1. CONCEPCION DE SISTEMAS ESTRUCTURALES

Se considera un pórtico plano, para la generación de un modelo matemático, se

realiza la siguiente simplificación:

Este tipo de sistemas se pueden asimilar a un sistema de resortes en serie:

Las vigas, losa y cargas cumplen el rol

de masa “m” y las columnas cumplen el

rol de rigideces “k”.

El amortiguamiento “c” se considera

implícito en el cuerpo de la estructura.

Dado que se trata de pórticos rígidos y

desplazamientos pequeños, el

amortiguamiento del aire y similares se

desprecia.

A partir del cuerpo libre del caso mas simple (sistema de 1 grado de libertad) se

deduce la ecuación diferencial que gobierna el régimen de movimiento.

Fi + Fd + Fs = P(t)

Fi es la fuerza de inercia, Fd es la fuerza de amortiguamiento, Fs es la fuerza

de rigidez y P es una carga variable en e tiempo. Se escribe la ecuación en

términos diferenciales:

Donde U es el desplazamiento. La resolución de la ecuación diferencial da

como resultado una expresión matemática de U en función del tiempo U(t)

2. CONCEPTO DE CARGA ARMONICA

La carga, en sistemas dinámicos, es una función del tiempo. Pueden darse tres

tipos de carga:

•Carga no periódica: la carga varia en el tiempo sin ningún patrón identificable o

que se pueda expresar en una función

matemática regular; por tanto no tiene

frecuencia ni periodo de vibración. El

ejemplo típico es el sismo.

•Carga periódica: la carga varia en el tiempo con algún patrón claramente

identificable, aunque no siempre es posible

expresar en una función matemática

continua. Sin embargo, por su patrón

cíclico, puede identificarse un periodo y una

frecuencia, aunque no siempre es un valor

constante. Su aparición es de rara

ocurrencia, se puede dar en maquinarias accionadas por motores asincrónicos.

2. CONCEPTO DE CARGA ARMONICA Y FRECUENCIAS

•Carga armónica: la carga varia en el tiempo con un patrón claramenteidentificable y que se pueda expresar en una función matemática armónica, esdecir, que adquiera una forma sinusoidal.

Estas características permiten identificar el periodo de vibración, que es eltiempo en que la carga tarda en cumplir un ciclo de variación.

Se conoce como frecuencia de carga al valor matemático inverso del periodo,que físicamente representa el numero de ciclos por unidad de tiempo y sedenota:

W = frecuencia de carga armónica

De acuerdo al cuerpo libre del sistema, la ecuación base para carga armónicaes:

En la realidad es muy difícil estimar valores de amortiguamiento. Uno de loscapítulos próximos trata exclusivamente ese tema. Por ahora se empelara elmas sencillo de todos que es el amortiguamiento viscoso, su introducciónmodifica la ecuación base de la siguiente manera:

Reaparece un termino conocido que es la frecuencia natural de la estructura

w = frecuencia natural de la estructura

Tal como la frecuencia de carga, este valor representa la inversa del periodo,pero no de variación de la carga sino el periodo natural del sistema.

Ocurre que una estructura, de acuerdo a su configuración geométrica,asignación de secciones, distribución de masas, rigideces y sistema deamortiguamiento, tiene al menos una forma característica de oscilar y esta esarmónica, es decir, cumple un patrón sinusoidal matemáticamente determinable

Por lo anterior, la estructura oscilara según su modo natural de vibrado ycumplirá un ciclo cada periodo T, por lo mismo tendrá una frecuencia natural w.

En la figura se ve el modo de vibrado natural. Debe recalcarse que no se tratade una deformación ocasionada por un estimulo externo (carga), sino un modonatural que tiene la estructura para oscilar y que es ante todo un parámetrofisicomatemático teórico.

