El movimiento Browniano a mas de un siglo de

Einstein

Francisco Javier SevillaInstituto de Fısica, UNAM

fjsevilla@fisica.unam.mx

Resumen

El objetivo de estas notas es dar un panorama general de algunosde los conceptos que actualmente se usan en la Fısica de sistemas fuerade equilibrio, tales como la ecuacion maestra generalizada, la ecuacionde Lagevin generalizada y las caminatas aleatorias de tiempo continuo,poniendo enfasis en su aplicacion al fenomeno de difusion anomala. Lapresentacion pretende ser autocontenida, ası, en la primera seccion seintroducen los conceptos basicos necesarios comenzando con la teorıa delmovimiento borwniano de Einstein.

1. El Movimiento Browniano

Sin duda para todos nos es familiar el movimiento irregular de una partıculamuy ligera suspendida en el aire. El mismo efecto fue observado por RobertBrown, un renombrado botanico Ingles, en 1827, cuando con la ayuda de unmicroscopio examinaba atentamente el movimiento de granos de polen en unlıquido a temperatura ambiente. Brown noto que la trayectoria se vuelve masirregular al aumentar la temperatura del lıquido. Brown trataba de encontrar unorıgen biologico a dicho movimiento que desde entonces se le llama movimientobrowniano.

En 2005 se celebraron los 100 anos cuando Einstein publico tres trabajos desuma importancia. Dos de ellos contribuyeron al entendiemiento de la naturalezade la luz y del espacio-tiempo y que cambiaron la fısica de su tiempo. El trabajorestante se refiere precisamente al movimiento browniano [1].

Las hipotesis de Einstein para la elaboracion de su teorıa del movimientobrowniano estan basados en dos apectos que eran tema de debate en su epoca:

hipotesis atomıstica: el movimiento irregular de la partıcula se debe a lasincesantes colisiones con las moleculas del fluido en el que esta suspendida,

hipotesis probabilıstica: el movimiento de las moleculas es muy complicadopor lo que es necesario hacer una descripcion basada en probabilidades.

1

No era la primera vez que se usaba la probabilidad en fısica, pues Maxwell yBoltzmann la habıan usado ya en sus respectivas teorıas cinetica de los gases,sin embargo, las distribuciones de probabilidad calculadas describen cantida-des macroscopicas en equilibrio termodinamico y por tanto independientes deltiempo. En contraste, la distribucion de probabilidad calculada de la teorıa deEinstein incorpora de manera natural un aspecto dinamico.

Einstein reconocio tres escalas de tiempo involucradas en su teorıa: unaescala de tiempo microscopica asociada al tiempo entre colisiones tcoll, una escalade tiempo mesoscopica ∆t y una escala de tiempo macroscopica correspondientea los tiempo de obervacion tobs, de tal modo que tcol � ∆t� tobs.

En el lapso de tiempo ∆t la partıcula browniana recibe una cantidad muygrande de impactos de las moleculas del fluido circundante, por lo que la diferen-cia en posicion ∆r = r(t+∆t)−r(t) es una cantidad aleatoria cuya distribucionde probabilidades no se conoce. Como ha sido senalado por Van Kampen [2],el calculo de probabilidades es reducida al calculo de la transformacion de unaprobabilidad dada a priori. En el caso de Einstein se asume que el cambio en laposicion de la partıculas ∆r tiene una distribucion de probabilidad φ(∆r; ∆t)que satisface las siguientes propiedades:∫∫∫

d3(∆r)φ(∆r; ∆t) = 1, (1)

φ(∆r; ∆t) = φ(|∆r|; ∆t). (2)

La dependencia de φ(∆r; ∆t) en ∆t puede entenderse debido a las incesantescolisiones de las moleculas del lıquido con la partıcula, pues debido a estas,la incertidumbre en la posicion sera mayor cuanto mayor sea el tiempo entreobservaciones. Ademas debe suponerse que

lım∆t→0

1

6∆t

∫∫∫d3(∆r) ∆r2φ(∆r; ∆t) (3)

existe y es finito.Einstein supuso implıcitamente que el exceso de energıa ganada por colisiones

es tambien removido por las mismas. Este principio se conoce con el nombre debalance detallado1 que en general dice que el exceso de energıa puesto en cadamodo de un sistema en equilibrio termodinamico en el curso de fluctuacionestermicas, es tambien removido del mismo modo por fuerzas disipativas [3].

Considere ahora la densidad de probabilidad P (r, t) de encontrar a la partıcu-la alrededor de la posicion r al tiempo t en un elemento de volumen d3r nuestroobjeto de interes. La ecuacion que satisface P (r, t) puede construirse a partir dela siguiente supocision plausible:

P (r, t+ ∆t) =

∫∫∫d3(∆r)φ(∆r; ∆t)P (r + ∆r, t), (4)

es decir, la densidad de probabilidad de encontrar a la partıcula alrededor de ral instante t+ ∆t requiere de todas las posibilidades de encontrar a la partıcula

1Del ingles “detailed balace.”

2

alrededor de r+∆r al tiempo t multiplicada por la probabilidad de que el cambioen la posicion sea ∆r. A los procesos descritos por esta suposicion introducidapor Einstein se les conoce como procesos Markovianos y la ecuacion (4) se conocecomo ecuacion de Chapman-Kolmogorov [4].

