplicarán los conceptos dados en la teoría de la reali-mentación, al estudio de uno de los dispositivos más importantes en electrónicalineal: el AO.

6.2 Definiciones básicas

Se introducirá alguna terminología de uso común en realimentación, aunque estaterminología se aplica a casos generales en este se referirá a amplificadores.

Un sistema lineal consiste de una entrada, una salida y entre estos extremosde un conjunto de componentes físicas conectados de tal manera que formen unaunidad completa.

La entrada es el estímulo o excitación que se aplica al sistema desde una fuentede energía externa.

La salida es la respuesta obtenida del sistema.Se dice que un sistema está realimentado, o que tiene un lazo de realimentación,

cuando parte de la señal de salida se toma (muestrea) y se lleva a la entrada paracompararse con la señal de entrada a fin de realizar una acción de control apropiadacomo función de la entrada y la salida.

Un sistema sin ningún lazo de realimentación se dice que es de lazo abierto y la

141

142 CAPÍTULO 6. REALIMENTACIÓN

entrada es independiente de la salida. Un sistema con realimentación se denominade lazo cerrado y la entrada es dependiente de la salida.

Para el diagrama de la Fig. 6.1, xi es la entrada y x0 la salida, la red B esla realimentación. Obsérvese que se está tomando parte de la salida x0, para sercomparada con la entrada xi, obteniéndose xia la cual también se conoce como señalde error ε.

Σ A x xx

x

i ia o

b

o+

_( )s

Figura 6.1: Sistema retroalimentado.

Del mismo diagrama, se obtienen las siguientes relaciones:

A0(s) =x0xia

(6.2.1)

función de transferencia directa.

Af = A(s) =x0xi

(6.2.2)

función de transferencia en lazo cerrado.A veces se utiliza el subíndice f para identificar la red con realimentación.

B(s) =xbx0

(6.2.3)

factor de realimentación.xi = xia + xb (6.2.4)

la entrada es la suma entre la señal de error y señal realimentada.Combinando las ecuaciones (6.2.1) a (6.2.4) se obtiene:

xi = xia +B(s)x0

6.2. DEFINICIONES BÁSICAS 143

A(s) =x0xi=

x0xia +B(s)xo

=

x0xia

1 +B(s) x0xia

A(s) =A0(s)

1 +B(s)A0(s)(6.2.5)

La ecuación (6.2.5) expresa la función de transferencia en lazo cerrado en tér-minos de la función de transferencia directa. El factor de realimentación B(s) segenera en la mayoría de los casos por una red pasiva, por lo cual su valor es menorque la unidad. Se tienen dos casos: si |B| = 1, entonces se tiene un corto circuitoentrada—salida ( 100% de realimentación); si |B| = 0, se tiene una red de función detransferencia directa y no hay realimentación, ó sea A = A0.

Cuando se aplica realimentación a una red electrónica, se presentan dos posibili-dades básicas: si el amplificador no produce desplazamiento de fase (x0 está en fasecon Xia), A0 es positiva. Si la red de realimentación no produce desplazamiento defase, entonces el voltaje en el punto xb tendrá la misma fase y reforzará la señal deerror. En este caso se dice que hay realimentación positiva o regenerativa, y produceuna ganancia (función de transferencia) en lazo cerrado mayor que la ganancia enlazo abierto, o sea:

|A| > |A0|

Para el caso en el cual BA0 = −1, el denominador de la ecuación (6.2.5) llamadodiferencia de retorno, se hace cero y A se vuelve infinita [A0/(1− 1)→∞].

El hecho de que aparezca una ganancia infinita significa que habrá señal de salidasin aplicar señal a la entrada, es decir, el circuito se comporta como un generadorde señales u oscilador.

Si |1+BA0| > 1, entonces |A| < |A0|, por lo cual la ganancia en lazo cerrado serámenor que la ganancia directa. En este caso se tiene una realimentación negativao degenerativa. Para el caso en el cual |BA0| >> 1 la ecuación (6.2.5) se reduceaproximadamente a la expresión:

A(s) ∼= 1

B(s)(6.2.6)

Esto significa que la función de transferencia A(s), prácticamente se hace indepen-diente de la función directa A0 y solo depende de la red B(s), con esto el sistema sehace independiente de los parámetros internos del dispositivo activo, la temperaturay el envejecimiento o cambio de los elementos que lo constituyen.

La cantidad B(s)A0(s) se llama función de transferencia de lazo abierto T (s). Elsignificado de T (s) consiste en que muchas de las características de comportamiento


de lazo cerrado pueden determinarse a partir del comportamiento en lazo abiertodel sistema.

En términos de T (s) la ecuación (6.2.5) quedará:

A(s) =A0(s)

1 +B(s)A0(s)=

BA0(s)

B(s)(1 +B(s)A0(s))

A(s) =1

B(s)· T (s)

1 + T (s)(6.2.7)

Obviamente cuando se aplica realimentación negativa a un amplificador, suganancia se reduce. Sin embargo, puesto que la realimentación trae consigo muchasventajas, se pueden utilizar más etapas en cascada a fin de obtener un valor deganancia similar a la del sistema sin realimentación.

6.3 Realimentación negativa. Efectos

En las siguientes secciones se mostrará que la realimentación tiene efecto sobre lascaracterísticas de funcionamiento del sistema tales como sensibilidad, ruido, distor-sión, estabilidad y ancho de banda. Los efectos de la realimentación positiva sonopuestos a los de realimentación negativa. En general, como se vió antes, hay efectoscontraproducentes en la realimentación positiva. Se estudiará el efecto de la reali-mentación negativa, para el otro caso, se puede deducir de los resultados obtenidos.

6.3.1 Sensibilidad

Como se estudió en el capítulo anterior, se denomina sensibilidad a la medida dela cantidad por la cual la función de transferencia de un sistema difiere del valoresperado cuando uno de sus parámetros difiere del valor escogido.

La sensibilidad de una función A(s), con respecto a λ, siendo λ una variable,está dada por:

SA(s)λ =

d(lnA(s))

d(lnλ)=

dA(s)/A(s)

dλ/λ(6.3.1)

SA(s)λ =

dA(s)

dλ· λ

A(s)(6.3.2)

Esta expresión es la razón del cambio relativo de la función de transferencia A(s),al cambio relativo del elemento η de la red que ocasiona el cambio en A(s).

6.3. REALIMENTACIÓN NEGATIVA. EFECTOS 145

Aplicando la ecuación (6.3.2) a la expresión (6.2.5) se obtiene:

dA

dA0=

1 +BA0 −A0B

(1 +BA0)2=

1

(1 +BA0)2

SA(s)A0

=dA

dA0· A0A=

1

(1 +BA0)2· A0

A01+BA0

de donde,

SA(s)A0

=1

1 +BA0=

1

1 + T (s)(6.3.3)

La expresión (6.3.3) indica que el sistema realimentado reduce su sensibilidaden un factor exactamente igual a la diferencia de retorno. Esto significa, como sedijo antes, que será menos afectado por las alteraciones internas de la red. A estefenómeno también se le conoce como desensibilidad.

6.3.2 Ruido

Una de las limitaciones en el funcionamiento de los amplificadores es la presenciade señales parásitas, conocidas como señales de ruido, generadas internamente en elsistema —ruido térmico o zumbido de la fuente de alimentación— o externamente a él —ruido industrial, ruido blanco, etc—. En algunos casos se puede usar la realimentaciónnegativa para disminuir el efecto de estas señales parásitas, aunque en otros noproporciona ninguna mejora.

Σ A

B

x xx

x

i ia o

b

o+

_

xn

Σ A xio

xn

xo

( )a ( )b

Figura 6.2: Efecto del ruido presente a la entrada de un sistema.

Se define la relación señal a ruido como el valor medido de la señal con respectoal ruido presente en el sistema, es decir,µ

S

N

¶.=

S

N(6.3.4)


Generalmente se mide en decibeles, [dB] o sea:µS

N

¶dB

= 20logS

N(6.3.5)

Para un sistema en lazo abierto, ver Fig. 6.2(a), la relación señal a ruido puedeobtenerse aplicando el teorema de superposición para la señal de salida, es decir:

x0 = A0xi|xn=0 +A0xn|xi=0 (6.3.6)

De esta ecuación, y empleando la definición (6.3.4):µS

N

¶=

xixn

(6.3.7)

Para el caso del sistema realimentado, Fig. 6.2(b), se obtiene:

x0 =A0

1 +BA0xi +

A01 +BA0

xn (6.3.8)

Claramente se observa que la relación señal a ruido tendrá el mismo valor que parael caso anterior, es decir, µ

S

N

¶=

xixn

(6.3.9)

Esto significa que en general la realimentación no puede mejorar la relación señal aruido de un sistema si la señal parásita penetra por la entrada del mismo.

Σ A

B

xi1 A 2Σ

xn

xo+

Figura 6.3: Efecto del ruido en el punto interno de un sistema.

Si la señal parásita se introduce por algún punto que no sea la entrada, el efectode la realimentación es bien diferente. Considérese la red realimentada de la Fig. 6.3,en la cual se ha considerado que la ganancia total está dada por el producto A1 ·A2.


Se supone que A2 tiene asociada una señal parásita xη, mientras que el A1 se suponeexcento de ruido.

Aplicando de nuevo el teorema de superposición se encuentra que el valor de laseñal de salida es:

x0 =A1A2

1 +BA1A2xi +

A21 +BA1A2

(6.3.10)

De la ecuación (6.3.10) se obtiene la relación señal a ruido:µS

N

¶= A1

xixn

(6.3.11)

En la ecuación (6.3.11) se observa que la relación señal a ruido es mejor enun factor A1 que la que se obtuvo antes. Esto significa que cuando el ruido estápresente en el interior del sistema, al aplicar realimentación negativa, su efecto esatenuado, es decir la relación señal a ruido se incrementa. En general para sistemasde varias etapas se pueden presentar diversos tipos de perturbaciones. En la Fig. 6.4se representa un sistema con estas características. La perturbación xn1 entra alsistema por el mismo punto de entrada de la señal y podría representar el ruidoasociado con la etapa de entrada de un amplificador.

Σ A

B

xi1

xn1

A 2Σ Σ

xn2 xn3

xo+

_+ +

Figura 6.4: Sistema con varias perturbaciones.

La perturbación xn2 entra al sistema por un punto intermedio, y podría re-presentar un disturbio producido por un filtrado pobre del voltaje de alimentación,probablemente en la etapa de potencia. La perturbación xn3 entra por la salida delsistema y podría representar cambios en las características de la carga. Utilizandoel método de análisis empleado antes se llega a la siguiente expresión para la señalde salida:

x0 =A1A2

1 +BA1A2(xi + xn1) +

A21 +BA1A2

xn2 +1

1 +BA1A2xn3 (6.3.12)


o lo que es lo mismo:

x0 =A1A2

1 +BA1A2

∙(xi + xn1) +

xn2A1

+xn3A1A2

¸(6.3.13)

En la ecuación (6.3.13) se observa que la perturbación xn1 no se atenúa con relacióna la señal de entrada. Las perturbaciones que entran al sistema (amplificador) enotros puntos son atenuadas con relación a la señal de entrada por un valor iguala la ganancia de lazo abierto obtenida desde la entrada hasta los puntos donde seaplica la perturbación. Los resultados sobre el ruido o perturbaciones en la salida

A

B

A

v

-

+

o

v

T1

47uF+

-7/7V

60 Hz

-70m/70mV

1kHz

1N4001

S1

-5V

5V

-5V

Q2ECG187

+

Q1ECG186

6.8k

10k

560

10k

15k

100k

RL

Figura 6.5: Esquema del circuito que permite identificar los efectos de la reali-mentación sobre las perturbaciones producidas por una fuente de alimentación malcondicionada

vistos antes, se pueden comprobar observando las formas de onda del amplificador deaudiofrecuencia mostrado en la Fig. 6.5. En este circuito se ha conectado como redde polarización positiva de la etapa de potencia, un circuito rectificador con un filtrode bajas prestaciones, cuya respuesta se muestra en la Fig. 6.6B, donde se puede verel valor elevado de rizo que posee la fuente. Este rizo corresponde al ruido presenteen la etapa de salida del amplificador (etapa de potencia). Cuando el conmutador dela Fig. 6.5 está en la posición A, es decir, no hay realimentación global, la señal deruido presente en la salida se suma a la señal de excitación modulándola en amplitud.Esto se puede ver claramente en la Fig.6.6C, donde se observa que la señal de salidacontiene también la señal de ruido generada por la fuente de alimentación.

Al aplicar la realimentación, es decir, al cambiar el conmutador a la posición B,la señal de ruido es transferida a la entrada del amplificador operacional, predis-torsionando la señal de excitación. Esto se aprecia en la Fig. 6.7B. Puesto que el


0.000ms 10.00ms 20.00ms 30.00ms 40.00ms 50.00msA: s1_1 750.0mV

-750.0mVB: c2_1 7.000 V

-1.000 VC: s1_3 0.500 V

-1.000 V

Figura 6.6: Amplificador no realimentado. A: Señal en vA. B: Forma de onda en lasalida del rectificador de la Fig. 6.5. C: Modulación en la forma de onda de la señalde salida producida por mala filtración en la fuente de alimentación.

0.000ms 10.00ms 20.00ms 30.00ms 40.00ms 50.00msA: c2_1 8.000 V

0.000 VB: s1_2 4.000 V

-4.000 VC: s1_1 750.0mV

-750.0mV

Figura 6.7: Amplificador realimentado. A: Forma de onda de la señal de la fuentede polarización positiva. B: Señal predistorsinada en vA. C: Señal de salida delamplificador con realimentación.

amplificador de salida aún suma las señales del sistema, realizará el proceso corres-pondiente, compensando la deformación y entregando la forma de onda de salidaque se muestra en la Fig. 6.7C. Nótese que se ha eliminado casi completamente elruido presente en el amplificador de salida. En conclusión, se puede utilizar reali-mentación negativa para reducir señales parásitas en un amplificador. Para ello, serequiere construir el sistema en dos etapas una de las cuales tenga alta gananciay una buena relación señal a ruido. En la práctica suele ser más fácil reducir almínimo las señales parásitas en las etapas amplificadoras, en las cuales no importetener ganancias de potencia ni niveles elevados en la potencia de salida.


6.3.3 Distorsión

Se dice que un sistema es lineal si cumple los siguientes requisitos:

x0 = K|xi|∠ωt+ ϕ (6.3.14)

conxi = |xi|∠ωt (6.3.15)

También debe cumplir el principio de superposición, es decir, si

• una entrada x1 produce una salida x01,

• una entrada x2 produce una salida x02, entonces

• una entrada c1x1 + c2x2 producirá una salida c1x01 + c2x02, para todos lospares de entradas x1 y x2 y todos los pares de constantes c1 y c2.

La ecuación (6.3.15) es una representación polar que expresa la variable de salidacomo función de una constante K, llamada la función de transferencia, la señal deentrada xi y un ángulo de desfase ϕ.

Si x0 posee otras componentes entonces se dice que el sistema es no lineal o quetiene cierta distorsión D. Suponiendo ϕ = 0, la ecuación (6.3.15) en el caso dedistorsión puede escribirse:

x0 = Kxi +D (6.3.16)

Realmente no existe ningún sistema lineal perfecto, es decir, con D = 0, general-mente a causa de la no linealidad de los componentes activos, v.gr.: los transistores,existirán en mayor o menor cantidad señales que causarán distorsión en la forma deonda de la señal de salida. Si se hace el desarrollo de Fourier, se observará que lasseñales de distorsión son componentes armónicas de la señal aplicada.

Para observar el efecto de la realimentación sobre la distorsión, supóngase unsistema con ganancia en lazo abierto A0, al cual se le aplica una cierta realimentaciónB. La expresión (6.3.16) quedará:

x0 = A0xia +D = A0(xi −Bx0) +D (6.3.17)

donde xia es la señal de error a la entrada de A0 —ver Fig. 6.1—. Reagrupandotérminos se obtiene:

x0(1 +BA0) = A0xi +D

x0 =A0

1 +BA0xi +

D

1 +BA0(6.3.18)


+

-Vi

Vo

Q1ECG186

Q2ECG187

-5V

5V

RL

Figura 6.8: Amplificador de po-tencia clase B no lineal.

El primer término de la derecha de laecuación (6.3.18) representa la señal de salida,reducida a causa de la realimentación negativa,en el factor 1+BA0. Aunque el término de dis-torsión también se divide por el mismo factor yaparentemente no se está logrando ventaja al-guna, es posible incrementar el valor de la señalxi aumentando la amplificación, con lo cual ladistorsión puede hacerse comparativamente pe-queña.

Como un ejemplo de aplicación práctica seanalizará el circuito de potencia clase B que semuestra en la Fig. 6.8. Obsérvese que, puestoque el funcionamiento en clase B es polarizado

por la señal de entrada, si vi = 0, los dos transistores estarán en corte, debido a queno hay polarización directa en las uniones base—emisor de ambos transistores.

-2 -1.33 -667m 44.7n 667m 1.33 2-1.5

-1

-500m

0

500m

1

1.5

Xa: 4.444m Xb: 222e-18Yc: 1.500 Yd:-1.500

a-b: 4.444mc-d: 3.000

frec: 225.0

Ref=Tierra X=667m/Div Y=voltaje

d

cba

A

Figura 6.9: Característica de trans-ferencia del amplificador de potenciaclase B.

Ningún transistor conducirá hasta tantono se sobrepase la tensión de umbral que parael caso de los transistores de silicio es de Vγ =±0.6V . Con los dos transistores en corte latensión de salida vo = 0. Al incrementarsevi por encima de 0.6V , el transistor npn, Q1,empieza a conducir y suministra corriente ala carga RL. En este caso, la tensión de salidaserá

vo = vi − V γ = vi − 0.6V para vi > 0.6V(6.3.19)

Si vi < −0.6V, el transistor npn no conduce,y el transistor pnp (Q2) se encuentra en laregión activa. Entonces se tiene

vo = vi + V γ = vi + 0.6V para vi < −0.6V (6.3.20)

La característica de transmisión se muestra en la Fig. 6.9. Nótese la no linealidaden la región alrededor de vi = 0. Esta no linealidad se conoce como distorsión decruce por cero. Obsérvese también que la ganancia de tensión, que es la pendientede la característica de transferencia, es aproximadamente igual a la unidad. En laFig. 6.10 se puede observar la respuesta en el tiempo, donde se ve claramente ladistorsión de cruce por cero.


0 3.33m 6.67m 10m 13.3m 16.7m 20m-1.5

-1

-500m

0

500m

1

1.5

Xa: 4.444m Xb: 222e-18Yc: 1.500 Yd:-1.500

a-b: 4.444mc-d: 3.000

frec: 225.0

Ref=Tierra X=3.33m/Div Y=voltaje

d

cb a

A

Figura 6.10: Tensión de salida de un amplificador clase B mostrando la distorsiónde cruce por cero inherente al sistema.

Si se aplica realimentación negativa al sistema la situación cambia apreciable-mente. En la Fig. 6.11 se ha conectado un amplificador seguidor de tensión comopreamplificador.

-

+A

o

v

v

B

A

5V

-2/2V

200 Hz

S1

-5V

5V

-5V

Q2ECG187

+

Q1ECG186

RL

Figura 6.11: Circuito con realimentación negativa que permite eliminar la distorsiónde cruce por cero.

Si el conmutador está en la posición A, la forma de onda de la tensión de salidaserá la mostrada en la Fig. 6.10, es decir, no se observa ningún efecto, pues no hayrealimentación global (hay una realimentación local en el amplificador operacional,la cual hace que su funcionamiento sea el de un seguidor de tensión). Al cambiar elconmutador a la posición B, se aplica una realimentación global desde la salida delsistema hasta la entrada del amplificador operacional. La distorsión de salida, tanclaramente visible en la Fig. 6.10, ha desaparecido casi totalmente en la Fig. 6.12.Para producir esta forma de onda casi sinusoidal ha sido necesario un cambio muyfuerte en la tensión de entrada. Puesto que el amplificador de salida en clase B aún


0.000ms 5.000ms 10.00ms 15.00ms 20.00ms

3.000 V

2.000 V

1.000 V

0.000 V

-1.000 V

-2.000 V

-3.000 V

A: s1_2B: s1_1

Figura 6.12: Efectos de la realimentación: La curva A muestra la señal predistor-sionada en vA, mientras que la curva B muestra la forma de onda en la salida, unavez que se ha aplicado la realimentación.

mantiene su alinealidad, ha sido necesario predistorsionar la onda de entrada vA.Al sumar la forma de onda predistorsionada de la entrada con la señal distosionadapor efecto del cruce por cero, el efecto final es que se compensan estas dos señales,dando como resultado la señal sin distorsión que se aprecia en la Fig. 6.12. Nótese

Figura 6.13: Salida del circuito realimentado, tomado con escopómetro.

también que la magnitud de la señal de salida se mantiene invariante, en este caso,con relación a la señal de entrada. En la Fig.6.13 se puede apreciar el resultadoobtenido en el laboratorio para estudiar el efecto de la realimentación, usando unared como la de la Fig. 6.11 y un escopómetro como instrumento de medición.


6.3.4 Estabilidad

Un sistema estable se define como aquel que produce una salida acotada en respuestaa cualquier entrada acotada. Así, la estabilidad implica queZ ∞

−∞|x0(t)|dt ≤M <∞ (6.3.21)

para cualquier entrada tal queZ ∞

−∞|xi(t)|dt ≤ N <∞ (6.3.22)

Es decir, para una entrada finita debe tenerse una salida también finita. Parasistemas lineales, la estabilidad es independiente de la señal de entrada, y la condi-ción necesaria y suficiente para estabilidad es que todos los polos de la función detransferencia del sistema caigan en el semiplano izquierdo de s. Obsérvese que estadefinición implica que un sistema con polos en el eje imaginario es inestable. Lalocalización de los polos de un sistema en el plano s indica la respuesta transitoriaresultante. Los polos en la parte izquierda del plano s dan como resultado unarespuesta decreciente en el tiempo —esto como consecuencia de la ecuación (6.3.21)para una señal aplicada. Similarmente, los polos en el eje jω y en el semiplano de laderecha dan como resultado una respuesta neutral y una creciente, respectivamente,para una señal aplicada. Las amplitudes de la señal crecen exponencialmente hastaque alguna no linealidad limita el crecimiento, en un tiempo en el cual el sistema sesatura u oscila con una amplitud constante, llamada ciclo límite.

Para el caso de un amplificador, este puede presentar estabilidad en un rangode frecuencias medias; sin embargo a causa del desplazamiento de fase, el sistemapuede oscilar a frecuencias bajas o altas.

A frecuencias bajas, las condiciones de acoplo y desacoplo y los transformadoresreducen la ganancia y producen desplazamiento de fase. A frecuencias altas, las ca-pacitancias parásitas de los elementos activos y otros componentes, también reducenla ganancia y producen desplazamiento de fase.

Para un sistema realimentado la ecuación (6.2.5) representa la función de trans-ferencia. De esta expresión se obtiene la ecuación característica haciendo el deno-minador igual a cero. Es decir,

1 +B(s)A0(s) = 0

o

T (s) = B(s)A0(s) = −1 (6.3.23)


Como B(s)A0(s) es una expresión compleja, se puede separar la ecuación (6.3.23)en dos, tomando magnitudes y ángulos en ambos miembros. De esto se obtiene:

|B(s)A0(s)| = 1 (6.3.24)

φ = ∠B(s)A0(s) = ±π(2k + 1), k = 0, 1, 2... (6.3.25)

Las dos ecuaciones anteriores representan las condiciones de magnitud y ángulorespectivamente, derivadas de la ecuación característica. Ahora bien, los valores des que cumplen las condiciones de magnitud y ángulo, son las raíces de la ecuacióncaracterística o polos de lazo cerrado.

A partir de la ecuación (6.3.23), H. Nyquist desarrolló un método que lleva sunombre (criterio de Nyquist), el cual permite conocer la estabilidad de un sistemaen respuesta a la frecuencia de la señal aplicada y en estado estacionario. Coneste criterio se puede determinar gráficamente, de las curvas de respuesta de lazoabierto T (s), la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad dedeterminar los polos de lazo cerrado. Se supone que la función de transferenciade lazo abierto T (s), se puede representar como una relación de polinomios en s.Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio del denominador dela función de transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomiodel numerador, es decir,

A(s) =p(s)

q(s)= A0p

(s+ z1)(s+ z2) · · · (s+ zn)

(s+ p1)(s+ p2) · · · (s+ pm)(6.3.26)

donde n ≤ m y los zi y pj representan ceros y polos respectivamente. De la ecuación(6.3.26) se deduce que el límite de T (s) es cero o una constante para cualquiersistema físicamente construible, al tender s hacia infinito.

En general el criterio de Nyquist puede plantearse como sigue:

Enunciado 1 Un sistema (amplificador) realimentado será estable si el módulo deT (jω) es menor que la unidad cuando el argumento de T (jω) es ±π, (ver ecuaciones(6.3.24) y (6.3.25)).

Dicho en otros términos,

Enunciado 2 El sistema es estable si la gráfica de T (jω) no encierra al punto(−1, j0).

6.3.5 Estabilidad interna1

Las señales entre los bloques que constituyen un sistema electrónico están sujetas a(posiblemente muy pequeños) errores. En la práctica, no se puede tolerar que estos

1Puede omitirse sin pérdida de continuidad.


errores, así sean pequeños, conduzcan a señales no acotadas, en alguna otra posicióndentro del sistema. Esto motiva la siguiente

c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+ c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+ c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+ c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+ c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+ c s( ) g s( )r u

u' d

y

n

e++ +

+

+

Figura 6.14: Sistema retroalimentado con varias perturbaciones.

Definición 1 Un sistema electrónico es estable internamente si para señales aco-tadas inyectadas en cualquier punto del sistema, se generan respuestas acotadas encualquier otro punto del mismo.

Definición 2 Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable internamente silas funciones de transferencia entre cualquier par de puntos del sistema son estables,es decir, tienen todos los polos en el semiplano abierto izquierdo (SPI).

En un sistema eletrónico se pueden seleccionar muchos puntos para inyección yobservación de una señal, pero la mayoría de las escogencias son equivalentes a unchequeo de la estabilidad interna. Por ejemplo, para el sistema de la Fig. 6.14, yy e difieren solamente por una señal acotada (r) y su observación revela la mismainformación acerca de la estabilidad interna. También, desde el punto de vista deestabilidad interna, el efecto de d y r sobre u es equivalente. Argumentos simples deeste tipo revelan que solamente hay dos salidas “independientes”, las cuales puedenescogerse como y y u y dos entradas “independientes”, las cuales pueden escogersecomo r y u0. Así, el sistema de realimentación clásico es estable si y solo si (ssi) todoslos elementos de la matriz 2× 2 del sistema tienen todos sus polos en el semiplanoizquierdo. ∙

yu

¸=

"gc1+gc

g1+gc

c1+gc

−gc1+gc

# ∙ru0

¸(6.3.27)

Debe notarse que el concepto de estabilidad interna es más completo que el usualde examinar las raíces de la ecuación característica 1 + gc = 0.


Ejemplo 22 Considérese el sistema dado por

g(s) =1

−s+ 1 , c(s) =−s+ 1s+ 1

Determinar su estabilidad.

Solución:La ecuación característica

1 + gc = 1 +1

s+ 1= 0

tiene una única raíz en s = −2, lo cual indicaría estabilidad. Por otra parte, lamatriz de transferencia en la ecuación 6.3.27 evaluada para este ejemplo:∙

yu

¸=

"1

s+2s+1

(−s+1)(s+2)−s+1s+2

−1s+2

# ∙ru0

¸muestra que cualquier entrada acotada u0 conduce a una salida y no acotada. Así,el sistema no es estable internamente. Nótese que el cero del SPD en el controladorcancela exactamente el polo del SPD de la planta g(s), cuando se forma la ecuacióncaracterística.

El concepto de estabilidad interna clarifica el hecho de que aún una cancelaciónexacta no es suficiente para garantizar la estabilidad del sistema. Si tanto g(s) comoc(s) son estables entonces los polos inestables en la ecuación (6.3.27) solamentepueden surgir de (1 + gc)−1. En este caso especial, para estabilidad interna, esnecesario y suficiente que todas las raíces de la ecuación característica 1 + gc = 0estén en el SPI abierto.

6.3.6 Sensibilidad y sensibilidad complementaria

Las relaciones más importantes entre las entradas y las salidas de la Fig. 6.14 son:

ε

r − d=

1

1 + gc(s)∆= (s) (6.3.28)

y

r − n=

gc(s)

1 + gc(s)∆= η(s) (6.3.29)

donde se define el error ε como ε = r − yLa función de sensibilidad (s) relaciona las entradas externas r(s)−d(s) al error

ε(s). También expresa el efecto de la perturbación d sobre la salida y. Es deseablehacer (s) tan pequeña como sea posible. Si gc es estríctamente propia, entonces

lims→+∞

gc = 0 (6.3.30)


Esto implica que

limω→∞

| (jω)| = limω→∞

¯1

1 + gc(jω)

¯= 1 (6.3.31)

Así, | | puede hacerse pequeña solamente sobre un rango finito de frecuencias. Laslimitaciones físicas no permiten “control perfecto” ( = 0). La frecuencia ωB a lacual | | excede 1/

√2 se denomina ancho de banda del sistema.

| (ω)| < 1/√2 ∀ω < ωB (6.3.32)

El ancho de banda ωB puede servir como una simple medida de comportamiento enlazo cerrado. La función de sensibilidad complementaria η(s) deriva su nombre dela igualdad

(s) + η(s) = 1 (6.3.33)

La sensibilidad complementaria η(s) relaciona la referencia r a la salida y. Desdeeste punto de vista, η(s) deberá hacerse tan cercana a la unidad como sea posible.Sin embargo,

limω→∞

|η(jω)| = limω→∞

¯gc(jω)

1 + gc(jω)

¯= 0 (6.3.34)

Así, |η| puede hacerse igual a la unidad solo en un rango finito de frecuencias. Lasensibilidad complementaria η(s) también expresa el efecto de medir el ruido n sobrey. Desde este punto de vista, η(s) deberá hacerse pequeña.

Esto ilustra uno de los compromisos básicos en el diseño de sistemas de reali-mentación: buen rastreo del punto objetivo y rechazo a perturbaciones ( ≈ 0, η ≈ 1)debe pesarse contra supresión del ruido medido ( ≈ 1, η ≈ 0).

6.3.7 Ancho de banda

Para el amplificador de la Fig. 6.1 supóngase frecuencias de corte bajo y alto fL yfH respectivamente. Además, por simplicidad asúmase un sistema con un solo polo.De las anteriores consideraciones se encuentra para alta frecuencia

A0(s) =A0

(1 + s/s1)=

A0(1 + s/ω1)

=A0

(1 + jf/fH)(6.3.35)

con s = jω, A0 ganancia a frecuencias medias y ω = 2πf .La ecuación 6.3.35 puede reemplazarse en la expresión 6.2.5 obteniéndose:

A(s) =A0(s)

1 +B(s)A0(s)=

A0(s)

(1 + s/s1)· 1

1 +B(s) A01+s/s1

o sea:

A(s) =A0

1 + s/s1 +B(s)A0=

A01 +B(s)A0 + jf/fH


Sacando 1 +B(s)A0 como factor común se llega a:

A(s) =A0

1 +B(s)A0· 1

1 + j ffH(1+B(s)A0)

(6.3.36)

Obsérvese que el primer factor del lado derecho corresponde a la función detransferencia de lazo cerrado a frecuencias medias. El polo a alta frecuencia quedatransladado a la posición:

fHf = fH(1 +B(s)A0) (6.3.37)

Si se toma B invariante para la frecuencia la expresión anterior se reduce a

fHf = fH(1 +BA0) (6.3.38)

Es decir, la frecuencia de corte alto con realimentación, es igual a la frecuencia decorte fH multiplicada por la diferencia de retorno.

A j( )ω

Log f ( )

A

f

o

p

Lf L H Hf

A

o

pA

A

f f f

2

2

Figura 6.15: Respuesta en frecuencia de un sistema realimentado.

Para el caso de frecuencias bajas y haciendo las mismas consideraciones anterio-res, se obtiene para la función de transferencia directa:

A0(s) =A0s

s+ sL=

A01 + sl/s

=A0

1− jfL/f(6.3.39)

Reemplazando, de la misma forma que antes, la ecuación (6.3.39) en la ecuación(6.2.5) se obtiene:

A(s) =A0

1− jfL/f· 1

1 +B(s) A01−jfL/f


o sea,

A(s) = A0 ·1

1− jfL/f +B(s)A0

sacando 1 +B(s)A0 como factor común,

A(s) =A0

1 +B(s)A0· 1

1− j fLf(1+B(s)A0)

(6.3.40)

Donde como antes, el primer factor de la derecha representa la función de trans-ferencia en lazo cerrado para frecuencias medias. Del segundo factor se obtiene:

fLf =fL

1 +B(s)A0(6.3.41)

Es decir, la frecuencia de corte bajo queda disminuida en un valor igual a la dife-rencia de retorno. En la Fig. 6.15 se muestra la respuesta en frecuencia para unamplificador sin y con realimentación. Obsérvese que mientras la ganancia dismi-nuye, el ancho de banda se incrementa. Las ordenadas A0/

√2 y Ap/

√2, representan

ganancias a potencia mitad del amplificador sin realimentación y con realimentaciónrespectivamente. Para el caso de un amplificador de banda ancha fH À fL, por lotanto el ancho de banda

Bω = fH − fL ≈ fH (6.3.42)

El producto ganancia—anchura de banda se define por

BW.= A ·Bω (6.3.43)

En el caso del amplificador sin realimentación se obtiene:

BW = A0(fH − fL)

con la ecuación (6.3.42) se llega a

BW ≈ A0fH (6.3.44)

y para el caso del amplificador con realimentación

BW ≈ A · fHf =A0

1 +B(s)A0· fH(1 +B(s)A0)

BW ≈ A0fH (6.3.45)

De donde se deduce que el producto gananacia—anchura de banda es invariantea los efectos de la realimentación.

6.4. CONEXIONES GENERALES DE REALIMENTACIÓN 161

6.4 Conexiones generales de realimentación

En circuitos con realimentación, es importante considerar la forma como la señalse muestrea en la salida y la forma como se compara en la entrada. Se estudia-rán las técnicas de muestreo y comparación así como sus efectos en la gananciay en las impedancias de entrada y salida. Los resultados se aplicarán a casos derealimentación negativa; si la realimentación es positiva los efectos son opuestos.

Existen cuatro topologías de conexión de circuitos realimentados. Hay dos varia-bles —corriente y tensión— que pueden combinarse a la entrada y a la salida, lo cualestablece esas cuatro posibilidades. Se emplearán las técnicas de análisis para redesde dos puertos vistas en la sección anterior y en el Capítulo 2.

Es conveniente aclarar aquí, que una fuente de voltaje constante o una fuentecuya resistencia sea muy pequeña comparada con la resistencia interna del ampli-ficador es más efectiva para la realimentación en serie (voltaje serie), mientras queuna fuente de corriente constante o, una fuente cuya resistencia es relativamentealta comparada con la resistencia interna del amplificador, será más efectiva para larealimentación en paralelo (corriente paralelo).

6.4.1 Realimentación serie—serie

En esta conexión se hace muestreo de corriente a la salida y se compara en forma devoltaje. En la Fig. 6.16 se indica la red serie. Obsérvese que la resistencia interna dela fuente es nula; además la resistencia de entrada del amplificador A se considerafinita con valor Ri.

I

Z = Zi 1Zo

V A

B

1

2a

1b 2b

I I

V

V

V

1a

Zoa

2a

+

_

+

_

+

_

+

_

V v1 = g V v2 = o

I I2 = o

Z Z R1a ia i= =

Figura 6.16: Realimentación serie—serie (muestreo corriente, comparación tensión).

Se darán a continuación algunas relaciones que permiten analizar la red.


Para el amplificador A:Ganancia de tensión,

Ava.=

VoV1a

(6.4.1)

Ganancia de corriente,

Aia.=

IoI1a

(6.4.2)

Ganancia de transimpedancia,

A>a.=

VoI1a

(6.4.3)

Ganancia de transadmitancia,

A⊥a.=

IoV1a

(6.4.4)

Impedancia de entrada en lazo abierto,

Ri = Z1a.=

V1aI1a

(6.4.5)

Impedancia de salida,

Ro = Zoa.=

V2aI2a

(6.4.6)

Para el circuito de realimentación B|:

B|.=

V1bIo

(6.4.7)

Ganancia de tensión,

Av =VoV1=

VoV1a + V1b

=VoV1a

1 + V1bV1a

· IoIoAv =

Ava

1 +B|A⊥a(6.4.8)

La ganancia de tensión se reduce en un factor igual a la diferencia de retorno.Ganancia de corriente,

Ai =IoI1=

IoI1a

= Aia (6.4.9)

La ganancia de corriente no varía.Ganancia de transimpedancia,

A> =VoI1=

VoI1a

= A>a (6.4.10)


Tampoco se altera la ganancia de transimpedancia.Ganancia de transadmitancia,

A⊥ =IoV1=

IoV1a + V1b

=IoV1a

1 + V1bV1a

A⊥ =A⊥a

1 +B|A⊥a(6.4.11)

Impedancia de entrada:

Zif =V1I1=

V1a + V1bI1a

=V1aI1a

µ1 +

V1bV1a

¶=

V1aI1a

µ1 +

V1bIo· IoV1a

¶(6.4.12)

o sea,Zif = Ri(1 +B|A⊥a) (6.4.13)

Por lo tanto, para la red comparación serie, la impedancia de entrada en lazo cerrado,es la impedancia de entrada en lazo abierto multiplicada por la diferencia de retorno,1 +BA.Impedancia de salida:

Zof =V2I2=

V2a + V2bI2a

=V2aI2a

µ1 +

V2bV2a

¶Zof = Zoa(1 +B|A⊥a) (6.4.14)

Se presenta la misma situación que para la impedancia de entrada. Se puede concluirentonces, que para la red serie, las impedancias de entrada y salida se multiplicanpor la diferencia de retorno.

6.4.2 Realimentación en paralelo—paralelo

En este tipo de red se muestrea voltaje en la salida y se compara en forma decorriente. En la Fig. 6.17, se muestra la conexión en paralelo. Nótese que la redse alimenta con una fuente de corriente la cual, para mayor sencillez, se asume quetiene resistencia interna infinita.

Las relaciones de impedancias y ganancias están definidas en las ecuaciones(6.4.5) a (6.4.7). A partir de dichas definiciones se pueden encontrar las relacionesrespectivas para la red realimentada:

Para este caso se define

B⊥.=

I1bVo

(6.4.15)


+_

+_ _

_+

+

A

B

+

_

I =I2 o

V1a V2a

V2bV1b

I i1 g=

Z =Zi 1 Z =Z =R1a ia i ZoaZo

V v2 = o

Figura 6.17: Realimentación paralelo—paralelo (muestreo tensión, comparación co-rriente).

y se obtienen las siguientes relaciones:Ganancia de voltaje,

Av =VoV1=

VoV1a

= Ava (6.4.16)

Esta relación no varía, es igual tanto en lazo abierto como en lazo cerrado.Ganancia de corriente,

Ai =IoI1=

IoI1a + I1b

=IoI1a

· 1

1 + I1bI1a· VoVo

=IoI1a

· 1

1 + I1bVo· VoI1a

Ai =Aia

1 +B⊥A|a(6.4.17)

Donde, como se indica más arriba, Aia representa la ganancia de corriente en lazoabierto. La ganancia de corriente en lazo cerrado se decrementa en un factor iguala la diferencia de retorno.Ganancia de transimpedancia,

A> =VoI1=

VoI1a + I1b

=VoI1a

· 1

1 + I1bI1a

A> =A>a

1 +B⊥A|a(6.4.18)


A⊥ =IoV1=

IoV1a

= A⊥a (6.4.19)


No se altera la ganancia de transadmitancia.Impedancia de entrada,

Zif =V1I1=

v1aI1a + I1b

=V1a/I1a

1 + I1bI1a

=V1a/I1a

1 + I1bVo· VoI1a

Zif =Ri

1 +B⊥A|a(6.4.20)

donde Aia representa la ganancia de corriente en lazo abierto del amplificador.Impedancia de salida,

Zof =VoIo=

VoI2a + I2b

=Vo/I2a

1 + I2bI2a

Zof =R0

1 +B⊥A|a(6.4.21)

En este caso, tanto la impedancia de entrada como la de salida, están divididas entrela diferencia de retorno. En general, cuando la conexión es serie la impedancia semultiplica por la diferencia de retorno, cuando es paralela se divide entre la mismarelación,

Obsérvese el comportamiento similar de las ganancias de voltaje y transadmi-tancia y corriente y transimpedancia respectivamente.

También hay dualidad en el comportamiento de la realimentación serie y paralelo:lo que se aplica a la ganancia de voltaje y de transadmitancia en un caso, se aplicaa la ganancia de corriente y de transimpedancia en el otro.

6.4.3 Realimentación en serie—paralelo

En este tipo de red se muestrea voltaje en la salida y se compara en forma de tensión.En la Fig. 6.18, se muestra la conexión serie—paralelo. Nótese que la red se alimentacon una fuente de voltaje la cual, para mayor sencillez, se supone con resistenciainterna cero.

En este caso se define

Bv.=

V1bVo

y los parámetros de la red seránGanancia de voltaje,

Av =VoV1=

VoV1a + V1b

=VoV1a

1 + V1bV1a

· VoVoAv =

A

1 +BvAva(6.4.22)


V v1 g=

+_

+_ _

_+

+

A

B

+

_

I =I2 o

V1a V2a

V2bV1b


V v2 = o+_

Figura 6.18: Realimentación serie—paralelo (muestreo tensión, comparación tensión).

La ganancia de voltaje se reduce en un factor igual a la diferencia de retorno.Ganancia de corriente,

Ai =IoI1=

IoI1a

= Aia (6.4.23)

La ganancia de corriente no varía:Ganancia de transimpedancia,

A> =VoI1=

VoI1a

= A>a (6.4.24)

Tampoco se altera la ganancia de transimpedancia.Ganancia de transadmitancia,

A⊥ =IoV1=

IoV1a + V1b

=IoV1a

1 + V1bV1a

A⊥ =A⊥a

1 +BA⊥a(6.4.25)

Impedancia de entrada:

Zif =V1I1=

V1a + V1bI1a

=V1aI1a

µ1 +

V1bV1a

¶=

V1aI1a

µ1 +

V1bVo· VoV1a

¶(6.4.26)

o sea,Zif = Ri(1 +BvAva) (6.4.27)


Como antes, para la red de comparación serie, la impedancia de entrada en lazocerrado, es la impedancia de entrada en lazo abierto multiplicada por la diferenciade retorno, 1 +BvAva.Impedancia de salida:

Zof =VoIo=

VoI2a + I2b

=Vo/I2a

1 + I2bI2a

Zof =Zoa

1 +BvAva(6.4.28)

Por lo tanto, para la red serie—paralelo, la impedancia de entrada se multiplica porla diferencia de retorno, mientras que la impedancia de salida se divide entre ladiferencia de retorno.

6.4.4 Realimentación en paralelo—serie

En este tipo de red se muestrea corriente en la salida y se compara en forma decorriente. En la Fig. 6.19, se muestra la conexión paralelo—serie. Nótese que la redse alimenta con una fuente de corriente la cual, para mayor sencillez, se supone quetiene resistencia interna infinita.

I i1 g=

+_

+_ _

_+

+

A

B

+

_

I =I2 o

V1a V2a

V2bV1b


V v2 = o

Figura 6.19: Realimentación paralelo—serie (muestreo corriente, comparación co-rriente).

Para este caso se define

Bi.=

I1bIo

los demás parámetros se obtienen como antes:


Ganancia de voltaje,

Av =VoV1=

VoV1a

= Ava (6.4.29)

Esta relación no varía; es igual tanto en lazo abierto como en lazo cerrado.Ganancia de corriente,

Ai =IoI1=

IoI1a + I1b

=IoI1a

· 1

1 + I1bI1a

=IoI1a

· 1

1 + I1bIo· IoI1a

Ai =Aia

1 +BiAia(6.4.30)

Donde Aia representa la ganancia de corriente en lazo abierto. La ganancia decorriente en lazo cerrado se decrementa en un factor igual a la diferencia de retorno.Ganancia de transimpedancia,

A> =VoI1=

VoI1a + I1b

=VoI1a

· 1

1 + I1bI1a

A> =A>a

1 +BiAia(6.4.31)


A⊥ =IoV1=

IoV1a

= A⊥a (6.4.32)

No se altera la ganancia de transadmitancia.Impedancia de entrada,

Zif =V1I1=

v1aI1a + I1b

=V1a/I1a

1 + I1bI1a

=V1a/I1a

1 + I1bIo· IoI1a

Zif =Ri

1 +BiAia(6.4.33)

donde Aia representa la ganancia de corriente en lazo abierto del amplificador.Impedancia de salida:

Zof =VoIo=

VoI2a + I2b

=Vo/I2a

1 + I2bI2a

Zof =Zoa

1 +BiAia(6.4.34)

Por lo tanto, para la red paralelo—serie, la impedancia de entrada se divide entrela diferencia de retorno, mientras que la impedancia de salida se multiplica por ladiferencia de retorno.

6.5. CONFIGURACIONES PRÁCTICAS 169

Nótese que según como se realimente la señal en la entrada, afectará a la re-sistencia de entrada y a la amplificación. La manera como se obtenga la señal en lasalida afectará la resistencia de salida.

Cuando la señal realimentada se toma en paralelo de la salida, Vo estará si-multáneamente en RL y en la entrada de la red de realimentación. En la red serie—paralelo, esto significa que V1b = Vβ es proporcional a Vo. Por ejemplo, supóngaseque Vo intenta elevarse. La magnitud de Vβ también se eleva, reduciendo el voltajede error V = V1a. La reducción de V llevará a Vo a un valor más cercano del ori-ginal. El circuito, por lo tanto, tiende a mantener constante la tensión de salida, locual implica una baja impedancia de salida. Un efecto similar tiene lugar en el casode la realimentación paralelo—paralelo. Aquí, la entrada a la red de realimentacióntambién es V2b = Vo, e Iβ = −I1b es por lo tanto proporcional a Vo. Así, si Votiende a elevarse, Vβ también se eleva, lo cual reduce a I = I1a y V ; Vo será porlo tanto decrementado hacia su valor original. Obsérvese que la baja resistencia desalida es consecuencia de la tendencia del circuito de mantener un voltaje de salidaconstante y no se debe a ninguna carga sobre la salida producida por el circuito derealimentación la cual se supone despreciable en este caso.

Cuando la señal realimentada se toma en serie de la salida, Io fluirá a travésde RL y de la entrada de la red de realimentación. Tanto en el circuito serie—seriecomo en el paralelo—serie la señal realimentada Vβ o Iβ, será proporcional a Io.Esto significa que si Io trata de elevarse, la entrada al amplificador se reduce enconcordancia, retornando Io a su valor original. El circuito trata, por lo tanto, demantener una corriente de salida constante, lo cual implica una impedancia de salidagrande.

6.5 Configuraciones prácticas

En amplificadores realimentados prácticos, la red de realimentación produce cargatanto en la entrada como en la salida del amplificador básico. En tales casos, elcircuito puede analizarse escribiendo las ecuaciones para la red total y resolviendopara encontrar la función de transferencia y las impedancias en los puertos. Nóteseque cada configuración tendrá un modelo y representación circuital directos por locual se debe hecer la construcción adecuada y así facilitar los cálculos.

En general será necesario incluir el efecto de la carga de la red de realimentaciónen el amplificador básico; sin embargo, en el método matricial desarrollado estose hace por inspección directa del circuito construido. Este método se basa enel desarrollo de la representación matricial de las redes de dos puertos y en lasoperaciones que se pueden realizar en las configuraciones correspondientes.


6.5.1 Realimentación serie—serie

Considérese la conexión de realimentación que se muestra en la Fig. 6.20. En estecaso la representación más conveniente para redes de dos puertos es la de parámetrosde impedancia en circuito abierto o parámetros z (ver Capítulo 2). Esto debido a queel amplificador básico y la red de realimentación están conectados en serie, tanto enla entrada como en la salida, por lo cual tienen corrientes idénticas en sus terminales.De la Fig. 6.20, aplicando ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de las dos mallasse obtiene:

+_

+_

+_

+_

+vg

iizg

z11a

io

z22a

z12a oi z i21a i

z11fz22f

z i12f o z21f ii

zL

Amplificador Básico

Red de Alimentación

Figura 6.20: Realimentación serie—serie

∙vg − (z12a + z12f )io−(z21a + z21f )ii

¸=

∙zg + z11a + z11f 0

0 zL + z22a + z22f

¸ ∙iiio

¸o ∙

vg0

¸=

∙zg + z11a + z11f z12a + z12fz21a + z21f zL + z22a + z22f

¸ ∙iiio

¸(6.5.1)

Esta expresión se puede escribir en forma compacta como:∙vg0

¸=

∙zi zβzμ zo

¸ ∙iiio

¸(6.5.2)


donde

zi = zg + z11a + z11f

zβ = z12a + z12f

zμ = z21a + z21f

zo = zL + z22a + z22f

Invirtiendo la ecuación (6.5.2) se llega a:∙iiio

¸=

1

∆z

∙zo −zβ−zμ zi

¸ ∙vg0

¸=

1

∆z

∙zovg−zμvg

¸=

∙ zo∆z

vg− zμ

∆zvg

¸(6.5.3)

donde∆z = zizo − zβzμ (6.5.4)

De la ecuación (6.5.3) se obtiene:

A⊥ =iovg=−zμ∆z

=−zμ

zizo − zβzo=

− zμzizo

1 + zβ(−zμzizo

)=

A⊥a1 + β|A⊥a

(6.5.5)

donde

A⊥a = − zμzizo

(6.5.6)

β| = zβ (6.5.7)

Se denomina amplificador de transadmitancia.Ganancia de tensión,

vo = −zLioAv =

vovs= −zL

iovs= −zL ·A⊥

Av = − A⊥a1 + β|A⊥a

zL


Ai =ioii= −zμ

zo


A> =voii=

iozLii

=ioii· zL

A> = AizL (6.5.8)


Impedancia de entrada,

Zif =vsii=∆z

zo=

zizo − zβzμzo

Zif = zi

∙1 + zβ

µ− zμzizo

¶¸Zif = zi(1 + β|A⊥a) (6.5.9)

Para calcular la impedancia de salida Zo, se anula la fuente de la entrada y seaplica a la salida una fuente vo, de esta conexión se obtiene la expresión∙

0vo

¸=

∙zi zβzμ zo

¸ ∙iiio

¸(6.5.10)

Entonces, procediendo como antes, se llega a:∙iiio

¸=

1

∆z

∙zo −zβ−zμ zi

¸ ∙0vo

¸=

∙ − zβ∆z

vozi∆z

vo

¸(6.5.11)

De aquí se obtiene:

Zof =voio=∆z

zi= zo

∙1 + zβ

µ−zμzizo

¶¸(6.5.12)

Zof = zo(1 + β|A⊥a) (6.5.13)

Nótese que en ambos casos (zi, zo), la impedancia del circuito básico, quedamultiplicada por la diferencia de retorno.

Ejemplo 23 Amplificador con BJT.

La Fig. 6.21 muestra un amplificador de una etapa con una realimentación enemisor. (a) Analizar tipo de realimentación. (b) Encontrar impedancias de entraday salida. (c) Las ganancias correspondientes del circuito.

Solución:(a) Normalmente Re está desacoplada y no hay realimentación a.c. Sin embargo,cuando no hay condensador entonces modifica la tensión base—emisor del transistor.El proceso es así: cualquier alteración en tensión de salida modificará la corriente deemisor. Esta variación alterará la tensión emisor. Puesto que VBE = VB − VE, si seincrementa VE, VBE se decrementará e inversamente. Como un incremento de señalen la salida, se refleja como un decremento en la base—emisor, se trata entonces deuna realimentación negativa y, como se ilustra en la Fig. 6.22(b), de voltaje en serie.


+_

vg

Cb

Rb

Vcc

Rc

CcQ1

Re

vo

RL

( )a

+

_

Zia

V1a

+

_

vg Rb

+

_V1b

hie

A

h ife b hoe

1 +

_

+V2a

I =i1a bi =ic a2

io

voR´ =R ||RL L c

__

+V2b

B

ie Re

Zi

( )b

Figura 6.21: (a) Amplificador con realimentación serie. (b) Equivalente circuital depequeña señal.

+_

Rb

hie h ife b hoe

1 +I =i1a b

i =ic a2

io

voR´ =R ||RL L c

_R he fe( +1)

+_

Rb

hie h ife b hoe

1

I =i1a bi =ic a2

Re

Rc RL

Zo

hfe+1

( )a ( )b

Figura 6.22: (a) Circuito para calcular impedancia de entrada. (b) Circuito paracalcular impedancia de salida.

(b) De la Fig. 6.21(b), se tiene:

V1b = −ieRe

Vo = IoRL = −icRL; ie = ichfc + 1

hfe

Bv.=

V1bVo

=−ieRe

−icR00Lcon R00L = R0Lk

1

hoe

βv =hfe + 1

hfe· Re

R00L(6.5.14)


Si hfe À 1, entonces

βv ≈Re

R00L(6.5.15)

Para encontrar las impedancias de entrada y salida se puede aplicar las técnicasaplicadas en la Capítulo 1.

Obsérvese que Ie = (hfe + 1), I1b = (hfe + 1)I1a, por lo cual, visto desde laentrada, el circuito podrá representarse multiplicando la resistencia del emisor porel factor (hfe + 1). Esta técnica se denomina reflexión de impedancia y es muy útilpara simplificar el análisis. En la Fig. 6.22 se muestran los circuitos para el cálculode impedancias.

La matriz de impedancias se obtiene como antes (ver Sección 2.2), llegándose alos siguientes resultados: £

zija¤=

"hie 0hfehoe

1hoe

#(6.5.16)

£zijb

¤=

∙Re(hfe + 1) Re

Re(hfe + 1) Re

¸(6.5.17)

y £zij

¤=

"hie +Re(hfe + 1) Rehfehoe

+Re(hfe + 1)1hoe

Re

#(6.5.18)

Así,

Zi = z11 = hie +Re(hfe + 1) (6.5.19)

Zo = z22 =1

hoe+Re (6.5.20)

Hasta ahora no se ha tenido en cuenta el valor de Rb y el de Rc. Considerando suefecto, las ecuaciones (6.5.19) y (6.5.20) quedarán:

Zi = Rbk [hie +Re(hfe + 1)] (6.5.21)

Zo = Rc||£h−1oe +Re

¤(6.5.22)

Se puede determinar Zi aplicando (6.4.13). Se debe calcular primero el valor dela ganancia en lazo abierto Avo (ver Fig. 6.23):

Avo =vovi=

voib· ibvi=−hfeR0Lk 1

hoe

hie

Avo = −hfeR00L

hie(6.5.23)


+_Rb hie h ife b hoe

1 +ib

vo_R´L

Figura 6.23: Circuito para calcular ganancia de voltaje en lazo abierto.

El signo (−) se debe al cambio de fase de 180 que provee el circuito emisor común.En la ecuación (6.4.13), ya se ha considerado este cambio. Reemplazando (6.5.14)y (6.5.23) en (6.4.13):

Zi = Ri(1 +BA)

Zi = hie

∙1 +

hfe + 1

hfe· Re

R00L· hfeR

00l

hie

¸Zi = hie + (hfe + 1)Re

Resultado idéntico al obtenido antes, ver ecuaciones (6.5.19) y (6.5.20).(c) Ganancia. Para el cálculo de la ganancia se consideran las ecuaciones (6.4.8)

a (6.4.11):

Ganancia de tensión:

Av =A

1 + β|A⊥a=

−hieR00Lhie

1 +(hfe+1)Re

hie

Av = − hfeR00L

hie + (hfe + 1)Re(6.5.24)

Las ganancias de corriente y transimpedancia no se modifican. La ganancia detransadmitancia se obtiene así:

A⊥ =A⊥a

1 +BA

A⊥a =iovi=

voviRL

=Av

RL= − hfeRc

hie(Rc +RL +RcRLhoe)(6.5.25)

Donde la ecuación (6.5.25) se ha obtenido desarrollando R00L y simplificando. En-tonces,

A⊥ = −hfe

hie + (hfe+1)Re· Rc

Rc +RL +RCRLhoe(6.5.26)


Con lo cual queda finalizado el ejemplo, desarrollado en forma particularmente ex-haustiva, para efectos de tipificar el caso. El amplificador de la Fig. 6.21 se conocecomo amplificador de transadmitancia.

Ejemplo 24 Realimentación serie—serie con un elemento activo (Circuito NFC).

El circuito de la Fig. 6.24, constituye una red lineal con realimentación a travésde un circuito activo

ab

c

R

+

-

vi

+

+

R

RR

Li L

Ao1

vβ

Figura 6.24: Realimentación negativa de corriente.

Se puede definir la red conformada por Ra, Rb y el amplificador Ao1, como unafuente de tensión controlada por tensión, es decir,

vβ =

µ1 +

Rb

Ra

¶vm

.= μvm (6.5.27)

La red equivalente se muestra en la Fig. 6.25, donde se indica la relación definida enla ecuación (6.5.27). Las resistencias de entrada y salida de Ao1 y Ao2 están dadaspor Ria, Roa, Rib y Rob, respectivamente. Nótese que

vε = Riai1 (6.5.28)

y además, puesto que la impedancia de entrada de Ao2 es muy elevada,

Rc||Rib ≈ Rc (6.5.29)

entonces,vm ≈ RciL (6.5.30)


c

i

m

ia

oa

ib

ob

ε

μ R

RR

R

+

-vi

R

R

+

v

+v εvAo

mv

L L

+

i1

β

+v

Figura 6.25: Circuito equivalente del sistema realimentado.

También,Ria À Rob (6.5.31)

Escribiendo el modelo en forma de matriz se obtiene:∙vi − μvmAovε

¸=

∙Ria +Rob 0

0 Roa +RL +Rc||Rib

¸ ∙i1iL

¸o, sustituyendo y reagrupando términos∙

vi0

¸=

∙Ria μRc

−AoRia Roa +RL +Rc

¸ ∙i1iL

¸(6.5.32)

Esta ecuación es similar a la ecuación (6.5.2) donde

zi = Ria

βz = μRc

μz = −AoRia

zo = Roa +RL +Rc

Además,vg = vi, ii = i1, io = iL

Aplicando en las ecuaciones serie—serie, sustituyendo:

A⊥o = −μzzizo

= − −AoRia

Ria(Roa +RL +Rc)=

Ao

Roa +RL +Rc

A⊥ =A⊥o

1 + βzA⊥o=

Ao

(Roa +RL +Rc)³1 + μRc

AoRoa+RL+Rc

´


Si μRcA⊥o À 1 =⇒A⊥ ≈

1

μRc(6.5.33)

Se trata pues de un convertidor de tensión a corriente (VCCS).Para encontrar la impedancia de entrada se tiene:

i1 =1

∆z(Roa +RL +Rc)vi =

Roa +RL +Rc

Ria(Roa +RL +Rc + μRcAo)vi

=1

Ria

³1 + μRcAo

Roa+RL+Rc

´viDe aquí:

Zif =viii= Ria

µ1 +

μRcAo

Roa +RL +Rc

¶≈ μRcRiaA⊥o

Para encontrar la impedancia de salida se procede como antes obteniéndose:

iL =zi∆z0

v2 =⇒ Zof =∆z0

zi=

Ria(Roa +RL +Rc) + μRcRiaAo

Ria

o sea,Zof = Roa +RL +Rc(1 + μAo)

Tanto la impedancia de entrada como la de salida presentan valores elevados, locual era de esperar.

6.5.2 Realimentación paralelo—paralelo

Considérese el amplificador realimentado en paralelo de la Fig. 6.26. Se han supuestolas admitancias de la fuente yg y de la carga yL. La representación de dos puertosmás conveniente en este caso, es el uso de admitancias de corto—circuito (Capítulo 2)como se muestra en la Fig. 6.26. La razón para esto es que el amplificador básico y lared de realimentación están conectados en paralelo en la entrada y en la salida, y asítienen voltajes idénticos en sus terminales. Los parámetros y especifican la respuestade la red expresando las corrientes de los terminales del puerto en términos de losvoltajes de los terminales, siendo en este caso más fácil el cálculo pues se tienen dosredes con tansiones idénticas en sus terminales.

De la Fig. 6.26 se tiene:∙is0

¸=

∙ys + y11a + y11f y12a + y12fy21a + y21f yL + y22a + y22f

¸ ∙vivo

¸(6.5.34)


isys vi

+

_

y11a y v12a o y v21a iy22a vo

+

_

yL

y11f y22f



y v12f o y v21f i

Figura 6.26: Circuito realimentado en paralelo—paralelo.∙is0

¸=

∙yi yβyμ yo

¸ ∙vivo

¸(6.5.35)

donde:

yi = ys + y11a + y11f

yβ = y12a + y12f

yμ = y21a + y21f

yo = yL + y22a + y22f

De aquí, invirtiendo para encontrar las tensiones de entrada y salida:∙vivo

¸=

1

∆y

∙yo −yβ−yμ yi

¸ ∙is0

¸=

1

∆y

∙yo is−yμ is

¸(6.5.36)

donde∆y = yiyo − yβyμ (6.5.37)

o sea ∙vivo

¸=

"yo∆y

is

− yμ∆y

is

#(6.5.38)

Entonces de la ecuación (6.5.38)

A> =vois= − yμ

∆y=

−yμyiyo − yβyμ

(6.5.39)

A> =− yμ

yiyo

1 + yβ(− yμyiyo

)=

A>a1 + βyA>a

(6.5.40)


donde

A>a = − yμyiyo

(6.5.41)

βy = yβ (6.5.42)

En la práctica, el término y11f se obtiene cortocircuitando el nodo de la salida delamplificador y calculando la admitancia de entrada del circuito de realimentación.Similarmente, el término y22f se calcula cortocircuitando el nodo de entrada delamplificador y calculando la admitancia de salida del circuito de realimentación. Lafunción de transferencia de realimentación βy dada por (6.5.42) es la admitanciainversa de cortocircuito. Esta se calcula fácilmente en la práctica y a menudo seobtiene por inspección. A partir del circuito de la Fig. 6.26, cualquier método deanálisis de redes se puede emplear para calcular la ganancia A> del amplificadorbásico. En particular se recomienda utilizar el modelo de dos puertos para determi-nar el equivalente circuital de la red de realimentación.

Ganancia de tensión,Av =

vovi= −yμ

yo(6.5.43)


vois

=ioyLis

iois

=voisyL

= A⊥zL

Ai =− yμ

yiyo

1 + yβ(− yμyiyo

)=

A>azL1 + βyA>a

(6.5.44)


A⊥ =iovi=

voyLvi

= −yμyLyo

(6.5.45)

La impedancia de entrada se obtiene de la ecuación (6.5.38)

Zi =viis=

yo∆y

=yo

yiyo − yβyμ(6.5.46)

Zi =

1yi

1 + βyA>a=

zi1 + βyA>a

(6.5.47)

Se observa que la impedancia de entrada con realimentación será la impedancia encircuito abierto dividida entre la diferencia de retorno 1 + βyA>.


Para calcular la impedancia de salida se desconecta la fuente de la entrada y seaplica a la salida una fuente io, de esta conexión se obtiene la expresión∙

0io

¸=

∙yi yβyμ yo

¸ ∙vivo

¸(6.5.48)

Entonces, procediendo como antes se llega a:∙vivo

¸=

1

∆y

∙yo −yβ−yμ yi

¸ ∙0io

¸=

"− yβ

∆yio

yi∆y

io

#(6.5.49)


Zo =voio=

yi∆y

=

1yo

1 + yβ

³−yμyiyo

´ (6.5.50)

Zo =zo

1 + βyA>a(6.5.51)

Nótese que en ambos casos (zi, zo), la impedancia del circuito básico, quedadividida entre la diferencia de retorno.

Ejemplo 25 Realimentación paralelo—paralelo.

is

Ao

+

_vε

Rf

vo is

+

_

vε Ri

Rf

Ro

+_ -A vo ε vo

+

_

RL

( )a ( )b

Figura 6.27: (a) Circuito realimentado paralelo usando amplificador operacional.(b) Circuito equivalente de (a).

Considérese el circuito con realimentación paralelo—paralelo usando un AO comose muestra en la Fig. 6.27(a). El circuito equivalente se muestra en la Fig. 6.27(b) yse ha redibujado en la Fig. 6.28 para mostrar la red de realimentación como cargadel amplificador básico.


SoluciónLos parámetros y de la red de realimentación se obtienen como sigue:

y11f =i1fv1f

¯v2f=0

=1

Rf

y21f =i2fv1f

¯v2f=0

= − 1

Rf

y22f =i2fv2f

¯v1f=0

=1

Rf

is

+

_

vε Ri

Ro

+_ -A vo εvo

+

_Rf Rf RL

ifb

_Rf

vo



Figura 6.28: Circuito con red directa y red de realimentación.

Se supone que la señal transmitida por el amplificador básico es mucho mayorque la señal transferida directamente por la red de realimentación, por lo cual

|y21a| >> |y21f |

se desprecia|y12f |

La ganancia A> del amplificador básico se puede calcular de la Fig. 6.28 haciendoifb = 0, lo cual da:

v =RiRf

Ri +Rfis (6.5.52)

vo = − R

R+RoAov (6.5.53)


donde

R = RfkRL

Sustituyendo (6.5.52) en (6.5.53) da

A> =vois= − R

R+RoAo

RiRf

Ri +Rf(6.5.54)

6.5.3 Realimentación serie—paralelo

El modelo de realimentación serie—paralelo se muestra esquemáticamente en la Fig.6.29. El amplificador básico y la red de realimentación tienen la misma corriente deentrada y la misma tensión de salida. Como se vió antes (Capítulo 2), se utilizan losparámetros h para representar los circuitos con realimentación serie—paralelo. Porlo tanto, de la Fig. 6.29.

zs

h11a

h v12a o+

+

+

h11f

h v12f o

h i21a i h22a voyL

h i21f i h22f

_

_

+

_


Red de Alimentaciónvs

Figura 6.29: Circuito realimentado serie—paralelo.

∙vs0

¸=

∙zs + h11a + h11f h12a + h12fh21a + h21f yL + h22a + h22f

¸ ∙isvo

¸(6.5.55)

Escribiendo la ecuación (6.5.55) en forma compacta se obtiene:∙vs0

¸=

∙zi βμ yo

¸ ∙isvo

¸(6.5.56)


dondezi = zs + h11a + h11f [Ω]yo = yL + h22a + h22f [S]β = h12a + h12f [V/V ]μ = h21a + h21f [A/A]

Invirtiendo la expresión dada por (6.5.56) se llega a:∙isvo

¸=

1

∆h

∙yo −β−μ zi

¸ ∙vs0

¸=

"yo∆h

vs− μ

∆hvs

#(6.5.57)

donde∆h = yozi − βμ (6.5.58)

De esta expresión se pueden calcular los parámetros de transferencia:


Av =vovs= − μ

∆h= − −μ

yozi − βμ

=− μ

yozi

1 + β(− μyozi

)

Av =Ava

1 + βAva(6.5.59)

dondeAva =

−μyozi

(6.5.60)

En general, se supone que la señal transmitida por el amplificador básico es muchomayor que la señal inyectada en sentido inverso por la red de realimentación. Estosignifica que

|h21a| >> |h21f |

También, la señal realimentada por la red de realimentación es mucho mayor que laseñal realimentada a través del amplificador básico, entonces

|h21a| << |h12f |

Estas suposiciones resultan invariablemente precisas. Por lo tanto,

Av =vovs=

−h21aziyo

1 + h12f (−h21aziyo

)=

Avo

1 + βAva(6.5.61)


donde

Avo = −h21aziyo

(6.5.62)

β = h21f (6.5.63)


A> =vois= − μ

yo

A> = − μ

yo(6.5.64)


Ai =iois=

iozLiszL

=voiszL

Ai =vois· 1zL= − μ

yozL

Ai =1

zLA> (6.5.65)


A⊥ =iovi=

iozLvizL

=vovi· 1zL

A⊥ =1

zL· Ava

1 + βAvo(6.5.66)


Zif =vsis=∆h

yo=

ziyo − βμ

yo

= zi

∙1 + β

µ−μziyo

¶¸Zif = zi(1 +BvAva) (6.5.67)

Impedancia de salida,Se conecta una fuente de tensión a la salida, entonces:∙

0i2

¸=

∙zi βμ yo

¸ ∙isvo

¸(6.5.68)


Invirtiendo la ecuación (6.5.68):∙isvo

¸=

1

∆h

∙yo −β−μ zi

¸ ∙0i2

¸=

1

∆h

∙−βi2zii2

¸(6.5.69)

De aquí:

Zof =voi2=

ziziyo − βμ

=1

yo· 1

1 + β³−μziyo

´Zof =

zo1 + βAvo

(6.5.70)

Ejemplo 26 Realimentación serie—paralelo. Encontrar la ganancia de tensión enel circuito de la Fig. 6.30.

vi

Q1

+

Rd

Vcc

RL

Q2

Rf

Rs

vo

+

_

Figura 6.30: Circuito transistorizado con realimentación serie—paralelo.

Solución:Inicialmente se halla el equivalente de pequeña señal del circuito. Se trata de

un transistor FET en surtidor común Q1, seguido de un transistor BJT en emisorcomún.

En la Fig. 6.31 se muestra un modelo simplificado del amplificador con la redde realimentación modelada con parámetros híbridos h. Nótese que esta forma esla adecuada para el tipo de realimentación que se tiene: serie—paralelo. También sepuede observar que en la red de realimentación no aparece fuente de corriente desalida, esto se debe a que el FET tiene una impedancia de entrada infinita y por lotanto no hay flujo de corriente de entrada (la corriente de drenador en el FET esmodulada por la tensión puerta—surtidor). El siguiente paso es reducir el circuito


vgs

vi i1f

v1f

h11f

h v12f o

g vm gs rds Rd

ib

hieh ife b

io

h22f

i2f

v2f

hoe vo RL

+

+

_

+

_+_

+

_

+

_

Figura 6.31: Modelo de pequeña señal.

vgs

vi i1f

v1f

h11f

h v12f o h22f

i2f

v2f

hoe vo RL

+

+

_

+

_+_

+

_

+

_

g hm fe

1+ hie

Rd

vgs

Figura 6.32: Circuito reducido de pequeña señal.

que se muestra en el cuadro de trazos, de modo que tenga la forma estándar. Paraello se encuentra el equivalente desde la salida hasta la fuente gmvgs :

io = −hfeib = −hfeRd

Rd + hie· (−gmvgs)

io =gmhfe

1 +hieRd

· vgs (6.5.71)

En la Fig. 6.32 se muestra el circuito reducido a la forma normalizada. Acontinuación se encuentra la ecuación matricial de la red con realimentación.

∙v1f

i2f

¸=

∙h11f h12fh21f h22f

¸ ∙i1fv2f

¸(6.5.72)


h11f =v1fi1f

¯v2f=0

= RskRf

h21b =i2fi1f

¯v2f=0

=−Rs

Rs +Rf

h12b =v1fv2f

¯i1f=0

=Rs

Rs +Rf

h22b =i2fv2f

¯i1f=0

=1

Rs +Rf

∙v1f

i2f

¸=

1

Rs +Rf

∙RsRf Rs

−Rs 1

¸ ∙i1f

v2f

¸(6.5.73)

La matriz del circuito equivalente estará dada por:∙vi0

¸=

"RskRf

RsRs+Rf

gmhfeRd

Rd+hie− Rs

Rs+Rfhoa +GL +

1Rs+Rf

# ∙i1vo

¸(6.5.74)

La expresión anterior se puede escribir en forma compacta como:∙vi0

¸=

∙zi βμ yo

¸ ∙i1v2

¸(6.5.75)

donde

zi = RskRf

β =Rs

Rs +Rf

μ =gmhfeRd

Rd + hie− Rs

Rs +Rf

yo = hoa +GL +1

Rs +Rf

Invirtiendo la expresión (6.5.75) para encontrar las relaciones requeridas se llega ala siguiente ecuación vectorial:∙

i1vo

¸=

1

∆h

∙yo −β−μ zi

¸ ∙vi0

¸=

1

∆h

∙yo−μ

¸vi (6.5.76)

donde

∆h = ziyo − μβ = ziyo

∙1 + β

µ−μziyo

¶¸= ziyo(1 + βAvo)


y

Avo =−μziyo

De la ecuación (6.5.76) se obtiene la ganancia de tensión:

Av =vovi=−μ∆h

=−μ

ziyo [1 + βAvo]=

Avo

1 + βAvo(6.5.77)

Si, como sucede a menudo, βAvo À 1 =⇒

Av ≈1

β=

Rs +Rf

Rs= 1 +

Rf

Rs

Para la determinación de la impedancia de entrada, se tiene:

Zif =vii1=∆h

yo=

ziyo [1 + βAvo]

yo= zi(1 + βAvo) (6.5.78)

La impedancia de salida se obtiene como se explicó en el apartado anterior, es decir:

Zof =voi2=

zo1 + βAvo

(6.5.79)

Obsérvese que, como era de esperarse, la impedancia de entrada es alta, mientrasque la impedancia de salida es muy baja.

6.5.4 Realimentación paralelo—serie

En la Fig. 6.33 se muestra un circuito realimentado en el modo paralelo—serie. Eneste caso el amplificador básico y la red de realimentación tienen la misma tensiónde entrada y la misma corriente de salida. Para caracterizar esta red (ver Capítulo2), se utilizan los parámetros g. Por lo tanto, de la Fig. 6.33.∙

is0

¸=

∙ys + g11a + g11f g12a + g12fg21a + g21f zL + h22a + g22f

¸ ∙vsio

¸(6.5.80)

Escribiendo la ecuación (6.5.80) en forma compacta se obtiene:∙is0

¸=

∙yi βμ zo

¸ ∙vsio

¸(6.5.81)

dondeyi = ys + g11a + g11f [S]zo = zL + g22a + g22f [Ω]β = g12a + g12f [A/A]μ = g21a + g21f [A/A]


igyg vi g11a g i12a o g v21a i

g22a

io

zL

g22f

g i21f og11f g i12f o+_

+_

+

_


Red de Realimentación

Figura 6.33: Realimentación paralelo—serie (muestreo serie, comparación serie).

Invirtiendo la ecuación 6.5.81 se obtiene:∙vsio

¸=

1

∆g

∙zo −β−μ yi

¸ ∙is0

¸=

1

∆g

∙zo−μ

¸is (6.5.82)

donde

∆g = yizo − βμ = zoyi

∙1 + β

µ−μyizo

¶¸(6.5.83)

∆g = yizo (1 + βAio) (6.5.84)

con

Aio =−μyizo

(6.5.85)

Procediendo como antes se obtiene:Ganancia de corriente,

Ai =iois=−μ∆g

=−μ

zoyi (1 + βAio)

Ai =Aio

1 + βAio(6.5.86)

Esta topología conduce a un amplificador de corriente.



A> =vois= −μzL

∆g=

−μ · zLzoyi (1 + βAio)

A> =Aio

1 + βAio· zL = AizL (6.5.87)


A⊥ =iovi= − μ

zo(6.5.88)


Av =vovi=−iovi· zL =

μ

zo· zL (6.5.89)


Zif =viig=

zo∆g

=zo

yizo (1 + βAio)

Zif =zi

1 + βAio(6.5.90)

Impedancia de salida. Para determinar la impedancia de salida, se excita el puertode salida con una fuente de tensión. Entonces, después de invertir y desarrollar laecuación matricial se llega a: ∙

viio

¸=

1

∆g

∙−βvoyivo

¸(6.5.91)

de aquí,

Zof =voio=

yizo − βμ

yiZof = zo(1 + βAio) (6.5.92)

En general, se supone que la señal transmitida por el amplificador básico es muchomayor que la señal inyectada en sentido directo por la red de realimentación. Estosignifica que

|g12a| ¿ |g12f |También, la señal realimentada por la red de realimentación es mucho mayor que laseñal realimentada a través del amplificador básico, entonces

|g21a| À |g21f |


Estas suposiciones resultan invariablemente muy precisas. Por lo tanto,

Ai =

−g21ayizo

1 + g12f

µ−g21ayizo

¶ = Aio

1 + βAio(6.5.93)

donde

Aio = −g21ayizo

(6.5.94)

β = g12f (6.5.95)

Ejemplo 27 Realimentación paralelo—serie. Encontrar la ganancia de corrientepara el circuito de la Fig. 6.34.

ii ri

Q1

Rd

Rf

Q2

Rs

vo

VDD

+

_

Figura 6.34: Circuito realimentado paralelo—serie.

Solución:Inicialmente se halla el equivalente de pequeña señal del circuito. Se trata de

dos transistores FET conectados en cascada. En la Fig. 6.35 se muestra un modelosimplificado del amplificador con la red de realimentación modelada con parámetroshíbridos g. Nótese que esta es la forma adecuada para el tipo de realimentación quese tiene: muestreo en serie, comparación en paralelo. A continuación se reduce elcircuito. Para ello se encuentra el equivalente desde la salida hasta la fuente gm1vgs1 :

v2a = −gm2rds2vgs2 (6.5.96)


ii ri vgs1

+

_g vm gs1 1 rds1 Rd vo1

+

_

+vgs2

_g vm gs2 2

+

_v

2a rds2 RL

+

_vo

i1f

+

_vif g11f g i12 2f f g22f

i2f

+

_v2f

Figura 6.35: Modelo de pequeña señal.

También,

vo1 ≈ vgs2 +1

g22fi2f = vgs2 +

gm2g22f

vgs2

vo1 =

µ1 +

gm2g22f

¶vgs2 (6.5.97)

De la ecuación (6.5.97) se tiene

vgs2 =1

1 + gm2/g22fvo1 (6.5.98)

vo1 = (−rds1||Rd)gm1vgs1 (6.5.99)

vo2 =(−rds1||Rd)gm11 + gm2/g22f

vgs1 (6.5.100)

Finalmente, se llega a la siguiente expresión para la red equivalente:

v2a =(rds1||Rd)gm1gm2rds2

1 + gm2/g22fvgs1 (6.5.101)

En la Fig. 6.36 se muestra el circuito reducido a la forma normalizada.A continuación se encuentra la ecuación matricial de la red con realimentación.∙

i1f

v2f

¸=

∙g11f g12fg21f g22f

¸ ∙v1fi2f

¸(6.5.102)


ii ri vgs1

+

_

i1f

+

_v1f g11f g i12 2f f

+

_v2f

i2f

g22f

+

_vo RL

iords 2

g g r r ||Rm m d s d s d1 2 2 1 ( )1+g /gm f2 22

vgs1+_

Figura 6.36: Circuito reducido de pequeña señal.

g11f =i1fv1f

¯i2f=0

=1

Rs +Rf

g21f =v2fv1f

¯i2f=0

=Rs

Rs +Rf

g12f =i1fi2f

¯v1f=0

=−Rs

Rs +Rf

g22f =v2fi2f

¯v1f=0

= RskRf

∙i1f

v2f

¸=

1

Rs +Rf

∙1 Rs

−Rs RsRf

¸ ∙v1f

i2f

¸(6.5.103)

Escribiendo el circuito equivalente en forma de matriz, se tiene:

⎡⎣ ii

0

⎤⎦ =⎡⎢⎣

1ri+ 1

Rs+Rf

−RsRs+Rf

− (rds1||Rd)gm1gm2rds21+gm2/g22f

+ RsRs+Rf

rds2 +RL +RskRf

⎤⎥⎦⎡⎣ i1

v2

⎤⎦(6.5.104)

o, en forma compacta ∙ii0

¸=

∙yi βμ zo

¸ ∙vgs1io

¸(6.5.105)


donde

yi =1

ri+

1

Rs +Rf

zo = rds2 +RL +RskRf

β =−Rs

Rs +Rf

μ = −(rds1||Rd)gm1gm2rds21 + gm2/g22f

+Rs

Rs +Rf

Invirtiendo la ecuación (6.5.105):∙vgs1io

¸=

1

∆g

∙zo −β−μ yi

¸ ∙ii0

¸=

1

∆g

∙zo−μ

¸ii (6.5.106)

donde

∆g = yizo − βμ = yizo

∙1 + β

µ−μyizo

¶¸= yizo (1 + βAio) (6.5.107)

De aquí, la ganancia de corriente estará dada por:

Ai =ioii=−μ∆g

=−μ

yizo (1 + βAio)

Ai =Aio

1 + βAio

Si βAio À 1 =⇒

Ai ≈1

β= −Rs +Rf

Rs= −

µ1 +

Rf

Rs

¶(6.5.108)

la cual es una aproximación válida en la mayoría de las aplicaciones. De la mismaexpresión (6.5.106) se obtiene la impedancia de entrada:

Zif =vgs1∆g

=zo

yizo (1 + βAio)=

zi1 + βAio

(6.5.109)

La impedancia de salida se obtiene utilizando el procedimiento desarrollado antes(ver ecuación (6.5.91)):

Zof =voi2= zo (1 + βAio) (6.5.110)

Nótese que la ganancia tiene un desfasamiento de 180.


6.6 Resumen

Se pueden resumir los resultados obtenidos anteriormente para circuitos prácticosde realimentación y el efecto de la misma, de la forma siguiente:

• Se debe reconocer la clase de realimentación que se tiene (positiva o negativa),para ello se aplica una señal de prueba a la entrada de la red. Si al hacerun recorrido a través del amplificador básico retornando por la red de reali-mentación, al efectuar la comparación la señal se atenúa, entonces se trata deuna realimentación negativa. Será positiva en caso contrario.

• Se deben identificar las variables de entrada y de salida y el tipo de reali-mentación: serie o paralelo a la entrada y a la salida.

La función de realimentación β se encuentra por el siguiente procedimiento:

• Si la realimentación está en paralelo a la entrada, aterrizar el nodo de entraday calcular realimentación de corriente.

• Si la realimentación está en serie a la entrada, abrir el nodo de realimentaciónde entrada y calcular la tensión realimentada.

• En ambos casos, si la realimentación está en paralelo a la salida, excitar elcircuito realimentado con una fuente de tensión.

• Si la realimentación está en serie a la salida, excitar el circuito realimentadocon una fuente de corriente.

El efecto de carga de la realimentación sobre el amplificador básico se encuentracomo sigue:

• Si la realimentación está en paralelo a la entrada, aterrizar el nodo de entraday calcular la carga de la realimentación sobre la salida.

• Si la realimentación está en serie a la entrada, abrir el nodo de realimentaciónde entrada y calcular la carga de la realimentacón sobre la salida.

• Similarmente, si la realimentación está en paralelo o serie a la salida, entoncesaterrizar o abrir el nodo de realimentación de salida y calcular la carga de larealimentación sobre la entrada.

Estos resultados junto con otra información se muestran en la Tabla 6.1, dondelas flechas indican la tendencia del parámetro considerado, cuando se aplica la reali-mentación respectiva.

6.6. RESUMEN 197

Tabla 6.1: Comportamiento de las redes realimentadas.

Conexión Pará— Av Ai A> A⊥ Zi Zo Funciónmetros Estabilizada

Serie z ↓ — — ↓ ↑ ↑ iovg

s—s Transadmitancia

Paralelo y — ↓ ↓ — ↓ ↓ voig

p—p Transimpedancia

Serie—paralelo h ↓ — — ↓ ↑ ↓ vovg

s—p Gananciade Tensión

Paralelo—serie g — ↓ ↓ — ↓ ↑ ioig

p—s Ganancia deCorriente

Problemas

1. Un amplificador tiene Ao = 100000 y Af = 5000. Calcular la cantidad derealimentación negativa y el valor del factor de realimentación β.