La solución de la ecuación base se disgrega en una Sol. Particular y una

complementaria (siguiendo las reglas de la matemática diferencial) que

sumadas dan la solución total:

Donde C1 y C2 dependen de las condiciones de frontera. Graficando la

respuesta en función del tiempo se tendrá:

Dentro de esta ecuación aparece la relación entre la frecuencia de la carga y la

frecuencia natural de la estructura, fundamental para el análisis de resonancia,

que se denotara:

3. CONCEPTO MODOS DE VIBRADO

Se parte del problema de autovalor-autovector, que es un problema vectorialque se expande para obtener polinomios de grado “n”, donde “n” es el numerode nudos de la estructura. Para hallar cada autovalor debe resolverse unsistema de homogéneo basado en el llamado autovector (que se determina enfunción de las propiedades de cada nudo). Como una estructura tiene grancantidad de nudos, el problema se trata matricialmente, donde la masa “m” esreemplazado por la matriz de masas [M], la rigidez “k” es reemplazada por lamatriz de rigidez [K]:

Donde l son los autovalores y {q} son los autovectores. El problema tienesolución no trivial si y solo si:

El análisis matemático es demasiado largo para desarrollar en unapresentación, pero halla en el texto base de la asignatura.

Sin embargo, la interpretación física será: una estructura, de acuerdo a su

configuración geométrica, asignación de secciones, distribución de masas,

rigideces y sistema de amortiguamiento, tiene al menos una forma

característica de oscilar y esta es armónica, es decir, cumple un patrón

sinusoidal matemáticamente determinable.

Como puede observarse, el pórtico se ha simplificado según lo explicado

anteriormente y se obtiene una estructura con UN nudo. En azul puede verse

su posibilidad física de oscilación y un análisis intuitivo del problema (que se

ratifica con el empleo de las herramientas matemáticas mostradas en la anterior

diapositiva), permite inferir que esta es la UNICA posibilidad física de oscilación

y por tanto el UNICO modo de vibrado.

Se presenta otra estructura, esta vez con dos nudos:

Puede verse en azul una posibilidad de oscilación y en rojo otra y resulta

evidente que físicamente no existe ninguna posibilidad mas de oscilación. Se

entiende entonces que una estructura de “n” nudos tiene “n” autovalores-

autovectores y cada uno de ellos representa un modo de vibrado. Por lo tanto,

una estructura tiene tantos modos de vibrados como nudos contenga.

Otro aspecto que resulta destacable es que el tiempo en que el primero modo

de vibrado (en azul) cumpla un ciclo será distinto del tiempo que le tome al

segundo (en rojo). Este hecho también es verificable matemáticamente y a

partir de ello podemos afirmar que a cada modo de vibrado le esta asociado

intrínsecamente un valor determinado y distinto de periodo y su

correspondiente “frecuencia natural”. De ello se deduce que una estructura de

“n” tendrá “n” modos de vibrado con “n” frecuencias naturales asociadas a los

mismos. Esta idea también es importante al momento de analizar resonancia.

4. DEFORMACIONES

Nuevamente reiteramos que los modos de vibrado NO son deformaciones

reales, sino “posibilidades” de oscilación inherentes al sistema. Nótese que

existe una diferencia conceptual primordial: los desplazamientos son una

función U(t) dependiente del tiempo y aunque hay infinidad de valores de U

para infinidad de valores de t la solución es “única” y es la función U(t), es decir,

se tiene una respuesta continua, mientras que los modos de vibrado no

dependen del tiempo y de modo fijo existirán tantos como tenga la estructura,

entonces siempre su numero será finito y su forma invariante en el tiempo, es

decir, se trata de un parámetro discreto.

De hecho, en consecuencia con lo anterior, los desplazamientos U(t) están en

función de los modos de vibrado. Si a la ecuación base se le introduce el

concepto de autovalor-autovector, esta se vectorializa y queda:

Cuya solución se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial vector-matricial:

La resolución matemática de la anterior expresión es larga y compleja (esta

dada en el texto base), pero su consecuencia física es que la función

deformación U(t) es una combinación lineal de todos los modos de vibrado:

Donde aii son constantes dependientes de las condiciones de frontera del

problema y en los hechos representan porcentajes de participación de cada

modo de vibrado li. Como consecuencia de lo anterior, la suma de todos estos

coeficientes debería ser igual a 1.

