Abstract— This paper presents the results of the use of training algorithms for recurrent neural networks based on the extended Kalman filter and its use in electric energy price prediction, for both cases: one-step ahead and n-step ahead. In addition, it is included the stability proof using the well-known Lyapunov methodology, for the proposed artificial neural network trained with an algorithm based on the extended Kalman filter. Finally, the applicability of the proposed prediction scheme is shown by mean of the one-step ahead and n-step ahead prediction using data from the European power system.

Palabras clave—Time series forecasting; Artificial neural networks; Kalman filter training; Electricity price forecasting; Auto-regression.

I. INTRODUCTION S bien conocido que las redes neuronales estáticas son

capaces de aproximar cualquier función continua [4, 7, 14]. Sin embargo, las redes neuronales recurrentes poseen un rico repertorio de arquitecturas, lo cual las habilita para realizar diversas aplicaciones [7], que no son posibles con las redes neuronales estáticas; algunas de estas aplicaciones son: predicción no lineal, modelado, control, representaciones en espacio de estado, etc.

La aplicación de las redes neuronales para la predicción de series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia tiene un gran impacto en la planeación de los mercados de este ramo, ya que aún y cuando se utilizan otras técnicas para realizar la predicción de series de tiempo [4, 12]; los resultados que se muestran en este trabajo representan una importante alternativa.

El objetivo de las predicciones es la reducción de riesgos en la toma de decisiones, a través de estimaciones de eventos futuros. La predicción en general tiene aplicaciones en varias áreas. Los siguientes ejemplos describen algunas de las aplicaciones de las predicciones de series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia: administración de inventarios, planeación de producción, control de procesos, planeación financiera, planeación de personal, planeación de recursos, etcétera.

Para el caso particular de este trabajo, la predicción de series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia tiene aplicación directa en la planeación de generación y suministro de energía eléctrica e influencia directa en los mercados eléctricos [19].

La industria de la energía eléctrica, en muchos países, se torna más competitiva día a día. Este hecho explica la

1 A. Y. Alanis, Universidad de Guadalajara, México, almayalanis@gmail.com

importancia de conocer con anticipación el comportamiento del mercado, para poder proveer un servicio de mejor calidad y menor costo tanto para el productor como para el consumidor.

Las series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia presentan, las siguientes características [3, 12]: alta frecuencia, media y varianza variables, ciclos o ritmos (semanales y diarios), efecto del calendario (fines de semana, días festivos, etc.), alta volatilidad, evoluciones irregulares, entre otras.

Las series de tiempo caso de estudio en este trabajo, son las relacionadas a los precios de la energía eléctrica. Por otra parte, los sistemas no lineales tienen comportamientos dinámicos muy variados, que incluyen el caos. El comportamiento caótico es caracterizado por su alta sensibilidad a la variación de parámetros, perturbaciones externas y particularmente a cambios pequeños en las condiciones iniciales. La presencia de caos es analizada y determinada en las series de tiempo de precios analizadas en este trabajo.

En este artículo se presentan los resultados del uso de algoritmos de entrenamiento, para redes neuronales recurrentes, basados en el filtro de Kalman extendido. Así mismo las redes neuronales recurrentes entrenadas con el algoritmo aquí propuesto, son aplicadas para la predicción de series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia, particularmente para la predicción de precios de la energía eléctrica. El uso del Filtro de Kalman en el entrenamiento de redes neuronales se ha incrementado en gran medida; esto debido a los excelentes resultados obtenidos en diversas aplicaciones [6, 7, 8, 13, 16, 20].

El artículo está organizado de la siguiente manera: En la Sección II se presenta una breve revisión sobre la predicción de precios de la energía eléctrica, después en la Sección III se propone el uso de redes neuronales artificiales entrenadas con un algoritmo basado en el filtro de Kalman extendido, además se incluye la primera contribución importante de este artículo que consiste en demostrar la estabilidad del esquema de predicción neuronal propuesto, a continuación en la Sección IV se incluyen los resultados obtenidos para la predicción de precios e la energía eléctrica a un paso y a ! pasos, lo que constituye la segunda contribución importante de este artículo, finalmente en la sección IV se presentan las conclusiones generales de este artículo.

