El desarrollo del análisis matemático en Colombia (1850-1950) · 2017-02-15 · El desarrollo del...

Quipu, vol. 14, núm. 3septiembre-diciembre de 2012, pp. 363-394.

El desarrollo del análisis matemático en Colombia

(1850-1950)

* Universidad del Cauca. ** Universidad del Valle.

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Summary

In the first half of the Nineteenth Century begins to take shape in the Eu-ropean mathematical community, a movement that aimed to transform the foundations of mathematical analysis and which most visible outcome, by the end of the century, would be the adoption of the limit as a unifying element analysis concepts and the expulsion of infinitesimals. In this ar-ticle we analyze the process of establishing the epistemological elements that transformed the foundations of mathematical analysis in Europe, in the context of some institutions of higher education in Colombia between 1850 and 1950. In this event, a group of engineers played a key role, they cho-se mathematics detach exclusively utilitarian character and began to think this discipline to their intrinsic value. In order to perform this analysis, we studied the fundamentals courses in analysis and differential and integral calculus made by the community of engineers from the reading of French analysis that had wide circulation in the country, as well as other documents that were disseminated in some higher education institutions in the country, mainly in Bogota.

Introducción

En el prólogo de su libro Historia de las ciencias, Michel Serres, afirma con cierto tono de desconcierto, que en Francia la epistemología y la historia de las ciencias están prácticamente ausentes de los pensum de la educación media

GABRIELA I. ARBELÁEZ* LUIS C. RECALDE**

http://www.revistaquipu.com

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y superior.1 Su llamado de atención proviene de un hecho evidente, pero a menudo ignorado: para entender las formas actuales de nuestra sociedad no es suficiente con estudiar su historia política y económica pues la ciencia y la tecnología han jugado un papel decisivo en los cambios que experimenta el mundo contemporáneo. Aunque no sabemos si dos décadas después de la publicación del libro los cambios en Francia han sido sustanciales, sí podemos afirmar que actualmente en Colombia no hay un lugar destacado para la historia de las ciencias en la formación de los estudiantes de universidades y colegios. En nuestro caso, a la marginalidad, de por sí natural, que sobrelleva la disciplina, habría que añadir otros elementos que la ubicarían todavía en un nivel más bajo en las valoraciones de las disciplinas que deberían conformar los pensum de la educación media y superior del país.

Además del escaso interés hacia el estudio de los procesos de constitución de la ciencia moderna, existe la idea generalizada de que como ella nació y se desarrolló dentro de los márgenes de Europa occidental (y más recientemente EE.UU.), no es prioritario conocer el proceso que se dio en el país para incorporar y adoptar las teorías provenientes de esos centros a nuestras realidades específicas. Para el caso concreto de la historia de las matemáticas el panorama anterior se mantiene. En muchos casos ella cumple un papel simplemente decorativo en la formación de un estudiante de matemáticas o de licenciatura en matemáticas. La historia sirve para recrear la vida de los genios que ha tenido la matemática a lo largo de su historia; pero no se reconoce en ella su filiación con la historia de las sociedades y culturas y con el papel que puede haber jugado en la constitución de nuestras sociedades.

En contravía de esa visión de la historia de las ciencias y con el ánimo de abrir espacios de debate que confronten las diversas posturas con las que se podría analizar el desarrollo de la ciencia en un país como Colombia, en este artículo nos ocuparemos de un periodo de nuestra historia en el que una comunidad de ingenieros empieza a despojar a las matemáticas de su carácter eminentemente utilitario ligado a su papel en los pensum de ingeniería. Pero esta transformación que sufre la función de una disciplina no se puede ver solamente como el acto aislado de un grupo de personas sino que obedece a un imperativo de tipo social y sucede al lado de un problema de orden epistemológico que circulaba en los medios europeos y llegó al país a través de diversos registros.

Estado del arte sobre los estudios en historia de las matemáticas en Colombia

Es necesario afirmar que los estudios sobre el desarrollo de las matemáticas desde la época colonial hasta la época republicana, en Colombia, se han in-

1. Michel Serres, Historia de las ciencias, Madrid, Cátedra, 1991.


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crementado en las últimas décadas en nuestro país e incluso comienzan a apare-cer investigaciones sobre el pensamiento matemático de culturas prehispánicas y culturas que conservan tradiciones autóctonas. En la página digital Historia Mathematica de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-rales se encuentra gran parte de la producción colombiana que se ha hecho en este campo.2 También mencionamos el Proyecto Historia Social de la Ciencia en Colombia (1993) que reúne en 10 volúmenes los trabajos de diversos inves-tigadores y brinda una visión panorámica y global del desarrollo de la ciencia y la tecnología en el país hasta mediados del siglo XX. Este proyecto reúne varios capítulos dedicados a las matemáticas en el que se estudia, en varios momentos de la historia del país, la recepción y difusión de teorías matemáticas en el Nuevo Reino de Granada, y un capítulo preliminar donde se exponen con-sideraciones generales sobre los estudios en historia social de las matemáticas.3 Como nuestro trabajo tiene puntos de contacto con la historia de la ingeniería en el país, tenemos que decir que en este campo la literatura es bastante copiosa.

Presentación de la problemática

El propósito de este artículo es caracterizar la manera en que una comunidad de ingenieros colombianos se apropia de unos elementos epistemológicos

que transformaron los fundamentos del análisis matemático en Europa en la se-gunda mitad del siglo XIX. Hacemos esta caracterización a través del análisis de diversos tipos de documentos (textos para la enseñanza, notas de clase, artículos en revistas, tesis) que circularon en algunas instituciones de educación superior entre 1850 y 1950. La primera fecha señala los inicios de los pensum en los que las matemáticas empiezan a ocupar un papel relevante en la formación de los ingenieros y, la segunda fecha, indica el comienzo de la profesionalización de las matemáticas, que, como veremos, coincide con la adopción generalizada de aquellos elementos epistemológicos. Las fuentes que se eligieron provenían de las siguientes instituciones: el Colegio Militar, la Facultad de Matemáticas e Ingeniería de la Universidad Nacional, la Escuela Normal Superior y la Escuela de Minas de Medellín.

El Colegio Militar fue una institución creada bajo el gobierno del Gene-ral Tomás Cipriano de Mosquera en 1847 para formar los oficiales científicos del Estado. Nos interesa esta institución porque allí se empezaron a concebir las matemáticas como una herramienta fundamental para la ingeniería y se lo-

2. Historia Mathematica es un proyecto de recopilación del patrimonio bibliográfico colombiano que es liderado por los profesores Clara Helena Sánchez y Víctor Albis de la Universidad Nacional de Colombia.

3. Los capítulos dedicados a las matemáticas estuvieron a cargo de Luis Carlos Arboleda, profesor de la Universidad del Valle.



gró configurar un pensum con un componente altamente matemático. En el año 1867 se creó la Universidad Nacional de los Estados Unidos de Colombia a la que se adscribió la Escuela de Ingeniería que orientaba inicialmente a los inge-nieros militares y civiles, pero que luego pasó a ser exclusivamente para inge-nieros civiles. Junto a ello ocurre, quizás, uno de los sucesos más importantes para el desarrollo de las matemáticas en este periodo, la creación de la Sociedad Colombiana de Ingenieros con su órgano de difusión: los Anales de Ingeniería. Esta escuela se convirtió en el antecedente más inmediato de la Facultad de Ma-temáticas e Ingeniería de la Universidad Nacional (1887). La Escuela Normal Superior (ENS) creada en 1936 bajo el gobierno de Alfonso López Pumarejo, se va a constituir en una de las instituciones más importantes para el desarrollo de las matemáticas como rama autónoma de la ciencia. La formación de los maes-tros que el país requería fue pensada desde una mentalidad moderna en la que se pusiera énfasis en el componente científico, pero al lado de una formación de corte humanístico. Según Juan Manuel Ospina4 se trató de organizar una insti-tución con la formación en ciencia, filosofía y humanidades de la Escuela Nor-mal francesa y la componente científica de la Facultad de Ciencias de Berlín. Los matemáticos extranjeros que vinieron al país jugaron un papel central en la difusión de las teorías más avanzadas de los centros matemáticos mundiales. Desafortunadamente esta Escuela fue liquidada bajo el gobierno de Laureano Gómez en 1952. La Escuela de Minas de Medellín empezó a funcionar en 1888 para la formación de ingenieros civiles e ingenieros de minas, y como decía Jorge Rodríguez, Rector de la Escuela, en el discurso de conmemoración del cincuentenario de su fundación, “Sin descuidar los discursos teóricos a los cua-les se les da la importancia necesaria, la enseñanza es lo más práctica posible”.5 Estas palabras de Rodríguez marcarían otro derrotero distinto al que tomó la Facultad de Matemáticas e Ingeniería del país y según Alberto Mayor sería la simiente de la profesionalización de la Estadística en Colombia.6

De las diversas Facultades de Ingeniería, que por esta época se crearon en el país, optamos por las anteriores instituciones porque nos interesa aislar, de las fuentes documentales que circularon al interior de la comunidad de ingenieros, aquellas en las que se evidenciara un interés por abordar la matemática como una disciplina con valor en sí, y no ligada al servicio de la ingeniería exclusi-vamente. En este sentido nuestras fuentes documentales fueron los textos o ma-nuscritos de los cursos de cálculo diferencial e integral o análisis matemático, que circularon al interior del Colegio Militar y la Escuela de Ingeniería de la

4. Juan Manuel Ospina, “La Escuela Normal Superior, un círculo que se cierra”, Boletín Cultural y Bibliográfico del Banco de la República, XXI, núm. 2, 1984, pp. 3-16.

