广义长方形张量的注记

刘冰杰1, 边红1*, 于海征2, 马丽1

(1新疆师范大学数学科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830054； 2新疆大学数学科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

摘要 Perron-Frobenius 定理是非负矩阵的基本结果. 特别地, 非负张量的Perron-Frobenius 定理与测量链接对象的高阶连通性和超图有关. 在这篇文章中,我们在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量, 并给出了非负广义长方形张量的Perron-Frobenius 定理的一些新的结果.关键词: 特征值; 三维长方形张量; 不可约; Perron-Frobenius 定理中图分类号：O157

引言

Perron-Frobenius 定理描述了一个非负实方矩阵A 的主要特征值的特征向量的性质. 这个定理在概率论(马尔科夫链的遍历性)和动力系统理论(有限的子类型)中有重要的应用价值,也在应用数学的领域中起着至关重要的作用.假设m和n都是正整数, 且m,n ≥ 2, 我们称B = (bi1...im), 这里bi1...im ∈ R,对于ik =

1, 2, ..., n, k = 1, 2, ...,m, 是一个实m 阶n−维方张量. 当m = 2 时, B 是一个简单的实n× n 方矩阵.祁立群等人和林立行在文献[1, 2] 中介绍了方张量的特征值, 并且给出了非负方张量

的特征值的perron-Frobenius 定理的一些好的性质. 此外, 方张量的特征值有广泛的实际应用. 比如医疗磁共振成像[3], 高阶马尔科夫链[4]; 自动控制中偶阶多变量形式的正定性[5], 和数据分析的秩一优化[6].最近, 某一类长方形张量吸引了研究人员的注意. 它们出现在固体力学的强椭

圆条件问题[7, 8, 9, 10] 和量子力学的扰动问题[11, 12]. 假设p, q,m, n 都是正整数，并且m,n ≥ 2, 我们称A = (ai1...ipj1...jq), 这里ai1...ipj1...jq ∈ R,对于ik = 1, 2, ...,m, k =1, 2, ..., p,, jk = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., q,, 是一个实(p, q) 阶(m × n)− 维长方形张量.当p = q = 1 时, A 是一个简单的实m× n 长方形矩阵.

Perron-Frobenius 定理是非负矩阵的一个基本结果. 它不仅在许多数学分支: 马尔科夫链、图论、对策论和数值分析上有很多应用, 也在科学与技术的很多领域: 经济学、运筹学和最近的互联网网络排名上有很多应用. 它的无限维推广被称为正线性紧算子的Krein Rutman 定理, 也被广泛应用于偏微分方程, 不动点定理和泛函分析. 在后期多线性代数的研究[1, 2, 13], 张量的特征值问题已经带来的特别关注. 特别地, 非负张量的Perron-Frobenius 定理与测量链接对象的高阶连通性[14] 和超图[15] 有关.在这篇文章中, 我们在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量, 并且给出有

关非负广义长方形张量的Perron-Frobenius定理的一些结果.

2 预预预备备备知知知识识识

在这一节, 我们将给出一些用于主要结果证明的定义和概念.

收到日期：2016-01-18 录用日期：2017-02-17

基金项目：国家自然科学基金（11361062,61662079,11061035）；自治区青年科技创新人才培养工程项目

（qn2015yx010）；新疆高校科研重点项目（XJEDU2013I04).

通信作者：bh1218@163.com

doi：10.1043/j.issn.0438-0479.201601028

假设p, q, r,m, n, l 是正整数, 并且m,n, l ≥ 2. 我们称, ai1...ipj1...jqk1...kr ∈ R, 其中ih =1, ...,m, h = 1, ..., p, jh = 1, ..., n, h = 1, ..., q, kh = 1, ..., l, h = 1, ..., r, 是一个实(p, q, r)阶(m× n× l)-维广广广义义义长长长方方方形形形张张张量量量.让

f(x, y, z) ≡ A xpyqzr ≡m∑

i1,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

ai1...ipj1...jqk1...krxi1 ...xipyj1 ...yjqzk1 ...zkr .