II. PREDICCIÓN DE PRECIOS DE ENERGÍA ELÉCTRICA En los últimos 15 años se han probado una gran variedad

de métodos e ideas para la predicción de precios de la energía eléctrica (PPEE), con diferentes grados de éxito. Esta sección

Alma Y. Alanis, Senior Member, IEEE1

Electricity Prices Forecasting using Artificial Neural Networks

E

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intenta explicar brevemente, la complejidad de las soluciones disponibles, sus fortalezas y debilidades, y las oportunidades y amenazas que ofrecen las herramientas de predicción que se pueden encontrar. Si bien la predicción de series de tiempo no es algo nuevo aún existe la necesidad de resolver diversos problemas, en particular, en [19] se postula la necesidad de estudios comparativos objetivos de PPEE que involucren los mismos conjuntos de datos, los mismos procedimientos de evaluación de errores robustos y pruebas estadísticas de la importancia de un modelo [19]. Por tal motivo en este artículo se considera un caso de estudio son un conjunto de datos abierto y disponible para la comunidad científica que desee hacer uso de los mismos.

En muchos países de todo el mundo, la energía eléctrica se negocia ahora bajo las normas del mercado. Sin embargo, la energía eléctrica es un producto muy especial. Es económicamente no almacenable y la estabilidad del sistema de energía requiere un equilibrio constante entre la producción y el consumo [10, 17]. Al mismo tiempo, la demanda de energía eléctrica depende del clima (temperatura, velocidad del viento, precipitaciones, etc.) y de la intensidad de las actividades comerciales y cotidianas (horas pico y fuera de horas pico, días laborables y fines de semana, etc.). Por un lado, estas características únicas y específicas conducen a una dinámica de precios que no se observa en ningún otro mercado, exhibiendo estacionalidad en los niveles diarios, semanales y anuales, y picos de precios abruptos, de corta duración y generalmente imprevistos. Por otro lado, han animado a los investigadores a intensificar sus esfuerzos en el desarrollo de mejores técnicas de predicción [19].

A nivel corporativo, las predicciones de precios de la energía eléctrica se han convertido en un insumo fundamental para los mecanismos de toma de decisiones de las empresas de energía [1, 5, 18]. Como demostró la crisis de California de 2000-2001, las empresas eléctricas son las más vulnerables, ya que generalmente no pueden pasar sus costos a los consumidores minoristas [9].

Los costos de la sobre-subcontratación y luego el equilibrio del poder de venta/compra en el mercado (o en tiempo real) son típicamente tan altos que pueden conducir a enormes pérdidas financieras o incluso a la bancarrota. La volatilidad extrema de los precios, que puede llegar hasta dos órdenes de magnitud más alta que la de cualquier otro producto o activo financiero, ha obligado a los participantes del mercado a protegerse no sólo contra el riesgo de volumen sino también contra los movimientos de precios.

Por lo tanto, las predicciones de precios de unas pocas horas a unos meses de antelación se han convertido en un interés particular para los gestores de cartera de energía. Un generador, una empresa de servicios públicos o un gran consumidor industrial capaz de predecir los volátiles precios al por mayor con un nivel razonable de precisión puede ajustar su estrategia de licitación y su propio programa de producción o consumo con el fin de reducir el riesgo o maximizar los beneficios un día antes de su comercialización o antes [19].

A. Visión general de los enfoques de modelado

La literatura relativa a la PPEE ofrece sus propias clasificaciones de los diversos enfoques que se han desarrollado para analizar y predecir los precios de la energía eléctrica. Algunos de ellos son mejores, otros son peores, pero todos tienen muchas cosas en común. Sin pérdida de generalidad, tomamos la clasificación de [18] como punto de partida, con seis grupos de modelos.

1) Modelos multi-agentes (simulación multi-agente, equilibrio, teoría de juegos), que simulan el funcionamiento de un sistema de agentes heterogéneos (unidades generadoras, empresas) interactuando entre sí y construyendo el proceso de precios haciendo coincidir la demanda y la oferta en el mercado.

