Elaboracion de software matematico para la ensenanza del CalculoVectorial

Concepcion MURIEL

Departamento de Matematicas

Juan Manuel VIDAL

Departamento de Construcciones Navales

Adrian RUIZ, Juan B. GARCIA, Pablo PINIELLA

Alumnos colaboradores del Departamento de Matematicas

Universidad de Cadiz,

11510 Puerto Real, Cadiz, Espana

14 de junio de 2012

RESUMEN

Se describen algunas de las rutinas elaboradascon el programa Mathematica para la ensenanza deasignaturas con contenidos matematicos relacionadoscon el calculo vectorial. La creacion de ejerciciosinteractivos facilitan la comprension de contenidosmatematicos y el aprendizaje de tecnicas querequieren estas disciplinas.

1. INTRODUCCION

La Declaracion de Bolonia (1999), suscrita inicial-mente por 30 paıses europeos y con mas de 40 par-ticipantes en la actualidad, sienta las bases para laconstruccion de un Espacio Europeo de EducacionSuperior (EEES) que modifica profundamente lasmetodologıas para la transmision del conocimiento enel entorno universitario. Los nuevos estudios cuan-tifican el trabajo durante el proceso de aprendizaje,en un contexto de renovacion metodologica docente yde evaluacion continua de los conocimientos y de lascompetencias adquiridas. El EEES implica una nue-va manera de ensenar y de aprender centrado en elalumno.

Este nuevo marco obliga al profesor universitarioa renovar su propia formacion, su metodologıa, susmateriales didacticos y los sistemas tradicionales deevaluacion. Con objeto de mejorar tanto el aprendizajede los alumnos como la forma de ensenar de losprofesores, la Unidad de Innovacion docente de laUniversidad de Cadiz en Espana convoca anualmenteProyectos de Innovacion y Mejora Docente. Losresultados presentados en este trabajo se enmarcandentro del proyecto PI1-12-005 titulado “Disenode metodologıas y elaboracion de material docente

para la organizacion, planificacion y coordinacion deasignaturas con contenidos fısico-matematicos”. Lasprincipales lıneas de trabajo del proyecto son lassiguientes:

1. Disenar y mejorar la clases practicas y talleres deasignaturas con contenidos fısico-matematicos dediferentes titulaciones.

2. Coordinar contenidos de asignaturas y nomen-claturas fısico-matematicas.

3. Mejorar la exposicion magistral en este tipode asignaturas mediante material grafico yanimaciones.

4. Potenciar el trabajo activo del alumno con lacreacion de ejercicios interactivos en entornosinformaticos amigables.

Uno de los resultados del proyecto es la creacionde un marco de interaccion entre profesores dediferentes titulaciones y/o areas de conocimientoque produzca beneficios en un doble sentido: lasasignaturas de Matematicas se enriquecen con casospracticos y las de Ciencias Experimentales (Fısica,Ingenierıas, etc.) pueden avanzar con mas facilidad siutilizan la misma notacion y conceptos que el alumnoestudia en asignaturas de Matematicas. Para ello secrean materiales didacticos comunes que permitanuna metodologıa diferente e innovadora en estasdisciplinas: se potencia el uso de las nuevas tecnologıaspara que el alumno pueda ir resolviendo problemas deforma interactiva y agudizar su pensamiento crıtico.

Uno de los materiales didacticos creados duranteel proyecto de innovacion es un software informatico,interactivo y especıfico para la ensenanza del CalculoVectorial y sus aplicaciones e interpretaciones fısicas([5],[9],[8]). En este trabajo nos centramos en los

contenidos mas matematicos del software y en elanalisis de resultados en alumnos que han cursado laasignatura Analisis Vectorial de tercer curso del gradoen Matematicas que se imparte en la Universidadde Cadiz. Un enfoque centrado en las aplicaciones aproblemas practicos en las Ciencias Experimentales,sus interpretaciones fısicas y el analisis de resultadospara alumnos de Ingenierıas son presentados en [16].

Las rutinas han sido creadas usando Mathematica8.0 por su potencia grafica y la posibilidad de crearproyectos elaborados que pueden ser muy complicadosde realizar en otros lenguajes de programacion([1],[4],[7],[17]). Ademas, las nuevas instruccionesincluidas en las ultimas versiones para realizaranimaciones, que permiten al usuario manipulargraficos o calculos de forma interactiva, se adaptana la perfeccion a las necesidades propias de estasdisciplinas. El paquete de rutinas se ha creado enbase a la necesidad de desarrollar los contenidos quese describen a continuacion, agrupados en diferentesunidades didacticas.

