Edition KRİŞLERDE VE NCE C DARLI ELEMANLARDA KAYMA GER...
Transcript of Edition KRİŞLERDE VE NCE C DARLI ELEMANLARDA KAYMA GER...
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 1
x
KİRİŞLERDE VE İNCE CİDARLI ELEMANLARDA KAYMA GERİLMELERİ
( )
( ) MyM0dAF
0dAzMVdAF
0dAzyM0dAF
xzxzz
xyxyy
xyxzxxx
=−===
==−==
=−===
∫∫∫∫∫∫
στ
στ
ττσ
Göz önüne alınan bir kesitteki Normal ve Kayma gerilmelerinin dağılımı statik denge denklemlerini sağlamalıdır:
Q noktasında gerilmeler
V ’ye karşılık gelen kayma gerilmesi τxy =?
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 2
IVQq =
ItVQ
ort =τ
y y
x
x
P
AA’ C’
C B
T.E
a
a
z
dA
y c
T.E
V
σxH
M
;zz
zx I
yxPI
yM−=−=σ dA
IyxPdA
zx −=σ
0;0 =+= ∫∑ dAHF xxσ
∫=
=Cy
yyz
dAyI
xPH1
;z
y
yy IxQPHQyAdAy
C
=⇒==∫= 1
∫ =− 0dAI
yxPHz
Burada Q, kesit alanının y1 ile c arasında kalan kısmının Tarafsız Eksene göre statik momentini ifade etmektedir. H ise kısmının alt yüzeyindeki yatay kesme kuvvetini göstermektedir. O halde; birim uzunluktaki kesme kuvveti veya kayma akısı (q):
ACAC ′′
ACAC ′′
Kesme kuvvetinden (V ) kaynaklanan kayma gerilmesi
a-a kesitindeki kayma akısı ve kayma gerilmesi
IVQq =;
zIQP
xHq == )( VP =
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 3
Kirişte ara yüzey kayma gerilmesinin (τxy ) belirlenmesi:
Örnek: Dikdörtgen kesit
AV
cy
AV
IbVQ
xy
23
123
max
2
2
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
τ
τ
Yatay düzlemde ∆A alanına etkiyen kesme kuvveti ∆H ise ;
xtx
IVQ
Axq
AH
ort
∆∆
=
∆∆
=
∆∆
=τ
tIQV
ort =τ
Kirişin dikey kesitinde alt ve üst kenarlar boyunca τxy =0’dır. Tarafsız eksen üzerinde kayma gerilmesi maksimum değerine ulaşır.
xz
y
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 4
Üç tahta parçası şekildeki gibi çivilenerek bir I profil oluşturulmuştur. Çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=25 mm ve kesitteki düşey kesme kuvveti V = 500 Nolduğuna göre;a) Her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.b) Eğer çivi yerine yapıştırıcı kullanılsaydı kesitteki gerilme dağılımı nasıl olurdu?
Örnek V
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 5
Örnek Şekildeki kiriş kesiti üç parçanın birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. Verilen kuvvetler kesitin simetri düzleminde etkimektedir. C’den geçen yatay eksene göre atalet momenti I= 8.63 x 106 mm4
olduğuna göre; n-n kesitinde a ve b bağlantı noktalarındaki ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.
RA=1.5 kN
A
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 6
400 mm
ÖrnekŞekildeki gibi yüklenen T kesitli kirişiçin kesitteki kayma gerilmesinin dağılımını gösteriniz. P kuvvet hattıdüşey simetri ekseni ile çakışıktır.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 7
İnce cidarlı parçalarda kayma gerilmeleri
xI
VQH ∆=∆
ItVQ
xtH
xzzx =∆∆
≈=ττ
NOT:0≈xyτ
0≈xzτFlanş kısımlarında
Perde kısmında
Daha önce perde (web) kısmındaki gerilmeler içinde aynı ifade elde edilmişti. It
VQxy =τflanş
perde
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 8
Kayma akımının (q) bir
kesitteki değişimi sadece
statik momentin (Q)
değişimine bağlıdır.
