Eindhoven University of Technology

MASTER

Numerieke modelvorming van hartspierdoorbloeding

Holshuijsen, P.F.

Award date:1986

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Numerieke modelvorming van

hartspierdoorbloeding

Peter Holchuijsen

WFW 85.052

Samenvatting:

Storingen in de bloedvoorziening van het hartspierweefsel hebben grote invloed op de werking van het hart en daarmee op het functioneren van het gehele lichaam. Het blijkt erg moeilijk te zijn om een quantitatie- ve relatie t e lecjy2ïi t ìssen anatomische äefecten en klinische sympto- men. Dit geldt ook voor het tijdsverloop tussen het ontstaan van de de- fecten en het optreden van de symptomen. Om een beter inzicht te krij- gen in de doorbloeding van de hartspierwand is een continuumsmodel ge- formuleerd waarin het hartweefsel beschreven wordt als een verzadigd poreus medium. In het huidige model worden alleen contractie en bloed- stroming door vervormbare vaten betrokken. Beide factoren beïnvloeden elkaar. In dit artikel wordt alleen het doorbloedingsmodel behandeld dat de momentane doorbloeding berekent bij een gegeven spanningsverde- ling a.g.v. contractie.

Symbolen :

A', a ' a , . . .

A ' , - a ' -

3 i . E z . . .

< f > ...

< f >* ...

o X

X ' ...

X ' ...

a V' = - ... ax

scalar

vectorcomponent in de x -richting

3-dimensionale (3D) vector

o

4-dimensionale (4D) vector

2 eerde tensor ( 3D)

2eorde tensor (4D)

inprodukt van twee vectoren

bulk-volume gemiddelde van eigenschap f van een bepaalde L

fase

'echt'-volume gemiddelde van eigenschap f van een ... bepaalde Ease

arterioveneuze parameter

(ruimtelijke) plaatsvector (3D)

snelheidsvector van een bloeddeeltje

gradient operator (3D) ...

4D gradient operator

bloedvolume met een AVP tussen xo en x + dxo in het de O

huidige toestand

elementair volume

bloedvolume met een AVP tussen xo en xo+ dx in de O

spanningsloze toestand

rb(xO)dxo n = bloedvolumefractie in vervormde toestand Rdx o

Rb(XO) dxo N = bloedvolumefractie in onvervormde toestand Rdxo

P

Q

P

'im

referentie bloedvolumefractie

vervormingsfactor voor de vaatwanden

bloeddruk

intramyocardiale vloeistofdruk

= (p - pim) transmurale drukverschil (drukverschil over de vaatwand) Ptm

O '

diameter in onvervormde resp. vervormde toestand

arterinveneuze flob! per e1emenmtzir Ynlume

flowvector per elementair volume (30)

flowvector per elementair volume (4D)

knooppuntsflows (4D)

dynamische viscositeit

K -

Q

Ni

D -

AR c

Definities:

< f > * = -"

< f > = -"

* < f > =

L

conductantie tensor

massadichtheid van bloed

vormfunctie i

doorbloedingstensor

volumeveranderingcvector

1 f dR Rb(xQ)dxO F$,(xo)dxo f -

i

1

NdxQ < f ) -

@ * n < x O >

- 1 -

Inleiding

Het hart bestaat uit twee delen die te beschouwen zijn als in serie ge- schakelde pompen (appendix A). De linkerharthelft is het sterkste en ontwikkelt een druk die 4 tot 5 maal groter is dan de druk die in de rechterharthelft ontwikkeld wordt. Storingen in de hartfunctie zijn meestal het gevolg van defecten in de linkerharthelft omdat die veel zwaarder belast wordt. De defecten die op kunnen treden zijn o.a. ver- nauwing of afsluiting van een kransslagader. Het gevolg hiervan is dat een gedeelte van het hartweefsel niet voldoende doorbloed wordt. Af- hankelijk van de plaats waar het defect optreedt kunnen de gevolgen meer of minder ernstig zijn. De verminderde doorbloeding kan gecompen- seerd worden door autoregulatie. Dit is het vergroten of verkleinen van de doorsnede van een bloedvat afhankelijk van de behoeften van het ach- terliggende weefsel. Bovendien zijn er verbindingen tussen de arteriële vaatbomen (anastomosen) zodat de ene vaatboom bloed kan leveren aan de andere (collaterale doorbloeding). De verbindingsvaten kunnen blijvend vergroot worden.

Het blijkt erg moeilijk te zijn om een quantitatieve relatie te leggen tussen de anatomische defecten (vernauwing, afsluiting) en de klinische symptomen. Hetzelfde geldt voor het tijdsverloop tussen het ontstaan van het defect en het optreden van de klinische symptomen. We willen in dit project proberen een bijdrage te leveren aan het vinden van boven- staande relatie. Autoregulatie wordt voorlopig buiten beschouwing gela- ten, alleen contractie en bloedstroming door vervormbare vaten wordt in het the^rPti$ChP h^rtmodel hetrikken. Eeide genoemde fuctc!rrl? bril?-

vloeden elkaar; de hoeveelheid bloed in de spierwand beïnvloedt de me- chanische eigenschappen en de spanningsverdeling in de wand beïnvloedt de conductantie van de coronaire circulatie. Het huidige doorbloedings- model is een onderdeel van het promotiewerk van ir.J.M.Huyghe, dat con- tractie en doorbloeding geintegreerd beschrijft. In dit artikel wordt het doorbloedingsmodel behandeld dat de momentane doorbloeding berekent bij een gegeven spanningsverdeling over de hartwand. De spanningsverde- ling wordt berekend in het contractiemodel, dat hier verder niet ter sprake zal komen.

- 2 -

De opbouw van het artikel is als volgt. Allereerst wordt het mathema- tisch model afgeleid dat de doorbloeding beschrijft. Vervolgens wordt beschreven hoe de oplossing van dit stelsel vergelijkingen benaderd wordt met de eindige elementen methode (EEM) en wordt een aantal ele- menttests besproken. Daarna worden parameterkeuzes gedaan en worden de geometrie en de randvoorwaarden van het probleem geformuleerd. Tenslot- te volgt dan de presentatie van de resultaten en een discussie.

Theorie

De struktuur van het hartweefsel is erg complex zodat het onbegonnen werk is om er een natuurgetrouwe beschrijving van te geven. De discrete realiteit met afzonderlijk herkenbare strukturen zoals spierweefsel, bindweefsel, vaatstelsel en bloed, wordt daarom beschreven m.b.v een continuumsmodel van een verzadigd poreus medium, geinspireerd door de grondmechanica. Het poreuze medium stelt de vaste strukturen voor en het bloed de vloeistof waarmee het medium verzadigd is. Weefsel en bloed worden incompressibel verondersteld. Bloed is een vloeistof met daarin ronddrijvend bloedcellen en relatief grote moleculen. In het model wordt er van uit gegaan dat bloed een enkelvoudige vloeistof is. Be viscositeit van het bloed wordt afhanke- lijk gesteld van de diameter van het bloedvat waar het doorheen stroomt. De beschrijving van het hartweefsel als een verzadigd poreus medium maakt het mogelijk om een continuumsbenadering toe te passen. De bloed- stroming door elke porie is niet exact te beschrijven maar, op macro-

relatie opgesteld worden tussen de vloeistofstroom en het gemiddelde drukverschil. Op deze manier kan echter alleen een ruimtelijke bloed- stroming beschreven worden, stroming van arteriën via capillairen naar venen kan niet beschreven worden. Een van de doelstellingen van dit project is juist het berekenen van de regionale doorbloeding; d.i. de doorbloeding van het capillaire gedeelte van het vaatbed. Er wordt daarom een parameter ingevoerd die de plaats in het vaatstelsel aan- geeft. De zogenaamde arterioveneuze parameter (AVP) x neemt toe van negatieve waarden in de arteriën via de waarde O in de capillairen naar

. .. crinn;ccik n ; r , a % $ s , mdrn;A,.?nlA r\llnr nCLm e ; r v n ; F : ” s m + -? .m+-l =AY.*- b.3- Ahw. v ~ v y & u b u ILL vcau , y\-i~iruuc;ru V V G L ==AL GayiirLALaiir. uaur.ar ~ C I A L G L ~ ~ naii GGII

o

- 3 -

positieve waarden in de venen. De oplossing van het model wordt Sena- derd met de eindige elementen methode (EEM). De AVP is zodanig gedefi- nieerd dat de afmetingen van het element van gelijke grootte orde zijn, De waarde van de AiiP in een vertakkingspunt is, in absolute waarde, als volgt gedefinieerd.