2. Un amplificador con transistor tiene ganancia Ao que varía entre 30 y 90 comoresultado de la variación de los parámetros del dispositivo semiconductor. (a)Calcular los valores máximo y mínimo de la ganancia total de tres etapasde dichos amplificadores. (b) ¿Qué valor del factor de realimentación β serequiere si ∆Af/Af del amplificador en cascada se limita a 0.1 de Amax, elmáximo valor de Ao? (c) Calcular la variación resultante en Af con el factorde realimentación β obtenido en (b).

3. Un amplificador sin realimentación tiene un voltaje de salida vo = 50V , condistorsión de segunda armónica del 10% para vi = 0.5 V . Calcular: (a) Lacantidad de realimentación necesaria para reducir D al 1%, (b) la ganancia Af


resultante y (c) el nuevo voltaje de entrada necesario para restablecer vo a 50V con 1% de distorsión.

4. Se desea diseñar un amplificador realimentado de manera que tenga una ganan-cia en lazo cerrado de 25±0.1. El amplificador básico tiene una ganancia en lacual puede controlarse hasta en ±10%. Determinar los valores de la gananciaen lazo abierto, la diferencia de retorno y la ganancia de realimentación β dela red realimentada.

5. Un amplificador tiene 5% de distorsión no lineal generada en su etapa final.La ganancia del amplificador sin realimentación es de 1500. Si se desea reducirla distorsión al 2.5% con una realimentación total en voltaje, calcular β y Avf .

6. Un amplificador de cuatro etapas tiene las tres primeras etapas de amplifi-cación de voltaje con ganancias de 50, 100 y 100, respectivamente. La cuartaetapa es un amplificador de corriente con una ganancia de voltaje de 0.5. Elamplificador usa una realimentación total con β = 1/300. Hallar Ao y Af . SiAo cae un 25% debido al envejecimiento de los dispositivos, ¿en qué porcentajedisminuye Af?


8. Dado el sistema

G(s) =1

s(s+ 2)

C(s) =3(s+ 2)

s+ 2.4

Analizar si es internamente estable.

9. Para el sistema definido por

G(s) =2

(s+ 1)(s− 1)

C(s) =(s+ 1)(s− 1)

s(s+ 2)

Demostrar que no es internamente estable.


11. Un amplificador tiene Ao = 50000, fH = 20 kHz y fL = 30 Hz. Se agregaun circuito resistivo de realimentación en voltaje de modo que B = 5× 10−5.Encontrar Af , fHf , fLf .

6.6. RESUMEN 199

12. Un amplificador realimentado del tipo mostrado en la Fig. 6.21(a), tieneuna ganancia de −200 sin realimentación y la relación de la tensión de rea-limentación a la tensión de salida es de 0.2. ¿Cuál es la ganancia de tensióndel amplificador? Si la ganancia sin realimentación aumenta a −300, ¿cuál esla nueva ganancia de tensión?

13. Para el circuito con AO de la Fig. 6.27, encontrar el valor de A> sin haceraproximaciones. Si se conecta un resistor en serie con la fuente, calcular elvalor de la ganancia de voltaje sin hacer aproximaciones. Comparar con elvalor obtenido en condiciones idelales del AO.

14. El circuito de la Fig. 6.30 tiene los siguientes parámetros: Rf = 4.7 kΩ,Rs = 0.5 kΩ, Rd = 2 kΩ, RL = 1 kΩ, gm = 2.5 × 10−3 S, rds = 20 kΩ,hfe = 100, hie = 4 kΩ.

(a) Determinar todas las ganancias.

(b) Calcular las impedancias de entrada y salida.

15. Para el circuito de la Fig. 6.34.

(a) Determinar la ganancia a frecuencias medias dado que rs = 10 kΩ, Rf =Rd = 5 kΩ, Rs = 0.5 kΩ, RL = 1 kΩ, gm2 = 2 × 10−3 S, rds1 = 20 kΩ,rds2 = 10 kΩ.

(b) Calcular las impedancias de entrada y de salida.

+

-

Vi

Q1

Q2

Q3

Re2Re1Rf

Zs

RL1

RL2

ZL

Figura 6.37: Amplificador serie—serie.


Q1 Q2 Q3

Ii

vo

5k 5k

5k

10k

Figura 6.38: Realimentación paralelo—paralelo.

16. El circuito de un triple amplificador monolítico balanceado en conexión serie—serie se muestra en la Fig. 6.37. Calcular las impedancias de entrada y desalida, las ganancias de lazo y total del circuito a frecuencias medias, utilizandolos siguientes datos

Re1 = Re2 = 290 Ω RF = 1.9 kΩ RL1 = 10.6 kΩ RL2 = 6 kΩ

para los transistores, IC1 = 0.5 mA, IC2 = 0.77 mA, IC3 = 0.73 mA, β = 120,rx = 0 y VA = 40 V .

17. Repetir el problema anterior si la señal de salida se toma como la tensión enel emisor de Q3.

18. El esquema ac de un amplificador realimentado paralelo—paralelo se muestra enla Fig. 6.38. Todas las corrientes de colector son de 1mA, β = 200, VA = 50Vy rx = 0.

(a) Calcular la ganancia total vo/ii, la ganancia de lazo y las impedancias deentrada y de salida a frecuencias medias.

(b) Si el circuito es alimentado desde una fuente cuya resistencia es de 1 kΩ.¿Cuál es la nueva resistencia de salida del circuito?

19. En el circuitode la Fig. 6.39, se utiliza realimentación negativa de corriente,para hacer una fuente de corriente controlada por tensión. Asumir

FET : (μ, rd)

Opam : V2 = Av(V1 − Vs)

(a) Encontrar la transconductancia del sistema, A⊥ = I2/V1

(b) Encontrar la resistencia de salida V CCS (Norton).

6.6. RESUMEN 201

2I

Vs

V2

+

-

V1Rs

Figura 6.39: Amplificador híbrido.

20. En el circuito de la Fig. 6.40, se muestra un sistema realimentado de dosetapas. La primera consistente en un transistor bipolar (Q) y la segunda,de un AO, realimentado localmente para dar una ganancia μ. Utilizar losparámetros híbridos de Q, para realizar el modelo lineal y entonces

- EE

CC

CC

EE-

Vo

V

V

+

-

Vs Rf

R2

R1 +

V

V

Q

Rc

Re

Rb

Figura 6.40: Amplificador realimentado con realimentación negativa de tensión.

(a) Encontrar la ganancia de tensión del sistema, Av = Vo/Vs.

(b) Encontrar la resistencia de entrada.

(c) Encontrar la resistencia de salida.

21. Se utilizan dos amplificadores operacionales para hacer una fuente de corrienteconstante aplicada a una impedancia ZL. El amplificador operacional 1 es no


iL+

-V1

ZL

R1

R2

Rf

1 2V2

V3

Figura 6.41: Red con dos AOs.

ideal con ganancia de lazo abierto V2/V1 = +Av(1). El amplificador operacional2 es ideal. Ver Fig. 6.41.

(a) Derivar una expresión algebraica para la transconductancia del sistema,A⊥ = IL/v1. Mostrar qué sucede cuando Av(1) →∞.

(b) Encontrar una expresión para la impedancia de salida ZL vista desde lasalida del amplificador operacional 1, bajo condiciones de lazo cerrado(Suponer Av(1) finita).

22. Se utiliza un VMOSFET de potencia con un amplificador diferencial parahacer una fuente de alimentación de tensión regulada, como se muestra enla Fig. 6.42. Asumir Vz = 6.8 V (fuente de tensión dc), gm = 2 × 10−3 S,

Vo

+

-Vr

+Vs30V

ZD

Rs

R241k

Rz

R1

Rf

Figura 6.42: Red con realimentación.

rd = 2× 104 Ω, Av = 104, R1 = 104 Ω, Rf = 1.2× 104 Ω, y Rs = 100 Ω.

(a) Usar el MFSSM del circuito para encontrar la ganancia de rizo, Vo/Vr,del regulador. Usar RL = 15 Ω.

6.6. RESUMEN 203

(b) Asumir Vr = 0. Usar el modelo de pequeña señal para encontrar Vo dc(circuito abierto, RL =∞).

(c) Encontrar la Zo que ve la carga RL

23. Se utiliza un AO ideal para realizar una VCCS. (Fig. 6.43).

Vo

+

-V1

ZLR2

R3

R4

R1

IL

Figura 6.43: AO como VCCS.

(a) Encontrar una expresión para IL = f(v1).

(b) ¿Qué condiciones deben existir sobre los resistores R1, R2, R3 y R4 paraque IL sea independiente de ZL?

+

-

V1

VoR1

R2

RL

Rm

Figura 6.44: Realimentación positiva y negativa.

24. Se utiliza realimentación positiva de corriente y realimentación negativa detensión con un amplificador operacional de potencia (ver Fig. 6.44) que tiene


una ganancia de tensión diferencial dada por

Vo =Av

τs+ 1(vi − v0i)

Suponer R1 + R2 À RL + Rm, α = R2/(R1 + R2), β = R1/(R1 + R2) yγ = Rm/(RL +Rm)

(a) Asumir que el amplificador operacional tiene Zo = 0. Encontrar unaexpresión para vo/v1 en forma de constante de tiempo.

(b) Ahora suponer que el amplificador operacional tiene una Zo finita. Usaruna fuente de prueba, Vt, en lugar de RL para encontrar una expresiónpara la resistencia de salida Thevenin que ve RL .

-

Vo

VSS

VDD

+

-

V1

R2

R1

Rf

Rd

Rs

Figura 6.45: Amplificador diferencial.

25. Encontrar una expresión algebraica para la ganancia de tensión, AV = vo/v1,del amplificador JFET con realimentación negativa de tensión, de la Fig. 6.45.Asumir Q1 = Q2, gd = 0 y gm 6= 0. Dar Av para A0 →∞.

26. Un amplificador de potencia BJT (Fig. 6.46) se usa para realizar una fuentede alimentación dc constante regulada serie. Sea hfe = 10, hoe = 1× 10−5 S,hre = 0, hie = 1.5 kΩ, la ganancia del operacional A0 = 1× 104, Rs = 100 Ω,RL = 15 Ω, (Rf +R1)À RL, αAv À 1 y α = 0.667.

(a) Encontrar una expresión algebraica, y evaluarla numéricamente, para laganancia de rizo del regulador, vo/vr a frecuencias medias.

(b) Asumir que hoe = 0. Encontrar una expresión algebraica, y evaluarlanuméricamente, para la resistencia de salida Thevenin del regulador, Ro,que ve RL.

6.6. RESUMEN 205

+Vr

+Vs

+

-

vr

Rf

R21

RL

Rsv0

Figura 6.46: Amplificador de potencia BJT.

(c) Encontrar una expresión para la regulación del regulador, ∆Vo/∆RL.Evaluarla numéricamente.

27. Un amplificador diferencial y un amplificador de potencia BJT , se usan pararealizar un regulador de corriente constante (Fig. 6.47). Se usa realimentaciónde corriente negativa. Asumir la ganancia del amplificador diferencial comoAd = 1 × 105, hoe = hre = 0, VR = 5 V , hfe = 19, hie = 1 kΩ, RL = 10 Ω,Rm = 1 Ω y Rs = 13 Ω.

IL

Vo

+VS

+VR

Rs

Rm

RL

Figura 6.47: Amplificador diferencial y BJT.

(a) Encontrar una expresión y evaluarla numéricamente, para la resistenciade salida Thevenin que ve RL.

(b) Encontrar una expresión y evaluarla numéricamente, para la transcon-ductancia del regulador A⊥ = IL/VR.

Capítulo 7

Osciladores Lineales

7.1 Introducción

Los osciladores son circuitos cuya salida es una señal periódica. La salida de unoscilador puede ser una señal sinusoidal o no sinusoidal, v. gr., cuadrada, triangular odiente de sierra. Hay muchas aplicaciones que requieren una forma de onda periódicacon frecuencia, amplitud y forma de onda controladas, para estos casos se requiereel uso de dispositivos activos particularmente redes lineales con AOs o dispositivosCI fabricados específicamente para ello.

Si se requiere una salida sinusoidal, las condiciones que se deben satisfacer paragenerar esta forma de onda se pueden determinar de la teoría de retroalimentaciónlineal presentada en los capítulos anteriores.

Los osciladores pueden ser clasificados en muchos tipos, dependiendo de los com-ponentes de realimentación, de los amplificadores y de las topologías de circuito uti-lizadas [19]. En este capítulo se estudiarán inicialmente las redes retroalimentadasque conducen a osciladores sinusoidales, tales como osciladores de desplazamientode fase, puente de Wien, sintonizados, entre otros; y posteriormente se analizará loconcerniente a algunos osciladores no lineales. A estos osciladores se les denominaosciladores lineales, aunque para su operación requieren el empleo de alguna formade no linealidad para obtener el control de la amplitud de la onda de la señal desalida (v. gr., los osciladores en puente de Wien). De hecho, todos los osciladoresson esencialmente circuitos no lineales. Esto dificulta el proceso de análisis y diseño;ya que no siempre es factible aplicar los métodos de transformada de Laplace, perose aplican algunas técnicas que permiten obtener resultados satisfactorios: primero,se estudia la parte lineal por los métodos estándar y luego se emplea una forma deanálisis no lineal al subsistema restante.

207

208 CAPÍTULO 7. OSCILADORES LINEALES

7.2 Osciladores sinusoidales

Varias configuraciones de circuitos producen salidas sinusoidales incluso sin ex-citación. Considérese el sistema de retroalimentación que se ilustra en la Fig. 7.1.Se trata de un circuito de retroalimentación positiva. La ganancia de este circuitoestá dada por

G(s) =A(s)

1−B(s)A(s)(7.2.1)

Para que el sistema entre en oscilación, la ganancia en lazo abierto B(s)A(s) debetender a la unidad, es decir

L(s) , B(s)A(s) = 1 (7.2.2)

En este caso, la ganancia de lazo cerrado tenderá a infinito, produciéndose un voltajede salida finito en ausencia de señal de entrada.

Lo anterior se puede expresar en términos de una frecuencia dada ωo, de lasiguiente forma:

L(jω0) , B(jω0)A(jω0) = 1

Es decir, a ω0 la fase de la ganancia de lazo L(jω0), debe ser cero y la magnitud dela ganancia de lazo |L(jω0)|, debe ser la unidad. Esto se conoce como criterio deBarkhausen. Nótese que para que el circuito oscile a una frecuencia determinada, elcriterio de oscilación deberá ser satisfecho sólo a esa frecuencia (esto es, ω0); de otramanera la forma de onda resultante no será una sinusoide simple.

xi +

+A so( )

B s( )

xoΣ

Figura 7.1: Circuito con realimentación positiva.

En otras palabras, la condición para que se efectúe una oscilación se puede ex-presar de la siguiente forma:

L(s) = B(s)A(s) = |B(s)A(s)| ∠ 360 (7.2.3)

7.2. OSCILADORES SINUSOIDALES 209

Este se conoce como criterio de Nyquist, el cual plantea condiciones más gene-rales que el de Barkhausen. Por otra parte, también pueden ocurrir oscilacionesen un sistema de retroalimentación negativa. Cuando se conectan varias etapasde amplificación formando una retroalimentación negativa, los efectos reactivos entorno al lazo pueden generar un desfasamiento adicional de 180, lo que transformala retroalimentación positiva en negativa y puede provocar oscilación. Se utilizancircuitos compensadores para evitar estas oscilaciones.

En la práctica, la magnitud de la ganancia de lazo abierto |B(s)A(s)| se haceligeramente mayor que la unidad. En este caso, la amplitud de la oscilación desalida aumentará al principio. El aumento de amplitud está limitado por la nolinealidad del dispositivo activo asociado con el amplificador A(s). La oscilaciónpuede ser iniciada por un voltaje transitorio que se genera al activar la fuente deenergía o bien por la presencia de ruido. Se describirán algunos circuitos osciladoressinusoidales.

7.2.1 Oscilador de desfasamiento

Un oscilador, en términos generales, requiere retroalimentación positiva en la cualla señal de salida es enviada de regreso en fase para mantener la entrada. La etapade emisor común de la Fig. 7.2 proporciona un desplazamiento de fase de 180 entrela señal de entrada en su base y la señal de salida en su colector. La red RC de tresetapas proporciona un desfasamiento de 180, que cumple la condición de ángulo defase para la oscilación.

VCC

RcR2

R1 Re

Q

Ce

C CCR R R’

( )

ib

hie h ife b Rc

i1

Ri2 i3

R R’

C C C

( )b

Figura 7.2: (a) Oscilador de desfasamiento con transistor. (b) Circuito equivalente.

Dado que la impedancia de entrada del transistor Ri = hiekRb, donde Rb =R1kR2, y es normalmente menor que R, se agrega la resistencia en serie R, demanera que R = R0 + Ri ≈ R0 + hie. Por lo tanto, la condición para que haya


oscilación es que i3/ib ≥ 1∠0. Las ecuaciones de malla en estas condiciones son:⎡⎣ Rc +R+ 1Cs −R 0

−R 2R+ 1Cs −R

0 −R R+R0 +Ri +1Cs

⎤⎦⎡⎣ i1i2i3

⎤⎦ =⎡⎣ −hfeibRc

00

⎤⎦ (7.2.4)

Puesto que i3 = ib, se puede trasladar el término correspondiente a la terceracolumna del primer miembro de la ecuación (7.2.4), quedando:⎡⎣ Rc +R+ 1

Cs −R hfeRc

−R 2R+ 1Cs −R

0 −R 2R+ 1Cs

⎤⎦⎡⎣ i1i2i3

⎤⎦ =⎡⎣ 000

⎤⎦ (7.2.5)

Esta expresión representa la ecuación característica del sistema. Puesto que eshomogénea será equivalente a la relación L(s) = B(s)A(s), la cual contiene lascondiciones de oscilación. Desarrollando el determinante se obtiene:¯

¯ Rc +R+ 1Cs −R hfeRc

−R 2R+ 1Cs −R

0 −R 2R+ 1Cs

¯¯ = 0

µRc +R+

1

Cs

¶"µ2R+

1

Cs

¶2−R2

#+R

∙−R

µ2R+

1

Cs

¶+ hfeRRc

¸= 0

(7.2.6)Desarrollando y simplificando la ecuación (7.2.6) se llega a:¡

R3 + 3R2Rc + hfeR2Rc

¢C3s3 +

¡6R2 + 4RRc

¢C2s2 + (5R+Rc)Cs+ 1 = 0

Sustituyendo s = jω se obtiene

−j¡R3 + 3R2Rc + hfeR

2Rc

¢C3ω3 −

¡6R2 + 4RRc

¢C2ω2 + j (5R+Rc)Cω + 1 = 0

(7.2.7)La frecuencia de oscilación ω0 se determina igualando a cero la parte real de (7.2.7):

ω20 =1

C2(6R2 + 4RRc)(7.2.8)

o seaω0 =

1

RCq6 + 4Rc

R

(7.2.9)

La condición de ganancia se obtiene de

−¡R3 + 3R2Rc + hfeR

2Rc

¢C2ω2 + (5R+Rc) ≥ 0 (7.2.10)


Sustituyendo la ecuación (7.2.8) en la ecuación (7.2.10) se llega a:

hfe ≥ 23 +4Rc

R+29R

Rc(7.2.11)

Haciendo α = Rc/R:

hfe ≥ 23 + 4α+ 291

α

o4α2 + (23− hfe)α+ 29 = 0

Resolviendo para α:

α1,2 =hfe − 23

8± 18

q(hfe − 23)2 − 464 (7.2.12)

En la ecuación (7.2.12) interesa encontrar el valor del discriminante para que α seareal y positiva, entonces, resolviendo para hfe:

h2fe − 46hfe + 65 = 0

La solución de esta ecuación da valores para hfe de 1.46 y 44.54. El primer valor esno realizable. Para un sistema realizable el mínimo de hfe = 44.54. Por tanto, nose puede utilizar un transistor con hfe ≥ 44.54 para diseñar este oscilador. En estecaso α ≈ 2.7, por lo que si R = 10 kΩ, entonces Rc = 27 kΩ.

-

Vo

Vr

Vr

D2

D1

CCC

22nF

+

R22k

R2

R1

R11k

RR

R

10k

Rf

330k

Figura 7.3: Oscilador por desplazamiento de fase con AO.


Se puede realizar el oscilador por desplazamiento de fase sustituyendo el tran-sistor por un amplificador operacional como se indica en la Fig. 7.3. En este casose ha acotado la salida del oscilador, empleando un limitador constituido por losdiodos D1,D2, los resistores R1, R2 y las fuentes ±Vr. Su análisis se hará en lasección de aplicaciones no lineales. También se observa que el amplificador opera-cional está realimentado en configuración paralelo—paralelo, por lo cual actúa comoun convertidor de corriente a tensión con la relación −Rf i3.

i3

-R if 3

i1

Ri2 i3

R R

C C C

+

Figura 7.4: Circuito equivalente de pequeña señal del oscilador.

Teniendo en cuenta estas condiciones, se realiza el análisis del sistema utilizandola red de la Fig. 7.4. Escribiendo las ecuaciones de malla, se obtiene:⎡⎣ −Rf i3

00

⎤⎦ =⎡⎣ R+ 1

Cs −R 0−R 2R+ 1

Cs −R0 −R 2R+ 1

Cs

⎤⎦⎡⎣ i1i2i3

⎤⎦ (7.2.13)

Reuniendo términos se llega a la ecuación homogénea cuyo determinante está dadopor ¯

¯ R+1Cs −R Rf

−R 2R+ 1Cs −R

0 −R 2R+ 1Cs

¯¯ = 0 (7.2.14)

Resolviendo esta ecuación característica se obtiene:

R2(R+Rf )C3s3 + 6R2C2s2 + 5RCs+ 1 = 0 (7.2.15)

Sustituyendo, como antes, s = jω, se llega a

−jR2(R+Rf )C3ω3 − 6R2C2ω2 + j5RCω + 1 = 0 (7.2.16)

Igualando las partes real e imaginaria a cero, se obtiene la frecuencia de oscilacióny la ganancia, respectivamente:

ω2o =1

6R2C2⇒ ωo =

1√6RC

(7.2.17)


Sustituyendo la ecuación (7.2.17) en (7.2.16) se obtiene, después de simplificar:

Rf ≥ 29R (7.2.18)

Es decir, para que el sistema entre en oscilación, se requiere que la magnitud de laganancia de tensión

|Av| =Rf

R≥ 29 (7.2.19)

Para los datos dados en la Fig. 7.3, la magnitud de la ganancia es |Av| = 33,mientrasque la frecuencia de oscilación será fo = 295.3 Hz. En la Fig. 7.5 se aprecia larespuesta de este oscilador, nótese el crecimiento inicial de las pulsaciones, hastaque el limitador entra en operación.

770.0ms 780.0ms 790.0ms 800.0ms 810.0ms 820.0ms 830.0ms 840.0ms

7.500 V

5.000 V

2.500 V

0.000 V

-2.500 V

-5.000 V

-7.500 V

A: r1_2

Figura 7.5: Transitorio de la respuesta del oscilador por desplazamiento de fase.

Los osciladores de desfasamiento son útiles para generar frecuencias de audio.Para generar frecuencias mayores que éstas, se deberá utilizar otros tipos de gene-radores de señal.

7.2.2 Oscilador en puente de Wien

El oscilador en puente de Wien, que se muestra en la Fig. 7.6, es otro ejemplo deoscilador tipo RC. Los resistores R1 y R2 se utilizan para estabilizar la amplitud.A partir de esta figura se puede llegar a las siguientes expresiones:

v0 = A(v2 − v1) (7.2.20)

v1 =R2

R1 +R2v0 (7.2.21)

v2 =Z2

Z1 + Z2v0 =

jωCR

1− ω2C2R2 + jω3CRv0 (7.2.22)


A+

_

R C

R1C

v2 vo

vo

vo

R1v1

R2

A_

+

v1

R2

R1

vo

C

RZ1

v2

R CZ2

Figura 7.6: (a) Oscilador en puente de Wien. (b) Circuito para determinar BA.

y la ganancia de lazo abierto:B(s)A =

v0v00

(7.2.23)

o bien:

B(jω)A = A

∙jωCR

1− ω2C2R2 + jωCR− R2

R1 +R2

¸(7.2.24)

Para encontrar la frecuencia de oscilación, es decir, para cumplir la condición deángulo de fase para la oscilación, la parte imaginaria de la ecuación (7.2.24) se hacecero. Por tanto:

ω0 =1

RC(7.2.25)

Sustituyendo la ecuación (7.2.25) en la (7.2.24) para determinar la condición demagnitud |BA| ≥ 1 se obtiene:

A ≥ 3(R1 +R2)

R1 − 2R2(7.2.26)

La sintonización se puede lograr variando los capacitores C, los resistores R oambos. Sin embargo, obsérvese que cuando R1 tiende a 2R2, la ganancia requeridatiene a infinito.

Para que la distorsión sea baja, se debe limitar la amplitud de oscilación. Esto sepuede hacer empleado como R1 un resistor no lineal tal que a medida que aumentala amplitud de oscilación, R1 disminuya para forzar la condición R1 ≈ 2R2. Esteproceso limita el tamaño de la oscilación, ya que el circuito suspenderá la oscilaciónsi R1 = 2R2.


Otra forma de analizar esta red es la siguiente: De la Fig. 7.6(a) se tiene

v2 =Z2

Z1 + Z2vo

entonces,

β(s) =v2vo=

Z2Z1 + Z2

(7.2.27)

Las impedancias Z1 y Z2, en función de sus componentes están dadas por:

Z1 = R+1

Cs=

RCs+ 1

Cs

Z2 = R|| 1Cs

=R

RCs+ 1

Sustituyendo en 7.2.27, se llega a

β(s) =R

(RCs+ 1)hRCs+1Cs + R

RCs+1

i = RCs

(RC)2s2 + 3RCs+ 1(7.2.28)

La ganancia de tensión del amplificador está dada por

Av = 1 +R1R2

Aplicando la condición 7.2.2, se obtiene:

1− β(s)A = 0 = 1− RCs ·A(RC)2s2 + 3RCs+ 1

o sea,

(RC)2s2 + 3RCs+ 1−RCs ·A(RC)2s2 + 3RCs+ 1

=(RC)2s2 + (3−A)RCs+ 1

(RC)2s2 + 3RCs+ 1= 0

Reemplazando s = jω se tiene:

−(RC)2ω2 + j(3−A)RCω + 1 = 0 (7.2.29)

Esta ecuación contiene los polos de la función de transferencia de tensión de lared. Se resuelve, igualando las partes real e imaginaria a cero, obteniéndose, comoantes,

ω0 =1

RCA = 3

Esto completa el análisis.


-EE

CCV

V

P

5k 80.22%

47nF

C1

+

47nF

C2 R2169

10k Ra

Rb

18k

R1

169

A

Figura 7.7: Oscilador en puente de Wien con potenciómetro de calibración.

Ejemplo 28 Diseñar un oscilador en puente de Wien a 20 kHz.

Solución:En este caso se pueden seleccionar los capacitores con un valor de C = 47 nF .

Sustituyendo los valores en la ecuación 7.2.25, se obtiene (ver Fig. 7.7):

R =1

ω0C=

1

2π × 2× 104 × 47× 10−9 = 169.31 → R = 169 Ω

Para la ganancia se escogió Ra = 10 kΩ, por lo que Rb = 20 kΩ; sin embargo,para ajustar la ganancia a un valor adecuado se utiliza, para efectos de calibración,un potenciómetro de P = 5 kΩ, en serie con un resistor Rb = 18 kΩ. En la Fig. 7.8,se puede apreciar la respuesta en el tiempo del oscilador.

2.500ms 2.750ms 3.000ms 3.250ms 3.500ms 3.750ms 4.000ms

15.00 V

5.000 V

-5.000 V

-15.00 V

A: p_3

Figura 7.8: Respuesta del oscilador en puente de Wien.


7.2.3 Osciladores sintonizados

Oscilador de colector sintonizado

En la Fig. 7.9(a) se muestra un oscilador de colector sintonizado. Los osciladoressintonizados también pueden operar en los medios de clase A o de clase C. En laFig. 7.9(b) se ilustra el circuito equivalente del oscilador de colector sintonizado. Los

Cb

R1 R6 Ce

Q

R2

C

VCC

L1 L2

g vm 11

hoe

I2 I3

L1

CRl1

I1M

RL2

Ri Ci

( )a ( )b

Figura 7.9: (a) Oscilador de colector sintonizado. (b) Circuito equivalente.

resistores RL1 y RL2 son las resistencias efectivas de L1 y L2, respectivamente, Ri

es la impedancia de entrada y Ci es la capacitancia de entrada efectiva de la carga.Supóngase que Cb y Ce son cortocircuitos a la frecuencia de la señal, que Rb2 es tangrande que se puede considerar como un circuito abierto, y que 1/ωCi À Ri, demanera que se puede ignorar Ci. Entonces:

I1 = −jωM

Ri +R2 + jωL2I3 ≈

jωM

Ri +R2I3 (7.2.30)

Escribiendo las ecuaciones de malla se tiene:⎡⎢⎣ 1hoe+ 1

jωC −³

1jωC +

jωgmMRi

hoe(Ri+R2)

´− 1

jωC R1 +ω2M2

Ri+R2+ j

¡ωL1 − 1

ωC

¢⎤⎥⎦⎡⎣ I2

I3

⎤⎦ =⎡⎣ 00

⎤⎦ (7.2.31)

La frecuencia de oscilación se obtiene haciendo que la parte imaginaria del determi-nante de la matriz de coeficientes sea:

ω20 =(1 +R1hoe)(Ri +R2)

L1C(Ri +R2)−M2hoe(7.2.32)


y, de la parte real:

gm ≥C(Ri +R2)

RiM

∙ω20M

2C + hoeL1(Ri +R2)

C(Ri +R2)+R1

¸(7.2.33)

El transistor de la Fig. 7.9 está conectado en configaración de emisor común. Sin em-bargo, se pueden utilizar otras configuraciones para diseñar un oscilador sintonizado.

Oscilador de Antoniou

Este es otro caso de un oscilador sintonizado. Un filtro pasa banda activo de altoQ puede funcionar como oscilador, siempre que se le aplique una retroalimentaciónpositiva [52]. Este tipo de oscilador que está formado por un filtro de banda angostay un limitador, se encuentra ilustrado en la Fig. 7.10(b). Para comprender elfuncionamiento del circuito, supóngase que la oscilación ya ha comenzado. La salidadel filtro vo es una onda sinusoidal, cuya frecuencia es la frecuencia central del filtroωo. Esta onda es alimentada a un limitador, que produce una onda cuadrada. Laamplitud del pico de esta onda está determinada por el tipo de limitador utilizado.A su vez, la onda cuadrada es inyectada de regreso al filtro pasa banda, el cual

-

+

-

+

(a) (b)

R

10k

L1H

C10nFVi Vo

Vo

C10nF +

+C2

D1 D2

R5

R3

R

10k

R4

R1

R6

Figura 7.10: Construcción práctica del oscilador sintonizado de filtro pasa banda ylimitador.

filtra los armónicos y produce una salida senoidal vo a la frecuencia fundamentalωo. La calidad de la onda obtenida es función directa del factor de calidad del filtroutilizado. Para ilustrar este método, en la Fig. 7.10(a), se muestra un circuito confunción de transferencia dada por

H(s) =1

RC

s

s2 + 1RC s+

1LC

(7.2.34)


el cual constituye un filtro pasa banda pasivo de segundo orden. El factor de calidadestá dado por (ver Capítulo 10):

Q = ωoRC

mientras que la frecuencia de resonancia está dada por

ωo =1√LC

(7.2.35)

Se requiere en general, una inductancia muy elevada, por lo cual se sustituye elinductor pasivo por un equivalente activo. En la Fig. 7.10(b) se muestra el montajedel circuito. Se ha utilizado la red de Antoniou (ver Sección 9.7), de donde provieneel nombre del oscilador. Además se observa la inclusión del circuito limitador con-formado por el resistor de R6 y los diodos zener D1 y D2. Aunque se pueden utilizardiodos comunes, con los diodos zener es posible definir más precisamente el valor dela señal de salida. Éste es uno de los osciladores más estables y de fácil realización.

9 9 .5 0 0 m s 1 0 0 .0 0 m s 1 0 0 .5 0 m s 1 0 1 .0 0 m s 1 0 1 .5 0 m s

4 .0 0 0 V

2 .0 0 0 V

0 .0 0 0 V

-2 .0 0 0 V

-4 .0 0 0 V

A : u 2 b _ 7B : c _ 2

M e a s u re m e n t C u rs o rs1 u 2 b _ 7 X: 9 9 . 8 8 4 m Y : 3 .3 1 3 1 2 c _ 2 X: 1 0 0 .6 6 m Y : 3 .3 1 3 0 C u rs o r 2 - C u rs o r 1 X: 7 7 5 .1 6 u Y : -1 3 2 .2 7 u

Figura 7.11: Respuesta del oscilador de Antoniou.

La frecuencia de oscilación se obtiene sustituyendo la ecuación (9.7.8)) en (7.2.35):

ωo =

rR4

R1R3R5C2C(7.2.36)

Definiendo apropiadamente los valores de los parámetros se encuentra la frecuenciade oscilación deseada.

En la Fig. 7.11 se observa la respuesta del oscilador, la cual fue definida en estecaso como ωo = 10 krad/s. En la misma gráfica se compara la señal generada por eloscilador con la señal de una fuente de corriente alterna conectada a la red pasiva. Laseñal marcada con la etiqueta 1 corresponde al oscilador de Antoniou, mientras quela otra corresponde a la red pasiva excitada con una señal alterna de característicassimilares a las del oscilador. Obsérvese la similitud en la conformación de las ondas.


7.2.4 Osciladores de Colpitts y Hartley

CR1 Re Ce

Q

R2

VCC

Cc

L2

L1Cb

LR1 Re Ce

Q

R2

VCC

CcC2

C1Cb

Rc Rc

Figura 7.12: (a) Oscilador de Colpitts. (b) Oscilador de Hartley.

El oscilador de Colpitts, Fig. 7.12(a), es uno de los más utilizados. El circuitode retroalimentación consta de L, C1 y C2. El oscilador de Colpitts se utiliza encircuitos de muy alta frecuencia. Su análisis produce:Frecuencia de Oscilación:

ω20 =1

hieRoC1C2+

C1 +C2LC1C2

(7.2.37)

donde Ro es la carga del oscilador o impedancia de salida. La condición de magnitudgenera:

hfe ≥C2C1+

hieRo

· C1C2

(7.2.38)

Si Ro es suficientemente grande, las ecuaciones (7.2.37) y (7.2.38) se reducen a

ω0 ≈r

C1 + C2LC1C2

(7.2.39)

hfe >C2C1

(7.2.40)

El oscilador Hartley, que se ilustra en la Fig. 7.12(b), es prácticamente idéntico al deColpitts, salvo que las capacitancias C1 y C2 se sustituyen por los inductores L1 yL2, y la inductancia L en los circuitos sintonizados se reemplaza por la capacitanciaC. Si se analiza el circuito oscilador de Hartley se obtiene:Frecuencia de oscilación:

ω20 =Rohie

hieRoC(L1 + L2) + L1L2(7.2.41)


y el requisito mínimo de hfe del transistor es:

hfe ≥hieL2RoL1

+L1L2

(7.2.42)

En estas expresiones se supone que los amplificadores de los osciladores de Col-pitts y de Hartley se operan en modo de clase A. Para lograr una estabilidad defrecuencia adecuada, se deben utilizar circuitos con un elevado factor de calidad Q.

Ejemplo 29 Oscilador Acoplado. Demostrar que el circuito de la Fig. 7.13(a) os-cilará si M = 1

α [RrC + L1], donde R = re + rb(1− α).

SoluciónEn la Fig. 7.13(b) se muestra el circuito equivalente T del oscilador. Se supone laresistencia rc suficientemente alta para ser ignorada. Escribiendo las ecuaciones demalla se tiene:⎡⎢⎢⎢⎢⎣

0

0

αie

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

r + L1s+1Cs − 1

Cs ±Ms

− 1Cs re + rb +

1Cs −rb

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2

i3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (7.2.43)

Puesto que la ecuación de restricción de corriente i3 = id = αie, e i2 = ie (ver

+VCC

Rb

Cb

CL1

L2

Q

-VCC

i1

C

i2

L1

r

L2

ie

re

M

i3

Rb

( )a ( )b

Figura 7.13: (a) Oscilador Acoplado. (b) Circuito equivalente T del osciladoracoplado del ejemplo.


Apéndice B), entonces:⎡⎢⎢⎢⎢⎣0

0

0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

r + L1s+1Cs − 1

Cs ±Ms

− 1Cs re + rb +

1Cs −rb

0 −α 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2

id

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (7.2.44)

A la ecuación (7.2.44) se le puede realizar la partición siguiente:⎡⎣ 00

⎤⎦ =⎡⎣ Z11 Z12

K I

⎤⎦⎡⎣ i

id

⎤⎦ (7.2.45)

donde

Z11 =

⎡⎣ r + L1s+1Cs − 1

Cs

− 1Cs re + rb +

1Cs

⎤⎦ Z12 =

⎡⎣ ±Ms

−rb

⎤⎦K =

£0 −α

¤I = 1

Desarrollando la expresión matricial:

0 = Z11i+ Z12id (7.2.46)

0 = Ki+ Iid (7.2.47)

Reemplazando id de (7.2.47) en (7.2.46) se obtiene:⎡⎣ r + L1s+1Cs − 1

Cs ± αMs

− 1Cs re + rb(1− α) + 1

Cs

⎤⎦⎡⎣ i

id

⎤⎦ = 0 (7.2.48)

Tomando R = re + rb(1− α):⎡⎣ r + L1s+1Cs − 1

Cs ± αMs

− 1Cs R+ 1

Cs

⎤⎦⎡⎣ i

id

⎤⎦ = 0 (7.2.49)

Para que oscile, el determinante de la matriz debe ser nulo, o sea:¯¯ r + L1s+

1Cs − 1

Cs ± αMs

− 1Cs R+ 1

Cs

¯¯ = 0 (7.2.50)

7.2. OSCILADORES SINUSOIDALES 223µR+

1

Cs

¶µr + L1s+

1

Cs

¶− 1

Cs

µ1

Cs∓ αMs

¶= 0 (7.2.51)


Rr +RL1s+R

Cs+

r

Cs+

L1C± αM

C= 0

o sea

Rr +L1C± αM

C+

R+ r

Cs+RL1s = 0 (7.2.52)µ

Rr +L1C± αM

C

¶Cs+ (R+ r) +RL1Cs

2 = 0 (7.2.53)

Reemplazando s = jω e igualando a cero parte real e imaginaria se llega a:

ω2o =1

L1C

h1 +

r

R

i(7.2.54)

o

ωo =

r1

L1C

³1 +

r

R

´(7.2.55)

donde ωo es la frecuencia de oscilaciónLa condición para M será:

M =1

α(RrC + L1) (7.2.56)

donde se ha tomado M > 0 como condición de oscilación.

7.2.5 Osciladores controlados por cristal

Varios cristales exhiben el efecto piezoeléctrico, es decir, si se deforma mecánica-mente, se produce una tensión entre sus caras paralelas. A la inversa, cuandose aplica un voltaje a través de las caras de un cristal de ese tipo, el cristal seexpandirá o contraerá según la polaridad del voltaje que se aplique. Un cristalpiezoeléctrico es un elemento que se comporta como un circuito resonante de alto Q.Por tanto, los osciladores piezoeléctricos tienen una buena estabilidad de frecuen-cia. En la Fig. 7.14 se muestra el circuito equivalente de un cristal piezoeléctrico.Los elementos serie Ls, Cs y Rs están relacionados con la masa, la constante deelasticidad y el amortiguamiento mecánico del cristal, respectivamente. La capac-itancia paralela Cp se debe al campo eléctrico entre las placas paralelas del cristal(capacidad electrostática), como en un capacitor convencional [23]. Ls tiene unvalor grande (a veces de cientos e incluso miles de henrios), y queda determinadode Ls ≈ 1/(Csω

2o), donde ωo es la frecuencia de resonancia natural del cristal.


Tabla 7.1: Cortes comunes de cristales de cuarzo osciladores (RCA Co.)fo [MHz ] Rs [Ω] Ls [H] Cs [fF ] Cp [pF ] Cp/Cs Q Corte

0.032 4× 104 4800 4.91 2.85 580 2.5× 104 XY0.28 1.82× 103 25.9 12.6 5.62 446 2.5× 104 DT0.525 1.4× 103 12.7 7.24 3.44 475 3.0× 104 DT2.0 82 0.52 12.2 4.27 350 8.0× 104 AT10.0 5 0.012 14.5 4.35 300 1.5× 105 AT

Cs Cp

Ls

Rs

Figura 7.14: Circuitoequivalente de un cristalpiezoeléctrico.

La resistencia serie Rs es pequeña comparada con las re-actancias de Ls y Cs, se calcula de Rs ≈ (ωoLs)/Q, dondeQ, es el factor de calidad. El cristal suele utilizarse parareemplazar una bobina en un oscilador LC convencional.Puesto que en un cristal de cuarzo típico, Q es muy el-evado, se puede despreciar Rs. Los circuitos osciladoresde cristal que se utilizan en comunicaciones están dis-eñados para mantener una tolerancia a la frecuencia de±0.0005% o mejor, y el Q del cristal puede ser tan altocomo 105 ó 106, mientras que para una bobina dicho fac-tor está comúnmente en el intervalo de 50 a 100. En laTabla 7.1, tomada de [52], se muestran los valores típi-cos de los parámetros, para algunos cortes de cristales decuarzo osciladores.

Puesto que, en un cristal típico, Q es muy elevado, se puede despreciar la re-sistencia Rs. La impedancia del cristal está dada por [52]:

Z(s) =

³Lss+

1Css

´1

Cps

Lss+1

Css+ 1

Cps

=Cs

s

Lss+1

Css

LsCsCps2 +Cp + Cs=

1

Cps

s2 + 1LsCs

s2 +Cp+CsLsCsCp

o

Z (s) =1

Cps

s2 + ω2ss2 + ω2p

(7.2.57)

donde

ωs =1√LsCs

, ωp =

sCp + Cs

LsCsCp(7.2.58)

generándose dos frecuencias de resonancia en ωs y en ωp. Nótese que ωp > ωs, perocomo Cp À Cs, las dos frecuencias de resonancia son muy cercanas entre si y elsistema resonará en un estrecho margen de frecuencia.


Un ejemplo de circuito oscilador de cristal es el oscilador Pierce, una de cuyasconfiguraciones se muestra en la Fig. 7.15(a), la cual es similar al circuito ColpittsLC, mostrado en la Fig. 7.12(a), donde se ha sustituido la bobina con el cristal y eltransistor con un AO.

( )b

gmvLs

RLR1 C2C1

+C1

C2 RL

R1 Rf 1 2

1xtl

Figura 7.15: (a) Oscilador con cristal tipo Pierce. (b) Equivalente circuital.

Realizando análisis nodal al equivalente lineal del oscilador, Fig. 7.15(b), seobtiene ⎡⎢⎣

1

R1+ C1s+

1

Lss− 1

Lss

gm −1

Lss

1

RL

+ C2s+1

Lss

⎤⎥⎦∙ v1v2

¸= 0 (7.2.59)

donde

gm =Rf

R1RL(7.2.60)

es la ganancia de transconductancia del sistema. Desarrollando el determinante deesta ecuación homogénea,µ

1

R1+C1s+

1

Lss

¶µ1

RL

+ C2s+1

Lss

¶+

1

Lss

µgm −

1

Lss

¶= 0

Desarrollando los términos entre paréntesis y reorganizando la expresión en ordendescendente, con respecto a s, se obtiene:

LsC1C2s3+Ls

µC1RL

+C2R1

¶s2+

µLs

R1RL+ C1 + C2

¶s+

1

R1+1

RL+gm = 0 (7.2.61)

Sustituyendo s = jω en la ecuación (7.2.61) e igualando a cero las partes reales eimaginarias se obtiene:

−Ls

µC1RL

+C2R1

¶ω2o +

1

R1+

1

RL+ gm = 0 (7.2.62)

−LsC1C2ω2o +

µLs

R1RL+ C1 + C2

¶= 0 (7.2.63)


donde ωo es la frecuencia de resonancia. Despejando ωo de la ecuación (7.2.63):

ωo =

r1

R1RLC1C2+

C1 + C2LsC1C2

(7.2.64)

Reemplazando (7.2.64) en (7.2.62):

gm =

µ1

R1C1+

1

RLC2

¶Ls

R1RL+

C2R1C1

+C1

RLC2(7.2.65)

Si RL se hace suficientemente grande, entonces las ecuaciones (7.2.64) y (7.2.65)quedarán:

ωo ≈r

C1 +C2LsC1C2

(7.2.66)

gmR1 ≈C2C1

(7.2.67)

Sustituyendo la ecuación (7.2.60) en (7.2.67), se llega a

Rf

RL=

C2C1

(7.2.68)

Nótese que la frecuencia de oscilación y la relación de ganancia, son las mismas quelas del oscilador Colpitts definidas en las ecuaciones (7.2.39) y (7.2.40), respectiva-mente. La ecuación (7.2.67) da el valor mínimo de gm requerido para sostener laoscilación con amplitud constante.

Este circuito deberá oscilar a la frecuencia de resonancia de la inductancia Ls

del cristal con el equivalente en serie de la capacitancia Cs y el resultado de Cp+C1C2/(C1 + C2). Es decir,

ωo =

vuuut Cs + Cp +C1C2C1+C2

LsCs

³Cp +

C1C2C1+C2

´ (7.2.69)

Puesto que Cs es mucho menor que cualquiera de las capacitancias Cp, C1 o C2 (verTabla 7.1), el equivalente efectivo será Cef ≈ Cs y la ecuación (7.2.69) se reducirá a

ωo ≈r

1

LsCso fo =

1

2π

r1

LsCs(7.2.70)

la cual constituye una aproximación útil en la práctica.

Ejemplo 30 El oscilador Pierce de la Fig. 7.15 utiliza un cristal de 10MHz, y tieneC1 = 20nF , C2 = 1μF . Determinar la frecuencia de oscilación.


Solución:Para un cristal de 10Mz, Cs = 0.0145 pF,Cp = 4.35 pF,Rs = 5 Ω y Ls = 12

mH. Entonces,

Cep = Cp +C1C2

C1 + C2= 4.35 +

2× 104 × 1× 1062× 104 + 1× 106 = 1.9612× 10

4

La capacitancia efectiva será

Cef =CsCep

Cs + Cep=0.0145× 1.9612× 1040.0145 + 1.9612× 104 = 1.45× 10

−2 [pF ]

Nótese que se cumple la condición Cef ≈ Cs. Por lo tanto, la frecuencia de oscilaciónserá

fo ≈1

2π

r1

LsCs=1

2π

r1014

0.012× 1.45 = 12.066MHz

La ganancia requerida deberá ser mayor que la relación de los capacitores C2 y C1,es decir,

Rf

RL≥ C2

C1= 50

Partiendo de este resultado se seleccionan los otros parámetros.

7.2.6 Estabilidad de los osciladores

Un oscilador se considera estable si su amplitud y su frecuencia de oscilación semantienen constantes durante la operación.

Estabilidad de amplitud

Recuérdese que la condición para que haya oscilación es que BA = 1∠0 Si lamagnitud de la ganancia de lazo abierto |BA| es menor que la unidad, se detendrá laoscilación. Esta disminución en la magnitud puede ser provocada por envejecimiento,cambios del punto de trabajo del dispositivo activo, temperatura y otros factores.Por esta cuasa los circuitos osciladores se diseñan de modo que |BA| sea ligeramentemayor que la unidad en la frecuencia de oscilación. Cuando aumenta la amplitud dela señal de salida, el dispositivo activo reduce la ganancia al valor que se requiera.Para que haya buena estabilidad, el cambio en la ganancia con la amplitud delvoltaje de salida debe ser grande, y un aumento en la amplitud debe provocar quedisminuya la ganancia. Esto es, ∆A/∆v0 debe ser un número negativo grande paraque un oscilador sea estable.


Estabilidad de frecuencia

La frecuencia de un oscilador también se puede desviar. En algunas aplicacionespuede ser tolerable del 1 al 2% de desviación. No obstante, en otras, la frecuenciadebe ser constante durante todo el tiempo. La frecuencia de oscilación dependeno solo de elementos del circuito sintonizado, sino también de los parámetros deldispositivo activo. Por ejemplo, los parámetros del dispositivo activo varían conel voltaje de polarización, temperatura y edad. Otra causa de desviación de lafrecuencia son las variaciones de la tensión de alimentación. Por tanto, para quehaya buena estabilidad de frecuencia se deben minimizar los efectos de todos estosparámetros.

Si se establece que todos estos elementos son la causa de la mayor parte dela inestabilidad de frecuencia en el oscilador, es decir, si el ángulo de fase θ(ω)cambia rápidamente con la variación de los valores de estos parámetros, entonces laatención se debe concentrar en estos parámetros. En este caso dθ(ω)/dω, sirve comomedida de la independencia respecto a la frecuencia de todos los otros elementos delcircuito. La frecuencia de estabilidad mejora cuando dθ(a)/dω aumenta. Cuandodθ(ω)/dω →∞, la frecuencia de oscilación dependerá exclusivamente de este grupode elementos.

Puede demostrarse que dθ(ω)/dω en ω = ω0 es, en general, proporcional al factorde calidad del circuito, Q. Por tanto, un oscilador de sintonizado con alto factor decalidad Q tendrá una excelente estabilidad de frecuencia. Es por esta causa por laque los osciladores de cristal tienen una excelente estabilización en frecuencia.

Problemas

1. Respecto del oscilador de desfasamiento, verificar las ecuaciones (7.2.9) y(7.2.11).

2. Respecto del oscilador de desfasamiento, verificar las ecuaciones (7.2.17) y(7.2.19).

3. Para el circuito oscilador BJT de la fig. 7.2. determinar la frecuencia deoscilación y el valor mínimo de hfe dado que C = 0.01μF y R = Rc = 1kΩ.

4. Diseñar un oscilador de desfasamiento para f = 20 kHz si se tiene un BJTcon hfe = 80 y Rc = 2.2 kΩ.

5. Diseñar un oscilador de Antoniou para que oscile a una frecuencia de 2 kHzy que posea una tensión de salida de 4 V .


6. Sea un oscilador de puente de Wien como el de la Fig. 7.6. Demostrar que sila señal de salida es de la forma general vo = V sin

£¡t

RC

¢+ θ¤, donde θ es una

constante, las señales aplicadas a las dos entradas de los AOs son virtualmenteidénticas, una condición necesaria para el funcionamiento satisfactorio. Nóteseque si se intercambian las entradas inversora y no inversora y se asume que lasalida tiene la forma indicada antes, las señales en las dos entradas tambiénserán idénticas. Sin embargo, esta topología modificada no funcionará comooscilador. Explicar.

7. Un oscilador de puente de Wien se construye usando la topología básica de laFig. 7.6. Debido a la tolerancia de los componentes, las constantes de tiempode las ramas serie (Z1) y paralelo (Z2) de la realimentación dependiente dela frecuencia difiere en un 5%. ¿Cuántos valores en los componentes de latrayectoria de realimentación independiente de la frecuencia deben ajustarsepara garantizar oscilación?

8. Diseñar un oscilador en puente de Wien para que oscile a 100MHz con R =10kΩ.

9. Se construye un oscilador sinusoidal conectando la salida de un integradordoble (ver Fig. 9.30) con la entrada. Demostrar que se puede controlar laamplitud de la señal de salida variando la magnitud del resistor R

2 mostradoen dicha figura. Diseñar un circuito completo que produzca una señal de salidade 20V pico a pico a 1 kHz.

10. Para el caso de los osciladores de Colpitts y Hartley verificar las ecuaciones(7.2.32) a (7.2.42). Sugerencia: Emplear el método desarrollado en el Ejemplo(29).

11. Diseñar un oscilador de Colpitts para resonar a fo = 512 kHz. Determinar lafunción de tranferencia G (s).

12. La Fig. 7.16 muestra un oscilador Colpitts con base en un AO. Demostrar quela frecuencia de oscilación de este circuito está dada por

fo =1

2π

rC1 + C2LC1C2

con una selección adecuada de R2R1. Obsérvese en la Fig. 7.17 la respuesta

típica de este oscilador el cual fue realizado utilizando el AO TL084.

13. Determínese el valor de los capacitores necesarios en el oscilador Colpitts dela Fig. 7.16 si L = 0.001mH, R1 = R2

10 = 20 kΩ. La frecuencia de oscilación esde 500 kHz.


+

+

C2

+

C1

L

R2R1

A

Figura 7.16: Oscilador Colpitts utilizando un AO.

0.000us 25.00us 50.00us 75.00us 100.0us 125.0us 150.0us

4.000 V

2.000 V

0.000 V

-2.000 V

-4.000 V

A: l_1

Figura 7.17: Señal senoidal generada por el oscilador Colpitts.

14. Determínese el valor del capacitor necesario en el oscilador Colpitts de la Fig.7.16, si el inductor tiene un valor de 1μH. La frecuencia de oscilación es de500 kHz.

15. Diseñar un oscilador Colpitts para una frecuencia de oscilación de 720 kHz.Sustituir el inductor por un dispositivo activo y una red RC.

16. Un oscilador Hartley se diseña con L1 = 1mH,L2 = 30 μH y una capacitanciavariable.

(a) Determinar el rango de los valores de la capacitancia para el caso dondela frecuencia de oscilación varíe entre 1.2 y 2.55 MHz.

(b) Diseñar una etapa apropiada con AO para realizar esto.

Capítulo 8

Osciladores no sinusoidales

8.1 Introducción

En el capítulo anterior se estudiaron los osciladores lineales o de respuesta natural.Ahora se analizarán algunos osciladores no lineales también conocidos como genera-dores de señal. Este tipo de osciladores tienen muchas aplicaciones, especialmenteen sistemas de comunicaciones, FM y TV, también en sistemas digitales.

La salida de un oscilador no sinusoidal puede ser una onda de forma cuadrada, depulso, triangular o en diente de sierra. Esta forma de onda puede ser generada porAOs, comparadores, integradores, diferenciadores y los circuitos asociados, tambiénexisten CI especiales que permiten realizar estas funciones. El límite superior develocidad utilizable es determinado por el tiempo de respuesta de los dispositivosactivos que se utilizan en el circuito.

Los generadores de señales pueden operar como multivibradores los cuales asu vez pueden ser de tipo astable o de carrera libre, biestable o de dos estados ymonostable o de un estado inestable y otro estado estable.

8.2 Comparadores

Se iniciará el capítulo con el estudio del comparador, un dispositivo muy útil comocontrolador, en el manejo de señales para sistemas de comunicaciones, v.gr., sistemasde modulación delta. Ésta requiere que una señal continua sea sustituida por laaproximación de una señal en escalera. En cada punto de muestreo, la decisión desi la aproximación debe subir o bajar el escalón, se basa en una comparación de laaproximación de escalera con la función continua original [57].

Los sistemas de control realimentado suelen operar sobre la diferencia entre dosseñales. Los comparadores son ideales para estas aplicaciones, en las cuales se ob-

231

232 CAPÍTULO 8. OSCILADORES NO SINUSOIDALES

vi

VR

+V

-V

vo

vo

vi

+V

-V

VR

vo

vi

+V

-V

VR

vi

VR

+V

-V

vo

( )a

( )b

Figura 8.1: Operación de los dispositivos comparadores.

tiene una salida binaria. Por lo tanto, se puede considerar al comparador como unconvertidor A/D de un bit, que producirá una salida digital 1 (vo = +V ) siempreque la señal de entrada vi sea mayor que el nivel de referencia VR, y una salidadigital 0 (vo = −V ) si la tensión de entrada vi es inferior que el nivel de referenciaVR. Los niveles de salida suelen ser de polaridad opuesta (ver Fig. 8.1), aunqueno siempre es el caso. La característica de transferencia de un comparador ideal semuestra en la Fig. 8.1. La salida puede ser simétrica o asimétrica, dependiendo delas tensiones de polarización aplicadas. La salida de un comparador debe conmutarrápidamente entre los niveles extremos, por esta razón el ancho de banda debe sergrande, ya que cuanto más ancho sea, más rápida será la velocidad de conmutación(ver Capítulo 3). La precisión de un comparador práctico es la diferencia de tensiónrequerida entre la entrada y la referencia, para hacer que la salida cambie su estadode un valor de saturación a otro.

Se pueden plantear algunas diferencias entre el comparador y el AO : el compara-dor está diseñado para funcionar bajo condiciones de lazo abierto, por lo generalcomo un dispositivo de conmutación, en tanto que el AO normalmente funciona encondiciones de lazo cerrado, como amplificador lineal. Por lo demás los compara-dores son muy similares a los AOs. Al igual que el AO, el comparador tiene unatensión offset, una corriente de polarización y una corriente de offset. A menudolos comparadores se utilizan como interfaz entre señales digitales y analógicas. Lafuente de alimentación en el lado analógico (VCC = ±15 V ), es diferente de la co-rrespondiente del lado digital (VDD = 5 V ). Por lo general, los comparadores tienenuna etapa de salida de colector abierto, lo que permite suministros de alimentaciónpor separado para las partes analógica y digital.

8.2. COMPARADORES 233

-+v

v Vo

Vref

10V

-10V

1kHz

Vi

-5/5V

LM339

R2

R1

Rp

Figura 8.2: Circuito comparador de umbral no inversor. Nótese que el LM339requiere una resistencia pull—up, Rp, para polarizarse adecuadamente [48].

8.2.1 Comparadores de umbral

La tensión a la cual un comparador pasa de un nivel a otro se conoce como tensiónde cruce o de umbral [52]. Se puede ajustar su valor por medio de resistores, comose puede observar en el comparador no inversor de la Fig. 8.2. A partir del teoremade superposición, la tensión v+ en la terminal no inversora está dada por

v+ =R1

R1 +R2Vref +

R2R1 +R2

vi (8.2.1)

-5 -3.33 -1.67 112n 1.67 3.33 5-12

-8

-4

0

4

8

12

Xa: 7.000m Xb: 5.000mYc:-12.00 Yd:-12.00

a-b: 2.000mc-d: 0.000

freq: 500.0

X: 0.000 Offsets Y: 0.000 Offsets

Ref=Ground X=1.67/Div Y=voltage

dc

baA

Figura 8.3: Característica de transferencia del comparador de umbral.

Idealmente, el cruce ocurrirá cuando v+ = 0. Esto es,

R1Vref +R2ViL = 0

que da la tensión de umbral inferior del comparador ViL, para conmutar de abajohacia arriba.


-+v

v Vo

Vref

10V

-10V

1kHz

Vi

-5/5V

LM339

R2

R1

Rp

A

Figura 8.4: Configuración inversora para el comparador de umbral no inversor.

Resolviendo para Vic se obtiene:

ViL = −R1R2

Vref (8.2.2)

Esto significa que la tensión de salida se va al valor positivo de saturación cuandov+ > 0, esto es, cuando se llegue al valor ViL. Nótese que si Vref > 0, entoncesla conmutación ocurrirá en la región negativa de vi, mientras que si Vref < 0, laconmutación ocurrirá en la región positiva. La característica de transferencia (paraeste último caso), se muestra en la Fig. 8.3.

-5 -3.33 -1.67 107n 1.67 3.33 5-12

-8

-4

0

4

8

12

Xa: 5.000m Xb: 5.000mYc:-12.00 Yd:-12.00

a-b: 0.000 c-d: 0.000

freq: 0.000

X: 0.000 Offsets Y: 0.000 Offsets

Ref=Ground X=1.67/Div Y=voltage

dc

baA

Figura 8.5: Característica de transferencia del comparador de umbral.

Si la señal de entrada se conecta a la terminal inversora, como se muestra en laFig. 8.4, la salida cambiará de nivel alto a bajo. Esta situación se muestra en laFig. 8.5. La tensión de umbral superior del comparador, ViH , para cambiar de nivelalto a nivel bajo en este caso, se obtiene de

v+ =R1

R1 +R2Vref = v− = vi


LM339Vo

Vref

-10V

10V

1kHz

Vi

-5/5V R2

R1 Rp

Figura 8.6: Comparador de umbral en modo inversor.

De esta ecuación se puede observar que el valor de conmutación estará dado por

ViH =R1

R1 +R2Vref (8.2.3)

Por lo tanto, la tensión de salida será de nivel bajo cuando vi > v+, es decir, cuandovi > ViH . La característica de transferencia se muestra en la Fig. 8.5.

Figura 8.7: Característica de transferencia del comparador de umbral en modo in-versor.

Si tanto la señal de entrada vi como la señal de referencia Vref se conectan ala terminal inversora, como se muestra en la Fig. 8.6, la señal de salida será elinverso de la señal de entrada (desfase de 180), pero llevada a los valores extremosde saturación (±VCC , en el caso ideal). El procedimiento de análisis es similaral caso anterior. La característica de transferencia de este modo de conexión delcomparador de umbral, se muestra en la Fig. 8.7.


8.2.2 Disparador Schmitt

El disparador Schmitt es una clase de comparador, el cual utiliza la realimentaciónpositiva para acelerar el ciclo de conmutación. Con la realimentación positiva, unpequeño cambio en la entrada se amplifica y se vuelve a alimentar en fase. Estorefuerza la señal de entrada, llevando de esta forma a cambios mayores y más ve-locidad [57]. La realimentación incrementa la ganancia y hace más pronunciada latransición entre los dos niveles de salida, también mantiene al comparador en uno delos dos estados de saturación hasta que se aplique una señal suficientemente grandepara superar el estado, es decir, este sistema posee un ciclo de histéresis, el cualdepende del valor de los elementos asociados que conforman la red.

Disparador Schmitt no inversor

vv+-

LM339Vo

10V

-10V

1kHz

Vi

-8/8V

R2

R1

22 Rp

A

Figura 8.8: Disparador de Schmitt en el modo no inversor.

En la Fig. 8.8 se muestra un disparador de Schmitt en el cual la señal se aplicaal nodo positivo del comparador LM339, es decir, a la terminal no inversora. Paraanalizar esta red, se empieza con vi como una tensión positiva alta. Esto provocaque la tensión de salida, vo = Vsat, la tensión de saturación. La tensión v+, seencuentra aplicando la LCK en ese mismo nodo, es decir,

v+ − viR1

+v+ − voR2

= 0 (8.2.4)

Despejando v+

v+ = R1||R2µviR1

+voR2

¶(8.2.5)

Ahora se reduce la tensión de vi para encontrar el punto de conmutación. Puestoque v− = 0 y v+ = v− (cuando el comparador sale de saturación), se iguala la


Figura 8.9: Característica de transferencia de un disparador Schmitt en modo noinversor.

ecuación (8.2.5) a cero, obteniéndose

ViH = −R1R2

Vsat (8.2.6)

Cuando vi se reduce aún más, la tensión de salida, vo, cambia de +Vsat a −Vsat.El cambio ocurre en el punto donde v+ se hace cero, es decir, cuando vi alcanza elvalor dado en la ecuación (8.2.6). Cuando la tensión de entrada vi se reduce más, latensión de salida llega al valor −Vsat.

Si ahora se incrementa la tensión de entrada, a partir de una tensión negativagrande, la tensión de salida cambia a +Vsat cuando v+ = 0 = v−. Por lo tanto, elcambio ocurrirá en

ViL = −R1voR2

= −R1(−Vsat)R2

=R1R2

Vsat (8.2.7)

La tensión vo permanece en Vsat cuando vi se incrementa más allá de R1/R2Vsat.En la Fig. 8.9, se muestra la característica de transferencia del disparador de

Schmitt no inversor. Nótese el lazo generado por la histéresis que se presenta, comoya se mencionó, en este tipo de circuitos. El concepto de histéresis significa en estecaso que el circuito posee memoria. Esto es, la salida en cualquier tiempo particularno depende solo del valor presente de la entrada, sino de valores pasados [57].

Disparador Schmitt inversor

En la Fig. 8.10, se muestra el circuito correspondiente a un disparador Schmitt enmodo inversor. El análisis de esta red se realiza de modo similar al del caso anterior.


vv+-

LM339Vo

10V

-10V

1kHz

Vi

-8/8V

R2

R1

22 Rp

A

Figura 8.10: Disparador Schmitt en modo inversor.

El punto de conmutación se encuentra a partir de las ecuaciones [57],

v− = vi (8.2.8)

v+ =R1vo

R1 +R2(8.2.9)

Figura 8.11: Característica de transferencia de un disparador de Schmitt en modoinversor.

El circuito cambia de estado cuando las dos tensiones son iguales, es decir,

vi =R1vo

R1 +R2(8.2.10)

Cuando vo = +Vsat y vi se incrementa de un valor negativo grande hacia unatensión positiva, el punto de conmutación ocurre en

vi =R1vo

R1 +R2=

R1R1 +R2

Vsat (8.2.11)


Si vo = −Vsat y vi decrece desde un valor de tensión positiva grande, hacia unatensión negativa, el punto de conmutación ocurre en

vi =−R1

R1 +R2Vsat (8.2.12)

En la Fig. 8.11, se muestra la característica de transferencia del disparadorSchmitt que se ha venido analizando.

Disparador Schmitt con tensión de referencia

-

+v

vVref

LM339Vo

15V

-15V

1kHz

Vi

-10/10V R3

R2

R1

33 Rp

A

Figura 8.12: Disparador Schmitt con tensión de referencia.

En el circuito de la Fig. 8.12, se ha conectado una tensión de referencia, Vref ,al nodo inversor del comparador. Se puede realizar el análisis procediendo como enlos circuitos anteriores.

Si vo = Vsat y vi decrece desde un valor alto de tensión positiva hacia una tensiónnegativa entonces, aplicando la LCK al nodo v+

vi − v+

R1+

vo − v+

R2= 0

Puesto que v+ = v− = Vref , entonces,

v+ = R1||R2µviR1

+voR2

¶= Vref (8.2.13)

Despejando vi = ViH

ViH =

µ1 +

R1R2

¶Vref −

R1R2

Vsat (8.2.14)

Ahora, si vo = −Vsat y vi crece desde un valor grande de tensión negativa hacia unatensión positiva entonces, aplicando el mismo procedimiento de antes y teniendo en


cuenta el signo de la tensión de saturación, se llega a

ViL =

µ1 +

R1R2

¶Vref +

R1R2

Vsat (8.2.15)

Esto culmina el análisis. La Fig. 8.13, muestra la característica de transferenciadel circuito. Nótese que los puntos de conmutación calculados con las ecuaciones(8.2.14) y (8.2.15) están situados alrededor de vo = 0.

Figura 8.13: Característica de transferencia del disparador Schmitt con tensión dereferencia negativa.

8.3 Generador de ondas cuadradas

El generador de ondas cuadradas de la Fig. 8.14(a) produce una onda de la formaque se ilustra en la Fig. 8.14(b). Este circuito se conoce como multivibrador astableo autónomo debido a que tiene dos estados cuasiestables. Es decir, la salida vopermanece en un estado un tiempo T1 y después cambia abruptamente al segundoestado durante un tiempo T2. En consecuencia, el período de la onda cuadrada esT = T1 + T2.

Obsérvese que una fracción del voltaje vx se envía de regreso para retroalimentarla entrada de no inversión del AO A1. La fracción está determinada por R2 y R3 yes:

γ =R3

R2 +R3(8.3.1)

por tanto, el voltaje de entrada diferencial vi es:

vi = vc − γvx (8.3.2)

8.4. GENERADOR DE PULSOS 241

Cvi+_

_

+A1

Vc R

R3

R1

R2

Vx

DZ

_

+A2 vo

+Vz

γVz

-Vz

−γVz

vo

T

( )a ( )b

t

Figura 8.14: Generador de ondas cuadradas: (a) Diagrama circuital; (b) Forma deonda de salida.

Cuando vi > 0, vx = −Vz, cuando vi < 0, vx = +Vz+VD ≈ Vz a través del integradorformado por la red RC. El voltaje vx seguirá siendo constante en vx = −Vz hastaque vc = γvx = γVz. Cuando vc > γvx, la salida se invierte abruptamente demodo que vx = −Vz. El capacitor se descarga ahora de manera exponencial hacia−Vz. Dado que el AO A2 es únicamente un seguidor de tensión que se utiliza comoseparador (buffer), entonces, vo = vx.

Para 0 < t < T1 se puede probar que:

vc(t) = Vz[1− (1 + γ)e−t

RC ] (8.3.3)

Si T1 = T2 = T/2, entonces para t = T/2, vc = +γvx = +γVz, por lo que resolviendola ecuación (8.3.3) se obtiene para el período:

T = 2RCln1 + γ

1− γ= 2RCln

µ1 +

2R3R2

¶(8.3.4)

Nótese que T es independiente Vz. Este generador de onda es útil en el rango defrecuencia de 10 Hz a 10 kHz. A frecuencias más altas el SR de los AOs limitala pendiente de la onda de salida. La frecuencia se puede ajustar variando R. Lasimetría de la onda de salida depende de la semejanza de los diodos Zener.

La estabilidad de frecuencia depende principalmente de C y los diodos Zener.Para ampliar el intervalo de frecuencia, se debe seleccionar con cuidado el AO. Sila salida del AO (cuando está saturado) es constante y simétrica, entonces se puedeomitir R1 y los diodos Zener.


C _

+A1

R42

R3

R1

R2

Vz

DZ

_

+A2 vo

Vz

vo

T

R41 D1

D2

T1 T2

( )a ( )b

t

Figura 8.15: Generador de pulsos.

8.4 Generador de pulsos

Las ondas de forma de pulsos se utilizan en aplicaciones de temporización y muestreo.En la Fig. 8.15 se presenta un circuito generador de pulsos similar al del generadorde ondas cuadradas. El resistor R del lazo de retroalimentación negativa de laFig. 8.14(a) se sustituye por una red de diodos y resistores.

Cuando la salida es positiva, D1 conduce y el capacitor C se carga a través deR41. Cuando la salida es negativa, D2 conduce y el capacitor C se carga a través deR42. Si R41 < R42, entonces T1 < T2. De esta forma se obtienen pulsos en direcciónpositiva. Si se invierten los diodos o si R42 < R41, entonces se obtienen pulsos endirección negativa. La amplitud de los pulsos es:

T1 = R41Cln1 + γ

1− γ, T2 = R42Cln

1 + γ

1− γ(8.4.1)

El período del tren de pulsos es T = T1 + T2.

8.5 Generador de ondas triangulares

Se obtiene un generador de ondas triangulares cuando se integra una onda cuadrada.En la Fig. 8.14, esto se logra por medio de R y C. Cuando la tensión vc del capacitorse integra hasta γVz, el comparador invierte la pendiente de la tensión de integración.El resultado es una onda triangular. Sin embargo, como se puede observar en laFig. 8.14(b), la pendiente vc es bastante lineal; en realidad es exponencial. Lalinealidad se puede mejorar empleando solo la porción inicial de la tensión vc, locual puede lograrse haciendo γ pequeña. No obstante, se puede obtener una mejor

8.5. GENERADOR DE ONDAS TRIANGULARES 243

_

+A1

Vos

R3

R1

R2

Vx

DZ

_

+A2 vo

( )a ( )b

R4 Cf

Ros

+V

-V

VsRs

+V

-V

+Vz

-Vz

vs

T t0

Vosc

vs

t

γ

Figura 8.16: Generador de ondas triangulares.

linealidad de las ondas triangulares manteniendo un capacitor constante inyectandocorriente. Esto da por resultado una velocidad constante de cambio de tensión con eltiempo. Para lograr mejor control y mayor precisión, se puede utilizar un integradorindependiente, como se ilustra en la Fig. 8.16.

El integrador formado por A2, Rf y Cf integra la diferencia de tensión vs − Vs,en la cual la polaridad de vs cambia periódicamente. Por tanto, la tensión integradaaumentará y disminuirá en la cantidad Vs. La simetría es controlada por Vs. Elpunto medio de la onda triangular se ajusta por Vos, como se indica. El período dela onda triangular es:

T =2VppVzV 2z − V 2s

·RfCf (8.5.1)

donde Vpp, la tensión pico—pico de la onda, está dada por:

Vpp = 2Vz(1 +R3R2) (8.5.2)

Por tanto, la amplitud de la onda triangular se ajusta por medio de la razón R3/R2y Vz. Cuando Vpp es fijo, la frecuencia de la oscilación se determina por Rf , por Cf

o por ambas.

8.5.1 Generador de ondas en diente de sierra

Estos generadores son similares a los de ondas triangulares en que se genera unarampa lineal, como se muestra en la Fig. 8.17(b). Se utiliza una onda de forma


vL

T

T1 T2

Tvs

T1 T2

Figura 8.17: (a) Tren de pulsos (b) Integración de (a).

en diente de sierra para aplicaciones de barrido y visualización en pantallas. Paraobtener esta forma de onda se integra un tren de pulsos. En este caso T1 y T2 estándadas por la ecuación (8.4.1).

Q

MultivibradorMonoestable

+

_A2 vo_

+A1

VREF

I C

Figura 8.18: Generador de onda en diente de sierra.

En la Fig. 8.18 se presenta otro método para obtener una onda en forma dediente de sierra. Si I es una fuente de corriente constante, entonces:

vc(t) =I

Ct = αt (8.5.3)

que es una función rampa lineal. Entonces se aplica un voltaje vc(t) al comparadorA1. Cuando vc llega a una amplitud determinada VREF , el comparador activa elcircuito monostable que actúa como disparador de Q. Éste a su vez descarga elcapacitor C. Después se repite el ciclo. El amplificador A2 actúa como acoplador(buffer).

8.6. GENERADOR CONTROLADO POR VOLTAJE (V CO) 245

La frecuencia, depende de VREF , la corriente I, y la resistencia de encendido Rds

de Q, es decir:

T1 ∼=C

I· VREF , T2 ∼= 4RdsC (8.5.4)

Existen dispositivos comerciales capaces de generar múltiples funciones: on-das cuadradas, triangulares, senoidales, etc. (Intersil NE 8038, Signetics NE 566[ECG994 ], Exar 2206, etc).

8.6 Generador controlado por voltaje (V CO)

En los osciladores que se presentaron antes, la frecuencia de oscilación se puedecontrolar cambiando el valor de los componentes del circuito. Como su nombre loindica, la frecuencia de oscilación en un V CO es controlada por una señal de voltaje.

_

+A1

_

+A2

R2

R1

R1 DZ

vs

OndaCuadrada

vc

RfCf

vo

OndaTriangular

Figura 8.19: Generador de ondas cuadradas y triangualares controlado por frecuen-cia.

Se puede utilizar el circuito de la Fig. 8.19 como un V CO en el cual las frecuenciasde oscilación de las ondas cuadradas y triangulares son controladas por vc. La señalde control que se aplica al multiplicador se puede considerar como una señal demodulación. La operación del circuito es similar a la de modulación en frecuencia(FM).

La frecuencia de oscilación está dada por:

f0 =vc

20πRfCf(8.6.1)


Obsérvese que la frecuencia de oscilación es una función lineal del voltaje decontrol vc.

_

+A1

_

+A2

M1

Cf

Rf

vc

RfCf

vo

A tsenωo

A tcosωo

M2

Figura 8.20: Generador de ondas cuadradas cuya frecuencia es controlada por vc.

La frecuencia de un oscilador de ondas senoidales se puede regular en formaparecida. El circuito que se muestra en la Fig. 8.20 es un V CO sinusoidal cuyafrecuencia es regulada por el voltaje vc. La frecuencia de oscilación está dada por laecuación (8.6.1). Los dispositivos M1 y M2 son multiplicadores analógicos.

8.7 El temporizador 555

Se estudiará a continuación el temporizador 555, desarrollado por Signetics Co. en1972, el cual constituye uno de los circuitos integrados más versátiles y por lo tanto,más populares. Se utiliza en muchas aplicaciones como multivibrador astable omonostable, medidor de frecuencia, tacómetro, transmisor y en diferentes proyectosde control. Están disponibles diversas versiones del 555, de varios fabricantes. Estedispositivo, esencialmente, puede funcionar de dos modos:

• Como oscilador de carrera libre, para generar una señal rectangular continua,con frecuencia y ciclo de trabajo variables. Este modo de operación se deno-mina modo astable, puesto que el 555 opera como oscilador de funcionamientolibre.

• Como generador de un pulso simple, para crear un pulso de salida preciso. Estorecibe el nombre de operación en modo monostable. En este, el circuito no es

8.7. EL TEMPORIZADOR 555 247

de carrera libre sino que produce un pulso sencillo de duración predeterminadacada vez que se aplica a la entrada un pulso de disparo.

En la Fig. 8.21, se muestra el diagrama de bloques del temporizador 555. Eldispositivo está conformado por dos comparadores C1 y C2, un flip—flop RS, untransistor de descarga Q1 y una red resistiva divisora de tensión. El divisor detensión ajusta a 2VCC/3 la tensión de la terminal inversora del comparador C1 y aVCC/3 la tensión de la terminal no inversora del comparador C2.

R

R

R

VCC

R

S Q

Q

1

2

3

4

5

6

78

Restablecimiento

Descarga

Flip-flop

Comparador 1

Comparador 2

Umbral

Tensión de control

Disparador

Tierra

Salida

C1

C2

2V /3CC

V /3CC

Q1

Figura 8.21: Diagrama de bloques interno del temporizador 555.

Las entradas de restablecimiento, de umbral y de disparo controlan el estadodel flip—flop. Si la entrada de restablecimiento es baja, la salida Q del flip—flop esbaja y Q es alta. Con Q alta, la corriente fluye por la base del transistor Q1, y eltransistor se irá a saturación. Generalmente, esto proporciona una trayectoria paraque un capacitor, conectado externamente, se descargue.

La entrada de restablecimiento tiene como prioridad establecer el estado del flip—flop. Por lo tanto, independientemente de las entradas de los comparadores, Q esbaja si la entrada de restablecimiento es baja. Si el restablecimiento no se usa,entonces debe conectarse a la alimentación positiva VCC , de manera que no afecteel estado del flip—flop.

Si la entrada de disparo es menor que la tensión en la entrada no inversora deC2 (esto es, < VCC/3), la salida de C2, será alta. Como resultado, la salida Q delflip—flop se fijará en nivel alto, mientras que Q, se irá a nivel bajo y el transistor dedescarga Q1 estará desactivado (en corte).


Si la entrada de umbral es mayor que la tensión en la entrada inversora de C1(esto es, > 2VCC/3), la salida de C1 será alta. Como resultado, la salida Q delflip—flop se irá a nivel bajo. Por lo tanto, Q, se irá a nivel alto y el transistor dedescarga Q1, se irá a saturación, proporcionando una trayectoria de descarga.

8.7.1 Operación en modo astable

R2

R1

R

R

R

C

0.01 Fμ

+10V +5V

R

S Q

Q

1

2

3

4

5

6

7

8

Q1

-

+

-

+

C0V =

V

3CC

i C

iC

C

R2

R2 R1

C Vcc

+

-

C0V =2V

3CC

( )a

( )b

( )c

Figura 8.22: Operación en modo astable del 555.

El 555 puede operar en modo astable si se configura como en la Fig. 8.22. Laduración de la salida en alto o en bajo queda determinada por los resistores R1 yR2, así como por el capacitor C. Se va a suponer inicialmente que la salida estáen nivel alto, por lo que el flip—flop está fijado (Q en nivel alto). El transistor dedescarga Q1 se encuentra en corte. El capacitor C empieza entonces, a cargarsehacia VCC través de R1 y R2. En cuanto la tensión en el capacitor se hace igual a2VCC/3, la salida se conmuta a nivel bajo, y el capacitor C se descarga a través deR2 y el circuito interno del temporizador. Cuando la tensión en el capacitor llega alvalor VCC/3, la salida pasa a nivel alto y el capacitor se carga a través de R1 y R2.Entonces se repite el ciclo [52]. Las formas de onda para la tensión de salida y latensión a través del capacitor se muestran simuladas en la Fig. 8.23.

El capacitor se carga y descarga periódicamente entre 2VCC/3 y VCC/3. Supo-niendo que la tensión inicial en el capacitor es VC0 = VCC/3, el circuito equivalentedurante el período de carga es el que se muestra en la Fig. 8.22(b). La corriente de


0.000ms 0.500ms 1.000ms 1.500ms 2.000ms 2.500ms

12.50 V

10.00 V

7.500 V

5.000 V

2.500 V

0.000 V

-2.500 V

A: u1_3B: v2_1

Figura 8.23: Formas de onda.

carga iC(t) y la tensión en el capacitor vC(t) están dados por

iC(t) =2VCC

3(R1 +R2)exp

µ−t

(R1 +R2)C

¶(8.7.1)

vC(t) = VCC −2VCC3

exp

µ−t

(R1 +R2)C

¶(8.7.2)

En t = tc, vC |t=tc = 2VCC/3 y la ecuación (8.7.2) queda

2VCC3

=

∙1− 2

3exp

µ−tc

(R1 +R2)C

¶¸VCC ⇒ tc = (R1 +R2)C × ln 2

Por lo que el tiempo de carga está dado por

tc = 0.69315(R1 +R2)C (8.7.3)

Para el tiempo de descarga td, se tiene: el capacitor C se descarga a través del resistorR2 desde 2VCC/3, hasta VCC/3. Suponiendo que la tensión inicial del capacitor esVC0 = 2VCC/3, el circuito equivalente durante el período de descarga se muestra enla Fig. 8.22(c). La corriente iC(t) y la tensión en el capacitor vC(t) están dados por

iC(t) =2VCC3R2

exp

µ−tR2C

¶(8.7.4)

vC(t) =2VCC3

exp

µ−tR2C

¶(8.7.5)

En t = td, vC |t=t0 = VCC/3 y la ecuación (8.7.5) quedará:

VCC3

=2

3exp

µ−tdR2C

¶VCC ⇒ td = ln(2)R2C


Por lo que el tiempo de descarga está dado por

td = 0.69315R2C (8.7.6)

Por lo que el período de la onda de salida está dado por

T = tc + td = 0.69315(R1 +R2)C + 0.69315R2C = 0.69315(R1 + 2R2)C

y la frecuencia de oscilación será

fo =1

T=

1

0.69315(R1 + 2R2)C=

1.4427

C (R1 + 2R2)(8.7.7)

Se define el ciclo útil como la relación entre el tiempo de carga y el período, esdecir,

ξ , tcT=

R1 +R2R1 + 2R2

(8.7.8)

Ejemplo 31 Diseñar un multivibrador astable usando el LM555, para una frecuen-cia de 2 kHz, de modo que el ciclo útil sea del 60%. Se supone una tensión depolarización VCC = 10 V.