5. Jorge Rodríguez, “Escuela de Minas de Medellín”, Anales de ingeniería, 1937, pp. 736-740.6. Alberto Mayor, “La Escuela Nacional de Minas de Medellin y los orígenes de la estadística

en Colombia 1900-1940”, Revista colombiana de estadística, vol. 25, núm. 2, 2002, pp. 73-96.



Universidad Nacional y otros textos matemáticos en donde hubiera inclinación por abordar los fundamentos del análisis. También tuvimos en cuenta, artículos en revistas de circulación a nivel nacional en donde se expusieran concepciones filosóficas sobre las matemáticas y sobre los procesos infinitos. Finalmente se escogieron unas pocas tesis para optar al título de Doctor en la Escuela Normal Superior.

Nuestro trabajo de selección de fuentes documentales fue favorecido, en gran medida, por el proyecto de recopilación bibliográfica de la producción ma-temática colombiana Historia Mathematica, que nos facilitó no sólo la bús-queda de documentos que reposaban en diversas bibliotecas del país, sino que también nos permitió acceder a documentos antiguos y recientes que fueron su-bidos electrónicamente a su página de internet.7 Igualmente el fondo documen-tal Cellule Math Doc nos permitió acceder a los textos extranjeros de análisis matemático y libros originales de muchos de los autores que circularon o que se usaron en las instituciones colombianas.8 Las bibliotecas y fondos documentales que visitamos fueron los siguientes: Biblioteca del Departamento de Matemá-ticas de la Universidad Nacional, Biblioteca de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional, Biblioteca Central de la Universidad Nacional, el Fondo de Manuscritos Raros y Curiosos de la Biblioteca Luis Ángel Arango, Bibliote-ca Nacional, Observatorio Astronómico de Bogotá, Biblioteca de la Universidad Pedagógica de Tunja.

Caracterización del problema desde el punto de vista histórico epistemológico

Cuando hablamos del proceso de instauración del análisis matemático nos referimos a un periodo de la historia de las matemáticas que se inicia con

los trabajos de Cauchy y Bolzano en la primera mitad del siglo XIX y finaliza en las últimas décadas del mismo siglo con la creación de una nueva rama de las matemáticas, la teoría de conjuntos. En los trabajos de estos dos matemáticos se prevé un cambio de perspectiva frente a los métodos y fundamentos sobre los que se debería fundamentar el análisis matemático.

El uso de las cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas sobre las que se basaban los resultados del cálculo en los trabajos de Newton y Leibniz ya originó desde esa época duras críticas, especialmente por parte de Berkeley. Sus reproches apuntaban no sólo a cuestiones metodológicas sino también de significado. En El Analista plantea serios reparos al uso de aspectos ligados a la palabra infinito, específicamente al infinito en acto. Para Berkeley, los infinitesimales y los infinitesimales de los infinitesimales carecían de sentido:

7. Disponible en http://www.accefyn.org.co/historia-matematica/histmatcol.htm#paghistoria8. Disponible en http://www-mathdoc.ujf-grenoble.fr/



Esto, sin embargo, es muy común con los escritores de fluxiones o del cálculo dife-rencial, etc. Ellos representan, en papel, infinitesimales de diferentes órdenes como si tuvieran ideas en sus mentes que correspondiesen con estas palabras o signos o como si no concluyese una contradicción el que hubiese una línea infinitamente pequeña y aún otra infinitamente menor a ella. A mí me es claro que no debemos usar ningún signo sin una idea que le corresponda y así de claro es que no tenemos idea alguna de una línea infinitamente pequeña; aún más, es evidentemente imposi-ble que haya cualquier cosa así, pues cualquier línea, por diminuta que sea, es aún divisible en partes menores que ella misma; por tanto, no puede haber ninguna cosa tal como una línea quavis data minor o infinitamente pequeña.9 Newton pensaba que al incorporar al tratamiento de curvas una visión

cinemática, los problemas ontológicos de los incrementos infinitamente peque-ños se podían explicar desde la física. La salida conceptual de Leibniz se da a través de la intuición geométrica.

Precisamente, el problema de la rigorización del análisis se puede entender como el esfuerzo por despojar las nociones primarias del cálculo diferencial e integral de intuiciones geométricas o de concepciones físicas atadas a las nociones espacio-temporales. Pero también se cuestionaba la validez de las pruebas que estaban guiadas por intuiciones geométricas, como la prueba del teorema del valor intermedio y se requería una manera de representar el universo de las funciones en su forma más general.

Detrás de cada uno de estos problemas y de su construcción histórica, a partir de las matemáticas griegas, aparecía una cierta intuición geométrica y/o física sobre la noción abstracta de continuidad que se reflejaba en una manera de abordar los procesos infinitos. Nuestra hipótesis es que a lo largo del siglo XIX se logra romper con el paradigma aristotélico que sólo daba posibilidad de existencia al infinito potencial en las matemáticas, o de otra manera, un para-digma en donde se concebían los procesos infinitos bajo los mismos parámetros operatorios y bajo la misma lógica de lo finito.

Como dijimos anteriormente, este proceso se inicia con los trabajos de Cauchy y Bolzano porque en ellos se expresa, de manera abierta, la inconformidad de seguir operando los conceptos del análisis con esos componentes intuitivos. Aparecen también, por primera vez, demostraciones analíticas del teorema del valor intermedio y con ello se inaugura en matemáticas una nueva modalidad de demostración, las pruebas de existencia, que alcanzarían su forma más pura a partir de la emergencia del axioma de elección. La formalización de los procesos infinitos se establece con la incorporación del concepto de límite, el cual se

9. Cita tomada de Antonio Robles, Las ideas matemáticas de George Berkeley, México, Universidad Nacional de México, UNAM, 1993, p. 286.



constituye en el concepto unificador de las nociones primarias del análisis.10 A través del concepto de límite, Cauchy logra caracterizar formalmente lo infinitamente pequeño y luego utilizarlo como auxiliar en las nociones de función continua y función derivada. El límite también le permite, definir las sumas infinitas (o series) en términos del concepto de convergencia y no seguir operando con ellas como si fueran sumas “infinitas” pero adjudicándoles propiedades de las sumas finitas.

Las anteriores cuestiones nos permiten decir que los trabajos de Cauchy proveyeron el marco necesario para la rigorización del análisis por parte de Weierstrass, quien establece un tratamiento del cálculo a través del lenguaje epsilón-delta, sin hacer uso de las cantidades infinitamente pequeñas. Como lo veremos más adelante, la incorporación del estilo weierstrassiano no se da en la escolaridad de manera inmediata, sino en un proceso de más de medio siglo.

Pero si lo que se buscaba era elevar a una esfera netamente matemática los conceptos que fundamentaban el análisis, los aportes de Cauchy y Bolzano, aunque decisivos, dejaban cabos sueltos y nuevos problemas por resolver.11 En particular, se requería definir rigurosamente el continuo geométrico, y no asumir como un a priori su completitud. Sabemos que esto se resuelve en los años siguientes cuando se hace una construcción aritmética de los números reales. Es decir, este conjunto se constituye rigurosamente a partir de los números enteros y sus propiedades; pero no era posible hacer esa construcción sin adicionar un elemento extra: la incorporación de los procesos infinitos actuales. Prueba de ello es que por este mismo periodo y al lado de este problema de esclarecer las propiedades del continuo geométrico, Cantor llega a su construcción de los ordinales y cardinales transfinitos, la más clara objetivación del infinito actual.