当p = q = r = 2 时, A 是一个(2, 2, 2) 阶长方形张量. 如果a122112 = 1, 其余的aijklst = 0, 那么f(x, y, z) = x1x2y2y1z1z2.对于任意的向量x 和任意的实数α, 定义x[α] = [xα

1 , xα2 , ..., x

αn]

T .让A xp−1yqzr 是属于Rm 的一个向量, 使得

(A xp−1yqzr)i =m∑

i2,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

aii2...ipj1...jqk1...krxi2 ...xipyj1 ...yjqzk1 ...zkr , i = 1, 2, ...,m.

同样地, A xpyq−1zr 是属于Rn 的一个向量, 使得

(A xpyq−1zr)j =m∑

i1,...,ip=1

n∑j2,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

ai1...ipjj2...jqk1...krxi1 ...xipyj2 ...yjqzk1 ...zkr , j = 1, 2, ..., n.

A xpyqzr−1 是属于Rl 的一个向量, 使得

(A xpyqzr−1)k =m∑

i1,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k2,...,kr=1

ai1...ipj1...jqkk2...krxi1 ...xipyj1 ...yjqzk2 ...zkr , k = 1, 2, ..., l.

在这篇文章中, 我们定义M = p + q + r, N = m + n + l. 对于一个向量x =(x1, x2, ..., xm)

T ∈ Cm, 一个整数M, 定义x[M−1] = [xM−11 , xM−1

2 , ..., xM−1m ]T . 同样地, 对

于y[M−1], y ∈ Cn, z[M−1], z ∈ C l也一样. 考虑A xp−1yqzr = λx[M−1],A xpyq−1zr = λy[M−1],A xpyqzr−1 = λz[M−1].

(1)

如果λ ∈ C, x ∈ Cm \ 0, y ∈ Cn \ 0, y ∈ C l \ 0 是(1) 的解, 那么λ 是A 的一个奇异值,x, y, z 是A关于奇异值λ 的特征向量. 如果λ ∈ R, x ∈ Rm \ 0, y ∈ Rn \ 0, z ∈ Rl \ 0 是(1)的解, 则λ 是A 的H-奇异值, x, y, z 是关于A 的H 奇异值λ 的H-特征向量. 如果一个奇异值不是H-奇异值, 我们就称为A 的N -奇异值. 当p = q = 1, r = 0 时, 那么这就是一般的长方形矩阵奇异值的定义. 因此, 这个定义把长方形矩阵的奇异值的传统概念推广到高阶广义长方形张量.

3 主主主要要要结结结果果果

在这一节, 我们把非负长方形张量奇异值的Perron-Frobenius 定理推广到广义长方形张量. 首先给出不可约广义长方形张量的定义.记Pk = {x ∈ Rk : xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., k}, int(Pk) = {x ∈ Rk : xi > 0, i = 1, 2, ..., k}.

一个向量x ∈ Rk 被称为非负的, 如果x ∈ Pk; 被称为强正的, 如果x ∈ intPk. 规定Rk 的零向量为θ.

让A = (aii...ipj1...jqk1...kr) 是一个(p, q, r) 阶(m × n × l)-维非负长方形张量, 这里p, q, r ≥ 1. 定义{ei}m1 , {fj}n1 和{gk}l1 分别是Rm, Rn 和Rl 的基, 且epi = ei ⊗ ...⊗ ei︸ ︷︷ ︸

p

,

f qj = fj ⊗ ...⊗ fj︸ ︷︷ ︸

q

和grk = gk ⊗ ...⊗ gk︸ ︷︷ ︸r

, 这里⊗ 是向量的张量积符号.

对于任意的j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., l, 定义A (·, f qj , g

rk) = (ai1,...,ip,j,...,j,k,...,k) 是一

个p 阶m-维方张量.对于任意的i = 1, 2, ...,m, k = 1, 2, ..., l, 定义A (epi , ·, grk) = (ai,...,i,j1,...,jq ,k,...,k) 是一

个q 阶n-维方张量.对于任意的i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n, 定义A (epi , f

qj , ·) = (ai,...,i,j,...,j,k1,...,kr) 是一

个r 阶l-维方张量.定定定义义义 1. 在文献[16]中提出, 一个非负长方形张量A 被称为不可约的, 如果所有的方张量A (·, f q

j , grk), j = 1, ..., n k = 1, ..., l, A (epi , ·, grk), i = 1, ...,m k = 1, ..., l

和A (epi , fqj , ·), i = 1, ...,m j = 1, ..., n 都是不可约的.