Solución:Se asigna el valor de C, v.gr., C = 0.01 μFPuesto que fo = 2 kHz ⇒ T = 1

f0= 0.5 ms

De la ecuación (8.7.8)

tc = 0.6× 0.5ms = 0.3 ms

td = (1− ξ)T = 0.4× 0.5 ms = 0.2 ms

De la ecuaciones (8.7.6) y (8.7.3) se obtiene:

R2 =0.2 ms

0.69315× 10−8 = 29 kΩ

R1 =0.3 ms

0.69315× 10−8 − 29 kΩ = 14.4 kΩ

8.7.2 Operación en modo monoestable

El multivibrador monoestable es un circuito electrónico generador de pulsos de undisparo. En estado de reposo, el nivel de salida es cero, el cual corresponde a su estadoestable, de ahí su nombre. La configuración del 555 en funcionamiento monoestablese muestra en la Fig. 8.24, donde se ha utilizado un multivibrador astable como


Multivibrador monoestableMultivibrador astable

B

.IC

+5V

1Gnd2Trg3Out4Rst 5Ctl6Thr7Dis8Vcc

555

+

C415nF

+C5 .01uF

A

+15V


555

+

C0.1uF+

C110nF

+

C2 10uF

0.01uF

D

RL110k

R415k

R533k

R62k

RL10k

R2.7kR32k

R21k

B

AB

A

Figura 8.24: Circuito monoestable disparado con un oscilador astable.

dispositivo de disparo. El capacitor externo C inicialmente se mantiene descargadodebido al transistor interno (Q1 en la Fig. 8.21). Cuando se aplica al pin 2 un pulsonegativo de valor inferior a VCC/3, el flip—flop es fijado (Q en nivel alto), con lo cualse libera el capacitor del cortocircuito y la salida se va a nivel alto. La tensión en elcapacitor, entonces se incrementa exponencialmente durante un período de tiempo,el tiempo de encendido, al final del cual la tensión llega a 2VCC/3. La tensión en elcapacitor C, es entonces

vC(t) = VCC

∙1− exp

µ−tR1C

¶¸(8.7.9)

En t = tp, vC |t=tp = 2VCC/3, y la ecuación (8.7.9) quedará

1.000ms 1.500ms 2.000ms 2.500ms 3.000ms 3.500ms 4.000ms 4.500ms 5.000msA: d_a 15.50 V

10.50 VB: rl_2 15.00 V

0.000 V

Figura 8.25: Formas de onda en la entrada y la salida del circuito monoestable.

2VCC3

= VCC

∙1− exp

µ−tpR1C

¶¸⇒ td = ln(3)R1C


Por lo que el tiempo de encendido está dado por

t = 1.1R1C (8.7.10)

El comparador entonces despeja al flip—flop (Q en nivel bajo), el cual a su vezdescarga al capacitor y lleva la salida a nivel bajo. La Fig. 8.25 muestra las formasde onda generadas en este modo de operación.

Durante el ciclo temporizado cuando la salida está en alto, otro pulso de disparono tendrá ningún efecto, hasta después de un intervalo de tiempo tp. Sin embargo,el circuito puede ser despejado (llevado a nivel bajo), durante este tiempo si seaplica un pulso negativo al terminal de restablecimiento (pin 4 ). La salida entoncespermanecerá en estado de nivel bajo hasta que un nuevo pulso de disparo sea apli-cado. Cuando la función de restablecimiento no está en uso, se recomienda que seaconectada al terminal VCC para evitar cualquier posibilidad de un disparo falso.

8.7.3 Generador de rampa

El multivibrador astable puede utilizarse como generador de rampas (generador dediente de sierra). Lo anterior se hace cargando el capacitor C con una fuente decorriente constante, y descargándolo a través del circuito interno del temporizador,como se muestra en la Fig. 8.26.

EB-

+v

Bv

Vo

D

Q2

+

C1 10nF

+

C 0.1uF


555

Vcc +5V

.IC

B

R12kRL10k

BA

B

Figura 8.26: Generador diente de sierra.

El capacitor se carga desde VCC/3 hasta 2VCC/3 con una corriente constante devalor VCC/R. Para un tiempo de carga tc, la variación en la tensión del capacitor∆vC está dada por

∆vC =2VCC3− VCC

3=1

C

Z tc

0

VCCR

dτ =VCCRC

tc =VCC3

(8.7.11)

8.8. LAZOS DE ENGANCHE POR FASE (PLL) 253

De donde se obtiene el tiempo de carga como,

tc =1

3RC (8.7.12)

Ahora, de la ecuación (8.7.8)

0.000us 20.00us 40.00us 60.00us 80.00usA: u2_3 5.000 V

0.000 VB: vo 4.000 V

0.000 V

Figura 8.27: Formas de onda del generador diente de sierra.

tc = ξT =RC

3(8.7.13)

Entonces, la frecuencia de oscilación libre está dada por

f0 =1

T=3ξ

RC(8.7.14)

Ejemplo 32 Diseñar un generador de rampa utilizando un multivibrador astable,de modo que ξ = 0.8, f0 = 2 kHz.

Solución:Asignando a C = 0.1μF , se obtiene para R, aplicando la ecuación (8.7.7):

R =3ξ

f0C=

3× 0.82000× 10−7 = 12 kΩ

Los valores paramétricos se muestran en la Fig. 8.26, mientras que las formasde ondas son las de la Fig. 8.27.

8.8 Lazos de enganche por fase (PLL)

En la Fig. 8.28 se muestra un diagrama de bloques de un circuito de enganche porfase. Los elementos del sistema son un comparador de fase, un filtro de lazo, un


vi voDetector de Fase Filtro Amplificador

VCO

Figura 8.28: Circuito PLL.

amplificador y un oscilador controlado por voltaje (V CO). Cuando el lazo se en-gancha sobre una señal periódica de entrada, la frecuencia del V CO es exactamenteigual a la de la señal de entrada. El detector de fase produce una señal dc o de bajafrecuencia proporcional a la diferencia de fase entre la señal de entrada y la señal desalida V CO. Esta señal sensible a la fase se pasa entonces a través del filtro de lazo yel amplificador y se aplica a la entrada de control del V CO. Si, v. gr., la frecuenciade la señal de entrada se desplaza ligeramente, la diferencia de fase entre la señalV CO y la señal de entrada se incrementará con el tiempo. Esto cambiará el voltajede control en el V CO de tal forma que lleve la frecuencia del V CO al mismo valorde la señal de entrada. Así, el lazo puede mantenerse enganchado cuando cambia lafrecuencia de la señal de entrada y el voltaje de entrada del V CO es proporcional ala frecuencia de la señal de entrada. Este comportamiento hace que los PLL seanútiles para la demodulación de las entradas FM , donde la frecuencia de la señalde entrada varía con el tiempo y contiene la información de entrada deseada. Elrango de frecuencias de la señal de entrada sobre las cuales el lazo puede mantenerseenganchado se denomina rango de enganche.

Un aspecto importante en el funcionamiento del PLL es el proceso de captura,por el cual el lazo va de la condición de desenganche a la de enganche sobre unaseñal. En la condicción de desenganche, el V CO corre a la frecuencia correspodientea un voltaje dc cero en su entrada de control. Esta frecuencia se denomina frecuenciacentral.

El detector de fase es un multiplicador análogo el cual multiplica las señalessenoidales. Así, la salida del detector multiplicador de fase contiene la suma yla diferencia de las componentes frecuenciales, se supone que el filtro (pasa—bajo)elimina las frecuencias superiores. La salida del filtro pasa—bajo, será una sinusoidecon una frecuencia igual a la diferencia entre la frecuencia central del V CO y lafrecuencia de la señal de entrada.


8.8.1 PLL en la condición de enganche

φi

+

_

φc KD F s( ) A vo

Koωosc1s

φosc

Figura 8.29: Diagrama de bloques de un PLL.

Bajo condiciones de enganche, existirá una relación lineal entre el voltaje de sal-ida del detector de fase y la diferencia de fase entre el V CO y la señal de entrada.Esta característica permite analizar el lazo en condición de enganche, utilizandoconceptos de retroalimentación de sistemas lineales. En la Fig. 8.29 se muestra undiagrama de bloques del sistema operando en este modo. La ganancia del compara-dor de fase es KD [V rad−1] de diferencia de fase, la función de transferencia delfiltro de lazo F (s), la ganancia del V CO es Ko rad s

−1V −1.Si se aplica un voltaje constante a la entrada de control del V CO, la frecuencia

de salida del V CO permanecerá constante. Sin embargo, el comparador de fase essensible a la diferencia entre la fase de la salida del V CO y la fase de la señal deentrada. La fase de la salida del V CO realmente es igual a la integral en el tiempode la frecuencia de salida del V CO, puesto que

ωosc(t) =dφosc(t)

dt(8.8.1)

φosc(t) =

Z t

0ωosc(t)dt+ φosc|t=0 (8.8.2)

ωosc = ωo +Kovo ωo: frecuencia central (8.8.3)

La función de transferencia en lazo cerrado es

voφi=

KDF (s)A

1 +KDF (s)AKos

=sKDF (s)A

s+KDKoAF (s)(8.8.4)

Usualmente se está interesado en la respuesta del lazo a variaciones de frecuencia enla entrada. Así, la variable de entrada es la frecuencia en lugar de la fase. Puestoque

ωi =dφidt

o ωi(s) = sφi (8.8.5)


entoncesvoωi=

vosφi

=KDF (s)A

s+KDKoAF (s)(8.8.6)

8.8.2 El filtro de lazo

Cuando se trabaja con PLL, es necesario considerar no solamente el comportamientodc descrito más arriba, sino también el comportamiento ac o transitorio el cual esgobernado por los componentes del filtro de lazo situado entre el detector de fasey el V CO. En efecto, es el filtro de lazo el que da la potencia de operación delPLL: Unicamente una resistencia y un capacitor es todo lo que se necesita paraproducir un ancho de banda arbitrariamente estrecho a cualquier frecuencia centralseleccionada.

v jo( ω)ωi

1Ko

Kv

ω

σ

jω

Figura 8.30: Lugar de las raíces y respuesta en frecuencia de un PLL de primerorden.

Se estudiarán algunos casos:

• No está conectado el filtro de fase. En esta condición F (s) = 1 y se obtieneun lazo de primer orden, es decir:

voωi=

Kv

s+Kv· 1Ko

(8.8.7)

donde Kv = KoKDA es el ancho de banda del lazo.

El filtro produce una característica de transferencia de paso—bajo de primerorden.

La respuesta calculada, corresponde a la modulación de frecuencia sobre laportadora de entrada a la salida del lazo de voltaje.


Si el lazo se engancha sobre una señal portadora y la frecuencia de esa por-tadora se hace variar sinusoidalmente en el tiempo con una frecuencia ωm,entonces se observará a la salida del lazo una sinusoide de frecuencia ωm.Cuando ωm se incrementa por encima de Kv, la magnitud de la sinusoide ala salida cae. Kv es entonces, el ancho de banda efectivo para la señal demodulación la cual está siendo demodulada por el PLL. El lugar de las raícesde este polo simple en función de la ganancia de lazo Kv se muestra en laFig. 8.30. También se muestra la respuesta en frecuencia para este caso.

v jo( ω)ωi

1Ko

Kv

ω

σ

jω

-ω1

2ω1-

φiDetectorde Fase

R

C

VCO

( )a

( )c( )b

Figura 8.31: (a) Filtro RC. (b) Lugar de las raíces. (c) Respuesta en lazo cerrado.

• Filtro RC de paso bajo. En este caso se obtiene un sistema de segundo orden:

F (s) =1

1 + sωi

(8.8.8)

vo(s)

ωi(s)=

1

Ko· 1

1 + sKv+ s2

ω1Kv

(8.8.9)

=1

Ko· Kvω1s2 + ω1s+Kvω1

(8.8.10)

vo(s)

ωi(s)=

1

Ko· ω2ns2 + 2ζωns+ ω2n

(8.8.11)


De esta expresión se tiene:

Kvω1 = ω2n (8.8.12)

ω1 = 2ζωn (8.8.13)

ζ =1

2

ω1ωn

=1

2

ω1√Kvω1

(8.8.14)

ζ =1

2

rω1Kv

(8.8.15)

ωn =pKvω1 (8.8.16)

Para que la respuesta sea plana en la banda pasante

ζ =1√2= 0.707 (8.8.17)

1√2

=1

2

rω1Kv

(8.8.18)

ω1 = 2Kv (8.8.19)

La frecuencia de −3dB de la función de transferencia vo/ωi será entonces:

ω3dB = ωn =pKvω1 =

√2Kv (8.8.20)

Una desventaja del lazo RC de segundo orden es que su ancho de banda esmanejado básicamente por la ganancia de lazo Kv como se muestra en laecuación (8.8.20).

Surgen situaciones en comunicaciones con PLL en las cuales se requiere unamplio rango de enganche para rastrear grandes variaciones en la frecuenciade la señal, también se puede requerir un lazo con ancho de banda estrechopara rechazar apropiadamente las señales fuera de banda. Si ω1 se hace muypequeño se cumple la condición; sin embargo, esto produce una respuestasubamortiguada.

• Filtro RC con cero. Agregando un cero al filtro del lazo, puede hacerse queel filtro del lazo tenga un polo pequeño, mientras que se mantiene una buenaamortiguación del lazo. Un circuito RC que proporciona el polo y el ceronecesarios para la respuesta del circuito se muestra en la Fig. 8.32(a), dondese ha adicionado un resistor de amortiguamiento R2. En este caso es posibleescoger independientemente el ancho de banda, el factor de amortiguación yla ganancia de lazo. La función de transferencia de este filtro está dada por:

F (s) =ω1ω2

s+ ω2s+ ω1

(8.8.21)


v jo( ω)ωi

1Ko

ω ≈-3dB K ·v

ω

σ

jω

φiDetectorde Fase

R1

C

VCO

( )a

( )c( )b

R2

- -ω ω2 1

ω1ω2

Figura 8.32: (a) Filtro con resistor de amortiguación. (b) Lugar de las raíces. (c)Respuesta en frecuencia.

donde:

ω1 =1

(R1 +R2)Cω2 =

1

R2C(8.8.22)

La función de transferencia del lazo será:

voωi=

ω1Koω2

· s+ ω2s2 + (ω1 +Kv)s+Kvω2

(8.8.23)

la frecuencia natural del lazo es

ωn =pKvω2 (8.8.24)

mientras que el factor de amortiguación será:

ζ =1

2

ω1 +Kv√Kvω2

(8.8.25)

En la Fig. 8.32(b) y (c) se muestra el lugar de las raíces para este filtro de lazoy la respuesta en lazo cerrado del sistema respectivamente.


Problemas

1. Verificar las expresiones (8.3.4) a (8.5.2).

2. Determínese la tensión de salida del disparador de Schmitt de la Fig. 8.12, sila tensión de entrada está dada por vi = 10 cos(120πt + π/2). Los valores delos parámetros son: VCC = 5 V , R1 = 33 kΩ, R2 = 120 kΩ. Suponer que latensión de saturación es inferior al 99% de la tensión de polarización.

3. Demostrar que si en el circuito disparador de Schmitt de la Fig.8.12, se conmu-tan la señal de excitación y la tensión de referencia, los niveles de conmutaciónestarán dados por las siguientes expresiones

ViH =R2

R1 +R2Vref +

R1R1 +R2

Vsat,

ViL =R2

R1 +R2Vref −

R1R1 +R2

Vsat

4. ¿Cuál será la relación entre los resistores R1 y R2, del problema 3, de modoque el ancho de la ventana de histéresis sea de 2 V ?

5. Calcular los resistores R1 y R2, del circuito de la Fig. 8.10, de modo que elancho de la ventana de histéresis sea de 5 V . Utilizar los demás parámetrosrequeridos, como aparecen definidos en el mismo circuito.

6. Considérese el oscilador de onda cuadrada de la Fig. 8.14, donde se utilizandiodos zener no simétricos Vz1 y Vz2. Suponiendo que la salida oscila entre V +zy V −z , donde V

+z = Vz1 + VD y V −z = Vz2 + Vd.

(a) Verificar que la duración de la sección positiva está dada por

T1 = RC ln1 + γV +z /V −z

1− γ

(b) Verificar que T2 (la duración de la sección negativa ), está dada por lamisma expresión, con V +z y V −z intercambiados.

(c) Si V +z > V −z , ¿será T1 mayor o menor que T2? Explicar.

7. Para el generador de onda triangular de la Fig. 8.16.

(a) Verificar que la velocidad de barrido para la rampa positiva está dada por(vo + Vs)/RC.

(b) Encontrar T1 y T2.


8. Diseñar, utilizando un temporizador 555, un circuito astable para los siguientescasos:

(a) f0 = 2 kHz, ξ = 25%, 50%, 75%.

(b) T = 1 ms, 0.1 s. Las mismas condiciones de (a) para ξ.

(c) Simular las respuestas de los circuitos.

9. Diseñar, utilizando un temporizador 555, un circuito monoestable para lossiguientes casos:

(a) f0 = 500 μs, ξ = 25%, 50%, 75%.



10. Diseñar, utilizando un temporizador 555, un circuito generador diente de sierrapara los siguientes casos:

(a) f0 = 5 kHz, ξ = 50%, 75%, 100%.



11. Un PLL tiene Ko = 2π(1 kHz/V ), kv = 500s−1 y una frecuencia de carreralibre de 500 Hz.

(a) Para las frecuencias de la señal de entrada de 250 Hz y 1 kHz, hallar vo.

(b) Ahora la señal de entrada se modula en frecuencia de modo que

ωi(t) = 2π600£1 + 0.15sen(2π × 103)t

¤Encontrar vo.

12. Un PLL tiene una frecuencia central de 105 rad/s, un Ko = 103 rad/V.s y un

KD = 1 V/rad. No hay otra ganancia en el lazo.

(a) Determinar el ancho de banda en la configuración de lazo de primer orden.

(b) Determinar la localización del polo del lazo del filtro, de modo que lospolos de lazo cerrado estén localizados a un ángulo de 45 radiados desdeel origen.

(c) Diseñar un filtro de lazo con un cero, que dé una frecuencia de cruce parala ganancia de lazo, de 100 rad/s. El desplazamiento de fase del lazo ala frecuencia de cruce del lazo deberá ser de −135.

Capítulo 9

Descripción Matricial de Redes

9.1 Introducción

Se pueden obtener las funciones características de una red lineal activa, tales como lafunción de transferencia, impedancia de entrada, etc., utilizando los métodos clási-cos de mallas y nodos (leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff). Sin embargo, esteprocedimiento puede conducir a relaciones muy complicadas y laboriosas que ha-cen difícil obtener un resultado de forma sistemática. Afortunadamente, hay modosmuy directos en los cuales se puede derivar las funciones de la red desde el diagramacircuital, sin necesidad de desarrollar los pasos intermedios de las ecuaciones de lared. Uno de los métodos de análisis más útiles, emplea la matriz indefinida de admi-tancias. Este método proporciona la matriz de los parámetros de admitancia parala caracterización de una red multiterminal por simple inspección de la misma. Laexpansión de la matriz por métodos convencionales, proporciona la función deseadade la red.

En este capítulo se discutirá la matriz indefinida de admitancia con algún detalle,así como una aplicación a las redes activas y, en particular, a redes RC combinadascon fuentes controladas y AOs.

9.2 La matriz indefinida de admitancias

Una red de multipolo flotante, Fig. 9.1, es una red con n terminales cuyos potencialesestán referidos a un punto (tierra) no conectado a la misma.

Tal circuito tiene las siguientes propiedades:

263

264 CAPÍTULO 9. DESCRIPCIÓN MATRICIAL DE REDES

Red LinealI1

I2

In Vn

V1

V2

Figura 9.1: Red multipolo flotante

1. Suma de corrientes igual a cero (Ley de Corrientes de Kirchhoff), es decir,

nXk=1

Ik = 0 (9.2.1)

2. Cada corriente Ik depende linealmente de la diferencia de potencial entre elk-ésimo terminal y el punto de referencia.

3. La red puede caracterizarse en forma matricial por el siguiente conjunto deecuaciones:⎡⎢⎢⎢⎣

I1I2...In

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

y11 y12 · · · y1ny21 y22 · · · y2n...

.... . .

...yn1 yn2 · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

V1V2...Vn

⎤⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎢⎣

I01I02...I0n

⎤⎥⎥⎥⎦ (9.2.2)

o en forma compacta,I = YV + I0

Donde I0k es la corriente que fluye en el k—ésimo terminal, cuando todos losterminales están conectados al nodo de referencia. Si todos los I0k son cero, el mul-tipolo se denomina autoexcitado. Se trabajará unicamente con multipolos inactivos.La matriz [Y ] se denomina matriz indefinida de admitancias, debido a que ningúnterminal de la red se tiene como referencia.

9.2. LA MATRIZ INDEFINIDA DE ADMITANCIAS 265

9.2.1 Propiedades de la matriz indefinida de admitancias

1. La suma de los elementos de cada columna es cero:

y1j + y2j + · · ·+ ynj = 0, j = 1, 2, · · · , n (9.2.3)

2. La suma de los elementos de cada fila es cero

yi1 + yi2 + · · ·+ yin = 0, i = 1, 2, · · · , n (9.2.4)

3. El determinante de la matriz es igual a cero ∆Y = |Y| = 0 (matriz de sumacero)

4. Todos los cofactores de primer orden son iguales Y ij = Y n

n , i = 1, 2, · · · , n.No es válida para cofactores de más alto orden.

Ejemplo 33 Encontrar la MIA en el circuito que se muestra en la Fig. 9.2.

4

321

- -

++

Vi VoC2

C1 G2

G1

Figura 9.2: Red pasiva sin nodo de referencia.

Solución:Planteando las ecuaciones normalizadas en los nodos correspondientes se tiene:

Y =

⎡⎢⎢⎣G1 + C1s −G1 −C1s 0−G1 G1 +G2 +C2s −G2 −C2s−C1s −G2 G2 + C1s 00 −C2s 0 C2s

⎤⎥⎥⎦Obsérvese que se cumplen las propiedades dadas en (9.2.3) y (9.2.4). También, elvalor del determinante es 0. (Verificar).


L

1 2

3

ii

ii

is

Gf

GGoGihf

Figura 9.3: Red activa sin nodo de referencia.

Ejemplo 34 Para la red activa de la Fig. 9.3 en contrar la matriz indefinida deadmitancias.

Solución:En este caso no es fácil escribir por simple inspección la MIA. Por lo tanto, se

escriben las ecuaciones de nodo:⎡⎣ is−hf ii−is + hf ii

⎤⎦ =⎡⎣ Gb +Gf +Gi −Gf −(Gb +Gi)

−Gf Gf +Go +GL −(Go +GL)−(Gb +Gi) −(Go +GL) Gb +Gi +Go +GL

⎤⎦⎡⎣ v1v2v3

⎤⎦Obsérvese que la matriz es simétrica; sin embargo, los componentes del vector decorrientes del lado izquierdo, son dependientes de las tensiones de nodo pues,

ii = Gi(v1 − v3)

Sustituyendo en las entradas correspondientes en el vector, se obtiene:⎡⎣ is−hfGi(v1 − v3)−is + hfGi(v1 − v3)

⎤⎦=⎡⎣Gb+Gf+Gi −Gf −(Gb +Gi)

−Gf Gf+Go+GL −(Go +GL)−(Gb +Gi) −(Go +GL) Gb+Gi+Go+GL

⎤⎦⎡⎣ v1v2v3

⎤⎦Trasladando los componentes dependientes al lado derecho, se llega a:⎡⎣ is

0−is

⎤⎦=⎡⎣ Gb+Gf+Gi −Gf −(Gb +Gi)

hfGi −Gf Gf+Go+GL −(hfGi +Go +GL)−[Gb+(hf+1)Gi] −(Go +GL) Gb+(hf+1)Gi+Go+GL

⎤⎦⎡⎣ v1v2v3

⎤⎦De donde, la matriz indefinida de admitancias, finalmente queda como:

Y =

⎡⎣ Gb +Gf +Gi −Gf −(Gb +Gi)hfGi −Gf Gf +Go +GL −(hfGi +Go +GL)

−[Gb + (hf + 1)Gi] −(Go +GL) Gb + (hf + 1)Gi +Go +GL

⎤⎦Nótese que se mantienen las propiedades dadas en las ecuaciones (9.2.3) y (9.2.4).

9.3. LA MATRIZ DEFINIDA DE ADMITANCIAS 267

9.3 La matriz definida de admitancias

Si uno de los terminales de la red se aterriza, es decir, se le asigna punto de referencia,entonces la matriz indefinida se transforma en definida, borrando la fila y la columnacorrespondiente al terminal aterrizado. Similarmente, un terminal aterrizado puedevolverse flotante y obtenerse la matriz indefinida sumando una fila y una columnade modo que se satisfagan las propiedades de suma—cero.

1 2

3

1 2

3

Figura 9.4: Conversión de una red de tres a dos puertos.

Supóngase, v. gr., que se tiene una red de tres terminales, como se muestra enla Fig. 9.4. La matriz indefinida de admitancias estará dada por:

Y =

⎡⎣ y11 y12 y13y21 y22 y23y31 y32 y33

⎤⎦Si se ha de aterrizar el terminal 3, para obtener la nueva matriz se borra la

columna 3 y la fila 3, es decir,

£Y¤3=

∙y11 y12y21 y22

¸(9.3.1)

La ecuación (9.3.1) se conoce como la matriz de admitancia de corto circuito deuna red de tres polos o de dos puertos, donde los terminales 1 y 3 constituyen unpuerto y los terminales 2 y 3 constituyen el otro. De la misma forma se podríanaterrizar los terminales 2 ó 3.

Inversamente, si se tiene la misma red aterrizada y se desea obtener la redflotante, se transforma la matriz así:

Y =

⎡⎣ y11 y12 −(y11 + y12)y21 y22 −(y21 + y22)

−(y11 + y21) −(y12 + y21) y11 + y12 + y21 + y22

⎤⎦ (9.3.2)


9.3.1 Reducción de multipolos

Un multipolo de más alto orden, puede reducirse a uno de más bajo orden porcontracción o supresión.

Contracción

Es la unión de dos o más terminales para formar uno solo. La nueva matriz seobtiene sumando las filas y columnas de los terminales unidos.

Ejemplo 35 Considérese el sistema dado en la Fig. 9.5.

V1

I11 2

3 4

V2

I2

I3 I4

V3 V4

3 Polos

3’

I’3

V’3

V1

I1 V2

I2

4 Polos

Figura 9.5: Reducción de un multipolo por contracción

Solución:

Los terminales 3 y 4 se han unido para formar el nuevo terminal 3’, obteniéndose:

Y =

⎡⎢⎢⎣y11 y12 y13 y14y21 y22 y23 y24y31 y32 y33 y34y41 y42 y43 y44

⎤⎥⎥⎦ (9.3.3)

£Y 0

¤=

⎡⎣ y11 y12 y13 + y14y21 y22 y23 + y24

y31 + y41 y32 + y42 y33 + y34 + y43 + y44

⎤⎦ (9.3.4)

Supresión

Es la operación de hacer algunos terminales inaccesibles. La corriente asociada conlos terminales suprimidos será cero. Para realizar esto se hace la partición de Krön en

9.3. LA MATRIZ DEFINIDA DE ADMITANCIAS 269

la matriz indefinida de admitancias para un n—polo con n− i terminales suprimidos,obteniéndose la forma de matriz de la ecuación (9.3.5):

I

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

I1I2...Ii−−Ij...In

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

y11 y12 · · · y1i | yij · · · y1ny21 y22 · · · y2i | yij · · · y2n...

... [Y11]... |

... [Y12]...

yi1 yi2 · · · yii | yij · · · yin−− −− −− −− | −− −− −−yj1 yj2 · · · yji | yjj · · · yjn...

... [Y21]... |

... [Y22]...

yn1 yn2 · · · yni | ynj · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

V1V2...Vi−−Vj...Vn

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭V⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭Vd

(9.3.5)donde £

Y11¤=

⎡⎢⎣ y11 · · · y1i...

. . ....

yi1 · · · yii

⎤⎥⎦ £Y12

¤=

⎡⎢⎣ y1j · · · y1n...

. . ....

yij · · · yin

⎤⎥⎦

£Y21

¤=

⎡⎢⎣ yj1 · · · yji...

. . ....

yn1 · · · yni

⎤⎥⎦ £Y22

¤=

⎡⎢⎣ yjj · · · yjn...

. . ....

ynj · · · ynn

⎤⎥⎦Entonces el sistema quedará:∙

I0

¸=

∙[Y11] [Y12][Y21] [Y22]

¸ ∙VVd

¸(9.3.6)

Desarrollando el producto en la ecuación (9.3.6), se obtiene:

I = [Y11]V+[Y12]Vd (9.3.7)

0 = [Y21]V + [Y22]Vd (9.3.8)

Despejando Vd de la ecuación (9.3.8) y sustituyendo su valor en la ecuación(9.3.7) se tiene:

I = [Y11]V − [Y12][Y22]−1[Y21]V (9.3.9)

Factorizando V se llega a

I =©[Y11]−[Y12][Y22]−1[Y21]

ªV = [Y 0]V (9.3.10)

donde[Y 0] = [Y11]−[Y12][Y22]−1[Y21] (9.3.11)

Siendo [Y 0] la matriz del sistema reducido por supresión.


1 2V1

I1 V2

I2

2 Polos

I3=0

V3

1 2

3

V1

I1 V2

I23 Polos

I3

V3

Figura 9.6: Reducción de un multipolo por supresión.

Ejemplo 36 Sea el sistema dado en la Fig.9.6. Suprimir el terminal 3 de la red.

Solución:

El sistema se puede definir a través de la matriz de admitancia

Y =

⎡⎣ y11 y12 y13y21 y22 y23y31 y32 y33

⎤⎦Haciendo la partición de la matriz se obtiene:£

Y11¤=

∙y11 y12y21 y22

¸ £Y12

¤=

∙y13y23

¸£Y21

¤=£y31 y32

¤ £Y22

¤−1=

∙1

y33

¸Entonces, la matriz nueva quedará:

[Y 0] =

⎡⎢⎢⎣y11 −

y13y31y33

y12 −y13y32y33

y21 −y23y31y33

y22 −y23y32y33

⎤⎥⎥⎦Conexión en Paralelo

La matriz indefinida de admitancias de multipolos conectados en paralelo se obtienesumando los correspondientes elementos de las matrices indefinidas individuales.Para una conexión en paralelo de m multipolos se obtiene:£

I¤=£ Pm

k=1[Y ](k)

¤ £V¤

9.4. FUNCIONES DE RED DE UN MULTIPOLO 271

Todos los m de las matrices deben ser del mismo orden. El orden de la matrizpuede incrementarse sumando filas y columnas de ceros.

Ejemplo 37 Encontrar la matriz total del sistema conformado por:

£Y¤(1)

=

⎡⎢⎢⎣G1 0 −G1 00 0 0 0−G1 0 G1 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦1234

£Y¤(2)

=

⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 G2 −G2 00 −G2 G2 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦1234

£Y¤(3)

=

⎡⎢⎢⎣C1s −C1s 0 0−C1s C1s 0 00 0 0 00 0 0 0

⎤⎥⎥⎦1234

£Y¤(4)

=

⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 0 0 00 0 C2s −C2s0 0 −C2s C2s

⎤⎥⎥⎦1234

Solución:Sumando las matrices anteriores se obtiene:

Y =

⎡⎢⎢⎣G1 + C1s −C1s −G1 0−C1s G2 + C1s −G2 0−G1 −G2 G1 +G2 +G3 −C2s0 0 −C2s C2s

⎤⎥⎥⎦1234

9.4 Funciones de red de un multipolo

Se pueden derivar directamente fórmulas para las más importantes funciones de redde un multipolo teniendo en cuenta las propiedades de suma cero y de los equico-factores de la matriz indefinida de admitancia correspondiente.

Recordando que el primer cofactor Y ij de una matriz [Y ] se obtiene, borrando la

i−ésima fila y la j−ésima columna de [Y ] y premultiplicando el menor correspon-diente por (−1)i+j . El segundo cofactor de [Y ] se denota por Y mn

ij . Éste se obtieneborrando las filas m y n y las columnas i y j y premultiplicando el menor resultantepor (−1)(i+j+m+n). Así,

Y mnij = (−1)(i+j+m+n)Y mn

ij (9.4.1)

Con estas definiciones se pueden expresar las más importantes funciones de unmultipolo.

Impedancia de Transferencia

Con relación al multipolo de la Fig. 9.7, se supone que la corriente Imn fluye en elterminal m y sale del terminal n y que todas las otras corrientes son cero:

Imn = Im = −In (9.4.2)


VmVi

im

Vmn

+

_

Imn

Vn

in

Red de n polos

Vij

+

_Vj

Figura 9.7: Red multipolo con n terminales.

También, Vij es el voltaje entre los terminales i y j, es decir,

Vij = Vi − Vj (9.4.3)

La impedancia de transferencia Vij/Imn, la cual es la caída de voltaje en los ter-minales i y j producida por la fuente de corriente Imn conectada entre los terminalesm y n, pueden ser derivados utilizando la propiedad de suma cero de la matriz deadmitancia de la red de n polos. De esto se obtiene:

Zijmn =

VijImn

= sgn(i− j) · sgn(m− n)Y mnij

Y nn

(9.4.4)

donde el segundo cofactor Y mnij , está definido como en (9.4.1) y

sgn x =

½1 si x > 0−1 si x < 0

(9.4.5)

Debido a la propiedad de equicofactor de la matriz indefinida de admitancias, sepuede utilizar cualquier otro cofactor Y i

j en lugar de Ynn, de la ecuación (9.4.4).

Impedancia en un Puerto

La impedancia en un puerto, se define como la relación entre el voltaje medido enlos terminales m y n resultante de la fuente de corriente Imn conectada a través deestos terminales (ver Fig. 9.7). La impedancia se puede obtener si en la ecuación(9.4.4) se hace i = m y j = n:

Zmn =Vmn

Imn=

Y mnmn

Y nn

(9.4.6)

9.4. FUNCIONES DE RED DE UN MULTIPOLO 273

Función de Transferencia de Tensión

La función de transferencia de tensión entre los terminales i, j y m, n se puedeobtener directamente, dividiendo la impedancia de transferencia en (9.4.4) entre laimpedancia en un puerto definida en (9.4.6). O sea,

Aijmn =

VijVmn

= sgn(m− n)sgn(i− j)Y mnij

Y mnmn

(9.4.7)

Nótese que los subíndices en Zijmn y Aij

mn indican que corriente Imn se inyectaen la red y que Im = −In; los superíndices corresponden al voltaje medido entrelos terminales i y j como consecuencia de la corriente Imn. Esta correspondenciade la variable de entrada (corriente aplicada a los terminales m, n) y la variable desalida (voltaje medido entre los terminales i y j) con los subíndices y superíndicesse invierte en los segundos cofactores de las ecuaciones correspondientes (9.4.4) y(9.4.7).

El significado físico de las ecuaciones de red dadas anteriormente se puede in-terpretar como sigue. Usando la matriz indefinida de admitancias, se puede elegircualquier par de puertos para el cálculo de una función de transferencia. En general,la tensión y la corriente de referencia están en terminales diferentes. Si se borra lacolumna j se hace Vj = 0 y se escoge el terminal j como la tensión de referencia.Si se borra la fila n significa que In no seguirá siendo determinada por las admi-tancias y tensiones de la red, sino por una restricción adicional. Usando el terminaln como el segundo terminal del puerto a través del cual se suministra corriente alcircuito, inmediatamente se nota que In = Im. Así, al borrar la columna j y la filan, ha resultado la matriz definida de (n − 1) polos cuyo j—ésimo polo es ahora elterminal de referencia. Las funciones de transferencia deseadas se pueden obtenerahora directamente usando la regla de Cramer, en términos del determinante de lasecuaciones restantes y el cofactor apropiado (suponiendo que existe, el cual es elcaso para las redes no degeneradas consideradas aquí).

Ejemplo 38 Encontrar la función de transferencia de la red en T-puenteada de laFig. 9.8.

Solución:La MIA se obtiene por inspección, es decir,

£Y¤=

⎡⎢⎢⎣G1 + C1s −G1 −C1s 0−G1 G1 + C2s −C2s 0−C1s −C2s G2 + (C1 + C2)s −G20 0 −G2 G2

⎤⎥⎥⎦ (9.4.8)

La función de transferencia de tensión es:


G1

C1 C2

31 2

G2

4

Figura 9.8: Circuito T−puenteado.

A2414 =V24V14

(9.4.9)

Puesto que m = 1, n = 4 e i = 2, j = 4, se obtiene

Y 1424 = −¯−G1 −C2s−C1s G2 + (C1 +C2)s

¯= C1C2s

2 +G1(C1 + C2)s+G1G2 (9.4.10)

y

Y 1414 =

¯G1 +C2s −C2s−C2s G2 + (C1 + C2)s

¯= C1C2s

2 + [G1(C1 + C2) +G2C2]s+G1G2 (9.4.11)

Así, de (9.4.8) se tiene

A2414 =s2 +G1s+

G1G2C1C2

s2 +

∙G1

µ1

C1+1

C2

¶+

G2C1

¸s+

G1G2C1C2

(9.4.12)

Nótese la facilidad del procedimiento desarrollado aquí, donde se obtuvo laMIApor inspección de la red de la Fig. 9.8 y se calculó la función de transferencia apli-cando la expresión (9.4.7).

9.5 La MIA de redes con elementos activos

Excepto por la propiedad de simetría, la cual solo es válida para redes pasivasrecíprocas, todas las demás propiedades, se mantienen. Sin embargo, hay ciertos

9.5. LA MIA DE REDES CON ELEMENTOS ACTIVOS 275

aspectos de la matriz indefinida que se han hallado útiles cuando se usa la matriz enconjunción con dispositivos activos tales como transistores o AOs. Se tratará estoen los siguientes apartados, notando algunas propiedades interesantes.

9.5.1 Transistores

La matriz de admitancia en corto circuito de un transistor bipolar en la configuraciónde emisor común se define por el diagrama equivalente del transistor mostrado en laFig. 9.9(a). Por inspección de la Fig. 9.9(a) se obtienen las ecuaciones del transistorde la configuración en emisor común en términos de sus parámetros de admitanciaen corto circuito como sigue:

vb

b ib

+

_yie y vre c y vfe b yoe

+

_vc

cic

ie

e

( )a

vb

bib

+

_yie y vre c y vfe b yoe

+

_vc

cic

ie

e

( )b

Figura 9.9: Equivalente del transistor en EC en términos de los parámetros y.

∙ibic

¸=

∙yie yreyfe yoe

¸ ∙vbvc

¸(9.5.1)

La MIA puede formarse ahora sumando la fila y la columna correspondiente alterminal emisor flotante del diagrama equivalente mostrado en la Fig. 9.9(b). Deaquí se obtiene:⎡⎣ ib

icie

⎤⎦=⎡⎣ yie yre −(yie + yre)

yfe yoe −(yfe + yoe)−(yie + yfe) −(yre + yoe) yie + yre + yfe + yoe

⎤⎦⎡⎣ vbvcve

⎤⎦ (9.5.2)

Rearreglando la matriz indefinida de modo que la matriz definida resultante, alborrar cualquier fila y columna, siempre aparecerá de la siguiente forma:

[y]e =

∙y11 y12y21 y22

¸=

∙yi yryf yo

¸(9.5.3)


De la ecuación (9.5.2), se puede obtener por transposición de colector y emisor:

Y =

⎡⎣ yie −(yie + yre) yre−(yie + yfe) yie + yre + yfe + yoe −(yre + yoe)

yfe −(yfe + yoe) yoe

⎤⎦ (9.5.4)

La ecuación (9.5.4), es la MIA del transistor en términos de los parámetros deadmitancia en emisor común. Borrando cualquiera de las filas o columnas se puedeobtener la matriz definida de emisor común, colector común o base común, la cualserá de la forma (9.5.3). En general los transistores se especifican en términos de losparámetros h (ver Fig. 9.10), en razón a que estos parámetros son particularmentefáciles de medir. De la Tabla 1.2, se pueden encontrar los parámetros y en términosde los parámetros h de emisor común:

vb

bib

+

_

hie

h vre ce h ife b hoe

+

_vce

cic

ie

e

+

_

Figura 9.10: Equivalente del transistor en EC en función de los parámetros h.

[y]e =

"1hie

−hrehie

hfehie

∆hehie

#(9.5.5)

Donde∆he = hiehoe − hrehfe (9.5.6)

Sustituyendo (9.5.5) en (9.5.4), se obtiene la MIA de un transistor en términos desus parámetros h de emisor común:

Y =1

hie

⎡⎣ 1 hre − 1 −hre−(hfe + 1) hfe +∆he + 1− hre hre −∆he

hfe −(hfe +∆he) ∆he

⎤⎦ (9.5.7)

Borrando cualquier fila y columna de (9.5.7), de nuevo aparece la matriz definida enla forma de (9.5.3).

Otro modo común de caracterizar un transistor es en términos de su circuitoequivalente T como se muestra en la Fig. 9.11. Procediendo de igual forma como


vbe

bib

+

_

+

_vce

cic

ie

e

rbrc(1- )α

a1-a ib

re

Figura 9.11: Circuito equivalente T para el transistor en emisor común.

antes, se puede obtener la matriz de admitancia en corto circuito de la Fig. 9.11, entérminos de los parámetros T :

[y] =1

rbre+rerc+(1−α)rbrc

∙re + (1− α)rc −re

αrc − re rb + re

¸(9.5.8)

Expandiendo y rearreglando, se obtiene la MIA correspondiente:

Y =1

rbre+rerc+(1−α)rbrc

⎡⎣ re + (1− α)rc −(1− αrc) −re−rc rb + rc −rb

αrc − re −(αrc + rb) rb + re

⎤⎦ (9.5.9)

Aquí, de nuevo, se puede obtener la matriz de admitancia de corto circuito paracualquier configuración del transistor en la forma de (9.5.3), borrando la correspon-diente fila y columna en (9.5.9).

9.5.2 Fuentes controladas

En el análisis de redes usando la matriz de admitancias, uno de los problemas quesurge es que la mayoría de los elementos ideales activos no posee matriz de admi-tancias.

La fuente independiente más común, es la fuente de corriente o de tensión dedos terminales. Generalmente, constituyen la entrada a un sistema (generador deseñal). En contraste, la fuente controlada es una fuente dependiente de cuatroterminales, la cual consiste de una fuente de corriente o de tensión, cuyo valor en losdos terminales controlados, depende de la corriente o voltaje en los dos terminales decontrol. Así, hay cuatro posibles combinaciones de fuentes controladas; la fuente devoltaje controlada por voltaje (V CV S), fuente de corriente controlada por voltaje(V CCS), fuente de voltaje controlada por corriente (CCV S) y fuente de corriente


( ) a VCVS: I = 1 0V = 2 μV1

V1 V2

I1= 0 I2

V V2 1= μ V1 V2

I1= 0 I2

I V2 1= g

V1= 0 V2

I1 I2

rI1 V1= 0 V2

I1 I2

αI1

( ) b VCCS: I = I

1 02 = gV1

( ) Cc CVS: V = 1 0V = rI2 1

( ) CCd CS: V = I

1 02 = Iα 1

Figura 9.12: Topologías de fuentes controladas y su definición.

controlada por corriente (CCCS). La dependencia en cada caso es unilateral, esdecir, no hay transmisión en la dirección inversa.

Los modelos circuitales correspondientes para las fuentes controladas ideales ysus ecuaciones características se muestran en la Fig. 9.12. Los modelos son ideales,puesto que todas las entradas, salidas e impedancias de realimentación se conside-ran, o bien cero o infinito. Los parámetros de dos puertos para las cuatro fuentescontroladas ideales se listan en la Tabla 9.1.

Nótese que la matriz de admitancia solo existe para la V CCS. Es notabletambién, que únicamente existe la matriz de transmisión para todas las fuentes con-troladas ideales. Esta situación se puede remediar si se consideran como elementos

Tabla 9.1: Parámetros de dos puertos para fuentes controladasFuente [zij ] [yij ] [hij ] [gij ] [aij ]

V CV S − − −∙0 0μ 0

¸ ∙ 1μ 0

0 0

¸V CCS −

∙0 0g 0

¸− −

∙0 1

g

0 0

¸CCV S

∙0 0r 0

¸− − −

∙0 01r 0

¸CCCS − −

∙0 0α 0

¸−

∙0 00 1

α

¸


V1 V2

I1I2

V V2 1= μ V1 V2

I1 I2

gV1

V1= 0 V2

I1 I2

rI1 V1 V2

I1 I2

αI1

zo

ziyi yo

zi

zo

zi yo

( ) a VCVS: V = z I1 i 1

V = V + z I2 1 o 2μ

( ) b VCCS: I = y VI

1 i 1

2 1 o 2= gV + y V

( ) Cc CVS: V = z I1 i 1

V = rI + z I2 1 o 2

( ) Cd CCS: V = z II

1 i 1

2 1 o 2= I + y Iα

Figura 9.13: Fuentes controladas no ideales y su definición.

activos no ideales. Esto significa que se suponen impedancias finitas o el elementocontiene impedancias parásitas. Esta no es una desventaja real, puesto que el ele-mento activo no ideal, corresponde más cercanamente a la realidad práctica.

Así, las versiones no ideales de las fuentes controladas ideales, se pueden represen-tar como en la Fig. 9.13, donde se ha agregado a los elementos ideales impedanciasde entrada y salida finitas. Con estas impedancias, ahora existen las matrices ycorrespondientes (ver Tabla 9.2) y, por lo tanto, se puede hacer análisis múltiple delas redes activas que contengan fuentes controladas usando la MIA.

Tabla 9.2: Matrices de admitancia de fuentes controladas no ideales.

[y]V CV S =

⎡⎢⎣ 1

zi0

− μ

zo

1

zo

⎤⎥⎦ [y]V CCS =

⎡⎢⎣ 1zi 0

g1

zo

⎤⎥⎦

[y]CCV S =

⎡⎢⎣ 1

zi0

− r

zizo

1

zo

⎤⎥⎦ [y]CCCS =

⎡⎢⎣ 1zi 0

α

zi

1

zo

⎤⎥⎦


9.5.3 El amplificador operacional

( )b

Ro

Ri

( )a

v1

v2

i1

i2

A v vo( - )2 1

i3

vo

i1

i2

A v vo( - )2 1vo

i3

Figura 9.14: (a) Amplificador operacional ideal. (b) Amplificador operacional real.

El AO básicamente, es una clase especial de fuente controlada; específicamenteuna V CV S de muy alta ganancia (el AO ideal tiene ganancia infinita). Idealmente,se puede representar por la fuente controlada de la Fig. 9.14(a). El AO puede usarseen modo diferencial (fuente de señal entre los terminales 1 y 2) o en modo simple(la señal conectada entre uno de los terminales, 1 ó 2 y tierra). La tensión de salidavo es de polaridad opuesta a la del terminal de entrada v1 y de la misma polaridadde v2.

El AO ideal tiene una impedancia de entrada infinita (no carga la fuente de señalde entrada), impedancia de salida cero y señal de salida cero, cuando la tensión deentrada es cero (desplazamiento cero).

Las ecuaciones que definen al AO son:

i1 = i2 = 0 (9.5.10)

vo = Ao(v2 − v1) = −Aovd (9.5.11)

Donde Ao →∞ y v1 − v2 = vd. La condición de desplazamiento cero, establece que

vo|vd=0 = 0 (9.5.12)

De la ecuación (9.5.10), se deduce que para el AO no existe la matriz indefinidade admitancias. Como con otras fuentes controladas ideales, se deben introducirimpedancias de entrada y salida con el fin de obtener la matriz indefinida. Además,en el caso del AO, se debe asumir que la ganancia Ao es finita. La representaciónmás real del AO se muestra en la Fig. 9.14(b).

Para la determinación de la matriz de admitancias, se puede transformar la fuentede tensión dependiente a la fuente de corriente correspondiente, como se indica enla Fig. 9.15.


RoRi

i1

i2

Ao vo

i3

RoRiRi

i1

i2

RiRi

i2

RiRi

i2

Ri

v2

v1

( - )v v2 1

Figura 9.15: Red equivalente del amplificador operacional con fuente de corriente.

El AO está definido en términos de los parámetros de la matriz definida deadmitancias. A partir de ésta, se obtienen las ecuaciones que lo definen, como semuestra a continuación:⎡⎣ i1

i2i3

⎤⎦ =⎡⎣ 1

Ri− 1

Ri0

− 1Ri

1Ri

0AoRo

−AoRo

1Ro

⎤⎦⎡⎣ v1v2vo

⎤⎦ (9.5.13)

Ejemplo 39 Encontrar la función de transferencia de la red de la Fig. 9.16.

_

+A1→∝

vi1 ya

yb

yd

yc

ye

2 3

4vo

Figura 9.16: Red con un amplificador operacional.

Para facilitar el proceso se divide la red en las partes pasiva y activa, como semuestra en la Fig. 9.17. Nótese que se usa la matriz indefinida de admitancias.


De la Fig. 9.17(a), se obtiene:

1 2 3 4 5

£Y¤a

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ya −ya 0 0 0−ya ya + yb + yc + yd −yc −yd −yb0 −yc yc + ye −ye 00 −yd −ye yd + ye 00 −yb 0 0 yb

⎤⎥⎥⎥⎥⎦12345

(9.5.14)

vi1 ya

yb

yd

yc

ye

2 3

4

( )a

( )b

1 2 3

Ri

5

A v vo( - )5 3

Ro

4

Figura 9.17: Descomposición de la red activa en dos subredes.

Para el AO se usa la expresión hallada antes:

1 2 3 4 5

£Y¤b

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1

Ri0 − 1

Ri

0 0 AoRo

1Ro

−AoRo− 1

Ro

0 0 − 1Ri− Ao

Ro− 1

Ro

1Ri+ 1

Ro+ Ao

Ro

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦12345

(9.5.15)


Sumando las matrices [Y ]a y [Y ]b se llega a:

1 2 3 4 5

Y =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ya −ya 0 0 0−ya yσ −yc −yd −yb0 −yc yc + ye +

1Ri

−ye − 1Ri

0 −yd −ye + AoRo

yd + ye +1Ro

−Ao+1Ro

0 −yb − 1Ri− Ao

Ro− 1

Royb +

1Ri+ 1

Ro+ Ao

Ro

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦12345

donde yσ = ya + yb + yc + yd.De aquí se obtiene:

vovi=

v45v15

= sgn(4− 5) sgn(1− 5)Y¯1545

Y¯1515

(9.5.16)

1 2 3£Y 1545

¤=

⎡⎣ −ya yσ −yc0 −yc yc + ye +

1Ri

0 −yd −ye + AoRo

⎤⎦ 234

(9.5.17)

También:

2 3 4£Y 1515

¤=

⎡⎣ yσ −yc −yd−yc yc + ye +

1Ri

−ye−yd −ye + Ao

Royd + ye +

1Ro

⎤⎦ 234

(9.5.18)

En lugar de expandir los determinantes anteriores, se pueden observar algunascaracterísticas peculiares en este tipo de red. Si el AO tiene ganancia suficientementealta, la función de red resultante depende solo de las admitancias pasivas. Si este esel caso, se puede hacer A0 →∞. Esto significa que en los determinantes anteriores,los términos no multiplicados por Ao, serán despreciables. Por lo que se obtiene:

Y 1545¯Ao→∞ = −yayc

Ao

Ro

¯Ao→∞

(9.5.19)

Y 1515¯Ao→∞ = yσye

Ao

Ro+ ydyc

Ao

Ro

¯Ao→∞

= (ycyd + yeyσ)Ao

Ro

¯Ao→∞

(9.5.20)

o sea:vovi= − yayc

ycyd + ye(ya + yb + yc + yd)(9.5.21)


9.6 Circuitos con AOs

Los cálculos en el ejemplo anterior fueron simplificados notablemente aprovechandola propiedad del AO de poseer una ganancia muy alta (cerca a infinito). Utilizandoalgunos resultados de teoría de redes, A. Nathan [47], demostró que se puede simpli-ficar significativamente el análisis de redes activas que contienen AOs. Se considerandos casos específicos: cuando se tiene un arreglo con ganancia infinita, el cual equiv-ale a un AO realimentado en modo no inversor y el caso de ganancia finita, el cualcorresponde al AO conectado a la red en forma inversora.

9.6.1 Amplificador operacional con ganancia finita

12 N

Red de +1 polos

n i

j

n

ii= 0VVS

vi μvi vj

n+1

Figura 9.18: Red de n+ 1 terminales conectada a una fuente de tensión controladapor tensión ideal aterrizada.

Considérese la V CV S con ganancia μ, conectada a los nodos i y j de la redaterrizada de (n + 1) terminales, como se muestra en la Fig. 9.18. En este caso laV CV S introduce una restricción en la red de la forma

vj = μvi (9.6.1)

De la matriz definida de admitancias [y0] de la red sin restricciones, se puedederivar directamente una regla simple, por medio de la cual obtener, de la red conrestricciones, la matriz definida requerida [y]:

μ finita: En la matriz no restringida [y0], se suma la columna j multiplicada porμ a la columna i y entonces se borra la fila y la columna j. El resultado es la matrizcon restricciones [y].

La justificación del primer paso de esta regla que involucra las columnas i y j,se debe a la expresión vj = μvi, la cual implica una forma de contracción de nodos

9.6. CIRCUITOS CON AOS 285

entre los nodos i y j del multipolo N . El segundo paso (borrar la fila i y la columnaj), sigue de la impedancia de salida cero de la V CV S. Con ello, la corriente en elnodo j estará aislada de los efectos de cualquier otra fuente diferente a la V CV Smisma. Así, ij depende de la restricción y no de las ecuaciones de la red, por lo quela j−ésima ecuación puede eliminarse.

Ejemplo 40 Encontrar la función de transferencia en el circuito de la Fig 9.19.

vi1 y1

2

y4

y3

y5

2 34 voμ

y6y

Figura 9.19: Red activa en la cual se emplea un AO como V CV S.

Solución:

£y0¤=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣y1 −y1 0 0−y1 yσ1 −y3 −y40 −y3 yσ2 −y50 −y4 −y5 yσ3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.2)

donde yσ1 = y1 + y2 + y3 + y4, yσ2 = y3 + y5 + y6, yσ3 = y4 + y5.Restricción:

v4 = μv3 (9.6.3)

Se puede eliminar el nodo 4, después de sumar la columna 4 multiplicada por μ a lacolumna 3, así:

[y] =

⎡⎣ y1 −y1 0−y1 yσ1 −(y3 + μy4)0 −y3 y3 + y6 + y5(1− μ)

⎤⎦ (9.6.4)

Nótese que los nodos n y j se han eliminado (están aterrizados). Por lo tanto:

v4v1= μ

v3v1= μ

y13

y11

= μy13y11


y13 =

¯−y1 yσ10 −y3

¯= y1y3 (9.6.5)

y

y11 =

¯yσ1 −(y3 + μy4)−y3 y3 + y6 + y5(1− μ)

¯= yσ1(y3 + y6 + y5 − μy5)− y3(y3 + μy4) =

= yσ1(y3 + y5 + y6)− μy5yσ1 − y23 − μy3y4 =

= (y1 + y2 + y3 + y4)(y3 + y5 + y6)− y23 − μ(y3y4 + y5yσ1) =

= (y1 + y2 + y4)(y3 + y5 + y6) + y3(y5 + y6)− μ(y3y4 + y5yσ1) (9.6.6)

De donde:

A(s) =μy1y3

(y1 + y2 + y4)(y3 + y5 + y6) + y3(y5 + y6)− μ[y3y4 + y5(y1 + y2 + y3 + y4)](9.6.7)

Ejemplo 41 Encontrar la función de transferencia en el circuito de la Fig. 9.20.

μ1 μ2vi

G1 21

C1

3 G2

C2

4 5 vo

Figura 9.20: Filtro activo pasa bajo utilizando AOs como V CV S.

Solución:Restricciones:

v3 = μ1v2 (9.6.8)

v5 = μ2v4 (9.6.9)

Matriz definida de admitancias:

[y0] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣G1 −G1 0 0 0−G1 G1 +C1s 0 0 −C1s0 0 G2 −G2 00 0 −G2 G2 + C2s 00 −C1s 0 0 C1s

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.10)


De aquí se llega a:

[y] =

⎡⎣ G1 −G1 0−G1 G1 +C1s −μ2C1s0 −μ1G2 G2 + C2s

⎤⎦ (9.6.11)

Así,

A(s) =vovi=

v5v1= μ2

v4v1= μ2

y14

y11

(9.6.12)

Puesto que la matriz original (9.6.10) se ha reducido a la matriz 3 × 3 (9.6.11),entonces el cofactor y1

4se reduce a y1

3= y13. Por lo tanto:

y13 = μ1G1G2

y11 = (G1 + C1s)(G2 + C2s)− μ1μ2C1G2s =

= C1C2s2 + [G1C2 + (1− μ1μ2)C1G2]s+G1G2

De donde,

A(s) =μ1μ2G1G2

C1C2· 1

s2 +

∙G1C1

+ (1− μ1μ2)G2C2

¸s+

G1G2C1C2

(9.6.13)


μv i

G1 21

G2

C2

4 vo3

G3C1

Figura 9.21: Filtro activo pasa banda usando un AO como V CV S.

Solución:Restricciones:

vo = v4 = μv3 (9.6.14)


[y0] =

⎡⎢⎢⎣G1 −G1 0 0−G1 G1 +G2 + (C1 + C2)s −C2s −G20 −C2s G3 + C2s 00 −G2 0 G2

⎤⎥⎥⎦ (9.6.15)

[y] =

⎡⎣ G1 −G1 0−G1 yT −(μG2 + C2s)0 −C2s G3 + C2s

⎤⎦ (9.6.16)

dondeyT = G1 +G2 + (C1 + C2)s (9.6.17)

y13= y13 =

¯−G1 yT0 −C2s

¯= G1C2s

y11= y11 =

¯yT −(μG2 + C2s)−C2s G3 + C2s

¯= yT (G3 + C2s)− (μG2 + C2s)C2s (9.6.18)

y13y11

=v3v1

A(s) =v4v1= μ

v3v1=

μC2G1s

yT (G3 + C2s)− (μG2 + C2s)C2s(9.6.19)

La cual, después de un proceso algebraico, conduce a la expresión:

A(s) =μG1C1

s

s2 +

µG1 +G3

C1+

G3C2

+ (1− μ)G2C1

¶s+

(G1 +G2)G3C1C2

(9.6.20)

que corresponde a un filtro pasabanda, si μ no es muy grande.

Ejemplo 43 (a) Demostrar que el circuito de la Fig. 9.22, puede simular unainductancia a tierra si R1 > R2. (b) Hallar el margen de frecuencias en el queQ = ωL/R de la inductancia, es mayor que la unidad.

Solución:La matriz no restringida se forma por inspección de la red:

[y0] =

⎡⎣ 1R2+ Cs −Cs − 1

R2−Cs 1

R1+Cs 0

− 1R2

0 1R2

⎤⎦ (9.6.21)


μ =1vi21

Cvo

3

R1

R2

Zi

Figura 9.22: Simulación de una inductancia con una red activa.

Restricción:vo = v3 = μv2 (9.6.22)

Entonces, se suma la columna 2 con la columna 3 multiplicada por μ, se borra lacolumna 3 y la fila 3, obteniéndose:

[y] =

"1R2+ Cs −

³μR2+ Cs

´−Cs 1

R1+Cs

#(9.6.23)

La impedancia del puerto de entrada está dada por la expresión (9.4.6), entonces

Zi = Z1 =V1I1=

y11

|y| =1R1+ Cs³

1R2+ Cs

´³1R1+ Cs

´− Cs

³μR2+ Cs

´ (9.6.24)

Si μ = 1 entonces,

Zi = R21 +R1Cs

1 +R2Cs(9.6.25)

En forma fasorial:

Zi = R21 + jωR1C

1 + jωR2C(9.6.26)

Racionalizando (9.6.26) y separando parte real e imaginaria se llega a

Zi =R2(1 + ω2R1R2C

2)

1 + ω2R22C2

+ jωR2C(R1 −R2)

1 + ω2R22C2= R+ jωL (9.6.27)

(a) De la ecuación (9.6.27) se observa que Zi es inductiva si

R1 > R2 (9.6.28)


(b) El factor de calidad Q está dado por

Q =ωL

R=

ωC(R1 −R2)

1 + ω2R1R2C2> 1 (9.6.29)


R1R2C2ω2 − (R1 −R2)Cω + 1 < 0 (9.6.30)

Resolviendo la anterior desigualdad se llega a

ω1 <R1 −R2 +

pR21 − 6R1R2 +R22

2R1R2C

ω2 <R1 −R2 −

pR21 − 6R1R2 +R22

2R1R2C

Por lo tanto, el rango de frecuencias pedido será:

∆ω =

pR21 − 6R1R2 +R22

R1R2C(9.6.31)

Sin embargo, esta expresión es válida si y solo si, el discriminante es positivo.Para investigar esto, definamos k = R1/R2. Introduciendo esta expresión en laecuación y arreglando términos se llega a:

∆ω =1

R1C

pk2 − 6k + 1 (9.6.32)

la cual tiene solución real para k ≥ 3 + 2√2 = 5.8284. Esto da una restricción

adicional para el problema y es que R1 > (3 + 2√2)R2, para la realización física de

la inductancia, v. gr., si k = 6, entonces ∆ω = 1/R1C, R1 = 6R2.

Ejemplo 44 (a) Demostrar que el circuito de la Fig. 9.23, puede simular unainductancia a tierra si μ > 1. (b) Demostrar que la parte real de Zi es cero (Q→∞),a la frecuencia

ω =1

R2C

sR1 +R2R1(μ− 1)

Solución:La matriz no restringida se forma por inspección de la red:

[y0] =

⎡⎣ 1R1

− 1R1

0

− 1R1

1R1+ 1

R2+ Cs −Cs

0 −Cs Cs

⎤⎦ (9.6.33)


μ >1vi

2

1

C

vo3

R1

R2

Zi

Figura 9.23: Simulación de una inductancia a través de una red RC.

Restricción:vo = v3 = μv1 (9.6.34)

Se suma la columna 1 con la columna 3 multiplicada por μ, se borra la columna 3y la fila 3 quedando

[y] =

"1R1

− 1R1

−³1R1+ μCs

´1R1+ 1

R2+Cs

#(9.6.35)

(a) La impedancia de entrada está dada por la expresión

Zi = Z1 =V1I1=

y11

|y| =1R1+ 1

R2+ Cs

1R1

³1R1+ 1

R2+ Cs− 1

R1− μCs

´Zi =

R1 +R2 +R1R2Cs

1−R2C(μ− 1)s(9.6.36)

En forma fasorial:

Zi =R1 +R2 + jωR1R2C

1− jωR2C(μ− 1)(9.6.37)

Racionalizando (9.6.37) y separando parte real e imaginaria, se llega a

Zi =R1 +R2 − ω2R1R

22C

2(μ− 1)1 + ω2R22C

2(μ− 1)2 + jωR2C[R1μ+R2(μ− 1)]1 + ω2R22C

2(μ− 1)2 (9.6.38)

De acuerdo con la expresión anterior, para μ ≥ 1, el sistema es inductivo. Si μ = 1entonces,

Zi = R1 +R2 + jωR1R2C (9.6.39)


(b) Para que la parte resistiva sea cero, entonces μ > 1 y de (9.6.38)

ω2R1R22C

2(μ− 1) = R1 +R2 (9.6.40)

de aquí se obtiene para la frecuencia:

ω =1

R2C

sR1 +R2R1(μ− 1)

(9.6.41)

La impedancia entonces será:

Zi = j

sR1(R1 +R2)

μ− 1 (9.6.42)

la cual representa una inductancia pura.

9.6.2 Amplificador operacional con ganancia infinita

12 N

Red de +1 polos

n i

j

n

ii= 0VVS

vi μvi vj

n+1

Figura 9.24: Red de n+ 1 terminales conectada a una fuente de tensión controladapor tensión ideal aterrizada.

Se consideran aquí aplicaciones en las cuales se usa el AO en modo inversor enlazo abierto. Para evitar introducir una cantidad infinita en la matriz restringida [y],A. Nathan sugiere la siguiente modificación simple en su procedimiento de análisis:Se eliminan las fuentes de corriente que operan sobre el nodo j (ver Fig. 9.24, la cualcorresponde a la Fig. 9.18, que se repite aquí por comodidad). La fuente de tensiónvj se retiene y vi, la fuente de voltaje del nodo excitador, se elimina. La regla es:

μ → ∞: Para obtener la matriz restringida [y], a partir de la matriz no re-stringida [y0], se borra la fila correspondiente al nodo excitado (es decir, el nodo j)y la columna correspondiente al nodo excitador (es decir, el nodo i).


La razón de esta modificación es simple de explicar. Con μ tendiendo a infinito yvj manteniéndose finita y, suponiendo un lazo de realimentación negativa, se puedeobtener a partir de la restricción dada en (9.6.1):

vi|μ→∞ = 0 (9.6.43)

Así, el terminal i es una tierra virtual y por lo tanto, se puede borrar la columna ien la matriz definida no restringida [y0]. Como en el caso anterior, la corriente en elj—ésimo nodo, depende directamente de la restricción (9.6.1), es decir, en este casodebe tomar un valor tal que se cumpla (9.6.43). La corriente ij está por lo tanto,predeterminada y la j—ésima fila debe ser borrada de la matriz [y0].

Ejemplo 45 Encontrar la función de transferencia en el circuito de la Fig.9.25.

vi

vo

1

2

34 _

+

+ +_ _

R

R’

I1

V1 V2

I2

_

+

y11 y12

y21 y22

Figura 9.25: Red con amplificador operacional de ganancia infinita.

Solución:El cuadripolo está representado en términos de los parámetros y como

[y1] =

∙y11 y12y21 y22

¸(9.6.44)

Expandiendo la expresión anterior para hallar la MIA del cuadripolo:

[yo] =

⎡⎣ y11 y12 −(y11 + y12)y21 y22 −(y21 + y22)

−(y11 + y21) −(y12 + y22) y11 + y12 + y21 + y22

⎤⎦ (9.6.45)

La matriz no reducida del sistema será:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣1R + y11 y12 −(y11 + y12) − 1

Ry21 y22 −(y21 + y22) 0

−(y11 + y21) −(y12 + y22) yT − 1R0

− 1R 0 − 1

R01R +

1R0

⎤⎥⎥⎦ (9.6.46)


dondeyT = y11 + y12 + y21 + y22 +

1

R0(9.6.47)

La matriz reducida, aplicando restricciones, será:

[y] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1R + y11 y12 −(y11 + y12)

y21 y22 −(y21 + y22)

− 1R 0 − 1

R0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.48)

La función de transferencia del sistema, se obtiene como sigue:

vov1

=y12

y11

= −y12

y11

vov1

= −

¯y21 −(y21 + y22)− 1

R − 1R0

¯¯y22 y21 + y220 − 1

R0

¯ (9.6.49)

vov1

=1R0 y21 +

1Ry21 +

1Ry22

−y22R0

(9.6.50)

vov1

= −y21 +

R0

R y21 +R0

R y22

y22(9.6.51)

Si se define k = R0

R , entonces

A(s) =vov1= −(k + 1)y21 + ky22

y22(9.6.52)

Ejemplo 46 En el circuito de la Fig. 9.26, el cuadripolo está definido en términosde los parámetros z. (a) Demostrar que la ganancia de tensión está dada por

Av = −R2z21

(R1 +R2)(z11 − z21) +R1R2(9.6.53)

(b) Si se define el cuadripolo como en la Fig. 9.27, encontrar los parámetros z deinterés y calcular la ganancia. Determine esta última para los siguientes valores:R1 = R2 = 200 kΩ, R3 = 100 kΩ, C1 = 2μF y C2 = 0.5μF .

Solución:


vivo

1 23

4 + +

_ _

I1

V1 V2

I2

z11 z12

z21 z22_

+

R1

R2

Figura 9.26: Red con amplificador operacional y red definida en zij .

+ +

_ _

I1

V1 V2

I2

C1

C2

R3

Cuadripolo RC.

Figura 9.27: Cuadripolo RC.

El cuadripolo está representado en términos de losparámetros z como∙

V1V2

¸=

∙z11 z12z21 z22

¸ ∙I1I2

¸(9.6.54)

En términos de los parámetros y:∙I1I2

¸=

∙y11 y12y21 y22

¸ ∙V1V2

¸(9.6.55)

Despejando el vector de corriente de (9.6.54), se ob-tienen los parámetros y en términos de los paráme-

tros z, o sea: ∙y11 y12y21 y22

¸=

∙ z22∆z

−z12∆z

−z21∆z

z11∆z

¸(9.6.56)

Donde∆z = z11z22 − z12z21 (9.6.57)

Expandiendo la expresión (9.6.56), para hallar la MIA del cuadripolo:

[yo] =

⎡⎣ y11 y12 −(y11 + y12)y21 y22 −(y21 + y22)

−(y11 + y21) −(y12 + y22) y11 + y12 + y21 + y22

⎤⎦ (9.6.58)

La matriz no reducida del sistema será:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣1R1+ 1

R2+ y11 y12 −(y11 + y12) − 1

R1y21 y22 −(y21 + y22) 0

−(y11 + y21) −(y12 + y22) yT 0− 1

R10 0 1

R1

⎤⎥⎥⎦ (9.6.59)


dondeyT = y11 + y12 + y21 + y22 (9.6.60)


[y] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1R1+ 1

R2+ y11 −(y11 + y12) − 1

R1

y21 −(y21 + y22) 0

− 1R1

0 1R1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.61)

(a) La función de transferencia del sistema se obtiene como sigue:

vovi

=v2v3=

y32

y33

= −y32

y33

vovi

= −

¯y11 +

1R1+ 1

R2− 1

R1y21 0

¯¯y11 +

1R1+ 1

R2−(y11 + y12)

y21 −(y21 + y22)

¯vovi

= −1R1y21

(y21 + y22)(R1+R2R1R2

) +∆y

(9.6.62)

donde∆y = y11y22 − y12y21 (9.6.63)

Escribiendo (9.6.62), en términos de los parámetros z dados se obtiene:

vovi

= −1R1z21

(z11 − z21)(R1+R2R1R2

) + 1

Av = − R2z21(z11 − z21)(R1 +R2) +R1R2

(9.6.64)

(b) En este caso solo se requieren los parámetros z11 y z21

z11 =V1I1

¯I2=0

=

1C1s

³R3 +

1C2s

´R3 +

1C1s

+ 1C2s

=s+ 1

R3C2

C1s³s+ 1

R3CT

´ (9.6.65)


z21 =V2I1

¯I2=0

=1

C1

³s+ 1

R3CT

´ (9.6.66)

donde

CT =C1C2

C1 + C2(9.6.67)

Reemplazando en (9.6.64), se llega a

Av = −s

R1C1

³s2 + 1

R3CTs+ 1

R1kR21

R3C1C2

´ (9.6.68)

Figura 9.28: Respuesta frecuencial del filtro.

Finalmente, sustituyendo en laecuación (9.6.68) los valores dados, seobtiene

Av = −2.5s

s2 + 25s+ 100(9.6.69)

el cual es un filtro pasa banda con po-los en p1 = −5 y p2 = −20. La res-puesta de Bode de magnitud vs fre-cuencia para este sistema, se muestraen la Fig. 9.28.

Ejemplo 47 Encontrar la funciónde transferencia en el circuito de laFig. 9.29.

Solución:La matriz no restringida de admitancias es:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣y1 −y1 0 0−y1 y1 + y2 + y3 + y4 −y3 −y40 −y3 y3 + y5 + y6 −(y5 + y6)0 −y4 −(y5 + y6) (y4 + y5 + y6)

⎤⎥⎥⎦ (9.6.70)

Reduciendo la matriz:

[y] =

⎡⎣ y1 −y1 0−y1 y1 + y2 + y3 + y4 −y40 −y3 −(y5 + y6)

⎤⎦ (9.6.71)


_

+

vi1 2 3

4vo

y1

y4

y2

y3

y5

y6

Figura 9.29: Red con amplificador operacional de ganancia infinita.

Los menores son:

y14 =

¯−y1 y1 + y2 + y3 + y40 −y3

¯= y1y3 (9.6.72)

y11 =

¯y1 + y2 + y3 + y4 −y4

−y3 −(y5 + y6)

¯(9.6.73)

= −(y5 + y6)(y1 + y2 + y3 + y4)− y3y4 (9.6.74)

Finalmente, la función de transferencia será:

A(s) =vov1=

v4v1= − y1y3

(y5 + y6)(y1 + y2 + y3 + y4) + y3y4(9.6.75)

Ejemplo 48 Demostrar que el circuito de la Fig.9.30 se comporta como un inte-grador doble.

Solución:La matriz no restringida de admitancias es:

[y0] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1R − 1

R 0 0 0− 1

R2R + 2Cs − 1

R 0 00 − 1

R1R + Cs −Cs 0

0 0 −Cs 2R + 2Cs −Cs

0 0 0 −Cs Cs

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.76)

En este caso se elimina la columna 3 (nodo excitador) y la fila 5 (nodo excitado),quedando la matriz reducida:

[y] =

⎡⎢⎢⎣1R − 1

R 0 0− 1

R2R + 2Cs 0 0

0 − 1R −Cs 0

0 0 2R + 2Cs −Cs

⎤⎥⎥⎦ (9.6.77)


_

+A1→∝

1 2 3

4

5

R

2C

R

C C

R2

vi

vo

Figura 9.30: Integrador doble.

El cálculo de los cofactores conduce a:

y14= −y14 = −

¯¯ −

1R

2R + 2Cs 0

0 − 1R −Cs

0 0 2R + 2Cs

¯¯ = − 1

R2

µ2

R+ 2Cs

¶(9.6.78)

y11 =

¯¯2R + 2Cs 0 0− 1

R −Cs 00 2

R + 2Cs −Cs

¯¯

= C2s2µ2

R+ 2Cs

¶(9.6.79)

Finalmente, la función de transferencia será:

A(s) = − 1

(RC)2· 1s2

(9.6.80)

la cual representa un integrador doble en el dominio de la frecuencia.

9.6.3 Amplificador operacional con entrada en modo diferencial

Considérese otra restricción común que se impone sobre redes con AOs. Se tratadel caso donde una red emplea el AO en modo de entrada diferencial con gananciainfinita, como se muestra en la Fig. 9.31. La condición (9.6.43), en la cual la tensiónde entrada es cero, para este caso conduce a lo siguiente:

vi = vk (9.6.81)


_

+A1→∝

12 N

Red de +1 polos

n i

j

k

n+1

Figura 9.31: Multipolo activo con amplificador operacional en modo diferencial.

Esto sugiere que la suma de las columnas i y k podrán reemplazar la columna i y quela columna k y la fila j se podrán borrar de la matriz no restringida de admitancias.Estos dos pasos se pueden resumir en la siguiente regla:

Modo diferencial, μ → ∞: Para obtener la matriz restringida [y], a partir dela matriz no restringida [y0], se suman las dos columnas correspondientes a los dosnodos excitadores (es decir, los nodos i y k), se borra una columna correspondientea cualquier nodo excitador (nodo i o k) y se borra la fila correspondiente al nodoexcitado (es decir, el nodo j).


Solución:La matriz no restringida de admitancias se obtiene por inspección:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣y1 + y3 −y1 −y3 0−y1 y1 + y2 0 0−y3 0 y3 + y4 −y40 0 −y4 y4

⎤⎥⎥⎦ (9.6.82)

Sumando las columnas 2 y 3 y borrando la columna 3 y la fila 4, se obtiene la matrizrestringida

[y] =

⎡⎣ y1 + y3 −(y1 + y3) 0−y1 y1 + y2 0−y3 y3 + y4 −y4

⎤⎦ (9.6.83)


_

+

12

34vi y1

y3

y2

y4

vo

Figura 9.32: Red activa con amplificador operacional en modo diferencial.

De (9.6.83) se obtiene

y14 = y13 =

¯y1 y1 + y2−y3 y3 + y4

¯= −y1(y3 + y4) + y3(y1 + y2)

y14 = −(y1y4 − y2y3) (9.6.84)

y11 = −y4(y1 + y2) (9.6.85)

A(s) =vovi=

y1y4 − y2y3y4(y1 + y2)

(9.6.86)

Para el caso resistivo:

vovi

=1R1

1R4− 1

R21R3

1R4( 1R1 +

1R2)

=R2R3 −R1R4R3(R1 +R2)

(9.6.87)

Ejemplo 50 Grafíquese la tensión de salida vo como función de R/Rx para el cir-cuito con AO ideal de la Fig. 9.33. Supóngase que vi = VCC = 3V .

Solución:La matriz no restringida de admitancias se obtiene por inspección:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣1R +

1Rx

− 1R − 1

Rx0

− 1R

3R 0 0

− 1Rx

0 2R +

1Rx

− 1R

0 0 − 1R

1R

⎤⎥⎥⎦ (9.6.88)


_

+

1

2 3 4 voR R

R

R

RRx

vi

Figura 9.33: Amplificador para instrumentación.

Sumando las columnas 2 y 3 y borrando la fila 4, se obtiene la matriz restringida

[y] =

⎡⎢⎣ 1R +

1Rx

−³1R +

1Rx

´0

− 1R

3R 0

− 1Rx

2R +

1Rx

− 1R

⎤⎥⎦ (9.6.89)

De (9.6.89) se obtiene

y13 =

¯− 1

R3R

− 1Rx

2R +

1Rx

¯= − 1

R

µ2

R+1

Rx

¶+3

R

1

Rx

=2

R

µ1

Rx− 1

R

¶(9.6.90)

y11 =

¯3R 0

2R +

1Rx

− 1R

¯= − 3

R2(9.6.91)

vo =2

3

µ1− R

Rx

¶vi (9.6.92)

Si vi = V = 3V , entonces,

vo = 2

µ1− R

Rx

¶(9.6.93)

La gráfica de vo contra R/Rx, se muestra en la Fig. 9.34.



0

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

vo

RRx

Figura 9.34: Tensión de salida con relación a R/Rx.

vi vo

12

34

_

++ +_ _

RC

R

R’

I1

V1 V2

I2

Figura 9.35: Red con amplificador operacional y cuadripolo RC.

Solución:Aunque esta red está en modo diferencial, se puede resolver utilizando el método

empleado para una red con ganancia infinita. Entonces, la matriz no reducida delsistema se obtiene por inspección de la red:

[y0] =

⎡⎢⎢⎣1R + y11 y12 − 1

R 0y21 y22 0 0− 1

R 0 1R +

1R0 −

1R0

0 0 − 1R0

1R0

⎤⎥⎥⎦ (9.6.94)


[y] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1R + y11 y12 − 1

R 0

y21 y22 0

− 1R

1R +

1R0 − 1

R0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.6.95)


De la expresión (9.6.95), se obtiene

y13 = y21

µ1

R+1

R0

¶+ y22

1

R(9.6.96)

y11 = −y221

R0(9.6.97)

La función de transferencia del sistema es:

A(s) =vov1= −

y21¡1R +

1R0¢+ y22

1R

y221R0

(9.6.98)

Si se define k = R0

R entonces,

A(s) =vov1= −(k + 1)y21 + ky22

y22(9.6.99)

9.7 Método de Vlach

9.7.1 Fuentes aterrizadas

Para el caso donde las fuentes de tensión (independientes y dependientes) tienen unterminal aterrizado, I. Vlach [67], desarrolló un método que permite realizar cálculoscon considerable simplificación, llegándose a un número pequeño de ecuaciones. Estaes la situación en casi todas las conexiones prácticas.

μ1 μ2

G1

G2

G3

G4

C1 C2

μ2 2vμ1 1v +

_

vo

+

_vg

Figura 9.36: Red con fuentes aterrizadas.

Ejemplo 52 Considérese la red de la Fig. 9.36. La fuente independiente y lasfuentes representadas por los AOs tienen un terminal aterrizado.

9.7. MÉTODO DE VLACH 305

Puesto que no se requieren las corrientes a través de estas fuentes y las tensionesse conocen, no hay necesidad de trasladar estas corrientes a las ecuaciones. Se indicael hecho de que no se escribirá la LCK de ciertos nodos con una ×. También seescribe el voltaje de cada nodo, teniendo en cuenta que el voltaje de salida delamplificador es igual al voltaje de entrada multiplicado por la ganancia. Esto se hahecho en la Fig. 9.36. La LCK se escribe en los nodos restantes conduciendo a laecuación∙

vgG1vgG2

¸=

∙G1 +G4 +C1s(1− μ1) −μ2G4

−μ1G3 G2 +G3 + C2s(1− μ2)

¸ ∙v1v2

¸(9.7.1)

Si se usan AOs ideales, entonces como se sabe, sus terminales de entrada deben estaral mismo potencial, por lo cual el método se aplica sin ninguna modificación.

+

_vg

_+_ +

vgy1v1 y2

1vg

y 3 v2y4 2

y5

Figura 9.37: Realización de un convertidor de impedancia generalizada (GIC ).

Problema 1 Red convertidora de impedancia generalizada (GIC). Red de Antoniou.

Se puede definir un dispositivo conformado por una red activa de dos puertosel cual se puede usar para desarrollar varias realizaciones de redes activas RC. Aeste dispositivo se le conoce como convertidor de impedancia generalizado (GIC ).La configuración del circuito se muestra en la Fig. 9.37. Para analizar esta red seutilizará el método de Vlach. En esta red los nodos marcados con × no se requierenpara definir las ecuaciones, por lo tanto, las ecuaciones de corriente estarán dadaspor

y2(v1 − vg) + y3(v2 − vg) = 0 (9.7.2)

y4(v2 − vg)− y5vg = 0


o en forma de matriz ∙y2 y30 y4

¸ ∙v1v2

¸=

∙y2 + y3y4 + y5

¸vg (9.7.3)

De esta ecuación se puede despejar el vector de tensiones v1 y v2, entonces∙v1v2

¸=

1

y2y4

∙y4 −y30 y2

¸ ∙y2 + y3y4 + y5

¸vg

=1

y2y4

∙y2y4 − y3y5y2y4 + y2y5

¸vg∙

v1v2

¸=

"1− y3y5

y2y41 + y5

y4

#vg (9.7.4)

Se puede encontrar una relación mucho más interesante en esta red, si se calcula laimpedancia de entrada, es decir,

Zi =vgig=

vgy1(vg − v1)

=vg

y1(vg − vg +y3y5y2y4

vg)

Zi =y2y4y1y3y5

(9.7.5)

o, en términos de las impedancias:

Zi =z1z3z5z2z4

(9.7.6)

Si se sustituye, v. gr., z1, z2, z3 y z5 por resistencias y z4 por una capacitancia seobtendrá:

Zi =R1R3R5C4s

R2o

Zi(jω) = jωR1R3R5C4

R2, jωL (9.7.7)

Esto indica que la red se comporta como una inductancia pura conectada a tierra,con valor:

L =R1R3R5C4

R2(9.7.8)

Una ventaja es que, debido a su topología, el circuito posee un factor de calidadQ → ∞, lo cual lo hace adecuado para la realización de redes donde se requierasustituir la inductancia por una red más apropiada.

Ejemplo 53 El circuito de la Fig. 9.38 muestra la realización de un filtro pasabanda de cuarto orden. Encontrar una realización de la misma red utilizando úni-camente redes RC y AOs.


L1

C2

L2C3C110kHz

Vi

R2

R1

Figura 9.38: Filtro pasivo de cuarto orden.

+

+

+

+

C2

C3C110kHz

Vi

R2

R1

Figura 9.39: Realización de un filtro usando la red de Antoniou.

Solución:En la Fig. 9.39 se muestra una realización de la red, donde se han sustituido

las bobinas L1 y L2, por circuitos de Antoniou definidos de acuerdo a la ecuación(9.7.8), con L1 = L2 = 0.070711H, R1 = R2 = 1 kΩ, C1 = C3 = 13.14 μF yC2 = 1 μF . En este caso se supone que las inductancias poseen un factor de calidadQ → ∞. Para comparar los resultados en ambas realizaciones se ha simulado lafunción de transferencia, la cual se puede ver en la Fig. 9.40. Se pueden haceralgunas observaciones con respecto a estos sistemas:

• La respuesta frecuencial es idéntica a la de la red propuesta

• Se sustituye la inductancia ideal con la red de Antoniou. Si se conectara unabobina real habría que tener en cuenta la resistencia y la capacitancia parásitasinherentes a la bobina


1 .000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000k H z 10.00k HzA : c 5_2 0.000 dB

-200.0 dBB : r2_2 0.000 dB

-200.0 dB

Figura 9.40: Respuesta en frecuencia de los filtros realizados con elementos pasivosy activos, respectivamente.