La anterior manera esquemática de presentar los hechos esconde la complejidad de casi un siglo de desarrollo histórico de las matemáticas; pero nos permite aislar una categoría epistemológica que se puede rastrear en la producción matemática colombiana del periodo 1850-1950.

Instrumentos para el análisis de la producción colombiana

Es importante puntualizar que los cambios que se gestaron en las teorías matemáticas a partir de la incorporación del infinito actual no habrían suce-

dido, sin las dinámicas de sanción y comunicación al interior de las comunidades

10. No estamos diciendo que Cauchy fue el primero que introdujo este concepto, sino que en el Curso de Análisis adquiere su mayor relevancia.

11. Para un análisis más detallado de este problema véase: Gabriela Arbeláez y Fernando Gálvez, “El conjunto de los números reales como objeto matemático: la ‘construcción’ de Dedekind”, en Luis Recalde y Guillermo Ortiz (Eds.), Los números reales como objeto matemático. Una perspectiva histórico-epistemológica, Cali, Universidad del Valle, 2011, pp. 135-162.



de matemáticos europeos. Pero muchas de las consecuencias que de allí derivaron, no fueron avaladas de manera inmediata y seguramente ello pudo influir en el hecho de que estas modificaciones, se registraran de manera relativamente lenta en los textos de enseñanza de análisis matemático de la época. Es decir, a pesar de que normalmente no existe sincronía entre investigación matemática y enseñanza, en este caso, hubo muchos aspectos problemáticos desde el punto de vista filosófico que retardaron quizás aún más el registro de estos cambios en el ámbito escolar. En el caso de las instituciones de educación superior en Colombia esta apropiación, se llevó a cabo de manera mucho más lenta, en un periodo de más de cien años, y por supuesto de manera distinta a como se dio en Europa.

Para precisar estas categorías nos apoyaremos en un artículo del historiador de las matemáticas francés, Martín Zerner: La transformación de los tratados franceses de análisis (1870-1914).12 En dicho documento Zerner logra establecer una tipología de tres generaciones y dos tipos de arcaísmos para estudiar la transformación de los tratados de análisis franceses que tuvieron una edición o (re-edición) entre 1870 y 1914. El propósito de su trabajo es evidenciar la manera en que estos tratados fueron incorporando los fundamentos elaborados por la escuela de Weiersstrass. Al lado de estas tres generaciones aparece el fenómeno de los arcaísmos de primera y segunda especie. Los primeros se refieren a textos de análisis con un gran número de ediciones que se mantienen a través del tiempo sustancialmente iguales. Los segundos, son libros con ediciones muy posteriores pero que permanecen adscritos a la generación anterior.

De acuerdo a esta periodización, el punto de quiebre de la segunda a la tercera generación se puede establecer en los años 1886-1887. La primera fecha señala la publicación del primer libro de tercera generación, y la segunda, el último libro de la segunda generación.13 Esto no significó que a partir de esta fecha se impusieran los libros de la tercera generación y desaparecieran los de la precedente. Por el contrario las re-ediciones de libros de segunda generación se mantuvieron hasta aproximadamente 1929. La cuestión se viene a estabilizar, según Zerner, hacia el año 1914 con el curso de análisis de Goursat, momento en el que se podría encontrar una adopción generalizada de los libros de tercera generación.

12. Martin Zerner, La transformation des traités francais d’analyse (1870-1914), Nice, Laboratoire Jean-Alexandre Dierudonné, Université de Nice, 1994, pp.1-89 (prepublication, núm. 389).

13. En 1886 se publica el curso de Tannery: Introduction á la théorie des fonctions d’une variable, que es el primer curso de tercera generación. En 1887 se publica el curso de Boussinesq: Cours d’analyse infinitésimale á la usage des personnes qui étudient cette science en vue de ses applications mécaniques et physiques, que es el último texto que se publica de la segunda generación.



La marca principal de los textos de segunda generación es el Principio de Sustitución de los infinitesimales (PS).14 Este concepto evidencia el hecho de que los procesos infinitos actuales no están aún bien decantados y se requerirá llegar a ciertos conceptos claves que se encuentran traslapados tras su prueba. Pero de otro lado tampoco se trataría de concebir los libros de segunda y tercera generación como el antes y el después de ese momento cumbre de instauración del infinito actual. Más bien esta discriminación evidencia dos etapas complementarias e inevitables en ese arduo proceso de domesticación del infinito que sabemos no se dio de manera súbita sino que por el contrario tuvo un desarrollo lento e intrincado.

Los libros de tercera generación son aquellos que han adoptado los nuevos elementos del paradigma del infinito actual, y se caracterizan no solamente por la ausencia de PS; sino que se encuentra en ellos una construcción de los números reales. Aunque se puede enunciar igualmente la noción de infinitesimal, el concepto de límite al estilo, ocupará un lugar central en las definiciones básicas del cálculo. Aparecerán también los teoremas sobre funciones continuas, y la posibilidad de existencia de funciones altamente discontinuas.15

Otro elemento innovador es la concientización sobre la existencia de funciones continuas no monótonas sobre ningún intervalo (es decir funciones continuas, no derivables en ningún punto). En estos libros se vuelven explícitos los conceptos de continuidad uniforme y convergencia uniforme y los dos teoremas fundamentales del cálculo se expondrán de manera distinta a los de la generación precedente.

Hacia finales del siglo XIX los infinitesimales, al menos en el ámbito investigativo, habían sido expulsados de las matemáticas y reemplazados por el concepto de límite.16 Pero como la investigación, en general, no corre paralela con la enseñanza, ni siquiera en el ámbito de las prestigiosas y elitistas instituciones francesas de finales del siglo XIX, todavía encontramos esta noción en la mayoría de textos franceses hasta bien entrada la primera década del siglo XX.17 Es sólo a partir de los años veinte que se adopta en Francia, de manera generalizada, el concepto de límite como base de las nociones del

14. El Principio de Sustitución, según aparece en libro de Análisis de Sturm es el siguiente: El límite de una suma de infinitamente pequeños que son todos del mismo signo no cambia cuando se les reemplaza por otros en los que las razones a los primeros tienen respectivamente por límite la unidad o que difieren de los primeros por cantidades infinitamente pequeños en comparación a éstos.

15. Cuando decimos funciones altamente discontinuas, nos estamos refiriendo a discon-tinuidades más allá de las discontinuidades a trozos.

16. Es importante aclarar que al menos esto fue lo que sucedió en países como Francia, Italia, Inglaterra y Alemania.

17. Martin Zerner, La transformation des traités francais d’analyse...



cálculo.18 Sin embargo, en libros como el Curso de Análisis de G. Humbert, que representó una etapa final en el proceso de incorporación de las técnicas de operación con el infinito, se usa, aunque quizás de manera accesoria, el lenguaje de los infinitesimales.

Documentos que circularon en Colombia entre 1850 y 1950

Para el caso de Colombia rastreamos el proceso de transformación de los fundamentos del análisis matemático, en registros escritos que circularon al

interior de algunas instituciones de educación superior en el periodo de los 1850 a los 1950. Estos registros los discriminaremos de la siguiente manera:Textos de análisis extranjeros que circularon en el país, y que fueron usados para su propia formación por los ingenieros-matemáticos colombianos19

Charles Sturm, Cours d’analyse de l’École polytechnique. Mallet- Bach-elier, París (1909). [Quince ediciones entre 1857 y 1929]

Georg Humbert, Cours d’analyse proffessé à l’École polytechnique (1903).

Jean- Marie Duhamel, Éléments de calcul infinitesimal (1860). [Cuatro ediciones entre 1856 y 1886]

Edward Bowser, Tratado elemental sobre el cálculo diferencial e inte-gral (1913).

Gages, Curso superior de álgebra y análisis (1935).Rey Pastor, Introducción a la matemática superior (1916).Francisco Vera, Matemática para ingenieros (1951).Camile Jordan, Cours d’analyse (1909).William Granville, Éléments de calcul différentiel et integral (1948).

De todos estos textos de análisis, hubo principalmente dos que tuvieron amplia circulación al interior de la comunidad de matemáticos-ingenieros colombianos: Cours d’analyse de l’École polytechnique de Charles Sturm, y el Cours d’analyse proffessé à l’École polytechnique de G. Humbert. El primero fue quizás el texto más leído y utilizado por los profesores colombianos en todo el periodo de 1850 a 1950. De acuerdo a la tipología de Zerner estos textos fueron también muy utilizados en Francia y están respectivamente ubicados en la segunda y tercera generación.