2. VARIEDADES DIFERENCIABLES

El alumno de la titulacion de Grado en Matematicasse ha encontrado en cursos anteriores de calculo de unay/o varias variables con variedades diferenciables des-critas como graficas de funciones. Este concepto pre-vio se formaliza mediante la representacion explıcita.Localmente, estos conjuntos son graficas de funcionesdiferenciables, expresadas en alguna base ordenada deRn. Si la base es la canonica, las ordenes de Mathe-matica mas adecuadas a este tipo de representacionson las instrucciones Plot y Plot3D para representargraficas de funciones en R2y en R3. El uso de basesdiferentes requiere utilizar otras instrucciones comoParametricPlot y ParametricPlot3D.

Muchos conjuntos de la geometrıa clasica apare-cen al describir un recinto como el lugar geometricode los puntos del plano o del espacio que satisfacenunas condiciones descritas por una o varias ecuaciones.Se formaliza matematicamente el concepto de repre-sentacion implıcita, especialmente adecuada para de-scribir conjuntos que se obtienen como cortes o in-tersecciones de otros, y se introducen las ordenes deMathematica necesarias para representar curvas y su-perficies dadas en forma implıcita (ContourPlot, Con-tourPlot3D).

En otras ocasiones es muy natural describir un con-junto por medio de uno o varios parametros que fi-jan de forma inequıvoca la posicion de los puntos delconjunto. Las ordenes ParametricPlot y Parametric-Plot3D con sus opciones son las adecuadas para repre-sentar conjuntos descritos en forma parametrica. Los

cambios de coordenadas polares, cilındricas y esfericasjuegan un papel fundamental a la hora de aprender aparametrizar ciertas curvas y superficies. La potenciade las ultimas versiones del Mathematica son de granayuda para comprender el significado de los parame-tros involucrados en los nuevos sistemas de coordena-das ([2],[10]).

En la Figura 1 se muestra una rutina sobre lascoordenadas esfericas, que permite experimentar alalumno eligiendo los valores de los parametros yobservando los cambios producidos sobre la grafica.Automaticamente el procedimiento calcula y escribelas correspondientes coordenadas del punto en ambossistemas de coordenadas. Rutinas analogas permitentrabajar con las coordenadas polares en R2 y lascoordenadas cilındricas en R3.

Figura 1: Coordenadas esfericas

r

!

"

r # 11.00

! # 17.00 !10.00

" # !5.00

x # r cos!!" sin!"" # 3.80y # r sin!!" sin!"" # "5.20z # r cos!"" # 8.90

x y

z

#

$

La nocion de recta tangente a la grafica deuna funcion de una variable se generaliza paraintroducir el concepto de espacio afın tangenteutilizando representaciones explıcitas. A traves delas equivalencias entre las distintas representacionesse deducen formas alternativas de calcular espaciostangentes y se introducen las instrucciones delprograma necesarias para realizar los calculos. Es muyimportante que el alumno aprenda a calcular vectorestangentes utilizando las diferentes respresentaciones yque sepa elegir entre ellas la que mas se adapta a cadarecinto.

Animaciones como la de la Figura 2, inspirada en[14], es muy util para representar de forma interactivalos vectores tangentes y normales a curvas en R2.El alumno puede elegir que tipo de vector quiererepresentar y se pueden elegir diferentes recintos defunciones, con diferentes caracterısticas. Los vectorespueden normalizarse a eleccion. La seleccion del puntosobre el que se quieren representar dichos vectores serealiza sobre un panel bidimensional, de forma queambos vectores se dibujan sobre cualquier punto del

espacio, y no solo sobre los puntos de la grafica. Es unexcelente ejercicio para ilustrar el concepto de campovectorial, que aplica a cada punto un vector. De estaforma se facilita la comprension de los conceptos decampos vectoriales tangentes y/o campos vectorialesnormales a una variedad que se usaran en posterioresunidades didacticas.