Cmmf

Wiesin zijn D vertakkingspunt samenkomen. De diameters worden gemeten in een bepaalde referentietoestand bv. einddiastole bij maximale vasodilatatie. Tussen twee vertakkingspunten verloopt x lineair. De definitie van de AVP

O wordt geillustread in fig. 1.

en hf 1 2 de diameters van de kwee dikste vaten die in het

o figuur 1: Definitie van de arterioveneuze parameter (AVP) x

Het hart contraheert waardoor een spanningsveld in d e hartwand en r e s

drukopbouw in de hartholte ontstaat. De spanning in de spierwand is a€- hankelijk van het bloedgehalte. Men spreekt van het 'garden hose' e f -

fect. De stijfheid van de spierwand wordt beinvloed door het bloedvo- lume in de wand. Anderzijds is ook de hoeveelheid bloed in de wand af- hankelijk van de spanningsverdeling. Tijdens contractie wordt het bloed als het ware uit de spierwand geperst. In dit artikel wordt beschreven hoe de bloedfractie in de spierwand verandert gedurende een hartslag. Het hart vervormt tijdens contractie; daarom worden alle grootheden ge-

relateerd aan de positie in onvervorinde (spanningsloze) toestand. De

- 4 -

tijdsafhankelijkheid wordt incrementeel (quasi-statisch) beschreven. an

het vervolg zal ?aak gesproken worden over d e &uk en de flow etc. hiermee zal in het algemeen een gemiddelde waarde bedoeld worden,

Het constitutieve gedrag van vervormbare vaatwanden moet een relatie kussen het drukverschil over de vaatwand en de diameter van het vat op- leveren. In het huidige model stellen we vervormbare vaatwanden voor door een vergelijking voor 'de bloedvolumefractie n. Verondersteld wordt dat de belasting van een vaatwand bestaat uit een inwendige druk p en een uitwendige d ~ u k p ~ e ~ ~ i n ~ i n ~ e n tussen bloedvat en andere vaste s t rukturexi worden geacht niet aanwezig te zijn. Tevens worden de ver- vormingen van de vaatkilanden beperkt tot diameter veranderingen, strek- k i n g en buiging wordt verondersteld niet op te treden. Verder wordt a ~ ~ g ~ ~ o m e ~ da t de bloedvaten niet d i ~ ~ t g ~ d r u k ~ kunnen worden. Het con-

s t i tut ie f gedrag van de bloedvaten wordt als v o l g t geformuleerd:

im'

o p: de bloeddruk i.n een compartiment dx pim: intrmyocardiale druk, d . i . de druk in de hartspierwand

a.g.7 de caratractie van hek hart

figuur. 2: Bloedvolumefractie n

- 5 -

De factor $ stelt de bloedvolumefractie voor in spanningsloze toestand ( p = p. ) en bepaalt de bovengrens van n. Factor a beinvloedt het ver- loop van n. in figuur 2 is n als functie van het transmurale drukver-

am

schil (p - p . ) Geschetst. am De doorbloeding van de hartwand wordt beschreven uitgaande van de zoge- naamde wet van Darcy (fig. 3 ) .

figuur 3 : Wet van Darcy

Dit is een wet alt d e g~ondmechan~c~ d i e de esndimensionale vloeistof- stroming (water] door een verzadigd poreus medium (zand) beschrijft. Darcy en Ri t teu (1840) leidden deze w e t af uit experimenten aan een verzadigd grondmmster. Belangrijk is dat deze wet een verband geeft tussen een gemietdelde flow en een gemiddelde drukgradiënt. Generalisa- tie van deze wet naar een vierdimensionaal geval zoals het huidige rno- del, maakt het noodzakelijk om een macroscopische relatie af te leiden uit ~ ~ t ~ a ~ i ~ h e ~ e ~ die op het microscopische niveau van de Individuele poriën geldig zijn. De vierdimensionale Darcy vergelijking wordt in ket vervolg de uitgebreide Darcy vergelijking genoemd. De afleiding van de uitgebreide Darcy vergelijking verloopt als volgt. Beschouw een vaat- stukje met lengte ds en diameter D (fig. 4 ) . In vervormde toestand heeft het nog steeds de lengte ds maar een andere diameter d . We nemen aan dat bij vervorming cirkelvormige doorsneden cirkelvormig blijven en dat verandering in bloedvolume fractie gelijk verdeeld wordt over het

- 6 -

volume van e l k x -compartiment. De volgende relatie tussen volumever- anderingen en diametervcranderingen kan opgesteld worden:

o

s : curvilineaire coordinaat voorstellende de afstand langs het b I oed vdt

figuur 4 : vaatstakje ds

De quasi-stationaire benadering die gebruikt uordt staat toe dat de wek

van Poiseuille b.oegepast wordt voor het beschrijven van de stroming door een enkel aloeclvaatje:

- Hierin is 5 d e snelheid van een bloeddeeltje in de richting van s ge- middeld nvex de doorsnede van tiet bloedvat. gordt vervolgens a ~ n ~ @ ~ o m ~ n dat de viscositeit maar weinig beinvloed wordt doos de diameter- verandering, dan kan gesteld worden:

Substitutie van ( 3 ) en (5) in ( 4 ) geeft:

- 7 -

Eerst wordt een uitdrukking gezocht voor de ruimtelijke flow Q', Daar-

toe wordt (6) in vectorvorm geschreven. We bedenken dat de volgende identiteiten gelden voor punten van s beschreven in een orthonormaal

*

stelsel x' : *

ax1 as

as ax' *

c - - - - - - O'S *

De afgeleide van p naar s kan als volgt geschreven worden:

3p ap ax'

as ax1 as * *

* - _ - - - - - V's e V'p *

Uitdrukken in afgeleiden naar de globale coordinaten geeft:

ap as ap

ax1 ax' as * * * - - - - - - - O ' s ( V's a V'p 1 z *

In vectorvorm schrijven van (6) levert:

2 nD - X I = - - - - * V's ( O ' S e V'p) 32Ng -, * *

( 7 )

Middelen van (IO) over het elementaire volume R (definities) geeft:

De ruimtelijke flow is als volgt gedefinieerd:

o * Q ' = n < x ' >

In een vaatstukje met AVP tussen xo en xo + dxo geldt:

- 8 -

n Ndxo Q' = - < X I > í 13)

Uit (11) en ( 1 3 ) volgt.

n D2 Q' dx = - - < - V's (O's * vtp)> c o 32N2 ' * 5 - (14)

Om een uitdrukking voor de arterioveneuze flow Qo te vinden, bedenken we dat de AVP een curvilineaire coordinaat evenwijdig aan de s-as is, geschaald naar de diameter van het onvervormde vaatstukje. Uit (61, ( 7 ) en ( 8 ) volgt dan:

- nD 2 dxo @ = - - - (V'S 6 O'p) "0 32pN ds 5

(15)

Middelen over het elementaire volume R geeft:

2 n O dxO < g o > = - - < - - ( O ' s VIP)> 32N p ds .* 5

(16)