• Para el caso de la red activa se requiere fuente de alimentación, la cual no esnecesaria en el caso pasivo.

9.7.2 Fuentes flotantes

Un caso raro donde se puede experimentar alguna dificultad es con una fuente detensión flotante, pero aún en tal caso puede simplificarse.

+_

vg

G1

G2

G3

G4

G5

v1 v2 v v1+ g

ig

Figura 9.41: Red con fuente flotante.

Sea la red de la Fig. 9.41, donde la corriente ig se considera como un pasointermedio. Sobre el nodo de la derecha se observa que la tensión es v1 + vg, comose muestra en la figura. Primero se retiene la corriente ig y se escribe la LCK en


todos los nodos:

0 = (G1 +G2)v1 −G2v2 − ig (9.7.9)

0 = −G1v1 + (G2 +G3 +G4)v2 −G4(v1 + vg) (9.7.10)

0 = (v1 + vg)(G4 +G5)−G4v2 + ig (9.7.11)

Se puede eliminar la corriente ig, sumando la primera y la tercera ecuaciones ytrasladando los términos con vg al lado izquierdo. Esto resulta en∙

G1 +G2 +G4 +G5 −(G2 +G4)−(G1 +G4) G2 +G3 +G4

¸ ∙v1v2

¸=

∙−(G4 +G5)

G4

¸vg (9.7.12)

Despejando el vector de tensiones se llega a∙v1v2

¸=

1

∆G

∙G2 +G3 +G4 G2 +G4

G1 +G4 G1 +G2 +G4 +G5

¸ ∙−(G4 +G5)

G4

¸vg

=1

∆G

∙−G4(G3 +G5)−G5(G2 +G3)

G2G4 −G1G5

¸vg

o sea, ∙v1v2

¸=

1

∆G

∙−G4(G3 +G5)−G5(G2 +G3)

G2G4 −G1G5

¸vg (9.7.13)

donde ∆G = G3(G1 +G2 +G4 +G5) +G2(G2 +G4 +G5) +G4G5.Nótese que todas las ecuaciones se pusieron en forma matricial. Esto simplifica

las soluciones por computador.

Problemas

1. Verificar las propiedades de la MIA.

2. Demostrar, utilizando teoría de matrices, la expresión (9.4.4).

3. Verificar las ecuaciones (9.4.6) y (9.4.7).

4. Para el amplificador de la Fig. 9.16, encontrar las impedancias de entrada yde salida.

5. Repetir el ejercicio anterior para los circuitos de las Figs. 9.20 y 9.21.

6. Demostrar que la función de transferencia del circuito de la Fig. 9.42, es de laforma

G(s) =μs

s2 + as+ ω2o


_

+Vo

+

-

Vi

R4

R2

R1

R3

R1

C

CR1

Figura 9.42: Filtro pasa banda de segundo orden.

donde

μ =R4R21C

a =1

R1C

µ2− R4

R3

¶ω2o =

1

R1C2

µ1

R1+1

R2+1

R3

¶7. Respecto de la red de la Fig. 9.42, se define el factor de calidad en un filtrocomo Q = ωo/B (B en [rad/s]). Si B está dado en Hz, entonces Q = fo/B.Diseñar un filtro pasa banda si fo = 2kHz, μ = 5, Q = 40. El sistema tieneuna ganancia de cuatro.

8. El circuito de la Fig. 9.43, se usa a menudo para amplificar la salida de unpuente transductor como se muestra. En un arreglo con galgas extensométri-cas, las resistencias etiquetadas como R1 son resistores fijos de precisión. Laresistencia R2 +∆R es el transductor conectado al miembro estructural bajoprueba. Debido a la carga sobre la estructura, la resistencia cambia. La re-sistencia R2 en la rama restante del puente es una galga falsa (no cargada) yse usa para balancear las variaciones de la resistencia de salida producida porvariaciones en la temperatura y otros parámetros.

(a) Suponiendo que la ganancia del amplificador de instrumentación es AD,demostrar que para δ = ∆R/R2 ¿ 1,

vo =ADviδ

4


RΔ+ DA

vo

vi

R2

R1

R2

R1

Figura 9.43: Amplificador para instrumentación.

(b) Considerar que el amplificador de instrumentación tiene un CMRR yAD. Expresar vo en términos de AD, CMRR, vi y δ.

(c) Sea R1 = R2, A = 10, vi = 12V , ¿Cuál debe ser el CMRR si la compo-nente diferencial de la salida es hasta 100 veces la componente en modocomún para δ = 10−4?

9. Encontrar la función de transferencia del circuito de la Fig. 9.36.

10. Verificar las expresiones (9.7.4) y (9.7.5).

Capítulo 10

Filtros Activos

10.1 Introducción

Frecuentemente, el ingeniero o tecnólogo está avocado a la necesidad de diseñarun filtro que cumpla con algunas especificaciones dadas. Sin embargo, es a vecesdifícil elegir el filtro apropiado, ya que existen muchos modelos que eventualmentecumplen con los requisitos mencionados. Estos modelos conducen a realizacionesque probablemente son costosas, si no se atiende a cada caso particular. En estecapítulo se dan algunas pautas para la escogencia del modelo del filtro, buscandocaracterísticas de aproximación de la magnitud las cuales permitirán al diseñadorobtener el modelo apropiado siguiendo algunos algoritmos normalizados.

Las especificaciones prácticas de los filtros se basan esencialmente en requeri-mientos de funcionamiento sinusoidal de estado estacionario. Estos están dados comocaracterísticas de magnitud y de fase, en función de la frecuencia real ω (rad/s).Las técnicas actuales de síntesis utilizadas para encontrar realizaciones de filtrospasivos o activos, emplea como punto de partida la función de transferencia, la cuales una relación de polinomios en la variable de frecuencia compleja s. Al proceso derelacionar las características sinusoidales de estado estacionario para una función dered se denomina aproximación.

10.2 Aproximación a la magnitud

Uno de los tipos de aproximación usado más frecuentemente es el que relaciona lamagnitud |H(jω)| con una función racional F (s), de modo que en algún sentidoespecífico |F (jω)| se aproxime a |H(jω)|. La función |H(jω)| estará específicada obien por una expresión matemática, o por una gráfica que representa su forma deonda. Es deseable que las magnitudes de las dos funciones sean idénticas.

313

314 CAPÍTULO 10. FILTROS ACTIVOS

10.2.1 Condiciones para |H(jω)|2

En el estudio de aproximación a la magnitud, se consideran las condiciones de necesi-dad que una función de magnitud debe tener. Es más conveniente considerar elcuadrado de la función de magnitud [27]:

|H(jω)|2 = H(jω)H∗(jω) = H(jω)H(−jω) (10.2.1)

donde el asterisco indica el complejo conjugado y la justificación para el miembroderecho de la ecuación es que, para funciones racionales con coeficientes reales, laconjugada de la función se encuentra reemplazando la variable con su conjugada,esto es, reemplazando jω con −jω. Ahora, sea H(s) de la forma:

H(s) =B(s)

A(s)

=b0 + b1s+ b2s

2 + b3s3 + b4s

4 + · · ·a0 + a1s+ a2s2 + a3s3 + a4s4 + · · ·

(10.2.2)

El término H(jω) tiene la forma

H(jω) =b0 − b2ω

2 + b4ω4 − · · ·+ j

¡b1ω − b3ω

3 + · · ·¢

a0 − a1ω2 + a4ω4 − · · ·+ j (a1ω − a3ω3 + · · · )(10.2.3)

Insertando esta relación en el miembro de la derecha de (10.2.1) se obtiene:

|H(jω)|2 = (B0 + jB1)(B0 − jB1)

(A0 + jA1)(A0 − jA1)=

B20 +B21A20 +A21

(10.2.4)

donde

B0 = <e(B(jω)) B1 = =m(B(jω))A0 = <e(A(jω)) A1 = =m(A(jω))

La ecuación (10.2.4), como se ve, es una relación de polinomios pares.

Ejemplo 54 Para el caso donde H(s) tiene la forma

H(s) =6(s+ 5)

s2 + 3s+ 2

demostrar que |H(jω)|2 es una relación de polinomios pares.

10.2. APROXIMACIÓN A LA MAGNITUD 315

Solución:Sustituyendo s por jω, se obtiene para H(jω) y H(−jω), respectivamente:

H(jω) =6(jω + 5)

2− ω2 + j3ω

H(−jω) =6(−jω + 5)2− ω2 − j3ω


|H(jω)|2 = 6(jω + 5)

2− ω2 + j3ω

6(−jω + 5)2− ω2 − j3ω

=36(ω2 + 25)

ω4 + 5ω2 + 4

Esta es una relación de polinomios que poseen únicamente potencias pares de ω.Si se evalúa ahora (10.2.1) haciendo ω =

s

j, se puede definir una función T

¡s2¢

como

T¡s2¢=

P (s)

Q(s), |H(jω)|2

¯ω=s/j

= H (s)H (−s) (10.2.5)

Como resultado del producto H(s)H(−s) se tienen polos y ceros localizadossimétricamente con respecto a los ejes real e imaginario. A esta característica sele llama simetría cuadrantal [27] o factorización espectral [9]. En general, los poli-nomios del numerador y del denominador de T (s2) pueden tener tres tipos de fac-tores:

1. a4 + as2 + b donde a · b > 0

2. as2 + b donde a · b < 0

3. as2 + b donde a · b > 0.

El primero y el segundo tipo tienen la simetría cuadrantal necesaria pero el tercertipo no, a menos que tenga multiplicidad par, esto es, a menos que aparezca como(as2 + b)2,

¡as2 + b

¢4, etc.Estas características se enuncian a continuación como [27]

Teorema 1 Propiedades de |H(jω)|2. Para que una función |H(jω)|2 dada, seala función cuadrática en magnitud de alguna función racional H(s), es necesario ysuficiente que:

1. La función |H(jω)|2 sea una relación par de polinomios en ω.

2. En la función T (s2) definida en (10.2.5), cualesquiera de los polos o cerossituados sobre el eje jω sean de orden par.


La suficiencia de las dos condiciones dadas en el Teorema 1 se demuestra fácil-mente factorizando T (s2) en el producto H(s)H(−s), tomando los polos del semi-plano izquierdo y la mitad de cualesquier pares de polos de T (s2) situados sobreel eje jω como los polos de H(s) y similarmente asignando los ceros, bien sea delsemiplano izquierdo o derecho, y la mitad de cualesquier pares de ceros de orden parsituados sobre el eje jω de T (s2) como los ceros de H(s). La restricción de usar sololos polos del semiplano izquierdo de T (s2) es solamente para cumplir la condiciónde estabilidad del sistema.

Ejemplo 55 Considérese la función

|H(jω)|2 = ω2 + 4

ω4 + 4(10.2.6)

Encontrar una función de red a partir de estas especificaciones de magnitud

Solución:La función T (s2) está dada por

T (s2) =−s2 + 4s4 + 4

=−(s2 − 4)

(s2 + 2s+ 2)(s2 − 2s+ 2)

=−(s− 2)(s+ 2)

(s2 + 2s+ 2)(s2 − 2s+ 2) (10.2.7)

Comparando la ecuación (10.2.7) con la ec (10.2.5), se puede observar que haydos funciones de red H(s) que satisfacen (10.2.6). Estas son

H1(s) =s+ 2

s2 + 2s+ 2y H2(s) =

2− s

s2 − 2s+ 2Nótese que se ha encontrado una función de red estable y otra inestable. A este

procedimiento de análisis se le conoce también como factorización espectral de lafunción cuadrática y se puede observar que los polos de H1(s) y H2(s) son simétricosalrededor del eje jω. H1(s) será realizable.

10.2.2 Cálculo de factorizaciones espectrales

El diseño de funciones de red realizables requiere el cálculo de factorizaciones espec-trales. Un modo de efectuar la factorización es calcular todas las raíces de Q(s) enla ecuación 10.2.5 y entonces agrupar todas las raíces del semiplano izquierdo. Estemétodo es fácilmente efectuado si se dispone de un software apropiado para encon-

trar las raíces del polinomio. Por ejemplo, si se emplea MatlabR°, la factorización

espectral de la función,Q(s) = s6 − 1


será:q =[1 0 0 0 0 0 -1];r=roots(q)Obteniéndose las seis raíces siguientes:r =-1.0000-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i1.0000Las primeras tres raíces están en el semiplano abierto izquierdo y se usarán para

formar D(s). El comandoD=poly([r(1) r(2) r(3)])devuelve un polinomio de grado 3 con los coeficientes1.0000 2.0000 2.0000 1.0000Este es D(s), es decir,

D(s) = s3 + 2s2 + 2s+ 1

Si se tiene un valor de N(s) = 1, se puede formar la función de transferencia dela forma siguiente:

N=1;H=tf(N,D)la cual conduce a la expresión

H(s) =1

s3 + 2s2 + 2s+ 1(10.2.8)

El comando ltiview, permite mostrar la respuesta frecuencial de la función detransferencia dada la cual se puede ver en la Fig. 10.1.

10.2.3 Función de magnitud máxima plana

Las condiciones de necesidad y suficiencia dadas en el Teorema 1 para las funcionescuadráticas en magnitud, son aplicables a las características específicas de los filtros.Considérese la determinación de una función cuadrática en magnitud que, en el rangode frecuencia baja empezando en cero, tenga característica plana tanto como seaposible. Una forma de obtener tal respuesta es llevando a cero en ω = 0 rad/s, tantasderivadas de la función como sea posible. Tal función se denomina máximamente


Figura 10.1: Diagrama de magnitud de Bode.

plana. Escribiendo una expresión para la función general cuadrática en magnitud|H(jω)|2 , se tiene:

|H(jω)|2 = H20

1 + b1ω2 + b2ω

4 + · · ·1 + a1ω2 + a2ω4 + · · ·

(10.2.9)

Si se divide el numerador entre el denominador, se obtiene

|H(jω)|2 = H20 [1 + (b1 − a1)ω

2 +

+(b2 − a2 + a21 − a1b1)ω4 + · · · ] (10.2.10)

Ahora, considérese la expansión en serie de Maclaurin, de una función arbitrariaF (ω) [33]. Ésta tiene la forma

F (ω) = F (0) +F (1) (0)

1!ω +

F (2) (0)

2!ω2 +

+F (3) (0)

3!ω3 +

F (4) (0)

4!ω4 · · · (10.2.11)

donde F (i) (0) es la i-ésima derivada de F (ω) evaluada en ω = 0. Comparando estaexpresión con la expansión para |H(jω)|2 dada en (10.2.10) y recordando que tal


expansión debe ser única, se ve que debido a la naturaleza par de |H(jω)|2, todassus derivadas de orden impar son cero. Además, para que la segunda derivada seacero, se requiere que los coeficientes a1 y b1 sean iguales. Similarmente, para quela cuarta derivada también sea cero se requiere también que a2 = b2, etc. Así, lafunción general cuadrática de magnitud máximamente plana |H(jω)|2 en (10.2.10)está caracterizada por la restricción

ai = bi (10.2.12)

para tantos coeficientes como sea posible.

Ejemplo 56 Considérese la función

H(s) =s+ b

s2 + as+ 1

Encontrar la relación que debe haber entre los coeficientes a y b de modo que lafunción satisfaga la condición de magnitud máximamente plana.

Para determinar el valor de los coeficientes a y b requeridos para que la funciónsea máximamente plana en el origen, se determina

|H(jω)|2 =jω + b

1− ω2 + jωa

−jω + b

1− ω2 − jωa=

ω2 + b2

(1− ω2)2 + ω2a2

=ω2 + b2

1− 2ω2 + ω4 + ω2a2=

ω2 + b2

ω4 + (a2 − 2)ω2 + 1

|H(jω)|2 = b21 + 1

b2ω2

1 + (a2 − 2)ω2 + ω4(10.2.13)

y aplicando la condición (10.2.12) se obtiene a2 − 2 = 1/b2 o sea

(a2 − 2)b2 = 1 (10.2.14)

Si, por ejemplo, b = 1, entonces a2 = 3, y a =√3. Con esto, la función de

transferencia será:

H(s) =s+ 1

s2 +√3s+ 1

cuya gráfica se muestra en la Fig. 10.2.


Figura 10.2: Diagrama de magnitud de Bode de la función H(s) = s+1s2+

√3s+1

.

10.3 Funciones de Butterworth

Considérese la función magnitud para una red de paso bajo. Para su aproximaciónse escoge una función de magnitud cuadrática |H(jω)|2 que satisfaga el criterio defunción máximamente plana en ω = 0.

Para proporcionar la pendiente descendente en la característica de las frecuenciasaltas, se localizan los ceros de transmisión en infinito. Así, el numerador de H (jω)es una constante y todos los coeficientes bi de (10.2.10) serán cero. Para obtener unacaracterística máximamente plana, los coeficientes ai de (10.2.12) también deben sercero, excepto por supuesto, el coeficiente de orden superior. La función de magnitudcuadrática resultante tiene la forma:

|H(jω)|2 = H20

1 +

µω

ωp

¶2n (10.3.1)

Esta función es llamada funcion de Butterworth.

10.3.1 Propiedades de las funciones de Butterworth

Resumen 3 Las funciones de Butterworth de paso bajo tienen la forma dada en(10.3.1) y poseen las siguientes propiedades:

1. El rango de frecuencias 0 ≤ ω

ωp≤ 1 rad/s se llama banda pasante.

10.3. FUNCIONES DE BUTTERWORTH 321

2. El rango de frecuencias ω ≥ 1 rad/s se llama banda bloqueada

3. En ω = ωp rad/s, |H (jω)| = H0/√1 + 12n = H0/

√2 = 0.7071H0, independi-

ente del valor de n.

4. En ω = ωp rad/s, la pendiente de |H (jω)|2 es proporcional a −12n.

5. La función |H (jω)| es función monótona (continuamente decreciente) de ω.

La función definida en (10.3.1) con ωp = 1 rad/s se conoce como función nor-malizada de Butterworth. Puesto que 20 log[|H (j1)| / |H (j0)|] = 20 log 0.70711 =−3.010 dB, a la frecuencia de ωp = 1 rad/s se conoce como frecuencia de −3 dB.

1 00

1 01

1 02

1 03

1 04

- 5 0

- 4 5

- 4 0

- 3 5

- 3 0

- 2 5

- 2 0

- 1 5

- 1 0

- 5

0

F i l t r o d e B u t t e r w o r t h

Figura 10.3: Filtro de Paso Bajo Butterworth.

La gráfica de la magnitud de la función de Butterworth para n = 2 se muestraen la Fig. 10.3.

10.3.2 Localización de polos

La localización de los polos de una función de red H(s) que tiene una característicade magnitud de Butterworth se puede encontrar usando (10.2.5) y (10.3.1). Así, seobtiene para la función normalizada:

H(s)H (−s) = H20

1 + ω2n

¯ω2=−s2

=H20

1 + (−1)n s2n (10.3.2)

Haciendo tender a cero al polinomio del denominador de (10.3.2), se encuentraque los polos están localizados en los valores de s que satisfacen la relación:

s = [− (−1)n] 12n (10.3.3)


Así, para n par, s = (−1) 12n = e

jπk2n = cos

¡πk2n

¢+j sen

¡πk2n

¢(k = 1, 3, 5, . . . , 4n−1),

y para n impar, s = (1)12n = e

jπk2n = cos

¡πk2n

¢+ j sen

¡πk2n

¢(k = 0, 2, 4, . . . , 4n − 2).

De estas relaciones se puede colegir que los polos de H (s)H(−s) están equiangu-larmente espaciados alrededor del círculo unitario. Reteniendo solamente las singu-laridades del semiplano izquierdo, se encuentra que los polos de H(s) están dadoscomo pk = σk + jωk, donde

σk = −sen2k − 12n

π k = 1, 2, 3, . . . , n (10.3.4)

ωk = cos2k − 12n

π (10.3.5)

Los polinomios del denominador caracterizados por estas raíces se denominanpolinomios de Butterworth. Los valores de los coeficientes también se pueden encon-trar definiendo un polinomio como

D (s) = a0 + a1s+ a2s2 + · · ·+ ans

n (10.3.6)

y observando que, puesto que todos los polos están localizados sobre el círculo uni-tario, entonces a0 = 1. Los otros coeficientes se determinan por la relación iterativa

ak =cos[(k − 1)π/2n]sen (kπ/2n)

ak−1 k = 1, 2, . . . , n (10.3.7)

Nótese que los coeficientes son simétricos, así que

a0 = an = 1

a1 = an−1

a2 = an−2...

En la Fig 10.4 se muestra la disposición de los polos para la función de sexto orden,

F (s) =1

s6 − 1

10.3.3 Determinación del orden

Un problema fundamental en el diseño de filtros es la determinación del orden dela función requerida para reunir las especificaciones exigidas. Las especificacionesnormalmente consisten de un conjunto de valores en la banda pasante y otro conjuntoen la banda retenida. Éstas tienen la siguiente forma:

10.3. FUNCIONES DE BUTTERWORTH 323

Figura 10.4: Diagrama de polos y ceros de una función racional.

1. Banda pasante: En la banda pasante 0 ≤ ω ≤ ωp, la desviación máxima de lacaracterística de magnitud es Kp dB.

2. Banda bloqueada: En la banda bloqueada ω ≥ ωs, la atenuación mínima dela característica de magnitud es Ks dB. Esta atenuación es medida desde elvalor máximo de la característica de la banda pasante.

Una ilustración de las cantidades definidas anteriormente se muestran en laFig. 10.5. Para reunir las especificaciones, la característica de magnitud real debeubicarse dentro del área no sombreada. Para una característica Butterworth, lapropiedad monótona asegura que si se reune la especificación de banda retenida Ks

en la frecuencia ωs, ésta será satisfecha para toda ω ≥ ωs. Nótese que Kp y Ks seespecifican como constantes positivas

Para determinar el orden de la función requerida que reuna un conjunto dado deespecificaciones, se define

ν , ωsωp=

fsfp

ψ ,µωsωp

¶n

(10.3.8)

Teniendo en cuenta la definición dada para Kp y Ks se tiene


Figura 10.5: Especificaciones para un filtro de paso bajo.

Kp , 20 log¯H(j0)

H(jωp)

¯= 20 log

¯q1 + ω2np

¯(10.3.9)

Ks , 20 log¯H(j0)

H(jωs)

¯= 20 log

¯p1 + ω2ns

¯(10.3.10)

Despejando ωp y ωs de (10.3.9) y (10.3.10) respectivamente y sustituyendo en(10.3.8) se llega a:

ψ =

µωsωp

¶n

=

s100.1Ks − 1100.1Kp − 1 (10.3.11)

De aquí, para el caso del filtro de Butterworth, el orden requerido nB será:

nB =logψ

log ν=lnψ

ln ν(10.3.12)

donde se toma el siguiente mayor entero de nB.

Ejemplo 57 Una función de Butterworth debe reunir los siguientes requisitos: fp =400 Hz, fs = 500 Hz, Kp = 3 dB, Ks = 25 dB. Encontrar el orden del filtrorequerido.

10.4. FUNCIONES DE CHEBYSHEV 325

Solución. De las ecuaciones (10.3.8), (10.3.11) y (10.3.12) se obtiene:

ν =500

400= 1.25

ψ =

s100.1×25 − 1100.1×3 − 1 = 17.75

nB =logψ

log ν= 12.89

El orden del filtro será nB = 13.

10.4 Funciones de Chebyshev

En la sección anterior se introdujo una clase de aproximación en magnitud la cualconsiste en que la respuesta en la banda pasante es máximamente plana. Estaaproximación se caracteriza por el hecho de que las derivadas de la función cuadráticaen magnitud son todas cero a la frecuencia cero. Así, el efecto de la aproximación estáconcentrado en una simple frecuencia. Una consecuencia de esto es que la transiciónde la banda pasante a la banda retenida no es tan aguda como se requiere en algunasaplicaciones. En esta sección se describe un tipo diferente de aproximación, uno enel cual el efecto de la misma esté distribuido sobre toda la banda pasante. A estaaproximación se le denomina característica de igual rizo [27].

10.4.1 Polinomios de Chebyshev

La aproximación normalizada de magnitud de igual rizo para un filtro de paso bajose puede obtener escribiendo la función cuadrática de magnitud |H (s)|2 en la forma

|H (jω)|2 = H20

1 + ε2C2n (ω)(10.4.1)

donde Cn (ω) es un polinomio de orden n. Estos polinomios tienen las propiedades

0 ≤ C2n (ω) ≤ 1 para 0 ≤ ω ≤ 1C2n (ω) ≥ 1 para ω ≥ 1 (10.4.2)

El valor de ε determina los límites de variación en la banda pasante 0 ≤ ω ≤ 1.Un conjunto de polinomios Cn (ω) que tiene las propiedades especificadas antes,


son los llamados polinomios de Chebyshev. Éstos se definen como sigue:

C1 (ω) = ω

C2 (ω) = 2ω2 − 1C3 (ω) = 4ω3 − 3ω (10.4.3)

...

Cn+1 (ω) = 2ωCn (ω)− Cn−1 (ω)

La última expresión es válida para todo n > 1. Los polinomios de Chebyshevtambién pueden escribirse usando las expresiones

Cn (ω) = cos¡n cos−1 ω

¢0 ≤ ω ≤ 1 (10.4.4)

Cn (ω) = cosh¡n cosh−1 ω

¢ω ≥ 1 (10.4.5)

Cn (ω) =1

2

∙³ω +

pω2 − 1

´n+³ω +

pω2 − 1

´−n¸ω ≥ 1 (10.4.6)

donde la expresión en (10.4.6) proporciona una alternativa para la función cosh en(10.4.5). En la Fig 10.6 se muestran las gráficas normalizadas del cuadrado de lamagnitud versus la frecuencia para funciones de igual rizo con n = 1, · · · , 5 y ε = 0.5;mientras que en la Fig 10.7, se muestran las gráficas correspondientes a la magnitudversus la frecuencia para algunas funciones de Chebyshev (n = 2, 3, 4, 5, 10, ε = 0.5).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

H( )ω

ω

2

Figura 10.6: Respuesta de una función de igual rizo con coeficientes de Chebyshev.


0.2

0.4

0.6

0.8

1

|H( )|ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ω

Figura 10.7: Gráficas de la respuesta de magnitud vs frecuencia para una funcióncon igual rizo.

10.4.2 Propiedades de las funciones de Chebyshev

Resumen 4 Una función de Chebyshev de paso bajo que tiene la forma dada en(10.4.1) posee las siguientes propiedades:

1. El rango de frecuencias 0 ≤ ω ≤ 1 se denomina banda pasante.

2. La característica de magnitud en el banda pasante es de igual rizo.

3. El rango de frecuencias ω ≥ 1 se denomina banda bloqueada.

4. La característica de magnitud en la banda bloqueada es monótona.

5. Para n impar, |H (j0)| = H0, para n par |H (j0)| = H0/√1 + ε2 para todo n.

6. En ω = 1, |H (j1)| = H0/√1 + ε2 independiente del valor de n.

7. Los picos de banda pasante ocurren en las frecuencias en las cuales C2n (ω) =cos2

¡n cos−1 ω

¢= 0. Éstos están definidos por ωpico = cos (kπ/2n) para k =

1, 3, 5, . . ..


10.4.3 Localización de polos

Se puede usar ahora la expresión para |H (jω)|2 dada en (10.4.1) para determinarla localización de polos de una función de red de igual rizo. Siguiendo el desarrollodado para una función de red general cuadrática en magnitud de la sección anterior,se obtiene:

H(s)H (−s) = |H (jω)|2ω=s/j =H20

1 + ε2C2n (s/j)(10.4.7)

Así, los polos del producto H(s)H (−s) son las raíces de C2n (s/j) = −1/ε2 oCn (s/j) = ±j/ε. Usando la forma trigonométrica para Cn (ω) dada en (10.4.4),se puede escribir

Cn

µs

j

¶= cos

µn cos−1

s

j

¶= ±j

ε(10.4.8)

Para resolver esta ecuación, primero se define una función compleja como

w = u+ jv = cos−1s

j(10.4.9)

Sustituyendo esta expresión en (10.4.8), se obtiene:

cosn(u+ jv) = cosnu coshnv − jsen nu senh nv = ±j

ε(10.4.10)

Igualando las partes reales del segundo y el tercer miembro de esta relación se llegaa cosnu coshnv = 0. Puesto que coshnv ≥ 1 para todos los valores de nv, estaigualdad requiere que cosnu = 0. Esto se escribe de la forma

uk =2k − 12n

π k = 1, 2, 3, . . . , n (10.4.11)

Igualando las partes imaginarias de (10.4.10) y reconociendo que para los valores deu definidos por (10.4.11), sen nu = ±1, se obtiene

v =1

nsenh−1

1

ε(10.4.12)

donde se retiene solamente el valor positivo de v. La ecuación (10.4.9) se colocaahora en la forma

s = j cos (uk + jv) = sen uk senh v + j cosuk cosh v (10.4.13)

Esta relación especifica el valor de los polos del producto H (s)H (−s). Los polosdel semiplano izquierdo se asignan a H (s) para completar la determinación de lafunción de red. Así se ve que los polos de H (s) estarán en pk = σk + jωk, donde

σk = −sen uk senh v k = 1, 2, . . . , n (10.4.14)

ωk = cosuk cosh v


1 0- 1

1 00

1 01

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0R e s p u e s t a M a g n i t u d vs F r e c u n c ia d e u n F i l t r o C h e b y s h e v

Figura 10.8: Respuesta de Magnitud vs Frecuencia de una Función de Chebyshevde cuarto orden.

y donde uk y v están definidas en (10.4.11) y (10.4.12). En la gráfica de la Fig. 10.8se muestra la respuesta de magnitud contra frecuencia de una función de Chebyshevpara nC = 4. Obsérvese el rizo en la banda pasante y el decrecimiento monótono dela banda bloqueada. Por otra parte nótese la pendiente de la banda de transición.

10.4.4 Determinación del orden

La determinación del orden de una función de Chebyshev sigue los procedimientosbosquejados para la función de Butterworth en la sección anterior y las cantidadesmostradas en la Fig. 10.5. Las especificaciones son:

1. Banda pasante: Para 0 ≤ ω ≤ ωp, el máximo rizo de la característica demagnitud es Kp dB.

2. Banda bloqueada: Para ω ≥ ωs, la atenuación mínima de la característica demagnitud es Ks dB. Esta atenuación es medida desde el valor máximo de lacaracterística de la banda pasante.

Para determinar el orden, se repiten las definiciones dadas en (10.3.8) de lasección anterior:

ν =ωsωp=

fsfp

ψ =

s100.1Ks − 1100.1Kp − 1 (10.4.15)

El orden de la función de Chebyshev nC está dado por

nC =cosh−1 ψ

cosh−1 ν(10.4.16)


Tabla 10.1: Polos de una Función de Chebyshev

k uk σk ωk Factores

1 π10 −0.196240 1.126624 s+ 0.196240− j1.126624

2 3π10 −0.513764 0.696292 s+ 0.513764− j0.696292

3 π2 −0.635047 0 s+ 0.635047

4 7π10 −0.513764 −0.696292 s+ 0.513764 + j0.696292

5 9π10 −0.196240 −1.126624 s+ 0.196240 + j1.126624

Ejemplo 58 Determinar la función de transferencia de un filtro, utilizando fun-ciones de Chebyshev con los siguientes parámetros: fp = 1 kHz, fs = 1.2 kHz,Kp =3 dB,Ks = 20 dB, ε = 0.1005.

Solución. De las ecs. (10.4.15) y (10.4.16) se obtiene:

ν =1.2kHz

1kHz= 1.2

ψ =

r102 − 1100.3 − 1 = 9.973 5

nC =cosh−1 9.9735

cosh−1 1.2= 4.805 2

El orden del filtro será de nC = 5. De acuerdo con la ecuación (10.4.12), se tiene

v =1

nsenh−1

1

ε=1

5senh−1

1

0.1005= 0.59865


sen h v = 0.63505 cosh v = 1.18460

Los polos estarán situados como se muestra en la Tabla 10.1De los valores hallados en la Tabla 10.1 se obtiene el siguiente polinomio:

D(s) = s5 + 2.0551s4 + 3.3616s3 + 3.1998s2 + 2.0192s+ 0.6219


Figura 10.9: Respuesta de magnitud vs frecuencia para un filtro con función deChebyshev.

Construyendo la función de transferencia y normalizando se llega a

H(s) =0.6219

s5 + 2.0551s4 + 3.3616s3 + 3.1998s2 + 2.0192s+ 0.6219(10.4.17)

Para la frecuencia deseada de 1 kHz se debe realizar el proceso de desnormalización,el cual consiste, para este caso, en sustituir la frecuencia normalizada ω por larelación ω/ωp, es decir,

ω → ω

ωpó s→ s

2πfp(10.4.18)

Por lo tanto, la ecuación (10.4.17) se convertirá en la siguiente:

H(s) ≈ 0.6(2πfp)5

s5 + 2.1(2πfp)s4 + 3.4(2πfp)2s3 + 3.2(2πfp)3s2 + 2.0(2πfp)4s+ 0.6(2πfp)5

≈ 6.1× 1018s5 + 1.3× 104s4 + 1.3× 108s3 + 7.9× 1011s2 + 3.2× 1015s+ 6.1× 1018

cuya gráfica de magnitud vs frecuencia se muestra en la Fig. 10.9.


10.5 Función inversa de Chebyshev

En la sección anterior se discutió la aproximación de magnitud de igual rizo en labanda pasante. Esta función se caracteriza por tener rizo en la banda pasante ydecrecer monótonamente en la banda bloqueada. En esta sección se introduce untipo de función relacionado con la característica de magnitud: la función inversa deChebyshev. Sus propiedades son las inversas de las funciones de igual rizo, es decir,tiene comportamiento monótono en la banda pasante y una aproximación de igualrizo en la banda bloqueada. Su ventaja es que tiene mejores características de faseen la banda pasante. Su desventaja es que su implementación es más compleja.

10.5.1 Función de magnitud inversa de Chebyshev

Para ver como se puede desarrollar la característica inversa de Chebyshev, considé-rese una función de igual rizo de paso bajo la cual, además de estar normalizadapara una frecuencia de corte de 1 rad/s, ha sido también normalizada para que sumagnitud pico sea unitaria. De la sección anterior, ecuación (10.4.1), se tiene:

|HC (jω)|2 =1

1 + ε2C2n (ω)(10.5.1)

donde el subíndice C representa la función de Chebyshev directa y Cn (ω) es unpolinomio de Chebyshev de orden n.

Si se resta (10.5.1) de 1, se obtiene

1− |HC (jω)|2 =ε2C2n (ω)

1 + ε2C2n (ω)(10.5.2)

La característica de magnitud de la inversa de Chebyshev ahora se encuentra apli-cando una transformación de frecuencia en la cual se sustituye 1/ω por ω en elmiembro de la derecha de (10.5.2). Así, se obtiene

|HIC (jω)|2 =ε2C2n (1/ω)

1 + ε2C2n (1/ω)(10.5.3)

donde el subíndice IC significa inversa de Chebyshev. La inversión de frecuenciaefectivamente transforma la función de paso alto de la ecuación (10.5.2) a una depaso bajo. Esta función tendrá respuesta de magnitud contra frecuencia, monótonaen la banda pasante y con rizo en la banda retenida, como se muestra en la Fig.10.10.

10.5. FUNCIÓN INVERSA DE CHEBYSHEV 333

10.5.2 Orden de las funciones inversas de Chebyshev

Las propiedades de la característica de magnitud de la función inversa de Chebyshevse pueden especificar en términos de los parámetros mostrados en la Fig. 10.10.Nótese que la normalización escogida para la función original de igual rizo tiene dos

Figura 10.10: Parámetros de la característica de magnitud inversa de Chebyshev.

efectos: (i) la magnitud pico en la banda pasante es la unidad y (ii) la frecuenciade arranque de la característica de banda retenida de igual rizo es 1.0 rad/s. Losparámetros definidos en la figura son: la atenuación en la banda pasante Kp(dB),la frecuencia ωp(rad/s) a la cual se especifica la atenuación de la banda pasantey la atenuación de la banda bloqueada Ks(dB). La especificación de estos tresparámetros permite determinar los valores de las cantidades n y ε2 usadas en (10.5.1)y (10.5.3) y, como luego se verá, especificar la localización de los polos y los ceros dela función de red inversa de Chebyshev. Para determinar ε2, solamente se compara(10.5.3) y la Fig. 10.10 en ω = 1rad/s. Así, se obtiene

Ks = 10 log

µ1 +

1

ε2

¶(10.5.4)

resolviendo para ε2, se obtiene

ε2 =1

100.1Ks − 1 (10.5.5)

Para determinar n, se compara (10.5.3) y la Fig. 10.10 en ω = ωp. Así, se llega a

Kp = 10 log

∙1 +

1

ε2C2n (1/ωp)

¸(10.5.6)


Usando (10.5.5) para eliminar ε2 y resolviendo para C2n(1/ωp), se tiene

C2n

µ1

ωp

¶=

µcosh

∙nIC cosh

−1µ1

ωp

¶¸¶2(10.5.7)

=100.1Ks − 1100.1Kp − 1 = Ψ

2 (10.5.8)

Usando (10.4.5), se puede resolver para n y obtener

nIC =cosh−1[

¡100.1Ks − 1

¢/¡100.1Kp − 1

¢]1/2

cosh−1(1/ωp)(10.5.9)

El siguiente valor entero más alto de nIC determina el orden requerido del filtro.Ahora se compara el orden del filtro requerido en la aproximación inversa de

Chebyshev con el requerido en la forma directa. De (10.4.15) y (10.4.16) se tiene

nC =cosh−1[

¡100.1Ks(C) − 1

¢/¡100.1Kp(C) − 1

¢]1/2

cosh−1(ωs(C))(10.5.10)

donde Ks(C) es la atenuación deseada en dB a la frecuencia de la banda retenidaωs(C) y ωp(C) = 1. Se puede observar que las expresiones para nIC de la funcióninversa de Chebyshev en (10.5.9) y para nC en (10.5.10) son las mismas bajo lascondiciones siguientes:

ωs(C) =1

ωpKs(C) = Ks Kp(C) = Kp (10.5.11)

De las expresiones anteriores se puede concluir que el orden de la función inversa deChebyshev es el mismo que el de la función de Chebyshev.

10.5.3 Propiedades de una función inversa de Chebyshev

Resumen 5 Una función inversa Chebyshev normalizada de paso bajo la cual tienela forma dada en la ecuación (10.5.3) y se ilustra para n = 4 en la Fig. 10.11, tienelas siguientes propiedades:

1. El rango de frecuencias 0 ≤ ω ≤ 1 se llama banda pasante.

2. La característica de magnitud en la banda pasante es monótona.

3. El rango de frecuencias ω > 1 rad/s se llama banda bloqueada.

4. La característica de magnitud en la banda bloqueada es de igual rizo.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Figura 10.11: Respuesta de la función inversa de Chebyshev, |H(jω)|2, para n = 4.

5. Para n par, |H (j∞)|, tiene KsdB de atenuación y para n impar |H (j∞)| = 0

6. En la forma dada en (10.5.3), |H (j0)| = 1.

7. El orden es igual al orden de una función Chebyshev para la cual los parámetrosestan definidos por (10.5.11).

8. La especificación Ks de la banda de retención se obtiene exactamente, mientrasque la especificación Kp de la banda pasante se ajusta conservadoramente, estoes, 20 log10[|H (0)| / |H (jωp)|] ≤ Kp.

10.5.4 Localización de polos y ceros

Para la localización de polos y ceros de la función de red se utilizan las técnicasintroducidas en la Sección 10.2, de donde se puede escribir

|H (jω)|2¯ω=s/j

= H (s)H (−s) = B (s)B (−s)A (s)A (−s) (10.5.12)

donde H (s) es la función de red, B (s) es el polinomio del numerador y A (s) es elpolinomio del denominador. Aplicando este resultado a (10.5.3), se encuentra quelos polinomios del numerador y del denominador se determinan por las siguientesrelaciones

B (s)B (−s) = ε2C2n

µj

s

¶(10.5.13)

A (s)A (−s) = 1 + ε2C2n

µj

s

¶(10.5.14)


Considérese primero el numerador. Haciendo (10.5.13) igual a cero y usando(10.5.9), se obtiene

Cn

µj

s

¶= cos

µn cos−1

j

s

¶= 0 (10.5.15)

Resolviendo (10.5.15) y utilizando los ceros definidos como zk = αk + jβk de lafunción inversa Chebyshev, se obtiene:

αk = 0 βk =1

cosukk = 1, 2, . . . , n (10.5.16)

donde, como se definió en (10.4.11)

uk =2k − 12n

π (10.5.17)

Ahora se considera el polinomio del denominador de la función inversa de Cheby-shev. Los polos de la función inversa de Chebyshev son los recíprocos de los encon-trados para la función de Chebyshev. Por lo cual se pueden especificar como

pk =1

σk + jωkk = 1, 2, . . . , n (10.5.18)

donde, como antes,

uk =2k − 12n

π k = 1, 2, . . . , n (10.5.19)

v =1

nsenh−1

1

ε(10.5.20)

σk = −sen uk senh v (10.5.21)

ωk = cosuk cosh v (10.5.22)

Procedimiento para encontrar los polos de la función inversa de Cheby-shev

Resumen 6 El procedimiento para encontrar los polos de la función inversa Cheby-shev desde los valores especificados de los parámetros ωp, Kp y Ks dados en la Fig.10.10 se resumen como sigue:

1. Usar (10.5.5) para determinar el valor de ε para la función de igual rizo desdeel valor especificado de Ks.

2. Usar (10.5.9) [o (10.5.10) y (10.5.11)] para determinar el orden de la funciónde red para los valores especificados de Ks,Kp y ωp.


3. Usar (10.5.19), (10.5.20), (10.5.21) y (10.5.22) para encontrar los valores deuk, v, σk y ωk (k = 1, 2, . . . , n) las partes real e imaginaria de la localizaciónde los polos de la función de Chebyshev.

4. Los polos de la función inversa de Chebyshev son los recíprocos de los encon-trados en el paso 3 y se calculan usando (10.5.18).

Ejemplo 59 Encontrar una función inversa de Chebyshev de tercer orden con bandabloqueada de 18 dB de atenuación desde 1 ≤ ω ≤ ∞ rad/s.

Solución. Resolviendo la ecuación (10.5.5) para ε se obtiene

ε =1√

100.1×Ks − 1=

1√101.8 − 1

= 0.1269

De aquí, sustituyendo en (10.5.20) para n = 3:

v =1

3sinh−1

³p101.8 − 1

´= 0.92050

Con los valores de los ceros calculados según la ecuación 10.5.16 y los cuales estánconsignado en la Tabla 10.2, se obtiene el polinomio del numerador de la función detransferencia, es decir,

B(s) = (s− j1.1547)(s+ j1.1547) = s2 + 1.3333

Para el cálculo de los polos del sistema emplean las ecuaciones (10.5.21) y(10.5.22) y, con la ecuación (10.5.18), se obtienen los recíprocos correspondientes;los resultados de este procedimiento se muestran en la Tabla 10.2.

El polinomio del denominador de la función de transferencia quedará:

A(s) = (s+ 0.946 88)(s+ 0.283 08− j0.675 23)(s+ 0.283 08 + j0.675 23) =

= (s+ 0.946 88)£(s+ 0.283 08)2 + (0.675 23)2

¤=

= s3 + 1.513s2 + 1.072 2s+ 0.507 59

Tabla 10.2: Ceros y polos de una Función Inversa de Chebyshev

k uk βk Ceros σk ωk Polos

1 π6 1.1547 s− j1.1547 −0.52806 1.2596 s+ 0.283 08− j0.675 23

2 π2 ∞ −1.0561 0 s+ 0.946 88

3 5π6 −1.1547 s+ j1.1547 −0.52806 −1.2596 s+ 0.283 08 + j0.675 23


Figura 10.12: Respuesta de magnitud vs frecuencia de una función inversa deChebyshev.

Por lo tanto, la función de transferencia requerida será

H(s) =B(s)

A(s)=

H0(s2 + 1.333 3)

s3 + 1.513s2 + 1.072 2s+ 0.507 59

El paso siguiente es la normalización. Ésta se efectúa tomando el valor de lafunción para frecuencia cero igual a la unidad, es decir,

H(0) =H0 × 1.333 30.507 59

= 1

Despejando H0 se obtiene:

H0 =0.50759

1.3333= 0.3807

Con lo cual se llega finalmente al resultado:

H(s) =0.3807(s2 + 1.333 3)

s3 + 1.513s2 + 1.072 2s+ 0.507 59

En la Fig. 10.12 se observa la respuesta de magnitud vs frecuencia de la funciónencontrada.

10.6. LA CARACTERÍSTICA ELÍPTICA 339

10.6 La característica elíptica

En las secciones anteriores de este capítulo se discutieron dos tipos de aproximaciónde magnitud, particularmente, la máxima plana y la de igual rizo. Éstas pueden serescritas en la forma

|H (jω)|2 = H20

1 + ε2P 2n (ω)(10.6.1)

donde P 2n es un polinomio que para el caso de máxima plana es ω2n y para el caso de

igual rizo es C2n (ω) (un polinomio de Chebyshev). En esta sección se considera untipo completamente diferente de característica de magnitud de paso bajo en el cualel polinomio P 2n (ω) es reemplazado por una función racional R

2n (ω) la cual tiene

un polinomio, tanto en el numerador como en el denominador. Escogiendo unafunción específica llamada función racional de Chebyshev, es posible generar unacaracterística de magnitud que sea de igual rizo, tanto en la banda pasante comoen la banda bloqueada. También existe una banda de transición que une la bandapasante con la banda bloqueada. Para un filtro de un orden dado, la característicaresultante de magnitud cae más rápidamente en la banda de transición del plano, quecomo lo hace la característica de tipo Chebyshev, proporcionando el corte más agudode cualquiera de los tres tipos de aproximación de paso bajo. La determinación de laforma de la función racional Rn (ω), en general requiere el uso de funciones elípticase integrales elípticas, y las funciones de red resultantes se conocen como funcioneselípticas.

10.6.1 Funciones racionales de Chebyshev

La forma general de la característica de magnitud elíptica se especifica como

|H (jω)|2 = H20

1 + ε2R2n (ω)(10.6.2)

La función racional de Chebyshev Rn(ω) está dada por

Rn(ω) = ω1−(−1)n

2 ψ

[|n/2|]Yk=1

ω2−ω2pkω2−ω2zk

(10.6.3)

donde [|x|], representa la parte entera de x.

Propiedades de la característica de magnitud elíptica

Resumen 7 Las expresiones dadas en las ecuaciones (10.6.2) y (10.6.3) tienen lassiguientes propiedades:


1. La banda pasante está definida para 0 ≤ ω ≤ 1. Las constantes se escogental que en esta región 0 ≤ R2n (ω) ≤ 1. Como resultado, H0 ≥ |H (jω)| ≥H0/√1 + ε2.

2. Los valores ω = ωpk en los cuales R2n (ω) = 0 representan los picos de la banda

pasante en los cuales |H (jω)| = H0.

3. En la banda pasante, los valores de ω en los cuales R2n (ω) = 1 correspondencon los valles de la misma en la cual |H (jω)| = H0/

√1 + ε2.

4. La banda bloqueada está definida como ω ≥ ωs. En esta región el valor mínimode R2n (ω) es R

2bb (los subíndices bb indican banda bloqueada), donde

R2bb ≥100.1Ks − 1

ε2(10.6.4)

Como resultado, |H (jω)| tiene un mínimo de Ks decibeles de atenuación enesta región.

5. En la banda bloqueada, los valores de ω = ωzk en la cual R2n (ω) = ∞ corres-

ponde con los ceros de transmisión en la cual |H (jω)| = 0.

6. En la banda bloqueada, los valores de ω en la cual R2n (ω) = R2bb correspondecon los picos de la banda bloqueada de la característica de magnitud en la cual|H (jω)| tiene una atenuación mínima de Ks decibeles.

7. Las cantidades ωpk y ωzk tienen una media geométrica ωs. Así,√ωpkωzk = ωs.

10.6.2 Funciones elípticas de red

Si la función Rn (ω) dada en (10.6.3) se sustituye en (10.6.2), entonces se obtienela función de red reemplazando ω con s/j y seleccionando los polos del semiplanoizquierdo y los ceros del semiplano jω, obteniéndose la siguiente forma general de lafunción elíptica de red:

H(s) = H0 (s+ σ0)(−1)n−1

2

[|n/2|]Yk=1

s2 + b0ks2 + a1ks+ a0k

(10.6.5)

Determinación del orden

La determinación del orden de una función elíptica se hace utilizando el mismoprocedimiento elaborado para la función de Butterworth. Las especificaciones son


1. La banda pasante está definida para 0 ≤ ω ≤ ωp, el rizo de la característicade magnitud es Kp dB.

2. La banda bloqueada está definida para ω ≥ ωs, la atenuación de igual rizo varíaentre un mínimo de Ks dB e ∞. Esta atenuación se mide desde el máximovalor de la característica en la banda pasante.

Para determinar el orden se usan las mismas ecuaciones de antes, es decir,

ν =ωsωp=

fsfp

ψ =

s100.1Ks − 1100.1Kp − 1

El orden elíptico nE, se encuentra determinando las siguientes cantidades [1]:

ϑ =p1− ν−2 (10.6.6)

q0 =1

2

Ã1−√ϑ

1 +√ϑ

!(10.6.7)

q = q0 + 2q50 + 15q

90 + 150q

130 (10.6.8)

Finalmente,

nE ≥log 16ψ2

log(1/q)(10.6.9)

El orden requerido de la función es el siguiente entero mayor que nE .

10.6.3 Localización de polos y ceros

Para la localización de polos y ceros de la función de red se utilizan las ecuacionesdadas a continuación definidas en la referencia [1]:

Determinación del cero real σ0:

λ =1

2nln100.05Kp + 1

100.05Kp − 1 (10.6.10)

σ0 =

¯¯2q1/4

∞Pm=0

(−1)mqm(m+1)senh(2m+ 1)λ

1 + 2∞P

m=1(−1)mqm2 cosh 2mλ

¯¯ (10.6.11)

Para calcular los valores máximos y mínimos de la señal de rizo primero se calcula

w =

s(1 + νσ20)

µ1 +

σ20ν

¶. (10.6.12)


Entonces, para k = 1, 2, . . . , [|n/2|]:

Ωk =

2q1/4∞X

m=0

(−1)mqm(m+1)[|n/2|]Xk=1

sen (2m+1)πμn

1 + 2∞X

m=1

(−1)mqm2

[|n/2|]Xk=1

cos (2m+1)πμn

(10.6.13)

donde,

μ = k − 14[1 + (−1)n] (10.6.14)

Para determinar los coeficientes del numerador y el denominador, se calculaprimero

vk =

s¡1− νΩ2k

¢µ1− Ω

2k

ν

¶(10.6.15)

y de aquí,

b0k =1

Ω2k(10.6.16)

a0k =(σ0vk)

2 + (Ωkw)2

(1 + σ20Ω2k)2

(10.6.17)

a1k =2σ0vk1 + σ20Ω

2k

(10.6.18)

Finalmente, la ganancia a frecuencia cero, H0, se determina con la siguienteexpresión:

H0 = 10−0.025Kp[1+(−1)n]σ

1−(−1)n2

0

[|n/2|]Yk=1

a0kb0k

(10.6.19)

Las series en las ecuaciones (10.6.11) y (10.6.13) convergen rápidamente y tres ocuatro términos son suficientes para la mayoría de los propósitos.

Los ceros del eje jω están localizados en s = ±jΩk. Para el caso impar, el gradodel polinomio del denominador de Himp será n, mientras que el grado del polinomiodel numerador es n− 1. El término |Himp (jω)| tendrá 1

2 (n− 1) picos en la bandapasante más un pico que ocurre en ω = 0, 12 (n− 1) ceros de transmisión en la bandabloqueada, y un cero en ω =∞.

Considérese ahora el caso cuando n es par. Los grados de los polinomios delnumerador y del denominador son iguales a n. El término |Hpar(jω)| tendrá 1

2n depicos en la banda pasante, 12n ceros de transmisión en la banda bloqueada, y unvalor diferente de cero en ω =∞.


Ejemplo 60 Determinar la función de transferencia de un filtro pasa bajas, uti-lizando funciones elípticas, dados los siguientes parámetros: ωp = 1 rad/s, ωs = 1.1rad/s,Kp = 0.1 dB,Ks = 20 dB.

Solución:

ν =ωsωp= 1.1 ψ =

r100.1×20 − 1100.1×0.1 − 1 = 65.194

El orden elíptico nE, se encuentra determinando las siguientes cantidades

ϑ = 0.41660 q0 = 0.10774 q = 0.107 77

Finalmente,

nE ≥ log(16× (65.194)2)log(1/(0.107 77))

= 4.9949

⇒ nE = 5

Para encontrar el valor de σ0, inicialmente se aplica la ecuación (10.6.10) obtenién-dose:

λ =1

2nln100.05Kp + 1

100.05Kp − 1 =1

10ln100.05×0.1 + 1

100.05×0.1 − 1 = 0.515 74

Los términos de la sumatoria en la ecuación (10.6.11) decrecen rápidamente, v. gr.,en el numerador, para m = 3, el valor es −4. 534 3 × 10−11. Con los términos deldenominador sucede algo similar, v. gr., para m = 3, el valor es −2.1689 × 10−8.Teniendo en cuenta esta propiedad, se obtiene:

σ0 =0.58771

0.660 34= 0.89001

El valor de w, requerido para calcular los otros parámetros está dado por

w =

s(1 + νσ20)

µ1 +

σ20ν

¶= 1.7941

Tabla 10.3: Valores de los parámetros del filtro elíptico

k Ωk vk a0k a1k b0k

1 0.70822 0.49383 0.92582 0.62909 1.9937

2 0.93461 8.9791× 10−2 0.98443 9.4467× 10−2 1.1448


Un resumen del valor de los parámetros restantes, incluyendo los coeficientes dela función de transferencia, aparecen consignados en la Tabla 10.3.

La ganancia a frecuencia cero,H0, se determina con la siguiente expresión (nóteseque en este caso n es impar):

H0 = σ0[|n/2|]Qi=1

a0ib0i

= 0.89001× 0.92582× 0.984 431.9937× 1.144 8 = 0.35540

La función de transferencia será finalmente,

H(s) =0.35540s4 + 1.115s2 + 0.8112

s5 + 1.614s4 + 2.614s3 + 2.46s2 + 1.54s+ 0.8112

La respuesta de la magnitud vs la frecuencia se puede ver en la Fig. 10.13.

Figura 10.13: Característica de magnitud vs frecuencia en un filtro elíptico.

10.7 Aproximación de fase lineal

En las secciones precedentes de este capítulo se han discutido varios métodos paraaproximar una función de magnitud. En muchas especificaciones de filtrado, las

10.7. APROXIMACIÓN DE FASE LINEAL 345

características de magnitud son de importancia dominante. Por ejemplo, en apli-caciones de audio frecuencia, la fase es de menor trascendencia debido a la relativainsensibilidad del oído a cambios de fase. En otras aplicaciones, por ejemplo, en latransmisión de señales digitales o de video, las características de fase llegan a ser elfactor dominante. En esta sección se considerará la aproximación de una función defase. Específicamente, se desea encontrar las localizaciones de los ceros y los polospara una función de red que tenga alguna característica de fase específica.

Se puede mirar cualquier función de fase arbitraria como la suma de dos com-ponentes, de los cuales uno está asociado con la amplitud de una función de fasemínima y el otro es una función de fase pasa todo. En cualquier situación, las condi-ciones anteriores sobre la función pasa todo permiten separar los componentes (si loshay) asociados con la función de amplitud de una red de fase mínima. En el diseñode una red para el desplazamiento de fase prescrito, a veces es ventajoso usar unprocedimiento en el cual sea controlada la pendiente de la fase (retardo), más quela fase en sí misma. Para formular este enfoque se empieza por separar la funciónde transferencia en sus partes par e impar. Sea la función de transferencia de reddefinida por

H(s) =B (s)

A (s)=

m1 + n1m2 + n2

(10.7.1)

en la cual los mk y nk denotan, respectivamente, las partes par e impar de lospolinomios correspondientes. Para s = jω, las partes pares son reales y las imparesson imaginarias. El proceso de racionalización del denominador se indica por laecuación

H(s) =B (s)A (−s)A (s)A (−s) =

(m1 + n1)(m2 − n2)

(m2 + n2)(m2 − n2)(10.7.2)

la cual se puede expresar como

H(s) =B (s)A (−s)A (s)A (−s) =

M +N

m22 − n22

(10.7.3)

con

M = 12 [B(s)A(−s) +B(−s)A(s)] (10.7.4)

N = 12 [B(s)A(−s)−B(−s)A(s)] (10.7.5)

de la cual se obtiene el ángulo de atraso de la función H(jω) como:

−j tanβ = (N/M)s=jω o − β = tan−1 (N/jM)s=jω (10.7.6)

La derivada de esta ecuación conduce a

−dβdω

=M2

M2 −N2× d

ds(N/M) =

MN 0 −NM 0

M2 −N2


donde la prima denota diferenciación con respecto a s y tácitamente se comprendela evaluación de la expresión resultante para s = jω. La expresión obtenida aquí sereconoce como la parte real de una función racional (M 0 +N 0)/(M +N). Entoncesse puede ver que la pendiente de la fase de una red se puede escribir de la forma

dβ

dω= −Re

µM 0 +N 0

M +N

¶= +Re

∙φ0(s)

φ(s)

¸(10.7.7)

en la cual Re significa “parte real de”, además

φ(s) = B(−s)A(s) (10.7.8)

y de nuevo se entiende que se evalúa para s = jω. Un enfoque posible para la síntesisde la red de retardo es construir un polinomio φ(s) que reuna la especificación sobredβ/dω de acuerdo a la relación (10.7.7). Los polinomios B(s) y A(s) se encuentrande la ecuación (10.7.8) así:

Si la red es un pasatodo, B(−s) = A(s), y la ecuación (10.7.8) da

φ(s) = A2(s), φ0(s) = 2A(s)A0(s) (10.7.9)

La ecuación (10.7.7) entonces lleva a

dβ

dω= 2Re

µA0(s)

A(s)

¶(10.7.10)

Por otra parte, si la función de transferencia tiene todos los polos en infinito,B(s) = 1 y φ(s) = A(s), de modo que

dβ

dω= Re

µA0(s)

A(s)

¶(10.7.11)

la cual es la misma ecuación (10.7.10) perteneciente a la red pasa todo excepto porel factor 2.

Una red de desplazamiento de fase lineal es una para la cual la función de trans-ferencia tiene un ángulo de atraso β tal que dβ/dω se aproxima al mismo rectánguloideal como lo hace la magnitud de esta función en el diseño de un filtro pasa bajas[22]. Por analogía con la solución de este problema en términos de la función deButterworth, se puede ver un diseño en el cual dβ/dω se aproxima al rectánguloideal en una forma máximamente plana. Sin embargo, debido a la forma especialde la función racional (10.7.7), no es simple ver cómo puede obtenerse tal solución.Con el fin de dar una mejor compresión del problema, se considerarán algunos casosparticulares.


Supóngase que φ(s) es un polinomio de segundo orden dado por

φ(s) = 1 + a1s+ a2s2 (10.7.12)

Entonces se tieneφ0(s) = a1 + 2a2s (10.7.13)

y para s = jω

Re

∙φ0(s)

φ(s)

¸s=jω

= Re

∙φ0(jω)φ(−jω)φ(jω)φ(−jω)

¸=

a1(1 + a2ω2)

1 + (a21 − 2a2)ω2 + a22ω4

(10.7.14)

Como antes, se obtiene una respuesta máximamente plana si los términos del poli-nomio del numerador son equivalentes a los correspondientes del denominador. Estacondición se expresa por

a2 = a21 − 2a2 o a2 =1

3a21 (10.7.15)

para la cual se obtiene la función de pendiente de fase

dβ

dω=

a1¡1 + 1

3a21ω2¢

1 + 13a21ω2 + 1

9a41ω4

(10.7.16)

El rango de ω sobre el cual esta función se aproxima al valor constante a1 con unatolerancia dada, evidentemente decrementa cuando a1 incrementa. Se puede tenerun gran retardo sobre una banda estrecha o un pequeño retardo sobre una bandamás ancha. Se puede tener ambos, colocando en cascada circuitos idénticos, puestoque se pueden escoger los valores de a1 de modo que se obtenga el ancho de bandarequerido, y el retardo total proporcionado por n secciones en cascada será n× a1.

Alternativamente, se puede asumir un polinomio φ(s) de orden más alto. Porejemplo,

φ(s) = 1 + a1s+ a2s2 + a3s

3 (10.7.17)

para el cualφ0(s) = a1 + 2a2s+ 3a3s

2 (10.7.18)

y para s = jω

Re

∙φ0(s)

φ(s)

¸=

a1 + (a1a2 − 3a3)ω2 + a2a3ω4

1 + (a21 − 2a2)ω2 + (a22 − 2a1a3)ω4 + a23ω6

(10.7.19)

El requisito de función máximamente plana conduce a las ecuaciones

a1a2 − 3a3 = a1(a21 − 2a2), a2a3 = a1(a

22 − 2a1a3) (10.7.20)


dandoa2 =

2

5a21 y a3 =

1

15a21 (10.7.21)

La función pendiente de fase, en este caso es

dβ

dω=

1 + 15a21ω2 + 2

75a41ω4

1 + 15a21ω2 + 2

759a41ω4 + 1

225a61ω6

(10.7.22)

De nuevo, la tolerancia deseada y el ancho de banda fijan a1, igual al retardo resul-tante. Este método es muy directo en su aplicación, aunque es computacionalmentetedioso para polinomios φ(s) de orden alto.

Un enfoque a este problema que conduce aproximadamente a los mismos re-sultados y es computacionalmente mucho más simple se basa en la observación deque si φ(s) se aproxima a es, entonces φ0(s) ≈ φ(s), y la ecuación (10.7.7) lleva adβ/dω ≈ 1 en el intervalo de aproximación. Más específicamente, si se considera lasiguiente porción de una expansión de Maclaurin de es como la representación delpolinomio φ(s)

φ(s) = 1 + s+1

2s2 +

1

3!s3 + · · ·+ 1

n!sn (10.7.23)

entonces,

φ0(s) = 1 + s+1

2s2 +

1

3!s3 + · · ·+ 1

(n− 1)!sn−1 (10.7.24)

La función racional φ0(s)/φ(s) tiene un punto de silla de orden n−1 en s = 0; lafunción 1− (φ0/φ) tiene un cero de orden n en s = 0, o las primeras n− 1 derivadasde φ0/φ son cero en s = 0. La parte real de φ0/φ, la cual tiene la forma

Re

∙φ0(s)

φ(s)

¸=1 + α1s

2 + α2s4 + · · ·+ αn−1s2(n−1)

1 + β1s2 + β2s

4 + · · ·+ βns2n

(10.7.25)

tiene un punto de silla de orden n (o n− 1) en s = 0 para n impar (par).De aquí se tiene, en general:

αk = βk k = 1, 2, . . . ,1

2

µn− 3 + (−1)

n

2

¶(10.7.26)

la cual está cerca de la condición de ser máximamente plana.Puesto que φ(s) en la ecuación (10.7.7) es (M−N), se ve que el requerimiento de

que φ(s) se aproxime a es es, de acuerdo a la ecuación (10.7.6), equivalente a tenerque la función racional (−N/M) = tanh jβ se aproxime a tanh s. Esta función sepuede manipular desarrollándola en fracciones continuas a partir de las expansionesde Maclaurin, es decir,

tanh s =sinh s

cosh s=

s+ s3

3! +s5

5! +s7

7! + · · ·1 + s2

2! +s4

4! +s6

6! + · · ·(10.7.27)


El proceso de división continua e inversión conduce a

tanh s =1

1

s+

13

s+

15

s+

17

s+ · · ·

(10.7.28)

Usando las propiedades algebraicas de las fracciones continuas se puede obtener lasiguiente fórmula de recursión para la construcción de los polinomios φn(s) corre-spondientes a n términos de (10.7.28)

φn(s) = (2n− 1)φn−1(s) + s2φn−2(s) (10.7.29)

Junto con los valores iniciales

φ0 = 1, y φ1(s) = 1 + s (10.7.30)

se pueden determinar los polinomios de mayor grado. Estos φn(s), son los denomi-nados polinomios de Bessel.

Ejemplo 61 Determinar los polinomios de Bessel de segundo y cuarto orden.

Solución:A partir de la ecuación de recursión

φn(s) = (2n− 1)φn−1(s) + s2φn−2(s)

iniciando con φ0 = 1 y φ1(s) = 1 + s, se obtiene:

φ2(s) = (2× 2− 1)(1 + s) + s2 × 1 = 3 + 3s+ s2

Para el caso de cuarto orden:

φ3(s) = (2× 3− 1)(3 + 3s+ s2) + s2(1 + s) = 15 + 15s+ 6s2 + s3

φ4(s) = 7(15 + 15s+ 6s2 + s3) + s2 × (3 + 3s+ s2)

Entonces,φ4(s) = 105 + 105s+ 45s

2 + 10s3 + s4.

Las funciones de red obtenidas por este procedimiento se conocen como funcionesde Thomson [64] y utilizan para la construcción del denominador, los mencionados


polinomios de Bessel. Estas funciones de red, tienen una función de transferenciade la forma

H(s) =H0

φn(s)=

H0Pnk=0 aks

k(10.7.31)

y proporcionan una aproximación máximamente plana a las características de faselineal en ω = 0, es decir, tiene un retardo de grupo constante máximamente planoen corriente continua, dc (ω = 0). Para las funciones generadas, los coeficientesdel denominador de (10.7.31), correspondientes a la aproximación de fase lineal conpendiente de −1, pueden ser encontrados de la relación

ak =(2n− k)!

2n−kk!(n− k)!k = 0, 1, . . . , n− 1 (10.7.32)

donde n es el grado del denominador. El valor del coeficiente de mayor grado esla unidad. El polinomio del denominador de la función de transferencia (polinomiode Bessel) se puede encontrar, utilizando la fórmula de recursión (10.7.29) o bien,aplicando la expresión (10.7.32).

Ejemplo 62 Calcular φ4(s) y φ6(s).

Solución:Ya se había obtenido la función φ4(s) en forma recursiva. Aplicando la ecuación

(10.7.32) se obtiene para el polinomio

φ4(s) = a0 + a1s+ a2s2 + a3s

3 + a4s4

los coeficientes a0, a1, a2 y a3:

a0 =(2× 4− 0)!24 · 0! · 4! = 105, a1 =

(2× 4− 1)!23 · 1! · 3! = 105,

a2 =(2× 4− 2)!22 · 2! · 2! = 45, a3 =

(2× 4− 3)!2 · 3! · 1! = 10.

Para el caso del polinomio

φ6(s) = a0 + a1s+ a2s2 + a3s

3 + a4s4 + a5s

5 + a6s6

los coeficientes están dados por

a0 =(2× 6− 0)!26 × 0!× 6! = 10395, a1 =

(2× 6− 1)!25 × 1!× 5! = 10395, a2 =

(2× 6− 2)!24 × 2!× 4! = 4725,

a3 =(2× 6− 3)!23 × 3!× 3! = 1260, a4 =

(2× 6− 4)!22 × 4!× 2! = 210, a5 =

(2× 6− 5)!2× 5!× 1! = 21.

10.8. TRANSFORMACIONES EN LA RESPUESTA DE LOS FILTROS 351

La función de transferencia normalizada de Bessel será para cada caso:

H4(s) =105

105 + 105s+ 45s2 + 10s3 + s4

y

H6(s) =10395

10395 + 10395s+ 4725s2 + 1260s3 + 210s4 + 21s5 + s6

respectivamente.

Figura 10.14: Respuesta de Bode de dos funciones de transferencia tipo Bessel.Obsérvese la respuesta de fase en cada caso.

En la Fig. 10.14, se muestra la respuesta de Bode para H4(s) y H6(s). Se harealizado en la misma gráfica para comparar el comportamiento de la fase en lasfrecuencias de interés, en este caso, la frecuencia de corte normalizada a 1 rad/s.Nótese que el comportamiento es igual en ambos casos para el rango de frecuenciasen consideración; además la respuesta en magnitud es plana.

10.8 Transformaciones en la respuesta de los filtros

En las secciones precedentes de este capítulo se han considerado para aproximarlas características de magnitud. Las técnicas desarrolladas se aplican a funciones


de red pasa bajas. En esta sección se demostrará que estas aproximaciones puedenextenderse a otros tipos de funciones de red. Los tipos a ser considerados sonpasa altas, pasa banda y elimina banda. La extensión se hace a través del uso detransformaciones hechas sobre la variable compleja de la frecuencia. Se discutiráel uso de estas transformaciones desde tres puntos de vista diferentes (i) su efectosobre la característica de magnitud, (ii) su efecto sobre la función de red y (iii) suefecto sobre los elementos de una red dada [27].

10.8.1 Transformación de pasa bajas a pasa altas

La primera transformación de la variable compleja en frecuencia que se describirá sedenomina transformación normalizada de pasa bajas a pasa altas. Sea s = σ+ jω lavariable compleja original y p = u+jv la variable compleja transformada resultante,entonces la transformación se define como

s = σ + jω =1

p=

1

u+ jv=

u

u2 + v2− j

v

u2 + v2(10.8.1)

En esta relación, si se confina el rango de interés al caso sinusoidal de estadoestacionario, entonces σ = 0. Ahora, igualando las partes reales e imaginarias en laecuación (10.8.1), se obtiene:

u = 0 ω = −1v

(10.8.2)

El eje imaginario positivo en el plano s se transforma en el eje imaginario neg-ativo en el plano p. Además, los puntos en el origen y en infinito se intercambian.Una transformación similar ocurre entre el eje imaginario negativo en el plano s y eleje imaginario positivo en el plano p. Como resultado de este intercambio, una car-acterística de magnitud pasa bajas sobre el eje jω se transforma a una característicade magnitud pasa altas sobre el eje jω (Puesto que las características de magnitudson simétricas alrededor del origen, el signo negativo no tiene efecto). De la ecuación(10.8.1) se puede ver que, bajo esta transformación, los puntos correspondientes delas características de magnitud sobre el eje jω y jv están geométricamente centradassobre la frecuencia 1 rad/s.

Cosidérese una función pasa bajas general (con todos sus ceros en infinito) quetiene la forma

HLP (s) =Ho

sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + · · ·+ a1s+ a0(10.8.3)

Aplicando la transformación y multiplicando numerador y denominador por pn,se obtiene

HHP (p) = HLP

µ1

p

¶=

Hopn

a0pn + a1pn−1 + a2pn−2 + · · ·+ an−1p+ 1(10.8.4)


Nótese que los n ceros en infinito de HLP (s) se han transformado en n ceros en elorigen de HHP (p).

Ejemplo 63 Considérese la función Butterworth dada por

HLP (s) =1

s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s+ 1

Evalúese la función de red para el filtro pasa altas correspondiente y aplique desnor-malización para una frecuencia de corte (−3 dB) de 2 kHz.

Solución:Puesto que HHP (p) se deriva de HLP (s) por la transformación s = 1/p, será

una función Butterworth de cuarto orden y su frecuencia de corte de −3 dB serátambién de 1 rad/s. Para esta función, se tiene

HHP (p) =p4

p4 + 2.613p3 + 3.414p2 + 2.613p+ 1(10.8.5)

La función HHP (p) se puede modificar para tener un comportamiento de −3dB a cualquier frecuencia deseada aplicando desnormalización de la frecuencia. Porejemplo, para la frecuencia deseada de 2 kHz, se escoge Ωn = 2π × 2 × 103 y deaquí, se obtiene:

HHPDesnorm(p) =p4

p4 + 2.613Ωnp3 + 3.414Ω2np2 + 2.613Ω3np+Ω

4n

(10.8.6)

Sustituyendo el valor dado, se llega a

HHPDesnorm(p) =p4

p4 + 32836p3 + 5.391× 108p2 + 5.185× 1012p+ 2.494× 1016

En la Fig. 10.15 se puede ver la respuesta frecuencial para el filtro pasa altasrequerido.

Debido a la simetría de los coeficientes del denominador de los filtros de Butter-worth, la localización de los polos para las funciones pasa altas normalizadas son lasmismas que las del filtro pasa bajas de donde se parte. Para otras caractarísticas demagnitud este no es el caso. Esto se aclara a continuación

Ejemplo 64 Dada la función inversa de Chebyshev dada por

HLP (s) =0.382(s2 + 1.333)

s3 + 1.513s2 + 1.072s+ 0.508

Determinar la función de red del filtro pasa altas correspondiente.


Figura 10.15: Repuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa altas.

Solución:Se sustituye, como antes, s = 1/p, obteniéndose:

HHP (p) =

0.382

∙³1p

´2+ 1.333

¸³1p

´3+ 1.513

³1p

´2+ 1.072

³1p

´+ 0.508

HHP (p) =1.002 4p(p2 + 0.75019)

p3 + 2.1102p2 + 2.9783p+ 1.9685

En la Fig. 10.16 se muestra la respuesta de la magnitud del filtro vs la frecuenciaen rad/s. Obsérvese que la forma de la respuesta en la banda pasante es plana,mientras que en la banda bloqueada aparece un rizo.

10.8.2 Transformación de pasa bajas a pasa banda

Como en el caso de la transformación de pasa bajas a pasa altas descrito más arriba,esta transformación puede, por supuesto, aplicarse a cualquier tipo de característicade magnitud, como se vió antes. Para el caso de una transformación de pasa bajasa pasa banda se utiliza la transformación

s = p+1

p(10.8.7)

donde s es la variable del pasa bajas y p del pasa banda. La característica pasabanda tiene una frecuencia central unitaria y un ancho de banda el cual es el mismo


Figura 10.16: Respuesta de magnitud vs frecuencia de un filtro pasa altas tipoChebyshev.

que el de la función pasa bajas. Si se resuelve para p en la ecuación (10.8.7), seobtiene

p =s

2±r³s

2

´2− 1 (10.8.8)

Para el caso sinusoidal haciendo s = σ + jω, de donde σ = 0, entonces parap = u+ jv, sustituyendo en la ecuación (10.8.8)

p = u+ jv =σ + jω

2±

sµσ + jω

2

¶2− 1 = j

"ω

2±r³ω

2

´2+ 1

#de aquí, u = 0 y v estará dado por

v =ω

2±r³ω

2

´2+ 1 (10.8.9)

Así, el eje imaginario en el plano s se transforma en el eje imaginario en elplano p. La naturaleza de la transformación puede definirse aún más notando que,de la ecuación (10.8.8), el punto s = 0 se transforma en los dos puntos p = ±j1.Similarmente, el punto s = ∞, se transforma en los dos puntos p = 0 y p = ∞.Finalmente, usando la ecuación (10.8.9) se puede ver que cualquier punto arbitrariosobre el eje imaginario positivo del plano s, definido como s = jωb, se transformaen dos puntos jv2 y −jv1 sobre el plano p:

−v1 =ωb2−r³ωb

2

´2+ 1 v2 =

ωb2+

r³ωb2

´2+ 1 (10.8.10)


donde v1 y v2 son ambos positivos y v2 > v1. El punto −jωb en el plano s similar-mente se transforma en los puntos jv1 y −jv2 en el plano p. Ahora considérese enmás detalle los puntos v1 y v2. De la ecuación (10.8.9) se encuentra que

v1v2 =

Ã−ωb2+

r³ωb2

´2+ 1

!Ãωb2+

r³ωb2

´2+ 1

!= 1 (10.8.11)

v2 − v1 =ωb2+

r³ωb2

´2+ 1 +

ωb2−r³ωb

2

´2+ 1 = ωb (10.8.12)

Si v2 À v1, entonces∆v

.= v2 − v1 ≈ v2 = ωb (10.8.13)

es decir, el ancho de banda del filtro estará dada por la frecuencia de corte superior.Estos resultados pueden resumirse de la siguiente manera:

Resumen 8 Propiedades de la transformación de pasa bajas a pasa banda. La trans-formación normalizada de pasa bajas a pasa banda tiene las siguientes propiedades:

1. Cualquier frecuencia ωb que designa un valor de |HLP (jωb)| para la magnituddel filtro pasa bajas se transforma por la ecuación (10.8.10) en dos frecuenciasv1 y v2 que determina los valores |HBP (jv1)| y |HBP (jv2)|de la magnitud pasabanda. Las magnitudes tienen el mismo valor, es decir,

|HLP (jωb)| = |HBP (jv1)| = |HBP (jv2)|

2. Las frecuencias v1 y v2 satisface la relación v1v2 = 1, esto es, su media geo-métrica es la unidad.

3. Las frecuencias v1 y v2 satisfacen la relación v2 − v1 = ωb (asumiendo quev2 > v1), esto es, el ancho de banda del pasa banda es igual al ancho de bandadel pasa bajas.

Para producir anchos de banda diferentes, todo lo que se necesita es hacer unaapropiada desnormalización de la frecuencia de la función pasa bajas, antes deaplicar la transformación de pasa bajas a pasa banda. En la Tabla 10.4, se muestranalgunos ejemplos numéricos del cálculo de las frecuencias de corte de un filtro pasabanda, obtenidos de la aplicación de la transformación de pasa bajas a pasa bandanormalizada.

Ejemplo 65 Calcular una función de red pasa banda a partir de la función pasabajas Chebyshev dada por

HLP (s) =0.382(s2 + 1.333)

s3 + 1.513s2 + 1.072s+ 0.508


Tabla 10.4: Frecuencias de corte alto y bajo en una transformación de LP a BP.

ωs 0.2 0.4 0.7 1 2 5 10

v1 0.904 99 0.819 8 0.709 48 0.618 03 0.414 21 0.192 58 0.09902

v2 1.105 0 1.219 8 1.409 5 1.618 2.4142 5.1926 10.099

∆v 0.20001 0.4000 0.70002 0.99997 2.00000 5.00000 10.0000

Solución:Sustituyendo s = p+ 1/p se obtiene:

HBP (p) =

0.382

∙³p2+1p

´2+ 1.333

¸³p2+1p

´3+ 1.513

³p2+1p

´2+ 1.072

³p2+1p

´+ 0.508

y simplificando se llega a

HBP (p) =0.382(p4 + 3.333p2 + 1)p

p6 + 1.513p5 + 4.072p4 + 3.534p3 + 4.072p2 + 1.513p+ 1(10.8.14)

La cual tiene la respuesta magnitud de la ganancia vs frecuencia que se muestra enla Fig. 10.17.

Figura 10.17: Respuesta en frecuencia de una función de red pasa banda.

Nótese que los coeficientes son simétricos en orden ascendente y descendente dep, y el coeficiente del término de grado cero es la unidad. Las relaciones encontradasen las ecuaciones (10.8.9) a (10.8.12), se aplican a modelos normalizados de sis-temas pasa bajas con lo cual el sistema pasa banda correspondiente también estaránormalizado.


Tabla 10.5: Transformación de pasa bajas a pasa banda con frecuencia centralnormalizada del pasa banda a 1 rad/s.

n b1 b2 b3 b4 b5 b6

2 a1 a0 + 2

3 a2 a1 + 3 a0 + 2a24 a3 a2 + 4 a1 + 3a3 a0 + 2a2 + 6

5 a4 a3 + 5 a2 + 4a4 a1 + 3a3 + 10 a0 + 2a2 + 6a46 a5 a4 + 6 a3 + 5a5 a2 + 4a4 + 15 a1 + 3a3 + 10a5 a0 + 2a2 + 6a4 + 20

Dada una función de transferencia pasa bajas de la forma dada en la ecuación(10.8.3), se puede construir un filtro pasa banda de la forma

HBP (p) =Hop

n

p2n + b1p2n−1 + b2p2n−2 + · · ·+ b2p2 + b1p+ 1(10.8.15)

aplicando la transformación (10.8.7), la cual se puede realizar por la recurrenciadada en la Tabla 10.5, definida para algunos valores de n.

Las transformaciones normalizadas de pasa bajas a pasa altas y pasa bajas apasa banda definidas en las ecuaciones (10.8.1) y (10.8.7), acopladas con normaliza-ciones apropiadas de frecuencia, se pueden aplicar en varias secuencias para obtenercualquier combinación deseada de frecuencia central y ancho de banda.

Si se aplica la transformación de pasa bajas a pasa banda a una función de redpasa altas se obtiene un filtro eliminador de banda.

Ejemplo 66 Calcular una función de red rechaza banda a partir de la función pasaaltas Chebyshev dada por

HHP (s) =s(s2 + 0.75019)

s3 + 2.1102s2 + 2.9783s+ 1.9685

Solución:Sustituyendo s = p+ 1/p se obtiene la ecuación (10.8.16):

HBE(p) =

(p+ 1p)

∙³p+ 1

p

´2+ 0.75019

¸(p+ 1

p)3 + 2.1102(p+ 1

p)2 + 2.9783(p+ 1

p) + 1.9685(10.8.16)

Simplificando la anterior expresión se llega a

HBE(p) =p6 + 3.7502p4 + 3.7502p2 + 1

p6 + 2.1102p5 + 5.9783p4 + 6.1889p3 + 5.9783p2 + 2.1102p+ 1(10.8.17)

10.9. APROXIMACIÓN POR COMPUTADOR 359

Figura 10.18: Función de red rechaza banda tipo inverso de Chebyshev.

Obsérvese que también en este caso, los coeficientes del polinomio del denomi-nador son simétricos alrededor del término central. La respuesta de magnitud de laganancia vs la frecuencia, en rad/s, se muestra en la Fig. 10.18.

10.9 Aproximación por computador

En el computador se pueden elaborar algoritmos y funciones para implementar todoslos métodos de aproximación introducidos en las secciones anteriores. Se disponetanto de programas realizados por compañías fabricantes de circuitos integrados

(v, gr.: Filter3) como de plataformas de aplicación general, tal como MatlabR°,

con la Herramienta de Análisis y Diseño de Filtros: fdatool y la Herramienta deProcesamiento de Señales (Signal Processing Toolbox). En esta sección se mostraránalgunas funciones y ejemplos de aplicación de este último método. Se describe elfiltro con las correspondientes funciones y archivos M .

10.9.1 Filtro tipo Butterworth

Los archivos M para el diseño de los filtros análogos de Butterworth son:[z,p,k]=buttap(n)[nu,de]=butter(n,wn,’s’)[nu,de]=butter(n,wn,’tipo’,’s’)[n,wn]=buttord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)El archivo M buttap(n) calcula los ceros, los polos y la ganancia para un filtro

normalizado pasa bajas tipo Butterworth de orden n. El filtro resultante tiene n


polos alrededor del círculo unitario en el semiplano complejo izquierdo. Para el casodel filtro pasa bajas Butterworth todos los ceros están situados en infinito como seobserva en la ecuación (10.9.1). La forma de la función de transferencia está dadapor

H(s) =k

(s− p1)(s− p2) · · · (s− pn)(10.9.1)

También se puede usar el archivo M butter(n,wn,’s’) para diseñar funcionesde transferencia de filtros pasa bajas de orden n y frecuencia de corte wn rad/s.Los datos de salida de este archivo M son los vectores de los coeficientes de lospolinomios del numerador y del denominador, nu y de respectivamente, en potenciasdescendentes de s. Si wn es un vector de dos elementos [w1,w2] con w1 < w2, elarchivo M genera una función de transferencia de un filtro pasa banda de orden 2ncon frecuencias de corte en w1 y w2. Para diseñar un filtro pasa altas de orden n oun rechaza banda de orden 2n, se emplea el archivo M butter(n,wn,’tipo’,’s’),donde tipo = high para un filtro pasa altas con frecuencia de corte en ωn o tipo =stop para un rechaza banda con frecuencias de corte en ω1 y ω2 donde ω1 < ω2.