18. No tenemos una referencia precisa de lo que sucedió en otros países de Europa; pero según sugiere Zerner en Italia la adopción del concepto de límite sucedió más tempranamente que en Francia.

19. Muchos de estos textos de análisis fueron donados de sus bibliotecas particulares al Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional por matemáticos e ingenieros represen-tativos de esa comunidad: Luis Soriano, Eduardo Caro y Luis Lleras.



Textos de análisis matemático, manuscritos, notas de clase, producidos en Colombia para el uso de las instituciones, objeto de nuestro estudio Manuscrito del curso cálculo diferencial de Aimé Bergeron (1851)

El manuscrito que reposa en el Fondo Pineda de la Biblioteca Nacional de Colombia, recoge las notas de clase del estudiante Sixto Barriga, estudiante de la primera promoción del Colegio Militar. Está dividido en cuatro lecciones y se puede constatar que es un resumen de las seis primeras lecciones del Curso de Análisis de Sturm. Aunque el manuscrito es anterior a la primera edición del libro de Sturm (1856-1857), creemos que Bergeron pudo acceder en Francia a las notas de este curso, pues parece que era una costumbre entre los profesores de la Escuela Politécnica difundir sus cursos mediante entregas parciales antes de que salieran editados en forma de textos. El manuscrito del curso de Bergeron contiene las siguientes temáticas:

• Lección I. Introduce los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, como el de variable, función, función continua, límite, infinitesimal, infi-nitamente grande, tangente a una curva en un punto, derivada, cálculos de algunas derivadas.

• Lección II. Expone los criterios de la derivada para encontrar máximos y mínimos locales de una función. En la siguiente sección aborda la regla de la cadena y de las propiedades de la derivada y finalmente demuestra las derivadas de funciones de la forma y = u(p/q). Finaliza la lección con un tratamiento superficial sobre la derivada de expresiones imaginarias.

• Lección III. Plantea algunos problemas de ecuaciones diferenciales donde se deben encontrar las curvas que satisfacen determinadas propiedades de las subnormales y las ordenadas, para luego introducir el problema de la derivada de funciones de dos y tres variables. Finaliza esta sección con el tema de series, criterios de convergencia e introduce algunas series de potencias.

• Lección IV. Continúa con el estudio de series y define el número (la constante de Euler) y prueba que es un número inconmensurable.

Sobre la vida del ingeniero francés, Aimé Bergeron, es muy poco lo que se conoce. Llegó a Bogotá en 1848, contratado por el entonces Presidente de Colombia, Tomás Cipriano de Mosquera, para que orientara al lado de Lino de Pombo, los cursos de matemáticas en el Colegio Militar. De acuerdo a Victor Albis,20 Bergeron pudo estudiar en la École des Ponts y Chaussées,

20. Víctor Albis y Clara Helena Sánchez, “Descripción del curso de cálculo de Aimé Bergeron en el Colegio Militar”, Revista de la Academia Colombiana de Ciencias, 23, núm 86, 1998, pp. 73-79.



institución francesa de gran prestigio para la formación de ingenieros civiles y en la que quizás, el ingeniero de Pombo, le planteó la posibilidad de venir a trabajar a Colombia. Manuscrito del curso de cálculo diferencial e integral de Julio Garavito

Armero (1912)Este manuscrito al igual que el anterior son los apuntes de dos

estudiantes del curso de cálculo diferencial e integral que durante algunas décadas impartió Julio Garavito Armero, en la Facultad de Matemáticas e Ingeniería de la Universidad Nacional. El manuscrito, como lo expresan en la introducción sus autores, José A. Muñoz y E. Merchán, se organizó a partir de varios registros: apuntes originales del profesor, anotaciones de clase de ellos mismos, y apartes del Curso de Análisis de Sturm. Este documento resulta interesante porque ofrece indicios del imaginario subyacente en ese momento sobre los procesos infinitos y la manera de abordar las nociones preliminares del cálculo. El documento consta de dos partes correspondientes al cálculo diferencial e integral.21

Julio Garavito Armero (1865-1928), quizás, fue uno de los hombres de ciencia más importantes de Colombia en el siglo XIX y uno de los más reconocidos en el ámbito nacional, como se puede corroborar en los diversos homenajes que se han hecho a su nombre. Ingresó a la escuela de Ingeniería de la Universidad Nacional en 1887 y desde el inicio empezó a mostrar un interés particular por el estudio de las matemáticas. Fue un hombre polifacético que se movió en varios campos: las matemáticas, la física, astronomía, economía y política. Llama la atención que un hombre con la formación de Garavito, hubiera sido tan conservador en sus concepciones científicas. Se negó a aceptar las geometrías no euclidianas y la física relativista de Einstein. Este hecho lo hace ver en algunos casos como el culpable del ingreso tardío en nuestro medio de las teorías científicas más avanzadas. Otros historiadores, por el contrario, sugieren que no se trataba de una posición conservadora a ultranza, sino que obedecía a unas concepciones filosóficas muy bien fundamentadas.22

Curso de análisis matemático de Jorge Acosta Villaveces (1951)Jorge Acosta Villaveces (1891-1965) fue uno de los alumnos más

destacados de Garavito en la Facultad de Matemáticas e Ingeniería de la

21. En el texto hay innumerables párrafos que son traducciones del libro de Sturm y en muchas ocasiones se nota una escritura descuidada.

22. Maribel Anacona y Luis Carlos Arboleda, “Las geometrías no euclidianas en Colombia. La apuesta euclidiana del profesor Julio Garavito Armero (1865-1920)”, Quipu, Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología, 11, núm. 1, 1996, pp. 7-24.



Universidad Nacional. Luego de graduarse en 1912 se convirtió en sucesor de su cátedra de matemáticas superiores y por tanto fue el encargado de impartir los cursos del tercer año de la carrera de matemáticas e ingeniería. Algunas de sus lecciones se divulgaron primero por entregas en la revista de la Universidad Nacional de Colombia y luego se publicó, en 1951, su texto de análisis matemático. Los estudiantes que matriculaban esta asignatura debían previamente haber cubierto en el primer año de su carrera la aritmética analítica, y el álgebra superior y el cálculo diferencial en el segundo año. El enfoque de estos cursos generalmente estaba dado por el análisis de Sturm; pero los estudiantes más aventajados accedían al análisis de Humbert como texto de consulta.23

Este curso está dividido en dos grandes partes: cálculo integral y ecuaciones diferenciales. La parte correspondiente al cálculo integral tiene muchas similitudes, tanto en el enfoque como en los ejemplos, con el curso de Análisis de Sturm. Sin embargo hay dos secciones del capítulo II que no aparecen ni en este texto, ni en el de Humbert: “Fórmulas de integración aproximada, Teoría del planímetro”.

En el primero se trata de buscar aproximaciones de integrales definidas en las que no se conoce la antiderivada por medio de las fórmulas de Simpson y de los trapecios y se aproximan series por medio de integrales definidas; todo ello con sus respectivos cálculos de error. En la segunda sección se establecen algunas consideraciones teóricas sobre el planímetro; instrumento destinado a la medición de áreas planas. La parte destinada a las ecuaciones diferenciales se divide en seis grandes capítulos, comenzando con las ecuaciones diferenciales de primer orden y llegando hasta las ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. En este documento se percibe una preocupación no sólo por abordar los conceptos del análisis con los elementos requeridos de rigor; sino por poner también en juego estos desarrollos teóricos con sus aplicaciones. Es así como, al menos, cada capítulo de la segunda parte se encuentra al final acompañado de una amplia sección de aplicaciones en física.Conferencias de Análisis I dictadas por el doctor Antonio María Gómez.

(195?)Las “Conferencias de Análisis I” de Gómez Medina se recogen en un

gran documento de 415 páginas. En la primera parte del manuscrito (192 páginas) se exponen las nociones preliminares, teoría de las ecuaciones algebraicas, desarrollos en series, teoría de series, series de potencias,

23. Luis Carlos Arboleda, “Los tratados franceses en la enseñanza del análisis en Colombia (1851-1951)”, en Luis Carlos Arboleda y Michel Paty (Eds.), Formación de cultura científica en Colombia, Cali, Universidad del Valle, 2004.



cantidades complejas y series de complejos. En las páginas restantes (223 páginas) Gómez Medina desarrolla los conceptos correspondientes al cálculo diferencial e integral.