Gebruik makend van de definitie voor de arterioveneuze flow:

e * Q,= n < xo >

n

volgt uit (16) en ( 1 7 ) :

2 n D2 dx, V Q, dxo = - - < - - ( V ' S v'p)>

32NS ' ds 5 5

Samenvoegen van ( 1 4 ) en (18 ) levert met ( 7 ) :

2 n D2 axt 5

( - * v ' p ) > 5 as 5 CI as < - - Q dxg = - -

32N2

- 9 -

waarin :

Q = (u) :=(;) 5

In appendix B wordt ( 1 9 ) omgewerkt naar de gebruikelijke vorm van de Darcy vergelijking:

De laatste vergelijking die afgeleid wordt, is de continuïteitsverge- lijking voor het bloed. Het bloed wordt incompressibel verondersteld. Hieruit volgt dat verandering van het bloedvolume rb(xo)dxof liet bloed- volume met AVP waarden tussen xo en xot dx in het elementair volume R ,

alleen kan plaatsvinden door stroming van bloed door de rand van r (x )axo:

O

b o

a (rb(xO)dxo) + s ( X I e dA) = O

6(rb(xo)dxo) 5

(2'1 1

Delen door R en toepassen van de divergentiestelling levert:

in appendix C wordt de volgende formulering van de continuïteitsverge- lijking afgeleid:

e * an - + ~ e n < x > = O at 5 *

- 10 -

De vergelijkingen (21, (20) en (24) vormen een oplosbaar stelsel dat de doorbloeding van de hartwand in het huidige model beschrijft.

Numerieke oplossingsmethode

In dit gedeelte wordt de methode beschreven die gebruikt wordt om het afgeleide stelsel vergelijkingen op te lossen. Gebruikt wordt de metho- de van de gewogen residuen. Een bijzonder geval van deze methode is de methode van Galerkin. Bet volgende stelsel vergelijkingen moet opgelost worden :

2 n = @ ( 1 + - arctan(a(p - pim)f)

T

De afgeleide n wordt als volgt geschreven:

Als we gebruik willen maken van de eindige elementen methode dan moet er een integraalformulering gevonden worden voor het bovenstaande stel- sel. Daartoe vermenigvuldigen we de eerste vergelijking met een wille- keurige weegfunctie G en integreren het geheel over het volume van het model. Het integratievolume is 4-dimensionaal vanwege de ingevoerde ar- terioveneuze coordinaat x De geometrie van het model is axiaalsymme- trisch, dit vereenvoudigt de integratie tot een 3-dimensionale integra- tie en een vermenigvuldiging met een factor 2rr.

0 .

- 1 1 -

We beschouwen de laatste term uit (27) en werken deze d.m.v partiele integratie om.

rGv e Q = V e (rGQ) - (VrG) e Q -., " " c " "

( 2 8 )

Vervolgens passen we de slelling van Gauss (divergentiestelling) toe:

f V * (rGQ)dV = J rGQ e n dA V " A " " "

Vergelijking ( 2 7 ) gaat dan over in:

met:

4 = -2r f rGQ * n dA A " "

Substitutie van de vergelijking voor Q uit ( 2 5 ) en 6 uit (26) geeft: ,w

Deze vergelijking wordt opgelost met de eindige elementen methode. Het model wordt verdeeld in elementen met eindige afmetingen. Binnen ieder element wordt de bloeddruk p op de volgende wijze benaderd.

p(x,t> = mJi(x)pi(t) " (ì=l , . . . . . . . ,n)

n : aantal knooppunten per element Hi : vormfunctie behorend bij knooppunt i pi : bloeddruk in knooppunt i

( 3 2 )

In bovenstaande vergelijking en ook in het vervolg van dit artikel wordt een index die twee keer voorkomt in een produkt gesommeerd over al zijn waarden (sommatie conventie).

- 12 -

Het verloop van de vormfuncties Ni over het element is afhankelijk van de orde van de benadering die in het element toegepast wordt. In het model wordt een lineaire benadering toegepast, het element en de bijbe- horende vormfuncties worden beschreven in appendix D. De weegfunctie G is in principe een willekeurige functie. De oplossing van een vergelijking zoals (31) is echter afhankelijk van de keuze van de weegfuncties. Een veelgebruikte methode is de methode van Galerkin. Hierbij worden voor de weegfuncties de vormfuncties gesubstitueerd.

2r J[r - N’N’ V ptm

met:

4’ = -2r f rN j QQn dA A - . *

1111

(33)

an Vergelijking (33) is niet-lineair want - en K - zijn afhankelijk van de

tm druk p. We integreren daarom numeriek naar de tijd m.b.v het volgende integratie schema.

(341

At1 - - titl- ti

t .< t i ti+l 1-

De stabiliteit en nauwkeurigheid van de tijdsintegratie zijn afhanke- lijk van de waarde van 8 . De waarde van 8 ligt tussen O en 1 . Toepassen van het integratieschema op (33) levert:

3n 2n f [r N’

rtm

k + 8Ap (t))Ati] dV = + J Ati (35)

- 13 -

k Uit deze vergelijking lossen we de incrementele drukken Ap op. In ma- trix notatie ziet vergelijking (35) er als volgt uit.

( 3 6 ) Djk Apk = ARp j

waar in :

k an ,jk = 2a l[r - NjNk t ûAti(VrMJ) * k; - e VN ]dV

v a Ptm c z

De bovenstaande matrices worden benaderd m.b.v Gauss- integratie (appendix E) op elementniveau. De doorbloedingcmatrix D en de volume- veranderingsvector AR voor het gehele model worden samengesteld uit de

elementbijdragen. De drukveranderingsvector Ap berekend uit B en AR is

een eerste benadering. Ter controle wordt bij de berekende Ap de echte

waarde AR

+P

c *P

." bepaald met de volgende vergelijking:

,C

waarin :

k i - n Ank = nitl k

Vervolgens wordt het verschil bepaald tussen AR en AR . Als het ver-

schil voldoet aan het opgegeven convergentiecriterium dan wordt overge- gaan naar het volgende increment. In het andere geval wordt met het verschil en ( 3 6 ) opnieuw een benadering voor Ap berekend (iteratie),

-P *C

5

- 14 -

die weer gecontroleerd wordt m.b.v. (37). Voor een niet-lineair pro- bleem kan dit iteratieproces zich een aantal keer herhalen tot voldaan is aan het convergentiecriterium. Een lineair probleem convergeert al- tijd zonder itereren.

Test

Om het element te toetsen, zijn een aantal testproblemen uitgerekend. Ter vereenvoudiging van de tests wordt de conductantie matrix K - gelijk gesteld aan de eenheidsmatrix. De test kan stationair gemaakt worden door de factor - an - - O uit (26) gelijk aan nul te stellen.

a ptm De eerste test berekent de stationaire drukverdeling in een bol met in het middelpunt een eenheidspuntbron. Het probleem wordt beschreven door de Laplace vergelijking. In bolcoordinaten luidt deze:

ap2 2 ap + - - = - 6(r) -

ar2 r ar r: bolstraal ( 3 8 :

De analytische oplossing van de vergelijking is:

De bolsymmetrie en de axlaalsymetrie van het model vereenvoudigen de geometrie tot een kwartcirkelsegment met straal I O . Benadering van een puntbron met €EM is zeer moeilijk omdat de druk in de bron oneindig groot is, daarom wordt een bolletje met straal 1 uit de grote bol ge- sneden en wordt de drukverdeling in deze 'holle' bol benaderd. Uit (39) volgen de RVW voor het probleem:

~ ( 1 ) = 0.79577E-01; ~ ( 1 0 ) = 0.79577E-02 in andere randknooppunten geldt: (pj = O

In fig. 5 zijn de analytische oplossing en de EEM benadering van de drukverdeling uitgezet tegen de bolstraal r.