引引引理理理 2. 如果A 是不可约的, 那么所有的张量A (·, f qj , g

rk), j = 1, ..., n k = 1, ..., l,

A (epi , ·, grk), i = 1, ...,m k = 1, ..., l 和A (epi , fqj , ·), i = 1, ...,m j = 1, ..., n, 没有特征值0.

证证证明明明. 假设结论不成立. 那么, 存在j0, k0 使得A (·, f qj , g

rk) 有特征值0 或存在i0, k0 使

得A (epi , ·, grk) 有特征值0 或存在i0, j0 使得A (epi , fqj , ·) 有特征值0. 不妨设A (·, f q

j , grk) 有

特征值0, i.e., ∃xo ̸= θ, 使得A (xp−10 , f q

j , grk) = θ. 如果(x0)i > 0,∀i, 则A (·, f q

j , grk) = 0, 那

么A (·, f qj , g

rk) 可约, 矛盾. 另一方面, 存在一个非空指数集I 和δ > 0, 使得(x0)i = 0, ∀i ∈

I, 且(x0)i ≥ δ, ∀i ̸∈ I. 我们有

δp−1∑

i2,...,ip ̸∈I

aii2...ipj0...j0k0...k0

≤∑

1≤i2,...,ip≤m

aii2...ipj0...j0k0...k0(x0)i2 ...(x0)ip

= A (xp−10 , f q

j , grk) = 0, ∀i.

这表明ai1i2...ipj0...j0k0...k0 = 0, ∀i1 ∈ I,∀i2, ..., ip ̸∈ I.

则A (·, f qj , g

rk) 是可约的, 矛盾.

同理我们可以证明A (epi , ·, grk) 和A (epi , fqj , ·) 没有特征值0. �

引引引理理理 3. 如果A 是不可约的,那么对于任意的(x, y, z) ∈ (Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ}),A xp−1yqzr ̸= θ, A xpyq−1zr ̸= θ 和A xpyqzr−1 ̸= θ.证证证明明明. 假设A xp−1yqzr = θ, i.e., (A xp−1yqzr)i = 0, ∀i. 因为y, z ̸= θ, ∃j0, k0 和δ > 0 使得y ≥ δfj0 , z ≥ δhk0 , 我们有

0 = (A xp−1yqzr)i ≥ δq+r(A xp−1, f qjo, grko)i ≥ 0, ∀i.

即,A (xp−1, f q

jo, grko) = θ.

这就是说x 是A (·, f qjo, grko) 的一个关于特征值0 的特征向量. 根据引理2, 这是一个矛盾.

同理我们可以证明A xpyq−1zr ̸= θ 和A xpyqzr−1 ̸= θ. �引引引理理理 4. 让A 非负且不可约, 且(λ, (x, y, z)) ∈ R+ × int(Pm)× int(Pn)× int(Pl) 是(1)的一个解. 如果(µ, (u, v, w)) ∈ R+ × ((Pm \ {θ})× (Pn \ {θ})× (Pl \ {θ})) 满足

(i) A up−1vqwr ≥ (or ≤)µu[M−1]

(ii) A upvq−1wr ≥ (or ≤)µv[M−1]

(iii) A upvqwr−1 ≥ (or ≤)µw[M−1]

那么µ ≤ (or ≥ resp.)λ证证证明明明. 定义t0 = max{s ≥ 0|x − su ∈ Pm, y − sv ∈ Pn, z − sw ∈ Pl}. 因为(x, y, z) ∈int(Pm)× int(Pn)× int(Pl), t0 > 0. 所以, 我们有

x− tu ≥ 0,y − tv ≥ 0,z − tw ≥ 0.