La variabilidad de estos porcentajes suele aproximarse a una curva

exponencial, entonces, no es necesario considerar todos los modos de vibrado.

Para una estructura sostenida por pórticos (un edificio que puede tener miles de

nudos), suelen ser suficientes los primeros 12 a 15 modos de vibrado, que

están asociados a sus propias frecuencias naturales de vibración y también a

determinados porcentajes de masa. Se considera que sumados los porcentajes

de masa de los modos de vibrado considerados representen el 90% de la masa

total del edificio. A continuación se proporciona una tabla guia:

N° modo

vibrado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

% masa 50 a 60 23 a 35 12 a 18 6 a 10 3 a 5 1,5 a 3 0,7 a 2 0,3 a 1 0,1 a 0,5 0,04 a 0,2 0,02 a 0,1 0,01 a 0,05 0,005 a 0,02 0,002 a0,01 0,001 a0,006

4. RESONANCIA

El concepto físico de resonancia es bastante simple. Se presenta cuando la

frecuencia de la carga es igual a la frecuencia natural del sistema, es decir:

El efecto físico de esta situación es que se magnifica la respuesta, es decir, las

deformaciones, tal como se observo en el video.

La representación matemática de lo anterior se realizara para el caso mas

simple (un grado de libertad) y es como sigue: se tiene la solución:

Se considera únicamente la respuesta estable y se extrae el siguiente factor:

Sabiendo que Po/K es la respuesta estática, es decir, sin cargas dinámicas, setendrá el factor de magnificación dinámica:

Graficando esta expresión se tiene:

Como puede verse, el factor de magnificación D, y por ende las deformaciones,crece mas mientras mas el valor de b se acerca a 1, es decir, mientras lafrecuencia de carga W se acerca mas al valor de la frecuencia natural delsistema w.

Sin embargo, como se vio anteriormente, no existe una sola frecuencia natural

de vibrado, sino tantas como modos de vibrado existan y aunque se recomendó

que no se empleen todos los modos de vibrado, no queda claro que modo de

vibrado y que frecuencia natural asociada debe usarse.

Como se vio en la tabla adjunta, los primeros modos de vibrado son los que

mayor porcentaje de masa asociada tienen, normalmente son los 3 o 4

primeros, entonces, inicialmente bastara considerar solo las frecuencias

naturales asociadas a estos 3 o 4 MDV. Pero aun se pueden hacer mayores

simplificaciones teóricas.

El problema consiste en evitar que , entonces, como la frecuencia

de la carga W es un dato invariante (condición del problema), solo se puede

modificar la frecuencia natural del sistema w haciéndola mas grande o mas

pequeña, sin embargo, normalmente las frecuencias de carga W suelen ser

bastante altas, entonces conviene hacer la frecuencia natural w lo mas baja

posible y es el primer modo de vibrado el que ofrece los valores mas bajos

además de tener asociada la mayor cantidad de masa, por tanto, se trabajara

únicamente con este modo de vibrado y su frecuencia natural w asociada

N° modo

vibrado1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

% masa 50 a 60 23 a 35 12 a 18 6 a 10 3 a 5 1,5 a 3 0,7 a 2 0,3 a 1 0,1 a 0,5 0,04 a 0,2 0,02 a 0,1 0,01 a 0,05 0,005 a 0,02 0,002 a0,01 0,001 a0,006

Como se observo en el video, cuando ocurre la resonancia, inevitablemente

viene el colapso de la estructura, por lo cual debe ser evitada a todo trance.