Sobre la vida de Antonio María Gómez Medina no tenemos mucha información, salvo que se graduó de ingeniero civil en 1939 y se desempeñó como profesor de la carrera de matemáticas e ingeniería en la Universidad Nacional entre 1940 y 1979. Sin embargo por una corta semblanza que aparece en el diario El Tiempo (12 de mayo de 1979) con motivo de su deceso y por algunas publicaciones que encontramos en la biblioteca de la Universidad Nacional, creemos que además de la docencia, los intereses de este personaje estuvieron muy ligados a su profesión de ingeniero civil.

Textos de aritmética, documentos filosóficos Indalecio Liévano, Tratado de Aritmética (1856).Indalecio Liévano, Investigaciones científicas (1871).

Artículos en la revista: Anales de Ingeniería Ruperto Ferreira, “Sobre la cantidad” (1905). Garavito Armero, “Los números inconmensurables” (1897). Aurelio Rigueros, “Estudios sobre las series” (1905). Ruperto Ferreira, “Revisión de algunos conceptos del curso elemental de matemáticas superiores” (1888). Jorge Rodríguez, “Máximos y mínimos” (1897).

Tesis de la Escuela Normal SuperiorHermano Alfonso Felix, Las series algebraicas como introducción al

cálculo infinitesimal (1956).Joaquín Giraldo, Estudios sobre series infinitas (1951).Agustín Pérez R., Aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer

orden (1951).

Estos documentos son las tesis para optar al título de doctor en ciencias físico-matemáticas de tres estudiantes de la Escuela Normal Superior. Aunque las fechas que aparecen en los tres documentos son posteriores a 1950, los estudiantes Agustín Pérez Repizo, Joaquín Giraldo Santa y Alberto Vargas Muñoz terminaron sus estudios en 1939, 1941 y 1951 respectivamente.24 Después de leer los documentos, notamos que el sentido dado a una tesis de doctorado, al menos en el área de matemáticas y física, es distinto al que se

24. Manuel Ospina, “La Escuela Normal Superior…”



tiene en la actualidad. En primer lugar la reglamentación parece responsabilizar únicamente al doctorando de las ideas expuestas en el documento. El presidente de tesis sólo juega el papel de orientador, sin asumir o aceptar las ideas expuestas por su estudiante. De otro lado, las referencias bibliográficas y los documentos consultados no son tan importantes, pues las tesis, en general, carecen de referencias y sólo dos de ellas relacionan una bibliografía mínima. Sin embargo este hecho y la insatisfacción que expresa alguno de los estudiantes son indicios de la escasa literatura norteamericana y europea a la que se tiene acceso en ese momento en el país.

Algunas conclusiones acerca de los textos de análisis colombianos.

La lectura que realizó la comunidad de ingenieros-matemáticos colom-bianos, en el periodo 1850-1950, de los textos de segunda y tercera generación no fue literal, sino que se hizo de una manera pragmática, mediada por unos intereses y valoraciones que se definen desde lo social y cultural, pero que logran materializarse en unas concepciones educativas y epistemológicas particulares sobre las matemáticas. Por ejemplo se sabe que el enfoque de los cursos, en su globalidad, estaba dado por el texto de Sturm, pero los estudiantes más aventajados podían acceder a los textos de tercera generación, como el de Humbert. Hay, por ejemplo, diferencias sustanciales entre el manuscrito de Bergeron y el texto de análisis de Acosta Villaveces, aunque ambos contienen las características más relevantes de los textos de segunda generación.

No sabemos si existió una traducción rigurosa de los textos de Sturm o Humbert, pero se hacían traducciones de párrafos enteros intercalando libremente anotaciones propias y, en otros casos aparecían, en un mismo documento, traducciones enteras de párrafos de ambos autores. Otras veces, en un mismo libro, se escribían capítulos enteros de los textos de una y otra generación. Por ejemplo en el manuscrito de Garavito, las aplicaciones analíticas nos remiten a un texto de tercera generación y aparecen otros resultados que en general tampoco son enunciados en los textos de segunda generación como el teorema del valor medio para derivadas, pero esos hechos no se plasman de ninguna manera en citas bibliográficas.

La manera particular de aproximarse a los textos europeos nos permite afirmar que, en la instauración de los procesos infinitos, formalizados en el análisis, no sólo hubo un desfase en el tiempo, sino que la apropiación de estos elementos, por parte de la comunidad colombiana, se materializó en unos textos de manera radicalmente distinta a como sucedió en el ámbito francés. Analicemos con detalle algunos de estos aspectos.

Anteriormente decíamos que la fundamentación del análisis en los textos de la segunda y tercera generación se daba a través de los conceptos de infinitesimal y



límite respectivamente.25 Pero también afirmábamos que estas dos concepciones eran irreconciliables en el sentido de que en el primer caso se tenía una noción de cantidad ligada a lo geométrico, y en el otro caso los números reales se habían instaurado como objeto matemático, y el concepto de límite alcanzaba una definición rigurosa en términos de los cuantificadores y del álgebra de desigualdades. En los textos de análisis colombiano esta diferenciación no fue taxativa. Se percibe, en primer lugar, un cierto prejuicio frente a los procesos infinitos, pues se reitera la idea de que el límite de una cantidad variable x, es una cantidad fija determinada, hacia la que tienden los valores de la primera, pero sin nunca alcanzarla. Es importante anotar que no se usa la palabra “pasarla”, en lugar de “alcanzarla”, pues se tiene la convicción de que el valor “límite” es inalcanzable y los valores de la variable se deben mantener a cierta distancia del valor final. De alguna manera se percibe aquí un cierto horror al infinito actual, cercano al del pensamiento griego-euclidiano, en el que se postulaba el acercamiento de los polígonos inscritos (o circunscritos) al círculo con una aproximación menor que cualquier cantidad dada pero sin llegar a ser nunca igual. En otro de los textos aparece nuevamente la expresión “límite alcanzado” y “límite no alcanzado” pero ahora con un sentido diferente, al querer expresar que un conjunto acotado de números reales puede o no alcanzar su valor máximo y/o mínimo. También se enuncia el hecho de que una variable no puede acceder hacia dos límites diferentes en calidad de axioma; pero más adelante se da un ejemplo de una variable que tiende hacia dos límites diferentes, dependiendo de la manera en que se haga tender la variable independiente. En este ejemplo se percibe nuevamente una ambigüedad, pues, aunque se ha dado la definición de límite, se observa que no se ha interiorizado el hecho de que lo anterior significa justamente que el límite no existe.

Con respecto al Principio de Sustitución (PS), marca principal de los textos de segunda generación, podemos exponer también la lectura particular que se hizo de ellos en el contexto de las instituciones colombianas.

Es claro que en los textos de esta generación el PS no tenía un papel teórico, sino que era utilizado fundamentalmente para probar que el área bajo la curva coincidía con la suma de los paralelogramos infinitesimales y en esto también van a coincidir los manuales colombianos. Las diferencias, sin embargo, es que, en el manuscrito de Garavito, una de las versiones de este teorema es expuesta en los siguientes términos:

Si suponemos un cierto número de infinitesimales en número creciente, cuya suma sea finita; se puede reemplazar esta suma por la de sus términos principales.

25. Así algunos textos de tercera generación siguieron hablando de infinitesimal pero esto era sólo una manera de hablar, pues el soporte lo daba el concepto de límite.



Observamos que este enunciado se formula con la terminología que usa Humbert para definir el valor principal de un infinitesimal y que, en sus palabras, es enunciado para un número finito de términos:

El valor principal de la suma de un número finito de términos es el mismo que el de la suma de los valores principales de los términos.26

Es interesante notar en este punto que no hay prejuicios en tomar de uno u otro texto lo que conviene. Es claro que Humbert no enuncia este resultado sino para un número finito de infinitesimales pues como ya lo dijimos PS desaparece en los textos de tercera generación franceses. Sin embargo en otros textos que circularon en Colombia, como el de Francisco Vera (1951), hay un texto de tercera generación donde también se enuncia el PS aunque utilizando el concepto de convergencia uniforme en los siguientes términos:

El límite de una suma de infinitésimos del mismo signo α1, α2, ...αn cuyo número n crece indefinidamente no altera cuando se sustituyen por otros β1, β2, ...βn tales que los cocientes tienden uniformemente a la unidad, entendiendo por uniformemente que cualquiera que sea ε > 0, se puede tomar n lo suficientemente grande para que se verifique:

1 - ε < βi < 1 + ε.27

αi

Pero otro hecho, sobre la lectura particular que se hizo del PS, es que uno de los textos deja entrever una cierta desconfianza hacia este principio, pues en la prueba geométrica, de lo que reconocemos hoy como el segundo teorema fundamental del cálculo, da una vuelta artificiosa y no utiliza este principio que le permitiría derivar el resultado de una manera más sencilla; aunque en la prueba analítica lo tendrá que utilizar.