Suponiendo ∆t muy pequeno uno espera que φ(∆r; ∆t) sea muy “angos-ta” por lo que tanto el miembro izquierdo de (4) como P (r + ∆r, t) puedendesarrollarse en series de Taylor, por lo que

P (r, t) +∂P (r, t)

∂t∆t+ . . . =

∫∫∫d3(∆r)φ(∆r; ∆t)[

P (r, t) +∇P (r, t) ·∆r +1

2(∆r · ∇)

2P (r, t) + . . .

].

El primer termino del miembro izquierdo se simplifica con el primer termino delmiembro derecho debido a la propiedad (1) y la simetrıa esferica de φ(∆r; ∆t)nos lleva a concluir que el segundo termino del miembro izquierdo es cero. Ası,truncando la serie del miembro izquierdo a primer orden en ∆t y a segundoorden en ∆r en el miembro derecho, obtenemos la celebre ecuacion de difusion

∂P (r, t)

∂t= D∇2P (r, t), (5)

donde D esta dado por el lımite en (3) y es llamada constante de difusion. Las

unidades de D son [D] = longitud2

tiempo = masa×velocidad2× tiempomasa , frecuentemente

asociado al area por unidad de tiempo que explora una partıcula browniana. Sinembargo como se mostrara adelante, en equilibrio termico se espera que (relacionde Einstein) D ∝ kBT

γ donde γ es una constante que tiene unidades de masa

entre tiempo. La ecuacion de difusion (5) es un caso particular de lo que ahorase conoce como ecuacion de Fokker-Planck [5].

Considere el caso en el que las fronteras estan en infinito. Con el fin de hacerclaro el argumento, consideremos el caso en una dimension espacial. Multipli-cando (5) por x2 e integrando de −∞ hasta ∞ respecto a x encontramos unaecuacion para el desplazamiento cuadratico promedio, 〈x2(t)〉, a decir

d

dt〈x2(t)〉 = 2D, (6)

cantidad que cuantifica el incertidumbre en la posicion como funcion del tiempo.Resulta entonces que

〈x2(t)〉 = 2Dt, (7)

donde hemos supuesto que 〈x2(0)〉 = 0. A la dependencia lineal con el tiempo deldesplazamiento cudratico promedio se denomina frecuentemente en la literaturacomo difusion normal, en distincion con otros procesos en los que la dependenciatemporal deja de ser lineal.

3

Figura 1: Diferentes realizaciones de la posicion (eje vertical) como funcion deltiempo, de una partıcula browniana en una dimension.

El metodo de Langevin Tres anos despues de la presentacion del trabajo deEinstein sobre el movimiento browniano, P. Langevin presento un metodo basa-do en las trayectorias de la partıcula [6], completamente distinto al de Einsteiny que proporciona las mismas predicciones.

El metodo de Langevin esta basado en la ecuaciones de movimiento clasicasde Newton a las que incorpora dos fuerzas que tienen su origen en la interaccionde la partıcula y el lıquido circundante: i) una fuerza de origen sistematico,relacionada con la viscocidad del fluido en el que yace la partıcula y ii) unafuerza de origen estocastico debido a las rapidas e incesantes colisiones de lapartıcula con la moleculas que forman al fluido. La descripcion de Langevinesta basada en una escala de tiempo microscopico a diferencia de la escalamesoscopica en la que esta basada la teorıa de Einstein. Sin embargo en ellımite llamado “sobreamortiguado” ambas descripciones son equivalentes.

En una dimension las ecuaciones de movimiento son

mdv

dt= −γv + ξ(t) (8)

donde m es la masa de la partıcula y v = dxdt . Esta ecuacion llamada general-

mente ecuacion de Langevin es considerada el primer ejemplo de una ecuaciondiferencial estocastica. El primer termino en el miembro derecho de (8) corres-ponde a los efectos disipativos debidos a la viscocidad del fluido, donde γ esel coeficiente de friccion, mientras que ξ(t) es la fuerza aleatoria. En la litera-tura actual, el proceso estocastico definido por (8) se conoce como proceso deOrnstein-Uhlenbeck.

4

Ası como Einstein tuvo la necesidad de suponer las propiedades, fısicamenteplausibles, de la distribucion de incrementos ∆r, Langevin ası tambien tuvoque suponer las propiedades mas adecuadas de la fuerza estocastica ξ(t). Lasconsideraciones mas simples para la fuerza aleatoria estan dadas por

〈ξ(t)〉 = 0, (9)

〈ξ(t)ξ(s)〉 = Γ δ(t− s), (10)

donde δ(t) es la “funcion” delta de Dirac y Γ es una constante con unidades

de(masatiempo

)2longitud2

tiempo . De esta ultima relacion, uno puede reconocer que Γ y γ

estan relacionadas e incluso conjeturar que Γ ∝ γ2D donde D es la constantede difusion que aparece en la ecuacion (5).