- 15 -

- analytische oplossing

EEM-benadering

figuur 5 : drukverdeling in de bol

an De tweede test is een eendimensionaal instationair probleem (- =

0.2)dat beschreven kan worden door de diffusie Vergelijking: %rn

met RVW :

p ( O , t ) = o; p(l,t)= PLO in andere randknooppunten geldt: (PI= O

De geometrie van het probleem i s een ringvormige schijf met een grote inwendige diameter. De oplossing van dit probleem luidt volgens (wiskunde 40):

- I 6 -

In fig. 6 schillende tijdstippen uitgezet. De afwijkingen die optreden z i j n mede het gevolg van h e t eindig aantal termen (k=1,10) in de analytische op- Zossingsreeks dat meegenomen wordt an d e berekening van (41). Ret was i e t het gebruikte EEM pakket niet mogelijk om een beginoplossing te substitueren en ZO bovengenoemde o ~ n a u w ~ ~ ~ r ~ g ~ e i d te compenseren. De

afwijkingen hebben de grootste invloed bij t = O .

zijn de analytische oplossing en de EEM benadering op ver-

v t= 0.01 sec.

D t= 0.05 sec.

o t= 0.1 s e c .

t= 0.2 sec.

s t= 0 . 9 sec.

ag/ h-

figuur 6: instationaire dmkverdeling in een ring

- 17 -

Het hart

Reeds eerder werd opgemerkt dat storingen in de hartfunctie meestal het gevolg zijn van defecten in de linkerharthelft met name de linkerven- trikel. De geometrie die doorgerekend wordt is een enigzins gestileerd rotatiesymmetrisch model van de linkerventrikel van een hondenhart (fig. 7). Op deze basisgeometrie worden 5 compartimenten in x - rich- ting geconstrueerd. Een arterieel, een arteriolair, een capillair, een venulair en een veneus compartiment. De bij elk compartiment behorende grenswaarden van de AVP zijn vermeld in tabel I:

O

AVP- interval I intervalgrenzen I compartiment

arterieel -7.37 - -4.31 arteriolair -4.31 - -2.15

capillair -2.15 - 2.71 venulair 2.71 - 4.64 venen 4.64 - 10.00

3 .O6 2.15

4.87 1.93 5.36

tabel 1: indeling van de compartimenten

Elk compartiment bestaat uit 27 elementen (fig. 7) die verdeeld zijn in 3 lagen; een subendocardiale, een middenlaag en een subepicardiale laag. Bloed kan alleen de hartwand in- en uitgaan via epicardiale arterien en venen. De randvoorwaarden voor het probleem zijn bloeddrukken in epi- p s ~ r l i s i n L.-&u*-.&w rrcr+nn " U % . i Z I I I . ~e b?veddri& i n de epicardiale arteiie, is g e l i j k aan 1 1 kPa (83.6 mmHg), de bloeddruk in de epicardiale venen is 0 . 4 kPa (3.0 mmHg). In de epicardiale knooppunten met de grootste respectieve- lijk de kleinste AVP waarde wordt als randvoorwaarde p= 11 kPa resp. p= 0.4 kPa genomen. In alle andere randknooppunten wordt als RVW de flow in de normaalrichting gelijk aan O gesteld. De gegevens m.b.t de fysische eigenschappen van de coronaire circulatie zijn schaars en niet erg betrouwbaar. Een aantal parameters in het hui- dige model snoet daarom geschat worden. Het moge de lezer duidelijk zijn

- 18 -

dat het h u i d i g e model. op dit gebied nog aanzienlijk verbeterd kan WOT-

den

figuur 7 : rotatlesymmetrische hartwandgeometrie

Elementen die t o t hetzelfde c ~ ~ ~ a ~ ~ ~ r n e n t behoren krijgen Gezelfde para- rileter waarden tccgewenen. Pk$: asteriolaixe c o ~ ~ a ~ ~ i ~ e ~ t vormt hierap

een u i ~ z o ~ ~ ~ ~ i n ~ = De reden hiervoor is dat bij contractie van de spier- wand de doorbloeding Bn de diepese lagen, ondanks bet feit tsamyocardiale druk daar hoger is, even effectief is als in de opper- vlakkige lagen. @e schrijven dit toe aan metabole regulatie in het ax-

teriolaire c ~ ~ p ~ ~ t i ~ e n ~ . De waarden van de parameters in de diepe laag Isubendocardiumi, de middenlaag en de oppervlakkige laag (subepicax- dium) in het arixriolaire compartiment verhcuden zich als 6 : 3 : 2.

cGmpurtiment

arterien anteriolen capillairen venu 1 en venen

subendocardium @ imml

- -

9 * 3E-3 - - -

middenlaag B Hmml

3.3E-3 6 . 9E-3 9.2E-3 2. IE-2

5 . óE-3

subepicardiurn 8 ~~m~

tabel 2: waarden van de bloedvolumefractie in spanningsloze toestand

- 19 -

6.2E-2 9.3E-2 1.9E-1

De parameters die geschat moeten worden in de vergelijking voor de bloedvolumefractie zijn u en B . De waarde van a wordt 0.5 gekozen. De waarden voor (3 in de verschillende compartimenten zijn verzameld in tabel 2. De parameters in de vergelijking voor de bloedflow die geschat moeten worden zijn de componenten van de conductantie matrix K, - gedefinieerd t.0.v een gemodificeerd locaal assenstelsel (k,n,z) waarvan de eerste twee coordinaatrichtingen overeen komen met die van het locale assen- stelsel {E,q,? , ] . De derde coordinaatrichting z staat loodrecht op het vlak opgespannen door E- en q- richtingen en valt in het algemeen niet samen met de {-richting. De conductantie matrix is symmetrisch zodat voor elk compartiment 6 componenten geschat moeten worden. De schat- tingen zijn weergegeven in tabel 3 .

9.3E-2 1.1E-3 1.4E-1 1.7E-3 2.8E-1 3.4E-3

Kkk compartiment

arterieel arteriolair capillair ventmlair veneus

'nn

2.6E-01 9.3E-02 O 2.1E-O1 4.9E-01

RZz

3.3E-02 1.4E-01 O 1.6E-01 5.6E-02

Kkn

1. SE-03 1.7E-03 O 1.3E-02 4.2E-02

'kz Km

-ls-l tabel 3 : waarden van de componenten van in mm kPa

Evenals voor de factor (3 geldt voor de componenten van de conductantie matrix dat de waarden hiervan in subendocardium, middenlaag en subepi- rurlliua ir. het urtrriduire ccapartixent verschi?lend zijn {tabel 4:.

arteriolen 1 'kk I 'nn I K ~ z I Kkn I I I I

I I 1 I subepicardium middenlaag subendocardium

-15-1 tabel 4: arteriolalre H- waarden in mm kPa

- 20 -

Resultaten

In het vervolg z a l gesproken woren over het eerste increment en het 240

ste increment. Increment 1 is het increment waarbinnen de intramyocar- diale druk constant is (pim= 0.4 kPa) zowel over de hartwand a l s in de tijd. Increment 1 beschrijft de toestand aan het begin van de contrac- tie. Encrement 240 is het increment met de intramyocardiale drukverde- Ping behorend bij de maximale systoiische druk (druk in de ventrikel plv= 15 brPa).

1

aantal nivo's: 9

delta: 5E-3 nivo 1 : 2 .1E-1

nivo 9 : 2.5E-1

min.: 2.162E-1 max : 2.461E-I

240

aantal nivo's: 1 9

delta: 5E-3

nivû 1 : 2 .1E-1

nivo 19: 3E-i

min.: 2.19îE-3 max.: 2 . X 5 E - 1

figuur 8 : totale bloedvolumefractie.