Otra de las características que mencionábamos es que en el imaginario matemático, correspondiente a los textos de segunda generación, las funciones son suaves, en el sentido de que son continuas y diferenciables (salvo casos aislados), y cuando se define la derivada en un punto, en términos de límites, no se especifica que por ejemplo este límite puede no existir. En los textos colombianos como el manuscrito de Garavito, empieza a percibirse una nueva conciencia. Veamos cómo se expresa esta conciencia en uno de los textos:

Si el cociente admite un límite es decir que el infinitesimal Δy es del mismo orden que Δx; se dice que f (x) admite derivada y esta derivada es el límite de la relación

26. George Humbert, Cours d’analyse, Paris, Gauthier-Villars, 1903.27. Francisco Vera, Matemática para ingenieros, Buenos Aires, Ediar Editores, 1951.



Δy/Δx, incremento de la función sobre el incremento de la variable, que como sabe-mos se representa por f ’(x), así: Lim Δy = f ’(x).28

ΔxEn el curso de Sturm aparece lo siguiente:

Entonces, si se busca el límite de la razón de los crecimientos simultáneos k y h de las variables x y y, ligados mediante la ecuación

y + k = f ( x + h )

cuando h disminuye indefinidamente, este límite será la tangente trigonométrica del ángulo que con el eje de las x hace la recta que toca a la curva en el punto M.29

Hay aspectos de los manuales colombianos que parecen remitirnos directa-mente a los textos de segunda generación; sin embargo una mirada más cuidadosa nos hace desistir de ello. Por ejemplo no se demuestra la existencia de la integral definida, y por ende este concepto no se ha desligado de la noción geométrica de área bajo la curva. En ese aspecto estarían sintonizados con los cursos de segunda generación, pero, al mismo tiempo, encontramos señales de la propiedad de completitud de los números reales y este hecho hace referencia a un texto de la siguiente generación. Lo curioso es que, al lado de lo anterior, también aparece el PS, como lo expresa la cita tomada del curso de Acosta Villaveces en el que expresa la propiedad de completez de los números reales:

Si aumentamos el número de segmentos parciales, la primera de estas sumas au-menta de valor y la segunda disminuye, y la diferencia entre las dos, que es la suma de los pequeños rectángulos MM1M’M1’, va disminuyendo constantemente. Al hacer tender al infinito el número de segmentos parciales, de manera que cada uno de ellos sea un infinitesimal, la suma de los rectángulos inferiores, que crece constantemente permaneciendo siempre inferior al área del segmento ACDB, tenderá hacia un lími-te y la de los rectángulos superiores que decrece constantemente permaneciendo siempre superior al mismo segmento, tenderá a otro límite mayor o por lo menos igual al primero. Como la diferencia de esas sumas es una suma de infinitesimales de segundo orden, puesto que son rectángulos cuyas dos dimensiones tienden a cero simultáneamente, dicha diferencia tenderá a cero al crecer el número de segmentos y por tanto los límites de las dos sumas de rectángulos son iguales. Pero el límite de la inferior no puede ser mayor que el segmento ACDB, y el de la superior no puede ser menor que este mismo segmento, luego este será el límite común de las dos sumas. 30

28. José Antonio Muñoz, Conferencias de cálculo diferencial é integral de Julio Garavito Armero, Bogotá, Universidad Nacional, 1912.

29. Charles Sturm, Cours d’analyse de l’École polytechnique, París, Gauthier-Villars, 1909.30. J. Acosta, Análisis matemático, Bogotá, Minerva, 1951.



Finalizaremos con el concepto de convergencia uniforme que en general no aparece en los textos de segunda generación. Para tal fin citemos los enunciados que, en los respectivos textos de segunda y tercera generación, se da sobre la integración de una serie de funciones y al final enunciaremos el resultado que aparece en el curso de Acosta Villaveces:

Resultado sobre la integración de una serie de funciones en un texto de segunda generación:

Dada la diferencial f (x) dx y si f (x) se puede expresar por una serie convergente:

(1) f (x) = u1+u2+u3+...+un+rn,

se tendrá, multiplicando por dx, e integrando entre los dos límites a y b,

(2) ∫b f (x) dx:= ∫b u1 (x) dx + ∫b u2 (x) dx +...+ ∫b un (x) dx + ∫b rn (x) dx

a a a a a

Si la serie (1) es convergente para x = a, x = b y todos los valores de x comprendidos entre a y b se puede suponer rn < ε siendo ε una cantidad tan pequeña como se desee a condición de que n sea suficientemente grande.31

Resultado sobre la integración de una serie de funciones en un texto de tercera generación:

La integral entre dos límites finitos, de una serie uniformemente convergente en un intervalo que comprende estos límites, se obtiene realizando la suma de las integra-les de los términos de la serie.32

Resultado sobre la integración de una serie de funciones en el texto de Jorge Acosta Villaveces:

Cuando la diferencial bajo el signo no es integrable puede recurrirse a desarrollarla en serie e integrar enseguida los diferentes términos de ésta. Para que la operación sea correcta es necesario que la serie de las integrales sea convergente y que su suma sea igual al valor de la integral dada.33

Como anteriormente lo expresábamos, las posiciones de Sturm y Humbert reflejaban dos momentos extremos en este proceso. Para el primero no hay restricciones, se puede integrar formalmente una serie término a término, sólo se debe asegurar la convergencia; en su lugar, Humbert advierte que ello se puede garantizar si la serie converge uniformemente a la función. Sin embargo la actitud de Acosta muestra cierta cautela con respecto a la primera afirmación.

31. Charles Sturm, Cours d’analyse de l’École polytechnique..., p. 392.32. George Humbert, Cours d’analyse..., p. 321.33. J. Acosta, Análisis matemático..., p. 144.



Si bien él no habla de convergencia uniforme, toma medidas cuando afirma de manera “tautológica” que la suma de las integrales debe coincidir con la integral dada. Aunque la prueba de Acosta es similar a la de Sturm, se puede entrever que el matemático colombiano intuye que la afirmación escueta que aparece en el curso de Sturm puede resultar problemática.

Otro de los indicadores que permitirían aproximarse a la epistemología subyacente, tanto del manuscrito del curso de cálculo diferencial e integral como el artículo sobre la teoría de los inconmensurables de Julio Garavito Armero, son las anotaciones de su puño y letra que fueron recogidas mediante cuadernos y reposan en el archivo histórico del Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional.34 Nos interesa revisar ante todo la bibliografía sobre análisis matemático a la que tuvo acceso. Al lado de su libro de cabecera, el Curso de Análisis de Charles Sturm, aparecen otros libros de segunda generación como el de Appell, que utilizó para el estudio de las ecuaciones diferenciales35 y también hay unas anotaciones de los primeros capítulos del Cours d’analyse de Camille Jordan (1893) que es un texto típico de tercera generación. Pero al lado de esos libros franceses aparece un texto italiano con varias ediciones entre 1895 y 1924, Lezioni di calcolo infinitesimale de Ernesto Pascal, texto que de acuerdo a la revisión que hicimos es un texto de tercera generación, en donde hay una sección dedicada a los infinitesimales y se enuncia y prueban algunos teoremas relativos a los infinitesimales entre ellos el PS, pero de manera distinta a como aparece en los libros de segunda generación.

De acuerdo a las anotaciones que reposan en estos cuadernos, podemos afirmar que Garavito tuvo acceso a las distintas etapas de ese periodo histórico que denominamos proceso de instauración del análisis. Pero no solamente a través de manuales como el de Jordan, o el de Pascal, sino que también tuvo acceso a los trabajos de Georg Cantor, como lo confirma el siguiente párrafo que aparece en uno de sus cuadernos:

Se llama grupo a un conjunto o colección de puntos de la misma clase de variables pudiendo ser en un número limitado o ilimitado; punto límite de un grupo a un punto límite de una serie [sucesión] de puntos pertenecientes al grupo. El conjunto de los puntos límites de un grupo E forma otro grupo E’ llamado grupo derivado del grupo E. Se llaman grupos perfectos a los grupos que contienen a su derivado.