(2)

当且仅当t ∈ [0, t0]. 因此λx[M−1] = A xp−1yqzr ≥ tM−1

0 A up−1vqwr ≥ tM−10 µu[M−1],

λy[M−1] = A xpyq−1zr ≥ tM−10 A upvq−1wr ≥ tM−1

0 µv[M−1],λz[M−1] = A xpyqzr−1 ≥ tM−1

0 A upvqwr−1 ≥ tM−10 µw[M−1].

(3)

i.e., x ≥ to(

µλ)

1M−1u,

y ≥ to(µλ)

1M−1v,

z ≥ to(µλ)

1M−1w.

(4)

这表明µ ≤ λ. �定定定理理理 5. 假设非负张量A 是不可约的, 则存在(1)的一个解(λ0, (x0, y0, z0)), 满足λ0 > 0和(x0, y0, z0) ∈ int(Pm)× int(Pn)× int(Pl).而且, 如果λ 是强正特征向量的一个奇异值, 则λ = λ0. 这个强正特征向量在重数意

义下是唯一的.

证证证明明明. 定义Dk = {z = (z1, ..., zk) ∈ Pk|k∑

i=1

zi = 1}. 由引理3, F 在Dm ×Dn ×Dl 上到自

身的映射被定义为:

F (ξ, η, σ) = ((A ξp−1ηqσr)

1M−1

im∑i=1

(A ξp−1ηqσr)1

M−1

i

,(A ξpηq−1σr)

1M−1

jn∑

j=1

(A ξpηq−1σr)1

M−1

j

,(A ξpηqσr−1)

1M−1

k

l∑k=1

(A ξpηqσr−1)1

M−1

k

) (5)

.根据不动点定理, 存在(ξ0, η0, σ0) ∈ Dm ×Dn ×Dl 使得

A ξp−1o ηq0σ

r0 = µ0ξ

[M−1]0 ,

A ξpoηq−10 σr

0 = ν0η[M−1]0 ,

A ξpoηq0σ

r−10 = ω0σ

[M−1]0 .

(6)

这里

µ0 = (m∑i=1

(A ξp−1o ηq0σ

r0)

1M−1

i )M−1,

ν0 = (n∑

j=1

(A ξpoηq−10 σr

0)1

M−1

j )M−1

ω0 = (l∑

k=1

(A ξpoηq0σ

r−10 )

1M−1

i )M−1.

(7)

定义t = ( ν0µ0)

1M , s = (ω0

µ0)

1M , x0 = ξ0, y0 = tη0, z0 = sσ0 和λ0 = (µp

0νq0ω

r0)

1M . 则,

(λ0, (x0, y0, z0)) 是(1) 的一个解.现在我们需要证明: (x0, y0, z0) ∈ int(Pm) × int(Pn) × int(Pl). 反证法, 假设这个结

论不成立, 则需要证明存在一个非空真指标子集I ⊂ {1, ...,m}, 或者一个非空真指标子

集J ⊂ {1, ..., n}, 或者一个非空真指标子集K ⊂ {1, ..., l}, 使得(x0)i = 0, ∀i ∈ I, (x0)i ≥δ > 0,∀i ̸∈ I, 或者(y0)j = 0,∀j ∈ J, (y0)j ≥ δ > 0, ∀j ̸∈ J , 或者(z0)k = 0,∀k ∈ K, (z0)k ≥δ > 0,∀k ̸∈ K.因为A (·, f q

jo, grko),∀j ∈ J, k ∈ K 是不可约的, 如果满足上述条件的非空真子集I 是

存在的, ∀i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K 我们有

0 = (A xp−10 yq0z

r0)i

=∑

1≤i2,...,ip≤m,1≤j1,...,jq≤n,1≤k1,...,kr≤l

aii2...ipj1...jqk1...kr(x0)i2 ...(x0)ip(y0)j1 ...y(0)jq(z0)k1 ...(z0)kr

≥ δq+r∑

1≤i2,...,ip≤m,1≤j≤n,1≤k≤l

aii2...ipj...jk...k(x0)i2 ...(x0)ip

≥ δM−1∑

i2,...,ip ̸∈I

aii2...ipj...jk...k.