La solucion formal a la ecuacion (8) puede obtenerse por medios convencio-nales y es expreseda como

v(t) = v(0)e−γm t +

1

m

∫ t

0

ds e−γm (t−s)ξ(s). (11)

Es claro que 〈v(t)〉 = v(0)e−(γ/m)t dacae muy rapido a cero para tiempost � m/γ, en otras palabras, el sistema pierde toda informacion de las con-diciones iniciales en un tiempo caracterıstico m/γ y se dice que la partıculaalcanza un estado de equilibrio con el lıquido circundante. Notese que este tiem-po corresponde a la escala de tiempo ∆t que Einstein introdujo a priori en suteorıa.

Una cantidad importante es la funcion de auto-correlacion de la velocidad,definida por 〈v(t)v(s)〉. Suponga que la partıcula ha alcanzado el equilibriotermico con el fluido, en otras palabras que no hay rastros de la velocidadinicial de la partıcula. Entonces, uno puede suponer que en el pasado remoto,t→ −∞, la partıcula tenıa una velocidad inicial v(0), por lo que para t > s setiene:

〈v(t)v(s)〉 =1

m2

∫ t

−∞ds1

∫ s

−∞ds2 e

− γm (t−s1)e−

γm (s−s2)〈ξ(s1)ξ(s2)〉

=Γ

m2

∫ t

−∞ds1

∫ s

−∞ds2 e

− γm (t−s1)e−

γm (s−s2)δ(s1 − s2)

=Γ

m2

∫ s

−∞ds1e

− γm (t−s1)e−

γm (s−s1)

=Γ

m2e−

γm (t+s)

∫ s

−∞ds1e

2 γm s1

=Γ

2mγe−

γm (t−s),

donde se ha usado el hecho que 〈ξ(t)v(0)〉 = 0. Del mismo modo, para s >t se tiene que 〈v(t)v(s)〉 = (Γ/2mγ)e−

γm (s−t) por lo que la funcion de auto-

correlacion de la velocidad se puede escribir como

〈v(t)v(s)〉 =Γ

2mγe−

γm |t−s|. (12)

5

La dependencia en t−s es una caracterıstica importante y se dice que el procesoes estacionario, es decir, que no depende del tiempo en que se realice la medicion.

Una vez se conoce la funcion de auto-correlacion de la velocidad, el despla-zamiento cuadratico promedio puede calcularse a traves de la relacion

〈[x(t)− x(0)]2〉 =

∫ t

0

ds1

∫ t

0

ds1〈v(s1)v(s2)〉, (13)

pues x(t) = x(0) +∫ t

0ds v(s). De este modo tenemos que

〈[x(t)− x(0)]2〉 =Γ

2mγ

∫ t

0

ds1

∫ t

0

ds2 e− γm |s1−s2|

=Γ

2mγ

[∫ t

0

ds1

∫ s1

0

ds2 e− γm (s1−s2) +

∫ t

0

ds1

∫ t

s1

ds2 e− γm (s2−s1)

]=

Γ

mγ

∫ t

0

ds1

∫ s1

0

ds2 e− γm (s1−s2)

=Γm

γ3

[ γmt−

(1− e−

γm t)]. (14)

Para tiempos en la escala microscopica, es decir, tiempos mucho mas pequenosque m/γ uno debe esperar que los efectos de las colisiones sobre las partıculassean mınimos y por tanto, un comportamiento balıstico

〈[x(t)− x(0)]2〉 −→ Γ

2mγt2. (15)

En el otro extremo, para tiempos mucho mas grandes que m/γ los efectos delfluido sobre la partıcula son notorios y se tiene entonces

〈[x(t)− x(0)]2〉 −→ Γ

γ2t, (16)

es decir, la partıcula se mueve exhibiendo difusion normal como en la teorıa deEinstein.

La relacion fluctuacion-disipacion Como ya se menciono, Einstein supusoimplıcitamente que en equilibrio termodinamico, el exceso de energıa cineticaque las moleculas del fluido transfieren a la partıcula browniana a traves decolisiones, es tambien removido por fuerzas disipativas. Este hecho queda masclaro aun en el metodo de Langevin. Este principio de balance es conocidocomo el teorema de fluctuacion-disipacion [7] el cual ımplica, como mostrare acontinuacion, una relacion entre Γ y γ come se conjeturo en la definicion de laprimera.

Una manera simple y novedosa de encontrar la relacion entre la la magnitudde correlacion de la fuerza aleatoria Γ y la intensidad de la fuerza de disipa-cion γ es apartir de la velocidad cudratica promedio 〈v2(t)〉. De la expresion

6

(11) y considerando que la partıcula ha alcanzado el equilibrio termico con susalrededores tenemos que

〈v2(t)〉 =1

m2

∫ t

−∞ds1

∫ t

−∞ds2 e

− γm (t−s1)e−

γm (s−s2)〈ξ(s1)ξ(s2)〉,

procediendo ahora de manera similar como se calculo la funcion de autocorre-lacion se tiene

〈v2(t)〉 =Γ

m2

∫ t

−∞ds e2 γm (s−t)

=Γ

2mγ,

y por la condicion de equilibrio termodinamico 〈v2(t)〉 = kBT/m, se obtienefinalmente la relacion buscada

Γ = 2γ kBT. (17)

Reescribiendo la relacion anterior como Γ = 2γ2 kBTγ uno puede reconocer la

constante de difusion D, por lo que Γ = 2γ2D.