2) Métodos fundamentales (estructurales), que describen la dinámica de precios modelando los impactos de factores físicos y económicos importantes sobre el precio de la energía eléctrica.

3) Modelos de forma reducida (cuantitativa, estocástica), que caracterizan las propiedades estadísticas de los precios de la energía eléctrica a lo largo del tiempo, con el objetivo final de la evaluación de los derivados y la gestión del riesgo.

4) Enfoques estadísticos (análisis econométrico, análisis técnico), que son aplicaciones directas de las técnicas estadísticas de predicción de la carga o implementaciones en el mercado de la energía de modelos econométricos.

5) Técnicas de inteligencia computacional (basada en inteligencia artificial, no paramétrica, estadística no lineal), que combinan elementos de aprendizaje, evolución y difuminación para crear enfoques capaces de adaptarse a sistemas dinámicos complejos y que pueden considerarse “inteligentes” en este sentido.

6) Hibridaciones. Por último, cabe mencionar que muchos de los enfoques de modelado y predicción de precios considerados en la literatura son soluciones híbridas, combinando técnicas de dos o más de los grupos enumerados anteriormente.

III. EL MLP ENTRENADO CON EL FKE. El conocimiento sobre redes neuronales se ha incrementado

de manera significativa en los últimos años, llegando a ser una metodología bien establecida para modelado y control, ésta permite resolver algunos de los problemas de control más difíciles, como identificación y control de sistemas no lineales complejos. En particular el uso de redes neuronales recurrentes, para el modelado y la reproducción de transformaciones entrada-salida, se ha incrementado en años recientes

En particular en este trabajo se utilizará una red neuronal tipo perceptrón multicapa (MLP) entrenada con un algoritmo basado En el Filtro de Kalman Extendido (FKE). Si bien este algoritmo de entrenamiento no es nuevo, es importante retomarlo debido a que actualmente goza de una excelente reputación debido tanto a los estupendos resultados que ha mostrado con muy diferentes aplicaciones [8, 11, 15] como por

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el soporte matemático que posee [11]. Considérese el MLP mostrado a continuación en la Figura 1 con ! entradas y !"# neuronas ocultas, donde ! es el número total de pesos de la red neuronal, definidos por:! = ! + 1 ×!"# + !"# + 1 ×!, y con funciones de activación logística

!! = !!!!!!!, con ! = 1,⋯ , !"# y ! ∈ ℝ

Figura 1. Red neuronal tipo MLP

El entrenamiento se realiza a partir de un conjunto de ! mediciones entrada-salida. El objetivo es encontrar los pesos óptimos que minimicen el error de predicción. De tal forma, se tiene que las ecuaciones necesarias para el desarrollo del algoritmo basado en el FKE son: ! ! = ! ! !! ! ! ! + ! ! ! ! !! ! !! (1) ! ! + 1 = ! ! + !" ! !(!) (2) ! ! + 1 = ! ! − ! ! ! ! ! ! + !(!) (3) con ! ! = ! ! − !(!) (4) donde ! ∈ ℝ!×! representa la matriz de covarianza del error de predicción al tiempo k; ! ∈ ℝ! es el vector de pesos (estados); ! ∈ ℝ! es el vector de salidas, donde ! es el número total de salidas; ! ∈ ℝ! es la salida de la red neuronal; ! ∈ ℝ!×! es la matriz de ganancia de Kalman; ! ∈ ℝ!×! es la matriz de covarianza del ruido de proceso; y ! ∈ ℝ!×! es la matriz de covarianza del ruido de medición. ! ∈ ℝ!×! es la matriz que contiene las derivadas de cada salida de la red neuronal !! con respecto a cada uno de los pesos !!, tal y como se define a continuación:

!!" ! = !!(!)!!!(!) !∗ ! !!(!!!)

, ! = 1,⋯ ,! ! ! = 1,⋯ , !