这与A (·, f qjo, grko),∀j ∈ J, k ∈ K 的不可约性矛盾.因此这样的非空真指标子集I 是

不存在的. 同理, 我们可以证明这样的非空真指标子集J 和K 都是不存在的. 所以(x0, y0, z0) ∈ int(Pm)× int(Pn)× int(Pl).强正特征向量的正奇异值的唯一性我们可以直接从引理4 得到. 以文献[16]中同样

地方法可以证明强正特征向量在重数意义下是唯一的. �下文把文献[16]中的非负张量唯一正特征值的强正特征向量的最大最小刻画推广到

非负广义张量唯一正奇异值的强正特征向量.定定定理理理 6. 假设A 是一个(p, q, r)阶(m× n× l) 维的非负不可约长方形张量, 则

min(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})

maxi,j,k

((A xp−1yqzr)i

xM−1i

,(A xpyq−1zr)j

yM−1j

,(A xpyqzr−1)k

zM−1k

)

=λ0

= max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})

mini,j,k

((A xp−1yqzr)i

xM−1i

,(A xpyq−1zr)j

yM−1j

,(A xpyqzr−1)k

zM−1k

),

这里λ0 是唯一的强正特征向量的正奇异值.证证证明明明. 在(Pm \ {θ})× (Pn \ {θ})× (Pl \ {θ}) 上, 我们定义一个函数:

µ∗(x, y, z) = mini,j,k

((A xp−1yqzr)i

xM−1i

,(A xpyq−1zr)j

yM−1j

,(A xpyqzr−1)k

zM−1k

).

因为它是一个正的0-齐次函数, 能够限制在(Dm)× (Dn)× (Dl) 上. 让

r∗ := µ∗(x∗, y∗, z∗) = maxx∈Dm,y∈Dn,z∈Dl

µ∗(x, y, z) = max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})

µ∗(x, y, z).

(λ0, (x0, y0, z0)) ∈ R+ × int(Pm)× int(Pn)× int(Pl) 是(1.1)的一个解. 一方面我们有

λ0 = µ∗(x0, y0, z0) ≤ µ∗(x∗, y∗, z∗),

i.e.,λ0 ≤ r∗.

另一方面, 由µ∗(x, y, z) 的定义, 我们得到

r∗ = µ∗(x∗, y∗, z∗) = mini,j,k

((A xp−1

∗ yq∗zr∗)i

(x∗)M−1i

,(A xp

∗yq−1∗ zr∗)j

(y∗)M−1j

,(A xp

∗yq∗z

r−1∗ )k

(z∗)M−1k

).

即 A xp−1

∗ yq∗zr∗ ≥ r∗x

[M−1]∗ ,

A xp∗y

q−1∗ zr∗ ≥ r∗y

[M−1]∗ ,

A xp∗y

q∗z

r−1∗ ≥ r∗z

[M−1]∗ .

(8)

根据引理4, 我们有r∗ ≤ λ0, 因此λ0 = r∗.

同理, 我们可以证明另一个等式. �因此, 我们有

定定定理理理 7. 假设A 是一个非负不可约长方形张量, λ0 是强正特征向量的正奇异值. 则对于A 的所有奇异值λ有|λ| ≤ λ0.证证证明明明. 让(x, y, z) ∈ ((Cm \ {θ}) × (Cn \ {θ}) × (C l \ {θ})) 是(1)的一个解. 对于任意的λ ∈ C. 我们需要证明|λ| ≤ λ0. 让x