Esto se logra, como ya se dijo, bajando la frecuencia natural del sistema y esto

se puede hacer de dos maneras:

•Rigidizando la estructura: lo que aumentara la rigidez [K] dentro de la ecuación

base y por tanto los desplazamientos U(t) se reducen. Esto se logra

incrementando las secciones de los elementos de sustento o rigidizadores,

como ser columnas. Como método constructivo es relativamente fácil, aunque

incrementa los costos y va en desmedro de la optimización de materiales

•Flexibilizando la estructura, lo que generara un incremento del

amortiguamiento [C] lo que no reduce los desplazamientos, pero hace el

movimiento oscilatorio tan lento que el valor de la frecuencia natural w se aleja

enormemente de la frecuencia de la carga W. Esto se logra a través de la

implementación constructiva de juntas, amortiguadores, articulaciones y

similares. El comportamiento estructural es mucho mejor y se puede optimizar

materiales pero la tecnología requerida para la construcción de estos

dispositivos es muy cara y normalmente no esta disponible en el país.

Por facilidad de calculo se suelen tomar los periodos, que son los inversos de

las frecuencias. A continuación se muestran periodos recomendados por la

Norma de Diseño Sísmico Boliviano para distintas estructuras:

4. MODELOS MATEMATICOS

Todo el desarrollo matemático involucrado se circunscribe en la creación de

modelos matemáticos, hasta ahora simplificados.

A continuación se realizara la resolución fisicomatemática del siguiente

problema:PROBLEMA 1

SOLUCIÓN POR SUPERPOSICIÓN MODAL

La estruc tura ha s ido solicitada por una carga sismica describir el m ov imiento para los tres prim eros

segundos. El s ismo ocurrio cuando el piso 3 estaba con su maxima carga y el tanque de agua lleno

usando el método numérico. La estruc tura parte del reposo. determinar:

Max imos esf uerzos en las columnas

Hallar la respuesta 1 y 2 segundos despues

Analizar el interv alo de 1 a 3 seg.

En el modo de v ibrac ion 1 1 0 .03

En el modo de v ibrac ion 3 3 0 .05

4. MODELOS MATEMATICOS

Se vera que se parte de la simplificación siguiente:

Para la resolución, la ecuación base debe

matricializarse de la siguiente manera:

con:

El resultado será la obtención de las deformaciones U(t) pero para los 4 nudos

del modelo (derecha) y no para los 7 nudos reales y tendrá que realizarse una

desagregación matemática adicional.

Sin embargo, existen problemas mucho mas complejos como la resolución de

pórticos en 3 dimensiones

Se tiene un edificio real en 3 dimensiones. En este caso realizar

desagregaciones de U(t) resulta complicado y MUY moroso, por lo que seria

preferible un análisis del modelo SIN simplificaciones.

Ello implicaría, por ejemplo, para la matriz de rigidez [k] hacer consideraciones

físicas basadas en la ley de Hooke, que como consecuencia arrojarían una

matricializacion mas complicada:

Lo anterior debe hacerse para cada barra del edificio, ya que las cuatromatrices de rigidez mostradas anteriormente, que almacenan parámetros seárea, material, geometría e inercia, inevitablemente consideran los dos nudosde una sola barra y su cuerpo mismo en coordenadas locales.

El mismo tratamiento tendría que hacerse con las masas y losamortiguamientos; a ello súmele la forma vectorializada de la ecuación base(autovalor-autovector) y si además, existen barras (vigas o columnas) desección variable, el símbolo de diferencial debería entrar dentro de cada matrizpara resolver estos gradientes continuos de sección.

Como se ve, el modelo matemático se complica tanto que su resolución resultainviable en términos prácticos. Por ello antiguamente no se realizaban cálculosdinámicos, sino simplemente estáticos y se afectaban por factores deseguridad.

El adelanto tecnológico ha permitido la invención de software especializado quepermite resolver modelos matemáticos tan complejos como el descrito, demodo que los antiguos métodos han sido reemplazados por la modelacióndigital mediante de software especializado. Sin embargo, el empleo de estasaplicaciones es inútil e incluso PELIGROSO sin una solida base teóricafisicomatemática.

La siguiente clase estará exclusivamente dedicada al manejo del paqueteSAP2000 V.14.0.0. que es el software especializado tecnológicamente masconfiable para estos tipos de análisis y la creación de modelos digitales.