(5) Es importante notar que (4) se define como el error de aproximación y está definido por la diferencia entre la salida de la red neuronal !(!) y la señal que se quiere aproximar !(!) , en este caso la serie de tiempo, la cual se puede considerar como un sistema no lineal de forma genérica, descrito por: ! ! + 1 = !(! ! ,⋯ , !(! − !), ! ! ,⋯ , !(! − !)) (6) donde ! es la dimensión del espacio de estado y ! es un mapeo que existe y cuyo valor está definido en termino de los valores pasados de si mismo y de las entradas externas. Si se define un vector de regresión ! ! = [! ! ,⋯ , !(! − !), ! ! ,⋯ , !(! − !)]! (7)

entonces el sistema no lineal (6) se puede aproximar por una red neuronal ideal definida como: ! ! + 1 = !∗!! ! ! + ! (8) donde !(∙) es un vector que contiene términos sigmoides definidos por la estructura de la red neuronal, se supone la existencia de un vector pesos sinápticos ideales !∗ tal que el error de aproximación se minimice en un conjunto compacto, estos pesos ideales son cantidades artificiales requeridas solo con propósitos analíticos y se consideran constantes pero desconocidos [4]. Su estimado se define como ! y en este artículo se determina con (2), por lo tanto su error de estimación queda definido como ! ! = !∗ + !(!) (9) Considerando (2), la dinámica de (9) puede reescribirse como: ! ! + 1 = ! ! − !"(!)!(!) (10) Así mismo la salida de la red neuronal mostrada en la Figura 1, implementada como un predictor y considerando un vector de entrada como el mostrado en (7) puede representarse como ! ! + 1 = !!! ! ! (11) A continuación, se presenta la primera contribución de este artículo, en donde se demuestra que el error de predicción y el error de estimación de los pesos son semi-globalmente uniformemente últimamente acotados (SGUUB, por sus siglas en inglés). Teorema 1. La red neuronal de la Figura 1, implementada como un predictor con salida (11), entrenada con un FKE (2) para predecir un sistema no lineal (8), asegura un error de predicción (4) SGUUB, además los pesos de la red neuronal permanecen acotados. Demostración. Considere una función candidata de Lyapunov, de la forma: ! ! = !!(!)! ! !(!) + !!(!) (12) Cuya primera diferencia se puede escribir como: Δ! ! = ! ! + 1 − ! ! = ! ! − !"(!)!(!) ! ! ! −!(!) ! ! − !" ! ! ! + !! ! ! ! ! + ! ! −!! ! ! ! ! ! − !!(!) (13) con ! ! = ! ! ! ! ! ! − !(!), entonces (13) se puede reeescribir como: Δ! ! = !! ! ! ! ! ! − 2!!! ! ! ! ! ! ! ! +!!!! ! + !! ! ! ! ! ! + !! ! ! ! !

!+

2!! ! ! ! ! ! − !! ! ! ! ! ! − !!(!) (14) Usando las siguientes desigualdades

!!! + !!! ≥ 2!!! !!! + !!! ≤ −2!!!

−!!"# ! !! ≥ −!!!" ≥ −!!"#(!)!! Las cuales son válidas ∀!,! ∈ ℝ!,∀!ℝ!×!,! = !! > 0, entonces (14) se puede reescribir como:

∆! ! ≤!!!! ! ! ! !!!"# ! ! − !!"# ! ! ! ! ! −

+1

+1

+1

+1

1x

2x

px

1σ

2σ

nocσ

1v y

( )211w

( )212w

( )21nocw

( )111w

( )110w

( )120w

( )10nocw

( )121w

( )12 pw

( )11nocw( )1

2nocw( )1nocpw

( )11pwM M

( )210w

+1

+1

+1

+1

1x

2x

px

1σ

2σ

nocσ

1v y

( )211w

( )212w

( )21nocw

( )111w

( )110w

( )120w

( )10nocw

( )121w

( )12 pw

( )11nocw( )1

2nocw( )1nocpw

( )11pwM M

( )210w

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!!!! ! ! ! !!!"# ! ! − !! ! +!! ! ! ! !!!!" ! ! + 2!! ! ! ! +

!! ! ! ! !!!"#! ! ! + 3 ! ! ! ! ! ! ! + 2!! (15)

Definiendo ! ! = !!"# ! ! − 3 ! ! ! ! − 2!!

