8/18/2019 Eementos de Geometría Analítica 3

1/2

 yc x

c yc yc y x

c yc y x

4

)(2

)(

2

2222

22

 

La Parábola

Definición: Es el  L.G. de todos los puntos del plano que equidistan de un

 punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (llamada directriz)

Ecuación de la parábola con vértice en el origen del sistema y cuyo foco se

encuentra en el eje Y .

Sea  P ( x,  y) un punto cualquiera de la parábola, V (0,0) coordenadas del

vértice, F (c, 0) coordenadas de foco e  y + c = 0 la ecuación de la directriz.

Sabemos que la distancia de P a F es igual de P a la directriz, luego se puede escribir:

Elevando al cuadrado

Desarrollando cuadrados de binomio

Así se tiene  yc x    42   Ecuación de la parábola con 0c  

En resumen, los casos posibles considerando a la directriz paralela a uno de los ejes

coordenados son:

 yc x    42    yc x    42    xc y    42    xc y    42  

0c   0c   0c   0c  

La parábola  es una curva simétrica, cuyo eje de simetría, en los cuatro casos anteriores

coincide con uno de los ejes coordenados.

Definición: Llamaremos lado recto de la parábola, al trazo que es perpendicular al eje de

simetría y que además contiene al Foco.

Proposición: La longitud del lado recto para los casos anterior es c4  

1) Elabore la gráfica de la curva  x y   82  

2) Elabore la gráfica de la curva  x y   122  

3) Encuentre la(s) ecuación(es) de la o las parábolas que tienen su vértice en el origen y su foco

está en (-4,0)

4) Encontrar la ecuación de la recta tangente a  x y   82 en el punto (-2,4)

8/18/2019 Eementos de Geometría Analítica 3

2/2

1

)(2)(

2)()(

22

2

2

2

2222

2222

ca

 y

a

 x

 yc xa yc x

a yc x yc x

La Elipse

Definición: Es el conjunto de todos los puntos del plano tal que la

suma de a dos puntos fijos (focos) es constante.

En una elipse podemos distinguir: Lados rectos, Centro, eje mayor, eje menor, vértices y focos.

 F 1, F 2 focos;  PQ es el eje mayor y  RS   RS eje menor y C centro

TU   y VW   son los lado recto; P , Q vértices.

Consideremos el centro de la elipse en (0,0), los focos en el eje X  tal que sus coordenadas sean

)0,(c   y )0,(   c   y la suma de las distancia que es constate, igual a a2 . Así la ecuación de la

elipse se construye:

Ecuación de la elipse

Por otro lado, en el triángulo que forman los focos con cualquier punto de la elipse se cumple

que: 022  22   caca , luego se puede utilizar 222 cab    

Así la ecuación de la elipse se transforma en: 12

2

2

2

b

 y

a

 x, donde b ya   2 2  son respectivamente

las longitudes del eje mayor y el eje menor.

Proposición: Un punto ),(   y x  está en la elipse con vértices en )0,(   a  y focos en )0,(   c   si y

sólo si satisface la ecuación 12

2

2

2

b

 y

a

 x con

222 cab    

Las coordenadas de los extremos de cada lado recto son:  

  

 

a

bc

2

,  y  

  

 

a

bc

2

, 

Proposición: Un punto ),(   y x  está en la elipse con vértices en ),0(   b  y focos en ),0(   c   si y

sólo si satisface la ecuación 12

2

2

2

a

 x

b

 y

 con

222

cba    

1) Construya la gráfica de 225259   22   y x  

2) Construya la gráfica de 4001625   22   y x  

3) Encontrar la ecuación de la elipse cuyos vértices están en )8,0(    y sus focos en )5,0(   .

4) Encontrar las ecuaciones de las rectas que contienen el punto (5,1) y que son tangentes a la

curva 225259  22   y x .