- 21 -

In figuur 8 is de totale bloedvolumefractie nB in increment 4 en 240

weergegeven, deze is als volgt gedefinieerd:

b

O n = $ n d x B a

waarin a en b resp. de onder- en bovengrens van het x figuur 8 blijkt d a t de totale bloedvolumefractie over de hartwand van

domein zijn. Uit O

no= - 7 . 3 7

aantal nivo's: 8

d e l t a : I

nivo 1: 4

n i ~ o 8: 11

min.: 4.009

max.: I1

KO" - 2 . 7 5

aantal nivo's: 7 delta: IE-I nivo I : 2 . 1 nivo 7 : 2 . 7

min.: 2 .14 max.: 2.697

KO= 4 . 6 4

aantal niva's: 8

delta: IE-1 nivo 1 : 1 . 2 nivo 7: 1 . 9

m h . : 1.205

max.: 1.870

figuur 9 : drukverdeling over de hartwand voor verschillende xo-waarden.

- 32 -

veneus

venuiai r

capillair

arterieel

1 g increment 1:

aantal raivo's: 92

nivo 12: 1 1

arteriolair

epicardium

veneus

venulair

capil lair

arteriolair

arterieel

endocardium

increment 240: aantal nivo's: 12 delta: i

nivo 1: o nivo 12: I?

min.: 0.4 max.: 1 1

epicardium endocardium

figuur 10: drukverdeling in dwarsdoorsnede 1 - 2 (zie fig.'?).

1

aactal nivo's: 1 6

debka: SE-3 nivo I : 1E-2 nivo 4 6 : 4E-2 m i n . : 1.081E-2 max.: 2.641E-2

2 40

aantal nivo's: 1 6

d e l t a : 2E-3

nivo I: IE-2 nivo 16: 4E-2 min.: 1.529E-2 max.: 3.793E-2

figuur It: arterioveneuze flow Q in de hartwand (xo= -2.15). o

endocardium naar epicardium afneemt a.g.v het feit dat in het arterio- laire compartiment de parameter Bj (bloedvolumefractie in spanningsìoze toestand; ptm= 13) afneemt van endo- naar epicardium. Bovendien is de gradient van % over de breedte van de hartwand in de subendocardiale laag kleiner dan in de andere lagen, dit is het gevolg van de veshou-

- 24 -

veneus

venulair

capillair

arteriolair

arterieel

epicardium

veneus

venulair

capillair

arteriolair

arterieel

epicardium

increment i :

aantal nivo's: 12 delta: 2E-I nivo 1 : O nivo 12: 2.2 min.: 8.009E-1 max.: 2.018

endocardium

increment 240: aantal nivo's: 18 delta: ~ 2 - 3 nivo 1: 8E-3 nivo 18: 4.21~-2 min.: 8.414E-3 max.: 4.llZE-2

endocardium

figuur 12: arterioveneuze flow Q in dwarsdoorsnede 1-1 (zie fig.?)

- 25 -

ding van B tussen de lagen onderling. De waarde van p in de suben6ocar- diale laag is 2 resp. 3 maal zo groot als in de middenlaag en de sub- epicardiale laag van het arteriolaire compartiment. In figuur 9 is de drukverdeling voor increment 1 en 240 weergegeven in doorsneden met constante waarden van de AVP coordinaat xo; vlnr.

de druk in de richting van punt A omdat langs de rand Ai3 als XVW de flow in de normaalrichting onderdrukt is. De afname van de druk van epi- naar endocardium was te verwachten. De laag met x = - 2 . 1 5 ligt O precies op de grens van het arteriolaire en het capillaire comparti- ment. De druk verloopt hier voornamelijk over de breedte van de wand, het drukverschil is echter vrij klein vergeleken met de laag met xo= - 7 . 3 7 . De laag met x - 4 . 6 4 ligt op de grens van het venulaire en het veneuze compartiment. De druk verloopt hier langs de wand, ook hier is de variatie in de druk klein. In figuur 10 is de drukverdeling in dwarsdoorsnede 1 - 1 (fig. 7 ) weergegeven voor increment 1 en 240 . Opval- lend is dat de drukval over het arteriele compartiment in verhouding groot is t.0.v de andere compartimenten. Dit komt overeen met experi- mentele bevindingen uit de literatuur (Tillmanns). Aan de endocardiale kant is de druk na het arteriolair compartiment wat hoger omdat de con- ductantie daar groter verondersteld is. In het epicardium is aan de ar- teriele en de veneuze kant duidelijk de invloed van de RVW te zien. In figuur 1 1 is de arterioveneuze flow Qo in increment 1 en 240 weergege- ven in het grensvlak van het arteriolaire en het capillaire comparti- ment. Het blijkt dat Q waarschijnlijk het gevolg van het feit dat de stationaire toestand nog

O in dwarsdoorsnede 1 - 1 voor increment 1 en 240 weergegeven. De arterio- veneuze flow in het endocardium neemt toe van epi- naar endocardium.

"0 = - 7 . 3 7 , x - - 2 . 1 5 en x - 4 . 6 4 . Aan de arteriele kant ( x - - 7 . 3 7 ) daalt

0- 0- 0-

0-

is toegenomen in de loop van de tijd dit is O

n i e t ingesteld W 2 Y h i j het begin \'an de r=ntracbie. 1:: f i y U U r 1s2 is (i

Di scussie

Als eerste kan geconcludeerd worden dat de eindige elementenmethode ge- schikt blijkt te zijn voor de berekening van de doorbloeding volgens het huidige model. Uit de resultaten blijkt dat er nog wat schort aan de parameterkeuze. Het in rekening brengen van autoregulatie d.m.v la- gen met proportioneel verschillende waarden voor f! en de componenten van de conductantie matrix lijkt goed hanteerbaar al zal de verhouding tussen de verschillende lagen anders gekozen moeten worden. Vooral in de subendocardiale laag blijkt de bloedvolumefractie in spanningsloze toestand ( B f en de conductantie in verhouding te groot te zijn. Tussen de compartimenten onderling lijken de verhoudingen goed te liggen. Na- der onderzoek van andere dwarsdoorsneden zal dat uit moeten wijzen. De beschrijving van vervormbare vaten met de bloedvolumefractie n gaat goed, al zal. het noodzakelijk zijn om een andere formulering te vinden waarbij het mogelijk is dat n ook gelijk aan O kan zijn. Als afsluiting van dit artikel wil ik nog opmerken dat verificatie van het theore- tische model met de meetresultaten van de proefopstelling nog niet ge- daan kon worden maar in de nabije toekomst zullen Herbert Schrama (collega afstudeerder) en Jacques Huyghe (begeleider) dit alsnog doen.

Referenties:

Arts, M.G.J., (19781, A mathematical model of the dynamics o f the left ventricle and the coronary circulation, proefschrift, Universiteit van Maastricht.

Bernards. J.A., Bouman, L.N., (19741, Fysiologie van de mens, Oosthoek, Utrecht.

Slattery, J.C., (49721, Momentum, Energy and Mass transfer in continua, McGraw-Hill,

Spaan, J.A.E., (1985), Coronary diastolic pressure-Elow relation an zero flow pressure explained on the basis of intramyocardial compliance, Circulation Research 56:293-309.

Tillmanns, H., et al., (19811, Pressure measurements in the terminal vascular bed of the epimyocardium of rats and cats, Circulation research 5: 1201-1221.

Whitaker, S . , (19691, Advances in the theory of fluid motion in porous media, Ind. Eng. and Chem 61: 14.

Wiskune 40, diktaat 2210, TR Eindhoven.

Zienkiewicz, O.C., (1977), The finite element method, third edition, McGraw-Hill, New York.