! ! = !! ! ! !!!"# ! ! − !! ! ! !!!"# ! !− ! ! !!!"# ! !− ! ! !!!"#! ! ! + 1

y seleccionando !, ! y ! , tal que ! ! > 0 y ! ! > 0 ∀!, entonces (15) se puede escribir como:

∆! ! ≤ − ! ! !! ! − !! ! ! ! + 2!! Entonces ∆! ! ≤ 0 , cuando

! ! > 2!!! !

o

!(!) > 2!!! !

Por lo tanto, la solución de (4) y (9) es SGUUB, consecuentemente, el error de predicción y los pesos del MLP son SGUUB.¢

IV. RESULTADOS La segunda contribución principal de este artículo

consiste en mostrar la aplicabilidad de la metodología propuesta, para lo cual en esta sección se realiza la PPEE a un paso y a ! pasos utilizando datos del sistema europeo, los datos bajo estudio se obtuvieron del 01 de Octubre al 15 de Noviembre del 2016 (http://www.nordpoolspot.com/Market-data1/Elspot/Area-Prices/ALL1/Hourly/?view=table)

En la Figura 2, se puede observar la serie de tiempo a analizar

Figura 2. Serie de tiempo de precios de la energía eléctrica en el sistema

europeo del 01 de octubre al 15 de noviembre de 2016.

El primer paso, consiste en determinar el orden del sistema, el cual se obtiene a partir de la metodología de cao, de la cual podemos observar su desempeño en la Figura 3, a partir de la imagen obtenida por medio de la metodología de Cao [2], se puede apreciar que el orden del sistema es 8, ya que para valores superiores a 8 el cambio en la pendiente de la figura es

muy pequeño, esto indica que para representar la serie de tiempo de la Figura 2, por medio de un sistema dinámico sería necesario incluir por lo menos 8 ecuaciones diferenciales. Además, esta metodología arrojo un exponente de Lyapunov de 2.0133, lo que indica la presencia de un comportamiento caótico en esta serie de tiempo dificultando por tanto el uso de métodos lineales para su predicción, por lo cual las redes neuronales se convierten en un excelente candidato para su predicción.

Con el objetivo de tener procedimientos de evaluación de desempeño sistematizados, para la predicción a un paso como para la predicción a ! pasos, se calculan, el error relativo (4), el error medio cuadrático (EMC) y el error absoluto (EA) los cuales se obtienen a partir de:

!"# = 1! ! ! − !(!) !

!

!

con ! el número total de mediciones para el entrenamiento de la red neuronal

!" = ! ! − !(!)!(!)

Figura 3. Resultados de la metodología de Cao para la determinación del orden

del sistema

Para realizar la predicción del precio de la energía eléctrica en el sistema europeo y dado que el análisis de la serie de tiempo presenta un comportamiento altamente no lineal debido al exponente positivo de Lyapunov, las redes neuronales artificiales se convierten en un excelente candidato para realizar la predicción. En este trabajo se van a utilizar dos esquemas: serie-paralelo y paralelo, para realizar predicción a un paso y a ! pasos, respectivamente. A. Predicción a un paso

Se utiliza un MLP en configuración serie-paralelo para lograr la predicción a un paso, la estructura de la red neuronal, se muestra en la Figura 4, con 8 retardos y 10 neuronas ocultas, para el algoritmo de entrenamiento se utilizan como parámetros de inicialización, pesos aleatorios, P0=40000, R0=40000 y Q0=5000 y como criterio de finalización una cota de 5×10-5 para el error medio cuadrático (EMC).

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Figura 4. Estructura utilizada para la predicción a un paso

En la Figura 5, se pueden ver los resultados del entrenamiento y la validación o generalización para la predicción a un paso con el correspondiente error relativo de predicción en la Figura 6. La Figura 7, muestra el EMC para el entrenamiento y la Figura 8, muestra el EA.