La caminata aleatoria Otro paradigma en la fısica estadıstica de los procesosfuera de equilibrio es el de la caminata aleatoria. Considere una red unidimen-sional de sitios separados por una distancia l en la que una partıcula se mueverealizando transcisiones entre sitios adyacentes cada τ unidades de tiempo. Su-ponga que la probabilidad de saltar del sitio M al sitio inmediato a la derechaM + 1 es la misma a la de saltar al sitio inmediato a la izquierda M − 1, e iguala 1

2 . De tal modo que a un instante dado la probabilidad de saltar es 1. La lon-gitud total al tiempo nτ de una caminata que comienza en el orıgen esta dadapor

X(nτ) = l

n∑j=1

σj , (18)

donde σj = ±1 con probabilidad 12 respectivamente. La secuencia cronologica

σj da las trayectorias de la partıcula y corresponde a una version discreta enespacio y tiempo de la ecuacion de Langevin (8). La dinamica mas simple seobtiene cuando σj+1 es independiente de σj .

En lugar de trayectorias, podriamos preguntarnos por la probabilidad PM (nτ)de encontrar a la partıcula en el sitio M despues de n pasos. Es intuitivamenteclaro que PM (nτ) debe satisfacer la siguiente relacion

PM (nτ) =1

2PM+1[(n− 1)τ ] +

1

2PM−1[(n− 1)τ ]. (19)

Este nivel de descripcion corresponde a la ecuacion de difusion (o de Fokker-Planck) pero por razones historicas se le conoce como ecuacion maestra.

7

El desplazamiento cuadratico promedio 〈M2(nτ)〉 ≡∑M M2PM (nτ) puede

calcularse directamente de (19) analogamente a como se calculo en el caso dela ecuacion de difusion, explıcitamente multiplique (19) por M2 y sume sobretodos los sitios M , es decir,

〈M2(nτ)〉 =1

2

∑M

M2PM+1[(n− 1)τ ] +1

2

∑M

M2PM−1[(n− 1)τ ]. (20)

Si se sustituye M2 por (M±1∓1)2 respectivamente en cada uno de los terminosen la expresion anterior esta se simplifica a

〈M2(nτ)〉 = 〈M2[(n− 1)τ ]〉+ 1. (21)

La relacion anterior nos da el desplazamiento cuadratico medio al paso n enterminos del anterior al paso n− 1, la solucion es simplemente

〈M2(nτ)〉 = 〈M2(0)〉+ n. (22)

Como en el caso de la teorıa de Einstein 〈M2(nτ)〉 crece linealamente con n.

2. Nueva fısica: difusion anomala

La difusion normal (desplazamiento cuadratico promedio proporcional altiempo trancurrido) se presenta en una gran variedad de fenomenos de trans-porte como: en el transporte de electrones y agujeros en dispositivos semicon-ductores [8], en atomo intersticiales injectados en solidos [9], en el transporte deagua y nutrientes a traves de membranas en organismos vivos (Fick 1855), en lapropagacion de la Malaria por mosquitos (Pearson 1905), propagacion de caloren solidos, por mencionar solo algunos. Sin embargo existe evidencia, tambienen un gran numero de sistemas2, en los que 〈x2(t)〉 no depende linealmente conel tiempo sino que sigue una ley de potencias, es decir,

〈x2(t)〉 = Kαtα, (23)

donde α y Kα son constantes positivas. Se dice que el proceso en consideraciones super-difusivo si α > 1 y sub-difusivo si α < 1 y en general se le llama difusionanomala por razones obvias. Ejemplos de tales sistemas pueden encontarase enlas referencias [11, 12, 13] y por mencionar solo algunos: transporte de carga ensemiconductores desordenados, emision de luz en puntos cuanticos, difusion demRNA en celulas etc.

2.1. Modelos matematicos que describen la difusion anoma-la

Existen varias formulaciones matematicas de las que se obtiene la expresion(23), entre ellas se encuentran:

2Se ha observado difusion anomala en una gran variedad de sistemas que se ha establecidola frase “anomalo es normal” [10]

8

i) la ecuacion maestra generalizada

∂P (x, t)

∂t= D

∫ t

0

ds φ(t− s)∂2P (x, s)

∂x2, (24)

ii) la ecuacion de Langevin generalizada

mdv

dt+ γ

∫ t

0

ds φ(t− s)v(s) = ξ(t), (25)

como antes v = dx/dt y finalmente

iii) caminatas aleatorias en tiempo continuo

PM (t) = PM (0)

[1−

∫ t

0

dsψ(s)

]+

1

2

∫ t

0

dsψ(t− s) [PM+1(s) + PM−1(s)]

(26)

las cuales son descritas a continuacion.