34. Para esta sección tomamos el trabajo de revisión de Clara Helena Sánchez sobre los cuadernos de Garavito que reposan en los archivos históricos del Observatorio Astronómico de la Universidad Nacional. Clara Helena Sánchez “Los cuadernos de Julio Garavito Armero”, en Clara Helena Sánchez y Jorge Arias, Catálogo documental del archivo histórico del Observatorio Astronómico Nacional. Primera parte (1803-1930), Bogotá, Universidad Nacional, 2007.

35. Clara Helena Sánchez, “Matemáticas en Colombia en el siglo XIX”, LLULL, 22, 1999, pp. 687-705.



Se observa que estas anotaciones fueron hechas por Garavito después de leer varios apartes de los trabajos de Cantor que habían sido traducidos al francés. En el párrafo pareciera que Garavito aterriza la definición abstracta de conjunto y de punto límite a sucesiones de puntos de la recta geométrica, pero por la misma escritura no parece tener mucha solvencia en el tema y se nota que son sus primeras incursiones al tema. Esto es entendible si nos atenemos al hecho de que aunque la definición de punto límite de Cantor aparece en los Anales Matemáticos en 1872, en su memoria, Extensión de un teorema de la teoría de las series trigonométricas, Garavito debió tener acceso a este documento pero después de su traducción al francés que ocurrió en 1883, para la revista Acta Mathematica. De todas maneras, si estas anotaciones fueron hechas en 1897 eran temas muy novedosos no sólo en el ámbito nacional sino también en el internacional y entonces es entendible que se evidencie poca holgura en el tema.

Esta escasa solvencia en la teoría de conjuntos cantoriana se evidenciará también muchos años después en el Curso de Análisis de Antonio María Gómez, (aproximadamente 1950) donde hace una introducción de página y media al tema; pero en el que hay un manejo todavía deficiente de estos conceptos. De todas maneras, estas teorías se empiezan a divulgar en el país por medio de algunos extranjeros que huyen de las guerras europeas. Uno de ellos fue el alemán Waldemar Bellón, quien llegó a Colombia en 1938, huyendo del nazismo y fue estudiante de matemáticas de las universidades de Sttugart y Tuebingen. En 1945 y 1946 publica en la revista trimestral de cultura moderna dos artículos titulados respectivamente: “Cantor el conquistador del infinito y Nuevas perspectivas en la matemática moderna”. En el primero hace un recuento divulgativo de los resultados más relevantes de Cantor con respecto a los conjuntos infinitos y, en el segundo, se dedica a divulgar los trabajos del matemático alemán Paul Finsler (1894-1970), quien incursionó en varios campos de las matemáticas como geometría diferencial, teoría de números, teoría de la probabilidad y fundamentos de las matemáticas. En este artículo muestra como Finsler construye, a partir de un sistema informal y con una versión de la paradoja de Richard, una expresión que remite al teorema de incompletitud de Gödel.

Pero quizá el mayor divulgador de las matemáticas modernas en el país, por esta época, fue Francisco Vera, quien llegó a Colombia en 1941 huyendo de la guerra civil española. Él fue un gran divulgador de las teorías más modernas en matemáticas, y de la historia de las matemáticas. En la Revista colombiana de ciencias exactas, físicas y naturales publica un artículo titulado “El Tertium Non Datur en la Matemática actual”, en donde divulga la polémica entre los intuicionistas y formalistas frente al infinito actual. Da una serie de conferencias en el Teatro Colón sobre Historia de las Matemáticas (1942) y, luego de este ciclo de conferencias tan exitoso, comienza a dar una serie de conferencias con la Sociedad Colombiana de Ingenieros sobre teoría de conjuntos.



El aporte de Indalecio Liévano Reyes: la construcción de los números in-conmensurables y su tratamiento del infinito

El ingeniero Indalecio Liévano Reyes (1834-1913) se debe considerar, en el ámbito académico de la segunda mitad del siglo XIX, como una de las

figuras más destacadas en el campo de las matemáticas en Colombia.36 Por esa época no existía en el país una tradición de escritura y Liévano rompe con ello al publicar no sólo sus textos matemáticos, sino al exponer sus ideas filosóficas y científicas ante un público que apenas empezaba a interesarse por estos temas. Sus artículos generaron polémicas al interior de la naciente comunidad de ingenieros matemáticos, como la que surgió entre Ruperto Ferreiro y José María Rojas Garrido alrededor de sus planteamientos filosóficos sobre dios y la demostración que hace del quinto postulado de Euclides. Julio Garavito Armero también se interesó por la teoría de los inconmensurables que expuso Liévano en su tratado de Aritmética, e intento reescribirla y ponerla al nivel de las construcciones de los reales que se hicieron en Europa por el mismo periodo.

La obra de Liévano incluye los siguientes libros: Tratado de Aritmética, con dos ediciones (1856-1872), Tratado de Álgebra (1875), Investigaciones Científicas (1871) y Apéndice a las Investigaciones Científicas (1875). En Investigaciones Científicas aborda temas de matemáticas que incluyen los siguientes títulos: números inconmensurables, varios principios de aritmética, teorema de la proporcionalidad de las cantidades, teorema que establece la identidad de los polinomios iguales, solución completa del problema de interés compuesto, y algunos temas de filosofía en los que construye un sistema que da cuenta de conceptos como el de dios, espacio e infinito. El último libro es un compendio de sus trabajos filosóficos, en donde intenta responder a las objeciones que le hicieran sobre el tema Ruperto Ferreiro y José María Rojas Garrido. Su obra también incluye un folleto en el que aborda algunos aspectos relativos a observaciones meteorológicas, y en la época en que se desempeñaba como director del Observatorio Astronómico de Bogotá elaboró almanaques en los que a partir de cómputos astronómicos calculaba el calendario para las festividades religiosas. Así mismo hay que incluir sus diversos proyectos de ingeniería civil, como se puede constatar en más de veinte títulos que aparecen a su nombre en las bibliotecas más importantes del país. Liévano Reyes fue un libre pensador desde el punto de vista académico, pues no se va a conformar con la lectura y asimilación de las teorías provenientes de los centros intelectuales europeos que se juzgaban intachables en nuestro medio, sino que, paralelamente, intenta construir de una manera sistemática y racional su propia visión filosófica del mundo para llegar a conceptos tan complejos como el de dios, espacio, número e infinito.

36. Para ver una biografía de Liévano remitirse a Alfredo Bateman, “90 años de la Sociedad Colombiana de Ingenieros”, Arco, 1977, pp. 63-66.



Pero al margen de todo lo anterior, podemos afirmar de manera categórica que el matemático colombiano realizó su teoría de los números inconmensurables antes de que en Europa se publicara la primera construcción de los números reales debida al matemático francés Charles Meray en 1869. Resulta muy interesante entonces que un ingeniero con mentalidad de matemático se proponga abordar problemas de fundamentación en las matemáticas.37

Más allá de la intención pragmática de desarrollar con cierto rigor y suficientes ejemplos los conceptos de la aritmética, se puede constatar que Liévano opta por confrontar al lector, a lo largo del Tratado de Aritmética, con problemáticas de orden filosófico y epistemológico. En la introducción, empieza por definir algunos términos que son propios del acto de conocer en matemáticas, como axioma, postulado, corolario, demostración, etc., y finaliza con la idea de que así como cada rama de esta ciencia se establece rigurosamente a partir de unos pocos principios básicos, así mismo, el conjunto de todas ellas se debe estudiar en un orden lógico que no es conveniente romper. Para Liévano este edificio se encuentra configurado de acuerdo a la jerarquía siguiente: aritmética, álgebra, geometría elemental (o geometría, álgebra), trigonometría rectilínea, trigonometría esférica, geometría analítica, geometría descriptiva, cálculo diferencial y cálculo integral. En este orden de ideas se puede observar que el curso de matemáticas de más alto nivel que se veía en el país y que prácticamente se mantendrá hasta más allá de la mitad del siglo XX, es el curso de cálculo diferencial e integral.