El archivo M buttord(wp,ws,Kp,Ks,’s’) calcula el orden n más bajo de unafunción de transferencia Butterworth que reuna las especificaciones dadas por losparámetros del filtro wp,ws,Kp y Ks. Los datos de salida son el orden del filtro yla frecuencia de corte ωn.

Ejemplo 67 Diseñar un filtro de paso bajo tipo Butterworth que reuna las siguientesespecificaciones: fp = 1kHz, fs = 2kHz,Kp = 1dB y Ks = 30dB.

Solución: El siguiente código MatlabR°realiza el filtro requerido

%Cálculo de un filtro de paso bajo Butterworth

1 [n,Wn]=buttord(2*pi*1000,2*pi*2000,1,30,’s’)

2 [nu,de]=butter(n,Wn,’s’)

3 [z,p,k]=buttap(n)

4 H=tf(nu,de)

5 bodemag(H)

De la línea 1 se obtiene

[n, ωn] = [6, 7.0672kHz]

de la línea 3


p1 = −0.2588 + 0.9659ip2 = −0.2588− 0.9659ip3 = −0.7071 + 0.7071ip4 = −0.7071− 0.7071ip5 = −0.9659 + 0.2588ip6 = −0.9659− 0.2588ik = 1

Figura 10.19: Respueta frecuencial del filtro de Butterworth.

Todos los ceros están en infinito, es decir, el orden del filtro es 6, mientras quela frecuencia de corte es ωn|−3dB = 7.0672 kHz.

De línea 4 se obtiene la función de transferencia:

H(s) = 1.25×1023s6+2.73×104s55+3.73×108s4+3.23×1012s3+1.86×1016s2+6.81×1019s+1.25×1023

En la Fig. 10.19 se puede observar la respuesta de magnitud vs frecuencia delfiltro diseñado.

10.9.2 Filtro Chebyshev tipo I (directo)

Los archivos M para el diseño de filtros análogos Chebyshev Tipo I o directos, soncomo sigue:


[z,p,k]=cheb1ap(n,Kp)[nu,de]=cheby1(n,Kp,wn,’s’)[nu,de]=cheby1(n,Kp,wn,’tipo’,’s’)[n,wn]=cheb1ord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)El archivo M cheb1ap(n,Kp) calcula los ceros, los polos y la ganancia para

un filtro normalizado pasa bajas tipo directo de Chebyshev de orden n con unrizo en la banda pasante de Kp dB. La forma racional del filtro pasa bajas tipo Ide Chebyshev puede determinarse usando el archivo cheby1(n,Kp,wn,’s’), dondewn es la frecuencia de corte en rad/s y Kp es el rizo de la banda pasante en dB.Los datos de salida son los vectores nu y de, los cuales contienen los coeficientesde los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia enpotencias decrecientes de s. Si wn es un vector de dos elementos [w1,w2] con w1 < w2,el archivoM genera una función de transferencia de un filtro pasa banda de orden 2ncon frecuencias de corte en w1 y w2. Para diseñar un filtro pasa altas de orden n o unrechaza banda de orden 2n, se emplea el archivo M cheby1(n,Kp,wn,’tipo’,’s’),donde tipo = high para un filtro pasa altas con frecuencia de corte en ωn o tipo =stop para un rechaza banda con frecuencias de corte en ω1 y ω2 donde ω1 < ω2.

El archivo M cheb1ord(wp,ws,Kp,Ks,’s’) calcula el orden n más bajo de unafunción de transferencia Chebyshev de Tipo I que reuna las especificaciones dadaspor los parámetros del filtro wp,ws,Kp y Ks. Los datos de salida son el orden delfiltro y la frecuencia de corte ωn. Este archivo M también se puede utilizar paracalcular el orden de cualquiera de los cuatro tipos básicos de filtros Chebyshev deTipo I. Para el diseño del pasa bajas wp < ws, mientras que para el diseño deun pasa altas wp > ws. Para el diseño de los otros dos tipos de filtro, wp y ws sonvectores de dos elementos los cuales especifican las frecuencias de corte y de la bandapasante y la banda bloqueada.

10.9.3 Filtro Chebyshev tipo II (inverso)

Los archivos M para el diseño de filtros análogos Chebyshev Tipo II o inversos, soncomo sigue:

[z,p,k]=cheb2ap(n,Ks)[nu,de]=cheby2(n,Ks,wn,’s’)[nu,de]=cheby2(n,Ks,wn,’tipo’,’s’)[n,wn]=cheb2ord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)El archivo M cheb2ap(n,Ks) calcula los ceros, los polos y la ganancia para un

filtro normalizado pasa bajas tipo inverso de Chebyshev de orden n con un valormínimo de atenuación en la banda bloqueada de Ks dB. La forma racional delfiltro pasa bajas tipo inverso de Chebyshev puede determinarse usando el archivocheby1(n,Ks,wn,’s’), donde wn es la frecuencia de corte en rad/s y Ks es la


atenuación mínima de la banda bloqueada en dB. Los datos de salida son los vectoresnu y de, los cuales contienen los coeficientes de los polinomios del numerador y eldenominador de la función de transferencia en potencias decrecientes de s. Si wn esun vector de dos elementos [w1,w2] con w1 < w2, el archivo M genera una funciónde transferencia de un filtro pasa banda de orden 2n con frecuencias de corte en w1y w2. Para diseñar un filtro pasa altas de orden n o un rechaza banda de orden 2n,se emplea el archivo M cheby2(n,Ks,wn,’tipo’,’s’), donde tipo = high para unfiltro pasa altas con frecuencia de corte en ωn o tipo = stop para un rechaza bandacon frecuencias de corte en ω1 y ω2 donde ω1 < ω2.

El archivo M cheb2ord(wp,ws,Kp,Ks,’s’) calcula el orden n más bajo de unafunción de transferencia Chebyshev de Tipo II que reuna las especificaciones dadaspor los parámetros del filtro wp,ws,Kp y Ks. Los datos de salida son el orden delfiltro y la frecuencia de corte ωn. Este archivo M también se puede utilizar paracalcular el orden de cualquiera de los cuatro tipos básicos de filtros Chebyshev deTipo II. Para el diseño del pasa bajas wp < ws, mientras que para el diseño deun pasa altas wp > ws. Para el diseño de los otros dos tipos de filtro, wp y ws sonvectores de dos elementos los cuales especifican las frecuencias de corte y de la bandapasante y la banda bloqueada.

Ejemplo 68 Diseñar un filtro pasa bajas tipo Chebyshev II, con las siguientes ca-racterísticas: ωp = 1000 rad/s, ωs = 1500 rad/s, Kp = 3 dB, Ks = 25 dB.

Solución:El siguiente programa realiza los cálculos y genera la gráfica de la Fig. 10.20:

Figura 10.20: Respuesta frecuencial del filtro de Chebyshev II.


%Programa para diseñar un filtro pasa bajas tipo Chebyshev II%leer datos wp,ws,Kp,Ksclc;wp=input(’Frecuencia pasante(rad/s): ’);ws=input(’Frecuencia bloqueada(rad/s): ’);Kp=input(’Atenuación banda pasante(dB): ’);Ks=input(’Atenuación banda bloqueada(dB): ’);[n,wn]=cheb2ord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)%Determinación de los coeficientes de la función de transferencia[nu,de]=cheby2(n,Ks,wn,’s’);Hch=tf(nu,de)omega=[0:0.01:2000*pi];H=freqs(nu,de,omega);plot(omega/(2*pi),20*log10(abs(H)));grid;xlabel(’Frecuencia, Hz’);ylabel(’Ganancia, dB’);

Los resultados se muestran en el siguiente listado del Workspace de Matlab:

Frecuencia pasante (rad/s): 1000Frecuencia bloqueada (rad/s): 1500Atenuación banda pasante (dB): 3Atenuación banda bloqueada (dB): 25Orden y frecuencia del filtro requerido:n = 4

ωn = 1.4258× 103Función de transferencia:

H(s) =0.05623s4 + 9.145× 105s2 + 1.859× 1012

s4 + 2859s3 + 4.138× 106s2 + 3.462× 109s+ 1.859× 1012

10.9.4 Filtro elíptico (Cauer)

Los archivos M para el diseño de filtros análogos Elípticos, son como sigue:[z,p,k]=ellipap(n,Kp,Ks)[nu,de]=ellip(n,Kp,Ks,wn,’s’)[nu,de]=ellip(n,Kp,Ks,wn,’tipo’,’s’)[n,wn]=ellipord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)El archivoM ellipap(n,Kp,Ks) calcula los ceros, los polos y la ganancia para un

filtro normalizado pasa bajas tipo Cauer de orden n con un rizo en la banda pasantede Kp dB y un valor mínimo de atenuación en la banda bloqueada de Ks dB. Los


archivos de salida son la longitud n de los vectores columna z y p, proporcionandolas localizaciones de los polos y los ceros, respectivamente, y el factor de gananciak. Si n es impar, z es de longitud n − 1. La forma de la función de transferenciaobtenida está dada por

H(s) =k(s− z1)(s− z2) · · · (s− zn)

(s− p1)(s− p2) · · · (s− pn)(10.9.2)

Para el caso del filtro pasa bajas tipo Cauer, la función de transferencia puededeterminarse usando el archivoM ellip(n,Kp,Ks,wn,’s’), donde wn es un escalarque define la frecuencia de corte en rad/s, Kp es el rizo en la banda pasante es-pecificado en dB y Ks es la atenuación mínima de la banda bloqueada también endB. Los datos de salida son los vectores nu y de, los cuales contienen los coeficientesde los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferen-cia en potencias decrecientes de s. Si wn es un vector de dos elementos [w1,w2]con w1 < w2, el archivo M genera una función de transferencia de un filtro pasabanda de orden 2n con frecuencias de corte en w1 y w2. Para diseñar un filtropasa altas de orden n o un rechaza banda de orden 2n, se emplea el archivo Mellip(n,Kp,Ks,wn,’tipo’,’s’), donde tipo = high para un filtro pasa altas confrecuencia de corte en ωn o tipo = stop para un rechaza banda con frecuencias decorte en ω1 y ω2 donde ω1 < ω2.

El archivo M ellipord(wp,ws,Kp,Ks,’s’) calcula el orden n más bajo de unafunción de transferencia elíptica que reuna las especificaciones dadas por los paráme-tros del filtro wp,ws,Kp y Ks. Los datos de salida son el orden del filtro y la frecuenciade corte ωn. Este archivo M también se puede utilizar para calcular el orden decualquiera de los cuatro tipos básicos de filtros Cauer. Para el diseño del pasa bajaswp < ws, mientras que para el diseño de un pasa altas wp > ws. Para el diseñode los otros dos tipos de filtro, wp y ws son vectores de dos elementos los cualesespecifican las frecuencias de corte y de la banda pasante y la banda bloqueada.

Ejemplo 69 Diseñar un filtro pasa banda tipo Cauer, con las siguientes caracterís-ticas: ωp =

£2 5

¤kHz, ωs =

£1 6.5

¤kHz, Kp = 1 dB, Ks = 30 dB.

Solución:El siguiente programa realiza los cálculos y genera la gráfica de la Fig. 10.21:%Diseño de un filtro pasa banda tipo Cauer%leer datos wp,ws,Kp,Ksclc;Kp=input(’Atenuación banda pasante (dB): ’);Ks=input(’Atenuación banda bloqueada(dB): ’);wp=[2000 5000]*2*pi;ws=[1000 6500]*2*pi;


Figura 10.21: Respuesta frecuencial del filtro elíptico.

[n,wn]=ellipord(wp,ws,Kp,Ks,’s’)%Determinación de los coeficientes de la función de transferencia[nu,de]=ellip(n,Kp,Ks,wn,’s’);omega=[0:1:300000*pi];H=freqs(nu,de,omega);Hb=tf(nu,de)plot(omega/(2*pi),20*log10(abs(H)));grid;xlabel(’Frecuencia, Hz’);ylabel(’Ganancia, dB’);

Los resultados se muestran en el siguiente listado del Workspace de Matlab:Atenuación banda pasante (dB): 1Atenuación banda bloqueada (dB): 30n = 4ωn = 10

4 ×£1.2566 3.1416

¤Función de transferencia:

H(s) ≈ 1.5×108s6+1.6×1017s4−2.7×105s3+2.3×1025s2−5.8×1013s+7.68×1032s8+1.8×104s7+2.1×109s6+2.6×1013s5+1.4×1018s4+1022s3+3.3×1026s2+1030s+2.4×1034

10.9.5 Filtro tipo Bessel

Los archivos M para el diseño de filtros análogos Bessel, son como sigue:[z,p,k]=besselap(n)


[nu,de]=besself(n,wn,’s’)[nu,de]=bessel(n,wn,’tipo’)El archivoM besselap(n) calcula los ceros, los polos y la ganancia para un filtro

normalizado pasa bajas Bessel de orden n. Los archivos de salida son la longitud ndel vector columna p, proporcionando las localizaciones de los polos y el factor deganancia k. Puesto que no hay ceros, el vector de salida z es un vector nulo. Laforma de la función de transferencia obtenida es la de la ecuación (10.9.1).

El archivo M besself(n,wn) se utiliza para diseñar un filtro Bessel análogo depaso bajo con una frecuencia de corte dada por el escalar wn en rad/s. Los datos desalida son los vectores de longitud n+1, nu y de, los cuales contienen los coeficientesde los polinomios del numerador y el denominador de la función de transferencia enpotencias decrecientes de s. Si wn es un vector de dos elementos [w1,w2] con w1 <w2, el archivo M genera una función de transferencia de un filtro pasa banda deorden 2n con frecuencias de corte en w1 y w2. Para diseñar los otros dos tipos defiltros Bessel, se utiliza la función besself(n,wn,’tipo’), donde tipo = high paraun filtro pasa altas con frecuencia de corte en ωn o tipo = stop para un rechazabanda con frecuencias de corte en ω1 y ω2 donde ω1 < ω2.

10.9.6 Limitaciones

La forma polos—ceros—ganancia es más precisa que la de función de transferencia [44]para el diseño de los filtros de Butterworth, Chebyshev tipo II, elíptico o Bessel. Serecomienda que la función de diseño para tales casos se utilice solo para filtros deorden inferior a 15, puesto que pueden surgir problemas numéricos para filtros deorden igual o mayor a dicho límite.

El método de diseño por utilización de la herramienta fdatool es autocontenida

por lo cual se remite al lector directamente a la aplicación en MatlabR°.

10.9.7 Transformaciones

Como en los casos contemplados anteriormente, en general el modelado de los filtrosse realiza inicialmente utilizando funciones matemáticas que conducen a filtros de

paso bajo. La Herramienta de Procesamiento de Señales de MatlabR°, posee fun-

ciones para realizar las transformaciones correspondientes a los demás tipos de filtro.A continuación se mostrarán algunas con sus correspondientes efectos.

• Transformación de un filtro análogo de paso bajo a pasa banda:

[nut,det] = lp2bp(nu,de,Wo,Bw)


La función lp2bp(nu,de,Wo,Bw) transforma el filtro prototipo pasa bajas nu/de,con frecuencia de corte unitaria de 1 rad/s, a un filtro pasa banda con frecuenciacentral Wo y ancho de banda Bw.

[AT,BT,CT,DT] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw)

Esta función hace la misma transformación cuando el filtro se describe en formade variables de estado.

• Transformación de un filtro análogo de paso bajo a paso alto:

[nut,det] = lp2hp(nu,de,Wo)

La función lp2hp(nu,de,Wo) transforma el filtro prototipo pasa bajas nu/de,con una frecuencia de corte unitario de 1 rad/s, a un filtro pasa altas con frecuenciade corte Wo.

[AT,BT,CT,DT] = lp2hp(A,B,C,D,Wo)


• Transformación de un filtro análogo de paso bajo a un filtro rechaza banda:

[nut,det] = lp2bs(nu,de,Wo,Bw)

La función lp2bp(nu,de,Wo,Bw) transforma el filtro prototipo pasa bajas nu/de,con frecuencia de corte unitaria de 1 rad/s, a un filtro rechaza banda con frecuenciacentral Wo y ancho de banda Bw.

[AT,BT,CT,DT] = lp2bs(A,B,C,D,Wo,Bw)


• Transformación de un filtro análogo de paso bajo a paso bajo:

[nut,det] = lp2lp(nu,de,Wo)

La función lp2hp(nu,de,Wo) transforma el filtro prototipo pasa bajas nu/de, conuna frecuencia de corte unitario de 1 rad/s, a un filtro pasa bajas con frecuencia decorte Wo.

[AT,BT,CT,DT] = lp2lp(A,B,C,D,Wo)



Problemas

1. Para cada una de las siguientes funciones de red, encontrar el cuadrado de lamagnitud |H(jω)|2 y mostrar que es una relación de polinomios pares

(a) H1(s) =Ho

s2 + as+ b

(b) H2(s) =Ho(s+ c)

s2 + as+ b

(c) H3(s) =Ho

s3 + 2s2 + 2s+ 1

(d) H4(s) =Ho

s4 + 2.6131s3 + 3.4142s2 + 2.6131s+ 1

(e) H5(s) =Ho(s

2 + 5.1532)

(s+ 0.5399)(s2 + 0.434s+ 1.0106)

(f) H6(s) =Ho

s5 + 3.236s4 + 5.236s3 + 5.236s2 + 3.236s+ 1

2. Encontrar los factores cuadráticos de cada uno de los siguientes polinomios

(a) P1(s) = s4 − 1(b) P2(s) = s6 + 1

(c) P3(s) = s8 + 1

(d) P4(s) = s10 − 1

3. Determinar el valor de la constante a en la siguiente función de red H(s), demodo que |H(jω)| satisfaga el criterio de magnitud máximamente plana:

H(s) =s+ 1

s2 + as+ 1

4. Se desea hacer que la siguiente función de redH(s) satisfaga el criterio de mag-nitud máximamente plana. Encontrar la relación necesaria que debe existirentre los coeficientes a y b.

H(s) =s2 + bs+ 2

s2 + as+ 1

5. Encontrar el orden requerido para una función de Butterworth normalizada(ωp = 1 rad/s, Kp = −3.0103 dB), con una atenuación en la banda bloqueadaKs de, al menos 20 dB, para cada uno de los siguientes valores de frecuenciade bloqueo ωs: (a) 1.6 rad/s, (b) 1.8 rad/s, (c) 2.0 rad/s, (d) 2.2 rad/s, (e)2.5 rad/s.


6. Una función de red tiene una relación de magnitud aproximada como

|H(jω)| = 1p1 + ε2[f(ω)]n

donde f(ω) satisface las siguientes relaciones: f(0) = 0 y f(1) = 1. Encontraruna expresión para el valor de n requerido para obtener una atenuación de Ks

dB a ωs rad/s. La expresión deberá contener solamente las variables Ks, ωs yε. Expresar el resultado en términos de log10.

7. Encontrar el orden requerido para una función de Butterworth normalizada(ωp = 1 rad/s, Kp = −3.0103 dB), con una frecuencia de bloqueo de 1.8rad/s, para cada una de las siguientes atenuaciones en la banda bloqueadaKs: (a) 15 dB (b) 18 dB, (c) 20 dB, (d) 25 dB, (e) 30 dB.

8. Función con magnitud máximamente plana:

(a) Encontrar una función de tercer orden con magnitud máximamente planaque esté a 1 dB por debajo del valor obtenido cuando la frecuencia es cero,a 1 rad/s. También encontrar la localización de los polos.

(b) Repetir la parte (a) para 0.5 dB.

9. Función de magnitud tipo Butterworth.

(a) Encontrar el orden de un filtro pasa altas para una banda pasante de 10a ∞ kHz con un rizo máximo de 1 dB y una atenuación en la banda blo-queada de 29 dB a frecuencias inferiores a 6.667 kHz. La característicade magnitud deberá ser de tipo Butterworth.

(b) Repetir la parte (a) para una característica pasa banda de igual rizo.

10. Polinomios de Chebyshev.

(a) Encontrar los valores de un polinomio de Chebyshev para valores de ωde 0.5 y 1.2 rad/s utilizando la ecuación (10.4.3). Confirmar los valoresutilizando la ecuación (10.4.4) o la ecuación (10.4.5).

(b) Repetir la parte (a) para un polinomio de quinto orden.

11. Polinomios de Chebyshev.

(a) Determinar el polinomio de Chebyshev C7(ω) utilizando las relaciones en(10.4.3).


(b) Repetir la parte (a) para C11(ω).

12. Encontrar la localización de los polos y la función de red característica deChebyshev pasa bajo de cuarto orden con una banda pasante situada en0 ≤ ω ≤ 2 rad/s con un rizo de 1 dB. Determinar el valor de la constantemultiplicativa del numerador tal que el valor máximo de la magnitud en labanda pasante sea la unidad.

13. Para una función normalizada de Chebyshev de paso bajo de tercer orden(ωp = 1 rad/s), el polinomio del denominador D(s), está factorizado de laforma

D(s) = (s2 + as+ b)(s+ c)

Encontrar las relaciones que existan entre los coeficientes a, b y c.

14. Encontrar el orden requerido para una función de Chebyshev normalizada(ωp = 1 rad/s), con 1 dB de rizo en la banda pasante y una atenuación enla banda bloqueada Ks, de al menos 30 dB, para cada una de las siguientesfrecuencias de bloqueo ωs: (a) 1.2 rad/s, (b) 1.4 rad/s, (c) 1.5 rad/s, (d) 1.6rad/s, (e) 1.8 rad/s.

15. Encontrar el orden requerido para una función de Chebyshev normalizada(ωp = 1 rad/s), con 1 dB de rizo en la banda pasante y una frecuencia debloqueo de 1.8 rad/s, para cada una de las siguientes atenuaciones en la bandabloqueada Ks: (a) 18 dB (b) 20 dB, (c) 25 dB, (d) 30 dB, (e) 40 dB.

16. Función inversa de Chebyshev.

(a) Encontrar una función inversa de Chebyshev con una atenuación de 20dB en la banda bloqueada de 1 ≤ ω ≤ ∞ rad/s.

(b) Determinar la constante multiplicativa tal que |H(0)| = 1.

17. Demostrar las relaciones (10.5.16) y (10.5.17).

18. Encontrar una función inversa de Chebyshev de tercer orden con una ate-nuación en la banda bloqueada de 30 dB para 10 ≤ ω ≤ ∞ rad/s. Determinarla constante multiplicativa tal que |H(0)| = 1.

19. Encontrar una función de red elíptica con 1 dB de rizo en la banda pasante de0 ≤ ω ≤ 1 rad/s, a 45 dB de atenuación en la banda bloqueada ω ≥ 2 rad/s,y una magnitud máxima unitaria en la banda pasante.

20. Función pasa altas tipo Butterworth.


(a) Encontrar el orden de un filtro pasa altas que tenga una banda pasanteentre 10 a ∞ kHz, con un rizo máximo de 1 dB y una atenuación de 29dB en la banda bloqueada a todas las frecuencias menores que 6.67 kHz.La característica de magnitud deberá ser Butterworth.

(b) Repetir (a) para una característica de banda pasante de igual rizo.

(c) Repetir (a) para una característica elíptica.

21. Encontrar la función de red normalizada (banda pasante de 1 a ∞ rad/s) depaso alto, con la localización de los polos, que produzca una característica demagnitud pasa banda de tercer orden con 0.5 dB de rizo en la banda pasante.Encontrar una constante multiplicativa que produzca una magnitud máximaen la banda pasante de la unidad.

22. Determinar una función de red tipo Bessel con ganancia unitaria para (i)n = 5, (ii) n = 6, (iii) n = 8.

23. Utilizar la transformación de pasa bajas a pasa banda para encontrar la funciónde red de un filtro eliminador de banda de cuarto orden de característicamáximamente plana, con una frecuencia central de 1 rad/s y un ancho debanda (definido para una atenuación de −3 dB de los valores máximos haciacero y hacia infinito ) de 1 rad/s. Expresar el resultado como una relación de

polinomios. Comparar con MatlabR°.

24. Encontrar una función de red de cuarto orden que tenga una magnitud quevaríe 1 dB en una banda pasante de 0.6180 a 1.6180 rad/s y tenga nulos en0.3269 y 0.359 rad/s.

Capítulo 11

Realización de Filtros Activos

11.1 Introducción

En el capítulo anterior se hizo el estudio de los modelos matemáticos que permitíanuna aproximación a la magnitud de un cierto filtro deseado, en este capítulo se pre-sentarán métodos para realizar las funciones de red a través del uso de filtros quecontengan elementos tanto activos como pasivos, estos últimos siendo restringidosexclusivamente a resistores y capacitores. Tales filtros se conocen como filtros ac-tivos RC. Hay muchas razones por las cuales los filtros activos RC son atractivosy pueden ser preferibles a su contraparte puramente pasiva RLC. Por ejemplo, losfiltros activos RC usualmente pesan menos y requieren menos espacio que los pa-sivos, esto es importante para el diseño de tarjetas de circuito impreso y para aplicartécnicas de fabricación usando circuitos integrados. Por otra parte, puesto que noes posible “integrar” un inductor, los circuitos pasivos RLC solo se pueden producirutilizando componentes discretos. Esto es usualmente demasiado caro. Por estas yotras razones, muchas aplicaciones de filtros, han sido modificadas de modo tal quese emplean componentes activos exclusivamente.

11.2 Realizaciones en cascada y directa

Hay dos métodos generales de realizar funciones de red utilizando filtros RC. Elprimero de estos es el método cascada. El método es denominado asi debido a quela función de red a ser realizada se factoriza primero en un producto de téminosde segundo orden (si se va a realizar una función de orden impar, se necesitaráen cascada, o bien un circuito pasivo de primer orden o un circuito activo RC detercer orden). Cada término se realiza individualmente por un circuito activo RCy luego se usa una cascada de los circuitos diseñados para realizar la función de

373

374 CAPÍTULO 11. REALIZACIÓN DE FILTROS ACTIVOS

red total. Los circuitos activos RC individuales deben realizarse de tal manera queno interactúen entre ellos cuando se haga la conexión en cascada; es decir, debenestar aislados entre sí. El segundo método general de usar circuitos activos RC pararealizar funciones de red es el método directo, en el cual un solo circuito se utilizapara realizar la función de red completa. Hay diferentes técnicas para aplicar estametodología, en algunos casos se emplea un solo amplificador operacional con lared RC requerida y en otros multiples amplificadores operacionales interconectados,v.gr., a través de técnicas de variables de estado.

11.2.1 El amplificador VCVS

Aunque teóricamente cualquier tipo de fuente controlada puede ser usada como elelemento activo, en la práctica la fuente de voltaje controlada por voltaje (VCVS)ha probado ser la preferida. Idealmente, la VCVS es un dispositivo de dos puertoscaracterizado por las siguientes propiedades: (i) impedancia de entrada infinita, (ii)impedancia de salida cero y (iii) una tensión de salida que es linealmente propor-cional a la tensión de entrada, la constante de proporcionalidad está referida comola ganancia. Un modelo y un símbolo circuital para una VCVS se da en la Fig. 11.1.

I+

-

I1 2

+

-

+

-

μViiV OV

+

-

1V

=0

Figura 11.1: Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS).

La VCVS también se conoce como amplificador de tensión o de voltaje. La gananciapuede ser positiva, en cuyo caso, se dice que la VCVS es no inversora, o negativa, enel cual se dice inversora. Entre las razones para la popularidad de las VCVS comoel elemento activo de los filtros RC es la facilidad con la cual puede ser realizadautilizando un amplificador operacional. Por ejemplo, la VCVS no inversora puedeser realizada utilizando un amplificador operacional con entrada diferencial, como semuestra en la Fig. 11.2(a). La ganancia de la VCVS resultante se da por la relación

v0vi= 1 +

R2R1

= μ (11.2.1)

11.2. REALIZACIONES EN CASCADA Y DIRECTA 375

(b)(a)

Rm

Vi VoR1

R2

+VoVi

R1

R2+

Figura 11.2: Realizaciones de VCVS : (a) modo no inversor, (b) modo inversor.

Obviamente, la ganancia será siempre mayor o igual que la unidad. La VCVStambién puede realizarse como se muestra en la Fig. 11.2(b). Para este circuito laganancia es

v0vi= −R2

R1= μ (11.2.2)

11.2.2 Análisis de redes con VCVS

En este caso el análisis corresponde a los métodos utilizados para encontrar la fun-ción de transferencia de la red total que contiene elementos activos RC. Dichosmétodos aplican los conceptos desarrollados para el análisis de redes con ampli-ficadores operacionales, por lo cual, se limitará el estudio a la aplicación de losresultados obtenidos en los circuitos de multipolos con el modelado matemático dela aproximación por magnitud. La configuración general de un filtro con un ampli-ficador operacional único, se muestra en la Fig. 11.3. En este circuito, el uso deun VCVS como elemento de salida satisface los requisitos según los cuales, no secambian las propiedades del filtro cuando se carga o se conecta a otro elemento encascada. Cuando la porción pasiva de la red del filtro se compone de elementos Ry C, puede producirse un amplio rango de funciones de filtro para la estructura to-tal. La realimentación provista por el VCVS convierte efectivamente los polos realesnegativos que caracterizan la red RC en polos complejos conjugados requeridos parael filtrado efectivo.

Función de transferencia de tensión para una red general con AO

En la Fig. 11.3 se muestra un circuito general con una red RC y un amplificadoroperacional.


v1 v3 v2

1 3 2

Figura 11.3: Configuración general de filtro con sólo un AO.

Definiendo la red pasiva como un sistema de tres terminales activos se tiene

Y =

⎡⎣ y11 y12 y13y21 y22 y23y31 y32 y33

⎤⎦ (11.2.3)

con la restricciónv2 = μv3

la matriz restringida será

y =

∙y11 μy12 + y13y31 μy32 + y33

¸(11.2.4)

de aquí se obtiene la función de transferencia como:

H(s) = μA21 = μy12

y11= μ

−y31μy32 + y33

(11.2.5)

obteniéndose finalmente:

H(s) =−μy31(s)

μy32(s) + y33(s)(11.2.6)

Función de transferencia para una configuración de red específica

Se pueden realizar filtros por dos métodos específicos, atendiendo a la forma deconexión de la VCVS : no inversora e inversora. Primero se estudiará el caso noinversor y enseguida el otro.

Muchos de los filtros activos con red RC tienen la forma de la Fig. 11.4, cuyafunción de transferencia general es como la obtenida en (11.2.6). Sin embargo, larelación particular fue hallada en el Subsección 9.6.1 como:

H(s) =N(s)

D(s)=

μy31(s)

y33(s)− μy32(s)(11.2.7)

11.2. REALIZACIONES EN CASCADA Y DIRECTA 377

vi1 y1

2

y4

y3

y5

2 34 voμ

y6y

Figura 11.4: Red activa RC con un amplificador operacional de ganancia finita μ.

donde

y31(s) = y1y3

y32(s) = y3y4 + y5(y1 + y2 + y3 + y4) (11.2.8)

y33(s) = (y1 + y2 + y4)(y3 + y5 + y6) + y3(y5 + y6)

Para un valor positivo de la ganancia μ de la VCVS, el denominador de (11.2.7)representa una diferencia de los polinomios positivos y33(s) y μy32(s). Para el casodonde esta diferencia está constituida por polinomios de segundo orden, y33(s),típicamente también será de segundo orden y, solamente tendrá ceros en el semiplanonegativo. Así, típicamente, y33(s) = (s + σ1)(s + σ2). Para la mayoría de lasaplicaciones, la red pasiva RC se escoge de modo que −y32(s) tenga un cero en elorigen, y así y32(s) = αs, donde α es una constante positiva. El polinomio resultantede segundo orden en el denominador de (11.2.7) puede escribirse como:

D(s) = s2 + a1s+ a0 = (s+ σ1)(s+ σ2)− μαs (11.2.9)

donde a1 y a0 determinan la localización de los polos resultantes y σ1, σ2 y α sonfunciones de los diferentes elementos pasivos de la red.

Para el caso de la red inversora se usará el circuito de la Fig. 11.5 conocido comored de Rouch. La función de transferencia de este circuito se analizó en la Subsección9.5.3 obteniéndose

H(s) = − y1y3y3y4 + y5(y1 + y2 + y3 + y4)

(11.2.10)

Utilizando las redes anteriores se diseñarán tipos diferentes de filtros de segundoorden.


_

+A0→∝

vi1 y1

y2

y4

y3

y5

2 3

4vo

Figura 11.5: Filtro genérico de Rouch.

11.3 Filtros en configuración Sallen—Key

En la sección anterior se presentó una configuración basica para un filtro RC conamplificador operacional adecuado para el uso en la realización de funciones detransferencia de voltaje de segundo orden. La configuración utilizada es la conocidacomo Sallen—Key [58], quienes desarrollaron los métodos de diseño correspondientesy los cuales se estudiarán en esta sección. El circuito se puede observar en la Fig.11.4. Se mostrará cómo la estructura básica mostrada en la figura citada puede serusada para realizar diferentes funciones pasa—bajas. El procedimiento general quepuede usarse será extendido en las siguientes secciones para incluir otros tipos defunciones de filtro.

11.3.1 Función general pasa—bajas

La forma general de la función de transferencia de voltaje pasa—bajas de segundoorden puede ser escrita como:

H(s) =V2(s)

V1(s)=

H0ω2n

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n=

μy31(s)

y33(s)− μy32(s)(11.3.1)

donde H0 es la ganancia en corriente directa, ωn es la frecuencia natural sin amor-tiguación, y Q es el factor de calidad. Si los polos de la función de red de (11.3.1)están localizados en p0 = σ0± jω0, entonces la relación entre las cantidades ωn y Qy la localización de los polos está dada como:

p0 = σ0 ± jω0 = −ωn2Q

± jωn2Q

p4Q2 − 1 (11.3.2)

Estas relaciones están además ilustradas en la Fig. 11.6.

11.3. FILTROS EN CONFIGURACIÓN SALLEN—KEY 379

σ = −

jωn

ωn

2Q4 1Q -2

ωn

2Qσ

Figura 11.6: Relación entre los parámetros definidos por los polos.

El polinomio s2+(ωn/Q)s+ω2n en el denominador de (11.3.1) es llamado formaestándar del polinomio de segundo orden.

11.3.2 Realización de un filtro pasa-bajas con un solo amplificador

Comparando (11.3.1) con las relaciones dadas en (11.2.7) y (11.2.8) se puede obser-var que los numeradores y1 y y3 deben ser constantes; es decir, deben representaradmitancias de resistores. Por lo tanto, se puede escribir

y1 = G1 y3 = G3 (11.3.3)

Ahora, analizando los denominadores de (11.3.1), se puede considerar al denomi-nador del miembro de la derecha como el que expresa la descomposición del poli-nomio s2 + (ωn/Q)s + ω2n del miembro central. Los miembros restantes del filtrose determinan notando que en (11.2.8), para satisfacer la descomposición dada en(11.2.9), y33(s) deben ser de segundo orden con ceros reales negativos. Además,y32(s) deberá tener un cero simple en el origen. Usando (11.3.3), la expresión paray32(s) será

y32(s) = G3y4 + y5(G1 + y2 +G3 + y4) = αs (11.3.4)

Esta relación se satisface haciendo

y4 = C4s y5 = 0 (11.3.5)

Usando este resultado en y33(s), se obtiene

y33(s) = (G1 + y2 +C4s)(G3 + y6) +G3y6


La forma deseada para y33(s) se obtiene haciendo

y2 = 0 y6 = C6s (11.3.6)

entonces

y33(s) = (G1+C4s)(G3+C6s)+G3C6s = C4C6s2+(G3C4+G1C6+G3C6)s+G1G3

y

y33(s)− μy32(s) = C4C6s2 + (G3C4 +G1C6 +G3C6)s+G1G3 − μG3C4s

= C4C6s2 + [G3C4(1− μ) +G1C6 +G3C6]s+G1G3

La función de transferencia del sistema resultante será

H(s) =v2(s)

v1(s)=

μG1G3C4C6s2 + [G3C4(1− μ) +G1C6 +G3C6]s+G1G3

Normalizando la anterior expresión se llega a

H(s) =μG1G3C4C6

1

s2 +hG1C4+ G3

C4+ G3(1−μ)

C6

is+ G1G3

C4C6

(11.3.7)

o, en términos de las resistencias

H(s) =μ

R1R3C4C6

1

s2 +³

1R1C4

+ 1R3C4

+ 1−μR3C6

´s+ 1

R1R3C4C6

(11.3.8)

La realización resultante se denomina configuración de filtro pasa—bajas Salleny Key [58] y se muestra en la Fig. 11.7.

ba

Vi Vo

C6

C4

R1 R3

RR

+

Figura 11.7: Filtro de paso bajo en configuración Sallen—Key.


Diseño 1. Comparando (11.3.1) y (11.3.8) se obtiene el siguiente conjunto deecuaciones

Hoω2n =

μ

R1R3C4C6(11.3.9)

ωnQ

=1

R1C4+

1

R3C4+(1− μ)

R3C6(11.3.10)

ω2n =1

R1R3C4C6(11.3.11)

Dividiendo (11.3.9) entre (11.3.11) y sustituyendo ωn en (11.3.10) se tiene el siguientesistema

Ho = μ

1

Q=

rR3C6R1C4

+

rR1C6R3C4

+ (1− μ)

rR1C4R3C6

(11.3.12)

ωn =1√

R1R3C4C6

Este es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incógnitas. Se puede obtener unasolución única si se hacen las siguientes asignaciones

R1 = R3 = R (11.3.13)

C4 = C6 = C (11.3.14)

Sustituyendo (11.3.13) y (11.3.14) en el conjunto de ecuaciones (11.3.12) se llega a

Ho = μ ωn =1

RC

1

Q= 3− μ (11.3.15)

De aquí se obtienen las ecuaciones de diseño como

μ = Ho RC =1

ωn

1

Q= 3− μ Rb = (μ− 1)Ra

En este caso se asignan los valores de, v. gr.: C := 0.1μF y Ra := 10kΩ y, conestos y los datos de ganancia, frecuencia de corte y factor de calidad se obtienen losdemás parámetros del diseño.

Obsérvese que para este diseño la ganancia del amplificador Ho = μ < 3. Estalimitación se puede superar calculando un amplificador adicional que complete laganancia deseada.

La función de transferencia del filtro quedará

H(s) =μ

R2C21

s2 + 3−μRC s+ 1

R2C2

(11.3.16)


Ejemplo 70 Diseñar un filtro pasa bajas en la configuración Sallen—Key, para unafrecuencia de corte de fn = 500Hz y una respuesta en amplitud tipo Butterworth.

Solución:

1kHz

V1-1/1V

0.01uF

0.01uF

+

33k 33k

10k 5.6k

A

Figura 11.8: Filtro pasa bajas Sallen—Key.

Se asume primero el valor de los capacitores en este caso C = 0.01μF ; fn =500Hz:

ωn = 2π500 = 3141.6 rad/s

ωn =1

RC⇒ R =

1

(3141.6)(10−8)= 31.831kΩ → R = 33kΩ

1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz

5.000 dB

-5.000 dB

-15.00 dB

-25.00 dB

-35.00 dB

A: r4_2

Measurement Cursors1 r4_2 X: 411.66 Y: 1.8636

Figura 11.9: Respuesta en frecuencia del filtro de paso bajo Sallen—Key.

Para una respuesta tipo Butterworth, el factor de calidad es Q =√22 , o sea

Q =1

3− μ=

1√2

⇒ μ = 3−√2 = 1.585 8 = H0


μ = 1 +Rb

Ra; Rb = (μ− 1)Ra

Si Ra = 10kΩ

⇒ Rb = (1.585 8− 1)10kΩ = 5.858kΩ → Rb = 5.6kΩ

La función de transferencia del filtro está dada por la ecuación (11.3.17), cuyarespuesta frecuencial se muestra en la Fig. 11.9.

H(s) =1.5858

(33000× 10−8)21

s2 + 3−μRC s+ 1

R2C2

H(s) =1.456 2× 107

s2 + 4285.5s+ 9.182 7× 106 (11.3.17)

Diseño 2. Un procedimiento de diseño diferente al presentado en (11.3.13) y(11.3.14) permite otra realización. En este caso se hace μ = 1. Este valor de ganan-cia se obtiene fácilmente con un seguidor de tensión. De las ecuaciones (11.3.12) setiene

Ho = 1

1

Q=

rR3C6R1C4

+

rR1C6R3C4

(11.3.18)

ωn =1√

R1R3C4C6

Ahora se defienen los parámetros n y m como sigue

n =R3R1

m =C6C4

(11.3.19)

Nótese que n y m son las relaciones entre los resistores y los capacitores respec-tivamente. Se puede definir

R1 = R C4 = C (11.3.20)

Entonces,

1

Q=

rm

nn+

rm

n= (n+ 1)

rm

n(11.3.21)

ωn =1√

mnRC(11.3.22)


De la expresión (11.3.21), derivando Q con respecto a n e igualando a cero se obtiene:

∂Q

∂n=

1√m

12(n+ 1)n

− 12 −√n

(n+ 1)2= 0

Entonces,n+ 1

2√n−√n =

n+ 1− 2n2√n

= 0

o sean = 1 (11.3.23)

Es decir, que para cualquier valor dado de m el valor máximo de Q ocurrirá cuandon = 1. Sustituyendo este resultado en la ecuación (11.3.21) se llega a

1

Q= 2√m (11.3.24)

o también,

m =1

4Q2(11.3.25)

Sin embargo, este caso no es óptimo. Para la mayoría de los valores de Q, estoproducirá una relación de capacitores excesivamente alta.

Despejando n en la ecuación (11.3.21) se obtiene:

1

Q= (n+ 1)

rm

n⇒ n2 + 2n+ 1 =

n

mQ2

Reorganizando la ecuación se llega a la expresión de segundo grado:

n2 +

µ2− 1

mQ2

¶n+ 1 = 0

la cual tiene solución para n como

n =1

2mQ2

³1±

p1− 4mQ2

´− 1 (11.3.26)

Esta ecuación proporciona dos valores de n para cualquier Q y m dados. Estosvalores son recíprocos, así el uso de uno determina al otro. Nótese que esta ecuacióntendrá solución real solo para los casos cuando 1− 4mQ2 ≥ 0, es decir,

m ≤ 1

4Q2(11.3.27)


Ejemplo 71 Se desea utilizar un VCVS con ganancia unitaria para realizar la fun-ción de Chebyshev con 0.5dB de rizo en la banda pasante dada por

H(s) =1.5162

s2 + 1.42562s+ 1.5162(11.3.28)

para una frecuencia de corte de 100 rad/s.

Solución:Para la frecuencia deseada de 100 rad/s se debe realizar el proceso de desnor-

malización, el cual consiste, para este caso, en sustituir la frecuencia normalizadaωn por la relación ωn/ωp, es decir,

ωn −→ωnωp

(11.3.29)

Definiendoωo

.=

ωnωp

(11.3.30)

la ecuación (11.3.28), se convertirá en la siguiente:

H(s) =Hoω

20

s2 + a1s+ a0=

1.5162ω2ps2 + 1.42562ωps+ 1.5162ω2p

(11.3.31)

El valor de ωp se determina de la ecuación (11.3.31), es decir,

ωp =

r104

1.5162= 81.212

De aquíωoQ= 1.42562ωp = 115.78

Puesto que la ecuación normalizada de segundo orden para un filtro de paso bajoestá dada por

H(s) =Hoω

2o

s2 + (ωo/Q) s+ ω2o

entonces, sustituyendo los valores encontrados, se obtiene

ωoQ= 115.78 ω20 = 10000

La función de transferencia quedará:

H(s) =104

s2 + 115.78s+ 104


100 Hz

V3-1/1V

33nF

0.1uF

+

150k 200k

Figura 11.10: Filtro de Sallen—Key con ganancia unitaria.

Entonces, el factor de calidad estará dado por

Q =

√a0a1

=

√10000

115.78= 0.863 71


m ≤ 1

4Q2=

a214× a0

=(115.78)2

4× 10000 = 0.33513

1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz

10.00 dB

-10.00 dB

-30.00 dB

-50.00 dB

-70.00 dB

-90.00 dB

A: c1_2

Figura 11.11: Respuesta en frecuencia del filtro de Sallen—Key de paso bajo conganancia unitaria.

Tomando m = 0.33, de la ecuación (11.3.26) se encuentra

n1 = 1.2822

n2 = 0.77993


Seleccionando el valor n = 1.28 y el de m encontrado antes, se obtienen losvalores paramétricos siguientes:

R1 = R =1√

0.33× 1.28× 102 × 10−7= 1.5386× 105 → R1 = 150kΩ

R3 = nR = 1.969 4× 105 → R1 = 200kΩ

C6 = mC = 0.33× 10−7 = 33nF

donde se ha asignado C = 0.1μF .En la Fig. 11.10 se muestra el circuito de la realización del filtro, mientras que

en la Fig. 11.11 se muestra la respuesta frecuencial del mismo.

Diseño 3 Otra escogencia práctica de un filtro activo pasa—bajas Sallen—Key esuno en el cual ambos capacitores tienen el mismo valor y la ganancia del amplificadorse lleva a μ = 2, es decir Ra = Rb.

La ecuación (11.3.8) quedará:

H(s) =2

R1R3C21

s2 + 1R1C

s+ 1R1R3C2

(11.3.32)

De las ecuaciones (11.3.1) y (11.3.32), se obtiene el siguiente sistema

ωnQ=

1

R1Cωn =

1√R1R3C

y de aquí

R1 =Q

ωnCR3 =

R1Q2

(11.3.33)

Esto completa el diseño.

Ejemplo 72 Diseñar un filtro Sallen—Key de paso—bajo, con ganancia μ = 2 ycapacitores iguales, para una función Butterworth de segundo orden.

Solución:La función de Butterworth de segundo orden y con ganancia Ho = μ = 2, está

dada por

H(s) =2

s2 +√2s+ 1

Asignando C4 = C6 = C = 1μF y teniendo en cuenta que para la función Butter-worth normalizada,

ωn = 1 yωnQ=√2


entonces, reemplazando en las ecuaciones (11.3.33) se llega a los siguientes valores:

R1 =Q

ωnC=106√2= 707kΩ → 715kΩ R3 =

R1

Q2= 2R1 = 1.4MΩ

11.3.3 Realización de un filtro pasa—altas con un solo amplificador

Para realizar un filtro pasa altas con un amplificador operacional se parte de lafunción de transferencia de segundo orden dada por

H(s) =v2(s)

v1(s)=

H0s2

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n=

μy31(s)

y33(s)− μy32(s)(11.3.34)

En esta ecuación, Ho es la ganancia a frecuencia infinita, ωn es la frecuencia naturaly Q el factor de calidad del sistema.

VoViC3C1

+R6

R4

Ra Rb

Figura 11.12: Filtro Sallen—Key de paso alto.

Para este caso se puede observar que el numerador de la función de transferenciacontiene s2. Comparando (11.3.1) con las relaciones dadas en (11.2.7) y (11.2.8) sepuede observar: Tomando primero los numeradores se tiene que las cantidades y1 yy3 deben ser variables; es decir, ellas deben representar admitancias de capacitores.Por lo tanto, se puede escribir

y1 = C1s y3 = C3s (11.3.35)

Ahora se analizan los denominadores de (11.3.1). Se puede considerar al denomi-nador del miembro de la derecha como el que expresa la descomposición del poli-nomio s2 + (ωn/Q)s + ω2n del miembro central. Los miembros restantes del filtrose determinan notando que en (11.2.8), para satisfacer la descomposición dada en(11.2.9), y33(s) debe ser de segundo orden con ceros reales negativos. Además, y32(s)


deberá tener un cero simple en el origen. Usando (11.3.35), la expresión para y32(s)será

y32(s) = y4C3s+ y5(C1s+ y2 + C3s+ y4) = αs (11.3.36)


y4 = G4 y5 = 0 (11.3.37)


y33(s) = (C1s+ y2 +G4)(C3s+ y6) + C3sy6


y2 = 0 y6 = G6 (11.3.38)

entonces

y33(s) = (C1s+G4)(C3s+G6)+C3sG6 = C1C3s2+(C1G6+C3G4+C3G6)s+G4G6

y

y33(s)− μy32(s) = C1C3s2 + (C1G6 +C3G4 +C3G6)s+G4G6 − μC3G4s

= C1C3s2 + (C1G6 +C3G4(1− μ) +C3G6)s+G4G6

La función de transferencia del sistema resultante será

H(s) =v2(s)

v1(s)=

μC1C3s2

C1C3s2 + (C1G6 + C3G4(1− μ) + C3G6)s+G4G6

Normalizando la anterior expresión se llega a

H(s) =μs2

s2 +hG6C1+ G6

C3+ G4(1−μ)

C1

is+ G4G6

C1C3

(11.3.39)

o, en términos de las resistencias

H(s) =μs2

s2 +³

1R6C1

+ 1R6C3

+ 1−μR4C1

´s+ 1

R4R6C1C3

(11.3.40)

La realización resultante se denomina configuración de filtro pasa—altas Sallen yKey [58] y se muestra en la Fig. 11.12. El parámetro μ se define como antes, esdecir,

μ = 1 +Rb

Ra


De la expresión (11.3.40) se obtiene por ajuste de coeficientes con la ecuación(11.3.34):

Ho = μ

ωn =1√

R4R6C1C3(11.3.41)

1

Q=

rR4C1R6C3

+

rR4C3R6C1

+ (1− μ)

rR6C3R4C1

Diseño 1. Este es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incógnitas. Se puedeobtener una solución única si se hacen las siguientes asignaciones

R4 = R6 = R (11.3.42)

C1 = C3 = C (11.3.43)

Sustituyendo (11.3.42) y (11.3.43) en el conjunto de ecuaciones (11.3.41) se llegaa

Ho = μ ωn =1

RC

1

Q= 3− μ (11.3.44)


μ = Ho RC =1

ωn

1

Q= 3− μ Rb = (μ− 1)Ra (11.3.45)

En este caso se asignan los valores de, v. gr.: C := 0.01μF y Ra := 10 kΩ y, conestos y los datos de ganancia, frecuencia de corte y factor de calidad se obtienen losdemás parámetros del diseño.

Obsérvese que para este diseño la ganancia del amplificador Ho = μ < 3. Estalimitación se puede superar calculando un amplificador adicional que complete laganancia deseada.


H(s) =μs2

s2 + 3−μRC s+ 1

R2C2

(11.3.46)

Ejemplo 73 Diseñar un filtro pasa altas en la configuración Sallen—Key, para unafrecuencia de corte de fn = 200Hz y una respuesta en amplitud tipo Butterworth.

Solución:Se asume primero el valor de los capacitores, en este caso C = 0.01μF ; fn =

200Hz:


1kHz

V1-1/1V

VoC3

0.01uFC1

0.01uF +

82k R6

82k

R4

200k

Ra

120k

Rb

Figura 11.13: Filtro Sallen—Key de paso alto.

ωn = 2π200 = 1256.6 rad/s

ωn =1

RC⇒ R =

1

(1256.6)(10−8)= 79.580kΩ → R = 82kΩ

Para una respuesta tipo Butterworth, el factor de calidad es Q =√22 , es decir,

Q =1

3− μ=

1√2

⇒ μ = 3−√2 = 1.5858 = H0

μ = 1 +Rb

Ra; Rb = (μ− 1)Ra

Si se toma Ra = 200kΩ

⇒ Rb = (1.5858− 1)200 kΩ = 117.16 kΩ → Rb = 120 kΩ

1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz

2.000 V

1.500 V

1.000 V

0.500 V

0.000 V

A: vo

Figura 11.14: Respuesta frecuencial de un filtro Sallen—Key de paso alto.



H(s) =μs2

s2 + 3−μRC s+ 1

R2C2

=1.5858s2

s2 + 1724.6s+ 1.487 2× 106 (11.3.47)

Diseño 2. Un procedimiento de diseño diferente al presentado en (11.3.42) y(11.3.43) permite otra realización. En este caso se hace μ = 1. Este valor de ganan-cia se obtiene fácilmente con un seguidor de tensión. De las ecuaciones (11.3.41) setiene

Ho = 1

ωn =1√

R4R6C1C3(11.3.48)

1

Q=

rR4C1R6C3

+

rR4C3R6C1

Ahora se defienen dos parámetros n y m como sigue

n =R6R4

m =C3C1

(11.3.49)

Nótese que n y m son las relaciones entre los resistores y los capacitores respec-tivamente. Se puede definir

R4 = R C1 = C (11.3.50)

Entonces,

1

Q=

r1

mn+

rm

n=

m+ 1√mn

(11.3.51)

ωn =1√

mnRC(11.3.52)

De la expresión (11.3.51), derivandoQ con respecto am e igualando a cero se obtiene:

∂Q

∂m=

m+ 1

2√mn−√mn

(m+ 1)2= 0

Entonces,n(m+ 1)− 2mn = 0


o seam = 1 (11.3.53)

Es decir, que para cualquier valor dado de n el valor máximo de Q ocurrirá cuandom = 1. Sustituyendo este resultado en la ecuación (11.3.51) se llega a

Q =1

2

√n (11.3.54)

o también,n = 4Q2 (11.3.55)

Sin embargo, este caso no es óptimo. Para la mayoría de los valores de Q, estoproducirá una relación de capacitores excesivamente alta.

Despejando m en la ecuación (11.3.51) se obtiene:

1

Q=

m+ 1√mn⇒ m2 + 2m+ 1 =

mn

Q2

Reorganizando la ecuación se llega a la expresión de segundo grado:

m2 +

µ2− n

Q2

¶m+ 1 = 0

la cual tiene solución para m como

m =1

2Q2

³n− 2Q2 ±

pn(n− 4Q2

´(11.3.56)

Esta ecuación proporciona dos valores de m para cualquier Q y n dados. Estosvalores son recíprocos; así, el uso de uno, determina al otro. Nótese que esta ecuacióntendrá solución real solo para los casos cuando n− 4Q2 ≥ 0, es decir,

n ≥ 4Q2 (11.3.57)

Ejemplo 74 Se desea utilizar VCVS con ganancia unitaria para realizar la funciónde Butterworth dada por

H(s) =s4

s4 + 2.613s3 + 3.414s2 + 2.613s+ 1(11.3.58)

para una frecuencia de corte de 2 kHz. Determinar la red correspondiente a estesistema de cuarto orden.


Solución:Puesto que el sistema es de cuarto orden lo más simple para este caso es par-

tir la función en dos funciones de transferencia de segundo orden. Las funcionescon coeficientes reales encontradas para este caso se muestran en las expresionessiguientes:

H1(s) =s2

s2 + 1.8477s+ 1H2(s) =

s2

s2 + 0.76526s+ 1

Se calculará el circuito correspondiente a cada función H1(s) y H2(s), respectiva-mente. Además, para la frecuencia deseada de 2000 Hz se debe realizar el procesode desnormalización, el cual consiste, para este caso, en sustituir la frecuencia nor-malizada ωn por la relación ωn/ωp, es decir,

ωn −→ωnωp

Definiendoωo

.=

ωnωp

la ecuación (11.3.58), se convertirá en la siguiente:

H1(s) =s2

s2 + a1s+ a0=

s2

s2 + 1.8477ωps+ ω2p(11.3.59)


ωp = 2× π × 2000 = 12566De aquí

ωoQ= 1.8477ωp = 23218

Puesto que la ecuación normalizada de segundo orden para un filtro de paso altoestá dada por

H(s) =Hos

2

s2 + (ωo/Q) s+ ω2o(11.3.60)

entonces, sustituyendo los valores encontrados, se obtiene

ωoQ= 23218 ω20 = 1.5791× 108


H1(s) =s2

s2 + 23218s+ 1.5791× 108


Entonces, el factor de calidad estará dado por

Q =

√a0a1

=

√1.5791× 10823218

= 0.54123


n ≥ 4Q2 = 4× a0a21

=4× 1.5791× 108

(23218)2= 1.171 7

Tomando n = 1.2, de la ecuación (11.3.56) se encuentra

m1 = 1.3627

m2 = 0.73383

Seleccionando el valor m = 1.36 y el de n encontrado antes, se obtienen losvalores paramétricos siguientes:

R4 = R =1√

1.36× 1.2× 2π × 2000× 10−8= 6229.2 → R4 = 6.2 kΩ

R6 = nR = 1.2× 6.2 kΩ = 7.44 kΩ → R6 = 7.5 kΩ

C3 = mC = 1.3627× 10−8 → C1 = 15 nF

donde se ha asignado C = C1 = 0.01μF .Para la función de transferencia H2(s) el procedimiento es similar, obteniéndose

los siguientes resultados:

H2(s) =s2

s2 + a1s+ a0=

s2

s2 + 0.76526ωps+ ω2p(11.3.61)


ωp = 2× π × 2000 = 12566

De aquíωoQ= 0.76526ωp = 9616.3

Puesto que la ecuación normalizada de segundo orden para un filtro de paso altoestá dada por la ecuación (11.3.60) entonces, sustituyendo los valores encontrados,se obtiene

ωoQ= 9616.3 ω20 = 1.5791× 108


+0.01uF 12nF15nF0.01uF

100 Hz

V3-1/1V +

2.7k

18k

7.5k

6.2k

A

Figura 11.15: Filtro de paso alto Sallen—Key con ganancia unitaria.


H2(s) =s2

s2 + 9616.3s+ 1.5791× 108Entonces, el factor de calidad estará dado por

Q =

√a0a1

=

√1.5791× 1089616.3

= 1.3068


n ≥ 4Q2 = 4× a0a21

=4× 1.5791× 108

(9616.3)2= 6.830 5

Tomando n = 6.9, de la ecuación (11.3.56) se encuentra

m1 = 1.2224

m2 = 0.8181

Seleccionando el valor m = 1.22 y el de n encontrado antes, se obtienen losvalores paramétricos siguientes:

R4 = R =1√

1.2224× 6.9× 2π × 2000× 10−8= 2740.1 → R4 = 2.7 kΩ

R6 = nR = 6.9× 2.7 kΩ = 18.64 kΩ → R6 = 18 kΩ

C3 = mC = 1.2224× 10−8 → C1 = 12 nF

donde, como antes, se ha asignado C = C1 = 0.01μF .En la Fig. 11.15 se muestra el circuito de la realización del filtro. Obsérvese que

se trata de dos etapas similares conectadas en cascada. En la Fig. 11.16 se puedever la respuesta frecuencial del mismo.


1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz 100.0kHz 1.000MHz

50.00 dB

0.000 dB

-50.00 dB

-100.0 dB

-150.0 dB

-200.0 dB

-250.0 dB

A: u1b_7

Figura 11.16: Respuesta en frecuencia del filtro de Sallen—Key de paso alto conganancia unitaria.

Diseño 3. Otra escogencia práctica de un filtro activo pasa—altas Sallen—Key esuno en el cual ambos capacitores tienen el mismo valor y la ganancia del amplificadorse lleva a μ = 2, es decir Ra = Rb.


H(s) =2s2

s2 + 1C

³2R6− 1

R4

´s+ 1

R4R6C2

(11.3.62)


ωnQ=1

C

µ2

R6− 1

R4

¶ωn =

1√R4R6C

(11.3.63)

Se puede resolver el sistema de ecuaciones (11.3.63) para R4 y R6 conduciendo a lossiguientes resultados, después de aplicar el procedimiento algebraico correspondiente:

R4 =1

4QωnC

³1 +

p1 + 8Q2

´R6 =

4Q

ωnC³1 +

p1 + 8Q2

´ (11.3.64)


Ejemplo 75 Diseñar un filtro Sallen—Key de paso—alto, con ganancia μ = 2 y capa-citores iguales, para una función Butterworth de segundo orden, para una frecuenciade ωn = 1000 rad/s.

Solución:


10nF10nF

100 Hz

V3-1/1V +

100k

100k

82k

110k

A

Figura 11.17: Circuito de Sallen—Key obtenido para una ganancia μ = 2.

La función normalizada de Butterworth de segundo orden y con ganancia Ho =μ = 2, está dada por

H(s) =2

s2 +√2s+ 1

Asignando C1 = C3 = C = 0.01μF y teniendo en cuenta que para la funciónButterworth desnormalizada,

1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz 100.0kHz

10.00 dB

-10.00 dB

-30.00 dB

-50.00 dB

-70.00 dB

-90.00 dB

A: r2_2

Figura 11.18: Respuesta en frecuencia de un filtro Sallen—Key de paso alto.

ωn = 1000 yωnQ=√2

entonces, reemplazando en las ecuaciones (11.3.64) se llega a los siguientes valores:

R4 =

√2× 1084× 1000 ×

³1 +√5´= 1.144 1× 105 kΩ → 110 kΩ

R6 =2×√2× 108

1000×¡1 +√5¢ = 87403 kΩ → 82 kΩ


En la Fig. 11.17 se muestra la red electrónica mientras que en la Fig. 11.18 se puedever la respuesta frecuencial del filtro requerido con la realización de ganancia μ = 2y capacitores iguales.

El circuito que realiza esta función de red se puede desarrollar de la mismamanera a la empleada para el diseño del filtro pasa bajas. En lugar de esto, seutilizará otro enfoque. Primero, se puede observar que este tipo de función de red sepuede relacionar fácilmente con una función pasa—bajas utilizando la transformaciónde pasa—bajas a pasa—altos introducida en la Sección 10.8; es decir, se hace s =1/p, donde s es la variable compleja de la función pasa—bajas original y p es lanueva variable compleja de la función pasa—altas. Aplicando esta transformaciónde frecuencia a los elementos de la red pasa—bajas se puede obtener una realizacióndel filtro pasa—altas. Además, se debe aplicar una desnormalización de impedanciade 1/p. Esto último, por supuesto, deja invariante a la función de transferencia detensión puesto que es adimensional. Para cualquier resistor (pasa—bajas) de valorR, el procedimiento es como sigue:

ZLP (s) = R −→Transf.

LP a HP

ZHP (p) = R −→Desnorm .

de imp. de 1/p

Zz desnorm(p) = R/p

(11.3.65)El resultado de las dos transformaciones es un capacitor de valor 1/R [F] en la

realización pasa—altas. Similarmente, para un capacitor (pasa—bajas) de valor C seobtiene

YLP (s) = Cs −→Transf.

LP a HP

YHP (p) = C/p −→Desnorm .

de imp. de 1/p

Yz desnorm(p) = C

(11.3.66)Así, el resultado de las dos transformaciones en este caso es un resistor de valor

1/C [Ω]. Puesto que la ganancia de una fuente de tensión controlada por tensión(VCVS) es adimensional y no depende de la frecuencia, permanece invariante bajolas dos transformaciones.

11.3.4 Realización de un filtro pasa—banda con un solo amplificador

Para realizar un filtro pasa altas con un amplificador operacional se parte de lafunción de transferencia de segundo orden dada por

H(s) =v2(s)

v1(s)=

H0 (ωn/Q) s

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n=

μy31(s)

y33(s)− μy32(s)(11.3.67)


En esta ecuación, Ho es la magnitud máxima de la función de red en la bandapasante. También se conoce como la ganancia a la frecuencia resonante, ωn es lafrecuencia natural y Q el factor de calidad del sistema.

+

--

v vi o

+

C2

C3

+

RaRb

R1

R6

R4

Figura 11.19: Realización de un filtro Sallen—Key pasabanda.

Para este caso se puede observar que el numerador de la función de transferenciacontiene s. Comparando (11.3.1) con las relaciones dadas en (11.2.7) y (11.2.8) sepuede observar: Tomando primero los numeradores, se tiene que y1 o y3 es capacitivoy el otro resistivo o lo inverso. Por lo tanto, se puede escribir, v. gr.:

y1 = G1 y3 = C3s (11.3.68)

Ahora se analizan los denominadores de (11.3.1). Se puede considerar al denomi-nador del miembro de la derecha como el que expresa la descomposición del poli-nomio s2 + (ωn/Q)s + ω2n del miembro central. Los miembros restantes del filtrose determinan notando que en (11.2.8), para satisfacer la descomposición dada en(11.2.9), y33(s) debe ser de segundo orden con ceros reales negativos. Además, y32(s)deberá tener un cero simple en el origen. Usando (11.3.68), la expresión para y32(s)será

y32(s) = C3sy4 + y5(G1 + y2 + C3S + y4) = αs (11.3.69)


y4 = G4 y5 = 0 (11.3.70)


y33(s) = (G1 + y2 +G4)(C3s+ y6) + C3sy6


y2 = C2s y6 = G6 (11.3.71)


entonces

y33(s) = (G1 + C2s+G4)(C3s+G6) +C3sG6 =

= C2C3s2 + (C2G6 + C3G1 +C3G4 +C3G6)s+ (G1 +G4)G6

y

y33(s)− μy32(s) = C2C3

∙s2 +

µG6C3

+G1C2

+G4(1− μ)

C2+

G6C1

¶s+

(G1 +G4)G6C2C3

¸La función de transferencia del sistema resultante será

H(s) =μG1C2

s

s2 +hG6C3+ G1

C2+ G4(1−μ)

C2+ G6

C1

is+ (G1+G4)G6

C2C3

(11.3.72)

o, en términos de los parámetros resistores

H(s) =μ

R1C2

s

s2 +³

1R1C2

+ 1−μR4C2

+ 1R6C2

+ 1R6C3

´s+

1R1+ 1R4

R6C2C3

(11.3.73)

La realización resultante se denomina configuración de filtro pasa banda Salleny Key [58] y se muestra en la Fig. 11.19. El parámetro μ se define como antes, esdecir,

μ = 1 +Rb

Ra

De esta expresión se obtiene por ajuste de coeficientes con la ecuación (11.3.67):

Ho =μ

R1C2

³1

R1C2+ 1−μ

R4C2+ 1

R6C2+ 1

R6C3

´ωn =

q1 + R4

R1√R4R6C2C3

(11.3.74)

1

Q=

qR6C2R4C3

+q

R4C3R6C2

+ 1R1

qR4R6C3

C2+ (1− μ)

qR6C3R4C2q

1 + R4R1

Diseño 1. El sistema (11.3.74) es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incóg-nitas. Se puede obtener una solución única si se hacen las siguientes asignaciones

R1 = R4 = R6 = R (11.3.75)

C2 = C3 = C (11.3.76)


Sustituyendo (11.3.75) y (11.3.76) en el conjunto de ecuaciones (11.3.74) se llegaa

Ho =μ

4− μωn =

√2

RCQ =

√2

4− μ(11.3.77)


RC =

√2

ωnμ = 4−

√2

QRb = (μ− 1)Ra (11.3.78)

Nótese que para que μ > 0, entonces

Q >

√2

4

Asignando los valores de, v. gr.: C := 0.01μF y Ra := 10 kΩ y, con estos y losdatos de ganancia, frecuencia de corte y factor de calidad, se obtienen los demásparámetros del diseño.


H(s) =μ

RC

s

s2 + 4−μRC s+ 2

R2C2

(11.3.79)

Ejemplo 76 Diseñar un filtro pasa banda en la configuración Sallen—Key, para unafrecuencia central de fn = 400Hz y un factor de calidad de Q = 10.

1kHz

V3-1/1V

10nF

10nF

+

10k27k

56k

56k

56k

A

Figura 11.20: Realización del filtro pasa banda tipo Sallen—Key.

Solución:


Se asume primero el valor de los capacitores en este caso C = 0.01μF ; fn =400Hz:

ωn = 2π400 = 2513.3 rad/s

ωn =

√2

RC⇒ R =

√2

(2513.3)(10−8)= 56269 Ω → R = 56 kΩ

100.0 Hz 200.0 Hz 300.0 Hz 400.0 Hz 600.0 Hz 1.000kHz

25.00 dB

20.00 dB

15.00 dB

10.00 dB

5.000 dB

0.000 dB

-5.000 dB

A: r4_2


Figura 11.21: Respuesta de la magnitud vs frecuencia del filtro pasa banda Sallen—Key. Nótese el valor del cursor en la frecuencia central medida.

La ganancia estará dada por

μ = 4−√2

Q= 4−

√2

10= 3.8586

μ = 1 +Rb

Ra; Rb = (3.858 6− 1)Ra

Si se toma Ra = 10kΩ

⇒ Rb = (3.858 6− 1)10 = 28.586 kΩ → Rb = 27 kΩ

La realización circuital del filtro se muestra en la Fig. 11.20, su función de trans-ferencia está dada por la ecuación (11.3.80), cuya respuesta frecuencial se muestraen la Fig. 11.21.

H(s) =μs

s2 + 4−μRC s+ 2

R2C2

=3.8586s

s2 + 252.5s+ 6.377 6× 106 (11.3.80)


Diseño 2. Otra escogencia práctica de un filtro activo pasa banda Sallen—Key, esuno en el cual ambos capacitores tienen el mismo valor y la ganancia del amplificadorse lleva a μ = 2, es decir, Ra = Rb.


H(s) =2

R1C

s

s2 + 1R1C

³1R1− 1

R4+ 2

R6

´s+ 1

R6C2

³1R1 +

1R4

´ (11.3.81)


H0ωnQ

=2

R1C(11.3.82)

ωnC

Q=

1

R1+2

R6− 1

R4(11.3.83)

ω2n =R1 +R4

R1R4R6C2(11.3.84)

De las cuales se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones no lineales:

ωnQ

=1

C

µ1

R1− 1

R4+2

R6

¶(11.3.85)

ω2nC2 =

1

R6

µ1

R1+1

R4

¶(11.3.86)

Ho =2

1− R1R4+ 2R1

R6

(11.3.87)

Se puede resolver este sistema de ecuaciones para R1, R4 y R6:De la ecuación (11.3.82), se despeja R1,

R1 =2Q

H0ωnC(11.3.88)

Sustituyendo el valor de R1de la ecuación (11.3.88), en las ecuaciones (11.3.85) y(11.3.86) y luego de organizar los términos, se llega a la siguiente expresión:

R26ω2nC

2 − H0 − 1QωnC

R6 −2

ω2nC2= 0

Resolviendo para R6 se obtiene

R6 =1

2QωnC

³H0 − 1±

p(H0 − 1)2 + 8Q2

´


Puesto quep(H0 − 1)2 + 8Q2 > H0 − 1, entonces se debe utilizar siempre el valor

positivo de la raiz, por lo cual, el valor del parámetro es:

R6 =H01

2QωnC(11.3.89)

donde

H01 =

q(Ho − 1)2 + 8Q2 +Ho − 1 (11.3.90)

Sustituyendo R1 en la ecuación (11.3.83) se obtiene:

ωnC

Q=

H0ωnC

2Q+2

R6− 1

R4

o sea1

R4=(H0 − 2)ωnC

2Q+2

R6(11.3.91)

Finalmente, sustituyendo el valor de R6 en la ecuación (11.3.91), se llega a

R4 =1

ωnC

2Q

H01 −H0(11.3.92)


Ejemplo 77 Diseñar un filtro Sallen—Key pasa banda, con ganancia Ho = 20 ycapacitores iguales. Se tiene una función de segundo orden, con frecuencia de centralen ωn = 1000 rad/s y factor de calidad Q = 10. Utilizar un AO con ganancia μ = 2.

Solución:

1kHz

V3-1/1V

10nF

10nF

+

10k10k

100k

270k

60.4k

A

Figura 11.22: Filtro pasa banda tipo Sallen—Key según el método de diseño 2.


Asignando C2 = C3 = C = 0.01μF y las ecuaciones (11.3.88) a (11.3.92), setiene:

R1 =1

ωnC

2Q

Ho=

1

103 × 10−82× 1020

= 1.0× 105 → 100 kΩ

H01 = 20 +

q(20− 1)2 + 8× 102 − 1 = 53.073

R4 =1

ωnC

2Q

H01 −Ho=

1

103 × 10−82× 10

53.073− 20 = 60471 → 60.4 kΩ

R6 =1

ωnC

H01

2Q=

1

103 × 10−853.073

20= 2.653 7× 105 → 270 kΩ

En la Fig. 11.22 se muestra la red electrónica, mientras que en la Fig. 11.23 se

10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz

25.00 V

20.00 V

15.00 V

10.00 V

5.000 V

0.000 V

A: r4_2


Figura 11.23: Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa banda tipo Sallen—Key.

puede ver la respuesta frecuencial del filtro con capacitores iguales y ganancia delAO, μ = 2. Obsérvese que con la condición impuesta de capacitores iguales, quedabien determinado el sistema de ecuaciones algebraicas.

Se puede obtener un circuito diferente al descrito anteriormente, si se hace y1 =C1s y y3 = G3 en lugar de usar las sustituciones dadas en la ecuación (11.3.68).Siguiendo los mismos pasos desarrollados en esta sección, se llega a una realizacióncircuital con tres capacitores. Este resultado es de menos interés práctico que el yadescrito por lo cual no se describirá.

11.4 Filtros en configuración Rouch

En la sección anterior se presentó una configuración basica para un filtro RC conun solo AO en configuración no inversora y de ganancia baja. En esta sección se

11.4. FILTROS EN CONFIGURACIÓN ROUCH 407

empleará un AO en modo inversor con ganancia infinita, para la realización delfiltro activo. La realización resultante se conoce como filtro con un amplificadorsimple de ganancia infinita o filtro en configuración Rouch. También se le conocecomo filtro con realimentación múltiple (MFF ). Como en la configuración anterior,en este caso se puede obtener cualquier tipo de filtro de acuerdo a los parámetrosde diseño dados.

La función de transferencia está dada por la ecuación (11.2.10) que aquí se repitepor comodidad

H(s) = − y1y3y3y4 + y5(y1 + y2 + y3 + y4)

(11.4.1)

Esta ecuación será la base de todos los diseños de filtros que se realizarán en lospárrafos siguientes. Se estudiarán sucesivamente, como en la sección anterior, losfiltros de paso bajo, paso alto y pasa banda, respectivamente. Nótese que, como enel caso anterior, las realizaciones corresponden a filtros de segundo orden.

11.4.1 Filtro pasa bajas con AO de ganancia infinita

Considérese la función de paso bajo descrita por la forma general (11.3.1) y quetambién se repite aquí por comodidad

H(s) =v2(s)

v1(s)=

H0ω2n

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n(11.4.2)

Si se compara (11.4.1) con (11.4.2) se puede observar que, puesto que el nume-rador de (11.4.2) es constante, también lo debe ser el de la ecuación (11.4.1), esdecir, deben ser resistores:

y1 = G1 y3 = G3 (11.4.3)

El denominador de (11.4.1) debe ser una función de segundo orden. Para ello sepueden hacer las siguientes asignaciones:

y5 = C5s (11.4.4)

para garantizar el término de segundo orden, y

y4 = G4 (11.4.5)

para obtener el término independiente.Queda faltando la asignación de y2, la cual debe ser capacitiva para completar

la funcióny2 = C2s (11.4.6)


Sustituyendo en la ecuación (11.4.1) se llega a:

H(s) = − G1G3G3G4 +C5s(G1 + C2s+G3 +G4)

=

= −G1G3C2C5

1

s2 + 1C2(G1 +G3 +G4) s+

G3G4C2C5

o, en términos de resistencias

H(s) = − 1

R1R3C2C5

1

s2 + 1C2

³1R1+ 1

R3+ 1

R4

´s+ 1

R3R4C2C5

(11.4.7)

Como en el caso de los filtros de Sallen—Key, se comparan los coeficientes de laecuación (11.4.7) con los de la ecuación normalizada (11.4.2), teniendo en cuenta quese debe tomar el valor absoluto de la ganancia, pues el amplificador está conectadoen modo inversor. Procediendo se tiene:

|Ho|ω2n =1

R1R3C2C5(11.4.8)

ωnQ

=1

C2

µ1

R1+1

R3+1

R4

¶(11.4.9)

ωn =1√

R3R4C2C5(11.4.10)

de aquí se obtiene

|Ho| =R4R1

(11.4.11)

ωn =1√

R3R4C2C5(11.4.12)

1

Q=

rC5C2

Ã√R3R4R1

+

rR3R4

+

rR4R3

!(11.4.13)

Este es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incógnitas el cual tiene infinitassoluciones. Para resolver este sistema, se pueden hacer algunas asignaciones:

C5 = mC2 = mC (11.4.14)

donde para C se toma un valor numérico adecuado, v. gr.: C := 0.01 μF . De(11.4.11), (11.4.8) y (11.4.14) se tiene:

1

R3= mR4ω

2nC

2 1

R1=|Ho|R4

(11.4.15)


Sustituyendo (11.4.15) y (11.4.14) en (11.4.9) se tiene:

ωnC

Q= mω2nC

2R4 +|Ho|R4

+1

R4

o sea

mω2nC2R24 −

ωnC

QR4 + |Ho|+ 1 = 0

o

R24 −1

mQωnCR4 +

|Ho|+ 1mω2nC

2= 0 (11.4.16)

Resolviendo esta ecuación cuadrática se obtiene:

R4 =1

2mQωnC

h1±

p1− 4mQ2(|Ho|+ 1)

ila cual es realizable para

m ≤ 1

4Q2(|Ho|+ 1)(11.4.17)

Para el caso particular cuando

m =1

4Q2(|Ho|+ 1)(11.4.18)

se obtiene:

R4 =1

2mQωnC=2Q(|Ho|+ 1)

ωnC(11.4.19)

y sustituyendo en (11.4.15):

R3 =2Q

ωnC(11.4.20)

R1 =2Q(|Ho|+ 1)|Ho|ωnC

(11.4.21)


Ejemplo 78 Diseñar un filtro pasa bajas en la configuración Rouch, para una fre-cuencia de corte de fn = 800Hz, ganancia 10 y una respuesta en amplitud tipoButterworth.

Solución:Se asume primero el valor de los capacitores en este caso C = 0.01μF ; fn =

800Hz:ωn = 2π800 = 5026.5 rad/s


0.01uF

+

1kHz

V1-1/1V

0.47nF301k

30.1k 28kA

Figura 11.24: Realización de un filtro pasa bajas tipo Rouch.

Para el filtro Butterworth el factor de calidad Q = 1/√2. Entonces, utilizando las

ecuaciones (11.4.20), (11.4.21) y (11.4.19) se obtiene

R3 =2Q

ωnC=

2√2× 2π800× 10−8

= 28135 → 28 kΩ

R1 =2Q(|Ho|+ 1)|Ho|ωnC

=2× (10 + 1)√

2× 10× 2π800× 10−8= 30948 → 30.1 kΩ

R4 =2Q(|Ho|+ 1)

ωnC=

2× (10 + 1)√2× 2π800× 10−8

= 3.094 8× 105 → 301 kΩ

C5 = mC2 =10−8

4× 12 × (10 + 1)

= 4.545 5× 10−10 → 0.47 nF

En la Fig. 11.24 se muestra una realización circuital del filtro requerido.

1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz

25.00 dB

15.00 dB

5.000 dB

-5.000 dB

-15.00 dB

-25.00 dB

A: u1_1

Figura 11.25: Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa bajas tipo Rouch.


H(s) = − 2.5245× 108s2 + 7225.9s+ 2.3484× 107 (11.4.22)


11.4.2 Filtro de paso alto con AO de ganancia infinita

En este caso la función de transferencia está dada por

H(s) =v2(s)

v1(s)=

H0s2

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n(11.4.23)

Si se compara (11.4.1) con (11.4.23) se puede observar que puesto que el nu-merador de (11.4.23) contiene la variable s2, la ecuación (11.4.1), también debecontenerla, es decir, los componentes deben ser capacitores:

y1 = C1s y3 = C3s (11.4.24)

El denominador de (11.4.1) debe ser una función de segundo orden para ello sepueden hacer las siguientes asignaciones:

y4 = C4s (11.4.25)

para garantizar el término de segundo orden y

y5 = G5 (11.4.26)

para el término independiente.Queda faltando la asignación de y2, la cual debe ser resistiva para completar la

funcióny2 = G2 (11.4.27)

Sustituyendo en la ecuación (11.4.1) se llega a:

H(s) = − C1C3s2

C3C4s2 +G5(C1s+G2 + C3s+ C4s)=

= −C1C4

s2

s2 +G5

³C1

C3C4+ 1

C3+ 1

C4

´s+ G2G5

C3C4


H(s) = −C1C4

s2

s2 + 1R5

³C1

C3C4+ 1

C3+ 1

C4

´s+ 1

R2R5C3C4

(11.4.28)

Comparando los coeficientes de la ecuación (11.4.28) con los de la ecuación norma-lizada (11.4.23) y, como antes, teniendo en cuenta que se debe tomar el valor absoluto


de la ganancia, pues el amplificador está conectado en modo inversor, se tiene:

|Ho| =C1C4

(11.4.29)

ωnQ

=1

R5

µC1

C3C4

1

C3+1

C4

¶(11.4.30)

ωn =1√

R2R5C3C4(11.4.31)

de aquí se obtiene

|Ho| =C1C4

(11.4.32)

ωn =1√

R2R5C3C4(11.4.33)

1

Q=

rR2R5

ÃC1√C3C4

+

rC3C4+

rC4C3

!(11.4.34)

Este es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incógnitas el cual tiene infinitassoluciones. Para solucionar este sistema, se pueden hacer algunas asignaciones:

C1 = C3 = C (11.4.35)

donde para C se toma un valor numérico adecuado, v. gr.: C := 0.01 μF . De(11.4.32) y (11.4.35) se tiene

C4 =C

|Ho|(11.4.36)

Sustituyendo (11.4.32) y (11.4.33) en (11.4.34) se tiene:

1

Q=

R2ωnCp|Ho|

Ãp|Ho|+

p|Ho|+

1p|Ho|

!=

= R2ωnC

µ2 +

1

|Ho|

¶=

R2ωnC (2|Ho|+ 1)|Ho|

o sea

R2 =|Ho|

QωnC (2|Ho|+ 1)(11.4.37)

También, sustituyendo C4 y R2 en (11.4.33)

R5 =Q (2|Ho|+ 1)

ωnC(11.4.38)



Ejemplo 79 Diseñar un filtro pasa altas en la configuración Rouch, para una fre-cuencia de corte de fn = 1200Hz, ganancia 20 y una respuesta en amplitud tipoButterworth.

Solución:Se asume primero el valor de los capacitores en este caso C = 0.01μF ; fn =

1200Hz

ωn = 2π × 1200 = 7539.8 rad/s

Vo

0.01uF0.47nF

0.01uF

+

1kHz

V1-1/1V

9.1k

390k

Figura 11.26: Filtro pasa altas tipo Rouch.

Para el filtro Butterworth el factor de calidad Q = 1/√2. Entonces, utilizando

las ecuaciones (11.4.36), (11.4.37) y (11.4.38) se obtiene:

C4 =C

|Ho|=10−8

20= 5.0× 10−10 → 0.47 nF

R2 =|Ho|

QωnC (2|Ho|+ 1)=

√2× 20× 10−8

2π × 1200 (40 + 1) = 9149.6 → 9.1 kΩ

R5 =Q (2|Ho|+ 1)

ωnC=

(40 + 1)× 108√2× 2π × 1200

= 3.8451× 105 → 390 kΩ

En la Fig. 11.26 se muestra una realización circuital del filtro requerido.La función de transferencia del filtro está dada por la siguiente ecuación:

H(s) = − 2.5245× 108s2s2 + 7225.9s+ 2.3484× 107 (11.4.39)

La realización física de estos filtros no depende exclusivamente del diseño matemático,esta es una condición necesaria pero no suficiente. La suficiencia es establecida por eltipo de AO utilizado para la implementación de la red correspondiente. La razón es


10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz 100.0kHz 1.000MHz 10.00MHz

22.50 V

17.50 V

12.50 V

7.500 V

2.500 V

-2.500 V

A: c6_2B: ub_6

Figura 11.27: Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro pasa altas tipo Rouch.Curva A: Amplificador LM741/NS. Curva B : Amplificador LM6365.

que los AOs se fabrican con una respuesta frecuencial definida por el fabricante, demodo que se cumplan algunos requisitos específicos (ver Capítulo 3). En la Fig. 11.27se muestra la respuesta frecuencial producida por dos amplificadores operacionalesde tipo comercial. La curva A, corresponde a la respuesta dada por un ampificadorLM741/NS, el cual posee una respuesta frecuencial muy baja. Obsérvese que secomporta como un filtro pasa banda de ancho de banda no muy amplio. La curvaB corresponde a la respuesta frecuencial del AO LM6365 el cual posee algunas ca-racterísticas eléctricas que le permiten tener un mejor comportamiento frecuencial,entre otras: Ancho de banda alto, 725 MHz, alto slew rate (SR), 300V/μs. Se debencomparar estas características con las del AO LM741/NS.