Figura 2: Vectores tangentes y normales a graficas de funciones

Tangente Normal normalizar granformato ecuación

función ej.1 ej.2 ej.3 ej.4 ej.5 ej.6 ej.7

localización

!3 !2 !1 1 2 3

!3

!2

!1

1

2

3

y ! x3 " 0

Entre las competencias especıficas que el alumnoadquiere en esta unidad didactica se destacan:

1. Saber dibujar curvas y superficies en el plano yen el espacio dadas en forma implıcita, explıcitasy parametricas.

2. Saber decidir intuitivamente a partir de lasrepresentaciones graficas y un conjunto esvariedad diferenciable o no.

3. Entender el concepto de curva y/o superficiede nivel y saber decidir cuando son variedadesdiferenciables.

4. Reconocer recintos clasicos a partir de susecuaciones implıcitas.

5. Entender el significado de los parametros encoordenadas polares, cilındricas y esfericas.

6. Saber parametrizar curvas y superficies

7. Saber calcular y dibujar la recta tangente auna curva y el plano tangente a una superficieutilizando diferentes representaciones.

8. Saber calcular y dibujar vectores normales a unavariedad utilizando diferentes representaciones.

9. Utilizar animaciones para visualizar vectorestangentes y vectores normales.

3. ORIENTACION

El cambio de signo en una integral de Riemman deuna funcion de una variable cuando se intercambianlos lımites de integracion es una idea sencilla quejustifica la necesidad de definir conceptos comorecorrer una curva de izquierda a derecha, la caraexterior de una superficie, etc. Estos conceptos seusan constantemente en los textos de calculo vectorialsin mucha precision, pues dependen del punto devista del observador. Por otro lado, definicionesbasada en formas fundamentales, sistemas continuosde orientaciones, etc., usuales en libros de matematicaavanzada ([6],[15]), son demasiado abstractos ydificultan la compresion intuitiva del concepto deorientacion.

En este tema tan delicado, las ordenes demanipulacion dinamica (Manipulate, Animate) de lasultimas versiones del Mathematica son de especialutilidad. El software desarrollado incluye rutinas quepermiten:

1: Visualizar el concepto de vector que apunta haciafuera en puntos del borde de variedad con pseudo-borde ([12],[13]). En la Figura 3 se muestra unaaplicacion de la rutina, que permite visualizar losvectores en cada punto del borde. Utilizando diferentesvectores en el espacio de los parametros, el alumnocomprueba que el signo de la primera coordenada esel que determina el sentido del vector en el borde dela variedad.

Figura 3: Vector que apunta hacia fuera

2: Dibujar animaciones para visualizar la orien-tacion a traves de campos de vectores tangentes,transversales y normales en el caso de hipersuperficies.

3: Comprobar de una forma interactiva si unaparametrizacion es coherente o no con una orientacionprefijada. La rutina presentada en la Figura 4 permiteelegir diferentes parametrizaciones y dibujar un vectortangente en cada punto de la curva. El movimientodel vector a lo largo de la curva ayuda a visualizarla orientacion que la parametrizacion elegida define

sobre la curva.

Figura 4: Parametrizaciones y orientacion

t0 4.8

longitud 1.8

!!t""#cos!t", sin!t", t$

#10

1#1

0

1

0

$

2

$

3 $

2

2 $

t0 #4.8

longitud 1.8

!!t""#cos!t", #sin!t", #t$

#10

1#1

0

1

0

$

2

$

3 $

2

2 $

4: Determinar visualmente la orientacion inducidaen el borde por una orientacion prefijada en lavariedad.

5: Comprender el concepto de no-orientabilidad conanimaciones utilizando la banda de Mobius (Figura5).

Figura 5: Parametrizaciones y orientacion

t0

0

t!0

"4

"2

0

2

4

X

"4"2

02

4

Y

"2

"1

0

1

2

Z

t0

2#

t!2#

"4

"2

0

2

4

X

"4"2

02

4

Y

"2

"1

0

1

2

Z

4. MEDIDA E INTEGRACION EN

VARIEDADES

El alumno del grado en Matematicas conoce de lateorıa de integracion como asociar longitudes, areas yvolumenes a los subconjuntos medibles en R, R2 y R3

respectivamente. Sin embargo, la medida de Lebesgueasocia valor cero a un segmento en R2 o en R3, auna superficie en R3 y no proporciona una medidade longitud en R2 ni una medida de area en R3.Comenzando por el caso mas sencillo se establece unconcepto de medida adecuada sobre los subespaciosde un espacio vectorial para llegar de forma natural alconcepto de medida de paralelepıpedo y su relacion

con del producto exterior de los vectores que lodirigen. Con ordenes del tipo Wedge o Cross se puedenresolver facilmente los problemas de calculo en estassituaciones sencillas. En la Figura 6 se muestra lainterpretacion geometrica del producto mixto de tresvectores en el espacio. El alumno puede seleccionar lascoordenadas de los vectores y la rutina los dibuja ycalcula el valor de su producto mixto. Opcionalmentepuede mostrarse el paralelepıpedo que forman dichosvectores y su volumen se calcula de forma dinamica.