La ecuacion maestra generalizada La ecuacion (24) es una generalizacionde la ecuacion (5) que dedujo Einstein donde ahora los efectos no locales enel tiempo estan presentes a traves de la funcion de memoria φ(t). Diferentesgeneralizaciones de la ecuacion de difusion que han aperecido en la literarurapueden obtenerse de (24) bajo la apropiada eleccion de φ(t). Por ejemplo, si losefectos de memoria son importantes en una escala de tiempos 1/ϑ, de tal modoque φ(t) = ϑe−ϑt se obtiene la ecuacion del telegrafista dada por

∂2P (x, t)

∂t2+ ϑ

∂P (x, t)

∂t= Dϑ

∂2P (x, t)

∂x2, (27)

que incorpora el comportamiento balıstico para tiempos tal que tϑ � 1 y eldifusivo en el otro extremo tϑ � 1, como puede apreciarse de la expresionpara el desplazamiento cuadratico promedio 〈x2(t)〉 = 2D

ϑ

[ϑt−

(1− e−ϑt

)].

Este resultado es identico al obtenido en la expresion (14) con el metodo deLangevin si se hace la identificacion3 ϑ = γ/m. Ciertamente, si la funcion dememoria decae infinitamente rapido, situacion descrita si se elige φ(t) = δ(t) serecupera la ecuacion (5) el cual da difusion normal. El comportamiento balısticose obtiene cuando los efectos de memoria persisten a todo instante, pues entoncesφ(t) = const. y la ecuacion (27) se reduce a la ecuacion de onda

∂2P (x, t)

∂t2= v2 ∂

2P (x, t)

∂x2,

donde v2 ≡ D const.

3Cabe mencionar que aunque ambas descripciones dan por resultado el mismo comporta-miento del desplazamiento cuadratico medio, no son equivalentes, como puede demostrarse alcomparar 〈x4(t)〉 por ejemplo.

9

Otro caso de interes se obtiene cuando la memoria decae como una ley depotencias, es decir, φ(t) = ϑβtβ−1 con 0 < β < 1, pues entonces la ecuacion(24) corresponde a la llamada ecuacion de difusion fraccionaria

∂P (x, t)

∂t=

Kβ

Γ(β − 1)

∫ t

0

ds (t− s)β−1 ∂2P (x, s)

∂x2, (28)

de la que se obtiene super-difusion con α = β + 1. Una variante de (28) quepermite obtener sub-difusion con α = β es

∂P (x, t)

∂t=

Kβ

Γ(β)

∂

∂t

∫ t

0

ds (t− s)β−1 ∂2P (x, s)

∂x2. (29)

El desplazamiento cudratico medio en el caso general dado por la ecuacion(24) puede obtenerse procediendo de manera similar a como se hizo con laecuacion de difusion (5), es decir, multiplicamos (24) por x2 e integramos res-pecto de x desde −∞ hasta ∞ para obtener

d

dt〈x2(t)〉 = 2D

∫ t

0

ds φ(s). (30)

La ecuacion generalizada de Lagevin Por otra parte, la ecuacion (25)tambien incorpora efectos de memoria en el termino de la fuerza de disipacion.El significado fısico es simple. En la ecuacion original de Langevin (8), se asumeque no hay correlacion temporal entre los efectos de las moleculas del fluido sobrela partıcula browniana (via colisiones) de un instante dado t a otro muy cercanos. Este hecho se refleja en la propiedad (10) de la fuerza aleatoria ξ(t), la cualimplica el termino de friccion −γv que es local en el tiempo (no hay memoria).De este modo, la ecuacion (25) generaliza (8) para los casos en los que no sepueden ignorar dichas correlaciones, expresadas por 〈ξ(t)ξ(s)〉 = Γ(t, s).

La ecuacion (25) puede aplicarse, en pricipio, a dos situaciones totalmentedistintas. En una de ellas el sistema es capaz de alcanzar el equilibrio termo-dinamico por lo que se espera que las correlaciones de la fuerza aleatoria seanestacionarias de la forma 〈ξ(t)ξ(s)〉 = Γφ(t− s), donde Γ es la misma que apa-rece en (10) y φ(t) la funcion de memoria. Esta conexion entre la funcion dememoria y las correlaciones de ξ(t) es la relacion de fluctuacion-disipacion gene-ralizada para la ecuacion (25)4. La otra situacion corresponde al caso cuandolas correlaciones temporales de ξ(t) son totalmente independientes de la funcionde memoria, en otras palabras 〈ξ(t)ξ(s)〉 6= Γφ(t − s), por lo que el sistema enconsideracion no alcanza un estado de equilibrio termodinamico.

La expresion general para el desplazamiento cuadratico promedio esta dadapor

〈x2(t)〉 = 2kBT

m

[1

2Φ2I(t) +

∫ t

0

dsΦI(s)−∫ t

0

dsΦI(s)Φ(s)

], (31)

4Esta relacion puede probarse de la misma manera como se hizo para la ecuacion de Lagevin(8).

10

donde ΦI(t) ≡∫ t

0dsΦ(s) y Φ(t) es la solucion a la ecuacion homogenea asociada

a (25)

mdΦ(t)

dt+ γ

∫ t

0

ds φ(t− s)Φ(s) = 0. (32)

En las situaciones cuando las correlaciones de ξ(t) decaen como una ley depotencia, proceso denominado movimiento browniano fraccionario, 〈ξ(t)ξ(s)〉 ∝|t − s|β−1 con 0 < β < 1, se tiene que el comportamiento asintotico esta dadopor

〈x2(t)〉 ∼ t2−β , (33)

expresion que refleja un comportamiento super-difusivo ya que 1 < α = 2−β <2.