11.4.3 Filtro pasa banda con AO de ganancia infinita

En este caso la función de transferencia está dada por

H(s) =v2(s)

v1(s)=

H0 (ωn/Q) s

s2 + (ωn/Q)s+ ω2n(11.4.40)

Si se compara (11.4.1) con (11.4.40) se puede observar que puesto que el nu-merador de (11.4.40) contiene la variable s, la ecuación (11.4.1), también debe con-tenerla, es decir, debe existir un elemento resistivo y el otro capacitivo. Se puedecumplir este requerimiento haciendo, v. gr.:

y1 = G1 y3 = C3s (11.4.41)

El denominador de (11.4.1) debe ser una función de segundo orden para ello sepueden hacer las siguientes asignaciones:

y4 = C4s (11.4.42)


para generar el término de segundo orden y

y2 = G2 y5 = G5 (11.4.43)

para completar la funciónSustituyendo en la ecuación (11.4.1) se llega a:

H(s) = − G1C3s

C3C4s2 +G5(G1s+G2 + C3s+C4s)=

= −G1C4

s2

s2 +G5

³1C3+ 1

C4

´s+ G5(G1+G2)

C3C4


H(s) = − 1

R1C4

s

s2 + 1R5

³1C3+ 1

C4

´s+ 1

R5C3C4

³1R1+ 1

R2

´ (11.4.44)

Comparando los coeficientes de la ecuación (11.4.44) con los de la ecuación norma-lizada (11.4.40) y, como antes, teniendo en cuenta que se debe tomar el valor absolutode la ganancia, pues el amplificador está conectado en modo inversor, se tiene:

|Ho|ωnQ

=1

R1C4(11.4.45)

ωnQ

=1

R5

µ1

C3+1

C4

¶(11.4.46)

ωn =

s1

R5C3C4

µ1

R1+1

R2

¶(11.4.47)

de aquí se obtiene

|Ho| =R5

R1

³1 + C4

C3

´ (11.4.48)

ωn =

s1

(R1||R2)R5C3C4(11.4.49)

1

Q=

sR1||R2R5

ÃrC3C4+

rC4C3

!(11.4.50)

Este es un conjunto de tres ecuaciones con cinco incógnitas el cual tiene infinitassoluciones. Para solucionar este sistema, se pueden hacer algunas asignaciones, v.gr.:

C3 = C4 = C (11.4.51)


donde para C se toma un valor numérico adecuado, v. gr.: C := 0.01 μF . De(11.4.48):

|Ho| =R52R1

(11.4.52)

También de (11.4.49) y (11.4.50) se tiene:

ωnC =

s1

(R1||R2)R5(11.4.53)

1

2Q=

sR1||R2R5

(11.4.54)

Multiplicando (11.4.53) por (11.4.54) y despejando R5:

R5 =2Q

ωnC(11.4.55)

Sustituyendo R5 en (11.4.52):

R1 =Q

|Ho|ωnC(11.4.56)

Reemplazando R 1 y R5 en, v. gr.: (11.4.54) se obtiene el valor de R2:

R2 =Q

ωnC (2Q2 − |Ho|)(11.4.57)

En este caso se requiere que para que R2 sea positivo |Ho| < 2Q2. Esto completa eldiseño.

Ejemplo 80 Diseñar un filtro pasa banda en la configuración Rouch, para una fre-cuencia central de fn = 10kHz, ganancia 20 y un ancho de banda de 200 Hz.

Solución:Se asume primero el valor de los capacitores en este caso C = 0.001 μF ; fn = 10

kHz:ωn = 2π × 10000 = 62832 rad/s

Para el filtro deseado el factor de calidad

Q =fnBw

=10000

200= 50


1nF

1nF

+

1kHz

V1-1/1V

39k

160

1600k

A

Figura 11.28: Filtro pasa banda tipo Rouch.

Entonces, utilizando las ecuaciones (11.4.52), (11.4.55) y (11.4.56) se obtiene

R1 =Q

|Ho|ωnC=

50× 10920× 62832 = 39789 → 39 kΩ

R2 =Q

ωnC (2Q2 − |Ho|)=

50× 10962832× (2× 502 − 20) = 159.79 → 160 Ω

R5 =2Q

ωnC=1011

62832= 1.591 5× 106 → 1.6 MΩ

En la Fig. 11.28 se muestra una realización circuital del filtro requerido. En este

100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz 100.0kHz 1.000MHz

30.00 dB

10.00 dB

-10.00 dB

-30.00 dB

-50.00 dB

A: u1_6

Figura 11.29: Respuesta frecuencial del filtro pasa banda tipo Rouch.

caso, debido al requerimiento frecuencial del filtro, se utiliza un AO de característicasparticulares como el LM6365. En la Fig. 11.29 se da la respuesta en frecuencia conel AO mencionado. La función de transferencia del filtro está dada por:

H(s) = − 25641s

s2 + 1250s+ 3.9223× 109


11.5 Síntesis de filtros por variables de estado

El diseño de filtros por variables de estado ofrece un medio fácil y compacto para sin-tetizar filtros de alto orden, con alta flexibilidad buen comportamiento y bajas sen-sibilidades. Estas características los han hecho muy populares entre los fabricantesde filtros comerciales. Existen varios métodos de realización de estos filtros, los máspopulares son los conocidos como filtros KHN por los nombres de sus inventores(Kerwin, Huelsman y Newcomb) [32]. Sin embargo, cualquiera puede desarrollar unfiltro de estas características, si conoce los polos y los ceros de la función que desearealizar. Sea la función de transferencia dada en forma de polinomios racionales,con condiciones iniciales cero

H(s) =y(s)

u(s)=

bm+1sm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1

sn + ansn−1 + · · ·+ a1(11.5.1)

Para encontrar la realización en la forma de variables de estado, cada estadocorresponde a la salida de un integrador pues es en los integradores en donde sealmacena la energía del sistema. La ecuación de estado en forma de controlabilidadse escribe por inspección a partir de la función de transferencia dada en la ecuación11.5.1 asumiendo que el sistema es estrictamente propio, es decir, m ≤ n − 1. Lafunción de transferencia, entonces se transforma en n ecuaciones diferenciales deprimer orden,

x =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1−a1 −a2 −a3 · · · −an

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦x+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣00...01

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦u = Ax+Bu (11.5.2)

y =£b1 b2 · · · bn−1 bn

¤x = C>x

donde x =£x1 x2 · · · xn−1 xn

¤>. Para la realización se utilizan n inte-

gradores y hasta dos sumadores. El cálculo de los parámetros que representan loscoeficientes ai, bj , se hace utilizando el mismo procedimiento empleado para resolverel problema de síntesis algebraica (ver Sección 4.4).

El problema fundamental con este método es identificar la función de transfe-rencia del filtro a ser realizado, para ello se recomienda aplicar la teoría desarrolladaen el Capítulo 10.

Ejemplo 81 Implementar utilizando AOs, el filtro pasa bajas de Chebyshev de ter-cer orden con factor de rizo 0.5, definido por la expresión normalizada

H(s) =0.7157

s3 + 1.253s2 + 1.535s+ 0.7157(11.5.3)

11.5. SÍNTESIS DE FILTROS POR VARIABLES DE ESTADO 419

La respuesta en frecuencia debe estar entre 0 ≤ ωn ≤ 1000 rad/s y una ganancia de10 en la banda pasante.

Solución.Para una ganancia de 10, se multiplica el numerador por este valor con lo cual

la función de transferencia quedará

H(s) =7.157

s3 + 1.253s2 + 1.535s+ 0.7157

Se hace la transformación de la ecuación dada en términos de función de trans-ferencia a la forma controlable de variables de estado.

1kHz

V9-1/1V

++

0.01uF+

++

62k

10k

140k64.9k

82k

100k

100k

28.7k

A

Figura 11.30: Implementación de un filtro de Chebyshev utilizando variables deestado en modo controlable.

La ecuación de transferencia en variables de estado quedará:

x =

⎡⎣ 0 1 00 0 1

−0.7157 −1.535 −1.253

⎤⎦x+⎡⎣ 001

⎤⎦uy =

£7.157 0 0

¤x

En este caso hay un sumador conectado a la entrada para acumular las realimenta-ciones desde los integradores y un amplificador de ganancia μ = 7.157 conectado ala salida.

Para el diseño del sumador de entrada se toma la ecuación lineal

x3 = u− 0.7157x1 − 1.535x2 − 1.253x3

Aplicando el procedimiento desarrollado en el Capítulo 4:

A = 1, B = 3.5037 =⇒ AT = 1− 3.5037− 1 = −3.5037 < 0


Por lo tanto,

κ = sup|AT |, A,B + 1 = sup3.5037, 1, 4.5037 = 4.5037 Rf > κZi


Rf ≥ κZi = 4.5037× 20kΩ = 90.074 kΩ → Rf = 100kΩ

R0 =Rf

−AT= 28.541 kΩ → R0 = 28.7 kΩ

10.00mHz 100.0mHz 1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz

22.50 dB

17.50 dB

12.50 dB

7.500 dB

2.500 dB

A: u2a_6

Figura 11.31: Respuesta frecuencial del filtro de Chebyshev.

R1 =Rf

1= 100kΩ

R1 =Rf

a1=100kΩ

0.7157= 139.72kΩ → R1 = 140 kΩ

R2 =Rf

a2=100kΩ

1.535= 65.147kΩ → R2 = 64.9 kΩ

R3 =Rf

a3=100kΩ

1.253= 79.808kΩ → R3 = 82 kΩ

La red calculada está definida para una red normalizada en frecuencia, es decir, parauna frecuencia ωn = 1 rad/s. Para llevar el circuito al valor deseado de ωo = 1000rad/s, se aplica el mismo procedimiento aplicado antes (ver Ejemplo 74). Puestoque para el integrador de Miller normalizado se utiliza un capacitor CM = 10 μF ,el valor del capacitor para la frecuencia deseada será

C =CM

1000=10μF

1000= 0.01μF


Con este valor se realizan los tres integradores requeridos. El paso final en el diseñoes el cálculo del amplificador para obtener el valor y = 7.157x1, este amplificador seconecta a la salida del filtro. Entonces

μ = 1 +R2R1

= 7.157

de aquí, despejando R2 en función de R1

R2 = 6.157R1

y tomando, v. gr., R1 = 10kΩ, se tendrá R2 = 61.57 kΩ o, aproximando al valorcomercial más cercano, R2 = 62 kΩ. La implementación de la red correspondientese muestra en la Fig. 11.30, cuya respuesta frecuencial se observa en la Fig. 11.31.

11.5.1 Implementaciones en paralelo

Una desventaja de los filtros en variables de estado en modo controlable, es quecuando el orden es alto (n > 5), los valores de los coeficientes tienden a ser muyelevados con lo cual, los parámetros físicos que los conforman (resistores), crecenrápidamente haciendo difícil la implementación correspondiente. También, cuando elorden de la ecuación diferencial es elevado, los errores generados por la aproximaciónde los parámetros mencionados, se propagan en cascada con el sentido de la red ypueden desviar los resultados. Otra dificultad consiste en que se presentan problemasde retardo de fase. Por esta razón es conveniente emplear otro método de diseño,buscando otras formas en la representación canónica de espacio de estado. Para estose puede utilizar el modelo de bloques de Jordan de primero o de segundo orden.Con esto se evitan los problemas de retardo de fase en el sistema y de magnitud enlos parámetros; además, los diseños se pueden implementar de manera más sencilla.La forma de Jordan real, consiste de subsistemas simples conectados en serie y enparalelo. Esto proporciona un modo estable de implementar los sistemas en tiemporeal, tanto de forma analógica como digital.

Una forma adecuada para la implementación, es realizando una expansión enfracciones parciales (EFP) de la función de transferencia. Para un sistema (A,B,C),con función de transferencia dada por

H(s) = C(sI −A)−1B (11.5.4)

tiene la EFP real de la forma (en el caso simple)

H(s) =rX

i=1

Ki

s− λi(11.5.5)


Entonces, un sistema en el espacio de estado en forma normal de Jordan estará dadopor

x =

⎡⎢⎢⎢⎣λ1

λ2. . .

λn

⎤⎥⎥⎥⎦x+⎡⎢⎢⎢⎣

b1b2...bn

⎤⎥⎥⎥⎦ u (11.5.6)

y =£c1 c2 · · · cn

¤x

donde bi, ci son escalares tales que bi · ci = Ki. Puesto que en general, las raíces dela ecuación característica son complejas, entonces habrá términos de primer ordenpara polos reales y de segundo orden para polos complejos. Por lo tanto lo másconveniente es la implementación de subsistemas de primer orden de la forma

H1(s) =b1

s+ a1(11.5.7)

y de subsistemas de segundo orden de la forma

H2(s) =b1s+ b2

s2 + a1s+ a2(11.5.8)

La forma de Jordan real general tiene la estructura

J = diag(Ji) (11.5.9)

con los bloques de Jordan de la forma

Ji =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Λ I

Λ. . .. . . I

Λ IΛ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (11.5.10)

donde, para valores propios complejos λR + jλI , I es la matriz identidad 2× 2 y

Λ =

∙λR λI−λI λR

¸(11.5.11)

y para valores propios reales λ, I = 1 y Λ = λ. La forma de Jordan real se determinafácilmente de la forma de Jordan (compleja).

La forma de Jordan real consiste, como ya se mencionó, de sistemas de primeroy segundo orden en serie y paralelo. Los bloques de Jordan se conectan en paralelo


y los subsistemas de primero y segundo orden en cada bloque de Jordan se conectanen serie.

Para la transformación de una ecuación diferencial de la forma de (4.4.27), quepor comodidad aquí se repite

y(n)(t) + any(n−1)(t) + · · ·+ a1y(t) = bmu

(m)(t) + bm−1u(m−1)(t) + · · ·+ b1u(t),

a la representación como función de transferencia y de aquí a las formas de variablesde estado de alcanzabilidad (controlabilidad) y de Jordan real, se puede emplear elsiguiente programa desarrollado en Matlab:

%Formas canónicas de controlabilidad y de Jordannum = [bm · · · b1];den = [1 an an−1 · · · a1];T = tf(num,den);[Ac,Bc,Cc,Dc] = tf2ss(num,den);Sc = ss(Ac,Bc,Cc,Dc);Sp = canon(Sc,’modal’);’Forma paralela’[Ap,Bp,Cp,Dp] = ssdata(Sp)

Al ejecutarse el programa anterior se obtiene:

Transfer function:bm s^m + · · · b2 + b1

-------------------------------s^n + an s^(n− 1) + · · · + a2 + a1

a =x1 x2 xn

x1 −an −an−1 · · · −a1x2 1 0 · · · 0...

... · · · . . ....

xn 0 · · · 1 0b =

u1

x1 1x2 0...

...xn 0

c =


x1 x2 · · · xn

y1 bm bm−1 · · · b1d =

u1

y1 0Continuous-time model.ans =Forma paralelaAp =

λ1. . .

λj 1λj

λR λI−λI λR

Bp =b1b2...bn

Cp =c1 c2 · · · cn

Dp =0

Ejemplo 82 Considérese la función de transferencia dada por

H(s) =s− 1

s2 + 5s+ 6

(a) Encontrar una realización en forma normal de Jordan. (b) Realizar la imple-mentación utilizando redes con AOs.

Solución.(a) Primero se factoriza la función, obteniéndose

H(s) =s− 1

s2 + 5s+ 6=

s− 1(s+ 2)(s+ 3)

= − 3

s+ 2+

4

s+ 3(11.5.12)

Finalmente, de la ecuación (11.5.6), se puede escribir por simple inspección larealización de Jordan:

x =

∙2 00 3

¸x+

∙11

¸u

y =£−3 4

¤x


(b) Para la implementación se aplican los conceptos desarrollados antes para elcaso de una sola ecuación. Las ecuaciones correspondientes serán:

x1 = 2x1 + u

x2 = 3x2 + u

y = −3x1 + 4x2

1kHz

-1/1V

+

++

10uF

10uF+ +

100k

50k

100k

33k

50k

100k 200k

25k

33k

200k

200k

33k

100k

100k

Figura 11.32: Implementación de una ecuación diferencial en forma de Jordan.

Los valores de los parámetros, luego de los cálculos correspondientes, aparecenen la tabla siguiente:

No. A B AT κ Rf R0 Ro R1 R2 R1

1 3 0 2 3 100kΩ ∞ 50kΩ 50kΩ 100kΩ −2 4 0 3 4 100kΩ ∞ 33kΩ 100kΩ 33kΩ −3 4 3 0 4 100kΩ ∞ ∞ 25kΩ − 33kΩ

Con los datos encontrados en la tabla anterior se implementa el circuito de la Fig.11.32. La respuesta frecuencial aparece en la Fig. 11.33. Nótese que se comportacomo un filtro pasa bajas, con frecuencia de corte cerca a 1Hz.

Ejemplo 83 Implementar, a partir de la forma canónica de Jordan y utilizandoAOs el filtro inverso de Chebyshev calculado en el Ejemplo 59.

Solución:


1.000mHz 10.00mHz 100.0mHz 1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz

-10.00 dB

-20.00 dB

-30.00 dB

-40.00 dB

-50.00 dB

-60.00 dB

-70.00 dB

A: u2a_1

Figura 11.33: Respuesta frecuencial del sistema.

La función de transferencia del filtro está dada por la ecuación

H(s) =0.3807(s2 + 1.3333)

s3 + 1.513s2 + 1.0722s+ 0.50759(11.5.13)

Para facilitar la implementación, la función de transferencia se descompone enfracciones parciales, esto conduce a

H(s) =0.94691

s+ 0.94679− 0.56621s+ 7.0597× 10

−5

s2 + 0.56621s+ 0.53612(11.5.14)

donde el segundo término es de segundo grado y su ecuación característica es deraíces complejas dadas por

s1 = −0.28311− 0.67526is2 = −0.28311 + 0.67526i

Una forma apropida de realización es transformando la ecuación de estado en bloques

de Jordan (ver Sección 4.4.2). Para facilitar los cálculos se puede emplear MatlabR°.

Un programa que realiza la tarea es el siguiente:

%Forma canónica de Jordannum =0.3807*[1 0 1.3333];den =[1 1.513 1.0722 0.50759];T=tf(num,den);[Ac,Bc,Cc,Dc]=tf2ss(num,den);Sc=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);Sp=canon(Sc,’modal’);’Forma paralela’


++1kHz

V4-1/1V

+

+

+++

220k

22k

39k

47k

330k

39k

20k

68k 100k

47k

33k

330k

120k

62k

51k

100k

220k

75k 68k

Figura 11.34: Circuito electrónico correspondiente a la descomposición en bloquesde Jordan de la ecuación (11.5.131).

[Ap,Bp,Cp,Dp]=ssdata(Sp)

cuyo resultado se puede observar en el siguiente listado:

Forma paralela

Ap =

⎡⎣ −0.9468 0 0

0 −0.2831 0.67530 −0.6753 −0.2831

⎤⎦Bp =

⎡⎣ 1.83301.5064−1.4806

⎤⎦Cp =

£0.5166 −0.2699 0.1078

¤Dp = 0

De aquí, se pueden reescribir las ecuaciones diferenciales que sintetizan el filtrocomo


1.000mHz 10.00mHz 100.0mHz 1.000 Hz 10.00 Hz 100.0 Hz 1.000kHz 10.00kHz

5.000 dB

-5.000 dB

-15.00 dB

-25.00 dB

-35.00 dB

-45.00 dB

A: u1c_8

Figura 11.35: Respuesta de magnitud vs frecuencia del filtro inverso de Chebyshev.

x1 = −0.9468x1 + 1.833u(t)x2 = −0.2831x2 + 0.6753x3 + 1.5064u(t)x3 = −0.6753x2 − 0.2831x3 − 1.4806u(t) (11.5.15)

y = 0.5166x1 − 0.2699x2 + 0.1078x3Resolviendo el conjunto de ecuaciones (11.5.15) por el método planteado en el

Capítulo 4, se obtiene la red de la Fig. 11.34, cuya respuesta frecuencial se puedeobservar en la Fig. 11.35.

Se puede implementar cualquier tipo de filtro, utilizando el método de las varia-bles de estado. En este caso se han utilizado los modelos de matriz de controlabilidady de bloques de Jordan, aunque se puede emplear otro esquema de implementación,tal como el de matriz de observabidad; sin embargo utilizando los modelos menciona-dos se han obtenido resultados muy satisfactorios en el diseño e implementación enlaboratorio de diferentes tipos de filtros. Una característica importante es que eldiseño se hace de forma directa y no se aplica ningún tipo de artificio matemáticodiferente al proceso propiamente dicho.

Problemas

Para los casos de diseño de filtros se debe encontrar la función de transferenciacorrespondiente, con los valores comerciales de los parámetros pasivos utilizados yse debe realizar la gráfica de la magnitud vs la frecuencia.

1. Sin utilizar herramientas matriciales encontrar la relación vo/vi en la red gene-ral de la Fig. 11.3.


2. Demostrar la relación dada en la ecuación (11.2.10).

3. Diseñar un filtro pasa bajas en la configuración Sallen—Key, para una frecuenciade corte de fn = 1200Hz y una respuesta en amplitud tipo Butterworth.

4. Demostrar las relaciones dadas en las ecuaciones (11.3.9), (11.3.10) y (11.3.11).

5. Demostrar las relaciones dadas en las ecuaciones (11.3.12).


7. Se desea utilizar un VCVS con ganancia unitaria para realizar una función deChebyshev de segundo orden con 1dB de rizo en la banda pasante. Calcularel filtro para una frecuencia de corte de 200 rad/s.

8. Diseñar un filtro Sallen—Key de paso—bajo, con ganancia μ = 2 y capacitoresiguales, para una función inversa de Chebyshev de segundo orden.


10. Diseñar un filtro pasa altas en la configuración Sallen—Key, para una frecuenciade corte de ωn = 1200 rad/s y una respuesta en amplitud tipo Chebyshev.


12. Interpretar las relaciones (11.3.65) y (11.3.66) y calcular el filtro de pasa altoque resulta de hacer la transformación del filtro de paso bajo dado en el Ejem-plo 71.


14. Demostrar las relaciones dadas en las ecuaciones (11.3.77) y (11.3.78).


16. Calcular un filtro pasa banda tipo Sallen—Key, con capacitores iguales, ganan-cia Ho = 10, frecuencia central ωn = 10000 rad/s y factor de calidad Q = 20.Se supone una función de segundo orden. Utilizar un AO con ganancia μ = 2.





20. Diseñar un filtro pasa bajas de segundo orden tipo Rouch, con las siguientescaracterísticas: Frecuencia central 160 rad/s, ganancia 20. y tipo Butterworth.¿Cuál será el factor de calidad del sistema?

21. Diseñar un filtro pasa bajas en la configuración Rouch, para una frecuencia decorte de fn = 1600Hz, ganancia 20 y una respuesta en amplitud tipo Bessel.


23. Diseñar un filtro pasa banda en la configuración Rouch, para una frecuenciacentral de ωn = 6.28 rad/s, ganancia 25 y un ancho de banda de 160 Hz.


25. Diseñar un filtro pasa banda en la configuración Rouch, para una frecuenciacentral de fn = 5kHz, ganancia 20 y un ancho de banda de 200 Hz.

26. Encontrar un filtro pasa banda de cuarto orden con magnitud máximamenteplana y ancho de banda a −3 dB de 100 Hz y una frecuencia central (geo-métrica) de 1 kHz.

27. Utilizando las técnicas de espacio de estado diseñar un filtro de paso bajo tipoButterworth de cuarto orden y frecuencia de corte de fn = 500Hz.

28. Aplicando técnicas de espacio de estado por el método de Jordan, diseñar unfiltro pasa banda tipo Chebyshev de quinto orden, para una frecuencia centralde 300Hz.

29. Aplicando técnicas de espacio de estado por el método de Jordan, diseñar unfiltro pasa bajas tipo Cauer de quinto orden, para una frecuencia de corte de1 kHz. Utilizar el modelo desarrollado en el Ejemplo 60.

Capítulo 12

Amplificadores deTransconductancia

12.1 Introducción

La principal aplicación de los OAs ha sido en configuraciones discretas. La demandacreciente en la realización de funciones con filtros análogos que se integren en un solocircuito integrado (chip) con otros componentes procesadores de señal ha conducidoa la búsqueda y aplicación de otros dispositivos. Uno de los más populares de éstoses el AO de transconductancia (OTA). Este dispositivo actúa como una fuente decorriente controlada por tensión (VCCS) de alta ganancia, la cual produce unacorriente de salida a partir de una tensión de entrada. Entre sus ventajas está lafacilidad de implementación en forma monolítica, ancho de banda significativamentemayor que el de las fuentes de tensión controladas por tensión (VCVS), prototiposde los AOs; se puede sintonizar electrónicamente y conduce a configuraciones defiltros muy sencillas. La aplicación de los OTA al diseño de filtros se ha fortalecidocon el desarrollo de dispositivos a base de semiconductores con tecnología CMOS.Esto ha hecho posible el uso de más altas variaciones en tensión, resultando en mayorutilización para circuitos de aplicación.

12.1.1 Modelo del OTA

El OTA es un dispositivo de transconductancia, lo cual significa que la tensión ala entrada controla una corriente de salida por medio del operador de transconduc-tancia gm. Es decir, se comporta como un convertidor de tensión a corriente (verSección 3.2).

Se analizará un circuito discreto, el cual constituye una red OTA, para obtenerel concepto de corriente de polarización IB, y luego aplicarlo a la red general OTA.

431

432 CAPÍTULO 12. AMPLIFICADORES DE TRANSCONDUCTANCIA

-

EE

CCV

V

Io

-

VR

RL

RR

vi+

Q9 Q10

Q7 Q8Q6Q5

Q4Q3

Q2Q1

IB

Figura 12.1: Circuito básico de un amplificador operacional de transconductancia.

En la Fig. 12.1 se muestra un circuito simple OTA en el cual los transistores Q1y Q2 forman un par diferencial. Las corrientes de colector en Q1 y Q2 son lascorrientes de referencia para las fuentes de corriente complementarias ( Q7 — Q8 yQ9 — Q10 ), las cuales accionan la carga. La transconductancia variable de la etapase controla con la resistencia externa RR y la fuente de alimentación VR. El ajustede estos valores determina la corriente de polarización IB de la fuente de corrienteconformada por Q3 y Q4. Puesto que se trata de un espejo de corriente, IC4 = IB,por lo que las corrientes de colector

IC1 = IC2 =IB2

(12.1.1)

De las ecuaciones de Ebers—Möll [42] se tiene:

IE ≈ IESeVBEVT (12.1.2)

El parámetro gm se define como

gm ,∆IC∆VBE

=∂ic∂vbe

(12.1.3)

pero IC ≈ IE, entonces

gm = IES∂e

VBEVT

∂VBE= IES

eVBEVT

VT=

IEVT≈ IC

VT(12.1.4)

12.1. INTRODUCCIÓN 433

Aplicando la ecuación (12.1.4) a la expresión (12.1.1) se llega a:

gm1 = gm2 = gm =IB2VT

(12.1.5)

Las corrientes de colector IC1 =gmvi2 , IC2 = −gmvi

2 , respectivamente. Estascorrientes de referencia hacen que

IC10 = IC8 =gmvi2

(12.1.6)

y de aquí, la corriente de salida será

Io = gmvi =IBvi2VT

(12.1.7)

Al variar bien sea RR, VR o ambos, se puede variar la ganancia de la etapa. Nóteseque la ganancia de tensión también está controlada por la tensión de polarizaciónIB puesto que

Av =vovi=

IoRL

vi=

IBRL

2VT(12.1.8)

Lo importante y útil respecto del parámetro de conductancia gm, dado por laecuación (12.1.5), es que está controlado por una corriente externa, la corrientede polarización del amplificador, IB. De esta transconductancia controlada externa-mente por la corriente de polarización, se obtiene la corriente de salida como funciónde la diferencia de tensión aplicada entre los dos terminales de entrada, vi.

Para hacer un modelo simple del amplificador se pueden etiquetar los terminalesde entrada como v+ y v−, con lo cual se puede esquematizar como en la Fig. 12.2.De ésta se obtiene:

io = gm(v+ − v−) (12.1.9)

El símbolo circuital para un OTA ideal se muestra en la Fig. 12.2(a), donde IBes la corriente de polarización.

Como se muestra en la Fig. 12.2(b), el OTA se modela como una VCCS ideal.Existen dos diferencias claves entre el OTA y el AO convencional:

• Puesto que el OTA es una fuente de corriente, la impedancia de salida deldispositivo es alta en contraste con la impedancia del AO que es muy baja.Debido a que a veces es deseable que un dispositivo amplificador tenga bajaimpedancia de salida, algunos de los más nuevos OTAs comerciales, tales comoel LM13700, tienen buffers de impedancia controlada dentro del circuito inte-grado [49].


Figura 12.2: (a) Símbolo del OTA. (b) Equivalente circuital.

• Es posible diseñar circuitos usando OTAs de modo que no empleen reali-mentación negativa. En otras palabras, en lugar de emplear realimentaciónpara reducir la sensibilidad de la red ante variación de los parámetros, latransconductancia se emplea como parámetro de diseño, de la misma formacomo se emplean los resistores y capacitores en las redes con AOs.

Generalmente, gm es un número muy pequeño. En muchos diseños de OTA latransconductancia es variable y se puede controlar por una corriente de polarizaciónIB. En este caso se puede escribir gm = KIB. En esta expresión, gm está en μSe IB en μA, un valor típico de K es 15. La dependencia de la linealidad de gmsobre IB es normalmente válida sobre un amplio rango; por ejemplo, desde 0.001 a1000μA. La ganancia del ancho de banda es también proporcional a IB y puede sertan alta como centenas de megahertz. Otros anchos de banda parásitos limitantes,son las impedancias de entrada y de salida, las cuales pueden ser, por una parte, demás significancia que las frecuencias intrínsecas dependientes de gm.

En el diseño físico de un filtro OTA, existen dificultades por la pérdida de lineal-idad debido a que la corriente de salida no es realmente función lineal de la corrientede polarización, esto limita la magnitud de la señal de entrada para operación lineal.Sin embargo, este defecto se ha ido superando con al adición de diodos de lineal-ización a la entrada [49]. Otro efecto que puede ser incluido en el diseño es unaprovisión de caminos de dc para corrientes de carga en los nodos de entrada.

Mucha de la dependencia del ancho de banda en lazo abierto y lazo cerradocon la respuesta del OTA, es similar a las del AO. Para un circuito que empleerealimentación negativa, una relación entre el ancho de banda en lazo cerrado, lacorriente de polarización del OTA y la ganancia en lazo cerrado es [45]:

BWCL =20

VT× IB2πCRACL(0)

(12.1.10)

12.2. CIRCUITOS BÁSICOS CON OTAS 435

donde CR es la suma de la capacitancia de unión de los dispositivos a la salida delOTA y cualquier capacitancia de la carga conectada al circuito: CR = Co + CL Laecuación (12.1.10) tiene una consecuencia interesante en el sentido de que algunoscircuitos pueden tener sus frecuencia críticas controladas por la corriente externaIB, la cual a su vez es controlada por una tensión de polarización externa.

12.2 Circuitos básicos con OTAs

En esta sección se discutirá algunos circuitos implementados con OTAs. Existenreferencias muy completas sobre realizaciones con estos circuitos (ver, por ejemplo,las referencias [24], [20], [38], [39], [14], [54])

12.2.1 Amplificador de voltaje básico

En la Fig. 12.3 se muestra un amplificador inversor realizado con un OTA el cualpuede proporcionar no solamente ganancia controlable, sino que también usa reali-mentación negativa para reducir la impedancia de salida. En efecto, la impedanciade salida también es controlable a través de la transconductancia. La tensión desalida se puede obtener aplicando la técnica de matrices de admitancia [2]:

1 2 3+ +

- -VoVi

R2R1

Figura 12.3: Amplificador de tensión utilizando OTA.

Escribiendo la matriz definida de admitancias se obtiene:

[Y ] =

⎡⎣ 1R1

− 1R1

0

− 1R1

1R1+ 1

R2− 1

R20 − 1

R2+ gm

1R2

⎤⎦ (12.2.1)

Para la tensión se tiene (ver [2], Cap 5):

Av =vovi=

v3v1=

y13y11

(12.2.2)


donde los yij son los menores de primer orden. Resolviendo para cada caso se obtiene:

y13 =

¯− 1

R11R1+ 1

R20 − 1

R2+ gm

¯=

1

R1R2− 1

R1gm (12.2.3)

y11 =

¯ 1R1+ 1

R2− 1

R2− 1

R2+ gm

1R2

¯=

1

R1R2+1

R2gm (12.2.4)

Sustituyendo en la ecuación (12.2.2) se llega a

Av =1− gmR21 + gmR1

(12.2.5)

Aplicando el mismo procedimiento en la ecuación (12.2.1) se obtiene para las impedan-cias de entrada y de salida:

Zi =y11|y| = R1 +

1

gm(12.2.6)

Zo =y33|y| =

1

gm(12.2.7)

12.2.2 Realización de resistores con OTAs

Una aplicación importante para los OTAs está en la simulación de resistores ater-rizados y flotantes. Tales circuitos hacen posible la realización de grandes valoresde resistencias monolíticas en una pequeña área del chip. La fabricación directa deestos elementos es poco práctica debido a la gran porción de chip que se requiere.Un circuito para la realización de resistores aterrizados se muestra en la Fig. 12.4.

Figura 12.4: (a) Realización de un resistor aterrizado. (b) Circuito equivalente.


−i1 = io = gm(0− v−) = gm(−v1) (12.2.8)

12.2. CIRCUITOS BÁSICOS CON OTAS 437

La resistencia de entrada para el circuito es

Rin =v1i1=

1

gm(12.2.9)

El resistor equivalente se muestra en la Fig. 12.4. Por ejemplo, para gm =10−6S, la resistencia de entrada es 106Ω. Nótese que este circuito hace posible laimplementación en silicio de grandes valores de resistencias por el uso de valorespequeños de transconductancias.

Figura 12.5: (a) Realización de un resistor flotante. (b) Circuito equivalente.

La realización del resistor aterrizado mostrada en la Fig. 12.4 puede modificarsepara obtener un resistor flotante usando el circuito mostrado en la Fig. 12.5. Paraéste se tiene que

i1 = −gm1(v2 − v1) (12.2.10)

i2 = −gm2(v1 − v2)

de estas ecuaciones, los parámetros y para la red de dos puertos se definen por∙i1i2

¸=

∙gm1 −gm1−gm2 gm2

¸ ∙v1v2

¸(12.2.11)

Para el caso en el cual gm = gm1 = gm2 se obtienen los mismos parámetros ycaracterizados para el resistor flotante mostrado en la Fig. 12.5(b) para el cual

Req =1

gm(12.2.12)

Otro circuito útil con resistores OTA es la implementación de un sumador. Esterequiere un OTA para cada entrada a ser sumada. Las corrientes de salida de estosOTA se suman con la realización OTA de un resistor a tierra, como el mostrado enla Fig. 12.4. La configuración para el sumador de dos entradas v1 y v2 para produciruna salida vo se muestra en la Fig. 12.6. Para éste se obtiene:


Figura 12.6: Circuito sumador.

vo = −io31

gm3= (io1 + i02)

1

gm3

= (v1gm1 + v2gm2)1

gm3

vo =gm1gm3

v1 +gm2gm3

v2 (12.2.13)

Aquí, v0 es la suma escalada de v1 y v2.

12.3 Bloques de construcción con OTAs

Figura 12.7: Integrador con entrada diferencial.

Ahora se consideran algunos circuitos simples OTA, que involucran capacitores.Estos pueden ser usados como bloques constructivos en el diseño de filtros OTA. Elprimer circuito a ser considerado es un integrador. La configuración se muestra enla Fig. 12.7. Para éste se obtiene:

12.3. BLOQUES DE CONSTRUCCIÓN CON OTAS 439

vo(s) = io(s)1

Cs=

gmCs[v+(s)− v−(s)] (12.3.1)

Esta ecuación define un integrador de entrada diferencial con constante de tiempoτ = C

gm. Al OTA mostrado en la Fig. 12.7 se le pueden adicionar dos o más OTAs

como los de la Fig. 12.6 para generar una función suma.El segundo circuito a ser considerado es el integrador amortiguado. Este puede

ser realizado utilizando el circuito sumador de la Fig.12.6 (con una sola entrada),como el elemento de realimentación alrededor del integrador de la Fig. 12.7. Elresultado se muestra en la Fig. 12.8. Para este circuito se obtiene:

vo(s)

v1(s)=

gm1C

1

s+gm1gm2Cgm3

(12.3.2)

Figura 12.8: Integrador amortiguado.

Como otro ejemplo útil de un bloque constructivo, se tiene un inversor deimpedancias. Tal circuito tiene una impedancia de entrada que es inversamenteproporcional a la impedancia de alguna carga. Así, Zi(s) ∝ 1/ZL(s). Nótese quesi ZL(s) ∝ 1/Cs, Zin(s) será la impedancia de un inductor. El circuito inversor deimpedancia se muestra en la Fig. 12.9. Para éste se obtiene

i1(s) = −io2(s) = −gm2[−vC(s)]

= gm2io1(s)1

Cs= gm2gm1v1(s)

1

Cs(12.3.3)

Esta ecuación se puede resolver para encontrar la impedancia de entrada:

Zin(s) =v1(s)

i1(s)=

Cs

gm1gm2(12.3.4)


Figura 12.9: Simulación de un inductor aterrizado.

Nótese que el circuito actúa como un inductor de valor L = C/(gm1gm2) [H].El circuito descrito arriba se puede modificar para proporcionar la realización de

un inductor flotante. El resultado se muestra en la Fig. 12.10(a).

-

+

2 3

1

i

ii +

-v

i

+

-

i

+

-

i

+

-1

2

1 2c

vvv

L

v

C

2

2

1

1

03

01= C

gm2

( )a ( )b

Figura 12.10: Simulación de un inductor flotante.(a) Arreglo OTA. (b) Circuitoequivalente.

Para este circuito se obtiene

i1(s) = −io2(s) = −gm2[−vC(s)] =gm2io1(s)

Cs

=gm1gm2Cs

[v1(s)− v2(s)]

i2(s) = −io3(s) = −gm3vC(s) = −gm3io1(s)

Cs

=gm1gm3Cs

[−v1(s) + v2(s)]

De estas ecuaciones los parámetros y para la red de dos puertos se definen como


∙i1(s)i2(s)

¸=

gm1Cs

∙gm2 −gm2−gm3 gm3

¸ ∙v1(s)v2(s)

¸(12.3.5)

Para el caso en el cual gm = gm1 = gm2 = gm3 estos parámetros son idénticos alos de un inductor flotante de valor L = C/g2m como se muestra en la Fig. 12.10(b).

12.3.1 Estructuras de lazo para integrador doble

Los AOs de transconductancia pueden usarse para realizar funciones de filtro desegundo orden usando un par de integradores de los tipos mostrados en las Figs. 12.7y 12.8. Una estructura típica de lazo de doble integrador, como el usado en el filtroTow-Thomas [27], consiste de un integrador simple, un integrador amortiguado y unelemento de realimentación. Si se usa el circuito de la Fig. 12.7 para el integrador,el de la Fig. 12.8 para el integrador amortiguado y una conexión directa para larealimentación, se obtiene el circuito mostrado en la Fig. 12.11.

-

4 3

21

-

++ +

C2

+

C1 VoVi

Figura 12.11: Filtro de paso bajo.

El circuito realiza la función de transferencia de un filtro de paso bajo

vo(s)

vi(s)=

gm1gm2C1C2

1

s2 +gm2gm3C2

s+gm1gm2C1C2

(12.3.6)

Ejemplo 84 Filtro de paso bajo OTA. Se desea realizar una función Butterworthpaso bajo de segundo orden con una frecuencia de corte de 1 kHz, usando el circuitomostrado en la Fig. 12.11. La función de red para una ganancia Ho es [65]

vo(s)

vi(s)=

Hoω2o

s2 +ωoQs+ ω2o


comparando esta ecuación con (12.3.6), se obtiene: Hoω2o =

gm1gm2C1C2

= ω2o =⇒

Ho = 1. También, Q =gm2gm3C2gm4

=√2 (filtro de Butterworth). Se puede escoger

C = C1 = C2 = 0.1nF , gm = gm1 = gm2 = gm3, con lo cual se llega al siguientesistema de ecuaciones:

gm = ωoC (12.3.7)

gm4 =ω2o√2

(12.3.8)

las cuales, al ser resueltas, conducen a la siguiente función de transferencia:

vo(s)

vi(s)=

3.95× 107s2 + 8886s+ 3.95× 107

cuya respuesta en frecuencia se observa en la Fig. 12.12.

Figura 12.12: Respuesta en frecuencia del filtro de paso bajo tipo OTA.

El circuito mostrado en la Fig. 12.11 puede redibujarse y generalizarse paraobtener una amplia variedad de funciones de segundo orden [39].

Ejemplo 85 Filtro universal OTA. Encontrar la tensión de salida en el circuito dela Fig. 12.13.

Solución:


-

+

-

+

21

--

+

+

3

Vc Vb

C2C1 Vo

Va

Figura 12.13: Filtro activo de segundo orden OTA.

La tensión en la salida está dada por

vo = v−1 = v−3

La corriente de salida en el OTA 1 es

io1 = gm1(va − vo)

Para el OTA 2v+2 = io1

1

C1s= gm1

va − voC1s

y v−2 = 0

Por lo tanto, la corriente de salida del OTA 2 será

io2 = gm2(v+2 − v−2 ) = gm2v

+2 = gm1gm2

va − voC1s

(12.3.9)

Para el OTA 3,

v+3 = vb y v−3 = io21

C2s+ vc

La corriente de salida para el OTA 3, será

io3 = gm3(v+3 − v−3 ) = gm3(vb − vo) (12.3.10)

En la salida de OTA 2 y OTA 3, la ley de corrientes de Kirchhoff da

io2 + io3 = (vo − vc)C2s (12.3.11)

Reemplazando (12.3.9) y (12.3.10) en (12.3.11) se llega a:

gm1gm2C1s

(va − vo) + gm3(vb − vo) = (vo − vc)C2s


Reuniendo términos en vo, se obtiene

(C1C2s2 + C1gm3s+ gm1gm2)vo = gm1gm2va + gm3C1svb + C1C2s

2vc

Despejando vo y normalizando el polinomio del denominador, se llega finalmente a

vo =s2 · vc + gm3

C2s · vb + gm1gm2

C1C2· va

s2 + gm3C2

s+ gm1gm2C1C2

(12.3.12)

En la red anterior, la respuesta del filtro depende del nodo donde se aplique laseñal de excitación. Se tendrá entonces: pasa bajo (vib = vic = 0), pasa banda(via = vic = 0), pasa alto (via = vib = 0) o rechaza banda (vib = 0).

12.3.2 Circuitos ecualizadores

El circuito mostrado en la Fig. 12.14 permite la realización de funciones de redbicuadradas de segundo orden.

13

4

2+

-

+

-

C1

C2 VoVi

Figura 12.14: Ecualizador activo con OTAs.

La función de transferencia está dada por

vo(s)

vi(s)=

s2 +gm4C2

s+gm1gm2C1C2

s2 +gm3C2

s+gm1gm2C1C2

(12.3.13)

donde se puede observar que la ganancia máxima, en ωo, está dada porgm4gm3

. Por lo

tanto, cuando gm4 > gm3, se obtiene un pico de respuesta en resonancia, mientrasque para gm4 < gm3, se obtiene una ranura. También se les conoce como ecual-izadores bomba. Se puede obtener un ecualizador de retardo intercambiando losterminales entrada del OTA 4. Esto invierte el signo del término de primer grado

12.4. FILTROS OTA EN VARIABLES DE ESTADO 445

en el numerador de (12.3.13) y, para gm3 = gm4, produce una función pasa todo quepuede usarse para corrección de fase.

Como una observación práctica, se nota que las implementaciones realizadas demuchos de los circuitos presentados en esta sección tienen sus entradas y señales derealimentación atenuadas con el fin de mantener el voltaje de entrada del OTA enel rango lineal del dispositivo.

12.4 Filtros OTA en variables de estado

Los filtros en variables de estado estudiados en la Sección 11.5, se pueden imple-mentar utilizando OTAs para detrminar la constante de tiempo de los integradores.Las corrientes de control OTA pueden usarse entonces para programar la caracterís-tica de frecuencia del filtro. En la Fig. 12.15 se muestra un circuito para realizar

43

BP LP-

+21

++

- -V

R

CCRQ

Vi V

Figura 12.15: Filtro programable en variables de estado.

esto. En el circuito, el OTA 1 se utiliza también para proporcionar una suma de lasseñales realimentadas. Así, eliminando la necesidad de un tercer AO convencional,usado normalmente como el sumador. El OTA 2 se usa como un inversor de fase,permitiendo de esta forma que ambas señales realimentadas se sumen al mismoterminal del OTA 1. Suponiendo que Q À 1, la función de transferencia se puedeescribir como

HBP (s) =vBP (s)

vi(s)=

gmC

s

s2 + gmQC s+

g2mC2

(12.4.1)

HLP (s) =vLP (s)

vi(s)=

g2mC2

1

s2 + gmQC s+

g2mC2

(12.4.2)

El control del filtro se hace variando las corrientes de polarización IB de los ampli-ficadores. Se pueden hacer modificaciones al circuito básico para obtener salidas depaso alto y el Q programable.


12.5 Conclusiones

• Se han descrito algunos circuitos que tienen una estructura de realización sim-ple a partir de amplificadores de transconductancia, dando énfasis a la descrip-ción de los circuitos básicos.

• Se ha puesto especial atención al modelado, para permitir un desarrollo simplede los diferentes esquemas de diseño.

Problemas

1. Encontrar la función de transferencia de tensión en el circuito mostrado en laFig. 12.16.

21

--

++Vi Vo

C

Figura 12.16: Circuito con OTAs.

2. Encontrar la función de transferencia de tensión en el circuito mostrado en laFig. 12.17.

--

++

1

2 3

Vi VoC


3. Demostrar que la función de transferencia del circuito con OTA de la Fig.

12.5. CONCLUSIONES 447

12.18, está dada por

H(s) =vo(s)

vi(s)=

gm1gm2C1C2

1

s2 + gm3C2

s+ gm1gm2C1C2

--

++1

32

C2C1VoVi

Figura 12.18: Filtro de paso bajo con OTAs.

4. Se desea realizar un filtro de paso bajo tipo Butterworth, con una frecuenciade corte de 10 kHz, usando el circuito de la Fig. 12.18. Determinar el valorde los parámetros gmi, correspondientes y escoger los capacitores.

5. Demostrar la relación (12.3.13).

6. Para el circuito de la Fig. 12.15:

(a) Encontrar las funciones de transferencia de tensión vBP (s)vi(s)

y vLP (s)vi(s)

.

(b) Demostrar que, para Q À 1, los resultados de la parte (a) se puedenescribir como en las ecuaciones (12.4.1) y (12.4.2).

2

31+ +

- -

C2

C1VoVi



7. Encontrar la función de transferencia del circuito de la Fig. 12.19.

8. Para el filtro universal de la Fig. 12.13, diseñar un filtro rechaza banda parauna frecuencia central de 2.5 kHz y un factor de calidad Q = 20.

Capítulo 13

Aplicaciones Cuasi Lineales

13.1 Introducción

Los diodos y los transistores se pueden combinar con resistores para sintetizar redesde dos puertos, los cuales poseen características de transferencia no lineales. Estasredes de dos puertos se pueden usar para dar forma a las señales, es decir, cambiarla forma de onda de una señal de entrada en una forma prescrita, para produciruna señal de una forma deseada a la salida [57]. Así, entonces, por medio de lasherramientas aquí descritas, se puede tener variedad de circuitos que van desderectificadores de precisión, hasta generadores de funciones, los cuales resultan sermuy útiles en la labor del ingeniero.

13.2 Circuitos no lineales

En la Fig. 13.1 se muestra un circuito conformado por una red lineal de parámetrosconcentrados e invariantes en el tiempo (RLPCIT ) a la cual se conecta un elementono lineal (NL). El problema consiste en analizar el circuito incluyendo el efecto dela no linealidad. Existen dos métodos para resolver este problema: (i) Utilizandoaproximación por tramos. Con este método se estudia el circuito de forma analíticay gráfica, obteniéndose una solución aproximada. Tiene la ventaja de la simplicidaddel análisis y la respuesta es muy aproximada a su valor teórico. (ii) Método com-putacional. Se puede dar la precisión deseada dependiendo del algoritmo empleado.Se construye el modelo circuital de cada elemento utilizando las propiedades delmismo, v. gr.: un dispositivo almacenador de energía se modela en forma discretacon una fuente de corriente y un elemento de retardo.

Se estudiará el método de aproximación por tramos. Sea el circuito de la Fig.13.1. Para facilitar el análisis es conveniente obtener el equivalente Thévenin de la

449

450 CAPÍTULO 13. APLICACIONES CUASI LINEALES

vNL

+

-

NLRLPCIT

a

b

vNL

+

-

NL

a

b

vTh

Z Th

+

( )a ( )b

i tt( )

Figura 13.1: (a) No linealidad conectada a una red lineal de parámetros concentradosinvariantes en el tiempo. (b) Equivalente Thevenin de la porción lineal de la red.

red lineal entre los terminales a y b de la citada figura y luego proceder al análisisusando la estructura total

it(t) =vth − vNL

Zth. (13.2.1)

Tambiénit(t) = f(vNL) (13.2.2)

Se pueden hacer aproximaciones lineales donde se requieran. Por ejemplo, si elelemento lineal es un diodo de Si, entonces la salida será vo = vNL y la corriente enla red será

i(t) =−voZth

+VthZth

. (13.2.3)

La corriente en el elemento no lineal es la ecuación estándar del diodo

i(t) = I0

³e

vdηVT − 1

´. (13.2.4)

Nótese que se tienen dos ecuaciones, una lineal (ecuación (13.2.3)), que corres-ponde al sistema lineal, y otra no lineal (ecuación (13.2.4)), que corresponde alelemento no lineal conectado al sistema. Se iniciará el estudio con el análisis deredes que contienen elementos lineales pasivos y activos y diodos como elementos nolineales.

13.3 Rectificadores

El es uno de los circuitos no lineales básicos que conduce a aplicaciones útiles. Seaplican, por ejemplo, para procesamiento de señales, para conversión de señal alterna

13.3. RECTIFICADORES 451

en continua, para generar funciones lineales a tramos, para operaciones matemáticastales como el valor absoluto y la multiplicación, etc., en fin, son sistemas de granversatilidad, además, de fácil implementación, aunque eventualmente se requierenAOs, diodos y rectificadores con características especiales de operación.

13.3.1 Rectificador de media onda

El primer sistema a analizar es el rectificador de media onda, realizado como semuestra en la Fig. 13.2. Estos sistemas se utilizan en la práctica para eliminar ciertoporcentaje de la señal de excitación, dependiendo esto de la tensión de referenciaque se aplique en algunos casos.

1v

-v

v+v v

R1

Rf1

+

D2

D1oi

Figura 13.2: Rectificador de media onda.

Si no hay otra señal de excitación diferente a la de la entrada, la respuesta serácomo se muestra en la Fig. 13.3. Obsérvese que como el AO está conectado enmodo inversor, la señal de salida se desfasa 180, respecto de la señal de entrada. Sehará el análisis de este sistema utilizando el ya mencionado método de segmentos otramos. Suponiendo que el AO se comporta idealmente, entonces las tensiones en

0.000ms 1.000ms 2.000ms 3.000ms 4.000ms 5.000ms

1.250 V

0.750 V

0.250 V

-0.250 V

-0.750 V

-1.250 V

A: rf1_2B: v1_1

Figura 13.3: Respuesta en el tiempo de un rectificador de media onda.


los nodos de entrada serán iguales (ver Capítulo 3) y, puesto que el nodo positivoestá conectado a tierra, entonces

v− = v+ = 0 (13.3.1)

Se estudiará el sistema por segmentos de la señal aplicada. Para el caso deldiodo, se emplea el modelo lineal. Este modelo consta de dos circuitos equivalentes,según esté el diodo en conducción o no.

vv+v

v-v1

γ

+

+

Vrd

R

Rf

+oi

Figura 13.4: Circuito equivalente conexcitación positiva.

Cuando está en conducción el modeloconsiste de una resistencia pequeña rd, lacual representa su resistencia dinámica, enserie con una fuente de tensión Vγ , la ten-sión de umbral. Cuando está inversamentepolarizado, el equivalente es la resistencia in-versa rr, la cual se supone muy grande, esdecir, rr = ∞ y simplemente es un circuitoabierto. Teniendo en cuenta este criterio, loscircuitos equivalentes para señales positivas ynegativas serán diferentes, tal como se puedeapreciar en las Figs. 13.4 y 13.5. Con estas premisas se hace el siguiente análisis:

Si vi > 0, entonces v1 < 0. Por lo tanto, D1 no conduce y D2 eventualmenteentra en conducción. Para este caso se tiene el circuito equivalente dado en la Fig.13.4. En esta situación,

vo = v− = 0

+

1v

-v

v+v v

γ+

Vrdi o

+

Rf

R

Figura 13.5: Circuito equivalentecon excitación negativa.

Nótese que el diodo D2 provee un camino derealimentación negativa para el AO, a travésdel resistor rd y la fuente Vγ, de modo que elsistema se mantiene estable.

Ahora, si vi < 0, entonces v1 > 0. Porlo tanto, ahora D1 entra en conducción y D2entra en corte. Para este caso el circuito equi-valente es como el que se muestra en la Fig.13.5.

Del circuito de la Fig. 13.5, aplicando leyde corriente de Kirchhoff:

v+i − v−

R+

vo − v−

Rf= 0

y puesto que v− = v+ = 0, entonces,

v+iR+

voRf

= 0


o sea

vo = −Rf

Rv+i (13.3.2)

Es decir, el circuito se comporta como un amplificador inversor estándar. Nóteseque en este caso la tensión de salida no depende ni de la resistencia del diodo rd, nide la caída de tensión Vγ .

Este resultado muestra que, puesto que no hay caída de tensión de umbral, elcircuito puede utilizarse para rectificar señales más pequeñas que este valor, o seaseñales del orden de los mV y aún de los μV . Por esta razón este circuito se conocecomo rectificador de precisión, teniendo el siguiente modelo matemático:

vo =

(−Rf

Rvi vi < 0

0 vi ≥ 0(13.3.3)

-1000m -667m -333m 635n 333m 667m 1-300m

0

300m

600m

900m

1.2

1.5

Xa: 175.4u Xb: 0.000 Yc:-55.5e-18 Yd:-300.0m

a-b: 175.4uc-d: 300.0m

frec: 5.700k

Ref=Tierra X=voltage(V) Y=voltaje

d

c

baA

Figura 13.6: Respuesta entrada—salidadel rectificador de precisión.

La gráfica de transferencia vo vs vi semuestra en la Fig. 13.6. La pendiente dela recta correspondiente a la señal trans-ferida, representa la ganancia del amplifi-cador, es decir,

m = −Rf

R(13.3.4)

Si en el circuito de la Fig. 1.1 se in-vierten los diodos, tal como se muestra enla Fig. 13.7, se tiene un rectificador quetransfiere la parte negativa de la señal deexcitación (ver Fig. 13.8).

v1

D1

D2

1kHz

V1-1/1V

+

Rf

R

Figura 13.7: Rectificador con salida negativa.


0.000ms 10.00ms 20.00ms 30.00ms 40.00ms 50.00ms

1.000 V

0.500 V

0.000 V

-0.500 V

-1.000 V

A: v1_1B: d1_a

Figura 13.8: Respuesta temporal del rectificador de media onda.

Haciendo un análisis similar al empleado en el caso anterior se llega a

vo =

⎧⎨⎩ −Rf

R1vi vi > 0

0 vi ≤ 0(13.3.5)

es decir, solo se transfiere la parte positiva de la excitación, aunque con un desfasede 180, como se aprecia en la Fig. 13.9.

-1 -667m -333m 179n 333m 667m 1-1.2

-900m

-600m

-300m

0

300m

600m

Xa:-4.444m Xb: 0.000 Yc: 0.000 Yd:-1.200

a-b:-4.444mc-d: 1.200

frec: 225.0


d

c

baA

Figura 13.9: Respuesta salida—entradadel rectificador.

La forma de onda de salida puede des-plazarse a lo largo del eje vi. Esto sepuede realizar aplicando una tensión dereferencia apropiada a la entrada del am-plificador, tal como se muestra en la Fig.13.10. Esto se conoce como desplaza-miento del eje. Esta señal de referenciasuma o resta una tensión dc a la señal deentrada. Tal proceso desplaza el punto dela tensión de encendido del diodo. Si seaplica una referencia de tensión negativa,el diodo se enciende cuando la tensión deexcitación de entrada es positiva, haciendoque la función de transferencia de tensión se desplace a la derecha. Si se aplica unatensión de referencia positiva, la función de transferencia se desplazará hacia laizquierda.

Supóngase que al circuito de la Fig. 13.10 se le aplica una tensión de excitaciónvi, mientras que la tensión de referencia VR = 0. En este caso se tendrá la respuestadada por:


R

+

-V

D1

D2

1kHz

-3/3V+

R2

Rf

R1

Figura 13.10: Red con desplazamiento de eje.

vio =

⎧⎨⎩ −Rf

R1vi vi > 0

0 vi ≤ 0(13.3.6)

Ahora bien, si se conmutan las condiciones, es decir, si se hace vi = 0 y VR 6= 0,entonces se tiene:

V Ro =

⎧⎨⎩ −Rf

R2VR VR > 0

0 VR ≤ 0(13.3.7)

El lugar geométrico de la ecuación (13.3.6) corresponde a una recta en el planode fase, mientras que el lugar geométrico correspondiente a la ecuación (13.3.7) esun punto, de coordenadas h−(Rf/R2)VR, 0i.

Puesto que el sistema solo es lineal en un cierto intervalo de valores, no puedeaplicarse el Teorema de Superposición para realizar el análisis. En la única situaciónque se cumple es cuando vio = vRo = 0. En esta condición, se tiene

−Rf

R1Vic −

Rf

R2VR = 0 (13.3.8)

donde Vic es la tensión del punto de quiebre. Despejando esta tensión de la ecuación(13.3.8) se llega a

Vic = −R1R2

VR (13.3.9)

De la ecuación (13.3.9) se puede observar que el valor del desplazamiento dependede la relación de las resistencias conectadas a las señales de excitación y es inde-pendiente de la resistencia de retroalimentación Rf . La tensión de salida en elsistema corresponderá geométricamente a una recta de la forma y = mx+ b, donde


m = −(Rf/R1) y b es un valor a encontrar, o sea

vo = −Rf

R1vi + b (13.3.10)

esta expresión es válida para todo vi, en particular para Vic. Sustituyendo la ecuación(13.3.9) en (13.3.10) e igualando a cero se obtiene el término independiente: b =−(Rf/R2)VR, de donde se llega finalmente a

vo =

⎧⎪⎨⎪⎩−Rf

R1vi − Rf

R2VR vi > −

R1R2

VR

0 vi ≤ −R1R2

VR

(13.3.11)

-3 -2 -1 -5.5u 1000m 2 3-8

-6

-4

-2

0

2

4

Xa:-5.571u Xb: 1000.0mYc: 0.000 Yd:-2.200

a-b:-1000.0mc-d: 2.200

frec: 1.000


d

c

baA

B

Figura 13.11: Desplazamiento delpunto de quiebre producido por dife-rentes valores paramétricos.

La cual corresponde a la ecuación de doslíneas rectas; una, de pendiente m1 =−(Rf/R1) y otra de pendiente m2 =0, las cuales se cruzan en el puntoP h−(R1/R2)VR, 0i.

Ejemplo 86 Para el caso de la Fig. 13.10 setomaron los siguientes valores paramétricos:(a) VR = 1 V, Rf = 33 kΩ, R1 = 20 kΩ,R2 = 15 kΩ. (b) VR = −1 V, Rf = 33 kΩ,R1 = 20 kΩ, R2 = 20 kΩ. Encontrar lospuntos de quiebre y las ecuaciones de salida.

Solución:Caso (a): El punto de quiebre se obtiene,

v. gr., de la ecuación (13.3.9):

Vica = −20 kΩ

15 kΩ× 1 V = −1.333 V

por lo tanto, el punto en mención estará localizado en

Pah−1.333, 0i

La recta correspondiente se obtiene de la ecuación (13.3.11):

voa =

½−3320vi −

3315 × 1 = −1.65vi − 2.2 vi > −1.333 V

0 vi ≤ −1.333 V

Caso (b): El punto de quiebre se puede obtener de esta ecuación haciendo, en laecuación de la recta anterior, vo = 0 y despejando Vic:

Vicb =1.65

1.65= 1.0 V


y el punto estará localizado enPbh1, 0i

La recta se obtiene, como en el caso anterior, a partir de la ecuación (13.3.11):

vob =

½−3320vi −

3320 × (−1) = −1.65vi + 1.65 vi > 1.0 V

0 vi ≤ 1.0 VEstos resultados concuerdan, en forma muy precisa, con los que se obtienen por

simulación en la Fig. 13.11.También se puede realizar un desplazamiento de nivel hacia arriba o hacia abajo,

conectando en cascada un AO adicional al cual se le aplica, además de la señal, unatensión de referencia dc, es decir, se suma un valor constante.

vo1

RV

Vo

+

-

+D1

D2

200 Hz

-3/3V+ R2

Rf2

R3

Rf1

R1

Figura 13.12: Desplazamiento de nivel de la relación de transferencia en el rectifi-cador de media onda.

Con relación a la Fig. 13.12, se tiene

vo = −Rf2

R2vo1 −

Rf2

R3VR (13.3.12)

pero como (ver ecuación (13.3.5))

vo1 =

(−Rf1

R1vi vi > 0

0 vi ≤ 0

Sustituyendo esta última expresión en (13.3.12):

vo =

(Rf2

R2

Rf1

R1vi − Rf2

R3VR vi > 0

−Rf2

R3VR vi ≤ 0

(13.3.13)

Ejemplo 87 En el circuito de la Fig. 13.12, los valores paramétricos están dadospor VR = −2 V,Rf1 = 33 kΩ, Rf2 = 20 kΩ, R1 = R2 = R3 = 20 kΩ. Encontrar elvalor de la tensión de salida.

Solución:


-3 -2 -1000m 3.83u 1 2 3-6

-4

-2

0

2

4

6

Xa: 3.759u Xb:-3.000 Yc: 2.000 Yd: 0.000

a-b: 3.000 c-d: 2.000

frec: 333.3m

X: 1.000 Unid/Div Y: 2.000 Unid/Div


d

c

b aA

Figura 13.13: Desplazamientode nivel.

La tensión de salida está dada por la ecuación(13.3.13):

vo =

½20203320vi −

2020(−2) = 1.65vi + 2.0 vi > 0

2.0 vi ≤ 0

Obsérvese que cuando vi > 0, la tensión de sa-lida tiene la forma de la recta y1 = mx+b, dondemes la pendiente (m = 1.65) y representa la gananciao función de transferencia del amplificador; b es eldesplazamiento sobre el eje y. Cuando vi < 0, laecuación de salida es una constante de la formay2 = k, con k = 2. El punto solución (cruce de lasdos rectas y1 y y2) será cuado y1 = y2, es decir, elpunto P h0, 2i. Esto se puede apreciar en la Fig. 13.13, donde claramente se ven losvalores esperados.

vo1

RR1 2V V+

-

+

+

-

D1

D2

200 Hz

-3/3V

+ R3

Rf2

R4R2

Rf1

R1

Figura 13.14: Red que permite desplazamiento en cuatro cuadrantes.

Se pueden combinar los dos desplazamientos estudiados más arriba implemen-tando en un único circuito las fuentes correspondientes, como se muestra en la Fig.13.14. En estas condiciones se tiene un sistema que permite el desplazamiento delpunto de quiebre a través de los cuatro cuadrantes.

Aplicando el análisis desarrollado antes, se tiene de la Fig. 13.14:

vo = −Rf2

R3vo1 −

Rf2

R4VR2 (13.3.14)

pero aplicando la ecuación (13.3.11)

vo1 =

⎧⎪⎨⎪⎩−Rf1

R1vi − Rf1

R2VR1 vi ≥ −

R1R2

VR1

0 vi < −R1R2

VR1

(13.3.15)


Sustituyendo (13.3.15) en (13.3.14) se llega a

vo =

⎧⎪⎨⎪⎩Rf1Rf2

R1R3vi +

Rf1Rf2

R2R4VR1 − Rf2

R4VR2 vi > −R1

R2VR1

−Rf2

R4VR2 vi ≤ −R1

R2VR1

(13.3.16)

La cual también corresponde a la ecuación de dos rectas, de pendientes m1 =(Rf1Rf2)/(R1R3) y m2 = 0, respectivamente. En este caso, la función de trasfe-rencia salida—entrada estará dada por la pendiente m1 y es positiva, como se puedeobservar.

Ejemplo 88 En la red de la Fig. 13.14, determinar las tensiones de salida y lospuntos de quiebre, si se definen los parámetros como sigue: Rf1 = 33 kΩ, Rf2 =R1 = R2 = R3 = R4 = 20 kΩ. (a) Para VR1 = 1 V y VR2 = −2 V , (b) ParaVR1 = −1 V y VR2 = 1 V .

-3 -2 -1 -2.1u 1000m 2 3-2

0

2

4

6

8

10

Xa:-1.000 Xb: 1000.0mYc: 2.000 Yd:-1.029

a-b:-2.000 c-d: 3.029

frec: 500.0m


d

c

baA

B

Figura 13.15: Desplazamiento de nivel encuatro cuadrantes.

Solución:Caso (a). Aplicando la ecuación

(13.3.16) se obtiene

voa =

½1.65vi + 3.65 vi > −1 V

2.0 vi ≤ −1 V

El punto de quiebre es Pah−1, 2i (veri-ficar).

Caso (b). Igual que en el caso an-terior se aplica la ecuación (13.3.16)obteniéndose

vob =

½1.65vi − 2.65 vi > 1 V−1.0 vi ≤ 1 V

El punto de quiebre para este casoes Pah1,−1i (verificar). En la Fig. 13.15 se puede observar la respuesta del sistemapara los dos casos propuestos. Nótese el signo de la pendiente de estas rectas.

13.3.2 Rectificador de onda completa

Se puede extender el análisis realizado antes al caso del rectificador de onda completa,también conocido como generador de valor absoluto u operador de magnitud, pueseste sistema entrega a la salida una señal que es el valor absoluto o magnitud dela señal de entrada. Un método para realizar un rectificador de onda completa


o1v Vo+

D1

D2

100 Hz

Vi-3/3V

+

R3 Rf2

R2

Rf1R1

Figura 13.16: Circuito rectificador de onda completa.

es utilizar dos rectificadores de media onda. Uno de estos operando sobre la partepositiva de la señal y el otro sobre la negativa. Las salidas se suman adecuadamente.Sin embargo, esto requiere tres AOs [57]. Una forma más simple de realizar elrectificador parte de una observación matemática, la cual consiste en considerar quetomar el valor absoluto de una señal simplemente es cambiar el signo al segmentonegativo de la misma. Si la señal de salida rectificada de onda completa se duplicay ésta se resta de la señal original, el resultado es la señal rectificada de ondacompleta. El rectificador realizado con la anterior premisa se muestra en la Fig.13.16 donde aparecen dos etapas con AO. La primera etapa la constituye el yaconocido rectificador de media onda, mientras que la segunda es un amplificadorsumador inversor.

La respuesta de este sistema está dada por

vo = −Rf2

R2vo1 −

Rf2

R3vi (13.3.17)

pero vo1 es la salida del rectificador de media onda analizado antes. Entonces, de laecuación (13.3.5)

vo1 =

(−Rf1

R1vi vi > 0

0 vi ≤ 0(13.3.18)

Sustituyendo (13.3.18) en (13.3.17), se obtiene:

vo =

( ³Rf2

R2

Rf1

R1− Rf2

R3

´vi vi > 0

−Rf2

R3vi vi ≤ 0

(13.3.19)

Geométricamente, en este sistema de ecuaciones, la primera corresponde a la ecuaciónde una recta que pasa por el origen de la forma y1 = m1x, donde,

m1 =Rf2

R2

Rf1

R1− Rf2

R3(13.3.20)

es la pendiente. Además, sólo es válida para vi > 0.


-3 -2 -1 -3.3u 1000m 2 3-700m

0

700m

1.4

2.1

2.8

3.5

Xa: 24.87m Xb: 24.87mYc: 3.010 Yd:-111e-18

a-b: 0.000 c-d: 3.010

frec: 0.000


d

c

baA

Figura 13.17: Respuesta del rectificadorde onda completa en el plano de fase.

Sumando el segundo término de laprimera ecuación con la segunda, se ob-tiene la ecuación de una recta con pen-diente negativa, de la forma y2 = m2x,donde

m2 = −Rf2

R3(13.3.21)

y es válida para todo el rango (elon-gación) de vi. Para obtener la funciónvalor absoluto o, en otros términos, paraque el rectificador de onda completa seasimétrico, se requiere que las magni-tudes de las pendientes m1 y m2 seaniguales entre sí, es decir,

Rf2

R2

Rf1

R1− Rf2

R3=

Rf2

R3(13.3.22)

De aquí se obtieneR3Rf1 = 2R1R2

la cual constituye la condición de simetría. En la Fig. 13.17, se muestra la respuestaen el plano de fase de el sistema rectificador de onda completa.

R

2

1

R

v 1o

+

-

V

+

-

V

Vo+

D1

D2

100 Hz

Vi-3/3V

+

R6

R5 R4

R3 Rf2

R2

Rf1R1

Figura 13.18: Rectificador de onda completa con tensiones de desplazamiento hor-izontal y vertical.

Como en el caso de los rectificadores de onda media, también se puede realizardesplazamientos de la señal en todas direcciones del plano de fase. Para ello seconectan las fuentes de referencia como se muestra en la Fig. 13.18. La fuente de


referencia VR1, permite el desplazamiento horizontal, mientras que la fuente VR2, eldesplazamiento de nivel. De la Fig. 13.18 se obtiene:

vo = −Rf2

R3vi −

Rf2

R2v01 −

Rf2

R4VR1 −

Rf2

R6VR2 (13.3.23)

pero, de la ecuación (13.3.11)

vo1 =

⎧⎪⎨⎪⎩−Rf

R1vi − Rf

R5VR1 vi > −

R1R5

VR1

0 vi ≤ −R1R5

VR1

(13.3.24)

Sustituyendo (13.3.24) en (13.3.23) y teniendo en cuenta las ecuaciones (13.3.13) y(13.3.19):

vo =

⎧⎪⎨⎪⎩³Rf1Rf2

R1R2− Rf2

R3

´vi +

³Rf1Rf2

R2R5− Rf2

R4

´VR1 − Rf2

R6VR2 vi > −R1

R5VR1

−Rf2

R3vi − Rf2

R4VR1 − Rf2

R6VR2 vi ≤ −R1

R5VR1(13.3.25)

-3 -2 -1 -141n 1 2 3-9

-6

-3

0

3

6

9

Xa: 49.81m Xb: 49.81mYc: 0.000 Yd:-9.000

a-b: 0.000 c-d: 9.000

fre


d

c

baA

B

C

D

Figura 13.19: Desplazamineto del rectificadorde onda completa en el plano de fase.

Ejemplo 89 El circuito de la Fig.13.18 tiene los parámetros definidoscomo sigue: Rf1 = R1 = R3 =R4 = R5 = R6 = 20 kΩ, Rf2 =30 kΩ, R2 = 10 kΩ. Determi-nar la ecuación de salida y el puntode quiebre para los siguientes ca-sos: (a) VR1 = 1 V , VR2 = −1V , (b) VR1 = −1 V , VR2 = −1 V ,(c) VR1 = 1 V , VR2 = 4 V , (d)VR1 = −1 V , VR2 = 4 V .

Solución:Aplicando la ecuación (13.3.25)

se obtiene, en términos de las ten-siones de referencia:

vo =

½1.5vi + 1.5VR1 − 1.5VR2 vi > −VR1−1.5vi − 1.5VR1 − 1.5VR2 vi ≤ −VR1

Reemplazando los valores correspondientes de VR1 y VR2 en la ecuación anterior, seobtiene para cada caso requerido:


(a) VR1 = 1 V , VR2 = −1 V

voa =

½1.5vi + 1.5× (1)− 1.5× (−1) = 1.5vi + 3.0 vi > −1−1.5vi − 1.5× (1)− 1.5× (−1) = −1.5vi vi ≤ −1

(b) VR1 = −1 V , VR2 = −1 V

vob =

½1.5vi + 1.5× (−1)− 1.5× (−1) = 1.5vi vi > 1

−1.5vi − 1.5× (−1)− 1.5(−1) = −1.5vi + 3.0 vi ≤ 1

(c) VR1 = 1 V , VR2 = 4 V

voc =

½1.5vi + 1.5× (1)− 1.5× (4) = 1.5vi − 4.5 vi > −1−1.5vi − 1.5× (1)− 1.5× (4) = −1.5vi − 7.5 vi ≤ −1

(d) VR1 = −1 V , VR2 = 4 V

vod =

½1.5vi + 1.5× (−1)− 1.5× (4) = 1.5vi − 7.5 vi > 1−1.5vi − 1.5× (−1)− 1.5× (4) = −1.5vi − 4.5 vi ≤ 1

Figura 13.20: Divertimento alrededor del Ejemplo 89.

La simulación correspondiente a los casos analizados, se puede observar en la Fig.13.19, donde se nota su concordancia con los valores hallados en forma algebraica.En la Fig. 13.20, se grafican las ecuaciones encontradas más arriba.


13.4 Limitadores

El circuito limitador es otro circuito conformador de onda, el cual se utiliza paraañadir una onda continua a la señal de entrada de corriente alterna, de manera quese obligue a que los picos positivos (o negativos) tengan un valor específico. Enotros términos, los picos de la onda se limitan a un valor de tensión dado. Haymuchas configuraciones del circuito limitador básico. De hecho, cualquier carac-terística compuesta de dos líneas rectas que se intersequen en un punto se consideracomo una forma de limitador. Estas características se establecen situando un diodoen la trayectoria de realimentación del AO [57].

R

Vo100 Hz

Vi

V

+

Rf

R2

R1R

Rm

Figura 13.21: Limitador realimentado.

En la Fig. 13.21 se muestra un circuito que limita la tensión de salida del AO. Sila salida es positiva, el diodo estará polarizado inversamente y el circuito funcionarácomo un amplificador inversor, obteniéndose un valor en la salida de,

vo = −Rf

Rvi (13.4.1)

donde, como se puede observar, la característica de transferencia es de la formay = m1x, una recta que pasa por el origen con pendiente:

m1 = −Rf

R(13.4.2)

Cuando el diodo conduce, el circuito limitador se activa, cambiándose el factorde ganancia de la red realimentada. Para analizar el comportamiento del circuito,lo más conveniente es hallar el equivalente Thevenin desde el ánodo del diodo haciaadelante. Para simplificar el análisis, el diodo se modela, cuando conduce, con unared serie constituida por una fuente Vγ y un resistor rd. Cuando no conduce, suequivalente será un circuito abierto.

En la Fig. 13.22(a) se muestra el circuito correspondiente de la red cuandoel diodo está conduciendo. En la Fig. 13.22(b), se puede observar el equivalente

13.4. LIMITADORES 465

Vot

d

R

γd

a b( ) ( )

γ

Req

R1

+

-

Vo

R2

+

-

V

r

+

V

+

Vr

+

-

Figura 13.22: Equivalente Thevenin de la red diodo y circuito asociado.

Thevenin del circuito en mención. De acuerdo con el teorema de superposición(considerando las fuentes vo y VR por separado), la tensión equivalente de Theveninestá dada por

Vot =R2vo

R1 +R2+

R1VRR1 +R2

= R1||R2µvoR1

+VRR2

¶(13.4.3)

mientras que la resistencia equivalente es

Req = R1||R2

y teniendo en cuenta el equivalente lineal del diodo, se tiene finalmente:

Vth = R1||R2µvoR1

+VRR2

¶+ Vγ (13.4.4)

Rth = R1||R2 + rd

+

-

Vth

Vo

100 Hz

Vi

+

Rth

Rf

R

Rm

Figura 13.23: Circuito equivalente como un sumador.

En la Fig. 13.23 se muestra el circuito equivalente, el cual posee dos señales, viy Vth, y puede caracterizarse como un amplificador sumador. La tensión de salidaen este caso es


vo = −Rf

Rvi−

Rf

RthVth = −

Rf

Rvi−

Rf

R1||R2 + rd

∙R1||R2

µvoR1

+VRR2

¶+ Vγ

¸(13.4.5)

Si R1||R2 À rd, entonces

vo ≈ −Rf

Rvi −

Rf

R1vo −

Rf

R2VR −

Rf

R1||R2Vγ (13.4.6)

Despejando vo de la ecuación (13.4.6) se llega a

vo = −Rf

R³1 +

Rf

R1

´vi − Rf

1 +Rf

R1

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶(13.4.7)

-1000m -667m -333m 22.4n 333m 667m 1000m-1

-500m

0

500m

1

1.5

2

Xa:-5.66e-15 Xb: 204.8mYc: 0.000 Yd:-366.7m

a-b:-204.8mc-d: 366.7m

frec: 4.88


d

c

baA

Figura 13.24: Característica de transferencia.

Esta es una ecuación lineal de laforma y = m2x+ b, donde

m2 = −Rf

R³1 +

Rf

R1

´ (13.4.8)

y

b = − Rf

1 +Rf

R1

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶Comparando las ecuaciones (13.4.2)y (13.4.8)

m2 =m1

1 +Rf

R1

(13.4.9)

es decir,m2 < m1 (13.4.10)

Esto muestra el efecto producido por el circuito asociado con el diodo. En la Fig.13.25, se puede observar la respuesta temporal para este caso. Nótese la deformaciónque presenta la onda en la parte inferior, donde se aplica el limitador.

Se puede encontrar el punto de intersección de las dos pendientes, igualando lasecuaciones (13.4.1) y (13.4.7), o sea,

−Rf

RVic = −

Rf

R³1 +

Rf

R1

´Vic − Rf

R2

³1 +

Rf

R1

´VR − Rf

R1||R2³1 +

Rf

R1

´Vγ


0 4.17m 8.33m 12.5m 16.7m 20.8m 25m-4

-2

0

2

4

6

8

Xa: 0.000 Xb: 0.000 Yc:-4.000 Yd:-4.000

a-b: 0.000 c-d: 0.000

frec: 0.000


dc

baA

Figura 13.25: Respuesta temporal del circuito limitador.

donde Vic es la tensión de entrada cuando se alcanza el punto de quiebre. Resolviendopara Vic:

Vic =RR1Rf

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶(13.4.11)

Sustituyendo este valor en la ecuación (13.4.1)

Voc = −R1R2

VR −µ1 +

R1R2

¶Vγ (13.4.12)

0 4.17m 8.33m 12.5m 16.7m 20.8m 25m0

1.33

2.67

4

5.33

6.67

8

Xa: 0.000 Xb: 25.00mYc: 0.000 Yd: 0.000

a-b:-25.00mc-d: 0.000

frec: 40.00


dc

baA

Figura 13.26: Respuesta temporal para el caso de referencia negativa.

Si Rf À R1, entonces

m2 ≈ −R1R

(13.4.13)

y la ecuación (13.4.7) quedará

vo ≈ −R1R

vi −R1

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶para vi > Vic (13.4.14)


-4 -2.67 -1.33 89.4n 1.33 2.67 40

1.33

2.67

4

5.33

6.67

8

Xa:-4.000 Xb:-4.000 Yc: 0.000 Yd: 0.000

a-b: 0.000 c-d: 0.000

Ref=Tierra X=1.33/Div Y=voltaje

dc

baA

Figura 13.27: Característica detransferencia.

El punto de quiebre de la función de transfe-rencia se encuentra situado en el cuarto cua-drante, es decir, P hVic,−Voci. Se puede des-plazar la posición de este punto a lo largo de larecta y = m1x, cambiando el signo de la fuentede referencia. En esta condición el limitadortiene su efecto, eventualmente en el segundocuadrante del plano de transferencia. El puntode quiebre ahora se sitúa en P h−Vic, Voci. Enla Fig. 13.26 se muestra la respuesta tempo-ral para este caso. Nótese que la señal tieneacción limitadora desde un valor positivo enel plano. La Fig. 13.27 muestra el plano detransferencia, para el caso cuando se aplicauna tensión negativa como referencia.

Ejemplo 90 Los valores paramétricos del circuito limitador de la Fig. 13.21 estándados por los siguientes datos: R = 10 kΩ, Rf = 20 kΩ, R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ,VR = 25 V . Se supone un diodo de Si con Vγ = 0.7 V . Encontrar la respuesta delsistema indicando las pendientes m1 y m2, y el punto de quiebre.

Solución:

-4 -2.67 -1.33 89.4n 1.33 2.67 4-4

-2

0

2

4

6

8

Xa: 444e-18 Xb: 1.547 Yc: 0.000 Yd:-3.000

a-b:-1.547 c-d: 3.000

frec: 646.6m


d

c

baA

Figura 13.28: Característica detransferencia del limitador.

Las pendientes se determinan a partir de lasecuaciones (13.4.2) y (13.4.8):

m1 = −Rf

R= −2

m2 = − Rf

R³1 +

Rf

R1

´ = −0.095Puesto que Rf À R1, se puede aproximar

m2 ≈ −0.1. El valor proporcionado por el simu-lador concuerda para m1; sin embargo, el valorleído es m2 = 0.12. El punto de quiebre se ob-tiene por sustitución directa en las ecuaciones(13.4.11) y (13.4.12):

Vic =RR1Rf

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶= 1.635

Voc = −R1µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶= −3.27


R-

+

V

100 Hz

Vi

Rm

RR1

R2

Rf

Figura 13.29: Limitador de la señalpositiva.

La lectura en el simulador muestra elpunto de cruce en P h1.547,−2.954i, como seaprecia en la Fig. 13.28. El error en la lec-tura se debe esencialmente a la dificultad deestablecer precisamente el punto de corte, yaque se presenta en una zona de alta alinea-lidad.

La tensión positiva también se puedelimitar, utilizando un diodo en sentido con-trario al anterior e invirtiendo la polaridad

de la fuente de referencia, como se muestra en la Fig.13.29. Todos los cálculos serealizan empleando la metodología que se utilizó para el análisis del circuito de laFig. 13.21. La tensión positiva de fijación puede obtenerse resolviendo las ecuaciones(13.4.1) y (13.4.7), teniendo en cuenta que VR < 0:

Vic = −R

Rf

∙R1R2

VR +

µ1 +

R1R2

¶Vγ

¸(13.4.15)

Sustituyendo este valor en la ecuación (13.4.1)

Voc =R1R2

VR +

µ1 +

R1R2

¶Vγ (13.4.16)

2

1

V

V

-VR

RD1

D2

+

V

100 Hz

Vi

R3

R4

RR1

R2

Rf

Figura 13.30: Limitador doble.