′i = |xi|, ∀i y

′j = |yj|,∀j z

′

k = |zk|,∀k, 集合x

′= (x

′1, ..., x

′m), y

′= (y

′1, ..., y

′n), z

′= (z

′1, ..., z

′

l). 显然, (x′, y

′, z

′) ∈ ((Pm \ {θ})× (P n \

{θ})× (P l \ {θ})).因为

|(A xp−1yqzr)i| = |m∑

i2,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

aii2...ipj1...jqk1...krxi2 ...xipyj1 ...yjqzk1 ...zkr |

≤m∑

i2,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

aii2...ipj1...jqk1...krx′

i2...x

′

ipy′

j1...y

′

jqz′

k1...z

′

kr

= (A (x′)p−1(y

′)q(z

′)r)i

|(A xpyq−1zr)j| = |m∑

i1,...,ip=1

n∑j2,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

ai1...ipjj2...jqk1...krxi1 ...xipyj2 ...yjqzk1 ...zkr |

≤m∑

i1,...,ip=1

n∑j2,...,jq=1

l∑k1,...,kr=1

ai1...ipjj2...jqk1...krx′

i1...x

′

ipy′

j2...y

′

jqz′

k1...z

′

kr

= (A (x′)p(y

′)q−1(z

′)r)j

|(A xpyqzr−1)i| = |m∑

i1,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k2,...,kr=1

ai1...ipj1...jqkk2...krxi1 ...xipyj1 ...yjqzk2 ...zkr |

≤m∑

i1,...,ip=1

n∑j1,...,jq=1

l∑k2,...,kr=1

ai1...ipj1...jqkk2...krx′

i1...x

′

ipy′

j1...y

′

jqz′

k2...z

′

kr

= (A (x′)p(y

′)q(z

′)r−1)k

所以

|λ|(x′

i)M−1 = |λ||xi|M−1 = |(A xp−1yqzr)i| ≤ (A (x

′)p−1(y

′)q(z

′)r)i, ∀i,

|λ|(y′

j)M−1 = |λ||yj|M−1 = |(A xpyq−1zr)j| ≤ (A (x

′)p(y

′)q−1(z

′)r)j, ∀j,

|λ|(z′

k)M−1 = |λ||zk|M−1 = |(A xpyqzr−1)k| ≤ (A (x

′)p(y

′)q(z

′)r−1)k, ∀k.

由定理6, 我们得到

|λ| ≤ mini,j,k

((A (x

′)p−1(y

′)q(z

′)r)i

(x′i)M−1

,(A (x

′)p(y

′)q−1(z

′)r)j

(y′j)

M−1,(A (x

′)p(y

′)q(z

′)r−1)k

(z′k)

M−1)

≤ max(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})

mini,j,k

((A xp−1yqzr)i

xM−1i

,(A xpyq−1zr)j

yM−1j

,(A xpyqzr−1)k

zM−1k

)

= λ0.

�

4 一一一种种种算算算法法法

在这一节中, 在定理6 和定理7 的基础上, 我们给出一种计算一个非负不可约广义长方形张量最大特征值的算法. 这个算法类似文献[4]中找到一个非负不可约方张量的最大特征值. 首先给出一些下文需要用到的结果.对于任意两个向量x ∈ Rk 和y ∈ Rk, 则x ≥ y 和x > y 分别意味着x − y ∈ Pk

和x − y ∈ int(Pk). 这里的Pk 和int(Pk) 在第四节中定义. 通过直接计算, 我们得到以下引理.引引引理理理 8. 假设A 是一个(p, q, r) 阶(m × n × l)-维的非负长方形张量, x ∈ Rm, x ∈ Rm,y ∈ Rn, y ∈ Rn, z ∈ Rl, z ∈ Rl, 都是非负列向量, t 是一个正整数. 那么, 我们得到

(1)如果x ≥ x ≥ 0, y ≥ y ≥ 0, z ≥ z ≥ 0, 则A xp−1yqzr ≥ A xp−1yqzr, A xpyq−1zr ≥A xpyq−1zr, A xpyqzr−1 ≥ A xpyqzr−1

(2)A (tx)p−1(ty)q(tz)r = tM−1A xp−1yqzr,

A (tx)p(ty)q−1(tz)r = tM−1A xpyq−1zr,

A (tx)p(ty)q(tz)r−1 = tM−1A xpyqzr−1.