- A.1 -

Appendix A: het hart

Stroming treedt op a.g.v een drukverschil. In het menselijk lichaam stroomt het bloed door het vaatstelsel omdat het hart een drukverschil in stand houdt. Wet hart bestaat uit twee holle spieren, de boezemspier en de ventrikelspier, die gescheiden zijn door een bindweefselstruc- tuur, de kantbasis. Beide spierholten zijn verdeeld in een linker- en een rechterhelft door een tussenschot van spierweefsel, het septum. De hartwand bestaat uit drie lagen. De binnenlaag (endocardium) ‘en de bui- tenlaag (epicardium) bestaan uit &n laay pla t t e cellen. De middelste laag het myocardium, is de eigenlijke spierwand.

”- ~

onder 5 t e

bolle ader

- f i n i l i i r - a --- A . ? : schematische weergave van een doorsnede van het hart

De verdeling van het hart (fig. W.l) in een Linker- en een rechterhelft i s functioneler dan de verdeling in boezemspier en ventrikelspier. Elke hartbelft is namelijk te beschouwen als een afzonderlijke pomp met een lagedruk gedeelte (atrium of boezem) en een hogedruk gedeelte (ventri- kel o f kamer) qescheiden door een èènrichtinqsklep. De doorgang van de ventrikel naar het slagaderlijk deel van de circulatie wordt ook afge- sloten door eer1 dergelijke klep. De kleppen werken passief d.w.2 ze openen en sluiten onder invloed van het drukverschil over de klep. Een

- w.2 -

klep bestaat uit 2 o f 3 vliezige slippen die bevestigd zijn in een ste- vige ring van bindweefsel (annulus fibrosis). ile ringen van de vier kleppen liggen in het vlak van de hartbasis, die om voor de hand lig- gende reden ook wel kleppenbasis genoemd wordt. De rechterharthelft handhaaft de bloedstroming in de longcirculatie. De boezem ontvangt bloed uit de holle aders (venae cavae) en pompt het bloed door de tricuspidaalklep in de ventrikel. Als de ventrikel con- traheert neemt de druk in de ventrikelholte toe. De tricuspldaalklep sluit zich als de druk in de ventrikel hoger wordt dan de druk in het atrium. Eiij verdergaande contractie wordt d e ventrikeldruk hoger dan de druk in de longslagader en gaat de puhmonaalklep open zodat het bloed in de slagader gestuwd kan worden. De linkerharthelft pompt bloed door de systeem- of lichaamscirculatie. Het bloed komt vanuit de long- aders in de boezem en wordtvervolgens door d e mitraalklep in de ven- trikel gepompt. De ventrikel stuwt het bloed door de aortaklep in de de

aorta (grote lichaamsslagader). De systeemcirculatie is groter en heeft een grotere weerstand dan de longcirculatie. De linkerventrikel ontwikkelt $an ook een druk die 4

tot 5 madl zo huog is als de druk die in d e rzchterventrikel ~ n ~ w ~ ~ k e ~ d wordt. Gewoonli-jk treden storingen eerder cp in de linker- dan in de

xechterventrikel.

A coronaria sinisl-ra linker

aorCa-V yam sc.perior ,/ / ,iwrtoor

. A coronaria d.

ACHTERA 4NZICHT

f iguur A . 2 : l i g g i n g van de belangrijkste kransvaten, de veneuze vaten z i j 2 in zwart weergegeven (Bernards en Bouman).

- 24.3 -

Het hart wordt gevoed door de kransslagaders die ontspringen uit een verwijding (sinus Valsalvae) in de aorta vlak na de aortaklep. Deze verwijding voorkomt dat de kransslagaders afgesloten worden door de klepslippen als de klep geopend is. De rechter kransslagader (arteria coronaria dextral loopt grotendeels over de voorzijde van het hart (fig. A.2) en verzorgt in principe de rechterhart helft. De linker kransslagader (arteria coronaria sinistra) splitst zich in een tak die over de achterkant van het hart loopt (ramus circumflexus) en een tak die over de voorzijde van het hart loopt (ramus anterior descendens). De linker coronaire arterie voedt de linker harthelft. Het grootste deel van het bloed uit de coronaire circulatie komt samen in de sinus coronarius, de grote hartvene op de achterzijde van het hart die uit- mondt in het rechter atrium. Er zijn ook veneuze verbindingen met de ventrikels. De vertakkingen van de coronaire arterien gaan loodrecht het hart in en lopen van epi- naar endocardium. Elke slagader wordt ge- flankeerd door twee aders. üit de vertakkingen ontstaat uiteindelijk een zeer dicht capillair netwerk. De capillairen lopen evenwijdig aan de spiervezels. Er zijn ongeveer even veel capillairtjes als spier- vezels.

- 13.1 -

Appendix B: De uitgebreide Darcy vergelijking.

In deze appendix wordt de gebruikelijke formulering van de uitgebreide Darcy vergelijking afgeleid uit:

2 D2 ax ax' n 5 5

Deze vergelijking kan als volgt herschreven worden:

ax' ax D2

c t - as as

2 32N Qdxo

2 ." 5 5

- = < - V'p.- - > n

2 ax' ax D2 ax' ax D , . 5 5 5

- ) > - < p V' e - = < V' ( p i as as 5

(l3.2)

De eerste term wordt m.b.v het theorema van Slattery (1967) en Whitaker (1967) uitgewerkt. Dit theorema legt een verband tussen het gemiddelde van een gradient en de gradiënt van een gemiddelde:

1 f e dA < V . f > = V * < f > t V 5 5 s avX c-aw - 5 5 5

met:

aVx ( 4 ì V ) : grensoppervlak tussen fase x en de het volume V

dA 5

: vector ter grootte dA loodrecht op

(l3.3)

andere fasen van

het oppervlakje dA

van het grensoppervlak van fase x naar buiten wijzend

Passen we het theorema toe op vergelijking (B.2):

2 ax' ax ," D... 5 D - 2 ax' ax 2 32N Qdxo

5

- ) > i- r., - > - < p : ' o ( v - as as

- = O ' * < - p - n 2 as as

- 3 . 2 -

1 D2 ax ax'

1 as as

z .u

+ - s - ( - - da ) (aRbdxo) (-8R) z

(E.4)

D2 ax1 ax z z

Er wordt verondersteld dat noch p en - - as noch p en V' e iJ z

D2 ax1 ax

'i as as

- 5

-- 1 statistisch gecorreleerd zijn. Hieruit volgt voor (B.4):

D2 ax ax' 2 5 * z c

32D Qdxo

2 = < - -- > 0 V ' < p > + - as as n 5

2 ax' ax z 2 ax' ax * D z D z z - < p > [ < v ' e ( y z - - ) > - V I P < - z - - >I

as as as as

D2 ax axt 1 5 ,"

- ( - * da a(Rbdxo) (maRI z J as as

+ - S (3.51

Toepassen van het van (3.5) geeft:

2 32N Qdxo

2

5

- n

* 1

theorema van Clattery en Whitaker op de tweede term

2 ax ax' - < - - - D z 5 *

IJ as as > e V ' < p > =

c

D2 ax ax' ,., z

Langs het grensvlak tussen bloed en vaatwand geldt:

ax ' z

- R.3 -

F i g u u r B:!: vaatstukje met lengte ds

Aan de uiteinden van het vna t s tuk je geldt in het bloed-bloed grensvlak:

L dxo 6R

3 s . d s dXo

ax I

r d a = + - - - voor AVP = xo -t dxo _I

(B.8)

De oppervlakte integralen in ( B . 6 ) worden omgewerkt naar volume integralen:

D2 ax a x *

iJ as as

2 32N QdXo ," * c . b

> c V ' < p > = - - - < - -- 2 n c

- E.4 -

2 ax axo 1 D e R s - - - 6R ] i- - -

Rb(xO) 6xo IJ as ds

2 1 1 D ax dxo

"0 R b O ( x + dxo)6x0 as ds

." 6R i- - - + - - - [ i S

2 ax dxo 1 D - R - --al31 - -

Rb (x,) ' 5xo U as ds (B.9)