Al emplear la ecuación (13.4.7), la tensión de salida durante la fijación del voltajepositivo es

vo = −Rf

R³1 +

Rf

R1

´vi + Rf

1 +Rf

R1

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶para vi < Vic (13.4.17)

o, para Rf À R1

vo ≈ −R1R

vi +R1

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶para vi < Vic (13.4.18)


0 5m 10m 15m 20m 25m 30m-6

-4

-2

0

2

4

6

Xa: 0.000 Xb: 0.000 Yc:-6.000 Yd:-6.000

a-b: 0.000 c-d: 0.000

frec: 0.000

X: 5.000mUnid/Div Y: 2.000 Unid/Div


dc

baA

Figura 13.31: Respuesta temporaldel limitador de doble pico.

La combinación de los dos casos permitelimitar tanto la parte positiva de la señalcomo la negativa. Esto se puede observaren la Fig. 13.30, donde se han conectado dosdiodos en contrafase a sendas redes de refe-rencia con polarización opuesta, VR y −VR.Esta red con dos diodos, doble polaridad y losdispositivos resistivos correspondientes, per-mite limitar la tensión positiva y negativa,como se muestra en la Fig.13.31.

La Fig. 13.32 describe la característica detransferencia de un limitador realimentadode tensión positiva y negativa. Este es un limitador práctico de uso común. Tam-bién se conoce como limitador de transición gradual [52], puesto que la tensión desalida aumenta poco si la tensión de entrada se incrementa más allá de los puntos decorte. En general todas las tensiones de alimentación de dc del limitador se tomande la misma magnitud, para efectos de simplificar los montajes. Esto es, | ± VR|= |VCC |. También se emplea, cuando se requiere, un circuito amplificador inversorpara obtener la referencia negativa.

Aplicando los conceptos desarrollados más arriba y, suponiendo que Rf À R1 ∧R3, se puede expresar la tensión de salida del limitador doble como

vo =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−R3

R vi − R3R4VR −

³1 + R3

R4

´Vγ vi ≤ −Vic

−Rf

R vi −Vic < vi < Vic

−R1R vi +

R1R2VR +

³1 + R1

R2

´Vγ vi ≥ Vic

(13.4.19)

-4 -2.67 -1.33 89.4n 1.33 2.67 4-4

-2.67

-1.33

0

1.33

2.67

4

Xa:-4.000 Xb:-4.000 Yc: 4.000 Yd:-4.000

a-b: 0.000 c-d: 8.000

frec: 0.0


d

cba

A

Figura 13.32: Característicade transferencia del limitadordoble.

La primera ecuación representa el compor-tamiento de la salida para valores de entrada in-feriores al punto de quiebre superior, la tercerarepresenta el valor de salida para tensiones de en-trada superiores a la del punto de quiebre inferior,mientras que la segunda, muestra la respuesta enla región lineal. Nótese que todas las pendientesson negativas.

Ejemplo 91 Diseñar un limitador doble simétricocon ganancia de magnitud 2, pendiente en laregión de saturación de −0.05 y la tensión de sa-lida en el punto de quiebre, de magnitud 2. Sedispone de una fuente de polarización de 10V ,además la tensión de umbral es de 0.7 V .


Solución:La ganancia está dada por la pendiente m1, entonces, tomando Rf = 200 kΩ, se

obtiene de la ecuación (13.4.2)

|m1| = 2 =Rf

R=⇒ R = 100 kΩ

Ahora, de la ecuación (13.4.8)

m2 = − Rf

R³1 +

Rf

R1

´ = − m1

1 +Rf

R1

= − 2

1 + 200 kΩR1

R1 = 5.1 kΩ


Voc = −R1R2

VR −µ1 +

R1R2

¶Vγ = −

5.1× 10R2

−µ1 +

5.1

R2

¶× 0.7 = −2

Despejando R2, se obtiene finalmente:

R2 = 42 kΩ

El otro parámetro se obtiene de

Vic =RR1Rf

µVRR2

+Vγ

R1||R2

¶=100× 5.1200

µ10

42+

0.7

5.1||42

¶u 1.0 V

Esto define el límite de la parte inferior, para encontrar el límite en la parte superiorsolo basta hacer R3 = R1 y R4 = R2.

100kHz

Vc

+

+

1kHz

Vs

R3

R2

R3

R1

R2

R1

Rf

R

Figura 13.33: Circuito modulador de amplitud utilizando un limitador doble.


0.000ms 0.500ms 1.000ms 1.500ms 2.000ms

7.500 V

5.000 V

2.500 V

0.000 V

-2.500 V

-5.000 V

-7.500 V

A: u2b_1

Figura 13.34: Respuesta temporal del modulador de amplitud.

Si en lugar de aplicar una señal dc, el punto de referencia se excita con otraseñal de corriente alterna, vs, la señal moduladora y, por la entrada al limitador sele inyecta una señal de alta frecuencia, vc, la portadora, tal como se muestra en laFig. 13.33, se obtiene un modulador de amplitud.

Si el sistema es simétrico respecto del eje horizontal. Las expresiones estarándadas por:

vo =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−R1

R vc − R1R2vs −

³1 + R1

R2

´Vγ vi ≤ −Vic

−Rf

R vc −Vic < vi < Vic

−R1R vc +

R1R2vs +

³1 + R1

R2

´Vγ vi ≥ Vic

La respuesta temporal se muestra en la Fig. 13.34, donde se ha modulado unaportadora de 100 kHz con una señal de 1 kHz.

13.5 Generación de funciones no lineales

Una aplicación importante de los diodos es en la generación de funciones no li-neales. La característica de corriente contra voltaje de un diodo se puede considerarcomo una recta lineal por tramos. La principal motivación para utilizar estas redesbasadas en diodos y amplificadores operacionales, radica en que en este tipo deconfiguraciones, su comportamiento puede aproximarse a los valores deseados. Estopermite el desarrollo de un modelo sistemático para generar funciones no lineales[62], [57]. Estas funciones resultan de utilidad en el estudio de sistemas dinámicosno lineales.

Una manera de construir un circuito que opere siguiendo una cierta función nolineal, v. gr.: y = x2, es aproximando la función a un conjunto de segmentos de recta(ver Fig. 13.35) y generar esta función aproximada, con un circuito electrónico. La

13.5. GENERACIÓN DE FUNCIONES NO LINEALES 473

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 0 1 2 3x

Figura 13.35: Función aproximada por tramos.

precisión obtenida depende del número de segmentos de recta utilizados. La funciónaproximada se obtiene sumando los segmentos de recta, por lo cual se deben deter-minar separadamente los puntos de cambio de pendiente, así como las pendientescorrespondientes, como se ve en la Fig. 13.35. Existen diversos circuitos con AOsque permiten obtener la función, a partir de segmentos de recta [59].

Ro

R1

R2

Rn

R’n

R’2

R’1

Rf

vivo

V

V

V

Figura 13.36: Circuito no lineal.

En la Fig. 13.36 se muestra una redque utiliza AO y diodos para generaruna función compuesta de tramos de rec-tas con pendientes crecientes sucesivas.Para hacer el análisis correspondiente,se puede aplicar el teorema de desplaza-miento de fuentes de tensión, mediante elcual es factible realizar la migración deuna fuente de tensión a través de uno desus nodos hacia las demás ramas conec-tadas a dicho nodo, de modo que cada unade las ramas contendrá una fuente idén-tica, en serie con la respectiva impedanciade la rama. Los nodos de la rama dondeoriginalmente estaba la fuente quedan encorto circuito [8].

Con el fin de estudiar el compor-tamiento no lineal por tramos del circuito de la Fig. 13.36, se analizará su respuestapor etapas.


Para el caso en el cual ningún diodo conduce, la expresión para la tensión desalida será:

vo = −Rf

Rovi (13.5.1)

En el caso en el cual el diodo D1 conduce, el circuito resultante es igual almostrado en la Fig. 13.37(a), donde Vγ es la tensión de umbral y rd es la resistenciadirecta del diodo. En la Fig. 13.37 (b) se muestra el circuito transformado medianteel desplazamiento de las fuentes de tensión.

Ro

R1

R’1

RfRf

vivo

V

rd Vγ

Ro

R1

R’1

vi2rd

Vγ

vi

V2rd

Vγvo

Figura 13.37: Circuito no lineal con D1 conduciendo.

La tensión de salida está dada por

vo = −Rf

Rovi −

Rf

R1 − 2rd(vi − Vγ)−

Rf

R01 − 2rd(V − Vγ)

Si se asignan los valores de R1 y R01 de modo que 2rd ¿ R1kR01 entonces sepuede simplificar la anterior ecuación de modo que

vo = −µRf

Ro+

Rf

R1

¶vi +

µRf

R01+

Rf

R1

¶Vγ −

Rf

R01V (13.5.2)

En la Fig. 13.38 se muestra el circuito equivalente para el caso en el cual losdiodos D1 y D2 conducen. En este caso, y tomando las mismas consideraciones quese hicieron para el circuito anterior, se encuentra que la tensión de salida está dadapor:

vo = −µRf

Ro+

Rf

R1+

Rf

R2

¶vi +

µRf

R1+

Rf

R2+

Rf

R01+

Rf

R02

¶Vγ −

µRf

R01+

Rf

R02

¶V

(13.5.3)

Por lo tanto, para el caso en el cual los n diodos del circuito conducen, la tensiónde salida estará dada por:

vo =nX

j=0

Rf

Rjvi +

nXj=1

ÃRf

Rj+

Rf

R0j

!Vγ −

nXj=1

Rf

R0jV (13.5.4)


Ro

R1

R2

R’2

R’1

Rf

vivo

V

V

RfRo

R1

R’1

vi2rd Vγ

vi

V 2rd Vγvo

R’2

vi

V2rd Vγ

R2 2rd Vγ

D1

D2R2

Figura 13.38: Circuito no lineal con D1 y D2 conduciendo.

Analizando el circuito de la Fig. 13.36, se nota que mientras ninguno de losdiodos conduzca, el circuito se comporta como un amplificador inversor. La curvacaracterística de transferencia del circuito en este momento está descrita por unalínea recta que cruza por el origen y tiene pendiente igual a:

mo = −Rf

Ro

Curva lineal por tramos.

Figura 13.39: Construcción de lacurva lineal por tramos.

Cuando el diodo D1 empieza a conducir lapendiente de la recta se incrementa y está dadapor:

m1 = −µRf

Ro+

Rf

R1

¶En el caso general, cuando se tienen n cel-

das (cada celda está conformada por un diodoy los resistores asociados), la pendiente estarádada por:

mn = −Rf

nXj=0

1

Rj(13.5.5)

El comportamiento del sistema correspondeal de una función no lineal, conformada porsegmentos de recta.

A partir de las ecuaciones (13.5.1) a(13.5.4), las cuales representan rectas de la forma y = mx + b, se puede realizarla solución sucesiva de cada par de ecuaciones para encontrar los puntos de cruce dela forma como se explica a continuación.


Vo

2k

46.5k0.66k

35.6k

6.9k

1k

1k 6.9k

35.6k0.66k

46.5k2k

2k

1k

+

10V

-10V

1kHz

Figura 13.40: Circuito con respuesta no lineal para segundo y cuarto cuadrante.

De (13.5.1) y (13.5.2) se obtiene

−Rf

RoVic1 = −

µRf

Ro+

Rf

R1

¶Vic1 +

µRf

R1+

Rf

R01

¶Vγ −

Rf

R01V

donde Vic1 representa la tensión de entrada en el primer punto de corte y tendrá elvalor de

Vic1 =

µ1 +

R1R01

¶Vγ −

R1R01

V =R1R01(Vγ − V ) + Vγ

De igual manera para las ecuaciones (13.5.2) y (13.5.3) se llega a

Vic2 =R2R02(Vγ − V ) + Vγ

y así sucesivamente. En general, la tensión de entrada en el punto de corte tendráel valor

Vicj =Rj

R0j(Vγ − V ) + Vγ (13.5.6)

La Fig.13.39 muestra el comportamiento del circuito de la Fig. 13.36.En este caso se ha analizado el comportamiento para el cuarto cuadrante de la

res-puesta vo− vi. Para el segundo cuadrante se puede hacer un análisis similar. Eneste caso se invierten los diodos y la fuente V cambia de polaridad, como se muestraen la Fig. 13.40.


Figura 13.41: Respuesta de transfe-rencia.

En la Fig. 13.41 se puede observar la res-puesta vo − vi del circuito.

Para ilustrar el procedimiento de síntesisde funciones no lineales, se efectuará el diseñode un circuito que permita la realización dey = x2.

De la ecuación (13.5.5), se obtiene la ex-presión general para hallar las resistencias deentrada al multipolo:

Rk =Rf

|mk|− |mk−1|, k = 0, . . . , n (13.5.7)

Utilizando la ecuación (13.5.6), se halla la ex-presión para las resistencias conectadas a lafuente de referencia:

R0j =Vγ − V

Vicj − Vγpara Vicj 6= Vγ (13.5.8)

Las pendientes de cada uno de los tramos se encuentran usando la ecuación generalde la línea recta, y − yk = mk(x− xk), con pendiente

mk =yk+1 − ykxk+1 − xk

. (13.5.9)

Nótese que |mo| < |m1| < |m2| . . . < |mn|.En la Tabla 13.1(a), se muestran cuatro puntos que sirven como base para el

desarrollo de la función. Utilizando la ecuación (13.5.9) se pueden hallar los valoresde las pendientes, los cuales se muestran en la Tabla 13.1(b).

El paso siguiente es el cálculo de la resistencia Ro. Para efectos del cómputo seasume Rf = 1 kΩ.

Tabla 13.1: (a) Valores de la función. (b) Pendientes resultantes.

Vic1 Vic2 Vic3 Vic4x 0.5 1 1.5 2

y 0.25 1 2.25 4

(a)

m0 m1 m2 m3

0.5 1.5 2.5 3.5

(b)


-10V

10V

+ +10V

-10V-10V

10V++

10V

-10V

-3/3V

120 Hz

1k2k

1k

47k

680

33k

12k

1k

20k

20k

10k10k

20k20k

10k

20k

10k

20k

A

Figura 13.42: Circuito que genera la ecuación y = x2.

Aplicando las ecuación (13.5.7) se tiene:

Ro =Rf

mo=1 kΩ

0.5= 2 kΩ

R1 =Rf

m1 −mo=

1 kΩ

1.5− 0.5 = 1 kΩ

R2 =Rf

m2 −m1=

1 kΩ

2.5− 1 = 0.66 kΩ → R2 = 0.68 kΩ

R3 =Rf

m3 −m2=

1 kΩ

3.5− 2.5 = 1 kΩ

-3 -2 -1000m 248u 1 2 3-2

0

2

4

6

8

10

Xa: 248.0u Xb: 248.0uYc: 0.000 Yd: 0.000

a-b: 0.000 c-d: 0.000

frec: 0.000


dc

baA

Figura 13.43: Tensión de salida vs. entrada de la Fig. 13.42.

A continuación se calculan las resistencias R01, R02, y R03, para esto se utiliza la

ecuación (13.5.8). Nótese que la primera tensión de quiebre Vi1 < V γ, por lo tanto,


para no obtener un valor negativo de resistencia, se conecta a un valor positivo dereferencia. Para una tensión de referencia V = 10 V se obtiene:

R01 =Vγ − V

Vic1 − Vγ=0.7− 100.5− 0.7 × 1 kΩ = 46.5 kΩ → R01 = 47 kΩ

Para hallar los valores restantes se utilizará una tensión de referencia V = −10V .

R02 =Vγ − V

Vic2 − Vγ=0.7− (−10)1− 0.7 × 1 kΩ = 35.6 kΩ → R02 = 33 kΩ

R03 =Vγ − V

Vic3 − Vγ=0.7− (−10)1.5− 0.7 × 1 kΩ = 13.4 kΩ → R03 = 12 kΩ

En la Fig. 13.42 se muestra el circuito que permite realizar la función y = x2.Obsérvese que la primera etapa la constituye una red que realiza la función valorabsoluto y = |x|. Con esto se elimina la necesidad de realizar otra red para el casovi < 0. La respuesta del sistema se puede ver en la Fig. 13.43.

13.5.1 Circuito multiplicador

Figura 13.44: Diagrama de bloques del multiplicador.

Existen diferentes formas para desarrollar circuitos multiplicadores. En esteapartado se aplica el concepto planteado antes, para la síntesis de la función cuadráticay = x2. En la Fig. 13.44 se muestra el diagrama de bloques de la función F = xy

realizado en SimulinkR°de Matlab

R°mientras que en la Fig. 13.45 se muestra la

realización de dicha función utilizando las redes estudiadas más arriba.Se sugiere al lector, hacer el diseño completo de la red, realizar la simulación y

efectuar el montaje respectivo.La representación en el plano de fase de algunas formas de onda del producto

de dos señales se muestra en la Fig. 13.46, donde se ven las relaciones de frecuencia1 : 2 (parte superior) y 5 : 6 (parte inferior).


+

50 Hz

-2/2V

60 Hz

-3/3V

+

+++ +

++ +

A

Figura 13.45: Circuito multiplicador basado en funciones no lineales de la formay = x2.

Figura 13.46: Plano de fase paraondas con relación de frecuencia1:2 (superior) y 5:6 (inferior).

Se pueden obtener diferentes respuestassegún las necesidades. En la Fig. 13.47 se mues-tra una aplicación como modulador de ampli-tud del circuito multiplicador. En este caso setienen dos señales sinusoidales de 2.0 V a 50Hz, 2.0 V a 5 kHz, respectivamente. Se puedeobservar claramente la modulación producidapor la interacción no lineal de ambas señales.

13.5.2 Generador de escalera con cir-cuito de efecto bootstrap

Una aplicación de interés de las redes con dio-dos es en la generación de cierto tipo de fun-ciones. Se analizará el caso de un generador deescalera. El circuito de la Fig. 13.48 empleaun AO con ganancia unitaria, cuya salida estáintercalada en el circuito de carga de C1; estopermite obtener una rampa de escalones de am-plitud constante. El análisis es como sigue:

1. En la presencia del impulso positivo deorden n, C1 se carga a través de D2, con la polaridad indicada en la figura.Cuando la tensión de entrada regresa a cero, C1 se descarga a través del circuito


0.000ms 5.000ms 10.00ms 15.00ms 20.00ms

10.00 V

5.000 V

0.000 V

-5.000 V

-10.00 V

A: u2d_6

Figura 13.47: Salida del circuito multiplicador.

de entrada, el circuito de salida del AO y el diodoD1, hasta alcanzar la tensión

V 0C1 = −Von + V γ1 (13.5.10)

donde, Von: tensión de salida después del impulso n. V γ1: tensión de umbralde D1 por debajo de la cual D1 se corta, bloqueando el paso de la corriente enel circuito.

Figura 13.48: Generador de escalera con circuito de efecto bootstrap.

2. En presencia del impulso siguiente n + 1, C1 y C2 se cargan a las tensionesV ”C1 y Vo(n+1) respectivamente, y tiene que ser:

V = V ”C1 + Vγ2 + Vo(n+1) (13.5.11)

donde V : amplitud del impulso de entrada, Vγ2: tensión de umbral de D2;Vo(n+1) tensión de salida después del impulso n + 1.


Figura 13.49: Forma de onda desalida (tipo escalera).

Además, por los dos capacitores C1 y C2 enserie, pasa la misma corriente y por lo tanto, lasvariaciones de carga tienen que ser iguales:

C1(V ”C1 − V 0C1) = C2(Vo(n+1)−Vo(n)) (13.5.12)

De (13.5.11) se tiene:

V ”C1 = V − Vγ2 − Vo(n+1) (13.5.13)

Sustituyendo (13.5.10) y (13.5.13) en (13.5.12)se obtiene:

C1(V − Vγ2 − Vo(n+1) + Vo(n) − Vγ1) = C2(Vo(n+1) − Vo(n))

o sea:C1(V − Vγ1 − Vγ2)−C1(Vo(n+1) − Vo(n)) = C2(Vo(n+1) − Vo(n))

Reuniendo términos:

(C1 + C2)(Vo(n+1) − Vo(n)) = C1(V − Vγ1 − Vγ2)

Vo(n+1) − Vo(n) =C1

C1 + C2(V − Vγ1 − Vγ2)

+

1kHz

+

++

+

+ +

120 Hz

A

Figura 13.50: Circuito generador de barrido de tensión.

Si Vγ1 = Vγ2 = Vγ entonces:

Vo(n+1) − Vo(n) =C1

C1 + C2(V − 2Vγ) (13.5.14)

13.6. FUNCIONES ESPECIALES 483

Definiendo,∆Vo , Vo(n+1) − Vo(n) (13.5.15)

Por lo tanto,

∆Vo =C1

C1 + C2(V − 2Vγ) (13.5.16)

Los escalones de la tensión de salida tienen amplitud constante, independiente delnivel de la tensión de entrada. La Fig. 13.49 muestra la salida del circuito tomadasobre el capacitor C2 y la salida del circuito integrado LM555, el cual se empleacomo multivibrador astable el cual genera una onda unipolar de forma rectangular.Nótese que cada cambio de 0 a 1 en el astable produce la generación de un nuevopeldaño hasta que la tensión alcanza el punto de saturación.

-5 -3.33 -1.67 126n 1.67 3.33 5-30m

1.12

2.27

3.42

4.57

5.72

6.87

Xa: 13.77n Xb: 0.000 Yc: 10.00 Yd:-2.000

a-b: 13.77nc-d: 12.00

frec: 72.61Meg


d

cba

A

Figura 13.51: Respuesta en el plano de fase.

Se puede utilizar el circuito en escalera junto con la red limitadora para realizarun circuito que permita el ajuste de la tensión de saturación y obtener múltiplestensiones de salida. En la Fig. 13.50 se muestra un ejemplo de este circuito, dondese ha adicionado una función valor absoluto para obtener la magnitud de vo. En laFig. 13.51 se aprecia la respuesta de vo vs vi.

13.6 Funciones especiales

A menudo surge el problema de que dos tensiones v1 y v2 = f(v1) deben asignarseuna a la otra, donde f es una función dada, de modo que, por ejemplo

v2 = vA logv1vB, o v2 = vA sin

v1vB

La correlación puede también estar dada en la forma de un diagrama o una tabla.


Hay tres posibilidades de realizar tales relaciones. Una puede hacer uso de unefecto físico que cumpla con la correlación requerida, otra puede ser aproximando lafunción por una serie de líneas rectas o también por una serie de potencias [62]. Acontinuación se darán unos ejemplos de estos métodos.

13.6.1 Amplificador logarítmico

Un amplificador logarítmico debe tener una tensión de salida que es proporcional allogaritmo de la tensión de entrada.

Por lo tanto es mejor hacer uso de las características del diodo

iD = IS

³evDηVT − 1

´(13.6.1)

donde, IS es la corriente inversa de saturación, VT es la tensión térmica, VT = kT/q,y η es un factor de corrección (1 ≤ η ≤ 2). Para el diodo polarizado directamente,cuando iD À IS. La ecuación (13.6.1) puede aproximarse a

iD u ISevDηVT (13.6.2)

vv+- Vo+

-Vi

D

+R

Figura 13.52: Amplificador lo-garítmico con diodo.

De aquí, la tensión directa es

vD = ηVT ln

¯iDIS

¯(13.6.3)

que es la función logarítmica requerida. La formamás simple de utilizar esta relación para calcu-lar el logaritmo es como se muestra en la Fig.13.52, donde un diodo se incorpora en lazo derealimentación de un AO. Aplicando LCK se ob-tiene

viR= ISe

vDηVT = ISe

− voηVT (13.6.4)

Despejando de esta ecuación la tensión de salida se obtiene:

vo = −ηVT ln¯viRIS

¯= −ηVT ln 10 log

¯viRIS

¯(13.6.5)

o, a la temperatura ambiente,

vo = −0.02585× η ln

¯viRIS

¯= −59.6× η log

¯viRIS

¯[mV ] (13.6.6)


Para el caso del Si, η ≈ 1.2. Sustituyendo en (13.6.5) y en (13.6.6), se obtiene:

vo = −31.022 ln¯viRIS

¯[mV ] (13.6.7)

vo = −71.52 log¯viRIS

¯[mV ] (13.6.8)

El rango útil está limitado por dos efectos. El diodo posee una resistencia se-rie parásita, a través de la cual ocurre una caída de tensión considerable a altascorrientes, generando errores en el cálculo del logaritmo. Además, el factor de co-rrección η es dependiente de la corriente. Se puede por lo tanto lograr una precisiónsatisfactoria sobre un rango de la tensión de entrada de 1 a 2 décadas.

(b)(a)

-+v

vvv+-

C

Q

Vo+

-Vi

+ R1R

Q

Vo+

-Vi

+R

Figura 13.53: (a) Amplificador logarítmico con transistor. (b) Amplificador loga-rítmico con compensación de frecuencia.

Se puede eliminar el efecto desfavorable de la variabilidad del factor corrección η,reemplazando el diodo D por un transistor Q, como se muestra en la Fig. 13.53(a).Para la corriente de colector con vCB = 0, se cumple la siguiente relación [42]:

iC = αiE = αIES

³evBEVT − 1

´Para vBE > 0

iC ≈ IESevBEVT (13.6.9)

de aquí,

vBE = VT ln

¯iCIES

¯(13.6.10)

Por lo tanto, la tensión de salida del amplificador logarítmico con transistor en laFig. 13.53(a) es

vo = −VT ln¯

viIESR

¯


Como el factor de corrección dependiente de la corriente η no influye más en elresultado, el amplificador logarítmico con transistor puede ser usado sobre un rangoconsiderablemente mayor de tensiones de salida, que el diodo con amplificador lo-garítmico.

Puesto que el transistor Q incrementa la ganancia de lazo por su propia gananciade tensión, el circuito tiende a oscilar. Se puede reducir la ganancia de tensión enel transistor conectando un resistor R1 entre el emisor y la salida del AO, como semuestra en la Fig. 13.53(b). La resistencia R1 no debe, por supuesto, dar lugara saturación de la tensión del AO a tanta corriente de salida como sea posible.El capacitor C puede mejorar aún más la estabilidad del circuito. Se debe notar,sin embargo, que la frecuencia de corte superior decrece proporcionalmente con lacorriente debido a la característica no lineal del transistor.

1vvv+-

+

-

+

-R

C2<>

i iC1

C2

V

+

U2

Q1 Q2

Vo

C1

+

-Vi

+

U1

R2R5

R4

R3R1

Figura 13.54: Amplificador logarítmico compensado térmicamente.

Una desventaja del amplificador logarítmico descrito es su fuerte dependenciade la temperatura. La razón de esto es que, tanto VT como IES, cambian drástica-mente con la temperatura. Para una elevación de temperatura de 20C a 50C, VTincrementa un 10%, mientras que la corriente inversa se incrementa 10 veces. Puedeeliminarse la influencia de la corriente inversa de saturación calculando la diferenciaentre dos logaritmos. Este principio se utiliza en la Fig. 13.54, donde la etapa delamplificador diferencial Q1, Q2 sirve para encontrar el logaritmo.

Con el fin de examinar la operación del circuito, se determinará la distribuciónde la corriente en la etapa del amplificador diferencial. De la ley de tensión deKirchhoff (LVK ),

v1 − vbe2 + vbe1 = 0 (13.6.11)

De aquí

v1 = vbe2 − vbe1 (13.6.12)

Las características de transferencia de los transistores, de acuerdo con las ecuaciones


de Ebers Möll, se pueden escribir como

iC1 = IESevbe1VT , iC2 = IESe

vbe2VT (13.6.13)

y por lo tanto,iC2iC1

= ev1VT (13.6.14)

De la Fig. 13.54, se infieren las ecuaciones adicionales

iC1 =viR1, iC2 =

VRR2

(13.6.15)

v1 =R4

R3 +R4vo =⇒ vo =

µ1 +

R3R4

¶v1 = λv1 (13.6.16)

donde λ = 1 + R3R4.

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (13.6.15) en (13.6.14), se obtiene la ten-sión de salida

vo = −λVT ln¯R2viR1VR

¯(13.6.17)

Se puede notar que IES no aparece en el resultado si los transistores son idénticos,Q1 ≡ Q2. El valor de R5 no aparece en el resultado. Su valor se escoge de modoque la caída de tensión a través de ella sea más pequeña que la máxima elongaciónposible de la tensión de salida del amplificador U2.

Se puede compensar para respuesta frecuencial utilizando los capacitores C1 yC2. La influencia de la temperatura sobre VT se puede compensar haciendo que elresistor R4 tenga un coeficiente de temperatura positivo de 0.3%/K [62].

13.6.2 Amplificador exponencial

-

+<iC

R

Vo

+

U+

-Vi

Q

Figura 13.55: Función de red ex-ponencial simple.

La Fig. 13.55, muestra una red de funciónexponencial la cual tiene un transistor por cuyoemisor se aplica la señal de excitación. Cuando seaplica una tensión negativa a la entrada, la cor-riente que fluye a través del transistor está dadapor la ecuación 13.6.9:

iC = IESevBEVT = IESe

− ViVT

y la tensión de salida es por lo tanto

vo = iCR = RIESe− ViVT para vi < 0

(13.6.18)


Como en el caso del amplificador logarítmico (Fig. 13.54), se puede mejorar laestabilidad frente a la temperatura utilizando un amplificador diferencial. El circuitocorrespondiente se muestra en la Fig. 13.56. De nuevo, de la ecuación (13.6.14)

iC2iC1

= ev1VT

De la Fig. 13.56 se obtienen las siguiente ecuaciones:

iC1 =VRR1, iC2 =

voR2

(13.6.19)

v1 =R4

R3 +R4vi =

1

1 + R3R4

vi =1

λvi (13.6.20)

donde λ se define como antes. Por sustitución se obtiene la tensión de salida

vo =R2VRR1

eviλVT (13.6.21)

+

-R

-

+

1v C2<>

i iC1R2

V

+

-Vi

Vo

+

U2R4

R3Q1 Q2

C1+

U1

R5R1

Figura 13.56: Red de función exponencial compensada térmicamente.

Como en el caso del amplificador logarítmico, IES no aparece en el resultado silos transistores son idénticos, Q1 ≡ Q2. El resistor R5 limita la corriente que fluye através de los transistores T1 y T2, y su resistencia no afecta el resultado hasta tantoel amplificador operacional U2 no esté saturado.

Las redes que generan funciones exponenciales permiten el cálculo de expresionesde la forma

y = eax

puesto que

bax =³eln b

´ax= eax ln b


las funciones exponenciales en cualquier base b se pueden calcular de acuerdo a

y = bax

amplificando la señal de entrada x por el factor lnx y aplicando el resultado a laentrada de una red que realice una función exponencial.

13.6.3 Cálculo de funciones de potencia utilizando logaritmos

El cálculo de expresiones de potencia de la forma

y = xa (13.6.22)

se puede realizar para x > 0 por medio de amplificadores logarítmicos y redes defunción exponencial puesto que,

xa =³elnx

´aea lnx (13.6.23)

El arreglo básico para tal circuito se muestra en la Fig. 13.57. Las ecuaciones

-V ln T VR(- )a VR exp vi

vi

VTvovi

Figura 13.57: Red general para elevar a una potencia.

mencionadas se aplican para la red de función exponencial de la Fig. 13.56 y la redde función logarítmica de la Fig. 13.54, donde R3 = 0, R4 =∞ y R1 = R2. Por lotanto, se obtiene la tensión de salida dada por:

vo = VR e

aVT lnviVR

VT

vo = VR

µviVR

¶a

(13.6.24)

La tensión de salida, en este caso, muestra una excelente estabilidad de temperatura,puesto que se cancela la tensión térmica VT .

La elevación a una potencia por medio de logaritmos está en principio definidasolamente para señales de entrada positivas. Sin embargo, desde un punto de vistamatemático, las señales de entrada bipolares son también permitidas para un grannúmero de exponentes a. Existe una aplicación importante de estos circuitos comodispositivos multiplicadores; esto se verá en el siguiente capítulo.


Problemas

1. Verificar el sistema de ecuaciones (13.3.16).

2. En el circuito de la Fig. 13.10 se tomaron los siguientes valores paramétricos:(a) VR = −2 V, Rf = 56 kΩ, R1 = 27 kΩ, R2 = 22 kΩ. (b) VR = 2 V,Rf = 3.3 kΩ, R1 = 2 kΩ, R2 = 2 kΩ. Encontrar los puntos de quiebre y lasecuaciones de salida.

3. El circuito de la Fig. 13.10 se tomaron los siguientes valores paramétricos: (a)VR = −2 V, Rf = 56 kΩ, R1 = 27 kΩ, R2 = 22 kΩ. Encontrar la tensión desalida y el punto de quiebre. (b) Lo mismo para el caso de VR = 2 V .

4. Demostrar las relaciones (13.3.25).

5. El circuito de la Fig. 13.18 tiene los parámetros definidos como sigue: Rf1 =R1 = R3 = R4 = R5 = R6 = 100 kΩ, Rf2 = 330 kΩ, R2 = 220 kΩ. Determinarla ecuación de salida y el punto de quiebre para los siguientes casos: (a)VR1 = −1 V , VR2 = −1 V , (b) VR1 = 2 V , VR2 = −2 V , (c) VR1 = −2 V ,VR2 = 5 V , (d) VR1 = −2 V , VR2 = −3 V .


+

-Vi

Vo

Diodos Zener

+R

Figura 13.58: Circuito limitador con diodos Zener.

7. Los valores paramétricos del circuito limitador de la Fig. 13.21 están dadospor los siguientes datos: R = 10 kΩ, Rf = 10 kΩ, R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ,VR = 10 V . Se supone un diodo de Si con Vγ = 0.7 V . Encontrar la respuestadel sistema indicando las pendientes m1 y m2, y el punto de quiebre.

8. Determinar las características de transferencia dc del circuito de la Fig. 13.58.Los diodos Zener tienen una tensión inversa de ruptura de 6.2 V y una re-sistencia dinámica de cero en la región de ruptura. En la dirección directa,VBE(on) = 0.6 V .


9. Para el circuito de la Fig. 13.59.

(a) Encontrar las características de transferencia.

Vo100 Hz

-2/2V

-5V

-10V

10V+

4k

1k

5k

5k

Figura 13.59: Circuito limitador.

(b) Dibujar las formas de onda de salida en el tiempo y en el plano de fase.

10. Determinar y graficar las características de transferencia del circuito de la Fig.13.60. (a) Vref = −5 V , (b) Vref = 5 V .

/3

ref

Vo

V

200 Hz

-2/2V+

R

R

R

Rm

Figura 13.60: Circuito limitador.

11. Circuito multiplicador.

(a) Realizar el diseño y montaje de un circuito multiplicador por segmentosde recta, como el de la Fig. 13.45.

(b) Trazar las figuras de Lissajous para diferentes relaciones de frecuencia.

12. Realizar, utilizando el método de aproximación por líneas rectas, las siguientesfunciones:


(a) f(x) = 2x3

(b) f(x) = 2x2 + 3x+ 1

(c) f(x) = x3 − 2x2

(d) f(x) = (x+ 1)(x2 − x+ 1)

(e) f(x) = x4 − 1(f) f(x) = x4 + 4

13. Realizar, utilizando el método de aproximación por líneas rectas, las siguientesfunciones:

(a) f(x) = 30.2x, −6 ≤ x ≤ 7(b) f(x) = 2−x

2, −3 ≤ x ≤ 3

(c) f(x) = e−14(x−1)2 , −4 ≤ x ≤ 6

(d) f(x) = 0.2 cosh(0.8x), −5 ≤ x ≤ 5

14. Repetir el problema anterior para las siguientes funciones:

(a) f(x) =√x (Sugerencia: usar un multiplicador más un AO.)

(b) f(x, y) =px2 + y2

(c) f(x, y) =p(x− 1)2 + (y − 2)2

(d) f(x, y, z) =px2 + y2 + z2

Capítulo 14

Aplicaciones no Lineales

14.1 Introducción

En este capítulo se estudiará un cierto tipo de redes que permiten modelar sistemasdinámicos que conducen a funciones no lineales. En la primera parte se realizará elanálisis de los dispositivos multiplicadores de uno, dos y cuatro cuadrantes. En lasegunda parte se tratará el análisis y síntesis de redes que representan funciones nolineales y que eventualmente conducen a un proceso caótico. Finalmente se desarrollala implementación del oscilador de Chua utilizando varios circuitos electrónicos conAO, los cuales permiten un montaje simple y de gran robustez para estos sistemas.

14.2 Multiplicadores analógicos

14.2.1 Tipos de multiplicadores

La multiplicación de dos señales analógicas es una función muy importante dentrodel diseño de sistemas de control, así como en transmisores y receptores de comu-nicaciones. Los multiplicadores analógicos se utilizan también en la computaciónanalógica, en la que, configurados adecuadamente, además de la multiplicación dedos señales pueden realizar la división y la raíz cuadrada. Otros campos de aplicaciónson el ajuste de curvas, la linealización de transductores y una extensa variedad defunciones controladas por voltaje.

La multiplicación de dos señales en el tiempo puede conseguirse de muy diversasformas. La multiplicación de dos señales se puede realizar pasando la suma de dichasseñales por un dispositivo no lineal. La salida de dicho dispositivo contiene, ademásdel producto de las dos señales, una serie de términos denominados productos deintermodulación. A estos dispositivos se les denominan multiplicadores no lineales.Cuando lo que se pretende multiplicar es una señal cualquiera por una portadora

493

494 CAPÍTULO 14. APLICACIONES NO LINEALES

Tabla 14.1: Clasificación de los multiplicadores

Polaridad delas señales

Forma de suprimirlos productos deintermodulación

Forma de realizarla multiplicación

Un cuadrante Simples No linealesDos cuadrantes Balanceados ConmutadosCuatro cuadrantes Doblemente balanceados Analógicos

senoidal (lo que ocurre generalmente en los sistemas de comunicación), la multi-plicación se puede realizar mediante una operación de conmutación y un posteriorfiltrado. Esta operación de conmutación puede realizarse con un simple diodo. Aeste tipo de multiplicadores se les denomina multiplicadores conmutados. Por úl-timo, existen otros tipos de circuitos en los que el dispositivo responde produciendouna salida proporcional al producto de dos señales de entrada y que se denominanmultiplicadores analógicos. Los multiplicadores analógicos se pueden construir uti-lizando amplificadores logarítmicos y antilogarítmicos o simples amplificadores, enlos que una de las señales varía la ganancia del amplificador y la otra constituye laentrada al amplificador. Otra clasificación de los multiplicadores se realiza teniendoen cuenta la forma de suprimir los productos de intermodulación no deseados, dela señal de salida. Se denominan simples a aquellos en los que la eliminación delos productos de intermodulación se realiza por filtrado y balanceados a aquellosque mediante la suma y la resta de las señales producidas por circuitos simétricosconsiguen la cancelación. Por otro lado, se denominan multiplicadores de cuatrocuadrantes a aquellos que aceptan entradas de ambas polaridades y conservan lapolaridad correcta en la señal de salida. Los multiplicadores de dos cuadrantes sonaquellos que requieren que una de las entradas sea unipolar y por último los de uncuadrante requieren que las dos entradas que van a ser multiplicadas sean unipolares.En la Tabla 14.1, se tiene un resumen de algunos tipos de multiplicadores.

Para un multiplicador ideal la señal de salida vendrá dada por la expresión

vo = kv1v2 (14.2.1)

y el multiplicador suele diseñarse para que la constante k valga 1/10 [V−1], de talforma que si la máxima variación permitida para las señales de entrada es ±10 V,la señal de salida también variará en el mismo intervalo.

La respuesta de un multiplicador se especifica en términos de precisión y nolinealidad. Precisión representa la máxima desviación de la salida del multiplicadorde su valor ideal dado por la ecuación (14.2.1). A esta desviación se le conoce comoerror total. La no linealidad representa la máxima desviación de la señal de salida

14.2. MULTIPLICADORES ANALÓGICOS 495

de la línea recta que mejor ajuste la curva de transferencia de voltaje (VTC ) delmultiplicador, cuando una entrada es fija y la otra recorre todo el rango permitidopara las señales de entrada, usualmente ±10 V. Ambos, precisión y no linealidad, sesuelen expresar en porcentajes de la máxima excursión de la señal de salida.

Existen otros factores importantes en la respuesta de un multiplicador analógico,tales como:

• El ancho de banda de pequeña señal, definido como la frecuencia a la cualla salida del multiplicador está 3 dB por debajo de la salida esperada a bajafrecuencia.

• El ancho de banda de un 1% de error absoluto dado por la frecuencia, a partirde la cual, la magnitud del voltaje de salida empieza a desviarse un 1% de suvalor a baja frecuencia.

En el tema que se desarrolla a continuación se estudia la construcción de multi-plicadores analógicos de un cuadrante utilizando redes logarítmicas y exponenciales,de dos cuadrantes con OTA y AOs y con un simple par diferencial en emisor común.Posteriormente, se desarrollan circuitos más elaborados construidos a partir del pardiferencial y destinados a mejorar la linealidad de su respuesta. El hecho de que enesta sección se estudien los multiplicadores construidos a partir de transistores bipo-lares se debe a que estos permiten obtener de forma muy directa la multiplicaciónentre las dos señales de entrada como consecuencia de la respuesta exponencial delos mismos. Esto permite que el diseño de los multiplicadores sea muy intuitivodesde el principio, cosa que no ocurriría con las expresiones que se obtendrían deldiseño de multiplicadores a partir de transistores MOS. A pesar de todo, el diseñode estos circuitos es muy similar en cuanto a topología y, por ejemplo, la linealidadque se obtiene del diseño con MOS es superior a la obtenida con el diseño a partirde transistores bipolares.

14.2.2 Multiplicadores con redes de función logarítmica

La multiplicación y la división se pueden reducir a una suma y a una sustración delogaritmos:

xy

z= exp [lnx+ ln y − ln z] (14.2.2)

La función se puede implementar usando tres amplificadores logarítmicos, una redde función exponencial y un amplificador sumador. Sin embargo, el problema puedeser resuelto en una forma más elegante usando la red de función logarítmica de laFig. 13.54 y la red de función exponencial de la Fig. 13.56, considerando el hechode que el terminal para la tensión de referencia se puede utilizar como una entradaadicional para otra señal.


El circuito de la Fig. 14.1 se ha construido conectando el circuito de la Fig.13.54 como etapa de entrada y el circuito de la Fig. 13.56, como etapa de salida.Se tomaron los siguientes valores paramétricos para la etapa de entrada: R1 = R2,R4 →∞, R3 = 0, vi = vz y VR = vy. Entonces λ = 1 y la salida de la primera etapaes

vo1 = −VT ln¯vzvy

¯

C2<>

i iC1

ii> <

-

+

+

-

C3 C4

+

-Vy

+

-Vx

Vo

+

U3+

-Vz

C3

Vo1

Q4Q3

+

U4

C2

+

U2

Q1 Q2

C1+

U1

R1 R6R2

R2

R5R1

Figura 14.1: Multiplicación con función logarítmica y exponencial.

Ahora se aplica la tensión vo1 a la entrada de la red de función exponencial dela Fig. 14.1, en la cual se han tomado los valores paramétricos como se definieronpara el amplificador logarítmico, pero en este caso se escoge VR = vx. Con estosparámetros se obtiene la tensión de salida

vo = vxe− ln vz

vy = vxeln

vyvz

o sea

vo =vxvyvz

(14.2.3)

No es necesario adicionar compensación de temperatura porque la tensión VT secancela.

Una desventaja inherente de este método es que todas las tensiones de entradadeben ser positivas y no pueden caer a cero. Por esta razón tales multiplicadores sedenominan multiplicadores de un cuadrante.


14.2.3 Multiplicadores de dos cuadrantes con OTA

El OTA se puede utilizar como un multiplicador de dos cuadrantes, puesto queposee una entrada adicional para control, como se estudió en el Capítulo 12. Latransconductancia del OTA está dada por la ecuación (12.1.5), la cual se repite aquípara facilidad de observación

gm =IB2VT

=20

VIB

Nótese que en esta ecuación, la admitacia gm es función lineal de la corrientede polarización IB, la cual permite programar la ganancia de transconductanciay es constante para las aplicaciones convencionales. Puesto que se tiene acceso

+

-vo

+

-v1

+

-v2

R1

R2 R3

R4

AO2

OTAAO1

ib

io

Q

ve

Figura 14.2: Multiplicador de dos cuadrantes utilizando un OTA y dos AOs.

a este parámetro desde fuera del dispositivo, es posible que en lugar de excitarcon una fuente de corriente constante, se inyecte una corriente proveniente de unafuente alterna (una señal variable). La Fig. 14.2 ilustra el uso de un OTA comomultiplicador. El AO1 es un convertidor corriente—tensión, con salida dada por

vo = −R4io (14.2.4)

pero, de acuerdo a la definición de un OTA, según la ecuación (12.1.9),

io = −gmv1 = −20

Vibv1 (14.2.5)

Reemplazando (14.2.5) en (14.2.4)

vo =20

VR4v1ib (14.2.6)


Si R2 À R1 y en el transistor Q, hfe À 1, se puede escribir

ib ≈ −veR3

(14.2.7)

La corriente a través de R1 debe ser igual a la corriente a través de R2, por lo que

ve = −R2R1

v2 (14.2.8)

Sustituyendo la ecuación (14.2.8) para ve en (14.2.7) se obtiene

ib =R2v2R1R3

(14.2.9)

La función de transferencia del multiplicador OTA de dos cuadrantes, se obtienepor sustitución de la expresión (14.2.9) en (14.2.6)

vo =20

V

R2R4R1R3

v1v2 (14.2.10)

Nótese que la tensión v2 debe ser positiva y en un límite definido por las constantesde la ecuación (14.2.10), de modo que ib no exceda los límites definidos para el OTAa ser utilizado.

14.2.4 El par acoplado por emisor como multiplicador

Se denomina par diferencial o par acoplado por emisor (ECP) al circuito de la Fig.14.3. Para el estudio del par diferencial se va a suponer que los transistores Q1 yQ2 son pareados (Q1 ≡ Q2) y polarizados en la zona activa. Sumando las tensiones

iC1 iC2

Q1 Q2vi vi’

IEE

vbe1 vbe2

+ +--

Figura 14.3: Par acoplado por emisor.


alrededor del lazo consistente de las dos tensiones de excitación y las dos caídas detensión en la unión base emisor

vi − vbe1 + vbe2 − vi’ = 0 (14.2.11)

Definiendovid , vi − vi’ = vbe1−vbe2 (14.2.12)

De acuerdo con el modelo de Ebers Möll, definidas en (13.6.13),

vbe1 = VT lniC1IES1

(14.2.13)

vbe2 = VT lniC2IES2

(14.2.14)

Combinando (14.2.12), (14.2.13) y (14.2.14), y suponiendo que IES1 = IES2, seencuentra

iC1iC2

= exp

µvi − vi’VT

¶= exp

µvidVT

¶(14.2.15)

Despejando sucesivamente iC1 e iC2:

iC1 = iC2 exp

µvidVT

¶, iC2 = iC1 exp

µ−vidVT

¶(14.2.16)

Sumando las corrientes de emisor, iE1 + iE2 = IEE, se tiene:

IEE =1

αF(iC1 + iC2) (14.2.17)

Combinando las ecuaciones (14.2.16) y (14.2.17), se obtiene:

iC1 =αF IEE

1 + exp³−vid

VT

´ (14.2.18)

iC2 =αF IEE

1 + exp³vidVT

´ (14.2.19)

Las ecuaciones (14.2.18) y (14.2.19) se pueden combinar para hallar la diferenciaentre las corrientes de salida:

∆iC = iC1 − iC2 =αF IEE

1 + exp³−vid

VT

´ − αF IEE

1 + exp³vidVT

´ == αF IEE

exp³vidVT

´− exp

³−vid

VT

´hexp

³vid2VT

´+ exp

³− vid2VT

´i2


-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-0.2 -0.1 0.1 0.2

IEE

-IEE

ΔIE

vid

Figura 14.4: Característica de transferencia del par acoplado por emisor .

Haciendo diferencia de cuadrados en el numerador y simplificando se obtiene:

∆iC = αF IEEexp

³vid2VT

´− exp

³− vid2VT

´exp

³vid2VT

´+ exp

³− vid2VT

´de donde

∆iC = αF IEE tanh

µvid2VT

¶(14.2.20)

Esta relación se ha graficado en la Fig. 14.4 y muestra que el ECP en sí mismo, puedeutilizarse como un multiplicador primitivo. Asumiendo inicialmente que la tensiónde entrada diferencial vid ¿ VT . Si esto es cierto, se puede utilizar la aproximación

tanh

µvid2VT

¶≈ vid2VT

paravid2VT

¿ 1 (14.2.21)

Entonces (14.2.20) queda

∆iC =αF IEEvid2VT

(14.2.22)

La corriente IEE es realmente la corriente de polarización para el ECP.Con la adición de alguna circuitería, se puede hacer IEE proporcional a una

segunda señal de entrada vi2, como se muestra en la Fig. 14.5. La red inferior,conformada por el resistor R y los transistores Q3 y Q4, constituyen un espejo decorriente en el cual, si Q3 ≡ Q4 (ver Problemas),

Ai =io1ii2=

1

1 + 2hfe

(14.2.23)


vi1 vi1’

vo

io1

Q1 Q2

Q3 Q4

VCC

RC RC

R

vi2

+

-

+ -

vbe4-

vbe3+ +

-

ii2

Figura 14.5: Multiplicador análogo de dos cuadrantes.

pero

ii2 =vi2 − vbe

RAsí se tiene

io1 =1

R³1 + 2

hfe

´(vi2 − vbe) (14.2.24)

Reemplazando (14.2.24) en (14.2.22), donde IEE = io1 se llega a

∆iC =αF

2VT

³1 + 2

hfe

´Rvid(vi2 − vbe) (14.2.25)

La tensión en la salida estará dada por

vo = Rc∆iC =RcαF

2VT

³1 + 2

hfe

´Rvid(vi2 − vbe) (14.2.26)

14.2.5 Mejora de la linealidad del par diferencial

Una de las especificaciones que debe cumplir un multiplicador analógico es la linea-lidad de su respuesta, debido a que la falta de ésta produce distorsión no lineal enla señal de salida. Sin embargo, señales grandes también se pueden acomodar a estemodo de operación de varias formas. Si la construcción de un multiplicador analógicose basa en el diseño de amplificadores diferenciales, se deben buscar configuracionesde éstos, cuya respuesta sea lo más lineal posible. A continuación se estudiarán dosesquemas para la mejora de la linealidad de un par diferencial, los cuales se basanen el uso de resistencias de emisor que juegan el papel de una realimentación.


Uso de realimentación

Una mejora significativa de la linealidad de la respuesta del par diferencial se obtienemediante el uso de realimentación negativa. Esta mejora de la linealidad se lleva acabo a costa de una reducción de la ganancia de tensión del dispositivo. La reali-mentación, como se puede observar en la Fig. 14.6, consiste en utilizar resistenciasen el circuito de emisor. Estas resistencias contrarrestan los cambios producidos enla corriente de salida de los transistores, mediante la variación de la correspondientetensión base emisor, es decir, se trata de un conversor tensión—corriente (ver Sección6.5.1), por lo que la corriente de salida se controla con la tensión de entrada.

-+

--++

be1 be2vv

-

CC

EE

EE

Vo

+

-

V2+

-

V1

V

V

I

ReRe

Q2Q1

RcRc

Figura 14.6: Par acoplado por emisor realimentado.

Para el circuito de la Fig.14.6 se cumple que la tensión diferencial de entradaestá dada por la siguiente expresión,

vd = v1 − v2 ≈ (iC1 − iC2)Re + vbe1 − vbe2 (14.2.27)

que, utilizando las ecuaciones (14.2.13) y (14.2.14), se transforma en:

vd = (iC1 − iC2)Re + VT lniC1IES1

− VT lniC2IES2

(14.2.28)

Si Q1 ≡ Q2, entonces

vd = (iC1 − iC2)Re + VT lniC1iC2

(14.2.29)

Hallando el diferencial total en la ecuación (14.2.28) se obtiene

dvd =∂vd∂iC1

diC1 +∂vd∂iC2

diC2 =

µRe +

VTiC1

¶diC1 −

µRe +

VTiC2

¶diC2 (14.2.30)


y si se hace que las resistencias de emisor se tomen tal que Re >> VT/iC1 y Re >>VT/iC2, la expresión (14.2.30) se transformará en

dvd = Re (diC1 − diC2) (14.2.31)

Puesto que las señales son de la misma especie, se puede escribir la expresión anteriorcomo

iC1 − iC2 = ∆iC =vdRe

(14.2.32)

Comparando esta ecuación con la ecuación (14.2.20) se puede observar la mejorade la linealidad introducida con el uso de las resistencias de emisor. Esta linealidadserá tanto mejor cuanto mayor sea el valor de estas resistencias.

De la ecuación (14.2.32) se puede deducir que la tensión de salida del par dife-rencial realimentado está dada por

vo = −Rc(iC1 − iC2) = −Rc

Revd (14.2.33)

Como en cualquier circuito con realimentación negativa toda las mejoras pro-ducidas por la realimentación, redundan en una reducción drástica en el valor de suganancia que ha pasado a depender del cociente entre las resistencias de colector yde emisor.

Ejemplo 92 Calcular el rango de tensiones de entrada para las cuales la pendientede la curva de transferencia de tensión del par diferencial realimentado se mantienedentro de un 99% de su valor en el origen.

Solución:Por LCK, y la característica de corriente del par diferencial

iC1 + iC2 = αIEE (14.2.34)

Diferenciando la ecuación (14.2.34) se encuentra que diC1 = −diC2, y sustituyendoen la ecuación (14.2.30):

diC1 =dvd

2Re +³1iC1+ 1

iC2

´VT

diC2 = − dvd

2Re +³1iC1+ 1

iC2

´VT

o sea,

diC1 − diC2 =2dvd

2Re +³1iC1+ 1

iC2

´VT

(14.2.35)


De la misma forma, tomando diferenciales para la tensión de salida se llega a:

dvo = −RC(diC1 − diC2) = −2RC

2Re +³1iC1+ 1

iC2

´VT

dvd (14.2.36)

Cuando la tensión diferencial aplicada vd = 0, se obtiene que iC1 = iC2 = αIEE/2.Sustituyendo estos valores en la ecuación (14.2.36), se obtiene que la pendiente de lacurva de transferencia de tensión del par diferencial realimentado en el origen Hoo,viene dada por:

Hoo =dv0dvd

¯vd=0

= − RC

Re +2VTαIEE

(14.2.37)

Esta pendiente se desvía un 1% de su valor en el origen cuando se cumpla que:

− 2RC

2Re +³1iC1+ 1

iC2

´VT

= −0.99 RC

Re +2VTαIEE

(14.2.38)

De la ecuación (14.2.35), iC2 = αIEE − iC1. Sustituyendo este valor en (14.2.38)se llega a la siguiente ecuación:

i2C1 − αIEEiC1 +0.99α2I2EEVT

0.02αReIEE + 4VT= 0

y resolviendo esta ecuación para iC1, da como solución:

iC1 =12αIEE (1± δ) , (14.2.39)

donde

δ =

r1− 3.96VT

0.01αReIEE + 2VT(14.2.40)

Seleccionando el signo positivo para iC1, se obtiene para las corrientes de los colec-tores:

iC1 = 0.5αIEE (1 + δ) , iC2 = 0.5αIEE (1− δ) (14.2.41)

Si se sustituye el valor de estas corrientes en la ecuación (14.2.29) se obtiene queel rango de tensiones de entrada para el cual la linealidad del dispositivo tiene unadesviación menor del 1% es:

vd|99%

= αδReIEE + VT ln

¯1 + δ

1− δ

¯(14.2.42)


Sustituyendo las ecuaciones (14.2.41) en la ecuación (14.2.36), se obtiene la pen-diente para el cambio instantaneo en la señal de entrada, esto es

Ho =dv0dvd

= − RC

1.01Re +VT

αIEE

(14.2.43)

En resumen, si se toma Re lo suficientemente grande, el dispositivo es muy linealdentro de un rango amplio de tensiones y su ganancia de voltaje es aproximadamenteel cociente entre las resistencias de colector y emisor como muestra la ecuación(14.2.33). Nótese que para el caso del ejemplo desarrollado la resistencia de emisortiene un incremento del 1% para mantener la linealidad dentro del 99% deseado.

El par diferencial con predistorsión

A continuación se estudiará un circuito que mediante una predistorsión (compresiónlogarítmica) de la señal de entrada aplicada al par diferencial mejora la linealidad desu respuesta. Esta técnica es muy importante para extender el uso del par acopladopor emisor en aplicaciones de gran señal, particularmente, en la construcción demultiplicadores analógicos. Esta técnica es aconsejable cuando se desee un aumentode la linealidad del par diferencial y no sea conveniente el uso de resistencias derealimentación en los emisores de dicho par, aunque la realimentación sí que puedeestar presente en otras partes del circuito.

El par diferencial con predistorsión se muestra en el circuito de la Fig. 14.7.En dicho circuito se pueden distinguir dos partes; un par diferencial realimentado(transistores Q1 y Q2), que como se vió en la sección anterior tiene una respuestalineal y un transductor (transistores conectados como diodos Q3 y Q4) que aplicala señal de salida de dicho par a otro par que no presenta realimentación. Eneste transductor, los diodos Q3 y Q4 realizan una predistorsión logarítmica de laseñal que compensa la no linealidad provocada por la respuesta exponencial del pardiferencial fomado por los transistores Q5 y Q6. De esta forma, la respuesta delsistema transductor vs par diferencial sin realimentar, será muy lineal.

Aplicando las ecuaciones de Ebers Möll a los transistores Q3 y Q4 se obtienenlas siguientes expresiones para las tensiones que aparecen en la Fig. 14.7:

vo1 = vb − VT lniC1IES

, vo2 = vb − VT lniC2IES

(14.2.44)

La tensión de entrada al par acoplado por emisor formado por los transistoresQ5 y Q6 se puede escribir como:

vod = vo1 − vo2 = −VT lniC1iC2

= VT lniC2iC1

(14.2.45)


IEE1

Q1 Q2

Q3 Q4

Q5 Q6

ic5 ic6

vod

+

vd

vb

+-

IEE2

-VEE

VCC

Rb

Rc

vo

vo2

vo1

+ -

ic1 ic2

Rc

Re Re

Figura 14.7: Par acoplado por emisor con predistorsión y realimentación de emisor.

Por otro lado, aplicando las ecuaciones de Ebers Möll al par diferencial formadopor Q5 y Q6 se obtiene:

iC5iC6

= exp

µvodVT

¶(14.2.46)

Combinando los resultados de las ecuaciones (14.2.45) y (14.2.46) se llega a:

iC5iC6

=iC2iC1

(14.2.47)

Despejando iC5,

iC5 =iC2iC1

iC6 (14.2.48)

La diferencia en las corrientes de salida se dan en forma similar a la ecuación(14.2.20); por lo tanto, sustituyendo en ésta la ecuación (14.2.48) se llega a:

iC5 − iC6 =

µiC2iC1− 1¶iC6 = IEE2 tanh

µvod2VT

¶(14.2.49)

o sea,

iC2 − iC1 =iC1iC6

IEE2 tanh

µvod2VT

¶(14.2.50)


Pero,

IEE2 ≈ iC5 + iC6 =iC2iC1

iC6 + iC6 = (iC2 + iC1)iC6iC1

(14.2.51)

Por lo tanto,

iC2 − iC1 = (iC2 + iC1) tanh

µvod2VT

¶(14.2.52)

Eliminando la función tanh en las ecuaciones (14.2.49) y (14.2.52) se llega a:

iC5 − iC6 =IEE2IEE1

(iC2 − iC1) (14.2.53)

Expresión de la que se puede obtener la tensión de salida,

vo = −Rc(iC5 − iC6) = −RcIEE2IEE1

(iC2 − iC1) (14.2.54)

El término iC5−iC6 no es más que la diferencia entre las corrientes de colector deun par diferencial realimentado formado por los transistores Q5 y Q6. Si se suponeque las resistencias de realimentación se han elegido de valores apropiados, dichotérmino se puede sustituir de acuerdo con la ecuación (14.2.32) para obtener

vo = −RcIEE2ReIEE1

vd (14.2.55)

la cual muestra un comportamiento lineal del par diferencial con predistorsión.El comportamiento lineal, como en el caso anterior, viene impuesto por el uso

de la realimentación. La predistorsión permite, mediante un transductor lineal,conservar la linealidad cuando se desea usar un par diferencial sin realimentar paraproporcionar la tensión de salida del multiplicador.

El análisis de la linealidad del par diferencial con predistorsión es análogo al delpar diferencial realimentado realizado en el Ejemplo 92, obteniendo que el rango devoltajes de entrada para el cual la pendiente de la curva de transferencia de voltajeno se separa más del 1% de su valor inicial viene dado por la expresión (14.2.42) enla que simplemente hay que sustituir la corriente de polarización IEE por la IEE1.

14.2.6 La célula de Gilbert

Los multiplicadores análogos modernos de CI se diseñan para eliminar la restricciónsobre los valores pequeños de las señales de entrada y el número de cuadrantes. Estosdiseños se basan en el circuito de la Fig. 14.8, la cual es una modificación del paracoplado por emisor, y permite multiplicaciones de cuatro cuadrantes. Este circuitofue desarrollado por Gilbert en 1972 y se le suele denominar Célula de Gilbert en la


IEE

Q1 Q2

Q3 Q4 Q5 Q6

ic1 ic2

ic3 ic4 ic5 ic6

ic35 ic46

v1

+

-

v2

+

-

Figura 14.8: Célula de Gilbert básica.

literatura. La célula básica de Gilbert también sufre del hecho de que∆I = Ic35−Ic46es proporcional a los productos de términos no lineales.

En el siguiente análisis se supone que todos los transistores son idénticos y quese puede despreciar su resistencia de salida. Para la célula de Gilbert de la Fig. 14.8las corrientes de colector de Q1 y Q2, utilizando las ecuaciones (14.2.18) y (14.2.19),son

ic1 =IEE

1 + e− v2VT

=IEEe

v22VT

ev22VT + e

− v22VT

(14.2.56)

ic2 =IEE

1 + ev2VT

=IEEe

− v22VT

ev22VT + e

− v22VT

(14.2.57)

Similarmente, las corrientes de colector de Q3, Q4, Q5 y Q6 están dadas por

ic3 =ic1e

v12VT

ev12VT + e

− v12VT

ic4 =ic1e

− v12VT

ev12VT + e

− v12VT

(14.2.58)

ic5 =ic2e

− v12VT

ev12VT + e

− v12VT

ic6 =ic2e

v12VT

ev12VT + e

− v12VT

(14.2.59)

Sustituyendo las ecuaciones (14.2.56) y (14.2.57) en (14.2.58) y (14.2.59) respecti-


vamente, se obtiene:

ic3 =IEEe

v1+v22VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ (14.2.60)

ic4 =IEEe

v2−v12VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ (14.2.61)

ic5 =IEEe

−v1+v22VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ (14.2.62)

ic6 =IEEe

− v2−v12VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ (14.2.63)

La corriente diferencial de salida está dada entonces por

∆ic = ic35 − ic46 = ic3 + ic5 − ic4 − ic6

∆i = IEEev1+v22VT + e

v2−v12VT − e

− v1+v22VT − e

−v2−v12VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ =

= IEEev1+v22VT − e

− v1+v22VT + e

v2−v12VT − e

−v2−v12VT³

ev12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´ =

= IEE

³e

v12VT − e

− v12VT

´³e

v12VT + e

− v12VT

´³e

v22VT − e

− v22VT

´³e

v22VT + e

− v22VT

´o sea,

∆ic = IEE tanh

µv12VT

¶tanh

µv22VT

¶(14.2.64)

La característica de transferencia es, entonces, el producto de las tangentes hiper-bólicas de las dos señales de entrada. Las aplicaciones prácticas de la celda multipli-cadora se pueden dividir en tres categorías de acuerdo a la magnitud relativa de lasseñales aplicadas, respecto de VT . Si las magnitudes de v1 y v2 son pequeñas com-paradas con VT , la función tangente hiperbólica se puede aproximar a una función


lineal y el circuito se comporta como un multiplicador, desarrollando el producto dev1 y v2.

La segunda clase de aplicaciones consiste en la excitación de una de las entradascon una señal mucho mayor que VT , haciendo que los transistores a los cuales esaseñal se inyecta, se comporten como conmutadores en lugar de dispositivos lineales.Esto efectivamente multiplica la señal pequeña aplicada, por una onda cuadrada, eneste modo de operación el circuito actúa como un modulador.

En la tercera clase de aplicaciones, se excitan ambas entradas con señales muchomayores que VT , y todos los seis transistores se comportan como conmutadores nosaturados. Este modo de operación es útil para la detección de diferencias de faseentre dos señales limitadas en amplitud, como se requiere en los PLL, y a veces sedenomina modo detector de fase [21].

Se considerará la aplicación del circuito como un multiplicador análogo de señalescontinuas.

La celda de Gilbert como multiplicador análogo

La función tangente hiperbólica se puede representar por la serie infinita

tanh θ = θ − θ3

3+

θ5

5(14.2.65)

Si θ ¿ 1, la tangente hiperbólica se puede aproximar por

tanh θ ≈ θ (14.2.66)

Aplicando esta relación a la ecuación (14.2.64), se tiene

∆ic ≈IEE4V 2T

v1v2 v1, v2 ¿ VT (14.2.67)

Así, para señales de amplitud pequeña, el circuito realiza una multiplicaciónanáloga. Se desprende claramente que la ecuación (14.2.67) es solo válida paratensiones de entrada muy pequeñas, del orden de los mV para cada una de ellas.Desafortunadamente, para el procedimiento, las amplitudes de las señales son amenudo mucho mayores que VT , por lo cual se requieren métodos para mejorar lalinealidad en la respuesta de la señal.

Un enfoque alternativo es introducir una no linealidad que predistorsione lasseñales de entrada para compensar las características de tangente hiperbólica de lacélula básica de Gilbert. La linealidad requerida es una tangente hiperbólica inversacomo la red de la Fig. 14.7, analizada más arriba.

Un circuito completo para el multiplicador se puede observar en la Fig. 14.9,el cual se obtiene a partir de la célula de Gilbert de la Fig. 14.8. En éste se han


VEE

VCC

Q3 Q4 Q5 Q6 Q9 Q10

Q1

Q11

Q12 Q13 Q14 Q15

Q2 Q7 Q8

ic1

IeIe IeIe

ic2 ic7 ic8

Iref

v1

vo

vd

v2

+

+

+

+

- -

-

Rc Rc

Re Rm Rm

Re

RdRd Rd

Rd Rf

Re Re

Rb Rr

Figura 14.9: Multiplicador completo utilizando la célula de Gilbert y circuitos depredistorsión.

incluido resistencias de realimentación en el par Q1 −Q2 para mejorar la respuestalineal ante la entrada v1, la cual se consigue mediante la distorsión discutida en elcircuito de la Fig. 14.6. Se ha utilizado predistorsión (red conformada por Q7, Q8,y Q9, Q10), para aplicar la señal de entrada v2 a los pares Q3 −Q4 y Q5 −Q6. Endicho circuito también aparece la implementación de las fuentes de corriente la cualestá elaborada de acuerdo al modelo de Widlar, donde, si el β de los transistores essuficientemente grande,

Ie ≈Rd

RfIref (14.2.68)

Con la corriente de referencia dada por

Iref =VCC + VEE − VBEQ15

Rr +Rf(14.2.69)

Ahora, aplicando la ecuación (14.2.32) a los pares diferenciales realimentadosQ1−Q2


y Q7 −Q8, se obtiene que:

iC1 − iC2 ∼=2v1Re1

(14.2.70)

iC8 − iC7 ∼=2v2Re1

(14.2.71)

dondeRe1 = 2Re +Rm (14.2.72)

y aplicando la ecuación (14.2.52) queda que:

iC8 − iC7 = 2Ie tanh

µvd2VT

¶(14.2.73)

Por otro lado, la tensión de salida se obtiene como

vo = −Rc(iC3 + iC5) +Rc(iC4 + iC6) = −Rc [(iC3 − iC4)− (iC6 − iC5)] =

= −Rc

∙iC1 tanh

µvd2VT

¶− iC2 tanh

µvd2VT

¶¸o sea,

vo = −Rc(iC1 − iC2) tanh

µvd2VT

¶(14.2.74)

Eliminando el término tanh en las ecuaciones (14.2.73) y (14.2.74), se llega a que:

vo = −Rc

2Ie(iC1 − iC2) (iC8 − iC7) (14.2.75)

y utilizando las ecuaciones (14.2.70) y (14.2.71) se obtiene una expresión final parala tensión de salida en función de las tensiones de entrada:

v0 = −2Rc

R2e1Iev1v2 = Kv1v2 (14.2.76)

Dos ejemplos típicos y populares de multiplicadores integrados monolíticos queobedecen a la estructura de la Fig. 14.9, son el AD534L (Analog Devices) y elMPY 100 (Burr—Brown). Los componentes de los multiplicadores suelen escogersepara que el valor de la constante K de la ecuación (14.2.76) sea de 0.1V −1.

14.3 Aplicación a dinámica no lineal

En esta sección se presenta un método de síntesis de circuitos para simular sistemascon dinámica no lineal, la cual está dada por ecuaciones diferenciales no lineales.

14.3. APLICACIÓN A DINÁMICA NO LINEAL 513

Esto es, se efectúa la realización de las ecuaciones diferenciales utilizando elementosanálogos lineales y no lineales, los cuales están disponibles comercialmente.

Se presenta una aproximación a la síntesis de circuitos electrónicos para la si-mulación de sistemas dinámicos no lineales. Como es bien sabido, las redes eléc-tricas lineales se desarrollan con base a elementos y dispositivos de respuesta linealque se encuentran relacionados a cinco clases básicas de dispositivos: resistenciaslineales, inductores lineales, condensadores lineales, transformadores lineales y gi-radores. Para el caso de las redes no lineales, los elementos básicos están contenidosen cuatro clases a saber: resistores no lineales, inductancias no lineales, conden-sadores no lineales y memristores. Esta última clase fue presentada por L. Chua en1971, siendo aceptada como un estándar. Los desarrollos realizados por L. Chuahan dado un impulso vital al estudio de los sistemas no lineales, la bifurcación y elcaos. En esta sección se buscará sintetizar un circuito que ha sido referencia pri-maria para el estudio del caos en sistemas electrónicos desde finales de la década delos 90’s. Para el aspecto correspondiente a una aplicación se escogió el diseño deloscilador de Chua.

Se utiliza varios tipos de elementos de circuitos para construir redes no lineales,las cuales se desarrollaron en las últimas décadas.

14.3.1 Aspectos básicos

Considérese el sistema no linealx = f(x) (14.3.1)

donde x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn y f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))

T es una apli-cación no lineal sobre Rn. El sistema no lineal (14.3.1) se puede realizar de manerarelativamente simple, utilizando dos clases de elementos de circuitos, capacitoreslineales Cj y fuentes controladas como se muestra en la Fig. 14.10. La dinámica delos capacitores Cj está dada por

Cjdvjdt

= ij j = 1, 2, . . . , n (14.3.2)

y se hace Cj = 1. Las características de las fuentes controladas están dadas por

ij = fj(v1, v2, . . . , vn), j = 1, 2, . . . , n (14.3.3)

Así, se tiene

dvjdt

= ij = fj(v1, v2, . . . , vn), j = 1, 2, . . . , n (14.3.4)

y por lo tanto,dv

dt= f(v) (14.3.5)


f1( )v

i1

C1 v1

f2( )v

i2

C2 v2

fn( )v

in

Cn vn

v = (v ,v ,...,v )1 2 n

. .....

Figura 14.10: Realización del sistema no lineal.

donde v = (v1, v2, . . . , vn)T y f(v) = (f1(v), f2(v), . . . , fn(v))T . Por consiguiente, elproblema de la síntesis del circuito se reduce al problema de la realización de fuentescontroladas.

14.3.2 Elementos básicos de circuitos

Como los dispositivos básicos de circuitos tales como, resistores lineales, inductoresy capacitores se consiguen comercialmente, aquí se mostrarán algunos otros impor-tantes elementos de circuitos.

Fuentes controladas

La variable controlada usualmente es una tensión o una corriente. Se define a con-tinuación una clase especial de fuentes controladas:

• Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS). Aquella cuya tensión desalida es dependiente de una tensión de control; esto se denota por vo = f(vi).

• Fuente de tensión controlada por corriente (CCVS). Aquella cuya tensión desalida es dependiente de una corriente de control; esto se denota por vo = f(ii).


vi vi vo

ii

ii vo

ii

ii

io

vivi

io

( )a ( )b

( )c ( )d

Figura 14.11: Convertidores (a) Convertidor tensión — tensión, (b) Convertidorco-rriente — tensión, (c) Convertidor corriente — corriente, (d) Convertidor tensión— corriente.

• Fuente de corriente controlada por corriente (CCCS). Aquella cuya corriente desalida es dependiente de una corriente de control; esto se denota por io = f(ii).

• Fuente de corriente controlada por tensión (VCCS). Aquella cuya corriente desalida es dependiente de una tensión de control; esto se denota por io = f(vi).

Como un caso especial de las fuentes controladas, se puede definir: (a) un con-vertidor tensión — tensión vo = vi, (b) un convertidor corriente — tensión vo = ii, (c)un convertidor corriente — corriente io = ii, (d) un convertidor tensión — corrienteio = vi (ver Fig. 14.11).

Nótese que estos elementos básicos tienen cierta redundancia. Esto es, si sepuede realizar uno de los cuatro tipos de fuentes controladas, entonces todas lasotras fuentes controladas se pueden realizar combinando con tres clases de elementosde circuitos, es decir, convertidores de corriente a tensión, convertidores de tensióna corriente y una fuente controlada.

Otra importante clase de fuente controlada es un circuito de aislamiento (buffer),el cual está caracterizado por vo = vi, ii = 0. Este sirve para aislar el circuito externoconectado a los terminales de salida de modo que no se transfiera ninguna corrienteproveniente del circuito conectado a los terminales de entrada. Es equivalente a unconvertidor tensión — tensión.


Diodos de Chua

Definición 3 Si un resistor de dos terminales es caracterizado por una curva dife-rente a una línea recta que pasa por el origen, recibe el nombre de resistor no linealo diodo de Chua.

v v=g(i)

i=f(v) i

( )a ( )bb

Figura 14.12: Símbolo para eldiodo de Chua.

Se tienen dos tipos de diodos de Chua:

(a) Un diodo de Chua controlado por tensión, elcual se caracteriza por la relación i = f(v),

(b) Un diodo de Chua controlado por corriente, elcual se caracteriza por la relación v = g(i).

Los diodos de Chua pueden ser consideradoscomo fuentes de corriente controladas por tensiónpara el tipo (a) o como fuentes de tensión contro-ladas por corriente para el tipo (b). El símbolo parael diodo de Chua se muestra en la Fig. 14.12.

Convertidores de impedancia negativa

Hay otros tipos importantes de elementos de circuitos, los cuales realizan ciertastransformaciones. Ellos son llamados convertidores de impedancia negativa coninversión de tensión (VNIC ) y convertidores de impedancia negativa con inversiónde corriente (INIC ). El VNIC se caracteriza por∙

v1i1

¸=

∙−1 00 −1

¸ ∙v2i2

¸= −I

∙v2i2

¸(14.3.6)

y el INIC se caracteriza por∙v1i1

¸=

∙1 00 1

¸ ∙v2i2

¸= I

∙v2i2

¸(14.3.7)

donde I es la matriz identidad.El VNIC tiene el efecto de reflejar una curva característica v− i alrededor del eje

vertical. El INIC tiene el efecto de reflejar una curva característica v − i alrededordel eje horizontal. Si un diodo de Chua con característica i = f(v) se conecta alpuerto de salida de un VNIC, la nueva curva v1 − i1 será un resistor no lineal concaracterística i = −f(v). El INIC tiene la misma capacidad que el VNIC paratransformar un diodo de Chua con característica v = f(i) en un resistor no linealv = −f(i). Más aún, si un capacitor lineal con dinámica C(dv/dt) = i o un inductorlineal con dinámica L(di/dt) = v se conecta al puerto de salida de un VNIC o unINIC, entonces se obtiene un capacitor negativo con dinámica −C(dv/dt) = i o uninductor negativo con dinámica −L(di/dt) = v, respectivamente.


14.3.3 Realización de elementos de circuitos

( ) ( )

ioii

+ +++

----

a b

R

R

vi vo

RR

ii io

vi vo

Figura 14.13: Diagrama esquemático de (a) un VNIC, (b) un INIC.

A continuación se mostrará la realización de elementos básicos de circuitos uti-lizando dispositivos análogos disponibles comercialmente.

Convertidores de impedancia negativa

vi vo

RR

ii io

vi vo

R

R

ii io

( )a ( )b

R C L

( )c

Figura 14.14: Diagramas esquemáticos del circuito para un resistor negativo, un capacitornegativo y un inductor negativo. (a) VNIC. (b) INIC. (c) Elementos de circuito, los cualesrealizan un resistor negativo, un capacitor negativo y un inductor negativo.

Los AOs son ampliamente usados para realizar los convertidores de impedancianegativa VNIC e INIC, como se muestra en la Fig. 14.13. Nótese que un terminalde los convertidores de impedancia negativa se conecta al terminal común (la tierra).


Se pueden hacer flotantes usando fuentes de alimentación independientes para cadaAO.

Resistores, capacitores e inductores negativos

Los resistores, capacitores e inductores negativos se pueden realizar utilizando losVNIC e INIC. Los diagramas de los circuitos se muestran en la Fig. 14.14. Ob-sérvese que al menos uno de los terminales se conecta al terminal común o tierra.Este problema se evita usando, cuando se requiere, resistores negativos, capacitoresnegativos e inductores negativos flotantes (ver Fig. 14.15), o fuentes de alimentaciónindependientes para cada AO.

( )c

( )a ( )b

R C L

R R R Rvi vo

ii io

R R R Rvi vo

ii io

Figura 14.15: Diagramas esquemáticos de los circuitos para resistor, capacitor e inductorflotantes, (a y b) Se dispone de dos clases de circuitos flotantes. (c) Elementos de circuitos,los cuales realizan un resistor, un capacitor o un inductor flotantes.

Convertidores y circuitos aisladores

Los AOs son los dispositivos más convenientes para realizar convertidores tensión—corriente, corriente—tensión y los circuitos de aislamiento (buffer).

Los circuitos para construir estos elementos se muestran en la Fig. 14.16. Nóteseque al menos uno de los terminales se conecta al terminal común o tierra. Se puedenhacer flotantes usando fuentes de alimentación independientes para cada AO.


vi vo

RR

ii io

( )a

RR

R’

vi vo

ii io

( )b

vi v = iR’o i

RR

ii io

( )c

R

R

R’

Figura 14.16: Diagrama esquemático de (a) un convertidor tensión — corriente, (b)un buffer, (c) un convertidor corriente — tensión.

No linealidades polinomiales

Los bloques de construcción electrónicos son los multiplicadores, los divisores ylos sumadores. Combinando estos elementos básicos, se pueden realizar funcionesracionales o polinomiales

fj(v) = bjmvm + bj(m−1)v

m−1 + · · ·+ bj1v + bj0 (14.3.8)

fj(v) =bjmv

m + bj(m−1)vm−1 + · · ·+ bj1v + bj0

ajnvn + aj(n−1)vn−1 + · · ·+ aj1v + aj0(14.3.9)

Los multiplicadores se realizan de la forma estudiada antes, aunque ya exis-ten muchos en forma de circuito integrado, tales como: AD632, AD633, AD532 oAD533.

Puesto que los bloques de construcción electrónicos producen salida de tensión,se requieren convertidores tensión—corriente para realizar la fuente de corriente con-trolada por tensión. Nótese que las no linealidades de variable múltiple, se puedenrealizar por el mismo método.

fj(v) =X

ajk1k2···knvk1vk2 · · · vknn (14.3.10)

o

fj(v) =

Pbjk1k2···knv

k1vk2 · · · vknnPajk1k2···knv

k1vk2 · · · vknn(14.3.11)

Aquí, ajk1k2···kn y bjk1k2···kn , son constantes.


14.3.4 Convertidores generales de impedancia

Cuando se construyen circuitos electrónicos no lineales, es a menudo difícil encon-trar dispositivos análogos con valores paramétricos ideales. Para este propósito, esútil el convertidor general de impedancia (GIC ). Este dispositivo puede producirinductores ideales, capacitores ideales, etc., cuyos valores paramétricos se calibranajustando las resistencias asociadas en la red GIC.

vi

ii

Z1 Z2

Z3 Z4 Z5

Figura 14.17: Circuito convertidor general de impedancia.

La impedancia Z(s) del circuito de la Fig. 14.17 está dada por la ecuación (verSección 9.7)

Z(s) =Z1(s)Z3(s)Z5(s)

Z2(s)Z4(s)(14.3.12)

Por ejemplo, si se hace Z1 = R1, Z2 = R2, Z3 = R3, Z4 = 1/C4s, y Z5 = R5, seobtendrá el inductor ideal con la impedancia dada por la ecuación:

Z(s) =R1R3R5C4

R2s = Ls (14.3.13)

donde

L =R1R3R5C4

R2(14.3.14)

De manera similar, haciendo Z1 = R1, Z2 = R2, Z3 = R3, Z4 = R4, y Z5 =1/C5s, se obtendrá un capacitor ideal con impedancia dada por la ecuación:

Z(s) =R1R3

C5R2R4s=

1

Ces(14.3.15)

donde

Ce =C5R2R4R1R3

(14.3.16)


Además, haciendo Z1 = 1/C1s, Z2 = R2, Z3 = R3, Z4 = R4 y Z5 = 1/C5s,se obtendrá una resistencia negativa, dependiente de la frecuencia, con impedanciadada por la relación:

Z(s) =R3

s2C1C5R2R4=

1

αs2(14.3.17)

donde

α =C1C5R2R4

R3(14.3.18)

Entonces, su dinámica estará dada por la ecuación:

ad2v

dt2= i (14.3.19)

Z1 Z2

Z3 Z4 Z5

Z1Z2

Z3Z4

Figura 14.18: Diagrama esquemático de un GIC flotante.

Similarmente, se pueden realizar elementos con la siguientes dinámicas:

adnv

dtn= i (14.3.20)

admi

dtm= v (14.3.21)

donde n y m son enteros positivos. Si n,m > 5, se pueden realizar combinandovarios GIC s. Más aún, se puede realizar una impedancia Z(s), tal como

Z(s) =1

(as+ b)n, Z(s) =

sl

(as+ b)n, (14.3.22)

Z(s) = (as+ b)m, Z(s) =sk

(as+ b)m, (14.3.23)

donde k, l,m y n son enteros. Sus dinámicas están dadas porµad

dt+ b

¶n

v = i,

µad

dt+ b

¶n

v =dli

dtl(14.3.24)


y µad

dt+ b

¶m

i = v,

µad

dt+ b

¶m

i =dkv

dtk(14.3.25)

respectivamente.Nótese que uno de los terminales del GIC está conectado al terminal común. Este

problema se puede evitar, cuando se requiera, utilizando el GIC en modo flotante,tal como se puede ver en la Fig. 14.18.

i1

C1 v1

i2

C2 v2

in

Cn vn

v = ( )v ,v ,...,v1 2 n

i =-f ( )R1 1 v

i =-f ( )R2 2 v

i =-f ( )Rn n v

Figura 14.19: Realización de un sistema no lineal con base a los diodos de Chua.