Caminatas aleatorias en tiempo continuo La generalizacion de la cami-nata aleatoria considera que las transiciones de la partıcula a sitios adyacentesocurren a intervalos de tiempo arbitrarios y aleatorios, no necesariamente cadaτ unidades de tiempo como sucede en la caminata aleatoria convencional. Porlo que en este formalismo la funcion de distribucion de tiempos de espera ψ(t)en la ecuacion (26) tiene un papel predominante.

El primer termino del miembro derecho en la ecuacion (26), ausente en (19),da la probabilidad que la partıcula no haya “saltado” hasta el tiempo t y porlo tanto que espere en el sitio inicial un tiempo t. El segundo termino da lacontribucion de todas las posibilidades de que la partıcula haya “saltado” delsitio M ± 1 al sitio M , con la misma probabilidad, en el instante s y que nohaya “saltado” durante el tiempo restante t − s. Note que se puede recuperarel caso en tiempo discreto (19), si se elige ψ(t) = 1

n

∑nm=1[δ(t−mτ)], con n el

maximo entero tal que nτ < t.El desplazamiento cuadratico promedio puede encontrarse procediendo como

se hizo cuando obtuvimos la expresion (22), en el presente caso se obtiene

〈M2(t)〉 =

∫ t

0

dsψ(s) +

∫ t

0

dsψ(t− s)〈M2(s)〉, (34)

donde hemos supuesto que 〈M2(t = 0)〉 = 0. La ecuacion (34) se puede resolverfacilmente usando la transformada de Laplace, f(ε) ≡

∫∞0dt e−εtf(t), dando

por resultado

˜〈M2(ε)〉 =ψ(ε)

ε[1− ψ(ε)]. (35)

3. Mecanismos que dan origen a la difusion anor-mal

Aun cuando hay metodos para deducir formalmente las ecuaciones (24) y(25), el calculo explıcito de la funcion de memoria se torna muy complicadoy en la mayorıa de los casos, como se comenta en la referencia [14], el origen

11

microscopico de la funcion de memoria se ve oscurecido. De aquı que modelossimples en los que el calculo de la funcion de memoria es transparente son departicular valıa para los teoricos.

3.1. Como surgen las funciones de memoria

Un modelo clasico y sencillo, donde se exhibe como surge la funcion de me-moria φ en la ecuacion (24) es el siguiente: considere a P→, P← la probabilidadque una partıcula se mueva a la derecha o izquierda a un ritmo c, −c respecti-vamente. Suponga que la partıcula puede ser “dispersada,” es decir, que puedecambiar la direccion de movimiento de derecha a izquierda y vicerversa a unritmo ϑ/2 (ver fig. 2). El sistema puede ser descrito por el siguiente par deecuaciones acopladas

Figura 2: Descripcion grafica del modelo. Una partıcula es dispersada de unadireccion de movimiento a la otra y vicerversa un ritmo constante ϑ/2.

∂P→(x, t)

∂t= c

∂P→(x, t)

∂x+ϑ

2[P←(x, t)− P→(x, t)], (36)

∂P←(x, t)

∂t= −c∂P

←(x, t)

∂x+ϑ

2[P→(x, t)− P←(x, t)]. (37)

Definimos P (x, t) ≡ P→ + P← la probabilidad conjunta the encontrar ala partıcula en x al tiempo t y R(x, t) ≡ P→ − P←, entonces, dos ecuacionesequivalentes a (36) y (37) pueden obtenerse si por un lado sustraemos (37) de(36) y por otro simplemente las sumamos, es decir

∂R(x, t)

∂t= −c∂P

←(x, t)

∂x+ ϑR(x, t), (38)

∂P (x, t)

∂t= c

∂R(x, t)

∂x. (39)

12

La solucion a (38) es inmediata y esta dada por

R(x, t) = R(x, 0)e−ϑt + c

∫ t

0

ds e−ϑ(t−s) ∂

∂xP (x, s). (40)

Si se eligen condiciones iniciales tal que ∂P (x, t)/∂t|t=0 = 0, al sustituir (40)en(39) se tiene

∂P (x, t)

∂t= c2

∫ t

0

ds e−ϑ(t−s) ∂2P (x, s)

∂x2. (41)

La ecuacion (41) es exactamente de la forma dada por (24) con D = c2/ϑ,y ϑe−ϑt la funcion de memoria φ(t). Este ejemplo simple pero claro, muestracomo la funcion de memoria aparece si nuestro interes no se halla en conocerdetalladamente la direccion de movimiento de la partıcula, sino solo en la infor-macion respecto de su posicion dada por la combinacion P (x, t) = P→ + P←.Como fue explicado en la seccion anterior, el modelo arroja como ressultado di-fusion normal para tiempos largos y movimiento balıstico para tiempos muchomas pequenos que 1/ϑ. En la referencia [15] se da una discusion sobre la posibi-lidad de establecer una conexion entre dos formalismos que predicen el mismodesplazamiento cuadratico medio y sin embargo las densidades de probabilidadson completamente distintas.