Maken we gebruik van de definitie van het bulk gemiddelde dan volgt:

2 ax ax1 - - - < - - - c * * D - , 3 2MQ

2 > Q V I < p > = IJ as as p1

c (B. I O )

< p > * D - 2 ax dxo D - 2 ax dxo

Ndxo 6 xo - >(x*) 1 >(x0 -i dx 1 - < - - IJ 3 s as O

- [ < U - - as ds

I D - 2 ax dxo D - 2 ax dxO - P >(xo) 1 p >(x0 + dx ) - < - - ' as ds O

-i [ < c l - - as ds Ndxo6x0

< p > a D , 2 ax dxo I a U . . 2 ax axo

N6Xo

* < - - - > + - - < - - - p > - - - - ' as ds N6x0 "O IJ as ds

2 ax dxo D - Als de termen p en !i - 1 niet statistisch gecGrreleerU z i j n , dS kunnen we schrijven:

2 ax ax1 - - < - - - c - * * D - 3 2NQ

2 > 0 V I < p > = IJ as as n *

* 2 ax dxO < p > a D - < - - - > + - - ' as ds Nü xo

- E . 5 -

2 ax dxo i a D - -I-- -[<i - - > < p > ” ]

as ds Nöx, ax,

* a * 2 ax dxo D -

= < - - - > - < p > ’ as ds ax,

Oftewel :

2 ax ax1 2 ax dxo x n . . * a * > * V ’ < p > + < - - - > - < p > ’ as ds axO

D , . . , 5

met:

2 D2 ax ax n - - 1

K = - < - - - > - 3SN ’ as as

(E. 12)

(13.13)

- c.1 -

Appendix C: De continuïteitsvergelijking

In deze appendix wordt de definitieve formulering van de continuïteits vergelijking afgeleid uit de volgende vergelijking:

an 1

Als eerste wordt de integraal in ((2.1) uitgewerkt:

1

Toepassen van het theorema van Slattery en Whitaker geeft:

De integraal in (C.3) kan gesplitst worden in een integraal over het grensvlak tussen bloed en vaatwand en twee integralen over de vaatdoor- sneden met AVP= xo en AVP= xof ax,:

1 ' AVP=x t xo + - s i' da

c

O

Verwaarlozen van bloedtransport door de vaatwanden geeft:

1 - f X ' e d a = O

w-B - c

( C . 4 1

- c.2 -

De overgebleven termen in ( C . 4 ) worden aan de hand van figuur B.1 uit- gewerkt. De x -as is evenwijdig aan de richting van de bloedsnelheid X I . Hieruit volgt:

O

a.

De s-as in de figuur stelt de afs-and langs het bloedvat voor.Aan de uiteinden van het vaatstukje wordt een cylinder geconstrueerd met

ds basisoppervlak dar lengte -

basis van een cylinder is gelijk aan het volume gedeeld door de hoogte zodat:

6x0 en volume 6R. De oppervlakte van de dXO

5R ds da = (C.7) - dxO "O

De vector da in de doorsnede aan de arteriële zijde (AVP = xo) van het

vaatstukje, is gelijk aan : ..

U da = - da vas = - - * - . - = - - V'X0 c 5 5Xo ds ax 6xo 5 ..

Aan de veneuze zijde (AVP = xo + dx 1 geldt evenzo: O

SR c 6x- L . d a = + - V'x0

U

(C.8)

(C.9)

Substitutie van (C.51, (C.6)r (C.8) en (C.9) in (C.4) leidt tot:

1

1 + - s x - - ~ a x , Q V x o .. 6R

R6x0 r (x + dxo)óxo b O

- c.3 -

1 1

J' io 6R t - s x, GR - - - -

R 6 x ~ rb(xO) 6x0 R6x0 rb (xo+ dxo f6xo

1 1 = - - < io(xo) > t - < xo(xot dxo) >

xO 6x0

= - - n(xo)6x0 < io(x0) > * l t - * 1 n(xo+ dxO)6x0 < (x t dxo) > O 0 xO "O

( C . 10)

Invullen van (C.10) in (C.3) en (C.3) in (C.1) levert tenslotte op:

e * an a - at dxo + .b O ' e C n< c >)dxo t - ( n< xo > )dxo = O

of kewel:

(C.11)

(C. 12)

- D.1 -

ode1 heeft een 3-dimensionaPe, axiaalsymetrische geometrie ear clbisiensies eschreven kan worden. De imvoe-

ten~oveneuze parameter x maakt bet a o d z a k e l i j k o o ent t e ontwerpen ( f i g . 8.4).

a

- 0.2 -

Het verloop van een continue functie b.v de bloeddruk kan m.b.v de vormfuncties beschreven worden.

pi: druk in knooppunt i

Als een model in elementen verdeeld wordt dan zijn de elementen in de regel geen nette kubussen meer zoals in fig. D.la. In het globale coor- dinaatstelsel (xoIx1,x2) kan het element er danig vervormd uitzien (fig. D.lb). Het locale assenstelsel (€,u,?.) is in het globale assen- stelsel gedefinieerd als een curvilineair stelsel. De transformatie tussen deze twee stelsels wordt in een isoparametrisch element met de- zelfde vormfuncties beschreven als het functieverloop over een element:

xi- x coordinaat van knooppunt i j ' j

Het verband tussen de beschrijving van het element in locale en in glo- bale coordinaten moet eenduidig zijn. Voor een lineair element betekent dit dat alle inwendige hoeken tussen de elementsribben kleiner dan 180'

moeten zijn (fig. D.l). In het algemeen moet er bij eindige elementenmethode berekeningen een integraal benaderd worden.

Hierin is - F een tensor die afhankelijk is van de vormfuncties en de af- geleiden hiervan naar de globale coordinaten. De vormfuncties zijn ech- ter uitgedrukt in de locale coordinaten. De afgeleiden van de vormfunc- ties naar de locale coordinaten zijn m.b.v partiele integratie uit te drukken in de afgeleiden naar de globale coordinaten. Deze transforma- tiematrix wordt Jacobiaanmatrix J genoemd. De globale afgeleiden van de

- 0.3 -

vormfuncties kunnen gevonden worden als de inverse van de Jacobiaan- matrix bekend is.

De componenten van de Jacobiaan matrix kunnen m.b.v (D.3) uitgedrukt worden in de locale afgeleiden van de vormfuncties en de globale knoop- puntscoordinaten.

J =

J =

r

.. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

aN' - .... . . . . . . a s

1 "O

(D.6)

1 1 1 2 x x

(D.7)

- 0.4 -

De twee laatste matrices zijn eenvoudig te bepalen uit de bekende knooppuntscoordinaten en de vormfuncties (D.1). Tot slot moeten het integratie volume dV en de integratiegrenzen uitge- drukt worden in locale coordinaten. Hierbij maken we gebruik van de de- terminant van de Jacobiaan matrix ook wel de Jacobiaan genoemd.

dV= dxgdx, dx2= JdEdqdq íD.8)

Binnen het element zijn de curvilineaire coordinaten zodanig gedefi- nieerd dat de waarden die zij aannemen binnen het interval [ - 1 , 1 ] lig- gen. Vergelijking (B.1) gaat uiteindelijk over in:

De integratie kan nu binnen een element uitgevoerd worden uitgedrukt in locale coordinaten.

- E.l -

Appendix E: Gauss-integratie

De integralen in het model worden numeriek benaderd m.b.v Gaussintegra- tie. Het principe van deze integraal benadering kan eenvoudig worden uitgelegd aan de hand van een enkelvoudige integraal.