IVQtq ==τ
Bir I profildeki kayma gerilmeleri ve kayma akımı:
Kayma akımının (q)
kesitteki değişimi sıvıların
akışına benzemektedir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 9
ÖrnekŞekildeki bağlantıda çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=30 mm ve düşey kesme kuvveti V = 1200 N olduğuna göre; her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.
V
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 10
ÖrnekŞekildeki bağlantıda çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=45 mm ve düşey kesme kuvveti V = 5kN olduğuna göre; her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 11
Örnek V Şekildeki bağlantıda A-çivileri arası mesafe sA=75 mm, B-çivileri arası mesafe sB=40 mm, tüm kesitin x-eksenine göre atalet momenti Ix=1504 x 106 mm4 ve düşey kesme kuvveti V = 6 kN olduğuna göre; A ve B çivilerinde meydana gelen kesme kuvvetlerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 12
ÖrnekŞekildeki kesit 4 ahşap parçanın birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. V = 5 kN’luk düşey bir kesme kuvveti için yapıştırma noktalarındaki (A ve B) ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 13
ÖrnekŞekildeki kesit çeşitli geometrideki ahşap parçaların birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. V = 5 kN’luk düşey bir kesme kuvveti için yapıştırma noktalarındaki (A ve B) ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 14
Simetrik olmayan yükleme ve Kayma Merkezi
• Düşey simetri düzlemindeki bir yüklemede deformasyonlar simetri düzleminde meydana gelir. Burulma meydana gelmez.
ItVQ
IMy
ortx =−= τσ
Kesme kuvvet hattı kesitin simetri ekseni ile çakışmıyorsa; kesitte eğilmenin yanında burulma da meydana gelir. Yani kesitte kesme kuvveti ve burulmadan dolayı kayma gerilmeleri, eğilmeden dolayınormal gerilmeler meydana gelir.
• Kuvvet hattı simetri ekseni ile çakışmıyor. Eğilme ile birlikte burulma da meydana gelir.
ItVQ
IMy
ortx ≠−= τσ
• Simetrik olmayan yüklemede Burulmanın meydana gelmemesi için yük Kayma Merkezinden uygulanmalıdır.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 15
FdsqdsqFdsqVIt
VQ E
D
B
A
D
Bort ′−=−==== ∫∫∫τ
• Eğer kuvvet Kayma Merkezi olarak adlandırılan O noktasından uygulanırsa; Düzey düzlemde burulmasız eğilme gerçekleşir. Simetrik yüklemede olduğu gibi; kesme kuvvetinden dolayı kayma gerilmeleri eğilme momentinden dolayı normal gerilmeler meydana gelir. Aksi takdirde burulmadan kaynaklanan gerilmelerin de hesaplanması gerekir.
V
G
VehF =
∫∫ ===B
A
D
B
dAFdAVIt
VQveya τττ
sdst ds.tdA =
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 16
Şekildeki U kesitin kayma merkezini belirleyiniz. b = 100 mm, h = 150 mm, t =4 mm.Örnek:
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 17
Örnek: Şekildeki yükleme için kesitte meydana gelen kayma gerilmesinin dağılımını çiziniz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 18
Örnek:P=10 kN luk kuvvet kesitin geometrik merkezinden etki etmektedir. Buna göre en büyük kayma gerilmesi değerini (gerilme yığılmalarını ihmal ederek) bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 19
Örnek Şekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı t) kiriş kesiti için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.