Figura 6: Producto mixto

Al concepto de medida (local) en una variedadpuede llegarse de forma heurıstica por aproximacionesde medida de paralelepıpedos construidos sobre cadaespacio tangente. En la Figura 7 se muestra elresultado de aplicar una rutina que representa dichosparalelepıpedos y su proyeccion como una regionsombreada en la superficie, con la posibilidad demodificar todos los elementos de forma interactiva,ayudan a entender de una forma muy efectivaeste procedimiento de medida por aproximacion ya interpretar el elemento de medida (longitud osuperficie) como el factor de expansion entre la medidaen Rk.

Se disenan diferentes rutinas para automatizarel calculo de integrales de lınea y superficie. Lasnuevas ordenes PlotVectorField, ListPlotVectorField,GradientFieldPlot, y sus versiones en 3D incluidasen la version 8.0 del programa Mathematica sonutilizadas para explicar la interpretacion fısica de unaintegral de linea en terminos del trabajo al considerarel campo como un campo de fuerzas o de una integralde superficie como el flujo del campo a traves de lasuperficie.

La Figura 8 muestra los objetos que intervienenen la evaluacion de una integral de linea en R2

([3]). Los alumnos pueden cambiar la curva o utilizardiferentes parametrizaciones para investigar el efectode la orientacion sobre el resultado de la integral. El

Figura 7: Medidas en una variedad

h1

h2

Posición incial

!

4

!

2

3 !

4!

t

!

2

!

3 !

2

2 !

a

"2

"1

0

1

2

X

"2

"1

0

1

2

Y

0

1

2

3

Z

campo vectorial que se integra tambien puede elegirsea conveniencia.

Figura 8: Integral de linea

punto 7.1

Campos !x,y"

!3 !2 !1 1 2 3

!3

!2

!1

1

2

3

5. LOS TEOREMAS CLASICOS DEL ANALISIS

VECTORIAL

Los teoremas clasicos del analisis vectorial aparecencomo casos particulares del teorema de Stokes general,usualmente presentado y demostrado en los textos dematematica avanzada en el lenguaje de las formasdiferenciales. La potencia de Mathematica comoprograma de calculo simbolico facilita la comprension,

mediante comprobacion directa de calculos, dela equivalencia entre el enfoque clasico (camposvectoriales y escalares) y el enfoque moderno de lasformas diferenciales. Al mismo tiempo, el alumnoadquiere la agilidad y destreza necesarias para utilizarindistintamente ambas tecnicas. En esta traduccionde lenguajes, las operaciones clasicas (gradiente,rotacional, divergencia etc.) aparecen asociadas a ladiferencial exterior de formas diferenciales ([12]).

Los teoremas de Green, Stokes clasico, y de ladivergencia nos permiten en particular establecersignificados fısicos para los conceptos de divergenciay rotacional. Todas estas operaciones entre camposescalaras y/o vectoriales estan implementadas comoinstrucciones del package Vector Analysis. Ademasde ejercicios de verificacion del teorema de Stokes,se incluyen otros ejercicios interactivos de calculostıpicos de asignaturas de fısica, como puede ser ladeterminacion de centros de gravedad y momentos desuperficies.

6. METODOLOGIA Y RESULTADOS

El material elaborado se organizo en diferenteslaboratorios agrupados por unidades tematicas. Ladocencia de la asignatura Analisis Vectorial seimpartio durante el primer semestre del cursoacademico 2011-2012 para alumnos del tercer cursodel grado en Matematicas en la Universidad de Cadiz.Cada alumno recibe tres sesiones de una hora dirigidaspor el profesor mas dos horas a la semana dedicadasa los laboratorios. Las clases de laboratorio se dividenen grupos, con una media de diez alumnos por aula. Atraves del campus virtual de la Universidad de Cadizlos alumnos disponen del material con antelacion,incluyendo informacion sobre los objetivos que sedesean alcanzar en cada taller y las pruebas que tienenque realizar y entregar para su evaluacion. En laprimera de las dos sesiones el profesor explica loscontenidos y los procedimientos de los que constacada laboratorio, mostrando ejemplos resueltos, comocoleccion de problemas tipo. En la segunda de lassesiones el alumno experimenta con el material ytrata de resolver los problemas propuestos; se fomentala participacion en grupos aunque la entrega deejercicios es individual. El profesor supervisa losprogresos y resuelve las posibles dificultades o dudasque estan surgiendo. Al final de la segunda sesion elalumno dispone de un tiempo limitado para enviar susrespuestas a traves del campus virtual.