引引引理理理 9. 假设一个非负(p, q, r) 阶(m × n × l)-维长方形张量A 是不可约的. 那么, 对于任意的强正向量x > 0, x ∈ Rm, y > 0, y ∈ Rn, z > 0, z ∈ Rl, 有A xp−1yqzr, A xpyq−1zr,和A xpyqzr−1 是强正向量, i.e.,

A xp−1yqzr > 0, A xpyq−1zr > 0, A xpyqzr−1 > 0.证证证明明明. 显然, A xp−1yqzr ≥ 0. 假设对某一个i 有(A xp−1yqzr)i = 0. 因为y > 0, z > 0, 存在j0, k0 和δ > 0 使得y ≥ δfj0 , z ≥ δgk0 . 所以我们得到

0 = (A xp−1yqzr)i ≥ δq+r(A (xp−1, f qj0, grk0))i ≥ 0.

即,(A (xp−1, f q

j0, grk0))i = 0. (9)

又因为x > 0, A (·, f qj0, grk0) 是不可约的, 由文献[16]中的引理2.2,可得A (xp−1, f q

j0, grk0) >

0, 这与(9)矛盾. 因此, A xp−1yqzr > 0.同理, 我们可以证明A xpyq−1zr > 0 和A xpyqzr−1 > 0. �

定定定理理理 10. 假设一个非负(p, q, r) 阶(m × n × l)-维的长方形张量A 是不可约的. 让x(0) ∈Rm, y(0) ∈ Rn, z(0) ∈ Rl 是三个任意的强正向量. 且ξ(0) = A (x(0))p−1(y(0))q(z(0))r, η(0) =

A (x(0))p(y(0))q−1(z(0))r, θ(0) = A (x(0))p(y(0))q(z(0))r−1. 定义

x(1) =(ξ(0))[

1M−1

]

∥(ξ(0), η(0), θ(0))[1

M−1]∥, y(1) =

(η(0))[1

M−1]

∥(ξ(0), η(0), θ(0))[1

M−1]∥,

z(1) =(θ(0))[

1M−1

]

∥(ξ(0), η(0), θ(0))[1

M−1]∥,

ξ(1) = A (x(1))p−1(y(1))q(z(1))r, η(1) = A (x(1))p(y(1))q−1(z(1))r,

θ(1) = A (x(1))p(y(1))q(z(1))r−1,

...

x(t+1) =(ξ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥, y(t+1) =

(η(t))[1

M−1]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥,

z(t+1) =(θ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥,

ξ(t+1) = A (x(t+1))p−1(y(t+1))q(z(t+1))r, η(t+1) = A (x(t+1))p(y(t+1))q−1(z(t+1))r,

θ(t+1) = A (x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r−1, t ≥ 1,

...

并让

λt = minx(t)i >0,y

(t)j >0,z

(t)k >0

{ ξ(t)i

(x(t)i )M−1

,η(t)j

(y(t)j )M−1

,θ(t)k

(z(t)k )M−1

},

λt = maxx(t)i >0,y

(t)j >0,z

(t)k >0

{ ξ(t)i

(x(t)i )M−1

,η(t)j

(y(t)j )M−1

,θ(t)k

(z(t)k )M−1

}, t = 1, 2, ...

假设λ0 是A 的唯一的正奇异值. 则,

λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λ0 ≤ · · · ≤ λ2 ≤ λ1.

证证证明明明. 由定理6, 对于t = 1, 2, ..., 有

λt ≤ λ0 ≤ λt.

现在我们证明对任意的t ≥ 1,

λt ≤ λt+1 and λt+1 ≤ λt.

对于任意的t = 1, 2, ..., 由λt 的定义和引理9,可得

ξ(t) ≥ λt(x(t))[M−1] > 0, η(t) ≥ λt(y

(t))[M−1] > 0, θ(t) ≥ λt(z(t))[M−1] > 0.

因此,

(ξ(t))[1

M−1] ≥ (λt)

1M−1x(t) > 0, (η(t))[

1M−1

] ≥ (λt)1

M−1y(t) > 0,

(θ(t))[1

M−1] ≥ (λt)

1M−1 z(t) > 0.