Esta actitud de constante indagación filosófica se advierte de manera más contundente en su teoría de los números inconmensurables. En los planteamientos de Liévano hay una inconformidad desde el punto de vista epistemológico frente al tratamiento que se ha dado a las magnitudes inconmensurables y se muestra partidario de fundar el edificio matemático a partir de la sola noción de número entero. En estos puntos coincide con los desarrollos que surgieron en Europa sobre esta problemática. Citemos sus propias palabras:

El vacio más notable y difícil de llenar ha sido el de los números inconmensurables, que consiste en que los mejores autores han aplicado sin demostración a los nú-meros inconmensurables las propiedades generales del número conmensurable. He aquí como yo he logrado no solamente hacer desaparecer ese vacío, sino que dicha teoría la pongo en mi Aritmética antes de las potencias y raíces; pues he logrado demostrar la existencia de las cantidades inconmensurables con el solo auxilio de la teoría de los números decimales. Así es que en la Aritmética que publiqué en 1856,

37. En Víctor Albis y Luis Soriano (“The Work of Indalecio Liévano on the Foundations of Real Numbers”, Historia Mathematica, 3, 1976, pp. 161-166) y en Gabriela Arbeláez (“Las nociones de infinito y continuo en la obra del matemático Indalecio Liévano Reyes (1834-1913)”, en Luis Carlos Arboleda y Michel Paty (Eds.), Formación de Cultura Científica en Colombia…) hay un análisis detallado de la construcción de los números inconmensurables de Liévano.



la teoría de los números inconmensurables se halla inmediatamente después de la de los números decimales y antes de las potencias y raíces.38

Es interesante constatar que Liévano, a tono con el movimiento europeo, entiende que el universo numérico puede ser constituido a partir del conjunto de los números naturales y sus propiedades y cree en la necesidad de elevar el concepto de magnitud continua a la categoría de número. Recordemos que en 1872, Dedekind en la introducción a su memoria Continuidad y números irracionales planteaba hechos similares cuando afirmaba que (hasta ese momento) nadie estaría en capacidad de hacer una demostración rigurosa de la igualdad aparentemente trivial: √2 √3= √6, pues en cualquier caso se debía recurrir a propiedades de los números enteros y racionales. En consonancia con lo anterior, en el Tratado de Aritmética se advierte que la teoría de inconmensurables se ubica antes de los temas de potencias y raíces justamente para resolver el problema de extender a las magnitudes inconmensurables las propiedades de lo conmensurable. Estos elementos nos permiten enmarcar el texto de Liévano en un ámbito más amplio que el estrictamente escolar, pues al lado de esa dimensión pedagógica, el matemático colombiano le apunta a un problema de orden epistemológico.

El desarrollo de las matemáticas en Colombia a partir de 1950

Como ha sido ilustrado por diversos autores, el panorama de las matemáticas, como disciplina científica, toma un nuevo rumbo en el país a partir de los

años 1950. En 1946, bajo la rectoría de Gerardo Molina, las ciencias comenzarían a adquirir un nuevo estatus con la creación de la Facultad de Ciencias, cuyo propósito era el de propiciar el estudio de las ciencias básicas a través de cursos libres en distintas áreas. Este primer evento hace que las matemáticas empiecen a concebirse en un rol distinto al que, por más de un siglo, llevaban cumpliendo al lado del currículo de ingeniería. Aunque esta facultad duró sólo diez años, la carrera de matemáticas, fundada en 1951, logró sostenerse y le dio impulsó a la creación del Departamento de Matemáticas y Estadística en 1956, entidad a la que le correspondería velar por el buen funcionamiento de los cursos de matemáticas que se orientaban en las distintas facultades de la Universidad. Otro evento, igualmente importante, fue la publicación conjunta entre la Universidad de los Andes y la Universidad Nacional de Colombia, de la Revista de Matemáticas Elementales, primera revista especializada en matemáticas y cuya primera edición saldría a la luz en 1952.39 En 1955 se funda la Sociedad Colombiana de

38. Indalecio Liévano, Tratado de Aritmética, Bogotá, 1872, p. 116.39. No podrían dejar de mencionarse los nombres de dos extranjeros que jugaron un papel

importante en el rumbo que tomaría esta disciplina en adelante. Ellos son Carlos Federici, quien



Matemáticas que se convertiría en el ente encargado de mantener y estimular el interés por las matemáticas, su enseñanza y por fomentar la investigación en las distintas ramas de esta ciencia. Entre sus funciones promovería también la realización de congresos, conferencias, seminarios, como lo expresaban los primeros estatutos de esa corporación, cuyo primer Presidente sería el ingeniero Julio Carrizosa Valenzuela.40

En las siguientes dos décadas se conformarían los departamentos de matemáticas y las carreras de matemáticas de la Universidad de Antioquia y de la Universidad del Valle. Es también el momento en que algunos profesores salen del país a hacer estudios de doctorado en universidades norteamericanas y europeas e ingresa al país el auge de las matemáticas modernas de acuerdo al paradigma impuesto por el grupo Bourbaki. En estas seis décadas en que las matemáticas fueron ganando un espacio para desarrollarse libremente, se logró consolidar en Colombia una cultura matemática que la hace medianamente visible en el ámbito internacional. Es menester decir que se ha generalizado la profesión de matemático, se cuenta cada vez con más opciones para realizar doctorados en instituciones extranjeras y se han abierto algunos programas de doctorado en el país. Igualmente se cuenta con revistas especializadas y la comunidad de matemáticos está interactuando con comunidades internacionales.41

Pero los eventos que marcarían un nuevo rumbo para el cultivo de la disci-plina en el país no hubieran prosperado si ello sucede sólo a través de actos legislativos o quedan en la cabeza y voluntad de unos pocos individuos aislados. La profesionalización debe explicarse a partir de múltiples variables que hacen que, en un determinado momento, la actividad matemática se conciba sólo como parte integrante de un sistema de conocimiento y luego ella pase a constituirse en una disciplina con valor en sí misma.

Es conveniente recordar las diferencias que plantea el desenvolverse en un medio científico, como el que se respiraba en las naciones europeas del siglo XIX y en un contexto como el de Latinoamérica, en donde las comunidades científicas se encontraban en un nivel muy incipiente. En países como Francia, Inglaterra, Alemania o Italia existía una tradición matemática consolidada a través de los siglos y con los aportes de múltiples culturas. De un lado existían las revistas especializadas en matemáticas, los profesores universitarios eran al mismo tiempo los investigadores de frontera, circulaba el flujo de conocimiento entre los diversos países, había una tradición de escritura de textos por parte de

llegó al país en 1948 y fue el gestor de la carrera de matemáticas y el Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad Nacional y Juan Horvth, quien llegó en 1951 como director del Departamento de Matemáticas de la recién creada Universidad de los Andes.

40. Clara Helena Sánchez, “La Sociedad Colombiana de Matemáticas en los cuarenta años de su fundación”, Lecturas Matemáticas, 16, 1995, pp. 231-243.

41. Aunque quizás en menor medida que en otros países de Latinoamérica como Brasil, Chile, México y Argentina.



la comunidad de profesores y en la segunda mitad del siglo XIX ya se habían creado muchas de las sociedades matemáticas nacionales. En Colombia, de otro lado, la situación hasta mediados del siglo XX, era totalmente distinta. La asignatura de más alto nivel que aparecía en los pensum de ingeniería era el cálculo diferencial e integral, en el imaginario social las matemáticas tenían un valor ligado a su carácter utilitario y las revistas especializadas obviamente no existían. En este incipiente medio académico se desarrolla una actividad matemática ligada a la formación de ingenieros civiles, pero que genera una élite de profesionales cuyos intereses fundamentales están centrados en la disciplina matemática; estos ingenieros ven la necesidad de formarse en esta ciencia y optan en tal caso por imbuirse de las matemáticas que se producen en los centros matemáticos mundiales.

Después de los años cincuenta se generalizan, en el país, los textos de análisis de tercera generación y la comunidad de matemáticos adopta, de manera generalizada, los procesos infinitos del análisis matemático. Pero el salto de un lado a otro no es inmediato y no se explica sólo por la llegada, a finales de la década del cuarenta, de matemáticos extranjeros al país, sino por todo un movimiento académico que buscaba inscribir el país en los linderos de la modernidad.

La modernidad, en su acepción más simplista, significó la transformación de una mentalidad ligada a lo religioso en una mentalidad en la que primara la razón. Cambiar la física newtoniana por la física aristotélica, hablar de biología evolucionista en lugar de paradigma creacionista, implicó cambios importantes en las mentalidades de los colombianos de la época colonial y los primeros años de la república; pero el ingreso a una mentalidad modernista también está mediada por otros cambios quizás más sutiles pero igualmente importantes. El interés de los ingenieros colombianos de este periodo por pensar las matemáticas, desde un ámbito distinto al estrictamente utilitario, fue uno de los sucesos que llevó a la profesionalización de las matemáticas, pero ello no se podría entender al margen de las discusiones alrededor de los procesos infinitos tal como sucedió en Francia y en muchos de los países europeos.

Bibliografía

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