Figura 5. Resultados de predicción a un paso

Figura 6. Error relativo de predicción a un paso

Figura 7. Evolución del EMC durante el entrenamiento

Figura 8. Error absoluto de la predicción a un paso

A partir de los resultados mostrados, es posible observar

que el criterio de finalización para el entrenamiento se alcanza en 90 iteraciones, además el error absoluto siempre es inferior al 5% para cumplir con normas internacionales. Finalmente, la media del error relativo es 0.0001281 con varianza de 0.000423.

B. Predicción a ! pasos Se utiliza un MLP en configuración paralelo para lograr la

predicción a ! pasos, la estructura de la red neuronal, se muestra en la Figura 9, con 8 retardos y 10 neuronas ocultas, para el algoritmo de entrenamiento se utilizan como parámetros de inicialización, pesos aleatorios, P0=40000, R0=40000 y Q0=5000 y como criterio de finalización una cota de 1×10-4 para el error medio cuadrático (EMC).

Figura 9. Estructura utilizada para la predicción a “n” pasos

En la Figura 10, se pueden ver los resultados del

entrenamiento y la validación o generalización para la predicción a ! pasos con el correspondiente error relativo de predicción en la Figura 11. La Figura 12, muestra el EMC para el entrenamiento y la Figura 13, muestra el EA.

ALANIS : ELECTRICITY PRICES FORECASTING USING 109

Figura 10. Resultados de predicción a n pasos

A partir de los resultados mostrados, es posible observar

que el criterio de finalización para el entrenamiento se alcanza en 750 iteraciones, además el EA siempre es inferior al 5%, durante el entrenamiento, sin embargo una vez que la red evoluciona por sí misma en la generalización, el error rápidamente comienza a incrementarse, lo cual es una situación esperada, debido a la presencia de comportamiento caótico de esta serie de tiempo lo cual provoca que sea difícil realizar una predicción precisa a ! pasos. Finalmente, la media del error relativo es 0.005421 con varianza de 0.004314.

V. CONCLUSIONES En este artículo se han presentado los resultados del uso de algoritmos de entrenamiento para redes neuronales artificiales basados en el filtro de Kalman extendido para la predicción de series de tiempo de precios de energía eléctrica. Los resultados obtenidos permiten demostrar la factibilidad de la implementación de la serie de tiempo por medio de una arquitectura neuronal multicapa y un algoritmo de entrenamiento por medio de filtros de Kalman, mostrando la eficiencia del sistema presentado y permiten visualizar otras aplicaciones del algoritmo para la predicción de series de tiempo en sistemas eléctricos de potencia.

AGRADECIMIENTOS El autor agradece el apoyo del CONACYT México, a través del proyecto CB256769 (Proyecto apoyado por el fondo sectorial de investigación para la educación).

Figura 11. Error relativo de predicción a n pasos

Figura 12. Evolución del EMC durante el entrenamiento

Figura 13. Error absoluto de la predicción a n pasos

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Alma Y. Alanis es Profesor-Investigador del Departamento de Ciencias Computacionales del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías de la Universidad de Guadalajara. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores en el Nivel 2 y miembro de la Academia Mexicana de Ciencias desde 2017. Cuenta con reconocimiento perfil deseable PRODEP desde 2010. Tiene la distinción “Senior Member” de la IEEE. En 2013 recibió la beca para las mujeres en la ciencia por parte de L’oreal-UNESCO-AMC-CONACYT-

CONALMEX y en 2015 recibió el premio “Cátedra Marcos Moshinsky” por parte del Instituto de Física de la UNAM, la fundación Marcos Moshinsky y el CONACYT. Actualmente es editor asociado del “Journal of Franklin Institute” de Elsevier y del “Intelligent Automation & Soft Computing” de Taylor and Francis, ambas revistas indexadas en el JCR. Sus intereses de investigación son: modelado y control neuronal (“backstepping”, control por bloques, control óptimo inverso) entre otros, así como su aplicación a sistemas automáticos de control y robótica.

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