AB kısmındaki kayma akımı için T.E’den y uzaklıkta bir kesim yapılırsa:
T.Ey y a2
At
2ya2y +
=( )ya2tA −=
( )22 ya42tyAQ −=⋅= ( )22 ya4
I2V
ItVQ
−==τ
( ) V565dytya4
I2VdAF
a2
a
22a2
a1 =−== ∫∫τ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +== x
2a3
IVa
ItVQτ
Benzer şekilde BD kısmındaki kayma akımı için bir kesim yapılırsa:
T.E
t
x
a
adx
a)tx(a23)ta(Q +=
V2815dxtx
2a3
IVadAF
a2
0
a2
02 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +== ∫∫τ
3ta3
28I =
V
F1
F1
F2
F2
F3T.E
H
( ) ( )FHVH MM ∑∑ =
Kesme kuvvetinin momenti ile kesit üzerindeki bileşke kuvvetlerin momentleri eşit olmalıdır:
)a2(F2)a2(FVe 12 −= a75e =
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 20
Örnek Şekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı t) kiriş kesiti için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.
βsinbb
12hbI
12bhI
3
'x
3
'x =′′
==
2223
'x Ah121
12h.b.L
12hb
sinh
12hbI ===′
=β
V
F1
F1
F2
F2
23
x Ah31
3hbI =′
=
t1014460)t40(60)t40(12
t40I 3223
AB ×=≅+=
t100Amm1006080L DB22
DB ==+=
t1012060)t100(31
3hAI 32
2
DBDB ×===
t10528I2I2I 3DBAB ×=+=
mm60y =tsA =3mmst60yAQ =⋅=
IsV60
ItVQ
==τ
V091.0dstI
sV60dAF40
0
40
01 === ∫∫τ
AB kısmındaki kayma akımı için B den itibaren “s” mesafeden kesim yapılırsa:
( ) ( )FDVD MM ∑∑ =
120)V091.0(Ve
Kesme kuvvetinin momenti ile kesit üzerindeki bileşke kuvvetlerin momentleri eşit olmalıdır:
= mm91.10e =
Hatırlatma:
Paralel kenar için:
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 21
Uygulama için örnek problemlerŞekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı diğer boyutlarının yanında çok küçük) kiriş kesitleri için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 22
Herhangi bir simetri ekseni olmayan kesitlerde Kesme Kuvvetinden (V) kaynaklanan kayma gerilmeleriP
L - Kesit
Eğer kesme kuvveti asal atalet eksenlerinden birine dik ise (burada y ve z asal atalet eksenleri ve kuvvet z eksenine dik); P den dolayı Mz eğilme momenti meydana gelir ve bundan kaynaklanan normal gerilmeler daha önce gösterildiği şekilde hesaplanır. Fakat z eksenine dik olan kuvvet hattı kayma merkezinden geçmezse burulma da meydana gelir. Böyle bir yüklemede Kesmeye karşılık oluşan kayma akımı ve bileşke kuvvet aşağıda gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi kuvvet bileşenleri ve bileşke kuvvet “O” noktasından geçmektedir. Dolayısı ile burulmanın meydana gelmemesi için kuvvet O noktasından (kayma merkezi) uygulanmalıdır.
0dsqVdsqB
o
A
o
== ∫∫• Statik dengeden;
Ancak OB kısmındaki bileşke kuvvetin “0” olması yatay kısımda kayma gerilmesi olmadığı anlamına gelmez. OB arasında gerilmenin “0” olduğu bir nokta vardır.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
FifthEdition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
6- 23
Z - KesitŞekilde gösterilen y ve z eksenlerinin asal eksenleri olduğu daha önce gösterilmişti. Z kesitin boyutlarına bağlı olarak asal eksenler BD kısmı ile belli bir açı (θm) yapmaktadır. Z kesite sahip bir kirişte simetri ekseni yoktur. Buna karşılık simetri merkezi olarak adlandırılan ve geometrik merkez ile çakışık bir “O” noktası söz konusudur. Bu nokta kesit üzerindeki karşılıklı H ve H’ noktalarınıeşit uzaklıklara böler. Bu karşılıklı noktalardaki kayma akımları birbirine eşittir. OH ve OH’ eşit uzaklıklar olduğuna göre momentin “0” olması için kayma merkezi “O” noktası olmalıdır.
θmF
F
V