3.2. Un modelo sencillo para sub-difusion

Considere el siguiente modelo de partıcula browniana. Una partıcula esta su-jeta a moverse a lo largo de canales en la direccion vertical en el plano (ver fig. 3)y separados por una distancia a. Por simplicidad, el movimiento de la partıculaes descrito por la ecuacion de Langevin

dy

dt= ξ(t), (42)

donde ξ(t) satisface las mismas propiedades (9) y (10). Dicha ecuacion se obtienede (8) en el lımite llamado sobreamortiguado cuando γ muy grande.

La partıcula puede hacer transiciones entre canales adyacentes a traves deun mecanismo de “atrapamiento,” es decir, se consideran trampas colocadas ar-bitrariamente sobre los canales en las posiciones y = zM , donde M denomina elM -esimo canal. Cada vez que la partıcula encuentra una de tales trampas puedehacer una transicion ya sea al canal inmediato a la izquierda con probabilidadq o, a la derecha con probabilidad 1 − q. Supongase ademas que nuestro unicointeres es en el movimiento a lo largo de la direccion horizontal, es decir, en elmovimiento de la partıcula entre canales. Desde este punto de vista la partıculapermanece en la misma posicion horizontal hasta que se encuentra con una delas trampas. Es claro que el tiempo de espera entre transiciones sucesivas es unacantidad aleatoria. Hecha esta observacion, podemos asumir plausiblemente

13

Figura 3: Descripcion grafica del modelo usado para describir sub-difusion. Lapartıcula (cırculo solido gris) se difunde a lo largo del M -esimo canal hastaque encuentra la trampa situada en y = zM (cırculo rojo) entonces con igualprobabilidad transita hacia a cualquiera de los dos canales vecinos mas cercanos.

que PM (t) satisface la ecuacion

PM (t) = PM (0)

[1−

∫ t

0

dsψM (s)

]+

∫ t

0

dsψM (t−s) [qPM+1(s) + (1− q)PM−1(s)] ,

(43)donde ψM (t) denota la distribucion de tiempos de espera que depende explıci-tamente del M -esimo canal.

Por sencillez considere el caso en el que la probabilidades de saltar haciala izquierda o hacia la derecha son iguales, es decir, q = 1

2 . Suponga ademasψM (t) = ψ(t), esta situacion puede ocurrir si las trampas estan situadas verti-calmente siempre a la misma distancia del origen. De este modo, el tiempo deespera en un canal arbitrario, corresponde al tiempo que tarda la partıcula enarrivar a la trampa dado que inicio su trayectoria a un distancia 2z0 de ella. Enotras palabras, ψ(t) es precisamente la distribucion de primer lapso de tiempode una partıcula browniana en una dimension y esta dada por

ψ(t) =|2z0|√

4πDt3/2e−

(2z0)2

4Dt , (44)

cuya transformada de Laplace es (ver apendice)

ψ(ε) = e−|2z0|√ε/D. (45)

14

0 2×106

4×106

6×106

8×106

1×107

tiempo

-150

-100

-50

0

50

100

150M

z = 5.0 y(0) = -5.0x(0) = 0

Figura 4: Diferentes realizaciones de la posicion en la direccion horizontal comofuncion del tiempo en unidades arbitrarias. Periodos de tiempo largos en los quela partıcula permance en el mismo canal son muy notorios.

Si ahora sustituimos en la expresion (35) y tomamos el termino dominantecuando hacemos ε→ 0 tenemos que

˜〈M2(ε)〉 ∼√D

|2z0|ε3/2. (46)

Finalmente si tomamos la transformada inversa de Laplace obtenemos sub-difusion ya que

〈M2(t)〉 ∼

√D

πz20

t1/2. (47)

Esta prediccion para tiempos grandes es corroborada con la simulacion numericadel modelo (ver fig. 5)

4. Apendice

La solucion de la ecuacion de difusion y la distribucion de primer lapsode tiempo La ecuacion de difusion ha servido de un paradigma importanteen la fısica de los sistemas fuera de equilibrio. A continuacion se presenta susolucion en una dimension y con condiciones de frontera en infinito. En una

15

0.0 4.0×106

8.0×106

1.2×107

1.6×107

2.0×107

tiempo

0

100

200

300

400

<M

2 (t)>

Numerical SimulationsTheoretical

~ t 0.495

Figura 5: Comparacion del resultado analıtico obtenido en (47) (lınea roja enpunto-raya) con la simulacion numerica (lınea azul punteada) del proceso des-crito en el modelo.

dimension la ecuacion (5) se escribe como

∂P (x, t)

∂t= D

∂2P (x, t)

∂x2. (48)

Una manera de resolver (48) es usando la transformada de Fourier definida por

f(k) =∫∞−∞ dx eikxf(x) y se dice que f(k) es la transformada de Fourier de

f(x). Tomando la transformada de Fourier de (48) tenemos

∂P (k, t)

∂t= −Dk2P (k, t), (49)

ecuacion cuya solucion es

P (k, t) = P (k, 0)e−Dk2t, (50)

donde P (k, t) denota la condicion inicial. P (x, t) se encuentra tomando la trans-formada inversa de Fourier de (50), donde la transformada inversa esta definida

por f(x) = 12π

∫∞−∞ dk e−ikxf(k), ası

P (x, t) =

∫ ∞−∞

dx′ P (x− x′, t)P (x′, 0), (51)

16

donde P (x−x′, t), llamado el propagador, es la transformada inversa de Fourier

de e−Dk2t, es decir,

P (x− x′, t) =1√

4πDtexp

{− (x− x′)2

4Dt

}(52)

la cual nos da la probalidad de que la partıcula se encuentre en la posicion x altiempo t dado que inicialmente se encontraba en x′.