Al final de la experiencia los alumnos valoraron pos-itivamente el uso del material para comprender mejorconceptos difıciles de aprender, como el de orienta-bilidad y variedad con pseudoborde. Demandan masdedicacion de horas a los laboratorios, posiblementeporque despierta su interes y participacion, pero al

mismo tiempo creen necesario el desarrollo de la ma-teria en pizarra por parte del profesor. Consider-an muy positivas las aplicaciones a problemas fısicospero manifiestan poca satisfaccion sobre los resultadosobtenidos, lo que nos lleva a reforzar este punto en ex-periencias sucesivas. La interaccion entre profesores dedistintas disciplinas que se ha desarrollado gracias aeste proyecto nos ha aportado una vision mas ampliade las necesidades y deficiencias de cada sistema deensenanza individual.

En general los resultados de las evaluaciones delos alumnos, en comparacion con los alcanzadas enel curso anterior con el mismo profesorado, sonconsiderablemente mejores, pero necesitaremos mastiempo para evaluar esta tendencia mas alla de lascaracterısticas propias de cada curso.

Agradecimientos: Los autores agradecen la ayudadel grupo FQM201 de la junta de Andalucıa, delproyecto MTM2009-11875 del Ministerio de Cienciae Innovacion y del proyecto de Innovacion DocentePI1-12-005 de la Universidad de Cadiz.

REFERENCIAS

[1] M.L. Abell, J.P. Braselton. Mathematica byexample. Academic Press, 2008.

[2] J. Bryant, “Cylindrical Coordinates”and “Spherical Coordinates” fromthe Wolfram Demonstrations Project(http://demonstrations.wolfram.com).

[3] C. Glosser, “Vector Field Acting on a Curve”from the Wolfram Demonstrations Project(http://demonstrations.wolfram.com/ Vector-FieldActingOnACurve/).

[4] J. Hoste.Mathematica DeMYSTiFied. McGraw-Hill, 2008.

[5] R. Larson y R. Hostetler. Calculo y GeometrıaAnalıtica. McGraw-Hill, 1989.

[6] K. Janich. Vector Analysis. Springer-Verlag,2001.

[7] S. Mangano. Mathematica Cookbook. O’ReillyMedia, 2010.

[8] J. E. Marsden y A. J. Tromba. Calculo Vectorial.Addinson-Wesley Iberoamericana, 1991.

[9] J. Marsden y A. Weinstein. Calculus. Springer-Verlag, 1985.

[10] F. Mohamed, “Exploring Spherical Coordi-nates” and “Exploring Cylindrical Coordinates”from the Wolfram Demonstrations Project(http://demonstrations.wolfram.com).

[11] J. R. Munkres. Analysis on Manifolds. Addinson-Wesley, USA, 1991.

[12] J.L. Romero, F. Benıtez, C. Muriel, “AnalisisVectorial”. Dpto de Matematicas. Universidad deCadiz. 2004.

[13] J.L. Romero, F. Benıtez, C. Muriel, “Proble-mas Resueltos de Analisis Vectorial”. Dpto deMatematicas. Universidad de Cadiz. 2004.

[14] E. Schulz, “Visualizing the Gradient Vec-tor” from the Wolfram Demonstrations Project(http://demonstrations.wolfram.com).

[15] M. Spivak, Calculo en Variedades. Reverte, 1970.

[16] J. Vidal y otros, “Aplicaciones fısico-matematicaspara la ensenanza de Analisis Vectorial enalumnos del primer curso de grados de Cienciase Ingenierıas”. Noveno Simposio Iberoamericanoen Educacion, Cibernetica e Informatica: SIECI2012.

[17] S. Wagon. Mathematica in Action: ProblemSolving Through Visualization and Computation.Springer, 2010.