1 n I= s f ( E ) d E = Z Hi f(Ei)

-1 i=l (E. 1 )

Hierin is Hi een weegfactor en f(xi) de waarde van f in een welbepaald integratiepunt. Hi en Ei zijn afhankelijk van n. De waarde van n wordt zodanig gekozen dat het functieverloop over het interval [-l,l] met voldoende nauwkeurigheid benaderd wordt. Een volume integraal wordt als volgt benaderd.

1 1 1 8 8 8

In dit geval, een 3-dimensionaal, 8-knoops lineair element wordt voor n de waarde 2 gekozen. De weegfactoren zijn dan gelijk aan 1. De locale coordinaten en de nummering van de integratiepunten zijn als volgt:

1: c,-c,-c 2: c, c,-c 3 : -e, c,-c 4 : -e,-c,-c 5: C,-C, c 6: c, c, c 7: -c, c, c 8: -c,-c, c

waarin : c= 0.577350269189626

(E.3)

- F . l -

Appendix F: Parameterkeuze

De parameters die geschat moeten worden komen uit de constitutieve ver- gelijkingen voor de bloedvolumefractie en de uitgebreide Darcy verge- lijking. In de laatstgenoemde vergelijking zijn de te schatten parame- ters zijn a en B . Voor elk vaatcompartiment moeten de waarden voor a en B geschat worden uitgaande van de in het huidige model gemaakte inde- ling van de compartimenten (tabel F.l).

compartiment

ar ter ieel arteriolair capi 1 lair venulair veneus

intervalgrenzen

- 7 . 3 7 - - 4 . 3 1

- 4 . 3 1 - - 2 . 1 5

- 2 . 1 5 - 2 . 7 1

2 . 7 1 - 4 . 6 4

4 . 6 4 - 10.00

in ter val

3 . 0 6

2 . 1 5

4 . 8 7

1 . 9 3

5 . 3 6

tabel F . l : indeling van de AVP- compartimenten

In het huidige model maken we gebruik van de in tabel F . 2 verzamelde schattingen voor 8.

compartiment

ar ter i en arteriolen capillairen venu 1 en venen

totaal

subendocardium - 1

@AXo B cmm 1

1 4 . 5 %

0.01 3 .3E-3

0.015 6.9E-3 0.045 9 . x - 3

0 . 9 4 2.1E-2

0 . 0 3 5.6E-3

14 % 1 3 . 5 %

tabel F . 2 : waarden van p , de bloedvolumefractie in spanningsloze toes tand

- F.2 -

O

O

O

O

Elementen die tot hetzelfde compartiment behoren krijgen dezelfde para- meterwaarden toegewezen. Het arteriolaire compartiment vormt hierop een uitzondering. De hartwand is verdeeld in 3 lagen elementen. De elemen- ten in de verschillende lagen van het arteriolaire compartiment krijgen verschillende parameterwaarden. De reden hiervoor is dat bij contractie van de spierwand de doorbloeding in diepere lagen, ondanks het feit dat daar de intramyocardiale druk hoger is even effectief is als in de op- pervlakte lagen. Hieruit concluderen wij dat er in de diepere lagen minder weerstand i s dan in de oppervlakkige lagen. We schrijven dit toe aan metabole regulatie in het arteriolaire compartiment. De waarden van de parameters in de diepe laag (subendocasdium), de middenlaag en de oppervlakkige laag (subepicardium) in het arteriolaire compartiment verhouden zich als 6 : 3 : 2. De parameters in de constitutieve vergelijking voor de bloedstroming die geschat moeten worden zijn de componenten van de conductantie ma- trix K. - De conductantie matrix wordt gedefinieerd t.0.v een gemodifi- ceerd locaal assenstelsel (k,n,z) waarvan de eerste twee coordinaat- richtingen overeen komen met die van het locale assenstelsel ( E , q , < ) . De derde coordinaatrichting staat loodrecht op het vlak opgespannen door E- en q- richtingen en valt in het algemeen niet samen met de <- richting. De conductantie matrix is symmetrisch zodat voor elk compar- timent 6 componenten geschat moeten worden. De schattingen zijn weerge- geven in tabel F.3.

O

O

O

8

compartiment

7.7€-02 6.1E-02 8.5E-02

arterieel artërioiair capillair venula i r veneus

O 2.1E-01 4.9E-01

KZ z

3.312-02 1.4E-01 O 1.6E-01 5.6E-02

Kkn

I. 5E-03 1.7E-03 O 1.3E-02 4.2E-02

tabel F.3: schattingen van de componenten van K - in mm kPa-'s-'

I

De schatting van Kkk volgt uit de waarde van qo en de drukgradient Ap/Ax over het compartiment. De waarde van wordt geschat op 1 O

- F.3 -

0.2 O O. 4 2.6

[min-’] = 1‘67 10E-2 [s-’], de drukgradient in xo- richting volgt uit Spaan (1985) tabel 2. Kkk wordt als volgt bepaald:

O. 3 9.3E-O2 1.4E-01 O O O 0.3 2.1E-01 I .6E-01 0.3 4.9E-01 5.6E-02

We verwaarlozen bij deze schatting de invloed van de drukgradienten in andere coordinaatrichtingen op q O’

compartiment

ar ter ieel arteriolair capil lair venulair veneus

Kkk

5 o 97E-O3 1.82E-O2 7.72E-02 6.11E-02 8.5E-02

tabel F.4: schattingen van Sk

Voor de schatting van de factoren K

volgende gegevens: en Kzz wordt uitgegaan van de nn

J Knn dxo = 4

J Kzz dxo = 1

2 -1 s-ll [mm kPa

2 -1 -a [mm kPa s ] (F.5)

De bijdrage van de verschillende compartimenten hieraan schatten we als volgt in (tabel F . 5 ) :

arteriolair capillair venulair veneus

tabel F.5

- F.4 -

De gezochte factoren schatten we door deze bijdrageri te delen door het x -verschil over het compartiment. I$, schatten we m.b.v de mathematische formulering voor de conductantie matrix. In de vereenvoudigde veronderstelling dat voor elk individuele vaatje a S / h en aS/ak dezelfde waarde hebben kunnen we stellen :

O

íF.6)

Het min-teken geldt voor het arteriele gedeelte en het plus-teken voor het veneuze gedeelte van de coronaire circulatie. De schattingen van Kkn staan vermeld in tabel F . 3 .

Xkn kon geschat worden op bovenstaande manier omdat de n-richting lood- recht staat op het epicardium en daarom ongeveer saaen valt met de richting van de resultante van de bloedstroom. Voor de z-richting gaat dit niet op daarom kan I$z niet op dezelfde wijze geschat worden als

Beschouwen we de vertakking in figuur F.6.

figuur F.6: symmetrische vertakking in het vaatbed

ne factor @/az is positief voor vat 1 en negatief voor vat 2 waardoor in het geval van een symmetrische vertakking geldt:

( F . 7 ) .

- F.5 -

Hieruit volgt dat Kkz = O. We generaliseren dit resultaat en stellen

Kkz De component Knz stellen we gelijk aan O omdat de richtingen van aniso- tropie gelijk gekozen zijn aan de n- en de z-richting. Verder veronder- stellen we dat de ruimtelijke bewegelijkheid van het bloed in de ca- pillairen zo klein is dat alle componenten van de conductantie matrix behalve Kkk gelijk aan O gekozen kunnen worden. Evenals voor de factor fl geldt voor de componenten van de conductantie matrix dat de waarden in subendocardium, middenlaag en subepicardium in het arteriolaire compartiment verschillend zijn (tabel F.6) .

gelijk aan O voor elk compartiment.

arteriofen

middenlaag subendocardium

tabel F.6: waarden van de componenten van de K matrix voor het arteriolaire compartiment [mm kPa

- - 1 s-ll