Considere ahora el problema de hallar la distribucion del tiempo que le tomaa una partıcula browniana ir de la posicion x1 hasta la posicion x2 por primeravez, a la distribucion de tiempos resultante se llama distribucion de primer lapsode tiempo (“first passage time distribution”) y la denotamos con F(t;x1, x2).Notese que F(t;x1, x2) puede escribirse en terminos del propagador a traves dela identidad

P (x3 − x1, t) =

∫ t

0

dsP (x3 − x2, t− s)F(s;x2, x1). (53)

La ecuacion (53) nos dice que la probabilidad de encontrar a una partıcula enx3 al tiempo t dado que inicialmente se encontraba en x1, esta dada por lacontribucion de todas las posibilidades que la partıcula llegue por primera veza x2 al tiempo s a partir de x1 y de encontrarla en x3 cuando partio de x2 en eltiempo restante t− s. Si ahora elegimos x3 = x2, la expresion (53) se reduce a

P (x2 − x1, t) =

∫ t

0

dsP (0, t− s)F(s;x2, x1), (54)

en donde P (0, t− s) = [4πD(t− s)]−1/2en el caso de una partıcula browniana

descrita por la ecuacion de difusion (48). Ası, F(t;x1, x2) puede encontrarse de(54) si reconocemos a esta como la convolucion de P (0, t) con F(t, x2, x1), puesaplicando la transformada de Laplace tenemos que

P (x2 − x1, ε) = P (0, ε)F(ε;x2, x1) (55)

y por tanto

F(ε;x2, x1) =P (x2 − x1, ε)

P (0, ε). (56)

Invertir de manera directa la ecuacion anterior es muy complicado, sin embargo,si usamos que la dependencia en x2, x1 es de la forma x2 − x1 podemos usar latransformada de Fourier para obtener

F(ε; k) =P (k, ε)

P (0, ε). (57)

y como P (k, ε) =∫∞

0dt e−εtP (k, t) =

∫∞0dt e−εte−Dk

2t =[ε+Dk2

]−1tenemos

que

F(ε; k) =

√4Dε

ε+Dk2, (58)

17

donde hemos usado que P (0, ε) = [4Dε]−1/2. Podemos ahora invertir la trans-formada de Fourier

F(ε;x) =

√Dε

π

∫ ∞−∞

dke−ikx

ε+Dk2. (59)

La integral se puede evaluar usando resultados bien conocidos del analisis com-plejo dando por resultado

F(ε;x) = exp{−√ε/D |x|

}. (60)

5. Agradecimientos

Agradezco sinceramente a los organizadores la invitacion a participar en la XVIIescuela de verano en FISICA.

Referencias

[1] A. Einstein, Ann. Physik 17, 549 (1905).

[2] N.G. van Kampen en Views of a Physicist selected papers of N. G. vanKampen, Ed. Paul H.E. Meijer (Scientific World Publishing Co. 2000).

[3] Chulan Kwon, Ping Ao, y David J. Thouless, Proc. Natl. Acad. Sci. USA102, 13033 (2005).

[4] C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistryand the Natural Sciences, 2da ed. (Springer-Verlag 1990).

[5] H. Risken, The Fokker-Planck Equation Methods of Solutions and Appli-cations, 2da ed. (Springer-Verlag 1989).

[6] P. Langevin, Comptes. Rendues 146, 530 (1908).

[7] R. Kubo, M. Toda y N. Hashitsume, Statistical Physics II NonequilibriumStatistical Mechanics, 2da ed. (Springer-Verlag 1991).

[8] E.M. Conwell, High Field Transport in Semiconductors, (Academic Press,New York, 1967).

[9] V.M. Kenkre, Ceramic Transactions 21, 69 (1991); see also V.M. Kenkre,L. Skala, M. Weiser, J.D. Katz, J. Materials Science 26, 2483 (1991).

[10] J. Klafter y I. Sokolov en Physics World, August (2005).

[11] R. Metzler y J. Klafter, Phys. Rep. 339, 1 (2000).

[12] R. Metzler y J. Klafter, J. Phys. A: Math. Gen. 37, R161 (2004).

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[13] J. Klafter y I.M. Sokolov, Physics World agosto (2005).

[14] G.M. Schutz y S. Trimper, Phys. Rev. E 70, 045101(R) (2004).

[15] V.M. Kenkre y F.J. Sevilla, en Contributions in Mathematical Physics, Atribute to Gerard G. Emch, pags. 147-160, editado por Twareque S. Ali andKalyan B. Sinha, (Hindustany Book Agency, New Delhi, 2007).

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