14.3.5 Síntesis de sistemas no lineales

Considérese el sistemadx

dt= f(x) (14.3.26)

donde x = (x1, x2, . . . , xn)T y f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))

T . Para el sistema(14.3.26), hay tres clases de realizaciones posibles [70], [11]: (a) usando diodos deChua, (b) usando fuentes controladas y (c) usando fuentes de tensión controladas.La Fig. 14.19 ilustra la realización más básica, la cual utiliza capacitores lineales y


diodos de Chua, es decir,iRj = −fj(v) (14.3.27)

Se podrá realizar la síntesis de un sistema particular utilizando diodos de Chua,si éstos se pueden construir con las características prescritas arbitrariamente dadaspor la ecuación (14.3.27). Sin embargo, a menudo es difícil realizar un diodo de Chuacon no linealidades muy complicadas. En este caso se debe aplicar otro enfoque, v.gr., los métodos de síntesis con fuentes controladas (ver [30]).

Las fuentes controladas de la forma vo = f(vi) se pueden realizar, como ya seplanteó, utilizando multiplicadores, divisores y sumadores. Las fuentes de corrientecontroladas por tensión con no linealidades predefinidas, se sintetizan combinandoen cascada una fuente de tensión controlada por tensión y un convertidor tensión —corriente.

La aplicación lineal a tramos, entonces está dada por

f(v) =Xk

³ek||Akv + dk||+Akv + dk

´(14.3.28)

donde ||v|| = (|v1|, |v2|, . . . , |vn|, )T , Ak = [akij ] son matrices n × n, ek = ±1 ydk = (dk1, d

k2, . . . , d

kn)

T son constantes. Por lo tanto, la característica corriente —tensión i = f(v) se realiza utilizando tres clases de dispositivos: fuentes de tensióncontroladas por tensión vo = h(vi), resistores lineales a tramos de dos segmentoscaracterizados por i = k(vo) y convertidores corriente a corriente. Nótese que sedeben determinar las aplicaciones k(·) y h(·) tales que f = k(h(·)), y así poderobtener i = k(vo) = k(h(vi)) = f(v), donde v = vi. Así, se establece el siguienteteorema [30]:

Teorema 2 Considérese el sistema no lineal

dx

dt= f(x),

donde f(x) es una aplicación polinomial o una aplicación lineal a tramos. Entonces,el sistema se puede realizar usando capacitores lineales, resistores lineales, fuentesde tensión controladas por tensión, resistores lineales a tramos de dos segmentos(diodos de Chua) y convertidores.

14.3.6 Síntesis de aplicaciones lineales

Con el fin de obtener circuitos más prácticos, se considerará la realización de la partelineal del sistema, utilizando algunos dispositivos lineales y circuitos aisladores.


vk vj

ajk-1

-ajk-1

Figura 14.20: Realización de la ecuación dxj/dt = ajkxk.

Descomposición

Primero, se descompone la aplicación f(x) en dos clases; una lineal Ax y una nolineal g(x). Así, el sistema no lineal (14.3.26) se describe como

dx

dt= f(x) = Ax+ g(x) (14.3.29)

o equivalentemente,

v1

vj

aj1-1

Rv2

aj2-1

vn

ajn-1

g vj( )

R = a-1 Σ jkj=1

n

Figura 14.21: Realización de la j−ésima ecuación.

⎡⎢⎢⎢⎣x1x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎢⎣

g1(x)g2(x)...

gn(x)

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.3.30)


donde A = [aij ] es la matriz n×n y g(x) = f(x)−Ax = (g1(x), g2(x), . . . , gn(x))T .A continuación, se sintetiza el sistema (14.3.30) utilizando varios dispositivos

lineales. La dinámica de la ecuación xj = ajkxk se puede construir con el circuitode la Fig. 14.20. Por lo tanto, se puede realizar la j —ésima ecuación de (14.3.30):

xj = aj1x1 + aj2x2 + · · ·+ ajnxn + g(x) (14.3.31)

utilizando el circuito de la Fig. 14.21. Nótese que el término no lineal gi(x) esrealizado por el método dado en la subsección anterior.

Circuitos equivalentes

En este apartado, se simplifica el circuito sintetizado utilizando un circuito equi-valente. Dos circuitos N1 y N2 son equivalentes si pueden ser conectados en formaintercambiable a un circuito N escogido arbitrariamente, sin afectar los valores delas tensiones y las corrientes dentro de N .

aij-1

aji-1

aij-1

Figura 14.22: Circuito equivalente en caso de simetría, aij = aji.

Simetría Si aij = aji para algún i y j, entonces los circuitos aisladores pueden sersuprimidos y el circuito es intercambiado por un resistor con una resistencia igual aa−1ij como se muestra en la Fig. 14.22.

Circuitos LCR Un circuito como el de la Fig. 14.23 se puede intercambiar conuna red LC o (LCR).

Circuito abierto Si los resistores a−1ij y −a−1ij se conectan en paralelo, entoncesse suprimen como se muestra en la Fig. 14.24.


-1

1-11 1 1

11

R R-1

-1

1-11 1 1

-1

1-11 1

1

11

-1

1-11 1 1 1 1

( )a ( )b

( )c

Figura 14.23: Circuitos equivalentes a redes LCR. (a) Circuitos equivalentes con dinámica:x1 = x2, x2 = −x1. (b) Circuitos equivalentes con dinámica: x1 = x2, x2 = −x1 − x2.(c) Circuitos equivalentes con dinámica: x1 = x2 + x3, x2 = −x1, x3 = −x1. (Según[30]).

aij-1

-aij-1 Abierto

Figura 14.24: Circuito equivalente a una red abierta.

Síntesis clásica de circuitos

A continuación, se realizará la parte lineal del sistema (14.3.30) utilizando síntesisclásica de circuitos. Primero, se reescribe la ecuación (14.3.30) en la forma siguiente:

i = v −Av (14.3.32)

i = g(v) (14.3.33)

La transformada de Laplace de (14.3.32) está dada por

i(s) = (sI−A)v(s) (14.3.34)

14.4. REALIZACIÓN DE ECUACIONES DE SISTEMAS NO LINEALES 527

donde I es la matriz unitaria. En seguida, se define la matriz de admitancia Y(s)como sigue:

Y(s) , i(s)v(s)−1 = sI−A (14.3.35)

donde, Y(s) = [yij(s)] es una matriz n× n.

v1

vj

-yj1

yv2

-yj2

vn

-yjn

i = g (v)j j

y = y Σ jkj=1

n

v1

vj

aj1-1

Rv2

aj2-1

vn

ajn-1

g (v)j

R = - a-1 Σ jkj=1

n

Cj

Figura 14.25: Realización de la j−ésima ecuación: (a) Realización de la admitancia Y (s).(b) Los elementos yij(s) se realizan utilizando un capacitor y resistores. (Según [30]).

Se sabe bien que si la matriz Y(s) = sI − A es de una red pasiva, la partelineal del sistema se puede realizar usando resistores lineales, inductores lineales,capacitores lineales, transformadores lineales y giradores. Hoy en día, la pasividadno es una condición importante, puesto que se puede realizar fácilmente resistores,capacitores e inductores negativos. Entonces, la realización de Y(s) está tambiéndada por la Fig. 14.25.

14.4 Realización de ecuaciones de sistemas no lineales

Considérese la ecuación diferencial implícita:

h(x, x(1), x(2), . . . , x(n+1)) = 0 (14.4.1)

donde x(n) = dnx/dtn. Aquí, se supone que x(n+1) se puede resolver como:

x(n+1) = k(x, x(1), x(2), . . . , x(n)) (14.4.2)


Entonces, el sistema (14.4.2) se puede reescribir de la forma⎡⎢⎢⎢⎣x1x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎣0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0.......... . .

...0 0 0 · · · 1

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...xn

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.4.3)

xn+1 = k(x1, x2, . . . , xn, xn+1)

Nótese que hay varios modos de transformar el sistema (14.4.2) en un sistema deecuaciones diferenciales. Por ejemplo, haciendo⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...

xn+1

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 · · · 0 0p11 p12 · · · p1n p1(n+1)...

.... . .

......

pn1 pn2 · · · pnn pn(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x(0)

x(1)

...x(n)

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.4.4)

o equivalentemente⎡⎢⎢⎢⎣x(0)

x(1)

...x(n)

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 · · · 0 0q11 q12 · · · q1n q1(n+1)...

.... . .

......

qn1 qn2 · · · qnn qn(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...

xn+1

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.4.5)

se obtiene⎡⎢⎢⎢⎣x1x2...

xn+1

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 · · · 0 0p11 p12 · · · p1n p1(n+1)...

.... . .

......

pn1 pn2 · · · pnn pn(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x(1)

x(2)

...x(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.4.6)

donde P = [pij ] es una matriz n × n y Q = [qij ] = P−1. Sustituyendo la ecuación

(14.4.5) en la ecuación (14.4.6), se obtiene la siguiente expresión:⎡⎢⎢⎢⎣x1x2...

xn+1

⎤⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎣1 0 · · · 0p11 p12 · · · p1(n+1)...

.... . .

...pn1 pn2 · · · pn(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣1 0 · · · 0q11 q12 · · · q1(n+1)...

.... . .

...qn1 qn2 · · · qn(n+1)

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

x1x2...

k(x)

⎤⎥⎥⎥⎦ (14.4.7)

donde

k(x) = k(x1, x2, . . . , xn) , k(x(0), x(1), x(2), . . . , x(n)) = k(x1,X

q1jxj , . . . ,X

qnjxj)

(14.4.8)


Por lo tanto, el sistema (14.4.2) se puede transformar en un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias equivalentes, si se escoge una matriz adecuada P con unainversa Q

¡= P−1

¢. Esto implica que hay varias realizaciones circuitales.

Ejemplo 93 Resolver, gráficamente, el sistema de ecuaciones diferenciales

x0 = y − x3

y0 = −x− y3

Solución: A continuación se plantea el código realizado en Matlab:

Figura 14.26: Solución gráfica de una ecuación diferencial no lineal.

function f% Solucion de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales

% Caso particular

% x’=y-x^3% y’=-x-y^3

clear all; close all; clc;[t,y]=ode45(@fx,[0,60],[0.5,0.5]) % Soluciona el sist. de ec. dif.subplot(1,2,1);plot(t,y);gridtitle(’Respuesta en el tiempo’)


legend(’x’,’y’)subplot(1,2,2);plot(y(:,1),y(:,2),’r’,’LineWidth’,1.2); % Grafica en el plano de fasexlabel(’x’)ylabel(’y’)title(’Respuesta en el plano de fase’)gridfunction f = fx(t,y)

f = zeros(2,1); % Inicializa vector columnaf(1) = y(2)-y(1)^3; % Primera ecuacionf(2) = -y(1)-y(2)^3; % Segunda ecuacion

Las gráficas correspondientes se muestran en la Fig. 14.26. La realización cir-cuital se hace empleando el método del capítulo 4. Puesto que se trata de dosecuaciones diferenciales, hay dos sumadores, uno por cada ecuación, seguidos porel integrador correspondiente. El procedimiento de diseño es el mismo para amboscasos.

.IC1V

.IC-1V

+

+

+

+

6.8k

20k

20k

20k

20k

20k

20k

A

Figura 14.27: Circuito correspondiente a la solución de un sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales.

Para la realización del primer sumador se toma la ecuación diferencial

x0 = y − x3

Aplicando el procedimiento de diseño se tiene

A = 1, B = 1 =⇒ AT = 1− 1− 1 = −1 < 0


Por lo tanto,



Rf ≥ κZi = 2× 10 kΩ = 20 kΩ → Rf = 20 kΩ

R0 =Rf

−AT= 20 kΩ → R0 = 20 kΩ

0 10 20 30 40 50 60

Xa: 0.000 Xb: 0.000 Yc: 1.200 Yd:-1.200

a-b: 0.000 c-d: 2.400

freq: 0.00

Ref=Ground X=10/Div

Y=voltage

d

cba

A

B

Figura 14.28: Respuesta en el tiempo del sistema de ecuaciones diferenciales imple-mentada con una red electrónica.

R1 =Rf

1= 20 kΩ

R1 =Rf

1= 20 kΩ → R1 = 20 kΩ.

De igual manera para el segundo sumador: Se toma la ecuación diferencial

y0 = −x− y3

Aplicando el procedimiento de diseño se obtiene

A = 0, B = 2 =⇒ AT = 0− 2− 1 = −3 < 0


Figura 14.29: Respuesta en el plano de fase del sistema de ecuaciones diferencialesno lineales implementadas con una red electrónica.

Por lo tanto,


Si se toma Zi =203 kΩ, entonces

Rf ≥ κZi = 3×20

3kΩ = 20 kΩ → Rf = 20 kΩ

R0 =Rf

−AT= 6.667 kΩ → R0 = 6.8 kΩ

R1 =Rf

1= 20 kΩ → R1 = 20 kΩ

R2 =Rf

1= 20 kΩ → R2 = 20 kΩ.

El integrador es igual al realizado en el Capítulo 4. Los sumadores se muestranen el circuito de la Fig. 14.27. En las Figs. 14.28 y 14.29, se puede observar larespuesta obtenida en el simulador Pspice, tanto en el tiempo como en el planode fase. Compárese con las respuestas correspondientes obtenidas en Matlab. Enesta red no se han implementado los elementos multiplicadores como circuitos, sino


como funciones. Queda como ejercicio al lector, el diseño e implementación de lared correspondiente.

Como un caso especial de (14.4.2), considérese el sistema

andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ · · ·+ a1

dx

dt+ a0x = f(x) (14.4.9)

y el sistema más complicado

andnx

dtn+an−1

dn−1x

dtn−1+ · · ·+a0x = f

µbm

dmx

dtm+ bm−1

dm−1x

dtm−1+ · · ·+ b0x

¶(14.4.10)

Estos sistemas se pueden realizar utilizando el método desarrollado antes [30].A continuación, se aplican técnicas clásicas de síntesis de circuitos para estos

sistemas [28]. Por este método, primero se realiza la parte lineal de los sistemasusando la impedancia Z(s) o la admitancia Y (s). Entonces, se realizan los diodosde Chua usando varios elementos de circuitos.

Para el sistema (14.4.9), la admitancia Y (s) y la impedancia Z(s) tienen la forma

Y (s) = ansn + an−1s

n−1 + · · ·+ a1s+ a0, (14.4.11)

Z(s) =1

ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0, (14.4.12)

si se hace

v(t) = x, (14.4.13)

i(t) = andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ · · ·+ a1

dx

dt+ a0x, (14.4.14)

además, la característica v − i del diodo de Chua estará dada por1

i(t) = −f(v(t)). (14.4.15)

Para el sistema (14.4.10), la admitancia Y (s) y la impedancia Z(s) tienen laforma

Y (s) =ans

n + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0

, (14.4.16)

Z(s) =bms

m + bm−1sm−1 + · · ·+ b1s+ b0ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a1s+ a0

, (14.4.17)

1La dirección de referencia de la corriente en los diodos de Chua se escogen de acuerdo a lasnormas establecidas en teoría de circuitos.


Z(s)=Z (s)+Z (s)+Z (s)+ +Z (s)1 2 3 n

Y(s)=Y (s)+Y (s)+Y (s)+ +Y (s)1 2 3 n

Y(s)=Y (s)+1

Y (s)3Z (s)4

Y (s)5

Z (s)2

...

...

...Y(s)

Z (s)2Z (s)1

Z(s)

Y(s) Y (s)nY (s)3Y (s)2

Z (s)3 Z (s)n

+

++

11

11

...+

( )a

( )b

( )c

Z (s)2Y (s)3

Z (s)4Y (s)5Y (s)1

...

...

...

Figura 14.30: Realización de una admitancia Y (s) y de una impedancia Z(s). (a) y (b)Realización de la suma de fracciones parciales. (c) Realización de una fracción continua.

si se hace

v(t) = bmdmx

dtm+ bm−1

dm−1x

dtm−1+ · · ·+ b1

dx

dt+ b0x, (14.4.18)

i(t) = andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ · · ·+ a1

dx

dt+ a0x, (14.4.19)

y la característica v − i del diodo de Chua estará dada por

i(t) = −f(v(t)) (14.4.20)

La impedancia Z(s) y la admitancia Y (s) se pueden realizar expandiendo lasfunciones en una suma de fracciones parciales o en fracciones continuas [28], [46]:

G(s) =X

Gj(s), (14.4.21)

oG(s) = G1(s) +

1

G2 +1

G3(s) +1

G4 + · · ·

(14.4.22)

14.5. REALIZACIÓN CIRCUITAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES 535

Tabla 14.2: Realización de los elementos z(s) y y(s).

Circuito zj(s) yj(s)

j1 j2g ggj1s+ g12

1

gj1s+ g12

j1

j2

g

g

1

gj1s+ g12gj1s+ g12

donde G(s) denota Z(s) o Y (s), y Gj(s) = gj1s+ gj2 o 1/(gj1s+ gj2) (gj1 y gj2 sonconstantes). Ver Fig. 14.30.

El elemento Gj en (14.4.21) o (14.4.22), se realiza utilizando inductores, capa-citores y resistores lineales como se muestra en la Tabla 14.2. Nótese que estasexpansiones no son únicas, puesto que se puede escoger algunas gj1 ó gj2 como 0(ver [28]). Por lo tanto, se pueden realizar con circuitos diferentes pero equivalentes.

14.5 Realización circuital de ecuaciones diferenciales

Ahora se estudiará un problema de síntesis de circuitos cuya dinámica está dada porecuaciones diferenciales. Se trata del oscilador de Chua, el cual tiene mucha impor-tancia en el estudio de los procesos dinámicos que conducen a un comportamientocaótico.

14.5.1 Oscilador de Chua

El oscilador de Chua, constituye un sistema dinámico no lineal caótico, el cual se havuelto un paradigma de la teoría del caos, debido a la variedad de comportamientosque eventualmente pueden conducir a procesos de bifurcación.

Considérese el sistema dado por [36]

x = α(y − x− f(x))

y = x− y + z (14.5.1)

z = −β(y + γz)

donde f(x) = bx + 0.5(a − b)(|x+ 1| − |x− 1|), y α, β, γ, a y b, son parámetros.Primero se reescribe el sistema (14.5.1) y el término no lineal en la forma⎡⎣ α−1 0 0

0 1 00 0 −β−1

⎤⎦⎡⎣ xyz

⎤⎦ =⎡⎣ −1 1 0

1 −1 10 1 γ

⎤⎦⎡⎣ xyz

⎤⎦+⎡⎣ −f(x)0

0

⎤⎦ (14.5.2)


y

f(x) = 0.5(a− b)[x+ 1 + |x+ 1|] + [x− 1− |x− 1|]+ (2b− a)x (14.5.3)

Entonces, el sistema (14.5.1) se puede realizar por medio de los circuitos de las

1

1

1

1

γ-1 1

α-1

β-1

v1

i1

v2

i2

v3

i3

-1

v

i = -f v( )

1

1

1

-1

1 -1

1 -2

γ-1 1

α-1

β-1

v1

i1

v2

i2

v3

i3

1

v

i = -f v( )

(a) (b)

Figura 14.31: Realización del oscilador de Chua. (a) El circuito no lineal se realizadirectamente de la ecuación del sistema. (b) Se eliminan los resistores conectados en paralelode valor −1 y 1. Los 2 resistores con resistencia de 1 y −2 se intercambian con un resistorde resistencia −1. Se eliminan los buffers, y el subcircuito se intercambia con un resistor devalor 1.

Figs. 14.31 y 14.32. Esto es, se puede construir directamente el sistema no lineal,a partir de la ecuación (14.5.2) [Fig. 14.31(a)]. Puesto que aparecen resistores conresistencia de −1 Ω y 1 Ω conectados en paralelo, entonces se pueden suprimir. Dosresistores con resistencia de 1 Ω y −2 Ω se intercambian con el resistor de resistencia−1 Ω. Ahora, los buffers se pueden suprimir y el circuito es intercambiado con unaresistencia de 1 Ω. En seguida, una parte del circuito realizado se intercambia conel circuito LCR equivalente (ver Fig. 14.31(b)), para obtener un circuito no linealsimplificado (ver Fig. 14.32(b)).

Ahora, se realizará el sistema utilizando síntesis clásica de circuitos. El sistemade ecuaciones (14.5.1), se puede escribir como [28]

...z+(α+ βγ + 1) z+β (1 + γ + αγ) z+αβz = αβf

∙− 1β(z + (βγ + 1)z + β(γ + 1)z)

¸


1

1

γ

α−1

β−1

v1

i1

v2

i2

v3

i3

v

i = -f(v)

1

γ

β−1i1

v3

i3

v

i = -f(v)

1 v2

i2

α−1 v1

( )a ( )b

Figura 14.32: Realización del oscilador de Chua. (a) Parte del circuito realizado seintercambia con el circuito equivalente LCR. (b) Realización de la admitancia Y (s).

Por lo tanto, haciendo primero

v(t) =1

β(z + (βγ + 1)z + β(γ + 1)z) (14.5.4)

i(t) =1

αβ[...z + (α+ βγ + 1) z + β (1 + γ + αγ) z + αβz] (14.5.5)

i(t) = f(−v(t)) = −f(v(t)) (14.5.6)

Entonces, la admitancia Y (s) se puede dar como

Y (s) = Li(t) [Lv(t)]−1 = s3 + (α+ βγ + 1) s2 + β (1 + γ + αγ) s+ αβ

α[s2 + (βγ + 1)s+ β(γ + 1)](14.5.7)

A partir de la ecuación (14.5.7) se puede realizar la función Y (s), expandiendo laecuación en fracciones continuas [46]:

Y (s) = s+1

1 +1

s+1

s

β+ γ

(14.5.8)

La admitancia se puede entonces realizar, con el circuito de la Fig. 14.32. Puestoque Y (s) tiene diferentes clases de expansiones, puede existir un número apreciablede circuitos equivalentes. Ver [28] para más detalles.


14.5.2 Realización práctica del oscilador de Chua

Se han presentado varios métodos para sintetizar circuitos no lineales. Sin embargo,se puede esperar que hay una gran dificultad en la construcción de estos circuitos,debido a que se han utilizado capacitores con capacitancia normalizada de 1 [F ]como elementos básicos. A continuación, se hará el estudio de la realización delsistema, usando elementos más prácticos. Se trabajará con el oscilador de Chua,puesto que ha servido como referencia primaria en el estudio de caos en sistemaselectrónicos.

Considérese de nuevo la dinámica del oscilador de Chua definido como

x = α(y − x− f(x))

y = x− y + z (14.5.9)

z = −β(y + γz)

donde f(x) = bx+0.5(a−b)(|x+ 1|− |x− 1|), y α = 10, β = 10, γ = 0.45, a = −1.22y b = −0.7634.

Haciendo

t = κ−1τ , x = η−1v1

y = η−1v2, z = η−1σ−1i

donde κ, η y σ son factores de escala del tiempo τ , las tensiones v1, v2 y la corrientei, respectivamente. Sustituyendo en (14.5.9), se obtiene:

κα−1η−1dv1dτ

= η−1v2 − η−1v1 − f(η−1v1)

κη−1dv2dτ

= η−1v1 − η−1v2 + η−1σ−1i

κη−1σ−1di

dτ= −βη−1v2 + γη−1σ−1i

o sea

α−1κσdv1dτ

= σ(v2 − v1)− ησf(η−1v1)

κσdv2dτ

= σ(v1 − v2) + i (14.5.10)

β−1κσ−1di

dτ= −v2 + β−1γσ−1i

y

g(v1) = ησf(η−1v1) = ησ[bη−1v1 + 0.5(a− b)(¯η−1v1 + 1

¯−¯η−1v1 − 1

¯)] =

= ησ[bη−1v1 + 0.5(a− b)η−1(|v1 + η|− |v1 − η|)]


es decir,g(v1) = [bσv1 + 0.5(aσ − bσ)(|v1 + η|− |v1 − η|)] (14.5.11)

Redefiniendo los parámetros en (14.5.10) y en (14.5.11), se llega finalmente a

C1dv1dτ

= σ(v2 − v1)− g(v1)

C2dv2dτ

= σ(v1 − v2) + i (14.5.12)

Ldi

dτ= −v2 − ri

donde

C1 = α−1κσ, C2 = κσ, L = β−1κσ−1,

r = β−1γσ−1, Ga = aσ, Gb = bσ, (14.5.13)

g(v1) = Gbv1 + 0.5(Ga −Gb)(|v1 + η|− |v1 − η|)

Una vez obtenida la estructura paramétrica, las ecuaciones diferenciales (14.5.12),se pueden implementar utilizando varias estrategias. Se hará inicialmente la rea-lización, utilizando un método directo para la estructura LCR, seguida de un ele-mento no lineal, el diodo de Chua, el cual se construye a partir de resistores negativosimplementados con AOs.

Otro método emplea el hecho de que un circuito de Chua puede descomponersefísicamente en un oscilador sinusoidal, acoplado a un resistor no lineal controladopor tensión (el diodo de Chua) [17].

Montaje directo

v

iR1

R2

R3

R1-1 R3

-1

R1-1

-Vsat −η

Vsatη

i

v

η = R V3 sat

R +R2 3

( )a ( )b

Figura 14.33: Convertidor de impedancia negativa. (a) Diagrama circuital. (b)Característica i− v de la resistencia negativa.


Tomando los parámetros κ y σ como sigue:

κ =√2× 10−4, σ =

√2

2× 10−3

se obtiene

C1 = α−1κσ = 10 nF , C2 = κσ = 100 nF , G = σ

r = β−1γσ−1 = 0.45×√2× 102 = 63.64 Ω

Ga = aσ = −1.22×√2

2× 10−3 = 0.86267 mS

Gb = bσ = −0.734×√2

2× 10−3 = −0.51902 mS

L = β−1κσ−1 = 0.1×√2× 10−4 × 1

√22 × 10−3

= 20 mH

v

i R1

R2

R3

R4

R5

R6

Gb

Ga

−ηη

i

v

η = R V5 sat

R +R5 6

Gb

G = - R - Ra 3 6-1 -1

G = - R + Rb 3 4-1 -1

( )a ( )b

Figura 14.34: Conexión de dos resistores lineales en paralelo. (a) Circuito, (b)relación i− v.

El oscilador de Chua de la Fig. 14.32(b), está dividido en dos partes: una parteno lineal conformada por el diodo Chua y el resto del circuito, que está conformadopor elementos lineales: dos capacitores, dos resistores y un inductor.

El diodo de Chua se realiza utilizando un convertidor de impedancia negativa(NIC ), (ver Sección 4.3). Considérese el circuito de la Fig. 14.33(a). La caracterís-tica i − v de la resistencia negativa se ilustra en la Fig. 14.33(b). Ésta consiste detres segmentos, puesto que un AO tiene regiones de saturación. Entonces, el diodode Chua se puede construir, conectando en paralelo dos resistores lineales de tressegmentos cada uno, como se muestra en la Fig. 14.34. Para simplificar el diseño se


hacen cumplir las siguientes relaciones:

R6VsatR5 +R6

¿ R3VsatR2 +R3

(14.5.14)

R1 = R2 (14.5.15)

R4 = R5 (14.5.16)

c1

- -

++

VVc2

R1

r

C1C2

L

+ +TL084

R6

R7

R8R9

R5

R4

Figura 14.35: Diagrama final del oscilador de Chua.

Ahora, aplicando la ecuación (4.3.3), se tienen las relaciones

− 1

R3− 1

R6= −0.86267× 10−3 (14.5.17)

− 1

R3+1

R4= −0.51902× 10−3 (14.5.18)

0.000ms 2.500ms 5.000ms 7.500ms 10.00ms 12.50ms

10.00 V

5.000 V

0.000 V

-5.000 V

-10.00 V

A: u1c_10

Figura 14.36: Oscilaciones caóticas en el tiempo.

Haciendo R4 = 22 kΩ, R1 = 220 Ω y asumiendo una polarización VCC = ±15 V ,se tendrá una tensión de saturación Vsat ≈ 14 V . Con estos datos se obtiene

R3 ≈ 1772 Ω, R6 ≈ 3360 Ω, Bp ≈ 1.85 V (14.5.19)


10nF

+

TL084

+

TL084

100nF 10nF +TL084

+

2k

7.5k

1k

7.5k

63.4 220

2203.3k

22k

22k

1770

1.41k A

Figura 14.37: Circuito esquemático del oscilador de Chua.

Finalmente, se hace el parámetro

η =R6VsatR5 +R6

≈ 1.85 (14.5.20)

y así quedan determinados todos los parámetros. En la Fig. 14.35 se muestran losvalores finales de éstos, los cuales se han utilizado para efectos experimentales.

Figura 14.38: I zquierda: Respuesta en el espacio defase del oscilador de Chua. Derecha: Imagen fotográfica,tal como se aprecia en un osciloscopio.

Una dificultad que surgeen el montaje del sistema, esla construcción de la bobina,dado su tamaño. En generalserá de valor alto en la ma-yoría de los casos. Para evitareste problema, es más prác-tico construir el sistema sinuna bobina real, sino más biencon una red RC que la susti-tuya. El circuito de Anto-niou es apropiado en este caso,como se puede ver en la Fig.14.18 y cuya equivalencia conla reactancia inductiva se daen la ecuación (14.3.14). Sustituyendo el inductor L en la red de la Fig. 14.35 porsu equivalente circuital definido en la Fig. 14.18, se obtiene el sistema de la Fig.14.37, donde se ve claramente la topología resultante.

En la Fig. 14.36 se puede ver la respuesta temporal del sistema, obsérvese que setrata de oscilaciones sostenidas en cortos intervalos de tiempo, las cuales permanen-temente conmutan a valores positivos y negativos en el plano. La respuesta en elespacio de fase se muestra en la Fig. 14.38, parte izquierda, donde también observan


las conmutaciones a valores positivos y negativos, respectivamente. También en lamisma figura, parte derecha, se aprecia la respuesta obtenida en el osciloscopio, delcircuito de Chua montado en el laboratorio2.

Montaje con osciladores sinusoidales

A continuación se hará la síntesis del oscilador de Chua utilizando redes osciladoraslineales para sustituir la red reactiva inductiva. Inicialmente se estudiará el caso dela red con oscilador en puente de Wien y luego el oscilador en puente doble T.

P

C1

+

47nF

C2

+

C22pF

+

R2200

10k Ra

Rb

20k

R1R6

R

1.8k

R7

R8R9

R5

R4

Figura 14.39: Oscilador de Chua con red osciladora lineal en puente de Wien.

Montaje con oscilador en puente de Wien. En este apartado, se utilizará unoscilador en puente de Wien para reemplazar el circuito correspondiente al inductor ysu resistencia interna. Dicho sistema se muestra en la Fig. 14.39, donde claramentese muestran las partes constitutivas [17]. Como es bien sabido, la ganancia delamplificador en el caso del oscilador de puente de Wien está dada por (ver subsección7.2.2)

μ = 1 +Rb

Ra= 3

Las oscilaciones sinusoidales se sostienen si el valor de μ es ligeramente mayor que3, por lo tanto, se ha tomado el valor de Req = Rb + P = 20.5.

Haciendo el equivalente, como se muestra en la Fig. 14.40, se obtienen las ecua-ciones de corriente. Aplicando la LCK :

i1 + iR + id = 0

CdvCdt

+vC − (vC1 + μvC2)

R+ id = 0

2Proyecto realizado en el Laboratorio de Investigación y Desarrollo en Electrónica y Robótica(LIDER), UTP.


R

i1

id i3

i2

C1vC1

μvC2 C2vC2

v =o

C vC

R1

R2

i4 i5

iR

Figura 14.40: Circuito equivalente del oscilador de Chua.

entonces

CdvCdt

= −vC − vC1 − μvC2R

− id (14.5.21)

También,

i2 − iR − i3 = 0

C1dvC1dt− vC − (vC1 − μvC2)

R− vC2 − (vC1 + μvC2)

R1= 0

C1dvC1dt− vC − vC1 − μvC2

R+

vC1 + (μ− 1)vC2R1

= 0

o sea

C1dvC1dt

=1

RvC −

µ1

R+1

R1

¶vC1 −

µμ

R+

μ− 1R1

¶vC2 (14.5.22)

Finalmente, de la Fig. 14.40, se obtiene:

i3 + i4 + i5 = 0

vC2 − (vC1 + μvC2)

R1+

vC2R2

+ C2dvC2dt

= 0

de donde,

C2dvC2dt

=vC1R1

+

µμ− 1R1

− 1

R2

¶vC2 (14.5.23)

La corriente id corresponde a la función generada por el diodo de Chua, es decir,el resistor no lineal, la cual está modelada por (ver ecuación (14.5.13))

id = g(vC) = GbvC + 0.5(Ga −Gb)(|vC + η|− |vC − η|) (14.5.24)

donde Ga y Gb son las pendientes de la característica i − v en los segmentos derecta internos y externos, respectivamente y ±η son los puntos de quiebre (ver Fig.14.34(b)).


Figura 14.41: Respuesta en el espacio de fase del oscilador de Chua utilizando unoscilador lineal de puente de Wien.

La simulación en el espacio de fase, correspondiente a la Fig. 14.39, se muestraen la Fig. 14.41. Los valores de los componentes son los indicados en las Figs. 14.37y 14.39.

Montaje con oscilador en puente doble T . Se sabe que un oscilador sinusoidalRC de componentes mínimos, está constituido por dos capacitores y dos resistores.Así, la mayoría de los osciladores sinusoidales son sistemas de segundo orden. Eloscilador en puente doble T es uno de los pocos osciladores sinusoidales de tercerorden que se conocen [17].

c

-

--

-

++

+

+

c3

c2c1 VV

V

V

+ +

C

+

C3

C2C1

R6

R7

R8

R9

R5

R4R

RbRaR3

R2R1

Figura 14.42: Oscilador de Chua con red de oscilación de tercer orden en puentedoble T.


Un montaje de la configuración general del oscilador de Chua de la Fig. 14.32(b),usando el oscilador en puente doble T , se muestra en la Fig. 14.42. En éste seha utilizado como amplificador un AO en modo no inversor y con ganancia μ =1 +Rb/Ra. También se ha escogido un puente simétrico de modo que

R1 = R2 = 2R3 y C1 = C2 =C32

(14.5.25)

0.000ms 1.000ms 2.000ms 3.000ms 4.000ms 5.000ms

5.000 V

3.000 V

1.000 V

-1.000 V

-3.000 V

-5.000 V

A: u2b_5

Figura 14.43: Respuesta en el tiempo del oscilador de Chua con puente doble T.

Aplicando la LCK, como en el caso del sistema con el oscilador en puente deWien, se llega a las siguientes ecuaciones del circuito [17]:

C1dvC1dt

= C2dvC2dt− (1− μ)vC1 − μvC2

R3(14.5.26)

C2dvC2dt

=(μ− 1)(vC1 + vC2) + vC3

R2(14.5.27)

C3dvC3dt

= −C2dvC2dt− μ(vC1 + vC2) + vC3

R1− id (14.5.28)

CdvCdt

= −vCR− id (14.5.29)

donde id está dado por la ecuación (14.5.24) con

vd = μ(vC1 + vC2) + vC3 + vC (14.5.30)

A continuación se relacionan los valores numéricos utilizados para la simulacióndel sistema: R1 = R2 = 1 kΩ, R3 = 500 Ω, C1 = C2 = 5 nF , C3 = 10 nF , Ra = 10kΩ, Rb = 220 Ω, R = 1.8 kΩ, C = 750 pF . Los valores para el diodo de Chua sonlos siguientes: R4 = R5 = R7 = R8 = 22 kΩ, R6 = R9 = 3.3 kΩ.


En la Fig. 14.43, se muestra la respuesta en el tiempo del circuito de Chua.Obsérvese que en este caso se generan oscilaciones subamortiguadas en el tiempo,antes de realizar la conmutación al otro estado. La gráfica correspondiente al espaciode fase se puede apreciar en la Fig. 14.44.

Figura 14.44: Trayectoria del oscilador de Chua con puente doble T.

14.5.3 Estimación de la frecuencia de oscilación

Cuando la señal producida por un oscilador caótico se acerca a una forma sinusoidal,la potencia de salida se concentra en una simple componente frecuencial centradacerca a la frecuencia de operación del oscilador sinusoidal (ωos). Cuando el circuitoes perturbado hacia su región de operación caótica, la potencia se propaga a máscomponentes de frecuencia, tanto por encima como por debajo de la frecuenciacentral de oscilación. La forma linealizada del circuito de Chua (ver Fig. 14.35) estádada por

s3 + a2s2 + a2s+ ao = 0 (14.5.31)

donde

a2 =1

R1C2+1 +R1Gi

R1C1

a1 =1

LC2+

Gi

R1C1C2(14.5.32)

a0 =1 +R1Gi

LR1C1C2

En el segmento interno de la no linealidad, Gi = Ga, mientras que en los segmentosexternos, Gi = Gb (ver Fig. 14.34). En consecuencia, el rango estimado de frecuencia


cubierto por el espectro de la señal generada está dado por

ω0 =√a1 =

1√LC2

r1 +

LGi

R1C1(14.5.33)

Ahora, considérese la sustitución del inductor con su emulación activa RC. Eneste caso se puede escribir L = R20C0, donde R0 y C0 se escogen arbitrariamente.Seleccionando C0 = C2, la ecuación (14.5.33) se puede escribir de la forma

ω0 = ωos

r1 + βi

εrεc

i = 1, 2 (14.5.34)

donde

ωos =1

R0C0, β1 = GbR0, β2GaR0, εr =

R0R1, εc =

C1C0

(14.5.35)

A partir de la ecuación (14.5.34), se puede estimar el rango de frecuencia cubiertopor el espectro de la señal generada desde una implementación RC del circuito deChua [17].

Para efectos didácticos, a continuación se da un ejemplo de la solución con he-rramientas computacionales de una ecuación diferencial no lineal. En la primeraparte se realiza el análisis con Matlab; en la segunda, la implementación con circuitoselectrónicos.

Problemas

1. Verificar, utilizando el equivalente híbrido correspondiente, la relación (14.2.23).



4. Verificar la ecuación (14.2.64).

5. Verificar la expresión (14.2.76).

6. Verificar la relación (14.3.15).

7. Verificar la relación (14.5.7).

8. Encontrar una realización para el sistema dado por [66]

x = −x,y = 1− x2 − y2,


1

β−1

v3

i3

v

i = -f(v)

α−1

1

v2

i2 i1

v1δ−1

Figura 14.45: Realización del oscilador canónico de Chua.

9. Verificar el conjunto de ecuaciones (14.5.26) a (14.5.30).

10. Oscilador canónico de Chua. Considérese el sistema caótico

x = −α(z + f(x)),

y = β(−z + δy),

z = x+ y − γz,

donde f(x) = bx+0.5(a− b)(|x+ 1|− |x− 1|) y α, β, γ, a y b son parámetrosconstantes. Demostrar que una realización de este sistema está dada por elcircuito de la Fig. 14.45.

11. Encontrar una realización para el sistema hipercaótico [41]

x = −α(w + h(x− y)),

y = −β(z − h(x− y)),

z = γ(x+ cw),

w = y − dz,

donde h(x) = ax + 0.5(a − b)(|x + 1| − |x − 1|) y α, β, γ, a, b, c y d sonparámetros constantes.

12. La dinámica del oscilador forzado de van der Pol [41], está dada por

d2x

dt2+ c(x2 − 1)dx

dt+ x3 = ρ sen t,

donde c y ρ son constantes. Encontrar una realización para este sistema.

13. La dinámica del sistema de Lorentz está dada por [30]

x = σ(y − x),

y = −xz − ax− y,

z = −xy − bz,


donde σ, a y b son parámetros. Encontrar una realización para este sistema.

14. La dinámica del sistema de Rössler está dada por [30]

x = −y − z,

y = x+ ay,

z = b+ (x− c)z,

donde a, b y c son parámetros. Encontrar una realización para este sistema.

15. Modelo de inversión geomagnética de Rikitake [61]. Sea el sistema dado por

x = −V x+ zy,

y = −V y + (z − a)x,

z = 1− xy,

donde a, V > 0 son parámetros. Encontrar una realización de este sistema.Estas ecuaciones fueron propuestas por Rikitake (1958) como un modelo de laautogeneración del campo magnético terrestre producido por grandes remoli-nos portadores de corriente en el núcleo.

16. Enmascaramiento. En su enfoque sobre enmascaramiento de señales, Cuomoy Oppenheim [12], [13], usa la siguiente dinámica del receptor

xr = σ(yr − xr),

yr = rs(t)− yr − s(t)zr,

zr = s(t)yr − bzr,

donde s(t) = x(t) +m(t), y m(t) es el mensaje en baja potencia agregado ala mucho más fuerte máscara caótica x(t). Encontrar la realización de estesistema.

Apéndice A

Redes Generalizadas

A.1 Introducción

El método que se muestra a continuación expone una forma rápida y sistemática dela resolución de circuitos eléctricos, mediante matrices simples.

En el caso del análisis mediante nodos, los pasos a seguir son los siguientes:

1. Identificar los nodos del circuito, asignando uno de ellos como referencia.

2. En el caso que el circuito solo contenga fuentes de corriente independientes,se forma una matriz n × 1 (vector) de corrientes (con n = número de nodos,excluyéndose el de referencia) de la siguiente forma:

El elemento I11 será la sumatoria de las corrientes que entran al nodo n11; elelemento I21, la sumatoria de las corrientes que entran al nodo n21, etc.

Esta matriz se iguala al producto de la matriz de admitancias n × n por lamatriz de tensiones n× 1 (vector).La matriz de admitancias se forma de la siguiente manera: cada elemento yiiserá la sumatoria de las admitancias propias del nodo i, sin excluir ninguna;el elemento yij (i 6= j), será la sumatoria de las admitancias comunes entre losnodos i y j, con signo negativo.

El vector de elementos dependientes se forma con las tensiones v1, v2, · · · , vn,siendo vi la tensión entre el nodo i y el nodo de referencia.

3. El siguiente paso es resolver el sistema, premultiplicando en ambos lados porla matriz inversa de admitancias.

4. Si el circuito contiene fuentes dependientes, se debe expresar esta fuente enfunción de los elementos desconocidos v1, v2, · · · , vn.

551

552 APÉNDICE A. REDES GENERALIZADAS

5. Cuando en el circuito estén presentes fuentes de tensión, se dejarán al finalde la matriz de corrientes los valores de éstas; en la matriz de elementos condiferentes dimensiones, se llenan los espacios con ceros y la matriz identidad(si el circuito tiene un nodo falso, será simplemente el escalar 1). En la matriztensiones incógnitas, se escriben los nombres de las tensiones en los nodosfalsos.

Si el circuito contiene fuentes de tensión dependientes, se efectúa la mismaoperación y luego se expresa en función de las variables de tensión.

Luego, se aplica la partición de Kröne a las matrices, de la siguiente forma:

• La matriz de las corrientes y tensiones dependientes o no, se fragmentapor donde comienzan las tensiones.

• La matriz de conductancia se parte en dos en el punto donde comienzana presentarse los elementos adimensionales, es decir, los correspondientesal nodo falso.

• La matriz incógnita se divide dejando en la parte superior las tensionesde nodos verdaderos, separándolos de los nodos falsos.

El siguiente paso es trabajar la partición algebraicamente, de modo que lastensiones de nodo queden en función de la conocido y desaparezcan los nodosfalsos del cálculo. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento anterior.

Ejemplo 94 Encontrar la función de transferencia entre la carga RL y la señal deentrada en el circuito de la Fig. A.1)

vi Rb

ib1 hie1 h ife1 b1

ib2 hie2

h ife2 b2 RcRL

1

23

Figura A.1: Redes genéricas.

A.1. INTRODUCCIÓN 553

Solución:Escribiendo las ecuaciones de nodos del sistema en forma matricial se obtiene:⎡⎣ hfe1ib1− (hfe1ib1 + hfe2ib2)

vi

⎤⎦ =⎡⎣ 1

hie1+ 1

hie20 − 1

hie10 1

Rc+ 1

RL0

0 0 1

⎤⎦⎡⎣ v1v2vd

⎤⎦ (A.1.1)

Ahora se halla el valor de ib1 en términos de vi y v1 y a continuación, el valorde ib2 en los mismos términos:

ib1 =vi − v1hie1

(A.1.2)

ib2 = ib1 + hfe1ib1 = (hfe1 + 1)ib1 =hfe1 + 1

hie1(vi − v1) (A.1.3)

Sustituyendo (A.1.2) y (A.1.3) en (A.1.1) y reorganizando, se obtiene la expre-sión:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

hfe1hie1

−hfe1+hfe2(hfe1+1)hie1

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ vi =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

hfe1+1hie1

+ 1hie2

0 − 1hie1


1Rc+ 1

RL0

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

v1

v2

vd

⎤⎥⎥⎥⎥⎦donde se ha señalado la partición de Kröne. Esta expresión se puede escribir enforma compacta como ∙

ivi

¸=

∙y11 y120 1

¸ ∙vvd

¸(A.1.4)

donde

i =

"hfe1hie1


#vi, v =

∙v1v2

¸(A.1.5)

y11 =

"hfe1+1hie1

+ 1hie2

0


1Rc+ 1

RL

#, y12 =

∙− 1

hie10

¸(A.1.6)

Desarrollando las ecuaciones en (A.1.4):

i = y11 × v+ y12vd (A.1.7)

vi = vd (A.1.8)

Reemplazando (A.1.8) en (A.1.7) se obtiene

i = y11 × v + y12vi (A.1.9)


De donde se puede despejar el vector de tensiones v:

v = y−111 × (i− y12vi) (A.1.10)

Ahora, sustituyendo las ecuaciones (A.1.5) y (A.1.6):

v =

"hfe1+1hie1

+ 1hie2

0


1Rc+ 1

RL

#−1×"

hfe1+1hie1


#vi

=1

∆

"1Rc+ 1

RL0

hfe1+hfe2(hfe1+1)hie1

hfe1+1hie1

+ 1hie2

#×"

hfe1+1hie1


#vi

o sea

v =

∙v1v2

¸=1

∆

⎡⎣ ³1Rc+ 1

RL

´hfe1+1hie1

−hfe1+hfe2(hfe1+1)hie1hie2

⎤⎦ vi (A.1.11)

donde

∆ =

µ1

Rc+

1

RL

¶µhfe1 + 1

hie1+

1

hie2

¶De la ecuación (A.1.11) se obtiene para la función de transferencia de tensión:

Av =v2vi= −(Rc||RL) [hfe1 + hfe2(hfe1 + 1)]

hie1 + hie2 (hfe1 + 1)(A.1.12)

donde el signo menos indica cambio de fase. En el caso de solución mediante mallas,se puede aplicar dualidad.

Ejemplo 95 Hallar la potencia en la batería en el circuito de la Fig. A.2.

Solución: ⎡⎣ 40.005v2400

⎤⎦ =⎡⎣ 2700 −1500 −14000 1 0

0 0 1

⎤⎦⎡⎣ i1i2i3

⎤⎦ (A.1.13)

pero

v2 = 200i1 (A.1.14)

Entoncesi3 =

v2400

=200

400i1 =

1

2i1 (A.1.15)

Sustituyendo (A.1.15) en (A.1.13) y reorganizando se obtiene:

A.1. INTRODUCCIÓN 555

+ -v2i

i i

1

23

+4V

5mA

500

1000

400

600200

v2

400

Ω Ω

Ω

Ω

Ω

Figura A.2: Circuito lineal.

⎡⎣ 4

0.0050

⎤⎦ =⎡⎣ 2700 −1500 −1400

0 1 00.5 0 1

⎤⎦⎡⎣ i1i2i3

⎤⎦ (A.1.16)

donde se ha indicado la partición de Kröne. Se puede escribir la ecuación anterioren forma compacta, de la siguiente manera:∙

vi

¸=

∙z11 z12k I

¸ ∙i1id

¸(A.1.17)

donde

v = [4], z11 = [2700] , z12 =£−1500 −1400

¤i =

∙0.0050

¸, k =

∙00.5

¸, id =

∙i2i3

¸y la submatriz I, es la matriz identidad.

Desarrollando los productos en la ecuación (A.1.17) se obtiene:

v = z11i1 + z12 × id (A.1.18)

i = ki1 + I× id (A.1.19)

Despejando id de la ecuación (A.1.19) y sustituyendo en la ecuación (A.1.18)

v = z11i1 + z12 × (i− ki1) = (z11 − z12 × k)i1 + z12 × i (A.1.20)


De donde se obtiene para i1:

i1 = (z11 − z12 × k)−1(v − z12 × i) (A.1.21)

Sustituyendo los valores numéricos:

i1 =

µ2700−

£−1500 −1400

¤ ∙ 00.5

¸¶−1µ4−

£−1500 −1400

¤ ∙ 0.0050

¸¶= 3.3824× 10−3

por lo tanto, la potencia en la batería estará dada por

P = 4× (5 + 3.3824) = 33.53 [mW ]

Apéndice B

Teoremas de Thévenin y Norton

B.1 Introducción

Para la solución de problemas de circuitos eléctricos, aplicando los teoremas deThévenin y Norton, se utiliza un método basado en el desarrollo de ecuacioneslineales, proveniente del análisis de las redes con las leyes de Kirchhoff.

El circuito dado, se divide en las subredes A y B, conectadas a través de losterminales a y b (ver Fig. B.1); donde A es la red a reducir y B la carga o red nolineal, la cual no se modifica.

a

i

b

Red A Red B

Figura B.1: Circuito segmentado.

Para la red A, el equivalente Thévenin es un circuito formado por una fuenteindependiente de voltaje VTh, en serie con una impedancia equivalente ZTh. Elequivalente Norton es su dual; consiste en una fuente de corriente IN , en paralelocon la misma impedancia (ver Fig. B.2).

• Propiedades que deben cumplir las subredes A y B:

— Los elementos de A deben ser lineales, los de B pueden o no serlo.

557

558 APÉNDICE B. TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON

VTh

ZTh

a

b

Red Thévenin

Red B IN ZN

a

b

Red Norton

Red B

Figura B.2: Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton

— Pueden presentar fuentes de tensión o de corriente independientes y/odependientes (controladas) donde la variable de control ha de estar en lared donde éstas se encuentren.

— No pueden existir acoplamientos magnéticos entre A y B.

— Los elementos pasivos pueden presentar condiciones iniciales.

• Procedimiento para la aplicación de los teoremas:

— Se verifica la linealidad de la red.

— Se divide la red en las subredes A y B.

— Se reduce la subred A a pasiva: se desactiva. Para ello se eliminan todaslas fuentes indepedientes, abriendo las de corriente y cortocircuitando lasde tensión; las fuentes controladas se mantienen.

— Las condiciones iniciales de los capacitores e inductores se hacen cero(Vc = 0, Il = 0).

— Se calcula la impedancia o la admitancia de entrada en los terminales ay b y se designan como ZTh o YTh respectivamente.

— Se halla la tensión equivalente entre a y b, vab.

— Se plantea la red según sea Thévenin o Norton.

B.2 Teorema de Thévenin

Se dará el desarrollo del teorema de Thévenin utilizando un enfoque matricial. Estopermite una forma más simple de los cálculos, facilitando la sistematización delprocedimiento.

Sea la red de la Fig. B.3; el problema es encontrar el equivalente Thévenin entrelos terminales a—b. Dicha red se reducirá a la forma de la Fig. B.4.

B.2. TEOREMA DE THÉVENIN 559

zj zh zd

zk

ze

zb

za

zc

zf

zg

zn

Vj

Va

Vb

Vc

ik i2 i1 voc

a

b

Figura B.3: Circuito general para obtener el equivalente Thévenin.

Si se aplican ecuaciones de malla a la red original, en la representación deMaxwell, se obtiene:⎡⎢⎢⎢⎣

voc + V1V2...Vn

⎤⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎣

z11 −z12 · · · −z1n−z21 z22 · · · −z2n...

.... . .

...−zn1 −zn2 · · · znn

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣

i1i2...in

⎤⎥⎥⎥⎦ (B.2.1)

Donde:

voc La tensión en circuito abierto medida entre los terminales a y b.

V1 La suma de las fuentes de voltaje existentes en la malla 1.

Vj La suma de las fuentes de tensión en la malla j.

zjk (j 6= k) La impedancia común entre las mallas j y k.

zjj La suma de las impedancias pertenecientes a la malla j.

ij La corriente alrededor de la malla j.

Se despeja i1, ya que ésta es la corriente que circula a través de los terminales ay b.

i1 =1

∆

⎡⎢⎢⎢⎣voc + V1 −z12 · · · −z1n

V2 z22 · · · · · ·...

.... . .

...Vn · · · · · · znn

⎤⎥⎥⎥⎦ (B.2.2)


La ecuación (B.2.2) puede reescribirse de la siguiente manera:

i1 =M11(voc + V1)

∆+1

∆

⎡⎢⎢⎢⎣0 −z12 · · · −z1nV2 z22 · · · · · ·...

.... . .

...Vn · · · · · · znn

⎤⎥⎥⎥⎦donde M11 es el menor correspondiente al desarrollo por voc + V1. Haciendo

α =

⎡⎢⎢⎢⎣0 −z12 · · · −z1nV2 z22 · · · · · ·...

.... . .

...Vn · · · · · · znn

⎤⎥⎥⎥⎦resulta:

i1 =M11

∆· voc +

M11V1 + α

∆(B.2.3)

VTh

ZTh

i1 a

v

b

oc

Figura B.4: Circuito equivalente de Thévenin.

Ahora, para el circuito equivalente Thévenin (Fig. B.4):

i1 = (voc − VTh) ·1

ZTh=

1

ZTh· voc −

1

ZTh· VTh (B.2.4)

Comparando las ecuaciones (B.2.3) y (B.2.4) se obtiene:

ZTh =∆

M11(B.2.5)

Para hallar la tensión Thévenin se hace i1 = 0 en (B.2.3), de donde:

voc = VTh = −M11V1 + α

M11(B.2.6)

B.2. TEOREMA DE THÉVENIN 561

También se puede encontrar el equivalente Norton:

IN = −M11V1 + α

∆(B.2.7)

Ejemplo 96 Para el circuito de la Fig. B.5, encontrar el equivalente Théveninentre los terminales a y b.

a

b

1 i3 i2j

¼ic

ic

½j i1 voc

Figura B.5: Red cuyo equivalente de Thévenin se desea encontrar.

Solución:Se escriben las ecuaciones del circuito en forma matricial:⎡⎢⎢⎢⎢⎣

voc

14(i1 − i2)−−−−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎣−j 12 j 12 | 0

|j 12 j 12 | −j−− −− | −−0 0 | 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2−−i3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Reorganizando la matriz:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

voc

0

−−−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−j 12 j 12 | 0|

−14 + j 1214 + j 12 | −j

|−−− −−− | −−0 0 | 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

i1

i2

−−i3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎣ v−−I

⎤⎦=⎡⎣ Z11 | Z12−−− | −−−0 | 1

⎤⎦⎡⎣ i−−id

⎤⎦v = Z11i+ Z12id (B.2.8)

I = 0 · i+ 1 · id (B.2.9)


Como I = id = −1, entonces:

v = Z11i− Z12 (B.2.10)

Despejando i de (B.2.10):i = Z−111 (v + Z12) (B.2.11)

Z−111 =

⎡⎣ 12 + j −j

12 − j −j

⎤⎦ (B.2.12)

de aquí:

i =

⎡⎣ 12 + j −j

12 − j −j

⎤⎦⎧⎨⎩⎡⎣voc0

⎤⎦+⎡⎣ 0

−j

⎤⎦⎫⎬⎭ (B.2.13)

i =

⎡⎣ i1

i2

⎤⎦ =⎡⎣ 1

2 + j

12 − j

⎤⎦ voc −⎡⎣ 11

⎤⎦ (B.2.14)

Puesto que i1 es la variable de interés, se toma de la ecuación matricial (B.2.14):

i1 =

µ1

2+ j

¶· voc − 1 (B.2.15)

Finalmente, cuando i1 = 0 (circuito abierto), se tiene:

0 =

µ1

2+ j

¶voc − 1

De donde,

voc = VTh =1

0.5 + j(B.2.16)

Ahora, de la ecuación (B.2.15) se observa que:

ZTh =1

0.5 + j(B.2.17)

También,

IN =VThZTh

= 1∠0o (B.2.18)

B.3. TEOREMA DE NORTON 563

in

yl

ym

yn

yj

yk

ik

im

y8

y9

yi

y5

y6

i1

i2

y1

y2

y3

y4

isc

a

b

1

2

j

kn

Figura B.6: Circuito generalizado para hallar el equivalente Norton.

B.3 Teorema de Norton

Como en el caso anterior se aplicará el concepto de matrices para encontrar el equi-valente Norton de una red lineal. En la Fig. B.6, se muestra un circuito al cual sele quiere encontrar el equivalente Norton (Fig. B.7) entre los terminales a y b.

Para tal objetivo se aplican las ecuaciones de nodo al circuito original.⎡⎢⎢⎢⎣isc + iσ1

iσ2...iσn

⎤⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎣

y11 −y12 · · · −y1n−y21 y22 · · · y2n...

.... . .

...−yn1 yn2 · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣e1e2...en

⎤⎥⎥⎥⎦ (B.3.1)

donde:

isc La corriente de corto circuito entre los terminales a y b.

iσ1 La suma de las corrientes que llegan al nodo 1.

iσj La sumatoria de las corrientes que llegan al nodo j.

yjk (j 6= k) La admitancia común entre los nodos j y k.

yjj La suma de las admitancias que llegan al nodo j.

ej La tensión en el nodo j.


VN ZN

a

b

isc

v1

Figura B.7: Circuito equivalente de Norton.

Procediendo en forma análoga a la empleada en la sección anterior, se tiene:

e1 =1

∆

⎡⎢⎢⎢⎣isc + iσ1 −y12 · · · −y1n

iσ2 y22 · · · · · ·...

.... . .

...iσn · · · · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎦ (B.3.2)

e1 =M11(isc + iσ1)

∆+1

∆

⎡⎢⎢⎢⎣0 −y12 · · · −y1niσ2 y22 · · · · · ·...

.... . .

...iσn · · · · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎦Haciendo

β =

⎡⎢⎢⎢⎣0 −y12 · · · −y1niσ2 y22 · · · · · ·...

.... . .

...iσn · · · · · · ynn

⎤⎥⎥⎥⎦se obtiene:

e1 =M11

∆· isc +

M11iσ1 + β

∆(B.3.3)

Para calcular el equivalente Norton se cortocircuitan los terminales a y b con lo cuale1 = 0, entonces de (B.3.3) se obtiene:

isc = IN = −M11iσ1 + β

M11(B.3.4)

Ahora, para el circuito equivalente Norton (Fig. B.7),

e1 = (isc + IN)1

yN=

1

yN· isc +

1

yN· iN (B.3.5)

B.3. TEOREMA DE NORTON 565

De las ecuaciones (B.3.3) y (B.3.5) se puede concluir que:

YN =∆

M11(B.3.6)

También, para este caso, se puede encontrar el equivalente Thévenin (dual):

VTh =M11i1 + β

∆(B.3.7)

Nótese que es una expresión similar a la obtenida en el teorema de Thévenin. Tam-bién ZTh = 1/YN , lo cual era de esperarse.

Ejemplo 97 Para el circuito de la Fig. B.8, encontrar el equivalente Norton entrelos terminales a y b.

r1 e3

vgs

vi

Rs

g vm gs

e2

rds

e1isc

a

b

Figura B.8: Red cuyo equivalente de Norton se desea encontrar.

Solución:Aplicando las ecuaciones de nodo al circuito dado:

⎡⎢⎢⎢⎢⎣isc−gmvgs

gmvgs

vi

⎤⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1rds

− 1rds

0

− 1rds

1Rs+ 1

rds0

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣e1

e2

e3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (B.3.8)

Del circuito, aplicando ecuaciones de rama, se observa que:

vgs = e3 −Rsisc (B.3.9)


Reemplazando (B.3.9) en (B.3.8) y reorganizando la matriz se tiene:

⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+gmRs)isc

−gmRsisc

vi

⎤⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1rds

− 1rds

gm

− 1rds

1Rs+ 1

rds−gm

0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣e1

e2

e3

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (B.3.10)

Invirtiendo la matriz y con e = [e1 e2]T , se obtiene:

e=1

∆

⎡⎢⎢⎣1rds

− 1rds

− 1rds

1Rs+ 1

rds

⎤⎥⎥⎦⎡⎣(1+gmrds)isc−gmvi−gmRsisc+gmvi

⎤⎦ (B.3.11)

donde∆ =

1

Rsrds(B.3.12)

De (B.3.11) y (B.3.12) se obtiene para la primera fila de la matriz:

e1 = [Rs + rds(1 + gmRs)] · isc − gmrdsvi (B.3.13)

De la ecuación (B.3.13), cuando se cumple la condición de corto circuito, se obtieneel valor de los parámetros de Norton, o sea:

[Rs + rds(1 + gmRs)] · IN − gmrdsvi = 0 (B.3.14)

de dondeIN =

gmrdsRs + rds(1 + gmRs)

· vi (B.3.15)

La admitancia Norton estará dada por:

YN =1

Rs + rds(1 + gmRs)(B.3.16)

Apéndice C

Análisis de la constante detiempo de valor cero

C.1 Introducción

Este es un método aproximado de análisis que permite hacer un estimado de lafrecuencia del polo dominante (y así la frecuencia de −3 dB) de circuitos complejos[21], [6]. Se hace un considerable ahorro en esfuerzo computacional debido a que nose requiere un análisis total del circuito. Se desarrollará el método analizando unejemplo práctico.

C.2 Constante de tiempo de valor cero

Considérese el circuito equivalente de una red como se muestra en la Fig. C.1.Esta es una etapa simple de un amplificador con transistor con impedancias de lafuente y de la carga, resistivas. La capacitancia de realimentación se ha divididoen dos (Cx y Cμ) como se muestra. Esta es una aproximación ligeramente mayor ala situación real del simple capacitor colector—base, pero es raramente utilizada encálculos manuales debido a la complejidad del análisis. Para propósitos de análisisse han escogido como variables, las tensiones en los capacitores v1, v2 y v3. Laentrada externa vi se elimina y se excita el circuito con tres fuentes de corrienteindependientes i1, i2 e i3 a través de los capacitores, como se muestra en la mismafigura. Se puede demostrar que con esta escogencia de las variables las ecuacionesdel circuito son de la forma⎡⎣ i1

i2i3

⎤⎦ =⎡⎣ g11 +Cπs g12 g13

g21 g22 + Cμs g23g31 g32 g33 + Cxs

⎤⎦⎡⎣ v1v2v3

⎤⎦ (C.2.1)

567

568APÉNDICE C. ANÁLISIS DE LA CONSTANTEDE TIEMPODEVALORCERO

rs rx

Cπ

rπ

Cμ

Cx

g vm 1 RLvi i1

i2

i3

v1

v2

v3

vo

Figura C.1: Circuito equivalente de pequeña señal de una etapa en EC.

donde los términos g son conductancias. Nótese que los términos que involucrans como contribuciones de los capacitores están asociadas solamente con sus respec-tivas variables de tensión en el capacitor y solamente aparecen en la diagonal deldeterminante del sistema.

Los polos de la función de transferencia del circuito son los ceros del determinante∆ de las ecuaciones del circuito, el cual puede escribirse de la forma

∆(s) = K3s3 +K2s

2 +K1s+K0 (C.2.2)

donde los coeficientes K se componen de los términos de las ecuaciones superiores.Por ejemplo, K3 es la suma de los coeficientes de todos los términos que involucrana s3 en la expansión del determinante. La ecuación (C.2.2) puede expresarse como

∆(s) = K0(1 + b1s+ b2s2 + b3s

3) (C.2.3)

donde esta forma corresponde a la dada por la función de transferencia

H(s) =N(s)

D(s)=

a0 + a1s+ · · ·+ amsm

1 + b1s+ · · ·+ bnsn(C.2.4)

donde a0, a1, . . . , am y b1, b2, . . . , bn son constantes. Nótese que el determinantees de tercer orden debido a que hay tres capacitores en el circuito. El términoK0 en la ecuación (C.2.2) es el valor de ∆(s) si todos los capacitores son cero(Cx = Cπ = Cμ = 0). Esto puede ser visto de la ecuación (C.2.1). Así,

K0 = ∆|Cx=Cπ=Cμ=0 (C.2.5)

es útil definirK0 , ∆0 (C.2.6)

C.2. CONSTANTE DE TIEMPO DE VALOR CERO 569

Considérese ahora el términoK1s en la ecuación (C.2.2). Esta es la suma de todoslos términos que involucran s los cuales se obtienen cuando se evalúa el determinantedel sistema. Sin embargo, de la ecuación (C.2.1), se observa que s solamente ocurrecuando se asocia con una capacitancia. Así, el término K1s puede escribirse como

K1s = h1Cπs+ h2Cμs+ h3Cxs (C.2.7)

donde los términos h son constantes. El término h1 puede ser evaluado expandiendoel determinante de la ecuación (C.2.1) alrededor de la primera fila:

∆(s) = (g11 +Cπs)∆11 + g12∆12 + g13∆13 (C.2.8)

donde ∆11,∆12 y ∆13 son los cofactores del determinate. La inspección de laecuación (C.2.1) muestra que Cπ ocurre solamente en el primer término de laecuación (C.2.8). Así, el coeficiente de Cπs en la ecuación (C.2.8) se encuentraevaluando ∆11 con Cμ = Cx = 0, lo cual eliminará los otros términos capacitivos en∆11. Pero este coeficiente de Cπs es justo h1 en la ecuación (C.2.7), y así,

h1 = ∆11|Cμ=Cx=0 (C.2.9)

Ahora considérese la expansión del determinante alrededor de la segunda fila.Esto debe dar el mismo valor para el determinante y así

∆(s) = g21∆21 + (g22 +Cμs)∆22 ++g23∆23 (C.2.10)

En este caso Cμ ocurre solamente en el segundo término de la ecuación (C.2.10). Asíel coeficiente de Cμs en esta ecuación se encuentra evaluando ∆22 con Cπ = Cx = 0,lo cual eliminará los otros términos capacitivos. Este coeficiente de Cμs es justo h2en la ecuación (C.2.7) y así,

h2 = ∆22|Cπ=Cx=0 (C.2.11)

Similarmente, expandiendo alrededor de la tercera fila se sigue que

h3 = ∆33|Cπ=Cμ=0 (C.2.12)

Combinando las ecs. (C.2.9), (C.2.11) y (C.2.12) se obtiene

K1 = ∆11|Cμ=Cx=0 ×Cπ +∆22|Cπ=Cx=0 × Cμ +∆33|Cπ=Cμ=0 × Cx (C.2.13)

y

b1 =K1

K0=∆11|Cμ=Cx=0

∆0×Cπ +

∆22|Cπ=Cx=0∆0

×Cμ+∆33|Cπ=Cμ=0

∆0×Cx (C.2.14)


donde las condiciones de contorno para los determinates son las mismas que en laecuación (C.2.13).

Ahora considérese hacer i2 = i3 = 0 en la Fig. C.1. Resolviendo la ecuación(C.2.1) para v1 se obtiene

v1 =∆11i1∆(s)

y así,v1i1=∆11∆(s)

(C.2.15)

La ecuación (C.2.15) es una expresión para la impedancia de un puerto en el par denodos de Cπ. Así,

∆11|Cμ=Cx=0∆0

es la resistencia en el puerto formado por los terminales de de Cπ con todos loscapacitores iguales a cero puesto que

∆11|Cμ=Cx=0∆0

=∆11∆

¯Cμ=Cx=Cπ=0

(C.2.16)

Ahora se define

Rπ0 =∆11∆0

¯Cμ=Cx=0

(C.2.17)

Similarmente,∆22|Cπ=Cx=0

∆0

es la resistencia en el puerto formado por los terminales de de Cμ con todos loscapacitores iguales a cero y se representa por Rμ0. Así, se puede escribir de laecuación (C.2.14)

b1 = Rπ0Cπ +Rμ0Cμ +Rx0Cx (C.2.18)

Las constantes de tiempo en la ecuación (C.2.18) se denominan “constantes de tiempode valor cero”, debido a que todos los capacitores se hacen igual a cero para realizarel cálculo.

Se puede demostrar que si no hay ceros dominantes en la función de transferenciadel circuito y hay un polo dominante, entonces

ω−3dB '1

b1

Así,

ω−3dB '1PTo

(C.2.19)

C.2. CONSTANTE DE TIEMPO DE VALOR CERO 571

dondeP

To, es la suma de las constantes de tiempo de valor cero. Aunque derivadoen términos de un ejemplo específico, este resultado es cierto en cualquier circuitopara el cual las diferentes suposiciones hechas en este análisis sean válidas [21].Considérese el circuito de la Fig. C.1. Por inspección,

Rπ0 = rπ||(Rs + rx) (C.2.20)

Con el fin de calcular Rμ0 es necesario escribir algunas ecuaciones simples de cir-cuitos. Aplicando una fuente de prueba de corriente i en los terminales Cμ como semuestra en la Fig. C.2 y calculando la tensión v resultante se obtiene

v1 = Rπ0i (C.2.21)

v0 = −(i+ gmv1)RL (C.2.22)

Sustituyendo la ecuación (C.2.21) en la ecuación (C.2.22), se encuentra

v0 = −(1 + gmRπ0)RLi (C.2.23)

Ahora,

Rμ0 =v

i

y

Rμ0 =v1 − v0

i(C.2.24)

R + rs xrπ g vm 1 RL

i

v1

v

vo

Figura C.2: Circuito equivalente para el cálculo de Rμ0 de la Fig. C.1.

La sustitución de las ecuaciones (C.2.21) y (C.2.23) en la ecuación (C.2.24) con-duce a la siguiente expresión:

Rμ0 = RL + (1 + gmRL)Rπ0 (C.2.25)


De la misma manera, se puede calcular Rx0. Si rx ¿ rπ, entonces Rx0 ' Rμ0.Suponiendo que se ha hecho esto, la ecuación (C.2.19), para la frecuencia a −3 dB,da:

ω−3dB =1

Rμ0Cμ +Rπ0Cπ(C.2.26)

Usando las ecuaciones (C.2.25) y (C.2.26) se llega a:

ω−3dB =1

Rμ0

hCπ + Cμ

³1 + gmRL +

RLRπ0

´i (C.2.27)

El cual corresponde al valor de la frecuencia generado por el polo dominante. Sinembargo, esta ecuación no da información sobre los polos no dominantes.

Apéndice D

Herramientas Numéricas paraRedes

Los métodos de solución para sistemas lineales siguen más o menos el procedimientode eliminación de Gauss. Existen otros métodos con ventajas en el desarrollomanual y otros diseñados para problemas numéricos. Se discutirán ambos casos enla siguiente ecuación:

Ax = b (D.0.1)

Para cálculos manuales, a menudo se guardan ciertas variables como caracteresalfabéticos. En las ecuaciones matriciales en el dominio de la frecuencia, usualmentes es una variable a la cual no se le asignan valores numéricos, por lo cual se mantienea través de todos los cálculos como tal. Todos los métodos de eliminación conduceninvariablemente a fracciones y si el problema involucra caracteres literales, entoncesel proceso puede llegar a ser muy dispendioso.

Para aplicar la regla de Cramer deberá usarse notación matricial, como se haenfatizado a lo largo del texto. El proceso en si mismo es bien conocido y no sedarán detalles. Solamente se menciona que el determinante de un sistema 2× 2 es

detA = |A| =¯a11 a12a21 a22

¯= a11a22 − a12a21 (D.0.2)

y para un sistema de 3× 3 es

|A| =

¯¯ a11 a13 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

¯¯

= (a11a22a11a33 + a21a32a13 + a31a12a23)−(a31a22a13 + a21a12a33 + a11a32a23) (D.0.3)

573

574 APÉNDICE D. HERRAMIENTAS NUMÉRICAS PARA REDES

La determinación de orden más alto se puede reducir a más bajo utilizando la ex-pansión de Laplace.

El método de eliminación de Gauss es adecuado para problemas dados numéri-camente, pero no es el mejor para apliaciones en redes circuitales debido a que seopera simultáneamente sobre la matriz y sobre el miembro del lado derecho. Si elmiembro del lado derecho cambiara, como a menudo es el caso en teoría de redes,se pierde el trabajo previo y se debe empezar de nuevo con la matriz original. Serecomienda la descomposición triangular (LU ).

D.1 Descomposición triangular LU

Para cualquier matriz cuadrada no singular, se pueden reordenar las filas de modoque la matriz resultante A tenga una factorización LU, o sea,

A = LU (D.1.1)

donde L es una matriz triangular inferior y U una matriz triangular superior. Esto esconsecuencia del método de eliminación de Gauss donde L es la matriz de multipli-cadores ljk, cuya matriz diagonal es 1, . . . , 1, y U es la matriz del sistema triangularal final de la eliminación de Gauss. La idea ahora es que L y U en (D.1.1) se puedecalcular directamente, sin resolver ecuaciones simultáneas (así, sin usar eliminaciónde Gauss). Una vez se tenga la expresión (D.1.1), se puede utilizar para resolverAx = b en dos pasos, simplemente notando que Ax = LUx = b se puede escribircomo

Ly = b (D.1.2)

dondeUx = y (D.1.3)

y resolviendo primero (D.1.2) para y y entonces (D.1.3) para x. Este se llama métodode Doolittle. Un método similar, el método de Crout, se obtiene de (D.1.1) si sehace que U (en lugar de L) tenga como diagonal principal 1, . . . , 1. En cada caso,la factorización (D.1.1) es única.

Para un sistema A = [ajk]n×n los n elementos de las matrices L = [ljk] (con ladiagonal principal 1, . . . , 1), y U = [ujk] en el método de Doolittle. se calculan de

u1k = a1k k = 1, . . . , n

ujk = ajk −j−1Pi=1

ljiuik k = j, . . . , n; j ≥ 2

lj1 =aj1u11

j = 2, . . . , n

ljk =1ukk

µajk −

k−1Pi=1

ljiuik

¶j = k + 1, . . . , n; k ≥ 2

(D.1.4)

D.1. DESCOMPOSICIÓN TRIANGULAR LU 575

Las fórmulas correspondientes para la factorización LU en el método de Crout sonmuy similares:

lj1 = aj1 j = 1, . . . , n

ljk = ajk −j−1Pi=1

ljiuik j = k, . . . , n; k ≥ 2

u1k =a1kl11

k = 2, . . . , n

ujk =1ljj

µajk −

k−1Pi=1

ljiuik

¶k = j + 1, . . . , n; j ≥ 2

D.1.1 Método de Cholesky

Para una matriz simétrica, definida positiva A (es decir, A = AT , xTAx > 0 ∀x 6= 0)se puede escoger en (D.1.1) aún U = LT , así, ujk = lkj (pero sin imponer condicionessobre los valores de la diagonal principal). Este método de resolver Ax = b basadoen la factorización A = LLT se conoce como método de Cholesky. Las fórmulas paraesta factorización son

l11 =√a11

ljj =qajj −

Pj−1i=1 l

2ji j = 2, . . . , n

lj1 =aj1l11

j = 2, . . . , n

ljk =1lkk

³ajk −

Pk−1i=1 ljilki

´j = k + 1, , . . . , n; k ≥ 2

(D.1.5)

Si A es simétrica pero no definida positiva, se puede aplicar aún este método, peroentonces conduce a una matriz L compleja.

Ejemplo 98 Método de Cholesky. Resolver por el método de Cholesky⎡⎣ 4 2 142 17 −514 −5 83

⎤⎦⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦ =⎡⎣ 14−101155

⎤⎦ (D.1.6)

Solución:De (D.1.5) se tiene

⎡⎣ 4 2 142 17 −514 −5 83

⎤⎦ =⎡⎣ l11 0 0

l21 l22 0l31 l32 l33

⎤⎦⎡⎣ l11 l21 l310 l22 l320 0 l33

⎤⎦ (D.1.7)


Se calcula, en el orden dado

l11 =√a11 = 2

l21 =a21l11= 2

2 = 1

l22 =pa22 − l221 =

√17− 1 = 4

l31 =a31l11= 14

2 = 7

l32 =1l22(a32 − l31l21) =

14 (−5− 7.1) = −3

l33 =pa33 − l231 − l232 =

p83− 72 − (−32) = 5

Ahora se debe resolver Ly = b, esto es,⎡⎣ 2 0 01 4 07 −3 5

⎤⎦⎡⎣ y1y2y3

⎤⎦ =⎡⎣ 14−101155

⎤⎦ (D.1.8)

Este sistema tiene como solución:

y =

⎡⎣ 7−275

⎤⎦ (D.1.9)

como segundo paso, se debe resolver Ux = LT x = y, esto es,⎡⎣ 2 1 70 4 −30 0 5

⎤⎦⎡⎣ x1x2x3

⎤⎦ =⎡⎣ 7−275

⎤⎦ (D.1.10)

el cual conduce a la solución final del sistema:

x =

⎡⎣ 3−61

⎤⎦D.2 Análisis nodal modificado

Las aplicaciones desarrolladas para computadores no pueden utilizar las diferentestransformaciones circuitales discutidas en el texto. Hay disponibles dos métodosgenerales modernos. Uno de ellos, el tabulación, conduce a matrices excesivamentegrandes y son absolutamente necesarias las técnicas de solución de matrices dis-persas. El tabulado fue superado por la formulación nodal modificada la cual essimple, no requiere ningunos conceptos teóricos de grafos y se usa en la mayoría deprogramas para CAD análogos. Se esbozarán los principios. Considérese la redde la Fig. D.1. La fuente de voltaje se puede manipular teniendo en cuenta se

D.3. REDES NO LINEALES 577

Vs

Is

V1G1

C1

V2L V3

C2 G2 i+_

Figura D.1: Circuito RLC.

corriente Is. Para el inductor, se usa la forma de impedancia puesto que esto evitatener términos de la forma 1/s y se hace posible la integración numérica (ver Sec-ción D.4). Se reemplaza —por un momento— la fuente de tensión y el inductor, porfuentes de corriente con valores Is e IL, respectivamente. Esto permite escribir lasecuaciones LVK en los tres nodos, pero para la definición completa se deben agregarecuaciones que describan las propiedades de los elementos. Para la fuente de tensiónesta será V1 = Vs. Pero, puesto que no se conocen ni las tensiones ni las corrientes,se transladarán estos elementos al miembro de la izquierda. La LCK para los tresnodos, seguidas por las dos definiciones adicionales, conducen al sistema:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

G1 −G1 0 p 1 0−G1 G1 + C1s 0 p 0 10 0 C2s+G2 p 0 −1−− −−−−−− −−−−−− − − −−1 0 0 p 0 00 1 −1 p 0 −Ls

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

V1V2V3−−IsIL

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

000−−Vs0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦La porción nodal (la submatriz 3× 3 del ángulo superior izquierdo en el ejemplo) sellena con los valores pertenecientes a los G,Cs y la transconductancia de una fuentede corriente controlada por voltaje. El resto se construye utilizando las restriccionesdefinidas. Cada uno de estos elementos incrementa el tamaño del sistema, en lamayoría de los casos en una fila y una columna. El transformador y la fuente devoltaje controlada por corriente incrementa el tamaño en dos filas y columnas. Parala solución del sistema obtenido ver Apéndice A. Se enfatiza que este método esmás adecuado para CAD que para cálculos a mano.

D.3 Redes no lineales

Si algunos elementos son no lineales, entonces no existe la representación matricialy solo son disponibles las ecuaciones. La solución de un sistema no lineal se hace


casi siempre por el método de Newton—Raphson. Dado el sistema no lineal

f(v) = 0 (D.3.1)

Se aplica por iteración

Jk∆vk = −fk (D.3.2)

vk+1 = vk −∆vk (D.3.3)

Aquí, f es el vector de las funciones no lineales, v es el vector de las variablesdesconocidas, J es la matriz Jacobiana, y el superíndice k indica la k-ésima iteración.

I1

V1

G1

V2G2

G3 I2

D

Figura D.2: Circuito con elemento no lineal.

Considérese la red simple mostrada en la Fig. D.2. Sea la corriente a través deldiodo descrita por

iD = g(vD) (D.3.4)

donde vD es el voltaje en los terminales del diodo dado por

vD = v1 − v2 (D.3.5)

Escribiendo la LCK en los nodos se obtiene las dos funciones

f1(v1, v2) = (G1 +G2)v1 −G2v2 + g(vD)− I1 = 0 (D.3.6)

f2(v1, v2) = −G2v1 + (G2 +G3)v2 + g(vD)− I2 = 0 (D.3.7)

La matriz Jacobiana será

J =

"∂f1∂v1

∂f1∂v2

∂f2∂v1

∂f2∂v2

#=

"G1 +G2 +

∂g∂vD

∂vD∂v1

−G2 + ∂g∂vD

∂vD∂v2

−G2 − ∂g∂vD

∂vD∂v1

G2 +G3 − ∂g∂vD

∂vD∂v2

#(D.3.8)

D.4. SOLUCIONES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 579

Sin embargo, de (D.3.5) se conocen las derivadas

∂vD∂v1

= +1 (D.3.9)

∂vD∂v2

= −1 (D.3.10)

Insertando este resultado en el Jacobiano se obtiene

J =

"∂f1∂v1

∂f1∂v2

∂f2∂v1

∂f2∂v2

#=

"G1 +G2 +

∂g∂vD

−G2 − ∂g∂vD

−G2 − ∂g∂vD

G2 +G3 +∂g∂vD

#(D.3.11)

Estudiando el Jacobiano se descubre lo siguiente:

• Cada elemento lineal ocupa en el Jacobiano la misma posición que en lasecuaciones matriciales que se usan para describir las redes lineales.

• El elemento no lineal se reemplaza por su derivada, la cual aparece en la mismaposición que tendría si el elemento fuera lineal.

Las conclusiones anteriores, tomadas de una pequeña red, son válidas univer-salmente. Esto significa que la solución de una red no lineal no es otra cosa querepetir la solución de una red lineal en la cual los elementos no lineales se reemplazanpor sus derivadas. Esto significa también que todo el conocimiento establecido en elestudio de las redes lineales se mantiene para sistemas con elementos no lineales.

D.4 Soluciones en el dominio del tiempo

Las soluciones en el dominio del tiempo en CAD se hace por integración numérica,la cual puede ser muy simple si la red es lineal y si se usa la fórmula de Euler conretardo. En notación discreta, la fórmula es

x0n+1 =1

h(xn+1 − xn) (D.4.1)

El subíndice n indica valores ya conocidos, el subíndice n + 1 valores futuros yh el paso en el tiempo. En la formulación nodal modificada la ecuación del sistematendrá, v. gr., la forma

(G+ Cs)x = b (D.4.2)

Puesto que la multiplicación por s es equivalente a una diferenciación, la ecuación(D.4.2) se puede escribir como

Gx+ Cx0 = b (D.4.3)


Supóngase que se asocia ahora el subíndice n+ 1 a los valores que cambian conel tiempo

Gxn+1 + Cx0n+1 = bn+1 (D.4.4)

Sustituyendo la derivada en (D.4.1) y separando los términos en x que contienen elsubíndice n+ 1 µ

G+1

hC

¶xn+1 =

1

hCxn + bn+1 (D.4.5)

La matriz de la izquierda es la matriz nodal modificada donde s se ha reem-plazado por 1/h. Los términos de la derecha se pueden evaluar, puesto que seconoce la solución previa xn y también el valor de la señal en el paso siguiente. Estetambién es un buen ejemplo para el uso de la descomposición LU : si se mantieneconstante el tamaño del paso, la matriz no cambia y el proceso total de integraciónse reduce a sustituciones repetidas, progresivas y regresivas.

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