所以,

x(t+1) =(ξ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

≥ (λt)1

M−1x(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

> 0,

y(t+1) =(η(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

≥ (λt)1

M−1y(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

> 0,

z(t+1) =(θ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

≥ (λt)1

M−1 z(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥

> 0.

由引理8, 可得

A (x(t+1))p−1(y(t+1))q(z(t+1))r ≥ λtA (x(t))p−1(y(t))q(z(t))r

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

≥ λtξ(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

= λt(x(t+1))[M−1]

A (x(t+1))p(y(t+1))q−1(z(t+1))r ≥ λtA (x(t))p(y(t))q−1(z(t))r

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

≥ λtη(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

= λt(y(t+1))[M−1]

A (x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r−1 ≥ λtA (x(t))p(y(t))q(z(t))r−1

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

≥ λtθ(t)

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥M−1

= λt(z(t+1))[M−1],

即, 对任意的i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n, k = 1, 2, ..., l,

λt ≤(A (x(t+1))p−1(y(t+1))q(z(t+1))r)i

(x(t+1)i )M−1

,

λt ≤(A (x(t+1))p(y(t+1))q−1(z(t+1))r)j

(y(t+1)j )M−1

,

λt ≤(A (x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r−1)k

(z(t+1)k )M−1

.

因此, 我们得到λt ≤ λt+1.

同理, 我们可以证明λt+1 ≤ λt.

�根据定理10, 我们规定算法如下:

算算算法法法1.步骤0. 选择x(0) > 0, x(0) ∈ Rm, y(0) > 0, y(0) ∈ Rn 和z(0) > 0, z(0) ∈ Rl. 让ξ(0) =A (x(0))p−1(y(0))q(z(0))r, η(0) = A (x(0))p(y(0))q−1(z(0))r 和θ(0) = A (x(0))p(y(0))q(z(0))r−1.设置t := 0.步骤1. 计算

x(t+1) =(ξ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥, y(t+1) =

(η(t))[1

M−1]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥,

z(t+1) =(θ(t))[

1M−1

]

∥(ξ(t), η(t), θ(t))[1

M−1]∥,

ξ(t+1) = A (x(t+1))p−1(y(t+1))q(z(t+1))r, η(t+1) = A (x(t+1))p(y(t+1))q−1(z(t+1))r,

θ(t+1) = A (x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r−1,

让

λt = minx(t)i >0,y

(t)j >0,z

(t)k >0

{ ξ(t)i

(x(t)i )M−1

,η(t)j

(y(t)j )M−1

,θ(t)k

(z(t)k )M−1

},

λt = maxx(t)i >0,y

(t)j >0,z

(t)k >0

{ ξ(t)i

(x(t)i )M−1

,η(t)j

(y(t)j )M−1

,θ(t)k

(z(t)k )M−1

}.

步骤2. 如果λt+1 = λt+1, 则停止. 否则, 把t 替换为t+ 1 并继续步骤1.由以上算法和定理10, 我们可以得到下面的结果.

定定定理理理 11. 假设一个非负(p, q, r)th 阶(m × n × l)-维长方形张量A 是不可约的. λ0 是A的唯一的正奇异值. 那么, 算法1 通过有限步得到λ0 的值, 或者生成两个收敛序列{λt}和{λt}. 此外, 让λ = limt→+∞λt 和λ = limt→+∞λt. 那么, λ 和λ 分别是λ0 的一个下界和上界. 如果λ = λ, 则λ0 = λ = λ.

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A Note on Generalized Rectangular Tensors

Liu Bingjie1, Bian Hong1*, Yu Haizheng2, Ma Li1

1School of Mathematical Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi, Xinjiang 830054, P. R. China

2College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi 830046, P.R.China

Abstract The Perron-Frobenius Theorem is a fundamental result for nonnegative ma-trices. In particular, the Perron Frobenius Theorem for nonnegative tensors is related tomeasuring higher order connectivity in linked objects and hypergraphs. In this paper, wedefine a generalized rectangular tensor which is based on the definition of rectangulartensors, and give some new results on the Perron-Frobenius Theorem for nonnegativegeneralized rectangular tensor.